Análisis de la varianza (ANOVA)

1. ANÁLISIS DE LA VARIANZA (ANOVA)

2. DEFINICIÓN Té cn ica de prueba de hipótesis paramétrica que tiene como objetivo básico verificar si hay diferencias estadísticamente significativas entre las medias de más de 2 poblaciones.

3. CARACTERÍSTICAS Y SUPUESTOS Compara 3 ó más medias poblacionales, si son iguales. Evita la propagación del error. Las muestras provienen de poblaciones con un distribución normal. Las desviaciones estándar de las poblaciones son iguales. Las muestras son independientes.

4. CONCEPTO GRÁFICO MUESTRA 1 Unidad 1 X 11 Unidad 2 X 12 Unidad 3 X 13 Unidad 4 X 14 Unidad 5 X 15 Unidad 6 X 16 Unidad 7 X 17 Unidad 8 X 18 Unidad 9 X 19 MUESTRA 2 Unidad 1 X 21 Unidad 2 X 22 Unidad 3 X 23 Unidad 4 X 24 Unidad 5 X 25 Unidad 6 X 26 Unidad 7 X 27 Unidad 8 X 28 Unidad 9 X 29 MUESTRA 3 Unidad 1 X 31 Unidad 2 X 32 Unidad 3 X 33 Unidad 4 X 34 Unidad 5 X 35 Unidad 6 X 36 Unidad 7 X 37 Unidad 8 X 38 Unidad 9 X 39 Promedio 1 χ 1● Promedio 2 χ 2● Promedio 3 χ 3● Promedio General χ ●●

5. VARIANZA TOTAL La variación TOTAL es la que toma en cuenta la variación entre TODAS las unidades tomando en cuenta la diferencia a la gran media ∑ ( X 11 - χ ●● ) 2 + ( X 12 - χ ●● ) 2 + … + ( X 39 - χ ●● ) 2 Este valor se conoce como LA SUMA DE CUADRADOS (Que es la parte superior de la varianza) Cada dato es reconocido con dos subíndices, el primero indica el grupo y de manera se denota con la letra “i” y la segunda que es la unidad dentro del grupo y se denota con la letra “j”

6. VARIANZA ENTRE GRUPOS La Varianza ENTRE GRUPOS compara las medias de cada Grupo con la gran Media ∑ n 1 ( X 1 ● - χ ●● ) 2 + n 2 ( X 2 ● - χ ●● ) 2 + n 3 ( X 3 ● - χ ●● ) 2 Es la varianza que mide las diferencias entre grupos o muestras habitualmente el número de grupos se denota de manera general con la letra K

7. VARIANZA INTRA-GRUPOS La varianza INTRA GRUPOS considera la variación que hay dentro de cada grupo ∑ ( X 11 – χ 1● ) 2 + ( X 12 – χ 1● ) 2 + … + ( X 19 – χ 1● ) 2 + Para cada Grupo ∑ ( X 21 – χ 2● ) 2 + ( X 22 – χ 2● ) 2 + … + ( X 29 – χ 2● ) 2 + ∑ ( X 31 – χ 3● ) 2 + ( X 32 – χ 3● ) 2 + … + ( X 39 – χ 3● ) 2 =

8. TABLA DE ANOVA Los datos de las varianzas se resumen en lo que se llama “LA TABLA DE ANÁLISIS DE VARIANZA” Que reúne los valores y los llamados grados de libertad.

9. TABLA ANOVA Fuente de Variación Grados de libertad Suma de Cuadrados Cuadrados medios F Entre Grupos GLE=K-1 SCE=∑ n i ( X 1 ● - χ ●● ) 2 CME= SCE/GLE CME/CMI Intra Grupos GLI=N-K Ó GLT-GLE SCI=∑ ∑ ( X i j - χ i● ) 2 Ó SCT-SCE CMI= SCI/GLI TOTAL GLT=N -1 SCT=∑ ∑ ( X i j - χ ●● ) 2

10. PRIMERO SE CALCULA LO SIGUIENTE:

11. Entonces las cantidades admiten una expresión muy sencilla: SCE = B-C  S E 2 = SCE/t-1 SCT = A-C SCD = A-B  S D 2 = SCD/N-t Calculamos: F exp = S 2 E /S 2 D

12. Y dado el nivel de significancia α , buscamos en una tabla de distribución F de Snedecor el valor: F teo = F t-1, N-t, 1- α Rechazando H si F exp > F teo , como se aprecia en esta imagen:

13. EJEMPLO Se aplican 4 tratamientos distintos a 4 grupos de 5 pacientes, obteniéndose los resultados de la tabla que se adjunta. Queremos saber si se puede concluir que todos los tratamientos tienen el mismo efecto.

14. RESOLUCIÓN HO = μ 1 = μ 2 = μ 3 H1 = μ 1 ≠ μ 2 ≠ μ 3

15. Calculando: En conclusión, el F exp > F teo , por tanto se ha de rechazar la igualdad de efectos de los tratamiento.

16. SE RECHAZA LA HIPÓTESIS NULA