ALGEBRA LINEAR - AULA 2 APRESENTAÇÃO SOBRE VETORES.pptx

AULA DE ALGEBRA LINEAR - VETORES, IDEAL PARA MINISTRAÇÃO DE AULAS DE GEOMETRIA ANALITICA

1. Universidade Estadual do Maranhão-UEMA Programa Ensinar

2. Curso de Matemática Licenciatura Disciplina: Álgebra Linear Prof. Esp. Damião Lustosa Mini currículo: Graduado em matemática licenciatura (UFMA), Pós-graduado em matemática, suas tecnologias e o mundo do Trabalho (UFPI); Pós-graduado em Docência do Ensino Superior (FAERPI); Pós-graduando em informática na educação (IFMA); Técnico em informática (UEMA e IFMA); Servidor Público...

3. Apresentações Apresentação da ementa Horários Atividades avaliativas

4. Definição Segundo o livro Geometria Analítica , dos autores Steinbruch e Winterle , vetor é o conjunto de todos segmentos orientados que tem a mesma direção, o mesmo sentido e o mesmo comprimento . Álgebra Linear: Um pouco sobre vetores Uma grandeza é dita escalar quando necessitamos especificar apenas sua magnitude e uma unidade para sua determinação. Como exemplos, podemos citar a massa e o tempo. Uma grandeza é dita vetorial quando necessitamos especificar sua magnitude, sua direção e sentido de atuação e uma unidade para sua determinação. Como exemplos, podemos citar a força , a velocidade , a aceleração e o torque .

5. Geometricamente, um vetor é representado por um segmento orientado de reta . As notações usuais para representar um vetor são:

6.   v   Uma letra minúscula do nosso alfabeto, sobrescrita por uma flecha/seta Uma letra minúscula do nosso alfabeto, em negrito Pontos inicial e final sobrescritos por uma flecha (não confundir com uma reta) Notação de matriz-coluna  

7. Vetores Equivalentes: v A B A B v A B v A B t A B u Obs.: Notemos que t e u têm mesma magnitude, direção e sentido de v , logos são iguais.

8. Assim, temos: A B   Do ponto de vista geométrico, a direção do vetor é dada pela reta suporte do segmento orientado que o representa; seu sentido é indicado pela seta/flecha ; e sua magnitude é indicada pelo comprimento do segmento orientado. Dado um vetor v , denota-se sua magnitude (comprimento/módulo) por | v |. Se | v |=1, dizemos que v é um vetor unitário e se | v |= 0 dizemos que v é vetor nulo , denotado por v = 0 ;  

9. A B C D       E F      

10. Vetores no R² Um vetor v no é definido por um par ordenado ( x, y ) de números reais. Na representação desse vetor no sistema de coordenadas cartesianas no plano, fica subentendido que sua origem é a própria origem do sistema cartesiano e sua extremidade é o ponto (x, y) . Os números x e y são chamados de componentes ou coordenadas de v .  

11. Módulo de um vetor: A magnitude ou módulo de um vetor v , denotado por | v |, é o comprimento do segmento orientado. Pelo Teorema de Pitágoras, temos:   x y

12. Exemplo: Dado o vetor v = (-4, 3), sua magnitude é dada por:       Como visto anteriormente, se um vetor tem magnitude/módulo igual a 1, esse vetor é um vetor unitário.

13. Igualdade de Vetores: Dois vetores são ditos iguais se suas respectivas componentes são iguais, isto é, dados os vetores u = (x 1 , y 1 ) e v = (x 2 , y 2 ), temos que u = v se, e somente se, x 1 = x 2 e y 1 = y 2 . Operações com vetores

14. Soma de Vetores: Definimos a adição dos vetores u e v (não nulos) da seguinte maneira: Posicionamos os vetores de modo que suas origens coincidam (isto sempre pode ser feito pela equivalência de vetores) e formamos um triângulo ou paralelogramo . O vetor soma u + v = v + u é o vetor com a mesma origem de u e v , com magnitude, direção e sentido dadas pela diagonal do paralelogramo.

15. ver demonstração aqui

16. Algebricamente, a operação de soma entre vetores é definida como a soma de componente por componente . Assim, tem-se que se u =(x 1 , y 1 ) e v = (x 2 , y 2 ) o vetor soma u + v = (x 1 + x 2 , y 1 + y 2 ).

17. Ressalte-se que a subtração de vetores não é definida . A expressão v - u deve ser entendida com a adição do vetor v com o vetor oposto de u , isto é:

18. Propriedades da soma de vetores A Soma de vetores deve satisfazer as seguintes propriedades: Associativa: u + ( v + w ) = ( u + v ) + w Comutativa: u + v = v + u Elemento neutro: Existe um vetor nulo (0), tal que u + 0 = u Elemento oposto/simétrico: existe um vetor chamado simétrico de u ( -u ), tal que: u + ( -u ) = 0;

19. Multiplicação por escalar Dados quaisquer vetores u, v e w e quaisquer escalares , a operação de multiplicação de um vetor por um escalar possui as Seguintes propriedades:   Distributiva em relação à soma de vetores : ( v + w ) = u + w Distributiva em relação à soma de escalares: ( + ) v = v + v Associativa na multiplicação por escalar: ( )= ( ) v = v Elemento Neutro (Multiplicação): 1 v = v  

20. Versor de um vetor (V u ) Dado um vetor v não nulo ( v ≠ 0), o seu versor (denotado por V u ) é um vetor unitário que tem mesma direção e sentido de v . O versor de um vetor v = (x, y) é obtido multiplicando-se cada componente de v pelo inverso de seu módulo | v |, isto é: V u = Observa-se que o versor obtido tem a mesma direção e sentido de v, e também é unitário, como percebemos seu módulo:  

21. = 1 Neste sentido, qualquer vetor v = (x, y) pode ser reescrito na forma v = | v | v u :  

22. Exemplo: Dado o vetor v = (3, 4) seu módulo vale . Seu versor é o vetor: V u = Mostre que v pode ser reescrito por v = | v | v u  

23. No caso de vetores no espaço ( ), continuam sendo válidas todas as propriedades que estudamos para o plano ( ). No espaço, porém temos três componentes v = (x, y, z)   Aplicação das propriedades no R n

24.   Espaços vetoriais

25. Soma: V x V V multiplicação: x V V Tais que, para quaisquer vetores (pertencentes ao espaço vetorial) e escalares (pertencentes aos reais) ,as propriedades anteriores sejam satisfeitas.  

26. Soma entre vetores, que satisfaz: Associatividade : ( u + v ) + w = u + ( v + w ), para quaisquer  u, v, w ∈ V; 2. Elemento neutro (adição) : existe o vetor 0 ∈ V que satisfaz  v + 0 = 0 + v = v , para qualquer  v ∈ V; 3. Inverso aditivo : para cada  v ∈ V, existe o inverso  u = −v ∈ V, que satisfaz  v + u = 0; 4. Comutatividade :  u + v = v + u , para quaisquer  u, v ∈ V;

27. Multiplicação de vetor por escalar, que satisfaz: 5. Associatividade da multiplicação por escalar: a⋅( b⋅v ) = ( a⋅b )⋅v, para quaisquer a, b ∈ ℝ e qualquer v ∈ V; 6. Elemento neutro (multiplicação): 1⋅ v = v, ou seja, a unidade dos números reais não altera os vetores de V; 7. Distributiva de um escalar em relação à soma de vetores: a⋅(u + v) = a⋅v + a⋅u , para qualquer a ∈ ℝ e quaisquer u, v ∈ V; 8. Distributiva da soma de escalares em relação a um vetor : (a + b)⋅ v = a⋅v + b⋅v , para quaisquer a, b ∈ ℝ e qualquer v ∈ V.