Algebra Linear cap 05

1. 42
ELEMENTOS DE ÁLGEBRA LINEAR

CAPÍTULO 5
MATRIZ MUDANÇA DE BASE

Definição: Seja V um espaço vetorial e consideremos duas de suas bases
}v,...,v,v{B
n21
= e
}u,...,u,u{C
n21 = . Podemos escrever os vetores da base C como combinação linear
da base B. Então existem escalares
Ka
ij
∈, tais que:







+++=
+++=
+++=
nnn2n21n1n
n2n222112
n1n2211111va...vavau
..................................
va...vavau
va...vavau
:S
2
. A matriz














=
nn2n1n
n22221
n11211a...aa
............
a...aa
a...aa
P
é
chamada de Matriz mudança da base B para C, e denotada por
B
C
]M[P=.

OBS: Na matriz mudança de base














=
nn2n1n
n22221
n11211a...aa
............
a...aa
a...aa
P
, as colunas representam as
coordenadas de cada vetor da base C em relação a ba se B , ou seja,














=














=














=
nn
n2
n1
Bn
2n
22
12
B2
1n
21
11
B1a
...
a
a
]u[,...,
a
...
a
a
]u[,
a
...
a
a
]u[
. A matriz mudança de base é sempre
inversível.


Exemplo (1): Sejam
)}0,1(),1,1{(B= e )}3,4(),2,1{(C −−= duas bases do ℜ
2
. Determine a
matriz de mudança da base B para a base C.
Solução: Para determinar
B
C
]M[P=, temos que escrever os vetores da base C como combinação
linear da base B. Então:



+=−−
+=
)0,1(d)1,1(c)3,4(
)0,1(b)1,1(a)2,1(
:S
. Vamos obter dois sistemas

2. 43
lineares:



=
+=
a2
ba1
e



=− +=−
c3
dc4
. Resolvendo os sistemas vamos obter








−−−
=








==
11
32
db
ca
]M[P
B
C
. Note que, na combinação linear S os escalares
estão em linha e na matriz P eles estão em colunas.

Teorema (1): Seja V um espaço vetorial de dimensão n. Sejam B e C duas bases de V e P a matriz
de mudança da base B para C. Então:
a)
BPC
t
⋅=
b)
C]P[B
1t
⋅=
−


Teorema (2): Seja V um espaço vetorial e B, C e D, três de suas bases. Seja
B
C
]M[P= a matriz de
mudança da base B para C e
C
D
]M[Q= a matriz de mudança da base C para D.
Então, a matriz de mudança de B para D é
C
D
B
C
]M[]M[QP ⋅=⋅.

Teorema (3): Seja V um espaço vetorial e B e C, duas de suas bases. Seja
B
C
]M[P= a matriz de
mudança da base B para C e
.Vv∈∀ Então:
a)
B
1
C]v[P]v[ ⋅=
−

b)
CB]v[P]v[
⋅=

Exemplo (2): Sejam }t2,2{C += uma base de )(P
2 ℜ e








=
10
22
P
a matriz mudança da
base B para a base C. Determine a base B.
Solução
: Pelo teorema (1) temos que C]P[B
1t
⋅=
−
. Então,








−
=
−
11
0
)P(
2
1
1t
e escrevemos
os vetores da base C, tomando apenas os coeficientes dos polinômios e dispondo-os como
linhas de uma matriz. Assim:








=








⋅








−
=
10
01
12
02
11
0
B
2
1
, ou seja, a base B é a
base canônica de
)(P
2
ℜ, isto é, }t,1{B= .

3. 44
É claro que o teorema (1) nos ajuda muito, mas poderíamos resolver este problema
usando a definição da matriz mudança da base de B para C , a qual é constituída dos
escalares, quando escrevemos cada vetor da base C com combinação linear dos vetores
da base B. Seja, então, a base
}tbb,taa{B
1o1o
++= . Assim:




+++=+
+++=
)tbb(1)taa(2t2
)tbb(0)taa(22 1o1o
1o1o
⇒



+++=+
+=+
t)bta2()ba2(t12
ta2a2t02 11oo
1o
⇒



=⇒=
=⇒=
0aa20
1aa22 11
o0
e



=⇒+=
=⇒+=
1bba21
0bba22 111
oo0
. Portanto, a base
}t,1{B= .

Exemplo (3): Sejam )}1,1(),2,1{(B −= uma base do
2
ℜ e








=
3
5
3
1
3
2
3
1
P a matriz de mudança
da base B para a base C. Determine as coordenadas do vetor
)3,2(v= em relação a
base C.
Solução: Vamos aplicar o teorema (3), onde
B
1
C]v[P]v[ ⋅=
−
. Primeiro determinamos as
coordenadas do vetor v em relação a base B. Então: )1,1(b)2,1(a)3,2( −+= ⇒



+=
−=
ba23
ba2
⇒








−
=








=
3
1
3
5
Bb
a
]v[
e








−
−
=
−
11
25
P
1
. Assim:








−
⋅








−
−
=
3
1
3
5
C11
25
]v[
⇒








−
=
2
9
]v[C

Igualmente ao exemplo (2), poderíamos resolver este problema usando a definição da
matriz mudança da base de B para C e a definição de coordenadas de um vetor. Seja a
base
)}d,c(),b,a{(C= . Então:



−=−+=
=−+=
)3,1()1,1()2,1()d,c(
)1,0()1,1()2,1()b,a(
3
5
3
2
3
1
3
1
. Assim,
)}3,1(),1,0{(C −= . Escrevendo as coordenadas do vetor )3,2(v= em relação a base
C, teremos: )3,1()1,0()3,2( −β+α= ⇒


 β+α= β−=
33
2
⇒








−
=
2
9
]v[
C

4. 45
Exercícios Propostos
1) Sejam )}1,1(),0,1{(B= , )}2,3(),1,2{(C −= e D, três base do ℜ
2
. Seja








−
=
31
02
Q
a
matriz de mudança da base C para a base D. Determine a matriz de mudança da base B para a
base D. Quem é a base D?
Resp:








−
=
64
35
]M[
B
D
e )}6,9(),4,1{(D
−=
2) Determine a matriz mudança da base
}t21,t3,2{B
2
+−+−= para a base
}t3,tt2,t1{C
22
++−+=. Resp:










−
−−
==
2
1
2
1
4
7
4
13
B
C
0
021
1
]M[P

3) Sejam B a base canônica do espaço
)(M
2x2
ℜ e







−
=
85
32
A . Sabendo que a matriz de
mudança da B para a base C é














−
−
=
1100
0110
0012
0001
P
, determine as coordenadas de A em
relação a base C. Quem é a base C?
Resp:














−
−
=
4
12
7
2
]A[
C
e














−















−








=
10
00
,
11
00
,
01
10
,
00
21
C

4) No
3
ℜ, consideremos as bases }g,g,g{Ce}e,e,e{B
321321
== relacionadas da seguinte
forma:





++=
++=
+=
3213
3212
311ee2eg
eee2g
eeg
. Sabendo que










−
−
=
1
5
2
]v[
B
são as coordenadas do vetor v em
relação a base B, determine
C]v[. Resp:










−
−
=
3
1
3
]v[
c

5) Sejam )}0,0,1(),0,1,1(),1,1,1{(Ce)}1,1,1(),2,4,3(),1,2,1{(B =−= . Verifique que a matriz
de mudança da base B para a base C pode ser determinada por
t1B
C
]BC[]M[P
−
⋅== .