Algeo-03-Sistem-Persamaan-Linier-2023.pptx

-

1. Sistem Persamaan Linier (SPL) Bahan Kuliah IF2123 Aljabar Linier dan Geometri Oleh: Rinaldi Munir Program Studi Teknik Informatika STEI-ITB Seri bahan kuliah Algeo #3

2. Bentuk umum SPL Linier: pangkat tertinggi di dalam variabelnya sama dengan 1 Sebuah SPL dengan m buah persamaan dan n variabel x 1 , x 2 , …, x n berbentuk : a 11 x 1 + a 12 x 2 + … + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + … + a 2n x n = b 2 a m1 x 1 + a m2 x 2 + … + a mn x n = b m atau dalam bentuk A x = b  

3. SPL dalam bentuk matriks : atau dalam bentuk perkalian matriks : A x b

4. Matriks augmented SPL dapat dinyatakan secara ringkas dalam bentuk matriks augmented : Contoh : x 1 + 3x 2 – 6x 3 = 9 2x 1 – 6x 2 + 4x 3 = 7 5x 1 + 2x 2 – 5x 3 = –2  

5. Operasi Baris Elementer (OBE) Tiga operasi baris elementer terhadap matriks augmented : 1. Kalikan sebuah baris dengan konstanta tidak nol. 2. Pertukarkan dua buah baris 3. Tambahkan sebuah baris dengan kelipatan baris lainnya Solusi sebuah SPL diperoleh dengan menerapkan OBE pada matriks augmented sampai terbentuk matriks eselon baris atau matriks eselon baris tereduksi . Jika berakhir pada matriks eselon baris  metode eliminasi Gauss Jika berakhir pada matriks eselon baris tereduksi  metode eliminasi Gauss- Jordan

6. Metode Eliminasi Gauss Nyatakan SPL dalam bentuk matriks augmented Terapkan OBE pada matriks augmented sampai terbentuk matriks eselon baris Selesaikan persamaan yang berkoresponden pada matriks eselon baris dengan teknik penyulihan mundur ( backward substitution )  

7. Contoh 1 : Selesaikan SPL berikut dengan eliminasi Gauss Penyelesaian : ~ ~ ~ ~ ~   2x 1 + 3x 2 – x 3 = 5 4x 1 + 4x 2 – 3x 3 = 3 –2x 1 + 3x 2 – x 3 = 1 R1/2 R2 – 4R1 R3 +2R1 R2/(-2) R3 – 6R2 R3/(-5) Matriks eselon baris Keterangan : R1 = baris ke-1, Rn = baris ke -n

8. Dari matriks augmented terakhir :   diperoleh persamaan-persamaan linier sbb : x 1 + 3/2x 2 – 1/2x 3 = 5/2 ( i ) x 2 + 1/2x 3 = 7/2 (ii) x 3 = 3 (iii) Selesaikan dengan teknik penyulihan mundur sbb : (iii) x 3 = 3 (ii) x 2 + 1/2x 3 = 7/2  x 2 = 7/2 – 1/2(3) = 2 ( i ) x 1 + 3/2x 2 – 1/2x 3 = 5/2  x 1 = 5/2 – 3/2 (2) – 1/2 (3) = 1 Solusi : x 1 = 1, x 2 = 2, x 3 = 3

9. Contoh 2 : Selesaikan SPL berikut dengan eliminasi Gauss Penyelesaian : ~ R3/2 Dari matriks augmented yang terakhir diperoleh persamaan sbb : x 2 = 0 ( dari baris ketiga ) x 1 – x 2 + 2x 3 = 5  x 1 = 5 + x 2 – 2x 3 = 5 + 0 – 2x 3 = 5 – 2x 3  banyak nilai x 3 yang memenuhi Misalkan x 3 = r maka x 1 = 5 – 2r, r  R Solusi: x 1 = 5 – 2r, x 2 = 0 , x 3 = r; r  R  solusi dalam bentuk parametrik   x 1 – x 2 + 2x 3 = 5 2x 1 – 2x 2 + 4x 3 = 10 3x 1 – x 2 + 6x 3 = 15 R2 – 2R1 R3 – 3R1

10. Contoh 3 : Selesaikan SPL berikut dengan eliminasi Gauss Penyelesaian : x 1 + 3x 2 – 2x 3 + 2x 5 = 0 2x 1 + 6x 2 – 5x 3 – 2x 4 + 4x 5 – 3x 6 = –1 5x 3 + 10x 4 +15x 6 = 5 2x 1 + 6x 2 + 8x 4 + 4x 5 +18x 6 = 6 ~ ~     OBE Dari matriks augmented yang terakhir diperoleh tiga persamaan sbb : x 1 + 3x 2 – 2x 3 + 2x 5 = 0 ( i ) x 3 + 2x 4 + 3x 6 = 1 (ii) x 6 = 1/3 (iii)

11. Selesaikan dengan teknik penyulihan mundur sbb : (iii) x 6 = 1/3 (ii) x 3 + 2x 4 + 3x 6 = 1  x 3 = 1 – 2x 4 – 3x 6 = 1 – 2x 4 – 3(1/3) = 1 – 2x 4 – 1 = –2x 4 ( i ) x 1 + 3x 2 – 2x 3 + 2x 5 = 0  x 1 = –3x 2 + 2x 3 – 2x 5 = –3x 2 + 2(–2x 4 ) – 2x 5 = –3x 2 –4x 4 – 2x 5 Misalkan x 2 = r, x 4 = s, x 5 = t, dengan r, s, t  R, maka solusi SPL adalah : x 1 = –3r – 4s – 2t ; x 2 = r; x 3 = –2s; x 4 = s; x 5 = t; x 6 = 1/3 dengan r, s, t  R

12. Contoh 4 : Selesaikan SPL berikut dengan eliminasi Gauss Penyelesaian : ~ ~ ~   x 1 + x 2 + x 3 = 1 2x 1 + 2x 2 = 2 3x 1 + 4x 2 + x 3 = 2 R2 – 2R1 R3 – 3R1 R2/(-2) R3 + 2R2 Dari matriks augmented yang terakhir diperoleh persamaan-persamaan linier sbb : x 1 + 2x 2 + x 3 = 1 ( i ) x 2 + x 3 = 0 (ii) 0x 1 + 0x 2 + 0x 3 = -1 (iii) Dari persamaan (iii), tidak ada x 1 , x 2 , dan x 3 yang memenuhi 0x 1 + 0x 2 + 0x 3 = -1 . Dengan kata lain, SPL tersebut tidak memiliki solusi !

13. Contoh 5 : Selesaikan SPL berikut dengan eliminasi Gauss Penyelesaian : ~ ~ ~ ~ ~   -2b + 3c = 1 3a + 6b – 3c = -2 6a + 6b + 3c = 5 R1  R2 R1/(3) R3 + 6R2 R2/(-2) R3 – 6R1 Dari matriks augmented yang terakhir , persamaan pada baris ketiga adalah : 0a + 0b + 0c = 6 Tidak ada a, b, dan c yang memenuhi 0a + 0b + 0c 3 = 6 . Dengan kata lain, SPL tersebut tidak memiliki solusi !

14. Latihan Selesaikan SPL berikut dengan metode eliminasi Gauss-Jordan (a) (b) (c) (e) Carilah koefisien a, b, c, dan d yang memenuhi persamaan lingkaran ax 2 + ay 2 + bx + cy + d=0 (d) SPL dalam bentuk matriks augmented