ALGEBRA Pre-Universitaria

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1. ALGEBRA

2. ALGEBRA

3. ALGEBRA MANUAL DE PREPARACION PRE-UNIVERSITARIA

IDEA, DISEÑO Y REALIZACIÓN
Departamento de Creación Editorial de Lexus Editores

© LEXUS EDITORES S.A,
A Del Ejército 305 Miraflores, Lima-Perú.
wwwlexuseditores.com

Primera edición, febrero 2008

Hecho el Depósito Legal en la Biblioteca
Nacional del Per: 2008-01600

ISBN: 978-9972-209-44-4

EDICIÓN 2008

4. PRESENTACION

Si usted, estimado lector, considera que la matemática es una de las materias
de mayor complejidad en los planes de estudio escolar, pre-universitario y
superior, o desca profundizar y repasar temas y ejercicios que le permitirán el
dominio progresivo y la maestría avanzada en el tema, ha abierto el libro apro-
piado.

Desde siempre Lexus Editores ha desarrollado recursos metodológicos ten-
dientes a mejorar la articulación teórica y práctica entre el nivel secundario y
la universidad. Esta vez, ha deseado crear un manual educativo que sirva
como herramienta de auto-evaluacion para los alumnos que se encuentran en
etapa pre-universitaria, De esta manera, ellos mismos serán capaces de juzgar
sus capacidades con vista a iniciar sus estudios superiores.

Se ha tenido el especial cuidado de seleccionar un grupo altamente calificado
para la redacción de esta obra, conformado por estudiantes universitarios y
docentes especializados, a fin de lograr un manual de preparación pre-univer-
sitaria en Álgebra en la que se destaca el desarrollo de complejos ejercicios,
usando métodos apropiados, fáciles y amigables.

Este manual conduce al lector de una manera didáctica a lo largo de la asigna-
tura, pasando de lo más sencillo a lo más complejo, con mumerosos ejercicios
resueltos y propuestos, brindándole de esta manera una base muy sólida para
que destaque durante su paso por las aulas universitaria, al ostentar adecua-
do conocimiento y dominio de la materia.

Un DVD, producido con la más alta tecnología digital e infográfica, acompaña
esta obra, para demostrar al estudiante que lo dificultoso puede verse siempre
en términos entendibles y amenos. Es prácticamente como tener un profesor
en casa a tiempo completo,

Los Editores.

5. Pag.

SUMARIO

Conceptos Fundamentales

Expresión algebraica / Clasificación de las expresionesalgebmicas

“Término algebrico
Teoria de exponentes
Potenciación

Leyes que rigen alos exponentes
Multiplicación de potencias de bass iguales

Division de potencia de bases iguales / Exponente cero.

Exponente negativo Potencia de un producto / Potencia de un cociente
Potencia negativa de un cociente / Potencia de potencia Rat de una potencia
Rate de un producto

Leyes de los signos en las operaciones algebraicas

Multiplicación / Division

Potenciación / Radicación

Ejercicios Resueltos

Ejercicios Propuestos

Ecuaciones exponenciales

Solución de una ecuación exponencial

Ejercicios Resueltos

Valor numérico delas expresiones al

Ejercicios Resueltos

ELA Eo ES

Ejercicios Propuestos

Grado de las Expresiones Algebraicas

Grado

E

¡Grado de un monomio / Grado de un polinomio.
Ejercicios Resueltos
Ejercicios Propuestos

”
#

Notación Polinómica

Polinomio
Valor numérico de un polinomio
Cambio de variable en un polinomio.
Ejercicios Resuchos

Ejercicios Propuestos

5
50
a
56

6. Polinomios Especiales

Polinomio ordenado / polinomio completo

Polinomio homogéneo
Polinomiosidentico/Polinomio identicamente nulos
Polinomio entero en “x”

Ejercicios Resueltos

EII

Ejercicios Propuestos

Expresiones Algebraicas

‘Suma y resta
Supresión de signos de colección /Inroduccion de signos de colección
Ejercicios Resueltos

Ejercicios Propuestos

Multipicacion de expresiones algebraicas

Propiedades de la multiplicación

Ejercicios Resueltos

¿Casos que se presentan en la multiplicación

Productos no

Ejercicios Resuchos
Valor numérico de una expresión algebraica
Ejercicios Resuelias

Ejercicios Propuestos

División algebraica / Definición

Propiedades de la division / Casos dela división
Método normal

Método de coeficiente separados / Método de Horner
Ejercicios Resueltos

Regla de Rollin

Ejercicios Resueltos

Ejercicios Propuestos

Teorema del resto o de Descartes

EEES

Regla práctica para hallar el esto
Ejercicios Resueltos
Ejercicios Propuestos

Divisil

ilidad Algebraica

Principios dela did algebraica

Ejercicios Resuchos

Ejercicios Propuestos

7. Cocientes Notables
Definición

Forma general delos coeficientes notables

Estudio del primer caso / Estudio del segundo caso
Estudio del tercer caso / Estudio del cuanto caso
Desarrollo del cociente notable

Reglas prácticas para ecrbir el desarollo de cualquier cociete notable
Determinación de un término cualquiera de un cociente notable

Ejercicios Reseltos
Ejercicios Propuestos

Factorización

Definición / Método para fatorizar

Factor comun / Factor comun monomio/ Factor común polinomio

Factor común por agrupación
Ejercicios Resuchos

Método de identidades

Diferencia de cuadrados

Trinomio cuadrado perfecto

‘Suma o diferencia de cubos.

Ejercicios Resucltos

Método delaspa

Aspa simple

Ejercicios Resuchos

Aspa doble

Ejercicio Resuehtos

Aspa doble especial

Ejercicios Resucios

Método de divisors inomios

Finalidad /Divisr binomio

Fundamento trio

Ceros de un polinomio.

Determinación de los posbls ceros de un polinomio

Formas de factoización

Ejercicios Resucos
Método de anúficios de calculo
Reducción a diferencia de cuadrados
Ejercicios Resuctos

BEESEESEREE EREREERBEE

EBEBEREEEBEREEE

8. Métodos de sumas y rests
Cambio variable

Ejercicios Resucltos

Factoizaciónrecproca

Polinomio reiproco

Procedimiento para Íactoriza un polinomio recproco
Ejrccicios Resueltos

Factorizaión simétrica y alternado.

Polinomio simétrico

155
15
157
157
17
17
1”
1
15

Representación de expresiones simétricas
Propiedad fundamental de un polinomio simétrico
Polinomio atemo

Propiedades fundamentals de un polinomio alterno
Propiedades de los polinomios simétricos y alternos.
Factorzaión de un polinomio simétrico y alternos
Oros arios

Ejercicios Resuchos

Ejercicios Propuestos

‘Maximo Común Divisor y Mínimo Común Mültiplo ..
Máximo comin divisor

Minimo común maluiplo

Ejercicios Resueltos

EEE RESIS

Ejercicios Propuestos am
Fracciones Algebraicas ..
Principales conepos/ Definición
Signos de wa ación
Cambios de signo en una fracción 1
implicación de fcciones
Ejercicio Rees 14
“Operaciones con fracciones algebraicas
Sammy mata
Mulipeacion y visión ws

Ejercicios Resuelos
Ejercicios Propuestos

Introducción el Binomio de Newton

Factorial de un número
Propiedades de los facorals
Ejercicios Resueltos

ss
183
183
as

9. Variaciones /Permutaciones/ Combinaciones
Propiedades de las combinaciones

Ejercicios Resueltos

Desarrollo del binomio de Newton / Método de inducción.

Fórmula del término general

Ejercicios Resueltos

Termino central

Ejercicios Resueltos

‘Tiangulo de Pascal ode Tartaglia

Ejercicios Propuestos

Desarrollo del binomio de Newton con exponente negativo y/o fraceionario
Propiedades del desrollo del binomio

Ejercicios Resuchos

Ejercicios Propuestos

Radicación
Principales conceptos / Definición

Elementos de una rae / Signo de ls rates

Rate de un monomio

Rate cuadrada de un polinomio Regla práctica

Rate cuadeada por el metodo de coeficiente indeterminados.

Rats cúbica de polinomios / Regla prática general

Ejercicios Results

Raices dobles / Concepto

Trunsformacion de radicales dobles en radicales simples sencillos
Ejercicios Resueltos

Descomposición de radiales malples en simples

Ejercicios Resuchos

Ejercicios Propuestos

Operaciones con Raíces

Principales conceptos
Valor Aritmétco de un radial / Valor algebraico de un radical

Radicales homogencos / Homogenisacion de radiales
Radicales semejantes Teorema fundamental de ls radicales
Suma de radicales / Multiplicación de radicales

Potencia de radicales / Raz de radicales

Ejercicios Resueltos

Racionalización

Fracción irracional / Factor racionalizante

Casos

BEEBERERBERE

g

EESEEESSSS E BEGERESRSEB

10. Primer cas / Ejercicios Resueltos
Segundo caso / Ejercicios Resueltos.
Terer caso / Ejercicios Resueltos.
Cuarto Caso / Ejercicios Resuelios
Ejercicios Propuestos

Verdadero Valor de Fracciones Algebraicas
Principales conceptos

Formas singulares o determinadas

Formas indeterminadas

Verdadero valor / Calculo del verdadero valor
Forma 00

Ejercicios Resultos

Forma fe / Ejercicios Resuelios

Forma © -/ Ejercicios Resueltos

Forma 0. 2 /Ejercicos Resueltos

Ejercicios Propuestos

Cantidades Imaginarias y Números Complejos

Principales conceptos
Cantidades imaginarias / Definición

Unidad imaginaria, Potencias de la unidad imaginaria
“Transformación de la potencia i donde "m" es enero y positivo
Ejercicios Resueltos

Ejercicios Propuestos

Nümeros complejos, Definición

Clase de nümeros complejos / Complejo al Complejo puro
Complejo nulo /Complejos iguales

Complejos conjugados / Complejos opuestos

Representación gráfica de un complejo

Representación cartesiana / Representaciön polar o trigonométrica
Operaciones con complejos / Suma de complejos

Multiplicación de complejos / Propiedades

División de complejos

Potencia de un complejo Propiedades

Rate de un complejo

Ejercicios Resueltos

Raices cubicas dela unidad

Propiedades / Ejercicios Resuetos

Ejercicios Propuestos

Eo ESESEEEEEEE EEE

25
36
26
264
2
a]
264
265

265

SERRE

11. Ecuaciones

Principales conceptos / Igualdad / Ecuaciones equivalentes
Clases de Igualdados / Igualdad absoluta / Igualdad rcativa ecuación
Clasificación de las ecuaciones

Principios fundamentales que permite transformar las escuaciones
Lcuaciones de primer grado con una incognita / Discución de la solución
Ejercicios Resueltos

Problemas Resuehos

Ejercicios Propuestos

Sistema de ecuaciones

Sistema de ecuaciones lineales Sistemas equivalentes

Solución del sistema

Clasificación delos sistemas de ecuaciones

Principios fundamentales para la trasformación de sistema de cevaciones
Métodos de eliminación y resolución / Método de sus

Método de igualación / Metodo de reducción.
Ejercicios Resueltos.

Problemas Resuctos

Ejercicios Propuestos

Determinantes.

Definición
Signos de un elemento

Determinante de un segundo orden
Valor determinante de segundo orden
Determinante de tercer orden

Regla de Sarrus

Forma prácuic de la regla de Sams
Menor compleme

Desarrollo de un determinante por menores complementarios
Propiedades de ls deserminamtes

Ejercicios Resueltos

Método de los determinantes para hallar La solución de un sistema de ecuaciones
Regla de Cramer

Discusion de l solución de los sistemas lineales / Ejercicios Resueltos

Ejercicios Propuestos

io de un determinante

Ecuaciones de Segundo Grado .

Resolución de una ecuación de segundo grado con una incognita

Deducción de la fórmula general

SERBE

ES

12. E

Discucion de las races dela ecuación de segundo grado
Propiedades de Las races de una ccuación de segundo grado.
Forma de una ecuación de segundo grado conociendo races
Ejercicios Resuchos

Ejercicios Propuestos

Ecuaciones reducbles a cuadrtias / Ecu
Propiedades de Las rates de una ecuación bicwadrada

Formación de una ccuación bicuadrada.

Ejercicios Resueltos

Ecuaciones eciprocas

Ejercicios Resueltos

Ecuaciones binomias y trnomias

Ejercicios Resuchos

Ecuaciones quese resuelven mediante aifiis / Ejercicios Resueltos.
Ejercicios Propuestos

Sistema de ecuaciones de segundo grado / Ejercicios Resueltos
Sistemas diverses / Ejercicios Resueltos

Ecuaciones exponenciles

Ejercicios Resueltos

Ejercicios Propuestos

a7
35
ES
>
E
m3
5
ss
350

ES

Desigualdad e Inecuaciones

Desigualdades, definiciones imporantes
Propiedades de ls desigualdades

Ejercicios sobr desigualdades

Clases de desigualdades

Inecusciones de primer grado con una incógnita
Solución a una inccuación

EEES E

Intervalo abieno /Intervalo cerrado
Valor absoluto / Ejercicios Resueltos

Inecuaciones/ Sistema de inecuaciones

Sistema de inecuaciones con una incognita

Sistemas de inecuaciones con dos o más incogntas
Ejercicios Resuchos

Inecusciones de segundo grado / Ejercicios Resueltos

Inecuaciones irracionales / Ejercicios Resueltos.
Ejercicios Propuestos
Progresiones
Progresión aritmética (PA.) o “progresión por diferencia” / Propiedades

Medios aritméticos o diferenciales / Definición

13. Interpolación de medios aritméticos
Ejercicios Resultos

Progresión geométrica (PG.) 0 progresione por cociente
Representación de una progresión geométrica / Propiedades
Medios geométricos o proporcionales / Definición
Interpolar medios geométricos entre dos numeros dados.

E

Ejercicios Resuelios
Ejercicios Propuestos

Logaritmos

Principals conceptos/Definicion
Ejercicios Resuelios

Sistema de logaritmos

Propiedades generales de los logaritmos
Cologaritmo/ Antilogarimo
Cambio de un sistem

Ejercicios Resuelios
Logariumos como progresiones / Definición
Base del sistema de logaritmos deiido por una PG, una PA.
Sistema de logaritmos neperianos

Sistema de logaritmos decimales /Vulgares 0 de Briggs
Propiedades del sistema logaritmos

Cálculo de la mansa
Transformar wn logaritmo totalmen
parcialmente negativo y viceversa
Calculo logarumico/ Suma de logaritmos / Resta de logaritmos
Producto de logaritmos / Muluplicacón y división de logaritmos etre si
Conversion de logaritmos decimales a logaritmos neper

Conversión de logaritmos neperianos a logaritmos decimales
Ejercicios Resuchos

Ejercicios Propuestos

de logaritmos à otro

negativo en otro

Interés Compuesto
en
Caso en que el tiempo es multipo del período de capitalización
Anuslidades, Definición

pales conceptos / Deducción de I formula

Anualidad de capitalizaion (A,)/ Deducción del formula
Anualidad de amortización (Ay) / Deducción de la formula

Ejercicios Resuelios

Ejercicios Propuestos

14. CONCEPTOS FUNDAMENTALES

[El álgebra es a parte de la matemática que estudia a
la cantidad en su forma más general obteniendo ge
úeralizaciones sobre el comportamiento operacional
de los mimeros. Estudia de esta manera, funciones
numéricas; para lo cual se emplea numeros eras y
signos de operación

Com el studio de una función conduce finalmente
al planteamiento de una ecuacn o igualdad, se dice
también que el álgebra es la cencia que estudia las
ecuaciones. liza conceptos y leyes propias. Esos
Son analizados a continuación:

EXPRESIÓN ALGEBRAICA

Es el conjunto de mümeros y letras unidos entre sí
por los signos de operación de la suma, la resta, la
multiplicación, la división, la potenciación yla radi
icon.)

Ejemplos
Sou expesioes aplica la pc
D à

iD m

AD ay
Ea

No son exresione algebraicas
>>

D log

Li) senx

Es Tera son empleadas tanto para repre
sentar valores conocidos o datos (en este
caso; por comención, se usa las primeras

letras del alfabeto) como valores desconoc-
dos (se usa as altimas letras del alfabeto),

Es necesario aclarar que todas ls expresiones que
tienen numeros ÿ eras son expresiones algebraicas;
à excepeton de ls limas tes, que reciben el nom
bre de funciones trascendentes y que son utilizadas
muy a menudo en el calculo Superior. Para una
mayor ilustración, indicaremos la definición de las
siguientes funciones trascendentes:

Función exponencial. Represetada por una base mu
América y un exponente literal, como por ejemplo:
7° (base = 7, exponente =»)

Función logarimica. Representada por el símbolo
“log. y que se toma en una cera base a un determi
ado numero. Ejemplo: log, N y se lee logaritmo en
Base b del numero N.

Función trigonomética- Represenada por las fun-
ciones seno, coseno, tangente y sus complementos
“aplicados sobre un nümero real, Ejemplo: sen à, que
sé lee seno dex

CLASIFICACIÓN DE LAS EXPRESIONES
ALGEBRAICAS

Ses el tipo de numero o variable de sus expo:
entes radicales o denominadores as expresonesal
gebraten pueden clasificarse en

enteras
Racionales

Expresiones Fraccionarias

Algebracas

2 Expresión algebraica racional
Es aquella que se caracteriza porque tiene expo-
entes ceros mo tene letras en su cantidad su
radial (es decir al interior de La at),

13-

15. Ejemplos
Deere

DEN RTS
we

1
wide

ee
MEA

Se entende po cantidad subradia la pare de una]
rate quese neuen en el ner del radial De se
modo:

MA selec “mie nde a”
Donde m= dls A= cantdad subradiea

4.1) Expresion algebraica racional entera

Es aquella que se cascterza porque tine expo
mentes enteros positivos o no tiene letras en su
denominador.

Ejemplos
DENIED

a

way

2) Expresión algebraic racional Fraccionaria

Es aquella que se castrza porque tiene expo
memes negativos tiene eras en st denominador.

Emplos:

D Axa Ty ode

1,2,7
pret

DES
LE

Wehe

ate 9 82 6 907

>) Expresión algebraica irracional

Es aquella que se caracteriza porque tene expo:
memes faccionrios 6 ine letras en su Cantidad
suai.

Ejemplos
DENE Nee
DEE Bye Tee

DATES

wesen or

Resumen de ls caracteristicas de as expresiones
algebraicas.

Races (Enters
Exponen. | Esponente
eme | emero posto
Subradict | Denomnadoe
sinters | sinters

= Fracionaias

Expresiones Exponente

Algebralca enero et

Denominader
con kis
racionales
Exponente
Fracción
Sabre
com eras
TÉRMINO ALGEBRAIC

Es aquella expresión algebraica cuyas pares no es-
an separadas ni por el signo más ni por el signo
menos. En otras palabras, un término algbraic es

Ejemplos
DES

DE

DES

EE

16. Partes de un Termino Algebraico

(nary

pare ltr

TEORIA DE EXPONENTES

La Teoria de Exponentes tiene por objeto estudiar to
das ls clases de exponentes que existen y las relacio
es que se dan entre ellos.

La operación que permite la presencia del exponente
Sa potenciación, la cual se define así

POTENCIACIÓN
Es la operación que consste en repetir un número
llamado base tantas veces como factor, como lo ind

que oro llamado exponente; al resultado de eta ope:
vación se e denomina potencia, y se representa as

Potencia = (base) men
Eemplos

D 274 2.2.2.2.2.2.2.28
factors 2
D De 5.5.5.5.503125
5 factors 5
HD 402 4.4.4,4.4.42 400

6 factores +

En genera:

NOTA:

Recuerdese que par fects del estudio algebra
«co, la base es leal y el exponente es numérico:

Boy A ee.

LEYES QUE RIGEN A LOS EXPONENTES

Multiplicación de Potencia de Bases Iguales
Se escribe la base común y como exponente se ser
Bela suma de ellos

empl:

D men a?

D ex ate eee

D 29. 20 2

22-2088

Division de Potencias de Bases Iguales.

Se escribe la base comun y como exponente se esei-
be la diferencia de dichos exponentes

Exponente Cero.

Toda camidad dfereme de cero, con exponente cero,
cs iguala la unidad. Ast

a = L.donde:a #0
Ejemplos

yr

wa

02!" 6 5 oP een

TE

17. Exponente Negativo

“oda cantidad diferente de ero, elevada a un expo-
mente negativo, es igual a una fracción cuyo numera
dor es y cuyo denominador es igual a misma ex-
presión pero con signo del exponente cambiado a
positivo, Ast

aL, donde:a 20

Ejemplos:
1 2
eres DE

Des Oi
1 wee

ire Leos
2 ary

Potencia de un Producto.
Es iguala elevar cada factor a dicha potencia,

(aby

Ejemplos
yA
AY

Hid xty* Gt

ETS
5

CS
Potencia de un Cociente

‘Se eleva tanto el numerador como el denominador
dicha potencia.

eh

ee

5-6

DE

No" >

Potencia Negativa de un Cociene.

Se inviene el cocent y la potencia se transforma en
positiva. Luego, puede procederse como en el caso

ORG)

Ejemplos

402746251656

Potencia de Potencia

Se escribe la misma base y el nuevo exponente es
‘gual al producto delos exponentes

a
Ejemplos:

DS

Ww 169)

GO

WED

aso de tener muchos exponentes, se

puede generalizar la regla como sigue:

Lame

RAÍZ DE UNA POTENCIA
Se escribe la base y como nuevo exponente, la divi

sión del exponente dela potencia ente el índice del
radial,

wd

18. Ejemplos

»

MR

NT oe

Nota
Cuando se tiene muchos radicales, se puede
generalizar la regla como sigue:

Na

Exponente Fraccionario

Toda cantidad elevada a un exponente fraccionano es
igual la raz de dicha canidad, cuyo indice es el
denominador de la fración y el numerador per
‘manece como exponente. Por o tanto:

nner? = (Vos

CE

RAÍZ DE UN PRODUCTO

Es iguala extraer la rt de cada fc
ar el product,

y luego elec

GE
Ejemplo

o, BF a ys
Wee EA

Ratz de un Cociente

Se extrae la rats tato del numerador como del deno-
minador, y luego se procede a dividir stay races
resultes.

Ejemplos
re
fie.

0

vol 5

Introduccion de un Factor en un Radical

Se multiplica el exponente del factor por el nie del
radical, dela Sguiente forma

FT
Ejemplos
D RN

LEYES DE LOS SIGNOS EN LAS
OPERACIONES ALGEBRAICAS
MULTIPLICACIÓN

E producto de dos términos de signos iguales es por
siuvo, y de signos diferentes es negativo.

à bbl 241
D OH te
9 -H
® oH
DIVISION

La división de dos términos de signos iguales es por
itv, y de signos diferentes es negativo:

7

19. POTENCIACIÓN

La potencia de una base con exponente par, siempre
posa pero la potencia de una base con expo-
eme impar, depende del signo de la base

Da «4
Dom la
9 He e
& ie abd

RADICACION

Sie indice es impar, el resultado tendra el mismo

signo que la cantidad subradcal Sel indice ex par y
la cantidad subradical es positivo, el resultado tendrá
doble sigo; postive y megativo;pero, sila cantidad
Subradical es negativa el resultado sera una cantidad
imaginaria, que mo existirá en el campo real,

a) PART = 14
D) NET =

ART

E
“le

OUT cantidad imaginaria

Not

Para efectos de estudio, se emplear, en el caso
races de indice par y canidadsubradical po-
sitvas; el signo arimético de la raz; es deci, l
valor positivo.

EJERCICIO RESUELTOS

Sobre las leyes dela teoría de exponentes y los
signos en las operaciones algebraicas.

ip

Calcular el valor de

24 360%)
PARE

Aplicando al ejercicio

ES

2 PAR DAR 2-6

Operando apropiadamente

129.2

EEES

Se hace el cambio de 2 = a, para hacer más sim
ple las operaciones
Ga + Où

La
eee
EYE ETES

Es

pias = 5

Calcular el valor de

Solución

Transformemos el numerador, para escribir con
tase 4

les] -ar-Io
emplazado en la xs orga

ee Ph Pa
eat Gay ee

En po, pa die

pias = 4

TE

20. 3. Halla el valor de la expresion: "multiplicando potencias de bass iguales:

E LED
+7 vor
Solución simplificando:
*ransformando el denominador: Mm
Een eater

gree age, pen En

mas ee

pia: 2

see 5. Calcular el valor de

na)

remplazando en la expresión y transformando. Scion

Escribimos la rats principal en la forma expo-

5 rental:
pen
Kae

“operando en el mumerador:

PONE

luego, transformamos los exponentes:

a
simplificando y descomponiendo la potencia: | 5] a | a
AA E=loy «lo

4 Calcular el valor de: 3
ao fps
eae ee 6.- Simplificar la expresión:
Solución:
Se sabe que (a. ba be ef evil
sg cn Bare nos pr liar
ul Solución:
SNE Efectuando operaciones:
ES
aplicando ay aero exo em [low
ATI E qe
aa qa, st Pott

RTE

21. CS
of
Vi

“Trabajando con el denominador:

Nat NT.

reemplazando, descomponiendo y simplificando:

pia: 2

8 Calcular:

Solución

En primer lugar transformemos el denominador:

EOS
ee Yaa
ETS

Dando común denominador en el denominador

delaras:
EAS

AS
Er ze

113.00

ear

(Gr |

implicando
Go - 30° = 30° - 30
pias 30

9. Calcular

2
+

Solución

Separemos los exponentes que aparecen suma-

dow

man
PR

Hagamos que: 2°= a) 3 br

N 4

ab -
bb

poniendo: E (29° = À «2 + 2
Rpia:2
10. Cale:
One 6) veces (ane 3) veces

Pl

aoe
(4-2) secs

Solución

Cada expresión e reduce:

-20-

22. Que se puede eserbir ast

Kern en
ppc ein

NET.

En
BEd, wy

Solucion:

Pi

Si igualamos los exponemtes (dado que son fun
‘ones exponenciales):

EE]
37

Gx-DGX-7) 2 Gx-3) Gx-9)
Oe Dix Be 7 «One 2 Où 027

«impiiando
Ach 0277
in“
3
Rain}
12- Reser:
3)" 44
an’
Tandem scan una bs coma

SO

Solución:

TO)
O)

igualando los exponentes

«eliminado los denominadores
2020 ds
2-7

Ra: x= 72
13. Hallar el valor de

Solución

Previamente se opera en form

parca:

+ 256012 (64 4)"
= épi, amt

Rcemplazando las expresiones transformadas, en
la expresión inicial:

ee fer
ra

simplificando y efectuande:

a

23. 14. Cakular el valo de: Reemplazando los equivalentes en la expresión
zo propuesta
$ —

ecand operaciones, de ade haci aca

pee A sat * (Tel

Solución:
La expresión e puede escribi as

5 un Eee es
Bra: 6

Operando convenientemente:

“8 16 Calcula el valor de

ee CET
en
artes

ses * Voss * Er
Pe

Solución

Desarrollando el caso general:
Simplificado: E

u Javier „Alacı
Rea 40327 A ES

Rp: 7

15. Calcular el valo de;

Solucion:

Por convenir, se raliza las siguientes equiva:
lencias:

eux
sai? G96" ext
so 236) 0 orp ae

1216 6

a

24. =

Luego: E= 4454647 #22
Rpa: 2

17. Simplifiea:

Solución:
Resolviendo por parts:

Reemplazando:

pia: x
18. Simplfcar

Ve

Extrayendo rae a cad factor, sucesivamente:

En Ver Var Va Viet

por lo que al final se obtendrá:
E

pia: x

19. Calcular el valor de

Solución:
Si times 7 x, ego
CAE

vr
Reponiendo el valor de x:

E (Wer
Rp: 7

20. Señala el exponente de "x" después de smpli-
car (hay “n° radicales)

Suponiendo n = 1, se obtiene que

Solución

san sect e

23

25. Soponend «3,5 aie

Suponiendo = 4, se obtiene

Para “n° casos se puede gener

pax

si
lue, el exponent es 1

21 Simplficar la expresión:
onze |
6d E
as De
au 925.102
Solución
"Trabajando por pants:
par
ES 7
EA A ee

Saree ET

ea 722.5225) 2210"

BIMBA o

a 7

Reemplazando:

po soe 1"
10723. 10.23.10"

Solución

"Trabajando con el exponente:

(ey

-

A continuacion, hagamos que x = B®, y rec
placemos en Es

CAS CET CETTE
Rpas b

- Calcular:
cs fa
ENTE
er NST
Solución

Operando por partes:
+5, 201 à 507 (3020.20 50°

= 252824508 (25.2). 24 50"

50", 2650" = 50.3 ©

BEE

CRETE am
dd

“En ne a

a

26. =

Reemplazando (D, (D), (1) y IV) en Es Solución:
Haciendo x = Y, por lo tamo x? = 3

Reemplazando:

«|

"Efectuando las operaciones necesarias:

pia: 250
24. Calcular el valor de:

det” me

EJERCICIOS PROPUESTOS

à cr mesos 05 0%
_ +. Cal nt ida
e WE

os vs GD o4 os

ob os 5 lc
2 ar» ben a nich al
ser LCA CR CAO 0)
ar wb oF @ 06 of oF OF oF of
E

6, Elena
3, Simpler:

; o
Paar ie
5

GD es as 6)

Ee

225

27. 7. Becta:

on pw 02 os

8, Calcula:

D ov of

ECUACIONES EXPONENCIALES

ai

ox

Son igualdades reluivas cuyas incognitas aparecen
como exponentes Se entiende por igualdad relativa
“aquella quese verifica para algunos valores que ele
signe a sus incógnitas.

Ejemplos de ecuaciones exponenciales

os ans

wos

sat

SOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN

EXPONENCIAL.

Es el valoro valores que verifican a tgaldad eats,
5

pos:

os

25 x= 3, dado que: 5? = 125

W Ti 348 me x= 2, dado que: Pl Pu 33
Para obtener la solución se debe ener en cuenta
1) Las bases de las potencias deben ser iguales,

2) Para que haya igualdad, los exponentes de las po-
tencias, como consecuencia, deben ser iguales

En resumen:

SAM=A0 men

9. Calcular

10. Hallar la suma de exponentes de las variables x,
2 después de simplificar

aus

da bb oe

EJERCICIOS RESUELTOS

ut

Transformando las potencias

ener

Ffeciuando operaciones € inviniendo la potencia:

Solución

Igualando los exponentes:
ee
Por

pias 4

2- Resolver

E

26

28. Solución:
*ransformando las potencias:
3,3

PERERA
pty

5
EME]

30

haciendo y « 3, se obtiene:

x
E

al

inado denominadores:

Bly e 27y a 9y à dy ny = 363.81
reduciendo:

Pay = 363.81

poro y 32243 23? >
x.5
Rpa:5
3. Resolver:
9 2 9 240
Solucion:

Descompontendo las potencias

9.20 +20
haciendo: y = 9° Q
Sly ey +240

de donde: y=3

Sustnuyendo en (a)

93
pon
6
oxen
pra: 12
4 Resolver

BIT est

Solución
"fectuando operaciones:

PA
Igusando expones:
ES
vransfrmando:
Be”
Pepe

pape

Solución

Observese que: 07071

Nan

Resolver

Solución

Haciendo el cambio de variable

yew

@

ar

29. Extrayendo raz cúbica 8 Calcula valor de n°

wy es
a
au o
Solución
reemplazando (a) y () en la ecuación inicia Descomponendo bs porras
Wa EDT

o, también: Fe

factorizando los numeradores y denominadores

lea LE
; ETS

Y => dedonde: y=3
Ve

reemplazando en (b)

roa 5
luego
= Resolver ass
ET es Ru: 5
Solucion: 9 Resolver la sigulene ecuación exponencial
Electuando operaciones Se
bs Paar
Solución:
o Como 27 «3 entonces
Ps yar

de donde: igualando los exponentes
A

BETT
glande los exponentes

pepe
pers igualando los exponentes
v9 x=28-7

luego: x = 2 xeT

pia: 2 Rp: 7

ras

30. 10. Resolver la siguieme ecuación exponencial

lary =a
Solución

Efectuando operaciones:

igualando los exponentes:

eee

1
Buch
11. Resolver
er
ware
Solución:

Elevando ala potencia “n° ambos miembros dela
Sgualdad:

eat 1
ware"

Brian) = bans xe
bow Dar bar ex
transponiendo érminos:
Wat Bee ba
SD bra er)
simplificando:
we
x= Gy"
usb

pra: ab

12 Resolver:

donde: b= x"

Solución

Reemplazando “ben la cación:
oy ae

Electuando operaciones

igualando exponentes nuevamente

Elevando a la “a” potencia e intercambiando los
exponentes:

wy

de aque se obren:

de donde
ape VF
13: Reale
whe xt
Solución:

‘ransformand los exponentes negatives en pos

29

31. transponiendo:

Ka" as.

AR

por o ramo:
x-6
Rp: 6
14. Resolver:
er
Solución

Elevando ala potencia D

a

luego:
we

¡demificando exponentes:
Worb inch,
b
eb
pia: bi

15. Resolver

Solución:

Transformando adecuadamente:

ransponiendo términos negativos

Mt Se
3 a

Solución

Transformand a formulas exponencials:

730"

32. =

de aquí: VALOR NUMÉRICO DE LAS

‘te, hen EXPRESIONES ALGEBRAICAS
a Pre Se denomina valor numérico de una expresión ale:

raies a valor que toma dicha expresión cuando se le
asigna determinados valores a sus letras.

EJERCICIOS RESUELTOS

pla EJE 1. Hallar el valor numeric de

Eliminado denominadores

6-6).

Efectuando operaciones:

pan:x=4, y 2, 203

iu dien
mty Ws Solución
«eliminando términos y transponiendo: Reemplazando los valore asignados:
Eee De Pa mer
EIC

eliminando denominadores:
EEE TE ENT
10x- 18

x-18
pra: 18

17 Resolver la ecuación exponencial:

Solución: NS

“Trabajando con el segundo miembro:
ı VA 5

aora es

mae
Rpın. + para: a = 2 y be 05

33. Solución
Transformando previamente:

po [tetes [| aor ewer
rl le pora
reemplazando los datos:
O |.
ern | ESPE

Ron: Eas
3. Hala el valor numérico de

Ee paras nt

Solución

Transformando la expresión:

Eux

Reemplazando el dato:

2
2.09".

pia: E= 16

42 Hallar valor numérico de

Solución:

‘Transformando el numerador y denominador se
paradamente

CAES

pias E=2

2 Calcular el valor numérico de:

Bew

se cumple las condiciones siguientes

wer m
y.» o
Solución
Maltpleando (1) (2):
ey
de qué
2 o

Dividiendo (1) entre (2)

E

AS
dez
y

EE

34. Luego, se deduce que: 7. Calcular el valor numerico de

xe2y m bee oval
Bex
Susttuyend (9) en 3)
CEE para: x"
33-2 Solución:
ya ‘Transformand la expresión:

Sustituyendo en 4)

xy
12022 PS
Porlo amo:
Bam ante ses
Boa: Bet €l orden de os factores exponentes no atra el
producto y sacando 5
6 Caleta var numeric de

paxil Reemplzando x" = 2 se obtiene:

: 1 Eloy? 2" 1034
Fa SERVOS
ed) En
solución:
8 Callar el lor numérico de
inducido cos

Operando e cuadrado cada expresión MEAN ye
ee ea 0eme 8)
G+ 2b) GF dx BD)

Daran =

ine

reemplazando: Solución

7 fesse Factorizando y efectuando:
A (es da
eme
(74200) a)

RpasE=1

2332

35. Reemplazando “x”

10 Calcular el valor numerico de
guiente ecuación:

xoy enla se

Solo

lectuando operaciones en el primer miembro:

Rp: En
Por o tanto, se puede deducir que
9. Calcular el valor numérico de:

LES, Gens a
» E nyan-ı
ya

Yarbascıa

. Del mismo modo,

unbien se deduce que
sab ac 4 ad + be bd =0
Solución

Elfecuando operaciones se obtiene:

RCIP bed

E
> o eel
A ney ae

MCE GDF + ab vac + be ba + ad
A aa Enxeyelele2

reemplazando por el valor del dato e biene pias 2

Ta

36. =

EJERCICIOS PROPUESTOS
1. Calcular el valor de: 6 implica:

Vie E
3 23 DB oF ar 91

a3 DV 09 07 98 7s

+ calcular

Calcular el valo de

1
pal

ax by ey ax oy
8. Calcular:

pan

91 ber om Om mm ce Mt
SG GD

3, Simplificar la expresión:
IS

E
(ey! =
De eo or Ne
size on we of 02 04
Bere 10, Simplicar

ae bar oa dd oar

Voor")

5. Simplfiar: oe es ol dx ow
see le | Ne
AS 6A Gf oh on ne ai

351

37. 12, Simphifcar:

Me" ae (ta)
a we
Kae lar)
ae De os de 91 a DB O1 YA 92
cn supp 18. Caleular:
o A
VE | [Ve Messe Pee
oT bi 0/7 0% 0% 1
1 ser leneme de dep dent aga où
ig 19. Expresar en forma simplificada:
Mi Ver Vere. Yo
ak pe oe Ie
or ox
23 br 04 01 05
À sont exes
15, Elan e
pr trar
O et 96° ee,
16. lear ox BW ov al on
Ay y 21. Resolver la ecuación exponencial:
IOWBLO
Lar
Rs 7 ES
où 02
DB bis oF 09 où

T36-

38. 22, alla el valor de “Xy en la siguiente igual- 28, Resolver y dar el valor de

pan
mer
wn oY
a)x=2 bxe V2 xem
2 Di 2 DE 2 yt
ey eee | ae 2 v2 od 02 08
on dae She
i One un
poe
& 52 oo Ae an
ol wl ot at ot
en
Er OD ch An ers a
24. Calcular *x° después de resolver: a2 bi 92 ot
:
ro passo
L ps 0 e ES
ob wt e od où ee
25. Calcular el valor de “a” después de resolver: = DR 93 ds 04
oe Faune
Has 2
NAS)
re
A
oe wz ot as 64 Ga ye ae ow ow
nm = nahmen
xy o 9 (0,1) (0,230 (0,3)°? (0,4) = 25. 3. 5°
suyo ere ign ann eevee

DDR 034 DI OO 34. Calcularelvalor den" en

27, Resolver I ecuación exponencia:

weg

a of ob o2

Tare

39. 35. Halla el valor numérico de

para x = VE

+ Ds

916

on

36. Calcular Y = xs se cumple que

we 23125
o® ot

37. Calcular el valor de E = PP

as

25

sive 22 y Po

ne HR O16

as

38. Calcular = M siendo:

avio bio

92

os”

92

39. Calcular el valor numérico de

paman2b=6

a4 b2 08 06 où
40. Halla el valor numérico de:
223.156 -223.134-22. 119

+ 104.8 - 103.30

23 mn 0% ar 90

(CLAVE DE RESPUESTAS
DA DE ne SD
BC HA 1D inc
190 IDE 164 1D
208

205
290
DE
sac

me ana
ana
spa

308

29€
se
wc

298
354

T3s-

40. GRADO DE LAS EXPRESIONES
ALGEBRAICAS

GRADO

Fs una características de la expresión algebraica, que
viene dados por el exponente de sus lets, el tal
debe ser un numero entero y posto, y permite
¿determinar el numero de soluciones de una
ecuación. Puede ser de dos tipos: relativo y absolut,
El primero se refer a una sola letra y el segundo a
odas sus letras.

GRADOS DE UN MONOMIO

Monomio. Es la minima expresión algebraica que
iene un solo término alebraico. Como toda expre-

som algebraic tendra dos grados que son

Grado Absoluo. (GA). El grado absoluto de un

‘monomio eta dado por La sua delos exponentes de
todas sus letras.

Grado relativo. (GR). Esta dado por el exponente
de la letra referida a dicho monomio

Ejemplo:

Determinar los grados siguiente monomio:
Me page

Solución:

Se debe dar como respuesta los dos grados es de
re grado absoluto y el relativo,

1 GAM.=7+B+4=19
GR, = Toon respecto a x
2) GRM.= | GR = Sconrespecioay

GR, = 4 con respeto az

GRADOS DE UN POLINOMIO.
Polinomio.

Es una expresión algebraica que tene 2 0 más tr.
minos algebraicos recibe el nombre de binomio

cuando tien 2 términos; winomio cuando tiene 3

Grado Absoluto de un Poinomio (G.A.P). Ei dado
por el término que tiene mayor grado absolut

Grado Relativo de un Polinomio (G.R.). Esta dado
porel término de mayor exponente de la letra refei-
da en dicho polinomio,

Ejemplo:

Determinar los grados del siguiente polinomio.
Pa ae à Buy® à Oni!

Solución:

‘Como no se especifica qué grado debe dar
Obiendran los dos grados: absolut y relativo,

ch detent
Gto
ie. | caes...
pS
GA. de 9Xy "2... es 16
Lage GAR 16
Grao nuvo con spect
Frere
ions
ande | Gro Ream crop
a o Er es
ee exponente).
ee

Grado Relative con respeto
22 =8 (porser el mayor

397

41. EJERCICIOS RESUELTOS

1. Hallar “a” y “b" si el Grado Absoluto del
monomio es igual a 17, y su coeficiente tiene el
mismo valor que el Grado relativo con respecto a
X. Siendo el monomio:

Mao

Solución:

DATOS:

DGAM=17

ectuando:
Area

Luego por el enunciad (1):
2a+3b=19 o
2a- 1) 63b=17

WD2@-Deasb

sfectuando: 2322 a +b
tambien: a-b=2 a

Dei: an2+b am)

reemplazando (IU) en (D:
22 +b)43b=19

dedonde: b=3

En cum

Rp,

- Hallar el valor que debe darse a "m" para que la
expresión:

me Ver

sea de 6, Grado,

Solución
Simplficando la expresión:

tambien: M=x

Para que la expresión sea de Go. Grado el expo-
eme debe ser iguala 6.

Dando común denominador y eliminado deno-
minadores

126m 1) +3m-26m--4) 36.6
12m 12 + 3m 10m +8= 216
Sm = 220

Rose m= #4

- Hallar el gado absoluto de la expresión

DER TR
‘tse cumple la siguiente expresión:
More
Solución

El grado absoluto de M ser la suma de os expo
memes de x 2

B cea)(beasbee)

CON)

abe ace bee BF

GAM.

aeb' bee

Game

Zac + 2ab + tbe

©
Disab ace be

dela condición:

40

42. Agrupando y efectuando de acuerdo alo señalado de ba condición:
Zi,

grafcamenıe

becsbec

an

arten (be

haciendo:

Para que la expresión sea cero, el numerador

debe ser ero, at ce eee ©

A Susttuyendo en el GAM.

anem-(n-menem-nem=im

eee m
Ria: GAM. = 2m
Reemplacando (1) en el GAM. (1

52 Hallar el grado dela expresión:
2b? à 2ac + he + Ba = ae

CAM Scab ace be 4
SERRES eg We ie
200 + ace ber ab)
“Disab sac + be Solución:

pia: GAM. 22 El grado es el exponente de x

Sise cumple que Maia

Elevando al cubo se obtiene:

mM 10d

Hallar el grad de prose puede remplazar lat or st valor que
ee a
BER... tres
2m 40
Solución:

E ado pod er probando para m » 2, se obtiene

@)-20)-4 -0
GaM=nem ($

Rp: GAM. #2

a

43. 6 Calcular el valor de "m sel grado de a expre Par deteminar el grado relativo de “y” (GR
Sones de Tmo. Grado: nl monomio Ne calcula exponent de y
CO
SR be (b+ Dal
m Be
Me ww
Solución: Se olseará que ene el mismo valor que el

Muluipicando ls indices dels radicales mayores: GR 6 decir 10, lugo:

Vien none er

Luego I expresión propuesta es iguala: Rpta: GR, M,» 10

LG de oe Hal grad abc de pres

a tr
wet! a
de acuerdo con el dao: Bene pas

cami dato

Solución:

Ru: Mad Transformando la expresión:

7. Stel grado relative a “x” en el monomio:

NON hé
Fret
igual a 10, hallar el GR. respecto a “y” en el A

Nes]

My.

Solución:

Para determinar el GR, en el monomio M se cal-
ula el exponente de x"

o

Rp: GAM. = 20

a

44. 9- Hallar el coeficiente del monomio:
LY a
AY yon y
3

Si su grado absoluto es 8 y el grado relaivo
respectoa y el,

suo (

Por primer dato: es deci la suma de exponen
Per

GAM: 3862+ 38-b=8
Gaeb=8 @

Por segundo dato: es decir el exponente de“y" cs
igual al:

GRy:3a-bel ©
Sumando (a) y (8)

9-9

En (a)
Sebas; be2

Sustituyendo estos valores en el coefcieme:

cum OM 3

"(1 AY 1
O
pia: Coeficiente «1
10. End siguiente monomio:
ayn
H gudoelaivo respect "x" es 12, grado re
ato respect à 10, llar el grado rain
Dave
Solución:

Para hallar el rado respecto a" debe de cal.
Tars los valores de “my n°

1

Daros:
Por dato (1), lndikrenci de exponentes de xe 12:

Ron (am) =12
n-l+mel2

memes @
Por dato (2), ladferenca de exponentes de y s 10

Gk: m-(a-3)=10
m-n+3-10

men=7 ©
Sumando (a) y (B>

2m=20 ; m=10
reemplazando en (a+

nel: ned
Luego:

GRae 5n-(m-2)2 5m. m +2
Susutuyend Los valores de my n

GR,

22 30)-10+2
GRen 7

Hallar el valor de “im” para que la siguiente
expresión sea de 2d0. grado absolute:

Lewy
Res

Solución

Trabajando con el numerador:

han? aa

Trabajando con el denominador:

3

45. Reemplazando los equivalentes en a proposición — 13 Sta"b'=K* donde kes una constant
GA. de:

Ma Ye of et
weed” Viet

Solución

calcular el

Trabajando con cada expresión.

A pb
A meer

pia: m=3

Hallar la suma de los grados relativos respecto a
"x" 6-9" en la siguiente expresión:

ape ED Oey!) (ey) Oey Grey)

ne nine D 2
2

e aber +b)
‘Operando con el denominador, se obtiene: a

Le ey) (te yl

Dato: 1424344

EE) Mr
AR er
Simplcando se oven: Gamer. nn

Mn GG) Ga 2 Ge
Gamer ten
22

eu Rp: GAM an
Luego el grado absolut es la suma delos expo 14. Calcular valor de “x” € y" en el monomio:
ETE
AD nine D_ 2060 D ey M
cam. Me nen Fr]
es de Mo, grado respecto a" y de mo. gado
Rp: GAME en (a+) alo “ome

RE

46. Solución: Operando:

1) Por el dato (1): (mem? ma
CES

EL, ca)
cam @

dividiendo todo entre (M >
Por dato (2): mn
GAM. 1

a): amnim-m)-120
mala)

+6
3

ey!
3

Lar
2mn men) 1 à san (omen) = D
sods 0 ain

Ys

2

a-per

7 16- alar el rao de a gee expresion ale
Las wa

FETE TONER

pia: y=3
Hs
En ea
(a: 2
Rai x05 Operando:

el índice se tiene

(+ PIC A) Qe

cede grado ahaa cer, calar “RAEI a

DOG) Es

p=m.nim-n)
Solución: en el exponente de “x” se tendrá:

Para determinar el grado de M, debe hallarse los stn 2(1 +243 44..¢m)

mayores exponentes tanto en el numerador como
en el denominador; la diferencia de estos expo:
nenes es GAM.

Gam ma en

(ms mm +)

mn + mm en) monmn)

m an Rpia: GAM. =n

5

47. 17. Dado el polinomio:
CSS tj

Sila suma de los grados absolutos de todos los
iérminos del polinomio es (42)? calcular el
valor de

Solucion:

Llamando 1, I, I y IV a los términos del poi-
nomio, El grado absoluto de cada término e

GAT. ea
Garay «20
GAT QD sata
GATAN sea

La suma de los grados absolutos según enun-
ado es:

ee

en el primer término haciendo y, se obtiene
yr
yey de 2
a

de aque

yore

Reponiendo valor de y
wur
igualando exponents:
b-4+6
pa: b= 10

1. Calular m y para que el polinomio:
Pagan po 6 TO y Lines yt

sea de grado absoluto 8 y de grado relativo
respecto ay" igual a5,

Solución

Llamando

a los términos del polinomio.

Por dato y recordando que el grado absoluto del
polinomio e gual al grado del término, de más
to grado:

GAO =menel-3
2men-2
Gar | GAay =m+2en-1
Amenel
GAL =m+3+n-2

-menel

monet

GAR menstes

men=7 @

Por dato y recordando que GR. y es igual al
grado del término de más alto grado relativo

n-2
n-6
En (a):
me6=7
mel
pla me l.n 6

19. Dados les siguientes polinomios

Be cmt yes ota yoda yt
Qt par gt te
Determinar el G.A. del polinomio Q, sabiendo

que: el grado absoluto de P es 16 y el menor
exponente de “y” en el polinomio Q es 4

Solución

Por e dato (1)

GALO =menes
AP] GAG) =men+9 | menso
GALO) -mene3

Por dato (1):
Gar:
De donde:

men+9=16

men=7 @

RTE

48. Por el dato (2):
menor exponente de “yen Q
neded

ned
Ent: ma2e7
mes
El grado absolut de Q es:
GALO =2menos
GAQ | GA) =2men+9
GAL (ID =2m+n+ 10

amene 10

reemplazando valores de m y n
GAQ SD.
Rp: GAQ #22

20. S en el polinomio:

Paarl a yn hem a

se verifica que la diferencia entre los grados rel

mend
GRz| menes] mines
men-6
mo
GR, | m-4} =mo2
m+2
Por dato (1)

GR,-GR, #5; no
mens 5) (me2)=5

deaquí n=2

Por el dato (2)

el menor exponente de yes
mei=3 Lugorme7

De acuerdo con el pedido, el GAP es igual al

mayor gado de todos los términos, es deci:

GAL) =2m-34n
Gar | GAL) «2men+1 |" mensı

tivos de “x” € “y” es 5 y además que el menor PARENT
rec tar re abso am
Sa e
Forel dno () fy GAR ET
EJERCICIOS PROPUESTOS
let}
M=26 Ixy Loos ne 2)
deca se [beet
de pada at 431 podas (Sai

y son iguales. Calcular el valor de:
E=3b-2a
d1 5 OF Md 92

2. ¿Qué valor debe tomar x” para que el monomio:

sea de grado 1207

di bs 02 03 OF

3. Hallar el valor de “m” de tal manera que la
expresión:

ar

49. sea de grado 120

d10 D20 0% 00 01%
4. Hallar el grado del siguiente monomio:

mg ee
di b2 03 d+ 06

5, Hallar el grado del nomonio:
M = xo! yoo? gt
sise cumple
a y to

y además abc = m

am bm om dm om?
6: Hallar el grado de a expresión:
Me
y
slendo n= 16"); mea
95 b+ 03 2 o1

fy Ge) (ge

siendo el valor dea” el quese obtiene, para que
la expresión

Me
=
sea de primer grado.
ds bo 00 an 9

8. Malla el valor de "m sla expresión:

Me
es de grado 32.

a 9 4 04
+ b2 of ot ot
9. ¿Cuántas letras se deben tomar en el siguiente
Maat bi eat

para que su grado sea 6 0067
di bi 915 dB où

10, Hallar el gado dela expresión

AN NN

Ma5x
LE

a2 95 0m oF

11. el grado absolo de la expresión:

1 Na Cola
ya E

es lo, hallar el valor de

ep

E
ar bpeq dr

12: Sim > n> 0 yla expresión

pure

es de grado mul, Calcular

or

93

RTE

50. 23 sa. (ee

hallar el grado de

A
EE

dm

si

v2

om 90

14 Hallar el valor de “m” para que el monomio:

a3 ba os

a 07

15: Halla m yn si el polinomio:
P (xy) = det yond pen ro

ee

«sce grado absolutoveiniochoy la diferencia de
los grados relativos de "x" ¿“y 6 6. Dar m en
210 HI 98 a o16
16, Se tenen dos polinomios Py Q, si el polinomio
Peesde grado 10 respecto ax". Enel polinomio
Qe grado respecto a "x" es 3 grados menos que
el rado respecto a “y” Hallar el grado respecto
en el polinomio Q, siendo:

oo
QU = Dem pr y à gum y
#10 5 95 an 92

17. Determinar el grado absoluto de Q, st el grado
absoluto de Pes 20 ÿ el mayor esponente de “y”
enQes 10

POS

al
QA = dent pr Tun ym Bam y

DIS Hw DIS 01

18. Hallar E = m ¢ n si el GA. del polinomio:
Puy) 4a 5 Syl zan pu

es de grado absolut 8 y el grado relativo a "x"

Supera en una unidad al grado relativo ay"

a5 b4 93 06 91

19, Calcular el valor de “x” para que la expresión
sea de segundo grado

Ne AP Ee

es igual a7, hallar el gado respecto a x" en el

we

M
TEE
a5 b+ 93 06 07

‘CLAVE DE RESPUESTAS,

DB 9D #8 He

DA HA YE 108

IDE We 194

19D

19€

20e

09.

51. NOTACION POLINOMICA

Notación polinömica es la representación de un pol
‘nomi, mediante sus variables y constantes.

Se denomina variable a toda ma
de valor, se le repre
Abecedario: xyz ele

tud que cambia
ent por las limas letras del

Se denomina constante a toda magnitud que tene
un valor jo, no cambia su valor; el representa por

POLINOMIO.

Polinomio es una expresión que consta de más de un
término general, un polinomio se representa de la
siguiente manera:

P 2,9), se lee “polinomio en xy"

dde Pes el nombre generic

(x,y) on las variables x €

Por lo tanto:

(xy), significa que el polinomio es de nombre
Py de varables , y

Ejemplos
D Play) we 6 5y 7
[DEIN «40 à Pay à 62?
A) PC = 40 FEN TH

En general se tend

P (xyz) = ag+by+c

CL

nombre
genérico

'VALOR NUMERICO DE
UN POLINÓMIO

Es el valor que toma dicho polinomio, cuando se
reemplaza en el valores asignados a sus variables

Ejemplo. Se cl polinomio:
DOME EE

alla PO)

Solución:

Se reemplaza los valores dex ey as

POA) = 45-504 025-5028

CAMBIO DE VARIABLE EN UN POLINOMIO.

Es la expresion quese obiene al cambiar la variable

del polinomio por otra

Ejemplo: Sea el polinomio:
PO) = 4 5x0 6
calcular PG + D)

Solución

Se reemplaza x por y+: at
Pye ERBE IDA
efectuando operaciones:

Pe adG2s 2 14374566
Pe Deep dep

Ply Dette By +15,

50-

52. EJERCICIOS RESUELTOS >
12 Calcular:
Ea Qireay
siendo: P (D = 38 458242848 y
QG = GA à (45 GOD)
+A
Solución:
Calculo de P (2):
P2) « 362) à 52) + 262) + 262) +8
2402044800
Leer
Caleulo de Q 162)
QIPC2) = QUO! = + D (= Dei
+03 (0+ 1) +(0+ 50-10

QUOI» "Ha are)
QUOI» A) Ga) 45-5

Rp: EQU!

22 $1 P(x) 2 2x + 2, caleular

RePIPI2- PCDI)
Sola
Calculo de P +):

POD AED CD 42a lela ded
Calculo de PL2- PC):
PI2-P CD] = P24] =P 121
PLD) = (2)8-(2) 4224424208
Calculo de PIPÍZ - PCI}

PIPE? RCD =P (8) =8°- (8) +2 A
61842258
PIPIZ PCD!) =58

PO

o calcular
eer

R= PIPIPQ3)I)
Solución:
Calculando por pares:

251.2

Pas).
VB+1 541 6

4

MPa rin. EL

PROS) = PLL =

Ter 3

Rpa: E= PIPIPOS) = 0

SP) =x(2-x) 5, calcular:

PO) - PO)

Rn _
PO + (a 9) (15)

Solución
Cálculo de PCs)

PC) = (x) 2] +5 SEN NEE

nes

Por oto lado:
IR)

además: PO = ex 95

reemplazando

Y

O]

As 0)

R Kur
ES
Rpia: R=2
- Calcular:

=P D) + PUR: 1-2 PO)
SE PO) = 3424 +4

Ta

53. Solución

Calculo de Px +1):

Pine à De 2e 1) +4
= 34 2x + D) +20 + D +4
meteo ee
Beer)

Cálculo de Pix- 1):

POD AD
AR De
BEN 6x6 Soe de
Per

reemplazando en la expresión propuesta

7

Ea Gite Bx + 9)à Gx? a à 5) 20424)

En Ge x 4-6-4 -8 = 6
Rp: E=6
Sif (3) = x = 20,800) = 2 + ay ademas
BG! = BI = fg] +19
calcular a”
Solución:
Cálculo de fi!
MIGO] = Mx + al «2x +a- 22026
Cálculo de gl
GI» g(x 28)= 204-28) sam 2 due
2-3
Cálculo de Mg):
g(a) = 260) + a Ja
ga] = (Ga) =3a-2a =a
reemplazando en la segunda condición:

ax Qx-3a) ea 19
2x-a- 2x0 damas 19
dama. 10

Ra a 19

on
1
Fede y
Gex
1
y además: PIFIGI = 1;
Calcular
Solución
Como: GW) =x
FIGGO) = FO)
1 1
ma EA, E a
ai IIA
1er eh De
Por oro lado:

A
Piro! =

Igualando los valores del polinomio en P:

a

Bex 10

de donde: x = 8

Si PIGS Te

sexe]? [3x03
x
Calcular P)
Solución

Transformando por partes

: u [ea]
ses

Ts

54. =

ates al”

[a nos

nes lanar], .

Como la expresión transformada es:

BG De HR por comparación: x= L

PH) = 314)" = 3016) = 48
WEN reemplazando en el polinomio propuesto:

pia: PG) = 48,

Si se cumple que:
sl, x à nd wh? +. (consderar
“a terminos)

Calcular: eus

9284 PG = 222, calcula: PIPGI

Solución

PO) +3
PIPG =
Solución: o

So reemplazando P(x)

xt
sine

ES
PIPGDI «ax

121 ype independieme de "x"

Calcular E 648

Solución:

Cálculo de PIP)

Ts

55. UNE

6502+ 1) = (k-8)?

Est propiedad será demostrada en el Capitulo
de Polinomios Especiales

Operando:
65K à 6510 16h + 64
She + 16k+ 120
CAEN
hero

1
dedonde:k=- 4
luego:

Ee othe = 64(

pias Ea
ASH PG) «ae 6b ya DINO] + 24 + €
Calcular: Erachee
Solución
Calculo de PIPGO):
PIRGO| = [POD]? «baaa Be
at 2e ab b

2 ant à abe 6 Gabi b) (A)

Como: PIERRE)

Ggualando (A) y 6):
2x! + Ga) + (aba rc
Igualando coeficientes de términos idémicos:

28 5 and
weber bed
abe; cr

luego: E=263621=26

pas #26
12. Sabiendo que: Px 1) «ex + 1, eeu PLO)
Solución:
Ses PO) ate boe w
luego:

POD max Ds be Dee
NS
PO 1) = axe Ga- bi + (abro,

Como: Pox I) 2x + 1

Igualando coefíciemes de términos idénticos
ant

abe
bei
arbserl ent

da-bel

Sustiuyendo valores en (A):

Pe) a exe 1
luego:
E = PGO) = OR +10+1=111

pu: En
13. Sabiendo que:

P(x $2)= 6x61

y además: PÍO] = 128-17

Calcular FAS)

56. Solución
Cálculo de Poo: 2) SIRE] «

Sea PG) «(an + 8)
luego:
NS
max a+b) a

Como por dato: Sic» ex

Reden ® :
D RSR» RG) + REL

Agalando los codes de las términos en xe
Saye

ad ostra es 2]

Arber

ton Legales
por lo tanto: Lex

P(x) = ax + b= 6-11 =

Cálculo de PIEGO)

BET 5) Porel dato est valores gual a a

CORTE Fu 5
OF) = 1216 staal
FQ) #2x-1 Rpia x=3

Cálculo de F(15) = 2(15) - 1 =29 13. Cuál es a variación que experimenta PQ), cuan

do "x" varia de 2 44,
pra: FOS) = 29

P(x)»
=a
es
a Solución:
aces —

sismo a wt

maus
PH = “ L

7557

57. El cambio que experimenta es:

+

‘Como la diferencia es posia, disminuye, luego disminuye en 28/15.

EJERCICIOS PROPUESTOS

LP ah at a xe 5. Expresar como y (4) I expresión:

an
Gee) eee D any ny 9100

E = PC) + PQ) - PC) + PG) -PC3)

dm aL
oR oat ES
z 2 une
Oy Fore I)
2, Si: PGA) = 26602) 4 + a
Calcular E= PG)
20 968068 065 e)70 6 Quérelación debe existir entre los valores m,n y
1 para que a función:
sisted
3 Sif) tt 2
ray fx) «EHP

D

sea siempre igual a a unidad y además x adopte
tun solo valor:

calcular el valor de:

E 20) + 10)

1G) +1@) + AG) 2) n'e4mp-0 byw 4mp=0
MIT 025 935 © n+3mp-0 dw 8mp=0
DAS 035 One 8mp=0

Pecoraro ere
pest TIPO) = x, cala:
SS E

y ae axel e [2r(2) «Po row]!
kenn el mismo valor cuando x 1
or

d0y1 bay? ya

@1y2 00

2 ES

58. 8. SIRO = 20 -7% à 6, calcular:

9, Hallar y = (69 a par

1 1
olx olor

ome
1. SiP (x) =x y además:
PIFG) + GOO] = x +4

PIFG) - GOO] = x 2

13. Si PC) = (+ 1)? - (x? 1)? hallar:
a
(fF)

a bt 02 01 03

14. ¿Cuil a variación de:

SICK varia entre 04 2057

1
2) Aumena ent
sl 6

1
D Disminaye en
© No sure variación
2
© Aumenta 2
2
© Dismimye 2.

15.5100) = = + 3x 3, hallar
EPP
dur bas om
oat 918
16,51 (xy) =»? «y? + By à x) calcular

E=PGa+l2-a)

12. Caleulr el valor de E = (mn + Sabldoque 1 ME ow

PIPG)] es independiente de

Oo on

17, $1 PGO =x 1, calcula:

E = PIPG PCs)

Tr

59. ae bo ox
ax ot
18.8176) «223, calatar:
E=PIPG))
ax bi ox

din x

“2

19.512 =

calcular:

E=PIP(PIPQ)II|

wis b) 16 90
d+ 00
20.5196) = (+1) Is calular

PCa) + Pox +2)

6 bi o2
a+ 03
“CLAVE DE RESPUESTAS
DB DA #4
DE Hc HF
IDD ma 194

IDD WB IDA

60. POLINOMIOS ESPECIALES

Son cienos polinomios que por su importancia, es
necesario conoser Los más usados son

Polinomio Ordenado

Polinomio Completo

Polinomio Homogeneo
Polinomios Idénticos
Polinomios Hénticamente Nulos

Polinomios Entero en "x"

POLINOMIO ORDENADO
Con respecto a una letra, es aquel quese caracteriza
porque los valores de os exponentes de la letra con
Siderada van aumentando © disminuyendo, Segun
que la ordenación sea ascendente o descendente (cre
lente o decrecient).

Ejemplo:

Sea el polinomio

Py) = any! à à dat
Pesordenado con respeco a "x" en forma ascen

deme yes ordenado con respecto a y" en forma
descendente.

POLINOMIO COMPLETO

Con respecto a una letra, es aquel quese caracteriza
porque todos los exponentes de a letra considerada
existen, desde el mayor hasta el cero inclusive;
denominando este ultimo, “término independiente”
del polinomio con respecto a esa letra

Ejemplos
1) Sea polinomio:
Play) 9+ Sey à Tay? + 8?
Pcs un polinomio completo con respecto a "x" y
su término independiente con respecto a est
letras es 8y También es completo con respecto

ay" y su término independiente con respecto a
esta lin es 4

A) PGs) = 9ax?- 3x? bn + are)

Donde el término independiente es: (q +0)

PROPIEDADES DE UN POLINOMIO
COMPLETO

1) Sh es de grado “a” (GP o grado del polinomio),
el numero de terminos. es ga a G.P más
uno. Es de

aTR-GRe1

2) El grado del polinomio completo es igual al
‘numero de términos. menos uno,

GReste-i

3) La diferencia de grados relativos de dos term“
os consecutivos es igual ala unidad:

GRU + D- GRU) =1
4) El tering independiente contiene al variable
con exponente cero
POLINOMIO HOMOGENEO

Es aquel que se caracteriza por que todos sus term
nos tienen igual grado absoluto (GA).

597

61. Ejemplo
Sea el polinomio:
Poy) = Ax yl! à Oxy + GE

wa

um

en este polinomio, se verifica que

GAA) = GA «Gand

TERMINOS SEMEJANTES
Son aqueos que nen igual parte Ira, afectada
por os mismos exponentes, sn intrest los coc

Ejemplo

Les terminos:

ap. Sey, an

son semejantes.
POLINOMIOS IDENTICOS

Son aquellos que se caracterizan porque sus términos
semejantes tienen iguales cocicientes

La identidad de polinomios, se representa as: (>
En general una identidad se expresa dela sigulemte
ae a? = me ony eat
L EJ]

‘Como son idémicos, debe cumplirse siempre que:

ben
Ejemplo:
Hallar a y b en la identidad:

da? +15 = 12 à Shy

Solucion:
Como es identidad se cumple que:
Zr amó
15e = 6-3

POLINOMIOS IDENTICAMENTE NULOS

Son aquellos que se cara
«ocficiemes son idémicos acer.

mn porque todos sus

Ejemplo
Sie polinomio:

PQ) = a + ba + ex + d
es identicamente nulo, quire dei que:
abee-de0
POLINOMIO ENTERO EN *x'

Es aquel que se caraceriza porque todos sus expo-
entes son enteros y su unica varlahle ex".

Un polinomio Pd, enter en "x" se representa ast:
De primer gado:
PG sax eb
De segundo grado:
PGs) ean! eb oe
De tecer grado
PGs) naw à bn vexed
y as sucesivamente
EJERCICIOS RESUELTOS

1 Hallar m,p y b pora que cl polinomio:

PO = Se LEE
CET] on)

sea completo y ordenado en forma descendente,
Solución

Como el polinomio debe estar ordenado en forma
descendent, los exponentes deben ir disminuyen
do desde el 11) hasta el UD,

Como es completo, el menor exponente que es
‘gual cero (por ser érmino independiente) co-
responde al tl) el anterior Iguala 1 y el prime-
vo igual a2 ast:

62. b-p+16=0 @
mpelsei o
m- 18-2 ©
m-20
En @)
2-p+15e1
pen
En (a:
be 16-0
bis
pias m= 20
pest
b=18

2 Hallar ln suma de cocficientes del siguiente po:
Hinomio

O je à paye yt

E
ses homogenen.
Solución
Ses homogéneo, se cumple
GAL «GAs GAL « GA AN)
Entonces
A
@ 8 © ©

haciendo: (a) = (9)
deb ask? @

haciendo: ($) = 4)

News ee >

+

ud (p) en (8) se biene

Bea (gy eter
be 2
dest

E?

mn ®

reemplazando () en (p>
a
abe
ber
En@ sae 2Q)04

Finalmente, a sma decocicents dl polinomio es

le coeficientes = a à ba tr BE
Y de och brah

ent

“6201
-9

pra: Y de coeficientes =9

3 talar sl poc:

Play) = unge (adm à y)

es homogéneo
Solución
Efectuando operaciones
PA mn ay
oO «a
Como es homogéneo, se cumple que

GAL = GAN

jms lenemetnel
Bmemenen

Tere

63. A

2m=óm

tas E.

3

42 Calcular la suma de los cocfiiemes del pol
nomio homogéneo:

Py) = VE Sip DAN
O]
+ q yt

cy
Solución:

Como es homogéneo:

GALW + GAL QD « GAL

Ws po ted
®

@ @

haciendo a =

haciendo «=p.

n-5el2epeq

reemplazando,
R-sen-pea
Dee)
La suma de coeficientes del polinomio es:
Sa 3p+ 5 de 13444
pe 3-59 ges
pet
= 8650) +4
Ra $ «452

5 Sila expresión:

Paye) = rs paper, yan

«es homogénes hala su grado absoluto.

Solución:

Si es homogenen, los gados absolutos de cad ter
mino deben ser iguales, es decir

3e3e3ye3e_ 363 eine

Neyer” xayezed

dede,
a

Ga.

"Usando la propiedad de serie de razones iguales

Deere adrede dede ed GA

pende redox ered

Bee

Syria
pia: GA =?

6-Siel polinomio:
Pots

NA

o
Re

es identicamente mule, hallar

bee

Rey

©

Solución

Para que se anule el polinomio, siendo a, b y €
constantes, se debe cumplo

a-b-0 = a-b
be-0 = bee
cano = cua

de aquí se obtiene:

abee

Haciendo:a «bey reemplazando en (>

pra R=2

7-Stel polinomio:
Pony) + Aa à b= d+ don

Hb eae?
es idémicamente nulo, hallar el valor de

b

+

64. Solucion:

SL es iénticamente nulo, sus coeficientes son mu
los, es der

abc o
b-de=0 a
bre a
De (1 se obtiene:
be de a
¡Sumando (D) + (HD e tiene
dee w
Susttuyendo (IV) en (V):
Mende w
On @ deve
onde?
d-e=0
dee mn
Sustiuyendo dos vecs en (IV:
bedee @
Sustituyendo en (D:
are
asc o

Susttuyendo adecuadamente (1), (2) y (3) en la
expresión pedida:

Rpas E = 4
8. Dado el polinomio:
Play) = ayy

‘encontrar el mayor cocficiete de otro polinomio
QU) Sabiendo que

1) Sy) = POxy) + QUxy) es completo y
homogenen.

2) La suma de coeficientes de SG: es 20,

3) Cada coeficiente de QUxy) es igual al que ames
cede mas 1

Solución:

Dadas las condiciones, (xy) debe ser homogénco
de grado cinco.

Como $ (xy) = Pixy) + Qlxy) es completo y
homogéneo de grado cinco, luego:

QD aaa ney sy?
ya que

SA Ay a sagt ey

«completo y homogénco de grado 5

Por la segunda condición:
54emenslop=20
men+p=18 (a)
Por la ercra condición:

mea; meael ; pras2

ento asno leno2=18
325

E polinomio buscado es
UY 6 + Ty?
pia: El mayor coeficiente 67.

3. Hallar el numero de términos en el siguiente poli:

Pox) = m

sies completo,

Dr +m De + (m=

Solución:
Se observa que los exponentes del polinomio van
aumentando, e decir que esta ordenado en forma
ascendente

Si el polinomio es completo,
cero, que coresponde al er
pertenece, en ete «ao, al pri
po

iste un exponente
10 independiente y
termino, es

momo. m=6

Ts

65. reemplazando este valor:

IDEE SZENE NET AT HO

Como solamente hasta el término en xt es com-
lso, entonces tiene 3 serminos

pa El polinomio tene 5 términos.

10. Hallar el valor de p y q s se cumple la siga
identidad de polinomios:

13-2 pq
Solución:
Elecuuando operaciones y ordenando:

1322 = 2p-perqe gx
1-2 = Gp + a) + (gp

Idenöficando los coeficintes:

+420 o
a2 a

Restando (1) - (D!
apeq-aep=1s

39.15
pes
En)
20)eqe 1
9-3
Rp: p=

aed

‘OTROMETODO: Como los valores de“q” y“p" no
dependen de los valores de =, e asigna valores a
“ede tal manera quese elimine incognlas. As:

Para x = 2; reemplazando:
13-20) =p2-2 + a +2)

9-39

a3

Para x =; reemplazando;

1326 = pla CDI + qe)

PBI
ps
Ra: pes
a3

Se observa que este método es más sencilla con-
inucion, se resuelve varios problemas con este
método.

1 Hallar mn y pen la iguiente identidad;

TE 4 Le mx E)
spé Re D

Solución

Dando valores convenientes à

Para x= desaparecen el primer y el tercer té
no del miembro derecho)
FAR -6(1) 41 Ma
Zend)

Par x

TOR 61 p2-3)2-1)
Tepe)
peur

Para xo:

7G) -6G)+1«mG-DG-2)
63- 18+ 1 = m@Q)
ma
pias me 23
nel
oe

7
12: Calcular “py “q enla identi:
PDA 3} = 304+ 3) + 4p + x

Solución
Dando valores ax:

Para x=-5

AR =
25p-259=75
p-a=3 o

66. Para x= 5:
po

410) = + 4p + g)C5)
400) =. 2002p + q)
dan 2p+q
Med
p=2a a
Reemplazando (D) en (D:
24-423
a3
En (lt: p= 6
Rpia: p=6
q=3

13. Calcular E = m ¢n + pen la siguiente identidad

0)

TES

Solución:
Dando valores a °° para x = 2
102) + 5m(2)-5 = mi 1)
40+ 10m-5= Im
35--m
mes
Reemplazando en I identidad:
LO? 25x > 50 25e DG -D + DG)
pa
Para x1

100

25025 =pa-Da+D
10-302 pCDG)
p-10

Te
10+ 25-52 n6-3)62)

30 6m

n-5

El valor pedido sed:
Eem

nap e541065=10
Rp E = 10

142 Calcular E =

vb + cen la siguiente ideidad:
AB 2 3x8 24 ala (x
Solución
Analizando I dentidad se observa que el produc
to indicado es de tercer grado, lo que hace nece-
Saro quea= Ly b= 2, ya que uno de primer grado
on uno de segundo da como resultado uno de
tercer. Luego, la Wdentidad es
Be a AKL DR
efectuando operaciones:
180 38e 4x

(bro D) (2x + D)
bee hea? o bro ex Dex 1

entiicando coeficientes:

CS @
dee teed ©
bite.

bares ©

(en (> Renee
Acc
38-320

Tambien: Ge + 1): 3) 20

de aqui €=3

En Ok be 2
Enasbec=10203=6

RpiasE=6

15. Caleutar “den

20 46+ = ale re)? +b ed)

Tess

67. Solución
Elfecuando y ordenando:
20 à 6x! + 15x #20 = ax? + Bae

+ Gaeta box + (ae! + bd

Identificando cofiienes

4-2

donó = eal
Is-meeb = ba
Wear = dad

Rptad #2
16. Calcular E = a. bi a fracción

«
(G+ Dx? «Sy + 238-26) y

bat + xy + Gba + D y

+ independiente de x € y
Solución

Sila fración es independiente de x ©
Au valor constante que no depende de estos valores;
sea" este valor:

Gba boy + SEES D Y
SERE CREES

Efccuando:
ae Be ay eb a à Dy? = ka + bx?
+ Ska + 200 EN,

Identificado cocficienes

ach
acbekarb) = ke tb
1
Desk ke
daba ole 2kGa-26) > ke 20221
2 Ga-2b)

Por lo tant:

(a) =
sb 1
RE]
Sa-sheaeh
dedonde 23h m
®=@
EME
57 2Ga-2b)
Ga 4b= 136-5065
dedonde: 1ia-10b-5 o
De(1) y (2) se obtiene:
ar
b=2
Por tano:
Enasbe 2.3

Ras E= 5
17: Siel polinomios

nd 6 (be = ba = ads
ae

P(x) “ab ac

es identicamente nulo, calcular el valor de:

1
Solución

Si es denticamente nulo, se cumple:
ah-ac-n? = be-ba-2n = ca-ch-1-0

@ 0] @

Sumando (a) + (B) + (D se obtiene:
abe acon? be-ba-daren-eb-100
mein+t-o
CE
ne

Por to tant
(@):ab-ac-120 = aboli @)
(Brbe-bas2-0 > be-ba=2 QD

GX cb 1-0 + cachet am

68. De la ecuación (D:

De la ecuación):

De la ecuación (HD:

abet

Entonces, el valor pedido sea:

ab-cec-asa-beo

Rpta: E=0

18. Sabiendo que el polinomio:

Pd mini pat > atar, (2 tn
fü] a xa

«es homogéneo, hallar La suma de sus coeficiemes
Solucion:
Sie homogeneo, se cumple:

GAty= GA

= GA

Beat len(nsDat-a42 = Bead

@ © o

Haciendo (6) = (D:

aeleweaed
asl
Haciendo (a) = (B)
Parlante Data 42
reemplazando el valor halo de a = 1:

Ile Lentas 1) Q)-142
= n(n 1)

deagu ne 0 6 neat
Para n= 0, la suma de cocficientes es

nia? 1) Ze 2
20204

Para n = 1, a suma de coeficientes es:
CO 21-265

Rai Se4 0 525

19. De un polinomio P(xy) completo y homogéneo.
de grado 8 y ordenado crecientemente respecto a
se ha tomado tees términos consecutivos,
que son:

ep Bey
Hallar el grado respecto a“y" de la expresión “8.
Solucon:

Para que B retina las condiciones establecidas debe
nec la forma:

Bayo
obsersando que:a = b 2
Por lo tanto, se deduce que la serie es
RENO,
COR]
Por ser homogenen:
GAM@) = GAXB) + GAG)
aebe2eaebe2eaebe2e8
a0b=6 o
Por ser completo, l diferencia de grados resivos
si
bebeaed
bean? a
De (D) y UD) se biene
bes

a2
la expresión es:

Ba
y su grado relato a y 5
Apa: GRO) =5

20. Calcular E = 28 +3C en a idem

6
BD GED

Solución:

Efectuando operaciones:
6 (Ax 2 BG en)» € te m)
men

Ter

69. de esta relación como es una identidad, se cumple
a (ue

de donde:

1 arore (den) (BS)

identificando coeiciemes:
a+c-0 ©

A
E a

B.S.
BC. am

Dei), efectuando, se tiene el valor de E:

E-28+3C-6
Rpia: E= 6

EJERCICIOS PROPUESTOS

stent
ES
lend
DE See You Be cred
Pen ve
1 Spline

PCR) = (n= DN (nt (DE?

S ordenado y completo hallar el número de ter

29 bio 097 a6 05

2. Hallar la suma delos coeficientes del siguente
polinomio homogéneo:

Pa) at bp à ab

a8 Dé 9 3% 04%

3, Calcular E =m + + pen a identidad

„Re
CETTE)

bo

a10 98 92 02

4, Calcular E=a+bec+dsielpolinomio es com-
pleto, ordenado descendentemente:

Pla) = ae à à Th Bae

95 9 oF 3 02

5. Sie winomi:
Pe View + Vas + 1

es homogéneo de grado 10, de que grado ser el

Me Vane TES Mer

on

25 ba 00 98

6. Calcular a suma de coeficientes, sel polinomio:

(ya) = Cm ends + (m= ny + menden"
es homogéneo.

a2 wt 02 08 92

¿Cuál esl condición necesaria y suficiente para
que

Pa) O ya e mm
sea homogéneo:

5 menspeq D) men-p-q

O9 map) men-p+q

9 men-pea

70. 5. Sel polinomio es homogéneo:

A vce MH 2 ame
ES
a e [es]
20 bi 006 HIT 02
Der Benger
Pe bat a

determinar el polinomio que debe agregarse a P
para que el polinomio resultante sea un poi
nomio homogenco y completo, tal que la suma
de sus coefcientes sea 16 y su valor numérico
paraa =2,b= 1 sea88,

Da DES

O taba oa

o mba

10, Siel polinomio PGxy) homogéneo, es de doble
grado que el polinomio Q (xy) y además que el
rado con respecto a “yen PÚxy) es el doble
que en QU 3) hallar la suma de coeficientes de
Play) + QUe) Sendo:

Pay) = mnt: mo. my

QU = mys = ey am

22 bw 92 04 96

11, Calcular I suma de los coeficientes del poli

Pox y)= Ban" à y 6(a-b)x+(20b-5)xey#

DM DIT 927 027 dr

12. Calcular el valor de
manera que Se cumple

men siendo mn deal

Gx +n) (x 4m) = 3-56

a4 HN 00 O16 918

13. Calcular el valor de “a” en

ENDEN = (o xo 2) ts cr ab

d2 bi 90 3 04

14, Calcular “a en:
+ (a à Du 64 = 30 2) 4) à 3-4)

95 DT 08 43 o1

15. Calcula e” en a deidad:

3 2x Ta DU seed?

«dee

a0 ba» OR 18 om

‘CLAVE DE RESPUESTAS
DD DE

#5 98

ns

SB 9D IC

2B DE WCE INC

69

71. EXPRESIONES ALGEBRAICAS

SUMA Y RESTA

Para sumar restar expresiones algebraicas, se suma o
se resta términos semejames, Se denomina términos
semejantes a aquellos que tienen la misma part eral
alectada por os mismos exponentes, los coeficientes
pueden er iguales odilerents,

En las expresiones algebraicas se til los “signos
de agrupación”, conocidos también el con nombre de
Signos de colección. Los más importantes so:

Paréntesis () — corchetes | |

Maves [ ) barra horizontal

ri]

SUPRESIÓN DE SIGNOS DE COLECCIÓN

Es la operación que permite ellminar los signos de
agrupación: se opera st

1) Cuando el signo de colección está precedido del
signo más, e elimina in produci ningan cambio:

AS

2) Cuando el signo de colección esta precedida del
signo menos, se elimina cambiando de signo a
todos los términos que se encontraban dentro de
das

a-th-dea-bee

INTRODUCCIÓN DE SIGNOS DE
COLECCIÓN

Es I operación que permite agrupar dos o más té.
mins en uno; esta operación se raliza as

1) Cuando va ar precedido del signo más se escribe
cl signo de colección respectivo, sin real
ningun cambio de signo a los términos que
quedan dentro de él. ASE

asb-coastb-d

2) Cuando va a ir precedido del signo menos, se
escribe el signo de colección respectivo caml
do del signo todos los tErminos que se intro:
uen. Ast

acbecwartbeo)
EJERCICIOS RESUELTOS
1 implicar:

sla-2b-[2a- 3b- Qa-3b-

Doll
Solución

Fliminemos en primer término la barra ya contin-
ación el parémtesis:

E--la-2b-[2a-3b-2003b+a-b])

Se observa que La barra, por estar con signo menos
alter os signos al er retirada

Eliminando la lave:
Ea-a+2b+[2a-3b-2a+3b+a-b}

Eliminando el corchete:
Ea-ae2b+2a-3h-24e3bea-beb

Ro Erb

-70-

72. 22 Simpliicar

E 02a-sb-2evd-[-a-l Euer

abe
Solución:

Eliminando paréntesis y bara:
o.”

Eliminado corehets y llaves:

E-2a-db-2code asb-asbeceb-aveed=a
Rpia: Exa

32 Simplifiar:

Ba (xoxo 2 0) + Ont Be 3x4 00)
(0-2) veces veces
Solución:

Efectuando por pats:
[EN LE Tr ame +2

(0-2) vec

Ors deo d+ 38) 00 ($) EN
pa
hun
bela 2) +0
à

pra

4- Simpiicar

Estuenema en) [nena 3ine,.0(0-2¥)
We Don

Solución:

Efectuando por pats:

nennt 0) en à n= (a? + 2n) (D

Gre Dy veces

Por otro lado, y en general, se tien que al,
luego la expresión

Lina 294 nn (= Dil
es igual

Inemene eal
debe hallarse el numero de términos, para lo val
tsa, con jars en el coeficiente que tenia org
alimente, por lo tano será
[oe mene sn} = fala 2) = [20] (00

(0-2) veces

Reemplazando (1) y (D) en la expresión dada
Bein: + 2n)-In?-2nlen? + 219204
pia: E=n

5. Simpliicar

Ref à a à +8) = Cheb)
Sm veces (2m -1) veces

la + 2b) ++ 2b) + + 420)
Solución
Efeetuando por partes:

arar ma)

CB 2 be 22) = Cb) Cm 2 1) « Cam ob)
am D veces

ls

alas 2) (ae 2bim = amo Zhe

Reemplazando en la expresión:
Re ma -C-2mb + b) « (ame2bm)]
Re-ma=b-b- 2mb sam + 2bm=b

Ra: Reb

A

73. EJERCICIOS PROPUESTOS

1 Silos polinomios

Auer
Bea 2x! +3283
Catton?
Da3x-txe2
EX
[PN
CRE
Calcular

M=A- IBC IDE (E

dx bé ox OY où

Hallar P+ Q siendo:

y ey

Que yoyo xo en.

Dy PA ey dy 0%
3 Simplifiar
Ee-[a-b-@-bea-(@--a)]-b
da Ba Où db 9»
4 Simpificar:
ER)

+X 28) + Gx IDA AD +
son + Dal

DIN

x

bx oo

DES

3 Simplifcar:

E=2a-(3b+ Gb-0 -4e+ (2a- 0-2)

dk bie d% di 90

6. Simplificar:

Gb veces

Gris

DO Dm ox dx Om

7. implicar:

Es-la-2b+c-2a-3d+e + Ld -20)
+( -Bbre-d- 201)

da bb de od 90

8 Simplifiar

Erin ly olla yz Gp

ax Do dy dy ox

9. Simpliicar

E=-(2b-263b+a-2a-3b-24-b- 3453)

a2 Dé da da 0%

10, implicar:

a-b-la-3b-24-b-(4a-b-20D))
Da on 4a Sa

read
y

11. Simplifcar

Eelasarar
(ost) veces

+bbobo Deby

DERrS

Zn veces
elercrcr elemen
On-1) veces

74. db Mm On ne om a) Enlaizquierda hay doble que en la derecha
12. Una persona A, tene a pese, otra persona BP) Enladerecha hay 3, y ena izquierdas +8.
tiene pesetas, las dos juntan su diner y gastan
en tes ocasiones diferentes una suma descono
‘ida x En el momento de separarse, À toma una
Suma e Lo que le queda a Bes a

+) El numero de piezas es igual en las dos

Hay (& +3) en la mano derecha y x=8 enla
iaqulerda
a) atbs3e-x barbex-c

©) En la mano derecha lay doble que en la
9 asbex-e dasbexce izquierda,

9 arbrde
CLAVE DE RESPUESTAS
13. Tengo en la mano izquierda 3 piezas de mone-

da más que en la derecha; si tomo 3 de ésas | DE DE YC PE DD

para ponerlas en la primera, ¿cuántas hay en
Cada una, siendo x el wimero piezas de man | O8 DB SC MB 10D
da dela derecha sis

ra

75. MULTIPLICACIÓN DE EXPRESIONES
ALGEBRAICAS

Es la operación que consiste en obtener una expre
sión llamada producto toa, conociendo oras dos
¡amadas multiplicando y muluiplcador.

PRODUCTO INDICADO

Como su nombre lo indica ela expresión todavia no
efectuada, donde se indica multiplicando y malupl:
‘aor.

Ejemplo: (a+ b+ movax-b)

PROPIEDADES DE LA MULTIPLICACION

1) El grado del productos iguala!

suma delos gr
dos delos factores

2) El termino independiente del producto es igual al
producto de los términos independientes de los
Factores,

Ejemplo:

Hallar el grado y el término independiente del
producto Siguiente:

A)
ay @ o
Solución:

ne

ado del producto =
arado def) + grado de (2)
+ grado de 3) + grado def)
GRedese20
Gren
2) Término independiente del producto
TAR = (TA def) [TA de)
ET de KG) [Ede]
RO
tur 180

EJERCICIOS RESUELTOS

1- Calcula el valor de “n° si el grado del product:

RD. en

cs ia a 210.

Data: 16243044 ene ROD
2

Solución

Grado de producto =1 9203944 ...en=210

Por dato del problema:

Do
n+ D = 420
(n+ 1) = 20.21
m-20
Rp n=20

2. Hallar el valor de
los tres polinomios:

sel grado del producto de

Pox) = ar" + 4a)

= Gu” aan +2)
RG) = Gx 23)

289

Dat

Bein:

Solución
El grado del producto es

oo" Cw") + (n°) 26 1 «280

haciendo: m" = ase obtiene:
War.
are
arte

are

4-16

A

76. Reemplazando:
anne toe 2
Por lo tanto: n= 2
Rpia: n=2
32 Mala el grado de los polinomios Py Q sabiendo
que el gado de PA) QG) es 17 y el grado de
PH) @ 60 es 3:

Solución.

Scan los grados delos polinomios Py Q respec:
tivamente my n, por b tato:

El grado de P (x) ser:
am

Mientras que el grado de P(x). Q(x) er
men (@)

El grado de PH) sed:
m

El grado de QU) sed:
an

y el grado de PI) - QUO ser
men (0)

Calculemos ls valores de n° y

con (a) y (0)

Multipliando (a) (3) y Ing sumando (By

Reemplazand en (o):
1 (017
nes
pia: Grado de P(x) = 4
Grado de QU) = 5

+. Malla el grado del siguiente producto indica:
AN 411 (00 +1] 00) 4 EI 11

«considerar “n° actores.

Datos: Pe De De Pe

Solución
El grado del producto indicado es:
GEL QD + +619) +) +

comun 2

Extrayendo fact
GPL #2116 2.443.944. 166.0)
CRE

+"

niin DE

52 Hallar el valor de n°1
del product:

mino independiente

DREH ALO + 2m)
ps

nn

Dato: 14243 4euene

Solución
El término independiente del producto es

OA.

BO. a Pa
que se escribe también como:
pes

Por dat se tiene:

75.

77. de aque 335
nin à D 650
nin 1) = 25.26
pias n

(CASOS QUE SE PRESENTAN EN LA
MULTIPLICACIÓN

1) Cuando son dos monomios.
Se multiplica los signs, lugo los coeficientes y
por ultimo las parts leales wilzando la teoria
delos exponentes

D Cuando son dos polinomios.

Em este caso se puede wulzar dos métodos.

a) Método normal. Se ordenan los polinomios
preferentemente en forma descendente y se es
n uno debajo del tro. A continuación se
multiplica separadamente cada término del
multiplicador, por cada uno de los términos del
multiplicando, sus Signos, sus coeficientes y
us letras y se obtiene los productos parciales.
los cuales se escriben en forma ordenada uno
debajo del otro del mismo grado y se suma or-
denadamente obteniéndose el producto total

Ejemplo: Efectuar

ES)
Solución:
Disposición de la operación:

NE TEEN zer

Iss Say 4392

BO Ley + ay

-20x'y - y? 3507+ Lay!
ARO 19 Day" 6

SOON + YA HO

1) Método de Cocficientes Separados.

En este método se debe tener en cuenta lo si
guieme

1) Los polinomios deben estar ordenados descen-
deniemente

2) Se escriben los coeficientes del multiplicando, y
multiplicador en linea horizontal, uno debajo
del oto,

3) Se opera como en el método anterior comiendo,
vn logar hacia la derecha después de obtener
cada producto parcial

4) Para obtener el grado del producto total se apli
a la propiedad del grado del producto,

5) Este metodo es recomendable para polinomios
de una sola variable

6) En caso defatar una potencia de a variable se
‘completa con cocfcieme cero.

Ejemplo: Efectuar:
TER
Solución

La operación se dispone dela siguiente manera:

» 740-6

2: 3-4

+s 0-R

- Rem. O68
6B 0+ 2%

Be 2-7. + Bo

El grado del producto es:
322-3
El producto total es:

BOB TO. + 185924

PRODUCTOS NOTABLES
DEFINICION

Denominados tambien “identidades algebraicas
Son aquellos productos cuyo desarollo es clásico y
por ésto sele reconoce facilmente, Los más impor

-76-

78. 1) Cuadrado de una suma yuna diferencia.
“arte Dab ob
“Diebe

Engeneral

+ ax eby sez) (bata
«ate (bel!
are

EJERCICIOS RESUELTOS

Gares aber
1
11) Producto de una suma por su diferencia
Es igual ala diferencia de cuadrados:

Babe

11) Cuadrado de un

ae bec) at cio daba ace 2he
1) Cao de una suma o diferencia
2 (ae by) na? à Sah Sah? eb
+b) a
Gaba à debs ab

Y) Producto de dos binomios que tenen um tr.

(xa) bo (a + ab

Vi) Producto de un binomio por un trinomio que
dí na suma o diferencia de cubos.

cebra = 2 ob
+ G-b) @eabob)= ab)
De manera general:

ab) (+ abe Pah

AV) Identidades de Legendre

sD! + abe a+b)

+ Geb? bee tab
VIII) dentidades de Lagrange

2 Ca D Ch pe GX + bd

Elecuar

Ee

=

Solución: Haciendo el cambio
wer
Be le
wey

Se obtiene:

Por tener iguales indices los radicales, se escribe

CNE Er]

Efectuando el producto notable de una suma por
su diferencia

PR raid PRA EG

Reponiendo: y =a"

AS

Rpia: Ema

2 Calcula el valor de:

Moa

a

79. Solución

Se puede escbirque: 3= 2 1; reemplazando este

valor en la expresión, se obtendrá sucesivamente:
A]
naa 1
aan
HDA" YI
RQ De
TN

Finalmente l expresión quedart as

Solución

Haciendo: x + a + bem à x ean se obtine

(ns bn +9 be

nebre

Cm + om + ded
PILLE
mecs

Hfectwando los productos notables de binomios
con términos comin
Bie (brome bebe

mobs

mie (ee dm cd

need

Factorizando m y n°

_mimserd alnsb+o

Em Mam e2 ea ci
Ria: E= 16
3. Elecnar:
Re (a+ b + Ua + b-0)+(a + b- lab 0)

Hab + lbs c-a)e(b- € +a)b-e- 2)» Hab

Solución:

Reeseribiendo la expresión dela manera siguiente
Re l(a+b) «cllla sb) -el + a + (0-01

la-6-9]+ le à @a-Dile-@-b)l

+ -€) +all(b-0)-al dab

Eleetuando los productos notables:
Res bP 6 + ar be) + € (ab
Aaa
Reduciendo términos semejantes se obiene
Rear Da D) tab
Re 4ab sub =0
Rpia: R= 0
42 Blectuar

(rar be ox + a+ b +4) ed

. Xebsced

rar berated be

xrarbee

L
mid abro

Reponiendo los valores dados a my m
Lextarb-Gradeb
pias Lb
Efectuar:
YeQsbsola-bedGarb-oasbeo
+ (Cat bP
Solución
Sc puede escribir ato
y alla +b) «ella +b) cle + (a-Dille-ta-b]
MS

+e.

Efectuand el primer término con el segundo y el
tercero con el cuarto

yolla +b elle (aby + (2-9
YA CDP cy Clays ee DDE

Ae lla o Be ae DPI (a? bE
FED a

y

Ordenando:

yuca 2

+ las

«be
be)

ya G@ eb? Gaby dar

pay = 4

78

80. 6. Becta:
E a(x Dlx + Dlx DA ADA
Ge 3964-4) - ex 10?

Solución

‘Ordenemos dela siguiente manera

EG Du à D à #23) ADA
WDR 6 10)?

tomando de en 2 factors

erde 12

(exa) 20 ox 107?

Haciendo x + x =

En (a (ae 12) + 6a 20)- 2a 107

fects

BP Mae 24 692-2606 120-28?

+ 408 200--56

Rota; E56
1 Simpltar
Ee (ae ae bea? bP
a Bs ab
Solución:
9.

Ordenando cada expresión
Eu bre 3) à GIE

LG 1 - bb
Haciendo: abe bre Box ; aber
Ea (ery) Gy ab
aplicando Legendre
En day ab
reponiendo valores de xy

E = a+ Do

los paréntesis dan una diferencia de cubos:
A A à Ab 4
Rotas Eu dar

-Simplfcar

Ent ba) e(be x arab

+ 4h04 be)
Solución:

Ordenando:
Elías D) = + (a+b) + 4 (a)
Fee (ae DD Kae)

Vtiizando Legendre, primero con segundo, y
cero con cuarto sumados!

O]
Aachen)

CET

efecuando y ordenando:

Em 2a + be (ae D} à 4

reduciendo con Legendre nuevamente:
Eee] A+,
Eo Aas be) 404 D) 20

Rpta: E=0

- Simpliicar

pa AB (Nt ays + DB
GD? + Gs Diy)

Solución

Por Lagrange

te DD (Paty = hs PIB)

BP + Gate BYE (à D BD

por lo tant:

WE ee
Wa

=

pia: Pe?

79

81. 63-626
OOO el

Solucion:

Haciendo: Ema; ob
la + bY + a-biR-4 a
AAA

Aplicando Legendre:

ars DO 42 PR
E77

Rp: Jet
11 Simplficar la expresión:
A rar
ara
Solución:
Aplicando ls products notables en forma iners:

da ara

ar

ara

Ti
Efectuand:

poeta caer ace sae
RR (a a

Rpia: Awd
12 Simplficar

¿robarse
(al be? ace ba

Solución
En el numerador hagamos que:

asbex à cedey

Na OK
Ne xe(cedxsedsy's(asbytab-x!-2ay-y"

Ne ay à ed à y ab day = ed + ab

n el denominador, observamos que se puede
aplicar Lagrange alos dos primeros terminos

(ad - br (ac 6b) = Gs BIE 6 a)
De esta manera:

Da Gats NE a) (+ NE + 5) + ab + ed
Deab cd

Sustiuyendo estos equivalentes en la expresión

O)
+ Gb») (are ba à Be)

Solucion:

Apliquemos productos notables y operemos:

A Au Beta DANAE BH)

Flectuando:

Ea bat ann Je ce MO pt ce

pias Ener

14 Efectuar:

a e
ES

cate DDG bee
ab

Soluco

Haciendo el siguiente arúfici para obtener un
denominador coman:

82. RA + PE rad Mera

16. Efectuar

abe abe
La Hate DD
abe
rei
Abe

bee bat: Me abs cate 2e

a beat. ct

Reduciendo términos semejantes:

Re PE he
2abe
Rpta: R = Jabe

15. fect

Ree D DA DIR DIG D
CRUE

Solución:

Efectuando por pares
izquierda a derecha:

para ir reduciendo de

GoD =I De DP GP?
{ste con el sigue co:
ARA
«stconelsiguleme actor yas sucesvament et

EDER D I Dots DI? =

A D te Da DP «GW

mar «een

finalmente, a usure I expresión:
AN
Bew

pia: Emil

ENGE rad ac bo

Grd OS
Solución
Efccwwando el rinomi al cuadrado:

El abc
ada OG

or

haciendo: Rebeca x;

absace bon
ETS

fectuando
Le VER ne y rabo bere

pa

Ex ab eue + be

Es@+bsolarbse+ +@sb-darb-c-D)
4@-b-O@-b-€4 Nola-bs da-bee- D

Solución

fectuand cada producto:

Exlarbrdirarbrcrlarb- habre
«(abla cea bo clash

reduciendo y aplicando Legendre

E = + D eels 21@-b +e

E = 224 bY à 2e] Hae D)

Rplas Beats bye)

18. Bfectuar
E)

bee cat che 0)

Solución
Efectuando por partes:
(ar b+ oalta+ D + cP=GasbysHasb¥c
+ Marble de bie e+ 3a + aie
+ Abla bte + Je «Je + abe

Tare

83. Reemplazando cn la expresión principal:

Paws be oe Sab sales JB + ba + 3cla
432s babes 2aP+ 20's 20 3a? Sab! Bae?
Sha? 3b? She! Sea eb! 30 = Gabe
Apia: P = 6abe
Elecuar
Ente + De x DA Ms D
Dt
Solución

Analizando el producto conforme aumenta el
mero de factores:

1) Producto de 2 factors:

(sexe De) = [68 D els 1

at ES

tae

2) Producto de 3 factores
Gex + DO x + Date D)
me D + De ls De
AD) = Nel
es

3) Para 4 factors teniendo en cuenta, la ley de
formación

O)

4) Para 5 factores:
Ger DOE DE DOM AED
ete
Finalmente, reemplazando en a expresión:
wo

En xe xe Lew

Ro: Eat

20. Beta:
-arbec-dlarbecd
+ @sb-c-da-b-evd)
221 + ba + (ered)
Solución:

Agrupamos ls términos de a siguente manera

Esla+o-O+dlllaso eed)
+ 1-9 +0-dilla-0)--a)
2l@-biee-

Ease

saree? bea
abi.)

Aplicando Legendre
En 2c) - 2004) -2G2- bie)
E

RpiasE=0

VALOR NUMÉRICO DE UNA EXPRESIÓN
ALGEBRAICA

Es el valor que toma dicha expresión cuando sele
atribuye cieros valores muméricos a sus letras
Puede ser:

8) Valor numérico sin condición.

Es aquel quese obtiene al reemplazar inmediata
mete los valores atribuidos a sus ers,

Ejemplo: Hallar el valor de
Er Way (+ x) + Vary)

paraa=16; b=10; x=5 5 yal

Solución:

Reemplazando ls valaores asignados

das 102005) +3)»
ea visor + TAT
piso ts

pus #26

84. ») Valor numérico con condición.
Es aquel que se caracteriza porque wiliza una.
condición de intermedio. Para determinarlo Se
emplea la condición simpliicandola y luego
aplctndola con la expresión misma y luego cam-
bandola con la condición.

Ejemplo: Determinar el valor de

Ges)

fecundo parcialmente

are bre ‚ach

or

de a condición:
arch
bee

ash

reemplazando en la expresión:

Rp: E=3
EJERCICIOS RESUELTOS

1. Calcular el valor de

Sele Es]
par ae TT à bee GT
ee

Solución:
¡Sumando os tres valores de a,b, e:

abc ds BRNO

' la misma condición del ejercicio ilustrativo,
eS deci: abs € » Oren este edo asc
tarse valores diferentes "a", “Dry “e detal ma
era que la Suma sea cero ya que la expresión es
homogénea. Sean estos valores diferents acer:
au 1, be 2, Ce y reemplazando:

A+

fecundo:

2]
z

CEE

Rp: Er-6

ae

+ bats ac + € - (be
habia

Resa que sta condición también es igual ala del
ejemplo state, porlo umo:a 1, ba 2, 2-3.

MATEO AOS
664 +9)

DO 09.
a

pia: R=4

Teas

85. 3. Si se cumple que:

eylestenyeateys,

calcular

Calcular el valor numérico de:

ca, pos
year Mayo

Solución
La condición, se multiplen por 2":
EN PEN Det a Day + Dee Dye

2 + Dy + De? Day un - ye = 0

[SENSE à Ge yz à ala? dase Er

Escribiendo los equivalentes decada pare

CE

eo
para que la suma de tes numeros positivos sea
‘eto, ada umo de ellos debe ser cero, por lo ant:
xeye0 ey
2220 yee
8-20 xez
delo amero:

reemplazando en la expresión, cuyo valor se
‘quiere calcular

Sr, ne
ar Ve
Karo
Go * Your
vy “fa CL
NE Ÿ F y+

Nay

Sendo: xy pq
seen)

Solución:
ET numerador se puede escribir as
Keen

= a
sex yo ee (D)
El denominador se puede sri as:

ey (ety)?! o

Del dato, haciendo Vp

xo yodo @
ye ©
levando al cuadrado (a
Se day ty tobe ©
emplazado ($) en (7:

2 + 10h ya 6b!

oye @

Susttuyendo (1) y (2) enla expresión principal:

y
N

aay

86. =

Sustento en eu ina expen: Suan ene ahi
TES , GT ne
w a ee
A Y pra: Red
6
Site
Rpia: E= vi
3.- Calcular: ab
A AN
ve Ve ab
saan
Solón:
ab; abe=O De la condición, efectuando operaciones:
sein

yx #9) # aC dy

De la condición A
peyie xt eye hy

abuse Rep e0 o

Considermndo a- bcomo una ireneindeeudndes yg

(a +15) (Va- We) =- ve (da- 6) a

Susttuyendo en laexpresin propuesta todo pr x

AA AE

elevando al cubo: Gee «Ce
(ae Wb) = (NEP

(CHENE NOTES
RE)

Como Va + Vb = «Ve, de (1) se tiene

Simplficando:

1

Lelela2o lolo tes

Rpta: G=5

7. Caer lor de

A © Ee that

Dando común denominadoralaexpresionquese Se sabe que:

pal es w
DER user o

Vibe o

851

87. Solución:
Muluplicando (1) por 3):
a + ba +2) = 130
a a ah Be 100
+ también, reordenando:
ma abe a 1
Elevando a cuadrado (2)
Ges bey ag
ae 4 bre DN 49

de aquí
a, pe

Be GO
reemplazando (5) en)
a Br
A 130
CES

Gb)? rad + (a

bb 281
extrayendo rat:
wb) 20
sustituyendo en E:
Ena
Rpia: E=9
Sabiendo que se cumple que:
(avaro + a+b)(Varb-a)(Varb-b)
(avasb - a-b)(Va+b+a)(vavb+b)

Calcular E=

Solución:

Los primeros factores del
denominador pueden ser reset

2avb (rt) Vasos verb)
26 (a+b) =Varbl2 Verb)

Por lo tanto, sustituyendo y simplificando la con-
icon resulta en:

Gr) (6-2) (Var -b)
= Va+b) (46e) (Narben)

Aransponiendo y efectuando:

Bebe Ge b) Verb cab 2

aeboGeb arb vad 2e Vash

Aplicando la propiedad de proporciones que de Se

dd ter ca
ap” mn ap

se obtendré
21(a + b) + ab)
ash) dro ET

simplificando:
asbeab

abe,
a+b)

sb, ab oy

arb aed

descomponiendo:

Lo cual sustuimos en

pias E=1

88. =

9. Sse cumple que

Key eya

Bar
e)
Solución:

ciendo en la condición:

2b

se tendrá: ,
AS
rend Lege
as ena
Fran
wen sabe
a
Repos dy
une ©

®

Reemplazando (a) y (B) en la expresión que se
quiere calcular:

simplificando:
Er Ara
Rp: E=3

10. Dadas las condiciones

Wa ao a
Vue no
Calcula

Re saab

Solución

Mao @

Mulupicando (@) y (o):

(Vico Aa)
(MT Tao) a

Por productos notables: suma por diferencia, da
‘iferencia de cuadrados

Molóplicando (8) y >
(a + We)
(RE a Vin) «ra

Por productos notables, da una diferencia de
cuadrados:

(+ 2ab) - (Vx 2ab) = rab

Ms 2ab

Yee2ab Ra

ME 2ab = Rab

ab = Rab,

Rpta: R= 4

Tavs

89. EJERCICIOS PROPUESTOS

Calcular el valor de “nt el grado del producto
Poa) = Qu + 1) Gt Ne

5285,

26

os

bio 99

oT

alla grado del product indicado:
PGs) = à DD DER D)

hasta 20 términos.

2530
a

b 630
90

om

Halla el grado de Pi), sls grads de os poli

| ro
Fo. BED

Ss 06)
aaa
SS ow
do os

Simplifiar la expresión

fau se] res

onen»

ax
DIV ox
Simplificar

23h62 Die Do 4) 2 224 D 5)
B= He Dia A= ex O
9) 10e + 0 C3)

Diese

ox

DEN
on

os

x66

6, Simplilicar
CRC

CRE,

Gay eyo?

+ by oxy
we os
7. Electr:

(YP Hew) (ue x
+29

ae by ory
aw 90
8. fect:

A + were Nee}
= (2-874 128

a0 blow ye

SS
9. Simpliicr
yr ayez
= (yow) Gaza) 432

20 by ox

de oy
10. ALefectuae

Gate sate Marts ae)

ye

vs

96

Teas

90. 11, Simpliicar:
Grbeer a+ @-b-c+d)?sa-bre-d?
+arb-e- Wide bees a)

ae be

ao qee

12 Simplificar

Arbre 0

Sate bee)
aa be

aes oo

oe

15, Elec:
Gob e0?-G-be lar
ae e
TS

ose

14. Electwar
IN)
(ala) + (a - de -2)

ae DIS ae

oo Habe

15. Simplificar
As

be

aa

ao

see

16. Efectuar

Ee a [OU 447 + a (a)
+60 +202

ar po ov

ow 08

17. Simplicar
O)

arriero l-20

de Way ome
ao ox
18, Hlctuar

ya@-bP 4 (bo 4 (6-27
+2 lalb-a) +bie-b) + ca ©)
be

aa oe

ao Orbe

19. Simplicar

at + + at + Gare ar)

po
wel

DEZE Dati +1

ar 94

20. Simplfcar:
Eta-bfarb- + (b-olbac-a) + -alcra-h)
Da

a0 ob

de oh

CLAVE DE RESPUESTAS
De pe #8
os 90
158 19D

19D

19a

897

91. DIVISION ALGEBRAICA
DEFINICION

Division algebraica es la operación que consiste en
‘bine una expresión Hamada cociente, conocidas
‘otra dos, amadas dividendo y divisor.

NOTA IMPORTANTE

En toda division, tramos la siguiente nomen-
cata de grados

“Dl.

grado del dividendo
AI = grado del divisor
“ab

* IR] =

grado del cocieme

grado del residuo o resto

PROPIEDADES DE LA DIVISIÓN

1) En toda división, e grado del cociente es igual al
rado del dividendo menos el gado del dior.

‘lal = *1D|- ID]

2) En toda división el grado del dividendo es mayor
igual que el grado del dividendo:

=D] sell

3) En toda división el gado del divisor es mayor que
«e grado del rest:

lal > “IRI

+) En toda división el grado máximo del resto es
‘gual al grado del divisor menos 1

IR masimo] = “lal

5) En el caso de polinomios homogences, el grado
del testo es mayor que el gado del divisor:

“IR > “lal

6) En el caso de polinomios homogéncos, no se
‘cumple la propiedad 4

CASOS DE LA DIVISIÓN

da

Cuando se trata de dos monomios,

a) Se divide los signos mediante la regla delos
signos

1) Se divide los coeficientes

©) Seah

as letras aplicando Teoría de expo-

Ejemplo:
Dividir
pe oy
any
Efectuando:
Eee

- Cuando se tata de dos polinomios,

Se puede wilzar cualquiera de los siguientes,
métodos:

8) Método normal
1) Método de coeficientes separados.
© Método de Homer
d) Método de Ruffin,

Método Normal, Para dividir mediante este meio-
do se debe segur los siguientes pasos:

1) Se ordena los polinomios, generalmente en
forma decreciente

2) Se escribe en línea horizontal uno a contin:
vación del otto, wilzando el signo de la
división atomic

3) Se divide el primer término del dividendo entre
el primer término del divisor, obeniéndose el
primer término del cociente

4) Ese termino se multiplica por cada uno delos
tenninos del divisor para restates alos corres
pondientes érminos dl dividendo, este reso,
SC aude el siguiente término del dividendo.

5) Se vide el primer termine del resto obtenido
entre el primer término del divisor y e obtiene
€ segundo término del cociete

6) Se procede desde. el paso 4 sucesivamente
asia terminar la division,

TE

92. Ejemplo:
Efectuar la siguiente división:

6+ sx = 260926 II? te 6?
Be Say y

Procedimiento:

RIAD | ge
EOS pores)
Fy DEY
Ay LY? Te?
EN 2

AY
Penn
et
os

El cociene es:
ENTE RER TEN)

Elresto es

Método de coeficientes separados. En
este caso, además delas consideraciones anero-
tease debe tener en cuenta

1) Se trabaja solamente con los cofiiemesy sus
correspondientessignos del dividendo y divisor.

2) En caso de falar un termino con una potencia
de la variable, se coloca en su lugar cer, tanto
en el dividendo como en el divisor

3) De esta manera, se obtene los coeficientes con
sus signos del polinomio cociente.

+) Para determinar el gado del cociente y resto se
Aplica las siguientes propiedades

lal = "DJ -*Jal
IR] = ela] 1

5) Este metodo es recomendable para polinomios.
de una sola variable.

Ejemplo:
fect la

50-20-1304 2582 Lx 6 7

Boxed

6-20 -13625-1267 3.11
642-2 226-798
815+ 5
28-646
menu
+A-7+7
5.7
+ 8-8
“31

El cociente es de grado:
|p| "al =5-223

lal
El cociemte es:
220-68 nes

El resto es de grado:
“inl = “lal-

deed
Elrestocs
DE

Método de Horner, Este método es un caso
particular del método de cochcienes separados y
Se emplea para la división de dos polinomios de
<ualquir grado,

Procedimiento:

1) Se escribe los coeficientes del dividendo en
‘ua fila con su propio sino.

2) Se escribe los corfcietes del divisor en una
columna a la izquierda del primer término del
dividendo; el primero de ello, con su propio
signo y los restantes, con signos cambiados.

3) El primer término del dividendo se divide
entre e primer término del divisor, obtenin-
ose el primer término del cociente,

a

93. +) Se multiplica este término del cociente sola
mente por los términos del divisor, a os cuales
Se cambio de signo, colocandose los resultados
2 parte dela segunda fil, cornendo aun lugar
hacia la derecha

5) Se reduce l siguiente columna y se coloca el
resultado en la parte superior para dividirlo
mr el primer coeficiente del divisor y obten-
rel segundo término del cociente.

6) e multipin este cociente por los términos del
divisor a los cuales se cambió de signo,
«colocándose el resultado en la tercera fla y
(orriendo un lugar hacia la derecha,

7) Se conti ete procedimiento hasta obtener
cl iérmino debajo del ultimo término del div-
dendo, separando inmediatamente os térmi-
os del cociete y resto,

8) Para obtener los coeficientes del residuo se
reduce directamente cada una de las columnas.
que pertenecen,

Ejercicio:
Efectuar la división de polinomios

ESOO
poe

Solución
Los grados del cociente y residuo serán

fal = ID] = “dl 23-223
oR] = ela] -1=2-1=1
Procedimiento:
Ret
slesiuese 3.2
1 2-6
3 30
+ 3
2-6
cocficentes cofiientes
del cociente del resto

Explicación

1) Se divide 8 entr 4 iguala 2, ete resultado es
el primer coeficiente del cociente.

2) 2 se multiplica por los términos del divisor a
los cuales se cambió de signo 1, -3), dando
como resutado(-2, 6) que se coloca en la
segunda Bla, corriendo un lugar hacia la
derecha

3) Sesuma la segunda columna (correspondiente
al dividendo) y el resultado se divide entre 4,
‘gual a 3: st valores el segundo cohiciente
del cociente

4) 3e mui por (1,3) de er £h (3,9)
comiendo, un gr aca ech.

5) Se suma I tercera columna, da 4, se divide
entre 4, da 1, ese resultado es el tercer coch-
ene del cociente,

6) 21 se mulóplica por 1,3) y da la fla (+1,43)
condo un agar acia a derecha.

7) Se suma la cuarta column, da «8, se divide
ente 4, da 2, ese resultado es el cuanto coche
‘ene del cociente,

9 2 se multiplica por (1,3) y dala la 2 y 6.

9) Como el último término de este producto
queda debajo del ultimo coeficiente del divi-
dendo 2, se separa con una línea los términos
‘obtenidos, os cuales pertenecen al cociente,

10) Se reduce a sguienes columnas, da (4.4) y se
a directamente, son los cociente del reso,

Escribiendo su pare ter
tere?
RG) ete

EJERCICIOS RESUELTOS

1 Hallar el valor de “mw para que la división sea

Teas

94. Solucion:

Dividiendo por el método normal Si la division
‘es exact, el residuo debe ser un polinomio den

"camente nulo.
KO me
Same De
wae ee
Bere

em + (Le mat
Sila division es exacta

+ ma + (Le mat 0
Factorizando:

(sm xr) <0
Igualando a ceo los factors:

Lomo im

Rpta m=-1

alar m + n« pst la division que sigue no deja

120 Ont à 14 ma à my =
cso

Solución

ilzando el metodo de coeficientes separados, el
resto debe ser un polinomio ¡démicamente mul.

Dogs im hp [3404
12-0 - 802% +32
ebenen
90

+ 6+30-men-I8- p

6-0 4 +R

30-ms aaa per

Como Ia division no deja eso:
30men-22-p+12=0

mensp=20

3. Calcular p y q la división es exacta

Solucion

Para que!

xp

ya

uma división sea exacta, el reso debe ser

vn polinomio identicamente nulo. Dividiendo
por el metodo de Horner,

6 pet
ılı 0 mio a
“| «6 5
5 .. 0

pels 5.155
146 peat | opero pers
Luego, el cociente es (grado2)
E)
el resto es

(p+ 156) +(5p+4

>)

Por condición

RG = 0x +0
(6p + 156 + Cap + q- 155) = 0x +0
demificando coeficientes:
Wi + pe-26
A E
Rpta: pe, q=25

Determinar my ni La division:

2 a aa à mas nat

deja como reso:

Tra? + dat

293.

95. Solución:

in normal se tendra:

pa area

Pa a

Aplicando la di

wae xa + mas

E

Dea + (mada + ma
EEE

Ce
El rest es
(me Daa? + (Dat
Por dato, el testo es:
aa? + 8a?
mens (ne dat = Tan) Bat
idemificando cocheienes
me =

CEE

mes

n-6
Rninim=3.n=6

5. Calcular m y ns el resto de division es: 2x «3

120-200
%

Amt. 358

nem

Solución:

Dividendo por el método de Horner:

mos:
sl pes)
toronto!
Ken

[AA

denificando coeficietes:

3m 190

Rp,

m-6
ne

Si la división

20+ Ga» 3bx2- Lex + 9
Sexo

«da un cociente cuyos coeficientes van aumentando
de sen 4 y deja un resto gual a 34x à 3. Hallar el
valor de

Ent +b)- (+0)
Solución

Dividiendo por el metodo de Horner

5 [o

is 2
4 8 | aves ox

Explicaci

El cociente es

een

96. Para el cociente

1) El segundo coeficiente es 8 ya que aumenta de
4 en luego:

Pre
3

=.

2) El tercer coeficiente es 12, luego:

6845612
4

= bas

El restos
(NTE + 68)x + @d- 24) «34x63
identificando coeficientes:
ern cn?
= des

Porlo tanto: E (224) -(2+ 3) 7

pia
7. Calcular el valor de

+b in Ebro
E 22D, sia división SBE

Solución:
Dividiendo por el método de Horner:

(a+ D terminos

CES Ba en

CM

Ei cociene es

a.
Elrestocs:
RG) = (be ne Dx + (en)

Elcoeficiente“n” del cocientecorresponde al
mino (a 1) en el dividendo; se tendra:

a on

Dneacl sans
2) Sila division es exact:

RG = 0x40
Luego

Chane Des (en) = 0
1aentiicando coficiemes
cbenele0 = benet

eno = cen

En a expresión pedida, reempalzamos los valores,
dea. bye

meme
Beer?
pias 2
Feen
8 Cala = Abas
Sr ee cl
avery
Solución
Diviiendo por el método de Homer:
1fr@y of oy +
eal on ae YO
abo
aba)
CE

— PGA

1 200) RAD)
DGA)

A

795 -

97. El cocieme es El cosciente es:
N 2Ga- bx + [2@-b)?- be) were
El resto cs Elrestoes «(A+ B+C)
RO) =(a-b) Qa? ab bE + Dx Condición: R= 0
BL 2a BR] Luego: (Ar Ba ©) 0
Por condición: AsBec 0
ROSES Rp: A +B+ C=O
Lugo:

10 Calcular “a y

(ab) Ga? à Sab) à BL (26 BI = 0x +0 tha dene

Adentifiando cocficemes: Fan
ab Solución:
bibi PAN Dividende por el método de Homer
En la expresión; para a bi
presión: pa A
#2 EBEN
CRE A
Ela expresión; para a= 2b “a
eo 1
ES
Ba: Ena y s
92 Hallar A + BC, sia división: 112 +6
5 DISTA] oT be
ALA As Be One WeOx-A-B

Ax! Bx

3 El cociente es:
0 deja resto,

LD = Be! 6 D 2 à Sn 6
Solución =

Dividiendo por el método de Horner: El resto es

og À RGO = (a+ Dx +6)
A] a um amo 160 Am) Como la división es exact
Te E RG) «0
| i Es decir
» © (a+ Dee +6) = Ox +0
enuficando coeficientes
| is < e720 a7
TT à O]
beo-0 + b-6

Ts

98. 11. Calcular a relación er p y q sila división de:

+ (p 2m + q L entr x24 mx Les exact
Solución:

Dividiendo por el método de Horner

mm}

ılı 0 o pm qi
CE:
a
mm mi
I m ml] pm mg
El cocene es
A em te)
Etre

200 (pm) mie
Como la división es exact

RG =

por le mo:

pe mx à (mea) = 0x +0

idenificando cochienes
pem-0 + er
ma = 4m a
Etevando ( al cuadrado y (I aleubo se obtiene

pe mt m,

y de estas dos últimas relaciones se obiene final:
mente que:

12. Hallarel valor de n° ai el grado de PO) y QU)
es iguala y respectivamente y se conoce que
fl grado dela expresión

COR
PO + FOr

csigual at

Solución

Determinemos el grado de cada expresión:
*[P@| = 7.3221

10] 3.4.20
“IP |= 5.315
“QI 4.416
| «21
PA] #16
AP + QO [> = 21. (ne 42m
"IQ + QUE | 16(n + 3)

El grado de la expresión es

Ie) + eo

Lars + QT Ln 16003)
IP) + QUO a

Por condición:
dan 16m +3) 24
ned
Rpia: ne2
13, Sila división:

ate bre

PS esas. Cacao

297.

99. Solución:
Dividiendo por el método de Homer:

4
*
5
«al
oe Tuer
en
+

DEEE EST

El cociente es
xe 34

Por condición del problema el R = 0
Luego:
a + GB) + (D + Ce + 34) = Où + Ox +0

identificando los coeficientes:

ar ar
Be + bes?
ceMe0 = cod

Sustinyendo estos valores en la condición:

CET
CS

3315

pia: E « 3975
14: Hallar la condición para que a división:

PemPensea.b
ab

Solución:

Dividiendo por el método de Horner

il a sb
Pa
am) ma)
1 mal obama abba
El cociente es:

xe (mea)
Porcondicion: R = 0
luego:
Un ba a) à [ab bom -a)] =0x 40
cando cociciemes:

Gob) am (a

sde

ab bom 2) «0 ©
reduciendo(B): ab bm + ab = 0
de donde

am

asm?

Sustiuyendo el alor de men (a):

n-beaQa-a)=0
dedonde n-beat
Sustiuyendo el valor de a = m2

abet Lande

put: La condición es que (nb) « Bag?
pu ae

15 Calcular m, ay psi el esto es 3x + 7% +8, dada

la siguiente division
Beste à me onen
209003

100. Solucion:

Dividiendo por Homer:

A ae
aie 9 ve pum ane ap
0m

1
allo 6
o
al so.
Ta sienne ps
Hleademees
mes
—

m5) + (n + 6x + (p 9)
Por condición el esto es

Sas Ta e
Por lo tant

mW +6 FOX + (p-9)= SNH THA.

idemificando coeficientes

mem.
ne6e7
pos =

Roue m=20, nel,

REGLA DE RUFFINI

Se utiliza para divide polinomios cuando el di
sor es un binomio de primer grado, Se estudia 3

9) Cuando el coefcieme del primer término del
divisor es igual a L

Su forma general es: x= b

Se open as

+ Se escribe los coeficientes del dividendo en
Tinea horizontal

+ Se escribe el término independiente del div
sor, con signo cambiado, un hgar la zqui
da y abajo del coeficiente del primer término.
¿el dividendo,

+ Se divide como en el caso de Homer, teniendo
presente que el primer coeficiente del cocien
16.6 igual al primer coefciemte del dividendo

+ Para obtener el cociente, se separa la lima
columna que viene a ser cl resto,

Ejemplo:
Obtener el cociente y el resto enla division

AY 54606 Tea
el

Procedimiento:

+ 9 45

16 resto

cociientes de cociente
Grado del cine:
lal Ip] -*la| =4-1=3
CNET)

ru Re16

1) Cuando el coefciene del primer término del
divisor es diferente de cero,

Su forma general e: ax + b
Se procede ast:
+ Se transforma el divisor, extrayendo como fac-

tor comin, el primer término del divisor es
dect

(rs reas

09

101. + Sede eue (o À

como en el primer

+ Los coeficientes del cociente obtenido se divi
den enır el primer coeficiente del divisor.

2 E rest obtenido no sufre alteración.

Ejemplo

Valla cociente y resto em

18x! 298 59
EYE]

Lx 16

D € ot 3 au 2(x 2)

2

10 Se divide entre x +

Hi) Previamente, se completa el dividendo con
cero que es el coficiente de x.

18 0 29 a2 16
4 6 0
as Li reo
del cociente

El grado del cociente obtenido es:
5124
Cociente primario = 18x - 12% 21x2+ 9% - 18

Dividendo todo el cociente primario entre 3,
porque es el primer coeficiente del divisor, se ene

El cociente verdadero:
are 6
Eins Ret
© Cuando el divisor es de a forma: ax à
En seso pra que a dins pueda ec
ar. los exponetes de la variable el dividend

(ben sr mululos del exponente de la variable
‘divisor

Ejemplo:

alla el cociente y el resto en:

re. 12
Ea

or are.

Procedimiento

Observemos que los exponentes de la variable
del dividendo son maluplos del exponente 9 del
divisor, luego se puede aplicar el método,

Haciendo 3° = yla división es:

6+ 17-16)? + Ty 12

ETS]

Aplicando el segundo caso:

Cociente primario:

en

Dividiendo entre 3 da el verdadero cociente

ess

reemplazando y =x? el cociente es:
a 78
resto es:
Re
EJERCICIOS RESUELTOS

1 Hala el esto y el cociente en

220.

BTE

102. Solución:
Dividiendo por Rui:

pia: Cocieme: qu x? +ax+ 2

Restor R= 2
- Hallar el resto de l siguiente división:

x +(3N2-2)e + 2N7 +7.

avast
Solución:
Aplicando Ruffin:
h 0 20 0 a
Wal Wasi Wa sae

h Da Weer Value
pia

Cociente:

qu (Ea) + (WP eae exe V1
Restor R= 10

3. Calcular "ms la division es exact:

CE
203

Solución:
Dividiendo por afin

5

Cocienteprimari:
62 6 6x 69m

Dividiendo entre 2 da el coctente rea

9
7

Según el problema, el reto debe ser cero, es decir

Sat oS Sm

3
29-m)-6=0
mas
pas m=3
Seal polinomio:
aber? 2 (cab CD à (ab e Bee o Cady abe
ta para xe 2 y para xo Le
se ana para x = à para x 2 À

Hálles oto valor que tambien lo reduzca a cero,

sehen
she ac abc ake
\

2 ae bac abe

+t Zn
De ne a
\

2 FE
= 5% E
\

+ a
= Le

lotro valores: ©

porque al dividir ene el valor dado para x
se ala

Rpta: À
2 Hallar el residuo de la division de:

60- 5x2 ax-1 entre 2x6 1

101 -

103. sabiendo que su cociente toma el valor numérico
de2parax= 1

Solucion

Dividlendo por Ruin

6x Bx raed

Aiviiendo entre 2 el cociente es:

won (254)

El valor numérico para x= 1 ser

30 wel.

+ 2

as

3-4

eliminado denominadores

6-Beacded
an
Sictrestoes:
Re Lane

R-4

pa El residuo es +

EJERCICIOS PROPUESTOS

Calcular A + Bila division:

2x2 3x + Ax eB

Bat 92x63
a2 ba 95
on 00

Calcular m + 9 + pila division deja como resto
axe

OI ems à + p

30-201
a3 b2 oa
oo 91

3, Enla division

D + 2 + A+ 712
FT]

cl cociente es: 3x + Bol resto: A + Cx 15
Hallar ABC,
2380

wis 99

an 9%

4. El esiduo en Ia división es-16:

Halla el valor de “y”
AN
oa

DE

92

9

-102-

104. 3, Cuando el polinomio:
Bx! AWS BES Cro D

se divide ent: 242 x 1; se oben un code
‘vos coins yan diemimuendo de 1 en ap
Gr del primer término y un redo igual a 3x + L
Hal A+ Be C+D

22 ya os
on 916
6, Calcular: far shee

sl polinomio: > Ta? 6b?
entre: x (a + x +ac, deja como resto cero

a2 bs oF

ae 95
7. En a siguiente división exacta

Sram (at be mx ab
each

dar el valor de

Dat mb

ar DE oF

2 97
8 Sia y b son mayores que cero. Calcular:

= a sm, sabiendo que el reto de la división:

a a ants 5x2

esk=Bx-2
a Bo» 95
® 10 916

9. Sie polinomio: x + 2mx!+ Sax + bes divisible
entre: x= 3mx + 2a, Encontrar el valor de (a).

1 2

CES DE 95m
5m 5

Gr Cr

10, Indicar el esto que resulta al divide:

4 4 6mx 615 entre 2x - 1), sabiendo que
la suma de los coeficientes del cociente 28
aa 935

os

pi
93

1. Hallar la relación existente entre "m",
sila siguiente división es exacta:

EE

a)
amenep D) 2m ne 3p
mp dm 2p

© Ninguna

12 Hallarn = msi división es exact:

Am mx à 3nx -6

EEE
de be 92
03. 9

13, Fvalar

P(x) = x= 2x8 160 + 45
paras Vie

a4 ws

ais

on

oF

14. Al efectua a división:

se observa que la suma algebraica de los coefi
entes del cociente es cero. EI valor de este
‘imo:

ET

105. a+ Dre

CE

En 93

15. El siguente esquema represents la división por

el método Horner

determinar (m+ p)

a4 on

oo 93

16, Hallar el valor de E = n= m, sla división:

12x! 629%) Sma? 49x à a

18. En al polinomio:
PGO (N? Do NE. 215% + 126 2
Calcular AN + VE)

DE}
@2

DE}
93

96

19. En a siguiente division: calclar m + mo p
82 40 eme onen
wen

Se estos igual a: 5x? 3x 47
au

DEN 93

085 ©) Ninguna

20, Determinar

bo para que la division:

[SPENDE NER

axe Tx-m EE
25 DE} 9 265 D ©) 650
or 0x vea 000

17. Mallar el resto de la división:

(as 2weavexvaton

weal
ai
os

bo oa

©) Ninguna

‘CLAVE DE RESPUESTAS
DB a HC

DA HA HA

DE BE WC

ma

WC 194

= 108

106. TEOREMA DEL RESTO O DE
DESCARTES,

Este teorema tene por objetivo determinar el resto
en una división, sin eect la división.

ENUNCIADO. El resto de dividir un polinomio ra
coal y entero en “3” entre un binomio dela forma
ax à 6° es igual al valor numérico que adquiere di
cho polinomio cuando se reemplaza en e, por ba.

DEMOSTRACIÓN

En forma general efinamos:

Dividendo :PG) rca y nero
Dé cana

Cocine 1000

Resto R-r (3)

Toda división es de a forma:

Dedgen
D «dividendo

d= divisor

a =escieme

R resto

ras
DORE
nr

y reemplazamos en (1):

a
dle) (eB) en

imer factor del segundo e cero, luego:

Finalmente:

REGLA PRÁCTICA PARA HALLAR EL
RESTO

1° Se gala el divisor acero:
axe bao

2 Se despeja»

3° Se reemplaza en el polinomio dividendo “x” por

Ejemplo:
Hallar el resto de las siguientes divisiones:

CR TE
x3

»

Solución
+ «3.0

os
Susttuyendo
LR PO): BIO 16
Re 04042016
Rae. Qt 20.200
R-0

6x! 69-1986 bay 15
y SESE

23

12-320

rx

Sustituyende

ae)
+H(3)-5

= 105 -

107. simplficando: R= 3

EJERCICIOS RESUELTOS

Hallar el resto de la division:

mx à (naci (m2)

EN

sn +16

Solución
De acuerdo con b regla práctica
exo

Pr
sel
Susttuyendo:
RS (IE m IQ)" 3 + 16
Renen-len-2-3n+ 16
implicando: R= 13

Hallar el resto de a division

ea
x

Solución
Vtizandol ela pcia
exe 0
exo
Sustinyendo

+ Rca

Rea ay’ - (1284's a) = (a) - (1278)
Roa e 1278!
Re 160

Hallar el esto en

CEE
ya

35

Solución
iind la regla práctica:
ex+y+2320

«xn 3-y

+ ReG-y-24y4G-y-24y) QD
En
Hiectuando operaciones y simplificando:
RON ODO e
R-6
Hala el resto on
[ENDE Tes + Gxt Tee +8
ER]
Solución
Efectuemos el siguente cambio de variable:
See
Reemplazando, se obtiene a división equivalente:
Gree Des
yes
Ulsan I rela practic:
syr8e0
yes
+ Ra (845) [phone]
R=16

Hallar el esto en
Kr

won?
Solución

"fectuando operaciones en el dividendo:
(DMO BPA?
= DEC DO DP?

DDR EN

7106 -

108. Ordenando:

(0 DM lA DA

A IP
Sustituyendo est equivalent en el numerador:

(2-24 D 2x + APP 2x2 8
wove?
y haciendo: «?-2x = y
resulta en
+ Da ga
ve

Para hallar el esto se aplica a rela práctica:

sysdeo

+ Re (24 DAA DANIO!

R=-8 000

6- Hallar el resto enla división:

B+@ DD lt
xx 05

Solución:

Efectuando operaciones en el dividendo:

4

13 + + D ree 3) + Hit

55.0
yes
Re 46540501
Re 16

2 Hallar el resto en:

MA
ab ace be

ES

Solución
Agrupando convenientemente en el numerador:
Gb} + ot + Ho + (babe)
abrace be

Considerando que la variable es el producto ab
se calcula el esto por la regla prctica:

+ abeacebe=0
2 abe 2 he ue ehe)

+ Rate à Do) + ae)? + (bey?

= Bla + bo) (ac )(be)

Re ac Bo)? be)? + ae + BA)
Re (ao - 30h HBO?

Bea + (be) + ac) + 3a be)?

reduciendo terminos semejantes

Reo

8 Hallar el esto en
4945
be, A
B+ à 3 O a ab
FETE) a+
haciendo: x24 5x3 ue
Solución

B+ ge ayer
— ys

Para hallar el esto se aplica la rela práctica:

Aplicando la regla practica del resto:

Gene
b

TA

109. we eb?
A
ab) [edit a Goby
ren

Lb sb, aba)
a @-b) 2ab

Smplficando y agrupando:

arb | asp?
2a ach

Efectuando el corchetey multiplicando numerador
y denominador por 2:
„ae
abla b)

2a BGs 1)
abla =D)

ET

Sacando el factor común (a + bi

na Dear D 2s BD (BP
abla»)

Aplicando Legendre a los términos señalados:

spe AB Re +) 26

2abla =D)

+9)

pe a+ 10)
aba - 8)

Solución
Aplicando la regla prctica del reto:
exo to

eel

Reemplazandoen d denominador eta equivalencia

Dee Gi
sacando actor comun (x 1)

De Dr Deal

De (eet) Idee ex = Ge Do
Sustyendo:

Manel

+ Re Ge Dx De (xD) 20
Reo
10. Hallar el resto de a division
CEE
(ey) ry)
Solución

“transformando el divisor mediante la aplicación
de productos notables e idemidades:

aay (02) y 262+ 99)
ei D A Korey? Ge
A

aciendo: (x o y) +a, (x= 9" = b se ol

ab
Para hallar el reso se sigue la rela práctica:
sabe

ab

Rear

Reo

7108 -

110. 11 Calcular“ y “ns la división:

av a) 2566380)
ETES
Solución
Cálculo de resto, siguiendo la rela práctica
seme
exe
+ Re a can 25602 29%
Sep enunciado:
Cara ca) 2560-20) 0
fects
manne 2560
rate a

Identificando factores com bases iguaes

wee + mes
ma = men
nom
ne 28) 16
Ria: m=8
n=16

12. Hallar "ms la división no deja esto:

ma

BG

Solución:

Calcularemos del resto, siguiendo la regla práctica:

Por enunciado:
Gene‘

Por enunciado:

Gee Ge Tee Bee Nee een}

HD DR De

simplificando y aplicando Legendre:
Amo)

dedonde: me2

13. Hallar "ms la división deja por reto 494”.

(3a) (+ ma)
rcs

Solución
Cálculo del resto, siguiendo la regl präctica
sxe 20-0

+ Re Ca + da) [62a + ma]
Por condición del problems

a à 30)" = [C290 6 mal] 4947

de donde:
2 (1280 ¢ ma") 4997
al 12887 2 mal = 4947

operand: m= 80

142 Calcular “m” si a division es exact:

à 2 2 ee
ET

Solución

Calculo del resto:
exty+2e0

Krug

109 -

111. 2 Remy 2 eye 2 (y-2z4y)?

eye

Por condición del problema: R = 0 igualando a
cero y operando:

Ma Ly +920
2m + 82 (y +2) 0
Sem me

15. Halla“ para que el polinomio

ems

al dividrlo entre (x - 1) de como rest el doble
del esto de dividir dicho polinomio entre (x - 2)

Solución:

Cálculo de R, (esto dela primera division):

exe

taal

REDE me
R-7-3m

Caleta de R, (eto de dvi ee x

exe?
ROPA +5 «84 6m 45
Re 176m
Condición del problema
Re,
reemplazando:
7- 3m = 207-6m)
clecuando: m <3
16. Halla el valor de

E-2me5n

sel resto dela división:

cs igual ses
Solo
Cálculo del resto:

“vero

El polinomio dividendo se puede escribir as:

MOOD + m0)? IO)
luego el esto es
AR + nD? 361) 1

operand:
Re (ms DN +0)

este resto es idéntico al resto que el problema
Indic: ose

med en =

rad coficients
> ms

> ma

E = 265) «5C4)= 10-20 = 10

pas E

10
2 Hallar el alor de “ns division es exacta,

m3) Guayas?

¿Pe (sony) yal
Solución

Cálculo del resto

+ haciendo xyz =0

.x-0

ET

112. + Re QG ee Gen
meno
agrupando e igualando a cero, por condición
[am
+ im HD Deo

extrayendo factor común: (y + 2) en el corchete
y-(y- 2) enla live

(+ 2m à 32) 22m» D) 20
Factorizando:
med RG +2 26-2120

Igualado los factores acero, basta con igualar
eo el primer factor

metzo
18 Haar eo de» ena dió:
cb a Dies aby
ET
sc ben com du: 3
Sole
Cat dl es:
Fred
En
aero
Karen
er, eg el pba R= 3
isan operands:
= bP ne nt
bn aa

emoncesia-b=b

19. Calcular cl valor de
o

si la división:

a DD à (2 on à (a ox + (8-8)
HR

El ivdendo se puede escribis
EN)
Luego, el resto ser:
+ Re IA + b- Ch)

«bro ab)
Igualand acero y operando:
da Dix 666 Ox (b- OH + (ab) =0
La + bb + (be olx + Lo + (a D) «0
demand eefcentes acero:
sas De be0 0

„bee ca
er ®

«boro

®

igualando (0) = (B)

bee

ab bee

Producto de medios gual producto de extremos:
wen

Weaver

Tin

113. 20. Determinar

‘Tambien:

ara que el polinomio:

a ete mee Bees)
sea divisible entre x + y #2

Solución

Calculo del reso:

exeyez=0

Ry ml EE EU]

el

Como es divisible, el resto es cero; igualando a
cero y operando

Gt ml gt te)

E)

tye

Dye oe ye ato ly Dye 2p
careta
Yapa ate ee

nly 274 pe yet el

ate te 29's à te y)

eme + y's + Dpt +2)

me2
Rp me 2

EJERCICIOS PROPUESTOS

Calcular el resto que se obsiene al dividir 3

CS

CET

D»

Sendo n° un numero impar positivo,

D1-@xebm bye 4
Otel ao
om
Hallar cl resto de
steve Deon
G-Da-D
Daran numero par posto. 5
om Dx 00
Omen mem

Sabiendo que el polinomio x! + ax + b es divii-
bie enite x" + Bx + a, calcular el resto de la
division del polinomio entre ax +b

21 pz 93
oF 05
Calcular el valor de “a” de tal manera que la
epson

wae gan
sea divisible por (x- 1)?

ned

on

ome

Calcular el valor de m? de manera que el pol

sea divisible entre xe x + 1

n2-

114. a2
a

DE

or

oF

6, Calcular m de manera que a division:

GE + D ee 2e y

creases

20 à ve + yal mg

Se exact
at »2 93
a4 95

7, Mallar la diferencia mn, ila division es exact:

Bel + may + 4)? + 5y + ny
ETS]

a2 ba on

Op or

8. Siun polinomio P(x) se divide entre (+ x +1)
el resto es 3x + 2, el cocente se divide entre
(2 Del resto es 2 x à 3. Hallar el esto de
la división de PG) entre:

Gex + DO 4D
Dar la suma de sus coeficienes,
210

bi 91

au 91
©. Sel siguiente polinomio:
ax Dir (me
es divisible ene à D, Calla“
a2

ba oF

os 90
10. Calcular m" si el resto dela división de

eme 4-1 eme x-2

se triple de resto de dividir:

eme Dal ene x42
23. bt 95
DE} 94

11. Siel polinomio:
P(x) = 2043022320 15

se anal para x= «5 yx = 3, Calcular loto valor

dex para el cual también e anula
die yr 91
YA Ninguna

12 Hallar m + sa siguiente división e exact

(ms) me De ma à Om D + 1

centre + 1)

55 bt o7
do où

15, Hallar el esto al divide
PCa) = (ce Dex) entre (2 26-2)
dus wae 06
ons 00

14 Al dividir un polinomio P(X) entre (x + a) se
obtuvo como residuo:

(aa
Calcular el esto de dividir PG entre (x + a)?
ox + da

dxsa bt

Dm oxen

15. Al dir un polinomio PC) etre (x = 3) deja
tun residuo (x. 3). ¿Cual es el esto de dividir el
cuadrado de P(x) emre (4-3)

ns

115. a3
LE)

be
os

90

16. Al dividir un polinomio P(y) entre (y - 3) se
bravo un cociente QG) y un esto igual a - 2:
al divide QU) entre (y +2) se obtiene un rs
iguala 2. Caleularel termino independiente del
residuo al dividir PO) entre (9 36 + 2)

2.

Ds on

on os
17. Halal ermino cuadático de un polinomio P(x)
de cuanto grado, ise sabe que sus espectvoscoc-
ficiemes son nümeros emers consecuivos, se
sabe además que se divide dicho polinomio
entre (x= D el to 6 35.
25

6 or

os 99
18, Si al dividir un polinomio P(x) entre xl se
bruno como residuo

30 bx vex 2

si se sabe ademas que el resto de dividir PG)
mire (x= 1) ex dos veces mis que el resto de la
división de PG) entre (+ 1). Decir cuanto
vale b +

a5 3 92

03 95

19, Hallar el resduo de:

baer

ay aña
a0

20, Hallar el resto de diva cl polinomio:

Geom) Gp), ma

PO ou ea
Maa CEE)

„mn
men

centre el diiso (x = Gp)

DEE x ONL

ax-ı ox-1

‘CLAVE DE RESPUESTAS

nc »c #8

DC HE HA

2p BC 19D

me

1) E 190

ns

116. DIVISIBILIDAD ALGEBRAICA

Este captulo tiene por finalidad determinar pol
nomios desconocidos, dadas ces condiciones, y
también obtener restos que no se puede obtener
Fácilmente por división o por aplicación directa del
teorema del esto.

Para tal efecto, se necesita conocerlos siguientes
principios

PRINCIPIOS DE LA DIVISIBILIDAD
ALGEBRAICA

1 Para determinar la suma de coeficiente de un po-
linomio se hace la variable, o variables, gual à 1
Es decir

3 de cocficienes de PGxy) = PCL)

donde: 3 significa sumatoria

2 Para determinar el termino independiente de un
polinomio se hace la variable respecto a la cal se
rer el polinomio, gual acer, Esto es

“TL. del polinomio P(x) = PO)

"Si un polinomio es divisible separadamente entre
dos o más Dinomios, srt divisible entre el pro-
duc de ellos.

Si PO) + (ea RAO
PO) + Gb) RAO.
PQ) + GO, RO

POX) + (a(x DYX-O, R=0
4° Si un polinomio es divisible etre et producto de
‘varios binomios, srt divisible sepradamene por
cada uno de ellos. Est significa que:

SR 0, Re 0

POs Ge RO
PO) + G&D, RO
POs Ge, RAO

5° En toda division, s al dividendo y divisor se le
‘multplica por una misma cantidad el resto queda
‘multplicado por dicha canidad, Para determinar
fl resto verdadero se divide el resto obtenido.
entre la camidad por la cual se mulipics dvi:
diendo y divisor

En general: D= dq ¢ R

multiplicando por “n°
D. mad. m.q¢R.m
Resto verdadero » Resto obenide ¿Ram y

6° En toda division, si al dividendo y divisor se Le
divide por una misma cantidad, el reto queda
dividido por dicha camidad. Para determinar el

us.

117. resto verdadero, se mullipica el resto obtenido.
por la cantidad por la cual se dividio dividendo y
iso

Engenenal: De dq +R
dividiendo entre m

Did
etn

El resto verdadero = Resto obtenido m
«Eo mer

EJERCICIOS RESUELTOS

LL: Halla la suma de coeficientes del polinomio:

P(x) (BTR à DG 3x à TI
= ox - Dax

Solución

‘Como se pide calcular la suma de coeficientes del
polinomio, se halla su valor para x= L

FORTE
0 ym ne

PQ) =O" + EO"
PC) = G™) E GIG!
CORRE
Pua Ha

Seveficietes = PCI) = 0
pias Y coeficientes #0
22 Sil polinomio:
PO) = Gx =D Ox à 3
2 [Gx + De +591" A

tiene como término independiente (36)
Calcular.

Solución
Sc hall el, par lo cual e hace x = 0:

PCO) A G+ [DENI CD

2n- 1 es mümero impar, por lo tano:
yea

DO) = (1) (5) + 58-202 5458 2H

PO) =-2n

Est ese TL, segün el enunciado su valor es 36

Lego:

20036
nes

Ru: ne 18
Determinar « ae sel polinomio:

wo 60 em bx ve
es divisible entre (x= D + Déx-3)
Solución:

ie polinomio es vise entre (x =D +1)64-3),
Sera divisible separadamente ere (X-1). (x + y
>.

Dividendo tes veces consecutivas por Ruin:
12 4 be

où RR BEN BR WE
1 4 7 at bear [mb

2 05 2

1 2 5 a2 Lbs

Los restos deben se ceo, a

arbrc-7=0 @

b-5-0 ©

28-0 o
De (> ans
De®: bes
Dela): 8500-70
ens

E = (8)(5)(06) = -240

“116 -

118. 42 Determinar “a” y *b"siel polinomio:
as bei
«es divisible entre 1)?
Solucion:
Como es divisible entre (x - 1)? será divisible
doblement por (x +1). Diviiendo consecutiva:
ente ente (x- D), por Rull:

ab 0 0 0 00 0 1

ab ab ab ab ab ab mb

ob mb ab

0

ab asb mb able

Zub S802 40020 nei
Sue Tach

(a u 2020 Harz Sarah

anh

Por ser divisible debe cumplirse que

Dasbel-0 = arbol (a

Das = ®

Sustituyendo en ($) en (e):

zo
E

bos
Sustituyendo en (6):
zo
a Bi

a-7
3. Hallar el cocieme entre “q” y "Fil cociente es
qxe
wor
Solución:
Si el cociente es exacto, el polinomio dividendo,

es divisible entre (x 0} y tambien dos veces es
issble entre (x ©), dividiendo por Rin

e 28 3 mt
1 x 3e 4 [meet

Como el cociente es exacto, debe cumplise que

D #00 @
D sgexe0

ea o
Sustuyendo (9) en (a)

Hesse

ree o

De (8) ala quima y (1) la cuarta potencia, se
obren:

eng ©
Hee 0)
de estas dos últimas relaciones
mo
Hallar y a" si la división es exacta:

ex et a [O4 DE xe Ptc Dt
wr
Solución:

Como el divisores:
DD

Por productos notables, el dividendo será vis
ble entre (x- DIGA x + D) y también entre cada
uno de elles. Si es divisible por x - 1), aplicando.
«Teorema del resto se obtiene

nr

119. RePC)= (U4 142)" 964-141? RNE 0
256-644-160 #0
don als @
Sie divisible etre (xs x +1) aplicamos el Teore-
ua del Reso, previo cambio de forma del dividen

do, de esta manera

exe alee Le Denen!

ne Dialer Denen
(Dividendo)
Aguaando acero el dvr:
Bexeled Sexe
Swsttayendo en el dividend
Re (Lo Dale Lea
‘Como la division es ext el esto esco, sto es

learneo
dened 0)

Restando (a) = (B)

damas

as

Susttuyend en (a):

7. Calcular “a” yb" el polinomio:
dst ane bat 2-10
es divisible entre x 6x 5

Solución:

Transformand a producto el divisor por produc:

tos notables, emonces el polinomio sera divisible

separadamente por (x =5) y (+= 1)
6e 5 2 AD

Dividendo por Ruin! dos veces:

2 ab zw
1
1] 2
2 aed abe
5] 10 50060 05h10

TE RE Gaben [ran

Por condición del problema:
4b 629-1000
asbeas @
Tambien
31a 6b4339=0
Sta «6h = 339 ©
De (od:

yendo en (8)
31a 619-2) = 339
3.

susituyendo en (a)
Debo
b=-10

8 Un polinomio deterer grado cuyo primer cof
cieme es 1, es divisible por (x 2) y (x= 1) yal
er dividido por (x 3) da resto 20. Hallar su ter
mino independiente.

Solución
Datos:
PS) es de tercer grado.
1) Primer coeficemte es 1
PO) + &-2, Re 0
PG) + G&D, Re 0
WP) + 3, Re20

Incognita: TL» PO)

us.

120. De los datos (3) y (4) se obiene
PQ) +G-DG-D, RO
En toda división
DedgeR

SR 0 la division es exact, para este problema,
poro tanto:

PAD
Por dato (1), P(x) es de tercer grado:
TDR.)

Jergrado Mogrdo lergrado

se concluye que q(x) es de primer grado y es de
Ta forma:

Pop

Luego: (x) = (x- 208- Dax - 8)

Por dato (2) el primer coeficiente es 1, lego

ae

Por lo tanto se puede escribir:
PO) A) Co)

Por dato (5); PO) =20

Sustiuyendo x =3 en (a e igualando a 20:

G-D6-D6+b-20
be7
E polinomio buscado es:
Pla) = (x= 2068 2 D 67)
PO) =(0- 210-107) +14
I polinomio P(x) divisible entre
wen
ine como TI. 3 y grado “n°. Caleula el valor
de “n° si se sabe que al dividiro separadamente

entre (x 1) y (x3), los restos que se obtienen
Son: 2 y 732 respectivamente

Solución
Dato:
DET Re 0
1) POs de grado n°
fi) P+ DR 2
EDER “TR
D TL de PQ) 3
Incogni n
Pore dato (1)
BG = G61) a
Bo cl ds (2)

CORRE)
gadon grade (ot) grado ()
don

portant, a) es deprime rado y dea forma
ad = ax ob
3 polinomio adopt a forma:
PO) = Ges D xed)
Por dato 5
Here @
O)
Igualando (o) y (9)

ODO
bed

Con lo cual el polinomio hasta este momento
tiene I forma:

P(x) = (x41) Gax-3)
Por el dato (3)
Pa) =2
PO =D.

TE

121. Esto cs
as D@- 22

ES polinomio finalmente er:
Pix) = (ete DOX 3)
Por el dat (9:
P63) «732 ©

POB @

Igualando (p) y (a):
e 16-3) 73
Bea 2 pen

Como las tases son iguales, los exponentes am.
bin sean Iguales
n-l-5ine6

10. Un polinomio PGA) de sexto grado tene rae
cuadrada exacta, es divisible separadamente
por (x2+1) y (243) y se le divide por (x +2)
resto es 23

Halla a suma de sus coeficientes.
Solución
Datos:

D PO. es de sexto grado

D PGR) tene rar exacta

D PG) + Ge Dre 0
1) PG) + (43), Re 0
PG) + (42), Re 25

or los datos (2), (3) y >

Pla) + Ge D, RO
PO) + (dK RHO

de aqui se concluye que:

PO) + (DA ROO

ego:
PO) = (+ D a

Por dato (1):

PO) = GED! (+3? ad)

Gogo Ho 2 0)
G10 grado

se concluye que q(x) e de grado cero y toma la
forma de

ara
4 polinomio sent
PO) = (+ 1) Ge 3) À
Por el dato (5)
Pe =225,
BED = (+ (243) Ae Ds
Or 0425
Aso
El polinomio es:
Pa) = (241 DR)

La suma de coeficientes sed:
PC) = (+ DO (AO) = 576
PA) #376
Determinar el polinomio P(x) de Sto. grado que
sea divisible entre (x 3) y que al dividir
Separadament ente (x + 1) y (2 2) ls restos
obtenidos sean 7 y 232 respectivamente
Solución
Datos:

P(x) + Sto. grado

PQ) + Qx'-3),R=0

PQ) + (x+D,R=7

POs) + (xD, Re 232

-120-

122. 3) Como P(x) + (xt 3),da R= 0

PO) = Qx-3) qu)

12. Halla el resto de la división:

6

INEA
GDA

b) Como P(x) es de St. grado, q(x) es de primer

grado
qo sax +b

Luego: PG) = Qx'-3)@x+b) a
+) Aplicando el Teorema del resto:

PGO + (+ D)
haciendo: x + 12.0

xed
Rec «7
En (a):
PEI) «BCD -3]laC1) + BI = 7
CDGa+b)=7
sachet ®

DA
haciendo: 2.0
xed

R=PQ)=232

En (a):
PQ) «= ROJA) + bi «232
2904 eb) = 232
daeb=8 o

Sumando ($) y >

3-15
ass

En)
5-b=7
be
+) Reemplazando valores en (a):

POs) « xt GX +

)

efecuando:
PO) = 104-151 6

Solución
En toda division se cumple
DedgeR
En este caso:
(DEH HP 62 DOA q Fan tb

Como es una identidad, se cumple para cualquier
valor de x ast,

para x= 3 se obiene
00-60-0940) +3046
As e3a0b
jabs. @
pata x= 4 se obtienes
AAA eb
dasb=7 o

restando (P) = (a:

En(@):6+b=5
bea
Reaxeb
Reel
13. Hallar el resto en
[BEST SENT SEE EN
WDR NG

Solución

isdindoalvidendo ads enr (x 3) 4),
obtiene

[CATE
a»

a

123. Aplicando el Teorema del resto
x-3=0
x-3
Susttuyendo en el dividendo:
RO Ge 4)Q7 9-17)" MAY = 28
Como previamente se divido, dividendo y dvi
sor ente el producto (+3) (xe), para obtener el
esto verdadero se tendrt que multiplicar el resto
28 por (63) (xed), ast
Rverdadero = 280% = (x + 4)
fectand
Re 28x 028% - 560
14. Hallar el rest en
ES

wei

Solución
Multiplcando el dividendo y divisor por (x+1) se
biene:
e
x+Da+D

fectand

EN
E

<escomponiendo purialmente en potencia de

COPE) A à 2x GO)"

A
aplicando Teorema del resto
%+1-0
wed

Re 1-1) - CDA) +2

+ 6000 #2- CD

Re xexextednelexe2el
Re

+See 4e (ee De
‘Como se ha multiplicado dividendo y divisor por
(+ D, se tendra que dividir por este mismo
valor el rest para obtener el verdadero

El resto verdadero será

(e+ DO)
G+)

Ro verdadero =

Ro vendadero=x +4

15. Si se divide un polinomio P(x) entre (x - 1) se
obtiene un resto que es 3 al cociente se divide
entre (x + 1), el resto es 5; al muevo cociente se
“vide entre (x + 2), el resto es 8. Hallar el esto
de a división PO entre (<= Dix + D + 2)

Solución
Datos

DP) + GD = qd, Re3

Da + ed =. RES

GO +6642) = a. RA
Operando para resolver lec
Port dato (D
POH DAS (a)
Port dato (2)
WR M
Por el dao ©)
AD e
Sustiuyendo (1) en ():
DADES
ADA D +5 @
Sustiyendo (9 en (a)
POs) = (22 Di da,
#8661) 65143

7122

124. 2

fect
PG) =O Dore D+ Dg
BC Dix: D 4564-1) 43,
PG) = Dix» Din 2) 4,60
28-8 65x53

POs) = (x= x + DG 2) 9,0
een

La división completa sera en consecuencia:
PODA D) + 2) = Ar (8 38-10)

pia: Be 5x10

EJERCICIOS PROPUESTOS

{Un polinomio P(x) de tercer grado y de primer
coeficiemte la unidad, al ser dividido entre el
polinomio:

ren
deja de residuo cer. Entre cues de los siguietes

binomies es divisible P(x) s al dividir PO) entre 5.
41) deja de residuo 17

xed byxe? Oxe3
ax-ı 0x3
¿Cual es la sumade ls coeficientes del polinomio.

160 s se sabe que es de trcr grado, su primer
coeficiente esla unidad, es divisible entre
(Ge 2) + 1) y carece de término cuadrtico?

a4 wi 92

0304
AU dividir dos polinomios enteros en "x" se
‘obser que el término independiente del div
‘endo es 3 veces el término independiente del
divisor y el residuo 2 veces el del divisor Hallar
termine independiente del cociente

a1

DE 92

oF 95

Hallar el valor de (m-n) sabiendo que et pol

P(x) = 10+ n°2 99 416 à mien

es divisible etre (x= Dx +3)

à + bt 90

os 98
¿Cuales el valor de“ sel polinomio:
PG) «emia Date + Gnx aa 1)
es divise entre x a 17
pater

aa Dart

DE

oa

¿Qué valor debera asignase a “e” para que el
polinomios

59 ae 1)
admin como divisor a: 5x24 2x - 4?
DE

be 98

os or

AI dividir un polinomio PGS) ente x + 1, se
biene como resto

6062-3
Halla la suma de los coeficientes del resto de

dividir PG) etre (x Gx + D, sabiendo que la
Suma delos coeficientes de Pix) es 8

123 >

125. a6 Dre o4

os 95
8. Averiguar el valor de (a2 1) st la diferencia
nue os restos que se obtienen al dividir sepa
‘adamente el polinomio
axtebeve

entre (4 1) y (2+ 1) respectisamente es:

al
DEE 92
on os

9. Hallar el resto que se obsiene al dividir

ax

+) faltan datos

10, Hallar el resto dela división:

(MESE
TETE)
ax

Da axel

or 92

11. Un polinomio PCs) al divido entre x + x + 1 y
x: x+ Tnosda como resto 1 -x y 3x5, Hallar
dl esto que daria al dividrlo entre

wur
21 Ds 96
on 96

12. Frs de dvr un polinomio MG) ene 4-2) es

wel

5.

16.

(Orr polinomio N(x) al dividilo entre (x- 2) da

243.6

Si en ambos casos el polinomio sel mismo, ¿Cual
‘el esto de dividir Ms) + NO) ente x2 4x + 3?

DOS Om

ox ox
Hall ay de manera que
Pondelixos y Pets Mast
sea divisible por mx en

bass
be?

dal
bes

das
belo

Bars
br

Dart
623

Un polinomio de 40. grado en x, cuyo
«coeficiente esla unidad es divisible por (x=
y por (x: 4) y al divdilo por (x + 3) da como
residuo 56, Callar ewan dara de residuo al
divido por (8-2)

a8 ya on

05 08
Encontrar un polinomio de sexto gado, cuyo.
Les 100, que tenga raz cuadrada exacta, que
sea divisible entre (8 + 2) y que al dividirlo
entre (x= 1) el resto obtenido sea 81. Hallar el
esto del mencionado polinomio cuando se le
ide por (x + D.

236 bin 92

y oan
Un polinomio de grado n + cuyo primer coli
cent es es divisible etre + 2). Ste esto de
Alivio separadamente ene (+ 1) y (x + 2)
son respectivamente 12y 258, Calcular nv.

a2 be 96

os 95

7128

126. 17, Tres mimeros reales y diferentes verifican las

condiciones Siguientes

Pepeeqeo

Calcular: E= 4 |
ar
ap oe

18. Un polinomio P(x) de Mo. grado y el primer coe
ciente la unidad al sr dividido ee (x 2) da
como resultado un cierto cociente QU) y un
resto 6. Si se divide P(x) entre el cocente
“mentado en 3 la division resulta exact, Hallar
resto de dividir PG) entre (x- 5),

as

20 91

a4 on

19, Calcular “a si se cumple la siguiente identidad:
3-23 T m ala De be DY
ee 1e dés De ee Det

2 bi

91

au 98

20, Mallar esto del siguiente division
as B+ ba
Core

DE} Dre

Dar o

‘CLAVE DE RESPUESTAS,

DE DB HC

DD HA HC

DA HD WA

ns

ws

1m»

125.

127. COCIENTES NOTABLES

DEFINICION.-

Se denomina cocientes notables, à clertoscoclemtes
euyo desarollo se puede escribir sin efectuar la
‘division. Se caracterizan por ser cocientes exactos.

FORMA GENERAL DE LOS COCIENTES
NOTABLES

“odo cociente notable se puede presenar de la s-
guiente forma general:
donde se obser:
1) El dividendo y el divisor tiene, cada uno, dos
terminos.
2) Las bases del dividendo y divisor "x", "a"
respectivamente son iguales.
3) Los exponentes en cada uno de los términos
del dividendo son iguales.
4) Hay cuatro formas de cocientes notable
se obtiene combinando los signos

Como consecuencia se presenta 4 casos

ESTUDIO DEL PRIMER CASO:
Dividendo: xa

Divisor: xa
Cocieme: CN.
Restor 0

Aplicando Teorema del resto, regla prctca

xeazo

zx

3 Re Ga razo
Hay dos casos:
2) Quem sea par luego:

Re

sat came are

No es cociente notable, porque el resto es dife
rente de cer,
1) Que m? sea impar, luego:

Rata a

Stes coctome notable
CONCLUSION. La forma:

SEN. cuado “mv es impar.

ESTUDIO DEL SEGUNDO CASO:

Cálculo del resto:
Pxsano

rx
3 Re a

para que sea cero, m debe ser número par ast

Reancan 0

=126-

128. CONCLUSION. La forma:

CA

cuando “m? es un numero par

ESTUDIO DEL TERCER CASO: ta”
Cálculo del reto
1" a0
2 xea
3 Ra Ga a à 0

Como el resto es diferente de cer, no es CN.

CONCLUSION. La forma:

no es cociene notable para ningún valor de “nv

ESTUDIO DEL CUARTO Caso: *2=#

Cálculo del resto
1 xeaeo

2 xea
3 RG

Como el resto es ro, ses CN.

CONCLUSION. La formas

ds cociente notable para cualquier valor de “m”

DESARROLLO DEL COCIENTE
NOTABLE

Para desarrollar el CN. se realiza la división por
Ruf, aplicado a un caso, pero se generaliza para
los tres casos de cocientes notables con las reglas
prácticas quese hard al final dela demostración

Seal CN, AAA para ma impar

Dividiendo por Rain:

Fl cociente es de grado -m- 1

a O a
Por lo tanto:
OLA gat a he oat

REGLAS PRACTICAS PARA ESCRIBIR EL
DESARROLLO DE CUALQUIER COCIENTE
NOTABLE

1) El primer término del cociente es gual alociente
entre el primer término del dividendo y el primer
término del disor

»

El imo término del cociente es igual al cociente
entre el segundo término del dividendo y el segun
‘do término del divisor

»

A parir de segundo término del cociente el expo
eme de comienza a disminuir de 1 en 1 hasta
el valor cero.

“También pair del segundo término del cociente
aparece "a" con esponente "1" y en cada término
posterior su exponente aumenta de 1 en 1 hasta
Poste

5

Para los signos de cada término se debe tener en
4) Cuando el divisor es de La forma (x +1) los
signos de los términos del cociente son
alternados (+) y © comenzando por (4),
1) Cuando el divisores dela forma (xa) los
signos de los términos del cociente son
positivos.

NOTA El dividendo en ambos casos (ay B)
puede ser

Gera) 6 an)

AA

129. Ejemplos
Desarrollar:

MEA

Sta ge tae

wat wea

wo = 62) Pa)

eG)
+ GDM Eat

en forma inmediata:

ah

DETERMINACIÓN DE UN TÉRMINO.
CUALQUIERA DE UN COCIENTE NOTABLE

En forma general:

mos

DEDUCCIÓN DE LA FORMULA, para el termina k
Lor termine: (got
Ad. ermine Signo)
Ber termine: (gno) = a

‘to. teemino: (gro) a

10mo. término: (gro) 0a!

imo. término: signo)x™ at!
100 (gro a
REGLA PARA EL SIGNO.

1) Cuando el divisor es dela forma (xa) e signo de
cualquier término es positivo.

2) Cuando el divisor es de la forma (x a) el signo de
los términos que ocupan un lugar par son negatives.
y Tos que ocupan lugar impar son positivos
Ejemplo:
alla el, y 1, en el desarollo del CN.

Solución: Dando la forma de CN,

cs

wa

de donde
Ara. base del divisor: (0)
da, ase del divisor: (a)
m.30
ago para k= 25:

tay A DH
Para k= 40:

to ee a

ty

CONDICIÓN NECESARIA Y SUFICIENTE
PARA QUE EL COCIENTE:

Zar sau voran

Estableidas ls condiciones de ivisbiidad, el
cocieme
sera notable cuando:
staat Gs Gy
wen

128 -

130. donde:

prem
me (a)
ar-n
Br ®

Es decir, los cociemesenre 3-2. deben ser

enteros € iguales.
NUMERO DE TÉRMINOS DEL COCIENTE NOTABLE
De (a) y (0)

Be Bent de términos del cociente notable

EJERCICIOS RESUELTOS
1. Simpliicar
as

an

¡Sumando todos menos cl wlio sumando:

an
Sustituyendo enla expresión:

E-

TA]

ma

simplificando:

CET
Ras Era

Hallar el término independiente del cociente:

ena

Solución:

Dando la forma de CN. y desarrollando:

rana
ae
Grada

A rat

Elérmino independiente del EN. es

PO)» ave aha st

a éminos

TAG «nat
Simphitear
EEN
Solución

Escribiendo el mumerador y denominador como CN.
(EN
CE
O
aa

fecundo y simplificando:

STA

we
[on]
Hallar el cocieme y el esto en:
EN
ARES]

Solución

Transformando el divisor a Cocient Notable

129

131. EM
Dividiendo por el método normal

Aaa

ON

‘Como Resto verdadero » Resto Verdadero,

eel
a ae

Rpın El cociente es 468)

Hallar (m+n) si el à (23) del desarollo de

Solución:
Cálculo de 125):
Escribiendo la division como CN,
0 = a?
0

105) = + CAYO a at TA
Por datos:
idemificando los exponentes:

Sima270 = mes

428 + n°6

62 St os grados absolutos de todos lo terminos van
endo de 3 en 3y además el (40) desu
e grado absoluto (GA) =87, hallar

fl numero de terminos siendo el EN,

wur

Soleil
1) Cálculo del (40:

140) = an Ga"!
Por dato:
GA) « nip 40) +39 287
nip 40) 248 @
2) Calculo del (#1
1) = Gee ye
1a) =
por ser término consecutiv y os grados bol
tos segan el problema disminuyen de 3 en 3, e
GALAN) « nip) + 40284
np. ©
Dividendo (a): (8):

mp0) 48
apo

p=32

7.-5i el siguiene cociente:

esnowble, Calcular:
a) El valor den.

1) El número de términos

© El término 19.

= 1307

132. Solución:
Sies CN. por fórmula

in.
26
a

a) Simplificando:

6-22

= de éminos.

EN
n-6 ns

Multiplicando medios y extremos:

(ón + 390-8) = (6n- 2240-6)

Gr An à 3n-24 = 6n?-36n- 220 6 132
Bn = 156
nel
1) EL numero de términos es:

6043 75
De ‘3

ETS

© El cociente notable es:

AT
Por formula
yy 60) aM

A En el cociente notable

hay un término central, que es iguala
eS

Hallar: Exasboc

Solución:

Ses cociene notable llamando m al numero de

2 @

ale
E

Luego, el ke ésimo termi
2 = (D

hay término central, entones:

sent

ga ga
identificando exponentes:
AS
AK.
ker

®

EL lugar dl término central cs 34, entonces habra:
#
E 5

a3} 3 Le 67 términos

me67
dam. = an 201
O

beer "

Er = be
En (6)

IA > 60

Luego, el valor pedido es
E= 201 + 4696 99 = 760

+ Sabiendo que el 1() del cociente notable:

ee

ya. ye

es at ht Calcular el mumero de terminos.
Solución

Desarrollando el Cociente Notable

w
Fe

o, TNT TRES

von, nen,

ia

133. Por dato:

po Us

idemtfcando exponentes dea
FEW
exponentes de b
50-926
3.9.16
sun
de donde: y « 2
En (0): 41-506) = 176
Hess
xed
El numero de termina es:

4.4 30

EICHE

10. Cuil es el lugar que ocupa un término en el
sigueinte CN.

contado a panir del primer término sabiendo que
la diferencia del grado absoluto (GA) de este
con el GA. del término que ocupa a misma post
¿ión contado a partir del extremo final es 9.

Solución:

2) Cálculo del u) contado a partir del extremo.
inicial:

TH = GOH
GA.) = 5(70- + 20k -1) =348-3k

1) Cálculo del 14) contado a parte del extremo
final

Sean los terminos y sus respectivas posiciones

1.2.3.4 Te =
Law

Gen

Euch) comado apar el extremo Anal ocupa la
posición n - k + 1 comado a partir del extremo
nical, Luego:

CREER

mo

ea paa

b= GE GE
Ga.

UTA) 50-1) + 20701) = 3K + 135
Por la condición del problema:

G48 - 3K) - Gk + 135) =9

de donde: k= 38

El sérmino ocupa el lugar 3.

132 -

134. EJERCICIOS PROPUESTOS

1. Sila expresión es un cociente notable

E
a

Falla el valor de“

13

os

he
ONA

os

2. Enel desarollo del cociente:
19, po

vn término que ocupa el lugar k supera en gra:
do absoluto en 30 unidades el grado absoluro del
término que ocupa el lugar k 1 contado a par
Ar de la derecha. Hallar k

91

as bo

on on

3. ¿Que relación debe cumplirse entre ls valores a
yb de tal manera que la expresión:

sea cociente notable?

abel Dasbel arbe-t
Dab-l ab
4. En el siguieme cociemte:

way

tiene como segundo término xi, Hallar el
nümero de términos
os

as »r

ve 99

5. Enel desarollo de:

a
‘un término que ocupa la posición “contando,
a parir del extremo, supera en GA. en 12
"unidades al término que ocupa la posición (r 2)

comado a partir del primer término. Hallar el
GA.deli(r +7)

2)250
36

D 925
920

6. Hallar my sabiendo que el término tercero del
desarollo de

ig poe,
wey

cesigual a x

dn-7 baer ones

mio mes m-7

dne1 ©) Ninguno

m-3

7. Siendo “n" un numero natural, calcular el lugar
que ocupa el término de grado 135 en el sigu-
fem cociente notable:

m
wur:
di war o18
Dm)
8. Simplficar:

pais
A eo

133 =

135. Sendo: “a” diferente dex"

“n° es numero impar.

bax

Oasx

9. Siendo n un numero impar calcular el cuadrado
del término central del siguiente desarollo con
siderado como €.

af ero Dr
2 a

MR pet. (pet
IR dpa
oan

10: Calcula el término identico de los desarollo de:

yo ya

Y
a ae
DR yo

11, Sabiendo que (x - 2) = A y x2- bu B, cuánto
términos en función de A y B ene el cociente:

Geo = (by
Re Bax +b

2. mu on

oi 0m

12. Hallar e cofiiente de x2 en el cociente:

ee ae
ETS]

21 »2 93

os 95

13. Custos términos iene el siguente product:

+e)
CEE)

a
at DE 93
a6 oF

14. Mallar el término entero del desarollo del
cociente notable

164 - 8eNz
Wave
a2 )256 ©) Los
0208 04006

15, Calcularla suma de todos os valores de “n° si el

debe tener 20 1érminos enteros.
258 9

aus

bor
om

16. Enel desarollo de un cociente notable se obtu-
vieron dos términos consecutivos

salty gly.

hallar el dividendo del cociente notable

ax DEN
omy ae
Ox ey?

17. Encontrar el numero de términos del desarrollo
de

EN

onde ay b son namero enero.

RCE

136. daba Qacbel dp Mar 03%

dab-1 Habe on 9468
18 Hallar el primer término del cociente notable: 22. Hallr + enla demi:
Gsbso!- G+b-ot Alone A (Ge ye Gat
ET Gay es yl = Gey Ge
DUDO Abe a4 bo os
DA rr dm o16
Ilo

‘CLAVE DE RESPUESTAS
19. Halla el namero de términos del CN, a> 3p

pe

DA 90 HE we

DE BD WA 1D

ME 1D IC WE

135 -

137. FACTORIZACION

DEFINICION.-

Es la operación que tiene por finalidad transformar
tuna expresión algebruca racional y entera en otra
‘suivante, que sea igual al producto de sus actores
primos racionales y eneros En general, lactrizar
Significa convertir una suma algebraica en un pro
Aco de factores,

MÉTODOS PARA FACTORIZAR

(A) FACTOR COMÚN

De dos o más expresiones algebraicas, es la parte
mumérica y/o Meral que esté repenida en dichas
Expresiones. El factor comun puede ser de tes ios:

1) Factor común monomio

2) Factor común polinomio.

3) Factor común por agrupación

A.) FACTOR COMÚN MONOMIO.

Cuando el factor comin a todos los términos
del polinomios un monomio.

Ejemplo: Fatorizar
TA + an + Dh

Elfactor comun es 24x", de esta manera

Tay à ah ay
= Dey? Gxt Day ty)

Explicación Para saca el actor comun monomio:
en primer lugar se saca el coefiiene comun (24)

a cominuacin, se saca las letras comunes afec-
tadas por los menores exponentes (x), lego se
vide cada término del polinomio entre el factor
comin monomio y los resultados se escribe dentro
del parémess

A2) FACTOR COMUN POLINOMIO.

Cuando el actor común que aparece es un
polinomio.

Ejemplo: Factoria
ae Data Da à D Dy"
EL factor común es (a + DA? + 1), at
raten
“ar Da D [a + D + D
sfeetuando:
= +P GSD! ate tae -a 1]
= (a+ D @+ D Qa)
Luego:

(ar Ire DIO +1

pe

aan

A3) FACTOR COMUN POR AGRUPACIÓN,

‘Cuando no hay un factor comun atodos os tér
minos del polinomio.

Ejemplo: Factorizar

un à yu Gy) + Gy)"

=136-

138. Efectuando operaciones
ane ayy ge

No hay factor monomio ni polinomio, por lo
tanto se agrupa términos de 2en 2

se y à Grp a)
sscando factores comunes en cada parentesis:
MOTD + OTE)

cando el factor comun binomio:

(eya erry’

EJERCICIOS RESUELTOS

1 Factonza
EA + (DD + 61)
Solución:

Extrayendo factor común (x + 1

Ee (es DIR Dad den
fectuand
Ex Go Dito Sx s6ox 4261)
Ene Dex)

Ea (xe De

fectando por Legendre

Ea (+p) Oy HOD)

Finalmente:
Ent Gp
Facionzar
Eee Die A Da
Solución

Haciendo x + 1=a, se obiene
Beate (aa d+ 20-70 42
‘operand:

Enata aa 3e Loa?
ES

simplificando:
Enano
factorizando:
En +204)

Teponiendo al valor dea

En QD 29 + DA
efecuando:

Ea (wedi ive 2relexe los]

2. Facorizar Eta
Ee oy ey 4 Factoria
Solución: Enya
Transformenos previamente: Solución

ce

D = [ove VOY A Oy?
De este modo:

Ea Qty ey Ay

extrayendo factor comun (x + 9) = y)

En (x+y) Oy [y

Agrupand en forma adecuada:
En yt x) à Gt oxy)

extrayendo factor comin en cada agrupación:
Bergen

€ paréntesis cs un factor común, luego:

Eg (vey

CA

139. 52 Factoriae
Beaty + te te see ony?

VD ey

Solución:

Aaropanoslos queen gl sl y amos

ENTER

y xa y)
ray)
estayendo factor comú al polinomio:

Eee Uy PoP

“agrupando a interior del segundo paréntesis:
Eee Oleg 29]

Ea (xs Pt IR 22) 2 207 + DY

fralmene
E)
62 Factoria:
Ex (a+ bo olab + ae + bo) -abe

Solución

Agrupemos covenientemente

2 1+ b) «el lea by e bl abe
Ew ca Ba abe acia eb) abla eb) -abe
Ea cla ob + lab) sable)
factonizand:

Balas bac + be +

agrupando nuevamente:
E-Geb [la © ebro!
Esctorizando denteo del corchet

Era ba + Ob

7. Factorisar

Ea le ay aber) (y+ Da-x-y
Solución
Agrupando:

El + 9) al + ale dry]
extrayendo factor comun en cada corchee:
Armand
sado (La)

Ea yx
CENT EN ENTER]
CENTER ENT ENT
finalmente
Ea
Factorizar

(-x-y)Qa-b)- (x+y 20426)
Solución

Se observa que un facto tiene signo diferente que
Loto, fctorizando el signo:

@-x-pQa-b)

Hann] @+2b)
cfectuando Is signos y qutando corchetes:
Erde @-x- par)
factorzand:
G-x-ya-boas2d)
CRETE)

Ea hdtat+ 2) + bela? + de ad's)

+ acht a)
Solución

Efectuando operaciones:

bd à bed tbe à be? + ab

acid eae acl?

138 -

140. Facorzando por pares, como se indica:
Ex bc) à cdd) abide) ace)
exrsyendo factor coma

E= (+6) (ae hed ab? acd)

Excorzando por pares:

E= +6) habla sb) + db 2]

facorzando (a+b)

Ex (d+ da + D)lab + ed)
Ex (as Be à lab + cd)

10. Factorzar

Elba

Solución:
Agrupande:

Ea [a eb) ee?

Efeetuando el corchete

E ala +b) + Has bye + Ha + ble?

fect:
Ex ahs Be db à Sab! each) à Kacbict
reduciendo:

Ex Sabla b) à as bye + 3a ble?
Excorzando

Exa +) lab + cd +) +e]

decande:

Ex la e babe ae + bese)

factorizando por pares

E=3a+b) lab + © + cb + ol

factorizando (b +6)
Ena Nb + a+
(8) MÉTODO DE IDENTIDADES

8.1) DIFERENCIA DE CUADRADOS.

Ls una diferencia de dos cundrados perfecto.
Para facorizar se extrac La raz euadrada de los
cuadrados perfectos y se forma un producto de
la suma de las micos multiplicada por la di
encia de ellas. En general

A)
12) TRINOMIO CUADRADO PERFECTO,
Se caracteriza por

1) Tener 2 terminos que son cuadrados perfectos

2) El otro término es el doble producto de las
aces cuadradas de los cuadrados perfectos

3) Los cuadrados perfectos siempre deben tener
Signo postivo,

El trinomio de estos caracteres se reduce a un
binomio al cuadrado as:

a + P= (ama
3) SUMA O DIFERENCIA DE CUBOS.

Se caracterizan por tener 2 cubos perfecto, Para
factoria se recuerda el product notable ast

à Bh an BIG arbre Br)
a+ D an BG à aE à Be

EJERCICIO RESUELTOS
Factorzar

CERTES

Solución
Se puede reeserbir como

En (ut ya 2) cate

{actorizanda el rinomio cuadrado perfecto:
E = (xy?) 26826 yay) + (ay)?

7139

141. toda I expresión es un trinomio cuadrado per-
feeto, as:

Eulen
Eee ep
Factorisar
CORNE
Solución:
Descomponiendo 3x, as:
ET
y reemplazando se oben
Entente ed
agrupande:

Ee (ue deen) tato D)

facontzand los winomios cuadrados perfecto:
Ex (ox QD

ésta es una diferencia de cuadrado, luego:
TN)
finale

EP D Gate D)

Factorizar

«bc daa + edd?

Solución ,
Es una diferencia de cuadrados, luego se transfor=
ma en el producto de una suma por una diferencia

Ex [Gs bcd) + 26h + co]
Kats B= 2) - 26 eco)
reordenando los términos dentro de cada corchete

En [Go 2ab 6b) -(@- 2d 0)
AG? = 2ab +) «(c+ 20d +]

reduciendo los trinomios cuadrados perfectos:
Ella be IG - HN (e +a

factorizando ls diferencias de cuadrados:

Ex (Cas B) + (e- dll + )- (ed)
Hub + (c+ @1Ka-b)-(e+A))

E=(arbrc-dlasb-c+dla-brcrdhla-b-e-d)

Factorizar
Ene

Solon
Haciendo (a+b) =
agrupando por parejas
Eo)
factorizando (0 0):
ER
desamollndo cada parents

TN)

reponiendo el valor de x:

(arblescl(as Ds el

Gsbeoasb-o)

E- Gsbse) (as!

Eats be oar be 0) ae BP el + D}
CNE

Factorizar

(ay) eBay xy)
Solución:

Factorizando el signo en el paréntesis
EP yy DI
quitando el cocher

Eye

BTE

142. agrupando:
Ely]

factorizando la diferencia de cubos en el corchete
Y luego desarollando:

E al(xey)-Illexey)?eGx4y)41]-3ay6xey-D)
Ex (eye DR day rytex eye ld)
Eatery Day terry

- Factorizar

Baya ta

Solución:
Efectuando el cuadrado indicado:

Ente 2 dl + He

Baste pre yt teta 2

ayi
reduciendo y agrupando:
En hes Ia) (at Ay à ay)

‘ada paréntesis es un cuadrado perfecto, que es
igual

Ex (x + ay) (aay?)

Es una diferencia de cuadrados que se puede
Senbirast:

CNE ER]
- Factorisar

Ute

Dey te Oe

Solución:
Sumando y restando (ya)
En tete 9 ae rer

ee Dee

¿eya

El corhete es el desarollo de un binomio al
cuadrado, luego:

Ea ste yto st) 2

HG ye 2) Grey 42)

el segundo parent

sis fuer y dentro del corel

Ea te ye ste aa

Layee tete
Day Das Dy?

reduciendo:
Ea AO à aa à y) Alay ex + yel?

nótese que el signo en el corchete se ei
bdo al cuadrado, Factorizando #

EC + 8 ee

fect:

Elio ale late Beye Des + Daa?
ape yl

seduciendo:

Ee Eye 22292)

factorizando, finalmente

E-bya yes)

- Factorizar:

E ne De tete Dex

Solución

Factorizando la diferencia de cuadrados:

En(iewextewextexe Le)
Were)

reduciendo y agrupando convenientemente

EEE

[oes exo (exe DI

a

143. Iactoizando sucestramente:
En (e De MG ED]
[GPs xe 1) + exe D]

En Qe DWs Leste wore à Dots D)

En (ee DB DAR à D) + (Be D

(exe Dots D

Ea (ee D x HO DOH DN +)
wD

Ee RER Re DEREN
9. Factoria:
Er abc at abhebt abe
Solución
Agrupando yfactorizando por parejas

2 ab DE) + abc HD» (D)

descomponiendo en sus factores, diferencia de
‘cadradosy diferencia de cubos:

Babies b)le-b) + atbe(e-b)
bolo Dieta eb +b)

Fsctorizando:

bete: BIG ble à 0 cl ach - ab)

agrupado por parejas en forma señalada:
Ex abe(e- BAD a) + be(b-a)-ab+a)(b-a)]
Faciorizando (b- a) en el corchet:

E = abele- D - a) + be ab

agrupando y facorizando eel ercer parémesis

E

abeto BIG a) [le ae a) + be- a]
Finalmente:

Es abele- (ba) alas b+ ©)

10 Factorizar
EEE
Solución

fectwando:

LER DER RER N y
efectuando:
Eee)

I son desarrollos de binomios al

los parent
cuadrado:

En eye ep
Hactrizando: finalmente

Eee

(©) METODO DEL ASPA
C.D ASPA SIMPLE,

za para factors rinomis de la forma:
as bee

del forma: x 4 ete

Para factors, se descompone en dos actores
los terminos ax” 0 x, segun Sea el caso. Se
coloca estos factores en Las pumas de la
izquierda del aspa. El termino independiente,
incluyendo el signo, también se descompone en
dos factores os cuales se coloca en las pumas
de la derecha del aspa. El término central del
trinomio debe ser igual la suma de ls porduc-
tos del aspa Por último ls factores de la nueva.
«expresión son ls sumas en forma horizontal de
Tos extremos del spa.

Ejemplo: Factorizar
were
2) x se descompone en dos factores

1) 12 tambien se descompone en dos factores
4.3

7142 -

144. Se pone esos factores en los extremos izquierdo
y derecho del apa respectivamente

>

+) La suma de los productos:
Bao a= Tat
gala término central.

Nótese que a expresión factoriada es el produc
o de la suma, tomada horizontalmente, a

E

EJERCICIOS RESUELTOS
1. Factorizar
E = GAN) 68 + ay!

Solución:

Extrayendo fat

comun: Any

Beyer + y
aplicando asp simple al paremess, donde:
Lox A el

x y
La expresión propuesta factorizada ser
E)

factorizando las diferencias de cuadrados en
forma sucesiva

En HG à ys e y) Qx-y)
E)

- Factorizar

En (5x + 49) + (Os + By) + 15x 6 1
Solución

Extrayendo factor común 2 en el segundo paren
tesis y 3 en los dos últimos Sumandos:

En xdd + 2Gx à A) à + 12)
haciendo 5x » Ay =a, se obtiene:
En à 4e 3a

extrayendo actor común a” y aplicando aspa el
parémesis:

ala? 4003)

ah

La expresión será:
Ee ata+ D + D
reemplazando el valor de a
O)
Factonzar
Eee.
Solución
La expresión se puede escribi como:
BeBe 223.2". 2-35,

ER. 35

haciendo: 2° «a

E+ 32a? 120-35

13

145. aplicando asp
= (8a) (4a) 350667065)

sa a

sa 4
La expresión ser

Ex (Gas Dh)
reemplazando “a” por su valor:

EP.

aa

52 Facto

End ar
Solución:
Haciendo (a+)? xy desolado cer rin

Mr

se biene:
EP
Aplicando asp simple, donde:
0

+ OW OR = Lb + dl EE 07

x od “or
x 8-0

Comprobación para el término central
0-0) br cl +6)? + (b- dx

ax

por lo tant
Ent @ + 91 [x= 0-01
reemplazando el valor de x
LE Ga + do (+0) a+ do)
{actorizando la diferencia de cuadrados:
Er lad +b + Il + d) (+ olla rd
+6-Olla+ &-B-0)1
Sinalment:
Es@sd+b+o@ed-b-o)
Gsdeb-OGsd-beo
€: ASPA DOBLE.

Se aplica para acorizar polinomios del forma:
ara dea dvs al

y también para algunos polinomios de 4° grado.

PROCEDIMIENTO:

Primero se ordena convenientemente; es decir, en

forma decreciente para una de las variables, luego

se traza y ejecuta un aspa simple para los tres

primeros términos con rayas comtinuas o llenas
A continuación, y pegada a este aspa, se taza otra

BTE

146. de al mado que el producto de los elementos del 5. a

extremo derecho de este aspa-mulipicadon ver. a
iicalmente sea el termino independiente
Finalmente: primer factor es la suma delos le 3

menos tomados horizomalmente de la pane
Superior, el segundo factor es La suma de os ele

mentos tomados horizomtalmeme de la pare several: 45
inferior, as
ET
Ejemplo:
Factorizar 3) A los términos 1°, 5° y 6 e les aplica un aspa
Simple (HD,

2 158-63

x “a >
verificando los émminos. Seam EE
Ways Ware o we
1 ae Lego I expesin fair es
or >» x
syn
EXPLICACIÓN: EJERCICIOS RESUELTOS

1) Alos3 primeros términos se les aplica unaspa 1. Factorzr:
Simple ()

15 Ly By? + Dye 14

BR Tay 107

# Sy
©
ES sy
Veriicando los términos
se verifica (D: sy
15 WD + may (D3x+
ae ES ES
ley By on
2) Alos términos 3°, # y 6, se es aplica un aspa
simple (> La expresión fctorzada es:
Oy? + 59y - 63 Gite DOx+y+D

145

147. 22 Factoriae

abs! «(ala bay + aby? + (a Dy (a bx

(ax + by + Dibx + ay D)
3. Factoriar

Ge Sty Bsp ha Mz + 200?

Rey Rn
42 Factoizar:
Am à unge pin ya Tun 6

CESSE)
52 Factoriar
DBay HN 23 + 35x + 40
Solución:

Se observa que falta un término, que es
‘completa con Ox y se completa el polinomio:

Oe à Day Hy? à 35x By + 40

Ex (ay #3)(7x- My +8)

€.3) ASPA DOBLE ESPECIAL.

Se wiiz para fctoizar polinomios de do grado
de a forma general

she sete dese

Para facorizat se procede at

a) Se descompone los teminos extremos (primero y
uno) ess aco pms con ge decades.

1) Se eecua el producto de los factores primos.
em asp y se reduce. De esta manera se obtiene.
un término de 2 grado.

+) A ese resultado sele debe sumar algebraica
mente ouo término de 2° grado para que sea
igual al tercer témmino.

4) Con este otro término de Ado. grado colocado,
‘como tercer término del polinomio, se
“descompone en sus factors en forma conve
niente tal, que cumpla los requisitos del aspa
doble:

+ Aspa simple ene el primer término y el ermi-
mo de segundo grado ubicado como sisito,
para vera dl segundo término,

+ Aspasimpleausilarente el sumandodesegun-
do grado ubicado y el qui termi pra ver
carlo. termino

+) Los factores se toman en forma horizontal

Ejemplo: Factoizar:
KELLER x + 10

Solución:

Descomponiendo los extremos en sus factores:

404 Le 14 + 10

“Sse °
ee De #2

Para (D: 2e

7146 -

148. Como el tercer término es LI? y el producto en
spa de los exremos es 7 falaran 432 que esla
anti quese debe agregar.

Se descompone 4? en sus Íactores en forma conve
niente y se vera el segundo y cuano términos

PIE 4e Lx 10

Non 0

ju un)

Fe

CES
le

2

Como verifica la condiciones del aspa doble, os
términos estan bien descompuestos

La expresión actorizada es
(2-244 5908 28 + 2)
EJERCICIOS RESUELTOS

Le Factorzar:
KO 1992 18x 49

Solución:
Descomponiendo los términos extremos:

xt 109 + 1942 18 +9

| Som
gone oe

espa (D:
Ot oxo to

ox = ox.

se observa que flan 1982

Luego:

ah a
PDT de

Verificando el aspa doble:

ay >
so
Foe

La expresión factorizada es
[Ce ote D
Factoiar
were

Solución

Descomponiendo los términos extremos:

As! 6 16 +8

Como el tercer término es -16x* y el producto.
en aspa de los extremos es -x falta -13x que es
la cantidad que se debe agregar. Se descompo-
ne -15x? en sus factores en forma conveniente
y se verifica el 2do. y Mo. terminos

BZ

149. Endl): 6 En At ES
e ES

Comose veriica las condiciones del aspa doble la
expresión fctorzada es

te te)

5. Factoriar
CRE

Verificacion de aspa doble:
Solución

WW PP 22?
Completando el polinomio con Ox? y descom-
poniendo los términos extremos: are

EUR El polinomio factorizado es

u (ere

he
—

E 3. Factorizae
1. xn Oo
oe
Solución
falarín:
Completando el polinomio con Ox y descom-
(Ab «Oe 3 pamiendo a os éminos cromos

Veriicando el spa doble BOO Oo

ERNEST)

Verificación del aspa doble:

fe Fee me CES
Pr ax

a += en

ES ox

Solución El polinomio fatorizado es:

Completa cl polinomio con O y descom-
poniendo los términos extremos: | dern

BTE

150. (D) MÉTODO DE DIVISORES BINOMIOS

FINALIDAD-Pemite la fctoización de un poli
nomio de cualquier grado que acepte fatores de
primer grado de la forma general:

xaB AB

por gemplo:x +2; 2x + 3

DIVISOR BINOMIO

Es aquel que siendo de primer grado est contenido
‘un numero entero de veces en un polinomio.

Ejemplo:
PQ) ext 3x +6

contiene exactamente a(x 2) ya quest se calcula el
resto, ste es igual a cero

FUNDAMENTO TEORICO
Este método se fundamenta en I aplicación del teo-

ema del resto en forma: inversa y de la división de
alin.

SI PGO : (a) da R= 0; (va) esun divisor de PO),
six=a Re Ra «0, pore woremadel rst x a.
ca es un divisor del polinomio PO.
(CEROS DE UN POLINOMIO
Son todos los valores que puede tomarla variable de

sn polinomio y que hacen que su valor numérico sa
‘gual acevo,

Ejemplo:
Sea el polinomio:

PCR) = 9 4 3e 5x9
Valor numérico para x =1

PD =14343-90

Pa) #0
Por lo tanto el numero 1 es un cero del po.
nom. Se observa que al obtener un cero del

polinomio se obtiene también un divisor binomio
ques (D.

DETERMINACIÓN DE LOS POSIBLES CEROS DE
UN POLINOMIO.

(1) Cuando el primer coeficiente del polinomio es
se toman todos los divisores del término
independiente con su doble signo.

Ejemplo: Sea el polinomio:
PO = + 4 + 7x2 12
Roe al 22, ad ah 26, 212

(2) Cuando el coeficiente del primer término es
diferente de T's procede como en el caso ame
rior y ademas, se considera las fracciones que
resulta de dividir todos los divisores del semi
9 independiente entre los divisores del primer
coeficiente

Ejemplo: Sea el polinomio:
PO 2A 4 BA DO

Posibles cers:

el at, od
er

FORMAS DE FACTORIZACIÓN
(1) Se determina por los menos un cero del pol

(2) Deacuerdo con el ero, s hall el divisor, que es
tun divisor binomio o factor

(3) EL otro factor se determina dividiendo el poli:
nomio entre el divisor obienido. mediante la
regla de Raffin

ons

ERVACIONES

+ EI número de ceros está determinado por el
grado del polinomio,

+ Elnümero de ceros mínimo debe ser tal que, at
“dividir sucesivamente, por Ruffin, se obtenga
tun cociente de segundo grado,

Ejemplo: Factoricar

etn! 25x +28

RTE

151. Solución

{Se determinan los. posibles ceros del poli
omo para valores de:

xo 41, 22, a4 27,14, 08
(2) Para x =1, el valornuméric de polinomio s:
(a) = 40}. 25(1) +28 = 1-4-25928=0

ego (x 1) es wn actor.

(3) Dividiendo el, polinomio entre el factor
obtenido, usando la regla de Rin

1 4 25

3 2.
2» [0
de donde se bien el cociene

aaa

que, es el oto facor buscado.

Luego el polinomio actorizado es
CEE)

x finalmente podemos conve

CRETE)
EJERCICIOS RESUELTOS
o Factorizar

Ente 16-12

Solución
Parax= 1
PO à (= D surfer
Para x 2
PQ)=0 (4-2) como factor

Dividiendo dos veces por Rin

o. m6 12
4
1 3 +.
1 5 4 en Lo
4

2
TT

El otr factor es (2 x = 6), el cual se fatorica

porel metodo del aspa

resul: (2 3) + 2)
Por lo tant el polinomio factorzado es:
(Doe DE Dla +

- Factriar

sx! 10x x06

Solución
Posibles ceros: al, 22, 23, 26
Para x= 1: PC) «0, luego (x- 1) es un factor.
1:1) =

Para x=-2:PC2) =0, luego (x + 2) es ur factor.

Para x luego (x +1) es oto factor

Dividiendo tres veces por Raffin:

14 0 à +

Il nu 5 5 5 5
Is 5 5 «Lo

=150-

152. El otro factor es: + 2x = 3, el cual se factor
por el asp
x 5

><

x 1

que resulta en: Gx 3968-1)

Por o tao el polinomio factorizad es
(Dix DRA
3. Factor
EEE

Solución:

Desarrollandose cl cubo:
2183-12 + Gx) 2788
164 Da à Lau 20 Mai

reduciendo:

164 D 134 - 2?

aplicando divisores binomios:

Posibles ceros: sa, 22a, 2-4, +,
Posible 2a de

ara x= 2a; (2a) =O; luego tiene divisor (x- 2a)
que es un factor

Dividiendo el polinomio por Ruffin entre (x- 2):

en consecuencia el otro factor: 16x" + Ba + a
‘ual, se factorza por el metodo del apa

# a

A

Resultando en: (x + lan a)

Finalmente el polinomio fctorizado es
(alar
Factorsar
Eade ay + ar
Solución
Efectuando y agrupando:
AG xy ey TOR Day + y

haciendo un cambio de variables para tener en
forma más senil el polinomio:

pepe
web

se obtienes

En das bP-2700) (a+ 20)

En (a+ 30% à ab D» 27800 + 20)

404 120% à Labio 40 272 54

Ee ae Lab -15abi- 50°

PC. = ab, 22b, 25b, 225b, 250b,

Para 2b

PQb) = 406) + RAH

= 152) 300
PO) = 326) + 4867-3017 500° = 0

Luego, un factor es (a 20); el or factor podemos
Falla por Ruin

a So

2 Sh ob _ +50"

Fa 2567 | 0

Por lo tant, el omo factor es: 4? + 2Oab + 251%

que se puede expresar también como
CES
que factorzado da
a + 5b)(2a+ 56)

uN

153. unge, el polinomio factrizado es
a 2) 2a 6 3024-656)

Reponiendo el valorde (a= +39 y (bay)

Ey (Ah SEEN

E (xy)! te Says 25°F

Factorizndocl segundo paré por asp simple

[262+ 99) + 5x9

Bete Bye Say
2x
x a
x epi e2y)
Ea (ey [A
Ea Ga ye +29)!

(E) MÉTODO DE ARTIFICIOS DE
CALCULO

E.) REDUCCIÓN A DIFERENCIA DE
CUADRADOS:

Este método consiste en transformar una expre
sión (winomio en general), una diferencia de
cuadrados, sumando y restando una misma can-
idad de tal manera que se complet el winomio
cuadrado perfecto

Ejemplo: Factorizar

at abs opt

Solucion

Analizando el trinomio, se observa que ls extre-
mos son cuadrados perfectos, para que sea el de-
sarrollo de una suma al cuadrado, el término in-
termedio debe ser doble del producto delas rate
ces de estos términos; es decir debe ser

2G) be) = mt

Lago, se observa que Ie fa ab

Sumando y restando 4b? se obtiene:

En (ats Gab? 9b") - (al

el primer paréntesis es el desarré
Binomio al cuadrado:

lo de un

Eee 3 Cab)?
factorizando la diferencia de cuadrados:

Em (ale 3b 2ab)(a?s3?+ 2ab)

EJERCICIOS RESUELTOS
1 Factoriar
E 494% à Samy à
Solución

Se observa que los extremes son cuadrados per-
Feetos, luego el término intermedio debe ser:

27) (y) e La

Sumando y restando 9x"
E (one à Laye y amy
Ea Gene pe Ga)
factorizando la diferencia de cuadrados:
Ea Ry à pt BY)
2 Factorizar
REO
Solución
La expresión se puede escribir como:
Ea RD
efecuando:

La D+ [Ge DP

factorizando la suma de cubos
En (xs 1) à (ue DI [axe DeKaP

rn

7152

154. = Bx) Kate een)
= Os DOE D]

E [Bx (nt 2042) x 2904 x D
En UA LaS 2020420 xh D)
Er OR)
factor comun del segundo paréntesis:

E+ Gx) 3626x661)

Sumando y restando al segundo paréntesis xt
E)
EG 204 D

Ee ox à D GO
E)

3. Factoria
Ea ate bte 2a. ie re

Solución:

Sumando y restando 40°

Ea atebtact. 29

agrupando:
En (ate ble cto Be 200-2000) ath?

factorizando:

Ben. ar
una diferencia de curados, luego:

Er aber. abat Be 2)
agrupando:

En [a= eb) cla? ah à
En lab elle

Finalmente desarollando las diferencias de
cuadados

Es(a-b-o(a-b+ da b- da +b +0

12) MÉTODOS DE SUMAS Y RESTAS
Consiste en sumar y rear una mima cantidad de
tal maner quese forme una suma den de
cubos mismo tempo quese pen el factor

Rexel 6 stewed
ganas vecs tambien se complet cl polinomio.

Ejemplos:

|) Factors: 74 x 1

Solución:

Primer forma: Completando el polinomio.

Sumando y estando:

agrupando y fctorzando as

Eee x à De Gone Dex exe D)

Finalmente

Entre Dex D

Segunda forma Sumando y restando

Entente

agrupando y fctonzando:

ED eee D

sumando y restando x al segundo prints

Eee -DOtexeDebtexe D (exe 1)

O)

namen

E-@exe exe D

AD Facionzar »ex-1

Solución
Sumando y restando x

Eawenentexel

183 -

155. agrupando:

ER

factorizando suma de cubos
O)
finaimente:

Ex Gex Dex. 1)

11) Factorzar:

KDD
Solución:

Elecuando:

Euer.

agrupando:

Eee

el paréntesis es el desarollo de una suma al
cuadrado:

EaWex- Dex en) o
del ejerico (i, recordemos que:
Werde

Por otra parte factorzando: (à x +1), suman-
do y estando x

sumando y restando x
agrupando y fcorzando:
Dentro

Vox Lee D 4x 4 D + ex 4 D)

PS @)
Sustituyendo(a) y (9) en (D:

a)

ls) Factoria: We

Solución

Sumando y restando x

Eawenewen-l ©
previamente, veamos que:

O RD DD

Gex axe RD @)
tambien por el ejrccio numero (4)
Bene

susttuyendo (a) y(b) en (>

E)
EWR

Er Renee)
naine

En (tne DOP exe ex D

y) Facorza: West 7 Deo 1

Solución
Descomponiendo 2x = x x

Bax ext nenınınel
Sumando y restado x

Eo erre lo

agrupando en a forma señalada:
Eas Gex E Gtx D)
Ee Gtx Den)

por el ejercicio numero), se sabe el resultado,
del segundo paréntesis:

En Gex DO x 4 Del)

1) Fagorear à 437 42 392

EUR

156. Solución: EJERCICIOS RESUELTOS

Trataremos de formar (x + y), sumando y

rosado ai; x Factonzar:

ECO à ye Bye D Daye -Sey-dayte sd ETORRI Ds Mata Dx-1)

Solución
Efecuando los dos binomios

SO)

factorizando la suma de cubos:
E)

E lox 394 21 ly rey) zer]
gary

haciendo 2x + 1 = a:

Ela-9%) 20a)

comin (x + y +2) naire

Esarayendo fat

Eolo yo (te ye Day exe ay era)

finalmente: E nats Way 6 Slate tax 720

y) reduciendo:
eats 6ax + 9x)
que es cl desarrollo de una suma al cuadrado, at

Enter ere yes

3) CAMBIO DE VARIABLE
Consiste en cambiar una variable por ora, de a
manera que se obtenga una forma de fctoriza- Ew (a 43x)?
‘ion más simple

reemplazando “apor su valor
Ejemplo:
Factorizar CES
Ee Lexis D + D 43) {actorizando por aspa simple el paéntess:
Solución: ES a

Agrupemos adecuadamente, a ei ann

= Le lx DN DD] = a
LERNEN luego:
Elx Doe DIE“ (x à DD

haciendo x! + 3x = a

Eel +a(ae2) - Factorzar

Smee E lab) e aya BOI

Belew ea AB daba

sel desarollo de una uma a curado, porloque: —— Solución:

Haciendo
Era? =
reemplazando a por su valor: wen abies
ES nen E = rm ere los Amo

155 -

157. «fectuando operaciones
Edna's Sms + At nst- Omar» 16m
reduciendo y agrupando conventemement:

Ee nm à 5) Armes

Exctorzando:

Be mar)

reemplazando los valores asgrados

En [bos ALOE à 4898]
clecrando:

Estate

DES)
En Ge be pe

Factoria:

Ee xt Diax-a- D + D oa
Solución

Efciuando dela siguiente manera

Ex In ae Dix: Doe Diva
clecuando:

En (ax (an + axe x Dea

haciendo av x = y
Ea(y-anlysax-Dea

efectuando nuevamente y simplificando:

yoaxtax Bea

reemplazando y por el valor asignado:

WED GX) anton Den

extrayendo el [actor comun en los dos primeros
parentesis

E = 8(ax- Do xlax 2 D) ax(ax Do

agrupando y factors
Jos dos limos:

xd en los dos primeros y

Ee tax - Dilax- Dx- 1] alstax- D 11
factonzando el cache

Ee flax Dx-11 axe Dal
Betten Da x a)

Factorizar
G+ 2s obs 2e à aller 204)
+@sharobse

Solución
Se puede reescribir la expresión como:
Em@aebebeobscecenleraraeh)
+++ obo

haciendo:

asbex: beceyasc=a
IS
fecmando progresiva y convenientemente:
Ee lye (xe ayb] eye
Baye +2) +O «y,

agrupando de dos en dos y extrayendo factor

y ly ex

te yes)

factorizando:
IE)
eponiendo los valores asignados;

E@rbsbrerard larbib+o
¿ber

reduciendo y elecwnando:

Em 2Garbsc) [beeab sacs bes ae she ab

+ ane ab ebel

7156 -

158. abe oe à Sab Sac + Ibe)
Ee 2 à à 6) [Ga be à ab ae bel

E 4) FACTORIZACION RECIPROCA
POLINOMIO RECÍPROCO.- Es aque que se ca
racteriza porque los coeficientes de los términos
«quidisiames del centr son iguales
El polinomio:

PO) = Axe BOs Cats Duo E

«es reciprco siempre y cuando A = EB =D
Ejemplos:
Dane Ts Oe
IO Ta ta Se Be Ide 7

PROCEDIMIENTO PARA FACTORIZAR UN POLL
NOMIO RECIPROCO.

1) Se entae, como factor común, la pate literal
del ermino central, que al final se debe limi

2) Se realiza el siguiente cambio de variables:

eel

3) Se realiza las operaciones y se factor

4) Se repone los valores asignadosa las variables

EJERCICIOS RESUELTOS

Lo Factorizar
We
Solución:
Extrayendo factor comun x

errors) fe Je

e+ dew
Eo GG? 2 + 5a +61
lectus
Eee 58-6)
aplcando aspa simple al parémess

ES

prey

a “

Ga-20a+3)

ego:
EexGa-2)04+3)

reemplazando el valor de “a:

besa et

operand:

Ee

PON

Simplficando:

Ea Ge aD)

- Factorsar

Ent 1584 Tu 1556 TH Lx à 1

Solución
Extrayend fat

y agrupando:

eno [lee ast) race) 5]

CA

159. haciendo:

Ex. 3 à 13230 à 780+ 159)
Ea We I à 7546 125)

EE là a6) + 359) à (SP
que se puede escribie como
Eras

reemplazando apor el valor asignado:

eno bes
ES

Ets
3. Factorizar
ET TREE

Solucion

Como se observa el polinomio ene un numero
par de términos. por lo tato, [actoizaremos por
divisores binomios previamente

Para x = -1 se obtiene PCI) = 0, luego un factor
5 (x + D y el oto se obtiene dividiendo por
Rolf

168017 49 49 017 48 «1

1] 47 ao 40 + à

#7 40 1 410 7 1 Lo

El oto factor es

Epa de T+ Oat le Tue

Este es un polinomio recíproco, al que aplicare-
mos el modo de lacorzacióntecproca

Fen fo 4) er(0+2)+10(0-1) 1]

haciendo:

der as

E, (da + 722-14 + 1021
E+ G+ Ta? 6 Ta 15)
llamando:

ae Te Tals

{actorizando por divisiones sucesivas; para a =
PC) = 0; luego un factor es (a 1) y dividiendo,

El otro actores:
+ Ba +15 2 Qu dar)

ge:
Eyes Ta ota 15 a Das Hard)
porlo tanto

10a Dia ar)

reponiendo el valor de a

Emos 1) (ue Lo) fe9L+ 3)

efecuando:

a a ets)

BTE

160. Simplficando:
Eye Ge x + D + 3x Dest + 3x + D)
finaimente

Ea (ee Dex à De DO 6 5x e D)

ES) FACTORIZACION SIMETRICA Y

ALTERNADA
POLINOMIO SIMETRICO. Se dice que un pol
nom es simétrico respect a sus variables cuan:
do su valor no se altra por el intercambio de
‘cualquier pa de ella y además es homogénco.
Ejemplo: Sea el polinomio:

Playa) BC à 3) à PCR à 2) à CG dz

que la expesion sigue una forma circular

imercambiando dos cualquiera de sus variables
seam éstas x" 6 "y, es decir reemplazando a "x"
por y ya y por “x”, se ene

Pox

BG ENE MG 42) dy xr
ordenando en forma circular
Playa) y) à GR à e) à De

se obtiene la misma expresión entonces a expre-

REPRESENTACIÓN DE EXPRESIONES SIMÉTRICAS

Con dos variables: x, y:

Es

Forma particular

xey

2

Bey ee

Con res variables: x, 2

Forma particular

eyes
eye

Dee xe

operaron

Aer:

AG ay? 2) + B

AGP Pe 2) à Bly + va

7159

161. PROPIEDAD FUNDAMENTAL DE UN POLL
NOMIO SIMÉTRICO. Las operaciones de un poi
nomio simétrico con expresiones métricas dan
como resultado tambien expresiones Simat

POLINOMIO ALTERNO.- Se die que un poll-
nomio es alterno respecto a sus varables, cur
do su signo se altera per no su valor absoluto al
Imercambiar un par cualquiera de ells, y cs
homogéneo.

Ejemplo
Sea el polinomio:

Paya

E)

El polinomio sigue una forma circula o cíclica:

©

intercambio "x" ey", tiene

IEEE)
cambiando de signos:
E)
[xp + 7-2) 429-9]
tambien: 32)
Por loam el polinomio ester

PROPIEDADES FUNDAMENTALES DE UN POLI-
NOMIO ALTERNO.

(1) No hay expresiones alternas que contengan más
de dos variables y scan de primer grado.

(2) Generalmente ls polinomios altemos son cire
lares o ciclicosy están escritos en forma de dife

(9) El producto de una expresión simétrica por una
alterna da como resultado una expresión alterna,

PROPIEDADES DE LOS POLINOMIOS
SIMÉTRICOS Y ALTERNOS.

(1) Una expresión simétrica o alterna de variables
xz, si es divisible etre %", entonces tambien
Sera divisible ere “yy eme

(2) Una expresión simetrica o alterna de variables
‘ses divisible ente (x y) entonces tam.
bien sera divisible entre (y +2) y #8)

FACTORIZACION DE UN POLINOMIO
SIMÉTRICO Y ALTERNO.

1 Seaverigua si el polinomio essimétrico oaler-
2° Enoonrar os factores dela expresión aplican

do el Teorema del Reto y ampliarlo aplicando
las propiedades del polinomio simeiico y
ale

3° Calcular el cociente, planteando la identidad:
de 2 polinomios y aplicando el crterio de los
valores muméricos

Ejemplo: Factorizar
CERTES
Solución

1) Inercambiando °° por “y” la expresión es
alterna

2) Cálculo delos factores.

Valor numérico para x= y
II aly ea) aly?
= G2? een
El polinomio es divisible entre (x -y).
Por ser el polinomio alterno, también sera divisi-

ble entre los factors obtenidos en forma circular
enel sentido indicado.

oy
©

= 160 -

162. Es decits (9 +2), (x)

El polinomio es divisible entre el product:
AT

3) Se plane aident

dde polinomios siguiente

CAE

3er Grado
IE) a

A ——

Krone Grado cero

Por ser el polinomio de ter grado, Q debe ser
de gado cero, es decir debe ser un numero:

N DE = ARD
Probemos un juego de valores para nz.
Para x= 1 y 2,823
(1-27 2-37 4G- = QA-2E-9G-Y
CY REA
1-1=8=Q0)
3-0
la expresión facorizada es finalmente:
IA)
EJERCICIOS RESUELTOS
1. Factorsar
Bear ab) + (al
Solución:
1) Inercambiando apor, el palinomio es alerno
2) Para a = 0:
BE Or
(no hay factores monomios)
3) Para a be

Web + Po

‘Como se anu, entonces un factores (a b) y
como es alter, los otros factores siguen un
orden circular, en el sentido indicado, es decir:

A :‘:
q

+) El polinomio es de 4togrado y los factors
obtenidos dan producto de Jer grado, por lo
“que hace fala un polinomio de primer grado
métrico y de res variables de la forma

Ma+b+o

Realizando la identidad de polinomios:

Eas bb) + + 6)b- 0)
O)

Dando valores par = 1, b=0, + 2s obtenc
11629 MEXR
Mel
finalmente:
Ed + b + da be ab. 0)
Factorizar

AS

Solución:

1) tmtewambiando “a” y “b” el polinomio, es

2) Paraa= 0 VAL «0, un actor es" y el oto
8° por propiedad de polinomios simétricos

3) Para = 2 UN = 0; otro factor es (a+b)

4) El polinomio es de Sto. grado yabía + b) es de
3er. grado, falta un polinomio simétrico de
do. gado de dos variables dela forma:

Mia? + BD) + Nab

TE

163. realizando la identidad de polinomios:

En (as bya: bbw. Blasb)IMC@? b+ Nab)
dando valores paraa 1,b «1
32-11 KAM SN)
IMs Nas ©
para as 1,b #2:

2

32220) GM+2N)
MEN =35 a

resolviendo (D y (I). para lo cual operamos
D C2 + (0:

4M-2N=
Er
M

Susttuyendo en (>
Wen.
Nes
Luego, el polinomio fctrizdo es:
Ex aba + DISC + D) + ab]
E = Sabía Dale bie ab)

Est b+ot-(b+ ot (a+ ot -arb)
“ehe
Solución:

1) Intrcambiando a por b, el polinomio es simé-

19) Haciendo a =0,se obtiene

Edge bb

Luego, “a” es un actor; y los ours, "D

li) El producto abe es de teror grado y como el
polinomio es de cuanto grado, se necesita un
polinomio simétrico de primer grado y de res
arabes dela forma Mla + b+ 0)

Realizando la identidad de polinomios:
Eaarbr rola
eatebtect= Mabría o bso)
dando valores a= 1,b=2,¢#-1
Ar DR AA x
AMAIA 42-1
161-8161 41641 = 4M
Men
entonces, finalmente
E = bola +b +0
4 Factoizar:
E = mn pe mp = m) + pm n)
Solución:
1) Inercambio n por pel polinomio es alterno.

2) Cálculo delos factores. Para np

A)

Dep melo m0)

Ven pm) nm) «0
Luego, E es divisible por “np
Por ser el polinomio alterno, tambien sera div

ble ente los factors obtenidos en forma circular
enel sentido indicado.

©
9

esdecir (pm). (m-n)

Luego, Es divisible enri(n pp =m) (m=)

» E-Q
Fr

CATA

ETS

164. Por sr el polinomio de cuano rado, Q debe ser
de primer grado y dela forma Am one pes
dir: simétrico, de primer grad y 3 variables:
amp) pm) à mm)
= Am en ep De mm 20)
Dando un jugo de valores «1,02 2,23.
ONE SCORE)
= AG 626 3022362 0022
ME LTD + ALA
10 16-27=124
Ana
El polinomio fctriado es, por lo tanto:
Eee ne ppm
1 OTROS ARTIFICIOS

Cualquier oto ariico matemático dependera
del cuidado ingentoy atención que ponga el
‘operador para introduc.

EJERCICIOS RESUELTOS

Lo Factorizar

EN
Solución:
En est ejercicio, se trata de hallar dos trinomios.

cuadrados pefecos. Se puede escribir la expre

Eanes nt 121

een
facorzando

En Ge Ly G26 D

facorzando la diferencia de cuadrados:
Ea (de let De Myx? D)
finaimente

Eee Lx à Di

Factorzar

Solución

Se trata de obtener dos rinomios cuadrados per-
fectos, mando y restando hc

Ea (axe dato 1) (ee dato y

{actorizando:

Ee Ge DE Op

factorizando la diferencia de cuadrados:
Ea Qe Le 2x ya 120499)
finalmente

Es GX ++ DARA
Factorizar: x à ay e 1

Solucion:
Sumando y restando: 333, 33

Ea Ws Bey ete) Ley ay y
Se puede reescribir as

E

(eo yPe Pete eye D)
Hactoreando Ia suma de cubos
Bella) +1] |Cxey)?- Del
factorizand (x + y + D:
Entre y+ De day eye eye Le 30)
Entre yo DO ay + exe ye D)
Factorisar

Met
Solución:

Escribiendo como cociete notable:

RTE

165. ‘comin denominador:

ax - 0
a

E

fectando el numerador:

reduciendo, agrupando y facorizando:

desarrollando por cocientes notables

Eat exe tee XL ee)

EJERCICIOS PROPUESTOS

Hat

para que los polinomios tengan un fa:

Pate bad

Ds

Plas Dee 2-2-7
20
03

EN
oa

India lsum de os coeficientes de un ator de
xox 6 à Dosen)

+ Que a 2)

d2+a Mira 921

CET)

Calcular el numero de factores de la siguente
expresión

Lee BBC 2) à HG 6 DP
22

be 08

os 93

Indicar el grado de uno de ls factores de
Padel

a

DE 94

LE © No se puede factorizar

3. nica uno de los factores de a siguiente expre-
són

Grbsolbrerdera-dlarb-d
Hatte)

1) (ab + ac + bo)

Ne posee factors

a+ bee)
Darbro
©) abe

6. Indicar el coefcent de? de uno de los factores de:

M(x + DAY
E

a0 bi 92

5 97

7. Calcular el valor numerico de uno de los factores
para a 1

nee we de
DE

a4
DE

92
oo

8. Calcularel coeficiente de “x* en uno de os f=
tores de
OO
a2 94

12

wi
20

“168

166. 9. Calcular el término independiente de uno delos
Factors de

A 7)» O - 508
29

pis 06

Dr} on

10. Determinar a” y para que los polinomios en
an un factor comin de la formas 2 à px

Beat line 6 à Webste res

amó Ma-T ass
ber boo 826
Das dant
bos bos

11. indicar la suma de los coeficientes de un factor de
CEE

as bio 93

a2 04

12. Callar el grado de uno dels factores de

E)
Ds

as 93

2 o1

15, Calcular a suma de los coeficiente de un factor
de

hay à Pa ax ay à
+ aby? aby bye

ab) A ah
2 90
14.Dar el término independiente de uno de Tos fa:

tores de ler. grado de I expresión

AAA GA

ar »3 91

on on

15, Calcular el numero de factores dela siguiente
expresión

Pa + Das DADA) 36
a2 bs 93
os 96

16 Indicar el rado de uno de los factores de
Eee BI à D (+ 3)
93

a4 LE

On © No se puede factorizar

17. Calcular La suma de los cosficientes de un factor
de

API PA
ar Dp+i op
di oper

18, Calcular el numero de factores de la siguieme
expresión:
(Abe able aCe? be PB)
vr

a8 os

as 93
19. Calcular asuma de los cocficienes de un for de

10-00

a2
aos
20. nica el grado de uno dels factors de:

CRE
»s

23 os

on 98

RTE

167. 21. Caleulr el término independiente de uno de los
Factores de

ES
a2

bs 93

oo o1
22. Cuantos factores posee a expresión

(2+ ye Bay? Guy)? à (=e Sry 628)”

28

6 os

CE 95

25, Calcular la suma de os coeficientes de un factor
de

Meet we 2e Be 1

a3 b2 90
ar oa
24. Indicar el cocfciete de "x" en uno de los fac-
tors des
RON
ai ba 92
92 90

25. Calcular la suma de ls coeficientes de un factor
de

Pepe
aa
oo

bat 92
93
26, ¿Cuáles el valore “a” para que la expresión:
OR (a à Day (aT? + = Dy-2
pueda descomponerse en ds factores?
22

bio os

os 96

27. Señalar I suma delos cocficietes de un factor
de

able bY Aa

a0 2 oa

or 93

28. Señalar I suma de los coeficientes de un factor
de
E)
a3

b2 91

or 90

29. Calcular el coeficiente de x” en uno de ls fac-
tores de:
NA) SO 02) +31
a2

2 93

vs oF

30. Calcular la suma de los cocficietes de un factor
de

Pe be ab (a + DB)
2 3s 94
3 90

31. Calcular el numero de factores de:
Sn
26

5 o4

03 92

32. Calcular la suma de os coeficientes de un fac
vor de:

ay mp eme ptet

22 va 96

a 91

= 166 -

168. 33, Calcular el término independiente de uno delos
factores de:

24 NIT) GG +9) 361
280
DE}

bi

99

92

34. Calcular la suma de Tos coeficientes de un factor
de

4Qx+ D DAA DA

a3 mm ow
&2 94
35. Calcular el numero de factores de

PIN)
29

as

he 93
95

36. Calcular la suma de los cocficietes de uno de
los factores:

(2a 3ab 2-4 BD Bab + 2)

a2 bi

93

90
ya

37. Calcular la suma de los coeficiete de un factor
de

mía mn Dore mn 1)
a3 ba
93

92
LE

35 Calcular la suma de los coeficientes de un factor
de

Ga y à DP Gee Rae DE
Dar

ba+2 dl

on 90

39. Calcular el grado de uno delos factors de:

ER
a3 bs 97
os ot

40, Dar el término independiente del ctor de Le.
grado de
(241 + Qu 2)%4(2443)’ +... (2n-Dierminos

aa DES ant

PE
1 Señalar un actor del expresión

RA y)

2) np pe di eye

© spa pe x à) sf pate dt

Oya

42. Reconocer la suma de los factores de la expre-

e DA

Bey A
Oxıyer Dxsyez
Oxeyel

23. Factorizar

(+ PVPs Oye

y dare mero de factors:
»3

26 95

as 99

“44 Calcular la suma de los coeficientes de un factor
de

(yee de eae Mey!

TA

169. at 96 oa 2b sed-Sef-2 bed -2ef a 4
03 90 © bed Sel 2

45, Calcular el numero de factores de: OTE

UOC RNA aaa wee aed à abex + ab
a6 bs 92 speed Peal
sax +b?) bare
03 os
Jared dira

6. Senalar un Factor de Obxte

Gre Tay Spa Oxz à Ba 1284 58-22y 40, Determinar cuántos factores tiene:

A oy» Mays? Dept
DAI 038-7 rs a
Oy Seo 3847 gays 02 Be os
©) Be Sy 30-7 os 06
47, Setala um factor de 30, Marat un factor en

Taste wed eu las io PO) à ab à bse) +b

Bt

ab 3ed + 16ef +8

ach Des Oasbee

a) Tabs 3eds2ef-4 b)2bsedesefs2 dasbe eave

‘CLAVE DE RESPUESTAS

DD #5 Ha OC DB

194 IDA

208 ana

304 mA

19D anc

“168 -

170. MAXIMO COMUN DIVISOR Y
MÍNIMO COMÚN MULTIPLO

MÁXIMO COMÚN DIVISOR

De dos.o más expresiones algebraicas, es la expresión
de mayor grado posible que st comenida como fac
lor, un numero entero de veces en dichas expre:
siones, Para determinar el Máximo Comun Divisor
Se factorisa ls expresiones y se forma EL PRODUC-
TO DE LOS FACTORES COMUNES CON SU
MENOR EXPONENTE.

MÍNIMO COMÚN MULTIPLO

De dos o más expresiones alebratas, es I expresión
de menor grado posible que contenga un numero
entero de veces como factor a dichas expresiones

‘termina el Minimo Común Mulplo se fac
tori las expresiones y se forma EL PRODUCTO DE
LOS FACTORES COMUNES Y NO COMUNES
CON SU MAYOR EXPONENTE.

EJERCICIOS RESUELTOS

1: Hallar el Máximo Comun Divisor y
Comun Multiple de

Minimo

Solución
Ena:

Aw xa
extrayendo ator comun y desarrollando a

A a Ga) a

An

En By extrayendo lator coman:
Bestand a)
Ba ta) a)
Ba na ana)
Dex

Máximo Coman Diver (AB)

Ware)

Minimo Comun Mallo (AB)
FOR TEE ee
Hallar el MCD. y el mem. de

Au 2 4% DG + DY 0

Beer
Corteza
Solución

Factorizando separadamente cada expresion:
Espesión A:

An o

A Ge ee

#

A Ge ye + yD

169 -

171. Expresión e
Ba (ae ye ye
Be (eyez?

Expresión €

Cats teta) y e

0

ES

Ge ty?)

MCD. (ABO = ee

MEMABO= (aya PO eye

3: Hallar él MCD. y elm. cm de
Ame 5e Bed

Bad

Canoa Dee

Solución

Facto

sado cada expresión:
Aa (+28) OR)

factorzando por apa simple el segundo parents,

3% 2

Pk,

x 2

Amr) D +2)
Irene ee]

Esctorzando por asp simple el segundo parents

x a

OS

x a

Ax (+ 2) à DD = ne Died}

Expresión B:

DI ete pere ded
fhetriando por parejas

Be x Dean)
Be x D + 4x + De D
Dra Dee 2?
Expresión €:

Cans 6x24 Bn (48) 4 (6x24 128)
C= 6942) + (6x4 120)

Cm (xa 22 De 4) à 6x 6 2)

Cae 222864 à 6x) Rh)
Ca Ges 2

Cw (x42?

De esta manera
MCD (ABC) = (x62?

mem (ABO (DAD
Mallar el M.D. y el mem. de:

Ans tan BG à a at
Ba Gt Ga 18a 303 Dat

Solución
Expresión A
Factorizando por aspa doble especia:

EN ae

DK

e a “a

An Gxt Bax à Hao ma 409)

para factorizar el segundo paréntesis se desdobla
Baa = a x

170 >

172. AO Dax a) (e al ® sax er

À ed a 2 nd ES AL

Andale) dd ome i

B= 6e ax 28x Daa 00)

Ba 6(x + 2a)(x- a 2

Expresión Be

B= Gt Gun. 1832s 303 + Da
MED. (AB) = 266-a)?

Se factorza 6 y luego el rest se facoriza por

doble apa mem. (AB) = 126020 (04 2x + a)

EJERCICIOS PROPUESTOS

1. Hallarel M.D, de los polinomios + Hall MED. de
Anxo 30-1026 Teed AsWexel :Baxtextel ; Cextel
AN Axel baex-l Owen
Eve Oxexel Ovexed

dass Dal xl 5 Hallarel MCD. de

Dxrxel tex Amy BR Ca
2 Hallar el MC.D. de los polinomios: axty Day Oy
Amada ENS" Oxy Oe

ern 6. Hallarel MC.D. de los polinomios:
Ann 30 10 + 7x1
4x3 Weeds ERT
Bex 80s 17s? Bee 1
ann WHIT
CROSS

3, Mallar el MCD. de:
dust Demi OKT

Aa But Pate Be 5 ai en

ne 7. Sabiendo que el M.C.D. de los polinomios:
datxe5 Das One

Wem y eden es sxe?

Bw Owed halla el valor dem en

uN

173. a2 Ds 96
os 910

EE producto de des expresiones es (4-1) y el
cociente de su mem. y su MCD. es (x - D

alar el MCD.

a

1 ml x
ax A

Halla el cociente entre el M.D. absoluto y el
M.C relativo de los polinomios

ey Wehe

DR 3549

dw7 owe

10, Six ay 2 we O hallar el mem. de

ew + yu

Au

Be (iw one my ea
2) pe
O)
ONCE
© kan datos

+) Ninguna de ls aneriores

CLAVE DE RESPUESTAS
pe 20 HC HD

OB DC BD HA

“172

174. FRACCIONES ALGEBRAICAS

PRINCIPALES CONCEPTOS

DEFINICION-

Una fracción algebraica es aquella expresión que
tiene por lo menos una lea en el denominador.

Ejemplos

2e

DE

fin ay
SIGNOS DE UNA FRACCION
En una fracción se hla tres signos

1) Signo del numerador

2) Signo del denominador

3) Signo de la racion
CAMBIOS DE SIGNO EN UNA FRACCIÓN
1) Cuando no hay factores indicados.

En toda fracción, se puede cambiar dos de sus
Ars signos y la fracción no se alter, At

Fer...
a

Ejemplo: Simpliicar E

Solución:
Cambiando de signo la fracción y al mumerador:

pe OD arb 6-0
ba bea” bea)

2) Cuando ta fracción tiene factores indicados.

En toda fración, sí se cambia de signo a un
‘numero par de factors, la Fracción nose altera;
se cambia de signo a un numero impar de hac
tores la fracción s cambia de signo. Ast

Ejemplos
1) Simplifcar
p Pao
aa)
Solucion:

Cambiando de signo a un factor del numerador y
tun factor del denominador, se obtiene:

CATE
990-0

1) Simpliiea:
a
dad ade”

Solución
Cambiando de signo al factor (¢- a) en la segun-
da facción, se obtiene:

1 1

CO BE
@-Da-0 @-bXe-a

RTE

175. A Side) ==>

SIMPLIFICACIÓN DE FRACCIONES

Para simplificar unafración, se actriz el nume-

rador y el denominador y se elimina los [actores co

EJERCICIOS RESUELTOS
1 implicar

2 + as HD + (ata 2ab)x + a
+ (a à 2) + (BPs 2ab + ab

Solución

Elfecuando operaciones indicadas.

+ ane bat a Za e o
Ne ants Dox" bie 2ab + ab?

ordenando y Esctorizando:

Solución

Factoriaremos las diferencias de cuadrados en el
primer parentesis del numerador y denominador:

ats 2x62) à te u)
“xt abe + bi) à as 2bx + b>) Bae Pee
A IE Ora)
torizando: quitando corchetes
1.2: eee aye
Gee Das») AA
implicando IET
ut
—
2: Split typ aye
PR a, : +3) G3)
abQd- y) + xy(a?- be) +) y ly
(+3) (ay
Sani

Efectuando operaciones indicadas:
bx + aby à y + Br
abs? = aby ay = ay

factrizando
axtbx + ay) + bylay + ba)
axtbx + ay) bylay + bs)

abot

ai ines
(GG)

Eat

176. 4. Simpiicar:

DA 427
RIAS

Solución:

Descomponiendo la diferencia de cuadrados:

po + DO DADA 5) 27
GAO 48

pe + DIA 3-5) 27
Le 26e + D) 0) +48

fecundo Los products de dos en dos:

En DR 19) +27
CBE 2x2 24) 48

haciendo x? 2x = y:

AE
IES

Pen 190-0)
Ry 4200 (y= 209-12)

y-20

reponiendo valores de y
„3-6
x 2x20
5. Simplificar
EEE
N - GPE
Solución:

“Trabajando con el numerador que es una diferen:
cia de cuadrados:

Ne LG + Bay 4e GB y 499
eats Bay Ay? (2 Bay 4

N= LG 4) + Says 102-49) = Bay
OA) à Day Hoy) y

aplicado Legend:
N= TE + 9811 HOPG]
EE)
Ne 2e 16e 29) 29)
“Trabajando con el denominador

Da Bye ete Gt

haciendo x 2° = m5 y= 8

Dem (ma) (mn)

mn

D 2 mt nm mm) men)
De Cm lt mm +m) mm
De (à min mme nm?
Sen «mnt no}
D = Zum en)? mn n°)
reemplazando por us valores originales
Da 2696+ 29 6/1264 292?
(+ 2) + (YP)
DEE NIE TE REEL Bt Eu
Any)
Da 2 oe 169)

Porlotano,obervando el numerador y denominador:

OPERACIONES CON FRACCIONES
ALGEBRAICAS
SUMA Y RESTA

Para sumar o restar fracclones algebracas se debe
tener en cuenta que:

(1) Se simplifican las fracciones stes necesario.
(2) Se hall el Minimo Común Maliplo, determi:

nando el mínimo comun denominador de os
denominndore.

RTE

177. (3) Se divide el mínimo comun denominado:
entre cada denominador y se multiplica por
El numerador respectivo.

(4) Se simplifica la fracción obtenida,

MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN
Para mullólicar fracciones se recomienda factorizar
umeradores y denominadores y luego. muliplicar
Para dividir una fracción entre otr, se inviente la

Fracción que acta como divisor y se procede como
en el aso dela multiplicación.

EJERCICIOS RESUELTOS

1 Resolver:

E

Ce)
Solución:

allando el mínimo comun denominador y
sumando:

CA AA ANNE
CT]

Efecuand operaciones indicada en el mumerador:
Bey

TETE]

reduciendo:

—
ER
E-0

22 Eleenar:

Pa

RD
RG DET GD

epee

Solución

Factorizando los mumeradores y denominadores

simplificando:

pat

Rexel tene tool

pe Mens boners lexioxol

Boxed

Efectuar:

fabs 208-1288 boda, Ta
Bab) bea AD

Solución
Cambiando de signos ala segunda facción:

beat, 2a-b da
Sar by@-b) ab ‘3 +b)

dando minimo comin denominador:

3(2a--by(a-eb) + Tala-b)
Jas bb)

= Ada + at à db 3b? 72 Tab
En]

RTE

178. 42 Becta:

ab

eS de
Dra (ra-bie-a-h)

@rb-0a-b-0

Solución:

Cambiando de signo a los dos factors de la
primera fración

ab
CARTE)

e A
CRETE)

Ee
G@rb-0@-b-d
dando común denominador

(a-D)a+b-0-(b-Oa-b-d+ (cal
@-b-06

brdarb-o)

fecundo operaciones en el numerador:

Bac ehe sb? eva sac 26 at-bevab

Es

@-b-0@-brO@rb-0)
reduciendo terminos semejantes:

SS Ss

CETTE TE)
E-0

5 Simplicar:

BL,
Gad

se
eae

@-0b-a)

Solución:

Cambiando, de signo a un factor dela segunda
fracción y alos dos factores de aterra fracción

a
@-ma-0 boo

se.
@-00-0

dando comun denominador:
FO AB Dave) + (4-28)
aaa

Factoricemos el numerador por el método de los
polinomios simétricos

pama=b

O)
+(e Dib -b) #0

por lotanto, un actor es à by los otros som

©
O

realizando la identidad de polinomios:

oe

Ge D(b-9 - bi Dia +6) + Get Ka-b)

= Ma: bb oc

panas 1, b=2,¢=0
482 D@)- A) + CDD = MEE
6-15+1e M0) Mes
de esta manera
N= Aa bib- de a)
Neda-bb-0@-0)
Finalmente:
„ta ba-0b-0
Da
Es

ise cumple que

rosa pear

”

F

Calcular: (x + (PI + po

TA

179. Solución

Cuando se tine una sere de razones se acostum-
Ira gars à una constante; sea ta igual a

SAA

aep' pa pear
desque xe (ere ph
yapa
(pego

reemplazando en E
E=(q-nlq+n)- ples (re pt Dal
«le

fectand y factorizando à

clevando al cubos
(YY) Y
(NY
YY
(A ow
reemplazando (a) en (+
MY)
IS

reemplazando en (3):

ie

CO

y é
ren
2-0 =
eo
«Le Led le
BXL 2 se
ste comple que o
“ u ie urn
Nee No Neo CITE TT
sec
foc tac | hb Fa
ah”
So
dus
ando coi rió: zum
re
Abe + Vac + Yabo = 0 za
dividiendo por {abe „se tiene: gp rs
da + dy. dono @
EU ande am dm Ratoni
EN „ana tbe)
= an
De kenn
De: Ya + th = Ve @
Eso

ETS

180. 9. Calcular

mer

sasbec=0
Solución:

Dela condición: be cea
elevando al cuadrado:
IS
Decimal de

Tambien, pro la condición: € + a =

elevando al cuadrado:

deceo
be 2e

Dela misma maners e = €
levando a cuadrado:
NS
Pa Re

reemplazando (1), (2) y (3) en Es

1.1.1

he Dae ab

dando comun denominador

@sbso
abe

a

2

6)

por la condición:

Ee
abe
E-0
10- Elec
E- a
u mi
no EE
node
Solución

“Tratando de hallar una ley de formación,
empezando por el final, sucesivamente se
biene

por lo anterior se deduce que

penel
ne?

RTE