Algebre de boole intro -v3

Université de Bouira, Mathématique et informatique
Cours codage et représentation de l'information
S1

1. 1
Algèbre de Boole
Taha Zerrouki
[email protected]
Module: Codage et représentation de
l'information
1
ère
MI S1

2. 2
Plan
•Algèbre de Boole

3. 3
Algèbre de Boole
ينايلوبلا ربجلا

4. 4
L'algèbre de Boole
•L'algèbre de Boole, est la partie des mathématiques, de
la logique et de l'électronique qui s'intéresse aux
opérations et aux fonctions sur les variables logiques.
•eoTrahgAZeouki.eozl1adk@gmraeocoM:CgraeotAlopAédgreosneouo'f
IlSoM:Cgreotrdl2kCgreotrP

5. 5
Boole
•Elle fut initiée en 1854 par le
mathématicien britannique George Boole

6. 6
Applications تاقيبطت

7. 7
Applications تاقيبطت

8. 8
Applications تاقيبطت

9. 9
Applications تاقيبطت

10. 10
Définition
Soit B l'ensemble des valeurs de vérité {VRAI,
FAUX}.
Noté B = {1, 0}
On définit deux lois ET et OU
et le complémentaire NON.
فرعنBب اهل زمرن {أطخ ،حص} ةقيقحلا ميق ةعومجم
B = {1, 0}
ل ممتملاو ،و ،وأ نينوناق ف
فرعن

11. 11
Conjonction لصولا
a ET b est VRAI <==> a est VRAI et b est
VRAI.
Cette loi est aussi note '.'
أ ناك اذإ طقفو اذإ ةحيحص "ب و أ" ةيضقلا نأب لصولا فرعن
ةط ةطقنلاب هل زمرنو ،احيحص بو احيحص

12. 12
Conjonction لصولا
Table de vérité

13. 13
Conjonction لصولا
Représentation électrique
a b

14. 14
Conjonction لصولا
Symbole

15. Disjonction لصفلا
a ou b est VRAI <==> a est VRAI ou b est
VRAI.
Cette loi est aussi note '+'
أ ناك اذإ طقفو اذإ ةحيحص "ب وأ أ" ةيضقلا نأب لصولا فرعن
ـط ـب هل زمرنو ،احيحص بوأ احيحص

16. Disjonction الصفل
Table de vérité

17. 17
Disjonction الصفل
Représentation électrique
a
b

18. 18
Disjonction الصفل
Symbole

19. Complémentaire اممتمل
Non a est VRAI <==> a est Faux.
Cette loi est aussi note ' '
أ ناك اذإ طقفو اذإ ةحيحص " أ ل" ةيضقلا نأب لصولا فرعن
ـب هل زمرنو ،ائطاخ' '

20. Complémentaire اممتمل
Représentation électrique
a

21. Complémentaire اممتمل
Symbole

22. Exercice
Tracer la table de vérité pour l'expression
A+B.C

23. Exercice
A B C B'C A+B'C
0 0 0 0 0
0 0 1 1 1
0 1 0 0 0
0 1 1 0 0
1 0 0 0 1
1 0 1 1 1
1 1 0 0 1
1 1 1 0 1

24. لماوعلل ةيربجلا صاوخلا
Les propriétés algébriques

25. Priorité des opérateurs
•Pour évaluer une expression logique :
()
NON
ET
OU
لماوعلا ةيولوأ

26. Element neutre يدايحلا رصنعلا
A + 0 = A
A .1 = A

27. Element absorbant
2
صاملا رصنعلا

A + 1 = 1
A .0 = 0

28. Complémentarité اممتمل
0.
1



AA
AA
AA

29. Idempotence لثامتلا
A + A +A + …. +A = A
A .A.....A = A

30. Commutativité ليدبتلا
A + B = B + A
A .B = B.A

31. Associativité عيمجتلا
(A + B)+C = A + (B+C)
(A .B).C = A.(B.C)

32. Distributivité عيزوتلا
A . (B+C) = A .B+ A.C
(distribution de ET sur OU)
A+(B.C) = (A +B).(A+C)
(distribution de OU sur ET)

33. Simplification طيسبت
Démontrer que A+AB = A

34. Simplification طيسبت
A+AB = A.1+ A.B (idempotence)
= A.(1+B) (distribution)
= A.1 (absorption)
= A (el. neutre)

35. Simplification طيسبت
Démontrer que A+AB = A+B

36. Simplification طيسبت
A+AB = (A+A).(A+B) (distribution)
= 1.(A+B) (complément)
= A+B (el. neutre)

37. Redondance ترارك
Démontrer que
AB + AC + BC = AB +AC

38. Redondance ترارك
AB + AC + BC =
=AB +AC +BC.(A+A) ( complément)
=AB +AC +ABC+ ABC (distribution)
=(AB +ABC) +( AC + ABC) (commutativité)
=AB(1+C) + AC(1+B) (facteur commun)
= AB.1 + AC.1
= AB + AC

39. 5. Dualité de l’algèbre de Boole
•Toute expression logique reste vrais si on remplace le ET
par le OU , le OU par le ET , le 1 par 0 , le 0 par 1.
•Exemple :
0 A .A 1AA
0 0 .A 11A


لباقتلا

40. Théorème de DE-MORGANE

41. 6. Théorème de DE-MORGANE
•Le produit logique complémenté de deux variables est
égale au somme logique des compléments des deux
variables.
•La somme logique complémentée de deux variables est
égale au produit des compléments des deux variables.
B . A B A 
B A B .A 

42. 6.1 Généralisation du Théorème DE-
MORGANE à N variables
A.B.C......=A+B+C+..........
A+B+C+...........=A.B.C......
تاممتملا ءادج = عومجملا ممتم
تاممتملا عومجم = ءادجلا ممتم

43. Exercice
Calculer le complément de
AB+AB

44. exercice
ab+ab=ab.ab
a+b.a+b
a+b.a+b