Algebra Lineal Stanley L. Grossman 6ta Edicion.pdf

,
ALGEBRA LINEAL
SEXTAEDICiÓN
STANLEY 1.GROSSMANs.
UNIVERSITYOFMONTANA
UNIVERSITYCOLLEGELONDON
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JOSÉJOB flORESGODOY
UNIVERSIDAD IBEROAMERICANA
Revisióntécnica:
ABElARDO ERNESTODAMYSOLís
INSTITUTOTECNOLÓGICOrDEESTUDIOSSUPERIORES
DEMONTERREY,CAMPUSGUADALAJARA
MARíAEUGENIANORIEGATREVIÑO
UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DESANLUISPOTosí
MARíAASUNCiÓN MONTES PACHECO
UNIVERSIDAD POPULARAUTÓNOMA
DELESTADODE PUEBLA
IRMAPATRICIAfLORESALLlER
INSTITUTOPOLITÉCNICONACIONAL
DAXANDRÉPINSEAUCASTILLO
UNIVERSIDADCATÓLICADEHONDURAS
UNIVERSIDAD PEDAGÓGICA NACIONALDEHONDURAS
KRISTIANORACANElLO
FUNDACIÓN UNIVERSIDAD DELAS AMÉRICAS.PUEBLA
ERIKLEALENRíQUEZ
UNIVERSIDAD IBEROAMERICANA, CIUDADDE Mtxlco
UNIVERSIDAD AUTÓNOMA METROPOLITANA
AZCAPOTZAtCO
EDUARDO SOBERANES LUGO
INSTITUTOTECNOlÓGICO yDEESTUDIOSSUPERIORES
DEMONTERREY, CAMPUSSINALOA
MARTHAPATRICIAMElÉNDEZAGUILAR
INSTITUTOTECNOLÓGICO DE(ELAYA
ISRAELPORTILLOARROYO
INSTITUTOTECNOLÓGICO DELPARRAL, CHIHUAHUA
IVÁNCASTAÑEDA LEYVA
UNIVERSIDAD DEOCCIDENTE, UNIDADCULlACÁN
MEXICO·BOGOTÁ·BUENOSAIRES,CARACAS·GUATEMAlA
LISBOA'MADRID,NUEVAYORK·SANJUAN·SANTIAGO
AUCKLAND'LONDRES,MIlÁN'sAoPAULO• MONTREAl•NUEVADELHI
SAN
FRANCISCO·SINGAPUR·SANLUIS·SIDNEY·TORONTO

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ÁLGEBRALINEAL
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Prillfed
byCTPS

CONTENIDO
1 SISTEMASDEECUACIONES LINEALESYMATRICES 1
71
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
1.8
1.9
1.10
1.1I
1.12
Introducción1
Dosecuacioneslinealescondosincógnitas
.2
11Iecuacionescon11incógnitas:eliminación deGauss-Jordallyg,lllssiana
Selllb!lIIClIde...CadFriedrichGalls¡}11
Introduccióna l\'lATLAI3 28
Sistemashomogéneosdeecuaciones 36
Vectoresymatrices42
51'lllbklll:0de...Si,.WillialliRmHlnHall/illun51
Productosvectorialymalricial 57
51'lllbI011:(/di'...ArfhllfCarIe)')'elúlgebmdelIIa/fin's
MatricesysiSlcll1,lSdeecuacioneslineales 87
Inversadeunam:ltrizcuadrada94
Transpuestadeullamatrizli8
Malriceselemcnl¡¡lesymatricesinversas[24
Faclorizaciones
LVdeunamatriz J36
Teoría
de
grúficas:lInaaplicacióndematrices 152
Resumen 159
EjerciciosderepaSo164
7
2 DETERMINANTES 168
2.1Definiciones168
1.2Propiedadesdelosdelerlllimmtcs 182
1.3Demostracióndetresteoremasimportantes yalgodehistoria 198
Semb!al/:ade...81"('1'('historiadI!losde/ermintlllfe.\'203
2.4
2.5
Delerrnin¡lI11CSeinversas
Reglade Cramer(opcional)
Resumen 217
Ejerciciosderepaso218
204
212
3 VECTORES EN[?2Y[)3220
3.1VeCloresen elplano 220
3.2
Elproductoescalarylasproyeccionesen
1)'234
3.3Vectoresen elespacio244
3.4ElproducIDcruzdedosveelOres254
SClllb/al/:(/de...jusía/¡lVil/ardGihhsy111.1'ufigel/C.I'del
(//ui!úi.\"I'('e/orillf159
3.5Reciasyplanosen elespacio263
Resumen 275
Ejerciciosderepaso277

VIII Contenido
4 ESPACIOSVECTORIALES 281
4.1Introducción281
4.2Dcfiniciónypropiedadesbásicas281
4.3Subespacios293
4.4Combinaciónline¡llyespaciogenerado 299
4.5Indcpcndencialineal3 I4
4.6Bases
ydimensión332
4.7Rango.nulidad.
esp,lciodelosrenglonesyespaciodclascolumnas
deunamatri7..343
4.8Cambiodebase366
4.9Basesortonormales
yproyeccionesen
11"387
4.10Aproximaciónporminimoscuadrados
41I
4.I I
Espaciosconproductointernoyproyecciones 432
4.12Fundamentosdelateoríadeespaciosvectoriales:
existenciadeunabase(opcional)444
Resumen 449
Ejerciciosderepaso455
5 TRANSFORMACIONES LINEALES 458
5.1Definiciónyejemplos458
5.2Propiedadesdelastransformacioneslineales:imagenynúcleo472
5.3Representaciónmatricialdeunatransformaciónlineal479
5.4Isomorfismos503
5.5Isomctrias510
Resumen 518
Ejerciciosderepaso
521
6 VALORESCARACTERíSTICOS, VECTORESCARACTERíSTICOS
YFORMASCANÓNICAS
524
6.1Valorescaracterísticos yvectorescaracterísticos524
6.2Unmodelodecrecimientodepoblación(opcional)546
6.3Matricessemejantesydiagonalización 555
6.4Matricessimétricasydiagonalizacióllortogonal567
6.5Formas
cuadrúticasyseccionescónicas 575
6.6FormacanónicadeJordHn 586
6.7Unaaplicaciónimportante:formamatricialdeecuacionesdiferenciales
595
6.8Unaperspectivadiferel1\e:losteoremasdeCay1cy-Hamilton
yGershgorin
607
Resumen 615
Ejerciciosderepaso
610

Apéndice1Inducciónmatemática 622
Apéndice2Númeroscomplejos630
Apéndice3Elerrornumérico
enloscálculos
ylacomplejidadcomputacional640
Apéndice4Eliminacióngaussianaconpivoteo649
Apéndice5UsodeMATLAB 656
Respuestasalosproblemasimpares658
Capítulol658
Capítulo2 683
Capítulo3 688
Capítulo4
701
Capítulo5 725
Capítulo6 734
Apéndices 752
Índice757
Contenido
IX

CONTENIDO DELOS
PROBLEMAS CONMATLAB
Seenumeranlosconjuntosdeproblemasde l\1ATLAB~' loslemasdeinterésl'Sllccial.
1 SISTEMASDEECUACIONES LINEALESY MATRICES
Introduccióna MATLAB 28
TutoriadeMATLAB 30
1.3IJIecuacionescon11incógnitas:eliminación deGauss·Jordanygaussi:lll<lJI
Di,f/ribllciOIldemlor 33
ModelodI!ill,WllllO-prodl/CIOdeLeomit1 34
Flujo(lefr(!/ico34
Ajustedep(Jlillolllio.~ /1PIIIIIO,\'35
lASistemashomogencosdeecuaciones 41
Ba/lIl/ceotIl'fl'llcciofl('squímicas 41
1.5Vectoresymatrices 55
Ca"'Cle,;"i,asdeMATLAB. inlmd",úon,ji",,,,,,,d"",,,"'O·C.'di./I'et'.""56
1.6Productosvectorialymatricial 81
Mmri=lrirmgufllrslI/J<'rior83
MatriceslIilporellll'!' 83
Malr;cl!spor blolfUC'S84
Pl'OdllCIO('xlefior84
A!mriceslit'cOllraclo84
Gu/ellalit' MlIrkol'84
PROBLEMA PROYECTO: 1//(/1';=ti!'poblad/m 86
1.7Matricesysistemasdeecuacioneslineales92
1.8Inversadeunamatriz cuadrada 113
Tipo~'t!Jpecia/esdeIl/(f/rin'.~ 1I5
P('rrllr/x,ciolfes:I1Uf/ricesCt'rC(fIIlISa 1111(1lIfatri:/lQinl'crribh'116
CriplOgrafia117
1.9Transpuestadeunamatriz 122
PROBLEMA PROYECTO: Ilwtrice.l'ortogol/ales123
1.10Matriceselementales ymatricesinversas 134
1.11FaclOrizacionesLVdeunamatriz 150
2 DETERMINANTES
2.1Definiciones179
archimtipoM,ornt.m¡llIslraciimde'laorielltació"de\'eclores
1II1f('Syde.~plll;sde/alllallipllladóndt,lilatrices 181
2.2Propiedadesdelos determinantes198
2.4
Determinanteseinversas210
PROBLEMA PROYECTO: el1cripfadoycÜ'sellcripllldodemensajes211
2.5Reglade Cramer 216

Contenidode losproblemasdeMAlLAB XI
3 VECTORESENl)2Y[)3
3.1Vectoresenelplano231
archil'otipo M,lincomb.milllstraciolldc 1111I'celorcomo 111111
mmbillaciúlIlillmldedosI'cclores 110paralelos233
3.2Elproductoescalarylasproyeccionesen ti243
archimtipo
(\'1,prjtn.millIstracióndelaproyecciónde 1/11
rec/orsobre Ofro243
3.4Elproduclocruzdedosvectores 263
4 ESPACIOSVECTORIALES
4,2Definiciónypropiedadesbásicas 288
archivotipo M,rctrsp.milllslración dealgullosaxiomasen
espacio.\'l'e('furiales288
4.3Subespacios 299
4.4Combinaciónlinealyespaciogenerado 305
Visl/ali~aciólI dcla.\'colllbillaciolleslil/eales305
archh·otipo
M,combo.miluslraciónde la,\,combinaciones
lineales
dedosl"/:'Cfores305
archi\"Otipo(\1,lincomb.miluslraciimde 1111l"ecforeomu
('olllblnaciÓIIlinealporpartesdctresrectores307
Aplimóún 312
4.5Independencialineal 328
Cicloselldigráficaseindependcncialineal 331
4.6Basesydimensión 341
4.7Rango.nulidad.esp'leiodelosrenglonesyespaciodelas
columnasdcunamatriz
358
Aplicacióngcomhrimde!e.\jHlcio//Ido359
AplicaciólIdelespacio
I/uloasistemasde c('ua("Írmes360
Exploradóndelrango
demalriccsespeciales363
Rallgo
yprodll('!OsdelIIa1rices363
PROBLEMA PROYECTO: ciclos1'11dignificas364
PROBLEMA PROYECTO: slIbespacio.\'lIlIIa}'sllhespacioInler.\·('(·ÓÓII365
4.8Cambiodebase 378
CambiodebasepOI'mlaci/men [}"382
archimtipo M,roteoor.milustracióndecombil/(/ciones
linealesrespectoobosesdiferelltes383
PROBLEMA PROYECTO: mmhiode!Jasepo,.I"Olaciime/IP':rotaciolles
ille/illm:desvia,.
Jrodor385.387
4.9Basesorlonormalesyproyecciones enPi403
Proyecciónsobre 1111plallo('/1[?3405
lvfalricesortogollales:longitlld yángulo408
¡\;fa/ricesderotaciólI409
Reflectores
e!el/le!1lale.\'410
PROBLEMA PROYECTO: IIll1lrice.\·derotat'iÚII:camhiodebaseen [?3411

XII Contenidode losproblemasdeMAlLA8
4.10Aproximaciónpormínimoscuadrados 424
Eficienáade ("()/JIb/lsrib/e~26
¡Utllllljiu'lIIra:lelllfJeraturayfll,'r=a427
archiwtipoM,mile.m,Iaros"11forma\'ecroria/solm'el {l/lO
ylosliemposrécordtle carrel"(l,l"lleIII/l/milla427
Crecimiel/lod,'
poblad/m 427
Ceologiamillertl429
PROBLEMA PROYECTO: geologilll)(,lrolera429
4.11Espaciosconproductointernoyproyecciones 443
5 TRANSfORMACIONES LINEALES
5.1Definiciónyejemplos467
Cráficasencompllwdora:cr('(ld/m (lewwfigllra467
archiwtipoM.grafics.mgráfimspor"O"'I)Uwdora 11.1"(11/(10mlllrices468
5.3Representaciónmatricial deunalransform:tciónlineal 500
Proyecciolll!s500
Reflexiones
50I
PROBLEMA PROYECfO: m'acióndegráficasyaplimciún
de
IrcIl/:.formacio1/l!s502
5.4Isomorfismos509
5.5Isometrías517
6 VALORESCARACTERlsTICOS, VECTORESCARACTERlsncos
yfORMASCANÓNICAS
6,1Valorescaracterísticos yvectorcscanlctcrísticos 540
Teoríadegráji("(l.\'543
Ge%gía 545
6.2Unmodelodecrecimientodepoblación 551
Poblacionesdepájaros 551
Teoríadegr(!{i('a.\·554
PROBLEMA PROYECTO: gr(ifim,\'dI!/l/{lfJW'555
6.3Matricessemejantes ydiagonalización565
Geomerría 566
6.4Matricessimetricas ydiagonalización574
Geolllelría574
6.5Formascuadráticasyseccionescónicas 585
6.6Formacanónica deJordan594
6.8Unaperspeclivadiferente:losteoremasdeC;,lylcy·Hamilton
yGershgorin
607

PREFACIO
AnteriormenteeleSlUdiodelúlgcbmlinealera parledelosplanesdeesllldios delosalumnos
dematemúticasyfisicaprincipalmente.ytambiénrecurríanaellaaquellos quenecesitaban
conocimientosde lateoriadematricesparaIrabajar enáreastécnicascomo 1<1estadísticamul
tivariable.Hoyendía. elúlgebralinealseestudiaendiversasdisciplinas gr<lciasalLISOdelas
computadorasyalaumentogencTillenlasaplicacionesdelasmalemúticasenúreasque. por
tradición.nosontécnicas.
PRERREQUISITOS
Alescribirestelibro IUveenmentedosmelas.Intentévolveraccesiblesungrannllmerode
temasdeálgebralinealparallnagranvariedaddeestudiantesquenecesitanúnicamentecono
cimientosfirmesdelúlgebra correspondientesalaensei'wnZHmediasuperior. Comomuchos
estudianteshabrúnllevadoun
cursodecálculodealmenosunarlo.inclui 1,111lbiénv¡¡riosejem
plosyejerciciosqueinvolucranalgunostemas
deestamateria.Estos seindicancon elsimbolo
lCALcuLolLasección6.7esopcionaly sirequiereelusode herramientasdeCÚlculo.perosalvo
estecaso,
el("(ilcl/lo/lOe.l'1///prerrequisi/oparaestetexto.
APLICACIONES
Misegundametafueconvenceralos estudiantesdelaimportanciadelúlgebralinealensus
camposdeestudio.Deeste modoelcontextodelosejemplosyejercicioshacereferenciaadife
rentesdisciplinas.Algunosdelosejemplossoncortos.
comolasaplic,leiollesde lamultiplica
cióndcmntrices
alprocesodecontagiodeunaenfermedad(púgina61).Otrossonun pocomús
grandes;entreéstossepueden
contarelmodelodeinsumo-productodeLcolllief(púginas 18
a19y103H106).lateoriadegrúficas(sección1.12). laaproxim,lciónporminimoscuadrados
(sección4.10)Yunmodelodecrecimientopoblacional(sección6.2).
Ademús.
sepuedeencontrarunnúmerosignificativo deaplicacionessugcstivasenlassec
ciones
deMATLAB®.
TEORíA
Paramuchosestudiat1les elcursodeúlgebralinealconstituye elprimercursorealde IIW/CI!lÚlictls.
Aquísesolicitaalosestudiantes nosóloquellevenacabocúlculosmatemúticossinotambiénque
desarrollendemostraciones.Intenté.enestelibro.alcanzar
unequilibrioentre latécnic,lyI,lleo
ría.Todaslastécnicasimportantes
sedescribenconminuciosodetalley seofreccncjemplos que
ilustransuutilización. Almismotiempo. sedemuestrantodoslosteoremasq tlescpuedenprobar
utilizandoresultados dadosaqui.Lasdemostracionesmúsdifíciles sedanalfinaldelassecciones
oen
apartadosespeciales.pero siempre~·edal/.Elresultadoes unlibroqueproporcionaráalos
estudiantes
tantolashabilidadesalgebraicaspararesolverproblemas quesurjanensusúreasde
estudio
comollnamayorapreciaciónde labellezadelasmatemúticas.
CARACTERíSTICAS
Lasextaediciónofrecenuevascaracteristicas.yconserva laeSlructurHya probadayclúsicaque
tenialaquintaedición.Lasnuevascaraclerísticas secnumcranenlapúginaxv.

Xl\ Prefaoo
EJEMPLOS
LoseSludiantesaprendenmatemil1icasmedianteejemploscomplclos yclaros.Lasextaedición
cOlllienecereilde350ejemplos.c'ldaunodeloscualesincluyetodoslospasosalgebraicosneo
cesariospuracompletarlasolución.Enmuchoscasosseproporciomlronseccionesdeayud..
didúcticap.nafacilitarelseguimicntodeesospasos.Adicionalmente.seotorgóunnombrea
losejemploscon elobjetodequeresultemússencilloentender elconceptoesencialqueilustra
cadallllO.
EJERCICIOS
El!eXlocontienecercade2750ejercicios. Aligualqueenlodosloslibrosdematemáticas.
éstoseonslituyenlaherramientamásimportanlCdelaprendizaje.Losproblemasconservan
unordendeacuerdocon
su
gmdodedifieulladyexisteunequilibrioentrelatecnieaylasde·
mostraciones.LosproblemasmáscomplicadosseencuentranmarcadosconunaSlerisco (.)y
unosCllantosexcepcionalmentedificilescondos (").Éstossecomplementanconejerciciosde
problemasimpares.incluyendoaquellosquerequierendemostraciones. Delos2750ejercicios.
alrededorde300sonnuevos.Muchosdeelloshansidoaportadosporprofesoresdestacados
en
suimparticióndela
materia.Tambiénhayvariosproblemasenlasseccionesde "Manejode
calculadom"y"MATLAB".Endichasección sehablarúmassobreestascaracteristicas.
TEOREMA DERESUMEN
Unacaracterísticaimportante eslaapariciónfrecuente delleoremaderesumen.queunetemas
queenapariencianotienennadaencomundentrodelestudiodematricesytransformaciones
lineales.Enlasección1.2(pagina4)sepresenta elteoremaporvezprimera.Enlassecciones
1.8(p.106).1.\0(p.128).2.4(p.208).4.5 (p.320).4.7(p.353).5.4 (p.506)Y 6.1(p.535)se
encuentranversionescadavezmascompletasdedichoteorema.
AUTOEVALUACIÓN
LosproblemasdeauloevaluacióncstandiseñadosparavalorarsieleslUdiantecomprendelas
ideasbasicasdelasección.yesconvenientequeseresuelvanantesdeintentarlosproblemas
masgeneralesquelessiguen.Casitodoselloscomienzanconpregunt.tsdeopciónmul!ipleo
falso·verdaderoquerequierenpocosoningúnc.i!culo.Lasrespucslasaestaspreguntas
apare·
cenalfinalde
laseccióndeproblemasalaquepertenecen.
MANEJODECALCULADORA
Enlaactualidadexisteunagranvariedaddecalculadorasgraficadorasdisponibles.conlas
queesposiblerealizaroperacionesconmatricesyvectores.Desdelaediciónanterior. elte.xto
incluyeseccionesde"manejodecalculadora"quetienenporobjetoayud'lralosestudiantes
ausarsuscalculadoras enestecurso.Paraestaediciónsehanactualizadoestasseccionescon
unodelosmodelosdevangu<lrdia.
CadaseccióncomienzaconunadescripcióndetalladadelusodelaHewlctt·Pack..rd
HP50gparalaresolucióndeproblemas.Por logeneralaestasdescripciones lessigueunaserie
deproblemasadicionalesconnumerasmascomplicadosque sepuedenresolverfácilmentecon
calculadora.

Prefacio x\"
Sinembargo.debehacersehincapiéenque l/Osere1luiereqllelosalullllloscuelllell('011/11/(/
calculudomgrajimdom paraquee/usodees/elibroseae./;'("/il'o.Lasseccionesdemanejode
calculadorasonunacaracterística
opcionalquedebeusarseadiscrecióndelprofesor.
RESÚMENES DECAPíTULO
Alfinaldecadacapituloaparece unrepasodetalladodelosresultadosimportanteshalladosen
elmismo.Incluyereferenciasalas
páginasdelcapítuloenlasque seencuentralainformación
completa.
GEOMETRíA
Algunasideasimportantesen
álgebralinealseentiendenmejorobservando suinterpretación
geométrica.Poresarazón
schanresaltadolasinterpretacionesgeométricasdeconceptos im
portantesenvarioslugaresdeestaedición.Éstasincluyen:
•
Lageometriade unsistemadetresecuacionescontresincógnitas (p.19)
•Lainterpretacióngeométricade undeterminantede2 X 2(pp.175.257)
•
Lainterpretacióngeométricadeltripleprodtictoescalar (p.258)
•
Cómodibujarunplano(p.267)
•
Lainterpretacióngeométricade ladependencialinealen
I)l(p.317)
•
Lageometriade
unatransformaciónlinealde1)2en1)2(pp.488-495)
•Lasisometríasde1)'(p.512)
SEMBLANZAS HISTÓRICAS
Lasmatemáticassonrnúsinteresantessiseconocealgosobre eldesarrollohistóricodeltema.
Paraestimularesteinterés
seincluyenvariasnotashistóricasbreves,dispersas enellibro.Ade
más.haysietesemblanzas
notanbrevesyconmásdetalles.entrelasque secuentanlasde:
•CarlFriedrichGauss
(p.21)
•SirWilliamRowanHamilton (p.52)
•ArthurCaylcy yelálgebradematrices (p.71)
•Brevehistoriadelos
determinantes(p.203)
•JosiahWillardGibbsylosorígenesdelanúlisisvectorial
(p.259)
•Historiade
lainducciónmatemática (p.627)
CARACTERíSTICAS NUEVAS DElASEXTAEDICIÓN
Gracias
alaparticipacíóndeprofesoresyrevisores, lanuevaedición sehaenriquecidocon
diversoscambios,comoson:
•Seccionesdemanejode
lacalculadoraactualizadas.
•
LastutoríasyproblemasdeMATLABtambién sehanactualizado,incluyendoahonl
mayoresreferenciaseinclusomuchosdeloscódigosnecesarios.
•Grancantidaddeproblemasnuevos,ademasdeotrosactualizados.quepermitirán
ejercitaryaplicarlashabilidades adquiridas.Porende,lasecciónderespuestas alfinal
dellibrohacambiadoporcompleto.

XVI Prefacio
MATLAB®
Eltextocuentaconmúsde230problemasopcionalesparaMATLAB"'.muchosde loscuales
tienenvariosincisos.queaparecendespuésde
lamayoríadelasseccionesdeproblemas(MAT
LAB~esunamarcaregistrad<tdeTheMathWorks.lnc.).MATLAB'" esunpaquetepoderoso
peroamigable.diseñadoparamanejarproblemasdeunaampliavariedadquerequierencálculos
conmatricesyconceptosdeúlgebralineal.
Sepuedevermayorinformaciónsobreesteprogra
ma
enlaseccióndeapéndices.Losproblemasrelacionadosdirectamenteconlosejemplosylos
problemasnormales.exhortan
alestudianteaexplotar elpoderde dlculodeMATLAB"y
explorarlosprincipiosdelálgebralinealmediante
elanúlisisy laobtencióndeconclusiones.
Además.
secuentaconvariosincisosde"papelylápiz"quepermitenque elalumnoejercite su
juicioydemuestre suaprendizajedelosconceptos.
Lasección1.3eslaprimeraquecontieneproblemasde MATLABJ'.;antesdeestosproble
mas
sepresentaunaintroducciónyunatutoríabreve.LosproblemasdeMATLAB\.encada
secciónestándiseñadosparaque
elusuarioconozcaloscomandosdeMATLAB"amedida
que
sevanrequiriendopara]¡lresolucióndeproblemas. Secuentaconnumerosasaplicaciones
yproblemasproyectoquedcmuestran
larelevanciadelálgebralineal enelmundoreal:éstos
puedenservircomotrabajosdegrupooproyectoscortos.
Muchosdelosproblemasde
MATLAB~ estándiseñadqsparaanimaralosestudiantes
adescribirteoremasdeálgebralineal.Porejemplo.
unestudiantequegenerevariasmatrices
triangularessuperioresycalculesusinversasobtendrá
laconclusiónnaturaldeque lainversa
deunamatriztriangularsuperior
esotratriangularsuperior. Lademostracióndeesteresul
tadono
estrivial.perotendrásentido sielestudiante"ve"queelresultadoesaceptable.Prác
ticamentelodoslosconjun.losdeproblemasdeMATLAB('contienenalgunosquellevana
resultadosmatemáticos.
Lomismoqueen elcasodelmanejodecalculadora. seresaltaaquí elhechodeque el
materialdeMATLAB" esopcivllal.Sepuedeasignaronosegún elprofesorloconsiderecon
veniente.
Enlugardecolocar laseccióndeMATLABamaneradesuplemenlo, sedecidióconser
varlodentrodeloscapítulosparaque
lai11legraciónfueramayorymásefectiva.Ademús. seha
cuidadoqueprimero
seenseñealosestudia11les lamaneraderesolverlosproblemas "amano",
comprendiendo
losconceptos.paradespuéspoderincorporar elusodeotrasherramientas.
Algebmlineal conservaeldiseñode unlibroparacubrirse enIInsemestre.Esdeesperarse
que.
alutilizarlo.elmateria!deMATLAB secubraen unlaboratorioseparadoquecomple
mente
eltrabajodelsalóndeclase.
NUMERACiÓN
Lanumeracióndeestelibro esestándar.Dentrodecadasección.losejemplos.problemas.teo
remasyecuaciones
seencuentrannumeradosconsecutivamenteapartirdelnúmerol.Lasrefe
renciasalosmismosfuerade
lasecciónsellevanacaboporcapitulo.secciónynúmero. Deesta
forma.
elejemplo4enlasección 2.5sedenominaejcmplo4 cnesasección.perofueradeella se
habladelejemplo2.5.4.Ademús.confrecuencia seproporcionaelnumerode lapáginaparaque
resultesencilloencontrarreferencias.
ORGANIZACiÓN
Elenfoqueque sehautilizadoeneslelibroesgradual.Loscapítulos1y2contienen elmaterial
computacionalbúsicocomúnpara
lamayorpartedeloslibrosdeálgebralineal. Elcapítulo1
presentalossistemasdeecuacioneslineales.vectoresymatrices.Cubretodo
elmaterialdesis-

PrefaCIO XVII
temasdeecuacionesantesdeintroducirlosconceptosrelacionadosconmatrices.Estapresen
tación
proporcionaunamayormotivación
paraelestudianteysigueelordcndclamayoriade
lostemariosdelcurso.Tambiénseincluyóunasección(1.12)enlaqueseaplicanmatricesala
teoríadegráficas. Elcapitulo2proporcionaunaintroducción¡¡losdeterminanteseincluyeun
ensayohistóricosobrelascontribucionesdeLeibnizy Cauchyalálgebralineal(sección2.3)
Dentrodeestematerialbásico.inclusohayseccionesopcionalesquerepresentanunreto
un
pocomayorparaelestudiante.Porejemplo.la
sección2.3proporcionaunademostr.lCión
completadcquedetAH=detAdetB.L1demostracióndeesteresultado.medianteeluso de
matriceselementales..casinuncaseincluyeenlibrosintroductorios.
Elcapitulo3analizalos vectoresen elplanoyelespacio.Muchosdelostemasdeestecapi.
tulosecubrensegúnelordenconelqueseprescnt:lnenloslibrosdeciJ.lculo.demaneraquees
posible
queelestudianteyaseencuentref¡lmiliari;wdoconellos.Sin embargo.como
unagnln
partedelálgebralinealestarelacionadaconelestudiodeespacios\'cctorialesabstnlctos.los
alumnosnecesitanunacervodeejemplosconcretos queelestudiodelosvectoresenelplanoy
elespacioproporcionademaneranatural.ElmaterialmásdificildeloscapilUlos4y5seilustra
conejemplosquesurgendel capitulo3.L<Isección3.4incluyeunensayohistórico sobreGibbs
yelorigendelanálisis\'ectorial.
ElcapílUlo4contiene unaintroducciónalosespaciosvcctorialesgeneralesyesneees.1.
riamenlemásabstractoqueloscapitulasanteriores.oobstanle.intentepresentarelmaterial
comounae:l;tensiónnaturaldelaspropiedades delos vectoresen elplano.queesenrealidadla
formaen quesurgióeltema.Lasextaediciónestudialascombinacioneslinealesyclconjunto
generadoporellas(sección4.4) antesde)¡lindependencialineal(sección4.5)paraexplic¡lrestos
temasdemaneramásc1am.Elcapitulo4tambienincluyeunasección(4.10) deaplicaciones
interesantessobre
laaproximaciónpormínimosCU¡ldrados.
Alfinaldel capitulo4¡lgrcguéunasección(4.12) opcionalenlaquedemuestroquelodo
espaciovectorialtiene unabase.Alhacerloseanalizan
losconjuntosordenadosyellemade
Zom.Dichomaterialesmilscomplic¡ldoquecualquierotrotemaen ellibroyscpucdcomitir.
Sin
embargo.comoel
álgebralinealamenudoseconsider;lelprimercursoenelquelasdemos
tracionessontanimpOrtanles
comolos
cú1culos.enmiopiniónelestudianteilHeresadodebe
disponerdeunademostracióndeesteresul1:ldofundumental.
Elcapítulo5 continúael¡lIlúlisisqueseinicióenelcapítulo4conunaintroducciónalas
transformacioneslinealesdeunespuciovectorialaotro.Comienzacondosejemplosquemues
tranlamaneranaturalenlaquepuedensurgirlas¡lllsformaciones.En lasección5.3incluíuna
descripcióndctalladadelageometriadelastransformacionesdeIYenIY,incluíexpansiones.
compresiones.reflexionesycortes.Ahora.1"sección5.5contiene unestudiomásdctall:tdode
lasisometriasde1)1.
Elcapítulo6describe lateoriadelosv¡lloresyvectorescaracterísticosov¡doresyvectores
propios.Seintroducenen lasección6.1yenlasección6.2 sedaunaaplicaciónbiológicadeta
lladaalcrecimientopoblaciona!.Lassecciones6.3.6.4Y6.5presentan ladiagonalizacióndeuna
matriz.mientras
quelasección6.6ilustra.
paraunoscuantoscasos.cómosepuedereducir
unamatrizasuformacanÓnica
deJordan.Lasección6.7estudialasecuacionesdiferenciales
matricialesyeslaúnica
seccióndellibroquerequiereconocimientodelprimer cursodecalculo.
Estasecciónproporcionaunejemplo delautilidaddereducirunamatrizasuformac¡¡nÓni"lde
Jordan(quesueleser unamatrizdiagonal).En lasección6.8.introduje dosdemisresultadosfa
voritosacercade lateoriadematrices:elteoremadeCayley-Hamiltony elteoremadeloscirculas
deGershgorin.Elteoremadeloscirculas deGershgorinesunresultadomuymravezestudiado
enloslibros de:i.lgebralinealelemental. queproporcionaunamanerasencilla deestimarlosva
lorespropiosdeunamatriz.
En
elcapítulo6
tuvequelomarunadecisióndificil: sianalizaronovaloresyvectorespro
pioscomplejos.Decidiincluirlos
porquemepareciólo
masadecuado.Algunasdelasm:nrices

XVIII PrefaCIo
"músagradables"tienenvalorespropioscomplejos. Sisedefineunvalorpropiocomo unnúme
roreal.sóloenunprincipiosepuedensimplificarlascosas.aunqueestosea unerror.Todavia
más.enmuchasuplicacionesqueinvolucranvalorespropios(incluyendoalgunasde lasección
6.7).losmodelosmásinteresantes
serelacionanconfenómenosperiódicos y
estosrequieren
valorespropioscomplejos.Losnumeroscomplejosno
seevitanenestelibro.LoseSlUdiantes
quenoloshanestudiadoantespuedenencontrarlaspocaspropiedadesque
necesilanenel
apendice2.
EllibrotienecincoapCndices.elprimerosobreinducciónmatemática yelsegundosobre
nllllleroscomplejos.AlgUll<lSdelasdemostracionesenestelibrohacenusode lainducción
matemútica.porloqueelapéndiceIproporcionaunabreveintroducciónaestaimportante
técnicaparalosestudiantesquenolahanutiliz,.do.
Elapendicc3analizaelconceptobasicodelacomplejidaddeloscálculosque.entreotras
cosas.
ayudarjalosestudiantesaentenderlasrazonesporlascualesquienesdesarrollan
soft·
wareeligenalgoritmosesp:dficos.Elapéndice4presenlaunmetodorazonablementeeficiente
p..r..obtenerlasoluciónnumericadelossistemilSdeecuaciones.Porultimo,elapéndice5
incluyealgunosdetallestecnicossobreelusodeMATLAB"enestelibro.
Unanotasobre
lainterdependenciadeloscapítulos:estelibro
estúescritoenforma se
cuencial.Cadacapitulodependedelosanteriores.conUO<Iexcepción:elcapítulo6sepuede
cubrirsinnecesidaddegr.lllpartedelmmerialdelcapilUlo5.Lasseccionesmarcadascomo
"opcional"'
sepuedenomitirsin
perdidadelacontinuidad.
MATERIALESDE APOYO
Estaobracuentaconinteresantesc,omplementosquefortalecenlosprocesosdeenselianza
aprendizaje.asícomolacv"lu¡¡cióndclosmismos.loscuales seotorganaprofcsoresqueadop
tancste textoparasuscursos.Paraobtenermásinformación)'conocer1"politicadeentrega
deestosmateriales.contactea
surepresentantcMcGraw-Hill.
AGRADECIMIENTOS
Estoy
agradecidoconmuchaspersonasque mcayudaroncuandoescribíaestelibro.Partedel
matcrialaparecióprimeroeniHall/e/lwlh.".\'!orIlu:BiologicalSóe/lces(NucvaYork.Maemillan.
1974)escritoporJames
E.Turnery pormí.QuieroagradeceralprofesorTurner porelpermiso
qucmeotorgóparahacer
usodeestematcriaL
Granpartedeestelibrofueeseriwmientrastrabajabacomoinvestigadorasociadoenla
UnivcrsityCollcgeLondon.Deseoagradecer aldepunamentodematcmáticasdeUCLpor
proporcionarmeserviciosdeofiCina.sugerenciasmatemáticllSy.enespccj¡ILsuamistadduran
temisvisitasanuales.
ElmaterialdeMATLABi.fueescritoporCcccliaLaurie.delaUniversity ofAlabama.
Grllci..s alaprofesoraL..urieporlamanemsobresalienteenqueutilizó lacomputador..para
mejorarelprocesode enscñanz.."LEsteesunmejorlibrodebidoasusesfuerzos.
Tambienmegustariaextender miagradecimientoaCristinaPalumbo.deTheMathWorks.
Inc..
porproporcionarnos1
..informaciónmásrecientesobreMATLAB".
Laefectividaddeunlibrodetextodematem¡Ílicasdependeenciertogradodelacxactitud
delasrespuestas.Yaenlaediciónanterior dcllibrosehicieronesfuerzosconsidcrablespara
tratllrdeevitarloserroresalmÍlximo.L¡¡srespuestasfueronverificadas porvariosprofesores.
entrelosquecabedestacarklimportantísimalabordeSudhirGoeLdeValdostaStateCollege.
yDavidRagozin.de
laUniversityofWashington.quienelaboró elManualdeSolucionesdel
libro.CeceliaLauriepreparólas
solucionesalosproblemasdeMATLAB.Enelcasodeesta

Prefacio \:1\:
nuevaedición,lassolucionesalosproblemasnuevoseSllinelaboradasporlosprofesoresque
losaportaron.Dadoquehaygrancantidaddeproblemasnuevos,
lasecciónderespuestasal
finaldellibrosemodificócasiporcompleto.
Agradezcoaaquellaspersonasquehicieroncomentariosa
laquintaedición.Todosellos
sonmuyvaliosos.Enestaediciónfueposibleincorporarmuchosdeellos.
MiagradecimientoalossiguientesusuariosexperimentadosdeMATLABltpor larevisión
delosproblemasdeMATLAB:¡i:
ThomasCairns.University ofTulsa
KarenDonelly,Sain!Joseph'sCollege
RogerHorn.University
ofUtah
lrvingKatz,GeorgeWashingtonUniversity
GaryPlatt,University ofWisconsin-Whitewater
Stanlcy
l.Grossman
Missoula.
Montana
Diciembrede2007
LadivisióndeIngenierías.MatemáticasyCienciasdeMcGraw-Hil1agradecedemaneramuy
especialatodoslosprofesoresquehancontribuidoconesteimportanteproyecto:
•AdánMedina,
IlIsliluloTecnológicodeCuliacáll
•AlfonsoBernalAmador. IlIstiflllOTecllológico deCuliacáll
,
•AlfredoGómezRodríguez,Unil'l!r.l'idadNacionalAllfón0ll10deMéxico.
Facultad
deIngenieria
•AndrésBasilioRamírezyVilla. Unil'ersidmlNaciO/wl AlIfónOll1ade/I.'léxico.
FacultaddeIngenil!ria
•ArturoAstorgaRamos, InstifUtoTecnológicodeMlt=allán
•ArturoFernandoQuiroz. TecnulógicoRegiunaldeQllen'((//'O
•ArturoMunozLozano. Unil'ersidadLaSa/ledelBajío
•ArturoValenzuelaValcnzuela, InstilufoTecnológicodeCuliacán
•AurelianoCastro. Unil'ersidadAwónomadeSinaloa.EscudadeIngeniería
•BeatrizVelazco. b¡sfilulOTecnológico J'deESllldiosSuperioresdeMomerrey.
campusCI/liacán
•BenignoValez. InsfilllfoTecnológicoyde E~flldios SuperioresdeMomerrey.
campusCuliacún
•BerthaAliciaMadrid. Unil'ersidadIberoamericana.campusCuidaddeMéxico
•CarlosCamachoSánchez.InstitllfOTec/lológicodeCI/liacán
•CarlosRodríguezProvenza. Unil'l!rsidadPuliléC/licadeQuerétaro
•CésarMezaMendoza. InstitutoTeCllológicodeCuliacán
•DinakyGlaros, InstitutoTecnológicoydeEstl/diosSuperioresdeMunlerrey,
campusCl/!iacán
•EdgarHernímdezLópez, Unil'ersidadIberoamericana,campusLeón
•EdithSa!azarVázquez. IIISlifllfOTecnológicoy deEswdiosSuperiores deMomerrey.
campusTaluca
•EdmundoBarajasRamirez. Unil'ersidadIberoamericana.campusLeón

xx Prefacio
•EduardoMirandaMontoya.Ileso
•ErendiraGabrielaAvilesRabanales.Instituto7I.-{"IIo/úgico)'deEstudiosSuperiores
de
¡\4ollferre.l"campus
To/uclI
•ErikNormanGucvaraCorona.Vnil"ersidadNaáonalAulónomadeMéxico
•EsperanzaMendezOniz.UI/il'er.l"idwlNacionalAutVI/VIIIIIdeMéxico.
Faculwd
de
Ingellieria
•FernandoLópe'!.Ullil"ersidadAulónomadeSillaloa,t\'Ci/eladeIngenierías
QuimlcoBiológicl/.I'
•GabrielMartinez.11I.I·tillltv7I.'cl1ológicudeHenlloúllo
GerardoCamposCarrillo.IlIStiluto7I.'l'IlOlógicudelvla:atfún
•GonzaloVcyroSantamaria,UI/irersidadIherolllllerimllll.('(l/l/pI/SLdJII
GuillermoLuisillo Rarnírez.llIslilUloPolilémicoNaciollal,ESIMECulhuacúlI
•HéctorEscobosa.IIISlitl/lOTeCllolvgicodeCl/liacúlI
•HortensiaBellrúnOchoa.InstilulOTeCllolrígicodeLosMochi.l'
Irl1lilYolimdaParedes.Vnil'l'I"sidaddeCl/lIdalajam.CellfroUIIÍl'ersitariodeCiencia,)"
E\"ac/lIseIlIgel/ierios
•JavierNúi'1ezVerdugo.Ullil"{'rsidaddeOcádellle,IIIlidádCl/a!lllÍc/¡il
•JesúsGamboaHinojosa,IlIStitllfOTe('llo/úgicodeLosMochü
•JesúsManuelCunizaic'!.Unil"{'l:\"idaddeOcádenle,unidadMa:atlún
•JesúsVieenleGon'!úlc'!Sosa.Ullil"f!I"sidat!Nal'iOlwlAutóllomade¡l;hxico
•JorgcAlberioCaslellón.UI/il'crsidadAllfóllo!lladeBajaCa/ifomia
•JorgeLuisHerreraArellano./lu/ilu/oTemológicodeTljúa/1o
•JoseAlbertoGuliérrczPalacios.UI/il'ersidat!AutÓIIOlII1IdelEswdode¡!'léxico.
("(//11/111.1'Tolllca.FaculladdeIlIgenieria
•JaseAnlonioCasi rolnzunza.Ulli\'{'rsidaddeO("cülellfe./IIlit/adeuliacán
•JaseCarlosAhumada.InstitutoT{'l'/lOlúgicodeHerlllosiflo
•JaseCarlosAragónHernúndez,lnsliluloTecnológicodeCuliacún
•JaseEspindolaHernúndez.TecnológicoRegio/1aldeQuere/(/rD
•JoséGonz;"llezV:izquez.VI/irersidadAulóno!lladeBajaCalifofllia
•JoséGuadalupeOctavioCabreraLazarini.Ullil'(,I:l'idadPolitécllicadeQlleré{(lro
•JoséGuadalupeTorresMorales.IlIslitulOPolitémicoNaciolJal. ESIM ECul/II/acón
•JoseGuillermoCúrdenasLópez.Il/srilUloTecnológico deTijuolI(l
•JoseLuisGómczSánehcz,UIIÍl"ersidaddeOccidellle.IIl1idadMa:allún
•JaseLuisHerrera.TeCllológi("oRegiol/aldeSanLuisPOlosí
•JoséNoéde laRocha,InSlituloTeCllolúgicodeCulilldm
•JuanCarlosPedraza. TecnológicoRegionaldeQuerélllro
•JuanCaslaikda.Vnil'ersidadAutúllolI/adeSinaloa.EscueladeIngenierías
QuímicoBiolágicas
•JuanLeollcioNúnezArmenla. IIISliflllUTecnológicodeCllliacáll
•JuanaMmilloCastro, VAS.EscudadeIngeniería
•LindaMcdina. InstilllfoTecllológicoydeEstudiosSlIperiore.l· deMonlerrey.
mlnllllSCuidaddeMexico

1
SISTEMASDEECUACIONES
LINEALESYMATRICES
•
111INTRODUCCiÓN
Estelibrotratadelálgebralineal.Albuscar lapalabra"linear'eneldiccionarioseencuentra.
entreotrasdefiniciones.
lasiguieOle:lineal:(del laLlim'lIlis).l.adj.Pertenecienteorelativoa
lalínea.'Sinembargo.enmatcminicas lapalabra"lineal"tieneunsignificadomucho mÍlsam
plio.Unagranpartede latcoriadeálgebralinealelementales,dehecho.unageneralizaciónde
laspropiedadesde 1;.1linearecta.Amaneraderepasose daránalgunoshechosfundamentales
sobrelaslíneasrectas:
i.Lapendientemdellnarectaquepasaporlospuntos (XI'J'I)Y(x"Y2)eslúdadapor
y,-yi.\y
III=~=- siX1oF-X
1
Xl+.1'1 .1.x
ii.SiXl-XI=OY)'2;t.)'I'entonceslaree!JIesverticalysedicequelapendiemeesillddillida.
l
iii.Cualquierrecta (aexcepcióndeaquellaquetiene llrHlpendienteindefinid:l) sepuededes
eribir:llescribirsuecuación
enlaformapendiente-ordenada J=mx+b.dondem esla
pendientede larectaybeslaordenada(elvalor de.renelpuntoenelquelarectacruza
elejer).
iv.Dosrectasdistintassonpamlelas siysólositienenlamismapendiente.
v.Silaecuaciónde larectaseescribeen laformaax+by=c.(b~O).entoncessepuede
calcularfácilmente.
m=-alb.
vi.Sim
reslapendientedelarecta LroI/l!eslapendientede larectaL
r
m
r*-OYL
r}'L!son
perpendiculares.entonces
m~=-llm
l
•
vii.Lasrectasparalelasaleje xtienenunapendientecero.
viii.Lasrectasparalelasaleje.rtienenunapendienteindefinida.
Enlasecciónquesigueseilustr3r.l
larelaciónquee ..<isteentreresolversistemasdeecua
ciones
yencontrarlospuntosdeimersccciónentrepares derectas.
.,---
1lAaionanodelalengwfsp.J1'K1ld.~ 5t'gundaedlOOf'l.RNIAcademlilEspañola.MadndE~Calpe.2001
l~hmda oIIlflmta.comotdmblenseledenomInat'flotroslibros

2 C,\I'iTUl,OI Sistemasdeecuacioneslinealesymatrices
(1)
(2)
IDDosECUACIONES LINEALESCON DOSINCÓGNITAS
Considereelsiguierllcsistemade dosecuacioneslineales condosincógnitasxyy:
a
ll
.\"+al,Y=b,
allx+(/nY=b!
dondea
ll
,{/I"{/;:I'(/1!'b
l
Yb¡sonnúmerosdados. CadalInadeestasecuacionescorrespondea
lInalínearecia. Unasoluciónalsistema(1)esun pardenúmeros.denotadospor(x.y).quesa
tisface
(1l.Laspreguntasquesurgenenforma naturalson:¿tieneestesistemavariassoluciones
y.deser
asi.cwintas?Seresponderúnestas preguntasdespuesdeveralgunosejemplos.enlos
cuales
seusarándoshechos importantesdelúlgebraelemental:
Hecho
ASi(/=by(=d.entoncesa+('=b+d.
HechoUSi({=by("escualquiernLJmeroreal.entonces('(l=ch.
ElheehoAestablecequcsise sumandosecuacionesseobtieneunaterceraecuación correcta.
ElhechoBestableceque sisemultiplicanambosladosdeunaecuación porllnaconstantese
obtieneunasegundaecuaciónválida.Se debesuponerquel''#Oyaqueaunquelaecuación
O=Oescorrecta.noesmuyútil.
EmIIIIIL_S_is_'_e_m_a_c_o_"_"_"_a_s_o_I"_c_ió_"_Ú_"_i_Ca__
Considereelsistema
x-y=7
x+y=5
Sisesumanlasdosecuacionessetiene.porelhechoA. lasiguienteecuación:2x=12(esdecir.
\'=6).Entonces.sisedespejadelasegundaecuación,y=5 -x=5 - 6=et1loncesJ=-l.
Asi.elpar(6.-1)satisfaceelsistema(1)yInformaenque seencontrólasoluciónmuestraque
esellinicopardenúmerosquelohace.Esdecir. elsistema(1)tienelInasolucióllllnic:l.
EJEMPLO 2 Sistemaconunnúmeroinfinitodesoluciones
ConsidereelsistemH
x-y=7
2\"-21'=14
(3)
(4)
EJEMPLO 3
Sepuedeverqueestasdosecuaciones sonequivalenles.Estoes,cualesquieradosnúmeros.xy
y.quesnlisfacelllaprimeraecuaciónlambiénsatisfacenlasegunda.yviceversa.Para compro
barestosemultiplica laprimeraecuaciónpor2.EstoeSlúpermitidoporelhechoB.Entonces
.r-}'=7o)'=x-7.Así.elpar(x.x-7)esllnasoluciónalsistema(3) paracualquiernll
merorealx.Esdecir.elsistema(3)tieneunnllmeroinfinitodesoluciones.Paraesteejemplo.los
siguientespares
SOI1soluciones:(7.O).(O.-7).(8.1).(1.-6).(3.-4)Y(-2.-9).
Sistemasinsolución
Considereelsistema .1"-y=7
2\'-2.1'=13
Sisemultipliclllaprimeraecuación por2(quedenuevoestÍlpennitidoporelhechoB)seobtiene
2x-2.1'=14.Estocot1lradicelasegundaecuación. Por10talltO.elsistema(4)notienesolución.

!'
1.2Dosecuacioneslinealescondosincógnitas 3
y
Soluciónunica
-1-+:'.-----x
O
"lr"f+UI~Y=b,
"2r+"n.\'=b1
Sinsolución
-1-'__--'>,----x
"IIX+U
I2Y=b,
a
2
..\"+"22.1'=b
2
O
Numeroinfinitodesoluciones
"Ir"f+"12Y=bl
uux+uny=b
2
ti)Rectasnoparalelas:
unpuntodeintersección
b)Reciasparalelas:sin
punlosdeintersección e)Rectasquecoinciden:numeroinfinilo
de
PUnlOSdeintersect"ión
Figura1.1
Doslenasse inletSKal'1
enunPU"ltQ.enÑngunDo
(sieoincJllen)enunrUnero
lI1fin¡tOlitpuntos..
Unsistemaque notienesolución sediceque esinconsistente.
Geométricamente
esfácilexplicarloquesucedeenlosejemplosanteriores.Primero. se
repilequeambasecuacionesdelsistema(1)sondelíneasrectas.Unasolucióna(1) esunpun
ID(x,y)queseencuentrasobrelas dosrectas.Silasdosrectas nosonparalelas.eOlonces se
iOlersccanenunsolopunto. Sisonparalelas.eOloncesnunca seintersccan(esdecir. notienen
puntosencomún)osonlamismarecta(esto
es.tienenunnúmeroinfinitodepuntosenco
mún).
Enelejemplo1lasrectastienenpendientcsde1 y-1,respectivamente.porloqueno
sonparalelasytienen unsolopuntoencomún(6. -1).Enelejemplo2.lasrectassonparalelas
(tienenpendiente
1)Ycoincidentes.Enelejemplo3.lasrectassonparalelas ydistintas.Estas
relaciones
seilustranenlafigura 1.1.
Ahoraseprocederáaresolver elsistema(1)formalmente. Setiene
Si1112=O.entoncesx=
allx+Gil."=b
l
(I¡IX+anJ'=b~
b
.....!..Ysepuedeusarlasegundaecuaciónparadespejar y.
a"
(1)
b
Sia"=0,entoncesx=.....l...Ysepuedeusar laprimeraecuaciónparadespejar y.
.. a
21
Si{j11=(/11=O.entonceselsistema(1)contienesólo lInaincógnila.x.
Así.sepuedesuponerque ni"Ilni(/22soncero.
Sisemultiplicalaprimeraecuaciónpor (/22ylasegundapor (111setiene
(l1I(/22X+11lla
1lJ'=(/2lbl
(l12(/W'"+1111(/22Y=(l12b2
(5)
SISTEMAS
1:EQUIVALENTES
Antesdecontinuarsepuedeverquelossistem,ls(1)Y(5)sonequinllcntes.Estoquieredecirque
cualquiersolucióndelsistema
(1)esunasolucióndelsistema(5)yviceversa.Ello seconcluye
directamentedelhecho
B.suponiendoque l'110escero.Después..sien(5)serestalasegunda
ecuacióndelaprimera.
seobliene
(6)
Esnecesariohacerunapausaenestepunto. Si(lllan-(f
ll'l'~O.entoncessepuededividirentre
estetérmino
pamobtener
x

4 C\I'iTLlI.O1 Sistemasdee<uacioneslinealesymatrices
Despuéssepuedesustituireste"¡llar dexenelsistema(1)paradespejarJ.yasísehabráen
contradolasoluciónúnicadelsistema.
Seha
demostradolosiguiente:
Si
(f,,(l11-alfil!'*O.entoncesel
sistema(1)tieneunasoludónunica
•
TEOREMAa
problemas12
¿Cómoserelacionaestaafirmaciónconloqueseanalizóanteriormente?En elsistema(1)
sepuedever
quela
¡x-ndienledelaprimerarecIaes-a,la
I2
yquelapendientedelasegundaes
-al/a;::.Enlosproblemas40. 41Y42sepideallectorquedemuestreque""on-0lflll=Osiy
sólo
sitasrectassonparalelas(esdecir.tienenlamismapendiente). Deestamanera
sesabeque
si(l1I":::-alfil'#-O.lasrectasnosonparalelas yelsistemalieneunasolución!inica.
Loqueseacaba deanalizarpuedeformularse enunteorema.Enseccionesposterioresde
estecapituloylossiguientesseharangeneralizacionesdeesteteorema.yseharáreferenciaa
elcomoel"teoremaderesumen"conformeseavanceen eltema.Unavezquesehayande
mostradotodassuspartes.sepodráestudiarunarelaciónasombrosaentrevariosconceplos
importantes
dealgebralineal.
Teoremaderesumen.Puntodevista1
Elsistema m::)'1- )',
Xl+X
1
dedosecuacionescondosincógnitasxy)'notienesolución.tieneunasoluciónúnica
otieneunnúmeroinfinitodesoluciones.Estoes:
i.Tieneunasoluciónúnica siysólosi(/11"12-(/¡;,Q21:;tOo
ii.Notienesoluciónotieneunnúmeroinfinito desoluciones.siysólosi
LossistemasdeIIIecuacionescon 11incógniwsseestudianen lasección1.3yseverúque
siempreocurrequenotienensolución.Oquetienenunaounnúmeroinfinitodesoluciones.
AUTOEYALUACIÓN
1.
Delassiguientesafirmacionesconrespectoalasolucióndeunsistema dedosccuacio·
nescondosincógnitas,¿cuáldeellasnoes"erdadera?
a)Esunparordenadoquesatisfaceambasecuaciones.
b)Sugráficaconsiste ene1(1os)punto(s)deintersección delasgráficasdelasecua
ciones.
e)Sugráficaeslaabscisa delasgráficasdelasecuaciones.
d)Sielsistemaesinconsistente, noex.isteunasolución.
11.¿Cuáldelassiguientesafirmacionesesciertapara unsistemainconsistentededos
ecuacioneslineales?
a)oexisteunasolución.

1.2Dosecuacioneslinealescondosincógnitas 5
h)Lagráficadelsistemaestásobre elejey.
e)Lagráficadelasoluciónesunarecta.
á)Lagráficade lasoluciónes elpuntodeinterseccióndedoslineas.
111.¿Cuáldelasaseveracionesquesiguenesciertaparaelsiguientesistemadeecua
ciones'!
3x-2y=8
4x+y=7
a)Elsistemaesinconsistente.
h)Lasoluciónes (-1,2).
e)Lasoluciónseencuentrasobrelarecta x=2.
á)Lasecuacionessonequivalentes.
IV.DelassiguientesecuacioncsIluesepR'SCntan.¿cuáldeellas esunasegundaecuación
paraelsistema
cU~'aprimeraecuaciónes x-2.1'=-5sidebetenerunnúmeroinfi
nitodesoluciones?
a)6y=3.1'+15
15
c)y=--x+
22
h)6x-3y=-15
J 15
á)-x=3y+-
2 2
V.¿Cuáldelasgráficasdelossiguientessistemasesun parderectasparalelas?
a)3x-2y=7
4y=6x-14
e)2x+3y=7
3x-2y=6
b)x-2y =7
3x=4+6y
á)5x+y=1
7y=3x
Enlosproblemas1a 16encuentrelassoluciones (silashay)delossistemasdados.Encadacaso
calcule
elvalorde tilia"-(f12{/21'
1.x-31'=4 2.Sx-7)'=4 3.21"-y=-J 4.2,'~8)'=5
-4x+2y=6 -x+2y=-3 5x+7y=4 -3x+12"=8
5.IOx-40y=JO 6.2"-8y=6 7. 6x+y=3 8.5.1'+y=O
-3x+12y=-90 -3x+12y=-9 -4x-y=8 7x+3)'=0
9.3x+y=O 10.4.1"-6y=0 11.5.1'+2y=3 12.4.1"+7y=3
21"-3y=O -21" +3y=O 2x+5y=3 7x-4y=3
13.21"+3y=4 14.ax+by=e 15.ax+by=c 16.ax-by=c
3x+4y=5 ax-by=c bx+ay=c bx+ay=d
17.Pamelsiguientesistemadeecuacioneslinealesdetermineparaquévaloresde Kelsistema
tienesoluciónúnica;justifiquesusolución.
Kx+y+
x+Ky+::
x+y+K:=1
18.Enelsiguientesistemadeecuacioneslinealesdetermineparaquévalores deKelsistema:
a)Notienesolución
h)Tienesolucionesinfinitas
1')Tienesoluciónúnica

d
6 Sistemasdeecuacioneslineales ymatrices
2x-y-K::=O
x-y-2::=1
-x+2y =K
19.Encuentre[ascondicionessobre aybtalesqueelsistemaen elproblema14tengauna
soluciónünica.
20.Encuentre [ascondicionessobre(/,bY('talesqueelsistemadelproblema[5tengaunnú
meroinfinitodesoluciones.
21.Encuentrelascondicionessobre (l.b,eytitalesqueelproblema16notengasolución.
Enlosproblemas22al29encuentre elpunlodeintersección(sihayUllO)de[asdosrcctas.
22.x-y=7;2x+3y=I 23.2x-2)'=3:Jx+7.1'=-1
24.y-2x=4;4x-2.1'=6 25.4x-6)'=7:6x-9y=12
26.4x-6y=ID:6x-9y=15 27.3x+y=4;y-5x=2
28.2.1'-3x=0;71
'
-5x=9 29.3x+4y=5;6x-7)'=8
SeaLunarectay LJ.larectaperpendiculara Lquepasaa·travesde unpuntodadoP.Ladis
lanciade LaPsedefinecomoladistancia
3
cntrePyelpuntodeintersecciónde LyLl'Enlos
problemas30a36encuentreladistanciaentrelarectadadayclpunto.
30.
x-y =6;(O.O) 31.
2\'+31'=-1;(O.O)
32.3x+y=7;(1.2) 33.5x-6y=3:(2.lf-)
34.2y-5x=-2:(5.-3) 35.3y-1x=O;(-1.-5)
36.6.1'+3x=3;(8.-1)
37.Encuentre ladistanciaentre larecta2x-)'=6 Yelpuntodeinterseccióndelasrectas
3x-2)'=I Y6x+3.1'=12.
*38.Prucbe queladistanciaentre elpunto(XI'J)Ylarecta(IX+by=("estÍldadapor
I(lX
I
+bY
1
-el
J(l1+b1
39.Enunzoológicohayaves (dedospatas)ybestias(decuatropatas).Sielzoológicocontiene
60cabezas
y200patas.¿cuúntasavesYbestiasvivenenél?
40.
Supongaque
{I11{111-(/1·1I11=O.Demuestrequelasrectasdarlasen elsistemadeeell<leio-
ncs(1)sonparalelas. Supongaque(111#-OO{l"#-OY(/21#-Oo{/11#-O.
41.Siexisteunasoluciónúnica alsistema(1).muestre que(111(111-(lll/11#-O.
42.Si(111(111-(I¡1'11#-Odemuestrequeelsistema(1)tienellnasoluciónúnica.
43.LacompañiaSunrisePorcelainfabricatazasyplatos decerÍlmica.Paracadatazao plato
untrabajadormideuna cantidadfijadematerialy laponeen lam<Íquinaquelosforma.
de
dondepasaalvidriado ysecadoautomútico.Enpromedio,un trabajadornecesitatres
minutosparainiciar
elprocesode una
t¡}zaydosminutos paraeldeunplato.Elmaterial
•
3RecuerdequeSI(x,y,)y(x"y)sondospuntosenelplanoxy,entoncesIi!dislanCladentreellosesladadapor
d=J(xt1,1'+lYI.",r.

1.3mecuacionescon nincógnitas 7
paraunatazacuesta
~25yelmaterialparaunplatocuesta ~20.Siseasignan$44diarios
paralaproduccióndetazas
yplatos.¿el¡{¡ntosdebenfabricarsedecada unoenundiade
trabajode8horas.
siuntrabajadorseencuentratrabajandocadaminuto ysegastanexac
tamenteS44cnmateriales?
44.Contestelapreguntadelproblema
34silosmalerialesparaunatazayunplatocuestane 15
yélO.respectivamente.ysegast¡m524en8 homsdetrabajo.
45.Contestelapreguntadelproblema
35sisegastan525en8horasdetrabajo.
46.Unatiendadehelados,'endesóloheladosconsodaymalteadas.Sepone
1On1.3dejarabe
y4onzasdeheladoenunheladoconsoda.
yIonuldejarabey3onzasdehelado enuna
malteada.
Silatiendausa4galonesdehelildo y5cuartosdejarabeenundía.¿cuimtos
helados
COIlsodaycuántasmalteadasvende? (SI/gerencia:1cuarto=32onzas.I galón:
4cuartos.)
RESPUESTAS ALAAUTOEVALUACIÓfll
1.e) 11.a) 111.e) IV.a) V.11)
DI
mECUACIONES CON nINCÓGNITAS:
ELIMINACiÓN DEGAUSS-JORDAN yGAUSSIANA
Enest,lsecciónsedescribeunmétodop:lraencontrartodaslassoluciones(siesqueexisten)
deunsistemade
11/ecuacioneslinealescon 11incógnitas.Alhacerloseveráque.igualqueen el
C:lSOde2x 2.talessistemasobiennotienensolución.tienenunasoluciónotienenunnúmero
infinitodesoluciones.Antesdellegar
almetodogeneralseverúnalgunosejemplossencillos.
Comovariables.seusarim XI'X~.Xl'etc..en lugardcx.y.=....porquelageneralizaciónesmás
sencilla
siseusalanataciÓnconsubíndices.
EJEMPLO 1 Solucióndeunsistema detresecuacionescontresincógnitas:soluciónúnica
Resuelvaelsistema
2x,+4x~+6x
1
:
18
4x
1+5x~+6x
1
:24
3x\+x
1
-6x):18
(1)
•Soludó" Enestecasosebuscantresnumeras XI"x
2
•
x).talesquelastresecuacionesen (1)sesatisfagan.
Elmetododesoluciónque seestudiaráserá eldesimplificarlasecuacionescomosehizoen la
sección1.2.demaneraquelassolucionessepuedanidentificardeinmediato. Secomienzapor
dividirlaprimen¡ecuaciónentre
2.Estoda
XI+2x!+3x): 9
4x
I
+5x
1
+6x)=24
3x
I+Xl-2"1:4
(2)
Comosevioen lasección1.2.alsumardosecuacionesseobtieneunaterceraecuacióncorrec·
ta.Estanuevaecuaciónpuedesustituiracualquieradelasdosecuacionesdelsistemaquese
usaronpanlobtenerla.Primerosesimplifica
elsistema(2)multiplicandoambosladosdela
primemecuaciónde(2)
por-4ysumandoestilnuevaecuacióna lasegunda.Estoda

8 CAl'ínJLO1 Sistemasdeecuacioneslinealesymatrices
-4x
1
-
8x::-12.\")=:-36
4.\1+5x!+6.':)=24
-3.':,-6x)=-12
Laecuación- 3x,- 6.\"3=-12eslanuevasegundaecuación yelsistemaahoraes
XI+2.\"1+J.Y
J
=9
-3.\"1-6x
J
=-12
3.\"1+Xl-2x
J
=4
Noltl.Comosepuedever poreldesarrolloanterior.seha sustituidolaecuación4x
1
+5x!+
6x)=24porlaecuación- 3.\"1-6.\"3=-12.Enesteejemployotrosposterioressesustituirán
ecuacionescon otrasmassencillashasta obtenerunsistemacuyasoluciónsepuedaidentificar
deinmediato.
Entonces.laprimeraecuaciónsemultiplicapor -3ysesumaalalercera.loque dapor
resultado:
XI+2.\"2+3x
3=9
-3X2~ 6x)=-12'
-5x
2
-
[Ix)=-23
(3)
Observequeen elsistema(3) sehaeliminadolavariableXIdelasegundayterceraecuaciones.
Despuéssedivide
lasegundaecuación por-3:
XI+2x
2+3x]=9
\"2+2x]=4
-5x
2
-
Ilx]=-23
Semultiplicalasegundaecuaciónpor-2Ysesumaa laprimera;despuéssemultiplica lase
gundaecuaciónpor5 ysesumaalatercera:
XI x]=1
x
2
+2x
J
=4
x
J
=-)
Ahorasemultiplica laterceraecuaciónpor -1:
x]=1
-'"2+2",]=4
x
J
=3
Porúltimo.sesumalaterceraecuacióna laprimeraydespuéssemultiplicalaterceraecuación
por-2ysesumaa lasegundaparaobtener elsiguientesistema, elcualesequivalente alsis
tema(1):
=4
=-2
"'3=)

EUMINAClONDE
1:GAUSS-JORDAN
1.3mecuacionesconnincógnitas 9
Estaes
lasoluciónúnicapara elsistema.Seescribeen laforma(4.-2.3). Elmétodoque seusó
seconocecomoeliminación deGallss-Jorlhn.~
Antesdeseguirconotroejemploesconvenienteresumir loquesehizoeneste:
i.Sedividiólaprimeraecuación.entreunaconstante,parahacer elcoeficientede XI
iguala l.
ii.Se'"eliminaron"lostérminosen XIdeI<tsegundayterceraecuaciones.Estoes.los
coeficientesdeestostérminos
sehicieroncero almultiplicarlaprimeraecuaciónpor
lasconstanlesadecuadasysum.indolaa
lasegundayterceraecuaciones.respectiva
mente.demaneraquealsumarlasecuacionesunadelasincógnitas
seeliminaba.
iii.Sedividiólasegundaecuaciónentreunaconstante.parahacer elcoeficientede x~
iguala Iydespuesseusólasegundaecuaciónpara"eliminar"lostérminosen x
1
delaprimerayterceraecuaciones.demaneraparecidaacomo sehizoen elpaso
anterior.
iv.Sedividiólatercer.!.ecuaciónentreunaconstante_parahacer elcoeficientede Xl
igualaI ydespuésseusóestaterceraecuaciónpara"eliminar"losterminasde Xl
delaprimemysegundaecuaciones.
Caberesaltar
elhechodeque.encadapaso. seobtuvieronsistemasequivalentes. Esdecir.
cadasistematenía
elmismoconjuntodesolucionesque elprecedente.Estoesunaconsecuen·
ciadeloshechosAyBde
lapágina2.
Antesderesolverotrossistemasdeecuacionesesconvenienteinlroducirunanotaciónque
simplifiC:1laescrituradecada p'ISOdelprocedimientomediante elconceptodematriz.Una
matriz
esunarreglorectangulardenúmeros yéslilsseestudiarancongrandetallealiniciode
lasección1.5.Porejemplo.loscoeficientesdelasvariablesxI' x
2
'
x
J
enelsistema(1)sepueden
escribircomoloselementosdeunamatriz
A.llamadamatríz decoeficientesdelsistema:
DMATRIZ
MATRIZ
DE
eCOefiCIENTES
A=l~: :J
31-2
(4)
Unamatrizcon mrenglonesyncolumnassc11:lmaunamatrizde /11x1/.Elsimbolo111X11se
lee""/11por11".Elestudiodematricesconstituyegrunpartedeloscapitulasrestantesdeeste
libro.Por
laconvenienciadesunotaciónpara laresolucióndesistemasdeecuaciones.laspre
sentamosaquí.
Alusarlanotaciónmatricial. elsistemll(1)sepuedeescribircomo lamatrizaUlllenlllda
MATRIZ
MATRIZ
~AUMENTADA
[
24
45
31
6I18J
6I24
-2I4
(5)
Ahoraesposibleintroducirciertaterminología. Sehavistoquemultiplicar(odividir)
losdosladosdeunaecuaciónpor
unnúmerodiferentedecero daporresultadounanueva
0---
•RedJeestenombreefl honordelgranmatert1c1IOCOalemánKanfnednchGauss11777-18551Y dellogeotefOalem.m
WihelmJord.ln(1844-18991\INla5('fllblanzablbllogr.!IfocadeGaossefl lapdgln321Joroonfueune>lpertoefllnvelo
tJgaoOogeod(>slcatomandoeflcuentalacurvalUfadelaTtefraSutrabajOsobrelasoIuc:oodeSl!>lemasdeeruaoorle!>
apdff'OÓefl1888efl !>UlibroHandbur:hder\.tormessungSkundl:>IManwldegeodesial

JO CAPiTULO1
REDUCCiÓN
ePORRENGLONES
Sistemasdeecuacioneslinealesymatrices
ecuaciónequivalente.Másaún, sisesumaunmúltiplodeunaecuacióna otradelsistemase
obtieneotraecuaciónequivalente.Por ultimo.siseintercambiandosecuacionesenunsistema
deecuaciones
seobtieneunsistemaequivalente.Estastresoperaciones, cuandoseaplicana
losrenglones
delamatrizaumentadaquerepresentaunsistemadeecuaciones, sedenominan
operacionesdl'llll'nlalesconrenglones.
Pararesumir.lastresoperacioneselementalesconrenglonesaplicadasalamatrizaumen
tadaquerepresentaunsistemadeecuacionesson:
Operacioneselementales (onrenglones
i.Multiplicar(odividir)unrenglón porunnúmerodiferente decero.
ii.Sumarunmúltiplo
deunrenglóna otrorenglón.
iii.Intercambiardosrenglones.
•
Elprocesodeaplicarlasoperacioneselementalesconrenglonespan!simplificarllnamatriz
aumentadasellamareducciónporrenglones.
NOTACIÓN
l.R¡~cR
i
quieredecir''reemplaza eli-csimorenglónporesemismorenglónmultiplicado por
(".'.[Paramultiplicareli-esimorenglónpor ("semultiplicacadanúmero eneli-ésimorenglón
porel
2.Rj~R
j
+cR;significasustituyeelj-esimorenglónpor lélsumadel renglón)máselrenglón
imultiplicadoporc.
3.R¡~R¡quieredecir"intercambiarlosrenglonesiy r.
4.A~Bindicaquelasmatricesaumentadas AyBsonequivalentes;esdecir.quelossistemas
querepresentantienen
lamismasolución.
En
elcjcmplo1sevioquealusarlasoperacioneselemcntalesconrenglones 1)yii)variasveces.
sepuedeobtener
unsistemacuyassolucionesestén dadasenformaexplicita. Ahoraserepiten
lospasosdelejemploIusando
lanotaciónqueseacabadeintroducir:
[;
46I
18]{;
23
2:]
',_",_",[123
-I~]
56I24
R,->~R,
56
Rl->R3-3R,; O
-3-6
-2I4 1-2 O-5-11-23
,[~
23
-,;]
R,->R,-2R¡
{~
O
-1
-;]
R,__iR,
2
R,_,R,-+SR,
12
-5-11 O
-1
[1O-1
I1]
R,->R,-+R¡
,[~
OO I
-~J
R,->-R,JO12I4
Rr,R~-2R¡
1OI
OO 13 O1
I
Denuevosepuede··ver·'deinmediatoque lasoluciónes XI=4.x,=-2,\")=3.

EJEMPLO 2
•Soludóll
1.3mecuacionesconnincógnitas 11
Solucióndeunsistemadetresecuacionescon tresincógnitas:
numeroinfinitodesoluciones
Resuelvaelsistema
2x,+4x!+6x,=18
4.\·1+5x!+6x,=24
lx
l
+7x!+12\",=JO
Pararesolverestesistemi'seprocede comoenelejemplol.esto es.primeroseescribe elsistema
comounamatrizaumentada:
[
~ ~
27
::;:)
12I30
Despuesseobtiene.sucesivamente.
,~,(;
23 I
2:)
'~',-.,[1
2
56I
Rro'"- 2R,lO
-3
712I30 O3
_2'~-'!¡"-"....[1,3
lO12
036
3I9)
-6I-12
6I12
R,...R,-2R,
.[~
O-1
~]
R....R,~3R,
12
OO
EJEMPLO 3
Estoesequivalentealsistemadeecuaciones
XI +x,=1
Xl+2x.1=4
Hastaaquísepuedellegar. Setienensólodosecuacionesparalastresincógnitas XI.x!'xJY
existeunnúmeroinfinitodesoluciones.Para comprobarestoseeligeunvalorde x)"Entollces
x!=4-2x
J
yXI=1+xl'Éstaserúunasoluciónparacualquiernúmero x)"Seescribeesta
solución
enlaforma(1+x,,4-2xj'.).Porejemplo.six,=O.seobtienelasolución (l.4.
O).Parax
3
=10seobtienelasolución(11. -16.10).Yporelloparacada valordex,habrálIna
solucióndistinta.
Sistemainconsistente
Resuelvaelsistema
••SollldólI
2x!+JX
l
=4
2\:1-6.\'1+7.\')=15
Xl-2x
1
+5x,=10
Lamatrizaumentadaparaestesistemaes
[
~-~: 1:)
1-25 10
(6)
Elelemento1.1delamatriznosepuedehacerIcomoantesporquealmultiplicarOpor cual·
quiernúmerorealelresultadoes O.Ensulugarsepuedeusarlaoperaciónelementalcon

12 Cu'iTl'LO1 Sistemasdeecuacioneslinealesymatrices
renglonesiii)paraobtenerunnumerodislimoaceroenlaposición1.\. Sepuedeintercambiar
elrenglónIconcualquiera delosotrosdos:sinembargo.alintercambiarlosrenglonesI y3
quedaunIenesaposición.Alhacerloseobtienelosiguiente:
2
-6
-2
3
7
5
1:]'.~',,[;
10 O
-25
-67
23 .¡~
-25
.,....,-u,
-2-3
23
10)
-5
4
Esnecesariodetenerseaquiporque.como seve.lasultimasdosecuacionesson
-2x
1
-
JX
1
=-5
2x
1
+3x
l
=4
locllalesimposible (si~2.\",:-3x
J
=-5.entonces2x!+3x
J
=5.no4).Asínohayuna
solución.
Sepuedeproceder comoenlosúltimos dosejemplosparaobtenerunaformamils
estandar;
-2
1
2
5
1,
3
1~)
-1
DeFINICIÓNa
Ahoralaúltimaecuaciónes 0.\",+0.\":+OX
J
=-l.locualtambienes imposibleyaqueO#:.-1.
Asi.elsistema(6)notienesolución.Eneste casosediceque elsistemaesinconsistente.
Sistemasinconsistentesyconsistentes
Sedicequeunsistemadeecuacioneslinealesesinconsistente sinotienesolución.Se
diccqueunsistemaquetienealmenosunasoluciónesconsistente.
SeanalizarándenuevoeslOstresejemplos.
EnelejemploIsecomenzóconlamatrizdecoefi
cicntes
Enelprocesodereducción
porrenglones.AIse··redujo"alamatriz
R,=(~r~]
Enelejemplo2secomenzó con

yseterminócon
En
elejemplo3 secomenzócon
1.3
mecuacionescon nincógnitas 13
yseterminócon
2
-6
-2
DEFINICiÓNE3II
EJEMPLO 4
LasmatricesR,.R"R.
l
sellamanfonmlsescalonadasreducidas ¡lOrrenglonesdelasmatrices Al'
AlYA
J
respectivamente.Engeneral.setiene lasiguientedefinición:
Formaescalonadareducidaporrenglonesypivote
Unamatrizseencuentraenlaformaescalonadareducidaporrenglones sisecumplenlas
siguientescondiciones:
i.Todoslosrenglones(siloshay)cuyoselementossontodosceroaparecen enlapar
teinferiordelamatriz.
ii.Elprimernúmerodiferentedecero(comenzando porlaizquierda)encualquier
renglóncuyoselementosno
todossonceroesl.
¡ii.Sidosrenglonessucesivostienenelementosdistintos decero.entonces elprimerI enel
renglóndeabajoestámáshacia laderechaque elprimerIen elrenglóndearriba.
iv.Cualquiercolumnaquecontiene elprimerI enunrenglóntienecerosen elrestode
suselementos.
Elprimernúmerodiferente deceroenunrenglón (silohay)sellama
pi\"Oteparaeserenglón.
Notfl.Lacondicióniii)sepuedereescribir como"elpivoteencualquierrenglónestáa ladere
chadelpivotedelrenglónanterior".
Cinco
matricesenlaformaescalonadareducidaporrenglones
Lassiguientesmatricesestán enl<lformaescalonadareducida porrenglones:
[
O
~1 [~
OO
~1
(~ :] (~ ~] [~
O2
~1
L ii. iii.
OO
h'.1 1 O ".
13
O1
O OO OO
Lasmatricesiyiitienentrespivotes:las otrastresmatricestienen dospivotes.

14
DEFINICiÓNIEI
EJEMPLO5
Sistemasdeecuacioneslinealesymatrices
Formaescalonada porrenglones
Unamatrizestáenlaformaescalonada porrenglonessisecumplenlascondiciones;).
ii)Y¡¡¡)deladefinición1.
(incomatricesenlaformaescalonadaporrenglones
Lassiguientcsmatrices seencuenlr.men laformaescalonadaporrenglones:
[~
2
:)[
1-16
4)i. 1 ii.O 12-8
O O OO 1
iii.(~~~ ~) (~ ~) [~
)2
~]
i\'. ,.
1)
OO
NOltt.Porlogeneral,laformaescalonadaporrenglonesdeunamatrizno esunica.Esdecir.
unamatrizpuedeserequivalente.ensusrenglones..a masdeunamatrizenformaescalonada
porrenglones.Porejemplo
2
1
O
-1
)
O
-1)
~~B
muestraquelasdosmatricesanteriores.ambasenformaescalonadaporrenglones.sonequiva
lentes
porrenglones.Así.cualquiermatrizparalaque Aesunaformaescalonadaporrenglo
nes.tambiéntienea Bcomoformaescalonadaporrenglones.
Oh.\"(.'ITlfÓÓIlJ.Ladiferenciaentreestasdosformasdebeserevidenteapartirdelosejemplos.
Enlaformaescalonadaporrenglones.todoslosnlilllerosabajodelprimerI enunrenglón
SOllcero.Enlaformaescalonadareducidaporrenglones.todoslosnúmerosabajoyarribadel
primerIde
unrenglónsoncero.Asi.laformaescalonadareducidaporrenglones esmasexclu
siva.Esto
es.entodamatriz enformaescalonadareducida porrenglonesseencuentratambién
laformaescalonada
porrenglones.pero elinversono escierto.
Ohsel'l'(fdóll2.Siempresepuedereducirunamatriza laformaescalonadareducida porrenglo
neso
tilaformaescalonadaporrenglonesrealizandooperacioneselementalesconrenglones.
Estareducción
sevioalobtener]¡lformaescalonadareducida porrenglonesenlosejemplos
1.2y3.
Comosevioenlosejemplos l.2Y3.existeunafuerterelaciónentre laformaescalonada
reducida
porrenglonesylaexistenciadelasoluciónúnicapara elsistema.EnelejemploI
dichaformaparalamatrizdecoeficientes(esdecir.en
laprimerastrescolumnasdelamatriz
aumentada)teníanunIencadarenglón
yexistiaunasolución(mica. Enlosejemplos2 y3la
formaescalonadareducidaporrenglonesde lamatrizdecoeficientestenía unrenglóndeceros
yelsistemanoleníasoluciónotenía unnúmeroinfinitodesoluciones.Estosiempreescierto
encualquiersistemadeecuacionescon
elmismonumerodeecuacíoneseincógnilas.Peroantes
deestudiarelcasogeneral
seanalizaralautilidadde laformaescalonadaporrenglonesdeuna
matriz.
Esposibleresolver elsistemaen elejemploIreduciendolarnalrizdecoeficientesaesta
forma.

EJEMPLO6
•So!udófI
1.3mecuacionesconnincógnitas 15
Soluciónde unsistemamedianteeliminacióngaussiana
ResuelvaelsistemadelejemploIreduciendo lamatrizdecoeficientesa laformaescalonada
porrenglones.
Secomienza
comoantes:
[~
46
18]
,[;
2
3I9]
56 24
II,-->{-II,
56I2.
I-2
4I-2I4
',"',~",[I
2 3
-I~]
'd',,[~ ~
3
-2;]
11,-->11,-311,1 ~
-3
-6 2
-5-11-23 O5 -11
Hastaaquí.esteprocesoesidéntico alanterior;pero ahorasólosehacecero elnumero(-5)
queestúabajodelprimerI enelsegundorenglón:
[
12
)O1
OO
3
2
-1
[
12
11,-->-11,) O1
OO
3I9]
2I•
II3
SUSTITUCIÓN
e
HACIAATRÁS
ELIMINACIÓN
¡¡:
GAUSSIANA
Lamalrizaumentadadelsistema(yloscoeficientesde lamatriz)seencuentranahoraen
laformaescalonada
porrenglonesysepuedever deinmediatoquex
J
=3.Despuésseusa la
sustituciónhaciaatrásparadespejarprimero.\"2 ydespuésXI'Lasegundaecuaciónqueda.\"l +
2x
J=4.EntoncesXl+2(3)=4Yx,=-2.Deigualmanera,de laprimeraecuación seobtiene
XI+2(-2)+3(3)=9oXI=4.Así.denuevo seobtienelasolución(4, -2.3).Elmétodode
soluciónqueseacaba
deemplearsellamaeliminacióngaussiana.
Secuentacondosmétodospararesolverlosejemplosdesistemasdeecuaciones:
i.EliminacióndeGauss·Jordan
Sereduceporrenglónlamatrizdecoeficientesa laformaescalonadareducidapor
renglonesusando
elprocedimientodescrito enlapágina9.
iLEliminacióngaussiana
Sereduceporrenglónlamatrizdecoeficientesa laformaescalonadaporrenglones,
sedespejaelvalor
delaúltimaincógnitaydespuesseusa lasustituciónhaciaatrás
paralasdemásincógnitas.
•
¿CuúlmélOdoesmúsútil?Depende. Alresolversistemasdeecuacionesenuna computadora
seprefiereelmétododeeliminacióngaussi<maporquesignificamenosoperacioneselementales
conrenglones.Dchecho.
comoseveráen elapéndice3, pararesolverunsistema de11ecuacio
nescon
11incógnitasusando laeliminacióndeGauss-Jordanserequierenaproximadamente
1/)/2sumasymultiplicaciones,mientrasquelaeliminacióngaussiallarequieresólo 11
3
13sumasy
multiplicaciones.
Lasoluciónnumérica delossistemasdeecuacionesseestudiaráen elapéndi
ce
4.Porotrolado.avecesesesencialobtener laformaescalonadareducida porrenglonesde
unamatriz(unadeéstas
seestudiaen lasección1.8).Enestoscasos laeliminacióndeGauss
Jordaneselmetodopreferido.

16 C"'íTULOI Sistemasdeecuacioneslinealesymatrices
Ahoraseobservalasolucióndeunsistemageneralde 11Iecuacionescon 11incógnitas.La
mayorpartedelassolucionesdelossistemasseharúmediante laeliminaciónde Gauss-Jordan
debidoa queenlasección1.8estosenecesitará.Debetenerseenmente.sinembargo. quela
eliminacióngaussianasueleserunenfoquemilsconveniente.
Elsistemageneral mX11de111ecuacionescon 11incógnitasestá dadopor
{/11.Y
1+al!"'"!+(liJ-'")+
(l11XI+(/nx¡+al,"'")+
(/31'\"+(l31X,+{lllX
J+
+ax=b
l."I
+al"x"=&,
+(I),X'I=b
J
+({.,o-\"',=b,.
(7)
EJEMPLO 7
••Solución
EJEMPLO8
Enelsistema(7)lodosloscoeficientesaybsonnúmerosrealesdados.Elproblemaesencontrar
lodoslos conjuntosde11números,denotadospor(XI'x
2
•
x,"..x,,).quesalisfacencadallnade
las
mecuacionesen (7),Elnümero(l..eselcoeficientede lavariable.\.en lai-csimaecuación,
" ,
Esposibleresolver unsistem¡¡de11Iecuacionescon 11incógnitashaciendousode laelimi-
nación
deGauss-Jordanogaussiana.Enseguida seproporcionaunejemploen elqueelnúmero
deecuacioneseincógnitasesdiferente.
Solucióndeunsistemadedosecuacionesconcuatroincógnitas
Resuelvaelsistema
XI+3.\',- 5x)+ x~=4
2x
I
+5x,- 2.\")+4x
4
=6
Estesistemaseescribe comounamatrizaumentadaysereduceporrenglones:
[;
J-;1
:]
R,->R,-lR,l(I3-;1
-~)5-24 2-182
R,->-R,)(IJ-51I
~J
R,->R, -JR,
e
o197
I
-n
,
o1-8-2 I o1-8-2
I
Hastaaquí sepuedellegar. Lamatrizdecoeficiente seencuentraenformaescalonada yredu
cida
porrenglones.Esevidentequeexiste unnúmeroinfinitodesoluciones.Losvaloresdelas
variables
x)yx~sepuedenescogerde maneraarbitraria.Entonces x!=2+8x
J
+2x.yXI=
-2-19x)-7x~.Por10tanto,todaslassoluciones serepresentanpor(-2-19.\")- 7x.,2+8x.\
+2x~.x)'x~).Porejemplo,six)=IYx.=2seobtienelasolución(-35,14.1,2).
Alresolvermuchossistemas. esevidentequeloscálculossevuelvenfastidiosos.Unbuenme
ladoprúcticoesusarunacalculadorao computadorusiemprequelasfraccionessecompliquen.
Debehacersenotar,sinembargo,
quesiloscálculossellevanacaboen unacomputadoraocal
culndorapuedenintroducirseerroresde"redondeo"'.Esteproblema
seanalizaen elapendice3.
Unproblemadeadministraciónderecursos
Undepartamentodepescaycazadel estadoproporcionatrestiposde comidaaunlagoque
alberga11tresespeciesdepeces. CadapezdelaespecieI consumecadasemanaunpromedio
deIunidaddelalimento
1.Iunidaddelalimento2y2unidadesdelalimento 3.Cadapezde
laespecie2consume cadasemanaunpromediode3unidadesdelalimento 1,4del2y5del3.

••Solución
1.3mecuacionesconnincógnitas 17
Paraunpezdelaespecie J.elpromediosemanaldeconsumoesde 2unidadesdelalimento t.I
unidaddelalimento
2y5unidadesdel 3.Cadasemana seproporcionanalIaga25000unidades
delalimento
1.20000unidadesdelalimento2 y55000del 3.Sisuponemosquelospeces se
comentodo elalimento¿cu<intospecesdecadaespeciepuedencoexistiren ellago?
Sean
x•.x
2
yxJe!númerodepecesdecadaespeciequehayenelambientedellago. Siutilizamos
lainformacióndelproblema.
seobservaque XIpecesdelaespecieIconsumen XIunidadesdel
alimento
l.x:pecesdelaespecie 2consumenh:unidadesdelalimento1 ':lx
J
pecesde laespe
cie3consumen2\'lunidadesdelalimento
1.Entonces.x.+h:+2x
l
=25000=::suministro
100alporsemanadealimentol. Siseoblieneunaecuaciónsimilarparalosolros dosalimentos
sellegaalsiguienlesislemadeecuaciones:
XI+3x:+h)=::25000
XI+4.\"2+x)=::20000
2x
I+5x:+5x,==55000
Despuésderesolver
seobtiene
[;
32
2iOOO]
4120000
55
55000
R,...R,~R,
,[~
J,
I
25000]
'."'.-",[]O
5
I
40000]
R,...R,-~R,
]-1
I
-5000
R,_R,•R,lOI
-]
I-5000
-]1I5000 OOO I O
Porconsiguiente.siXlseeligearbitrariamente.selieneunnúmeroinfinitodesolucionesdada
por
(40000- 5.\')"x)-5000.x).Porsupuesto.sedebetener XI;=:O.x
2
~OYx):2::O.Comox:
=Xl-5000 ~O.setieneXl~5000.EstosignificaqueO .:5XI.:540000-5(5000) ==15000.
Porúltimo.como40000-5x
l
~O.setieneque .\",1s8000.Estosignificaquelaspoblaciones
quepuedenconvivir
enellagocontodo elalimentoconsumidoson
X,=40000-5x
l
x:=Xl-5000
5000S
xjs8000
Porejemplo.
six
J
=::6000.entonces XI=::10000Yx
2
=::I000.
Nota.Elsistemadeecuacionestiene unnúmeroinfinitodesoluciones.Sinembargo.elproble
madeadministraciónderecursostienesólo
unnllmerofinitodesolucionesporque XI.XlYx
J
debenserenlerosposilivos yexistennadamús3 001enterosenelinterv-dlo [5000.8 OOOJ.(Por
ejemplo.nopuedehaber5
237.578peces.)
ANÁLISISDEINSUl\10 yPRODUCTO (OPCIONAL)
Lossiguientesdosejemplosmueslran laformaenlacualpuedensurgirlossistemasdeecua
cionesen
elmodeladoeconómico.

18
EJEMPLO9
Sistemasdeecuacioneslineales '1matrices
Elmodelodeinsumo-producto deleontief
Unmodeloque seusaconrrccucnciaeneconomiaeselmodelodeinsumo-productodeLconricr,'
Supongaunsistemaeconómicoqueliene11industrias.E:<istendostiposdedemandasencada
induSlria:laprimer.!. unademandaI!xterf/fIdesdearucradelsistema.Porejemplo. sielsistema
esunpais.
lademandaexternapuedeprovenir deotropais.Segunda.la demandaquehaceuna
industriaaolr.tindustriaen elmismosistcnm.Porejemplo.enEstadosUnidos laindustria
automotrizdemandapartedelaproduccióndelaindustriadelacero.
Supongaque(,¡representala demandaexternaejercidasobrelai.esimaindustria.Suponga
quetI.,representalademanda¡mernaque1:lj~sima industriaejerce sobrelai-ésimilindustria.
Deformamasconcreta.ti"representael numerodeunidadesdeproduccióndelainduSlriai
quesenecesitanparaproducirunaunidaddclaindustriaj.SeaXIlaproduccióndclaindus
tria
i.Ahorasupongaquelaproduccióndccadaindustriaesigualasu demanda(esdecir.no
haysobreproducción).La demanda(olalesigualala sumadedemandasinternasyexternas.
Porejemplo.
paracalcularla demandainternadelaindustria2seobservaquelaindustriaI
necesitatl
ll
unidadesde produccióndclaindustria 2paraproducirunaunidaddesupropia
producción.
SilaproduccióndclaindustriaIesXI'entoncestl
ll
"
lsetraladclacantidadtotal
quenecesitala industria1dclaindustria2.Dcestaformol. lademandainternatotalsobrela
industria2estl
l1
X
1+tI!.!x!+...+tI~.\.
AligualarlademandatOlalalaproduccióndc cadaindustriasellegaalsiguientcsistcma
dcecuacioncs:
(")
obien.reescribiendo elsistema(8)enluformadelsistemH(7) seobtiene
(91
EJEMPLO10
Elsistema(9) de11ecuacionescon11ineógnitHses defundamentalimportanciaenelanalisis
económico.
Elmodelode leontiefaplicadoa unsistemaeconómicocontresindustrias
Supongaquelasdemandasexternasenunsistemaeconómicocontresindustriasson10.25Y
20.respectiv.lmente.Supongaque(l1I=0.2.1I1~=0.5.(l1)=0.15.{In=0.4.{I"!2=0.1.{I!J=0.3.
tl
JI
=0.25.1IJ1=0.5Y lI
JJ
=0.15.Encucntre1..produccióndccad..industriademaneraquela
ofertaseaexactamenteigu..lala demanda.
•
sAsíllamadoenhonor01economMonorte.lr1leflCDroow;m¡lyWleorlllel.QUleOutdlZOestemodeloen'óUtrob<lfopo.
nt'f'OWQu<lntltd!M'InputandOutputRel.aIlOOSIntlwEc()O()l1'll(SyslemoftheUnI\edSldtes- enReYIl'W01fcOflOtTllC
5totlSrc18119361leontJ!>fg;¡oo elPremIONobelenEc()O(lO'llaen1973porsudes<lrrolodel<If\i1llSlSdeInSUmo
"""'000

11.Soludó"
1.3mecuacionescon nincógnitas 19
Eneste
casoIJ=3.I- l/II=O.S.I- a~~=0.9Y1-{/"=0.85Yelsistema(9)es
0.8x
1
-
0.5x~-0.15x
J
=10
-0.4x
1
+0.9x~-0.3x
J
=25
-0.25x
1
-
0.5x~+0.S5x,=20
Siseresuelveelsistema pormelOdodceliminaciónde Gauss-JordanenunacalculadoraO
computadora.trabajandoconcincodecimalesen todoslospasosseobtiene
[
'OO
I110.30442]
O1O
I118.7.070
OO1
I125.81787
Seconcluyequelaproducciónncces:.lriaparaquelaofertasea(apro....imadamcntc)igualala
demandaesXI=110.x~= 119yx
J
=126.
LAGEOMETRíA DEUN SISTEMADETRES ECUACIONES
CONTRES INCÓGNITAS(OPCIONAL)
EnlafigurJ.1.1.enlapágina3. seobservóquesepuederepesentarunsistemadedosecuacio
nes
condosincógnitasmediantedoslineasrectas. Silasrectastienen unsolopuntodcintersec
ciónelsistematiene unasoluciónunica: sicoinciden.existeun numeroinfinitodesoluciones:
sisonparalelas.noe....istcunasoluciónyelsistemaesinconsistente.
Algosimilarocurre cuandosetienentresecuaciones contresincógnitas.
Comoseveráenlasección 3.5.lagrúficadelaecuaciónax+by+c==denelespaciode
tresdimensionesesunplano.
Considereelsistemadetresecu:lcionescontresincógnitas:
(IX-by-l':=d
ex-/y-g==!I
jx-k)'-!:=11I
(1U)
endonde(J.b.c.d.l'•.f.g.11.).k.!Y11Isonconstantesyalmenos unadeellasen cadaecuación
esdiferente
decero.
Cadaecuaciónen (10)eslaecuacióndeunplano. Cadasolución(x.y.=)alsistemadc
ecuacionesdebeserun
punloen('(ula1/1/0dclostresplanos.Existenseisposibilidades:
1.Lostresplanosseintersecanen unsolopunto.Porlo queexisteunasoluciónúnica parael
sistema(vealafigura 1.2).
2.Lostres planosseintersecanen lamismarecta. porloquecadapuntosobrelarectaesuna
solución
yelsistematieneunnumcroinfinito desoluciones(vealafigura1.3).
Puntodeintersección
Figura1.2
lo!>tresptano<.'lE'I'Iterw
(.lnen00solopooto.
\,L---...

20 CM'iTUI.OISistemasdeecuacioneslineales'fmatrices
3.Lostresplanoscoinciden.Entoncescada puntosobreelplanoes lInasolucióny seliene
unnllmeroinfinitodesoluciones.
4.Dosdelosplanoscoincideneintersecana unlercerplanoen larecta.Entoncescada punto
sobrelarecIaes llnasoluciónyexisteunnúmeroinfinito desoluciones(vealafigura1.4).
S.Almenosdosdelosplanossonparalelos ydistintos.Por loqueningúnpuntopuedeestar
enambosynohaysolución. Elsistemaesinconsistente(vealafigura1.5).
x
Figura1.3
lostresplanosse¡Olerse·
canenlamismarecta
[
Figura1.4
Dosplanosseint(!r>e<anen
unarecIa.
Figura1.5
Losplanosparalelosno
lienenpumosencomUn. x
6.Dosdelosplanoscoincidenen llnareclaL.Eltercerplanoesparaleloa L(ynocontiene
a
LJ,demaneraqueningúnpuntodeltercerplanoseeneucntr<lenlos dosprimeros.No
existeunasolucióny elsistemaesinconsisteIllc(vea lafigura1.6).
Entodosloscasoselsistematienellnasoluciónúnica. unnúmeroinfinitodesolucionesoes
inconsistente.Debidoa
ladificultadquerepresenta dibujarplanosconexactitud.no ahonda
remosmúsen eltema.Noobstante.esútilanalizarcómolasideasen elplanoxysepueden
extenderaespaciosmúscomplejos.
Figura1.6
Elplano3esp~raleloaL,
lareUiIdeintersecciónde
lo>planosty2.
-.1'

SEMBLANZA DE•••
CarlFriedrichGauss,1777-1855
(<lrlFriedrichGaussesconsideradoelmatemáticomasgrandedel
sigloXIX,ademasdeunodelostresmatemáticos másimportantes
detodoslostiempos(ArquímedesyNewtonson losotrosdos).
Gaussnacióen Brunswick.Alemania,en1777.Supadre.un
obreroamantedel trilbajo.eraexcepcionalmenteobstinadoyno
creíaenlaeducaciónformal.ehizo todoloquepudoparaevitar
queGaussfueraaunabuenaescuela. Porfortunapara(ar! (ypara
lasmatematicas),sumadre,a pesardequetampococontabacon
educación,apoyóa suhijoensusestudiosy semostróorgullosa
desuslogroshastaeldíadesumuertea laedadde97años.
Gausseraunniñoprodigio.A lostresañosencontróunerror
enlalibretadecuentasde supadre.Hayunaanécdotafamosade
Carl,cuandotenia apenas10añosdeedadyasistiaa laescuela
tocal
deBrunswick.Elprofesorsaliaasignartareasparamante
nerocupadosalosalumnosy
undialespidióquesumaranlos
numerasdel1
allOO.Casialinstante,Cal1colocósupizarraboca
abajoconlapalabra-listo':Después,elprofesordescubrió
que
Gausseraelúnicocon larespuestacorrecta,5050. Gausshabia
observado
quelosnúmeros sepodianarreglaren50pares que
sumabancada uno101(1+100,2+99,ete.l,y50 x101=5050.
Añosmástarde,Gaussbromeabadiciendo
quepocllasumarmás
rápido
deloquepodíahablar.
A
laedadde15años,elDuque deBrunswicksefijóenél
yloconvirtióen
suprotegido.ElDuqueloayudóaingresaren
elBrunswickCollegeen1795
y,tresañosdespués,aentrara la
UniversidaddeGottingen.Indecisoentre lascarrerasdemate
máticasyfilosofía,
Gausseligiólasmatematicasdespués dedos
descubrimientosasombrosos.Primeroinventóel
métododemí
nimoscuadradosunadé<adaantes
dequelegendrepublicara
susresultados.segundo, unmesantes decumplir19años,resol·
vió
unproblemacuyasolución sehabíabuscadodurantemás de
dosmilaños: Gaussdemostrócómoconstruir,contansólouna
reglay
uncampas,unpolígonoregularcuyo númerodeladosno
esmúltiplode2,3o5.-
El30demarzode1796,fecha deestedescubrimiento,co
menzó
undiarioqueconteniacomoprimeranotalasreglas de
construccióndeunpolígonoregular de17lados.Eldiario,que
contienelosenunciados de146resultadosensólo 19paginas,
Demaneramásgeneral,Gaussprobóqueunpolígonoregularden
ladossepuedeconstruircon reglayc~ srysólosrnesdelaforma
n'"2'p¡'PI".p.dondek~OylaspsonnúmerospnmosdeFermat
dishrnos.LosnúmerosprImOSdeFermatson~ue4105 quetomanla
forma21"+1.lospnmerosCInconUmerospnnosdeFermatson3,5,
17,257y65537
esunosdelosdocumentosmás importantesenlahiSlOria delas
matemáticas.
TrasuncortoperiodoenGottingen, Gaussfuea laUniver
sidaddeHelmstadt
y,en1798,alos 20años,escribió sufamosa
disertacióndoctoral.
Enelladiolaprimerademostraciónmate
máticarigurosadelteoremafundamentaldelálgebra
queindica
quetodopolinomiodegradontiene,contandomultiplicidades,
exactamente
nraíces.Muchosmatemáticos,incluyendoaEuler,
Newtonylagrange.habianintentadoprobaresteresultado.
Gausshizoungrannúmerodedescubrimientosenfísica al
igualqueenmatemáticas.Porejemplo,en 1801utilizóunnue
voprocedimientoparacalcular,a partirdeunoscuantosdatos,
laórbitadelasteroideCeres. En1833inventóeltelégrafoelec
tromagnético
juntoconsucolegaWilhelmWeber(1804-1B91).
Aunquerealizótrabajosbrillantesenastronomíayelectricidad,
la
queresultóasombrosafuelaproducciónmatemática deGauss.
Hizocontribucionesfundamentales alálgebray lageometríay
en
1811descubrióunresultado quellevóaCauchyadesarrollar
lateoriadelavariablecompleja. Enestelibro seleencuentraen
el
métododeeliminacióndeGauss-Jordan.losestudiantesde
análisisnuméricoaprenden lacuadraturagaussiana:unatécnica
deintegraciónnumérica.
Gaussfue
nombradocatedráticodematemáticasdeGOt
tingenen1807e impartióclasehastasu muerteen1855.Aún
despuésde
sumuerte,suespíritumatemáticosiguióacosando
alosmatemáticosdelsiglo
llIx.Confrecuencia, unimportante
resultadonuevoyahabíasidodescubierto porGaussy sepodia
encontraren
susnotasinéditas.
EnsusescritosmatemáticosGaussera unperfeccionista
ytalvez
seaelultimogranmatemáticoqueconociapráctica
mentetodoacercadesuárea.Alañrmar queunacatedral no
eraunacatedralhasta quesequitarael últimodetosandamios,
ponía
todosuempeñoparaquecadaunodesustrabajospubli
cadosfueracompleto,concisoyelegante.Usabaunselloenel
quesevelaunárbolconunascuantasfrutasylaleyenda pouco
sed
moturo(pocasperomaduras).Gausscreía tambiénquelas
matemáticasdebíanreflejarel
mundoreal.A sumuerte,Gauss
fuehonradoconunamedalla conmemorativaquellevabala
inscripción-George
V,ReydeHanover,alpríncipedelosma
temáticos':

22 CAPíTULO1 Sistemasdeecuacioneslinealesymatrices
I!r_oJ>l.ema"-".~' _
AUTOEVALUACIÓN
1.¿Cuáldelossiguientessistemastienelamatrizdecoeficientesdadaaladerecha?
[
32
-1]
O15
2O1
a)3..+2)'=-]
1'=5
2x=1
e)Jx=2
2x+y=0
-x+5)'=1
h)3..+2::=10
2x+)'=0
-..+5y+::=5
tI)3x+2)'-::=-3
)'+5::=[5
2x+::=3
11.¿Cuáldelassiguientesesuna0llcración elelllen~al conrenglones?
a)Reemplazarunrenglónconunmúltiplodiferentedecerodeeserenglón.
h)Sumarunaconstantediferentedeceroacadaelcmentoenunrenglón.
e)Intercambiardoscolumnas.
á)Reemplazarunrenglón conunasumaderenglonesyuna constantedife·
rentedecero.
111.¿Cuáldelassiguientesafirmacionesesciertasobrelamatrizdada'?
[
1OO
3]
O112
OOO3
OOOO
a)Estáenlaformaescalonadaporrenglón.
b)Noestáenlaformaescalonadaporrenglónporque elcuartonúmeroenel
renglón1noesl.
e)Noestáen laformaescalonada porrenglónporque elprimerelemento
diferentedeeeroen
elrenglón1es3.
d)NoeSláenlaformaescalonada porrenglónporquela últimacolumnacon
tieneuncero.
IV.¿Cuáldelassiguicntl'Safirmaciones t$ciertasobreelsistemadado?
x+y+z=3
2x+2y+2==6
3x+3y+3z=10
a)Tieneunasoluciónúnica x=1,Y=1,==1.
h)Esinconsistente.
e)Tieneunnúmeroinfinitodesoluciones.

I.Jmecuacionesconnincógnitas 23
Enlosproblemasdel1al26utiliceelmctododeeliminacióndeGauss-Jordanpar;¡ encontrar.
siexisten.lodaslassolucionespara lossistemasdados.
1.
XI-2x!+Jx,=11 2.-2-"1+Xl+6x)=18
4x
1+Xl-x.
I=4 5.\'1 +8.\')=-16
2.\"1-
x!+3.\')=10 3.\'1+2.\",
-
10x~=-J
).-2-"1+ .\')=O 4.JX
1+6x
1
-
6.\"]=9
Xl+3x
J
=1 2.\'1-5x!+4x]=6
XI
-
x! =-)
-XI+16.\"1-14.\")=-)
5.3x
1+6x
2
-
6x,=9 6.-2\',-6x
1
-
3.\",=9
2"1
-5x
2+4-'"1=6 -XI+x
2
-
Xl=1
5x
I+28x
2
-26.\",=-8
XI-x
2+2x,=2
7.
XI+Xl-x
j=7 8.
XI+x
2
-
x
J
=7
4.\"1-x
2
+5x
j
=4 4.\'1-x,+5x.l=4
2x
1+2.\"2- 3.\",=O 6.\'1+x,+3x
j=18
9. XI+x,-X,=7 10. XI-2.\',+3x
J
=O
4x,-x.+5x
l
=4 4x
l+x.-x
J
=O
6-,",+x,+3x)=20 2x,-x
2+3.Y
j
=O
11.-2\',-
Xl+ 3.~·1=0 12.
XI+x,-
Xl=0
-3-'"1+4.\",-x,=0 4.\"1-
Xl+5x
l
=0
5x
I+3.\1+2x,=O 6-"1+x,+3x
J
=0
13. 2x,+5x,=6 14.
XI+2.\',-XI=4
x, lx)=4 3x
1+4x,- 2\',=7
2x
l+4x, =-2
15.
Xl+2\',- 4x
j=4 16. XI+2\-,-4x
j
=4
-2x
1
-4.\',+8.\')=-8 -2\",-
4.\'2+8x]=-9
17.
Xl+2.\",-x
J
+x
J
=7 18.-XI+h,-x,+3x
J
=4
3.\"1+6x!-3x;+3x
4
=21 -3x,+6x!-3x;+9x
4
=12
19.2x
I+6x
2
-4x;+2x
4
=4 20. XI-2x
2+x
J+x
4
=2
XI -X,+x.=5 3x
I+ 2x;- 2x
4
=-8
-3x
l+2x
2
-2x) =-2 4x,-,-x.=1.,
-x,+6x
2
-
Ix) =7

24 CAl'iTUl-OI Sistemasdeecuacioneslinealesymatrices
21.-2.\"1+ X~==I
4X~-.\"3=-]
X'+.\"1 :-3
23.
XI-2\"1+x,+ x~=2
3.\"1+ 2.\")-
2x~=-8
4.\"1-
Xl-
x~=
,
5.\"1+ 3x,-x.=O
25.
XI+Xl=4
2.\"1-3x!=7
3.\"1-2.\"1=
"
22.
XI
-
2x~+x
J
+ x~=2
3.\")+ 2.\".•
-
2x~=-8
4.\"1-x
J
-
x~=I
5.\",+ 3x,
-
x~=-3
24. XI+.\"1
=4
2x,-3x~=7
3x
1
+2x
1=8
26·-2.\"1+.\"1=0
XI+3.\"1=1
3x
l
-
x
1
=-3
Enlosproblemas27a38delerminesilamalrizdadaseencuentraen laformaescalonada por
renglones(peronoen laformaescalonadareducidaporrenglones).en laformaescalonada
reducidaporrenglonesoenningunadelasdos.
[~
,
~) [~
O
-~] [~
O
~] [~
O
~)
27.,
28.,
29.,
30.
O O O OO
[~
OO
~) [~
,
4
:] [r
,
O
~]
(~ ~)
O,
O
,
31. 32. O,
33. OO 34.,
3
OO OO OO
[~r] [~
O
~] [~
OO
~]
35.(~
O3
~)
36. 37. O 38.
,
O
O
O
O
,
I
Enlosproblemas39a46utilicelasoperacioneselementalesconrenglones p<,rareducirlas
m.micesdadasa laformaesc:.lonada porrenglonesya laformaescalonadareducida por
renglones.
40.(-'6)
42
45.(; -6-3)
105
39.(;;)
43.U-~:]44(~
-4-2)
I6
41.
[
~ -~;]42.[-~ -~ -~]
56 -2 -1 1
46.U~~]
47.Enelmodelodeinsumo-productodeLeontiefdelejemplo9supongaque setienentres
indllstrias.Músaun.supongaque (-'1=10.e!=15.e}""JO.{/II=;.al!=t,a
n=*.a
ll
=¡.
al!=¡.(/1.1=*.a
J1=T!'(/J!=t,(ljJ=*.Encuentrelaproduccióndecadaindustriatalq lIe
laofertaseaiguala lademanda.

1.3mecuacionescon nincógnitas 25
48.Enelejemplo8supongaquecadascmanasesuministranallago15000unidadesdelpri
meralimenlo.
10000delsegundoy 35000deltercero.Considerandoquetodoalimento se
consume.
¿quépoblacióndelastresespeciespuedeeoexistiren ellago?¿Existeunasolu
ciónúnica?
49.UnviajeroqueacabaderegresardeEuropagastó $30diariosenInglaterra.520diarios
enFranciay520diariosenEspailaporconceptodehospedaje. Encomidagastó520dÍ<l
riosenInglaterra. 530diariosenFranciay520diariosenEspaila.Susgastosadicionales
fueronde510diarios
en
cadapais.Losregistrosdelviajeroindicanquegastó untotalde
5340
enhospedaje.5320encomiday$140engastosadicionales
durantesuviajeporestos
trespaises.Calculeelnúmerodedíasquepasóelviajeroencadapaisomuestrequelos
registrossonincorrectosdebidoaquelasCHntidadesgastadas nosoncompatiblesunacon
laotra.
50.Unainversionistaleafirmaasucorredordebolsaquetodassusaccionespertenecenatres
compaiiías:DeltaAirlines.HiltonHotelsyMcDonald·s.yquehacedosdías suvalorbajó
$350peroqueayeraumentóS600.
Elcorredorrecuerdaquehacedosdías elpreciode
las
accionesdeDeltaAirlinesbajó SIporcadauna.mientrasquelasdeHiltonHotelsbajaron
SI.50.peroque
elpreciodelas
¡¡ccionesdeMcDonald·ssubió50.50.Tambiénrecucrdaque
ayerelpreciodelasaccionesdeDeltasubió51.50poracción. eldelasdeHiltoni-Iotels
bajóotros50.50poracciónylasdeMcDonald·ssubieron $1.Demuestreque elcorredor
nocuentaconlainformaciónsuficienteparacalcularelnumerodeaccioncsqueposeela
inversionistaencadacompallia.peroquesielladicetener 200accionesdeMcDonald·s. el
corredorpuedacalcular elnúmerodeaccionesqueposeeenDelta yenHilton.
51.
Unagentesecreto
sabeque60equiposaereos.queconsisten enavionesdecombatey
bombarderos.
seencuentran
estacionadosenciertocampoaereosecreto. Elagentequiere
determinarcuántosdelos
60equipossonavionesdecombaley
cuúntossonbombarderos.
Existe.además.untipodccohetcquellevanambosaviones:cldecombatelleva6deellosy
elbombarderosólo 2.Elagenteaveriguaque serequieren250cohetespara armaralodos
losavionesdelcampoaéreo.Alinmás.escuchaquesetieneeldobledeavionesdecombate
quedebombarderos
enlabase(esdecir.elnlllnerodeavionesdecombatemenos
dosve
ceselnúmerodebombarderosesigualacero).Calcule elnlimerodeavionesdecombate
ybombarderosprescntesen
elcampo
aéreoomuestrequelainformacióndelagente es
incorrectadebidoa suinconsistencia.
52.Unaembotelladoraderefrescosdeseacotizarlapublicidaddesusproductosentelevisión.
radioyrevista.setienentrespropuestasdelplandemediosdeacuerdoconelpresupuesto
asignadoacercade1:tcantidaddeanunciospormedio eneltranscursode unmes.Enel
primerpresupuestocadaanuncioentelevisión tiene uncostede5250000.enradio S5000
yenrevista530000. Enelsegundopresupuesto$310000.54000y $15000y enelt'Jltimo
presupuesto$560000.510000y$35000.Lostotalesporpresupuestoson lossiguientes:
$21795000.531767000Y$61225000.Determine lacantidaddeanuncioscotizados por
cadamedio.
53.Considere
el
sistema
2.\'1-x!+3x)={/
3.\'1+x!-5x
J
=b
-5x
1
-5x
2
+21x
J
=('
Muestreque esinconsistentesi('"F2(/-3h.

26 Sistemasdeecuacioneslinealesymatrices
54.Considereelsistema
2x,+3x,-x
J=
"
x,-
x!+3x
J=b
3.\",-7x,-5x,=,
Encuentrelascondicionessobre ti.by("paraque elsistemaseainconsistente.
*55.Considere elsistemageneraldelastresecuacioneslinealescontresincógnitas:
(IIIX.+(llr"~+(ln.\"}=b
1
(1:1""+ti!!.\":+ti!!","}=b!
Encuentrelascondicionessobreloscoeficientes (1.,pamqueelsistematengaunasolución
unica.
RESPUESTAS ALAAUTOEVALUAClóN
l.Ú) 11.a) 111.el IV.bJ
MANEJO DELACALCULADORA
LacalculadoraHP50gpuederesolveren rormanuméricasistemasde 111ecuacionescon
11incógnitas.Cuandoelsistemalieneinfinitassoluciones.lasoluciónreportada esla
solucióndenormamínima. Cuandoelsistemaesinconsistentelasoluciónreportada es
lasolucióndeminimoscuadrados.
Unaposiblesecuenciadepasos
p<lTaencontrarlasoluciónde unsistemadeecua
ciones
seobservaenelsiguicntcprocedimiento(noes elúnico.enelcapitulo11del
manualdelusuario
seincluyenolrosprocedimientos).
Considere
elsistema
2x+4y-6:=14
3x-2,1'+:=-3
4x+2y-:=-4
l.Existendiferentesformasdeintroducirunamatrizaumentada.lamássencilla es
lasiguiente:
(ENTER)(ENTER)
GuardamoslamatrizaumentadaenlavariableAAUGutilizandolasigucntese·
cuencJa
2.SeencuentralaformaescalonadareducidaporrenglonesdeAAUG.
(...,)MATRICES

1.3mecuacionescon nincógnitas 27
.. ;
""
III\TRIctSIltOU
t.CRElHL_
<,.oPUl\lIol'JS..
3.rI\CToRIZtHIoO..
'l.o,"!UAbRI\TICf"oRII......""." u
Ii.LIntARAPf"l•.
7.EIGtnvtcTClRS..
a.VECToR..
..
'"
HtX1';= '~:' AL,
I:HOIIIIfltRIXLIl"ltflRS'o':S:.Iltnu
····'8"'9
<'.Rtf"
3'.rr<l.f
'LflR[f"
S.S'o'ST2'lIflT
li.llflTflICtS•.
seguidodelas tedas[5]paraseleccionarsistemaslinealesy [4]paraenconlrar lafor
maescalonadareducida
porrenglones(RREF).
Elresultadoes
Así'X
I
=-l.etcétera.
Enlosproblemas56a60utiliceunacalculadoraP,ln!resolvercadasistema.
56.2.6.\"1-4.3.\"1+9.6x
1
-8.5x
1
+
3.6.\"1+9.1.\".1
12.3.\"1-8.4-'1-0.6.\",
=21.62
14.23
12.61
57. 2.\"1-x,- 4.\"~=2
x
l
-
Xc+5.\".1+2.\"~=-4
3.\"1+3x
1
-
7.\")- .\~=4
-.\"1-2.\"1+3.\'_,=-7
58.1.247.\"1-2.583.\",+7.161.\".1+8.275.\".1.205
3.472.\"1+9.283'\"1+11.275x,+ 3.606.\"42.374
-5.216x
1
-12.816.\"e-
6.298.\')+1.877x.¡21.206
6.812x
l
+5.223.\1+9.725.\"..-2.306.\".1=-11.466
59.23.42.\-1-16.89.\",+57.3Ix,+ 82.6.\"..2158.36
-14.77.\"1-38.29.\",+92.36x.
1
-
4.36.\"~ =-1123.02
-77.21.\"1+71.26.\",-16.55.\".1+43.09.\".3248.71
91.82.\"1+81.43.\",+33.94.\.1+57.22.\"~ = 235.25
611.6.1.\"1-2.4.\"::+23.3.\".,-16.4.\".- 8.9.\"5=
-14.2.\"1-31.6.\"1-5.8''"3+9.6.\".+23.1.\",=
10.5'\-1+46.1.\"1-19.6.\".1-8.8x.- 41.2.\"5=
37.3.\"1-14.2.\"1+62.0x
1
+l4.?x.¡- 9.6.\"j=
0.8.\"1+17.7.\"!-47.5.\")-50.2.\"4+29.8xj =
121.7
87.7
10.8
61.3
27.8
Másejercicios
Enlosproblemas61a65calculeI¡¡formaescalonada porrenglones(REFenlugarde RREF)
paracadamatrizaumentada.

28 CAPill.1.O1 Sistemasdeecuacioneslinealesymatrices
61.Lamatrizdelproblema 57
62.Lamatrizdelproblema 56
63.La matrizdelproblemH 59
64.La matrizdelproblema58
65.Lamatrizdelproblema60
Enlosproblemas66a
71cncuenlrctodaslassoluciones. silashay.para cadasistem¡l.Redon
deetodaslasrespuestasatreslugaresdccimales.ISlIgert'lIda: Primeroobtengalaformaescalo
nadareducidaporrenglonesdela matriz¡lUmentada.!
66.2.1.\"1+4.2x
1
-
3.5.\")=12.9
-5.9.\'1+2.7.\"1+9.8.\",=-1.6
67.-13.6'\·1+71.8x~+46.J.\·-, =-19.5
41.3.\"1-75.0-'"1-82.9x,=46.4
41.8x
l+65.4.\":- 26.9x,34.3
68.-13.6.\"1+71.8.\"1+46.3.\",=19.5
41.3x¡- 75.0-,!- 82.9.\")=46.4
41.8.\",+65.4.\"1-26.9.\",=35.3
69.5x
I
-2\',+Jlx)- 16x~+12.\"-,
~105
-6.\"1+Sx.14.\")- 9x~+26.\"-,
~-62
7x
I
-18.\"111\-1+21x~ 2x$
~5)
70.
71.5x
I
-
2.\"1
-6.\"1+ 8x~
?xl- 18x~
-15x
l
+42x~
5x,- 2x~
-6x
1
+ 8x~
7x,- 18x~
~15xt+42x:
+Ilx,
14.\',
12.\')+
+21x)-
+11.\
14x,
12x)+
+
2Jx)-
16x~
9x.
21x~
17x.
16x.
9x~
21x~
11x~
+12x~=105
+26x,=-62
- 2'\'5 =53
+42x\=-63
+12x
5
=J05
+26x
5
=-62
- 20\0
5
=53
+42\"5=63
• INTRODUCCiÓN AMATLAB
EjemplosdecomandosbásicosdeMATlAB
¡\lATLABlli.\'';IIgm'mimio\·(·IIIt,.~.r "/(IJ"lÍsn¡f"o~. EstoquicredecirquetiyArepresentanvariables
diferentes.
¡IIIrodUlTióndI!mutriC/!$.Loselementosdeunrenglónseseparanporespaciosylascolumnas
se
separanpor":
A=1I23:456:7891
[
12
3]
ProducelamatrizA=456
789

A=11Z3:
456;
78 91
1.3mecuacionescon nincógnitas 29
Tambiénproduce lamatrizAanterior
Pcoducelumut,¡,b~[~]
N()wdlÍlllltlrtIIOJ"fllw'ItI.\'.whmutl'h'('s.1'IlIsIIUU,,;('('SfUlI/lf!lItmlus,
f=AIZ,3)
d=A(3,:)
d=A(:,3)
e=A([Z41),:)
C=lAb[
feselelementoen elsegundorenglón.terceracolumnade A.
deseltercerrenglón deA.
deslaterceracolumnade A.
eeslal1111trizqueconsistedelsegundoy cuanorenglonesde A.
Formaunamatrizaument,lda c:=(Alh).
Ejl'('/IáÚIIIleol'l'J'fIl'iO//(',I'('()fIH'I/;.:ItJIIl'.\',
A(2,:)=3*A(2,:)
A(Z,:)=A(Z,:)/4
A([Z
31,:)=A([3ZI,:)
AI3,:)=A(3.:)+3'A(Z,:)
U~~3R~
R"_+R~
Intercambialosrenglones1y3
R,_U,+3R~
NoIf(,Todosestos comandoscambiana lamatrizA,Sisequiereconservar 1<1matrizoriginaly
llamara
ealamatrizcambiada.
C=A
C(Z,:)=3'C(Z,:)
e=rref(A)
Gell('l'uáfÍfIfk11I11(";("('.\'fllNI1(1J"iuJ,
e=formaesc,donad<lreducida porrenglonesde A.
A=rand(2,3) matriz2X3 conelementosentreO yI
A
=2*rand(Z,3)-1 matriz2X3conelementosentre -1y1
A=4*(2*rand(2)-I) matriz2X2conelementosentre -4y4
A
=round(lO*mnd(3» matriz3X3conelementosenterosenlrcOy 10
A=2*rand(3)-1+i*(2*rand(3)-l)matriz3X3conelementoscomplejos
{/+bi,{/yhentre-1yI
OTRASCARACTERíSTICAS USUALES
Hdl"Siseleeleahclpseguidode uncomandoMATLABenlaventanade comandosde
MATLAB.apareceráunadescripcióndel
comandoen]¡lventanadecomandos.
Doc,
Sisetecleadorseguidodeun comandodeMATLABen];1ventanade comandode
MATLAB.apareccníunadescripcióndel comandoenlaventanadeayuda.
Ejemplo.I·,
help:o doc:daniunadescripciónde cómosepuedeusar.enMATLAB.
hclp
rrcfodocrrcfdarúunadescripcióndel comandorrer.

30 Sistemasdeecuacioneslinealesymatrices
Usodela.\'jfechas.Enlaventanade comandosdeMATLAB.alusarlaflechahaciaarribase
dcsplcgarilOlos comandos¡ulteriores.Sepuedenusarlasflechaspara localiz¡lruncomando}'
modificarloyaloprimirlatecla"cnter"seejecutaelcom¡lOdomodificado.
Cumí'IIUtrio.\',Siseiniciatinalinea conelsimbolo'y".MATLADinterpretaraestocomouna
líneadecOl11cntMio.
Ejemplo.
'v.,Ésteesuncomentario.
SIIP¡'CS;Ó"JI'ptUllallu.U.m de:.Sisequiererealizarun comandodeMATLABynosedese<lver
losresulwdosdesplegados.sefinaliza elcomandoconun:(puntoycoma).
Para/íIl('U$(urga.~.Paraextender umllinease USl.l••o••",
3=112345678...
9101producir:'a=/123~5678910).
Pm'(/de.~pf¡·Jftlr dígito!>,(f(¡;dolltlle.~. PorlogenemlMATLABdespliegasólo4digilosdespucsdel
puntodecimal.Deesta fOrlnó•.4/3aparececomo1.3333. Elcomandoformallonghacequeto
doslosnúmerossedesplieguencomp1ctos.Asi.
sisedaformallong ydespués4/3.enlapantalla
aparecen!1.33333333333333.Pararegresar
aldesplieguenormalde4digitosdespuésdelpunto
decimalseda
elcomandoforlllalshorl.
TutoríadeMATLAR
1.Delassiguientesmatricesdedosmanerasdiferentes.
A=(-~
2
-1
2
J
2
-1
4
O
)
2.FormeCcomolamatrizaumentada(Ajb).esdecir.C =(Alb)paralasmatrices Ayban
lcriorcs.
3.Forme
D.unamalrizaleatoriade3x4 COIlclcmentosentre-2Y 2.
4.Forme8.Ullamall"izaleatoriade4x4conelementosenterosentre -10y10.
5.Formc K.lamatrizobtcnida ;.partirdc Bintcrc;llnbiandolosrenglonesIy 4.Nocambie
B(primerohaga K=B.Despuescambie K).
6.Realicelaoperaciónconrenglones RJ--+R)+(-1/2)R,.sobrelamatriz C.
7.Deelcomando8(1241.1131).Useunalineadecomentarioparndescribirlasubmatrizde B
queseproduce.
8.Forme
U.lamatrizqueconsistesóloenlatcrceray cuartacolumnasde D.
9.(Vell/(uUlt/et'Omum!os.) Uselaflechahaciaarribaparalocalizar elcomandoqueutilizó
pararealizar
laoperaciónconrenglones en6.Modifiquelalineapamrealizar laopcmción
conrenglones
R,--+R
1
+3R,ydespuésejeeúlela.
10.FormeT,unamatrizaleatorillde8x7conelementosentre Oyl.Déelcomandodocco
lon.Ap;lrtirdelainformación
dadaenladescripciónqueaparece.determine elusode la
not;.ciÓn":"paraformar.taneficientemente comoseaposible.lamatrizSqueconsisteen
losrenglones3al8delamatriz
T.
11.Encuentrelaformaescalonadareducidaporrenglonesde eusandoelcomandorref.Use
este
comandoparaescribirunsistemaequivalentedeecuaciones.

1.3mecuacionescon nincógnitas 31
• MATLAB1.3
1.Paracadaunodelossistemascontenidos enlosproblemasl.2.5.8Y 16deestasección.
délamatrizaumentadayuse
elcomandorrefparaencontrar laformaescalonadareducida
porrenglones.Muestrequecadallnode
eslOssistemastieneunasoluciónúnicayque la
soluciónestácontenida enlaúltimacolumnadeestaformaescalonadade lamatrizau
mentada.Use
lanotación":"paraasignar lavariablexalassolución.esdecir.a laúltim:l
columnadeestaformaescalonadaporrenglonesdelamatrizaumenlada.(Ayuda:puede
emplear
elcomandoend.utilicedoc elldparaobtenerinformaciónacercadelcomando.)
2.Paracadaunodelossistemasc011lenidos enlosproblemas4.7.13Y18enestasección.dé
lamatrizaumentadayuseelcomandorrerparaencontrar laformaescalonadareducid:l
porrenglones.Concluyaqueningunodeestossistemastienesolución.
3.Lasmatricessiguientessonmatrices
aumentadasdelossistemasdeecuacionesquetienen
unnúmeroinfinitodesoluciones.
u)Paracadauna.dé lamatrizyuseelcomandorrefparaencontrar laformaescalonada
reducidaporrenglones.
[;
5 I
I
~] [f
273J
12]
;. 2-8I ii. 2710I 19
3-18I J59 6
6475 15 9
[
OI-27
-~]
85 910 10 8
iii. 421-22 ¡".4577 -1 7
OJ-67 8 J76 22 8
3
2
29-12-2,
ElreslOdeesteproblemanecesiwtrabajoconpapel ylápiz.
h)Paracadaformaescalonadareducida porrenglones.localicelospivotesdibujando un
circuloasualrededor.
e)Paracadaformaescalonadareducida.escriba elsistemadeecuacionesequivalente.
(1)Resuelvacadaunodeestossistemasequivalenteseligiendovariablesarbitrariasque
serúnlasvariablescorrespondientesalascolumnasquenotienenpivoteen
laforma
escalonadareducidaporrenglones(estasvariablessonlasvariablesnaturalesquehan
deescogersedemaneraarbitraria).
4.Lossiguientessistemasrepresentanlainterseccióndetresplanosen
elespaciode3dimen
siones.Use
elcomandorrefcornoherramietllapararesolverlossistemas.¿Qué sepuede
concluirsobre
lacategoríadelosplanos?
i.XI+2x
1
+3x,=-1
-3.\',+x
J
=4
.\'~+4.\'1=5
XI+2.\'1- 3.\'J=6
4x
1
+3x
1
-
2x,=9
iii.2x
I
-
Xl+4x.,=5
XI+2x
1
-
3x,=6
4.\'1+3x,- 2x
J
=17
2x
I
-4x~+2x
J
=4
JX
I
-6x~+3x,=6

32 CU'íTULO1 Sistemasdeecuacioneslinealesymatrices
5.UtiliceMATLAB parareducirlasmatrices aumentadassiguientesa laformaescalonada
reducidilporrenglonespasoporpasorealizandolasoperacionesconrenglones(vealos
ejemplosde
comandosparaoperacionesconrenglones enlainlroducciónaMATLAB en
lapúgin<l18).Veril1qucsusresultados usandoelcomandorrcf.
NOfll.SillamóAalamatrizoriginal.hagaD =Aalprincipioyverifiquerref(O).
2
4
4
-1
2
-7
3
-1
O[-~
2-2O
1I-2]
4-1O-4I-19
¡ii.
-6122-12I-8
2-2-4-5I-34
Veaenelproblema1deMATLAB enlasección.5músopcionessobre larealizaciónde
operacionesconrenglones.
12-2
24-1
6.u)SeaA=
-3-612
12-2
~] b~[_~~]
-4 -5
Muestrequeelsistemaconlamatrizaumentada[Ab]notienesolución.
h)Seab=2*A(:,I)+A(:,1)+3*A(:,3)-4*A(:,4).RecuerdequeA(:.I)eslaprimeraeolUIll
nade
A.AsíseestúnSUlllundoIllúltiplosde columnasdeA.UserrcflAhlpararesolver
estesistemil.
e)Utilice
laflechahacia arribapararegresaralalíneadeh =2'"A(:.I)+cte.yedítelapara
obtenerunnuevoconjuntodecoeficientes.Unavezm<Ís.resuelvaelsistemaconlama
trizaumerllada[Ab]paraes\¡\nuevn h.Repitadosnuevaseleccionesdecoeficientes.
lE)¿Seriaposible ponercoeficientesparalosqueno tenganunasolución?La preguntase
refierea
silasiguie11leconjeturaescierta:unsistema [AbJtienesoluciónsihesllna
sum¡tde
múltiplosdelascolumnasdeA.¿Porqué?
e)Pruebeesta conjeturaparaAformadapor:
A=2*rand(5)-1
7.Supongaquesequierenresolvervariossistemasdeecuacionesenlos quelasmatricesde
coeficientes(loscoeficientesdelasvariables)sonlos
mismosperotienenladosderechos
diferentes.
Formandounamatrizaumentadamásgrandesepodrúnresolvervarioslados
derechos.
SupongaqueAeslamatrizdecoeficientesy quebyesondosladosderechos
diferentes;asigneAug
=lAbelyencuentrerrcf(Aug).
a)
Resuelvalos dossistemassiguientes.
XI
2x
I
-2x
l
+x
2
+Xl=4
+3x
2
+4x.
1
=9
+3x
3
=-7
XI+x
2+x
3
=4
2x
I
+3x,+4x~ =16
-2x
1
+3x)=11

1.3mecuacionesconnincógnitas 33
h)Resuelvalostressistemassiguientes.
2x
l
+3x:- 4x~=I
Xl+2x:- 3x
J
=O
-XI+5x~-llx
J
=-7
2x.+3x~-4x
J
x.+2x~-3x .•
-xl+5x~-llx,
-1
-1
-6
2x.+3x~-4x~=I
x.+2x~-3x
J
=2
-x.+5x~-llxJ=-7
e)SeaAlamatrizdecoeficientcsdelinciso a).Elijacualesquieratresladosderechosdesu
preferencia.Resuelva.
ti)Esnecesariohacerunaobservaciónsobrelassolucionesdesistemas CIIodrtlllos.esdecir.
sistemascontantasecuacionescomovariables.Contestelassiguientcspreguntasbasan
dosusconclusionesenlosincisos o)¡¡e).(Pongaespecialatencióna laformade laparte
deloscoeficientesderrer.)
i.¿Esposibleque unsistemacuadmdotengaunasoluciónimicacon unladoderecho y
unnumeroinfinitodesolucionesconotroladoderecho?¿Porqué sioporquéno?
ii.¿Esposibleque unsistemacuadmdotengaunasoluciónunicacon unladoderecho
ynotengasoluciónconotro?
iii.¿Esposiblequeunsistemactl<ldradotenga unnúmeroinfinitodesolucionespara un
ladoderecho ynotengasoluciónpmaotro?¿Porquesioporquéno?
8.Distribucióndecalor.Setieneunapl:lcarectangular
CUY:ISorillassemantienenacierta
temperatura.Nosinteresaencontmr
latemperaturaenlospuntosinteriores.Considere el
siguientediagrama.Hayqueencontnlraproximacionesparalospuntos TIaT~.osea.la
temperaturadelospuntosintermedios.Supongaque latemperaturaen unpuntointerior
es
elpromediode latemperaturadeloscuatropuntosque lorodean:arriba.a laderecha.
abajo
yalaizquierda.
100"100"100"
50'
~, r: ~,
50"
50"
T, T,
~.
50"••
50"
r,r,r.
50"•••
O' O' O"
a)Conestasuposición.establezca unsistemadeecuaciones.considerandoprimero el
puntoTI.después elpuntoT~.etc.Reescribaelsistemademaneraquetodaslas V:lri:l
bIesseencuentrende unladode laecuación.Porejemplo.para TIsetiene
TI=(100+ T~+T~+50)/4
quesepucdereescribireomo4T
1
-
T~-T~=150.
Encuentrelamatrizdecoeficientes ylamatrizaumentada.Describa elpatrónquc
observeen
laformade lamatrizdecoeficientes.Dichamatriz sellamamatrizdehand:l.
¿Puedeverdedóndeviene
elnombre?
h)Resuelvaelsistemausando elcomandom,'r.Observeque seobtieneunasoluciónuni
ca.Use
lanotación":"paraasignarlasolucióna lavariablex.
e)Supongaque Aeslamatrizdecoeficientesyb eselladoderechodelsistemaanterior.
Déelcomando~' =䄈. (Ladiagonalaqui sellamadiagonalin'·crtida.o esladiago
naldedivisión.)Compare}'
yx.

34 C\I'iTlJLO1 Sistemasdeecuacioneslinealesymatrices
9.Modelodeinsumo-productodeLeontief
a)Hagareferenciaal ejemplo10.Resuelvaelsistemadadollsandoelcomandorrefyel
comando"\",ObservellueV<lmCnlCqueexisteunasoluciónúnica.
h)Supongaqueselienentresinciuslriasindependientes.La demandaexternaparaelpro
ducto1es300000:para elproducto2.200ODa.yparaelproducID3.200000.Suponga
quelasdemandasinternascslún dadaspor
a
ll
=.2.al~=,l.(11.'=.3.0"=.15.ti!!=.25.{/!J=.25.
U'l=.1.un=.05.(/33=O.
i.¿Quéledice(/.'1=O.S?:¿quéledice{/JJ=O?
ii.Establezcalamatriz aumentadaparaqueelsistemadeecuacionesencuentre queXI
eslaproduccióndelarticulo¡parai=l.2.3.PRIMEROVUELVAA LEEREL
EJEMPLO10.
iii.ResuelvaelsistemausandoMATLAB.Interpretelasolución.esdecir. ¡'CUÚlltode
cadallrticulodebeproducirsepllratenerllllll ofertaiguala lademanda?
h',SupongaqueXIsemidióen S(dólaresde prod~cción) yqueestainteresadoenin
terpretarlasoluciónencentavos.Seránnecesariosmásdigitosen larespucstades
plegada
queloscuatrodígitosnormalesdespuésdel puntodccimal.Supongaqueha
asignadolavariablesxalasolución. Déelcomandoformallong(vea lapúginaJO)
ydespuésenlaventanadecomandoscscribaxseguidotle "enter",Estodesplcgan'¡
másdígitos
(cuandotcrminecstaparte.déelcomandoformalshorl pararegresara
laformanormal).
lO,Flujotic trilfico
ti)Considereelsiguientcdiagramadcunamalladecallesdeunsentido convehículosque
entranysalendelasintersccciones. Lllintersecciónksedenotapor[k].Lasflechasa lo
largodclascallesindican ladireccióndelftujodeltráfico. Sea.\elnúmerodevehícu
los/h
quecirculanporlacallei.Suponiendoqueeltrúricoqueentraaunaintersección
tambiénsale,establezcaunsistema
deecuacionesquedescriba eldiagramadelflujode
tráfico.
Porejemplo,cn lailllersección[1],XI+Ss+lOO=s¡+JOO,cstoes,eltrúfico
queentraesigualaltrMicoquesalc.lo quedaSI-.\".1+.\"s=200.
'00200
['1
"
x,
JOO[1]
[JI
200
100 '00
x,
100
x, .\",
[4J
100

1.3mecuacionesconnincógnitas 35
h)Resuelvaelsistemausandoelcomandorrd.Habrúunnllmero innnitodesoluciones.
Escribalasen
terminasdelasvariablesquesonlasnaturak-s pamelegirsede manera
arbitraria.
(.)Supongaquelacallede[11a(3]nl..",.'esitacerrarse;esdecir.x
J
=O.¿Puedecerrarsetam
bien
lacallede(11a(41(x,=O)sinmodificarlossentidosdeltrúnsito? Sinosepuede
cerrar¿cuáles lilcantidadmáspequeñadevchiculosquedebepoder¡ldmitirestacalle
(de[11a[4))1
11.Ajustedepolinomiosapuntos. Sisetienendospuntosenelplanoconcoordenadasx
distintas.existeunarectaunic.l'" ""c,.'·+('!quepasaporambosPUnlOS.Sisetienentres
puntosenelplanoconcoordenadasxdistintas.existe unapanibolaunica
)'=c,.,.1+el''"+el
quepasaporlostrespuntos. Sisetienen 11+1puntosenelplanoconcoordenadasx
distintas.entoncese"isleun polinomiodegmdo11unieoquepasaatraves delos11+
puntos:
loscoeficientes
(',...."••,sepueden encontrarresolviendounsistemadeecuaciones
lineales.
Ej(·",plll.
PI=(2.5) P,=13.10) PI=(4.-3)
Sequiereencontrarel'"z)'""demaneraquey=('r"!+c!x+",paseporlospuntosPI'p!yP"
5=<"¡2!+<)+e,
JO=<}Z+<,!3+c.
I
-3=<'14'+<"!4+¡\
Así.setiene
[
2'
A=Y
4' b=UJ
Resolviendoelsistemase obtienee=[ ~~]queindicaquelaparábolaquepas¡¡porcada
-59
unodelospuntosesr=-9x'+50x-59.Sedice quelaparábolaseajUSTaalospuntos.
a)Par.JP,=(l.-1).p!=(3.3)YPI=(4.-2).establezcaelsistemadeecuacionespara
encolllmrlo~coeficientesdelapilrábolaqueseajustaalosPUnlOS.SeaAlamatrizde
coeficientesyhelladoderecho.Resuelva elsistema.Enun comentariocscribalaecua..
cióndelapan'lbolaquese¡ljUSt:l¡¡lospuntos.esdecir. quepasaporlostres.
Déx
=11:3:4JyJI=,·andcr(x).CompareVconA.
Utilizandodoc"andcrdescriba elfuncionamientodelcomando'·ander.
h)PamPI=(O.5).p!=(\.-2).1),=(3.3)Y p~;;(4.-2).establezcaelsistemadeecua
ciones.delamiltriz
aumentadayutiliceMATLABpantrcsoh'erelsistema.

36 C\l·ntI.OISistemasdeecuacioneslinealesymatnces
Escriba.en uncomentario.laecuacióndelpolinomiocubicoque seajustaaloscuatro
puntos..
Seax elvcelorcolumnaquecontienelas coordenadasxdelospuntosPI¡¡P~.Oc
xyencuentreV='·:lllder(x). CompareVCOIllamatrizdecoeficientesqueencontróal
cSI"blC(..'Cfelsistema.
e)Usandoalgunas caraclerísticasgniflcasdeMATLABsepuedenvisualizar losresulta
dosconloscomandossiguientes.Sigaestoscomandos p'Halospuntosen (/)ydenuevo
par;¡loscuatropuntosen
h).
ocxcomoel\'ectorcolumnadelascoordenadasxdelospuntos
oc~'comoelvectorcolumnadelascoordenadasydelospuntos
DelossiguientescOl1limdos:
v=randcr(xl
e="\y
s=min(x):.UI:rnax(x):
y~'=I'0ly,'al(c.5);
1l101(X.~'·*·.s,,,y)
Elprimercomandocre;llamatrizdecoeficientesdeseada (do,,'ander).
Elsegundoresuelveelsistema obteniendoloscoeficientesdel polinomio(docIIlldi
\¡de).
Ellercerocreaun\'cclors quecomiencmúhipleselemcntos. cadaunocntreelvalor
mínimo
ymáximodelascoordenadlls x.demaneraquesepuedacvaluar elpolinomio
enmuchos
puntosparacrearunabuenagr:ifica(doc minodocmaxdoc:).
Elcuartocreaunvector y~'quccontieneIlIscoordenadasyobtenidascvaluandoelpo
linomioenloselementosdes(doc
pol~"·all.
Elquintoproduccunagrúficadelos puntosoriginales(con unsímbolo.....)yundibujo
del¡lgrúficadelpolinomio(docplol).
Debeobservarsequelagrúficadclpolinomiopasaatravés delospuntosoriginales
(ctiquellldos
con.....J.
ti)Generex=rand(7.1)yy=rand(7,1)ogenereunvector decoordenadasxyunvector
dc
coordcnadasydesupreferencia.Asegurese decambiar(oelegir)las coordenadasx
dcmancmqucseandistint<ls.Sigalos comandosdelincisoe,paravisualiZ<lrelajuste
polinomial.
11ISISTEMASHOMOGÉNEOS DEECUACIONES
Unsistemageneral de/11x11ecuacioncslineales[sistema (1.3.7),púgina16]seIlmnahomogé
neo
sitodaslasconstantes !JI'h,...."",.soncero.Esdecir.elsistemageneralhomogéneoestú
dadopor
{/ll-\+(l1~Xl+
U~IXI+UllX
l+
+(/x=0,..
(1)

SOLUCiÓNTRIVIALO
SOLUCiÓN
CERO
I!!--'-=-===
SOLUCIONES NO
I! "'=M,,""='
EJEMPLO1
••Sollldón
EJEMPLO2
••Sollldón
1.4Sistemashomogéneosdeecuaciones 37
Lossistemashomogeneossurgendediferenlcsformas. Seestudiardunsistemahomogeneo
enlasección4.4.En dichasecciónseresolveranalgunossistemashomogeneos.denuevacuen
ta.
medianteelmetododeeliminacióndeGauss·Jordan.
Pamdichosistemalinealgeneralexistentrcsposibilidades: quenotengasoluciones. que
tengaunasolucióno quetengaunnúmeroinfinitodesoluciones.Par:! elsistemageneralho
mogéneo
1:1situaciónes mássencilla.
ComoXI=Xl='"=x
n
=Oessiempreunasolución(llamadasoluciónIrh'ial osolución
cero).sólo
setienendosposibilidildes: lasolucióntrivialeslaúnicasoluciónoexiste unnúme
roinfinito
desolucionesademásdeésta.Lassolucionesdistintasa lasolucióncerosellaman
solucionesnotrh-ialL'S.
Sistemahomogéneoquetieneúnicamentelasolucióntrivial
Resuelvaelsistemahomogéneodeecuaciones
2x
1
+4x
1
+6x-,=O
4x
1
+5x~+6.\")=O
3x
1+x~-2.)~O
Éstaes laversiónhomogéneadelsistemadelejemplo 1.3.1enlapúgina7. Alreducirenforma
sucesiva.
seobtiene(despuesdedividir laprimeraecuaciónentre2)
[:
23I
~]
',~',_", [1
2 3
~] ,[~
2 3I
~]
56 I
.,....,-u,1O
-3-6
.,-o-J.,
2I
1-2I O-5-11 -5-11I
.,....,-a,
.¡~
O-1I
~] ,[~
O-1I
~]
.,....,'.J
,(~
OOI
~]
.,....J.~.,
12I
.,...-.,
12I
11,"'11,-111,
1OI
O-1I O1I
O1I
Así.elsistematieneullasoluciónúnica (O.O.O).Estoes.lallnicasoluciónalsistemaes latrivial.
Unsistemahomogéneo conunnúmero infinitodesoluciones
Resuelvaelsistema homogeneo
Xl+2x~-x
J
=O
3.\"1-3.\"1+2\'}=O
-x,-llx~+6xl=O
AlhacerusodelaeliminacióndeGauss-Jordanseobtiene.sucesiv;lmente.
U
2-1
I
~]
',~',-".[1
2-1I
~]
-32I
R,-tll,'.•,1O
-95I
-116I O-95I
.¡~
2-1
~]
.,"'11,-:11,
{~
O-"
~]
•
II,...~II,
1->
11,...11,"11,
1->
• •
-95 OO

38 C.U'tTULOI
EJEMPLO3
SIStemasdeecU3(lOfleslinealesymatrices
Ahoralam.mizaumentadaes!'"enlaformaescalonadareducida porrenglonesy.evidente
mente.existeunnúmeroinfinito desolucionesdadaspor(~ll9xJ" 5/9.\"),.).Si.porejemplo.
x,=O.seobtienelasolucióntrivial. Six
1
'"Iseobtienelasolución (-1/9.5/9.1 J.Six.\=9nse
obtienelasolución(-n.5n.9n).
Unsistemahomogeneoconmasincógnitasqueecuacionestiene
unnúmero infinitodesoluciones
Resuelvaelsiguientesistcm¡l
•So/ució" Alreducirporrenglonesseobtiene
XI+.\":-x,=O
4.\"1-2x¡+7.\",=O
(2)
~)
-2
-\
7
IO]
IO
-\
-u
•
\
-6
-\
\
O,
•
-u
•
~]
TeOREMAa
Problemas1.4
Asi.hay unnümcrainfinitodesoluciones dadaspor(-5/6.\",,'11/6x,.x,).Estopuedenosor
prenderporque elsistema(2)contienetreslncógnitllsyúnlclllllentedosccuaciones.
Enterminosgcnerlllcs.
sihaymúsincógnit:lsqueecuaciones. elsistemahomogcneo(1)
siempretendr¡iunnumeroinfinitodesoluciones.Paravcrestoobserve
quesisólotuviera la
solucióntrivial.lareducción porrenglonesconduciríaalsistema
~O
~O
r=O
."
y.posiblemente.algunasecuacionesadicionalcsde laformaO =O.Peroestesistematieneal
menostant:ISecuacionescomoincógnitas.Puesto
quelareducciónporrenglonesnocambia ni
elnumerodeecuaciones nielnumerodeincógnitas.setieneunacontradicciónenlasuposición
dequehabiamásincógnitasqueecuaciones.Entoncessetiene
elteoremal.
Elsistemahomogéneo(1)tieneunnumeroinfinitodesoluciones sin>11/.
AUTOEVALUACIÓIl
1.¿Cualesdelossiguientessistemas debentenersoluciones notriviales?
a)(lUXI+(f,~X~=O
(f~lXI+lI~~X2=O
b){fl!x,+lI,r\'2=O
lI:1XI+{f]2x~=O
(1)1XI+(/)¡x~=O
e)(fu"",+lI12X2+lI,)X)=O
lI~1XI+{/lJ·\·l+{/nXj=O

1.4Sistemashomogéneosdeecuaciones 39
11.¿Paraquévaloresde ktendrúsoluciones notrivialeselsiguientesistema?
X+y+=""0
2x+3)'-4:""O
3x+4y+k:""O
a¡ h)2 e¡) d)4 e)5 f)O
Enlosproblemas1a17encuentretodas lassolucioncsalossistemashomogéneos,
1.2x
I
-
x
2
""O
3x
I+4.\',""O
3. XI-3-'"z""O
-2-'"1+6 -'"1""°
5.XI+x
2
-
.Y
J
""O
2x]-4.\":+3x.l=O
-.\"1-7.\"2-6x,=0
7.2.\"1+3.\":-Xl=O
6.\"1-5.\¡+7x
J
""O
2. \'1- 5-,"z""O
-x
1
+5x,""O
4. \"1+x::--'"J=O
2x
I
-
4.\'::+3.\".1""O
3x
1+7.\"2- '".1=0
6. '\1+X
2
- .\"1""0
2x
1
-
4x.:+3x.l""O
-5x
l
+lh.:-lOx,""0
8.XI-3x,+2-,".,=O
3.\"1+6.\",-3x
J
""O
9.4x
I
-
x,""O
7.\"1+3-,",""O
-8.\"1+6'\'2=O
10. \"1-.\.!+7.\",
2x
I
+3x
2
-
8.\'-,
11.2x
I
-
5.\-,-6.\'.\- 3x.¡=O
XI+3.\2-5x
l+4x.¡""O
12. \-1~2x.:+-'".1+ .\"01""O
3.\"1 +2.\"J-2.\"4""O
4.\¡- x
J
-
x
4
""O
5.\"1+ 3.\".1- \.~=0
13.-2.\1 +
-'"1+2.\"2-X
J
+
3.\"1 .\".1+
4.\"]+2x.:+3x
3
7.\".¡=0
4.\"4=0
5.\"~""O
~O
14. 2.\"1~\'¡=O
3.\"1+5x¡=O
7x
l
-
3.\"2""O
-2·\'1+3.\"2=O
15. XI-3.\'1=0
-2.\"1+6x.:""O
4x
l
-12x,""O
17. \-]+x
1
-
.\J""O
4-'"1-x,+5.\'-,""O
-2.\"1+x¡- 2.\'..""O
3.\1+2'\'2-6x.\=O
16.~2xl+6x
1
=O
.\"1-3.\".:=0
-7.\"1+21.\"z""O

40 CU'iTIJLOI Sistemasdeecuacioneslinealesymatrices
18.Muestreque elsistemahomogéneo deecuaciones
(/IIXI+0Lr'"!=:O
(l"X,+a!!x!=O
tieneunnúmeroinfinitodesoluciones siysólosi(llla!l-{/1i'21=o.
19.Considereelsistema
2.\1-3.\"2+5x
J
=O
-XI+7x¡- x
J
=O
4.\1-Jlx¡+kX
J
=O
¿P':lraquévalordektendrásoluciones notriviales?
*20.Considere elsistemahomogéneode3X3
{¡IIXI+(tl¡"'!+(JIJ"",=O
(111XI+(In""!+al)x,=O
(/)1XI+allx!+alJx,=O
Encuentrecondicionessobre loscoeficientes(/..talesque lasolucióntrivial sealaúnica
"solución.
RESPUESTAS ALAAUTOEVALUAClóN
1.f) 11.e)
Manejodelacalculadora
Lossistemashomogéneos sepuedenresolverconlacalculadoraHP50g alutilizarla
rormaescalonadareducida porrenglonesdelamatrizdecoeficientes (RREF).
Enlosproblemas 21al24encuentretodaslassoluciones paracadasistema.
21.2.lx
1
+4.2x
1
-
3.5x}==O
-5.9x
1+2.7x
1
+8.9x}==O
22.-[3.6x
1
+71.8x
1
+46.3x)==O
41.3x
1
-
75.0x
1
-
82.9x}==O
41.8x
1
+65.4x
2
-
26.9x}==O
23.25x
1
-
16x
1
+13x}+33x,- 57x
3
=O
-16x
1+3x
1+Xl +12x
3
=O
-[8x
2
+[6x~-26x
s =O
24.5x
1
-6x
1
7x
1
2x
1
+Ilx}- 16x,+12x
s =O
+8x
2
-
14x}- 9x,+26x
s =O
[8x
2
-
12x)+21x~-2x
s
=
O
+IIx
2
-
9x}+13x,- 20x~=O

lASistemashomogéneosdeecuaciones 41
• MATLAB1.4
1.lt)Generecuatromatricesaleatoriasconmúscolumnas(incógnitas)querenglones(ecua
ciones).
h)Useelcomandorrefparaencontrarlaformaescalonadareducidaporrenglonesdc
cadaunadelasmatricesaleatorias.
e)Paracadamatrizaleatoriauselafórmulaescalonadareducidaporrenglonespanles
cribirlasoluciónalossistemas homogéneosasociados.Verifique elteoremaLesdecir.
queenestecasosiemprehayllllnúmeroinfinilOdesoluciones.
(ParausarMATLABpHralageneracióndcmatricesalentorias,remílasea lasección
anterior;1losproblemasdeMATLAI3de lasección1.3.)
2.¿Cuálessuconclusiónacercadelasolución deunsistemahomogéncocuyamatrizde
coeficientetienemúsrenglones(ecuaciones)
quecolumnas(incógnitas)?Resuelvalossiste
mas
homogéneoscuyasmatricesdecoeficientessed.menseguidu. ¿Losresul¡¡¡dosconfor
mansuconclusión?
123O
-1 )
-145-1 ,
1 )
i. O,
-62 ii.
O2-1
1 1 3
4 4 4
O2O1
3.Balanceodereaccionesquímicas
Al
balancearreaccionesquímicaswlescomoladelafotosíntesis
se
buscanentcrospositivosXI.x!.x
3
yx~.quenotcnganun divisorcomúndiferentede l.
demaneraqueen
elnúmerodeúlOmosde cadaelcmentoquímicoinvolucradoeselmismoencadahldo
delareacción.Elnumerodeútomosdeunelementoquimicoloindicaunsubíndice: pOI
ejemplo.enC0
1
hayun{nomodeC (carbono)ydosátomosdeO(oxígeno).Esto noslle
vaaunsistema
homogéneodeecuaciones.¿Porquéseobtieneunsistemahomogéneode
ecuacionescornoresultadodel··balanceo..?
C:SI
H:
o
~O
~O
EstesistcmlllÍenemúsincógnitas queeelHlcioncs.porloqueseesperaun númeroinfinito
desoluciones.Pararesolverelsistemase
introducelamatrizaumentada.seusaelcomando
rrefyseescribe lasoluciónen términosdelasvarÍ<lbles arbitrarias.Unodelosrequeri
mientosscrúelegirlasvariables
arbitrariasdemaneraqueXI'.'.,•.\",Yx~scallenterossinun
divisorcomllndiferentede
1.

42 C"'iTULO1 Sistemasdeecuacioneslinealesymatrices
Paralossistemasqueaquísepresentanhabrú llnavariablearbitrariacorrespondientea
laültimacolumnadelarrcf(formaescalonadareducidaporrenglones)de lamatrizde
coeficientes.Lanotación ":"seutilizaparaencontrar1<1eleccióncorrC¡;ladevariables ar
bitrariasparaproducircnlerosyasignarlavariablezalaultima columnadelarrl'fde la
malrizdecoeficie11lcs.Sedaelcomandoxx=rals(z).Éste desplegadlosnumerosde la
columnaenformadefraccionesen lugardedecimales.Tambiénsepuededarelcomando
formatra! ydespuéssedespliegaxx(asegúresede darelcomandoformalshorl p¡lraregre
sar,1lafOrm¡lnormal).
(1)Resuelvaelsistemaanteriorparalareaccióndefotosíntesisy encuentrelosenterosXIa
x~sincomúndivisordiferente de1quelabalancean.
h)Establezcaelsistemadeecuaciones homogéneasquebalancealareacciónentre:
Resuelva
elsistemnyencuentrelosenteros \"1ax{,sindivisor comúndiferentede1 que
balancealareacción.
IDVECTORESyMATRICES
Elestudiodevectoresymatriceseslaméduladelúlgebralineal. Elestudiodevectoresco
menzóesencialmenteconeltrabajodelgranmatematicoirlandésSirWilhamHamihOll
(180S-1865Y'.Sudeseode
encontrarunaformade representarunciertotipode objetosenel
planoyelespacio10llevóa descubrir10queélllamólos Cllalemio/lc.I".Estanoción condujoal
desarrollo
deloqueahoraseconocecomoI"eclores.Alolargo detodasuvidaydelrestodel
siglo
XIXhuboundebateconsiderablesobrelautilidaddeloscuaternionesydelosvectores.Al
finaldclsiglo
elgranfísicoinglésLordKelvinescribió queloscuaterniones."auncuandoson
bcllamenteingeniosos.hansidounmalpeculiar paratodosaquellosqueloshanmanejadode
algunamaneraylosvectores...nuncahansido demenorutilidadparaningunacriatura."
PeroKelvin
estabaequivocado.En laactualidadcasitodaslasramasdelafísicaclásicay
modernaserepresentanmedianteellenguajedevectores.Losvectores tambiénseusan,cada
vezmas.enlascienciasbiológicas ysociales.
1
Enlapagina2 sedescribiólasoluciónunsistema dedosecuacionescondosincógnitas
comounpardenúmeros (X,y).Enelejemplo1.3.1enlapúgina9 seescribiólasoluciónaun
sistemadetresecuacionescontresincógnitas
comolaternadenúmeros(4. -2.3).Tanto(x.y)
como(4.-2.3)son\·eelores.
DEFINICIÓNa Vectorrenglón dencomponentes
Unvectorde 11componentessedefinecomounconjuntoordenadode 11númerosescritos
de
lasiguientemanera:
(1)
•
IVe'lI'lsembl'lnZil blb1logratICCIdI?H'lmlltonenlapdgln'l52
Un'll1all,l,II1teres'llltesobre eldes'lrrollodel'lnahslsveclOfl'llmoderno sepuedeconsullilr enellibrode MJ
Crowe,AHls/uryofVeClolAlld/iSISINotreDameUlllverslly 01NotreO"me Press.1967)oenelexcelentelibro de
MOrflsKllne, MathemallcalThoughtfrom AnCiPnttoModem Times(Nuev'lYorkOxfordUniverSl1yPress,1972.
capitulo32)

DEFINICiÓNEl
COMPONENTES
I!DEUNVECTOR
~VECTORCERO
EJEMPLO 1
1.5Vectoresymatnces 43
Vectorcolumnadencomponentes
Un'-ectorcolumnade ncomponentesesunconjunloordenadode nnúmerosescritosde
lasiguienlemanera:
x,
(1)
En(1)o(2).XIscdenominalaI)rimeracomponclll{'delvector.x!es lasegundaCOlllllOlI(.'llll'.yasi
sucesivamente.
Entérminosgenerales..x
t
sedenomina]¡,Ii-ésimacomponentedel vec!Or.
Conelobjetodesimplificar.confrecuencia seharúreferenciaa unvectorrenglónde 11com
ponentescomo
un,·('(torreligióno unIl-l'cclor.Delmismomodo. seusaráeltérmino\'('t'loreo
Imuna(olI-vcclOr)paradenolara unveclOrcolumnade 11componentes.Cualquier\'cctorcuyos
elementosseantodoscero
sedenominaun"celorcero.
Cuatrovectores
lossiguientessonvectores:
i.(3.6)esunvectorrenglón(oun2-vector)
ii.[-;]"'unv«lO<columna(oun 3-v«lm)
¡ii.(2.~l.O.4))esunvectorrenglón(o un4-vectorJ
o
O
iv.Oesunvectorcolumna yunvectorcero.
O
O
lapalabra"ordenado"contenidaenladefiniciónde unvectoresdefundamentalimportan
cia.Dosvectoresconlasmismascomponentesescritasendiferenteorden
110soniguales.De
estaforma, porejemplo.losvectoresrenglón(1, 2)Y(2.1)nosoniguales.
Alolargodellibro
seresaltaránlosvectoresconletrasminúsculasnegritascomo u.\'.a.b.
e.yasisucesivamente.Unvectorcero sedenotapor0,Másaún.comoenterminasgenerales
resultan'¡obviocuando
seIratede unvectorrenglónode unvectorcolumna. seharáreferencia
aellossimplementecomo"vectores".
Losvectoressurgendediversasmaneras.Supongaque
eljefedecomprasdeunaflibrica
debeordenarcantidadesdiferentesdeacero.aluminio.aceite
ypapel.Élpuedemantener el

C\I'nll.UJSistemasdeecuacioneshneales ymatrlCes
[
10]
. m...
controldelasumdadesa ordenarconunsolovector. Elvector_ Il1dlcaqucordenara 10
unidadesdeilcero.30unid'ldesdealuminio.etcctera, 1:>
60
Oh,\'CI'l'f1t'iríll.Sepuedeobservaraquí porqueelordenenque seescribenlascomponentesde
[
30][10]. ·d I 1530."fi
unvectoressumamenteImportante.Es eVIentequeosvectores y_tienen Slglll-
cadosmuydistintospara
elcomprador. 60 b
10 60
Enseguidasedcscribinin.lIgunaspropied:ldcsdelosvectores.Puestoqueseriarepetitivo
hacerloprimeroparalosvectoresrenglón
ydespuesJ}<lr.llos\'ectorescolumna. sepresent.min
todaslasdefinicionesenterminasde\'ectorescolumna.Los\'cetoresrenglóntienendefinicio
nessimil:lres.
Lascomponentesdetodoslosvectores
enestetextosonnllmerosrealesocomplejos.- Se
denotaalconjuntodetodoslos IlllrnerOSrealesporsimbolo Vyalconjuntodenllmcroscom
plejosporsímbolo
C:.
Elespaciosimbolo 12"
Seusaelsimbolo l?'paradenotaralconjuntodetodoslosn·vectores
",
.dondecadaalesunnúmeroreal.
•
.-.
....Ocmanerasimilar.seusa elsímboloC·p.m¡denotaralconjuntodetodoslos
e,
fI-\'cetores
e,
.dondecadac',esunnumerocomplejo.Enelcapítulo3seanaliz.minloscon-
juntossímboloIJ!(vectoresen elplano)ysimbolo O"(\-cctoresen elespacio).En elcapitulo4
seexaminaránlosconjuntos<lrbitrariosde"cetores.
Entérminosrealeslosvectoressontiposespecialesdematrices,Porlotanto.enlugarde
estudiarlaspropied.¡desdelosvectoressennalizarúnlaspropiedadesdelasmatrices.
•
IJnmcon esun deloJformaa'"lbendondeavbo;onnumefOSre;l!r.;el"IEl!'l
1'ieCIdna<Jl>!>(noc:.odelo'>)me'osCOf'I'IPll!lOS-Noseh,¡bladelIeclOres~e¡os .:-¡\lelrn,tael
seran1Men~encapIL6P»rlotana~ QVl'se-P""'i1biezc:i1detllIiImilflE'fil,porel
QUE' :nponer.'

1.5Vectoresymatrices 4S
DEFINICiÓNEl Matriz
Unamatriz AdemX"esunarreglorectangularde mllnumerasdispueslosen /11ren
glones
y11columnas
al!(112 {/jj {/l.
a
llti!l a!j al.
A~ (3)
""
a,! Q- Q.
•
".,u.
l
Q
"-•
RENGLONESy
COLUMNAS DE
U_...::.UN::A,-M::A:.T::R~1Z
Elsímbolo111x11selec'"111por/1".Amenosque seestablezcalocontrario.scsupondrÍlsiempre
quelosnumerosenunamatrizoveetorsonreales.
Elvectorrenglón ((ji!"a,:."...l/l.)sellamarCIl-
COMPONENTE O
U__',,"o:M,,':.NT::O
tI!j "d
glóniyelvectorcolumna sellamacolumnaj. Lat"omponí'1l1eoelemento1]eA.denotado
MATflIZCUAOflAOA
1:::---""===
~MATfl12CERO
TAMAÑO DE
por",'eselnúmeroque apareceenelrenglón"ylacolumnasjdeA.Enocasionessecscríbir.i
lamatrizAcomoA::::(uJ.Porlogeneral. 1.\smalricessedenotar.i.nconletrasmayusculas.
SiAesunamatriz111X11con111::::11.entoncesAsellam¡1matrizcuadrada.Umlmatriz
111X11conlodosloselcmcnlosígualesacero sedenominamatrizcerode '"X11.
Sedicequellnamatriz JIIXJIlicnctamaño JI/X11.
UUNAMATRIZ
NotQhistórica. ElmatemáticoinglésJamesJosephSilvester(1814-1897)fueelprimero que
utilizóeltérmino-matriz·en1850,paradistinguir lasmatricesdelosdeterminantes(que se
estudiaranenelcapitulo 2).laideaera queeltérmino"matriz·tuvieraelsignificado de-ma
dre
delosdeterminantes~
EJEMPLO2 Cinco matrices
Enseguidasepresentancincomalricesdediferentestamaños:
L('3)esunamatrízde2x2 (cuadrada).
42
') .2esunamatnzdc1X3.
~]esunamatrizde 3X2.
-2
ii.[-~
(
-3'4iii.
O

46 CM'iTUI.OISistemasdeecuacioneslinealesymatrices
[i
6
-2]¡v. I;esunamatriz de3x3 (cuadrada).
-6
(~
OO
~Jeslamatrizcerode2X4.v.
OO
NotudólICOI/P(lI'I¿",c.l'iJ{'mil/milo.\". Enalgunoslibroslasmatrices sepresentandentrodepa
rcntcsis
cuadradosenlugardeparéntesisredondos.Porejemplo,lasprimeras dosmatricesdel
ejemplo2
sepuedenescribir como
i.A=[~ ~]
ii.A~[-~ ~j
I-2
EnestetcxlOseutilizarúnexclusivamenteparéntesisredondos.
Atravésdcllibrosehacereferenciaalrenglóni,lacolumna}ylucomponenteU deuna
matrizparadiferentesvalores deiyj.Estasideas seiluslrnnenelsiguienteejemplo.
EJEMPLO 3 Localizaciónde lascomponentesdeunamatriz
Encuentre[ascomponentes(1.2).(3.1)Y(2,2)de
•Saludóu Lacomponente(1,2) eselnumeroque seencuentraenelprimerrenglóny lasegundacolumna,
quesehansombreado: lacomponente(1,2)es6:
~]4
2dacolumna
¡
6
-J
Enlassiguientesmatricessombreadas sepuedeverque lacomponente(3.1)cs7y lacompo
nente(2.2)
es-3:
Iracolumna
2dacolumna
¡ ¡
]0'"oglóo_[i
6
~]
ldo"oglóo-[i
6
~]
-3 -3
4 4

DEFINICIÓNa
EJEMPLO 4
•Solución
1.5Vectoresymatrices 47
Igualdaddematrices
DosmatricesA:::(a,.)yB:::(h.)sonigmllessi(1)sondelmismotamai'loy (2)lascom-
u u
ponentescorrespondientessoniguales.
Matricesigualesymatricesdistintas
¿Sonigualeslassiguientesmatrices?
(:
I
~)
(1+3
I2+J)
i.
-] Y
1+11-46-6
ii.(-~
~l
y (~ -~l
(~ ~l (~
O
~)
iii. Y
I
i.Si;ambasmatricessonde 2x3y1+3=4.2+3:::5.1+1:::2.1-4 =-3Y
6-6 ~o.
ii.No:- 2-:F-O.porloquelasmatricessondistintas yaque.porcjemplo.lascomponcntes
(1.1)sondiferentes.Estoescicrto auncuandolasdosmatricesconticnenlosmismos
númcros.
Lascomponcntcsmrre.l'pondil'lllt'sdebenscriguales.Estosignificaque la
componcnte(1.1)enAdebeseriguala 1<1componcnte(l.1)enB.etcetera.
iii.No:laprimcramatrizesde
2x2ylasegundaesde 2x3.demaneraquenotienen el
mismotamano.
losvectoressonmatricesdeunrenglónodeunacolumna
Cadavector esuntipoespecialdematriz. Asi,porejemplo,elvector renglónden
componentes
(al'al""eJesunamatrizde1X n,mientrasque elvectorcolumnade
",
ncomponentes
a,
esunamatrizdenXl.
Lasmatrices.aligualquelosvectores.surgen enungrannúmerodesituacionesprúcticas.
Po"jemplo.enInpúgúm46sennnl;,ó Inmanmenqueel'CCIOC[i~]puede,'pcesen""Ins""'
tidadesordenadasdecuatroproductosdistintosutilizadosporunrabricantc.Supongaque se

48 C\I'iTULOI Sistemasdeecuacioneslinealesymatrices
tienencinco plantasdiferentes.entonces lamatrizde4x5 podríarepresentarlasórdenesde
los
cuatroproductosencadaunade[ascincoplantas.
[
~~ ~~ ~~ ~~
Q=15221820
60405035
25]
22
13
45
DEFINICiÓNa
Sepuedeapreciar.a maneradeejemplo,quelaplanta4 ordena25unidadesdelsegundopro
duelomientrasquelaplanta2ordena40unidadesdel cuartoproducID.
Lasmatrices
sepuedensUlllarymultiplicarpornúmerosreales.
Sumadematrices
SeanA =(a.)yB=(bij)dosmatricesmX1/.EntonceslasumadeAyBeslamatriz
mX11,A+Bdadapor
[
a"+b"
A+B=(a+b)=a
ll
+b
21
ij ij. :
a"'l+b",¡
al,+b
ll
Un+'b"
a,"+b'"]
G;!.+b!.
a","+b",n
(4)
Así,porejemplo,noesposiblesumarlasmatrices (~ ~ ~)y
(mio",)(:JyrilE,deór,,on;ncomp,@"b,jola,um,.
EJEMPLO5
Esdecir,A+BeslamatrizmX11queseobtienealsumarlascomponentescorrespon
dientesde AyB.
Lasumadedosmatrices sedefineúnicamente cuandolasmatricessondelmismotamaño.
r-~ -~]o1"m,";ce,
Sumadedosmatrices
4
3
3
-6
2
-5
:]+[ ~;: -~] ~[~: ~~]
5-2144 -64-19
I!ESCALARES Almanejarvectoressehacereferenciaalosnúmeros comoescalares(quepuedenserrealeso
complejos
dependiendodesilosvectoresencuestiónsonrealesocomplejos).
Notohistórica. Eltérmino"escalar"encuentra suorigenconHamilton. Sudefinicióndecuater
niónincluialoque
éldefinióuna"partereal"yuna"parteimaginaria". EnsuarticuloNOnQuar
tenions,
oronaNewSystem ofImagineriesin Argebra~ enPhilo50phicalMagazine, 3a.serie,

DEFINICiÓNICI
1.5Vectores ymattlces .49
25(1844):26-27,escribió;
"laparterealalgebraicamentepuedetomar ...todoslosvalores con~
tenidosenlaescaladelaprogresióndenumerasdesde elinfinitonegativoalinfinitopositivo; la
llamaremos.entonces, laporteescalarosimplementeelescalardelcuaternión..."Enelmismoar
tículoHamiltondefinió
laparteimaginariade sucuaternióncomo lapartevectorial.Aunqueéste
nofue
elprimerusoque sedioalapalabra"vector~ sifuelaprimeravezque seusóenelcontexto
de
lasdefinicionescontenidasen estasección.Esimportantemencionarque elartículodelque se
tomólacitaanteriormarca eliniciodelanálisisvectorialmoderno.
•
Multiplicaciónde unamatrizporunescalar
SiA=(a)esunamiltriz demX11Ysiaesunescalar.entonceslamatriz mX//.erA.
estádadapor
[aa"
aal
!
...
aa,]
erA=(all~)= a~ll
aa
n
...
:::':
(5)
0'0"1
0'(1,...
o- o.
Estoes aA=(0'(11)eslamatrizobtenidaalmultiplicarcadacomponentedeApor0'.Si
erA=B=(b;l-entonces b¡¡=er(liJPólrai=1.2.....myj=\.2.....//.
-
Múltiplosescalares dematrices
-3•
~1Enton=2A=[ ~
-68
.]
scaA=[3
14 28l'
-2J5 7 -4610
I~.
[_'
_1
-i]
OA=[~
OO
~]
-JA=~;
,
_1_1
-2
Y
OO,,
-1-1_1
OO,,
EJEMPLO 7
•Sal"dó"
Sumademúltiplosescalares dedosvectores
Elteoremaquesepresentaacontinuación proporcionaloshechosbasicos sobrelasumade
matricesylamulliplicación porescalares.Sedemuestralap;.lrtc ¡ji)ysedejaelrestode laprue
ba
comoejercicioparaellector{\'calosproblemas 41a43).

50 C\I'ITlLOI
TeoREMAIJ
Sistemasdeecuacioneslinealesymatrices
SeanA.BYetresmatricesdemX"Yseana y11dosescalares.Enlonces:
i.A+0=A
ii.OA=O
¡ii.A+B=B+A (leyconmutativapara lasumadematrices)
¡v.(A+B)+e=A+(B+C) (leyasociativapara lasumadematrices)
v.o(A+B)=aA+aS (le)'distributh'3paralamultiplicaciónpor unescal:Jr)
vi.IA""A
vii.(a+{3)A=aA+1M
Nota.Elceroenlaparte1)delteoremaeslamatrizcero demX11.Enlaparteii)elcero
a
laizquierdaesunescalarmientrasque elceroa laderechaeslamatrizcero demX11.
0"
al! 0,. b"b,z b"
Demostraciónde¡ii. ScaA=
a!.a!: al.
B~
b"b" b"
Y
a.,
°
., (1"," b.,b..!
...·b_
Porcnde
A+B=
a+b-b+aparacualesquiera
dosoumerosrealesayb \
a
ll+bit
a
ll
+b
ZI
b
ll
+011
b
11
+a
ll
al!+b,!
011+b
n
bu+DI:
bn+al:
al.+b,•
az.+b:.
=B+A
b"",+0,""
EJEMPLO 8 Ilustracióndelaleyasociativaparala sumadematrices
Parailustrarlaleyasociativa seobservaque
[C 4-2)+(2-2
:)H~
-1
~)3-1O1-1 1
=(~
2
;H~
-1
~H:
1
~l-2 1 -1
Deigualmanera
C4-2He
-2
:H~
-1
~)]3-1 O I -1 1
=G
4
-~H:
-3
:H:
1
~)-1 O -1

Pbleas
1.5Vectoresymatrices 51
Elejemplo7ilustralaimportanciade laleyasociativade lasumadevectores yaquesisedesea
sumartresmatriceso
mús,únicamentesepodráhacerlosumándolasdedos endos.La leyaso
ciativaindicaqueesto
sepuedellevaracabodedosmanerasdiferentesobteniendo elmismore
sultado.
Sinofueraasí,seriamásdifícildefinir lasumadetresomásmatrices yaquetendríaque
especificarse
sisequieredefinirlasumade A+B+ecomo(A+B)+eocomoA+(B+C).
AUTOEVALUACIÓN
1.¿Cuáldelassiguientesasewracionesesciertaparalamatriz
(;
2
-1
a)Esunamatrizcuadrada.
b)Sisemultiplicaporelescalar-1,elproductoes (-1
-7
elEsunamatrizde3x 2.
-2
,
(
3,
d)Eslasumade
72 4)(-2')
OYO O
11.¿Cuálde losincisoses2A-48siA=(2OO)YB=(3I)?
a)(-8-4)
b)(501)
e)(16-4O)
ti)Estaoperación nosepuederealizar.
111.¿Cuáldelassiguientesafirmaciones t·sciertacuandoseencuentraadiferencias(res
tas)dedosmatrices?
a)Lasmatricesdebenserdelmismotamaño.
b)Lasmatricesdebensercuadradas.
e)Lasmatricesdebenserambasvectoresrenglónovectorescolumna.
áJUnamatrizdebeserunvectorrenglónyla otraunvectorcolumna.
IV.¿Cualesseríanloselementosde lasegundacolumnade lamatrizBsi
0)+8~(0OO)?
-] OOO
a)-2,-8,]
c)2.8,-]
b)4,-8
ú)-4,8
V.¿Cuáldelassiguientesdebeser elsegundorenglóndelamatrizB si3A-B =2e
para
-~ ;Jyc~[~ ~ ~J?
2O OO]

SEMBLANZA DE•••
SirWilliamRowanHamilton,1805-1865
SirWilliamRowan HamiltonnadóenDublínen1805, endonde
pasólamayorpartedesuvida.yfuesindudaelmásgrandema
temáticoirlandés. Elpadre(unabogado)y lamadredeHamil
tonmurieroncuandoeraapenas unniño.Sutio,unlingUlsta,se
hizocargode sueducación.A laedaddecincoaños,Hamilton
podíaleeringlés.hebreo,latinygriego.Cuandocumpliólos 13
dominaba,ademas delosidiomasdelcontinenteeuropeo,sans
(rito,chino.persa,árabe,matasio, hindú,bengalíyvariosotros.
Hamiltondisfrutabaescribirpoesía,tanto ensuinfandacomoen
lavidaadulta,yentresusamigossecontaban losgrandespoetas
inglesesSamuelTaylarColeridgeyWilliamWordsworth. Sinem
bargo.lapoesíadeHamiltonseconsiderabatanmala queresul·
tóunabendición quedesarrollaraotrosintereses,especialmente
aquellosrelacionadoscon
lasmatemáticas.
Aunque
disfrutólasmatemáticasdesdeniño,elinteres de
Hamiltoncreció demaneraimportantedespuesdeunencuentro
casuala
laedadde1SañosconZerahColburo,elamericano que
calculólasdescargaselectricas delosrayos.Pocodespues,Hamil
toncomenzóaleerloslibrosimportantesdematemáticasde su
tiempo.En1823.alos 18años,descubrióunerrorenla Mécanique
cé/este
deSimon laplaceyescribióunarticuloimpresionanteso
breeltema.Unañomástarde
entróalTrinityCollegeenDublín.
lacarrerauniversitaria deHamiltonfuesobresaliente.Alos
21años,siendotodavíaestudiante delicenciatura,habíaimpre
sionadoatalgradoa
susmaestrosquefuenombradoAstróno
moRealdeIrlandayprofesor deAstronomíaen launiversidad.
Pocodespuésescribi610
queahoraseconsiderauntrabajoc1ási·
caenóptica.Haciendousounicamente delateoríamatemática,
predijo
larefraccióncónicaencierto tipodecristales.Mástarde
losfísicosconfirmaronestateoría.
Enpartedebidoaestetrabajo,
Hamiltonfuearmadocaballero
en1835.
Elprimerarticulopuramentematemático deHamittonapa
recióen1833.
Enéldescribióunamaneraalgebraica demanipular
paresdenumeras
reales.Estetrabajosienta lasreglasqueseusan
hoyendiaparasumar,restar,multiplícarydividirnumeroscom
plejos.
Noobstante,enunprincipio.Hamilton nopudodesarrollar
unamultiplicaciónparatemaso,...eadasordenadas
denumeros
para
n>2.Durante10añosestudióesteproblema, ysediceque
loresolvióen unratodeinspiraciónmientrascaminaba porel
Puente
deBroughamenDublinen1843. ladaveeradescartar la
conocidapropiedadconmutativa delamultiplicación.losnuevos
objetos
quecreósellamaroncuaterniones, quefueronlosprecur·
sores
deloqueahoraseconocecomovectores. Enlaactualidad,
unaplacaincrustadaen
elpuentecuentalahistoria.
S1r..--...H.....
fThrGmngrrroIl«rionJ
Ai¡ul,mientrascaminaba
el16deocrubrede1843,
SirWi/liamRowanHamilton
descubrió,
enuninstantede
genialidad,
lafórmulafundamental
poro
lamultiplicacióndecuaterniones
p=f=Je=ijk=-1
y/0grabóenunopiedradeestepuente.
Duranteelrestodesuvida,Hamiltonpasólamayorpartedel
tiempodesarrollandoeiálgebra decuaterniones.~Isuponíaque
tendrianunsignificadorevolucionarioen lafísicamatemática.
Sutrabajomonumentalsobreestetema, TreatiseonOuaternions,
fuepublicadoen1853. Mástardetrabajó enunaextensióndel
tema,
E/ementsofquaternions.AunqueHamiltonmuríóen1865
antes
determinarestaobra, suhijopublicóeltrabajoen1866.
losestudiantesdematemáticas'1físicaconocenaHamil·
tondentrodemuchosotroscontextos. Enfísicamatemática. por
ejemplo,seencuenlralafunciónhamiltonianaqueconfrecuen
ciarepresenta
laenergíatolaldeunsistema,ylasecuaciones
diferenciales
dedinámicadeHamilton-JacobLEnlateoriadema
trices,elteorema
deHamillon·Cayleyestablece quelodamatriz
satisface
supropiaecuacióncaracterislica.Esto seestudiaráen
elcapítulo6.
Apesardelgrantrabajodesarrollado,losultimasaños
de
Hamiltonfueronuntormento.Suesposaestabasemiinválida y
elfueatacado porelalcoholismo.Esgratificante,porlotanto,se
ñalar
queduranteesosúltimosañoslarecienformadaAmerican
NacionalAcademy
of5cienceseligióaSirWilliamRowanHamil
Ioncomosuprimermiembroextranjero.

a)-3,2.6
e)3.-2,6
h)O.-2.9
ti)O.2.-9
1.5Vectores ymatrices 53
1.a+b 2.lb 3.5:.1
4.-2e 5.b+3e 6.2a-5b
7.-3b+le 8.-5a+3b 9.Oc
10.a+b+ c 11.la+4b-3e 12.3a-lb+4e
13.3b-7c+2a
Enlosproblemas 14a26realiceloscálculosindicadoscona =(3.- 1,4,2).b =(6,O.-l.4)
yc~(-I.l.1.5).
14.a+e 15.b- 3 16.e-a
17.4c
20.2a-c
23.c-b+2a
18.-2b
21.4b-7a
24.3a-2b-4c
19.7b+4c
22.a+b+c
25.33-2b+4c
26.aa+f3b+ye
Enlo[~~rO~I]'mas 27a44"ali"bsop,,"cion,,indie<,dascon A~[_~
C=46.
-71
l][-20]
5.B= 14Y
2 -75
27.lA 28.A+B 29.C-A
30.A-e 31.le-5A 32.OB(Oeselceroescalar)
33.
-7A+38 34.6B-7A+OC 35.A+B+C
36.C-A-B 37.B-A- 2e 38.2A-38+4C
39.7C-8+2A
40.Encuentreunamatriz Dtalque2A+B-D eslamatrizcerode3 x2.
41.Encuentrelamatriz
EtalqueJI+2B-3C+Eeslamatrizcero de3x2.
42.EncuentrellnamatrizDtalque 2A+8~Dsealamatrizcerode3 x2.
43.Encuentreunamatriz EtalqueA+28+3Esealamatrizde 3X2cuyoselementos todos
sonuno.
44.
[1-IJ[-1
DadosA=23Y B=2
3{2A+B+X}=5(X~A+Bl
~).resuelvalasiguienteecuación paraX:

54 CU'rrul..oI Sistemasdeecuacioneslinealesymatrices
Enlos[p;Obl:m'I;]45u54r"d",10,,:lIe,,105ind"ud05conA~[~-~-nB~[;_~ ~]
yC=31O
O-24
45.A- 28
48.A+B+C
51.e-A-B
46.3A-C
49.lA-B+2e
52.4C-2B+3A
47.38-2A
SO.3A+2B-4C
,
Figura1.7
,
5
Figura1.8
2
,
3
53.EncuentreunamatrizDIalque A+B+e+Deslamatrizcerode3X3.
54.Encuentreunamatriz Elalque3C-2B+8A-4Eeslamatrizcero de3X3.
55.EncuentreunamatrizDtalqueA+B+e+Dsealamatrizcerode3X3.
56.Encuentreunamatriz ElalqueA+28+E-3Csealamatrizde3x3cuyoselementos
todossonuno.
57.SeaAunum'trizde3X3talqueA~[:]~r:J yA~[-:]~[~l CalcularA~[I:]
58.Sea A=«(/i)unamatrizdemX11Yseao:lamatrizcerode111X11.Utilicelasdefiniciones
5y6parademostrarqueOA=o:yque0+A=A.Deigualmanem.muestreque lA=A.
59.Si A=«(1).B=(b,)Ye=(e...'sontresmatrices demX11.calcule(A+B)+eyA+
(B+C)ymuestrequesoniguales.
60.Si
ay13sonescalaresyAYBsonmatricesdemX11.calculea(A+B)yerA+aBymuestre
quesoniguales.Calculeadem{IS (a+13)AyaA+f3Aymuestrequesoniguales.
61.
Considerela"grúfie,l"qucunelos cuatropuntosdelafigura1.7. Construyaunamatrizde
4X4 quetengalapropiedaddeque{ji}=Osielpuntoinoestáconectado(unidoporuna
linea)conelpuntojylI;¡=1sielpuntoiestáconectadoconelpunloj.
62.Hagalomismo(construyendounamalrizde5X5)paralagr.iJicadelafigura1.8.
63.En
lafabricacióndecierto productosenecesitancuatromateriasprimas.El\'cctor
d
~[~~]representaunademandadadadelarúbricaparacadaunadelascuatromaterias
ti,
ti,
primasparaproducirunaunidaddelproducto.Sideselvectordcmandadelafúbrica1y
ees
elvcclordemandadelafábrica2.¿quérepresentanlosvectoresd +ey2d?
RESPUESTAS ALAAUTOEVALUACIÓN
1.b) 11.d) 111.a) IV.b) V,b)

1.5Vectoresymatrices 55
MANEJO DELACALCULADORA
Suma ~.multiplicaciónpor unescalarenlaHP50g
Lamaneramassencilladesumardosmatricesdelmismo tamañoesintroducirprimero
cadamatriz
ydaracadaunaunnombre(como A22yB22).
(2,2)(ENTER)RANM/22/(STO.)~2)2)(ENTER)RANM/822/(STOI)
[
-oc
",
['-,-,,
LafunciónRANMproduceunamatrizdedimensión1n,m}conelementosaleatorios.
Después,paraobtener
A22+B22oA22- B22seoprime
A22(ENTER)822(ENTER)(IJA22(ENTERJ822(ENTERlc=J
ParaobtenererA22.primerogurdamoselvalordealphautilizando }¡lsiguientese·
cuencia
Lamultiplicaciónseobtieneutilizandolasiguientesecuencia
• MATLAB 1.5
l.Elpresenteproblemaproporciona laprácticanecesariaparatrabajarcon lanotaciónma·
nicíalaligualqueconlosprocedimientosque
seusaránenproblemasfuturos.Enlospro
blemasanteriores.alrealizar
laoperaciónconrenglones R.--tR.+eR.seencontraba.por,, '
meraobservación. elmultiplicadorc.Estemultiplicador('sepuedecalcularconexactitud
apartirdeloselementosde
lamatriz.
Ejelllplo
[
a
bcde]
A=OOfgh
OO Ijk
Paracrearuncero enlaposiciónqueocupa isenecesitaR
J
--tR
J
+(-i/f)R.,.Observeque
f=A(2.J)Yquei=A(J.3):
c~-A(3,3)/A(l,3)
Entérminosgenerales. e=-(elementoquedebehacersecero/pivoteusado):
A(3,')~A(3,,)+c'A(l,,)
a)ParalamatrizquesiguerealicelasoperacionesconrenglonesR
j
--tR
j
+cR¡paraob
tenerlamatrizenformaescalonada porrenglón(nolaformaescalonadareducida por
renglones).exceptoque elelementopivotenonecesitaser 1.(Nomultipliquenidivida

56 Sistemasdeecuacioneslinealesymatrices
unrenglónporunnúmeroparacrearunos.) Encuenlrctodoslosmultiplicadoresusan
dolanolacióndematricesanterior. Paraestamatriz susmultiplicadoresserannúmeros
sencillosparaquepueda"crificarconforme elprocesoavan7.. 1:
h)Oprima
A=[ ~
-)
1
2
4
-6
2
-2
-1
12
-2
o
O
2
-4
11
-4
-12
-5
A=rand(4,5)
A(:,3)=2*A(:,I)+4*A(:.2)
SigalasinstruccionesdelincisoaJ.Asegúresedecalcularlosmultiplicadores
usando1:1
notaciónmatricial.
Veaelproblema2 deMATLABenlasección1.10.unasituaciónenlaquesequiere
realizarellipodereducciónqueseacabadedescribir.
2.CUnlclcrislicasde;\IATLA B./,,'rodll("doncfid!!",/! dematricesJi!¡per:m.f
a)Enelproblema60se lepidióqueestableciera matricesparagnificasenlasque
"={I
•O
sielpunto;estáconectadocon elpuntoj
deOlmmanem
Paralamayorpanedeestelipodegráficaslamatrizconsisleen muchoscerosy algunos
unos.En MATLABsepuedeintroducirunamatrizconcerosen todossuselementosy
despuésmodificarlarenglón
porrenglón.
Considerelasiguientegrúfica:
2
a=zeros(5)
5
)
4
.(1,12
.(2.1141)=1II1
)41l=1I I1
(1estaconectadocon2y4)
(1estáconectadoCOIll.3Y4)
yasísucesivamente
Termine
deinlroducirlamatrizanterioryverifiqueelresultadoconsurespuesta al
problema61.

1.6Productosvectorialymatricial 57
h)Considerelasiguientegrúficadirigida
[1)
[2)
[4]arista8[5)
Defina
¡
Isilaarislajvaalnodoi
(/.=-1silaarislajsaledelnodo;
" Odeotr<lmanera
¿,Dequetamaiioserú A?IntroduzcaA=zeros(n,m).donde 11eselnúmerodcrenglonesy
111eselnúmerodecolumnas(doczeros). SemodificaráAcolumnaporcolumnaviendo
unaaristaa
lavez.Porejemplo.
A([121,1)=1-1;11
A(451,8=11;-11
laaristaIsaledel [1]yvaal[2J
laariSla8saledel [5]yvaal[4]
Completeelprocesoanteriorparaenconirar A.
3.(1)Introduzcacualesquicradosmatrices AyBdedistintotamaiio.Encuentre A+B;¿qué
lediceMATLAB'?
h)Introduzcacualesquieradosmatrices AyBdelmismotamaiio.Supongaque sesunes
calar.Desusconocimientosalgebraicossobre
hlsmanipulacionesconnúmeros, ¿aqué
conclusiónlIegariasobrelasrelaciones
s*A.s*Bys*(A+B)?Utiliceunalineadccomen
larioparaescribirestaconclusión.Pruebe
suconclusióncontreseleccionesdiferentes
de
s.Pruebesuconclusiónconotraelecciónde AyOIraelecciónde 8paratrcsvalores
de
s.(SivaausarMATLABparagenerarmatriccsaleatorias.consulte lapresentación
anteriordeproblemasdeMATLAB1.3.)
111PRODUCTOS VECTORIALYMATRICIAL
Enestasecciónseanalizará laform¡¡enlacualsepuedenmultiplicardosmatrices. Esobvio
que
sepuededefinir elproduclOdedosmatricesde /JIx11,A=((/ii)yB=(hij)comolamatriz
111X11cuyacomponente ijes(I.b..Sinembargo.paracasitodaslas¡¡plicacionesimportantes
,¡,¡
queusanmatrices. serequieredeotrotipodeproduclO.Explicaremoslasrazonesdeesto.
EJEMPLO 1 Productodeunvectordedemandayunvectordeprecios
Supongaque unfabricantcproducecuatroartículos. Sudemandaestúdadapor cI\'Cl~tordede
mandad
=(30204010)(unamatrizde1X4). Elprecioporunidadquerecibe elfabricante
porlosartículosestúdadopor
elYeetordepreciosP= [m](unamatrizde4 Xl).Sisecumple
$40
lademanda.¿cuantodinerorecibirá elfabricante?

58 CAPiTULO I
••So/m'jón
Sistemasdeecuacioneslinealesymatrices
Lademandadelprimerartículoes30, yelrabricanterecibe$20 porcadaartículovendido.Por
consiguienterecibe(30){20)
=$600delasventasdelprimerarticulo. Sisesigueeslerazona
mienlo.se
vequelacantidadtolaldedineroquerecibees
(30)(20)+(20)(I S)+(40)(18)+(10)(40)~600+300+720+400~$2020
Esteresuhadoseescribe como
(302040
20]I-
10),~2020
lB
40
DEFINICIÓNa
Esdecir.semultiplicóunvectorrenglónde4componentes yunvectorcolumnade4compo
nentespara obtenerunescalar(unnúmeroreal).
En
elúltimoejemplo semultiplicóunvectorrenglón porunvectorcolumna yseobtuvoun
escalar.Entérminosgeneralessetiene lasiguientedefinición.
Productoescalar
:~]dosvectores.Entonces elproductol.-'"SCal:lrdeaybdenotado
11
b.
pora.b,estádadopor
(1)
Debidoalanotacióncn (1).elproductoescalarsellamaconfrecuenciaproductopuntoo
productointerno
delosvectores.Observeque elproductoescalarde dosn-vectoresesun
escalar(esdecir,esunnúmero).
Altomarelproductoescalardeaybesnecesarioque aybtenganelmismonúmerodecom
ponentes.
Amenudo
setomaráelproductoescalardeunvectorrenglón yunvectorcolumna.Eneste
casosetiene
ProduclOescalar
vectorrenglón1xn
(a"a,,1,a.ÜJ~a,b,+a,b
r
++a,b.
1Ésteesunnúmeroreal(unescalar)
vectorcolumna
nx1
(2)
•

1.6Productosvectorialymatricial 59
EIIIDIIL__P_<o_d_u_"_o_e_"_a_'_a_'_d_e_d_o_,_v_e_"_o_,_e_,_
Sea'~[-iJy b~[-HCaleule,'b.
•Solució",.b~(I)(J)+(-2)(-2)+(J)(4)~3+4+12~19.
EIEDIL__P_,o_d_u_ct_o_e_"_a_'_a_'_d_e_d_o_,_v_e_"_o_,_e_,_
Sea'~(2.-3.4.-6)yb~[~]'C,leulca'b.
••Solució"
TEOREMAa
Aqui,'b~(2)(1)+(-3)(2)+(4)(0)+(-6)(3)~2-6+O-18~-22.
El1eoremasepresenlaacontinuación ysededucedirectamentede ladefinicióndel producto
escalar.Sedemuestralaparte ii)ysedejaelrestocomoejercicio.
Seana,byetresl/-vectoresysean
ay{3dosescalares.Entonces
i.a'O=O
Pruebadeii)
ii.a·b=b·a
iii.a·(b+e)=a.b +a.e
iv.
(aa)'b=o(a.b)
[
a,]lb,]
Sean,~ ~~yb~ ~:.
Entonces
(leyconmutativadelproductoescalar)
(leydistributivadelproductoescalar)
ab=bapara
cualesquieradosnúmeros
{/yh
Observeque /10existeunaleyasociativapara elproductoescalar.Laexpresión(a. b).c=
a.(b.e)notienesentidoporqueninguno delosdosladosde laecuaciónest¡'¡definido.Para
elladoizquierdo.estoseconcluyea partirdequea.besunescalary elproductoescalardel
escalara.bY
elvectorenoestádefinido.
Ahorasedefineelproductode dosmatrices.

60
DEFINICiÓNEl
Sistemasdeecuacioneslinealesymatrices
Productodedosmatrices
Sea
A=(a)unamatrizmX11.YseaB=(h)unamatriz"xp.Entonceselproduclode
AyBesunamatriz mXp.e=(e)_endonde
C,,=(renglón¡deA)'(columnajdcB) (3)
Esdecir.elelementoijdeABeselproductopuntodelrenglónideAylacolumna}deB.
Siestoseexliende,se obtiene
(4)
SielnúmerodecolumnasdeAesigualal numeroderenglonesdeB.entoncessedice
queAyBsoncompatiblesbajo lamultiplicación.
Dosmatricessepuedenmultiplicarunicamente sielnúmerodecolumnasdelaprimera
matrizesigualalnúmeroderenglonesdelasegunda. Deolramodo,losvectoresque
formanelrenglón"enAylacolumna}deBnotendránelmismo numerodecompo-.
oentes
yelproductopuntoenlaecuación(3) noestaradefinido.Dichodeotromodo.
lasmatrices
AyBseránincompatibles bajolamultiplicación.ParailUslrdrestose con
sidemnlassiguientesmatrices deAyB:
columnajdeB
""""
a,.
¡
(1"(/!l a,.b"
b
l2
...
b,¡ b"
b"b" b,¡ b!p
renglónideA_
a"
a¡~ a,
b.,b.
2 boj b
~
a.,a.,a
-
Losvectoresrenglón ycolumnasombreadosdebentener elmismonúmero decompo
nentes.
IIIIIIIIDIIIIL_P_ro_d_"_<t_o_d_e_d_o_,_m_a_tr_i_ce_'_d_e_2_X_2__
.(13) (3-2)SIA= yB= .calculeAByBA.
-24 56
••Soludón Aesunamatriz de2x1yBesunamatrizde2x1.entonces e=AB=(2x2)x(2x2)
tambiénesunamatrizde2x2.
Sie=(e¡).¿cwi.leselvalorde"117Sesabeque
('11=(1<'renglónde JI)'(1"columnadeB)

1.6Productosvectorialymatricial 61
Reescribiendolasmatrices setiene
lacolumnadeB
j
lerrenglóndeA-(I3)(3-2)
-2456
Así.
cll=(13)(~)=3+15=18
Demanerasimilar.paracalcular el,setiene
2dacolumnadcB
j
IcrrcnglóndCA-(-~ ~)(~ -~)
y
c,,~(1 3)(-~)~_2+18~16
Siguiendoelprocedimientoseencuentraque
en=(-24)(;)=-6+20=14
y
Entonces
e"=(-24)(-~)=4+24=28
(
1816)
C=AB= 1428
Demanerasimilar. sinescribirlospasosintermedios, seveque
(
3
-2)(I3)(3+4
C'=BA=56 -24=5-12
9-8)(7
15+24=-73~)
EJEMPLO 5
ObSCrl'(fáólI.Elejemplo4ilustra unhechosumamenteimportante: enTérminosgenemles.el
produclo
de//Iarrices/JOeseVlI/nl/laril'o.Esdecir.AB*-BA.Enocasionesocurreque AB=BA,
perosetratadeunaexcepción.nodeunaregla. SiAB=BAsediceque AyBconmutan.De
hecho,como loilustraelsiguienteejemplo,puedeocurrirque ASestédefinidaySAnoloesté.
Asi.debetenersecuidadoen
elordcndelamultiplicacióndedosmatrices.
Elproductodeunamatrizde2x3 yunade3x4 estadefinido
peroelproductode unamatriz3x4 yunade2x3no loestá
B=[~
-3
-~:-~J.CalculeAS.
I23

62 C'iTUW 1
••Solució"
Sistemasdeecuacioneslinealesymatrices
Primeroobserveque Aesunamatrizde2X3Y Besunamatriz de3x4.Porloqueel numero
decolumnasde Aesigualalnumeroderenglonesde B.Porlotanto.elproductoAHestádefi
nido
yesunamatrizde2X 4.SeaAH=e=kl').Entonces
c"=(2O-3).[_~]=23
c,,=(2O-3)m=2
c,,=(415)U]=15
cn=(415).[~]=26
c"=(2O-3fiJ=-5
c,,=(2O-3)[-:]=5
c,,=(415f!]=6
c,,=(415).[-~]=39
EJEMPLO 6
Así.A8=(~~ -~ 2~ 3~lEstocompleta elproblema.Observeque elprodUCIODAnoesta
definidoyaqueelnúmero
decolumnasdeB(cuatro)noesigualal numeroderenglonesde A
(dos).
Contactodirectoeindirectoconuna enfermedadcontagiosa
Enelsiguienteejemplosemuestralaformaenlacualsepuedeusarlamultiplicacióndematri
cespilramodelarlamanera enqueseextiendeunaenfermedadcontagiosa.Supongaquecua
troindividuoshancontraido
es1<tenfermedad.Estegrupoentraencontactoconseispersonas
de
unsegundogrupo.Estosconlactas.llamados COI/laCIOSdir('e/m·.sepuedenrepresentar por
unamatrizde4 x6.Enseguidasedaunejemplodeestetipodematrices.
Matrizdecontactodirecto:primero
ysegundogrupos
A:[~ ~ ~ ~ ~ ~]
OOO IO
IOOOO1
Eneslecaso sehacea=Isilaj-csimapersonadelprimergrupo cnlmencontaclocon la
"j·ésimapersonadelsegundogrupo.Porejemplo.el1 elllaposición(2.4)significaque lasegun-
dapersonadelprimergrupo(infectada)entróencontaclocon
lacuartapersonadelsegundo
grupo.Ahorasupongaque
untercergrupodecincopersonastienevilrioscontactosdirectos
conindividuos
delsegundogrupo.Estotambién sepuederepresentarmedianteunamatriz.

TEOREMAE3I
1.6Productosvectorialymatricial 63
Matrizdecontactodirecto:segundogrupo ytercergrupo
OO
[O[
OOO
[O
O
[OOO
B:
IOOO I
OOO
[O
OO
[OO
Observeque
b~=O.loquequieredecirque lasextapersonadelsegundogruponotienecon
tactocon
lacuartapersonadeltercergrupo.
Loscontactos
indirectosodl'Jegulldoordencntreindividuosdelprimeroytercergrupos se
representanmediante lamatnzde4X5e=AB.Paraveresto.observcqueunapersona delgru
po3puedequedarcontagiadaporalguiendclgrupo
2.quiena su\'ezfuecontagiadaporalguien
delgrupol.Porejemplo.como (f1~=lYbl,j=1sevcquc.indirectamente.laquintapersona del
grupo3tuvocontacto(atravesde lacuartapersona delgrupo2)conlasegundapersona
delgrupol.
Elnumerototaldecontactosindirectosentre lasegundapersonadelgrupo1 yla
quintapersonadelgrupo3esta dadopor
=1·1+0·0+0'0+1·1+0·0+1·0=2
Ahorasecalcula.
Matriz
decontactoindirecto:primero ytercergrupos
e=AB=[:H~ ~]
OO2 o[
Observequeúnicamente lasegundapersona delgrupo3notienecontactosindirectoscon lu
enfermedad.Laquintapersonadeestegrupotiene 2+l+I=4contactosindirectos.
Sehavistoquelasmatrices.engeneral.noconmutan. Elsiguienteteoremamuestraque la
leyasociativasisecumple.
leyasociativapara lamultiplicacióndematrices
ScaA=(lly)unamatrizde 11X11/.B=(b~)unamatrizde 111xpye=(c.)unamatriz
de
pXq.Entonceslale)'asociath'a
A(BC)=(AB)C (5)
secumpleyABe.definidaporcualesquieradelosladosde laecuación(5). esunamatnzde
nXq.

64 CAl'iTU.O1
TEOREMAE3
Sistemasdeecuacioneslinealesymatrices
Lapruebadeesteteorema noesdificil.peroeslaboriosa. Sedesarrollamejorusandolanota
cióndesumatoria.Porestarazónseposponehasta
elfinaldeestasección.
Dcaquienadelanteseescribir:i.
elprodUCIDdetresmatricessimplementecomo ABe.Se
puedehaceresto porque(AO)e=A(BC):entoncesseobtienela mismo.respuestaindependien
tementede
cómoselleveacabo lamultiplicación(siemprey cuandonoseconmuteninguna
delasmatrices).
Laleyasociativasepuedeextenderaproductosdemásmatrices.Porejemplo.supongaque
AB.BeyCDestándefinidas.Entonces
ABCO=A(B(CO))=«AB)C)O=A(BC)O=(AB)(CO) (6)
E:{istcndosleyesdistributivasparalamultiplicacióndematrices.
leyesdistributivaspara lamultiplicacióndematrices
Sitodaslassumas ytodoslosproductossiguientesestándefinidos,entonces
A(H+q=AH+AC
y
(A+B)C=AC+BC
Lasdemostracionessepresentan alfinaldelasección.
MULTIPLICACIÓN DEi\"lATRICES COMOUNACOMBINACiÓN LINEAL
DElASCOLUMNAS DEA
SeaAunamatrizde '"x11yXunvectorde 11X1.Considereelproducto
a"al! a"x, all.T
l+QU.T
l
+···+a.T,..
a"a!! al_x, a~I.T1+Qll.T
l
+···+a.T
Ax=
1__
a.,a., a
-
x.
"
..IXI+a
..l
X
l+···+a
-
x.
o
["
al!
[".a!1 ti:! a,
AX=.TI : +Xl +···+x.:-
a., a.! a_
(7)
(8)
(9)

1.6Productosvectorialymatricial 65
""
a
21
Observequec
l=
al:
a
n
eslaprimcracolumnadeA.e,= eslasegundacolumnadcA.y
asisucesivamente.Entonces(9) sepuedeescribir como
(10)
EJEMPLO 7
Elladoderechode laexpresión(10) sellamacombillllciónlineal delosvectoresCI'c
r
....cn'Las
combinacioneslinealesseeSlUdiarállcondetalleen
lasección4.4.Aquísimplemente seobserva
elsiguientehechodeinterés:
ElproductodelamatrizAde111X11Yelvectorcolumnaxesunacombinaciónlineal
delascolumnasdeA.
SupongaahoraqueBesunamatriz de11Xp.Seae=ABYsea ellaprimeracolumnade C.
Entonces
allb
ll+
al,b!1+ +al"b"l
(l2Ib"+(/"bl,+ +a¡"b",
e=,
(/11 al! (11"
=b
ll
(1,I
+b!,
(In
···+b
a,,,
+ .,
"-
esigualalacombinaciónlinealdelascolumnasdc A.Lomismosecumpleparatodaslasco
lumnasde
e=AB.dondeseveque
Cadacolumnadelproducto
ABesuna
combinaciónlineal
delascolumnasde
A.
•
CómoescribirlascolumnasdeABcomocombinaciónlinealdelascolumnasdeA
[
-3
EntoncesAB=10
]J
-15]
26.Ahorabien
J2

66 CU'in'wI
EJEMPLO 8
Sistemasdeecuacioneslinealesymatrices
y
MULTIPLICACiÓN DEMATRICESPORBLOQUES
Encierlassituaciones esprudcn\cmanejarlasmatricescomobloquesdematrices m{¡speque
ñas.llamadassubmatrices.
ydespuesmultiplicarbloque porbloqueenlugardecomponente
porcomponente.Lamultiplicaciónenbloquesesmuysimilar ..lamultiplicaciónnormalde
matrices.
Multiplicaciónporbloques
-124 14
iJ
ConsidereelproducIDA8~[ ~
O452-1
12-3-32
-235OO 1
ElleClOrdebeverificarqueesteproductoestedefinido.Ahorasercalizaunaparticióndeestas
matricesmediantelineaspunteadas.
1-1 2 4 4 3
2O 4 5 2 -1 O
+:--:-E-
:~]AB=
1 1 2-3-3 2 1 K
-23 5 O O 1 2
Exislenotrasmanerasderormarlapartición.Eneste casoe=(~-~).K=(~)yasísu
cesivamente.Sisuponemosquetodoslosproductosylassumasdematrices estandefinidos.se
puedemultiplicardemaneranormalparaobtener
AB=(~ ~)(~
[
CG+DJ
:)=-----
EC+FJ
ICH+DK]
:~f~:~~
Ahora
4))-15).
-1l28
y
(
-713)
CC+DJ= .
-1021

1.6Productosvectorial ymatricial 67
Demanerasimilar
y
EH+FK=(=:)
(
13) (
-JEllectordebeverificarque eH+DK= YEG+FJ=
20 -11
4)demaneraque
-1
-713 IJ
~;:~n=
-7IJ
IJ]
AB=l=~~~~
-1021 20
-102120
-J4-1
EG+F.I -34 -1
-11-1-1
-11 ~I -1
Éstaes lamismarespuestaqueseobtiene sisemultiplicaABdirectamente.
Cuandosehaceunaparticióndedosmatrices y.aligualqueen elejemplo8.todoslos
productosdesubmatricesestándefinidos.sediceque
lapélfticiónes conformante.
Dosmatricesquesonconmutativas
~'---------'---------
Supongaquelasmatrices AyB soncuadradasyquesehacenparticionesconfortantesdc
e=(~;)yD=(~ ~).Muestreque eyDsonconmutativas.AquíOdenota lamatriz
ceroe
Iesunamatriz cuadradaquetienelapropiedaddeque Al=lA=Asiemprequeestos
productosesténdefinidos(vea
lapagina95).
••Solución
endondef!=r·l.Delmismo modo
DC=(~B)(IA)=(I'+B·OIA+BI,)=(IA+B)
IOI0·1+1·0O·A+I' O 1
ComoB+JI=A+B.CD=OC,esdecir.lasmatricessonconmutativas.
Parapoderprobarlosteoremas2
y3Yparaestudiarmuchasotraspartesdelmaterialde
estelibroesnecesarioutilizar
lal10wciúndesulI/atoria. Siellectornoestúfamiliariz<ldocon
ella.conformeavanceen
ellibroobtendrúsuficicnteinformaciónalrespecto.Ocotramanera
puedeirdirectamentealasdemostracionesdelosteoremas2
y3.

68 Sistemasdeecuacioneslinealesymatrices
LANOTACiÓN CON2:
Unasumasepuedeescribir"delasiguientemanCfH. siN~/l'!.
"
a\1+(/,\1+1+(/,\1+1+"+0",=IOj
¡·w,\[
(11)
SIGNOüE
L!:.SUMATORIA
L!,~i'~D~""'CD~'C'-''''-'~"~M"A
EJEMPLO10
••So/ución
EJEMPLO11
••Solución
EJEMPLO12
•Solución
queseIcc"sumadeJostérminosalcuandoelvalordekvadeMaN",EneslccontextoLse
llamasignode sumatoriaykseconocecomoíndicedelasuma.
Interpretacióndelanotación desumatoria
ExtiendalasumaLA.
,.,
Comenzandoconk=1Yterminandoconk=5seobtiene
,
Lb,=b,+b
1
+b!+b
4
+b~
,.,
Interpretacióndelanotacióndesumatoria
,
Extiendala sumaLe"
,.,
Comenzandoconk=3Yterminandoconk=6se obtiene
,
Le¡=C]+C
4
+C
s
+C
6,.,
Interpretacióndelanotacióndesumatoria
;
CalculeLe.
•--1
Enestecasoal.=/.:.2Y/.:.vade-2a3.
,
í>'~(-2)'+(-1)'+(O)'+l'+2'+J'
¡m-l
=4+1+0+1+4+9=19
Nnra.Aligualqueenelejemplo12.elíndicedelasutllatoriapucdetomarvaloresenteros
negativoso ccro.
•
9ElmatemátICosuizoLeonhardEuler11707-17831fueelpnmeroenUS<irlaletragriegaL(sigma)paradenotarunasuma

EJEMPLO 13
•Solució"
EJEMPLO14
1.6Productosvectorialymatricial 69
Cómoescribirunasumausandola notacióndesumatoria
EscribalasumaS"=1-2+3-4+5-6+7-8usando elsignodesumatoria,
ComoI
=(-1)2.-2=(-1)3.2.3=(-1)4.3...setiene
,
S,~II-I)H'k
,.,
Cómoescribirel productoescalarhaciendouso delanotacióndesumatoria
Laecuación(1)para elproductoescalar sepuedeescribirdemaneracompactausandolano
tacióndesumalOria:
••Solución ..+ab=~ab
n"L"
;_1
Lafórmula(4)para lacomponenteijdelproductoAHsepuedeescribir
Cij=a'lb'i+a'2b2j+...+a.,b.
j=L,a~_blj
,.,
Lanotacióndesumatoríatienepropiedades [Hiles.Porejemplo.
lca
l
=cal+ca
2+cal+...+ca.
,.,
(12)
"+(1=c~ (1
""",,,.,
AcontinuaciónseresumenésteyaIrashechos.
Hechossobre
lanotacióndesumatoria
Sean
la)ylb)dossucesionesrealesye unnumeroreaLEntonces
.1' ,\'
L,cal=cL,a,
l-,lf l-,lI
,\' N,\'
L.(a
l+b
l
)=L,a
l
+L,b
l
1-,\1 {-.I/ ,_,\1
(13)
(14)
(15)
,v m ,\'
Ia,~I",+Ia,
¡-_,\I l--M 1-..+1
siM<m<N (16)
Laspruebasdeestoshechos sedejancomoejercicios(vealosproblemas 104a106).
Ahoraseusarúlanotacióndesumaloriaparaprobar laleyasociativay laleydistributiva.

70 CAI-'iTUl..o1Sistemasdeecuacioneslinealesymatrices
leyasociativa
DEMO§'l'RAOÓN
DElOSTEOREMAS
L --'2,,''-''
ComoAesdenxmyBesde/11xp,ABesdeTIxp.Entonces{AB)C=(nxp)x(pxq)es
unamatrizdenxq.Demanerasimilar,BCes demxqyAIBC}esde/lxqdemaneraque
(AB)CyA(BC)sonambasdelmismo tamaño.Debedemostrarse quelacomponenteijde
(ABleesiguala lacomponenteijdeA(BC).SisedefineD=(ti)""AB.entonces
de(12)
L
d;¡=:~>",bli
.-,
Lacomponenteijde(AB)C=Dees
AhorasedefineE=(e,>=Be.Entonces
ylacomponenteijdeA(Sq=AEes
Asf,lacomponenteijde(AB)eesiguala lacomponenteijdeA(Bq.Estodemuestra
laleyasociativa.
leyesdistributivas
Sedemuestralaprimeraleydistributiva[e<uación (7)J.lademostraciónde lasegunda
[ecuación(8)]esidénticaypor lomismoseomite.Sea AunamatrizdenxmyseanB
yCmatricesdemxp.lacomponentekjdeB+CesblJ+c
1
¡ylacomponenteijde
A(B+C)es
de(12)
.L.
¿o¡,¡(b¡¡clj)=IO¡,¡blj+¿o¡¡c-V=componenteyode(ABmáslacomponenteyodeAC
.-1 .-1 1_1 Yestodemuestra laecuación(7).
•
•

SEMBLANZA DE•••
ArthurCayleyy elálgebradematrices
y
x~=e(ax+by)+f(cx+dy)=(ea+fc)x+(eb+fd}y
(17)
(18)
x'=ox+by
y'=cx+dy
x~=ex'+fy'
eraniguales siysólosio=e,b=f,e=9yd=h.
Ahorasuponga quelatransformación(17)vaseguida dela
transformación
......""'"
(LiJmuyo/Congress)
dondeo,b,c,dsonnumerasreales,y dondepuedepensarse que
sonfuncionesqueconviertenalvector(x,y)enelvector (x;y').
Lastransformacionesseestudiaráncondetalleenelcapitulo S.
Aquíseobservaquelatransformación(17)está completamente
determinadaporloscuatrocoeficientes a,b,e,dyporlotanto
puedesimbolizarse porelarreglomatricialcuadrado
y~=g(ax+by)+h(cx+dy)=(ga+hc)x+(gb+hd)y
nentepararealizarcaminatasyescalarmontañas.Cuenta la
historiaquedecíaquelarazónporlaqueseunióalalpinismo
fueque,aunquesentía
queelascensoeraarduoycansado, la
gloriosasensación degocequelograbacuandoconquístabauna
cimaeracomoel
queexperimentabacuandoresolvíaunproble
madificil
dematemáticasocuandocompletabaunateoríama
temáticaintrincada.
LasmatricessurgieronconCayley,relacionadascon las
transformacioneslinealesdel tipo
alquesehadadoel nombredematriz2X 2.Comodostrans
formacionesdel
tipode(17)sonidénticas siysólositienenlos
mismoscoeficientes,Cayley
definióquedosmatrices
Entonces
ArthurCayley(1821-1895),unmatematicoinglés,desarrolló en
1857elálgebradematrices,esdecir,lasreglasqueilustranlafor
maenlacualsesumanymultiplicanlasmatrices.Cayleynacióen
Richmond,enSurrey(cercadeLondres)yfueeducado enelTrini
tyCollege,Cambridge,donde segraduóen1842.Esemismoaño
obtuvoelprimerlugaren ladifícilpruebaparaelpremioSmith.
Durantevariosañosestudióyejerció lacarreradeleyes,pero
nuncadejó quesuprácticaen laabogacíainterfirieracon sutra
bajoen lasmatemáticas.Siendoestudiante delacomisiónviajó
aDublínyasistióa lasconferenciasdeHamiltonsobrecuaternio
nes.CuandoseestableciólacátedraSadlerianenCambridgeen
1863,leofrecieronelpuestoaCayleyyélloaceptó,renunciando
aunlucrativo
futurocomoabogadoacambio delamodestare
muneracióndelavidaacadémica.Perofueentonces
quepudo
dedicar
fadosutiempoalasmatemáticas.
Cayleyestáclasificadocomo
eltercermatemáticomásproli
ficoen
lahistoria;losobrepasansóloEuleryCauchy.Comenzóa
publicarsiendotodavíaestudiante
delaUniversidadenCambrid
ge.Durante
susañosdeabogadopublicóentre 200y300artícu
losycontinuó
sucopiosotrabajoalolargo detodasuvida.Laco
lecciónmasiva
CollectedMathemoticaJ PopersdeCayleycontiene
966articulasyconsta
de13grandesvolúmenesconunprome
diode
600páginasporcadauno. Escasiimposiblehallarunárea
dentrodelasmatemátícaspuras queCayleynohayaestudiadoy
enriquecido.
Ademásdedesarrollar
lateoríadematrices,Cayleyfue pio
neroen suscontribucionesa lageometríaanalítica, lateoríade
determinantes,lageometríadendimensiones,lateoriadecur
vasysuperficies,elestudio deformasbinarias, lateoríadefun
cioneselípticasyeldesarrollo
delateoríadeinvariantes.
Elestilomatemático deCayleyrefleja suformaciónlegal ya
quesusartículossonseveros,directos,metódicosyclaros. Poseía
unamemoriafenomenalyparecíanuncaolvidarnada quehu
bieravistooleídoalgunavez.
Teníaademásun temperamento
singularmentesereno,calmadoyamable. Selellamaba"elmate
máticodelosmatemáticos".
Cayleydesarrollóuninteréspoco
comúnporlalecturade
novelas.Lasleíamientrasviajaba,mientrasesperaba queuna
juntacomenzarayencualquier momentoqueconsideraraopor
tuno.Durante suvidaleyómilesdenovelas,nosóloeninglés,
sinotambiénengriego,francés,alemáneitaliano.Disfrutaba
muchopintar,enespecíalconacuarelaymostraba unmarcado
talentocomoespecialista
deestatécnica.También eraunestu
dianteapasionadode
labotánicay lanaturalezaengeneral.
Cayleyera,enelverdaderosentido
delatradiciónin
glesa,
unalpinístaamateurehizoviajesfrecuentes alconti-

72 Sistemasdeecuacioneslinealesymatrices
Estollevó élCayleya lasiguientedefiniciónparael producto
dedosmatrices:
Problemas1.6
AUTOEYALUACIÓN
quees,porsupuesto,uncasoespecialdeladefinicióngeneral del
productodematricesque sedioenlapágina60.
Esinteresanterecalcarcómo,enmatemáticas,observacio
nes
muysencillaspuedenllevaréldefinicionesyteoremas impor
tantes.
1.¿Delassiguientesafirmaciones,cuálesciertaparalamultiplicacióndelasmatrices
A'j'B?
alSepuederealizar sólosiAyBsonmatricescuadradas.
b)Cadaelementoe,eselproductodeti,yb,.
e)
AH=BA.
d)SepuederealizarsólosielnúmerodecolumnasdeAesigualal numeroderen
glones
deB.
11.¿Cuáldelossiguientesseriael tamañodelamatrizproductoABsisemultiplicala matriz
Ade2x4porlamatriz Bde4x3?
a)2X3 h)3X2 e)4X4
ú)Esteproductonosepuedecalcular.
111.Indiquecuáldelossiguientesenunciados lOScorrectoparalasmatrices AyBsiABesUII
n'ctorcolumna.
a)Besunvector columna.
h)Acsunvectorrenglón.
e)AyBsonmatricescuadradas.
ú)Elnumeroderenglonesde Adebescrigualalnumerode columnasdeB.
IV.¿CuáldelassiguientesafirmaciOlll'Ssobre elproductoABesciertasiAesunamatriz de
4xS?
a)Bdebetenercuatrorenglonesyelresultadotendnicincocolumnas.
h)Bdebetenercincocolumnasyelresultadosera unamatrizcuadrada.
e)Bdebelener cuatrocolumnasyelresultadolendrácincorenglones.
d)Bdebetenercincorenglones yelresulladotendrá cuatrorenglones.
EnlosproblemasIa8calcule
elproductoescalardelosdosveclores.
1.UH~)
3.(1.4):(-1.-4)
2.(1.2.-1.0):(3.-7.4.-2)

5.(8.3.1);(7.-4.3)
7Uf:]
1.6Productosvectorial ymatricial 73
6.(l/ob);(e.d)
9.Seaaunn-vector.Pruebequea.a 2:Q.
10.Encuentrelascondicionessobre unveclOratalesquea'a=O.
Enlo;pmbloma;IIa 17"al;"la,0l""";on,,;nd;",da;cona~[-~lb~[=~]re~[-:l
11.(2a)'(3b)
14.c'(a-b)
17.(3b-4a)'(4c+2b-a)
12.(a+b)'e
15.(2b)'(3<-5a)
13.a'(b+e)
16.(a-el.(3b-4a)
Enlosproblem¡¡s 18a34realiceloscálculosindicados.
18.(_~ ~](~ ~J
21.(-~:J(;-~J
24.U;]G-::J
19(:-~X-; ~J
22[-~ ~ ;J[~ -~ ~]
26.e
35.Encuentreunamatriz A=(:bJlalqueA[2
d 1
oO]
1O.donde(1,b.r.d.c.l:g.h.).
O1 sonnumerosreales.
36.Sea A=(~_:Jencuentreunvectornonulo b=(:)talqueAh=6b.
37.EncuentreBtaIQueA8=c.SiA=[5O3 4JYC=[65J.
-12O1 3)

74 C\I'iTULO1 Sistemasdeecuacioneslinealesymatrices
38.Sea A=(~ ~)determineelvalordeapara elcualAesunaraízdelpolinomio
f(x)=.\..l-25.
.II39.SIA=Ol'layB=
1) ,
bJencuentrelascondicionespara(1,b.eytitalqueAB=EA.
d
40.Sean A=(~ 2JYB~(2
-2 4
-2J"('.pruebequeA-+B-=A+B)-.
-2
[
"1)"--['o'·41.Demuestreque ~
42.UnamatrizAde11x11talqueA
2
=1"sellamainvolutiva.Pruebeque lasiguientematriz
esinvoluliva:
43.
DadalasiguientematrizpruebequeA"=A:
A~[-:-::]
-]35
(
a"
Encuentrelosnúmerosbll'/)12'b
21Yb!2talesque a
"
45.Verifiquelaleyasociativaparalamultiplicaciónde[asmatrices A=(~
B~[; -~ ;Jyc~[-; :J.
3-2O O5
-14),
O6
46.Oclamismaformaqueen elejemplo6supongaque ungrupodepersonashacontraído
unaenfermedadcontagiosa.Estaspersonastienencontactocon
unsegundogrupoque.a
suvez.tienecomactocon untercergrupo. SiA=[~ ~: ~Jrepresentaloscontactos
1OO1
1O1OO
entreelgrupocontagiosoylosmiembrosdelgrupo 2,ysiB=
OOO1O
11 OO O
representa
O
O1O1

VECTORES
UORTOGONALES
1.6Productosvectorialymatricial 75
los
contaclosenlrelosgrupos2y 3.A)¿Cuántaspersonashay encadagrupo? B)Encuen
trelamatrizdecontactosindirectosentrelosgruposIy
3.
47.Contestelaspreguntasdelproblema46para A=(~ ~ ~ ~)y
1000001
0101000
B=11OOI11
OOO1IOI
O1OOOOO
Sedicequedosvectoresaybsonorlogonales sia.b =O.Enlosproblemas 48a53determine
cuálesparesdevectoressonortogona
les.10
51.(1,0.1.O),(0.1,0.1)
52.mHJ
50.
[-~WJ
aO
Od
53.bO
Oe
,O
54.Determine elnúmeroutalque (1.-2.3.5)esortogonala (-4.u.6.-1).
:]sonortogonales.
-2~ -
J
56.Demuestre elleoremaIusandoladefinicióndeproductoescalar.
57.
Unfabricantedejoyeriadediseilotieneórdenespordosanillos.tresparesdearetes.cinco
prendedoresy
uncollar.Elfabricanteestimaque lellevara1horademanodeobrahacer
unanillo.1
2horashacerunpardearetes. zhoraparaunprendedory2horasparaun
collar.
u)Expreselasórdenesdelfabricantecomounvectorrenglón.
h)Expreselosrequerimientosenhorasparalosdistintostiposdejoyascomounvector
columna.
dUlÍliceelproductoescalarparacalcular elnúmerototaldehorasquerequcrirúpara
terminarlasórdenes.
58.
Unturistaregresóde unviajeporAméricadelSurcondivisaextranjeradelassiguientes
denominaciones:1000pesosargentinos.
20realesdelBrasil. 100pesoscolombianos. 5000
.>---
'0Losvectoresortogonales semanejaránextensamenteenloscapltulos3y4

76e\I·iTlI.OISistemasdeecuacioneslinealesymatrices
pesoschilenosy50colonesdeCostaRica. Endólares.unpesoargentinovalía50.3174.los
realesbr.lsileños50.4962.lospesoscolombianos SO.OOO471.lospesoschilenos50.00 191Y
loscolonesSO.001928.
a)Expreselacanlidaddecadatipodemonedapormediodeunvectorrenglón.
h)Expreseelvalordecadatipo demonedaendólarespormediodeunvectorcolumna.
(.)Utiliceelproductoescalarparacalcularcuantosdólaresvaliaeldineroextranjerodel
turista.
59.Unacompañiapagaunsalarioasusejecutivosylesdaunporcentajedesusaccionescomo
unbonoanuaL Elañopasadoelpresidentedelacompañíarecibió580000Y
SOacciones.
sepagóacadaunode losvicepresidentesS45000 y20accionesyeltesorerorecibió$40000
)'10¡lcciones.
a)Expreselospagosalosejecutivosen dinero)'accionescomounamatrizde2x3.
h)Expreseelnumerodccjecutivosdccadanivelcomounvectorcolumna.
!")Utilicelamultiplicacióndematricesparacalcularlacantidadtotaldedinero)' elnume
rototaldcaccionesquepagó lacompañiaalosej'eclltivoselarlOpasado.
60.
Lasiguientetablaconticncvcntas.utilidadesbrutas porunidadylosimpuestosporunidad
sobrelasvelHasde
U",lcompañiagrande:
Producto
Artículovendido Utilidadunitaria Impuestosunitarios
Me, Articulo,
"
111 (encientosdedólares)(encientosdedólares)
Enero 4220 I 3.5 1.5
Febrero 6 I 9 [[ 2.75 2
Marzo 5J 12 JJJ 1.5 0.6
Abril 82.520
Elaboreunamatrizquemuestrelasutilidadesylosimpuestostotalesparacada
mes.
61.SeaAunamatrizcuadmda.EntoncesA!sedefinesimplemente comoAA.Calcule
(
2
-')'
4 6
[
1
-24]
62.Calcule
AlsiA=2O3 .
I I 5
(
-'2)63.CalculeA'siA=3 4 .

1.6Productosvectorial ymatricial 77
64.CalculeA',A\A"YA
5
donde
O1O
~]
OO1
A=
OOO
O
OO
65.CalculeA!.A'.A-lYASdonde
O1OOO
OO
1OO
A~OOO 1O
OOOO
1
OOOOO
66.Unamatriz Ade11X1/tienelapropiedadde queABeslamatrizcero paracualquiermatriz
Bde11x11.Pruebeque Aeslamalrizcero.
67.Unamatrizdeprobabilidadeses unamatrizcuadradaquetienedospropiedades:i)todos
SllSelementossonnonegativos (<':O)Yii)laSllmadeloselementos encadarenglón es1.
Lassiguientesmatricessonmatricesdeprobabilidades:
p~[¡:¡]YQ~[t;~]
OO1 tii
PruebequePQesunamatrizdeprobabilidades.
*68.Sea Punamatrizdeprobabilidades.Pruebeque p'eslInamalrizdeprobabilidades.
**69.Sean PyQdosmatricesdeprobabilidades delmismotamaño.Pruebeque PQesllnama
trizdeprobabilidades.
70.Pruebe
lafórmula(6) usandolaleyasociativa[ecuación(5)].
*71.
Sepuedeorganizaruntorneodetenisde lasiguientemanera. Cadallnodelosntenistas
juegacontratodoslosdemÍlsy seregistranlosresultadosenllnamatriz Rde/1X11dela
siguienteforma:
{
1
sieltenistaileganaaltcnista}1
Rif=Osieltcnistaipierdecontra eltenista}
Osli=j
Despuésseasignaaltenistailacalificación
•
1l(R')ijeslacomponenteIjdelamatriZR'

78 C\I'rTl1.0ISistemasdeecuaooneslinealesymatrices
a)Parnuntorneoenlrecuatrotenistas
R~[~ ~ ~ ~]
1OOO
1O1O
Clasifiquealostenistassegúnsuscalificaciones.
h)Interpreteelsignificudodelacalificación.
72.
Se,lOunamatrizcerode111x11yseaAunamatrizde11X¡J.DemuestrequeOA=°
1
"
donde01eslamatrizcerodemX p.
73.Verifiquelaleydistributiva(ecuación (7»paralasmatricesA=B=YC=.
(
12
4)
A=J-1O[
,
7] [-12]
8=-~ ~c= ~ ~.
Enlosproblemas74a78Illultipliquelasmatricesusando losbloquesindicados.
2
74[_:_
3
1
1
1
;]-1
-4,
6-:-
4
O
3
5
75.6(3
2
7 5)
O
21
76.
-11
-34
2
3
4
O
16
-25
77.
-21
O2
1O
O1
46
35
OO
OO
2 1
-2-4
ef
g J¡
-1O
13
OO
OO
O
O
1
O
O
O
O
1
ab
e d
23
52
O
O
1
6
O 1O
O O1
-1I 4
O4 -3
78.
O
O
O
O-[2
24
3
1O
O1
OO
o
O
79.Sea A=(;~)y8=(~ ~).Sisehace unaparticiónconformanledeAy8demuestre
queA)'Bconmutan.Paraesto Jestádefinidaen elejemplo9.

1.6Productosvectorialymatricial 79
Enlosproblemas 80a89evalúelassumasdadas.
•
,
•
,
SO.¿2k SI.¿"
S2.¿I S3.L5n
,-,
i~1 '-0 .-,
•
, ,
t2j+3
84.¿J' 85.
¿_I
86.L~ 87.
.-,
jalI+i ..__2/1/+10 J-5)-2
,
•
,
•
88.¿¿ij S9.
¿¿k'/
j-);~I
l_1;~,
Enlosproblemas90a 103escribacadasumahaciendouso delanotaciónde sumatoria.
90.1+2+4+8+16
91.]-3+9-27+8]-243
234567 1/
92.-+-+-+-+-+-+..+-
3456781/+1
1 1 ~ 1 1
93.1+2'+3'+4'+5'+"'+/1"
94.
95.
Xl \ .\
-\"+-+-+
.3!5!7!
1I I ] [ I 1 I 1
96.-1+---+---+---+---+
aa¡a
J a~ala
fiala8 a'
97.1·3+3·5+5·7+7·9+9'11+11·13+13·15+15·17
98.2
2
_4+3
2
.6+4
2
·8+5'.10+6
2
·12+t·14
102.aJ,b
" +aj,b'2+ajJbJ2+aJ~b~l+aJ5b"l
103.a"b'lcI5+allbl,c'5+a"blJcJj+allbl.¡c~j
+U,¡b!ICII+a"bl!c15+{/¡,b!Jcl"+a!¡b2,¡c~5
+alJbJlcll+(/JlbJ,c¡"+a¡Jb,Jc,,,+ a,jbJ'¡c~s
104.Pruebe lafórmula(14)extendiendolostérminosde
.,
Lt(/k+b¡)
j~."
105.Pruebe lafórmula(15)
.Y N
[Sugerencia:Utilice(13)parademostrarqueL(-a
k
)=-L(/",Luegouse (14).]
;-_,\1 ;-_,\J
106.Pruebe lafórmula(16).
RESPUESTAS ALAAUTOEVALUAClóN
l.'"
11.«) 111.«)
IV.'"

80 C\PiTULO1 Sistemasdeecuacioneslinealesymatrices
MANEJO DELACALCULADORA
Lamultiplicacióndematricesdedimensionescompatibleses transparentealusuario,
únicamentehay queteneralasmatricesen lapilay oprimirlatecladelamultiplicación.
. . . .. . (33)(-54) .
porejemplo,SIseqUIeremultlphcar[asmatnces1232lasecuenCIadeteclas
aoprimir
eslasiguiente(observación: seconsideraque seestautilizandoelmodoRPN
delacalculadora)
CD(L.-CD '_J__Q:JQ'DQ:JCDCD '_J__CD
EnlosproblemaslO7a109utilicelacalculadoraparaobtenercadaproducto.
[
1.234.695.21)[9.61-2.30)
107.-1.08-3.968.57-8.060.69
6.28-5.31 -4.272.67-5.23
[
23.2
109.
18.9
30.8
56.3
~9.6
-17.9
108.
[
125
383
209
403
216419J[7336)
516237 2128
8556014967
237506
][
-0.0710.068]
19.6-31.4
0.051-0.023
17.451.2
-14.428.6-0.011 -0.082
0.0530.065
1tooEnelproblema69se lepidióquedemostraraqueelproductodedosmatricesde
probabilidadesesunamatrizdeprobabilidades.Sea
[
0.230.160.570.04J [0.112
0.150.090.340.42 0.263
p= YQ=
0.660.22 0.110.01 0.402
0.07
0.510.200.22 0.355
0.304
0.015
0.168
0.409
0.081
0.629
0.039
0.006
0.503J
0.093
0.391
0.230
111.
a)MuestrequePyQsonmatricesdeprobabilidades.
h)CalculePQymuestrequeesunamatrizdeprobabilidades.
$e<lA=(~ ~).calculeA2,Al,AIO,AlOYAIOO.
[Sugerencia:UtilicelateclaCZJparaelcálculodela potenciadelamatriz.la
sintaxiseslabase,eneste
casolamatriz,seguida de(ENTER]despueselexponente
seguidode
CZJl.

1.6Productos\/eetorialymatricial 81
[
ax
Y]
112.SeaA=Oh=.Conbaseenloscálculosdelproblema IIIdeduzcalafor-
OO e
madelascomponentesde ladiagonalA-.Aquí.x.yy:::denotannúmeros reales..
• MATLAB1.6
InformacióndeMATLAB
Unamalrizproducto AHseformamedianteA*8.
Unapolenciaenteradeunamatriz.
A-.seencuenlr:lcon A....n.donde"tieneunvalorasig·
nadopreviamenle.
Serepilenalgunoscomandosbásicosparagcnemrmalricesalealorias:paraunam:uriz
aleatoriade
11X/JIconelementosentre -eyc.A=c*(2*rnnd(n,m)-I):paraunamatriz ale<1lo
ríade 11Xmconelementoselllerosenlre -eyc.B=round(c*(2*rand(n.m)-I)).Paragenemr
matricesconelemenloscomplejos
segeneranAyHcomoseacabadeindicar ysehaceC=A
+i*8.Siunproblemapideque segenerenmatricesalealoriasconcierloselementos.genere
matrices(antarealescomocomplejas.
1.Introduzcacualesquieradosmatrices AdeJX4Y Bde4X2.EncuentreA*8 yB*A.Co
menleacercadelosresultados.
2.Generedosmatricesalealorias.A y8.conelementosentre- 10Y10.EncuentreA8Y8A.
Repita
elprocesopara.cuandomenos.sieteparesdematrices AyB.¿Cuantosparessatis·
facenA8=8A?¿Quepuedeconcluirsobre
laposibilidaddequeAB= BA?
3.Introduzcalasmatrices A.b.syIsiguientes.
A~[!
9-23
~]
[34
,~n]Fn]
4-12 24
b~
5-1 15
8-10 33
(1)Muestreque As=bYAl=O.
b)Conbaseensusconocimientosde lamanipulaciónalgebraicanormal yusandolos re
sultadosdelinciso a)¿quepodriadecirqueseríaigual A(x+SI}.dondesescualquier
escalar?Pruebecalculando
A(x+Sl)paraalmenoscincoescalares.fdiferenles.
4.a)Generedosmatricesaleatoriasconelcmenlosenteros. Ay8talesque elproductoAB
eslédefinido.Modifique Bdem:memquetengadoscolumnasiguales.(Porejemplo.
8(,,2)~8(,,3).)
b)EncuentreABYveasuscolumnas.¿Quépuededecirsobrelascolumnasde ABsiBtiene
doscolumnasiguales?
e)PruebesuconclusiónrepiliendolasinSiruccioncsanleriorespardotrosIresparesde
matrices
AyB(noelijasólomatricescuadradas).
ti)(Lápi:::rpapel)Pruebesuconclusiónhaciendousode ladefinicióndemultiplicaciónde
matrices.

82 C\l'íTLI.O1 Sistemasdeecuacioneslinealesymatrices
5.Genereunamatrizaleatoria Ade5x6conelementosentre -10y10Ygenereunvcelor
aleatorioxde6 xIconelementosentre -10y10.Encuentre
A*x-(x(l)*A(:.)+···+x(m)*A(:.m)).
Repitaelprocesopar.!otrosparesde Ayx.¿Quérelacióntieneestocon laexpresión(10)
deeslasección?
6.ll)SeaA=(ab).Supongaque 8=(X1
eti .\"3
•.").
,
,
Establezcaelsistemadeccuaciones.conincógnitas XIax
rquesurgealhacer AH=IlA.
VerifiquequeelsiStC11l¡1seahomogeneoconmatrizdecoeficientes
[
~ba-Cd
R:
eO
O
e
(
'
111.IntroduzcalamatrizS=. I
x
J
h)ParaA=(~ =~)esncces.1rioencontrarunamatrizHlalqueAB=BA.
i.IntroduzcalamatrizRanterioryobtengaXI'x!"Xlyx~delsistemahomogéneocon
matrizdecoeficientes
R.Expliqueporquehayun numeroinfinitodesolucionescon
unvalor
arbitmriopar;,¡una,'ariable.
ii.Encuentrer.lt(rrl'r(R» yutiliceestoparaelegirunvalorparalavariablearbitr;,¡ria
demanera
que-'",scaunentero.Puedeutilizarel comandorormalratenlaventana
de
comandosdeMATLABseguidoderrer(R).
x,)queresultayverifiqueque AS=SA.
x
4
¡v.Repitaiii)puraotraeleccióndelavariablearbitnlria.
. .[I 2)
e)Repitaelproceso¡llltenorpam A=34.
ti)Repitaelprocesoanleriorparaunamatriz Ade2X2desuelección.
7.Genereunpardematricesaleatorias. AyBde2x2conelementosentre -10y10.En
cuentre
e=(A+B)!yD=A:+2AS+S'.CompareeyD(encuentree-D).Genere
dosparesmasdematricesde2x2
yrepitaloanterior.Introduzcaun pardematrices.A
yB.generadasconMATLABen elproblema6 b)deestasc<::ciónyencuentree-Dcomo
antes.Introduzca elpardematrices..AyS.genemdasconMATLABen elproblema6el
deestasecciónyencuentre
e-D.Conestaevidencia.¿cual essuconclusiónacercadela
afirmación
(A+Sf=A~+2AB+S"!?Pruebesuconclusión.
8.a)11lIroduzcaA =round(lO"(1"rand(6,5)-I».Oc[=11OOOO 01yencuentre["A.
Sea[ =10OJOO01yencuentre["A.Describacómosecompone EAdepartesde
Aylamaneraen queestodependedelaposicióndeloselementosigualesa1enla
matriz
E.
h)SeaSea[ =12OOOO 01;encue1l!re[*A.Sea[=10O2OO 01;encuentreE"A.
Describacómo
secomponeEAdeparlesde Ay];1maner"enqueestodependede 1;1
posicióndelelemento2en lalllalrizE.

1.6Productosvectorialymatricial 83
e)i.SeaE=11OIOO 01yencuentreE*A.Describacómo secomponeEAdepartes
deAylamaneraenquelarelacióndependedelaposicióndeloselementosIen
lamatriz
E.
ii.SeaE =[2OIOO (JIyencuentreE*A.Describacómosecompone EAdepar
tesde
Aylamaneraenquelarelacióndependede laposieióndeloselementos
distintosdecero
enlamatrizE.
d)Asumaque Aesunamatrizde 11x111yEesdeIx 11,dondeelk-ésimoelementode E
esigualaalgllllnúmero p.Deti)yb)formulelInaconclusiónsobre larelaciónentre Ay
EA.Pruebesuconclusióngenerandounamatrizaleatoria A(paraalgunaelecciónde 11
y111),formandodosmatrices Ediferentes(paraalgunaelecciónde kyp).yencontrando
EAparacada E.Repitaestopara otramatrizA.
e)Supongaque Aesunamatrizde 1/X111YEesdc1XII.dondc clk-ésimoelementodc
Eesigualaalgúnnúmero pyelj-ésimoelementode Eesigualaalgúnnúmero (j.Del
incisoe)formuleunaconclusiónsobre larelaeiónentre AyEA.Prucbesuconclusión
generandollnamatrizaleatoria
A,formandodosmatricesdiferentes Edelaformades
crita
yencontrandoEAparacada E.Repitaloanteriorparaotramatriz A.
f)Supongaque Aesde11XmyFesdemX 1,dondeelk-esimoelemenlode Fesigual
aalgún
númeropyelj-ésimoelementode Fesigualaalgúnnúmero q.ConsidereAF.
Realiceunexperimentocomo ela11leriorparadeterminar Llnaconclusiónsobre larela
ción
e11lreAFyA.
9.Matriztriangularsuperior
a)SeanAyacualesquieradosmatricesaleatoriasde3x 3.SeaUA=lriu(A)yUB=
triu(B).
Elcomandotriu(doctriu)formamatricestriangularessuperiores.Encueutre
LJA*UB.¿Quépropiedadliene elproducto'!Repilaparaotrostrcsparesdematrices
aleatoriasde
1/x/l.haciendousodediferentesvaloresde /l.
h)(Lúpi::ypapel)Apartirdesusobservacionesescriba Llnaconclusiónacercadelproduc
todedosmatricestriangularessuperiores.Pruebesuconclusiónusando
ladefiniciónde
multiplicacióndematrices.
e)¿Cuálsería suconclusiónacercadelproductodedoslllatricestriangularesinferiores?
Pruebe
suconclusiónparaalmenostresparesdematricestriangularesinferiores. [Suge
rellcia:Usetril(A)ytril(B)paragenerarmatricestriangularesinferioresapartirde las
matricesaleatorias Aya(doctri!).]
10.Matricesnilpolenlcs
Sedicequeunamatriz Adiferentedecero esnilpotcnlcsiexisteunentero klalqueAl=O.
Elindiccdellilpolcnciasedefinecomo elenteromáspequeñopara elqueAJ.'=O.
a)Genereunamatrizaleatoriade5X S.SeaB=lriu(A,I).¿queformatiene B'?Compare
a~.al.etcétera;demuestreque Besnilpotenlcyencuentresuíndicedenilpoteucia.
h)Repitalasinstruccionesdelinciso a)paraB=lriu(A,2),
{o)Genereunamatrizaleatoria Ade7x 7,Repitalosincisos a)yb)usandoesta A.
ti)
Conbaseen laexperienciaadquiridaenlaspartes a).b)ye)(ymásinvestigaciónsobre
elcomandoB=triu(A,j). dondejesunentero).genereunamatriz ede6x6quesea
nilpolentecon
uníndicedenilpotenciaiguala 3,

84 (u'ln'LO1SistemasdeecuacioneslinealesymatrICes
11.Matricl'Sporbloques
SiA",,(abJYB=(efJ.entoncCSAB=(ae+b
g
af+bhJ.
ed g J¡ Ct'+dgcf+dh
Expliquecuandoestepatrón esciertosi(1,b....!I.sonmatricesenlugardenúmeros.
Genereochomatricesde2 X2.A.B.C.D.E.F.G YN.EncuentreAA=lA8;eDIy88
lEF:GHI.EncuentreAA*B8ycompárel ••conK =IA*E+B*GA*F+B*I-I;C*E+O*G
C*F+D*HI
(esdecir.encuentreAA*88-
K).Repitaparaotrosdosconjuntosdematri
ces.A.B.....N.
12.Producwl'xlerior
GenereunamatrizalealOria Ade3 X 4 Yunamatrizalcaloria Bde4 X5.Calcule
(colIA)(row1 B)+(col2A)(ro\'2 B)+...+(col4A)(row4 B)
yetiqueteestaexpresióncomo D.EncuentreD-AH. Describa1,1relaciónentre DyAB.
RepitaestoparaunamatrizaleutoríaAdetumaño5 X 5 YunamatrizaleatoriaIJdetam,l
ño5 x 6(enestecaso
laSllm;lpara
calcularDimplicalasumadecincoproductos).
13.l\lalricL'SdeconlacIo
Considerecuatrogruposdepersonas:elgrupo1estácompuestode Al.A2YA3.elgrupo
2estácompuestode5personas.de
BI
aB5:elgrupo3constade8personas.deCIaC8;y
elgrupo4de 10personas.DIa DIO.
a)Dada1:1siguienteinformaciónimroduzcalastresmatricesdecontactodirccto(vea en
elproblema2deMATLAI3delasección l.5llnamaneraelicicllledeintroducirestas
malrices).
Conlactos:
(AIconBI.B2)(A2con82. B3)(A3conBI. B4.B5)
(BIconCl.O.C5)(82
conO.C4.el)
(B3conCl.C5.C6.C8)(B4conC8) (B5conC5. C6.el)
(Clcon DI.D2.D3) (C2conD3. D4.D6)(C3 conD8. D9.DIO)
(C4con04.D5.D7) (e5conDI.D4.06.D8)(C6conD2.04)
(CJconDI.DS.1)9)(C8con DI.D2.04.D6. D7.1)9.DIO)
b)Encuentrelamatrizdeconlactoindireclopamloscontactosdelgrupo1conelgrupo4.
¿Cuáleselementossoncero?¿Quesignificaesto?Interprete elelemento(1.5)Y el(2.4)de
estamatrizdecontactoindirecto.
e)¿Cuáldelaspersonasdelgrupo4tienemásconlactasindireclosconelgrupol?¿Qué
personatienemenosconl<lctos?¿Quépersonadelgrupo1esla··máspeligrosa··(por
contagiarlaenfermedad)paralaspersonasdelgrupo4?¿Porqué?
(Sugerenáa;Exisleunamaneradeusarlamultiplicacióndematricespar<1calcularlassu
masderenglón
ycolumna.Utilicelos
vectoresd=oncs(IO,I)ye=olles(I,]).Aquíel
comandool1('s(n.l11)produceunamatrizde tamaño11X!I/.endondetodosloselementos
sonigualesaI(tloeones).]
14.Cadenadei\larkO\'
Unaempresaquerealizaestudiosdemercadoestáestudiandolospatronesde comprapara
tresproductosquesoncompetidoresentresí.Laempresahadeterminado
elporcenlajede

1.6Productosvectorialymatricial 85
residentesdecasasquecambiaríandeunproductoaotrodespuésde unmes(supongaque
cadaresidentecompraunodelostresproductos
yquelosporcentajesnocambiandeun
mesaotro).Estainformaciónsepresenta
enformadematriz:
Pij =porcentajequecambia delproducto)(1/productoi
[
.s.2
p=.05.75
.15.05
.05]
.05
.9
Psellamam:llriz detransición.
Porejemplo.
PI":.=.2significaque el20%,delosresidentesquecompran elproducto2
cambia
alproducto1despuesdeunmes yP":.":.=.75significaque75%delosresidentesque
compraban
elproducto2COnlinúacomprándolodespuésde unmes.Supongaqueexiste
un
tOlalde30000residentes.
a)(Lápi~.r papel)Interpretelosotroselementosde P.
h)Seax Ullamatrizde3X 1.dondeXl=elnümeroderesidentesquecompran elproducto
k.¿CuúleslainterprelacióndePx? ¿YdeP":.x=P(Px)?
l')Supongainicialmenteque
[
10000]
x=10000
10000
Encuentre
pI/xpara11=5.10.15.20.25.30.35.40.45Y50.Describaelcomportamiento
delosvectores
P"xconforme11crece.¿Queilllerprelaciónse lepuededaraesto?
(1)Supongainicialmenteque
Repita
hlsinstruccionesanteriores.Comparelosresultadosde e)yd).
e)Elijasupropiovectorinicialpara x.endondelascomponentesdexsumen30000. Re
pitalasinstruccionesyhagaunacomparaciónconlosresultadosanteriores.
f)Calculep'y30OOO?"paralosvaloresde 11dadosantes.¿Quéobservasobre lascolum
nasde
P'1¿Cuáleslarelacióndelascolumnasde 30000p'ylosresultadosanteriores
deesteproblema'!
g)Tomemoselcasodeunaagenciaderentadeautomóvilesquetienetresoficinas.Unauto
rentadoenllnaoficinapuedeserdevueltoencualquieradeellas.Supongaque
P=[~5 75:]
1515 8
esunamalrizdetransiciónlalque Pij=porcentajede autosrentadosenlaoficina)y
devueltosenlaoficina
idespuésdeunperiodo.Suponga quesetieneuntotalde1000
automóviles.
Deacuerdoconsusobservacionesenlosincisosanterioresdeesteproble-

86 C\I'ITl1.0I
PROBLEMA
L.PROYECTO
SIstemasdeecuaCIoneslinealesymatnces
mil.cncuelllreladistribucióntilargoplazodelos aUlas,esdecir.elnúmerodeautos
quehabrútilalargaen cadaoficina.¿CómopuedelIsarcstainformaciónlllHloficin¡lde
renta
deautomóviles?
15.l\lalri1.depoblación
Unapoblaciónde JX'Ccsestadivididaencincogruposdeedadesdistintasen dondeel
grupo1rcprescnl;lalospequeños yelgrupo5 ;¡losdemayoredad. Lamatrizsiguiente
representalastasasdenacimielltoysupervivencia:
oO22 O
.4.2OOO
s~O.5.2OO
OO .5.2 O
OOO.4.1
SI,=númerode pecesqueIlHCCnporcadapezenelgrupojenun<1110
\,=númerode pecesenelgrupojquesobreviveypasó!algrupoi.dondei>
Porejemplo.Sil=1dicequecada pezdelgrupo31iene2bebés enunañoyS:l=Adice
que<:140%delospecesen elgrupo1sobreviveal grupo2unañodespués.
(1)(LáfJi:rl){IfJe/)Inlerpretelos otrosclementosdeS.
h)(Lúpi:.rpapel)Sea xlamatrizde 5XI tidques¡=númerodepccesen elgrupok.Ex·
pliqueporquéS~xrepresentaclnúmerodepecesen cadagrupodosañosmástarde.
e)Se.l
5000
10000
x=20000
20000
5000
Encuentreftoor(S"u*x)para11=JO.20.30.40Y50 (elcomandof100rredondeaalme
norcnteromáscercano(docf1oor».¿Quésucedeconlapoblaciónde pt."'CCsaIravCsdel
tiempo?¿Estúcreciendoocstúperecicndo?Expliquc.
¡f)Loscambiosenlaslasasdenacimientoysupervivenciapuedenafectar elcrecimientode
lapoblación.C
..mbie,SIlde2aIyrepitalos comandosdelincisoej.Describalo ocurre
conlapoblación.Cambie.I·
n
otra'·cz..2Y Sl2a.3yrepitalos comandosdelincisoej.
Describa10Quepareceesl:lrsucediendoconlapoblación.
e)(LJipi:y1)(11)('/)Supongaquesetieneinterésen criarestapoblacióndepeces.Seah el
vectorde5X1.endonde11
1
=númerodcpecescriadosdelgrupojalfinaldelailo. Ar·
gumenteporquéu =S*x-hproporcionaelnúmerodepecesque selienenalfinaldel
,11;0despuésde lacosechayluego porquéelnúmcrodepeccsalfinaldedos añosdes
pués
delacosechaest'" dadopor\1'::::S*u-h.
f)CambieSuOImveza2y.) ..:alfilveza 5.Supong.\quesedecidecriarsólopecesmadu
ros.esdecir. pt."'f."CSdelgrupo5.Seexaminaránlasposibilidadesdecosechaatravés deun

1.7Matrices ysistemasdeecuacioneslineales 87
periodode 15¡lilaS.Seah =10;0;0;0;20001.Parademostrarqueéstanoesunacosecha
que
sepuedaseguirutiliceloscomandos
u=S*x-h
u=S*u-h
Repitael
últimocomando(conlaflechahaciaarriba)hasltlqueob¡eng¡lunnúmcro
negativodepecesdespuésdeunacosecha.¿Durantecuúntosañossepuederecogeresta
cantidad?
¡:)Experimenteconotrascosechasdelgrupo5paraencontrar lacantidadmúximade
pecesquesepucdenobtencr
enun
,uiodadoconelfindesostenerestc niveldecosecha
durat1le
15
aiios(itllroduzcah =10;0;0;0;nlparaunnúmero/1yrepiltlloscomandosdel
incisoJ)segúnseanecesariopararepresentar
15ariosdecosecha).Escrib¡runadescrip
ciónde
suexperimentoydesusresultados.
")Sigacon elexperimentohastaver sisepuedeencontrar un
vceLorhqlrerepresentelas
cosechasdelosgrupos4
y5quepermitirianquecadaariosecosccharan
múspeces(y
quesesoslllvieralacosechadurante 15ailos).Escribaunadescripciónde suexperimen
to
ydesusresultados.
IDMATRICESVSISTEMAS DEECUACIONES LINEALES
Enlasección1.3delapúgina16seestudiaronlossiguientessistemasde /11ecuacioneslineales
con
/1incógnitas:
(jI
1"'"]+al:"'"l++(jI".\""=b
l
(I!I.I"I+(11:"'"1+ +{/!.x"=b
2
(1)
Sea
(lrr(l1! (/1.
a
n
(Ice a2.
A=
a
-<"
..!
"
nm
.1"1 b
l
x! b!
Lamatrizdccoeficientes.x elvector y b elvector .Como Aesunamatrizde 1/1x/1Y
\.esunamatrizde 11X 1elproductomatricialJlx esunamatrizde 1/1Xl.No esdirícilverque
elsistema(1)sepuedeescribircomo
Representaciónmatricialdeunsistemadeecuacioneslineales
Ax=b
•
(2)

88 C,\I'íTULO1
EJEMPLO1
Sistemasdeecuacioneslinealesymatrices
Cómoescribir unsistemamediantesurepresentaciónmatricial
Considere
elsistema
2x
l
+4x!+6x
3
=18
4.\"1+Ss!+6.\"3=24
3.\"1+x!-2.\"3=4
(Veaelejemplo1.31CillapúginH7.) EstosepuedeescribircomoAx=bcon
(3)
Esmuchomússencilloescribir elsistema(1)enlafOfmaAx=b.Ademúsexistenotras
ventajas.En lasección\.8 seobservarálarapidezeDilquesepuederesolverunsistema cuadra
dosiseconocellnam¡llrizllamadala illl'l'r.\'(jdeA.Allnsinella.comoyasevioen lasección
3.esmuchomússencilloescribirloscúlculosusandounamatriz aumentada.
Sib=
o
O
eselvectorcerode /11x1.enlonceselsistema(1)eshomogéneo(vea 1:1sección
o
1.4)Y sepuedeescribir como
Ax=O (formamatricial deunsistemadeecuacioneshomogéneo),
Existeunarelaciónfundamentalentrelossistemashomogéneosylos
nohomogéneos.Sea
Aunamatriz
/11X/1
XI b,
/11ceros
O
,
b,\O,
x= b~ yO~
X
"
b, O
Elsistemalinealnohomogéneogeneral sepuedeescribir como
L:.
SISTEMA
HOMOGÉNEO
ASOCIADO
Ax=b
ConAYxdadosen(4)yb'*O.unsistcmahomogéncoasociado sedefinecomo
Ax=()
(4)
(5)
TEOREMAaSeanXIyx
2
solucionesalsistema nohomogéneo(4).Entoncessudiferencia Xl-x
2
esuna
soluciónalsistemahomogéneorelacionado(5).
1:.DEMOSTRACIÓN
porlaleydistributiva(7)
enlapágina64
+
A(x
l
-
x}=Ax¡-AX
2
=b-b =()

eCOROlARIO
1.1Matnces ySistemasdeecuacioneslineales
Seaxunasoluciónparticular alsistemanohomogéneo(4)yseayotrasolucióna(4).En·
toncesexisteunasoluciónhalsistemahomogéneo(5)talque
89
(6)
C.OEMOSTRAClON Sihestádefinida porh=Y-x,entonceshesunasoluciónde(5) porelteoremaI y
Y=x+h.
ElteoremaIysucorolariosonmuy lHiles.Establecenque
Conelobjetodeencontrartodas lassolucionesalsi5temanohomogeneo (4),ba5tacon
encontrarunasolucióna
(4)ytodaslassolucionesalsí5temahomogeneoasociado (5).
•
EJEMPLO 2
••Solución
Ohsl'n·aáón.Unresultadomuysimilar secumpleparalassolucionesdelasecuacionesdiferen
ciaslinealeshomogéneas(\'ealosproblemas
29yJO).Unadelasbondadesdelasmatemáticas
esquetemasenaparienciamuydiferenteslienenunafuerteinterrelación.
Cómoescribirunnumeroinfinitodesolucionescomounasoluciónparticular
aunsistemanohomogéneomáslassolucionesalsistemahomogéneo
Encuentretodaslassoluciones alsistcmólnohomogéneo
x
1
+2x!-x
J
=2
2x,+Jx!+5x
J
=5
-XI-Jx!+8x
j=-1
uSólndoelresultadoanterior.
Primero.
seencuenlraunasoluciónmediante I¡lreducciónporrenglones:
U
2-1I
-~]
R,-oR,-lN,
,[~
2-1I
:]
35I
II,"'N,-1/,
-17 I
-38I -17I
11,-011,_111,
)[~
O
13I4)
11,-011:,-M,
-17 I1
OO IO
Lasecuacionescorrespondientesalosprimerosdosrenglones delultimosistemason
x
l
=4-IJx,Yx.=-1+7x
J
conloquelassolucionesson
dondex,
=(4.-l.O)esunasoluciónp<1rticulafyx,=x.l(-13.7.1).dondex
J
esunnumero
real.
esunasoluciónalsistemahomogcneoasociado.Porejemplo.x
J
=Ollevaa lasolución
(4.
-1.O)mientrasquex
j
=2dalasolución(-22.13.2).

90 CAl'íTLl.OI Sistemasdeecuacioneslinealesymatrices
pmblema$17
AUTOEVALUACIÓN
l.Sielsistema[X J::.::~1 scc,,,lbccnIxfonn"Ax~b,cm,,~[yzrl yb=[4~l
x+21'=4) ))
entoncesA- _
al[:-;)
Enlosproblemas1a8escribaelsistema dadoenlaformaAx=h.
1.
3.
2.\"1-x,=3
4.\1+5.\,=7
XI+3....,-3x
J
=6
7.\1-x
2
+lx)=7
5x
I+2.\,- Xl=8
2.
4.
XI-Xl+3x¡=11
4.\1+Xl-x
J
=-4
2x,-Xl+3x
J
=lO
3x,+6-'1-?x
J
=0
2.\,- Xl+3x
J
=1
5.4.\"1- x,+x,-.\4=-7
3.\1+\",-5-,.,+6x.¡=8
2.\"1-x,+Xl 9
7. 2'\"1+3'\2-Xl=O
-4.\"1+2-'"2+Xl=O
7.\"1+3....,-9x
J
=0
6. Xl
-X
~7,
x, +Xl
~2
3-',+lx,
~-5
8.x, +x.¡5
Xl+x
J
7
x,+x
J
+,O,
'\J X.¡ 2
Enlosproblemas9a19escribaelsistemade ecuacionesrepresentadopor1<1matrizaumentada
correspondiente.
[:
1-1
2~] (~ ~] H
O1
:]
1
9. -15 10. 11. 4O
O
3 56
[~
3
~] [~
OOO
-~]
14.[;
3
~]
12. 13.
IOO
41 -15
OO
O
1O
6-7
OO1
15.[~
O9
-!]
[6 2
I
;]
37 16.-231 I 17.U
15
:]
46 OOOI
32

18.r~ ~ ~:~]
2OO I6
1.7Matricesysistemasdeecuacioneslineales 91
19.r~ ~ i]
20.Encuentrelamatriz Aylosvectoresx ybtalesque elsistemarepresentadopor lasiguiente
matriz
aumentadaseescribaen laformaAx=bYresuelvaelsistema.
Enlosproblemas
21a28encuentretodaslassolucionesalsistemanohomogéneodadoencon
trandoprimerounasolución(si esposible)ydespuéstodaslassolucionesalsistemahomogé
neoasociado.
21. XI-3x,=2
-2x
l
+6x
2
=-4
23.XI -x,=6
XI-2x:+3x,=4
x
2
+x,=3
25.\-1-.\"2-\-,=2
2.\"1+x
2
+2x,=4
XI-4x
2
-
5x]=2
22.XI-x"+x,=6
3x
l
-3x"+3x,=18
24.XI-x
2
-
x,=2
2x
l
+x,+2x,=4
x
l
-4x
2
-5x,=2
26.3x
I
x~=I
x
l
-2x,-4x
4
=0
.\"4+2x
5
=O
27. XI+x
2

3x
1
+2x
2
+
28,XI-x
2
+x
3
-
-2x
l
+3x
2
-
x
3
+
4x
I
-
2x
2
+2x
3
-
x.=-2
2x.=5
3x
4
=6
[CALCULOlt29.Considerelaecuacióndiferenciallinealhomogéneadesegundoorden
y"(x)+o(x)y'(x)+b(x)y(x)=O (7)
CCALCUlOI
dondeo(x)yb(x)soncontinuasysesuponequelafuncióndesconocida)'tieneunasegun
daderivada.Muestreque
siY
I
y)"2sonsolucionesa (7),entoncesel)'1+e
2
}'2esunasolución
paracualesquieraconstantesc
l
yl'!"
30.SupongaqueY
r yY
q
sonsolucionesa laecuaciónnohomogénea
)"'(x)+o(x)y'(x)+b(x)y(x)=f(x) (8)
Demuestreque J
p
-
1'
q
esunasolucióna (7).Supongaaquí quef(x)noeslafuncióncero.
31.
Siy(x)=c¡cos(x)+c
1
sen(x)encuentrelosvaloresde ely(.'2talesque 1'(0)=IYy'(0)= -1.
RESPUESTA ALAAUTOEVALUACIÓN
,.<l)
.>---
tElsímboloIO.lCulOlindicaquesenecesitaelcálculopararesolverelproblema

92 CAl'in:LO1SistemasdeecuacIoneslinealesymatriCes
• MATLAB 1.7
Nota.Paragenerarm:uricesaleatoriasrevise lapresentaciónanteriordelosproblemasde
MATLAB1.6.
1.a)GenereunamatrizalealoriaAdeJX3conelementosentre -10yJOYgenereun
vectoraleatoriobde3X1conelementosentre
-10y10.HaciendousodeMATLAB
resuelva
elsislemilconlamatriz aumentada[Ab]usandorrer.Utilicelanotación ":"
paraponerlasoluciónen lavariablex.EncuentreAxy compareconb(encuentre
A*x-b).Encuentre~' =x(I)*A(:,I)+(x(2)*A(:,2)+x(3)*A(:,3)ycompareconb (en.
cuentrey-b).Repitaestoparaotrostresvcelores b.¿Cuálessuconclusiónuccrcade
larelaciónentre Ax)'yb?
h)Se..
i.Resuelvaelsistemacon lamatrizaumentada lAb]usandorrer. Siexisteunnúmero
infinitodesolucioneshagaunaelecciónparalasvariablesarbitrarias
yencuentree
introduzca
elvectorsoludónxcorrespondiente.
ii.EncuentreA *xyy=x(1)*A(:.1)+(x(2)*A(:.2)+x(3)*A(:.3)+x(4)*A(:.4)ycompa
reAx.yyb.
iii.Repitapar.!otmsdosvariablesarbitrarias.
iv.¿Cualessuconclusiónacercade larelaciónentreAx. yyb?
2.ti)Supongaqueloselementosde Ayxsonnúmerosreales.Haciendousode ladefinición
demultiplicacióndematrices.argumenteporque
Ax=()significaquecadurenglónde
Aesperpendicularax(recuerdequedosvectoresrealessonperpendiculares sisupro
ductoescalar
escero).
h)Conelresulladodel indso(1)encuentretodoslosvectoresxperpendicularesalosdos
vectores:
(1.2.-3.0.4)Y(4.-5.2.0.1)
3.a)Reeuerdeelproblema3deMATLAB 1.6(vuelvaaresolverlo).¿Cómo serelacionaesto
con
elcorolariodclleorenl<l I?
b)Considerelasmatrices Aybdelproblema lb)deMATLABenestasección.
i.Verifiqueque elsistemalAb)tieneunnúmeroinfinitodesoluciones.
ji.Seax=䄈.Verifique.usando lamultiplicadóndematrices.queestoproduceuna
solución
alsistemacon lamatrizaumentada [Ab](observequehaceunaadverten
du.Sinoe,xislcunasoluciónúnica. elcomando..,..(daemldh'¡de).
¡ji.Consider:lndorref(A)encuentrecuatrosoluciones alsistemahomogéneo lAO).In
troduzcaunoa
lavez.Ilam¡indoloz.yverifiquemediante lamulliplicacióndematri
cesquex
+zesunasoluciónalsistemacon lamatrizaumentada lAb).

1.7Matricesysistemasdeecuacioneslineales 93
4.u)Observerrcf(A)paralaAdadaacontinuaciónyargumenteporqué elsistema[AbJ
tieneunasoluciónindependientementedelvectorbde4 x Iqueseelija.
h)Concluyaquetodovectorb esunacombinaciónlinealdelascolumnasde A.Genere
tresvectoresaleatoriosbdc4 x I
y.
paracadab.cncuentrcloscoeficicntcsnecesarios
paraescribirbcomounacombinaciónlinealdelascolumnasdc
A.
elObservandorrcf(A)paralasiguientcA.argumentelasrazonesporlascUHlesexisteun
vectorbde4 x 1para
elqueelsistema[Ab]notienesolución.Realiceunexperimento
paraencontrarunvectorbpara
elquenoexistallnasolución.
tI)¿Cómosepuedengenerarvectorcsbquegaranticenunasolución?Tomcunadecisión
sobre
elprocedimientoydescriba loconuncomentario.Pruebesuprocedimiento
for
mandocon éltresvectoresb ydespuésresolviendolossistemascorrespondientes(vea el
problema6deMATLAB enlasección1.3).
e)Pruebeque suprocedimientoesválidousando lateoriadesarrolladaen eltexto.
5.Enesleproblemadescubrirálasrelacionesentre laformaescalonadareducidaporrcnglo
nesdeunamatriz
y
lainformaciónsobrelascombinacioneslinealesdelascolumnasde A.
LapartedeMATLABdelproblemaimplica.únicamente. elcálculodealgunasformases
calonadasreducidasporrenglones.Lateoria
sebasaenloshechosdeque
Ax=Osignifica
quexesunasoluciónalsistema [AO]yque
0=x¡(col1de A)+...+x.,{colndeA)
ti)i.SeaJIlamatrizdelproblema4c)deMATLABenestasección.Encuentrerrcf(A).
(Elrestodeesteincisorequieredetrabajoconpapelylápiz.)
ii.Encuentrelas
solucionesalsistemahomogéneoescrito entérminosdelase1ccciones
naturalesdelasvariablesarbitrarias.
¡ii.Establezcallnavariablearbitrariaiguala 1 ylasotrasvariablesarbitrariasiguales
<lOYencuentrelasotrasincógnitasparaproducirunvectorsoluciónx.Paraestax.
escriba10quedicelaafirmación
0=Ax=x,(colIde A)+...+.\",.(collldeA)
ydespejelacolumnade Aquecorrespondealavariablearbitrariaqueigualóa l.
Verifiquesusdalas.
iv.Ahoraestablezcaotravariablearbitrariaiguala 1 ylasotrasvariablesarbitrarias
igualesaO.Repitaiii).Continúede lamismamaneraparacadavariablcarbitraria.

94 C""ÍTULO1 Sistemasdeecuacioneslinealesymatrices
v.Reviserrcf(A)y veasireconocealgunasrelacionesentrelo queacabadedescubrir
ylosnúmerosenrrcf(A).
h)SeaAlamatrizenelproblema1b)deMATLABenestasección.Repitalasinstruccio
nesanteriores.
c)SeaAunamatriz¡¡leatoril!de6X 6.ModifiqueAdemaneraque
A(,,3)=2-A(,,2)-3-A(,,1)
A("S)~-A("I)+2-A(,,2)-3-A(',4)
A(,,6)=A(',2)+4-A(,,4)
Repitalasinstruccionesanteriores.
IDINVERSADEUNAMATRIZ CUADRADA
Enestasección sedefinendostiposdematricesquesonb<isicasenlateoríadematrices. En
primerlugarsepresentaunejemplosencillo.Sea A=(25)YB=(3-5).Uncálculo
13 -12
sencillomuestra queAIJ=HA=1,.donde1,=(1O).Lamatriz 1,sellamamalri:idClIlidad
- -O1 -
de2X2.Lamatriz BsellamalII(lrr;=illl'ersa deAysedenotaporA-1.
DEFINICiÓN11 Matrizidentidad
Lamatrizidentidad 1"de11x11esunamatrizde11x11cuyoselementosdeladiagonal
principal
12
sonigualesa[y todoslosdemássonO.Estoes,
sii=J
sii'#j
(1)
EJEMPLO1 Dosmatricesidentidad
1OOOO
v[~
O
~]e
O OOO
1 I~OO1OO,
O OOO 1O
OOOO 1
.,---
l2ladiagonaldeA=(a)consisteenlascomponentesa",a"oa"oete.Amenosque seestablezcadeotramanera, se
har~refereneíaa ladiagonalprincipalsimplementecomo ladiagonal

TEOREMAa
UDEMOSTRACiÓN
1.8Inversadeunamatrizcuadrada 95
SeaAunamatrizcuadradade 11Xn.Entonces
Esdecir,In'conmutacontodamatrizde 11x11yladejasincambiodespucsde lamulti
plicación
porladerechao porlaizquierda.
Nora.
1"funcionaparalasmatricesde11x11delamismamaneraque elnúmeroIfuncio
naparalosnúmerosreales
(1.a=a.I=(Jparalodonúmeroreal a).
SeaC'Ielelementoijde
Al.Entonces
+a,b_+...+a.b
ljl/ ,nn)
DEFINICIÓNa
Peropor(1),estasuma esiguala aij'AsiAIn=A.Deunamanerasimilar sepuededemos
trarque
InA=AYestodemuestra elteorema,
l\'oradúl/.Deaquíenadelanteseescribirála malTizidentidadúnicamentecomo IyaquesiA
esde11xlilasproductoslAyA Iestándefinidossólo siIestambiénde11x11.
Lainversadeunamatriz
SeanAYBdosmatricesde 11X11.Supongaque
AB=BA=/
EntoncesBsellamalaim'ersade Aysedenotapor A-I,Entoncessetiene
SiAtieneinversa,entonces sediceque Aesim'ertible.
Unamatrizcuadradaqueno
esinvertibleseledenominasingularyunamatrizinvertiblc se
llamanosingular.
Oh.\'l!ITUdá"l.Apartirdeestadefinición sededuceinmediatamenteque lA-lr
l
=AsiAes
invertible.
OhJl!ITUdú"2,Estadefinición 110establecequetodamatrizcuadradatieneinversa.De hecho,
existenmuchasmatricescuadradasquenotieneninversa(ejemplo3de
la
púgina98).
Enladefinición2 seestablece/ainversadeunamatriz.Estadefiniciónsugiereque lainver
saesúnica.yestadeclaraciónescierta,como lodiceelsiguienteteorema.

96 CwiTll.OI
TeOREMAE3
I:lDeMOSTRACiÓN
Sistemasdeecuacioneslinealesymatrices
Siunamatriz Aes¡nvertible,entonces suinversaesunica.
Supongaque Byesondosinversasde A.SepuededemostrarqueB=C.Pordefinición
setieneAB=BA=IYAC=CA=l.B(Aq=(BA)eporlaleyasociativade lamultipli
cacióndematrices.Entonces
B~BI=B(AC)~(BAlC:IC~C
EntoncesB=eyelteoremaquedademostrado.
AcontimJ:lciónsepresentaotrofenómenoimportantesobrelasinversas.
TEOREMAmSeanAyBdosmatrices¡nvertibles de11Xn.EntoncesAHes¡nvertibley
LDEMOSTRACIÓN Paraprobaresteresultadoesnecesarialadefinición 2.Esdecir.B-1A-
1
=(ABr
l
siysólo
siB-IA-
1
(AH)
=(AB)(B-IA-I)=1.Setrata,únicamente.deunaconsecuenciayaque
ecuación(6),página64
y
Nota.Delteorema3 seconcluyeque (ABC)-I=C-IB-IA-l. Veaelproblema22.Considereel
sistemade 11ecuacionescon 11incógnitas
Ax=b
ysupongaque Aesinvcrtible.Entonces
A-IAx=A-lb
Ix=A-lb
x
=A-lb
Esta
esunasoluciónalsistemaporque
semultiplicóporlaizquierdaporA-
l
A-
I
A=I
Ix=x
Ax=A(Alb)=(AA-I)b=lb=b
SiYesun\'cetorlalque A)'=b.entoncesloscálculosanterioresdemueslran que),=A-lb.
Esdecir.
)'::::X.Sehademostradolosiguiente:
SiAesinvertible,elsistemaAx=b
tieneunasoluciónúnicax =A-lb
•
(2)

1.SInversadeunamatrizcuadrada 97
Ésta
esunadelasrazonespor laqueseestudianlasmatricesinversas.
Yaquesehadefinidola
im'ersadeunamatriz.surgendospreguntasbásicas.
Pregunla
l.¿Quématricestieneninversa?
Pregunta
2.Siunamatriz
tieneinversa¿cómosepuedecalcular?
Enlapresentesecciónsecontestanilmbilspreguntas.Secomenzaráporanalizarloqueocurre
en
elcaso2 x 2.
IIZImilDIIL__C_á_Ic_"_I_O_d_e_la_in_v_e_'_s_a_d_e_"_n_a_m_a_t'_iz_d_e_2_x_2__
••Soludó"
0_(2-3)" ,.:>caA::= .CalculeA-SIeXIste,
-45
Supongaque A-'existe.SeescribeA-
l
=(;")
-yseusa elhechode queAA-'
,.,
=/,Emonces
_,( 2-3)(Xy)(2x-3,
AA=-45;1\'=-4x+5;
2>'-3"')=(1O)
-4y+Sw O 1
Lasdosuhimasmatricespuedenserigualesúnicamente sicadaunadesuscomponentescorres
pondientessoniguales.Estosignificaque
2x -3, =, (3)
2y -311"=0 (4)
-4x +5; =0 (5)
-41' +511"=1 (6)
Ésteesunsistemadecuatroecuacionesconcuatroincógnitas.Observequehaydosecuaciones
queinvolucranúnicamenteaxya;[lasecuaciones(3) y(5)JYdosqueincluyensóloaJ'y11"[las
ecuaciones(4)y(6)].
Seescribenestosdossistemasen laformaaumentada;
-)
5
-3
5
(7)
(8)
Delasección 1.3sesabeque sielsistema(7)(conlasvariables
xy;)tieneunasoluciónúnica.
1:.eliminacióndeGauss-Jordanen (7)dar¡icomoresultado
(
1 O Ixl
O , I'
endonde(x,;)eselúnicoparadenúmerosquesatisface 2,'-3:=IY-4x+s:=O.Deigual
manera,lareducciónporrenglonesde(8)daracomoresultado
(
' O
Iy)
O 111\'
donde
Ll:Il')eselúnicopardenúmerosquesatisfacc2.1'-311'=OJ'-4.1'+Sil'=l.

98 CAPiTULO1 Sistemasdeecuacioneslinealesymatrices
Como[asmatricesdecoeficientesen(7) y(8)sonigualesse puederealizarlareducción por
renglonessobrelasdosmatrices aumenladasalmismotiempo.considerandolanuevamatriz
aumentada.
[
2
-3I]0J
-45IO1
(9)
SiAesinvcniblc.entonces elsistemadefinido por(3).(4).(5)Y(6)tieneunasoluciónúnica y.
porloqueacabadedecirse. [areducciónderenglonesda
[~ ~:;,:,)
Ahorasellevana caboloscú!culos.observandoquelamatrizdelaizquierdaen(9)es Ayla
matrizdeladerechaes 1:
[-~
-3
]
~)
"',---tR,J([
_1
I
1
~J
,,
5O -45IO
1<,--+II,+4/(,(1
_1 1
~J
,,
.,
O-]2
R,....-R,1(1
_1
I
1
-~)
,,
O ]
I-2
If,--+-R,+tll,;(1O
_1
-+J
,
O
]-2
-]
ASLX=-t.Y=-i.:;=-2,\I'=-IY(~ ~¡)=(=1 =:}secalcllla
[
2
-3J[-¡-+J~[] 0J
-45-2-)O1
y
[
-¡-+J[2-3J~[] 0J
-2-]-45 O1
EntoncesAesinvertibleyA-
1
=[-t-fJ.
-2-]
"'__u_n_a_m_a_t_d_z_d_e_2_x_2_q~u_e_n_o_e_s_;_n_v_e_rt_;_b_]e __
SeaA=[]2J.DeterminesiAesinvcrtib1eysiesasi.calculesuinversa.
-2-4
••Solució"SiA-
1
=(~ ~'.)existe.entonces
[
]
2J[X"J[x+2,AA-
1
- - -
-2-4=ll'-2x-4z
Y+2"'J~[] 0J
-2y-4w O1

1.8Inversadeunamatrizcuadrada 99
Estoconduce alsistcma
x +2= =1
Y
+2\'=0
-2x -4: =0
-2.1' -411'=1
(10)
Siseaplicalamismalógicaque enelejemplosepuedeescribirestesistema enlaformade
matrizaumentada
(AI1)yreducirporrenglones:
2II0)
-4IOI
Hastaaqui sepuedellegar.Laúltimalinease leeO=2oO =J.dependiendodecuáldelos
dossistemasdeecuaciones(en
xy:oen yyw)seestéresolviendo.Entonces elsistema(10)es
inconsistentey
Anoesinvenible.
Losúltimosdosejemplosilustran
unprocedimientoquesiemprefunciona cuandosequ¡e~
reencontrarlainversadeunamatriz.
Procedimientoparaencontrar lainversa
deunamatrizcuadradaA
Pasol.Seescribelamatrizaumentada (AII).
Paso
2.Seutilizalareducciónporrenglonesparaponer lamatrizAasu
formaescalonadareducidaporrenglones.
Paso3.SedecidesiAesinvertible.
a)Silaformaescalonadareducida porrenglonesde Aeslamatriz
identidad
1,entoncesA-
1
eslamatrizque setienea laderecha
de
labarravertical.
b)Silareducciónde Aconduceaunrenglónde cerosalaizquier
dadelabarravertical,entonces Anoesinvertible.
•
Ohscn'aciún.a) yb)sepuedenexpresardeotramanera:
UnamatrizAde nxnesinvertiblesiysólosisuformaescalonadareducida porren
glones
eslamatrizidentidad; esdecir,sisuformaescalonadareducida porrenglones
tiene
npivotes.
•
DETERMINANTE
DEUNAMATRIZ
",
Ll!---="::":
seaA=(""
a21
""]
-.Entoncessedefine
(J22
(11)
Eldeterminantede AsedenotapordetA.

100 CAPiTULO1
TEOREMAa
Sistemasdeecuacioneslinealesymatrices
SeaA =unamatrizde2x 2.Entonces
i.AesinvcrtiblesiysólosidelA*O.
ii.SidelA :;ó:O,entonces
eDEMOSTRACiÓN
_, I(a"-a,,)A- --
detA-a
21
G
I
]
Primero,supongaquedelA=1:-OYseaB=(l/delA)[G
n
-a
21
I( a"BA=--
delA-a
21
-a)
12.Entonces
a"
(12)
Demanerasimilar,AB =1,loquemuestraqueAes'invertible yqueB =A-
I
,
Todavía
debedemostrarseque
siAesinvertible,entoncesdel A'#O.Paraesto, seconsiderael
sistema
allx
l
+a
12
x
2
=b,
al1x
1+°
22
'\'2=bz
(13)
Sellevaacabodeestaformaporquedelteoremaderesumen(teorema1.2.1,página
5)sesabeque siestesistematieneunasoluciónúnica,entonces {lila!!-(lIZa!1~O.El
sistemasepuedeescribiren laforma
Ax=b (14)
EJEMPLO 4
••Solució"
conx=(.~I)Yb=(b,).Entonces,comoAesinvertible,se vede(2)queelsistema(14)
·\2 b
2
tieneunasoluciónunica dadapor
Peroporelteorema1.2.1, elhechode queelsistema(13)tenga unasoluciónunicaim
plica
que(/11(/22-(/12(/21 =delA'*O.Estocompleta laprueba.
Nora.Lafórmula(12)sepuede
obtenerdirect<lmenteaplicando elprocedimientoparacalcular
ullainversa(ver
elproblema54).
Cálculodelainversadeunamatrizde2)(2
(
2
-4) ..
SeaA =13·CalculeA-
1
SIeXIste.
SeencuentraquedetJI=(2)(3)- (-4)(1)=la;por10tanloA~Iexiste.De laecuación(12)se
tiene

1.8Inversadeunamatrizcuadrada 101
A-'=~[)4)=[;';;;';;)
ID-12-¡iii
Verijü:ac;611
_,1[) 4)[2-4)1[lOO)[1O)
AA=iii-121) =iiiOlO=O1
l'
AA-,=(2-4)[;i~)=(I O)
I3 -¡¡leOI
EmI:iZIDL_u_n_a_m_a_t_ri_z_d_e_2_X_2_q~U_e_n_o_e_s_i_n_v_e_rt_i_b_le __
SeaA=(12).CalculeA-'siexiste.
-2-4
•SO/ucifj"
EJEMPLO6
Seencuentmquedet A=(1)(-4)-(2)(- 2)=-4+4=O.demanemqueA-'noexiste.como
seobservóen elejemplo3.
ElprocedimienlOdescritopara encontrarlainversa(siexiste) deunamatrizde2x2fun·
cionaparamatrices
de11x11donde11>2.Seilustraconvariosejemplos.
Calculodelainversadeunamatrizde3x3
[
24
Se'IA=~5 :](Veaelejemplo1.3.[enlapúgina7).CalculeA-
l
siexiste.
-2
••So/ució"Primerosepone Aseguidode Ienlaformadermt!riz aumentada
[:
461O
~]
56OI
1-2OO
Ydespuessellevaa
cabolareducciónporrenglones.
0,.:0,.¡~
2 ),
O
~]
0,.0,-",[1
2 ),
O
~]
,
56OI
","''',-l",l~-)-6-21
31-2OO -5-11
_l
O,
.¡~
2 ),
O
~]
',"''',-u,
'(~
O-1
-,,
~]
•
,
"""'~}"
2t
-,
.,....,.S',
12
"
-,, ,,
-5-11
_l
O O -1
11-!,
•
,
,[~
O-1
-,
-~]
.,......",
I[~
OO
-!
}
-;)
•
, ,
"','"-",12 -, .,......,:...,
1O
11_11
,, ,,
O
_11,
O1
_11,
-1
•
,
•
,

102 C\I'iTULOI Sistemasdeecuaóoneslinealesymatrices
ComoAseredujoa Iseliene
A-'f~
1
-']f'6
14
-6)
,
_ll
2=-26-22 12,6
_ll 1-) -11 10-6•
,
I
sefaCloriz:I'6paraquelos
dlculosSC'"dnmassencillos.
VerificuciOn
Tambiénsepuedevcrificar queAA-l=/.
CuandosecalculaA-
1
esfácilcometererroresnumericos.Porelloesimportanteverificarlos
cálculosviendo queA-
1
A=1.
"',-_u_n_a_m_a_t_ri_z_d_e_3_x_3_q~u_e_n_o_e_s_i_n_v_e_rt_i_b_'e __
-3
-5
-,
••SO/l/ciÓ"Deacuerdoconelprocedimientoanteriorseobtiene.sucesivamente.
[~
-34 1
O
O]
,¡~
-34
1O O]
-57O1O
R,___R,-IR,
1-1-21O
-1 OO1 -11 OO1
',"',"',[1
O1
-5
3O]11,-->11,''',JO
1
-1-21O
OOO
-211
Hastaaquísepuedellegar.LamatrizA nopuedereducirsea lamatrizidentidad. porloquese
puedeconcluirqueAnoesinvertible.
Hayotraformadeverel resultadodelültimoejemplo.Seab cualquierveclOrde3XIY
considereelsistemaAx=b.SiseIr.Itaderesolverestoporelmetododeeliminacióngaussiana.
seterminad:lcon
unaecuaciónqueselecO ""e:o:Ocomoenelejemplo3.oO =O.Esdecir.el
sistemanotienesoluciónobien.tieneunnumeroinfinito desoluciones.Laposibilidadquese
eliminaes
queelsistematenga unasoluciónunica.Pero siA~Iexistiera.entonceshabríauna
soluciónunica
dadaporx=A-lb.Laconclusión queseobtienees
SilareducciónporrenglonesdeAproduceunrenglón deceros,entoncesAnoes
invertible.
•

DEFINICIÓNE:I
TEOREMA!El
EJEMPLO 8
••Solución
1.8Inversadeunamatrizcuadrada 103
Matricesequivalentesporrenglones
SupongaquelamatrizAsepuedetransformarenlamatriz Bmedianteoperacionescon
renglones.Entoncessedice
queAyB sonequh-alcnlesporrenglones.
Elrazonamientoanterior sepuedeusarparaprobar elsiguienteteorema(vea elproblema55).
Sea
Aunamatrizde"x11.
i.AesinvertiblesiysólosiAesequivalenteporrenglonesalamatrizidentidad/.;
estoes,silaformaescalonadareducida porrenglonesdeAes/.'
ii.AesinvertiblesiysólosielsistemaAx=blieneunasoluciónúnica paracada
n-veclorb.
iii.SiAesinvertible.entonceslasoluciónúnicade Ax=bestádadaporx=A-lb.
iv.Aesinvertible
siysólosisuformaescalonadareducida porrenglonestiene 11pi
votes.
Usodelainversadeunamatrizpararesolverunsistemadeecuaciones
Resuelvaelsistema
2x
I
+4x
l
+3x
J
6
Xl-x
J
=-4
3x)+5x
l
+7x
J
7
Estes;stem'"puedecsec;b;, comoAx=b.dondeA=(~:-;]yb=(-~l
Así.lasoluciónúnicaesla dadapor
EJEMPLO 9
[
X'] [4-lf-f)[6)[25)
x=:::=A-lb==:ii -~==:
LatecnologíaylasmatricesdeLeontief:modelodelaeconomia
estadounidenseen1958
(15)
Enelmodelo deinsumo-productodeLeonlief.descritoen elejemplo1.3.9en delapágina18.
seobtuvoelsistema

104 C,\I';TUW1 SistemasdeecuaCIoneslinealesymatrices
°
11
,'",+01:.1":+ +al.x.+el=XI
(':1-'"1+anx:+ +o:.x.+el=x:
quesepuedeescribircomo
;Ix+e=x=Ix
o
(/-A)x=e (16)
LamatrizAdedemandasinlernassellamamatriztecnológica.ylamatrizJ-Asellamama
trizdeLeontier.SilamatrizdeLeonticfes¡nvertible.entonces lossistemas(15)y(16)tienen
solucionesÍtnleil!>.
Leonliefutilizósumodeloparaan¡\lizarlaeconomíadeEstadosUnidosen1958.1'Divi
diólaeconomi:len81seclOresylosagrupóenseisfamiliasde $CClOrcSrelacionados.Con el
objetodesimplificarseIr.Har.1cadafamiliade seClQrescomounsolosector.demaneraquese
puedaverlaeconomíaestadounidensecomo unaeconomiacon seisinduslrias.Estasindustrias
seenumeranenlalabIa\.\.
Tabla1.1
Sector Ejemplos
INometalesterminados (NMT) Muebles,alimentosprocesados
Metalesterminados(MT) Electrodomesticos,vehículosautomotores
Metalesbásicos(MB) Herramientas(producciónintermitente),minería
INometalesbasicos(NMB) Agricultura.imprenta
Energia(E) Petróleo.carbón
Servicio(s) Diversiones.bienesmices
Latabladeinsumo-producto,tabla1.2.prescntalasdemandasinternasdurante 1958sobrela
basedelascifrasdeLeontief.Lasunidadesenlatablaestúnexpresadasenmilloncsdedólares.
Así.porejemplo.elnumero0.173enlaposición6.5significaque paraproducirenergiaequiva
lente
aSImillón.esnecesarioproporcionar 50.173millones=SI73000en
servicios.Deforma
similar.
0.037enlaposición4.2significaquecon elfindeproducir
artículosmetalicostermina
dos,esnecesariogastar$0.037millones=$37000enproductosnomet{llicosbúsicos.
Tabla1.2Demandasinternas en1958enlaeconomíadeEstadosUnidos
NMT MT MB NMB E S
NMT 0.170 0.004 O 0.029 O 0.008
MT 0.003 0.295 0.018 0.002 0.004 0.016
MB 0.025 0.173 0.460 0.007 0.011 0.007
NMB 0.348 0.037 0.021 0.403 0.0110.048
E 0.007 0.001 0.029 0.025 0.358 0.025
S 0.120 0.074 0.104 0.123 0.173 0.234
•
11X/f'(l/IflCAmMcanlabrllde196526-27

1.8Inversadeunamatrizcuadrada 105
Porultimo.las
demandasexternasestimadas porLeontiefsobrelaeconomíadeEstados Uni·
dosen 1958(enmillonesdedólares)se
presentanenlatabla1.3.
Tabla1.3DCIl1:lndasextcrn:lSsobrclacconomíade
EstadosUnídos
cn1958(enmillonesdedólares)
NMT 99640
MT 75548
MB 14444
NMB 33SOl
E 23527
S 263985
ConelfindemanejarlaeconomiadeEstadosUnidosen1958
par;¡satisfacertodaslasdeman
dasexternas.¿cuántasunidadesdebenproducirseencada
unodelosseis
sectores?
••So/m:;óllLamatriztecnológicaestádadapor
0.170 0.004
O0.029O0.008 99640
0.0030.295 0.0180.0020.004 0.016 75548
0.025
0.1730.4600.0070.0110.007 14444
A= Y
,=
0.3480.0370.0210.4030.0110.048 33501
0.007
0.0010.0390.0250.3580.025 23527
0.1200.074
0.1040.1230.1730.234 263985
ParaobtenerlamatrizdeLeonticf.se
resta
1O OOOO 0.170 0.004 O0.029O0.008
O1OOO O 0.0030.2950.018 0.002 0.0040.016
OO 1O O O 0.0250.1730.4600.0070.0110.007
[-A=
OOO O O 0.3480.0370.0210.403 0.0110.048
O O O O 1O 0.0070.0010.0390.0250.358 0.025
O O OOO 1 0.1200.074 0.1040.123 0.173 0.234
Elcúleulodelainversadeunamatrizde6 x 6esunaactividadlaboriosa.Lossiguientesresul
tados(redondeadosatrescifrasdecimales)
seobtuvieronusandoMATLA B:
(1-Ar'
""
1.234
0.017
0.078
0.752
0.061
0.340
0.014
1.436
0.467
0.133
0.045
0.236
0.007
0.056
1.878
0.101
0.130
0.307
0.064
0.014
0.036
1.741
0.083
0.315
0.006
0.019
0.044
0.065
1.578
0.376
0.017
0.032
0.031
0.123
0.059
1.349

106 CU'iTULOI Sistemasdeecuacioneslinealesymatrices
Porlotanloelvector delasalida"ideal"-está dadopor
:<=(1-Arle=<
131033.21
120458.90
80680.56
178732.04
66929.26
431562.04
TeOREMAm
eDEMOSTRAOÓN
Estosignificaqueserequeríaaproximadamente de131033unidades(equivalentesa $131033
millones)deproductosnometúlicosterminados.120459unidadesdeproductosmCI:ilicoster·
minados.SO681unidadesdeproductosmetálicosbásicos.178732unidadesdeproductosno
metálicos
bílSicos.66929unidadesdeenergía y431562unidadesdeservicios.paramanejar la
economiadeEstadosUnidos ycumplircon[as demandasexternasen1958.
Enlasección1.2seencontrólaprimeraformadelteoremaderesumen(teorema1.2.1.pú
ginil4).Ahorasepuedemejorar. Elsiguienteteoremaestableccquevari'lsafirmacionessobre
la
inverso!.launicidaddelassoluciones. laequivalenciaporrenglonesylosdeterminantesson
equivalentes.Enestemomento.sepuede
probarlaequivalenciadelosincisos i).it).iii).iI')Y
"~l.Lapruebaconcluirúdespuesdedesarrollarciertatcoriabtlsicasobredeterminantes(vea el
teorema2.4.4enlapágina208).
Teoremaderesumen(puntodevista2)
SeaAunamatrizde 11X11.Porloquelasseisafirmacionessiguientessonequivalentes.
Esdecir,cadaunadeellasimplicalas olrascinco(demaneraquesisecumpleuna,todas
secumplen,
ysiunaesfalsa.todassonfalsas).
i.Aesinvertible.
ii.Laúnicasoluciónalsistemahomogéneo Ax=Oeslasolucióntrivial(x =O).
iii.ElsistemaAx=btieneunasolucióntinicaparacadan-vector b.
iv.A'esequivalenteporrenglonesa lamatrizidentidad In'de1/X11;esdecir,laforma
escalonadareducida
porrenglonesde Aesl•.
v.Laformaescalonadaporrenglonesde Atiene11pivotes.
vi.del
A*-O(hastaahomsólosehadefinido detAsiAesunamatrizde2X2).
Yasehavisto quelasafirmacionesi),iii),i1')YI'i)sonequivalentes{teorema 5].Se
demostraraqueii)yi1')sonequivulentes.Supongaque it)secumple.Entoncesla foro
maescalonadareducida porrenglonesde Atienenpivotes:de otramaneraalmenos
unacolumnadeestaformanotcndríapivoteyentonces elsistemaAx=Otendriaun
númeroinfinitodesoluciones
porquesepodriadarunvalorarbitrarioalavariableco
rrespondienteaesacolumna(loscoeficientesenlacolumna
soncero).Pero silaforma
escalonadareducida
porrenglonesde Atienenpivotes,entoncessetratade l•.
Inversamente,suponga quei1')secumple;estoes,suponga queAesequivalentepor
renglonesa l•.Entoncesporelteorema5,inciso n.Aesinvertibley,porelteorema5.
inciso
¡ji),lasoluciónlInicadcAx =Oesx =A-lO=O.Así,¡j)yiv)sonequivalentes.
En
elteorema1.2.1sedemostróque i)y1';)sonequivalentesen elcasode2X 2.Se
probarálaequivalenciade 1')Y1'1')enlasece-ión2.4.

TeOReMAE:I
LDEMOSTRACIÓN
1.8Inver<>adeunamatrizcuadrada 107
OhserraciÓn.Silaformaescalonada porrenglonesde Atienel/-pivotes..entoncestienelasi
guienteforma:
rl~
'"
e
"o
OI
'ú
e,-
,.
OO Ie,-
(17),.
1I 1I 11 1I
OOO e I
Esdccir.Resunamatrizconunosen 1,1diagonalycerosdebajodeella.
Paraverificarque
B""A-
1
sedebecomprobarque AB""HA""l.Resultaquesólo seliene
quehaccrlamitaddeestetrabajo.
Sean
AYBmatriccsdc 1/X1/.EntoncesAesinvertibleyB""A-
I
yaseasii)BA""lo
siii)AB""1.
i.Sesuponeque BA""l.Considereelsistemahomogéneo Ax=O.Sisemultiplican
por
laizquierdaambosladosdeestaecuaciónpor B,seobtiene
BAx""SO (18)
problemas1B
PeroBA""IYBO""O.demaneraque(18)seconvierteen Ix=OoX""O.Esto
muestraque
x""Oesla ...,micasolucióna Ax=OYporelleorema6.incisosj)yji).
estoquieredecirque Aesinvertible.Todavíadebedemostrarseque B""A-l.Sea
A-l""C.Entonces,AC""1.Así
BAC~B(Aq:BI:ByBAC:(BA)C~IC=C
Porlotanto.B""eyelincisoi)quedademostrado.
ii.SeaAB=/,Entoncesdelinciso il,A=B-I,Deladefinición2estosignificaque
AH=HA=/,loquepruebaque Aesinvertibleyque8=A-
I
,
Estocompleta la
demostración.
AUTOEYALUACIÓN
1.Indiquecualdelassiguientesafirmaciones escorrecla
a)Todamatrizcuadradalieneinversa.
b)Unamatrizcuadradatieneinversa sisureducciónporrenglonesllevaaunren
glóndeceros.
c)Unamatrizcuadrada
esinvertiblesi¡iencinversa,
t"Unamatrizcuadrada Heslainversade AsiAl=B.
11.¿Cualdelassiguientesafirmaciones esciertasobre unsistemadeecuaciont."Senforma
dematriz?
a)Esdelaforma A-IX=b.
h)Sitieneunasoluciónúnica.lasolución serax=A-lb.

lOS Sistemasdeecuacioneslinealesymatrices
e)Tienesolución siAnoesinvertible.
ti)Tieneunasoluciónunica.
111.¿Cualde lassiguientesmatricesesim"erliblc?
)(13)
a_)-9
el(2-3)
I-1
b)(~ =~)
d)(:~)
IV.Considereunamatrizin'"erlible A ~'señalecuál delassiguientesafirmacioneses
cierta.
a}ElproductodeApor1esA-l.
b}Aesunamatrizde2X3.
c)A=A-
I
•
ti)Aesunamatrizcuadrada.
v.¿Cmildelassiguientesafirmacionesesciertasobre elsistema?
4x-5y""3
6x
+7)"=4
a)Notienesoluciónporque (:-5)noesinvertible.
-7
b)Tienesolución (-1,-t).
e)Situvieraunasoluciónse encontrariaresolviendo(:
=tH~)
d)Su.alución"(:=m~)
Enlosproblemas1a 21determinesilamatrizdada esinvcrtiblc.Deserasí.calculelainversa.
J.
G~)
2.(-~ -1~)
3.
(-:
-7)
14
4.
(~ ~)
5.
e;)
6.
(~ I~)
[~
I
iJU
I
-~J
7.
(::)
8. 2 9. 4
5 5
(~
2
J (~
I
:J (~
o
:]
lO. 2 11. I 12. I
O O I
H
6
-;J
[:
I
:J [~
-2
-:J
13. 3 14. -1 15. 3
12 I O

1."
Inversadeunamatrizcuadrada 109
[~;:] [i ~]
1:
11
il
-1 2
16. 18.
2-1
O 17.
-12
-7
3 ]
1-;
O2J
[~
2O
~IP
-]O
-2]1O4 ]-]
21.
-12-2-6
19. 20.
1-13 -3-2 1025
-1O57 O4 -1 6 3
22.Muestreque siA.BYesonmatricesinvertibles.entonces ABeesinvertib1ey(tiBC)-'
C-1B-1A-1.
23.SíAl'A
2
,.••A
m
sonmatricesinvertiblesde 11X/1,muestreque Al'A
2
•
••••A
m
esinvertible
ycalculesuinversa.
24.Muestre
quelamalriz(]
-2
25.Muestre quelamatriz(a
ll
I- {/~ (121
".
4)..
essupropiaInversa.
-]
26.EncuentreelveelOrdeproducciónxen elmodelodeinsumo-producIDde Leontiefsi
,,~J. e~[~~] YA~[¡¡~]
40ffoi
*27.AsumaqueAesde 11xmy8esde 111x11.demaneraqueJIBesde 11X11.Demuestreque
ABnoesinvertib1c si11>m.[Sugl'l"máa:Muestrequeexisteunveclorxdiferentedecero
talqueA8x=OYluegoapliqueelteorema6.]
*28.Ulilicelos métodosdeestasecciónpara encontrarlasinversasdelassiguicntcsm,ltrices
conelemcntoscomplejos:
al(i')
1-,
[~
2 00] O~]30.Calculelainversa deA=
29.
[
""8
Demuestre.quepara todonümeroreal elamatrizcos e
cuenlresuIllversa. o
cos8O~]
-sene
o
esinvertibleycn-
31.Unamatriz
cuadradaA=(a)sellamadiagonal sitodossuse1emenlOsfuera deladiagonal
principalsoncero.Esto
esa¡¡=Osii,I!)(lamatrizdelproblema30esdiagonal).DCllluestre
queunamatrizdiagonalesinvertiblc siysólosicadaunodeloselemcntosde ladiagonal
esdiferente
decero.

110 CAPiTUto1 Sistemasdeecuacioneslinealesymatrices
32.Sea
[
'6'
;1=
II
O
oo
11"'
Oo
o]
O
11
a,m
Unamalrizdiagonaltal queSllScomponentesenladiagonalprincipalsontodasdiferentes
decero.CalculeA-
I
,
34.Demuestre queInmalrizJI
OO]
OO noesinvertible.
61
33.Calculelainversade A=
[~ ~-:]
=H
*35.Unamatrizcuadrada sellamatriangularsuperior(inferior) sitodossuselementosabajo
(nrriba)deladiagonalprincipal soncero(lanlalrizenelproblema33estriangularsuperior
ylamatrizen elproblema34estriangularinferior).Demuestre quelInamatriztriangular
superioroIriangularinferior esinvertiblesiysólosicadaunodeloselementosde ladia
gonalesdiferentedecero.
36.Demuestreque lainversadeunamatrizinvcrtibleeslTiangularsuperior. [SI/gerencia:Pri
merodemuestre
elresultadoparaunamatriz de3X3.]
Enlosproblemas 37y38sedaunamatriz.Encadacasodemuestre quelamatriznoesiuverli
ble
eneotllrandounvectorxdiferente decerotalqueAx =O.
37.(2-1)
-42 38.[~ ~:-:]
39.Sean A.B.F.YMmatricesinvertibles de111x11.SiM=I+F(AI- JI,.)-1B
yA,.=A+BF
DemuestrequeM-I =B-I(V-Al")CAI-A)-IB.
40.Se,ll1A.B.C.D.FYNmalTicesinvertiblcsdc 111X/l.SiN=D+e/Al-Ar)-IB.
M-
I=e-
I
CA/-A
r
)
(V-AtlB.CF=C+DFyA
r
=A+BF
Demuestreque NM-I=D+C("A./-At'B.
41.Unafúbricademueblesdecalidadtiene dosdivisiones:untallerde maquinasherramienta
dondeserabrieanlaspartes delosmuebles.ylInadivisióndeensambley terminadoenla
quesellnenlaspartespara obtenerelproductofinal.Supongaquesetienen12empicados
en
eltallery20el11adivisiónyquecadaempleadotrabaja8horas.Supong,ltambiénque
seproducenúnicamente
dosartículos:sillas ymesas.Unasillarequiere 31~~horasdema
quinadoy~I~)horasdeensambleyterminado.Unamesarequiere 21~)horasdemaquinado
y7;)horasdeensambleyterminado. Suponiendoquesetieneuna demandailimil<lda
deestos
productosyqueelrabrieantedesea mantenerocupados:1lodossusempleados.
¿cuántassillasy
cuúntasmesaspuede producirestafábricaaldía?

1.8Inversadeunamatrizcuadrada 111
42.Laalacenadeingredientesmúgicosdeunahechiceracontiene 10onzasdetrébo1csde
cuatrohojasmolidos
y14onzasderaízde mandrúgoraenpolvo.Laalacenaseresurte
enformaautomúticasiemprey
cuandoellaterminecon todoloquetiene.Unapociónde
amorrequieret'3onzasdetrébolesy 2~onzasde mandrágora.Unarecetadeunconocido
tratamientoparaelresfriadocomúnrequiere 5t-onzasdetrébolesy 10ftonzasdcmall
drágora.¿Qué
cantidaddelapociónde amorydelremediopararesfriadodebe combinar
lahechiceraparausar todalareservaensualacena?
43.Ungranjeronutreasu
ganadoconllnamezclade dostiposdealimento.Unaunidades
túnd¡lrdelalimentoAproporcionaa
unnovillo10'Y.,delrequerimientodiariodeproteina
y15%deldeearbohidralOs. Sielgranjeroquiercalimentarasu ganadoconel100'Yi,delos
requerimientosmínimosdiariosdeproteínasycarbohidratos.¿euúntasunidadesdecada
tipodealimentodeberecibirunnovilloaldia?
44.Unaversiónmuysimplificada
deunatablade insumo-productoparalaeconomíadeIsrael
en1958dividedichaeconomiaentressectores
-agricultura.manufacturay energía-con
lossiguientesresultados.
l.
Agricultura Manufactura Energía
Agricultura 0.293 O O
Manufactura 0.014 0.207 0.017
Energía 0.044 0.010 0.216
a)¿Cuántasunidadesdeproducciónagrícola serequierenpara obtenerunaunidadde
productoagrícola?
h)¿Cuántasunidadesdeproducciónagrícolaserequieren paraobtener200000unidades
de
productosdeestanaluralcza'?
c')¿Cuúntasunidadesdeproducciónagrícola serequierenpara obtener50000unidades
deencrgía'!
(1)¿Cuánlasunidadesdeenergia serequierenparaobtener50000unidades deproductos
agricolas?
45.
Sisecontinúacon clproblema44,lasexportaciones(enmiles delibrasisraelíes)en 1958
fueronlassiguientes:
Agricultura
13213
Manufactura 17597
Energía 1
786
ti)Calculelamatriztecnológicay ladeLeontier.
b)Determineelvalorenlibrasisraelíesdelos productosagrícolas.laenergíaylosar
tículos
manufacturadosnecesariosparahacerfuncionarestemodeloyexportarel
valorestablecido decadaproducto.
•
,.WassllyLeontref.Inpul-OUIPU!ECOflOlWC5(NuevaYork:OxtordUnlverSltyPress.1966),54-57

112 C\I'íTULO1 Sistemasdeecuacioneslineales ymatrices
Enlosproblemas46a53calculelaformaescalonadaporrenglones delamatrizdada yuliliccla
paradeterminarenformadirecta siesinvenib\c.
46.Lamatrizdel problema4. 47.Lamatrizdelproblema 1,
48.Lamatrizdelproblema 5. 49.Lamatrizdelproblema 10.
SO.Lamatrizdelproblema13. 51.Lam::ltrizdelproblema\ 6.
52.Lamatrizdelproblema 18. 53.Lamatrizdelproblema 19.
SS.Demuestrelosincisos ¡).ii)Yil')delteorema 5.
. (1AJ
56.Calculela ll1vcrsadeloIdondeAesunamatrizcuadrada.(SlIgermcia:Reviselamul-
tiplicacióndematrices porbloquesenlapágina 66.J'~
.laO]
57.Considereque A1IYA!!soninvertiblesyencuentrelainversade",", .
u"
58.SiAYB sonmatricesinvertibles.resuelva paraX:
a)8XA :=::8
h)A-1X=A
RESPUESTAS ALAAUTOEVALUACIÓN
1.e) 11.h) 111.e) IV.új v.(.)
Paraobtenerlainversadeunainversa seprocedede laformasiguiente. Unavezquese
tienea lamatrizenlapila,se oprimelateela~.Silamatriznoesinvertibleapare
ceransimbolosdeinfinitoenalguna(s)posición(es)dela
matrizresultante.
Delosproblemas59a62utilice lacalculadoraparacalcularlainversadelamatriz
dada.
MANEJODELACALCULADORA
[
1.6
59.-4.2
-6.8
2.37.5]
3.95.7
-0.94.1
60.[~: ~: ;~J
579836
•
"David(arlsonpresentóesteproblema yelsiguIenteensuarticulo"TeacllmgLinearAlgebraMustthe FogA/ways
RolIm?EnThe(011ageMathematlCsJoumal, 24(1l,enerode) 993,29-40

61.
62.
1.8Inversadeunamatrizcuadrada 113
[
-0.030.210.46-0.33]
-0.270.790.16 0.22
0.330.02
O-0.88
0.44-0.680.370.79
[
-~~ ..;~ -~~:~~ ~~:~~ -;~:~~]
36.3867.92-81.3115.06
-61.31-70.8043.5971.22
63.Demuestrequelainversade
[~
5-17
2:]
8 13
O 5-4
O O -7
tienecerosdebajodeladiagonal.
64.Hagalomismoparalamatriz
23.1-42.1-63.7-19.423.8
O-14.536.2-15.961.3
O O -37.264.823.5
O O O 91.2\3.8
O O O O 46.9
65.
• MATLAB1.8
Lasmatricesenlosproblemas 63y64sellamantriangularessuperiores.Haciendo
usodelosresultadosdedichosproblemasobtengaunaconclusiónsobre
lainversa
deunamatriztriangularsuperior.
/lIjOJ'llltláÓIIticMATLAB.ElcomandodeMATLABcye(n)forma lamatrizidentidadde 11X11
(doeeyc).ElcomandodeMATLABsizc(A)reporta elnlltneroderenglonesycolumnasdela
matrizA(docsizc).
2
s
-1
~].formeR ==lAeyc(size(A))I.
10
i.Encuentrelaformaescalonadareducida porrenglonesde R.Utilicelanotación
":"paraasignar elnombrede lavariableSalamatrizqueconsisteenlastres úl
timascolumnasde laformaescalonadareducidaporrenglonesde R.
ii.EncuentreSAyAS.Describalarelaciónentre AyS.
¡ji.CompareSeoninl'(A)(doc inv).
b)RepitalasinstruccionesanterioresparaA'="'2*rand(5)- 1,(UtiliceR '='"lAeyc(size(A))I
yhagaSigualalascincoúltimascolumnasdelaformaescalonadareducidaporren
glones.)

114 C\I'iTUWI Sistemasdeecuacioneslinealesymatrices
2.Considerelasmatrices
~[:
7
~] [;
-4
~]
L 9 ii. O
137
4 -14
[~
4-21 1 46
~]
¡ii.
197
¡v.
S19
4lO4 74 8
7-77 O7S
1234S 12-1 75
O-12-12 O-12-)2
-1
vi.v.-1OO 2-1 1O31 -1
56
11 -111 111 41
OOOO 4 OOOO 4
ParacadamatrizA:
ti)Useelcomandorrcfparaprobarsiesinvcr\iblcyencuentre¡m'(A).
h)SiAnoesinvertible.pongaatenciónenlosmensajesde MATLABcuandodé¡nv(A).
e)SiAesinvertible.verifique que¡nv(A)dalainversa.Seleccione unvectoraleatoriob
parudiadoderecho.mueSlrequeelsistema[Abjlieneunasoluciónúnica usandoelco
mandorreLasigne lasolucióna lavariablex ycomparex con~'=im'(A)*b(encuentre
x-y).Repitaestoparaotrovector b.
3.a)SeaA =round(IO*(2*rand(S)-I)).SeaB =Aperomodifiqueuno delosrenglonesde B
aB(3,:)=3*8(1,:)+5*8(2,:).Muestre que8noesinvertible.
h)SeaB =AYcambie elrenglónquequieraporunacombinaciónlinealde otrosrenglo
nesde
B.Muestreque Bnoesinvertible.
el(Lúpi::.1"pape!) Considerandoelproccsodcrcduccióna laformaescalonadareducida
porrcnglones.demuestre queunamatrizBnoesinvertiblesiunrenglónesunacombi
naciónlinealde
otrosrenglones.
4.ScaA =round(IO*(2*rand(7)-I».
SeaB=AperoB(:,3) =2*B(:,I)- B(:,2).
Seae~Apecoq:,4)~q:,I)+q:,2)-q:,3)yq:,6)~3-q:,2).
SeaO=Apero0(:,2)=3*0(:,1),0(:,4) =2*0(:,1)-0(:,2)+4*0(:,3),
0(:,5)~0(:,2)-5-0(:,3).
a)EncuentrerrefdeB.eyD.¿Quépuedeconcluiracercade lainvertibilidaddeunama
trizen
laquealgunascolumnassoncombinacioneslinealesde otrascolumnas?
h)Pruebesuconclusióncon otramatrIzaleatoriagenerada Eymodificadacambiando
algunascolumnasallnacombinaciónlinealdeotras.
e)ParaB.eDyE.busquepatronesenlos nLJmerosderrefquereflejenloscoeficientes de
lascombinacioneslineales.Describadichospatrones.
ti)¿Dequéformaserelacionaesteproblemacon elproblema5de MATLAB1.7?

5.TillOSeSllecialesdematrices
1.8Inversadeunamatrizcuadrada 115
tl)Generecincomatricesaleatoriastriangularessuperioresconelementosenterosentre
-10yID.Utiliceelcomandotriu.Paradosdelasmatricesgeneradascambieunele
mentode
ladiagonala O(porejemplo. silamatrizsellama A.modifiquelacon elco
mandoA(2.2)~O).
i.PruebesicadalIna esillvertible.Describaunaconclusiónquerelacionelostérmi
nosde
ladiagonalde lamatriztriangularsuperiorconlapropiedaddeserono
invertible.Pruebe
suconclusióncontreso mÍlsmatricestriangularessuperiores.
ii.Paracadamatrizinvertibleencontradaen i)encuentrelainversautilizando el
comando¡m'.¿Cuillessuconclusiónacercade laformade lainversadeunama
triztriangularsuperior?¿Cómo
SOllloselementosde ladiagonalde lainversaen
relaciónconloselemenlOsde ladiagonalde lamatrizoriginal?¿Dequéforma se
relacionaestaobservacióncon i)?
iii.(Lápi:::ypapel) Supongaque Aesunamatriztriangularsuperiorde3X3
[H
:J.
I
Describalospasosnecesariosparareducir lamatrizaumentada [A1](1esla
matrizidentidad)alaformaescalonadareducidaporrenglones yutilicelades
cripciónparaverificarlasconclusionessobrelasinversasdematricestriangulares
superioresalasquellegóen
i)yii).
h)Pruebesilassiguientesmatrices yotrascon elmismopatróngeneralsononoinverti
bIes.Describasusresultados:
5
9
13
23
67
1011
1415
:]
12
16
e)Enelproblema11deMATLAB 1.3seaseguróque elsistemaobtenidoalajuslar un
polinomiodegrado 11a11+Ipuntosconcoordenadasdistintasllevaraaunasolución
única.¿Quéindicaestehechoacercadelamatrizdecoeficientes?Pruebe
suconclusión:
primerodéunvectorxconcoordenadasdistintas
yencuentreV =\'andcr(x):después
pruebe
V.Repilaelmismoprocedimientoparaotrostresvectores x.
••
Considerelassiguientesmatrices.
12345 12-175
O-12-12 O-12-32
A/=1OO2-1 A2=1O31-1
11-111 11 41
OO OO4 OOO O4

116 CM'iTULO1 Sistemasdeecuacioneslinealesymatrices
395 5 1 2-345
495 32 -2-58-8-9
A3=21313 A4=12-279
591094 11O 612
OOOO-5 24-6811
2-445-1
O O 51-9
AS=7-1487-2
7-14O4 11
9-181714
a)Haciendousode comandorrcf,pruebe silasmatricesAIaA5sono noinvertibles.
Pruebe
lainvertibilidadde A/*A2.A1*A3.A/*A4.A/*A5, A2*A3.A2*A4.A2*A5.
A3*A4.
A3*A5YA4*A5.Obtengaunaconclusiónsobrelarelaciónentrelainvertibili
daddedosmatricesy lainvertibilidaddesuproducto.Explique laformaen lacualla
evidenciasoporta suconclusión.
h)Paracadapardematrices AyBdelproblemaanteriortalesque ABesinvertible.en
cuentre
im'(A*B)-im'(A)*inv(B)eill\"(A*B)-inv(B)*inv(A)
Obtengaunafórmulapara (ABrlenterminosdeA-
1
ya-
I
,
Explique.
7.Perturbaciones:matricescercanas tiunamatriznoinvertihle
Introduzcalamatriz
A=[~:~]
VerifiquequeAnoesinvertible.Enlo quesigueAsecambiaaunamatrizinvertible eque
escercanaa A,modificandounodeloselementosde A:
e=[~: ~]
789 +r
donde!esunnúmeropequei'io.
Antesdecontinuar.dé
elcomandoformatshorte.Este comandoharáquelosnúmeros
aparezcanennotacióncicnlifica.En MATLAB.porejemplo.Le-SrepresentalO-l.
a)Introduzca
r=1.e-S;e=A;C(3.3)=A(3.3)+r;
Verifiquequeeesinvertibleyencuentre ill\'(C).
h)Repitaparaf=Le-7yf=Le-lO.

1.8Inversadeunamatrizcuadrada 117
e)Comenteacercadel tamañodeloselementosde¡n,,(C)(realizandounacomparación
con
eltamañodeloselementosde C)conformefsehacepequeño.esdecir.conforme C
seacercamásanoserinverlible.
ti)Seinvestigarálaexactituddelassolucionesalossistemasenlosquelamatrizdecoefi
cientesescercanaaserinverlible.Observeque
si
e=[~: ~Iyb=[ ,65]
789+f) 24+f
enloncesex=b,dondex =[:}esdec;r,xeslasoluciónexacta,Introduzcax =Ilil;11
Paracadafutilizadaena)yb).formeCybyresuelvaelsistemaCy=bhaciendouso
deinv(C)(dando
elnombrede yalasolución).Encuentre z=x-y.¿Quétancercanaes
lasolucióncalculada
yalasoluciónexacta x?¿Cómocambialaexactitud conformefse
hacemáspequei'!a.esdecir.conforme Cseacercaanoserinvertible?
8.Esteproblema
serefierealmodelodeinsumo-productodeLenotief.Resuelvalosproble
masusando
(1-At'.dondeAeslamatriztecnológicaquedescribelasdemandasinternas.
Interpretesusresultados.
[SugerenciadeMATLAB:lamatrizIde11x11sepuedegenerar
coneye(n).]
a)Elproblema45deestasección.
h)Elproblema9b)deMATLAB1.3.
Utiliceformat longsideseamásdígitosenlasrespuestas.
9.Criptografía
Unodelosprocedimientosque
seutilizanparaencriptarunmensajesecretoeshaceruso
deunadeterminadamatriz
cuadradacuyoselementossonenterosycuyamatrizinversa
tambiéncontieneelementosenteros.
Serecibeunmensaje.seasignaunnúmeroacadaletra
(porejemploA=1,B=2.etc.,yespacio=27).searreglanlosnúmeros enunamatrizde
izquierdaaderechaencadarenglón,
dondeelnúmerodeelementos enelrenglónesigual
altamaiiode
lamatrizdecódigo. semultiplicaestamatrizpor lamatrizdecódigo porla
derecha.setranscribeelmensajeaunacadenadenúmeros(quese leedeizquierdaadere
chaa
10largodecadarenglón) ysemandaelmensaje.
Eldestinatariodelmensajeconoce lamatrizdecódigo. Éloellareacomodan elmen
sajeencriptadoenunamatrizdeizquierdaaderechaencadarenglón,
endondeelnúmero
deelementos
enunrenglóncoincidecon eltamañodelamatrizdecódigo.multiplica por
laderechaporelinversode lamatrizdccódigoypuedeleer elmensajedecodificado(dc
izquierdaaderechaencadarenglón).
a)(Lápi=ypapel)Sisearreglaelmensajeenunamatrizrealizandounalecturadeizquierda
aderechademaneraque
elnúmerodeelementosenunrenglóncoincidacon eltamaño
delamatrizdecódigo.¿porquédebemultiplicarse porladerecha?¿Porquéalmultipli
carpor
lainversasedecodifica elmensaje(esdecir.sedeshace elencriptado)?
h)Ustedharecibido elsiguientemensajeque fueencripladousando lamatrizdada A.
Decodifíquelo(supongaque A=1.B=2.Yasisucesivamente.yespacio=27).

IDTRANSPUESTA DEUNAMATRIZ
-6
4
2
5
2O
-31
42[
'-1][1B'=34 C'=2
l6 ~6
A'=(~ ~J
a"
a
l1
o
a"
""
a"
o
"
.,
a
11
a
n o
a2" a"
u
22
oa-,
S;A~ ,entoncesA'= (1)
11
a.,a-,
oa
-"
(/In(/1"oa
"-
SimplementesecolocaelrenglónideAcomolacolumnaideA'ylacolumnajdeA
comoelrenglónjdeA'.
Transpuesta
Sea
A=(tlij)unamatrizdemX11.Entonceslatranspuesta deA,queseescribeA',esla
matrizde 11X111queseobtienealintercambiarlosrenglonesporlascolumnasdeA.De
manerabreve.sepuedeescribir A'=(a
ji
).Enotraspalabras
/vIClIstlje.47.49.-19.257.487.10.-9.63.137.236.79.142.-184.372.536.59,70.-40.332.588
¡Vultl.Elprimerrenglónde lamalrizquenecesitaconstruires4749 -19257487. Alto
r:lcontinúeconelsegundoreglón.
En
correspondenciaatodamatrizexiste otraque,comoseveráen elcapitulo2.lienepropie
dadesmuysimilaresa[asde lamatrizoriginal.
Encuentrelastranspuestasdelasmatrices
Obtencióndelastranspuestasdetresmatrices
Alintercambiarlosrenglonesylascolumnasdecadamatriz seobtiene11.Solución
EJEMPLO 1
DEFINICIÓNa
118 CM)iTUI.O1 Sistemasdeecuacioneslinealesymatrices
12 -J45
-2-58-8-9
A~ 2-279
11 O612
24-6811

TEOREMAa
LDEMOSTRACiÓN
DEFINICiÓNEa!
EJEMPLO 2
1.9Transpuestadeunamatriz 119
Obscrve,porejemplo.que4 eslacomponcnteenclrenglón2 ylacolumna3deCmientrasque
4
eslacomponenteenelrenglón3y lacolumnas2de C.Estosignificaque elelcmcnto2.3de
Cesclclemento(3.2)de C.
Supongaque A=(ay)esunamatrizde 11x111yB(bijlesunamatrizde 11Ixp.Entonces
i.(A')'~A. (2)
ii.(AB)'~B'A'. (3)
iii.SiAYBsonde 11x/JI.entonces(A+B)'=A'+E'. (4)
¡v.SiAesinvertible.entonces A'esinvertibley(A')-I=(A-I)'. (5)
i.Estosiguedirectamentedeladefinicióndelatranspuesta.
ii.Primero.seobservaque ABesunamatrizdeJIxp.demaneraque (AB)'esdepx1/.
TambiénB'esdcpxmyA'esde111x11,demaneraquc B'A'esdepx11.Deestafor
ma.ambasmatrices enlaecuación(3)tienenclmismotamaño.Ahora. elelementoij'
deABesiA¡bk¡'yésteeselelementojide(AB)'.Scane=B'YD=Ar.Entoncesel
,.,
elementoii,C.,deeesb"yelelcmcntoii.d.deOes(/".Asi,elelemento)'¡de CD=
'Jlj ,"P '" 'Jlj'" J'
elementojideB'A'=:~>jldki =~>k¡.a¡~ =:~>;Ai =elementojide(ABY.Lodicho
,-1 ~_I 1_1
completalademostraciónde lapartciI).
¡ii.Estaparte sedejacomoejercicio(vea elproblema14).
iv.ScaA-I=B.EntoncesAB=BA=Idemaneraque.delinciso ii),(AB)'=B'A'=/'
=¡y(BA)'=A'B'=l.Por10tanto,A'esinvertibleyB'eselinversode A',esdccir.
(A')-'~B'~(A-')'.
Latranspucstajucga unpapeldesumaimportanciacn lateoriadematrices. Encapitulas
posteriores
severúquc AyA' tienenmuchaspropiedadesencomun.Comolascolumnasde
A'sonrenglonesde Asepodráncstablecerhechossobre latranspuestaparaconcluirquecasi
todo
10quecsciertoparalosrenglonesdeunamatriz secumpleparasuscolumnas.
Lasiguientedefinición esfundamentalen lateoriadematrices.
Matrizsimétrica
Lamatriz(cuadrada) Ade1/xJIsedenominasimétrica siA'=A.Esdecir,lascolumnas
de
Asontambiénlosrenglonesde A.
Cuatromatricessimétricas
Lassiguientescuatromatricessonsimetricas:
B~l-~ -;~] c{~ ~ ~-fl
Enloscapitulas5 y6severálaimportanciadelasmatricessimétricasreales.

problemas1,9
(6)
-2
O
d)4X4e)3X3hl3X4
i~]do;veotocescolamn"con"componentes.Entonc",.de In"",,,ibn
a)4X3
r-
1
IJr
l
-IJ
a)l~ ~ h)l~ ~
1.SiunamatrizAesde3x4,entonces A'esunamatrizde _
a'b=a'b
V.Latranspuestade(12 3),~_~_
-1OO
11.Falso-lwdmiel'O:A' estádefinidasólosi Aesunamatrizcuadrada.
,'b~(a,a,o a)[::]~a,h,+a,b,+0+ab
.,'11,.,,,
b, '
111.Falso-l'e,'Jadel'O:SiAesunamatrizde"x",entoncesladiagonalprincipalde A'l'S
lamismaqueladiagonalprincipalde A.
IV.Ftlf.w-l'ert/t1t/el'O:[(A')']'=A'
AUTOEVALUACIÓN
OTRAFORMADEESCRIBIR ELPRODUCTO ESCALAR
Deesemodo.siaybsonvectorescolumnade11componentes,entonces
Lafórmula(6)scrúdeutilidad másadelanteenestelibro.
a'=(al'(/!'"(/)
Entoncesa'besunamatrizde1X1 (oescalar).yporladefiniciónde lamultiplicaciónde
matriz
Ahorabien,aes llnamatrizde1/X1demaneraquea'esunamatrizde1X 11Y
Sean'{lb~
(1)enlapágina58,
SistemasdeecuacioneslinealesymatricesCM'iTUWI120

L[-~:J
2.
[~ ~J
3.
U-:J
4.[-;~]
S.(~ ~J [-;
2
~] [~
2
-;]
-1
6e
-23
-IJ o 8. 47.
5 4-21-5
-55
[-;
-2
-:] ~) [1-~]
12.[;
b
e]
9. 2
10[:
O1
11. ,j
-35
1O
")
g
Enlosproblemas1a 13encuentrelatranspuestade lamatrizdada.
1.9Transpuesta
deunamatriz 121
21.Demuestrequelatranspuestade todamatrizdiagonalsuperiorestriangularinferior(vea el
problema1.8.35,página 110).
20,Demuestrequetodamatrizdiagonalessimétrica(vea elproblema1.8.31.página109).
23.Sean
Ay8dosmatricesantisimétricasde 11x/1.Demuestreque A+Besantisimétrica.
17.SiAY8sonmatricessimétricasdenX n.pruebeque A+Bessimétrica.
22.Unamatriz cuadradasedenominaantisimétrica siA'=~A(esdeciraij=-a).¿Cuálesde
lassiguientesmatricessonantisimétricas?
13.(~ ~ ~)
15.UnamatrizAde11x11esnormalsiAAl=AlA.Pruebeque lasiguientematrizesnormal.
14.SeanAy8matricesde 11Xm.Demuestre,usando ladefinición1,que(A+8)'=A'+8'.
24.SiAesunamatrizrealantisimétrica.demuestreque todacomponenteenladiagonalprin
cipalde
Aescero.
19,Demuestrequeparacualquiermatriz Alamatrizproducto AA'estádefinidayesunamatriz
simétrica.
18.SiAY8sonmatricessimétricasdenX n,demuestreque (A8)'=8A.

122 C\I'íTULO1 Sistemasdeecuacioneslineales ymatrices
25.SiAYBsonmatricesall¡isimétricas de11x11,demuestreque (AB)'=HAdemaneraque
ABessimétrica siysólosiAyB conmutan.
26.Sea Aunamatrizde 11X11.DemuestrequelamatrizIll(A+A')essimétrica.
27.Sea
JIunamatrizde 11X11.DemuestrequelamatrizY2(A-A')esantisimétrica.
V.h)
32.A=(~ ~)
IV.V)111.V)
31.(~ ~)
34.A=[~~il
11.'1
RESPUESTAS ALAAUTOEVALUACIÓN
Demuestrequecualquiermalriz cuadradasepuedeescribirde ullaformaúnica comola
sumadeunamatrizsimétrica yunamatrizantisimétrica.
(
a"a"J.l··I .d
Se"A=u"u,;"''''m"lmconelemenlosCO("csJno(ncgJ"I'VOSqueI"ne"Spmp",,-
dessiguientes:i)(/+a:,=1Yal,+a;,=1Yii)a
l1
(In=O,DemuestrequeAesin-
11 1_ l. __
vertibleyque;1-1=A'. a l¡ au
1.al
ParaobtenerA'unavez quesetienea lamatrizen [apilaseoprime[asiguientesecuen
cia
deteelas(observación: seconsideraqueseestatrabajandoenmodoRPNyconla
bandera(flag) 117enlaposición SOFT)
3().A=(~ ~)
Delosproblemas30a34calcule(A't
l
y(A~I)'ydemuestrequesoniguales.
MANEJODELACALCULADORA
*28.
*29.
• MATLAB1.9
JllfOI'l1/t/l.:iÓIIdI!MATLAB.Enlamayoriade[asaplicaciones.para encontrar[atranspuestade
A.A'.se
daA'.Aqui.es elapóslrofe.SiAlieneelemenlOScomplejos. A'ocasionarúlatrans
puestaconjugadacompleja;
sideseaencontrarlatranspuesladeA(sinconjugacióncompleja),
utiliceA.'
Para
generarmatricesaleatoriasconsultelosproblemasqueaparecenen lasecciónante
rior.
MATLAB1.6.

PROBLEMA
ePROYECTO
1.9Transpuestadeunamatriz 123
l.Generecuatropares. Ay8,dematricesaleatoriastalesque A8estedefinido.Elijaalgunas
matricescuadradasyaIrasnocuadradas.Encuentre
(A8)'-A'8
'
Y(A8)'-8
I
A
'
.Concluya
unafórmulapara
(A8)'enterminasdelastranspueSlasde AyB.
2.Consulteelproblema2deMATLAB 1.8.Paracadamatrizpresentada.verifique siA'eso
noinvertibleyrelacioneestedatocon
lainvertibilidadde A.Cuandotengasentidopara la
matriz.compare im'(A')conim'(A)'.
3.Generecualromalricescuadradasaleatoriasdediferentestamaños.
a)Paracadamatriz A.encuenlreB=A'+A.Describalospatronesobservadosen la
formadeestasmatrices }J.
b)Paracadamatriz A.seae=A'-A.Describalospatronesobservadosenestasmatri
ces
C.
c)Generecuatromatricesaleatoriasdediferentestamaños,algunascuadradas yotrasno
cuadradas.
Paracadamatriz Fgenerada.encuentreG =F*F'.Describalospatrones
observadosen
laformadeestasmatrices G.
ti)(Lápi:ypapel)Pruebesusobservaciones enlosincisosa).b)ye)usandolaspropieda
desde
la
tnlnspuesta.
4.a)(Lápi:ypapel)SiAesunamatrizconelementosreales.expliquelasrazonesporlas
cualesalresolver
elsistemaA'x=Oseobtienentodos losvectoresreales xtalesque x
esperpendicularatodaslas
colulllllasdeA.
b)ParacadamatrizAdadaencuentretodoslosvectoresrealesxtalesquexesperpendi
culara\Odaslas
co/ulllllasdeA.
2O 245
O2 O57
;.A= 1I ii.A=78O
-]1 7 O4
]1 91]
5.Matricesortogonales
Sea
A=2*rand(4)-1yseaQ=orth(A)(docorth). Qesunejemplodematriz orlogollal.
Lasmatricesortogonalestienenpropiedadesespecialesqueseexploraninenestepro
blema.
a)Genereunpardevectoresaleatoriosde4 xl.
xyy.Calculeelproductoescalarde
xyy,lIámelos.Calculeelproductoescalarde QxyQy;llámelor.Encuentres-ry
utiliceformatshortepara eldespliegueenpantalla.Repitaparaotrostresparesdex
Y)'.¿Cualessuconclusiónal compararelproductoescalardexY)'conelproducto
escalarde
QxyQy?
h)Pruebesuconclusióndelinciso a).GeneretresmatricesortogonalesQdediferentes
tamaños(usando
elcomandoorth)yalmenosdosparesdevectores
xyyporcadaQ.
Generecuandomenosunamatrizcompleja Q.ParacadaQ yparxyy.compareel
productoescalarde QxyQ)'.Escribaunadescripcióndesuprocesoysusrespectivos
resultados.
e)Paracada Qgeneradademuestreque lalongituddecadacolumnade Qesiguala
yquecualesquieradoscolumnasdiferentesde
Qsonperpendicularesentre sí(lalon-

124 CM'íTULOI Sistemasdeecuacioneslinealesymatrices
mmMATRICES ELEMENTALES YMATRICES INVERSAS
Considereque Aesunamatrizde mX11.Entonces,comosemuestmacontinuación. sepueden
realizaroperacioneselementalesconrenglonesen
AmultiplicandoAporlaizquierda poruna
matrizadecuada.Lasoperacioneselementalesconrenglonesson:
R~R
, ;
R---+R.+cR
; ; ,
i.Multiplicarelrenglóniporunnúmero ediferentedecero
ii.Sumarunmúltiplodelrenglón ¡alrenglónj
iii.Permutar(intercambiar)losrenglones iyj
Matrizelemental
giluddeunvectorestá
dadaporlaraízcuadradadelproductoescalardeunvector
consigomismo:longitud
=sqrt(x'*x)puedeutilizar elcomandonormenMATLAB
(docnOTro).Dosvectoressonperpendiculares sisuproductoescalaresigualacero.
ti)Paracada Qexplorelarelaciónentre Q,Q'einv(Q).Formule Ullaconclusiónsobre
estarelación.Describasuinvestigación
ysuprocesodepensamiento.Genere OIrasdos
matricesaleatoriasortogonalesdetamañosmásgrandes ypruebesuconclusión.
e)(Lápi:ypapf!!)Utilicelaconclusiónresultantedelinciso d)(yotraspropiedadescono
cidas)para probarlaconclusióndelinciso b).
Utilicelaconclusióndelinciso b)paraprobarlaobserv<lcióndelinciso c).[Sugeren
cia:DadalacolumnadeQseleccioneunvectoradecuadoxtalqueQxseaiguala la
columnadada.]
DEFINICiÓNa
Unamatriz(cuadmda) EdenX11sedenominauna matrizelemental sisepuedeobtener
apartirdelamatrizidentidad,
1",de11Xnmedianteullasolaoperaciónelementalcon
renglones.
NoTación.Unamatrizelemental sedenotapor E,oporcR¡,R
j
+cR¡,oporPij.deacuerdocon
laformaenque
seobtuvode /.Enestecaso, P,eslamatrizobtenidaapartirdelintercambio,
delosrenglonesde iyjdel.
Tresmatriceselementales
Lapruebadelsiguienteteorema sedejacomoejercicio(vealosproblemas 68a70).
Matrizobtenida
permutando
elsegundoy
tercerrenglones
de1
Matrizobtenidamultiplicando
elprimerrenglónde1por-3Y
sumandolo
altercerrenglón
Matrizobtenida
multiplicando
elsegundo
renglónde1por5i [~ ~ ~]
ii.[~~~]
;ii.[~ ~ ~]
Obtengatresmatriceselementalesde3X 3.
EJEMPLO 1

TEOREMAa
EJEMPLO2
1.1()Matriceselementalesymatrices inversas 125
Pararealizarunaoperaciónelemental enunamatriz AsemultiplicaAporlaizquierda
porlamatrizelementaladecuada.
Operacioneselementales mediantelamultiplicaciónpormatriceselementales
SeaA=[~~ ~ -~].Realicelassiguientesoperacioneselementalesconlosrenglonesde
3I -24
AmultiplicandoAporlaizquierdaporunamatrizelementaladecuada.
i.Multipliqueelsegundorenglónpor 5.
11.Multipliqucelprimerrenglónpor-3Ysúmeloaltercerrenglón.
111.Permuteelsegundoytercerrenglones.
o
a ••Solució"ComoAesunamatrizde3X 4.cadamatrizelemental Edebeserde3x 3.yaqueEdebeser
cuadradaymultiplicaa Aporlaizquierda.Seusanaquilosresultadosdelejemplol.
Lasecuaciones(1).
(2)Y(3)indicanquetodamatrizelemental esinverlibleyque suinversa
esdelmismolipa(labia1.4).Estosdatos sededucenapartirdelleorema [.Esobvioque sise
realizanlasoperaciones R.~R.+cR.seguidade R._R.-cR.sobrelamatrizA.lamatrizA
IJ' j J ,
nocambia.También R._cRseguidade R~1R.YlapermutadelosmismosdosrelH!lones
" , '", -
dosvecesdeja lamatrizAsincambio.Setiene
(1)
(3)
(2)
[1O1321][1
J
2 1]
i. (SR,)A~O5O4 23-5~201015-25
OO13[ -24 J1-2 4
(R,-3R,)A~[ ;
O
1
32
-:H~
J
21)
ii. I
O423 23-5
-3
O13I -2 -8-8 1
(P,,)A~[~01
3
:-+[:
3
21)
111. O14 2 1 -24
1O3I -24 42J-5
,n
Considerelossiguientestresproductos.cone"* O.
,o
[~
O
m
O
~H~
O
~]
,
I
O
o O
[~
o
~]U
O
~H~
O
~]
1 1 I
o O O
[~
O
m
O
:H~
O
~]
O O 1
1 I
O

I!DEMOSTRACIÓN
Nota.Elinversode un<lmatrizelemental sepuedeencontrar porinspección.No esnecesario
realizarcálculos.
•
(6)
R.-eR,,
(4)
(5)
Representación
simbólicade
laoperación
inversa
Multiplicael
renglónideA
por1.
,
Permutalos
renglonesiyj
dcA
Almultiplicar
porlaizquierda.
E"hacelo
~iguiente
Multiplicael
renglónideApor
-eylosumaal
renglón)
cR,
Representación
simbólicade
lasoperaciones
elementales
Permutalos
renglonesiyj
d,A
Efectode
multiplicarA
porlaizquierda
porE
(cRr
1
=J..R
,e'
(p.r
l
=p
""
Multiplicael
renglónideA
porey10sumaal
renglónj
(R¡+cRr
t
=R-eR
,, '
Multiplicael
renglón
ideApor
"0
Todamatriz depermutaciónelementalessupropiainversa.
Matriz
elemental
tipoE
Todamatrizelemental esinvertible.Elinversodeunamatrizelemental esunamatriz
delmismotipo.
Sea
A=EI'E
2
•• •
El/!dondecada E
i
esunamatrizelemental.Por elteorema2,
cadaElesinvertible.Másaún,por elteorema1.8.3,página96, Aesinvertible
'6
y
Permutación
Unamatrizcuadrada
esinvertiblesiysólosieselproductodematriceselementales.
Multiplicación
Suma
Tabla1.4
Laecuación(6)indica que
Resumiendolosresult<ldos:
Sistemasdeecuacioneslineales
ymatrices
TEOREMAE3I
TEOREMAE3I
CAl'íTULOI126
•
16AqUIseusólegeneralizacióndelteorema1.8.3param<.'isdedosmalf1Ces.Vea.porejemplo,elproblema18.22en
lap<íglna109

1.10Matriceselementalesymatrices inversas 127
(7)
:]esínvertibleyescribala comounproductodema
-2
Así,delteorema1.8.7enlapágína107,
fR¡
R,-2R,
R,-2R
3
Comolainversadeunamatrizelementalesunamatrizelemental,sehaescrito Acomo
elproductodematríceselementales yestocompleta laprueba.
Enformainversa,supongaque
Aesinvertible.Deacuerdocon elteorema1.8.6(teorema
deresumen),Aesequivalenteporrenglonesa lamatrizidentidad,loquesignificaque A
sepuedereducira 1medianteunnúmerofmitodeoperacioneselementales.Para elteore
maIcadaoperacióndeestetipo
selogramultiplicando Aporlaizquierdaporunama
trizelemental
y.porconsiguiente.existenmatriceselementalesEl' El"....E",talesque
ycomocadaE¡,esinvertibleporelteorema2,
[
24
Demuestreque
lamtllllZA=45
triceselementd1es 3
Yasehatrabajadoconestamatriz.en elejemplo1.3.1eulapágina7.Pararesolver elproblema
sereduceAa1yseregistranlasoperacioneselementales conrenglones.En elejemplo1.8.6en
lapágína
101seredujoAa1hacíendousodelassiguientesoperaciones:
Cómoescribiruna matrizinvertiblecomoel productodematriceselementales
••Solución
EJEMPLO 3
A-'seobtuvocomenzandocon 1yaplicandoestasnueveoperacioneselementales.Oceste
modo.
A-leselproductodenuevematriceselementales:
A-'=[~ ~ _~j[~ O~j[~ ~ ~j[~ O~j[~ -~ ~j
OO1OO1OO -1O51OOI
H,-lH, R,+R, -'o
H,+5H, R -lR,,
x[~
O
~JU
O
m-~
O
m
o
~j
_1
1 1 1
;
O o o o
-~H, R,-3R, R,-~R, -~R,

DeFINICiÓNa
128 CAPiTULO 1
TeOREMAa
Sistemasdeecuacioneslinealesymatrices
PorloqueA=(A-1t
l
""productodeI<lSinversasde[asnueve matricesenordenopuesto:
[~
4
:H~
O
m
o
m
o
m
o
m
2
~J
5 1 1 1 -3 1
1
-2oo o o O o
","
+'~R, x,+JR, -3R, N,UN,
x[~
O
m
o
-m
o
-~J[ ~
o
~J
1
-5 o o o
R,-SN, -', N,-R, R,+28,
Sepuedehacerusodelteorema3paraextender elteoremaderesumen,cuyaúltimaversiónse
presentóenlapágina106.
Teoremaderesumen(puntodevista3)
SeaAunamatrizde11X11.Entonceslassiguientessiete'afirmacionessonequivalentes.
Esdecir,cadaunaimplicaa lasotrasseis(detTI<lneraquesiunaafirmaciónescierta,
todas
sonciertas.ysiunaesfalsa,todassonfalsas).
i.Aesinverlible.
ii.Laúnicasoluciónalsistemahomogéneo Ax=Oeslasolucióntrivial (x=O).
iii.ElsistemaAx=btieneunasoluciónúnicaparacadan-vector b.
iv.Aesequivalenteporrenglonesalamatrizidentidadde 1/Xn,l.;esdecir,laforma
escalonadareducida
porrenglonesdeAesl •.
v.Asepuedeescribircomo elproductodematriceselementales.
vi.Laformaescalonadaporrenglonesde Atiene/1pivotes.
vii.detA"=1-O(porahora,det Aestádefinidosólo siAesunamatrizde2x2).
Existeunresultadoadicionalqueserálnil
enlasección2.3.EnprÍmerainstanciasenecesita
unadefinición(dadaantes
enelproblema1.8.29.púgina 109).
Matriztriangularsuperiorymatriztriangularinferior
Unamatriz cuadradasedenominatriangularsuperior(inferior) sitodassuscomponen
tesabajo(arriba)deladiagonalprincipalsoncero.
Nota.(J,!estádebajode ladiagonalprincipal sii>j.
EJEMPLO 4 Dosmatricestriangularessuperioresy dosmatricestriangularesinferiores
LasmatricesU yVsontriangularessuperioresmientrasquelasmatricesL yMsontriangula
resinferiores:

Comolainversadeunamatrizelemental esunamatrizelemental sehaescritoAcomo
elproductodematriceselementales yU.
SeaAunamatrizcuadrada.Entonces Asepuedeescribircomounproductodematrices
elementales
yunamatriztriangularsuperior U.Enelproducto,lasmatriceselementales
seencuentrana laizquierdaylamatriztriangularsuperiora laderecha.
Laeliminacióngaussianapararesolver elsistemaAx=bdacomoresultadounamatriz
triangularsuperior.Paraqueestoseaevidente,observeque
laeliminacióngaussiana
terminarácuando
lamatrizestéen laformaescalonadaporrenglones,y laformaes~
calonadaporrenglonesdeunamatrizcuadradaseatriangularsuperior. Sedenotame
dianteUa
laformaescalonadaporrenglones de'A.EntoncesA sereduceaUatravés
deunaseriedeoperacioneselementalesporrenglón.cadaunadelascuales
sepuede
obtenermultiplicandoporunamatrizelemental.Así.
U=EmEm_,···E2EIA
L=(~ ~)
y
1.1()Matriceselementalesymatricesinversas 129
Escribalamatriz
SereduceAporrenglonesparaobtener laformaescalonadaporrenglones:
como
elproduclOdematriceselementales yunamatriztriangularsuperior.
yunamatriztriangularsuperior
Cómoescribirunamatrizcomo
elproductodematriceselementales
DEMOSTRACiÓN
TEOREMAa
••Sollldón
EJEMPLO5

A~[~
6
J[~
O
m
o
~]
5 1
1
O O
",
11,+111,
x[~
O
m
O
m
2
-~)
1 1 1
O -1 O
11,+11, NI-N,
"
problemas11Q
AUTOEVALUACIÓN
Sistemasdeecuacioneslinealesymatrices
Del{l.\'lIfimwdolll'X!¡'iguiellfesil1dique si~'Ollfalsasf)j'erdutleras
,-,,,
11,-lR,
x[-:~ ~][! ~ ~)[~:~]
OO1[O[118
_:]~[~ O~][ ~ ~ ~)
O OO1 -1OI
111.Todamatrizsepuedeescribircomo elproductodematriceselementales.
IV.Todamatrizcuadradasepuedeescribircomo elproductodematriceselementales.
V.Todamatrizim"crtiblesepuedeescribircomo elproductodematriceselementales.
VI.Todamatrizcuadradasepuedeescribircomo elproductodematriceselementales y
unamatriztriangularsuperior.
1.Elproductodedosmatriceselementalesesunamatrizelemental.
11.El¡m"ersodeunamatrizelementalesunamatrizelemental.
[
12
u=O1
OO
Después,al trabajarhaciaatrás.se veque
y
tomandolasinversasdelascuatromatriceselementalesseobtiene
CM,jTULOI130
Elijala opció"querep"cselltelurespllcsrtIcorrecta
La;nmsadol~
O
~)~
VII. 1
J
[~
O
~J [~
O
~] [~
-3
~) ~[~
O
~]
a) 1 b) 1 ,) 1 1
-) 1 O 3,

1.10Matriceselementalesymatricesinversas 131
e.1m""d,[~
O
~]5
VIII. 1
O
[~
O
-~)
h)[~
O
~]
<)[~
O
~] [~
O
~)
a) 1 1 1 á) 1
O O O O
LaIm,rsad,[:
1
~)"
IX. O
O
[I
1
-~]
h)H
-1
-~] [~
O
I]
á)[I
1
~]
a) O O <) O O
O
O 1 O
DelosproblemasIa 15determinecuálesmatricessonmatriceselementales.
\.
[~ ~J
2.
e~J
3.
[~:J
4.
[~:J
5.
[~ ~J
6.
[~ ~J
[I
1
~] [~
1
I]
7.
[~ ~J
8. O 9.o
O O
[i
O
~] [~
3
~] [~
O
~]
10. 1 1\. 1 12. 1
O o O
[~
oo
~] [;
Oo
~] [~
-1O
~]
\3.
1O
14.
1O
15.
1
O
O
1 O1 o1
1O O 1 OO
Delosproblemas 16a26escribalamatrizelementalde3x3quellevaacabolasoperaciones
conrenglones
dadassobreunamatriz Ade3x5mediantemultiplicacionespor laizquierda.
16.R,--4R
1
17.R¡_R
2
+2R
, 18.R,-R
3+3R,
19.R,_ R¡-3R, 20.
R
,
_R
, +4R
J
2\.R,~RJ
22.R,-~RJ 23.RI~R, 24.R1-R2+R)
25.RJ--R
J
26.R
,
_R
,
- 4R,

132 C\PiTlJLO1 Sistemasdeecuacioneslinealesymatrices
Delosproblemas 27a39encuentre lamatrizelemental EtalqueEA=B.
27.A=(_~:}S=G _~)
2S.A~(23J. IJ~(2-:)-14 -5
29.
A=U ~).B=(~ ~J
30.A~(23)(O 1~J
B~
-14• -1
31.A~(23).B~(-14) 32.
A=(~ ~).B~( -~-:)
-\4 2J
33.A~[¡:]B~[~ ~]
34.A~[¡:]B~[~ -~]
[O5][-3-1] [12][-1-2]
35.
A=~:,B= ~ ~
36.A= ~ ~,B= ~:
[12][-5-6]
37.
A= ~:,B= ~ :
A~[~
25
~JB~[~
2 5
-~]
38. -13 -1 3
O
-2 -10-27
39A ~[~
25
nB~[~
O
1110]
-13 -134
O
-2 O-27
Delosproblemas40a 52encuentrelainversadelamatrizelementaldada.
40.
(~ ~)
41.
(~n
42.
(-:~)
(~ ~) [:
I
~] [~
O
-~]
43. 44. O 45. I
O O
[~
-2
~] [-~
O
~] [~
O
~]
46. I 47. I 4S.
_L
,
O O O
[~
OI
~]
IOO
~]
IOO
~]
IO OIO OIO
49. 50. 51.
OI OOI O
-3I
OO OOO OOO

1.10Matriceselementales ymatricesinversas 133
52.H~:~]
Delosproblemas53a62demuestrequecadamatrizesinvenibleycscríbalacomounproducto
dematriceselementales.
*66.
DemueslrequesiAesunamatrizlriangularsuperiorde1/X11concomponentesdiferentes
deceroenla
diagonal.entoncesA-
1
estriangularsuperior.
68.
DemuestrequesiPi!eslamalrizde11x11obtenidapermutandolosrenglonesiyjdeIn.
entoncesPijAeslamatrizobtenidaalpermll1arlosrenglones iyjdeA.
3OO O]
13OO
OI3O
OO13
Sea
JI=(~;)dondeae"#-O.EscribaAcomounproductodetresmatriceselementalesy
concluyaqueAesinvertible.
[~
[
i]
53.
G;)
54.
(:~)
55. 2
5
[~
2
-~] [~
-[
-;] [~
O
:]
56. 2 57. [ 58. [
O O -[
[~ ~] [~
OO
~]
61.[~
1OO
O
2 O3O
[
59. 60.
O-4 O21
O Ü OO 2
63.
62.
64.Sea A=[~ ~:]dondel/dI"#-o.EscribaAcomounproductodeseismatricesC!ementa-
OO f
lesyconcluyaqueAesinvenible.
*65.Sea
Aunamalriztriangularsuperiorde11x/1.Pruebequesitodacomponenteenladiago
nal
deAesdiferentedecero. entoncesAesinvenible.[SI/gercncia:Remitasealosproble
mas63y64.]
*67.Utiliceel
teorema1.9.1il'),púgina119 yelresultadodelproblema66parademostrarque
siAesunamatriztriangularinferiorconcomponentesdiferentesdecero enladiagonaL
entoncesAesinvertibley A1estriangularinferior.

• MATLAB 1.10
134 CAPiTULO1 Sistemasdeecuacioneslinealesymatrices
69.Sea A.lamatrizcon eenlaposición}i.unos cilladiagonalycerosenaIrolado.De
"muestrequeAyAeslamatrizobtenidaalmultiplicarelrenglónideAporeysumarloal
renglónde).
70.Sea Milamatrizcon eenlaposiciónii,UllOSenlasotrasposicionesdeladiagonal.y
cerosenaIrolado.Demuestreque
M,Aeslamatrizobtenida almultiplicarelrenglóni
deAporc,
Delosproblemas71a78escribacadamatrizcuadradacomounproducIDdematriceselemen
tales
ydeunamatriztriangularsuperior.
71.
A=C ~)
72.A~(2-3) 73.
A=G-:)-46
A=(~ ~) A~[~
-1
;] A~[~
-)
;]
74. 75. 1 76. -)
-1 O
A~[;
O
~]
78.A~[~
)
-~]
77. ) 4
-14
°
RESPUESTAS ALAAUTOEVALUAClóN
,.F 11.V 111.F IV.F V.V VI.V
VII.a) VIII.h) IX.d)
l.Elpresenteproblemaexploralaformadelasmatriceselementales.Observe quecadama
triz
elementalsepuedeobtencrapartirdelamatrizidentidadconunamodificación.Por
ejemplo.
es
laidentidaddeF(3.2)=e
eslaidentidadconF(2.2)=('
eslaidentidadconrenglones2 y3intercambiados
[
'O
0]
F=OO1
O1O
EnMATLAB.F~eye(3);F(l2,31,;) ~F(l3,21.;)
F~[~;~]
EnMATLAB,F=c~'c(3);F(3,2)=e
F~[~ ~ ~]
EnMATLAB.F=c~'e(3);F(2,2)=e

1.10Matriceselementalesy matricesinversas 135
a)DéA=round(IO*(2*rand(4)-I».De lamanerareciéndescrita.introduzcalasmatrices
Fquerepresentanlassiguientesoperacionesconrenglones.Encuentre F*Aparaprobar
que
Fllevaacabolasoperacionesrealizadas.
i.R)--+4R, ji. R,-+R
1
-
3R! ¡ii.Intercambiode R,yR~
h)Encuentrein\'(F)paracada Fdea).Paracada F,expliquelasrazonesporlascuales
¡m'(F)esunamatrizelemental ydescribaquéoperacionesrepresentaconrenglones.
¿Porqué
esestaoperación la"inversa"de laoperaciónoriginalconrenglones?
2.Esnecesarioreducirunamatrizdadaa laformaescalonadareducidaporrenglonesmul
tiplicúndo]¡¡
pormatriceselementales.guardando elproductoen elordenenelqueseusa.
PorcuestióndeexactilUddeberúncalcularselosmultiplicadoresusandolanotaciónma
tricial(veaen
MATLAB1.5,problemal.elcálculodelosmultiplicadores yobserveen el
problema1deestaseccióncómo seformanlasmatriceselementales).
a)SeaA~[-; ~ ~J.
,11
introduzcaestamatriz yguúrdelaen A.DéB=A.Estocolocaunacopiade JIenB.Se
puedereducir Bdemaneraquecontengarref(A) yquedeenJIlamatrizoriginal.
e~-8(2,1)18(1,1)
FI=eye(3);FI(2,1) =c
B=FI*B
F
=FI
e~-8(3,1)/8(1,1)
formeF2con eenlaposicióncorrecla
B=F2*B
F
=F2*F
ContinúedeestamanerahastaqueB
seencuentreen laformaescalonadareducidapor
renglones.
Sicualquierelementopivote escero.serúnecesariorealizar unintercambio
derenglonesmultiplicando
porlamatrizelementaladecuada.
h)EncuentreF*AYA*Fdonde Fese[productode [asmatriceselementalesusadas yAes
lamatrizoriginal.¿Qué lediceeslosobre larelaciónentre FyA?Uustifiquesurespues
ta).
dEncuentreD=FI-I'F2-
1
'
••,*Fm-
'
,
dondeFIeslaprimeramatrizelementalusada y
Fmeslaúltima.¿Cuál eslarelaciónentre DyJI'?Uustifiquesurespuesta).
d)RePiladeIOSineisosa)a<')paraA~[~ ~ ~]
[~
' 4";J] 24,
3.a)SeaJI=
Realicelasoperacionesporrengloneshaciendousode lamultiplicaciónpormatrices
elementalesque
sedescribióen elproblemaIdeestasección.guardandolosproductos
delasmatriceselementalesperorealizandoúnicamenteoperacionesconrenglonesde
laformaR.--+R.+eR.hastaque Asereduzcaa laformatriangularsuperior(nocree,, .
unosenlasposicionespivote).Déa c¡¡damatrizelemental unnombredevariableydes
plieguetodaslasque
useysusinversas.Llame Ualaformatriangularsuperior.que es
elresultadofinal. yFalproductodetodaslasmatriceselementalesutilizadas.

lIDFACTORIZACIONESLUDEUNAMATRIZ
EJEMPLO 1
aunamatriz triangularsuperiory
4
O
-2
-7
2
-4
-5
4
3
10
-2
4
2
4
-3
-2
h)EncuentreL=Ff-
'*r"]-I*...FIII-I,dondeFleslaprimeramatrizelementalusada y
Fllllaultima. ¿QuepuedededuciracercadelaformadeLlosdelasmatriceselementa
lesylosde[asinversas deéslas?(analice[oselementos ysusposiciones).
e)VerifiquequeLV=A(asegúresede queAsealamatrizoriginal.Recuerde queUesel
resultadofinaldelareducción).Pruebe queestoseacieno.
ti)Repitadelosincisos a)ae)paraA=[~1~ ~ ~].
10768
4895
Sistemasdeecuacioneslinealesymatrices
ReduzcaporrengloneslamatrizA =
Enestasecciónsemuestra laformaenlacual seescribeunamatriz cuadradacomounproduc
todematricestriangulares. Estafactorizaciónresulta útilpararesolversistemaslineales con
llnucomputadoraysepuedeutilizarpara proburresultadosimportantessobrematrices.
En
lusección1.3seestudiólaeliminacióngaussiana.Eneseproceso sepuedereduciruna
matriza
laformaescalonada porrenglones.Recuerdequelaformaescalonada porrenglones
de
unamatrizcuadradaesunamatriztriangularsuperiorcon· unosycerosenladiagonalprin
cipal.A
maneradeejemplo.laformaescalonada porrenglonesdellnamatrizde3X3 seve
comosigue:
Encuentreunafactorización LUdeunamatriz A
Paralospropósitosdeestasecciónsepretendereducir porrenglonesunamatriza laforma
triangularsuperiordondelosnúmerosdiferentesdeceroen ladiagonalprincipal nosonnece
sariamenteunos.Estoselogranoinsistiendoen
quecadapivoteseaiguala l.
CAl'iTUlO1136
despuésescriba Acomounproductodeunamatriztriangularinferioryunamatriz triangular
superior.
•Solución Seprocedecomoantes;sóloqueestaveznosedividenloselementos deladiagonal(pivotes)
porsimismos:
[-~
32
-~]
11,-'11,-211,
[~
32
-:] ,[~
32
-:]
10-4
11,-'>11,+;11,
-8
11,-'>11,-~N,
-8
N,-'>R,'N, 4 R,-'>N,-¡N, 4
,
-2-5 O!
-2 O3
-244-7 O76-3 O2011

o
1.11FactorizacionesLUdeunamatriz 137
~ ~ ~].quesetr<ltadeunamatnztnangularll1fcflorconunosen Iddl<lgonal
tIO
i.JfI
u=[~
OO
m
oo
m
oo
]
o 1o 1o
o
1 o1 -,
•
o
_l!'. 2o Oo, ,
x[~
oO
m
oo
~][-~
oo
~]A
1o 1o 1o
o
1 o1 O
oo o O oo
A=[~
oo
~][-i
oo
~t~
oo
~]
1o 1o 1o
o
1 o1 o1
oo oo oo
x[~
oo
m
oo
m
oo
~]u
1o 1o 1O
,
1 o1 O1
"
o
O
1O O
l!!
, ,
L=[-i
-1
Usandolasmatriceselementalescomo enelejemplo1.10.5,página 129,sepuedeescribir
Después
sepuedeescribir A=LV,dondeLestriangularinfcrior yVestriangularsuperior.
Loselementosde
ladiagonalde LsontodosigualesaI yloselcmentosde ladiagonalde Vson
lospivotes.Estafaetorización
sellamaf"¡lelorizaciónLUdeA.
Elprocedimientoutilizadoen elejemploI scpucdellevaracabomientras noserequieran
permutacionesparapoderreducir
Aalaformatriangular.Estonosiempre esfactible.Por
ejemplo,
elprimerpasoen lareducciónporrenglonesde
espermutar(intercambiar)losrenglonesI y2olosrenglones1 y3.
SehaescritoAcomounproductodeseismatriceselementales yunamatriztriangularsuperior.
Sea
Lelproductodelasmatriceselementales.Debeverificarque

eDEMOSTRACIÓN
138 C\l'iTLlLO1
TeOREMAa
TEOREMAm
Sistemasdeecuacioneslinealesymatrices
Supongaqueporelmomentodichapermutación noesnecesaria.Entonces,aligual queen
elejemplo1,sepuedeescribir A=ErE!....E"U.dondeUesunamatriztriangularsuperiory
cadamatrizelementalesunamatriz
lriangularinferiorconunosen ladiagonal.Esto sededuce
delhechode
queEesdelaformaR
j
+cR;Cnohaypermutaciones nimultiplicacionesderen
glonesporconstantes).Músaún.losnúmerosque sehacenceroen lareducciónporrenglones
estánsiempre
abajodeladiagonaldemaneraqueen R
j
+cR,siempresecumpleque)>i.De
estemodo,las
('aparecenabajode ladiagonal.Lapruebadelsiguienteteoremano escompli
cada(vealosproblemas 31y32).
Elproductodelasmatricestriangularesinferioresconunosenladiagonales unamatriz
triangularinferiorcon unosenladiagonal.Másaún,elproductodedosmatricestrian
gularessuperioresesunamatriz
triangularsuperior.
TeoremadelafactorizaciónLU
SeaA unamatrizcuadrada(11x11)ysupongaqueAsepuedereducir porrenglonesa
unamatriztriangularUsinhaceralguna permutaciónentresusrenglones.Entonces
existe
unamatriztriangularinferiorLinvertiblecon unosenladiagonaltal queA=
LV.Si,además,Vtiene11pivotes(esdecir, Aesinvertible),entoncesestafactorización
esúnica.
VyLseobtienencomoenelejemplol.Sóloesnecesario probarlaunicidaden elcasode
queAseainvertible. ComoVtiene11pivotes,suformaescalonada porrenglonestambién
tiene
/1pivotes(paraverificarestodividacadarenglónde Vporelpivoteeneserenglón).
Entonces,deacuerdocon
elteoremaderesumenen lapágina128, Vesinvertible.
Para
demostrarqueLesinvertible,considere laecuaciónLx=O.
Sededuceque XI=O,a
21
x
I+x
2=O,etc.loquedemuestra queXI=x
2
'=x
n=OY
Lesinvertibleporelteoremaderesumen.Para demostrarlaunicidad,supongaque
A=L
I
VI=L
2
V
2
•
Entonces
uU-'~(C'L )(UU-')~ C'(LU)U-'~C'(LU)U-'~(C'L)(UU-,)~C'L
121112111,122,12221,
Paraelresultadodelproblema1.8.36enlapágina110, V;Iestriangularsuperiory L~I
estriangularinferior.Todaviamás,según elteorema1,LI-IL
2
esunamatriz triangular
inferiorconunosen ladiagonalmientras queVIV,-Ies triangularsuperior.Laúnica
formaen
queunamatriztriangularsuperioryunainferiorpuedenserigualeses siam
bassondiagonales.Como L~IL
2
tieneunosenladiagonalse veque
Vp;1=L~IL2=I
deloquesededucequeVI=V
2
yL
1
=L2"
•

EJEMPLO 2
1.11FactorizacionesLUdeunamatriz J39
USODELAF'ACTORIZACIÓNLVPARARESOLVER
UN
SISTEMADEECUACIONES
Supongaque sequiereresolver elsistemaAx =b.dondeAesinvertible.SiAsatisfacelahipó
tesisdelteorema2
sepuedeescribir
LVx=b
ComoLesinvertible,existe unvectorúnicoytalque Ly=b.ComoVtambiénesinverlible,
existe
unvectorúnicoxtalque Vx=y.EntoncesAx=L(Vx)=Ly=bYnuestrosistema
estaresuelto.Observeque
Ly=bsepuederesolverdirectamentemediante lasustituciónhacia
alrás.Esto
seilustracn elsiguienteejemplo.
Usode lafactorizaciónLUpararesolverunsistema
ResuelvaelsistemaAx =b,donde
••SOllldóllDelejemploI sepuedeescribir A=LV,donde
L~[:
OO
~] U~[~
32
4]
]O 4-8-8
_1,
]
y
O3
-4:
,
•
-]1
"
OO,,
ElsistemaLy=bconducealasecuaciones
Y,
2)'1+)'1
-7)'1+~)'1+)'3
_)'+ 1.)1+~),+
1 4 13)
o
~4
~-8
~-4
)'4=-1
)"1=4
)'2=-8-2)'1=-16
y)=-4+-t)',+¡Y2=12
)'4=-I+)'1- '¡)'2~1)')=-49
Seacabaderealizar lasustituciónhaciadelante.Ahora.de Ux=yseobtiene
2x
1
+3x
1
+2x)+4x
4
=4
4x
l
-8x
3
-
8x
4
=-16
3x)+9x
4
=12
+49x
4
=-49

~3]-'''''4-''-''-.:::!'''-'' l~ -~-:]',P',, l~ -~:]
O23 O 0-3
3,demaneraque.\3=1
+8x
4
O,demaneraqueXl=O
2x
1
4x~=-2.por10qucx]=-]
-2
-4
2
.\".=I
3x]=12-9x.
4.1:
1
=-16+8.1:)
2.\"1=4-3.':,
Lasoluciónes
•
Alrealizarestareducción porrenglonessehicierondospermutaciones.Primeroseintercam·
biaronlosrenglones1y3Ydespuéslosrenglones2y
3.
PAesunamatrizquedebeserreducida porrenglonesaunamatriztriangularsuperiorsin
realizarpermutacionesadicionales.
SupongaqueconelpropósitodereducirAaunamatriztriangularserequierealgunapermuta
ción.Unamatrizde permutaciónelementalesunamatrizelemental asociadaconluoperación
conrenglonesR,+2R
r
Supongaque.demomento, sesabeporanticipadocuálespermutaciones
debenrealizarse.Cadapermutaciónsellevaacabomultiplicando Aporlaizquierda poruna
matrizde permutaciónelementaldenotad<lpor Pi"Supongaqueenlareducción porrenglones
serealizan
111permutaciones.Sea
LAFACTORIZAClÓN PA=LV
Parareducir Aporrenglonesalaformatriangularsuperior,primeroseintercambianlosren
glonesIy3Ydespués
secontinúacomosemucstraacontinuación
Unafactorización PA=LU
Elproductodelasmatricesdepermutacioneselementales sellamamatriz deIlcrmulación.De
formaalternativa,unamatrizdepermutación
esunamatriz 11x11cuyosrenglonessonlosren
glonesde
1",perononecesariamenteen elmismoorden.
Ahora.hacerlas
/Jpermutacionesdeantemano esequivalenteamultiplicar Aporlaiz
quierdapor P.Esdccir.
Sistemasdeecuacioneslineales ymatrices
o
C,\I'iTL:lOI
EJEMPLO 3
140

1.11FactorizacionesLVdeunamatriz 141
y
[
OO
1]
1~=OIOy
100
Estamatriz sepuedereducira unaforrn¡¡triangularsuperiorsinpermutaciones. Setiene
Asi,cornoen
elejemplol.
~ ~][~ -~ :]~[~ -~:]
1O1 -25 2 -4-7
TEOREMAE:I
Algeneraliz<lrelresultadodelejemplo3seobtiene elsiguienleteorema.
Sea
Aun<lmatrizinvertiblede 11X11.Entoncesexisteunamatrizdepermutación Ptal
que
PA~LU
dondeLesunamatriztriangularinferiorcon unosenladiagonalyUestriangularsu
perior.Para
cadaP(puedehabermásdeuna),lasmatrices LyUsonúnicas.
/Vota,Siseeligeuna Pdiferenteseobtienenmatricesdiferentes. Siconsideramoselejemplo3.
sea
p.=[~ ~ ~](quecorrespondealapermutacióndelos dosprimerosrenglonesen elpri
OO1merpaso).
Sedebeverificarque
SOLUCIÓN DEUN SISTEMAUSANDO LA FACTORIZACIÓN PALV
ConsidereelsistemaAx =bYsupongaquePA=LV.Entonces
PAx=Pb
LUx=Pb
ysepuederesolverestesistemade lamismamanera queenelejemplo2.

EJEMPLO 4
Resuelvaelsistema
[
~ -~ :][:;]~[-~]
OO -3r) 21
SI-2s
1
+5x)=-6
2x
1
+3x)=9
-3x)=21
Porloque
2x
1
+3x]=7
2x
1
-
4x
2
+7.\-]=9
\'1-2x
1
+5x]=-6
Entonces.delejemplo 3
[~ ~ ~][~:] ~[-~]
2O1)'] 9
Entono"Y,~-6.Y,~7Y2y,+Y,~9.pocloqueJ,~21YY ~[~;]
ConlÓnuando,sebosoa unaxtalqueUX~[~;l"decó,.
Soluciónde unsistemausandolafactorizaciónPA=LU
Sepuedeescribirestesistemacomo Ax=b.donde
Sistemas
deecuacioneslinealesymatricesC\I'iTUWI
••Solución
142
Porúltimo.
2x
2
+3(-7)
XI-2(14)+5(-7)
7,demaneraque Xl=14
-6,porloqueXI=57

EJEMPLO 5
••Solución
1.11FactorizacionesLUdeunamatriz 143
Lasoluciónes
UNAFORMASENCILLAPARAENCONTRAR
LA
FACTORIZACIÓNLVDEUNA MATRIZ
Supongaque Aesunamatrizcuadradaque sepuedereduciraunamatriztriangularsuperior
sinllevaracabopermutaciones.Porendeexiste
uncaminomássencilloparaencontrar lafac
torización
LVdeAsinhacerusode lareducciónporrenglones.Estemetodo seilustraráenel
siguienteejemplo.
Uncaminomássencillopara obtenerlafactorizaciónLU
Encuentrelafactorización LVde
Elpresenteproblema seresolvióen elejemplol.Ahora seharáusode unmétodomássencillo.
SiA=LU.sesabeque Asepuedefactorizarcomo:
A~[ ~ I~ -~ ~]~[~ ~ ~ ~][~ ~ ~ ~.]~LU
-3-2-5-2 be1OOO tY
-244 -7 def1OOO z
Observeque elprimerrenglónde Ueselmismoque elprimerrenglónde AporquealreducirA
alaformatriangular.nohacefaltamodificarloselementosdelprimerrenglón.
Sepuedenobtenertodosloscoeficientesfaltantescontansólomultiplicarlasmatrices.
Lacomponente2.1deAes4.Deestemodo. elproductoescahlrdelsegundorenglónde Lyla
primeracolumnade Uesiguala 4:
4=2aoa=2
Así
232
-~]+~t
O O
m
3 2
~~8]•
10-4 Io ><',-8
-3-2-5 ,¡I o"3 )(9
-2•
4-7"'-1,,2
Xlf oo ~-49,
Despuéssetiene:
componente
2.2: IO=6+1I~ 11=4

Sistemasdeecuacioneslinealesymatrices
4=-3+4e=>e=f
-2=2d=>d=-[
4=-2-14+J/=f=lf
-7=-4-14+60+:=>:=-49
-5=-3-5+.r=>x=3
-2=-6-5+y=>y=9
0=8+\1'=>w=-8
-4=4+\'=>v=-8
-]=2b=>b=~f
SiAesllnamatrizcuadradasingular(noinvertible),laformaescalonadaporrenglonesde
Alcndrúalmenosunrenglóndeceros. aligualque laformatriangularde A.Esposibleque
todavía
sepuedaescribir A=LVoPA=LV,peroenestecaso Vnoser:iinvertibley LYV
puedennoserúnicas.
Lafactorizacióneselrcsllhadoqueseobtuvoen elejemplo1con unesfuerzoconsiderable
mentemenor.
Oh.,W1'(/{:;ÓIl.Rcsu[1asencillo.enuna computadora.ponerenprúcticalatécnicailustradaen
elejemplo5.
FACTORIZACIÓNLVPARAMATRICES SINGULARES
Deaquíenadelantesepuedeninsertarlosvaloresquese encuentranenLyU:
componenle4.4:
Latécnicaque seilustraen elejemplo5funcionaúnicamente siAsepuedcreducirauna
matriztriangular
sinrealizarpermutaciones. Silaspermutacionessonnecesarias,primero
sedebemultiplicarAporlaizquierdaporunamalrizdepermulaciónadccuada;después se
puedeaplicaresteprocesoparaobtenerlafaclorización PA=LV
componente3,3:
componente4.2:
componente3,2:
componente3,1:
componente4.3:
componente2.4:
componente4.1:
componente2,3:
componente3,4:
C\I'íTULO1144
EJEMPLO 6 CuandoAno esinvertible.lafactorización LUpuedenoserúnica
Haciendousode latécnicadelosejemplos1o5 seobtienelafactorización
23]
OO ~W
OO

1.11FactorizacionesLUdeunamatriz 145
EncuyoC<lSO.Atieneunafaetorización LVperono esuniea.Debeverificarseque Anoes
invertible.
FACTORIZACIÓNLVPARAMATRICESNOCUADRADAS
yestafaetorizaciónesunica.aunque 8noseainvertible. Ellectordebeverificarestosdatos.
2
-5
OB=[~-:;]=[~:~][~
Porotrolado.
Esteejemplomuestraque
siunamatrizcuadradaconunafactorización LVnoesinverti
ble,sufactorizaciónLVpuedescronounica.
Enocasionesesposibleencontrarfactorizaciones LVparamatricesquenosoncuadradas.
TEOREMAD FactorizaciónLUparamatricesnocuadradas
SeaAunamatrizde 111X/l.Supongaque Asepuedereducira suform<lescalonadapor
renglonessinrealizarpermutaciones.Entoncesexistenunamatriz Ltriangularinferior
de
111x111conunosen ladiagonaly un<lmatrizVde111x11conI/ij=Osii>jtalesque
A=LU.
Nota.LacondiciónVij=Osii>jsignificaque Vestriangularsuperior enelsentidodeque
todosloselementosque
seencuentranpordebajode la'"diagonal"'son O.Porejemplo,llna
matriz
Vde3x5quesatisfaceestacondicióntiene laforma
_L__F~a~et_o_r_;z_a_c_;o_' n-=L~U-=d~e~u~n~a-=m~a~t~r~;z~4-=x~3-=_
mientrasqueunamatriz Vde5X3quesatisfaceestacondicióntiene laforma
Lapruebadeesteteoremano
sepresentaaquí:sulugar seilustracondosejemplos.
(2)
(1)
l/u1/
14
""]1/
23
1/
24
1/
25
d,11)4
1/
35
//12
d,
O
d,1/
11
l/u
Od,lIlJ
u=OO d,
OOO
OOO
[
d,
u= ~
Encuentrelafactorización LVde
[
-:-~:]
A= : -~ -l~

IIIIIIIIIIIIIL_,_a_,,_o_'_I,_a_'_lo_'"_L_U_d_e_"_"_a_m_a_'_'_I'_3_X_4__
146 C",'íTULU1 Sistemasdeecuacioneslinealesymatrices
••Soludó" Procediendocomoenelejemplo5 seestablece
h
2
-I~H~
OO
m
2
}w
-4 1o
"
-] ,1 ow
1 ,
f oO
Debeverificarqueestollevadeinmediatoa
[-:
OO
~]
U=[~
2 3
1O -2 8
L=
U
Y
6,1 O-76
4
,
ti
O O,
"
j]
7
4
-U,
[
3
-142][1O0][3-1
12 -35=t1OO f
2415i2100
Nota,Comoenelcasodeunamatrizcuadradasingular, siunamatriznocuadradatieneuna
faetorizaciónLV,puedeseronoúnica.
UNAOBSERVACIÓN SOBRELASCOMPUTADORAS
YLAFACTORIZACIÓNLV
[:-;-:~]=[~ ~ ~][~-:,~ 'y~]
2415bclOOx
Aldespejarlasvariables comoenelejemplo5seobtiene
Encuentrelafactorización
LUde
Seescribe
LossistemasdesoftwareHP50g,MATLAByotros,puedenllevaracabolafaetorización PA=
LVdeunamatrizcuadrada.Sinembargo,lamatriz Lqueseobtieneavecesno esunamatriz
triangularinferiorconunosenladiagonalperopuedeserunapermutacióndedichamatriz.
Deotromodo,elsistemapuede darunamatriztriangularinferior LyunaUconunos enla
diagonal.Larazóndeesto esqueestossistemasusanunafactorización LVparacalcularlas
inversasylosdeterminantesypararesolversistemasdeecuaciones.Ciertosreordenamientos
opermutacionesminimizaranloserroresderedondeoacumulados.
Seprofundizasobreestos
erroresyprocedimientosenlosapéndices3y
4.
••Soludó"

problemas111
1.11FaetorizacionesLUdeunamatriz 147
Mientrastanto,debetenerseen cuentaquelosresultadosqueseobtienenen lacalculadora
o
computadoraconfrecuenciaserándiferentesdelos obtenidosamano.Enparticular. siAse
puedereduciraunamatriz
triangularsinpermutaciones.enlonces cuandoPA:=LV.P:=1.No
obstante,muchasvecesse obtendráunaPdiferenteen lacalculadora.Porejemplo. si
igualqueenlosejemplos1 y5,entoncesMATLABdalafactorizaciónA :=LV.donde
~_L_'ll
~]
U~[~
104
O]
L~[-l
•
"
OO 9 2-7
II
I
Y O-""'"
•
"_L
O O O
..iS,
"
Nota.Unapermutaciónderenglonesde Lllevaa upamatriztriangularinferiorconunosen
ladiagonal.
AUTOEVALUACIÓN
DelasaWl'eraciollessiguientes,indiquecuál esI'erdaderaycl/álesfalsa
1.Paratodamatrizcuadrada Aexistenmatricesim'ertibles LyVtalesque A=LV,
dondeLestriangularinferiorconunosenladiagonal yUestriangularsuperior.
11.Paratodamatrizimertible A,existenLyVcomoen elproblema1.
111.Paratodamatrizin\'Crtible Aexisteunamatriz depermutaciónPtalquePA=LV,
dondeLyUsoncomoen elproblemal.
IV.Elproductodematricesdepermutaciónesunamatrizdepermutación.
Delosproblemas1a
11encuentrelamatriztriangularinferior Lconunosenladiagonaly una
matriztriangularsuperiorVtalqueA=LV.
1.
(:~)
2.
(~:)
3.(-~:)
[~
4
:]H
3
-:]
[;
I
~]
4. -1 5. 2 6. 3
2 -1-2 I
[:-:]
U
-~] [~
2-1
~j
9 I
7. 8.
-15
-] 2 9.
31
6
4
-16

22.A=(~
148 C""íTULO1 Sistemasdeecuacioneslinealesymatrices
r-f
3-1
;] r;
-15
~]
72 -16
10. 11
5-2 2-1
-45 -36
Delosproblemas12a21resuelvaelsistemadadousandolafaetorizaciónLVencontradaen
losproblemas1a 8.Estoes.resuelvaAx:::LUx::b.
12.A=G ~} b=(-~J 13.A=(~ ~} b=(-~)
14.A=(:~J.b=(-~J 15.A=(-~:}b=(~J
16.A=[~-;nbfiJ 17A=[;i:Jb=[:]
18.A=[:-~-nb=UJ 19A=[-;_~-:}b=nJ
20.A=[~ ~i-i;].b=[J21,A=H-1~~;];b=[~]
Oclosproblemas 22a30.a)encuentreunamatrizdepermutación Pymatricestriangulares
inferiorysuperiorLyUtalesque PA=LV:b)utiliceelresultadodelinciso a)pararesolver
elsistemaAx=b.
~}b=(_:J
24.A=[~ -~-1}b=UJ

1.11FactorizacionesLUdeunamatriz J49
31.Supongaque LyIVIsontriangularesinferioresconunosen ladiagona1.Demuestreque L¡'vl
estriangularinferiorconunosenladiagonal. [Suger(,l1cia:SiB=LM,demuestreque
b¡¡=i'.¡,lI1
lJ=1Y by=iliklllk)=O
j-_I '-1
si)>i.]
32.Demuestreque elproductodedosmatricestriangularessuperioresestriangularsuperior.
33.
34.
[
-121]
Demuestreque I-4-2tienemás deunafaclorizaciónLU.
4-8-4 [3-325]
.. ,. .2I -6O
ReahceelmIsmoprocedllmentoconla matnz
5.-2-45
1
-485
Delosproblemas 35a41encuentreunafactorización LVparacadamatrizsingular:
35.
e~)
3-2
4 3
-6-13
2-24
6
2
5
13
14
-1o
31
35
39.
36.
3-1
-12
34
14-3
=;j]
-2
3
5
-7
[
1
-5
-I~
41.
38.
Delosproblemas42a
47encuentreunafactorización LVparacadamatrizno cuadrada.
(-:
2
~J [-;~]
(-~
13
:J
42. 43. 44.
2 56
513 -12
45 [~
-12
i]
-242 165
16 46. 161 47. -237
2-1 -22O 1O2
5-31 415

RESPUESTAS ALAAUTOEVALUACION
MANEJODELACALCULADORA
IV.11111.V11.F
LafactorizaciónPA=:=LVsepuedeobtenerenlacalculadora, porejemplo:
Observequeprimeroseda
elargumentoque vaautilizarlafunción LU,lasolución
apareceenlapilacomo
Lenelrenglón3,Uenelrenglón2.Penelrenglónl.Lafae
torizacióntienelapropiedaddeque
PA=LU
Delosproblemas 48a53encuentrelafactorización PA=LVenlacalcuhldora.
[[-1.2..5J[3.1.-1][7.6.5]] LU
,.F
A=[~ ;) A=1~
-15
-;1
2
49.
1216
48. 1
1325
-1
165-8
ji
23 lO 4-826
A=1~
-74
14 5 9-18 13
50.
39
51.A= 5971-46 65-22
-1O
-813547 23-50
16-511
311429 26 92
2OOO
I02l
0.32-0.34
037I
123 OO
0.910.230.16 -0.20
52.A= 53.A=O561O
0.460.08 033-0.59
OO 232
0.83
0.71-0.680.77
OOO 56
SistemasdeecuacioneslinealesymatricesC\I'íTULOIISO
• MATLAB 1.11
1.Sisesiguenlospasosdescritosen elproblema3deMATLAB1.10,encuentrelades
composición
LVparaA:esdecir.encuentre LyVyverifiqueque LV=A.AquíUnoes
triangularsuperiorsinoqueseencuentraenlaformaescalonadareducidaporrenglones
(exceptoquelospivotesnonecesariamentesoniguales
al):
A=[I~:=::)
47 103
2.Elusodeladescomposición LVpararesolversistemas(consolucionesúnicas) esmas
eficientequelosmétodospresentadosanteriormente.

1.11FactorizacionesLUdeunamatriz 151
¡,,¡ormacióndeMATLAB.Elcomandox=Aresuelveelsistema[Ab]encolllrando
lafactorizacionLUdelamatrizAyhaciendosustitucioneshaciadelanteyhaciaatrás. Se
puedecomparar laeficienciadel'llgoritmoutilizadopararesoh'erunproblema. simedi
mos
el
tiempoquerequirióparallegaralresuhado.EnMATlAB.conloscomandostic.
loe(doetic.doetoe).
sepuedemedire!tiempotranscurridodesdeque seinicióuncomando
hastasufin.Con
elobjetivodepodercomparar laeficienciadelosdiferentesalgoritmos
introduzcalossiguientescomandosde
MATlABenlaventanadecomando
a)ElijaA = rand(SO)
yb =rand(SO.I).Introduzca
lie;A:toc
tie;A;Uu=toc
Es
necesariollevaracaboesteproceso yaquelaprimcravezquesellamaa unalgoritmola
computadoratienequecargarenmemoria elprogmmaadecuado.Con elsegundocoman
do.unicameme
semideeltiempodeejecucióndclprogramasinincluir eltiempodecarga
enmemoriadelalgoritmo.
Repitaahoracon
t
ic;rrer{lA.bl);toc
tic;rrer(lA.bl);,-rrd=toe
b)RepitaparaotrostresparesAyb(utilicetmnañosdiferentesymayoresquc50).
e)Comentelacomparacióndelosdosintcrvalosdetiempo,-Iuyerrd.
3.MATlABpuedeencontmrunadescomposiciónLV.peropuedenoserloqueustedespe
ra.Casisiempreexisteunamatrizdepermutación
Pimplícita.
a)SeaA =2*rand(3)-1.Introduzca Il.U,PI=lu(A)(doc lu)yverifiqueque LV=PA.
Repitaparadoso
masmatricescuadradasaleatoriasdediferentestamaños.
h)Larazónpor laquecasisiempreexisteuna Pesqueparaminimizarloserroresdcrc
dondeo.
seintercambianlosrengloncscon elobjetodeque elelementomayor(cnvalor
absoluto)deunacolumna(entrelosrcnglonesqueno
sehanusado)esté enlaposición
pivote.
ScaA
=roulld(10*(2*rand(4)-I)).Paraesta A.encuenlreL.UyPusandoel
co
mandolu.Scae=P*A.
i.Reduzcaalaform'ltriangularutilizandooperacionesconrenglonesde laformaR
j
-)oR.+c·R(calculesusmultiplicadoreshaciendousode lanQlaciónmatricial y
, '
realizandolasoperacioncsconrenglonesmcdianle lamultiplicaciónpormatrices
elementales)(vea
elproblem:l3dc MATlAB1.10).
11.Demuestrequcpuedcproceder lareducciónyqueencadaetapa elpi"OIeesel
elemcnto
masgrande(envalorabsoluto)deloselementosde lacolumnaqueest:i
abajode laposiciónpivote.Verifiqueque clresultadofinal eslamatrizUproducida
por
elcomandolu.
iii.Describalarelaciónentrelosmuhiplicadores ysusposiciones(en lamatrizele
mentalquerealiza
laoperacióncon elrenglón)yloselementosde Lysusposicio
nesen
L.
4.Introduzcaunamatrizalcatoria
Ade3 x3.EncuentreL.UYPutilizandoelcomandolu
comoen elproblema3deMATLABenestasección.Interpretelainformaciónalmacena-

152 C\I'iTULOI Sistemasdeecuacioneslinealesymatrices
daenLaligual queenelproblema3de MATLAB [.lO(ocomoseobservóen elproblema
3deestasección),realicelasoperacionesconrenglonesindicadaspara PAymuestreque el
resultadofinales U(debeestarsegurodereferirseaunelementode Lusandolanotación
matricial
ynoelnúmerodesplegado).
II!JTEORiADEGRÁFICAS:UNAAPLICACiÓN DEMATRICES
Enlosultimosai10ssehadedicadomuchaatencióna unárearelativamentelluevadelainves
tigaciónmatcmatica
denominadateoríadegráficas.Lasgráficas. quesedefinirúnenbreve.son
útilesen
eleslUdiode[aformaen lacualseinterrelacionanlas componentesdelasredesque
surgenen
elcomercio.lascienciassociales, lamedicinay otrasareasmás.Porejemplo,lasgráfi
casresultandeutilidaden
elestudiodelasrelacionesfamiliaresen unatribu,lapropagaciónde
una
enfermedadcontagiosao unareddevueloscomerciales quecomunicanaunnúmero dado
deciudadesimportantes.La teariadegráficasesuntemadegranamplitud.Enestasección se
presentaránúnicamentealgunasdefinicionesy semostrarálacercaníadelarelaciónentre la
teoriadegráficasy lateoriadematrices.
Acontinuaciónseilustrarádequémanerasurgeunagráficaen lapráctica.
EJEMPLO1
C.GRÁFICADIRIGIDA
C.VÉRTICES
Ii!ARISTAS
Figura1.9
Lagráficamuestralas
linea,deunaestaciónen
dire<ciónalasotras.
Representacióndeunsistemadecomunicaciónmedianteunagráfica
Supongaqueseestáanalizandounsistemadecomunicacionesunido porlíneastelefónicas.
Enestesistemahaycincoestaciones.
Enlasiguientetabla seindicanlaslineasdisponibles
endirección
"a".yprovenientes"de"lasestaciones:
Estación
1 2 3 4 5
1
,/
2
,/ ,/
3
,/
4 ,/ ,/
5
,/ ,/
Porejemplo,lamarcadel cuadro(1,2)indica quehayunalineadelaestación1a laestación2.
Lainformaciónen
latablasepuederepresentar porunagráficadirigida comolaqueseilustra
enlafigura
1.9.
Engeneral.unagráficadirigidaes unacolecciónde 11puntosdenominadosn~rticcs,denotados
porVI'V
2
,•
V
n
,
juntoconunnúmerofinito dearist:lsqueunen distintosparesdevértices.
Cualquiergráficadirigidasepuederepresentarmedianteunamatrizde 11X11endondeelnu
mero
delaposiciónijeselnúmerodearistasqueunenelvérticeiconelvérticej.
2

EJEMPLO 2
1.12Teoriadegráficas:unaaplicacióndematrices 153
Representaciónmatricialdeunagráficadirigida
Larepresentaciónmatricialde lagrúficaen lafigura1.9es
EJEMPLO 3
oIOOO
1OOO1
A=OOOIO
OI1OO
1OO O
Representaciónmatricial dedosgráficasdirigidas
Encuentrelasrepresentacionesmatricialesdelasgrúficasdirigidasen lafigura1.10.
(1)
2
figura1.10
2
6
Dosgráficasdirigidas )
4 3
;
a) h)
OOO1O1
A~[~
1O
iI
OOOO 11
••SO!lIdÓJI
OO 11OO 11
a) h)
A~
1O O11O1O
1O O1OOOO
11OO1O
EJEMPLO 4
••SO!lIdóll
Figura1,11
lagráficadirigida
representadaporA
Obtencióndeunagráficaapartirdesurepresentaciónmatricial
Esbocelagráficarepresellladapor lamatriz
O11 O1
1OO1O
A~O1OO O
1O1O1
O11 O
Como
Aesunamatrizde5x 5,lagráficatienecincovértices. Vealafigura1.11.
2
'->.---c713
4
;

EJEMPLO5
Figura1.12
LagrMkamuestraquién
dominaaquienenel
grupo.
154 C,\I'iTULO1
MATRIZDE
I!INCIDENCIA
Sistemasdeecuacioneslinealesymatrices
Ohsel'l'(l('Üíll.Enlosejemplospresentados setienengráficasdirigidasquesalisfacen[assi
guientesdoscondiciones:
i.Ningúnvérticeestáconectadoconsigomismo.
ii.Alomásunaaristallevadeunvérticea OIfO.
Lamatrizquerepresenta llnagráficadirigidaquesatisfaceestascondicionessedenominama
trizdeincidencia.Sin embargo.entérminosgeneralesesposibleteneryaseaun1en ladiagonal
principaldeunarepresentaciónmatricial(indicandounaaristadeunvérticehacia símismo)
ounenteromayorque1en
lamatriz(indicandomásdeunatrayectoriadeunvérticeaotro).
Paraevitarsituacionesmúscomplicadas(peromanejables).
sehasupuesto.y seseguirásupo
niendo.que
1)yii)sesatisfacen.
Unagráficadirigidaquedescribe eldominiodeungrupo
Lasgráficasdirigidasseutilizanconfrecuenciaensociologiaparaestudiarlasinteracciones
grupales.Enmuchassituacionesdeestanaturaleza.algunosindividuosdominanaotros.
El
dominiopuedeserdeindoJefísica,intelectualoemocional.Parasermásespecíficos, sesupone
queenunasituaciónqueincluyeaseispersonas.
unsociólogohapodidodeterminarquiéndo
minaaquién(estose
pudolograrmediantepruebaspsicológicas,cuestionariososimplemente
porobservación).Lagni.ficadirigidaenlafigura 1.12indicaloshallazgosdelsociólogo.
Larepresentaciónmatricialdeestagráficaes
OOOOOO
OOO
11 O
OOOOO
1
A~
1O1OOO
OO
IOO O
OOOOOO
Notendríamuchosentidointroducirlarepresentaciónmatricialdeunagráfica siloúnico
viablefueraescribirlas.Existenvarioshechosnotanvisiblesquesepuedenpreguntarsobrelas
gráficas.Parailustrarloanteriorconsidere
lagráficaenlafigura1.13.
Figura1.13
ExistentrayectoriasdeV,a
V,auncuandonohayuna
aristadeV,aV,.Unade
estastrayectoriasl'S
V,--->V,_V,.
v,
v,
v,

1.12Teoríadegráficas:unaaplicación dematrices 155
Observequeaunquenohayunaaristade VIaV
5
esposiblemandar unmensajeentreestosdos
vértices.
Dehecho.haycuandomenosdosmanerasdehacerlo:
(2)
y
(3)
DTRAYECTORIA
L:CADENA
Larutade unvérticehaciaotro sedenominatrayectoriaocadena. Latrayectoriade VIaV
5
en
(1)
sellama2-cadcnaporqueatraviesa pordosaristas.Latrayectoria(3)sellama3-cadcna. En
generalunatrayectoriaqueatraviesa por11aristas(yporlotantopasa por11+Ivértices)se
llamal/-cadena.Ahora.regresandoa lagráfica.sepuedeobservarque esposibleirde VIaV
s
alolargodelaS-cadena
(4)
Sinembargo.noresultaríamuyinteresantehacerlo.yaqueconunapartede laIrayectoriano
seobtienenada.Unatrayectoriaen laqueunvérticeseencuentramásdeuna vezsedenomina
redundante.
La5-cadena(4)esredundanteporque elvértice4 seencuelllrados veces.
Esdegraninteréspoderdeterminar latrayectoriamáscorta (siesqueexiste)queuneados
vértices
enunagráficadirigida.Existe unteoremaque'muestracómoesto sepuedelograr.pero
primero
seharáUllaobservaciónimportante.Como sehavisto.larepresentaciónmatricialde
lagráficaen lafigura1.9estádadapor
o1OOO
1OOO 1
A~OOO 1O
O
11 OO
1OO 1O
Secalcula
O1OOOO1OOO 1OOO 1
1
OOO 11 OOO 1 11 O1O
A'=OOO1OOOO 1O O11 OO
O
11 OOO 11 OO 1OO 11
1
OO 1O1OO 1O O 21OO
Observeconmáscuidadolascomponentesde
A".Porejemplo,el1enlaposición(2.4)es
elproductoescalardelsegundorenglónylacuartacolumnade A:
O
O
(1OOO 1)1
~1
O
1
Elúltimo1delsegundorenglónrepresentalaarista

156 CAPiTULO 1
TEOREMAa
Sistemasdeecuacioneslinealesymatrices
Elúltimo1enla cuarlacolumnarepresentalaarista
Almultiplicar.estosunosrepresentanla2-cadcna
Deigualmanera,
el2enlaposición(5, 2)deAleselproductoescalardel quintorenglóny la
segundacolumnadeA:
1
O
(1OO O)O
~2
1
O
Siguiendoelrazonamientoanteriorsepuedeapreciar queestoindicaelparde2-cadenas:
y
Sisegeneralizanestoshechos sepuedenprobarlossiguientesresultados:
SiAeslamatrizdeincidenciadeunagráficadirigida,lacomponente !ideAldaelnú
merode2-cadenasdeunvértice iaunvértice).
Haciendousodeesteteorema
sepuededemostrarqueelnúmerode3-cadenas queunenel
vértice¡conelvértice)es lacomponenteUdeAl.Enelejemplo2
11
O1O
121O1
A'=1OO 11
1
211 O
2OO 12
Porejemplo.las dos3-eadenasdelvértice4 alvértice2son
y
Ambascadenassonredundantes.Lasdos3-cadenasdelvértice5alvértice1son
y

TEOREMAE3I
EJEMPLO 6
1.12Teoríadegráficas:unaaplicacióndematrices t57
Elsiguienteteoremaresponde lapreguntaquesehizoacercade encontrarlatrayectoriamús
cortaentredosvértices.
Sea
Aunamatrizdeincidenciadeunagráficadirigida.SeaaJw1lacomponente ljdeA".
"
i.Sia{w!=k,entoncesexistenexactamente kl/-cadenasdelvértice ialvértice).
"
ii.Másaún. sia.f"'1=Oparatoda 111<IJy0(")=-Oentonceslacadenamáscortadel
.¡ lj ,
vérticeialvértice)esunan-cadena.
Cálculodecadenasmediante laspotenciasde lamatrizdeincidencia
Enelejemplo2setiene
O,
OOO ,
OOO,,,
O
,
O
OOO
,,,
O,
O ,
2,
O
,
A~OOO,
O1'(=O,,
OO A'=,
OO,,
O,,
OO ,
OO,.,,
2,,
O
,
OO
,
O O 2,
OO 2OO,
2
2 O,
3,
O22
3,
O22 3522,
A·=,
2,,
OYA
5
=22,,
2
22
,,
2 43,
J2
2J,
2O 342,
3
Como0::1
=0:;1=all;1=Oy0:;1=1.seobservaque larutamáscortadelvértice 1alvértice3
esuna4-cadenaqueestúdada
por
No1tt.TambiénsetienenS-cadenas(todasredundantes)queunen elvértice2consigomismo.
~
Dominioindirectodeungrupo
Enelejemplodesociología(ejemplo S).unacadena(quenoesunaarista)representacontrol
indirectodeunapersonasobreotra.
Esdecir.siPedrodominaaPablo,quiendominaaMaria,
sepuedeverquePedroejercealgúncontrol(aunqueseaindirecto)sobreMaría.Paradetermi-
narquiéntienecontroldirectooindirectosobrequién.sóloesnecesariocalcularlaspotencias
delamatrizdeincidencia
A.Setiene
OOOOOO OOOOOO O OO OOO
OOO,,
O ,
O2OOO OOOOO 2
OOOOO ,
Al=
OOOOOO
A'=
OOOOOO
A~,
O,
OOO OOOOO ,
OO OOOO
OO
,
OOO OOOOO ,
OOOOOO
OOOOOO OOOOOO OO
OOOO

prQblema51,12
4
1. 2 11. 2
1~3
4
5"
111. 2 IV.
5
[
IO
iJ
O1O1O OO 11 O
OO
OO
I11 11111
V. VI.I1OOO VII.O1O1O
IO
O
1
OOOO O 1OO 1
O1I1O OOO 1O
O
111 OO
1OOO 1O
11 O1O1
VIII.
OO IOOO
OOO
1O1
I1OO 1O
IX.Determineelnúmerode 2-,3-Y4-cadenasqueunenlos \'l:~rticesenlagráficadel
problema2.
X.Apliqueelmismoprocedimientoparalagráficadelproblema3.
DeImiproblemas5(l8(libujela.\'gníjicusquerepresellta"lasmatrh'esJadas.
De
lo.\'pmhlema~' Iti4el/(:ueml'cla "epreselltació/Imatricialdelagráfica(lirigidadada.
5
Comosevioenlagráficadelapágina[54.estasmatricesmuestranquelapersona P,tiene
controldirectooindirectosobrelodaslasdemás.
Eloellatienecontroldirectosobre P~yP"
controldesegundoordensobre PIyP)'ycontroldetercerordensobre P~.
Nota.Ensituacionesrealeslassituacionessonmucho mascomplejas.Puedehabercientosde
estacionesenunareddecomunicacionesocientos
deindividuosenunestudiosociológico
dominante-pasivo.Enestoscasos.lasmatricessonesencialesparamanejar
lagrancantidadde
datosquedebenestudiarse.
SistemasdeecuacioneslinealesymatricesCM'íTULOI158

1.12Teoríadegráficas:unaaplicacióndematrices 159
XI.Pruebequelarutamáscortaqueunedos,"érticesenullagráficadirigida noesredundante.
XII.SiAeslamatrizdeincidenciadeunagráficadirigida,muestreque A+A
2
representael
númerototalde )-y2-cadenasentrelos,"érticcs.
XIII.Describaladominacióndirectaeindirectadadapor lasiguientegráfica:
Figura
1.14
•
RESUMEN
Un\"cctorrenglón de"componentesesun conjuntoordenadode11númerosdenominadosesca-
lares.escritos
como(XI'x,"xJ
Unvectorcolumnade "componentesesunconjuntoordenadode11númerosescritos como
Unvectorcuyas componentessontodascerosedenominavectorcero.
Lasumade\"ectoresy lamultiplicaciónporescalaresestándefinidas por
(p.42)
(p.43)
(p.43)
(pp.48.49)
a+b= yo.a=
00,
00,
Unamatrizde /11x11esunarreglorectangularde milnúmerosarregladosen mrenglonesy
11columnas
""
a
l2
D
(/1"
°,1°,2
Da,"
A~
a"
a
"'
Da.,
Unamatrizcuyas componentessontodascerose denominamatrizcero.
SiAYBsonmatricesde 111X/1,entoncesA+Byo.A(o.unescalar)sonmatricesde mX11
(pp.9.45)
(p.45)
(pp.48.49)

SiIOdoslosproductosestándefinidos,entonces (p.64)
A(BC)=(AB)e
(p.60)
(p.61)
(p.63)
(pp.58.59)
+ab='a,b
.n"'-.,
;-1
b,
h,
""a,b¡+(/,b!+0
11
b.
Lacomponente /.jdeA+Bes{/+b"
lj ~
SistemasdeecuacioneslinealesymatricesCAPiTULO1
Pn}(III('(o.~ demat/'i('es
LacomponentedeijdeaAes01/;[
Elproductoescalardedosvectoresde 11componenteses:
=(lilblj+a"b,/+0+(li.b.j=¿(/;,bl;i
1;-1
Ll!J'I'.\"lli.l'fl'ihlftil'tl.l"pumltlmultiplicad/mdemofl"iees
Entérminos,losproductosdematricesnosonconmutalÍvos:esdecir,casi siempreocurreque
ABi=-BA.
SeaAunamatrizdemX11YBunamatrizde11xp.EntoncesABesunamatrizdemXpYla
componentedeijdeAB=(renglónideA).(columna)deE)
ytantoA(BC)como(A8)esonmatricesde 11Xq.
Ley1l.wdatil'UJI.'laI1lllltiplimdól1Ilel11(ltrh'('.\'
SiAesllnamatriz de11X/1/,BesdemXpYeesdepXq,entonces
160
A(B+C)=A8+AC y(A+B)C=AC+SC
Lamatrizdecoeficientesdeunsistemalineal
{/IIXI+a
l1
x,+oo.+al.x"=b,
{/lIXI+{l"X,+...+a~.x"=b!
eslamatriz (pp.9,16)
(111 (111 a,.
A=
G"
""
a,.
a.,a., a..
Elsistemalinealanterior sepuedeescribirutilizandolamatrizaumentada (pp,9,10,15)

Resumen
Lastresoperacioneselementalesconrenglonesson
Unpimteeselprimercomponentediferentedeceroen elrenglónde unamatriz
(p.13)
(p.87)
161
(p.13)
(p.1J)
(p.10)
b,
b~
b,
Y
b.
""
a
ll a" b,
a
ll
al) al~ b,
"
.,a.,
a
""
b.
"
x=
Multiplicarelrenglónideunamatrizpore:R¡---+cR,.dondec"*O.
Unamatrizestáen laformaescalonadaporrenglones sisecumplenlas primerastrescondicio
nesdelapágina13
Unamatrizestáen laformaescalonadareducidaporrenglonessise cumplenlascuatrocondi
ciones
dadasenlapágina 13
TambiensepuedeescribircomoAx=b.donde
Multiplicarelrenglóniporeysumarloalrenglón):R¡---+R¡+cRi'
Permutarlosrenglonesiyj:R¡:¡:::tRj"
Elprocesodeaplicaciónde operacioneselementalesconrenglonesauna matrizsedenomina
reducciónporrenglones. (p.10)
Laeliminaciónde Gauss-Jordaneselprocesoderesolucióndeunsistemadeecuacionesme
diantelareducciónporrenglonesde lamatrizaumentadaalaformaescalonadareducidapor
renglones,usandoelprocesodescritoenlapágina 9.
LaeliminacióndeGausses elprocesoderesolución deunsistemadeecuacionesreduciendopor
renglonesla matrizaumentadaalaformaescalonadaporrenglonesyutilizando lasustitución
hacia
atrás.
Unsistemalineal quetieneunaomássolucionesse denominaconsistente.
Unsistemalineal
quenotienesoluciónse denominainconsistente.
(pp.9,1S)
(p.1S)
(p.12)
(pp.11.12)
Unsistemalineal quetienesoluciones cuenlacon.yasea.unasoluciónúnicaoun número
infinitodesoluciones.
Unsistemahomogéneo
demecuacionescon11incógnitasesunsistemalinealde laforma
(p.14)
(p.36)
allx
l+a
l1
x
1++ al"x~=O
a
11
x
I+a
11'
,!++ (/l"X"=O

162 Sistemasdeecuacioneslinealesymatrices
Unsistermllinealhomogeneosiempretiene lasolucióntrh'jal(osolucióncero)
Lassolucionesparaunsistemalineal homogéneodiferenlcsdelatrivialse denominansolucio
nesnotrh·iales.
Elsistcmillinealhomogéneoanteriortiene unnÍlmeroinfinitodesoluciones sitienemásincóg
nitasqueecuaciones(11>111).
Lamatrizidentidad11x11,/._es1;,matrizde11X11conunosenladiagonalprincilJaIycerosen
otraparte.'.sedcnolilgeneralmentepor1.
SiAesunamatrizcuadrada.entonces Al=lA=A.
LamatrizAde11x11esim"ertiblcsiexisteUn:lmatrizA-
1
de11x"Iillque
Enestecaso lamatrizA-'sellamalaim'ersadeA.
SiAes¡nvertible.suinversaesúnica.
SiAYBsonmalrices¡n"ertiblesde11X11.entoncesA Bes¡nvertibley
Paradeterminar
siunumatrizAde11x11es
¡nvertible:
i.Seescribelamatrizcuadradaaumentada (Al/).
ii.SereduceAporrenglonesalaformaescalonadareducida porrenglones.
iii.a)Silaformaescalonadareducida porrenglonesde Aes/.entoncesA-
1
serálamatriza
lélderechade larayaverticalpunteada.
h)SilaformaescalonadareducidaporrenglonesdeAcontieneunrenglóndeceros.en·
tonces
Anoesinvertible.
(p.37)
(p.37)
(p.38)
(p.94)
(p.95)
(p.95)
(p.96)
(p.96)
(p.99)
l
a"
Lamalrizde2X2.A=
0
21
0
12
)esinvertiblesiysólosi
°22
(p.100)
eldeterminantede A.detA=011l/22-01:{l21*0
Encuyocaso
-a")
a"
DosmatricesAyBsonequivalentesporrenglónsiAsepuedetransformaren Breduciendopor
renglones.
Sea
Aunamatrizde 11X11.S¡
AB=/oBA=/.entoncesAesinvcrtibley B=A-l.
SiA=((1).entonceslatranspuestadI:'A.denotadapor A'.csu¡dadapor A'=(ti).
• •
Estoes.A'seobtieneintercambiandolosrenglones ylascolumnasde A.
(p.103)
(p.107)
(p.118)

Resumen
Hecho.\·sohrcla"'umpuesta
Sitodaslassumas yproductosestándefinidos yAesinvenible.entonces
163
IP.119)
(A')'=A (A8)'=8'A'(A+8)'=A'+8' siAesinvenible,entonces(A-
1
)'=(A-
1
)'
UnamatrizcuadradaAessimétricasiA'=A.
Unamatrizelemental esunamatrizcuadradaque seobtienellevandoacaboexactamenteuna
operaciónconrenglonessobrehlmatrizidentidad.Lostrestiposdematriceselementalesson:
Ir.119)
Ip.124)
cR, semultiplicaelrenglónide1pore:('=1=-O.
semultiplicaelrenglónide1poreysesumaalrenglón):e=1=-O.
sepermutanlosrenglones iyj.
Unamatrizcuadrada esinveniblesiysólosieselproductodematriceselementales.
Cualquiermatrizcuadradasepuedeescribircorno elproductodematriceselementales yuna
matriztriangularsuperior.
Fu(·to";zadÓIlLU
Supongaquelamatrizinvenible Asepuedereducirporrenglonesaunamatriztriangular
superiorsinrealizarpermutaciones.Entoncescxistenmatricesúnicas
LyUtalesque Les
triangularinferiorconunos enladiagonal.Vesunamatrizsuperiorinvenible yA=LV.
111a'l'izdepemllllució"
E=P..esunamatriz depermutaciónelemental. Unproductodematricespermutaciónelemen
"talessedenominamatrizdepermutación.
Fucto";zuciólIPA=LV
Seacualquiermatriz 111X/1.Entoncesexisteunamatrizpermutación PtalquePA=LV,donde
LyUsoncomoen lafactorizaciónLV.Entérminosgenerales. P.AYV nosonúnicas.
Teol'emade,.e.Hlmc"
SeaAunamatrizde /Jx/1.entonceslassiguientesafirmacionessonequivalentes:
i.Aesinvenible.
ii.Laúnicasoluciónalsistemahomogéneo Ax=Oeslasolucióntrivial (x=O).
iii.ElsistemaAx=btieneunasoluciónúnicaparacada/1-vectorb.
h'.Aesequivalenteporrenglonesa lamatrizidentidadde /1X11.l•.
v.Asepuedeescribircomounproductodematriceselementales.
\'i.detA"JcO(porahora,det Aestádefinidosólo siAesunamatrizde2 x 2).
viLLaformaescalonadaporrenglonesde Atiene11pivotes.
\'iii.Existenunamatrizpermutación P.unamatriztriangularinferior Lconunosen ladiago
nal.yunamatriztriangularsuperiorinvenible
U.talesque PA=LV.
Ip.129)
Ip.129)
Ip.138)
IP.140)
Ip.141)
(pp.128.141)

164
•
CM'íTULO1 Sistemasdeecuacioneslinealesymatrices
EJERCICIOSDEREPASO
De[osejercicios1a 18encuentrelassoluciones(siexisten)alossistemasdados:
1. 3.\1+6x
2
=9 2.3x¡+6x
1
~9
-2:1:
1
+3x,=4 2-'1+4.\1
~6
3.4.\1+6.\2
~5 4.3.\1-6.\,
~9
6.\1+9.\2
~15 -2.\1+4.\"2
~6
5.,
+x
2
+-',
~2 6.x
l
-
2x,+x
J
~I,
2x
1
-x
2
+2x
J
~4 2.\1+3x,-2x
J
=5
-3-'1+2.\2+3.\3
~8 -XI-4x,+3x
J
~4
7. XI+x
2
+,~O s.,
+x
2
+x
J
=2, ,
2.\1-x
2
+2x
J
~O 2x]
-x
2
+2x
J
~4
-3x
l
+2x¡+3x
J
~O -XI+4x!+x
J
~2
9.2.\1-3x¡+4x
j
~I 10. XI+x
2
+x
J
=2
3x
l
+3x¡
-5x
J
=5 2.\1-x
2
+2.\.1
~4
4-'1-5x
2
+Xl
~4 -XI+4.\"2+X
J
~3
11. XI+X
2+X
3~O 12.2.\1+x,-3x
J
~O
2x
1
-
X
2+2x)
~O 4-'1-x,+ x
J
~O
-x,+4.\2+x
J
~O
13. XI+x,
~O 14.
XI+x
2
~I
2.\:1+X::
~O 2x
1
x
2
~3
3.\1+x,
~O
3.\1+x,
~4
15.x
1
+x
1
+x
J
+,~4 16.3x¡-2-'2-Xl+2-'4
~O,
2x
l
-
3.\1-Xl+4x~
~7 4-'1+3.\2-Xl
-
2.\4
~O
-2x
l
+4-'1+Xl 2.1:
4
~I -6.\1-13x,+X
J
+10.\4=0
5x
l
-
x,+2x
J
+.\4
~-I 2x
l
-24-,,-2x)+2Üx
4
=0
17. X
1+X
2+Xl+,~O 18. X
1+.\1+X,+.\4
~O,
2-'1-3.\,- Xl+4x
4
~O 2-'1-3.\,-x,+ 4.\4
~O
-2x
1
+4x
2
+x
3
2x
4
~O -2x
1
+4x
2
+x)
-2x,~O
5x
1
-
X
2+2x)+X
4~O
Delosejercicios19a28realiceloscálculosindicados:
[
-2II
19.3 ~ ~)
20.
o
-1

Ejerciciosderepaso 165
25.[-:~ ~)[ ~-:~)
\O6 -735
23.6[:=~)-2[-~-;)
-12 26
24.(~ ~;t~ ~]
26.[~](\ 234)
7\
23
55]-\O
56
23
o3-\
\62
21.5[-:;~)-3[-~ O~)
-6[5 2-13
27.(;
Delosejercicios 29a33determine silamatrizdadaestáen laformaescalonada porrenglones
(peronoenlaformaescalonadareducida
porrenglones).enlaformaescalonadareducida por
renglonesoenningunadelasdos.
[~
OO
~) [~
8
-:] [~
34
¡]
29. 1O 30. 15 31. O1
O1
O1 OO
[~ ~]
33.(~
O2
~]
32.
13
Enlosejercicios34a 36reduzcalamatrizalaformaescalonada porrenglonesya laforma
escalonadareducida
porrenglones.
35[-;-¡
24]
O3
-11
36.[-~ -~ ~ ~]
O2I -[
Delosejercicios37a 43calculelaformaescalonada porrenglonesylainversa(siexiste)de la
matrizdada.
37.(23)
-14 (
-12)
38.
2-4
39.(~:)
40.[¡:-:]

Sistemasdeecuacioneslinealesymatrices
Delosejercicios44a
47primeroescriba elsistemaenlaformaAx =b,despuéscalculeA-
1
y,
porúltimouselamultiplicacióndematrices paraobtenerelvectorsolución.
42.[:-~-;J
h)DetermineE-
1
+AdjE=
e)DetermineE'+E-
1
+AcijE=
(1)Determine(E-
l
+e)+E'+E-'+AcijE=
a)
DeterminesilamatrizEdadaesinvertible;siloes,calculesuinversautilizandolaad
junta.
44. XI-3x
1
=4 45. XI
-3x
2
=4
2x
1
+5x,=7 2x
1
+2x
1
=3
46. XI+2-'2
~J 47. 2.\"1 +4x
J
=7
2x
1
+x
2
\')=-] -XI+3.\1+Xl=-4
3x
l
+x,+x
3
=7 Xl+2x)=S
SeaE~[:
-]O
-2]-12-2-6
48.
-2 1025
-1 61
]
41.[-~ ~ -~J
25-3
166
Dclosejercicios49a57calcule latranspuestadelamatriz dadaydeterminesilamatrizes
simétricaoantisimélrica.
17
(-~
]
;J (::J
(2-IJ
49. SO. SI.
D -1]
[:
]
-~1[-~
5
~1 [-;
1
-~1
52.-6 53. O 54. O
-5 -6-4 -]
h
-14
-~]
[-;
1-1
-i]
25 O1
55. 56.
S
] 1O
J-8 -2-1
57.SeaF=(~ 0J(''r'
calculeF+F-
-2
Delosejercicios58a62encuentreunamalrizelementalde3X3 quellevaríaacabolasopera
cionesconrenglonesdadas.
0---
"Delproblema1.9.22 delap<ígmJ121setienequeA esantl$lmétncasiA"--A

Ejerciciosderepaso 167
Delosejercicios 63a66encuentrelainversade lamatrizelemental.
63.
(~n
64.[I~ ~]
Delosejercicios 67y68escribalamatrizcomo elproductodematriceselementales.
67.(2 -1)
-1 1 68[¡;-:]
Delosejercicios69y70escribacadamatrizcomo elproductodematriceselementalesyuna
matriztriangularsuperior.
(
2
-1)
69.
-42 70.[i-~ ~]
Delosejercicios 71y72encuentrelafactorizaciónLVdeAyutilicelapararesolver Ax=b.
Delosejercicios 73y74encuentreunamatrizpermutación PylasmatricesLyVtalesque PA
=LVYutilicelaspararesolver elsistemaAx=b.
73.A =[~-;:].b=[-~]
13 -2 -[
74.A=[~ ~ ~]. b=[-~]
26-5 10
Delosejercicios75y76encuenLrela maLrizquerepresentacadagráfica.
oO11 O
OOO
11
Dibujelagráficarepresentada porlasiguientematriz: 1OOOO
O O
1
1
O OO
75. 76.
~D
4

Capítulo
2
DETERMINANTES
•
EIIDEFINICIONES
SeaA=[a
ll
(J12Junamatrizde1 x 2.Enlasección1.8enlapágina99sedefinióeldeter-
a
ll
a
l1
minanlede Apor
(1)
Confrecuencia sedenotarádet Apor
(2)
Ohsen'"d(ÍlI.Nohayque confundirestanotación conlasbarrasdevalorabsoluto.IAI denota
delAsiAesunamatriz cuadrada.Ixldenotaelvalorabsolutodexsixesunnúmerorealo
complejo.
Sedemostróque Aes¡nvertible.siysólosi,delA=F-O.Comoseverámasadelante.este
importanteteoremaesválidoparalasmatricesde 11X/l.
Enestecapílulo sedesarrollaranalgunaspropiedadesbásicasdelosdeterminantes yse
verácómosepuedenutilizarparacalcular lainversadeunamatriz yresolversistemas de11
ecuacioneslineales con11incógnitas.
Eldeterminantedeunamatrizde nX11sedefinirádemanera indllclÍl'(/.Enotraspalabras.
seusará10quesesabesobreundeterminantede2 x 2paradefinirundeterminantede3 x3,
queasu
vezseusaráparadefinirundeterminantede4 X
4.Yasisucesivamente.Secomienza
pordefinirundeterminantede3 X3.
t
.,---
Existenvanasmanerasdedeflflirundeterminanteyéstaesunadeellas Esimportantedarsecuentadeque"det"es
unafunciónque aSignaunnúmeroaunamatriZcuadrada

DEFINICIÓN11
2.1Definiciones 169
Determinantede3x3
[
""
SeaA=a"
""
""O'']
(1"al).Entonces
a
l
¡a
ll
a"l
u"
(3)
Observeelsignomenosantesdelsegundotérminodelladoderechode(3).
....L--=C~á~lc~u~lo--=d~e--=u~n~d~e~t~e~'~m~;~n=a~n~te--=d=e~3=---x--=3_
SeaA=[ ~::)CakuleIAI.
-124
••Solució"
35
IAI=4,
-12
:=31'31-s
1
4
24 -\
4
"'L_=C=á~lc~U~lo--=d~e--=u~n=d~e~t~e~r~m~i~n=a~n~te--=d=e=3=--- X--=3_
2-35
CalculeIO4
3-39
••Solución
2-3
1O
3-3
S
4=21
0
41-e-311141+511
9 -39 39 3
=2·12+3(-3)+5(-3)=O
Hayotrométodocon elquesepuedencalculardeterminantesde3X 3.Delaecuación (3)se
tiene
a"a"u"
=ClII(alla)J-a,/1
,2
)
-a
I2
(a
ll
a
ll
-Cllla
J1
)
a
21al!u"
+alJ(allaJ2-G¡¡a,l)
u"u"
a))
esdecir
(4)

170 C""íTULO2 Determinantes
SeescribeA yseleadjuntansusprimerasdoscolumnas:
EJEMPLO 3
+
Acontinuaciónsecalculanlosseisproductos.poniendosigno /llenosantesdelosproductos
conflechashaciaarriba,
ysesumanlodos.Estoda lasumadelaecuación(4).
Cálculodeun determinantede3x3 usandoelnuevométodo
352
Calcule423usando elnuevométodo.
-]24
••SoluciónSiseescribe
3~2J
4 2
-]24-)2
ysemultiplicacomo loindicanlasflechasseobtiene
IAI=(3X2X4)+(5X3X-1)+(2X4X2)- (-IX2X2)-(2XJXJ)-(4X4X5)
=24-15+16+4-18-SO=-69
Estemétodo/lOfuncionaparadeterminantesde 11Xnsi11>3.Siintenlaalgosimilar para
determinantesde4X4o deordenmayor, obtendráunarespuestaequivocada.
(
a"aJ
Antesdedefinirlosdeterminantes deIJX11debeobservarsequeen laecuación(3) -- 2}
an a}}
eslamatrizqueseobtienealeliminar elprimerrenglón ylaprimeracolumnade A;(a
lla,})
a
ll
a}}
eslamatrizqueseobtienealeliminarelprimerrenglóny lasegundacolumnade A.y(a
ll
a
22
)
a
JIal)
es
lamatrizobtenidaaleliminarelprimerrenglón ylaterceracolumnadeA.Siestasmatrices
se
denotanporM
w
MI!yM
lr
respectivamente,ysiA
II
==detMil'Al!=-detMI!yAl}=
detM¡rlaecuación(3)sepuedeescribir como
(S)
DEFINICIÓNE:IMenor
SeaA unamatrizde nX11YseaMIjlamatrizde (11-1)x(n-1)queseobtienedeA
eliminando
elrenglóniylacolumna).Mi)sellamaelmenorijdeA.

2.1Definiciones 171
EJEMPLO 4 Cálculodedosmenoresdeunamatrizde3x3
[
2
-14]
SeaA=Ol5.EncuentreMI)yM)!.
63-4
Cálculodedosmenoresdeunamatriz de4x4
Eliminandoelprimerrenglón ylaterceracolumnade JIseobtieneMI)=(~ ~).Demanera
similar.
siseeliminaeltercerrenglón ylasegundacolumnaseobtiene M
n
=(~ ~l
••Solución
lIIIIlID
'----------------
••Solución
SeaA=[~-~ ~ ~].EncuentreM
J
!yM!~.
l59 -2
4027
Alquü",eltete"tenglóny1"segundacolumnade A·seeneuent'"queM"~l;~:JDe
¡gunln'Un""M"{ -~n 42
DEFINICIÓNEl Cofactor
SeaAunamatrizde 11x1/.ElcofactorijdeA.denotadoporAl!'estadadopor
I
A~(-W1MII
9 9
(6)
Estoes,elcofactorijdeAseobtienetomando eldeterminantedelmenor ijymultipli
cándolo
por(-I)j+J.Observeque
(-Ji"~{I
-1
sii+jespar
sii+jesimpar
Ohsel"l'udólI.Ladefinición3tienesentidoapartirdeladefinicióndeundeterminantede 11X11
conlasuposicióndequeyasesabe loqueesundeterminantede (11-1)X(11-1l.
EJEMPLO 6 Cálculodedoscofactoresdeunamatriz de4x4
Enelejemplo5 setiene
I
,\,~(-I)H'IM"I~- 2
4
56
O) ~-8
27
-)5
A!~=(_1)2+4 59 =-192
4O2

172 C\I'iTUtO2 Determinantes
Ahoraseconsiderarálamatrizgeneralde 11X11.Aquí
la"
Gil
A=(j.21u"
G
IlI
Qnl
a,]
]"
""
(7)
DEFINICiÓNa Determinantenxn
SeaAunamatrizde 11X11.EntonceseldeterminantedeA,denotadopordetAoIAI,
estádadopor
(8)
L.:aexpresiónen elladoderechode(8)sellamaexpansión porcofactores.
Oh.l'(!!TlIciólI.Enlaecuación(8) sedefineeldeterminantemediantela expansiónporeofactores
en
elprimerrenglónde A.Enlasiguientesecciónseverá(teorema2.2.5) queseobtienelamis
marespuesta
siseexpandeporcofaclOresencualquierrenglóno columna.
IIIIIDIIL_C_a_Ic_"_I_o_d_e_l_d_e_,_e_,_m_i_"_a_"_,e_d_e_"_"_a_m_a_'_'_iz_d_e_4_x_4__
Calculedet A,dedonde
A=I~-¡~f]
••
Solución 135 2
O-134
219 6
=QIIA'I+a
l2A
11+anA]]+al'~'
3248
-134 O34 O-14 O-13
=1196- 3296+52I6-221 9
248 348 328 32 4
=1(-92)-3(-70)+5(2)- 2(-16)=160
Esobvioqueelcálculodeldeterminantedeunamatrizde11x11puedeserlaborioso.Para
calcularun determinantede4x4debencalcularsecuatrodeterminantesde3x 3.Paracalcular
un
determinantede5X5 debencalcularsecinco determinantesde4x4,lo queequivalea
calcularveinte
determinantesde3x 3.Porfortunaexistentécnicasquesimplificanestoscálcu
los.Algunosdeestosmétodos
sepresentanen lasiguientesección.Sinembargo,existenalgunas
matrices
paralascualesesmuysencillocalcularlosdeterminantes.Secomienza porrepetirla
definición
dadaenlapágina128.

DEFINICiÓNa
EJEMPLO8
EJEMPLO9
2.1Definiciones 173
Matriztriangular
Unamatriz cuadradasedenominatriangularsuperior sitodassuscomponentesabajode
ladiagonalsoncero.Esunamatriztriangularinferior sitodassuscomponentesarriba
deladiagonalsoncero.
Unamatrizsedenominadiagonal sitodosloselemenlOsque
noseencuentransobreladiagonalsoncero;esdecir,
A=(a)estriangularsuperior si
ay=Oparai>j,triangularinferior siaij=Oparai<j,ydiagonalsiaij=Oparai".,j.
Observequeunamatrizdiagonales tantotriangularsuperiorcomotriangularinferior.
Seismatricestriangulares
e=23 OYD=(~ ~J sontriangularesinferiores; 1(lamatrizidentidad) y
-[24
E=(~-~ ~]sondiagonales.Observequelamatriz Eestambiéntriangularsuperior y
loo-4
triangularinferior.
Eldeterminantedeunamatriz triangularinferior
o
••Solució"
l
a"
LamatrizA=a
21
aH
a"
~ ~ ]estriangularinferior.Calculedet A.
a
l2
a
ll
O
a
42
a
4l
a.¡.¡
a
nOO
=a
ll
a)2a
ll
O
a
42
a
4l
a.¡.¡
l
a"01=a11a
n
a.
J
G.¡.¡
TEOREMAa
Elejemplo9 sepuedegeneralizarparaprobar elsiguienteteorema.
Sea
A=(aij)unamatrizde JIXJItriangularsuperioroinferior.Entonces
(9)

174 CAPiTlJtú2 Determinantes
Estoes:eldefermil/ol/fl.'de 1/1/(/II/afl"i:triallgll/aresigualalprodllCIOde SI/Scampal/elITes
1.'11ladiagonal.
L.DEMOSTRACiÓN
EJEMPLO10
TEOREMAa
Lapartetriangularinferiordelteoremasededucedelejemplo9.Se demostrarálaparte
triangularsuperiorporinducciónmatemáticacomenzandoconn=2.SiAesuna
... laa,]
matnztnangularsupenorde2X 2.entoncesA= 11 IYdetA=tiO"-
O
11--
°e'-
(112'0=(llla
22
demaneraque elteoremasecumplepara 11=2.Sesupondráquesecum
pleparak=11-]Ysedemostraráparak=1/.Eldeterminantedeunamatriz triangular
superiorde 11X11es
al](111tl
u (/1"
O
a"a!3 a," a"
(1,n
O(/2l(123 l/2"
O {/33 (/3" O
a"
{/J.
OO {/3J a,"
=a
ll
-al!
OO
(l1J" OO (1,,"
OOO
(/""
O{/22 al"
O
.a2! (12.._1
OO {/3..
...+(-lt"a
1n
OO
{/J..-I
+{l1J +
OO (f,," OO O
Cadaunodeestosdeterminanteses eldeterminantedeunamatriztriangularsuperior
de(11-1)X(n-1)que,deacuerdo conlahipótesisdeinducción,esigualalproducto
delas
componentesenladiagonal.Todaslasmatricesexceptolaprimeratienen una
columnadeceros,porloqueporlomenosunadesuscomponentesdiagonalesescero.
Deestemodo,todoslosdeterminantes,excepto
elprimero,soncero.Porúltimo,
°12
O;!j o,n
O
a" a,"
detA=oll =°11(°22°""0"")
OO a
""
loquepruebaqueelteoremasecumpleparamatricesde 11x11.
Determinantesde seismatricestriangulares
Losdeterminantesdelasseismatricestriangularesen elejemplo8son IAI=2'2'1=4:IBI=
(-2)(0)(1)(-2)~O:ICl:5·3·4:60:IDI:O:I~:1:IEl~(2)(-7)(-4):56.
Elsiguienteteoremaserádegranutilidad.
Sea
Tunamatriztriangularsuperior.Entonces TesinverliblesiysólosidetT7c-O.

2.1Definiciones t75
I!
DEMOSTRACiÓN S"
a"
al!a" a"
Oa,"
a 23 a2"
T~OO
a" a,.
OOO
a••
Delteorema1,
Asídet T"#-Osiysólositodossuselementos enladiagonalsondiferentesdecero.
SidetT"#-O,entoncesTsepuedereducirporrenglonesa/delasiguientemanera.
Para
i=1,2,...,11,sedivideelrenglón¡deTpor(ji;*Oparaobtener
OO
a;.1
a!.
1
Éstaeslaformaescalonada porrenglonesde T,quetiene 11pivotes,yporelteoremade
resumenenlapágina
128,Tesinvertible.
Supongaquedet
T=O,Entoncesalmenosunadelascomponentesde ladiagonal
escero.Sea (/¡¡laprimeradeestascomponentes.Entonces Tsepuedeescribircomo
a"al!
u
lJ
_
1
a"
a
lJ
+
1
al"
O (122 (/2)_Ia
u
(/U+I (/!"
OO
Q¡-U-I
Q¡-U
ui_u+1 Qi-I••
T~
OO O O u¡.j+1 a,.
OO O O
ai+l.i+1 (jj+l."
OO O O O a..
CuandoTsereduceasuformaescalonadaporrenglones.no setienepivoteen lacolum
na
i(expliqueporqué).Entonces laformaescalonada porrenglonesde Ttienemenos
de
11pivotesyporelteoremaderesumen sepuedeconcluirque Tnoesinvcrtible.
INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DELDETERMINANTE DE2X2
ScaA=1:~l·Enlafigura2.1segraficaronlospuntos (a.c)y(h.d)enelplanoxyysedibuja
ronlossegmentosderectade
(O.O)acadaunodeestospuntos. Sesuponequeestasdosrectas
nosoncolineales.Estoequivaleasuponerque
(h.d)nocsunmúltiplode (a.e).
Elárl.':(gl.'nl.'radaporAsedefinecomo elúreadelparalelogramocontresvérticesen
(O,O),(a,e)y(h.d).

176 C\1'iTlJLO2 Determinantes
d
Q
,. Ca+/J,c+d)
,
,
,
,
,.
,
,
,
A(a.el
Figura2.1
Qestáenelsegmentode
lineaSeytambiénenla
rectaperpendicularaBe
quepa¡.aporelorigen.El
áreadelparalelogramoes
OQxOA.
TEOREMAE:I Elárcageneradapor A=IdetAI.t
Entonceslaecuacióndelarecta quepasaporByees
0---
tAquíIdet AldenotaelvalorabsolutodeldeterminantedeA.
a
c
a
y=-~x
e
a
e(ad-be)
a
2
+e
2
c be
y=-x+d--
a a
o
pendientedeBe
o
e be a
-x+d--=--x
a a e
(
.é+"-)x~bC -d
ac a
a
2
+e
2
be-ad
---x
ac
(y-O)~_,,
(x-O) e
y-d=.:.
x-ba
Hechoi1'),página2
1
PendientedeOQ=
ae(be-ad)
a(a
2
+e
2
)
x
Laecuacióndelarectaquepasapor (O,O)yQes
Qeslaintersecciónde BeyOQ,porloquesatisfaceambasecuaciones.En elpunlode
intersección
setiene
Sesuponeque ayesondiferentesdecero.Lapruebapara a=Ooe=Osedejarácomo
ejercicio(veael problema18).
Eláreadelparalelogramo-basexaltura.Labasedelparalelogramoenlafigura2.1
tienelongitud OA=Ja
2
+el.Laalturadelparalelogramoes OQ,dedondeOQesel
segmentoperpendiculara Se.Delafigura sevequela~coordenadasde e,elcuarto
vérticedelparalelogramo,son x=a+by)'=e+d.Así
PendientedeBC=dy=(c+d)-de
dx(a+b)-ba
I!:DEMOSTRACIÓN

2.1Definiciones 177
y
a a
cdetAadetA
Y""--;;x""-~'- al+c2""al+c2
EntoncesQtiene coordenadas
problema521
y
- .. c
2
(detAla'(detA)2
OQ=dlstancmde(O,O)aQ=. 2 21 + 2 2
'(a+e)(a+c)'
(el+alXdetAl (detA/ ¡detAl
(e'+a"/ a
2+e
2
~a2+e2
Finalmente,
. -- ~ Ide<AI
Areadelparalelogramo =OAXOQ='Ja
2
+e
2
x-+;;;';J,.
~a'+e
2
Sepodrádarunademostraciónmuchomássencilla deesteteorema cuandoseanaliceelpro
ductocruzde dosvectoresenlasección3.4.
AUTOEVALUACIÓN
1.¿Cuáldelossiguienteses elcofactorde3en[~ -~2:}
a)8 h)-8 ,)3 4O
<1)6 ,)-10 1)0
11.¿CuáldelassiguientesesO paratodaayb?
a)1a61
-6a
h)1o-61
-o6
á)Losdeterminantesnosepuedenestablecerporquenoseparecenlosvaloresde
ayb.
S;A~[~
-15
lnton,,,de<A
32
11I.
O-215
OO 1
a)O h)12 ,)-12 <1)6 ,)-6
IV.¿Cuálesdelassiguientesmatricesnosoninvertibles?
[~
4
~] [~
4
:]
a) 3 6) O
O O
,)[~
-15
;] <1)[~
-15
~]
31 31
OO O 4
OO OO

178 C,\I>íTULO2 Determinantes
Enlosproblemas1 al13calculeeldeterminante.
]O3
-]]O ]-]O 3-]4
1.O
]4 2.2]4 3.-] ]3 4.6 3 5
2
]O
]56 O32
2 -]6
-]O6
O O-2 -2
3]
5.O24 6. O ] ] 7.46 5
]2-3 -2-]4
O2]
2O3
]
5-2]
4] ]
O
]4 2
8.6O3 9.4]3 10.
42-]
OO
]5
-2 ]4
]2]O
23-]45
-3O O O -2OO7
O]782
-47O O
]2-]4
11. 12. 13. O O 4-]5
5
8-]O 3O-]5
O O
O-28
23O6 4 2 3 O
O O O O
6
14.Demuestreque siAyBsonmatricesdiagonalesde
nX1/.enloncesdel A B=delJIdelB.
*15.Demuestreque siAyBsanmatricestriangularesinferiores.entoncesAH=delAdelB.
16.Demuestreque,engeneraL nosecumplequedel(A+B)=delA+delB.
17.Muestreque siAestriangular,entoncesdel A""Osiysólositodosloselementosenla
diagonaldeAsondiferentesdecero.
18.Pruebeelteorema3cuando Atienecoordenadas (0,e)o(a,O).
**19.Mássobrelainterpretacióngeométricadeldeterminante:Sean u]yu,dosl-vectoresysean
VI=Au,yl'2=Au,"Demuestreque(úreageneradapor\'1y\'2)=(áreageneradaporu
1
y
u,)IdelAl·
RESPUESTAS ALAAUTOEVALUACiÓN
1.u) 11.h) 111.e) IV.h),e)
MANEJO DELACALCULADORA
Sepuedecalcular eldeterminantedeunamatrizdeunaformasencillacomo semues
traacontinuación.Una
vezquesetieneunamatrizen lapilasedaelcomandoDET
seguidode lateclaEnter, porejemplo
6JrL--6JrL--CD@DCDCD6J rL--[TI
CEOCIJ(ENrER)
Enlosproblemas10 al13utiliceunacalculadoraparaencontrar eldeterminantede
cadamatriz.

2.1Definiciones 179
1-12 35
6J
[3i
-14
6
10-643
9
16 4
20.7-12-126 21.
-6O23
94 13 815
4614 -11
811-9-86
-238-159146382-[89 0.620.37 0.420.560.33
-319248-556700682 0.290.460.330.480.97
22.462 96 -33[516-322 23.0.810.370.9[ 0.330.77
511856619 384906 0.350.620.730.980.18
603-431-236692-857 0.290.080.46 0.710.29
• MATLAB 2.1
InformacióndeMAllAB
Elcomandodet(A)encuentra eldeterminantede A(docdet).Aligualqueantes sepuedeutili
zarMATLABparagenerarmatricesaleatoriasde
11Xn.Porejemplo.
A=2*rand(n)-1
A=2*rand(n)-1+i*(2*rand(n)-I)
A=round(IO*(2*rand(n)-I»
(conelementosentre -1y1)
(conelementosrealeseimaginariosentre -1y1)
(conelementosenterosentre -10y10)
l.Enesteproblemadebed.investigarlarelaciónentredet(A)y lainvertibilidadde A.
a)Paracadamatriz.dctcrminc siAesonoesinvertible(utilizandorref)yencontrando
det(A).¿Dequéformapuedeusardet(A)paradeterminar
siAesonoinvertible?
-;]
[-9
-22
-~]
11;'n1:]
[-6
4 19
-I~
-99
l.-99 ii. 1
-27-2
4-2 9
414
8
-J5-95 I2-345
5
383O -2-58-8-9
h'.-55O8-5 ,'.I2-279
-910I-5-5 II O612
5-J2-1-J 24-6811
h)Losincisosi)yii)quesemuestranacontinuaciónprueban suconclusióndelinciso a)
convariasmatricesalealOrias(elijapor lomenoscuatromatricesen i)dedistintostama
ñosy
almenoscuatromatricesen ii).Incluyacuandomenosunamatrizconelementos
complejosparacadainciso.
i.ScaAunamatrizaleatoriadc 11x/l.Encucntredet(A).Utilicelosconocimientos
anterioresparadeterminar
siAesonoesinvertible.¿Dequéformaapoyasucon
clusiónestaevidencia?

180 C\I'i-rULO2 Determinantes
ii.SeaB unamatrizaleatoria de11x/1.peroparaalguna)arbitraria.seaB(:,j)igual
allna
combinaciónlinealde algunascolumnasdeB(desuelección).Porejemplo.
B(:,3)
=B(:,I)+2*8(:.2).Determine siBesonoinvertiblcyencuentredet(B).
¿Oc
queformaapoyasuconclusiónestaevidencia?
2.Paraseismalricesaleatorias
Aconelementosreales (paravaloresdiferentes denj,compare
det(A)condcl(A') donde;l'denota(enMATLAB) 1;1transpuestadeA.Incluyaporlo
menos
dosmatricesnoinverlibles(vea ladescripciónen elproblemaI b)ii)deMATLAB
enestasección).¿Qué leindicasu comparación?Repilae[mismoprocedimientopara 111,1
tricesconelementoscomplejos.
3.
ConstruyaseisparesdematricesalealOrias. AyB.de11X1/(usevaloresde 1/).Parac¡lda
par.sea
e=A+B.ComparedeHe)ydet(A)+det(B).Obtengaunaconclusiónsobrela
afirmación
det(A
+B)=det(A)+det(B)
4.ti)Haciendousodelosparesdematrices (AyB)dados.formuleunaconclusiónrespecto
a
dct(A*R)enterminosdelos determinantesdeAyB.
A=[;
7
~]
B=[-:
4
;]
A=[;
7
~] B=[~
2
I~]
;. 9 -2 li. 9 -1
4 6 4 4
A=[; ~]
A=['l
64
~] B=[~
94
ji
2
~]8=[-:
4
O
1J
¡ii. -1 -2 i\.
7-5 2,
411 16
6-] 18
h)Pruebetambiensuconclusión generandomatricesaleatoriasde 1/X11(generecuando
menosseisparescondiferentesvalores de11.Incluyaun parenelquellnadelasmatrices
seanoinvertible.Incluyamatricesconelementoscomplejos).
5.ti)Paralassiguientesmalfices.formule unaconclusiónrespectoa det(A)ydct(im'(,-\»,
(
2
')
i.12
..('-')n.
1-2
ii;'[-~ ~~] h.[-:-:~]
2 4 -229
h)Pruebesuconclusiónconvarias (cuandomenosseis)malficesalealOriasinvenibles de
11X11paradiferentesvaloresde 11.Incluyamatrices conelementoscomplejos.
lo)(LápizJptlpd)Pruebesuconclusiónutilizando ladcfiniciónde lainversa(esdecir.con
sidere
AA-
1
)
ylapropiedaddescubiertaen elproblema4deMATLABdeestasección.
6.SeaA=2*r:md(6)-I.
ti)Elijai.)y('ysea11lamatrizobtenida alrealizarlaoperaciónconrenglones R.--4eR,+
, '
RjsobreA.Comparedet(A)ydet(11).Repitapara cuandomenosotros cuatrovaloresde
i.)yc.¿Aquéconclusiónllega sobrelarelaciónentreeldeterminantedeAy eldetermi
nantedelamatrizobtenida apartirdeArealizandoeltipodeoperaciónconrenglones
dada?
h)Sigalasinstruccionesdelinciso a)peroparalaoperaciónconrenglonesR¡-->(·R..
l')Sigalasinstruccionesdelinciso ti)peropara laoperaciónconrenglonesqueintercam
bia
R¡yRj'

2.1Definiciones 181
(I)Paracadaoperaciónconrenglonesrealizadaen a).b)yc)encuentrelamatrizelemental
FtalqueFAsealamatrizobtenidaalrealizar laoperaciónsobrelosrenglonesde A.En
cuentre
det(!).Expliquelosresultados obtenidosenlosinósosl/l.h)Yl")utilizandosu
observaciónsobre
det(nysuconclusióndelproblema4 deMATLABenestasección.
7.EssabidoquesiAesunamatriz triangularsuperior.enlOncesdet(A)es elproduclOdelos
elementosde
ladiagonal.Considerelasiguientematriz M.dondeA.ByDsonmatrices
aleatorias
de11x11yOrepresent,1a lamatrizqueconsistesólodeceros:
(
"
Al=~
¿Puedeobtenerunarelaciónentre det(M)ylosdeterminantesdeA.ByD?
a)IntroduzcamatricesalealOrias de1/X/l.A.ByD.ScaC =zeros(n).A partirdelamatriz
bloque
1\1=lAB;COI.Pruebesuconclusión (siIOdavianohaformuladounaconclu
sión.encuentrelos
determinantesdeM.A.ByDYbusquepatrones).Repitapar,lotros
/l.A.ByD.
h)Repitaelprocesoanteriorpara
dondeA.B.C.D.EYFsonmatricesalealOriasde 1/X1/YOrcpn;sent,la ];1matrizde
11x11cuyoselementossontodoscero(esdecirzeros(n».
lliD8.(E.WI'prohlel1lu11melal"chinJ('011I'xll'lIJiú"111.01"111.1/1)Un¡laplic,¡cióngeométricadelos
determinantesde1X1hacereferenciaa laorientación.Siseviajaporlasaristasdeun
paralelogramo.se
vaenelsentido(orientación) delasm,mecillasdelrelojoensentido
contrario.
Lamultiplicaciónporunamatrizde2X 1puedeafeclardichaorientación.
Dadosdosvectoresu yl'.supongaquesetrazaelparalelogramoformado alcomenzar
en(O.O).recorrerhasta elfinalde u.despuéshasta elfinaldeu +1'.luegohastaelfinalde l'
ydespuésderegresoa (O.O);sellevaa caboestomismopara clparalelogramoform¡ldo por
AuyA\'.dondeAesunamatrizde2X 1(elcualserecorreprimeroalolargodeAu).
¿Cuándoseinvertirá1;1orientación(en elsentidodelasmanecillasdelrelojoensenti
docontrario)delparalelogramoforrmldopor AuyA\'respectoa laorientacióndelpara
lelogramoformado
poruy\''1
LasiguientefuncióndeMATLAB.de nombre01"11/./11sepuedeutilizarparainvestigar
estapregunta.Una
vezquehayaescrito lafunciónen elarchivode nombre01'llf./II.dédoc
orntparaobtenerunadescripcióndeloquehaceestearchivo.
functionornt(u,v,A)
%paralelogramodelorigen->u->u+v->v->origen
pp=[[O;OJ,u,u+v,v,[0;0]);
PPl=PP(:,1: 4);
%datosoriginales
de2Xl
de2Xl
2X2
v:vector
A:Matriz
u:vector
%QRNTgraficaparalelogramosformadosporU,VyAu,Avcon
% laorientaciondescritaenlapantalla.
,
,
,
,

182 C\I'iTUW2 Determinantes
subplot(121)
pplot(PP,PPl)
axissquare
títle('OrientacionInicial')
Xlabel('De1ightarrow2ightarrow3ightarrow4ightarrow1')
%datosdespuesdelamultiplicacionporA
subplot(122}
pplot(A*PP,A*PPl)
axissquare
title([,DespuesdelamuItporA=[.,
num2str{A(1,:}),';',num2str{A{2,:)),']'])
Xlabel('De1ightarrow2ightarrow3ightarrow4ightarrow1')
%funcionauxiliarunicamentevisibledentrodeornt
functionpplot(PP,PPl)
pIat(PP(l,:),PP(2,;),'b',PPl(1,:),PPl(2,:),'*');
text(PPl(1,:)',PPl(2,;)',num2str((1:4)')};
grid
Paracadauno delossiguientesproblemas.introduzca 11,\"yA(aquíu yvsonvectores de
2x1yAesunamatrizde2x 2).EncuentredctA.Déornt(u.",A).Enunapantalladegrúficas
aparecerúnlosparalelogramosformadosporu
y\'YporAuyA\'conlaorientacióndescritaen
lamisma.¿Semodificólaorientación?Despuésderesolver elsiguienteproblemaformuleuna
conclusiónrespectoa
laformaen lacualsepuedeutilizardet(A)paradeterminar sicambiará
ono
laorientación.Pruebesuconclusiónconmúsejemplos(cambie Ay/ouy,,).
Paracada
Autiliceu =11;01y"=10;11ydespuésu =1-2;11y\'=[1;31·
a)(:;) h)(~:) el(10)
3-1 ,~(: ~)
Notaimpofwllfe.Cuandotermineconesteproblema,asegúresede darelcomandoclg(doeclg)
paralimpiarlaventanadegráficasantesdecomenzarotroproblema.
EIIPROPIEDADES DELOSDETERMINANTES
Existenalgunosproblemasenmatemúticasque.enestrietateoría.sonsencillosperoqueenla
pnicticasonimposibles.Piense
porejemploen elcasode undeterminantedeunamatrizde
50x50.Sepuedecalcularexpandiendo porcoractores.Estoimplica 50determinantesde49X
49quea
suvezimplican50.49determinantesde 48x48queimplicana suvez...50.49.48.
47....3determinantesde2x 2.Ahorabien. 50.49....3=50!/2z1.5xlO""determinantes
de2x
2.Supongaque secuenIHconunacomputadoraqucpuedecalcular unmillón=1Ol,de
terminantesde2x2porsegundo.Tomariaalrededorde
1.5xIOs8segundosz4.8x10>0(l/lOS
terminarelcálculo(eluniversotienealrededorde 15milmillonesdeaños =1.5X10
10
años
según
laversiónteóricamásreciente).Esobvioque. sibienelcálculode undeterminantede
50x50.siguiendo ladefinición.esteóricamentedirecto.en laprúcticaesimposible.
Porotraparte.
lamatrizde 50x50noestanrara.Pienseen 50tiendasenlasque seofrecen
50productosdiferentes. Dehecho.lasmatricesde 11x11con1/>100surgenconfrecuencia enla
práctica.Porfortuna,existencuandomenosdosmanerasdereducirdemanerasignificativa
lacantidaddetrabajonecesariaparacalcular undeterminante.

TEOREMAa
2.2Propiedadesdelosdeterminantes 183
Elprimerresultadoque senecesitaesquizúelteoremamúsimportantesobredetermi
nantes.Esteteoremaestableceque
eldeterminantede unproductoesigualalproductodelos
determinantes.
Sean
AYBdosmatricesde 11X11.Entonces
IdetAB=detAdetBI
Esdecir:eldeICI'II1;I/(lI1ledel producloeselproduclodc{os(lelerlll;l/allfes.
(8)
leDEMOSTRACiÓN
Ohsel"l'adóll.Noteque elproductode laizquierdaesunproductodematricesmientras
que
eldeladerechaesdeescalares.
Siseutilizanmatriceselementales, lapruebaestúdadaen lasección2.3. Enelproblema
48sepidequeverifiqueesteresultadopara elcaso2X2.
_L__11u_'_t_'a_'_iO_""_d_e_1_he_'_h_o_de---,q,-u_e_d_e_t_A_B_=_d_e_t_A_d_e_to...B_
Verifiqueelteorema1para
11.SoluciónDetA=16YdetB=-8.Sepuedecalcular
AB~[:-:~][~ =~ ~]~[1~=: -~]
O-252O -2 102-18
yde1AB~ -128~(16)(-8)~dclAde18.
Eldeterminantede lasuma/lOsiempreesiguala lasumadelosdeterminantes. Esdecir,para
lamayoríadelosparesdematrices. AyB.
det(A+B)#detA+detB
" (12)
Porejemplo.sean A=l34yB=(_~ ~lEntoncesA+B=(~ ~}
detA=-ldetB=6y
det
(A+B)=22#detA+detB=-2+6=4
Ahorasea
JI=LVunafactorizaciónLVdeunamatrizde /1X11(vealapágina138).Entonces.
por
elteorema1.
dctA=dctLV=detLdelV
PeroLesunamatriztriangularinferiorconunos enladiagonal.así
det
L=productodeloselementosen ladiagonal=I

184 C\I'iTlJW2 Determinantes
Dcmanerasimilar.comoUestriangularsuperior.
detU=producIDdeloselementosen ladiagonal
Enloncessetiene
elsiguienteteorema:
TEOREMAEl SiunamatrizcuadradaAtienelafactorizaciónLV,A=LVdondeLtieneunosen la
diagonal.entonces
detA=detU=productodeloselementosdeladiagonalde U
EJEMPLO 2 UsodelafactorizaciónLUparacalcular eldeterminantedeunamatrizde4x4
•Solución
CalculcdctA.dondcA-[~ l~ -~ ~]
--3-2-5 -2
-244-7
Delejemplo 1.11.1enlapúgina 136.A=LV.donde
PorloqucdclA=dctU=(2)(4)(3)(-49)=-1176.
SiAnosepuedereducira laformatriangularsinhuccrpermutaciones. porelteorema
1.11.3enlapágina141.existeunamatriz permutaciónPtalque
PA=LV
SiPA=LV,dondePesunamatrizpermutaciónyLYUsoncomoanles,entonces
UsodelafactorizaciónPA=LUparacalcularel determinantedeunamatrizde3x3
detV
detA=--=±detV
delP
IdetL=II
detPA=detLV
detPdetA=delLdetV=detV
::!:detA=deIU
deIA=::!:deIV
[
O2
3]
EncuentredelA.dondeA=2-47.
1-25
EssencilloprobarquesiPesunamatriz permutación,entoncesdetP=::!:I(veaelproblema
52).Entonces
TEOREMAEl
EJEMPLO 3

•Solución
2.2Propiedadesdelosdeterminantes 185
Delejemplo1.11.3enlapúgina140.seencontróque PA=LV.donde
[
1
-25]
V=O 2 3
O0-]
TEOREMA
11
Ahorabien,det P=I YdetV=(1)(2)(-3).demaneraquedet A=
SeestablecerúunimporwllteteoremasobredeICrminantes.
det
A'=detA
-6
1
-6.
1:DEMOSTRACiÓN SupongaqueA=LV.EntoncesA'= (LV)'=U'L'porelteorema1.9.1ii)enlapágina
119.Secalcula
det
A=detLdetV=detV
detA'=det
U'detL'=detU'=detU=detA
EJEMPLO 4
Elúltimopasosebasaen quelatranspuestadeunamatriztriangularsuperiorestrian
gularinferioryviceversa.
yenelhechodequeobtenerlatranspuestano cambialas
componentesdeladiagonaldellnamatriz.
SiAnosepuedeescribir comoLV.entoncesexisteunamatrizpermutación Ptal
quePA=LV.Porloqueseacabadeprobar,
det
PA=det(PA)'=det(A'PI)
yporelteoremal.
det
PdetA=detPA=det(A'PI)=detA'detP'
Noescomplicadoprobar(veaelproblema53)
quesiPesunamatrizpermutación,
entoncesdetP=detP'.ComodetP=detpI=±[,seconcluyequedetA=detA'.
Unamatrizysutranspuestatienenelmismodeterminante
[
1
-1
SeaA=3 1
O-2
Ohserl'(ldóll.Dadoque[osrenglonesdeunamatrizsonlascolumnasdesutranspuesta. se
deduceque todoloquesepuedadecirsobre[osrenglonesdelosdeterminantescomprenden
unasegundaform,ldesimplificarloscúlculos
delosdeterminantes.Losresultadosse prueban
paralosrenglones.Porlo queseacabadedecir.losteoremas secumplentambiénparalas
columnas.
Enprimerainstancia sedescribenestaspropiedadesestableciendo unteoremadel quese
deducendiversosresultadosimportantes. Lademostracióndeesteteoremaesdifícily sepos
ponea
lasiguientesección.

186 C\l'ínlLO2
TeOREMAa
Determinantes
Teoremabásico
l
a"
SeaA;= a~1
".,
unamatrizdenX11.Entonces
detA=a'IAII+o,"A;2+o••+([;"A¡O=¿a"AiI;
,.,
(1)
parai=1,2,...1/.Esdecir.sepuedecalculardetAexpandiendopor cofactoresencual
quierrenglónde A.Másaún,
delA=o¡¡A,}+a1jÁ¡j+...+u.jA.}=¿u.ljAl¡i
,.,
(2)
EJEMPLO 5
al}
al}
comolacolumna jdeAes ,laecuación(2)indicaquesepuedecalculardel A
expandiendoporcofactoresencualquiercolumnadeA.
Obtencióndeldeterminanteexpandiendoenelsegundo
renglónolaterceracolumna
Enelejemplo2.[.1delapúgina169sevio queparaA=[: ~22
43
),delA=-69.Expandien-
doenelsegundorenglónseobtiene -1
~4(l)H' I~ ~1+2(-1)'" I_~ ~1+3(-1)"'1_~ ~I
~-4(16)+2(14)- 3(11)~-69
Delmismomodo.siseexpandeenlatercera columnaseobtiene
delA=2AI.l+3A
13
+4A1J
~2(-1)"'1_~ ~1+3(-1)'·'1_: ~[+4(_I)HI~ ~I
=2(10)-3(11)+4(-14)=-69
Elleclordebeverificarqueseobtieneelmismoresultadoconlaexpansiónporcofactoresenel
tercerrenglónola primeraosegundacolumna.

PROPIEDADa
I!DEMOSTRACIÓN
EJEMPLO 6
PROPIEDADE:I
2.2Propiedadesde losdeterminantes 187
Ahorasepresentanysedemuestranalgunaspropiedadesadicionales delosdeterminantes.
En
cadapasose suponequeAesunamatriz de11X11.Seobservaráqueestaspropiedades se
puedenutilizar parareducirmuchoeltrabajonecesario paraevaluarundeterminante.
Sicualquierrenglóno columnadeAesunvectorcero,entoncesdet A=O.
SupongaqueelrenglónideAcontienesóloceros.Estoes aij=Opara)=1,2,...,n.
Entonces,det A=a¡IAn+a'1A'1+...+a¡nA¡n=O+O+...+O=O.Lamismaprueba
runcionasilacolumnajeselvectorcero.
SiAtieneunrenglónocolumnadeceros,entonces detA=O
-]3O]
235
Esfácilverificarque
42O5
OO 0=0Y
~O
-]6O4
]-24
2]O
]
Sielrenglóniocolumna)deAsemultiplicaporunescalarc, entoncesdetAsemultiplica
porc.Esdecir,sisedenotaporBestanuevamatriz,entonces
""
a" a" a"a" a"
a"a" a" a"a" a"
IBI~
~c ~clAI
cai]can ca. GilG¡2...a.
a"a"
a
""
],'a"
a
""
(3)
I!DEMOSTRACIÓN
EJEMPLO 7
Paraprobar(3)seexpandeelrenglónideAparaobtener
det
B=callAd+CG
a
A'1++ caj"A¡n
=c(anA¡1+a'1Al1++ ainA¡)=edetA
Enelcasodelascolumnassepuedehaceruna pruebasimilar.
Ilustracióndelapropiedad2
SeaA=(~-:~].Entoncesdet A=16.Sisemultiplicaelsegundorenglón por4setiene
lo-25
B
~[l~-~ l~jYdetB=64=4det A.Sisemultiplicalaterceracolumna por-3seobtie
O-25
nec=(~-:-~~]YdetC= -48=-3detA.
lo-2-15

PROPIEDADa Sea
""
(/1;: a
lj ",.
""""
a
lj",.
A~
G
21(/22 a
lj a2"
,8=""
G",
u
2j",.
a.,(In,
"" .. a"l".,
a
"..., .,
""
°ll
(/Ij+a
lj ",.
yC=
a
lla,"
(/2j+a
2j (/2.
a
(/"2
"
+a.
"
.,
""
..
Entonces
I!DEMOSTRACiÓN
(4)
Seexpandedet erespectoa lacolumna)paraobtener
dele=(a
lj+al)Av+(a
2
)+0"2)A
4+ o••+(a"l+ct.)A
n
)
=(aljA
1j+(J
2j
A
2j+...+anjA")
+(a1jAIj+a2jA
ZJ
+...+a"jA.)=detA+detB
IdetC=detA+dctBI
Enalrostérminos.supongaqueA, Byesonidénticasexceptoporla columna}yque
lacolumna]deeeslasumade lasj·ésimascolumnasde AyB.Entonces,dele=del
A+delB.Lamismaafirmaciónesciertapararenglones.
OhSe,.,'(tdóll.Alutilizarlapropiedad2sepuede probar(veaelproblema36) elinteresantehe
chodeque
paracualquierescalar aycualquiermatriz Ade11X11,detaA=[1"delA.
DeterminantesC\I'iTULO2188
EJEMPLO 8 Ilustraciónde lapropiedad3
seaA~[:-:~I, B~[: -~ ~lyc~[:-;::~L[: -~ ~1
O-25) O4 5) O-2+45)O2 5)
Entoncesdet A=16.del8=108ydete=124=detA+detB.
PROPIEDADa
I!DEMOSTRACIÓN
Elintercambiodecualesquieradosrenglones(ocolumnas)distintosde Atieneelefecto
demultiplicardet
Apor-l.
Sepruebalaafirmaciónparalosrenglonesy sesuponeprimeroqueseintercambian
dosrenglonesadyacentes.
Esdecir,sesupone queseintercambianlosrenglones iyel
(i+1).Sea
""
a" ",.
""""
",.
""""
ah
""""
",.
A~
"
QI! a. yB~
Q;+1.1QI+U QI+I."
"
Qj~\.I QI+L2 QI+I." Q;I
""".
a.,".,
a ".,".,"....

2.2Propiedadesdelosdeterminantes 189
Después,expandiendodet Arespectoalrenglón¡y8respectoalrenglón(i+1)se
obtiene
det
A==allAiI+a'"1A'"1+...+ (li"A,"
det8==a'18i+I.1+(/,"18;;1.1+..+ai.E
H!."
(5)
EJEMPLO 9
PROPIEDADa
I!DeMOSTRACiÓN
Aquí.A..=(-l)i+
jIM.I.dondeM.seobtieneeliminando elrenglóniylacolumnaA.
y y y
Observeahoraque siseeliminaelrenglón(i+1)ylacolumna)deEseobtieneelmis-
moMij'Entonces
B. ~(-I)""JIMI~-(-IY'JIMI~-A
.+1J Y Y iJ
demaneraque,de laecuación(5),det8=-detA.
Ahora,supongaque i<)yquedebenintercambiarselosrenglones ¡y).Estosepuede
llevaracabointercambiandorenglonesvarias
veces.Seharán)-iintercambiadospara
mover
elrenglón)alrenglóni.Entonceselrenglóniestaráen elrenglón(i+1)Ypasan'l
porotros)-i-Iintercambiosparamover elrenglónialrenglón).Parailustraresto.
seintercambianlosrenglones 2y6:
t
I I I I I I I I
2 2 2 2 6 6 6 6
3 3 3 6 2 3 3 3
4--;4--;6--;3--;3--;2--;4--;4
5
6 4 4 4 4 2 5
6 5 5 5 5 5 5
2
7 7 7 7 7 7 7 7
6-2 =4intercambiapara 6-2 =4intercambiapara
moverel6a
laposición2 mover el2alaposición6
Porültimo.elnúmerototaldeintercambiosderenglonesadyacentes es(j-i)+(j-i
-
1)=2)-2i- l.queesimpar.Entonces.det Asemultiplicapor- Iunnúmeroimpar
de
veces,queesloquesequeriademostrar.
Ilustraciónde lapropiedad4
Sed~[:-:~)Alml",,,mb,,>clo,",,,glo,,,,IY3" obl"'"B~[~ -~ ~)Almloc-
cdmbmr l~sc:~um~as Iy2deAseob\lenee=[-:~ ~]Porloque,h~lCl:1~0 ~oscdlculos
-2O5
directos,seencuentraquedel A=16YdetB=dete=-16.
SiAtienedosrenglonesocolumnasiguales.entoncesdet A=O.
Supongaquelosrenglones iyjdeAsoniguales.Alintercambiardichosrenglones se
obtieneunamatriz Equetienelapropiedaddequedet 8=-detA(delapropiedad4).
Perocomorenglón i=renglón),alintercambiarlosseobtienelamismamatriz.Asi.
A=BydetA==detB=-detA.Porlotanto,2detA==O.loquepuedeocurrirsólo
sidetA=O.
.,---
,Obserllequetodoslosnúmeros serefierenarenglones

EJEMPLO10
190 C\l'iTULO2 Determinantes
Ilustraciónde lapropiedad5
Med,an"el",leulod""w"pued,""6",,q",pamA=[:-;:][do,"nglon";gmd"i
YS=[ ~ -~ -~][dOSCOlumnaSlgualeS]'detA=deIBl=~1
-244
PROPIEDADm
DDEMOSTRACiÓN
Siunrenglón(columna) deAesunmúltiploescalarde otrorenglón(columna).entonces
detA=O.
Sea(a
jl
,(/¡1'...,ajo)=c(a
i
!,(/,2'...,(fiJ·Entoncesporlapropiedad2,
Ilustracióndelapropiedad6
2-)5
17 2 =Oyaqueeltercerrenglónesiguala -2veceselprimero.
-46-10
EJEMPLO 11
a"a"
aHa"
dctA=c
a;la
i
!
renglónj-----?Gila;l
a"a"
a,.=O(de lapropiedad5)
(lo'.
__L_O_t_ra_il_u_s_tr_a_(_;o_'n_d_e_l_a~p~r_o~p_i_e_d_a_d_6 __
Sisesumaunmúltiploescalarde unrenglón(columna)de Aaotrorenglón(columna)
de
A,entonceseldeterminantenocambia.
Sea
Blamatrizobtenidasumando eveceselrenglónideAalrenglónjdeA.Entonces
PROPIEDADa
eDEMOSTRACiÓN
241 12
-]1o3
o-)9-3
7369
=oporquelacuartacolumnaesigualatresveces lasegunda.
a"
""
a"
a" a" a"
ajl a
il
a
'"detB=
a
jl+ca
i
]ajl+ca¡l a+ca
'"
"
a" a"
a
""

EJEMPLO 13
EJEMPLO14
••Solució"
2.2Propiedadesde losdeterminantes 191
a" al~ al. a"
a
ll
(JI.
a!1
a l1 al.
a
lla
n
al.
(porlapropiedad3)--...,_
aHa,1 a
'"
a;¡a
d
a
'"+
a
ila
p
a cacajl ca,
"
'"
a"~ (/"1
a
""
a.1a.l
a
""
=detA+O=det A(elccrovienede lapropiedad6)
Ilustraciónde lapropiedad7
SeaA=[~-;:].Entoncesdet A=16.Sisemultiplicaeltercerrenglónpor4y sesumaal
O-25
segundorenglón. seobtienellnanuevamatriz Bdadapor
B++~(O) 1~:(-2) 4++[~ =i2:J
ydetB=16=dctA.
Laspropiedadesqueseacabandcpresentarsimplificanlaevaluacióndedeterminantesde
altoorden.
Se'"reduceporrenglones" eldeterminante.usando lapropiedad7,hastaquetenga
unaforma
enlaquesepuedaevaluarconfacilidad. Lametamáscomunscráutilizandolapro
piedad7demanerarepctidahastaque
1)elnuevodeterminantc.tengaunrenglón(columna)
decerosounrenglón(columna)queseamúltiplodeotro---encuyocaso
eldeterminantees
cero-o2)quelanuevamatrizseatriangular.conloquesudeterminanteserú elproductode
suselementos
enladiagonal.
Utilicelaspropiedadesdelos determinantesparacalcular
un
determinantede4x4
I35 2
CalculeIAI~
O-134
2I96
3248
(Veaelejemplo2.1.7.página172.)
Yaexisteunceroenlaprimeracolumna.porloque 10miÍssencilloesreducirotroselementosde
laprimeracolumnaacero.Sepuedecontinuar lareducciónbuscandounamatriztriangular.
Semultiplica
elprimerrenglónpor-2Y sesumaaltercerrenglón; semultiplicaelprimer
renglónpor-3Ysesumaalcuarto.
I352
IAI~
O-1 34
O-5-12
O-7-112

EJEMPLO15
•Soludóll
192 C\I'iTUI.O2 Determinantes
Semultiplicaelsegundorenglón por-5Y-7Ysesumaeltcrcerycuartorenglones.respecti
vamente.
I3 5 2
O-1 3 4
OO -16-18
OO -32-26
Sefactoriza- 16deltercerrenglón(utilizandolapropiedad2).
I3 5 2
O-1 3 4
I
~-16
9
OO -
8
OO -32-26
Semultiplicaeltercerrenglón por32ysesumaalcuarto.
I352
O-134
~-16
9
OO -
8
OOO 10
Ahorasetieneunamatriztriangularsuperior y1.'11=-16(1)(-))(1)(10)=(-16)(-10)=160.
Usodelaspropiedadesparacalcularundeterminantede4 x4
-2IO4
CalculeIAI~
3-152
-273I
3-725
Existenv<lriasformasdeprocederenestecaso ynoesevidentecuáldeellasserálamásrápida
parallegaralarespuesta.Sinembargo. comoyaexisteunceroen elprimerrenglón, secomien
zalareduccióneneserenglón.
Semultiplicalasegundacolumnapor2ypor-4ysesumaalaprimeraycuartacolumnas.
respeclivamenle
OIO O
IAI~
I-15 6
1273-27
-11-7233
Seinlercambianlasprimerasdoscolumnas.
IOO O
-1 I 5 6
7123-27
-7-11233

2.2Propiedadesde10$determinantes 193
,- Semultiplicalasegundacolumna por-5Ypor-6ysesumaa laterceraycuartacolumnas.
respectivamente.
Usodelaspropiedadesparacalcularun determinantede5x5
Sumandoprimeroelrenglón2 ydespuéselrenglón4 alrenglón5,seobtiene
(porlapropiedad 1)
7
6
4=0
3
O
1O O O
-1 1O O
712-57-99
-7-115799
-23-5
O-1-5
73-9
1-2-2
OOO
Comolacuartacolumnaes ahoraunmúltiplode latercera(columna4 =~Xcolumna3)se
vequeIAI=o.
1-23-57
2O-1-56
C,kul,IAI=473-94
31-2-2 3
-5-137-9
Estcejemploilustra elhechodequeunpocodeobservaciónantesdecomenzar[oscálculos
puedesimplificarlascosasconsiderablemente.
Existeunhechoadicionalsobredeterminantesqueresultarádegranutilidad.
EJEMPLO16
••Solució"
,-
TeOREMAm SeaAunamatrizde 11x11.Entonces
sii"#)I (6)
Nota.Delteorema5lasumaenlaecuación(6)esigualadet Asii=).
I!
DEMOSTRACiÓN Sea
al]a
l2
""
(121a!2 (/2"
B=
ai!ai! a.
renglónj---->(/;1(/;¡
".
a.,(ln2
".

problemas2:2:
AUTOEVALUACIÓN
1.¿Cuálesdelossiguientesdeterminantesson O?
23 1 27
al24 hl238
64 -1-2-7
213 1 OO
e)-213 J)O-1O
O
25 OO 4
11.¿Cuálesdelossiguientesdeterminantesson O?
1234 13 O1
al
-12-34 O214
3-152
hl
31 O2
31 52 OOO 5
122 1 21-11
-15-2O 211 -1
el
2442
J)
3OO 2
366 5 O32O
Eldelecm;naotede[ -:
2
:]~
111. 2
-12
al4 hlla el-10 J)8 e)6
111.a)11.e)
Entonces,comodosrenglonesde Bsoniguales,del B=O.PeroB=Aexceptoporel
renglón}.Deestaformasecalcula detBexpandiendoen elrenglón}deB,seobtienela
sumaen(6)yelteoremaquedademostrado.Observe quealhacerlaexpansiónrespecto
al
renglón),esterenglónseeliminaalcalcularlos caractoresdeB.Así,B
jk
=A
jk
para
k=1,2,...,n.
RESPUESTAS ALAAUTOEVALUAClóN
1.h)
Determinantes
Delosproblemas[al26evalúe eldeterminanteusandoJosmétodosdeestasección.
CAl'iTULO2194

2.2Propiedadesdelosdeterminantes 195
-1O2 21 -1 13-1
4.314 5.3 -2O 6.3OO
2O-6 5 6 -241
-324 O-23 O3-1
7.1 -12 8.12 -3 9. 314
-14O 4O5 -14O
-236 2 -13 OO 5
10.418 1lo4O6 12. 1OO
-2OO 5-23 O-24
1-124 2 -314 O254
O-356 O-2OO 1O-13
13.
14. 15.
14
O3 37 -12 OOO -1
O5-67 4 1-38 23 5O
11-1O 3-121 2 OOO
-346O 43 1.-2 OO 3O
16. 17. 18.
25-13 -1O23 O-1OO
4O3O 62 52 OOO 4
O
"
OO 12 OO
"
bOO
6OO O 3-2OO ,dOO
19. 20. 2lo
OOO e OO1-5 OO a-6
OO dO OO72 OO,d
2-1O41 1-12OO aOOO O
3 1 -12O 314OO O ObOO
22.3 2 -251 23.2-15O O 24.OO OO e
O O4-16 OOO 23 OOO dO
3 21 -1 OO O-14 OeOOO
2 5-68O 5OOO -2
O 1-76O O-1O-1O
25.O OO 4O 26.OO -3OO
O
2151 O5O2O
4-153O 3OOO 1
Delosproblemas
27al35calculeeldeterminantesuponiendoque
a"Gil
""
""
a"a"
~8
a"a"a"
u"
""""
a"al!
"" """"
a
l
¡
27.
a"u"G!J 28.
""
al!(/IJ 29.a
ll
al)a
ll
""""
u"
a
lluna
23
a
llu"
a
3
!

¿Bajoquécircunstanciaseste determinanteser[¡igualacero?
36.
Usandolapropiedad2,demuestre quesiaesunescalary Aesunamatriz,entoncesdet
aA=a"detA.
39.Sea Aunamatrizde11X11.Demuestrequesilasumadetodosloselementosdecadaco
lumnadeAescero.entoncesIAI=o.
4°11
-2(1)3a
l2
32.4°21
-2a
23
3a
n
4°
31
-la»3a
n
x.
x"=I+X¡+x
2+"'+.1""
. )
XIY,
Areade.1.=±- XlY,
2
x,Y,
x,
O O O
O O O
O O O
=A."+a__1.1."-1+U,,_).:-l+···+a¡A..1+a
o
le-) O
O
le-)
a
.->
a
,,~lIe+a.-,
XI
*38.Demuestreque
le-)O
O
le-)
OO le
OOO
OOO
a.a,a,
*37.Demuestreque
1+XI -1"1 X
3
X, 1+X,x
J
x, Xl 1+x
J
*40.Unamatrizes 3ntisimétricasiA'=-A.SiAesunamatrizantisimétrica de1/x11,demues
trequedelA' =(-])"delA.
41.Usandoelresultadodel problema30,demuestrequesiAesunamatrizantisimétricade
11x11y11esimpar.entoncesdet A=O.
42.UnamatrizAsellamaortogonal siAesinvertiblcy A-
1
=A'.Demuestreque siAesorto
gonal,entoncesdetA=:!:l.
**43.Seaaeltriángulodelplanoconvérticesen (XI'Y
I
).(Xl'y)Y(Xl'y).Demuestrequeelárea
deltriánguloestá
dadapor
196 CU'iTUI.O2 Determinantes
""
al!a" -3°
11
-3°
12
-3a
u
30.la
n
la
n
2(1) 31.2a
21
2a
22
2a
23
a"al!a"
Sa
ll
Sa
ll
San
""
2a
l3Gil a"
-a
lla"a"
33.a
2l
2(1)
°n
34.
a"
-a
lla"a"
a"
2a))a,! a"
-a
lla"a"
2a
11
-3°
212a
12
-3a"20
13
-3o,)
35.
a" a" a"
a" a" a"

A" A"
AnAl)
A.:Au
b,,).
b"
h)
.-,
h)Demuestreque D"=TI((/)-(1),donderrrepresentalapalabra"producto"'.Obser·
,.,
j>! ]
vequeelproductoen elproblema46sepuedeescribirrr(u
j
-
a,.).
;-1
J><
a)EscribaelproductoAB.
h)Ca1culedetA,detBydetAB.
e)Demuestrequedet AB=(detA)(det B).
a)
LamatrizAde11X11sellamanilpotente siA'=0,lamatrizcero.paraalgúnentero k2:l.
Demuestrequelassiguientesmatricessonnilpotentes
yencuentrelakmáspequeña.tal
que
SeaA=[a""")Y8=[b"
Gna" b:1
48.
SO,Demuestreque siAesnilpotente.entoncesdet A=O.
51.LamatrizAsellamaidempolcntc siA2=A.¿Cuálessonlosvaloresposibles paradelAsi
Aesidempotenle?
(111'"+(lu)"+(lu=O
(1:1""+a12-1"+a:)=O
all""+al~r+a))=O
Demuestrequeeláreadeterminada porlasrectases
49.
D.=010:a)
o:0
2
0
2
I 2 )
2.2Propiedadesdelosdeterminantes 197
45.EldeterminantedeVandermonde
f
de3X3está dadopor
.,--
,A._T.Vandennonde(l735-1796)lueun matemallCofrancéS
01alOJ a~
46.D~= 2 l eseldeterminantedeVandermondede 4x4.Demuestreque D~=
a~a:0
3 o~
U
l
3 o~a:01
«(12-tl
l
)
«(1)~(jI)«(j~-(/I){t/.-(/2) «(/~-(/2)(1I~-(13)'
**47.a)DefinaeldeterminantedeVandermondede 11x/l,D~.
H44.Tresrectasque nosonparalelasporparesdeterminanuntriánguloen elplano.Suponga
quelasrectasestán dadaspor

198 CM>;TUW 2 Determinantes
52.Sea Punamatrizpermutación.Demuestrequedet P=::!:[.[Sugerencia:porladefinición
enlapágina140P=P"P"+I...P2?]'dondecadaPiesunamatrizpermutaciónelemental.
Utilicelapropiedad4para demostrarquedel Pi=-)ydespuéscalculedelPusando el
teoremal.]
.MATLAB2.2
DIDEMOSTRACiÓN DETRESTEOREMASIMPORTANTESY ALGODEHISTORIA
2.Encuentredct(A).Ahoraencuentre
ti)ElijaunamatrizaleatoriaAde11X11Yredúzcalaala formatriangularsuperiorencon
trandoladescomposiciónLVdeAmedianteelcomandoIL,U,PI=lu(A).Use Ppara
determinarelnúmerodeintercambiosderenglonesrealizadosyverifique quedel(A)
=(~l)kdet(U).dondekeselnúmerodeintercambiosderenglones.Describaelpapel
dedet(P).RepitaparaotrasdosmatricesA.
A=[~~~I
-214)
!")Paraestamatriz,antesdecadaoperaciónconrenglones,intercambielosrenglones
de
maneraqueelelementoenlaposiciónpivotesea eldemayorvalorabsolutodelos
elementosposiblesa usarcomoesepivote:
53.Sea
Punamatrizpermutación.Demuestrequepitambiénesunamatrizpermutacióny
quedetP=detP'.[Sugerencia:siPiesunamatrizpermutaciónelemental,demuestreque
P:=P,.]
2.Paralassiguientesmalrices. primeroencuentredet(A).DespuésreduzcaAalaforma
triangularsuperiorV.utilizandooperacionesconrenglonesdelaformaR
j
---tR
j
+cR,.o
intercambiandoR,yR
r
Encuentredet(U)yverifiquequedet(A)=(_])kdel(U).donde
keselnumerodeinlercambiosderenglonesrealizadoenelprocesodereducción.
alA=[-~ ~ ~:
O1-31
1125
1.a)SeaA =round(IlI*(2"rand(n)-I»para11
dct(2*A).Repitapara 11=3Y11=4.
h)(Papelylápi::)Concluyaunafórmulaparadet(2A)en términosde11ydct(A),Conclu
yaunafórmulaparadet(kA)parakgeneral.
dUseMATLABparaprobarsufórmulaparadel(3A).
ti)(PapelyI(¡pi:)Pruebelafórmulautilizandolaspropiedadesaprendidaseneslasec
ción.
Antesse
citarontresteoremasqueresu]¡ande fundamentalimportanciaenlateoriadematri
ces
determinantes.Lasdemostracionesdeestosteoremassonmascomplicadasque¡asdemos
tracionesqueyaseanalizaron.Trabajedespacioenestasdemostraciones:larecompensasera
un
mejorentendimientodealgunasideasimportantesacercadel álgebralineal.

2.3Demostracióndetresteoremasimportantes 'Jalgodehistoria 199
(4)
(5)
(6)
(3)
(1)
(2)
(7)
SeaA=
(ay)unamatrizde/1X/1.Entonces
detA=(lilA11+(l12A12+ + (f1"A
I
"
=(ljIA;1+
O,';1A;2+ +o",A..
=(l1¡Alj+a2¡A)j++a"JA"J
Teoremabásico
eslaúnica ocurrenciadeltérminoalJ,u
iI
enlaexpansión porcofactoresdedetAenel
primerrenglón.
Ahora,siseexpandeporcoractoresen elrenglónideA(dondei-:J:1),eltérmino
generales
yeltérminogeneralenla expansióndeIMJenelprimerrenglóndeM
u
es
alk(cofactordeal.enM)(k"#1)
parai=1,2,...,/1yj=1,2,...,11.
Nota.Laprimeraigualdadesladefinición2.1.4del determinantemediantelaexpan
siónporcofactoresdel primerrenglón;la segundaigualdaddicequelaexpansiónpor
cofactoresde cualquierotrorenglónllevaal determinante;laterceraigualdaddiceque
laexpansiónporcofactoresdecualquiercolumnadaeldeterminante.Deacuerdocon
laobservacióndelapágina190 senecesita,únicamente, probarelteoremaparalos
renglones[ecuación
(1)].
Seprobarálaigualdad(1)porinducciónmatemática.ParalamatrizA=[a
ll
a
12
)d,
a
21
a
n
2X2,primeroseexpandeporcoractoreselprimerrenglón:detA=0IIA
I1
+a
l2
A
I2=
(111((122)+(11/-(121)=(111(122-(112(121'Deestemodo,expandiendoenelsegundorenglónse
obtieneu
21
A
21+(l22A22=U
1/-U
I1
)+u2iull)=(lIIUn-(l12U21'Entoncesseobtieneelmis
moresultadoexpandiendoencualquierrenglónde unamatrizde2x2,yestoprueba
laigualdad(1)en elcaso2 X2.
Ahorasesuponequelaigualdad(1)secumpleparatodaslasmatricesde (1/-1)X
(11-1).Debedemostrarsequesecumpleparalasmatricesde /1X/l.Elprocedimiento
seráexpandirporcoractoresdelosrenglones 1ei,ydemostrarquelasexpansionesson
idénticas.
Laexpansiónenelprimerrenglóndaelsiguientetérminogeneral
Porlasrazonesdescritas,éstees elúnicotérminoenlaexpansióndeIMlklenel¡-ésimo
renglón
deAquecontieneeltérmino
uf/"Sustituyendo(4)enlaecuación(3)se encuentra
que
ObservequeésteeselúnicolugarenlaexpansióndeIAIenelcual aparecee1lérminoal,.
yaqueotrotérminogeneralseria (f1..,A1m=(_I)I+mulmlMI".I,conk;¡le.myMI'"seobtiene
eliminandoelprimerrenglóny lam-ésimacolumnadeA(y(llkestáenelprimerrenglón
deA).ComoM
I
¡esunamatrizde(n-1)X(n-1),porlahipótesisde inducciónse
puedecalcularIM
II
.!expandiendoenelrenglónideA[quees elrenglón(i-1)deM
lk
].
Untérminogeneraldeesta expansiónes
TEOREMAa
DEMOSTRACiÓN
Ll---

Determinantes
yestocompleta lapruebade laecuación(1).
Siseinserta(7)eneltérmino(6)seencuentraquelalloicaocurrenciadeltérmino0Plt
enlaexpansióndelrenglónidedelAes
(-1Y+/ollojl(cofactorde QltenM)(k~1) (8)
Sisepuededemostrarque lasexpansiones(5) y(8)sonlamisma.entonces (1)quedar.:i.
demostrada,yaqueeltérminoen(5)eslaúnicaocurrenciade 0ltOilenlaexpansióndel
primerrenglón, eltérminoen(8)eslaúnicaocurrenciade 0l,ollcnlaexpansióndeli-ési·
IDOrenglón.yk.¡y/,sonarbitmrios.Loquedemostraráquelassumasdetérminos en
lasexpansionesenlosrenglones1e isoniguales.
Ahora,sea M
1
i.l'lamatrizde (11-2)x(n-2)obtenidaaleliminarlosrenglones
1eiylascolumnaskyIdeA(eSlOsellamamenordesegundoorden deA).Primerose
suponequek </.Después
(10)
(9)
a"...
°U_laU+1 a
u...
a"
Mil=a
il
...
al.t_'a¡..t+la,a,
a., aa..t_1U•.I+1a"..a.
a" a"
al}_1a
U+1 a"
M ~
u¡_U a,·u a;_u_1a;_IJO, al_lA
,
ai+1" a
l
+
u a;OIJ_la
l+IJ•1 a
lOIA
a., a. U.
J
_,
Q.J+I a.
De(9)y(10)seapreciaque
Cofactor
deaenM=(_I)(/-II+II-IJIMI (11)
I1 Ik IIJ~
Cofactorde(/IkenMil=(-I)I+kIMII,k~ (12)
Entonces(5)seconvierteen
(-I)IHaaj.-I)Ii-IJ+lI-11M1=(-I)HUI-Iaa1MI (13)
I~. liJ~ l~¡f. 11..t~
Y(8)seconvierteen
(-I)I+IU'kU)-I)IOIIM'I..J=(-I)ioHI+'au,a;M,I.I; (14)
Pero(-1)1+1+1-1=(-1y+.t+l+l,demodoquelosladosderechos delasecuaciones(13)Y
(14)soniguales.Así,lasexpresiones (5)y(8)sonigualesy(1)quedademostrado enel
casok <1;despuéspor unrazonamientosimilar seencuentraque sik>/,
Cofactorde0/1enM,~=(-11i-11-1M11.I;
Cofactordeo1tcnMil=(-I)I+U-I,MII..t;
demaneraque
(5)seconvierteen
(-I)"'aaj.-I"-"·1MJ~(-Iv""a a'MJ
I~' I Ii-" I lk¡¡lli.l
Y(8)seconvierteen
(-I)I+laa/-l)I+I-1IM1=(-I)'+Hla(11MI
Itl IW IklI~
CAPiTULO2200

SeaEunamatrizelemental:
2.3Demostracióndetresteoremasimportantesyalgodehistoria 201
iii.SíEeslamatrizquerepresentalaoperaciónelemental R¡-cRi'entoncesdet E=c.
(17)
(20)
(19)
(18)detES=detEdetS
=detEldetE
2
..•detE"'_Idet(E",T)
detA=detEldet(ElE)... E",T)
=detEldetE
2
det(E)..·E",T)
detA=detEldetEl...delE"'_IdetE",detT
Osea
A=E
I
E
2
,
"',E",T
Usandoellema2 111veces,seveque
Sea
Aunamatrizde nxn.EntoncesAesinvertiblesiysólosidetA;1:.O.
Delteorema1.10.5enlapágina 129,sesabequeexistenmatriceselementales El'E
2
,
"',
E",yunamatriztriangularsuperior Ttalque
i.det1=1.Eseobtienede lintercambiandolosrenglones iyjdel.Porlapropiedad
4delapágina188,det
E=(-1)det1=-1.
ii.E seobtienede lmultiplicandoelrenglón¡de1poreysumándoloalrenglónj.
Entoncesporlapropiedad7delapágina 190,detE=detl=1.
iii.Eseobtienede 1multiplicandoelrenglón¡delporc.Así,porlapropiedad2enla
página
187,detE=cdet1=c.
ii.SiEesunamatrizquerepresenta laoperaciónelemental R.-R. +cR.entoncesdet,, '
E=l. (I~
SeaSunamatrizde 11X11YseaEunamatrizelemental.Entonces
i.SiEesunamatrizquerepresentalaoperaciónelemental R¡~R
lentoncesdet
E=-\. (15)
Lapruebadeestelema sededucedellemaIylosresultadospresentadosen lasección2.2que
relacionanlasoperacioneselementalesconrenglonesenlosdeterminantes.Lospasosdela
prueba
seindicandelosproblemas1 al3delasecciónquenosocupa.
Elsiguienteteorema esunresultadofundamentalenlateoríadematrices.
Ahora
sequiereprobarqueparacualesquieradosmatricesde 11X/l,AYB,detAB=det
AdetB.Lapruebaesmáscomplejaeincluyevariospasos. Seusarándiversoshechossobrelas
matriceselementalesprobadosenlasección1.10.
Primero
secalculanlosdeterminantesdelasmatriceselementales.
LEMAE:I
LEMAD
TEOREMAa
I!DEMOSTRACiÓN
l!DEMOSTRACiÓN

~DEMOSTRACIÓN
Determinantes
(21)delAB=detAdelB
0=detAB=O'O=detAdetB
Porellema 1.delE¡"#-Oparai=1,2,o••,m.Seconcluyequedet A*0siysólosidel
T~O.
AhorasupongaqueAes¡nvertible.Alusar(19)y elhechodequetodamatrizele·
mentales¡nvertible E...-1...El-lAeselproductodematrices¡nvertibles.Así, Tes¡nver
tibIeyporelteorema2.1.2enlapágina174, delT'#Q.Porlotanto,delA "#-O.
SidetA*0entonces(20),detTot0,por10queTes¡nvertible(por elteorema2.1.2).
Entonceselladoderechode(20)eselproductodematrices¡nvertibles,y Aes¡nvertible.
Estocompletalademostración.
detAB=det(E,E
z
...E.B)
=detEldetEl'"detE.detB
=det(E
1
E
2
•••EJdetH
=detAdetH
Usandoelresultadodellema2repetidasveces.,seveque
det
AH=O=OdetB=detAdetB
Caso2:detA=OYdetB:;tO.Anoes¡nvertible,por loqueexisteunn-vectory:;tOtal
que
Ay=O.Comodet B:;tO,Bes¡nvertibleyexisteUDvectorúnicox :;tOtalque Bx=
y.EntoncesABx=A(Bx)=Ay=O.Así.AHnoesinvertible.esto es
Caso1:delA=detB=O.Entoncespor elteorema2,Bnoes¡nvertible,asíporelteo
rema1.8.6,existeunn-vectorx:;tOtalque Bx=O.Entonces(AB)x=A(Bx)=AO=O.
Porlotanto.denuevoporelteorema1.8.6,ASnoes¡nvertible.Porelteorema2,
Entonces
Caso3:detA:;tO.Anoesinvertibley sepuedeescribircomo unproductodematrices
elementales:
Sean
AY8matricesde11X11.Entonces
Alfin.ahorasepuededemostrarelresultadoprincipal.Usandoestosresulladosestablecidos.
laprueba
esdirecta.
CAPiTULO2
TEOREMAa
202

--
(C4I«d6nd<o.Ri__
IflwBooktIIfdMt1IUCrlp,UbrtIry.
c:m.mb/Q_l
Brevehistoriadelosdeterminantes
_"'Sdeterminantesaparecieronen laliteraturamatemáticamás
:l:unsigloantes quelasmatrices.Eltérminomatrizfueutilizado
:O::~primeravez porJamesJosephSilvestre,cuya lntenclónera
;u¿susignificadofuera"madre delosdeterminantes·,
Algunosgrandesmatemáticos delossiglosXVIIIyXIXpartici
:.=toneneldesarrollo delaspropiedadesdelosdeterminantes.
...l-nayoríadeloshistoriadorescree quelateoríadelos determi
"antesencuentra suorigenenel matemáticoalemánGottfrjed
.qII'helmLeibniz(1646-1716),quien juntoconNewton,fue (0
r;oentordelcálculo.Leibnizutilizó losdeterminantesen1693
~referenciaalossistemasdeecuacioneslinealessimultáneas.
;rembargo,algunospiensan queunmatematicojapones,5eki
4~-wa.hizolomismocasi10añosantes.
Quien
contribuyódemaneramas importanteenlateoríade
e;-:J¿terminantesfueelmatematicofrancesAugustin·LouisCau
=-"1789-1857).Cauchyredactóunamemoria de84paginas.en
~-2queconteníalaprimerapruebadelteorema detAB=det
_:etB.En1840definiólaecuacióncaracterística delamatrizA
=nolaecuaciónpolinomial det(A-M=O.Dichaecuación se
s-Jdiaracondetalleenelcapítulo 6.
Cauchyescribióenformaextensa, tantosobrematemáticas
~comosobrematemáticasaplicadas.SóloEulercontribuyó
~"'"'li!yormedida.Cauchyparticipóenmuchasáreas queincluyen
1!'""J".adefuncionesreales ycomplejas,teoriade laprobabilidad,la
;e-...nenía,lateoríadepropagacióndeondasyseriesinfinitas.
seotorgaaCauchyelcrédito deestablecerunnuevoestán
:iiTJ€rigoren laspublicacionesmatemáticas.Después deCau
=-'"setornómásdifícilpublicar unarticulobasadoen laintui
=crsepediaadhesiónestrictaa lasdemostracionesformales.
'oehCatdy
(CoI«e1dItdeDaridügeneSml,h,
~BooIt4tIIdManucriptLibrary,
CohimbItlUnirmity)
Elvastovolumen delaspublicacionesdeCauchyerauna
inspiración.CuandolaAcademiaFrancesa
delasCienciasinició
suspublicacionesperiódicas ComptesRenduen1835,Cauchy les
enviósutrabajopara quelopublicaran.Pronto lacuentadeim
presióndesóloeltrabajo deCauchycreció tantoquelaAcade
miapusoun
limitedecuatropáginas porartículopublicado. Esta
reglatodavíaestáenvigor.
Vale
lapenamencionaraquíalgunosmatemáticos. Laex
pansiónde
undeterminanteporcofactoresfueutilizada por
primeravez porunmatemáticofrancés,Pierre-SimonLaplace
(1749-1827).Laplace
esmásconocidoporlatransformadade La
placequeseestudiaencursos dematemáticasaplicadas.
Una
aportaciónimportantealateoríadedeterminantes
(después
deCauchy)fue ladelmatemáticoalemánCar!Gustav
Jacobi(1804-1851l.Fueconél
quelapalabra"determinante"ganó
suaceptaciónfinal.Jacobiusó primeroundeterminanteaplicado
a
lasfuncionesparaestablecer lateoríadefuncionesdediversas
variables.Mástarde,Sylvesterbautizóaeste
determinanteelja
cobiano.
Losestudiantesactualesestudianlosjacobianosenlos
cursos
decálculodedistintasvariables.
Por
último,ningunahistoriade determinantesestaríacom
pletasinel libroAnElemenraryTheoryofDeterminonts,escritoen
1867
porCharlesDogdson(1832-1898). EndicholibroDogdson
da
lascondicionesbajo lascualeslossistemasdeecuacionestie
nensoluciones
notrivíales.Estascondicionesestánescritasen
términosdelosdeterminantesdelosmenoresde lasmatricesde
coeficientes.CharlesDogdson esmásconocidoporsuseudóni
modeescritor,LewisCarroli.Con esenombrepublicósufamoso
libroAliciaenelpoísdelasmaravillas.

E!IDETERMINANTES EINVERSAS
problemas:z3
(2)
(1)
(3)
detA-
1
=;IIdelA
[~,
~,...
~.]
B~l'
A"
...A,.
A.,...A..
I=;det1=detAA-l=;delAdetA-'
loqueimplicaque
1.SeaElarepresentación R,!:::¡:R¡YseaBunamatriz de11x11.DemuestrequedelEB
=delEde!B.lSugerencio'"describalamatriz EHydespuésutilicelaecuación(15)y
lapropiedad4.)
11.SeaElarepresentaciónR.-R. +eR.yseaBunamatrizde1/Xn.Demuestreque
,, '
delEB=delEdetB.[Sugerencia:describalamatrizEBydespuésutilice laecuación
(16)ylapropiedad7.}
SupongaqueAes¡nvertible.Según elteorema2.3.2enlapágina201.det A"*O.Del
teorema2.2.1.página
183
SiAesinvertible.entoncesdet A#-OY
Laadjunta
SeaAunamatrizde"x11yseaB.dadapor(3),lamatriz desuscoractores.Entonces.
laadjuntade A,cscritoadj A.eslatranspuestadelamatriz Bde"xn;esdecir,
111.SeaElarepresentaciónR-eR. yseaBunamatrizde11x11.DemuestrequedelEH
J '
=delEdelB.(Sl/gen'lIcia:describala matrizEHydespuesutilicela ecuación(7)y
lapropiedad2.]
Determinantes
Eneslasecciónseanaliza laformaen quesepuedencalcularlasinversas delasmatricesha
ciendousodelosdeterminantes. Masaún.secomplelalatareainiciadaen elC'lpítulo/. de
probarelimportanteteoremaderesumen(vealosteoremas1.8.6 enlapágina106y/.10.4en
lap¡igina128).quemuestra
laequivalenciadevariasprop'iedadesdelasmatrices. Sccomienza
conunresult¿ldosencillo.
Antesdeutilizardeterminantesparacalcularlasinversasesnecesariodefinirla
ar/jul//adeuna
matriz
A=;(u..).SeaB=;(A..)lamatrizdecofactores deA(recuerdequeuncofactor.definido
, "
enlapágina171.esunnúmero).Entonces
C"'I-hllln2
TeOREMA11
10::DEMOSTRACiÓN
DEFINICiÓN11
204
•

2.4Determinantese inversas 205
Al]=-3,~I=-13,A
2!=5,
AS¡'B=[-i;-:-:]
-11=-3
7 '
[A"
.4"
A.,]
adjA=S;=A;,.4" A.,
(4)
A,..4,.A••
.4"=2Y
-13-7]
52.
22
~J=2, ~1=-7,
Y<ldjA=BI=[~~
-3
[-~
-1O
-~]
1-1
B=
O2-)-3
-2-2J2
Y
[O
-1O
-2]-112-2
adjA=B'= ~
-1-33
-2
-32
3-2
-6 I-3O 1-3-2
Al;:=--225=~l,
A!4=-2lO2=-2
Y
A
43
=-3-12-6=3.
-113 -161 -2 lO5
Alcompararestoscálculos seencuentraque
Estoesmaslaborioso yaquesetienenquecalculardieciséisdeterminantes de3X3.Porejem
plo,
setiene
S'''A=[:
-3O
1J
-12-2
-2
102
-1 61
Calculeadj A.
Cálculodelaadjuntadeunamatriz de4x4
Cálculodelaadjuntadeunamatrizde3x3
[
24
3]
SeaA=O1-).Calculeadj A.
357
1
1-11
SetieneA.,=57=12,
Ohsen'(ldóll.Enalgunoslibrosseusa eltérminoadjugadade Aenlugardeadjuntayaquead
juntatieneunsegundosignificadoenmalemúticas.Enestelibroseusarálapalabra adjunta.
•Solució"
•Solució"
EJEMPLO 2
EJEMPLO 1
ha·
.'"
1m
"""

206 Determinantes
~L_L_a_a_d~j_u_n_ta_d_e_u_n_a_m_a_t_r_iz_d_e_2_X_2 __
Ahora,sii=j,lasumaen(7)esiguala ajiA¡,+GaA'"J+...+aínA..,queeslaexpansión
dedelAsobreelrenglón¡deA.Porotrolado,si i;t.j,entoncesdelteorema2.2.6enla
página193,lasumaen(7)esiguala cero.Por10tanto,
(7)
sii=j
sii:;l:.j
('.=(l.A+tiA+...+(JA
ij dJI r.!il mji!
a
llJ.EntoncesadjA=(A"
un Al]
Estoprueba elteorema.
e.,={delA
"O
A
"
A
jl
A
j
!
a
i
,
o••(1..)
C;¡=(renglónideA).(columna)deadjA)
SeaAunamatrizde 11x11.Entonces
I!
delA O O O
O
delAO O
(AX,dj
A)= O OdetA O=(delA)/ (5)
O O O delA
SeaC =Ce,)=(A)(.djA).Entonces
[""
""a,.["
A"
A.,l
a"
a'l- al.Al]A"
A
n2
(6)
•
C=:
".,a., G..A.n.4,. A..
Setiene
Así
Ahorasepuedeestablecerelresultadoprincipal.
SeaA=(""
a
ll
Alcalcularlaadjuntadeunamatriz,noolvidetransponerlamatrizdecofactores.
TEOREMAE:I
l!!DEMOSTRACiÓN

(8)
A-1=_I_
ad
,A
delAJ
teorema2
1
(Al(_I-,djAJ~_1_[A('djAl]~_1_(delA)!~!
detA delA delA
2.4Determinanteseinversas 207
Laprimerapartedeesteteoremaes elteorema2.3.2. SidetAyi=O,entoncessedemues
traque(l/detA)(adjA)eslainversade AmultiplicándolaporAyobteniendolamatriz
identidad:
Observeque
elteorema1.8.4, enlapágina100,paramatricesde2x2 esuncasoespe
cialdeesteteorema.
SeaAunamatrizdenxn.EntoncesAes¡nvertiblesiysólosidetA~O.SídetA-=F-0,
entonces
(lIde!A)adjA=A-
1
Peroporelleorema1.8.7,de lapágina107,siAS.=1,entoncesB=A-1.Así,
Usodeldeterminanteylaadjuntaparacalcularlainversa
ComodetA=3 yl'-OsevequeAesinvertible.Del ejemplo1
[
24
3]
SeaA=O1-1.DeterminesiAesinvertibley,deserasLcaJculeA-l.
357
TeOREMAEl
EJEMPLO 4
Il.SolucióII
L.DéMOSTRACIÓN
[12
-13
-¡]adjA=-3 5
-32
4
137
- -
[12
-13
-7]
3 3
n
A-'=1-3
5 2
Así 52
~-1 - -
3 3
-3 22
2 2
-]- -
3 3
Ve";ji('Udóll
A'A~~[~~
-13
-¡m
4
-+~[~
O
~]~!
5 1
3
-3 2 5 O

DeterminesiAesinvertiblesy.siloes.calcule A-
l
,
•Solució" Haciendousodelaspropiedadesdelosdeterminantes.secalculadel A""-1#OYporlolanlo
A-
1
existe.Porelejemplo2setiene
EJEMPLO5
Determinantes
A=[3-~~ -~ =~J
~2 1025
-\613
adJA=[-~;i=¡=~l
x'=~[-~-: ~ =~]=[ ~-:-~ ~]
-1o-1-33o13-3
2-2-3 2-223-2
Así
Calculode lainversadeunamatriz de4x4 usandoeldeterminanteylaadjunta
Sea
SeaAunamatrizde11X1/.Lassiguientessieteafirmaciones sonequivalentes.Esdecir.
cadaunaimplicaalas otrasseis(demaneraquesiunaescierta.todas10son).
i.Aesinverlible.
ii.Launicasolución
alsistemahomogéneo Ax=Oeslasolucióntrivial (x=O).
iii.ElsistemaAx=btieneunasoluciónunica paracadan-vectorb.
iv.Aesequivalenteporrenglonesalamatrizidentidadde 11Xn,/.'
v.Aeselproductodematriceselementales.
,'i.
Laformaescalonada porrenglonesdeAtiene11pivotes.
"¡j.detA:F-O.
Notu/.ComoY¡lsehabráobservado.si1/>3.porlogenentles másf¡¡cilcalcularAIconla
reducciónporrenglonesqueutilizandoadj A;aunp¡mlelcasode4X4esnecesariocalcular
17determinantes(16paralaadjuntade Amásdel A).Sinembargo. elteorema3esdesuma
importancia)'<1que.antesdehacerlareducción porrenglones.elcúlculodedelA(sisepuede
hacerracilmenlc)dice
siA-
1
existeo noexiste.
Nota1.Enmuchasaplicaciones delateoriadematrices.lasmatricesestán dadasenforma
simbólica(esdecir.en
terminasdevariables)enlugardenumerica.Porejemplo.sepuedetencr
A
~(xYJenlugarde(2-1J.Encuyocaso. lumejorformadeprocederseráconsiderando
zw 35
muchasveces ele<'¡1culodelosdeterminantes.Estoesparticularmentcciertoenalgunasaplica
cionesdeingeniería.
comolatcoriadecontrol.
En
lasecciónLlOsepresentóelteorcmaderesumen(teoremas 1.2.1.1.8.6Y1.10.4). Éste
eselteorema
queunamuchosconceptosdesarrolladoscnlosprimeros capitulosdeestelibro.
Teoremaderesumen (puntodevista4)
C\pITUI.O2
TeOREMAa
208

110
rm,
:nCT
ndo
r.
problemas24
1.4Determinanteseinversas 209
Enelteorema1.8.6se demostrólaequivalenciadelaspartes1),il),¡ji),ji')Y1'1).Enel
teorema1.10.3se
demostrólaequivalenciadelasparles i)y1').ElteoremaI(oteorema
2.3.2)demuestra
laequivalenciade 1)y"¡¡).
AUTOEVALUACIÓN
1.Eldeterminantede[ ~ ~ -~:]es-149.Lacomponente2.3deA-
1
estadada
por 5I0-3
-4J16
124 124
5
-J,
1
5
-3,a)-- I h)- 1
149
149
-4J6 -4J6
1
-14 -14
22
1
224
(.)-- 4, ú)-
149 149
-416 -416
Eld"erm;na",ede[-!
7
:)es468.La componenteJ.IdeA-'es11. 5
-4
a)-
26
6)
26
e)
46
ú)
46
- - -
468 468 468 468
Oclosproblemas[al 15utilicelos metadosdeestasecciónpara determinarsilamatrizdada
esinvcrtible.Deserasí.calcule lainversa.
1.e~)
2.(_~_:) J.(-~ ~2~)
(~ ~) 5.[~
1
i)
[-:
o
;]
4. 2 6. o
5 2
7.
[~
2
J
8[~
1
:J [i
2
~]
2 1 9.
1 o
[:
1
~] [~
o
~] [-:
-1
:]
lO. -1 11. 1 Il. o
1 1
19-7
13.[ -~
14.r:
11
i) r-~
-3O
-l)
6
2]
2-t -12-2-6
35 15.
-12 1025
12~4
33 -1 613

• MATLAB 2.4
Determinantes
~)es;nve";bleyencuentresu;n·
sen6
costi
O
seneJ-- -
eslnvcrtlbleyencuentresuInversa.
cose
11.a)l.",
RESPUESTAS ALAAUTOEVALUACIÓN
23.Sea8unnúmeroreal.Demuestre que(-~OSon:
versa.
21.Suponga quelamatrizAde11x11esno¡nvertible.Demuestreque (A)(adjA)eslamatriz
,Ordendelamatrizdeinteres
n=4;
tDefinematrizdeinteres
A=rand(n);
tInicializamatrizquealfinalseralamatrizadjuntadeA
C=
zeros(size(A));
\Cicloparaobtenerlamatrizdecofactores
fori=l:n
vecrenglon=l:n;
vec~renglon(il=[]; \excluirelrengloni
forj=l:n
vec~columna=l:n;
vec_columna(j)=[];\excluirlacolumnaj
16.Utilicedeterminantespara demostrarqueunamatrizA de11x11esinvertiblesiysólosiA'
es¡nvertible.
17.ParaA=C ~)verifiquequedct A-
1
=l/delA.
18.ParaA=(~-:~)"enfiqUeqUedetA-I= I/detA.
20-2
9Pa -1 I (a-3J--I.¿raeuaesvaores dealamalnz esnomvcrtlble?
4
I-a
20.(,Pamquévaloresdealamatriz (-laa;1a;1)no(lcneinversa?
2-aa+3a+7
1.Genereunamatrizaleatoria de11XmconA =2*rand(n,m)-1paraalgunosvalores de/1
y11Italesque11I>11.EncuentreeldcterminantedcA'A.¿Cuálcssu conclusiónacercade
A'A?Pruebesuconclusión paraotrastresmatricesA.¿Esválidasu conclusiónsim<1I?
2.Lasiguientesecuencia deinstruccionesde MATLAB calculalamatrizadjuntadcuna
matrizaleatoriaAdeordenn
cero.
_ ( cosO
22.Sea8unnumeroreal.Demuestreque
-sene
210

(:)Consulteelproblema9deMATLAB 1.8sobreencriptarydecodificarlosmensajes.
Este
problema
lepidequeencripteunmensaje parasuprofesorhaciendouso dela
matriz
Acreadaanteriormente.
h)Verifiquequedet(A)estodaviaiguala 1.¿Porquéesestodeesperarse?Encuentre
inv(A)yverifiquequetieneelementosenteros.¿Por
quéesestodeesperarse?
3.Seha
demostradoqueAnoesinvertib1c sidet(A)=O.UnasuposiciónnaturalesquesiA
escercanaaser noinvertible.entoncesdet(A)
estarácercade O.
Considere[asiguientematriz C.Verifiquequeeesnoinvertible.DéA=e1A(3,3)
=C(3,3)+1.e-10.VerifiquequeAesinvenibleyobservequeAescercanaalamatriz
noinvertib1cC.Encuentredet(A).¿Quépuedeconcluirsobre la"suposiciónnatural"
quesemencionó?
4.a)IntroduzcaunamatrizAtriangularsuperiorde5 X 5con elementosenteros demane
ra
queeldeterminantedeAes1.Elijavaloresde c(entero),iyjyrealicevarias opera
cionesconrenglonesde laformaR.
-R.+cR.demaneraquelamatrizestécompleta,,, ,
esdecir.quetengaelmenornúmerodecerosposible.Llame Aalanuevamatriz.
tic¡adjunta¡toc
tic;adjunta;t_adjunta=toc
Enlavariablecadjuntaseguardaeltiempoqueseutilizóparaejecutarelprograma
adjunta.m
h)Calculelaadjuntacomo
tiC;D=det(A}*inv(A)¡toc
tic;D=det(A)*inv(A};t_detinv=toc.
Enlavariable t_det_invseguardaeltiempoqueseutilizóparaejecutarlosco
mandosqueproducenlamatrizadjuntadeA.
c}Compareadj(A),calculadaen elincisoa),conD,calculadaen elincisoh).¿Porqué
esperaríaeso? [Sugerencia:encuentrelamáximavariaciónentre[oselementosdeC y
D,los
comandosaba,rnaxlepuedenserútiles.]
ú)Comparelostiemposdeejecución.¿Quédescubrióal compararestostiempos?
2.4Determinantese inversas 211
Escribaestasinstruccionesen elarchivotipomadjunta.m
a)Modifiqueelordendela
matrizAdadoenlasegundalineaa50.Enla pantallade
comandoescribalasiguientesecuenciadeinstrucciones
C(i,j)=det{A{vec_renglon,vec_columna)}*(_l)Á(i+j);
end
end
%MatrizAdjunta,eslatranspuestadelamatrizde
%cofactores
C=C';
PROBLEMA
PROYECTO
...
Id<
7 7 -7256
.'
O 5-104 8 6
9 7-534O... C=20*
5 7-952O
52 19 108
19-1742 7

lE!1REGLADECRAMER (OPCIONAL)
I!DEMOSTRACiÓN
•
(3)
(2)
(1)
(4)
D
x~-"
'"D
--~::][::]
~"..A..b.
.4"
.4"
Ax=b
GW'I+al:!x:!+ o••+al.x.=b,
allx
1+al!x,+...+a,.x.=b2
[
A"
A-
Ib=~(adjA)b=~ ~2
D D:
A"
i.Creeunmensajeparasuprofesor.Utilizandonúmeros enlugardelelms,tal y
comosedescribióen elproblema9de MATLAB1.8,escribaelmensajeenforma
matricial
paraquepuedamultiplicarlo porladerechaporAparacodificarelmen
saje(puedeser
quenecesitecolocarespaciosadicionalesalfinaldelmensaje).
ii.UtiliceAparaencriptarelmens<lje.
¡ii.Entregueelmensajeencriptadoa suprofesor(comounacadenadenúmeros) yla
matrizA.
Lasolucióna Ax=besx=A-lb.Pero
Sea
Aunamatrizde nXnysupongaquedet Ai:-O.Entonceslasoluciónúnica alsiste
ma
Ax=bestádada por
RegladeCramer
[h,
a"
a"] [ a"
b,--
a"] [ a"
a"---
h,]
h,°22 0,. a"h,°l. a"0"---b,
A~- A,~- A.=.,
h,a., a" a"h, a" a"a" ---h,
Esdecir,A,eslamatrizobtenida alreemplazarlacolumna ideAporb.Porúltimo,sea D
J=
detAl'D¡=detA!....,D.=detA.
SidetA'1'=O,elsistema(2)tieneunasoluciónúnicadadaporx =A-lb,Sepuededesarrollar
unmetodoparaencontrardichasoluciónsinreducciónporrenglones ysincalcularA-l.
SeaD=detA.Sedefinen11nuevasmatrices:
quepuedeescribirse
enlaforma
Enlapresentesección seexaminaunviejométodopararesolversistemascon elmismonúmero
deincógnitasyecuaciones.Considere elsistemade 11ecuacioneslinealescon 11incógnitas.
DeterminantesC\I'iTULO2
TEOREMAa
212

Considerelamatriz
Ahorabien,(adj
A)besunn-vectorcuyacomponente) es
(8)
(5)
D.=bA.+bA.+"·+bA
Jll¡¡~ n"}
[""
""
b,
a,.]
A)= G~I""
b, a,.
(6)
a.,G
n
, b. a••
t
columnaj
ylapruebaquedacompleta.
[
X'] [D'][D'ID]
xliD DID
x=x:=A'b=D(adjA)b=DD:=D:/D
Porestarazón setratade 10mismoque elladoderechode (5).Porlotanto,lacompo
nente
¡de(adjA)besD
j
ysetiene
Notahistórica. LaregladeCramerrecibesunombreenhonordelmatemáticosuizoGabriel
Cramer(1704-1752).Cramerpublicólareglaen1750ensulibroIntroductiontotheAna/y
sisofUnesofA/gebraicCurves.Dehecho,existeevidenciaquesugierequeColinMaclaurin
(1698-1746)conocíalaregladesde1729;Maclaurinfuequizáelmatemáticobritánico más
sobresalienteenlosañosquesiguieronalamuertedeNewton.LaregladeCrameresunode
losresultadosmásconocidosenlahistoriadelasmatemáticas.Durantecasi200añosfuefun
damentalenlaenseñanzadelálgebraydelateoríadelasecuaciones.Debidoalgrannúmero
decálculosrequeridos,seutilizamuypocoenlaactualidad.Sinembargo,elresultadofuemuy
determinanteensutiempo.
2.5RegladeCramer(opcional) 213
Siseexpandeeldeterminantede A
j
respectoasucolumna), seobtiene
D
j
=b¡(cofactorde b
l
)
+b¡(cofactorde b¡)+...+b
n
(cofactorde bJ(7)
Peroparaencontrar elcofactorde bj'porejemplo,seeliminaelrenglóniylacolumna
)de
A}(yaqueb;estáen lacolumna)deA).Perolacolumna)deA}esb,ysiseelimina
setendrásimplemente elmenorU,Mij'deA.Entonces
cofactorde
b;enA
j
=A~
Demaneraque (7)seconvierteen
Resuelva
elsistemausando laregladeCramer:
Solucióndeunsistemade3x3 utilizandolaregladeCramerEJEMPLO 1

(9)
(10)
6
6=24.
-2
184
245
4I
6
6=6;>tO
-2
52
34
96
48
3
-1
1
2
2~,+4x~+6x
J
==18
4.\"1+5x
l
+6x
J
==24
3.\"1+Xl-2x
J
==4
24
D=45
3I
24
18
PI
DI24
S24=18.orolanlo.XI=0=(;=4.
I4
2186
246=-12Y
4-2
Determinantes
Enelejemplo2.2.14delapágina 191sevioque
1.Considereelsistema
Elpresenteejemployaseresolvióen elejemplo1.3.1delapúgina:haciendousodelareducción
porrenglones.También sepudoresolvercalculando A-
l
(ejemplo1.8.6.p¡igina101)Ydespués
encontrandoA-lb. Ahoraseresolverausando laregladeCramer.Primero. setiene
2x+3y+4::=7
3x+Sy-::=2
-5x-12y+6::=II
AUTOEVALUACIÓ.
demaneraque elsistema(9)tieneunasoluciónúnica.Después DI=
Demuestrequeelsistema
Xl+3x~+5x
J
+2,'~==2
-Xl+3x)+4x~""O
2x,+x:+9x)+6x~ ==-3
3.\",+2.\":+4x
J
+8x~==-1
lieneunasoluciónúnicayencuéntrelautilizandolaregladeCramer.
Solucióndeunsistemade4x4 usandolareglade (ramer
Porloque elsistematiene umlsoluciónunica.Paraencontnlrla secalculaDI=-464:D~=
280;D)=-56;D~=112.Asi, XI=DJD=-464/160,x~=D
2
1D=280/160.x
J=DJ/D=
-56/160Yx~D~/D=1121160.Estassoluciones sepuedenverificarporsustitucióndirecta
en
elsistema10.
CA"inJLO2
••So{udólI
••Sol"ció"
EJEMPLO2
214
problemas25

X
2+Xl+ x~=6
-x)- x~=4
3x)+6.\".=3
-x.=5
4',XI+Xl+X,=8
4x
1
-
x
J
=-2
3.\"1-Xl+2x)=O
6.2x
1
+5x¡- Xl=-1
4.':1+Xl+3.)=3
-2.\1+2x, =O
8.
+acosC=becosA
x,=7
=2
=-]
Xl-".1 =4
Xl=2
x
2
+5x)=1
x,
2.\"1+
XI+
2x
2+Xl
4.1:
1
+x
2
bcosA+acosB =c
ccosB+bcosC=(/
a)Demuestre.utilizando latrigonometríaelemental,que
h)Sisepiensaqueelsistemadelinciso a)esunsistemadetresecuacionescontresin
cógnitas.cos
A,cosBycose,demuestreque eldeterminantedelsistema esdiferente
decero.
2.5RegladeCramer(opcional) 215
7.
Figura2.2
Dc[osproblemas1al9resuelva elsistemadadousandolaregladeCramer.
1.2x
1
+3.\"::=-1 2.3x
1
-
x!=O
-7.1:
1
+4x
1
=47 4x
1
+2x~=5
9.
3.2.\1+Xl+Xl=6
3.\"1-2.\"2-3x
J
=5
8.\"1+2x,+5x
J
=11
5.2.\"1+2x¡+x)=7
x,+2x
2
+x)=O
-x
1
+.\,+3.':)=1
3x
J
-
5.\".=2
*10.Considere eltriánguloen lafigura2.2
2-]4
SiD= ] 8-1,entoncesJ'-
-5-126
6n
2-]
lé-5
7-]4 7
1 1
al
-2 8-1 b)- ] 82
O O
11-126 -5-1211
274 2-74
e¡
1
á)
1
]-2-1- ]2-1 -
O D
-5116 -5-16
J,=
v=

• MATLAB 2.5
216CAI'iTUW2 Determinantes
e)UtilicelaregladeCramerparadespejarcos C.
J)Utiliceelincisoe)paraprobarlaleydecosenos:(..J.=(/2+b
2
-2abcosC.
RESPUESTA ALAAUTOEVALUACIÓN
1.e)
1.Lassiguientesinstruccionesresuelven elsistemaAx=butilizandolareglade Cramcr
%Ordendelsistemaaresolver
0=50;
%GenerarmatrizAyvectorb;
A=rand(n);
b=rand(0,1);
%Inicializaciondelvectorderesultados
x=zeros(0,l);
%CalculodeldeterminantedeA
detA=det(A);
%Cicloparaencontrarvectorxutilizando
%regladeCramer
fori=l:n
C=A;
e(:,i)=b;
x(i)=det(C)/detA;
end
Guardelasinstruccionesenunarchivotipomconnombrecrumcr.m
a)EjecutelassiguientesinstruccionesdesdelalíneadecomandodeMATLAB
tic;cramer¡toc
tic;cramer¡tcramer:toc
EnlavariableCcramerseguardaeltiempodeejecucióndeesteprograma.
h)Resuelvaelsistemausandol=A.Délossiguientescomandos
tiC¡z=A¡toc
tic;z:A;tlu=toc
EnlavariableUuseguardaeltiempodeejecución.
e)Comparex yzcalculandox-zydespliegueelresultadoutilizandoformatshort c.
Comparelostiemposdeejecución.¿Cuálesfueronsushallazgosconestascompara
ciones?
J)Repitaparaunamatrizaleatoriade 70x70.¿Quéotrasafirmacionespuedehacer
sobrelostiemposdeejecución?

SeaAunamatrizde 1/Xn.Entonces (p,172)
(p.169)
(p.171)
(p.168)
(p.183)
(p.184)
(p.170)
(p.188)
(p.187)
(p.187)
(p.173)
(pp.
186.199)
Resumen 217
.
··+aA='<'0A
"'''L..'11j,-,
delA=lIilA"+QilA,!+...+ a.A",=L0¡¡.Ajl
,.,
.
detA=1I
11
A1\=al!~2+..+al.A
I
•
=Lau
A
I¡
,.,
[a""
ll
dela
21
a
n
a"
""
RESUMEN
Teoremabá.\';co
Eldeterminantedeunamatrizde 2X2.A=[a
ll
(
12
)estádadopor
a
21Qu
Determinantede A=detA=IAI=au"
n
- "lf'~1
Determinantede 3x3
SiA=LVesunafactorizaciónLVdeA.entoncesdelA=delV
SiPA=LVesunaractorizaciónLVdePA.entoncesdel A=detVldetP=±detV
SiAesunamatrizde 11X11,enlonces
parai=L2,...,ny)=1.2.....n.
Esdecir.eldeterminantede Asepuedeobtenerexpandiendoencualquierrenglónocolumnade A.
SIcualquierrenglónocolumnade Aeselvectorcero.entoncesdet A::::Q.
SIcualquierrenglón(columna)de Asemultiplicaporunescalar,entoncesdet Asemultiplicapor e,
Lasumaanleriorsedenomina laexpansióndedel Aporcofaclorcsenelprimerrenglón.
SiAesunamatriz de"X11.triangularsuperior.triangularinferiorodiagonal.cuyascompo
nentesenladiagonal
sona!l'a
n
,
...,ami'entonces
SI.-lYBsondosmatricesde 11X11quesonigualesexcepto porlacolumna)(renglóni)yeeslamatriz
.:;U~esidénticaa AyBexceptoquela columna)(renglóni)deeeslasumade lacolumna)deAyla
.::,-~Iumna) deB(renglónideAyrenglón¡deB).entoncesdel e=detA+detB. (p.188)
Elinlercambiodecualesquieradoscolumnasorenglonesdistintosde Atieneelerectode mulo
::plicardet Apor-l.
Determinanteden x11
Elmenorijde[amatrizAde11Xn.denotadoporMij'eslamatrizde (n-1)X(11-1)obtenida
aleliminarelrenglóniylacolumna)deA.
•Elcofactorijde A.denotadoporA•.estádadopor
A.,=(-i);~jdetM.
~ ~
•

dondeD
j
eseldeterminantedelamalrizoblenidaalreemplazarla columnajdeAporelvectorcolumnab.
•Regla
deCmmer
SeaAunamatrizde 11x11condelA"'"O.Entonceslasoluciónúnica alsislemaAx =bestádadapor(p.219)
_DI_D! _D"
XI---,\,---,•••,X---
detA'detA"delA
•Sea Aunamatrizde 11X11.LaadjuntaoadjugadadeA,denotadaporadjA,eslamatrizde 11x!I
cuyacomponenleijesAji'elcofactorjideA.
•SidelA:;<:O.enloncesAesinvertibley
(p.208)
(p.207)
(p.207)
(p.207)
(p.190)
(p.190)
(p.191)
(p.204)
(pp.183.204)
DeterminantesCAI'iTUI.O2
ii.LaúnicasoluciónalsistemahomogéneoAx =Oeslasolucióntrivial(x =O).
jji,ElsislemaAx =btieneunasoluciónúnica paracadal1-vectorb.
h',Aesequivalenteporrenglonesalamatrizidentidadde 11xJI,1".
l',Aeselproductodematriceselementales.
l'i,Laformaescalonada porrenglonesdeAliene11pivoles.
A-
'
=_1_adjA
detA
vii.detA"'"O.
ScaAunamatriz deIJx11.Entonceslassiguientessieteafirmacionessonequivalentes:
i.Aesinvcrtiblc.
detAH
=delAdet H.
LamatrizAde11x11esinvertiblcsiysólosidetA~O.
Sicualquierrenglón(columna)de Ascmultiplicaporunescalary scsumaacualquierotro
renglón(columna)de
A,entoncesdet Anocambia.
Siunrenglón(columna)de Aesunmúltiplodcotrorenglón(columna)de A,entoncesdet A=O.
detA=delA',
•Teorema dere~'umen
•
detA-1=_1_
delA
•
•
•
•SiAesInvertib1c,enloncesdel A:;<:OY
•
•
EJERCICIOSDEREPASO
Enlosejercicios1al10calculeeldeterminante.
I-~ ~I 1-
3
~l I-~ -~I
1. 2. 3.
-7
I-23 5OO I-12
4.O45 5.6 2O 6.34 2
OO 6 101006 -234
218

24. XI+x~=8
-x)-x,=3
x
l
-x¡=-1
Xl+X~=2
20.XI-x
2
+x
J
=7
2x
I
-
5x
J
=4
3x
1
-
x
J
=2
22.2x
1
+3x
1
-
x
J
=5
-XI+2x
2
+3x
J
=O
4x
I
-
x
2
+x
J
=-1
Delosejercicios JIal18utilicedeterminantesparacalcularlainversa(siexiste).
12[~
-5
-:J [~
O
~]
(-34)
11. 2 13. -2
2]
O O
[]-]2]
[l
]
:] 16Ir
]o
-~]
14.314 15. o
-]3
5-]8 ]
OO
O
-]
17.I:
-]2
l]U
]O
!]
]o
18.
O
]
-24] OO
6-4] -3-]
Enlosejercicios 19al24resuelvaelsistemautilizandolareglade Cramer.
21.x
l
+x¡=8
-x)-x,=3
XI-2x,=-)
23. XI -x
3
+ x~=7
2x
1
+2x.
1
-
3x~=-1
4x
I
-
x
1
-
x
J
=O
-2x
I
+x
2
+4x
J
=2
19.2x
I
-
x
2
=3
3x
l
+2x
2
=5
Ejerciciosderepaso 219
-]OO 3]-2
7.
]-]] 8.4 O5
101 O34 -6]3
111
]-]23 3 ]5]7]9
041 4O25 O22] 60
9. 10.
()JI
-]237 OO
]50
5
]O4 OOO-]
0>1

IDVECTORESENELPLANO
SEGMENTO DE
LRECTADIRIGIDO
Capítulo
3
VECTORES EN f:¿2Yf:¿3
•
Enlasección 1.5sedefinieronlosvectores columnayvectoresrenglón comoconjuntosoro
denadosde 11númerosrealesoescalares..En elsiguientecapítulosedefinirán olrostiposde
conjuntosde
vcelores..denominados('sfH'ciosI"('c/oria/t's.
Enprincipio.elestudiodelosespaciosvectorialesarbitrariosesun lemaabstracto.Por
estarazónes
útilpodercontarconungrupodevccloresquesepuedenvisualizarrácilmenre
parausarloscomoejemplos.
Enelpresentecapítulosediscutir:mlas propiedadesbásicasdelosvecloresenelplanoxy
yenelespaciorealdetresdimensiones.Losestudiantesqueconocen elcálculodevariasvaria·
biesyuhélbrúnconocidoestematerial.encuyocasosepodrítcubrirrápidamente.amanerade
rep¡¡so.Paralosqueno. elestudiodeeslecapíluloproporcionaraejemplosque haránmucho
mascomprensible
elmalcríaldelos CHpilUlos4y5.
Comosedefinióenlasección1.5. ~eselconjunlodevectores(XI.Xl)conXIyx
2
números
reales.
Comocualquierpunloenelplanosepuedeescribiren laforma(x.y)esevidenteque
sepuedepensarquecualquier
puntoenelplanoesunvector en~.yviceversa.Deestemodo.
losterminas··clplano··y
..1)'..confrecucnciasonintercambiables.Sinembargo, paramuchas
aplicacionesfisicas(incluyendolasnocionesdefuerza.velocidad.acelerdciónymomenlO)es
import1.lOtcpensarenunvectorno
comounpuntosinocomounaentidadquetiene'"'longitud"
y'·direcciÓn··.
Ahordsever:"cómosellevaa caboesto.
Sean
PyQdospUnlosenelplano.Entonces clsegmentoderectadirigido dePaQ.denotado
poriQ.eselse~menlo d!.rcct<lquevadePaQ(vealafigur.l3.1(1).Observequelossegmentos
derectadirigidos
POyQPsondiferentespuestoque(ienendireccionesopuestas(figurd3.lb).

3.1Vectoresenelplano 221
1"
.º
)"
/
Figura3.1
pi
--;;eg~tos ~recta
--~'dosPOyOPapuntan
~:~direccionesoplJ€51aS
p.
x
O O
~
b)QP(1)PQ
f"erra3.2
-;r_~lOdesegmentos
j,ngidosequivo-
~PUNTOINICIAL
PUNTOTERMINAL
SEGMENTOS
DE
'l.ECTADIRIGIDOS
EQUIVALENTES
DEFINICiÓNa
,.
//
/ /
----c4''-----~x
//o/
/
ElpuntoPenelsegmentoderectadirigidoFQsedenominapuntoinicialdelsegmentoyel
puntoºsedenominapuntoterminal.Lasdospropiedadesmásimportantesdeunsegmento
derecta
di~ido sonsumagnitud(longitud)y sudirección.Sidossegmentosderectadirigi
dos
PQyRSlienenlamismamagnitud ydirección.sedicequesont'quh'ulentessinimportar
endóndeselocalizanrespectoalorigen.Lossegmcnlosderectadirigidosde lafigura3.2son
todosequivalentes.
Definicióngeométricadeunvector
Elconjuntodetodoslossegmentosderectadirigidosequivalentesaunsegmentode
rectadirigido
dadosellama\·cctor.Cualquiersegmentoderectaeneseconjuntose
denominaunarepresentacióndelvector.
Ohsen'"dólI.Lossegmentosderectadirigidosen lafigura3.2sontodosrepresentacionesdel
mismovector.
Deladefinición1 seobservaqueunvectordado \'sepuederepresentardemúltiplesformas.
Sea
PQunarepresentaciónde \'.Entonces.sincambiarmagnitud nidirección.sepuedemover
PQenformaparalelademaneraquesupuntoinicial setrasladaalorigen.Después seobtiene
~
elsegmentodcrcctadirigido ORoqueesotrarepresentacióndelvector \'(vealafigura3.3).
Ahorasupongaque
laRtienelascoordcnadascartesianas (a,h).Entoncessepuededescribir
elsegmentoderectadirigido oRporlascoordenadas(a.h).Esdecir.oReselsegmentoderecta
dirigidoconpuntoinicial
(O.O)Ypuntoterminal (lI.h).Puestoqueunarepresentacióndcun
vector
estanbuenacomocualquier Olnl.sepuedcescribir elvector\'como(a.b).

EJEMPLO 1
•
(1)
R(a.b)
o
¡
,
,
,
,
,
:b
,
,
,
,
J'
Ivl=magnituddev=Ja
1
+b~
-;:j''--'-----,,---......x
O o
Cálculodelamagnituddeseisvectores
EstosededucedelteoremadePilagoras(vea lafigura3.4).Sehausado lanolaciónIvlpara
denolaralamagnitudde".Observeque 1"1esunescalar.
Ohst'n'uciollJ.Conestadefiniciónesposiblepensar enunpuntoenelplanoxyconcoordena
das(a.b)comounvectorquecomienzadelorigen yterminaen(a.b).
Ohst'nuóólll.Elvectorceroliene magnilUdcero.Porlotanto.puestoque lospunlOsinicialy
terminalcoinciden. sediceque elvectorcero l/O¡ienedireccióll.
Oh~wl'adó" 3.SehacehincapiéenquelasdefinicionesI y2describen.precisamente..losmis
mosobjetos.
Cadapuntodevista(geométricooalgebnlico)tienesusventajas.Ladefinición2
es
ladefinicióndeun2-veclorqueseha estadoutilizando.
Puestoqueenrealidadunvectoresun
conjuntodesegmentosderectaequivalentes.sedefine
lamagnitudolongitud
deunH'ctarcomolalongituddecualquieradesusrepresentacionesysu
dirección
comoladireccióndecualquieradesusrepresentaciones.Haciendousodelarepresen
tación
oRyescribiendoelvector" '=(a.b)seencuentraque
oR
Calculelasmagnitudes delosvectores j)v=(2.2):ji)"=(2.2J3):jji)"'=(-2J3,2):
jl')"=(~3.-3):I')\'=(6.-6):l'j),·=(O.3).
-"t=-----x
O
p~oQ
VectoresenIY'JI)l
Un'"cetor\'enelplanoxyesunparordenadodenumerosreales(o,b).Losnúmerosay
bsedenominanelementoso componentesdelvectorv.El\'eclorceroeselvector(O,O).
Definiciónalgebraicadeunvector
J'
C,\I>iTLlO3
Figura3.4
lamill)'lituddeunvector
conCOOI'denadaxigualaa
y
coordenadaYigualabes
"r;;-;t;
DEFINICiÓNa
MAGNITUDo
LONGITUDDEUN
VECTOR
IJ!,-_':':":'-
Figura3.3
sepuedernOYefPópara
obten!!'lM'l5e9'"f1E'I110de
rectadirigidoequivalente
consupl.II10Ocialenel
~ObservequeMy
PO500paroJlelos'ftienen
lamismalongitud
222

EJEMPLO 2
••Soludó"
(2)
,.
(0.3)
2
-,+":---L_x
O
fJ
b)
J
(22J3)
b
tanS=
a
,.
5.
4
y
JlL
2~
,
O
o O,. ,
7.
-
4
•
(-3.-3) (6.-6)
d) ,.)
Estosseisvectoresestándibujados enlafigura3.5.
3.1Vectoresenelplano 223
i.
1'1=j2'd=J8=2J2
Ii.1'1=)2'+(2/3)'=4
¡;j.1'1=)(-2/3)'+2'=4
iv.I'I=)(-J)'+(-Jl'=J18=JJ2
v.1'1=J6'+(-6)'=m=6J2
vi.Ivl=Jo~+3
1
=J9=3
Nor".tan8esperiódicaconperiodo rr.entoncessiti*-°siempreexisten dosnúmerosen[0,21t)
b.rr5rr
talesque tane=-.Porejemplo.tan-=tan-=1.Paradeterminaredemaneraúnicaesne-
a 4 4
cesariodeterminarelcuadrantede\',comoseapreciaráen elsiguienteejemplo.
Calculelasdireccionesdelosvectoresen
elejemplol.
Cálculodelasdireccionesdeseisvectores
Sedefmeladireccióndelvector \'=«(1,b)comoelánguloe.medidoenradianes.queforma el
vectorcon elladopositivodeleje x.Porconvención,seescogeetalque0:$e<21t.Delafigura
3.4
sededuceque siti*-0,entonces
DIRECCiÓNDE
UNVEaOR
I!!
••Soludó"
f"IgUTa3.5
~::onesdeseisvectores

Figura3.6
Elve<tor2vtienelamisma
direcciónquevyeldoble
desumagnitud.Elve<tor
-2vtienedirecciónopues
laavyeldobledesu
magnitud
VectoresenJ.)ly1)'
(3)
(4)
c)-2v
y
,Ji
o
(-2.-2)
--+--h"7f.,---~ x
O
e),;12.2)
",
(l,1)
y
--~,*'-t--t-~ x
o
Direcciónde av
•
Direcciónde Ol'=direcciónde v,sia>O
Direccióndeav=(direcciónde v)+1tsia<O
(1.1)
y
-..,;t'--i--+-'
o
a)Elvcctororiginal \'
vi.Nosepuedeusarlaecuación(2)porqueblanoestádefinido.Noobstante.enlafigura
3.5/sevequee=re/l.
Direcciónde(O.b)=~ydirecciónde(O,-b)=3; b>O
•
Multiplicarunvectorporunescalardiferentedecerotieneelefectode
multiplicarlalongituddelvectorporelvalorabsolutodeeseescalar.
V.Comol'estáenelcuartocuadranteytan-1(-1)=-rr./4,seobtienee=21t-(lt/4)
=7./4.
Magnituddeav
i.l'seencuentraenelprimercuadranteycomotane:=2/2=1,e=rt/4.
iLe=tall-
12J3/2=tan-
lJ3=rr./3(yaquel'estáenel primercuadrante).
iiLl'estúen elsegundocuadranteycomotan-
I
2/2,{j=tan-
I
[/J3=rr./6,ydelafigura
15,'quee=.-(./6)=5./6.
¡v.,.estáen eltercercuadrante, ycomotan-Il=rr./4,seencuentraque8=1[+(71:/4)
=5./4.
Engeneral,si b>O
esdecir.
Másaún,sia>O,entoncesa\'estáenelmismocuadranteque\'y,porlotanto,ladirección
de
W'eslamismaqueladirecciónde l'yaquetan-I(ablaa)=tan-'(bla).Sia<O,entoncesav
tienedirección opuestaalade\'.Enotraspalabras,
En
lasección1.5sedefiniólasumadevectoresylamultiplicación porunescalar.¿Quésig
nifican
cntérminosgeométricosestosconceptos?Secomienzaconlamultiplicaciónporun
escalar.
Sil'=((1,b),entoncesav=(all,ah).Seencuentraque
CAPiTUUl3224

(5)
,
b)
,.
Desigualdaddeltriángulo
lu+vi-;lul+1'1
al
s,",.=(1.11.Entonces1vI=~=Jiy12,1=1(2.211=)2'+2'=J8=2Ji=21'1.Tod"""
más.]-2\'1=J(-2)2+(_2)2=2J2=21"1.As!.ladirección de2,'esrt/4_mientrasqueladirec
ción
de-2\'Cs5Tt/4{vealafigur;l3.6).
Ahorasupongaquese sumandosvectores:u =(u
l
,
b.)y"=(u!,b!)comoenlafigurd3.7.
De
lafigurasepuedeapreciarque elvectoru +"=(al+(/l'b¡+b!)sepuedeobtenertrasla
dandolarepresentacióndelvector \'demaneraquesu puntoinicialcoincidu elpuntoterminal
(a
l
_
b,)delvectoru.Porlotanto.sepuede obtenerelvectoru +,.dibujandounparalelogramo
conunvértice
enelorigenyladosu Y",Entoncesu +"eselvectorque vadelorigenalolargo
deladiagonaldelparalelogramo.
Multiplicacióndeunvectorporunescalar
Nota.Aligualqueunsegmentoderectaes ladistanciamÍlscortaentredospuntos. scdeduce
deinmediato.delafigura3.7.que
__J~:::::::,,:::::=:(,~,,:.:b~,) _'"
O
:t1Vedores enelplano 225
Porrazonesqueresultanobviasenlafigura3.7.ladesigualdad(5)sedenominadesigualdad
deltriángulo.
Tambiénsepuedeutilizarlafigura3.7
paraobtenerunarepresentacióngeométric<1delvcc
loru- Y.Comoti=U-"+\'.elvectoru- "eselvectorquesedebe sumara"p<lnlobtener
u.Estehechoseilustraenlafigum 1Sa.Unhechosimilarseilustraenlafigura 18b.
EJEMPLO3
3.8
-~;'MU~YYY-U
...-amlSf1l<lmagnitud
;'e«lone~opuestas
Figura3.7
•.1r~l<ldelp<!f<lleJC!gf<lmo
:'asumarvedores

226 C,U'iTuw3 VectoresenI)lyIY
y
rigura3.9
loswetor~iyj
(o.1)
---::-I-...,...~I--_x
O (1.0)
Existendosvectoresespecialesen I)lquenospermitenrepresentarotrosvectoresenelplano
deunaformaconveniente.
Sedenotaelvector(1, O)porelsímboloiyelvector(O.1)porel
simboloj(vealafigura3.9). Si\'=(a,b)escualquiervectoren elplano,entoncescomo (a,bJ
=a(1.O)+b(O,1),sepuedeescribir
\'=«(l.b)=ai+bj
(6)
DEFINICiÓNEl
Conestarepresentaciónsediceque \.está!'xpresat/oensuscompom'lIu!s"or;=ollloly"cr/iea/.
Losvectoresiyjlienendospropiedades:
i.Ningunodeelloses multiplodelotro.(Enlaterminologiadelcapítulo4, sonlíneo/fllmte
¡ndí·pendientes.)
ii.Cualquiervectorvsepuedeescribir entérminosde iyjcomoenlaecuación(6).'
Nolahistórica.Hamiltonutilizó porprimeravezlossímbolos iyj.Definiósu
cuaternióncomounacantidaddelaformaa+bi+cj+dk,dondeaesla·'par·
teescalar"ybi+('j+tlkesla"partevectorial".Enlasección3.3seescribirán
losvectoresenelespacioenlaformabi
+cj+tlk.
Bajoestasdoscondiciones sediceque iyjformanunabase en~l.Enelcapítulo4seestudiu
ninlasbases
enespaciosvectorialesarbitrarios.
Ahora
sedefiniráuntipodevectorqueesmuyútil enciertasaplicaciones.
Vectorunitario
Unvectorunitario
Un\'eclorunitarioesunvectorconlongitud1.
...
---------
Elvectoru =(1j2)i+(J3/2)iesunvectorunitario yaque
.,---
EnlaecuaCión(6)sedICequevsepuedeeSCribircomounacomblrlilciónImealdeiyjSeestudiaráelconceptode
combinaciónlinealenlaseCCIón45,

rt2:ura3.10
;'.~wtE'lTllínalde1.11
_-:'unitarioquetienesu
-'-Illtialenelorigense
-_~tr,,!dlre eldrcuIo
.']'o (e-cuIocentradoen
'~)Ollconradio1)
3.JVectoresenelplano 227
!'
.....-t--_u=ui+bj
bj
----t------:*"....:':-....+----,
O ui
Seau =(Ji+bjunvectorunitario.Entonces lul=J01+b
1
=1.demaneraque (r+Ir=1Yu
sepuederepresentar porunpunlOenelcírculounitario(vealafigura3.10). Siaesladirección
de
u.esclaroque tI=coseyh=sena.Deestemodo.cualquierveclorunitariousepuede
escribiren
laforma
EJEMPLO 5
Representacióndeunvectorunitario
u=(cos9)i+(sen9)j
donde
eesladirecciónde u.
Cómoescribirun vectorunitariocomo(cose)i +(sene)j
(7)
EJEMPLO 6
••SO¡'Il'iÓIl
Elvectorunitariou =(1/2)i+{J3/2)jdelejemplo4 sepuedeescribiren laformade (7)con
e=cos·'(1/2)=./3.
Tambiénsetiene(vea elproblema23)
SeavunvoclOrdiferentedecero.Entoncesu =v~vles
unvectorunitarioquetiene
lamismadirecciónque l'.
•
Cómoencontrarunvectorunitarioconlamismadirección
queunvectordadodiferentedecero
Encuentreunvectorunitarioquetienelamismadirecciónque l'=2i-3j.
AquilvI=J.+9=J13.pocloqueu =v~vl=(2/J13)¡-(3/JI3¡)eselvcelo<quesebusca.
Seconcluyeestaseccióncon unresumendelaspropiedadesdelosvectores.

228 CU'iTULO3 Vectoresen~yI)l
Tabla3.1
Expresiónentérminosdecomponentessi
Objeto
Definición
u=u.i+"li,v="Ii+"Ji,y
intuitiva
u=(ul,U
Z
),
V=(V
1
,V
1
)
Vectorv
Unobjetoquetiene
Vii+v
1
jo(vI'\/2)
magnitudydirección
[vi Magnitud(olongitud) devJv
1
+v~,,
av l'v~v avli+uv
1
jO(av
l
,
(Xv])
(enestedibujoa =2)
-v l'v¿-v -Vii-v
1
jo(-vl,-V
z
)
o-(V
1
,V
1
)
u+v uzJv (11.+vl)i+(112+,,!)jO(U
t+"1,112+"2)
U
u-v I:s.-v (ul-v.)i+(uz -v1)jo(U1-V.."z-v:)
u
problemas3,1
AUTOEVALUACIÓIll
1.UnI'('clores _
a)dospuntosen elplanoxy.
11)unsegmentoderectaentredospuntos.
(.)unsegmentoderectadirigidode unpuntoaotro.
d)unacolección desegmentosderectadirigidosequivalentes.
11.SiP=(3.-4)YQ=(8.6)elvector iQtienelongitud _
a)~1+I-41 bl(3)'+(-4l'el(3- 8)'+(-4-6l'd)~r:(8---'3-')'-+-'(6'----('---'--4l-')'
111.Ladireccióndelveclor H.8)es _
IV.Siu=(3.4)Y l'=(5.8).entoncesu+v _
a)(7.13)bl(8.12)el(2.4)d)(15.32)
V.Siu=(4.3).entonces elvectorunitarioconlamismadirecciónesqueues _
a)(0.4.0.3)b)(0.8,0.6)e) (H)á)(H)

3.1Vectoresenelplano 229
De[osproblemas1 al16encuentrelamagnitud ydireccióndelvectordado.
1.v=(4,4) 2.v=(-4.4) 3.,~(J3.-2) 4.v=(4.-4)
5.v=(-4,-4) 6.,~(-J3.-2) 7.,.~(13.11 8.'~(I.13)
9.F(-2,13) 10,'=(-1.13) 11.,=(1,-13) 12.v=(3.2)
'3.
'~(-I.-13) 14.F(1.2) 15.v=(-5,8) 16.v=(11,-14)
17.Seau=(2.3)Yv=(-5,4).Encuentrea)3u:b)u+l';e)l'-u;el)2u-7l'.BosquejeeslOs
vectores.
18.Seati=-3i+2jy"=4i+5j.Encuentre: a)u+v:b)u- l';t')l'-u:el)-2u+3,':
e)2u-kI)u+2l',Bosquejeestosvectores.
19.Seau=2i-3jYv=-4i+6j.Encuentrea)u+":b)u-l';e)3u:el)-7v;e)8u-3v:
n4v-6u.Bosquejeestosvectores.
20.Demuestreque elvector(;.-t)esunvectorunitario.
21.Muestrequelosvectores iyjsonvectoresunitarios.
22.Demuestreque elvector(1/J2.)i+(1/J2.)jesunvectorunitario.
23.Demuestreque siv=ai+hj:;6O.entoncesu =(a/Ja
2
+h!)i+(b/Ja!+b!)jesunvector
unitarioquetiene
lamismadirecciónque v.
Delosproblemas 24al29encuentreunvectorunitarioquetengalamismadirecciónque el
vectordado.
24.v=2i+3j 25.v=4i-6j 26.\'=i-j 27.l'=-3i+4j
28.l'=-3i-Sj 29.l'=ai+aj;a"*O
30.Sil'=ai+bjdemuestreque a/Ja
1
+b
l
=cosayb/Ja
1
+b
l
=sene.dondeeesladirec
ciónde
l'.
31.Sil'=2i-3jencuentresen eycose.
32.Sil'=4i-jencuentresen eycose.
Unvectorl'tienedirecciónopuestaa ladelvector tisidirecciónde \'=direcciónde u+rr.De
losproblemas
33al38encuentreunvectorunitario l'quetengadirecciónopuestaaladirección
delvector
dadou.
33.u=i+j
37.u=-2i+3j
34.u=2i-3j
38.u=-3i-Sj
35.u=4i-6j 36.u=-3i+4j
39.Sea u=2i-3jY\'=-i+2j.Encuentreunvectorunitarioqueteng<llamismadirección
que:
a)u+l';b)2u-3v;e)3u+8l'.
40.Sea P=(c.el)yQ=(e+(1,el+h).Muestreque lamagnitudde i0.esJa
1
+b
l
.
41.Demuestreque ladirecciónde PQenelproblema30eslamismaqueladireccióndelvector
(a,b).[Sugerencia:siR=(a.b),demuestrequelarectaquepasa porlospuntosPyQes
paralelaalarectaquepasaporlospuntosOy
R.]

230eu'inLO3vectoreseny ~
Delosproblemas41al47encuentreunvector "quetengalamagnitud ydireccióndadas.
42.1v1-3;&-./6
45.1vI-1;&:./4
43.Ivl:4;e:.
46.1"1:2;e:./2
44.Ivl:8;&:./3
47.1vI-6;&:2./3
*48.Demuestredemaneraalgebraica(esdecir.estrictamentedelasdefinicionesde sum<lym<lg
nituddevectores)queparacualesquiera dosvectoresuy ".10+"I:slul+1"1.
49.Demuestreque siuy,.sondiferentesdelvectorcero.entonces lu+"1=101+1"1siysólosi
uesunmuhiploescalarpositivo dev.
RESPUESTAS ALAAUTOEVALUAClólll
1.Ji 11.Ji 111.Ji IV.b) V.b=r:
MANEJO DELACALCULADORA
Sepuedetrabajar convectoresenlacalculadora HP50g.Primeroseleccionamos el
mododecoordenadasrectangularesparalarepresentacióndeveclores,conlabandera
177delsistemaenlaposicióndeelección.;11oprimir~~ 1sepresentalasi·
guienteventana
1;.
TI11(.
l.U'l1l..
UJSL
~_nrtIIklc..
..."L
'.'1lSL
1.tut.tU"_
I.rn_
Elmenúde VECTORconlienelassiguientesfunciones:
..
mOlll(fW
••
l."'
J.CUSS..~..........
?JaI"
'.CT\1I"
yhayqueasegurarsequelaopción7esteseleccionada(estoseverá comotextoblanco
sobrefondonegro)
J.C.OSS
~.,.
5."'12
'."'13
1.UU"
'.aLln·
).SUl:lE"
-,'-'-'-'--"
Sepuedenescribirvectoresdirectamente enlapilautilizando lasecuencia~!L----I
yescribiendolosmimerosseparados porcomasoespacios,finalizandoconlatecla (fNTf"),
porejemploelvector(3,5)

3.1Ve<:toresenelplano 231
Sepuedenguardarenmemoriavectorescomocualquier otroobjetoutilizandoelco
mando(STO.J.estoes.seescribe elvectoraguardar.seescribe elnombredelavariable
dondesequiereguardarelvectoryporúltimoseoprime(STO.¡.
Paraobtenerlamagnituddeunvectorseutiliza elcomandoABS.
Sisequiereexpresarunvector enformademagnitud yangulasetieneque cambiar
elsistemadecoordenadasde lacalculadora.esto sepuedehacersiguiendolospasos
mostradosaliniciodeestasecciónperoeligiendolaopción8enlafigura2delapagina
anterior.(Observación.asegúresedeincluirun
puntodecimalenlascantidadesde Jos
vectores.delo contrariolaconversiónno seefectuaraenformaautomútica.)
Tambiensepuedendescribirvectores
enformapolarylacalculadoraharalacon
versiónadecuadaconrespectoalsistemadecoordenadas
queseesteutilizando.Paraes
pecificarunvector
enformademagnitud-ángulo, seabrencorchetescon C5:lu--
Iseguidodelamagnitud yelsimbolodeángulo (AU'HAI(EJ[Dseguidodelángulo.
esdecir.
siqueremosdescribirunvectorconmagnitudde5 yángulode3radianes la
secuenciadeteclaseslasiguiente
~!L--ICD(AU'HA)®CDCDI(ENTEA)
Lasumaentrevectores ylamultiplicaciónporunescalarserealizade modotransparen
tepara
elusuariosiempre ycuandolasdimensionesseancompatibles.
Enlosproblemas
50al61utilicelacalculadoraparaencontrar lamagnitudydirec
ción(enradianes
ygrados)decadavectoren 1)2.
SO.(1.735,2.437) 51.(1.735.-2.437)
52.(-1.735.2.437) 53.(-1.735,
-2.437)
54,(-58,99) 55.(-58.-99)
56.(58.99) 57. (58.-99)
58.(0.01468.-0.08517) 59.(0.01468,0.08517)
60.(-0.01468.-0.08517)
61.(-0.01468,0.08517)
• MATLAB3.1
InformacióndeMATLAB.
Introduzcaunvectorcomo unamatrizde 2xIode3X 1.LasumaymuhipliC<lciónporun
escalareslamismaqueparalasmatrices.
Producto/!.fcalardeuy\:u'.\,
Magl1iwtl(/Ol1gillUIJde\':sqrl(\"*\')o110rlll(\')
Direcciónde1':veaelejemplo2 yuseelhechodequelan-I(c)seencuenlrdconal:lII(cJ.Tam
biénsepuedeutilizar
elcomandoalaIl2(x.)·)(verdocalan2)
Gráfims:variosproblemasutilizangráficas. Seproporcionaninstruccionesespecíficasencada
problema.

232 vectoresen
1.a)UtiliceMATLABparavcrificarlosresulladosobtenidosconlápizypapelpara la
magnitudydireccióndelosvectores delosproblemasimpares1al 12deestasección.
Nollt.Jiseencuentraconsqrl(J).
h)UtiliceMATLABparaencontrarlamagnitudydireccióndelosvectoresenlosproble
maspares
38al49enestasección.
2.Lascombinacioneslinealesdevectores
seranimportantesen eltrabajofuturo.Estepro
blcmudescribe unamaneradevisualizarlascombinacioneslineales devecloresen elplano
(vea(amblenelproblema3siguiente).
a)Sequierengraficarvariascombinacioneslinealesdedosvectoresdadosen elmismo
conjuntodeejes..Cadavectorserarepresentadoporunrectade (O.O)alpuntotermi
naldelvector.Scanuy\'dosmatrices(vectores)de2 X Idadas. Sequierengraficar
vuriosvectoresz. dondez=au+h\'con-1Sa.bs:Ipamayudaralacomprensión
delageometriadeunacombinaciónlineal.Lea lanotasobregráficasquesepresentó
antesdeestosproblemas deMATlAB.
Introduzcau y\'comovectorescolumna.elegidosporustedtales quenoseanparale
los.Délosiguiente:
wzu+v;ww=u-v;aaz[u',v',w',ww'j;M=max(abs(aa))
axis('square' ) ;axis([-MM-MM))
plot([Ov(l)),(O.v(2)1 ,[O,u(l)),[O,u(2)J )
holdon
grid
Conestoverdu y\'graficados.lossiguientescomandosdeMATLABgmficanla
combinaciónlineal entrelosvectoresu y\'
a_l;b""l;
z;a*ulb*v;
plot([Oz(1)l,[Oz(2)J,'e','linewidth',S')
Repita cincoveceslostresrenglonesde comandosanteriores.peromodifique laelec
ción
de
aybCOIlOSa.bSI(recuerdequepuedeusarlas"echashaciaarriba).Observe
lageometría
decadacombinaciónlineal conformeobtengacadaunadelas
gníficas.
¿Cómoseverdlapantalladegr.ificassisegraficanmultiplescasos deayh?
Repitaseisveceslosúltimostresrenglones decomandosconlossiguientes cam
bios:cambie 'e'a'r'yelijaal menosotrasseistiybparaO:SCI:S1 Y-1s:b:s;O.Sea(1=
I Yb= -Ilaprimerdelección.Observelageometria ycontestela preguntaanterior.
Repitalos
ultimastresrenglonesdecomandosseisvecesconlossiguientesmo
vimiemos:
cambie'c':.'m'yelijaporlomenosotrasseístiybpara-1
:SCI:SOY
OSh:s;J.Sean(1=-1Yb=1losprimerosvalores.Observelageometríayconteste la
preguntaanterior.
Repitaseisvecesrnúslosúltimostresrenglonesde comandosconlossiguientesmo
vimientos:cambie
'e'
lt'k'Yelijaporlomenosolrosseisvaloresde tiybpara-1:Sl/.
b:Sl.Sean (1=-1Yb=-1losprimerosvalores.Observe lageomelriayresponda
la
pregunta.igualqueantes.
¿Cómoseveríalapantalla de
graficassisegraficaranC'ddavezmás combinaciones
lineales?

3.1Vectoresenelplano 233
Alterminaresteproblemadeelcomandoholdoff.
b)Siguiendolasinstruccionesanteriores.explore 10queocurre sicomienzaconu y\'
pamlelos.
Alterminaresteproblema,deelcomandoholdoff.
3.(E:'ilt'problelJlau.ml'Iarc!Jil'OIincomh.m)Dadosdosvectoresnoparalelosen elplano.se
puedeescribirotrovectorcn elplanocomounacombinaciónlinealdeestosdosvectores.
M
Elarchivo
/illcomh.msepresentaacontinuación.
functionlincomb(u,v,w)
•
LINCOMBfuncionquegraficalosvectoresu,v,wy
•
seexpresawcomolacombinacionlinealdelu,vesdecir
•
w.a u+bv,cona,breales
•
•
u,vectorde2xl
•
v,vectorde2xl
•
w,vectorde2xl
\defineelorigen
origen",{O;O];
%seencuentranlosvaloresdelasconstantesdelacombinacion
lineal
A=[u,v];
xx=A\w;
Ou=(origen,u];
Ov=[origen,v];
Ow=[origen,w];
PPl=[origen,xx(1)*u,xX(1)*u+xx(2)*v,xx(2)*v,origen]
\GraEicadevectores
plot(OU(1.:),Ou(2,:),'-*b',OV(l,:),Ov(2,:),'
*b',0111'(1,:),Ow(2,:),'-*g')
text(u(1)/2,U(2)/2,'Eu')
text(v(1)/2,v(2)/2,'Ev')
text(w(1)/2,w(2)/2,'fw')
holdon
plot(PP1(1,:),PPl(2,:),':r')
gridon
•
title(['u:[,,num2str(u(l)),';',num2str(u(2)),'],
'v=[',num2str(v(l)),';I,num2str(v(2)),,],
'ws[,,num2str(w(1l),';',num2str(w(2)),'l 'l)
xlabel(['w(',num2str(xx(I),2),')u+(',num2str(xx(2),2
')v'J )
•

234 C\l'iTUW3Vectoresen~y~
axissquare
a:axis;
axis([mio(a{[1,3))1,max(a([2,4))1,min(a([1,3J)),max(a([2,4)))1)
,
holdoff
Unavezquesehayaescrito lafunciónenunarchivoconnombre /illcomb.11I.déelcomando
docIincombparatenerunadescripcióndeestearchivoconextensión m.
Seanu yl'dos\'~lOres de2X1queno sonparalelos.Sea",=5*(Z*rand(2,1)-1).
Délincomb(u.\'.w).Primero verdgraficadosu.l'yw.Oprimacualquiertecla yapareo:ra
lageometriade wescritacomounacombinaciónlinealdeuy l'.Repitaparadiferentes
vectoresw.uyl'.
mELPROOUCTO ESCALAR yLASPROYECCIONES EN 1)'
Enlasección1.6 sedefinióelproductoescalardedosvectores.Siu =(a
l
-
b,)Y"(a~.b!).entonces
Ahoraseverdla interpretacióngeométrica delproductoescalar.
(1)
DeFINICióNa
TeOREMAa
Ánguloentrevectores
Seanu yvdosvectoresdiferentesdecero.Entonces elángulolpentreuyvestádefinido
comoelángulononegativomáspequeño
tentrelasrepresentacionesde uyvquetienen
elorigencomo puntoinicial.Siu=avparaalgúnescalar a,entonceslp=Osia>Oy
lp=¡{sia<O.
EstadefiniciónseilustraenlafiguraJ.ll.Observequeq>siempresepuedeelegirparaquesea
unángulononegativoen
elintervalo[O.nJ.
Seavunvector.Entonces
L.DEMOSTRACIÓN Seal'=(a,b).Entonces
y
v·v=(o,b).(a.b)=a.a+b.b=al+bl=Ivf
•
,Esteanguloeo>tdfdI'flellOlt'fVdlolO.n)
(2)

3.1Elproductoescalary lasproyeccionesen(ll 235
,.
,.
"
,.
",.
•.,
"
O
x
x
O , ,
a) b) e)
,
Figura).11
AngulolpenlJedos
""'~~
J
,
Ijl=O
"
x
O
d)
----11--;,1';;----x
"
TEOREMAa Seanuyvdosvectoresdiferentesdecero. Silpeselánguloentre ellos.,entonces
(3)
C.DEMOSTRACiÓN Laleydeloscosenos(vea elproblema2.5.10,página215)establece queeneltriángulo
delafigura3.12
c!=O!-+b
2
-
2abcosC
,.
B
l'-u."
,
-----':+"----_x
O
(a:!>~)
e
a
A
Figura3.12
Triárn:¡ulo(011ladosd.bYe
Figura3.13
Tri~ngulo(ColadosIu~IvI
yIv-ul

236 C,\I'i'rULO3Vectoresen~y~
Ahorasecolocanlasrepresentacionesdeu y\'conlospuntosinicialesenelorigende
maneraqueu
=(u
l
•
b
l
)
Y"=(u
2
,
h
2
)
(vealafigura3,13),Entoncesdelaleydeloscose
nos.1
v-uf=I+lul
2
-
21ull\'1cos19.Pero
de(2) teorema1 ¡ji),pág.59
Iv-uf=(\'-u).(v-u)=\'."-2u•"+u•u
=I-2u'"+lul
2
Así.despuesderestar I+lul
2
enambosladosdelaigualdad. seobtiene- 2u.\'
-2lull"lcos ¡p.yelteoremaquedademostrddo.
Obsermáolf.Haciendouso delleoremaIsepuededefinir elproductoescalaru. \'como
u."
=lull"lcos lJl
"'~ __C_á_lc_u_l_o_d_e_l_á_n~g~u_l_o_e_n_t_'_e_d_o_,_v_e_"_o_'_e' __
Encuenlreelánguloenlrelosvectoresu =2i+3jy"""-7i+j.
•Soluciá"
demaneraque
u'\'-11
00'~=["11'(Ji3:rso
-F.-0.431455497'
"650
DEFlNlCIONEl
EJEMPLO 2
lp=:;cos-
I
(-0.431455497)..2.0169: ('"115,6°)
NOIII.ComoO==<p~rr.cos-I(eos<p)""<p.
Vectoresparalelos
Dosvectoresdiferentesdecerouy \'sonImralclossielánguloentreellosesceroo n,
Observequelosvectoresparalelostienen lamismadirecciónodireccionesopuestas.
Dosvectoresparalelos
Demuestrequelosvectoresu =(2.-3)Y\'=(-4.6)sonpardlelos.
••Solució"
-8-18 -26 -26
J1jJ52-Ji"i(2JiJ)-2(13)-
Por10tanlo.19=][(demaneraqueu Y"tienendireccionesopuestas).
•
,htos~ diIlJualqueotrosen ~Oro.seobtu....eronconuna calcul.:ldofa
,AlMc:t'festeuk:ulo.asequresedequesucalculadoraf'5~enlTllXIodefadlanes

TEOREMAEl
C.DEMOSTRACIÓN
DEFINICiÓNEl
EJEMPLO]
••Soludófl
TEOREMA1:1
LDEMOSTRACIÓN
TEOREMAa
~DEMOSTRACIÓN
3.2Elprodudoescalarylasproyeccionesen~ 237
Siu*-0,entoncesl'=auparaalgunaconstanteasiysólosiuyvsonparalelos.
Lapruebasedejacomoejercicio(veael problema44).
Vectoresortogonales
Losvecloresuyl'diferentes decerosonortogonales(operpendiculares)siel ángulo
entreellosesn/2.
Dosvectoresortogonales
DemuestrequelosveclOresu=Ji+4jyl'=-4i+Jjsonortogonales.
u.l'=3.4-4.3=O.Estoimplicaquecoscp=(u.\')I(lullvl)=OycomocpeSI'"cnelintervalo
(O.rrJ.~=1Ú2.
Losvectoresuy vdiferentesde cerosonortogonalessiysólosiu.v=O.
Estapruebatambiénsedejacomoejercicio(veael problema45).
Muchosproblemasinleresanlesserefierenalanocióndelaproyeccióndeunvectorsobreotro.
Antesdedefinirestosedemuestraelsiguienteteorema.
Seal'unvectordiferentedecero.Enloncesparacualquierairovectoruel vector
(u·v)
w=u---v
]vi'
esortogonala\'.
nv=[u-lu1tlv=uv(UI~;V)
(u.v>ivf
=U'l'- u·v-u·v=O
]vi'
LosveCIOresu.l' yWseiluslmnenlafigura3.14.
Figur:13.14
.;Klor"
,,
u-W'
!'
[
U,,J
11-~\'=W\'
, u,v
~_ I,rv=proy."
-,1f.,;."""'------------x
O

238 C\ I'inLO3Vectoresen IYy~
DEFINICiÓNa Proyección
Seanuyl'dosvectoresdiferentesde cero.Entonceslapro)"eccióndeusobrevesunvec
tordenotadoporproy,u,quesedefinepor
u'v
proyu=--,v
•1vI'
lacomponentedeuenladirección
u,v
devesM'yesunescalar,
Observequevll"1esunvector unitarioenladireccióndev.
(4)
(5)
Oh.\·('I'I'(/dáll1,Delasfiguras3.14y3.15Ydelhechodequecos (¡l=(u.")(ful,'j),Seencuentra
que
vyproY,utienen:
i.lamismadirección siu.v>Oy
ii.direccionesopuestassiu."<O.
•
u
rr
.>
2
u·V<O
Figura3.15
a)vyproy.utienenlarM
lT\iIdirea:i6nsiu.v>O,
blvyproy.utieol'ndile<
cionesopuesta5siu.v<O
u
rr
.<
2
u·v>O
,
,
,
,
,
,
,
•
proy"u
a)
,
,
,
,
,
,
,
b)
•
proY,ou
,.
Ohsefmdó"2.Sepuedepensarenlaproy,u comola"v-componente"delvector u.
Ohscn'udón3.Siuy,.sonortogonales.entoncesu.\'=Odemanen!queproV.u=O.
Oh.~efl'adóI14. Unadefiniciónalternativade laproyecciónes: siuy"sonvectoresdiferentesde
cero.
entoncesprov.ueselunicovector conlassiguientespropiedades:
i.proy,uesparaleloav.
ji.u-proy,ues ortogonala",
•
1IImIIIIII__C_á_lc_u_lo_d_e_u_n_a---,p_r_o~y_e_«_i_ó_n _
Seanu=2i+3jy\'=i+j.Calculeproy, u.
••SoluciónProy,u =(u'v)vll'f=[51(J2n,.=(512)i+(512)j(vealafigura3.16).

Figura3.16
laPfoyt'(ciónde(2,3)
sobreO,1)es('1-.n
J'
3.2Elproductoescalary lasproyeccionesen
-ti+tj
(2.3).~
,-(H)
,
,
,
"",
,
,
fi+fj
2J9
EJEMPLOS
••Soludón
Figura3.17
.JPfoyt'(óónde2i-3i
.:>brei~jes-2.i j
problema53,2
-;:-i<---t-r'---+--f--x
°
Calculodeunaproyección
Seanu ::2i-3jYl'::i+j.Calculeproy.u.
Eneste
caso(u.v)/l'1
2
::-t:así.proy,u ::-ti-tj(vealafigura 3.17).
J"
\'='i+j
-j-,"0>tf--If--+-x
AUTOEVALUACI6.
1.i·j= .
a)1
e)°
11.(J.4)'(J.2)= .
a)(J+J)(4+2)=36
e)(3-J)(2-4) =°
b)~(O-I)'+(1-O)'
ti)i+j
b)(3)(3)+(4)(2)=17
d)(3)(3)-(4)(2) =1
111.Elcosenodel¡¡nguloentre i+jei-jes _
a)Oi+Oj b)O e)Ji
IV.Los"cclores2i-12jY3i+H}json _
a)Niparalelosni ortogonalesh)Paralelos
e)Ortogonales á}Idénticos

240 Cu'in1.03 Vectoresen~y~
V.Digacuáldelassiguientesafirmacionesesciertasobreelsistema.
a)U·""
M
..
b)H
U·""""e)--
HH
DelosproblemasIal10calculeelproductoescalardelosdosvectores yelcosenodelángulo
entreellos.
2.u=3i:\'= -7j 3.u=2i-3j;v= -i+Jj
5.u=(ti:v= ~j:a.~reales6.u=-4i-2j:v=5i+7j
8.u=2i+5j:v=5i-2j 9.u=-3i+4j;v=-2i-7j
l.u=i+j:v=i-j
4.u=-5i;v=18j
7.u=2i+5j;v=5i+2j
10.u=4i+5j;v=5i-4j
11.Demuestrequeparacualesquieranúmerosrealesa y~.losvectoresu=ni+ ~jy\'=~i
-ajsonortogonales.
12.Scanu."yw[resvectores ••rbitrarios.Explique porquéelproductou. \""'1/0estúdefi
l/ido,
Delosproblemas13al19determinesilosvectoresdadossonortogonales.paralelosoninguno
delosdos.Despuésesbocecadapar.
13.u=3i+5j:\'= -6i-lOj 14.u=2i+3j:v=6i-4j
15.u=2i-3j:v=-9i+6j 16.u=2i+Jj:v=6i+4j
17.u=2i+3j;v=-6i+4j 18.u=7i:\'=-23j
'9.u=2i-4j:"= -i+3j
20.Seanu= 3i+4jy\'=i+ ajoDeterminealalque:
a)tlY\'sonortogonales.
e)El¡"¡nguloentreuy\'esn/4,
h)uyvsonparalelos.
ti)Elánguloentre uy\'esn/3.
21.Se.mu=- 2i+7jy\'=ni- 2j,Determineo:talque:
a)tlY\'sonortogonales.
e)Elánguloentreuy" es2TI/J.
h)uy\'sonparalelos.
ti)Elánguloentreuy \.esn/3.
22.
Enelproblema20demuestrequenoexisteunvalordea pan.elquetiy\·tienendirecciones
opuestas.
23.Enelproblema 21demuestrequenoexistevalorde aparaelqueu Y"tienenlamisma
dirección.
25.u=-5j;v=i+j
27.u=2i+j:v=i-2j
29.u=-i-2j:"=5i+7j
31.u=i+j:v=2i+Jj
Enlosproblemas 24al37calculeproy, u,
24.u=Ji;\'=i+j
26.u=2i-3j;\'=-9i+6;
28.ti=2i+3j:\'=4i+j
30.u=i+j;v=2i-3j
32.u =4i-j:v=-2i+3j
33,tl=ni+~j:v=i+ j;a.y~rcalespositivos

3.2Elprodudoescalary lasproyeCCIonesen~ 241
34.u
=i+j:,.=ai+~j:ay~realespositivos
35.
u=7i+2j:"=4i-6j
36.u=ai-~j:,.=i+j:ay~realespositivoscon a>~
37.u=ai-~j;\'=i+j:ayPrealespositivoscon a<~
38,Seanu =(jli+bljyv=u
2
i+bJ.Eswblezca llllUcondiciónsobre (jI'b
l
.a:yb:queasegure
quevyproy,utengan
lamismadirección.
39.Enelproblema
31establezco.unacondiciónqueasegureque \'yproy.utengan dirITr:ione~
opuest:ls.
~ -
40.SeanP=(2.3).Q=(5.7).R=(2.~3)YS= (l.2).Calculeproy R!RSYproy;¿PQ.
~-
41.Se-dnP=(~J.3).Q=(2.4).R=(-6.-2)yS=(3.O).CalculeproYiQRSyproYi\PQ.
42.Pruebequelosvectoresdiferentesdecerouy ,.sonparalelossiysólosi,.=aup<1f<talguna
constante
a.[SlIgerelláll:Demuestrequecos q¡=±1siysólosi\'=nu.]
43.Pruebequeuyvsonorlogonales
siysólosiu."=O.
44.Demuestreque elvector\'=aj+bjesortogonal¡¡larectaax+by+('=O.
45.Demuestre queel"ectoru =hi+ajesparalelo¡¡larectatlX+by+(.=O.
46.Untriangulotienevertices (1.3).(4.-2)Y(-3.6).Encuentreelcosenodec:.d: ••ingulo.
47.Untriángulotieneverticcs
(al'!JI)'(a:.b}y(ti)'b}l.Encuentrelarórmula pamelcosenode
cadaangula.
*48.LadesigualdaddeCauchy-Schwarzestablecequeparacualesquieranumerosreales
"l'a:.b,
yb,
Utiliceelproductoescalarpara probarestarórmula.¿Bajoquécircunstanciassepuedesusti
tuir
ladesigualdadporunaigualdad?
*49.Pruebe
queladistanciamáscortaentreunpuntoyunarectasemide porunalineaque
pasa
porelpuntoyesperpendiculara larecta.
SO.Encuentreladistanciaentre P=(2.3)YlarectaquepasaporlospuntosQ::(-1.7)y
R-(J.5).
51.Encuentre ladislanciacnlre(3. 7)ylarecIaque vaalolargodelvector" =2i-3jquepasa
por
elorigen.
52.Sea
JIunamatrizde2X2talquecadacolumna esunvcetorunitarioyquelasdosco
lumnassonortogonales.Demuestreque
AesinvertibleyqueA-
I =A'(Aseconocecorno
matrizorlol!,onal).
RESPUESTAS ALAAUTOEVALUAClóN
1.el 11.h) 111.b) IV.el V.c)

2~2e\l'iTLI.O3Vectoresen~y1)3
MANEJO DELACALCULADORA
Sepuedeobtener elproductopuntoentredosvectoresutilizando elcomandoDOT. Se
necesitantenerdosvectoresdedimensiones comp."1tiblesenlasposicionesI y1dela
pilayescribir elcomandoDOTseguidode lateclaenteroestosisequiereobtener el
productopuntoentrelosvectores vIconmagnitud5 yángulo3radianes yelvectorv2
conmagnitud3yángulo5radianes
C5J!L-CD(AU'HAI~CDCD(fNn'RI
C5J'_f_CD(MPHA)~CDCD(fNn'RI
(Al.'HAI(Al.'HAlc:::Elc:::Elc:::DIfNn'R)
Siqueremosobtener elvectorunitarioasociadoavi(magnitud4 yángulo3radianes)
podemosprocedercomosigue
Paracalcular
eloperadorproy. U,sitenemosguardadosvectoresU yV,porejemplo

3.2Elproductoescalary lasproyeccionesen ~ 243
Enlosproblemas 53al57utiliceunacalculadorapara encontrarunvectorunitario que
tengalamismadirección queelvectordado.
53.(0.231,0.816) 54. (-91,48) 55,(1295,-7238)
56,(-5.2361.-18.6163) 57,(-20192,58116)
Delosproblemas 58al61utiliceunacalculadora paraencontrarlaproyecciónde ti
sobrevyesboce u.vyproy,u.
58.u""(3.28,-5.19). \'""(-6.17.-11.526)
59.u=(0.01629.-0,03556). \.""(0.08171.0.(0119)
60.U""(-5723,4296).\'""(17171.-9816)
61.u=(37155,42136).,.=(25516,72385)
• MATLAB3,2
l.Paralosparesdevectoresdelosproblemas 24a32.verifiquelosvectoresproyeccióncal
culadosconlápizypapelusandoMATLAB(cons,ulte
1"informacióndemanejodeMAT
LABanterioralosproblemasdeMATLAB
3.1).
1Vf 2,(Esteproble/l/ausa elarchil'Oprjlll.m)Elproblemaserefiere ..lavisualizacióndelaspro-
yecciones.Acontinuaciónsepresenla
lafunciónprjln.m.
functionprjtn(u,v)
\PRJTN funcionproyeccion.Graficalaproyecciondelvectoru
\
enladirecciondelvectorv
•
\ u:vectorde2xl
\ v:vectorde2xl
origen:[0;0];
P_(u'*v)/(v'*v)*V;
Ou_[origen,uJ;
Ov:(origen,vl;
OP:[origen,P];
uMP:[u,p];
plot(Ou(l,:).Ou(2,:),'22b*',Ov(l,:l,Ov(2,:l,'22b*',..
OP(l,:),OP(2,:),'-go',UMP(l,:),uMP(2,:),':m')
瑥硴⡵笱⤡㈬用㈩ℲⰧࡦ u');
text(u(1),u(2),'1')
text(v(1)/2,v(2)/2,✈fv');
text(v(l),v(2),'2')
text(P(I)/2,P(2)/2,✈fP');
text(P(U,P(2),'3')

C\PIH1.03VectoresenI)lyDl
a=axis;
axis([min(a([1,3]))-1,max(a([2,4]))+l,min(a([l,3]))
-l,max(a([2,4)))+1])
axissquare
gridon
title('Peslaproyecciondeuenv'l
xlabel{'uterminaen1,vterminaen2,Pterminaen3')
Unavezquesehaescritolafunciónen unarchivoconnombreprjtnde elcomandodoc
prjtnparatenerunadeS(ripcióndeestearchivoconeXlensión 11/.
Paralosparesdevectoresu yl'dadosenseguida:
a)Introduzcau y\'comomatricesde 2XIYcalculep =proyecciónde usobre",
h)Déelcomandoprjtn(u. \,)(estearchivodespliegauy l'enlapantalladegráficas.Opri·
macualquierteelaybaja
niunaperpendiculardelpuntoterminaldeuhasla larecta
determinadapor
'1'.Oprimacualquierteelay seindicaráelvectorproyección).
,.)Mientrasobservalasgráficasen lapantalla.verifiqueque elvectorpgrafic<ldo seael
\'eClorcalculadoen ll).localiceel"ector(paraleloa) u-p.¿Cualeslarelacióngeomé·
tricaentre
u-py"?
i.u=12;11
;;;.u=12;11
l'=13;01
,=1-1;21
n.u~12;31
iv.ti=12;31
,.~1-3;01
v=1-1;-21
l'.Elijasuspropiosvectoresuyv(almenostrespares).
IDVEaORESENELESPACIO
Sehavistoquecualquierpuntoen elplanosepuederepresentarcomo unparordenadode
númerosreales.DcmaneraHnúloga.cualquierpunto
enelespaciosepuederepresentarporuna
tcrnaordcnadadenúmerosreales
(a.b.e) (1)
1-'
ORIGEN
EJEX
""
"El
Losvectoresdelaforma (1)constituyenel espacio~. Pararepresentarunpuntoenelespacio.
secomienzaporelegirunpuntoen V.Sedenominaaestepunto elorig<,n.denotadoporO.
Despuessedibujantresrectasperpendicularesentre si.alasque sellam¡telejex,elejeJ'yel
eje:.Dichosejes sepuedenseleccionardediferentesformas.pero lamascomúntienelosejes
xy)'horizontalesy eleje=vertical.Sobrecadaeje seeligeunadirecciónpositiva yladistancia
a
10largodecadaeje semidecomoelnúmerodeunidadesenestadirecciónpositivaap.utir
delorigen.
Losdossistemasbásicosparadibujarestosejes
sedescribenenlafigura 3.18.Silosejesse
colocancomoenlafigura 3.18a.entonceselsistema sedenominasistemaderecho: sisecolocan
comoenlafigura
118b.setratade unsistemaiZ1ltlicrdo.Enlasfiguraslasl1echasindican la
direcciónpositivadelos ejes.Larazónpara laeleccióndeestoslerminos eslasiguiente:en un
sistemaderecho. sicolocasumanoderechade manenLqueeldedoindiceseñaleenladirec
ciónpositivadeleje
xmientrasque elmedioapuntaen ladirecciónpositivadeleje)'.entonces
supulgarapuntaráenladirecciónpositivadel eje:.Esteconcepto seilustraenlafigura 3.19.

3.3Vectoresen elespacio 245
Lamismareglafunciona pantelsistemaizquierdoconlosdedos de1..manoizquicrda,En el
restodeestelibroseseguiralapráctica comundedescribirlosejesde coordenadasusandoun
sistema
der~ho.
Fi!!ura3.18
a~"SlSlema deredJo;
b ~si'stemaiu,.¡ierdo
->'é-----~,.
O
,,)
,-
->'é-----.,.
O
b)
Figura3.19
.manoderechaindicalas
~'eccionesdeunsistema
~~,echo
f'lAHos
,=":.::'0."'=::'",=""'=u-
Lostresejesennuestrosistema determinantresplanoscoordenados.quese denominan
planoxy.planox=yplanoJ=.Elplanoxycontienelosejesxyryessimplemente elplanocon
elquesehavenido
trabajandohastaahoraenlamayorparledellibro.Sepuede pensarenlos
planos.cy,1'=demodosimilar.
Altenernuestraestructuraconstruida dcejescoordenadosyplanos,podemosdescribir
cualquier
puntoPen~deunasolamanera:
P""(x.y.=l (2)
SISTIMAOE
COORDENADAS
CARTISLANAS
'"1)'I;,-----------=c..:.:.
endondelaprimemcoordenadaxesladistanciadirigidadel planoy=aP(medidaenladirceo
eiónpositivadeleje
xalolargodeunarectaparalelaaleje x).lasegundacoordenadaresla
distanciadirigidadesde elplano.chastaP(medidaen ladirecciónpositivadeleje yyalolargo
deunarectaparale];laleje.rJy
laterceracoordenada=esladistanciadirigidadesde elplanoxy
hastuP(medidaen ladirecciónpositivadeleje =yalolargodeunarectaparalelaaleje =).
Enestesistemalostresplanos coordenadosdividenalespacio 1)'enochooctanlcs. dela
mismaformaqueen I)!losejescoordenadosdividenal planoencuatrocuadrantes.Eloctante
en
elquelostresejes coordenadossonpositivossiempreseselecciona comoelprimero.
Elsistemacoordenadoqueacabadeestablecerseconfrecuenciaseconoce comosistema
decoordcnluJasrectangul:lfl'sosistemadecoordenadascartesianas.Un;lvezque laIlaciónde
describirun
puntoenestesistema leresultefamiliarpuedene1ttendersemuchas delasideas .1
partirdelplano.

246 C\l'iTt.:I.OJ
TEOREMAa
VectoresenIYyIY
SeanP=(xl'yl'=.)yQ=(x
2
,
Y
r
=2)dospuntosen elespacio.Enloncesladistancia PQ
entrePyQestadadapor
(3)
Sepidealleclorquepruebeesteresuhadoenelproblema49.
"-L__C_á_Ic_"_I_o_d_e_la_d_i,_,_a_n_ci_a_e_n_'_,_e_d_o_,_p,-"_n_'o_'_e_n_"'__
Calculeladistanciaentrelospuntos(3.- l.6)Y(-2.3.5).
••Soludó"
SEGMENTO OE
~RECTADIRIGIDO
UVECTORENI)l
PQ=J[3-(-2))'+(-1-3)'+(6-5)'-m
Enlassecciones3.1y3.2sedesarrollaronlaspropiedadesgeomerricasdelosvectoresenel
plano.Dadalasimilitudentrelossistcmasdccoordenadasen
11y!)l.noesunasorpresaque
losvectoresen
11y~tenganeSlructUrdSmuysimilares..Ahora sedesarrollaraelconceptode
unvectoren
clespacio.Eldesarrolloseguiradecercalosavancesdelasultimas dossecciones
y.porlotanto.seomitirimalgunosdelalles. .-
SeanPyQdospuntosdistintosen 1<'.Entonceselsegmentoderectadirigido PQesel
segmentoderectaque
seextiendede PaQ.Dossegmentosderectadirigidossoncqu¡'-alentes
sitienenlamismamagnitud ydirección.Un,'cctorcn lieselconjuntodetodoslossegmentos
derectadirigidosequivalentesaunsegmentoderectadirigidodado.
ycualquiersegmento
~
dirigidoPQeneseconjunto sellamaunart'llT('St'ntacióndelvector.
Hastaaquilas
definicion~ sonidénticas.Porconveniencia. seeligePenelorigenpara
poderdescribir
elvector" =OQmediantelascoordenadas (x.y.=)delpunto Q.
Entonccslamagnituddev =Ivl=~Xl+i+Zl(delteorema 1).
_'---_c_a_'I_C"_I_o_d_e_la_m_a,,9_n_i'_"_d_d_e_"_n_v_e_"_o_,_e_n_'"__
Seay=(l.3.-2).Encucntre1"1.
••Soludó" H=JI'+3'+(-2)'-fI4,
Seau =(XI')'1'=.)Y"=(x
2
•
J'r:!ldosvectoresyseaa unnumeroreal(escalar).Enloncesse
define
y
Sumadevectoresy multiplicaciónporunescalaren ~
u+"=(x.+x¡'Y
I+Y
2
,=.+:~)
au=(axl'ay!'az)
•
Éstaes1<1mismadefinicióndesumadevectoresymultiplicaciónpor unescalarque setenía:se
ilustraen lafigura3.20.

3.3Vectoresenelespacio 247
Figura3.20
~
Ilustracióndelasumade "+,
V€doresylamultiplicación
\ 7':
porunescalarenl.'
/(
"
'/
,
r r
O O
"
O
,
"
a) b) ,'j
l'-u u- l'
"
,
"
O O
r
x ,
<1) e)
VEaOR
m.UNITARIO
Un\'cctorunitariouesunvectorconmagnitud 1.Si\'esunvectordiferentedecero.entonces
u
=vllvlesunvectorunitarioquetiene lamismadirecciónque".
_L~c:a:' 1~(:u~lo::..:d:e::u~n,-,v:e~(:'o::.:..' :u~n~il:a:':i:o_e:n::I)~'_
Encuentreunvectorunitarioquetengalamismadirecciónque \'=(2,4.-3).
••Solución
DEFINICiÓNa
Como\'=~22+4
l
+(_3)2=J29setiene
Ahorascpuededefinirformalmenteladireccióndeunvectoren
P'.Nosepucdedefinircomo
elánguloequeforma elvectorcon eleje.\"positivo yaque,porejemplo. siO<e<re/2,porlo
queexiste
unnúmeroinfinitodevectoresqueformanunúngulo ()conelladopositivodeleje.r.
yestosvectores
juntosformanun cono(vealafigura3,21).
Direcciónen [?l
Ladireccióndeunvector"en JlIsedefinecomo elvectorunitariou =v/lvl.
Figura3.21
Todos105vectoresque
estánenesteconoforman
unángulo(}COl1lapalte
positivadelejex
x
_-7I;;---r
O

248 C""iTUOJVectoresenDlyDl
(O.o.=0)
Figura3.22
elveetofvformal.Wl~
aconriladopo!>itMldel
~x,~conelLxIopositivo
deleJE!yyyconeleje
POSI\lVOdelejez
ÁNGULOS
LOlREaOftE5
,
,
,
,
(---
,
,
,
,
,
,
OhsermdólI.Sepudohaberdefinido ladireccióndeunvector l'enII)!deestamanera. yaquesi
u=\·~"I.entoncesu =(cos9.sen9).donde{)esladireccióndel'.
Resultaríasatisracloriodefinir ladireccióndeunvector'0enterminasdealgunos<'Ingulos.Sea
~
\'elvectorOPdescritoenlafigura3.22.Definimos acomocllguloentre,.yeleje.\"positivo.
13elúaguJaenlre\'yeleje)'positivo.yyelánguloentrevyeleje=positivo.Los ángulosa.13y
YStdenominanángulosdirl'Clorcsdelvector \',Entonces.de1..figura3.22.
x,
cosa=Ivl
(4)
Si\'esunvectorunitario.entonces 1\'1""IY
cosa"".\'0'cos
R
""
l'
1"•11'cos'f""=0 (5)
COSENOS
eDIRECTORES
Pordefinición.cadaunodcestostres angulascaccnelintervalo de[O."j.Loscosenos deestos
ángulos
sedenominancosenosdirectoresdelvector v.Observe.delaecuación(4).que
x~+y~+=~
Ivr
x;+y~+=~
:c;+.v;+=;
(6)
NÚMEROS
1:DIfIECTORES
EJEMPLO 4
•Solució"
SiCt.,~YYsontresnúmeroscualesquieraentrecero yrrtalesquesatisracenlacondición(6,.
entoncesdeterminandemaneraúnica
unvectorunitario dadoporti""(cosa.cos~.cosy).
Oh.~I'ITudó". Si\'""(l/.h.e)y1"1=1-l.entonceslosnúmeros (l.bYesellaman"umerosdireclores
delvector
v.
Cálculodeloscosenosdirectoresdeunvector enI)J
Encuentreloscosenosdirectoresdelvector \'=::(4.-1.6).
Lad;reccióndcV"v/H=vI./53=(4/./53.-1/./53.6/./53).Entonreseosa =4/./53~0.5."'.
rosp=::-1/J5j::::-0.1374Yros'f""6/J5j::::0.8242.Conestosvdlores seusantablasouna

3.3Vector~ enelespaciO 249
(4.-1.6)
J::-''---r
O
y
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
{-l.-1.0)....(-I.O.Ol
Figura3.23
Loscosenosdirectoresde
(4,-1.6)soneosu.eos
pyeosy
x
calculadoraparaobtener a.'"56.7°'"0.989rad. ~'"97.9°'"1.71rady y=34.5
0
'"0.602
rad.
Enlafigura3.23sepresentaunesbozodelvector.juntoconlosángulos 0..~Yy.
EJEMPLO 5 Cálculodeunvectoren I~)dadossumagnitud ycosenosdirectores
Encuentreunvector,.demagnitud7cuyoscosenosdirectoresson 1/16,l/J)Yl/fi.
••Soludó"Seau=(1/16,I/.{jYl/Ji).Entoncesues unvcctorunitario yaquelul=1.Asi.ladirección
de
"estadadaporuy" =1"1u=7u=(7/16.7/J).7/Ji).
Nota.Esteproblema sepuederesolverporque (¡/JóY+(¡/.J3y+(¡/.[ir=l.
Esinteresanleobservarque si"en~esunvectorunitario ysepuedeescribir" =(cosO)i+
(senO)j.dondcO esladirecciónde ".entoncescosOysenOson roscosenosdirectoresde ".En
cstecaso.a =OYsedefine~comoelúnguloqueforma ,.conelejey(vealafigura3.24).Por
lotanto.~=(11:!2)-a.demaneraquecos ~=cos(re!2-a)=senay,.scpuedccscribircnla
formadc"cosenosdircctores"
"=cosni+cos~j
Enlasección3.1seobservóquecualquicrvcctoren elplanosepucdeescribirenterminosde
losvectoresbase
iyj.Paraextenderestaide:.a IYsedefine
;=(1.0.0) j=(0.1.0) k=(0.0.) (7)
Aqui.i.jYksonvectoresunitarios. Elvectoriestúsobre elejcx.jsobreelejcyyksobreel
eje:.Enlafigura3.25sepuedever unbosquejo.Si,'=(x.y.:)escualquiervector en1)1.en
tonces
9=0.
nt"'-.L:.--:::'-----x
O
Figura3.24
SiIJ~AI({(
,,
yvesuiivectof.... Itafio.
entonces
.,'".e¡...:n9¡
,~"'(Li ,·,...lJj
,
H=1
,

250 C,u'iTl'l.o3VectoresenI:f<y[')3
Figura3.25
Losvectoresbasei,jYk
en[J
(O.O.1)
k
j
.)::-'----,.
,O
10.J.DI
(1.0.0)
\'=(x.)',=)=(x.O.0)+(0.y.O)+(O.O.=)=xi+)'j+:k
Estoes.tlIa/quiel'vCClorl'el1[!lsepuedeescribir de/llaneraúnicae/lterminosdelosI'('c/o/"esi.
j)'k.
Ladefiniciónde productoescalaren I)lesladefiniciónquesepresentóenlasección1.6.
Observequci'i=J.j.j=I.k·k=l,i·j=O.j·k=Oci'k=0.
TEOREMAE3I
I!DEMOSTRACiÓN
EJEMPLO 6
Sitpdenotaelángulopositivomáspequeñoentredos vec~oresuyvdiferentesdecero,
setiene
(8)
Lapruebaescasiidénticaa lapruebadelteorema3.2.2de lapágina235 ysedejaal
lectorcomoejercicio (veaelproblema50).
Cálculodelcosenodel ánguloentredosvectoresen12
3
Calculeelcosenodelánguloentreu =3i-j+2kyv =4i+3j-k.
••SolllciólI". ,.=7,1"1=,¡¡¡yH=J26.po>loqueeos~=7/J(14X261-7!J364=0.3669Y~=68.5
0
=
l.2rad.
i.Paralelossielánguloentreellosesceroo n.
Dosvectoresuyvdiferentes deceroson:
DEFINICiÓNa Vectoresparalelosyortogonales
ji.Ortogonales(operpendiculafL'S) sielánguloentreelloses nl2.
i.Siu~O,entoncesuy,.sonparalelossiysólosiv=uuparaalgúnescalara '#O.
ji.Siuy\'sondiferentesdecero,enlOncesuy ,.sonortogonalessiysólosiu.\.=O.
Delluevolapruebaessencillay sedejacomoejercicio(vea elproblema51).
TEOREMAE3I
L.DEMOSTRACiÓN

3.3VectoresenelespacIo 251
Ahorasedaráladefinicióndelaproyecciónde unvectorsobreotro.Primero seestableceel
teoremaanálogo alteorema3.2.5 (ycuyademostración esidéntica).
TEOREMAaSeavunvectordiferentedecero,entoncesparacualquierotrovector u,
u-v
w=u---v
[vi'
esortogonala v.
DEFINICiÓNEl Proyección
Seanuyvdosvectoresdiferentesdecero.Entonceslaproyeccióndeusobre v,denotada
porproy,uestádefinida por
u-v
proy,u~-Iv-I'_v
(9)
u-v
Lacomponentedeuen ladireccióndevestádadapor JvI (10)
_L__C_á_lc_u_l_o_d_e_u_n_a~p~r_o~y_e_'_'_ió_n_e_n_[)' __
Seanu =2i+3j+kyl'=i+2j-6k.Encuentreproy, u.
Lacomponentedeuen ladirec-U=~i+~j-~k.
414141
En"lecaso(u-v )/[vI'~2/41Yproy,
ción, es(u-v)/[vI~2/'¡;¡¡_
Observeque,igualqueen elplano,proy,u esunvectorquetienelamismadirecciónque \'si
u.\'>Oyladirecciónopuestaalade l'siu."<O.
••Solución
problemas33
AUTOEVALUACIÓN
1.Respondasilaafirmaciónsiguiente esfalsaoverdadera. Laprácticacomúnsegui
daenestelibro
esdesplegarlosejes xy=paraI)lcomounsistemaderecho.
11.Ladistanciaentrelospuntos (l.2.3)Y(3.5,-1)es -
a)Jo+2+3)'+(3+5-1)'
h)J2
1
+3
2
+2
1
e)J2
2
+Y+4
2
ti)J4"+ii.+2'

252 C\I>iTul.o3 Ve<tore~ en[}lyIY
111.Elpunto(0.3.0.5.0.2)esta __laesferd.unitaria.
a)enlatangentea
e)dentrode
b)sobre
d)fuerade
IV.(x-W+ll'+Sr+~=81eslaecuacióndelaesferacon' _
a)centro81yradio(-3.5.O)
b)radio81ycentro(-3.5.0)
e)radio-9ycentro(3.-5.O)
d)radio9ycentro(3. -5.O)
V.j-(4k-30 =__
a)(l.-4.-3)
,)(-3.1,-4)
h)(1,-4.3)
ál(3.1.-4)
VI.(i+3L:-j).(L:-4j+2i)= _
a)2+4+3=9
h)(1+J-IXI-4+2)=-J
e)I+12~2= -13
t!)2-4-3=-5
VII.Elvectorunitarioenlamismadirecriónque i+3k-jes _
a)i-j+k
e)t(2i-2j+k)
h)¡(2i-2j+k)
ál¡(2i+2j+k)
VIII.Elcomponentedeuen ladirecciónwes
u·\'
a)
w
h)H
u·ww
,)
u·wu
álrwn;;r
Delosproblemas1a14encuentre ladistanciaentrelospuntos:
1.(J.-4.J):(3.2.5)
J.(J.-4.1):(J.-4.4)
2.(J.-4.7):(J.-4.9)
4.(-2.1.J):(4.1.J)
Enlosproblemas5al 23encuentrelamagnitudyloscosenosdirectoresdelvectordado.
5.\'=3j 6.\'=2i-3j 7.v=-3i
8.\'=4i-2j+k 9.\'=4i-j 10.\'=i+2j
11.l'=-3i-5j-3k 12.v=i-j+L: 13.\'=i+j+k
14.v=i+5j+2k 15.\'=-i+j+k 16.l'=i-j-k
17.v=6i+7j 18.\'=-i+j-k 19.l'=-i-j+k
20."=-j-j-k 21.\'=2i+5j-7k 22.\'=-3i-3j+8k
23.\'=-2i-3j-4L:
24.Lostresangulosdirectoresdcciertovectorunitariosonlosmismosyestánentreceroy
Tr/2.¿Cuúles clvector?

1" 1"
,,-----------
Q(x~.y~. =l)
Figura3.26
3.3
Vectoresenelespac¡o 25 J
25.Encuentreunvectordemagnitud 12quetengalamismadirecciónque elvectordelproble
ma24.
26.Demuestrequenoexisteunvectorunitariocuyosangulasdirectoressean n/6.rt13)'rJJo.
27.SeaP=(2.1.4)YQ=O,-2.8).Encuentreunvector unitarioenlamismadirección
~
dePQ.
28.SeaP=(-3.l.7)YQ=(8.l.7).Encuentreunvectorunitariocuyadirecciónesopuestaa
~
ladePQ.
~ ~
29.En elproblema28encuentretodoslospuntos Rtalesque PR..LPQ.
*30.Demuestrequeelconjuntode puntosquesatisfacenlacondicióndelproblema 29yla
~
condiciónIPRI""Iformanuncírculo.
31.DesigualdaddelIriángulo
Siuy,.estanen I)Jdemuestreque lu+vi~lul+Ivl.
32.¿Bajoquécircunstanciaspuedesustituirseladesigualdaden elproblema31porunsigno
deigualdad?
Enlosproblemas
33a48seau =2i-3j+4k.,'=-2i-3j+Sk.w=i-7j+31.;yt=3i
+4j+Sk.
33.Calculeu +v 34.Calcule 2u-3\'
35.Calcule
3u-2\· 36.Calcule t+3\'-,.
37.Calcule2u+7w+5\' 38.Calcule""'(u+v)
39.Calcule 2"+7.-". 40.Calculeu."
41.Calcule
(31-2u)·(5"+2\') 42.Calcule 1""1
43.Calculeu. w-w·I 44.Calcule elánguloentreuy W
45,CalculeelangulaentreI y"' 46.Calculeproy."
47.Calculepray,
"" 48.Calcule",proy,,.
49.Pruebe elteorcm:.l.{Sugerencia:UtiliceelteoremadePitágorasdosvecesenlafigura
3.26·1
P(X1'YI':1) SI..-)
__________~·\1')"-1
, ... ,I
,I
... ,,
"...,'I
, I
"'...',
:---- ~-----.,.R(x~.y~. =1)
I ' --J----i
I " 1,
h--"'¡"~~''----,<-+' -~''----.!.
O
50.Pruebe elteorema2.
51.Pruebe clleorema3.
52.Pruebeelteorema4.
RESPUESTAS ALAAUTOEVALUACIÓN
1.V
VI.(f)
11.el
VII.e)
111.d
VIII.a)
IV.d) V.ti)

25-1eIPlTl.l.O3VectoresenDIy~
MANEJO DELA CALCULADORA
Lasinstruccionesparacalculadorapresentadasenlassecciones 3.1y3.2paravectores
en
~seextiendena (}J.conlaobscrYdciónqueahor'd sctienencoordenadasesféricas
ademásquecilíndricasycartesianaspararepresentarvectores,
Resuelvalossiguientesproblemasenunacalculadora.
Enlosproblemas53al56encuentrelamagnitudydireccióndecadavector.
53.(0.2316.0.4179,-0.5213)
55.(17.3.78.4.28.6)
54.(-2356.-8194.3299)
56.(0.0136.-0.0217.
-0.0448)
En105problemas57al60calculeproy,u.
57."=(-15.27.83);,=(-84,-77,51)
58."=(-0.346.-0.511,-0.824);,=(-0.517.0.811.0.723)
59.
u=(5241,-3199.2386): ,,=(1742.8233.9416)
60."=(0.24.0.036.0.055);,=(0.088.-0.064.0.037)
EIIELPRODUCTO CRUZDEDOSVECTORES
Hastaelmomentoelunicoproductodevectoresquesehaconsiderado hasidoelproducto
escalaroproductopunto.Ahom
sedefineunnuevoproducto.Ilam¡ldo productocm:(opro
dUCIO,·('cloria/).queestadefinido sóloenVJ.
Notahistórica.ElproductocruzfuedefinidoporHamillonenunodeunaserie
deartículospublicadosen
PhifosophimlMaga:i"" entrelosaños 1844y1850.
DEFINICiÓNa
EJEMPLO 1
Productocruz
Seanu
=(/Ii+b,j+c,kyv =(/¡i+b~+c¡k.Entonceselproductocruz(cruz\'Cctorial)
deu
yl'.denotadoporu Xv,esunnuevovectordefinidopor
NolequeelresultadodelpAAluclocncesun\'eClOr,miellfrtlsque elresultadodelproducto
escalares
111/escalar.
Aquíelproductocruzpareceestardefinidodeunamaneraarbitraria. Esevidentequeexis
tenmuchasmanerasdedefinir unproductovectorial.¿Porqué seescogióestadefinición? La
respuest~1 aestapregunta sedacnlapresenteseccióndemostrandoalgunaspropiedades del
produclocruzeilustrandoalgunasdesusaplicaciones,
Calculo
delproductocruzdedosvectores
Seanu =i-j-1'-Yl·=1i+3j-4'-.Calcule w=uxv.

•Soludóu
TEOREMAa
DEMOSTRACIÓN
L..~==
EJEMPLO 2
3.4Elproductocruzdedosvectores 255
Usandolarórmula(1)seobtiene
w~l(-IX-4)-(1)13)li+[(lXl)-11X-4)li+[11X3)-(-l)ll)lk
=~1i+8j+5k
Nota.Enesteejemplo u.w=(i-j+1k).(-1i+8j+5k)=-1-8+10=O.Demanera
similar.
v.w=O,Esdecir.u Xl'esortogonaltamoaucomoal',Comosever:"enbreve.el
productocruzdeuyl'essiempreortogonalauyv.
Antesdecontinuarelestudiodelasaplicacionesdelproductocruzseobserva queexisteuna
formasencilla
decalcularux l'usandodeterminantes.
jk
uxv=
",
b,e,
",b,e,
queesiguala uX\.segúnladefinición l.
Usodelteorema1paracalcular unproductocruz
Calculeux\'.dondeu=2i+4j-5kY\'=-3i-2j+k.
•Soludóu
j
Ux\'=24
-3-1
k
-5=(4-ID)i-(1-15)j+(-4+11)k
1
=-6i+13j+8k
TEOREMAE3I
Elsiguienteteoremaresumealgunaspropiedadesdel productocruz.Sudemostraciónsedeja
comoejercicio(vealosproblemas38a141deestasección).
Sean
u,\'ywtresvectoresen I)lyseao:unescalar.entonces:
i.uXO=Oxu=O.
ii.ux l'=-(vXu)(propiedadanticonmutath'aparaelproductol"ectorial).
¡ii.
(au)x\'=et(uX\').
iv,ux(v+w)=(uX\,)+(uXw)(propiedaddistributivaparoelproducto\·cctarial).
v.(uXv).w=u.(l'Xw). (Estosellamatripleproduclo escalardeu,l'y\".)
vi.u'(uXv)=v.(uX v)=O.(Esdecir.uX vesortogonalauyav.)
viLSiniuniv sonelvectorcero,entoncesuyv sonparalelossiysólosiuxl'=O.
•
Enrealidadnosetieneundeterminanteporquei.jYknosonnumerasSinembargo,alusarlan.,td
nantes,elleorema1 ayudaarecordarcOmocalcularunproductocruz

256 CAPiTULOJ Vectoresen1)'yI)J
"
/0
0
---------------
Figura3.27
E~lslenexadamenled~
vectores,ny-noortogo
~alesadosvectoresno
paralelos11yVenV'
x
"
Figura3.28
Ladirecciónde11xvse
puededetelminarusando
lar€'9ladelamallOderecha
"
uXr
TEOREMAE3I
Laparte\'i)deesteteoremaes laqueseusaconmásfrecuencia. Sevuelveaestablecercomo
sigue:
ElproductocruzuX l'esortogonaltantoaucomoa v.
•
SesabequeuX l'esunvectorortogonalauy v,perosiemprehabrá dosvectoresunitarios
ortogonalesau
y\'(vealafigura3.27).Los veClOresny-o(nporlaletrainicialdenormal)
son
ambosortogonalesauY".¿CuÍlItieneladireccióndeuX v?LarespuestaestÍl dadapor
lareglade lamanodl'rccha.Sisecolocalamanoderechademaneraque elíndiceapunte enla
direccióndeu yeldedomedioen ladirecciónde l'.entonceselpulgarapuntaráenladirección
deu
x,'(vealafigura3.28).
Unavezque
sehaestudiadoladireccióndelvectoruX",laatención sedirigeasumag
nitud.
Sicpesun¡'¡nguloentreuy v,entonces
(2)
L.DeMOSTRACiÓN Noesdificildemostrar(comparandocoordenadas)que luXvl
2
=lul
2
1vF-(u.V)2(veael
problema37).Entonces,como (u.V)2=lul21vFcos2
cp(delteorema3.3.2, p¡'¡gina255),
loxvi'=101'H'-1uI'H'cos'~=101'Ivl'(1-cos'e)
=101'H'sen'~
yelteoremaquedademostradodespuésdesacar laraízcuadradaaambosladosdela
ecuación.Observequesen
cp2:OporqueO:sicp:si1'1:.
Existeunainterpretacióngeométricainteresantedelteorema 3.Losvectoresuyvestándi
bujadosenlafigura3.29y
sepuedepensarquesondosladosadyacentesdeunparalelogramo.
Entoncesde
lageometríaelemental.se veque
Eláreadel paralelogramoquetieneladosadyacentes
uy"esigualalullvlsencp=luXvi
•
(3)

3.4Elproductocruzdedosvectores 257
Figura3.29
.eselánguloemreuyv.
'~"<pdemaneraque
",
,
\/, ,
\IvlsenlpJJ
J¡\ J
,,
,,
Figura3.30
Unparalelogramoen_:ti
Q{2.1.4)
E'HI-+-!L+-+-!'
EJEMPLO3
•Soludón
Calculodelárea deunparalelogramoen1)3
Encuentreelúreadelparalelogramo convérticesconsecutivos enP=(l.3.-2).Q=(2.1.4)
YR=(-3.1.6)(verfigura3.30).
Elparalelogramo.
.->->
Area=IPQxQRI=In-2j+6k)x(-5i+2k)1
jk
1-26=1-4i- 32j-10kl=j1l4Ounidadescuadradas.
-5O2
INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DELOS DETERMINANTES DE2X2
(OTRAVEZ)
Enlasección
2.1seestudióelsignificadogeomctricodcundcterminante de2X2(página175).
Ahoraseobservarúelmismoproblema.Haciendousodel productocruzseobtieneelresulta
dodelasección2.1enformamússencilla.SeaAunamatrizde2x2 yseanu y\'dosvectores
de2componentes.Sean ti=['"Jyv=["J.Estosvectoresestán dadosenlafigura3.31.
1/
1
1'1
:::::::::'::::::::c:::e:'::"::::::'::::::1Pp~:::I:~,"::o~:~:: :n~[ t].n~:l~r
áreagenemda poruyv=luxVI=[¡:I1:1o]
1'1v:O
=1(//11'1-U
1
1',)kl=I
II,1'1-u
1vJ
AhoraseaA=[a
11
al!J.u'=Auy\"=Av.Entoncesu'=[alll/¡+a¡2l/¡Jy\"=[a
ll
\'1+al~ \'~l.
a
ll
al, a¡ll/¡+a
11
//¡ (/!Il"1+G::\":
¿Cuáles eláreagenerada porti'y\",?Siguiendolospasosanterioressecalcula
• r ",,,)
tObservequeésteeselvillorabsolutodedel
11 "

258 C..u:·íTUU)3 Vectoresen~y~l
Figura3.31
Eláreadelaregiónsom
breadaeseláreagenerada
poruyv
Figura3.32
Tresvectoresu,vyw,que
noestánenelmismoplano
determinaráunparalelepí
pedoenI~
Área
--".-/"-------_x
O
,
"
i j k
Áreagenerada
poru'y\"=Iu'xv'l=I°
11
1/
1+a
l2
11
2
0"u
1+a
22
11,O
0llv,+a,,1'2o"vl+a"l',O
=IColIlI,+0"U
2
)(U
2I
V,+0"v
2)-(a
21
11
1
+022112)(0IlV)+0'2V2)1
Lamanipulaciónalgebraicaverifica quelaúltimaexpresiónesiguala
l(a
ll
a
22
-{/¡P21)(U,1'2-u
2
1'1)1=±detA(áreagenerada poruy\,)
Entonces(enestecontexto): eldeterminantetielleelefecto demultiplicarelárea.Enelproblema
45sepideallector
quedemuestrequedeciertaformaundeterminantede3x3tiene elefecto
demultiplicar
elvolumen.
INTERPRETACiÓN GEOMÉTRICA DEL TRIPLEPRODUCTO ESCALAR
Seanu,\'ywtresvectoresquenoestánen elmismoplano.Entoncesformanlosladosdeun
paralelepípedoen
elespacio(vea lafigura3.32).Calculemossuvolumen,Labasedelparalele
pípedoesunparalelogramo.Suárea,de(3),
esiguala1ux \'1.
ElvectoruX \'esortogonaltantoaucomoavy.porlotanto,esortogonalalparalelo
gramo
determinadoporuy\',Laalturadelparalelepípedo,h,semidealolargodelvector
ortogonalalparalelogramo.
Delanálisisde
laproyecciónenlapÍlgina238,se vequeheselvalorabsoluto delacompo
nentede wenladirección(ortogonal)uX \',Asi,delaecuación(lO)en lapágina251
I d Id ···Iw.("x»[
1=componenteewena IreCClonuxv=luxvi
Entonces
Volumendelparalelepípedo
=áreadebasex altura
Esdecir,
Elvolumendelparalelepípedo determinadoporlostres
vectoresu,vy
wesíguala I(uXv), wl=valorabsoluto
del
trípleproductoescalardeu,vy w.
•
(4)

SEMBLANZA DE•••
JosiahWiIlardGibbs ylosorígenes
delanálisisvectorial(1839-1903)
JO!II.hWiII.rdGlbbs
(TheGrUIIgerCol/fe/ion.
NlI<!IYIYork)
Q
Y<'?-:..¡-----...
1·I=j·j=k·k=l
·j=j·l=i·k=k'i=j'k=k·j=O
l'
~
LaefectividaddeFenladireccióndeoPeslacomo
~
ponentedeFenladireccióndeoP(=u)siu=1
x
o
Siguióaesto ladefiniciónmásgeneral.Gibbsaplicóel producto
escalarenproblemasreferentesa lafuer:za(recuerde, primero
erafisieo).SiFesunvectordefuer:zademagnilUdIFJqueaCllia
~
enladireccióndel segmento00(Vt!alafigura3.331.entonces,
laefectivid~ deestafuerzaal empujarunobjetoalolargodel
segmentoOP(esdecir,a lolargodelvectoru)estádada porF.U.
Silul=l,entoncesF'ueslacomponentedeFenladirecciónde
U.Tambiénel productocruztieneunsignificadofísico.Suponga
queunvectordefu~r:zaFactúaenun puntoPenelespacio enla
~ ~
direcciónde PO,SiueselvectorrepresentadoporoP,entonces
el
momentodefuer:zaejercido porFalrededordelorigen esel
vectoruxF (vealafigura3.34).
Figura3.33
Comosehaobservadoanteriormente, elestudiodelosvectores
seoriginóconlainvencióndeloseuaterniones deHamillon.Ha
miltanyotrosdesarrollaronloscuaterniones comoherramientas
matematicasparalaeKploracióndelespaciofisico.Perolosresul
tadosfuerondecepcionantesporquevieronqueloscualernio
neserandemasiadocomplicadosparaemenderlos conrapidezy
aplicarlosfácilmente. loscienlificQSsedieroncuentadequemu
chosproblemassepodíanmanejarconsiderando lapartevecto
rialporseparadoy deestemodocomenzóelanálisisvectorial.
E5tetrabajose debeprincipalmentealfísicoamericano
JosiahWillardGibbs(1839-1903).ComonativodeNewHaven,
Connecticut,Gibbsestudiómatematicasyfisicaen laUniversidad
de
Yaleyrecibióel gradodedoctoren1863.Posteriormentees
tudiómatemáticasyfisicaen París,BerlínyHeidelberg. En1871,
fue
nombradoprofesordefísicaenYale.Eraunfisicooriginal
querealizómuchaspublicacioneseneláreafisico-matemática.
EllibrodeGibbsVectorAnofysisaparecióen 1881ydenuevoen
1884.
En1902publicóElemenraryPrincipiesofStatisticolMecha
nics.Losestudiantes dematemáticasaplicadas seencontraron
conelsingular
fenómenodeGibbsenlasseriesdeFourier.
EllibropionerodeGibbs,VectorAnalysiseraenrealidadun
panfleto
pequeñoimpresopara ladistribuciónprivada-enprin
cipiopara quesusestudianteslousaran-oDecualquierforma,
creó
ungranentusiasmoentreaquellos queveíanunaalternati
vaaloscuaterniones, porloqueprontoellibrofueampliamente
difundido.Finalmente,elmaterial seconvirtióenunlibroformal
escrito
porE.B.Wilson.EllibroVectorAna/ysisdeGibbsyWilson
sebasabaenlacatedradeGibbs.Sepublicóen1901.
Todoslosestudiantes
defísicaelemental seencuentrancon
eltrabajodeGibbs.Enlaintroducciónalafísica,unespaciovec
torialsevecomounsegmentoderectadirigido,oflecha.Gibbs
diodefinicionesdeigualdad,sumay multiplicacióndevectores;
estassonesencialmentelasdefinicionesdadas
enestecapilUlo.
Enparticular,la parteVt!ctorialdeuncuaterniónseescribiacomo
oi+b;+ck,yesta eslaformaenqueahorasedescribenlos
vectores
enDJ.
Gibbsdefinióelproductoescalar,inicialmentesóloparalos
vectoresi,
j,k:

260 CAPITULO3 Vectoresen 1)2y1)3
Q
F
p
"
)L------y
O
,
Figura3.34Elvectoru xFeselmomentodelafuerzaalrede
dordelorigen
problemas3,4
AUTOEVALUACIÓN
1.ixk-kxi=
Tantoelproductoescalarcomo elproductocruzentre Ye<:
toresaparecenfrecuentementeen lasaplicacionesfisicasquein
Yolucran
elcálculodevariasyariables.tstasincluyen lasfamosas
ecuacionesdeMaxwellenelectromagnetismo.
Alestudiarmatematicas alfinaldelsiglo xx,nodebemos
perderdevista
elhechodeque lamayorpartede lasmatema
ticasmodernas
sedesarrollaronpararesolyerproblemasdel
mundoreal.LosvectoresfuerondesarrolladosporGibbs yotros
parafacilitar
elanálisisdelosfenómenosfísicos. Enesesentido
tuvieronungranéxito.
a)O h)j (.)2j ti)~2j
11.i·(jXk)=~_.
a)O
111.ixjXk~_.
(1)O
h)O
h)O
e)I
e)1
ti)i-j+k
ti)noestádefinido
b)O
IV.(i+j)X(j+k)~ _
tl)O <-¡I ti)i-j+k
V.Elsenodelúnguloentre losvectoresu ywes
a)
1"x,,1
b)
lux,,1
IuIIw1 lu.,,1
e)
lu.,,1
á)1"x"I-lu.,,1
1"x"1
VI.uXu=
a)1"1'
h)1 e)O á)O

3.4Elproductocruzdedosvectores 261
Enlos
problemasIa126encuenlreelproductocruzuX\'.
t.U""i-2j; \'=31.:
3.u""2i-3j; \.""-9i+6j
5.u=-71.:; \'=j+21.:
7.u""-2i+3j;\'=7i+4k
9.u=ai+bk;\.=ci+dk
11.
u=2i-Ji+ k;\'=i+2i+k
13.u=i+2j+k;\'=-i+6j-k
15.u=i+7j-Jk;\'=-i-7j+3k
17.u=2i-3i+5k;"=3i-j-k
2.u""Ji-7j; \'=i+ 1.:
4.u""i-j;\'''''j+1.:
6.u ""2i-71.::"=-3i- 4j
8.u""ai+bj;v=ci+{f¡
10.u""aj+bl.::\'""ci+dI.:
n.u""3i-4j+ 21.:;\'=6i- 3i+51.:
14.u=-3i-2j+k;\'=6i+4j-2k
16.u=i-7i-3k;"=-i+7j-3k
18.u=ai+!Jj+{'k;"=i+j+k
19.u=\Oí+7i-3k; \'=-3i+4j-3k 20.u=2i+4j-61.:;\'=-i-j+ JI.:
21.u=-i-2j+51.:;"=-2i+4j+ 81.:22.u=2í-j+k; \'=4i+ 2j+2k
23.u=3i-j+8k; \'=i+j-4k 24.u=ai+ {Ij+l/k;\'=bi+ bj+bk
25.u
=ai+bj+ck;\'=ai+bj- el.: 26.u= -4i-3j+51.'::\'=-i-3j- JI.:
27.Encuentre dosveclomunitariosortogonalestantoau= 2i-3jcomoa\.=4j+31.:.
28.Encuentredosvectoresunitariosortogonales tantoau=i+j+ 1.:comoa\'=i-j- k.
29.Utiliceelproductocruzparaencontrarelsenodelangulalpentrelosvectoresu= 2i+j
-
kyv=-3i-2j+41.':.
JO.Utiliceelproductoescalarparacalcularelcosenodelángulolpentrelosvectoresdelpro
blema29.
Despuésdemuestrequeparalosvalorescalculados. scn~ q>+cos~ q>=l.
Enlosproblemas 31al36encuentre elareadelparalelogramoconlosvérticesadyaccntesdados.
31.(1,
-2,3);(2,O.1UO,4,O)
33,(-2.1.0);(1.4,2);(-3,1.5)
32,(-2,1.1);(2.2,3);(-1,-2,4)
34,(7,-2,-3);(-4,1.6);(5,-2.3)
35,(a,0,O);(O,b,O);(O.O.d 36, (a,b,O);(a,0,b);(O,a,b)
37.Demuestre quelux=luFI-(u. \')~.[Sugerencia:Escribaloen términosdecompo
nentes.)
38.Utilicclas
propiedades1.4.2Y3(enese orden)enlasección2.2 paraprobarlaspartesi).
ii).iii)Yil')dclteorema2.
39.Pruebe
elteorema2parte1')escribiendolas componentesdecadaladodelaigualdad.
40.Pruebe elteorema2parte1'1).(Sugerellcia:Utilicelaspartes ii)y1')Yelhechode queel
producloescalaresconmutativoparademostrarqueu.(uX\,)=-u.(ux\').)
41.Pruebe
elteorema2partel'il).(Sugerencia:Useelteorema3.3.3.pág.250. lapropiedad6.
pág.190Yla
ecuación(2).J
42.Demuestre quesiu=(al'b
l
•
CI)'\'=(lI!.b
2
•
c
2
)
yW=(lI).b
J
,
el)'entonces
",
b,c,
Il'(vxw)=a,b,c,
",
b,c,

262 C\I'iTULO3Vectoresen~yI)l
43.Calculeelvolumendelparalelepipcdodeterminadoporlosvectores i-j.Ji+2L:.-7j+3k..
~~ ~
44.CalculeelvolumendelpamlelepipedodeterminadoporlosveclOres PQ.PRYPS.donde
P=(2.J.-1).Q=(-3.1.4).R=(-J.O.2)yS=(-3.-J.5).
-45.ElmlUlllcngeneradoportresvecloresu.\'ywenIYestadefinido comoelvolumendd
paralelepipedocuyosladosson u,\'yw(comoenlafigum3.32).Sea Aunamatrizde3x 3
yseanu
l
=Au.\'1=A\'Yw
1
=Awdemuestreque
Volumen
generadoporu
l
•
\'1'w
l
=(±detA)(volumengeneradoporu.\'-w).
•
Estomuestraque eldeterminantede llnHmatrizde2X2multiplica elúrea,eldeterminantede
unamatrizde3X3multiplica
elvolumen.
a)Calculeelvolumengenemdopor u.l'yw.
b)Calculeelvolumengenemdo porAu.Al'yAw.
e)Calculedel A.
ti)
Demuestreque [\"Olumenenelincisob)]=(±delA)x(volumenen elincisoa)].
47.EllripleproductocruzdetresveclOresen lYesladefinidocomoelvector\'X(vXw).De·
muestreque
uXel'X w)=(u'W)l'-(u·v)w
RESPUESTAS ALAAUTOEVALUACIÓN
1.r1)
IV.ú)
11.e)
V.a)
111.h)=vectorcero INofO:iXjxke.I'/ádefinido
porque
(iXj)xk=O=ixIjxk)1
VI.,.)=vectorcero
MANEJO DELACALCULADORA
Elproductocruzde dosvecloressepuedeencontrardirectamenteutilizando elcoman
doCROSS,estoes
C5J!L--CTIC'!SlCDIENmI
C5J!L--CDIAU'HAI~CDCTI(ENm)
(AU'HA)(A<PHAIC9C3C3C9C9(ENm)
Enlosproblemas48al 51calculeux l'concalculadora.
48."=(-15.27,83);<=(-84.-77,51)
49."=(-0.346.-0.517.-0.824);,.=(-0.517,0.811.0.723)
50.u=(5241,-3199.2386); \.=(1742.8233,9416)
SI.
u=(0.024,0.036. 0.055);,=10.088,-0.064.0.037)

3.5RectasyplanosenelespaCJo 263
• MATLAB3.4
l.UtiliceMATLABpar.!calcularelproductocruzdelos\'eclOres dadoscnlosproblcmas l.
2.3.4 )'10deest••sección.Verifiquesusrespuestas calculandolosproductosesca];.resde
losresultados
conlosvectoresindividuales(¿qucvalordcbentenercstos productosescala
res?).
Elproductocruz"x\'estádefinidocomounvectorde3x1 dadopor
lu(2)*\'(3)-u(3)*\'(2);-u(1)*\'(J)+"(3)*\-(1);u(I)*\-(2)-\-(1)*11(2)1.
Tambiénpuedeutilizar elcom¡lndoeross.Paramúsinformaciónutilicedoc cros.<¡desde1<1
pamalladecomandosdcMATLAB.
2.a)Detresvectoresaleatoriosde3X 1.u.\.yW(usc2*rand(J.I)-I).Calculcu·(\'Xw).
elproductoescalardeucon \'xw(estoes1I'*cross(\'.w»).Sea B=[u\.wl.Encuentre
det(B).
Comparedet(B)conelproductoescalar.Hagalomismopara variosjucgosdc
u.\.yw.Formulcunaconclusión)'despuCspruébcla (lápiz)'papel).
b)Seanu,\.)'wtresvcctorcsaleatorios de3XIYsea Aullamatriz••lcatol'iade3x3.
Scaf\=round(IO*(2*nmd(3)-I».Calcule111'(vxw)I.IAu·(.Ih'XA\')IYIdet(A)I.(En
MATLAB.abs(a)
déla].)Hagaesto IXlravariasmatrices Ahastaquepuedaformular
unaconclusiónrespectoalastres cantidadescalculadas.Pruebesusconclusiones para
otrasmatricesaleatorias A.
Segúnsusconclusiones.¿qucsignificadogeolllctricotieneIdct(A)I?
(')(Ltipi:yl)(Ipef)Usando(1)demuestrequeAu.(A\'XAw)=del((AuA\'AwJ).donde
Aesunamatriz dc3x3.Argumenteporqué[AuA\'AW]=A/J.donde8=lu\'wJ.
Ahorapruebelaconclusiónobtcnidaenelincisob).
E!1RECTASyPLANOSENELESPACIO
Enelplano~sepuedeencontrarlaecuaciónde unarectasiseconocendospuntossobrela
recta.obien.un
puntoylapendientede lamisma.En I)llaimuieióndice quelasideasbásicas
sonlasmismas.
ComodospuntosdeterminanunarecIa.debepodersecalcular laecuaciónde
unarectaen
elespaciosiseconocendospuntossobreella.De maneraalternativa.siseconoce
un
punto)'ladireccióndeunarecta.tambien debeserposibleencontrarsuecuación.
ComenzamoscondospuntosP=(xI')'r':r»)'Q=(xrY~' :~)sobreunarectaL.Un\cetor
~
paraleloa Lesaquelconrepresentación PQ.Entonces.
(1)
~
esunvectorparaleloa L.AhoraseaR=(x,y.:)otropuntosobre1;1recta.Entonces PRes
~
paraleloa PQ.queasuvezesparaleloa\'. demaneraqueporeltcorelll'.3.3.3enl ••p<igina150.
~
PR=/\' (2)
paraalgúnnúmeroreal f.Ahoravcalafigura3.35.Setiene(encadaunodelostrescasospo
sibles)
yalcombim¡r(2) y(3)seobtiene
~ ~ ~
OR""OP+PR
~ ~
OR=OP+H'
(3)
(4)

C,,·iTUI.O3
Figura3.35
Enlostrescasu.;
Vectoresen~yI)J
º
R-_-;'f::-_~ ...
O
x
a)
R
•
P~---}':--- ...
O
x
h)
º
R__*,-__~...
x
ECUACiÓN
VECTORIALDE
UNARECTA
Laecuación(4)scdcnominaecuación\'cctorial delarectaL.SiRcstúsobreL.entonccs(4)
sesatisfaceparaalgúnnúmcroreal/.Inversamente. si(4)secumple.entoncesinvirtiendo los
~
pasos.sevequePResparaleloa \'.loquesignificaqueR estúsobreL.
Siseextiendenlascomponentesdelaecuación(4)seobtiene
osea
X=X
I
+t(x:-Xl)
y=Y,+/(J!-JI)
===1+(=:-=')
(5)
ECUACK>NES
PARAMrnncAs DE
~ U~N~A~'~E~a",A
Lasecuaciones(5)sedenominanl"CUllcionesparamelricasdeunarecia.
Porúltimo.aldespejar,
en(5)ydefinirXl~XI=O.J
1
-
.1'1=by=1-=,=t".seencuentra
que
siti.b.e*-O.
(6)
Lo
ECUACIONES
SIMrnlCASDE
UNARECTA
Lasecuaciones(6)sellamanecuacionessimétricas deUIl:!rec!:l.Aqui(l.bY('sonnúmerosdi·
rectores
delvectorv.Porsupuesto.lasecuaciones(6)sonválidassólo si(/.bYesondiferentes
decero.
EJEMPLO 1
•Solució"
Determinacióndelasecuacionesde unarecta
Encuentrelasecuacionesvccloriales.paramélricasysimétricasde lareciaLquepasapor los
puntosP =(2.-1.6)YQ=(3.1.-2).
Primerosecalcula,.=(3~2)i+11-(-I)ü+(-2-6)k=i+2j-8k.Despues.de(4).si
R=(x.y.;)estasobre larecta.seobtieneOR=xi+)"j+=k=OP+1\'=li-j+6kT
tU+2j-8k).osea.
x=2+t )'=-1+21 ==6-81 ecuaciones¡>:lramélricas
PorlIltimo.como (J=1.b=2Ye=-8,lasecuacionessimétricasson
x~2 1'+1=-6
-~=_._=--
2 -8
e~u;¡~ioncs simclric:1S (7)

EJEMPLO2
•Solución
EJEMPLO3
••Solución
3.5RectasyplanosenelespacIo 265
paraverificarestasecuaciones.
secomprucbaque(2.-l. 6)Y(J.l.-2)esténenrealidaden la
recta.Setiene[despuésdeinsertarestospuntosen (7)]
2-2-1+16-6
--~--~--~O
1 2 -8
J-21+1-2-6
-~-~--~I
1 2 -8
Sepuedenencontrarotrospuntos enlarecta.Porejemplo. sit=3seobtiene
x-2)1+1.::-6
3~--~-' -~-
1 2 -8
Loquellevaalpunto(5. 5.-18).
Obtencióndelasecuacionessimétricas deunarecta
Encuentrelasecuacionessimétricasde larectaquepasapor lospuntos(1.- 2.4)Yesparalela
alvector" =i+j-k.
Seusalafórmula(6)con P=(XI'.1'1':1)=(1.-2.4)Y\'comosedio.demaneraque a=l.
b=1yc=-l.Estollevaa
x-ly+2z-4
-1
¿Quépasa siunodelosnúmerosdirectores a,by("escero?
Determinacióndelasecuacionessimétricasde unarecta
cuandoun
numerodirectorescero
Encuentrelasecuacionessimétricasde larectaquecontienelospuntos P=(3.4,-1)YQ=
(-2.4,6).
Aquí\'=-5i+7kya=-5.b=O.e=7.Entoncesunarepresentaciónparamétricade larecta
esx=3-St.J=4y.::=-1+7/.Despejando1 seencuentraque
x-3
-5
.::+1
7
yy=4
EJEMPLO4
•Solución
LaecuaciónJ=4eslaecuaciónde unplanoparalelo alplano.c.asíqueseobtuvounaecua
cióndeunarectaeneseplano.
Determinacióndelasecuacionessimétricasdeunarecta
cuandodosnúmerosdirectoressoncero
Encuentrelasecuacionessimétricasde larectaquepasaporlospuntos P=(~.3.-2)YQ=
(2.-1.-2).
Aquí\'=-4jdemaneraque {/=O.b=-4Y("=O.Unarepresentaciónparam¿'tricade la
rectaes,porlaecuación(5).dadapor x=2.l'=3-41.:=-2.Ahorax=2eslaecuación

266 VectoresenIYyI)J
deunplanoparaleloalplanoy:.mientrasque::=-2eslaecuacióndeun planoparaleloal
plano.\y.Suintersecciónes larectax=2,:::=-2.queesparalelaaleje yypasaporlospuntos
(2.O.-2).Dehecho.1<1ecuacióny=3-4rdice.enesencia. queypuedetomarcualquiervalor
(mientrasque.ry:::permanecenfijos).
EJEMPLO 5
Lasecuacionesparamétricasosimétricasde unarecta/10sonúnicas.Paraveresto,simple
mentecomiencecon
otrosdospunlOsarbitrariossobrelarecta.
Ilustracióndela faltadeunicidadenlasecuacionessimétricas deunarecta
Enelejemplo1larectacuyasecuaciones seencontraroncontieneal punto(5,5.-18).Alelegir
P=(5.5.-18)YQ=(3.l.-2).seencuentraquev =-2i~4j+16kdemaneraquex'=5
-21,r'=5-41Y='=-18+161(ObservequesiI'=iseobtiene(x.J.z)'=(2.-1.6).)Las
ecuacionessimétricasson
ahora
x-sy-S::+18
-2-4 16
Noteque(-2.-4,16)'=-2(1.2.-8).
Laecuacióndeunarectaen elespacioseobtieneespecificandoun puntosobrelarectayun
vector
paraleloaestarecta.Sepuedenderivarecuacionesdeun planoenelespucioespecifi-
VECTOR candounpuntoenelplanoyunvector ortogonalatodoslosvectoresen elplano.Estevector
eNORMAL ortogonalsellamavectornormalal planoysedenotaporn(vealafigura3.36).
DEFINICIÓNa Plano
SeaPunpuntoenelespacioyseanunvector dadodiferentedecero.Entonceselcon
~
juntodetodoslospuntosQparalosquePQ.n'=Oconstituyeunplanoen 1Jl.
Noftldáll.Porlogeneral,un planosedenotaporelsímbolo11:.
SeaP'=(x
o
'Yo,::1))unpuntofijosobreunplanoconvectornormaln'=ai+bj+ck.SiQ=
~
(x.y.=)esOtropuntoenelplano.entoncesPQ=(x-·\·o)i+(y-yo)j+(=-=o)k.
~ ~
ComoPQ1.n.tenelllosquePQ.n=O.Peroestoimplicaque
"
(8)
Figura3.36
tivectorne>ortogonal
atodoslosvectoresenel
oano
,
IQ(x,y,z)
,
,
~
, PQ
O~ _

3.5Rectasyplanosenelespacio 267
Unamaneramúscomllndeescribir laecuacióndeun planosederivade(8):
Ecuacióncartesiana
deunplano
ax+by+e:=d
~
donde1/=a.\·o+byo+c:
o
=OP.n
•
(9)
EJEMPLO 6
•Solució"
Determinacióndelaecuaciónde unplanoquepasaporunpuntodado
ytieneunvectornormaldado
EncuentreunplanoTIquepasa porelpunto(2.5.1)Yquetieneunvectornormal 11=i-lj
+3k.
De(8)seobtienedirectamente (x-2)~2(.1"-5)+3(=-1)=O.osea.
x-21'+3:=-5
Lostresplanos coordenadosserepresentande lasiguientem¡lllera:
(10)
i.Elplanosypasaporelorigen(O.O.O)ycualquieryectora lolargodel eje:esnormala él.
Elvectormássimple esk.Asi.de(8)seobtieneO(x-O)+O(y-O)+1(:-O)=O.10que
llevaa
(11)
comolaecuacióndelplano .\"):(Esteresultado nodebesorprender.)
ii.ElplmlOx:tienelaecuación
.1'=0
iii.Elplalloy:tienelaecuación
x=O
ElDIBUJODEUN PLANO
Noesdificildibujarunplano.
(12)
(13)
Caso1.Elplal/oesparalelo{/1111plmlOeoo,.dellado.Sielplanoesparaleloaunodelosplanos
coordenados.entonces
laecuacióndelplanoesunadelassiguientes:
x=(/
y=h
:=e
(paraleloal planoy:)
(paraleloalplano x:)
(paraleloal planoxy)
Cadaplanosedibujacomounrectúnguloconladosparalelosalosotros dosejescoordenados.
Lafigura3.37presentaunbosquejodeestostresplanos.
Caso2.Elplanoimcrseca (f('(Idaejecoordenado.Supongaqueunaecuacióndel planoes
ax+by+e:=d conabe*-O.
Elcrucecon eleje.\"es elpunto(~.O.O).elcrueecon elejeJ'eselpunto(o.~.OJ~elcruce
coneleje:eselpunto(O.o.~)-

268e\I'ITlLO3Vectores enIYyI)J
Figuro3.37
Tresplimosparalelosa
:¡Igunplanocoordenado /0
,. ,.
"
x x
a) hl
x
o,~--- ...
EJEMPLO7
•So/ució"
Paso1.Grafiquelostres puntosdecrucc.
I'aso
2.Unalostres puntosdecruceparaformaruntriúngulo.
Paso
J.Dibujandodoslineasparalelas.dibujeunpar..llelogmmocuyadiagonal eseltercer
ladodeltriángulo.
I'aso4.Extiendu
elparalelogramodibujandocuatrolineasparalelas.
Esteproceso
seilustr..lconlagr:lfkadel planox+2.1'+3==6enlafigura3.38.Loscruces
ron(6.O.O).(O.3.O)Y(O.O.2).
Trespuntosnocolinealesdeterminanunplanoyaquedeterminandosvecloresno p.·Ha
lelosqueseintersecanenun punto(vcalafigura3.39).
Determinacióndelaecuacióndeunplanoque pasaportrespuntosdados
Encuentrelaecuacióndel planoquepasa porlospuntosP=(l.2.1).Q=(-2.3.-1)YR=
(1.0.4).
--LosvectoresPQ=-Ji+j-2kYQR=Ji-Jj +5kestúnen elplanoy porlotantoson
ortogonalesalvectornormaldemaneraque
I~igura3.38
Dibujodelplanox+2y
]16encuatropasos
x
(O.O.2)
°H-++-
{6.O.O)
--n=PQxQR=-3
3
(O.O.2)
(6.0.0)
jk
I-2=-i+9j+6k
-35
(O.O.2) r.-+---8hi--y

Figura3.39
.ospuntosP,OyRdeter
""In~nunpl~nosiempre
~uenoseancolineales
3.5Rectasyplanosenelespacio 169
Figura3.40
Elplano
-x+9y+6z=23
(0.0.;;')
,.
Q
R
O
)"--+-...
p
,.
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,,
O,'
--,~-0;-----,,<---)
,,
,
,
,
(o.'l.O)
(-23.0.0)
DEFINICIÓNEl
Figura3.41
Sedibuj~ron d05pl~nos
paralelos
EJEMPLO 8
yseobtiene.usando elpuntoPenlaccuHción(8),
n:-(x-l)+9(r-2)+6(:-I)=0
esdecir.
-x+9)'+6:=23
Observequesiseescogeotropunto.digamos Q.seobtienela eCll<lción-(x+2)+9(y- 3)+
6(=+1)=O.quesereducea- x+9.1'+6:=23.L¡¡figura3.40prescntllunbosquejodeeste
plano.
Planosparaletos
Dosplanossonparalelos
t
sisusvectoresnormalessonparalelos,esdecir, sielproduclo
cruzdesusvectoresnormalesescero.
Enlafigura3.41sedibujarondosplanosparalelos.
o
x
Dosplanosparalelos
Losplanos 1r
1
:
2x+3y-:=3Y1r,;-4x-6)'+2:=8sonparalelosya quetl
l
=2i+3j-k.
11:,=-4i-6j+2k=-211
1
(y11
1
X11,=O).
Sidosplanosnosonparalelos.entoncesseintersecanenunalínearecIa,
•
IObservequedosplanosparalelospuedensercoincidentesPorejemplo,losplanosIr~Y+Z1v2,
2soncoincidentes(sonelmismo)

270 C\"lTlI.OJVectoresenDI'yIY
EmlBL__P_"_"_,_o_'_d_e_i"_'_e_,,_e_'_'_iO_'"_d_e_p~l_a_"_O_'__
Encuentretodoslospuntosdeinterseccióndelosplanos2\"-Y-:=3Yx+1.1'+3:=7.
•Solució"
problemasJ5
Lascoordenadasdecualquierpunto(x.y.:)sobrelarectadeinterseccióndeestos dosplanos
debensatisfacerlasecuaciones
x+2y+3:=7Y2x- .r-:=3.Resolviendoestesistema
de
dosecuacionescontresincógnitasmediantereducción porrenglonesseobtienesucesiva·
mente,
(;
23I
;)
1/,-4//,1//,1(123I
-In
-1-1 I o-5-7I
.,-4-~",
e
23
~J
.,.....",f
o
1
I
~)
,
12 2 oI
2
I, ,
Porlotanto. y=lf-(f):yx=T-(t):.Porúltimo.con:=Iseobtieneunareprcsenlilción
paramétric'l
de1.1rectadeintersección:.r=lf-ti.y=lf-tiy:=l.
Apartirdelteorema2incisori).enlapúgina255.sepuedederivar unhechointeresante.
SiwestúenelplanodetiY",entonceswesperpendiculara tiX\'.loquesignific<lque'
\'.(tiX\,)=O.Inversamente.si(uXl').W=0,entonceswesperpendiculara(u X\,)de
maneraque \1'seencuentraen elplanodeterminadopor11y\'.Seconcluyeque
Tresvectores
u.\'yWson(aplanaressiy
sólo
sisuproductotripleescalarescero.
•
AUTOEVALUACIÓN
1.Larectaquepasa porlospuntos(l.2.4)Y(5. lO.15)satisfacelaeeuaeiónl _
,,)(x.)'.,)=(1,2,4)+/(4.8.11)
e)(x,)',=)=(5,10,15)+,(4,8.11)
x-Iy-2z-I
h)-=-=-
4 8 II
x-Sy-lO:-15
d)-=-=-
4 8 11
11.Larectaquepasa porelpunto(7.3.-4)Yesparalelaalvectori +5j+2L:satisface
laecuación' _
,,)
x-7c-3=+4
h)(x.y.,)=(1,5.2)+1(7,3,-4)=-'-=--
5 2
el
x-7y-3z+4
d)(x,y,=)=(7,3.-4)+s(8,8,-2)=--=--
8 8 -2
111.Laecuaciónvectorial (x.J.:)-(3,5.-7)=I(-1,4,8)describc: _
a)lareel3quepasapor(-1.4.8)Yesparalelaa3i+5j-7k
h)larectaquepasapor(-3.-5.7)yesparalelaa·-i+4j+8L:
e)larecta quepasapor(3.5.-7)Yesperpendiculara -i+4j+8L:
ti)larectaquepasapor(3.S.-7)Yes parcllclaa-j+4j+8L:

3.5RectasyplanosenelespaCIO 271
IV.Elplanoquepasapor (S.-4.3)queesortogonalajsatisfacc_
a)y=-4
e)x+)'+: =4
b)(x-5)+(o-3)~O
á}5x-4)'+3:=-4
V.Elplanoquepasapor(5.-4.3)queesortogonalai+j+ksatisfacc .
a)y=~4
(')x+)'+:=4
b)(x-5)11~(y+4)11~(o-3)/1
J)5x-4)'+J:=-4
VI.Elvector__esortogonalalplanoquesatisface 2(x-J)-Jlr+2)+5(:- 5)
~o.
a)-3i+2j-5k
e)(2-3)i+(-3+2)j+(5-5)k
h)2i-3j+5k
ú)(2)(-3)1+(-3X2)j+(5X-5)k
VII.Elplanoquesatisface 6x+18.1'-12:=17es alplano- 5x-15)'+
lOo~29.
a)idéntico
e)ortogomll
h)paralelo
tl)niparaleloniortogonal
EnlosproblemasI al18encuentreunaecuaciónvcctorial. 1;lsecuacionesparamétrieas ylas
simétricasde
larectaindie;lda.
1.Contienea (l.1.3)Y(1.2.-1)
2.Contienea(!.-1.1)y(-1.1.-1)
3.Contienca(!.1.I)y(l.-1.1)
4.Contienea (-4.l.J)Y(2. O.-4)
5.Contienea (2.3.-4)Y(3.2.1)
6.Conticnea(I.2.3)y(3.2.1)
7.Contienea(7.I.J)y(-J.-2.3)
8.Contienea(J.2.3)y(-J.2.-2)
9.Contienea(2. 2.1)Yesparalelaa 1i-j-k
tOoContienea (-1.-6.2)Yespanllelaa 4i+j-3k
11.Contienea (-l.-2.5)yesparalelaa -3j+7k
12.Contienea (-2.J.-2)Yesparalelaa 4k
13.Contienea (-2.J.7)Yesparalela;¡3j
14.Contiene¡l(a.b.dyesparalelaadi +d
15.Contienea (a.b.c)Yesparalelaa (Ik
16.Contienea (-2.3.7)Yesortogonala 3j
17.Contienea(4.l. -6)Yesparalelaa (x-2)/3={J'+1)/6=(:-5)/2
18.Contienea(3.l. -l)yesparalelaa(x+1)/3=(l'+3)12=(:-2)1(~4)

C,PITlI.O3Vectoresen~yI}J
19.SeaL
1
larectadadapor
X-XI=.1'-.1'1==-=,
al b
l
C
I
yseaL
1
larectadadapor
.r~X, .1'-.1'1__-_,
a~ b: c
1
Demuestreque L,esortogonala L
1
siysólosi",(/1+h,h
1+'"1'"1=o.
20.Demuestrequelasrectas
yL
1
:
x-3.1"+1.:;-3
= =--
5 -22
sonortogonales.
21.Demuestrequelasrectas
x-3r-I=-8
L'--=-'-=-
1·3 6 9
sonparalelas.
Larectasen[lJquenotienen lamismadirecciónnonecesitantenerunpuntoencomún.
22.Demuestrequelasrectas L,:.\'=I+l.)'=-3+21.==-2-1YL
1
:
x=17+3.\'.)"=4
+.~.==-8-Jlienenelpunto(].-1.-3)encomún.
23.DcmuestrequelasrectasLI"·x=2-t..I'I+1.:=-2/yL
1
:x=I+s.y=-2s.==
3+2fl/Otienenun pumoencomún.
~ ~ ~
24.SeaLdadaenformavectorial OR=OP+n'.Encuentreunnumero ttalqueORseaper-
pendicular
a'0.
25.Utiliceelresult¡¡dodelproblcm:l 24paracncontrar ladiswnciaentre larectaL(quecon·
tienea
Pyesp:tralel;¡a")yelorigencuando
a)P=(2.1.-4):v=i+j+k
h)P=(1.2.-3):"=3i-j-k
(.)P=(-l.4.2);'o=-j+j+2k
De
losproblemas26al30encuentreunarecta Lortogonal..lasdosrecl<lsd:tdasyquepase
porelpuntodado.
26,
27.
28,
x+21'-1=.\"-3F+2=-8
--=-'-=-'-=-'-=-'(1-J2)
-3 4-5·7 -23'"
x+I=Y-2==+I;x-I=Y+2==+3;(0oO.O)
2 4 -3-2 S 6
x-2\"+3=+1x+2y-5=+3
--=-'-=-,--=--=-,(-4,7,3)
-4-7 3 3 -4-2
29.X=3-21.)'=4+31.==-7+5,;.r=-2+ 4s..I"=J-2s.==J+s;(-2.3.4
30..\"=4+10/.)'=-4-81,==3+71;x=-21,.1'=I+41.==-7-31;(4,6,O)

J.5Rectasyplanos enelespacio 273
*31.Calcule ladistanciaentrelasrectas
[Sug('f('//árl'Ladistanciasemidcalo largodelvector \'queespcrpelldicubraL
1
yaL
1
,
5eHP
-+
unpuntoenL
I
yQunpuntoenL
1
.
Entonceslalongitudde laproyecciónde PQsobrc\'
esladistanciaentrelasrecias.medidaalolargodelvector queesperpendicularaambas.]
*32.Encuentre
ladislanciaentrelasrectas
.1'+2\'-7:-2y[. .1'-1_.1"+2_:+1
[1:3=4=-4- l'-J- -1--
Delosproblemas33al50encuentrelaecuacióndelplano.
33.P~(O.O.O),n=i 34.P~(O.O.O),11=j
35.P~(O.O.O),n=k 36. P=(l.l.J):11=i+ j
37.
P=(lo1.3):n=i+k 38. P=(-Ll.3):n=li+Jj
39.P~(\.2.J),n=j+k 40. p'~(2.-\.6):11=Ji-j+2k
41.P~(-4.-7.50):n=-3i-4j+k42.P~(-3.11.2)0n=4i+j--k
43.P=(O.-1.~l):n=4j-3k 44.P=(3.-l.5):11=li-7j-Sk
45.Contienea(1.2.-4).(2.3.7)Y(4.-1.J)
46.Contienea(l.-2.-4).(3.3.3)Y(O.O.-1)
47.Contienea(-7.1.0).(2.-1.3)y(4.1.6)
48.Contienea(1.O.O).(O.l.O)Y(O.O.1)
49.Contienea(1.O.-4).(J.4.O)Y(O.-2.[)
50.
Contienea(2.3.-1).(4.-1.-1)Y(3.1.1)
Dosplanossonortogonalessisusvectores norl11Hlcssonortogonales.Dclosproblemas 51al
57determinesilosplanosdadossonparalelos.ortogonales.coincidcntcs(esdecir. elmismolo
ningunodelosanteriores.
SI.1t
1
:
x+,.
+-~2: 1t,:2x+2)'+2:
~4-
52.1[I:x+1.1'+J,
~I 1[,:2x+4)"+6,
~2
53.1[I:x-,.
+-~J: 1[1:-3.y+3.1"
-J,
~-9-
54.ni:2x
-,.
+-~3, 1t
1
:
x+,.--~7- -
55.ni:2x-,.
+-~3:n
1
:
,+J+-~3- -
56.1t
1
:
3.r-21'+7,
~4,n,:-2x+4.1'+2:
~16
57.1[1:Jx-2)'+S:
~O, 1[,:x+4.1'
-6,
~O
DelosproblemasSSal61encuentrelaecuacióndel conjuntodetodoslospuntosdeintersec
cióndelosdosplanos.
59.ni:J.r- )'+4:=3:
lt!:2x-3)"+4:=7
lt!:-4x-2y+7:=8

27.t C'iTULO3VectoresenIYyIY
60.It
l
:
Jx-2y+5:=4: It!:x+4.1'-6:=I
61./tI:-lx-.1'+17:=4: It!:lx-.,.-:=-7
"'62.Se<l11unplano.PunplllllOsobre elpl<l11O,nunvectornormal alplanoyQunpuntofUer.!
delplano(veaI¡lfigura3.41).Demuestrequeladistanciaperpendicular DdeQalplano
esta
dadapor
Q
Figura3.42
,
,
,
-'
Proy.PQI
,
,
,
,
~
"PO
p
Delosproblemas 63..166encuentre 1;,dislanciadel puntodadoalplanodado,
63.(4. O.1):h-Y+8:=3
64.(-7.-2.-1):-h+8:=-5
65.(-3.5.-1);-3x+6:=-5
66.(-3.0.2);-3x+y+5:=O
67.Pruebeque ladiSlilnciaentre elplanoa.\·+by+j':=dyelpunto(.\"0'-'"D':Dlesti¡dadopor
o
Elánguloentredosplanosestadefinido comoelill1guloagudo
t
enlresusvectoresnormales.
Delosproblemas
68al70encuentreelánguloenlrelosdosplanos
68.Los
dosp]¡11l0Sdelproblema 58
70.Losdosplanosdelproblema 61
69.Losdos pl¡lllOSdelproblema59
*71.Seanu
y"dosvectoresnopamlelosdiferentes deceroenun planoIt,Demuestreque si"
escualquierotrovectoren 1[.enloncesexistenescalares o.ypwlesque w=o.u+11'"Esto
sedenomina
rCprlOSClIlaciónparamélricadelplano 11.[SlIgermda:Dibujeunparalelogramo
en
elqueau)'fJ"formenlados¡¡dyacentcsy elvectordiagonalsea w.)
*72.TresveClores u."ywsel!¡lmaneaplanarlos siest¡inlodosenelmismoplano 1[,Demuestre
que
siu."ywpas,mtadosatravésdelorigen.enloncessoncoplanares siysólosieltriple
productoescalaresigual ticero:ti.(1'Xw)=O.
•
,Recuerdpqueun"nqulo"'(Judo{((~unangulaenlr¡>Oy90° esdecJr.(t"(O,rrl21

Resumen 275
Delosproblemas73al78determinesilostresvectores deposicióndados(esdecir.con punto
inicialen elorigen)soneoplan:lres, Siloson.encuentre laecuacióndel planoqueloscollliene.
73.u=2i-3j+4k:\'=7i-2j+3k:w=9i-5j+7k
74.u=-3i+j+8k:v=-2i-3j+5k:w=2i+14j-4k
75.u=2i+j-2k:\'=2i-j -1k:w=1i-j+1k
76.u=5i+4j+7k:\'=-1i+1j-3k:w=-i-j-k
77.u=3i-2j+k:l'=i+j-5k:w=-i+5j-16k
78.u=2i-j-k:,'=4i+3j+1k:w=6i+7j+5k
RESPUESTAS ALAAUTOEVALUACIÓN
•
l.al,hl,el,d)
v.(.)
RESUMEN
11.a)
VI.hl
111.d)
VII.h)
IV.u)
~
Elsegmentoderectadirigidoqueseextiendede PaQen1:¿2o[?3dcnowdoporPQeselsegmen-
lOderectaque vadePaQ. (pp,210.246)
Dossegmentosderectóldirigidosen 1:¿2o~Jsonequi\'alcnttssitienenlamismamagnitud(lon-
gitud)
ydirección. (pp. 221.1-16)
Definicióngeométricade IIn\'eUor
Unvectoren 1:¿2([?3)eselconjuntodetodoslossegmentos derectadirigidos en1:¿2(1ll)equiva
lentesaunsegmento
derectadirigidodado. Unarepresentacióndeunvectorticnesu punto
~
inicialen elorigenysedenotaporOR. (pp,n:1.146)
Dt'jillidólI{/Igehm;ca l/e1111¡'ecto,.
Unveclor\'enelplanoxy(1:¿2)esunparordenadodenúmerosreales (a.bl.Losnúmeros ay"
sellamancomponentesdelvector l'.El\"Celarceroes elvector(O.O).EnIll.unvectorl'esuna
ternaordenadadenúmerosreales (a.h.c~El\'cclorceroen Vleselvector(O.O,O). (PP.221. 1-16)
Lasdefinicionesgeométricayalgebmica deun\'cetoren 1:¿2[Dl)serelacionandelasiguien-
~
temaner.t:si\'=(a.b)[(a.b.c)J,enloncesunarepresentaciónde \'esOR,dondeR=((l.11)
[R=((l.h.e)]. (p,222)
Siv=((1,b),entonceslalllllgnitudde1',denotadapor11'1.estÚdadapor1\'1=J(I~+h'.Siv=
((l.b.e),entonces1"1= JtI~+b'+c'. (pp.222.246)
Si\'esunvectoren IY.entoncesladirecciónde \'cselánguloen(O,lit)quelorm:lcualquier
representación
de,.condIadopositivodelejex. (p. 223)
Desigualdaddeltriángulo
En1:¿2o1).1
lu+"1Slu!+1"1
En[(lseani=(l.O)Yj=(O,1):entoncesl'=((l.b)sepuedeescribir como\'=lIi+bj.
(p,225)
(p.226)

276 C\PiTLLO3 Vectoresen1)1yI)J
En[?Jseani=(l.O.O),j=(O.1,O)Yk=(O.O.1);entonces\'=(a.b.e)sepuedeescribircorno
V=ai+bj+ck (p.2501
UnreclorunitariotienI:P-o[?JesunveclOrquesatisfacelul=1.EnV,unvectorunitariose
puedeescribircorno
11=(cos8)i+(sen8)j (pp.226.227)
donde€lesladirecciónde u.
Seanti=(al"b
l
)
yv=(a,"17,):enlancesc1llroductoescalaroproductoIJlII110detiyv.denotado
porti.\'.estúdadopor (p.234)
(pp.234.235)
Siti=(al'b
l
"
()y\'={(I,.h,.eJentonces
ti·\'=(/1(/1+b,b~+CIC~
ElánguloqJentredosvectorestiy\'enl'!"ol?Jeselúniconúmeroen[O.11]quesatisface
u·\,
ca,~=¡;;n;:¡
Dosvectoresen[?lol1
J
sonparalelossielánguloenlreellos esOo7I.Sonparalelossiunoesun
múltiploescalardel otro (pp.236.250)
DosvecloresIYoI:?Jsonortogonalessielúnguloentreelloses rrl2.Sonortogonales siysólosi
suproductoescalarescero (pp.237.250)
Sean
uyl'dosvectoresdiferentesdeceroen I:llo1)3.Lapro~'ccción deusobre\'esunvector.
denotadoporproy,u.queeslúdefinidopor (pp.238.251)
proy,
"V
II=--V
Ivl'
u·v
Elesca!<lrMsellamalacOlllllonclltcde uenladirecciónde".
proy,
uesparaleloa \'yU-proy,uesortogonala v.
Ladirecciónde unvector\'1)3eselvectorunitario
. abe.
SIl'=(a.b.e).entoncescosa=R'cos~=Rycosy=Iv!sellamancosenosdirectores de\'.
Seau =t/li+b¡j+(",kyl'=a)+bj+c,k.Entonceselproductocruzoproducto\cetorial de
uyv.denotadoporuX".estadadopor
k
uxv =alb,
"
(11b,,,
Propiedfl/les,IdpJ'OlluCloCnlZ
i.uxO=Oxu=O.
¡i,UX\'=-\,Xu.
¡ii,tauIX\·=a(ux\').
(pp.239,251)
(p.24))
(p.248)
(pp.254.255)
(p.
255)

Ejerciciosderepaso 277
iv.UX(v+w)=(uxv)+(uxw).
\'.(uX\,.w)=U·(vxw)(eltripleJlroductoescalar).
\'i.uxvesortogonaltantoaucomoH\'.
vii.Sini11nivsonelveclOrcero, entoncesuy\'sonparalelossiysólosiuXv=O.
Silpeselúnguloentreuy\',entoncesluXvi=IUIl\'1senlp=áreadelparalelogramocon
ladostiy\'.
SeanP=(XI')"1':1)yQ=(X".r,.:,)dospuntossobreunarectaLenl)l,Sea\'=(.",- x,)i+
Ve-.J'1)j+(:~-:I)kyseaa=Xl-XI'h=)',-)'1Ye=::'.- :1'
~ ~
Ecuación\'cctorialdeunarecta: OR=OP+n'.
Ecuacionesparamétricasdeunarecta: \'=XI+al
y=)'1+!JI
:=:I+CI
x-x1'-1":-:
Ecuacioncssimétricasdcunarecta:--'=-'-'-'=__1,sia,!Jy{"sondiferentesdecero.
a b e
Sea
Punpuntoen[tJyseanunvectordadodiferentesdecero;entonceselconjuntodetodos
~
lospuntosQparalosquePQ,n=Oconstituyeunplanoen[?J.Elvectornsellama n~c:lor
nornllllalplano.
Si11=ai+bj+ckyP=(x
o
,.l'1f:u)el1lOncesla ecuacióndelplanosepuedeescribir
lIx+hy+c:=d
donde
~
d=(/."u+b.l'u+c:
u
=OP.n
ElJllanoxytienelaecuación:=O:elplano.ctienelaecuaciónJ=O;elJllanoy;::tienela eClJ:l
ciónx=O.
(p.~641
(p.~65l
(p.166)
(p.267)
(p.277)
Dosplanossonparalelossisusvectoresnormalessonparalelos.Silos dosplanosnosonpara
lelos.entoncesseintersectanenunalínearecta.
•
EJERCICIOSDEREPASO
EnlosejerciciosIal8 encuentrelamagnitudydireccióndel vectordado.
1."=(3.3) 2.v=-3i+3j 3.v=2i+3j
4.'=(2.-2,13) 5.,=(,13,,) 6.'=(3-J5)
7.v=-12i-12j 8.v=i+4j
(p,280)
~
~losejercicios9al 13escribaelvectorv.representadoporPQ,enlaformaui-hjBosqueje
PQy".
9.P=(2.3), Q=(4.5)
11.P=(-3.-2),Q=(4.1)
13.P=(-I.3),Q=(3.-I)
lO,P=(1.-2);Q=(7.1~)
12,P=(-I,-6);Q=(3.--+)

278 C,\l'iTlILO3Vectoresen1)2y1)3
14.Seau=(2.1)Y\'=(-3.4).Encuentrea)5u:h)u -1':e)-8u+5v,
15.Seau=-4i+jy\'=-3i-4j,Encuentrca)-3\':b)u+\';c)3u-6\'.
Enlosejercicios16al24encuentreunvectorunitarioquetenga lamismadirecciónqueel
vectordado.
17.,
=-;+j 18.\'=-2i+Jj
20.\'=-7i+Jj 21.,=3i+4j
23.\'=-2i-4j 24.\'=ai-(lj
19.\'=2i+Sj
22.v=-2i-2j
25.Si\'=4i-7jencuentresen8ycosRdonde8esladirecciónde\'.
26.Encuentreunvectorunitarioconladirecciónopuesta¡l\'=5i+2j.
16.\'=i+j
27.Encuentredosvectoresunitariosortogonalesa\'=i -j.
28,Encuentreunvectorunitarioconladirecciónopuestaalade\'=IOi-7j.
Enlosejercicios29al33encuentreunvector\'quetenga lamagnitudydireccióndadas.
29.1'-1=2;8=nl3 JO.1'1=6;8=27t13
JI.1'1=1;8=nl2 32.1'1=4;8=1t
33.1'1=7;e=51t/ó
Enlosejercicios 34al38calculeelproductoescalardelosdosvectoresyelcosenodelúngulo
entreellos.
34.u=i -j:v=i+2j
36,u =4i-7j:\'=5i+6j
38,u =-i-2j:\.=4i+5j
35.u =-4i:\'=Ilj
37.u=2i-4j:\'=-3i+5j
Enlosejercicios39al46determinesilosvectoresdadossonortogonales.paralelosoninguno
delosdos,Despucsbosquejecadapar.
39.
"
=
,.
-6j:l'=-;+Jj 40.
"
=2i-4j:v=-3i+5j-,
41.
"
=4i-5j:,-=Si-4j 42.
"
=4i-Sj:\.=-5i+4j
43.
"
=-7i-7j:
l'=;+; 44.
"
=-7i-7j:l'=-;+j
45.
"
=5i
-5j:,
=-;-j 46_,,=-7i-7j:\'=-;-j
47.Seanu =2i+3jy\'=4i+rij.Determineatalque
a)u yvseanortogonales.
h)u yvseanparalelos.
e)Elúnguloentreu y\'sea1t/4.
tI)Elánguloentreu y\'sea1t/6.
Enlosejercicios 48al55calculeproy,u
48.
11=
l4i:l'=i+j
50.11=-i-2j;l'= -3i+2j
52.11=Ji+2j;\'=i -3j
49.u = 14i:\'=i -j
51.u=3i-2j:v=3i+2j
53.u=2i-5j;l'= -3i-7j

Capítulo
4
ESPACIOSVECTORIALES
•
EIIINTRODUCCiÓN
Comoseobservóen elcapituloanterior.losconjuntosVl(vecloresen elplano)y 1)-'(vcctores
enelespacio)cuentancon diverS;ISpropiedadespeculiares. SepuedesumardosvcctoresenIr
yobtenerOtrovectorenIr.Enlasuma.losvectoresen1)2obedecenlasleyesconmutativa y
asociativa.SixEIr.entoncesx+()=xyx+(-x)=O.Sepuedemultiplicarveclores enIr
porescalaresyobtenerlasleyesdistributivas.EnJ>'sccumplenlasmismaspropiedlldcs.
Losconjuntos1)2y(!ljuntocon[asopcmcionesdesumadevectores ymultiplicaciónpor
unescalarsedenominane.I]J{//'iosI'cnori{/!e.\",Sepuededecir.deformaintuitiva.que unespacio
vectorialesunconjuntodeobjetoscondosoperacionesqueobedecenlasreglasqueacaban
deescribirse.
En
elpresentecapitulo
habrúuncambio.enaparienciagrande.delmundoconcretodela
solucióndeecuaciones ydelmanejosencillodelosvectoresque sevisualizan.al mundoabs·
tractodelosespaciosvectorialesarbitr:trios.Existeunaventajaenestecambio.Unavel.que.
enterminasgenerales.seestablecenloshechossobrelosesp:tciosvectorialessepuedenaplicar
estoshechosa
IOdo.,'los
espaciosdeestanaturalez.a.Deotromodo.tendriaqueprobarsecada
hechounayotravezparacadanuevoespllciovectorilllquenosencontráramos(yexisteunsin
findeellos).Perocomosevedmúsadeklllte.muchosdelosteoremasabstractosquesedemos·
tranln.enterminasrealesnosonmásdilicilesquelosque yasehanestudiado.
DIDEFINICiÓNyPROPIEDADES BÁSICAS
DEFINICiÓNa Espaciovectorialreal
Unespacio"eclorialrealVesun conjuntodcobjctos.denominados\'eclores. juntocon
dosoperacionesbinariasllamadassuma
ymultiplicaciónpor unescalar
yquesatisfacen
losdiezaxiomasenumeradosacontinuación.

282 CAPiTULO4Espaciosvectoriales
NotaciólI.Sixy ~.eslúnen VysiO'esunnúmeroreal.entonces lasumaseescribecomox+ ~.
yelproductoescalar deayxcomo{lX.
Antesdepresentar lalistadelaspropiedadesque S¡HisfacClllosvectoresen unespacio
veclorialdebenmencionarsedos
asuntosdeimportancia.Enprimerlugar.mientras quepuede
ser
útilpensaren VloP'almanejarunespaciovectori<ILconfrecuenciaocurre queelespacio
veclorialpareceser lllUyd¡rerenteaestoscómodosespacios (enbrevelocaremosestelema). En
segundainstancia, ladefinición1ofreceunadefinicióndeunespacioveclorial real.Lapalabra
"rear'significaque losescalaresque seusansonnúmerosreales.Seriaigualmentesencillo de
finirunespnciovectorial ("olllp!tjoutilizandonúmeroscomplejosenlugardereales.Estelibro
es
túdedicadoprincipalmcnlcaespaciosvectorialesreales. perolasgeneralizacionesaotros
conjuntosdeescalarespresentanmuypocadificultad.
Axiomasdeunespaciovectorial
i.SixEVyyEV,entoncesx+y EV(cerradurabajolasuma).
ii.Paratodo ....~'yzenV.(x+},)+z=x+ Ü+z)
(le)'asocialimdelasumadeH.'Ctort'S).
iii.ExisteunvectorOE Vt,tIquepar,1todoxE JI,x+O= U+x=x
(elOsellama\"cct9rcerooidénticoaditim).
iv.SíxEV,existeunvector-xenEJltalquex+(-x)=O
(-xsellamainn~rsoadilimde x).
\',Sixy}'es!,inenV.entoncesx+ }'=y+x
(leyconmut,lti"adclasumade\'Celorlos).
"i.SíxEVyuesunescalar,entonces uxeV
(cerradurabajo lamultiplicaciónpor unescalar),
\'ii.Síxy}'est:inenVyuesunescalar.entoncesa(x+ },)=ax+a}'
(1lrimerale)'dislribulil'U).
viii.SixeJIyuy/3sonesc<ll¡¡res.entonces(a+/3)x=(fX+/3x
(segundale)'dislributi\·a).
ix.Sixe JIyuy/3sonescalares.entonces a(/3x}=(a/3)x
(le)'aSOCialimdelamultiplicaciónport$Calar~).
x.Parac<ldavectorxE V,Ix=x
Noftl.Enlosproblemas23y24se estudianlapropiedaddeunicidadsobreelelementoneutro
aditivoyele1cmentoinverso aditivoenunespaciovectoriaL
EJEMPLO1 Elespacio1)"
Cadavectorenp,esllnamatrizde11x1,Scgúnladefinicióndesumadematricesdadaenla
~o·],
p:'1gina48.x+ yesunamatrizde11X1sixyysonmatricesde11Xl.HaciendoO=

EJEMPLO 2
EJEMPLO 3
EJEMPLO 4
EJEMPLO S
-1.2DefiniCIónyprop.edadesbaslCas 283
-x~[~iJ'"obsm,q"losa,iom"ii)'-')",oblienendeladefinicióndesumad<'''lO
res(matrices)yelteorema1.5.1enlapúgina50.
Nora.Losvectorcscn V"scpuedencscribirindistintamcntecomovectoresrenglónovectores
columnól.
Espadovectorial trivial
SeaV=la}.Esdecir.Vconsistesólocn elnúmeroO.ComoO+O=1.O=O+(O+O)=
(O+O)+O=O.sevequeVes unespaciovectorial.Confrecuencia seleotorgaelnombrede
espaciovectorialtri\·ial.
Conjuntoquenoesunespaciovectorial
SeaV={If.Esdecir.f/consisteuniC<lmentcdelnúmero 1.Éstel/Oesunesp<lciovectorialya
queviolaelaxiomai)---elaxiomade cerradura-oParavcrloconmúsclaridad.bas\;lconob
servarquc
1+1=2Ii'"f/.Tambiénviolaotrosaxiomas.sinembargo.contansólodemostrar
queviola
almenosunodelosdiezaxiomasquedaprobadoque f/noesunespaciovccloria!.
Nota.Verificarlosdiezaxiomaspuedeserlaborioso. Enadelantese\'erificar.inúniCilmenle
aquellos<lxiomasqucnosonobvios.
ElconjuntodepuntosenV queseencuentranenunarecta
quepasaporelorigenconstituyeunespaciovectorial
Seaf/={(x.y):r=/l/X.dondeIIIesunnúmeroreal fijoyxesunnumerorealarbitrario}.
Esdecir.f/consisteentodoslospuntosqueestansobre larectaJ=JIIXquepasapor elorigen
ytienependiente m.Parademostrarque f/esunespacioveclOri"l. sepuedeverificurque se
cumplecadaunodelosaxiomas.Observequelosvectoresen Vsehanescritocomorenglones
enlugardecolumnas.loqueenesencia
eslomismo.
i.Supongaquex =(XI'.1'1)yY=(x~..I)estánenV.Entonces)'.=mx•.y~=mx~.y
x+y=(X
l
.
.I'I)+(x~. y~)=(XI'nLl'"I)+(X~.IIIX~)=(XI+X:'I/Lll+ 11L,":)
=(-'",+-,"]"III(.\"1+-,"~»EV
Porlolantosecumpleelaxioma¡).
ii.Supongaque {x.y)E11.Entoncesy=/1/Xy-(x.y)=-(x.mx)=(-x.lIle-x»).demanera
que
-(x..r)lambiénpertenecea Vy(x./1/x)+(-x.m(-x))=(x-x.m(.\"-x»=<o.O).
Todo"eeloren JI"esun\'cctoren Ir,yV:esunespaciovcctorial.como semucStT:lenelejemplo
1.Como(O.O)=OestáenJI"(expliqueporque)todaslasdemúspropicdades sededucendel
ejemplol.Entonces
Vcsunespaciovcctorial.
ElconjuntodepuntosenI)Jqueseencuentransobreunarecta
quenopasaporelorigenconstituyeunespaciovectorial
Seaf/={(x.Y):,l"=1x+l.xE1J1.Esdecir.11esclconjulHodepuntosque eSl:i.nsobre
larecia)'=2x+1.V/10esunespaciovectorialporque nosecumplelacerradunlbajo IJ

C,\I'iTUL04
EJEMPLO6
EJEMPLO7
Espaciosvectoriales
suma.comosucedeen elejemplo3.Paraveresto,supongaque (XI'Y
I
)
Y(_\-!'y)estúnenV
Entonces,
Sielvectordelladoderechoestuviera enV.setendría
Pero
JI=2x
I+1Y.r~=2x!+Idemaneraque
Por
lotanlO.seconcluyeque
Porejemplo.(0.1)Y
(3.7)estúnenV,pero(O,1)+(3.7)=(3.8)110esláenVporque8 '1'2,3
+l.UnaformamússencilladccomprobarqueVno esunespaciovectorial esobserv,lrque
O=(O.O)110seencuentraenVporqueO'1'1·O+l.Noesdificildemostrarque elconjunto
depuntosen
1)'-queeSlúsobrecualquierrectaquenop,lsapor (O.O)noconstituyeunespacio
vectorial.
ElconjuntodepuntosenVlqueseencuentranenun plano
quepasaporelorigenconstituyeunespaciovectorial
SeaV=l(x,y.=):(IX+hy+e:=01.Estoes.Veselconjuntode PUnlOSen1)1queestáen
elplanoconvectornormal (a.b,elyquepasa porelorigen.Aligualqueen elejemplo4.los
vectoresseescribencomorenglonesenlugardecolumnas.
Supongaque
(XI'.1'1'=1)Y(Xl'.1'2"=!)estúnen V.Entonces(XI'Y
I
,
=1)+(Xl'y~,=!)=(XI
X"Y
l+.re'=1+=!)E Vporque
a(x
l
+x
1
)+!J(YI+Y!)+C(=I+=l)=(ax
l
+by,+c:I)+(ax
l
+by!+C=l)=O+O=O
Porlotanto.elaxiomai)secumple.Losotrosaxiomas severificanfácilmente. Deestemodo.
elconjuntodepuntosqueseencuentraenunplanoen p3quepasapor elorigen.constituyeun
espaciovectorial.
ElespaciovectorialP
n
SeaV=P",elconjuntodepolinomios COIlcoeficientesrealesde gradomenoroiguala 11:
pEP".entonces
p(X)=(/"X"+a"_lx"-1+"'+(/lx+aO
dondecada a¡esrc¡i1.Lasumade p(x)+(¡(x)esládefinidade lamanerausual: siq(x)=b".\Jo
h"1.\",,-1+...+brr+hu,entonces
p(x)+q(x)=(a"+b,,)x"+(a"_1+b,,_¡)X"-1+...+(al+!JI).r+«(lo+boJ
Esobvioquelasumadedospolinomiosdegradomenoroiguala 11esolropolinomiodegrado
menoroiguala
11,por10quesecumple elaxiomai).Laspropiedadesii)y1')ax)sonclaras.
sedefineelpolinomio()=0.\"'+0.\"'I+...+Dx+O.entoncesOEP"Yelaxiomaíií)secump~
Porúllimo.sca -p(x)=-a,/'-(/,,_1.\",,-1-...-al.\"- al)'sevequeelaxiomaÍl')secumple.coo
loquePoesunespaciovectorialreal.
•
tSedicequelasfunCionesconstantes(Incluyendo lafuncron{(xl"O)sonpolinomiOSdegradocero

EJEMPLO9
EJEMPLO
'O
EJEMPLO "
EJEMPLO
12
4.2Definiciónypropiedades básicas 285
losespaciosvectoriales C[O,1]yC[a.b]
SeaV=CrOo1]=elconjuntodefuncionescontinuasdevalores
realesdefinidHSenelintcn'<Ilo
[O.lj.Sedefine
(f+g)x=Irx)+g(x)y(0111')=a[l(xll
ComolasumadefuncionescOlllinuasescontinua. ela;.;iomai)secllmpleylosotrosaxiomas
severificnlll'úcihnenteconO=lafuncióncero y(-./)(x)=-f(x).Delmismomodo. C[a.h].
elconjuntodefuncionesdevaloresrealesdcfinidasy continuasen[a.h].constituyeunespacio
vectorial.
Elespaciovectorial M
nm
SiJI=M,,",denotaelconjuntodematricesde/11X11concomponentcsreales,entoncescon
la
sumadematricesymultiplicación porunescalarusuales, sepuedeverificar que
M"",csun
espaciovectorialcuyoneutroaditivoeslamatrizdecerosdedimensiones 111X//.
Unconjuntodematricesinvertibles puedenofo-rmarunespaciovectorial
Sea5
J
elconjuntodematricesinvertibles de3 X3,Sedefinela"suma"AEBBporAEBB=A13.:
SíAYBsoninvertibles.emoncesABesinvcrtible(por clteorema1.8.3.púgina96) demanera
queelaxiomai)sccumple.Elaxiomaii)essencillamentelaleyasoCÍ<lliv¡lp¡Halamultiplica
cióndematrices(teorema1.6.2.púgina63):losaxiomasiji)yir)sesatisfacencon (J='.,y -A
=A-l.Sinembargo, A Bi:-BAengeneral(vealapúgina61).entonceselaxiomar)nosecumple
yporlotantoS1noesunespaciovectorial.
Unconjuntodepuntos enunsemiplano puedenoformarunespaciovectorial
SeaJI=l(x..l'):Y;::::Ol.l/consisteenlospuntosent:renelsemiplanosuperior(losprimeros
doscuadrantes).Si)'1;::::OY.l',;::::O,entonces.\'1+.\',2::O:así.si(XI'JI)EVy(X".)EV,en
tonces(XI+X".1'1+.1)EV.Sinembargo.VnoesunespaciovectorialY¡lqueelvector(l.1).
porejemplo.notieneuninversoen Vporque(-J,-1)$.JI.Músatln.elaxiomaI'i)falla,Yil
quesi(x.y)aJI.entoncesa(.r..1")aVsiQ'<O.
Elespacioen
SeaJI=t::
n
=H('l'1'"....1.',,):(',esunnúmerocomplejopara i=1.2.....111Yelconjunto
deescalareses elconjuntodenúmeroscomplejos. Noesdifícilverificar quct::".t:llnbiénes un
espaciovectorial.
Como10sugierenestosejemplos,existendifercntestiposdeespaciosvectorialesyl1luchas
clasesdeconjuntosquel/Osonespaciosvectoriales.Antesdeterminarestasección.sedcmos
trarúnalgunosresultadossobrelosespaciosvectoriales.
•
,'elCA¡j¡,º,,;;:co;;]iEstesimboloseusaenlodoelI,broparaIndicarqueelproblemao ejempJI
'St>USilunsignomasenClrwladoparaeVitarconfUSiónconelsH:¡nomasnormalOLf''"Je':3a rr "rt'

286 CM'íTULO4
TEOREMAa
Espaciosvedoriales
SeaVunespaciovectorial.Entonces
i.uO=OparalOeJOescalara.
ii.O'x=OparatodoxEV
¡ji,SiaX=0,entoncesC\'=Oox=O(oambos).
h'.(-1),.=-xparatodox EV.
L:DEMOSTRACiÓN i.Porelaxiomaiii),O+O=O;Ydelaxioma l¡¡I).
0'0=0'(0+O)=0'0+0'0 (1)
Sumando-0'0enlosdosladosde(1)Yusando laleyasociativa(axioma ji),se
obtiene
aO+(-aO)=[aD+uO]+(-aO)
0=uO+[uO+(-aO)]
O=aO+O
O=aO
ii.Seusa,esencialmente,lamismapruebaque enlapartei).SecomienzaconO +O=
OYseusaelaxiomal'ií)paraverqueO,.=(O+O)x=Ox+OxoOx+(-Ox)=Ox
+[Ox+(-Ox)]oO =Ox+O=Ox.
¡ii.Seaax=O.Sia""O.semultiplicanambosladosde laecuaciónporl/aparaobtener
(l/a)(ax)=(l/a)O=O[porlapartei)].Pero(l/a)(ax)=Ix=x(porelaxioma¡x).de
maneraquex
=O.
h'.Primeroseusa elhechodeque1+(-1)=O.Después.usandolaparte ¡í).seob
tiene
0=Ox=[1+(-l)]x=Ix+(-I)x=x+(-I)x
Sesuma-xenambosladosde(2)paraobtener
-x'='0+(-x)'='x+(-I)x+(-x)'='x+(-x)+(-l)x
=O+(-I)x=(-I)x
(2)
problemas4,2
Deestemodo, -x=(-I)x.observeque elordendela sumaenlaecuaciónanterior
se
pudoinvertirutilizandolaleyconmutativa(axioma 1')'
Ohsen'uciólI.Laparteiii)delteoremaInoestanobviacomoparece.Existensituacionescono
cidas
enlasque.)' =Onoimplicaque.r0.rseancero.Comoejemplo.setienelamultiplicacióo
.[01) [0-2)dematricesde2x 2.SIA=OOYB =OO.endondeniAniBsoncero y.cornose
puedeverificar.
AH=O.elresultadodel productodeestasmatriceses lamatrizcero.
AUTOEVALUACIÓN
Delassiguientesafirmaciones.indique sisonfalsasoverdaderas:
l.Elconjuntodevectorese:)en~con)' =-3xesunespaciovectorialreal.

4.2Definiciónypropiedadesbásicas 287
11.Elconjuntodevectores (~)enI)!cony=-]x+1esunespaciovectorialreal.
111.Elconjuntodematricesinvertiblesde 5X5 formaunespaciovectorial(con "+"
definidocomo enlasumamatricesordinaria).
IV.Elconjuntodemúltiplosconstantesdelamatrizidénticade 2X2 esunespacio
vectorial(con
"+"definidocomoen 111).
V.Elconjuntodematricesidénticasde 11X11para11=2.3.4....esunespaciovecto
rial(con
,,+.,definidocomoen [[1).
VI.Elconjuntodevectores [:]en1)-1con2x- y- 12.:-=Oesunespaciovectorial
real.
z
VII.Elconjuntodevectorcs [:~:]enI)-lcon2x-y-12:=1esunespaciovectorial
real.
z
VIII.Elconjuntodepolinomiosdegrado3 esunespaciovectorialreal(con ,,+.,definido
comolasumadepolinomiosordinaria).
Dclosproblemas1
al22determinesielconjulltodadoesunespaciovectoria!. Denoscrasi
proporcionelInalistadelosaxiomasqueno
secumplen.
1.Elconjuntodematriccsdiagonalesde 11x11bajolasumadematrices ymultiplicaciónpor
unescalarusuales.
2.Elconjuntodematricesdiagonalesde 11X11bajolamultiplicación(esdecir. A$B=AB).
3.{(x.y):)'~O;x.yrealeslcon lasllmadevectores ymultiplicaciónpor unescalarusuales.
4.Losvectoresen
elplanoqueest:l enelprimercuadrante.
5.Elconjuntodevectoresen I)-ldelaforma(x.x.xl.
6,Elconjuntodepolinomiosdegrado4bajolasoperacionesdelejemplo 7.
7,Elconjuntodepolinomiosdegrado5bajolasoperacioncsdelejemplo 7.
8.Elconjuntodematricessimétricasde 11X11(vealasección1.9)bajolasumayl1lultiplica-
9.:~~~~;~nl:~ ::c:~::r::::'~:s~ X2quetienen hlforma(~ ~J bajolasum:lymultiplicación
por
unescalarusuales.
10.Elconjuntodematricesde laforma('aJconlasoperacionesdemalricesde ~uma ~
multiplicaciónporunescalar. f3I
11.Elconjuntoqueconsisteen unsolovcctor (O.O)bajolasoperacionesusualesensímbolo
1)'.
12.Elconjuntodepolinomiosdegrado ~11contérminocons1<tntecero
13.ElconjuntodepolinomiosdcgradO:5 11contérminoconstante (/positiyo.
14,Elconjuntodepolinomiosdegrado :511conterminoconstante (/.negativo

288 C\PiTUW4
tICALCULO¡
tICALCULOI
Espaciosvectoriales
15.Elconjuntodefuncionescontinu<lSdevaloresrealesdctinidasen [O.1]conf(O)=OYI{1)
=Obajolasoperacionesdelejemplo 8.
16.ElconjunlodepunlOSen liqueseeneucnlransobreunarecia quepasaporelorigen.
17.ElconjunlOdepunlosenIJ3queseencuenlransobrelareciax=t+1.y=2t.==t~1.
18.~conlasumadefinidapor(XI'))+(x"J)=(xl+x
1
+l..1'1+y:+1)Ylamultiplicación
porunescalarordinaria.
19.ElconjunlOdelproblema 18conlamulliplicaciónporunescalardefinida pora(x.y)=
(O'+ax~LO'+ay-1).
20.ElconjuntoqueconsiSleen unobjelocon lasumadefinida porohjeto+objeto=ohjelOy
lamulliplicaciónporunescalardefinida pora(objeto)=objeto.
t21.Elconjunlodefuncionesdiferenciablesdefinidasen [O.1]conlasoperacionesdelejemplo 8.
*22.Elconjuntodenúmerosreales delaforma(/+bj2.dondeaybsonnúmerosracionales.
bajolasumade nLJmerosrealesusual ylamultiplicaciónporunescalardefinidasólopara
escalaresracionales.
23.Demueslrequeenunespacioveclorial elelemenloidénlicoadilivoes LJnico.
24.Demueslrequeenunespaciovectorial lodoveclortieneuninversoaditivoúnico.
25.
Sixyysonvecloresenunespaciovectorial V.demuestrequeexiSle unveclorúnico ZE¡'
1'11quex+Z=}'.
26.Demuestre queelconjuntodenúmerosrealespositivosformaunespaciovectorialbajolas
operaciones
x+y=xyyax=s".
27.Considerelaecuacióndiferencialhomogéneade segundoorden
)'''(X)+a(s)y'(.r)+b(x)y(x)=O
dondea(x)ybes)sonruncionescontinuas.Demueslre queelconjul1\odesolucionesde la
ecuaciónes unesp"cioveclOrial bajolasreglasusuales paralasumaderuncionesymulti
plicación
porunescalar.
RESPUESTAS ALAAUTOEVALUACIÓN
1.V 11.F 111.F IV.V v.FVI.V VII.FVIII.F
• MATLAB4.2
~ 1.ElarchivoI'ctrS!J.1IIesuuademostracióusobrelageometríadealgunaspropiedades delos
espaciosvectorialesdevectoresen
P'.
Acontinuaciónsepresenlaelcódigode lafunciónI'ctrS!J.1II
functionvctrsp(x,y,z,a}
%VCTRSP funeionqueilustralaspropiedadesgeometricas
% deeonmutatividadyasociatividaddelasumade
vectores.
% Tambienlapropiedaddedistributivadela
multiplicacion
% porunescalardelasumadevectores
•
'i(J.lculOlEstl'51mboloseU5<lparaIndICarqueelproblemaoejemplo usaconceptos¡lecal(lllo.

·UDefinloónypropiedadesbaslcas 289
,
,
"
vector2x1
,
y,vector2x1
,
"
vector2x1
,
a,escalar
\Inicializaciondedatosusadosenlafuncion
origen=[O:OJ;
Ox=[origen,xJ;
Oy=[origen,yJ:
Oz=[origen,zJ;
xy=[x,Y+x);
yx=[y,x+Y):
yz=(y,y+zJ;
Oyz=[origen,y+zJ:
Oxy=[origen,x+yJ:
xyMz=[x+y,x+y+zJ:
yzMx=[y+z,x+y+zJ;
Oxyz=[origen,x+y+z)
:
,Borrarventanadecomandosycerrartedaslaventanas
,defigurasabiertas
clc;
disp('FuncionVCTRSP')
disp('')
claseall;
,Conmutatividad
figure(l)
he1doff
subplot(121}
h=plot(OX(l,:),Ox(2,:),'b--*',Oy(l,;),Oy(2,;),'b--*');
set(h,'LineWidth',2)
text(x(1)/2,x(2)/2,'fx');
text(y(1)/2,y(2)/2,'fy');
grid
axissguare
axistight
aa=axis;
axis([min(aa([l,3J»-l,max{aa((2,4J))+l,min(aa([1,3J
l,max(aa((2,4)}+l)}
title('Vectoresoriginales')
subplot(122)
ho1doff
h=plot(Ox(1,: ),Ox(2,: ) , 'b--*',OY(1,;) ,OY(2,;) ,'b--*,) ;
set(h,'LineWidth',2)
holdon
h=plet(Ox(l,:),Ox(2,:),'r:',xy(l,:),xy{2,:),'r;',Ox:: _,.
(2,:)•'-m*') ;
set(h,'LineWidth',2)

290 C\I'ITUO-1 EspaCIosvectoriales
h=plot(Oy(1,:1,ay(2,:),'g:',yx(1,:l,yx(2,;),'g:',axy(1,;),
axy(2,;),'-m*');
set(h,'LineWidth',2)
text(x(1)/2,x(2)/2,'fx'l;
text(y(11/2,y(2)/2,'fy');
text{xy(l,2)/2,xy(2,2)/2,'fx+y=y+x')
grid
axissquare
axistight
aa_axis;
axis([min(aa([1,3])1-1,max(aa([2,4]))+1,min(aa([1,3])l-1,
max(aa([2,4]))+1])
title('Sumadevectores,conmutatividad')
holdoff
disp('aprimaalgunateclaparacontinuarfigura2');
pause;
1;Asociatividad
figure(2)
holóoff
subplot(13l)
h,.plot(ax(1,;),Ox(2,:) ,'b--*',Oy(1,;),Oy(2,: ) ,'b--*',az(1,: ) ,
Oz(2,:),'b--*');
set(h,'LineWidth',2)
text(x(1)/2,x(2)/2,'fx');
text(y<l)/2,y(2l/2,'fy');
text(Z(1)/2,z(2)/2,'fZ');
grid
axissquare
axistight
aa=axis;
axis([min(aa([1,3]))-l,max(aa([2,4]))+l,min(aa([1,3)))-1,
max(aa([2,4)))+1])
title('Vectoresoriginales')
subplot(132)
holdoff
h.plot(Ox(1,: ),Ox(2,;) ,'b--*',Oy(1,:),ay(2,: ) ,
'b--*',az(1,:),Oz(2,:),'b--*');
set(h,'LineWidth',2)
holdon
h=plot(ax(l,:),Ox(2,:),'r:',xy<l,:),xy(2,:),'r:',axy(l,:),
Oxy{2,:),'-m*'l;
set(h,'LineWidth',2)
h=plotWxy<l,:),OxY(2,;l,':g*',xyMz(l,:),xyMz(2,;1,';m*');
set(h,'LineWidth',21
h",plot(Oxyz(1,;),Oxyz(2,:),'--c"');
set(h,'LineWidth',21
text(x(1)/2,x(2)/2,'fx');
text(y(l)/2,y(2l/2,'fy');
text(z(l)/2,z(2)/2,'fz'l;
text(xy(1,2)/2,xy(2,2)/2,'fx+y')

4.2DefiniCIónypropiedades báSKas 291
瑥硴⡸祍稨䤬㈩⼲ⱸ祍稨㈬㈩⼲Ⱗࡦ (x+y)+z')
grid
axissquare
axistight
aa=axis;
axis((min{aa((1,3J))-1,max{aa([2,4]))+I,min{aa([1,3]))-1,
max(aa([2,4]))+I])
title('Sumadevectores,(x+y)+z')
holdoff
subplot(133)
holdoff
h=plot(Ox(l,:),Ox(2,;),'b--*',Oy(I,:),Oy(2,:),'b--*',
Oz(1,:),Oz(2,:),'b--*,);
set(h,'LineWidth',2)
holdon
h=plot(Oy(I,:),Oy(2,:),'r:',yz{l,:),yz{2,:),'r:',Oyz{l,:),
Oyz(2,:),'·m*');
sec(h,'LineWidch',2)
h=plot(Oyz(1,:),Oyz(2,:),,:g*',yzMx(1,:),yzMx(2,:),':m*');
set(h,'LineWidth',2)
h=plot{Oxyz(I,:),Oxyz(2,:),'--c*');
set(h,'LineWidth',2)
瑥硴⡸⠱⤯㈬砨㈩⼲Ⱗࡦ x');
瑥硴⡹⡉⤯㈬礨㈩⼲Ⱗࡦ Y');
瑥硴⡺⠱⤯㈬穻㈩⼲Ⱗࡦ Z');
瑥硴⡹稨䤬㈩⼲ⱹ稨㈬㈩⼲Ⱗࡦ y+z')
瑥硴⡹積砨ㄬ㈩⼲ⱹ積砨㈬㈩⼲Ⱗࡦ x+{y+zl')
grid
axissquare
axistight
aazax~s;
axis([min(aa([1,3]})-1,max(aa([2,4)))+l,min(aa([1,3)))-1,
max(aa([2,4)))+I])
title('Sumadevectores,x+(y+z)')
holdoff
disp('Oprimaalgunateclaparacontinuarfigura3');
pause;
'"Oistributibidaddemultiplicacionporescalarsobresumade
vectores
figureO)
holdoff
subplot(131)
h=p1ot{Ox(l,:),Ox(2,:),'b--*,,Oy(1,:),Oy(2,:),'b--*');
set(h,'LineWidth',2)
瑥硴⡸⠱⤯㈬砨㈩⼲Ⱗࡦ x');
瑥硴⡹⠱⤯㈬礨㉬⼲Ⱗࡦ y');
grid
axissquare
axistight
aazaxis;

292 CM'in'Lo4 Espaciosvectoriales
axis([min(aa([1,3)))-l,max(aa([2,4]))+l,ffiin(aa([1,3)))
l,max(aa([2,4)))+1])
title('Vectoresoriginales')
subplot(132)
holdoff
h=plot(Ox(l,;),Ox(2,:),'b--*'Iay(1,:)Iay(2,:)I'b--*');
set(h,'LineWidth',2)
holdon
h=plot(Ox(1,:) IOx(2,:),'r:',xy(1,:) Ixy(2,:),'r:'IOxy(1,;)*a,Oxy
(2,:)*a,'-m*')¡
set(h,'LineWidth',2)
text(x(1)/2,x(2)!2,✈Ex');
text(y(1)/2,y(21!2,✈fy');
text(xy(1,2)/2*a,xy(2,2)/2*a,Iࡅa{x+y}')
grid
axissquare
axistight
aa=axis;
axisl[minlaa([1,3]))-l,max(aa([2,4]))+l,min(aa{[1,3]))
1,max(aa([2,4)))+1J)
title('Sumadevectores,a(x+y}l)
holdoff
subplot(133)
holdoff
h=plot(üx(1,:)*a,Ox(2,;)*a,'b--*',Oy(1,:)*a,Oy(2,:)*a,'b--*');
set(h,'LineWidth',2)
holdon
h=plot(Ox(1,:),Qx(2,;)*a,'r;,,xy(1,;)*a,xy(2,:)*a,'r;,,Oxy(1,:)
*a,Oxy(2,:)*a,'-m*');
set(h,'LineWidth',2)
瑥硴⡸⠱⤡㈬砨㈩Ⅎ⩡Ⱗࡦ x');
瑥硴⡹⠱氡㈬礨㈩Ⅎ⩡Ⱗࡦ y');
text(xy(1,2)!2*a,xy(2,2)/2*a,'ࡦa(x+y),)
grid
axissquare
axistight
aa=axis;
axis([min(aa([1,3)))-1, max(aa([2,4]))+1,roin(aa([1,3)))
l,max(aa([2,4J))+1])
title('Sumadevectores,ax+ay')
holdoff
Despuésdeescribir enunarchivoconnombre\'ctrsp.m.dédoc \drSpparaverunadescrip
cióndelusode
lafunción.
Introduzcalosvectores
x.yyz.yelescalaradadoscnseguida ydespuésdé elcomando
\'ctrsp(x,y,z,a).
Lademostraciónilustrani lageometriadelaspropiedadesconmutativa ~
asociativitde lasumadevectores ydelapropiedaddistributivade lamultiplicaciónpor
unescalarsobre laSllmadevectores.Puederesultarútilparalamejorvisualización delas
figurasmaximizar laventanadeinterés.
(/)x=[3;0].~'=[2:2].z=[-2A].Usca=2,a=~2Ya=-2.

4.3SubespaClos 293
h)x=[-5:5].y=[0:-4].z=[4:4).Useti=1.a=IIIYti=-JI!.
e)Supropiaeleccióndex.)'.z yloa.
2.a)Elijaalgunosv:Ilores para"y111Ygeneretresmatricesaleatoriasde 11Xm.llamadasX.
)'YZ.GeneredosescalaresalealOrios {/yb(porejemplo. a=2*rand(I)-t),Verifique
todaslaspropiedadesdelespaciovectorialparaestasmatrices
yesc'llares.Purademos
trar
A=B.demuestreque A-B =O;paralapropiedadiii)decidacómogenerar el
idénticoaditivoparamatricesde nX/11,Repitaparaotrostresjuegosde X.)'.Z.{/yh
(paralasmismas 11ym).
h)(Ltipi=ypapel)
Pruebelaspropicd:ldesdelespaciovectorialpara M_olasmatricesde
11X111.
e)(LlÍpi=ypapel)¿Cuálesladiferenciaentrelosincisos ti)yh)?
DISUBESPACIOS
DEFINICIÓNa
TEOREMAa
~DEMOSTRACIÓN
Delcjcmplo4.1.1de lapúgina281. sesabcqueP'=l(.\'.y):xE1)YYE~lesunespacio
vectorial.
Enelejemplo4.2.4delapúgin¡t283. sevioqucV=1{x.y}:y =lII.\'ltambiénesun
esp:lciovectorial.Adicionalmente. csevidenteque VeP'.Estocs.P'tieneunsubconjunto
quetambién
esunespaciovectorial.Dehecho.todoslosespaciosvectorialestienensubcon·
juntosquetambiénsonespaciosvectoriales.
Enestasecciónseexaminaranestosimportantes
subconjuntos.
Subespacio
SeaHunsubconjuntono"aciode unespaciovectorialVysupongaque ¡.¡esensíun
espaciovectorialbajolasoperacionesdesumaymultiplicación porunescalardefinidas
en
V.Entoncessediceque Hesunsubespaciode V.
Sepuededecirque elsubespacioHheretllllasoperacionesdelespacioveclorial"padrc" V.
ExistennHiltiplesejemplosdesubespacioscnestecapiltLlo;sinembargo.enprimerlugar.
scdemostraráunresultadoquehacerelativamentesencillodeterminar siunsubconjuntode l'
esenrealidadunsubespaciode J'
Subespacio
Unsubconjuntonovacio HdeunespaciovectorialVes unsubespaciode Vsisecum
plenlas
dosreglasdecerradura:
Reglas
decerradurallara \'crsiunsubconjuntono"acíoesunsubespacio
i.SiXEHY)'EN.entoncesx +yEH.
ii.SixEH.entoncesaxEHparatodoescalar a.
Esobvioque si¡.¡esunespaciovectorial.entonceslasdosreglasdecerraduradeben
cumplirse.
Delocontrario.parademostrarque ¡.¡esunespaciovectorial.debede
mostrarsequelosaxiomas
1)1Ix)enlapágina 282secumplenbajolasoperacionesde

294 Espaciosvectoriales
sumadevectoresymultiplicaciónporunescalardefinidasen V.Lasdosoperacionesde
cerradura(axiomas1)yir)]secumplen porhipótesis.ComolosvectoresenHsontam
biénvectoresen
V.lasidentidadesasociativa.conmutativa,distributiva ymultiplicativa
[axiomasji),1').¡'H),¡,ni),¡x)yx)1secumplen.SeaxEH.EntoncesOxE¡.¡porhipótesis
ji).Peroporelteorema4.2.1 delapágina286, (pllncji).Ox=O.Deestemodo,OEH
Ysecumpleelaxioma¡ii).Porúltimo.porlaparteji),(-I)xEHparatodoxEH.Por
elteorema4.2.1
(parlejI').-x=(-1)xEHdemanemquesecumpleelaxiomaiv)yla
pruebaquedacompleta.
Esteteoremademucslr:lque
paraprobarsiHesonoesunsubespacio dcV.essuficiente
verific<u
que
x+JyaxestanenH cuandoxyyestánenHyaesunescalar.
Lapruebaanteriorcontieneunhechoque porsuimportanciamerecesermencionado d~
formaexplicita:
,---------------,
Todosubespacio deunespaciovectorial Vcontieneal O. (1)
EJEMPLO1
EJEMPLO2
SUBESPA(IOS
~__~P'~O~'~'O~'
EJEMPLO3
EJEMPLO 4
Estehechoconfrecuenciafacilitaralaaveriguación desiunsubconjuntodeVenparticular
110esunsubcspaciode VEsdecir.siunsubconjuntonocontieneal O.entoncesnoesunsubespa.
eio.Noteque
elvoctorceroen H.unsubespaciode V.eselmismoque elvectorcero enV.
Acontinuaciónse mostraranalgunosejemplosdesubespacios.
Elsubespaciotrivial
j)aracualquierespaciovectorial V.elsubconjunto{Olqueconsisteenelvectorceroesúnica
menteunsubcspacioyaqucO
+O""OYaO""Oparatodonumeroreal a[)x¡rte1)delteorema
4.2.1J.Estosedenomina elsubespaciotrh·¡al.
Un
espaciovectorialesunsubespacioensímismo
Pamcadaespaciovectorial V.Vesunsubespaciodesimismo.
Losprimeros
dosejemplosmuestranquetodoespaciovectorial Vcontienedossubespa·
cios.
{O}yV(quecoinciden siV={Ol).Esmásinteresanteencontrurotrossubespacios.Los
subespaciosdistintosa
jOfyVsedenominansubesllaciospropios.
Un
subespaciopropiode1:
1
SeaH=1(x.y):J=I1Ixl(veaelejemplo4.2.4delapagina 283).Entonces.comoyasedijo.H
esunsubespaciode V2.Enlasección4.6(problema 15.página339)sevcrúque siHescual
quiersubespaciopropio de~.enloncesHconsisteen elconjuntodepumosqueseencuentran
sobreunarectaquepasa
porelorigen:esdecir.un conjuntodepuntosqueseencuentmsobre
unarecta
quepasaporelorigenes elünicolipodesubcspaciopropio de~.
Unsubespaciopropiode1:1
3
$caH=¡(x.J.=):x=aI.J=bry==el:(l.b,c.trealesf.Entonces Hconsisteenlosvectores
en
!Yqueseencuentmnsobreunareciaquepasa porelorigen.Paraverque Hesunsubespa
cio
de!Y.seax =(al
l
,
bt,.et
l
)
EfJYY=(al
l
•
b1
2
,
el}EH.Entonces

4.3SUbespaCIOS 295
y
Así.HesunsubcspadodeI)l.
...'---_O_t_ro_s_u_b_e_s~p_a_ci_o_p'___ro~p_i_o_d_e_I" __
Se..11:=l(x.y.=):(IX+by+l"==O:(l.b.erealesl.Entonces.como sevioenelejemplo4.2.6
de
lapilgina284. 11:esunespaciovectorial:asi. 11:esunsubesp<lciode 1)3.
Enlasección4.6 sedemostrarilquelosconjuntosdevectoresque seencuentransobrerectas y
planosquepasanpor elorigensonlosúnicossubespaciospropiosde [ti.
Antesdeanalizarmúsejemplos. esimportanteobscrvarque 110lOdoespaciorec/oriaf/ielle
.l'ubespaciospropios.
E3mIIIII'---_I)_n_o_t_ie_n_e_s_u_b_e_s~p_a_ci_o_s~p_r_o~p_i_o_s_
SeaHunsubespaciodeD.· SiH:F-{Ol.enloncesHcontieneunnúmerorealadiferentedecero.
Porelaxioma
\.;).1=(1/a)aeHy{jI={jEHparatodonúmeroreal {J.Así.si¡.¡noesel
subespaciotrivial.entonces
JI=1:1.Esdecir.V notienesubespaciospropios.
~,---_A_lg~u_n_o_s_s_u_b_e_s~p_a_ci_o_s~p_r_o~p_io_s_d_e_ p~"'____
Sip.denotaelespaciovectorialdepolinomiosdegradomenoroiguala 11(ejemplo4.2.7.
p<igina284).ysiO:Sm</l.entoncesp...esunsubcspaciopropiode p.comoseverificafácil
mente.
1IIICIIIIII,--_U_n_s_u_b_e_s~p_a_c_io---,-p_r_o~p_io_d_e_M--"m~" __
ScaMm"(ejemplo4.2.10.púgina285) elespaciovectorialdematricesde mX11concomponen
tesreales
yseaH=lAe M"",:(1
11
=Of.Porladefinicióndesumademalrices ymultiplicación
por
unescalar.esobvioque (osdosaxiomasdecerradura secumplendemaneraque ¡.¡esun
subcspacio.
EJEMPLO 9
[CALCULO)
UnsubconjuntoquenoesunsubespaciopropiodeM...,.
SeaV=M.(lasmatricesde 11x11)ysea¡.¡=tAEM.:Aesinvenible}.Entonces JInoe:.un
subespacioyaquelamatrizcerode tlX11noestáen H.
Unsubespacio propiodeC(O.1]
PJO.I}:eqo.IJ(veaelejemplo4.2.8delapflgina285)porquetodopolinomio e~conllnuo
yp.esunespaciovectorialparatodoentero 11demaneraquecada P;0.I}c:.un~Ure'pJC\O
deC(O.11.
•
,Obsel"'lequeIesune'ípilCIOvectofl~1 real;esde<:lr,IesunespacIOvectorialeno"r~'"
losnumerasreilles.Esteeselejemplo42.\.página282.conn1
P[O.11denotaelCOnjUntodepolinomiosdegradomenoro Igualan.deflnldcsee

196 C."l'iTULO4 Espaciosvectoriales
e(o.1]esunsubespaciopropio deC[O.1]
SeaCI[O,1]elconjuntodefuncionesconprimerasderivadascontinuasdefinidasen [0,1].
Comotodafuncióndiferenciableescontinua.seliene CI[O.1]eC(O,1].Puestoque lasumade
dosfuncionesdiferenciablesesdiferenciableyunmúltiploconstantedeunafuncióndiferen·
ciableesdiferenciablc,se
vequeCI[O.1]esunsubespaciode qO.1].Setratadeunsubespacio
propioporquenotodafuncióncontinuaesdiferenciable.
EmIIIlIL_O_tr_o_s_"_b_e_s,-p_ac_i_0..cP_'_o,-p_io_d_e_C..cIO-,'_'..c1--
ICALCULOI
TEOREMAE:I
L:;.DEMOSTRACiÓN
EJEMPLO13
Sif€C[O,1].entoncesJI f(xldI'existe.Sea 1-1=11EC[O.1]:JIf(x)eh=OI.SifE1-1YgEH.
" "
entoncesJI[f(x)+g(x)]dx=JIf(x)dx+JIg(x)dx=O+0=OyJIaf(x)dI"=aJI/"(x)dx =O.
o o o o O'
Asif+gya:!,estúnen Jiparatodonúmeroreal er.Estol11uestraqueHesunsubespaciopropio
deCID.11.
Comoloilustranlos[lltimostresejemplos.unespaciovectorialpuedetener unnúmero
grandeyvariadodesubespaciospropios.Antesdeterminarestasección.sedemostraráun
hechointeresantesobresubespacios.
Sea
NIYN
1
dossubcspaciosdeunespaciovectorial V.EntoncesH
I
nH
1
esunsubes
paciode
V.
Observeque NInf/
1
esnovacíoporquecontieneal O.SeaXIH
I
nH
1
yX
2
E
H
InN
l
.
Entoncescomo Ji
l
yH
J
sonsubespacios. XI+x,EH
I
,Y XI+X~EH
r
Estosignifica
que
XI+X
2
E
H
I
nH
r
Demanerasimilar aX
I
EH
I
nJiJ'Porlotanto, secumplenlos
dosaxiomasdecerraduray
/-/1nH,esunsubespacio.
Lainterseccióndedossubespaciosde I)lesunsubespacio
Enp1sea NI=l(x.y.=):2x- J-==OlyH
1
={(.Y.y,=l:.Y+2y+3==Ol.EntoncesH
I
y
N
2
consistenenvectorcsque seencuentransobreplanosquepasanpor elorigenyson.según el
ejemplo5.subespaciosde 1)3.H
I
nf/
2
eslainterseccióndelosdosplanosquesecalculancomo
en
elejemplo9de lasección3.5:
x+2y+3==O
2x-y-==0
reduciendorenglones, setiene
[;
2J
~) [~
2J
~J-1-\ -5-7
.[~
2J
:].[~
°
\
:]
-
5
7
7
-
5
-
5
Dcestemodo.todaslassolucionesalsistemahomogéneoestán dadaspor(-i=.-~=.:;l
Haciendo==l.seobtienenlasecuacionesparamélricasdelarecta Len1)3:-'"=- ~(,y=-~t.
) )
==l.Comoseobservóenelejemplo4.elconjuntodevectoressobre Lconstituyeunsubes
paciodc
1)3.

.1.]SubespaClos 197
Obst!rI'ución.o esnecesariamentecierto qucsiH
1
yH
1
sonsubespaciosde1:f/
1
VH:esun
SUbesP¡lcio
deV(puedeo noserlo).Porejemplo. H
I
={(x.y):.r=2\'}Y{(x.y):y=3x:son
subcspaciosde~.peroH,uH
1
/1O
esunsubcspacio.Paravereslo. observeque(1..::!IEH
Y(1.3)E}1:demancrilquetanto(l.2)COlUO(1.3)estúnenN,u}17Pero(1.2)+(1.3)=
(2.5)ilNIU/-/1porquc(2.5)il/-1
1
Y(2.5)E/-/1'Así.NIu11
1
noescerradobajolasuma ~
porlotantonoesunsllbcspacio.
problema$43
AUTOEVALUACIÓN
Delassiguientesaseveraciones. cVillLiesisonfalsasoverdaderas.
1.ConjunlodevcelO,", delaro,m.[;)esuosubespaciode 1)'.
11.Elconjunlode mlocesdeh<ro,m.(~)esunsubesp.eiode 1)'.
111.Elconjuntodematricesdiagonalesde 3X3 esunsubcspaciodeM
Jr
IV.Elconjuntodematricestriangularessuperiores de3X3 esunsubespaciode IIJ
JJ
•
V.Elconjuntodematricestriangulares de3X3 esunsubespaeio deM)).
VI.
SeaHunsubespaciodeM
n
.
Enlonces(~ ~) debeestarenH.
VII.Se.H~¡(;)2x+3y<~ol yK~n'-2Y+5'~olenlon~HUK
esunsubespacio de[P.
VIII.Si/-/YKsonlossubconjuntosdelproblema VII.entoncesH()Kesunsubespacio
de
1)',
IX.Elconjuntodepolinomiosdegrado2esunsubespacio deP
r
Delosproblemas
Ial26determine sielsubconjuntodado11delespaciovectorial ,.esun
subcspacio
deV
2.V=~:N=l(x.y):x=.1':
4.V=~:IJ=C'lplanoxy
6.V=I)!:H=l(x.y):x'-y·<1:
1.V=Vl:H=l(x..1'):.1'~O:
3.V=~:IJ= l(x.y):y=2y}
S.V=Vl;H=l(x.y):x!+y!::::;I¡
7.V= M,,~,:H=JOEMm.:Desdiagonal~
8.
9.
v=1\1"",:N=1TEMil"':Testriangularsuperior}
V
=Al"",;H=1T:Testriangularinfcriorf
10.V=M_:H=15EM"",:5essimétrica}
11.V=M_:H=lAEM_:ll~= 01
12.V=M.u:N=!AEMn:A=C: :)1

298 CAI'¡'WLO4
~CALCUL0:3
RCALCULO]
UCALCUL01
Espaciosvectoriales
13.v=Ml2;H=jAeM!2:A=(~ I:a)}
14.V=MU;H=jAEM22:A=(~ a~I)}
15.v=M,,;H=jAEM22:A=(~ ~)}
16.JI=P4:N=tpEP
4
:gradop=41
17.V=P';H={pEP';p(O)=Oyp'(O)=O}
18.V=P
4
;
H=tpeP
4:p(O)=Of
19.JI=Po:H={pEPo:p(O)=Of
20.V=P,,:H=1pEP,,:p(O)=ll
21.V=cro.1];H=(rEcro,1];[(0)=I(I)=01
22.V=cro.1];H=lfEcro.1];[(0)=2{
23.V=C'[Ü.1];H=lfEC'[O,1];1'(0)=01
24.V=Cfa.b]:donde(/ybsonnúmerosreales ya<b;H={feC[u,bJ:rf(x)dx=01
25.V=CIa.b]:H=IfeC[a.b]:s:f(x)dx=If
26.V=cra,b];H=!IEcra,blJ:I'(X)dX)
27.S,,)/=M";s",,,H,={AEM";a,,=OhH,=jAEM,,;A=(-::)}.
a)DcmucSlreque H
I
yH
2
sonsubespacios.
h)DescribaelsubconjulltodeN=NInH
2
ymuestrequeesunsubespacio.
28.
SiV=erO.1].seaH
I
elsubespaciodelejemplo 10YN
2
elsubcspaciodelejemplo JI.Des
criba
elconjuntoH
I
nH
2
ydemuestrequeesunsubespacío.
29.SeaAunamatrizde
11X111YseaH =1xEJ)":Ax=01.DemuestrequeHesunsubespacio
de
1)".Hsellamaespacionulodelamatriz A.
30.Enelproblema29seaH=1xEIl":Ax*O}.Demuestreque Hnoesunsubespaciode Ir.
31.Sea H=Hs.y.~.11'):{IX+by+c::+(br=01.donde{l.b.(.Ydsonnúmerosreales.no
todoscero.Dcmueslreque
HesunsubespaeiopropiodeI:t. Nsellamaunhiperplanoen
I:tquepasaporelorigen.
32.Sea
N=1(x
l
•
xl'...,xJ(lISI+(l2S2+...+(lIlX"=O1,donde{lI'{ll'...•(losonnúmeros
realesno
todoscero.DemuestrequeHes unsubespaeiopropio deP.Aligualque enel
problema31. HsellamaunhiperplanoenP'.
33.Sean
NIyH
2
subespaciosdeunespaciovectorial VScaNI+N
2
=1\':\'=\'1+"2con\'IE
H
I
Y\'~EH
l
}.Demuestreque NIyH¡esunsubespaciode 1<
34.Sean \'1y\'2dosvectoresen lf!.Demuestreque H=1":v=(/\'1+h"2:{j,breales}es un
subespaciode 1)2.
*35.En elproblema34demuestreque si\'1y\'2sonnocolinea1cs.entonces H=1)2.
*36.Sean \'1'\'2' \'"vectoresarbitrariosenunespaciovectorial VSeaH=1\'EV:\'=al\'
+°
2
\',++ 0"\'",donde(/1'(/2'....{/"sonescalares}.Demuestreque Hesunsubespacio
de
VNsellamaelsubespaciogenerado porlosvectores"1'\'2"••,\',,'

-1.4Combinaciónlinealy espacIogenerado 299
RESPUESTAS ALAAUTOEVALUACIÓN
1.F
VII.F
• MATLAB4.3
11.V
VIII.V
111.V
IX.F
IV.V v.F VI.\"
1.ti)Genereunamatrizaleatoria Ade4x4y se:!S=triu(A)+triu(A)'.VerifiquequeS es
simétrica.
h)Usandoelincisoa).gcncredosmatricesaleatoriasde4x4realessimétricas.S yT.Y
unescalaraleatorio. a,Verifiqueque aSyS+Ttambiénsonsimétricas.Repitapum
otroscuatrojuegosdeS.
Ty(j.
(.)¿Porqué sepuededecirque sehareunidoevidenciadeque elsubconjuntodematrices
simétricasde4X4es
unsubespaciode ¡\f~?
ti)(uípi~)" papt'l)Pruebequeelsubconjuntodematricessimétricasde 11X11esunsub·
espaciode ¡_.
mCOMBINACiÓN LINEALYESPACIO GENERADO
Sehavistoquetodovcelor l'=(a.b.elen[?lsepuedeescribiren laforma
l'=ai+bj+ck
Encuyocaso scdiceque l'esUllHcombinaciónlil/mldelostresvectores i.jYk.Demaneramús
general.
setienelasiguientedefinición.
DEFINICiÓNa Combinaciónlineal
Sean'.,.
l·~"....l'~.vecloresen unespacioveclQrial V.Entoncescualquier"cclordela
forma
(1)
donde.al"a~.....1I~sonescalaressedenominaunacombinaciónlinealde\ l'';•••••\.'
_L_u_n_a_,o_m_b_in_a_'_io_·"_li_"_o_al_o_"_I1'__

300C\l'illw4Espaciosvectoriales
1IImmIII'---_u_n_a_(_o_m_b_in_a_(_i_ó_n_l_in_e_a_l_e_n_M~,~,_
EnMw(=~ ~ ~)=J(-:
esunacombinaciónlinealde (-:
o
I
4)2(O
5+-2
04),(0
I5) -2
1
3
1
3
-') (3
Wloquemuestraque-
-6 -1
~)
2
9
EmIDII_--=c:o~m~b:i:n:a:(~io~n~e~s~l:in~e:a:l:e:s~e~n:..:cP",--_
Enp.todopolinomiosepuedeescribir comounucombinaciónlinealdelos"monomios"l. x.
.\~..."X·,
(2)
DEFINICiÓNEl
EJEMPLO 4
Conjuntogenerador
Sedicequelos\'celares "1'\'~•...•v.deunespaciovectorial Vgenerana Vsilodo\'cclor
en
Vsepuedeescribircomounacombinaciónlinealdelosmismos. Esdecir.pan!todo
l'EV.existenescalares"
l
'(/:::
••••".talesque
I
V=(1\'+tI\'+"'+a,
, 1I ~ ~ ....
Conjuntodevectoresquegeneran1.,2y1..)
Enlasección3.1sevioquelosvectores i=(1)Yj=(O)generan1>'.Enlasección3.3 se
,ioqu,i=[Hj=[~]Y k=m g'n''''''~' O 1
Ahonlseverábrevemente lageneracióndealgunos otrosespaciosvectoriales.
EmIIIIIL--.:.n--.:.+_':...:v~e~ct~o~r~e~s~q~u:e~g~e~n~e~'a~n:...:a~p~",---_
Delejemplo3sededuce quelosmonomios1,x,x.::,...,x"generana p.'
"'L_~c~u~a~t~ro:...:v~e~ct~0~'~e~s~q~u~e~g~e~n~e_'a~n:...:a~M2"'---_
EJEMPLO 1 NingúnconjuntofinitodepolinomiosgeneranaP
SeaPe!espaciovcctorial depolinomios.Entonces ningunconjuntofi"itodepolinomiosgenera
a
P.Paraveresto. supongaquep.,Pe:',,,p..sonpolinomios.$ca P
A
.
elpolinomiodemayor

(3)
DEFINICiÓNE:I
TEOREMAa
D~MOSTRAcI6N
EJEMPLO 8
-t4Combinaciónlinealyespaciogenerado 301
gradoenesteconjuntoysea N=grado(pJEmonceselpolinomiop(x)=X,V+Inosepuede
escribircomounacombinaciónlinealde
P"P
2
•
••••Pn..Porejemplo siN=3.entoncesx'"#e,
+('r\-+l'2X'+eJx)paracualesquieraescalares en'el·('2yeJ.'
Ahoraseanalizará otraformade encontrarsubespaciosdeunespaciovectorial V
Espaciogeneradoporunconjuntodevectores
Sea"1.\',"..,v",kvectoresdeunespaciovectorial V.Elespaciogenerado por1"1'V2'
...."~Jeselconjuntodecombinacioneslineales VI'V
2
,
...•\'••Esdecir
gcn{vI,v2'..,vk}={v:v=a,v,+a,v,+..+akv.}I
dondea,. a
2
"
•••alsonescalaresarbitrarios.
Siv,."2"..•V,.sonvectoresenunespaciovectorial V,entoncesgen1\'1'V¡•...•\',,}es
unsubespaciode V.
Lapruebaessencillaysedejacomoejercicio (ve'aelproblema16).
Elespaciogeneradopordosvectoresen I.!l
Sea\',=(2.-1.4)yv
2
=(4.1.6).EnlOncesH=gen1\'I,\'2}={\':\.=ap.-1.4)+u)4.1.6)1.
¿Cuáleslaaparienciade H?Si"=(x.y,=)EH.enlancessetielle x=2a,+4a)"y=-a,
+{/2y==4{/,+6°
2
,
Sisepiensaque (x.y.=)estúfijo,entoncesestasecuacionessepueden
ver
comounsistemadetresecuacionescondosincógnitas al'(/1'Estesistemaseresuelveen la
formausual:
-1
4
6
-Y]1I,-R.,-2R,[1
.R,---->R,-4R, O
.\ ,
, O
-1
6
10
x+~::]
z+41'
-Y](x+2y)/6
z+4y
R,---->R,+R,[1OI
-.:R,_-_R-,--'-_1O.,;~, O1 I
OO I
../6-2\3]
X/6+,'J
-5x/3+2rJ+=
DesdeelcapituloIseobservaque elsistematienelInasoluciónúnicamente si-5x/3- 2.1'/3
==O;omultiplicandopor- 3.si
Ss-2)"-3.:=O
Laecuación(4)eslaecuaciónde unplanoenVJquepasapor elorigen.
HI
Esleúltimoejemplosepuedegeneralizarparaprobar elsiguientehechointeresante:
Elespaciogeneradopordosvectoresdiferentesdeceroen VJquenosonparalelosesun
planoquepasa
porelorigen.
Enlosproblemas22y23seencue11lralasugerenciadeunademostración.

302e\I-¡TULO.fEspaciosvedoriales
,'
Figura4.1
IJv!leoO\Jl!IWdeId
regladelpalcllelogramo.
01 el
Sepuededarunainterpretacióngeométrica deesteresultado.Vealosvectoresdelafigura
4.1.Seconoce(delasección3.1) lainterpretacióngeométricadelosvectores 2u.-uyu+'.
porejemplo.Haciendouso deestos.seobservaquecualquier otrovectoren elplanodeuy\'se
puedeobtenercomollnacombinaciónlinealde 11y1',Lafigura4.2muestracualrosituaciones
diferentesenlas
queuntercervector wenelplanodeu y\'sepuedeescribircorno au+{3\'para
valores
adecuadosdeay(l
Oh.f('r\'(ldó".Enlasdefiniciones2 y3seu¡lizarondostérminosdiferentes:"gcncm" y"csp:lcio
generado".Sehacehincapiéenque unconjuntodevectores v"\'1'••••".ge/leraaVsitodo
vectoren
Vsepuedeescribircomounacombinaciónlinealde "lO"!O...,\'.:pero
EII!.\l'afiogl'lIl'rtldoporlos/1\'cctoresv"v!'....\'1eselconjuntodecombinacioneslinealesde
estosvectores.
Estosdosconceptossondiferentes
-auncuandolosterminas separezcan-o
Secierr.lestaseccióncon lamenciónde unresultadoútil. Sudemostr<lciónnoesdificil)se
dejacomoejercicio(vea elproblema2~).
"
,
,
",
,
."
.>1
"
p,
0<./3<10<0'<1
O
hIo)
, p,
,
p>1
"'
"
FigUT:I4.2
Encada<.asow'"au+
f1vparavaklresaderuadm
deffY¡J.
e) d)

TEOREMAm
problemas44
·t4CombinaciónlinealyespacIOgenerado 303
Scan\'1'"~•...,".'".+1'11+Ivectoresquccstanenunespaciovectorial V.Si"1'
",".•VngeneraaV.enlOnccs\'1'v~,...,".,\',,+Italllbiengeneraa V.Esdecir.siscagre
ganunoomúsvcctoresa
unconjuntogenerador seobtieneolroconjuntogenerador.
AUTOEVALUACIÓN
l.¿Cualesdclossiguientesparesdevectoresnopuedengenerar alE-i
11.¡,CuÍllesdelossiguientesconjunlosdepolinomiosgenerana PI?
o)I,x' h)3,2x._x
2
e)l+x,2+2x,x
2
ti)I.I+x,l+x
2
Indiquesilossixuienresenunciadosson falsosol'l!rdoderos
111.(~J es~enelespaeiogeoorndoPO' {(:H~J}
IV.[~] es~eoelespocioge"erndo PO'j[~H-~])
VI.{(~ ~)(~ ~H~ ~)(~ ~J}gcoecaaAl"
VII.geoI[-mm -~]Iesuosubespacio de~.
VIII.geojr-ilm[-~]Iesuosubespacio de~.
IX.Si{GW)}geoerna ~cotooces{GW)t~)} tnmbiCogcocc&
Delosproblemas1al16determinesielconjuntodadode\'ccloresgenera ele,pJe\l'\ectorial
dado.
(2
1
).(43)
1,En~:

.JO.je\l'lTll.O-1 EspaciosvectOliales
3.En~(~WH=~)
4.En~ (:).(~H:)
5.
En~ (~]f~W]
6.En~:(HH](=;]
7.
En~Dnm
8.
En~m(;]{Jm
9.En~:(1.-1.2).(1.1.2).(O.O.()
JI.EnP2:1-x.3-X"
13E',.n ~::r-+\;.1"--l:x+6
10.En~:(1.-1.2),(-l.1.2).(O.O.1)
12.EnP;:1-x.3-x",x
14.EnMn:eIW0Je-IWO)
-O0110031
15.EnAl,,:e0).(12W-1)'(-25)-I0003060
EnMll:(~
O0WI0).(0O1)(0
O
~W
O
~J.(~
O
~)
16.
OOOOOOOO IOI O
17.Demuestreque dospolinomiosdegradomenoroigualados.nopuedengenerar P:r
*18.SiPI.P2.....p.generaP•.dcmuestrequem~lI+ l.
19.Demuestreque siuy"estiloengen 1\'1',.1'....'·ll.entoncesu +vyauestanengen
1VI'";,••.•\'ll.[Sugerellcia:Utilizandotadefinicióndeespaciogeneradoescribau +l'y
aucomo combinacioneslineales de"1'l·:_...."1,.1
20.Demuestreque elconjuntoinfinito ¡1.x.x",x),...¡generaP.elespaciovectorial depoli
nomios.
21.Sea Hunsubcspaciode l/quecontienea "1""l'...."."Demuestrequegen¡"j',.!,...,v.}
~H.Esdecir,gen {VI'v:',., ,".1eselsubcspaciomáspt'qlle'lodcVquecOnlicnca "1'
,.!,....".'
22,Sean"1=(Xl·.I'I·=1)}'"l=(X"Y"=!)enDJ,Demuestrequesi":=('v,,entoncesgen lv"",1
estinarcctu quepasaporclorigen.
"''''23,Enelproblema22supongaque"I)'",110sonparalelos.Dcmuestre queH=gen¡"I'v!les
unplanoquepólsaporclorigen.¿Cualcs laecuacióndelplano? [Sugeref/ó(/:Si(x,J.:)E
H.escribav=a,"1+(/:,.!yencuentreunólcondiciónrespectoa x,yy:talqueclsistema
de3X2 resultanletengaunasolución.)
24,Pruebeelteorema2.(Sugerencia:Si,.EV.escriba"comounacombinaciónlinealdcv,,
"!.,...v.'v••, conelcoeficiente de"••1igualacero.]
25.DemuestrequeM"sepuedcgenerarconmatricesinvcrtibles.
26.Seanlul.u",..ullly¡"l'",_....''"ldosI/-vectorcsen unespadovcctorialV.Suponga
que

~.-ICombinaciónlinea!yespaciogenerado ~
Demuestreque si
a
ll
{JI! a,.
tI!la
n
(/1•
•0
".,
"
.,
"-
RESPUESTAS ALAAUTOEVALUACiÓN
t/l.h.el
VII.F
11.h.ti
VIII.V
111.V
IX.V
IV.F V.V VI.V
•MATLAB4.4
~ l.Visualizacióndelascombinacioneslineales
a)Vuelvaatrabajarconlosproblemas 1y3deMATLAB3.1.
h)(UJeel(/l'c!¡il'Ocomho.m) ElarchivocolI/bo.miluslralacombinaciónlineal (f.u!+h·
tl2+(".u3.Acontinuaciónsepresentaelcódigode lafuncióncombo.m:
functioncombo(x,y,z,a,b,c)
%COMBOfuncionquegraficalacombinacionlineal
% w=ax+by+cz
,
% X:vectorde2xl
% y:vectorde2xl
% z:vectorde2xl
% a:escalar
% b:escalar
% c:escalar
origen=[O;OJ;
Ox:[origen,x];
Oy=
[origen,y];
OZ=[origen,z];
xy=[a*x,a*x+b*y];
yxs[b*y,a*x+b*y];
OxMy=(origen,a*x+b*y];
T:a*x+b*y;
OTMz=[origen,T+c*z];
ele;
disp(•COMBO')
figuren)
eH

306 Cwrn1.0~ EspaCIosvectoriales
h=plot.(OX(l,:),Ox(2,;),'b--*',ayl!.:J,Oy(2.:),'b-
...'.02(1,:).02(2.:)••b-_....);
set(h,'LineWidth',2)
text(x(1)/2,x(2)/2,✈Ex'J;
text(y(l)/2,y(2)/2,✈Ey');
text(z(l)/2,z{2)!2,✈Ez');
axissquare
holdon
disp('Vectoresoriginales')
disp('Oprimaalgunateclaparacontinuar')
disp('')
pause
plot(Ox(l.:)*a,Ox(2,:)*a,'r:',Oy<l,:)*b.Oy(2.:)*b,'r:',...
xy(l,:),xy(2,:),'r:',yx(l,:I,yxI2,:),'r:');
h=plot(OxMy(l,:},OxMy(2,:).'g-*');
set(h,'LineWidth',2)
瑥硴⡸⠱⤯㈪愬砨㈱Ⅎ⩡Ⱗࡦ慸✩ ;
text(y(11!2*b,y(11/2*b,✈Eby');
text(OxMy(1,2)/2,OxMy(2,21/2,✈ET')
Tz=!T,T+c*z);
zT=(z*c.T+c·z];
plot(Tz(l,,Tz(2,:),':k',c·Qz(l,l,c*Oz(2,;),';
k',zT{l,;).zT{2,:),':k')
h",plot(OTMz(l,:),OTMz(2,;).'-m*');
set(h,'LineWidth',2)
瑥硴⡺⠱⤯㈪挬稨㈩⼲⩣Ⱗࡦ cz')
瑥硴⡏呍稨氬㈩⼲ⱏ呍娨㈬㈩⼲Ⱗࡦ w')
title('T",ax+by')
xlabel('w'"T+cz '"ax+by+c z')
disp('Combinacionlinealdevectoresoriginales')
Condoecomboseobtiencunadcscripción.D¡¡dostresvectorcsu
l
.
Il~.Il)Ytrescsca1:lres
(/.hYf.combo(ul,u2,u3,1l,b,c)ilustra lagcomctríadelacombinaciónlinealanterior. Ha~
pausasduranteeldesplieguedepantallas:paracontinuar.oprimacU:llquiertcclll.
i.
ul=[1:2].u2=[-2:31.u3=[5:4].(1=-2.(/=2.b=2.e=-1
ii.uJ=[1:1].u2=[-1:11.u3=[3:0).(/=2.b=-1.e=.5
iii.Vectoresdesuelección
2.a){Lúpi=.r{](lpel) Decirque'1'estaengenlu, "1significaquee;(istenescalares elyc:
talesque",=clu+c:".Paralosconjuntos devectoresdados.escribaw=clu+f:'_
interpreleesto comounsistemadeecuacionesparalasincógnitasc
l
}'cl"verifiqueq~
lamatrizaumenl:lda paraelsistemasealu "1'1').yresuelvaelsistema.
;.
u=G) v{:) w=(:)
ii.u=[~)v=r-;) w=[-~)
iii.u=(_:) ,=(n w=[¡)

4,4Combinaciónlinealy espaciogenerado 307
~ h)(Utiliccelarchivo/¡úcolllb.m) Verifiquelosresultados(yobservelageometria)intro-
duciendoprimerolosvectores
u,vywydespuésdandolincomb(u,,',w)paracadauno
delosconjuntosdevectores
enelincisoa).
3,a)(Lúpi::.l'papel) Deeirque westúengen 1\'1'v
r
\'Jlsignificaqueexistenescalares ('1'c,
y(')talesquew =('1\'1+('!"!+'",\'.1'Paracadaconjuntodevectoresdado.escribaw =
CI"I+{'!"!+'",\'.1'interprételocomo unsistemadeecuacionesparalasincógnitasc
l
'
c!yel"verifiqueque lamatrizaumenlHdapara elsistemasea [VI\',"JI\']Yresueh'ael
sistema.Observequehabrú unnúmeroinfinitodesoluciones.
L
"=(:1 ,,=(-:1"=(~l w=(~l
ii."~[;) v,=[-~),=(5) w=[=~),4
h)(Lúpi::)'papel)Esteincisoy elincisoc)exploranel"significado"detener unnúmero
infinitodesoluciones.Panlcadaconjuntodevectores
enelincisoal:
i.Hagac
J
=OYdespeje('2y('l'Escribawcomocombinaciónlinealde \'1Y""
ii,Hagac,=OYdespeje('1ycJ"Escribawcomocombinaciónlinealde \'1y"J'
iii,Haga el=OYdespejec!y(',.Escriba\'comocombinaciónlinenlde", Y",.
d(Utiliceelarchivocombillc2.m)Acontinuaciónsepresenta elcódigode lafunción
combil/e2.111:
functioncombine2(vl,v2,v3,w);
%COMBINE2funcionquegraficalascombinacioneslinealesde
paresde
%
%
%
%
%
%
%
vectores(vl,v2),(v2,v3),(v1,v3)paraproduciral
vectorW
losparesdevectoresnodebeserparalelos
vI:vector2xl
v2:vector2xl
v3:vector2xl
w,vector2xl
origen=[O;OJ;
OVl=[origen,vl);
Ov2=[origen,v2]
Ov3=[origen,v3]
Ow=[origen,w];
wv1v2=[v1,v2J\w;
wv2v3=[v2,v3]\w¡
wVlv3=[vl,v3]\w;
OvlMv2w=[origen,wv1v2(1)*vl,wvlv2(2)*v2,[vI,v2]*wvlv2];
Ov2Mv3w=
[origen,wv2v3(1)*v2,wv2v3(2)*v3,[v2,v3)*wv2v3];
OvlMv3w=(origen,wv1v3(1)*vl,wvlv3(2)"v3,[v1,v3]*wv1v3];

308 CII'iTll.04Espaciosvectoriales
ele;
closeal1
figure(1)
subplot(221)
plot_vectores~originales(Ovl,Ov2,Ov3.0w) ;
title('VectoresOriginales')
axissquare
subplot(222l
plot_vectores_origínales(Ovl,Ov2,Ov3,Ow);
haldon
plot_vectores_comb(OvlMv2w)
texto=('w=(',convierte(wvlv2(1»),')v_l+(',convierte(wvlv2
(2)l.')v_2'];
title(textol
axissquare
subplot(223)
plot_vectores_origínales(Ovl.av2.av3.0w);
haldon
plot_vectores_comb{Ov2Mv3wl
texto=['w=(',convierte{wv2v3(1)),')v_2+(',convierce(wv2v3
(2)).'lv_3']¡
cicle(texto)
axissquare
$ubplot(224)
pIot_vectoresor1gínales(Ovl,0v2,Ov3.0w);
halóon
plot_vectores_comb(OvlMv3w)
texto=['w=(',convierte(wvlv3(1)),')V_l+(',convierte(wvlv3
(2)),')v_3');
title(texto)
axissquare
%------------------------------
functionplot_vectores_originales(vl,v2,v3,w}
\PLOT~VECTORES_ORIGINALES funciónauxiliarquegrafica
vectores
•
% vl,v2,v3,2:matricesde2x2,primeracolumnacoordenadas
delpuntodepartida
, segundacolumnacoordenadasdepuntofinal
h=plot(vl(l.:),vl(2,:),'b--'"",v2(1,:),v2(2,:),'b--'"",..
v3(1,:),v3(2,:),,b--*',w(1,:)•w(2,:)..b--*,);
set(h,'LineWidth',2)
瑥硴⡶氨ㄬ㈩⼲ⱶ氨㈬㈩⼲Ⱗࡦ v_l');
瑥硴⡶㈨ㄬ㈩⼲ⱶ㈨㈬㈩⼲Ⱗࡦ v_2');
text{v3(1,2)/2,v3(2,2)/2,,ࡦv_3');
瑥硴筷笱ⰲ⤯㈮眨㈬㈩⼲Ⱗࡦ w'l;
,------------------------------
functionplotvectores_comblAA)

num:escalar
str:cadenadecaractersconlarepresentacion
racionaldenum
-404Combinaciónlinealyespaciogenerado 309
'"PLOTVECTORES COMBfuncionquegraficauncuadradoapartir
delas
, columnasdelamatrizAA
•
, AA:matrizde2x4,dondelascolumnassonlas
'" coordenadasdelosvertices
plot(AA(1,1:2),AA(2,1:2),' r:',AA(1,[1,3)),AA(2,[1,3)),'r:•,'.,
AA(l,[2,4]),AA(2,(2,4]),'r:',AA(l,[3,41),AA(2,[),4)),'r:');
functionstr:convierte(num)
%CONVIERTEdadounnumeroregresalarepresentacionracional
comouna
'"cadenadecaracteres
•
•
•
[templN,temp1Dl~rat(num) ;
iftemplD-~l
str~[num2str(templN), '/',num2str(templDI);
else
str~num2str(templN);
end
Dandohclpcombinc2seobtieneunadescripción.Paracilda conjuntodevectoresen el
incisoll),introduzcalosvectores \'1'",'\',YwYdespuésdéeombinc2("I"'¡'\·."w).Conestose
demuestra
lageometriadelasobSerV¡ICionesdelinciso b),
Nolft.
Esimportanteobserv¡¡rquelosvectores")' \'2'I'
J
tomadosporparesnosonpara
lelos.
4.a)(LiÍpi:: y1'111'1'/)Paraelconjuntodevectores¡"I' l'","~lYelvector\'enildelinciso( lo
escribalaecuaciónexpreSlll1do W=e.".+e~":+C
J
'\.comounsistemadecruacione-
con
c
l
'
c,yc.
Icomoincógniws.Escribalamatrizaument¡HJ" paraestesistemad.: ecUJ.·
clonesyverifiquequesea ["1",,)w].Expliqueporque\'esunacombin:lciónlin.:al J.:
"1',.~Y'\siysólosielsistematienesolución,
h)Paracada conjuntodeveClOl'esjl'l'....I'lfYwenelincisoe).encuentreIdrnJlnz
aumentad"[1'1'l'"...."¡Iwlyresuelvaelsistemacorrespondienteusando e-Icom.mJL'"
«er.Formee =[;:Junasoluciónalsistema deecuacionessiexisI<IJ,,'Iu,.oo
e)Paracadaeusotrabajadoenelincisoh).escribaunaconclusiónJKlenJL'" ~l..C'-(1
noesuna combinaciónlinealdeb·
l
•••,,"jlyporque.Deser a~1.\enñque-~U::-..=
('1\'1+.+('¡""donde('1".,.elseanlas componentesdel\.:Ch,.1r'......luclOn('.:n el
incisob).

310e,I'¡TULO4Espadosvectoriales
;",cnclmismoeonjl"'toq"ccn;;;);w=[:¡
,'Len<1mismoconjuntoquccn;);w=r:)
5.(1)Para1\'1"...\'11dados.sc:!A=[\'1'\'1"..•\'1]Ycncuc11lrcrrcf(A).Argumentepor
quéhabrúunasolución
,11sistcma[A[w]paracualquierwenelV"indicado. Exp1iq~
porqué sepuedeconcluirque elconjuntogenera titodoese Pi.
L~¡r~]tIH-m
iL~{[-:}UJrnrm
h)Para1 \'1'•••.\',}dados.sea A=1"1',':....."IJYencuentrerrcf(A).Argumenteporque
habráalguna
wenell?"indic,ldoparaelquenohayunasoluciónalsistema [AwJ
ExperimenteusandoMATLAIlpara encontrardichaw.Expliqueporquepuedecon
cluirque
elconjuntonogcnerdlodo.
I[
10][9][-4]/
i.!)'0.-9.8
=: -~-:

4."CombinaciónImealyespaCIOgenerado 311
6.Considerelasmatricesenelproblem:12 deMATLAB1.8.Pruebe lainvertibilidadde cada
matriz.Paracadamatriz.decida silascolumnasdeAgcnerariano notodo(eltamaño
delamatrizes"X11).Escribaunaconclusiónrespectoa 1:1relaciónentrelaim'ertibilidad
deunamatrizdc11XII)'silascolumnasdclamatrizgener:lll todo
7.Recucrdedeproblemasanlerioresquc w=el"1+...+(',",:esdecir.westaengen j"I'.",:
siemprequee=[';1]esunasolución alsistemadeecuacioneseuyamalriz¡llllllentadaes
[\'1"...\'¡-I\'J.e¡ .
(1)Paraelsiguienteconjunlodevectores.muestre quecualquierwenltest:mien eles
pacio
generadoporelconjuntodevectorcsperohabr:i unnúmeroinfinitode maneras
deescribirwcomounacombinaciónlinealdel conjuntodevcctores;esdccir. habráun
númeroinfinito
demaner.lSdeelegirloscoeficientes ('•.....(J..
h)Paracada\'dada:
i,Resuelvaelsislemapar¡¡ ellcontrarloscociicientesnecesarios paraescribir\
comollnacombinaciónlinealdel conjuntodevectoresyescriba lasolucionesen
términosdevariables
arbilrariasnaturales(esdecir.lasvariables correspondientes
alascolumnasenlarrcfsinpivotes).
ii.Establezcavariables arbitrariasigualesaceroyescriba wcomounacombinación
linealdelosvectoresenel conjunto.
iii.Verifiquequewesiguala lacombinaciónlinealqucencontró:
[
23] [-13]-15 18
w= ~~ w=~;
l')Apartirdelosresulladosdelinciso h).¿quéveCloresdel conjuntooriglllalnofurron
necesariosalescribir \,.comocombinaciónlinealdel conjuntode\ec(Qre~'? ~.Porqué?
¿Cómopuedenreconocerseenlaforma escalonadaporrenglonesreducido::!delama
triz
cuyascolumnassonelconjuntodeveclorCS?
ti)Considereelsubconjuntodelosvectoresoriginales oblenidoeliminandolos\ectores
nonecesarios.Demuestre quecad:1vectornoneces.uioestaenelespacio generado

312 C\l'iTUI.O4Espaciosvectoriales
porestesubconjuntodevcctores.Argumente
larazónpor laquecualquiervector \
enI)lestaráen elespaciogeneradoporestesubconjuntodevectores yporl:lquelos
coeficientesde
lacombinaciónlinealson(micos.
(')Repilalosincisos ti)ati)pilf:lelsiguienteconjuntodevectores ylosvectoreswd:ldos
en~.
~.AplicaciónUnacomp.uliadeconcretolllmacenalastresmezclasbúsic:ls.q lIesepresentan
acontinuación.Lascantidades
semidenengramos ycada"unidad"demezclapesa 60
gramos.Puedeformularmezclas especi<.¡lesrevolviendocombinacionesdelastresmezclas
básicas:entonceslasmezclasespecialesposiblespertenecenalespaciogeneradoporlos
tresvecloresquerepresentanlastresmezclasbásicas.
A B e
Cemento 20 18 12
Agua 10 10 10
Aren¡¡ 20 25 15
Grava 10 5 15
Tobas O 2 8
(1)¿Sepuedehacerunamezclaqueconsiste en1000gdecemell\o. 200gdeagu.t.1000g
dearena500gdegr.¡vay300gdelobas'!¿Porque
síoporqueno?Deserposible.
¡,cuúnt<lSunidadesdecad ..unadelasmezclas A.BYesenecesitanparaformular la
mezclaespecial?
h)Supongaquedeseaprep:lrar5000gdeconcretoconunar:lzóndcagua ..cemento
de2a
3.conI250gdecemento. SidebeincluirI500gdearena y1000gde gr<l\'aen
lasespecificaciones.encuentrelacantidaddetobasparahacer5000gdeconcreto.
loSe
puedeformularéstacomo Ullamezclaespecial?Deserasí.¿cuántasunidadesdecada
mezclasenecesilanparaformularlamezclaespecial?
¡Yo/ti.Esteproblema fUetornadode"TeachingElcrnelHaryLinearAlgebr:!with MATLA8
toEnginecringStudents"deDcbor:!h P.Lcvinson.en Procf'cdillgsoIlileFifrh/lIIt'l'IItllio"a/
COII!er('IIl'(,
0/1Tedll1ologyinCollegim('¡\!m¡'elllalil's. 1992.
9.Sinosfijamosúnicamenteenloscoeficientes. esposiblerepresentarpolinomioscomo \·oc·
10'''-Se,,,(x)~5.,"+4x'+Jx+l.,,/x)sepuede"p"senmeomoel"celO'.'~il
Enestarepresentación.laprimeracomponente eselterminoconstante.lasegundacompo.
nente
eselcoeficientedeltérminox. latercer:!elcoeficientede x~ylaCll<lrtaeldexJ.
u¡(u,,,i'y1",,,eI)Expliq,,,PO'qué"=[ -~]"prese,,!aelpohuomio"x)=.,x+Jx-;

~ACombinaciónlinealyespaciOgenerado 313
b)Encuentreelpolinomiotix)=2p(x)-3q(x). Encuentreel\'ectorw=b'-3uyexpli
queporqué
wrepresenta<lr(x).
Paralosincisos elae).primerorepresenlecadapolinomio porun\ectorcomose
describió.Despucscontestelaspreguntassobre
elespaciogeneradocomo sisetratara
deun
conjuntodevectores.
e)En
Pe'¿eslúp(x)=2x-Iel1elespaciogeneradopor 1-5.\..1-2.-6.\"- 9x+8.
-x'-h+91'!Siasíes.escribap(x)comollnacombinacióndelospolinomiosen el
conjunto.¡,GcnefH elconjuntodepolinomiosa todoP)¿Porqué?
d)EnP,.¿esl:"!p{X)=x-'+3x'+29x- 17enelespaciogeneradopor l-2x'--,\": .....8x
-8.h'+9.\.1+Jx+5.-7x
3+6.\.1-x-J?Siasíes..escribap(x)comounacom
binación
line,,1delospolinomios dc1conjunlo.¿Genera elconjunlodepolinomio:>a
todo
p]?¿Porque?
e)¿GcneraaP
J
elsiguienteconjuntodepolinomios?¿Porqué?
:.\-J-X+2.x
3
+x'+Jx+1.2x
3
+x'+2x+1._.\.1+1:
10.
(
a
Supongaque A=b:
c,
",
e,) (a,
yB=•
J; b
l
a, a.
b, b
1
Seanv=
c,
y\'=
C,
d, ti:
e, e
.Observeque ,.representaa lamatrizAenelsenlidodeque
J, f,
est:"!construidoapartirde A.comenzandoconelelemento (1.1)deA.enumerandolos
elementosdelaprimeracolumnaenorden.
continuandolalisiaconloselementosde la
segundacolumna yterminandoconlosde latercera.Observetambiénque wrepresentaa
Bdel:lmismamanera.
(1)(Lápi=rpapel)Escribalamatrize=A-28.Escribaelvcctorquerepresent'la een
laformadescrita yvcrifiquequeestevectorseaigual u,'-2\'.
Paralosincisos b)yd).primerorepresentecadamatrizporunvectorcomo elque
sedescribió.Despuésconleslelaspreguntasrelativasalespaciogeneradocomo
sise
refirieranavectores.
b)¿Está(2;_1~)enelespaciogeneradopor elsiguienteconjuntodematrices?Deser
asi.escriba
lacomounacombinaciónlineal:
{(-'-7).(79).(-76)1
8-8J5-I-J
¿Generaesteconjunto:1todo M
ll
?¿Porque?
¿Estú
(47-10)enelesp:lciogeneradopor elsiguienteconjuntodematrices?
-2-6 1
Deserasi.escrib ••];.comounacombinaciónlineal.
{(:~ =:).C~ ~~).(~ -~ ~).(~
¿Generaesteconjuntoa todoM
1
}
¿Porqué?
-10).(-:
-1 ,

314 C,\piTULO4 Espaciosvectoriales
Ir¡¿Generaelsiguienteconjuntodematriceslodo Ivl!,?¡,Porqué?
m INDEPENDENCIA LINEAL
Enelestudiodelúlgebralineal. lInadelasideascentraleses ladedependenciaoindependencia
linealdelos
veclOres.Enestasección sedefineelsignificadodeindependencialineal ysemues
trasurelaciónconlateoríadesistemashomogéneosdeecuacionesydeterminantes.
¿Existellnarelaciónespecialenlrelosveclores VI=(~) Y"2=(~}Porsupuesto.se
puede<lpreciar quev,=2"1:osiseescribeestaecuaciónde otramanera.
(1)
Enairaspalabras.elvectorcero sepuedeescribircornouna combinaciónnotrivialde \'1yv,
(esdecir,dondeloseoeficictllesen lacombinaciónlinealnosonamboscero).¿Quétienende
"p''','¡lo,mIo'"v,~[n ,,~[:) y"~U} La"'pU"leo"lap"gl"'I""
músdifícilasimplevista.Sin embargo.essencilloverificar que\'J
estose obtiene
3\'1+2\',:rescribiendo
(2)
DEFINICiÓNEl
Sehaescritoelvectorcero comounacombinaciónlinealde "l'v::y\'3"Parecequelosdosvec
toresen
laecuación(1)Ylostresvectoresen laecuación(2)tienenunarelaciónmúscercana
que
unpararbitrariode2-veclOresounaterna arbitrariade3-vectores.En cadacaso.sedice
quelosvectores SOI1lilleallllellfedepelldiell/('s. Entérminosgenerales.setienelaimportante
definiciónqueacontinuaciónsepresenta.
Dependenciaeindependencialineal
Sean\'['
\'2'...•v".1/vectoresenunespaciovectorial V.Entoncessedice quelosvectores
sonlinealmentedependientes
siexistcnllescalaresel'el" .C
n
/10lOdoscerotalesque
(3)
Silosvectoresnosonlinealmentedependientes, sedicequesonlinealmenteindepen
dientes.
Paradecirlode
otrarorma.VI'\'l'....\'"sonlinealmenteindependientes silaecuación('1\']
+e
2
\'!+...+c.,\'"=Osecumpleúnicamenteparac,=c!=...=c"=Q.Sonlinealmente
dependientes
sielvectorceroenVsepuedeexpresar comolInacombinaciónlinealde VI'\'l"
..\'"concoetkicntesnotodosigualesacero.
Nortt.Sedicequelos\'('{'tores\'1'"2"...1'"SOl/linealmenteindependientes(odependientes).o
queelCOI~illlllO devectores1\'1'\'2'..••\',,1eslinealmenteindependiente(odependiente).Esto
es.seusanlas dosrrasesindistintamente.

TEOREMAa
L.DEMOSTRAaóN
EJEMPLO1
EJEMPLO2
EJEMPLO3
•Sol"dólI
4.5Independencialineal 315
i..Cómosedeterminasiunconjuntodevectoreseslinealmentedependienteoindependiente? El
casode2-vcctorcsessencillo.
Dependenciaeindependencialineal
Dosvectoresen unespaciovectorialsonlinealmentedependientes siysólosiunode
ellos
esUI111lúl1iploescalardelotro.
Primerosupongaque
\'~=C\',paraalgunescalarntO.Entonces("v,- ,,~=OY",Y";son
linealmentedependientes.Porotroparte.supongaque
\'1y \.~sonlinealmentedepen
dientes.Entoncesexistenconstantes
c
l
yclalmenosunodistintodecero.talesque CI"I
+c,",=O.Sic
l
ole-O.entoncesdividiendoentre L
Iseobtiene"1+(l:)()\'z=O.osea.
"=[_5.)'", c
l
-
Esdecir,\'1esunmúl1ip]oescalarde \';.Siel=O.entoncesc;ole-Oy.porlotanto."1=O
=OVa'
Dosvectores linealmentedependientesen1:,4
Los"e<IO"'S",=[-;]y",=[~]sonIincalmcntedepcndientes)'aqucv,=-J",_
Dosvectores linealmentedependientesen1:..1
Losvcctores[;Jy[:Jsonlinealmenteindepcndiclllcs: sinolorueran.setendría[ :J=
[
1
J[eJ4 -J -J
e~=~:.Entonces2 =c.5=2cy-3=.k,locualesevidentementeimposibleparacual-
quiernúmero
c.
Determinacióndeladependenciaoindependencialinealdetresvectoresen I1
DClen"i,,,silos,"ctoees[ -i].[-~Jy(;]sonlinc<dmentedep,ndi,,""oindep,ndi,ntes
Supongaque c,[-~J+c,[ -~J+c,[;J=O=[~J-Enloncesmultiplicando ysumandoseob·
(
c,+2c,
tiene-lc
l
-
2c~+
Je
l
+
incógnitils("l.czyl',;
c,]=(~].Estolleva alsistemahomogeneodetresecuacionc:ocontres
7c
J
O

316 CWiTULO4 Espaciosvectoriales
el+le"
-le
l
+2c~
3e,
~O
(4)
Dcestemodo.losvectoresserúnlinealmentedependientes
siysólosielsistema(4)tienesolu
ciones
notriviales.Seescribeelsistema(4) usandollnamatrizaumentadaydespuéssereduce
porrenglones.Laforma escalonadareducidaporrenglonesde
[
~2 ~2
3O
O
7
o
o
o
O
(5)
EJEMPLO 4
••Solución
Esteúltimosistema deecuacionesselee('1=O.el=O.('3=O.Porlotanto.(4)notienesolucio·
!lesnotrivialesylosvectoresdados sonlinealmenteindependientes.
Determinacióndeladependencialinealdetresvectoresen 1)1
Delen"inesilos"cclores [-~). [~Jy[~~)sonlinealmentedependientesoindependientes
C.,ecuacióne,[-~J+e,[~J+e, [~iJ~[~J conducc,sisislemahomogéneo
el+3c
2
+[le]=0
-3c
1
-
6c)=0
4c
1
+12e
3
=O
Escribiendoelsistema(5)en laformadematriz aumentadayreduciendoporrenglones.se
obtiene
H
3II
~]l~
3II
~]
O-6 927
412 412
l~
3II
~J l~
O2
IO]
13 13IO
412 OOIO
NospodemosdeteneraquíyaquelateoriadelasecciónlAmuestra queelsistema(5)tiene un
nllmeroinfinito desoluciones.Porejemplo. laúltimamatriz aumentadaselee
C
I+2c
J
=O
c:+3c
J
=O
Sisehace("3=l.setiene('1=-3Yel=-2,demaneraque,comopuedeverificarse.
-2[-~)-3[~J+[~iJ~[~Jylos"Cloceswnline"hnentedependientes.

4.5Independencialineal 317
INTERPRETACiÓN GEOMÉTRICA DE LADEPENDENCIA LINEAL ENVJ
Enelejemplo3 seencontrarontresvectoresen I)lqueeranlinealmenteindependientes. En
elejemplo4seencontrarontresvectoresqueeranlinealmetlledependientes.¿Quésignificado
geométricotieneesto'!
Supongaque
u,\'ywsontresvectoreslinealmentedependientesen r¿.\Sepuedentratar
losvectorescomo
situvieranunpuntoterminalen elorigen.Entoncesexistenconstantes ('l'c.:
yc
rnotodascero.talesque
(6)
Supongaque cJ,.tO(unresultadosimilar secumplesic
l
,.tOoc
2
,.tO).Entoncessepuedendividir
ambosladosde
(6)entre(."3yreacomodarlostérminosparaobtener
el C,
w=--u-~v=Au+Bv
c
J
c
J
dondcA=-cJc)y8=-e/cl"Ahorasedemostraráque ti.vywsoncoplanares.Secalcula
w'(tiX\,)=(AuXB\')=.(uX \,)=A[u'(uX\,)]+8[\"(uXv)]
=kO+B·O=O
porqueuy\'sonambosortogonalesa tiXv(vealap:igina255).Sean=uX\',Sin=O.en
toncespor
elteorema3.4.2partel'U)tiyVsonparalelos(ycolineales).Así u.\'ywestánen
cualquierplanoquecontiene tantoaticornoa\'yporconsiguientesoncoplanares. Sin,.tO.
entoncesuy\'estúnen elplanoqueconsisteenaquellosvectoresquepasanpor elorigenque
sonortogonalesa
n.Perowestúen elmismoplanoporque w.n=w.(uX\,)=O.Estomuestra
que
u,\'ywsoncoplanares.
Enelproblema66sepidealleclorquedemueslreque siu.vywsoncoplan'lres.sonlineal
mentedependientes.
Seconcluyeque
Tresvectoresen
I)lsonlinealmentedcpendientes siysólosisoncoplanares.
Lafigura4.3ilustraestehechoutilizandolosvectoresenlosejemplos3y 4.
(O.1.7)
(11.-6.12)
Figura4.3
DIh:onjuntosdetres
s~;-:Jres.
(l.-2.3)
~'o----!"
O
(2.
-2.O)
,
(1.-3.0)
.,
o
a)
Estostres vcctores
sonindependientes
ynocoplanarcs
b)
Estostres vcctores
sonindependientes
ycoplanarcs

318 Espaciosvectoriales
LaIcoriadesistemas homogcncosnoshablaacerca deladependenciaoindependencialineal
delosvectores.
TeOREMAE3 Unconjuntode 11vectoresen V'"essiemprelinealmentedependiente si11>/1/.
Sean\'1'\'1'.••.".011vectoresen
todoscerotalesque
e¡mentemosencontrarconstantesel' C
r
....c.no
(7)
&av,=[:~:]v,=[:~]....v.=[JEnlonresla~uac;ónm~conv;crtcen
alle[+OllC:+o••+OI.C.=0
a~lcl+a1:!c~+...+a!.c.=O
ac+ac+"'+ac=O
.11 .~! _.
(8)
EJEMPLO5
L.COROLARIO
Peroelsistema(S)es elsistema(1.4.1) delapágina38 y.segúnelteorema1.4.1,lieneun
numeroinfinitodesoluciones si11>m.Deestaforma.existenescalares el'C:••••,c.no
todoscero.quesatisfacen
(8)y.porlotanto,losvcetores VI'"lo.••,v.sonlinealmente
dependientes.
Cuatrovectores enI!lquesonlinealmentedependientes
Lo,vcotoees[ -H[-ü[-::]y[-~]son1;,,,,,I"'''>1edepend;entos Y"queeon,;,tuyenun
conjuntodecuatrovectoresde3elemcntos.
Existeuncorolarioimportante
tyobvio)deltcorcma 2.
Unconjuntodevectoreslinealmemeindependientesen ~contienealomas 11vectores.
Nolll.Elcorolariosepuedeexpresarde otrarorm¡l.Sisetienen 11vectoresdedimensión nli
nealmenteindependientes.nosepuedenincluirmásvectoressincOIl\'ertirel conjuntoenuno
linealmentedependiente.
Delsistema(8)sepuedehacer
otraobserv,lciónimportantecuyapruebasedejacomo
ejercicio(refierasealproblema
32dehlpresentesección).
TeOREMAE:I
[""
QI2
a,.)
SeaA= U~l
a~ a,.
".,".,
..
"-

EJEMPLO 6
4.5Independencialineal 319
Entonceslascolumnasde Aconsideradascomovectores,sonlinealmentedependientes
siysólosielsistema(8),quesepuedeescribircomo Ac=O.tienesolucionesnotriviales.
c,]
e
Aquie = :2.
c.
Solucionesaunsistema homogéneoescritascomocombinaciones
linealesdevectoressoluciónlinealmente
independientes
Considereelsistemahomogéneo
•So/ució"
XI+2x:!- x
J
+2.r~=O
3x
1
+7x
1
+X)
+4x~=0
Haciendounareducciónderenglones:
[12
-12
~J [~
2-12
~J37 4 4-2
.[~
O-96
~JI4-2
Elúltimosistema es
Xl -9x)+6x.=0
x
2
+4x)- 2.1".=O
(9)
SevequeestesistematieneunnúmeroinnnilOdesoluciones.queseescribencomolInacombi
naciónlinealdelosvectorescolumna:
(10)
Ob"",que[-i]y[-~],onsolu,i",,,sline..I""nteindependiente'pom (9)po,queningu
nodelosdos esmúltiplodel otro(ellectordebeverificarqueseansoluciones).Como x,Y.Y"
sonnúmerosrealesarbitrarios.se vede(10)que elconjuntodesolucionesal sist<:ma19)<:sun
subespaciode I¿'generadoporestosdosvectoressoluciónlinealmcnteindependientes.
Lossiguientesdosteoremassededucendirectamentedelteorema
3.

320 CAI'rTUto4 Espaciosvectoriales
TeOREMA1:1
~DEMOSTRACiÓN
TeoREMAr3
L::DEMOSTRACiÓN
TeOREMA1:3
l.DEMOSTRACiÓN
TeOREMAE:I
LDEMOSTRACiÓN
Sean\'1'\'2'".,V
Ir
•11vectoresen J2"yseaAunamatrizde11X11cuyascolumnasson VI'
v"'...,\'".Entonces, vI'"2'...,v"sonlinealmenteindependientes siysólosilaúnica
soluciónalsistema
homogéneoAx=Oeslasolucióntrivialx =o.
Éstees
elteorema3paraelcasom=11.
SeaAunamatrizde 11X11.Entoncesdel A'#OsiysólosilascolumnasdeAsonlineal
menteindependientes.
Delteorema4 ydelteoremaderesumen(página208).lascolumnas deAsonlinealmen
teindependientes<=>Oeslaúnicasolucióna Ax=O<=>delA "j;O.Aquí,<=>significa"si
ysólosi",
Elteorema5nosllevaaextendernuestroteorema deresumen.
Teoremaderesumen(puntodevista 5)
SeaAunamatrizde 11x/l.Entonceslas ochoafirmacionessiguientessonequivalentes;
esdecir,
cadaunaimplicaalas otrassiete(de maneraquesiunaescierta, todasson
ciertas).
i.Aesinvertible.
ji.Launicasoluciónalsistema homogéneoAx=Oeslasolucióntrivial(x =O).
jii.ElsistemaAx=btieneunasoluciónunica paracadan-vectorb.
iv.Aesequivalenteporrenglonesalamatrizidentidad de/1x/l.In.
,..Aeselproductodematriceselementales.
vi.Laformaescalonadaporrenglonesde Atiene11pivotes.
"ji.detAt:-O.
"¡¡j.Lascolumnas(yrenglones)de Asonlinealmenteindependientes.
Laill1ica
partequenosehademostradohastaelmomentoesquelosrenglonesdeA
sonlinealmenteindependientes ~detA1:-O.Lascolumnassonindependientes (::)det
A1:-O~detA'=detA1:-O(veaelteorema2.2.4de lapágina185) ~lascolumnasde
A'sonlinealmenteindependientes.Perolas columnasdeA'sonlosrenglonesde A.Esto
completalaprueba.
Elsiguienteteorema combinalasideasdeindependencialinealy conjuntosgeneradoresen 1)'.
Cualquierconjulltode11vectoreslinealmenteindependienteen lrgeneraa lr.
sean::=[:::]",=[:::],,',=[::J'ectoreshnealmentemdepend"ntes ysea
v'"[~lJ,unvectoren lr.Debemosdemostrarque eXIstenescalaresel' cl''c
n
talesque
xn "=Cl"1+C
2
\'2++ cnv
n

4.5Independencia Imeal 321
Esdecir
I
X,]la,,]la,,]la,]Xl=aZI al: (I¡:
·S. +S.+... +~ .
· . . .
· . . .
X. G.
I {/.Z (/""
(11)
En(11)semulliplicancomponentes, seigualanysesumanparaobtenerunsistemade
11ecuacionescon 11incógnitasc
l
•
c!"...Cn:
allc
l+(/1¡c
12+...+ al.c.=XI
{/lIC
I
+a¡¡e
l
+..+al.c.=x¡
Sepuedeescribir (12)comoAc=l',donde
[""
o"
..."]
c=[}:I
"
o"a
l
¡
...a
A=.
"
y
(/.1(/.2
...a••
(12)
EJEMPLO1
Perodet A'#Oyaquelascolumnasde Asonlinealmenteindependientes.Dcmanera
que
elsistema(12)tieneunasoluciónúnica eporelteorema6yelteoremaquedade
mostrado.
OhJc,·I·at'iá".Estademostración llOsólomuestraque \'sepuedecseribir comounacombina
ciónlineal
delosvectoresindependientes \'1.\'l•...•l'".sinotambiénqueesto sepuedelograr
deII/Wsotamallem(yaque elvectorsolución eesúnico).
Tresvectoresen [l]generan1)3sisudeterminanteesdiferente decero
Losvectores(2. -1.4).(l.O.2)y(3.-l.5)generanI)lporque
tan
lO.sonindependiclltcs.
" 3
~IO ~I
425
=-1'#Oy.porlo
EJEMPLO8
Todoslosejemplosque sehandadohaslaahorahansidoen elesp<lciolt.Eslonorepre
sentaunarestriccióntangrande
comoparece.En lasección5.4(teorema6)sedemostrarúque
diferentesespaciosvectorialesdeaparienciamuydistintatienen.enesencia.lasmismaspropit'
dades.Porejemplo.
severaque elesp<lciop.esfundamentalmenteelmismoque 1)"+1.Sedira
que
dosespaciosvectorialescon esl<lformason isO/IIÓ/jiCOS.
Esteimportanteresultadotendráqueesperarhasta elcapítulo5.Mientrasl,mto. sedaran
algunosejemplosenespaciosdiferentes a1)".
TresmatriceslinealmenteindependientesenM
n
('O')(-"4)(-'EnAl,,,se,lnA,= .A = YA=
., 3 -1 2 23O J 1
sonlinealmentedependientesoindependientes.
o
,') .1.Determll1esi-!..(~-!

322 C\PiTULO4
•Soludó"
Espaciosvectoriales
(~
O
O)~c('
O
')(-'
1
4)(-'
O
:)OO'J1
_)+c!2
J O+eJ1,
(e,-c,-el c, 2el+4c1+CJ1
=:3c\+2~';+cJ el+3c!+2c
3
-el+el
Estonosproporcionaunsistemahomogéneodeseisecuaciones contresincógnitas,el'l"1yC.
1
en
elcualrculwbast<lntcsencilloverificar quelaúnicasoluciónes el=:ce=e,=O.Deestemodo.
las\Tesmalricessonlinealmenteindependientes.
EJEMPLO9
•Soludó"
EJEMPLO10
•Soludó"
CuatropolinomioslinealmenteindependientesenP3
EnP,determinesilospolinomiosl. x.X"yx
3
sonlinealmentedependientesoindependientes.
Supongaqueel+c
l
.\"
+{'3X!+('4X3=O.EstodebecumplirseparaIOdonúmeroreal.Y. Enpar
ticular.si x=O.seobtieneel= O.Entonces.haciendox=l.-l.2se obtiene.sucesivamente.
c
2
+c
3
+c~=O
-c
2
+c
3
-
c
4
=O
2c
1
+4c
J
+8c
4
=O
Eldeterminantedeestesistemahomogéneoes
111
-11-1=12#0
248
Demaneraqueelsistematieneunasoluciónunicael=el=e
J
=e~=OYloscuatropolinomios
sonlinealmenteindependientes.Estosepuedeverdeotraforma.SesabequecualqlIie!"polino
miodegrado3lienea 10mástresraícesreales.Pero siel+l'l.\"+("3.\"'+("Jx
l
=Oparaalgunas
constnntesdiferentesdeceroel'c
r
e
J
,
yc
J
yparatodonumerorealx.entoncessehaconstruido
unpolinomiocúbicoparaelquetodonümeroreales unaraiz,10cualesimposible.
TrespolinomioslinealmenteindependientesenP
1
EnPl'determinesilospolinomios.\"- 2.\",..\"1-4.\"Y-7x+8.\"1sonlinealmentedependientes
oindependientes.
Sea(I(X-2.\"1)+,-)x'-4x)+ti-7x+8.\"1)=o.Reacomodandolostérminosseobtiene
(c
l
-4c,-7(
3
)x=0
(-2c
1
+c
1
+8c).\"!=O
EstasecuacionesseclImplenparatodo.\"si ysólosi
y
Peroparaelteorema1.4.1delapúgina38.estesistemadedosecuacionescontresineógniw
tieneUllnüllleroinfinito desoluciones.Lo quemuestraquelospolinomiossonlinealmente
dependientes.

4.5IndependenciaImeal 323
Siseresuelveestesistemahomogéneo. seobtiene.sucesivamente
(~2
-4-7
~J (~
-4-7
~J8 -7-6
[~
-4-7
:j
•[,O
25
7
6
6
-
O1
7
-
7
:]
. dd I b" 25As!.sepueear unV;Ior;IrltranoaCj'c,=-e
J
o6' 7
toncesel=2).c;=~ysetIene
6 . .
yc.=--e,.SI.porejemplo.c,=7.en·
o 7
problemas45
25(x- 2.,"::)-6(.\"::-..h)+7(-7x+8.,"::)=O
AUTOEVALUACIÓN
1.¿Cualesdelossiguientesparesdevectoressonlinealmenteindependientes?
a)[:).(_:)
J)[-~n[~)
h)GJ.U)
el[-~W)
11.¿Cualdelossiguientesparesdevectores esunconjuntogeneradorde Ir"?
alCH-:l
,~[-~nt~)
h)Gl-U)
el[-~W)
111.¿Cuáldelossiguientesconjuntosdevectores debeserlinealmentedependiente?
Aqui
(1,b.c..d.e.J.g.11.¡.j.k.YIsonnumerasreales.
II/diqucsilassigllicl/tesafirmadollesSO"falsllsol'crJuJcru.5
IV.Si"l','!"....".sonlinealmenteindependientes..entonces VI',.!,....\'.'"0_Iambie-n
sonlinealmenteindependientes.
V.Si"l'"1'....".sonlinealmentedependientes.entonces \'1'"!"...\.~.'"_tambien
sonlinealmentedependientes.
VI.SiAesunamatrizde3X3Ydet A=O,entonceslosrenglones deAson"ectores
linealmentedependientesen
1)1.

324 C",.iTL'I.O4Espaciosvectoflales
VII.Los
polinomios3.lx.-Xly3.\..1sonlinealmenteindependientcs enP
r
(10)(0')(0')(23)..VIII.Lasm:ltrices . , y sonlinealmcntemdependlcntes
en
Afll" OOOO [O-5O
DelosproblemasIal27 determinesielconjuntodevectoresdadoeslinealmentedependiente
oindependiente.
1.(~)t;)
3.(-~)t~)
5.(-~WJ
7.(-;J(,~H-;)
9.(~Hnm
11.(iJt:JH
13[-f][JIHIUJ
15.(-;WJfnm
19.En'\:1-x.I+X,x"
IH.EnP,:-x.Xl-2x.3x+5.\"'
20.En P,:x.x'-X•.\"3-X
21.En P,:x-l.(x-IXx-2).(x-IXx-2)(x-3).x~
22.EnP,:l.\".x'-3.I+X- ..IxJ•.\..!+18x-9
(
2
-1)(0-3)(.')23.EnM..: . .
--4OI5 7-5

"'.5Independencia linea
25.Sea¡,,:(-'
..I0).('3).(8-5).(4-1).(,3)
27 -47623 -1 ~
*26.
*27.
'8.
"'29.
30.
EncrO.1]:senx.('osx
EnC/O.IJ'x.¡;.¡;
Determineunacondiciónsobrelosnumeros tl.h.(.Y(/talquelosvcelOres (:)y(~)sean
linealmentedependientes.
[
",,][",,][",,]Encuentreunacondiciónsobrelosnumeras a"wlquelosvectores (1,1. {/;;yti;,
seanlinealmenledependientes. a'la,;(In
¿Pa",qué,'aloelos)dc"sc,:'nI;ncalmcntedcpendic",cslosvec!ores [~l[-J[:}
31.¿Paraqué\'alor(es) deaseranlinealmentedependienteslosvcelores
[SIIKer('lIcill:observeconatención,)
32.Pruebe
elteorema3.[SII}.J('/"l'IIá{/:observeconatención elsistern:l(8).1
33.Demuestreque silosvcctores\'1'\'!"••\'.sonlinealmentedependientesen 1)".conm<
11.ysi\'••1escualquierotrovectoren 1)"',entonceselconjunto\'1'\';•...,\'.'\'.,.eslineal
mentedependiente_
34.Demuestreque
si\'1'\';•....\'.(112:2)sonlinealmenteindependientes.entonces(ambicn
loson
\'1'\'".•••\'1'dondek<11.
35,Demuestreque silosvectores\'1y"~diferentesdecero enl?"sonortogoll<lles(ve:llapúgina
80).entonces
elconjunlO:\'., \';feslinealmenteindependiente.
*36.
Supongaque\'1esortogonala\';y'\Yquev;esortogomlla v,.Si\'1'l';Y\',sondiferentes
decero.demuestreque
elconjunto:"1'";,v,leslinealmenleindependiente.
37.Sea
Aunarn;ltrizcuadrada(de11X11)CUY:IScolumnassonlosvectores.\',.\';, ....\',,'De
muestreque
\'1'\';,...,\'.sonlinealmenteindependientes siysólosilatorrn:lescalonad:l
porrenglonesdeAnocOluicneunrenglón deceros.
Delosproblemas
38al.wescribalassolucionesalossistemashomogeneos dadosentermino:.
deunoomásveclQreslinealmenteindependientes.
38.XI+.\',+x,=O
39.XI-x:+7x
j
-
x~=O
2x.+3x:-8x, +x~=O
40.Xl+.\':+x,=O
XI-.\':-Xl=O
41.XI+2x;- x,=O
2·\'1+5.\'1+4x,=O

326e\I'iTl:LO4 Espaciosvectoriales
42.x,+ x~+.\3- x~-X
j
=O
-1\'1+3x~-X
J
+-Ix~-6x
s=O
43.XI+x,+x,=O
.\":-x~=O
45.Seau =(1.2.3).
11)Se;lfI=¡"E[?l:u.\'=Ol.DellluestrequefIesunsubcspaciode 1)',
h)Encuentredosvectoreslincahncntcindependientesen H.Dcnominelosxy y.
(0)Calculew=xXy.
If)Demuestrequeu ywsonlinealmentedcpendierllcs.
t')Déunainterpretacióngeométricadelosincisos a)ye)yexpliqueporqué d)debeser
cierto.
Oh.~(!ITll(·;Ó". SiV=1\'EP':\'=O'Uparaalg1111numerore:llalentoncesVesunsubespaciode
P'y11sellamacomplementoortogonalde V.
.t6.Elijaunvectoru '!'OenD-'.Repitalospasosdelproblema45comenzandocon elveclorque
eligió.
-17.Demuestrequecualesquieracuatropolinomiosen P:sonlinealmentedependientes..
~.Demuestreque dospolinomiosnopuedengenerara P~,
*-l9,Demuestrequecualesquiera 11+2polinomiosen P~sonlinealmentedependientes.
so.Demuestrequ,"",Iquie,".bcoujuntod,unconjuntod,,,:<:toces)in,a)m,nteind,pen·
dientesesline'llmenteindependiellte [/l/Jla:estogeneraliz'lelproblema341.
51.Demuestrequecualesquierasietematricesen M,~sonlinealmentedependientes.
52.Pruebequecualesquiera
11111+Imatricesen Mm.sonlinealmentedependientes.
53.Sean
SIy5;dosconjulltosfinitoslinealmenteindependientes enunespaciovectorial r.
Demuestreque SInS~esunconjuntolinealmenteindependiente.
54.Demuestrequeen
P.lospolinomios1.x..\.1•••.x",sonlinealmenteindependientes Isuge·
r,,"á(l:porsupuesto.esto esciertosi11""l.Supongaque 1.x..\...1,•••x..-
I
sonlinealmenle
independienles
ydemuestrequeestoimplicaque l.x.x":•...x"tambiénsonlinealmente
independientes.Estocomplew
1:1pruebaporinducciónm:nem:nica).
55.Sea
1""\.~,....l'Junconjuntolinealmenteindependiente.Demuestrequelos\'cetores\.
",+"~.",+"~+,,,...,."1+"~+...+".sonlinealmenteindependientes.
56,$caS
"":"1',.~.....".1unconjuntolinealmenteindependientedevectoresdiferentesde
ceroen
unespacio"tttorialV,Demuestreque almenosunodelosvcetoresen Ssepuede
escribircomounacombinolciónlinealdelos"celoresque
lepreceden.Esdceir.demues
trequeexisteunentero
k:s;11Yesc.l]¡lreSal'al'....a
t
_1
talesque'\=al""al""...•
alI"Al'
57.Sea \"1',.!,....,)unconjuntodeveCloresquetiene lapropiedaddeque elconjuntol'.
v)eslinealmentedependientecllando i:F-j.Demuestrequeeadavectordelconjunto esun
múltiplode unsolovectordeeseconjunto.

[CALCULOI
1CALCULO'
-a.SIndependencialineal 327
58.Sean/ygenCIO.1).Entonceselwronskiano
t
dc/ygestádefinidopor
"'(J.gXX)Jf,lxlg,(x)1
lr(x)g(x~
Oemueslreque sif)'gsonlinealmentedependientcs.entonces W(fg)(x)=Oparoltodo
xE[O.1].
59.Determineunadefinición ..dcruadapara elwronski:lllOdelasruncionesJ;.J; .....1"E
el.1110.1).:
60.Supongaque u."yw.sonlinealmenteindependientes,Pruebeodesapruebe: u+".u+w
yu+wsonlinealmentcindependientes.
61.¿Paraquévaloresreales de,'sonlinealmenteindependienteslosvectores (1-l".I+ely
(I+(.".l-c)?
62,Demuestrequelosvectores(1, ti,(/1),(1.b,/11)Y(1,1',(.1)SOI1linealmenteindependientes si
ti'#h.(/'#eyh'#c,
63.Sea 1"1'"1.....".lunconjuntolinealmenteindependienteysuponga que"Egen1"1'
"1'....".~-Demuestreque :"1'"1"..,\'.:esunconjuntolinealmenteindependiente.
64,Encuentreunconjuntodetresvectoreslinealmenteindependientesen 1)-\quecontengaa
los,~'"'~[;)y[-~)[",."mu,a,n,u,ntreunv~lorv••,n([;H-m1
65.Encuentre unconjuntoline¡llmenteindependientedevectoresen P1quecontengaalos
polinomiosI-
.\.JYI+.\.J,
66.Supon"Qu,u=[:::].v=[::]yw=[:::].son'opl;,"",~.
11) 1) 11)
11)Demueslrequeexislenconsta11les ti.bY("nolodascerolalesque
mIl+bl/,+cU
1
=O
(/1'1+bl'1+el')=O
(/11'1+b1l"1+CII')=°
h)Expliqueporque
[u,
/1
1
",)
del=VI \'1\')=°
11'\\1'1W
J
e)Useelteorema3pamdemostrarque u.\.y\'sonlinealmentedependielllcs.
RESPUESTAS ALAAUTOEYALUACIÓN
1.Todos
VI.V
11.Todos
VII.V
111.b.d
VIII.F
IV.F V.V
•
•ASIdenominadopo"elIT\dtellMlICOpolacoJozefMarraHOl:'ne-Wronskl(1778·18531Hoene
polrledesu....daadultaenFrim(l~ TrilbdJQenla!eoriadedetermlnill11('<,yfueconOCIdola"ll"
~obrpfilosofiadela~materndllC;IS
'e[O,1)eselconjunto(Irfunrion€"i cuyasIn!)-E'Slmasrlf'llyadd~ f>st<'lndellr(j.,s

328 C,\I'iTUID4 Espaciosvectoriales
•MATLAB4.S
\.Utilicerrerparaverificarlaindependenciao dependenciadelosconjuntosdevectoresde
losproblemas1
al16deestasección.Expliquesusconclusiones.
2.a)Paralosproblemas9 y12argumenteporquélosvectoresnoson('aplanares.
h)Expliquelasrazones porlascualeslosconjuntosdevectoresdadossoncaplanares.
;!rnmrm ;;!rnnw])
3.Elija11IyIiCOI1I11>11yseaA =2*rand(n,m)-I.Determine ladependenciaoindependencia
delascolumnasdeA.Repitaparaotroscuatrovuloresde my11.Escribaunaconclusión
sobrelaindependencialinealdelascolumnas deunamatrizquetienemúscolumnasque
renglones.Pruebesuconclusión.
4.
Considerelasmatricesdel problema2enMATLAB1.8.Pruebe lainverlibilidadde cada
A.laindepcndencialinealdelas columnasdeAylaindependencialinealdelosrenglones
de
A(considereA').EscribHunaconclusión relacionandolainvertibilidadde A'conlain
dependencialinealdelas columnasdeAyconlaindependencialinealdelosrenglonesde
A.Pruebesuconclusiónen términosdelaspropiedadesdelaformaesealonadllreducida
porrenglones.
5.ti)(Lúpi::ypape/)SiAesde 11x11IyZesde11Ix1.expliqueporquéw=Jlzestúen el
espaciogeneradoporlascolumnasdeA.
h)Parae,idaconjuntodevcctoresj\'I'v,.....\'1.1dado.genereunvector aleatoriowque
seencuentreenelespaciogeneradoporeseconjunto[useelincisoal).Pruebe ladepen
denciaoindependencialinealdel
conjuntodevectores1\'1'v!....\'cwf.Repitapara
otrostresvectoresw.
1;¡[jni-;I
iii.
4
3
2
o
2
10
2
8
I
4
6
2
8
2
10
3
2
I
2
6
(:)Escribaunaconclusiónalosiguiente: si11'estúengen j\'I"..•v,J.entonces..
6.a)Recuerdelos conjuntosdevectoresenlos problemas3y7de MATLAB4.4.Para WeG
elespaciogeneradoporesosconjuntosdevectores.habiaun númeroinfinitode ma~
rasdeescribir wcomounacombinaciónlinealdelosvectores.Verifique quecadauno
deesosconjuntosdevectoreseslinealmentedependiente.
h)(Lápi::ypapcl)Pruebe];isiguienteafirmación;parHlosvcetoresen 11'talesque W=
('1"1+...+e,"l'tieneunasolución.existeun númeroinfinitodesolucionesparael"c~
....1"1siysólosi\'1'\'!"...\',leslinealmenteindependiente[.I'/lgefeJIáa:pienseen b.
formaescalonadareducidaporrenglones].

4.5Independencia Imeal 329
7.ll)Elija11y111con/11s11yseaA =2*rand(n,m)-1,Veriflquequelas colul11lla~ di:A~i:an
linealmenteindependientes.Cambie Ademaneraquealguna( s)colulllna(s)sea(n tcom
binacioneslinealesde
otrascolumn:tsde;/ (porcjemplo.B=A;B(:,3)=3*B(:.I)
2*B(:.2».Verifiquequelascolumnas de8seandependiel1les.Repitapara otrascombI
nacioneslineales.¿Quécolumnasderrcf(B)notienenpivotes?¿Cómoserelacionaesto
consucombinaciónlineal?
h)Repitaelincisoa)paraotroscuatrojuegosde 11.11IYA.
c)Escribaunaconclusiónalosiguiellle: siunacolumna;/esunacombinaciónlinealde
otrascolumnasentonces.
d)Vuelvaahacer elproblema5de MATLAB1.7.Verifiquequeparacadamatriz Aenes....
problemaque 1:tScolumnassondependientes.
e)Escriballnaconclusiónalosiguiente: sil:lscolumnasde;/sonlinealmentedependien
tes.entonces..
f)(Lápi:.rpapel)Pruebesuconclusión.
8.a)Delproblema7deestasección ydelproblema5 deMATLAB1.7.sepuedeconcluirque
silascolumnasdeAsondependientes.elllonceslascolumnas de;/correspondientes¡¡
lascolumnassinpivotesenrrt'f(A)sepuedenescribircornocombinacioneslinealesde
lascolumnasde
Acorrespondientesalascolumnasconpivotesenrrcf(A).Siguiendo el
procesodescrilO enelproblema5de MATLAB1.7.determinecuúlescolumnasdelas
matrices
dadassoncombinacioneslinealesde olrascolumnas:escribacstascolumnas
comocombinacioneslinealesyverifique.utili7..ando MATLAIlquecstascombinacio
neslinealessoncorrectas.
u
O
J
[1:
O-10-6
32]
;, 3 ji. 2-4-732
1 7191-5
7611 35
h
-;¡
31
81
-5-209
4O
¡ji.7611 38 h'.
-2-3
82-2-166
1
2
732-97
h)(Lúpi::.rpape!)Realiceelproblema56de lasección4.5.
9.a)Demueslrequelossiguientesconjuntosdevcctoressonindependientesperoqueexiste un
vectorensu 1)"rcspectivoquenoseencuentra enelespaciogenerado porelconjul1to.
ji.l?'
¡ji.l?'
veaelincisobii)delproblema5deestasecciónde MATLAB.
veaelincisohiii)delproblema5deestasección deMATLAB.
h)Demuestrequelossiguientesconjuntosdevectoresgenerantodosu 1)"respectivopero
qucnosonlinealmenlCindependicnles.

330 C\I'ITlI.O-lEspaciosvectoriales
,.)¿Esposible¡llgunadelassituacioncscnlosincisosa)ob)siseconsideraUllconjuntode
11vcclorescnl)"!¿Porque?ProporcioneejemplosusandoMATLAB.
(1)(Lápi:rpapel)Escrib<lunaconclusiónrc];,don;mdo laindependencialineal COIlla
generacióndelodoparaelconjuntodeJIIvectoresen.Considere m>//.11I=n
y11I<//.Pruebesuafirmación considerandolaspropiedadesdelaformaescalonada
reducidaporrenglonesdelamatrizcuyascolumnasson elconjuntodevcelores.
10.a)Verifiquequecadaconjulltode\'eclores dadosealinealmenteindependiente.
h'.Generecuatrovectoresaleatorios ensímboloIj'utilizandoelcomandomnd.Ven·
fique
laindependencia(sigagenerandoconjuntoshaslaqueobtenga unoindepen.
dientc).
h)Formellnamatriz Aillvcrtiblcdc4 x4.Paracadaconjuntodcvectoreslinealmcnte
independientes
1\'1'\'1'...,\'¡,ldelinciso(1),verifiqucladcpendenciaoindcpendencia
de
1;1\'1'.11\'1'...,¡/\'¡iparadeterminar quéconjuntoslA\'I'11\'1",A\'¡fSOI1inde
pendientes.
(,)Formeunamalriz Ade4x4quenoscainvertible(porejemplo. dadaunamatrizin
vertibleA,cambieunadelascolumnasparaqueseallnacombinaciónlinealdeotras)_
Pal1lcadaconjuntode"cctoreslinealmenteindependienles IA\,¡_A\'l-....A\'~fdel
inciso(1),verifiqueladependenciaoindependenciade {A"l'A\'l',,"A\'~lparadeter
minar
queeonjullIos{;h•.A\'1'•,'•A\'1}sonindependientes.
á)Escribaunaconclusióndescribiendocu¡jndo k¡multiplicaciónporunamalrizclladra
dapreservalaindependenciadeunconjuntodevectores.
11.UtiliceMATLABparaverificar 1,1dependendiloindependenciadelosconjuntosdepoli·
nomiosdelosproblemas
17al22deestasección. Sielconjuntoesdependiente.escribollos
polinomiosdependientescomocombin:lcioneslinealesdeaIraspolinomiosen elconjtllllo
yverifiqueCSt:lScombinacioneslineales(vea elproblema9deMATLAB4,4Yelproblema
8deMATLAI34.5).
12.UtiliceMATLAI3paraverificarladependenciaoindependenciadelosconjuntosdema
tricesdelosproblemas
23al25enlasección 4.5.Sielconjuntoesdependiente.escriba
lasmatricesdependientescomocombinacioneslinealesde
otrasmatricesen elconjunt0:lo
\'erifique
esolsC'ombin:lcioneslineales(vea elproblema10deMATLAB4.4Yelproblema
SdeMATLAB4.5).

4.5Independencialineal 331
13.ti)Genereunconjuntodecincomatricesaleatoriasen M::.,ymuestrequeelconjuntoes
lineahnentedependiente.Repita
paraotrosdosconjunlOsdematrices.
h)Genereun conjuntodesietematricesaleatoriascn M,]ymuestrequesonlinealmente
dependientes.Repitapara
otrosdosconjuntosdematrices.
e)ParaM.::.,i,cuúntasmatricessenecesitanenun conjuntoparagarantizarqueesdepen
diente?Pruebesuconclusióngenerando
conjuntosdematricesaleatorias.Demuestre
quelosconjunlosconmellasmatrices nosonnecesariamentedependientes.
tI)(Lápi:Jpapel)Trabajelosproblemas44y 45deestasección.
14.Ciclosl'ndigráficascindcpcndcncialinealParallnagrúficadirigida (dignifica).lamatriz
deincidencianodo-aristaestúdefinidacorno
a.={-:
"
O
silaarista)entra alnodoi
silaarista)saledelnodo i
deotramanera
Por
lotanto.cadacolumnacorrespondeaunaaristadeladigrúfica.
lt)Paraladigráficasiguiente.establezca lamalrizdeincidencianodo-aristaA (paraintro
ducirAde
maneraeficiente.vea elproblema.2deMATLAB1.5).
arista5
l6J [IJ
arista4
"
<:-0,\':> arislaI,
[5J [2]
arista7
arista3 arista 2
[4J [JJ
ariSla8
h)Encuentreunciclo cerrado(ciclu110dirigido)enladigr,ificayobservequé aristasinclu
ye.VerifiqueladependenciaoindependenciadelascolumnasdeA quecorresponden
aestasaristas(porejemplo.siguiendo
laarista1.despuéselopuestodelaarista7.
luegolaarista4 ydespuéselopuestodelaarista5.seformaunciclo. Formelamatriz
[A(:,I)A(:,7)A(:,4)A(:,5)Jyverifique
laindependencia).Encuentre tantoscicloscerra
dos
comopuedareconocerypruebe ladependenciaoindependenciadelascolumnas
correspondientes
deA.
c)Considereun subconjuntodearistasqueno contengancicloscerrados.Pruebe lade
pendenciaoindependenciadelas
columnascorrespondientesde A.
d)Repitalosincisos a)ac)paralasiguientegráfica
[lJ
[2J
<iris>;'!:-~=-...,.~/i"¡.?
~[4JariS1<l8[5J
e)Esnibaunaconclusiónsobrelarelaciónentreciclos nodirigidosenunadigr<ifica yla
dependenciaoindependencialineal delascolumnasde1:lmatrizdeincidencia nodo
aristade ladigrúfica.

332 CU'iTUL04 EspaCIosvectoriales
Nota.Esteproblemafueinspirado porunaconferenciadadaporGilbcrtStrang enlaUnjo
\'crsityofNcwHampshire.en juniode1991.
IDBASESyDIMENSiÓN
Sehavistoqueen ~conveniencescribirvectorescomounacombinación linealdelosvectores
1=(~)yj=.(~lEnIl'sees"lblemnlosv«toresentécmlnosde [~].[r]y[;].Ahora
segcncr,lhzaTilestaIdea.
DEFINICiÓNa Base
Unconjuntofinitodeveclores 1"1'\'2".•.•,•.1esunabaseparaunespaciovectorialVsi
i.
1\'1""2"...•".}eslinealmenteindependiente.
ji.1\'1'\.~.....)generaa V.
Yasehananaliz.adoalgunosejemplos debases.Enelteorema4.5.7.porejemplo. sevioqur
cualquierconjunto
de11vectoreslinealmenteindependientes engcnema.Deestaforma.
Todoconjuntodenvectoreslinealmenteindependienteenesunabaseen V".
Ensedefine
I O O O
O
,
O O
e=O.c
1
:::O.c)= ..."'.= O,
O O O
LBASECANÓNICA
EJEMPLO1
EJEMPLO2
Puestoquelosvectores e,sonlascolumnasdeunamatrizidentidad(quetientedeterminante 1
lel'l.'!....l.'.lesunconjunloline:llmenteindependiente y.porlotanto.constituyeuna basr
enV".Est.¡baseespecial sedenominabasl.'canónicaen V".Ahor:lseencontraránbases para.
algunosotrosespacios.
Basecanónica paraP
n
Porelejemplo".5.9delapágina322.lospolinomios J.x..\..1y.,.Jsolllineaimenleindependica
lesenP
j
,
p.1raelejemplo-1....3delapigina 300.estospolinomiosgenemn P
J
•
Así.{l.x.x~.
estinabasepamP
j
.Engeneral.los monomios:l.x..,..1.x' ,--,constituyenunabase pan.
P.Estasedenominalabasecanónicapara P.. .
Basecanónica paraM
ll
seviOCnCICjCmPlo4.4.6delapÚgina300.qUe(~ ~).(~ ~).(~ ~)y(~ ~)generan
'\/".5i("")=c,(t0)+0,(0')+0,(0O)H.(O0)=(0O).entm""""'id.»-
-- e
J
c
4
OO -OO 1O OIOO

.J.6BasesydlmenSlon 333
tequc('1=('!=1'1=c~=O.Así.cstascuatromatriccssonlinealmentcindependientes yforman
unab
..separa"'!J.'loquesedenominabasecanónicapara M!!.
1ImIDII,-_U_n_a_b_as_e--,-p_a_ra_u_n_s_u_b_e_s~p_a_c_;o_d_e_Il' __
Encucntreunabasepara elconjuntodevectoresque seencuentraen elplano
a=¡[~)2'-r+J'=O)
•Solución
TEOREMAa
L.DEMoSTllAOÓN
Enelejemplo4.2.6 seobservóque 1Tesunespaciovectorial.Par;,eneontr;¡rllnabase.primero
[')
seobservaque sixy ~seescogenarbitrariamentey siyEit.entoncesy =2x+3:.Así.los
vectoresen
TIliencnlaforma :
Locualmuest",que [~)y[~)genmnanComoO>",denteque0>10'dosvectores,on
linealmenteindependientes(porquetinono esmúltiplodelotro).formanllnabasepar;l TI.
Si"1'\'1'....l'.esIlmlbasepara V,entoncescll:llquierotrovector,' EVsepuedeescribir COlllO
\'=c,",+('1"2+...+('.".'¿Puedeescribirscde OImmaneracomounacombinaciónlinealde
losvectores
",?Larespuestaesno(vealaobservaciónquesigue;l lademoslmc1óndelleorema
4.5.7de
lapágina326.para elcasoV= ).
Si{"l'"2'...,l'.}esunabasepara VysivEV.entoncesexiste unconjuntoúnicode
escalaresC
I
'
c
2
•
•••,c.lalesque"=C,"I+e
2
\'1+',,+c.".'
Existecuandomenos unconjuntodedichosescalaresporque{"., \'1'',,.".}genenta V,
Supongaentoncesquev sepuedeescribirdedosmanerascomounacombinaciónlineal
delosvectoresde
labase.
Esdecir.supongaque
"=('1"1+('2"2+..+e.".=d
1
"1+e/!"l+...+d.".
Enlonces.reslando seobtienelaecuación
(e,-dl)"1+(el- ei:J":+.,.+k.-dJv.=O
Perocomolos v/sonlinealmenteindependientes.estaecuación secumplesiysólo
sie,-di=c~-d~=...=C
w
-
d
w=O,Así.el=di'c
1=d
1
•..,c.=d
w
yelteorema
quedademostrado.
Sehavisloqueunespaciovectorialtienemúltiplesbases.Unapregunl:lsurgede man~r.J
natural:¿contienentodaslasbases elmismonúmcrodcveclores'.' EnV.'];,respuestaes:por~u·
puesto.sí.Paraveresto, seobservaquecualesquieratresvectores línC;llmClltcindependiente-:.

33-1 CWiTLLO ~
TeOREMAEJ
EspacIOSvectonales
enIYformanunabase.Peromenosvectoresnopuedenformarunabaseyaque. comosevioenla
sección
4.4.elespaciogeneradopordosvectoreslinealmenteindependientesen I)lesunplano-y
unplanono estodo(¿l-.Demanerasimilar. unconjuntodecuatrovectoreso másen~nopue
de
serlinealmenteindependiente.puessilostresprimerosvectoresenelconjuntosonlinealmente
independientes.entoncesfonnanunabase:por
[otanto.todoslosdcmasvectoresenelconjuntose
puedenexpresarcomounacombinaciónlinealdelosprimerostres.Entonces.todaslasbasesen
¡¿;
contienentresvcctores. Elsiguienteteoremanosindicaque larespuestaa lapreguntaanterioressi
paraIOdoslosespaciosvectoriales.
SilUI'u
r....u.}y{l',."1'....")sonbasesen unespaciovectorial V.entoncesm=11:
esdecir.cualesquieradosbasesenunespaciovectorial Vtienenelmismonúmerode
vectores.
LDEMOSTRACIÓN SeaSI={UI'u
r
···.u",lyS~=1"1',.~.,...".}dosbasespara V.Debcdemostrarseque
111=11.Estosepruebamostrandoque si111>11.entoncesSIesunconjuntolinealmente
independiente.
loquecontradicelahipótesisdeque SIesunabase.Esto dClTlostrarúque
111:s;11.Lamismllpruebadcmostraráque 11:s;111Yestoprueba elteorema.Así.basta
demostrarque
sim>11.entoncesSIesdependiente.Como S~constituyeunabase.todo
u,sepuedeexpresarcomounacombinaciónlinealdelas Y
r
Setiene
(1)
Parademostrarque S,esdependiente.debenencontrarseescalares c,'{'~•....c.'no
todoscero.talesque
('IU,+c~u~+...+e.u..=O (2)
Sustituyendo(1)en(2)
seobtiene
C¡(OIl"1+a¡~Y2+...+a
ln
,'.)+('i(/~IYI+a2~"~+',,+0ln')
+...+(''''«(/'''1'''+a",!"~+',.+ (1_".)=O
Laecuación(3) sepuedereescribircomo
(tlllC
I+a~lc~+',.+ tI..le.)"1+(tl
12
c
l+tI~C2+.,,+ tI-.lC.)l'2
+,..+(tll.C
I+tI:.c~+...+a_e),'.=O
Perocomo
"1'"~•....""sonlinealmenteindependientes, sedebetener
allc,+QUCl++a..lc..=O
QI2C,+Q;uC
l++ u..le..=O
(3)
(5)
Elsistema(5) esunsistemahomogencode 11ecuacionesconlas 111incógnitasC
I
,(.'2'.
c.,ycomo111>11.elteorema1.4.1delapúgina38.diceque elsistema[icne unnúmcro
•
,EstapruebaSol'cidpill"af"ioP<lClO'>vectol"la!escOflbdwsql,lE'cootlt"l'l('flunnumero flOltodEoYeClOA!'!>.TamblenSol'~
lost"SCa\<lfescomoSIfuerannumerQSreate<..perolapruebaful'l(J()(1,)lambil'flenelcasocompte¡o

DEFINICiÓNm
EJEMPLO 4
EJEMPLO 5
EJEMPLO 6
EJEMPLO 7
4.6BasesydimensIÓn 335
infinitodesoluciones. Deestaforma.e;<istenescalaresel'c~.....e•.notodoscero.tales
que
(2)sesatisfacey.porlolanlO.SIesunconjuntolinealmentedependiente.Estacon·
tradicciónpruebaque
m:511siseC<lmbianlospapelesde SIySrsedemuestraque 11:5m
ylapruebaquedacompleta.
Poreste
teorell1<lsepuededefinirunodelosconceptoscentralesen elúlgebralineal.
Dimensión
Sielespaciovectorial Vtieneunabaseconunnúmerofinitodeelementos..entonces la
dimensióndeVes elnumerodevectoresentodaslasbases yVsedenominaespacio '"f'C
torialdedimensiónfinita. DeotramanerJ..Vsedenominaespacio\'f'Ctorial dedimensión
infinita.
SiV=lO},entoncessediceque Vtienedimensión cero.
NotaciólI.LadimensiónVsedenotapordim V.
Ohsc/'\'adólI.Nosehademostradoquetodoespaciovectorialtieneunabase,Estadificilprue·
ba"pareceen
lasección4.12.Perono serequierepara queladefinición2tengasentido. yaque
siVtieneunabasefinita.entoncesVesdedimensiónfinita. Dcotramaner..l.Vtienedimensión
infinita.Por
lotanto.con elfindedemostrarque Vtienedimensióninfinita.sólo esnecesario
demostrarque
Vnoticneunabasefinita loquesepuedehacer probandoqueVcontieneun
numeroinfinitodevectoreslinealmenteindependientes
(\,C¡Ielejemplo7).
ladimensiónde1/'
Como11vectoreslinealmenteindependientesen Irconstituyenunabase.seobservaque
dimll'=11
ladimensióndeP"
Par.lelejemplo1yelproblema4.5.47.púgina 326.lospolinomios{1.x.x~..".x·}constitu~en
unabaseen p.'Entoncesdim p.=11+l.
ladimensióndeM_
EnAf_seaA~lamalrizde mX11conuntinoen laposiciónijyceroen otrolpólrte.Essencillo
demostrarquelasmatrices
A~parai=1.2....,111Yj=1.2..'./1formanunabasepar;¡ .1/
Asi.dimM"...=111/1.
Ptienedimensióninfinita
Enelejemplo4.4.7de lapágina300.seobservóqueningúnconjuntofinitodepolinomiosgene·
r..1aP.EntoncesPnolicneunabasefinita y.porlotanto.esunespacio"ectori'lldedimension
infinita.
Existeungrannúmerodeteoremassobre
ladimensióndeunespacio\lX'torial.

336 Espaciosvectoriales
TeOREMAE:I
LDEMOSTRACIÓN
TeOREMAa
Supongaquedim V=11.Si"1'u~....."",esunconjuntode 111vectoreslinealmente
independientesen
V.entoncesm S11.
Sea\'1'"]'...•l'.unabasepara 11.Sim>1/.enlonces.igualqueenlapruebadelleorema
2.sepuedenencontrarconstantes el'el'....c.notodascero.talesquelaecuación(2)
sesatisface.Estoconlmdice
laindependencialinealdelosvectores uj"Así.m~n.
SeaHunsubespaciode unespaciovectorialdedimensiónfinita V.EntoncesJ1tiene
dimensiónfinitay
dimH~dim V (6)
LDEMOSTRACIÓN Seadim V=n.Cualquierconjuntodevectoreslinealmenteindependientesen Hes
(ambienlincalmcnleindependienteen V.Porelteorema 3.cualquierconjuntolineal
menteindependienteen Hpuedeconteneralomás11veclores.Si H=tOloentonces
dim
H=O.SidimH01-{O}.sea"I;1tOunveclorenfIyH
I
=gen{"I}.Sif/
I=H.dim
f/=IYlapruebaquedacompleta.Delocontrario.elija .."1EHtalque"2fI-f/
I
Ysea
H
2
=gen1"1',),yasísucesivamente.Continuamoshastaencontrarvectoreslineal
menteindependientes
"1'v~....."Atalesque fJ=gen{"l'",•...."A}.Elprocesotiene
queterminarporquesepuedenencontrara
lomas11vectoreslinealmenteindependien
tesen
H.EntoncesfJ=k::s;1/.
Elteorema4tienealgunasconsecuenciasinteresantes.Presentaremosdosdeellas.
'-'L__C.:.[O-,,_1.:.1.:.Y_C_'.:.IO-,,_1.:.1_I_ie_"_e_"_d_i_m_e_"_s_io_'"_i"_f_i"_il_a__
ICALCULOI
EJEMPLO9
SeaprO.1Jelconjuntodepolinomiosdefinido enelintervalo[O.IJ.EntoncesP[O.1]eqO.1).
Siladimensiónde C[O.1]fuerafinita.entonces prO.IJtambiéntendríadimensiónfinita.Pero
según
elejemplo7.noesasi.PorlotantoC[O.11tienedimensióninfinita. Dem<lnerasimilar.
como
P[O.1]eCI[O.1](yaquetodopolinomio esdifercneiable).tambiénsetienequeladimen
siónde
ellO.1]esinfinita.
Entérminosgenerales
Cualquierespaciovectorialquecontieneunsubcspaciodedimensióninfinita
esde
dimensióninfinita.
lossubespaciosde1)3
Sepuedeusar elteorema4paraencontrar rodoslossubcspaciosde V.SeaHunsubespaeiode
V.Existencuatroposibilidades: f/=lOl.dim11=1.dimH=2YdimH=3.SidimH=3.
entoncesHcontieneunabasedetresvectoreslinealmenteindependientes "1',.~.v)enV.Pero
enlonces
"l.,.~.")tambiénformanunabasepara D'.yasí.fJ=gen1"1'"~.,)=I)J.Porlo
tanto.laúnicamanerade obtenerunsubcspaciopropiodeI)Jesteniendodim fJ=Iodim
11=2.Sidim/-1=1.enlOnccsfJtieneunabasequeconsisteenunvector ,.=(o.b.e).Seax
en
H.Entoncesx ={(o.b.c)paraalgunnumeroreal{(puestoque (o.b.e)generaa ff).Six=

4.6Basesydimensión 337
(x.y,=).estosignificaque x=al.)'=bl.==cl.Peroéstaeslaecuacióndeunarecta enp1que
pasapor
elorigencon ladireccióndelvector (a,b.e).
Ahora.supongaquedim ¡.¡=2YseH"1=(al'b
l
.
e)y"2=(a~, h~.('2)llnabasepara H.Si
x=(x.y,=)EH.entoncesexistennúmerosreales sy!talesquex=.1'\'1+IV!o(x.y.=)=S(II
I
•
b
l
•
el)+l(a
2
•
b
2
•
c~).Entonces
x=sal+f(¡!
v=sbl+lb!
==5C
I
+I('!
(7)
Sea"3=(a.f3.y)=\'1X"!'Entoncesdelteorema3.4.2de lapúgina255.parte ;1').setiene\'"
\'1=OY'r
J
•
\'!=O.Ahoracalculamos
ax+f3y+r==a(sa
l
+la!)+f3(sb
l+Ib
2
)+r(sc
l+IC
2
)
=(aa
l
+f3b
l
+rcl)s+(Q"a
2
+f3b!+rC?)1
=(v3.vl)s+(vJ.v!)!=O
Así.
si(x,y.=)EH.entoncesax+f3.r+Y==O.loquemuestraque Hesunplanoquepasa
por
elorigenconvectornormal "3="1X"2'Porlotantosehademostradoque
Losúnicossubespaciospropiosde
~sonlosconjuntosdevectoresque seencuentran
enunarectao
unplanoquepasapor elorigen.
1IIIZIIII__E_Scp_a_c_i_o_S_d_e_s_o_lu_c_i_ó_n...:-y_e_Scpca_c_io_n_u_l_o__
SeaAunamatrizde I!IX11YseaS={xE1)":Ax=O}.SeanXIESyx
2
E S;entoncesA(x
l
+x
2
)
=AX
I
+AX
2
=()+O=OYA(ax)=a(Ax)=0'0=O.demaneraque Sesunsubespaciode
V"ydimS~11.Ssedenominaespacio desolucióndelsistemahomogéneo Ax=O.Tambiénsc
denominaespilcionulode lamatrizA.
EJEMPLO11 Unabaseparaelespaciodesolucióndeunsistema homogéneo
•Solución
Encuentreunabase (yladimensión)para elespaciodesoluciónSdelsistemahomogénco
x+2.1'-:=0
2x-.1'+3:=O
Aqui
A=[12-1 J.ComoAesunamatrizde2X 3.Sesunsubespaciode [!l.Reduciendo
2 ~I 3
porrenglones.seencuentra.sucesivamente.
[
12
-)
OI-)
1 ~J----[~ -~-;
~J----~. [~ ~
3
2-1
-1
I0J
-1I°
Enlon,",y~'Yx~-,de.",,,,,,,,quoloda,la,"ola,;o<",wndolaron""[-:JA,;.[-:]
esunabaseparaSydimS =l.Observeque Seselconjuntodevcctoresque seencuentranen
larectax=-roJ'=l.:=l.

338 C,u'iTUtO.:1Espaciosvectoriales
EJEMPLO12 Unabaseparaelespaciodesoluciónde unsistemahomogéneo
Encuentreunabase paraelespaciodesoluciónSdelsistema
2x-y+3:=0
4x-2)'+6:=O
-6x+3y-9:=O
•Solución Reduciendorenglonesseobtiene
-13
-26
3
-9
~O]-[~ -~ ~:~]
OOO IO
TeOREMAm
L.DEMOSTRACiÓN
Loquedaumlsolaecuación:2x-J+3:=O.Sesunplano y.porelejemplo3.unabase esta
Antesde darporterminndaestasección. demostraremosunresultadoútil paraencontrar
unabase paraunespaciovectorialarbitrario.Sehavisto que11vectoreslinea[met1leindepen
dientesen
V"constituyenunabasepara ll'.Estehecho secumpleparalodoespaciovectorial
dedimensiónfinil<l.
Cualquierconjuntode 11vectoreslinealmenteindependientescn unespaciovectorial V
dedimcnsión 11constituyenunabasepara V.
SeanVI'\'::,...,v"'nvectores.SigeneranelespacioV.entoncesconstituyenunabase.
De
locontrario,existeunvectoru EVtalqueu Ii!:gcn{\'I'v::'...,vJ.Estosignifica
quelos
11+Ivectores\'1'v
Z
'
.••,v"'usonlinealmenteindependientes.Paraveresto.
observeque
si
(8)
Entonces('".,1=O,porqucde locontrariopodriamosescribirucomounacombinación
linealde
\'1'"2"..,""dividiendolaecuación(8)entre C"+Iyponiendotodoslostérmi
nos.excepto
u,enelladoderecho.Pero siC"-'-I=O.entonces(8) es
Loquesignificaque el=c~== c"=Oyaquelos Visonlinealmenteindependientes.
Ahorasea
IV=gen{vI'\'",v
n
'
uf.Comotodoslosvectoresentrelasllavesestan
enV.Wesunsubespaciode V.ComovI'v
r...,v"'usonlinealmenteindependientes,
formanunabasepara
W.ydimW =11+1.Peropor elteorema4,dimW ~n.Esta
contradicciónmuestraque
1/0existeelvectoru EVtalqueu Ii!:gen{VI'\'!,..•,vJ.Asi.
VI'vr""\'"generaa Vy,porlotanto.constituyeunabasepara V.

2.EnP
l
:
-l\-.I+_,..2..,.:-5
4.EnP,:.,.:-1.x
2
-2..,..2-3
6.EnJ\:1+x.2+Xl.3+Xl.1
problemas46
".6BasesydimensIÓn 339
AUTOEYALUACIÓN
InJiqllecllálesJelos siglliente~' emmd(IJossonl'erJaJeros
1.Cualesquieratresvectoresen (¿lformanunabase p<lra(¿l.
11.Cualesquieratresvectoreslinealmenteindependientes enI)lformanunabasepara (¿l.
111.Unabaseenunespaciovectorialesúnica.
IV.SeaHunsubcspaciopropiode 1)'.Esposibleencontrar cuatrovectoreslinealmente
independientesen
H.
V.SeaH={[;)2X+IIY-11'=o}Entoncesd;mH=2.
VI.Sea{VI'\'2'•.••,)unabasepara elespaciovectorial V.Entoncesl/Oesposible
encontrarunvectorveVtalqueu i¡!:gen{\'I'\'2'...'V).
VII.1[2O),[OJ),[OO),[OO))esu~abaseparaM".
OOOO -1OO 12 --
Delosproblemas1al 13determinesielconjuntodadoesunabasepara elesp:lciovectoriala
que
serefiere.
l.EnP
l
:
1-xl.x
3.EnPl:-h.x+3x~.x+2
5.EnP
J
:
1.1+x.I+x
2
•
1+.,-J
7.EnP
J
:
3.x
J
-
4x+6.x
2
8EnM,,[~~W ~),¡-~ ~H~_;)
9.EnM,,(~~W ~)(~ ~)(~ ~)dondeabcd.O
lO.En'1"[-;~H~ :H~ ~H~ -~H~ ~)
11./-/={(x.y)ell':x-y=01:(I.I).(4.4)
12.N=1(x.y)elr:x+y=Of;(I.-I)
IJ./-/=I(x.y)ell':x+y=OI:(I.-I).(-J.J)
14.Encuentreunabaseen (¿lparaelconjuntodevectoresen elplano2x-)'-; =O.
15.Encuentreunabaseen I)lparaelconjulUodevectoresen elplano3x- 2.1·+:=O.
16.Encuelllreunabaseen J)lparaelconjunlode\'cctoresen larectax/2=.1'/3-;/4=o.
17.Encuentreunabaseen J)lparaelconjuntodevectoresen larectax=3(..l"=-11.: ='!t
18.DemuestrequelosunicossubespaciospropiosenDl sonrectasquepasan porelorig.:n

3-10 EspaciosvectOriales
19.En IJIsea¡.¡=l(.l'.y.=.11'):(IX+by+e+till'=01.dondea.b.c."'#O.
a)DemuestrequeHesunsubcspaciodeIJ'.
h)Encuentreunabasepara H.
e)¿,Cu¡i.ntovale dimfn
20.EnIl?"unhiperplanoquecamicncaO esunsubcspaciodedimensión 11-\.SiHesunhi·
perplllno
enl?"quecontiene tiO.demuestreque
H={(XI"x~....x.):"1"\"+tI!x
2
+...+tI.x.=O}
donde(¡I'"!.....0.sonnúmerosrealesfijos.notodoscero.
21.En 11encuentreunabase paraelhiperplano
H=1(-'"1'-'"1"Xl'-'"4'x/2.\"1~3.\"2+-'"3+4x
4
-
X,=Ol
Dclosproblemas 22al28encuentreunabaseparaelespaciodesolucióndelsistemahomogé
neodado.
22.x-)'=0 23.x-2)'=O 24.2x+J
~O
-2x+2)'=O 3x+)'=0 x-J)'~O
25.x-y-:=O 26.x-3y+-~O
-
2x-y+=~O -2x+2y-3=~O
4x-8y+5:=O
27.2\'+3.1'-4==0 28.2x- 6.1'+4==O
x-J+-~O -x+3)'-2:=O-
2,"+8.1'-10,~O -3.\"+9.1'-6,~O
29.Encuentreunabase paraD,.clespaciovectorialdcmatricesdiagonales de3x3.¿Cuales
ladimcnsióndeD
J
?
JO.¿CuálcsladimensiónD•.elespaciodematricesdiagonales deJIxII?
31.Sca 5""elespaciovectorialdcrn<ltriccssimétric<lSde 11x//,DemuestrequeS""esunsubes
paeio
deAl""yquedirnS,,,,=[11(11+1)J/2.
32.SupongaqueVI'\'1'...'\'",sonvectoreslinealmenteindependientesenunespaciovectorial
Vdedimensión 11y111<11.Demuestreque1\'1'\'1'....v."lsepuedeaumentaraunabast
paraV.Estoes.existenvectores \''''.1'vm.~'....\'.talesque{VI'\'~•....\,)esunabase
[sugerencia:vealademostmcióndelteorema 5].
33.Sea 1\'1'\'2'...•\'.1unabaseen V.$canu
l=VI'u:=VI+\'1'U
J=\'1+V:+"J'•.••U.=\'1..;..
\'2+...+".'Demuestrequelu"u
2
•••••u.}estambiéntinabaseen V.
34.Demuestre quesi{"l'v
r....,)generaa V.entoncesdimV:S11.[Sugerencia:utiliceel
resultadodelproblema4.5.56.1
35,
$canffyKdossubespaciosdeVtalesqueH!;;;;KYdimH=dimK<oo.Demuestreque
H=K.
36.Sean¡.¡yKdossubespaeiosde V.Defina¡.¡+K={h+k:h EffYkEK}.
a)Demuestrequeff+Kesunsubcsapcio deV.
h)SiHnK=lO}.demuestre quedim(ff+K)=dimH+dimK.
*37.Si¡.¡esunsubespaciovectorial dedimensiónfinita V.demuestrequeexisteunsubespacio
tinicoKdeVtalquea)HnK=IOlyb)H+K=JI.
38.Demuestreque dosvectores\'1y\'1cn02con puntosterminalcscn clorigcnsoncolineales
siysólosidimgen {\'I'v:l=l.

4.6Basesydimensión J..t1
39.Demuestrequeloslresvectores "1'""Y'"en1)'conpunloslermina1csen elorigenson
copl'lllares
siysólosidimgen 1"1'"~"o",1s1.
40.Demuestrequecualesquiera 11vectoresquegcneran unespacioVdedimensión 11forman
lInabasepara
V.{s/lgermcia:demuestreque silos11vectoresnosonlinealmenteindepen.
dien!es.en!oncesdim
V<11).
·41.Demuestrequetodosubcspaciode unespaciovectorialdedimensiónfinilatieneuna
base.
42.Encuen!redosbasespara
~quecontengana (1.O.1.O)Y(O.1.O.1)Ynotenganotros
,'ccloresencomun.
43.¿Paraquévaloresdelnumerorealalos"cctores
(a.l.O).(l.O.a)y(1+a.1-a)constitu
yenunabasepara
~
RESPUESTAS ALAAUTOEYALUACIÓN
1.F
•MATLAB4.6
11.V 111.F IV.F V.V VI.V VII.V
Losproblemasenestasección
seconcentranen eltrabajoconbasespara /0(/012"(otodo P~O
todo
M_).Losproblemasen lasección4.7 seconcentranenbasesdesubespacios.
1.a)Verifiquequelosconjuntosdadosen elincisob)formanunabasepara eleSp<lciovee·
torialindicado.Expliquecómo
ses<tlisfacecadaunadelaspropiedadesde ladefinición
dellnabase.
h)Genereunvectoraleatorioen elespaciovectorialdado.Demuestreque setratadeuna
combinaciónlinealdelosvecloresde
labaseconcoefieienlesúnicospara lacombina
ciónlineal.Repilaparaotrosdosvectoresaleatorios.
I I2
'f25)[_101)[~O)
-1 O4
;.P7.7. 6.5 ji.P'OJ-1
8 -1 -1 2-1J
I I
¡ii.i(I-1)(21)(IJ)(-154)}
M"21.22.1.-1l'-2O'4.35
(Veaelproblema10deMATLAI34.4)
h'.P~{x'- Xl+2x+1.x·+3.\"2-X+4.2x~+4x
J
-
.,-2+3x+5.
x'+Xl-2,-2+x.x·+_,..1+.,-2+X-1:
2.Paralosconjuntosdevectoresen elproblema9b)deMATLAB4.5demuestrequeesos
conjuntosgeneransurespectivoperonoformanunab'lse.Paracadaconjunto.genere
unvcctoraleatorio wensucorrespondiente)'verifiqueque wesunacombinaciónlineal
delconjuntodevectoresperoqueloscoeficientesde
lacombinaciónlinealnosonúnicos.
Repilaparaotrosdos"cclores
w.
3.Paracadabaseen elproblemaJdeMATLABdcestasección:
a)Elimincunvectordelconjuntoymucstrequc elnucvoconjuntono esunabase.descri·
biendoquépropiedaddelasbasesno
sesatisface.Repita(elimineotro\'cctor).

342 C"'íTULO4 Espaciosvectoriales
h)Genereunvectoraleatorio wenelespaciovectorial.Agregue walconjuntodevectores.
Muestreque
elnuevoconjuntonoesunabase.describaquépropiedadno sesatisface.
Repilacon
OLrow.
e)(Lúpi::.ypapel) Escribaunademostración.basadaen laform,lescalonadareducida por
renglones,deque lInabaseenV"debecolllencrexactamente11vectoresyunademostra
cióndequeunabase enP"debeconlenerexactamente 11+Ivectores.
4.a)LadimensióndeM):es6.Generecincomatricesaleatoriasen MJlymuestrequeno
formanunabasepara
M)2'describiendolapropiedaddelasbasesquenosesalisface.
GeneresietematricesaleatoriasenM
J2
ymuestrequenoformanunabase paraM
J2
,
describalapropiedadquenosesatisface.
h)(Lápi:ypapel)Escriballnadcmostrnciónbasadaen laformaescalonada porrenglones
reducidos.deque
ladimensiónde Mimoes11111.elproductode 11y11/.
5.Considerelasmatricesen elproblema2deMATLABI.Sylasmatricescuyascolumnasson
losvectores
enlosconjuntosdevectores dadosenelproblema1 b)i)Yii)deestasección.
a)Determinepara cadamatrizA(digamosquesulamaíioes 11X11)siesinvenibley silas
columnasde
Aformanunabasepara 1)".
b)Escribaunaconclusiónrelacionandolapropiedaddeinvertibilidad conlapropiedadde
quelascolumnasformenunabase. .
d(Lápi:ypapel)Pruebesuconclusión.
6.u)(Lápi:Jpapel)Supongaque 1\'1"...",1esunabasepara t:t.Supongaque "'1=A"l"
"'2=A\'~....•W,=A\',"paraalgunamatriz Ade11x5.Contestelaspreguntassiguien·
tes
paracompletarladescripciónde cómoencontmrAwparacualquierwsinadamas
sesabeloque Alehacea labase.
i.DadocualquierWenD.argumenteporquéW=C¡"I+...+("\'5'donde('l"...l'~
sonlJnicos.
ii.Muestreque
Aw=("1\'1+...+('5W5"
c,
c,
iii.Argumente
porquéAw=[w
1
w
1
WJ
"'4"'5]el
e,
e,
h)Sea1"1'""\.)labaseenI)'idadaenelproblemalb)ii)deestaseccióndeMATLAB.
Supongaque
EncuentreAw,
donde
o
-10
i.w= 9
-6
-4
ii.w=2*rand(5,I}-l

4.7Rango.nulidad.espacio delosrenglonesy espaciodelascolumnasdeunamatriz 343
e)Repitab)para
1 O O O O
O 1 O O O
04\',=OA\'1=OA\')=1A\'4= OA\'j=O
O O O
1 O
O O O O 1
mRANGO,NULIDAD,ESPACIO DELOSRENGLONES YESPACIO
DELASCOLUMNAS DEUNAMATRIZ
Enlasección4.5seintrodujolanocióndeindependencialineal.Sedemostróque siAesunama
trizinvertiblede
11X/1.entollceslascolumnas ylosrenglonesdeAformanconjulltosdevectores
linealmenteindependientes.Sinembargo,
siAnoesinverlible(demanera quedelA=O),osiA
noesunamatrizcuadrada.entoncesestosresultados nodicennadasobreelnúmeroderen
glonesocolumnaslinealmenteindependientesdeA.Esoes
loqueseestudiaráenestasección.
Tambiénsemostrará
laformaen lacualsepuede obtenerunabase p<Haelespaciogeneradode
un
conjuntodevectoresmediante lareducciónpor'renglones.
Sea
AullamatrizdemX11Ysea
,-----------,
Elespacionulodeunamatriz
/V~={xEV':Ax=O}
(1I
DEFINICIÓNa
Entonces,comosevioenelejemplo4.6.10 delapágina337, NAesunsubespacio de[t.
Espacionulo ynulidaddeunamatriz
NAsedenominaelespacionulode Ayv(A)=dimNAsedenominanulidadde A.SiNA
contienesóloalvectorcero,entonces v(A)=O.
Nota,Elespacionulo deunamatriztambién seconocecomokernel.
ElIiIIIIIL_E_s~p_a_c_;o_n_u_lo...:..y_n_u_I_ld_a_d_d_e_u_n_a_m_a_t_,_iz_d_e_2_x_3 __
(
12
-1)
Sea04=2-13'Entonces,comosevioen elejemplo4.6.11delapágina337, NAestá
genccadopoc[-:Jyv(AI~1.
Sea
EJEMPLO 2 Espacionulo ynulidaddeunamatrizde3x3
A=[ ~ =~ ~].Entoncesporelejemplo4.6.12de lapágina338.
-63-9
basepara N'I'yveA)=2.

CH'rrll.o-4
TEOREMAa
L.DEMOSTRACIÓN
DEFINICiÓNE3I
EspacIOSVKtooales
ScaAunamatrizde 11X11.EntoncesAesinvcrtiblesiysólosiv(A)=O.
Deacuerdoalteoremaderesumen(teorema4.5.6.página320.parles i)yji)],Aesin
vertiblesi
ysólosila(micasoluciónalsistemahomogéneo Ax=Oeslasolucióntrivial
x=O.Perosegunlaecuación (1).estosignificaque AesinvertiblesiysólosiNA=101,
Asi.Aesinvertible siysólosiv(A) =dimNA=O.
Imagendeunamatriz
SeaAunamatrizde11Ix11.Entonceslaimagen deA,dcnotadaporIm(A).esta dada
PO'
TEOREMAE3
Im(A)={yE : Al'=)'paraalgunax E
SeaAunamatrizdemX11.Entonceslaimagen deAIm(A)esun SUbesP:ICiode
(2)
L.DEMOSTRACIÓN
DEFINICiÓNE:I
DEFINICIÓNa
Supongaque)'1yy:.estánenIm(A).Entoncesexistenvectores XIyx~enV"talesque
Y
1
=AX
l
Y
"2=Ax~.Porlotanto
A(ax
l
)
=aAx
l
=aY
I
y
A(x
1
+x
2
)
=AX
I
+Ax~=)'1+Y
2
PorloqueaY
1
yY
I
+Y¡estánenIm(A). AsLdelteorema4.3.1,Im(A)es unsubespacio
dell".
Rangodeunamatriz
SeaAunamatrizde11IX11.EntonceselrangodeA,denotadoporP(A),estádadopor
p(A)=dimIm(A)
Sedamndosdefinicionesyunteoremaquefacilitar.inenciertamedida elC'.ilculodelrango.
Espaciodelosrenglonesyespaciodelascolumnasdeunamatriz
SiAesunamatrizde 11/X11,sean{rl'r
2...,.r..}losrenglones deAy{el'c2'....e)las
columnasdeA.Entoncessedefine
R
A
=espaciodelosrenglonesdeA=gen{r"rr'...r.J (3)
y
CA=L'S)Jaciodelascolumnasde A=genlc
l
,
c
l
•...•cJ (4)
NtJta.R~esunsubcspaciode yeleSunsubespaciode

TEOREMAE:I
LDEMOSTRACIÓN
EJEMPLO]
4.7Rango,nulidad,espaciode losrenglonesyespaciode lascolumnasdeunamatriz .3-t5
Sehaintroducidounagrancantidaddenotaciónentansólotrespúginas.
Antesdc
darunejemplo.sedemostraráquedosdeestoscuatroespaciossonlosmismos.
Paracualquiermatriz
A,C...=Im(A).Esdecir,laimagendeunamatriz esigualalespa
ciodesuscolumnas.
Parademostrarque
C,t=Im(A),sedemuestraque Im(A)~C...eIm(A)~ C....
LSequiereprobarqueIm(A) ~C....Supongaque yEIm(A).Entoncesexiste un
veclorxtalque y=Ax.Perocomo seobservóenlasección 1.6delapágina 58.
Axsepuedeexpresarcomounacombinaciónlinealdelascolumnasde A.Porlo
tanto.yEC...'demaneraque [m(A)~C,t'
ii.Sequiereprobarquelm(A) ~C,t'Supongaque yEC....Entoncesysepuedeexpre
sarcomounacombinaciónlinealdelascolumnasde
Acomoen laecuación(1.6.9)
de
lapágina64.Seaxelvectorcolumnadeloscoeficientesdeestacombinación
lineal.Entonces.igualque
enlaecuación(1.6.9), y=Ax.Así,yE[meA).loque
pruebaque
Im(A)~CA'
CalculodeNA'v(A),imagenA.p(A),R
A
YCAparaunamatrizde2x3
SeaA=(~2-IJ.Aesunamatrizde 2X3.
-13
TEOREMAa
LDEMOSTRACiÓN
i.Ele~paáoI/ulodeA=N...={xE1)3:Ax=O}.Comosevioenelejemplol.
N,=genf:]}
ii.LanulidaddeA=veA)=dimNA=l.
iii.SesabequeIm(A) =C,t'Lasprimerasdoscolumnasde Asonvectoreslinealmenteinde
pendientes
enVy,por10tanto.formanunabasepara V.La¡meA)=(,=V.
h',peA)=dimIm(A)=dimV =2.
v,EleJj}(lciodelosrenglo/lc.I'deA=RA=gen{(l.2.-J),(2.- J,3)}.Comoestosdosvecto
ressonlinealmenteindependientes.
sevequeR
A
esunsubespaciodedimensióndosde !Y.
Delejemplo4.6.9delapágina336, seobservaque R
A
esunplanoquepasa porelorigen.
Enelejemplo3 il')seobservaquep(A) =dirnR
A
=2.loquenoesllnacoincidencia.
SiAesunamatrizde mX/1,entonces
dim
R
A=dimC,t=dimIm(A)=peA)
Comoesusual.sedenotapor aijlacomponenteijdeA.Debemosdemostrarquedim R
f
=dimCA'Losrenglonesde Asedenotanporr
l
,
r
1
,
...,r
m
,
yseak=dimR,t'SeaS =
{sI'S1'...,Sk}unabasepara R....Entoncescadarenglónde Asepuedeexpresarcomo
unacombinaciónlinealdelosvectoresenS.y
setiene,paraalgunasconstantes a
q
•

3-16 c.\piTu.o4 EspacIOS~onales
(5)
Ahoralacomponentejder
jesaifEntoncessiseigualanlas componenlcsjdeambos
ladosde (5)ysehaceSI=(511'S'7.'.••SOr)'seobtiene
(lij=all"'l)+a
ll
s
2
)+o••+al.ls~
a~i=a
2,sll+aU.sl;+...+ a1lst¡
esdecir.
a"
::;=s[:::)=."[:~]+...+s[:::l
I¡:.1:ti:
. . .
Q.,,¡ Q., a.
1 a...
(6)
Sea~elvector .EntoncescomocItadoizquierdode(6)es lacolumna)deA,se
a.
observaque cadacolumnade Asepuedeescribir comounacombinaciónlineal dea:.
a;....,a;.loquesignificaquelosvectores a:.a;.....a;.generana C,ly
dimC
A
:5k=dimR..l (7)
Perolaecuación (7)secumpleparacualquiermatriz A.Enparticular,secumplepara
A'.PeroCAl=R,¡YR,¡I=CA'Comode(7)dimCAI:s;dimR
A
"
setiene
dimR,4:5dimCA
Combinando(7)y(8)laprueba quedacompleta.
(8)
~L.._C_a_lc_u_lo_d_e_lm-,-(A..:)..:y..:p..:(..:A,-),-p_a_'a_u_n_a_m_at_'_iz_d_e_3_x_3 __
Encuen"eunabasepamIm(A)ydetermine elmngodeA=(J
•Solució" Comof
l
::2r
l
yr
j
""-3r
l
,
sevequeP(A)=dimR,.=l.Asi.todacolumna enCAesunabasc
pamC,=Im(A).Pocejemplo.[_:]esUllabasepanl Im(A).
Elsiguienteteorema simplificaráloscalculosdelaimagen. elmngoy lanulidad.

TeOREMAa
L.DEMOSTRACiÓN
TEOREMAm
EJEMPLO 5
~.7 Rango,nulidad,espaciodelosrenglonesy espaciodelascolumnasdeunamatriz 347
SiAesequivalenteporrenglonesa B,entoncesR;l=RII'p(A)=p(B)YveA)=v(8).
Recuerdequesegun
ladefinición1.8.3de lapágina104,Aesequivalenteporrenglones
a
BsiAsepuede"reducir"a8medianteoperacioneselementalesconrenglones.Su
pongaqueCeslamatrizobtenida
alrealizaroperacioneselementalesen A.Primerose
muestraque
R"=R("Como8seobtienerealizandovariasoperacioneselementalescon
losrenglonesde
A.elprimerresultado,aplicadovariasveces,implicaráque R"=RIf
Caso1:Intercambiodedosrenglonesde A.EntoncesR"=R
c
porquelosrenglonesde
Ayesonlosmismos(escritosendiferenteorden).
Ca.m2:Multiplicacióndelrenglón ideApore:'!:O.Silosrenglonesde Ason1rl,r!,.
r¡,...,r",LentonceslosrenglonesdeCson{rl'r
2
,
•••,tri'...,r,,).Esobvioquecrj =
l.{r)yrj=(llc)(cr).Deestaforma,cadarenglónde eesunmúltiplode unrenglónde A
yviceversa.loquesignificaquecadarenglónde eestáen elespaciogeneradoporlos
renglonesde
Ayviceversa.Setiene
R"S;;ReYRcS;;R",porlotantoRe=R"
Caso3:Multiplicacióndelrenglón ideApore:'!:OYsumadelmismoalrenglón).Ahora
losrenglonesde
Cson1rl,r
2
,
...,r
p
...•r¡+er¡,...,rOl).Enestecaso
r.=(r.+er.)-er.
J~1"
renglónjdeerenglón¡dee
Demaneraquetodoslosrenglonesde Asepuedenexpresarcomounacombinación
linealdelosrenglonesde
eYviceversa.Entonces,comoantes.
R"s;;ReYReS;;R
A
,
porlotantoRe=R
A
Sehademostradoque R"=RB'Porlotantop(R)=p(R
8
).Porúltimo,elconjunto
desolucionesde
Ax=Onocambiabajolasoperacioneselementales.Así. NA=NI/"Y
entonces
veA)=v(8).
Elteorem,l5esdesumaimporlHncia.Indica.porejemplo.que elrangoyelespaciodelos
renglonesdeunamatrizson
10mismoque elrangoyelespaciodelosrenglonesde laforma
escalonadadedichamatriz.Noesdificilprobar
elsiguienteteorema(vea elproblema50).
Elrangodeunamatrizesigualalnúmerodepivotesensuformaescalonada porren
glones.
Cálculode IJ(A)yR,Il.paraunamatrizde3x3
Delermineel""'goyel"p"ciodelosrenglonesdeA~[~ -~ ~lLaformaescalonad"por
renglonesde Aes[~ ~: -~]=B.Como8tienePiVOle~: P(~J)=1dimR"=1.Unabasepara
OOO
R,rconsisteenlosprimerosdosrenglonesde B:
R,I=gcnl(1.-1.3).(0.1.-l)}

348 Espaciosvectoriales
Ellcorcma5es otjlcuandosequiereencontrarunabasepara elespaciogeneradopor un
conjuntode\"ectares.
EJEMPLO 6
•Solució"
Determinacióndeunabaseparaelespacio generadoporcuatrovectores enpJ
Encuentreunab:lscpara elespaciogeneradopor
See.xpresanlosvectorescomorenglones deunamatrizAydespuCssereducelamatriza laforo
maescalonadaporrenglones. Lamatrizque seobtienetcndrdelmismocsp<lcioderenglones
2-J
[,
2
-JI
-2O4
O
queA.Laformaescalonada porrenglonesdeO es
2
.quetieoe
4-2
OO O
-2-46
OO O
dospivOlCS-
EntoncesllnabaseP¡.Jrtlgen¡"I"\'~.\'3""Jes
Ul
O
,
,
2
.Porejemplo.
O
,
2
EJEMPLO7
•So/"ció"
Existeuncaminorelativamentesencilloparaencontrar elespacionulodeunamatriz.
Cálculodelespacionulo deunamatrizde4x4
[
'2
-4J]
25 6-8
Encuentreelesp.ICIOnulode,'=
O-1-1414
36 -129
L1formaesc¿llonadaporrenglonesreducidos deAes
[
'O
O,
u=
OO
OO

-t7Rango.nulidad.espaCJodelosrenglonesy espaciodelascolumnasdeunamatriz .3-19
Siguiendoelmismorazonamicntoqueen lapruebadelteorema 5,lassolucioncsa Ax""Oson
[
X']lasmismasquelassoluciones'l Ux=O.Six= x~.entoncesUx=Odacomoresultado
x,
x,
XI-32x]+3Ix~=0
x~+14x,-14x~=0
11
Xl=32x]-3Ix~
x~=-14x]+14x~
Demanemque sixENI'entonces
[
32.<,-31x,][32][-31]
=-14.\")+14.1".=.-14 .14
x .\] +_\,
~ O O
~ 1 I
basepamN,
Elprocedimientousadoen elejemplo7siempre sepuedeutilizarpllrJ.encontrarelespacionulo
deunamatriz.
Sehaceaquiunaobservacióngeométricainteresante:
Todovectoren
elespaciodelosrenglonesdeunamatrizreal esortogonalatodo vec
torensuespacionulo.
•
Ennotaciónabreviadaesto sedescribecomo R,¡.1NA'Pamver porqué.considerelaecua
ción
As=O.SiAesunamatrizde mXIf.entoncessetiene
[
a"
lI
tl
°..1
•.•a"1["1[0]
0:.x:=O
(I_'\".O
Ir
32][-31I
~ -14 I~
El1clcJcmpI117.R,~gcl1l(1.0.-32 31).(0,1.14.-14J1yN,~gcl1 ~. ~
Ellectordebeverificarquelos\'ectoresde labasepamR
A
•
enefecto.sonortogonalesalos
vectoresde
labasepardN
j
,
Sif,denotaelj·esimorenglónde A.sevedelaecuaciónanteriorque r,.x""Opara¡""l.2.
•••• 111.Asi.sixEN~.entoncesr¡.1xpara; =l.2.....1/1.PerosiyERl'entonces~' =("r
+...+"..f••paraalgunasconstantes",. c:_....e•.Entoncesy.x=«('Irl+("l1+..,+c..r,.,1
.x=('lf,.X+C:f:'s+...+("",rOl's""O.loqueprueba laafirmación

350 CAPíTULO4
TeOREMAE:I
Espaciosvectoriales
Elsiguienteteorema d<llarelaciónentre elrangoylanulidad.
SeaAunamatrizde 111x11.Entonces
peA)+veA)=11
Esdecir.elrangode Amáslanulidadde Aesigualalnúmerodecolumnasde A.
L.DEMOSTRACiÓN Sesuponeque k=peA)Yque[asprimeras kcolumnasde Asonlinealmenteindepen
dientes.Seac
i
(i>k)cualquierotracolumnade A.Comoel'c~,...,c,formanllnabase
para
CA'setiene,paraalgunosescalares tl
l
,
(/1'.•.•(11"
C."""Iel+ale,+...+a,e,
Asi.sumando-a¡e
l
,
-ale
l
,..,-o,c
k
,
sucesivamenteala i-ésimacolumnade A,se
obtienellnanuevamatrizBde 111X11conpeS)=peA)YveS)=veA)conlacolumnai
deBiguala O.tEstosehaceatodaslasdemúscolumnasde A(exceptolasprimeras k)
paraobtenerlamatriz
[""
a
l2
a
lt
OO
¡]
a"~ a!!
""
OO
D=-
".,
a
m2 a..l
OO
Dondep{D)=p(A)YveD)=v{A).Medianteunposiblereacomododelosrenglonesde
D.sepuedesuponerquelosprimeroskrenglonessonindependientes.Despucssehace
lo
mismoconlosrenglonesde(estocs. sumarmúltiplosdelosprimeros krenglonesa
losúltimos
111-k)paraobtenerunanuevamatriz:
""
al!
tl
u
O O
a!!a
ll a"
O O
F=
a"ti!:! tI¡J,O O
OO OO O
OO OO O
dondep(F)=peA)Yv{f)=veA).Ahoraesobvioquesii>k,entoncesFe..=O.:dema
nera
queEl:={e
hl
,eh!'".,e)esunconjuntolinealmenteindependientede 11-kvec
toresde
NrAhorasedemostraráqueEl:generaN
r
Seax ENFunvectordelaforma
:1:=
x,
x,
•
tEstosededuceconsiderando A·(lascolumnasde AsonlosrenglonesdeAl
,RecuerdequeeeselvectorconununoenlapoSICióniyceroenlasotraspoSICiones

4.7Rango,nulidad,espaciodelosrenglonesyespaciodelascolumnasdeunamatrrZ 351
Enlonces
(/IIXI+(/1r1;1+..+(/llX¡
lI¡lxl+(/11X1+..+(/11,TI
=[r]
0=Fx=Ql1X
1
+a
12
x
1
+...+aUx
t
O
O
Eldeterminantedelamatrizdelsistemahomogéneode kXkdadoesdiferentedecero.
yaquelosrenglonesdeestamatrizsonlinealmenteindependientes.Deestaforma.la
(micasoluciónalsistemaes
x.=Xl=...==Xl=O.Entoncesxtienelaforma
Estosignificaque
E
t
generaN,-de maneraquev(f)=11-k=11-p(F)loquecompleta
laprueba.
Nota.Sesabequep(A)esigualalnúmerodepivotes lilaformaescalon;lda porrenglonesde
Ayesigualalnúmerode
columnasdelaformaescalonada porrenglonesdeAquccOlltienen
pivotes.Entonces.delteorema7.
v(A)=númerode columnasdelaformaescalonada porren·
glones
deAquenocontienenpi\'oles.
1IIImiIIIIII,--_'_lu_,_,_,a_'_io_'n_d_e_q,-u_e-,p-,(_A.cl_+_v(,-A-,l_=_n__
(
'2
-1)ParaA= secalculó(enlosejemplos 1y3)quep(A)=2Y veA)=1:estoilustra
:2-\3
quep(A)+v(A)=11(=3).
1IIIIIIIII__I_'u_'_'_'a_'_io_'n_d_e_q,-u_e-,p-,(_A.cl_+_'_'(,-A-,l_=_n__
[
I
-13)
ParaA=2O4 calculev(A).
-1-JI
•Solución
TEOREMAm
L.OEMOSTRACtON
Enelejemplo5 seencontróquep(A)""2.Asi.v(A)=J-2 =l.EI1cctorpuededemostraresto
direclamenlOresolviendo
el,iSlCmaAx =Opacoeneo""arqueN,="cei[-;J¡,
SeaAunamatrizde11X1/.EntoncesAesinvertiblesiysólosip(A)=1/.
Porelteorema1.Aesinvertiblesiysólosiv(A)=O.Peroporelteorema7.p(A)=11~
v(A).Así.Aesinvertiblesiysólosip(A)=11-O=11.

352 EspaCIosvectonales
Ahorasedemostrará laaplicacióndelconceptoderango. P¡lrlldeterminarsiunsislcm:lde
ecuacioneslinealestienesolucioneso siesinconsistente.Denuevo.seconsideraelsistemade
111ecuacionesen "incógnitas:
011'1"1+U11.T!+o••+ul.x.=b,
(I!IXI+Un.T!+...+ a!.x.=b¡
(9)
TEOREMAm
L.OEMOSTRAOÓN
EJEMPLO10
•Soludón
EJEMPLO11
loqueseescribe comoAl'=b.Seutilizaelsímbolo(A.b)paradenotarlamatrizaumenwda
de111x(11+1)obtenida(comoenlasección1.3)agregando el"Cl;lorbaA.
ElsistemaAx=btienecuandomenosunasolución siysólosibEC".Estoocurrirúsi
ysólosiAylamatrizaumentada (A.b)tienenelmismorango.
Siel'el'....c.sonlascolumnasde A.entoncespodemosescribir elsistema(9) como
xle
l+x
2c!+...+x.c.=b (10)
Elsistema(10)tendrásolución siysólosibsepuedeescribircomounacombinación
linealdelascolumnas
deA.Esdccir.paratenerunasolucióndebemostenerb ECA'Si
bECA'entonces(A,b)tieneelmismonúmerodecolumnaslinealmenteindependientcs
de
AasiqueAy(A.b)tienenelmismorango. SibItC
l
•
entoncespeA.b)=P(A)+Iy
elsistemanotienesoluciones.Estocompleta laprueba.
Usodelteorema9paradeterminarsiunsistematienesoluciones
Determinesielsistema
2x,+4x,-+6x
J
=18
4x
I
+5x,-+6x
J
=24
2x
l
+7x,-+12x
J
=40
tienesoluciones.
~]yprAl=2.La
Usodelteorema9paradeterminarsiunsistematienesoluciones
Determinesielsistema
XI-x~+2x)=4
2x
I
+x'--3x)=-2
4x,-x'-+x
J
=6
tienesoluciones.

4.7Rango.nulidad.espaciodelosrenglonesyespaciodelascolumnasdeunamatriz 353
•Solució"
S,,,AO[~ ~:-:)EntoncesdeIA~Odemancmqncp(A)<3.Comoi«p,;'nemcolnnn'"
noesunmúltiplode lasegunda.esevidentequelasprimerasdoscolumnassonline,llmente
independientes;asíp(A)
=1.ParacalcularpeA.b)sereduceporrenglones:
2
-7
[
0
0
1
-:
3-7
-12
-3
-1[~
Sevequep(A.b)=1Yexisteunnúmeroinfinitodesolucionespara elsiSlema(sihubierauna
soluciónunica
selendriadel A:t:.O).
Losresultadosdeeslasecciónpermitenmejorar elteoremaderesumen.visto porúltima
vezenlasección4.5de lapitgina314.
TEOREMAm Teoremaderesumen(puntodevista6)
SeaAunamatrizde 11x11.Entonceslassiguientesdiezafirmacionessonequivalentes;
esdecir.cadaunaimplicaalasotrasnueve (siunasecumple.todas secumplen).
i.Aesinvertible.
ii.Laúnicasolución alsislemahomogéneo Ax=Oeslasolucióntrivial(x =O).
¡ii.ElsistemaAx=btieneunasoluciónunicaparacadélll-vector b.
iv.Aesequivalenteporrenglonesalamatrizidentidad, In'de11X11.
V.Asepuedeexpresarcomo elproductodematriceselementales.
vi.
Laformaescalonadaporrenglonesde Atiene11pivotes.
vii.Lascolumnas
(yrenglones)de Asonlinealmenteindependientes.
viii.det
A:t:.O.
Ix.viAloo.
x.p(A)=11.
Másaún. siunadeellasno secumple.entoncesparacadavectorb EIl'.elsistemaAx
=bnotienesoluciónotiene unnúmeroinfinitodesoluciones.Tiene unnúmeroinfinito
desoluciones
siysólosipeA)=peA.b).
prgblemas47
AUTOEVALUACIÓN
Elijalaopciónquecompletecorrectamentelossiguientesenunciados.
Elmogode lamale;,[ ~
2 ]
;)es
1. 2-1
O3
a)1 h)2 e)3 d)4

354 Espaciosvectoriales
11.Lanulidaddelamatrizen elproblema1es _
(1)[ h)2 e)3 d)4
111.Siunamatrizde5x7tienenulidad 2,entoncessurangoes _
h)] e) 2 d)7
e)Nosepuededeterminarsinmásinformación.
IV.Elmngod,1""',,",'[~: ~)es _
a)1 b)2 e))
V.Lanulidaddelamalrizen elproblemaIVes _
a)O h)I e)2 ,~3
VI.SiAesllnamatrizde4X4Ydet A=0,entonceselvalormáximoposibleparapeA)
os _
a) b) 2 e)3 (1)4
VII.EnelproblemaIVdim C"= _
a)I h)2 e))
VIII.Enelproblema[dim RA- _
a)I
Falso-l'en/aJero
b)2 e)) d)4
IX.Encualquiermatriz demX11.CA=R'I"
X.Encualquiermatriz demX11.CA=¡meA).
RESPUESTAS ALAAUTOEVALUAC'ÓN
1.e) 11.a) 111.a) IV.a) V.b) VI.e)
VIL
a) VIII.e) IX.F X.V
Delosproblemas1al20 encuentreelr<lngoylanulidadde lamatrizdada.
r:~J r:
-1
~J [;
-2
:]
1. 2. 3.
I -1
[~' ~]
U
-1
:] [~
-2
~]
]
4. 5. 1 6. 4
-6
O 6
[;
-1
:]
[~'
2
-~) 9[ ~
-12
:]7. I 8. -4 14.,
-1 -]6 O66

-1.7Rango.nulidad.espaciodelosrenglonesyespaciodelascolumnasdeunamatriz 355
U
-12
n
11 [~
42
~)(-~n
lO. 14 O1 12.
O6 O-1
[l
-12
~Jn
1O
f][~'
-12
)]
1O -1O O 1
13. 14. 15.
O1 O-2 -25
OO O -11
[-;
-12
iJ
[-~
-1O
~J
2
(~
O
~)
--l O2
16. 17. 18. O
-24 O-2
-36 O
O-1
[~
O
~) (~
2
:)
19. O 20. O
2 O
Delosproblemas21:,127encuentreunabaseparalaimagenyelespacionulodelamatriz
dada.
21Lamatrizdelproblema2 22.Lamatrizdelproblema7
23.Lamatrizdelproblema8 24.Lamatrizdelproblema10
,-
Lamatrizdelproblema15 26.Lamatrizdel problema16-,.
27.Lllmatrizdelproblema17
Delosproblemas28al32encuentreullab,lSCpar.1elespaciogenerado porlosconjuntosde
vectoresd,ldo&
28.lJfnlJ)
29.(1-2.3).(2.-14).(3.-3.3).(2. 10)
30.(1-2.1).(-1.-1.4).(3.-3.3).(0.1.O)
31.(1.-1.1.-1).(2.0.0.1).(4.-2.2.1).(7.-3.3.-1)
32.[~lm[=m~J
Delosproblemas33al37utiliceelteorema9paradeterminarsielsistemadadotiene alguna
solución.
33.XI+x!~x
J
:
7
4x,-x!+5x
J
:4
6x,+.\"1+3x]:20
34..t
1
+x:-x
J
=7
4x
I
-Xl+5x
J
:4
6x,+x
1
+3x]:18
35.XI+.l\:O
x.-x:1
,' ,
_x-.)x.:.)

356 C\l'inJLO4 Espaciosvectoriales
36.XI-2.\"1+Xl+.r,=2
lr, +2.\"; -2x,=-8
4.\"1-x
J
-
x,=I
5x
I
+3x)-x,=-]
37..\"1-2.\"1+.\"3+x.=2
JX
1
+2x
J
-
2x.=-8
4x
2
-
x
J
-
x.=I
5x
I
+3.\")-.Y.¡=O
38.Demuestreque elrangodeunamatrizdiagonalesigualalnúmerodecomponentesdife
rentesdeceroen ladiagonal.
39.Sea
Aunamatriztriangularinferiorde 11X11concerosen ladiagonal.Demuestreque
peA)<11.
40.Demuestrequeparacualquiermatriz A.peA)=peA').
41.Demuestreque siAesunamatrizde 111X11Y111<11.entoncesa)peA)s111yb)veA)~
11-111.
42.SenAunamatrizde 111x11yseanByematricesinverliblcs de111X/JIY11X11.respecti
vamente.PruebequepeA)=peSA)=p(AC)Esdecir,sisemultiplicaunamatrizporuna
matrizinveniblc.el rangonocambia.
43.SeanAYBmalricesdemX11Y11Xp.respectivamenle.De!nuestre quep{AB):5min(p(A).
M® '
44.SeaAunamatrizdeSX7conrangoS.DemuestrequeelsiSlemalinealAx =blienecuan
domenosunasoluciónparacada5-veclOrb.
*45.SeanAy8malricesde111X1/.DemueSlrequesip(A)=p(B),entoncesexislenmalrices
inverlibles
CyDtalesqueB=CAD.
46.SiB=CAD.dondeCyDsoninvenibles.demueSlre quep(A)=p(B).
47.SupongaquecualesquierakrenglonesdeAsonlinealmenteindependienlesmienlrasque
cualesquierak+1renglonesdeAsonlinealmentedependienles.Demueslrequep(A)=k.
48.Si AesllnamatrizdenX11.demuestrequep(A)</1siysólosiexisleun vectorxeIrlal
quex:;I:.OyAx= O.
49.Sea AunamalrizdeJIIX1/.SupongaqueparalodoyEP"existeunaxEIl'alqueAx=y.
Demuestrequep(A)=m.
50.
Pruebequeelrangodellnamatrizesigual<llnúmerodepivolesensuformaescalonada
porrenglones[sugerencia:Dcmuestrequesilaforrn<lescalonadaporrenglonestienek
pivoles.enloncesdichaformalieneexaclamenlekrengloneslinealmenleindependienles].
MANEJODELACALCULADORA
Existeunaform<lsencillaparadeterminarelrango,la imagenyelespaciodelosren
glones
deunamatrizcnlaHPSOg,queconsisteenencontrarlaformaescalonadapor
renglones(REF)olaformaescalonadaporrenglonesreducidos (RREF)delamatriz.
Por
ejemplo,supongaqueseintroducelamatriz

4.7Rango.nulidad.espaciOdelosrenglonesy espaciodelascolumnasdeunamatnz 357
Oprimalasiguientesecuenciadeteclas:
~CD~CIJCDI
GJIIX--)QJI~CD~o:Jl~COCDI
Acontinuaciónoprima elcomandoquecalcula laformaescalonadaporreglonesde la
matrizque seencuentraen elprimerrenglónde lacalculadora
Elresultadoes
343
REF(A)~O
JI4
--
63
OO
7
16
Esclaroqu,p(A)=3.R.~g,n«1.3.4.3).(0.1.11/6.4/3).(0.0.1)/I6)};como P{A)~3.
Atienetrescolumnaslinealmenteindependientes,por loque
yvIAl~4-3 ~1.
Enlosproblemas51al54utiliceunacalculadoraparaencontrar elrango.laimagen.el
espaciogenerado ylanulidadde lamatrizdada.
r0.37
0.48-j).70 -116]
0.46-j).39 [ 187
-46512653
512]2.090.83
51.
0.520.87
52.
-35 51-223-207-325
-1.57
1.04
0.670.350.29-0.33
257
-14895810671162
37 81-2958 33-19102
-48 9130638205 O-58
53.53215-47-11-38423 99
-85 10335-20172 19-160
-80316594 7339442 -119
-7146-416 -83201-88144

358 C"'íTULO4 Espaciosvectoriales
.0284
-.0311-.0207.0431.0615
-.0511
-.1216~.18I1 .0904.0310
54.-.0965-.4270-.5847 .3574.2160
.0795.0905.1604-.4730.0305
-.0110-.3365 -.4243.3101.5210
• MATLAR4.7
1.Paracadamatrizdada:
a)Encuentreunabasepara elespacionulosiguiendo elejemplo7.Estoincluyeresolver el
sistemahomogéneodeecuacionesadecuado.
h)Verifiqueque elconjuntodevectoresobtenidoparacadaproblema esunconjuntoinde
pendieme.
d(Lápi:ypapel)Sielconjuntodevectoreshadeserllnabasepara elespacionulo.tam
biéndebedemostrarsequecadavectoren
elespacionulosepuedeexpresarcomo una
combinaciónlinealdelosvectoresde labase.Demuestrequecada veClOrenelespacio
nulo.
esdecir.cadasolución alsistemahomogéneoresuelto enelincisoa).sepuede
escribircomounllcombinllciónlinealdelos
veClOresencontradosena).
el)Paracadaproblema.encuentrelasdimensionesdelespacionulo. Déunaexplicación.
¿Cómo
serelacionaladimensióncon elnllmeroarbitrariodevariablesquesurgen enh
solucióndelsistemahomogéneoresuelto ena)?
L-\'i.Problemas9.IOy13a17delasección 4.7.
,';[=:
-2-18-2
O-184
7292
-10]
-,
13
2.")
;
iL
¡ii.
h);
Paraelproblema17deestasección,encuentre labasepara elespacionulosiguien
doelejemplo7.
SeaR=-rrcf(A).Verifiquequelabaseconsiste enelunicovector 8=-[-R(1.4);-&
(2,4);-R(3,4);11.
VerifiquequeA *8=O.¿Porquéesperaríaesto?
Paralamatriz
A=-[=~ -~ =::-~ -~~J encuentrelabasepara elespacio
4 7
292 13
nulo.
ii.SeaR =-rref(A)ysea
B~[[-R(I,3);-R(2,3);1;0;111[-R(I,5);-R(2,5);0;-R(3, 5);111
Verifiquequelascolumnasde Bseanlosvectoresde labasequeencontró enel
incisobij.
iii.VerifiquequeA *8=-OYexpliqueporquédebeserasi.
(.)Paralassiguientesmalrices A.encuentreR =-rref(A)y labasepara elespacionulo fo.-
mandounamatriz Bcomoseilustraenlosejemplosdelosincisos a)yh).Verifiqueqlr
A
*8=-O.(Paraayudarareconocer elprocedimientoparaencontrar B:porejemplo.

4.7Rango,nulidad,espaciode losrenglonesy espacIOdelascolumnas deunamatrlz 359
enb).lascolumnas3y5deRnotienenpivotes.lo queindicaquex
3
yx~erJ.n\ariable~
arbitrarias.LascolumnasJy5deR1/0son"t'etoresenelespacionulo.peroseput'ut'
encontrarunabaseparaelespacionuloutilizandoadecuadamentelosnúmerosenla,
columnas3y5.Observequelaterceray quintaposicionesenlosvectoresde labaseson
1oO.)
LA=[-:
-7
3
O
O
8-5-1)
-~ -~ -~
ii.A=nllld(4,6):A(:.4) =1/3*A(:,2)--217*A(:, J)
3.tI)MATLABtieneun comandonull(A)(docnulJ) queproducirúunabilscparaelespacio
nulode A(produceullabaseortonorma1.Veaenlasección4.9tinadct1niciónde orto
normal).
i.ParacildamatrizAcnelproblema2deestasecciónde MATLAIJ.encuentrei\'=
null(A).EncuentreB.lamatrizcuyascolumnasformanunabascpamelespacio
nuloutili7..mdoelprocedimientodelejemplo7.
ii.¿Cuillltos"ectoreshayencadabase'?¿Quepropiedadconfirmaestehecho?
iii.Considerandorrd([BNI>yrref((i\'Bj).verifique quecadavectorenlabascp<lr<l
elespucionulo determinadoporelcomandonulles unacombinaciónlinealdelos
vectoresde
labaseencontradosenlascolumnasde8.yquecadaveelorcolumna
enBesunacombinaciónlinealdelosvectoresdelabaseencontradoconelCOmil1l
donull.Expliquesu razonamientoyelproceso.Explique porqueestaafirmación
debesercierta.
h)ElalgoritmoutilizadoporelcomandonulldeMATLAI3esnuméricamentemasestable
queelprocesoqueincluyerref:esdecir. nuJlesmejorencuantoaminimizarloserrores
deredondeo.ParalamatrizAsiguiente.encuentreN=oull(A)yencuentreBcomoen
elincisoal.EncuentreA*0YA"'NY analicelaformaenlilcualestoproporcionaalguml
evidencia
paralaafirmaciónhechaal principiodelincisoa).
A=[-:
4.2
-2 5 9)
6 63.563
-8.4
-104 -1
4.Alllicación~comélrica delespacionulo
u)(Lúpi:)'papd)Argumenteporquéumlbase paraelespacionulodeunamatrizA
demX11seráunabaseparaelsubespaciodetodoslosvectoresenI?perpendiculares
(ortogonales)alos/',,"glol1e.\'deA.
h)Encuentrcunabaseparaelplanoformadoportodoslosvectoresperpcndicularesa
,.¡Enc",""cunaba>cpanlkorectapc'pcndicul,,,alplanogcncmdo po,[-i].-~
CompilTcsurespuesta conelproductocruzdedosvectores. .,

360 CAPiTULO ~ Espaciosvectoriales
ti)Encuentreunabaseparaelsubespaciode todos105vceloresperpendicularesa
1O-2
2 1 3
-3 S 1
1
-1 4
2 1O
5.f\plicadóndelespacionuloasisu'mas deccuaciOllt'S
1
scaA=[
O 8-6-54
J]
b=[j]
2
9 2 4-109 -1
x=
S 7-7-2-5 O
-7-8-9-6 4
-2
a)Demuestrequex esunasoluciónalsistema[Ab](utilicelamultiplicacióndematrices).
b)Encuentreunabasepara elespacionulode A.formandounamatrizcuyascolumnas
seanlosvceloresdelabase.
e)Genereunvectorwqueseaunacombinaciónlineal delos"cclOresdelabaseencontra
dosenelinciso h)(utilicelamuiliplicacióndematrices).Demuestre quez=x+Mes
unasoluciónalsistema fAbJ.RepitaparaotTOveclor"',
6.ParJlossiguientes
conjuntosdevectores:
a)SeaAlamatrizcuyos reng/oflessonlosvectores.Encuentrerrer(A).Utilice elcomando
":"paraencontrarlamatrizequeconsistesólodelosrenglonesdiferentcsde cerode
rref(A).SeaB
=C'.ExpliqueporquélascolumnasdeBsonunabaseparaelespacio
generadoporlosvcctores(vcael ejemplo6).
h)Verifiquequelabaseencontradaeslinealmenteindependiente.
e)Verifiquequecadavectorenel conjuntooriginales unacombinaciónlinealúnicade 105
vectoresdelabase.Describacualquierpatrónquedescubraenloscoeficientesdelas
combinacioneslineales.
1
2
3
-1
O
5
{HJt:Hm
O
1
1
L ii. 7
3 4
-1
2
1
4 5
2
-1 5 6
2 O 4 2 8
¡ii.-1 1-5 3-2
3 2 O-2 3
1 O 2 O 3

4.7Rango.nulidad,espaciodelosrenglonesyespaciodelascolumnasdeunamatnz 361
7.a)(Lúpi=)'papel)Supongaquequiereencontrarlabaseparalaimagenlespaciodelas
columnas)deunamatrizrealA.Expliquecómopuedeusarrrcf(A')parahaceresto.
h)Paralasmatricessiguientes. encuentrellnabase paralaimagen.formandounamatriz
cuyascolumnasseanlosvectoresbásicos.Verifique quecadacolumnadelamatrizori
ginales
unacombinaciónlinealúnicadelosvectoresde
labase.
i-i\'.Lasmatricesdelos problemas9 y15a17deestasección.
Y.A=round(IO*(2*rand(5)-I))jA(:,2)=.5*A(;,I);A(:,4) =,'(:,I)-I/3*A(:,3)
8.a}Paracadamatrizdelproblema7 deestasección deMATLAB.encuentrerrcf(A)y
rrcf(A').
h)EncuentreunabaseparaelespaciodelascolumnasdeAyporlotantoladimensiónde
eseespacio.
elEncuentreunabaseparaelespaciodelosrenglones deAyporlotantoladimensiónde
eseespacio.
d)Escribaunaconclusión relacionandoladimensióndelespaciodelas columnasdeAcon
ladimensióndelespaciodelosrenglonesde A.
e)¿Quetienenen comúnrref(A)yrrcr(A')y cómoserelacionaestoconelincisod)'?
9.Esteproblemaexplica otraformadeencontrarunabase paraunespaciogeneradoporvec
toresde maneraquelabaseconsistaenun subconjuntodelconjuntooriginaldevectores.
ti}Recuerde(oresuelva)los problemas3 y 7de MATLAB4.4.Si Aeslamatrizcuyas
columnassonlosvectoresdeun conjuntodado.concluyaquelas columnasdeAcorres
pondientesalascolumnassinpivote.en laformaescalonadareducidaporreligIones.no
senecesitanparaformarelespaciogeneradoporelconjuntooriginaldevectores.
h)Paralosconjuntosdevectoresen elproblema6deestasecciónde MATLAB.seaAla
matrizcuyascolulllnassonlosvectoresen elconjuntodado.
i.Usandorref(A)paradecidirquévectoresdel conjuntooriginalsepueden eliminar
(nosonnecesarios).formeuna matrizBqueseauna submatrizdelaAoriginalque
consistaen
el
numerominimodevectoresdel conjuntoorigin<llnecesariospara
formarelespaciogenerado.
ii.Verifique
queelsubconjuntoelegido(las columnasdelasubmatriz)sealinealmente
independiente.iii.Verifiqueque elnúmerodevectoreses elmismoqueelnúmerodevectoresen labase
determinadaenelproblema6deestasecciónde MATLAB.
¡".Verifiqueque cadavectoren labaseencontradaenelproblema6esunacombina
ciónlinealúnica deJ¡.¡baseencontradaenesteproblemayquecadavectordeesta
baseestina
combinaciónlinealúnica delabasedel problema6
[sugerencia:siees
lamatrizcuyascolumnassonlosvectores delabaseencontradosenelproblema6.
observerref([B enyrref([COJ)].
e)Sigalasinstruccionesdelinciso b)paraelespaciodelas columnasdelasmatricesen el
problema7deestasecciónde MATLAB.
10.Supongaque{l'l'...•l'¡JcsunconjuntodevectoreslinealmenteindependientesenP'.
Supongaquesequiereagregaralgunosvectoresal conjuntoparacrearunabase paralodo
V"quecontengaalconjuntooriginal.Paracadaconjuntodevectoresdado:

362 C\I'iTULO4Espaciosvectoriales
a)SeaAlamatrizlalquelacolumnaideAesigual,1\',FormalamatrizB:=[A1].donde
IeslamatrizidentidaddenX11.VerifiquequelascolumnasdeBgeneranalodoP'.
h)Sigaelprocedimientodescritoen elproblema9deestaseccióndeMATLAI3paraen
contrarunabase paraelespaciodelascolumnasdeB.Verifiquequelabaseobtenidaes
unabasepara1)"ycontienealconjuntooriginaldevectores.
i.Genere{resvectores aleatorios{\'Io\'1'v.
1
1enJ¿5utilizandoMATLAB(primero
verifiquequeseanlinealmenteindependientes).
;;.En1)'.,.=[;],= [~1'=[-:].
I3 29 ] -3
1 J -1
(')(Lápi=Ypapel) Expliqueporquéesteprocedimientosiempredaráunabase paraIr
quecontieneelconjuntooriginaldevectoreslinealmenteindependientes.
11.ElcomandodeMATLAI3orth(A)(docorlh) produciráunabase paralaimagen(espa
ciodelas
columnas)delamatrizA.(Produceunabase ortogonal.)Paracad,]matrizdel
problema7deestasecciónde MATLAB.utiliceorth(A) paraencontrarunabase parael
espaciodelas columnasdeA.Verifiquequeestabasecoiltiene elmismonúmerodevecto
res
quelabaseencontradaenelproblema7ydemuestrequetodoslosvectoresdelabase
encontradautilizandoorth sonunacombinaciónlinealde labaseencontradaenelproble
ma
7.Demuestreadcmúsquelosvectores delabasedel problema7sonuna combinación
linealdelabase encontradaconorlll.
12.Encuentreunabaseparaelespaciogeneradoporlossiguientesconjuntos:
elproblema4.4.10de-18).[-'
-19 2
a)EnPI:¡-Xl+4x+3.-Xl-l.Xl-2x.3x'+x+4f[veaelproblema4.4.9de
MATLABI·
h)EnMn:{(-:-~).(-~ _~}(-~:
MATLABJ.
13.a)Elijaunvalor para11:2::4Ygenereuna matrizaleatoriaAde11X11usandoMATLAB.
Encuentrerrcf(A)yrank(A)(el comandorank(A)(doerank) encuentraalrangodeA).
VerifiquequeAesinvertible.
h)Haga13=AYcambieunacolumnaocBparaqueseauna combinaciónlinealdelasco
lumnasanterioresdeB.Encuentrerrcf(B)yrank(B).Verifique queBnoesinvertible.
e)SeaBlamatrizdelincisob)despuésdelcambioycambieotracolumnadeBpara
queseauna combinaciónlinealdelas columnasanterioresdeB.Encuentrerrcf(B)y
rank(B).Verifique queBnoesinvertible.
ti)Repitaparaairascualromatrices A(usediferentesvaloresde 11).
e)Conbaseenlaevidenciareunida. obtengaunaconclusiónsobrelarelaciónentrerank(A)
yelnúmerodepivotesenrref(A).
f)Déunaconclusiónsobrelarelaciónentrerank(A).eltamañodeAylainvertibilidad
deA.
.1:)Formeunamatrizde5X5 conrango2yunamnlrizde6X6 conrango4.
14.ti)Generetresmatricesaleatoriasrealesde 11x111detamaiíosdistintos.eon111diferentede
11.Encuentrerank(A)yrank(A').

~.7Rango,nulidad. espaCIodelosrenglonesyespeciodelascolumnasdeunamatnz ~
h)Escojaunvalor de1/ygeneretresmatricesreales de11Xn.condiferentemngo(\ead
problema13deestasecciónde MATLAB).Encuentrerank(A)yrnnk(A 'l.Repitapara
otrovalorde1/.
elDescribalarclación entrernnk(A)yrank(A').
ff)Describalarelación ermeesteproblemayelproblema8deestasección.
15.Considereelsistellllldeecuacionesdelosproblemas1 ¡¡3deMATLAB 1.3.Paradosde
lossistemas
decadaproblema.encuentreelrangode lamatrizdecoeficientesy elrangode
lamatriz
aumentada.Formuleunaconclusión relacionandoestosrangosyelhechodcque
elsistematengao nounasolución.Pruebesuconclusióncon algúnotrosistemaen eslOS
problemas.Demuestresuconclusión.
16.ExploracióndelrJngodemalrieesespeciales
n)MatricescuadmdasmágicasEleomandomagic(n)(docmagie)generaun cuadmdomá
gicode
11X1/(uncuadradomúsicotienelapropicdadde quelasumadelascolumnas
esigualala sumadelosrenglones).Generetresmatricescuadmdasmúgicasparacada
valorde11=3....•9Yencuentresusrangos.¿Cómoafeclaalrango eltamañodela
matriz?Describ;llos patronesdescubiertos.
Nota,Esteproblemacstúinspiradoen UlUlconferenciadadaporOeveMoleren laUniversity
ofNewHampshireen1991.
h)Examineel ntngode[;::].[~ I~1;I~]Ydelassiguientesdosmatricescon
13 I~1516
estepatrón.Describa elcomportamientodelmngodedichasmatrices.Pruebesu con
clusión(.5lIgel"ellcia:observeel renglón)+I-renglónjl
e)Genereunvectoraleatorio ude11X1YunvectoralealOrio \'de11xl.FormeA=u*\·'.
unamatrizaleatoriade 11X11.Encuentreelrangode A.Repitaparaotroslresjuegosde
uy\'.Describaelrangodelasmatricesformadasdeestamanera.
17.R:lngoyproductosde
rII11lriccs
a)Elijaunvalor para11yseaAlInamatrizinvertiblede11X11[slIgerelláa:vealasmatrices
im'erlibles
encontradasenproblemasanterioresogenerelInamatriz aleatoriautilizan
doelcomandoralld.Verifiquesuin\'ertibilidad]. Generecuatromatricesde11Xm.
algunascuadradasyotmsno.condiferentesmngos(veael problema13deestasección
de
MATLABparacrearmatricesconciertosmngos).L1e\'e unregistrodecadarango.
Paracada8(unadeestasmatrices).sea e=A*8.Encuentrerank(C).Relacionc rango
(e)conrango(8).Completelasiguienteafirmación: siAesinvertibleyBtiener;lllgok.
entoncesABtienerango oDescribalarelaciónentreesteproblema yelproblema
10deMATLAB4.5.
b)Genereunarn¡ltrizAde6X6 conrango4.Generematricesaleatoriasde6x mcon
diferentesrangos.
algunosmayoresy olrosmenorcsque4.Paracad;lIJ(unadee"a~
cuatromatrices).encuentrerank(A *8)yrelacióneloconlosrangosdeAy8.
(.)Repitaelinciso b)conA.unamutrizde5x7con rango3ymatrices8 dei.JI!
ti)Formuleunaconclusiónrelacionandorungo(AB)conrango(A)yrango(81

e'Pin.LO.4Espaciosvectoriales
e)Sea
A=[~ -~ ~] B=[:=: ~]
I4 -13-2
PRoBlfMA
PROYECTO
L,;,-'-"'-'='"
Encuentrerango(Al.rango (B)yrango(AB).Modifiquelaconclusióndelinciso d)
{sugerencia:pienseendesigualdades).
18.CiclosendigráfieasLasgr.íficasdirigidas. comoI:ISquesiguen.seusan pamdesnibir
situacionesfísicas.Unadedichassituacionesserefiereacircuitoselcetricosendonde la
corrientenuyeporlasaristas. AlaplicarlasleyesdeKirchhorrparadeterminar lacorriente
quepasaporcadaarista.sepuedenc:<llminarlascaídasdevoltajeenlosciclosdeldiagra
ma.Sinembargo.no
esnecesarioexaminartodoslosciclos. yaquealgunossepueden for
marapartirdeotros.Por 10qL1eesneCeS¡lrioexaminaruna"base'·paraloscieloscerrados.
esdecir.c1minimonúmerodeciclosquegeneratodoslosdemás.
Losdiagmmascomoelquesemuestraacontinuaciónreciben
elnombredegnificasdi
rigidas.odigr.íficas.Unciclocermdoenunagráficadirigidasedenominaciclo
nodirigido.
a)Cualquierdigr.i.fiC'dtieneunamatrizasociadadenominadamatrizdeincidencianodo
arista.Sedefine
como
silaarista}llegaal nodoi
silaarista}saledelnodo i
deotramanera
Essencilloestablecer(ointroducirconMATLAB)unamatrizdeincidencianodo-arista
observandounaaristaala
vez(veaelproblema2deMATLAB1.5).
Introduzcalamatrizdeincidencia
Aparaladigr.íficasiguiente.Observequecada
aristacorrespondeaunacolumnade
AyqueAseniunamatrizde 11X/11.donde11esel
nümerodenodos y/11elnúmerodei1ristas.
[JI
[3]
b)Unciclo(ciclocermdo)sepuederepresentar porunvectorde 111X1endondecada
elementodelvectorcorrespondealcoeficientedeunaarista.Porejemplo.uncicloenla
dignificaanterior
es:inicioen elnodo13J.luegoarista 5.despuéspor laarista8 yporel
opuestodelaarista 7.Estosepuedeexpresar comoarista5 +arista8-arista 7.quese
puederepresentarpor
elvectormxl:(OOOOIO-I1)'.
i.Verifiquequeestevectorestú enelespacionulode A.lamatrizdeincidencianodo
;Irista.
ii.Forme
elvectorcorrespondientealcicloque vadelnodo 11)alnodo(2]alnodo
14]..1nodo[3)yderegresoalnodo [1].Verifiquequeeste\'cetorseencuentraen el
espacionulode A.
(.)Verifiquequex =(112OO- IO1)'estáen elespacionulode A.Demuestrequeeste
vectorcorrespondealcicloquecomienzaenelnodo
(1]ysiguearistaI +arist:l2
arist;¡3-arista6
+arista8 +arista3.
ti)Encuentrellnabasepara elespacionulode A.

SeanVyIVsubesp<tcios deP'.Elsubesp,lcioPROBLEMA
PROYECTO
..1.7Rango,nulidad,espaciodelosrenglonesyespaciodelascolumnasdeunamatriz 365
e)ParacadaveClorenlabase.identifique elcicloque correspondealvectorescribiendo la~
aristasen elordenquesiguen.Dibüjelo etiquetandolasaristasynodos.
f)Formeuna combinaciónlinealdeestosvectoresbúsicos(delespaciollulode A)usando
coeficientesde1 y-l.Identiflqueelcicloquedescribeesta combinaciónlinealescri
biendolasaristasen elordenquesigllen.comosehizoen elincisoej.(Dibujeelciclo.)
Repita
paraotracombinaciónlineal.
g)Identifiqueuncicloen ladigrúficaquenoesteen labasedelespacionuloo unodelos
ciclosdcscritosen
elinciso)).Escribaelvectorcorrespondienteen elespacionulode
A.Encuentreloscoeflcientesnecesarios paraexpres,lrelvectorcornouna combinación
linealdelosvectoresde labaseparaelespacionulo.Dibuje(odescriba dealgunamane
ra)sucicloylosciclosbúsicosincluidosen
lacombinaciónlinealymuestre quesuciclo
estú
formadoporestosciclosbásicos.Repit,l paraolrociclo.
h)Paraelsiguientedingrama.introduzca lamatrizdeincidencianodo-aristayrepitalos
incisos
d)ag)paraestadigrúfica.Laetiqueta e,serefierea laaristai.
[6]
[8J
Nota.Esteproblemafueinspiradoenunaconferencia dadaporGilbertStrangen laUniversity
01"NewHampshireenjuniode1991.
19.Subespacio
sUllla~.subesp:lciointersección
intersección
sedefinecomo
U=VnJV={zenJ:?"lzestúenVyzestúenWí.
ElsubespacioSllma sedefinecomo
S=V+W=1zlz=\'+wparaalguna"enVy alguna",enJVL
Supongaque 1"1....."(1esunabase paraVy{"'l....•\1',)csLlnab<tseparaIV
(1)(Lápi::ypapel)VerifiquequeUySsonsubespaeios.
h)(Lápi:ypapel)Verifiquequeb'I"...\'k'\'1"..•w,)generaaS. elsubespaciosuma.
dPnracadapardebasesde VyIVdadas.encuentreunabase paraS=V+IVyencuen-
treladimensióndeS.Verifique algunasrespuestasgenerandounvectora!calorioen
S(generevectoresaleatoriosen
VyWysúmelos)y demostrandoqueelvectoresuna
combinaciónlinealdelosvectoresde labasequeencontró.
1-1 O5 O
2 O 14 O
3 1 22 1
i,Basepara11== ParaIV==
42 33 -2
-1
O -12

366e\"lTl1.0-1 Espaciosve<toriales
-1o -\4 \0
2
o 1 2 3 IJ
ji,Basepara
3 \ 2
ParaIV=
\ 5 \8
V=
4 2 } 3 4 20
\ I-1 -\2 -1
O I-1 2-8-19
\-1 O-1 4 O O -2
2 O \2 } O-\-8
¡ii.Bascpara
3 \ 2 \
Pum
5 1 \ O
v" w=
4 2 3 3 4 -2 48
1 1 1 -\ 2 1 2 8
O 1-\2 8 1-}9
d)(Lápi=.rpapel) SeaVlamatriz[\'1'...•\',lYsea IVlamatriz(w
l
'
..•.wJ.SeaAla
matriz(jiWJ.Supongaquepesun vectorde(k+111)xLI'IIele,\pacio1/1110deA.Sea
p=(~}dondeaesdck Xlybesdcmxl.
Demuestreque Va""-'flb.Haciendoz ""Va.expliqueporqué sepuedeconcluir
quezcst¡ien U.lainterseccióndeVyIV.
e)(Lápi:ypapd)Inversamente.suponga que7.estaenU.la¡nlcrsecciónde l/yIV.
Expliqueporque7.=Vxparaalgunax y7.==Wyparaalguna ~'.Argumentepor
que
elvector(,) est¡ien elespacionulo deA.
-:y
1)(Ltipi:.l'IJtIIX.'!)Expliqueporquésepuedeconcluir queU.laintersección,esiguala
{ji,1(:1est''"elcspae;o0010deA}
Concluyaquesi\SI'...•siestácIllabascdelespacionulo deAycadaSI=:(,,)donde
q - - b
3¡esdekXIyb,esdemX1.entonces{lIa
l
••...lIa,1gener:la U. '
g)Usandolainformacióndelinciso f).encuentreunabase paraU=:I/nIVparalos
P:lrcsdebases
paraVyWdadosenelincisoe).Paracadapar.encuentreladimensión
deU.Verifiquealgunasrespuestas.Verifique queelconjuntodevectoresqueencontro
eslinealmenteindependienteymuestre queunacombinaciónlinealdevectoresend
conjuntoestáen l/yen11'.
h)Desutrabajoanleriordéunaconclusiónrelacionandolasdimensionesde V.IV.U)S
CAMBIOOEBASE
En1)'seexpresaronvectoresen terminasdelabasecanónicai=(~J,j=(~J.EnV'sedefimo
labasec:lnónic:llel' e~ e.l.Enp.sedefiniólabase estándarcomoll.x..r ,""1.Estz1.
basesse US<lllampliamenteporlasencillezqueofrecenala horadetrabajarconellas.Pero es.
ocasionesocurrequeesmáscOll\'cnicntealgunaairabase.Existeunnumeroinfinilo deb3SQ
par.!elegir.
y¡lqueenunesp.:1ciovectorialdedimensión1/.cualesquiemllvectores.linealmen~

4.8Cambio debase 367
independientes.formanunabase. Enestasección severacómocambiardeun<lbaseaotra
mediante
elcálculodeciertamatriz. (1J (OJ
Iniciaremosporunejemplosencillo.Seanu
l=OYu,=I.Entonces.B
I
=:u
l
.
u::es
labasecanónica enP'.SeanVI=(~)yv:=(-~).Como\'1yv~sonlinealmenteindependientes
(porque
VInoesunIllültiplode \'JB
l
=b·
l
•
)esllnasegundabaseen P'.Seax=[.~~)un
vectoren
P'.Estanotaciónsignificaque
Esdecir.xestáexpresadoentérminos delosvectoresdelabase8
1
,
Parahacerhincapiéeneste
hecho.seescribe
(
X,
J(X)8=
,
x,
ComoB,esotrabase enV'.existenescalares ("1y(":talesque
(1)
Unavezqueseencuentranestosescalares. sepuedeescribir
paraindicarque xest<\ahoraexpresadoentérminos delosvectoresen B
l
.
Paraencontrarlos
l1ümeros
("1yel"seescribelabase anterior(u
lyu)entérminosde lanuevabase (\'1yv:J.Es
sencilloverificarque
(2)
y
u~(OJ~~(IJ+~(-IJ~~v +~v
'153525
1
5'
esdecir.
ylu,)B,~[±]
- - 1
5
Entonces.
Así.de(1).
de(2))'(3)
,~x,u,+',u,L,(~v,+,J+x,(±v,+,)
=(~XI+~X2}'I+(-~Xl+~X2}'2
2 1
el=-:-x
l+-:-x,,,-
3 1
el=-'5XI+'5x,

368 Espaciosvectoriales
o
[
2
1][21]
Ixl=(c,)=5"+5',=55(,,)
R:e, 3 I )1 x,
---l"+-\'---•
5"'5'!55
Porejemplo.si(x)SI=(~).entonces
(XI"=[_~ t](~H-,}]
Verificadon:
í]sedenominamal.riZ~ctra:1SicióndeB
Ia8:,ysehademostradoque
:> (X)6:- A(x)6, (-1)
Enlafigum4.4sdus,mnlasdosbases !(~W)f y!(:H-;)}
Essencillogeneralizaresteejemplo.sinembargo¡mtes esnecesarioampliar lanotación.
Sea8
1=lul,u::.....u)yB::=:\'1'\'::•....\')dosbasespara unespaciovectorialrealVde
dimensión
11.Se.txeV.Entoncesx sepuedeescribir entcrrninosdeambasbases:
(S)
al
__________(3)=3'-4•.
-4 ' -
_0••=('1)
!- -~
,
b)
,-
',=(:)
"=(;)~, b
,
,
2J-1-2
,-
-4u:
Fi!.:ura~...
,)Expresiónde(~)eI1
lennlllOSdelabase
~<. ¡[;)(~ll
)E.pr~ de(~)en
'''"'''l1C'llXdelabase

4.8Cambiodebase 369
y
(6)
dondelosh,Y"sonnúmecos'Cales. Dedonde(,1,=[~.ldenotalarep'Cscntae;ónde,en
terminasde
labase8
1
,
Estono esambiguoporqueloscoeficientes b
J
en(5)sonúnicos.según el
teo'Cma4.6.1.página 333.De;gnalmanera. ('J.,=[~:],;enennsignificados¡m;laLSnponga
que
w
l
="IUI+a,u~++ a.u
ny\~':=blu
l+b,u~+...+b.u
n
•
Entonces"'1+"':::(al+
bl)u
l
+(a:+b:)u,++ (a"+b)u",demancraque
(\'I+w}",=("'1)',+(\':)",
Esdccir,enlanuevanotaciónsepueden sumarvectoresigualque comosesumanen.Los
coeficientesde
la"suma"devcctoressonlassumasdeloscoeficientesdelosdosvcctores indio
viduales.Músaún. essencillodemostrarque
a(",)"::(a",)"
Ahom.comoB,esunabase,cadauen S,sepuedeescribir comounacombillólciónlinealdelas
- ,
\','Asi.existeunconjuntounicodeescalares {fl¡""11'...•(fOJ'talesquepara)=l.2.....11
(7)
DEFINICiÓNa
ose¡..
(u)=
J ~,
a.
Matrizdetransición
LamatrizAde11x11cuyascolumnasestandadas por(8)sedenominamatriz deIransi
cióndelabase
B,alabase B:.Estoes.
[a"
(l1!a"
a"]
A=un
(/~l Un al.
(9)
a"a.!a
d a.
TTTT
(u
l
)"(U!)8~(u)"...(U)/ll
Nota.Sisecambiaelordenen elqueseescribenlosvectoresde labase.entoncestambiendebe
cambiarse
elordendelascolumnasenlamatrizdetmnsición.

370e\I'I'I"lIl.O4
TEOREMAa
Espaciosvectoriales
Sea8
1
YElbasesparaunespacio vectorialV.SeaA lamatrizdetransiciónde B
I
aB
2
"
EntoncesparaLodox EV
L.DEMOSTRACIÓN
(x)~A(x)
/1, n,
Sellsalarepresentacióndex dadaen(5)y(6):
de(71
1
=b/a,,"1+(/21'"+...+(/,,¡'',,)+b2(012"1+(/21"2+...+(I.,!",,)
+...+b"(a,,,",+{/lJ¡"!+...+(/",,")
=(allb
l+a"b,+...+{/,,,b)",+(021hl+011b,+..+{/!.o,b)\'l
+...+(aIl1b¡+{/"2b!+...+(1,mb)""
(lO)
Así
la"
al!
a'"][",1
= :~:
Q!!
:>l'=A(x),
(/,I
"" 11
(11)
(12)
TEOREMAE3I
L.DEMOSTRACIÓN
Antesde darmúsejemplos.seprobarúunteoremaqueesdesumautilidadparalosdl1culos
SeaAlamatrizde lransicióndeB
I
a8
2
,
entoncesA-' eslamatrizdetransiciónde8
2
a
8
1
"
SeaClamatrizdetransiciónde Ela8
1
"
Entoncesde (JO)setiene
(x)~C(x)
81 8~
Pero(X)Jj~=A(X)H
1
ysustituyendoestoen(13)seobtiene
(X)OI=CA(x)ol
(13)
(14)
Sedejacomoejercicio(vea elproblema45delapresentesección) demostrarque(14)
secumpleparatodoxen
VsólosiCA=1.Porlotanto,delteorema 1.8.7delapúgina
107.C=A-l.Yelteoremaquedademostrado.

EJEMPLO 1
•Soludó"
4.8Cambiodebase 371
Oh,\'ClTUÓÓ".Esteteoremahacecspecialmenlesencillocncont filrl:lmatrizdetransición:lp:lr
tirdellnabasecanónicaB
I
={el'el""enlenIrIIcualquierotra b¡¡seenIr,Se:tB~1\'1'\':...,
".1cualquierotrabase,Seaelamatrizcuyascolumnassonlos veClOres\'1',.~••,••".'Entonces
eeslamatriz detfilnsicióndeB~aB
I
yaquecada"CClOr\',estúexpres.1.doyaenterminosdela
basecanónica.Porejemplo.
Asi.
1:1matrizdetransicióndeB
1
aB~ese-
I
,
I)roeedimicntoparaencontrarlamatrizdetransición delabasecanónicaalabaseB
l=
1"1'":•...•vJ
i.SeescribelamatrizCcuyascolumnasson VI'v
1'
,..•v.'
ii.Secalculae-l.Éstaes lamatrizdetransiciónquesebUsca,
Nota.Comoenlapilgina376.lamatriz detransiciónesúnicarespectoalordcnenquesees
cribenlosvectores
delabaseB~.
Expresióndevectoresen VJentérminosdeunanuevabase
delosvectoresen B~,
JO
Primeroseverificaque B~estinabase,Esloesevidente yaqueO -11=8'1;O.Como
.,=(H.,=(r)y·,=mhmoo"toscvequelam",nzde:rans~c;ó-:c.deB,aB,os,,;
dadaI>or
Asi.de;Icuerdoalteorema2 lammrizdetransiciónAdeB
I
aB~es
6J)
-2-1
6-1

372e\1'iTULO4 EspaCIosvectoriales
I
-
('J.,=i[:
6
-:]H=i[l
4
-2
I
-
4
6-14 -14
7
--
4
Paraverificar.observe que
EJEMPLO2
••Solución
Expresióndepolinomiosen P2entérminosdeunanuevabase
Enp~labasecanónicaen8
1
=jJ.x..\":1.Otrabasees B~={4x- 1.1\,1-x.3.\.1+31.Sip::
l/o+(tIX+(1",\.1,escribapentérminosdelospolinomiosen B
1
"
Primeroverifique queB!esunabase. Sic
1
(4x-1)+cpx.l-x)+cp.\..!+3)=Opara¡odax.
enloncesalreacomodarlosterminosseobtiene
(-c,+3c,)1+(4c.- c:)x+(2e!+3c
j
)x':=O
Perocomo{l.x.x.JIesunconjuntolinealmenteindependiente.sedebetener
-el+X
l
=0
4c
1
-el =0
2C
l
+3c
J
=0
-)O3
Eldeterminantedeeslesistema homogéneoes4-)O=27:F-O.10quesignificaqueel=
O23
e,=",=Oes'"imicasoluci6n.Ahora(4x- 1).,=[-~l(2x'-xJ,=[-!Jy(3+3x'J.,=[~l
Así.
eslamatrizdetransiciónde B~aB
I
demaneraque
[
-363)
A=C-
1
=2
1
7
-12-312
82I
eslamatrizdetransiciónde B
I
a8:"Como(0
0+alx+0,X
1
)8
1
=[:~).setiene
(/2

..a.SCambiodebase 373
Ca,+a,Ha,",'l.,=;7[-~:-:I~](::]
821 a
2
1
27[-Ja,+6a
1+Ja:]
1
-[-12a-3{/+12a]
27 o I :
1
27[8{/0+1{/1+a:]
Porejemplo.sip(x)=5x":-3x+4.entonces
(
-3
_• 1
(:u--3.\"+4)=--12
"27
8
15
27
21
27
31
27
o verifiqueesto
,1 1511,31.
5x--3x+4=--(4x-I)+-(2x--x)+-(h-+3)
27 17 17
1m'mIII'---_c_o_n_v_e_rs_i_ó_n_d_e_u_n_a_b_a_'_e_a_o_'_'a_e_n_J<_-_'_
••Solucióll
minosdelosvectoresde Sr
Esteproblema esunpocomúsdificilporqueningunadelasdosbases escanónica.Deben ex
presarselosvectoresde8
1
comounacombinaciónlinealdelosvectoresen8
r Esdecir.deben
encontrarseconstantes
(111'(121'{/12-{/22talesque
Loqueconducealossiguientessistemas:
2011-5021=3
4011+3a¡1=1
y
2a
l
:-
5a
22
=2
4012+3a
n
=-1
. 7 5 1 5
LassolucIonesson a"=jJ·(I:1=-13·aI2=26yan=-13·Entonces
1(141)
A=26-10-10
y
,=-'-(141)(b')=(216CI4b'+b')]
(),26-10-lOb lO
,--Cb+bl
261 2

374e\I-ITIII.O4 Espaciosvectoriales
enbasecanónica
Po"jomplo.,lC}'nloneos
demaneraque
y
(
7J I(14
4=26-10
"
Esdecir. ¡veriHque!
(7Jl~(2J- 20(-5J
4264263
Haciendousode lanotacióndeestasecciónsepuedededucirunamaneraconveniCnle'
paradeterminar
siunconjullIodevectoresdadoencualquierespaciovectorialdedimcnsióo
finitaeslinealmentedependienteoindependiente.
TEOREMAE:I Sea8
1
que
Sea
{"I'\.~.....v.}llnabasedel espaciovectorialVdedimensión11.Suponga
[
:,",:::...::"]
A= ~ .-
.. .
a.,Q.l Q_
LOEMOSlllACIÓN
Entoncesx.'x
1
,
...•x.sonlinealmenteindependientes siysólosidelA7:-O.
Seanal'3
1
, ....a.lascolumnasde A.Supongaque
(15)
Después.siseemplealasumadefinidaenlapagina375.sepuedeescribir(15)como

4.MCambiodebase
(16)
375
Laecuación(16)dadosrepresentacionesdelvectorcero enVentérminosdelosvecto
resde
labase8
1
,
Comolarepresentaciónde unvectorentérminosdelosvectoresdela
base
esúnica(por elteorema4.6.1,página333)seconcluyequc
(17)
EJEMPLO 4
11.Solución
EJEMPLO 5
Dondeelcerode laderechaeselvectorcero en1)'.Peroestoprueba elteoremayaquela
ecuación(17)incluyealascolumnasde A.quesonlinealmenteindependientes siysólo
sidetA*0.
Determinaciónde sitrespolinomios enp~sonlinealmente
dependientesoindependientes
Enp~,determinesilospolinomios3-x,2+\'"y4+5x-2x
2
sonlinealmentedependientes
oindependientes.
SIseutl1Jzalabase8
1
={l,\,\"}setIene(J-'r)1J,=[~:],(2+\'\=[~],y(4+5\-2\~)IIL
[
4] 3'4 O 1
5Entoncesdet A=-]O5 =-23*O,conloquelospohnormossonllldepen-
-2 O1 -2
dientes.
Determinaciónde sicuatromatrices de2x2sonlinealmente
dependientesoindependientes
EnM"determinesilasmatrices['
~ J
dientesoindependientes.
')[-'J)['-1)['4), . y sonlinealmentedepcn-
6-11O1 49
••SoluciónUtilizandolabaseestándar BI={(~ ~}(~ ~}(~ ~}(~ ~})seobtiene
1-1,
1
,
3-14
detA= 00
J-1O4
61 9
demaneraquelasmatricessondependientes.Observequedet A=Oporqueelcuarlorenglón
eslasumadelostresprimeros.Además,observeque
['')(-'3)('-1)('-29 -7 + + 20
36 -11 O1 4
10queilustraquelascuatromatricessonlinealmentedependientes.

376 CAI'íTlJLO4Espaciosvectoriales
problemas48
AUTOEVALUACIÓN
Elijaelincisoquecompletecorrectamentelossiguientesenunciados.
LLamate;,d,tm,,,;óón,nIYd,lab"'](~J.(~)}alabase](:J.(~)}"_.
(
2
-3) (23) (-43) (-4-3)
al3-4 6)-3-4 el_]2 á)32
ILLamate;,deteans;óó"nIYd,labase](:H~)}alab"'](~H~)}es_.
(
2
-3) (23) (-43)
a)3-4 h)-3-4 e)-32
111.Lamatrizdetransiciónen PIdelabase{l,xlalabase {2+3x,-4+5xles
al(~:) h)(:~)
1(5-3)
(')2242
1[54)
á)22_]2
Enlosproblemas1 al7escribae:)EV"enterminasde labasedada.
1.CH-:)
5(=;)t)
2.(-:)t~)
6.(-~H-:)
7.(:WJdond,ad-b"O
D,lospmblemas8 al14escriba[;)ElYentirm;nos delabasedada
Delosproblemas 15al17escribalospolinomios °
0
+(l1.\"+02X2enP
2
entérminosde labase
dada.
15.1.x-l.x
2
-1 16.1.x+I.(x+l)(x+2) 17.x+1..\"-1..\"2-\

4.8Cambio debase ),77
19.EnP
l
expreseelpolinomioh
J
-
3x.!+5x-6enterminosdelabasepolinomiall.I- x.x
+x~.x':+Xl.
20.EnP
J
expreseelpolinomio4.''':-x+5enterminasdelabasepolinomial 1,1-x.(1-XI:.
(1-_,-)l.
21.En1}supongaque(x).. =(_~ldondeB)=1(:lG)}·Escribaxentérminosde labase
B,=I[~).U)}
24.En1;.(,),=[;j.dondeB,={I-x.1x..'0-x-11.Escriba>entérminosde labasc
B
l
={3-2x.I+x,x+x'!),
Delosproblemas 25al34utiliceelteorema2pamdeterminar sielconjuntodevectoresdadoes
linealmentedependienteoindependiente.
25,EnP::2+3x+5x
l
.
1-2x+x.!,-1+6.''':
26,EnP,:-3+x
l
,2-x+4x
2
,4+2x
27.EnP
l
:
2+x,Xl+X+I
28.EnP,:x+4x',-2+2.\",2+X+12.''':
29.EnPl:-2+4x-2,..l,3+ x.6+Sx
JO.EnP,.,..:+Lx+I.x+2,.,":+4
31.EnP
J
:
1+.,..l,-1-3x+4.r+5x
J
,2+5x-6.\"3,4+6x+3.r+7x
l
32.EnMrrG0)[-1-2)[10)[112)
4'7l'-1-3'-5-5
-1).['4)[-16).[00)
45 O'-133O

378 C,u·iTUI.O4
*ICALCUl01
Espaciosvectoriales
35.EnP
n
seanPI' p-,:....P
o
•1
'
11+1polinomiostales quefJ¡(O)=Oparai=1,2....11+1.
Demuestrequelospolinomiossonlinealmentedependientes.
36.En
elproblema35.enlugarde Pi(O)=O.supongaquep/Jl=Oparai=1.2...11+1y
paraalguna}con1$j:511.dondep¡li'dcnolalaj-ésimaderivadade P,..Demuestrequelos
polinomiossonlinealmentedependientesen
PII"
37.En M"JIJseanAl'A~....,A
m
"./11I1matricescuyascomponentesen laposiciónl.lsoncero.
Demuestre
quelasmatricessonlinealmentedependientes.
*38.Supongaquelosejes
xy)'enelplanoserotanensentidopositivo(al contrariodelasma
necillasdelreloj)un
angulae (medidoenradianes).Esto daIluevosejesquese denotanpor
(x',)"),¿Cuúlessonlas coordenadasx,ydelosvectoresdelabase iyjrolados?
39.Demuestre
quelamatrizdel cambiodecoordenadasenelproblema38estádadapor
A-
I=[cosesenej.
-senecose
40.Sienlosproblemas38 y39.e=1!/6=30·,escribaelvector[~)entérminosdelosnuevos
ejes
coordenadosx'yy'.
41.Sie=rc/4=45".escriba (_~)entérminosdelosnuevos ~jescoordenados.
42.
Sie=21!/3=120',escriba(;)cntérminosdelosnuevosejescoordenados.
43.Sea
e=(e)unamatrizinveniblede 1/X11YseaB
I
espaciovectorial.Sea
Demuestre
queB:=lel'e,.'..e"Jesunabasepara V.
44.Sean B
I
yB,dosbasesparaelespaciovectorial Vdedimensión 11yseaC lamatrizdetran
siciónde B
I
aB:.DemucstrequeC-IeslalTlatrizdetransicióndeB!a8
1
,
45.Demuestre que(x)s=CA(x)8paratodaxenunespaciovectorial VsiysólosiCA=I
[sugcl"ellda:Seax.elvectorie~8
1
,
Entonces(x.),tieneun unoenlaposicióniyuncero
, , ,
enotrapanco¿Quépuededecirse sobreCA(x)Jj?J.
,
RESPUESTAS ALAAUTOEVALUACIÓN
MATLAB4.8
1.Sea8 =1\'1'\'),donde"1=(:)yv!=(-:}Observeque8esunabasepara ll'.Paraw
enll'.(w)H=(~)significaque w=(/\'1+b..!.
•
1.e) 11.al 11I.dI

4.8Cambiodebase 379
~ a)Paralosvectores wdados.escriba elsistemadeecuacionesparaencontrar (\')/1'esdecir.
encuentre
aybYresuelvaamano.Verifique dandoIincomb(\',\'l'w)(useelarchivolin
comb./11delasección /llATLAB3.1).
;w=(;)
h)(Lápi:)'papel)Engcneral.explique porqué(a)esunasoluciónalsistema cuy:)ma-
trizaumentada
es[\'1v¡lw]' b
(1)Verifiqueque Besunabasepara [?l, [XI]
h)(Lápi:ypapel)Escribaelsistemadeecuacionesparaencontrar (w)~= .~¡.lascoor
..,
. .r,
denadasde wconrespectoa B.Demuestreque [\'1\'2V ¡\'.Iw]eslamatrizaumentadapara
elsistema.
c')Resuelvaelsistemapara (w)ij'Verifiqueque w=A(W)8'dondeA=[VI\'2\',v.J.
á)Paralasbases B={\'I'\'2'V¡,\'Jylosvectores wdados.encuentre (w)J¡yverifiqueque
w=A(W)B'dondeA=[VI"¡\']\'J
W=round(1O*(2*rand( 4,1)-1))
ii.ParaB.generecuatrovectoresaleatoriosde4x1(verifiquequeformanunabase).
Para
wgenereunvectora1catoriode4xl.
3.SeaB={\'I'\'2'\'J'\,)comoen elproblema2a)deestaseccióndeMATLAB.Sea
w=[~] w=[~] w=[~] w=[~]10"Ol]·0
O O O 1
a)(Lápi:
ypapel)Argumentelasrazonesporlascuales siencuentrarrefde lamatriz
[v,\'2\']\'4\'1w"w]w
4
]
=[VI\',"]v
4
c)'e(4)],entonces la5"columnaderref es(wl)wla6"
columnaes(w
1
)wyasísucesivamente.
h)Encuentre()B'(w
1
)Jj'("'-1)¡¡y(w)¡¡.FormeC.lamatrizcuya¡-ésimacolumna esiguala
(w)/I"Verifiqueque Cesiguala lainversade A=[\'1\'2\']\'.l.Utilicelasobservacionesdcl
inciso
a)paraexplicarporqué.

380 C'iTUto4 Espaciosvectoriales
elS,aw~[-~J.Ob,ecveqoeW~Iw,+(-2w,)+3w,+4w,
i.Resuelva[Alw]=[\',v
1
v,\'4Iw]paraencontrar (w)O"
ii.Verifiquequeew=A-fw=(W)8[aquí,Ceslamatrizdelincisob)].
¡¡j.(Lápi:ypapel)esellamamatrizdetransición,¿de dóndeadónde?Utilizando el
subincisoii)yrecordandoloquesonlascolumnasde C.expliqueporqué
(W)8=1(wIJ/l-2("'1}H+3(w
J
)Jj+4(W)B
ú)Repitaelincisoe)paraBywenelproblema2di)enestaseccióndeMATLAB.
4.a)Leaelproblema9 deMATLAB4.4.Explique porqueahíseencontraronlascoordena
dasdeunpolinomioentérminosde labasecanónicaparapolinomios.
h)Resuelvalosproblemas 18a20deestasección.
5.SeaB=1-,.',';1=![:WJrm
Seae~{w,.w,.w,J=¡mHW])
a)Verifiqueque ByesonbasesparaVl.HagaIV=[w
l
W
l
w
3
]
yv=[VIv~vJ
h)(Lápi::ypapel)Escribalostressistemasdeecuacionesnecesarios paraexpresarcada
vectoren Bcomounacombinaciónlinealdevectoresen C.Expliqueporquélassolu
cionesaestossistemassepueden
encontrarresolviendoel(los)sistema(s)conla matriz
aumentada[www1\'\'vi
I! ¡I!¡.
dResuelvael(los)sistema(s)paraencontrar(vlle>(\'2)eY(vJ}eYformela matrizD=[(vl)e
()e()J
d)Seax =[=HEncuentce(xl,Y (x)eV,,;fiqueque(xle =D(xl,.
Repitaparaunvectoraleatorioxde3 xl.
e)ConWyV dadosenelincisoa),encuentreW-lVycompáreloconD.
f)Repitalosincisos a)ae)con
B=II~IIJI~]'I~I"e=[J.I~l·1~5J.I1~5l'
dondexesunvectoraleatorio de4xl.

~.8Cambiodebase 381
g)(LlÍpi:ypapel)Expliqueporqué ¡V-lV=Dendosformas:
i.Conbaseenlosprocesosdesoluciónde [1'1VIpamencontrarD.
ii.InterpretandoIV~IyVcomom;lIricesdetransiciónqueincluyen [asbasescanó
nicas.
6.Empleandoloaprendidoen elproblema5deestaseccióndeMATLAB:
a)Trabajelosproblemas22al 24.
b)Genereunabasealeatoria Bpara~yunabasealeatoria Cpam~. Encuentrelamatriz
detmnsición.
T.deBaC.Verifiquesurespuestagcnerdndo unvectoraleatoriox en~.
enconlrando(x),y(x){"ymostrandoque nx),=(x),
7.SeanByecomosedieronen elproblema5(1)deestaseccióndeMATLAB.Sea Dlabase
a)EncuentreT.lamatrizdetr.lIlsiciónde BaC.EncuentreS. lamatrizdetransiciónde e
aD.EncuenlreK.lamatrizdetransiciónde BaD.
b)Déunaconclusiónsobre 1:1maneradeencontrar Kapartirde TyS.Pruebesuconclu·
siÓn.Expliquesurazonamiento.
L')Repitalosincisos a)yb)paratresbasesaleatorias (B.CyD)pamI;?'.
a)Verifiqueque A\'I=3"1'Ih'2=2v2YII\'l=5\'3' [_')
b)Supongaquex =-h'l+2v::+4\').Observeque (X)"= ~.Encuentrez =Ax.des-
puésencuentre
(Z)Hyverifique(Z)H=D(X)H'dondeD=[~ ~ ~J.
OO5
e)Seax =al'l+bV
1
+CV
J
•
Rcpitllelincisob)paraotrostresjuegosde (1,bY('.
ti)SeaV= [\'1\'1"J.Demuestreque A=I/DV-I.
e)Repitalosincisos a)ati)para
B={[i).(=iWJ! [
37-33
A=48.5-44.5
12-12
~:5]
11
D=[-~ ~ ~]
OO5

382 CíTULO4 Espaciosvectoriales
f)(Lápi=Ypapel) Supongaque B=(\'I',.~.,)esunabaseyA,',=1'\'1"A\'2=sV
2
yA\')=
".)"Supongaquex={/\'I+b\'l+C\'J"Pruebeque(Z)8=D(x)wdondez=Axy
Considerandoestehechoy pensandoenterminasdematricesdetransición,expli
queporqué A=VDV-
I
,
dondeV=["1\'1vJ
9.Cambiodebaseporrotación enI:?lSeanelyellabasecanónicapara I:P,dondeelesun
vectorunitarioa[olargodelejex yelesunvector unitarioalalargodeleje y.Siserotan
losejesunángulo Oensentidopositivoalrededordelorigen,entonces elrotaaunvector "1
ye
l
rotaaunveclor \'2lalque ("1"''Jesllnabasepara 1)".
a)(Lápi=Jpapel)Demuestreque
(
eo,Cel)
VI=sen(e)
,,
o
(
-""cel)yv=
2 cos(e)
"
,
o
<,
h)SeaV=[\'1\'2]'Entonces\'1""Ve
l
yl'!""Ve!.Exploraremoslageomctríadcw""{/l'1+
b,'2'esdecir. lageometriadelascombinacioneslinealesen terminosdclanuevabasc.
Nosinteresalarelacióndelas combinacioneslinealesconlarotación.
Supongaquex= {le
l
+be!.Entonces w=(/\'1+b,'!=Vxrcpresentaclvcctorx
rotadoensentidopositivoun ángulo(Jalrededordelorigen.
ElprogramadeMATLABquesemuestraacontinuaciónayudaavisualizaresta
geometria.Graficalosvectores
comosegmentosderectaque comienzanenelorigen.
ElvectorXsegraficaenrojoy elvectorwenazul.Observe cómow(elvectorazul)es la
rotaciónpositiva (}de\'(elvectorrojo).Siestáutilizandolaversión4.0de MATLAB.
déelcomandoplotprimeroydespuéslos doscomandosdeaxis.Vealagráficadespués
dcloscomandosaxis.
PrecauciólI.Laimpresióndelagráfica producidadirectamentedelapantallanomostrarálon
gitudesiguales
nilosángulosrectoscomotales.
a=l;b=2;0;',dcfim'\'cctora rotar
x=la;bl;M=norm(x);
th=pil2;'10,Ánguloderotación
\'1=leos(th);sin(th)l;
l'2=I-sin(th);cos(lh)l;
V=ll'I,\'21;%Matrizdccambiodebase
w=V*x;%rotacióndel\'cetorx
pIOI(lO,x(1)1,10,x(2)1,'r'.10,w(1)1,10,w(2)1.'b')
axissquare

4.8Cambiodebase 383
axis(f-MM-MMI);
grid
title('Veclororigina:rojo,Vectorrolado:azul')
xlabel('x')
)'Iabel(')")
Repitalasinstruccionesanteriores.modificandolosvaloresparatiyb.
Repitalasinstruccionesanterioresparae=-rrJ2,TÚ4.-TÚ4.2TÚ3Yunangulaarbi·
trario.Paracadaángulo,elijados
ayb.Cuandotermineconestapartedé elcomando
c1f(dacelf)paraborrar la
figumutiliz.1da.
e)Digamosqueunabasetieneorientacióndadapor9siesunabaseobtenidarotando la
basecanónicaensentidopositivo'llrededordelorigenunangulae.
Supongaquej"1'")esunab;ISCconorientacióndadapor e.SupongaqueVIY"1
representandireccionesdcsensorespara undispositivoderastreo. Eldispositivoregis
tra
lalocalizacióndeunobjetocomocoordenadascon
respectoalabasc1"1','!LSidos
dispositivostienenorient:lcionesdiferenles.¿cómopuedehacerusounode
lainforma
ciónrecabadapor
elairo?Estoincluyetraducirlascoordenadasenterminasdcunade
lasbasesacoordenadasentérminosde
la
Olrabase.
i.Supongaque B={"I'v!}esunabaseconorientacióndadaporrr/4ye={\VI'\V
11
esunabaseconorientacióndadacon21Ú3.Encuentrelamatrizdetransición Tde
labaseBalabaseC.EncuentrelamatrizdetransiciónSde labaseealabaseB.
(Nota.Laslineas3.4 Y5en elprogmmadeMATLAB delincisob)daunejemplodc
cómoencontrarunabaseconoricntación
Tt/2.)
ii.Supongaque eldispositivoconoricntacióndada
rr/4localizaunobjetoconcoor
denadas[0.5:
3).Encuentrclascoordenadas dclobjetorespecto aldispositivocon
orientación
2Tt/3,Expliquesuproceso.Verifique suresultadoencontrandolasco
ordenadasestándar
delobjetohaciendousodelascoordenadas [0.5:3]para
la
primerabase Byencuentrelascoordenadasestandar delobjetoempleandolasco
ordenadasencontradasparalasegundabase C.
iii.Supongaque eldispositivoconorientación2Tt/3loc<llizaunobjetoconcoordenadas
[2:-1.4].Encuentrelascoordenadas delobjetorespecto aldispositivoconorienta
ción1tf4.Expliquesuproceso.Verifique surespuestaigualqueen elsubinciso¡¡).
i\',ElarchivoI'OtcoOl:mdeMATLABayudaavisualizar elprocesoanterior. Elformato
esroteoor(E,F,e),dondeEyFsonmatricesde2 x 2cuyascolumnasformanun:;!
baseparaIYy eesUllamatrizdc2 x Iquerepresentalascoordenadasdeunvector
conrespectoa labasedad;lpor E.Semuestraenunafiguralosvectoresqueforman
a
lamatrizEencolorrojoylos
vectoresqueformanalamatrizFencolor\erde. Se
observaelvectorresultadode lacombinaciónlinealde labaseEylacombinación
linealresullanteparalabaseFencolorazul.
Elarchivosepresentaticontinuación:
functionrotcoor(E,F,cl
•
"ROTCOORfuncionquegraficaelvectorcdelabaseEcomo
unvector
"delabaseF
•
"E:matrix2x2,columnassonunabase

384eu'in1.04 Espaciosvectoriales
%F:matriz2x2,columnassonunabase
%c:vectorde2xlconrespectoalabaseE
%definicióndematrizdetransicióndebaseEabaseF
TSF\E¡
%vectoreenbaseF
vl=T*c;
%Puntosnecesariosparalasgráficas
origen;(ü;QJ;
OEI_[arigen/E(:,l)];
OE2=[origen,E(:,2I);
OFl=[origen,F(:,l));
OF2=[origen,F(:,21];
OElrnE2_[origen,E*cl;
ElmE2=[E(:,1)*c(1),E*c];
ElmEl=[E(;,2)*c(2),E*c],
FlrnF2=[F(:,1)*vl(1),F*vl];
F2mFl=(F(:,2j*vl(2I,P*vl];
plot(OE1(1,:),OE1(2,:),'r:·',OE2(1,:),OE2(2,:)I'r:*');
haldon
plot(c(1)*OE1(1,:),e(l)*OE1(2,:),'r:',c(2)*OE2(l,:),e(2)*OE2
(2,:),'r:')
text(E(l,1)/2,E(2,1)/2,✈EE_1','Color','red');
text(E{1,2)/2,E(2,2)/2,✈fE_2','Color','red');
h=plot(OE1mE2(1,:),OE1mE2(2,:),'-b*');
set(h,'LineWidth',2)
text(OE1mE2(1,2)/2,OE1mE2(2,2)/2,✈fEc;Fv1','Color','blue')
plot(E1mE2(1,:),E1mE2(2,:),'r:')
plot(E2rnE1(1,:),E2rnE1(2,:),'r:')
title(['E_1C_1+E_2c_2",[,nurn2str(E(:,1)'),'J(',nurn2str(C(U),
...')+('nurn2str(E(:,2)'),')(',nurn2str(c(2)),')'))
xlabel(['F_1v11+F~2v1 2=['nurn2str(F(:,1)'),')(',nurn2str(v1
(1)),...')+['num2str(F(:,2)'),'](',num2str{v1(2)),')'])
plot(OF1(1,:),OF1(2,:),'g:*',OF2(1,:),OF2(2,:),'g:*');
plot(v1(1)*OFl(1,:),v1(1)*OF1(2,:),'g:',v1(2)*OF2(1,:),v1(2)*
DF2
(2,:),'g:')
text{F(1,1)/2,F(2,U/2,✈fF_1','Color','green');
text(F{l,2)/2,F(2,2)/2,✈fF_2','Color','green'};
plot{F1rnF2(1,:),FlmF2{2,:),'9:'}
plot(F2rnFl(1,:),F2mF1(2,:),'9:')
gridon
axissquare
Utiliceestearchivoparavisualizarlosresultadosdelossubincisos ií)y¡ji).Verifique
susrespuestasparadichossubincisosutilizandolainformaciónen
lapantalla.Porejem
plo,en
ii),Eseralabaseparalaorientaciónde 1Ú4,Flabasepara laorientación271:/3y
e~[0.5;31.

-a.SCambiodebase 385
10.Cambiodebaseporrotaciones cnV;inclinar,desl'iar,rodar
a)(Lápi:)'papel)EnVlsepuederotarensentidopositivoalrededor delejex.delejeJO
deleje:(losejesx.yy:formanunsistemacoordenadode lamanoderecha).$can CI'c:
yc
l
losvectoresunitariosde labasecanónicaenlasdireccionespositivasdelosejes x.)'
y:.respectivamente,
i.Unarotaciónpositiva unángulo(1alrededordel eje:produciráunabase Iv,w.cJI.
dondeveselvectorobtenido alrotarelyweselvectorobtenido ..1rotarc
Z
'
Usando
losdiagramassiguientescomoguía.demuestreque
['0'(9)) [-~n(9»)
l'=sen
o
(8)yw= CO~(8)
,
y
..e,
e,
,
,
"
,
"\O
Y
x
e, e,
e,
8
x
"
a) b)
Seay=(l'WeJ.InterpreteYcomomatrizdetransición.
ii.Unarotaciónpositiva unanguloaalrededordelejexproduóraun..b..selc
l
,
v,wl.
dondeveselvectorobtenido alrotare
zyweselvectorobtenido alrotarel'Usando
losdiagramassiguientescomoguía.demuestreque
,{o,O(a»)
y,,~( -~~(a))
sen(a) ros(a)
, ,
e, e,
..
" ..
"
x
e,
-)1'---'---."
e,
a) b)
e,y
SeaR =[elvw].InterpreteRcomounamatrizdetransición.
¡ii.Unarotaciónpositiva unangula(1••Irededordeleje Jproducir.i.unabase1 \'.el'wl.
dondev
eselvectorobtenido alrotarelyweselvectorobtenido alrotareJ'Em
pleandolosdiagramassiguientescomoguia.demuestreque

386 C\l'íTLlLü4 Espaciosvectoriales
w
v_[ 'O~(~)) y
-sen(lp)
"
w
"
"
x
v
.,}------..,c:-,y "x--+'----::r7l
(poSiTivo) lp
v
b)
SeaP=[l'elw].[tlIerpretePcomollnamatrizdetransición.
h)(Lápi=Ypapef) Supongaque}'esunamatrizcomolaobtenidaen elincisooí)para
unángulo
e,Resunamatrizcomo laobtenidaenelin¡;iso(jii)paraunángulo a.yPes
unamatrizcomolaobtenidaenelincisoaii;)paraunángulolll.
LasmatricesY.RYPpar<!cualesquieratresángulostieneninterpretacionesgeomé
tricassimilaresa ladeunamatrizderotaciónen I)!.SeaMcualquieradeestasmatrices
derotación.Seau
=({el+be,+cel"Entoncesr =Mudarálascoordenadasestándar
delvectorobtenido alrotarelvecloru.
Haciendousodeestainterpretacióngeométrica.explique porquélamalriz YR
representaunarotaciónpositivaunángulo aalrededordeleje xseguidadelarotación
positivaunángulo8alrededordel
eje:.
¿Quématrizrepresentarúunarolaciónpositivaunángulo ealrededordel eje:se
guidadeunarotaciónpositivaunúnguloaalrededordeleje
x?¿Puedeesperarseque
estamatrizdé
elmismoresultadoque lamatrizdelparrafoanterior?¿Porqué?
e)Lasrotacionesdelasquesehahabladosondeutilidadparadescribir laposicióndeuna
naveespacial(ounavión).Laposicióneslaorienlaciónrotacionaldelanavealrededor
desucentro.Aqui
sesuponeque lanavetieneunconjuntodeejesatravésdesucenlro
demasatalesquelosejes
xyJformanunángulorecto(comounejeque vadeatrás
haciaadelantede
lanavey elotrodeladoalado) yeleje:esperpendicularalosejes x
yyparaformarunsistemade lamanoderecha.
Sepuedenhacercorreccionesalaposiciónrealizandorotaciones,comolasdescri
tasen
elincisoa).Sinunaformadecontroldeposiciónunsatélitecomienzaagirar.
Unarotaciónalrededordel
eje:sedenominamaniobradedesviación,unarotación
alrededordeleje
xsedenominamaniobradegiro.yunarotacióndeleje Jsedenomina
maniobradeinclinación.
Supongaque
elconjuntodeejesde lanaveestáalineadoinicialmentecon unsiste
madereferenciafijo(ejesquerepresentanunabasecanónica).
Laposicióndelanave
puededarsemedianteunamalrizcuyascolumnassonvectoresunitariosenlasdireccio
nesdelosejesasociadosconlanave.
i.Encuentrelamatrizquerepresenta laposiciónde lanavedespuésderealizaruna
maniobradeindinacióncon
unúngulon/4,seguidadeunamaniobradegiroconun
úngulode
-n/J.ydespuésunamaniobradedesviaciónconunúngulode n/2.

PROBLEMA
,~P~RO~'~E~CT""O
I!-
4.9Basesortonormalesyproyecciones en1:;>" 387
ii.Realicelasmismasmaniobrasendiferenteordenycomparelasposiciones(describa
elordendelasmaniobras).
¡ii.Repitapara otroconjuntodeángulospara cadatipodemaniobra.esdecir,en
cuentrelasposicionesderivadas
derealizarlasmaniobrasen dosórdenesdistintos
(describiendolosórdenes) ycomparedichasposiciones.
d)Supongaquedossatélitescondiferentesposicionesdebentransferirinformaciónentre
sí.
Cadasatéliteregistralainformaciónen terminosdesusistemadecoordenadas:es
decir,registra lainformacióncomocoordenadasreferidasa labasedelosvectoresuni
tariosquedefinensusistemadeejes.Ademásdelajuste
porlocalización(queessimple
menteunatraslación),latransferenciadeinformaciónrequieredeluso
deunamatrizde
transicióndelas coordenadasdeunsatélitealas coordenadasdelotro.
i.Considerequelaorientacióndeunanavees
ladadaenelincisoci)ylaorientación
dela
otraesladadaenelincisocii).Supongaque laprimeranaveregistra lalocali
zacióndeunobjeto
comop=[O.2;O.3;-II.Traduzcaestainformaciónalsistema de
coordenadasdelasegundanave.Verifique elresultadoencontrandolascoordenadas
estándardelobjetocon lalecturadelaprimeranaveydespués encontrandolasco
ordenadasestándardelobjetoconlalecturaajustadadelasegundanave.
ii.Repita
paradosnavescuyasorientacionessegeneraronen elincisociii).
e)OpcionalSupongaquesunavetieneuna matrizdeposicióndadaporA=orth(rand(3)).
Experimenteconlasmaniobrasdeinclinación.desviaciónygiro
pararealinearlanave
con
elsistemadereferencia fijo(basecanónica).
It.Combinelosproblemas9y10deestaseccióndeMATLAB.
m BASESORTONORMALES yPROYECCIONES EN 1)"
EnV"sevioque /1vectoreslinealmenteindependientesconstituyenunabase, Labasecanónica
E={el'e"...c"ieslademayoruso.Estosvectorestienen dospropiedades:
DEFINICIÓNa ConjuntoortonormalenIJ"
SedicequeunconjuntodevectoresS={u
1
•
U",..,u
k
}
enV"esunconjuntoorto-
normal
si
u,.Uf=O
U¡'U¡=1
sii"#-j (1)
(2)
Sisólosesatisfacelaecuación(1).sediceque elconjuntoesortogonal.
Comosetrabajaráampliamentecon elproductoescalarenestasección.recordaremos
algunoshechosbásicos(vea
elteorema1.6.1.pagina59).Sinmencionarlos denuevoenforma
explícita,
seutilizaránen elrestodeestasección.
Siu.vywestánen pJyaesunnumeroreal.entonces
U'\'=\"U (3)

388 C\l'iTULO4 Espaciosvectoriales
(u+v).w=u.w+v.w
u.(v+w)=11•V+u.w
(nu).\'=a(u.v)
u.(mo)=a(u. v)
Ahorasepresentaotradefiniciónútil.
(-1)
(5)
(6)
(7)
DEFINICIÓNE:I longitudonormadeunvector
SivE12",entonceslalongitudonorma dev,denotadaporIvl,estádadapor
Nota.Siv=(XI'x~....xJ.entoncesv.v =x
l
2
+x;+o••+x~.Estosignificaque
(8)
v·v~Oyv·\'=o siysólosi"=O (9)
Deestarormasepuede
obtenerlaraízcuadradaen(8).ysetiene
para
toda"EId"
siysólosiv=O
(J11)
(J1)
EJEMPLO1 lanormadeunvector en1)2
Seav =(x.y)Elt'.entoncesIvl=Jx
2
+y2cumplecon ladefiniciónusualdelongituddeun
vectoren elplano(vealaecuación3.I,!.página222).
lanormadeunvectoren 1J3
Lanormadeun vectoren~s
Seav =(x.y.:)E1)1.entoncesIvl=Jx"+y'+Z2comoenlasección3.3.
lEmillIIIII
'-------------
..-
'-------------
Seav=(2,-l.3.4,-6)E[1$.entoncesIvl=J4+1+9+16+36=166.
Ahorapuedeestablecerseotravez ladefinición1:
Unconjuntodevectorcses ortonormalsicualquierpardeellosesortogonaly cada
unotienelongitud 1.
•
Losconjuntosdevectores ortonormalessonbastantesencillosdemanejar.Severáun
ejemplodeestacaracterística
enelcapítulo5.Ahoraseprobaráquecualquier conjuntofinito
devectoresortogonalesdiferentesdeceroeslinealmenteindependiente.

TEOREMAa
I!.DEMOSTRACiÓN
TEOREMAE:I
I!DEMOSTRACiÓN
4.9Basesortonormalesyproyeccionesen Il' 389
SiS={"I'""...."k}esunconjulltoortogonaldevectoresdiferentes decero,entonces
Seslinealmenteindependiente.
SupongaqueCI"I+c,",+...+Ck"k=O.Entonces,paracualquieri=1,2,...,k
O=o·v..=(C
1
V
1
+C
2
V
2
+···+CIV¡+···+CJ.Vk)·V¡
=c,(v
1
-V)+C
1
(V1·V)+···+c..(v¡,v)+···+CJVl·V)
=c0+C0+...+c·lvI2+···+c0=c-Ivl'
1 2 " k,I
Como"¡~Oporhipótesis,1".1'>Oysetienee¡=O.Estoesciertoparai=1,2,...,k,
loquecompletalaprueba.
AhoraseverácómocualquierbaseenP'sepuede"convcrtir"enunabaseortonormal.El
métododescritoacontinuaciónsedenominaprocesoporortonormalizaciónde Gram-5chmidt.t
ProcesodeortonormalizacióndeGram·Schmidt
SeaHunsubespaciodedimensiónmdeP'.EntoncesHtieneunabaseortonormaLl
SeaS={vi'v
2
,
••••vJunabasedeH.Seprobaráelteoremaconstruyendounabase
ortonormalapartirdelosvectoresenS.Antesdedarlospasosparaestaconstrucción.
seobservaelhechosencillodequeunconjuntodevectoreslinealmenteindependiente
nocontienealvectorcero(veael problema25).
Pasol.Eleccióndelprimer "cetorunitario
Sea
Entonces
(12)
figura
4.5.
Demaneraquelull=1.
Paso2.Eleccióndcunsegundo,-cetor ortogonalau
l
Enlaseccíón 3.2(teorema5.página237)sevíoque, enVJ,elvectorw=u-u- ~ves
".v !vi
ortogonalav.Enestecaso-,-veslaproyeccióndeusobrev.Estoseilustraenla
Ivl
Resultaqueelvectorwdadoesortogonalavcuandowy"estánen1)'paracual·
. .. v-u
qu~er 11~2.Observequecomou
lesunvectorunitario,gu
l=(v·u
l
)u
l
paracual·
qUlervectorv. 1
Sea
(13)
•
,JorgenPedersonGram(1850-1916)fueunactuariOdanésqueestuvomuyinteresado enlacienCiadelamedida.
ErhardtSchlmdt(1876-1959)fueunmatemáticoalemán.
,Observeque
HpuedeserVenesteteorema. EsdeCIr.Vmismotieneuna baseortonormal.

390 C\I'iTLLO4 Espaciosvectoriales
Figura4.5
U'V
Elveetorw=u--,'
H
esortogonalav.
y
,
[
,')u-I?v~~.
entonces
,.,
__~~_---I'-I-¡ v=proy"u
-;;f7-""'--------'--'----~~x
O
v;.u
l
=v
2
·u¡-(v
2
,U
1
)(U
1
'U
1
)=V
2
'u
l
-(v·ul)1=0
demaneraquev;esortogonalau
l
"
Másaún,porelteorema1,u
l
yv;sonlinealmente
(v~.u
l
)
independientes.l';':J:.Oporquede aIramanerav 1=(v1.u
l
)u
lIvllVJ'loquecon-
tradicelaindependenciade
"1yY
z
.
Paso3.Eleccióndeunsegundo"celorunitario
Sea
,
"
"=1,;1
(14)
entoncesesevidenteque {u
l
'
ti
l
}
esunconjuntoortonormal.
Supongaquesehanconstruidolosvectores
01'u
2
,
...u
k
(k<111)yqueformanun
conjuntoortonormal. Semostraracómoconstruir U
k
+
I
,
Paso4.Continuacióndelproceso
S"
entoncesparai=1,2,...,k
V~+l'u/=V
hl
.u;-(Vk+I'u
l
)
(u).u)-(v\;+j'u
2
)(u¡'u)
...-(v~~) .u)(u
l
·
Uf)-...- (V\;+j'u!)(U
t
'
u,)
PeroU)'u..=Osijl'iyu¡'u¡=1.Porlotanto,
Así,
{ul'u
1
,
...u._,v;+)fesunconjuntolinealmenteindependicnte,ortogonal yV;+I:;z!:O.
Paso5
Sca
u'+
1
=v~+/I\'~+II. Entoncesesclaroque {UI'u
2
,
..•,u!,Uk+I}esunconjuntoortonor
malysepuedecontinuardeestamanerahastaque k+I=mconloquesecompleta
laprueba.
Nota.Comocadau¡esunacombinaciónlinealdevectoresv
pgen{UI'U
2
'...,u!}esun
subcspacio
degen{VI'l'!,...,v.}ycomocadaespaciotienedimensión k,losespacios
soniguales.

EJEMPLO4
4.9Basesortonormalesyproyecciones enIl" 391
Construccióndeunabaseortonormalen1;.3
Coostruyauoa ba~O<loooemal~~; eomeo~odo eoolaba~Iv,.v,.v,l~tll}l:llm
••SaludóuSel;eoeIv,1~.J2,entoncesu,=(11:lEntooces
1
,.;=v,-hu,)u,=[:]-j¡[:oJz]=(:)-i
1
2
1
2
I
ComoIv;1=.JJii.,u,=JW
I
2
I
2
I
(
-1116]
=liJó.Continuando.setiene
2116
[
1) [11.fi.][-1116][1]
=~-j¡1/:-~ ~;1=~-
I 1
2 6
1 1
2 6
O 2
6
2
3
2
3
2
3
EJEMPLO5
••Soludó"
UnabaseortonormalparaunsubespaciodeIJI
EncuentreunabaseorlonormalparaelconjuntodevectoresenVlqueestasobreelplano
'={(~]2x-Y+3'=O)
Comosevioenelejemplo4.6.3.página333.unabasepar..estesubespaciodedosdimensiones
~",=(i)yv,=mEntooces1+J5yu,=v'/lv,,=(~;?sl

392e\l'iTlI.O4Espaciosvectoriales
Continuando,sedefine
6
5
3
5
1
6
Po,ú";mo, 1';1=J7D/25=J7DI5d,m"",,,qu,u,=,;11<I=1m¡=[-:;~J'
1
51m
D,,",'foma.un"ba"ononocmales{[~;[s], [-:;~]} P""""fim"lo'''pu"',,,''
observaque 1)losvectoressonortogonales, 2)cadauno tienelo.ngitud1y3)cadaunosatisface
2x-y+3z=O.
Enlafigura4.60sedibujaronlosvectores l'l'v
2
yu
l
"
Enlafigura 4.6bsedibujaronlosvectores
6
5
12
5
O
6
5
12
5
O
ysesumóa \'2usandolaregladelparalelogramoparaobtener v;=
6
5
)
5
1
Porúltimo,u,esunvectorunitarioa lolargode \';.
Ahorasedefiniráunnuevotipodematrizqueserámuyútilenloscapítulosquesiguen.
DEFINICIÓNE:I Matrizortogonal
UnamatrizQdenxnsellamaortogonalsiQesinvcrtiblcy
IQ'=Q'I (16)
"=l~]
•
¡;;
,
u~
¡;;,
,
¡;;
b)
,
"=l:) [-~]
Figura-1.6
losve-ctor<'5u,yu,forman
unabaseonogonalpara
"=l~r
-----0-
elplanogeneradoporlos
vectoresv,~v¡"
[,
x ,
"~
,
,
[,"~
,
,
[,
")

TEOREMAE:I
I!DEMOSTRACIÓN
4.9Basesortonormalesyproyecciones enIr 393
Observequc siQ-l==Q',enlOncesQ'Q==1.
Nocsdificilconstruirmatricesortogonales,deacuerdoalsiguienteteorema.
Lamatriz
Qde/1X/1esortogonalsiysólosilascolumnasdeQformanunabaseono
normalpara1)".
Sea
Entonces
Sca
B=(b..)=Q'Q.Entonces
"
(17)
dondec¡denotalai-esimacolumnadeQ.SilascolumnasdeQsonononormales,en
tonces
sii:f;.j
sii=j
(18)
rl/J2
A,;,lamate;zQ~ll/~
observaque
EJEMPLO 6
Esdecir,B=/.Inversamenle.siQ'=Q-I,entoncesB=¡demaneraque(18)secumple
y(17)muestra
quelascolumnasdeQsonortonormales.Estocompletalaprueba.
Unamatrizortogonal
[
l/J2][l/J3][l/J3]
Delejemplo 4,los"ectoresllfi,1/../3, -1/J3formanunabaseortonormalenl(3.
O I/J3I/J3
I/J3]
-I/J3esunamatrizortogonaLParaverificaresto se
I/J3
[
l/J2
Q'Q~-l/f(,
l/J3
l/J3
J[1OO]
-l/J3~OIO
l/J3OOI
Enlapruebadelteorema2sedefinió v;=="2-('1'2. u)u
1
'
Perocomosehavisto. (\'2.u1)u!
==proyu."2(yaqueIul=1).Ahoraseampliaráesteconceptodeproyecciónsobreunvectora
proyecciónsobreunsubespacio.

39-1 CM'íTL'LU4 Espaciosvectoriales
DefiNICiÓNa
EJEMPLO7
••Solució"
TeOREMAa
Proyecetónortogonal
SeaHunsubespaciode 1)'conbaseortonormal{ul'u
1
'
...,"t}.SivE1)',entoncesla
pro)'ccciónortogonal devsobreH,denotadaporproY
II
\'estádadapor
Iproy¡¡v=(v·ul)ul+(v·u2)u2+···+(v·Ut)UtI (19)
Observeque
proY
II
l'EH.
Proyecciónortogonaldeunvectorsobreunplano
Encuentreproy, ",donden eselplanoj[~],2x-y+3,=O}Yveselvector[ -~]
[
11./5][-6IfiO]
Delejemplo5.unabaseortonormalpara 11:eS"1==2/./5Y"2==3/J70.Entonces
O
51fiO
[
3)[1/./5]][11./5]I[3)[-6IfiO]][-6IfiO]
proy.v=-~'2¿ 2~./5+-~' :;~ :;~
I 2. I
[11./5][-6IfiO]
--- -
5 70 7
=-1521./5-Jw31fiO=
2 12•--+----
5 70 7
O 51fiO
O 20 2
----
70 7
Lanotacióndelaproyecciónproporcionaunaformaconveniente paraescribirunvector
en
Il'entérminosdeunabase ortonormal.
SeaB=={UI'"2"..,un>seaunabaseortonormalpara ~ysea\'E~.Entonces
Estoes,
\'=proylt"v.
v=(v·u)u+(v,u)u+···+(v'u)u!
I I1, " •
(20)
13DEMOSTRACIÓN ComoBesunabase,sepuedeescribir \'demaneraúnicacomov =clu¡+C
1
U
1+...+
c.u.'Entonces
\,.u
i=c/u¡.u) =C
2(U
2
'
u)+...+ci(u,'u) +...+c/u
n
'
u)=c
i
yaquelosveclores u,sonortonormales.Comoesto secumplepara i=1,2,...,11,la
demostraciónquedacompleta.

EJEMPLO8
•Sol"dó"
TEOREMAm
...l.9Basesortonormalesyproyeccionesen 1: 395
Expresióndeunvectorentérminosdeunabaseortonormal
(
2) {[lIfi)[-1/./6][1,3]\
Escribaclvector-~enVlentérminosde labascortonormal1/:.~:~. -::~.
r21[r'1rllfiilrl/fii[r21r-
lI
./6ijr-
lI
./6i
l-~rr~Jr~JC~rr~Jl ~/1Jl ~/1J
i(
2)[11./3]][11./3]
+-1.-11./3-11./3
311./311./3
[
lIfi)[-11./6][11./3)
=*llfi+*11./6+-E-11./3
O 21./6 11./3
Antesdecontinuar.esnecesario queunaproyecciónortogonalesteclaramentedefinida.
lo
quesignificaqueladefinicióndeproYlll'esindepcndienledelabase ortonormalelegidaen
H.Elsiguienteteoremasehacecargodeesteproblema.
Sea
Hunsubespaciode fr.SupongaqueHtienedosbasesortonormales.ju!' u,;:,..
u.ly1Wl'w!'....w.}.Seal'unvectoren J<I'.Entonces
(V,U
I
)U
I
+(V'U
l
)U
2
+,,,+(v,u.)u
k
=(V'WI)W
1
+(v,wl)w¡+...+(v.",.)w. (21)
1:DEMOSTRACION Elijaveclores u
H
l'u'+!'...•u"lalesqueEl=ju!'u!'...,u".U
hl
•...•u)seauna
base
ononormalparaI:?"(estosepuedehacerigual queenlapruebadelteorema 2).f
DespuésB!=1w
l
,
w1'...•w
I
•
uHI'u
H!"".u.}estambienunabaseortonormalpara
Jr.Paraveresto,observeprimero queningunodelosvectores U
HI
'u
H
!"•••u"puede
expresarse
comounacombinaciónlineal de"'1'"'l'....w
jporqueningunodeestos vec
toresestáen Hy{w
l
'
w
2
•••••w,lesunabasepara H.Así.B!esunabasepara Jrporque
contiene11vectoreslinealmenteindependientes.La oportunidaddelosvectores enB
2
se
deduce
delamaneraen queseescogieron(u,..)esonogonalatodovectorenHpara)=
1.2.....11-k).Seavunvectoren.Entoncesde1leorema 4lecuación(20)]
V=(l"UJu+(,'·u)u+···+(v·uJu+(,r·u)u+"'+("'uJu
Ill!JI 1011.+1••
=("''''1)'''1+("''''1)'''2+'''+(''''''1)''''.+(V·U",I)U.I<-I+"'+(V'UJU.(22)
Laecuación(21) sededucedelaecuación(22).
.,---
•Pnmerodebemosencontrarvectoresvv v tdlesque{uU,V vst'i1IOc1t' I:S'!
puedehacercomoen lapruebadelte«e''IclJ64,Pil9lna336.vealambleoelprobiern¡¡J632

396 C·IPinll.o4Espaciosvectoriales
DEFINICiÓNa Complementoortogonal
SeaHunsubespaciodeIr.Elcomplemenloortogonalde HdenotadoporfI.l..estadado
PO'
TeOREMAm
H!={xEl?':X'h=O
SiHesunsubespaciodeI:?".entonces
i.H.l.esunsubespaciode 1)',
ii.flnHJ..={O}.
iii.dimHi=n-dimH.
paratoda hEH}
IJDEMOSTRACIÓN
TeOREMAE:I
i.SixyyestánenHiysiheH.entonces(x+y).h=X'h+y.h=O+O=Oy
(ax.h)=a(x.h)=O.demaneraque¡¡J.esunsubespacio.
ii.SixEHnH.l..entoncesx.x=O.demaneraquex =O.loquemuestraqueHn
H'~(O).
¡ii.Sealu
l
,
u!'...,uJunahaseortonormalparaH.Porelresultadodel problema4.6.32
de
lapagina340.estopuedee.xpandirseaunabase BparaIr:B={u
l
,
u
1
•...•u~.,
"*+1"...,v.}.UtilizandoelprocesodeGram·Schmidt,sepuedeconveniraBenuna
baseortonormalparaJl'.Igualqueenlaprucbadelteorema2,labase queyaes
ortonormalu
j
•
u!,....u~nocambiaenclprocesoyseobtienelabase ortonormal
B
I={ul'u2'....u
p
U
HI
'...•u.l.Paracomplctarlaprucbacsnecesariodemos
trar,únicamente,que
{U~+I'...,u.}esunabasepara H1..Comolosvectoresu¡son
independientcs.debe
demostrarsequegencrana ¡P.Seax E/-/1.;entoncesporel
teorema4
x
=(x·u
1
)
u
l
+(x,u
1
)
u,+...+(x·u.l)u,
+(x·U..
I
)
U~+I+...+(x·u.)u.
Pero(x. u)=Oparai=1,2,....k,yaqucxE/-/1.YUfE/-/.Porlotanto,x=
(x.UHI)U
HI+...+(x.u)u•.Estomucstra que{UH".•.,uJesunabasepara
H1..loquesignificaquedim /-/1.=11-k.
LosespaciosH y/-/1.permilen"descomponer"cualquiervectoren PO.
Teoremadeproyección
ScaHunsubespaciodcJ?'ysea l'E1)'.Entoncesex.isteun parúnicodcvectoreshy
Ptales
quehEH,pEHL,Y,.=h+p.Enpanicular.h=proyHvy p=proY
H
'
,.de
maneraque
v=h+p=proY
H
v+proY
H
,
v (23)
DEMOSTRACIÓN Seah=proyH,.YseaP =,.- h.Porladefinición4selieneh EH.Ahorasemoslrará
QuepEHJ..Sea{u,.u; .....u.l!unabaseortonormalparaH.Entonces

4.9Basesortonormalesyproyecciones enl. J97
b=(l'•u
l
)
u.=(v.u:)u: ++ (l'.Uk)U
k
Seax unvectorenH.Existenconstantes a"a
l'
,a
k
•
talesque
Enlonces
p·x=(v-b)·x::[v-(v·u,)u
l
- (l"u
2
)u!- ...-(v·u
t
)
uJ
[alu,+azllz+···+a¡u¡](24)
Comou;.u¡={O.
1.
poc
~cIc~,essencilloverificarque elproductoescalar(24)estádado
1::f
• •
p.=<=La;(v·u/)-La/(v.ll/)=0
,.1 ..1
Asi,p.x=OparalodoxEH.loquesignificaque PEHJ..ParademostrarqueP=
ProYH1v,seamplia{U
l
,
u~,...,uilaunabaseortonormalen1:1":tu"~Uz,···,U
k
''·¡..l'....
u.}.Entonces {l'h!'...•u.}esunabaseparaHJ.y,pore!teorema4,
v=(v·u.)U
1+(v·u
l
)U
2
+...+(v.u
t
)
U
t
+(V'u
H
)U
H
+...+ (l"u.)U.
=plOyHV+ProYI/1v
Estopruebalaecuación (23).Paraprobarlaunicidad.supongaque v=h
l
-
PI=h
2
-
P
2
'
dondeb¡,h~EHYPI'P~eHJ..Entoncesb
l
-
h
2
=PI-p:!"Peroh
l
-
h
1
eHyPI-P:!
eH1.,demaneraque h
l
-
h
2
eHnHJ.={O}.Así.h
l
-
h
2
=OYp¡-P
1=O,loque
completa
[aprueba.
1IIEIIIIII'---_D_e_S_(o_m~p_o_s_ic_i_ó_n_d_e_u_n_v_e_(_t_o_r_e_n_¡;¡_._
elCJ..
20
7
10
7
30
7
I
7
4
7
2
7
En1)'sea,=¡[~l2X-!'+3,=o}.Exprescelvcelor[- ~]enlécm;nosdeh+p.donde
henypen
1
.
Unabaseoclonocmalpaca" es8,=j[~;1s][~;~]¡, ydelejemplo7.h=peoy.,.
l °51m
7
4
elC.Entonces
7
2
7
••Solució"
Observequep.h =O.

398 C'l'íTt'LO4
TEOREMAm
Espaciosvedoriales
Elsiguienteteoremaesmuy útilenestadísticayotfasarcasdeaplicación.Se daráuna
aplicacióndeesteteoremaen lasiguientesección yseaplicaráunaversiónamplificadadeeste
resultadoen lasección4.\1.
Teoremadeaproximacióndelanorma
SeaHunsubespaciodep'yseal'unvectoren !:r.Entoncesproy 1/'0eslamejoraproxi
maciónpara ven¡.¡enelsentidosiguiente: sihescualquierotrovectoren H,entonces
le.DEMOSTRACIÓN Delteorema7,l'-proYI/VEHJ..Seescribe
v-h=(v-proY
II
v)+(proY
II
v-h)
(25)
Elprimertérminode laderechaestá enflJ.,mientrasque elsegundoestáen H,así
Ahora
Iv-hl'=(v-h¡.(v-h)
=[(v-proy"v)+(proy"v-h)j. [(v-proy"v)+ (proy"v-h)]
=Iv-proY
II
v1
2
+2(v-proY
II
v)·(proY
JI
v_h)+lproYI/v-hl
2
=Iv-proY
IIvr+lproY
IIv-hl
2
PeroIproYI/v-hF>Oporqueh,¡. proYI/v.Porlotanto.
Iv-hl'>Iv-proy"vi'
esdecir
BASESORTOGONALES EN~JCONCOEFICIENTES ENTEROS
Y
NORMAS ENTERAS
(26)
Enocasionesesútilconstruirunabaseortogonaldevectores dondelascoordenadasylanor
madecadavectorsonenteros.Porejemplo.
fU1HJfiJ}
constituyellnabaseortogonal enI)ldondecadavectortienenorma 3.Otroejemplo.

4.9Basesortonormalesyproyecciones enIl' 399
esunabaseortogonalen 1)-1cuyosvectorestienen normas13.5Y65.respectivamet1le.Resuha
quc
encontrarunabase comoéstacn 1)-1nocstandificil comoparece.AnthonyOsborne ~
HansLiebeckabordanestetema ensuinteresantearticulo "OrthogonalBasesof[13withlnte
gerCoordinatesandIntegerLenghts"
enTlieAllleri('(ll/Mafhcmalica! MOl/IMy.vol.96.núm.L
enerode 1989.pp.49-53.
Estasección secierraconunteoremaimportante.
TEOREMAm DesigualdaddeCauchy-Schwarzen V"
Seanu y\'dosvectoresen1:;".Entonces
i.lu''1"lull'l·
ii.lu'vi=lullvlsólosiu=Oo\'=Auparaalgúnnúmeroreal A.
IlDEMOSTRACIÓN i.Siu=Oo\'=O(oambos),entonces (27)secumple(ambosladossonigualesa O).
Sisesuponequeu 7c-OY\''*o.Entonces
\':2:-Iullvl.Con
Deestemodo
2u·v U·V
lullvl~2,demaneroquelullvl~IYu.v ~Iullvl· Enformasimilar,
,
uv u·v
comenzandoconOsr;¡+H,sellegaa lulH2':-1,osea,u.
estasdosdesigualdadesseobtiene
-Iullvl
su.\'slullvlolu.vislullvl
ii.Siu~A",ntonc,slu''1~lA,·'1~IAII'I'ylull'l~IA*I~IAII'II'I~1*1'~lu.'l·
Inversamente,supongaque lu.vi=lullvlconu7c-OYv7c-O.Entonces
I
u·vI U·v
lullvl~1,d,mm"",qu,lullvl~±l.
uV
Caso1:lullvl=l.Entonces comoen1)
uv(u v)(uv)12uv
¡;n;:¡~¡;n;:¡¡;n;:¡ ~2-MM~2-2 ~O
Así
uv
u·v
Caso2:lullvl:;;;-l.Entonces

~uu C,\l'iTULO4 Espaciosvectoriales
,
uv 2"·v
¡;fR=2+lullvl=2-2=0
demaneraque
problemas49
AUTOEVALUACIÓN
Indiquesilassiguientes ascl'cracioncssonfalsaso\'crdadcras
l.Elconjunto{(1,1),(1,-l)} esunconjunto ortonormalenJ:l2.
11.Elconjunto{(J¡,J¡).(J¡,~)}esunconjuntooctonocmal en1)'.
111.TodabaseenIl'sepuedeconvenirenunabaseortonormalutilizandoelprocesode
ortonormalizacióndeGram-Schmidt.
.(1
IV.LamalrlZ11)esortogonal.
-1
.[1IJ21IJ2)V.Lamatriz esortogonal.
1IJ2-1IJ2
Elijaelincisoqueresponda lasiguientepregunta
VI.¿ParacuaJesdelassiguientesmatrices Q-IesigualaQ'?
al(16)
3-2
[
IIJ106/-140]
el
3/JIO- 21-140
[
I/JIO
hl
3/JIO
Delosproblemas1 al17construyallnabaseortonormalparaelespacioosubespaciovectorial
dado.
l.EnJ:l2,comenzandocon losvectoresbásicos (:),(-1[).
2.H={(x.y)E1)';X+J=O}.
3.H={(x,y)EI:P:x-J=Of.
4.H ={(x.y)Elr:(IX+by=DI.
5.Env:'.comenzandocon (:).(~),donde{¡d-be'!-O.

7.11=j(x.y.:):3x-2)'+6:=01
9.L={(x.y.:):x/2=yl3=:l4}
4.9Basesortonormalesy proyeccionesen[l" 401
6.1t=l(x.y.:):2x-y-:=0}
8.11=líx.y.:)EV:x+2y+3:=01
10.L={(x.y.:::):x=3t.y=-2,.:=';1rcall
11.L=({x..r.:)EV:x=1•.1'=21.:=-21;1E~l
12.H={(x.y.:.11")E1)1:2x-J'+3:- 1..=Of
13.11=l(x.y.:):ax+by+c:=Of.dondcabc:;eO
14.L={(x.y.:):xlo=rb=:Ic}.donde(lbc-:;eO
15.H=l(x
l
•
x~.x"xrx,)EV:2\"1-3'\'1 +x,+'¡x.-x,=01
16.JI={(Xl'Xl'Xl'x~..)E~:Xl+2\'l-2x
l
-
x~-X,=O}
17.Heselespaciodesoluciones de
x-3."+==0
-2.T+2y-3==0
4x-8y+5==0
"18.Encuentreunabase ortonormalen~queincluyalosvectores
u=,
l/Ji
O
l/Ji
O
I
,
1
,
1
2
1
2
[Sugerencia:primeroellcuetllredosvectores \'3yv~paracompletarlabase.]
212
---
J3 3
Demueslreque Q=
122
esunamatrizortogonal.19. -
333
12 1
-- -
33 3
20.Demuestreque siPyQsonmatricesortogonalesde 11x//.entoncesPQesortogonal.
21.Verifique
clresultadodelproblema 20con
(
l/Ji-l/Ji)( 1/3
p= YQ=
l/Jil/Ji ,{g13
-,{g13)
113
00")esortogon:!1
-.",,
22.Demuestreque siQesunamatrizortogonalsimetrica.entonces (f=l.
23.Demuestreque siQesortogonal.entoncesdet Q=±l.
.• 11 . [>c",
24.Demuestreque paracualqUIernumeroreal. ¡¡matrizA=
00"

402e\l'iTLI.O4 EspaCiosvectoriales
25.Seaj"1'l':_....\.~}unconjunlodevectoreslinealmenteindependientesen.Pruebe que
l',;t.Opara;=1.2.....k(Sugerencia:sil',=Oentonceses sencillocnconlmfconSlantcsel'
e:,...,c
l
conci~Otalesqucc,", +e:":+...+t'
l
",=O].
Delosproblemas26al34se danunsubespacioHyunvectorv.a)Calculeproy" ,.:b)Encuen·
treunabase orlonormalpamHJ.:c)Escriba,.comoh+PdondehEHYPEHJ..
26.H={(;)eI1X+F+=(-~)
27.H=t,)el)'X-)=+{~)
28.H={(;)el1aX+bY=+=(:)
29.H={(~]el1aX+6l'+c=+'=(:lv'0
~.H={(JeV3X-2Y+6,=+·f!]
31H={(lI1X/2=Y/3d+=(:j
32H={(;jel)'X->+'=+=(-;)
33.H=j[JI12X-Y+3'-"'=+=[-~]
34.H=IIJI1,=)Y",=
3y
l:
v
=[-~l
J5.Seanu
t
yu"dosvectoresorlonormalesen.Demuestreque IU
I
-
u:1=J2.
36.Si"1'":'....u.sonortonormalcs.demuestreque
IU
I
+u:+...+uJ!=lull!+tul+...+lul=11
37.Encuentreunacondiciónsobrelos,números (fybtalesque {(:).(_:)}y{(:).(-:)}
formanunabase ortonormalen~.
38.Demuestreque malquierbllseortonormalen ~zesdeunadelasformas dadasenelpro
blemit
37.

4.9Basesortonormalesyproyeccionesen P' 403
39.Usandoladesigualdad deCauchy-Schwarz.pruebe quesilu+vi::=lul+1"1.entoncesu yl'
sonlinealmentedependientes.
40.Usando
ladesigualdaddeCauchy-Schwarz.prucbcladesigualdaddeltriángulo:
[Sugerenóa:obtenga1:1expansiónde lu+\·I~.]
41.SupongaqueXI'X"....Xl'sonvectoresen V"(nolOdoscero) yque
IX
I+x,+...+XII=Ixll+Ix:1+. -1--Ixll
Demuestrequedimgen IX
I
+x!+...+X"I=1[sugerencia:utilicelosresultadosdelos
problemas39y
40J.
42.Sea jUl'u!,....u"lunabaseortonormalen12"ysea"unvectoren [;n.PruC'bequeI'f::=
1'"ull'+Iv.ul+...+1'"uJ.Estaigualdadsellamaigualdad deParsel':llen (;.....
43.Demuestre queparacualquiersubespacio Hde1:2".(1-[-1)1=H.
44.SeanH
I
yN!dossubcspaciosde 12"ysupongaquefI~=H~.DemuestrequeNI=H:.
45.Sean H
I
yH~dossubespaciosde P'.demuestreque siNIeH
2
•
entoncesH~efl
l
.
46.Demuestre elteoremageneralizadodePihígoras:.seanu yvdosvectoresen l?"conu_v.
Entonces
RESPUESTAS ALAAUTOEVALUACIÓN
1.F 11.V 111.V IV.F V.V VI.e)
MANEJO DELACALCULADORA
Enlapágina230 seindicólarorma paraencontrarlalongitudo normadeunvectoren
I)lconlaHP50g.Enlapágina242se mostrócómoencontrarelproductopuntodedos
vectoresen [;l2.Losmismosprocedimientossepuedenemplearpara l!".Porejemplo,la
secuenciadeteclas
{].N
GJCXJITl~o:J~CD~o:J('"''')
(ALPHA)(ALPHA)Q)C!lC!)(fNrER)
dacomoresultadoJ35'"5.9160798.Laimitacióndelprocedimientode lapágina249
daráa.b.dondeaybestánen P'paracualquier11>2.
• MATLAB4.9
RecordatoriodeMATlAB
u.\'secalculaconu'*"o,,'*u.!"1secalculaCOllsllrt(,"*I')onorm(,').proy,usecalculacon
«u'*")1('-'*"»*"(elvectorproyeccióndeu sobrev).
1.Encuentrebasesortollormalespara elespaciogenerado porcadaconjullto devectores
dado.usandoelprocesode Gram-Schmidt.Verifiquesusrespucstas probandoqueelcon-

404e\1'iTl1.0-1 Espaciosvectoriales
junIOdevectoresobtenidoesortonormalyquecadavectoren elconjulltooriginalesuna
combinaciónlinealdel conjuntodevectoresobtenido.
alI[J[~]j
<)rm-;][-i]~i]1
2.Encuentreunabaseortonormalpara
o 32
-2-5 I
h)-3 O4
-3 O 1
I 53
ti)GenerecuatrovectoresaleatoriosenV'
Sugeri'lláa:primeroencuentreunabasepara Hencontrandounabaseparalassoluciones
de
Ax=O.dondeA=(l.-l.3.1J.Ydespuesaplique elprocesodeGram-Schmidt.
3.a)(Lápi: ypapel)Supongaquev =(:)yz=(- ~).Supongaque \'1=\-/1"1y"!=711..:1.
Demuestreque1 \'1'",1formaunabase ortonormalensímbolo~siempreque tiybno
seanambascero.
h}Para\'=(~).forme\'1y\'~cornoen elincisoa).Seaw=(-:J.CalculePI' elvector
proyecciónde
wsobre\'1'yPe'elvectorproyección dewsobre\'1"Recuerdelageome
tria
deunaproyecciónusando elarchivop'jf/1.II/.Utilicelos comandosprjtn(w,\'1)y
prjtn(w,\'2).elarchivoseencuentraen lasecciónMATLAB3.2(en lapantalladegráfi
cos.wtendráctiqueta
Uy\'10\.!etiquetaV).
~ e)Verifiqueque w=PI+p!=(w.)\'1+(w''"!)\'!'De elcomandoIincomb(\'I,\'2.w).
(Elarchivo
IiIlCOlllb.1I1seencuentraen lasecciónMATLAB3.1).
Describadequémaneraserefleja
lageometríade laproyecciónydc lacombinación
linealen
lagráficaquesepresema.
p,.emuciólI.Laimpresióndirecta delapantallaNOconservalongitudes niángulosrec
tos.
Paraverificarquelosnúmerosdesplegadosenla
pantalladegráficassonw. \'1Y
W•"2.déloscomandos
formalrat
w'*"1
w'*,'2
tl)Repitalosincisosb)ye)parav=(~)yw=(;).
e)Repitalosincisos b)ye)para\'ywdesuelección.

-1.9Basesortonormalesyproyeccionesen ll' 405
J)(L{¡pi::)'papel) Expliquedequeformailustraesleproblemaelteorema7deeslasec
ción.
dondeHesgenl"f.
4.u)Scavunvcclor longitud1enladirccciónde (~)(dividaelvectorentresulongitud).
Sea
w=(;).encuentrep.elvectorproyecciónde wsobre"ycalculeIw-pi.
h)Elijacualquiervalorescalarparae:hagaZ=n'yverifiquequeIw-zl~Iw-pi.Repita
paraotrostresvaloresdec.Expliquelarelaciónentreestoy elteorema8.dondeHes
gen\"l.
e)Repitalosincisos a)yh)conw=(- ~).
ti)Repilalosiucisos a)yh)paravectores\'ywarbitrarios.
e)(Lápi::J'papel)Enelsiguienlediagramaesquemáticoetiqueteconpalvectorproyec
ciónde
wsobre\'.ylocalicew-pyw-z.Expliquela maneraenqueestosdiagramas
ilustranlageometriadelteorema8.donde¡.¡eselsubespaciogen)"l.
w
w
,
"
"
,,
,,
,,
,,
,,
,,
,,
,
,
,
----,---"...'
,
,
,
,
,
,
,
--'----~":::::--=-:- -.:~
,
5.ProyecciónsobreunplanoenV,
Encuentreunabase ortonormallz"zlfparaelplanodadoporgen1\'1')usandoelpro
cesode
Gram-Schmidt.
h)1Lá/ú,ypapdlVecifiqocque F[=i]especpendi",I""",O",como",',ypo,lo
tanto.esperpendicularaH=genl\'I'\'!l.Sean =7Jlzl.Expliqueporquénesunabase
ortonorm¡¡l
paraHJ..
(.)Ladefinición4diceque laproyeccióndeunvector wsobre¡.¡estádadaporproy1/W=
(w'ZI)ZI+(w'z)z::.Elteorema7dicequew=prOYl/w+ProYI/1W,quepuederexpre
sarse
comoproYI/W=w-proy",w.
Paracuatrovectores\1'de3x Iarbitrarios.calculeproY
II
Wdelas dosmanerasy
comparelosresultados(lIuta,ComoH.Lesdedimensiónullo,proYI/J\1'esigualal vector
proyecciónde wsobrenI.
Il)(Lápi::.1'papel)Elsiguientediagramailustrala geomctriadeproYl/w=w-prOYI/'w.
Eneldiagrama.localiceh =proYI/_w.bosquejew-hYverifique queesparalelaa p.la
proyeccióndewsobreelplano.

406e\I'iTLl.O"Espaciosvectoriales
n_ ~
-'
p
6.ParalosveclOresVI'...,\'"siseformalamatrizA=[\',...l'.).entonceselcomandode
MATLABB=orlh(A)producirá unamatrizBcuyascolumnasforman unabaseortonor
malparaelsubespacioH=imagende A=gen1\'1"....\',1.
(1)Sea{l'l'\'1'v]felconjuntodevectoresenelproblemalb)deestasecciónde MATLAB.
EncuentreAyBsegünsedescribió.Verifiquequelascolumnasde BsonortOllorma
les.
h}Seaxunvectoraleatorio de3X1:encuentreAx.Expliqueporqué AxestáenH
Elteorema4dicequesiwestúenH.entoncesw=(w.Hllu.++ (w.u¡)u¡,
dondelu
l
•••••u.fesunabaseorlonormalpara H.VerifiquccslOpara \'=Axusando
elhechodequelI,eslai-ésimacolumnadeB.
(.)Repita[as instruccionesdelosincisos a)yb)para1\'1'\'~.\'3').dondecada\',esun
vector
aleatoriode6X1Yxesunvector aleatoriode4X l.
7.GenerecuatrovectoresaleatoriosenRó.\'1'\')"I'J'\'~.SeaH=gen1\'1'\'~.\'3'\'~}.SeaA
=[\'1\'~")\JyB=orth(A).Sea u;lai-ésimacolumnadeB.
a)Seawunvectoraleatoriode6X 1.EncuentrelaproyeccióndewsobreH.p=proyuw
usandoladefinición4.
[
w.",]
w·u
Calculez = 1.Verifiquequez=B'wYP=BB'w.Repitaparaotrovectorw.
W·u)
"'.u.
b)Seaxunvector aleatorio4X1Yformeh =Ax.Entonceshestúen f-I.CompareIw-pi
y1"'-hl·Repitaparaotrostresvectoresx. Escribaunainlerpretacióndesusobserva
ciones.
e)Sea7.=2"1~3,,)+ ,,~.EntoncesH=gen{l'l'\'1"\'rzl(aquiHeselsubespaciodescrito
enlosincisosanterioresdeesteproblema). ¿Porqué?Seae=[\'1\'1vJz]YD =orth(C).
EntonceslascolumnasdeDserán otrabaseortonormalparaH.
Seawunvectoraleatoriode6X 1.Calculelaproyecciónde wsobreHutilizandoB
ylaproyecciónde wsobreHusandoD.Comparelosresultados.Repita paraotrosdos
omásvectoresw.Escribalainterpretacióndesusobservaciones.
ti)
(Lápi:ypaptd)Si{u
1
•••••u.}esunabaseortonormalparaunsubespacioHyBesla
matriz[u
l
"
••,u.]pruebequelaproyecciónde wsobreHesiguala BB'w.
8,a)(Lápi:ypapel)SiAesunamatrizreal.expliqueporquéelespacionulodeA'es
perpendicularalaimagendeA;esdecir.si H=II11(A).entonceselespacionulo
(A')=H
i
.

4.9Basesortonormalesy proyeccionesen1)" 407
h)SeuAunamalrizaleatoriarealde7x 4.SeaB=orth(A)ysea e=null(A')(entollces
lascolumnasde
Bformanunabaseortonormalpara H=[m(A)ylascolumnasde e
formanunabaseortonormalpara HJ.).Verifiquequelascolumnasde esonorlonor
males.
(o)Seaw unveClOraleatoriode7X 1.Encuentreh.[aproyeccióndewsobre Hyp.lapro
yeccióndewsobre
HJ.(veaelproblema7deestaseccióndeMATLAB).Verifiqueque
w
=p+h.Repitaparaotrostresvectores w.
If)Verifiqueque BB'+ce=/.donde/ es[amatrizidentidad.
e)(Lápi:Jpapel)Pruebelarelaciónen elincisod).
9.a)(Lápi:),papel)Supongaque {UI'...,u)esunabaseortonormalpara 1/'yBesla
matriz[UI...uJSea\'unveclOren1/'.Haciendousodelteorema4.expliqueporqué
sepuedenencontrarlascoordenadasde \'respectoa [abaselUlo...•u)medianIl'Br\,.
h)(Lápi:ypapel) Recuerdeque sieeselánguloentreuy w.entoncescos (8)=u.
w/lullwl.Supongaque Iwl=1.Usandoelteorema4.pruebequelascoordenadasde \'
respectoaunabaseortonormal sepuedeninlerprctarcomo [oscosenosde [osángulos
queformawconcadaunodelosvectoresde
labase:esdecir.lacoordenadadewque
corresponde
alcoeficientedeli-ésimovectordelabase esigualalcosenodelángulo
entrewyeseveclor.
dVerifiqueeslainterprelaciónencontrandolosángulosenlre e[vectordadowylabase
ortonormallv¡,v)para~. Primero.haga unbosquejoamanoparadecidirqué <ingu
Josespera(utilice elcomando¡leosdeMATLAB.Condaeaeos seobtieneunadescrip
ción.Paracambiar
e[ánguloderadianesagrados.multipliquepor 18ühr).
i.w=vectorde[ongilud1en ladirecciónde (:)
\'1=veclordelongitud1 enladirecciónde C)
\'1=vectordelongitudIen ladirecciónde( -:)
lf)Verifiqueque
2
3
2
3
I
3
2
3
I
3
2
3
I
]
2
3
2
3
"""abaseono"on"alpan<IY.Seas~[:l
Encuenlrelosángulosentresycadavectorde labase.Primeroconstruyaw =s/lsl.Los
úngu[osentre
wy[osvectoresde [abaseseránigualesa [osángulosentresyestos Yec
tares.RepitaparaaIrovector s.
10.Verifiqueque [assiguientesmatricessonortogonales.

408 c.\I'jflLO4 Espaciosvectoriales
(h)(: h)(h)r~
-6
12]
al 1)=8 -12
-:=B
I
-1
12 4
r-IJ
14
-J4]
('jU9)-26
-29-2=8, (1)orth(rand(3»)=B.l
-2622 19
e)[u
1
u!u,]=8
4
,
dondelul,u
Z
'
u,leslabase obtenidaalaplicarelprocesode Gram-
Sehmidta ir-:H:H-~])
11.a)VerifiquequecadalInadelassiguientesmatriceses ortogonal.B
1
8::.,8
1
8,.B,B,YBJB
J
•
donde8
1
,
B::.,B,y8
4
sonlasmatricesdelproblema 10anterior.
h)(Lápi=rpapel)Trabajeelproblema16deestasecciónde MATLAIl
12,u)Encuentrelainversadecadamatrizenelproblema10anterioryverifiqueque lasinver
S¡¡Ssonortogonales.
h)(Lúpi:)'papel)Pruebequelainversade unamatrizortogonalesunamatrizortogo
nal.
13.ti)Encuentreeldeterminantedecadamatrizenelproblema10.Formuleunaconclusión
sobreeldeterminantedeunamatrizortogonal.
h)(Lúpi:ypapel)Pruebesu conclusión.
(.)Rcvise(oresuelva)e1problema2deMATLAB3.4.Supongaqucu,vywsonvectoresen
I)lqueformanunparalelepípedo.SiQesunamatrizortogonalde3X3.explique por
quéQu.Q\'yQwformanunparalelepípedoconelmísmovolumenqueelformadopor
u.\.y\'.
14.Matricesortogonales:longitud yánguloRecuerde quesiOeselánguloentreuyw.enton
cescos (O)=u.w/lullwl.
a)SeaQlamatrizortogonal8
1
enelproblema10anterior.Elijadosvectoresaleatoriosuy
w.Calculeycomparelalongitudde \'ylalongitudde Q".Calculeycompareelcoseno
delánguloentrevywyelcosenodelánguloentreQ"yQw.Repita paraulltotaldetres
paresdevectoreselegidos \'yw.
h)Repitaelinciso a)paraotramatrizortogonaldelproblema10.Repitaelinciso aJpara
Q=orlh(hrand(5)-1)(verifiqueprimeroqueestaQesortogonal),Escribaunainter
pretacióndesusobservacionesdelosincisos a)yb).
e)SeaQ=orth(2*rand(6)-I).VerifiquequeQesllnamatrizortogonalyporendequelas
columnasdeQformanunabaseortonormalpara1:1'.
Scanxyzdosvcctoresaleatoriosde6X 1.Encuentrexx.lascoordenadasdcxres·
pectoalabasedadaporlascolumnasdeQ.EncuentrezZ.lascoordenadasdeZrespecto
a
estamismabase.
CompareIx-zlconIxx-zzl.RepitaparaotropardevectoresxyZydescribasus
observaciones.
tI)Elincisoe)tienealgunasramificacionesimportantes.Encualquierc¡'¡!culoomedición
se
introducenerrores.Un aspectoimportantealdiseii.aralgortimosnuméricoshacerefe-

4.9Basesortonormalesyproyecciones enJ:r -109
renciaaloserrorescompuestosoacumulados. Sepuedeinterpretar Ix-zlcomounerror:
porejemplo.xpuederepresentarlosvaloresteóricos
yzlInaaproximación.Explique
cómopucdevcrse
enlasobservucionesdelincisoelqueelcambiodelprocesoa lascoor
denadasdeunabaseortonormalnoacumula(incrementa)
unerrorque yacstúpresente.
¿Porqué
elcambioderegresoacoordenadasestúndartampocoaumentu clerror?
e)(Lápi::ypapel)SiQesunamatrizortogonal yvywsonvectores.pruebeque Q\'.Qw
=v.w.Utiliceestademostraciónpara probarque10'1=1\'1yqueelcosenodelángulo
entrc
Q\'yQwesigualalcosenodelúnguloentre \'yw.
f)(Lúpi::J'papel)Pruebesusobservaciones enelincisoe)(expliqueprimero porquéal
cncontrarlascoordenadasde
unvectorxrespectoalascolumnasde Qseobtienelo
mismoquealmultiplicarxporlInamatrizortogonal).
15.MatricesderotaciónSeninecesariohabercompletadolosproblemas9 y10deMATLAB
4.8.
Sisólohaterminado elproblema9.sepuedenresolver losincisosa)yb)para1)2.
tt)ConsiderclamatrizderotaciónVen elproblema9b)ylasmatricesderotación P.}'y
Rdclproblema lOa)dcMATLAB4.8.Elijaunvalorpara elánguloderotación.por
ejemplo,
it/4yverifique(usando elánguloquecligió)quecadamatriz V.P.}'yRcs
ortogonal.Repitaparaotrosdosángulos.
h)(Lúpi::J'papel)Comounamatrizderotaciónde 11X11esortogonal.lascolumnasde
lamatrizformanunabase ortonormalparaI?¿Porqué?¿Porquépuedeesperarseeste
tipodegeometria?
el(Lápi::Jpapel) Recuerdequeen elproblema10deMATLAB4.8. IHposiciónde la
naveseencuentrahaciendolasmaniobrasdeinclinación,desviación ygiroenalgún
orden.Estollevaaunamatrizdeposiciónque
seformacon elproductodcalgunasde
lasmatricesderotación
P.yyR.Expliqueporqué lamatrizdcposición esunamatriz
ortogonal.
ti)Supongaquelaorientaciónoriginaldc unsatéliteestú dadaporlasmaniobrasdeincli
nación,desviaciónygirodemaneraque
sumatrizdeposición esortogonal.Elcentro
decontrol(orientadoa
lolargodelascoordenadasestúndar)verificaperiódicamentela
posicióndelsatélitepidiéndolelaslecturas(encoordenadasdelsatélite)deobjetoscon
localizaciónconocida
enelcentrodecontrol.
Cierto
sa\l~liteenvíalassiguienteslecturas(que seajustanpara tomarencuentalas
distintaslocalizacionesdelcentrodecontrolydelsatélite):
[
.7017]
v
l=-.7~17
[
.2130]
,,!=.2130
.9093
[
.,025]
vJ=-.~~~~
paraoaobjetoea [~](coocdea"d"eSI"ad,a)
para
unobjetoca[r]icoocdca"dascs<úadac)
paraanobjeto
co[~](coocdcaadas"<úadac)
Expliqueporqué elcentrodecontrolestáalcorrientedequealgonofuncionacon
elsatélite[SIIgerellcia:expliqueprimeroporqué lamatriz[\'1",\'3]debeseriguala A-I/.

410 CWiTl'Lü4 Espaciosvectoriales
dm,de1=[~ ~ ~] y4es1"",,,te,,depos",oodds,"eh"Recucedeque 1,",lecwr,",
son
1,,"co",~en~d,': de[~W] y[~]r"recoo,,1sos,,"',,deeoorden"das dds,"eh"
dadaspor A.lamatrizdeposición.¿Quétipode m<l¡ricesdebenser JIy;l-I?].
e)SupongaquelanaveseorientaconUllamaniobradeinclinación.unúngu!ode rr/4.
seguidadetinadesviaciónconun úagulade-TI/3Ydespuésungiroconun ángulode
;rIó.Encuentrelamatrizdeposición.
Encuentrelosúngulosenlrecadaunodelosejescoordenadosde lanavey eleje.\"
es¡úndar.esdecir.losángulosentrelascolumnasde lamatrizdeposición yelveClOr
[~lEncuentrelosúogulosentrelosejescoordenadosde la",oveyeleje!,""...d,,,_Y
losángulosenlrecadaejecoordenadode [anaveyeleje:estándar(vea elproblema9
deestaseccióndeMATLAB).Explique suprocedimiento.
16.(/)Scaxunvectoraleatorio de3XLSea \.""x/lxl.EncuentrelamatrizH""1-2"\,,.
donde1eslamatri7.identidadde3 x3.VerifiquequefIesortogonal.Repitaparaotros
dosvectoresx(recuerde
queelcomando e~'ecreauna matrizidentidad).
h)Repilaelincisoa)parax.unvectoraleatoriode 11XIcondosvaloresdiferentesde 11
(aquiIserálamalrizidentidad de11XII).
e)(Lúpi=ypapel)Si\'esunvcctordclongitudIen ~'.pruebequefI""I-2\'\"esuna
matriz
ortogonal.
(1)GeometríaLasmatricesquese acabandeconstruirsedenominanreflectoreselementa
les.Sea
\'unvectorunitarioenI:!'y construyaHcomoantes.Seax cualquiervectoren
I:!',EntoncesHxes
larenexióndexatravésde larectaperpendiculara\',
ElsiguienteprogramadeMATLABilustraestageometría. Elvector7.calculado
esx-proy, x,porlotanto.scráunvectorperpendiculara \',Asi.zrepresenta larcr:ta
perpendiculara
\',Estarectaestá dibujadaconunalinea punteadaencolormagenla.
LarecIa
determinadapor\'serepresentaconunalíneaazuldiscontinua. Elvcctorx
originalestú
trazadoennegroy elvectorreflejadohestá dibujadoenrojo.Losrenglones
del
programaqueprecedena lainstruccióndegraficarsenecesitan paraestablecerla
perspectivadelosejcsde maneraadecuadaparaquelaslongitudesigualesseveanigua
lesylosángulosrectosseveanCOlTlOtales.Cuandotermineestaparte. borrelaventana
degrúficoscon
elcomandoclr.
Introduzcalosvcctores noyxde2x 1:
v=vv/norm(vv)¡%Vectorunitarioconladireccióndevv
z=x-(x'*v)*V¡%Proyecciónperpendiculardex
%conrespectoavv
H=eye(2)-2*v*v'¡%Operadordereflexión
h=H*x¡%Imagendelvectorxatravésdelareflexión
aa=[x',z',h',-z',v',-v'];
m=min(aa)¡M=max(aa);
plot{[Oz(l»),[0,z(2)],'m:',[O,-z(l)],[O,-z(2)],'m:',.
(Ov(1)],[0,v(2)),'b--',[0,-v{l)l,(0,~v{2)],'b--', .
(Ox(l)l,[O,x(2)),'k--',(O,h(l)],[0,h(2)l,'r')

PROBLEMA
l!PRoVEao
-tIOAproximaciónporm/nlmoscuadraoos -t11
axis([mMmM]);
axis('square');
grid
title('Magentaz,Azulv,Negrax,Rojah')
Losvcctoressugeridosson
""=10;1I ,=13;31
\'\'=11:11x=1-1;21
n=II:11 x=14:21
e)Observandolageometría.déunaconclusiónde larelaciónentre ¡.¡y¡.¡l.Pruebesu
conclusiónparacuatromatrices
¡.¡generadasigualqueenlosincisos a)yb).
17.Trabajelosproblemas 9y10deMATLAB 4.8Y elproblema15deeslllsección(de
MATLAB).
E APROXIMACiÓN PORMiNIMOSCUADRADOS
Enmúltiplcsproblcmas delascienciasbiológic:IS. li~icasysocialesresullaütildescribir larc
laciónentrclasvari:.blesdelosmismospormediodeunaexprcsiónmatelmitica.Asi.por
ejemplo.
sepuededeseribir larelaciónentre elcosto.elingresoylagananciacon lafórmula
sencilla
p=R-e
Enuncontextodistinto. sepuederepresentar larelaciónentre laaceleracióndebidaa la
gravedad.eltiempoqueunobjeto hacaidoylaalturaa laqueestabamediante laleyfisica
donde
Soeslaalturainici:lldelobjetoyl'Oeslavelocidadinicial.
Pordesgracia.
noes[¡'¡cilobtenerfórmulascomolasanteriores.Muyamenudoloscien
tíficosoloseconomistastienenquetrabajarcongrandesc:llllidadesdedatos
p:lfUencontrar
relacionesentrelasvariablesde
unproblema.Unamaneracomundehaceresto esajustaruna
curvaentrelosdistintospuntosdedatos.Estacurvapuedeserrectaocuadniticaocúbica.yasi
sucesivamente.
Elobjetivoesencontrar lacurvadcltipoespecificoque seajuste"mejor"'-alos
datosdados.
Enest¡¡secciónsemuestracómologrdrestocuando setienendosvariablesen el
problema.Encadacaso sesuponequeexisten"puntosdedatos (Xl'J).(X!_J!).....(x._yJ
Enlafigura4.7 seindicantresdelascurvasquesepuedenutiliz.uparaajustardatos.
Figura4.7
Trt'Scurvasen~planoxy.
,.
•
a)Recia
)'
•
--70F-~"X
b)Cuadr:il;ca
)'
•
-"""of---'~."·;7..'-- .,
e)CUbica

~12e'!'ITI1.0"Espaciosvectoriales
APROXIMACIÓN I~ORUNARECTA
Amesde COnlinmlf.debeaclararsequéquieredecir"mejor ajuste",Supongaquesebuscala
rectade laformay=b+//IXquemejorrepresentea losfIdalos(XI",1).(x!"y~).....(x.-.I'J
Lafigur.l4.8ilustralo queocurre(utilizandotresdalos).Enestafigurase vequesise
suponequelasvariables
xy.reslnnrelacionadasporlafórmula J=b+I1IX.entonces.por
ejemplo.para x=x.elvalorcorrespondientede yesb+111'\'1"Estoesdiferentedelvalor"real".
l'=r.
..¿1>'1adistanciaentre lospunlos(a,"b
t
)
y(1l1'h
1
)cSladadapord=J(a,~o:f+(b
t
-
b
1
)1
Porlolanlo.aldeterminarlamaneradeelegirlarecIa)' =b+//IXquemejorseaproximaalos
datosdados.esrazonableusarelcriteriodeseleccionaraquellaqueminimizalasumadelos
cuadradosdelasdiferenciasentrelosvalores ydelospuntosyelvalor)'correspondienteala
recIa.Observequecomoladistanciaenlre
(Xl'.1"1)Y(Xl'b+111.)es-"1-(b+11'-).elproblema
(pmo'los
11datos)puedeestablecerse comosigue:
Problema
demínimoscuadrados enelcasodeunarecta
Encuenlrenumeras
mybtalesquelasuma
b',-(b+11'-\)I~+Ll'~-(b+11'-))2+...+U'a-(b+111.)]2 (1)
seaminima.Paraestosvaloresde /1/yb.larecta)'=b+/l/Xsellamaaproximación por
lareciademínimoscuadradosalosdatos (XI')',).(x~,J':),...,(x.'yJ.
Unavezdefinidoelproblemasebuscaunmeladoparaencontrar laaproximacióndemíni
moscuadrados.Lomassencilloesescribirtodoenformamatricial.
Silospuntos(XI')).(Xl'.I'!),
..,(x•..r)estántodossobre larecla.r::h+/l/X(esdecir,sisoncolineales),enloncessetiene
.1'1=b+III.I'¡
y!=b+III.I"!
y.=h+lllx.
o
Figura
".8
LospuntossobrelarKta
lle'Al'1l(OOI~
(x.bmx)
y=Au
y
(x!,b+mx~)
•
(Xl·fl)
---T"-------;o+---------~ ,
"'=IILI+b
(2)

-1.10AproxImaciónporminimoscuadrados -1J3
dondc
[
,:,][1"'1
1, l1,
Y=- A= .-
1. l'.
y"=(bJ
m
(JI
Silospuntosno SOI1colinc'lles.entonces y-Au,¡.OYelproblemascconvieneen
FormaH~ctorial delproblemademínimoscuadr:ldos
Encuentre
unvcctorutalque laformaeuelideana
Ir-A"I
seaminima
(4)
Observeque en~.I(s..1')1=~x:+/.eniJ-'.I(x.y.=)1=~,\'1+/+ =1.etc.Entonces.
minimizar
(4)esequivalenteaminimizar laSlll11HdccU¡ldradosen(1).
Encontrarelvecloruqueminimiza noes1¡lndilicilcomop:lreee.Como Aesunamatrizde
11x2yuesunamatrizde 2xl.elvectorAuesunvectoren12"quepertenecea laimagende A.
Laimagende Aesunsubcspaciode 12"cuyadimensión esa10músdos (yaquecuandomucho
doscolumnasde
Asonlinealmenteindependientes).Asi.pore1teorcm;1deaproximaciónde la
normaen(teorema 8.pagina405,.(-1)esunmínimocuadrado
Au=proYII~'
dondefIeslaimagende A.Seilustran'lestoconunagraficapar..elcasode JI=3.
EniJ.'laimagende Aser'"unplanoounarectaquepasa porelorigcn(yaqueestossonlos
únicossubcspacios
deI)ldedimcnsiónlinoodos). Vc;.lafigura".9.El\'celorqueminimiza
sedenot"por u.Delafigura(ydelteorema dePitúgoras)scdeduceque Iy=Aulesminillla
cuando
y-Auesonogonal;llaimagende A.
Esdecir.siueselvectorqueminimiz¡l.enlonces par¡¡todoveclor11EI:r
Au1.(y-Au)
UsandokIdefinicióndeproductoescalaren. seencuentraque (5)sevuelve
Au·(y-Au)=O
(5)
Figllnl4.9
Au(OSortogonalaAu.
(Au)'(~'-Au)=O
(u'A'Xy-Au)=O
Imagelldeti
fórmula(6).púginol121
leorema1ií).pi.gina120
,.
~'-tlu
)f---...,---...
O
A"
x

414 CM'íTUI.O4 Espaciosvectoriales
o
u'(A'y- A'Au)=O
Laecuación(6) secumplepara IOdouE[,)2sólosi
A'y- A'Aii=O
Aldespejariide(7)seobtiene
(6)
(7)
Soluciónalproblema deminimoscuadradospara unajusteporlínearecta
SiAYYsoncomose definieronen(3),entonceslarectay=/l/X+bdaelmejor
ajuste(en elsentidodemínimoscuadrados)paralospuntos (XI')'I)'(Xl'Y2)'...,(x.'y.)
cuoodo(b)=¡¡y
m
-¡¡=(A'At
l
A'y (8)
EJEMPLO1
••Solución
Aquísehasupuestoque A'Aesinvertible.Estesiemprees elcasosilos11datosnosonco
lineales.
Lademostracióndeestehecho sedejaparaelfinaldeestasección.
Larectaquemejorseajustaparacuatro datos
Encuentrelarectaque daelmejorajusteparalosdalos(1,4). (-2.5),(3.-1)Y(4.1).
Enestecaso
Entonces
A=[:-;]
13'
14
,(1
A=
1
1-23
A'A=(46).
630
(A'Af'=-'-(30-<i
4
)Y84-6
~=(A'Arl Aly=~(30 -6)(1
84-641
1
-23
1(30-6)(9)1(300)(3.57)
=84-64-5=84-74"<-0.88
Porlotanto.larectaquemejor seajustaestádada por
y=3.57- 0.88.\"
Estarecta y[oscuatrosdatossebosquejanen [afigura4.10.

Figura4.10
Larectaquemejorse
ajustaaloscuatropuntos
esy=3.57-O.88x.
4.10Aproximaciónporminimoscuadrados 415
(-2,5)e
e(l,4)
•(4,1)
--+-+-+--+--+-;;+->-<..... 4<:+-.x
O
y=3.57- O.88x
APROXIMACiÓN CUADR;\TICA
Ahorasedeseaajustarunacurvacuadrúticaalos 11datos.Recuerdequeunacurvacuadrátlca
en
xescualquierexpresiónde laforma
y=a+bx+n-
1
(9)
Laecuación(9) eslaecuacióndeunaparúbolaen elplano,Silos11datosestuvieransobrela
parábola,
setendría
Y
1
=a+bx
1
+CX
1
1
Y
2
=a+bx
2+ex:
(1lI)
y.=a+bx.+cx;
Para
y=[:J
A=[j
XI x~
,
XlXl
X.X;
(11)
Elsistema(10) sepuedevolveraescribircomo
}'=Au
aligualqueantes. Silosdatosno seencuentrantodossobrelamismaparábola,entonces y
Au:;t:Oparacualquiervector u,ydenuevoelproblemaes
Encontrarunvectoru enI)ltalqueI~'-Aulseamínima.
Utilizando
unrazonamientosimilar alanterior,sepuededemostrarque sicuandomenos tre:.
delasXisondiferentes.entonces AlAesinvertibley elvectorqueminimiza alvectoriiesta
dadopor
(12)

~16 EspaCJosveclOnales
EJEMPLO 2 Elmejorajustecuadraticoparacuatropuntos
Encuentreelmejorajuste clwc!rúticoparalosdalosdelejemplo\.
•SoludóuAquí
Enlonces
A'A~[:
6
30)
[35M
396
-396)
3084.(A'Ar'~_1_396516-156
4752
3084354 -396-156 84
Y
[3564396-391II
I:JI-~J
ii=(A'Ar'A',.=_I-396516-1561 -23
.4752
-396-156 84I49
r
564396
-396)[9) [17820)[ 375)
~-'-396516-156-5=47
152-3852""-0.81
4752
-396-156 8-131 -180-0.04
Así.elmejorajustecuadráticop.lralos datosestádadoporlaparabola
y=3.75-O.81.\"-O.04.\..l
Lafigura4.11presentaUl1l1grúficadelaparúboJayloscu;ltropunlos.
¡\IOtti.Si11esgrande.entonceselcalculode{A'Ar
l
puedeIlc\':1rauna grancantidaddecrl"
nUlllcricos.Eneste casoesmuchom¡iseficientecnconlmriiresolviendoelsistema(A'Aii
A'ypordescomposiciónLU.Dehecho.resolver A'Aü=A'yporestemctodoescasisien
máseficientequeca1cular(A'A)1cuando11>3.
Figura
-t11
laecuacioncuad!atlúly=
].75- 0.8111'O.04x-!"§
el~a¡usteeuadfatKo
pilfa105cuatropunt05..
(-2.5)
_(1.4)
•
(3.-1)
Y=3.75-0,81x-0.04.1.1

EJEMPLO 3
.4.10AproxImaciónpormínimoscuadrados ~17
Elmejorajustecuadráticoparacincopuntos
puedeproporcionarunaestimaciónpara9
Elmétododeajustedecurvassepuedeutiliz¡lrp:lnlmedir lasconstantesfisicas.Suponga.por
ejemplo,quesedejacaerunobjetodesdeuna
ahurade200metros.Setomanlassiguientes
mediciones:
Tiempotranscurrido Altura(enmetros)
O 200
1 195
2 ISO
4 120
6 25
Siunobjetoenlaalturainicial.enreposo. sedejacaer,entoncessualturadespuésde Isegundos
esta
dadapor
s=200-.!.gl!
2
Pamestimarg.sepuedeencontr<lrunajustecuadratieo paraloscincopuntosdados.Los
coeficientesdeltérmino
1
2serán.silasmedicionessonbuenas,unaaproximaciónrazonableal
número
-~g.Utilizandolanotaciónanterior.setiene
oO 200
11
A'=[~
11
3:)
195
A=
24 24 Y:r=180
416 416 120
636 25
Entonces
y
[
5
13
A'A=1357
57
289
57)
289,
1569
[
5912
(A'Ar'=_1_-3924
7504 508
-3924
4596
-704
508)
-704
116
200
[5912
-392450
1
111
3:)
195
ii=_1--39244596-704O124 180
7504
508
-704116OI 416 120
25
[
5912
-3924
=_1_-39244596
7504
508- 7().1
508][720]1 (1504080)[200.44]
-7041185=---8460""-1.13
7504
116
3735 -35220 -4.96
Losdatosseajustaronconlaecuacióncuadriltiea
S(/)=200.44-1.131-4.69r
2
. 1
YsetIeneque19.4.69,osea.
g'"2(4.69)=9.38m/scg"

~18eu'lnLO-l
TEOREMAa
Espaciosvectoriales
Estoesrazonablementecercanoalvalorcorrectode 9.81m/seg
1
.
Pamobtenerunaaproxima
ciónmás c:<actlldegserianecesario obtenerobservacionesmásprecisas.Observe queeltérmi
no-1.131representaunavelocidadinicial(haciaabajo)de1.1)m/seg.
Seobservaaquíquelas¡tpro:'\imacioncsdepolinomiosdegradomásaltoseobtienende
maneraide.ltica.Veaalgunosdetallesen losproblemas7y9deestasección.
Concluiremosestasección
demostrandoelresulladoquegarantizaquelaecuación(8)será
siempreválida.excepto
cuandolospuntoseslénenunamismarectavenical.
Sea(XI')'1)'(.1,'2")'2)'....(X.'J).11PUnlOSen~.ysupongaquenolodaslas.\5011iguales.
Entonces
siAestádadacomoen(3). lamalrizA'Aesllnamatriz¡nvertiblede2X 2.
Notll.SiXI=Xl=X)=...=X.'entoncestodoslosdatosestánsobrelarectavertical
X=XIYlamejoraproximaciónlineal es.porsupuesto.dicharecta.
LDEMOSTRACIÓN Setiene
[
1
,,]
1x,
A- -
I x~
Comonotodaslas x/soniguales.lascolumnasde Asonlinealmenteindependientes.
Ahorabien
[
1
')[.)
I"L.x
:J1" =i,.t,,:
1 x~ ..1 ,~l
SiA'Anoesinvenible.etlloncesdel A'A=O.Eslosignificaque
(13)
Seau =. yx=:-.Entonces
1 '.
yu.,=i-"
¡-I
demaneraquelaecuación(13)sepuedeestablecercomo
lull'l'=lu.'1'
ysacandomizcuadradaseobliene
lu.,1=lull'l
Ahora.ladesigualdaddeCauchy-Schwarz(pagina399)dicequelu· xl::sjullxlen
donde
laigualdadsecumple siysólosixesunaconstantemultiplode u.Perouyxson
lascolumnasde
Aquesonlinealmenteindependientes,porhipólesis.Estacontradic
ciónprueba
elteorema.

problema541Q
'¡.10AprOXImaCIónporminlmoscuaoraÓQS .¡19
AUTOEVALUACIÓN
l.Larectademínimoscuadrados paralosdalos(2,1).(-1.2)Y(3,-5)minimizara
a)[2-(b+m)J'+\-1-(b+2m)]'+[3-(b-5m)J'
b)11-lb+2m))'+\2-(b+m)l'+1-5-(b+3m)]'
e)[1-(b+2m)jZ+12-(b+111)1+1-5-(b+3m)1
d)(1-(b+2)]'+[2-(b-1)]'+[-5-(b+3)1'
DelosproblemasI al3encuenlrelarectaque seajuslllmejoralospuntosdados.
1.(\.3).(-2.4).(7,0)
2.(-3.7).(4.9)
J.(1,J).(4.6). (-2.5).(3.-1)
Delosproblemas4 al6encuentreelmejorajustecuadrdlicoparalospuntosdados.
4.(2.
-5).(3.O).(1.1).(4.-2)
5.(-7.3).(2.8).(1.5)
6.(1.-1).(3.-6).(5.2).(-3.1).(7.4)
7.Laecuacióncúbic:lgeneral
estadadapor
a+bx+c.'..2+dx
l
Demuestreque lamejoraproximacióncúbicaa11puntosestadadapor
dondeyescomosedefinióy
8.Encuentrelamejorapro.'\lmacióncllbicaparalospuntos(3.-2), (O.3).(-1.4).(2.-2)Y
(1.2).
9.Elpolinomiogeneraldegradokestadadopor
Demuestreque
elpolinomiode
grndokquemejorseajust:lalos11puntosestadadopor

420 C....íTIJLO4 Espaciosvectoriales
donde
A=[;
Xix;
'~]x! X~ X,
,,
x,x" x,
10.Los puntos(l.5.52).(-1.15.52).(3.11.28)Y (-2.26.43)estún todosenllnaparábola
tl)Encuentrelaparúbo]a
h)Demuestreque IJ-¡fül=o.
11.Unfabricante compragrandescantidadesderefaccionesparaciertamúquina. ÉlenCllcn
Iraqueestecostodependedelnúmerodecajas compradasalmismotiempoyqueelcosto
porunidaddisminuyecontarmeellllltllerode cajasaumenta.Suponequeelcostoesllna
funcióncuadrúticadelvolumenydelasfacturas anterioresobtienelasiguientetabla:
Númerodecajas Costototal
compradas (dólares)
10 150
JO 260
50 J25
100 500
175 670
Encuentresufunciónde costoIOtal.
12.Unapersonalanza unapelotaalaireendirecciónhaciaabajo.La alturaquealcanzaestá
dadapor.1'(1)=So+l/O!+19f!,Setornanlassiguientesmediciones:
Tiempotranscurrido Altura
(segundos) (pies)
1 57
15 67
2.5 68
4 9.5
Usandolosdatos.estime:
ti)Laalturaalaquesedejócaerlapelota
h)Lavelocidadinicial
c)g(enpies/seg!)

-4.10Aproximaciónpormínimoscuadrados 421
MANEJO DELACALCULADORA
Enestadística.unproblemaimportanteesencontrar larectademínimoscuadrados. En
elcontextodeestadística. elprocedimientoparahacerlo sedenominaregresiónlineal,
Encontrar
elmejorajustecuadrático seconocecomoregresióncuadrática. laregresión
linealesunaherramientadeusocomúnyprácticamentetodaslascalculadomsquegrJ
ficanpuedencalcularlosvaloresde
mybunaveZqueseintroducenlosdatos.
TodosloscálculosestadíSlicos
serealizanoprimiendolasteclas CCJ~ yeligicn·
doeltipodetmbajoqueseestáinteres..1doenrealizar.porejemplo.seleccionando la
opciónI setrabajaconestadísticasdondesólo setieneunavariable. laopción3propor
cionaherramientaspan!hacerajustesdecurvasadalosprescmadoscomocolecciones
depuntos.
Sevolveráacalcular larectaderegresiónparalosdatosdelejemplo 1:(l.4).(-2.
5).(J.-])y(4.1).
PresioneCCJ~CD(fN7fR).
....nz••,,,.•'<_.....
1:l.l"'JI.__
¡;;l.'"_i....
4:•.s.•....,...u_
¡::::;~·ia~::::-L
l'
----
Aparecelasiguientepantallacon elcampoíDATmarcadoque esdondeseguardanel
conjuntodepuntosconloscuales sevaacalcuarelajuste.
Oprimendo
lateclamarcadacomoEDIT seobtienelilsiguientepantallaque esdonde
seescribenlosdatos.utilizaremos laprimcrucolumnaparalosvalores de.\"ylasegunda
columnaparalosvaloresde
y,
Pantintroducirelprimerpuntooprimimos lasecuenciadeteclas
conloque
seobtienelasiguientepantalla.

l.
5.
l.
5.
-1.
422 CAPiTULO4 Espaciosvectoriales
Acontinuaciónoprimimos ®@)@) paradejaralcursoraliniciodelse
gundorenglóncomo
semuestraacontinuación
Introducimos
elsegundopunto.
CIJ(<1-.)QPDCD(ENTER).
Enestaocasión yanohayqueregresar elcursoraliniciodeltercerrenglón.
UI-,
3-1:
1!!BIDD:ll::IIiIl:lE:Jl!I!DJlGDI
Introducimoseltercerpunto,
P
3.
4-1:
mBlI!mIJl:rnmDm:IllB!ll
Introducimoselcuartopunto.
IJI
'~i:
3.-J.
4. 1.
5-1:
mDmtlCClJ)Emal!m:llllD
Paraterminaroprimimos {ENTER}10quenosllevaalasiguientepantalla.
rn~ftTft
tO~P..._••
X_toloI V-(ol'2
".~.l'Line.arFit
Enelsegundorenglónsepuedeespecificarcuálcolumnautilizarparalosvaloresde xy
dey.enestecasonohaynecesidaddecambiarnada.Seleccionamos elmodeloaajustar

4.10Aproximaciónporm[nimoscuadrados
yqueenesteeasoesunarectaporloquedebemosescoger elmodelodeLinearFity
oprimir
lateclaOK.
ru...,.
e...."[[1.4.l[-2._
.-<+1'1 "(+1'2
....1'141.1#1••
e.....st+tlst¡cU._l
_ inJXJlDIIDI
Aparecenlosresultadosdeesteajusteenlosrenglonesdel1al 3.eneltercerrenglón
aparece
laecuaciónde larectaque seajusta,de lamejorforma.en elsentidodemínimos
cuadrados.alospuntosproporcionados..
11I1IIUlltIM.'••'
(...[u.u
,:
.'
5'
"3'~57142S57t4:3_.88(.
2:rl!laHon:(-.8463.
t:ari.-oc:.. :(-6.16,66.
m:DImJIM' _
Parapoderleercompletamente elrenglón.conlasteclasdelcursorseleccionamos el
renglón3
UD...~••M.'••'
(...eu.u
yoprimimoslateclaVIEW
:3.571428~7143.-. 881395:.
1DlilI _
Finalmenteoprimimos lateclaTEXTyahorayapodemosleer laecuaciónde larecta,
rD:II:J__..
Siguiendounprocedimientosimilarpodemosleer elvalordelcoeficientedecorrela·
ción
yelvalordelacovariancia,
"""-
_lIIII

424 CWiTULO4 Espaciosvectoriales
l'.il!im..
Esposiblehacerajustesapolinomios decualquiergrado,en elManualdelUsuariode
lacalculadoraapareceunprograma
paralograresteobjetivo(capítulo 18).
Delosproblemas 13al16encuentre,conochocifrasdecimales,larectaderegresión
paralosdatosdados.
13.(57,84);(43.91);(71,36);(83,24);(108,15);(141,8)
14.(0.32,14.16); (-0.29.51.3);(0.58. -13.4);(0.71,-29.8);(0.44,19.6);(0.88, -46.5)
15.(461.982);(Sil,603);(846.429);(599.1722);(806.2415);(1508,3295);(2409.5002)
16.(-0.0162,-0.0315);(-0.0515,-0.0813);(0.0216.-0.0339);(0.0628,-0.0616);
(0.0855,-0.0919);(0.1163,-0.2105);(0.1316,-0.3002);(-0.4416,-0.8519)
Enlosproblemas17a20encuentrelacurvaderegresióncuadrúticaparalosdatosque
seproporcionan.
17.Losdatosdelproblema 13.
19.Losdatosdelproblema 15.
RESPUESTAS ALAAUTOEVALUACIÓN
1.b)
18.Losdatosdelproblema 14.
20.Losdatosdelproblema 16.
• MATLAB4.10
1.Considereelconjuntodedatos (L2).(2..5).(-],4).(3.5.-(),(2.2..4)Y(4,- 2).Seaxun
vectorde6x1quecontienelas coordenadasxysea ~'unvectorde6X1conlascoorde
nadas
y.
a)DéA =(oncs(6,1).x]yexplique porquéAeslamatrizutilizadapara encontrarelajuste
aestos
datosconlarecta deminimoscuadrados.
h)Encuentrelasolucióndemínimoscuadradosu=(A'A)-IA'y.Encuentre\'=A)'Ycom
pareconu
(elcomandodiagonalinvertida,,\"enMATLAI3encuentra lasoluciónde
mínimoscuadradosparaunsistemaderangocompletosobredeterminado).
c)EncuentreIy-Aul.Elijaw=u+[.I;M.5],encuentreIy-Awlycomparecon Iy-Aul.
Repitaparaotrosdosvectoresw.Expliquequépartede lateoríadeaproximaciónpor
mínimoscuadradosilustraeslo.proylly
d)Lateoriadeaproximación pormínimoscuadradosaseguraque Au=proylly.dondefI
eslaimagende Ayueslasolucióndeminimoscuadrados.Encuentreproyllyusando
B
=orfh(A)comoenelproblema7a)deMATLAB4.9.Verifiqueque Au=proYII~"

-1.10Aproximaciónpormínrmoscuadrados 425
e)Lavisualizacióndelosdatosydelajusleconlarectademínimos cuadradospuedeser
deulilidad.
ElsiguienlcprogramadeMATLABencuentraloscoeficienlcspara elajuste
con
larecia.generavariosvaloresde lacoordenada.\"(elveClors).evaltlalaecuación
delareciaparaestos
v;.llores.graficaelconjuntodedalosoriginalesconsignosde•en
blanco.
ygraficalarectademinimoscuadrados.
NoNI.Porsupuesto.paragraficarunarectanoserequiereevaluar laccuaciónparavariosvalores.
por
10queenrealid,ldno esnecesarioencontrar elvectors.Sinembargo.paragnlficarajustes
conpolinomiosdegradomasalto(oexponenciales)
senecesitaevalU;lr 1:1runciónP;ll";lvarios
valoresde
x.Lageneracióndesseincluyeaquiparaproporcionar elmooelodeMATLABque
necesitarasólopequeilasmodificacionesparaotrotipodeajustes.
u=A)'
S=min(x):(max(x}-min(x»JlOO:max(x):
til
=u(I)+u(2)*s
plol(X.~" .w*',s.fil)
u
=A\y:'"l.Resuelreelproblemademínimoscuadrados
s
=linspace(min{x)-O.5.max(x)+0.5.100); .¡',punlosagraficar
lljusle_a_recla
=11(1)+u(2)*s;'V.enlluacióndelarcela
c1f'y.,borrarlarenl:lnadegrafieas
Illol(s,ajuste_a_rceta,'
r','Lille\Vidth',2); '10,grafielula
'x.r{'etaajllstlld:l
hold
on'x.ivlantcncrfijalagratica
Jllol(x.~','bx' .'MarkcrSize',10,'LincWidth',2);%graficar
%losdatosoriginales
grid
'V.desplegarcuadrícula
legend('Rcctadeajusle'
:Datos')%deplegarrótulo
Title(I'Rcela:·.nllm2slr(u{2»,'x+'.num2str(u(I))I)
-/.deplegar
"/.lilulo
¿Pareceunajusterilzonablelarectademinimoscuadr:ldosparaestosdatos"!
f)Utilicelaecuacióndeminimos cuadradosparaaproxim'lT unvalorde.rparax=2.9.
2.Considerelosdatos enelproblemaIIdcestasección.Seaxunvectorde5xIquecon
tienclosvaloresdelnúmerodecajascompradas.Se"
~'elvectorde5x1conlosvalores
correspondientesdelcostototal.
(1)Elproblemapideunajustecuadrático. DéA=lones(5.1)xx .....21yexpliqueporque
est,.matrizeslamatrizusadaparaeseajuste.
Nota.Elpunto(.)antesdelsímbolo "A""esimportante.LediceaMATLAB queeleveal
cuadradocadacomponentedelveclorx.
b)Sigalasmismasinstruccionesdelosincisos b)ale)delproblema1anterior.exceptop.ml
elincisob).seleccionewcomounvectorde3X l.porejemplo w=ti+1.1:-.2:-.051:para
elincisoe)usetil=u(I)+u(2)*s+u(J)*s.A2:.
,.)Usandolaecuacióncuadniticademinimoscuadrados.estime elcostotOlalpara 75
cajasyestimeelcostototalpara200cajas.
3.Trabaje
elproblema12deestasección.
4.Esimportanteobservarlasgráficasdelosdatosy lasolucióndeminimoscuadrados.Una
solucióndeminimos
cuadradospuedeverscbastanteafectadaporunoodospuntos.Al
gunosdatospuedenscrmuydistintosalrestodelosellos.Éstossedenominanpunlos
dispersos.Los
puntosdispersospuedenindicarerroresenlosdatosoun comportamiento
pocousual quepuedeinvesligarsemásafondo.

~26 C\l'iTllU..Espaciosvectonales
a)Seanx yydos\'ectorcsquerepresentanlosdatosdelproblemaIdeestasección. Se
agregaraelpunto(1.5.- J.8)alconjuntodedatos.Sea r=1.5Yr=-3.8.Formexx ""
IX;rlyYY=I)';tl·
i.Dcelcomandoplot(xx.n.'m*').localiceeldatoadicionalyexpliqueporque se
puedeconsiderar unpuntodisperso.
ii.Segraficarálarectadeajustedemínimoscuadradosparalosdatosoriginales yel
mismoajusteparalosdatosaumentados enlamismagrúficaparaque sepuedan
comparar.
Encuentre
u.lareciadesolucióndemínimoscuadradosparalosdalOsenxy J.
EncuentreUU.larectadesolucióndemínimoscuadradosparalosdatosen xxy)'y.
Formesigualqueenelproblema le)anteriorusando x.xenlugardex.Encuentretit
igualqueen
elproblemale)usandou yencuentrefitlusando UU.Déelcomando
plot(x.y,
'bx',r,t.'mo'.s,fit,'r'.s,fit1.'g')
Estecomandograficanilosdatosoriginalesconunaxazul(bxen elcomando)y
elpuntodispersoconunavocalomagenta(mo). Larectadeajuste pamlosdatos
originalesquedaráenrojo(r)
yladelosdatosaumentadosenverde(g).
¡ii.Describaelcfcctodelpuntodispersosobrelarectadeajustcdeminimascuadrados.
¿Quérectapiensaustedquerepresentamejorlosdatos?
h)Repitaelincisoa)parar""4.9Y 1""4.5.
5.a)Pamlosdatosen elproblemadecalculadora 16:
Encuentrelamatriz Aparalarectadeajustcdcminimoscuadrados ydespuCsen
cuentrc
u.lasolucióndeminimoscuadn!dos.
Encuentre
B.lamatrizparaunajustecuadráticodemínimoscuadrados ydespucs
encuentre
\'.lasolucióndemínimoscuadmdos.
Encuentre
1)'-Aulyb'-B\-¡'
Grafiquelosdatos yambascurvasdeminimoscuadradosen lamismagr.ifica:ge
neres
yfitigualqueen elproblemale)anteriorygenerefilq""\.(1)+\'(2)*s+'·(3)*s.
"2;.Después.déplol(x,y,'bx',s,fit,'r',s.fitq,'b').
Analicecuáldelosdos(rectaoeuadrútico)
esunmejorajuste.Justifique suconclu
sióncon
eltrabajorcalizado.
h)Repiwelinciso a)paraelproblemadecalculadora 14.
6_Setomaron.del lVorldAlmol/ll€'. lossiguientesdalassobreeficienciadecombustibleen
milgal(millas
porgalón.mpg)pan!automóvilesdcpasajerosenEstadosUnidos.
Año
Promedio
dempgparaautomóviles
depasajerosenEstadosUnidos
1980 15.2
1981 15.9
1982 16.7
1983 17.1
1984 17.8
1985 18.2
1986 18.3
1987 19.2
1988 20.0

4.10Aproximaciónpormínimos cuadrados 427
ti)Encucntreunarectadeajustepormínimoscuadradosygrafíqucla.(x =Orepresenta
1980.x=8representa1988,elc.)Analice silarectaparece Ullajuslerazonableparalos
datos.
h)Suponiendoque latendenciacOJ1linüa.ulilicelaecuaciónde larectaparapredecir el
añoenqueelpromediodempgserúde 25.
7.Unadiseiladoraindustrialcontratasusserviciosprofesionalesparaconsultarlesobreun
experimentoquellevaacabo.Ellaestáinteresnda
ensaberquéefectotiene latemperatura
sobre
laresistenciadesuproducto.Comoloscostosinvolucradossonaltos. ladiseJ1adora
tiene
unlimiteen lacantidaddedatosquepuedeobtener:
Temperatura Nivel deresistencia
600 40
600 44
700 48
700 46
700 50
900 48
950 46
950 45
Encuentreunarectademínimoscuadradosque seajustcJunacurvacuadráticade
mínimoscuadradosquetambiénseajuste.Grafiqueambas.Apartirdeesteanúlisis,lrgu
mente
sicreequehayevidenciadequelatemperaturatienealgunefectosobre laresistencia
y.deserasí,digaquétemperaturarecomendariaparafabricar elproductomásfuerte(va
loresmayoresdenivelderesistenciaindicanunproductomásfuerte).
~ 8.Eneldiscohayunarchivo mife.1I1quecontienedatosdel WorldAfmanac paratiempos
récorden
lacarreradeunamilla yelai'loenqueselograron(de 1880a1985).
Dé
elcomandomile.Estocargarálasvariablesdelosdatosen elarchivo.Lapantalla
nodesplegaránada.Losdatosdel
añosealmacenanen lavariablexmylostiemposrécord
en
lavariableym.Paradesplegarlosdatosdé Ixmyml.
Losvaloresen xmseencuentranentre 80y185.donde80representaelaño1880yJ85
elailo1985.Lostiemposenymestúnensegundos. Secuenlacon 37datos.
ti)EncuentrelarecIademínimoscuadradosygrafíquela.¿Esestarectaunajuslerazona
ble?
h)Apartirde lapendientede larecla,determine elnúmeropromediodesegundosporallo
quehadisminuido
eltiemporécord.
e)Silatendenciacontinúa.predigacuándo seromperúlabarreradellnamillaen3 mi
nutos:esdecir"cuúndoocurrirú eltiemporécordde3minutosomenos.¿Piensaquela
tendenciacontinuarú?
9.CrecimientodepoblaciónConfrecuencia sediceque elcrecimientode lapoblación¿os
exponencial.Decualquiermanera. larectadeajustedemínimoscuadradospuedeser \a~
liosasiseutilizajuntoconuna reexpresiólIdelosvaloresdelosdatos. Sixyptienenuna
relaciónexponencia1.significaqlle
p=Ae'"paraalgunasconstantes.-:ly k..L"tilizandolas
propiedadesdeloslogaritmos.seencuentraqueIn(p)
=In(A)+k..\:.Obsern'que.\:y ln(pl
tienenunarelaciónlineal.

428 CAPiTUl.O4 Espaciosvectoriales
Así.siseesperaunarelaciónexponencial. sevuelvenaexpresarlosdatos(x,p)en
términos
delosdatos(x.ln(p))yseencuentraunasolución demínimoscuadradospara
reexpresarlosmismos.Estoconducealn(p) =IIIX+by.porlotanto.p=
e'"x+beselajuste
exponencial.
(1)Enseguidase danlosdalosdepoblaciónparaESllldosUnidosparacadadécadaentre
1800y1900.
Año
Población
(enmillones)
1800 5.3
1810 7.2
1820 9.6
1830 12.9
1840 17.1
1850 23.2
1860 31.4
1870 38.6
1880 50.2
1890 62.9
1900 76.2
Déx=10:101'(losvaloresxsontalesque x=Orepresenta1800yx=\0representa
1900).Sea pelveelOrdelosvaloresdepoblacióncorrespondientes.Dé y=log(p);
i.Encuentrelarectadeajuste demínimoscuadradosparalosdatos enxyy.
Encuentres ytiligualqueen elproblemale)anterior.Dé
file
=exp(fit);
plot(x,p,'
xb',s,tite)
Aquícxp(tit)
encontrarálaexponencial
e
fi1
•¿Separeceaunaexponencial elcreci
mienlode
lapoblación?
ii.Suponiendoquelapoblaciónsiguecreciendoalamismatasa,utilice
lasolución
deminimos
cuadradosparapredecir lapoblaciónen1950(encuentre
elvalory
utilizandolasolucióndelarectademínimos cuadradosydespuésencucntrela
población
pusandop=
él.
h)Enlatablasiguiellleseencuentranlos datosdepoblaciónparaESladosUnidosde1910
a1980.
Año
Población
(enmillones)
1910 92.2
1920 106.0
1930 123.2
1940 132.2
1950 151.3
1960 179.3
1970 203.3
1980 226.5

PROBLEMA
I!PROYECTO
-4.ltIAproximaciónpormínimoscuadrados 429
i.Conestosdatosyconsuproyeccióndepoblaciónen1950delincisoa).expliquepor
quépareceque latasadecrecimientodisminuyó enelsegundosiglo.
ii.Encuentreelajusteexponencial demínimoscuadradossiguiendolospasosdelin
cisoa).Asegúresedeutilizarloslogaritmosdelosvaloresde lapoblaciónparay.
¿Siguesiendoe.\ponencial elcrecimientodelapoblación?
iii.Expliquedequéforma.loscoeficientesen
lasolucióndeminimos cuadradosdel
inciso
a)yelinciso
/)ji)muestranque latasadecrecimientohadisminuido.
i\'.Suponiendoqueelcrecimientode lapoblacióncontinúa comoenailosrecientes.
prediga
lapoblaciónparaelaño2000haciendo LISOdelajusteexponencialdelinciso
bii).
10.Geologia
mineraLosgeólogosestudian lacomposiciónderocas ymincralesenlasfor
maciones
parareunirinformaciónsobrelasmismas. Estudiandolasrocasmetamórficas y
determinandoaspectos comolatemperaturay
lapresióna laqueseformaronse obtendrá
informaciónútilsobrelascondicionespresentes enelmomentodesuformación.Unmi
neral
comúneselgranate.Sesabeque elcoeficientededistribuciónde
Fe-Mgdelgranate
esaltamentedependientedelatemperaturaa
laqueésteseformó(aquí. elcoeficientede
distribuciónFe-Mg
serelacionaconlasproporcionesdefierro(Fe)ymagnesio(Mg) enel
granate).Sinembargo.lacantidaddecalcio
(Ca)enelgranatetambiénafecta elcoeficiente
dedistribuciónFe-Mg.Sepuedenhacercorreccionesalasestimacionesdetemperatura
si
larelaciónentre lacantidaddecalciopresentey elcoeficienteFe-Mgdelgranate sepueden
determinar.Sereunieronlossiguientesdatosdelasmuestras
degranatetomadasenlas
montañasdeEsplanadeenBritishColumbia.
Fracciónmolecular Coeficiente
dedistribución
deCa Fe-Mg
.1164 .12t28
.0121 .17185
.0562 .13365
.0931 .1485
.0664 .12637
.1728 .10406
.1793 .10703
.1443 .1189
.1824 .09952
Encuentrelarectademinimos cuadradosygrafiquela.
Utilicelafracciónmolecular
deCaparalas
coordenadas
xyelcoeficientededistribuciónFe-Mgparalascoordenadas
y.¿Tienenlosdatos.enapariencia.unarelaciónlineal?Escribalaecuaciónde larectade
minimoscuadrados.
11.GeologíapetroleraLasformacionesrocosas seencuentranformandocapas.Lospliegues
enlasrocaspuedenestarcausadospordeformacionesdecompresión.Enplieguessimples.
denominadosdeformacionesllllticlinales. cuandosecomprimenlascapasinferiores.ocu
rrenfracturasqueempujanalarocamasarribadesunivel deformaciónoriginal(denomi
nadoniveldedalosreferencia).Eldiagrnmaesquemúticosiguienterepresentaunasección
transversal.
Elpetróleoy elgaspueden quedaratrapadosenlapartedelpliegue dondeocurre
lafractura.Existeunnivel
músabajodelcualnohaocurridocompresión. por10queno

430 CM'íTI!LD4 Espaciosvectoriales
hayfracturaypor10tantonohaypetróleonigas.Estenivel sedenominanh'c1dedespren
dimiento.
Esdeinteresestimarlaprofundidaddelniveldedesprendimiento. yaqueuna
compailiapetrolerapuedeconcluirrazonablemente
siseríaonoeconómicohaceruna
perforaciónmásprofundapara
encontrarpetróleo.
"'0"-Á compresióna Io
~ /¡ largodelnivelde
Y.....--desprendimiento
Sisesuponequeunplieguetieneunaseccióntransversaluniforme, laconservación
delvolumende
larocaimplicaque elareade larocaarribadelniveldereferencia(etique
tadoconSen eldiagrama)debeserigual aláreadelaroC<lcomprimida(representadapor
eláreasombreadaeneldiagrama).AsíS =Vh,dondef¡eslaprofundidaddelnivelde
desprendimientoy
Dsedenominadesplazamiento.Observe queStieneunarclaciónlineal
con
h.
Usandoimágenessísmicasdelasseccionestransversales,losgeólogospuedenapro
ximarelúreadeexceso(S)arribadelnivel dereferenciaenvarios puntosdelpliegue.Un
métodoreciente.
propuestoparaestimartantolaprofundidaddeldesprendimientocomo
eldesplazamiento,utilizamínimoscuadrados. Elprocesoincluyelamedicióndelasáreas
deexceso
(coordenadasy)ylamediciónde laprofundidaddealgúnniveldereferenciafijo
arbitrario(coorden<ld<lsx).Larelaciónentre eláreadeexcesoy laprofundidaddelnivel
dereferenciaserúlineal
y,dehecho.serúsólounatraslación delarectaquerelacionael
úreadeexcesoconlaprofundidaddeldesprendimiento.Deestaforma, lapendientede la
rectasera aproximadamenteD,eldesplazamiento.Laprofundidaddeldesprendimiento
correspondeniala
coordenadaxdelpuntosobrelarectapara elcualelúreadeexcesocs O
(cero)yaquenohaycompresión justoabajodeestenivel y,porlotanto,ningunarocafue
empujadahaciaarriba.
(1)Lossiguientesdatos seobtuvieronconlasmedicioneshechasenvariosnivelesderefe
renciaydistintaslocalizacionesen
elcampoTipTop,uncampopetroleroenproduc
ciónfrente
alcinturóncentraldeWyoming.
Distancia
alnivelde Áreadeexceso
referencia
(km) (km
2
)
3.13 2.19
2.68
1.88
2.50 1.73
2.08 1.56
1.69
1.53
1.37 1.39
1.02 1.12
.79 .96
.53 .69
l.Encuentrelarectadeajustedemínimos cuadradosysugráfica.¿Parecerazonable
larelaciónlineal;esdecir.parecerazonable queesteplieguepuedaser unadeforma
ciónanticlinal?
ii.Encuentrelaaproximaciónaldesplazamientoya laprofundidaddeldesprendi
miento.Basadoenesteanálisis.,escribauninformeresumiendo
elconsejoquedaria
alacompailíapetrolera.

.t,1OAproximaciónporminimoscuadrados 431
s
,.
,
b)ExistenOIrostiposdepliegues:unomuycomun eselplieguedefallainclinada. Eneste
casoexistendosnivclesdeinterés.losnivelesdedesprendimientosuperioreinferior.
Entreestosdosniveles.
elexcesoderocasesempujadohaciaarriba.Arribadelnivel
superior.partedelexcesoderocas
esempuj:ldoh:lciaarriba yparteesdesplaz.ado
(horizontalmente).EstaestructUr<ldiferentetiene
otr<lSimplicacionesp'lr:l elpotencial
depetróleoatrap'ldo.Une:\amencuidadosodelosdatosy
unprocesodemínimoscua
dradosdiferentepuedenindicar
lapresenciadeestetipodepliegue.
Paradichoplieguedefallainclinada.larelaciónentrelaprofundidaddeldespren
dimientoy
eláreadeexcesoconsisteendosrectas.endonde larectadearribatieneun'l
pendientemenor.Esto
sereflejaríaenlosdatosdelareadeexcesocontra laprofundidad
dclni\'eldereferencia
siseobservaquelospuntos sepuedenclasificarendossubcon
juntosnaturales.Cadasubconjuntotendria
unajustederectademinimoscuadrados.
Esto
sedenominaajusteporpartes.Estasrectasseriantnlslacionesdelarchlci6nentre
elareadeexceso ylaprofundidaddeldesprendimiento.
Elniveldedesprendimiellloinferiorsería elpuntoen elquelarectainferior intersc
ca
aleje11.Lacoordenada"delpuntodeinterseccióndelasdosrectasseríalaelevución
delniveldedesprendimientosuperiorporencimadelniveldereferencia.
Ladiferencia
entrelaspendientesdelasdosrectasrepresenta
eldesplazamientohorizontalde laroca
a
lolargodelnivcldedesprendimientosuperior.
ParalosdatosanterioresdelcampoTip-Top.
sequiereinvestigar siseriarazonable
interpretar
elplieguecomo unplieguedefallainclinada.
i.Primero.encuentre larectademínimoscUildradosparatodo elconjulltodedatos
yencuentre
I~'-Aul
1
,
dondeAeslamatrizutilizadaen elajustedeminimos cua·
dradosyu eslasolucióndemínimoscuadrados.Recuerdeque Iy-Aul
1
midela
sumade loscuadradosdelas distanciOlsentrecadavalor ydelosdatosy elvalor.r
correspondientea larectademínimoscuadrados.
ii.Después,grafiquelosdmos ydeterminecuálpodriaser elagrupamientonaturalcn
dossegmentosderecla.Determinequévaloresdelosdatospertenecenacada
gru·
po.Ajusteunarectademinimoscuadr.ldos ¡¡cadagrupoydetermine 1)'-Aul!para
cadauno.Sumeestaslongitudesparaobtener
elnumeroquerepresentalasuma
deloscuadradosde
klSdistanciasdecadavalor Jdelosdatosalvalor J'delajuste
porpartes.Compareesto COIlelnúmeroobtenidoen elsubineiso¡).¿Esmejoreste
ajusteporpartes?
¡¡j.Continucelexperimcntocondiferentesagrupacionesdedatos.¿Hayalguno p<lnlel
queelajuste
porpartesseamejor?
h'.Paraelmejorajuste porpartes.determinelainformaciónque seproporcionasobre
losnivelesdedesprendimiento
yeldesplazamientohorizontal¡vea elpárrafoante
rioren
elsubineiso¡JI.

432 C,\I'ITULO4 Espaciosvectoriales
dEscribauninformepara
lacompañiapetrolera resumiendosuconclusiónysusreco
mendaciones.
NoUt.Elmetedodescritoviene deunarticulotitulado"ExccssArcaandDcpth 10Oelach
rnent"deJean-LucEpardyRichardGroshong. Jr.publicadoenelAmeriwlIAssocjmiollof
Pel/YJflleUII1Geologisl.I'Sul/elin.agostode 1993(elarticuloestudiatambiénlamaneraenque
unajustecuadrático.paralosdatosdeláreadeexcesocontralaprofundidaddelnivelderefe
rencia.indicarlaunacompresión).
milESPACIOSCONPRODUCTO INTERNOYPROYECCIONES
DEFINICiÓNa
EJEMPLO 1
EJEMPLO 2
Estasecciónutiliza losconocimientossobre ¡aspropiedadeselementales delosnúmeroscom
plejos(resumidasen elapéndice2) yrequierealgunafamiliaridadcon elmaterialdelprimer
añodecálculo.
En
lasección1.6seviocómosepodianmultiplicardosvectores enp'pMaobtener un
escalar.Esteproductoescalarsedenominatambien productoimemo. Otrosespaciosvectoriales
tienenproductosinternosdefinidos.Antesdeofrecerunadefinicióngeneral.seobservaque
en
Il'elproductointernodedosvectoreses unescalarreal.Enotrosespacios(vea elejemplo2
siguiente)elresultadodelproductointernoesunescalarcomplejo.Porlotanto,paraincluir
todosloscasos,enlasiguientedefiniciónsesuponeque
elproductointernoesunnúmero
complejo.
Espaciocon productointerno
Unespaciovectorialcomplejo Vsedenominaespacioconproductointerno siparacada
parordenadodevectoresuyvenV,existeunnúmerocomplejoúnico(u, v).denomina
doproductointernodeu yv.talquesiu.l'ywestánen Vy(\'EC.entonces
l.(v,v)'?:O
ii.(v,v)::oOsiYsolosiv::oO
iii.(u,v +w)::o(u,v)+(u.w)
¡v.(u+v,w)::o(u,w)+(v,w)
v.(u,v)::o(v,u)
vi.(au,v)=a(u,v)
vii.(u,av)=a(u,v)
Labarraenlascondiciones
1')y\,ii)denotaelconjugadocomplejo.
Nota.Si(u.v)esreal,entonces(u. v)=(u,v)ysepuedeeliminar labarraen\').
UnproductointernoenI:.Y'
ll'esunespacioconproductointernocon(u, l')=U.l'.Lascondicionesiii)-l'ii)estánconteni
dasen
elteorema1.6.1delapágina59.Lascondiciones i)yii)estánincluidasen elresultado
4.9.9,página388.
Unproductointernoen(:n
Sedefinióunespaciovectorialen (:nenelejemplo4.2.12de lapágina285.Seanx ::o(XI'Xl'.
x
n
)
yy::o0'1'Y~,....Y
n
)
en(:"(recuerdequeestosignificaqueloselementos x,yY,sonnumeros
complejos).Entonces
sedefine

'¡.11EspaCIOSconproductoInlernoyproyecciones 433
(1)
Parademostrarque laecuación(1)defineunproductointerno, senecesilanalgunoshechos
sobre
[osnúmeroscomplejos. Sicllectornoestúfamiliarizado,consulte elapendice2.Parai).
" ,
(x.x)=X,xl+Xlx!+...+X.x.=lxll+¡xJ+,..+IxJ
Así.i)Yii)satisfacenyaqueIxJesunnumeroreal. Lascondicionesiii)yiI»sededucendelhecho
deque=l(=~T=,1==,=~+=1='paracualesquier.!numeroscomplejos ZI'=~y=}'Lacondiciónr)
sededucedelhechodeque:l:~==I=~Y=1:::=1demaneraque xIY,::::{~'l'Lacondiciónri)es
obvia.Pararii)(u.0'\')=(íiV:U)=(a,',ti):::a(v,ii)=a(u,"~l.Aquíseusaron1';)yr).
EDmIIII__P_,o_d_u_ct_o_i_n_te_,_n_o_d_e_d_o_,_v_e_ct_o_,_e_,_e_n_C_'__
EnCseanx=t[-i,-3.4-Ji)yy=(2-i,-j,2+i).Enlonces
IX,y)=1I+;¡(2-;)+(-J)(-;)+14-3;)(2+;)
=1I+;¡(2+;¡+(-3)U)'+(4-J;¡(2-;)
=(1+3i)-J;+(5-lOi)=6-lOi
Unproductointernoenera,b]
LCU Supongaque a</1:seal'C[a,b)elespaciodelasfuncionesdevaloresrealescontinuas en
elinten'alo[a.b)~defina
(J.g)=rJ(/)g(r)dr (2)
EJEMPLO5
Severilqueestotambicn esunproductointerno.'
i)(J,f)=rf:(T)dI~O.Esunteoremabúsicodele<ÍlculoquesifEC[a,b).I<?:Osobre
[a.b]Yrf(1)dr=O.cntoncesf=Osobre[a,b].Estoprucbai)yii),j;i)-I'il}sededuccndelos
hechosbasicossobreinlegralesdefinidas.
Nota.Enera,b)sesuponeque losescalarcssonnumeros realesyquelasfuncionesson deva
loresreales.demancraque nonospreocupamospor loscomplejosconjugados: sinembargo,si
lasfuncionesson devalorescomplejos.entonces detodasmaneras sepuededefinirunproducto
interno.
Veamasdetallesen elproblema27.
Elproductointernodedosfuncionesen C(O.1]
lCULO Scaf(t)-1
2
EC[O.[1yg(l)- (41)EC[O,1].Entonces
13
12
.'c---
•EstanoeslaUfU(ilmolllerildedefinirunproductoIl1ternosobreqa.bl.peroeslamascomun

434e\.-in1.0-1 EspaCiosvedoriales
DEFINICIÓNE3I Se,.Vunespacioconproductointerno ysupongaqueuyl'estánen V.Entonces
i.uy\.sonortogonalessi(u.v)=Q.
ii.Lanormade u.denotadaporlIull.estádadapor
IIIUII~~I
(3)
NOI«/.AquíseusaladoblebarraellJUg:lfdeunasolapamevitarconfusióncon elvalor
absoluto.Porejemplo.en
elejemplo7 IIsen111denotalanormadesen Icomoun"vCClor"en
C[O.2nJmientrasqueIsen11denotaelvalorabsolutodelafunciónseni.
Noltl2.Lllecuación(3)¡ienesentidoyaque(u.u);=:O.
EnOlosvectores(3.- i)Y(2.6i)sonortogonalesporque
Dosfuncionesortogonalesenelo.2n)
«3.-;,(2.60)=3·2+(-O(6;)=6+(-O(-60=6-6=O
además1(3.-;)1=J3.3+(-;)(i)=JIO.
--
'---------'------
EnC[O.2nJlasruncioncssentycosIsonortogonalesyaque
J
"
IJ" oos2'1"(senr.oosl)=scn/costdf=-scn2/dr=---=0
o 2o 4o
Ademlis.
IlsenI~=(sen,.senI)I!
[
, ]'"=L,nsen"Idt
=[~J>-ooS2I)dll'
=[H,-S<~21JI:T
=,J;;
Siseobscr\'anlasdemostracionesdelosteoremas4.9.1 y4.9.2de lapagina389,se vequeno
seutilizó
elhechodeque V=. Losmismosteoremassccumplenencualquierespaciocon
productointernoV.Acontinuaciónseenumeran.porconveniencia.despuesde darunadefi·
niciÓn.
DEFINICiÓNE3I Conjuntoortonormal
Elconjuntodevcrtores {"I'\'l'...,\'Jesunconjuntoortonormalen Vsi
("..\'.)=Opara¡:tj
,I
(4)

4.11Espaciosconproductointerno yproyecciones 435
y
(5)
TEOREMAa
TEOREMAm
IEJEMPLO 8
leU
••Solución
Sisólo(4)secumple,sediceque elconjuntoesortogonal.
Cualquierconjuntofinitodevectoresortogonalesdiferentesdeceroenunespaciocon
productointernoeslinealmenteindependiente.
Cualquierconjuntofinitolinealmenteindependienteenunespacioconproductointerno
sepuedeconvertir enunconjuntoortonormalmedianteelprocesodeGram·Schmidt.
Enparticular,cualquierespacioconproductointernotieneunabase
ortonormal.
Unabase ortonormalP1[O,1]
Construyaunabase ortonormalparaP~[O.I].
Secomienzaconlabaseestándar {l.x.x~f.Como1\[0,1]esunsubespaciode erO,1],sepuede
usar
elproductointernodelejemplo 4.Como f~[1d);=1.sehaceu
1
=1.Después...;="'2-
E f
l
l.,1 1L 11
(',,,",)",.nestecaso(...,,",)=(x·l)d.r=-.Asl.v,=x--·I=.r--.uegosecacua
- o 2 - 2 2
Ilx-~=[f:('-Hd'J"=[S:("-x+¡}"f=~=2~
Entonces"2=2f3(x-~)=f3(2x-1).Así
...;=\'J-(\'J'"I)"¡- (l'.1'"2)"1
S·( f" 1etIene...]'"1)=x-dr=-y
" 3
hf', "f'" J3(v),II¡)=.y3oX(2.1'-I)dx=\I3o(2x-x)dx=6
Así,
y

436 C\l·iTlII.o4 Espaciosvectoriales
Enloncesu
3=6f5(X!-x+~)=J5(6X! -6x+1).Porúltimo.unabaseortonormal es
11,[312x-1),j516x'- 6x+I)}.
~L __U_n_(_o_n,-ju_n_t_o_o_rt_o_n_o_r_m_a_l_i_n_fi_n_it_o_C-,[-,O-,'_2-"1'---_
(6)
tCALCUl03
DEFINICIÓNa
TeOREMAIEJ
EnC[O.2rr]elconjuntoinfinito
s={.J¡;,.);scnx.j;cosx,);scn2X.);C052X'.");senI1X,);COSI1X"'}
esunconjuntoortonormaLEstoescierto yaquesi111'#11,entonces
f
u fU fU
osenIIIXcosl/Xdx=osenIIIXsen/IXe/x=oCOS/l/XCOS/IXdx=O
Par¡¡probarunadeestasigualdades seobservaque
f"
If"[ ]:selll11xcosllxdr='2: sen(m+n)x+sen(m-n)xdr
=_.![COS(II/+l1)X+C05(11I-II)x]I"
2m+n 111-11 o
~O
yaquecosx esperiódicaconperiodo ln,Sevioque Ilsenxii=¡;;.Así,II(l/j;)senxII=1.
Lasotrasigualdades sededucendeformasimilar.Esteejemploproporcionaunasituaciónen la
quetenemos unconjuntoorlonormal infinito.Dehecho.aunqueestoestamásalládelalcance
deestelibroelemet1laL
escienoquealgunasfunciones enqO.21'11sepuedenexpresarcomo
combinacioneslinealesdelasfunciones
enS.Supongaque!EC[O,21'1],Después.siseescribe
fcomounacombinaciónlinealinfinitadelosvectores enS,seobtieneloquesedenominala
representaciónporseriesdeFouricr de!
Proyecciónortogonal
SeaHunsubespaciodelespacioconproductointerno Vconunabaseortonormal
{u¡.u
2
'
...,u).Sil'EV.entonceslaproyecciónortogonalde \'sobreHdenotadapor
proy11"estádada por
IprOY
II
l'=(l',U¡)U
1+(l',U
2
)U;:+...+(v,Uk)U
k
Lasdemostracionesdelossiguientesteoremassonidénticasasuscontrapartesen ll'de
mostradosenlasección4.9.
Sea
Hunsubespaciodeespaciodedimensiónfinitaconproductointerno V.Supongaque
Htienedosbasesortonormales {Ut'u
2
•...,u
k
}
y{w¡.w
2
'
...•w
k
}.Seal'EV.Entonces

DEFlNICIONm
-1.11EspaciosconprodUdOinternoyproyecCIones -137
Complementoortogonal
SeaHunsubespacíodelespacioconproductointcrno V.Entonceselcomplemento
ortogonalde
H.denotadoporH!.estádadopor
IH'~{xEVe(x,h)~Oparatodah eH} (7)
TEOREMAa
TEOREMAm
SiHesunsubcspaciodelespacioconproductointerno V.entonces
i.H!esunsubcspaciode V.
ji.HnH!={O}.
¡jj.dimH!=n-dimHsidimV=11<oo.
Teoremadeproyección
ScaHunsubespaciodedimensiónfinitadelespacioconproductointerno Vysuponga
que
lOeV.Entoncesexisteunparunicodevectores hyPtalesque hEH.peflJ.Y
I"-h+pI
dondeh=proyH\'.
SiVtienedimensiónfinita.enlncesp :::proyH'".
(8)
TEOREMAm
EJEMPLO10
Oh.~erl'(ldón. Siseeswdialapruebadelteorema 4.9.7.severilque(8)secumpleincluso siV
tienedimensiónfinita. LaúnicadiferenciaesquesiladimensióndeVesinfinita.entonces H!
tienedimensióninfinita(porque Hesdedimensiónfinita).entonces. proYIJ!\'nocstúdefinida.
Sea
Aunamatrizde 11x11:entoncesAtienc11vectorespropioslinealmenleindependien
tes
siysólosilamultiplicidadgeométricadecadavalorpropioesigualasumultiplici
dadalgebraica.
Enparticular.Atiene"vectorespropioslinealmenteindependicnlcs si
todoslosvalorespropios sondistinlos(yaqueentonces lamultiplicidadalgebraicade
cadavalorpropio es1).
CálculodeunaproyecciónsobreP)O.1l
LCUl ComoPl[O,1]esunsubcspaeiodedimensiónfinitade C[O.1].sepuedehablarde proY/"IO.Ilj"si
fEC[O,I}.Sif(x)=e<,porejemplo.secalculaproy r-r
o
.lje".Como{ul'u2''..,uJ=11.f3
(2x-1).entoncesf5/(6x
2
-6x+I)}esuna baseorto~ormal enPl(O.ll.porelejemplo8.yse
tiene
proy
',[0.11e
J
=(e
J
,
1)1+(e',Ji(2x- 1».Jj(2x-1)
+(",,/5(6-,'-6x+1»,/5(6x'-6x+1)

438 CAPiTULO4 Espaciosvectoriales
Peropuedenahorrarseloscálculos,Usando elhechodequef:e'dx=e-1,f:xe~dx=1Y
f>'e
s
dx=e-2,seobtiene(e"1)=e-l,(e',J3(2x-l»=J](3-e),y(e',15(6x
1
-6x
+1»=15(7e- 19).Porúltimo
proy,e'=(e-I)+J3(3-e)J3(2x-l)
'lo,']
+,f,(7e-19)(,f,)16x'- 6x+1)
.=(e-1)+(9-Je)(2x-1)
+5(7e- 19)(6x'-6x+1)
""1.01+0.8Sx+0.84x'
Seconcluyeestasecciónconunaaplicacióndelteoremadeaproximaciónde lanorma.
Al~ROXIMACIÓN PORi\líNIMOSCUADRADOS AUNAFUNCiÓNCONTINUA
Sea!EC[a.bJ.Sequiereaproximar/porunpolinomiodegrado 11.¿Cuáleselpolinomioque
haceestocon elmenorerror?
Conelfinderesponderaestapregunta,debedefinirse elerror.Existen muchasmaneras
diferentesdedefinir elerror.Acontinuación sedantres:
EJEMPLO11
Errormáximo=máxIl(x)-g(x)1
Errorde área=flf(x)-g(x)ldx
,
Errorcuadráticomedio =fJf(x)-g (x)1dx
Cálculodeerrores
paraxE[a.bJ (1lJ)
(11)
(12)
LCU Scanf(x)=x
2
yg(x)=x'sobre[0.1].Enx
2
~x'.demaneraque Ix'-x
3
1=X'-x
3
•
Entonces
i.Errormáximo =máx(x'- x
3
).Paracalcularesto. secalculad/dx(x"-x
3
)
=2x-3x
2
=x(2-3x) =°cuandox=°yx=2/3.Elerrormáximoocurrecuando x=2/3Yestú
dadopoe
[(~J'-(~J']=.:1.-~=~=0.148.
3 3 9
2727
• JI2 3 3 4 1
1
111
ii.Errordearea =(x-x)dx=(x/3-x/4)=---=-""0.083.Lafigura4.12
. o 34 12
Ilustraesto. o
Lasmedidasdeerrorsonútiles.
Elerrorcuadráticomedio seulilizaenestadísticayen
otrasaplicaciones.
Sepuedeusar elteoremadeaproximaciónde lanormaparaencontrar el
polinomioúnicodegrado 11queseaproximaaunafuncióncontinuadadacon elerrorcuadrú
ticomediomáspequeño.
Delejemplo
4,qa.b]esunespacioconproductointernocon

4.11EspaciosconproductoInterno yproye<Clones -B9
)'
Figura4.12
Ilu!.traciónlPIl'llorde
Mea.
)'=.ol
)'::x3
o
)'::.rl y::.ol
Errordeárea
(f,g)~rJ(/)g(l)d, (13)
Paratodoenteropositivo. /l.PJo.b].elespaciodepolinomiosde grado/1definidossobre (a,bl.
esunsubespaciodedimensiónfinitadeC(o. b].Sepuedecalcular.paraJECla,b]yP
n
Ep.'
ilJ-pJo(J-p.,J-p.J=J:[(J(I)-p.(1)(J(/)-p.(t))Jd,
::1:IJ(1)-P.(1)1
2
dI::CITOrcuadráticomedio
Asi.porelteorema6
Elpolinomiodegrado 11queseaproximaaunafuncióncontinuacon elerrorcuadrá
ticomediomáspequeñoestá
dadopor
EJEMPLO12
p.=proy,./
lamejoraproximacióncuadráticamediaa e""
(14)
problemas411
Delejemplo10.elpolinomiodesegundogradoquemejorseaproximaa e'sobre[O.1].enel
sentidodelerrorcuadráticomedioesta dadopor
pl'l;)'"1.01+0.85x+0.84.\.2
AUTOEVALUACIÓN
Completelassiguientesafirmacionesconelincisocorrecto
1.EnC[D,1],(x,x')~ '
1
a)
2
b)1
3
1
el
4
d)1
5
1
,)
6
11.EnC[D, 1].IIx'lI'~ _
1
a)
2
b)1
3
C')I
4
d)1
5
1
,)-
6

440 c,'.'iTULO4 Espaciosvectoriales
111.EnO,((1+i,2-3i),(2-i,-1+2i))=
a)-7+2i h)7+8i e)4-3i ,~4+3i e)-2+5i
IV.EnC',11((1+;,2-3011=
a)-5-\Oi h)15 elJl5 ,~7 el.,f7
/mliqffes;losemll/dallossiguiemes S01lfalsoso"erdatlel'Os
V.SiHesunsubespaciodedimensiónfinitadelespacioconproductointerno Vysi
\'EV,entoncesexistenvectoresh EHYPEHJ.talesque \'=h+p.
VI.EnelproblemaV.h=proYII\'yP=ProyIlL....
1.SeaD"elconjuntodelasmatricesdiagonalesde 11X11concomponentesrealesbajolas
operacionesusualesdematrices.
SiAYSestánen D",defina
(A.S)={/lIbll+{/::.::.b::.::.+...+a,,,,b,,,,
Pruebeque D"esunespacioconproductointerno.
2.SiAED",demuestreque IIAII=1siysólosia
l
2
1
+a:,+...+a~n=l.
~. ::::~:~::: ~~::::::::::::::::::::~:comen"'ndo conA=[~ ~JyB=[~ ~}
S,EnOencuentrellnabaseortonormalcomenzandoconlabase (l.¡),(2-i,3+2i).
LCUlO 6.Encuentreunabaseortonormalpara P}O.1].
7.Encuentreunabaseortonormalpara PJ-I.1].Lospolinomiosque seobtienensedeno
minanpolinomiosnormalizados
delegendre.
8.Encuentreunabaseortonormalpara P::.[a.b].a<b.
9.SiA=(aij)esunamatrizrealde 11X11.latrazade A.quescescribeIr A,eslasumade [as
componentesdeladiagonalde A:trA=a
ll
+{/::.::.+...+(/",,'En/vl""defina(A,S)=tr
(AS').Demuestrequeconesteproductointerno M""esunespacioconproductointerno.
10.SiAEM"".demuestreque IIAW=tr(AA')eslasumadeloscuadradosdeloselementosde
A[l/Ola:aquíIIAII(A.A)".utilicelanotacióndelproblema 9].
11.Encuentreunabaseortonormalpara ."-1::.::.'
12.Sepuedepensaren e[planocomplejocomoen unespaciovectorialsobrelosrealescon
vectoresbásicos
1.i.Si==a+ibyIV=e+id.defina(=.\1')=ae+bd.Demuestreque
éste
esunproductointernoyque 11=11eslalongitudusualdeunnúmerocomplejo.
13.Seana,byetresnúmerosrcalesdistintos.Sean pyqenP::.ydefina(p,q)=p(a)q(a)+
p(b)q(b)+p(c)q(<").
(1)Demuestreque (p.q)esunproductointerno enP
2
.
h)¿Es(p,q)=p(a)q(a)+p(b)q(b)unproductointerno?
14.EnJ.:?2,six=(XIJyy=(J:lJ,sea(x.y)*=XI)'I+3X
2
)'2'Demuestreque (x.y)esunpro-
x, J,
duelointernoen J.:?2.

·t11Espaciosconprodudointernoyproyecciones .wI
Conelproductointernodelproblema 14.calculeI(-~)L·
EnJlsea(x,y)=xJ·.-x",h ¿Esésteun producloinlemo?Sinoloes¿porqué?
Sea
Vunespaciocon productoimemo.Demuestreque I{u.v)1<lIullll'1I.Estose denomina
desigualdaddeCauchy-Schwarz[mgerencia:veaelteorema9 delasección4.9].
Utilizando
elresultadodelproblema 17.demuestreque lIu+vII::=;lIull+IIvll.Éstasedeno
minadesigualdaddeltriángulo.
En
PJ[O.IJsea¡.¡elsubcspaciogenerado por{l.x!}.EncuentreH!.
EnC[-l,1]seaHelSUbcSP¡lciogeneradoporlasfuncionespares.Demuestreque ti!con
sisteenlasfuncionesimp<lres
[sugerellcia:j"esimparsif(-x)=~f(x)yesparsif(-x)=
f(x)J.
15.
'6.
"'17.
"'18.
CALeuL 19.
•
LCUL 20.
Leu 21.H=P
2
[Ü,I]esunsubcspaciodcPj[O.1].Escribaelpolinomio1+2x+3x
2
_.\.Jcomoh(x)
+p(x),dondeh{x)eHyp(x)EH!.
"'22.Encuentreunpolinomiodesegundo gradoquemejorseaproximea sen';'xenelintervalo
[0,1]enelsentidodel
errorcuadraticomedio. -
"'23.Resuelvaelproblema
22para];.funcióncos %x.
24.SeaAunamalrizde mX"conelementoscomplejos.Enlonceslatranspuestaconjugada de
A.denotadaporA·.estádcfinidapor(A·),=a,'CalculeA·si
A=(1~2i 3+4;)
1;-6
25.Sea Aunamatrizinvertible de11x"conelementoscomplejos. Asedenominaunitaria si
A-I=A·.Demuestreque lasiguientematrizesunitaria:
"'26.Demuestrequeunamatriz
de11x11conelementoscomplejosesunitaria siysólosilas
columnasdeAconslituyenunabase ortonormalparae-.
_~cu~ 27.Sedicequeuna función/esde'·alorescomplejossobre elintervalo(real) la.bJsi/(x)se
puedeexpresar
como
f(x)~1;(x)+I,(x)'.xe(a.b]
dondeJ;y1;sonfuncionesdevaloresreales.Lafuncióndevalores complejos/escontinua
sil;y1;soncontinuas.Sea CV{a.b)elconjuntodefuncionesdevalorescomplejosqueson
continuas
en[a.bJ.ParafygenCVla.b).defina
(15)
Demuestreque(15)defineun productointernoenCV[a.bJ.
LCUL 28.Demuestrequcf(x)=senx+icosxyg(x)=senx-icosxsonortogonalesenCI'[ü. nJ.
Leu 29.Calcule IIsenx+icosxiienCV[O.nJ.

442e\I'iTLLO.4Espaciosvectoriales
MANEJO DELACALCULADORA
Muchosdeloscálculosdeestasección sepuedenrealizarencasitodaslascalculadoras
quegrafican.Enparticular.estascalculadoraspuedenrealizararilméticacomplejay
aproximarintegralesdefinidas.
Paracalcularunaintegraldefinidaesnecesariotenerenlapilalasiguienteinfor
mación:limiteinferior(renglón4).limite
superior(renglón3), inlegrando(renglón2)
yvariabledeinlegración(renglón 1).Unavezquesetienentodoslosdatosenlapilase
aprietala(uncióndeintegrarque esCEJ__J(estaasociadaconlatecladeTAN).
Porejemplo.
siqueremosresolver
J
I ~ s 6
0(.1"-2x+x)dx
Lasecuenciadetcclasa oprimireslasiguiente
(TI(ENnR](paraellimiteinferior)
CJ:)(ENTE'RI(paraellimitesuperior)
Uflln1(1...'1'
(....[!JlU
7:
j;
"
~; "
1: 1m:DIBmI!lHJ _
~(AU'HA)c:2lCúlCDc=JCDrnIALPHA)c:2l
CÚ)(~CEJ(AU'HAJc:::!)~~(fNTER) (paraelintegrando)
"'"r:."Ro'1'
(lIOR["tn
j;
"~;
l'
m:DIBI:!Ie"
(AU'HA)c:::!)(ENTER)(paralavariablede inlegración)
••IlTllItI...'1'

".11Espaciosconproductointernoy proyecciones 443
~d (paraevaluarlaintegraldefinida)
O'
"
4'
3'
2'
" _,_
lO'
umtimmu _
Elresultadode laintegración.
RESPUESTAS ALAAUTOEVALUACIÓN
l.d) 11.d) 111.a)
VI.F(verdaderosólo sidim
• MATLAB4.11
IV.e) V.V
JIesfinita)
EnMATLAB.silamatrizAtieneelementoscomplejos.A'produce J:.¡transpuestaconjugada
compleja.Así.
siuy,.sonvectoresen C".sepuedenrepresentar pormatricesde 11xIconele
mentoscomplejosy
(u.)secalculaconv'*u ylulsecalculaconnorm(u)osqrt(u'*u).
EnMATLABseconstruyelavariableipararepresentar elnúmeroimaginario ~.
MATLABreconoce icomotalsiemprequeno sehayausadoparaotropropósito.
Para
11dada.sisequieregenerar unvectoraleatorioen Cn.dé
\'==2*rand(n,I)-1+i*(2*rand(n,I)-1)
t.GenerecuatrovectoresaleatoriosenC
4
.
Encuentrelabaseorlonormalpara elespacio
generado
poreSlosvectoresutilizando elprocesodeGram-Schmidt.Verifiqueque elcon
juntodevectoresorlonormalesobtenidoconesteproceso esorlononnalyquecadavector
en
elconjuntooriginal esunacombinaciónlinealdelconjuntodevectoresobtenido.
2.a)Sea{u
j
•
u::.u
J
•
u~lelconjuntodevectoresoblenidoen elproblema1anlerior.Sea Ala
matriz[UIu!U
J
u~l.Scawunvectoraleatorioen C~.Verifiqueque
w=(w,u,)u
l
+...+ (w.u)u~
Repitaparaotrovector w.
h)(Lápi=Ypapel) ¿Quépropiedaddeunabaseortonormalpara C"esexpresadaen el
incisoa)?Describacómoencontrar lascoordenadasde unvectorenC"respectoauna
baseortonorrnal.
3.Generecuatrovectoresaleatorios enC6.VI'"2'"3Y\'4'Seati=gen{"I'\','\'J'"J.SeaA=
[VI"2"J"4]YB=orth(A).Sea u¡lai-ésimacolumnade B.
a)Seawunvectoraleatorio enC".Encuentrelaproyeccióndewsobre H,p=prOY
II
w.
Calcule7.=[~::::.:~J' Verifiquequez =B'*wyP =B*B'*w.Repitaparaolrovector w.
(w,u
J
)
(w.u,)

C\l'in1.0"Espaciosvectonales
h)Seaxunvectoraleatorioen C~yformeh =Ax.Enlonceshestaen 11.Compare1'"-pI
ylw-hl.Repitapara otrostresvectoresx.EscribaunaiOlerpretacióndesusobserva
ciones.
C')Seaz=2\'1-3\'3+\'~,EntoncesH=gen1\'1'\'1'\'J"zf(aquiHesclsubespaciodescrito
en[osincisosanterioresdecsteproblema),¿Porqué?Sea
e=(\'1\.~\'Jz]yo=orlh(e),
Enlonecslascolumnas elc/)scrúnairabascortonormalparaH
Seawunvectoralcatorioen O.Calculelaproyecciónde \'sobreHusandoIJy
laproyecciónde wsobreIJusandoD,Comparelosresultados,Repitaparaotros dos
vectoresw,Escribaunainterpretacióndesusobsen"leiones,
4.a)(Úípi=.I'papel)Expliqucporqueelespacionulode A'esortogonalalaimagende A:
esdccir.si1-1=Im(A).entonceselespacionulode A'=11-.
h)SeaAUllamatrizaleatoriaconelcmemoscomplejosdc7 X4.(SeaA=1.·rand(7.4)-1
+i1l'(21l'rand(7.4}-1).)Sea 8=orth(A)yseae=null(A')(emonceslascolumnasde 8
formanunabase ortonormalparaH=Im(A)ylascolumnasde eformanunabase
ortonormalparaIJ-).Verifiquequelascolumnasde esonorlonormales.
(o)Seawunvcctoraleatorio enO,Encuentreh,laproyecciónde wsobreH.yp.laproyec
ciónde
wsobre11
1
.
Verifiquequew=p+h,Repitapa~aotrostresvectores w.
5.SiQesunamatrizde 11X1/conelementoscomplejos.entonces Qesunamatrizunitaria si
Q'1l'Q=e~'e(n).Sepuedegcnerarunamatrizunitariaaleatoria Qgenerandounamatriz
aleatoriacompleja
AydespucshaciendoQ =orlh(A).
a)GeneredosmatricesalealOriasunitariasde 4X4 comoseacabadedescribir.Verifique
quesatisfacenlapropiedaddeserunitariasyquelascolumnasformanunabaseorto
normalpara
C~.
h)Verifiqueque lainversadecadamatrizesunitaria.
C')Verifiqueque elproductodelasmatricesesunit'lrio.
tI)Genereunvectoraleatorio \'enC~.Verifiquequecadamatrizunitariaconserva lalon
gitud.esdecir.IQ"1
=1"1,
e)Rcpitalosincisos a)ad)par;¡dosmatricesaleatoriasunitariasde 6X6.
FUNDAMENTOS DELATEORiADEESPACIOSVECTORIALES:
EXISTENCIADEUNABASE
(OPCIONAL)
Enestasecciónsedemuestraunodelosresuhadosmás imponantesdelálgebralineal:lodo
espacio\·cctorialtieneunabase.Lademostración
esmásdificilquecualquier otmquehayamos
hechoenestelibro;incluyeconceptosquesonpartedelosfundamentosdelasmatemáticas.
Se
requieredc unesfuerzoparacomprcnderlosdetalles.Sinembargo.despucsdehacerlo.podrá
tenerunaaprcciaciónmásprofundadeloqueconstituyellnaideamatemúticaesencial.
Comenzaremospor
daralgunasdefiniciones.
DEFINICiÓNa Ordenparcial
SeaSunconjunto.Unordenparcialde Sesunarelación. denotadapor:5.queestade
finidaparaalgunospares
ordenadosdeelementosde Sysatisfacetrescondiciones:
i.x:5xparatodoxES

-l.12Fundamentos delateoriadeespaciosvectoriales:existencia deunabase(opcional) -W5
ji.Sixsyyysx.entoncesx=J
¡ii.Sixs)'y yS:.entoncesxs
leyantisimétrica
leytransitiva
EJEMPLO1
EJEMPLO2
Puedeocurrirqueexistanelementos xyyenStalesquenosecumplan xsyniysx.
Sinembargo, siparacada x.yES,X:5JIoJI:Sx,sediceque elordenesunordentotal.
Six:5yoJ':5x.entoncessediceque xyysoncomparables.
Notado".x <J'signilic<lquex:5.ryx~y.
Unordenparcialen[l
Losnúmerosrealesestúnparcialmenteordenados por:5.dondesquieredecir""menoroigual
que"'.
Elordenenestecaso esunordentotal.
Unordenparcialen unconjuntodesubconjuntos
SeaSunconjuntoysupongaque P(S).denominadoelconjuntollOfendadeS.denotaelcon
juntodetodoslossubconjuntosde S.
Sediceque A:5asiA<;;B.Larelacióndeinclusión esunordenparcialsobre P(S).Es
sencilloprobaresto. Setiene
i.A<;;Aparatodoconjunlo A.
ji.A~ayB<;;AsiysólosiA=B.
¡ii.Supongaque A<;;ayB<;;C.SixEA.entoncesxEa,demaneraque xEC.Esto
significaque
A~C.
Aexcepcióndecircunstanciasespeciales(porejemplo. siScontienesólo unelemento).elorden
noscni
unordentotal.Estoseilustraen lafigura4.13.
B
Figura4.13
TresPOSibilidadesparala
InclUSióndeconluntos.
A B
00
NíACH
niHCA
ACB
NíACHniOCA:
AyOsonconjuntosajcnos
,) bl el
DEFINICIÓNE3 Cadena.cota superioryelementomaximal
SeaSunconjuntoparcialmente ordenadopor:5.
i.UnsubconjuntoTdeSsellamacadena siestotalmenteordenado; esdecir.sixyy
sonelementosdistintosde T,entoncesxsyoy:5X.
ii.Seaeunsubconjuntode S.Unelemento 11ESesunacotasuperiorpara esie:511
paratodoelementoe EC.

446e\I'¡TULO-t ESpaCiosvectoriales
¡ii.Elelementom ESesuneJemet1tomaximalparaS sinoexisteunasESconm<s.
ObscrJ'aciónJ.Enii)lacolasuperiorparaedebesercomparable contodoclementoen
eperonoesnecesarioque esteene(aunquedebeestaren5).Porejemplo,elnumero
1esunacolasuperiorpara elconjunto(0,1)peronoseencuentraen(0,1). Cualquier
nlimeromayorque
1esunacotasuperior.Sinembargo noexisteunnúmeroen (O.1)
queseaunacota superiorpara(O.1).
Ohserl'ación2.Si111eselementomaximal paraS.nonecesariamenteocurre ques:s;m
paratoda sES.Dehecho.'"puedesercomparableconmuypocoselememosde S.La
únicacondiciónparalamaximalidadesquenoexistaunelementodeS';mayorque"'
111.
IImiDIIL_u_"_a_'_a_d_e"_a_d_e_'_u_b_'o_"-'j'-U_"_to_'_d_e_Il''---_
SeaS ""1Pl.EntoncesP(S)consisteensubconjuntosdel planox)'.$caD,={(x,y):.\.1+).2<
rl:esdecir.D,esundiscoabierto deradio,-elinteriordelcirculo deradio,centradoenel
origen-oSea
Claramente.Tesunacadena.ya
quesiDyDestánen T.entonces
""
D"I:;D"si":s:r~yD"c:;;;D"si'~::S',
Antesdeseguir.esnecesariaunanotaciónnueva.Sea Vunespaciovectorial. Sehavis
toqueuna
combinaciónlinealdevectoresen Vesunasumafinita:L.:.,a¡,';=all',+a~v~
+...+a.l'•.Sisehanestudiadoseries depotencia.sehabr.invistosumasinfinitas delaforma
:L.;.cIa.x·.Porejemplo.
..• ~ 1
,",x Xx
e=L,--=I+x+-+-+·
••Oll! 2!3!
Aquisenecesitauntipodiferentedesuma.Sea eunconjuntodevectoresen v
tParacada
l'Ee,sia,denotaunescalar(elconjuntodeescalaresestú dadoenladefiniciónde V).Enton
cescllandoescribimos
x='"avL..
(1)
DeFINICIÓNEl
seentenderáquesólounnumerofinito deescalaresa,sondiferentesdeceroyque todoslostér
minos
cona.=Osedejanfueradelasumatoria.Lasuma (1)sepuededescribir comosigue:
Para
cadal'EC.seasignaunescalar a,yseformaelproductoa,l'.Entoncesxes la
sumadel subconjuntofinitodelosvectoresa,l'paraelquea,~O.
Combinaciónlineal,conjuntogenerador,independencialinealybase
i.Seaeunsubconjuntodeunespaciovectorial V.Entoncescualquiervectorquese
puedeexpresarenlaforma(1)sedenominacombinaciónlineal
devectoresenC. El
conjuntodecombinacioneslinealesdevecloresen esedenotaporL(C).
•
•enoesnecesariamenteunsubespaClodeV

TEOREMAa
I!DEMOSTRACIÓN
".12Fundamentosde latearrade espaCIosvectoriales:eXistenCiadeunabase(opcional) 447
ii.Sedicequeelconjunto egeneraelespaciovectorial Vsi11'0;;::;L(q.
¡¡i.Sediceque unsubconjuntoedeunespaciovectorial Veslinealmenteindependiente
si
secumplesólocuando er,=Oparatodo\.€C.
iv.ElsubconjuntoBdeunespaciovectorialVesuna baseparaVsigeneraa Vyes
linealmenteindependiente.
Ohsen·ación.Siecontienesólounnúmerofinitodevectores,estasdefinicionesson
precisamentelasque
sevieronantesenestecapítulo.
Sea
Bunsubconjuntolinealmenteindependientede unespaciovectorial V.Entonces8
esunabase siysólosiesmaximal:esdecir.siB~D.entoncesDeslinealmentedepen
diente.
Supongaque
Besunabaseyque B~D.SeleccionextalquexEDperox~B.Como
Besunabase,xpuedeescribirsecomounacombinaciónlinealdevectoresen B:
x=¿a,"...
Sia,=Oparatoda v,entoncesx =OYDesdependiente.Deotramanera a,-:F-Opam
alguna",yasilasuma
x-¿a,.v=O
...
demuestraque Desdependiente;porlotantoBesmaximal.
Deformainversa.supongaque
Besmaxima1.Seax unvectoren Vquenoestá
en
B.SeaD=Bu{x}.EntoncesDesdependiente(yaque Besmaximal)yexisteuna
ecuación
en
laquenotodosloscoeficientessoncero.Pero {3-:F-Oporquedeotramanera seobten
driaunacontradicciónde
laindependencialinealde B.Asi.sepuedeescribir
Entonces.
Besunconjuntogenerador y.porlotanto.esunabasepara JI'
¿Haciadóndellevatodoesto?Quizapuedaverse ladireccióngeneral. Sehadefinidoelor
denenlosconjuntosyloselementosmaximales.
Sehademostradoque unconjuntolinealmen
teindependienteesunabase siesmaximal.Faltaimicamente unresultadoquepuedeayudara
probar
laexistenciade unelementomaximal. Eseresultadoesunadelassuposicionesbásicas
delasmatematicas.
.,---
,SilosescalaressonnúmerosrealesocomplejOS.entonces0'110

448 CAPíTlI.O-1
~AXIOMA
EspacIOSvectoriales
Muchosdeloslectoresestudiaron lagcometriaeuclidianaenlasecundaria.Tal vezahi
tuvieronsuprimercontactoconunademostraciónmalemútica.Para probarcosas.Euclides
hizociertassuposicionesquedenominó {/xiOIl/{/,\',Porejemplo.supusoqueladistanciamús
cortaentredospuntosesunalinearecia. Comenzandoconestosaxiomas. elysusalumnosde
geometríapudieron
demoslmrmuchosteoremas.
Entodaslasramasdelasmatemáticas esnecesarioteneraxiomas.. Sinosehaceunasupo
sición.
noesposibleprobarnada.Paracompletarnuestrademostraciónsenecesitaelsiguicnlc
axioma:
L.emadeZorn
t
SiSesunconjunto parcialmenteordenado,novacío,talquetodacadenanovaciatiene
unacotasuperior.entoncesStieneunelementomaximal.
Oh.H!'·l'{ldáll.Elaxiomadeeleccióndice.agrandesrasgos.que dadounnúmero(finitooinfi
nito)deconjuntosnovacíos.existeunafunciónqueeligeunelementodecadaconjunto.Este
axiomaesequivalente
allem<.ldeZorn:esdecir. sisesuponeelaxiomadeelección. sepuede
probarellemade Zornyviceversa.Unademostracióndeestaequivalencia yotrosinteresantes
resultadossepuedeencontraren
ele.xcclenlelibro NaireSerrheory dePaulR.Halmos(Nueva
York:
VanNomand.1960).enespecialen lap:'lgina63.
Finalmentesepuedeestablecer}'
probarelresultadocentral.
TEOREMAE3I
L:.DEMOSTRACIÓN
TodoespaciovcctorialVtieneunabase.
SequieredemostrarqueVlieneun subconjuntolinealmemeindependientemaximal.
Estosehace
envariospasos.
LSeaSunacoleccióndesubconjumos.todoslinealmenteindependientes.parcial
mente
ordenadosporinclusión.
iLUnacadenaenSesunsubconjunto TdeStalque siAyB estilOenT.A~Bobien.
B~A.
m.SeaTunacadena,Sedefine
Esevidenteque M(T)esunsubconjuntode VyA~M(7)paratodoAET.Se
quieredemostrarque M(T)esunacotasuperiorpara T.ComoA~M(7)paraIOdo
AET.sóloesnecesariodemostrarque M(T)ES:esdecir,debedemostrarseque
¡\J(T)eslinealmenteindependiente.
¡v.Supongaque La,\'=O.dondesólounnumerofinitodelas a,sondiferentesde
'Vil"
cero.Sedenotanestosescalaresporal'a
z
'....a.yalosvectorescorrespondientes
por\'1'"2'...•".'Paracada i.i=1.2,.,..1/existeunconjunto A¡ET(¡JIque"i
EA¡(porquecada l',.estáen M(7)yM(7)eslauniónde rosconjuntosen 7).Pero
•
,Ma~AZorn(1906-1993'~vanos<li\oseolaU".,..t>(">Jly01II1ÓI<ll'Ioldondefu!'Proff'SO(Effil'I'.10hasta wmUE'ftl'PI
9di'marzodi'1993PublcoSlllamosorm~en t9351AReman:00ME'thod11TransfHld€'All)ebfa8uJIf>r!tlo{
rheAmenc.m "-'Idll'H::morlC~ 5OCJ{'1y<11(1935667-6701

Resumen ~~9
Testotalmenteordenado,demaneraqueunodelosconjuntos A¡contieneatodos
losdemás(vea
elproblema3);denominadosAA'aesteconjunto(sepuedellegara
estaconclusiónsóloporquelAI,
Al'.'"A)esAnito),Así, A¡~A
k
parai=l.
"
2...../1Y\'1'v!•...,V
n
EA
k
,
ComoA.eslinealmenteindependientey Ia,v¡=O,se
;.1
deduceque al=a:l=',,= a
ll
=O.EntoncesM(T)eslinealmenteindependiente.
\'Sesnovacíoporque0 ES(0denotaelconjuntovacío), Sehademostradoque
todacadena
TenStieneunacotasuperior. M(T),queestáen S.Porellemade
20m.StieneunelementomaximaLPeroSconsisteenIOdoslossubconjuntos
linealmenteindependientesde
V.ElelementomaximalB ESes,porlotanto. un
subconjuntolinealmenteindependientemaximalde V.Entonces.porellCorema1,
Besunabasepara V.
pmblemas412
1.Demuestrequetodoconjuntolinealmenteindependiente enunespaciovectorial Vsepue
deexpandiraunabase.
•
2,Demuestrequetodoconjuntogeneradorenunespaciovectorial Vtieneunsubconjunto
queesllnabase.
3,SeanAl' A,.....A
n
,
11conjulltosenunacadena TDemuestrequeunodelosconjuntos
conticneatodoslosdemás
[sI/gerencia:comoTesunacadena. Al~AlobienAl ~Al'
EnlOllces
elresultadoescierto si11=2.Completelapruebaporinducciónlllatemútica].
RESUMEN
Unespacio"eclorialreal VesUIlconjulltodeobjetos,denominados n~etores. juntocondos
operacionesdenominadassuma(denotadaporx
+y)ymultiplicaciónpor UIIescalar(denotada
por
o:.x)quesatisfacenlossiguientesaxiomas: (p.281)
i.SixEVyyEV.entonccsx +yEV (cerr:tdurabajolasuma),
ii.Paratodox.y yzenV,(x+y)+z=x+(y+z) (Ie~'asociatir3delaSllmade\·cctores).
¡ii.Existe
unvectorO EVIalqueparatodox EV,x+O=O+x=x
cerooidénticoaditi\'O).
(elO sellama\'ector
i\',SixEV.existeunvector -xenVtalquex +(-x)=O (-xsellamainversoaditivode x).
\'.Sixyyestúnen V.entoncesx +y=y+x
"i,
SixEVYaesunescalar.entonces axEV
escalar).
(leyconmutati\'a
delasumade\"Cclores).
(cerradurabajo lamultiplicaciónpor 1111
\'ii,SixyyestánenVyaesunescalar.entonces a(x+y)=ax+ay
tributh'a).
(primerale)'dis-
,'iii.
SíxEVyayf3sonescalares,entonces {a+(3)x=O'X+(3x(segundaleydistributiva).
ix.
SixEVyayf3sonescalares.enlonces a(f3x)=(af3x)
ciónporesc:llares).
x.Paracadax
EV.1x=x
(leyasociatinldelamultiplica.

450 CM'iTlJLO4 Espaciosvectoriales
ElespacioI?={XI'x,_....x,):_\EIIparai=1.2,....II}.
ElespacioP«=lpolinomiosdegradomenorqueoigualaII}.
ElespacioCia.hl={funcionesrca1cs continuasenelintervalo[(1,bH.
ElespacioM
nrn
={matricesde/11X11concoeficientesreales}.
Elespacioen=He
" '"2'...,eJC¡Eeparai=1,2.....11}.edenotaelconjuntodenúmeros
complejos.
Unsullespacio
HdeunespaciovectorialVesunsubconjuntode Vqueesen siunespaciovectorial.
Unsubespacionovacio Hdeunespaciovectorial Vesunsubespaciode Vsilasdossiguientes
reglassecumplen:
i.SixEHYYEH,entoncesx+yEH.
ii.SixEH.entoncesaxEHparacadaescalara.
UnsubL'SpaciopropiodeunespaciovectorialVesun subcspaciodeVdiferentedelO}ydeV.
Unacombinaciónlinealdelosvectores \'J'"1"....\'"esunespaciovectorialVesla sumadela
forma
dondeal'(t!•..•a"sonescalares.
Sedicequelosvectores \'1'\.~•....""enunespaciovectorial VgeneranaVsi todovectoren
Vsepuedeexpresarcomounacombinaciónlinealde "J'"2'...."".
Elespaciogeneradoporunconjuntode\'cctores "1'v,....,v¡enunespaciovectorial Vesel
conjuntodecombinacioneslinealesde VI'v",..,ve
gen1"1'\'2"..,\.)esunsubespaciode V.
Dl'pl'mlel/ciuei/ldepemlem:ialil/eal
Sedicequelosvectores"1'"2"..,""enunespaciovectorial Vsonlinealmentedependientessi
existenescalarescl'
el"...•c
n
notodoscerotalesque
Silosvectoresnosonlinealmentedependientes.sedicequesonlinealmenteindependicntes.
Dosvectoresenunespaciovectorial Vsonlinealmentedependientes siysólosi unoesmulti
plo
escalardelotro,
Cualquierconjuntode11vectoreslinealmenteindependientesen 12"generaa 12".
Unconjuntode11vectoresen p"eslinealmenteindependientesi11>111.
Base
Unconjuntodevectores"J'"2'....""esunabase paraunespaciovectorial Vsi
i.j\'I"v
2
"···,\'Jeslinealmenteindependiente.
ii.1\'1"v
2
"·••vo}generaa V.
Todoconjuntode11vectoreslinealmente independienteenp'esunabaseenP.
LabasecanónicaenPconsisteen 11vectores
(p.282)
(p.284)
(p.285)
(p.285)
(p.293)
(p.293)
(p.294)
(p.299)
(p.300)
(p.301)
(p.3011
(p.314)
(p.315)
(p.320)
(p.321)
(p.332)
(p.332)
(p.332)

Resumen ~51
O O O
O
1 O O
,~Oc!=O,e
J=1,
~O,
"
O O O
•Dimellsión
Síel
espaciovectorialVtieneunabasefinila.entoncesladimcnsiónde jleselnúmerodevec
toresen
cadabaseyVsedenominauneSIJaeio\'cetorialdedimensiónfinit:.. Deotramanera
VsedenominaeSllaeio\'eetorialdedimensióninfinita.Si V=lO}.entoncessedicequeVtiene
dimensióncero.
La
dimensióndeVsedenotapordimV
•Si ¡.¡esunsubespaciodelespaciodedimensiónfinitaV.entoncesdim/./:5,';dimV.
•Losúnicos subespaciospropiosde1)3sonlosconjuntosdevectoresqueestánenunarectaoen
un
planoquepasaporelorigen.
•Elespacionulode unamatrizJIde11X11eselsubespaciodeP'dadopo~
N,I=lxEP':Ax=01
•La nulidaddeunamatrizJIde11X11esladimensióndeN.lysedenotaporI'(A).
•Sea AunamatrizdemX11.Laimagende Adenotadopor¡meA).eselsubespaciode1:1"dado
poe
Im(A)={yE1)":Ax=yparaalgunaxEP'}
•Elrangode A.denotadoporpeA).esladimensióndelaimagende A.
•ElL'Spaciodelosrenglonesde A.denotadoporR
A
•
eselespaciogeneradoporlosrenglonesde
Ayesunsubespaciode1/'.
•Elespaciodelascolumnasde A.denotadoporC.l'eselespaciogeneradoporlascolumnasde
Ayesunsubespaciode1)'''.
•SiAesunamatrizde111x11,entonces
CA=Im(A)ydim R
A=dimCA=dimIm(A)=peA)
Másaún.
peA)+veA)=11
•ElsistemaAx=btieneal menosunasoluciónsiysólosipeA)=peA.b). donde(A.b)esla
matrizaumentadaqueseobtienealagregarlacolumnadelvectorba A.
•Teoremade "1'.\"1/1111'11
SeaJIunamatrizde11X11.Entonceslassiguientesafirmacionessonequivalentes:
i.Aesinvertible.
ii,Laúnicasoluciónalsistema
homogéneoAx=Oeslasolucióntrivial(x =O).
iii.ElsistemaAx =btieneunasoluciónúnica paracadal/-vectorb.
iv.Aescquivalentcporrengloncsa Inmatrizidentidad,In'de1/X11.
(p.335)
(p.336)
(p.336)
(p.343)
(p.343)
(p.344)
(p.344)
(p.344)
(p.3441
(pp.344. 3..+5)
(p.350)
(p.35~)
(p.353)

452e\F'inLO-l Espaciosvectoriales
1',Asepuedeexpresar comoelproductodematriceselementales.
\'i.LaformaescalonadaporrenglonesdeAtiene11pivotes.
,·ji.Lascolumnas(yrenglones)de JIsonlinealmenteindependientes.
viii.delA:;t:O.
ix.veA)=O.
x.peA)=11.
•Sea8
1
={UI""1"...•uJyE,=(VI"V,•....\,)dosbasesparaelespacioveclorial V.SixEVy
b,] "]b, c,
Entoncesseescribe(x)s, =;'y(x)s,=;-.
blJ c.
(p.367)
Supongaque(U)8.
(/lj
.Entonceslamatrizdetransiciónde8
1
aB,eslamatrizde11x11
[""
al"
",.]
A=(In
(In al"
a.,a., a ••
(pp.369.370)
Másaún.(x)l!:=A(x)B,'
•SiAeslamatrizdetransiciónde8
1
a8,_enloncesA-
1
eslamatrizdetransiciónde B,a8
1
"
(p.370)
•Si(x.)=
,"
(/11
al}
para)=l.2.....11.entoncesXI"x
r....x"san1inealmcntcindependientessi
a.,
ysólosidetA:;<:O.donde
[a"
a
l1
a,]
a'la" a1:
A=-
a.,a"1 a••
(p.374)
•Losvectoresu,. u"....u,.enV"formanunconjuntoortogonal siu.'u=Oparai:;<:j.Siademas.
~ ,,
u¡.u,=1parai=l.2.....k.sedicequeelconjuntoesortonormal.
•1"1=Iv.\'1'/1sellamalongitudonormade \'.
•TodosubespaciodeV"tieneunabase ortonormal.ElproccsodcortonormalizacióndeGram
Sehmidt
sepuedeutilizar paraconstruirtalbase.
•
Unamatrizortogonales unamatrizQinvertiblede 11X11talqueQ-I=Q'.
(p.387)
(p.388)
(p.389)
(p.392)

Resumen .. 53
.entoncesla
•Unamatrizde11x11esortogonalsiysólosisuscolumnasformanunabaseortonormal
para
•Sea Hunsubcspaciodeconunabaseorlonormalluru=_....u¡l.Si"e
proYei:ciónortogonlll
de'0sobreH.denomdaporproY
II".estádadapor
proylf'o=(lo'u
l
)
U
1+(,'.u
1
)U=+...+(lo'u,)u,
•Sea
Hunsubcspaciode.Entonceselcomplementoorlogonal deH.denotadoporHJ..está
dadopor
/-1'IxeIP':x.h =OparatodoheNI
Sen¡-¡unsubespaciode 1)"ysea\.EP'.Entoncesexislcun parúnicodevectores hy11talesque
hE/-l.IIEH¡Y
\'=h+II=proy,,\'+proy"v
•Teore",,, (leUPI"OX;lIlIu:;óndefaflONml
SeaHunsubcspaciode IP'ysea\'E . Entonces.en H.proy"\'eslamejoraproximación av
enelsiguientcscntido: sihescualquierotrovectoren N.entonces
1"-proyf/"1<1"-hl
•$ca (x•..1".).(x=.)'=).....(x.'J)unconjuntodedalas.Sisequiererepresentarestosdatospor
larecta)'=IIIX+h:entonceselproblemademinimoscuadradoses encontrarlos"alaresde111
ybqueminimizanla sumadeloscuadrados
[Y
1
-(b+lIll',)1+[Y:-(b+lIll':)1+'.'+[.1'.-(b+llu·.lT
Lasoluciónaesteproblemaesestablecer
(
bJ:UO(A'Ar'A'y
m
Ip.3931
(p.39'¡)
(p.396)
(p.396)
(p.398)
(p.412)
(p.414)
donde
[
"
.,
"
,r'".2
y.
yA=[i::1
Resultadossimilaresseaplican cuandosequierercprescl1larlos datosusandounpolinomiode
grado>l.
• E~paáo COflprod,lctointerno
Elespaciovcctorialcomplejo Vsellamaunesp:lciocon PrOOuctointernosiparacadaparde
vectores
uy,.enVexisteun númerocomplejoúnico(u. ,.)denominadoelproductointerno deu
y\'.lalquesiu."y".eslánenVyaEC.entonces
i.(v.")::=:O
ii.(v.")'"OsiYsolosi\'=O
iii.(u.l'+w)-(u.v)+(u.w)
¡".(u+\'.w)'"(11.w)+(l'.w)
\'.(11,v)=('V,"ü)

454e\1'¡"WLO-t Espaciosvectoriales
"j.(au.v}=a(u.v)
vii.(u.u,,)=a(u.,,)
•Producto ¡memoellC·
(x.y)='<'V
I+X
1)'1+...+x.Y.
•Sea Vunespacioconproducto¡memo ysupongaqueu yl'estánen V.Entonces
uy"sonortogonalessi(u.v)=O
•La normadeu.denOladaporlIull.estádadapor
I"II~~
•Conjuntoorlonfirmal
Elconjuntodevectores{l'!"'·1.....\'.1esunconjunto orl0110rm31enIIsi
(l';,,)=O para¡:r.j
y
11',11~J(',.'.l~1
Sisólosecumplelaprimemcondición,entoncessediceque elconjuntoesortogonal.
•Proyt'('cionarrogO/fUI
Se"H unsubespaciovectorialconproducto¡memoVconunabaseorlOnormal1 tl
l
"
u~.....u~l.
Sil'EV.entonceslaproyecciónortogonal del'sobreH.denotadaporproY
II
Y.estádadapor
ProY
11
"=(l',tll)U
1+(\"U
1)U
2+...+(l',u(Ju!
•Complemenroortogonal
SeaHunsubespaciodelespaciocon productointernoV.Entonceselcomplcml.'ntoortogonal
deN.denotadoporH·.estadadopor
(p.432)
(p.434)
(p.434)
(p.436)
(p.437)
H!={xEV:(x.h)=O paratodahENI
•SiNesunsubcspaciodelespaciocon produclointernoV.entonces
i.Niesunsubespacio dcV.
ii.HnH!=IOf,
¡ii.
dimH!=11-dimHsidimV=11<oo.
•Teorema deproyecdol/
SeaHunsubcspaciodedimensiónfinitadel espacioconproductointernoVysupongaque
vEV.Entoncesexiste unparúnicodevectoreshyptalesquehEH.pEIP-,Y
\'=h+p
dondch=proyJI\'.
SiVlienedimensiónfinita.enlances p=proyw\'.
•Teoremade aproximadó"llelu"O,.",,,
SeaHunsubcspaciodedimensiónfinitadeunespacio conproductointernoVysea\.unvec
torenV.Entonces.en N.proY
II
\'eslamejoraproximacióna \'enelsentidosiguiente: sihes
cualquieraIro\'ectoren H.entonces
1\'-proy11\'1<1\'-hl
(p.437)
(p.437)
(p.438)

•
Ejerciciosderepaso 455
EJERCICIOSDEREPASO
Delosejercicios1al13determinesielconjuntodado esunespaciovectorial. Si10es.determi
ne
sudimensión.Siesfinita.encuentre un<lbasepara él.
l.Losvectores(x,y.:)enI)lquesatisfacenx+2y-:=O.
2.Losvectores(x.y.:)enI)lquesatisfacenx+2)'-: ~O.
3.Losvectores(x,y.:)EI)lquesatisf<lcenx+y+:~O.
4.Losvectores (x.)".:,\1")enI:tquesatisfacenx+y+::+1\'=O.
5.Losvectoresen I)lquesatisfacenx-2=Y+3=::-4.
6.Losvectoresen I)lquesatisfacenx+1=Y-2=:+3.
7.Elconjuntodematricestriangularessuperioresde nX11bajolasoperacionesdesumade
matrices
ymultiplicaciónpor unescalar.
8.Elconjuntodepolinomiosdegrado ~5.
9.Elconjuntodepolinomiosdegradomenoroigualque 4.
lO.Elconjuntodepolinomiosdegrado 5.
11.Elconjuntodematricesde 3X2. A=(a
i
).cona
l2
=O.bajolasoperacionesdesumade
matrices
ymultiplicaciónpor unescalar.
12.Elconjuntoenelejercicio8.exceptoa
l2
=1.
13.ElconjuntoS={jEC[O.2]:/(2)=O).
Enlosejercicios14al24determinesielconjuntodadodevectoreseslinealmentedependiente
oindependiente.
14.mt:J
17.[-:];[~];[~]
15(:H:J
18.HlUlH]
20.[~];[;];[~];[~]
16(:Jtl
21.En~:1,2-.1',3-.1.7.1'-8.1 22.En~:l.2+.1
3
,
J-X,7x
2
-8x
23.EnM";('-IJ.(I'J.(O0J.(O0J
OOOO1, 1-1
24.EnM12:(~ ~}(~ -~}(~ ~}(~ _~)
25.Usandodeterminantes.establezca sicadaconjuntodevectores eslinealmentedependiente
oindependiente.

CALCULO
CALCULO
EJerCICIOSderepaso "57
Delosejercicios51al53;a)CalculeproY
1f
\';h)encuentreunabaseononorma1pam H-:
e)exprese\.comoh +p.dondeh EHYPe ¡P-.
51.Hes,1,,,be,paciodelprobl,ma 47:v-( -~j.
52.Hesel,,,bespacio delprobl,ma48:v-(-J.
53.Hes,1,,,bespaeiodelprobl,ma 49:v=[;].
54.Encuentreunabaseortonormalpara P110.2J.
55.Utiliceelresultadodelejercicio 54paraencontrar unpolinomioquesea lamejoraproxi
mación
pormínimoscuadradosa e'-sobreclintervalo[O.2).
56.Encuentre];1rectaquemejor seajustcalospuntos(2. 5).(-l.-3).(l.O).
57.Encuentre c-lmejorajustecuadráticoparalospuntosenelejercicio56.
58.Encuentre
elpolinomiop{x)degrado3queajustelospuntosdelejercicio -16t:llque
seamínimo.

Capítulo
s
TRANSFORMACIONES
LINEALES
•
DIDEFINICiÓNyEJEMPLOS
Elpresentecapituloabordauna c1ascespecialdefuncionesdenominadas trllllsjormllciolle.f/i
Ilf!ll/('!)'queocurrenconmuchafrecuenciaen elálgebralineal yotrasramasdelasmatcmilticas.
Estastienenunagranvariedad
deaplicacionesimportantes.Antes dedefinirlas.seestudiarán
dosejemplossencillos paraverloqueesposiblerealizar.
EJEMPLO 1
EJEMPLO 2
Figura5.1
Elvector(X,-y)esla
refle~iónrespectoalejex
del~ectOf(x,y).
Reflexiónrespecto alejex
En~sedefineuna funciónTrnedi:nllclafórmular(X)=(-').Geométricamente.Tlornaun
y-y
vectorenP!yloreflejarespectoaleje x.Estoseilustraen lafigura5.1.Unavezque sehadado
ladefiniciónbásic<t.severáque TesUn<ltransformación¡ineillde Jrenfr.
Transformacióndeunvectordeproducciónenunvectordemateriaprima
Unfabricanteelaboracuatrotipos deproductosdistintos.deloscualescadaunorequieretres
tipos
demateriales.Seidentificanloscuatroproductos comoPI'P
r
P
J
yp~)'alosmateriales
porR,. R~YRJ"Latablasiguientemuestra elnúmerodeunidades decadamateriaprimaque
serequierenparafabricarIunidadde cadaproducto.
T(x.y)=(.r.-.1')

5.1Definiciónyejemplos 459
Necesariosparaproducir
Iunidad
de
Núnerode
unidades
demateria
prima
P,P,P, P,
R,2 I34
R,422 I
R,33 I2
Surgeunapreguntanatural: siseproduceciertonúmero deloscuatroproductos.¿cuánlas
unidades
decadamaterialsenccesilan1Sean P.,PrP
J
yP~elnúmerodearticulasfabricados
deloscuatroproductosysean'I"!Y'Jelnúmerodeunidadesnecesario delostresmateriales.
Entonces
sedefine
[
P'
p=::
P,
[
10]
30
Porejemplo.supongaqueP ~ ~~.¿Cuántasun;dadesdeR,seneces;!anparaproduc;restos
númerosdeunidades
dcloscuatroproductos?De latablasetieneque
li=PI.2+p!'1+P
l
.
3+P
4
•4
=10·2+30'1 +20·3+50·4=310unidades
Dcmanerasimilar
,~=10·4+30·2+20·2+50·¡=190unidades
y
1]=10·3+ 30·3+20'1+50·2=240unidades
Engeneralse
veque
o
Ap
=r
Estosepuedeverde otramanera.Siapseleconocecomoel,'CClordeproducciónyarcomo
el'-cclordemateriaprima.sedefine lafunciónTporr=T(p)=Ap.Estoes.Teslafunción

46(1 C\I'iTlILO5Transformacioneslineales
que·"transforma'·elvectordeproducciónen elveclordemateriaprimaysehacemediante la
multiplicacióndematricesordinaria.Cornoseverú.estafunciónestambién llnatransforma
ciónlineal.
Antesdedefinirunatransformaciónlineal.hablaremosunpocosobrelasfunciones.En la
sección1.7seescribióunsistemadeecuaciones como
Ax=b
dondeJIesunamatriz de111x11.XEIrybE12'''.SepidióencontrarxcuandoJIybsecono
cían.Noobstnntc.estaecuaciónsepuedeverdeotraforma:supongaque
AseCOlloce.Enton
ceslaecuaciónAx=b"dice'":proporcioneunax enIl'yyoledaréunaben 12"':esdecir.A
representaunajil/li'i¿JIIcondominio l!"eimagenel1l2'''.
Lafunciónque seacabadedefinirtienelaspropiedadesdeque A(ax)=aAxsiaesun
escalaryA(x
+y)=Ax+A~'.Estapropiedadcaracterizalastransformacioneslineales.
DEFINICIÓNa Transformaciónlineal
(1)
T(u+l')=Tu+T1'
SeanVyWespaciosvectorialesreales.Unatransformaciónlineal TdeVenWesuna
funciónqueasignaa
cadavectorv EVunvectorúnico ,T\'EWyquesatisface,para
cadauy"enVycadaescalara.
~--------~
y
T(av)=aH' (2)
TRESOBSERVACIONES SOBRENOTACIÓN
1.SccscribeT:V.....¡.Wparaindicarque TtomaelespaciovectorialrealVylolleva alespacio
vectorialreal
W:estoes.TesunafunciónconV comosudominioy unsubconjuntodeW
comosuImagen.
2.Seescribenindistintamente T\'yT(\').Denotanlomismo:las dosseleen''Tde1''",Estocs
anúlogoa
lanotaciónfuncionalf(xl.queselee'/dex",
3.Granpartedelasdefinicionesyteoremasenestecapítulotambiénsecumplen paralosespa
ciosvectorialescomplejos(espaciosvectoriales
endondelosescalaressonnúmeroscomple
jos).Sinembargo.aexcepciónde
labreveintervenciónde lasección5.5,sólosemanejanín
espaciosvectorialesreales
y.porlotanto.sceliminan"llapalabra'"real"en elanúlisisdelos
espaciosvectoria1csylasIransformaeionesIincales.
L.TERMINOLOGiA Lastransformacioneslinealesconfrecucncia scdenominanoperadoreslineales,
EmDIIL_~u~n~a:...ctr~a~n~s~fo,-"rm:...ca~ci~ó~n,-li_n~ea,-,,1 d~e,-"I)~'_e~n.:..cl)~'__
[
X+'.] [-1]
SeaT:P'.....¡.I)Jdefinidaporr(:::)=.r-y.PorejemploT(_ ~)=5.Entonces
3.1' -9

EJEMPLO 4
EJEMPLO 5
EJEMPLO 6
5,1Definiciónyejemplos 461
[()()](
1[
Y,+',+",+y,]
T '~,l+ '~2=T '~,I:'::~ =X1+X:-YI-...:
.1 J~ ,1,1 3,'+31'
.I .l
-[y,~y,] [y,~.,,]
-XI .1
1+ .\~ .l~
3\' 3\'
•1 - ~
Pero
(
y,+",]()(y,+y,]()
xl,-,1'1=T :~,Iy x~-Y2=T:~':
.)\' 1 31' •
.1 - ~
Asi
Demanerasimilar
T[aCJ]=T(::)=[::~;:]=a[:~:]=aT(;)
30..1' 3.1'
Así.Tesunatransformaciónlineal.
Latransformacióncero
SeanVyIVespaciosvectoriales ydcfin"T:V-+IVporTI'=Oparatodol'enVEntonces
T(\'I+)=O=O+O=7\'1+"\yT(O'\')=()=nO=aTI',Enestecaso. Tscdenominala
transforlllacióncero.
latransformaciónidentidad
SeaVunespaciovectorial ydefinaJ:V-+Vpor/1'=\'paralodo\'enVAquíesobvioque'es
unatransformaciónlineal.lacualse
denominatransformaciónidentidadu0lll'radoridentidad.
Transformacióndereflexión
SeaT:~-+~definidaporT(:~,)=( -::~).Esf<icilverificarqueTeslineal.En terminasgeomé
tricos.
Ttomaunvectoren IYyloreflejarespectoaleje y(vealafigura5.2).
Figura5,2
ElYeClOl'(-x,yl~la
n>1Iexiónfl!SPK'OalfjrY
dI!I'o'l!CtOf(K.yl,
,.
(x.")
-----::1"~===--------. ,
O
al
y
(-.r.)')
~
O
b,

462 C""¡'rtil.O5 Transformacioneslineales
EJEMPLO1
EJEMPLO 8
Transformaciónde 1::."----\or'"dadaporlamultiplicaciónporunamatrizdemx n
SeaAunamatrizde11Ix11ydefinaT: --+V'"porTx=Ax.ComoA(x+~.)=Ax+Ayy
A(ax)=aAxsixyyestánenP.seobservaque TesUO:llransformaciónlineal.Entonces: toda
"'''tri:A de11IX11sepuedemifi=tlr¡){1mdejinirII/IlImlllsfol'llwciimlinealde ell. Enlasec
ción5.3severaquesecumpleelconverso:todamms!orll/acilmIilleall'lIIrl'espllclosreclOrilllrs
detiimellsilmfillilllsepuede repn'.\'C'lIfarpor11I1(1l1ml1'i;,
Transformadónderotación
Supongaque
el"crtor\'=(:~.)enelplanox.rserolaunánguloO(medidoengradosoradianes)
ensentidocontrario aldelasmanecillasdelreloj.Llameaeste nuevovectorrotado \,'=(::,:).
Entonces.como se\'eenlafigura5.3.sirdenQlalalongiluddev(quenocambiapor larota
ción).
Figura5.3
(x',y1seobllenerolando
(x,y!UIlM1g1110O.
x=rcosa
x'=rcos(8+a)
(x',y')
,
,.
0+0
)'=rsena
y'=rsen(e+aH
(x.y)
,
--~-,.J'---~I"--=..J..._--- ..,
x' o x
Pcrorcos(e+al=rcosecosa-rsenesena.dcmancflIquc
x'=xeos8-ysen8
•
Demancfllsimilar.rsen(8+a)=rseneeosa+reosesena.osea
(3)
y'=xsene+J'cose ("l
•
Se"
(cose-"'"0) (5)A,~
cosO""'0
•
Esto 'dl>duc:edeliJdef,OlCIOneslilOdclrdecos 11ysen¡¡comolaHoorden.lda~x yYÓl'unpuntoen elorculoun'I<IJlO
Si_.y\esunpuntoen elorculode radIO(con,entroen elOfIQ+'fl,entoncesx( (OS'flYY=(senljI,donde'flesel
<ongl.lfoavelorma elvectorIX,y)conelliidopos>l'VOdPIe,E'~

5.1DefinICIónyejemplos 463
Entoncesde (3)y(4).sevequeA&C:]=(::::JLatransformaciónlineal T:lf-+i>'definidapor
Tr=JIur.dondcA
9
es!:[dadopor(5).sellamatransformacióndl'rotación.
EJEMPLO9 Transformacióndeproyecciónortogonal
Sea¡.¡unsubespaciode.Latransformacióndepro~l't'ción orlogonalP:V-+Hsedefinepor
(6)
ScajUl'u:.....u¡,lllnabase orlonortnalparaH.Entoncesde ladefinición4.9.4.púgina394.
setiene
(7)
Como(\'1+\.~).U=,.[.u+":.uy(m'). u=0(".uJ.sevequePesunaIransformación
lineal.
Dos
operadoresdeproyección
SedefineT:Il'~Il'porr(::J=(~lEnlOncesTesel operadordeproy=;ónquelomaun
vectoren
elespaciodetresdimensiones yloproyect••sobreelpl'lnoX}:Demanerasimilar.
r(:~]=[:]proye"aun'O"orenelespac;osobre elpl,,"o.cE""sdostransforma,;onesse
describen
enlafigura5.4.
,
;(:)
,
mm
Figura5.4
b)Proyecciónsobreel
planoXI.
rf:l+l
O
"'1'lano
J' ,
t)
O
XY1'lano
x
"1 "1

464 C\I'iTUW5 Transformacioneslineales
EJEMPLO11
EJEMPLO12
Operadordetransposición
DefinaT:M"",~M"",porT(A)=A'Corno(ti+Bl'=A'+B'y(aA)'=aA',sevequeT,
denominadooperlldordetransposición.esunatransformaciónlineal.
Operadorintegral
tCALCUlO] Sea1:C[O.1].....-+[.ldefinidaporJf=f~.r(x)d\". ComoJ.:[f(x)+g(x)](Ú=f~ftx)dl"+
j
lg(X)
dI"yJIaftx)dr=ajl(x)dI"sifygsoncontinuas.seveque.leslineal.Por ejemplo.
IJ o o.
.I(x')=-.!..Jsedenominaoperadorintegral.
4
EJEMPLO 13 Operadordiferencial
SupongaqueD:CI[O.1]--+ClO.lJsedefineporDf=f'.ComoU'+g)'=I'+g'y(af)'
=al'si/ygsondifercnciablcs.se vequeDeslineal.D sedenominaoperadordiferencial.
Notodatransformaciónqueparecelineal 10esenrealidad.Porejemplo,defina T:(¿-+(¿
por
Tx=2x+3.Entonceslagráficade {(x.Tx):x €(¿}esunalinearectaen elplanoxy;
peroTnoeslinealporque T(x+)')=2(x+y)+3=2x+2)'+3yTx+Ty=(2x+3)+
(2)'+3)=2x+2)'+6.Lasúnicastransformacioneslinealesde(¿en(¿sonfuncionesde la
forma/ex)=/l/Xparaalgúnnúmeroreal 111.Asi,entretodaslasfuncionescuyasgráficasson
rectas,lasúnicasquesonlinealessonaquellasquepasan
porelorigen.Enálgebra ycálculo
unafunciónlinealcondominio(¿estádefinidacomounafunciónquetiene
laJomwf(x)=
IJ/X+b.Así.sepuededecirqueunafunciónlinealesunatransformaciónde(¿ en(¿siysólo
sib(laordenadaalorigen) escero.
•
1IImIIIII__U_"_a_t_'_a_"_5f_o_'_m_a_(_;_ó_"_q~u_e_"_O_e_5_li_"_e_a_1 _
Supongaque T:CrOo1]-+(¿estadefinidapor Tf=/(0)+1.EntoncesTnoeslineal.Par<!ver
esto
secalcula
TU+g)~U+g)+1~¡(O)+g(O)+1
T/+Tg~litO)+IJ+[«O)+IJ~¡(O)+g(O)+2
ESIOproporcionaotroejemplodeunatransformaciónquepuedeparecerlinealperoque.de
hecho.no
loes.
problemas51
AUTOEVALUACIÓN
Falso-verdadero
1.SiTesunatransformaciónlineal, entonCl'ST(3x)=3Tx.
11.SiTesunatransformaciónlineal,entonces T(x+y)=Tx+T}'.
111.SiTesunatransformaciónlineal,entonces T(xy)=TxTy.
IV.SiAesunamatrizde4X5,entonces Tx=AxesuJlatransformaciónlineal deV'enV'i.
V.SiAesunamatrizde4X5,entonces Tx=Axesunatransformaciónlineal deP;en1)1.

5.1Definicióny ejemplos .t65
10.TIY~IY:{:}('.)
12.T:1)2-+[,>2:r(:::)=-'T
LTIY~IY:T(:H~l
3.TIY~IYr(JeJ
5.TI~~IY: T(}(~l
7.TIY~IY:{le)
[
,.)[e)
9.T:1)2-+1)2;T ~,='.1"
(')[c+")
11.T:if-+l)l;r'=' ",
yx-1"
DelosproblemasIal38determinc silatransformacióndcVen JI!dadaeslineal.
2.TIY~IY{:H:l
4.TIO'_lYfH)~)
6.TIO'~IY{]{)
()[')8.T;~-+Ir:r :~= :~~
13.T:
15.TV~R' T(x)=[i]
17.TR'~IY:T[:]=(X'l
= YII'
...
X']
> .\",
14.T:~IY:T:'=jx,1
.\".
16.T:R'~IY:T[:]=(X+'l
= J+11'
".
18.T:M..-+M..:nA)=AB.dondeBesunamalrizfijadCIIX11
19.T:M.._M.,,:nA)=A'A
20.T:M_ "1:nA)=AB.dondeBesunamatriz fijade11XP
lO'" "'f'
21.T:NI_M:T(A) =AH.dondeOcsUlllllllatrizfijac!eqX111
"'" ~"
22.T:D
n
-+D,,;T(D)=D
1
(D
n
eselconjuntodematricesdiagonales de11x11)
23.T:D.~D.:71D)=I+D
24.T:Pl-PI:T(a
o
+alx+a::-,-1)=(/0+(Ir'"
25.T:P
1
-PI:
T((I~+(Ir"+(Ir'.:!)=al+a::-,'
26.T:v:'_P
J
:nahe)=(a+b)+k+ti)x'

466e\I'nII.U5Transformacioneslineales
27.T:1)-.p~:T(a)=(1+(IX+(1.\.1+..+(IX"
28.ToP,->P,oT(p(x))=[P(x)]'
29.T:p~-.p):7lp(x»=p(x)+(P(x)f
JO.ToCID.1)->CID.1)0Tf(x)=P(x)
31.ToCID.1)->CID.JloTf(x)=f(x)+1
32.ToCID.1)->CID.1loTf(x)=xf(x)
33.T:C(O.11-.1):TI=f~f(x)g(x) d\:".dondegesunafunción fijaencrO.lJ
34.T:CI(O.11-.C(O.1]:TI=(/g)'.dondegesunafunción fijaenCllO.1]
35.ToCID.1)->ClI.2)0Tf(x)=f(x-1)
36.ToCID.1)->1)0Tf=f(~)
37.ToCID.1I->CID.JlTf(x)=f(1)+f(2)
38.T:Al....-.1):nA)=detA
39.Sea T:lr-.lrdadoporT(x.y)=(-x.-y).DescribaTgeométricamente.
40.SeaTunatransformaciónlinealde ~-.I/ltalquer(1)=[~]yT(~)=[-:].
Encuentre: O J 5
alT(~) Yb)T(-:)
41.Enelejemplo8:
ti)Encuentrelamatrizderotación AdcuandoO=n16.
h)¿Quéleocurrealvector(- ~Jsiselerotaunilngulode nl6enladireccióncontr¡uiaa
lasmanecillasdelreloj?
[
,",e-,,"e
0]
42.Sca ..'1
9
=senOcosO O,Describageométricamentelatransformaciónlineal T:
D D 1
~-.I)ldadaporTx=A,x.
43.Contestelaspreguntasdelproblema 42paraA,=[CO~O ~ -~n6].
senOOcos8
44.Supongaqueenunespaciovectorialreal V.TsatisfaceT(x +y)=Tx-TJY T(ax)=aTx
paraa~O.Demuestreque Teslineal.
45.Encuentreunatransformaciónlineal
T:M
u-o-M
12
•
46.SiTC'3unatransformaciónlinealde VenW.demuestreque nx-),)=Tx- TJ.

5.1Definiciónyejemplos 467
47.
SiTesunatransformaciónlinea!de VenIV.demuestrequeTO=O.¿Sonestosdosvec
torescero
elmismo'!
48.Sea
VunespacioconproductointcrnoyseaU
o
EVfijo.SupongaqueT:V--'JoV(oC)estú
definido
porTl'=(,'."\1)'DemuestrequeTeslineal.
*49.
DemuestrequesiVesunespaciovectorial complejoconproductointernoyT:V--1'eestú
definido
porT,'=("11'")paraunvectorfijo"11EV.entoncesTnoeslineal.
50.Sea
VunespacioconproductointernoconelsubespaciodedimensiónfinitaH.Sealul.
u
2
,
...,uJunabase paraH.Demuestreque T:V--'Jo¡.¡dcfinidaporT\'=(".U1)U
I
+(".u)
u
2
+,..+ (\'.u.Ju.esunatransformaciónlineal.
51.SeanVyWdosespaciosvectoriales. DenoteporL(V.IV)elconjuntodetransformaciones
linealesdeVenWSiTIYT!eSI<i.nenL(V,IV),definaaT
I
yTI+T!por(a7),'=o(TI")
Y(TI+T~),'=TI"+T~,',PruebequeL(V.IV)esunespaciovectorial.
RESPUESTAS ALAAUTOEVALUACIÓN
1,V 11,V 111.r IV.F v.v.
• MATLAB 5.1
InformacióndeMAlLAS:impresióndegráficas
Paraimprimirunagrúficaen MATlAR.esnecesarioseleccionar laventanadelafigurade
interés
ydelmenúseescoge
File
-:JPrint.
TambiénpuedeutilizarelatajoCtrl.-P
Pn'(·(lI/dóII.Laimpresióndirectade lapantallanoconservalasrelacionesde aspectoenella:
lIsi,losúngulosrectospueden
noparecerloylaslongitudesiguales puedenserdistintas,Para
queseconserveunarelaciónde aspectocuadradaseintroduceelcomandoaxissqllllre(doc
axis).
l.GrúticasenCOlllllllladora:creacióndc Ullllfigura
Unafiguraquesequieregraficarsedescribeutilizandouna matrizquecontienelospuntos
importantesenlafigura yunamatrizquecontieneinformaciónsobrelospuntosquedeben
conectarseconsegmentosderecta.
L:Imarrizd('[JUnios
Lamatrizdepuntosesunamatrizde2X 11.donde11eselnúmerodepuntos;elprimerren
glón
contienelascoordenadas.ryelsegundolascoordenadasFdelospuntos.
La
matril.delíneas
lamatrizdelineasesuna matrizde2X 1/1.dondeliteselnúmerodelineas.CadaelemenlO
eselnúmerodeunacolumnadelamatrizdepuntos.Lainformaciónindic:l quelosdos
puntosalosquesehacereferenciaenllna columnadelamatrizdelineasdeben caneelarse
porunsegmentoderecta.

C\I'Ul105Transformacioneslineales
Porejemplo.paradescribir
elprimerrectangulodelasiguienlefigura:
(0.3)
punloo4
(2.3)
punlo3 punlo-l punlo3
(o.O) (2.O) pumo1 punlO Z
punloI punto2
al b)
p,,~(~
,
2
~)O3
1m~G
23
~)34
LamatrizIlIsdiceque elPUlltol.(O.O).(columna1de 1m)estáconcctadocon elpunto2.
(2.O).(columna2de pr$):elpunto2estaconect:ldocon elpunto3.(2.3).(columna3de 1m):
elpunto3estáconectadoal punw4.(O.3).(columna4de pul.yelPUnlO4estaconectado
con
elPUnlOl.
Sisetratadelsegundorectángulode lafigurnanlerior.conlasdiagonalesdeesquinaa
esquina.
lamalrizpuseriaIilmismay
IIIS~[,1234I 2)
34I34
Paragraticar lafiguT<¡dcspucsdeintroducir I,ISmatricespr.\'y111.\'seutilizaelarchivo
grafic,\:mquesepresentaacontinuación(copielasinstrucciones <lunarchivoconnombre
grafics.m)functiongrafics(pts.lns.clr.symb.M)
esunafunciónquegrafica
GRAFICSGraficapuntosylineas
grafics(pts,lns,clr,symb,M)
puntosylineas
•
•
•
•
\- pts:Matrizde2xndepuntosagraficar
\- lns:Matrizde2xmdelineasagraficar
\-clr:Opcionesdecolor,ejemplo'r'(graficaenrojo)
\- sym:Simboloautilizarpararepresentarpuntos,
'\- ejemplo'*','+'
'\- M:Enteropositivoqueseutilizaparaloslímites
% delosejes
%Graficalospuntosylaslíneas
plot(pts(1,lns(:)),pts(2,lns(:)),clr,.
pts(1,:),pts(2,:),[clr,symb]);
axis([2M,M,2M,M]);
axissguare
gridon

5.1Definicióny ejemplos -169
lasin(¡l.xisparacorrergmfin·dcsdefaVClllalladccomandosdeMATl..AB esgról/ks(pts.
Ins,clr.syrn,M):
In~=lam:mizdepuntos
IIIS=lamatrizdcIincas
clr=oIXionesdecolor:porcjcmplo.'r'representaelrojo:pidacondocLincSpec
unadescriIXión
dcotrasopcionesdecolor
srm=.•'u·0·o.+'O'x'u'0':verdocLincSpcc
Los
puntosenlamatrizdcpuntosscr.ingraficadosindividualmenteutilizando elsimbolo
queseelija.
¡\!esalgúnnúmeroposilivo.porlogeneral.uncntero.Establecelaescalasobrelosejes
delapantalladegráficasentre- M~x~AlY-M~Y~M.
Porejemplo.grafics(pls.Ins. oh'.0+'.10)grafiC"'"aráelfCClangulodadoporelprimercon
juntodcmatrices.pUyIIIS.enazul.conlosvcrtices(las esquinasdelrectángulo)dibuj:ldos
con
unsigno.'+..Ylaescaladelosejes:-10~xs10y-10s.r:-::;10.
alIntroduzcalassiguientesmatrices:
Pts=(~
33 88 11111515 1188 O
'~)
O)) OO 77 10101277
IUS=C
23•
56789 101112
l~)
345678910111213
Déelcomandografics(pls.los. 'r'.,...20)
Describaen
palabraslafiguraproduciday desnibaotrascaracterísticasde lapantalla
degráficas.
h)Disei'tesupropiafigura.Forme unamatrizdc puntosydelíneasygrafíquelautíliZ¡lndo
elarchivogmjil".\:m.
2.SupongaqueT:1)'_1)'esunaIransformacíónlíneal(comounarotacíónrespectoal ori·
gen)y quesedeseagrafkarklimagendeunafiguradespuésdeaplicarle latranstorrnacióll.
tt)(Lápi=Ypupl!!) ConsiderelospunloS PIyp~enelplano.Seax elvectorquccomicnzH
en
elorigenyterminaen PIysea~'elvectorquecomienzaen elorigenyterminaen 1\.
Expliquelasrazones porlascualeselvectorl=X- ~'esp<lralc1oalsegmentoderect:t
entre
PIyP~.
P,
SeaT:1)'_1)'unatransformaciónlineal.EnlonceselpuntolerminaldeTxserá el
PUnlOenlaimagen transformadaquevienede PIyelpuntoterminaldeTyseraelco
rrespondienlealaimagentransformadaquevienedeP~.Asi.Tx- T~'seráparaleloal
segmenlo
queunelasimágenestr.lI1sformad¡IS dePIyP:.Expliqueporqué.a partirdela

470 C\l'inlLU5 Transformacioneslineales
linc¡¡lidadde T.esposibleconcluir queelsegmentoentre PIyP!rcprescntadoporx-)l.
setransformaenelsegmenlOentrelasimügcncstransformadasdePIyP!'represelltado
porTx- Ty.
Elincisoa)implicaqueparagraficarlaimagendeunafigur:ldespués deaplicar
una
transformaciónlinealTsóloesnecesarioaplicar laIransformacióna lamatrizde
punlOs:lamatrizdelíneasdelaimagentr¡¡nsforméldélserúlamisma.Cualquier translor
l1l¡lciónlineal T:~-tI)!sepuederepresentar porlamultiplicaciónconunamatriz Ade
2X2.Así.lamalrizde puntosdelaimagen transformadaseráA*pIS.dondepISesla
matrizde puntosdelafiguraoriginal.
h)Sedcsc<lgranear.sobreelmismoconjuntodeejes,lafigura dadaporlasmatricesde
puntosylineasdadasenelproblemala)deestasección deMATLABysuimagentrans
forr11ildadespuésdeaplicaruna transformaciónderotación.Recuerdeque lamatrizde
latransformaciónlinealquerotaenelsen/ido ('(Jlllrariv(/ las//lallecillasdelre/vjrespecto
alorigen,
unúnguloO,estúdadapor
A~[cos(e)
sen(e)
-sen(e)J
eos(e)
Lossiguientescomandosgraficanlafiguraoriginal(enrojo) ysurOlaciónpm'ilil'(Jun
úngulodeTr/2respectoalorigen(enazul):
th
=-pi'2;A=leos(th)-scn(th);scn(th)cos(th)1
graphics(pls,lns,
'r';*',20)
holdon
graphies(A*pts,lns;b'
,'*',lO)
holdoff
Observequeseutilizaelcomandoholdon paraqueambasfigurasap¡lreZCanen elmismo
conjuntodeejes.Elcomandoholdofflibera lafiguraparaquecuandoseejecuteel
siguientecomandodegraficaciónseborrelafigura.
h¡fl',-pn'fllóúll,Enlagrúfica,identifiquelos cuatropuntosdelafiguraoriginal que
seencuentranenlaparteinferior(sobre elejex).Identifiquelos puntosenlosquese
transformaron.Identifiquealgunossegmentosentrelos puntosdelafiguraoriginalylos
segmentos
correspondientesenlafiguratransformada.Verifiquequeestossegmentosde
lafigura
transformadaseanenrealidadrotacionesde Tr/2ensentidodelasmanecillas
delrelojdelossegmentosde
lafiguraoriginal.Haga lomismoparalosdospuntosdelil
figuraoriginalquese encuentraneneleje.r
Unamodificaciónútil pararelacionarlos puntosoriginalesconlos puntostrans
formadosesutilizarlasiguienteversiónmodificadadelafuncióngrafiescon nombre
graticsLm
rUlll,tiongraficsl(pts,lns.dr,symb)
%GRAFICSlGraficapuntosconetiquetasylíneas
% graficsl(pts.lns,clr,symb}esunafunciónquegrafica
% puntosconetiquetasylineas.
,
% pts:Matrizde2xndepuntosagraficar
% lns:Matrizde2xmdelíneasagraficar
% clr:Opcionesdecolor,ejemplo'r'(graficaenrojo)
% sym:Símboloautilizarpararepresentarpuntos,
% ejemplo'*','+'

S.1Definiciónyejemplos -171
,Obtieneloslímitesdelosejesdeestarpresentes
rr=axis;
,Seleccionaloslímitesdelosejesutilizandolosmínimos
,ymáximosdepts
M=[min(pts(1,:)-1,max(pts{l,:)+1,min(pts(2,:)
-l,max(pts(2,:»)+1J;
M,.[rr;M];
%Seleccionaloslímitesparaquequepanlasfiguras
M=[min(M(:,1)),max(M(:,2)),min(M(:,3),max(M(:,4)l];
,Graficalospuntosylaslíneas
plot(pts(l,lns(:),pts(2,lns(:)),clr,...
pts(1,:),pts(2.:),[clr.symb});
,
Etiquetalospuntosconnúmerossucesivos
text(pts(1,:)',pts(2,:)',num2str([1:length(pts)]'I};
axis(M);
axissquare
gridon
c')Enelmismoconjuntodeejes.gr¡¡fique laligur¡¡original(1:1queseutilizóenlosincisos
anterioresdeesteproblema)
ylaimugentransformadadespuésde larotación¡JI/si/irade
2'1t/Jrespectoalorigen.Interprete COIllOseindicóenelincisoh).
ti}
Enelmismoconjuntodeejes.grafiquc 1:.figuradelproblemaIh)deestasecciónde
MATLAB
ylaimagentransformadadespucsde larotaciónrespectoalorigenpor un
angulade suelección.
@ 3.Considerelafigumcuyasmatricesde pumasylineasestillldadasen elproblemala)ante
rior.
a)Uliliceelarchivograjics.my/ogmfic.fl.mparagraliear.sobrelosmismosejes lafigura
originaly
lafigun.despuésde¡¡plicar 1"Inlllsformacióndadapor lamultiplicaciónpor
lamatrizA.donde
A=[~ ~J
SeleccioneunparúmetroMadecuadoalllamara gnific'sparaqueambastiguras seapre
ciencorreclamenleen
lapantalladegn'lficas(necesitaexperimentarcon laselecciónde
estepanímetro
Af.Despuésdedeterminar eladecuadovalorde M.deholdoffyrepita
lasecuenciadecomandosneccso¡riosparagmficarlasdosimágenesenlosmismosejes).
T'lmbienpuedeutilizar
lafuncióngraficslyelprogramaseleccionar.ilosejesadecuados
porusted.
Describa
la~eomctria delatransfornl:lciÓn.
h)Repitaelincisoti)paralastransformacionessiguientes:
A=[~ ~J
c')(Lápi:Fpapel)Describalageomctriade T:Ir----+I:rdadaporT(x) =:Ax.donde
(
r
O)
tl=:
O,
pamr >Oys>O.

472 C\I'iTlILO5 Transformacioneslineales
DIPROPIEDADES DELAS TRANSfORMACIONES LINEALES:IMAGEN yNÚCLEO
Enestasección sedesarrollanalgunaspropiedadesbúsicasde l¡¡sLransformacioneslineales.
TEOREMAa
L.DEMOSTRACiÓN
TEOREMAE3
L:DEMOSTRACiÓN
SeaT:V--+Wunatransformaciónlineal.Enlonces paratodoslosvectoresu, l',vI'
\'2"...,\'nenVytodoslosescalaresal'al'...•ll'":
i.nO)~O
ii.T(u-v)=Tu-Tv
¡ii.T(a,",+a,""+...+(\',,)=aIT,',+(X!T,"!+...+ex.T,·.
Nofff.Enlapartei)elOdelaizquierdaes elvectorceroen V;mientrasqueelOdela
derechaeselvectorcero enW
i.T(O)=T(O+O)=T(O)+T(O).Así.
O~reO)-reO)~reO)+reo)-reo)~reO)
ji.T(u- ,.)=T[u+(-1)\']=Tu+T[(-l)v]=Tu+(-:1)T\'=Tu-r,'.
iii.Estapartesepruebaporinducción(vea elapéndicen.Para11=2setienena'''1
+a/
2
)
=T(O'lv¡)+T(O'/}=0'1T"I+O'zTv
z
.
Asi.laecuación(1)se cumplepara
11=2.Sesuponequesecumplepara11=kYsepruebapara11=k+1:T(a
l
,',+
0'1"1+...+O't"l'+ah1\'h¡)=T(al\'1+a
l
"1+...+a,,"¡.}+T(ak
II'·k.1)'Yusando
la
ecuaciónenlaparteiii)para11=k,estoesiguala (0'1T"I+O'lT"l+...+CtkT\',)
+Ct
k
•
IT\'k+l'quees10quesequeríademostrar.Estocompletalaprueba.
Oh.I'('n·tlcióII.Losincisosi)yii)delteoremaIsoncasosespecialesdelinciso iii).
Undatoimportantesobrelastransformacioneslinealeses queestáncompletamentedeter
minadasporelefectosobrelosvectoresdelabase.
Sea
Vunespaciovectorial dedimensiónfinitaconbase B={\'I'\'1'...,).Sean"'l'
"'2'....W
n
vectoresen W.SupongaqueTIyT
lsondostransformacioneslinealesdeV
en
WtalesqueTlv
l
=T
1
";="'1parai=1.2...,.n.Entoncesparacualquiervector \'E
V.T
I,,=Tz";esdecirT
I
=T,.
ComoBesunabaseparaV,existeunconjuntoúnicodeescalaresal'a"....a
ntales
que"=al",+0'2"2+'..+ a."".Entonces.del inCISOiii)delteorema 1,
Demanerasimilar

EJEMPLO 1
•Solución
TEOREMAE:I
L.DEMOSTRA06N
5.2Propiedadesde lastransformacioneslineales:Imagenynúcleo -173
Elteorema2indicaque siT:JI-tIVyJItienedimensiónfinita.entoncessólocsnet:csario
conocerelerectoquetiene
Tsobrelosvectoresde labaseen 1-:'Estoes. siseconocelaim:lgen
decadavectorrosico,sepuededeterminarlaimagendecualquiervectoren
VEstodetermina
Tporcompleto.Pam\'creslo,sean VI'\'1'..._\'.unab,lseenVysea \'01r0\'ecloren VEnton
ces.igualqueen
lapruebadcltcorema 2,
T\'=aT,'+aT\'+',.+aTv
I1!! • •
Asi.sepuedecalcular n'pamcualquiervector \'EVsiseconocenTv
l
•
T"1'....T\'.,
Siseconoceelefectodeunatransformaciónlinealsobrelosvectores delabase.
seconoce
elefectosobrecualquierotrovector
Se"runalcansfonnaeióuline,,1deIl'enIl'ysupoug"que r(~)=(~).r(:)=(-;)l
+H-~) Calculer[-:J
Entonces
Surgeotrapregunta:
si"'l'\'2'...•"'.son11vectoresenW,¿existeunatransfornwciÓlllinc;ll
TtalqueT\'I=\'1par..li:::1.2.....litLarespueslaessi.como lomuestrolelsiguienteteorl'ma.
Sea
Vunespaciovectorialdedimensiónfinitllconbase B:::{\'I'\'1'....\'.l.Sea11'un
espaciovectorialquecontienelosvcctores
"'l'"'~"'" "'.'Entoncesexisteunatrallsror·
maciónlinealunica
T:JI-+IVtalque T\',:::w,parai:::1,2,....11.
Sedefinelarunción Tcomosigue:
i.Tv¡:::w,
ii.Si\'=a"'j+a!\'~+...+a."•.entonces
(1)
ComoBesunabasepara JI.Testádefinidapara todo\'EJI:ycomoWesunespacio
vectorial.
T\'EWEntoncessólofaltademostrarque Teslineal:loque sededucedirec
tamentede
laecuación(1).Si11:::al\'1+aJv¡+,.,+U
n
\'".y\'=13
1
\'1+13¡\'¡+,.,+
13"v".entonces:

474 CA.piTUW5Transformacioneslineales
T(u+v)=T[(a¡+13.)"1+(a
2+(32)"~++(a.+13.)".]
=(al+13,)w,+(a!+13!)w!++ (a.+13.)w.
=Tu+Tv
Demanerasimilar. T(m')=aT,..asíqueTeslineal.L:lunicidadde Tseobtienedel
teorema2
ylapruebaquedacomplct¡1.
Oh.\·l~n·(/dófl. Enlosteoremas2 y3105vectoresw
1
•
\'!••..,w"notienenqueserindependicntcs
y,dchccho.nisiquieratienenqueserdistintos.Músaún. sehacehincapiéenquelosteoremas
secumplensiVescualquieresp:lCiovectorialdedimensiónfinita.nosólo I:?".Observetambién
que
ladimensiónde IVnotienequeserfinita.
EJEMPLO2
•Solllóón
Definicióndeunatransformaciónlinealde[;:2enunsubespaciode1;.3
Encuentreunatransformaciónlinealde ~enelplano
Delejemplo4.6.3de
1<1página333.se sabcqueWesunsubespacio dedosdimensionesdc I)lcon
'Ccto'"bús;cos",=[i]Y",=mUt;I;"",dolaba"e",,,,da,,,,~.v,=(~Jyv,=(~J
"definelatrans[ormac;ónl;ncalTpo'r(~J=[i]yr(~J=m
Entonces.comolomuestraelanálisisquesiguealteorema 2.Tcst{lcompletamentedetermi
mld.loPorejemplo.
Dem.mcra
m{lsgenenll.
Ahorasedarúndosdefinicionesimportantes
enlateoríadctransformacioneslineales.

DEFINICIÓNa
5.2Propiedadesdelastransformacioneslineales:imagenynúcleo 475
Núcleoe imagendeunatransformaciónlineal
Sean
VyJI'dosespaciosvectoriales yseaT:V_¡Vunatmnsformaciónlineal.Entonces
i.ElmicleodeT.denotadopornuT.estadadopor
nuT={l'EV:T,'=O}
ii.Laimagende T.denol:ldopor1mT,estádadopor
1mT={WEW:w=T,'paraalgunav EV}
(2)
(3)
I!IMAGEN
TEOREMAa
~DEMOSTRACIÓN
EJEMPLO3
EJEMPLO4
Oh!J't'rI'adól1l.Observeque ntlTesnovadoporque.deacuerdo alteoremal. T(O)=Ode
maneraqueO
EnuTparacualquiertransformación linc.11T.Setieneinterésenencontrarotros
vectoresen
Vque"setransformenen O".Denucvo.observequecuandoescribimos T(O)=O.
elOde laizquierdaestáen Vyeldeladerechaen W
Oh.\'('rmdóll2.Laimagende Tessimplementeelconjuntode"imágenes"delosvectoresen V
bajolatransformaciónT.Dehccho,siw=Tv.sediceque weslaimagende \'bajoT
Antesde darejemplosdenuclcoscimágenes. sedemostntr:tunteoremadcgranutilidad,
SiT:V_IVesunatransformaciónlineal.entonces
i.nuTesunsubespaciode V.
ii.1mTesunsubespaciode IV.
i.Seanuy l'ennuT;entoncesT(u +l')=Tu+T'f=O+O=OYTCau)=aTx=
aO=Odeformaqueu +,.yauestánen nuT.
ii.Seanwyxen 1mT.Entoncesw =Tuyx=T,'paradosvectoresu yvenV.Esto
significaque
T(u+,.)=Tu+Tl'=w+xyT(au)"'"aTu=a\'.Porlotanto.
\'+xyawestanen¡mT.
Núcleoe imagendelatransformacióncero
SeaT\'=Oparatodo" EV(Teslatransformacióncero).Entonces nuT=Ve1mT=101.
Núcleoe imagendelatransformaciónidentidad
SeaT,'=,.pamtodo \'EV(Tcs1:1tmnsformaciónidenlÍdad).Entonces nuT=101e1mT=V
Lastransformacionesceroeidentidadproporcionandosextremos. Enlaprimeralodo se
encuentraen elnúcleo,Enlasegundasólo elvectorcero seencuentraen elnúcleo.Loscasos
intermediossonmúsinteresantes.

476 C\I'iTlILO5 Transformacioneslineales
EJEMPLO 5
DEFINICIÓNa
Núcleoeimagendeunoperadordeproyección
Estoes(veaelejemplo5.1.10.púgina463). Teseloperadordeproyecciónde r¿>enelplanoxy.
S¡T[;]~[ ~]=o=[~] ooloocesx=y=O.Asi.ouT={(x.y,cl'x=y=O.CEJil."d,,¡,.
eleje:,e1mT={(x.y,:):==Of.esdecir, elplanoxy.ObservequedimnuT=1Ydim
ImT=2.
Nulidadyrangodeunatransformaciónlineal
SiTesunatransformaciónlincaldeVen W,enloncessedefine
NulidaddeT=v(T)dimnu T
RangodeT=p(D=dim1mT
(4)
(5)
EJEMPLO6
EJEMPLO 7
EJEMPLO 8
Oh~·erl'(fd611. Enlasección4.7sedefinieron elrango.laimagen,elespacionuloy lanulidad
deunamatriz.Según elejemplo5.1. 7.lodamatrizAde111X11dalugara unatransformación
linealT:V"~V"definidaporTx=Ax.Esevidentequenu T=N",1mT=[mA=CA'v(T)
=veA)yp(T)=peA).Entoncessevequelasdefinicionesdenúcleo,imagen.nulidady rango
deunatransformaciónlinealsonextensionesdelespacionulo,laimagen, lanulidady elrango
deunamatriz.
Núcleoy
nulidaddeunoperadordeproyección
Sea
Hunsubespaciode 1)'yseaT,'=proy
lI
",Esobvioquela1mT=H.Delteorema4.9.7de
lapágina396,setieneque todavEVsi\'=h+P=ProYIfV+proy/v.SiTv=O.enlOncesh =
O.loquesignificaque"=pE¡-[l-,Asínu T=¡P.p(7)=dimH,yv(7)=dimH
i
=11-p(n.
Núcleoe imagendeun operadortraspuesto
SeaV=Mm..YdefinaT:!'vI"",--+Al"",porT(A)=A'(veaelejemplo5.1.1 Lpágina464).SiTA
=A'=O,entoncesA'eslamatrizcerode 11X111por10queJIeslamatrizcerode 111X11Asi.
nuT=lO}yesclaroque1mT=M",,,.ESIOsignificaquev(T)=OYp(T)=mil.
Núcleoe imagendeunatransformacióndep)enP
l
DefinaT:p)--+P~porT(p)=T((lo+(I,X+(I~,,'+(13,,3)=(lo+(lIX+(I,x
1
.
EntoncessiT(p)=
O.(lo+al"+(1/.1=Opan!todax,10queimplicaque(lo=(11=('(11=O.AsínuT=1pEP3:
p(x)=(lr"J}e1mT""P
r
v(T)=1Yp(T)=3.

EJEMPLO 9
5.2Propiedadesde lastransformacioneslineales:imagenynúcleo 477
Núcleoeimagen deunoperadorintegral
cu Scavera.l]ydefina1:C[O.1]-+VporJ1-f;1(x)dr(veaelejemplo5.112.pagina464).
Entoncesnu J""UEqo.1]:f~1(x)dr=al.Se..aunnúmeroreal.Entonceslafunción
constantef(x)""apanlxE10.1]:estaen qO.1]yI~adI:""a.Comoestosecumplepara
todonúmeroreal a.setieneque 1mJ""V.
Enlasiguientesección
severúque todatransformaciónlineal deunespacio\'cctorial dedi·
mensiónfinitaen otrosepuederepresentar porunamatriz. 10quepermitirácalcular elnudeo
ylaimagendecualquiertransformaciónlinealentrecspacios\'cctorialesdedimensiónfinita
encontrandoelespacionulo ylaimagendelamatrizcorrespondiente.
problem;)552
AUTOEVALUACIÓN
Delossiguientesenunciados.indique sisonverdaderosofalsos.
1.SeaT:V--+IVunatransformaciónlineal.Enocasionesesposibleencontrartres
vectoresdiferentes
VIEV.V:EVyWE!Vtalesque Tl'l""Tl'!""W.
11,SiTV
r
""TV
2
comoenelproblemal.entoncesvl-v:EnuT.
111.SiTesunatransformaciónlineal de\'enw,entonceslaimagende Tesw.
IV.SeavI'v
1
'
...,l'.unabase paraID"ysca"l'w
2
'.,.,
w.unabaseparaP._l'Enton
cesexisten
dostransformacioneslineales SyTtalesqueT\'I """1YS,,;=v;para
i""1,2,....1/.
V.SiT:~~I:fesunatransformaciónlineal yr(OJ~(OJ.entoncesTcslatranso
formaclOncero,
O O
VI.Existeunatransformaciónlineal Tde1)'--+VSconp(T)""v(T).
VII.Supongaque T:M"--+M"conp(T)""4.SiTA=(00),entoncesA=(0°0)'
.... °° °
Delosproblemas Ial13encuentrenúcleo.imagen.rango ynulidaddelatransformaciónlineal
dada,
~~ (3"')3.T:~---+..,.:T(x)""
-2,T
5.TIl'~Il', T[;]~('d')
=y+1I'
".
4.T:Il'-+IY:r(;)=x+y

~7X C"'ITlIn5
ICALCULO]
CALCUL
TransformaCioneslineales
6.T_I¡/..-+¡\{.,:1lA)="'AB.dondcn=('')
-- •• OI
7.T:I)-¡.P,:T(a)=(1+l/X+(/X~+(1.\-'
8.T:I)!-¡.P,:r(:)=(1+hx+(ti+b)x
1
+(o-b).\·J
*9.T:Al""-¡.Al",,:T(A)=A'+A
10.T:C'[O.I]->C[0.1]: 7l=J'
11.T:C'[O.IJ->C[O.I]:71=j"
12.T:ClO.I):-> .):7l=f(±)
13.T:IY_I~:Tesunarotación denl3
14.SeaT:V-+IVunatransformaciónlineaLsea \"1'v
1
,
...,".1unabaseparaVysuponga
que
r,·,=Oparai=1.2.....11.DemuestrequeT eslatransformacióncero.
15.Enelproblema14supongaque W=VyT"¡=\'1parai=1.2...../1.Demuestreque T
eseloperadoridentidad.
16.SeaT:V-+[(l.Demuestreque 1mTescualquieradelassiguientes: a)101:h)unarecIaque
pasaporelorigen:dunplanoquepasa porelorigen:d)¡y.
17.SeaT:[{'-+V.Demuestreque nuTesunodeloscuatroespaciosenumeradosen elpro
blema
16.
18.Encuentretodaslastransrormacioneslinealesde ~enI)!talesque larectay=Osetrans
rormaenlarecta
x=O.
19.Encuentretodaslaslransrormacioneslinealesde IrenIrquellevanalarecta y=(lX:1la
recta
y""¡'x.
20.Encuentreunatransrormaciónlineal Tdepl--+-pltalque
nuT=l(x.J.=):2x-.r+==O}.
21.EncuentretinatransrormadónlinealTdepl--+-I)'talque
1mT=:(x.y.=):2x-2.1'+==01.
22.DefinaT:M..--+-"'-/_PorTA""A-A'.Demuestreque nuT=1matricessimétricasde 11X1/:
e1mT=lmatricesamisimétricasde nXIIl.
B.DefinaT:ellO.1]--+-C[O.IIporTf(x)=.\j'(x).Encuemreelnúcleo ylaimagende T.
*24.Enelproblema5.1.51selepidióquedemostraraque unconjuntodctransrormaciones
linealesde
unespaciovcctorial VaunespadovcctorialIV.denot¡ldaspor L(V,IV)esunes
paciovectorial.Supongaquedim
V=1/<00ydimW=111<oo.Encuentredim L(V.l-li).
25.SeaHunsubcspaciode Vdondedim H=k YdimJI=1/.SeaUelsubconjuntode L(V.V)
quetienelapropiedaddeque siTEU.entoncesTh=OparatodOhEH
ti)Demuestreque Uesunsubcspaciode L(V.11).
h)Encuentredim U.
*26.SeanSy TenL(V.JI)talesque STeslatmnsrormacióncero.Demuestreocomradigaque
TSeslatmnsrormacióncero.

5.3Representaciónmatricialdeunatransformaciónlineal ~79
RESPUESTAS ALAAUTOEVALUACIÓN
t.V
V.F
11.V
VI.F
111.F
VII.\'
IV.F
DIREPRESENTACiÓN MATRICIALOEUNA TRANSFORMACiÓN LINEAL
SiJIesun<lmatrizdc /11X/1YT:1)"_1)'''eS!:'ldefinidaporTx=Ax.entonces.comoseobservó
en
elejemplo5.1.7delapúgin<l462.Tesunatransfonnaciónlineal.Ahorasevcrúquep'lnl
lodatransformaciónlinealde1/'en1/"existeunamatriz Ade11IX1/IalqueTx=Axpara
todoxE1/'.Estehechoesde granutilidad.Comosedijocn laobscrvacióndelapúgina476.si
Tx=Ax.entonces 11\.1T=Nie1mT=R.
r
Músalln.v(T)=dimnu T=v(A)yplT)=dim1m
T=pIA).AsisepuededeICrminarelnúcleo. laimagen.lanulidady elrangodeunatnmSIOrrn¡lción
Iínealde
Il'-o>p"determinandoelespacionuloy laimagende lamatrizcorrespondiente.
Adicionalmente.unavez
quesesabequeTx=Ax.sepuedeevaluar Txparacualquierxen Il'
medianteunasimplemultiplicacióndematrices.
Peroesto
noestodo.Comosevení.cualquiertqll1sformaciónlinealentreespaciosvecto
rialesdedimensiónfinita
sepuederepresentarmcdianteunamatriz.
TEOREMAa ScaT:Il'_JI"unatransformaciónlineal.Existe entoncesunamatriz(micade 111X/l.
A
r
tal
que
pM:1t00,1XE 1)" (1)
laDEMOSTRACiÓN
Seaw
l
=7e
l
•
w!=n.'2•...."'"=Te".SeaATlamatrizcuyas columnasson\'1'11',•...•W"
yhagamosqueA
r
denotetambiénalatransformaciónde1)"_1)'''.quemultiplicaun
vectorenlrporA
r
Si
entoncesl
a"
w=a,!
, .
a",;
parai=l.2.....11
¡·ésima
posición
o
O
a"
al, al; (/l~ (/11
Ae.=
(I!1[/!! (12/
(/'"
1
(/21
=w,, ,
O
a-,
a-,
a
-,
a_.
{lmi
O
Deestaforma,Are, =w/parai=1.2.....1/.Deacuerdoalteorema5.2.2de lapágina
472.TylatransformaciónATsonlamismaporquecoincidenenlosvectoresbúsicos.

480 C\I'iTlLO5 Transformacioneslineales
AhorasepuededemostrarqueA
T
esúnica.Supongaque Tx=ArxyqueTx=B
r
"
paratodox Elr.EntoncesA
r
"
=Brx,oestableciendoe
T
=A
T
-
8r-setieneque
erx=OpanltodoxE ~.Enparticular.erc¡=Oparai=1.2,....11.Perocornose
deducede lademostraciónde laprimerapartedelteorema. eTC;eslacolumna ¡dee
r
,
Asi,cadauna delas11columnasdeereselllHectorcero,lamatrizcerode mX11.Esto
muestraqueA
T=BTyelleoremaquedademostrado.
Oh.~{·rmció" J.Enesteteoremasesuponeque todovectoren V'yIrestaexpresadoentérmi
nosdelosvectoresdelabase
estandarenesosespacios. Siseeligenolrasbases paml.>"ylr'.
porsupuesto.seobtendráunamatrizATdifcrcnte.Parailustrarestecaso.vea elejemplo4.8.1
de
lapágina3710rnÍlsadelante.elejemplo8.
OhJc,Tt/(,;ofll.Lademostracióndelteoremamuestra queessencilloobtener Arcornolama
trizcuyascolumnassonlosveclOrcs
Te,.
DefiNICIÓN11
TEOREMAE3I
EJEMPLO1
••Solución
Matrizdetransformación
LamatrizArenelteoremaIsedenominamatriz deInlnsr~rmación correspondientea T
orepresentaciónmalricial deT.
Nma.Lamatrizdetransformación A
restádefinidausandolasbasescstfllldar tantoen1)'
comoenIr.Siseutilizanotrasbases..seobtendráunamatrizdetransformacióndiferente. Vea
elteorema3delapágina 482.
Enlasección 5.2sedefinieronlaimagen. elmngo.elnúcleoylanulidaddeunatransformación
lineal.Enlasección
4.7sedefinieronlaimagen.elrango. elespacionulo ylanulidaddeuna
matriz.
Lapruebadelsiguienteteoremaesconsecuenciadelteorema 1ysedejacomoejercicio
(vea
elproblema44deestasección).
Sea
A
r
lamatrizdetransformacióncorrespondiente alatransformaciónlineal T.En
tonces
i.[mT=1mA=e.
a
iLP(7):P(A,l
iii.nuT=NA,
i\'.v(7)=v(A
r
)
Representaciónmatricialdeunatransformacióndeproyección
EncuentrelamatrizdetransformaciónATcorrespondientealaproyeccióndeunvectoren [?l
sobreelplano X)!

5.3Representaciónmatricialdeunatransformaciónlineal 481
O] [,]['°0]['][']~.Observeque ~;=~ ~ ~.;=¿.
EJEMPLO 2
••Solución
EJEMPLO 3
••Solución
Representaciónmatricial deunatransformación de1)3enpt
I
,-y
[']
1'+~
DefinaT:IYenI)lporry= .-
~ 2x-y-.::
--.\"+y+2=
EncuentreAT'nuT,1mT.v(T)yp(T).
Observe(amaneradeverificación)que
AhorasecalculanelnúcleoylaimagendeA. Laformaescalonada porrenglonesde
1-1
l
1-1
O]
O1 O11..
2-1-1 OO
I.EstaformatIenetresplvoles.demaneraque
-112 OOO yaqucp(A)+V{A)=3
~
p(A) ~J y v(A)~3-] ~O
ESlOsignific,que""T~{O}.ImT~genIIjl~! ·1-:J)-v(T)~Oyp(T)~].
Representaciónmatricialde unatransformacióndeVJenV)
DefinaT:[J-l-+[J-lporr[::]~[4.~·~ ~~.:,'::;].EncuentreA
r
,
nuT,1mT,v(T)yp(T).
.::-6.\"+3.1'-9:

-lS2 C\I'iTL1.05 Transformacioneslineales
A,=[~=;;)
-63-9
IrorrmJ2ÍI)
Delejemplo4.7.4de lap,g;na346. sevequeP(A)±P(T)=Ie1mT=g,,{[_:]).
Entoncesv(T)=2.
lcorema2 iii)
t
ParaenconlrarNI=nuT.sereduceporrenglonespara resolverelsistemaAx=o:
;:~)----->, [~O
-9IO
-~ ~:~]
OOIO
EJEMPLO 4
EJEMPLO5
TEOREMAE:II
Estosign;ficaque [~]EN,si2x-J +J:=O.osea.J =2x+3:.ESlablcciendoprimem
x=1.==OYdespuésx=O.:=1.seobtieneunabaseparaN,:
Representaciónmatricialdeunatransformacióncero
Esfácilverificarque siTeslatransformacióncero deI)'.....¡.Ir',entoncesAreslamatrizcerode
111X11.Dcigualmanera.siTeslatransformaciónidentidadde Ir.....¡.Ir,entoncesAl'=/",
Representaciónmatricialdeunatransformacióncero
Sevioenelejemplo5.1.8delapagina462.quesiTeslafunciónquerotaatodovectorenIY
. (eose-seneJ
unangula8.enloncesA,= .
senecose
AhorasegcnemliZ<lr.i.elconceptoderepresentaciónmatriciala esp..'1ciosarbitrariosdedimen
siónfinita.
Sean
Vunespaciovectorial dedimensión/J.IVunespaciovectorial dedimensiónmyT:
V-+Wunatmnsformaciónlineal. Sea8,={l'"v
2
'
....l'Junabase paraVyseaB
1
=
{wlo""r'"""~)unabasepara W.Entoncesexisteunamatrizúnica ArdemX 11talque
(2)

5.3Representaciónmatricialdeunatransformaciónlineal "*83
Ohsl.'l"I'm:iól//.Lanotación(2)eslanotaciónde lasección4,8(vealapágina366), Sí
c,
XEV=C,l',+C.''.'+..,+ Cl'entonces(x)=c,.Seac=c:,entoncesA~cesun
,, n "' ~ ,
c,
d,
d,
/l/-vectorque sedenotarápord = Laecuación(2)diceque (TX)B,
decir
d,
d,
,es
eDEMOSTRACiÓN
ObSl.'l'I'udÓII2.Comoenelteorema1,launicidadde A
resrelativaalasbases B
I
yB
l'
SisecambianlasbasesATcambia(vealosejemplos8 y9,Yelteorema5),Siseusanlas
basesestándar,entoncesesta
A
r
eslaArdeladefiniciónl.
Sean
Tl'¡=YI'TV
2=y:,T\'"=y",ComoY,EW,setienequepara i=1,2..".11
Paraalgúnconjunto(único)deescalares (11;'(I¡;,..•,(lrn;yseescribe
()-[:::()-::::
Y,',-:'Y",-
0"'1 o",z
a"
Estosignifica,porejemplo,queY
I
=O"W,+0ZIWZ+',,+ 0"'1"'''''Ahorasedefine
["
(11: a"
~=0;,
a¡¡ °Zn
a.,°m, a..
Como
o
(v,l,~[!],(v,l"= ~
O
(v,),{]

~84 CM'ílTLO5 Transformacioneslineales
setiene,comoenlapruebadelteorema[,
i-c:simaposición
O
a,"
O
a
1n
r"
1
=a;i
~(Y,)"
a,.
O
ami
a."
O
Sixestáen V,entonces
Y
+alle,++
'.'.]+Q22
C
2 +.+
a2"c"
+
0,.2
C
2+.+
am"c"°.,1
a"
a,"1"a,,',
aln C2=Q21
C
l
am" en 0mlCI
~·n'··[:]··{:I
Demanerasimilar, Tx=T(c¡\'1+c::,v
I
+...+e"v)=c,Tv,+c
2Tv
2
+...+enTl'"=
elJ
I+C)'2++ c",-y",demaneraque T(x)m=(elJ
I+e
2
y,+...+('""Y")m=c¡(YI}m
+c/Y2)m++C,,(yJR2=A
r
(X)81'Así.T(x)m=Ar(x)y,"Lapruebadelaunicidades
exactamenteigualquelapruebadeunicidaden elteoremal.
Elsiguienteresultadoesconsecuenciadelteorema4.7.7de lap{lgina350,ygeneralizaclleore
ma2.Sudemostraciónsedejacomoejercicio(vea elproblema45deestasección).
TEOREMAa SeanVyWespaciosvectorialesdedimensiónfinita condimV=1/.SeaT:V--+Wuna
transformaciónlineal
yseaA
r
unarepresentaciónmatricial deTrespectoa[asbases SI
enVy8
2
enWEntonces
Lp(T¡
~p(A,l ii.veA)=v(A
r
)
¡ii.veA)+p(T)=11
Sott/.i)Yii)implicanque p(A
T
)
yv(A
r
)
sonindependientesdelasbasesB
I
yBl"

EJEMPLO 6
••Soludón
EJEMPLO 1
••Solución
5.3Representaciónmatricial deunatransformaciónlineal 485
Representaciónmatricialdeuna transformacióndeP~enP
l
DefinaT:P
2
---,¡.P,por(Tp)(x)=xp(x).EncuentreA
ryúselapara determinarelnúcleoyla
imagende T.
E,,,ideolequep(A)=3Yqueun" b""pacaR,"1I~]' [~], [~]IPoclolanlo,1mT=
gen{x,Xl.x'}.Comov(A)=3-peA)=O.sevequenuTo={O}.
Representaciónmatricialdeuna transformacióndeP
j
enPi
DefinaT:P
J
---,¡.P
2
porT(a
o
+alx+a
2
x
l+aJx))=al+a
r\·2.CalculeAryutilicelaparaencon
trar
elnucleoylaimagendeT.
Utilizandolasbasesestúndar El=11.x.xl,x'fenP
J
yB
2
0={I,x,x
2
lenP
l
•
deinmediato
"
veque(T(I)l.,=(H(T(x)).,=lü(T(x')).,=my(T(x')),=lHpocloq'"
1mT=geo(I,x'l,Enlonces,v(A)=4-2=2,piA,::=l~]enloncesu,=Oyu,=O.
a,
Porlotanto"oyalsonarbitrarios y¡[~]. [O~l])esunabase par<!N,¡demaneraque {l.Xl}es
llnabase
paranuT. O
O
Entodoslosejemplosdeestasección sehaobtenidolamatrizA
rutilizandolabaseestún
darencadaespaciovectorial.Sinembargo, elteorema3secumple paracualesquierabasesen
VyW.Elsiguienteejemploilustraesto.

486e,,'iTlI.o5Transformacioneslineales
[
-6
A=
,-2
EJEMPLO 8
•Solucióll
EJEMPLO 9
Representaciónmatricialrelativaados basesnoestándaren I?
Se,ieneT(_:H~)YT(-~H=;Jcomo(~)~-6(_:)-2(-~J seeneuemeaque
(~J.. =(=~) Demanecas;m;lia<(=;)={:)+6(-~) podoque[=;J..~C:) As;
17)1. (-4)..(-4)(1)6.P¡l1'l1cacular.porejemplo. T7pmncroseescnhe7 =-13-1-3
[-3) [-4)[-13) ([-4))[-4)[-13)
2.demanen¡que 7,=-3'EntoncesT7lo=/Ir7 ~=AT-3=
. .
(-617)(-13)(27) (-4)(1)(-3)(3)
-26-3=8·Porlolanlo.T7=27_1+82=-11.
[
-4)[-4+7)[3)Observeque T = = , loqueverificaloscálculos.
7-4-7-11
Puraevitarconfusión.amenosque seestablczCildeformaexplicitaalgodistinto.siempre se
calcularalamatrizA,respectoa labasecanónica! SiT:JI-+JIesunatransformaciónlineal y
seutilizaalguna aIrabaseB.entoncesseharareferenciaa Arcomo/alIlarri;de/r{lIIs!Qmurdoll
tll'TrespectoalabllSl'B.Asienelultimoejemplo. .'Ir=[-617).es lamatrizdetransformu·
e;óndcTcespee'o"'aba~{[_:} [-:)} -26
Antesdetcrminarestasección.deberesponderscllnapreguntaobvia.¿Paraquemolestar
seenutilizarotrilbllsequenosea laestándarcuandolos dlculosSOIl.comoen elejemplo8.
bastantemáscomplicados? Larespuestaesqueconfrecuencia esposiblecnconlrarunabase
0*enpara laquelamatrizdetransformaciónrespectoa0*esunamatrizdiagonal. Esmuy
sencillotrabajarconmatricesdiagonales.como
se\'eraen elcapitulo6.yexistenmuchasven·
tajas
alescribirunamatrizenformadiagonal.
Larepresentaciónmatricialdeunatransformaciónlineal
respectoadosbasesnoestándarenV
2
puedeserdiagonal
,, [,)[12'+IOY)
DefinaT:Ir--+~porT= . EncuentreA
r
respectoalasbases O.=
{(-:J,(-m ,-15'-13,
•
,Estol?S.encualqUierespaCioenelqUfI~phayadefinidolabasel?Stimdar
8,=

••Soludón
5.3Representaciónmatricialdeunatransformaciónlineal 487
r(_:H_:)yr(_:)=(-:lEntonces(-:)=2(-:)+0(-:].";(-:1.=(~]. Do
manemsima.r. (-:)=O(_:)-3(_:).os;(-:).,=(_~).Po<lotantoA,=(~ _~).
Existeotraformaderesolveresteproblema.Los"cetores( _:)y(_ ~)scexpresanen
+(-3)(°).EntonceslamatrizA=(12)eslamatrizcuyasprimera ysegundacolumnas
I -1-3
representanlasexpansionesdelos"eetoresen B
l
entcrminosdelabaseestándar.Aparlirdelpro-
cedimientodescritoen
lapágina371. larnatrizA-'= (32)eslamatrizdetransiciónde Sa
-1-1
B•.Demanerasimilar. lamatrizde Aeslamatrizdetr,msiciónde B
I
aS(veaelproblema4.8.44. pá
gina378).Ahorasupongaquexestúexpresadaentcrminosde B•.EntoncesAxeselmismovector
ahoraescritoentérminosdcs.ScilC=(1210).EntonecsCAx=T(Ax)eslaimagcndeAx
-15-13
escritilenlérminosde S.Porúltimo.como sebuscanAx)cntcrminosde8
1
(éseeraelproblema).
sepremultiplicapor lamatrizdetransición A-Ipumobtener (TX)III=(A-ICA)(X)HI'Esdecir.
2)[1210)[1
-1-15-13-1
2)(32)(2-6)[2
-3=-1-1 -29=O
TEOREMAa
comoantes.Esteresultado seresumeacontinuación.
Sea
T:Ir-+1)"unatransformaciónlineal.SupongaqueC eslamatrizdetransfor
maciónde
Trespectoalasbasesest<dar S~ySmenIJ"yIP".respectivamente.Sea Al
lamatrizdetransiciónde8
1
alabaseS. enD'yseaA1lamatrizdetransiciónde 8').a
labaseS"'enIr.SiA
r
denotalumatrizdetransformaciónde Trespectoalasbases8
1
y8
1
,
entonces
(3)
Enelejemplo9 sevioquealobservarlatransformaciónlinealTrespectoa lanuevabase. la
matrizdetransformación A
r
resultaserunamatrizdiagonal. Seregresaráaesteprocedimiento
de"diagonaJización""en
lasección6.3. SeobservartÍquedadaunatransformacióndeen
confrecuencia
esposibleencontmrunabase8talque lamatrizdetransformacióndeTrespccto
a
Besdiagonal.

488C\I'lnl.o5Transformacioneslineales
GEO'IETRíADELASTRA ,\S"-ORMAcrONES LINEALESDED2ENV
2
SeaT:DJ--+I)!unatransformaciónlineal conrepresentaciónmatricial A
r
Ahorasedemostra
ráquesiAres¡nvertible.entonces Tsepuedeescribir comounasucesióndeunao mastrans
formacionesespeciales.denominadasc,pansioncs. comprCSiOlll'S.r('flexionesyCOrles.
UnaC'\1)ansiól1alolargodelejexesunatransformaciónlinealquemultiplicaala coordenada
xdeunvectoren ~porunaconstuntee >l.Estoes
Entonces
r(~)=(~)yT(~)=(~ldemaneraque siAr=(~ ~).setiene
De
manerasimilar.unac:\pansióna lolargodel ejcyesunatransformaciónlinealquemulli·
, (x)("<)plicalacoordenada.l·detodovectoren [)2porunaconstantee>l.Como¡¡ntes.siT)'=y•
(
1
O) (1O)(x)(x)entonceslarepresentaciónmatricialde TesA
r= demaneraque =.
Oc Oc)' cy
Figurll5.5
Do!>expansiones:
alsecomtenlacontstl'
r~ngulo.
b)ExpansiórlenLadíre<:
cióndenone'"2.
y
(O.2)t----,(J.2)
y y
(0.8) (3.8)
(0.2)t---,(6.2)
(3.O)
a)
(6.O) (3.O)
e)
c)úp¡YtsiónenlaliIe(
cióndeycon(=4.
-,,1--++-I-++-;+.x
O
-,,1--++->-++-1-+--..<
O
b)
-,,1--++-I-++-;+.x
O
CO\WRESIÓ'\LOU,RGOI)E LOSEJESXO}'
UnacOlllllrcsiónalolargodelosejes xo)'esunatransformaciónlinealquemultiplicaalaco
ordenadaxoJdeunvectoren P!porunaconstantepositivac<1.Larepresentaciónmatricial
deunacompresiónes
lamismaque pamunaexpansión,exceptopara lacompresiónO<e<1.
mientrasqueparalaexpansión e<1.Enlafigura5.6seilustran doscompresiones.

5.3Representaciónmatricialdeunatransformaciónlineal 489
Figura5.6
Doscompresiones.
alSecomienza(011esle
rectangulo.
b)Compresión¡¡lolalgo
. ,
dPIe,exconC=J"
elCompresiónalolargo
~. ,
"""l'Il'xconc=:-"
y
(0.3)t----,(4.3)
"'
RULLXIO:""ES
."
(0.3)
O,
("'i'O)
"
)'
, ,
(0'"2) (4'"2)
.,
O
x
(4.O)
'1
Existentrestipos dereflexionesqueserán deinteres.Enelejemplo5.1.1delapágina458sevio
quelatransformación
T(X)_(x)
y )
reflejaalvecloren11respecloalejex(vealafigura5.1).Enelejemplo5.1.6 delapágina461.
sevioquelatransformación
reflejaalvectorenIjrespectoaleje)'(vealafigura5.2).Ahora
demaneraque(~_~)eslarcprcscntaciólllllHtricialdelareflexiónrespecto alejexy(- ~ ~)
eslarepresentaciónmatricial delareflexiónrespectoaleje y.Porúltimo,elmapeor(;,)=(~)
queintercambiaxyy.tieneelefectodereflejarunvectoren lJ2rcspccto:1larccl:1x=.1'(vea
lafigura5.7).
"
y=x
Figura5.7
Reflexióndeunvec10fef1
Ilrespectoalarecta
x=y:
al(2.5)seobliene,efIf
jando(S.2)¡espectaa
lalectaY=11..
blO,-4)seobtienerefle
¡ando(-4,1)mpKlO
alarectay..x.
y
,)'=x
,
(2.5) ,
,
,
,
,
,
,
,
,
(5.2)
O
,
,
,
x
,
,
.,
(-4.1)
O
(1.-4)
b,

490 Ctl'ínll.o5 Transformacioneslineales
(O.2) (4.2) (-l,2)
(3.2) (7.2)
(-4.2)
O
.,
O
x
O
(3.O) (3.O) (3.O)
,,) h) ,.)
Figura5.8
Doscortesalolargodel
eJex,
a)Comenzamosconeste
re<:timgulo
b)Cortealolargodeleje
,1'(011(=2
e)(ortea lolargodelejex
(On(=-2.
"
)'
Sir(::)=(::').entoncesr(~)=(~Jyr(~J=(~J.demaneraque larepresentaciónmatricial
de
latransformaciónlinealquere!lejaaunavectoren IPrespectoalarecta x=yesA=(~ ~)
CORTES
Uncorrealolargodeleje.resdondeunatransformaciónquelOmaalvCClOr(;:)y10conviene
(
x+
q
)
....
enunnuevovector y'.dondeeesuna constantequepuedeserpositivaonegatIva.En la
fig"':,:~S:n;~::::: :o):,::~I::I'~;::"~'~I::~:~'r'( ~)~(~)yr(~)~(O+1,·1)~(~)d,ma'
neraquelarepresentaciónmatricial Tes(~ ~).Porejemplo.enlafigura 5.8b.e""2.así
Enlafigura5.8c.e""-2.Así.
yA~(I
,O
(
3)(1-')(3)(3). ....Observeque A
rO""OIO ""O.EsdCClr.uncortea10largodel cJexdCJasmcambIO
alosvectores
concoordenada.J'igualacero.
Uncortea
lo1:JrgodelCjl'yesllnatransformaciónquclOmaa unvector(:Jyloconvierte
enunnuevovector(
x).dondeeesunaconstantequepuedeserpositivaonegativa.En la
y+ex
figura5.9seilustran
doscortesalolargodelejeJ.

5.3Representaciónmatricialdeunatransformaciónlineal 491
y
"1
O(1.O)
Figura5.9
Ooscortesalolargodel
ejey
a)Secomienzaconeste
rectimgulo.
b)Cortealolargodeleje
yconc=l
elCortealolargodelejey
conc=-3.
(0,4)
"
(l.4)
y
(1.7)
(0,4)
(0.4)
(1.1)
(1.3) O
,
.' .'
(1.-3)
O
hI d
SiTesuncortea 10largodeleje .1'.entonces
demaneraque
A
r
=[1
,
0].Porejemplo,enlafigura5.9b.e=3.asi
I .
Enlafigura5.9c.e =-3.así
Observeque
A
r
=(~J=(_ ~ ~)( ~J=(~].Estocs.loscortesa [olargodel eje)'dejansin
cambioa [osvectoresconcoordenadas xigualacero.
Enlatabla5.1seresumenestostiposdetransformacioneslineales.
Tabla
5.1Transformacioneslinealesespecialesde I:ren~
Transformaci6n Representaciónmatrícial delatransformaci6nA
r
Expansióna lolargodelejex (;~).c>I
Expansióna lolargodelejey (:
~).c>1
Compresióna lolargodelejex (;~}O<c<1
Compresióna lolargodelejey (::)
O<c<1
Reflexiónrespectoa larectay=x [~:)

492 C\.I'ÍTLw5Transformacioneslineales
Tabla5.1Transform:lcioncslinealesespecialesdeJi!cn I)! (rQlIliml(láim)
TeOREMAm
Rcncxiónrespectoaleje x (;-~)
ReAexiónrespectoalejey (-;~)
Cortealolargodeleje x (;;)
Cortea 10largodeleje y r:~)
Enlasección1.10seestudiaronlasmatriceselementales.Lamultiplicacióndeunamatriz
porunamatrizclemenlaltiene
elefectoderealizarunaopcmciónelementalconrenglonesen
esamatriz.Latabla5.2enumeralasmatriceselementalesen
1)=,
Tabla5.2Matriceselementalesen Ir
Operaciónelemental Matriz
conrenglones elemental lIustradón
R,-cR, (;~) (eT'){"cr)
O1:"':...
R~-rR
1 [;:) ['0)[,')["')
Oczw=c:CIO'
R
1
"""R,+cR
z [;;) (;l''H'+"y+~)
1: 11' : '"
r:~) [:~][;')('
,)
R~"""R¡+fR, ;,.= :+c.xw+cy
R,¡:tR¡ [:;) (0')(''H'w)
IO: 11' ry
Todamatrizelemental Ede2X2esunodelossiguientes:
i.Larepresentaciónmatricialdeunaexpansióna loI/lrgodelejex o)'
ii.Larepresentaciónmatricialdeunacompresióna lolargodelejexo y
¡¡j.Larepresentaciónmatricialdeunareflexiónrespectoa larectay=x
¡v.Larepresentaciónmatricialdeuncortealolargodeleje xo)'
v.Larepresentaciónmatricialdeunareflcxiónrespectodeleje xoJ'
vi.
ElproductodelarepresentaciónmatricialdeunareAexiónrespectoaleje xoJ'yla
representaciónmatricialdeunaexpansiónocompresión.
Seharáreferenciaalastablas 5.1y5.2LoDEMOSTRA,06N
CasoJ:E=(~ ~).c>O
Estaeslarepresentaciónmatricialdeunaexpan
siónalolargodeleje
xsic>Iounacompresióna
10IargodclejcxsiO<c<l.

5.3Representaciónmatricialdeunatransformaciónlineal 493
Caso2:E=(~ ~).c<O
Casola:c=-] [
-1O)
EntoncesE=O1.que eslarepresentaciónma-
tricialdeunareflexiónrespecto
aJejej".
Caso2b:c <O.("#;-1Entonces-c>Oy
queeselproductodelarepresent:'lciónmatricialdeunareflexiónrespecto alejeyylarepre
sentaciónmatricialdeunaexpansión
(si-e>1)a10largodeleje x.
CtlSO3:E~[~ ~}c>O
Caso4:E=(~ ~}c<O
Caso5:E=[~ ~)
Ca.1'O6:E=C ~)e
Ca.l'o7:E~[~ ~)
Lomismoque elcasoIcon elejeyenlugardelejc x.
Lomismoque elcaso2conlosejesintercambiados
Estaes
larepresentaciónmatricialdeuncortea lo
largodeleje x.
Estaeslarepresentaciónmatricialde uncortea lo
largodeleje y.
ÉstaesInrepresentaciónmatricialdeunareflexión
respecto
IIlarecta)'=x.
TeOREMAE2
Enelteorema1.10.3de lap:igina126.sedemostróquetodamatrizinvertible sepuedeex
presarcomo
elproductodematriceselementales. Enelteorema6 sedemostróquetodamatriz
elementalen
[fsepuedeexpresarcomo elproductoderepresentacionesmatricialesdecxpan
siones.compresiones.cortes
yreflexiones.Poresto. setieneelsiguicntcresultado
Sea
T:Ir-Jo~unatransformaciónlinealtalquesurepresentaciónmatricial esinver
tibie.Entonces
Tsepuedeoblenercomounasucesióndcexpansiones.compresiones.
cortes
yreflexiones.
¡\'ola.Deacuerdoalteoremaderesumende lapagina353. Aresinvertiblesiysólosip(A
r
) =
2.Perosegúne1leorema 4.p(A
T
)=p(A).Estosignificaque Ares¡nvertiblerespectoatodaslas
basesen
Ironoesinvertiblerespectoaalguna.

494 CAl'íTUI.O5 Transformacioneslineales
EJEMPLO10 Descomposicióndeunatransformaciónlinealen~enunasucesión
deexpansiones.compresiones.cortesyreflexiones
ConsiderelatransformaciónT:12"-tP'conrepresentaciónmatricial A
r
=(~:).Usando
latécnicade lasección1.10(vea elejemplo3de lapágina127), A
T
sepuedeescribir comoel
productodetresmatriceselementales:
Ahora
representauncortealolargodeleje),(con ('=3)
representauncortealolargodeleje x(con('=2)
representaunaexpansiónalolargodeleje)'(con e=2)
seguidadeunareflexiónrespecto alejex.
Así.paraaplicarTaunvectoren P'.setieneque
i.Cortaralolargodeleje xcone=2.
iiLReflejarrespecto alejex.
ii.Expandira[olargodeleje ycone=2.
i\'.Cortaralolargodeleje Jcone=3.
Observequeeslasoperacionesserealizan enelordeninverso enqueseescribenlasmalrices
en(4).
Parailustrareslo.supongaquev =(_~).
Entonces
Usandolasoperaciones
i)a;1')sc¡jeneque
(
3)Cortc
-2----=:::....
Rcflcxión
Enlafigura5.10sebosquejanestospasos.

5.3Representaciónmatricialdeunatransformaciónlineal 495
Figura5.10
Descomposicióndela
transformaciónlineal
enunasucesi6ndecones,
expansionesyreflexiones:
el)Secomienzaconese
vector.
b)Vectorobtenidoporel
conealolargodelejex
cone=:l.
e)Vectorobtenidoal
expandiralolargodel
ejeyconc::I.
d)Vectorobtenidoalrene·
jarrespectoalejex
e)Vectorobtenidoporel
conealolargod€1ejey
conc=3.
problema553
r
-+-t-+-+;;kH-++~ x
(3.-2)
"1
)
-+-+-t-I;,",-+-+-+--t+"x
,"
y
-+-t-+-++,u;+-+++~ x
(-1.-2)
hl
,
-+-t-+-+-hu¡t-+-++~ ,.
(-1.-4)
..,
J'
(-1.1)
-+-++*"'-+-t-+-++-x
O
"
AUTOEVALUACIÓN
l.SiT:1)-1--+-1)3eslatransform<lciónline<llr[J[-}ntonceSA,~
el[~-r~] ~[_~r~]
11. representa(n)unaexpansión <110largodel ejey.
u)
(~ ~)
h)[í~J
el(~ ~) ~ [~;J
111.___representa(n)unaexpansióna 10largodeleje x.
al(-~ ~) hl('11) el
(~:)O-1
~[~tJ
el[;~J f)[~ ~J
DelosproblemasI al38encuentrelarepresentaciónmatricial Ardelatransformaciónlineal T.
nuT.1mT.v(T)ypeT)oAmenosqueseespecifique otracosa.supongaqueB
I
yB
1
sonbases
canónic<ls.

496e\1'1I'tl.O5Transformacioneslineales
1.T:V'~V': T(X)=(X-2Y)
y-x+y
[
2x)
3.T:IJ-tIJl:T(x)=-::
5.T:V'~V':r(X)=("dbY)
Y cl"+dy
[
X)[X-"+2')
7.T:I)J-tI)J;Ty=~f+Y+4':
.:::>x-y+8.:
[
XI[X-..+2,+3"')
9.T:1J'l-t1Jl:T;'= .1'+4.:+3\1'
x+6.:+6w
...
[
X
+•]
2.T:IY-tI)J:T(':)=x-~,
. 2x+ 3y
[
X]
• x- \'+.:
4.T:V'~Il':T.'=(.)
._-2x+2y-2.:
6.T:Il'~Il':T(X)=( X+.,.)
y-x+y
[
X)[-x+2..+')
8.T:~'-tI)':T)' =2x-4,l"-2.:
.:-3x+61"+3.:
[
XI[x-y+2,+H'I
10.T:~-t~:T y=-x+.:+2\1"
.: x-2y+5:+411'
w2x-y+.:-11'
11.T:V'~Il':r[:]=(a"'+bX)
y cv+d.:
12.T:V'~V':r(X)=( X-2
Y
):8,=8,={(').(3))
y 2x+y -22
(')(4,'-") {(-')(4))13.T:IY-tI:!":T'='';B
I
=B
2
= ,
y 3x+2)' 13
[
X]( )
, 2x+1'+.:
14.T:(¿l-tfr:Ty= . :
_ y-3.:
8,=¡lH[J[:J}8,={(-:).(~))
15.TV'~V':{:l=[2::::j:8,={(~).e)):8,={[-Jm[m
16.T:P?-tP
l
:
1"(a
o
+a¡-\:+a
r,..!)=al-a.x+a
lr
,.}
17.T:I:I-tP
J
:
na)=a+ax+a.'..!+a.r
18.T:P
J-t1:2:nao+al'"+arr+a,r)=":
19.T:P
J
-tPI:nao+a•.\"+tl
r
,,:,+tI,X
J
)
=(al+a,)x-a
2
20.T:P~-tp~:p(a
o+ti•.\"+lI
r
,--1+a..,.'o3+ll.r\-I)=1I.r,-I+lI
r
,--1+a
o

5.3Representaciónmatricialdeunatransformaciónlineal 497
21.T:p)--+P~:nllq+lI
r
'"+a:x~+lIIX)=(a
o
- III+2a~+3a)+
(al+4a
2
+3a
J
)x+(a..+6a~+5(1).\':
(
a
b)(a-b+2c+d
22.T:JI'!"-+M,,:T =
-- -- Cela-2b+5c+4d
-(1+2C+2d)
2a-b+c-d
'1CAlCULOI32.
;:OlCUlO!33.
;oOlCUlO134.
35.
CALCULO 36.
39.
*40.
24.T:M
r
-+M
r
:
T("b)~(a+b+c+d a+b+C)
eda+b '1
25.T:P~--+p):T(p(x)]=xp(x):B)={l.x..\.JI:B~={l.(I+x).(1+xf.(1+x»)}
26.T:?~-+?J:Tp(x)=xp(x)+p(x):B
I=11.x..\':1:Be.=11.(x-1).
(x-l)(x~2).(x-I)(x-2)(x- 3)1
CAt.cu 27.D:p.-+p¡:Dp(x)=p'(x)
CALCULO 28.T:p.-+P~:Tp(x)=xp'(x)-p(x)
*[CAlCULO)29.D:p.-+p._1:Dp(x)=p'(x)
[OlCUlOJ30. D:p.-+p!:Dptx)=¡/'(x)
31.D: p!--+P::Dp(x)=¡/'(x)+2p'(x)+p(x)
T:p.--+p.:Tplx)=p~(xJ+xp'(x)+2p(x)
D:
p.--+p.~,:Dp(x)=p'l'(X)
T:p.--+p.:Tplx)=X·p'·'(X)+x'I¡r·II(X)+...+xp'(x)+p(x)
J:P --+V:Jp=J'p(x)elr
,.
1:P--+V:J/J=J'[p(x)fdx
, "
DefinaT:M"",--+M_porTA=A'.EncuentreATrespectoalasbases canónicasenM.....y
:::;'n,T'C'~C'pmT(X)~( X~~I' ).EncuentreAr
y(I+1)Y-X
tCALCULO] 41.SeaV=gen:1.senx.cosx:.EnCllenlrcA".dondeD:V--+VestádefinidaporDf(x)=
I'(x).EnclIelllreimagen DynuD.
CALCULO 42.Contestelaspreguntasdelproblema 41dadoV=genle'.xe'._\.le'l·
43.Defina
T:O-+C!porTx=proyux.donde¡.¡=genl(l/J2XI-¡)LEncuentreA
r
44.Demuestre elteorema2.
45.Demuestre
elteorema4.

498 C\l'iTULO5 Transformacioneslineales
Dclosproblemas46al 53describaenpalabraslastransformacioneslineales T:1)2--l'1)2que
tienen
larepresentaciónmatricial A
r
46.A
T=(~
~J
47.A,~ [~;] 48.AT=(~
-~J
49.AT=(~ ~)
('-3) SI.A,~[~ ~] 52.A7'=(I0)
53.A,!"=(~ ~)SO.ti'1'=O1
-S1
Enlosproblemas 54al63escribalarepresentaciónmatricialde2x2de latransformación
lineal
dadaybosquejelaregiónobtenida alaplicaresatransformaciónalrectángulodado.
54.Expansióna
Jolargodeleje ycone=2
y
(0.2) (5,2)
O
x
(5.O)
,.
(-3.4) (0,4)
55.Compresiónalolargodeleje xcone =~
4
56.Cortealo largodeleje xcone =-2
O
,
3.O)
,.
(-2.2)I
(3.2)
(-2.-I)L...".
x
(3.-1)
,.
-4)
x
.1)-2.1) (1
O
2.-4) (1.(-
57.Corle ti10largodeleje ycon('=3
.2) (2.2)
-1(
O
(2.-1
(-6
(-6.
. 1
58.Cariea10largodeleje ycone=-2
"
-2)
x
J)~1.3) (5.
O
I.-2) (5.(-
. 1
59.Cortealolargodel cJcycone =:
)

5.3Representaciónmatricial deunatransformaciónlineal ...99
-11
317.3) i4.
O
(4..-1)
(-
(-7
60.Reflexiónrespectoalejex
y
(2.J)
(5.
J)
61.Reflexiónrespecto alejey
o
L.,,-..J(5.-2)
(2.2)
,.
62.Rcflexiónrespectoa larectaJ=x
(-2.2) (2,2)
O
-2.-2) (2,-
x
2)
y
(-1,1)
63,Reflexiónrespectoa larectaJ'-.\'
(-4,1)
4--+-,1-----+-x
O
(-4.-5)'----<
(-1.-5)
Delosproblemas64al71expresecadatransformaciónlinealconmatrizdetransformación
dada
A
T
•
comounaseccióndeexpansiones.compresiones.reflcxioncs ycortes,
64.A,~G-~J
65.A
T =(32)66.A~(O-2J 67.AT=(~ ~J-14 T 3-5
68.A
T =(03) (O-2J70,A
T=(37)
(-1
I~J69.A r=57 71.AT= 6
1
-2 -4-8
RESPUESTAS ALAAUTOEVALUACiÓN
1.b) 11.f) 111.('.ti)

500 CII'iTlW5 Transformacioneslineales
• MATLAB5.3
[MJEnlosproblemasdeestasecciónsehace rcfcrcnci:lalarchivograficslgmfic.\"/deMATLAB:en
lasuposicióndequetrabajólosproblemasdeMATLAB5.1.
1.Considereelrectánguloenlafigura 5.8a).Desarrolleunamatrizdepuntos ylineaspan¡
este.
a)SeaTiatransformaciónqueexpandealo I:lrgodeejeyporunfactorde3 ycomprimea
lolargodeleje
xporunfactorde ..!..Encuentresurepresentaciónmatricial y.sobrelos
2
mismosejes.grafiqueelrectángulooriginal ysuimagentransformadausandoelarchivo
graficslgmfin/.
h)UtiliZ¡lOdolasrepresentacionesadecuadas yelarchivograjicslgraficsl.reproduzcalas
imagcncsdelastransformacionesdecorteen 1;15figuras5.8h) y5.8e).
e)Conlarepresentaciónmatricialcorrecta yelarchivogmficslgmficsl.enlosmimosejes
coordenados.gr.dfique
elrectángulooriginaly laimilgendespuCsdeaplicarunatransfor
maciónde
conealolargodel eje.rcone=-2.
2.LarepresenlaciónmatricialdeunacomposicióndeIransformacioneslinealeses elproduclo
delasrepresentacionesmatricialesdelastransformacionesindividuales
enelorden(llleClla
(lo.SiT:IY--+IYconreprcsenl'lciónmatrici'll JIyS:I)!--+I)!conrepresentaciónmalricial
B.entoncesT(S(x»=ABx.
a)(Lápi:ypapel)EncuentrelamatrizRquerepresentalarotaciónpositiva(sentidocon
trarioalasmanecillasdelreloj)alrededordelorigen.unángulo
xl2ylamatrizEque
representa
laexpansiónalolargodeleje xporunfactorde 2.
h)Introduzcalasmatricesdepuntos ylíneaspara lafiguradadaenelproblemala)de
MATLAB
5.1.Haciendousodelarchivo gmfic.I'lgmfic,sl.enlosmismosejesgrafiqucla
figura.
laimagende lafiguradespuésderotllrprimero yluegoexpandir. ylaimagende
lafiguradespuésdeexpandirprimero yluegorotar,Utilice uncolordiferentey(simbolo
para
elpunto)paracadagrófica.Necesitan', litinstrucciónholdondespuésdecadalla
madaa
graficslgrl!ficsl.Tendráqueajustar elparúmetroMalllamargraficshastaque
lastresfigurasseajustencorrectamenteen
];1pantalla.Noguardeestagráfica.Loque
importaesencontrar
laMadecuHda(siutilizalafunción grafic,,"1noesnecesario elpro
cedimientoparaajustar
elvalorde M.l<lfunciónseleccionaunvalorde Idadecuado).
ConcsaMencontrada.en elmismoconjuntodeejes.grafique lafiguraylaimagen
de
larotaciónprimeroydespués laexpansión.Etiqucteestagráfica.asegurándosede
decirquéimágenessegrafic'lron[utilice
]¡layud<lp<lraexplorarlos comandostitle(titulo).
xlabel(etiquela
x)y)'Jabel(etiqucfa~')J.Repitapara lafiguray laimagenconlaexpansión
primeroy
larotacióndespués.
Describa
lacomparaciónentrelasdosgraficas.Expliq tlecuandomenosunacaractcris·
ticade
lageomelriadelasgráficasquepermitaconocerquétipodetransformaciónse
realizóprimero.
3.Pro~'eccion('S
Sea\'unvectoren V'conlongitudl.Sca T: dadapor
T(x)
=proy,x=(\''x)\'

5.3Representaciónmatricialdeunatransformaciónlineal 501
a)(Lápi=Ypapel)Demuestreque Teslineal.Demuestrequelarepresentaciónmatricial. P.
deT(respectoa labasecanónica),estúdadapor
Aquí
Viserefiereala componenteide\'.Recuerdequesehasupuestoque \'tienelon
gitud
1.
h)Supongaque \'esunvectordelongitudI en1}'dadoporv=(1O)'.
i.Utiliceelarchivograjics/grajics/paraencontrar lamatrizPquerepresenta laproyec
ciónsobre
v.Introduzcalasmatricesdepuntosylineasdelproblemala)deMATLAB
5.1,Sobreelmismoconjuntodeejes,grafique lafiguraoriginal ylaimagende lafi
guradespuésdeaplicar latransformaciónP.Usecoloresy/osimbolosdistintos.Para
cada
puntoclaveen lafiguraoriginal.identifique elpuntodesuimagendespuésde
aplicarlatransformación.Haga
10mismoparadosdelossegmentosderectade la
figuraoriginal.
ii.(Lápi=vpapel)UtilicePparaencontrarunabasepara elnucleoy laimagendela
transformación.Describa
laformaenque lageometriade laproyecciónsobre \'expli
caestosresultados.
e)Repitalasinstruccionesdelinciso b)paraelvectorvdelongitud1enladirecciónde
w=(11)'(paraencontrar \'.dividawentresulongitud).
ti)Repitalasinstruccionesdelinciso b)paraelvectorvdelongitud1enladirecciónde
w=(-IlY.
e)Repitalosincisos b)ael)paraunafiguracreadaporusted.
4,Reflexiones
Sea
vunvectoren 1}'delongitudl. Latransformaciónquereflejaunvector dadoxen1}'
atravésde larectadeterminadapor \'esunatransformaciónlineal.Porlotanto.tieneuna
representaciónmatricial.
SellamaráFaestarepresentación.
a)(LiJpi=J'papel)Expliqueporqué2proy, x=x+Fx.utilizandoelsiguientediagrama,
Conesto.dé
unrazonamientode porquéF=2P-/.dondePeslarepresentaciónma
tricialdelaproyecciónsobre
\'eIeslamatrizidentidadde2 X2.
rectadeterminada
porl'
~
-;"
,'
,,
,
,
,
,
,
,
,,
,,
Fx
h)EncuentrelamatrizF.comoen elanúlisisanterior.representando latransformaciónde
lareflexiónalotroladodeleje x.Aquív =(1O)'.
Utilicelamatrizdepuntosylíneasdelproblemala)deMATLAB 5.1Yelarchivo
grajics/grC!ficslparadibujar.enlosmismosejes. lafiguraoriginalysuimagendespuésde

502 CAl'iTULO5
PROBLEMA
PROYECTO
Transformacioneslineales
aplicarlareflexióndada.Paracadapuntoclaveen lafiguraoriginal.identifiquesuima
gen
bajolatransformación.HagalomismoparadossegmentosderecIadelafiguraori
ginal.Verifique
que[asimágenesson[asreflexiones dadasdelossegmentosoriginales.
d
Repita[asinstruccionesdelinciso b)paralareflexiónrespecloalarecIa)'=-x.Aquíel
vector"eselvectordelongitud1 enladirecciónde w=(-]Iy.
ti)Repitalosincisosb) yc)paraunafiguracreadaporusted.
5.Creeun
diseñoounafigurausandounaodosfigurasoriginales yaplicándolesvariastrans
formaciones.Utilicegruficslgraficsl ylainstrucciónhold011(necesitan'ldarelcomandohold
ondespuésde
cadallamadoagraficslgraficsl),
Sigrafkaunafiguratransformadaquedecidedesechar,la puede"borrar"volviendo
agraficarla
usandolaopcióndecolor·w'.queeselcolordelfondodelafigura,al llamar
gmjic.\'lgrajic.\'I.Unproblema.sinembargo.esquepuedeborrarpartesdelaslíneasde olras
figurasquesiquieraconservar.Deserasí, simplementevuelvaa graficarlasquequíeracon
servarquefueronafectadas.
Sideseatrasladarunafiguratiunídadesenladirecciónxybunidadesenladirecciónyy
tiene11puntos,utilicelamatrizdepuntosdadaporncwpts=pis+[a*ones(I,n);b*ones(1,n)].
dondepISeslamatrizdepuntosoriginalparalafigura.
6.Sea
T:I)l-tl)lunatransformaciónlinealdefinida por
a)Verifiquequeelsiguienteconjuntolv,"v~"v
J
'
vJesunabaseparaI)lypor10tantoTesta
biendefinida.
h)Encuentrelarepresentaciónmatricial.e,deTrespectoalasbases canónicas.Recuerde
quenecesitaencontrarT(c)parai=1....,4YqueT(e)esunacombinaciónlinealde
jT(v,),....T{\')f.dondeloscoeficientesdelas combinacioneslinealessonlascoordena
dasdec,respectoa labase1\'1'\'1'"J.v4l.
e)SeaAlamatriz[VI\'1\'J"JyseaBlamatrizcuyascolumnassonlosladosderechosde
las
igualdadesenladefinicióndeT:esdecir.

5.4Isomorfismos 503
[-:
21
5J
O-1 1
B~ ,,-
761
2-24-10
Verifiqueque larepresentaciónmatricial. C.delatransformaciónTsatisfaee e=HA-l.Ex
pliqueporquéesto esciertousando losconceptosdecoordenadas ymatricesdetransición.
ti)UsandoC.encuentreunabasepara elnúcleoy laimagende T.
7.SeaT:r;--7r;unatransformacióndefinidaporuna rotaciónllegalimden/4respecto alori
gen.despuésunaexpansióna
lolargodel ejexporunfactorde2 yunaexpansióna lolargo
deleje)"por
unfactorde1seguidasdeunarotación posirhode/[/4respectoalorigen.
u)Encuentrelarepresentaciónmalricialde Trespectoa labasecanónica.
h)Encuentrelarepresentaciónmatricialde Trespectoa labase.
e)Expliquelamaneraenlacualsepuededescribir lageometriade Túnicamenteentérmi
nosdeexpansiones
enciertasdirecciones.
l!IISOMORFISMOS
Enestasecciónseintroduceunaterminologiaimportante ydespuéssedemuestraunteorema
quemuestraquetodoslosespaciosvectorialesde
11dimensionesson"enesencia" elmismo.
DEFINICiÓN11 Transformaciónunoauno
SeaT:V--7Wunatransformaciónlineal;entonces Tesunoauno.escrito 1-1,si
(1)
TEOREMAa
~DEMOSTRACiÓN
Esdecir,Tes1-1siysólositodovectorwen laimagendeTeslaimagendeexactamente
unvectorde V.
N01I1.UnaIransformación 1-1sellamatambiéninyeclira.
Sea
T:V--7Wunatransformaciónlineal.Entonces Tes1-1siysólosinuT={Of,
Supongaque nuT=lO}yTl',=Tv
1
.
Entoncesn'l-T\'2=T(v
l
-
'1'2)=O,10quesigni
ficaque(l'l-'1'2)EnuT={O}.Asi,VI-l'2=O,por10tanto,\'1='1'2'loquemuestraque
Tes1-1.Ahoraseprobaráque siTes1-1,entoncesnuTes1-1,enlancesnuT={O}.
Supongaque Tes1-1YVEnuT.EnloncesTv=O.Perotambién TO=O.Asi,comoT
es1-1,v=O.Estocompletalaprueba.

504 CAPiTUl.O5 Transformacioneslineales
1IIIIDII'---_U_"_._t_,_._"_SI_o_'_m_._'_;_Ó_"_'_-_'_d_e_lJ'_e_"_lJ'_
DefinaT:lr--+lYporT(xJ~( .1"-YJEssencilloencontrar
y 2.\"-y
v(A
r
)=OYN
AT
=nuT=1Of.Porlolanl0Tes1-1.
('-'J
ti]'=21Y p(A
r
)
=2:asi.
EJEMPLO2
DEFINICIÓNa
EJEMPLO 3
TEOREMAE3I
C.DEMOSTRACiÓN
TEOREMAE:I
LoDEMOSTRACiÓN
UnatransformacióndeVenJ?2que noes1-1
DCfinaT:rr_l)'pOrT(XJ~( .1"-YJ.EntoncesA
1'=('-'J'P(A
r
)=lyv(A
r
)=l:por
y 2x+2y 2-2
lotanto,v(T)=1YTnoes}-1.Observe,porejemplo. quer(:)=O=r(~)
Transformaciónsobre
SeaT:V--+Wunatransformaciónlineal.Entoncessediceque Tessobre¡,vosimple
mentesobre.siparatodo WEWexistecuando menosuna\'EVtalquen·=w.Es
decir,TessobreWsi ysólosi1mT=IV.
Nora,Unatransformaciónsobre sedenominatambién sUllra~'ccli\'a.
Cómodeterminarsiunatransformaciónessobre
Enelejemplo1.p(A
r
)
=2:enlonces1mT=t:ryTessobre.En elejemplo2,p(A
r
)
=1e
1mT=gen¡(~));i:1)2.por10tanto,Tnoessobre.
SeaT:
V--+-Wunatransformaciónlineal ysupongaquedimV =dimW =/l.
i.SiTes1-1entoncesTessobre.
ii.
SiTessobre,entonces Tes1-1.
SeaA
r
unarepresentaciónmatricialde T.EntoncessiT1-1,nuT={O}Yv(A
r
)
=O,
10quesignificaque p(T)=p(A
r
)=11-O=IIdemaneraque 1mT=WSiTessobre.
entoncesp(A
r
)
=11,por10tantov(T)=v(A
r
) =OYTes1-1.
SeaT:V--+-Wunatransformaciónlineal.SupongaquedimV =11YdimW =11I.En
{onces
i.Sin>I1I,Tnoesl-l.
ii.Si11I>11,Tnoessobre.
i.Sea{l'l'v~,...,\'Junabase paraV.Seaw;=T\'jparai=1,2,...,11Yobserveel
conjuntoS=(wl'w!'....w).Comom=dimW<11,elconjuntoSeslinealmente
independiente.Asi.existenescalares,no
todoscero,talesque C1W
1
+c!w
l
+...+

5.4Isomorfismos 505
e.w.=O.Seal'=('1'1'1+ ("~l',+...+e."n'Comoloselementos Visonlinealmente
independientesycomo
notodosloscoeficientes c¡soncero,sevequel'#OO.PeroT"
=TCC1"1+e!l'!+...+c
n,,)=clTl'l+c,Tv,+...+c.T".=CIW
I
+c!w
2
+...+
c"w"=O.Porlotanto.l'EnuTynuT~lO}.
ji.Sil'EV,entoncesl'=al"1+a2"~+...+ an"nparaalgunosescalares al'a
2
,...,a"y
Tl'=(lITvl+a
2
T\'2+...+{/.T,'.={/¡w
1
+a
2
"'2+...+{/.w.'Así,{w
l
,
w
2
'···,wJ
=(Tv
l
•
Tv
2
,
T""lgeneraa laimagende T.Entonces,delproblema4.6.34delapagina
346,pCT)=dim1mT:s11.Comom>11.estomuestraque 1mT~W.EntoncesTno
essobre.
mmmg__u_n_a_,_,_a_n_'f_o_,_m_a_c_i_ó_n_d_e_P'_e_n_P'__n_o_e_,_',_'__
SeaTP'~~d..d,.po,{H~ ~~t]Aqui"~3Y'"=2d"nao"aq",Tno"
1-1.Paraveresto.observeque
Esdecir.dosvectoresdiferentes en[f!tienenlamismaimagenen V'.
~,--_u_n_a_'_'_a_n_'_fo_'_m_a_ci_ó_n_lin_e_a_l_d_e_~_e_n_Il_'_n_o_e_,_,_o_b_,e __
SeaT,~~P' dadapo,Tl::J=[i:j(;J.E.",,,caw"=2Y'"=3.pm'loqu,T,w"
sobre.Parademostraresto,debeencontrarse unvectorenquenoesté enlaimagende T.Un
,jemplodov,clo,",i"[~]E"o".00exist,,'""clo"~r-:J'oIl'"1queT>=[~]Esto
sep""basuponiendoque Tl;J=[~}Esdecó,.
Reduciendoporrenglonessetiene
o
[
X+2Y][0]
~X+4J =O
)X+6.1' 1
[i:~J [~=~:~] [~-~:~]
Laúltimalinea seIceO.x+O.)'=l.Porlotanto,elsistemaesinconsistentey [~Jnoestú
enlaimagende T.

506 Transformacioneslineales
DEFINICiÓNEl
DEFINICIÓNEl
TEOREMAa
Isomorfismo
SeaT:V~Wunatransformaciónlineal.Entonces TesunisomorfismosiTes1-1y
sobre.
Espaciosvectoriales isomorfos
Sediccquelosespaciosvectoriales VyWsonisomorfossicxisteunisomorfismoTde
VsobreW.EnestecasoseescribeV:=;:w.
Oh.\'(!/"I'{/dtí".Lapalabra"isomorfismo"provienedelgriego isolllorpllllsquesignifica"deigual
forma"(iso
=igual:morphus =forma).Despuésdeunosejemplos sever,ílarelacióntancer
canaquetienenlas"formas"delosespaciosvectorialesisomorfos.
Sca
T:I:r~12"YseaA
r
larepresentaciónmatricialde T.Ahorabien. Tes1-1siysólosinu
T={O}.loquesecumplesiysólosiv(Jlrl=OsiysólosidelA
r*O.Porello.sepuedeextender
elteoremaderesumen(visto porúJ¡imavezenlapágina353)enotradirección.
Teoremaderesumen (puntodevista7)
SeaAunamatrizde 1/x11:entonceslas 11afirmacionessiguientessonequivalentes. es
decir.cadaunaimplicaalasotras 10(demaneraque siunaescierta,todassoncier
tas):
i.Esinvertible.
ii.Laúnicasolución alsistemahomogéneo Ax=Oeslasolucióntrivial (x=O).
iii.ElsistemaAx=btieneunasoluciónúnicaparacadal/-vector b.
iv.JIesequivalenteporrenglonesalamatrizidentidad. 1".dcnx11.
V.Asepuedeexpresarcomo elproductodematriceselementales.
vi.
Laformaescalonada porrenglonesde Atiene1/pivotes.
viLLascolumnas (yrenglones)de Asonlinealmenteindependientes.
viii.det
A*O.
ix.veA)=O.
x.peA)=1/.
xi.Latransformaciónlineal Tdel!"enP'definidapor Tx=Axesunisomorfismo.
Ahora
severánalgunosejemplosdeisomorfismosentreotrosparesdeespaciosvectoriales.
Essencilloverificarque Teslineal.Supongaque
1IIIm&III,-_U_n_is_o_m_o_rf_is_m_o_._n_t_'~._l'_' ~y_P~,__
De:""T~~P,pOCT[:]~a+b,+d
T[J~O~O+0,+O,,Entonces ab O.Esdecir,nuT=lO}yTesl-LSí

EJEMPLO 7
5.4Isomorfismos 507
P(x~""(lo+~x+l/,'.:!'entonccsp(x)=T[:~]'Estosignificaque 1mT=p~yTessobre.Por
lot<ll1to.l)I-
1'1' (I~
Nom.Diml)l""dimP~""3.Entoncesporelteorema2.unavezquesesabeque Tes1-1.tam
bién
sesabequeessobre.Esto yaseverificó.aunquenoeranecesariohacerlo.
Un
isomorfismoentredosespadosvectorialesdedimensióninfinita
(CALcuLO] SeaV""t/eCI[O.1):/(0)=01yIV=CI[O.I].Sca D:V--+lVestadadoporD/""!,.Suponga
quc
D/=Dg.Entonces!'=g'o(J-g)'=Oy/(x)-g(x)=c.unaconstante.Pero/lO) =g(0)
=O.demaneraque c=Oy/=g.EntoncesDes1-1.SeageCIIO.I)ysea/(x)=lo'g(/)dI.
Entonces.por elteoremafundamentaldec{llculo.fe CIIO.1]y!'(x)=g(x)par.¡todoxe(O.1].
Masaun.comof:g(l)dI=O.setieneque/(O)=O.Porlotanto.para todogen11'existeuna
feVtalqueDI=g.Asi.Dessobreysehademostradoque VaIV.
Elteoremaquesigueilustra lasimilitudentredosespaciosvectorialesisomorfos.
TEOREMAm
~DeMOSTRACiÓN
SeaT:V --+IVunisomorfismo
i.Si'..."!'\'.generaa V.entoncesTvl'n'r....n'.generaa W.
ii.Sil'l'v
r
v.sonlinealmenteindependientesen V,entoncesTv
l
•
rl'r....n'.son
linealmenteindependientesen
IV.
iii.Si{v!,"~,....".}esunabaseen V.entonces{Tl\,n·!.....Tl'.lesunabaseen IV.
h'.SiVtienedimensiónfinita,entonces IVtienedimensiónfinita ydim1'=dimIV.
i.SeaweW.EntoncescomoTessobre.existeunvector "eVtalque n·=w.Como
losvectoresl'¡generana V,sepuedeescribir ,.=alVI+a!v
l
+...+a.v".demanera
que
w=Tv=alni+(l!n·!+...+(loTv
o
yesomuestraque {Tv
l
.
T,·~....,Tl'J
generaa IV.
ii.Supongaque eln'
l+C!Tl'l+...+c.Tl·"=O.EmoneesT(C1l'
l+c!,·!+...+c.v.,)=
O.Así.como TesI-I.cll·l+c
2
"!+'"+C.l'.=O.loqueimplicaquec
l
=e!=
c.=°yaquelosvectores l',sonindependientes.
iiLEstosededucedelaspartes i)yii).
iv.Estosededucedelaparte iif).
Porloregularesdificildemostrarquedosespacios VCClOr;¡I!cSdedimensióninfinitasoniso
morfos.
Sinembargo.paralosespaciosdedimensiónfinita esmuysencillo.Elteorema3diceque
sidimJI'#dimIV.entoncesVy Wnosonisomorfos. Elsiguicntcteoremamucstraque sidim
fI=dimIV.ysifIyIVSOIlespaciosvectori:llesreales.entoncesVy IVsonisomorfos.Esto es.
Dosespaciosreales dedimensiónfinita
delamismadimensiónsonisomorfos.
•

508 CAPITUI.O5
TeOREMAm
TransformacIOneslineales
SeanVYIVdosespaciosreales' dedimensiónfinita condimV=dimJY.Entonces
v~Iv.
L.DEMOSTRACIÓN Sea1"1',.!,....l)unabaseparaVysea1"'1'\"1'....wJunabaseparaW.Definala
transformaciónlineal Tpor
parai=I.2...,/1 (2)
pmblemas54
Segunclteorcma5.2.2.pilgina472existeexactamente unatransformaciónlineal queSOI
tisface1:.ecuación(2).Supongaque l'EVyTv=O.Entoncessil'=el'"+c~v~+...+
c.v.setienequeT,·=elT\'I+c2Tl'~+...+e.n'.=eel"'1+C~"'~++c."'.=O.
PerocomoW
I
,"'2'...•w.sonlinealmenteindependientes. e,=C
2= =c.=O.Por
lotanlo.,'=OyTes¡-l.ComoVyIVlicnendimensiónfinilaydimV=dimIV,Tes
sobreporelteorema2 ylapruebaquedacompleta.
Esteúltimoresultadoesesencialen
elúlgebnllineal.Nosindicaque siseconoceunespacio
vectorialreal
dedimensión11.seCOllocenlodoslosespacios.veclorialesrealesdedimensión /l.
Esdecir.siseasocianlodoslosespaciosvectorialesisomorfos.entonces P'eselúnicoespacio
dedimcnsión/lsobrelosreales.
AUTOEVALUACIÓN
Indiquesilosenunciadossiguientesson,-erdaderosOfalsos.
l.Unatransformaciónlinealde 1)"~D'"con1/:#mnopuedeser1-1)'sobreala \-ez.
JI.SidimV=5YdimIV=7,esposibleencontrar unisomorfismoTdeVen IV
111.SiTesl·l,entonccslIllT={O}.
IV.SiTes unisomorfismode unespacio\'eclorilllVen V,entoncesp(T)=6.
V.SiA
T
esunamatriz detrllnsformacióndeuniSOlllorfismode [)6enPO,entoncesdet
Ar:#O.
l.Demuestreque T:.\1_--i-11/_definidaporTA=A'esunisomorfismo.
2.DemuestrequeT:-+esunisomorfismosiysólosiAresin"ertible.
*3.Sean
VyIl"dosespaciosvcctOrialesreales dedimensiónfIyseanB
I
yB
1
dosbasesparaVy
11'.respectivamente.Sea Arlamatrizdetransformaciónrelativaalasbases B
I
yB:.Demues
treque
T:V--i-JI'esUllisomorfismosiysólosidetA
r:#Q.
4.EncuentreunisomorfismoentreD
II
•lasmatricesdiagonalesde 11x11eonelementosreales,
yP'.[SI/gere/lcia:Analiceprimero elcaso/1=2.J
•
hn('(1:'S<"larbril"rP
mleI'a.l<1c T,..v
~,
t"ilI'l1pOrtilntt'que
"~vl-,)l;ocumplu';t'porqUE'V
-¡- frPSU1u'}<lJ
,""'-
,,,.oSk't'Ya~enllyWS&lnejml!o/1'lO Deotra
TvjOW.Vov""TvP'Uf'de'nnot'Slilr~1nIda!. El
dKlClI'lt'!>dl'qUE'VyW<,'>lí'df't,1dos

fCALCUlOJ
[CALCULO~
5...1Isomorfismos 509
5.¿Paraquévalorde I!Iesisomorfoa 1:1"elconjuntodematricessimctricasde 11x11',1
6.Demuestreque elconjuntodematricessimétricasde 11x11esisolllorfoalconjuntodema
tricestriangularessuperioresde
11X11.
7.ScaJI=P~yw=lPEP,:p(O)=O}.DemucstrequeJI"=W
8.DefinaT:P"_P"porTp=p+p'.Demuestreque Tesunisomorfismo.
9.Encuentreunacondiciónsobrelosnúmeros m.n.p.qtalesque Mm"~M,.¡
10.Demuestreque D"~P,,-r
11.Pruebequecualesquieraespaciosvectorialescomplejosdedimensiónfinita JIyIVcondim
JI=dimJVsonisomorfos.
12.DefinaT:crO.Il-C[3.4]porTf(x)=f(x-3).Demuestreque Tesunisomorfismo.
13.SeaBunamatrizinvertiblede 11x11.Demuestreque T:M"",-)oM"",definidaporTA=AB
esunisomorfismo.
14.Demuestreque latransforrmlción7jJ(x)=xp'(x)noesunisomorfismode P"enP".
15.SeaHunsubespaciodelespacio JIdedimensiónfinitaconproductointerno.Demuestre
que
T:JI_HdefinidaporTI' =prOY
II
l'essobre.¿Bajoquécircunstanciasserú l-l?
16.Demucstrequc siT:JI_Wcsunisomorfismo.entonces e,Xistcunisomorfismos:IV_JI
talqueS(Tl')=1'.AquiS sellamalr:lnsforlll:lciónilll"ersadeTysedenotaporT-I.
17.Demuestreque siT:1:1'_Jl'estúdefinidoporTx=AxysiTesunisomorfismo.entonccs
Aesinvertibleylatransformacióninversa T-lcstúdadaporT-1x=A-Ix.
18.EncuentreT-'paraelisomorfismodelproblema 7.
*19.Considere elespacioe=1=={/+¡b.donde{/ybsonnümerosrealese ¡"=-1}.Demues
treque
silosescalaressetomancomoreales.entonces e~1;.
*20.Considere elespacioC"v=(lc
l
.
c
l
•...•c,,):c¡Eeylosescahlressonreales}.Demuestre
que
C~v"=1;".[Sugerellcia:veaelproblema19.]
RESPUESTAS ALAAUTOEVALUAClóN
,.V 11.F 111.V IV.V v.V
• MATLAB5.4
1.ScaT:l?'_[?lunatransformacióndefinidapor T(\')=I\'¡parai=l.....4.donde

510 (',P;TlIL05Transformacioneslineales
ti)Verifiqueque elconjunto¡"J'\'::,\'J')esunabase paraJ.lly,por10tanto,que Testú
biendefinida.
h)Verifiqueque elconjuntolw
l
,
\'2'\'3'w)esunabase para1)1.¿Porquésepuedeconcluir
que
Tesunisomorfismo?
e)Encuentrelarepresentaciónmatricial. A,deTrespectoa labasecanónica(vea elpro
blema6deMATLAB5.3).Utilice
larepresentaciónmatricial paraencontrarunabase
para
elnúcleoylaimagendeTyverifiqueasi,que Tesunisomorfismo.Verifiqueque A
esinvertible.
Il)Supongaque S:1)1-+1)1eslatransformacióndefinida porS(w)=Vi'parai=l.....4.
Encuentreunarepresentaciónmatricial. B,deSyverifiqueque B=A-l.
m ISOMETRiAS
Enestasecciónsedescribeuntipoespecialdetransformaciónlinealentreespaciosvectoriales.
Secomienzaconunresultadosumamenteútil.
TEOREMAa SeaAunamatrizde mXticonelementosreales,tEntonces paracualesquieradosvec
toresx
EV"YY EV"':
Ecuación(6)Teoremali,l
p.120 P 119
DDEMOSTRACIÓN
(Ax).y~x.(A'y)
Leyasociativapara la Ecuación(6)
multiplicacióndematrices p.120
~""//Ax.y=(Ax)')'=(x'A'))'=x'(A'y)=x.(A'y)
(1)
Recuerdequeen
elteorema4.9.3de lap,igina393. sedemostróquelamatriz Qconele
mentosrealeses
ortugonalsiQesinvertibleyQ-1=Q'.Enelteorema4.9.3,de lapágina393
sedemostróque
QesortogonalsiysólosilascolumnasdeQformanunabase ortonormal
paraP'.AhoraseaQunamatrizonogonalde11X/1YseaT:V"-+l!'unatransformaciónlineal
definida
porTx=Qx.Entonces.usando laecuación(1), secalcula
(Tx'Ty)~Qx'Qy~X'(Q'Qy)~X'(ly)~X'y
.,---
Esteresultadoseptledee:>;tenderfaclimenteamatricesconcomponentescomplejas Veaelproblema 21deestil
misma
secCión

DEFINICiÓNa
TEOREMAE3
IJDEMOSTRACIÓN
5.5Isometrias 511
Enparticular.six=y.sevequeTx.Tx=x.x Osea
ITxl~Ixl
paratodo xenIr.
Isometría
Unatransformaciónlineal T:~_~sedenominaisomcfría siparacadaxen 1)'
ITxl=Ixl (2)
Debidoa laecuación(2)sepuededecirque:unaisomctriaenesunatransformaciónlineal
quepreserva
lalongituden 1)'.Noteque(2)implicaque
ITx- Tyl=Ix- )'1 (3)
[yaqueTx-T)'=T(x-y)].
SeaTunaisometríade 1)'---+1:.'"ysupongaquexyyestánen l?'.Entonces
TX'Ty=x'Y
Estoes,unaisometriaenl?'preservaelproductoescalar.
ITx-Tyl' =(Tx- Ty)'(Tx-Ty)=ITxl'-2Tx' Ty+ITyl' (5)
Ix-Yl'=(x-y),(x-y) =Ixl'- 2x'Ty+Iyl' (6)
ComoITx- Tyl2=Ix-Y12,l1'xl
2=Ixl
2
yITyl2=IY1
2
,
lasecuaciones(5) y(6)mues
tranque
-21'x'Ty=-lx'yoTx'Ty=x'y
Cuandosedesarrollólaecuación(2) sedemostróque silarepresentaciónmatricialde Tes
unamatrizortogonal.entonces Tesunaisometría.Inversamente.supongaqueTesunaisome
tria.
SiAeslarepresentaciónmatricialde 1'.entoncesparacualesquierax yyen
de(4)
¡
de(1)
¡
X'~.=Tx'T)'=Ax.A)'=x. A'Ay
x.y-x.A'Ay=OOx·(~.-A'A}')=O

512 C\PiTllLQ5 Transformacioneslineales
Entonces(vea lapúgina395)
y- A'A~' E(I/'Y=IOf
Sevequepara toda~' EIl'
y=A'Ay
Estoimplicaque AlA=/.demaneraque Aesortogonal.
Sehademostradoelsiguienteteorema:
(6)
TeOREMAEl Sedicequeunatransformaciónlineal T:Il'~V"esunaisometríasiysólosilarepre
sentaciónmatricialde
Tesortogonal.
ISOi\1ETRíASDEIY
SeaTunaisometria deIr"""'*lr.Sea
Entonces"1Y11
2
sonvectoresunitarios[por laecuación(2)]y
d~(41
","±(~H~)=o
Por10tantoti
l
yu~sonortogonales.Delaecuación3.1.7de lapágina227,existe unnúmero
e.cono:se<lrrtalque
(
eose)
U
'=sen8
Comou,yU
2sononogonales.
Direcciónde u,=direccióndeu
1
:::!:~
- 2
Enelprimercaso
",=[e++~J]=(-s,"e)
("J cosesen8+"2
Enelsegundocaso
l
eos(e-"JI
",=(~J=(-:::':J
senS-
2

5.5l">amet"a, 5J3
Conloquelarepresentaciónmatricial deTes
º,=(,,,,e-scne)oº,=(oose
senecose senS
scne)
-cose
Delejemplo5.1.8de1<1púginil462.sevequeQIeslarepreserll<\ciónmatricialdeunatrans
formaciónderotación(unúngulo(}enelsentidocontrario <llasm;lllccill¡¡sdelreloj).Esf;kiJ
verificarque
(
oosescne)=(oose
senB-cosesenB
perolatransformación
T:I)l'--7v:'dadapor:
-"ne)(I
coseo
TeOREMA1:1
esunareflexiónde (;,)rcspc<:1Oalejex(vca elejemplo5.1.1. pú~ina458).Entonces selieneel
siguienteteorema.
Se.tT:1>'--+Jiunaisomctria.EntoncesTes
i.unatransformaciónderotación.obien
ii.unareflexiónrespectoaleje xseguidadeunatransformaciónderotación.
Lasisomclriastienenalgunaspropiedadesinteresantes.
TeOREMA
mSeaT:P'--+12"llnaisomctría.Entonces
i.Si11
1
,
u
2
,
..•,u"esunconjuntoortogonal.entonces TUI'Tu
2
,
...,TU
n
esunconjunto
ortogonal.
ii.Tesunisomorfismo.
L::DEMOSTRACIÓN i.Sii'*jyu,.u,=O.entonces(Tu).(Tu)=u,.u,=O,loqueprueba¡).
ii.Seau
l
'
u:l'....u.unabase ortonormalpara1)".Entoncesporlapartei)yclhecho
dcqueITuJ=[u,l=1.seencuentraqueTUI'Tul'...,Tu.esun conjuntoortonormal
cnI:!".Porelteorema4.9.1 delapágina389,estosvectores sonlinealmcnteindepen
dientes
yporlotantoformanunabase paraIJ".Entonces1mT=P.loqueprueba
quenu T=lO}[yaquev(T)+p(T)=11].
Seconcluyeestasecciónconunadescripción decómoextcnderclconceptodeisometria
aunespacio
arbitrarioconproductointcrno.Rccucrde delapilgina434 queunespacioVcon
productointerno
(Recuerdcque.
conelfindeevitarconfusiones.seusandoblesbarrJ.Spaíd denotarunanorma.)

514 CAl'jTlLO5 Transformacioneslineales
DEfiNICIÓNEl
TEOREMAm
Isometría
SeanVyIVdosespaciosvectorialesreales(ocomplejos) conproductointernoysea T:
V-+IVunatransformaciónlineal.Entonces Tesunaisometria siparatodovEV
11"11,=1IT>11", (1)
Lossiguientesdoshechossonconsecuenciainmediata:primero.como 7("1-"1)=n"-Tv!.
selienequepara todo\'1y\'1enV
Segundo.
SeaT:V-+IVunaísomctría.Entoncespara todoVIyv!enV
(8)
DEFINICIÓNE:I
TeOREMAa
LOlMOSTRAOóN
Esdecir.unaisometríapreservalosproductosinternos.
Lademostracióndelteorema6es idenlicaalapruebadelteorema2conproductos
internosen
VyIVenlugardeproductoescalaren ~.
Espaciosvectorialesisométricamenteisomorfos
SedicequedosespaciosveclOrialcs VyIVconelmismoconjuntodeescalaresson
isomélric:lmenteisomorfos
siexisteunatransformaciónlineal T:V-+Wqueseatanto
isomctriacomoisomorfismo.
Cualesquiera
dosespaciosrealesdedimensión 11conproductointernosonisométri
camenleisomorfos.
Sean
{u
l
_
u.,....u)y{w
I
'
w
r....w)dosbasesortonormales paraVyIV.respectiva
mente.Sea
T:V-+IVlatransformaciónlinealdefinida porTUI=w
l
'
i=1.2...../l.Si
sepuededemostrarque Tesunaisomelría,entonceslademostraciónquedacompleta.
yaquedeacuerdocon
elrazonamientodelteorema5 sellegaaque Testambienun
isomorfismo.Seanx
yyenV.Entoncesexistenconjuntosdenumerasreales Cl'C
r
...,
('.'ytll'tI~,....ti.talesquex =('IUI+c.u~+...+e.u.y)'=tllu
l+tI~u~+...+tI.u•.
Comolosu/sonortonormales.(x. y)=«CIU
I
+('2U.+...+e.u.>.«('IUI+tl
2
u!+...+
tI.u»=cltl
l
+('2dl++ c.d.,Demanerasimilar,como Tx=c
lTUI+c1Tu
1
+
+
e.Tu.=CIW
I+C
1
W
1++".".' seobtiene(Tx,Ty) =«Cl"'1+C
2
W
2+...+c.w.),
(ti,",+(1
2
"2+...+d"w»)=1:/'1+el'l+...+c.d.,porquelos "1sonortonormales.
Estocompletalaprueba.

5.5Isometrias 515
lIII:IIIIi1IiIIUnaisometríaentre l.'JlyP2[O,1]
Esteteoremaseilustramostrandoque l?yP~[O.1]sonisometricamenteisomorfos.En 1)-'sellsa
labasee'l:>nd"j[~WHmEnP,seusalabaseononormal{l,Jl(2x- 1),¡S(6x'-
6x
+1)1.(Veaelejemplo4.11.8.púgl,,"435.) S"",,~[::]yy~[::]do""'o",,n1)'.En
tonces{x.y)=x.y=(/1{/1+b~b2+Cl'1'RecllcrdeqlleenPlO.1]sedefinió(p.q)=J:p(x)q(x)dI.
Definar[~]~Ir[I]~Jl(2x-1)yr[~]~¡S(6"-6x+1)poclo""no
r[~]~a+;,Jl(2x- 1)+c/5(6x'-6x+1)
y
J
'
J''J',,=(1,(1,elr+b,b,3(2x-1telr+c,d5(6x--6x+ltl(l\-
-u 11 - 11 •
Aquíse ahorrótiempousando elhechodeque 11.f3(h-1).[5(6x
2
-
6x+1)}esuncon
juntoortonormal.Por lotanto.T:l?--loPJO.1Jesunaísometría.

516 C'iTLI.O5 Transformacioneslineales
pmblemas55
AUTOEVALUACIÓN
Indiquesilosenunciadossiguientessonfalsoso\'erdaderos
1.Latransformaciónlineal T:1:>-_1:>-esunaisometríasi117:\:11=Ilxllparatodoxen V.
11.Latransformaciónlineal T:1)'-+1)'esunaisometría silascolumnasdesurepresen
taciónmatricialsonortogonales
porpares.
111.Latransformaciónlineal T:1:>--+1)'esunaisomelria silascolumnasdesurepresen-
taciónmatricialsonortogonalesporpares
ycadacolumnatienenormal.
IV.SiT:I:F_~esunaisometría.enlonces T(_~)esonogonalaT(~}
V.SiT:1:>--+I?esunisomorfismo.entonces Tesunaisometria.
VI.SiT:1:>--+I?esunaisometría.entonces Tesunisomorfismo.
l.Demuestrequeparacualquiernúmeroreal a.latransformaciónT:I?-+definidapor
Tx=Ax.donde
cose O~]
-sena
O
esIInaisometria.
2.Hagalomismoparalatransformación T.donde
[
COSeO-",e]
A=O1O
sene
ocose
3.Se¡mAyBmatricesortogonalesde 11x1/.Demuestreque T:i)"-+f?definidapor Tx=
ABx.esUll<lisometría.
4.EncucntreA
r
siTeslaansforrnaciónde 1)1-+1)1definidapor
DemuestrequeA
7
.esonogonal.
5.Demuestreelteorema6.
[
1/3][-1/.[6]
T213=1/.[6
213 21.[6[
213][Vf3]
T-~=-~~
6.SeaT:~_~unaisometria.DemuestrequeTpreservulosangulos.Esdccir.(anguloentre
xy
~')=(anguloentre TxyT~rl.
7.Deunejemplodeunatransformaciónlinealde l:tsobre~quepreservelosángulos y110
seaunaisometría.
8.ParJ.x. )'E conx y)'#-O.defina:(ánguloentrex y)')=<(x.y)=cos-
I
(x'y)IJxllyll.
Demuestreque siT:-+1)'esunaisometria.entonces Tpreservalosángulos.
9.$caT:I?-+I?unaisomelria)'sea Tx=Ax.DemuestrequeSx =A-IXesunaisomelria.

5,5lsometnas 517
Oclosproblemas10al14encuenlreunaisometriaentrelosp ••resdeespaciosdado:..
[CAlculollO.PI(-1.1].lP
12.M
11
.V"
14./J.YID"(D.=conjuntodematricesdiagonalesde 11XII).
15,SeaAunamatrizde 11X11conelementoscomplejos.Entonces latranspuestaconjug'ld'lde
".C'·(l+i-~+2il
A.denotadaporA·.est.ide'lIlldapor (.'l.'=(I~.alculeASIA= .
'1 36-3i
16.LalTlalrizcomplejaAde11x11sellamahermitialla'siA·=A.Demuestreque lamalriz
;/=(43 ~2i)esherrniliana.
3+2i6
17.Demuestreque siAeshcnniti'Jna.enlonceslascomponentes eleIIIdiagonaldeAsonrCilles.
[
1;;
A=
1+;
2
18.Lamatrizcompleja Ade1/x1/sellamaunitaria si
3-2;1
.J26
-:(¡tesun;'",;'..
;/.= Al.Demuestreque lamatriz
19.Demuestreque Aesunitariasiysólosilascolumnasde Aform.munabaseortonormal
en
e·.
20.Demuestreque siAesunitaria.entonces IdetAl=1.
21.SeaAunamatrizde 1/X11concomponentescomplejas. EnC·,six=k
l
,
(':•••••c.'~ ~=
(di'd:.....dJdefinaelproductoimemo(x.~r)=cl'.+{":~+...+c~d..(Veaelejemplo
4.11.1.)Pruebeque(Ax. ~r)=(x.A·y.)
*22.Demuestrequecualesquieradosespaciosvectorialescomplejosconproductointernode 1:1
mismadimensión(finita) S011isométricarnenteisornorlOs.
RESPUESTAS ALAAUTOEVALUACION
1.V
• MATLAB5.5
11.F 111.V IV.V VI.\
1.a)(Ltipi=.l'papel) Considerela llí'filliciimdeisometria ~c'\plique.usandogeometria.por
quélarotaciónrespecto
alorigenylareflexiónatr.ln.hdeunarectadeterminadapor un
vectordelongitud1 en~sonisometrias.
h)Elijatresvalorespara unilnguloeyverifiqueparacad'lunoquelarepresentaciónma
tricial(respectoalabase
canónicOl)delarotaciónpositivapor unánguloOesunamatriz
ortogonal.
Generetresvcetoresaleatorios
\.delongitudl.Paracadauno,verifiquequc larepre
sel1Wclónmatricial(respecto :1labasecanónica)de lareflexión..truvesde esunam:ltriz
ortogonal.Refiérase
alproblcnw~deMATLAB5.3para elanúlisisde lareflexión.
•
•LI,.¡rniul,l.l\1I honorde-lltfllrltllf,'h<lrlHl'rnltp'122·1901

518
•
C,U'iTlJW5 Transformacioneslineales
d(Lúpi:.rpapel)Pruebeengeneralque larepresentaciónmatricial dellnarotaciónes
unamatriz ortogonalyquelarepresentaciónmatricialdeunareflexiónes lInamatriz
ortogonal.
ti)Lateoriadeisomclfiasde 1)2en1)2implicaqueunareflexióna travesdeunvector\'de
longitudIdebeserunareflexiónatravésdeleje xseguidadeuna rolación.Unvector
delongitud1sepuede represenlarcomo(cos(a)sen(a))'.Genereunvectoraleatorio wy
dividaloentresulongitud paraproducirunveelor \'delongitudLEncuentre timediante
alpha==atan(\'(2)"'(I))(si laprimeracomponentede \'escero,entonces a=::!:nI2).
Encuentrelarepresentaciónmatricial Fdellnareflexiónatravés devyverifiqueque F
=RX.dondeReslarepresentaciónmatricial paraunarotaciónpositivade 8=2a.y
Xeslarepresentaciónmatricial
deunareflexiónrespectoal ejex.Repitaparaotrosdos
vectoresw.
e)(Lúpi:ypapel)Pruebeelresultadodelinciso d).[Sugerenáa:Encuentreunaexpresión
generalpara
Fentérminosde ayutilicelasidentidadestrigonométricas.]
2.Trabajeelproblema4anterior.Ademús.verifiqueque latransformaciónTrmlpea Ull<lbase
ortonormalsobreUllllbaseortonormal.¿Essiempreciertoestoparaunaisometria?¿Por
qué?
RESUMEN
Tml/s!on/uu.:ió/Itil/eat
SeanVy Wdosespaciosvectoriales. UnafransformaciónlinclllTdeVenWesunafunción que
asignaa cadavector\.EVunvectorúnico TvEIVyquesatisface,paracadauy\'enVycada
escalara.
T(u+\.)=Tu+Tv
y
T(Cl'\')=aT,'
P,·opiedlldeshá.l"it·a~·deta~' tr(l1/~fol'llltlciol/es til/elltes
SeaT:V--'"WunaIransformaciónlineal.Entonces,paratodovector u,"1'\.~,...•\'"enVy
todoescalaral'a~.....0'"
;,T(O)~O
ii.T(u- \.)=Tu-T,'
Núclcocimtl¡:ellde/ll/Otl'llmifol'llloáó"til/ellt
SC<lnVyIVdosespaciosvectoriales yseaT:V_IVunatransformaciónlineal.EnlOnces el
núcleode T.denotadopornuT,estádadopor
nuT=jVEV:Tv=OI
Laimagende T.denotadapor1mTestadadapor
1mT=lwEW:T,'paraalgún \.EVI
nuTesunsubespaciodeVe 1mTesunsubcspaciode IV.
(p.460)
(p.472)
(p.475)

Resumen 519
NlllidtltlJ'rillll:0Ilemltttrttm!onll/lciólllilleal
SiTesunatransformaciónlinealdeVen IV.entonces
nulidad
deT:::v(1):::dimnuT
rangodeT:::p{T):::dim1mT
(p.
4761
MutrhllC'frlltls/omllldtÍlI
SeaT:simbolo1)'--+
Al"talque
unatr.msformaciónlinea!.Entoncesexisteunammrizunicade
mX11.
(pp.480.481)
L1matrizArsellamamatriz detransformacióndeT.
Sea/l
r
]¡¡matrizdetransformacióncorrespondiente ..unatr.tnsform'lciónlineal T.Entonces
i.1mT:::R:::e
Ir ,ofr
ii.p(T)=P{A,I
iii.nu T:::NI
i\'.v(T):::v{ArJ
Rl'pr('.~e"'lIdúlIlIl(tlridfll JeIlIIflImll.iformuátÍlllillf'(f1
SeaVunespaciovectorialrealdedimensión 11.IVuncsp'lciovectorialreal dedimensión111
yT:V--+11'unatransformaciónlineal.Sean 8
1
:::{\'I'\'r....\'JunabilscparaVy8
1
Iw
l
•
W,..•••wJunabase paraIV.Entoncesexiste Unllmatrizúnica Arde111Xn.talque
//1'scdenominarCllrcscnl:lciónmatricialde TrespectoalasbHSCS/JI y8
J
,
SeanVyfIIdosespaciosvectorialesdedimensiónfinitacondirn JI:::11.SeaT:V--+JlIuna
transformaciónlincalyseaA
r
unarepresentaciónm<nricial deT.Entonces
i.p(T):::p(A
r
)
ii.v(T):::v(A
r
)
iii.
v(T)+p{T):::n
Trllll.~forllllldáll miliflIlIIO
Se.lT:V --+IVunatmnsformaciónlineal.Sediceque Tesunoauno.descrito1-1. siT\'I:::T\'~
impliClIque''¡:::"l'EslOes.Tes1-1sitodovectorwenlaimagen deTeslaimagendeexacta
menteunvectoren
V.
Se,lT:V--;.IVunatransformaciónlineal:enlonces Tes1-1si~sólosinuT::::0/
Trullsformudim.mhre
Se,lT:V--+IVunatransformaciónlineal. Sediceque Tessobre11'osimplementesobre. si
pamtodoWEIVexistealmenosun \.E,.talqueT\':::w.Esdecir.TessobreIVsiysólosi
ImT:::IV.
(¡>4801
Ip.484)
(p.503)
(p.503)
(p.504)

520 CU'iTULO5 Transformacioneslineales
SeaT:JI~IVunatransformaciónlinealysupongaquedimJI=dimW=11:
i.SiTes1-1.enloncesTessobre.
ji.SiTessobre.entonces Tes1-1.
SeaT:jI.....-)IVunatransformación lineal.Supongaque dimJI=11Ydim,V=111.Entonces
i.Si11>111.Tnoes1-1.
ii.Si111>11.Tnoessobre.
I.W/I/10Ifi·\'I//fl
SeaT:JI-+JVllnatransformaciónlineal. Sediceque TesunisomorfismosiTes]-1ysobre.
Esplldosl'('("/orialí'.\'iso/llmfo.l'
Losespaciosvectoriales VyWsonisomorfossiexisteunisomorfismoTdeJIsobreW.Eneste
caso.seescribeJIaW.
Cualesquieradosespaciosvectorialesreales dedimensiónfinitacon lamismadimensiónson
isomorfos.
Tem'l'lIIa11í'1'('.\"/I/1U!1I
Se,1Aunamatrizde 11X1/.Enlonceslassiguientes 11afirmacionessonequivalentes:
i.Esinvertiblc.
ii.Laúnicasoluciónalsistema homogéneo/Ix=Oeslasolucióntrivial(x =O).
iii.Elsistema/Ix =btieneunasoluciónúnica paracadal/-vectorb.
h'.Aesequivalenteporrenglonesa lamatrizidentidad" ',,"de11X1/"
v.Asepuedeexpresarcorno elproductodematriceselementales.
vi.Laformaescalonada porrenglonesde Atiene11pivotes.
\'ii.Lascolumnas(yrenglones)deAsonlinealmenteindependientes.
\'iii.detA"#-O.
ix.v(A)=O.
x.p(A)=1/.
xi.La tnlnsformaeiónlinealTde1)'en1)'definidaporTx=Axesunisomorfismo.
Sea
T:V..-¡.IVunisomorfismo:
i.Si\',.\'!'...•v"genera,1V.entonces"'\.n',"....Tl'"generaa W.
ii.SiVI.l'!"..".\'"sonlinealmenteindependientesen V.entoncesTv¡"n,!•..."Tl'"sonlineal
menteindependentesen
IV.
Hi.Si1\'1"\',"....\')esunabaseen V.enlonees1T,'¡"Tl'!". .."T\',)esunabaseen IV.
iv.SiVtienedimensiónfinita.enlOncesWtienedimensiónfinitay dimV=dimW.
/Joml'Tr/a
UnatransformaciónlinealT:l!'..-¡.I)'sellamaisometria sipamtodoxen1)'
ITxl~Ixl
Ip.504)
Ip.504)
Ip.506)
Ip.506)
(p.506)
Ip.506)
(p.507)
Ip.511)

SiTesunaisometria de12"-t12".entoncesparatodoxyy en1)"
ITx-Tyl =Ix- ~'IyTx'T~'=x.y
Ejerciciosderepaso 521
{p.511}
SeaT:Il'-tIl'unaisometria.entonces: (p. 51Jl
i.Siu
1
•
u:'"....u"esunconjuntoortogonal.entonces TUI'Tu,.....Tu"esunconjuntoorto
gonal.
ii.Tesunisomorfismo.
Una
transformaóónlinealT:12"-t12"esllnaisometria siysólosilarepresentaciónmatricial
de
Tesortogonal
Sean
VyJVdoscspaciosvectorialesreales(complejos)conproductointerno yseaT:V-tIV
unatransformaciónlineal.Entonces Tesunnisoml'lriasiparacada\'EV
E.I'pacio.l'l'l'eto";a/e.\· ;.wmér";mll/clI1e;,~oll/m1;'.\'
Sediceque dosespaciosvectoriales VyWsonisométricamcntcisomorfos siexisteunatransfor
maciónlineal
T:V--tIVqueestantounisomorfismocomounaisometria.
(p.512)
(p.514)
(p.514)
Cualesquieradosespaciosrealesdedimensión 11conproductointernosonisomctricamcnte
isomorfos.
•
EJERCICIOSDEREPASO
EnlosejerciciosIal8determine silatransformacióndadadeVaWeslineal.
(p.51-+)
1.T:I:P-tI:P:T(x..I")=(O.-y)
3.T:[tI-tl}1:T(x.y.:)=(y.:.I)
5.T:Pi......P~:(Tp)(x)=xp(x)
7.T: P~-tP~: (Tp)(x)=I+p(X)
2.T:1)-
1
-tl}':T(x..r.:J=(1.y.:l
4.T:[f-t12:T(x.)'l=sil"
8.T:ClO.II-ClO.I]:T/lxl~I(11
Enlosejercicios9al 15encuentreelnúcleo.imagen.rangoyIlulidadde latranslormación
linealdada.
9TIY_IY{:H~-;)(:)10TI)'_I)'{Hi~~~t1
11.T:I)'_IY:T[~]~[_~.) 12.TP,_P,:Tp(xJ~x'p(x)
13.T:PI-tp.,:(Tp)(x)=_r~p(.r)+2xp(x)+pIS)
14.T:M,,-tAl,,:T(A)=Ao.dondCB=(1IJ
-- -- -11

31.Cortealolargodeleje xcon('=-3
Ejerciciosderepaso 523
y
(-1,6)
(-4'6)0
(-42)
,(-1,2)
--------:+-~~ x
O
Deloejercicios32al35escribacadamatrizdetranformación A
T
comounasucesióndeex
pansiones,compresiones.reflexiones
ycorte.
32.A
r
=(l3)
-22
33.~=(O5)
-32 (
-64)
34.A r= 13
ICÁLCULOI
36.EncuentreUDisomorfismoT:P,-+1)1.
37.Encuentreunaisometría T:lr-+p¡[-l.1].

6
•
/
VALORESCARACTERISTICOS,
/
VECTORES CARACTERISTICOS
/
yFORMASCANONICAS
1:1IVALORES CARACTERíSTICOS YVECTORESCARACTERíSTICOS
SeaT:V~¡,vunatransformaciónlineal. Endiversasaplicaciones(unadelascualesse daen
lasiguientesección)resultaútil encontrarunvector\'enVtalqueT,'y\'Sonparalelos.Esdecir.
sebuscaunvector\'yunescalarA talque
(11
DEFINICiÓNa
Sil'#-OYA satisface(1),ellloneesAsedenominaun \'(//01'mf(/creríslicodeTyvunreClOr
ml"(lcleríslicodeTcorrespondientealvalorcaracterístico A.Elpropósitodeestecapituloes
investigarlaspropiedadesdelosvalorescaracterísticos yvectorescaracterísticos. SiVtienedi
mensiónfinita.entonces
Tsepuederepresentar porunamatrizA
r
,Porestarazón seestudiarún
losvaloresylosvectorescaracterísticosde[asmatricesde 11X11.
Valorcaracterísticoyvectorcaracterístico
SeaAunamatrizde 11x11concomponentesreales,tElnúmeroA(realocomplejo)se
denominavalorcaracterísticode AsiexisteunvectordiferenredecerovenCHtalque
A\'=AV (2)
Elvectorv #-OsedenominavectorcaracterísticodeAcorrespondienteal\'alorcaracle
rísticoA.
•
EstadefiniCiónesvalidaSIAtienecomponentescomplejasperocorno lasmatricesque semanelabantienen.en su
mayoria.componentes reales.ladefiniCiónessufiCienteparanuestrospropósitos

EJEMPLO1
EJEMPLO2
6.1Valorescaraeteristicosyvectorescaracterísticos 525
Nmu.Losvaloresyvectorescaracteristicostambiénsedenominan'·aloresy \"('cIOrl"JopropiO!lo
eigell\'alorcs
yeigemcelores:1..palabra"eigen" eslapalabraalema""para"propio",
Oh:n',·!'udón.Comoseverá(ejemplo 6)unamalrizconcomponentesrealespuedelenervalores
yvectorescaracteristicoscomplejos.Por estHrazón.enladefinición.seaseguraque "eC-.No
seusarúnenestelibromuchoshechossobrelosnúmeroscomplejos. Enelapéndice2 sehace
Llnapresentacióndeunoscuantosdeellosque sisonnecesarios.
Valores
caracteristicosyvectorescaracterísticosdeunamatrizde2x2
Sea
A""[10-18).EntoncesA[2)=[10-18)[2)=[2J.Así.Al""Iesunvalorcaracle-
6-11 I 6 -11I I
ríslicodeAconelcorrespondientevectorc ..racteristicoVI'=(~lDemanerasimilar. A(~)'=
(10-18)(3)=(-6)""-2(3)demodoque A,=-2esunvalorcaracterísticode Aconel
6-112-42 .
correspondientevectorcaracterístico V~""(~lCornoseverÚcnseguid¡l.éstossonlosúnicos
valoresc<lfllctcristicosde
A.
Valorescaracterísticosyvectorescaracterísticosdelamatrizidentidad
SeaA""/.entoncesparacualquier l'eC-.Al'""/l'""l'.Así.Ies elúnicovalorcar.lcteristico
de
Aylodol'#:-OeC-esunvectorcaracteristicode /.
Seca1cular<inlosvaloresyvectorescaraclerislicosdemúltiplesmatriccseneslasección.
Peroprimeroesnecesarioprobaralgunastecnicasquesimplificarúnestoscálculos.
SupongaqueA
esunvararcaracteristicode A,Entoncesexisle unvectordiferentedecero
I
x,]
v=:::"OIalqueA"=A"=IJv.Rccscr;b;cndoesto"t;""
(3)
TEOREMAa
SiAesunamatrizde 11Xn,laecuación(J)correspondea unsistemahomogéneode 11ecuacio
nesconlasincógnitas
XI',\.1'...•x_.Comosehasupuestoque elsistemacuentaconsoluciones
noIriviales.seconcluyequedel (A-Al)""O.Derorm¡1inversa.sidel(A-)..1)::O,entonces
laecuación(3)tienesolucionesnotriviales}A
eselvalorclIf<lcterislícode A,Porotrolado.
sidet(A-Al)#:-O,entonceslaunicasolucióna(3) es,.=OdemaneraqueA //0esunvalor
característicode
A.Resumiendoestoshechos. setieneelsiguienteteorema.
Sea
Aunamatrizde"X 11.EntoncesAes unvalorcaracterísticode Asiysólosi

526eII';TlLO6 Valorescaracterísticos,vectorescaracterísticosyformascanónicas
DEFINICIÓNa
TEOREMAa
L.DEMOSTRAOóN
DEFINICiÓNEl
TEOREMAE3
eDEMOSTRAOóN
Ecuaciónypolinomiocaracteristicos
Laecuación(4) sedenominalaecuacióncaracterísticade A:P(A)sedenominaelpoli
nomíocaracleristicode
A.
Comoscr'"evidenteenlosejemplos. p(A)esunpolinomiode gmdo1/enA.Porejemplo.si
[
a
b) [ab)[1.0)[a-Ab)A= . entoncesA-}J= - = yp{A)=det(A- Al)=
e(/ etiO'" ed-A
(a-A)(d-"')-he =",!-(a+ti)",+«(1(1-hd.
Deacuerdoconclleoremafundamental delálgebra.cualquierpolinomiodegrado 11con
coeficientesrealesocomplejostienee,'\i.lctamente
11raices(contandomultiplicidades).Estosig
nil1ca,porejemplo.que elpolinomio(1,-1)\tienecincomices, tod<lsigualesalnúmero 1.
Comocualquiervalorcaracteristicode Aesunaraízde laecuacióncnnlcteristicade A.se
concluyeque
ContandoIllultiplicid<ldes.todamatrizde
11x11
tieneexactamentenvalorescaracterísticos.
•
SeaA.unvalorcamcteristicodelamatriz Ade11X11YseaEA.={\':Av=A\'}.Entonces
EA.esunsubespaciodeC-.
SiAl'=h,entonces(A-).1)"=O.AsíE...eselespacionulodelamatriz A-A/.que
por
elejemplo4.6.10.pagina343.esunsubespacio
t
deO.
Espaciocaracterístico
SeaAunvalorcaracterísticode A.ElsubespacioEA.sedenominnespadocaracterístico
opropio:deAcorrespondientealv¡llorc¡¡racteristicoA.
Ahoraseprobarú otroresultadoútil.
Sea
Aunamatrizde 11X11YseaAl'1..
1
'
....A,.,valorescaracteristicosdistintosdc A(es
decir.'"
#:-A.sii#:-j)convectorescar:lcteristicoscorrespondientes l',.",.'"•l',Entonces
, I - •
l'I'l'1'...,".sonIinealmentcindependientes.Esto es:losrectorescaraCll'risticoscorres
pomliemesa\'a/orescaracterislicosdistimossonlinealmellte;'u/epemlienles.
Sellevaráacabolademostraciónporinducciónmatemática,Comenzandocon m=2.
supongaque
(5)
Multiplicandoambosladosdc(5)por Asetiene
•
1Enelejemplo4610,pagina343seVIOqueNesunsubí'spaclodeISIAesunamatrizfeallaextenSióndee~te
I(lsultddoa.nopresentadificultades
Obs('rv¡oQueOEE,yaqueEesun~llhe5paClo. Smembargo,OnoesunV{'(tOfcaractenstlCO

6.1ValorescaraderisticosyvectorescaraderistlCos 527
osea(como Al',=A,V,parai=1.2)
(6)
Semultiplica(5)porAlyserestade (6)paraobtener
osea
c,(A.-A,)',=O
Como l'~*-O(pordcfinicióndeveclorcanlclcristico)y comoAl-#~.seconcluyeque
(.~=O.Entonces.sustiluyendoc
l
=Oen(5).sevequec
l
=O.loquepruebaclleorema
enelcasom=2.Ahorasuponga queelteoremasecumplepara m=k.Esloes.sesu
poneque
kvectorescaracterísticoscorrespondientes ¡tvalorescaracteristicosdistintos
sonlinealmentcindependientes.Ahora
sepruebaelteorcmapanl 111=k+l.Asíque
sesuponeque
(7)
Multiplicandoambosladosde(7)por Ayusandoelhechode queAl';=A,l',seobtiene
(8)
Semultiplicanambosladosde(7) porA'~Iysereslade (8):
Perodeacuerdoa lasuposicióndeinducción, \'1'l'2'...•l'J_sonlinealmenteindependien
tes.Asi,
cP'j-A
J
•
I
)
=cpl.
l
-
A
hl
)=...={,(A,- AJ_~1)=0:ycomo A¡-#A
l
•
1
parai=
1.2.....k.seconduyequec
l
=el=...= c
I
=O.Perode (7)estosignificaque e,.,=O.
Porlotanlo.elleoremasecumpleparam =k+1ylapruebaquedacompleta.
s;
[u"
tl
t2
u,.]
A= tI~1 "II
tI~.
ti"1tI.l
U
""
entonces
tl
lI
-A (1
12 (ll.
P{A)=del(A-lJ)=
a
ll
ti..-A
a~.
u••
".~
...u-,.
-
yP(A)=Osepuedeescribirenlaforma

528 C\l'iTlIUl6Valorescaracterísticos,vectorescaracterlsticosyformascanónicas
(9)
Laecuación(9)tiene 1/raíces.algunas deellasrepetidas.SiAl'"1'....A",sonlasdiferentesraíces
de(9)conmultiplicidades 1"1'r!,...,r""respectivamente.entonces(9) sepuedefaetorizarpara
obtener
(-1)"p(A)=(A-A,)"(A- ',l""'(A-AJo=0 (10)
L
MULTIPLICIDAD
ALGEBRAICA
Losnllmeros 1"1'r~....,1"",sedenominan11llllliplitid:tdesalgebraicasdelosvalorescaracteristi-
cosAl"A
r
o•••A""respectivamente.
Ahoraesposiblecalcularlosvalorescaracterísticos ysusespacioscaractcristicoscorres
pondientes.Paraestoserealizaunprocedimientodetrespasos:
Procedimientoparacalcularvalorescaracterísticosy H~ctorescaracterísticos
i.Seencuentrap(A)=det(A-AJ).
ií.SeencuentranlasraícesAl'A"....A",dep(A)=O.
íjí,Seresuelveelsistemahomogéneo (A- 1,.,1)\'=O,correspondientea cadavalorcarac
teristico
A,'
•
Ohs/'I'l'{fl'iáll/,Porlogeneral elpasoii)eselmúsdificil.
OhSt'ITUl'iÚ"2.Enlosproblemas 40y41sesugiereunamanerarelativamentesencilladeencon
trarlosvaloresyvectorescaracteristicosdematrices de2X2.
EJEMPLO] Calculodevaloresyvectorescaracterísticos
SeaA=(~ ~).Entoncesdet(A-AI)=14~A 3~AI=(4-1...)(3-A)-6=A'-n+6=
(A-1)(A-6).Entonceslosvalorescaracterísticos deAsonAl=1Y1...
2
=6.Para Al=Ise
re~uelve (A- f)\'=Oo (~ ~J(~~J=(~JEsclaroquecUdlqulervectorC<1r,lctenstlcocorres
pondIentea
Al=Isatlsf,leeJ'I+2'2=OUnvectorcaraclerístleodees!e tIpOesVI=(_ ~JASl.
El=genj(_~)}.Demanerasimilar,laecuación(JI-6f)v=Osignificaque(-~_~)( _:~J=(:)
oXI=x"Entoncesv 2=(;)esunvectorcaracteristicocorrespondienteaA
2
=6YEl>=gen
j(:)}.ObservequeVIyv
1
sonlinealmenteindependientes yaqueunonoesmúltiplodelotro.
Not(f.NocsimportantesiseestableceAl=IYAl=6oAl=6YAl=l.Losresultados nocam
bian.en
elsentidoqueparaunvalorcaractcristico dadocorrespondeUllvectorcaracterístico
enparticular.

EJEMPLO 4
6.1Valorescaracterísticosyvectorescaracterísticos 529
Unamatrizde3x3convalorescaracterísticosdistintos
~~ ~:].Entoncesdet(A~AJ)=
1-1
1-1.
3
2
-1
2-1.
1
4
-1
-1-1.
=-(A'-lA'-SI.+6)=-(A-IXA+2XA-3)
Porlotanto.losvalorescaracteristieosdeAsonAl=1.Al=-2YA,=3.ParaAl=1setiene
(
O
-1
(A~J)\'= 31
21
Reduciendorengloncs scobticne.sucesivamente.
-~::~]
°2IO
----;{;-~::~]'l!-~ ~I~]
As;.x,= -X,.x,=4x,.HU"ctocca",,",isticoeS',=(-~]y E,=gcni(-~]}.pa"'A. =-2
setiene[A~(~21)]\'=(A+2f)\'=O.osea
Esto
llevaa
(~
-14
~]H
-14
~]
4-1 O15
11 O5
{:
-14
~]
(-1
-1OIO]
O1 ,1O1 IO
O
5 OOOIO
Eutoucos"=- ',."=-',yHUvoctm"",''''''''''0''v,=(=:JEutou"s
E.,=geu¡l=:]}Po,ultm'üpara A,=]selIeue
(
-2-14](,.](0]
(A~3J)\'= J-1=1 ~.~=O
214 '\lO

530 C\I'tHLO6 Valorescaraaeristicos.vedores caraeterfshcosyformascanónicas
y
[-2-1
4
I
0) [-2-1
4
I0)
3-1-1
I°
l5O -5
I°
21-4
I°°°° I°
[-2
-14I0)
.¡~
-1
°
~)
l1
°
-1I°
° -1
°°° I° °°
POliotanto x,~x,x,~2"Y',~[:]dCn""","queE,~g,"j[:])
Ohs('J'I'udóll.Enésteyotrosejemplosexiste untlümeroinfinitodeformasdeelegir elveclor
característico.Seseleccionó
arbitrariamenteUllejemplosencillohaciendo lInaomúsdelas x,
igual;:,unnúmeroconveniente. Enestecaso.una delasx,sehizoiguall. Otraseleccióncomún
esescalarelvectorcaracleristicopar:lqueseaunitario.
EJEMPLO5
EJEMPLO 6
Unamatrizde2x2con unodesusvalorescaraeteristic05igualesacero
(
2
-1) 12-1.-1I'SeaA::::: •Entoncesdet(A-Al)= = A--..0..:::::A(A-4).Así.losv,llo-
--'2 -42-J.,
rescaracterísticosson Al:::::OyA~:::::4.Elespaciocaracterísticocorrespondienteaceroessim-
. (2 -1)(",)(0)plernclllcclcspaclonulodeA.Sec:l1cula_-12x
2
=O.dcmancnlquc2x
1
=x:yun
vectorcar:lcleríslicoes "1=eJ.Por10tanto,E"=genje)l·Alanalizarloquecorresponde
aA,~4Seti"{~ =;)(::H~) de",,,ne'"quet~~ge"j(_;))
Unamatrizde2x2convalorescaracterísticos conjugadoscomplejos
scaA=(3-5),EntollceSdCI(A-)J)=13-J..-51=A!-2A+2=OY
1-1 1-1-1.
-(-2)=J4-4(\X2)
2
Así.Al=I+iy~=I ~i.Seca1cula
2+,.
--'=1:=;
2
)'()()
-5 XI O
-1-;x!=O
•
,Observequelascolumnasdeestamatf12sonhnedlmPfiled¡;pendlentl'Sporque( ~i)

TEOREMAa
6.1Valorescaracterísticosyvectorescaracterísticos 531
yseobtiene(2-i)x
l
-
5x
1
=OYXI+(-2-i)x~=O.EnloncesXI=(2+i).\·:.loquellevaal
.. [2+;) 1[2+')1..[]vectorcaractenstICO\'I=IyEI.,=gcn I. DemaneraSimilar. A-(I-i)1\,=
[
2+,-s)(x)(0) [2-;)
• 1 =ox,+(-2+i)x,=O.loquellevaax
l
=(2-i)x..",= y
I-2+1.\"1O - -'I
Ohn'rJ'uáonl.Esteejemploilustr.tqueunamatriz re..]puedetenervaloresyvectores car.lC
terísticoscomplejos.Algunoslibrosdefinenlosvalorescar.tcterísticosdematricesrealescomo
lasraices
reuJe)·delaecuacíóncamcterística.Conestadefinición lamatrizdelúltimoejem
plo
110tienevalorescaracterísticos.Estopuedehacerqueloscalculasseanmassencillos.pero
tambienreduceengranmedida
lautílidadde lateoriade,"alarescaracterísticosydevectores
característicos.
Enlasección6.7 severaunailustraciónimportanledelusodelosvaloresca
racterísticoscomplejos.
Ohsl!rl'Uáonl.Noteque ,.~=l-ies elconjugadocomplejode Al=I+i.Adicionalmenlc,
lascomponenlesde",sonconjugadoscomplejosdelascomponentesde
"1locualnoesuna
coincidencia.
Enelproblema38deestasección sepideque sepruebeque
Losvalorescamcterísticosdeunamatriz
retllocurrenenparesconjugadoscomplejos
y
losvectorescaracterísticoscorrespondientessonconjugadoscomplejosenlre sí.
•
Antesdepresentarmúsejemplos. sedemostrarúunteoremaqueenalgunoscasosespecia
lessimplificaloscálculosdelosvalorescaractcrísticos.
Losvalorescaracteristicosdeuna
nUltriztriangularsonlascomponentesdiagonalesde
lamatriz.
[a"
a11
a"] la"-A
a
ll (/1.
L.DEMOSTRACiÓN
SiA=al'
al: al.
,,,'o..ccsA-Al=r
(/22-A
a,]
°
a.
°
a..-A
ycomoeldeterminantedeunamatriztri:lllgular esigualalproductodelascompo
nentesde
ladiagonal(vea lapágina173),sevequedet (A-IJ)=«(111-)..)(ll12-A)...
(ll..-A)conceros"w(ll2'...,ll...Lademostraciónparaunamatriztriangularinferior
esprácticamenteidéntica.
EJEMPLO7 Valorescaracterísticos deunamatriztriangular
[
25
6] 2-A
SeaA=O-}2.Entoncesdet(A-Al)=O
OO5 O
conceros(yvalorescanlcteristicos) 2.-3Y5.
5
-3-A
°
6
2=(2-AX-3-AX5-A)
S-A

532e\I-j"1ILO6 Valorescaracterísticos,vectorescaracterísticosyformascanónicas
Acontinuaciónsedarúnm:isejemplosdelcálculodelosvalores yvectorescaracterísticos
paramatricesquenosontriangulares.
EJEMPLO 8 Unamatrizde2x2conunvalorcaracterísticoydosvectorescaracterísticos
linealmente
independientes
(
4
O) 14-1.
SeaA=O4·Entol1ccsdet(A-A/)=O 4~AI=(A-4)2=0; asi.A= 4esunvalor
EJEMPLO 9
EJEMPLO10
característicodcmultiplicidadalgebraica 2.ComoA=4/.scsabeque Av=4"paratodo vec-
tal"\'EI:t'demaneraque E
4=1)2=gen{(~}(n¡.
Unamatrizde2x2conunvalorcaracteristico
ysólounvectorcaracterístico
independiente
seaA=(41).Ent0l1Cesdet(A-A/)=14-A11=(A-4)1=0;asLA=4esunvalorca-
O4 O 4-1. .
(O 01)(.','.:J--(xO').
racteristicodemultiplicidadalgcbraica 2.Peroestavezsetiene(A-4/)v=O "
Por
lotanto-'"!=O,VI(~Jesunvectorpropio yE
4=gen¡(~)¡.
Unamatrizde3x3condosvalorescaracteristicos ytresvectores
característicoslinealmente
independientes
seaA=[~ ~;].EntonceSdct(A-Af)=3;},:A
423 4 2
4
2=-A
3
+6A"+15A+8
1=
]-1.
-(A+1)':(A-8)=Odemaneraquelosvalorescaracterísticosson Al=8YA
2
=-)(conmul
tiplicidadalgebnlica
2).ParaAl=8.seobtiene
[-5
2
-:][Jm
(A-S!)v=:-8
2
oreduciendoporrenglones. setiene
[-~
24
IO]
[-5
24
I0]
-82
I°
j-1:
O18IO
2-5IO O -9IO
[-5
24I
~]
[O2
-1
~]
l-~
OII
l-1OI
O-9I OO
°
•
EstecalculonoesobVIOpero51senCilloderealizarNosedanlosdetallesalgebraICOSparaundeterminantede3x3
DeaquíenadelantesesegulraestapolitlCa

EJEMPLO11
6.1Valorescaracterísticosyvectorescaracterísticos 533
Enlonees.x,~2x,yx,~x,yseobtieneelveclorcaraelecísl;co v,~[:]yE,~ger,¡[:]}.
ParaA.
1=-1setiene(A+I)\'=[~ ~ ~][::]~[~]. loqued¡~laecuaciónll~ica
424.\]O
2x,+x,+2x,~Oox,~-2x,-2x,.s;x,~lyx,~O.seobl;enev,~[-Hs;'.,~0Y-'",~1.
seoblienev,~[-~1PO'lolanloE.,~gen¡[-~1[-~]}ExislenolraseleccIOnesemwe-
n;enl"pa'"losveel","""""eler;Slieo,.porejemplo.' ~[_~]"1"enE.,yaque,~"-',.
Unamatrizde3x3conunvalorcaracterístico ysólounvectorcaracterístico
linealmente
independiente
seaA=[-:-~ ~:];entonceSdel(A-AI)= -SS-A9:)..~: -AJ-3)..!-3A
-2-3-7 -2-3 -7-)..
-I=-(A.+ I)J=O.Así.A= -1esunvalorcaracterísticodemultiplicidadalgebraica 3.Para
calcular
E_,seestablece(A+I)v=[-~ ~~ ~:][~::]~[~] ysereduceporrenglonespara
-2-3 -6Xl O
obtener.sucesivamente.
[-:~~~:~] ,[~
-2-3-6O -2
lJ
-2-6
-3-6
~] ,[ ~O ~:~]
O -2O3 IO
EJEMPLO
12
Estoconducea x
1
=-3x)y2x
1
=3x-"Estableciendox
3
=2.seobtienesólo unvectorcaracte
císlieolinealmente ;ndependienlcv,~[-HPoclolanlO, E.,~gen¡[-~]}.
Unamatrizde3x3conunvalorcaracterísticoydosvectorescaracterísticos
linealmenteindependientes
seaA=[-~ -;~:];entoncesdet(A-A.I)= -1;A 5~A. ~:=-(A.+l)J=0.Asi.
O
-2-7 O-2-7-A.
igualqueen elejemplo10.A=-1esunvalorcaracterísticodemultiplicidadalgebraica 3.

534 C.\I'lTLLO6 ValorescaracterÍStICOS,vectorescaracterístiCOSy f()(mascanÓnlCas
P"""nconlmrE_,sec"lcuh«A+1)"=[~
-3
6
-2
-9][X'][0]
~~ ::::=~,Porlotanto.-2x~-6x,=0
DEFINICiÓNa
ox,=-lv,.Yx,esarb;lrar;o.H"c;cndo x,=O.x,=1.seobliene",=[-:JH"c;endox,=1.
x,=1.seiles""",=[-iJDc~lam"ncr.,E_,=S'"{(-n[-iJ)
Encadaunodelosúltimoscincoejemplos seencontróunvalorcaracteristicoconunalllul
tiplicidadalgebraicade2o
mÚs.Perocomo sevioenlosejemplos 9.11Y12.elnúmerodevec
torescaracterísticoslinealmenteindependientesnoesnecesariamenteiguala
lamultiplicidad
algebraicadelvalorcaracteristico(comofue
elcasoenlosejemplos8 y10).Estaobscn';lción
llevaalasiguientedefinición.
Multiplicidadgeométrica
SeaAunvulorcuracteristicode lamatrizA:entonceslamultiplicid:ldgeométricadeA
es
ladimensióndelespaciocaracteristicocorrespondienteaA(quees lanulidadde la
matrizA-Al).Estoes.
MultiplicidadgeomclricadeA=dim E
k
="(A-Al)
Enlosejemplos8ylOseobservóqueparalosvalorescaracteristicosdemultiplicidadalge
braica
2bsmultiplicidadesgeomctricaserantmnbicn 2.Enelejemplo9lamultiplicidadgeomé
tricadeA=4era1mientrasque
lamultiplicidadalgebraicaera 2.Enelejemplo11lamultiplici
dadalgebraicaera
Jylamuhiplicidadgeométrica 1.Enelejemplo12lamultiplicidadalgebraica
era3
ylageométrica2.Estosejemplosilustr.lll elhechodeque silumultiplicidadalgebraicadeA
esmayorquel.entoncesnosepuedepredecirlamuhiplicid;.dgeometricadeAsininformación
adicional.
SiAesunamatrizde2x2 yAesunvalorcaracteristicoconmuhiplicidadalgebmica2.
entonceslamultiplicidadgeomctricadeAes
s2yaquepucdehaber.alomás.dosvectores
linealmenteindependientesenunespaciodedosdimensiones.Sca
Aunamatrizde3x Jquc
ticncdosvalorescaracteristicos
AlyAlconmultiplicidadesalgebraicas1 y2.respectivamcnte.
Entonces
lamultiplicidadgeomclricadeA
2
ess2porqucdc otramanerasctendríancuatro
vcctoreslinealmenteindependicntesenunespaciodetresdimensiones.Dchccho.lalllulliplici
dudgeométricadcunvalorcaracteristicoessiempremenoroigualquesumultiplicidadulge
braica.
Lademostracióndelsiguienteteoremanoesdilicil sisepruebanalgunos otroshechos
sobrelosdeterminantes.
Comoestonosllevariamásalladelalcdncedecstelibro.seomitela
prueba.'
•
,Unildemoslraoorl S{'puedeenCOnlrilr enelteoremd1126enellibroAdVilr'lcedEngmeerrngMarhM'k1IIQlNuf'va
Yor~MeGraw·H,II,Ine.,1975)deeRWyl,e

TEOREMAB
TEOREMAm
TEOREMAE:I
6.1Valocescacacte"sticosy,ecto'es",'actNisticos 535
SeaAunvalorcaracterístico deA.Entonces
MultiplicidadgeométricadeA:SmultiplicidadalgebraicadeA.
Nota.Lamultiplicidad geomctricadeunv'dlorcaracterísticonuncaescero.Esto sededucede
ladefiniciónl.queestableceque siAesunvalorcaracterístico.entoncesexisteun,'cetorcarac
terísticodiferemedecero quecorrespondeaA.
Enelrestodeestecapitulo. unproblemaimport.lIltesenideterminar siunamatrizde 11x11
dadatieneo no11"cetorescaracterísticoslinealmenteindependientes. Conloquesehaestudia
doenestasección.se"llelveevidenteelsiguienteteorema.
Sea
Aunamatrizde"x11:entoncesAtiene"vectorescaracterísticoslinealmenteinde
pendientes
siysólosilamultiplicidadgeométricadecadavalorcaracterístico
esiguala
sumultiplicidadalgebraica.
En
particular.Atiene11vectorescaracterísticoslinealmente
independientes
sitodoslos
valorescaracterísticossondistintos (yaqueentonceslamul
tiplicidadalgebraicadecadavalorcaracterístico
es1).
Enelejemplo5seobservóunamatriz
paralaqueunvalorcaracterísticoeracero. Enrea
lidad.
porelleoremaIesevidentequecero esunvalorcaracteristicode AsiysólosidetA
'"
del(A-O/)'"O.Estopermitee.xlender.porultimavez.elteorem..deresumen(veaelteorem¡¡
5.4.4.púginu506).
Teoremaderesumen(puntodevista8)
SeaJIunamatrizde /1x/1.Entonceslassiguientes 12afirmacionessonequivalentes: es
decir.cadaunaimplicaalasotrasII(demaneraquesiunaescierta.todaslasdcmús
sonciertas):
i.JIesinvertible.
ii.Laúnicasolución alsistemahomogéneoAx""Oeslasolucióntrivial(x=O).
iíi.ElsistemaAx=btieneunusoludónúnicaparacadal/-vectorb.
iv.Aesequivalenteporrenglonesalamatrizidentidad /.'
v.Asepuedeexpresarcomo elproductodemUlriccselementales.
vi.Laformaescalonada porrenglonesde Atiene"pivotes.
vii.Lascolumnas (yrenglones)de Asonlinealmenteindependientes.
viii.detA*O.
ix.v(A)""O.
x.p(A)""11.
xi.Latransformaciónlineal TdeenI:?"definidaporTx=Axesunisomorfismo.
xii.Cero
/lOesunvalorcaracterístico deA.

536 CAPiTUl.O6 Valorescaracterísticos,vectorescaracterísticosyformascanónicas
Problemas6.1
AUTOEVALUACIÓN
Indiquesilosenunciadossiguientessonfalsoso l'crdadcros
l.Los,-alorescaracterísticos deunamatriztriangular SOIllosníllnerosenladiagonalde
lamatriz.
11.SilamatrizrealAde3X3tienevalorescaracterísticosdistintos.entonceslos"cclores
característicoscorrespondientesaesosl'alorescaracterísticosdistintosconstihl)'enuna
basepara (ti.
111.SilamatrizAde3X3tienedos'-alorescaracterísticosdistintos,entonces Atienea lo
másdos\'cetorescaracterísticoslinealmente independientes.
IV.SiAtieneelementos reales,entoncesAIlUedetenerexactamenteunl'alorcaracterístico
complejo(esdecir,un "alorcaracterístico(/+ibconlJ;t:.O.
v.SidetA=O,entoncesOesun\"alorcaracterísticode A.
Elijalaopciónqueresponda acertadamentealenunciadopropuesto
VI.Iesun "alorcaractcrísticodc lamatrizídentidad3X3. Sumultiplicidadgeométríca
" .
a)1 b)2 e)3
(1)I b)2 e)3
Dclosproblemas1al26calculelosvalorescaracterísticosylosespacios delamatrizdada.Si
lamultiplicidadalgebraicadeun valorcaracterísticoesmayorque1.calculesumultiplicidad
geomélrica.
(-2
-~J
(-12
;J
(-9;J
1. 2. 3.
-5 -7 -7
4.
(:-IJ 5.(-~
-~J
6.
(-~ -~J-2
7.(-~
-:J
8.
(-~ ~J
9.(-:-5J
-2
[-~
-1
-:]h
1
-~]
[;
4
~]
10.2 11. 2 12.5
-1 1-1 2
U
2
;] [~
1
;]n
-7
-~J
13. 2 14. O 15. 4
2 -3 2

6.1Valorescaracterísticosyvectorescaracterísticos 537
17.[:=:-~]
I0-1
16.n-~ ~]
19rr~;]
22·1~~~~]l
a
23.~
oOO
(/OO
OaO
OO {/
18.[:-~=;]
6-2-3
21I-~_!~-;
24.I~ ~ ~ ~;b*O
OOO (/
25.I~ ~ ~ ~];bdO 26.I~ ~ ~ ~;bcm
OOuO OOad·
OOOa OOOa
27.Demuestrequeparacualesquieranúmerosreales ayb.lamatrizA=[a
-b
rescaracterísticos(;)y(_;).
bJ.tienevecto-
a
Delosproblemas 28al34supongaquelamatriz Atienevalorescaracterísticos Al')':l",, ,Al'
28.Demuestrequelosvalorescaracterísticosde
A'sonAl'A!,...,A..,
29.Demuestrequelosvalorescaracterísticosde aAson0\,aA
2
,
...•a)".
30.DemuestrequeA-
1
existesiysólosiAl'Al"...Al"*O.
*31.SiA~Iexiste,demuestrequelosvalorescaracterísticos deA~lson!IA
I
•
lIAr'!IAI.'
32,Demuestreque lamatrizA-altienevalorescaracterísticos Al-a.A,-a Al-a.
*33.Demuestrequelosvalorescaracterísticos deA!sonA~,A;"..Ai.
*)4,Demuestrequelosvalorescaracterísticosde A'"sonA';',A~',....Atparam=l.2,3...
35.SeaAunvalorcaracterísticode Aconvcomoelvectorcaractcrísticocorrespondiente.Sea
pe)..)=(/0+{lIA+a)...2+,..+(I"A".Definala matrizp(A)porp(A)=ai+alA+a!A2
+.,,+ alOA".Demucstrcque p(A)"=p(A)".
36,Utilizando
elresultadodelproblema35,dcmuestreque siAl'1..
2
"
..•Alsonvalorescarac-
teristicosde
A.entoncesp(A,).pO,).....p(\Jsonvectorescaracterísticosde p(A).
37.Demuestreque siAesunamatrizdiagonal.entonceslosvalorescaracterísticos deAson
lascomponentesde
1<1diagon<llde A.
38.
SeaA,=[HH].A,=I~ ~
0002 00
OO 21O
OO O 21
A=
2O
,
OO 2
O2 OOO

538 C\l·iTUI.O6 Valorescaracterísticos,vectorescaracterísticosyformascanónicas
Oernueslrequeparacadamatriz/...=2esun valorcaracterísticoconmultiplicidadalge
braica4.Encadacasocalculela multiplicidadgeométricadeA=2.
*39.Sea Aunamatrizrealde11x//.DcmueslrequesiAlesunvalorcaracterísticocomplejo
deAconvectorcaracterístico"1"entoncesXIesunvalorcaracteristicodeACOIlveclor
característicoVI"
40.Unamatrizdeprobabilidadesllnamatrizde 11X1/quetienedospropiedades:
i.(ti;~Oparatoda¡yj.
ii.L¡lSllmadelascomponentesencadacolumnaesl.
Demuestreque1esun valorcaracterísticodetodamatrizdeprobabilidad.
41.
(
a
b).
SeaA= unamatrizde1X2.Supongaqueh:;t:O.Seam llnaraíz(realo compleja)
ed
delaecuación
blll~+(a-d)m-e =O
demuestreque(/+bmesunvalorcaracterísticodeAconvectorcaracterísticocorrespon
dientev=(1).Estoproporcionaunmetodosencillopar~calcularlosvaloresyvectores
'"
característicosdelasmatricesde2X2.[Esteprocedimientoaparecióenelarticuloo'A
SimpleAlgorithmforFindingEigenvaluesandEigenvectorsfor2x2 Matrices"deTyre
A.
NewtonenelAmeriulII¡\'¡(I/!I{'//I(I/¡C(/!MOl/lit/y.97(1).enero1990.57-60.]
42.Sea
A=(a0)unamatrizde2X2.DemuestrequedesunvalorcaracterísticodeAcon
,d
vectorcaracteristicocorrespondiente(~J
43.Sea A=(a ~).dondea.(3El):
-~a
l.Dcmuestrequelosvalorescaracterísticossona+¡{3.
ii.Encuentrelosvalorescaractcrísticosdelamatriz8=A'A.
MANEJO DELACALCULADORA
LosvaloresyvectorescaracterísticossepuedenobtenerdirectamenteenlaHP50g.
SupongaqueseintroduceunamatrizcuadradaAenelprimerrenglóndelapila.el
comandoEGVregresalosvectores característicosylosvalores característicosdela
matrizAcomosemuestraacontinuación.
Poeejemplo.siA=[=:~-:]ysequi"enobte""losmlo"syvolo"smaclccis
ticosprocedemoscomosigue:escribimoslamatrizenelprimerrenglóndelapila
(JM" [J.N
GJCZJGJCZJ CDG!DCDI #-wIG!D[IJCD
[JMH
GJCZJCDG!DCDG!DCDI ./_wICD

6.1Valorescaracterísticosyvectorescaracterísticos 539
.~olI'TlIK~._'1'
<"0"(1011)
1
1.-1."1
3.2.-1.
2.1.-1.mJllDJIlllilD _
lAU'HA)(AU'HA)c=Il~01(ENTER) (ejecutandoelcomandoparaobtenervalores y
vectorescaracteristicos).
[
.5-.251.1
1.1. -1.
.5.25-l'
1: [3.1.-.]mIlBmI!liHJ _
Lascolumnasdelamatrizque seencuentraen elrenglón2delapilasonlosvectoresca
ractcristicos
yelvcrtorqueapareceen elrenglónIcontienelosvalorescaracterislicos.
Pammayorinformaciónconsulte
elManualdelUsuariode lacalculadom,
Delosproblemas
-14al47encuentre.conunacalculadom.losvalorescamclcristi
cos
yunconjuntocorrespondientedevectorescard.cteristicos pamcadamatriz.
[
'02-1156]
45.38-4975
83123-67
121418
19
2716
29374156
38294633
41293850
1316
2621
31
51
61
47.
0.095)
-0.081
0.038
0.082
0.067
-0.077
[
-0.031
46.
-0.046
0.055
Delosproblemas48al 52existeunvalorcaracteristicodemultiplicidadalgebraica 6.
Determinesumultiplicidadgeométrica.Observeque unnúmerocomo 4E-13""4X
IO-
IJ
es.enefecto.igualacero.
6OOOOO 61OOOO
O6O
OOO O6OOOO
48.
OO6OOO
49.
OO6OOO
OOO6OO OOO6OO
OOOO6O OOOO6O
OOOOO6 OOOOO6

540 C\I·rTLI.O6 ValorescaracterÍStICos,vectorescaracteristlCOSyfcxmascanÓIlICa5
6IOO OO 6]OOOO 6
]OOOO
O6IOOO O 6
]OOO O 6]OOO
OO 6]OO OO 6IOO OO 6 OO
50. 51. 52.
OOO 6OO OOO 6IO OOO 6IO
OOO
O6O OOOO 6O OOOO 6
]
OO OO O6 OO OO O6 OO OOO 6
RESPUESTAS ALAAUTOEVALUACIÓN
,.V 11.V 111.F IV.F V.V VII. h)
• MATLAB6.1
[
39
1.Considerelasiguientematriz A=35
35
-9555)
-9255.
-9558
(1)Verifiquequex =(1 1)'esunvcctorc¡¡ractcristico deJIconvalorcaracterístico
A
=-2.quey =(345)'esunvectorcaracterísticode Aconvalorcaracterístico ~l=3
Yquez=(49 13)'esunvectorcaracterísticodeAconvalorcaracterístico ~l""3(lIo/a:
lamejormanemdedemostrarque"'esunvectorcaracterísticode Aconvalorcaracte
rísticoeesdemostrarque(A~el)w=O).
h)Seleccioneunvaloraleatoriopara elescalar(l.Verifiqueque (IXesunvcelarcaracterísti
coparaAconvalorcaracteristicoA =-2.Verifiqueque (f~'ylrLsonvectorescaracterís
ticos
pamAconvalorcaracteristico ~=3.Repitaparaotrostresvaloresde(l.
dEscojavaloresaleatoriosparalosescalares ay/).Verifiqueque w=ay+hzesunvector
canlctcrislicode
Aconvalorcaracterístico 11=3.Repitap<Haotrostresjuegosde (1yb.
ti)(Láp;:ypapel) ¿Quepropiedaddelosvalores yvectorescMactcristicosseilustracon
losincisos
b)ye)'!
[I
.5
-~]
-,-]
2.Considerelasiguientematriz A= ~
2 O
2 -1.5
a)Vcrifiquequex =(1¡O-i)'y"=(Oi2I+i)'sonvcctorescaracterísticos deAconvalor
característicoA
=1+2;yquey=(1-;Oi)'Yz=(O-i2I-i)'sonvcctorescarac
teristicos
de,i/conv<llorcaracterísticoJl=I-2i(para encontrarlatranspuestadeuna
matrizcompleja
AutiliceA.')
h)Seleccioneunvaloraleatorio complejoparaelescalar(1(porejemplo.a =5*(2*rand(l)
-1)+i*J*rnnd(l».)Verifiqueque(IXy(1\'sonvectorescaracterísticos deAconvalorca
ractcristicoA
=I+2;.Verifiqueque (I~'yazsonvectorescaracterísticos deAconvalor
característico
11=I-2i.Repitaparaotrostresvalores dea.
e)ScleccionevaloresalelHorios complejo.l·paralosescalares (1yb.Verifiquequeu =(IX+
h,'esunveclorcaracterísticodeAconvalorcaracterísticoA =2+;.Verifiqueque w=

6.\Valme>cacaeterósticosy,.etore>caraeteristicos541
(I~'+bzesunvectorcaraclcrislico deAconvalorcamctcriSlico JI=1-i.Rcpil'¡para
otrostresjuegosde(fyh.
ti)(Lúpi=.rl){Jpd) ¿Quépropiedaddelosvalores)'vectorescaraclcristicosseilustraenlos
incisosb)yc)?
3.Sig¡tlasinstruccionespara cadamatrizAenlosproblemas 1.7.10Y16anteriores.
ti)Encuentreelpolinomiocar.lclcrisllco(lmallOyverifiquecllcontmndoe =(-I)"n*poly(A).
(Aquí
11ese[l:lm.ulode lamatriz)dedoc pol~'paraobtenerayudaenlainterpretacióndel
resultadodepolyyexplique porquéseincluyó elf"ctor(-1r.
h)Encuentre[os"<llorescarac\cristicosobteniendo lasraicestic!polinomiocaractcríslicolt
/l/W/{).Verifiqueencontrandor =rools(c)(docrootsproporciona lainformaciónsobre la
función).
e)ParacadavalorcaracterísticoA encontrado.resuelva(A-AI)x=0(//1/(11/0Yverifique
uS'll1dorref(A-r(k)*('y('(n»p
••rak=lo....11.donderesel\'cctorquecontienelos
valorescaracterísticosy
11eseltamañodelamalriz.
ti)Verifiquequeexisten11valorescaracteristicosdistintos (donde11eseltmnañodelama
triz)
yqueelconjuntodevectorescaracteristicoseslinealmenteindependiente.
t')OCIV.DI=cig(A).Para k=1•••.•1/.verifiqueque
(A-D(k.k)*e~·c(n))*V(:.k) =O
Escriba
unaconclusióninterpretandoestoenellenguajedelosvaloresyvectoresC'lrac
terísticos.
Laruncióneig(daccig)
encuenlravectorescaracterísticos denormal.Comocada
valorcaracteristicotienemultiplicidadalgebraica ygeométrical.losvectoresencontra
dosenelincisoe).normalizadosal.debencoincidir conlascolumnasdeVhastaun
posiblemúltiplo
porunnümcrocomplejo demódulo1(porlogenerall. -1.io-i).
Verif'iquelo.
4.LoscúlculosdevalorescaraclCristicos
(ylosvectorescaracterísticosasociados)sonscnsibies
aerrores
deredondeo.enespecial cuandoelvalorc:mlctcristicotienemuhiplicid<ldalge
bn.icamayor
que1.
a)(Lápi=yp"pd)Par..lasiguientematriz.c..lculelosv ..loresyvectorescaracteristicos
amano.Verifique
queA=2esunvalorcaracterísticoconmultiplicidadalgebraica2 (y
multiplicidadgeomctrie'l 1).
A=[~ ~ ~]
-111
h)Encuentree =poly(A)Y compareconsusca.leulosmanuales.Déformatlong.Encuentre
r
=roots(c).¿Queobservasobrelosvalorescaracteristicos?Intente encontrarlosvecto
rescaracteristicoscon
rref(A-r(k)*eye(3»parak=1.2YJ.¿Tuvoéxito?
l')Larutinaeigesm:'l5establelluméricamente querools(utilizaunprocesodirerente¡¡lteó
rico
quesedescribióenestasección).Sinembargo. nopuedeevitar elhechobúsicosobre
raícesmúltiples
yloserroresderedondcoestudiadosen elincisoe).Detodasrormas.
utilizandoformatlong.encucntre
IV,DI=cig(A).Comparelosvalorescaracteristicosen

542e\I·iTll.O6Valorescaracterísticos,vectorescaracterísticosy formascanónicas
Dconlosvalorescaracteristicosvcrd ..derosyconlosvalorescaracterísticoscalculados
en
elincisob).Argumenteporquéelcálculoconcigesun pocomúscercanoalosverda
derosvalores.
rl)Parak=1.2Y3.verifiqueque(A-D(k.k)*eyc(3»"V(:.k)escercanoacero. ¿Dequéma
nerallevada
estoadecirqueaunhabiendoinexactitudes..encierlosentidoloscálculos
nosonlanerróneos?
Conpequeñaspenurbacionesenlosc;:ilculosdelosvectorescaracterísticossepuede
llegara
quesonlinealmenteindependientes:encuentrerrer(V).Examine V.¿vealguna
evidenciadequelos veclOrescaraclcristicos;lsoci;ldos conlosvalorescaracterísticos
cercanosa A=2sean··casi··dependientes?
e)(Ltipi=rpapel)Esteincisoofrece unaexplicacióngenemldelosproblemasasociados
conaproximacionesnuméricas demicesmúltiples(enestecontexto.lasmícesdelpolino
miocaracteristico
conmultiplicidadalgebraicilmayor que1).Enseguidasepresentaun
bosquejodelpolinomio
camcteristico.r=-01,-2)!(A-1).
,.
8
,
Elerrorderedondeoperturbaunpocolosvalores.Supongaquelaperturbaciónestal
quelagráficaestáun pococorridahaciaabajo.Vuelvaadibujarlayexplique porqué
yanosetieneunamiz delafunciónenA =2Yporqué.dehecho. secrearondosraices
complejas
dondehabiaunaraízreal. Supongaquelagrúficaestú unpococorridahacia
arriba.Vuelvaadibujarlayexpliquequé
leocurrealar:lizmllltipleenA =1.Describala
formaen queseobservaronestosefectos cnlosincisosanterioresdeesteproblerml.
5.u)Paralasmatrices Aenlosproblemas 7.10.14. 16Y20deestasección.encuentre
IJOly(A)-poly(A').Respectoanúmerospcquei'loscornocero(siemprehayerrores
dere
dondeo).formulellnaconclusiónsobrelascaracterísticasdelospolinomiosde
Ay;/'.
¿Quéimplicaesto
sobrelosvalorescaracteristicos?
h)(Lápi=Ypapel) Pruebesuconclusión.
6.a)Genereunamatrizaleatoria noinvertibleJI[comienceCOIlunaAaleatoriaycámbie
lasustituyendoalgunas
columnas(orenglones)porcombinacioneslineales dealgunas
otrascolumnas(orenglones)J.Encuentred =cig(A).(Sidaeigaunsoloargumentode
salida.resultaun soloveclOrquecontienelosv:llorese:lfilctcristicos).Repita paraotras
tresmatricesnoin"ertibles.¿Quétienenen comúnlosconjuntosdevalorescaracterísti
cos
deestasmatrices?Explique porquédebeserasi.
h)i.Paralasmatrices Aenlosproblemas 1.2Y10Ylasiguientematriz.encuentred =
eig(A)ye=eig(in'·(A)).
[-I~
9.5-2
-105]
-42.51044.5
A~
623.525-24.5
-10-4310 45

ii.Ignoreelordenen elqueaparecenlosvectoresd ye.yobtengaunaconclusión
sobrelarelaciónentrelosvalorescardcteristicosde
AyA-l.E;<pliqueIne\idencia
quetienepara
suconclusión.Completelasiguienteafirmación: si).esunvalor
caracteristicode
A.entoncesesunvalorcaracterísticodeA-l.
iiLPruebesuconclusiónsobrelasmatrices enlosproblemas4.7Y16.
L')Paracadamatrizconsideradaen elincisob).comparelasformasescalonadasreducidas
porrenglónde
A-).1yA-
I
-
11/.donde).esunvalorcaracterísticode AyPesel\alor
cilracteristicocorrespondientedeA-
l
obtenidoen elincisob).Expliquequé lediceesta
comp,lraciónsobrelosvalorcscaracteristicoscorrespondientes.
ti}(Ltipi=Ypapel) Formuleunaconclusiónsobre larelaciónentrelos V'..llorcscaracle
rísticos
ylosveclorescaracterísticosde AydeA-lypruebesuconclusión (slIgerelll'i(/:
considereAA-'v.donde,.esunvectorcardcterísticode Al-
7.Sigalasinstruccionesdelproblema6deestascccióndeMATLAB.incisos b)ati).pero
reemplaceA-
l
conA~e¡m'(A)conA *A.
8.Paracadamatriz Acnlosproblemas 10.12.13Y22dcCSt<lsecciónyunamatrizalealoria
Ade4x4.genereunamatrizaleatoriainvenible edelmismot¡¡manode JIyformeB
=CAe-l.Ignoreelordenenqueaparecenlosvalqres (yconsiderelosnúmerospequeilos
comocero)paracompararlosvalores
C<l1"acterísticosdeA.cig(A).conlosvalores car<IC
tcrísticosde B.eig(B).Describacualquicrconclusióna laquepuedallegarpartiendode
estascompamciones.
9.Sehavistoquelosvalorescaracteristicosdeunamatrizaleatoriarealde 11x11puedeser
cualquiernumerorealocomplejosiemprequelosnumerascomplejosocurranenpares
conjugadoscomplejos.
Seexaminaránalgunascategoríasespcciillesdematricesrealespara
\'er
siestasclasestienenrestriccionesespecialessobrelostiposposiblesdevalorescarac
teristicos(debidoalasconsideracionesdeerroresderedondeosupongaquelosnumeros
pequeñossoncero).
(1)Genereunamatrizaleatoria real.I'illl'¿'I'icade11X11paraalgünvalorde 11lse"Buna
matrizaleatoriade
11x11.SeaA =triu(B)+triu(B)').Encuentrecig(A).Rcpitapara
otnHcuatromatriccssimétricas
JI(utiliccmásde unvalorde 11).ConcluY<lunapropie
daddelosvaloresc<lracleristicosdelasmatricessimétricas.
h)Unaclaseespcci"ldcmatricessimétricasrealeses1 ..delasmatriceserornllldaspor
e=AA'paracualquiermatriz A.Gencrecincomatriccsdcestetipo(noutilicematri
cesdelmismo(¡Imano).Encuentrecig(C)paracadauna.Proporcioneunaconclusión
sobreunapropiedaddelosvalorescaractcristicosdelasmatricesdelarorma
AA'.
10.Sevioquesiunam.lIriztiene"alarescar.lctcrísticosdistintos. porloquelos\'cctorcsca
mctcrísticossonlinealmenteindependientes.Una
c1ascde\cctoreslinealmenteindepen
dientes
eslaclasedelosvectoresortogonales.Genereunamatrizaleatoria .vimh,.jmreal
Aigualqueen elproblema9deesteMATLA B.EncuentreIV.DI=eig(A)yvcrifiqueque
losvalorescaractcristicossondistintos
yquelosvectorescaracteristicossonortogonales.
Repita
paraotrascuatromatrices JI(utilicel;tmariosdiferentes).
11,TeoríadegráficasParaunagrúficadevértices yaristascorno semuestraen lasiguiente
figur...
scdcfinelallIalrizdeadyacenciaAdelagráficacomo
o~{1siiyjest"'nconectados porunaarista
•Odeotramanera

544 CIl'iTUW6 Valorescaracterísticos,vectorescaracteristicosyformascanónicas
Seutilizalaconvencióndeque(lo=O.
Elnúmerocromáticode lagráficasedefinecomoelnúmeromínimodecoloresnecesa
riosparacolorearlosvérticesdelagrúlicademodoquedosvérticesadyacentesnotengan
asignadoelmismocolor.Losvérticessonadyaccntl..'Ssicstúncanceladosporunaarista.
La
matrizdeadyacenciade llna
gráficaessimctriea(¿porqué?):enlonces.losvalores
característicosserúnvaloresreales (vealasección6.3oelproblema9deestasección de
MATLAB)yporlotanlosepuedenordenardemayoramenor(enestecasoseordena
comoseharíaconlosnúmerossobrelarectareal: l/Oseorden'lsólopormagnitud).SeaAl
elvalorcaracterísticomúsgrandeyseaA"elvalorcaracterísticomúspequeño.Resul1<tr[1
queAlespositivoy queA"esnegativo.
Supongaquelagrúfic,lesconexa:esdecir.existeunatrayectoriade cadavéniceacual
quierotro.quizúatravésde otrosvertices.SeaX.elnumerocromático.Entonces sepuede
demostrarque
Usandoesteteorema.encuentrecotassobrelosnumeros<:romútieosP;lnllasgrúficasco
nexas
quesiguen.Verifique elresultadovolviendo
adibujarlasgrúfieasypintandolosvér
ticesconloscoloresadecuados. Paralosincisosalac).conbasecnlagrúfica.intentedar
algúnargumentodeporquénosepuedencolorearlosvérticesconmenoscoloresquelos
imlie¡ldos
porclteorema(IIU/i/:recuerdeque elnúmero
crOlmiticoesunelltero.demanera
quesebuscanenterosqueseencuentrenentrelascotasdadasporelteorema).
2óC---------'\oJ
J
h)
2'f---+.c----C>4
2
e)
3

6.1Valorescaracterísticosyvectorescaracterísticos545
2
"';:---+----'\--:;0'3
5
7
2
4
'l
5l?--------"4
3
f)DibujcSllSpropiasgráficassiguiendolasinstruccioncsanteriores.
12.
GeologiaUnadelaspropiedadesmúsimportantesdelasrocasdeformadas essudeforma
cióninterna.Unamedidadedeformaciónsebasaenlamaclaeiónmccúnicadecalcita.La
formainicialde
lacalcitaseconocecomo
crisralografladI!/(1('{/Iá/ayesposiblemedirla
formadcladeformación.LIsmedidasselOmanapartirdecortesdclg¡ldosdemuestras
delarocaquecontienccalcita.Acontinuación secalculnncicrtosnúmcrosquerepresen
tanlasmcdidasdedeformaciónrespeclOaunsistemadecoordcnadasdeterminadopor
elcortedelgado.y secolocanenunamatrizdc3 X 3.Losvectorescaracteristicosdeesl<l
matrizrepresentanlasdireccionesdelosejesprincipalesdeladeformación.Losvalores
earacteristicosasociadosdanlasmagnitudesdelasdeformaciones
en
ladireccióndelos
ejesprincipales.eonlosvalorescaf¡lCteristieospositivos
seindicaextensión ylosvalores
caracteristicos
neg<ltivossignificancompresión.
tI)Paracadaunadelassiguientesmatricesdemedidasdedeformación.encuentre ladi
rección(vcctorunitario)del
ejeprincipalde
múximaextensióny ladirección(vector
unitario)delejeprincipaldemúximacompresión:
[
-,01969633
A=.01057339
-.005030409
[
-.01470626
A=.01001901
-.004158314
.01057339
.008020058
-.0068[8069
.0100[909
.007722046
-.004482362
-.005030409]
-.006818069
.01158627
-.004158314]
-.004482362
.006984212

546 CAI'jTuw6 Valorescaracterísticos,vectorescaracterísticosyformascanónicas
h)Paracadamatrizdelincisoal.cncuerllreel ánguloqueformaelejeprincipaldemúxim<l
deformacióncompresivacon eleje.Y(enlascoordenadasdelcortedelgado) [Ilota:eleje
xcstúrepresentadoporelvector(1OO)'.Recuerdequeelcosenodel[¡agujaentrelos
vectores
\'ywes\'.w/l"llwl.Utilicelafunciónaeosde MATLABYmultipliquepor18ü/1T
paraconveniragrados].
c)Enunpliegue.ladeformacióndemaclaciónserelacionaconladeformacióntotal del
pliegue.La adecuacióndeun modelodepliegueparaexplicarsuestructurasepuede
probarutilizandolos datosdedcfonmlción.Unmodeloeselde.l'fólI/lír!llfosimp!cpa
mIdo{/laeSlmr(f/C(I('Í1Í1I(aquílaestratificaciónes paralclaalejcxcnlascoordcnHdas
del
cortedelgado).Para]¡ISlocalizacionesdelasqueseobtuvieronlosdalosdelinciso
a).elmodclodcdcslizamientosimpleparaleloalaestratificaciónpredicc queelúngulo
agudoentrelasr(!c/(/sdeterminadasporlascapas(elejexlyelejeprincipaldemúxima
deformacióncompresiv,les bastantegrande.cercade45
0
enmuchoslugares.Utilizando
losresultadosdelincisob)argumenleporqueestcmodelocsinadecuadoparaexplicar
laeSlfucturadepliegues paraelplicguedel queseobtuvieronlosdalas.
l~e("OIlVcilllielllo. Losdatosylasinterprclacionesqucrorrnanlabasedeesteproblemase
derivarondeltrabajodelDr.RichardGroshong.UniversityorAlabama.
I!IUNMODELODECRECIMIENTO DEPOBLACiÓN(OPCIONAL)
EnestasecciónsemueSlra lamaneraenquesepuedeusarlateoríadelosvaloresyvectoresca
racterísticos
paraanalizarunmodelodecrecimientodeunapoblacióndepújaros.
t
Enprimer
lugurse estudiuráunmodelosencillode crecimientodelapoblación.Sesuponequeciertaes
peciecrecea
Ullatasaconstat1le;esdecir.la poblacióndelaespeciedespuésdeun periodo(que
puedeserunahora.unasemana.unmes.un año.etc.)esun mulliploconstantedelapoblación
delperiodoanterior.Unaformadequeestosuceda.porejemplo.es quecadageneraciónes
distintaycadaorganismoproducercríosydespuésmuere.Si P"denotalapoblacióndespués
de
11periodos.sc puedetener
P"="P"_I
Porejemplo.este modelopuededescribirunapoblacióndebacterias.donde.enun tiempo
dado.unorganismosedivideen dosorganismosscparados.Entoncesr=2.SeaPolapoblación
inicial.Entonccs{JI=rp(¡'Pe.=rP
I
=r(rpo)==1'2P
ll"P
3
=rP
2
=r(r
2
p
ü
)
=r'pv'yasísucesivamente.
demaneraquc
P"=r"p" (1)
Deestcmodelosevequelapoblaciónaumentasincotasir>Iydisminuyeacero sir<1.Si
r=1lapoblaciónpermaneccenunvalorconstanteP
v
'
Esevidcntequcestemodeloessimplista.Unaobjcciónobviaes queelnumerodecríos
producidosdepende.en muchoscasos.delas edadesdclosadultos.Porejemplo.en unapo
blación
humanalashembrasadultasdemúsde50¡¡iloS promediosindudaproduciránmenos
nií'tosquelashembrasde21añospromcdio.Pnra manejarcstadificultad.se introduceunmo
delo
quepermitaagruparporcdadesyasignartasasderertilidaddiferentes.
•
Elmaterialdeestasemonestabasadoenundr1lculodeD(ooke..A2x2MalrlxModel 01PopulallonGrQwth".
MathemallcalGazelre 6114161120-123

6.2Unmodelodecrecimientodepoblación(opcional) 547
Seestudiarúunmodelodecrecimientodelapoblaciónparaunaespeciedepújaros.Enesta
poblaciónse
suponequeelnúmerodepájaroshembrasesigualal númerodemachos.Sea P
j
.n
-I
lapoblaciónjuvenil(inmadura)dehembrasenelaño(11-1)YseaP~,"_Ielnúmerodehembras
adultasenelmismoaño.Algunosdelospájarosjóvenesmorirún duranteelaño.Se suponeque
cierta
proporciónadelospújarosjóvenessobreviviránparallegara adultosenlaprimaveradel
año11.Cadahembraquesobreviveproducehuevosen laprimavera.los incubanyproducen.en
promedio.kpájaroshembrasjóvenesen lasiguienteprimavera.Los adultostambiénmuereny
laproporeióndeadultosquesobrevivendeunaprimaveraa lasiguientees {3.
Estatasa constantedesupervivenciadelospújaros noesunasuposiciónsimplista.Parece
queocurreenlamayoríadelaspoblacionesde pájarosnaturalesquesehanestudiado.Esto
significaquelatasadesupervivenciadelos adultosenmuchasespeciesdepújarosesindepen
dientedelaedad.Quizámuypocospájarosensuluibitat naturalsobreviven10suficientepara
exhibirlosefectosde laedad.Músaún.enmuchasespecieslaedaddeInmadreparcccno
int1uiren elnúmerodecrios.
Enlanotaciónintroducidap,yPrepresentan.respectivamente. lapoblacióndehem bras
}.IIu."
jóvenesy adultasenelaño11.Incorporandotodalainformaciónsellegaalsiguientesistema
de2X
2:
o
11=kl'
).11 ~,"I
(2)
(3)
dond,p"~[:::]yA~(~;].E>evid,nted,(3)qn,P,=A"po'p,=A"p,=A(Apo)=A'po"
yasisucesivamente.Entonces.
(4)
EJEMPLO1
dondePoeselvectordelaspoblacionesinicialesde hembrasjóvenesyadultas.
Laecuación(4)esparecidaa
laecuación(1).pero ahorasepuededistinguirentrelaslasas
desupervivenciadepújarosjóvenesyadultos.
Unailustracióndelmodeloaplicadodurante20generaciones
SeaA=(O2).Estoquiere deeirquecadahembraadultaproducedoscríoshcmbrasy
lO.30.5
COlllOsesuponequeelnúmerodemachosesigualalnúmerodehembras,al menoscuatrohue
vos
-ytalvezllluchos mús-yaqueesprobablequelas pérdidasdepajaritosreeiennacidos
seanaltas.Del
modelosevequeay{3estúnen elintervalo[O,1].Cornonoestanprobableque
sobrevivanlospújarosjóvenes
comolosadultos.sedebetenera<{3
Enlatabla6.1sesuponeque.enunprincipio,hay 10hembras(y10machos)adultosy
nohayjóvenes.Loscú1culossehicieronen unacomputadora.peroeltrabajonoesdemasiado
. (O2)(O)(20)onerosoconlInacalculadoradebolsillo.PorCJemplo. PI= _ =_ demanera
0.3O.)10 )
quePi'=20.p•.,=5.e1lolaldepoblaeióndehembmsdeSPUé(S~'''n2a)ñ(02~)25(Yi~)'''''ón d,
hembrasJovenesa adultoses4a 1.EnelsegundoañoP
1
= • =, quese
0.3O.)5 8.5

548 C\píTlI.o6 ValorescaracterÍSllCOS,vectorescaraclerístlCOSyformascan6fl1cas
Tabla6.1
Núm.de Núm. de Poblacióntotalde
Año
jóvenes adultos hembras1ft
p,. p.. enelañon p¡)p
M
,
T~/T"_l
,
n
O O 10 10 O -
1 20 5 25 4.00 2.50
2 10 8 18 1.18 0.74
3 1J 7 24 2.34 1.31
4 14 8 22 1.66 0.96
5 1J 8 25 2.00 1.13
10 22 12 34 1.87 1.116
11 24 12 36 1.88 1.07
12 25 13 38 1.88 1.116
20 41 22 64 1.88 1.116
tLasc,rrdsenc:s13Scolumnasseoblu~icron amesderedondearlosn1"""'rosenlas columnasameriores.Enlonces. porcjc:mfllo.en
elaño1.1',,1'.,• lOI8.S..1.176470588"'1.18.
(10) ..
redondeaa lsyaquenosepuedetener8+ paprosadultos.Latabla 6.1presentalasrazones
p¡./P"-,,ylasrazones T/T._, dcllOtaldehembrasenlosaliossucesivos.
ElcódigodeMATLABconelque sepuedeproducir lalabiaylafiguraIes elsiguiente
\(T3)EJEMPLO6.2.1
clearal!;\borralamemoria
%Definecondicioninicialymatrizdetransicion
A=(O.2;O.3,O.5);
p=[O;101;
%Secalculalapoblacionen20anios
fori=O:20
historia(i+1,:)=p';
anio(i+l,l)=i;
p=A*p;
end
ele
%formatosparaproducirlatabla
fprintf(l,'Año Jovenes Adultos Tot.hembras pjn/pan Tn/
Tn-l');
i=O;
fprintf(l.'\i \4.2f \4.2f %4.2f %4.2f \
n',anio(i+l),...
historia(i+l,l),historia(i+1,2),..
sum(historia(i+1,:)),historia(i+1,1)/historia(i+1.2));
fori=1:20
fprintf(l,'%i \4.2f %4.2f %4.2f %4.2f
%4.2f'•...
anio(i+l),historia{i+l.ll,historia{i+l.2),...
sum(historia(i+1.:))•historia(i+1,ll/historia(i+1,2)•...
sum(historia(i+1.:l)/sum(historia(i,:)));

6.2Unmodelodecrecimientodepoblación(opcional) 549
]j
JOfigur..6.1
f'obIaúóndehemttasl!l1
20años.. Población
hembrds"
20
15
10
,
o
/
V
/'
/
.-/
V
f\r-..r-
/' -
~
/
¡-~
O 6 8 10
'"o
12 16 18 20
--I'obl¡,ciónhembrasjównes
Poblaciónhembras aduhas
end
tGraficarlapoblaciondepajaroshembras
plot(anio,historia(:,1),'--',anio,historia(:,2),':'l
gridon
xlabel('Año')
ylabel('Poblaci6nhembras')
legend('Poblaci6nhembrasjovenes','Poblacionhembrasadultas'•.
'Location','NorthWest')
Enlatabla6.1sepercibequc larazónp.Ipscacercaalaconstante 1.88micntrasque la
J," ~."
poblaciónIOtalparecc(lumcntaraunatasaconstantede 6'1.,anual.Severú siscpuededeter-
minar
porquéOCUITCesto.
Primero.regresamosalcasogencral[ecuación
(4)].Supongaque Atienelosvalorescarac
teristicosrealesdistintos
t..
1
yt..,conlosvectorescaracteristicoscorrespondientes \'1y\',.Como
\'1y,.~sonlinealmenteindependientes.formanunabase P¡lr.l~ysepuedeescribir.
(5)
paraalgunosnumerasreales alyal"Enlonces(-J)seCOI1\¡erleen
(6)
PeroA,'t=A
I
"(yA!"I=A(A".)=A(t..
1
''¡l=)'lA\'1=t..,o..(,'.)=A(!"I"Asi.sepuedeverque A"".
=A'""I'A""!=A!"V!yde(6)
(7)
....d[-A¡[" "'l.O
L¡¡ecuacloncaraclenstlcae Aes ="'-- 1-''''-"a="osea.
a~-A
A=(P::!:~p2 +4o:.k)/2.Porsuposición.k>O.O<(l'<IyO<f3<1.Entonces4aj¡>Oy

550 C\I'iTLiLO6Valorescaracterísticos.vectorescaracterísticosyformascanónicas
p'+4crk>O:estosignificaque.sin duda.losvalorescaracterísticossonrealesydiferentesy
queunvalorcaracterístico.Al'espositivo:elaIro,Al'esnegativoy 11..
1
1>11..
1
1.Laecuación(7)
sepuedeescribir
como
ComoIA-/A11<1,esevidenteque(AjA
I
)"sevuelvemuy pequellacuando11crece.Entonces para
11grande
Estoquieredecirque.a
lalarga.ladistribucióndeedadesseestabilizayesproporcionala v¡"
Cadagrupodeedadcambiaráporunfactorde Alcadaailo.Así.a lalarga.la ecuación(4)
aclúaigualque laecuación(1).Enelcortoplazo;esdecir. antesdealcanzarla"estabilidad",
losnúmerososcilan.La
magnituddeestaoscilación dependedelamagnituddeAJA!(quees
negativa.conloqueseexplica
laoscilación).
EJEMPLO1
(continuación)
Losvaloresyvectorescaracterísticosde Adeterminanel,comportamiento
degeneracionesfuturas
ParaA=[O2).setiene"A!-0.5)"- 0.6=O.esdecir.A =(0.5:!::JO.25+2.4}/2=(0.5:!::
0.30.5
:!:~2.65}/2demaneraque'''1'"1.06YA
2
'"-0.56.Estoexplica el6%deaumenlOen lapo
blación
queseobservaen laitl¡im,lcolumnadelalabia6.1. Correspondientealvalorcarac-
leristico
)"1=1.06.sccalcula()[ -1062)[,,)[0)
A-L06/v
l
= ~ = ol.06x
l
=2x¡
O.J-0.56x! O
demanera queVI=(0.~3) esunveclorcaracleristico.De manerasimilar,(A+O.56)"!=
[0.562)("J[0) [1 ).= demodoque0.56x
1
+2x
2
=OYv!= esunsegundovectorca-
0.31.06'\2 O -0.28
racteristico.Observe queen\',setiene1/0.53",1.88. Estoexplicalarazónp,Ip enlaquinta
j.~u.•
columnadelalabIa.
Oh.\'I!I'I'uóúll.Enloscálculos anterioresseperdiólaprecisiónporqueseredondeóasólodos
decimalesdeexactitud.Se
obtieneumlexactitudmayorutilizandouna calculadorademano
ounacomputadora.Porejemplo.alusaruna calculadora.esfácilcalcular "Al=1.06394103,
A,=-0.5639410298."1=[ 1 ).",=[ 1 )Yse vequelarazónde
- 0.531970515 .
-0.2819705149
Pj)p",,,es110.5319710515'"1.879801537.
Esnotablecon
cuántainformaciónsccuentaa partirdeunsencillocálculodevalores carac
terísticos.Es degraninteréssaber silapoblacióneventualmentecreceráodecrecerá. Aumenta
rásiAl>l.ylacondiciónparaqueestoocurraes(13+Jpl+4ak)/2>1oJI3!+4ak>2- 13
oW+4ak>(2- 13)1=4-413+13
2
.
Estoconducea4ak>4-413.osea
1-"
k>--"
a
(10)

6.2Unmodelodecrecimientodepoblación(opcional) 551
Enelejemplo1seteni<lp=0.5.a=0.3;entonces(10)secumplesik>0.5/0.3"'"1.67.
Antesdecerrarestaseccióndebenhacersenotardoslimitacionesdeestemodelo:
i.Lastasasdenacimiento ymuertecambianconfrecuenciade unarlOaotroydependenpar
ticularmente
delclima.Estemodelosupone unmedioambienteconstantc.
ii.Losecologistashanencontradoqueparamuchasespecieslastasasdenacimiento ymuerte
varíancon
eltamañode lapoblación.Enparticular.unapoblaciónnopuedecrecercuando
llegaaciertotanulllodebidoalosefectosdeunaalimentación
limilad<lyalasobrepobla
ción.
Esevidcntequeunapoblación nopuedecrecer enformaindefinidaallnatasacons
tantc.Deotramanera.
esapoblacióndominaria latierra.
problemaS62
De[osproblemasIa3encuentre e[númerodepájaroshembrasjóvenes yadultosdespués
de
1.2.5,10,19Y20años.Despuésencuentrelasrazonesa lalarg<ldepj..,IP~onydeT
n
aT
n
_1
[sugerencia:utilice[asecuaciones(7) y(9)Yunacalculadora yredondeeatresdecimales}.
l.Po=e~}k=3.a=0.4./3=0.6
11.p.=(1~):k=l.a=O.J.~=OA
lll.P.=(2~):k=4.a=O.7.~=0.8
IV.Demuestreque sia=pya>tentonces.a lalarga,lapoblacióndepájarosaumentará
siempre
sicadahembra <ldultaproducealmenosunahembraentresuscrios.
V.Demuestreque.a [alarga.larazónPj../p~."seacercaalvalorlimitek/"-I'
VI.Supongaque sedivide[apoblacióndepájarosadultosendosgruposdeedad:losque
tienenentreI
y5añosdeedad ylosmayoresde5años.Supongaque latasadesupervi
venciaparalospájaros
delprimergrupo esp,mientrasquepara elsegundogrupo esy
(yp>y).Supongaquelospájaros delprimergrupo sedistribuyenengruposdelmismo
tamañoencuantoasuedad(esto
es,sihay100pájarosen elgrupo.20tienen1al10.20
tienen2años,etc.).Formule unmodeloutilizandounamatrizde3 x3pararepresentar
estasiluación.
• MATLAB6.2
1.Considerelapoblacióndepájarosdadapor
A=(.~ .~)YPo=(I~)
fl)Encuentreelnúmerodepújaroshembrasadultosyjóvenesdespuesde 2.5.10y20años.
h)Encuentreestascantidadesdespués de21añosycalculc Pj)Pilo"ydeT"aT._
1
para11=2J.
[Sugermcia:UseelcomandosumdeMATLABparaencontrar T".jRepitapara 11=22.
23.24y25.¿Cuálessuconclusiónpara limn_ooPj)P~,,, ylímn_~T/T._
r
?
e)EncuentreIV,D]=eig(A).Verifiqueque elvalorcaracterísticodemayormagnitud espo
sitivoconmultiplicidadalgebraica
l.queexisteunvectorcaracterísticoasociadocuyas
componentessontodaspositivasyque
elotrovalorcaracterislÍco esestrictamentcmc-

552 C\l'iTULO6 Valorescaracterísticos,vectorescaracterísticos yformascanónicas
narenmagnitud.Compareestevalorcaracterísticomayorcon Iim"_~T/T
n
_I
,
Explique
porquéestosnúmerosindicanque lapoblaciónestácreciendo.
Sea
welveclOrcaracterísticoasociadoconestevalorcaracterísticomayor. Compare
\'/u',con lín\_~Pj)p"," yconk//...dondek=3YAes elvalorcaracterísticodemayor
magnitud.Escriba
ullaconclusiónsobreestascomparaciones.
2.Considerelapoblacióndepújarosdadapor
(/)Calcule¡V,DI=eig(A)yllseestainformación paraencontrarlimn~~Pj./P"." ylím,,_~
T./T"_I'E:l;pliquequepropiedadesdeVyDjustificansuprocedimiento.
h)Demuestrequelasrazones Pj)P",nyT/T"_Itodavíano sehanestabilizadodespués de
25anos.Calculelasrazones para11=46a50ydemuestrequedespuésde50 añosse
estabilizan.
e)
(Lápi::y {Jope!)Verifiquequeparaestapoblación elsegundovalorcaracterístico(el de
menormagnitud)estémáscercanoalvalorcaracterísticodemayormagnitudque enel
problemaI deestaseccióndeMATLAB.Describadequémaneraestoexplica porqué
lasrazones
depoblacióntardanmúsenestabilizarse.
3.Supongaquelainformaciónquesiguerepresentaunapoblación
devenadoshembras:
A~(O
.6
1) (IDO)
.8YPo=200
ti)Demuestrequea lalargalapoblacióncrecerá porunfactoraproximadode1.27.Justi
fiquesuprocedimiento.
h)(Lúpi::ypapel) Losgranjerosy olraspersonasdelúreanoquierenque lapoblación
crezca.Pueden
controlarlapoblación"cosechándola"(permitiendo lacaza).Si(¡esla
proporcióndepoblacióncosechadaencadaperiodo.analice porquélamatrizdeeste
modelosería
e)Demuestreque 11=.6esunacosechademasiadogrande:esdecir.lapoblacióndevenados
seextinguiria.(Laspersonasdeláreanoquierenque
seextinga.)Ofrezca dosargumentos
sobreesto:analizando
A"pocuando11creceyanalizandolosvalorescaracterísticos.
(f)Esposibleseleccionar (¡demaneraquelapoblaciónnocrezca nidesaparezca.Experi
menteconvariosvaloresde
h:examineAnpocllando11creceyexaminelosvaloresc¡\
racteristicosde
A.¿Quésepuededecirsobrelosvalorescaracterísticos deAcuandose
encuentra
la11deseada?
e)(Lápi::Jpopel)Expliquelosresultadosobservadosen elincisoti)entérminosde la
teoríapresentada enestasección.
4.Considereunapoblación depájaros(hembras)agrupadosentresclasesdecdad:jóvenes.Ia
5ai'losymás
de5ai'los.Supongaquelamatriz Asiguienteesunmodelo paraelcrecimiento
delapoblaciónyquePoeselvectordepoblacióninicial. dondeelprimerrenglónrepresenta
alosjóvenes:
elsegundoalgrupodeedadelHreI y5añosyelterceroaldemásde5años.

2
O
6.2Unmodelodecrecimientodepoblación(opcional) 553
~)yP"~[5~)
.6.4 50
ti)(Lápi:ypapel)Explique10querepresentacadaelementode laIllatrizA.
h)Caleulecuúntospújaros(hembras)dccadagrupohabrúen lapoblacióndespuésde JO
'-1110s.Para11=JIa35encuentre.usando elcomandoSUIIIdeMATLA B.T,/T"_IYW"=
\'"ISllIu(,).donde ""=A"pwExpliquccómo \'"dalaproporcióndelapoblacióntotal en
cadagrupodespuésde 11ailos.
¿Cuúlpareceser
elvalorde lin\~wTjT
n
_
l
?¿Cuúleslainterpretacióndeestelímite'!
¿Cuálpareceser
elvalorde lílll,,_ww)¿Cuúleslainterpre\<lcióndeestelimite?
c)Encuentre[V,DI=cig(A).Verifiquequeexiste unvalorcaracterísticopositivodemayor
magnitudyconmultiplicidad
1(yquelosotrosvalorescaracteristicossonestrictamente
menoresenmagnitud)yqueestevalorc<lracterístico"mayor"'tieneunvectorcaracterís
ticoasociadocuyascompone11lessontodaspositivas.
EnCLlenlrezz=z/surn(z).donde
z
eselvectorcaracterísticoasociadocon elvalorcaracterísticomúsgrande.Compare el
valorcaracterísticocon ellímiteproyectadode 1',/T"_1delincisob)ycomparezzconel
limitede w,,'Describalasconclusionesquepueda.obtenerdeestacomparación.
ú)(Lápi:)'papel)Extiendalateoriapresentadaenestasección,déunargumentopara
explicarsusobservacionessobrelosincisosanterioresdeesteproblema.
5.ti)Vuelvaatrabajar enelproblema14,incisos(1)ae)deMATLAB 1.6.Porconstrucción,
lamatrizPenesteproblema esestocástica:esdecir.loselemcntosencadacolumnade
Psumanl.
b)Encuentre[V,DI=eig(P).Verifiquequeexiste unvalorcaractcrísticopositivodemayor
magnitudconmultiplicidad
1(yquelosotrosvalorescaracterísticossonestrictamente
mcnorcsenmagnitud)yqueestevalorcaractcrístico"mayor"tieneunvectorcaracteris
ticoasociadocuyascomponentessontodaspositivas.¿Cuúl
eselmayorvalorcaracterís
tico?¿Cómoexplica
elcomportamientoobservadoen elincisoa).esdecir.elhechode
queparezcaque
P"xconvergea unvectorfijo y?
Encuentrc3000*z/sum(z).dondez eselvectorcaracteristicoasociadocon elvalor
característicomayor.¿Cuú!
essucomparacióncon elvectorlimite ~'?¿Cuúleslainter
pretaciónde
y?
dHaciendousodelosvaloresyvectorescaracteristicosencontradosen elincisob).en
cuentreladistribucióndcautomóviles
nlalargapara elproblema14g)deMATLAB 1.6.
Justifiquesuprocedimiento.Verifiquesurespuesta ca1culandof'''x cuando11crece.donde
Peslamatrizestocústicaquemodela elproblemayx esalgúnvectordedistribución
inicialdeautomóvilescuyascomponentessuman
1000.
'fJ(Lápi:ypapel)Supongaque Pesunamatrizestocásticade3x 3:esdecir.loselemen
tos
encadacolulII//(IdePsumanl.Argumenteporqué
¿Quédiceestosobrclosvalorcscaracterísticosde
Pi?Asuvez.¿quédiceestosobrelos
valorescaracterísticosde
P?¿Quérelevanciatiencesto enlosincisosanterioresdeeste
problema?

554 C,\I'iTlJLO6 Valorescaracterísticos,vectorescaracterísticosyformascanónicas
6.TeoriadegráficasLadefinicióndematrizdeadyacenciayotrasdefinicionesrelacionadas
seencuentranenelproblema11deMATLAB6.1.Paragrúlicasconexas.lamatriz deadya
cenciatienelaspropiedadesdeque
todoslosvalorescaracterísticossonreales.de queexiste
unvalorcaracterísticoposilivo
demayormagnillld.
Al"conmultiplicidadalgebr<lica1.de
queexisteunvectorcaracterísticoasociadocuyas componentessontodaspositivasyde que
losalrosvalorescaracterísticos SOllestrictamentemenores. enmagnitud.Así.setendría
que.paraunvectordadox,A"x'"),;alll
l
para1/grande.dondeu
1
eselvectorcaracterístico
asociadoconAl(aquíaleslacoordenadadexrespectoalabasedevectorescaracleristicos
quecontiene
a"1comoelprimervectorde labase).
u)(Lápi:
Jpapd)Expliqueporquesepuedeconcluir quelarazóndellna componentede
A"XellelaSllmadelas componentesesaproximadamenteiguala larazónde lacompo
nentecorrespondientede "1entrelasumadesuscomponentes.
h)(Lápi:ypapel)(A")ijsepuedeinterpretar comoelnúmerodetrayectoriasdelongitud 11
queconectanelvcrticcicon elvertice)(vealasección1.12.Porejemplo,unatrayectoria
delongitud2
queconecta
aicon)consistiríacnunaaristaqueconcc(¡la[conalgúnvérti
cekydespuesunaarista queconeclaalvénicekcon}).Sixesunvectorconcomponentes
igualesa
l.expliquepor
quelai-ésimacomponentedeA"Xrepresentaelnúmerototalde
trayectoriasdelongitud
11que
conect:Jnalvérticeicontodoslosdemásvértices.Explique
cómosepuedeconcluir quelasrazonesdelascomponentesdeA"xentrelaSllmadelas
componentesdaalgunaindicaciónde
la"illlpOfl(lIIcia"relativadelosvérticesde lagráfi
ca.Explique
porqliéYcómosepuedenusarlasrazonesdelascomponentesde
alenlrela
sumadelascomponentescomouníndicedela •.[//Iportml('Ía"decadavérticedelagráfica.
(Unargumentomússofisticadopara elusodelvectorcaracteristicocorrespondienteal
valorcaracteristico
demayormagnitudseconoce comoelíndicedeCold.)
dParacadaunadelasgráficassiguientes.verifiqueque lamatrizdeadyacenciatenga
laspropiedadesestablecidasen
lapresentaciónanterior
alincisoti)yanalicela"impor
tal/cia"relativadelosvértices delagráfica.Paralasgráficas i)aiii),usesuintuición para
argumentar.viendo lagráfica.porquetienensemidosusresultados.[Nota:paraqueseH
sencillalaintroducciónde lamatrizdeadyacencia.consultelapresentacióndelproblema
2de
MATLAB1.5.]
i.La
gráficaenelproblema11a)deMATLAB6.1.
ií.Lagdficaenelproblemallb)deMATLAB6.1.
íiLLagnificaenelproblema11e)deMATLAB6.1.
í\'.Supongaqueconsideramoslasiguientegráfica comolarepresentacióndelas rutas
delíneasaéreas entreciudades.Unacompailiadeseaelegirunaciudadparalocali
zarsuoficinamatriz.Despuésdeanalizarlagráfica.escribauninformealdirector
de
la
compai1íaconsurecomendación(yjustificación).
5
6
7
8

L:.
PROBLEMA
PROVEao
6.3Matricessemejantesydiagonalización 555
\'.Dibujeunmapadesuestado,creeunagrúficacuyosvérticessean[asciudadesim
portanlcsycuyasarislasseanlascarreterasprincipalesq lIClasconectan.Determine
la"illlpoffm/('i{/"relativadecadaciudad.Justifique yexpliquesuprocedimiento.
11:1MATRICESSEMEJANTES YDIAGONALlZACIÓN
Enestasecciónsedescribeunarelacióninteresante y(nilquesepuedecumplirentre dosma
trices.
DEFINICIÓN.aMatricessemejantes
Sediceque dosmatricesAyBde11X11sonsemejantessiexistellnamatrizinvertible e
de11XIIlalque
B=C-1AC
(1)
TRANSFORMACiÓN
I:::__~D~E,-"SECMOE"JAO'O,,,,A
Lafuncióndefinida por(1)quelleva lamatrizAen lamatriz8 sedenominatransformaciónde
sell1ejanza.Sepuedeescribiresta
lransformaciónlinealcomo
T(A)=elAC
¡V01(/.C-I(A
1 +A
1
)C=C-IAIC+C-IAcCyC-'(aA)C=erC-IIlCde maneraquelafUIl
cióndefinida por(1)es.dehecho. Llnatransformaciónlineal.Estocxplica elusodelapalabra
··transformación··.
Elpropósitodeestasecciónes demostrarquc:1)lasmatriccssemejantestienenvarias
propicdadesimportantes
comunesy2)lamayoríadelasmatricessonscmcjantesalasm,mices
diagonales(vealaobservaciónen
lapágina559).
¡Vofl,.Supongaque8=C-IAC.Entoncesallllulliplicar porlaizquierdaporC.seobtiene
CB=CC-IAe.osea
es=AC (2)
EJEMPLO1
Laecuación(2)confrecuenciase lomacornounadefiniciónalternativadcsemejanza:
Definiciónalternativa
desemejanza
AySsonsemejantessiysólosiexisteunamatrizinvertibleCtalque
CB=AC
•
Dosmatricessemejantes
Sea -2J[2yC-
-] -)
EntoncesCB~[2
-1
-2J~
-3
[
3
-IJ (2yAC=
I-) O
IJ(2-IJ(3-IJ= . Así.CS=ACComodete=
-]-) ])-]
I:;t:O.Cesin-
vertible.Estomuestra.
porlaecuación(2).que AyBsonsemejantes.

556 C\I>ll'l1.06 Valorescaracterísticos,vectores característICOSyformascanónicas
EJEMPLO2
TEOREMAa
LDEMosTRAOóN
EJEMPLO 3
Unamatrizsemejanteaunamatrizdiagonal
S"D:[~-!nAf~-;-'~] YC~[~;-;}c~;n"erl;blcporque
dele=J::#.O.Dcspuescalculamos.
CA~[~
41-6
-3
-"]['
4
I!)
1-1 2 8~O-1
57 , 2 7 6 10
DC~[~
OT43][2
4
I~]
-1OO1 -1~O-1
O2J57 6 10
EntoncesCA= DeyA=eIDC.porlotanloAyDsonsemejantes.
Notll.Enlosejemplos1 y2nofuencccS:lriocalcularc-
I
.
Sólofuenecesariosaberqueeera
nosingular.
SiAYBsonmatricessemejantes de11x11.entoncesAy8tienenelmismopolinomio
caraclcrislicoy.porconsiguiente.tienen losmismosvalorescaracteristicos.
ComoAYBsonsemejantes.B=C-'ACy
de«S-)J)~del(e'AC-)J)~ del[e'Ac-e'()J)c]
~de<[e'(A-A1)C]~del(e')del(A-)J)de<(e)
~del(e')de«e)de«A-)J) ~de«e'e) de«A-)J)
~delIde«A-A/)~del(A-Al)
Estosignificaque AyBtienenlamismaecuacióncaracterística.ycomo Josvalores
caractcrísticossonraicesde
laccuacióncaracterística.tienenlosmismosvalorescarac
tcrísticos.
Los
valorescaracterísticosdematricessemejantessonlosmismos
Enelejemplo2esobvio quelosv:llorescaracteristicosde D= [~-~ ~)sonl.-1Y2.En-
OO2
[
-6-}
tonccséSlossonlosvalorescaracteristicosde A=2I
22
cumplequcdel (A-f)=del(A+1)=det(A-2f)=O.
-25]
~.Verifiqueestoviendo sise
Enmuchas:lpliCllcionesresultalilil"diagonalizar"unamatriz
A.esdecir.encontrar Un:lrn:ltriz
diagon,llscmejal1lea
A.

DEFINICiÓN!El
TEOREMAEJ
6.3Matrices semejantesydiagonalización 557
Matrizdiagonalizable
Unamatriz Ade11x11esdiagolUllizablesiexisteunamatrizdiagonal Dtalque Aes
semejantea D.
Oh.H!I'I'aciáll,SiDesunamatrizdiagonal.entonceslosvalorescaracteristicossonsuscom
ponentes
enladiagonal(vea lapúgina531l.SiAessemejantea D.entoncesAyDtienenlos
mismosvalorescaracterísticos(por
elteorema1),Uniendoestosdoshechos seobserv<lquesi
Aesdiagonalizable.entonces Aessemejanteauna Ill<ltrizdiagonalcuyascomponentesen la
diagonalsonlosvalorescaracteristicosde A.
Elsíguienteteoremaestablececuúndounamatriz esdiagonalizable.
Unamatriz
Ade11X11esdiagonalizablesiysólositiene11vectorescaracterísticoslineal
menteindependientes.
Entalcaso,lamatrizdiagonalDsemejantea Aestádadapor
A,OO O
O
A,O
...O
D~OO A, O
OOO
A
"
dondeAl'A.~,....J."sonlosvalorescaracteristícosde A.SiCesunamatrizcuyascolum
nassonvectorescaracterísticoslinealmenteindependientesde
A,entonces
D=C-IAC
(3)
C.DEMOSTRACIÓN Primerosesuponeque Atiene11vectorescaracterísticoslinealmenteíndependientes \'1'
\.~,,..,\."quecorrespondenalosvalorescaracteristicos(nonecesariamentediferentes)
Al'A~.....A".
Sea
1
',,]1''']1""]
\'=C"\'=cn \' =c
l
"
,:'l:'....":
. . .
C"I c"' enn
ysea
Enlollees
eesinvertibleyaquesuscolumnassonlinealmenteindependientes.Ahora
bien

558 C.-\I'iTULO6 Valorescaracterísticos,vectorescaracteristicosyformas canónicas
[,,,
e
l1
"1"
el!
'")Ae= C;21
,,,
C'-ne'-le'-l e
ln
a"~
{/., 0,,"enl
'"'"
~sevequelacolumna¡deAeesA[:::]=Av¡=A,\'rAsí.Aeeslamatrizcuyacolumna
iesA¡viy
e
ni
[A""
Ale
ll
"~o]
Ae= A.I~"
A,e
12 A.c,-"
Ale.
1A
2
e.
2 A"e""
Pero
[,,,
el!
"1'
O
JJ
CD= C:"
1el' el.O
A,
",", en.OO
[A""
A
l
e
l2
'o.:
=AlellAle!! A"clo
I..IC"IAle"2 A"c""
Entonces
AC=CD (4)
ycomoeesinvertible,sepuedenmultiplicarambosladosde(4) porlaizquierdapor
C-Iparaobtener
D=e-IAC (5)
Estopruebaque siAtiene11vectorescaracteristicoslinealmenteindependientes,enton
ces
Aesdiagonalizable.Inversamente.supongaque Aesdiagonalizable;esto e~supon
gaque
(5)secump1cparaalgunamatriz¡nvertible c.Sean\'1'v
r'",v"lascolumnasde
C.EntoncesAC=CD,einvirtiendolosargumentosanteriores. sevedeinmediatoque
Av¡=,,¡v;parai=1.2....,/l.EntoncesVI'v
r
...,v"sonlosvectorescaracterísticosde
Aysonlinealmenteindependientcsporque Cesinvertible.
Notacián.Paraindicarque Deslamatrizdiagonalconcomponentesdiagonales Al'A,....A...
seescribirÍlD=diag(Al'A!,...,A,,J.
Elteorema2tieneun corolarioutilquesededucedirectamentedclteorema6.1.3.
púgina526.

6.3Matrices semejantesydiagonalizaClón 559
COROLARIO _ SilamatrizAde"xIftiene11valorescaracterísticosdiferentes.entonces Aesdiagona
lizable.
OhJ('rmeiáll.Siseseleccionanal azmloscoeficientesreales deunpolinomiodegmdo11enton
ces.
conprobabilidad1.elpolinomiotendr:"lJIraicesdiferentes.oesdilicil ver.intuitivamente.
porquéestosecumple. Si11=2.porejemplo.entonceslaecuación A~+(lA+h=Otieneraices
reales
siysólosia~=4h-uneventomuyimprobable siaybseeligenal azar-oPorsupuesto.
sepuedenescribirpolinomiosquetienenraícesdemultiplicidadalgebraicamayorquel.pero
sonexcepcionales.Porlotamo.sinpretenderprecisiónmalcmatica.esposibledecir
quelama
yoríadelospolinomiostienenraícesdistintas. Deestaforma.lamayoría delasmatricestienen
valorescaracterísticosdistintos
ycomosecstablecióalprincipio deestasección.lamayor/1(1"('
delasmatricessondiagonali7.ables.
~L_D_i_acgco_n_a_li_z_a_ci_ó_n_d_e_u_n_a_m_a_I_'_iz_d_e_2_x_2 __
SeaA=(;~JEnelejemplo6.1.3delap<igin<l528seencontrarondos\'ectorescaracte
rísticoslinealmenteindependientes\', =(_ ~)y\'!=(:).Después.haciendo e=(_ ~:)se
encontróque
CIAC=~(~,,-I)(~=)(2
2JJ -3
1)=~(1
153
-1)(26)1(5O)(1O)
2-36=5O30=O6
quees lamatrizcuyascomponentesen ladiagonalsonlosvalorescaracterísticos deA.
EJEMPLO 5 Diagonalizacíóndeunamatrizde3x3 contresvalorescaracterísticosdistintos
I
-1
-1
O
O
-2
",=[=:]y"=[~] Emo"",c=[-~
C'AC=-~[-~ =~ ~][: -~ -~][-~-:;]
-)O-321 -1 1-11
=-~[-~ =: ~][ -~ -~ ~]=-~[-~ I~ ~]=[~
-3O-3 23 OO -18 O
convalorescaracteristicosl.-2Y 3.
ScaJI=[~-;-~].Enelejemplo6.1.4.pÚgin:1529.secalcularontresvectorescaractcrísti·
21-1
'oslinealmenteindc]JC"dicotes", =[- ~J
Oh.~l!n·u(·;ó". Comoexisteunnumeroinfinito demanerasenlascualessepuedeelegirun \C{"
torcaracteríslico_e;'(isteunnumeroinfinito deformasparaseleccionarunamalrizdediagonali
zación
C.Elunicoconsejoeselegirlos"ectorescaracteristicosy lamatrizeque:.canlo:.de
massencillomanejoaritmélico.Entérminosgenerales.estoquieredecirquedebeinserlarxo el
mayornúmero decerosyunosposible.

560 CU'ínl.o6Valorescaraeteristicos,vectorescaracteristicosyformascanónicas
EJEMPLO 6
EJEMPLO 7
Oiagonalizac.iónde unamatrizde3x3con dosvalorescaracterísticosdistintos
ytresvectorescaracteristicoslinealmente independientes
SeaA=[~ ~;].Enlonces.delejemplo6.1.10delapagina532. setienentresvectores
423
c","ctecósticosliooalmen"independientes
",~[n",~[-~] y",~(-~l Estableciendo
C~[~-;-~]"obtiene
2OI
e'Ac~-i[=~ -;-~][~ ~ ;](~-;-~]
42 -54232 oI
~_~[=~-;-~](I:-;~]~_i(-1~ ~~]~(~ _~ ~]
42 -516o-1 oo 9o0-1
Esteejemploilustra queAesdiagonaliz.1blcaun cuandosusvalorescaraclcrislicosno sellO
diferentes.
Unamatrizde2x2consólo unvectorcaracterístico linealmenteindependiente
quenosepuedediagonalizar
SeaA=-(~ ~).Enelejemplo6,1,9de lapilgina532.sevioque Al/Otienedosvectores c:t
racterísticoslinealmenteindependicntes.Supongaque AfueradÍ<lgonalizable(loquecontradi
ce
elteorema2).EntoncesD=(~ ~)yexistiríaunamatrizinvertible etalqueC-1AC=D.
Multiplicandoestaecuacíón porlaizquierdapor eyporladercch:lporC-
I
.
seencuentraque
A~CDC'~C(~ ~JC'~C(4/)C'~4C1C'~4CC'~4/~(~ ~J~D. PecoA'"OY
por10tantonoexistetalC.
Sehavistoquemuchasmatricessonsemejantesalasmatricesdiagonales.Sinembargo.
qucdandosprcguntaspendicntcs:
i.¿Esposibledcterminar siunamatrizdada esdiagonalizablesincalcularlosvalores y
vcctorescaracterísticos?
ii.¿QuésehaccsiAnoesdiagonalil.able?
En]¡.lsiguientcsección sedaráunarespuestaparciala laprirncmpreguntayunarespuesta
completaa
lasegundaenlasección6.6. Enlasección6.7sevcraunaaplicaciónimportantcdel
procedimientodediagonalizaeión.

TEOREMAE:I
LDEMOSTRAClÓN
6.3Matricessemejantesydiagonalización 561
Alprincipiodeestecapitulo sedefinieronlosvalorcs yvectorescaracteríslÍcosparauna
transformaciónlineal
T:V~V.dondedim V=1/.Seestableciódespuésque Tsepuederepre
sentarporunamatrizde
11x11.selimilarúelanálisísalosvaloresyvectoresear¡lcteristicosde
matricesde
1/x11.
Noobstante.latransformaciónlíneal sepuederepresentarmediantediversasmatricesde
11X11distinlas-unaparacadabase elegida-oAhorabien.estasmatrices,¿tienenlosmismos
valorescaracteristicos?
Larespuestaesafirmativa.ysedemuestraen elsiguienteteorema.
Sea
Vunespaciovectorialdedimensíónfinitaconbases B
I
=1\'1'\'2" • \.)yB
2
=
{W
I
,"'l".wJ.SeaT:V~Vunatransform<lción1inea1.SiATeslarepresentación
matricialde
Trespectoa 1<1baseB
I
ysiC
reslarepresentaciónmatricialde Trespecto
labaseB
2
,
entonces.AryCrsonsemejantes.
Tesunatransformaciónlínealde Vensimismo.Delteorema5.3.3de lapúgína482. se
tiene
(O)
y
(7)
SeaMlamatrizdetransícíónde B
I
aB2"Entoncespor elteorema4.8.1,púgina370
(S)
paratodoxen V.Además
(9)
Sustituyendo(8)y(9)en(7) sellegaa
(10)
LamatrizMesinvertiblcpor elresultadodelteorema4.8.2de lapágina370. Sise
multiplícanambosladosde(10)porM-I(que eslamatrizdetransíciónde B~a8
1
),se
obtiene
Comparando(6)Y
(11),setiene
A,('J=,W'C,M(')
~, ~,
Como(12) secumpleparatodax EV.seconcluyeque
Esdecir.AryCrsonsemejantes.
(11)
(12)

562 C-\I'iTl,LO6 Valorescaracterísticos,vectorescaracterísticosyformascanónicas
problema563
AUTOEVALUACIÓN
I'aralossiguientesenunciados,diga sisonfalsosoverdaderos
1.Siunamatrizde11X11tiene11mlorescaracterísticosdiferentes,sepuedediagonalizar.
11.SilamatrilAde5X5tienetresmlorescaracterísticosdiferentes,entonces Ano
11Iledesersemejantealamatrizdiagonal.
111.SiAessemejantealamatriz[~ ~:],entoncessus\'alorescaracterísticosson 1,2
y3. OO3
Dclosproblemas1 al20determinesilamatrizdada Aesdiagonalizable.Deserasi.encuentre
lInamatrizetalqueC-Ifle=D.VerifiquequeAe=CDyqueloselementosdistintosdecero
deDseanlosvalorescaractcristicos deA.
1.(=:-~)
4.(~ =~)
10.[-:;-~]
OI -1
13.[:~:=:J
16[_:j_~]
[
-2-2OO]
-)Ioo
19.
oo 2-)
oo 5-2
2.(_~ -~)
5e=~)
8.[-i~~-:]
IL[~~~]
14.[~ ~~=;]
17.[-;-~~ =~]
20[-~-i~-;]
3.U=~J
6.e-~)
9.[~ ~:]
12[~~;]
15.[;-~ =~]
6-2-3
18.n-:-~]
21.Demuestreque siAessemejantea ByBessemejantea e,entoncesAessemejantea C.
22.SiAessemejantea!J.demuestreque A"essemejantea B"paracualquierenteropositivo 11
*23.SiAessemejantea B.dcmueslrequepeA)=p(B)YveA)=v(B)[.l'IIgtTl'l1cia:primerode-
muestrequesieesinvcrtible.entoncesv(CA)=veA)demostrandoquexENAsiysólosi
xENCA.Oespuesdemuestrequep(Ae)=peA)demostrandoque RA=RAe.Concluya
quep(AC)=p(CA)=peA).Porúltimo.use elhechodeque c-
I
esinvertibleparademos
trarquep(-IAq=peA)].

6.3Matricessemejantesydiagonalización 563
24.SeaD=(1O'.CalculeD'!fJ.
O-1
1
25.SiAessemejantea B.demuestrequedet A=detB.
26.Supongaque c-IAC=D.Ocmuestrequepar.!cualquierentcro 11.Aa=C/)"C-
I
•
Estopro·
portionaunaformasencillaparacalcularlaspotenciasdeunarnalrizdiagonalizable.
(
3
-4
27.SeaA= . CalculeA:!O[slIgerl'llálf:encuentreetalqueA=CDC-I].
2-3,
*28.Sea Aunamatrizde"X/1cuyaecuacióncaracterísticaes (A-<')"=O.Demuestreque A
esdiagonalizablcsiysólosiA=d.
29.Useelresultadodelproblema26y elejemplo6 pamcalcularA10.siA=[~ ~ ~ '.
..J23,
*30.Sean JIyBdosmatricesre:llesde 11X11convalorescaracteristicosdistintos..Demuestre
que
AB=BAsiysólosiJIyBticnenlosmismosvectorescaracterísticos.
31.
SiAesdiagonalizable.demuestrequedet A=Al'A~.....A•.dondeAl.A~.....A.sonlos
valoreseamcterísticosde
A.
MANEJO DELACALCULADORA
HP509
EnlaHPSOgesmuysencillodiagonalizarunamatriz, Secomienzaconlamatriz Ade11
X11Yseencuentransusvaloresyvectorescaracterísticos. Sisetienen11vectorescarac
terísticoslinealmenteindependientes(loquedebeocurrir
siAtiene11valorescaracterís
ticosdistintos).entonces
Aesdiagonalizable.LaHPSOgdalosvectorescaracterísticos
comocolumnasdeunamatriz
ylosvalorescaracteristicoscomoelementosde unvec
tor.UtilizandoelcomandoOIAG->esposibleconstruirunamatrizdiagonalapartir
deunvector.Porejcmplo
sisetienelamatrizA=[-~ ~-~]ysequierediagol1alizar,
-121
primcroobtenemos losvectoresyvalorescaracterísticos.ydespuésconstruimoslamatriz
diagonal.Procedemoscomosiguc.escribimos
lamatrizen elprimerrenglóndelapila
fl-~ fl~~
CDCXlCDCXlCD®CD,,<-w J®QJ(D
Ut\lnl":1...'1'
<IOI(.nu
1
1.-1.4.,
3.2.-1.
2.1.-1.m:IIBml!lilD _

564 Valorescaracterísticos,vectorescaracterísticos yformascanónicas
(ALPHA)(ALPHA)~C3~(ENTER) (ejecutandoelcomandoparaobtenervaloresy
vectorescaracterísticos).
M~ "V~ "[~ ~NT
(KO.[hU}
[
.S-.251.1
1.1.-lo
.5.25-1.
1: [3.1.-2.]ommDl!IlIlI _
(J ~N
Especificamosladimensióndeb malTizdiagonalquequeremosformar C3JCX)
MD"nH[~RNT
{.o.n
[
.S-.251.1
1.1. -1.
.5.25-1.
2: (3.1.-2.]
1: <S.3.}
IDmllllitJlBlIltIiiII__
ElegimoselmenÚdeoperacionesdematrices(3]("";"1
::~"MT&I(ES.rnu
o'
'Mmi!
4'
l.on~"1I0ns,.
8'
1.r~CTO~lZftllon ..
'1
~,QU"OMII( rORR..
J.LlnEA"SV:iTEHL,
t.LmEilRilPP".,
2'
7.E1~[nV[CTO~S ..
-2.]
1,
1.0[(10,.,. s.)
____OOlimElll
Escogemoslaopcióndecrearmatrices ydelasopcionesqueaparecenseelige lanu
mero7.
""'"'"1"'","H"Enu<HO.
I.CULu.n..
o'
4'
~.ROH,.
¡.•UGREnl
3'~_IDn
1.15.(On .,
~.....I~G 1.
2'
fM,"!
·2.]
l'
3.,[1
3.}
____w:imll!llll
Comoresultadoseconstruye lamatrizdiagonaldedimensiones3X3apartirdelos
valorescaracteristicos
"'O"YZ~[~ ~NT
{Kn.El
[
,'-,251.1
1.1.-1.
.5.25-1.
['o'."10.1.0.
0.0.
-2.
c:mim:!!lliIImm__

6.3Matrices semejantesydiagonalización 565
Enelrenglón2aparece lamatrizdetransformación eyenelrenglón1apareceladia-
gonalizaciónde
lamatrizoriginal.
Delosproblemas32al35encuentreunamatriz etalque C-'ACseaunamatriz
diagonal.
[-;
12
~]
['02
-11
56]34
32. 33.
38-4975
2O
83123-67
81
1316121418
[-0.031
0.082
0095]
2621192716
34.-0.0460.067-0.081 35.3129374156
0.055
-0.0770.038 51382946 33
6141293850
RESPUESTAS ALAAUTOEVALUACIÓN
1.V
• MATLAB6.3
11.F 111.V
1.Vuelvaatrabajar enelproblema8deMATLAB6.1.
2.Generetresmatricesaleatoriasde 4x4ytresmatricesaleatoriasdc 5X5.Encuentrelos
valores
yvectorescar<lcteristicosdecadallnausando IV,D]=cig(A).
a)¿Conquéfrecuenciasondistintoslosvalorescaracterísticos?¿Porquépiensaqueesto
escierto'!
h)ParalasmatricesparalasqueVesinveniblc.verifiqueque A=JDI"l.
3.(1)Paralamatrizen elproblemaIde MATLAB6.1.utilizandolainformaciónqueda el
problema(no usecig).verifiquequelosvectoresC,lracterísticosformanunabasepara 1).1
yencuentrermllricesC yD.conDdiagonal.talesque.-l =CDC-I.Confirmesurespues
taverificandoque A=CDC-I.
h)Sigalasinstruccionesdelinciso aj.perolrtilieelamatrizy lainformacióndelproblema2
de
MATLAB6.1[enestecasolosvectorescaracterísticoslormarúnuna b¡lseparaC~J.
4.a)Co,,,¡d,,,'",,,,,,,¡, Ad"d"",seg"¡d,,, ~I=[-i~i-:]
Formeti=cig(A)Ydd=d·...20(observeelpuntoantesde """.esimportante).FormeE
=diag(tld).Encuentre [V,OI=rig(A).Veriliqueque E=D!OI.Expliqueporquésecumple
esto.Demuestreque
A'u=VEV-
I
•

566 CWiTULO 6Valorescaracteristicos.vectorescaracler[sticosyformascanónicas
h)Rcpilalasinstruccionesdelinciso a)paralamatriz
l
)
9.;-2
-lO-41.510
A=
623.5-5
-10-4310
e)(Lúpi::J'papel)Trabajeen elproblema26anferior.
-,0,5)
44.5
-24.5
45
5.Gl.'omclríaUna lmmizAde11X11definellnatransformaciónlineal TdeaporT{x)=
Ax.Nosinteresadescribir lageometríadeesastransformacioneslineales.
(1)(Lápi:)'papel)SixesunvectorcaracterísticodeAconvalorCllracteristicoAcmonees
Ax=Ax.SiA>O.¿cuúles1<,interpretacióngeométrica delefcclodelatransformación
linealsobre x?
h)(Ltipi:)'papel)Expliqueporquéycómoesciertalasiguienteafirmación. SiJIesdia
gonalizablcconvalorescaracterísticospositivos..entonces lageometríadelatransrorma
ciónlineal
dadaporAsepuededescribir porcompletoentérminos deexpansionesy
compresionesalolargo delosvectoresdeunabase.
e)Verifiquequelasiguientemmrizesdiagonalizableconvalorescaracterislicospositivos.
Describalageometria[en
elsentidodelinciso b)Jdeestamatriz. UsandoestainrOrm¡l·
ciÓn.bosqueje
laimagen(despuCsdeaplicarlatransformación determinadaporla
matriz)delrectangulo convérliccsen (l.1).(l.~1).(-l.1)Y(-l.-1).Describasu
razonamienlo(sidesea
unadescripción.quizá:mejor.delosvectorescaracteristicos que
ladadaporeig.encuenlrelaformareducida porrenglonesdeA-Al.dondei\esun
valorcaracteristico).
(1)ParacadamatrizA dada.verifiquequeAesdiagonalizableconvaloreseafllcterísticos
positivos.Escríba
unadescripcióndelageometriaigual queenelincisob).
[
15-31
i.A=20.5-44
26.5-58
17]
24.5
32.5
ii.Sea8unamatrizaleatoriarealde3X3Ysea A=8'8.
6.Considerelassiguientesmatrices:
A=(22-10)
50-23 (
8
J)
A=
.55.5(
5
-117] (26-6840]
A=-2 12 A=19-5635
-67O 15-5033
a)!)aracadamatrizA.encuentrec =cig(A)yd=del(A).Explique porquéAesdiagona
lizabte.Obtengaunaconclusiónsobrelarelaciónentrelosvalorescaracteristicos deAy
eldeterminantedeA.
h)Pruebesuconclusiónconlasmatrices dadasenlosproblemas1 y2deMATLAB6.1.
(.)(Lúpi:Jpapel)Completelasiguienteafirmaciónconsuconclusiónydespuésdemues-
trela:
siAesdiagonalizable.entoncesdet(A)es _

6.4Matricessimétricasydiagonalizaciónortogonal 567
I!IMATRICESSIMETRICASyDIAGONALlZACIÓN ORTOGONAL
Enesl<lsecciónseveTÚquelasmatricessimélricasreales
ttienenvariaspropiedadcsimportan
les.Enparticular.sedemuestraquecualquiermatrizsimétricarcalticne 11vectorescaracterís
ticosrealeslinealmenteindependientes
y.porlotanlO.por elteorema6.3.2. esdiagonalizable.
SecomenzarademostrandoquelosvalorescaracterísticosdcunamHtrizsimétricarealson
rcales.
TeOReMAa
eDEMOSTRACiÓN:
SeaAunamatrizsimétricarealde 11x11.Entonceslosvalorescaracterísticosde Ason
reales.
Sea
ÁunvalorcaracterísticodeAconvectorcaracterístico \';esdecir.Av =AV.Elvector
\'estáenC"yelproductoinlemaenC"(vealadefinición4.\1.1.página432,y elejemplo
4.11.2satisface
(ax,y)=O'(x.y)y(x.ay)=a(x.y)
Entonces
(A\',v)=(Av.v)=Á(v,v)
Másaún,por elteorema5.5.\delapágina519,y elhechodeque A'=A
(Av,v)=(v.A'v)=(v,Av)=(v.Av)=I(\'.\,)
Igualando(2)Y(3)setiene
(1)
(2)
(3)
Pero(v,v)=11\'112"*OyHquev esunvectorcaracterístico.Entonces sepuedendividir
ambosladosde(4)entre (v,v)paraobtener
SiA=a+ib.entoncesI=a-ibYde(5)setiene
a+ib=a-ib (6)
loquesecumplesólo sib=O.EstomuestraqueA =a;porlotantoA esrealy lade
mostraciónquedacompleta.
Sevioeneltcorema6.1.3delapúgina526.quelosvectorescaracterísticoscorrespondien
tesavalorescaracterísticosdiferentessonlinealmenteindependientes.
P,lT<1matricessimétricas
rcales
elresultadoesmúspoderoso:los l"I!ClOrI!Scarac/erislicosde1/1/(//IIatri:simétricareal
corrl!~po/ldiellfes a\"olorescarac/erislicosdijerl!lIIes .1'0/1or/ogollales.
.,---
RecuerdequeAesS1melrlCiISIysoloSIA'A
,EstademostraoónUSilmaleroaldelassecCIone,411Y55Y debeomitirsesinosecubrieror'l

568 C~l'iTllLO 6
TeOREMAE3I
Valorescaracterísticos,vectorescaracteristicosyformascanónicas
SeaAlInamatrizsimétricareal de11XJI.Si"'1YA,sonvalorescaracterísticosdiferentes
convectorescaracterísticosrealescorrespondientes \'1y\',entonces\'1yl',sonortogo
nales.
LDEMOSTRACiÓN Secalcula
(7)
y
(8)
TeOREMAE:I
DeFINICiÓNa
Combinando(7)y(8).setiene1..
1
("1."z)=),ivr.",) ycomoAl-:¡.1,.2seconcluyeque
"1.",=O.Estoes10quesequeríademostrar.
Ahoraesposibleestablecer elresultadomúsimportantedeestasección.Sudemostración,
queesdificil(yopcional).estádadaalfinal.
SeaJIunamatrizsimétricarealde 11X11,entoncesAtiene11vectorescaracterísticos
realesortonormales.
Oh.\'I'ITlfdÓfI,Deesteteoremasederivaquelalllultiplicidadgeométricadecadavalorcaracte
rísticodeAesiguala sumultiplicidadalgebraica.
Elteorema3dicequesiAessimétrica.entoncesJ!'tieneunabaseB=JUI'u
r....u)que
consisteenvectores característicosortonormalesdeA.SeaQIHmatrizcuyascolumnasson"l'
u!,...u".Entoncesporelteorema4.9.3.página393. Qesunamatrizortogonal.Estollevaa
lasiguientedefinición.
Matrizdiagonalizableortogonalmente
SedicequeunamatrizAde11X1/esdiagonalizablcortogonalmcntc siexisteunamatriz
ortogonalQtalque
Q'AQ~ O
dondeD=diag(Al'J"T'". A)YAl'1,.2"..,A"sonvalorescaracterísticosdeA.
(9)
No(".RecuerdequeQesortogonalsiQ'
Q-IAQ=D.
Q-I;por10tanto(9)sepuedeescribircomo
TeOREMAa SeaAunamatrizrealde 11x1/.EntoncesAesdiagonizableortogonalmentesiysólosi
Aessimétrica.

LOEMOSTRAOON
6.4Matricessimétricasydlagonalizaciónortogonal 569
SeaAsimctrica.Entoncesdcilcucrdo conlosteoremas2y3. Aesdiagonizableono
gonalmenteconlamatrizQcuyascolumn'lssonlos"eclQrescaracteristicos dadosen
elteorema3.Inversamente.supong;t queAesdiagonizableortogonalmente.Entonces
existe
unamatrizonogonalQtalqueeAQ""D.Almultiplicarestaecuación porla
izquierdade
ºyporladerechapore.yutilizandoelhechodequeeQ""QQ'""l.se
obtiene
A=QDQ' (10)
EJEMPLO1
EntoncesA'""(QDe)'""(0')'/)'0'""QDQ'""A.Asi.Aessimétricay elteoremaquedó.
demostmdo.En
laultimasericdeccuólcioncsseutiliz. ...ronloshechos deque(AB)'=8'A'
(parte;1)delteorema1.9.1.pagina 119].(A')'""A[parte;)delteorema1.9.1) y[Y""D
pan!cualquiermatrizdiagonal D.
Antesdedarejemplos..se proporcionaelsiguienteprocedimiento detrespasospar¡¡encon
tmrlamatrizonogonalQquediagonalizala m.mizsimétricaA.
Procedimientoparaencontrarunamatrizdiagonalizante Q
i.EncuentreunabaseparacadaespacioCaractcrísticodeA.
ii.Encuentre
unabaseortonormalparacadacspaciocaracteristico deAusandoel
procesodeGram-Schmidtoalgúnotro.
iii.Escriba
Qcomolamatrizcuyas columnassonlosvcctorcscaracterísticosortonorma
lesobtenidosenelpasoii).
•
Diagonalizacióndeunamatrizsimétricade2x2 usandounamatrizortogonal
('-2) 1'-1.-21SeaA = . EntonceslaecuaciónC,lr;lctcrísticadeAesdet(A- AD= =
-2J -23-1.
A!-4A-I=O.quclienedosraicesA=(4:!:.fiO)/2=(4:t2J5)/2=2~J5.ParaAl=2-J5se
(
-'+15-21(x)(0) ..(2)obtiene(A-Al)"= r: .1= .Un "ectorcaractenSllCOes \'!=_ r:
-2 1+...;,.\:O 1 +..,¡S
r; [-,-15-2)[X)(0)['-151Dcspués.paraA!=2+v5secalcul:.(A-A/),''''' r: I= .r"~= .
-2 I-...;s-"1 O 2
Obser"eque\'1.\.!=O(loquedebeserciertosegun elteorema2).Entonces l"J=JIO-2J5
demaneraqueu,= I[1-J5}
-JIO-2152

Porúltimo,
y
Q
Q
I[21-15]
JIO-215-1+152
I[21-15]
JIO-215-1+152
Q'AQI[2
10-2151-15
1[2
10-2151-15
-1+15](2 I- 15]
2-1+152
-1+15][4-215-J-15]
2-7+J154+215
EJEMPLO2
I(30-1415O](2-15O]
10-215 O 10+615~°2+15
Diagonalizacióndeunamatrizsimétrica de3x3usandounamatrizortogonal
seaA=[; ~ ~].El1\OnCCSACSSilTletriCaYdet(A-A/)= 5~A 5~A ~=-(1...-lf
222 2 2 2-A
(A-10).SecalculanlosvectorescaraeteriSlicoslinealmenteindependientescorrespondientesa
A~L',~[-i]Y',~[-~JCocccspondl,nte"Á~10",nc""m"',~[;J
Paraencontrar Q.seaplicaelprocesodeGram-Schmidta {\'I'")1,llnabaseparaEl' Como
[
-1/12]
Iv,l=fi,sehaccu,=ffi.Después
[
-1][-1/12][-1][-1/2][-1/2]
,;~"-(",,,)u,~ ~-h~/12 ~ ~- ~2 ~-~2
[
-1/
2
]
[-1/312]
Entonceshl=J18/4=3fil2Yu
1
=3h-1/2=- IjJfi'Estoseverificaobservando
2 4/312
[
2/3]
queu
l
• u~=O.Porultimo.setieneu J=V311"JI=1v3=2/3. Tambiénsepuedeverificarob-
I/J
servandoque u
l
•
u,=Oyu
1
.
u
1
=O.Porlotanto.

DEMOSTRACiÓN
~DELTEOREMA:3
MATRIZ
LHERMmANA
MATllIZ
LoUNITARIA
L.
TRAHSPUESTA
CONJUGADA
6.4MatricesSimétricasy diagonahzaciónortogonal 571
[-I/J2
-1/3J2
2/3]
Q= -1~J2-1/3J22/3
43J21/3
Y
[-J/J2
1/J2
Of·2r/
J2-1/3J2
2/3]
Q'AQ=-1/3J2-1/3J2./3J2•52-1/J2-1/3J2JI'-,
JI'2/3 1/3222 O./3J21/3-,
[-1/J2
1/J2
Or/J2-1/3J220/3][1
O
I~]
=-1/3J2-1/3J243J21/J2-1/3J220/3=O1
2/3 2/3 1/3O43J210/3OO
Enestasecciónseh.m probadoresultadospammatricessirnctricasreales.Estosresulta
dossepuedenextenderam:nrices complcj:1S.SiA=(u~)esunamatrizcompleja.entoncesla
transpuestaconjugadade
A.dcnot:ld..porA·.cstúdefinidaporelelememoijdeA·=a.La,
matrizAsedenominahermili:1II3siA*=A.Resultaque losteoremas1.2Y3t<lmbiénson
ciertosparalasmatriceshermilianas.Tod,I\'i;¡más. sisedefineunamatrizunitaria comouna
matrizcompleja UconU-=U-l.entoncesusandolademostración dellcorema4.sepuede
demostrarqueuna nUllrizhermilianaesdiagonalizableunitariamcntc.Estoshechossedejan
comoejercicios(\'ealosproblemas
17a19deest"sección).
Seconcluycestasecciónconunademostnlcióndclteorema 3.
Sedemostraráque ¡¡lodovalorcaracterístico Ademultiplicidadalgebraica k.correspondcnk
vectorcscaracterísticosononormales.Este P¡ISOcombinadocon elteorema2.dcmostrarúeltco
rCIll:!.Sea11
1
unvectorcaracterísticode JIquecorresponde ¡¡Al'Sepuedesuponerque 11111=l.
Tambiensepuedesuponerque
tl
l
esrealporquc Alesrealy u
l
€N,-1../elespacionulode la
matrizrC<l1A-A/Esteespacionulo esunsubespaciode I?'porelejemplo4.6.1OdclapúginH
337.Oespuesseobservaque ~ulfsepuedecxtenderallna b¡tselul.\'!'\'.l•...•\")p¡lra1::"".y
mediante
elprocesodeGralll-Schrnidtestosepuedeconvenir enllnabaseortonormal lUlo
u;.....11).SeaQlamatrizOrlogon,tlcuyascolumnasson 11
1
,
II
J
•••••u"'Porconl'cnicnci:1de
notaciónscescribc
Q=(U
I
•
11......u.,l.Ahor¡¡bicn.Q esinvcnibley Q'=Q'.dcm¡lIlcntque
AessemejanteaQ'AQ. ypor"clleorcma6.3.1.p:".gina556.Q'AQYAtienenelmismopolino
miocaracteristico:IQ'AQ-
,,~=lA-1..11.Entonccs
u,
11'.
Q'=
u.
dcmaneraque
Q'AQ=
•
'le'aelPIt'delaPd9'526
elllE'ffiPOlopefmte
,
u,
u;
A(u
l
•U
••
[
,
u,
u'
...u.)=:'(Au,.Au,..... Au.)
u:

572 C\I'ITlI.O6 ValorescaracteristlCos,vectorescaraderlstlCOSyformascanónicas
[u;
[A'
u;Au:
U;AU_j
u'
()'IU
I
,Au~....Au.l~!
u~Au: u~Au~
= !
u: u:Au: u:Au.
Loscerosaparecen porqueu~u,=u,.",=Osij#1.PoraIrolado[O'AQI'=O'A'(O')'=Q'AQ.
Asi.Q'AQessimétrica.loquesignificaquedebehabercerosen elprimerrenglónde Q'AQque
concuerdenconloscerosdelaprimer:!columna.Entonces
\
OO O
O
(fe:(jCJ q,"
Q'AQ=Oq):(f33 lJ),¡
O
l/.:'1.3
"-
Y
Al-A O O O
O
lJ!2-A q:J qt_
iO'AQ-)JI=O
9,:q'J-). q,.
O
q.: 'Id '1-
-A
'loo-1. q!J q:.
=(1.,-1,)
q): 'J_'J-le...
l/l•
=(1.-1.,)IAf,,(I.)i
(J.: 'Id 'l.-1.
dondeM,pI.)eselmenor1.1deQ';lQ- 'Al.Sik=1.nohaynadaquedemostrar.Sik>1.
enlonceslA-AlIcontieneelf;lctor(A-AY.yporlotantoJQ';lQ- A~lambiencontieneel
factor(J.-A/.EntoncesI"'IP.)IcontieneelfactorA- Al'loquequieredecirqueIMlIlA)1=
O.Estosignific¡lquclasúltimas11-IcolumnasdeQ'AQ-A/sonlincalmcntedependientes.
Comolaprimeracolumnade(lIlQ-Al/eselvectorcero.setiene que(lAQ-2
1
/
contiene"
10mús11-2columnaslinealmenteindependientes.En otraspalabras..p(Q'AQ-'A/):s11-2.
PeroQ' AQ-Al/yJI-'A/sonscmejanles:asi.del problema6.3.23.p(A-'A/):s11-2.Por
lotanto.v(A-'A/)~2loquesignifico.queEi.=núcleode (A-'A/)contienealmenosdos
\'cetoresc:lr.lctcrísticos linealmenteindependientes.Sik =2.ladcmostracióntermina.Sik>
2.enloncessetomandos\"cetoresortonormalesu
l
•
u~enEi.Yseexp:lI1dena unanucvabase
ortonormallu,.u!,"..u.:pardysedcfineP=lUlou~.."..u.1.Entonces.justocomose
hizo.se
demuestr.lque
1.
1
-
A.O O O O
O
Al-A. O O O
P'AP-AJ=
O O 13"-A
~"
~,-
O O
~"
~44-}, ~..
O O
~"' ~".
~""-1.

problemas64
6.4Matricessimétricasydiagonalizaciónortogonal 573
Comok>2,quedademostrado. comoantes.que eldeterminantedelarn,llrizelllrecorchetes
escero
cuandoA"=')'1'locualdemuestraque p(P';fP-Al)::511-3demaneraqlle v(P'tIP
AlJ"='v(A-Al)~3.Entollcesdim E ~,~3.Yasisucesivamente.Esevidcntequesepuedeeon
tilllwresteprocesopara
dcmostrarqtledimE)."='k.Porültirno.encadaE~,;sepuedeencontrar
unabaseortonormal.Estocompleta laprueba.
AUTOEVALUACiÓN
Indi(IUCsilossiguienteselluncill{lossonverdaderoso(¡lisos.
1.Losvalorescaracteristicosdeunamatrizsimétricasonreales.
11.Los\'ectorescaracteristicosdeunamatrizsimétricasonreales.
111.Todamatrizsimétricarealessemejanteatillamatrizdiagonal.
IV.Silamatrizreal Asepuedediagonalizar.entoncesexisteullamatrizortogonal Qtal
(ItleQ'AQesdiagonal.
V.SiAesrealysimétrica,entoncesexisteunamatrizortogonal QtalqueQ'tlQl'Sdia
gonal.
VI.Unamatrizsimétricaeshermitiana.
VII.Unamatrizhermitianaessimetrica.
DelosproblemasIal
10encuentrelamatrizonogonalQquediagoJ1¿llizalamatrizsimétric<I
dacl;¡.Despuésverifiqueque
Q'AQ=D.tinamatrizdiagonalcuyascomponentesdiHgonales
sonlosvalorescaracterísticos
deti.
7.n-;~]
3.(3-:)
-1,1.(~ _~)
5.[-:-:=:]
-1-1 1
8.[-~ ~i-:]
2(:~)
6.[-;~i-;]
.[~ ~ ~]
10.
1
-1
O
O
-1
O
O
O
•.[1-1)
-1 1
OO
OO
OO
O2
11.SeaQunamatrizortogonalsimétrica.Demuestreque siAesunvalorcaracteristicode Q.
enloncesA =::!:l.
12.AesortogolUlhnentesemejantea Bsicxistelln;lmatrizortogonal QtalqueB=Q'AQ_Su
pongaque
tiesortogonalmentesemejantea8 yquc13esortogonalmentesemej,ll1tea C.
Demuestreque tiesortogonalmentesemejantea C.
.("bJ13.Demuestreque SIQ= esortogonal.entonces h=::!:c.[slIgen-'llcia:escribalasecua-
('d
cionesque scobtiencnde laecuaciónQ'Q"='JI.

574 C,U'iTULO6 Valorescaracterísticos,vectorescaracterísticosy formascanónicas
14.SupongaqueAesunamatrizsimétricareal paralaquetodossusvalorescaracteriSlicos
soncero.Demuestreque
Aeslamatrizcero.
15.Demuestreque
siunamatrizrcal Ade2x2tienevectorescaracterísticosortogonales.
entoncesAessimétrica.
16.Sea Allnamatrizrcalanlisimétrica (A'=-A).Demuestrequetodovalorcélracteristicode
AesdelaformaiIT.donde(l'esunnúmerorea1.Esdecir.demuestrequetodovalorcarac
terísticodeAes/lIlnúmeroinwgirl.1rio.
*17.Demuestre quelosvalorescaracterísticos deunamatriz hermitianacomplejade11X/1son
reales
[sl/gerellcia;uliliceelhechode queenC"(Ax.y)=(x.A*Y)1.
*18.SiAesunamatriz hermitianade/1X/1,demuestreque[osvcctoresc¡¡racteristicoscorres
pondientesavalorescaracterísticosdistintossonortogonales.
**19.Repitiendo
lademostracióndelteorema3.perosustituyendov;porv;cuandoseaconve
niente.demuestre
quecualquiermatrizhermitiallade 11X11tiene11vectoresc<lracteristicos
ortononnales.
(
11
-o;J.
20.Encuentreunamatrizunitaria UtalqueV*AVesdiagonal.dondeA=
1+i
(
23
-53;).
21.Haga lomismoparaA=
3+3i
22.Demuestre queeldeterminantedeunamatriz hermitianaesreal.
RESPUESTAS ALAAUTOEVALUAClóN
,.V 11.V 111.V IV.F v.V VI.F VII.F
• MATLAB6.4
1.a)(Lápi:ypapel)SiAesunamatrizsimétrica aleatoriade11xn.entoncesseesperaque
Atengavalorescaracterísticosdistintosy quelosvectorescaracterísticosasociadosseall
ortogonales.Explique
porquésepuededecirqueseespera queexistaunabase ortonor
malparal!"queconsisteenvectorescaracteristicosde A.
b)Generecincomatricessimétricasale<ltorias A(notodasdelmismotamaJ1o)generando
matricesrealesaleatorias BydespuésrormandoA=triu(B)+triu(B)'.Para cadamatriz
Agenerada,verifique loqueseesperasegún elincisoa).Verifiquequeexisteunamatriz
Qyunamatrizdiagonal Dtalesque A=QDQ'.
2.SiAesllnamatrizdevalorescomplejos. entoncesA'"sepuedeencontrarcomoA'con
MATLAB.
GenereunamatrizAaleatoriadevalorescomplejosde4X4(useA =B+i*C.
dondeByesonmatricesaleatoriasdevaloresreales encontradasconelcomandorand).
Genere
lamatrizH =triu(A)+triu(A)'.
(()VerifiquequeHeshermitiana.Encuentrelosvalorescaracteristicos deH.AuncuandoH
es
devalorescomplejos.¿quéobserva sobrelosvalorescaracterísticos?
h)Repitalasinstruccionesdelproblema1deestasecciónde MATLABperocambielapa
labra
silllélricaporhermiliw/{/,cambie~por{;"ycambieQ'porQ*.
3.Geometría SupongaqueAesunamatrizrealsimétricade2x 2.Entoncesexisteunama
trizdiagonal
Dyunamatriz ortogonalQtalesqueA=QDQ'.

6.5Formascuadráticasyseccionescónicas 575
a)(/..Lipi=Ypllpe!)ComoQesortogonal.setienequedet(QJ es+lobien-1.¿Por'1m:?Se
S<lbequesidet(Q)=-l.almultiplicarU",lcolumnade Qpor-1seproduceunanueva
Qquetodavíaesortogonalperoquetienedet(Q) =1.¿Porqué?Expliqueporqué la
nuevaQtodaviacontieneunabaseortonormaldevectorescaracterislicosqueestúnen
correspondenciacorrectaconlosvalorescaracterísticosde
Ddemaneraque ¡j=QDQ'
paralanuevaQ.
h)(Lúpi=ypapel)Usandoloshechosdeque Qesortogonal.quedet (Q)=1Yqueun
veClordelongitudI sepuedeescribircomo(cos(S) seneS))paraalgúnángulo 8.explique
porqué
sepuedeescribir
~(ccs(e) -",o(el)
Q sen(e)ccs(e)
Verifiqueque Qesentoncesunamatrizderotación.
e)(Ui¡Ji=ypape!)Combinandolosresultadosdelosincisosal yh).sepuedeconcluirque
unamatriz
Arealsimetricade2X2 sepuedediagonalizarcomo A=QDQ'.dondeQ
esunamatrizderotación.Estopermite darunadescripciónde lageometriade latrans
formaciónlinealdeterminadapor
11,enterminasderotacionesde labaseest;indaryex
pansionesocompresiones silosv¡lloresc¡lracteristicosde Asonpositivos.Expliqucesta
descripcióninterpretandoprimero]¡,acciónde
Q'.seguidade]¡lacciónde D.seguidadc
laacciónde Q.
ú)Paralassiguientesmatrices.describa lageometriade Acomosehizoen elincisod.
Utiliceladescripciónparabosquejar laimagendelcírculounitariodespuésdeaplicarle
I¡ltransformacióndeterminadapor A.AjusteQsiesnecesarioparaquedet (Q)=1.
[Sugerencia:necesitaráus<¡rlaQajustadaparaencontrar elángulo8.Obseneque
0(2.I)/Q(I.1)=tan(e).Utilice elcomandoatandeMATLAB.ajuste larespuestaagre
g¡mdo
IIsilosnúmerosenQindicanque elánguloestáen elsegundootercercuadrante.
ymultipliquepor ISO/n.]
A=(2.75-.433)
ii.
-.4332.25
111FORMASCUADRÁTICAS YSECCIONESCÓNICAS
Enestasecciónseutilizaelmaterialde lasección6.4paraextraerinformaciónsobre [asgni
ficasdeecuacionescuadrÚtiC<lS.LascClIHciones)']¡tSformasclladrúticasque sedefinenacon
tinuación.surgendemuchasmaneras.Porejemplo.
sepuedenusarformascuadrúticaspara
obtenerinformaciónsobrelasseccionescónicasen
~(circulas.parábolas.elipses.hipérbolas)
yextenderestaleoriaparadescribircierlassuperficies.denominadas slIperficit,sClladrática.I·.
enVI.Estostemas seestudiaránmasadelanteenestasección.aunqueeneste le:.;tonose
analiZ¡lr:m.Lasformascuadráticassurgenenunagranvariedaddeaplicacionesquevande la
descripcióndelasfuncionesdecostoeneconomia alanalisisdelcontroldelrecorridode un
coheteen elesp<leio.

516e'TTll.O6ValorescaracterístiCOS,vectorescaracterísticosyformascanónicas
DEfiNICiÓNa Ecuacióncuadráticayformacuadrática
i.Unaecuacióncuadr.iticaendos\'ariablessintérminoslineales esunaecuaciónde 1"
form:!
(1)
dondelal+Ibl+Id'*O.Estoes.almenosunodclosnúmeros (l.hYl'esdiferente
decero.
ii.Unaformaeuadroí.ticaen dosrariablesesunaexpresiónde laforma
flx.y)=(H.J.+bxy+cJ~
dondclal+Ibl+Id:¡o!:o,
(2)
Esevidentequclas ecuacionesylaslormascUildnitieastienenunafllerterelación, Seco·
l11enlaniel;lll;llisisdelasform;lScuadrúticasconunejemplosencillo.
Considerelaformacuadr.í.tiea F(x.y)=\..!-4xy+3y!.Se;ln\'=(x)yA=(I-2).
Y -23
Entonces
A""~(_~ -~)(:)tH-2::~:)t)
=(x!-2x.d+(-2xy+3....!)=x!-4xl'+3..
02
=F(x...·)
Deestamaneraseha"represelltado"laformaCU;ldrútica F(x.y)mediantelamatrizsimétrica
Aenelsentidodeque
R.\".y)=;/\,." (JI
Deformaill\ersa.si Aesunamalrizsimetrica.entonceslaecuación(3)dcfineun;1formaeua·
drilticaflx.y)=Ih'.,'.
Sepuederepresentar R.\".y)pormuchasmatrices perosóloporun;lmatrizsimetrica. P;mlver
(
'a) ..(I3)esto.sea A= ....dondell+b=-4.Enlonces.;/\,."=I1x..r).SI.poreJemplo.A= •
b.J -73
entoncesAv=( ..r+3.1')y;l\'.\'=x!-4.\")"+3y~.Sinembargo. siinsistimosen que;/SC<l
-h+3.1'
simétrica.entonces debetenerse11+b=-4Y(/=b,Estepardeecuacionestieneunasolución
única
ti=h=-2.
SiF(x.y)={/.\~+bxy+(1
02
esunaforma cuadrútica.sea
A~(ab/2)
b/2e

6.5Formascuadráticasyseccionescónicas 577
Entonces
b!2)[X)].[X)~[ax+(b!')Y].[x)
ey y (/}/2).I"+(:1'y
Seregresaahoraalaecuacióncuadrútica (1).Usando(3),sepuedeescribir(1) como
/I\,·,'=d (5)
dOndeAessimetrica.Por elteorema6.4.4.púgina568.existeunamatriz onogonalQtalquc
Q'AQ=D.dondeD=diag(A
I
,
),}yAlYA,sonvalorescaracterísticosde AEntoncesA=
QDQ'(recuerdequeQ'=Q-I)Y (S)sepuedeescribir como
(QDQ"')'"=d
PerodelteoremaS.5.1 delapúginaSIO.A".~'=\..A'y.Así
Q(DQ'\')'r=DQ'~"Q'\'
demaneraque(6)seconvierteen
Sea
l"=Q'\'.Entonccs\,'es unvectorde2compOnentesy(8) seconvierteen
1(\1
(7)
(H)
(9)
Considere(9)conmúsdetenimiento.Sepuedeescribirv' =(-~,)Comoun<lmatrizdiagonales
- . (a'O)simetric,l.(9)defmeunaformacuadrÍltica F{x'.y')delasvariablesx'yr'.SIIJ=
. O ,."
[
a'
entoncesf),,'=OO)[X'J[a'x')-",,[a'x') [X'),,'"= yF{x.1')=Dv.v=.'.=tiX"+e'l'"
e'y' e'y" e'r' l" .
EJEMPLO1
Esdecir.F(x'. .1"')esI/lIaforl/lllcl/lldrútimell/11qu('falwc1lálllill(J('11x'y'.Porlotanto.la
ecuación(9)es Ullaecuacióncuadn'llica delaslllle\'asvari:lbles x'..1"sineltérminoX'l·'.
Expresióndeunaformacuadraticaenlasnuevasvariablesx' yy'sineltérminox'y'
Considerelaecuacióncuadrúlica x'-4x.1"+3.1"=6.Cornosevio. 1:1ecuaciónsepuedeescri
biren
laformaAx.x=6.dondeA=(_ ~ ~~].Enelejemplo6.4.1de lapúgin:l569sevio
Id·. [,-J5O]
queAsepuc<emgonahzaraD= r:lIsandolamatrizortogonal
O 2+..;5

578 Valorescaracterrstlcos.vectorescaracterlstlCOC;yformascanOOKas
Enlonces
,.~(,.)~Q"_ I[2-I+,[s)(,)
.y' .JIO-2)51-../51Y
I[2'+(-I+,[s)!.]
JIO-2,[s(1-,[s)'+2"
y.paralasnuevasvariables. 1;1ecuaciónsepuedeescribircomo
(2-,[s)",+(2+,[s),.,~6
SeanaliZ<Ir.',denuevolamatrizQ.ComoQesre,llyonogonal.I =delQQ~I=delQ(!=
delQdelQ'=delQdelQ=(delQf.Entoncesdel Q=::!::l.SidelQ=-l.sepuedeninter
cambiarlosrenglonesdeºparahacer eldeterminantedeestanueva Qigualal.AsLsepuede
(
w,e-"'"el
demostrar(\'e;1elproblema44)que Q= par.lalgúnnumeroeconO:se<21t.
senecose
Perodelejemplo5.1.8delapúgina462.estosignificaque Qesunamatrizderotación.Por lo
l¡mto.sehadClllostf;ldoelsiguienteteorema.
TEOREMAD Teoremade105ejesprincipalesen1)2
Sea
tI.\-1+bx)'+cJ-1=ti (10)
unaecuacióncuadráticaenlasvariables xyy.Entoncesex.isteunnumeroúnico een
[o.la)talquelaecuación(10)sepuedeescribirenlaforma
(I'x'!+(".r'~=ti (11)
L.E,ESPRINClPAUS
dondex'yy'sonlosejesobtenidos alrotarlosejesxyJIunánguloaenelsentidocontra
ríoalasmmlccillnsdelreloj.Másaún.
losnumerasti'ye'sonlosvalorescaracterísticos
de
lamatrizA=(b/2b~2).Losejesx'yy'sedenominanejesprincipalesde lagráfica
la
gráfie:1delaecuacióneuadr."uiea (10).
Sepuedeusarelteorema 1p'lf:lidentificartresseccionescónicasimponanles.Recuerde
quelasl"Cuacionesestándardeuncirculo.elipseehiperbolason
Circulo:
Elipse:
x:+.1':=/"1
XlI':
-+"--=1
(/1/
(12)
(13)
Hiperbola: o
(15)

6.5Formascuadráticas yseccionescónicas 579
"'__ld_e_"_'_if_ic_a_C_iO_'"_d_e_u_"_a_h_i~p~é_rb_o~l~a__
ldenlifiquclaseccióncónicacuyaecuaciónes
(16)
•Solución EnelejemploIseencontróqueestosepuedeescribir como(2-15)x
'1
+(2+15).1"2=6,osea
y" "
Éstaeslaecuación(15)cona=J6/{2+15)""1.19Yb=J6/{15-2)"=5.04.Como
1 (2 1- J5]
Q~)1O-2J5-1+J52
ydetQ=l.setiene.usandoelproblema44y elhechode quc1y-1+15sonpositivos.
2
cose= - 0.85065
)10-2J5
Entonceseestúen elprimercuadT:lnte.yutilizandouna calculadora.seencuentraque8'"
0.5536nlll '"31.r.Porlotanto.(16)es laecuaciónde unahipérbolaestúndarrotadaunúngulo
de
31.r(vealafigura6.1l.
l'
Figura6.1
lahipérbola
x'-4xy+3y'=6
EJEMPLO 3 Unaelipse
-10
I
."\ 10
,
,
,
,
(-,160)'..
'..(,160)
,
,
-ID
~-r"x'
31.7"
10
Identifiquelaseccióncónicacuyaecuaciónes
(17)
•So/udó/l EnestccasoA=(5-1J.losvalorescaracterísticos deAsonAl=4YA,=6ydosvectoresca-
-15 -
metedst;eo,ortono,"nlcs son"~(:;~]Y',{:;~} Enlo<""Q~(:;~ _:;~}

580 CwíTlILO6Valorescaracterísticos.vectorescaracteristicosyformascanónicas
Antesdecot1linuar.debeobserv,Hsequedet Q=-l.Paraque Qseaunamatrizderotación es
necesarioquedet Q=1.Estoselografútilmenteinvirtiendolosvectorescaracterísticos.Así.
"h""A,=6.A,=4."=[-:;Jzl"=[:;Jz)yQ=[_:;Jz:;Jz}"ha",delQ=1.
EntoncesD=(~ ~Jy(17)sepuedeexpresarcomo Dv.\'=4o
6x'~+4y'~=4
donde
«)=Q'(x)=(1/12-1/12)(x)=(1/12x-1/12
Y
)
ly)1/121/12ly1/12.1+1/12y
(18)
Figura6.2
Laelipse
5x1-2xy+5y004
Rescribiendo(18). seobtienex'!j(1.)+y'~/1=1.queeslaecuación(13)con a=.Jfyb=1.Mús
aün.como
l/Ji.>Oy-1/J2<O.delproblema44. seticne1)=2n-eos-
l
(1/J2")=2n-n/4=
7n/4=315°.Por lotanto(17) eslaecuacióndellnaelipseest¡Índarrotadaunúngulode 315
0
(o45
0
enelsentidodelasmanecillas delreloj)(vea lafigura6.2).
.'
,
,~
1"
+---+~.+'-+-o=--+--.. ,
1/;0;·".,Jf." ,
,,' "'l"
~L_u_n_a_s_e_(_(_io_' n_(_ó_n_i(_a_d_e_g~e_n_e_ra_d_a __
Identifiquelaseccióncónicacuyaecuación es
•Solución
-5x
2
+2.\"1'-5/=4
Haciendoreferenciaalejemplo
3.laecuación(19)sepuedevolveraescribircomo
-6x'~-4.l"~=4
(19)
120)
Cornoparacualesquieranúmerosreales x'y.1".-6.\"'~-4.1.'2~O.sevequenoexistenIllimeros
reales
xy.rquesatisfagan(19). Laseccióncónic,ldefinidapor(19) sedenominasecciúncúnica
dcgcnenldll.
Existellnamanerasencilladeidentificar laseccióncónicadefinidapor
.(a
SIA=/
b2
6/2) 1 ....d
.entoncesa eClWClOl1canlctenstlcae Aes
,
"-~-(a+c),,-+(ae- M4)=O=("--)'1)("--l.)
(21)

EstosignificaqueA},!::(le- 1r¡4.Perocomosehavis!O.laecuación(11) sepuedevolvera
escribircomo
(22)
EJEMPLO5
SiAlYA!tienenelmismosigno.entonces(11)defineunaelipse(ouncírculo)Ounacónica
degcllcr:ld¡¡comoenloscjemplos
3y4,Si)'1YA,lÍenellsignocontrario.entonces (21)esla
ccu¡lcióndeunahipérbola(como enel[ejemplo2),Porlotanto.scpuedeprobar elteoremaI
queseexpusomásarriba.
¡\'(J(fI.Enelejemplo1seteniadetA=lI('-h:/4=-l.Enlosejemplos3y4seteniadel A=14.
LosmclodosqueacabandedcscribirsesepuedenusarparaanaliZ¡lrlasecuacionescuadráticas
en
m:'tsdedosvariables.ACOlllinuaciónseproporcionaunejemplo.
Unaelipsoide
Considerelaecuacióncuadrútica
SiA- [~¡~]Y'-[;}ntonees(13)sepuede""ibi""1"fonn"
Al"l'::100
Delejemplodelapúgina 570.Q'AQ=O=[~ ~ ~]. donde
OO 10
(23)
(24)
Sea
[
X'] [-I/fi
,'=y'=Q"-=-1/3fi
.' ,/.- - ,
I/fi
-1/3fi
2/3
(I/fi)x+(l/fi)y
-(1M),-(1M)Y+(4/Jfi),
(2/3)x+(2/3))+(1/3),
EnlonCes.comoantes.A=QDeyAl"l'=QDQ'l"l'=DQ'l"Q'l'=Dl".l',Porlolanto.
(14)
sepuedeescribirenlerminosdelas nue\'i1S\'ariablesx',y'.='comoD,".l"=100.osea
x'!+y'!+10=':=100 (25)

582 CAPíTULO6 Valorescaracterísticos,vectorescaracterísticos yformascanónicas
En(23lasuperficiedefinida por(25)sedenominaelipsoide(vealafigura6.3).
z
Figura6.3
Elelipsoide5x
2
+8xy+
5)1'+4xz+4yz+
2z
2
=100,quesepuede
escribirenlasnuevas
variablescomo
x"+y'2+10Z'2=100.
x
DEFINICiÓNE:I
y'2+y'2+IOz'2=lOO
Existeunagranvariedaddesuperficiesdetresdimensionesdelaforma Av.v =d,dondevE
(22.Esassuperficiessedenominansuperficiescuadráticas.
Podemoscerrarestasecciónconlaobservacióndequelasformascuadráticas
sepueden
definirentérminosdecualquiernúmerodevariables.
Formacuadrática
Seav~[~:1yseaAunamatrizsimétrica denXn.Entoncesuna formacuadráticaenx"
x
2
'
•••,x/1esunaexpresióndelaforma
EJEMPLO 6
F(x¡,x
2
'
•••,x,)=Av'v
Unaformacuadráticaencuatrovariables
(26)
Sea
Entonces
A=[ ~ -~ ~ -~]yv=::
267 -1 x
3
-25-13 x
4

EJEMPLO7
...Solución
problemas6,5
6.5Formascuadráticasyseccionescónicas 583
=2X¡2+2x¡x
2
- 4x~+4x¡x
3
+l2x
2
x3
+7x~-4x¡x
4+IOx
2
x
4
-
2X
3
X
4
+3x~
(despuésdesimplificar).
Unamatrizsimétricaquecorrespondeaunaformacuadrática encuatrovariables
Encuentrelamatrizsimétrica Aquecorrespondea laformacuadrática
SiA=(a),entonces,observandolos eJ'emplosanterioresdeestasección,sevequeaeselco-
l} 11
eficientedeltérmino x
2
ya+aeselcoeficientedeltérmino xx.ComoAessimétrica,a=
1 lJ )l I.1 1J
a..;así,a..=a..=-2'(coeficientesdeltérmino xx).Uniendotodoesto seobtiene
JI IJ Jf I}
A=[-~
J.4
-~]
2
4
_1-
2
1-2
2
_l. 2
3
2 2
AUTOEVALUACiÓN
Elijaelincisoquemejorrespondaaloplanteadoen elenunciado.
1.SiAesuna matrizsimétricarealcondosvalorescaracterísticospositivos,entonces
Av.v=d>Oeslaecuaciónde
a)unaparábola b)unaelipse e)unahipérbola d)dosrectas e)ningunade
lasanteriores
11.SiAesuna matrizsimétricarealconunvalorcaracterísticopositivo yotronegativo,
entonces
Av'v=d>Oeslaecuaciónde
a)unaparábola b)unaelipse e)unahipérbola d)dosrectas e)ningunade
lasanteriores
111.SiAesunamatrizsimétricarealconunvalorcaracterísticopositivo yunoigualacero,
entonces
Av.v=d>Oeslaecuaciónde
a)unaparábola b)unaelipse e)unahipérbola d)dosrectas e)ningunade
lasanteriores
IV.SiAesuna matrizsimétricarealcondosvalorescaracterísticosnegativos,entonces
Av'v=d>Oeslaecuaciónde
a)unaparábola b)unaelipse e)unahipérbola d)dosrectas e)ningunade
lasanteriores

584 CAPÍTULO6 Valorescaracterísticos,vectorescaracterísticos yformascanónicas
Delosproblemas1al 17escribalaecuacióncuadráticaenlaforma Av'v=d(dondeAesuna
matrizsimétrica) yelimineeltérminoxyrotandolosejesunángulo8.Escribalaecuaciónen
términosdelasnuevasvariableseidentifiquelaseccióncónicaobtenida.
1.3x
2
-
2.ry-5= O 2.4x
2
+4.ry+l=9 3.3x
2
+2.ry+3y
2
=5
4.4x
2
+4.ry-/=9 5.xy=1 6. 3.ry=1
7..ry=a;a>O 8.4x
2
+2.ry+3/+2=0 9.xy=a;a<O
10.x
2+4xy+4l-6=O 11.-x
2
+2.ry-l=0 12.2x
2+xy+y
2
=4
13.x
2-2.ry+3l=5 14.3x
2-6.ry+5/=36 15.x
2
-3xy+4l=1
16.x
2+.ry+/=5 17.6x
2+5.ry-6/+7=0
18.¿Cuálessonlasformasposiblesdelagráficade ax
2
+bxy+ey2=O?
Delosproblemas 19al23escribalaforma cuadráticaentérminosdelasnuevasvariables x',y'
Yz'demaneraquenoesténpresenteslostérminosde productoscruzados(xy,xz,yz).
19.x
2
-2xy+y2-2xz-2yz+Z2
21.x
2+xy+y2+3xz+Z2
23.x
2
- 2xy+2y2-2yz +Z2
20.- x
2+4xy-y2+4xz+4yz+Z2
22.3x
2
+4xy+2y2+4xz+4z
2
Delosproblemas24 al26encuentreunamatrizsimétrica Atalquelaformacuadrática sepue
daescribirenla formaAx.x.
26.3X¡2-7x¡x
2
- 2x~+x¡x
3
-
X
2
X
3
+3x:-2x¡x
4
+X
2
X
4
.-4X
3
X
4
-
6x~
+3x¡x
S
-
5x
3
x
S
+x
4
X
S
-
x~
27.Supongaqueparaalgúnvalorde ddiferentedecero,lagráficade ax
2
+bxy+el=des
unahipérbola.Demuestrequelagráfica esunahipérbolaparacualquierotrovalorde d
diferentedecero.
28.Demuestreque
sia*e,eltérminoxyenlaecuacióncuadrática (1)seeliminarotandoun
ángulo
O,si8estádadoporcot28 =(a-e)/b.
29.Demuestreque sia=eenelproblema28,entonces eltérminoxyseeliminarotandoun
ángulorr/4ounángulo -rr/4.
*30.Supongaqueunarotaciónconviertea ax
2+b.ry+elena'(X,)2+b'(x'y')+e'(y'r.
Demuestreque:
a)a+e=a'+e' b)b
2
-4ae =b'2-4a'e'
31.
Sediceque unaformacuadráticaF(x)=F(x¡,x
2
' ...,x,,)espositivadefinida siF(x)2':O
paratodaxEl!"yF(x)=Osiysólosix=O.Demuestreque Fespositivadefinida siysólo
silamatrizsimétrica Aasociadaa Ftienevalorescaracterísticospositivos.
32.SedicequeunaformacuadráticaF(x)espositivasemidefinida siF(x)2':OparatodoxEP'.
Demuestreque Fespositivasemidefinida siysólosilosvalorescaracterísticosdelamatriz
simétricaasociadaa
Fsontodosnonegativos.

6.5Formascuadráticas yseccionescónicas 585
Lasdefinicionesdenegativadefinidaynegativasemidefinida sonlasdefinicionesenlosproble
mas31y32sustituyendo2::Opor:::::O.Unaformacuadráticaesindefinidasinoesdelostipos
anteriores.
Delosproblemas33al43determinesilaformacuadráticadadaespositivadefini
da,positivasemidefinida,negativadefinida,negativasemidefinidaoindefinida.
33.3x
2+2y2 34.x
2
-y2
37.3x
2
-20xy +y238.x
2+2xy+2y2
41.-x
2
+4xy-3y242.-2x
2
+xy-2y2
35.- 3x2-3y2
39.x
2
-
2xy+2y2
43.- x
2+2xy-2y2
36.3x
2
-
2y2
40.x
2
-4xy +3y2
*44.Sea Q=(:~)unamatrizortogonalrealcondetQ=1.DefinaelnúmeroeE[O,2IT]:
a)Sia2::Oye>O,entoncese= -cos-
I
a (O<e:::::n/2).
h)Sia2::0yc<0,entoncese=2re-cos-la(3re/2:::::e<2re).
e)
Sia:::::Oye>O,entoncese=cos-
I
a (re/2:::::e<n).
d)Sia:::::Oye< O,entoncese=2re-cos-
l
a (re<e :::::3re/2).
e)Sia=1ye= O,entoncese=o.
j)Sia=-1ye= O,entoncese=n
(Aquícos-IXE[O,re]paraXE[-1,1].)Siseeligee comosedescribió,demuestre que
Q=(cose-sene]
senecose
45.Demuestre,utilizandola fórmula(22),quelaecuación(21)esla ecuacióndedosrectasen
elplanoxycuandod=Oy detA*-O.SidetA=d=O,demuestrequelaecuación(21)es
la
ecuacióndeunasolarecta.
46.Sea
Alarepresentaciónmatricialsimétrica delaecuacióncuadrática(1)cond*-O.SeanAl
y11,2losvalorescaracterísticos deA.Demuestreque(1)esla ecuacióndea)unahipérbola
si\11,2<Oy b)uncírculo,elipseosección cónicadegeneradasiAly11,2>O.
RESPUESTAS ALAAUTOEVALUACIÓN
l.h)
•MAllAB6.5
11.e) 111.á) IV.e)
Paracadaecuacióncuadráticadadaenlossiguientesproblemas:
a)Encuentreunamatrizsimétrica Atalquelaecuaciónse puedaescribircomoAv'v=d.
h)Encuentrelosvaloresyvectorescaracterísticos deAformandofQ,DJ=eig(A).
e)Sidet(Q)=-1,ajusteQ demaneraadecuadaparaquedet(Q)=I[consulte lapre
sentaciónenlosejemplos2y3deestasecciónolapresentaciónen
elproblema3a)de
MATLAB6.4].UtilizandolaQajustada,encuentreelánguloderotacióne(recuerde
queelcomandoacosdeMATLABencuentraelcosenoinversoyel comandoatanen
cuentralatangenteinversadeunángulo.Se puedenconvertirmedidasenradianesa
gradosmultiplicandoporISO/re.Lavariablepies partedelasdefinicionesde MATLAB
ytieneelvalorre).

586 CAPÍTULO6 Valorescaracterísticos,vectorescaracterísticos yformascanónicas
d)Reescribalaecuaciónenlaforma a'X'2+b'y'2=deidentifiqueeltipodeseccióncóni
cadescritaporlaecuación.Verifique
elresultadodelteorema 2.
e)(Lápizypapel)Usandoelánguloderotación
8yrescribiendolaecuacióndelinciso
d),bosquejelaseccióncónicadescrita porlaecuaciónoriginal.En elbosquejoindique
lapartedelageometríadeldíbujoque
seobtienecon elconocimientodelosvalores
característicos.
1.Trabajeelproblema12.
2.Trabajeelproblema10.
3.Trabajeelproblema5.
4.Trabajeelproblema15.
DIfORMACANÓNICA DEJORDAN
Yasehavistoquelasmatricesde nXnconnvectorescaracterís.ticoslinealmenteindependientes
sepuedenexpresarenunaformaespecialmentesencillapormediodeunatransformaciónde
semejanza.Porsuerte,como"lamayor
parte"delospolinomiostienenraícesdiferentes, "la
mayorparte"delasmatricestendránvalorescaracterísticosdistintos.Sinembargo,como se
veráenlasección6.7,lasmatricesquenosondíagonalizables(esdecir,quenotienen nvectores
característicoslinealmenteindependientes)surgenenlapráctica.Enestecaso,aún
esposible
demostrarquelamatriz
essemejanteaotra,unamatrizmássencilla,perolanuevamatrizno
esdiagonalylamatrizdetransformación eesmásdifícildeobtener.
Paraanalizarbienestecaso,
sedefinelamatriz N
k
comolamatrizde kXk
OlO O
OO
I O
N= (1)
k
O O O I
O O O O
MATRIZDE
BLOQUES
DEJORDAN
[:---
Observeque N
k
eslamatrizconunosarribadeladiagonalprincipalycerosen otraparte.
Paraunescalardado"Asedefinelamatriz debloquesdeJordan
t
B("A)por
"A1O O O
O"A1 O O
B("A)=IJ+N
k
= (2)
OO "Al
O O O "A
Esdecir,BeA)eslamatrizde kXkconelescalarAenladiagonal,unosarribadeladiagonal
ycerosen
otraparte.
•
tDenominadaasíenhonordelmatemáticofrancésCamilleJordan(1838-1922). Losresultadosenestasecciónapare
cieron
porprimeravez enelbrillantetrabajodeJordan Traitédessubstitutionset deséquationsalgebriques(Tratado
sobresustituciones
yecuacionesalgebraicas),publicado en1870

MATRIZDE
JORDAN
6.6FormacanónicadeJordan 587
Nota.Sepuede(yconfrecuenciasehará)tenerunamatrizdebloquesde lardande1 X1.Esa
matriztomalaforma
B(A)=(A).
Porúltimo,unamatriz deJordan1tienelaforma
j=
o O
EJEMPLO1
dondecada B{A)esunamatrizdebloquesde lardan.Entoncesunamatrizdelordanesuna
} }
matrizquetieneen ladiagonalmatricesdebloquesdelordanycerosenotraparte.
TresmatricesdeJordan
Lossiguientesejemplossonmatricesde lardan.Losbloquesde lardansemarcaronconlíneas
punteadas:
[
2
1:O]
LH~-~
iL
-3:OOOO
---1------------
1
O:-31O IO
I I
O:O -31:O
I I
O:OO -3:O
------------>--
OOO 0:7
iiL
41:OOOOO
I
O4:0OOOO
----..,--------,
00:310:0O
O0:031:0O
I I
OO:OO 3:OO
1 --1-----
OOOO 0:5
I
OOOO 0:05
EJEMPLO2 Matrices deJordande2x2
EJEMPLO3
Lasúnicasmatricesde lardande2 X2son [~I
merosA,y1..
2
puedenseriguales.
MatricesdeJordande3x3
OJy(A1J.Enlaprimeramatrizlosnú-
1..
2OA
Lasúnicasmatricesde lardande3 X3son
[~
O
~][~
O
~] [~' ~][~ ~,]
1..
2
1..
2 \ Al
OA
3
OO A
2
OOA
2OO
dondeno esnecesarioque Al'A
2
YA
3
seandistintos.
Elsiguienteresultado
esunodelosteoremasmásimportantesenlateoríadematrices.
Aunquesupruebaquedafueradelalcancedeestelibro,t
sedemostrarápara elcasode2 X2
(vea
elteorema3)ysesugiereunademostraciónpara elcasode3 X3enelproblema22.
-----
tVealademostraciónen G.BirkhoffyS.MacLane,A5urveyofModernAlgebra, 3a.,NuevaYork,Macmillan,1965,
p.311

588 CAPÍTULO6
TEOREMAa
Valorescaracterísticos,vectorescaracterísticos yformascanónicas
SeaAunamatrizrealocomplejade nXn.Entoncesexiste unamatrizCcomplejain
vertiblede
nxntalque
C-'AC=J
(3)
dondeJesunamatrizde lardancuyoselementosenladiagonalsonlosvalorescarac
terísticosde
A.Másaún,lamatrizde lardanJesúnicaexcepto porelordenenelque
aparecenlosbloquesde
lardan.
NotaJ.LamatrizCen elteorema1 nonecesitaserúnica.
Nota2.Laúltimaafirmacióndelteoremasignifica, porejemplo,que siAessimilara
J=
I
entoncesAtambiénessimilara
21:0OOO
I
02:0000
-----1-------,
00:310:0
, I
00'031,0, ,
I ,
OO :_~_.?__~_:_~
OOOO 0:4
J=
2
310:0OO
,
031:000
,
OO3:0OO
-------'--1
000:4:00
OOO -0-:-2--1
,
OOO 0:02
y J =
3
4:0OOOO
--1---__,
0:21'0OO
I '
0:02:000_____...J _
OO0:3lO
,
OO0:031
,
OOO:OO3
DEFINICIÓNa
yaotrastresmatricesde lordan.Esdecir,losbloquesde lardanrealespermanecenigualespero
elordenen elqueestánescritospuedecambiar.
FormacanónicadeJordan
LamatrizJenelteorema1 sedenominala formacanónicadeJordandeA.
Observación.SiAesdiagonalizable,entonces J=D=diag(\,A
2
,
...,A),donde\'A
2
,
•••,\,
sonlosvalorescaracterísticos(nonecesariamentedistintos)de A.Cadaelementoenladiago
nal
esunamatrizdebloquesde lardande1 Xl.
Ahoraseveráelprocedimientoparacalcularlaformacanónicade lardandecualquier
matrizde2
x2.SiAtienedosvectorescaracterísticoslinealmenteindependientes,yasabemos
quéhacer.
Porlotanto,elúnicocasodeinterésocurre cuandoAtienesólounvectorcarac
terístico
Ademultiplicidadalgebraica2ymultiplicidadgeométrica l.Esdecir,sesuponeque
Atieneunúnicovectorcaracterísticoindependiente VIcorrespondientea A.Estoes:cualquier
vectorquenoesunmúltiplode
v,noesunvectorcaracterístico.

TEOREMAm
6.6FormacanónicadeJordan 589
Supongaque Alamatrizde2 X2tieneunvalorcaracterísticoAdemultiplicidadalge
braica2 ymultiplicidadgeométrical.Sea
VIunvectorcaracterísticocorrespondienteaA.Entoncesexisteunvectorv
2
quesatisfacelaecuación
(4)
I,¡¡¡DEMOSTRACIÓN Seax EC
2
unvectorfijoqueno esmúltiplode VIdemaneraquexno esunvectorca
racterísticode
A.Primerosedemuestraque
w=(A-
AI)x (5)
esunvectorcaracterísticode A.Estoes,debedemostrarseque w=cV
I
paraalguna
constante
c.ComoW E
C2yVIYxsonlinealmenteindependíentes,existenconstantes
c
l
yc
2
talesque
(6)
Parademostrarque Wesunvectorcaracterístico
JeAdebedemostrarsequec
2
=O.De
(5)y(6)seencuentraque
(7)
SeaE=A-(A+c
2
)!.Entoncesde (7)
(8)
Sisesuponeque c
2*O,entoncesA+c
2*AyA+c
2noesunvalorcaracterísticode A
(yaque
Aeselúnicovalorcaracterísticode A).Así,det E=det[A-(A+c
2
)1]*O,lo
quesignificaque
Eesinvertible.PorlotantO, (8)sepuedeescribircomo
(9)
Entonces,multiplicandoambosladosde (9)por
A,setiene
Pero
E=A-
(A+c)I,demaneraque
A=E+(A+c)I
Alinsertar(11)en (lO)seobtiene
Ax=cIE-I[E+(A+c)1]v
I
=cY+(A+c
2
)E-
I
]v¡
Peroutilizando(9), clE-lv
l
=xdemaneraque(12) seconvierteen
AX=CIV
I+(A+c)x=CIV
1+c
2
x+AX
(10)
(11)
(12)

590 CAPÍTULO6 Valorescaracterísticos,vectorescaracterísticos yformascanónicas
obien
(13)
PeroVIYxsonlinealmenteindependientes,loquehaceque C
I=C
2=O.Estocontradice
lasuposicióndequec
2
=1-O.Entoncesc
2
=OYpor(6),wesunmúltiplode VIporloque
W=CIV
I
esunvectorcaracterísticode A.Másaún, W=1-Oyaque siw=O,entonces(5)
dicequex
esunvectorcaracterísticode A.Porlotanto,c
I
=1-o.Sea
1
v=-x
2 C
I
Entonces(A-Ai)v2=(1/c
I
)(A-Ai)x=(1/cI)w=VI.Estoprueba elteorema.
(14)
DEFINICIÓNEl
EJEMPLO 4
Vectorcaracterísticogeneralizado
SeaAunamatrizde2 X2conunsolovalorcaracterísticoAquetienemultiplicidad
geométrica
1.SeaVIunvectorcaracterísticode A.Entonceselvectorv
2
definidopor
(A-AI)v
2
=VIsedenominavectorcaracterísticogeneralizado deAcorrespondienteal
valorcaracterístico
A.
Vectorcaracterísticogeneralizado
SeaA=(3-2).Laecuacióncaracterísticade AesA
2
+2A+I=(A+I)Z=O,demaneraque
8-5
A=-Iesunvalorcaracterísticodemultiplicidadalgebraica 2.Entonces
Estollevaalvectorcaracterístico
VI=(~).Noexisteotrovectorcaracterísticolinealmenteinde
pendiente.Paraencontrar
unvectorcaracterísticogeneralizadov
2
secalcula(A+J)v
2
=VIo
(:=~J(:J=G)'loqueda elsistema
4x
I
-
2x
2
=1
8x
I
-
4x
2
=2
Lasegundaecuación
eseldobledelaprimera, porloquex
2
sepuedeelegirarbitrariamentey
XI=(1+2x
2)/4.Porlotanto,unaelecciónposible paraV2esV2=( ~].
Larazónparaencontrarvectorescaracterísticosgeneralizadosestá dadaenelsiguiente
teorema.

1)=J
-1
TEOREMAa
I!DEMOSTRACIÓN
EJEMPLO 5
6.6FormacanónicadeJordan 591
Supongaque A,A,VIYv
2
estándefinidoscomoen elteorema2yseaClamatrizcuyas
columnasson
VIyv
2
•
EntoncesC-IAC=J,dondeJ=(~ ~)eslaformacanónica
de
lardandeA.
ComoVIYv
2
sonlinealmenteindependientes, sevequeCesinvertible.Después seobserva
queAC=A(v
l
,v2
)
=(AvI'Av2)=(Av
l
,AvJPerodelaecuación(4),Av
2
=VI+Av
2
demanera
queAC=(AV
I
,
VI+Av
2
).PeroCJ=(VI'V
2
{~ ~)=(AV
I
,
VI+AV
2
).EntoncesAC=CJ,
loquesignificaque C-IAC=Jyelteoremaquedaprobado.
FormacanónicadeJordandeunamatrizde2 x2
Enelejemplo4, VI=(~).v2=(~)Entonces,C=(~ ~).el=-2(_~
[
O
1-](3-2)[l·1-]C-IAC- 2 4
4-28-52°
=(0+)(-1¿)=(-1
4-2-2 2o
Esposiblegeneralizar elmétodoque seacabadedescribir paraobtenerlaformacanónica
de
lardandecualquiermatriz. Noseharáaquí,pero sesugiereunageneralizaciónen elproble
ma22.Aunque nosedemostraráestehecho,siempreesposibledeterminar elnúmerodeunos
arribadeladiagonalenlaformacanónicade
lardandeunamatrizAdenXn.SeaA¡unvalor
característicode
Aconmultiplicidadalgebraica r¡ymultiplicidadgeométrica SíSíAl'A
2
,
•••,A
k
sonlosvalorescaracterísticosde A,entonces
Númerodeunosarriba deladiagonal
delaformacanónica deJordande A
=(~-sl)+h-s2)+···+h -Sk) (15)
i=1 i=1 i=1
EJEMPLO 6
Siseconocelaecuacióncaracterísticadeunamatriz A,entoncessepuedendeterminarlas
posiblesformascanónicasde
lardandeA.
Determinaciónde lasposiblesformascanónicasdeJordan
deunamatrizde4x4
conecuacióncaracterísticadada
Sielpolinomiocaracterísticode Aes(A-2)3(A+3),entonceslasposiblesformascanónicas
de
lardandeAson
J=[~H~] [~ ~ ~ ~], [~ ~r~]
OOO -3 OOO -3 OOO -3

592 CAPiTULO6 Valorescaracterísticos,vectorescaracterísticos yformascanónicas
ocualquiermatrizobtenida reacomodandolosbloquesde JordanenJLaprimeramatriz
correspondea
unamultiplicidadgeométricade3 (paraA=2);lasegundacorrespondea una
multiplicidadgeométricade 2,ylaterceraa unamultiplicidadgeométricade 1.
problemas6.6
AUTOEVALUACiÓN
1.¿Cuáldelassiguientes noesmatrizdeJordan?
all~H) bll~ ~ ~)ellH~) ~lH~)
Delossiguientesenunciados,indiqueen cadacasosiesverdaderoofalso.
11.TodamatrizessimilaraunamatrizdeJordan.
111.Supongaque Aesunamatrizde2 x2quetieneelvalorcaracterísticocorrespondiente VI'
Entoncesexisteunvectorv
2
quesatisfacelaecuación (A-iI)v
2
=VI'
IV.Supongaque Aesunamatrizde2 X2cuyopolinomiocaracterísticoes (A-2I)2talquela
multiplicidadgeométricade2es
1.Entonces,si VIesunvectorcaracterísticode A,existeun
vectorv
2
quesatisfacelaecuación (A-2I)v
2
=VI'
Delosproblemasl al17determinesilamatrizdadaesunamatrizdeJordan.
1.(~ -~J 2.(~ ~J 3.(~ ~Je2J
l~
o
r)
4.o1
5. 3
o
[¡
2
~)7·l:
1
~)l:
1
~] [~
o
~]
[¡
1
r:
6. 3 3 8. 3 9. 3 10. 3
o o o o o
1oooo 1oooo
[¡
o
r:
[¡
1
:]
o21oo o 12oo
11. 3 12. 1 13.oo21o 14.oo 12o
o o ooo
2o ooo 1o
oooo
2 oooo I
2oooo aOOOO alOO O
O31OO O bOOO O aOOO
15.OO 3OO 16.OO eOO 17.OO e1O
OOO
51 OOO dO OOO e1
OOOO 5 OOOO e OOOO e

6.6FormacanónicadeJordan 593
Delosproblemas 18al2lencuentreunamatrizinvertibleequetransformelamatrizde2 X2
asu
formacanónicadelardan.
18.(~ ~J (
-127J
19.
-72
(
-lO-7J
20.
72 (
4
-lJ21.
12
31.(A- W(A+4)
34.(A-6)(A
+7)4
*22.Sea Aunamatrizde3X3.SupongaqueAesunvalorcaracterísticode Aconmultiplicidad
algebraica3ymultiplicidadgeométrica1ysea
VIelvectorcaracterísticocorrespondiente.
a)Demuestrequeexisteunasolución,v
l
'
alsistema(A- AI)v
l
=VItalque VIyv
l
son
linealmenteindependientes.
b)Conv
l
definidoenelincisoa),demuestrequeexiste unasolución,v
3
'
alsistema
(A-AI)v
3
=v
l
talque VI'v
l
yv
3sonlinealmenteindependientes.
e)Demuestrequesieesunamatrizcuyas columnassonVI'v
2
yv
3
'
entonces
C'AC~[~ ~~J
23.Aplique elprocedimientodescritoen elproblem:22:ar:reducirlamatriz A=[=~ -~]
. -1-2
medianteunatransformacióndesemejanzaasu formacanónicadelardan.
24.HagalomismoparaA=[=~ =~=~].
232
[
-1-18-7]
25.HagalomismoparaA=1-13-4.
-1258
26.UnamatrizAdenXnesnilpotentesiexisteunenteroktalqueAk=O.Sikeselenteromás
pequeñodeestetipo,entonces ksedenominaíndicedenilpotenciade A.Demuestrequesi
keselíndicedenilpotenciade Aysirn;:::::k,entoncesAIII=O.
*27.Sea N
k
lamatrizdefinidaporlaecuación(1).DemuestrequeN
k
esnilpotenteconíndicede
nilpotencia
k.
28.Escribatodaslasmatricesde lardande4 X4posibles.
Delosproblemas29al36está dadoelpolinomiocaracterísticode unamatrizA.Escribatodas
lasposiblesformas canónicasdelardandeA.
29.(A+1)2(A-2? 30.(A-1)3(A+1)2
32.(A-3)4 33.(A-4)3(A+3)2
35.(A-2)(A+2)5 36.(A+7)5
37.Usandolaformacanónicadelardan,demuestrequeparacualquiermatriz AdenXn,
detA=Al'Al'...,A",donde\,A
2
,...,A"sonlosvalorescaracterísticosde A.
RESPUESTAS ALAAUTOEVALUACIÓN
1.b) 11.V III.F IV.V

594 CAPÍTULO6 Valorescaracterísticos,vectorescaracterísticos yformascanónicas
• MATLAB6.6
1.a)SeaA=CJC-I, dondeC yJestándadosenseguida.
J=[~ ~ ~ ~] C=[~ ~ ~ -~]
0031' 243O
0003 1336
i.Verifiquequelascolumnasl y2deCsonlosvectorescaracterísticosde Aconvalor
característicoA=2(utilicelamatriz
A-2I).
ji.Verifiquequelacolumna3deC esunvectorcaracterísticodeAconvalorcaracte
rístico
¡.t=3(uselamatrizA-3I).Verifiquequelacolumna4deC noesunvector
característicode
Aconvalorcaracterístico ¡.t=3peroque (A-3I)veceslacolumna
4
esunvectorcaracterístico; esdecir,verifiqueque (A-3I)2(columna4)=O.La
columna4deC
sedenominavectorcaracterísticogeneralizadopara Aconvalorca
racterístico
¡.t=3.
m.RepitaparaotramatrizinvertibleCde4 X4(uselamisma1).
iv.(Lápizypapel)Expliqueporqué sepuededecirqueA =2esunvalorcaracterístico
de
Aconmultiplicidadalgebraica2 ymultiplicidadgeométrica2 yque¡.t=3esun
valorcaracterísticode
Aconmultiplicidadalgebraica2 ymultiplicidadgeométrica 1.
b)ParalaJquesigueylamatrizCdadaen elincisoa),formeA=CJC-I.
Parak=1,...,4,seac
k
lak-ésimacolumnade C.
i.Verifiqueque (A-3I)c¡=O,(A- 3I)2c2
=O,(A- 3I)3c3
=OY(A-3I)c
4
=O.¿Cuá
lesdelascolumnasdeCsonvectorescaracterísticosde A?¿Cuálesdelascolumnas
deCsonvectorescaracterísticosgeneralizadosde
A?
ji.RepitaparaotramatrizinvertibleCde4 X4.
11I.(Lápizypapel)Expliqueporqué sepuededecirqueA =3esunvalorcaracterístico
de
Aconmultiplicidadalgebraica4 ymultiplicidadgeométrica 2.
e)FormeA=CJC-l,dondeC eslamatrizdadaen elincisoa)yJeslamatrizquesigue.
j.Conbaseen elpatrónobservadoenlosincisos a)yb),determinequécolumnasdeC
sonvectorescaracterísticosde
Aycuálessonvectorescaracterísticosgeneralizados.
Verifiquesusrespuestasmostrandoquelosproductosadecuadossoncero.
ii.Repitaparaotramatriz C.
iii.(Lápizypapel)¿Quépuededecirsobrelasmultiplicidadesalgebraica ygeométrica
delosvalorescaracterísticosde
A?Justifiquesurespuesta.

6.7Unaaplicaciónimportante:formamatricial deecuacionesdiferenciales 595
2.GenereunamatrizinvertibleCde5 X5.FormeunamatrizAtalqueA= 2seaunvalorca
racterísticode
Aconmultiplicidadalgebraica2 ymultiplicidadgeométrica 1,dondelasco
lumnas1 y 2deCsonlosvectorescaracterísticosolosvectorescaracterísticosgeneralizados
asociados
con
A=2;¡.t= 4esunvalorcaracterístico paraAconmultiplicidadalgebraica
3 ymultiplicidadgeométrica
1,dondelascolumnas3 a 5de Asonvectorescaracterísticos
Ovectorescaracterísticosgeneralizadosasociados con
11=4.Expliquesuprocedimiento.
Verifiquesurespuestafinal paraAmostrandoquelosproductospertinentessoncero.
111UNAAPLICACiÓNIMPORTANTE:
FORMAMATRICIAL
DEECUACIONES DIFERENCIALES
('CÁLCULOllISupongaquex= f(t)representaalguna cantidadfísicacomoelvolumende unasustancia,la
poblacióndeciertasespecies,la
masadeunasustanciaradiactivaendecaimientoo elnúmero
dedólaresinvertidosenacciones.Entonceslatasadecrecimiento
def(t)estádadaporsuderi
vadaf'(t)=dx/dt.Sif(t)crecea unatasaconstante,entonces dx/dt=kYx=kt+C;esdecir,
x=f(t)esunafunciónde unarecta.
Confrecuenciaesmásinteresanteyapropiadoconsiderarlatasarelativadecrecimiento
definida
por
Tasarelativadecrecimiento
tamaño
realdecrecimiento
tamaño
def(t)
f'(t)
f(t)
x/(t)
x(t)
(1)
Silatasarelativadecrecimiento esconstante,entonces setiene
x/(t)
--=a
x(t)
o
x/(t)=ax(t)
(2)
(3)
ECUACIÓN
DIFERENCIAL
11----Laecuación(3) sedenominaecuacióndiferencial porqueesunaecuaciónqueincluye unaderi
vada.
Noesdifícildemostrarquelasúnicassolucionesa(3)sondelaforma
x(t)=ce{1/ (4)
I!VALORINICIALdondecesunaconstantearbitraria.Sinembargo, six(t)representaalgunacantidadfísica,la
prácticausualesespecificar
unvalorinicial X
o
=x(O)delacantidad.Después,alsustituirt= O
en(4)
setieneX
o
=x(O)=cea·o=c,Osea,
(5)
Lafunciónx(t)dadapor(5)eslasoluciónúnicaa (3)quesatisfacelacondicióninicial X
o
=x(O).
Laecuación(3)surgeenmuchasaplicacionesinteresantes.Sin duda,algunasseencuentran
enloslibrosdecálculo,en
elcapítuloqueintroducelafunciónexponencial. Enestasecciónse
consideralageneralizacióndelaecuación(3).

596 CAPÍTULO6 Valorescaracterísticos,vectorescaracterísticos yformascanónicas
Enelmodeloanterior sebuscaunafuncióndesconocida. Confrecuenciaocurrequeexisten
variasfuncionesligadas
porvariasecuacionesdiferenciales.Másadelante sedaránejemplos.
Considere
elsiguientesistemade necuacionesdiferencialescon nfuncionesdesconocidas:
x;(t)=alIXI(t)+a
12
x
2(t)+ +al"x"(t)
x;(t)=a
21
x
I(t)+a
22
x
2(t)+ +a
211
x
n
(t)
(6)
FUNCIÓN
l!lll1VECTORIAL
dondelascantidades asonnúmerosreales.Elsistema (6)sedenominasistema deecuaciones
IJ
diferencialeslineales deprimerorden denXn.Eltérmino"primerorden"significaquesólo
ocurrenderivadasdeprimerordenen
elsistema.
Ahorasea
Enestecaso,
x(t)sedenominafunciónvectorial. Sedefine
x;(t)
x;(t)
x/(t)=
Entoncessisedefinelamatrizde nXn
Elsistema(6) sepuedeescribircomo
a
n2
a]n
a
nn
x'(t)=Ax(t) (7)
Observequelaecuación(7) escasiidénticaalaecuación(3).Laúnicadiferencia esqueahora
setieneunafunciónvectorial yunamatrizmientrasqueantes seteníaunafunción"escalar" y
unnúmero(matrizde1 XI).
Pararesolverlaecuación(7) sepuedeesperarquelasolucióntengalaforma eA'.Pero¿qué
significa
e
AI
?Seresponderáaestapreguntaenseguida.Primero,recuerdelaexpansiónenserie
delafunción
e':
t
2
t
J
t
4
e'=1+t+- +- +- +...
2!3!4!
(8)

6.7Unaaplicaciónimportante:forma matricialdeecuacionesdiferenciales 597
Estaserieconverge paratodonúmeroreal t.Entoncesparacualquiernúmeroreal a
eal=1+at+(at)2+(at)]+(at)4+...
2! 3! 4!
(9)
DEFINICIÓN11 LamatrizeA
SeaAunamatrizdenXnconelementosreales(ocomplejos). EntonceseAesunamatriz
denXndefinidapor
A
2
A
3
A
4
=A
eA=1+A+-+-+-+ ...=I----L
2!3!4! k=Ok!
(10)
NORMA DE
I!llUNAMATRIZ
Observación.Noesdifícil demostrarquelaseriedematricesenlaecuación(10)converge para
todamatrizA,perohacerlonosllevaría demasiadolejos.Sinembargo,se puedendarindica
cionesde
porquéesasí.Primerosedefine IAI¡comolasumadelosvaloresabsolutosdelas
componentesenelrenglónideA.Despuéssedefinela normaldeA,denotadaporIAI,como
IAI=máxIAI¡
I~i~1I
sepuededemostrarque
IABI~IAIIBI
yaque
lA+BI~IAI+IBI
Despuésusando(12)y(13)en(10) seobtiene
l
eaI~1+[Al+j{+ti+tí+...=e
lA1
2!3!4!
(11)
(12)
(13)
(14)
TEOREMAa
I!!¡.__D_E_M_O_ST_R_A_C_IÓ_N
PuestoqueIAIesunnúmeroreal,e
lA1
esfinito.Estomuestraquelaserieen(10)converge para
cualquiermatriz A.
Ahoraseverálautilidaddelaserieenlaecuación(10).
Paracualquiervector constantee,x(t)=eAlcesunasolucióna(7). Másaún,lasolución
de(7)
dadaporx(t)=eAlx
o
satisfacex(O)=x
O
'
Secalcula,usando(la):
[
2 3 ]
Al 2t 3t
x(t)=ee=1+At+A-+A-+...e
2! 3!
PerocomoAesunamatrizconstante,setiene
d kdk kt
k
-\
_A
k~=_~Ak =__A
k
dtk!dtk! k!
•
tEstasedenominanormadelamáximasuma porrenglonesdeA

598 CAPíTULO6 Valorescaracterísticos,vectorescaracterísticos yformascanónicas
(k-1)!
A[Ak~l_t_k-_I_]
(k-1)!
(15)
DEFINICIÓNa
EJEMPLO1
Entoncescombinando(14)y(15), seobtiene(yaquee esunvectorconstante)
I dAl [ 2t
2
3t
3
]
Al
X(t)=-ee=A1+At+A-+A-+...e=Aee=Ax(t)
dt 2! 3!
Porúltimo,como e
AO
=e
O
=1,setiene
Matrizsoluciónprincipal
Lamatrize
AI
sedenominala matrizsoluciónprincipal delsistemax'=Ax.
Todavíaquedaunproblemaimportante (yobvio):¿cómo secalculae
AI
demanerapráctica?
Primero
sedarándosejemplos.
Cálculode eA
t
cuandoAesunamatrizdiagonal
SeaA=[~ ~ ~].EntoncesA
2
=[~ ~2 ~],A
3
=[~ ~3
OO3 OO3
2
OO
~]'...'Am=[~ ~m ~]y
3
3
OO 3'"
~ ~]+[~ ~t ~]
Ol OO 3t
t
2
O O
t
3
O O
2! 3!
+O
2
2
t
2
O+O
2
3
t
3
O
+...
2! 3!
OO
3
2
t
2
OO
3
3
t
3
2! 3!
t
2
t
3
Ol+t+-+-+···
2!3!
O
(2t)2(2t)3
1+(2t)+--+--+...
2! 3!
[
el
=O
O
O O
O
O
(3t)2(3t)3
1+(3t)+-+-+···
2! 3!

EJEMPLO 2
6.7Unaaplicaciónimportante:formamatricial deecuacionesdiferenciales 599
Cálculode
eA
t
cuandoAesunamatrizde2x2queno esdiagonalizable
SeaA=( ~ ~JEntonces,como severificafácilmente,
2a) [a
3
3a
2
)
[111ma
lll
-
I),...
?'A
3
= , ...,A
III
=a
a- Oa
3
O a111
TEOREMAEJ
demaneraque
[
i
(at~1IIimam-,Itlll]
Al m=Om. m=1m.
e=
Oi(at)1II
111=0m!
Ahorabien
Así
Comoloilustraelejemplo1,essencillocalcular e
AI
siAesunamatrizdiagonal.Elejemplo
1muestraque
siD=diag(Al'11.
2
'
•••,A,),entonces
DI_d·(A,'A,' Aol)
e- lage,e, ...,e
Enelejemplo2 secalculóe
AI
paralamatriz AenlaformacanónicadeJordan.Resultaqueesto
esrealmentetodoloque senecesitaparapoderhacerla,comolosugiere elsiguienteteorema.
Sea
JlaformacanónicadeJordandeunamatriz AyseaJ=C-1AC.EntoncesA=
CJC-I
y
E:DEMOSTRACiÓN Primeroseobservaque
nv~
A"=(CJC
I
)"=(CJCI)(CJCI)···(CJC
I
)
=
CJ(CIC)J(CIC)J(CIC)···(CIC)JCI
=CJ"C-
I
Sigueentoncesque
(At)"=C(Jt)"C-1
(16)
(17)

600 CAPÍTULO6 Valorescaracterísticos,vectorescaracterísticos yformascanónicas
Así,
(Al)2
eAI=1+(Al)+--+
2!
=e[!+(Jl)+(Jl)2+
2!
Elteorema2diceque paracalculareAIenrealidadsólo senecesitacalcular ell.CuandoJes
diagonal(comoocurreconfrecuencia),entonces sesabecómocalcular fll.SiAesunamatriz
de2
X2queno esdiagonalizable,entonces J=(~ ~) yel!=[ e~ l:~Jcomosecalculóenel
teorema2.Dehecho,no esdifícilcalcular el!cuandoJesunamatrizdelordan.Primero es
necesariocalcular e
BI
paraunamatrizdebloques Bdelordan.Unmétodo parallevarlaacabo
sedaenlosproblemas23al25.
Acontinuaciónseaplicaránloscálculosaunmodelo bi~lógico sencillodecrecimiento
depoblación.Supongaqueenunecosistemaexistendosespeciesqueinteractúan
SIyS2.Se
denotanlaspoblacionesdelasespeciesen eltiempolporXI(l)yx/t).Unsistemaquegobierna
elcrecimientorelativodelasdosespecies es
x;(t)=aX
I
(t)+bX
2
(l)
x;(l)=CXI(l)+dX
2
(l)
(18)
EJEMPLO 3
lasconstantesa,b,eydsepuedeninterpretardelasiguientemanera: silasespeciescompiten,
entonces
esrazonabletener b<Oye<O.Estosecumpleporquelosincrementosenlapobla
cióndeunaespeciedisminuirán
elcrecimientodelaotra. Unsegundomodelo esunarelación
de
depredador-presa.SiSIeslapresay S2eldepredador(S2secomea S),entoncesesrazonable
tener
b<Oye>Oyaqueunincrementoen laespeciedepredadoracausaundecrementoen
laespeciepresa,mientrasqueunincrementoen laespeciepresacausaráunincrementoenla
especiedepredadora(porquetendrámáscomida).Porúltimo,en
unarelaciónsimbiótica(cada
especie
vivedelaotra),esposibleque setengab>Oye>O.Porsupuesto,lasconstantes a,
b,eyddependende unagranvariedaddefactoresincluyendocomidadisponible,temporada
delaño,clima,límitesdebidosasobrepoblación,otrasespeciesencompetencia,etc.Debemos
analizarcuatromodelosdiferentesusando
elmaterialdeestasección. Sesupondráque lse
mideenaños.
Unmodelocompetitivo
Considereelsistema
x;(l)=3x/t)-x
2
(t)
x;(l)=2x
I
(t)+2x
2
(l)
Aquíunaumentoenlapoblacióndeunaespeciecausaunadisminuciónen latasadecreci
mientode
laotra.Supongaquelaspoblacionesinicialesson xl(O)=90yx/O)=150.Encuen
trelaspoblacionesdeambasespeciespara
l>O.

•Solución
6.7Unaaplicaciónimportante:formamatricial deecuacionesdiferenciales 601
(
3
-1)
SetieneA =-22·LosvalorescaracterísticosdeAson\ =lYA
2=4convectorescarac-
terísticoscorrespondientes
VI=G)yV2=(_:].Entonces
Porúltimo,lasoluciónalsistemaestá dadapor
Porejemplo,despuésde6meses(t =±año),XI(t)=80e
'12
+10e
2
""
206individuos,mientrasque
x
2
(t)=160e
l/2
-
IOe
2
""190individuos.Demaneramássignificativa,160e
l
-
lOe
41
=Ocuando
16e
l
=e
41
016=e
31
03t=In16yt=(In16)/3",2.77/3 '"0.92años'"11meses.Así,lasegunda
especieestaráeliminadadespuésdesólo
11mesesaunquecomenzócon unapoblaciónmayor.
Enlosproblemas13y14sepideallectorquedemuestrequeningunapoblaciónseríaeliminada
six
2
(0)=2x¡(0)ylaprimerapoblaciónquedaríaeliminada six
2
(0)>2xJO).Deestamanera,
comoyalosabíaDarwin,lasupervivenciaenestemodelosimplificadodependedelos
tamaños
relativosdelasespeciesencompetencia cuandolacompetenciacomienza.
1IIIIIIIIIIc--_u_n_m_o_d_e_lo_d_ep_re_d_a_d_o_r_-p_r_e_sa_
Seconsideraelsiguientesistemaen elquelaespecie1 eslapresaylaespecie2 eldepredador:
x;(t)=2x
1
(t)-x
2
(t)
x;(t)=x¡(t)+4x
2
(t)
l1li.Solución
Encuentrelaspoblacionesdelasdosespecies parat>Osilaspoblacionesinicialesson xl(O)=500
Yx/O)=100.
Enestecaso A=(~-~)yelúnicovalorcaracterístico esA=3conunsolovectorcaracterís-
tico(_
~JUnasoluciónparalaecuación(A-3l)v
2
=v¡(veaelteorema6.6.2,página589),es

602 CAPÍTULO6 Valorescaracterísticos,vectorescaracterísticos yformascanónicas
c=(l
l-I
te31J 31(
1
tJ
=e (delejemplo 2)
e
31
O1
y
=e
31
(l1)(2-t
-1-2-1
Asílasolución alsistemaes
I-t)(I-t
=e
31
-1 t
-tJ(500J 31(500-600tJ
1+tllOO=elloO+600t
Esevidentequelaespeciepresaseráeliminadadespuésde iaños=10meses-auncuando
comenzócon
unapoblacióncincovecesmayorquela espeCiedepredadora-oDehecho,es
sencillodemostrar(vea elproblema15deestasección)quenoimportaquétangrandesea la
ventajainicialdelaespeciepresa,siempreseráeliminadaenmenosde1año.
1IIItIIBIIc..._o_tr_o_m_o_d_e_lo_d_e_p_re_d_a_d_o_r_-_p_re_s_a_
Considereelmodelodepredador-presagobernado porelsistema
X;(t)=XI(t)+x
2
(t)
x~(t)=-Xl(t)+X2(t)
WIlI.Solución
Silaspoblacionesinicialesson xI(O)=x
2
(0)=l000,determinelaspoblacionesdelasdo
especies
parat>O.
AquíA=(llJconecuacióncaracterística ').}-2"A+2=O,raícescomplejas\ =1+¡
l-11
A
2
=1-¡yvectorescaracterísticos VI=eJyV2=( _~}tEntonces
c=(;_~}C
I
=-;¡(=;-~)=~C-;}J=D=C:¡1~¡)
y
(
(1+i)1
JIe
e=
O
AhoraporlaidentidaddeEuler(vea elapéndice2), él=cost+¡sent.Así
él+i)1=elél=el(cost+¡sent)
.-------
tObserveque le,=I,yv
2
=\/..Estonodebesorprenderporquesegún elresultadodelproblema 6.1.39,página538.
losvalorescaracterísticosde lasmatricesrealesocurren enparesconjugadoscomplejos ysusvectorescaracterísticos
correspondientes
sonconjugadoscomplejos.

6.7Unaaplicaciónimportante:formamatricial deecuacionesdiferenciales 603
Demanerasimilar,
ell-;)1= ele~;1=el(cost-isent)
Entonces
y
JI I(cost+isent
e=e
O cost~isent)
Porúltimo,
el(1I)(cost+isent-icost+sentJ
="2i-icost-isenticast+sent
el(2cast2sentJI(castsentJ
=2-2sent2cast=e-senteast
Al I(costsentJ(IOOO)(IOOOel(cost+sent))
x(t)=ex(O)=e =
-senteastl000 l OOOe
l
(cost-sent)
EJEMPLO 6
•Solución
Laespeciepresaeseliminada cuando1000el(cost-sent)=Oocuandosent=cost.Lapri
merasoluciónpositivadelaúltimaecuación est=rr/4'"0.7854años'"9.4meses.
Modelodecooperacióndeespecies(simbiosis)
Considereelmodelosimbiótico gobernadopor
x;(t)=-+xl(t)+x
2(t)
x;(t)='¡xl(t)-tX2(t)
Observequeenestemodelolapoblaciónde cadaespecieaumentaproporcionalmentealapo
blacióndela
otraydisminuyeproporcionalmenteasupropiapoblación.Suponga quexJO)=
200y x/O)=500.Determinelapoblaciónde cadaespecieparat>O.
(
-1.1)
Enestecaso A= ;_ +convalorescaracterísticos Al=OYA
2
=-1Yvectorescaracterís-
ticoscorrespondientes
VI=eJyV2=(_ ~].Entonces
y
el=_~(-1 -2J
4-\2'
J=D=(O 0J
°-J
Así,

604 CAPÍTULO6 Valorescaracterísticos,vectorescaracterísticos yformascanónicas
1(22J[-1-2J
=-¡ll-1-e-
I2e-
'
=_~[-2-2e-'-4+4e-
l
]
4-1+e-'-2-2e-'
y
Al 1[-2-2e-'-4+4e-'][200J
X(t)=ex(O)=--
4-l+e-'-2-2e-'500
=_~[-2400 +1600e-
'
]
4-1200-
SOOe-
1
=[600-400e-1]
300+200e-'
Observeque
e-
I
--7Osit--7oo.Estosignificaquecon eltiempo,lasdosespeciesencooperación
seacercanalaspoblacionesen equilibriode600y300,respectivamente.Ningunadelasdos
quedaeliminada.
problemas6.7
AUTOEVALUACIÓN
1.SiC-1AC=D,entoncese
AI
=
11.SiD=( ~ _~Jentoncese
DI
=
(
e
31
O)
a)Oe-41
e)CeDIC-
1
(
e-
41
O)
d)Oe
31
111.SiJ=(21),entoncesell= o
O2
IV.Supongaque
x'=ax+by, x(O)=X
o
y'=ex+dy, y(O)=Yo
queA=(::)yqueAessimilaraunamatrizdiagonal D.Entoncesexisteunamatriz
invertibleCtalque
(X(t»)= o
y(t)

6.7Unaaplicaciónimportante:formamatricialdeecuacionesdiferenciales 605
(
2
-1)
4.A=
5-2
3.A =(12)
-21
[
-10
7.A=
7
-:) 8.A=[- ~ ~)
A=[-:~ -~] 11.A=[~ ~ ~] 12.A=[ ~ ~ ~]
O1 -1 464 -1-5-2
6A=[O1)
-1-2
2.A=(3-1)
-24
10.9.A=(-127)
-72
Enlosproblemas1 al12encuentrelamatrizsoluciónprincipal e
AI
delsistemax/(t)=Ax(t).
(
-2-2)
1.A=
-51
5.A=[3-5)
1-1
13.En elejemplo3demuestreque sielvectorinicial x(O)=(2:].dondeaesunaconstante,
entoncesambaspoblacionescrecenaunatasaproporcionala
e'.
14.En elejemplo3demuestreque six
2
(0)>L)O),entonceslaprimerapoblaciónquedará
eliminada.
15.
Enelejemplo4demuestrequelaprimerapoblación seextinguiráen aaños,donde a=
x](O)/[x](O)+x
2
(0)].
*16.Enunaplantadesalinizadorahaydostanquesdeagua.Supongaque eltanquelcontiene
1000litrosdesalmueraquetienendisueltosl000kgdesaly
eltanque2contiene100
litrosdeaguapura.Supongaquefluyeaguaal
tanque1aunatasade 20litrosporminuto
y
lamezclafluyedel tanque1altanque2aunatasade 30litrosporminuto.Deltanque
2
sebombean10litrosderegresoal1(estableciendoretroalimentación)mientrasque20
litros
sedesperdician.Encuentrelacantidaddesalen ambostanquesen eltiempof[su
gerencia:escribalainformacióncomounsistemade2 X2yseanx](t)yx
2
(t)lacantidad
desalen
cadatanque].
17.
Unacomunidadde nindividuosestáexpuestaaunaenfermedadinfecciosa
t
.Eneltiempo
t,lacomunidadsedivideengrupos: elgrupo1conpoblación x](t)eselgruposusceptible;
elgrupo2conunapoblaciónde x
2
(t)eselgrupodeindividuosinfectadosencirculación,y
elgrupo3,conpoblacióndex
3
(t),consisteenaquellosqueestánaislados,muertosoinmu
nes.Esrazonablesuponerqueinicialmente x
2
(t)yx/Osonpequeñosencomparacióncon
x](t).Seanay{3constantespositivas; adenotalatasaalaquelosindividuossusceptibles
seinfectany {31atasaalaquelosindividuosinfectadospasanalgrupo 3.Unbuenmodelo
paraladispersióndelaenfermedadestá dadoporelsistema
x;(t)=-(XX](0)x
2
x;(t)= (XX](0)x
2
-
~X2
x;(t)=-~X7
a)Escribaestesistemaenlaforma Xl=Axyencuentrelasoluciónentérminosde x)O),
x
2
(0)yx
3
(0).Observeque x](O)+x
2
(0)+x/O)=n.
b)Demuestreque siax(O)<{3,entonceslaenfermedadnoproduciráunaepidemia.
e)¿Quépasará siax(O)>f3?
•
tUnanálisisdeestemodelo sepuedeencontrar enN.Bailey,"TheTotal Size01aGeneralStochasticEpidemic", Bio
metnka40(1953):177-185.

-~][sugerencia:vea
-1
606 CAPíTULO6 Valorescaracterísticos,vectorescaracterísticos yformascanónicas
18.Considerelaecuacióndiferencialdesegundoorden x"(t)+ax'(t)+bx(t)=O.
a)Haciendo.x)t)=x(t)yx/t)=x'(t),escribalasecuacionesanteriorescomo unsistema
deprimerordenenlaformade
laecuación(7),dondeAesunamatrizde2x 2.
b)Demuestrequelaecuacióncaracterísticade Aes¡.}+aA.+b=O.
Enlosproblemas 19al30use elresultadodelproblema 18pararesolverlaecuacióndada.
19.x"+5x'+6x=O;x(O)=1,x'(O)=O
20.x"+6x'+9x=O;x(O)=1,x'(O)=2
21.x"+4x=O;x(O)=O,x'(O)=I
22.x"- 3x'-10x=O;x(O)=3,x'(O)=2
23.Sea N
3
=[~ ~ ~].Demuestreque N ~=O,lamatrizcero.
OOO
24.Demuestreque
eN,'=[~:t
2
/~][sugerencia:escribalaserie paraeN,'yutiliceelresul-
OO I .
tadodelproblema23].
25.Sea J=[~ ~ ~].Demuestreque eJ,=e
AJ[~ :
OO A. OO
Utilice
elhechodeque e
A+
B
=eAe
B
siAB=BA].
26.Usandoelresultadodelproblema 25,calculee
At
,dondeA=[=~
-1
elproblema6.6.23,página 593].
[-1-18-7]
27.Calcule eA',dondeA=1-13-4.
-1258
28.Calculee",dondcJ~[~
1O
i]
A.1
OA.
OO
29.Calcule
e",dondeA~[f
1O
r]
21
O3
OO
[-4
1O
~]
30.Calculee",dondeA~ ~
-41
O-4
OO

6.8Unaperspectivadiferente: losteoremasdeCayley-HamiltonyGershgorin 607
RESPUESTAS ALAAUTOEVALUACIÓN
1.e) 11.a) 111.e) IV.b)
• UNAPERSPECTIVA DIFERENTE:
LOSTEOREMAS DECAYLEy-HAMILTON yGERSHGORIN
Existenmuchosresultadosinteresantessobrelosvalorescaracterísticosde unamatriz.Enesta
sección
seestudiarándosdeellos.Elprimerodice quecualquiermatrizsatisfacesupropia
ecuacióncaracterística.Elsegundomuestra
cómolocalizar,de manerageneral,losvalores
característicosdecualquiermatriz,prácticamentesinhacercálculos.
Sea
p(x)=x"+a"_lx"-1+...+alx+a
ounpolinomioysea Aunamatrizcuadrada.En
tonceslaspotenciasde
Aestándefinidasy sedefine
EJEMPLO1 EvaluacióndepeA)
(
-14J (13
SeaA= Yp(x)=x
2
-5x+3.EntoncespeA)=A
2
-5A+31=
3 7 18
+(30)=(214)
°3 3 29
(1)
24J(5-20J
61+-15 -35
Laexpresión(1)esunpolinomioconcoeficientesescalaresdefinido paraunamatrizvariable.
También
sepuededefinirunpolinomiocuyoscoeficientesson matricescuadradas demXmpor
(2)
SiAesunamatrizdelmismo tamañoquelasmatricesB,entoncessedefine
(3)
TEOREMA
El
WDEMOSTRACIÓN
Debetenerse cuidadoen(3)ya quelasmatricesnoconmutanbajolamultiplicación.
SipeA)yQ(A)sonpolinomiosenlavariableescalarAcuyoscoeficientesdematrices 1
cuadradasysipeA)=Q(A)(A-A/),entoncespeA)=O.
SiQ(A)estádadoporlaecuación(2),entonces
peA)=(B
o
+BIA+B
2
A
2
+...+B"A")(A-A/)
=BoA+BIAA+B
2
AA
2
+...+B"AA"-Bol..-B
I
A
2
-Bp-...-B"1.."+1(4)
Entoncessustituyendo AenlugardeAen(4),seobtiene

608 CAPÍTULO6
TEOREMAm
Valorescaracterísticos,vedarescaracterísticos yformascanónicas
Observación.NosepuedeprobaresteteoremasustituyendoA=AparaobtenerP(A)=
Q(A)(A-A) =O.Estosedebea queesposibleencontrarpolinomiospeA)yQ(A)concoefi
cientesmatricialestalesqueF(A)=P(A)Q(A)peroF(A)=f.P(A)Q(A).(Veaelproblema17de
estasección.)
Ahorasepuedeestablecer elteoremaprincipal.
TeoremadeCayley-Hamilton
t
Todamatrizcuadradasatisfacesu propiaecuacióncaracterística.Esdecir,si
peA)=Oes
laecuacióncaracterísticade A,entoncespeA)=O.
l::.DEMOSTRACiÓN Setiene
a
ll
-A a
l2
a
ln
peA)=det(A-Al)=
a
21
a
22
-A
Q2n
QIII Q1I2
...
a-A
1/1/
Esclaroquecualquier cofactorde(A-Al)esunpolinomioenA.Así,la adjuntade
A-Al(vealadefinición 2.4.1,página204)esunamatrizde nxnenlaquecadacom
ponenteesunpolinomioenA.Esdecir,
P12(A) Pln(A)]
P
22
(A) P
2n
(A)· .
· .
· .
Pn2(A) pn"CA)
Estosignificaquesepuede pensarenadj(A-Al)comoenunpolinomio,Q(A),enA
cuyoscoeficientessonmatricesde nXn.Paraentenderesto,sevelosiguiente:
(
-A
2
-n+1n2-n-4)=(-12)A2+(-2-7)A+(1-4)
4A
2
+5A-2-3A
2
-A+3 4-3 5-1 -23
Delteorema2.4.2delapágina 206
det(A-Al)I=[adj(A-Al)][A-Al]=Q(A)(A-Al)
Perodet(A-Al)I=peA)!.Si
entoncessedefine
(5)
.---
tRecibeelnombreenhonorde SirWilliamRowanHamiltony ArthurCayley(1821-1895) (vealaspáginas52y71)
Cayleypublicó elprimeranálisisdeestefamosoteorema en1858.Porsuparte,Hamiltondescubrió(peronodemos
tró)
elresultadoensutrabajosobrecuaterniones.

EJEMPLO 2
6.8Unaperspectivadiferente: losteoremasdeCayley-HamiltonyGershgorin 609
Porlotanto,de(5)setiene peA)=Q(A)(A- Al).Porúltimo,del teorema1,peA)=O.
Estocompletalaprueba.
IlustracióndelteoremadeCayley-Hamilton
[
1
-14]
SeaA=32 -l.Enelejemplo6.1.4, página529,secalculólaecuacióncaracterística
21-1
[
6I
1] [11-3 22~
A
3
-
2/..,2-5A+6= O.AhorasecalculaA
2
=7O 1I,Al=294 17Y
3
-[8 1635
["
-3
22][-12
-2
-2][-5
5
-20][6
O
~]
A
3
-
2A
2
-
5A+61=294 17+-14O-22+-15-10 5+ O6
1635 -62-16 -10-5 5 OO
~[~
O
~]
O
O
EnalgunassituacioneselteoremadeCayley-Hamiltonesútilparacalcularlainversade
unamatriz.Siexiste A-
1
ypeA)=O,entoncesA-'p(A)=O.Parailustraresto,sipeA)=A"+
aA"-I+...+aA+oentonces
11-1 I o'
peA)=A"+a,,_IA"-I+...+alA+a/=O
y
Así
EJEMPLO 3
A
-¡-
1(A"-¡ A"-2 A 1)----a-"'-a-a
IJ-\ 2 1
a
o
Observequea
o*-Oporquea
o=detA(¿porqué?)yse supusoqueAerainvertible.
AplicacióndelteoremadeCayley-Hamiltonparacalcular A-
1
(6)
[
1
-14]
SeaA=32-1.Entoncesp(A)=A
3
-2/..,2-5A+6.Aquín=3,a
2
=-2,o,=-5,a
o
=6y
21-1
=~r[=~ -~ -~:]+[~ -~ -~]+[~ ~:]]=~[-: -~ -1~]
-31-8 42 -2 OO5 13 -5

610 CAPíTULO6Valorescaracterísticos,vectorescaracterísticos yformascanónicas
Observeque
secalculóA-
I
haciendosólounadivisiónycalculandosóloundeterminante(al
encontrar
peA)=det(A- AJ)).Estemétodoenocasiones esmuyeficientealimplementarloen
unacomputadora.
TEOREMA DELASCIRCUNFERENCIAS DE GERSHGORIN
Seestudiaráahoraelsegundoresultadoimportantedeestasección.Sea Aunamatrizrealo
complejade
nxn.Comoesusual,seescribe
[""
al2 a,,]
A~ :~'
a
22
a
2n
QII2
...a:",
ni
Sedefineelnúmero
'i=la
l2
1+la
13
1+...+lalnl=ilayl
j=2
Demanerasimilar sedefine
rl=laill+la¡21+...+la¡.¡-II+la¡.¡+11+...+/a¡.1I1
=Ilaijl
j~1
ji:-i
(7)
(8)
Esdecir,r,eslasumadelosvaloresabsolutosdelosnúmerosen elrenglónideAquenoestán
enladiagonalprincipal.Sea
Di={ZEc:Iz-a):::;r) (9)
Enestecaso Diesundiscoen elplanocomplejocentradoen a
i
¡conradio r¡(vealafigura6.4).
EldiscoD¡consisteentodoslospuntosen elplanocomplejosobreydentrodelascir
cunferencias
C¡={ZEC:Iz-a)=rJLascircunferenciasC
j
'i=1,2,...,n,sedenominan
circunferenciasdeGershgorin.
y=Imz
Figura6.4
Uncírculoderadio(,
centradoena"
Iz- z··I~r
n I
--:-t-------i~x =Rez
O

TEOREMAa
6.8Unaperspectivadiferente: losteoremasdeCayley-HamiltonyGershgorin 611
Teoremadelascircunferencias
deGershgorin
t
SeaAunamatrizden XnyseaD¡comosedefinióenlaecuación(9).Entonces cada
valorcaracterísticode Aestácontenidoenalmenos unodelosD¡,esdecir,silosvalores
característicosde
Ason\,A
2
,
•.•,A
k
,
entonces
"
{Al'A
2
,
.••,Ak}C~D¡ (10)
LDEMOSTRACiÓN SeaAun valn'earaetedst;codeAconvectorearaeterist;cov =[i:]-Seam=máx{Ix,!'
Ix,l,...,IX"I}·Entonces(I/m)v =[~:JosunvectorcaraetedstieodeAcorrespondiente
a
Aymáx{lyll,ly
2
1,...,IY"I}=l.SeaY
I
unelementode yconly¡1=l.Ahorabien,Ay
=AY·Lacomponenteideln-vectorAyesailY
I
+a¡2Y2+...+a¡,,Y,,.Lacomponentei
deAYesAY¡-Entonces
loquese
puedeescribircomo
"
IaijY
j
=Ay;
j~1
Restandoa¡'y¡enamboslados,laecuación(11) sepuedeescribir como
"
IaijY
j
=AY¡-a¡¡y¡=(A-a¡¡)Y¡
j=I
i*i
(11)
(12)
Después,tomandoelvalorabsolutoen ambosladosde(12) yusandoladesigualdaddel
triángulo
(la+bl::::;lal+lb!),seobtiene
I(a¡¡-A)y¡l=-i:aijY
j
::::;ijaijllyjl
j~I j~I
j'"1 j'"I
Sedividenambosladosde(13)entre ly¡1(queesiguala 1)paraobtener
(13)
(14)
Elúltimopasosigueelhechode queIY)::::;IYA(porlaformaenqueseeligió y).Peroesto
pruebaelteoremaya que(14)muestra queAED¡-
.._--
tElmatemáticoruso S.Gershgorinpublicóesteresultado en1931.

612 CAPiTULO6 Valorescaracterísticos,vectorescaracterísticos yformascanónicas
y=Imz
)I(x-I)2+i=25
....l-----..é
Figura6.5
Todoslosvalorescaracterís
ticosdeAestándentrode
estastrescircunferencias.
--+--+--f--+-H--+!--I---lI---+-x=Rez
-4
(x-2f+y2=16
Estosepuedeverificar yaquesesabeporelejemplo6.1.4delapágina529,quelosvaloresca
racterísticosde
Ason1,-2Y3,loscualesestándentrodelastrescircunferencias.Observeque
lascircunferenciasdeGershgorin
sepuedenintersectarentre.sí.
_L...__U_s_o_d_e_l_t_e_o_r_e_m_a_d_e_G_e_r_S_h_9_o_r_in__
Encuentrelasfronterassobrelosvalorescaracterísticosdelamatriz
i~~.Solución
3O-1
_.1.1
4 4
O5
.1
O
2
A=
.1
O6
.1.1
4 4 2
O-1
.1
-3
.1
2 4
.1_.1 .1 .1
4
6 6 3 3
Aquía]]=3,a
22
=5,a
33
=6,a
44
=-3,a
ss
=4,~=f,r
2
=f,r
3
=1,r
4
=¡yr
s=1.Lascircunfe
rencias
d~Gershgorin estándibujadasenlafigura6.6.Esevidente,delteorema3ylafigura6.6,
que
siAesunvalorcaracterísticode A,entoncesIAI::;7YReA2:-lf-.
ObserveelpoderdelteoremadeGershgorinparaencontrarlalocalizaciónaproximadade
losvalorescaracterísticosconmuypocotrabajo.
(x_W+y2=(_4
7)2Y=1mz (3)2
(x-3)2+y2=2"
19 D4
4~
-_-15f-t---1r---1r---1r--H_l-l~O:+---+--+--+---+--+--+--+--+---+--+--+-7-+- x=Rez
Figura6.6
Todoslosvalorescaracte
risticosdeAseencuentran
dentrodeestascinco
circunferencias.

problemas6,8
6.8Unaperspectivadiferente: losteoremasdeCayley-HamiltonyGershgorin 613
AUTOEVALUACiÓN
1.¿Quéecuaciónsesatisfacepor A=( ~ ~}
a)A
2
-
3A+2J=O b)A
2
-
2A=O
e)A
2
+2A-31=O ti)A
2
+3A+2J=O
11.SegúneltenremadeGe<shgo,;n, lo,valo,"",c","oIe",II""de[~-~ ~)'"encuen,,.n
dentrodelascircunferenciasconcentro en(2,O)cuyoradiomayores _
a)7 b)8 e)J34 ti)10
Delosproblemas1al 9:a)encuentrelaecuacióncaracterística peA)=Odelamatrizdada; b)
verifiqueque peA)=O;e)utiliceelincisob)paracalcularA-J.
1.(-2-2)
-51
4.U~ ~J
7.[:-;~;
2.(2-1)
5-2
Delosproblemas 10al14dibujelascircunferencias deGershgorinparalamatrizdada Ay
encuentreunacotapara IAIsiAesunvalorcaracterísticode A.
U
_1- I
~]
12.[¡
3-1
-~]
10.[;
1
~]
2 3
61 5O
5 11.
--'5 -16
O
3
-'-1- 23
4 4
3O-'
I
O-'
] "] ]
(7
-'-'
f)
I
5--'O JO5 5 2" 2
13.~t
-10
-L -L
--'4
1--'
I
JO
14.
10 5 5 5 10
1-
5 -1OO -3OO4
-1O 1-
O--'O2
1-
2 2 2
_1--'-' O
_1-
O
4 4 4 4

614 CAPiTULO6 Valorescaracterísticos,vectorescaracterísticos yformascanónicas
SeaA+¡
1-_.1
2 3
3
1-
15.
2
1-
5
2
l2
realespositivos.
[--
ll
16.Sea
A~ :
-62
2
-5
1l
negativos.
:].Demuestrequelosvalorescaracterísticosde Asonrealesy
-4
17.Sea peA)=B
o
+B¡AyQ(A)=C
o
+CIA,dondeB
o
'
B
l
,
C
o
yC¡sonmatricesden Xn.
a)CalculeF(A)=P(A)Q(A).
b)
SeaAunamatrizden xn.Demuestreque F(A)=P(A)Q(A)siysólosiAconmuta
tantoconC
o
comoconC
I
.
18.Sea Aunamatrizde nXnconvalorescaracterísticos \'A
2
,
•.•,A
Il
,Ysear(A)=W~~IAJ
SiIAIeslanormadelamáximasuma porrenglonesdefinidaenlasección6.7,demuestre
que
r(A):s:IAI.
19.Sediceque lamatrizAdenXntienediagonalestrictamentedominante sila)>r,parai=
1,2,...,n,donde r,estádefinidoporlaecuación(8).Demuestreque siAesunamatriz
condiagonalestrictamentedominante,entoncesdetA *O.
RESPUESTAS ALAAUTOEVALUACIÓN
1.a) 11.b)
• MATLAB6.8
1.ParalasmatricesenlosproblemasIal 17delasección6.1,encuentre amanoelpolinomio
característico.Use
MATLAByloscoeficientesdelpolinomiocaracterístico(encontradoa
mano)
paraverificarelteoremadeCayley-Hamilton paraestasmatricesy paraencontrar
lasmatricesinversas.Verifiquesurespuestasobrelasinversas.
2.a)Parauna matrizaleatoria Ade4 X4encuentree =poly(A).Dédocpolyvalmydespués
use
polyvalmparailustrarelteoremadeCayley-Hamilton.
h)UseelteoremadeCayley-Hamilton paraencontrarA-¡yverifiquesurespuesta.
e)Repitalosincisos a)yb)paraunamatrizaleatoriadevalorescomplejosde4 X4.
3.SeaAunamatrizaleatoriade2 X2.ConsidereelsiguienteprogramadeMATLAB:
rl=sum(abs(A(l,:») -abs(A(I,1»
r2=sum(abs(A(2,:)))-abs(A(2,2))
al=real(A(I,1)), bl=imag(A(l,1))
a2
=real(A(2,2)), b2=imag(A(2,2))

•
Resumen 615
HastaahorasehaencontradoelcentroyelradiodecadacircunferenciadeGershgorin.
xx= -r1:2*r1/100:r1
x
=xx+a1;
z=real(sqrt(rl*r1-xx.*xx)
y
=z+b1;yy=-z+b1;
xl=Ixfliplr(x)l;
y1=Iyyyl;
Sehancreadolosvectores xlyy1quecontienenlosvalores xyyparalacircunferencia(su
perioreseinferiores)del
radior1alrededordeA(1,l)(observeel"."antesde "*,,enxx.*xx
en
elcálculode z.Elcomandorealseusaparaasegurarqueloserroresde redondeonocreen
valores
conpequeñaspartesimaginariasparaz.Esútilusar";"alfinalde cadalíneapara
evitarquesedesplieguenlos másde100valores).
Repitaelúltimoconjuntodelprogramasustituyendotodoslosunosconnúmerosdos.
axis('square)
plot(x1,y1,'
b',x2,y2,'g')
hold00
e=eig(A)
plot(real(e),imag(e),'w*')
holdoff
El
programagraficalas doscircunferenciasde Gershgorin(unaenazulylaotraenverde),
encuentralosvalorescaracterísticos ylosgraficacomopuntos(conelsímbolo"*,, enrojo).
Loscolores
ysímbolose puedencambiar.
a)Introduzcaunamatrizdevaloresrealesde 2X2 Yelprogramaanterior.Expliquelo que
observaenlagráficaalaluzdel teorema3.
b)Repitaelinciso a)paraunamatrizdevalorescomplejosde 2X2.
e)Repitaelinciso a)paraunamatrizdevalorescomplejosde 3X3.Seránecesarioque
agreguealgunasinstruccionesalprograma;esdecir,
deberácrearr3,a3,b3,x3 yy3Y
modificarla primerainstruccióndegraficado.
RESUMEN
Valoresyvectores
característicos
SeaAunamatrizde nXnconcomponentesreales.ElnúmeroA(realocomplejo) sedenomina
unvalorcaracterísticoovalorpropiode Asiexisteunvectorv diferentedeceroenC"talque
Av=AV
Elvectorv=1=Osedenominavectorcaracterísticoovectorpropiode Acorrespondientealvalor
característicoA.
SeaAunamatrizde nXn.EntoncesAesunvalorcaracterísticode Asiysólosi
peA)=det(A-Al)=O
(p.524)
(p.525)

616 CAPÍTULO6Valorescaracterísticos,vectorescaracterísticos yformascanónicas
LaecuaciónpeA)=Osedenominaecuacióncaracterísticade A;peA)seconocecomoelpolino
miocaracteristicode
A.
Contandolasmultiplicidades,todamatrizde nXntieneexactamente nvalorescaracterísticos.
Losvectorescaracterísticos correspondientesavalorescaracterísticosdiferentes sonlinealmen
teindependientes.
Multiplicidadalgebraica
Si
peA)=(A-Al)"(A-A
2
)"••'(A-\,)';",entoncesr¡eslamultiplicidadalgebraica de"A,.
Losvalorescaracteristicos deunamatrizrealocurrenenparesconjugadoscomplejos.
Espaciocaracterístico
SiAesunvalorcaracterísticodela matrizAdenXn,entoncesEl.={v:Av=AV}esunsub
espaciode[JIIdenominadoelespaciocaracterístico deAcorrespondienteaA.SedenotaporEl.'
Multiplicidadgeométrica
Lamultiplicidadgeométricade unvalorcaracterísticoAdelamatrizAesiguala dim
E),=veA-AJ).
ParacualquiervalorcaracterísticoA,multiplicidadgeométrica::;multiplicidadalgebraica.
Sea
AunamatrizdenXn.EntoncesAtienenvectorescaracterísticoslinealmenteindependien
tes
siysólosilamultiplicidadgeométricadecadavalorcaracterísticoesigualasumultiplici
dadalgebraica.Enparticular,Atienenvectorescaracterísticoslinealmenteindependientessi
todoslosvalorescaracterísticos sondiferentes(ya queenesecasolamultiplicidadalgebraica
de
todovalorcaracterísticoes 1).
Teoremaderesumen
SeaAunamatrizdenXn.Entonceslassiguientes12afirmacionessonequivalentes;esdecir,
cadaunaimplicaalas otras11(demaneraquesiunaescierta,todassonciertas):
i.Aesinvertible.
ii.
Laúnicasoluciónalsistema homogéneoAx=Oeslasolucióntrivial(x =O).
iii.Elsistema Ax=btieneunasoluciónúnica paracadan-vectorb.
iv.Aesequivalenteporrenglonesala matrizidentidad,f
ll
,denXn.
v.Asepuedeexpresarcomoelproductodematriceselementales.
vi.Laformaescalonadaporrenglonesde Atienenpivotes.
vii.
Lascolumnas(yrenglones)deAsonlinealmenteindependientes.
viii.
detA
*'O.
ix.veA) =O.
x.peA)=n.
xi.LatransformaciónlinealTde[JIIen[JIIdefinidaporTx=Axesunisomorfismo.
xii.
Ceronoesunvalorcaracterísticode A.
Matricessemejantes
SedicequedosmatricesAyBdenXnsonsemejantessiexiste unamatrizinvertibleCde nXn
talque
B=C-IAC
Lafunciónqueseacabadedefiniryquellevaala matrizAenlamatrizBsedenominatrans
formacióndesemejanza.
(p.526)
(p.526)
(p.528)
(p.531)
(p.531)
(p.534)
(p.535)
(p.535)
(p.535)
(p.555)

Resumen
AYBsonsemejantessiexisteunamatrizinvertibleCtalque CB=AC
Lasmatricessemejantestienenlosmismosvalorescaracterísticos.
Matrizdiagonalizable
UnamatrizAdenXnesdiagonalizables\existeunamatrizdiagonal Dtalque Asea
semejantea
D.
UnamatrizAdenXnesdiagonalizablesiysólositienenvectorescaracterísticoslinealmente
independientes.Entalcaso,lamatrizdiagonal
Dsemejanteestádada por
AlOO O
O
11.
2O O
D=OO 11.
3
O
OOO A
"
donde\,11.
2
'
.••,A"sonlosvalorescaracterísticosde A.SiCesunamatrizcuyascolumnasson
vectorescaracterísticoslinealmenteindependientesde
A,entonces.
D=C-IAC
SilamatrizAdenXntienenvalorescaracterísticosdiferentes,entonces Aesdiagonalizable.
Losvalorescaracterísticosdeunamatrizsimétricarealsonreales.
Losvectorescaracterísticosdeunamatrizsimétricarealcorrespondientesavalorescaracterís
ticosdiferentessonortogonales.
Unamatrizsimétricarealde
nXntienenvectorescaracterísticosrealesortonormales.
Matrizortogonalmentediagonalizable
Sedicequeunamatriz AdenXnesortogonalmentediagonalizable siexisteunamatrizortogonal
Qtalque
donde
D=diag(\'11.
2
'
•..,A)yAl'11.
2
'
..•,A"sonlosvalorescaracterísticosde A.
Procedimientoparaencontraruna ortogonalmatrizºdiagonalizanteparaunamatrizrealsimé
trica
A:
i.Encuentreunabaseparacadaespaciocaracterísticode A.
ii.Encuentreunabaseortonormalparacadaespaciocaracterísticode Ausandoelproceso
deGram-Schmidt.
iii.EscribaQcomolamatrizcuyascolumnassonlosvectorescaracterísticosortonormales
obtenidosen
elpasoii).
Latranspuestaconjugadadeunamatrizde mXn,A=(a),denotadaporA*,eslamatrizde
11
nXmcuyacomponente ijes~.
Unamatrizcompleja AdenXneshermitianasiA*=A.
Unamatrizcompleja UdenXnesunitariasiU*=U-l.
617
(p.555)
(p.556)
(p.557)
(p.557)
(p.559)
(p.567)
(p.568)
(p.568)
(p.568)
(p.569)
(p.571)
(p.571)
(p.571)

618 CAPíTULO6Valorescaracterísticos,vectorescaracterísticos yformascanónicas
Ecuacióncuadrática yformacuadrática
Unaecuacióncuadráticaendosvariablessintérminolineales unaexpresiónenlaforma
ax
2+bxy+ey2=d
dondelal+Ibl+lel*-OYa,b,esonnúmerosreales.
Unaformacuadráticaendosvariableses unaexpresiónenla forma
F(x,y) =ax
2
+bxy+cy2
dondelal+Ibl+lel*-OYa,b,esonnúmerosreales.
Unaformacuadráticasepuedeescribircomo
F(x,y)=Av'v
dd
(
ab/2) ....
oneA= esunamatnzslmetnca.
b/2c
Silosvalorescaracterísticosde Asona'ye',entonceslaformacuadráticasepuedeescribir como
F(x',y')=a'x,2+c'y,2
donde(;~)=Q'(;)yQeslamatrizortogonalquediagonalizaA.
Teoremadeloseiesprincipales en[?2
(p.576)
(p.576)
(p.577)
Sea
ax
2
+bxy+ey2=d (*) (p.578)
unaecuacióncuadráticaenlasvariablesxyy;entoncesexisteunnúmeroúnicoeen[O,2rr]tal
quelaecuación(*)sepuedeescribirenlaforma
a'x'2+c'y'2=d
dondex',y'sonlosejesobtenidosalrotarlosejesxyyunánguloeenelsentidocontrarioa
:~m(a~eci~~;)~e~:~o~;e~:~ :ú::1:::::e~~::~ Ye;~ss::i~::pva~~:r:se c~:a::::í~:iC:eS ~ae~:::::i:
b/2e
cuadrática.
.(abl2) 1 .. •.*1 .
SIA=c'entoncesaecuaclOncuadratIca()esaecuacIónde:
b/2
i.Unahipérbolasid*-OYdetA<O.
(p.580)
ii.Unaelipse,uncírculoo unaseccióncónicadegeneradasid*-OYdetA>O.
iii.Unparderectaso unaseccióncónicadegeneradasid*-OYdetA=O.
iv.Sid=O,entonces(*)esla ecuacióndedosrectassidetA*-OYlaecuacióndeunasolarectasidetA=O.
FormacuadráticaenV"
Seav~[~JyseaAunamat,izsimétcicadenXn.Entonceslafo,maouadcitieaenx"x"...,x"'

esunaexpresióndelaforma
F(x¡,x
2
,
•••,x)=Av.v
Resumen 619
(p.582)
LamatrizN
k
eslamatrizdek xk
OIO O
OO
I O
N= (p.586)
k
OOO 1
OOO O
LamatrizdebloquesdeJordank xk,BeA)estádadapor (p.586)
A1O OO
O
A1 OO
B(A)= Al+N
k
=
OO O1
OO O A
UnamatrizdeJordan Jtienelaforma
dondecadaB(A)esunamatrizdebloquesdeJordan.
JJ
FormacanónicadeJordan
O B,LI
(p.587)
Sea
Aunamatrizde nXn.Entoncesexiste unamatrizinvertibleCde nXntalque
C-1AC=J
dondeJesunamatrizdeJordancuyoselementosenladiagonalsonlosvalorescaracterísticos
de
A.Másaún,Jesúnicaexcepto porelordenen elqueaparecenlosbloquesdeJordan.
LamatrizJsedenominalaformacanónicadeJordande A.
(pp.588,589)
Supongaque
Aesunamatrizde2 X2conunvalorcaracterísticoAdemultiplicidadgeométri-
ca
1.EntonceslaformacanónicadeJordande Aes (pp.590,591)
J=(~ ~J
LamatrizCconsisteenlascolumnas VIyv
2
'
dondeVIesunvectorcaracterísticoyv
2
esunvector
característicogeneralizadode
A;estoes,v
2
satisface
(A- A/)V
2
=VI
SeaAunamatrizde nXn.EntonceseAestádefinidopor
A
2
A
3
~A
k
eA=/+A+-+-+...=¿-
2!3! k~Ok!
(p.597)

620 CAPÍTULO6 Valorescaracterísticos,vectorescaracterísticos yformascanónicas
Lasoluciónmatricialprincipala laecuacióndiferencialvectorial x/(t)=Ax(t)ese
AI
.
Lasoluciónúnicaalaecuacióndiferencialx/(t)=Ax(t)quesatisfacex(O)=X
o
esx(t)=eA/x
o
'
SiJeslaformacanónicadeJardandelamatrizAysiJ=C-
I
AC,entonces
TeoremadeCayley-Hamilton
Cadamatrizcuadradasatisfacesu propiaecuacióncaracterística.Esdecir, sipeA)=Oesla
ecuación
característicadeA,entoncespeA)=O.
CircunferenciasdeGers/zgorin
Sea
[",
a
l2
""]
a
21
a
n
a
211
A=.
G
nl
a
n2
...a~",
ydefinalos números
7í=lal21+Ja
131+...+lallll=ijaljl
j~2
r=la.1+la.1+'"+la.1+la.1+...+laI1 ¡[ 12 1,1-] 1,1+1 I.n
LascircunferenciasdeGershgorinsoncircunferencias queacotanlosdiscos
Di={ZEc:Iz-aiíl::;r)
TeoremadelascircunferenciasdeGers/zgorin
SeaAunamatrizdenXnyseaDidefinidaporlaecuación(10).Entonces,cadavalorcaracte
rísticode AestácontenidoenalmenosunodelosdiscosDí"Estoes,silosvalorescaracterísti
cosde
AsonAl'11,2'...,11""entonces
11
{\,A
2
,
•••,\}C~ Di
(p.598)
(p.598)
(p.599)
(p.608)
(pp.610,611)
(p.610)
(p.611)
•
EJERCICIOSDEREPASO
Enlosejercicios1al8calculelosvalores ylosespacioscaracterísticosdela matrizdada.
1.(=::~J 2.(~ ~J 3.G~J 4.l-~:-~1
5.l-;-~_:16.l-:-;-~1 7'l~=;~ -~J 8.n-~-!1

Ejerciciosderepaso 621
Delosejercicios9al20determine silamatlizdadaAesdiagonalizable.Siloes,encuentreunama
trizCtalque
C-1AC=D.SiAessimétrica,encuentreunamatrizortogonal QtalqueQ'AQ=D.
23
32
O1
O1
12.[-:-: ~]
-10-1
15.[=~ ~~] 16.[:-~ I~]
-532 120-2
~ ~] 20.[~-~ -~ ~]
5-1 OO -1O
-1O O -443
11.
19.
13.[~~ ~] 14.[~~ ~]
OO-3 OO-3
17'l~ ~_~118'[;f~; -~
Enlosejercicios21al25identifiquelaseccióncónicayexpréselaen términosdelasnuevas
variablessin
eltérminoxy.
21.AJl=-4
24.3/-2AJl-5=O
? ? 8'
22.4x-+2.xy+2y=
25.x
2
-4AJl+4/+1=0
23.4x
2
-
3AJl+/=I
26.
Escribala formacuadrática2x
2
+4xy+2y2-3.:
2
entérminosdelasnuevasvariables x',
y'yz'demaneraquenoesténpresenteslostérminosde productoscruzados.
Enlosejercicios27al29encuentre
unamatrizCtalque C-1AC=J,laformacanónicade
Jordandelamatriz.
27(-94)
-2511
28.(-44)
-1O
29.[ ~ =~~=:]
-1259
Enlosejercicios30al32calcule eA'.
(
~34)
30.A=
-23
31.A=(=~ ~) (
-3-4)
32.A=
2 1
33.
UsandoelteoremadeCayley-Hamilton,calculelainversade
A=[-~ ~~]
-2-[4
34.Useelteoremadelascircunferenciasde Gershgorinparaencontrarunacotasobrelos
valorescaracterísticosde
A~[1
1--1-
-~:
2 2
4
1-
3
O2-1
1-
1-3
2

Apéndice
1
INDUCCIÓNMATEMÁTICA
•
Lainducciónmatemática eselnombrequerecibeunprincipio fundamentaldelalógica quese
puedeutilizar paraprobarciertotipodeproposicionesmatemáticas. Normalmenteseutiliza
la inducciónmatemática
paraprobarquealgunaafirmaciónoecuación secumpleparatodo
enteropositivo. Porejemplo,sequieredemostrarque2">nparatodoslosenterosn
2:l.Para
haceresto, serealizandospasos:
PasoI.Sedemuestraquelaafirmaciónesciertaparaalgúnentero N(porlogeneralN=
1).
Paso2.Sesuponequelaafirmaciónesciertapara unenterokmayoroigualque Ndelpaso
1 ydespuéssedemuestraqueesciertapara
elenterok+l.
•
EJEMPLO1
Ili.Solución
Siesposiblecompletarestosdospasos,entonceslavalidezdelaafirmación quedademostra
daparatodoslosenterospositivosmayoresoiguales queNParaconvencersedeestehecho,
serazonacomosigue:comolaafirmaciónesciertaparaN[porelpaso(1)],esciertaparael
enteroN+1[porel paso(2)].Entoncestambiénescierta paraelentero(N+1)+1 =N+2
[denuevo
porelpaso(2)],yasisucesivamente. Ahoraseilustraráelprocedimiento conalgunos
ejemplos.
Demuestreque
2">nparatodoenteron
2:1.
Paso1.Sin=1,entonces2
1
=2>1,demaneraqueelresultadoesciertoparan=1.
Paso2.Supongaque2
k
>k.Entonces
2k+1=2 .2
k
=2
k+2
k
>k+k>k+1
Así,sielresultadoesciertoparan=k,tambiénloes paran=k+l.
Estocompletalademostraciónporinducciónmatemática.

EJEMPLO 2
••Solución
Inducciónmatemática 623
Demuestre
quelasumadelosprimeros nenterospositivos esiguala n(n+1)/2.
Sebuscademostrarque
1+2+3+···+n
n(n+1)
2
(1)
Puedetratarderesolveralgunosejemplos parailustrarquelafórmula(1)realmentefunciona
(esto
porsupuestonopruebalaafirmación,peropuede ayudarapersuadirledequesecumple).
Porejemplo,
1
+2+3+4+5+6+7+8+9+10=10(11)=55
2
Esdecir,lafórmula esciertaparaN=10.
Paso1.Sin=1,entoncesla sumadelosprimeros ~enteroses1.Pero(1)(1+1)/2=1,de
maneraquelaecuación (1)secumpleen elcasode n=1.
Paso2.Supongaque(1)esciertaparan=k;esdecir,
1+2+3+...+k=_k(.:...k_+_l....:...)
2
Debedemostrarse quesecumpleparan=k+1.Estoes,sequiereprobarque
. (k+l)(k+2)
1+2+3+...+k+(k+1)=-'----'--'------'
2
Pero
=k(k+1)/2porsuposición
/
"
1+2+3+...+k+(k+1)=(1+2+3+...+k)+(k+1)
=k(k+l)+(k+l)
2
=k(k+1)+2(k+1)
2
(k+lXk+2)
2
ylademostración quedacompleta.

624 ApÉNDICE1
HIPÓTESISDE
INDUCCIÓN
Inducciónmatemática
¿ENDÓNDEESTÁLA DIFICULTAD?
Enocasioneslainducción matemáticaesdificila primeravistaenelpaso2.Elpasolporlo
generalessencillo.
Enelejemplo1,seinsertóelvalorn=lenambosladosdelaecuación (1)y
severificóquel=l (1+1)/2.El paso2fuemuchomásdifícil.Loestudiaremosdenuevo.
Sesupusoquelaecuación(1) eraválidaparan=k.Nosedemostró.Esasuposiciónse
denominahipótesisdeinducción.Despuésseutilizólahipótesisdeinducción parademostrar
quelaecuación(1)secumple paran=k+1.Quizáestoquedarámásclarosiseveunvalor
específicode
k,digamos,k=10.Entoncessetiene
Suposición
1+2+3+4+5+6+7+8+9+10
Parademostrar
10(10+
1)
2
10(11)= 55
2
(2)
1+2+3+4+5+6+7+8+9+ lO+11
=11(11+1)=11(12) =66 (3)
2 2
Lademostraciónensí
(1+2+3+4+5+6+7+8+9+ lO)+11
Porlahipótesisde
inducción(2)
~10(11)+ 11=10(11)+2(11)
2 2 2
11(10+2)
2
11(12)
2
EJEMPLO 3
queeslaecuación(3).Así, si(2)escierta,entonces(3)escierta.
Laventajadel métododeinducciónmatemáticaesquenoesnecesariodemostrarcada
casoporseparadocomosehizoconesteejemplo.Enlugardeeso,se demuestraparaunpri
mercaso,sesuponeparauncasogeneral ydespuésse demuestraparaelcasogeneralmásl.
Consólodospasosbastaparatomarencuentaunnúmeroinfinitodecasos.Realmentees una
magníficaidea.
Demuestrequelasumadeloscuadradosdelosprimeros nenterospositivoses
n(n+1)(2n+1)/6.
!!i1.SoluciónDebedemostrarseque
1
222 32 2n(n+1)(2n+1)
+++...+ n=--'-----'-----'-
6
(4)

P1e
l(l+1)(2·1+1)
aso.omo-'----'-'-----'--
6
Inducciónmatemática 625
1=1
2
,
laecuación(4)esválida paran=1.
Paso2. Supongaquelaecuación(4)secumple paran=k;esdecir
hipótesis
deinducción 12+22+32+...+e=k(k+1)(2k+1)
6
EJEMPLO 4
Entoncesparademostrarque(4)escierta paran=k+1setiene
hipótesisde
inducción
±k(k+1)(2k+1)+(k+1)2
6
k(k+1)(2k+1)+6(k+1)2
6
=k+I[k(2k+1)+6(k+1)J
6
=k;I[2k
2
+7k+6]
k+1
=-6-[(k+2)(2k+3)J
(k+I)(k+2)[2(k+1)+1J
6
queeslaecuación(4) paran=k+1,Ylapruebaquedacompleta.Parailustrarlafórmula
observe
que
=~=140
6
Utiliceel métododeinducciónmatemáticaparademostrarlafórmulaparalasumadeuna
sucesióngeométrica:
1+a+a
2
+...+a"
1-a"+'
I-a'
(5)
.-.SoluciónPaso1.Sin=O(elprimerentero enestecaso),entonces
I-a
I-a
--=I=ao
l-a

626 ApÉNDICE1 Inducciónmatemática
Así,laecuación(5) secumpleparan=o.(Seusan=Oenlugarde n=ldebidoaque aO=1
eselprimertérmino.)
Paso
2.Supongaque(5)secumpleparan=k,esdecir,
Entonces
Hipótesis
deinducción
1 k+1
1+a+a
2+...+a
k
_-a
l-a
EJEMPLOS
••Solución
Hipótesisdeinducción
t1-k+1
= a+a
k
+
1
l~a
l-ak+1+(I-a)ak+1l-
a
k+2
l-a l-a
demaneraquelaecuación (5)secumpleparan=k+1ylademostraciónquedacompleta.
Utiliceinducciónmatemática
parademostrarque2n+n
3
esdivisibleentre3 paratodoentero
positivo
n.
Paso1.Sin=1,entonces2n+n
3
=2.l+1
3
=2+l=3queesdivisibleentre 3.Así,la
afirmación
2n+n
3
esdivisibleentre 3esciertaparan=l.
Paso2.Supongaque 2k+k3esdivisibleentre 3. Hipótesisdeinducción
Estosignificaque 2k+e=mesunentero.Entoncesalexpandir (k+1)3,seobtiene
3
2(k+1)+(k+1)3=2k+2+(k3+3k
2
+3k+1)
=e+2k+3e+3k+3
=e+2k+3(k
2
+k+1)
Entonces
2(k+1)+(k+1)3
3
k
3+2k3(k
2
+k+1)
---+---'------'-
3 3
=m+e+k+1=unentero
EJEMPLO6
Porlotanto,2(k+1)+(k+1)3esdivisibleentre 3.Estomuestraquelaafirmación escierta
paran=k+1.
SeanAl'A2'...,A
m
,
mmatricesinvertiblesde nXn.Demuestreque
(44...A)-1=A-lA-l...4-
1
4-
1
~~~..&¿ m m m-] ~"'L ~~ (6)

Inducciónmatemática 627
Param=2setiene(A
1
A
2
)-1=A
2
-¡A¡-1porelteorema1.8.3,entonceslaecuación(6)secum
ple
param=2.Sesuponequeescierta param=kYsedemuestraparam=k+1.SeaB=
A¡,A
2
,•
••,A
k
•
Entonces
(7)
Porlasuposicióndeinducción
(8)
Sustituyendo(8)en(7)lademostraciónquedacompleta.
SEMBLANZA
Inducciónmatemática
Elprimermatemáticoqueofrecióunademostraciónformalme
diante
elusoexplícitode lainducciónmatemáticafue elclérigo
italianoFranciscusMaurolicus(1494-1575),quien
eraelabadde
MessinaenSiciliay
eraconsideradoelmásgrandegeómetradel
siglo
XVI.EnsulibroAritmética,publicadoen1575,Maurolicusutili
zó
lainducciónmatemáticaparademostrar,entreotras cosas,que
para
todoenteropositivo n
1+3+5+...+(2n- 1)=n
2
Sepideallectorquedemuestreestoen elproblema4deesta sec
ción.
ProblemasA1
LasdemostracionesporinduccióndeMaurolicustienenuna
formadebosquejoque
esdifícilseguir. ElmatemáticofrancésBlai
sePascal(1623-1662),proporcionóunaexposiciónmásclaradel
método.
EnsuTraitéduTriangleArithmétique, publicadoen1662,
Pascaldemostrólafórmulapara lasumadecoeficientesbinomia
les.Utilizósufórmulaparadesarrollarlo quehoyseconocecomo
elTriángulode Pascal.
Aunqueelmétododeinducciónmatemática seusóformal
menteen1575,
eltérminoinducciónmatemática noseusósino
hasta1838.
Eneseaño,unodelosoriginadoresde lateoríadecon
juntos,AugustusdeMorgan(1806-1871),publicóunartículoen
la
PennyCyC!opedia (Londres)titulado"Induction(Mathematics)': Al
finaldelarticulousó eltérminoqueseusahoy;sinembargo,no
tuvounaampliaaceptaciónhasta
elsigloxx.
Delosproblemas1al 20utiliceinducciónmatemática parademostrarquelafórmula dadase
cumpleparatodan=1,2,...amenosque seespecifiquealgúnotroconjuntodevalores.
1.2+4+6+..·+2n=n(n+1)
2.1+4+7+...+(3n- 2)=n(3n-1)
2
n(3n+1)
3.2+5+8+"'+(3n-1)= 2
4.1+3+5+...+(2n-1)=n
2
5.(~J<~

628 ApÉ:\IDlCE1 Inducciónmatemática
6.2"<n!paran=4,5,6,...,donde
n!=1·2·3···(n-I)·n
7.1+2+4+8+···+2"=2"+1-1
3,,+1-1
8.1+3+ 9+27+...+ 3"=--
2
11 1 I
9.1+-+-+···+-=2--
24 2" 2"
n(n+I)(n+2)
12.l·2+2.3+3.4+...+ n(n+1)= 3
13.l·2+3·4+5.6+...+ (2n-1)(2n)=n(n+1)(4n-1)
3
1 1 1 1 3 1
14.--+--+--+...+ =-----
2
2-13
2-14
2
-1 (n+1)2-14 2(n+1)
15.n+n
2
espar.
n
2
-
n
16.n<--+2sin>lO.
12
17.n(n
2
+5)esdivisibleentre 6.
*18.3n
5
+5n
3
+7nesdivisibleentre 15.
*19.x"-1esdivisibleentre x-l.
*20.x"-y"esdivisibleentre x-y.
2(n
+2)
*21.
Proporcioneunademostraciónformaldeque(ab)"=a"b"paratodoenteropositivon.
22.Supongaquetodopolinomiotieneal menosunaraízcomplejaydemuestrequeunpolino
miodegradontieneexactamentenraíces(contandolasmultiplicidades).
23.
DadoquedetAB=detAdetBparatodaslasmatricesAyBdenXn,demuestrequedet
Al'A
2
,
•••,A
m
=detAldetA
2
•••detA
m
,
dondeAl'...,A
m
sonmatricesdenXn.
24.SiAl'A
2
,
•••,A
k
sonmatricesdemXn,demuestreque(Al+A
2
+...+A)'=A;+A~
+...+A:.Puedesuponerque(A+B)'=A'+B'.

Inducciónmatemática 629
25.Demuestrequeexistenexactamente 2"subconjuntosdeunconjuntoquecontiene nele
mentos.
26.Demuestreque si2k-1esunenteroparparaalgúnentero k,entonces2(k+1)- l=2k
+2 - l=2k+lestambiénunenteropar.¿Esposibleobtenerunaconclusiónapartir
de
lademostración?
27.¿Quéesincorrectocon lasiguientedemostracióndeque cadacaballo,enunconjuntode n
caballostiene elmismocolorquecualquierotrocaballoen elconjunto?
Paso1.Esciertopara n=lyaquesólohayuncaballoen elconjuntoy esobvioquetiene
elmismocolorque élmismo.
Paso2. Supongaqueesciertopara n=k.Esdecir,cadacaballoenunconjuntoquecon
tiene
kcaballosesdelmismocolorquelosdemáscaballosen elconjunto.Sean 111'11
2
,
•••,
h
k
,
hk+1losk+1caballosen elconjuntoS.SeaSI={hl'h
2
,
•••,h
k
}
YS2= {h
2
,
h
3
,
•••,
h
k
,
h
k
+
1
}.Entoncesambos, SIyS2contienenkcaballosdemaneraqueloscaballosencada
unodeestosconjuntossondelmismocolor.Escriba h=hparaindicarque elcaballoi
, J
tieneelmismocolorque elcaballoj.Entoncessetiene
y
Estosignificaque
11=11=11=···=11=11
I 2 3 k k+1
demaneraquetodosloscaballosen Stienenelmismocolor.Estodemuestra laafirmaciónen
elcasode n=k+ly,porlotanto,laafirmaciónesciertaparatodo11.

Apéndice
2
,-
NUMEROS COMPLEJOS
•
Enelcapítulo6seestudió elproblemade encontrarlasraícesdelospolinomios
1..
2
+bA+e=O
Paraencontrarlasraíces,seutilizalafórmulacuadrática yseobtiene
(1)
(2)
Sib
2
-
4c>0,existendosraícesreales. Sib
2
-
4c=0,seobtieneunasolaraíz(demultiplicidad
2)A=-b/2.Paramanejarelcasob
2
-
4c<0,seintroducela unidadimaginaria.
t
•
i=~ (3)
tEltérminoimaginarionodebe serunapreocupación. Essólounnombre. ElmatemáticoAlfredNorthWhitehead, en
elcapitulosobrenúmerosimaginarios desulibroIntroductiontoMathematics, escribió:
Enestepunto,puede serútilobservarquecierto tipodeintelectosepreocupasiempreypreocupaaotrossobre
laaplicabilidadde lostérminostécnicos. ¿Esadecuadodenominarnúmerosa losnúmerosinconmensurables? ¿Son
realmentenúmeros losnúmerospositivosynegativos
7¿Sonimaginarioslosnúmerosimaginarios,ysonnúmeros)
tstos
sonejemplosdepreguntasestériles.Nopuedeentenderseconsuficienteclaridadque,en laciencia,lostérminos
técnicossonnombresasignadosdemaneraarbitraria,como
losnombrescristianosa losniños.Nopuedeponerse en
dudasilosnombresestánbienomal.Pueden seronoprácticososensibles; enocasionespuede sersencillorecor
darlos,o
sertalesquesugieranideasrelevantesoimportantes. Peroelprincipioesencialfueenunciadoconmucha
claridad
enAliciaenelpaísdelasmaravillasporHumptyDumpty,cuando ledijoapropósito desuusodelaspalabras,
"lespago
másylashagotener elsignificadoque yoquiero"Asíqueno nospreocuparemospor silosnúmerosIma
ginarios
sonimaginarioso sonnlJmerOS,tomaremoslafrasecomo elnombrearbitrario deciertaIdeamatemática,
queintentaremosahoraaclarar.

Númeroscomplejos 631
demaneraque¡l=-1.Entoncesparab
2
-
4c<O
ylasdosraícesde(l)estándadaspor
y
A=~_~4c-b2
2 2 2
EJEMPLO1
m.Solución
Encuentrelasraícesdela ecuacióncuadráticaA
2
+2A+5=O.
Setieneb=2,e=5Yb
2
-
4c=-16.Entonces~b2-4c=.,}-16=J16~=¿ylasraíces
son
-2+4i12'
---=-+1
2
DEFINICIÓND Unnúmerocomplejoes unaexpresiónde laforma
z=ex+i~
y
(4)
EJEMPLO2
EJEMPLO3
•Solución
dondeexy~sonnúmerosreales,exsedenominalaparterealdezysedenotaporRez.~se
denominalaparteimaginariadezysedenotapor1mz.Enocasioneslarepresentación(4)
recibeel
nombredeformacartesianaorectangulardel númerocomplejoz.
Observación.Si~=Oenlaecuación(4), entoncesz=exesunnúmeroreal.Enestecontexto
sepuedeverelconjuntodenúmerosrealescomounsubconjuntodelconjuntodenúmeros
complejos.
Enelejemplo1,ReAl=-1e1m\ =2.
Losnúmeroscomplejosse puedensumarymultiplicarusandolasreglasnormalesdeálgebra.
Seanz
=2+3iyw=5-4i.Calculei)z+W,ii)3w-5zyiii)zw.
i.z+w=(2+3i)+(5-4i) =(2+5)+(3-4)i=7-i.
ü.3w=3(5-4i) =15-12i;5z=10+15i,y3w-5z=(15-12i)-(10 +15i)=
(15-10) +i(-12-15)=15-27i
iiLzw=(2+3i)(5-4i) =(2)(5)+2(-4i)+(3i)(5)+(3i)(-4i)=10-Si+15i- 12P=10
+7i+12=22+7i.Aquíseusóelhechode que¡l=-1.

632 ApÉNDICE2 Númeroscomplejos
y=1mz
4
-2+3i
•
2+3i
•
4
.3+2i
2
el-j
.I+i
2
-2
-l-je
-l+i.
-4
---11---+-+----I--+-+---+--+--I--~ x=Rez
O
-3+2i.
FiguraA.l
Docepuntosenelplano
complejo.
~3-2je -2 e3-2i
-2-3i. .2-3i
-4
LPLANOCOMPLEJO
ElCONJUGADO
Esposiblegraficar unnúmerocomplejo::;en elplanoxygraficandoRe zsobreelejexe1mz
sobreelejey.Entoncessepuedepensarquecadanúmerocomplejo esunpuntoen elplanoxy.
Conestarepresentación elplanoxysedenominaplanocomplejoo deArgand.Enlafigura A.l
segraficaronalgunospuntosrepresentativos.
Siz=a+i~,entoncessedefineelconjugadode z,denotadoporZ,como
z=a- i~ (5)
LafiguraA.2presentaunvalorrepresentativodez yz..
EJEMPLO 4 Calculeelconjugadode i)1+i,ii)3-4i,iii)-7+Siyiv)-3.
••Solucióni.T+l=1- i;ii.3-4i =3+4i;iü.-7+Si=-7-Si;iv.-3=-3.
1mz 1mz
z
FiguraA.2
Zseobtienereflejandoz
respectoalejex.
-f----....Rez
O
-----:-t-----+Rez
O
z
a) b)

Númeroscomplejos 633
Noesdifícildemostrar(veael problema46delpresenteapéndice) que
z=zsiysolosizesreal (6)
NÚMERO
1::.IMAGINARIO
Siz=~icon~real,entonces sediceque zesimaginario.Sepuedeentoncesdemostrar(veael
problema47)que
z==-zsiysolosizes.imaginario (7)
t.MAGNITUD
SeapJx)=a
o+alx+a
2
x
2+...+a"x"unpolinomioconcoeficientesreales.Entoncesse
puededemostrar(veael problema41)quelasraícescomplejasdelaecuación pJx)=°ocurren
enparesconjugadoscomplejos.Estoes,sizesunaraízde p(x)=0,entoncestambiénloesz.
• 11
Estehechoseilustró enelejemploIparaelcasode n=2.
Paraz=ex+i~sedefinela magnitud
t
dez,denotadaporIzl,como
Magnitudde z=Izl=~ex2+~2 (8)
1:ARGUMENTO yelargumentodez,denotadoporargz,sedefinecomoelánguloeentrelarecta Ozyellado
positivodeleje x.Comoconvenciónse toma
-re<argz:S:re
EnlafiguraA.3sepuedeverque r=Izlesladistanciade zalorigen.Siex>0,entonces
Imz
z=a+if3=rei
8
f3
FiguraA.3
Siz=a+i~,entonces
(J.=rcosey~=rsene. r
!f3=rsen(J
(J
-f'-----L-----'-~ Rez
a=r cos8a
a----
tLamagnituddeunnúmerocomplejoconfrecuenciarecibe elnombrede módulo.

634 ApÉNDICE2 Númeroscomplejos
dondeseobservalaconvencióndequetan-
I
xtomavaloresenel intervalo(-~, ~].Si
a=OY ~>O,entonces8=argz=~.Sia=OY ~<O,entonces8=argz=- ~.Sia<Oy
2 2
~>O,entonces8seencuentraenelsegundocuadranteyestádadopor
8=argz=n- tan-II~I
Porúltimo,sia<Oy~<Oentonces8estáeneltercercuadrantey
8
-1~
=argz=-n+tan-
a
Ensuma,setiene
Argumentodez
Seaz=a+~i.Entonces
argz=tanQ.sia>O
a
n. R
argz=- SIa=OY 1-'>O
2
DelafiguraAAseveque
y
n. R
argz=-- SIa=OY 1-'<O
2
argz=n-tan-1I~Isia<Oy~>O
argz=-n+tan-1~sia<Oy~<O
a
argOnoestádefinido
rz[=Izl
argz=-argz
(9)
(10)
(11)
(12)

fmz
z
Númeroscomplejos 635
FiguraAA
~rgz=-argz.
-IE--........,.---~ Rez
Sepuedenutilizar Izlyargzparadescribirloqueamenudo esunarepresentaciónmásconve
nienteparalosnúmeroscomplejos.tDe
lafiguraA.3 esevidenteque siz=ex+i~,r=Izly8
=argz,entonces
ex=rcos8
Severáalfinaldeesteapéndiceque
y ~=rsen8 (13)
é
e
=cos8+isen8
Comocos
(-8)=cos8 ysen(-8)=-sen8,tambiénsetiene
e-
i8
=cos(-8)+isen(-8)=cos8- isen8
(14)
(14')
Lafórmula(14) sedenominaidentidaddeEuler.:SiseutilizalaidentidaddeEuler ylaecuación
(13),
setiene
z=ex+i~=rcos8+irsen8= r(cos8+isen8)
osea,
(15)
~fORMAPOLAR Larepresentación(15) sedenominaformapolar delnúmerocomplejo ::.
.-----
tAllectorquehayaestudiadocoordenadaspolaresestarepresentación lepareceráfamiliar.
•
Recibeestenombre enhonordelgranmatemáticosuizoLeonhardEuler(1707-1783)

636 ApÉNDICE2 Númeroscomplejos
FiguraA.S
Seispuntosenelplano
complejo
a)
Y~~lm'_:J+i
11:,
4:
,x =Rez
O )
el)
b)
y=Imz
......-~:-T-+- x=Rez
O-211:
-i3
'------.f3¡
-)-.f3¡-2i
e)
e)
y=Imz
-~J¡i7i
, x =Rez
-2O
f)
EJEMPLO5
iIilli.Solución
Determinelasformaspolaresdelossiguientesnúmeroscomplejos: i)1,ii)-1,iii)i,iv)I+i,
v)-1-J3iyvi)-2+7i.
LosseispuntosestángraficadosenlafiguraA.5.
i.DelafiguraA.5aesevidentequearg1 =O.ComoRe1
1=1eí°=leo=1.
ii.Comoarg(- 1)=1t(figuraA.5b)Y1-11=1,setiene
-l=le"i=é"
1,seveque,enformapolar.
iii.DelafiguraA.5esevequeargi=1t/2.Puestoque lil=F+J2=1,sesigueque
iv.arg(1+i)=tan~1(l/l)=(1t/4)Y11+il=.J12+12=-J2,demaneraque
v.Enestecaso tan-1(Mex)=tan-1.J3=1t/3.Sinembargo,arg zseencuentraeneltercercua
drante'demaneraquee=1t/3-1t=-21t/3.Ademásl-l-.J31=)1
2
+(.J3f=.J1+3= 2
porloque
-1-.J3=2e-2"i/3
vi.Paracalcularesto serequiereunacalculadora.Seencuentraque,enradianes,
argz=tan-
I
(-f)=tan-'(-3.5)'=-1.2925

EJEMPLO 6
11.Solución
Númeroscomplejos 637
Perotan-
I
xestádefinidacomounnúmeroenelintervalo(-n/2,n/2).DelafiguraA.5f,eestáen
elsegundocuadrante,porloquesevequeargz =n-tan-
1
(3.5)'"1.8491.Despuésse veque
Así,
-2+7i
"".J53e1.8491i
Conviertalossiguientesnúmeroscomplejosdelaforma polaralaformacartesiana j)2éTti3;
ji)4e
3
•íl2
i.e
l
./
3
=cosn/3+isenn/3=t+(f3/2)i.Entonces2e
i
./
3
=l+J3i.
ii.e
3Tti
/
2
=cos3n/2+isen3n/2=O+i(-1)=-i.Entonces4e
3
•
i
/2
=-4i.
Sie=argz,entoncesporlaecuación(12),arg
z= -e.Así,puesto querzl=Izl,
Siz=ré
e
,entoncesz=re-ie
Supongaqueseescribe unnúmerocomplejo ensuformapolarz=reie.Entonces
z"=(ré
e)"
=r"(ele)"=r"é"e=r'\cosnO+isennO)
(16)
(17)
Lafórmula(17)esútil paramuchoscálculos. Enparticular,cuandor=Izl=1,seobtienela
fórmulade
DeMoivre.
t
EJEMPLO 7
••Solución
fórmulade DeMoivre
(casO+isenO)"=cosnO+isennO
Calcule(1+i)5.
Enelejemplo5iv)semostróquel+i=.J2e·
i
/4
.
Entonces
(1+i)5=(.J2eTti/4r=(.J2re
5
.i/4=4.J2(cos5:+isen5:)
r:::(ll.).
=4"2 -.J2-.J21=-4-41
•
(16)
tAbrahamdeMoivre(1667-1754)fueunmatemáticofrancésconocido porsutrabajosobreteoriadeprobabilidad, se
nesinfinitasytngonometría. SureconocimientoeratalqueNewtonconfrecuenciadeciaaquienes lehaciapreguntas
sobrematemáticas,"vayancon
DeMOlvre;élsabeesascosasmejor
tllJeyo".

638 ApÉNDICE2 Númeroscomplejos
Estosepuedeverificarmediante elcálculodirecto. Siestecálculodirectonoparecemásdifícil,
intentecalcular
(l+i)lOdirectamente.Procediendocomoantes, seobtiene
(l+i)20=(.[ire
20
'
i
!4=tO(cos51t+isen51t)
=iO(-1+O)=-1024
DEMOSTRACIÓN
DELAIDENTIDAD
DEEUlER
L----
Sedemostraráque
é
6
=cose+isene (19)
ProblemasA2
usandolasseriesdepotencia. Sinoestáfamiliarizadoconellas,omitaestademostración. Se
tiene
2 3
eX=1+ x+~+~+... (20)
2!3!
x
3
x
senx=x-- +-- ... (21)
3!5!
x
2
x
4
cosX=1-- +--... (22)
2!4!
Aunqueaquíno sedemuestra,estastresseriesconvergenparatodonúmerocomplejo x.En
tonces
eill=1+(ie)+(ie)2+(ie)3+(ie)4+(ie)5+... (23)
2! 3! 4! 5!
Ahorabien,i
2
=-1,i
3
=-ii
4
=1,i
5
=i,etc.Por lotanto(23) sepuedeescribircomo
i6 .e
2
ie
3
e
4
ie
5
e=1+le----+-+--...
2!3!4!5!
=[l_ ~2!+~~_...)+{e_ ~~+~~_...)
=cose+isene
Con
locualsecompletalademostración.
Delosproblemaslal7realicelasoperacionesindicadas.
1.(2-3i)+(7-4i)
3.5i(2
+3i)+4(6- 2i)
5.(2-3i)(4+7i)
7.(-3+2i)(7+3i)
2.3(4+i)-5(-3+6i)
4.(l+i)(l- i)
6.(6+7i)(3- 7i)

Númeroscomplejos 639
Delosproblemas8al 20conviertaelnúmerocomplejoasuformapolar.
8.5i 9.-2i 10.5+ 5i 11.-2-2i
12.-I-i 13.3-3i 14.2+2J3i 15.3J3+3i
16.1-J3i 17.J3-i 18.4J3-4i 19.-1+iJ3
20.6.fi-6i
Delosproblemas 21al33conviertade laformapolaralaformacartesiana.
21.
e
3ni
22.e
27ti
23.
2e-7.1
24.
13:n:i/4
le
25.
I-3¡ri/4
26.6e
rrl
/
6
27.5e"i/4 28.4e
Srr
i/6
le
29.
4e
-5rrl/6
30.3e-
3rrl
/
4 31.
3e-2rr//3
32..fie
23'i/4
33..J2e-rrl/4
Enlosproblemas34al 45calculeelconjugadodelnúmerodado.
34.3- 4i
38.-4-2i
42.2e
rr/17
35.5+2i
39.-7i
43.7e-
J
•115
36.4+6i
40.16
44.3e-4rri/ll
37.-3+8i
45.éO
l2i
46.Demuestreque z=ex+i~esrealsiysólosi==z[sugerencia:si==z,demuestreque
~=O].
47.Demuestreque ==ex+i~esimaginariosiysólosi==-z[sugerencia:si:?=-Z,demues
treque
ex=O].
48.Demuestreque paracualquiernúmerocomplejo ::,zZ=1=1
2
•
49.Demuestrequelacircunferenciaderadio1centradoen elorigen(la circunferenciaunitaria)
eselconjuntodepuntosen elplanocomplejoquesatisfacen Izl=l.
50.Paracualquiernúmerocomplejo
zoycualquiernúmerorealpositivo a.describa
{z:Iz-zol=a}.
51.Describa {z:Iz-zol:::;a},donde Zoyaestándefinidosigualqueen elproblema50.
52.Describa{z: a:::;1=-zol:::;A},dondeZoescualquiernúmerocomplejoya <A.
*53.SeapeA)=A"+al_IA/-
1
+a
l
_
2
A/-
2
+...+alA+a
o
'
dondea
o
'
al'...,a
ll
_
1
sonnúmeros
reales.Demuestreque
sipez)=O,entoncespez)=O.Estoes:lasrafeesdepolinomioscon
coeficientesrealesocurren enparescomplejosconjugados [sugerencia:O=O;calculepe::)].
54.Deriveexpresionesparacos48ysen48 comparandolafórmulade DeMoivreylaexpan
siónde(cos
8+¡sen8)4.
55.Demuestrelafórmulade DeMoivreporinducciónmatemática [sugerencia:recuerdelas
identidadestrigonométricascos
(x+y)=cosxcosy-senxsenyysen(x+y)=senx
cosy+cosxseny].

•
Apéndice
3
ELERRORNUMÉRICO ENLOS
CÁLCULOS Y LACOMPLEJIDAD
COMPUTACIONAL
Entodosloscapítulosdeestelibrose hanrealizadocálculosnuméricos. Entreotrascosas,
seresolvieron
ecuacioneslineales,se multiplicaroneinvirtieronmatrices,se encontraron
basesyse calcularonvaloresyvectores propios.Salvocontadasexcepciones,los ejemplos
incluyeronmatricesde2 X2 yde3 X3,noporquelamayorpartedelasaplicacionestengan
sólodosotresvariables,sino porquedeotramaneraloscálculoshubieransidodemasiado
laboriosos.
Elusocrecientede
calculadorasycomputadorashanmarcadocambiosmuyimportantes
enlamaneraderesolverlosproblemas.Losavances tanimportantesquesehanlogradoenlos
últimos
añosenelcampodelateoríade métodosnuméricospararesolveralgunosproblemas
computacionaleshanhechoposiblerealizar, conrapidezyexactitud,loscálculos mencionados
conmatricesde ordenmásalto.
Sinembargo,elusodela
computadorapresentaotrasdificultades.Lascomputadorasno
almacenannúmeroscomo
t,7f,fiyTI:.Ensulugar,todaslascomputadorasdigitalesutili
zanloqueseconocecomoaritméticadepuntoflotante. Enestesistema,todoslosnúmerosse
representanenla
forma
(1)
dondedi'd
2
,
•••,d
k
sondígitosenterospositivosynes unentero.Cualquiernúmeroescritoen
esta
formasedenominanúmerodepuntoflotante.Enlaecuación(1) elnúmero:±
0Ad
2
•••d
k
se
denominalamantisay elnúmeronse denominaexponente.Elnúmerokeselnúmero decifras
significativasenlaexpresión.
Las
computadorastienendiferentesaptitudes enelrangodelosnúmerosquese pueden
expresarenla formadelaecuación(1).Losdígitos normalmenteserepresentanenbinario
en
lugardeenformadecimal.Supongamosqueunacomputadoracomúnguarda28dígitos
binarios.
Como2
28
=268435456,esposible usarlos28digitosbinarios pararepresentarun
númerode ochodígitos.Entoncesk=8.

EJEMPLO1
Elerrornuméricoenloscálculos ylacomplejidadcomputacional 641
Formade puntoflotantedecuatronúmeros
Lossiguientesnúmeros seexpresanenlaformade puntoflotante:
L¡=0.25
iL2378=0.2378XI0
4
iii.-0.000816=-8.816X10-
3
iv.83.27=0.8327 X10
2
Sielnúmerodedígitossignificativosfuerailimitado,entonces nohabríaproblema.Pero
casisiempre
queseintroducennúmerosenla computadoraloserrorescomienzanaacumular
se.Estopuedeocurrirenunadedosmaneras:
LTruncado.Todoslosdígitossignificativosdespués de
ledeellossimplemente"seeli
minan".Porejemplo,sisetrunca,seguardat=0.666666...(conle=8)comot
0.66666666X10°.
ii.Redondeo.Sid
k
+
1
2::5,entoncessesuma1 ad
k
ysetruncaelnúmeroqueresulta.Deotra
manera,elnúmerosimplemente setrunca.Porejemplo,con redondeo(yle=8),t=
0.66666666XIO°.
_ .....__lIu_s_t_ra_c_i_ó_n_d_e_t_r_u_n_c_ad_o_y_r_e_d_o_n_d_e_o__
Sepuedeilustrarlaformaenla quesealmacenanalgunosnúmeros truncadosyredondeados
conochodígitossignificativos:
Número Número truncado Númeroredondeado
.!.
0.26666666X 10
1
0.6666667X 10
1
3
1t 0.31415926310
1
0.31415927X 10
1
...L
-0.17543859310-
1
-0.17543860-
1
-57
ERROR
EABSOLUTO
Loserroresindividualesde truncadooderedondeo noparecensersignificativos.Sinembargo,
cuandoserealizanmilesdepasosenla computadora,elerrorderedondeoacumuladopuede
serdevastador.
Porconsiguiente,alanalizarcualquieresquemanumérico,esnecesariosaber
nosólosi,enteoría,
seobtendrálarespuestacorrecta,sinotambién cuántosevanaacumular
loserroresderedondeo.
Parateneruncontroldelascosas, sedefinendostiposdeerror. Sixes
elvalorrealde unnúmeroyx*eselnúmeroqueapareceenla computadora,entonceselerror
absoluto
Eaestádefinidopor
(2)

642 ApÉNDICE3
ERROR
I!RELATIVO
Elerrornumérico enloscálculosylacomplejidadcomputacional
Enlamayorpartedelassituaciones esmásinteresanteelerrorrelativoE
r
,definidopor
EJEMPLO3 Ilustracióndelerrorrelativo
er=Ix';xl (3)
Seax=2YX*=2.1.EntoncesE"=0.1YE
r=0.1/2=0.05.SiXI=2000YXI*=2000.1,enton
cesdenuevoE"=0.1.PeroahoraE
r=0.1/2000=0.00005.Muchaspersonasestarándeacuerdo
enque
elerrorde 0.1enelprimercaso esmássignificativoque elerrorde 0.1enelsegundo.
Unaparteimportantedelanálisisnumérico
serefiereapreguntassobreconvergenciay
estabilidad.
SiXeslasoluciónexacta alproblemay elmétodocomputacional davaloresaproxi
mados
xn'entonceselmétodoconverge si,teóricamente,XIItiendea Xcuandoncrece.Másaún,
sisepuededemostrarqueloserroresderedondeono seacuml}larándeformaquelarespuesta
seamuypocoexacta,entonces
sediceque elmétodoesestable.
Essencilloproporcionarunejemplodeunprocedimiento
enelqueelerrorderedondeo
seabastantegrande.Supongaque
sequierecalcular y=l/(x-0.66666665).ParaX=
t,si
lacomputadoratrunca,entonces X=0.66666666YY=1/0.00000001=10
8=10X 1Q7.Sila
computadoraredondea,entonces X=0.66666667YY=1/0.00000002=5 X 1Q7.Ladiferencia
L1
·· 1/(266666665)_1/(200000000199999995)-1/5
enestecaso esenorme.aso uClOnexactaes3-100000000- 300000000-300000000-300000000
=300000000=60000000=6 X10
7
5 •
Nota.Laestabilidadaquíno escausadepreocupación.Sinembargo,laspersonasquediseñan
elsoftwaresísepreocupanmucho porestefactor.Ellectordebesaberquequien sededicaa
análisisnuméricoydiseñasoftwareeligelosalgoritmos(odesarrollanuevos)quetiendena
minimizarlasconsecuenciasadversas.Enparticular,MATLAButilizaprogramasdemuyalta
calidad.Enlaactualidad,ningúnprincipiantebieninformadodesarrollasupropiosoftware.
Seusansubrutinasdediseñosprobados.
COMPLEJIDAD COMPUTACIONAL
Alresolverproblemas enunacomputadorasurgendospregunta,snaturales:
¿Quétanexactassonmisrespuestas?
¿Cuántotiempollevaráhacerlo?
Trataremosde
darrespuestaalaprimerapreguntaenlaparteinicialdeestasección.Paracon
testarlasegunda,debeestimarse
elnúmerodepasosrequeridosparallevaracabociertocálculo.
Lacomplejidadcomputacionaldeunproblema esunamedidadelnúmerodeoperacionesarit
méticasnecesariaspararesolver
elproblemay eltiemponecesarioparallevaracabotodaslas
operacionesrequeridas.

EJEMPLO 4
•Solución
Elerrornumérico enloscálculosylacomplejidadcomputacional 643
Existendosoperacionesbásicasque sellevanacaboen unacomputadora:
Operación
Tiempopromedio
(enmicrosegundos)t
Sumaoresta1microsegundo
Multiplicacióno
división 2microsegundos
'1microsegundo=1millonésimodesegundo =
lOSsegundos.
Deestaforma,con elfindeestimareltiemponecesario pararesolverunproblemaenunacom
putadora,primerodebencontarselassumas,restas,multiplicacionesydivisionesinvolucradas
enlasolución.
Contarlasoperacionesnecesariaspararesolverunproblemaconfrecuencia esdifícil.Se
ilustracómo sepuedehaceren elcasodeeliminacióndeGauss-Jordan.Parasimplificar,la
suma
ylarestasemanejaráncomolamismaoperaciónylamultiplicaciónyladivisiónigual
(aunque,dehecho,cadadivisióntarda
eltriplequeunamultiplicación; eltiempopromediode
ambas
es,conlavelocidadquemanejanlosprocesadoresactualmente,menosalos2microse
gundos).
Cuentadesumas ymultiplicacionesenlaeliminacióndeGauss-Jordan
SeaAunamatrizinvertiblede nXn.Estimeelnúmerodesumasymultiplicacionesnecesarias
pararesolver
elsistemaAx=bmedianteeliminacióndeGauss-Jordan.
Aligualqueenlasección1.3,
secomienzaporescribir elsistemaenlaformadematrizaumen
tada
[a"
a
l2
QIIII
b,]a
2l
a
22 al"Ib
2
I
QI11 Qn2 a
1111
Ib
ll
Comosuponemosque Aesinvertible,suformaescalonadareducida porrengloneseslamatriz
identidadde
nXn.Sesuponequeenlareducciónno sepermutan(intercambian)renglones ya
queesteintercambionoinvolucrasumasomultiplicaciones.Másaún, elcontroldelnúmero
derenglones
esunatareadealmacenamientodedatosquerequieremuchomenostiempoque
unasuma.
Paracontrolarquénúmeros seestáncalculandodurante unpasodado, seescribelamatriz
aumentadaconletras
eyL.Unaedenotaelnúmeroqueacabadecalcularse.Una Ldenota
unnúmeroquenosufrecambio.
Paso
1.Semultiplicacadanúmeroen elprimerrenglón porl/al1paraobtener
n+4columnas TotalenelpasoI[i
eee e
II
11multiplicaciones
LL LL (!i!.=Inorequierecálculos.simplememe
a
n
seinsertaunIenlaposición1.l.)
L L L L
nohaysumas

644 ApÉNDICE3 Elerrornumérico enloscálculosylacomplejidadcomputacional
Paso2.Semultiplicaelrenglón1 pora
il
ysesumaalrenglón iparai=2,3,...,n:
1LL LL L
Oeeeee
Oeeeee
Oeeeee
Contemoslasoperaciones.
Paraobtener
elnuevorenglón 2:
Elceroenlaposición 2,1norequieretrabajo. Sesabeque elnúmeroenlaposición 2,1
cero,por loquesimplementesecolocaeneselugar.Existen (n+1)-1=nnúmerosen else
gundorenglónquedebencambiar.Porejemplo, sia
22
sedenotapor a;2'entonces
Estorequiereunamultiplicaciónyunasuma.Comohay
nnúmerosquecambiaren elsegundo
renglón,
senecesitannmultiplicacionesy nsumasen elsegundorenglón.Lomismoocurreen
cadaunodelos
n-lrenglonesde2a n.Entonces
Totalparaelpaso2
(11-1)11multiplicaciones
(11-1)11sumas
Notación.Enadelante a~denotaráelúltimocálculoen elrenglóniylacolumna).
Paso3.
Semultiplicatodoen elsegundorenglón por1/a;2:
1LL LL L
Oleeee
Totalpara elpaso3
OLL L L L
11-Imultiplicaciones.(Comoantes, el
Ienlaposición2,2sólosecolocaahí.)
nohaysumas
OLL LL L
Paso4.Semultiplicaelrenglón2 por-a:
2
ysesumaalrenglón i,parai=1,3,4,...,n:
1Oeeee
O1L L L L
Totalpara elpaso4
OOeeee
(11-1)(11~1)multiplicaciones
(11-1)(11-1)sumas
OOeeee
Delmismomodoqueen elpaso2,cadacambiorequiereunamultiplicaciónyunasuma.Pero
ahoralasprimerasdoscomponentesnorequierencálculos; esdecir,secalculan(n+1)-2=
n-1númerosencadarenglón.Aquítambién,loscálculos sehacenen n-1renglones.Esto
explicalosnúmerosanteriores.

Elerrornumérico enloscálculosylacomplejidadcomputacional 645
Debeobservarseunpatrón.En elpaso5 setendránn-2multiplicaciones(paradividir
cadaelementoen
eltercerrenglón, alladodelostresprimeros,entre a;3)'Enelpaso6serán
necesarias
n-2multiplicacionesyn-2sumasencadaunodelos n-1renglones,quedanun
totalde
(n-1)(n-2)multiplicacionesy(n-1)(n-2)sumas.Secontinúadeestaformahasta
quequedansólocuatropasos.Heaquí
laaparienciade lamatrizaumentada:
1OO
a;,n_1 a;n b'
1
O1O a~.I1~1 a;1I b'
2
OO 1 a;.Il~1 a;11 b'
3
OOO
a~_l,n-[
a' b'
n-[,n n-I
OOO
I
a
I
b,:a
11,11-1
""
3pasosantesdelúltimo. Sedivideelrenglón(n-1)entrea:,_Ln_1:
1OO LL L
O1O LL L
OO 1 LL L
2multiplicaciones
nohay
sumas
OOO 1ee
ooo LL L
2pasosantesdelúltimo. Semultiplicaelrenglón(n-1)por-a;,n-l.Ysesumaalrenglóni,
parai=1,2,...,n-2,n
1
OO O ee
OIO Oee
OO I Oee
2(n- 1)multiplicaciones
2(n- 1)sumas
OOO 1 L L
OOO O ee
1pasoantesdelúltimo. Sedivideeln-ésimorenglónentre <,,:
1OO OL L
O1O O L L
OO 1 OL L
Imultiplicación
nohaysumas
OOO 1 L L
OOO O 1e

646 ApÉNDICE3 Elerrornumérico enloscálculosylacomplejidadcomputacional
Últimopaso.Semultiplica elrenglónnpor-a;1IYsesumaalrenglóni,parai=1,2,...,
n-1:
1OO OO e
O1O OO e
OO 1 Ooe
1(11-1)multiplicaciones
1(11-1)sumas
OOO 1Oe
OOO O l L
Ahoraseencuentranlostotales:
Paralospasosimpares setienen
n+(n-1)+(n-2)+...+3+2+lmultiplicaciones
y
nohaysumas
Paralospasospares setienen
(n-1)[n+(n-1)+(n-2)+...+3+2+1]multiplicaciones
y
(n-1)[n+(n-1)+(n-2)+...+3+2+1]sumas
En
elejemplo2delapéndice 1(páginaA-2) sedemuestraque
1+2+3+...+n=n(n+l) (4)
2
Entonceselnúmerototaldemultiplicacioneses
Delospasospares De.lospasosimpares
n(n
2
+ 1) +(n-1)[n(n
2
+ 1)]
=[n(n2+I)Jrl+(n-l)]=nz(n;I)=~ +~z
. [n(n+I)]n
3
-nn
3
n
yelnumerototalde sumases(n-1) =--=---
2 2 22
UNAMODIFICACiÓN DELAELIMINACIÓN DEGAUSS-JORDAN
Existeunamaneramáseficientedereducirlosrenglonesde Aalamatrizidentidad:primero se
reduceAasuformaescalonada porrenglonesparaobtenerlamatriz
1
,
a;3
a'
a;11 b'G
IZ
1,11-1
1
O
,
a;.II_1a;"
b'a
Z3 Z
OOO 1 a;_l.nb'
11-1
OOO O
b}~

Elerrornumérico enloscálculosylacomplejidadcomputacional 647
Elsiguientepasoeshacercerotodosloselementosenlacolumna narribadelunoenlaposi
ciónn,
n.Estodacomoresultado
lLL
Ol L
OOO
OOO
LO
LO
lO
Ol
e
e
e
L
ProblemasA3
Porúltimo,sisetrabajadederechaaizquierda, sehacencero elrestodeloselementos arriba
deladiagonal. Enelproblema22deesteapéndice sepideallectorquedemuestrequecon
estamodificación,
elnúmerodemultiplicacioneses tn
3
+n
2
-
tnyelnúmerodesumas es
I3+12 5
3nzn-ón.
Parangrande
Porejemplo,cuandon=10000,
3 2
!!:.-+!!:.-=500050000000 =5.0005x 10
11
22
y
3
!:!.-=500000000000 =5X10
11
2
Demanerasimilar,parangrande
l3 2 1n
3
-n+n--n""-
3 3 3
3 3
Como!:!.-esmenorque!:!.-,sevequelamodificacióndescritaesmáseficiente cuandones
3 2 .
grande(dehecho,
esmejorcuandon2':3).
EnlatablaA.lsepresentaelnúmerodesumasymultiplicacionesrequeridas paravarios
procesospresentadosenloscapítulosly
2.
Delosproblemas22al25sepideallectorquederiveestasfórmulas.
Enlosproblemas1al
13conviertaelnúmerodadoaunnúmerode puntoflotanteconocho
lugaresdecimalesdeexactitud,yasea
truncando(T)oredondeando(R)comoseindica.
1.t(T)
5.~(T)
9.-18~(R)
13.8374.2x 10-
24
2.f
6.f(T)
10.237059628(T)
3.
-0.00035 4.i(R)
7.ff-(R) 8.-18~(T)
11.237059628(R)12.-23.7xIO
I5

648 APÉNDICE3 Elerrornumérico enloscálculosylacomplejidadcomputacional
TablaA.1 NúmerodeaproximacionesaritméticasparaunamatrizinvertibleAdenXn
Técnica
1.Soluciónde Ax=b
poreliminación
deGauss-Jordan
2.Soluciónde Ax=bporlamodificación
alaeliminación
deGauss-Jordan
3.SolucióndeAx=bporeliminaciónde
Gauss-Jordanconsustituciónregresiva
4.ObtencióndeA-
1
poreliminaciónde
Gauss-Jordan
5.CálculodedetAporreduccióndeAa
unamatriztriangular
ymultiplicación
deloselementosenladiagonal
Númerode
multiplicaciones
3
n 2n
-+n--
3 3
n
3
2n
-+--]
3 3
Número
aproximadode
multiplicaciones
para
ngrande
2
3
3
3
Número
de
sumas
2 2
n
3
n
2
5n
-+--
3 2 6
n
3
n
2
5n
-+---
3 2 6
Número
aproximadode
sumaspara
n
grande
2
3
3
3
Delosproblemas14al21sedaelnúmeroxyunaaproximaciónx*.Encuentreloserroresab
solutoyrelativo
EayE
i
14.x=5;x*=0.49XIO
i
16.X=3no;x*=0.3704X10
18.X=--.L.X*=O12X10-
2
SOO' •
20.X=0.70465;x*=0.70466X100
15..X=500;x* =0.4999X 10
3
17.r.x={-;x*=0.12XIO
o
19..X= -5i;x*=-0.583Xle
21.. X=70465;x*=0.70466X10
22.Derivelasfórmulasdelrenglón2de latablaA.l[sugerencia:necesitarálasiguientefórmu
la
queestádemostradaenelejemplo3delapéndice 1:
2n(n+1)(2n+1)
+n=
----'-------'--'------'-
6
23.Derivelasfórmulasdelrenglón3 delatablaA.l.
24.Derivelasfórmulasdelrenglón4 delatablaA.I.
*25.Derivelasfórmulasdel renglón5delatablaA.l.
26.¿Cuántossegundostoma,enpromedio,lasolucióndeAx=benunacomputadorausando
eliminaciónde Gauss-JordansiAesunamatrizde20 X20?
27.Resuelva
elproblema26siseusalamodificacióndescritaenesteapéndice.
28.
¿Cuántossegundostardaría,enpromedio,invertirunamatrizde50 X50?,¿unamatrizde
200
X200?Y ¿unamatrizde10000X100007
29.Derivela
fórmulaparaelnúmerodemultiplicacionesysumasrequeridasparacalcularel
productoA BdondeAesunamatrizdemXnyBunadenXq.

EJEMPLO1
m.Solución
Apéndice
4
;
ELIMINACION GAUSSIANA
CONPIVOTEO
•
Noesdifícilprogramarunacomputadora paraqueresuelvaunsistemadeecuacioneslineales
haciendousodelmétododeeliminacióngaussianaodeGauss-Jordanestudiadoenestelibro.
Existe,sinembargo,unavariaciónalmétodoquefuediseñadaparareducir
elerrorderedon
deoacumuladoalresolverunsistemade
nXnecuaciones.Dichométodo,oalgunavariación,
seutilizaendiversossistemasdesoftware. Unavezque leresultecomprensibleestamodifica
ciónsencilladelaeliminacióngaussiana,entenderáporqué,
porejemplo,ladescomposición
LUolasformasescalonadasencontradasenunacalculadoraoenMATLABavecessondife
rentesquelascalculadasamano.
En
elcapítulo1 seencontróquecualquiermatriz sepuedereduciralaformaescalonada
porrenglonesmedianteeliminacióngaussiana.Sinembargo,existeunproblemacomputacio
nalconestemétodo.
Sisedivideentreunnúmeropequeñoque seharedondeado,elresultado
puedecontener
unerrorderedondeosignificativo.Porejemplo,
1/0.00074'"1351mientrasque
1/0.0007'"1429.Paraevitaresteproblema, seusaunmétododenominado eliminacióngaussia
naconpivoteoparcial.Setratadedividirsiempreentre elelementomásgrande(envalorabso
luto)delacolumna,evitandoasícuantoseaposible,
eltipodeerrorque seacabadeilustrar.Se
describeelmétodoconunejemplosencillo.
Solucióndeunsistemaporeliminacióngaussiana conpivoteoparcial
Resuelvaelsiguientesistemaporeliminacióngaussianaconpivoteoparcial:
XI-x
2
+x
3
=1
-3x¡+2x
2
-
3x
3
=-6
2x¡-5x
2
+4x
3
=5
Pasol.Escribaelsistemaenlaformadematrizaumentada. De
laprimercolumnaconcompo
nentesdiferentesdecero(denominada
columnapivote),seleccionelacomponentecon elvalor
absoluto.Estacomponente
sedenominapivote:

650 ApÉ'\'DICE4 Eliminacióngaussianaconpivoteo
[
1
-1
pivote_ED2
2-5
1I1]
-3I-6
4I5
Paso2.Reacomodelosrenglones paramoverelpivotehastaarriba:
[
~ -~ -~ -~]
2-54 5
Paso3.Dividaelprimerrenglónentre elpivote:
(seintercambianelprimero
yelsegundorenglones)
1I2]
1 I1
4 I5
(sedivideelprimerrenglón
entre-
3)
Paso4.Sumemúltiplosdelprimerrenglónalosotrosrenglones parahacercerotodaslascom
ponentesdelacolumnapivote:
[~
_1.
1
-:]
3 (elprimerrenglónsemultiplica
1
O
por-IY-2 ysesumaal
3
segundoyaltercero)
_11
2
3
Paso5.Tape elprimerrenglón yrealicelospasos1al4en lasubmatrizqueresulta:
[1-1
1
-:J
3
O_1
O
O_@
2
nuevopivote
[~
_1.
1
-:J
3 (seintercambianelprimero
@2
yelsegundorenglonesde
_1
O
lasubmatriz)
3
[~
_1.
-~]
3
--º-
(sedivideelprimerrenglón
11 11 actualentre elpivote)
_1
O-1
3
[~
-1.
2]
3
(semultiplicaelprimerrenglón
1 -º-
_2-
actualpor +ysesumaal
11 11
O--"-
_ll segundorenglónactual)
11 11

Eliminacióngaussianaconpivoteo 651
Paso6. Continúedeesta manerahastaquelamatrizestéenlaformaescalonada porrenglo
nes.
[~
l-+1I2]
1-fJI-f¡-
OCDI_1I
_
_~_-_..~ II
nuevopivote
1
3
1-fJ
O
-~]
11
6
(sedivideel primerrenglón
actualentreelpivote)
EJEMPLO2
111.Solución
Paso7. Utilicela sustituciónregresiva paraencontrar(silahay)lasoluciónalsistema.Esevi
denteque
setienex
3
=6.Entoncesx
2
-fJx
3
=-f¡-o
Porúltimo,XI-+x
2
+x
3
=2oloqueeslomismo
Lasoluciónúnicaestá dadaporelvector(-2,3,6).
Observación.Elpivoteocompleto implicaencontrarlacomponenteen Aquetienemayorvalor
absoluto,nosólolacomponenteenlaprimeracolumnaquenoseacero.Elproblemaconeste
métodoesquecasisiempreincluye
elvolveraetiquetarlasvariablescuando seintercambian
lascolumnas
paracolocarelpivoteenlaprimera. Enlamayorpartedelosproblemas elpi
voteocompletonoesmuchomásexactoque
elpivoteoparcial,almenosnolosuficiente para
justificareltrabajoadicionalqueimplica.Porestarazón elmétododepivoteoparcialdescrito
seutilizaconmásfrecuencia.
Ahoraseexaminaráelmétododepivoteoparcialaplicadoaunsistemamáscomplicado
en
elsentidocomputacional.Loscálculos sehicieronenunacalculadoramanualyseredon
dearonaseisdígitossignificativos.
Solucióndeunsistemaporeliminacióngaussiana conpivoteoparcial
Resuelvaelsistema
2x¡-3.5x
2
+x
3
=22.35
-5x¡+3x
2
+3.3x
3
=-9.08
12x¡+7.8x
2
+4.6x
3
=21.38
Utilizandolospasosdescritos seobtienesucesivamente,
l
2-3.51
-533.3
CID7.84.6
...............pivote
I22.35) R,,[®_122
5
7.84.6I-9.08_R.L
1
-~, 33.3
I21.38 -3.51
21.38)
-9.08
22.35

652 ApÉNDICE4Eliminacióngaussianaconpivoteo
[
10.650.383333I1.78167]
R,->-&,R,)-53 3.3 I-9.08
2-3.51 I22.35
'4',"',~ 0.650.383333 1.78167]
R
3
->R
3-2R,)O~5.21667 -0.17165
lluevopivote O-4.80.233334 18.7867
I
[~
0.650.383333
1.78167]
R2----t6.25R2
1 0.834667 -0.027464
-4.80.233334 18.7867
[10.65
0.383333
1.78167]
R.->R,+48R,)O1 0.834667 I-0.027464
~cA.2397VI 18.6549
lluevopivote
[~
0.650.383333
1.78167]
R->-'-R
J ..LB97~ j
1 0.834667-Q.027464
O
1 4.4001
Lamatrizseencuentraahoraenlaformaescalonada porrenglones.Usandolasustitución
regresiva
seobtiene
X
3
""4.40001
x
2
""-0.027464-0.834667x
3
=-0.027464-(0.834667)(4.40001)=-3.70001
XI""1.78167-(0.65)(x
2
)-
(0.383333)x
3
=1.78167-(0.65)(-3.70001)
-(0.383333)(4.40001)
=2.50001
Lasoluciónexactaes XI=2.5,x
2
=-3.7Yx
3
=4.4.Nuestrasrespuestassin dudasonbastante
exactas.
Observación.Elejemplo2ilustralolaborioso queresultautilizareste métodosincalculadora,
enespecial
siserequierenvariosdígitossignificativos.
Elsiguienteejemplomuestrala
maneraenlacual elpivoteopuedereducirsignifica
tivamenteloserrores.
Enestecaso seredondeasóloatresdecimales,conlocualseintroducen
erroresmásgrandes.
EJEMPLO 3 Elpivoteoparcialpuededarmejoresresultados
Considereelsistema
0.0002x¡-0.00031x
2
+0.0017x
3
=0.00609
5x¡ -7x
2
+6x
3
=7
Lasoluciónexactaes x¡=-2,x
2
=1,x
3
=4.Primeroseprocedearesolver elsistemapor
eliminacióngaussianasinpivoteo, redondeandoatrescifrassignificativas.

Eliminacióngaussianaconpivoteo 653
l~OOO2
-0.000310.0017
~00609]
,
l:
-1.558.5
3~5]6
R-.-'R
-7 6-7
Io.oomI
6 3 6 3
R
2
,
R
l-5R
1
[~
-1.55 8.5
305]
[~
-1.55 8.5
305;
R
3
,R
J
-8R
1
0.75-36.5-146
R2,0!75R})
1 -48.7-195
18.4-65 -242 18.4-65 -242
T
~1.558.5
305]
,[~
-1.55 8.5 30.5]
RJ--tR
3 -18.4R
1
1 -48.7-195
R.~-4;¡}¡- R
3
1-48.7-195
O 831 3350
°
I 4.03
Estollevaa
x
3
==4.03
x
2
==-195+(48.7)(4.03)= 1.26
XI==30.5+(1.55)(1.26)-8.5(4.03)= -1.8
Enestecasoloserroressonsignificativos.Loserroresrelativos, dadoscomoporcentajes,son
1
-
02
1x:E=-'-=10%
1,.2
1
0.
26
1X:€=- =26%
2,.1
[
0.
03
1x:10=-=0.75%
3,.4
Repetiremosesteprocedimiento conpivoteo.Seobtiene(loscírculosindicanlospivotes)
[~0002
-0.000310.0017
~00609]
-7 6
® 6 3
',~','ls
6 3
~00609]
-7 6
0.0002-0.000310.0017
[8
0.75 0.375
0.25]
R],iR]
)5 -7 6
~.006090.0002-0.000310.0017
R
2
,
R
1
-
5R
I
{~
0.75 0.375
025]
R]-.R,-O.OW2R,
E(o.~ 4.13 5.75
-0.000460.001630.00604

654 ApÉNDICE4Eliminacióngaussianaconpivoteo
{~
0.75 0.375
025]
R
2
..--.)Ih-R
2
I -0.382 -0.532
-0.000460.001630.00604
{~
0.750.375 I
025]
R,--;R, +O.OOO46R,
I -0.382I-0.532
OC[00141)I0.0058
{~
0.750.375
025]
RJ-+O.lIl:14S
R3
I -0.382-0.532
O I 4.00
Porlotanto,
X
3=4.00
X
2=-0.532+(0.382)(4.00)=0.996
XI=0.25-0.75(0.996)-(0.375)(4.00)=-2.00
Así,con elpivoteoyunredondeoatresdígitossignificativos, Xlyx
3
seobtienendemanera
exacta
yx
2
seobtieneconunerrorrelativode 0.00411=0.4%.
Antesde
darporterminadaestasección,podemosobservarqueexistenalgunasmatrices
paralascualesunpequeñocambioenloselementospuedellevarauncambiograndeenla
solución.Talesmatrices
sedenominanmalcondicionadas.
_ .....__u_n_S_i_st_e_m_a_m_a_'_co_n_d_ic_io_n_a_d_o__
Considereelsistema
XI+ x
2
=I
XI+1.005x
2
=O
Sevefácilmentequelasoluciónexactaes Xl=201,x
2
=-200.Siloscoeficientesseredondean
atresdígitossignificativos,
seobtieneelsistema
XI+ x
2
=I
Xl+1.0lx
2
=(
consoluciónexacta XI=101,x
2
=-100.Alcambiarunodeloselementosdelamatrizde
coeficientes
por0.005/1.005",0.5%,¡lamatrizsufreuncambiodealrededordel50%enlaso
luciónfinal!
Existentécnicas
parareconocerymanejarlasmatricesmalcondicionadas. Unadeellas,la
funcióncond(A)deMATLAB(doccond),
daunamedidadelasensibilidaddelasoluciónde
unsistemadeecuacioneslinealesaloscambiosenlosdatos.

ProblemasA4
Eliminacióngaussianaconpivoteo 655
Delosproblemas1al4resuelva elsistemadeecuaciones dadoporeliminacióngaussianacon
pivoteoparcial.Utilice
unacalculadoramanual yredondeeaseisdígitossignificativosen cada
paso.
1.2x
1
-
x
2
+x
3=0.3
-4x¡+3x
2
-
2x
3
=-lA
3x
1
-
8x
2
+3x
3
=0.1
3.-7Ax
1
+3.61x
2
+8.04x
3
=25.1499
12.16x
1
-
2.7x
2
-
0.891x
3 =3.2157
-4.12x
1
+6.63x
2
-
4.38x
3
= -36.1383
4.4.1x
1
-
0.7x
2
+8.3x
3
+3.9x
4
=-4.22
2.6x¡+8.lx
2
+
0.64.\"3-O.8x
4
=37.452
-5.3x
1
-0.2x
2
+7.4x
3
-
O.55x
4
-
25.73
0.8x
1
-
1.3x
2
+
3.6.\3+1.6x
4
=-7.7
2.4.7x
l
+1.81x
2
+2.6x
3
=-5.047
-3Ax
1
-
0.25x
2
+l.Ix)=110495
12.3x
1
+0.06x
2
+0.77x)=7.9684
Delosproblemas5y6resuelvaelsistemaporeliminacióngaussianacon ysinpivoteo,redon
deandoatrescifrassignificativas.Despuésencuentrelasoluciónexacta ycalculeloserrores
relativosdelosseisvalorescalculados.
5.O.lx
I
+0.05x
2
+0.2x
3
=1.3
12x
1
+25x
2
-
3x
3
=10
-7x
1
+8x
2
+15x
3
=2
7.Demuestreque elsistema
6.0.02x
1
+0.03x
2
-
0.04x)=-0.04
16x,+2x
2
+4x
3
=O
50x,+10x
2
+8x
3
=6
x,+ x
2=50
XI+1.026x
2
=20
estámalcondicionado siseredondeaatrescifrassignificativas.¿Cuál eselerrorrelativo
aproximadoencadarespuestainducido
porelredondeo?
8.
Hagalomismoparaelsistema
-0.OOOlx
1
+x
2
=
2 -XI+x
2
=

Apéndice
5
USODEMATLAB
•
MATLABesunsoftwarecomputacionaldealtonivelquecuentaconunentornointeractivo
quepermitedesarrollaralgoritmos,visualizaryanalizardatosyelaborarcálculosnuméricos.
ConayudadeMATLAB
sepuedenresolverproblemasdecálculotécnicoconmayorrapidez
queconotroslenguajesdeprogramacióntradicionales,comopuedenser
C,C++oFortran.
Estaplataformacuentaconunaamplísimagamadeaplicaciones,queincluyen
elproce
samientodeseñaleseimágenes,comunicaciones,diseñodesistemasdecontrol,sistemasde
pruebaymedición,modeladoyanálisisfinanciero,asícomobiologíacomputacional.
Sinembargo,apesarde
lagranvariedaddeaplicaciones,enestelibrosólo sepretende
acercarallectoraloscomandospropiosdeMATLABsegún
sevanrequiriendoenlasseriesde
problemas.Loscomentariosquesiguen
secentranenaspectosdeapoyo.
HERRA:YIIENTAS DEÁLGEBRALINEALELEMENTAL
VariosproblemasdeMATLABen eltextocorrespondenaarchivos m(pequeñosprogramas)
escritosparapermitirunaexploraciónmáscompletadeciertosconceptos.Losarchivos
mes
tándescritosenlosproblemas.EsposibleobtenerunaversiónparaestudiantesdeMATLAB,
asícomounaversióndepruebaatravésdelsitioenredoficialdeTheMathWorks.
MATLAB PRI~lER
Ademásdelosmanualesqueacompañan alsoftware,resultaútiladquirirunacopia deMAT
LABPrimerdeKermitSigmonde laUniversityofFlorida.Setratadeunaguíageneralcuyo
propósito
esservircomounaintroducciónaMATLAB.Unacaracterísticaexcelentedel Pri
mer
laconstituyenlaslistasdecomandosdeMATLABclasificadassegúnlafunciónbásica
delcomando.MATLABincluyeunaexcelenteayudaenpantallaparaaquellosqueconocen
el
nomhredeciertocomando(dé doc,seguidodelnombredelcomandoyapareceráunadescrip
cióndelusoyresultadodelcomando).Lacombinacióndelaayudaconlaslistasdecomandos
en
elPrimeresunaherramientapoderosaparaaprenderMATLAB.
Sepuedeencontrarlaúltimaversióndel MATLABPrimerenladirección:
http://math.ucsd.edu/-driver/2Id-sY9/matlab-primer.html

UsodeMATLAB 657
OBTENCIÓN DEUNREGISTRODE TRABAJOYRESULTADOS
Elusuarioconfrecuenciadesea guardarunregistrodel trabajorealizado,tantodeloscoman
doscomodelosresultadosdeMATLAB.Enlaventanadehistorialdecomandosseguardala
secuenciadeinstruccionesutilizadasenlas
últimassesionesdeusodelMATLAB.Tambiénse
puedeutilizarelcomandodiary(docdiary), conélpuedealmacenarenunaarchivolasecuencia
deinstruccionesutilizadas.A
estainformaciónpuedeaccederseutilizandocualquiereditorde
texto.Antesdeintroducirloscomandosquesequierenguardar,déelcomandodiaryseguido
deunnombredearchivoquedebecomenzarconunaletray tenerhastaochocaracteres.Cual
quiertextoqueaparezcaenlapantalladecomandosquedaráenelarchivo.Debedarelco
mandodiaryoff(alterminareltrabajoquequiereregistrar) paragrabarlaúltimaporcióndel
trabajo.Si
seusaelcomandodiaryotravez,conelmismoarchivo,elnuevo trabajoseanexará
alanterior.Unavezquesehagrabadoeltrabajo,elarchivosepuedeleer,editareimprimir
usandouneditordetexto.
Laúltimaversiónde MATLABcuentaconuneditordetextoquesepuedeinvocardesde
lalíneade
comandoutilizandoelcomandoedito
CONSIDERACIONES GRÁFICAS
Loscomandosdegráficasse introdujeronenvariosproblemasdeMATLAB.Diremosalgunas
cosasquedebesaberalrespecto.
Al
trabajarconMATLAB,cuandoseutilizaun comandodegraficación,se abreunanue
va
ventanadondeaparecelagráfica.Utilizandoelratónsepuedeseleccionarla ventanadela
figuraola ventanadecomando.
Alterminarunproblemaounaparteespecíficadeéstequeinvolucregráficas, debelimpiar
lapantalladegráficasy liberarlascaracterísticasquesecongelan(despuésdeguardaroimpri
mirlagráficadeseada).El comandoutilizadoparaestefineself. Algunasdeestasinstrucciones
aparecenenlos
problemasdellibro.
NOMBRES DEVARIABLESESPECIALES
Lasvariablesi, jestánpredefinidaspararepresentarelnúmerocomplejoi,ylavariable pi
representaelnúmero1tsiemprequeestasvariables nosehayanusadoconotropropósito.Es
improbablequeseusepisinadvertirlo,peroesmuyprobablequeseusei.Lavariableepsseusa
enformaglobalenmuchasrutinasdeMATLABynodebeusarsede otramanera.

ALOSPROBLEMAS IMPARES
•
CAPíTULO1
Problemas1.2 ág.:,...:,...4:J..... " _
23.El puntodeintersecciónes
25.
Nohaypuntodeintersección.
19 11
x=-y=--.
20' 20
1
z=--
2+K
ab=-2ab*°
e e
x=--y=--
a+b a+b
a*0,b*°ya+b*°
2b2
a
11
a
22
-a
l2
a
21
=a-
1 1
x=2+K'Y=2+K
21.Senecesita quea
2
+b
2
=°~a=°y
b=O.
19.Senecesita que-ab
~a*O yb*O.
15.
17.K*2YK*lporque
2 I d
. .. 1
13
7.EpuntoemterseCClOnes x=-,y=-.
4 4
17 23
3.x=--y=-
19 19
a
11
a
22
-a
12
a
21
=19
13 11
1.x=-S'Y=-S
a
11
a
22
-a
l2
a
21
=-10
5.
22 28
x=--y=-
3 3
a'la22-al2a21=90
7.
11
y=-30x=--
2
a11an-a'2a21=-2
9.x=Oy=O
a
11
a
22
-a
l2
a
21
=-11
11.
3 3
x=-y=-
7 7
a
ll
a
22
-a
l2
a
21
=21
13.x=-1y=2
a
ll
a
22
-a
l2
a
21
=-1

29El d
. "
67 2
.puntoe
mterseCClOnesx=-,y=-.
45 15
31.Seamilapendientede Lyseam
2
lapen-
.23
dientede Ll-'entoncesmi=-3;m
2="2'
L:2x+3y=1,YLl-:2x+3y=O.
Pd·" (23)untoe mtersecclOn--,--
1313
33.Seamilapendientede Lyseam
2
lapen
.56
dientede L,entoncesmi=-;m
2
=--
l- 6 5
L:5x+6y=3YLl-:6x+5y=28.
Puntodeintersección(3,2)
J6l
5
35.
Seam¡lapendientede Lyseam
2
1apen
.73
dientede L,entoncesm¡=-;m
2
=--
l- 3 7
L:-7x+3y=0,yLl-:3x+7y=-38.
P d· " (57133JuntoemtersecclOn--,--
2929
Respuestasalosproblemasimpares 659
37.Elpuntodeintersecciónes(2,1),ladis
tanciaentre
elpuntoylarecta2x-y=6
3JS
esd=--.
5
39.Seaxelnúmerodeavesysea yelnúmero
debestias,entonces
x+y=60;2x+4y=
200=}x=20YY=40.
41.Porcontradicción,suponga locontrario,
esdecir,supongaqueexistesoluciónúnica
cuando
a¡¡a
22
-a¡2a2¡=O.Delproblema
40sesabequelasrectasqueformanal sis
tema(l)sonparalelas.Por loqueelsistema
(l)tieneunnúmeroinfinitodesolucioneso
ningunasolución.Estocontradicelasupo
sicióndequeexistesoluciónúnica,porlo
que
setienelacontradiccióndeseada.
43.Seaxelnúmerodetazasy yelnúmero
deplatos.Entonces
3x+2y=480;0.25x
+
0.20y=44=}x=80YY=120.
45.Lasecuacionesahorason3x+2y=480;
0.15x+0.10Y=24Yelsistemanotiene
solución.
Nota:Cuandohayunnúmeroinfinitodeso
luciones,
seescribensolucionesseleccionando
laúltimavariablearbitrariamente.Lassolu
ciones
sepuedenescribirdeotrasmaneras.
1.(2,-3,1)
3.(-~!2-~J
7'7'7
5.Elsistemanotienesolución.
7.(-9,30,14)
9.Elsistemanotienesolución.
11.(O,O,O)
(
34
3711)
13.3'-6'3
15.(4-2x
2
+4x
3
,
x
2
'
xJ,x
2
'X
3
E[;iarbitra
rias.
17.(7-2x
2+x
3
-
x
4
'
Xl'X
3
'x
4
),X
2
,X
3
,X
4 E[;i
arbitrarias.
x
4
E[;iarbitrarias.
21.(-~+~X4' -%-~X4'-9-2x4,x4}
x
4
E[;iarbitrarias.
23.Elsistemanotienesolución.
25.e:,~)

45.Formaescalonadaporrenglones
660 CAPíTULO1
27.Formaescalonadaporrenglones.
29.Ninguna.
31.Formaescalonadareducida
porrenglones.
33.Ninguna.
35.
Formaescalonadareducida porrenglones.
37.Ninguna.
39.
Formaescalonadaporrenglones
(~ ~.5}
formaescalonadareducida porrenglones
41.
Formaescalonadaporrenglones
47.
formaescalonadareducida porrenglones
-1]
1'
2
formaescalonadareducida porrenglones
[:On
3560 2700 3200
x=--x=--x=--
I49'249'l49'
formaescalonadareducida porrenglones
43.
Formaescalonadaporrenglones
[
:
-2_:j
II'
OO 1
49.6díasenInglaterra,4díasenFrancia y
4díasenEspaña.
51.
Lainformaciónesinconsistente.
53.Elsistema
aumentadoenformareducida
porrenglones
es[~-~ ~ a~2b]
OOO -2a+b+c
porlotantoelsistemaesinconsistente si
-2a+b+c=0.
57.
RADXVZHEXJI-'x' RADXVZHEXJI-'x' RADXVZHEXJI-'X'
{HDAECASDIR, USR {HDAECASDIR, USR {HDAECASDIR, USR... ~. ...
3: 2: 3:
2: 1:
[a.2.-1.-4.2.]
2:
1:
[a.2.-1.-4.2.] 1.-1.5.2.-4.1:r'a.a.a. -3.],
1.-1.5.2.-4. 3.3.-7.-1. 4. a.1.a.a.5.
3.3. -7.-1. 4. -1.-2.3.a.-7. a.a.1.a.a.
-1.-2. 3.a.-7.RREF a.a.a.1.2.
CJ'i1D]¡m;nmllJl:mEJlm!illlm!lCJ'i1D]¡m;nmllJl:mEJlm!illlm!lCJ'i1D]¡m;nmllJl:mEJlm!illlm!l
porlotantoelresultadoes XI=-3,x
2
=4,Xl=O,x
4
=2.
59.
RADXI'ZHEXJI-'x' RADXVZHEXJI-'x' RADXVZHEXJI-'X'
{HDAECASDIR, USR {HDAECASDIR, USR {HDAECASDIR, USR... ~. ...
3: 2: 3:
2: 1:[23.42-16.8957.312:
1:[23.42-16.8957.31 -14.738.2992.3O:=~1:r'a.a.a. -17.29a1E'
-14.738.29 92.3O:=~ -77.2171.26-16.5~ a.1.a.a.-.292785~
-77.2171.26-16.5~ 91.8281.4333.94 a.a.1.a.-12.9175,
91.8281.4333.94RREF. a.a.0.1.39.93531
CJ'i1D]¡m;nmllJl:mEJlm!illlm!lCJ'i1D]¡m;nmllJl:mEJlm!illlm!lCJ'i1D]¡m;nmllJl:mEJlm!illlm!l
portantoelresultadoes XI=-17.29,x
2
=-0.29,Xl=-12.92,x
4
=39.94.

61.
63.
Respuestasalosproblemasimpares
RAD ~V2 HE~G= .~' RAD ~V2 HE~ G= '~' RAD ~V2 HE~G='W
{H(lMECAS[JIF:} {HOHECASDIR} {HOHECASDIR}... ,jo
1: 1 -152 -4
3: 2:
2: 1:
[e2-1-42)
e1
-1
1
1:
[e2-1-42)
1-152-4
2-2
1
-152-4 33-7-14
ee1 -5-le
33-7-14 -1-230-7 1919
-1-23e-7REF eee12
1Et1Icr:m:llJm]mIilcm:!I!Lm!iJ1Et1Icr:m:llJm]mIilcm:!I!Lm!iJ1Et1Icr:m:llJm]mIilcm:!I!Lm!iJ
RAD ~V2 HE~ G= '~' RAD ~V2 HE~ G=T RAD ~V2 HE~ G= '~'
{HOHECASDIR} {HI)"ECRS[JIF:} {HOHECASDIR}... ,jo ...
3: 2: 3:
2: 1:
[23.42
-16.8957.312:
1:[23.42-16.8957.31 -14.738.2992.3f~1:r'e.e.e. -17.2931~·
-14.738.2992.3f~ -77.2171.26-16.5~ e.1.e.e.-.2896913.
-77.2171.26-16.5~ 91.8281.4333.94 e.e.1.e.-12.ge65J
91.8281.4333.94REF. e.e.e.1.39.92912
_1IDI1Et1Icr:m:llJm]mIil_1IDI1Et1Icr:m:llJm]mIil_1IDI1Et1Icr:m:llJm]mIil
661
65.
67.
69.
Siloselementosnosonnúmerosexactos, elalgoritmoproducelaformareducidapor
renglón.
RAD ~V2 HE~G=T RAD ~V2 HE~ G= '~' RAD ~V2 HE~ G= '~'
{HOHECASDIR} {HOHECASDIR} {HOHECASDIR}
2; t;
[6,'-2.423.3-JS
1:1"J-2.423.3-J
-14.2-31.6 -5.891:r.'",.e.
•4443~
-14.2-31.6-5.89 113.5 46.1-19.6-~ e.1.e.e.e.1.989€.
113.5
46.1-1'3.6-~ 37.3-14.262.1< e.e.1.e.e. 2.614~
37.3-14.262.1< .817.747.55€ e.e.e.1.e.-4.845
.817.747.55€REF e.e.e.0.1.1.86n
_1IDI1Et1Icr:m:llJm]mIil_1IDI1Et1Icr:m:llJm]mIil_1IDI1Et1Icr:m:llJm]mIil
Siloselementosnosonnúmerosexactos, elalgoritmoproducelaformareducidapor
renglón.
RAD ~V2 HE~ G=
'~, RAD ~V2 HE~ G= '~' RAD ~V2 HE~G= .~:'
{HOHE> {HOHECASDIR} {HOHECASDIR}
7: 6: 7:
6: 5: 6:
5: 4: 5:
4: 3: 4:
3: :2: 3:
:2: 1:r• 0000.000-1•:275 ~:2:
1:r13.60071.80046. 0.0001.0000.403 -~ 1:r• 0000.000-1•:275~
41.2'00-75.000-8:2~ 0.0000.0000.000 ~ 0.0001.0000.403 -~
41.80065.400-:26.REF 0.0000.0000.000 ~Dm!l!ImImlIlmJ__
_1IDI1Et1Icr:m:llJm]mIil_1IDI1Et1Icr:m:llJm]mIil
Observamosquetenemosunreglóndeceros porloquesetieneninfinitassoluciones.Al
resolver
elsistemax
l
-I.275x
3
=0.961,x
2
+OA03x
3
=-0.090,seobtiene(0.961 +1.275x
3
,
-0.090-OA03x
3
,
x),x
3
E12,arbitraria.
RAD ~V2HEXG='x' RADXV2HEXG='x' RADXV2HE~G='}:'
{HOHECASDIR} {HOHECASDIR} {HOHECASDIR}
7: 6: 7:
6: 5: 6:
5: 4: 5:
4: 3: 4:
3: :2: 3:
:2: 1:[5-:211-161:2105:2:
1:[5-:211-161:2105 -68-14-9:2E·-6~~1:r'0000.0000.000-7
-68-14-926-6~~ 7-18-1:2:21-:253 0.0001.0000.000-,~
7-18-12 21-:253RREF 0.0000.0001.0001.
_1IDI1Et1Icr:m:lmlilcm:!I!_1IDI1Et1Icr:m:lmlilcm:!I!_1IDI1Et1Icr:m:lmlilcm:!I!
Delaformaescalonadareducida setienequelamatriz aumentadaes
[i
o
I
O
O
O
1
-7.616
-4.867
1.121
11.870
6.775
-
3.0n
31.348]
11.043dedonde
seobtienecomosoluciones
-2.696
71.
(31.348+7.616x
4
-11.870x
s
'
11.043+4.867x
4
-
6.774x
s
' -2.696-1.l21x
4
+3.0nx
5
,
x
4
,
xJ,
x
4
,
x
5
E12arbitrarias.
RAD ~V2 HE~G= '~' RAD ~V2 HE~ G='x' RAD ~V2 HE~ G= '~'
{HOHECASDIR} {HOHECASDIR} {HOHECASDIR}
6: 5: 6:
5: 4: 5:
4: 3: 4:
3: 2: 3:
:2: 1:[5-:211-161:210:2:
1:[5-:211-161210 -68-14-'9:26-"1:r'0000.0000.0000.
-7
6
-~8=tiii:~~~
7-18-1:2:21-;25~ 0.0001.0000.0000,~
-154:2:21-174:2E·:E 0.0000.0001.0000.
-154:2:21-174:26.RREF 0.0000.0000.0001.
_1IDI1Et1Icr:m:lmlilcm:!I!_1IDI1Et1Icr:m:lmlilcm:!I!_1IDI1Et1Icr:m:lmlilcm:!I!

662 CAPíTULO1
Delaformaescalonadareducida setieneTUTORíADEMATlAB
quelamatrizaumentada es
[
~ ~ ~ ~
OO1O
OOO1
11.870
6.775
-3.012
O
50,540]
23.330
-5.520
2.520
1.A= [22345;-6-12O7;12-134]o
A=[2234 5;
-6-12O 7;
12-134]
b=[-1;2;5]
dedondeseobtienecomosoluciones
(50.540-11.870x
s
'23.330-
6.774x
s
'
5.520+ 3.0nx
s
'
2.52,x
s
)'X
s
El!arbitra
rias.
73.alla22a33+al2a2 P31+a
lP3P21-al3a22a31
-al2a21a33-alla32a23*O.
75.(-3,5,O,2).
3.D=2*(2* rand(3,4)-I)
5.K=B, K([14],:)=K([41],:)
7.Paraescribirunalíneadecomentario,
primero
sepone%.Elcomando dala
submatrizdeBdadapor
(~:: ~::l
77.(-17.29018527,-0.2927858589,
-12.91757558,39.93531770).
79.[~;
-2.333
-0.5
1
O
-0.333
-2
-0.263
1
1.~33].
-0.526
2
9.C(2,:)=.C(2,:) +3*C(1,:)
11.Elsistemadeecuacionesequivalente es
XI -.19l5x
4
+lo468lx
s
=-1.1489
x
2
+1.7447x
4
+3.0426x
s =204681
x
3
+.2979x
4
-
.6l70x
s =-1.2128
MATlAB1.3
I-0.3811.6620.394-0.2571.643
O1-0.74-0.258-0.768-0.129
83.OO I 1.292-1.2350.754
OO O l-0.246-2.847
OO O O l 0.652
81.[~
0.887
1
O
O
0.37
0.086
1
O
0.623
0.653
-0.307
1
2,562]
24.665.
-25.187
39.935 I.Existensolucionesúnicasyaquecadaco
lumnadelaformaescalonadareducida
porrenglones
delamatrizdecoeficientes
tieneunpivote.
Silamatrizaumentada
tienecincocolumnas, porejemplo,ysu
formaescalonadareducidaporrenglones
seasignaalavariable R,entonceslasolu
ciónseráx
=R(:,5).
3.Larespuestapara iv)comounamuestra
es:laformaescalonadareducidaporren
glones
85.(1.275x
3
+0.961,-00403X
3
-
0.090,x
3
),
x
3
arbitraria.
87.(7.6l6x
4
-
l1.870x
s
+31.348,4.876x
4
-6.775x
s
+11.043,-1.12lx
4
+3.072x
s
-2.696,x
4
,
x
s
)'x
4
,
X
sarbitraria.
89.
(-11.870x
s
+50.540,
-6.775x
s
+23.33,
3.0nx
s
-
5.52,2.52, x
s
)'X
s arbitraria.
1O .5O51
O11OO2
OOO1 -3-1
OOOOOO
OOOOOO
Lospivotesestán enlasposiciones(1,1),
(2,2)Y(3,4).Elsistemadeecuaciones
equivalente
es

+5x
5
l
2
x
4
-
3x
5
=-1
Lascolumnas3y5notienenpivotes,así:
XI=l-.5x
J
-
5x
5
x
2
=2- x
J
x
4
=-1+3x
5
5.Sedaelprogramaparaelincisoiii)des
puésdeintroducirlamatrizA.Existen
posiblesvariaciones.
Parahacercerosenlacolumnaunoabajo
delaposición(1, 1):
A(2,:)=A(2,:)-2*A(I,:)
A(3,:)=A(3,:)+3*A(I,:)
A(4,:)=A(4,:)-A(l,:)
Elsiguientepivote estáenlaposlclOn
(2,3).Parahacercerosenelrestodela
columna3(yahay unceroen elrenglón4)
y
paraponerunlenlaposiciónpivote:
A(3,:)
=A(3,:)-2*A(2,:)
A(l,:)=A(I,:)+2/3*A(2,:)
A(2,:)=113*A(2,:)
ElsiguientepivoteestáenlaposlclOn
(3,4).Parahacercerosenelrestodela
columna4(yahayceros arribadelpivote)
y
ponerunlenla posiciónpivote:
A(4,:)
=A(4,:)+2*A(3,:)
A(3,:)
=1I2*A(3,:)
Estocompletalareduccióna
[
~ ~ ~ ~ =~ -~~]
OOO1 1.58
OOOOO O
Respuestasa
losproblemasimpares 663
b)Primersistema:sea x
J
arbitraria.En
toncesXI=2-x
3
yx
2
=-1+2.\3"
Segundosistema:sea x
3
arbitraria.
Entoncesx
3
=1-x
3
yx
2
=-1+
2x
3
•
Tercersistema: nohaysolución.
e)Siunsistemacuadradotieneunasolu
ciónúnicaparaunladoderecho,ten
drásoluciónúnica paracualquierlado
derecho.Alexplicarlacausa,analice
porquéhayunpivoteen cadarenglón
y
cadacolumnayloqueestoimplica
(respectivamente)sobrelaexistencia
yunicidaddelassoluciones.Esposi
ble
queunsistemacuadradotengaun
númeroinfinitodesolucionesparaun
ladoderechoy notengasoluciónpara
otro,comoseilustraenelincisob).
9.b)Lamatrizdecoeficientesadecuadaes
[
.8-.1-.3]
-.15.75-.25
-.1-.05 1
Lasoluciónes quelaindustriaInece
sita
producir$537197.63;la industria
2,$466453.67,Yla3,$277042.45.
11.a)Matrizdecoeficientes:
Polinomio:
-2.3333x
2
+11.3333x- 10.
b)Matrizdecoeficientes:
[2!r::]
641641
Polinomio:
-1.4167x
3
+8.8333x
2
-
14.4167.\+5.

664 CAPÍTULO1
1.(O,O).
11.
(43x)_x
l11 4'
arbitraria.
7.(-4
7X
3
,
5X
3
)
..7'x),x)El?arbitrarIa.
9.(O,O).
13.(O,O,O,O).
17.(O,O,O).
19.k=95
11
21.
23.
F;ft[l~:'IZ HE:-:1:....•:-:I RADY.V2HEY.fI~T
I~~MV~f HEY.fI~'Y.'
{HOHECASDIR} {HOHECASDIFi} CASDIR}
s: 7:
I~¡
7: 6:
6:
5: 6:
5: 4: 5:
4: ~: 4:
~: :2: 3:
:2: 1:
[_:2
5
.1
9
0
0t~~-t:t00~: ~
2:
1:[:2.104.:20-~.500.~ 1:
[~:~tgg_:2-.1i06E6_~ ~
-5.90:2.709.S00.0REF4
_IImIIIDICJ:iII)~GIiJrn _IImIIIDICJ:iII)~GIiJrn _IImIIIDICJ:iII)~GIiJrn
Delaformaescalonadareducida setienequelamatriz aumentadaes(1O-1.66
0
0)
lo1-0.0023
dedondeseobtienecomosoluciones (I.66x),0.0023x),x
3
),x)El?arbitraria.
RADY.V2HEY.J;~'Y.' RADY.V2HEY.fiNT RADY.VZHEY.fiN'Y.'
{HOHECASDIR} <HOHECASDIR} <HOHECASDIR}
7: 6: 7:
6:
5: 6:
5: 4: 5:
4: ~: 4:
~: :2: ~:
:2: 1:[:25.00-16.001~.002:
1:
[:25.00
-16.001~.00 -16.00 ~.001.00~1:r'000.000.00 -0.~~
-16.00~.00 1.00~ 0.00-S.000.00 0.001.000.00-:2.0'~
0.00-S.000.00REF4 0.000.001.000.71
DII1I_IImIIIDICJ:iII)~ DII1I_IImIIIDICJ:iII)~ DII1I_IImIIIDICJ:iII)~
Delaformaescalonadareducida setienequelamatriz aumentadaes
[
1
OO -0.33-0.15O]
O1O -2.003.25O
OOI
0.71-0.10O
dedondeseobtienecomosoluciones(0.33x
4
,
O.l5x
s
' 2x
4
-
3.25x
s
' -0.71x+O.lOx
s
'
x
4
,
x
s)'
x
4
'Xs
El?arbitrarias.
MATLAB1.4
3.a)XI=6deCO
2
,
x
2
=6deHp,x)=
deC
6
H
I2
0
6
yx
4
=6de02"
b)Xl=15dePb(N
3
)2'x
2
=44de
Cr(Mn0
4
)2'x
3=22deCrp3'x
4=88
deMn0
2
,
X
s
=5dePbP4yx
6
=90de
NO.
---------_.._---_..__...__.-

Respuestasalosproblemasimpares 665
[
Oll
O]
59.lOlO
1lO1
OO1O
57.(A+B)+C=((a)+(b»+(e),pero
u 11 lJ
paracadai,j,lasumadeescalareses
asociativa,porloque(A+B)+C=(Ca)
lj
+(h..))+(e)=(a)+((h)+(e..))
y 1) 1J lJ lJ
=A+(B+C)
55.{:]~+[~]-[ J1~2A[~]
-A[_:]~2[:]-[~]~[ -~]
15.(3, 1,-5,2)
17.
(-8,12,4,20)
19.(34,
12,-3,48)
21.
(3,7,-32,2)
23.
(-2,1,10,5)
25.(-11,9,18,18)
27.[~1:]
-36
29.[-~ -~]
-6I
31.[=~=~~]
-9-4
33.[=~~ =~~]
-14 1
35.[-~ 1~]
-1510
37.[=~ -~~]
8-3
39.[ ~~ ~~]
-4420
45.[-~ -~ -~]
-1413-1
47.[-~-:-~]
21-202
49.[ ~ ~~ ~]
-742
51.[=~ =~ -~~]
-73 5
53.D=-A-B-C=[=~
-7
-1-5]
-5-lO
7-3
1 (13_11J
43.X=-(IIA-2B)= 2 2
2 9 2f
61.Loselementosde d+erepresentanlade
mandaparaloscuatrotiposdemateria
primasicadafábricavaa produciruna
unidad.
2deseltotaldelamateria prima
quenecesitalafábrica1 paraproducir2
unidades.

666 CAPíTULO1
MATLAB1.5
1.a)Unprogramaposiblees:
e
=-A(2,1)/A(I,I),
A(2,:)=A(2,:)+c*A(I,:)
c=-A(3,1)/A(I,I),
A(3,:)=A(3,:)+c*A(I,:)
c=-A(4,1)/A(I,I),
A(4,:)=A(4,:)+c*A(I,:)
Observequelacolumna2notienepi
vote.Elsiguientepivote
estáenlapo
sición(2,3).
c
=-A(3,3)/A(2,3),
A(3,:)
=A(3,:)+c*A(2,:)
c
=-A(4,3)/A(2,3),
A(4,:)=A(4,:)+c*A(2,:)
El
últimorenglóndecomandossein
cluyó
paraasegurarquelaposición
(4,3)sea enrealidadcero.Elsiguiente
pivote
estáenlaposición(3,4).
c
=-A(4,4)/A(3,4),
A(4,:)
=A(4,:)+c*A(3,:)
Nohaymáspivotes.Laformaescalo
nadaporrengloneses:
[
~ ~ -~ ~ -~]
OOO23
OOOOO
3.h)seA +B)=sA+sB
1.-14
3.
5.47
7.xy+yz+zx
9.Comoa¡22:Oentoncesa.a=a]2+a~
+...+a:2:O
11.-132
13.4
15.28
17.-48
19.(-~~ :~)
23.(-158)
-815
25.Noestádefinido
[
181535]
27.9 2113
1099
,-................_...__...""..uu••
29.(716)
[:
-2
::
31. O
1
[-:
-1
-:]
33. 3
-51
35.
(-~ -~)
37.[-~
-~]
B=
I
2
39.B~[
a
22
a" ]
a]]a
22
-a
2]a
2
]
a]]a
22
-a
2 ]a
2
]
a
2
]
a]]
a]]a
22
-a
2]a
2
]
a]]a
22
-a
2]a
2
]
41.a=darbitrarias,barbitrariae=O.

Respuestasa 105problemasimpares 667
49.Nosonortogonales
63.
G
2~J
OO1OO
OOO1O
65.A
2
=OOO O1
OO OOO
OOOOO
OOO 1O
OOOO
I
A
3
=OO OOO
OO OOO
OOOOO
OOOO1
OOOOO
A
4
=OOOOO A
5
=0
OOO OO
OOO OO
67.
PQ=[~0;j,cadacomponentees
95 5 5
menoralaunidadylasuma porrenglo
nes
es1.
(~ ~}=(~ ~J
(~ ~J=[~k
n=1
n=k
47.a)Hay2personasen elgrupo1,5per
sonasen
elgrupo2y7personasen el
grupo3.
b)AB =(21OI21 3J
O2O2 101
43.Utilizandoelprincipiodeinducciónma
temática:
=(alJ(a
k
kak-II=[ak+1(k+l)a
k
]
OaOa
k
)
O a
k
+I
45.Realizandolaoperaciónindicada sellega
alaconclusión.
51.Ortogonales
53.Ortogonales
4
55.a=5--~
5
[
1]
1.5
57.a)(2, 3,5,l);b); e)totaldehoras, 11.
0.5
2
69.Comocadaelementode PyQsonpositi
vos,loselementosde
PQsontodosposi
tivos.
SiPYQsonmatricesde nXn,sea
v
elvectorcolumnadedimensión ncon
cadaelementoigual
al;observequesi
AesunamatrizdenXn,lasumapor
renglóndesuselementos es1siysólosi
Av= v.Como(PQ)v= Pv=v,sepuede
observarque
PQesunamatrizdeproba
bilidad.
71.a)S2>S4>SI>S3;
b)Lacalificaciónes elnúmerodejuegos
ganados
poreljugadorimáslamitad
delosjuegosganadosdelosjugadores
queperdieroncon
eljugadori.
(
O
-8J
61.3232
73.Alrealizarlasoperacionesindicadas se
llegaalresultado.

668 CAPÍTULO1
75.[':
71
3~1
426
142 10
efO
r
ghO
77.
OO a
OOc
([2
~}
79.AB=
C+D
([2
OJ::::}AB=BABA=
C+D
[2
81.3683.30 85.57 87.
689
--
60 60
nI
93.I,ii
i=O
3(-ly+1X
2i
+
1
95.I,-'-------'-
i~O(2i+I)!
8
97.I,(2k-1)(2k+l)
k~I
7]
99.I,I,a
ii
i~Ij~I
44
101.I,I,a¡¡
i~2j~I
34
103.I,I,a
2ib¡¡ci5
i~1 i~1
5
91.I,(-3)'
i=O
105.
IV ll/
I,(a
k
-b
k
)=I,(a
k
+(-I)b
k
)
k~M k~M
107.
RADX'IZHE~ ~....'~' RADX'IZHE~ ~....
'~, RAD ~vz HE~ ~....'~'
{HúHECASDIR} {HúHECASDIR} {HúHECASDIR}
7: s. 7:
6:
4:
6:
s: 3:
s:
4: 2:11.234.695.21)4:
3: -1.08-3.96 8.573:
2: 6.28-s.31-4.272:
1:11.234.695.:21]1:
19.61-2.30]
1: r12.07-26.84)
-1.08-3.968.57 -8.060.69 44.42-45.07
6.28-5.31-4.27 2.67-5.23 91.754.22
om_.:DIII1l:.c:r:mlmnlom_.:DIII1l:.c:r:mlmnlom_.:DIII1l:.c:r:mlmnl
109.
tAOWIZ HE:~f;....'X'
{HOHECASDIFi}
7:
6:
a~
3:
tl123.2se·.319.6-31
18.9-9.617.4SU
30.8-17.9-14.4 28.
om_.:DIII1l:.c:r:mlmnl
2HEY.~....'Y.'
Cft$DIF;}
ZHEY.~....'Y.'
CASDIR}
111.A
AIO=
8:
7:
6:
s:
4:
3:
tl

RilO~VZ HE~ ~N .~.
{HúHECilSOIR}
Respuestasa losproblemasimpares 669
RilO~vz HE~ ~N .~.
{HúHECilSOIR}
ASO= AIOO=
MAllAB1.6
1.ABestádefinido;BAnoestádefinidoy
produceunmensajedeerror.
3.
EncontraráqueA(X+sZ)=B.
5.A=10*(2*rand(5,6)-I).Laexpresión
dadaseráigualacero demostrandoque
Axtienela interpretacióndeunacombi
naciónlinealdelascolumnasdeA.
Sedaunejemplodel programapara
introducirYdeunamanerasencilla:
y=zeros(5,8);
Y(I,[1
35])=[111]
Y(2,[347]) =[111]
Y(3,[1568]) =[111 1]
Y(4,8)=1
Y(5,[567])
=[111]
Lamatrizdecontactoindirectoentre
elgrupoIyel4:
7.(A+B)2=A2+2AB+B2sólopara
aquellosparesA yBqueconmuten.Su
gerenciaparalademostración:extiendala
multiplicación
(A+B)2.
~=[~ ~ ~ ~ ~ ~ ~
5314131
33 2]
232.
332
9.a)Elproductodematricestriangula
ressuperioreses triangularsuperior.
Sugerenciapara
lademostración:Su
pongaqueTySsontriangularessu
periores.Utilice
elhechodeque(TS)
y
esunasumadeelementosdelaforma
t¡kSkiyquet¡k=Osii>kySki=Osi
k>jparademostrarque(TS)¡¡=O
parai>j.
11.El patrónsecumple:
AA*BB-K =O.
13.a)Lamatrizdecontactoindirectodesea
daKesXYZ,dondeXesla matrizde
contactodelgrupo1conelgrupo2,y
eslamatriz
decontactoentreelgrupo
2yel3yZ entreelgrupo3yel4.
b)Nohaycerosen K,demaneraque
cadapersonadelgrupoItienecontac
toindirectocontodaslaspersonasdel
grupo4.
e)[111]*K producirálassumasde
lascolumnas,esdecir,
elnúmerototal
decontactosindirectosquetienecada
miembrodelgrupo4conelgrupol.
eltiene12contactos,elcualeselnú
meromásgrandeenlassumasdelas
columnas.
K*ones(10,1)
producirálassumasde
losrenglones,esdecir, elnúmerototal
decontactosindirectosde cadamiem
brodelgrupoIconelgrupo4.A3esla
máspeligrosapuestiene26 contactos
indirectos.

670 CAPÍTULO1
9.XI+X
2
-X
3 =7
4x¡-x
2+5x
3
=4
6x¡+x
2+3x
3
=20
11.2x¡+x
3
=2
-3x
l
+4x
2
=3
5x
2+5x
3
=5
13.XI=2
x
2
=3
x
3
=-5
x
4
=6
a(x)(c¡y¡+c
2yJ+b(x)(c¡Y
I+C
2
Y
2
)
=O,
agrupandoentérminosconY¡yY
2
,
c
I
(y¡+a(x)y¡+b(x)y¡)+c
2
(Y2+a(x)Y2
+b(X)Y2)
=O,perocomoY
I
yY
2sonsolu
ciones,
CI(O)+c
2
(0)=O=>O=O.
31.Sustituyendolascondicionesiniciales y(O)
=1=elcos(O)+c
2sen(O)=>c
l=1,y'(0)
=-1=-CIsen(O)+c
2
cosCO)=>c
2
=-l.
MATLAB1.1
15. 9x
3
=2
3x
2+7x
3
=-1
2x
I
+4x
2
+6x
3
=3
17.3x¡+x
2+5x
3
=6
2x
I
+3x
2+2x
3
=4
19.7x¡+2x
2
=1
3x
I+x
2=2
6x¡+9x
2
=3
21.x=(2,O)+x
2
(3,1)
23.x =(20'2~)
3'3'3
25.x=(2,O,0)+X
3
(-~, -~,1)
1.Paraelincisob),x¡=-2x
3
+x
4
+5yx
2
=-x
3
-x
4
-1;unejemplodesolución,
seleccionando
x
3
=-1Yx
4
=-2,esx =
[1;0;1;-2].DebeencontrarsequeAx=y
=b,loqueilustraquexesunasolución
alsistemadeecuaciones
cuyamatrizau
mentadaes[Ab],entoncesAx=bybes
unacombinaciónlinealdelas columnas
deAdondeloscoeficientesenla combi
naciónlinealsonlas componentesdex.
3.
Paraverificarqueunvectorwesunaso
lución,demuestre
queAw=b.
5.a)Seax
3
=1enlasolución XI=-x
3
'
x
2
=2x
3
,
x
4
=OconduceaO=x¡(col1)
+x
2
(col2) +x
3
(col3) +x/col4)
=-(col1)+2(coI2)+(col3),lo quea
suvezllevaacol3
=(col1)-2(col2).
27.
x=(-I,4,O,O)+(-3x
3
+5x
4
,
4x
3
-7x
4
,
29.Sustituyendoc¡Y
I
+C
2
Y
2
enlaecuación
diferencialsetiene (c¡Y
I
+c
2yJ'+
b)Lasoluciónes XI=-2x
3
+x
4
yx
2
=-x
3
-
x
4
·
Haciendox
3
=1Yx
4
=O
setienecol3
=2(col1)+(col2).
Haciendox
3
=OYx
4
=1setienecol
4
=-(col1)+(col2).
9.A-
I
=[-~
.l2.
35
1-1135 35
...L-2-
35 35
-~ -~1
O1
5.Noinvertible
7.
Noinvertible
3.
Noinvertible

13.Noinvertible
A-'+:
-}
~]
15.
}
O
A'~[:
1
-1]
17. -2-1
-1
} 1
19.Noinvertible
O1O
-~]
A-'~[ ~
-}-2
21.
}3
-223-2
23.Observeque 44...AA-loo.4
1
A-'=J.
.t~...~ 111m ...~I
Entoncesporelteorema8 ~~...A
m
es
invertibleconinversa A~I...~~-I
=(~A¿"A"t
25.SiA=±JentoncesA
2
=J.Sia
ll
=-a
22
y
a
21
a
l2=1-a:
1
entonces
Respuestasa
losproblemasimpares 671
invertible.Opuedeescribir
D-Idirecta
mentecomoen
elproblema32.
[
.1-.1l]2 6 30
33.A-
I
=O.1_..1-
3 15
OO ±
35.Sedemuestraelresultadoparaelcasode
que
Aseatriangularsuperior. Lademos
tración
paraunatriangularinferioressi
milar.Considere
elsistemahomogéneo
a
ll
a
l2
al] al."_[ al"
O a
22
a
23 a
2
,,,_1
a2"
OOO a
11-1,11-1
a
n-!.n
OO O O a
m
XI O
x
2 O
X
X
"-1
O
X O
"
Supongaque a
ll
,a
22
,oo.,aunsontodasdi
ferentesdecero.
Laúltimaecuaciónen el
sistemahomogéneoes a,,,,x,,=O,Ycomo
a,,,,-:1=O,XII=O.Lapenúltimaecuación es
a X+a X=0
11-1,11-111-1 n-I,11 11
27.Elsistema Bx=Otieneunnúmeroinfi
nitodesoluciones(por
elteorema1.4.1).
Pero
siBx=O,entoncesABx=O.Porlo
tanto,delteorema6[partes
i)yii)],ABno
esinvertible.
31.Sea
Dunamatrizdiagonal.Supongaque
Desinvertibleconinversa A.ComoAD
=J,entoncesai
ii
=1paracadai.Por
lotanto,loselementosdeladiagonalde
Dsondiferentesdecero.Elconverso,su
pongaque
di;-:1=Oparacadai.Entonces
laúnicasoluciónalproblema
Dx=Oes
lasolucióntrivial.Por
elteorema6,Des
29.[~:-:::n~1
supropiainversa.
estamatrizes
ya
n
_
l."_I-:1=O,X
n=Oimplicaque x"_I
=O.Demanerasimilar, seconcluyeque
XI=x
2
=oo.=x"_I=x"=O,porloque
laúnicasoluciónalsistemahomogéneoes
latrivial.Por
elteorema6[partes i)yii)],
Aesinvertible.Inversamente,supongaque
unadelascomponentesdeladiagonal,di
gamosa
ll
,esiguala O.Entonceselsistema
homogéneo
Ax=Otienelasolución
[Sia=Oconj-:1=1,entoncesseeligex
n
comoelvectorconun1enlaposición jy
Oencualquierotraparte.]Usandoelteo
rema6
otravez,seconcluyeque Anoes
invertible.

672 CAPÍTULO1
37.Cualquiermúltiplode (1,2)diferentede
cero.
39.M =1+F(Á!-AF)-IB
=B-I(IJ-AF)(IJ-AFrlB
+F(A]- AFr1B
=[B-I(Al-A- BF)+F](Al-ArrlB
=(B-IAl-B-IA-B-IBF+F}
(IJ-AFrlB
=(B-IIJ-B-1A)(AJ-AFr1B
=B-I(IJ-A)(IJ-AFrlB
49.
51.
53.
[~
2
~1;nve,tible2
O-1
[~
1-
-1:4]
2
1 noinvertible
O
[¡
O2
3]127..
noesIllvertlble
O1
lQ
7
OO O
entonces
Porlotanto
sedemuestraque:
43.4unidadesde
Ay5unidadesde B.
41.3sillasy 2mesas
55.1)Supongaque Aesinvertible.Enton
ces
Ax=Oimplicaque x=A-lO=O.
Cuandosereducelamatrizaumen
tada(AIO)asuformareducida por
renglonesseobtiene(JIO).Utilizando
lasmismasoperacioneselementales
porrenglonesllevan A~l.Elcon
verso,supongaque
Aesequivalente
porrenglonesa l.Escriba(A11)yre
duzca
porrenglonesAa1yseobtiene
(AI1)~(lIB). Porlotanto AB=l.
Queremosmostrarque BA=l.Essufi
cientemostrarque
BAx=xparacada
vector
xconnelementos.Observeque
Besequivalenteporrenglonesa J.Por
lotanto,
paracadax, sepuedeencon
trarunaytalqueBy=x.Porlotanto
BAx=BA(By)=B(AB)y=By=x.Por
lotanto,
Aesinvertible.
íz)Supongaque Aesinvertible.Supon
gaque
Ax=b=Ay.Premultiplicando
porA-
1
seobtieneA-I(Ax)=A-I(Ay).
Seconcluyequex =y.Elconverso,su
pongaque
elsistemaAx=btieneuna
soluciónúnica paracadavectorbde n
elementos.Estoimplicaque Aesequi
valente
porrenglonesa J.Porlotanto,
porelincisoi)Aesinvertible.
iil)Supongaque Aesinvertible.Por elin
ciso
i)Aesequivalenteporrenglones
alamatrizidentidad
J.1seencuen-
11 11
traenformaescalonadareducida por
renglonesytienenpivotes.Elconver
so,supongaque
unaformaescalonada
0.~171'
0.216
o10.27
1.276
-0~0171;
0.784
o
1.261
0.016
[
0.707O
=-0.0140.793
-0.044-0.Ql0
[
1.414
h)(I-Ar'=0.27
0.080
=[(Al-AFrlBr1[B-1(Al-A)rl
=B-1(Al-AF)(IJ-Ar
1
B.
matrizdeLeontiff=1-A
[
13213][18689]
x=(J-Ar17597=22598
1786 3615
(
1
1-)
47.O ~invertible
[
0.293O
matriz
45.a)t 1" A=0.0140.207
ecnooglca
0.0440.010

porrenglonesde Atienenpivotes.En
toncesla formaescalonadareducida
porrenglonesdelamatriz Aeslama
trizidentidad1".Porlotanto,lamatriz
Aesequivalenteporrenglonesala ma
trizJ".Porelincisoi)Aesinvertible.
57.
De (~: ~J(~~: ~~:J=(~~Jse
obtienenlassiguientesecuaciones:
A¡¡B¡¡
=1,
59.Lainversadela matrizes:
Respuestasalosproblemasimpares 673
+~2B22 =1.ResolviendoparaBuseob-
yB
22
=~~¡;porlotanto,
[[0.099858156028
[-0.101873971631
[0.143262411348-0.076501182033
0.272151300236
-0.67139479905
-0.076312056738]
-0.192056737589]
0.075177304965]].
61.Lainversadelamatrizes:
[[-1.697010536541.60958317276
[-.7939414928831.67786019382
[1.95621257025-0.200637557471
[-0.654423076042.641726876009
63.Lainversadelamatrizes:
2.30794647641
0.95194989580I
-0.462876267722
-.249248482807
1.41376091667]
0.261501231662]
0.357416829406]
.536103553562]]
[[0.333333333333
[O
[O
[O
-.208333333333
0.125
O
O
1.675
-.325
0.2
O
-1.42142857143]
0.578571428571]
-.114285714286]
-.142857142857]]
65.Losresultadosdelosproblemas 54y55sugierenquelainversade unamatriztriangular
superiorestriangularsuperior.
MATLAB1.8
3.ParademostrarqueAnoesinvertible,de
muestrequela
formaescalonadareducida
porrenglonesnoesigualalaidentidad.
Sugerenciaparademostración: siR
J
=
1.SeaS=R(:,[456]),dondeRseajustaa
la
formaescalonadareducidaporrenglo
nes.
DebetenersequeA*S =S*A,ambas
igualesala identidadySdebecoincidir
con¡nv(A).Setieneque
[
54
-23
S=-167
-73
-7~
2.
I
3R¡+5R
2
,
¿cuálseráelresultadofinalde
lassiguientesoperacionesconrenglones:
R]~R]- 3R¡seguidade R]~R]-5R/
5.a)Unamatriztriangularsuperioresno
invertiblesiunelementodeladia
gonalescero.Loselementosdela
diagonaldelainversade unamatriz
triangularsuperiorsonlosinversos
multiplicativosdeloselementosde
ladiagonaldelamatrizoriginal.Su
gerenciapara
lademostración:con
sidere[A1].Siprimeroserealizan
las
operacionesconrenglonespara
hacerunosenlasposicionespivote,
¿qué
creaesoenlapartedelama
trizaumentadacorrespondientean

674 CAPiTULO1
Argumenteporquéestasposiciones
no
cambianconlasotrasoperaciones
necesarias
conrenglones.
h)Todaslasmatricesdeestetiposonno
invertibles.
e)Paravectoresx conelementosdis
tintos,la
matrizVasociadaesinver
tibIe.
7.
e)Loselementosdelainversasongran
desy
sevuelvenmásgrandes cuandof
sehacemáspequeño,esdecircuando
lamatriz
seacercaasernoinvertible.
d)Laexactitudempeoracuandolamatriz
seacercaa unanoinvertibleyaquela
solucióncalculadaylasoluciónexacta
tienencadavezmenosdígitosiguales.
9.Multiplicando
porladerechaenefecto se
calcula(MA)A-
I
•
Elmensajedecodifica
dodice,"Areyouhavingfun",esdecir
"te
estásdivirtiendo".
19.Supongaque AesmXn.EntoncesA'es
n
Xm.EntoncesAA'estádefinidayes una
23.A' =-AYB'=-B.Entonces(A +B)'=
A'+B'=-A-B=-(A+B).Porlotan
toA+Besantisimétrica.
°
~::•••~::]unamatriz
° u
nn
triangularsuperior.Entonces
igualalelemento
jideAA'.Porlotan
to
AA'essimétrica.Otrapruebaesque
(AA')'
=(A')'A=AA',de modoqueAA'
essupropiatranspuesta porloqueAA'es
simétrica.
[
UII
Seau~!
esunamatriztriangularinferior.
n
matrizde mXm.Observeque Laika
jk
=
k~I
n
""a.a.Estoes,elelementoijdeAA'es
.t...jkIk
k~I
25.(AB)'=B'A'=(-B)(-A)=BA.ABes
simétricasiysólosi(AE)'=AB.Pero
(AB)'
=BA.Porloque ABessimétricasi
ysólo
siAyBconmutan.
21.
1.(-~ ~J
3.(~_~)
5.H~]
7.[~-~:]
9.[-~ -~ -~]
-374
11.(-~ ~ ~ ~J
13.[~ ~]
15.AA,=(3-lJ(31J=(1O0J
II3l-l3l°10;
A'A=(31)(3-1)=(100)
-1313 °10
17.Comoa=ayb=bparal:si:sny
1J JI 1) JI
1:sj:sn.Entoncesa+b=a..+b.Por
Ij IJ JI JI
lotantoA+Bessimétrica.

Respuestasa losproblemasimpares 675
Entonces,delteorema1.8.7, seveque
Al=A-l.
1.(ABY=HAI.
37.ü)Nosdiceque a
l1
a
21
+a
l2
a
22
=O.En
tonces
39.
41.
MATLAB1.9
-ll
8
.L
2
1
8
-ll
8
]
"2
1
8
29.AA
I
=[::::::J[:::::J
=[ al
2
1+al
2
2 alla~1+al~a22J=(1
a
1l
a
21
+a
l2
a
22
a
22
+a
21
O
PorlotantoAesinvertibleyA-'=Al
27.Elelementoijde(A-Al )/2es(a.-a ..)/2
IJ J1
Yelelementoji(ají-aij)/2=-(aij-a
j
)/2.
Porlotanto(A- Al)/2esantisimétrica.
33.
35.[1(A-AI)f=1(A
I
-
(Aln
=t(A
I
-
A)=-[1(A-Al)]
3.BYGsonsimétricas; esdecir,b=b.Y
1J JI
gij=gji"eesantisimétrica;esdecir,cij=
-c.
JI
Problemas1.10J;2á¡na130____ .~.
1.R]P~esunamatrizelemental.
[~
O
~] [~
-3
~]
17. 1 19. 1
3.~~R,+3~esunamatrizelemental.
O O
5.~~2~esunamatrizelemental.
[~
O
~] [~
l
~]
21. 1 23. O
7.
Senecesitandosoperaciones,R, -?3~Y
~~3~,noesunamatrizelemental.
O O
Senecesitandosoperaciones, R]pR
2
Y
[~
O
-~]U-~)
9.
~P~,noesunamatrizelemental.
25. 1 27.
O
11.Senecesitantresoperaciones, R]~R,
e~) (~ ~)
+3Rz;R, ~~+4R
3
;
~-?~ +2~,noes 29. 31.
unamatrizelemental.
13.R
4
~R
4
+~esunamatrizelemental.
[~
O
~] [~
O
-~]
33. 1 35. l
15.
R,~R]-~esunamatrizelemental. O O

676 CAPÍTULO1
[~
-2
~j [~
2
~~
(2°JC°JC°JC+J
53.
37. 1 39.1 01310+01
O O
l~
O
m:
O
%
1
~j
41.
(~-n
43.
(~ ~J
55. 1 2 1
O O O
[~ ~] [~ ~] [~
O
-m~
O-Jo0]
O O
x 1 1OO1 ~
45. 1 47. 1
O O1OO1
O O
[j ~][j ~]
l~
o
mi
o
mi
o
-~]
o-1 OO
57. 1
1 1
1O 1O
49.
51. O -1 O
O1 31
OO OO
xl:
o
%
o
-:]
1 1
O O
59.A~[~
O
m
O
m
O
m
O
~]
1 1 1 1
O O 1 O
A~[~
oo
m
Oo
m
1-
O
m
Oo
m
OO
~]H
2
1O 2O 1O 1O 1
1-
61.
2
O1 O 1 O1 O2 O1
OO OO OO OO OO
[j
O
1-
m
OO
m
OO
m
OO
-m
OO
~¡
4
1O 1O 1O 1O 1O
O1 O1 O1 O1 O1
OO OO OO OO OO
(
a
0J(10J(1b/aJ
63.O1O cOI;lasprimerasdos
matricessonelementalesporque
a*OY
c*O.
65.Loscasosde2 X2Y3x3sonlosresultados
delosproblemas
63y64.Enlarespuesta
alproblema1.8.35
seprobóesteresultado.
Sepuededarotrapruebademostrando,
comoenlosproblemas
63y64,que Ase
puedeescribircomo elproductodematri
ceselementales.Elpasoclave esreducirA
al,observandoquecuando sedivide,sólo
sehaceentrelosnúmerosenladiagonal,
quesondiferentesdecero
porsuposición.
67.Alestriangularsuperior,demaneraque
(Alt
l
estriangularsuperior porelresulta
dodelproblema
52.Pero(Alt
1
=(A-I)',
demaneraque (A-
I
)'estriangularsupe
rior,
loquesignificaque A-I=[(A-
I
)']'
es
triangularinferior.
69.Sea
B=A.YD=AA.Entonceslacom-
IJ !J
ponentekr-ésima, d
kl
,
deDestádadapor
n
d
kr=Lbk1a1r
I~I
Sik*j,elrenglónkdeBeselrenglónk
delaidentidad,porloqueb
kl
=1si1=k
YOdeotramanera.Entonces

sik*}
sik=},entonces
{
l'si1=}
b
jt
=e,si1=i
0,deotramanem
y(*)seconvierteen
a.=bao+b.a=
JI" 11.Ir JIIr
a+ea
JI" Jrx
Así,cadacomponenteenelrenglón jde
AAeslasumadelascomponentesco-
u
rrespondientesenelrenglón}deAyeve-
ceslas
componentescorrespondientesen
elrenglón
ideA.
71.G~)( ~ ~)
73.A=(~ ~JG ~J(~ -I~J.
75.[~ ~m~ ~]
[~:m -~ ~]
77.[~ ~ ~]U ~m~ ~]
[~!~][~ ~ ~]
MAlLAB1.10
1.a),)F=eye(4);F(3,3) =4
il)F=eye(4);F(I,2)=-3
iil)F=eye(4);F([14]),:) =
F([41],:)
h)1)Lainversaesla identidadexcepto
por*enlaposición(3,3).
il)Lainversaeslaidentidadexcepto
por3enlaposición (1,2).
iil)Lainversade Feslamisma F.
Respuestasalosproblemasimpares 677
3.a)Sedaunejemplode programa.Algu
nospasospueden nosernecesarios
paraestamatrizen particularperose
incluyen
paraqueseacompleto.
U=A;
Fl=eye(3);
Fl(2,1)=-U(2,1)/U(I,I),
U=Fl*U
F2=eye(3);
F2(3,1)
=-U(3,1)/U(I,I),
U=F2*U
F3=eye(3);
F3(3,2)
=-U(3,2)/U(2,2),
U
=F3*U
L=inv(Fl)*inv(F2)*inv(F3)
u=(~-~ ~]yL=(~ ~ ~]
lo°-1 l2OI
LamatrizLestriangularinferiorcon
unosenladiagonal.Elelemento(1,
2)deLeselnegativodel elemento
(1,2)enFIycontieneelnegativodel
primermultiplicadorusadoysupo
sicióndice quéelementosehizocero.
El
elemento(1,3)deLeselnegativo
del
elemento(1,3)deF2yelelemen
to(3,2)de Leselnegativodel(3, 2)
deBo
~U~[¡
2 7 3
7.3333
-8.3333 O
O
-1.5 3
O O 26.8182
Y
I
O O O
1.3333I O O
L=
1.6667.5 l O
.6667.9091-7.93941
Elprogramaessimilarexcepto que
lasmatriceselementales sonde4 X-l
Ysenecesitan máspasosenlaredu
ción.

27.a)
678 CAPiTULO1
Problemas1.11,página147
(
I
0J(-I5J
3.-6IO 33
[1OT
3
-~]
5.A=-t1OO
2
2
~lfIOO
_li
7
A=[i
O
m
1
-:]
7.
] ]
O O-]
[~
OO
m
2-]
-l~]
9.
IO -15
I
1 O-2
34 OO 24
A{
OO
m
-]5
8]
]O -]1-4
29.
11.
-3I O-3-]6
I
1.
OO
32
3 ""3
13.A=[:
OO
m
3-1 6
IO ]4-11
-18I O -3594
O-4
-.1 OO
11.
5 5
17.(--?'34,5)
L=[~
OO
~]
IO
.1I
2
-1
1.
7
u=[~
O3
-:]
4-1
O
2
2
OO
II
7
p=[r
O]
~]
IO
OO
O
O
b)(73 4 53_7)
162:81'54' 162
L=[~ ~ ::].
OOI O'
-~-1.-~I
) 5 5
u=[~ -~ =~ ~].
OO -5]'
OOO 11;
p=[~r~ ~]
19x=(ll.l.l_L
34)1
• 51 51
21.x=(-565..i.l!!2.1l)1
1006 72252 72
L=[~
O
~] U~[~
25.a) 1
1.
3
p=[~
O
~]
]
O
b)(_.1_2.1)
2'2'2
x=(-.12.....L_..i.)1
7 91 91 91
31.Sea B=LM,b¡¡=tl¡kmki'ComoLyM
k~1
sontriangularesinferiores conunosenla
diagonalprincipal,
setienenlassiguientes
condiciones:
l¡k=Osik>i,m¡k=Osii>k,
l¡¡=1sim¡¡=1.Porloquesik>ioi>k
tenemosl¡kmki=O.Sik=isetienel¡¡m¡¡=1.
"
Demodoque b¡¡=L(kmk¡=1.Porotro
" k =1
lado,bij=Ll¡kmkj'mkj=Osij>k,(k=O
k~1
sik>i.Supongaquej>i.Sik:si,en-
tonces
k<jyporlotantom
kj
=O.Si

k>ientonceslik=o.Entoncessij>i,
likmkj=OYporlotantobij=o.Porloque
LMesunamatriztriangularinferiorcon
unosenladiagonalprincipal.
A+~
O
~r:
21:
33. 1 OO, XEl!
-4x OO
35.A=U ~)(~ ~J
A~[-~
OO
~r~
14
6]1O 18 14
37.
3] O-23
-3~
-]4] O O
[1OOT
-1
-~1
t1OOO
1 1-
39. 2 2
f11 OOOO
22e] OOO
dondee escualquiernúmeroreal.
L~[=¡
OO
~]
1O
41.
~ ]
10
_.f. 1- 2
3
5 "3
[-~
-13
lO]~ 1 1Q.
U=
3 3 3•
OO
-§.O'
5
OOOO
Respuestasalosproblemasimpares 679
p=[~ ~ ~ ~].
]OOO'
O1OO
x=(-t
12...L_ir
91 91 91
L~H
O
~J
u~l:r
43. 1
_.f.
3
L+
O
n
45. l
11
6
~~[:
-12
-i:
1
5
2
O
li
3
lOOOO
-11OOO
47.L=2
-11OO,jEl!;
8
-]1-º--1O
4 23
-4
.2-.2.-
j1
8 23
-121
O86
U= OO n.
4
OOO
OOO
49.LafactorizaciónLdelamatrizda porresultado:
[[16
[4
[13
[2
O
10.75
-2.0625
-1.625
O
O
14.9534883721
8.72093023256O ]
O ]
O ]
8.29237947123]]
LafactorizaciónUdelamatrizda porresultado:
[[l
[O
[O
[O
.3125
1
O
O
-.5
1.67441860465
l
O
.25 ]
-.837209302326]
-.132192846034]
1 ]]

680 CAPÍTULO1
ylamatrizde permutacióndacomoresultado:
([O
[O
[O
[1
O
1
O
O
o
O
1
O
1]
O]
O]
O]]
o
O
79.5154639175
19.5967252881
24.2302405498
V,P)delamatriz, encontramosqueL51.Despuésdehacerlafactorización LV(A,L,
(ENTER)da:
[[71O
[3569.676056338
[1438.0704225352
[1414.0704225352
[2324.9014084507
O
O
O
-33.4575239664
-31.3474653183
O ]
O ]
O ],
O ]
14.7770382416]]
V(ENTER)da:
[[1 -.647887323944
[O 1
[OO
[OO
[OO
.830985915493
-1.57994744289
1
O
O
.915492957746
-.129775621589
.227926876702
1
O
-.30985915493]
-.561956741459]
1.48061713989]
.112687668795]
1 ]]
[[OO1O O]
[OOO1 O]
Ylamatrizde permutaciónP(ENTER)da:[O OOO 1]
[O lOO O]
[1OOO O]]
53.Despuésdehacerlafactorización LV(A,L, V,P)delamatriz, encontramosqueL
([1OOOO] [[12 OO O]
[O5OO O] [O1 1.2.2O]
(ENTER)da:[1O3O O].V(ENTER)da:[OO1O O]Yla
[OOO5
O] [OOO11.2]
[OO23-
1.6]] [OOOO1 ]]
[[10OOO]
[001OO]
matrizde
permutaciónP(ENTER)da:[O1OO O]
[OOOO 1]
[OO O 1O
]]
MATLAB1.11
1.Elprogramaseríaelmismo queenelpro
blema
3a)deMATLAB1.10:
L=[1.2~ ~~]
.5-41
3.Consultelainterpretaciónen
elproblema
3de
MATLAB1.10.Elprograma esmuy
similarexceptoque
senecesitanseisma
triceselementales
paracompletarlareduc
cióny
cadamatrizelemental esde4 X4.

Respuestasa losproblemasimpares 681
problemas1.12;;@.gina158
[r
11
~]
11 O2O
OO OO
1O1
1.
1O 9.A
2
=O1211· Porlotanto
OO 2111 O
l211 O
OO
lOO
existen212-cadenas.
1
OO lO
O
l312
3.
O1O1O
2111 O
11l O1
A
3
= ·Porlotanto3223 I
°
1
°°°
I3321
12231
2 existen423-cadenas.
5.
53341
l332l
J~
A
4
=35743· Porlotanto
44462
3 4
335 43
existen
864-cadenas.
2
11.DadoelcaminoredundantedelvérticeA
alvérticeB,esposibleconstruiruncami-
7.
nomáscortodesdeAhastaBsiseevita
pasarmásdeunavezporcualquiervérti-
ce.Porlotanto,elcaminomáscortoque
unea
dosvérticesnoesredundante.
13.Dominanciadirecta:PIsobreP
2
;
P
3
sobre
5
PI'P
s
'
P
6
;
P
s
sobreP
4
;
yP
6
sobreP
2
,
P
4
.
Dominanciaindirecta:P
3
sobreP
2
,
P4'
E'erciciosdere ¡na164
1.(t,lf)
17.(0,0,0,O)
3.Nohaysolución
[-6
1~]5.(-1/3,0,7/3)
19. ~
7.(O,O,O)
[16
2
-~]
92 17 38
21.-2010
9.XI=83'
X=--X=--
283'3 83
-36816
11.(O,O,O)
6[:
-1][-4'][14
-JI
13.(O,O)
23.
-;-2 ~
-3-1 - ~
15.(0,2,-1,3)
-1 6-10

682 CAPÍTULO1
39.(~ ~Jnoexisteinversa.
41.[-~ ~_~I~[~ -~ _~I
24-3j O9 -3j
~[:-:~~}
25.[-~ ~:i[~-;~i
1O6j-735j
=[=~; :~ ~~]
-421732
27.(910)
3032
29.Formaescalonadareducida porrenglo
nes.
37.(~i);lainversaes (~ -~J.
1 )) ))
31.Estáenformaescalonada porrenglones. noesinvertible.
-12
2O
3-1
-2]
-1
I
O2] [1-±
I1;lainversaes; ±
OI -i-t
porelproblema43,
[
54
-12)
[1=~ 24 -6
-1-26
43.[i
-12
I2
5-5
33.Formaescalonadareducida porrenglo
nes.
35.[-i
~[i
~[~-; ~ ~]
OO -15-42
~[:-:~}]
(Formaescalonadaporrenglones)
~[: ~ ~:j]
OO
(Formaescalonadareducidaporrenglones)
~O
OO_1
5
O7
5
14
5
[
2
-1]
49. ~ ~;ninguna
51.
(_~ -~J=(_~ -~}lamatrizes
simétrica

69.(20)(10)(1-tJ
O1-4IOO
[
O
-5-6]
53.A' =5O -4;Aesantisimétrica.
640
Respuestasalosproblemasimpares 683
[~
O
m
-2
5J71. 1 -1-3.
-5 O
-27'
e6 7 29)
27' 9' 27
L~[¡
O
n
73. I
_2.
4
U=[¡
5
-¡J
4
"3
O
p~[~
1
n(-47,19,'elo
o
[r
Io
r]
75.
o1
OO
1O
77.
~ ~];simétrica
3-8
-89
59.[~
2
~]
1
O
61.[~
O
~J
1
O
63.(~ -~J
65.[~
O
-~~
1
O
67.e0](1°Jx(1~)C-tJ
OI -1IO 2"O1
[
1
-1
-12
55.45
67
CAPíTULO2
problemas2.1á¡na177 , _
entonces
detA=aa"'Q
1122 /11I
YdetB=b
ii
b
22
···b"".Porotrolado
donde
*representatérminosquenojuegan
unpapelimportanteen
lademostración.
porloquedetAB=Qllbllaccbcc"'Q""bml=
(a
i1
Q
22···Q",,)(b
11
b
22
···b
m
,)
=(detAXdetB).
[
Qllbii*
O Q22b22
AB= .
O O
7.45.2
13.-96
:1"]2"
a""
al"]
a2"
...a
Jln
[
a
o
ll
al2
a
22
yB=:
OO
1.-10
9.-8
3.-9
11.126
[
allal2
Oa
22
15.Sea A= ~ ~

684 CAPÍTULO2
17.ComoAestriangular,detA= a
1l
a
22
..·a
nn
.
Entoncesdet Ao/-Osiysólosia¡¡o/-Opara
1:::;i:::;n.Estoes,detAo/-Osiysólosilos
elementosdeladiagonalde
Asondife
rentesdecero.
19.Eláreagenerada
porlosvectores"1' "2
esI(ulu
2 )1,eláreagenerada porVI'v
2es
I(V
Iv2)1=I(Aul Au2)1=IA(uI
uJ
=IAII(UI"2)1·
21.31202
23.0.0879836
MATLAB2.1
1.Aesinvertiblesidet(A)o/-OYesnoinver
tibie
sidet(A)=O.Lasmatricesconstrui
dasen
elincisobii)nuncasoninvertibles
ylosdeterminantesseráncero(considere
quelosnúmerosmuypequeñossoncero
debidoaerroresderedondeo).
3.det(A+B)
o/-det(A)+det(B)
5.
det(A-
I
)
=l/det(A).Sugerencia:useAA-I
= 1 Ysaquedeterminantesenamboslados.
7.a)det(M)= det(A)det(D)
b)
det(M)= det(A)det(D)det(F).
1.28 3.-12 5.-55
7.32 9.-25 11.-18
13.-260 15.1 17.O
19.abcd 21.a
2d2-b
2
c
2 23.66
25.-480 27.-8 29.-8
31.-240 33.-16 35.-16
37.Se pruebautilizandoinducción. Sin=2,
entonces1
1
+XIx
2
I= 1+XI+x
2
•
XI1+x
2
Supongaque paran=k-1,eldetermi
nantees1+XI+...+x
k
_l'Entoncesres
tandoelsegundorenglóndelprimero,
l+x
l
x
2
x
3
x
n
XI 1+x
2
x
3
x
n
XI x
2
1+x
3
x
n
sesumalaprimeracolumnaalasegunda
O O O
XI1+XI+x
2
x
3
X
n
XI XI+x
2
1+x
3
X
n
XI XI+x
2
x
3
l+x
n
1+XI+x
2
x
3
X
n
XI
+x
2
1+x
3
X
n
=1
XI+x
2
x
J
1+x
n
=l+x
l
+x
2
+,,,+x
n
'
Porlahipótesisdeinducción sellegaala
conclusión.
all
a
l2
a
ln
39.DadoIAI=
a
21
a
22
a
2n
Sumemos
a
nl
a
n2
a
nn
losrenglones
1,2,...,n-
I
alrenglónn,en-
I I
a21
toncesseobtieneA= :
-1 O O
XI1+x
2
x
3
x
n
=XIx
2
1+x
3
x
n
1+XII
alla
l2
a
ln
=
a
21
a
22
a
2n
=0
O O O

41.Sinesimpar,entonces detA=(-1)"x
detA=-detA,porlotantodet A=O.
1XIY¡
43.~Ix
2Y2
2
1
x
3Y3
=~IX2-XIx3-X¡I
2Y
2
- Y¡Y
3
-
Y¡
Observelasfigurassiguientes:
y
--+----------l~ x
O
Respuestasalosproblemasimpares 685
y
,
,
,
,
,
,
,
'(x
3
-
X¡'Y3-Y¡)
--fo"::::....-------...X
o
EláreaAdeltriánguloeslamitaddeláreadel
paralelogramogeneradoporlosvectores
"¡y
"2que,por elresultadodelproblema2.1.19
estádada
por
X-xI3 I
Y
3
-Y¡
1/-1
h)Utilizandoinducción.Para elcason=2,D
2
=a
2
-
al·SupongaD
n
_1=I1(a
j
-
a).
i=1
j>i
Entonces
a
-a
n ¡
a
2
-aa
n In

686 CAPÍTULO2
a
2a
3 a
"
2 2
a,~=(a-a)...(a-a)a
2a
32 I n 1
11-2 1/-2 11-2
a
2a
3 a"
=(a-a)...(a-a)D=(a-a)...(a-a)I1"-'(a.-a)=I1"(a.-a.)
2 I 11 1 11-1 2 I 11 1 J 1 J I
j=1 i=l
j>i j>i
diagonalylascomponentesdeladiagonal
sequedanigualcuando seobtienelatrans
puesta.Así
QI=Q.Ahora,siPesunama
trizdepermutación,entonces
P=P"P
II
-I...P
2
P,
dondecada Piesunamatrizdepermuta
ciónelemental.Entonces,por
elteorema1:
detP=detP"detP,,_,... detP
2
detPI
=(-1)"p<;>relresultadodelproblema 52.
Además,porelteorema1.9.lii)
O4]
OO :f.O.
OO
J
2
2 .
O
=OY2eslamenorpotencIa.
[
O1
3]2[O
ciayaqueOO4 =O
OOO O
(~
b)[~ ~ ~]3 =OY3eslamenorpaten-
aaa
49.a)
51.Porelteorema4 setienedet A
2
=detAX
detA=detA.SidetA*-a,entoncesdet A
=l.Larespuesta esOol.
53.Sea
Qunamatrizdepermutaciónelemental
demaneraque
Qseobtieneintercambian
dodosrenglones,eliYel),de 1.Elrenglón
)de
Jtieneun1enlacolumna),asíque el
renglónideQtieneun1enlacolumna j.
Esdecir,Q..=l.Similarmente,Q=l.En-
JI lJ
toncesQ..=Q...Lasúnicascomponentes
IJ JI
diferentesdecerode Qsonlosunosenla
pi=P/P;P':-IP':
=~~p"-,p,,
Asípiesunamatrizdepermutacióny
comoantes,
det
pi=(-1)"=detP
MATLAB2.2
1.det(kA)=k"det(A),donde AesdenXn.
Sugerencia:enkAsemultíplicacadauno
delosnrenglonesde Apork.
detE=edetJ=e
det
EB=edetB=detEdetBy3.EBeslamatrizobtenida almultiplicarel
renglónideBporc.Porlapropiedad 2,
P~~1.J.1~.I.!'.!'IJ~ ..~~~,_..p-ªgjn-ª...?g4.____. ____.._. __.._.. _._._.~_
1.EBeslamatrizobtenidaal permutardos det EB=edetB.Eeslamatrizobtenida
renglonesde
B.Porlapropiedad4,det almultiplicar elrenglónide1porc.En-
EB=-detB.Porelproblema2.2.42,det tonces
E=-l.Entonces-detB=detEdetB.
3.detA=O;lamatriznoesinvertible.
[
Jf
5.-lf
2.
4
-+-t]
.1 1
2 8
a_.1
4
7.[~ ;-;]
O¡-+
9.[ ~ -~ =~]
-1I1

13.detA=O;lamatriznoesinvertible.
11.detA=O;lamatriznoesinvertible.
15.U-j
O2
-22
3
-3
3-2
Respuestasalosproblemasimpares 687
cosesene0j
23.det -senecoseO=cos
2
e+sen2e=L
oo 1
\:j,porlotantolamatriztieneinversaque es
[-::~: :~:T~[:~: -::~: ~J
-]1(5-IJ.1
17.detA=3,A=- detA=-
3-2l' 3
21.Porelteorema2,(A)(adjA)=(detA)I.
Porelteorema4detA=O.Porlotanto
(A)(adjA) eslamatrizcero.
detA
19.
detA=-28,A-]=-~[~~ =~
28
-2-2
1 1
detA=--=--oProblema15.
28detA
-916.,
5
MATLAB2.4
1.Paran<m,esdecir,máscolumnasque
renglones,det(AIA)=O(o muypequeño
debidoaerroresderedondeo),así,AlAes
noinvertible.Paran>m,esdecir,más
renglonesquecolumnas,AlApuedeser
invertible.
3.
S~tienequelaformaescalonadareduci
daporrenglonesde Aeslaidentidadpor
loqueAesinvertible,aunque,porcons
trucción,
estámuycercadeser noinverti
ble.Setiene
quedet(A)=6.55,quenoes
cercanoacero.
MATLAB2.5
1.Utilizandoelprogramadelproblemase
observaquelaregladeCramernecesita
mástiempopararesolverelproblemaque
ladescomposiciónLU.
21.XI=23,x
2
=12,x
3
=-15
1.-4 3.3 5.60
7.-65 9.34 11. 1(-~=;J
13.[~ ~-~1 15.[ ~-~ -~1
-3O4 -111
11
19.XI=7'
1
X=-
27
17.Lamatriznotieneinversa
23.
22
X=-
I13'
94
X=
213'
6
X=--
3 13'
63
x:=-
~413

688 CAPÍTULO3
CAPíTULO3
Problemas3.1,página228
1./vi=4h,e=~
4
e=71t
4
21.!(1/h)i+ (1/h)jl
(l/hf+(I/hf
=1
13.!vi=/5,e=1.1071rad
5.
/vi=ji,e=-0.8571rad
15.
!vi=.J89,e=-0.9048rad
b
~a2+b
2
Direccióndelul=tan-1 =
a
~a2+b
2
tan-
I
(~)=direccióndev.
e=~
3
7./vi=2,
9.!vi=2,
e=21t
3
11.Ivl=JO,e=0.5880rad
17.a)(6,9)
y
25_1_(4i-6j)
'J52
(6,9)
27.Ivl=5u=v/lvl=(-3/5)i+(4/5)j
1
~+------+x
O
29..(1/h)i+(1/h)jsia>O;
-(l/h)i-(l/h)jsia<O
h)(-3,7)
31.sene=- 3/JO,cose=2/JO
y
1 4
33.sene=--,cose=-
J17 J17
(-3,7)
---......,l.I-+---+x
Observequeladirecciónde v=dirección
de
u-1t.
19.a)u+v=i+7j,
h)u-v=-7i-3j,
e)v-u=7i+3j,
d)-2u+3v=18i+ lIj,
e)2u-3v=-18i-llj,
f)u+2v=5i+12j.
39.
b:(3i+8j)
....;73
41.IpQI=~(c+a-c/ +(d+b-d/
=~a2+b
2

Respuestasa losproblemasimpares 689
43.v =(3COS1r/6,3senrc/6)=(3J3/2,3/2)
47.(0,2)
49.Seau =(u
I
,
u
2
)
yv=(vI'vJMuestreque
u
jVI+Uzv2
:5 (u~+u~)( v~+v~)elevando
ambosladosalcuadrado.Acontinuación
+(U
2
+V
2
)2
2 Z2(+)+ 2+2
=U
I+U
2+UIV
I
U
2
VZ
VI Vz
:5lul
2
+2(U¡2+U~)(V
I
Z+V~)+Ivl
Z
Alsacarlasraícescuadradas, seobtiene
lu+vi:5lu[+Ivl·
Asegurarsequelacalculadoraestéenmodo
decoordenadascilíndricas,esto
sepuede
garantizarconlasiguientesecuencia
51.
53.
55.
57.
59.
61.
RADR.ZHEXfiN'X' RADR.ZHEXfiN'X' PRG
{HOHECASDIR} {HOHECASDIR}
J.
8'
7'
6'
5'
~,
3'
2'
l'
(1.7352.~37) (2.~~15203~~25, o.~52101203~37)
GmmI!_____
1mD!ilim:l:mmallm!lmIJ
RADRoZHEXfiN•X' RADR.ZHEXfiN'X' PRG
{HOHECASDIR} {HOHECASDIR}
J.
8'
7'
6,
5'
~,
3'
2'
l'
(-1.7352.~37H (2.~H5203~~25,.2 .18~~~1~5015)
GmmI!_____
1mD!ilim:l:mmallm!lmIJ
RADR.ZHEXfiN'X' fl;¡:a[Jf'iÁZH[X~....')e' PRG
{HOHECASDIR} {HOHECASDIR}
J.
8'
7'
6'
5'
~,
3'
2'
1,
(-58~~) (11".7388338n,02.10075283072)
GmmI!_____
1mD!ilim:l:mmallm!lmIJ
RADR.ZHEXfiN'X' RADR.ZHEXfiN•X' PRG
{HOHECASDIR} {HOHECASDIR}
J.
8'
7'
6'
5'
~,
3'
2'
l'
(58~~) ~ (lH.7388338n,d.0~08n82287)
GmmI!_____
1mD!ilim:l:mmallm!lmIJ
RADRoZHEXfiN•X' RADR.ZHEKfiN'X' PRG
{HOHECASDIR} {HOHECASDIR}
r
7,
6'
5'
~,
3'
2'
l'
(O.01~68-O.08517) ~ ~8.6~258717052E-2, .-1.~0011222~~ ..
GmmI!_____
1mD!ilim:l:mmallm!lmIJ
RADR.ZHEXfiN'X' RADR.ZHEXfiN• X' PRG
{HOHECASDIR} {HOHECASDIR}
J.
8'
7'
6'
5'
~,
3'
2'
l'
(-0.OH68-o.08517)~ ~8.6~25871705ZE-2, .-1.7~1~80"Z"1 ..
GmmI!_____
1mD!ilim:l:mmallm!lmIJ

690 CAPíTULO3
MAllAB3.1
1.a)
1)norma=5.6569,
dirección
=0.7854
3)
norma=2.6458,
dirección
=-0.85707
5)norma=5.6569,
dirección
=-2.3562
7)norma=2,
dirección=0.5236
9)
norma=2.6458,
dirección
=2.4279
11)norma=2,
dirección=-1.0472
13)norma=2,
dirección=-2.0944
15)norma=2.2361,
dirección
=1.1071
b)
52)norma=2.9915,
dirección
=-0.9521
54)norma=2.9915,
dirección
=-2.1895
56)norma=114.74,
dirección
=-2.1008
58)
norma=114.74,
dirección
=-1.0408
60)
norma=0.086426,
dirección
=1.4001
62)
norma=0.086426,
dirección
=1.7415
problema~ 3.2á¡na2~__...__.._.....,"........
2-8-6 -4-2 O
6- -..,.--- -1---- r--- -.---- ---,
5---,---:---- ~--- ~------- ~
4 ' , I I ~
3
---~--- I--V-~---~---- -!,
---1--- -,------- -1----
2----i----:----r---:-------~
1---~----:----+---- ------~
O1--_-';-'__.;-'--:-'---;---:::.r--:'
t I I U I
-1 1 ' 1 ' J
I 1 I I I
-2 J ' L J____ J
I I I I 1
-3"---_..L-_--"-_--'-_--'-_-'"-------"
-10
II
3.u.v =-11,coscp=-r:::::::""-0.9648
-v130
5.u.v
=(a)(O)+(O)(~)=O; cos<p=O
1.O;O
7.20; ~
9.-22;-22/5153
11.u·v=a~-~a=O
13.Paralelos
y
(3,5)
-----+'+-.....x
(-6,-10)
II
15.u·v=-36,cos <p=- r:::::::""-0.9231,los
-v130
vectoresnosonniparalelosni ortogona
les.
17.u·v=(2)(-6)+(3)(4)=O=}cos<p=O=}
<p=rr/2=}uyvsonortogonales.
19.v
=-u/2=}uyvsonparalelos.
21.a)-~b)te)t
ti)(-96+~7500)/78""-0.12
4 .
23.a)a=-7,b)a=-,c)NoeXIsteaE1)
7
conlaquesepuedaresolverelproblema,
ti)a=3
2
7(56±53../3)
25.
Dadoqueel componentejdeuesposi
tivo
yelcomponentejdevesnegativo,
esimposiblequeu
yvtenganlamisma
dirección.

27
-5('.)-5,
5.
·proy"u =21+J=2
1
-"2J
29.O
31
95,133,
•proyU=--I--J
" 74 74
33
· 5(2'
3')10,15,
·proyu =- 1+J=- 1+-J
"13 13 13
35,[(o.+~)/2]i+[(o.+~)/2]j
37
16.24.
·proyu =-1--J
" 13 13
39.proY"u =o.~~(i+j)
41.Paraquevyproy,.utengandirecciones
opuestas,senecesitaquea
l
a
2
+b
1
b
2
<O
Respuestasa losproblemasimpares 691
~ ~
43.PQ =3i+j;RS=9i+2j;
~RS 29(3'.) 87,29,
proy~=- 1+J=- 1+-J
PQ 10 10 lO
~PQ 29(9'2')261,58,
proy~ =- 1+J=-1+- J.
RS 85 85 85
45.
Supongaqueuyvsonortogonales.En
u·v
tonces<p=rr./2.Portantocos(rr./2)=--
lullvl
=O~u.v =O.Supongaqueu'v=O.Por
tanto,cos<p=O~<p=rr./2~uyvsonor
togonales.
47,El
vectordedireccióndelalineaes v=~i
a
e.E abb'.
--J.ntonces-v=1-aJ=u~ues
be·
paraleloalalineaax+by+e=O.
49.Sean A,E,Clasrepresentaciones delospuntos(al'b),(a
2
,
b
2
)
y(a
3
,b
3
)
respectivamente.
También,sean
A,EYClasrepresentaciones delosángulosenlosvérticescorrespondientes.
AB=(a
2
-
al)i+(b
2
-b
l
)
j;AC=(a
3
-
al)i+(b
3
-b
l
)
j;
(a
2
-
al)(a
3
-
al)+(b
2
-
b
l
)
(b.-b
l
)
cosA= >
~(a2-aJ+(b2-bJ~(a3-alt+(b3-bJ
DemanerasimilarcosB= (al-a2)(a3-a2)+(b¡-b2)(b3-b2)
,
~(al-aS+(b¡-bS~(a3-aS+(b
3
-bS
(al-aJ(a
2
-
a
3
)
+(b¡-b
3
)(b
2
-b
3
)
YcosC= .
~(al-aS+(bl-bS~(a2-aS+(b2-bS
51.Seany=mx+ey(a,b)unalineanoverticalencualquierpunto.Sea(x,y)cualquier
puntoenlalinea.Paraminimizarladistanciaentre(a,b)ylalinea,minimiced=(x-a)2
+(y-bY
2 2 a+bm-cm
d=(x-a)+(mx+e-b).d'=2(x-a)+2(mx+e-b)(m)=O~x= 2'
I+m
am+bm
2
+e " am
2
-
bm+cm,b- am-e.
Entoncesy= 2 Seau =(a- X)I+(b-Y)J= 2 1 +,J.
1+m 1+m 1+m-
Seav =vectordedireccióndelalínea=~i+ej.Portanto
m
aem-be+e
2
+be-aem-e
2
u.v= = O.Sitenemosunalíneaverticalentoncesx=c.A
1+m
2
continuaciónnecesitamosminimizard=(e-a)2+(y-b)2.d'=2(y-b) =O~y=b~.
Ladistanciamáscortaentreunpuntoyunalinease midealolargodelalineayatravés
del
puntoyperpendicularalalínea.

692 CAPiTULO3
53.Lalíneatienelaecuación y=(-3/2)x;la
líneaperpendicularquepasa
por(3,7)es
y=(2/3)x+5.Estaslíneas seintersecan
en
(-30/13,45/13).Entonces
d=(3_30J2+(7-45J2=~2197
13 13 13
[0.2723...,0.09621...].
_lJIlI!I! _
MOXV2HEXfiN'X' ~RG
<HOHE(ASOIR>
Guardamoselprogramaconelnombre
pila
~;
7,
6,
~: ,guardamos
3'
2'
l'DO?~ ~T~:u'STOuy OOTYY
l!IiIl!B_lJIlI!I! _
elprogramacon elnombredePROY
~;
6,
~: ,ahorayasetie-
2'
l'«•Y'STO•U'STOUY OOTYY
DOT'lJx»
rROVl!IiIl!B_lJIlI!I! _
neelprogramaguardadocon elnombre
RAOXVZHEXfiN'X'
{HOHE(ASDIR>
RAOxvzHEXfiN'X'
{HOHE(ASOIR>
61.Secuenciadeinstruccionesquecalculan
laproyecciónde
usobrevdondeuseen
cuentraenlasegundalíneadelapilay
u
seencuentraenlaprimeralíneadela
57.[0.1761...,
-0.9844]
59.
[-0.3282...,0.9446]
RAOXV2HEXfiN'X'
{HOHE(ASOIR>
;~.
8'
7,
6'
5'
~,
3'
2'«'U'STOUU OOT(lnyu""
l' 'UnIYE('_lJIlI!I! _
UNIVEC
Unavezguardadoelprogramaaparecerá
enalgunodeloselementosdelmenú,en
estecasoenlaprimeraposición
55.Secuenciadeinstruccionesparaproducir
unvectorunitarioconlamismadirección
que
elvectorque seencuentraenlapri
meraposicióndelapila
dePROY
RAOXVZHEXfiN'X'
{HOHE(ASOIR>
AROXVZHEXfiN'X'
{HOHE(ASOIR>
;~.
8'
7'
6'
5,
~,
~ ~
l'Dml!Iill!B_lJIlI!I!__
Seescribeelvectoru
MOXVZHEXfiN'X'
{HOHE(ASOIR>
;~.
8'
7'
f sepresionala
~,
3'
2'
l' C.231.816]l!IiIl!B_lJIlI!I! _
RAOXVZHEXfiN'X'
{HOHE(ASOIR>
;~.
8'
7'
~: ,seguidodelvec-
~,
3'
2'
l' C.01629-.03556]
Dml!Iill!B_lJIlI!I!__
torv
primeratecladelaizquierdadelprimer
renglóndelacalculadoray
seejecutael
programacon elvectorque seencuentra
enlaprimeraposicióndelapilay
seob-
I~·"'··
tieneelvector
RAOXVZHEXfiN'X'
<HOHE(ASOIR>
;~.
8'
~: ,seeiecuta
5' J
~,
3'
2' C.01629-.03556]
l' C.08171.00119]
Dml!Iill!B_lJIlI!I!__
elprogramaPROYalapretarlaprimera
tecladelprimerrenglóndelacalculadora
queenestecaso
esdondesehaguardado
elprograma,comoresultado setiene

Respuestasalosproblemasimpares 693
20000 40000 60000
y
MATLAB3.2
0.06
0.08
[0.0157...,0.000229...]
63.[17318.030...,49128.610...]
1.27)proy-vu=[1.5,1.5]
28)proy-vu=[-2.5,-2.5]
29)proy-vu=[0,-O]
30)proy-vu=[2.5882,0.64706]
31)proy_vu=[-0.15385,0.23077]
32)
proy-vu=[0.76923,1.1538]
,
004
0.02 :
: pruju
-o::--------~
-0.04 :\u
-0.04-0.020.00.020.040.060.08
,Problemas3.3á¡na251.....__... ._..._......_....._
3.3
17.Ivl=J3,cosa= -11J3,cos~=1/J3,
cosy=-1/J3.
5.Ivl=3 v/lvl=jcosa= 0,cos~=1,
cosy= O.
7.3;-1,0,0
9.lvI=fij,cosa=¿,
v21
I
cosy= r;:-;6a
v21
2
cos~=--,
fij
19.J3;-11J3;-1/13;IIJ3
21.m;21m;5/m;-7/m
23.fi9;- 21fi9;- 31fi9;-4/fi9
cosa=IIJ3,cos~=-11J3,cosy=IIJ3.
l
u.vl
31.-= Icos<pl::51.Así,
lullvl
lu.vi::5lullvl.Entonces
lu+vl
2
=(u
+v).(u+v)
=lul
2
+2u.v+Ivl
2
::5lul
2
+21ullvl+Ivl
2
=
(Iul+Ivl)2
29.R=(-3,y,z),y,zarbitrarias;estecon
juntodepuntosconstituyeunplanopa
raleloalplano
yz.
5
cos~=-,
J3Q
15.lvI=J3Q,cosa=b:,
v30
2
cosy=J3Q

694 CAPÍTULO3
53.Copiamosdosveceselvector(0.2316,
0.4179,
-0.5213)yaqueloutilizaremos
unavezparaencontrarsumagnitudy
otrautilizandoel programaUNIVECde
lasección3.2
paracalcularelvec-
33.-6j+9k
35.3u-2v=10i-3j+2k
37.-13i+28j+12k
39.16i+29j+42k
41.(3t-2u)·(5v+2w)=-345
43.35-(-10)=45
tordirección.
RRDXVZHEXIlN'X'
{HOU(RSDIR>
~~.
~,
7,
~,
s'
~,
3'
~,[.2316.4179-.5213J
l'[.2316.4179-.5213J
_oml!lllm_I:IiIJI!mElll
Intercambiamosrenglones
;~.
8'
7'
~: yejecutamose!
~,
3'
Z' .707129874917
l'[.2316.4179-.5213J
_oml!lllm_I:IiIJI!mElll
~~.
8'
7'
~,
S'
~,
3'
~,[.2316.4179-.5213J
l' .707129874917
_oml!lllm_I:IiIJI!mElll
f
7'
~,
~: yobtenemosla
3'
z,[.2316.4179-.5213J
l'[.2316.4179-.5213J
R~S~
_oml!lllm_I:IiIJI!mElll
magnitud
(i)
Peroe!triánguloPRQestambiénuntrián
gulorectángulode
maneraque
------
PQz=PR
z+RQz (ü)
Combinando(i)y(ü)seobtiene
PQz=PS
z
+SR
2
+RQ2 (iü)
ComolascoordenadasxyzdePySson
iguales
W't -10
47.proy,w=-z-t=---z(3i+4j+k)
¡ti (5-12)
3.4.
=--I--j-k.
55
49.Comolossegmentosderecta PSySRson
perpendiculares(enlafigura3.26),
eltrián
gulo
PSResuntriángulorectángulo y
programaUNIVECqueenestaoca
sión
ocupalaterceraposiciónde! primer
PS
2=(Y
2
- y¡)2 (iv)
Demanerasimilar
RS
2
=(x
2
-xY (v)
yRQ2=(Z2-zy (vi)
Entonces,usando (iv),(v)y(vi)en(üi)se
llegaa
PQ2=(x
z
-X¡)2+(Y2- y¡)2+(Z2-Z¡)2
. u.v 0.Iul
2
51.1)SIv=o.u,entoncescos<p=--=--
lullvl10.IIul
2
=2::l.Siuyvsonparalelos,entonces
uv Ivl
-=2::-demaneraquev =2::-U=o.u
lul Ivl tul
ü)Siu·v=O,entoncescos<p=Oy<p=±~.
. 1t
SI<p=::t::
2
,entoncesU·v=lullv[cos<p=O.
renglón
componentes
con

I·
AW
-
-,-.737205~53328
55.magnitud=5.227988,
dirección=(0.202984,0.919885...,
0.335570)
Respuestasa losproblemasimpares 695
57.proYvu=(-18.3996 ...,-16.8663...,
11.1712
...)
59.proYvu=(57.4451...,271.4959 ...,
310.5072
...)
1.-6i-3j
3.[-12,-9,0]
5.7i
7.12i+8j+21k
9.(be-ad)j
11.- Si-j+7k
13.
[-8,0,8]
15.
Oi+Oj+Ok
17.8i+17j+7k
19.
-9i+39j+61k
21.
[-36,-2,-8]
23.-4i+20j+4k
25.- 2bci+2aej
27.::t[-(9/v'18l)i-(6/v'18lH
+(8/v'18l)k]
29.u1=(-hOhJ
u2=(hO-h)
-12
31.U·v==-6-2-4= -12;cosep=--
Jl74
sen
2
ep+cos
2
ep=5/29+144/174
=(30+144)/174=1
luXvi=J81+ 100+169=5M=Área
35.u= lli-3j-9k;v=9i-3j+3k
jk
uXv=II-3-9=-18i-48j-6k;
9-3-3
.luXvi=J324+2304+ 36=6.fi4=Área
37.u=bj-bk;v=-ai+aj
jk
uXv=Ob-b=abi-abj+abk;
-aaO
luXvi=Ja
2
b
2
+a
2
b
2
+a
2
b
2
=labl.J3
39.Seanu=ai+ bj+ek,v=di+ej+fky
w=li+mj+nk.
.ik
uxO=abe=Oy
OOO
jk
OOO
por
lapropiedadI
OXu= -O
-'delasección2.2.
abe
jk
uXv=abey
def
kDespués,porlapro
vXu=
def.piedad4de lasección
abe2.2,uXv=-(yXu).
33.u= -4i-j-2k; v=-3i-4j+k
jk jk j k.
uXv=-4-1-2=-9i+10j+13k; (au)Xv= aaabae=aabe
-3-41 def def

696 CAPÍTULO3
deacuerdoconlapropiedad2delasec
ción2.2.
=a(uXv)
j k
uX(v+w)=a b c
d+le+mf+n
jk jk
abc+abc,
def mn
porlapropiedad3delasección2.2.
=(uXv)+(uXw)
41.
u'(uXv)=u'(-(vXu))=-(uXv),u
=-u.(uXv).Portantou. (uXv)=O.
v.(uXv)=(vX u).v=-v.(uXv).Por
ende
v'(uXv)=O.
j
k
43.vXw=a
2
b
2
c
2
a
3
b
3
c
3
=I~:
c21i_1a
2
C21j+Ia
2
b21k
c
3
a
3
c
3
a
3
b
3
uo(vXw)= allb
2c21_b¡Ia
2
c21
b
3c
3
a
3
c
3
-5O5
45.-3-13=30+30-25-30=5;
-5-26
Volumen=5
47.
a)Volumengeneradopor
2-1O
u,v,w= 1O4=18
-132
b)Au=i+9j+2k:Av=6i+24j+25k;
Aw=9i+3j+11k
volumen
generadopor
192
Au,Av,Aw=624 25=1224
93 11
231
e)detA=4-15=-68
1O6
ti)1224=-(-68)(18)
49.
RADHVZHEH11-OH' RADHVZHEH11-'H'
{HO"ECASDIR} {HO"ECASDIR},.
¡O-
3: ~:
7: 3:
,: 7:
5: ,:
~: 5:
3: ~:
~:
[-15.27.83.J3:
1: [-84.-77.51.J ~:
CROSS 1:[7768.-6207.3423.J
DmI_miIIl!llIl1I!_CI!II!mDmI_miIIl!llIl1I!_CI!II!m
RADHVZHEH11_T
{HO"ECASDIR}
¡;
7:,:
5:
~:
3:
~:[5241.-3199.:2386.J
hOSH[1742.8:233.9416.J
51.DmI_miIIl!llIl1I!_CI!II!m°Elresultadoes
[~iL4H1
M
_
M
.
13
-,,,..-"•..-
-: ~37~Ul1.-: -~~7~57~~. -: -~5D23~~.
ImII1lB:1I::1Ii'1EIE:1I!1i1ZlIililllImII1lB:1I::1Ii'1EIE:1I!1i1ZlIililllImII1lB:1I::1Ii'1EIE:1I!1i1ZlIililll
MATLAB3.4
1.2)uXv=[-7,-1,7]
3)uXv=[-12,-9,O]
4)uXv=[1,-1,1]
10)uXv=[a*d,b*c, -a*c]

Respuestasa losproblemasimpares 697
1.v=-i+j-4k;x=2- t,Y=I+ t,
z=3-4t;(x-2)/(- 1)=y-1
=(z-3)/(-4)
3.v= -2j,xi+yj+ zk=i+(1-2t)j+k,
x=1,z=1
5.v=(2-2)i+ (O-3)j+(-4+4)k=-3j
xi+yj+ zk=2i+3j- 4k+t(-3j);x=2,
Y=3-3t,z= -4;x=2, Z=-4
7.v=(-1-7)i+(-2-1)j+(3-3)k
=-8i-3j;xi+yj+ zk=7i+j+ 3k
+t(-8i-3j);x=7-8t, Y=I-3t,z= 3;
x-7y-l
--=--z=3
8 -3'
9.x=2+2t,y=2- t,Z=1- t;
(x-2)/2= (y-2)/(- 1)
=(z-1)/(-1)
11.x=-1,Y=-2-3t,Z=5+7t;x=1 Y
7y+3z=1
13.v=3j,xi+yj+zk= -2i+(3+ 3t)j+7k,
x=-2,z=7
15.xi+yj+ zk=ai+bj+ ck+t(dk);
x=a,y=b,z=c+dt; x=a,y=b
17.v=3i+
6j+2k;x=4+3t,y=I+6t,
Z=-6+2t;(x-4)/3=(y-1)/6
=(z+6)/2
19.El
vectorv¡=a,i+b¡j+c¡kes paraleloa
L
"mientrasqueelvectorV
z
=azi+bzj+
czkesparaleloa L
z
.
Así,L¡J..L
z
siv¡J..v
2
o
v¡.v
2
=O.Perov¡.v
2
=a¡a
2
+b
J
b
2
+c]c
2
.
21.3i+ 6j+9k=3(i+ 2j+3k),porloque
losvectoresdirectores delasrectasson
paralelos.Observe quenosoncoinciden
tesyaque,
porejemplo,elpunto(l,-3,
-3)
estásobreL,peronosobreL
2
•
23.Situvieranunpuntoencomúnsetendría
2-t=l+s
l+t=-2s
-2t=3+2s
Lasoluciónúnicadelasprimeras dos
ecuacionesess=-2, t=3;peroestepar
nosatisfacelaterceraecuación.
25.
a)(M6/3)(t=t)
b)j5l8/11=.Ji38/ll,(t=Ti)
e)J3012(t=t)
27.~=L=-=
13-26
29.Aligual queenlosproblemasprevios,te-
nemos(-~ _~ ~I~)~( ~ ~ 1~I~)-Si
hacemosquec=8, entoncesb=-22 Y
a=-13.Portantolalíneax=-2-13t,
Y=3-22t, Z=4+8tsatisfacelascon
diciones.
31.Seav=
(a,b,c).v.(3,2, -1)=OY
'V'(-4,4,1)=Oda(32 -lloJ~
-441O
(
1
-6°I0)...SIdejamosquec=20,en-
O20-1°
toncesb=IYa=6.Portanto,v=(6,
1,20)esperpendiculartantoaL]comoa
L
2
•
ElpuntoP=(2,5,1)estásobre L,y
el
puntoQ=(4,5,-2)estásobreL
2
•
De
maneraqueladistanciaentreL¡yL
2
está
dadapor
IproyPQI=IP"Q ·Vvl=~·vl=~.
v Ivl
2
Ivl ../457
33.
I(x- O)+O(y-O)+O(z-O)=O;x=O
35.
z=O
37.I(x-1)+O(y-2)+I(z-3) =O;
x+z=4
39.Y+z=5
41.- 3x-4y+z=45
43.
-4y+6z=-8
45.20x+13y-3z= 58
47.-12x-21y+22z=63
49.Ilx-17y+9z=9
51.Dadoquelasecuacionessonequivalen
tes,
1t¡y1t
2
soncoincidentes.
53.Coincidentes.
55.
Ningunadelasanteriores.

698 CAPíTULO3
57.Nosonortogonales,paralelosnicoinci
dentes.
(
3-
14
1
3
J(1 3-111-11J
59.-4-278~0-103736
Sea
z=lentonceslalíneadeintersección
. 1I 18
estadadaporx=---- tY=--+
510' 5
37
-tYZ=t
10' .
61.(x,y,z)=(-11/4,-3/2,O)+l(9,16,2)
63.13/J69
8
65.3.JS52a
67.SeaQ= (x
o
'
Yo,zo)·SupongaqueP=(XI'
~
Y
1
,
z)estáenelplano. PQ=(x
o
-
xI'Yo
-Y
I
'
Zo-ZI)'Deacuerdoconelproble
ma62,tenemos
J¡;Q'nl
D---
Inl
=la(X
o
-
XI)+b(y
o
-
Y
I
)+c(Zo-ZI)1
Inl
_laxo+bxo+CXo-di
-Ja
2
+b
2
+c
2
69.01=(3,-1,4)Y02=(-4,-2,7);
_1(3,-1,4)'(-4,-2,7)
<p=cos 1 11 1
(3,-1,4)(-4,-2,7)
=cos-
I
~~ ""1.1319
2629
71.Siuyvnosonvectoresnonulos ycopla
nares,en
1t,entonceslalíneaquepasa por
wyesparalelaa v,seencuentraconla lí
neaatravésde Oydeuenundeterminado
puntoau.Demanerasimilar,lalínea que
pasaporwyesparalelaau seencuentra
conlalíneaquepasaatravésde
Oyven
unpunto~v.Portanto,au,~vsonlados
de
unparalelogramocondiagonal w,esto
es,
au+~v=w.
73.Soncoplanaresen 1t:x-22y-17z=O
75.Nosoncoplanares.
77.
Nocoplanar;u. (vXw)=-9
1.Ivl=3.)2,e=1t/4
3.Ivl=Jl3,e=arctan( %J""0.98282a
5.Ivl=~ =2;tan<p=~~<p=1t/6
7.Ivl=12.)2,e=51t/4
9.2i+2j
y
(4,5)
(2,3VPQ
(2,2)
v
----4--+------~x
o
~
11.PQ=7i+3j
4---¡--------r---,----r---,
---~---_!_--~---~----~Q,~~
3 I I I I I
2---~--------~---~- --~---~
IIVI I
___J L L J
I ,
o1---..,..'----1¡..:::....""?"'F--...,...---.....----,'
I I I IX1
-\ ~ L J L ~
I I I I I
-2--,--------~---~----~---~
-3(-3,-2)'" I
-4-2o 2 4 6 8
~
13.PQ=4i-4j
15.a)-3v=9i+12jb)u+v=-7i-3j
e)3u-6v=-12i+3j+18i+24j=6i
+27j
17.Ivl=.)2;u=h(-i+j)
19.(2/m)i+(5/m)j

23.__2_
i
__4_
j
f20f20
c-; 4 -7
25.Ivl=,,65;cos<p=-;sen<p=-
165 165
27.lvl=.J2;u¡=h(i+j);u2=h(-i-j)
29.v= 2cos~i+2sen~j=i+.J3j
3 3
31.j
35.O;O
26
37.u·v=-26,cos<p=---
2J17O
39.v= -1/2u::::}uyvsonparalelos.
41.Ninguna
y
1
~"'+-----"'x
O
(5,-4)
(4,-5)
43.Paralelos
y
------=-~- ...x
(-7,-7)
45.Sonortogonales.
Respuestasa105problemasimpares 699
47.a)u'v=8+3a=0::::}a=-8j3
h)2u=4i+ 6j::::}a=6
e)lul=.Ji3;Ivl=~a2+16;
3a
+8 1
cos<p= =-
~13a2+208 .J2
::::}18a
2
+
96a+128=13a
2
+208
::::}5a
2
+
96a-80= O
::::}(5a-4)(a+20)=O
::::}a=4/5,-20a=-4/5::::}<p=n/4
3a+8f3
d) =-
~13a2+2082
::::}36a
2
+
192a+256
=
39a
2
+624
::::}3a
2
-
lna+368=O
96:±:52.J3
::::}a=------'--
3
49
14..)7',
.proyvu= ""2(1-J= 1-7J
53.
-ti-fj
55.proyu= ~i+~J'
v55
59.~(2-0)2+(-7-5)2+(0+8)2
=Jm=2153
61.J\3O;O,3/J\3O,11/J\3O
2 3 6
63.Ivl=7cosa=-casI{=- cosy=--
, 7' J-'7' 7
65.Pf2=-7i+2j+5k;1Pf21=.fi8
-7.2.5
u=.fi81-.fi8J+.fi8k
67.u-v =4i-4j-2k
69.proYvw= ~:(-3i+2j+5k)
_27.9.45k
-
38
1
-
38J-38

700 CAPíTULO3
71.~i+"*j+-H-k
73.2u+6v+3
340.176.744
proy
v=--I+-J+-k
w 19 19 19
884
75.cos<p.fl4J38=.JS32=Jl33;
<P=arccos(~Jqueesaproximada
mente69.7°.
jk
77.uXv=3-1O=-4i-12j+ 2k
2O4
jk
79.
uXv= 4-17=-Si-41j-3k
-71-2
jk
81.uXv= -13=-Si-10j-k
-2-34
luXvi=vl26=3.fl4
u
I=_S_i_~j__1_k"u=-u
3.fl43.fl43.fl4'2 I
83.
v=4i-7j+2k
ecuaciónvectorial:xi+ yj+zk
=3i-j+4k+t(4i-7j+2k)
ecuaciónparamétrica: x=3+ 4t,
y
=-1-7t,z=4+2t
".
,.x+3y+1z-4
ecuaClOnslmetnca:--=--=--
4 -7 2
~
85.OR=(-4i+j)+ t(7i- j+7k);
x=-4+7t,y=1-t,z=7t;
(x+4)/7=(y-1)/(-1)=z/7
87.v=(b-c)i+bj+ck,'IIb,CEl!,
Ec.vectorial=i+j+k+ t[(b- c)i+bj
+ck],'IIb,CE12
Ec.paramétrica:x=1+t(b-c),y =1+tb,
z=a+ct,'IIb,cEl!
.,.x-1y-1z-l
Ec.slilletnca:--=--=--,
b-cb c
'IIb,CEl!-{O}
6-s
89.Necesitaremos3- 2t=-3+s =}t=--;
2
4+t=2-4s =}t=-2-4s,y
3+6s
-2+7t=1+6s=}t=__ o
7'
6-s
-2-=-2-4s=}s=-10/7,Y
3
+6s /
-2-4s=--=}s=-1722'
7 '
porlotantonoexiste puntodeintersec
ción.
91.v
l
=4i+3j-2k;v
2
=5i+j+4k.
jk
V=V
I
XV
2
=43-2=14i-26j-11k
S14
Lalíneaes:
x=-1+~4t,y=2- 26t,z=4-lIt.
93.0(x-1)+2(y+4)-3(z-6)=0
=}2y-3z=-26
95.P=(-2,4,1),Q=(3,-7,S),
R=(-1,-2,-1);
~ ~
PQ=5i-llj+4k;QR=-4i+5j-6k;
jk
~~
n=PQXQR=S-114
-4S-6
=46i+14j+69k
46(x+2)+14(y- 4)+69(z- 1)=O
=}46x+14y+69z=33
97.x=t- ~t,Y=f-.lft,z=t
3y-6
99x=--z=-380a
.2'
101.(3,O,O)esunpuntoenelplano.
Seap=
(1-3)i+(-2-O)j+(3-O)k
=-2i-2j+3k,n=2i-j-k
proynP=
~S(2i-j- k)
-10.S.Sk
=-I+-J+-
666
{l5Os
d=Iproynpl=f6=16
103.cos-II-1/.J2071=cos-
I
1/ .J207
""1.S01""86.01'.

Respuestasa losproblemasimpares 701
CAPíTULO4
Problemas4.2~ina 286.
1.Sí
11.Sí,esunespaciovectorialtrivial.
3.No;iv);tampocovi)secumplesia<O
5.Sí
y;'+a(x)y;+b(X)Y2(X)=O
Entonces
y
aditivo-xyVesunacerradurabajo la
adición.Entonces x+z=x +(-x+y)
=(x-x)+ y=O+ y=y.Supongaque
existen
zyz'talesque x+z=yyx+z'
=y.Entoncesz=-x+y=z'.Porlo
que
zesúnica.
(YI+Y2)"+a(x)(YI+Y2)'
+b(x)(Y
I
+Y
2
)
=[y;'+a(x)y;
+b(x)y¡J
+
[y;'+a(x)y;+b(x)Y
2
J
=0+0=0
demaneraque YI+Y2esunasolución.Si
milarmente,(ay/+a(x)(ay/)+b(x)(ay)
=a[y('+a(x)y/+b(x)y,J=a.O=O,con
loque
aYItambiénes unasolución,y la
cerradurasecumple.Como -YI=(-l)y
tambiénesunasolución,setieneelinver
soaditivo.Essencillaladeduccióndelos
otrosaxiomas.
1.Demostracióndeprogramavctrsp.m
27.SeanyyY2solucionesalaecuación.En
tonces
MATlAB4.2
21.Sí
7.No.Comoserequierequetodoslospoli
nomiosseandegrado
5,cualquierpolino
miodegrado
menornopertenecealcon
junto,
porloquenoexisteneutroaditivo
yaque
Onoesunpolinomiodegrado 5.
9.Sí,i{~ ~)+(~ ~)=(b+~ a+~}
üi)(OO)EV;a(Oa)=(Oaa)EV
OO bOabO
elrestodelosaxiomassederivandelteo
rema
1.5.1
23.Supongaque OyO'sonidentidadesaditi
vas.Entonces,
pordefinicióndeidentidad
aditiva,
O=O+ O'yO'=O'+O=O+ O'.
Así,O =O'.
25.Parax,yenVdefinaz comoz=-x+
y.zexisteyaque todaxtieneuninverso
19.Sí
13.No;iü)O~V;iv)sip(x)EV,entonces
-p(x)~Vdadoquenotieneuntérmino
constantepositivo;
vi)nosesostienesi
a<O.
15.Sí
17.No; i),üi),iv),vi)nosecumplen
1.No;porquea(x,y) ¡tHsia<O
3.Hesunsubespacio.
5.Hnoesunsubespacio.(1, O)~H,pero
2(1,
O)=(2,O)~H.
7.Sí
9.Hesunsubespacio.
11.Hesunsubespacio.
13.H noesunsubespacio.(~1+~),
(~ l+~)=(a+~ 2+a+~)~H
15.Sí
17.Hesunsubespacio.
19.H esunsubespacio.

702 CAPÍTULO4
21.Hesunsubespacio.
23.H esunsubespacio.
25.H noesunsubespacio.Hnocontienea O.
27.a)SiAl'A
2
EH
I
,
entonces(Al+A)II=
(AI)II+(A)II=O+O=OY(aAI)11=
a(AI)11=aO=O,demaneraqueH
I
es
unsubespacio.SiAl'A
2
EH
2
,
enton
ces
(-edJ .
=ldeEH2•Ademas,
[
-ab
aA= I
I
aa
l
=r-;~JEH
2
YporlotantoH
2
tambiénesunsubes
pacio.
b)H=H
I
nH
2
=
{AEM22:A=r:~Jparaalgún
escalar
a}.SiAl'A
2
EH,entonces
29.
SixI'X
2
EH,entonces,A(x]+x)=AX
I
+AX
2
=O+O=O,demaneraque XI+
x
2
E
H.Además,A(ax
l
)
=aAx
l
=aO=
Odemaneraque aX
I
E
HYHesunsub
espacio.
31.Seanu
=(xI'YI'ZI'w
l
)yv=(x
2
'Y
2
'
Z2'W
2
)
EH.Entoncesu +v=(XI+x
2
'
Y
I+Y
2
'
ZI
+Z2'w
l+w)ya(x
l+X
2
)+b(yl+Y
2
)
+
C(ZI+Z2)+d(w
l+W
2
)
=(ax
l+bY
I+cZ¡
+dw)+(ax
2
+bY
2
+cZ
2
+dw
2
)
=O+
O=0,demaneraqueu +vEH.Similar
mente,
au=(ax
l
,
ayl'az
l
,
aw
l
)
ya(ax
l
)
+b(ay
l
) +c(az
l
)
+d(aw
l
) =a(ax
l
+bY
I
+cZ
I
+dw
l
)
=aO=O,demaneraque au
EH.Porlotanto, Hesunsubespacio.
33.Seanx,
yEH.EntoncesX=u
l
+VIy
u
2+v
2
'dondeu
l
'
u
2
EH
IYVI'V
2
E
H
2
•
Entoncesx +y=(u
l
+VI)+(u
2
+v
2
)
=
(u
I+u)+(VI+v
2
),ComoH
I
yH
2
son
subespacios,
u
l+u
2
E
HI'YVI+V
2
E
H
2
,
demaner.aquex +yEH.Deigualma
nera,
ax=a(u
l
+VI)=aU
I
+av
l
.
Pero
au]EH
I
YaV
I
EH
2
,
porloqueaxEHy
Hesunsubespacio.
35.Sean
VI=[:Jyv2=[::JVInoesun
múltiplodev
2
yaquelosvectoresnoson
colineales.Sea
A=[XIX
2).Entonces
Y
IY
2
detA=XIY
2
-X
2
Y
I
.
SidetA=0,en
tonces
XIY
2
=X
2
Y
I
,
osea,XI/x
2
=Y
I
/Y
2
(six
2
=00Y
2
=0,sepuedeobtener una
conclusiónsimilar).Seae =x]/x
2
=Y
I
/Yr
EntoncesXI=cX
2
yY
I
=cY
2
'
demanera
que
VI=cV
2
loquecontradiceloestableci-
do.Asi,det
A*"O.SeaV=(:)cualquier
otrovectoren
1:>2.Sequiereencontrares
calares
aybtalesque V=aV
I
+bv
2
,
o
osea,
(::::X:H:]
esdecir,

ComodetA;¡.O,estesistematieneunaso
luciónúnica(:)=A-)(:).EntoncesvE
H,loquemuestraque1)'eH.Perocomo
He1)',setienequeH=1)'
Problemas4.4:.,.Qá¡na303 ..... _
1.Sí 3.Sí
li
-}5
}
5. 22
33
l~
O3
y!4+x!2]
}-2y/4-x/2.
OO z-(3/2)/y
Porlotanto,sólopodemosresolversi
z-(3/2)y
=O,queeslaecuacióndelpla-
noquepasaporelorigen.Portantolos
vectores
nogeneran12
3
7.Sí 9.Sí
11.No;porejemploxrt-gen{I-x,3-x
2
}
13.Sí
15.NogeneranM
22
•
17.Supongaquea
l
x
2
+b,x+elya
2
x
2
+b
2
x
+c
2
generanP2'Seav¡=(a¡,b¡,c)para
i=1,2.Seaax
2
+~x+yEP
2
unpoli
nomiodiferentedecerotalque(a,~,y).
Vi=O.[Observequepodemosencontrar
unpolinomiodiferentedeceroconestas
características,dadoque(a,~,y).Vi=O
esunsistemahomogéneode2ecuaciones
ytresincógnitas.]Supongaqueax
2
+~x
+y=d,(a)x
2
+b,x+CI)+d
2
(a
2
x
2
+b
2
x
+c).Portanto,(a,~,y).(a,~,y)=(a,
~,y).(d)v,+d
2
v
2
)
=O.Peroestoesuna
contradicción,dadoque(a,~,Y) 7:-O.Por
lotantoesosdospolinomiosnopueden
generarP
r
19.u=c1v)+C
2
V
2+...+CkV
k
yv=d,v)+
d
2
v
2
+...+dkv
k
.
Portanto,u+V=(c,+
d,)v,+(c
2
+d
2
)V
2
+...+(c
k
+dk)V
k
yau
Respuestasalosproblemasimpares 703
MAllAB4.3
1.VerifiquequeS-S' =O.Sugerencia:
use
ladefiniciónparademostrarqueuna
matrizWessimétrica;esdecir, demuestre
quewij=w
jr
=(<Xc,)v,+(<XC
2
)V
2
+...+(ac)v
k
están
contenidosengen{vI'v
2
'
•••,vJ.
21.Utilicelainducciónsobren.Supongaque
v,EH.Deacuerdoconelteorema4.3.1,
<Xv)EHparatodoescalar<x.Portanto,
gen{v
l
} ~H.Supongaquegen{vi.v
2
'
•••
,v
n
}
~H,YV"+IEH.Seav =<XlVI+<X
2
V
2
++ <X"V"+<X,,+,V,,+)'Seasumeque<X)V)
.++ a"v"EH,Yelteorema4.3.1impli-
caque<X,,+)V,,+)EH.Siseaplica denuevo
el
teorema4.3.1,setienequevEH.Por
inducción,si{VI'V
2
'
•••v,)~H,entonces
gen{v
l
,v
2
,
•••v,)~H.
23.Dadoquev)Xv
2
esperpendicularavI,
v2,deahíalplanogeneradoporv,,v
2
'
VI
Xv
2
•X
=Oeslaecuacióndeunplano,
elcualcontienea)v,+a
2
v
rAlexpandirel
productocruzsemuestraque(y)Z2-:1
Y2)X+(ZIx
2
-
XIZ2)y+(x,Y2-x
2
Y)):=
O,esunaecuacióndeunplanoquepasa
porelorigen,elcualcontieneH=gen
{vI'v
2
}·DadoquevI'v
2
nosonparalelosVI
Xv
2
;¡.O,demodoqueestaecuaciónesla
ecuacióndeunplano(ynosóloO=O).
.(10)(10)(01)25.ConsIdere , , y.
(
O
1)°IO -1l°.
.Observequecadamatrizesin
-1O
vertible.
(:~)=~[(~ ~)+(~ -~J]
-%[(~ -~)-(~ ~)]+%[(~ ~)
+(-~ ~)]-~[(-~ ~J-(~ ~r

704 CAPÍTULO4
MAllAB4.4
3.a)1)Elsistemadeecuaciones es
I=Ic]- IC
2
-
3c
3
-4=Ic]+IC
2
+OC
3
Lasoluciónesc
3
arbitrarioyc]
-1.5-1.5c
3
yc
2
=-2.5+1.5c
3
•
il)Lasoluciónesc
3
arbitrariayc]=
-2-3.2857c
3
yc
2
=I+.857Ic
3
•
b)Parai),w=-1.5v]-2.5v
2
5
w=-4v
l
+-v
3
yW=-4v
2
-
v
3
.3 .
5.a)Larazónesquelaformaescalonada
reducida
porrenglonesde Anotiene
renglonesdeceros.
b)Laformaescalonadareducida porren
glonesde
Atieneunrenglóndeceros,
porloquehabráalguna wparalaque
elsistemacuyamatriz aumentadaes
[Aw]notengasolución y,porlotan
to,
wnoseráunacombinaciónlineal
delascolumnasde
A.Experimente
paraencontrarunawdeestetipo por
pruebayerror,eligiendovalores para
wyverificandosihayunasolución.
7.a)Laformaescalonadareducida por
renglonesnotienerenglonesdeceros
(porloquelasoluciónexiste)y
hayal
menosunacolumnasinpivote,loque
implicaquehabrá
unavariablearbi
trariaenlasolución.
b)Paralaprimerawdadasetienex]=
2-x
4
'
x
2
=-1+2x
4
,
x
3
=2-x
4
Y
x
5
=1.
Así,w=2v
I
-
v
2
+2v
3
+v
5
•
Parala
segunda
wdadasetieneXI=-3-x
4
'
x
2
=6+2x
4
,
x
3
=1-x
4
Yx
5
=1.
Entonces,w=-3v]+6v
2
+v
3
+v
5
.
e)Elcuartovectornoeranecesario,
loquecorrespondealhechodeque
x
4
eralavariablearbitrarianatural.
el)Setieneque v
4
=VI-2v
2
+v
3
•
De
muestrequelaformaescalonadaredu
cida
porrenglonesdelamatriz,cuyas
columnassonlosvectoresen
elsub
conjunto,notienerenglonesdecerosy
tieneunpivoteencadacolumna.
e)Losvectoresnonecesariosson elterce
roy
elquinto.Elprimero
w=2v]+4v
2
-
v
4
yelsegundo
w=-Iv]+7v
2
-
2v
4
;
v
3
=-v]+2v
2
yv
5
=2v]+v
2
-
2v
4
•
9.b)Eltérminoconstantede res2x(térmi
noconstantede
p)-3x(términocons
tantede
q)yestosecumpleparalosco
eficientesdelostérminosen
x,x
2
yx
3
.
e)Expresadoscomovectoresde3 X1se
tiene
pesunacombinaciónlineal conp=p]
-P2+P3'dondePiserefiereali-ésimo
polinomioen
elconjunto.Elconjunto
depolinomiosgeneraatodo
P2'
el)P=3p]+2P2+P3;elconjuntonopue
desergenerador,
porelproblema18.
e)Sí,yaquelaformaescalonadaredu
cida
porrenglonesdelamatriz,cuyas
columnassonlosvectoresquerepre
sentanlospolinomiosdados,notiene
renglonesdeceros.
1.Independiente. 9.Independiente.
3.Dependientes.
n.Independientes.
5.
(-~)'#a(;)demodoqueeslinealmente
13.Linealmentedependiente.
15.Linealmentedependiente,pues4vectores
independiente.
en
1J3sonsiempredependientes(teorema
7.Dependiente(por
elteorema2). 2).

Respuestasa losproblemasimpares 705
17.Independiente.
19.Independiente.
21.Independiente.
23.Linealmentedependiente.
25.Linealmentedependiente.
27.Linealmenteindependiente.
39.
(2
1-17-1I0J~
3-81IO
(0
1
-1 7-1I0J~
l5-223IO
(0
1
0113/5-2/5IO).
-22/53/5IO
Asíesquesiseresuelveentérminosdex
3
'
x
4
'
daporresultado
53.Observe
queSI(\S2esunsubconjunto
tantodeSIcomodeS2'cadaunodelos
cualeses
unconjuntolinealmenteinde
pendiente.Entonces,
envirtuddelpro
blema43
SI(\S2eslinealmenteindepen
diente.(Observe
queelconjuntovacíode
vectoreseslinealmenteindependiente,así
que
noserequierequeSI(\S2seauncon
juntonovacío.)
55.Seaa1v¡+a/v¡+v)+...+all(v
l
+v
2+
...+v,)=O.Entonces,tenemos(al +a
2
+...+ a,)vI+(a
2
+...+ a,)v2+...+
-1
O
O,conCI'c
2
'
O
1
-1
O
1+c
3
O
O
O
1
43.x=c
I
O+c
2
1
O
c
J
arbitrarias.
51.SupongaqueAl'A
2
,
A
J
,
A
4
,
As,A
6
yA
7
estánenM
J2
•Considereresolver alA
I
+
a
2
A
2
+a
J
A
3
+a
4
A
4
+asAs+a
6
A
6
+a
J
A
7
=Opara(al'a
2
,
a
3
,
a
4
,
as'a
6
,
a
7
).Esto
generaseisecuaciones homogéneascon
sieteincógnitas.Entonces,sin importar
lasmatricesdadas, habrásiempreuna
soluciónnotrivial.Asíque cualquierade
lassietematricesde
M
32
sonlinealmente
dependientes.
29.a
21
a
22
a
2J
=O,vealasolución 104.20.
37.SupongaquevI'v
2
'
•••,VIIsonlinealmen
te
independientes.Entoncesa,v,+a
2
v
2
+...+allVII=Osólotienelasolución
trivial.Asíes
quealresolvernohayvaria
blesarbitrarias,
porlocualcadacolumna
enlaformaescalonadaporrenglonestie
ne
unpivote.Dadoquehay nrenglonesy
ncolumnas,cadarenglóntiene unpivote,
esdecir,
nohayreglonesqueseancero
enlaformaescalonada.Encambio,sila
formaescalonadaporrenglónde Ano
contieneunrenglóndeceros,estoimplica
quelaúnicasolucióna Ax=Oesx=
O,dadoquenrenglonesdistintosdecero
implican
npivotes.Portanto,vI'v
2
'
.•.,
VIIsonlinealmenteindependientes.
31.übsemque~2[~~H~nPortanto
elconjuntodevectoreseslinealmentede
pendiente
paratodonúmeroreal CJ..
33.SivI'...,VIIsonlinealmentedependien
tes,entoncesexiste
unasoluciónnotrivial
(cl'
...,C,)dec
l
VI+...+CIlVII=O.En
tonces(c
l
,
...,CIl'O)esunasoluciónno
trivialdec
l
VI++ CIlVII+CIl+IV
II
+¡=O.
Portanto,vI', VII'v
lI
+'sonlinealmente
independientes.
35.
SupongaqueVIyv
2
sonlinealmentede
pendientes.Entoncesv
2
=<XVIparaalgún
CJ.7=O.EntoncesVI.v
2
=<xlv¡1
2
7=Odado
queVIesunvectordiferentedecero. Esto
contradiceelque VIyv
2
seanortogonales.
Portanto,VIyv
2
sonlinealmenteindepen
dientes.

706 CAPÍTULO4
allv
lI
=O.Como{VI'V
2
,
•••,VII}esuncon
juntolinealmenteindependiente,tenemos
al+a
z
+...+a11=O
a+"'+a=O
2 n
Envirtuddelasustituciónregresiva,tene
mos
a
n
=O,a
n
_1=O,...,a
2
=O,al=O.
Portanto, VI'VI+V
2
'···,VI+V
2+...+
VIIsonlinealmenteindependientes.
57.
Sitodoslosvectoresson elvectorcero,
entonceshemosterminado.
Sino,enton
cessinperderlageneralidad,asumaque
VIesunvectordiferentedecero. Dado
que{vI'vJeslinealmentedependiente, v
2
=a¡v
l
paraalmenosunaal'Como{VI'
v]}eslinealmentedependiente, v]=a
2
v
I
paraalmenosuna al"Sicontinuamoscon
esteprocedimiento,vemosque
cadavec
toresunmúltiplode VI'
1;(x) fzCx) ~(x)
59.
1;'(x)f;(x) f;ex)
1;(n-l)(x).1;(11-1)(x) f,;n-I)(x)
61.Necesitamos 1
1
-cI
+cI=(l-C)2
I+cI-c
(1+C)2=-4c=f.O.Porlotanto,losvecto
ressonlinealmenteindependientes
sic=f.O.
63.Supongaque {VI'v
2
'
•••,VII'v}esuncon
juntolinealmentedependiente. Como{VI'
v
2
'
•••,v)esunconjuntolinealmentein
dependiente,entonces
V=alv¡+...+
a
ll
VIIparaalmenosuna al'...,a
ll
EIRen
virtuddelproblema
56.EntoncesVEgen
{VI'V
2
'...,V),queesunacontradicción.
Porlo
tanto{VI'V
2
'...,VII'v}esuncon
juntolinealmenteindependiente.
65.1-
x
2
,
1+x
2
,
x.(Cualquiercuadrática
conuntérminoxdiferentedecerofun
cionará.)
MAllAB4.5
1.Encadacaso,seingresalamatrizaumen
tadaA.Sirref(A)tiene unacolumnaenla
izquierdasinpivoteenella,entonceslos
vectoressondependientes,delocontrario
sonindependientes.
1)Linealmenteindependientes.
2)Linealmenteindependientes.
3)Linealmentedependientes.
4)Linealmentedependientes.
5)Linealmenteindependientes.
6)Linealmenteindependientes.
7)Linealmentedependientes.
8)Linealmenteindependientes.
9)Linealmenteindependientes.
10)Linealmenteindependientes.
11)Linealmenteindependientes.
12)Linealmenteindependientes.
13)Linealmentedependientes.
14)Linealmenteindependientes.
15)Linealmentedependientes.
16)Linealmentedependientes.
3.Lascolumnassiempreserándependientes
en
unamatrizquetienemáscolumnas
querenglones.
Sugerencia:¿quépuede
decirsobrelalocalizacióndelospivotes
enlaformaescalonadareducida
porren
glonesdetalmatriz?
5.a)Azesunacombinaciónlinealdelas
columnasde
A.
h)Primerogenere unvectoraleatorio
zdelladoderechoydespuéshaga
w
=Az,dondeAeslamatrizcuyasco
lumnassonlosvectoresen
elconjunto
dado.
e){VI'...,v
k
'
w}eslinealmentedepen
diente.
7.a)Lascolumnassinpivoteenlaforma
escalonadareducida
porrenglones
correspondenalascolumnasque
se
crearoncomocombinacioneslineales
deotrascolumnas.
e)Lascolumnasde Asondependientes.
e)Algunaoalgunascolumnasde Ason
combinacionesdecolumnasanteriores
deA.
f)Sugerencia:paraelincisoc)reescriba
lacombinaciónlinealconOenunlado
delaecuación.
Paraelincisoe)supon
gaque
alv
l
+...+akv
k+...+allv
lI
=O,dondea
k
=f.O.Entoncesutilice
esto
paradespejarv
k
•

9.a)Laformaescalonadareducida porren
glones,cuyascolumnassonlosvecto
resenelconjuntodado,tiene unpivote
encadacolumnaperotieneunrenglón
deceros.
b)Laformaescalonadareducida por
renglonesdelamatriz,cuyascolumnas
sonlosvectoresen
elconjuntodado,
notienerenglonesdecerosperotiene
almenosunacolumnasinpivote.
e)No.
11.17)Linealmenteindependiente.
18)Linealmentedependiente.
19)Linealmenteindependiente.
20)Linealmenteindependiente.
21)Linealmenteindependiente.
Problemas4.6á¡na339
1.No;nogenera.
3.
Sí. 5.Sí.
7.No;nogenera.
9.
Sí.
n.Notodoslosvectoressoncolineales.
13.No.
19.a)Supongaque (xl'YI'zl'w¡)y(x
2
,
Y
2
'
Z2'
w
2
)
estánen H.Entonces,a(x¡+x)+
b(y,+Y
2
)+C(ZI+z)+d(w,+w
2
)
=aX
1+bY
I
+CZ,+dw,+aX
2
+bY
2
+cZ
2
+dW
2=Oya(a.x,)+b(ay¡)+
c(az¡)+d(aw)=a(ax,+by,+cz¡+
dw
l
)
=O.
Portanto,Hesunsubespaciode [R4.
b)Dadoqueabcd"FO,aesdiferentede
cero.Entonces,
Respuestasa losproblemasimpares 707
Problemas17,19Y20:elconjuntoesin
dependiente.
Problema18:elconjuntoes
dependientey 3x+5x
2
=-l3(-x)+
5(x
2
-
2x).Problema 22:elconjuntoes
dependientey x
3
+18x- 9=8.7273(2x)
+3.1818(x
3
-3)+.5455(1+x-4x
3
)
(los
coeficientesexactosson96/11,
35/11Y
6/11).
13.Sea
Aunamatrizaleatoriadeltamañode
seado.Encuentre
A(:)yobservequecrea
larepresentaciónvectorialde
Acomose
describióen MATLAB4.4,problema10.
Pruebelaindependenciaodependencia
delosvectores.
Sugerencia:lasmatrices
en
M
IIII1
estánrepresentadas porvectores
con
mncomponentes.
[~]{(bY+eZ+~)j~
y[-b/;]+Z[-e/!]+w[-d/~].
Portanto,unabasepara Hes
jr-b/m-e/m-d/m
XI x,
~1-
X
2 x
2
21.x
3
x
3
=x¡
x
4
x
4
o
X
s
2x
I
-
3x
2
+x
3
+4x
4
2)
O o o
I O O
x
2
o=x
3
1=x
4
o
o o
1
-3 I 4
Portanto,losvectores

708 CAPÍTULO4
27.Elespaciosolucióneseltrivial.
25fHJl
formanunabaseparaH.
Lasolucióneselsubespaciotrivial.
37.SiH=V,entoncesK={O}.SiH={O},
entoncesK=V.Supongaque Hesun
subespaciopropio.Sea
{VI'v
Z
'...,vJ
unabaseparaHyseadim V=n.En
virtudde!problema32,existenvectores
{v
k
+1'v
k
+Z'•..,v),talque {VI'vZ'...,
v}es
unabaseparaV.Seak=gen{v
" k +1'
v
k
+Z'...,vn'Resultaevidenteque H+K
=V.Supongaquev EH!lK.Entonces,
k n
v=~a.v= ~Av,locualdacomore-
L..JII L..,,¡tJ¡I
j=1 i=k+\
k n
sultado¿a¡v¡-¿ ~¡v¡=O.Portanto,
i=l i=k+l
cadaa¡=°ycada ~j=0,ydeaquí sedes
prendeque
H!lK={O}.EsfalsoqueKsea
único,
porejemplosiH={a(~)}=ejex
en[Rz,Kpuedesercualquierlíneaquepase
porelO;conpendientediferentedecero.
oO
OO
1YO
O 1
I 4
1 O
°I
O O
°O
2-3
(
1
-2I0)~(1OIO)
31 IO OI IO.
23.
generaa
D
3
=3.
33.Envirtuddelproblema4.5.55,sonlineal
menteindependientes.
Envirtuddelteo
rema
5,constituyenunabase paraV
35.Supongaqueexistev EKtalquevf!.H.
Sea{u
l
'u
Z
'
...,u)unabaseparaH.En
tonces,
{u
l
'
u
Z
'
•••,un'v}esunconjunto
linealmenteindependiente contenidoen
K.Estoimplica quedimK~n+1>n=
dimH,locualesunacontradicción.Por
lotantoH=K.
39.Supongaque vI'Vzyv
3
soncoplanares. Si
losvectoressonparalelos,dimgen {vI'v
Z
'
v
3
}=
1.Sialmenosdosdelosvectoresno
sonparalelos,entonces,dimgen
{vvv}
l'2'3
=2.Portanto,encualquiercaso,dimgen
{VI'v
Z
'v
3
} ::::;2.Porotraparte,asumaque
dimgen
{VI'v
Z
'v)::::;2.Siladimensiónes
1,sea{v}unabase.Entoncesv= avv=
I'Z
~vyv
3
=yv.Síladimensiónes1,entonces
a,~oyseacero.Podemosasumirquea t:-
O.Entonces,V
z
=Ivyv=Ivlocual
aI 3 al'
demuestraquelosvectores sonparalelos.
Siladimensiónes 2,sea{u,v}unabase.
Entonces,
VI=alu+~IV,v
2
=a
2
u +~zvy
v
3
=a
3
u +~3V.Portanto, VI.(v
z
xv
3
)=
VI.[a
Z
a
3
(uXu)+~Za3(vXu)+aZ~3(uX
v)+~2~3(VXv)]=al(aZ~3+~P3)[U.(u
X
v)]+~1(a2~3-~Z(3)[v.(uXv)]=O.
41.SiH=V,entoncesHtieneunabase.Su
pongaque
Hesunsubespaciopropiode
V,entonces,comoVtienedimensiónfini
ta,
sedesprendeque Hesgeneradoporun
númerofinitodevectores.Sea {VI'v
Z
'...,
v
k
}
unsubconjuntode Hquegeneraa H.
Cone!métodoque seusóen elproblema
34,podemosreduciresteconjuntogenera
dorhastaquetengamosunconjuntoque
generea
Hyquesealinealmenteindepen
diente.Portanto,
Htieneunabase.
n(n+1)
2
(n-2)+...+2+I=¿k
k~1
31.Sean AESnnyBESnn'Entonces,A+
B=Al+Bl=(A+BY.Porlotanto,A
+BESnn'Además,aA=aAl=(aAY.
AsíqueaAESnn'Envirtuddel teorema
4.3.1,Ses unsubespaciodeM.Parai
-s,j,sea'bla matriznXnconbn::,b=1
1) IJ JI
YOencualquierlado.Observe queambas
Bijsonsimétricasylinealmenteindepen
dientes,y
cadamatrizsimétricase puede
escribircomounacombinaciónlinealde
B.Portanto,{B:1-s,i-s,J'-s,n}esuna
1) IJ
baseparaSygenS= n+(n-1)+
1111 1111

MATLAB4.6
Losvectoresnuncaforman unabasepara
(23,dadoqueparatodoslosvaloresde a,
losvectoressondependientes.
1.Labasenecesitagenerar todo(2nyser
independiente.¿Quépropiedadesdela
formaescalonadareducida
porrenglones
delamatriz,cuyascolumnassonlosvec
toresde]abase,reflejan
cadaunadeestas
propiedadesdelabase?
a]] +a
43.]O
Oa a
a]a
]O] =-a(a-a)=O.
OaO
Respuestasalosproblemasimpares 709
3.a)Elnuevoconjuntonogeneraráa
todo(2n.
b)Elnuevo conjuntonoseráindepen
diente.
e)Sugerencia:pienseenlaspropiedades,
detenero
nounrenglóndecerosenla
formaescalonadareducida
porrenglo
nesydetenero
nounpivoteen cada
columna.
5.b)Aesinvertiblesiysólosilascolumnas
de
Aformanunabase.
e)Sugerencia:A esinvertiblesiysólosi
laformaescalonadareducida porren
glonesde
Aeslaidentidad.¿Cómo se
reflejaestoenlaspropiedadesdeesta
formaparaconcluirquelascolumnas
de
Aformanunabasepara(2n?
1.P=2,v=O
3.P =2,v=]
]-]2
5.3]4
=22;tO~P=3;v=3-3=O
-]O4
7.P =2,v=1
9.P=2,v=2
11.P
=3,v=1
-]23
O]O1
13. =-1;tO~P=4;v=4---4=O
]O]O
OOO]
15.P =2,v=2
17.P
=3,v=1
::::a:2~ac:: :angoA~{(:)t:J};
(
]
-]2
3]O
--J1O
lO]
IO)---¿(]-] 2IO)
IO O4 -6IO
112I0J;basepara
-3/2IO
23.Observequec
2
=-2c¡,yc
3
=-c¡,enton
re,labasepaca elmogoA~rm
[
-~ -~ -~:~I---¿[-~ ~ ~:~I
-363 Ioj OOO Ioj
~x, ~2x,+x,;basepam N,~¡[m: 11
25.Observequeenvirtuddelproblema 15,
dimCA=2,Ylasprimerasdoscolumnas
de
Asonlinealmenteindependientes. La
basepaca elmngoAII~JI ~~]I
[
-
~-~ ~ ~ ~]---¿
1-254 O
2-]]-]O
[
~ -~ -~ -~ ~]---¿
OOOO O
OOOO O

710 CAPÍTULO4
-]~]~
-12
-1~]
-31
-34
-}
1)SeaH=imagende Aysea{vI'v
2
'
•••,
v
k
}
unabaseparaH.ComoBesin
vertible,
Na={O},loquesignificaque
{Bv
l
'
Bv
2
,
•••,BvJesunconjuntoli
nealmenteindependienteen 1/"y,por
lotanto,es unabaseparalaimagen
BA.Entoncesp(BA)=k=peA).
peA)=3*-4=peA,b)=>.Nohaysolu
ción.
p(AI)=dimensióndelespaciodelasco
lumnasde
Al=dimensióndelespaciode
losrenglonesde
A=dimensióndelespa
ciodelascolumnasde
A(porelteorema
4)=peA).
iz)ComoCesinvertible,imagenC =1)'.
Seah EH;entoncesexistex E1)'tal
que
Ax=h.ComoimagenC =1)',
existey E1)'talqueCy=x.Entonces
ACy=h.Así,H eimagenAC.Siv
EimagenAC,existeuen 1)'talque
ACu=v.Peroentoncesv =A(Cu)de
41.
43.
37.
39.
DadoqueAesunamatrizcuadradatrian
gularsuperior
concerosenladiagonal, el
renglóninferiorestá compuestosólopor
ceros,así quehaymenosde npivotesenla
diagonalen
formaescalonada.Portanto,
peA)<n.
IO]
IO
~
IO
IO
Continuandoconlareducciónenlasolu-
[
~ ~ =~ =~::] 31.{(I'O'O,~l(O,I,-I,%l(O'O'O,I)}
OOOO IO 33.No
OOOO IO 35.peA)=peA,b)porloquesetienesolu-
ciónúnica.
-211
O2-2
4-1-1
O3-1
Observequelasprimerastres columnasde [1 -211
Ason];nealmcnteindependientes. Laba", ~6-]-5
pacae1cangoA~r~]ü]H ~;-t-~
O1-7
O1-7
27.
29.
l.

Respuestasalosproblemasimpares 711
Dimensión
=2
Dimensión=O
Dimensión
=2
Dimensión
=1
-.0311
-.1216
-.4270
.0905
-.3365
.0431
.0904
.3574;
peA)=4;veA)=1
-.4730
.3101
-0.207
-.1811
-.5847
.1604
-.4243
Pmblema"¡[m~)
Pmhlemalaj[~]I
Pmblema7j[=m=~])
Pmhlema8¡[=~])
1.a)Acontinuaciónsedanlasbasespara
losespaciosnulosysusrespectivasdi
mensiones.
.0284
-0.5110
55.Imagen A=gen- .0965
.0795
-.0110
MATLAB4.7
53.Imagen A=gen1[~ :~],[-:~]l;
257-148f
peA)=2;veA)=3
49.1)Siexisteunax*'OtalqueAx =O,en
tonces
A(ax)=aAx=Oparatodoa
EVdemaneraque veA)=dimNA2':
1YpeA)=n-veA):::;n-I<n.
íz)SipeA)<n,entoncesveA)=n-peA)
>Odemaneraqueexisteunax *'Otal
queAx
=O.
51.Supongaque B,laformaescalonada por
renglonesde A,tienekpivotesensuspri
meros
krenglones.Comonohayotros
pivotes,todosloselementosabajodelos
primeros
krenglonessoncero.Seana
l
•I1I
,'
a
2
,
•.•,a
k
,lospivotes;sean fl'f
J
,
•••,f
k
lo'~"í)[imer~'~' krenglonesde Bys~ponga
queClf
l
+cl
2
+...+c/
k
=O.Pordefi
nicióndepivote,lacomponente
mienel
vectorO =Clf
l+...+ Ckf
k
esc
l
a
l
.I1I
,'De
bidoqueal,
111,*'O,seconcluyequec
l
=
O.Lacomponentem
7delvectoresc¡a¡
+CP2.11I,paraalgún~alorp>l.Com~
c
l
=Oy'a
2*'O,seconcluyequec
2
=O.
,111)
Continuandodeestamanera, seveque
c
j
=Oparaj=1,2,...,kporloquelos
primeros
krenglonesde Bsonlinealmen
teindependientes.
Comotodoslosdemás
renglonesenlaformaescalonada
por
renglonesde Asoncero,seconcluyeque
peA)=k.
Ahorasupongaque peA)=k.SeaB
igualalaformaescalonada porrenglones
de
A.Igualqueantes,losprimeros krenglo
nesde
Bsonlinealmenteindependientesy
todosloselementosabajodelosprimeros
krenglonessoncero.Elprimerelemento
diferente
deceroencadaunodelosprime
ros
krenglonesde Besunpivote,yaque si
nosehabríahechoceroenlareducción por
renglonesde Aasuformaescalonadapor
renglones.Así,
Btienekpivotes.
maneraquev
EimagenA=H.Porlo
tanto,imagen
ACeHdemaneraque
imagen
AC=HypeA)=p(AC).
45.Como peA)=5,loscincorenglonesde A
sonlinealmenteindependientes.Entonces
loscincorenglonesde
(A,b)sonlineal
menteindependientesy
peA,b)=5.
47.Por elproblema35,peA)=p(AD)=
p(C(AD))=p(B).

712 CAPíTULO4
Pmblema12 ¡l~j{ -~j{ -~j)
Dimensión=3
Pmblema13¡l-~;j)
Dimensión=1
-2-]
-3-]
Problemavii):] O
O-1
O 1
Dimensión=2
e)Alencontrarlosvectoresparalabase,
elprocesoinvolucraescribirlasolu
ción
comounacombinaciónlinealde
losvectores,yloscoeficientesdela
combinaciónlinealsonlasvariables
arbitrarias.
á)Ladimensiónesigualalnúmerodeva
riablesarbitrarias.
3.a)it)Estabaseparaelespacionulotiene
elmismonúmerodevectoresque
labase
encontradaapartirdela
formaescalonadareducida
porren
glones.
iit)Porejemplo,rref([BNI)resolverá
elolossistemascuyamatrizdeco
eficienteses
B,dondelascolumnas
de
Nsonlosladosderechos. Para
laprimeramatrizen elproblema2
deMATLAB,
-2-]
-3-1
B= ]O
O-]
O]
Paralasegundamatrizen elpro
blema2deMATLAB,seaR
=
rref(A).EntoncesB =[[-R(:,4);
1;01l-R(:,5);O;111.
b)SeaR=rref(A)yB=[[2;I;O;O;OJ[-R
(1,5);O;-R(2,5);-R(3,5);111.Debeob
servarque
todosloselementosenA *N
estánmáscercadecero,losvaloresver
daderos.
5.a)Demuestreque Ax=b.
b)UtiliceN =null(A).
e)Primerogenere unvectoraleatorioz
de2
X1(yaquelabase contendrádos
vectores).Después
hagaw=Nzyde
muestreque
A(x+w)=b.
7.a)Losrenglonesdiferentesdecerode
rref(A')
proporcionanunabasepara
elespaciodelosrenglonesde Al,así,
sustranspuestas
danunabaseparael
espaciodelascolumnasde A.
h)Lamatrizdeseadaserálatranspuesta
delosrenglonesdiferentesdecerodela
formaescalonadareducida
porrenglo
nesde
Al.Paraverificarlascombina
cioneslineales,utilicelamatrizdescri
tacomolamatrizdecoeficientesyuse
Aparalosladosderechos. Enseguida
semuestranlasmatricescuyascolum
nasforman
unabaseparaimagenA.
Pmblema7[~:1
Pmblema11[~_i:
Pmblema12h]
Pmblema13[~ ~ ~]

9.a)Consultelasección4.4.
h)Parai),labaseconsiste enlascolum
nas
1y3deA.Paraii)labaseconsiste
en
todaslascolumnasdeA.Paraiii),
labaseconsisteenlas columnas1,2Y
4deA.Asegúresede usarlascolum
nasdeAnodelaformaescalonada
reducidaporrenglonesdeA.
e)Paraelproblema7,unabaseconsiste
enlas
columnas1y2deA.Paraelpro
blema11,unabaseestáformadapor
lascolumnasIy2deA.Enelproble
ma12,unabaseconsisteenla primera
columnadeA.Enelproblema13,una
baseestáformadaporlascolumnas1,
2Y3deA.
11.SeaOla matrizcuyascolumnasforman
unabaseobtenidaalusarorthysea Bla
matrizcuyas
columnasformanunabase
a
partirdelproblema7deMATLAB.
Estasmatrices tendránelmismonúmero
decolumnas(esdecir,cadabasecontie-
Respuestasalosproblemasimpares 713
neelmismonúmerodevectores).Para
verificarlas combinacioneslineales,vea
rref([OBI)yrref([B01).
13.e)Elrangoesigualalnúmerodepivotes.
1)Aesinvertiblesiysólosirango(A)=n
=tamañodeA.
g)Paralamatrizde 5X5,genereuna
matrizaleatoriade5X5yverifique
queseainvertible.Siloes, cambietres
columnasparaqueseancombinacio
neslinealesdelas
otrasdos.
15.
Paraqueexistaunasolución,lamatriz
aumentadatendráelmismorangoqueA.
Sugerencia:
pienseenlalocalizaciónde
lospivotesenla
formaescalonadaredu
cida
porrenglonesdelamatriz aumenta
dayenlaformaescalonadareducidapor
renglonesde A.
17.~)ElrangodeABesiguala k.
h)ald)Laconclusiónfinaldebeser
querango(AB)::smín(rango(A),
rango(B».
x:ye)+x;y(_:)=(:) (1-10)(11-1]
1.
11.C=o 11;el=~-1I-1;
-1o1 1I1
3.
2x-3Y(-2)+-3x+2y(-3)=(x)n(x+
y
-,]5-3 5-2 Y
c-
Iy=~-x+y-z
z
x+y+z
5.
(-1-1)_)1(-2-1)
c= ;c=- ;
6x-1~+IOz[:]+2x+';;-7Z[-:]
-22 4-2I
(-2- 1)(x)=((-2x-y)/4) 13.
-21 Y (- 2x+y)/4
dx-by(a) +-ex+ay(b) =(x) +7X+l:;-9zH){]7.
ad-bee ad-bed y
x~z[_+-x+~y-zm+
a
o+a1x+a
2
x
2
15.
9.
=(a
o+a)+a
2
)1
+a
l
(x-l)+a
2
(x
2
-1)
X:Z(}(~] 17.
(a-a+a
2
)(1)+(a)-3a
2
)(x+1)
o 2 2
+a
2
(x+l)(x+2)=a
o+a1x+a
2
x

714 CAPíTULO4
19.c
I
(
1~)+c2(~
O)+c](O
~)-1 ] -(
+C4(~ -~)=(~ -~J
Entonces,c
I
=-10/7,c
2
=12/7,c
l
=18/7,
c
4
=15/14.
C~[~
]1
-:]
-1-2
21.
O1 3'
OO -(
c'~[~
1 ]
-;]
-(-2
O13'
OO -1
e'~[-}[ -~]
Entonces,4x
2
-
x+5= 8(1)- 7(1-x)
+4(1-X)2.
23.(_~)=all(-~)+a21(-~}
G)=aI2(-~)+a22( -~).Entonces,
a
ll
=11,a
21
=-8,a
l2
=-23,a
22
=13.
(
11-23)(4)(67)
(X)B1=-813-]=-45
25.2(I-x)+3x+3(x
L
x-l)=3x
L
2x-1.
[
310J [1-1
lJ
C=-211;el=i23 -3;
OO1 OO5
[
-1][4/5]
C-
I
-~=-17/~.Entonces,
3x
2
-
2x-1=4(3- 2x)/5- 17(1+x)/5
+3(x+x
2
)
27.Linealmenteindependiente.
29.Linealmentedependiente.
31.Sólosenecesitantreselementoscuales
quiera
ysetieneunabase.
33.Linealmentedependiente.
35.Linealmenteindependiente.
37.p~j)(O)=Oimplicaque elcoeficientedel
término
xiesceroparacadapolinomio.
Entonces,
elrenglón)+1delamatrizA
seráunrenglóndeceros.Asíque Anoes
invertible,locualimplicaquelospolino
miossonlinealmentedependientes.
39.(x',y')=(1,O)correspondea (x,y)=
(cose,sene)
(x',y')=(O,1)correspondea (x,y)=
(-sene,cose)
41.(13/
2
.
112)(-4)=[(-4/13+3)/2]
-11213/23 -2-313/2
43.(_~~~ ~~~)(:) =(--2~;;~;~)
45.Estosederivadelteorema 2.
MATLAB4.8
1.a)1)W=1.5v,+.5v
2
ü)W=.5v,+3.5V
2
3.a)Paraencontrarlascoordenadasdeun
vector
Wrespectoalabase {VI'...,v
4
},
resuelvaelsistemadeecuacionespara
escribir
Wcomounacombinación li
nealdelosvectoresde labase;esto es,
resuelvaelsistema
h)C=[-~; -~~ -~ ~~]
21-111-5
-4 2O1
e)l)(w)B=(-1052226 -4)'.
iü)Sugerencia:(W)B=Cw=combi
naciónlinealdelascolumnasde
C,dondeloscoeficientesenla
combinaciónlinealsonlosele
mentosde
w.

5.e)D=[=:=~~ ~:J
12-2
ti)(X)B=solucióna [VIv
2
v
3
1x]=
(-62-lY.(x)c=solución
a[w¡w
2
w31x]=(-3-4O)'.
e)D=W-Iv.
[
-27-16525-81]
f)D= 7 40 -421.
6 37-617
-1-61-2
7.a)SeaBlamatrizcuyascolumnasson
losvectoresdelabaseen
elconjunto
BysimilarmenteparaC.Porejemplo,
lamatrizdetransición
TdeBaeserá
iguala
e-lB(expliqueesto).
[-7
-12
19J
T= -~
-1118,
2
-2
S~[~
O
-IJ-1-9,
6
80
Respuestasalosproblemasimpares 715
K=[=30~ =~ ~J
68-14
b)K=ST
9.a)Utilicetrigonometríabásica.
e)1)TantoBcomoetendránlaforma
(
cos
(e)-sen(e»)
sen(e)cos(e)
paraalguna e.Setieneque
T=(.2588.9659)
-.9659.2588Y
S=(.2588-.9659)
.9659.2588
it)Lascoordenadasconorientación
21t
-son(3.0272.2935)'Ylascoor-
3
denadasestándarson (-1.7678
2.4749)'.Porejemplo, paraencon
trarlascoordenadasestándara
partirdelascoordenadasrespecto
a
B,encuentreBx,dondexcontie
nelascoordenadasrespectoa
B.
iit)Lascoordenadasconorientación
1t
-son(1.86991.5695)'Ylasco-
~rdenadas estándarson(.2124
2.4321)t.
3.
[~]
(
-b(Od-be)/ (0
2
+b
2
»)I'1=od-be
2?'V2 -J2b'
o(od-be)/(o +b-) o+-
"=(-b/J
0
2+b
2
J.
Y2 b/J0
2+b
2
7.ElronjuntodmtoresrnnJ)
formaunabasepara1t.Portanto,"1=
[
-2/~], v~=[2/~J)-~[-2/~], =
l/¡S O3[51/[5
[
2/15J
[2¡S/35]
1y"2=3¡S/7.
4/15 4¡S/35

716 CAPíTULO4
17.{(-7/[66,-1/[66,4/[66)}
19.Q'~[:t-}eQ~I~QQ'
-8/J465
12/J465
-4/J465
15/J465
4/J465
O
O
8
O-¡s
1
4
6/j70
5/f70
O
O
-3/f70
-8/15
4/5
-4/15,yentoncesu
4
=
1
4/15
12
+-
f70
6/f70 O 1/¡S
5/f70 O O
2
u= O,v;=1-¡s
O+
2
O O O
-3/f70 1 2/¡S
6/f70-1/7
5/f70 3/14
3
O I
J70
O O
-3/j70 1/14
-2/filO
3/filO
YU
3
=14/filO.Paraencontraru
4
,
calcu-
O
1/filO
lamosv¡=v
4
-
(v
4
•
u
1
)
u
1
-
(v
4
'
u
2
)
u
2
-
1/¡S
O
O
O
O
2/¡S
-2/j2lO
3/j2lO
-~14/j2lO
"210
O
l/j2lO
[
-aeJ(a
2
+b
2
)(a
2
+b
2
+e
2
):
u= -bc/J(a
2
+b
2
)(a
2
+b
2
+e
2
)
2
(a
2
+b
2
)/J(a
2
+b
2
)(a
2
+b
2
+e
2
)
9.{(2/fi9,3/129,4/129)}
5
3
135-¡¡o
J%
11.O
1
3
¡¡o
135
1 OO O
O
1O O
15.Losvectores O O 1YO forman
O OO 1
2
-31 4
1/¡S
O
unabaseparaH.Entoncesu
1
= O,
O
2/¡S
O 1/¡S6/¡S
1 O 1
Vi=O
6
O O+-
2 ¡s
O O O
-3 2/¡S-3/¡S

1(1-f8-1-f8J
21.PQ=-x
3fi1+f81-f8
1(1-f81+f8J
(PQ)t=-x
3fi-1-f81-f8
1(180)
(PQ)(PQ)t=- = 1
18°18
23.1=Q-'Q=Q'Q.Perodet(Q'Q) =detQ'
detQ=detQdetQ=(detQ?
Como1=det1=detQ'Q =(detQ?
setienedet Q=±1
25.
SiVi=0,entoncesOV¡+OV
2
+...+OV
H
+Vi+OVi+¡+...+OVil=0,loqueimpli
caquelosvectores
Visonlinealmentede
pendientes.Así,
V
i"*°parai=1,2,...,n.
29.a)Podemosasumirque a"*O.Conbase
es
unabaseortonormalparaH.Asíque
proyHv=O+°=O.
b)Despuésderesolver elsistemau
I
.
x
=O,u
2
•X
=O,hallamosque {(a,b,
e)}esunabaseparaHJ.yporlotanto,
{(a/~a
2
+b
2
+e
2
,
b/~a
2
+b
2
+e
2
,
c/~a
2
+b
2
+e
2
)}
esunabaseortonormal.
e)V=°+v.
Respuestasa losproblemasimpares 717
1 1
-
..133
31.
a)
1
b)
1
-
-
..13'3
2 1
-
..133
1 4
-- -
33
e)
1 4
y=-+--
33
2
4
- -
33
heH pEH.1
33.~)Eloonjuntodev~to<es¡[!m]1
formaunabaseparaH,yporende
[
0][lIJIT]~,1I~ esunabaseortonor-
O3/JIT
mal.Demaneraqueproy H
[
~] [:~::] [:~::]
v= ~+ 12/1~=12/1~'
b)Alresolverelsistemau
i
'
x=Odacomo
'~ulmdo¡[~l}[~~]1pacaunab=
dHA· [-:~~] [=~~]e. SIque ,
O O
O2/f22
esunabaseortonormalparaH.
[
4/11]
[-3/2][3/22]4/11 3/2 3/22
e) + +
3 O °
12/11°-1111

718 CAPÍTULO4
[
4/11]
[-15/11]
4/11 18/11
= + .
3 O
12/11 -1/11
35.Uselainducciónenn.Sin=1,entonces
Iull
z=1.SupongaqueIU
I
+U
z
+ +
u
n
_1
l
z=n-1.EntoncesIu]+U
z
++
uJ=(u
l+Uz+...+un>.(u
l+Uz+.
+un>=u".(u
l+Uz+...+un>+(u,+
U
z+...+U"_I).(u
l+U
z
+...+u)=
2u".(u
l+Uz+...+Un-J)+u".u"+(U
I
+U
z+...+U
II
_
I
).
(U
1+U
z
+...+U"_I)
=O+1+n-1=n.Porinducción,esto
demuestraelresultado.
37.
Supongaque{(:).(:)},esunabase
ortonormalparaI2
z
.
Entonces,a
Z
+b
Z
=C
Z+d2=1Yac+bd=O.Podemos
asumirquea::j:.O.Asíque e=-bd/a.Al
sustituirestoen
C
Z+d
Z
=1Yresolver
parad,seobtiened=±a.Porlotanto,
(:)=(_~)o(:)=( -~}
39.Iu+vl
z
=Iul
z
+2(u.v)+Ivl
z
::sIul
z
+21ullvl
+Ivl
z
=(lul+Ivl)z.Alobtenerlasraíces
cuadradas,setiene
Iu+vi::slul+Ivl.
MATLAB4.9
1.Elprogramaparaelincisob)es:
zl=wlInorm(wl),
t2=w2-(w2'*zl)*zl;
z2=t2/norm(2),
t3
=w3-(w3'*z1)*z1
-(w3'*z2)*z2;
z3
=t3/norm(t3)
Verifiquela
ortogonalidadencontrando
Zl.zZ'z,.Z3YZz•Z3'Verifiquelas com
binacioneslineales encontrandolaforma
escalonadareducidaporrenglonesdela
matriz[ZIZzZ31w
l
W
zw
3J.
3.a)ale)
PI=(12)'YP
z
=(-42)'.Recuerdeque
unaproyecciónsobre unvectorbaja
unaperpendicularalarectadetermi
nadaporelvectorde maneraque,en
lagráficadela
combinaciónlineal,el
paralelogramodibujadoseráunrec
tángulo.
d)PI=(1.63.2)'yP
z=(2.4-1.2)'.
f)Laproyecciónsobre V
z
eslaproyección
sobre
H"-.
41.Envirtuddelteorema4,tenemos
v=(v.UI)U
I
+(v.uz)u
z
+...+(v.u)u
n
'
Portanto,Ivl
z
=v.v=[(v'u,)u
l+...+
(v.u)uj.[(v'u)u
l
+...+(v.u)uj=
(v.uY(u
l
.
u)+(v.u
z)2(u
z
.
"z)+...+
(v.uy(Un'u),yaqueu
i
•
u
j
=O,i::j:.j
=Iv'ull
z+Iv'ul+...+(v·uy,yaque
U·u=l.,,
b)Porqueladimensiónde H"-eslynes
perpendicularaH.
e)
Compare
P=(zl'*w)*zl+(z2'*w)*z2
con
q=w-(n'*w)*n.
ti)
p
W
1",,
,1 ,
,
,
,
,
,
~~_-::~
I
I
I
I
I,
hn'
,
,
,
,
,
,
,
43.Seav
EH
I
•
Envirtuddel teorema7,exis
teh
EHzyPEH
z"-talesquev =h+p.
ComoH
I
"-=H
z
"-,entoncesparatodakE
H¡tenemosv.k =O.Enparticular,v. P
=O=h.P+P.P =P.Pyporlotanto
P=O.AsíquevEHz,locualdemuestra
queH]=Hz.
45.Comou..1v,entoncesu.v =O.Porlo
tanto,lu+vl
z
=(u+v).(u+v)=lul
z
+
2(u'v)+Ivl
z
=lul
z
+Ivl
z
.

Respuestasa losproblemasimpares 719
11.Sugerencia:demuestreque (AB)'(AB)=1
usandolaspropiedadesde A,BYlatrans
puesta.
13.a)det(Q)=±1.
b)Sugerencia:encuentreeldeterminante
de
ambosladosde QQI=1.
e)Idet(Q)I=1.
15.b)Labasecanónicaes ortonormalyla
rotaciónpreservalalongitudylosán
gulos.
e)Losproductosdematricesortogonales
sonortogonales.
ti)[VIv
2
v
3
]
noesunamatrizortogonal.
[
.9186
-.2500.30621
e)A=YRP=-.1768.4330.8839
-.3536-.8660.3536
LamatrizBsiguientecontienelosnue
veángulos.Laprimeracolumnade B
contienelosángulosentre elejexes
tándarylosejes x,yyzdelsatélite,
respectivamente.
Demanerasimilar,la
segundacolumnacontienelosángulos
entre
elejeestándaryylascoordena
dasdelsatélite,ylatercera
columna
contienelosángulosentreelejeestán
darzylascoordenadasdelsatélite:
7.a)Primerocalcule
q
=ul'*w*ul+u2'*w*u2
+u3'*w*u3+u4'*w*u4
ycompare
conp=B*B'*w.
b)Seleccionex, unvectorde4 X1.Ob
servaráque
Iw-piesmáspequeño
que
Iw-hlyaquepes elvectorenH
queestámáscercade
w.
e)p=BHw=DD'W.
ti)Sugerencia:consulteelincisoa).Pien
sequew.u
i
esu;*wyobserveque
eserenglónide
B'esu;.Recuerdeque
unacombinaciónlinealdevectores se
puedeinterpretar comounamultipli
cación
porlamatrizcuyascolumnas
sonlosvectores.
9.a)Sugerencia: interpretev.u
i
comou;*
vyutiliceelhechodeque elrenglóni
deB'esu;.
b)Utiliceloshechosdequeu
i
ywtienen
normasigualesa l.
e)1)Cadaánguloesde45°.Asegúrese
de
encontrarwintroduciendoel
vectordadoydespuésdividiendo
porsunorma.
il)ElánguloconVIesde135°y elán
gulo
conv
2
esde45°.
ti)Todoslosángulossonlosmismose
igualesa54.74°.
Pl'Oblemas4.10á¡na419
[
23.28°
B=104.48°
72.17°
100.18°110.70°1
64.34°150.00°
27.88°69.30°
408
57
1.Y=---x""3.24- 0.45x
126126
162
10
3.Y =--- X""1.93-0.12x
8484
13536
10800 15842
5.Y =5184+5184x+5184x
""2.61+2.08x+0.31x
2
Éstaeslaecuacióndela parábolaque
pasaporlostrespuntos.
7.Elargumentoaquíescasiparaleloalosar
gumentos
dadosparalasaproximaciones
linealesycuadráticas.
9.Ésta
esunageneralizacióndelproblema 7.
11.y""108.71+4.906x-0.00973x
2
13.Escogemoslafunciónarealizar
tAOKY2HEKIlH'K'
{HO"ECASOIR}
F1.S:i.l'tille-l,Ia(..
f L{tiw:,híie~ ..
f ~.S""".r~ 01.to.. Unavezenla
~: U~~~~h i.~:~~:·i ..
2'
l'
____1!I:IlIS]1I!IlII
pantalladeinterfaseconlacalculadora
introducimos
Ert1;,zr~1;oJ1;:i.$1;i(lJ ~ojl]1;(J
1mI1lIlI!liIl_1nH1!I:IlIS]1I!IlII
losdatosalosque seharáelajuste,

720 CAPÍTULO4
En't.zr,:1;Gt:i.:rt:i.CQ~doJ1:G
mBrmlI!I!iI_DmlI!lOOElII
nenlosdatos sepresiona"OK"yseob
tiene
elmejormodelolineal juntoconin
formaciónrelevantesobrelacalidaddel
y<-217.42127707- 3.39135881734x+
0.0135739160172x
2
FnDATA
tDAT'•••._••
X-Col'1V-Col'2
K040l'LinearFit
Yaque setie-losparámetros
[
217.42127707]
-3.39135881734
1.35739160172E-2
__lmIm:Ilmm:l1ImiI
RADXVZKEX1\-'K'
{HOKE(ASDIR}
:;
7'
6'
ajuste~:
3'116.717661141+-.879:~
2'Corre1ation:(-.8793S~
l'Covariance:(-1126.4)
ImIm:Ilmm:lIImiI~Dm1
Elmejormodelolineales elsiguiente
RADXVZHEX1\_'x' ALGPRG
{HOKECASDIR}
19.ConstruimoslamatrizdeVandermonde
conlosdatosdelasabscisas
RADxvzHEX1\-'x'
{HDHECASDIR>
1.51t.261121.1
1.846.715716. escribimosla
1.599.358801.,
1.806.649636.
1.1508.2274064.
1.2409.5803281.
__lmIm:Ilmm:l1ImiI
matrizdedatosdelasordenadas
RADXVZHEXI\N'x'
{HDHECASDIR>
L· ...
l'
.".]
429.
1722..Encontramos
2415.
3295.
5002.
__lmIm:Ilmm:l1ImiI
RADxvzHEX1\-'x'
{HDKECASDIR>
6'
s'
~,
losparámetros
3'
2'
l'
[-53.8851803867]
2.01798202762
4.05643704608E-5
__lmIm:Ilmm:l1ImiI
y<:-53.8851803867+2.0l798202762x
+0.0000405643704608x
2
MAllAB4.10
mode-
RADXVZHEX1\-'x'
{HDKECASDIR}
3·
8'
7'
6'
S' ,elmejor~,
3'-111.930576071+2.13:~
2'Correlation:•912181:~
l'Covariance:1063909.~
ImIm:Ilmm:lIImiI~Dm1
RADXVZHEX1\-'x' ALGPRG
{HDKECASDIR}
lolineales
~-111.930S76071+2.1H26S27066xX'
lmD!ilIm:lCnllm:lIlnm!1DlI!iI:l
15.Repitiendoelprocedimientodelejercicio
13conlosdatosdelejercicio 15seobtiene
17.ConstruimoslamatrizdeVandermonde
conlosdatosdelasabscisas
RADXVZHEXI\N'X'
{HDKECASDIR}
f; 1.57.3249.
1.43.1849.
1.71.5041.Escribimosla
1.83.6889.
1.108.11664.
1.141.19881.
_lmIm:Ilmm:llImiI~
matrizdedatosdelasordenadas
RADxvzHEX1\-'x'
{HDKECASDIR>
1.b)u=(2.9535 -1.1813)';porlotanto,
larectaes
y=2.9535- 1.1813x.
e)UtiliceelcomandonormdeMATLAB.
Iy-Aul=4.066Y Iy-Awl=2.9712.
Lasumadeloscuadradosdelasdife
renciasenlascoordenadas
yentrela
rectademínimos
cuadradosylospun
toses
menorquesiseusacualquier
otrarecta.
84.
91.
36.
24.
15.
8.
__lmIm:Ilmm:l1ImiI
yencontramos
ti)Recuerdequeproy Hy=BB/y.
e)y=-.4722.
3.
g'"-30.6364,va '"60.9470Yla alturaso
bre
elsueloes '"10.8977.

5.a)Elajustederecta esy=-.1942+
1.1921xconla normadelerrorde
mínimoscuadradosiguala.44
19.El
ajustecuadrático
esy=-.0423
.7078x-5.775Ix2,conlanormadel
errordemínimoscuadradosiguala
.1171.Elajustecuadrático esunpoco
mejor:lanorma
esmáspequeñaylos
puntos
*parecenmáscercanosalajus
tecuadrático.
b)Elajustederecta esy=35.9357
-83.4269x,conlanormadelerrorde
mínimoscuadradosiguala
25.3326.
Elajustecuadrático esy=41.5798
5I.2577x59.5481x
2
conlanormadel
errordemínimoscuadradosiguala
15.2469.Enaparienciaelajustecuadrá
tico
esmejor:lanorma esmáspequeña
ylospuntos
*sevenmuchomáscerca
nosalajuste.Sinembargo,observeque
unpunto
sepuedeconsiderardisperso.
lemas4.11á¡na439
1.1)(A,A)=a~1+ai2+...+a~"2:O.
il)(A,A)=Oimplicaque a~=Oparai=
1,2,...,ndemaneraque A=O.SiA
=O,entonces(A,A)=O.
iil)(A,B +C)=a,,(b¡1+e
ll
)+ +
a"/b",,+c,,)=a11b¡¡+a¡lcII+ +
a""b
llll+a""c"n=(al,bll+...+an"b,,)
+(allc"+...+a""c,m)=(A,B)+
(A,C).
iv)Similarmente(A+B,C)=(A,C)+
(B,C).
v)(A,B) =(B,A)=(B,A),yaqueto
dosloselementossonrealesy
ai,h¡¡=
b.a...
/111
VI)(aA,B) =(aa¡¡)b
l
¡ +...+(aa")b",,
=a[al,b,¡+...+al/I/b",,]=a(A,B).
vil)(A,aB)=(aB,A)=(aB,A)
a(B,A) =a(A,B)=a(A,B)
3.SeaE¡lamatrizde nXnconun1enla
posición
i,iYOenotraparte.Essencillo
verque
{El'E
2
,
•••,E)esunabaseorto
normal
paraD".
Respuestasalosproblemasimpares 721
7.Elajustederecta esy=40.8537+.0066x
yelajustecuadrático esy=-78+.32x
-.0002x
2
.
Elajustecuadráticoparece
mejor,
yconestosepuedeconcluirque el
productoserámásfuerte silatemperatu
ra
esde8000.
9.Larectademínimoscuadrados es
y=-0.34184x+0.16454
Conxlafracciónmolecularde Cay)'el
coeficientededistribución Fe-Mg
0.18"'--x-'--'---'-~--~--
;016f-----<d--~~-
.t
.§o14f---t--+--'~:---+-
"G ,
..E )( I j
fol~tb=- ~~~-:x-
u . II,
0.08 I -1.
o 0.05 0.1 0.15 0.2
FracciónmoleculardeCa
5.{(~'~ )'(~' ~))
7.{fi,jIX,jI(3X
2-1)}
9.Primeroobserveque siA=(a),yBl=
(b),entonces
JI
n
(ABI>u=L,GikG
jk
k=1
demaneraque
tr(AB
I
)
=i,i,aijbij
i=1j~1
1)(A,A) =tr(AAI)
=~[~G~)2:0
il)(A,A)=Oimplicaque a~=Opara
todo
iyjconloque A=O.Inversa
mente,
siA=O,entoncesAl=OY
AAI=Oporloquetr(AAI)=O.
iil)(A,B+C)=tr[A(B+C)l]+tr[A(B:
+C')]=tr(ABI+AC')=tr(ABI)
tr(ACI)
=(A,B)+(A,C).

722 CAPÍTULO4
iv)Demanerasimilar,(A+B,C)
(A,C)+(B,C).
nn
v)(A,B)=~~ a.b..=tr(BAt)+(B,A).
L..JL..JlJU
i=\j=l
vI)(aA,B)=tr(aABt)=atr(ASt)=
a(A,B).
vil)(A,aB) =(aB,A) =a(B,A) =a(A,B).
11.(~ ~J, (~ ~J, (~ ~J, (~ ~J
13.a)1)(p,p)=p(a)2+p(b}2+p(c}2;::::O.
il)(p,p)=Oimplicaquepea)=p(b)
=p(c)=O.Perounacuadrática
puedeteneralo másdosraíces.
Entoncesp(x)=Oparatodax.In
versamente,
sip==O,entoncespea)
=p(b)=p(c)=O,demaneraque
(P,p)=O.
iil)(p,q +r)=p(a)(q(a)+r(a»
+p(b)(q(b)+r(b»
+p(c)(q(c)+r(c»
=[p(a)q(a)+p(b)q(b)
+p(c)(q(c)]
+[p(a)r(a)+p(b)r(b)
+p(c)r(c)]
=(p,q)+(p,r).
iv)Demanerasimilar,(p +q,r)=
(p,r)+(q,r).
v)(p,q)=p(a)q(a)+p(b)q(b)
+p(c)(q(c)
=q(a)p(a)+q(b)p(b)
+q(c)p(c)
=(q,p).
VI)(ap,q)=[ap(a)]q(a)
+[ap(b)]q(b)
+[ap(c)]q(c)
=a[p(a)q(a)
+p(b)q(b)
+p(c)q(c)]
=a(p,q).
vil)(p,aq)=(ap,q)=a(q,p)=
a(p,q)
b)No,yaqueü)seviola.Porejemplo,sea
a
=1,b=-1Yp(x)=(x-1)(x+1)
=x
2
-1*O.Entoncespea)=p(b)=
Odemaneraque(p,p)=Oauncuando
pof=O.Dehecho,paracualquierpolino
mio
q,setieneque(p,q) =O.
15.f31
=(u,u)_(u,u)(v,u)
IU1
2
1u11viiu11v1
+(v,v)
1V1
2
=L!!i_l(U'v)+(~)]
1u1
2
Iu11v1
1V1
2
+-
1v1
2
Ahorasiz=a+bi,entoncesz+Z=(a+
bi)+(a-bi)=2a=2Rez(yz-z=2bi
=2ilmz).Asi,(u,v)+(u,v)=2Re(u,v),y
2Re(u,v) Re(u,v)I
setl'ene2- >0sea <:
1u11vi ' 1ullvi.
SeaAunnúmeroreal.EntoncesO:::;((AU+
(u,v)v),(AU+(u,v)v»=A
2
1ul
2
+I(u,vWlvl
2
+A(u,-f)(U,v)+A(U,v)(v,u)=(yaqueA
esreal)A
2
1ul
2
+2AI(u,v)1
2
+I(u,vWlvl
2
•
La
últimalíneaes unaecuacióncuadráticaen
A.SisetieneaA
2
+bA+c;::::O,entonces
laecuaciónaA
2
+bA+c=Opuedetener
alo
másunaraízreal y,porlotanto,b
2

4ac:::;O.Así,4(I(u,vW}2-4IuI
2
1(u,v)1
2
1v1
2
:::;
OoI(u,v)1
2
:::;
lul
2
1vl
2
YI(u,v)1:::;lullvl·
19.H'c=gen{(-15x
2+16x-3),
(20x
3
-
30x
2
+12x- l)}
21.1+2x+3x2_x330x
2
+52x+19
20
(-20x
3
+30x
2
-12x+1)
+-"------------'-
20
23.
~+f3(~--;-Jf3(2X-1)
1t 1t1t
+J5(~+ 24-96J
1t1t
2
1t
3
XJ5(6x
2
-
6x+1)
""-0.8346x
2
-0.2091x
+1.0194

25.A*=[hh]
1i1i
-----+-
2222
VerifiquequeA*A =1.
27.Severificanlassietecondiciones enlapá
gina432.
l)(f,j)=fbjf=fb1..
2
+¡;2:::?:O
a (1
yaque¡;z:::?:OY¡;2:::?:O
il)Sededucedelinciso i)
iil)(f,g+h)=fj(g+h)
=J:jg+jh=(f,g)+(f,h)
iv)Similaralinciso iii)
~~~mas 4.12,Rª-91llil44,~_.",," ...__.__.,_, ...
l.SeaLunconjuntolinealmenteinde
pendiente
enVSeaSlacolecciónde
todoslossubconjuntoslinealmenteinde
pendientesde
V,parcialmenteordenados
porinclusióntalesque cadaconjunto
enScontienea L.Lademostraciónsale
igualqueladel
teorema2.
3.Elresultadoesciertoparan=2.Supon
gaqueescierto paran=k.Considere
los
k+1conjuntosAl'A
2
,
•••,A
k
,
A
k
+
1
Respuestasalosproblemasimpares 723
v)(f,g)=fjg=fgjy
(g,j)=fgf=f:gj
VI)(aj,g)=J:ajg=aJ:jg
vil)(f,ag)=J:j(ag)=J:jag
=aJ:jg=a(f,g)
29.Ji
MAllAD4.11
1.Consulteelproblema1deMATLAB4.9.
Necesitarácalcularun t4yunz4.
3.Elinciso
a)funcionaporque(w,u)es
.iguala
u;*wpordefinición.Consulteel
problema7deMATLAB4.9.
enunacadena.Losprimeros kconjun
tosformanunacadenay,porlahipótesis
deinducción,
unodeelloscontienealos
otrosk-1conjuntos.Llameaeste con
juntoA
r
EntoncesA¡~A
k
+
1
obienA
k
+
1
~A¡-Encualquiercasoseencontróun
conjuntoquecontienealos otrosksub
conjuntosyelresultadoescierto para
n=k+l.Estocompletalademostra
ciónporinducción.
1.Sí;dimensión2;base{el,0,1),(0,1,2)}
3.No,yaquesi(x,y,z)satisfacex+y+
zs O,entonces-(x,y,z)satisfacex+
y+z:::?:Oyestepuntonoperteneceala
primeradesigualdad.
5.
No,noloes;(1,-4,3)satisfacelaecua
ción,pero(-
1,4,-3)no.
7.Sí;dimensión
[n(n+1)]/2;base{(E:j:::?:
lj
i)},dondeEeslamatrizconun1enla
lj
posicióni,jyOenotraparte.
9.
Sí;labasees {l,x,x
2
,
x
3
,
x\x
5
};dimen
sión
=6
11.
Sí;labasees:
{(~ ~],(I~], (~I]
(~n(~mdimensión~5
13.Sí;dimensionalinfinito.
15.Linealmentedependiente.
17.Linealmentedependiente.
19.Elconjuntodevectoresnoeslinealmente
independiente.

724 CAPÍTULO4
21.Linealmentedependiente.
23.Linealmenteindependiente.
)3-5
25.a)=5O5 =-180~linealmentein-
246 dependiente.
23-)
-h)=1-2-4 =O~linealmentede-
46
-2 pendiente.
27.y=2x/3base:{( ~)};dimensión=1
29.Dimensión
3;base{(l,O,3,O),(O,1,
-1,O),(O,O,1,In
31.Dimensión 4;base{DI'D
2
,
D
v
D
4
},don
de
Dieslamatrizconunnúmeroenla
posición
i,iYOenotraparte.
33.
(~ ~ ~). (~ ~
(~ ~~} (~ ~
ladimensiónes6.
p(A)=2.
37.ImagenA=f23,NA={O};p(A)=3,
v(A)=O.
p(A)=2.
[
1I
f3
j
49.1113
1113
-H
[
.1.][-1I
f3
j[.1.][_1.]
51.a)-¡b):;j,e)-¡+¡

Respuestasa losproblemasimpares 725
[
1][1/.[2]O]
1 o 1/.[2
51.a) b) ¡,:;,
1 -1/,,2 O
1 O-1/.[2
55.
.1 .1
2 2
.1 -.1
e)
2
+
2
.1 -.1
2 2
.1 .1
2 2
LO5
5
57.Y =-x-l
2
";I¡tremas5.1,página464
1.Lineal. 3.Lineal.5.Lineal.21.Lineal.
7.Nolineal,yaque
+[;lJ~T[;;H~)
mientrasque
aT[;l~aCH:)
9.Nolinealyaque
23.
Nolinealamenosque a=1yaque
T(aD)=1+aD=1=a(I-D)=aT(D).
25.Lineal.
27.Lineal.
29.
Nolinealyaque
T(ap(x»=ap(x)+[ap(X)]2=1=aT(p(x»
31.Nolinealamenosque a=1yaque
T(af)=af(x)+1=1=a(f(x)+1)
=aT(f(x»
11.Lineal 13.Lineal15.Lineal
33.Lineal.
17.
Nolineal,yaque
THm~a'T[}{]
siate100
19.Nolineal,yaque
T(A+B)=(A+B)I(A+B)
=(Al+Bt)(A+B)
=AlA+AtB
+BIA
+BtB
Pero
T(A)+T(B)=AtA+BIB
teT(A+B)
amenosque AtB+BtA=O.
35.Lineal.
37.Lineal.
39.
LatransformaciónThaceunarotación
devectoresenelplano
xyde180°.
(
-3)(-4+3..[3]
b)~4= 3+;..[3
43.LatransformaciónTrotaalosvectores
ensentidocontrarioalasmanecillasdel
reloj
unánguloeentornoalejeyenun
planoparaleloalplano
xz.

726 CAPÍTULO5
47.T(O) =T(x-x)=T(x)-T(x)=0,siVy
Wsondiferenteslosdoscerospuedenser
diferentes.
49.T(av)=(u
o
'
ay)=a(u
o
'
v)*a(u
o
'
v)=
aT(v)amenosquea
EL
··51.Sear;EL(V,W)yT
2
EL(V,W).Como
(r;+T
2
)(x+y)=r;(x+y)+T
2
(x+y)
=r;(x)+r;(y)+T
2
(x)+T/y)
=(r;+T
2
)(x)+(r;+T
2
)(y),
y
además(r;+TJ(ax)=r;(ax)+T
2
(ax)
=a(r;(x)+r;(y))=a(r;+T
2
)(x),setiene
cerraduraenlaadición.Como
(aT)
(x+y)=aT(x+y)=a(Tx+Ty)=aTx+
aTy=(aT)x+(aT)yy(aT)(~x) =a~T(x)
=~aT(x) =~(aT)xentoncessetienece
rraduracon elproductoescalar.Observe
quelatransformaciónneutra
eslatrans
formacióncero,yparacadaelemento
TEL(V,W),entonces(-T)EL(V,W)y
T+(-T)=O.Elrestodelosaxiomas se
satisfaceapartirdelasreglasdelasuma
ylamultiplicaciónporescalar defuncio
nes.
MATLAB5.1
1.Lafiguraesunperrosincola.Lospuntos
sonasteriscos
(*)rojosysetiene- 20:s
x,y:S20.
3.a)Lasdosescalas,de xyydelperroes
tánduplicadas.Porejemplo, elancho
deunapata
seduplicaylaalturase
duplica.
b)Laprimeramatrizduplicalaescala de
xydejalaescalade yigual.Entonces,
porejemplo,
elanchodeunapata se
duplic~perolaaltura eslamisma.La
segundamatrizduplicalaescalade
yy
dejala
dexcomoestá.Así,porejem
plo,
elanchodelapata eslamisma
perolaaltura
eseldoble.
e)Lamatrizmultiplicalaescala dexpor
rylaescaladeypors.
1.Núcleo={(O,y);YEl!},esdecir,elejey;
imagen={(x,O):xEl!},esdecir,eleje
x;p(])=v(])=l.
3.Núcleo= {xlx=O},v(T)=0,1mT=
{(X,Y)El!2
jY=-%X}'p(T)=l.
5.Nu(T)={(x,y,z,w)Ix=-zyy=-w},
v(T)=2,ImT=l!2,p(T)= 2.
7.Nu(T)={O},v(T)=0,
1mT={a+ax+ax
2
+ax
3
:
aEl!},
p(T)=1.
9.Núcleo= {A:Al=-A}={A:Aesanti
simétrica};imagen
={A:A essimétrica};
p(])=(n
2
+n)/2;v(])=(n
2
-
n)/2.
11.Nu(T)={J(t)If(t)=a
o+a/,a
o
,
a¡El!},
v(T)=2,1mT={fEc[0,I]};p(T)=oo,
13.Nu(T)={(O,O)},v(T)=O,ImT=[;>2,
p(T)=2.
15.Paratodo vEV,V=a¡v¡+av+...+ av
22 IJ 11
paraalgún(al'a
2
,
•••,aJoEntonces
Tv=T(a¡v¡+a
2
v
2
++anv,,)
=aTv+aTv++ aTv
I1 2 2 n n
=av+av+"'+av
¡¡ 22 nn
PorlotantoT eseloperadoridentidad.
17.Nu(])esunsubespaciodel!3quecon
tienealorigen.Porlotantodelejemplo
4.6.9,ImToesa){O},ob)unarectaque
pasapor
elorigen,o e)unplanoquepasa
porelorigen,o d)l!3.
19.Tx=AxdondeA=[CI:C]edEl!.
b-d',
d--
a

21.T=[ ~ ~ ~J
-21°
23.NuT={fEel[0,1]:xf'(X)=0,VxE[0,IJ}
=f(x)constanteE[0, 1]
lmT={xf(x):f(x)EC[O,IJ}.
25.a)Supongaque~,T2EU.Entoncespa
racadahEH,(~+T2)h=~h+T2h=
0+0=0,y(a~)h=a(~h)=a·O=O.
1.(1-2);Nu(T)={O};imagenT=[22
l-II
v(T)=0,p(T)=2
3.A,~[-:lNu(T)~{xEI)IFO},
v(T)~O, TmT~g'n{[-m, p(T)~l
(
a
b).
5.A
T
=ed'SIa=b=e= d=O,Tesla
transformacióncerodemodoqueNu(T)
=[22,v(T)=2,1mT={O},p(T)= O.Si
ad-eb=°ysupongaquealmenosuno
deloscoeficientesa,b,e,desdiferentede
cero.Sin pérdidadegeneralidad,seaa=1=O.
Entoncesp(T)=1,v(T)=1,
Nu(T)=gen{(-~)}1mT=gen{(:)}.
7,[;~::}iflllig,nT~g'nmw&
Nu(T)~gffi{[-mp(T)~2,
v(T)=1
Respuestasa losproblemasimpares 727
PorloqueUesunsubespaciodeL(V,
V).
h)dimU=n(n- k).Dehechoextendien
dounabasedeH,{u
l
,
•••,u
k
},auna
basedeV,{u
I
' ,
u,),porlotanto
TEU~T(u¡)= = T(u)=O.En
particularT(uk+¡)', T(uJsonn-k
vectoresarbitrariosenelespacioVde
dimensiónn.PorloquesiT(u)=u;
!J I J
T/u,)=0,l#-i,k<iSn,ISjSn,
entoncesTsonunabasedeU.
u
[
1
-123]
9.°I43; imagenT=
I°66
gffi
{[~JrJ Nn(T)~
genrm=m
p(T)=2,v(T)=2.
11.A=(a
b
°:}
T°
°
e
b
°a
°Nu(T)=gen 1
d
°
e
O
v(T)=2,1mT=I.P,p(T)=2.
13.A
T
=[ 1
7
1 3i),p(T)=2,v(T)=0,
_Q 11
7 7
NuT={O},ImT=[22.
15,A,~li-ilp(7)~2,v(7)~O,

728 CAPÍTULO5
= _ {[~][-~]) Nu(T)={O},Im(T)=gen{x,x
2
,
x
3
}
Nu(T){O},(ImT)B-gen5' 10
2 .1 1.01000
5 5
OO2OO.
1 27.;imagenD =~;
OOO3O
OOOO
Nu(T)={O},lmT=gen{1+x+x
2
+x
3
}.
(
OO
-1O)
19.~ ,p(1)=2,v(1)=2,
O1O1
29.
O
O
O
1
O
O
O2
O
O
O
3
O
O
O
n
Nu(T)=gen{1,x
3
-1},lmT=~
(
1
-123)
21.O143;imagen T=
1O65
gen{I+x
2
,
-1+x,3+3x+5x
2
}
=
~;Nu(T)=gen{x
2
-
4x-6};
p(T)=3,v(T)=l.
[OO
OO
~],
23.~=O1
OO
OOOO
OOO
1
1
O O
O O O
Nu(T)=genO, 1,O,v(1)=3,
O O O
O O
1
w(T)~ g~¡[~],[;]1'pln~2
imagenD=P.-I;nuD=12;
p(D)=n,v(D)=1.
31.~~[~ ~1Nu(T)~(~lvln~o,
Im(1)=l?3,p(1)=3.
33.SeamE12,sedefinea Im)k=m(m-1)
(m-2)···(m-k+1),1~k~m.
Av=(a¡j)E12(n-HI)X(n+'),
1~i~n-k+1,a¡j=Oenotrocaso.
p(D)=n-k+1,v(D)=(n+1)-P(D)=k,
Nu(D)=gen{l,x,x
2
,
•••,X
k
-
I
},
Im(D)=gen{I,x,x
2
,
.••,x
n
-k
}
=P.-k
35.A
J=(1,.!.,.!.,...,_1_),p(J)=I,
23 n+1
v(J)=O,Nu(J)={O},lm(J)=12.
-1]
3,p(1)=3,v(1)=O,
-1
1
(
1O
0)
37.O1 O;imagenT=~;
OO1
nu=T={O};p(T)=3,v(T)=O.

Respuestasalosproblemasimpares 729
1OOO OOOOOOOO
OOOO1
OO OOOOO
OOOOOOOO1OOO
O1OOOOOOOOOO
OOOOO 1OOOOOO
39.Porejemplo,en M
w
~=
OOOOOOO OO1 OO
OO1O OO OOOOOO
OOOOOO1OOOOO
OOOOOOOOOO
1O
OOO1OOOOO
OO O
OO OOOOO1OOOO
OOOO OO OOOOO1
1,
Engeneral,A
T
=(a;),dondeaij=
O,
[
OOO)
41.OO-1;imagenD=
O1O
gen{sen x,cosx};nuD=12;
p(D)=2,veD)=l.
43.[~ -~2:2]
i/2
45.Sean B
I
yB
2
dosbasesparaVyW,respec
tivamente.Setiene
(TV)B=ArCV)Bpara
todov EV.Entoncesv E'Nu(])siysólo
siTv=OsiysólosiArCV)B=(O)Bsiysólo
si(V)BEnuA
r
Así,elnú~leode'T=NA
dem~neraquev(])=v(A
T
).SiWE ima~
genT,entoncesTv=Wparaalgúnv EV,
conloque ArCV)B,=(TV)B,=(W)B,'Esto
significaque
(W)B,ER
AT
•DeestemodoR
AT
=imagenTdemaneraque p(])=p(A
r
).
Comov(A
r
)
+p(A
r
)
=n,delteorema
4.7.5,
sevequetambiénv(])+p(])=n.
47.Comprensiónalolargodeleje ycone =¡
49.Cortealolargodeleje xcone=2
51.Cortealolargodeleje
ycone=t
sii=km+1
yj=(/-l)n+k+1
parak=1,2,...,n-I
Y1=1,.2,...,m
deotramanera
53.Reflexiónconrespectoalarecta
y=x.
55.(~ ~}
y
(-.¡,4)(0,4)

730 CAPíTULO5
(
-10J(l0J(10J(1-10J
71.O1 61O 62O O
y
pts= [O330;0O2 2]
Ins=[1234;234 1]
A=[.50;031
grafics(pts,Ins,'b','*',10)
holdon
grafics(A*pts,Ins,' g','o',10)
holdoff
b)UtiliceA =[12;01]paracorteenla
figura
S.8a)yuseA =[1-2;01]para
elcorteenlafigura S.8b).Alllamara
graficsserásuficienteconusar M=7.
e)UtiliceA =[10;-21].Serásuficiente
conusar
M=6.
1.a)Elsiguientees unposibleprograma:
MATLAB5.3
(~,3)
(~,-2)
---+--+-+----+----.x
y
(-S,3)(-2,3)
63.(~ ~}
69.(O1J(S0J(l0J(l 0J(lfJ
1OO1O-1O2O1
65.
67.
---+------1f--+-H~ x
O
(-S,-2)(-2,-2)
y
(--"";:"S-,---;";1):-----:O:+-+-----.x
(1,-1)
(_S..,---4)---+-....(1,-4)
(
3
0J(10J(10J(l~J
O1-11lO~Oi
3.a)Aldemostrarque Teslineal,uselas
propiedadesdelproductopunto:
(v.
<xx)=<x(v.x)yv.(x+y)=v.x+
v.y.Paraencontrarlarepresentación
matricialuse
elhechodeque T(e)=
(v·e)v=Vivo
b)P=[10;0O].Unabaseparalaimagen
esvy
unabaseparaelnúcleoes w=
(OlY,unvectorqueesperpendicular
a
v.Paraproyectarunvectorsobre
v,sebajaunaperpendiculardesde el
puntoterminaldelvectoralarectade
terminada
porv.Así,porejemplo,si
unvectoresperpendiculara v,lapro
yecciónes
elvectorcero.Todaproyec
ciónsobrev
esparalelaa v,porloque
esevidentequev esunabaseparala
imagen.
e)yd)Similara b).Unabaseparala
imagenserávy
unabaseparaelnú
cleoseráunvectorperpendiculara
v.
(
2.S
-.SJ
7.a)A=
-.S2.S
Multipliquelasrepresentacionesindi
vidualesdelasmatricesen
elordenco-

rrecto:(rotaciónpositiva)(expansión)
(rotaciónnegativa).
h)A=(~ ~J
Respuestasa losproblemasimpares 731
e)Texpandeporunfactorde 2enladi
reccióndelprimervectorde
labaseen
Byexpandeporunfactorde 3enla
direccióndelsegundovectordelabase
en
B.
~~blemas 5.4.§.9ina508
1.Como(aA)'=aAIy(A+B)'=Al+H,T
eslineal.Al=OsiysólosiA=Odemanera
que
Nu(I)={O}YTes1-1.Paracualquier
matriz
A,(Al)'=A,porloqueTessobre.
3.
t)SiTesunisomorfismo,entonces Tx=
A?,=Osiysólosix=O.Así,porel
teoremaderesumen,det A
r*"O.
it)SidetA
r*"O,entoncesA?,=Otie
neunasolucióntrivial.Así
Tes1-1,Y
como
VyWsondedimensióninfinita,
Ttambiénessobre.
5.m=[n(n+1)]/2dim{A:AesnXny
simétrica}.
7.Defina
T:P4---7WcomoT=xp.T=O
p p
implicap(x)=O;esdecir,peselpolino-
miocero.Así
Tes1-1,ycomodim W=
5,Testambiénsobre.
9.mn=pq.
11.Lademostracióndelteorema6pruebala
afirmaciónbajo
elentendimientodeque
losescalarescl'
c
2
'
•••,CIIsonnúmeros
complejos.
13.T(A
I
+A
2
)
=(Al+A
2
)B=AIB+A
2
B=
TAl+TA
2
;
T(aA)=(aA)B=a(AB)=
aTA.AsíTeslineal.Supongaque TA=
O.EntoncesAB=O.ComoBesinvertible,
sepuedemultiplicar porlaizquierdapor
B-
'paraobtenerA=ABB-
I
=OB-
'=O,
osea,A=O.Porlotanto,Tes1-1ycomo
dim
M
lln
=n
2
<00,Tesunisomorfismo.
15.Elijah
EH.Despuésproy Hh=hdema
neraque
Tessobre.SiH=V,entoncesT
tambiénes1-1.
17.ComoTesunisomorfismo, Nu(I)=nu
A={O}demaneraque,por elteorema
deresumen,
Aesinvertible.Six=T-'y,
entoncesTx=Ax=yconloquex =
A-1yporqueA-
'
existe.Porlotanto, T-1y
=A-IyparatodoyE[¿".
19.Paraz=a+ibE(;definaTz=(a,b) E
[¿2.EntoncesT(zl+Z2)=T((a,+a)+
i(b
l+b
2
))=(al+a
2
,
b
l+b)=(al'b
l
)
+(a
2
,
b)=Tz,+Tz
2
.
SiaE[¿,entonces
T(az)=T(a(a+ib))=T(aa+iab)=
(aa,ab)=a(a,b)=aTz.Porlotanto,
Teslineal.Porúltimo, siT(z)=(O,O),
entoncesesclaroquez =a+ib=O+iO
=O.PorlotantoTes1-1ycomodim (;
(sobrelosreales) =dim[¿2=2,Tesun
isomorfismo.
MAlLAB5.4
1.h)ExpliqueporquéTesunoaunoyso
bre
P.
e)A=WV-I,dondelacolumna ideW
esw¡ylacolumna ideVesVi(para
ver
porqué,utilicelosiguiente: T(e)=
a1w
1
+...+a
4
w
4
, dondelas a¡sonlas
coordenadasdeerespectoa
labaseen
V;cómoseencuentranlascoordena
das,yque
unacombinaciónlinealde
vectores
sepuederepresentarcomo
multiplicación
porlamatrizcuyasco
lumnassonlosvectores).
A{
O.5
-4]11-9
1OO
2O-1
[-2
1
1-1]
A'~3:
-1O1
-18-210
-2O1
Elnúcleoserá O,laimagenserá [?4yA
esinvertibleyaque laformaescalona
dareducidaporrenglonesde Aesla
identidad.
tI)LamatrizparaSseráVW-
I
,
quees
A-l.

732 CAPÍTULO5
Problemas5.5á¡na516
1.
TxoTy
[
XI
sene+X2cose][YIsene+Y2cose]
=XIcose-X
2seneoY
I
cose-Y
2
sene
X
3 Y
3
=XIY
I
(sen
2
e+cos
2
e)
+x
2
y
2
(sen
2
e+cos
2
e)
+X
3
Y]
=XIY
I+X
2Y
2+X
3Y
3
=x0y
(todoslosdemástérminosen elproducto
escalar
seeliminan).
3.Usandoelteorema1,Tx·Ty=
(ABx)o(ABy)=xo(AB)t(ABy)=
xo(BIAI)(AB)y=xo(B-IA-IAB)y=
xoy
5.Lamismademostraciónquepara elteore
ma2exceptoque
sesustituye(x, y)enlu
gardex. yy(Tx,Ty) enlugardeTx.Ty.
7.Txoaxdondea esunescalarya*-Ool.
9.Tx·Ty=xoy=Ax oAyyAl=A-
I
de
maneraque
A=(A-')t.Entoncesx. y=
xo(Iy)=x.(A-I)tA-'y =A-IX·A-Iy=
Sx oSydemaneraque Sx=A-Iyesuna
isometría.
11.T(a
o+alx+a
2
x
2
+a
3
x
3
)
=
(a/ti-J512J2)a
2
,
J(3/2)a
l
-(3.fi12J2)a
3
,
(3J512J2)a
2
,
(s.fi12J2)aJ
13.T(::)=(a/J2-(J512J2)e,
J(3/2)b- (3.fi12J2)d,
(3J512J2)e,(s.fi12J2)d)
17.SiAeshermitiana,entonces A*=A.En
particular,lascomponentesdiagonalesde
Anosemuevencuando setomalatrans
puesta,
porloquea¡¡=a¡¡,quequierede
cirque
a¡¡esreal.
19.Sea
A*=B=(bY)yseac¡lacolumnaide
A.EntoncesAB=1=(o)donde
lj
o={l,sii=j
lj O,sii*j
PeroOy='f,a¡kbkj='f,a¡kakj=
k-I k-I
coc.=0...
I } fj
21.Comolai-ésimacomponentede Axes
'fax,setiene(Ax,y)=
L lJ)
j~1
nn
'"'"axy.Similarmente,siA*=
~~ 1)} I
j=1j=1
B=(by),(x,A*y)=
t'f,xjbijY¡='f,'f,xjbijY;=
;~I j~1 j~1;=1
11 11 nn
'"'"xay='"'"ax.y=L.J~)IJ I L.J~ lJ) 1
j=1;=1 ;=1j=1
(Ax,y).
MAllAB5.5
1.a)Larotaciónylareflexiónpreservanla
longitud.
e)Escribaunarepresentacióngeneral
paracadamatrizydemuestrequela
matrizmultiplicada
porsutranspuesta
esigualalamatrizidentidad.Parala
reflexiónuse
F=2P- l,dondepri-
merosedemuestraquep=( v~ VI~2].
V
I
V
2
v;
Utiliceelhechodeque v~+v~=l.
d)Algunospuntosclaveen elprograma
son
th=atan(v(2)/v(I))
R
=[cos(th)-sen(th);
sen(th)cos(th));
F
=2*lv(I)*v
v(2)*v)-eye(2)
X
=[10;0-1)
e)Paralareflexión,sea F=2P-l,don
de
Peslamismaqueen elincisoe)an
terior,con
VI=cosCa)yv
2
=sen(a)y
simplifique.

Respuestasalosproblemasimpares 733
1.Lineal.
3.Noeslinealya que
T(ax(x,y,z))=t-aT(x,y,z).
5.Lineal.
7.
NolinealyaqueT(p¡+p)=
1+p¡+P
2
'
pero
Tp¡+TP2=(l+PI)+(l+P2)
=2+p¡+P
r
9.
Nu(T)={(~J};imagenT=[22;
p(T)=2,v(T)=O.
11.Nu(D~geni[m;UnagenT~~;
p(T)=2,v(T)=1.
15.Nu(T)={fEC[O,1]:J(1)=O},Im(T)=[2,
p(T)=1,v(T)=oo.
v(T)=1,Im(T)=[22,p(T)=2.
(
1
o-20J
19. . imagenT=[22.
O2O3' ,
peA)=veA)=2.
23.A=~(20 SJNu(T)={O}v(T)=O
T1333S' , ,
Um(T)"~gen{(U[:]},p(7)~2
25.Compresiónalolargodeleje y,confac
tordeuntercio.
27.Cortealolargodeleje xconfactor-S.
29.[~ ~}
31.(~-n.
-6

734 CAPiTULO6
33.l-~ ~J=
CAPíTULO6
E,=gen{[iJ}.E,=gen{[~)j
17.1,1,2;E,=gen{[H[m
E,~gen{[~)j,lamultiplicidadgeomé-
tricaparaelvalorcaracterístico1es 2.
19.1,2,2;E,=gen{[-lE,=genfl-m
lamultiplicidadgeométricade2es1
21.1,OE,=gen¡[lE.~gen¡[tla
multiplicidadgeométrica paraelvalorca
racterísticoOes
l.
23.a,a,a, a;E.=genj[t],m[m
lamultiplicidadgeométrica de1es2
5.-3,-3;E_
3
=]R.2,lamultiplicidadgeomé
tricapara
elvalorcaracterístico-3 es2.
1.-4,3;E.,=gen{(:]}; 13.1,l.1;E,=gen{[&lamultiplicidad
E
3=gen{(_~)} geométricaes 1(multipl.alg., 3)
3.-2,-2;E_2=gen{e)},lamultiplici-15. -7,3,1,E_
7
=gen{[-;]1,
dadgeométricaparaelvalorcaracterístico . OJ
-2es1.
{(
l+3i)}
7.2+3i,2-3i;E2+3i=gen-5'
{(
l-3i)}
E2+3i=gen-5.
90,1,3;E,=ge,{[:J}
E,=genrm
E,=gen{H])
11.1,1,10;
E,=gen{u]-r-m
E"=gen{[m

Respuestasalosproblemasimpares 735
29.Observeque XlexistesiysólosiAx=°
únicamentecuandox=0,esto es,siysólo
si°noesunvalorcaracterísticode A.
27.Observequedet (A'- Al)=det(A-A/)'
=det(A-A/).Entonceslospolinomiosca
racterísticosde
AyA'soniguales,portanto
susvalorescaracterísticossoniguales.
31.Paracada
Al'1::;i::;k,existeunvec
torx¡o/-°talque Ax¡=AIX,.Ahora,
(A-al)x¡=Ax¡-ax¡= (A¡-a)x¡.Por
lotanto\
+a,i::;i::;ksonvaloresca
racterísticosde
(A-al).Encambio, si
(A-al)x=Ax,entoncesAx=(A+a)x,
porloqueA +a=A¡,estoes,A=\- a.
33.Sea x.elvectorcaracterísticoasociadoal
I
valorcaracterísticoA¡delamatrizA.En-
tonces
An(x.)=An-I(Ax)=An-I(AX)=
1 I II
AA
n
-
IX.Alrepetirelargumentoanterior
I I
n-lvecessellegaaqueAnx¡=A~X¡,porlo
tantocadaA~esunvalorcaracterísticode
An.Encambio,supongaquev esunvalor
característicocomplejode
Anconvector
característicoasociadox.SeaA=
~una
::~:;~ñ( ;~~~~::rs:a ::t:nx";
Y
m
=D[A-/:ijAlJx,m=1,oo.,n.Como
yn=(A
n
-
vI)x=0,existeunaconstante
::d:':::i:u~e:.e:,tc ,p:::r;:n
c
;;,~]
Zn¡k
Y
k
-I
=Y
k
=0.Estodiceque enAesun
:~~: '~~~::::':I:::; :e;od~; :(:~~:J
RftDXVZHEXfI"'x' ftLG
{HO"ECftSDIR)
5'
~,
3'
2'
l'
r132.-11.56.),
38.-49.75.
83.123.-67.
'ft~
__umm:llllmJmlml!l
RftDXV2HEXfI-'x'
{HO"ECftSDIR)
5'
~,
3:
2'
l' [1132.-11.56.],
38.-49.75.
83.123.-67.
EGV~__umm:llllmJmlml!l
RftDX\'2HEXfI-'x'
{HOnCftSDIR)
(:
5'
~,
3'
2'[ 1. -.2387;
.4912913256477
-.594~
.71361372714146
l'[136.135879171-159.~
__umm:llllmJmlml!l
43.
41.Reviseque (:~J(~)=d(~J
delascolumnasde Aesl.Porlo tanto1
esunvalorcaracterísticode A'convector
caracteri"ico¡],DemodoqueI" un
valorcaracterísticode Ayaquedet (A-l)
=det(A
T
-
1)=°
=A
n
=v,estoesv=A;.Estomuestra
que
cadavalorcaracterísticode A"esla
n-ésimapotenciadealgúnvalorcaracte
rísticode
A.
37.Utilizandolosresultadosdelosproblemas
22,23,24Y25,
setienequeA=2 esunvalor
característicoconmultiplicidadalgebraica
4.ParaAllamultiplicidadgeométrica es
4.ParaA
z
lamultiplicidadgeométrica es
3.ParaA
3
lamultiplicidadgeométrica es2.
ParaA
4
lamultiplicidadgeométrica esl.
35.
Setieneque p(A)x¡=peA)x¡para1::;i
::;k.Entoncesp(),1::;i::;k,sonvalores
característicosde
peA).
,39"Oh"rvequeA'[i]=[i]yaquela mma
a,a,a,a;E,=gen[[~¡,lamultIplici-
dadgeométricaparaelvalorcaracterísti
co
aesl.
lamultiplicidadgeométrica
paraelvalor
característico
aes3.
25.

736 CAPÍTULO6
45.
losvalorescaracterísticosson
mB1milj1:ImEmlll1!l!lZl1lll!Zll
convectorescaracterísticos
m:mJ _
R~D ~yz HE~ I\N'~' ~LG
{HOHE C~SDIR}
2'
l'ro'16.12.14,18,]26.21.19.27.16.
31.29.37.41.56.
51.38.29.46.33.
61.41.29.38.5a.
.~~
__ommmllmJ¡lllmll
R~D ~yz HE~ I\N.~.
{HOHE C~SDIR}
2'
l'ro'16.12.14,18,]26.21.19.27.16.
31.29.37.41.56.'
51.38.29.46.33.
61.41.29.38.5a.
EGY~
__ommmllmJ¡lllmll
r1(.355477975436,a.)(.
(.
5a8924413742,a.)(-.
(.
99961452aa9,a.)~,
(.90480383a267,a.)(.
u·la.)(-
l'[(155.921..24a98,a.)(-~
__ommmllmJ¡lllmll
losvalorescaracterísticosson
[
151-2..ni.nfni"
- (155.~21~2~0)8,O)
mB1milj1:ImEmlll1!l!lZl1lll!Zll
-, (~.G7225G551~5,O.)
mB1milj1:ImEmlll1!l!lZl1lll!Zll
convectorescaracterísticos
(.355477975436,O.)(.656603950803,O.)(1.37121250621E-2, -458555951253E-2)(1.37121250621E-2,4.58555951253E-2)(8.46815933238E-2, O.)
(.508924413742,O.)(-.567724652955,O.) (-9.83665213641E-2,-.300432679563) (-9.83665213641E-2,.300432679563) (-.303086039306, O.)
(.99961452009,O.) (1.,O.) (1.,O.) (1.,O.) (1.,O.)
(.904803830267,O.) (-.4695934249,O.) (-.458255573315,7.03515044225E-2) (-.458255573315,-7.03515044225E-2) (-.766844189822. O.)
(1.,O.) (-.497033946918,O.) (-.213974046817,.240504338382) (-.213974046817,-.240504338382) (.183522037169, O.)
47.5.
MATLAB6.1
49.2.
1.a)ale)Porejemplo,parademostrarque ay+bzesunvectorpropioconvalorpropio 3:
y=[3;4;5);

z=14;9131;a=3*rand(1);
b
=4*(2*rand(1)-(1);
w
=a*y+b*z;
ans
=(A-3*eye(3))*w;.
Verifiqueque ans=O.
ti)Losvectorespropios paraunvalor
propio
dadoformanunsubespacio.
3.a)ale)1)Polinomiocaracterístico =),.,2
+le-12,losvalorespropiosson le=
4convectorpropio (11)'YA=3con
vectorpropio
(-.41)1.6)Polinomio
característico
=A
2
-
4A+13,losva
lorespropiossonA
=2+3iconvector
propio
(-.2-.6i1)'YA=2-3icon
vectorpropio
(-.2+6i1)'.8)Polino
miocaracterístico
=-A+2A
2
+A
2,losvalorespropiossonA =2con
vectorpropio
(131)',A=1convec
torpropio
(321)'YA=-Iconvector
propio
(1O1)1.13)Polinomiocaracte
rístico
=-A
3
-
A
2
-
A-1,losvalores
propiossonA
=-1convectorpropio
(O-11)',A=iconvectorpropio (1+
iI1)'YA=-iconvectorpropio (1
iI1)'.Observeque (-1)"senecesita
porque
polyencuentradet(AJ- A)en
lugarde
det(A- AJ).
e)D(k,k)esunvalorpropiopara Acon
vectorpropioV(:,k).Paranormalizar
unvectorxparaquetenga
norma1,
encuentrex/norm(x).
Respuestasalosproblemasimpares 737
5.a)Lospolinomioscaracterísticosde Ay
Alsonlosmismos.Porlotanto,losva
lorespropiosseránlosmismos.
b)Sugerencia:Debeconsiderar det(A'
AJ).¿Dequémanera serelacionaAl
'Alcon(A- AJ)I?¿Dequémanera se
relacionadet( O)condet(C)?
7.Conclusiónfinal: sixesunvectorpropio
de
Aconvalorpropio A,entoncesx esun
vectorpropio
deA
2
convalorpropioA
2
.
Enelincisoc),comparelaformaescalo
nadaporrenglonesde A-'AlyA
2
-
A
2
J
paraverquelosvectorespropiosseránlos
mismos.
Sugerencia:Supongaque Ax=
'Ax,reescribaysimplifiqueA
2
x=A(Ax).
9.Lasmatricessimétricastendránvalores
propiosreales.Lasmatricessimétricasde
laforma
AAItendránvalorespropiosrea
lesnonegativos.
11.a)4::::;X::::;4,porloquesenecesitancua
trocolores.
b)3.13::::;X::::;4.44,porloque senecesi
tancuatrocolores.
e)3.2::::;X::::;4.6,porloquesenecesitan
cuatrocolores.
ti)2.23::::;X::::;3,porloquesenecesitan
trescolores.
e)2.5::::;X::::;4,porloquesenecesi
tancuatrocolores.Tendráqueexpe
rimentar
paraversisepuedeonoha
cercontres.
1.
n
P¡.n Pa.n
T p¡,/Pa.n
T/T
n
_1n
O O 12 12 O -
1 36 7 43 5.14 3.58
2
21 19 40 1.11 0.930
5 104 45 149 2.31
-
10 600 291 891 2.06 -
19 16090 7737 23827 2.08 -
20 23170 11140 34310 2.08 1.44
Observequelosvalorespropiosson 1.44y-0.836.Losvectorespropioscorrespondientesson
(2.~9)Y(-3¡57 ].

738 CAPíTULO6
3.
n p¡,n Pa,n
T
P¡./Pa,nT/T
n
_1n
O O 20 20 O -
1 80 16 96 5 4.8
2 64 69 133 0,928 1.39
5
1092 498 1590 2.19 -
10 42412 22807 65219 1.86 -
19 3.69x10
7
1.95X10
7
5.64X10
7
1.89 -
20 7.82 X10
7
4.14X10
7
11.96X10
7
1.89 2.12
Losvalorespropiosson 2.12y-1.32con
vectorespropioscorrespondientes
C.~9)y(-~.03}
5.Delaecuación(9), P"'"aIA.;'v¡paran
grande.
SiVI=(:}entonces
Pj"aIA.;'xx (-A.k)
-"'--=-'pero
P
II
."aIA.;'yy' a ~-A.¡
(:)=(~)demaneraque -AIX+ky=OY
xk
-=-.Entonces
y'"
P
j
,,,xk
-'"-'"Y:parangrande.
PII./Iy 1
MATLAB6.2
1.a)Despuésdedosaños(redondeando),
hay
21jóvenesy 18adultos;después
de5años,103jóvenesy 44adultos;
despuésde
10años,587jóvenesy 282
adultos,ydespués de20años,21965
jóvenesy 10513adultos,
b)p./pes2,0895o2.0894paran=21a
),11fUI
25YT/7',,_¡es1.4358para11=21a25.
Estosresultadossonloslímitescorres
pondientesconque
sepuedeconcluir.
e)Losvalorespropiosson 1.4358y
-.8358.Elvalorpropiomásgrande
esigualallímiteproyectadode 7',/
T,,_rLapoblacióncrece yaqueT
n
'"
1.43587','_1Y1.4358 esmayorque 1.
Lasrazonesw/w
2
'ellímitedePi/P
iI
."
yk/Asontodas 2.0895.Larazónde
pájarosjóvenesaadultosa
lalarga
sepuedeencontrarmediante larazón
delascomponentesdelvectorpropio
asociado
alvalorpropiomásgrandeo
sepuedeencontrardividiendolatasa
denacimientoentre elvalorpropio
másgrande,
3.a)Elvalorpropiomásgrande delama
triz
es1.2718,elotrovalorpropio es
estrictamentemenor enmagnitudy
existeunvectorpropio paraelvalor
propiomásgrandecontodaslascom
ponentespositivas.Bajoestascondi
ciones
sehavistoque T/T,,_¡seacerca
alvalorpropiomásgrande.
b)Sugerencia:lapoblacióndeadultosen
elañosiguienteconsistiráenlosnue
vosadultosdelapoblacióndejóvenes
+losadultosquenormalmenteso
breviven-losadultosmuertosporla
caza.Losadultosmuertospor
lacaza
son
hX(poblacióndeadultos).
e)Lascomponentes delosvectoresA"po
seráncada vezmáspequeñas,decre
ciendohastacero.
Elvalorpropiomás
grande
esmenorque l.
d)Elvalordehquemantienelapoblación
establealalarga
esh=4.Paraesta h,
elvalorpropiomásgrande esl.
5.a)Lacomponente ideP"Xrepresentael
númerodecasasquecompran elpro
ducto
idespuésde nmeses.Cuando 11
crece,P"xpareceacercarseaunvector
fijo,(9005001600Y,loqueimplicaque
elporcentajedemercadodecadapro
ducto
seestabilizaatravésdeltiempo.
b)Elvalorpropiomásgrande es1ylos
otrosvalorespropiossonestrictamente

Respuestasalosproblemasimpares 739
menoresenmagnitud.Cualquiervec
torinicialnoseráperpendicularal
vectorpropiocorrespondientealvalor
propiode1(debeexplicar
porqué),de
maneraquelaextensióndelateoría
dicequeF"
Xseacercaríaaalgúnmúl
tiplofijodelvectorpropio.
Seveque
elvectorlímite yesiguala3000 X(el
vectorpropionormalizadodemanera
quelascomponentessumen
1).
e)Elvalorpropiomásgrande es1.Se
encuentra1000w/sum(w),dondew es
elvectorpropioasociadocon elvalor
propio
1;estodaunvectorenladirec
cióndelvectorpropiocuyascompo
nentessuman1000.Estadistribución
alalargatieneaproximadamente333
automóvilesenlaoficina
1,238enla
oficina2
y429enla 3.
d)pttieneunvalorpropiode1ypor lo
tantotambién P
,(11J (20J3.SI'C= C1AC=
, 14' O -1
5.Sí;C=(55J,
2-i2+i
C1AC=(I+i OJ.
O1-i
7.S¡;C~[~:nC-'AC~[~ ~ ~].
-1
[
-0.4140
9.Sí;C=-0.5484
-0.7265
[
1.3247
C1AC= O
O
0.6558
-0.4344+iO.3687
0.8038-0.4885i
O
-0.6623+iO.5622
O
0.6558J
-0.4344-iO.3687,
0.8038
+0.4885i
O :O .
-0.6623- iO.5622
-0.8944]
O,
0.4472
~ ~].A=[~ ~ ~]
OO OOO
H]
-~nC'AC~[~ ~ ~J
[
-0.8760 -0.8760
17.Sí;C=-0.0531-iO.1430-0.0531+iO.1430
0.1593+i0.42890.1593- iO.4289

740 CAPÍTULO6
[2+'5.3852
a
~]
C'AC= a 2-i5.3852
a a
[-2
la
2D
19.Si;c~:
1a
CIAC=
a2+i
a5
[~
aa
j]
-4a
o
aa
21.ComoA essemejanteaB,B=D-' AD
paraalgunamatriz Dinvertible.Bes
semejantea C,C=E-'BEparaalguna
matriz
Einvertible.EntoncesC= E-'D-'
ADE=(DEr
l
A(DE).PorlotantoAes
semejantea C.
Ax=OyaqueNu( C)=O.Demodoque
xENu(A)siysólosixENu(CA).Porlo
tantov(CA)=v(A).Ahorasupongaque
xEIm(A).Entoncesexiste ytalqueAy
=x.ComoCesinvertible,Im(C)=lR".
Entoncesexisteztalque
Cz=y,yACz=
x.Porlotanto Im(A)(;;;Im(AC).Suponga
xEIm(AC).Entoncesexisteztalque ACz
=x.Seay=Cz,entoncesAy=x.Porlo
tanto
Im(AC)(;;;Im(A)eIm(A)=Im(AC)
yporlotanto p(AC)=peA).Entonces
peA)+veA)=p(CA)+v(CA)~peA)=p(CA).
PorloquepeA)=p(AC)=p(CA).Como
C-I
esinvertible,p(C'AC)=p((AC)C')
=peA).Estoes,p(B)=peA)Yporlotan
to
veA)=v(B).
25.ComoAessemejantea B,B=D-'AD
paraalgunamatriz Dinvertible.Entonces
. 1
detB=det(D-IAD)= -d-detAdetD=
dA
etD
et.
23.SupongaqueCesinvertible. SixENu(A)
entoncesCAx=ca=O.Porlotanto27. A
20
=(0
1
~J.
xENu(CA).SixENu(CA)entonces
r
-4X810-5-2X81O+2-2X8
IO
+4]
29.A1o=-i-2X8
1O
+2 -8
10
-8-2x8
1
0+2.
-4x8
I
O+4-2x8
1
0+2-2x8
1O
-5
31.Como Aesdiagonalizable,Aessimilara lamatrizdiagonalD= diag(\,A.
2
'•••,A.,JEn
tonces
detA=detD=\ A.
2
•••A.".
33.Seintroducelamatriz deinterés
ALG
.Acontinuaciónseguardalama-
5'
~,
trizenlavariableA ~:
[
102.-11.56.),seencuentralamatrizdevectorescaracterís
38.-49.75.
83.123.-67.
•A'
__limm:IlllElJj]lnm
ticosylosvalorescaracterísticos delamatrizque seencuentraenlaprimeraposición
[
102.-11.56.).Seobtienecomoresultado
38.-49.75.
83.123.-67.
EGYi
__limm:IlllElJj]lnm
g:
5'
~,
J'
~,[ 1. -.2387
.491290256477-.594~
.706072714146
l'[136.135879171-159.~
__limm:IlllElJj]lnm

Respuestasalosproblemasimpares 741
[
1 -0.238764...-0.493123]
0.491290...-0.594350...0.957040.
0.706072... 1 1
35.
Siserepiteelprocedimientodelproblema 33seobtienecomoresultado
0.355.
0.508.
0.999.
0.904.
1
0.656.
-0.567.
1
-0.469.
-0.497.
-0.001-iO.004.
-0.009-iO.300.
1
0.458- iO.007.
-0.213+iO.240.
0.001...+iO.004.
-0.009...+iO.300.
1
0.458-iO.007.
-0.213+iO.240.
0.008.
-0.303.
1
-0.766.
0.183.
MAllAB6.3
1.Esteproblemailustra queCAC-'yAtie
nenlosmismosvalorespropios.
3.a)D=[-~ ~ ~];C=[~ ~
OO3 15
[2+;
O
b)D~ ~
2+i
O
O
C~[1
O
2
-11+i
Pl'Oblemas6.4,página573
5.Ax=AXdiceque Aexpandeocomprime
ax.Si
Aesdiagonalizab1e,entonces A
expandeocomprime cadavectorpropio
porunfactordadoporelvalorpropio
asociado.
e)Expandeladireccióndadapor(1-1Y
enunfactorde2yexpandeladirec
ción
dadapor(lIYenunfactorde 3.
Parabosquejarlaimagendelrectán
gulo,
tomeladiagonalquevade (-1,
-1)a(1,1)Yexpandaporunfactorde
3en
cadadirección;tomela otradia
gonal
yexpandaporunfactorde2en
cadadirección.
á)1)Niexpandenicomprimeenladirec
ciónde
(l11Y,expandeen unfac
torde2enladirecciónde (345)',Y
comprimeen
unfactorde .5enla
direcciónde
(4913)'.
1.Q~(2I,/5 1/,/5]
D=(~ -~) [-3
O
I-~~]
v.J5-2/.J5'
D= ~
1+2Ji.
O
Q{~5]D=(~ ~).
3.
I'
fifi
[-,
.L
"J [O
O
~]
Q~¡
3
f,D~ ~[,
I
']D~[:
9.
1. 3
fi .J6..fj O
~J
3
5.
Q=- ~
I
~'
2
_1.
O
.J6
3
_....L O-1
11.Seauunvectorpropiocorrespondientea.J6..fj
[l/~
-!~l
Aconlul=1.EntoncesQu=AUy1=lul
.1
=IQ-IQuI=IAQ-Iul=IAQ'ul=IAQul=2
7.Q= -1~Ji.
.1 (yaqueQessimétrica)IA
2
ul=A
2
lul=A
2
•
2
l/Ji.
EntoncesA
2
=1YA=::t:l.

742 CAPÍTULO6
13.1 =det1=det(Q-IQ)=det(Q'Q)=
(detQ')(detQ)=(detQ)Z-yaquedet A'
=detAparacualquiermatriz A.Así,
det
Q=±1y(:~)=Q'=
Q-I=[_d~º-d:ºJ
detQ det Q
SidetQ=1,entoncesc=-b.SidetQ=
-1,entoncesc=b.
15.SilamatrizAde2X2tienevectorespro
piosortogonales,entonces
Aesortogo
nalmentediagonalizable,loquesignifica
que,deacuerdocon
elteorema4,Aes
simétrica.
17.SeaAunvalorpropiode Aconvector
propio
vysupongaque A*=A.Enton
ces
A(v,v)=(AV,v)=(Av,v)=(v,A*v)
=(v,Av)=(v,AV)=X(v,v).Comov"*
O,estoquieredecirque A=Ademanera
que
Aesreal.
19.Use
elproblema14despuésdedemostrar
queacadavalorpropiodemultiplicidad
algebraica
klecorrespondenkvectores
propiosortonormales.Sea
Qobtenida
exactamenteigualqueenlademostración
delteorema
3.Recuer~e que(u,v)=u
I
.
VI
+...+u.V.Q'=Q-1YAessimilara
_n_n _
Q'AQoQ'AQ·IQ'AQ-11=lA-JI;
- -
Q'AQ=(Q'A)Q
o;A
o;A
(ul'u
2
,·..,u
n
)
Ahorab~n,(o;,A*utl=(o;,Au
l
)
=(o;,
\u
l
)=A1(o;,u)=Al=\(porelpro
blema
15)ycomo(o;,u)=o;.DI=1=
o~.DI;entoncesQIAQ=
A¡ 0~AU2 o~Aun
O 0~AU2 ü'Au
2n
Oo'Au ü~Aun2 n
ü~Au=Aü;.ti=Au~'U.=Osi}#-1.
J J I
Ahora(Q'AQ)'=Q'A'(Q')'=Q'A'Q =
-- -
Q'A'Q=_Q'AQ,yaqueA'=A*=A.
Entonces,Q'AQeshermitiana,quequie
red~irqueloscerosen elprimerrenglón
de
Q'AQdebenserlosmismosquelos
cerosenlaprimeracolumna.Elrestode
lademostraciónsiguecomoenlaprueba
delteorema
3,dondeQ'sustituyea Q'.
21.u=~(-\+i l~i}
U*AU~( -~ ~J
MATLAB6.4
1.a)Ingredientes:debidoalaelección
aleatoria,
seesperanvalorespropios
distintos.Cualquiermúltiplodeun
vectorpropio
esunvectorpropio.Los
vectorespropios
paravalorespropios
distintosde
unamatrizsimétricason
ortogonales.
b)Elcomando eigproduceunconjunto
devectorespropiosortonormales.
Utiliceesteconjunto
paraQ.ComoQ
seráentoncesortogonal, Q'seráigual
aQ-I.
3.a)Hechosbásicosausar: sisemultiplica
unacolumnaorenglónde
unamatriz
porcsemultiplicaeldeterminantepor
c.Unmúltiplodeunvectorpropio es
todavíaunvectorpropio paraelmis
movalorpropio.
b)Hechosbásicosausar: unamatrizor
togonaltienecolumnasortonormales;
unvectorperpendiculara
(ab)'esya
sea
(b-a)'o(-ba)'(ounmúltiplode
éstos).Use
elhechodequeeldetermi
nante
esiguala 1.
e)ComoQ'=Q-I,primerosehaceuna
rotaciónnegativadeunángulo,luego

Respuestasalosproblemasimpares 743
seexpandeocomprimealolargo de
losejesxyycomoloindicaladiago
naldelamatriz,
ydespuésserotade
regreso,
esdecir,sehaceunarotación
positivadelmismoángulo.
d)1)Sehaceunarotaciónnegativa de8
-45°,seexpandepor3alolar-
godeleje
xyseexpandepor4a
lolargodeleje
y,despuéssehace
unarotaciónpositivade
8.Vealas
siguientesfiguras.Estotiene
elmis
moefectoqueexpandir
por3enla
dirección
(l-1Yyexpandirpor4
enladirección
de(l1)'.
I
I
d)
r
I
-x
3
rotaciónpositiva
~
de-45"
,
e)b)a)
rotaciónnegativaexpansiónde xpor3
y
~ y~ r
l' de-4Y 1: expansión4,
~CG¡ xED:':~'4
, I
, I
Íl)Rotaciónnegativade8= 150°,ex
pansiónpor3a lolargodeleje xy
expansiónpor2alolargodeleje
y,ydespuésrotaciónpositivade 8.
Laimagendelcírculounitario se
bosquejaenlafigura.
y
blel)1as6.5á¡na583
1.
(-:
-~)(:]-(:)=5;
X'2y,2
esunaelipseconcentro-+-=1
55'
- -
2 2
4 2
~26-6J13 ~26+6J13
enelorigen.
Q=
3-J13 3+J13
2
~26-6J13 ~26+6J13
=(0.95710.2898).
-0.2898
0.9571'
X,2 12
Y =l'
2
[~O+3J [~O_3J '
hipérbola;8=5.989=
343
0
"-
',,-
2
3.
U
~)(:)-(:)=5,
(~
+)(x)(x) 1(1-1)5.
Oy'y=1,Q=Ji11'
Q~[ ~,-*]D=(~ ~}
8=~
D=(~
O) 1tX,2y'2
1'
8=----=1es
"JiJ2
4' _1-'4'2 2 '
2

744 CAPíTULO6
unahipérbolaconcentroen elorigen. 2
.~"
ID
/
/'
/
"
5
2
IIIII
:::t:::!
ID 5 5 10
5
2
10
7.(~ ~)(:}(:)=a>o;
(
lJi
1Ji]
Q=-l.fil.fi;
,2 ,2
~-L=l'hipérbola'8=71t/4=315°.
2a2a' ,
9.Lomismoqueen elproblema5,excepto
queahora
setieneunahipérbolaconlos
papelesde
x'yy'cambiados;como a<
O,setiene
y'2X'2_
------1
(-2a)(-2a)
2
15.(_~-1)(:}(:J=1,
Q=(¡1:2~ J~::~],
-1 1
J4-2J2J4+2J2
D=(5+~·J2 OeJ,8",,5.515rad,
O~
2
5+3.fi125-3Ji121
----'--x+ y=,esuna
2 2
elipseconcentroenelorigen.
2
\
\
2 2
Q=(IJi-lJi];
1Ji1Ji
2
\,
y'2=O,queeslaecuaciónde unarecta
quepasa
porelorigen;8 =1t/4=45°.
D=(2+.fiO],8=71t,
O2-.fi4
12 12
(1~/l3)-(1:/13)=1;hipérbola;
8""0.197 ""l1.3¡o
12
_x__+
1
2+.fi
centroen elorigen.
1,esunaelipsecon

[V~
l/Ji
V~]
Q=l/fi-l/Jil/16.
l/fio-2/16'
-X
'2+2y'2+2Z
/2
[i
-'-
~B[;}
2
21. 1
O
I I
,:
fi.2..fs2..fs
º{:
3
~'
JIO
-L
fi.2..fs2..fs
2+JlO12 12 2-JlO12
X+y+ Z
2 2
h
-1
-;)(;Jt}
23. 2
-1
c+:
11]
OI,/2+3Z/2
-2I
[i
O-'-
-~]
2
25.
I
O
OO
-'-O
2
27.Observequedet
A<Oyaqueporhipóte
sistenemos
unahipérbola.Porlo tanto
detA<Oparacualquiervalorde dyla
ecuaciónrepresenta
unahipérbolapara
cualquiervalorde ddiferentedecero.
29S
·
n
•1a=eentonces cot2e=0~28=±-
2
~=8=±~
4'
31.F(x)=Ax·x=Dxl·X'.D=diag("'I,...,"'J.
Perosi Dx'.x'>O,paratodox' EpI,en
tonces\
2:O,1:::;i:::;n.SiDx'.x'>Opara
todox'*-O,entoncesDel'el="'1>O,
De
2·e2="'2>O,...,De"·e"="'">0.Si
Al>O,I:::;i:::;n,entoncesDx'.X'=Al(X;)2
+"'+"'2«)2=F(x)2:0,paratodoX'E
l2"yF(x)=Osiysólosix=o.Porlo
tanto
F(x)espositivadefinida siysólosi
Respuestasa losproblemasimpares 745
todoslosvalorescaracterísticosde Ason
positivos.
33.A =(~ ~}'"=2,3;laformacuadrá
ticaespositivadefinida.
35.Definidanegativa.
37.Esindefinida.
39.Espositivadefinida.
41.Esindefinida.
43.Negativadefinida.
45.1)SidetA*-0,entoncesni\ni"'2son
cero.Así,con
d=O,laecuación(22)
seconvierteen A
I
X'2+A
2
X
'2
=O.Si
ahoratanto\como 1.,2sonpositivoso
negativos,laecuación
sesatisfacesólo
cuandox'=°yy'=O,loquecorres
pondeal
punto(O,O).SiAlY"'2tienen
signosopuestos,entonceslasecuacio-
nes
seconviertenen x'=±~"'2y',
-Al
quesonlasecuacionesdedosrectas.
SidetA=O,entoncesunadelasdos,
\o
1.,2escero,ylaecuaciónsecon
vierteen
x'=Ooy'=0,cada unade
lascualeseslaecuacióndeunarecta.
MAllAB6.5
(
2
.S)
1.Paraelproblema12,A= . Elán-
.SI
guladerotaciónes8=202.Sylaecua
ciónes2.207Ix'2
+.7929y'2=4.Setrata
deunaelipseydet(A)>O.Semuestrael
bosquejo.

746 CAPíTULO6
y
x'
I
I
I
I
.2.
I
, I
"" +~'1/
, I/
----- -1---1(~~~~ ~,--1---t---- x
4.. I '"'"
3.Paraelproblema4,A=(0,SJ.Elángu-
.S°
loderotaciónese=3ISOYlaecuación
es-.SX'2+.SX'2=1.Esunahipérbo
la
ydet(A)< O.Semuestraelbosquejo.
Problemas6.6ágina592
19.C=(IItJ,J=(-SIJ.
10-S
1.No.
7.Sí
13.Sí.
3.No.
9.No.
15.Sí.
5.Sí.
11.Sí
17.Sí.
(A+2l)v,=v,=>v,=HJ
(A+2/)v,~v,=>v,{!}Portanto
21.e=e~).J=( ~ ~)-
23.).~-I, (A+l)v,"O=>v,"lH
(A+l)v,"V,=>v,"l:l
(A+l)v,~v,=>v,{J
c=r=~ =~ ~j'J=[-~ -~ ~j.
l73 -2°0-2
27.Utilizandoinducción semostraraque N;
(
O(k-r+l)x(r-l)Nk-r+l]
=0Cr-I)Xcr-l)0cr-I)X(k-r)'
Sir=1,elresultadoesverdadero.Su
pongaque
elresultadoesverdaderopara
r=l.SeaN
k
=(n)yN:=(a).Entonces
k
N:+1=(b)dondebij=¿Asas}"Si)=5I
5=1
+1oi~k-1,entoncesb=O.Si)>I
lj
+lei<k-l,entoncesb=n··+1a·+
I
·(J 1,11,)
Porlotanto
c=í;~;],J=í-~-: ~].
loI-1loo-1
__JI'si~,))=(u, ~+~+l),
-a¡+I,j-u-I,2,,,.,kr1
0,deotromodo
loquesignificaque
25.).~-2, (A+2l)v,=o=>v,=[=n
/+1=(O(k-/)X(I)Nk_/]
N
k
•
O/XI 0IX(k-l)
PortantoN
k
tieneíndicedenilpotenciak.

Respuestasa losproblemasimpares 747
n
OO
~}n
O
~]f¡
OO
!]f¡
1O
!]
29.
-1O -1O -1O -1O
O
2 O2 O2 O2
OO OO OO OO
[~
OO
JW
O
J][~
O
JI
3O 3O 31
31.
O3 O3 O3
OO OO OO
Losbloquesde lardansepuedenpermutarenladiagonal.
4OO OO 41O OO 41OOO
O
4O OOO 4O OOO 41OO
33.OO 4OOOO 4OOOO 4OO
OO
O-3OOO O-3OOO O-3O
OOOO-3OOO O -3OO OO-3
4lOOO4 lOOO 4.OOOO
O4lOOO4O OO O4 OOO
O
O4OOOO4 OOOO 4OO
OO O-3 1OOO -3 1OOO -3 1
OOO O -3OO O O-3OOOO-3
Losbloques delardansepuedenpermutarenladiagonal.
2OOO OO 2OOOOO
O
-2OOOO O-21OOO
35.
OO -2OOO OO-2OOO
O
OO-2OO OOO-2OO
OOOO
-2O OOOO-2O
O
OOOO -2OOO OO-2
2OOOOO 2OOO OO
O
-21OO O O-21OOO
OO
-21OO OO -21OO
O
OO -2OO OO O-2lO
O
OOO-2O OO OO-2O
OOOOO -2 OOOOO -2
2OOOO O
O-21OO O
OO -21OO
OOO -2lO
OOOO -21
OOO OO -2
37.ComoC-1AC=J,entoncesdetC-1detAdetC =detA=detJ=11)'2."'A,,.

748 CAPíTULO6
MATLAB6.6
1.a)Demuestreque
(A-2l)(col1)=O,
(A-2l)(coI2)=OY
(A- 3l)(col3) =O.Paraelincisoiv)
utilicelaspropiedadesdesemejanza
paraconcluirque AyJtienenlosmis
mosvalorespropios
conlascorrespon
dientesmultiplicidadesalgebraica
y
geométrica.Essencillo determinarlas
Problemas6.7,tlligina604
multiplicidadesalgebraica ygeométri
ca
paralosvalorespropiosde J
e)ParaA=2,lacolumna1esunvec
torpropioylacolumna2esunvec
torpropiogeneralizado;tienemulti
plicidadalgebraica2
ymultiplicidad
geométrica
l.ParaA=3,lacolumna
3esunvectorpropio ylacolumna4
unvectorpropiogeneralizado;tiene
multiplicidadalgebraica2
ymultiplici
dadgeométrical.
l[ -!..(J3t]J"3el+2e2cos2
!(5e-41+2e
31
2e-41-2e
31
) el(2sent+cast-5sent)
1. 5.
75e-
41
-5e
31
2e-
41
+5e
31
sent -2sent+cast.
3.
(e'cas(2t)e'Sen(2t»)
7.e-31e-7t-7t)
-elsen(2t)e'cas(2t) 7t·1+7t
9.e-
S/(1-7t7t)
-7t1+7t
~(e'-e'[cos(~']-~~( ~I]]) ~(e'-e~H~}~~( ~]])
11. ~(e'-e~[oo{~]+~=( ~']]) ~[e'+2e~oo{ ~]J ~(e'-e~H ~']-~~(~]])
~(e'-e-'[m{~]-~~( ~']])~(e'-e'H~}~~( ~]]) ~[e'+2e~oo{ ~I]J
13.x(t)= el(;).ambaspoblacionescrecena unatasaproporcionala e'.
17.a)
[
O
-axl(O)O)
xl(t)= ~aX1(~)-J3~x(t),
XI(O)+[x
2(0)(-ax
1
(O)e(aXI(O)-~~ +aX
I
(O»)J/[aX
I
(O)-J3]
x(t)= x
2
(O)e(ax,(O)-~)1
X
3
(O)+[x
2
(O)(J3e(axl(O)-~)1 -J3)J/[ax)(O)-J3]

b)Sia.x
l
(O)<~,entoncesx;<Oloque
implicaquelaenfermedadnoprodu
cirá
unaepidemia.
e)Sia.x
l
(O)>~,entoncesx;>Oloque
implicaquelaenfermedadproducirá
unaepidemia.
19.x=3e-
21
-2e-
31
.
1
21.x=-sen2t.
2
23.N~=N
3
N
3
=
[~ ~ ~J[~ ~ ~J=[~ ~°oIJ,
00000000
Problemas6.8,¡lligina613
1.a)p(')..,)=')..,2+')..,-12=O;
b)p(A)=A
2+A-121
=(142)+(-2
511-5
+(-12 O)=(0
O-12 O
e)A-
1=~(-I-2)
12-52
3.a)p(')..,)=_')..,3+4')..,2-3')..,
b)p(A)=-A
3
+4A
2
-3A
=-[-~ -1:-;]
4-95
+[-I~ -~~-1;J
4-12 8
Respuestasalosproblemasimpares 749
25.Jt =Alt+N/.Entonces
e
J1
=e(IJI+NI)=e
lJteN,I.Porlotanto
27.e
AI
=e-
21
[1-+'-51'
-18t+.1t
2
-71-'1']2 2
t-3t
2 I-IIt+.J.t
2
-4t-.J.t
2
2
1+
IOt~tt2.-t+7t
2
25t-tt
2
["
te
21
O
:,]
~,,~ e~29.
e
21
O
O
e
31
OOe
3
'
-H~~-:J~[~ ~ ~J
e)A-Inoexiste.
5.a)p(')..,)=3')..,2-3')..,+1=0
b)p(A)=-A
3
+3A
2
-3A+I
=-[~=~:J+[~-~ ~J
6- 1510 9-2418
-[~ -~~H~!~J
~[~ ~ ~]
e)A' ~[~-;~J

[
-
27
e)A-
I=t-6
19
750 CAPíTULO6
7.a)peA)=-A
3
+6A
2
+18A+9=o
b)peA)=-A
3
+6A
2+18A+91
=-[1;~ 1~: ~~:]
168204315
+[1~:1:~ 2~:I
150114 252)
+[~~=::l~;]
189054
+[~ ~ ~]=[~ ~ ~]
009000
1~-069]
-11
9.a)peA)=(a- A)4
b)peA)=(al-A)4
~[~
-bO
-~]'
O-e
OO
OO
{
OO
~]
OO
OO
OO
IV'
-b/a
2
eb/a
3
-bed/a
4
e)['~:
l/a-c!a
2
cd/a
3
O l/a-d/a
2
O O l/a
13.a)IAI:s:10.5y-1O.5:s:ReA:S:5.75
y=Imz
y=1mz (x-6)2+/=1
(x-4)~/= 1I
O x=Rez
2t
(X-3)2+/=~
(x-5)2+/=I
O
-8
t
-6-4-2
(x+7/+/="*
(x-4)2+/=1
\
x=Rez
15.Como Aessimétrica,losvalorespropios
de
Asonreales.Entonces, porelteorema
deGershgorin,
A=ReA~4-(2+1+1-)=i.
17.a)F(A)=BoC
o+BoCIA+B,CoA+B¡C
I
A
2
b)P(A)Q(A)=(B
o+B¡A)X(C
o
+C¡A)=
BoCo+BoCIA+B¡ACO+B¡ACIA
F(A)=BoC
o+BoCIA+B¡COA+B
IC¡A
2
F(A)
=P(A)Q(A)siysólosiCoA=AC
o
(eneltercertérmino)y AC,A=C¡A2en
elcuartotérmino.
19.det
A=Al'A
2
,
•..,A".SidetA=O,en
tonces
A¡=Oparaalguna i.PerolA,-a)
::sr¡demaneraque 10-IO- a¡;!=la)
::sr
ploqueesimposibleyaqueAesun
determinantecondiagonalestrictamente
dominante.Porlotanto,\
*Oparai=1,
2,...,nydetA*O.
MATLAB6.8
l.Paraelproblema1,A-
1
=1/12(/+A).
Paraelproblema13,A-'=-/-A
A2.
3.Debeobservarsequelosasteriscos (*)
blancosestándentrode launióndelos
círculos.

1.4,-2;E4=gen{C)};E_2=gen{U)}
3.2,E
2=gen{(~)}
5.Losvalorespropiosson
1,-1,5,
11.1.,1,2=7::±:~J15, EA,=gen[15~M]'
4J3Q
[
h]
E=gen .
A, 15-iJ15
4J3Q
Respuestasalosproblemasimpares 751
13.Lamatrizessimétrica,
[
_-.L-.LO].Ji..Ji.
- 1 1 O
Q-.Ji..Ji.'
OO1
[
2O
O]
QTAQ=O6 O,
OO-3
15.Lamatrizessimétrica,
[
k
O-k]
Q=O1o,
....LO-L
f13 f13
17.Lamatriz esdiagonalizable.
c=[-i~-!~],
O111
C'AC~[~ ~ ~ ~]
19.c=[-~ ~ ~ -~].
O1O O'
-1-1-12
C'AC{~-;~ ~]
12 12
X Y .
21. + =1;ehpse
8/(3+fi)8/(3-fi)

27.C=(2-1).C1AC=(-2 1)
1O' O-2
752 ApÉNDICES
ApÉNDICES
23. r.:::
10/(",13+3)
25.4X'2-3y'2.
10/(.J1j- 3)
1:hipérbola
(
-el+2e-12e'-2e-')
29.
-e'+e-I2e'-e-
I
31.e-I(cos2t-sen2t- 2sen2t)
sen2t cos2t+sen2t
ProblemasA1,página627
1.Primero,¿esciertoparan=1?2=1(1+1);
síloes.Ahorasupongaqueesciertopara
n=k.Entonces2+4+6+ ...+2k=
k(k+1).Ahorasedebedemostrarquees
cierto
paran=k+1;esdecir,sedebe
demostrarque2+4+6+ ...+2k+
2(k+l)=(k+l)[(k+1)+1].Sesabeque
2+4+6+ ...+2k+2(k+1)=k(k+1)
+2(k+1)(hipótesisdeinducción)
(k+2)(k+1)=(k+1)[(k+1)+1].
3.Primero,¿escierto paran=1?
5.¿Esciertoparan=1?Sí,
(~)'=~<f=1.
Ahorasupongaqueesciertoparan=k;
esdecir,(~J<];'Entonces(~J+I
!(!)*<!(!)=_1<_1_yaque2k
22 2 k2kk+l'
>k+1sik>l.
queesciertoparan=k.Entonces2+5
2+5+8+...+ (3k-1)+(3k+2)
k(3k+1)+(3k+2)
2
3e+k6k+4
---+--
2 2
3e+7k+4
2
k(3k+1)
+8+···+(3k-l)= .
2
Debedemostrarsequeesciertoparan=
k+1;esdecir,debedemostrarse que
2+5+8+...+ (3k-1)+(3k+2)
_(k+1)[3(k+1)+1]
2
=(k+1X3k+4)
2
3e+7k+4
2
Sesuma3k+2aambosladosdelaecua
ciónenlahipótesis
deinducciónyse ob
tiene
2
1(3'1+ 1).
--'---------'-;SIloes.Ahorasuponga
2
7.¿Escierto paran=I?Sí,yaque1+2=
2
2
-
1.Ahorasupongaqueesciertopara
n=k;estoes,1 +2+ 4+...+2*=2*+1
-l.Debedemostrarsequeesciertopara
n=k+1,oque1+2+ 4+...+ 2*
+2k+1=2*+2-1.Sesuma2k+'aambos
ladosdelahipótesis deinducciónyse ob
tiene
1+2+4+...+ 2*+2*+1
=
2*+1-1+2*+1
=2.2k+1-1
=2*+2-1
9.¿Escierto paran=I?Sí,yaque1+!=
2
1
2--.Ahorasupongaqueescierto
2
1
paran=k;esdecir,
11 1 1
1+-+-+···+-=2--
24 2* 2*
Sedebeprobarparan=k+1;estoes,
1l l 1 1
1+-+-+···+-+--=2--
24 2*2k+1 2*+
Sume_1_aambosladosdelahipótesis
2*+1
deinducciónparaobtener

1 1 1 1
1+-+-+···+-+--
2 4 2*2*+1
1 1
=2--+-
2*2*+1
2 1
=2---+-
2*+12*+1
1
=2-
2*+1
1
2(1+1)2
11.¿Escierto paran=I?Sí,1
3
4
Ahorasupongaqueescierto paran=k;
esdecir,
e+ 23+ 33+ ...+e=e(k+1)2
4
Setieneque
demostrarparan=k+1;
estoes,
(k+
If[(k+1)+1]2
4
k4+6e+13e+12k+4
4
Sume(k+1)3aambosladosdelahipóte
sisdeinducción.
e+ 2
3
+ ...+e+(k+1)3
e(k+1)2
= +(k+I)3
4
k4+2e+e
-----+e+3e+3k+1
4
e+2e+e4e+12e+12k+4
-----+-------
4 4
e+6k
3
+13e+12k+4
4
13.¿Escierto paran=1?Sí,1 . 2=
1·(1+1)·(4-1)Supongaqueescierto
3
paran=k;esdecir,
1. 2 + 3 . 4 +
...+(2k- 1X2k)
_k(k+IX4k-l)
3
Ahorasepruebaparan=k+1;estoes,
l·2 +3·4+(2k-IX2k)+
(2k+lX2k+2)
(k+1Xk+2X4k+3)
3
Respuestasalosproblemasimpares 753
4e+ISe+17k+ 6
3
Sesuma[2(k+1)-1][2(k+1)]=(2k+
1)(2k
+2)aambosladosdelahipótesis
deinducción.Seobtiene
1·
2+3·4+...+(2k-IX2k)+
(2k
+lX2k+2)
k(k+lX4k-1)+(2k+IX2k+2)
3
4e+3e-k+4e+6k+ 2
3
4e+3e-k12e+18k+ 6
-----+-----
3 3
4e+ISe+17k+6
3
Algunosdelosejerciciosutilizan elhecho
pequesiunenteromesdivisorde unen
tero
ayesdivisorde otroenterob,enton
ces
a+besdivisibleentre m.
15.¿Esciertoparan=I?Sí,ya que1
2
+1
=2espar. Supongaquek2+kespar.
Ahorapruebeparak+1;esdecir,setie
ne
quedemostrarque(k+1)2+(k+1)es
par.Pero
(k+1)2+(k+1)=
e+2k+ 1+k+ 1
=(e+k)+(2k+2)
Ahora2esdivisordeP+kporhipótesis
deinducción.Esevidente
que2kesdivisi
bleentre2 yque2esdivisibleentre
2.Por
lotanto,2esdivisorde
P+k+2k+2,
lo
quequieredecir queespar.
17.¿Esciertoparan=I?Sí,porque1
(P+S)
=6esdivisibleentre 6.Ahorasupongaque
escierto
parak,estoes,que
k(P+S)es
divisibleentre
6.Ahorasedebeprobarque
(k+1)[(k+
IY+5]esdivisibleentre 6.
(k+I)[(k+ 1)2+S]
=(k+I)(e+2k+6)
=(k+1)(e+S +2k+1)
=k(e+S)+(e+S)
+k(2k+1)+(2k+1)
=k(e+S)+3(e+k)+6

754 ApÉNDICES
Ahorak(P+5)esdivisibleentre6 porla
hipótesisdeinducción;esclaroque 3(k
2
+k)esdivisibleentre 3yespar, porel
problema15,entoncesesdivisibleentre
6,yporsupuesto6esdivisibleentre 6,de
maneraque6esdivisorde
laexpresión
dada.
19.Elproblemaesciertosin=lpuesXl-1
esdivisibleentre
x-l.Ahorasuponga
que
x
k
-
lesdivisibleentre x-l.Setie
ne
quedemostrarque x
k
+)-lesdivisible
entre
x-l.Ahorabien,
x
k+I-l=x
kX-1=x
kX-X+x-l
=x(x
k
-
1)+(x-l).
Elprimertérminoesdivisibleentre x-l
porlahipótesisdeinducción,y elsegun
dotérminoenlasumaesdivisible
por
x-1;entoncesx-1esdivisorde laex
presióndada.
21.
Sin=1,(ab)1=alb
l=ab,demaneraque
escierto.
Ahorasupóngaloparan=k;
esdecir,(ab)k=akb
k
Debedemostrarse
parak+1;esdecir,(ab)k+I=aHIb
H
I
Ahorabien,
(ab)HI=(ab)k(ab)=akbkab
=a
kab
k
b
(yaquelamultiplica
ciónesconmutativa)
=ak+1bk+1
ProblemasA2á¡na638
23.Delteorema2.2.1,det A
I
A
2
=detA)det
A
2
,
asíque elresultadosecumple para
n=2.Supongaque secumplepara n=k.
Entonces,
detA)A
2
•
••AkA
k +1
=detA)A
2
•
..A
k
detA
k +)
(usandoelresultadoparan=2)
=(detA
I
detA
2
•••detAJdetAk+I
(usandoelresultadopara n=k)
=detA
I
detA
2
•••detA
k
detAk+l'
queeselresultadopara n=k+l.
25.n=1;hayexactamentedossubconjuntos
deunconjuntoconunelemento:
elcon
juntomismoy elconjuntovaCÍo.Ahora
supongaquehayexactamente 2
k
subcon
juntosdeunconjuntoconkelementos.
Considereunconjunto
Aconk+1ele
mentos.Elimine
unoyllámeloaH!"El
restodeloselementosformaunconjunto
con
kelementos.Esteconjuntotiene 2
k
subconjuntos.Agreguea
HI
acadauno
deestos
2
k
subconjuntosparaobtener
otros
2
k
subconjuntos.Enotraspalabras,
Atiene2
k
subconjuntosquecontienenal
elemento
a
k
+
1
y2
k
subconjuntosquenolo
contienen;estohaceuntotalde
2
k
+2
k
=
2
HI
subconjuntos.
27.
Noesciertoparan=2.Enestecaso, SIy
S2sonajenos y,porlotanto,no sepuede
decirqueh
l
=h
2
•
1.9-7i.3.9+2i.5. 29+2i.
39.-4-2i=-4+2i
7.-27+5i.
41.16
"
43.2e -'7
15.6el·/
6
)i
51ti
19.12e6
23.e
2
"i=1
27.3.[3+3i
35.3+4i
2.
17.-1+i.[3=2/
3
21.2e
i
(4'/3)=2e-i(2"/3)
25.-fi+ifi
4 4
29.-2.[3+2i
37.4-
6i.
3.
45.7 e-'5=7e
l
"i/5
47.e-0012i
49.Buscamoslosnúmerosz =a+iPtalque
z
=-Z,porlotantoz=-Z~a+ip=
-(a+iP)~a+iP=-(a-iP)~a=0,
estosignificaquelosúnicosnúmerosque
tienenlapropiedadz
=-zsonaquellos
quesuparterealescero,esdecir,z
esun
imaginariopuro.

51.Laecuacióndeunacircunferenciacentra
daenelorigenderadiounitariosepuede
escribircomo
x
2
+y2=1.Seaz=x+iy
entoncesIz1
2
=zz=(x+iy)(x+iy)=
x
2
+y;porlotantouncírculounitario se
puederepresentar porIzI=I.
53.Esel
conjuntodepuntosqueincluyenal
círculode
radioacentradoenZoyatodo
suinterior.
55.
Supongaquepez)=Z"+aZ"-1+...+
/1-\
alz+a
o=O.Entonces
Z"+aZ"- 1+...+az+a=O=O=
11-1 1 o
z"+az"- I+...+az+a=
,,-1 1 o
z"+a"_ 1z"- 1+...+al;+a
o(yaquelas
asonreales)=z"+aIZ"-I+oo.+alz
1 1/-
+a
o
=pez)=O
blemasA3á¡na647
1.0.33333333x100
3.-0.35X10-
4
5.0.77777777XlOo
7.0.77272727 X10
1
9.-0.18833333X10
2
11.0.23705963 X10
9
13.0.83742 X10-
20
15.Ea=0.1,E,=0.0002
17.
Ea=0.005,E,=0.04
19.
Ea=0.00333...,E
r ~0.57143X10-
3
21.Ea=1,Er~0.1419144 X10-
4
23.Existentresoperacionesdiferentes: 1)di
vidir
elrenglónientrea
ii
;2)multiplicarel
renglón
ipora
ii
,j>iyrestarlodelren
glón
j;3)hacerunasustituciónregresiva.
L
.
'1).'fn(n+1)
aoperaClOnreqUIere Lk=----'---"-
k=1 2
multiplicaciones.Laoperación2)requiere
/1-1 n-l ,,-1
Ik(k+I)=Ie+~>
k~1 k=1 k~1
Respuestasa losproblemasimpares 755
Aquí,se hausadoelhechodeque para
cualquierentero k.Zk=Zk.Estosededu
cefácilmente
siseescribezenlaforma
polar.Siz=re-
ifJ
,entonces
z"=r"ei"s,Z"=r"e-i"e,Z=re-iSy
Zll=r
n
e-;,,9=Z".
57.Como(cos8+isenS)1=cosl·8+isen
I.S,lafórmulade DeMoivresecumple
paran=1.Supongaquesecumple para
n=k;esdecir,(cosS +isen8)k=cosk8
+isenk8.Entonces(cose+sene)k+1=
(cose+isen8)k(COSe+isene)=(coskS
+isenk8)x(cose+isene)=[coske
cosS-senkSsen S]+i[senkScosS+
coskSsen
S]=cos(kS+S)+isen(kS+
e)=cos(k+I)S+isen(k+I)S,queesla
(órmulade
DeMoivreparan=k+l.
=(n-1)n(2n-1)+(n-I)n
6 2
(n
3
-
n)I.r. L
3mutJplcaClOnesysumas.a
operación
3)requiere
11-1(n-I)nn
2
-n...
~k=2=-2-multIphcaClOnes
ysumas.
Sisesumanestasfraccionesse
obtienenlosresultadosdeseados.
25.Existentresoperaciones:
1)dividirelren
glón
ientrea
ii
;2)multiplicarelrenglón
iporaii'j>iyrestarlodelrenglón j;3)
guardarlosnelementosenladiagonaly
multiplicarlosalfinal.
Laoperación1)re-
• 11-1n(n- 1)...
qUIere~k=2multIphcaclOnes.
Laoperación2)requiere
~I 2n(n-1X2n-l)..,
Lk = multIphcaclOnes.
k~1 6
Laoperación3)requieren-1multipli
caciones.
Lasumaes
n-1 1
-[3n+n(2n-l)+6]=-(n-1X2n
2
+
6 6
1 3 n
3
2
2n+6)=-(2n+4n-6)=-+-n-1
6 33

756 ApÉNDICES
multiplicaciones.Uncálculosimilarlle
va
alnúmerodesumasdadasenlatabla
A.1.
ProblemasA4á¡na655
1.Xl=1.6,x
2
=-0.800002(elvalorreal es
-0.8),x
3
=-3.7
3.Xl=-0.000001,x
2
=-2.61001,Xl=4.3.
Lasoluciónexacta es(O,-2.61,4.3)
5.a)conpivoteo: XI=5.99,Xl=-2,x
3
=
3.99
b)sinpivoteo:Xl=6,Xl=-2YX
3
=4(Sí,
algunasveces
esmejorseguirlatrayec-
27.
7545microsegundos=7.545X10-
3
se
gundos.
29.mqnmultiplicacionesymq(n- 1)sumas.
toriamássencilla.En
elproblema6 el
pivoteodarespuestasmucho másexac
tas.)Loserroresrelativosconpivoteo
son
óbo=0.0017,O,Y4~O=0.0025.
7.
Unasoluciónredondeadacontrescifras
significativases
XI=1050Yx
2
=-1000.
Lasoluciónexactaes XI= 151~50""1204Y
Xl=151~""-1154.Loserroresrelativos
son
0.1279~13%Y0.1334~13%.

,
IDICE
-\ditivo(a)
identidad,282
inverso,
282-\ujugadadeunamatriz, 205
-\djuntadeunamatriz, 205
-\ju5te
depolinomiosapuntos, 35
derectaporpartes,431
-álisisdeinsumo-producto,17,104
-guloentre
dosplanos,274
dosvectores,234
-gulosdirectores,248
.-tisimétrica,matriz,121,196
-\proximación
pormínimoscuadrados, 411
porunarecta,412
.-eagenerada
pordosvectores,
258
porunamatriz, 176.-gumentodeunnúmerocomplejo,
633,634
.-istadeunagráfica, 152
.-\xiomadeelección,448
Balanceodereaccionesquímicas,
41
Base,226,332, 348
cambiode,366
canónica,332
pruebadeexistenciade,444
Biyección,
506
C[O,1),285
C[a,b),28.5
Cl[O,1),295
Cn-I)[O,1],327
(.44
C".44,285
Cadena,155,446
2-cadena,
155
3-cadena,155
n-cadena,155
redundante,155
CadenadeMarkov, 84
Cambiodebase,366
Característica(o)
ecuación,
526
polinomio,526
valor,525
vector,525
Carroll,Lewis, 203
Cauchy,Augustin-Lonis(1789-1857), 203
Cayley,Arthur(1821-1895),71,608
Cero
espaciovectorialdedimensión,
335
matriz,45
solución,
37
transformación,461
vector,43,222
Cerradura
bajolamultiplicación
porunescalar,
282
bajolasuma,
282
Ciclonodirigido, 331
Ciclosen digráficas,331,364
Circunferencia,
578
CircunferenciasdeGershgorin,610
Cofactor(es),
171
expansiónpor, 172
Columnadeunamatriz, 45
Compatiblebajo lamultiplicación,60
Complejidadcomputacional,642
Complejo,
plano,632
Componente
(Veatambién: Elemento)
deuenladirecciónde
v,238,251
deunvector, 43
deunamatriz, 45
Compresiónalolargodeleje xodeleje
y,488
Conjugadodeunnúmerocomplejo,632
Conjuntogenerado
porunconjuntodevectores, 301
porunespaciovectorial,300,447
Conjuntopotencia,
445
Convergencia(numérica),642
Coordenadascartesianas
en
(¿J,sistema
de,246
Corte,490,
491
Cosenosdirectores, 248
Cotasuperior,446
Cramer,Cabriel(1704-1752),212,
213
Crecimientodepoblación, 427,546,600
Criptografía,117
Cuadrática
aproximación,415
ecuación,
576
forma,576, 582
Cuaterniones,42, 48
DeMoivre,Abraham(1667-1754),637
DeMorgan,Augustus(1806-1871),627
Deformacionesanticlinales,429
Descomposicióndeunvector,
397
DesigualdaddeCauchy-Schwarz,241,
441
Desigualdaddeltriángulo,225,253,
403,441
Desplazamiento,430
Desviar,
385
Determinante(s),99, 168
brevehistoriadelos, 203
deunamatrizde2 X2,100,168
interpretacióngeométricade, 175,
178,257
deunamatrizde3
X3,169
deunamatrizde nXn,172
deunamatriztriangular, 173
deVandermonde,197
propiedadesdelos, 182
Determinanteseinvcrsas,204
Diagonal
deunamatriz,94,
172
principal,94
Dígitossignificativos,640
Digráfica,331,364
Dimensión,
335
Direccióndeunvector,222, 223, 247
Discodearchivos m,656
Distanciadeunpuntoaunarecta, 62
Distribucióndecalor, 33
Dodgson,Charles(1832-1898)[Lewis
Carroll),
203
Dominioindirecto, 157
eA,597
Ecuación
cartesianadeunplano,
267
diferencialmatricial,596
matrizdesoluciónprincipal,
598
vectorialdeunarecta, 263

758índice
Ecuaciones
diferenciales,91,
595
deprimerorden,596
desegundoorden,
91
valorinicialde, 595
estándardeunacónica, 578
paramétricasdeunarecta,264
simétricasdeunarecta,264
Eigenespaciooespaciopropio,
526
Eigenvalorovalorpropio, 525
multiplicidadalgebraicadel, 528
multiplicidadgeométricadel,534
Eigenvectorovectorpropio,
525
generalizado,590,594
Eje
x,244
y,244
z,244
Ejesprincipales,578
teorema,578
Elemento(Veatambién:Componente)
deunvector,
43
deunamatriz, 45
maximal,446
EliminacióndeGauss-lordan,
9,15
modificaciónde,646
Eliminacióngaussiana,
15,136
conpivoteocompleto, 651
conpivoteoparcial,649
Elipse,
579
Elipsoide,582
Equilibrio,604
Error
absoluto,
641
acumulado,641
cuadráticomedio,438
deárea,438
deredondeo,
641
máximo,438
relativo,642
Escalar,
48
Espacio
delascolumnasdeunamatriz,344
delosrenglonesdeunamatriz,344
desoluciones,
336
nulodeunamatriz,337, 343
propio,526
Espaciovectorial,220,
281
axiomasde, 282
basepara,226,332
complejo,286
complementoortogonaldeun,326
dedimensióncero,
335
dedimensiónfnita, 335
dedimensióninfnita, 335
dimensionde, 335
isométricamenteisomorfo,514
isomorfo,506
productointerno,432
real,282
subespaciodeun,
288
trivial,283
Espaciosvectorialesisomorfos, 506
isométricamente,514
Estabilidad(numérica),642
Euler,Leonhard(1707-1783),68,635
Expansión
a
lolargodel ejexodelejey,488,489
porcofactores,171
Exponente,640
Factorización
LVdeunamatriz, 136,184
Flujodetráfico,34
Forma
cartesianadeunnúmerocomplejo,
631
cuadráticaindefinida, 585
escalonadaporrenglones, 13
escalonadareducidaporrenglones, 13
matricialdeunsistemade
ecuaciones,
88
polardeunnúmerocomplejo, 635
Formula
deDeMoivre,
637
deEuler,635
Funciónvectorial, 596
Gauss,KarlFriedrich(1777-1855), 9,21
(semblanza)
Geologíapetrolera,429
Gershgorin,
S.,611
Gibbs,losiahWillard(1839-1903),259
(semblanza)
Girar,
385
Gradocero,284
Gráfica,
54,153,544,553
aristadeuna, 153
conexa,544
dirigida,
153
representaciónmatricialdeuna,
153
númerocromáticodeuna, 544
vérticedeuna, 153
Gram,lórgenPederson,(1850-1916),
389
Hamilton,SirWilliamRowan,42, 48, 52
(semblanza),226,254, 259,604
Hipérbola,
579
Hiperplano,340
Hipótesisdeinducción,624
Identidad
aditiva,282
matriz,
94
operador,462
transformación,462
IgualdaddeParseval,
403
Imagen
deunvector,474
deunamatriz,
343
deunatransformaciónlineal,474
Inclinar,
385
Índice
deGold,554
denilpotencia,
83
deunasumatoria, 67
Inducciónmatemática,622
historiadela,627
Inverso(a)
aditivo,282
deunamatriz,
88,95
procedimientodecálculodela,
99
ydeterminantes,207
deunamatrizelemental,
126
transfonmación,504
Inyección,504
Isometría,511,514
Isomorfismo,506
Jacobi,CarlGustav(1804-1851),203
lordan
formacanónicade, 588
matrizde, 586
matrizdebioquesde,586
lordan,Camille(1838-1922),586
lordan,Wilhelm(1844-1899),9
Kelvin,Lord,
42
Laplace,Piem-Simon(1749-1827), 203
Leibniz,GottfriedWilhelm(1646-1716),
203
Lemade 20m,448
Leontief
modelodeinsumo-producto
de,18,
34,103
matrizde,
103
Leontief,Wassily, 18
Ley
antisimétrica,
445

asociativa
delamultiplicacióndematrices,
63
delamultiplicaciónporunescalar,
282
delasumadematrices, 50
delasumadevectores, 282
conmutativa
delasumadematrices,
50
delasumadevectores,282
delproductoescalar,
59
deloscosenos,216, 236
distributiva
para
elproductoescalar, 59
paraelproductovectorial, 256
paralamultiplicaciónde
matrices,
64
paralamultiplicación porun
escalar,
50
paralasumadevectores, 282
reflexiva,444
transitiva,445
Lineal
combinación,64,300,446
dependencia,314
interpretaci6ngeométricadela,
en
123,311
función,464
independencia,226,314,446
operador,460
transformación
(veaTransformación
lineal)
Longituddeunvector,222,
388
M''''JI,285
Mac1aurin,Colin(1698-1746), 213
Magnitud
deunnúmerocomplejo,
633
deunvector,222,246
Manejodecalculadora,26,40,55,80,
112,122,149,179,231,242,253,
263,356,403,421,442,538,563
Mantisa,A-I9
MATLAB,
veaelindicedeproblemas,
tutoríayaplicacionesdeMATLAB
enlapáginaxviii
UsodeMATLAB,656
Matrices
compatiblesbajo
lamultiplicación,60
equivalentesporrenglones, 103
iguales,46
incompatibles,
60
multiplicaciónporunescalar,48
ortogonalmentesemejantes, 573
productoexteriorde, 83
productode, 60
semejantes,555, 556
ortogonalmente,574
sumade,
48
ysistemasdeecuacioneslineales, 87
Matriz,9,45
adjugadadeuna,204
adjuntadeuna,
204
antisimétrica,121, 196
aumentada,9
cero,
45
cofactordeuna, 171
columnadeuna, 45
componenteoelementodeuna, 45
condiagonalestrictamente
dominante,614
cuadrada,
45
deadyacencia,544
debanda,
33
debloques,83
debloquesdelordan,586
decoeficientes,9
decontacto,
84
decontactodirecto, 62
decontactoindirecto, 63
deincidencia,154
delordan,586
deLeontief,
103
demXn,9,45
depermutación,140
depoblación,86
deprobabilidad,77
derotación,409
desoluciónprincipal,
598
detransformación,480
detransición,84,368,
369
determinantedeuna, 100,168
diagonal,109
diagonaldeuna,94, 173
diagonalprincipaldeuna,94
diagonalizable,
557
ortogonalmente,567
eA,597
ecuacióncaracterísticadeuna, 536
elemental,124
ínversadeuna, 127
espaciodelascolumnasdeuna, 345
espaciodelosrenglonesdeuna, 345
espacionulodeuna,337, 343
espaciopropiodeuna,526
formaescalonadaporrenglonesde
una,
13
formaescalonadareducida por
renglonesdeuna, 13
índice759
hermitiana,517, 571
idempotente,197
identidad,94
imagendeuna,344
inversadeuna,
88,95,207
invertible,95
kernel deuna, 343
malcondicionada,654
menordeuna,
171
nilpotente,83
nosingular,95
normadeuna, 597
notacióndecorchetespara,46
nulidaddeuna,
343
ortogonal,123,196,242,392,510
ortogonalmentediagonalizable,
568
polinomiocaracterísticodeuna, 526
rangodeuna,344
renglóndeuna,45
simétrica,
119
ydiagonalizaciónortogonal, 567
singular,95
tamañodeuna,45
tecnológica,
104
Transpuestaconjugadadeuna, 441
516,571
transpuestadeuna,
118
trazadeuna,440
triangular,
83,110, 128,173
triangularinferior, 110,128,173
triangularsuperior, 83,110, 113,
128,173
unitaria,441,517,571
valorpropiodeuna,524
valor
yvectorpropiodeuna, 525
vectorpropiodeuna,524
vector
yvalorcaracterísticodeuna,
525
Maurolicus,Franciscus(1494-1575),627
Menordeunamatriz,
171
desegundoorden, 200
Mínimoscuadrados,aproximaciónpor,
438
Modelo
competitivo,600
presa-depredador,601,602
Multiplicación
dematrizporbloques,66,
83
porunescalar
dematrices,49
devectores,282
Multiplicidad
algebraica,
528
geométrica,534

760índice
Negativa
definida,
585
semidefinida,585
Nilpotente,matriz, 83
Nivel
dedatosregionales,430
dedesprendimiento,430
Nosingular,matriz, 45
Norma
delamáximasumaporrenglones
deunamatriz,597
deunvector, 388,434
deunamatriz, 597
Núcleo
deunamatriz,343
deunatransformaciónlineal, 475
espacionulo, 338,343
ulidad
deunamatriz,
343
deunatransformaciónlineal, 476
Número
cromático,
544
dedígitossignificativos,640
imaginario,574,633
Númerocomplejo,44, 630,631
argumentodeun, 633,634
conjugadodeun, 632
formacartesianadeun, 631
formapolardeun, 635
imaginario,574,633
magnituddeun,633
módulodeun, 633
parteimaginariadeun, 631
partereal deun,631
Númerosdirectores, 248
Octantes,246
Operaciones
elementalesconrenglones,
10
heredadas,288
Operador
diferencial,
464'
integral,464
Ordenamiento
parcial,444
total,445
Origen,
243
Ortogonal(es)
bases,en
[¿Jconcoeficientesenteros
ynormasenteras,
398
complemento,326,396,437
funciones,434
matriz,123,196,242,392,510
planos,273
proyección,396,437
transformacióndeproyección,463
vectores,75,236,250, 388,434
Ortogonalmente
diagonalizable,matriz,
568
semejantes,matrices, 573
Ortonormales,conjuntodevectores,
388,434
infinito,436
P,301
P",285
P,,[O,1],295
Parteimaginariadeunnúmero
complejo,
631
Parterealdeunnúmerocomplejo, 631
Palalelepípedo,258
Pascal,Blaise (1623-1662),627
Pendientedeunarecta,l
nodefinida,I
Perturbaciones,
116
Pitágoras,teoremageneralizado de,
403
Pivote,13,650
columna,650
Pivoteo
completo,
651
parcial,649
Plano,19,266
cómodibujarlo, 267
complejo,632
ecuacióncartesiana de,266
representaciónparamétrica de,274
xy,267
xz,267
yz,267
Planos
ánguloentre,
274
coordenados,245,267
ortogonales,273
paralelos,269
Plieguedefallainclinada,431
PolinomiodeLegendrenormalizado,
440
Positiva
definida,
585
semidefinida,585
Procesodeortonormalizaciónde
Gram-Schmidt,389
Producto
cruz,
254
magnituddel, 256
dematrices,60
escalar,58,59,233
notacióndelatranspuestapara el,
120
exteriordematrices, 83
interno,58,432
espaciocon, 432
punto,58
Propiedadanticonmutativadel
productocruz,
256
Propio
subespacio,
294
valor,525
vector,525
Proyeccióndeunvector
en
D,237
en~,251
ortogonal,394,437
Punto
flotante
aritmética
de,640
númerode,640
inicial,221
terminal,221
Puntosdispersos, 425
l?,44,296
D,44,281
~,44,244,281
subespacios,337
l?",
44,283
Rango
deunamatriz,
345
deunatransformaciónlineal, 476
.Recta,I
ecuaciónparamétricadeuna,
265
ecuacionessimétricasdeuna, 265
ecuaciónvectorialdeuna, 264
enelespacio,264
pendientedeuna,I
Rectas
paralelas,3
perpendiculares,3
Redondeo,
641
errorde,641
Reducciónporrenglones, 10
notaciónparala, 10
Reflexiones,489
elementales,410
Regla
deCramer,212
delamanoderecha,
256
Relaciónsimbiótica, 600,603
Renglóndeunamatriz, 45
Representaciónmatricialdeuna
transformaciónlineal,
479

Representaciónparamétricadeun
plano,274
Rotación
matrizde,409
transformaciónde,462
Schmidt,Erhardt(1876-1959),
389
Seccionescónicas, 578
degeneradas,580
Segmento(s)derectadirigido(s),220,
246
equivalentes,221,246
Segundoorden
ecuacióndiferencialde,
91
menorde, 200
SekiKüwa(1642-1708), 203
Semejanza
transformaciónde,
555
SeriesdeFourier,436
L(sigma),
67
Sigma,notacióncon, 67
Signodesumatoria, 67
Simétrica
matriz,
119
Singular,matriz, 91
Sistemadecoordenadasrectangulares
en
1)3,246
Sistemadeecuaciones
consistente,
12
diferencialesdeprimerorden, 596
equivalente,3
homogéneo,
36
asociado,89
espaciodesolucionesdeun, 337
soluciónceroaun, 37
solucióntrivialaun, 37
solucionesnotrivialesaun, 37
inconsistente,3,12,13
Sistema
derecho,244
homogéneoasociado,
89
izquierdo,244
Sistema(s)deecuacioneslineales, 2,7
consisten
te,12
enformamatricial, 88
equivalentes,3
espaciodesolucionespara,337
homogéneo,
36
inconsistente,3,12,13
númeroinfinitodesoluciones, 3,11
solucióna,2
soluciónúnica,
2,9
Sobre,transformación,504
Solución
aunsistemadeecuaciones,2
notrivial,
37
Subespacio,288
propio,294
reglasparaverificar,294
trivial,294
Submatriz,
66
Suma
dematrices,48
devectores,
282
Superficiescuadráticas,582
Suprayección,
503
Sustitución
haciaadelante,
138
regresiva,15,138,651
Sylvester,JamesJoseph(1814-1897),
45,203
Tamañodeunamatriz,
45
Tasarelativadecrecimiento, 595
Teoremadeaproximaciónde lanorma,
398,438
Teorema
de
Cayley-H~milton, 609
dePitágorasgeneralizado,
403
deproyección,403,437
deresumen,
4,106,128,209,320,
353,506,535
delcírculodeGershgorin,
611
fundamentaldelálgebra, 526
Teoríadegráficas, 152,544,555
Temaordenada,244
Transformación
cero,
461
deproyecciónortogonal,463
dereflexión,458,461,489
derotación,462
desemejanza,
555
identidad,461
inversa,509
matrizde,480
Transformaciónlineal,460
cero,
461
identidad,461
imagendeuna,475
inversa,
509
núcleodeuna,475
nulidaddeuna,476
propiedadesdeuna,472
rangodeuna,476
representaciónmatricialdeuna,
479
sobre,
504
unoauno,504
Transpuesta
conjugada
deunamatriz,441,517,571
fndice761
deunamatriz, 118
operador,464
Trayectoria,
155
redundante,155,156
Trazadeunamatriz,440
Triangularinferior
matriz,
110,128, 173
Triangularsuperior
matriz,83,
110,113,128,172
Tripleproducto
cruz,
262
escalar,256
interpretacióngeométricade
1,258
Trivial
espaciovectorial,
283
solución,37
subespacio,294
Truncado,
641
Unidadimaginaria, 633
Unitario(a)
matriz,441,517,571
vector,226,
247
Unoauno,transformación, 503
Valorinicial,595
Valorpropio, 525
multiplicidadalgebraicadel, 528
multiplicidadgeométricadel,534
Vandermonde,
A.T.(1735-1796),197
Vector,42,43,220
característico,
525
cero,43, 222
columna,43,
componentesdeun,43,222,238,
251
demateriasprimas,440,460
deprecios,
58
deproducción,459
definiciónalgebraicade,222,246
definicióngeométricade,221,246
demanda,
58
direccióndeun,222,223, 247
elementosdeun,222
longituddeun,222,
388
magnituddeun,222, 246
multiplicaciónporunescalar, 282
n-vector,42, 43
normade,388,434
normal,256,
266
propio,525
generalizado,590,594
proyeccióndeun,238,
251
puntoinicialdeun, 221
puntoterminaldeun, 221
renglón,42, 43

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