Análise combinatória (resumo)

1. ANÁLISE COMBINATÓRIA
FATORIAL
5! = 5.4.3.2.1 = 120
4! = 4.3.2.1 = 24
3! = 3.2.1 = 6
2! = 2.1 = 2
1! = 1
0! = 1CONVENÇÃO
Exemplo: Calcular o valor de:
a) 4! + 3!b) 7!
24 + 6
30
7.6.5.4.3.2.1
5040
Observe que:
4!+3! 7!
c) !8
!10
n! = n.(n 1) . (n 2) . (n 3). .... 2 . 1
=
8!
10.9.8!
90
=
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2. d) !49
!49!50
–49!
49!
50.49!
49!(50 –1)
49!
49
O conjunto solução de:210
)!1(
)!1(
n
n
é:
(n –1)!
= 210
(n + 1)! = (n + 1).n.(n –1).(n –2).(n –3)....
(n + 1)! = (n + 1).n.(n –1)!
(n + 1).n.(n –1)!
(n + 1).n = 210
n
2
+ n –210 = 0
n’ = 14n’’ = -15
(nãoconvém)
Determine a soma dos valores
de mque satisfazem a equação
(m –3)! = 1
(m –3)! = 1!ou(m –3)! = 0!
m –3 = 1
m = 4
m –3 = 0
m = 3
Logo a soma dos valores de m é 7210
)!1(
)!1(
n
n
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3. PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM
O princípio fundamental da contagem, ou princípio multiplicativo,
estabelece um método indireto de contagem de um determinado evento,
sem que haja a necessidade de descrever todas as possibilidades.
Pode ser enunciado dessa forma:
Se um Evento E pode acontecer por netapas sucessivas e
independentes de modo que:
E
1é o número de possibilidades da 1ª Etapa
E
2é o número de possibilidades da 2ª Etapa
:
:
E
né o número de possibilidades da n-ésima Etapa
Então E
1. E
2. ......... .E
ké o número total de possibilidades do evento ocorrer.
Quantas placas para identificação de veículos podem ser confeccionadas
com 3 letras e 4 algarismos?
(Considere 26 letras, supondo que não há nenhuma restrição.)
2626 26 1010 1010= 175. 760. 000
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4. Quantos números de telefones com sete algarismos e prefixo 244 podem
ser formados ?
Alguns números possíveis
2443215
2445138
2440008
2442344
2440000
:
:
:
Usando o princípio fundamental da contagem:
244
1010 1010
= 10 000 números
fixo
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5. Numa olimpíada de Matemática concorrem 100 participantes e serão
atribuídos dois prêmios, um para o 1º lugar e outro para o 2º lugar. De
quantas maneiras poderão ser distribuídos esses prêmios?
99100
= 9900 maneiras
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6. USA TODOS ELEMENTOS
NÃO USA TODOS ELEMENTOS
PERMUTAÇÃO
ARRANJO
COMBINAÇÃO
IMPORTA ORDEM
NÃO IMPORTA ORDEM
P
n= n!p)!(n
! np
n
A p!p)!(n
! np
n
C FORMULÁRIO
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7. EXERCÍCIOS:
1.Dequantosmodosdistintospodemos
colocar3livrosjuntosemumaestantede
biblioteca?
Resposta:6
2.Qualéonúmeropossíveldeanagramas
quesepodemontarcomasletrasda
palavraAMOR?
Resposta:24
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8. 3.Quantosnúmeroscomcincoalgarismos
distintos,podemos construircomos
númerosímpares1,3,5,7,9?
Resposta:120
4.Quantosnúmeroscomcincoalgarismos
podemos construircomosnúmeros
ímpares1,3,5,7,9,desdequeestejam
semprejuntososalgarismos1e3?
Resposta:48
5.Quantossãoosanagramaspossíveis
comasletras:ABCDEFGHI, começando
porAB?
Resposta:5040
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9. 6.Há10pessoasemumlocal,sendo3
comcamisasverdes,3comcamisas
amarelas,2comcamisasazuise2com
camisasbrancas.Dequantosmodos
podemosperfilartodasessas10pessoas
demodoqueosgruposcomascamisas
demesmacorfiquemjuntos?
Resposta:3456
7.Quantosgruposde3pessoaspodem
sermontadoscom8pessoas?
Resposta:56
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10. 8.Quantosgruposde2pessoaspodem
sermontadoscom1000pessoas?
Resposta:999000
9.Emumasalaexistem20pessoas,8
mulheres e12homens.Quantas
comissõespodemsermontadasnestasala
contendo3mulherese5homens?
Resposta:44352
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11. 10.Pararesolverumassuntoentre6
professorese4alunos,devemosformar
comissõescom3professorese2alunos.
Quantassãoaspossibilidades?
Resposta:120
11.Quantosnúmerosdistintoscom2
algarismosdiferentes,podemos formar
comosdígitos:0,1,2,3,4,5,6,7,8,9.
Resposta:81
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12. 12.Usando-seapenasosalgarismos
1,3,5,7,9quantosnúmeros com 3
algarismospodemsermontados?
Resposta:60
13.Usando-seas26letrasdoalfabeto:
A,B,C,D,...,Zquantosarranjosdistintos
com3letraspodemsermontados?
Resposta:15600
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