Análisis de Estructuras Isostáticas Planas

Estructuras

1. Enrique Ramírez Valverde
ANÁLISIS DE ESTRUCTURAS
ISOSTÁTICAS PLANAS
i. V.
**— I.l Vs
Cien tíficos
j
BENEMÉRITA UNIVERSIDAD ALIONÓME DE Pi EBLA

2. ANÁLISIS DE ESTRUCTURAS ISOSTATICAS PLANAS
Enrique Ramírez Valverde
BENEMÉRITA UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE PUEBLA
Dirección General de Fomento Editorial

3. BENEMÉRITA UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE PUEBLA
Enrique Dóger Guerrero
Rector
Guillermo Nares Rodríguez
Secretario General
Rigoberto Bcnítez Trujillo
Vicerrector de Extensión y Difusión de ¡a Cultura
Víctor Espíndola Cabrera
Director Editorial
Primera edición, 2000
ISBN: 968 863 426 3
©Benemérita Universidad Autónoma de Puebla
Dirección General de Fomento Editorial
Av. Juan de Palafox y Mendoza 406
Teléfono y fax [phone] ext. 5768
Puebla, Pue.
Impreso y hecho en México
Printed and made in México

4. índice
Capítulo I. Introducción. Análisis Cinemático de los Sistemas.
Grado de Hiperestaticidad de una Estructura 9
1.1 Objeto y alcance del libro 9
1.2 Distintos tipos de sistemas
1.3 Análisis cinemático de los sistemas 13
1.4 Grado de hiperestaticidad de una estructura 20
Capítulo II. Análisis de armaduras 27
2.1 Definición
2.2 Análisis cinemático 27
2.3 Métodos de análisis estático de armaduras 29
2.4 Armaduras de configuración racional 42
Capítulo III. Líneas de influencia 47
3.1 Definición 47
3.2 Líneas de influencia en vigas 48
3.3 Líneas de influencia en armaduras 60
3.4 Utilización de las líneas de influencia 67
Capítulo IV. Arcos y pórticos isostáticos 81
4.1 Introducción 81
4.2 Análisis de arcos Inarticulados sometidos a cargas estáticas

5. 4.3 Análisis de arcos inarticulados, con cargas móviles 92
4.4 Análisis de pórticos isostáticos 103
Capítulo V. Teoría de los desplazamientos 115
5.1 Introducción 115
5.2 Teoremas energéticos basados en el principio de trabajo virtual 126
5.3 Teoremas energéticos basados en el principio del trabajo virtual
complementario 132
5.4 Teoremas de Reciprocidad 135
5.5 Cálculo de desplazamientos 137
Bibliografía 157

6. Capítulo I
Introducción.
Análisis cinemático de los sistemas.
Grado de hiperestaticidad de una
estructura
1.1 Objeto y alcance del libro
1.1.1 Ubicación del análisis en el proceso de construcción de una
estructura
Antes de llegar a la construcción de una estructura, construcción que surge
a partir de una necesidad, ya sea ésta social o particular, hay que dar una
serie de pasos. Los más importantes son los siguientes:
En primer lugar está el proyecto, en el que se trata de dar respuesta a las
necesidades planteadas.
A continuación hay que proceder al análisis de dicho proyecto. En esta
etapa se calculan las acciones interiores, momentos Héctores, fuerzas cor-
tantes, fuerzas axiales y otras que las solicitaciones (cargas, asentamientos
de apoyos, efectos de temperatura, viento, sismo, etc.) originarán en la
estructura.
[9]

7. lü INTRODUCCIÓN. ANÁLISIS CINEMÁTICO
Pero entre el proyecto y el análisis hay otro paso de suma importancia:
en él se establece el esquema de análisis. Aquí se definen los elementos
estructurales constituyentes, las cargas y otras solicitaciones que deba so-
portar la estructura, las características de los materiales con que se va a
construir, las condiciones de apoyos y unión entre los elementos, etc.
Una vez que se ha definido el esquema de análisis, se procede al análisis
propiamente dicho de la estructura y posteriormente al diseño, etapa en la
que se calculan las dimensiones que deben tener los elementos que forman
la estructura, tomando en cuenta las propiedades de los materiales, necesi-
dades arquitectónicas, etc.
Finalmente se pasa a la construcción de la estructura.
1.1.2 Alcance del libro
Atendiendo a la geometría de los elementos que forman una estructura, se
dice que ésta está compuesta de elementos lineales, de superficie o de vo-
lumen. Son elementos lineales aquellos en los que una de las dimensiones
(la longitud) es mucho mayor que las otras dos. Estos elementos tienen la
ventaja de que para su análisis pueden representarse por su eje (caso de las
vigas y columnas).
Son elementos de superficie aquellos en los que dos de las dimensiones
son mucho mayores que la tercera, como es e! caso de las placas y cascaras
delgadas. En ellos el análisis puede realizarse representando al elemento
por su plano medio, lo cual facilita el trabajo.
Finalmente, en los elementos de volumen, las tres dimensiones son com-
parables y no puede hacerse ninguna simplificación, como es el caso de las
losas de gran espesor.
Atendiendo a las conexiones entre los elementos y a la unión del conjun-
to con la tierra, se puede hablar de estructuras isostáticas y de estructuras
hiperestáticas. Una estructura es isostática cuando su análisis puede com-
pletarse con las ecuaciones de equilibrio de la estática y es hiperestática
cuando para su análisis se requiere además de las ecuaciones de equilibrio,
otro grupo de ecuaciones de deformación.
En cuanto a los materiales que las constituyen, éstos pueden seguir la ley
de Hooke, si la relación fuerza-desplazamiento es lineal (P = K-A) o no
seguir dicha ley. Afortunadamente la mayoría de los materiales que se utili-
zan en la construcción siguen, al menos dentro de ciertos límites, la men-
cionada ley.
El tipo de análisis puede ser de primer o segundo orden. En el análisis de
primer orden se supone que las deformaciones son lo suficientemente pe-

8. ESTRUCTURAS ISOSTÁTICAS PLANAS 11
quenas como para que las ecuaciones de equilibrio puedan plantearse como
si el cuerpo no se hubiera deformado, en tanto que en el análisis de segundo
orden esas ecuaciones hay que plantearlas tomando en cuenta la deforma-
ción de la estructura.
Las fuerzas que actúan sobre las estructuras pueden ser concentradas (si
su zona de actuación es pequeña en comparación de las dimensiones del
elemento en que están aplicadas) o distribuidas en caso contrario. Ambas
pueden ser fijas en el espacio o móviles (caso de los trenes, grúas viajeras,
y otros). También pueden ser estáticas (que varían lentamente en el tiempo)
o dinámicas, como es el caso de los sismos.
Además, las estructuras pueden estar sometidas a otras solicitaciones
como son los efectos de temperatura, asentamientos de apoyo, fenómenos
de retracción, desajuste de elementos y otras.
En lo que sigue nos ocuparemos del análisis de primer orden de estructu-
ras isostáticas , compuestas de elementos lineales, fabricadas con materiales
que siguen la ley de Hooke y sometidas a fuerzas concentradas o distribui-
das, fijas o móviles, estáticas, así como a otras solicitaciones, como los
efectos de variaciones de temperatura.
1.1.3 Hipótesis
Las hipótesis que se introducen son:
• El sólido es homogéneo, continuo e isótropo.
• Es aplicable el principio de superposición, lo que implica que los tres
grupos de ecuaciones deben ser lineales.
>• La linealidad de las ecuaciones de equilibrio o linealidad estática exi-
gen que las ecuaciones se planteen como si no hubiera deformaciones.
> La linealidad de las ecuaciones de compatibilidad o linealidad cinemá-
tica exige que las relaciones entre deformaciones y movimientos sean
de primer grado. lo que implica despreciar términos cuadráticos.
^ La linealidad del material implica que éste siga la ley de Hooke. es
decir, que las relaciones tensiones-deformacioncs sean lineales. Ade-
más, si se descargan las acciones, no quedan deformaciones residuales.
• Se considera válido el principio de Saint-Venant:
En los puntos de un cuerpo sólido, suficientemente alejados de los sitio-
de aplicación de las cargas exteriores, las tensiones dependen muy poco de
la forma precisa en que se materializan estas cargas.

9. 12 INTRODUCCIÓN. ANÁLISIS CINEMÁTICO
1.2 Distintos tipos de sistemas
Sistema: conjunto organizado de elementos lineales, de superficie o de vo-
lumen, o de ambos, que se suponen infinitamente rígidos.
1.2.1 Sistema cinemáticamente variable
O---Q Características cinemáticas: Hay
desplazamientos relativos sin de-
formaciones (Fig. 1.1).
Características estáticas: Accio-
nes interiores indeterminadas si
se aplican las ecuaciones de la
estática.
Figura 1.1
1.2.2 Sistema crítico
Características cinemáticas: Hay
desplazamientos relativos peque-
ños, con deformaciones despre-
ciables en la cinemática del pri-
Figura2.1 , /tr -. ..
mer orden (Hg. 2.1).
Características estáticas: surgen tensiones infinitas si se aplica la estática
del cuerpo indeformable.
Conclusión: ni la cinemática del primer orden ni la estática del cuerpo inde-
formable pueden aplicarse en el análisis de estos sistemas.
1.2.3 Sistema cinemáticamente invariable o estructura
Características cinemáticas: hay desplazamientos pequeños y deformacio-
nes pequeñas no despreciables.
Características estáticas: Se originan acciones interiores definidas y fini-
tas. Usualmente el equilibrio puede plantearse, y se plantea, sin desplaza-
mientos en el sistema.

10. ESTRUCTURAS ISOSTÁTICAS PLANAS 13
1.3 Análisis cinemático de los sistemas
1.3.1 Concepto de disco
Se entiende por disco todo elemento (lineal, de superficie o de volumen), o
conjunto de elementos, deí que se puede garantizar que es cinemáticamente
invariable. (Véanse ejemplos en IsPfigura 3.1).
Figura 3.1
1.3.2 Tipos de unión o ligadura
1. Barras con articulación en ambos extremos. Evita un mo\o de un
cuerpo respecto a otro y. por tanto, origina una reacción (Fig. 4.1. a y b).
/TTTft
=ü ; Ry*0
Figura 4.

11. 14 INTRODUCCIÓN. ANÁLISIS CINEMÁTICO
2. Articulación cilindrica. Evita dos movimientos relativos \a dos
reacciones (Fig. 5.1).
//////
Ax=0 ;
Ay=0 ; Ry*0
[-"¡cura 5.1
3. Unión rígida. Hv ita tres movimientos relativos, y origina tres reaccione^
(Fiü. 6.1).
Ax=Ay=Az=0
Rx*0 ; Ry*0 ;
f-igura 6.1
1.3.3 Imariabilidad cinemática de dos discos
arados de libertad o movimientos posibles de un disco respecto a otro
son tres. SfrtQdfe^pdura elimina un movimiento relativo, se necesitarán
:5 para inmovilizar entre si los dos discos (Fig. 7.1).
Articulación ficticia o centro
instantáneo de rotación
Figura 7.1

12. ESTRUCTURAS Isos'i ÁTICAS PLANAS 15
Las tres ligaduras pueden proporcionarse mediante:
Una barra más una articulación (real o ficticia) (Fig. 8.1. a).
Tres barras (Fig. 7.1).
Una unión rígida o empotramiento (Fig. 8.1. b).
/777T7
a) b)
Finura 8,1
Notas:
t) Las tres barras no deben ser paralelas ni concurrentes (Fig. 9.1, a).
2) La barra no debe pasar por la articulación (Fig. 9.1, b).
a) b)
Figura 9.1
Ejemplo.
Demostrar la invariabilidad cinemática del triángulo. (Véase Fig. 10.1).
Solución:
articulación
N
ligadura
El triangulo es cinemáticamente
invariable
Fieura 10.1

13. 16 INTRODUCCIÓN. ANÁLISIS CINEMÁTICO
1.3.4 Invariabilidad de tres discos
A partir de la invariabilidad cinemática del triángulo se concluye que se
requieren tres articulaciones o seis ligaduras, para asegurar la invariabilidad
cinemática de tres discos (Fig. 11.1).
•vU
Figura 11.1
Nota: Las tres articulaciones no deben estar en línea recta, para no originar
un sistema crítico (Fig. 12.1).
-O
Figura 12.
1.3.5 Ejemplos
Demostrar la invariabilidad cinemática del sistema de la Fig. 13.
Fisura 13.1

14. K \ ISUSTATICAS PLANAS 17
Solución:
El disco I, el disco II y el disco Tierra están unidos entre sí mediante
articulaciones no situadas en línea recta, y constituyen un aran disco A
(Fig. 14.1).
f
1,2
Figura 14.1
El disco III se une al disco A mediante una articulación y una barra. Por
lo tanto, el sistema es cinemáticamente invariable (Fig. 15.1).
barra
Figura 15.1
2. Hacer el análisis cinemático del sistema de la Fig. 16.1.
'T.
16.1

15. 18 INTRODUCCIÓN. ANÁLISIS CINEMÁTICO
Solución:
Los discos U 2 y Tierra están unidos entre sí por tres articulaciones: una
real y dos ficticias, pero situadas en línea recta: el sistema es crítico (Fig.
17.1). Puede conseguirse la invariabilidad cinemática cambiando de posi-
ción el apoyo simple inferior y situándolo en la articulación derecha.
Figura 17.1
3. Hacer el análisis cinemático del sistema de la Fie. 18.
Figura 18.1
Solución:
El disco 1. el 2 \a Tierra están unidos por tres articulaciones ficticias:
2. T; 1, 2 y 1. T. Las tres quedan en línea recta y. por lo tanto, el sistema es
critico (Fi<¿. 19.1).
1,2
Figura 19.1

16. ESTRUCTURAS ISOSTATICAS PLANAS 19
1.3.6 Ejercicios
Hacer el análisis cinemático de los sistemas que se indican en la Fig. 20.1.
1
/77ff7
S7/W7 r
t H
rt
_£—^^^~&.
Finura 2Ü. I

17. 20 INTRODUCCIÓN. ANÁLISIS CINEMÁTICO
Figura 20.1
1.4 Grado de hipcrcstaticidad de una estructura
1.4.1 Definición
Cuando un sistema tiene el número de ligaduras estrictamente necesario
para asegurar su invariabilidad cinemática, el sistema es. por definición,
una estructura isostática. Es decir, las ecuaciones de la estática son suficien-
tes para determinar las reacciones y acciones interiores en todas y cada una
de las secciones de la estructura.
Si el sistema tiene más ligaduras que las estrictamente necesarias para
asegurar su invariabilidad cinemática, las ecuaciones de la estática no son
suficientes para determinar las reacciones o las acciones, o ambas, en todas
\a una de las secciones de la estructura. Se dice, en este caso, que la
estructura es hiperestática o estáticamente indeterminada. Para poder anali-
zar estas estructuras es necesario plantear, además de las ecuaciones de la
estática, otro grupo de ecuaciones llamadas ecuaciones de deformación.
Aunque ei análisis de las hiperestáticas es más compiejo que el de las
isostáticas. el empleo de las estructuras hiperestáticas ofrece algunas venta-
jas que hacen que se utilicen con frecuencia.

18. ESTRUCTURAS ISOSTA TICAS PLANAS 21
1.4.2 Determinación del grado de hiperestatieidad de una estruc-
tura
Se define el grado de hiperestaticidad de una estructura como la diferencia
entre el número de incógnitas (reacciones y acciones interiores) y el núme-
ro de ecuaciones de la estática.
A. Grado de una articulación.
Se dice que una articulación es simple cuando une dos elementos (Fig.
a)
Si los elementos unidos son tres, la articulación es doble, y, desde el
punto de vista de la estática, equivale a dos simples (Fig. 22.1).
a)
Figura 22.1
De modo similar se define la articulación triple, equivalente a tres sim-
ples (Fig. 23.1).
Figura 23.1
En general, si llamamos L al grado de una articulación, se tiene:
siendo n el numero de barras unidas por la articulación.

19. INTRODUCCIÓN. ANÁLISIS CINEMÁTICO
B. Grado de hiperestaticidad de un marco cerrado.
Veamos cuál es el grado de hiperestaticidad de un marco cerrado (Fig.
sTsúy
Figura 24.1
Dando una sección en la parte superior, y haciendo el cuerpo libre co-
rrespondiente, se tiene (Fig. 25.1):
'
Número de incógnitas - 6
licuaciones de la estática 3
Grado de hiperestaticidad = 3
,1X1 IX2
Figura 25.1
El mismo resultado se obtiene seccionando como se indica en la Fig.
26.1.
Número de incógnitas = 9
Ecuaciones de la estática = 6
(dos cuerpos libres).
X4¿-
X74-
í"
— 1*^ ,^**— frX4
X5"
-I" m^
Grado de hiperestaticidad = 3
I,
__!,} X3
1» Ix
Figura 26.1
Podemos concluir que todo marco cerrado (independientemente de que
sea un rectángulo, triángulo, anillo u otra figura geométrica cualquiera)
tiene un grado de hiperestaticidad igual aires.
Veamos cuál es el efecto de introducir una articulación simple en el
marco anterior (Fig. 27.1).

20. ESTRUCTURAS ISOSTÁTICAS PLANAS
S777>7
Figura 27.1
Seccionando por la articulación, se tiene (Fig. 28.1):
Número de incógnitas = 5
Ecuaciones de la estática = 3
Grado de hiperestaticidad = 2
T T
1X1 1X2
Figura 28.1
O sea. cada articulación simple reduce en uno el grado de hiperestatici-
dad.
Podemos, pues, decir que:
En una estructura reticular plana, el grado de hiperestaticidad es igual a tres
veces el número de marcos cerrados existentes menos el número de articu-
laciones simples: g.h. = 3m - a .
Ejemplos:
Marcos cerrados : 3
3m = 9
a-6
g.h. ^T
Figura 29.1

21. INTRODUCCIÓN. ANÁLISIS CINEMÁTICO
2)<Fig.30.1)
a =3
g.h. = 3
Figura 30.1
En ocasiones, como se ilustra en el ejemplo 3) (Fig. 31.1). no es fácil ver
el número m de marcos cerrados. En general, se demuestra que para los
ivticulados se cumple que:
m = h - n .
donde:
m es el número de marcos cerrados
b es el número de barras reales
n es el número de uniones, excepto los apoyos.
3 ) (Fig. 31.1)
O
Figura 31.1
(Nótese que no es una armadura, pues el vértice superior izquierdo es
continuo).
b-15
n= 6
m= 9
En las armaduras planas se demuestra que:
g.h. = b-2n ,
donde:
g.h. es el grado de hiperestaticidad
b es el número de barras reales
n es el número de uniones, excepto los apoyos.
a =22_
g.h.= 5

22. 1-S [ Rl iCTURAS ISOSTATICAS PLANAS
1.4.3 Ejercicios
25
Determinar el grado de hiperestaticidad de las siguientes estructuras (Fig.
32.1).
^
o o-
/W7X
Fiíiuru 32.1

23. Capítulo II
Análisis de armaduras
2.1 Definición
Las armaduras pueden definirse como un caso particular de reticulados
planos o espaciales, formados
generalmente por elementos de
eje recto que se unen por sus ex-
tremos en puntos llamados nudos.
Se considera que en tales nudos
están aplicadas las cargas que ac-
túan sobre la armadura y que los
mismos funcionan como articula-
ciones en el esquema de análisis.
Finura 1.2
(Fig. 1.2).
2.2 Análisis cinemático
Sea una armadura cualquiera (Fig. 2.2).
[27]

24. 28 ANÁLISIS DI- AK\IA¡>! i< \
(3.2.1)
Figura 2.2
Si n es el número de nudos, los grados de libertad serán 2- n.
Si b es el número de barras, y las ligaduras a tierra son tres, se cumplirá
que los grados de libertad, g. I., serán:
gl = 2-n-b-3, (1.2.1)
pues cada barra y cada ligadura a tierra eliminan un grado de libertad.
Una condición necesaria, pero no suficiente, para lograr la invanabilidad
cinemática es que g.l. - O; es decir,
2-n = b + 3. (2.2.1)
En los demás casos se tendrá:
Un mecanismo si 2 • n > b + 3
Un sistema hiperestático si 2 • n < b + 3 (4,2.1)
La ecuación (2.2.1) da la condición necesaria pero no suficiente, pues no
tiene en cuenta la disposición de las barras.
Ejemplo (Fig. 3.2).
n=6,b = 9
2-6 = 9 + 3
Sin embargo, la armadura es
cinemáticamente variable.
/^>*7
Figura 3.2
Por lo anterior, es más seguro proceder al análisis cinemático por discos.
como se indicó en la sección 12.
Por ejemplo, el disco I y el disco II de la figura 4.2 están unidos por una
articulación (1,2) y una barra: en consecuencia, forman un conjunto cine-
máticamente invariable. El análisis se prosigue en la forma acostumbrada.
Figura 4.2

25. ESTRU TIRAS ISOSTÁTICAS PLANAS 29
2.3 Métodos de análisis estático de armaduras
2.3.1 Tipos de armaduras
Atendiendo a su análisis, las armaduras pueden clasificarse en:
Cinemáticamente: Analizables por las reglas
de unión de 2 y 3 discos.
Simples ^
Estáticamente: Analizables por los métodos
conocidos de la estática.
Compuestas: Las constituidas por dos o más simples.
Complejas: Todas las demás.
2.3.2 Armaduras simples
2.3.2.1 Análisis cuantitativo
Existen varios métodos para determinar las fuerzas axiales en las barras de
una armadura isostática. Los más importantes son los siguientes:
Analíticos: método de los nudos y método de las secciones.
Gráficos: método de Maxwell-Cremona. y método de Culmann.
Analítico-gráfico: método de los trabajos virtuales.
Todos estos métodos son estudiados en los cursos de estática y los alum-
nos deben recordarlos. En especial se recomienda repasar el método de los
nudos y el de las secciones, pues se emplearán más adelante.
2.3.2.2 Análisis cualitativo
En el análisis cualitativo se trata de determinar el modo de trabajo (a trac-
ción o a compresión) de una barra, sin necesidad de realizar el análisis
cuantitativo de toda la armadura.
Conviene recordar que el punto de Ritter, de una barra de una armadura,
se define como el punto de confluencia de las otras dos barras mtersectadas
por un corte dado (Fig. 5.2).

26. 30 ANÁLISIS DI; ARMADURAS
En la figura 6.2 se representan
una armadura, una viga equiva-
lente (con la misma luz y las mis-
mas cargas que la armadura
f ilustrada), y el diagrama de mo-
mentos Héctores producidos por
el sistema de cargas P.
h25
R:5"
"ÍÍ7-
R
e/
M&}
Wv
R'T P, ,ft
\Ri
'"T°X
1 i
(+)
M5? Ri+Pr
* R^Y^R'+P!Í^
Figura 6. 2
V
'7/777
fe
¿
/$fr
'P2+P3, ^
/
1 RD
Para calcular la fuerza axial en la barra 3-5 se puede dar una sección a-a
y tomar momentos, respecto al punto R35. de todas las fuerzas a la iz-
quierda de a-a.
Mlzq - F R = O
1VI35 V15 R3S v
R35 =h,5 -cosa
Hn forma similar, para F25,
eos O
F35 • eos a =
'35
F25 -eos6

27. t'STRUTURAS ISOSTÁTICAS Pl.ANAS 31
Nótese que el signo de una F¡j cualquiera, depende del signo del M|^ y
déla h(] correspondientes.
Para h se adopta la convención de considerarla positiva si el punto de
Ritter se ubica arriba de la barra analizada, y negativa si el punto de Ritter
se localiza abajo de ella. Por ejemplo, en la figura 6.2, hls es positiva.
mientras que h25 es negativa.
El signo de los M1/q se toma en el diagrama de momentos de la viga
equivalente midiéndolo debajo del punto de Ritter correspondiente. En el
ejemplo analizado, tanto M"qs como M'-TJ son positivos.
Por lo tanto, F3, = = + : trabaja a tracción.
+
F,< = =- : trabaja a compresión.
Ejemplo:
En la armadura de la figura 7.2, indicar cómo trabajan los elementos D\,
D2 , V4 e 15. Considérense P\ ?2 = ?3 = ?4 •
Solución:
R¿Kjy
MDZ.Í-) iPi
i ~---
/^77A P .
A\A r» i
iRa
ÍP2 ÍP3 1
-^B MtL
Figura 7.2

28. 32 ANÁLISIS ni-. ARMADURAS
(Hn la figura 7.2 se indican, además de la armadura, la viga equivalente
y el diagrama de momentos Héctores correspondientes).
De acuerdo con la figura y lo expuesto anteriormente:
O
la diagonal D, no trabaja.
'DI
M*5 <Q
-=—=+: la diagonal D, trabaja a tracción.
hD1 <0
= —= - : el elemento vertical V4 trabaja a
hV4<0 -
compresión.
MB±°
h,< >0
= —= + : el elemento horizontal I < trabaja a
tracción.
Caso particular: Armaduras de cordones paralelos.
En el caso en que los cordones superior e inferior de la armadura sean
paralelos, es más fácil determinar el modo de trabajo de las diagonales por
medio del diagrama de fuerza cortante de la viga equivalente, que por el
método general.
Ejemplo:
Determinar, en la armadura de la figura 8.2, el modo de trabajo de las
diagonales DJ.IQ, D3_j0 y Dó-5 (Abajo de la armadura se ilustran la viga
equivalente y el diagrama de fuerzas cortantes correspondientes al sistema
de fuerzas dado).
2P

29. ESTRUCTURAS ISOSTATICAS PLANAS 33
Solución:
Cálculo de
RA -P, - D,0 cosa = D, eos a = R A - P, = V
Como D]_IQ trabaja en el sentido supuesto, se deduce que trabaja a trac-
cn.
Cálculo de 03.10
R\pi ~p: +D3-io -cosa = D3.I -cosa = - = -V
En virtud de que 03. \Q trabaja en sentido contrario al supuesto, se sigue
que trabaja a compresión.
Por lo tanto, se puede concluir que, en la zona de fuerza cortante positi-
va, las diagonales de la armadura trabajan a tracción si están colocadas del
extremo izquierdo superior al extremo derecho inferior, y que trabajan a
compresión en el caso contrario.
Ahora, ya en la zona de fuerza cortante negativa, se hace el cálculo de
D8-5.
R x - P, - P, - P3 - P4 + D..5 • cosa = O ;
D8_5 • cosa - -RA + P, + P2 + P3 + P4 = -V > O
Como D£_5 trabaja en el sentido supuesto, se deduce que trabaja a trac-
ción.
En conclusión, de un modo convencional se establece que, en la zona de
fuerza cortante negativa, las diagonales de la armadura trabajan a tracción
si están colocadas del extremo izquierdo inferior al extremo derecho supe-
rior, y que trabajan a compresión en el caso contrario.
Como recurso mnemotécnico puede emplearse el que se indica ensegui-
da:
V>0
c
V<0
c
2.3.3 Armaduras compuestas
Son armaduras en las que alguno o
algunos de sus elementos están
constituidos a su vez. por armadu-
ras independientes. (Véase la figu-
ra 9.2). En general, su análisis por
el método de los nudos o el de las
Figura 9.

30. 34 ANÁLISIS DE ARMADURAS
secciones, o ambos, es complicado, por lo cual puede ser más conve-
niente utilizar el método que considera que las armaduras simples que
componen el sistema cumplen las dos funciones siguientes:
a) Actúan como barras sencillas en la armadura total.
b) Como armaduras secundarias, transfieren sus propias cargas a sus
nudos extremos.
El método posibilita, separando estas dos funciones, la conclusión sin
dificultad del análisis del sistema.
Supongamos, por ejemplo, como se indica en la figura 10.2, a), que
ADE es parte de una armadura que contiene una armadura secundaria
CEFGH.
Ri
1F*
figura 10.2
Figura 10.2.b.
Para realizar el análisis, primeramente sustituimos la armadura secunda-
ria por una barra ficticia CE. y el sistema de cargas Pj. ?2- P}. que actúa
sobre ella, por un sistema estáticamente equivalente compuesto por dos
fuerzas paralelas. R] y R2, paralelas a su vez a la resultante de Pj, P^ y ?3-
actuando en C y E. (Véase la figura 10.2, b).

31. ESTRUCTURAS ISOSTÁTICAS PLANAS 35
Estas sustituciones no afectan ninguna barra de la armadura principal,
sino únicamente a las barras de la armadura secundaria, de modo que puede
precederse al análisis de la armadura principal, y obtenerse, incluso, la
fuerza axial S en la barra ficticia. Las fuerzas indicadas en C y E represen-
tan la acción de la armadura secundaria sobre la armadura principal. Invir-
tiendo el sentido de dichas fuerzas, como indica la figura 10.2.c). se tendrá
la acción de la armadura principal sobre la armadura secundaria, siendo ya
posible completar el análisis.
Ejemplo:
Determinar las fuerzas N2-g, N3_g y N3_4, en la armadura de la fiuura
11.2. P P
Ir- 1.5 m
'
*r
Figura
' ^
112
Fiaura 1 1.2
Solución:
En primer lugar, separamos el elemento secundario y lo sustituimos por
una barra ficticia 2-5, más las cargas estáticamente equivalentes a las que
actúan sobre él, pero aplicadas ahora en 2 y en 5, como se indica en la figu-
ra 12.2.
Figura 12.2

32. 36 ANÁLISIS DI; ARMADURAS
Después, analizamos esta última armadura mediante la sección 1-1. Con-
siderando el cuerpo libre de la izquierda.
SM, =0 : P'-8-P 4 + N2_5 -3 = 0
4
N - P
3P
Es decir, en la armadura principal, la fuerza N2 _ 5 es de compresión.
SM, =0 : P-4-N,_7 -3-0 .'. N,_7 =^P (T)
Del equilibrio del nudol:
Nl-7
sena =
. 3
3
cosa =
LFy =0 ; -N,_2 -sena + P-0
. N ._L_= P = 5P(C)
sen a 3/5 3
que comprueba el valor obtenido anteriormente para N
Del equilibrio del nudo 2:
P 5 4
= 0 : P-cosa- P + N-,-, -cosa = 0
3 3
4 54
N17 -cosa = P - P =0
3 3 5
Por simetría de las cargas y de la armadura, puede establecerse:
N5_7=N27=0 , N5() =N]:=^P (C), N6, =Nr -P(C).
Analizamos, acto seguido, la armadura secundaria (Fig. 13.2).
IP ' i
*2 5
N2-3 = -P
Figura 13.2

33. ESTRUCTURAS ISOSTÁTICAS PLANAS 37
Dando una sección como la indicada, y analizando el equilibrio del
cuerpo libre de la izquierda:
SM,=0 : 2-P-4Px -1.5-N; 8-1.5=0
J 1 ¿~o
.-. N2.8 =N8_5 =0
IM =0 : 4-P-2-P + 1.5-
-O : P-P-N3_8-sena =
2.3.4 Armaduras complejas
Hay armaduras cuyo análisis cinemático no es fácil de realizar por el méto-
do de los discos. Estas armaduras se caracterizan, además, porque su análi-
sis estático se dificulta mediante la aplicación directa del método de los
nudos o del método de las secciones. Tales armaduras se llaman complejas,
y sus análisis cinemático y estático pueden efectuarse por el llamado méto-
do de sustitución o de Henneberg.
Sea, por ejemplo, la armadura de la figura 14.2
p—t»
Figura 14.2
Como es fácil comprobar, la armadura ilustrada se caracteriza porque:
a) Su análisis cinemático sí puede completarse por el método de los dis-
cos.
b) Su análisis estático no puede realizarse fácilmente por la aplicación
directa del método de los nudos (en ella no hay ningún nudo con sólo

34. 38 ANÁLISIS DH ARMADURAS
dos incógnitas) ni del método de las secciones (cualquier sección que
se dé, corta más de tres elementos).
El método de análisis propuesto consiste en lo siguiente:
a) Se elimina cualquiera de las barras y se sustituye por una barra ficti-
cia, de modo que se garantice que la nueva armadura sea:
1) Invariable cinemáticamente.
2) Analizable por la aplicación directa de alguno de los métodos clá-
sicos.
Estas dos condiciones se representan en la figura 15.2. donde además
puede verse que la fuerza axial en la barra eliminada se mantiene en la
nueva armadura como incógnita X.
Figura 15.2
b) Se analiza la nueva armadura para las cargas externas (en este caso la
fuerza P), determinando las acciones N, p en cada barra (Fig. 16.2).
3 4 3.
•Na
Figura 16.2
c) Se repite el análisis, pero suponiendo ahora la intervención de las
cargas X=l (Fig. 17.2), para obtener las acciones n ¡x, en cada barra.

35. ESTRUCTURAS ISOSTÁTICAS PLANAS 39
Figura 17.2
La magnitud de las acciones inducidas por las verdaderas X puede cal-
cularse por el principio de superposición:
Nlv=nlx-X
d) Para que la superposición de los estados b) y c) equivalga a la solu-
ción de la armadura original, se necesita que la tuerza axial final en la
barra ficticia (barra inexistente en la armadura dada) valga cero:
N, •X = 0
N,
e) Una vez determinado el valor de X, la fuerza axial en cada barra se
calcula mediante el principio de superposición:
N, =N,p+n,v.X
Casos particulares:
Si nlx = O y Nip * O x = oo ; el sistema es crítico.
Si nix = O y N)P * O x = valor indeterminado; el sistema es variable.
Debe señalarse, por otro lado, que la sustitución de la barra puede hacer-
se interior o extenormente, siempre que se cumpla lo especificado en el
inciso a). (Véase la figura 18.2).
Figura 18.2

36. 4U ANÁLISIS ot ARMADURAS
Obsérvese también, para concluir, que la sustitución puede hacerse
dos o más barras (Fig. 19.2).
en
/7&7 TÍW
Figura 19.2
En este caso habrá que plantear dos ecuaciones para determinar X \ X 2'
*-. V i v-i V
nn ' Ai +ni: ' A:
,n-,. -X, + n-,-, -X-,
=01
donde n,¡ es la fuerza axial en la barra ficticia i, producida por la fuerza
x =1, y Njp es la fuerza axial en la barra ficticia i, producida por el siste-
ma de cargas dado.
Ejemplo:
Analizar la armadura compleja de la figura 20.2.
10
Figura 20.2
Solución:
Para llevar a cabo el análisis, se puede
eliminar el apoyo 2-7 e introducir el apoyo
ficticio 5-0 (Fig. 21.2),

37. ESTRUCTURAS ISOSTATICAS PLANAS 41
Figura 21.2
En la segunda columna de la tabla siguiente, están anotados los valores
de las fuerzas axiales originadas en cada barra de la armadura de la figura
17.22 por el sistema real de cargas (en este caso la fuerza P); y. en la terce-
ra columna, las acciones originadas por el valor supuesto de las X. Unos y
otros valores se obtienen fácilmente por la aplicación directa del método de
los nudos.
BARRA
1 -2
2-3
3-4
4-5
3-5
5-6
5- 1
I -6
6-8
4-9
4- 10
3-7
5-0
N ¡ p
0
0
0
p
0
0
V2P
-P
-p
0
p
p
N¡X
V2/2
V2/2
1
0
-V2/2
0
-\2 2
1
1
1
0
1
-1
N jp+n,x X
V2-P/2
V2'P/2
P
P
-V2-P/2
0
V2-P/2
0
0
p
p
p
0
Por la condición de equivalencia debe cumplirse:
Sustituyendo:
P-I-X = 0 /. X = P
Una vez calculada X, se obtienen los valores N i definitivos por super-
posición (véase la cuarta columna de la tabla anterior).
Debe notarse que N50 y n50 * O, por lo que el sistema original es cine-
máticamente invariable.

38. 42 ANÁLISIS Dt ARMADURAS
Ejercicios:
Analizar, por el método de Henneberg, las armaduras que se indican en
la figura 22.2.
P
Figura 22.2
2.4 Armaduras de configuración racional
2.4.1 Definición
Las armaduras de configuración racional son armaduras en que las diago-
nales no trabajan bajo ciertas condiciones de carga vertical.
Como su definición implica, éstas tienen, por lo general, la ventaja de
una construcción más económica que la de otro tipo de armaduras.

39. ESTRUCTURAS ISOSTÁTICAS PLANAS 43
La configuración racional de la armadura se logra si ésta se construye de
forma tal que la proporción entre las longitudes de sus montantes sea la
misma que entre las ordenadas de los momentos flectores correspondientes
en la viga equivalente.
2.4.2 Armadura de configuración racional sometida a cargas
concentradas
Supongamos que se trata de salvar un claro L (Fig. 23.2). con una armadu-
ra que sea de configuración racional para las cargas concentradas indica-
das. (En la propia figura 1.23 se indican la carga equivalente y el diagrama
de momentos flectores debido a las cargas que actúan, suponiendo Pj = ?~>
Se puede demostrar que, si la armadura se construye de forma tal que:
M. M, Mn
<Ai
los puntos de Ritter de las diagonales corresponden a ordenadas de momen-
tos flectores nulos.
Por tanto,
D, -cosa = 0
D. -O
Figura 23.2

40. 44 ANÁLISIS DF ARMADURAS
Luego se localiza el punto C (y sus similares, puntos en que los momen-
tos Héctores son nulos), y sobre él el punto R DI ° punto de Ritter para la
diagonal D\ La unión R pl con un punto cualquiera de la vertical h2.
define el elemento S] e inmediatamente el SQ. La construcción de la arma-
dura se prosigue en forma semejante.
Se demuestra fácilmente que la construcción anterior equivale a lo ex-
presado por la ecuación (A):
h, h, 0M, M,
• = , tan 6
b a b
tan a
tanp
tan a
M, M.
h, h, hn
El análisis se completa en forma por demás sencilla. Si el cordón inferior
de la armadura es recto, se tiene:
a) Montantes:
Si la carga está en el cordón inferior: Vn = P n.
Si la carga está en el cordón superior: Vn = 0.
b) Cordón inferior:
,Vn
O
In-.
c) Cordón superior
, =Sn -cos<t>n
Por tanto, las proyecciones hori-
zontales de las fuerzas axiales, en los
elementos del cordón superior, son
iguales.
2.4.3 Armadura de configuración racional sometida a carga uni-
formemente distribuida
En este caso, el diagrama de momento Héctores en la viga equivalente es
parabólico y, por lo tanto, el cordón superior de la armadura deberá aproxi-
marse a dicha configuración (véase la figura 24.2).

41. ESTRUCTURAS ISOSTATICAS PLANAS 45
Figura 24.2
Veamos cómo trabajan los elementos:
a) Montantes:
b) Cordón inferior:
I? -COS<p¡ =
\
1VIRI
Ordenada de la parábola: y =az- * bz - c.
Si,
z = 0 y = 0 /.
/. a =
L
z=
a-L- b-L -bL- b-L b-L
;H = - + = +
4 2 L 4 4
4-H -4-H
/. b = - ; a = -
L L-
4-H
y- — z(L-z)

42. 46 ANÁLISIS DE ARMADURAS
L
Si z = , sustituyendo, se obtiene:
8-H
valor idéntico para todos los elementos del cordón inferior.
c) Cordón superior: (igual que en la sección 231):
Sn_| -cosíj),,^, =Sn -cos<t>n

43. Capítulo III
Líneas de influencia
3.1 Definición
Una línea de influencia es un gráfico que da la variación de una reacción,
acción interior (M. V. N), desplazamiento (lineal o angular), en una sección
determinada de una estructura, cuando sobre ésta actúa una tuerza, en ge-
nera) vertical, unitaria y móvil (Fig. 1.3).
7 P=l
TTTfr R
M
V
Figura 1.3
[47]

44. 48 LÍNEAS DF INFLUENCIA
3.2 Líneas de influencia en vigas
3.2.1 Líneas de influencia de las reacciones de apoyo
Sea la viga AB sobre la que se mueve la carga vertical P =1, cuya posición
en un momento determinado está dada por la abscisa "z" a partir de A (Fig.
2.3, a).
- Ií
c)
Figura 2.3
Inmediatamente se establece que
P-'-Z
t.i. RB
l.i. R,
L
es la ecuación de la variación de la reacción en B; esta ecuación es la de
una línea recta, y bastará definir dos puntos de la misma para trazarla (Fig.
2.3, b).
Si z = O, RB = 0;
si z = i, RB = i.
En forma similar, para la reacción en el apoyo A,
R =líki?)
1
también es la ecuación de una línea recta, para cuyo trazo basta conocer
dos de sus puntos (Fig. 2.3. c):
para z = O, RA = 1 •
para z = 1. RA = 0.
Puede señalarse desde ahora como una característica de las líneas de
influencia (no importa de qué reacción o acción interior), de estructuras
isostáticas. el estar compuestas de tramos rectos exclusivamente.

45. ESTRUCTURAS ISOSTATICAS PLANAS 49
3.2.2 Línea de influencia del momento flector para una sección
entre apoyos
Sea la viga AB, y sobre ella una sección C situada a las distancias "a" y "b"
de los apoyos (Fig. 3.3). Para obtener la variación del momento flector en
C, para distintas posiciones de la carga, es necesario definir dos posiciones:
1 °) P a la izquierda de C : O < z < a.
Mc = RR-b = -b { z = a:Mc .—
L i
.'. I.i.Mc =(l.i.RB)b
l\izq
a)
b)
Figura 3.3
Mientras la carga está a la izquierda de C, son válidas las ordenadas de
la línea de influencia de RB multiplicadas por b.
2°) P a la derecha de C : a < z < 1.
L-z
M =Rv-a= • --a
L
.-. l.i.Mc =(l.i.RA)a
a-b
siz = a M. =
En tanto la carga está a la derecha de C, son válidas las ordenadas de la
línea de influencia de RB. multiplicadas por b.
Lógicamente, las dos rectas anteriores tienen la misma ordenada bajóla
sección C.

46. 50 LÍNEAS DE INFLUENCIA
3.2.3 Línea de influencia de la fuerza cortante para una sección
entre apoyos
De nuevo habrá que distinguir dos posiciones de la carga P=l.
1°) P a la izquierda de
z
C
C: 0<z<a.
Figura 4.3
R--T
.•.U.VC=(LLRBX-1)
si z - O , Vc = O
si z = a. V, = - -
L
2°) P a la derecha de
C: a<z<l.
Vc =R,X /. U. Vt = l.i. Rx
L-a b
si z = a , V, =
L L
si z = L . Vc = O
Debe notarse de nuevo la existencia de dos rectas: "izquierda", válida
para las secciones a la izquierda de C, y "derecha", válida para las seccio-
nes a la derecha de C.
3.2.4 Línea de influencia del momento flector y de la fuerza cor-
tante para una sección C en un voladizo
Se trata de definir las líneas de influencia de M y V cuando la sección C
pertenece a un voladizo (Fig. 5.3).
| C C C
Figura 5.3
a) Momento Héctor:
1") P a la izquierda de C (figura 6.3):
Mc -O
la recta izquierda tiene ordenadas nulas.

47. CS I R! (TURAS ISÜS TÁ 11CAS Pl.ANAS 51
_Z_JP=1 Z
2°) Pala derecha de C:
*i
B
Figura 6. 3
n C
'1, >c
Figura 7.3
b) Fuerza cortante: (Fig. 8.3):
ip=i
Fjgura s ,
P=l
= 0. Mc=0:
= a, Mt. =-P -a.
la línea de influencia está repre-
sentada en la misma figura.
Si el empotramiento está en B.
la línea de influencia se obtiene
en forma semejante a ia anterior
(véase la figura 7.3).
1°) P a la izquierda de C:
v.=o
2°) P a la derecha de C:
V. = P = 1 = const.
i r
Figura 9.3
Si el empotramiento está en B, se
obtiene sin dificultad la l.i. de la fi-
gura 9.3.

48. 52 LÍNEAS Dt-INFLUENCIA
3.2.5 Transmisión indirecta de la carga
En ocasiones ocurre que la carga no actúa directamente sobre el elemento
que se está analizando, sino que se transmite a éste por medio de elementos
secundarios (Fig. 10.3).
secundarios i P ^secundarios
r
Entendemos, en este caso, por elemento principal, el que se sustente por
sí mismo, y por elementos secundarios, los que requieren del principal,
como apoyo, para garantizar su mvanabilidad cinemática.
En la figura 10.3 son elementos principales la viga AB y el arco inarti-
culado ABC. siendo secundarios todos los demás elementos.
Veamos cómo se construye la línea de influencia en estos casos:
Sea la viga principal AB, y sobre ella una elemento secundario DE (Fig.
11.3). Supongamos que interesa la l.i. del momento en C. cuando la carga
se mueve según la línea de puntos.
PD P=l PE
/TTTft
'Lf
Figura 11.3

49. ESTRUCTURAS ISOSTÁTICAS PLANAS 53
VD
Figura 11.3
Se construye la línea de influencia del momento en C como si no existie-
ra el elemento secundario. En tanto la carga se mueve sobre la viga princi-
pal, será válida la línea de influencia que acabamos de trazar; es decir, la
recta izquierda es válida desde el extremo del voladizo hasta el punto D. y
la recta derecha desde E hasta el extremo del voladizo.
Cuando la carga P=l pasa al elemento secundario DE, aquélla se puede
descomponer en dos cargas estáticamente equivalentes que actúan en D y
E.
L. -z
P =—' v
L,
Por definición de l.i. debe cumplirse:
p _A
rE ~
•yE
La ecuación anterior corresponde a una línea recta, la cual puede ser
trazada conociendo dos de sus puntos.
Siz = O.Mc =yD;
La siguiente puede ser una regla práctica para trazar la línea de influen-
cia en estos casos;
1 . Se construye la linea de influencia deseada como si no existieran ele-
mentos secundarios.
2. Se definen las zonas válidas de dicha línea de influencia.
3. Se definen dos punto de "la recta de transmisión" o tramo de la línea
de influencia que corresponde a la carga sobre el elemento secunda-
rio. En general, los dos puntos más convenientes corresponden a po-
siciones de la carga unitaria sobre los apoyos.
4. Se traza la recta de transmisión.

50. 54 LÍNEAS DF. INFLUENCIA
3.2.6 Ejemplos
Ejemplo 1.
Construir las líneas de influencia del momento flector y la fuerza cortan-
te en las secciones C\ C2; C2 está justo bajo el apoyo del elemento se-
cundario. La carga se mueve según indica la linea de trazos (Fig. 12.3).
%7ffJ
•=
"^^^jjjIJJiJ^
bj/L
/7/&7
D, l.
D, l.i. Vr.
> l.i. Mr-
I>> l.i. Vr? fiza)
l.i. V C2
Figura 12.3

51. ESTRUCTURAS ISOSTÁTICAS PLANAS
.
Solución:
a) l.i. del MCI, (Fig- 12-3):
Se construye la l.i. como si no existiera el elemento secundario. De esta
línea de influencia, sólo es válida la parte de la recta izquierda marcada con
trazo continuo, pues la carga sólo se mueve en el tramo de la viga principal
que corresponde a la parte mencionada.
Cuando la carga pasa al elemento secundario, es necesario definir dos
puntos para poder trazar la recta de transmisión correspondiente. En gene-
ral, estos dos puntos se obtienen para posiciones de la carga sobre los apo-
yos del elemento secundario.
Así, si P=l está sobre el apoyo E, toda la carga se transmite por dicho
apoyo a la viga principal, a la izquierda de C. y el valor de M^] estará
dado por la ordenada medida bajo E. en la recta izquierda; es decir, es váli-
do el punto E] sobre la recta izquierda. Si P=l está sobre el apoyo D. toda
la carga se transmite a tierra y el momento en C\á nulo; o sea. la orde-
nada de la línea de influencia debe ser cero. Por tanto, es válido el punto
D]. Uniendo D\ E\e obtiene la recta de transmisión, que se prolonga a
la izquierda de E] hasta donde termina el voladizo.
La zona rayada es la que indica la línea de influencia definitiva.
En forma similar se obtienen las demás líneas de influencia. Sólo hay
que hacer una salvedad con ía J.j. de la fuerza cortante en C?-
La sección C? coincide con el apoyo E. en el que lógicamente debe apa-
recer una reacción cuando la carga está sobre el elemento secundario,
transmitiéndose parte de la carga a la viga principal por ese punto. Por otro
lado, como se sabe, el diagrama de la fuerza cortante sufre una discontinui-
dad donde actúa una carga concentrada, quedando la fuerza cortante defi-
nida sólo para una sección infinitamente próxima por la derecha y para una
sección infinitamente próxima por la izquierda, ambas respecto al punto de
aplicación de la carga.
Por lo anterior, será necesario construir dos líneas de influencia de la
fuerza cortante en C2: una para la sección infinitamente próxima por la
derecha y otra para la infinitamente próxima por la izquierda. Cuando C>
está infinitamente próxima por la izquierda, la carga que se transmite por I
pasa a la derecha y el punto £2 pertenece a la recta derecha. Cuando C 2
está infinitamente próxima por la derecha, el punto H2 pertenece a la recta
izquierda.

52. 56 LÍNKAS oh: INFLUENCIA
Ejemplo 2.
Construir las líneas de influencia de
indicado en la figura 13.3.
M(^2- MD y Vrj para el sistema
/WíV
2'Sec.
I
l'Sec
Hi
U MCI
'ízq
l.ÍMc2
l.iMD
dci
h,

53. ESTRUCTURAS Isosi ÁTICAS PLANAS 57
Solución:
La diferencia respecto al ejemplo anterior, estriba en que ahora tenemos
dos elementos secundarios, EF y GH; uno de ellos, el EF, es principal res-
pecto al otro, pues no requiere de él para sustentarse.
El procedimiento que hay que seguir, será en todo similar al indicado
anteriormente: primero, se construye la linea de influencia como si noexis-
tiera ningún elemento secundario; a continuación se consideran las modifi-
caciones introducidas por el primer elemento secundario, el EF; y, por úl-
timo, se analizan los cambios que produce el elemento GH.
De nuevo conviene destacar el hecho de que para la fuerza cortante en D
será necesario construir dos líneas de influencia, por la discontinuidad que
introduce la carga concentrada del apoyo.
Ejemplo 3.
Construir las lineas de influencia de M\ Mg para el sistema de la
figura 14."1
C D
... - \ !
G
. .
//fw' S7&7
bf
Di. ff».
l.iM*
Figura 14.3

54. 58 LÍNI.AS DI INFLUENCIA
.i. Mí
El Sec.
Figura 14.3
Solución:
En este caso, la viga principal está constituida por el elemento CDEF. y
el resto del sistema, en su totalidad, por elementos secundarios.
Al construir la línea de influencia de Mg debe observarse que. cuando la
carga se mueve de C a D, se transmite al elemento interior, a través del
elemento rígido, como una carga más un momento. Este momento introdu-
ce una discontinuidad similar a la que introduce la carga concentrada en el
diagrama de tuerza cortante, y será necesario analizar, respecto de B. una
sección infinitamente próxima por la derecha y otra infinitamente próxima
por la izquierda.
3.2.7 Aplicación a vigas continuas isostáticas
El sistema adopta, en ocasiones, la forma indicada en la figura 15.3. Las
líneas de influencia en estos casos se obtienen en modo semejante al visto
anteriormente, si primero se sustituye el sistema dado por otro compuesto
de elementos principales y secundarios, de acuerdo con la definición dada
en la sección 315.
B D
-
H
S??ff7
•
a)
D
b)
G
/7&77
H
SJ7W
Figura 15.3

55. ESTRUCTURAS ISOSTÁTICAS PLANAS
Así. en la viga continua de la figura 15.3. a), son principales los tramos
BCDE y FGH, y son secundarios (se apoyan en los principales) los tramos AB
y EF. de acuerdo con esto, el sistema dado puede representarse por el es-
quema de la figura 15.3, b), y en éste se pueden construir las líneas de in-
fluencia, tal como se indicó en la sección 315.
Ejemplo:
Construir las líneas de influencia de Mj. M2 y M3. en la viea de la figu-
ra 16.3.
.A B C D E F
A-
X^7
/7fy7
X^
/7fy7
?
D
E'
/Tfy?
/7¿fr>
C' G
U.MI
i.M2
E'
D'
Figura 16.3

56. 60 LÍNP.AS DF INFLUENCIA
3.3 Líneas de influencia en armaduras
3.3.1 Líneas de influencia de las reacciones de los apoyos.
Las reacciones de apoyo son independientes de que el sistema apoyado sea
una viga o una armadura, por consiguiente, las líneas de influencia de las
reacciones serán idénticas en ambos casos (Fig. 17.3).
U.
l.i. RB
Figura 17.3
3.3.2 Líneas de influencia de las acciones de las barras
Son dos los métodos que generalmente se utilizan para construir las líneas
de influencia de las acciones en las barras: el método de las secciones y el
método de los nudos, cada uno derivado del correspondiente método de la
estática para el análisis de armaduras bajo cargas estáticas.

57. ESTRU TURAS ISÜSTATICAS PLANAS 61
l.i. 03 (carga por
abajo)
I.i. V3 (carga por
abajo)
Telar
l.i. V3 (carga por
arriba)
3d/r
l.i. 05 (carga por
abajoí
l.i. [5 (carga por
abajo)
I

58. 02 LÍNEAS DI-: INFLUENCIA
A) Método de las secciones. La base del método es dar una sección que
corte el elemento cuya línea de influencia se quiere calcular; como vere-
mos, ésta se construye a partir del equilibrio de cada una de las partes de la
armadura seccionada.
Sea por ejemplo la armadura de la Fig. 18.3 para la que se van a cons-
truir las líneas de influencia indicadas:
a) Línea de influencia de la fuerza axial en 03 (suponiendo que la carga se
mueve por abajo).
Damos la sección 1.1 y analizamos los dos casos:
1°) P a la izquierda de C: Conviene examinar el equilibrio de la parte de-
recha:
D- -sena +RB =0;.*.D3 =- - • RB (r.izquierda)
sena
2°) P a la derecha de C: Hacemos el cuerpo libre de la parte izquierda:
1
a
Di R A - D, • sena = O
1
sena
R . (r.derecha)
RA
Cuando la carga se mueve entre C y D la transmisión es un línea recta.
Obsérvese que las rectas izquierda y derecha son paralelas y por lo tanto
se cortan en el infinito, bajo el punto de Ritter del elemento 03. Puede de-
mostrarse que siempre, ambas rectas se cortan bajo el punto de Ritter co-
rrespondiente al elemento analizado,
b) Linea de influencia de V3 (si la carga se mueve por abajo):
Se da la sección 2.2 y se plantea el equilibrio de los cuerpos libres.
lü) P a la izquierda de C: Se analiza el cuerpo libre de la derecha.
RB = Vj (r. izquierda)
RB

59. 1-S I RUCTURAS ISOSTÁTICAS PLANAS 63
2°) P a la derecha de D: Analizamos el cuerpo libre de la izquierda.
V- = -R A (r. derecha)
Como siempre, ambas rectas se cortan bajo el punto de Ritter (en este
caso en el infinito) y la transmisión es una línea recta.
c) Línea de influencia de V3 (si la carga se mueve por arriba):
Sirve la misma sección 2.2, pero la recta de transmisión será EF.
1°) P a la izquierda de E: Analizamos el cuerpo libre de la derecha, que
es el mismo que se utilizó para P a la izquierda de C:
.-. V3=RB
2") P a la derecha de F: Analizamos el cuerpo libre de la izquierda (ver P
a la derecha de D):
V, = -RB
Como se ve, la línea de influencia de es muy parecida en ambos casos
(carga por abajo o carga por arriba) variando la transmisión.
d) Linea de influencia de 05 (carga por abajo):
La sección 3.3. que es la conveniente, cae en la zona del voladizo y con-
viene analizar en ambos casos, (carga a la izquierda de B y carga a la dere-
cha de G) el cuerpo libre a la derecha de la sección, pues en el cuerpo libre
a la izquierda intervienen R.\ Rg. además de 05. quedando por lo tanto,
expresada la línea de influencia de ésta en función de las dos reacciones.
Conviene, así, proceder como se indica:
D P a la izquierda de B: Analizamos la parte derecha:
Rü5
, 90°
MRI)5 -0.
Ds -O
(r.-izquierda).
2°) P a la derecha de G: analizamos también la parte derecha:
Rl5
'
r
~
(r. derecha)

60. 64 LÍNHAS DE INFLUENCIA
e) Línea de influencia de ¡5 (carga por abajo).
Sirve la misma sección 3.3 y el razonamiento es en todo análogo al caso
anterior, variando sólo el punto de Ritter:
1°) P a la izquierda de B:
IMRI5 =0
I5 -d = 0
I. =0 (rect.izq.)
2tl) Pala derecha de G:
ZMRI5 =0
_z fz = 0. I5=0
- 's=-¿ jz = d, I5=.
(rect. der.)
Nótese cómo ambas rectas (izquierda y derecha) se cortan bajo el punto
de Ritter del elemento 15.
B) Método de los nudos. La construcción de las líneas de influencia por el
método de los nudos, se basa en el estudio del equilibrio de un nudo al que
esté conectado el elemento analizado.
Sea por ejemplo, construir las líneas de influencia indicadas para la ar-
madura de la figura 19.3.
.i.V3
U. V5
Figura 19.3

61. ESTRI vii :RAS Isos TATICAS PLANAS (ó
Solución:
1°) Línea de influencia de V3 (la carga se mueve por abajo).
Se da una sección, como la 1-1 que aisle al nudo A, cuyo equilibrio se
analiza para tres distintas posiciones de la carga unitaria P=l.
a) P a la izquierda de F:
l
RA
b) P a la derecha de ( :
(recta derecha»
c) Pen A:
RA
V3
P=l
l
-I: v3=o
En este caso habrá dos rectas de transmisión, que corresponden al des-
plazamiento de F hacia A y de A hacia C, respectivamente.
2") Línea de influencia de V5 (la carga se mueve por abajo).
Mediante la sección 2-2 se aisla al nudo D. y luego se procede al análisis
de su equilibrio para tres posiciones de P.
a) P a la izquierda de C:
V5
V"5=0 (recta izquierda).
bí P a la derecha de E:
D
V5
5=0 (recta derecha).
D

62. 66 LÍNEAS on INFLUENCIA
c) P en el nudo D:
V5
|p=l
h. V5=l.
La línea de influencia se completa trazando las dos rectas de trasmisión
CD y DE.
En general, este método es menos útil que el método de las secciones, ya
que, casi siempre, las líneas de influencia quedan expresadas en función de
las correspondientes a otros elementos de la armadura.
En ocasiones conviene aplicar los dos métodos en la solución de un pro-
blema, sobre todo cuando una línea de influencia queda expresada en fun-
ción de otras.
Ejemplo.
Construir la línea de influencia de V3, para la armadura de la figura 20.3.
l.i. V¿ (Carga por
abajo).
i.i. V2 (Carga por
arriba).
\.
(Carga por
abajo).
Figura 20.3
.i. V3 (Carga por
arriba).

63. ESTRUCTURAS ISOSTÁTICAS PLANAS 67
Solución:
Haciendo el análisis, bien por el método de los nudos, bien por el de las
secciones, de cualquier modo ía fuerza axial en V3 queda expresada en
función de la tuerza axial en algún otro elemento de la armadura.
Dando, por ejemplo, la sección 1-1, y si la carga va por abajo, considera-
remos las posiciones siguientes:
1°) P a la izquierda de M. Analizando el equilibrio de la parte de la ar-
madura situada a la derecha de la sección indicada:
V3=RB-V:
2°) P a la derecha de N. Analizando el equilibrio de la parte a la izquier-
da de la misma sección 1-1:
V3 = -RA-V2 = -RA
(Pero V?=0, cuando P está a la derecha de N).
En el primer caso, o sea, cuando P se encuentra a la derecha de M, V3 es
función de la correspondiente reacción de apoyo y de V2- por lo que será
necesario disponer de las líneas de influencia de Rg y \2- La de ésta últi-
ma se obtiene fácilmente por el método de los nudos, y luego se procede a
la superposición indicada por la ecuación deducida para dicho primer caso.
Si la carga va por arriba, el análisis se simplifica, pues no hay posibili-
dad de situar la carga a la izquierda de S, y bastará considerar P a la dere-
cha de T. Analizando, pues, el equilibrio de la parte izquierda:
v. =-R ,
que puede construirse de inmediato.
3.4 Utilización de las líneas de influencia
3.4.1 Caso de cargas concentradas fijas
Pl, ?2, P,, Pn,
A 1 . r "i" "i
Sean una viga ABC (Fig. 21.3)
y la línea de influencia de la
fuerza cortante en C. Si sobre la
viga actúa un sistema de cargas
Pl, P2, .... P¡, .... Pn fijas, la
fuerza cortante en C valdrá, de
acuerdo con la propia defini-
ción de línea de influencia.
Figura 21.3

64. 68 LÍNEAS DH INFLUENCIA
V3 = -P, - Y, + P: - Y, + ...P, - Y, + ...P,, - Yn = SP, - Y,
3.4.2 Caso de cargas distribuidas fijas
q d/
/'
13
-4
/-a
/=b
Y m -
Figura 22.3
3.4.3 Caso de momento puro fijo
A
-f
B
M
Figura 23.3
sobre la viga
actúa una carga distribuida en el
tramo ab (Fig. 22.3). se obtiene:
i
V= (q(z)dz-Y
b
Siq(z) = const.
Si sobre la viga actúa un mo-
mento fijo (Fig. 23,3), el mismo
puede sustituirse por dos fuer-
zas iguales y de sentido contra-
rio, de modo que se cumpla.
P =
M
Az
Según la sección 330:
= M
Az
f z + — - f z ----
Az

65. ESTRUCTURAS ISOSTÁTICAS PLANAS 69
Es decir, la acción considerada se calcula como el producto del momen-
to por la pendiente de la línea de influencia en el punto de aplicación del
momento.
3.4.4 Caso de cargas móviles. Determinación de la posición más
peligrosa
Se entiende por posición más peligrosa de la carga, aquélla en que se pro-
duce el máximo valor de la acción que se está analizando.
l)Si se trata de una carga única concentrada, la posición más peligrosa
será la que coincida con la ordenada máxima de la línea de influencia.
2) Si se trata de un tren de cargas, es decir, de un sistema, tal que las dis-
tancias entre las mismas permanecen fijas, para determinar la posición
más peligrosa conviene establecer previamente los siguientes teoremas.
a) Teorema sobre los tramos rectos de la línea de influencia
Sea un tren de cargas Pj, ?2 Pj Pp X 'a Mnea de influencia S de
una acción cualquiera (Fig. 24.3).
"i I "I
d-
. 1
l.i.S.
O ~ —• ~~ " "
Figura 24.3
S=ZP, -Y,

66. 70 LÍNEAS DE INFLUENCIA
Pero Y, =Zj -tga
/. S = SP¡ -Z, -tgct-tga-SP, -Z,
Por otro lado. IP, -Z, =R-ZR
.-.S-R-Y,
Cuando la linea de influencia es una recta, puede sustituirse el sistema
de cargas dado, por su resultante y efectuarse los cálculos que se deseen
multiplicando dicha resultante por la ordenada correspondiente en la línea
de influencia.
b) Teorema sobre la línea de influencia quebrada
Cuando la línea de influencia es quebrada, para que la posición sea peli-
grosa debe cumplirse primero que al menos una de las cargas esté situada
sobre alguno de sus vértices.
Sea una línea de influencia quebrada, correspondiente a una acción cual-
quiera S (Fig. 25.3). Supongamos que en la posición I. al menos una de las
cargas, la P,, por ejemplo, está sobre un vértice y que. además, esta posi-
ción corresponde a lo que hemos definido como posición peligrosa.
Pl, . P2, - Pj, . P4, , Pn -
_ii f_t f-i i_y ti
Pn
Ax
l^x
T
Figura 25.3
Si. como decimos, la posición es crítica o peligrosa, debe cumplirse:
Dando al tren de cargas un desplazamiento Ax hacia la derecha, la va-
riación de S valdrá:
i j i
Ay, = Ax • tga
.'. AS = Ax • SP, • tg a
Pero AS < O, pues la posición es peligrosa, y:

67. ESTRUCTURAS ISOSTÁTICAS PLANAS 71
Ax > O , pues es el desplazamiento es en sentido positivo.
.'. SPj -tgct<0 (1)
Si se da ahora un desplazamiento Ax hacia la izquierda, a partir de la
posición I. se tiene:
AS = SP, - Ay,
Ay¡ =Ax-tga,
Pero AS < O y Ax < O
:. SP, -tga>0 (2)
Para que se cumplan í 1) y (2) se necesita que al menos una P esté sobre
un vértice de la linea de influencia.
La posición peligrosa ocurre cuando una de las cargas está sobre un
vértice y se cumplen las condiciones (1) y (2).
En general, habrá varias posiciones peligrosas y será necesario comparar
los valores de S para cada una de ellas.
Ejemplo.
Calcular la posición más peligrosa del tren de cargas de la Fig. 26.3.
para la línea de influencia que se indica.
r~
\
1 1
3.5 tn. c/u
3 tn c/u
3-45 6
I i 1 í \ tn. c/u
8 9
) I
. _J _ _ i^ _1 L* . ^«J
4.5
8.(xr
Figura 26.3
-0.25

68. 72 LÍNFAS DF INFLUENCIA
Solución:
Supongamos que el tren entra por la derecha.
Mientras las cargas estén a la derecha de b, todas las tgcti <0.
h
y SR -tga, <0.
1=1
Analicemos la posición correspondiente a la carga & sobre el vértice b,
(Fig.27.3).
h
a
6
4.8 3.2 2.2
0.8
Figura 27.3
Desplazando 3) a un Ax hacia la derecha de b:
IR • tga, =2-3.5-- -3-3.5- 1-2-3-- = ~ - <0.
8 16 8 32
Desplazando 3> a un Ax hacia la izquierda de b:
IP, -tga, -3 -3.5-- -2- 3.5-- -2-3- - = ->0.
8 16 88
Por tanto, la posición analizada es una posición peligrosa.
Analicemos a continuación ® sobre b (Fig. 28.3).
h
1 2
S ,-) 0
- — 3.2 ~ 1.6*t~U
3
r.
)H*-
4 6 . 8
c> n o n --v H o
1 J^J
UffT* l.d*T 24 3.8^
9
o
7
Figura 28.3
Dando un Ax hacia la derecha de b:

69. ESTRUCTURAS ISOSTÁTICAS PLANAS 73
SP -tga, =3-3.5-- -2-3.5- -1 -2-3-- = ->0.
¡-i ' 8 16 8 8
(D sobre b no es una posición crítica o peligrosa.
De modo similar se procede con <§) y ©.
Supongamos que seguimos moviendo el tren hacia la izquierda hasta que
•J) quede bajo b. (Fig. 29.3).
h
- 4- —1 -2.4-
1.1 1.6 I 6
Figura 29.3
Desplazando (D a un Ax a la derecha de b:
1 1 12 30 18
IP • tg a, = 3 2 - 15 • — • 2 = - - < 0.
2 16 16 16 16
Desplazando 1 a un Ax a la izquierda de b:
IP, -tga, =2-3- ]- -15- --15-—=-->0.
16 16
(D sobre b es otra posición peligrosa.
El análisis se completa examinando posiciones de las cargas bajo el otro
vértice, c. de la línea de influencia y siguiendo después el mismo proceso,
pero con el tren entrando por la izquierda.
Para diseñar, hay que calcular los valores de S para todas las posiciones
peligrosas y tomar el mayor de dichos valores.
3.4.5 Caso particular de línea de influencia triangular
Los cálculos anteriores se simplifican mucho cuando la línea de influencia
considerada es triangular (Fig. 30.3).
Para averiguar si la situación de una carga cualquiera P sobre el vértice
constituye una posición peligrosa:
1) Demos a PC un Ax hacia la derecha:

70. 74 LINEAS DE INFLUENCIA
R, -tga, + P, -tga, +R0-tga: <0
h h
tga, - , tga, =-
a L-a
Pc -h RD -h
<0
T
Ri
a L-a L-a
R,(L-a)-(Pc + R())a<0
R , -L -{R, + Pc + RD)a<0
R
s- D
i < KT • —
u_L_Ui_L
I
f
RD
i
Figura 30.3
2) Demos a continuación a PC un Ax hacia la izquierda:
- - R , - -
a L - a
>0
R,(L -a)+ Pc(L -a)-RD -a >0
R , - L + Pt L -(R , + Pc + R n)a > O
a
R , + P, > R (2)
De acuerdo con lo anterior, para que una posición dada sea peligrosa, en
el caso particular de línea de influencia triangular, se necesita que una de
las cargas esté sobre el vértice y que se cumplan las condiciones (1) y (2).
Ejemplo.
Calcular el momento flector máximo en C, producido por el tren de car-
gas indicado (Fig. 31.3).

71. ESTRUCTURAS ISOSTÁTICAS PLANAS
21 tn. c/u
18tn. c/u 18 tn. o/u
12345 67 89
L1_1_LJ LJ U_
t- 1.6—' i.6~r i.ó*1* 1.6-r—3.a ~*~ 1.6^ 4.r -r i.6~í
18.00—
Figura 31.3
3 1
tgct, =-, tga: =
4 4
RT =177 tn.
Solución:
1) El tren entra por la derecha.
a) J sobre el vértice quedan fuera de la viga.
R',=141tn.. R'. -=1414-- =35.25 tn.
L 18
R,=0<35.25. R, ^Pc =21<35.25
.'. (D sobre el vértice no corresponde a una posición peligrosa.
b) (3) sobre el vértice; © queda fuera de la viga.
R'T=159tn., RV- =\59-4-- =39.75 tn.
L 18
R,-42>39.75. R, + Pc =63 >39.75
/. (D sobre el vértice tampoco corresponde a una posición peligrosa.
En las dos últimas igualdades puede observarse que los miembros de la
i/quierda resultaron, ambos, mayores que los de la derecha. Cuando se
avanza de derecha a izquierda, esto quiere decir que fue pasada una posi-
ción peligrosa y que es necesario retroceder.
c) ® sobre el vértice; (D y © fuera de la viga.

72. 70 LÍNl:AS 1)1 l\ I I'HNCIA
R1, = 141tiu -R',. =35.25 tn.
R,=25<35.25, R, + Pc =42 <35.25
.'. (D sobre el vértice es una posición peligrosa (Fig. 32.3).
1 2 3 4 5 6
i ^ ( ... |
¡_
1 o
Figura 32.3
0
Mc ~ (2.9-4.5)21+ [(5.7+ 4.1)18+ (11.9+ 10.3 + 8.7)21]= 322.8m-t
4 4
Se prosigue el análisis en forma similar hasta completar el tren de car-
gas.
2) El tren entra por la izquierda.
a) (D sobre el vértice; (D, (D y ® dentro de la viga.
R'T=63tn., R'T-a =15.75tn.
L
R, = 42>15.75, R, + Pc = 63>15.75
.'. (D en C no es posición peligrosa.
b) ® sobre el vértice; @ fuera de la viga.
R'r =159tn.. RV:a = 39.75 tn.
Rt=18<39.75. R, +PC-36 < 39.75
Como el tren viene de izquierda a derecha y los dos miembros de la
izquierda resultaron menores que los de la derecha, se concluye que se
pasó por una posición peligrosa y que hay que retroceder,
c i •' sobre el vértice; ® y ® fuera de la viga.
R', =141tn.. a -R1, - 35.25 tn.
L
R,=18<35.25. R¡ +PC =36>35.25
.'. (&) sobre C es una posición peligrosa (Fig. 33.3).
M( = (2.9 + 4.5)18-
4 4

73. LSIRUCTURAS ISOSTÁTICAS PLANAS
En este ejemplo no se presentan otras posiciones peligrosas y el diseño
se haría tomando como base el mayor Mc encontrado, es decir:
Mc =322.8 m-t
2.9 " • 1.6"- .VO — 1.6~~ 1.6~* 1.6"* 1.6
3.4.6 Determinación de la sección de momento flector máximo
absoluto. Teorema de Barré
En muchas ocasiones interesa calcular, para una viga simplemente apoyada
sometida a la acción de un tren de cargas, en qué sección de la viga ocurre
el momento flector máximo y cuánto vale éste (Fig. 34.3).
R
RR
Figura 34.3
Como se sabe, cualquier acción máxima ocurre cuando una de las cargas
coincide con la sección. Supongamos que Pj es la carga bajo la cual está la
sección en que el momento flector es máximo y sea R la resultante de todas
las cargas que actúan sobre la viga.
M =R- + S-a|-ZMi -P

74. 78
LÍNIiAS !)!•• INFLUFNCIA
RA -
R| L-6
2
J
2 L
6_a_8_5: 5_^
1,4 2 2 2 L L
dM, 2-8 a
J- = O = - - - + -
do L L
d:5 L
/. se trata de un máximo.
Por lo tanto, la sección de momento flector máximo absoluto coincidirá
con una de las cargas cuando ésta y la resultante de las cargas que actúan
sobre la viga estén simétricamente situadas respecto al centro del claro de
la viga.
Debe notarse que cuando el sistema de cargas se desplaza sobre la viga
puede haber más máximos absolutos. Esto hace el cálculo algo latoso, pero
en la práctica se simplifica considerando lo siguiente:
1) En general, el momento flector máximo absoluto ocurre bajo una de
las cargas mayores más próximas a la R.
2) La sección de momento flector máximo absoluto queda muy próxima
al centro del claro de la viga y, por lo tanto, se analizan sólo las sec-
ciones próximas a dicho centro.
Ejemplo.
Determinar el momento flector máximo absoluto producido por el tren
de cargas que se indica, sobre la viga simplemente apoyada de la Fig. 35.3.
Figura 35.3

75. ESTRUCTURAS ISOSTÁTICAS PLANAS
Solución.
Determinamos primero la posición de la resultante R:
IK'CL i •
\ " s.u
'-2.5
Lv LJ 1 J^í
7.0 *r~ <».;> '
Figura 35. 3
v 5-5 + 5-8 + lO-ll + S-O-lO^^
55
1) Situamos ® y R simétricas con respecto al CL, y trazamos la línea de
influencia para la sección bajo ®. Véase Fig. 35.3.
10-115
22
tgot, =
10
11.5 10-5
; tga: =
22 22
M4 = l- -(2,5-5+ 4/5-10 +7.5-5+ 10.5-5)+ l- -(10-4.5 + 20-6.5)- 133.5 tm
22 22
2) P y R simétricas con respecto al CL.
R
5 6
' 1
- — 3.0
r i
- - 3.a ~
L___ i
1CL
T
- — --5.0— — •
t ,• ^
^
7.0 -
Figura 36.3
Trazamos la línea de influencia de la sección bajo I. Véase Fig. 36.3.

76. LÍNIíAS DI: INR IJKNflA
tgcc, -
13
22
M5 =— (2 -10 + 5 -5 + 8-5 + 13- 20)+— (7-10) = 182.5 tm
22 22
3) ÍJBJ y R simétricas con respecto al centro del claro.
Al situar (ej y R simétricas con respecto al centro del claro, la ÍP queda
fuera de la viga y la posición calculada de R no sirve, siendo necesario
volver a calcularla sin tener en cuenta la i :
50
= 3.10m
Trazamos la línea de influencia para la sección (Fig. 37.3).
845
R
\
c
3 -
:
r-1
*
í_ 1
1
r... i
*
Y
j
3 \a
r /
^
0.55
Figura 37.3
8.45
M = - • 50 • 8.45 = 162.1 tm < 182.5 tm
22
Finalmente, el diseño de la viga debe hacerse para:
M4 = 182.5 tm

77. Capítulo IV
Arcos y pórticos ¡sostáticos
4.1 Introducción
En este capítulo se analizarán los arcos y pórticos isostáticos sometidos a
cargas fijas y cargas móviles. El análisis para cargas fijas, especialmente en
los pórticos, no requiere de ninguna teoría especial: es sólo la aplicación a
estructuras más complejas, de los conceptos aprendidos en Resistencia de
Materiales. Basta, pues, recordar las tres definiciones siguientes:
El momento flector en una sección dada de un elemento, es la suma de
los momentos, respecto al centroide de esa sección, de todas las fuerzas
situadas a un lado u otro de la misma.
La fuerza cortante en una sección dada de un elemento, es la suma, en
dirección perpendicular al eje del elemento, de todas las fuerzas situadas a
un lado u otro de esa sección.
La fuerza axial en una sección dada de un elemento es la suma, en direc-
ción del eje del elemento, de todas las fuerzas situadas a un lado u otro de
dicha sección.
[81]

78. ARCOS Y PÓRTICOS ISOSTÁTICOS
4.2 Análisis de arcos inarticulados sometidos a cargas estáticas
4.2.1 Definición de arco
Desde el punto de vista mecánico, el arco puede definirse como un elemen-
to constructivo en el que incluso para cargas verticales, surgen componen-
tes horizontales de las reacciones. Estas componentes se llaman empujes y
son las que diferencian los arcos de las vigas curvas.
En general, los arcos son de directriz curva (Fig. 1.4).
Figura 1.4
Si se desea, eliminar los empujes en la dirección de la recta que une los
apoyos del arco, se puede sustituir una articulación extrema por un apoyo
móvil, e introducir un tensor (Fig. 2.4).
Figura 2.4

79. ES I-RUCTURAS ISOSTÁTK'AS PLANAS
4.2.2 Cálculo analítico de las reacciones de apoyo
83
Sea el arco de la figura 3.4, solicitado por un sistema de cargas cualquiera:
Figura 3.4
Por comodidad, tomamos como componentes iniciales de las reacciones
en A y B, 7,^. Zg, VA y Vg, respectivamente.
Del equilibrio del conjunto:
-0; VB-L-IMA(P,)-0
1=1
-0: \B(P,) = 0
n
SFX =0: Z ^ eos a - ZB • eos a + £ Pn = O
(1)
(2)
(3)
(4)
Del cuerpo libre AC:
!MC=0; VA-L, -Z, -h-IMc(P1/q ) = 0
De las 4 ecuaciones anteriores se obtienen V^, Z^\ Vg, Zg y. a conti-
nuación:
H v = ZA -cosa, HB = ZR -cosa,
V'A=H,.tga, V'B = HB.tga.
V;=VA+HA-tga, V'B = VB-HB-tgo.
En el caso particular en que todas las P¡ sean verticales (Fig. 4.4. a):

80. 84
X7////
1
ARCOS Y PÓRTICOS ISOSTÁTICOS
a)
b)
c)
SV&7
d)
Figura 4.4
.
IMB(P,)
De (2) VA=i= --A,,
siendo AQ y BQ las reacciones en A y B de una viga equivalente al arco
(esto es, una viga de eje recto con la misma luz y las mismas cargas que el
arco).
De (3)
De (4)
SP=0: Z=Z;.. HA=HB=H AB.. AB
VA-L-
Hh
cosa

81. ESTRUCTURAS ISOSTÁTICAS PLANAS 85
Siendo MU el momento Héctor en el punto C de la viga equivalente.
4.2.3 Cálculo de las acciones interiores (M, V y N)
De la figura 5.4:
<P
Figura 5.4
M =V -x -7 -h = EPizqív -v ^-^*Pizqfx -x \k VA AK *-A MK **ri\K J,' -ri> *AK *i.t
Vk =ZF^zq =VA -cos(p-IP^q • sen cp - IP,;¿q -coso-HA -senp + HA -tga-cos<p
NK = ^ • tea -coso - IP;^ • eos q> - EP,'%7<1 -sentp^- H x -cosíp
Si todas las cargas son verticales (véanse las figuras 4.4 y 5.4):
Mk -Ao"*t -ZA -hK -IP,^(xK -x,)«M{ -ZA -hK
siendo MJ el momento flector en el punto k de la viga equivalente.
Para un claro y un sistema de cargas dados M£ es conocido, al igual
que Z¿\ el Mn puede anularse si se varía convenientemente h^. es decir, si
se elige convenientemente la directriz,
VK = (AO - Z,P¡2<] )cos o - H • sen q> + H • tg <x • eos q>
VK = V0K • eos (p - H - sen (p + H • tg a • eos (p
y. en forma similar.
N K = V^ • sen (p + H • eos cp + H • tg a • eos (p
siendo V(^ la fuerza cortante en el apoyo k de la viga equivalente.

82. 86 ARCOS Y PÓRTICOS ISOSTÁTICOS
4.2.4 Cálculo gráfico de las reacciones de apoyo y de las acciones
M, V y N
1") Reacciones de apoyo (Fig. 6.4):
a) Se obtienen las resultantes Rj y R¿, de las fuerzas que actúan en el
semiarco izquierdo y de las que actúan en el semiarco derecho.
b) Se calculan las reacciones en A y B como si sólo existiera Rj para ob-
tener Aj y Bj.
c) Se calculan A¿ y B^ como si sólo existiera Rj.
d) Mediante un polígono de fuerzas, se componen las reacciones anterio-
res para obtener R^\ Rp.
R,
A
ft/X, \'
Bd
A,
2°) Acciones interiores (M. V y N) (Fig. 7.4):
a) Se obtienen las reacciones en A y B, como se indicó en el punto ante-
rior
b) Se construye el polígono de fuerza Pj, ?2, Pjy RA V R-B-
c) Se construye el polígono funicular correspondiente.
Ps

83. I-.SIKI •( u RASISOSTÁTICASPLANAS 87
d) Se aisla un tramo del arco que contenga a la sección k. donde se quie-
re calcular las acciones M, V y N (Fig. 8,4):
MK(A)-MK(P,) = MK(R,) =
R,.r = R]X.y = N-e
VK=(R,)v
NK=(R>
Figura 8.4
Si todas las fuerzas son verticales (Fig. 9.4):
MK ~ RIX ' y = H • y = Gráfico rayado x H.
De otra parte, si la directriz del arco sigue la línea de presiones iliivu
RA- R]. R2 y RB del funicular), las ordenadas valen cero. Por lo lanío,
MK=0,
y se tiene entonces el llamado arco de configuración racional, o arco anti-
funicular de las cargas.
4.2.5 Arco de configuración racional
a) Con carga vertical cuya intensidad no dependa de la configuración del
arco (Fig. 10.4):

84. ARCOS Y PÓRTICOS Isos i ÁTICOS
i r
Figura 10.4
De la sección 412:
MK=M0K-ZA.hK=M*-H.yK.
Pero, como el arco es de configuración racional,
H
O sea. el eje del arco tiene la misma forma que el diagrama de momen-
tos flectores en la viga equivalente.
W. por ejemplo, cuando la carga es uniforme, el diagrama de momen-
tos flectores en la viga equivalente se representa con una parábola cuadra-
da: en consecuencia, también el eje del arco es una parábola cuadrada (Fig.
11.4). Si la carga varia linealmente (Fig. 12.4), entonces el diagrama de los
momentos flectores en una viga simplemente apoyada y el eje racional del
arco serán parábolas cúbicas.
3b/m
Figura 11.4
/4.12
'
6.0 m
5m 4.875m
! 2 m
Figura 12.4

85. ESTRUCTURAS ISOSTÁTICAS PLANAS 89
b) Con carga vertical cuya intensidad depende de la configuración del arco
(Fig. 13.4):
dZ
n7>7-T^
q(Z)
Figura 13.4
IFZ =0; N • eos a - (N + dN)cos (a + da) = O
ó N • eos a - [N • eos a + d(N • eos a)] = O
.*. d(N-cosa) = 0
.'. N • eos a = H = const.
IF =
N • sen a + q(z)dz - [N • sen a + d(N • sen a)] - O
d
dz
d
(N-sena)=q(Z)
t. dy '
(H • tsa) = : i
dz dz d?
d~y q(Z) /
= ^ecuación del eje).
Sea, por ejemplo, un arco simétrico (véase la figura 14.4) sometido a la
carga expresada por q(Z) = q0 + y • h .
i
4o
ry
Figura 14.4
La ecuación diferencial del eje es:

86. 90 ARCOS Y PÓRTICOS ISOSTATICOS
dz2 H
ó ^-K'.y = 52K2
dz2 y
-, y
donde K ~ = — y :
H"
H = presión horizontal del arco.
La solución de la ecuación diferencial tiene la forma:
v - Aserti(K • Z) + £cosh(K • Z) - ^.;
r
dy
= K • Acosh(K • Z) + K • B senh(A'Z).
di
Las constantes de integración se determinan por las condiciones en el
origen de coordenadas para el arco simétrico:
Z = 0: d>-=0 .'. A -O
dz
Z = 0; Y = 0 /. B = ^;
Y
y la ecuación del eje racional es
°-(cosh(K-Z)-l).
y
La ecuación anterior también puede escribirse como sigue:
q arranque =Clo + Y '
q,,
= (cosh(KZ)-l).
m- 1
El parámetro de la curva. K2 = -- , se determina por la condición que el
eje del arco pase por el apoyo: esto es:
,
coshÍK-|-l
m-l 2

87. ESTRl C' I1 IRAS ISOSTÁTICAS Pt.ANAS 91
.'. m = cosh K- K = -acosh(m).
I 1) H L
Una vez calculado m. se obtiene fácilmente la expresión para el empuje
H debido a la carga:
K: f-K2
La fuerza axial en cualquier sección del arco es:
N= -H /l + tg2ct; tg a = dy = - -Ksenh(K-Z)
eos a dz m - 1
-
/. N = H 1- - -senh:(K-Z);
(m-1)-
""K"-f" i_2ÍK*L] ., •> r-m + l
= H 1 - - senh - ; = H 1 + K • f
í 1V *) m — 1
La componente vertical de la reacción de apoyo se determina por la pro-
yección de la fuerza Nm¿x sobre el eje vertical.
V = NnúxSena;,rr = ^ ' tg Ctarr
f ( L
V = H- -Ksenh! K-
m-1 V 2
c) Con carga radial (Fig. 15.4):
•-
•• • .
d<p/2 x
dtp/2 N+d-
Figura 15.4
:. dN-0
.'. N = const.
En el caso de carga radial, la fuerza axial en el arco, trazada por la curva
funicular es constante a lo largo de toda su longitud.

88. 92 ARCOS Y PÓRTICOS ISOSTATICOS
sen
vr dcc vi dct
Líy = N • sen + N • sen - q • ds = 0;
2 2
da _ da
22
N - const.
/. p =
q
que es la ecuación diferencial del eje racional del arco que coincide con la
curva funicular en el caso de una carga radial. Para el caso en que q sea
constante, la curva es un arco de circunferencia.
4.3 Análisis de arcos inarticulados, con cargas móviles
4.3.1 Líneas de influencia de las reacciones de apoyo
Las líneas de influencia de VA y Vg son idénticas a las de las reacciones
en A y B de la viga equivalente, como se ve en a) y b) de la figura 16.4.
Para obtener la l.i. de H. se parte de la expresión:
M?,
y de forma similar, para la l.i. de Z, de:
Z =
H M
cosa
Las correspondientes líneas de influencia se indican en c) y d) de la figu-
ra 16.4.
Finalmente, para obtener las l.i. de las reacciones verticales totales en A
y B. VAT, y Vgy, partimos de:
VAT =VA + H-tga y
VBT=VB-H-tga
Obteniéndose los gráficos de las figuras 16.4 e y f.

89. ESTRUCTURAS ISOSTATICAS PLANAS 93
L-X
H
V
1
i i VA-
LÍ. VB
l.i. H
*
a)
VA=Ao
U
f
b)
ti
h
(-
O
l.i. / L •-•
.
"
(LrL2V(h-L)
H =I<
eos a h
l.i. V*
l.i. VBT
VAT-VA+Htan a
VB-r--VB-Htan a
O
Figura 16.4
4.3.2 Línea de influencia del momento Héctor
a) Analíticamente (Fig. 17.4):
Se parte de:

90. 94 ARCOS Y PÓRTICOS IsosiÁTicos
Se construye primero la l.i. de M£ , después la de H-IK (Fig. 17.4. a y b)
y se superponen (Fig. 17.4, c); a continuación, para mayor claridad, se lle-
van las ordenadas de la l.i. resultante a partir de una línea base horizontal
(Fig. 17.4, d).
LI
XK
•IK
1
, ^k
i
(->
r~
*
...
!'
a)
',
<*) n
l.i.Mf
\-v.
Ij.H-f,-
(+)"
b)
(-)
IK
C)
xn d)
Figura 17.4
La abscisa del punto de ordenada nula Xm, se obtiene fácilmente de
una relación de triángulos semejantes:
L-Xv
b) Gráficamente (Fig. 18.4):

91. ESTRIV I I RAS ISOSTATICAS PLANAS
La posición del punto Xm puede obtenerse gráficamente si se parte de la
definición de línea de influencia. En efecto, de acuerdo con la figura ante-
rior, hay una posición de la carga sobre la recta intermedia, tal que el mo-
mento ílector en k es nulo: además, para que MK=O, se necesita que la
reacción en A pase por k precisamente. Por otra parte, la reacción en B
debe pasar por B y C (la única carga actuante. P=l, está entre k y c). Por lo
tanto, la posición de P que hace Mj^=0, está dada por la concurrencia de
RA y RB (Fíg- is.4).
Una vez calculado Xm. se levanta, sobre el apoyo donde esté la sección
k, una ordenada igual a X^: la unión de Xm y X^ define la recta interme-
dia, válida de k a c. Las rectas izquierda y derecha quedan definidas inme-
diatamente.
K
P=l
X,
, '
i
I
B
'
Figura 18.4
4.3.3 Línea de influencia de la fuerza cortante
a) Analíticamente (Fig. 19.4):
Se parte de la expresión:
VK = VQ • eos cp - H(sen o - tg a • eos (p)
Superponiendo las líneas de influencia y dibujando después el diagrama
resultante sobre una línea base horizontal, se obtiene la figura 19.4, d).
El punto para el que la ordenada de la línea de influencia es nula (punto
de abscisa Xy). se encuentra por relación de triángulos semejantes:
1
X, =
i
; (tgq>-tga)+L
b) Gráficamente (Fig. 20.4):

92. 96 ARCOS Y PÓRTICOS ISOSTÁTK OS
Existe una posición de la carga sobre la recta intermedia, tal que Vk=0.
para lo cual la reacción en A debe ser paralela a la tangente en k y la reac-
ción en B debe pasar por C. El punto de concun-encia de RA y Rp define la
posición de la tercera fuerza del sistema. P. Una vez obtenido Xy. se le-
vanta sobre A una ordenada igual a coscp y se define la recta intermedia,
válida de k a c. La recta izquierda es paralela a la intermedia, y la derecha
se define de inmediato (Fig. 20.4),
C
coscp
LI / \
-.- (sen cp - lau óteos cp J
coscp
coscp
a)
cosíp
h)
I
"^ (sen cp - tan a • eos i
-2 (sen (p - tan a eos (p)
coscp
Si el punto k está situado en el semiarco derecho, se procede midiendo
coscp en B y hacia abajo.

93. ESTRUCTURAS ISOSTÁTICAS PLANAS
97
Figura 20.4
4.3.4 Línea de influencia de la fuerza axial
a) Analíticamente (Fig. 21.4):
Se parte de: NK = v£ • sen (p + H(COS cp + tg a • eos o)
La abscisa Xn se obtiene de la relación de triángulos:
1 • sen o 1
X
^ tga -sen o)-sencp ^ (ctgcp + tga)-L
b) Gráficamente:
Para que la fuerza axial en k sea nula, estando P=l entre k y C. se nece-
sita que RA sea paralela al eje \". en estas condiciones Rg pasa por C, y la
posición geométrica de P está dada por la intersección de RA y RB- Para
que P actúe entre k y C es necesario imaginar que está aplicada por medio
de un brazo rígido que efectúe la transmisión. Una vez definido Xn. la
construcción es similar al caso de la fuerza cortante, recordando que las
rectas izquierda e intermedia son paralelas (Fig. 22.4).

94. ARCOS Y PÓRTICOS ISOSTÁTICOS
sen
-1- (eos q> + tan a • sen tp)
seníp
seníp
Xn
—- (cos<p + tan asen <p)
;2- (coscp + tanasentp)
Figura 21.4
Figura 22.4

95. ESTRUCTURAS ISOSTÁTICAS PLANAS 99
4.3.5 Transmisión indirecta de la carga
Cuando las cargas no actúan directamente sobre el arco, sino que lo hacen
a través de elementos secundarios, se procede como en el caso similar de
las vigas: primero, se obtiene la línea de influencia deseada, como si sólo
existiera el elemento principal, y después se va modificando aquélla te-
niendo en cuenta los elementos secundarios. En relación con estos últimos,
basta con definir dos puntos de la recta de transmisión: en general, los apo-
yos.
Así se construye, por ejemplo, la l.i. del M^ (Fig. 23.4).
Fi_ . -
En trazo discontinuo se ha dibujado la l.i. del M^, como si no existieran
los elementos secundarios. Después, cuando la carga P=l está sobre D.
Mk=0 y se obtiene el punto **d": cuando P está en E, se transmite íntegra
por el apoyo a la recta izquierda, y se tiene el punto "e", e inmediatamente
la recta de transmisión "d-e". Cuando la carga P está en F, se transmite
íntegra por el apoyo a la recta derecha, y se tiene el punto 'T': y así. suce-
sivamente, hasta "h".
En forma similar se obtiene la línea de influencia de V^. en la figura
24.4.
El único detalle que hay que destacar aquí es el siguiente: en tanto la
carga se mueva de E a F. se transmite por H al semiarco AC, y por lo tanto
es válida la recta izquierda que llegará de "e" a "f'. El resto de la construc-
ción no ofrece particularidades.

96. 100
ARCOS Y PÓRTICOS ISOSTÁTICOS
Figura 24.4
4.3.6 Línea de influencia de los momentos nucleares
(1
Los arcos son. comúnmente, de reducida curvatura > 10
lh
tensiones normales se pueden determinar por:
N M
, y en ellos las
N M
o = — + -
A W. A WK
siendo.
a, b. las caras externa e interna del arco (Fig. 25.4).
c
1
^
1
c
J
1
_...
k. i *S
¿tí"
T
b
1
ha
hb
1
Figura 25.4
Las tensiones máximas en a y b, cuando la solicitación sea un tren de
cargas móvil, no serán fácilmente calculables, pues las posiciones que

97. ESTRUCTURAS ISOSTÁTICAS PLANAS 101
hacen máxima la fuerza axial y el momento flector no coinciden, lo que
obliga a proceder por tanteos.
En vez de trabajar con el momento flector, respecto al centroide de la
sección, conviene trabajar con el momento nuclear.
El momento nuclear se define como el momento de las tuerzas que están
a la izquierda (a la derecha) de una sección, respecto al extremo superior e
inferior del núcleo central de dicha sección.
Sea R la resultante de las fuerzas que están a la izquierda de una sección.
y N y V sus componentes según los ejes normal y tangencial,
respectivamente.
OM
La componente N puede trasladarse al punto "i" (extremo inferior del
núcleo central de la sección transversal del arco), (Fig. 26.4). siendo:
M, =N(e + K)
La componente N aplicada en "i" origina un diagrama de tensiones
triangular, con valor máximo en la cara "b", en tanto que M, da lugar a
tracciones en la cara "b" y compresiones en "a".
M
De acuerdo con la figura 26.4: o.¿ = O + -
En forma similar puede obtenerse, crb aplicando N en "s":oh =

98. 102
ARCOS Y PÓRTICOS ISOSTÁTICOS
De este modo se logra, expresar las tensiones en el trasdós y en el intra-
dós del arco en función de una sola variable: MÍ y Ms, respectivamente^La
posición de las cargas que haga máxima o mínimas estas tensiones, será la
misma que haga máximos (o mínimos) MÍ y Ms, por lo que será necesario
construir las líneas de influencia de estos momentos. Las líneas de influencia
de los momentos nucleares se construyen por las mismas reglas que las líneas
de influencia del momento central, con la sola diferencia de que las rectas
izquierda y media se cortarán por debajo del correspondiente punto nu-
clear, extendiéndose sus partes útiles hasta la vertical que pasa por el punto
central de la sección (Fig. 27.4).
Para ver dónde colocar las cargas para obtener los valores máximos (o
mínimos) deseados, basta recordar que:
oa está relacionado con Mt y
a^ está relacionado con Ms
y, además, la convención de signos de resistencia de materiales para el
momento flector:
D D
M>0
Así. en la misma figura 27.4, para obtener:
Tracción máxima en "b", habrá que cargar 1-2
Compresión máxima en "b". habrá que cargar 2-3

99. ESTRUCTURAS ISOSTATICAS PLANAS
Tracción máxima en "a", habrá que cargar 2'-3'
Compresión máxima en "a", habrá que cargar 1 '-2'
103
4.4 Análisis de pórticos isostáticos
4.4.1 Gráficos de M, V y N, para cargas fijas
Estudiaremos este párrafo mediante la solución de algunos ejemplos.
Ejemplo 1.
Construir los gráficos de M, V y N del pórtico de la figura 28.4.
q=3t/m
E
lili
í.
A
¡II!a
G D
F
^* '-
2.0 T -4
12 tn.
>7 J
4.0
4.0
4.0 Bv
Figura > -
1°) A partir del cuerpo libre del sistema completo, se calculan las reaccio-
nes de apoyo que sean fácilmente calculables:
En este caso:
SMA -0; 3-6-l-12-4 + 8-Bv -O
48-18 15
.. Bv = - - = — tn.
8 4
87
EF=0: A -3-6-— -O .-. A = tn.
4 4
Las reacciones Ax y Bx no pueden calcularse a partir del cuerpo libre
general.
2°) Se pasa al análisis de cada una de las partes constitutivas del pórtico.
Aquí vale aclarar que conviene separar el pórtico por sus articulaciones y
analizar el equilibrio, primeramente, de aquellas partes donde aparezcan
menos incógnitas.

100. 104 ARCOS Y PÓRTICOS ISOSTÁTICOS
8.0
Una vez resuelto el equilibrio de cada pane, la construcción de los gráfi-
cos es inmediata.
a) Cuerpo libre ACG (Figura 29.4). En él aparecen sólo tres incógnitas y
por lo tanto puede resolverse completamente:
3t/m
87
=0; 8A+3-6-3-
_87-54_33
A „ — — tn.
8 8
IF =0; /. G = —tn.
8
¡_ 2.0 I 4.Q |
Figura 29.4
33
SMA =0; -8-3-6-l + 4Gy =0;
8
-33^18 -15
.. uv =— - = - -tu.
4 4
El signo menos indica, como siempre en estos problemas, que el sentido
supuesto para Gy es incorrecto y debe ser hacia abajo.
Queda todavía una ecuación. IF, =0. que es conveniente utilizar con
fines de comprobación:
87 15
SF =0; -6-3 = 0
4 4
A continuación puede precederse a la construcción de los gráficos para
esta parte del pórtico, figura 30.4.
33 39
l!li!|iiríTÍTT":l !
. -.
c, ficr
V ' I 5
f* A— t— -J '
X 4
33
8
15
4
, A [J
V
33
ÍC
N
Figura 30.4

101. ESTRUCTURAS ISOSTÁTICAS PLANAS 105
Tramo AC:
El momento flector varía linealmente de O en A, a un máximo en C:
Mr = —8 = 33t-m
8
fraccionando las fibras de la izquierda, y en esa parte dibujamos el diagrama.
33
La fuerza cortante, vale -- t y se mantiene constante en toda la longi-
o
tud. El signo de esta fuerza cortante es negativo, pues gira en sentido con-
trario al reloj respecto a cualquier sección de AC.
La fuerza axial vale — t, es de compresión y se mantiene constante.
Tramo EC:
La ecuación del momento flector para cualquier sección es:
M = 3— , variando de cero a un máximo para x=2:
2
M r = - - = 61 - m
2
este momento tracciona las fibras superiores.
La fuerza cortante vale:
V = q • x y varía de cero a un máximo para x=2:
V =6tn.
Esta fuerza cortante es negativa, pues también gira en sentido contrario
al reloj respecto a cualquier sección del tramo EC.
La fuerza axial es nula en todo el tramo.
Tramo CG:
En este tramo, el análisis es más fácil con las fuerzas a la derecha de una
sección genérica 1-1:
La ecuación del momento flector es:
15 3x2
M = —x + - . variando de cero a un máximo para x=4
4 2
Mr =—4+3 -=39t-m
4 2
este momento tracciona las fibras superiores. ^
Debe comprobarse el equilibrio del nudo C:
39-33-6 = 0
La fuerza cortante vale:

102. 106 ARCOS Y PÓRTICOS ISOSTÁTICOS
V = - + 3x , y varia de cero a un máximo para x=4:
15 63
Vr = - + 3 • 4 = — t - m
4 4
Esta fuerza cortante es positiva pues gira en sentido del reloj respecto a
una sección genérica 1-1.
La fuerza axial vale:
Nc : - tn.. es de compresión y se mantiene constante en toda la longitud
o
CE.
Debe comprobarse también el equilibrio del nudo C para las fuerzas
actuantes en él: 6
33 d- 63 8
4 T~
a) Cuerpo libre GDB (Fig. 31.4):
•i^ —»T yL. _
v^ N
D
8 15_ L .
y
F
[2 En él sólo aparece una incógnita Bx y
puede calcularse inmediatamente:
VT~ n 33 63 ^
IF -0: Bx =12- = tn.
y»
15
4
Figura 3 1.4
A continuación se construyen los gráficos para esta parte del pórtico.
figura 32.4.
Tramo BF:
El momento flector vale, para cualquier sección:
M = — y . variando de cero a un máximo para: y=4:
M , = — t - m traccionando las fibras interiores.
2
La fuerza cortante vale:
V = - tn.. se mantiene constante hasta F y es negativa.

103. ES TRUC riJRAS ISOSl ÁTICAS PLANAS 107
0 0
15
4 G D
33
8
33
8
B
V N
Figura 32.4
La fuerza axial es de tracción y vale:
N = — tn., manteniéndose constante hasta F.
4
Tramo FD:
El momento flector en una sección genérica del tramo vale:
M= - (4+y)-12y, variando de:
o
63
y = 0: M f = — t - m a
2
y = 4; Mn = — (4-4)-4S = 15m.
J U o *
O
La fuerza cenante vale:
V - — + 12 = -" tn.. manteniéndose constante de F a D.
8 8
Debe observarse que ocurre un "salto" en el diagrama de fuerza cortan-
te, en el punto de aplicación de la carga concentrada; la magnitud de este
"salto" es justamente el valor de la carga.
La fuerza axial vale:
15
Nr = — tn.. se mantiene constante y es de tracción.
4
Tramo GD:
El análisis de este tramo conviene hacerlo con las tuerzas situadas a la
izquierda de la sección genérica.
La ecuación del momento flector es:

104. 108 ARCOS Y PÓRTICOS ISOSTÁTICOS
M = — x , variando de cero a un máximo para:
4
x=4; MD = —4 = 15 t-m, traccionando las fibras inferiores.
Nuevamente conviene comprobar el equilibrio del nudo D:
*
15
D
15-15 =
15
La fuerza cortante vale:
V = — tn., se mantiene constante hasta D, y es positiva.
4
La fuerza axial es de compresión y vale:
N = — tn.. manteniéndose constante hasta D.
4
Debe comprobarse también el equilibrio del nudo D para las fuerzas
actuantes en él:
33
8
15
4
IF=0;
'
15
4
El problema se finaliza construyendo los diagramas definitivos sobre el
esquema del pórtico (Fig. 33.4).
33
8
15 ^niEMOpiniME
c
I 87
1
NV
Figura 33.4
Ejemplo 2.
Construir los gráficos de M, V y N para el pórtico de la figura 34.4
•áF

105. ESTRUCTURAS ISOSTÁTICAS PLANAS 109
1°) Reacciones de apoyo:
Del cuerpo libre del sistema completo, la única reacción fácilmente
calculable es
Ax=2-4s8tn.
Las demás reacciones se calcularán posteriormente, al analizar las partes
componentes de la estructura.
10 tn.
4.0
E
4.0
A
i
S
t
B
D
2t/m
tí
&&?
Figura 34.4
2°) Cuerpos libres y análisis de los componentes: conviene empezar por los
cuerpos libres donde aparezcan menos incógnitas,
a) Cuerpo libre CS:
La carga de 10 tn. puede considerarse en este cuerpo libre o en el SFD
(pero sólo una vez). La consideraremos en el SFD.
c ,
v i i Sy
= 0: Cv =0 /. S> =0
M=V=0
N
Figura 35.4
IFX =0; Cx =
/.El diagrama de M y el de V son nu-
los.
El de N lo construimos cuando calcu-
lemos Cx (Fig. 35*4).
b) Cuerpo libre SFD:

106. 110
5=SX ¿ F
IIX=
ARCOS Y PÓRTICOS ISOSTATICOS
ZFy=0; .'. D, =10tn.t
IMD=0; Sx = - -=5tn.
4
IFX =0; D, = 5tn.<-
Dy=\0
Con los valores anteriores, podemos construir los diagramas de M, V y
N (Fig. 36.4) del tramo SFD y el N de CS.
, -i1"
5RCT
•^
s
M
¿V
JU
S
H
V N
(C)
10
tuerzas:
lio
Figura 36.4
Es fácil comprobar que el nudo F está en equilibrio de momentos y de
JO
F L_
:
10
c) Cuerpo libre CEDB (Fig. 37.4). Aparecen tres incógnitas y por lo tanto
pueden calcularse:
SFX =0: Ex+5-5-2-4 = O
/. Ex =8tn.->
IME -O
5-4 + 4B, -8-2-10-4 = 0
B>=-

107. ESTRUCTURAS ISOSTATICAS PLANAS 111
8-Ex
Cx=5
Dy=10
Dx=5
2l/m
Figura 5" -
El sentido supuesto para Bv es el real:
2FV=0: Ey+9-10*0 .'. Ev=ltn.t
Una vez calculadas las reacciones se construyen los gráficos de M, V y
N(Fig. 38.4).
c c c
20
D
20
16
I)
1
M
H
t
11
Figura 38.4
O
9(C)
N
Tramo CE:
El momento tlector vale M = 5x . variando de O a un máximo para
x = 4.
M = 5 • 4 = 20 tn., fraccionando las fibras de la derecha.
La fuerza cortante vale V = 5 tn.. es negativa y se mantiene constante en
todo el tramo.
La fuerza axial es nula. N = O.
Tramo DE:
El momento flector tiene por ecuación: M = 5 • 4 - 1 • x . variando de:
x=0 M = 20tn. en E,a
x=4 M = 20-4 = 16tn. en D

108. 112 ARCOS Y PÓRTICOS ISOSTATICOS
La fuerza cortante V = 1, es positiva y se mantiene constante.
La fuerza axial N = 8-5-3tn., es de compresión y se mantiene
constante en el tramo.
Tramo DB:
Aquí conviene plantear las ecuaciones con las fuerzas que están debajo
de una sección genérica 1-1:
i
x"
El momento Héctor vale: M = 2 variando de:
2
x = 4 VD=2.4=8ta.
siendo positiva en todo el tramo.
La fuerza axial N = 9 tn., es de compresión y se mantiene constante.
Como siempre, debe comprobarse el equilibrio del nudo D para momen-
tos y fuerzas:
_D L_}; -VD
.6 ~
^
V
16
IMD =0: 16-16-0
IFX =0: 3 + 5-8 = 0
SF =0; 10-9-1-0
d) Cuerpo libre AE (Fig. 37,4): del equilibrio se obtiene inmediatamente:
1
B
t-m
A, =ltn.
Az = -32 t-m y el signo menos indica que
el sentido correcto del momento de empotra-
miento en A, es contrario al supuesto.
A partir del equilibrio, los gráficos M, V y
N se obtienen como de costumbre (Fig. 40.4):
Ay=l
Figura 39.4
A
E
i
=E3 32 8
M
Figí
i
í<-)=
V
jra4C
E
A 1
.4
1
(c;
N

109. ESTRUCTURAS ISOSTATICAS PLANAS 113
El momento flector vale M = 8x. variando de O a un máximo para
x=4, M = 8 • 4 = 32 . traccionando las fibras derechas.
La fuerza cortante V - 8 tn.. es negativa y se mantiene constante.
La fuerza axial N = 1 tn., es de compresión y constante.
Una vez completado el análisis de cada una de las partes, se construyen
los diagramas definitivos (Fig. 41.4):
stnicüirmín
'_!
M
> "l
|j I [ M 1
.
J ! i I i f+)l 1 5 i
8 j-.i_
\
V
Figura 41.4
1
-
i
,
¿>zb?l
N
4.4.2 Líneas de influencia en pórticos isostáticos
Las líneas de influencia del momento flector. la fuerza cortante y la fuerza
axial en pórticos isostáticos sencillos (una luz y un nivel), se construyen en
base a los mismos principios que las correspondientes lineas de influencia
en los arcos inarticulados. Puede emplearse, por lo tanto, el método analíti-
co o mejor aún el método gráfico visto en 42.
En la figura 42.4 se han construido algunas de estas líneas a título de
ejemplo.

110. 114 ARCOS Y PÓRTICOS ISOSTATICOS
ti
l.i. VK
Figura 42-4

111. Capítulo V
Teoría de los desplazamientos
5.1 Introducción
5.1.1 Generalidades
El estudio de los desplazamientos de las estructuras es indispensable para:
a) Cuantifícar la rigidez de la estructura y poder diseñar ésta por el segundo
estado límite (limitación de las deformaciones).
b) Confrontar los desplazamientos teóricos y experimentales.
c) Calcular los sistemas hiperestáticos, puesto que las ecuaciones necesa-
rias para el análisis de estos sistemas, además de las proporcionadas por
la Estática, se establecen a partir de condiciones impuestas a los despla-
zamientos.
5.1.2 Diferencia entre desplazamiento y deformación
Un desplazamiento se define como un cambio de posición en tanto que una
deformación además del cambio de posición, implica un cambio de forma
del eje del elemento tal como se indica en la figura 1.5.
[115]

112. 116
Desplazamiento
TEORÍA DE LOS DESPLAZAMIENTOS
Desplazamiento
Deformación
Figura 1.5
5.1.3 Notación
Tanto los desplazamientos lineales como los angulares se designarán con A
y un doble índice: el primero indica el punto y dirección del desplazamien-
to y el segundo, la causa (una fuerza, un gradiente de temperatura, etc.) que
lo origina (Fig. 2.5;
m
Figura 2.5
Si la causa que origina el desplazamiento es una fuerza unitaria (Pm=l),
el desplazamiento se indicará con "5" y los dos subíndices indicados ante-
riormente.
Así, si Pm-l
5.1.4 Hipótesis
Las únicas hipótesis de que se parte son:
1) Los materiales que constituyen la estructura siguen la ley de Hooke (Fig.
3.5).
P i
P=K-A
Figura 3.5

113. ESTRUCTURAS ISOSTÁTICAS PLANAS 117
2) Los sistemas son tales que se deforman linealmente, es decir, se les pue-
de aplicar el principio de independencia de acción de las fuerzas. En es-
tos sistemas, cualquier desplazamiento A¿, debido a vanas fuerzas Pj, ...
Pn, en una dirección dada, es función lineal de estas fuerzas:
A,=5,, .p]+5j2.p2+... + 8in.pn
*
donde 5]K = —— es el desplazamiento unitario debido a la fuerza PK
*\) Las cargas se aplican lentamente, es decir, no hay problemas de impacto.
5.1.5 Trabajo real de las fuerzas externas
El trabajo real de las fuerzas externas se define como el que éstas realizan
en los desplazamientos producidos por ellas mismas. Las fuerzas externas
deformando la estructura (Fig. 4.5) realizan un trabajo positivo. Este traba-
jo se transforma totalmente en energía potencial de deformación, acumula-
da por la estructura durante su deformación. Las acciones interiores, duran-
te la carga de la estructura, se oponen a la deformación del cuerpo y reali-
zan un trabajo negativo. Durante la descarga, las fuerzas externas realizan
un trabajo negativo, y las acciones interiores, haciendo volver la estructura
al estado inicial indeformado, realizan un trabajo positivo, con lo que se
consume la energía potencial de deformación. Por lo tanto, el trabajo de las
fuerzas internas es igual, pero de signo contrario, al trabajo de las externas
y a la energía potencial de deformación, contada desde el estado inicial.
T=-V=U
Siendo:
T = trabajo de las fuerzas externas.
V = trabajo de las acciones interiores.
U = energía potencial de deformación.
Veamos cuánto vale el trabajo real de una fuerza externa P:
IdP
Figura 4.5

114. 118 TEORÍA DE LOS DESPLAZAMIENTOS
Aplicamos primero P que, al deformar la estructura, origina un despla-
zamiento A del punto de aplicación "m". Al incrementar P en un diferencial
dP el desplazamiento A se incrementa en un dA, teniendo lugar un trabajo
elemental dT que vale:
dT = (P + dP)dA - P • dA
si se desprecian los diferenciales de orden superior.
El trabajo total, cuando el desplazamiento final sea Amm, se calcula
como la suma de los trabajos elementales:
/Amm /Amm /\
La presencia del 1/2 se justifica por la aplicación lenta de las cargas.
Si el material es elástico, el trabajo es igual al área bajo la recta en el
gráfico P-A (Fig. 5.5).
P
Figura 5.5
Si el material no sigue la ley de Hooke (Fig. 6.5), puede definirse un
trabajo complementario T*, que no tiene significado físico, tal que:
airan
- P-dA= fA-dPT* = Pra At
Este trabajo complementario es, lógicamente, distinto del trabajo real T:
(Amm
T= P-dA

115. ESTRUCTURAS ISOSTÁTICAS PLANAS 119
5.1.6 Energía de deformación y energía complementaria de de-
formación
Supóngase una relación tensión-
deformación no lineal como la de
la figura 7.5. La integral bajo la
curva OA representa la densidad
de energía de deformación:
u
U0
•
ec
Figura 7.5
U0 =
La energía total de deformación
almacenada en el elemento se obtiene
integrando la densidad de energía de
deformación en todo el volumen del
U0 =
mismo:
\)
El área comprendida dentro de la curva OA y el eje c representa la den-
sidad de la energía complementaria de deformación U0 y se calcula:
(3.5)
A partir de esta ecuación puede calcularse la energía complementaria de
deformación U :
U• • í: í
sdodV (4.5)
Para los reticulados y en general para las estructuras lineales, conviene
expresar la energía de deformación en función de las acciones interiores.
Como se sabe, esta energía para el caso en que el material siga la ley de
Hooke, los elementos sean de poca curvatura y la estructura sea espacial,
está dada por:
v? . , _v[_ds_
'l^y 2GA
(5.5)
M:
—2EA 2GA
ds
2EL 2EL 2GJ
ds

116. 120 TEORÍA DE LOS DESPLAZAMIENTOS
siendo:
N, la fuerza axial en la sección.
Vx, Vy, las fuerzas cortantes según los ejes x, y, respectivamente.
u,x, jj.y, coeficientes de distribución de las tensiones tangenciales.
Mx, My, momentos flectores, según los ejes x, y, respectivamente.
Mz, momento torsor.
A. área de la sección transversal.
Ix, Iy, momentos principales de segundo orden, de la sección transversal.
J, momento polar de inercia.
E, G, módulos de elasticidad y de Young, respectivamente.
Como ejemplo de la forma en que se obtiene la expresión anterior, se
calculará la energía de deformación debida a la fuerza cortante Vy.
Considérese un elemento de longitud ds (Figura 8.5).
i
h
t
Vy
* ~-
Tfxy
Sá
• "r i -
Figura 8.5
La energía de deformación elemental debida a la fuerza cortante puede
expresarse en función de las tensiones tangenciales:
Ir 1 r T
=- f TxxyxvdA=- ÍTXV
2 JA x> xy 2 JA sy G
-dA (6.5)
pues.
í XV
"xy
xy
las tensiones tangenciales cuando no hay carga sobre la superficie de la
barra valen:
I.b
(7.5)

117. ESTRUCTURAS ISOSTÁTICAS PLANAS 121
siendo:
Vy, la fuerza cortante en la sección.
S, el momento de primer orden, respecto al eje x centroidal, de la parte
de la sección transversal que queda por arriba o por debajo de la fibra don-
de se calcula la tensión i.
b, el ancho de la sección transversal donde se calcula t.
Ix, el momento de segundo orden, respecto al eje x, de la sección
transversal.
Sustituyendo en (6.5):
1 r V;-S: V2
2
K f~- T 2 i_ 2 "1 i/"1 A
* GI • b 2GA
x
siendo:
un factor que toma en cuenta la distribución no uniforme de la tensión tan-
gencial en la sección transversal.
La energía de deformación en todo el elemento de longitud L valdrá:
U = -v
y 2GA
Si la estructura es plana la ecuación (5.5) se reduce a tres términos:
U = SÍ í'lds+lf — ds + zfu.y ^ds (10.5)
¿2EA J 2EI 1 y 2GA
Como se sabe la importancia de estos (términos, d^ el cálculo de la ener-
gía potencial de deformación, varía con el tipo de estructura:
En pórticos sin tensores y en arcos en los que la relación de la luz a la
flecha sea menor o igual a cinco, domina el efecto del momento flector.
En armaduras, el único efecto a considerar es el de la fuerza axial.
En pórticos con tensores, en problemas de temperatura y en arcos con
relación de luz a flecha mayor que cinco, son dominantes los efectos del
momento flector y de la fuerza axial.
Por último, en algunos arcos y vigas en las que la altura es comparable a
la longitud, (viga pared o muro de cortante), hay que considerar los tres
efectos.

118. 122 TEORÍA DE LOS DESPLAZAMIENTOS
5.1.7 Trabajo real de las fuerzas externas en función de las ac-
ciones interiores M, V y N
Sea la viga de la figura 9.5, de la que extraemos un elemento de longitud
"ds" y calculemos el trabajo dado por el momento flector M, la fuerza cor-
tante V y la fuerza axial N, al pasar la carga de un valor P a otro P+dP.
PjhiP
Figura 9.5
1) Trabajo dado por M (Fig. 10.5):
Figura 10.5
2) Trabajo dado por N (Fig. 11.5):
Ads ^
T ' \
Ads
dTM=ÍM-d<j>M
_ds j__M
p' p El
M "2" El
dTN =-N-Ads
2
N-ds
/ T ~
EA
"2Í
Figura 11.5
EA

119. ESTRUCTURAS ISOSTÁTICAS PLANAS
3) Trabajo dado por V (Fig. 12.5):
123
fj
ds
|v
lidA
-<fc-r_ y
Sección Transversal
Figura 12-5
Las tensiones tangenciales se calculan por:
V-S
Distribución de
las tensiones
tangenciales
T =
Ib
(Fórmula de Zhuravsky)
siendo:
T = tensión tangencial en una fibra situada a una altura "y" del eje.
V = fuerza cortante en la sección analizada.
I = momento de inercia respecto al eje "x" centroidal principal, de la
sección transversal.
b = ancho de la sección transversal a la altura en que se calcula "t".
S = momento estático respecto al eje "x" de la parte de la sección trans-
versal que queda por arriba (o por abajo) de la fibra en la que se calcula t.
La distorsión angular y vale:
ds =
siendo LL
1TX
2
S2
T
G
v2 i
A-G •!
-A .
y -ds =
i • dA • y •
S=d\
^b" I
Ids
G
ds = l"
2_
'd-1
^ 2
1
^
V
I-
A
•S V-S
b I-b-G
ds
G
r •
= - -
•M2 -b2
Tv =- ds
El coeficiente u, tiene distintos valores según la sección transversal del
elemento:
u = 1.2 para una sección rectangular

120. 124 TEORÍA DE LOS DESPLAZAMIENTOS
32
u - - - para una sección circular
27 í
A
^ - TOTAL para una sección "I"
-"•ALMA
El trabajo total será igual a la suma de los trabajos calculados anterior-
mente. Además, si en lugar de un solo elemento se trata de una estructura
compuesta por L1n" elementos. Podemos escribir:
2 » 1 rN2 Mr V2 r r
P-ds + S- [ii— ds
J i Ji 2 EI i 2 EA i 2 GA
El peso relativo de cada uno de los términos de la expresión anterior
depende del tipo de estructura.
En el caso de armaduras sólo interviene la fuerza axial y puede escribir-
se:
T = U = -V = I¿^
2 . EjA,
En el caso del pórtico, es predominante el efecto del momento Héctor y
pueden despreciarse los términos segundo y tercero.
En arcos y pórticos con tensores deben tomarse en cuenta los dos prime-
ros términos y por último en algunas estructuras especiales, como las vigas
pared y algunos arcos, se necesita tomar en cuenta también el efecto de la
fuerza cortante.
Para elementos de poca curvatura pertenecientes a una estructura tridi-
mensional, se tiene:
í
j
uv
-
— - v —-
J2EA J 2GA j - 2GA
rM 2 rMv2 rM 2
+ Z f-^ds + + Z i -^-ds+S i— ^ds m M
J2EIX J2EIV J2GJ
siendo:
N. la fuerza axial en la sección.
Vx, Vy, las fuerzas cortantes según los ejes x, y, respectivamente.
ux, Uy, coeficientes de distribución de las tensiones tangenciales.
Mx, My, momentos flectores, según los ejes x, y, respectivamente.
Mz, momento torsor.
A, área de la sección transversal.
Ix, Iy, momentos principales de segundo orden, de la sección transversal.
J, momento polar de inercia.

121. ESTRUCTURAS ISOSTÁTICAS PLANAS
E. G, módulos de elasticidad y de Young, respectivamente.
Ejemplo:
Obtener la energía potencial de deformación para el caso de la viga de la
figura 13.5. ,
_| P v - 0.25 (Módulo de Poisson)
L E
Figura 13.5
Para la barra 1:
Para la barra 2:
= -P Z;
1fP2 -z-
i El
dz +í
Él
" 2(1• v)
1 3
~12
= b-h
= 0; Y = -P
= -P; V = O
'} fL P2
— dz + fj. I - dz +
= 0.4E
.
* GA
±1
EA
dz
Integrando y sustituyendo:
~12P2 -L3 12P2 -L3
U =
2E3b-hJ
, , P2 -L P2 -L
+ 1.2 +
0.4b-h b-h
si L=10:
h
P2-L
2E b-h
3 1
400 + 200+i+l
I
M
V N
Los dos primeros valores, encerrados en el paréntesis, corresponden a la
influencia del momento flector. el tercero a la de la fuerza cortante, y el
último a la de la fuerza axial. Puede verse fácilmente el peso relativo de las
tres acciones en el valor de la energía potencial de deformación, para este
caso.

122. 126 TEORÍA DE LOS DESPLAZAMIENTOS
5.2 Teoremas energéticos basados en el principio de trabajo vir-
tual
5.2.1 Trabajo virtual o posible
Se define como el trabajo que da un sistema de fuerzas en equilibrio, en un
sistema de desplazamientos compatibles, impuestos al cuerpo sobre el que
actúan las fuerzas.
A, ^ + t , k
Pk!::'^F7Wn tt ' f
. Atan
Ay ""^
Figura 14.5
Sea Pm. Ax. Ay y Az (Fig. 14.5) un sistema de fuerzas en equilibrio, que
origina los desplazamientos Amrn y A^. Se aplica la fuerza P^ y se origi-
narán nuevos desplazamientos Af^ y A^.
Por definición, el trabajo virtual o posible es el que realizará el sistema
en equilibrio, Pm, Ax, Ay y Az en los desplazamientos originados por P^.
-'• T' = -Pm -Amk +AX -O-A, -O-Az -O
Nótese que en este caso no aparece el factor !/2.
5.2.2 Principio del trabajo virtual o principio de los desplaza-
mientos virtuales
El principio de los desplazamientos virtuales relaciona un sistema de fuer-
zas en equilibrio con un sistema de desplazamientos compatibles; en él se
aplica, a un sistema real de fuerzas en equilibrio, un sistema de posibles
desplazamientos infinitesimales que deben ser continuos dentro de los lími-
tes de la estructura y deben cumplir con las condiciones de borde.
El principio establece que el trabajo desarrollado por el sistema de fuer-
zas en equilibrio, sobre los desplazamientos virtuales o posibles, debe ser
igual a la energía potencial de deformación:
T = U
siendo:
T, el trabajo de las fuerzas exteriores en los desplazamientos virtuales.
U, la energía potencial de deformación, acumulada en el sistema.

123. ESTRUCTURAS ISOSTATICAS PLANAS
El trabajo de las fuerzas exteriores puede expresarse como:
T = TC+TE (12.5)
donde:
TQ es el trabajo dado por las fuerzas de contorno.
TE, es el trabajo dado por otras fuerzas extemas.
Por lo tanto:
TC+TE = U (13.5)
Sea por ejemplo la viga de la figura 15.5, sobre la que actúa el sistema
Pm que origina las acciones interiores Mm,Vm y Nm. Después se aplican,
a la misma viga, los desplazamientos originados por el sistema PK. Las
acciones Mm,Vm y Nm darán origen a tensiones am. y los desplazamien-
tos debidos a PK, originarán deformaciones sj^.
Prr
Pk.1
Figura 15.5
La energía potencial de deformación para barras planas de poca curvatu-
ra se puede calcular como la suma de la debida a la fuerza axial, más la del
momento flector. más la de la fuerza cortante:
a) Fuerza axial (Fig. 16.2):
dU = o •£„ -dV
Figura 16.5
pero
A
dV - ds • dA
EA-
Integrando sobre la sección trans-
versal del elemento ds:
y para toda barra:
•NKds
EA' JA EA
•NKds
EA

124. 128 TEORÍA DE LOS DESPLAZAMIENTOS
b) Momento flector (Fig. 17.2):
ds
Figura 17.5
I El
Integrando sobre la sección transversal:
= ds-dA
El2
y para todo elemento:
I FT
El
c) Fuerza cortante. Procediendo en forma similar a como se procedió en el
epígrafe 505, se obtiene:
V . v
ly ~GA~
En definitiva, se obtiene:
U.f^^KdS+f
¿ EA *
y teniendo en cuenta (13.5):
Mn.MKds
Y^
GA
(14.5)
E A A El -t GA
El trabajo de las fuerzas de contomo y externas se puede calcular como
ZPni -AmK , y si la estructura consta de vanas barras, se puede escribir:
— — ds+£ — — ds+2 uv —-—— d^!6.5)
EA •*- El *• GA
En el caso de tratarse de estructuras espaciales con elementos de poca
curvatura, habrá que añadir los términos correspondientes: un momento

125. ESTRUCTURAS ISOSTÁTICAS PLANAS 129
flector, una fuerza cortante y un momento torsor en forma similar a la de la
ecuación (11.5).
El principio de los desplazamientos virtuales puede usarse en el caso de
grandes deformaciones, siempre que, cuando se calcule la energía de de-
formación, se utilicen relaciones tensión-deformación no lineales y que las
ecuaciones de equilibrio se planteen sobre la estructura deformada.
5.2.3 Teorema de Castigliano (Parte I)
Supóngase una estructura sometida a un sistema de fuerzas externas Pj,
...Pn(Fig. 18.5).
Si se aplica un desplazamiento virtual único 5AK , en dirección de la
fuerza PK- se realizará un trabajo virtual:
5T = PK -8AK (17.5)
y por el principio de desplazamientos virtuales:
PK-5AK =5U
y en el límite:
5U M O C\s decir, que la derivada parcial de la energía de deformación (expresa-
da como una función de los desplazamientos A), A2, .--An) de un cuerpo
elástico deformado, respecto a un desplazamiento dado, es igual a la fuerza
correspondiente.
Este teorema puede utilizarse en el caso de grandes deformaciones siem-
pre que la energía de deformación se calcule tomando en cuenta los despla-
zamientos grandes.

126. 130 TEORÍA DE LOS DESPLAZAMIENTOS
Como se sabe, si en lugar de un desplazamiento virtual lineal se introdu-
ce un desplazamiento virtual angular, se obtiene el momento puro corres-
pondiente.
Ejemplo.
Calcular el desplazamiento vertical del punto "k" del semipórtico de la
figura 19.5:
¡P
( t
L
k
EI=cte.
L
Figura 19.5
En el elemento 1:
En el elemento 2:
El
• ásf cU
ap
M • ds cM
~EId?
ds
5P
= -P-L
q-z"
2
P•(z)dz
El El
dP ~
-dz = I
Lo dicho anteriormente para un desplazamiento lineal es aplicable al
cálculo de los desplazamientos angulares, cambiando donde dice fuerza
concentrada, por momento.
Cuando no exista carga concentrada o momento aplicado en el punto y
dirección en que se quiere calcular el desplazamiento, se introduce una
fuerza o momento ficticio, se hacen los cálculos correspondientes, y en la
expresión final se hace la consideración de que la fuerza o el momento
ficticio son nulos.

127. ESTRUCTURAS ISOSTÁTICAS PLANAS 131
Ejemplo.
Calcular el giro del punto "k" del semipórtico indicado en la figura 20.5.
T
:|¡r
^ EI=ctc.
Figura 20.5
Se introduce el momento ficticio m en "k". (Eig. 21.5):
T
L
Figura 21.5
Elemento 1:
Elemento 2:
= -P.z:
cm
El El
q-z
El
pero m = O (pues no existe en la estructura real):
-— P-L2
El

128. 132 TEORÍA DE LOS DESPLAZAMIENTOS
5.2.4 Teorema del desplazamiento unitario
Este teorema puede utilizarse para obtener la fuerza necesaria para mante-
ner un sistema en equilibrio si se conoce la distribución real de las tensio-
nes o los valores de las acciones interiores.
Si a un sistema de fuerzas en equilibrio se aplica un desplazamiento
virtual, tal que los puntos de aplicación de todas las fuerzas no se muevan
excepto el de la fuerza PK, se tendrá:
T-U
siendo:
PK-5AK - [a-'5e-dV (19.5)
//« *
c, el vector de las tensiones reales debidas al sistema real de fuerzas
actuando.
E . las deformaciones virtuales compatibles con los desplazamientos
virtuales.
Si la estructura es linealmente elástica óe es proporcional a ó"AK :
siendo:
ÓE , las deformaciones compatibles debidas a óA- = 1.
Si en (19.5) se hace 5AK = 1 queda:
PK = f a-'Ss-dV
•V * =r
EL TEOREMA DEL DESPLAZAMIENTO UNITARIO ESTÁ LIMITADO EN SU APLICACIÓN A
ESTRUCTURAS LINEALMENTE ELÁSTICAS, DE ACUERDO CON LA ECUACIÓN (20.5).
5.3 Teoremas energéticos basados en el principio del trabajo vir-
tual complementario
5.3.1 Principio de las fuerzas virtuales
En el principio de los Desplazamientos Virtuales se mantienen constantes
las fuerzas y las tensiones, y se varían los desplazamientos y las deforma-
ciones.
EN EL PRINCIPIO DE LAS FUERZAS VIRTUALES SE MANTIENEN CONSTANTES LOS
DESPLAZAMIENTOS Y DEFORMACIONES, VARIANDO LAS FUERZAS Y TENSIONES.

129. ESTRUCTURAS ISOSTÁTICAS PLANAS 133
El principio establece que si en una estructura elástica con un estado
compatible de deformación, se le aplica un estado virtual de tensiones 5a
y de fuerzas 5P, debe cumplirse que el trabajo virtual complementario sea
igual a la energía complementaria de deformación:
r = U* (21.5)
Y al igual que en el principio de los desplazamientos virtuales, el trabajo
virtual complementario puede dividirse entre el que realizan las fuerzas de
contorno y el que realizan las demás fuerzas exteriores, así como la energía
complementaria de deformación puede expresarse en función de las tensio-
nes y deformaciones:
(22.5)
e + T¿ = Js • 5 • a- dv
5.3.2 Teorema de Castigliano (Parte II)
Supóngase una estructura sometida a un sistema de fuerzas Pj, ?2, •••Pn Y
los correspondientes desplazamientos Aj, A2- ...An (Figura 22.5).
Figura 22.5
Si se aplica una fuerza virtual 5PK se realizará un trabajo complementa-
rio virtual:
ÍT^* A ir» /"71 'íA
óT = AK -oPK (2J.DJ
pero,
5T* =5U* (24.5)
por lo tanto:
AU*=AK-8PK (25.5)
y en el límite:

130. 134 TEORÍA DE LOS DESPLAZAMIENTOS
A = (26.5)
Es decir que la derivada parcial de la energía complementaria de defor-
mación (expresada como una función de las fuerzas Pj, ?2, ...Pn) de un
cuerpo elástico deformado, respecto a una fuerza dada, es igual al despla-
zamiento correspondiente.
Como se sabe, si en lugar de una fuerza virtual se introduce una momen-
to virtual, se obtiene el giro correspondiente.
El teorema puede aplicarse a sistemas elásticos lineales o no lineales.
5.3.3 Teorema de la fuera unitaria. Fórmula de Mohr
Este teorema puede utilizarse para obtener el desplazamiento AK en una
estructura de la que se conozca la distribución real de las deformaciones o
las acciones interiores.
Si en una estructura se aplica una fuerza virtual PK en dirección del
desplazamiento A^ de modo que se originen unas tensiones virtuales aK .
debe cumplirse que:
T* - U"
o,
F
K-dv (27.5)
AK = e -ÜK -dv (28.5)
Si se hace Pk = 1
donde a es la distribución de tensiones debidas a Pk = 1.
Puede demostrarse que la fuerza Pk = 1 puede aplicarse en un sistema
isostático correspondiente ai sistema real, si éste es hiperestático.
En el caso particular de estructuras reticulares elásticamente lineales, la
ecuación (28.5) conviene expresarla en función de las acciones interiores.
obteniéndose por un procedimiento similar al seguido en el epígrafe 511:
1 ^ , V -VKy
- ds + u ——— ds +
(29.5)
Í
Mmx • MKx , „ f ivimv ' ÍVIKV , r Mm_ • MKZ ,
- as +L\ ds +L —^^——- ds
EIX J- EIy 4 GJ

131. ÁTÍCAS PLANAS Í35
siendo:
Nni' Vmx, Vmy, Mmx, Mmy, Mmz, las acciones interiores producidas
por la carga real.
NK,VKX,VKV,MKX,MKV,MKZ. las acciones interiores producidas por la
carga unitaria aplicada en el sistema real o en un sistema isostático corres-
pondiente al sistema real.
En su formulación general, ecuación (28.5), el Teorema de la Fuerza
Unitaria no está limitado por la linealidad elástica de la estructura.
La ecuación (29.5) es conocida como la fórmula de Mohr para el cálculo
de desplazamientos.
5.4 Teoremas de Reciprocidad
5.4.1 Teoremas de Betti y Maxwell
Supongamos una viga a la que se aplica primeramente un sistema de cargas
Pm y después que la viga se ha deformado se aplica el sistema (Fig. 23.5.a).
p P_
, i m
^ ^ Anini f -~ * 1 f
-Pi » ¡Aba |Au
a) h)
Figura 2.- .-
El trabajo total desan-ollado a lo largo de todo el proceso será:
T=2Pm-Am^2Pi'A|1+P"''Aml
Si ahora invertimos el orden y aplicamos primero P] y a continuación
Pm, el trabajo total desarrollado al final del proceso será el mismo que en el
caso anterior, pues dicho trabajo no puede depender del orden de aplica-
ción de las cargas, obteniéndose (Fig. 23.5, b):
T=-P, •All+-Pm-áinin4.P1.Ata
Igualando ambas expresiones y reduciendo términos semejantes, se ob-
tiene:
P.-A^-PrAi.
que es la expresión matemática del teorema de Betti, el cual puede enun-
ciarse:

132. 136 TEORÍA DE LOS DESPLAZAMIENTOS
El trabajo dado por un sistema de fuerzas Pm en los desplazamientos
producidos por un sistema de fuerzas P\, es igual al trabajo dado por el
sistema de fuerzas P] en los desplazamientos producidos por el sistema de
fuerzas Pm.
Si los sistemas Pm y P\n constituidos por una fuerza única y unita-
ria, se tiene:
si Pm=P,=l
8 mi = S1m
que es la expresión matemática del teorema de Maxwell que puede
enunciarse:
El desplazamiento producido por una fuerza -Pm = 1 en dirección de otra
fuerza P, =1, es igual al desplazamiento que la segunda produce en direc-
ción de la primera.
5.4.2 Teorema de Rayleigh
Primer Teorema.
Sea una viga sometida a dos estados deformacionales uno originado por
Am y otro por A^ (Fig. 24.5, a y b):
A™ > otro por z^ (Mg. 24 >, a y b):
&
t
á
\ °y^
i
,-----,
7 /77W7
*R
~~r^L]L
\
At
'"^7 ^^
\
:
Figura 24. 5
.TTfí"
*
/77>>>7
t
a)
b)
Figura 24.5
De acuerdo con el teorema de Betti:

133. ESTRUCTURAS ISOSTÁTICAS PLANAS 137
siendo rkm la reacción producida por un desplazamiento Am=l y
Rmk =rmk 'Ak siendo rmk la reacción producida por un desplazamiento
Ak=l:
• • rmk ~ rkm
.". La reacción producida por el desplazamiento Ak =1 en la ligadura
"m". es igual a la reacción producida por el desplazamiento Am =1 en la
ligadura "k".
Segundo Teorema.
Sea la viga de la figura 25.5, a) y b) a la que le aplicamos dos estados
deformacionales: el producido por el desplazamiento Ak y el producido
por la fuerza Pm.
'- k
,77r77 77r
'
b)
Figura 25.5
Por el teorema de Betti:
kmrk
que es el segundo Teorema de Rayleigh o Teorema de Gvosdev:
La reacción en la ligadura "k" producida por una fuerza Pm = 1 , es igual
en valor absoluto y de signo contrario al desplazamiento del punto de
aplicación de la fuerza Pm producido por un desplazamiento Ak = 1 .
5.5 Cálculo de desplazamientos
5.5.1 Fórmula de Mohr
Tomando en cuanta el Teorema de Betti, la ecuación del párrafo 530 pue-
de escribirse:

134. 138 TEORÍA DE LOS DESPLAZAMIENTOS
11 f Mm -M, » r Nm -Nk » r Vm -V,
Pm -Am, = Pk -A,m = £ —2 *-ds + S I -^ds + Zr] - —- ds
m mk k km i ¿ El i -L EA i í GA
Si se hace Pk - 1:
11 pM • Mk " pV • Vk n pN • Nk
v I m *• i v I m K J \-> m " K -
A — > I _!1L H c 4- > -n I ri c -i~ > n I - n <;
¿i i.„, — ¿j \b *r ¿j \& -i- L-. \ us
1 J El i ' J GA i J EA
que es la fórmula de Mohr para calcular desplazamientos en estructuras
planas compuestas por elementos de poca curvatura.
En resumen, puede decirse que para obtener el desplazamiento produci-
do por un sistema de cargas Pm, en un punto "k" y en una dirección dada,
se procede como se indica:
1°) Obtener Mm, Vm y Nm.
2°) Eliminar las fuerzas externas e introducir en el punto y dirección que se
quiere el desplazamiento una fuerza Pk = 1 o un momento Mk = 1. .
3°) Calcular \ . Vk y Nk .
4°) Sustituir en la fórmula de Mohr.
Debe notarse que:
a) La importancia relativa de cada sumando en la fórmula de Mohr es la
misma que se indicó al hablar de la energía de deformación.
b) La fórmula de Mohr dada no toma en cuenta los efectos de temperatu-
ra, ni de otras solicitaciones: estos efectos se verán en su oportunidad.
Ejemplo:
Calcular el desplazamiento vertical del punto k de la barra de la figura.
Tomar en cuenta sólo los efectos de flexión (Fig. 26.5).
T
Ll
r
Barra 1:
tr^-K
*-
El=cte.
i
Figura 26.5
Mm = --l-; Mk =-Z

135. ESTRUCTURAS ISOSTÁTICAS PLANAS
Barra 2:
IVL= — ; Mk=-l-L
f
Elr
T -
q-L
(-L)d2
El
5q-L4
8EI
139
5.5.2 Multiplicación Gráfica (Teorema de Vereshiaguin)
Cuando hay que efectuar la integral del producto de dos funciones y al
menos una de ellas es lineal, se puede proceder como se indica a continua-
ción:
Sea 1= fy,(x)-y2(x)dx
•a
siendo yj una función lineal de x. es decir
y,=K-x
XV)
dx
a b
Figura 27.5
De acuerdo con la figura 27.5:
,, (v Hv — T¿" Q — Tf O v —O \•y2^xpx -K-&y - R -Uab -xc -¡Í2ab yc
«tí
siendo:
Sy, el momento estático, respecto al eje y, del área correspondiente a la
función no lineal.
Qa b, el área bajo la función no lineal.

136. 140 TEORÍA DE LOS DESPLAZAMIENTOS
Puede concluirse que la integral es igual al producto de la ordenada del
diagrama lineal, tomada debajo del centro de gravedad del diagrama no
lineal, por el área de este último.
El signo del producto será positivo cuando ambos diagramas estén situa-
dos del mismo lado del eje y será negativo en caso contrario.
En el ejemplo anterior (Fig. 28.5):
q-L2
2 N-^-
*- 1
4 Mm
Figura 28. 5
1
n El
^•L2L-L+lq-L2
2_ 32
L
Mk
lA1-*-
4 8E
u
Casos más frecuentes:
Los diagramas simples más frecuentes en la práctica, son los siguientes
(Fig.29.5):
A - b - h c =
|
--T
A K i,
A = b-h c =
2 3

137. ESTRUCTURAS ISOSTÁTICAS PLANAS 141
\—
Voladizo
i _
h =
2
3
q-b:
c =-
Voladizo
= -b-h
b
c = -
4
Figura 29.5
Si las figuras son compuestas, lo mejor es dividirlas en figuras simples
(Fig.30.5):
hi
li
- iu
Figura 31.5
Figura 30.5
En la figura 31.5 se comprueba que,
, la superposición de los triángulos con
trazo discontinuo, equivale a los dos de
trazo continuo:

138. 142 TEORÍA DE LOS DESPLAZAMIENTOS
1
= ----- pero
b
1 1,
hl = ri2
í, " U
y
Cuando se trate de "multiplicar" figuras compuestas puede precederse
como se indica a continuación (Fig. 32.5): se descompone cada figura com-
puesta en figuras elementales y se efectúa la multiplicación en la forma
indicada:
Ci Ai
>;.C2
AI (y, + y'i)-A2(y, +y'2)
V, ya
__í
Figura 32.5
Por último, como un caso que se presenta con cierta frecuencia, se indica
el de la figura 33.5, el cual para efectos de la "multiplicación e integración"
gráfica puede descomponerse en las tres áreas de trazo discontinuo que se
indican: dos triángulos. AI y A3, y la parábola A2-
A2
Figura 33.5
Para la figura A3 (parábola inclinada) conviene recordar que se puede
considerar como una horizontal (Fig. 34.5):

139. ESTRUCTURAS ISOSTÁTICAS PLANAS 143
^
a :
-.. Li
Figura 34.5
A=*l
3
-I2
3
2 ] i, 2i i—-^ h • cosa = 1-h
3 cosa 3
5.5.3 Ejemplos
Ejemplo 1
Calcular el desplazamiento horizontal del punto "k" en la estructura de
ía figura 35.5
-24t-m
V----T
6t/m
fc=
_4,
Figura 35.5
Primero se construye el gráfico Mm originado por la carga extema, y el
gráfico Míe originado por una carga unitaria actuando en el punto y direc-
ción que se desea calcular el desplazamiento, (Fig. 36.5).

140. 144 TEORÍA DE LOS DESPLAZAMIENTOS
ción que se desea calcular el desplazamiento, (Fig. 36.5).
4 H [Í24
\
Figura 36.5
A continuación se "multiplican" los gráficos Mm y Mk (Fig. 37.5).
Barra 1:
24
v .
2
K
Í
l 1 /2 72
— 24-2— 3 — 48-2 — 3 = —
J. 2 "3 El
48 3
Barra 2:
30 I» 3/^3/2 A2 _ 1 [ ^n./3^3! ifi.ií3^
,T í
1 t
-f — \1 \[ 2" 2 3 2) \2
'•/ / \
/ 1 : "i 9 1 i 527
"73/2 ' jg.j Z J _ 8/
2 l,32j El
^ f-.
I_3]
2 2)
Barra 3:
72
ü£.
8 /
^ = 27 h
8 \? \/ \ 1
k ~ÉI
1 221]
--Ó-7-2--3+— 6-27— 3
2 332.
270

141. ESTRUCTURAS ISOSTÁTICAS PLANAS
Barra 4:
V
145
El
144
--72-^-3)1 = - —
2 3 El
72 3
Figura 37.5
El desplazamiento total será:
A - — (- 72 - 87 - 270 -144)- -
El El
Ejemplo 2.
Calcular el desplazamiento horizontal del punto "k", en la viga de la
figura 38.5; considerar sólo el efecto de flexión.
573
p =
El = cte.
2L
Figura 38.5
Primero se construyen los diagramas Mm y Mk. (Fig. 39.5):
/TsW
Figura 39.5
A continuación se "multiplican" los gráficos (Fig. 40.5):
Barra 1:
El 2 232 32 22

142. 146
Barra 2:
TEORÍA DE LOS DESPLAZAMIENTOS
1 (1 L L 5 qL" }= I 5qL4
El í 2 2 2 6 2 j ~ El 96
6
Figura 40.5
El desplazamiento final será:
En este caso, el diagrama de la izquierda
no es lineal (tiene un tramo inclinado y otro
recto de ordenadas nulas) y en él hay que
tomar el área.
5qL4
El 96
Ejemplo 3.
Determinar la aproximación de los puntos a y b en el pórtico de la figura
41.5.
41
|3 I
!- ,
-áL
- - 6.... J
Figura 41.5
En este caso hay que calcular el desplazamiento del punto a en la direc-
ción a-b y el desplazamiento del punto b en esa misma dirección: por lo
anterior, habrá que introducir dos fuerzas unitarias en los puntos y direc-
ción deseados para construir el diagrama Mk ; el diagrama Mm no ofrece
dificultad. (Fig. 42.5).
Pk=l
Mm t. Mk -J
Figura 42.5

143. ESTRUCTURAS ISOSTÁTICAS PLANAS 147
"Multiplicando" los gráficos se obtiene:
A :I(16.18 -3 2l I l í3 2'6
km El i 3 q 4 J + 4EI 2
94.5 2
6q q (metros)
5.5.4 Desplazamientos por temperatura
Los gradientes por temperatura en las estructuras isostáticas dan lugar úni-
camente a deformaciones; los desplazamientos correspondientes pueden
calcularse también por la fórmula de Mohr teniendo en cuenta que en esta
ocasión no existe expresión para Mrn pues los efectos de temperatura no
dan lugar a momentos Héctores en las estructuras isostáticas.
Sea una viga isostática de altura "h". sometida a un gradiente de tempe-
ratura, tal como se indica en la figura 43.5 y supongamos que t2>ti>0 y
que la variación de temperatura entre ambas caras de la viga es lineal:
Figura 43.5
Si se quiere obtener el desplazamiento vertical del punto "k", se introdu-
ce la fuerza unitaria en el punto y dirección deseados, tal como se indica en
la figura 44.5. en la que con trazo continuo se ha indicado la deformada
debida al eradiente de temperatura y con discontinuo la debida a Pk - 1.
ds
Figura 44.5
Calculemos el trabajo virtual o posible en función de M, V y N; para
ello, aislemos un elemento "ds" cuya longitud cambiará, tal como se indica.
por efectos de la temperatura, (Fig. 45.5).
a-trds
JL
dsj OS__
Figura 45.5

144. 148 TEORÍA DE LOS DESPLAZAMIENTOS
La sección transversal gira un ángulo dfa y sobre ese giro, el momento
tlector M^, debido a Pk = 1 , realiza un trabajo elemental dT'M :
dTM=Mk.d<|»t,
el trabajo total vale:
Si se hace At = ,t-, -1,1 :
[ A
k
siendo A.^ , el área del gráfico del momento flector debido a:
La fuerza cortante V^ no realiza trabajo sobre la deformación indicada,
(Fig. 46.5):
Vk
Figura 46.5
Por último, calculemos el trabajo realizado por la fuerza axial
47.5):
crtrds
Nk
(Fig.
ds
A-dst
'
a-t2'ds
Figura 47.5
r o^+t,
N 1 ?
T =
1 v —
siendo:
Tm: la temperatura a la altura de la fibra que contiene al centroide de la
sección.

145. ESTRUCTURAS ISOSTÁTICAS PLANAS 149
AMk el área del gráfico de la fuerza axial debida a Pk -1.
El desplazamiento total del punto "k" será:
A t A A
Si la estructura consta de varios elementos:
Ak,=í
rr +
Mk
siendo:
n, el número de elementos de la estructura.
Como convenio de signos puede utilizarse el siguiente:
El primer término, en el segundo miembro de la ecuación, será positivo
si la fibra traccionada por la temperatura y la fibra fraccionada por la fuerza
Pk = 1, coinciden: en caso contrario, el término será negativo.
El segundo término, en el segundo miembro de la ecuación, será positivo
si los efectos de la temperatura y de la fuerza Pk = 1 sobre la fibra media
de la viga coinciden, esto es. si ambos efectos son de tracción o de compre-
sión; en caso de que los efectos sean de distinto signo, el término será ne-
gativo.
Ejemplo.
Calcular el desplazamiento vertical del punto "K" del pórtico de la figu-
ra 48.5 sometido al gradiente de temperatura que se indica:
T
-30-
-10°
-20°
2L
+ 10°
/7&&
Figura 48.5
Los gráficos Mk yNk debidos a Pk =1, son los que se indican en la
figura 49.5.
L/2 L/2
•C ~
L/2
Figura 49.5

146. 150 TEORÍA DE LOS DESPLAZAMIENTOS
En la figura 48.5 se ha indicado con trazo discontinuo, la deformación
producida en cada elemento por el gradiente de temperatura, a fin de que se
comprenda mejor el signo de cada término:
a-10 1 L2 a-50 1 T r a • 30 1 L2 1
A =-—— -+- -L-2 + +a-15L — a-5-2L-
h22 h22 h22 2
5.5.5 Cálculo de desplazamientos en armaduras por el método de
las cargas elásticas
Los desplazamientos en los nudos de las armaduras se pueden calcular por
la fórmula de Mohr. Sin embargo, la práctica demuestra que para el cálculo
de estos desplazamientos es más cómodo otro método que se conoce como
método de las cargas elásticas.
En la figura 50.5, a), está representada una armadura solicitada por va-
rias fuerzas concentradas, P\, ... ?4? actuando en los nudos. Debido a la
acción de estas fuerzas, los nudos de la armadura se desplazarán: el gráfico
de los desplazamientos verticales de los nudos del cordón inferior será un
polígono, tal como se indica en la figura 50.5. b).
di
Pi
d; d3
P3
d4
/??•.
*
Y: Y3 Y.
b)
Figura 50.5
El gráfico de los desplazamientos puede interpretarse como un gráfico
de momentos flectores en una viga de igual luz que la armadura considera-

147. ESTRUCTURAS ISOSTÁTICAS PLANAS 151
da (Fig. 51.5), solicitada la primera por un sistema de fuerzas W. A éstas
las llamaremos cargas o pesos elásticos.
El problema reside, entonces, en disponer de un método que permita
calcular los valores de las cargas elásticas; una vez conocidas éstas, el cál-
culo de los desplazamientos en la armadura se reduce al cálculo del dia-
grama de los momentos flectores en una viga solicitada por un sistema de
fuerzas concentradas.
Calculemos la relación que existe entre los valores de los desplazamien-
tos de los nudos y las cargas elásticas. Para ello construimos los gráficos de
momento flector y fuerza cortante en la viga, (Fig. 51.5).
Wi I W?| U'J W,|
7X a)
V
H c)
AV4=W4
Figura 51.5
Puede observarse que en el diagrama de V aparecen saltos debido al
sistema de fuerzas concentradas. Los valores de estos saltos son iguales a
los de las fuerzas concentradas:
AV, = W,
Por otra parte, la variación de la fuerza cortante AVj puede calcularse
como la diferencia entre las pendientes, en el gráfico de los momentos, de
las rectas que concurren en el punto de aplicación de la carga Wj. Por
ejemplo, el salto AV2 en el lugar de aplicación de la carga elástica W2 es,
^r ~dT

148. 152
AV, =
Y -
TEORÍA DE LOS DESPLAZAMIENTOS
Y - Y12 it
por lo tanto, el peso elástico correspondiente será:
Y -Y Y -Y
w, =
d2
El peso elástico correspondiente al nudo i se puede calcular por la fór-
mula:
W; =
Y., -Y Y -V
Ahora bien, el primer sumando de la fórmula anterior es el ángulo de
giro del miembro que concurre por la derecha en el nudo i de la armadura.
y el segundo, el ángulo de giro del elemento que concurre en el nudo por la
izquierda. Puede decirse pues, que el peso elástico correspondiente al nudo
/ es igual a la diferencia entre los ángulos de giro de las barras (derecha e
izquierda) de la armadura, que concurren en este nudo.
Los ángulos de giro de las barras de la armadura- a su vez. pueden calcu-
larse por la fórmula de Mohr. Por ejemplo, si se necesita calcular el ángulo
de giro del elemento 2-3 de la armadura, es necesario:
^ 7
9
Figura 52.5
Aplicar un par unitario Mk = 1 a este elemento (Fig. 52.5), en forma de
dos fuerzas concentradas, aplicadas a los nudos 2 y 3, que forman un par
unitario:
calcular las fuerzas axiales Nk, en los elementos y hallar después el ángulo
de giro por la fórmula:
^Nm-Ñk-L
kni EA

149. ESTRUCTURAS ISOSTATICAS PLANAS 153
Pero en nuestro caso no se trata del ángulo de giro de un elemento aisla-
do, sino de la diferencia entre los ángulos de giro de dos elementos concu-
rrentes en el nudo, por lo que no se aplica a la armadura un solo par unita-
rio, sino dos, uno a cada uno de los elementos del cordón que concurren en
el nudo; lógicamente, estos pares deben aplicarse en direcciones opuestas,
(Fig.53.5).
Una vez calculadas las fuerzas axiales Xt. originadas por este sistema
de fuerzas, y conociendo las fuerzas axiales Nm originadas por la carga
exterior que actúa sobre las barras de la estructura, se calculan los valores
de las cargas elásticas por la fórmula:
w = £Nm.Ñk.L
EA
Si en lugar de los desplazamientos verticales de los nudos del cordón in-
ferior, se desean calcular los del cordón superior habrá que aplicar los pa-
res unitarios en los elementos de dicho cordón.
Ejemplo.
Calcular los desplazamientos verticales de los nudos del cordón inferior
de la armadura de la figura 54.5. La carga extema actuando sobre la arma-
dura es una fuerza concentrada P = 1 tn , aplicada en el nudo 3.
1 2 3' 4' 5'
Figura 54.5

150. 154 TEORÍA DE LOS DESPLAZAMIENTOS
En las columnas 2 y 3 de la tabla 1 se han anotado las características
geométricas de las barras de la armadura.
TABLA 1
Barra
0-1
1-2
2-3
3-4
4-5
5-6
6-5'
5'-4'
4'-3'
3 '-2'
2'-r
i-r
2-2'
3-3'
4-4'
5-5"
l'-2
2-3'
y -4
4-5'
o-r
i
L
m
3
3
3
3
3
3
5
3
3
3
3
4
4
4
4
4
5
5
5
5
5
Área
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
Np
-3/8
-3/8
-4 S
-9 8
-3/8
-3/8
5/8
3/4
3/4
3/4
3/40
0
0
-1
0
0
-5-8
5 8
5/8
-5 ^
5 S
Ni
-1/4
-1 4
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-2/3
-
-
-
-
5/12
-
-
-
5 12
Np-Ni-L
9/32
9/32
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-8/3
-
-
-
-
-125/46
-
-
-
125/46
9. í 6
N2
-
-
-
-
-
-
-
-
-
1/4
1/4
1/3
-
1/3
-
-
-5/12
-5/12
-
-
-
Np-N2-L
-
-
-
-
-
-
-
-
-
9/16
9/16
-
-
-4/3
-
-
125/46
-125/46
-
-
- •
-5/24
N3
-
-
-1/4
-1/4
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-2/3
-
-
-
5/12
5/12
-
-
Np-N3-L
-
-
27/32
27/32
-
-
-
-
-
-
-
-
-
8/3
-
-
-
125/96
125/96
-
-
167/24
A continuación se procede como se indica:
1°) Se resuelve la annadura para la carga externa, obteniéndose los valores
indicados en la 4a columna de la tabla 1.
2°) Se calcula la carga elástica W[, aplicando los pares en las barras 0-1 y
1-2, figura 55.5 y resolviendo la estructura. En la columna 5 se indican
los valores de las fuerzas axiales originadas en las distintas barras.
5"r
/
/
/
<\~ -
\ 3*
~~>
/
/
Á
/
t
^— — ^
\
L _
r
/
/
/4
<
tt
1/3 1/3 1/3
•M-7
Figura 55.5

151. ESTRUCTURAS ISOSTÁTICAS PLANAS 155
E A I6EA
3°) Se calcula la carga elástica W2, aplicando los pares en las barras 1-2 y
2-3, figura 56.5. Las fuerzas axiales en las barras y los productos
Nm • N2 • L se indican en las columnas 7 y 8.
1' T
/
/
'
\
\J
' ,1.
./'
/
/
\ '•,
/
/'
A
1/3 1/3 1/3 1/3
Figura 56.5
W2=S
N -N2-L
EA 24EA
4°) La carga elástica W3 se calcula en forma similar. Los valores necesa-
rios están anotados en las columnas 9 y 10 de la tabla 1.
Np-N3-L 167
EA 24EA
En este caso particular, las cargas elásticas W4 y W5 son iguales a W2 y
Wj. respectivamente.
5°) Se obtiene el diagrama de los momentos flectores producidos en la viga,
por las cargas elásticas (Fig. 57.5).
Wi W: W3 W4 W5
L \L
16AE
\3
2^
4AE
RÍ3
Mi NÍ2 Ms Mi
Figura 57.5

152. 156 TEORÍA DE LOS DESPLAZAMIENTOS
Las reacciones en los apoyos producidos por las cargas elásticas valen:
R -R -1 1 í9 5 i167 5 i 9}= 23
2AEU6 24 24 24 16 J 6AE
Los desplazamientos verticales de los nudos del cordón inferior están
dados por los valores de los momentos flectores en los puntos de aplicación
de las cargas elásticas (Fig. 57.5)
_ _ _23_, 23
1 ~ ' 6AE 2AE
23 f 9 341
• j — — -
6AE 16AE 16AE
9 •>
6-
6AE 16AE 24 AE 4.\

153. BIBLIOGRAFÍA
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Beaufait, F. W. Análisis Estructural. Editorial Prentice Hall, Madrid. 1981.
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ría, S. A.. México. 1971.
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Cubano del Libro, La Habana. 1985.
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1961.
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Asociados, México. 1985.
Turna. J. J.y Munshi, R. K. Análisis Estructural Avanzado. Editorial McGraw Hill.
México. 1971.
Wang, C. y Eckel, C.: Teoría Elemental de Estructuras. Editorial McGraw Hill,
España. 1968.
West. H. H.: Análisis de Estructuras. Editorial CECSA, México.
Yuan-Yu Hsieh: Teoría Elemental de Estructuras. Editorial Prentice Hall.

154. El estudio de las estructuras isostáticas es fundamental, no sólo porque
muchas de las estructuras que se construyen son estáticamente determina-
das, sino también porque el mismo es básico para el análisis de las estruc-
turas hiperestáticas.
En el presente texto, además del estudio de ko temas clásicos del análisis
de las estructuras isostáticas, como son la obtención de los diagramas de
momentos flectores, fuerzas cortantes > axiales, se hace especial énfasis en
tópicos cuyo tratamiento no es fácil encontrar en la literatura correspon-
diente como son el análisis cinemático de los sistemas, la obtención y utili-
zación de las líneas de influencia en vigas continuas, en armaduras y arcos
y la teoría de los desplazamientos, básica para el estudio de las estructuras
hiperestáticas.
Enrique Ramírez Valverde es ingeniero civil, con estudios de posgrado en el
Centre de Hautes Etudes de la Construction (CHEC) de París y en el Instituto
Superior Politécnico José Antonio Echevarría (ISPJAE) de La Habana.
Anteriormente fue profesor de la Universidad de La Habana y actualmente
es profesor de tiempo completo, adscrito a la escuela de ingeniería civil de la
Facultad de Ingeniería de la BI'AP, cuenta con una amplia experiencia en el
cálculo de estructuras así como en la docencia de asignaturas relacionadas
con el análisis de las mismas.
Es autor del libro Análisis de reticulados hiperestáticos: método de los despla-
zamientos editado por el Instituto Cubano del Libro, así como de numerosos
artículos para revistas especializadas y congresos, nacionales e internacionales.
También es coautor de un método para el análisis de vigas, pared y losas, pre-
sentando en foros y publicado en libros especializados europeos.