Análisis de vigas de concreto armado

Se determina la resistencia de vigas de concreto armado. Simplemente armadas, doblemente armadas y vigas Te

1. Concreto Armado I Contenido: Tema 2: Miembros sometidos a flexión simple 2.1Comportamiento de secciones sometidas a flexión 2.2 Resistencia de las secciones sometidas a flexión 2.3 Diseño de secciones por teoría de rotura 2.4 Cálculo de deflexiones. Prof. Ing. José Grimán Morales 1

2. 2.1Comportamiento de secciones sometidas a flexión Los principales aspectos de interés práctico en el comportamiento de una estructura son: ( 1) la resistencia de la estructura, es decir , la magnitud de las cargas con una distribución dada que causarán la falla de la estructura y ( 2) las deformaciones traducidas en deflexiones y agrietamientos que van a presentarse en la estructura cuando esté cargada bajo condiciones de servicio . Prof. Ing. José Grimán Morales 2

3. 2.1Comportamiento de secciones sometidas a flexión La mecánica del concreto reforzado se basa en las siguientes premisas fundamentales : 1. Las fuerzas internas, tales como momentos flectores, fuerzas de corte y esfuerzos normales y cortantes en una sección cualquiera de un elemento, están en equilibrio con los efectos de las cargas externas en esta sección. 2. La deformación unitaria en una barra de refuerzo embebida (a tensión o a compresión) es la misma que la del concreto circundante. Es decir, se supone que existe una adherencia perfecta en la interfase entre el concreto y el acero de manera que no ocurre deslizamiento entre los dos materiales . Prof. Ing. José Grimán Morales 3

4. 2.1Comportamiento de secciones sometidas a flexión 3. Las secciones transversales planas antes de la aplicación de la carga siguen siendo planas para el elemento cargado. 4. Debido a que la resistencia a la tensión del concreto es pequeña, el concreto en aquella parte del elemento sometido a tensión estará usualmente fisurado; las fisuras obligan a que el concreto fisurado sea incapaz de resistir esfuerzos de tensión. De acuerdo con esto, se supone en general que el concreto no es capaz de resistir ningún esfuerzo de tensión. 5. La teoría se basa en las relaciones esfuerzo-deformación reales y en las propiedades de resistencia de los dos materiales constituyentes o en alguna simplificación razonable relacionada. Prof. Ing. José Grimán Morales 4

5. 2.1Comportamiento de secciones sometidas a flexión En la figura 2.1 se presenta un ejemplo sencillo de una viga de concreto reforzado y se indica la nomenclatura usual para las dimensiones de la sección transversal . Cuando la carga en dicha viga se incrementa de modo gradual desde cero hasta la magnitud que producirá su falla, claramente pueden distinguirse diferentes estados en su comportamiento . Prof. Ing. José Grimán Morales 5

6. Prof. Ing. José Grimán Morales 6 Figura 2.1. (Tomada de Nilson , Arthur H .)

7. 2.1Comportamiento de secciones sometidas a flexión Para cargas bajas, mientras que el máximo esfuerzo de tensión en el concreto sea menor que el módulo de rotura, todo el concreto resulta efectivo para resistir los esfuerzos de compresión a un lado y de tensión al otro lado del eje neutro . Además, el refuerzo, que se deforma la misma cantidad que el concreto adyacente, también está sometido a esfuerzos de tensión. En esta etapa, todos los esfuerzos en el concreto son de pequeña magnitud y proporcionales a las deformaciones. Prof. Ing. José Grimán Morales 7

8. 2.1Comportamiento de secciones sometidas a flexión Cuando la carga se aumenta un poco más, pronto se alcanza la resistencia a la tensión del concreto y en esta etapa se desarrollan las grietas de tensión. Éstas se propagan con rapidez hacia arriba y muy cerca del nivel del plano neutro, que a su vez se desplaza hacia arriba con agrietamiento progresivo . La forma general y la distribución de estas grietas de tensión aparecen en la figura 2.2. Prof. Ing. José Grimán Morales 8

9. Prof. Ing. José Grimán Morales 9 Figura 2.2. (Tomada de Nilson , Arthur H .)

10. 2.1Comportamiento de secciones sometidas a flexión Para cargas moderadas , si el esfuerzo en el concreto no excede aproximadamente ( f’c /2), los esfuerzos y las deformaciones unitarias continúan siendo proporcionales. La distribución de deformaciones unitarias y esfuerzos en la sección fisurada o cerca de ella es, en consecuencia, la que aparece en la figura 3.2e (Ver figura 2.2). Prof. Ing. José Grimán Morales 10

11. 2.1Comportamiento de secciones sometidas a flexión Cuando la carga se incrementa aún más, el esfuerzo y las deformaciones aumentan en forma correspondiente y desaparece la proporcionalidad. La relación no lineal entre esfuerzos y deformaciones unitarias que sigue es la determinada por la curva esfuerzo-deformación unitaria del concreto. La figura 3.2f (ver figura 2.2) señala la distribución de esfuerzos y deformaciones unitarias cerca de la carga última. Prof. Ing. José Grimán Morales 11

12. Prof. Ing. José Grimán Morales 12 Figura 2.2.(Repetida) (Tomada de Nilson , Arthur H .)

13. 2.1Comportamiento de secciones sometidas a flexión E n algún momento se alcanza la capacidad de carga de la viga. La falla se puede presentar de dos maneras. Cuando se emplea una cantidad de refuerzo relativamente moderada, el acero alcanza su punto de fluencia con determinado valor para la carga. Para este esfuerzo, el acero de refuerzo fluye en forma súbita y se alarga de manera considerable, entonces las grietas de tensión en el concreto se ensanchan de manera visible y se propagan hacia arriba, presentándose simultáneamente una deflexión significativa de la viga. (Ver las figura 2.3 , 2.4a y 2.4b). (Vigas Subreforzadas ) Prof. Ing. José Grimán Morales 13

14. 2.1Comportamiento de secciones sometidas a flexión Cuando esto ocurre, las deformaciones unitarias en la zona de compresión restante del concreto se incrementan hasta tal punto que sobreviene el aplastamiento del concreto, o sea una falla por compresión secundaria con una carga sólo ligeramente superior que la carga que causó la fluencia en el acero . En consecuencia, la realización efectiva del punto de fluencia en el acero determina la capacidad de carga de las vigas moderadamente reforzadas . Esta falla por fluencia es gradual y está precedida por signos visibles de peligro, como el ensanchamiento y alargamiento de las grietas y el aumento notorio en la deflexión . Prof. Ing. José Grimán Morales 14

15. Prof. Ing. José Grimán Morales Figura 2.3. (Tomada de Alonso, José L.) 15

16. Prof. Ing. José Grimán Morales 16 Figura 2.4a. (Tomada de Alonso, José L.)

17. Prof. Ing. José Grimán Morales 17 Figura 2.4b. (Tomada de Alonso, José L.)

18. 2.1Comportamiento de secciones sometidas a flexión De otra parte, si se emplean grandes cantidades de refuerzo o cantidades normales de acero de muy alta resistencia, la resistencia a la compresión del concreto puede agotarse antes de que el acero comience a fluir. El concreto falla por aplastamiento cuando las deformaciones unitarias son tan grandes (0.003 a 0.004) que destruyen su integridad. La falla por compresión debida al aplastamiento del concreto es repentina, de naturaleza casi explosiva y ocurre sin ningún aviso. Por esta razón, es aconsejable calcular las dimensiones de las vigas de tal manera que , si se sobrecargan, la falla se inicie por fluencia del acero en vez del aplastamiento del concreto . (Ver las figuras 2.3 y 2.5). (Vigas Sobrereforzadas ) Prof. Ing. José Grimán Morales 18

19. Prof. Ing. José Grimán Morales 19 Figura 2.3. (Repetida) (Tomada de Alonso, José L.)

20. Prof. Ing. José Grimán Morales 20 Figura 2.5. (Tomada de Alonso, José L.)

21. NORMA 1753-2006. CAPÍTULO 10 FLEXIÓN Y CARGAS AXIALES Prof. Ing. José Grimán Morales 21

22. NORMA 1753-2006. CAPÍTULO 10 FLEXIÓN Y CARGAS AXIALES Prof. Ing. José Grimán Morales 22

23. NORMA 1753-2006. CAPÍTULO 10 FLEXIÓN Y CARGAS AXIALES Prof. Ing. José Grimán Morales 23

24. NORMA 1753-2006. CAPÍTULO 10 FLEXIÓN Y CARGAS AXIALES Prof. Ing. José Grimán Morales 24

25. Prof. Ing. José Grimán Morales 25

26. Concreto Armado I Contenido: Tema 2: Miembros sometidos a flexión simple 2.1Comportamiento de secciones sometidas a flexión 2.2 Resistencia de las secciones sometidas a flexión 2.3 Diseño de secciones por teoría de rotura 2.4 Cálculo de deflexiones 2.5 Ductilidad de secciones a flexión Prof. Ing. José Grimán Morales 26

27. 2.2 Resistencia de las secciones sometidas a flexión En la práctica estructural es de interés calcular aquellos esfuerzos y deformaciones unitarias que ocurren en la estructura sometida a las cargas de servicio. Para las vigas de concreto reforzado esto puede hacerse mediante el método de la teoría elástica, el cual supone un comportamiento elástico en ambos materiales . De igual manera, es importante que el ingeniero estructural sea capaz de predecir con suficiente precisión la resistencia última de una estructura o de un elemento estructural. Hacer que esta resistencia sea mayor que la combinación mas desfavorable de solicitaciones mayoradas que pueda presentarse durante la vida útil de la estructura en una cantidad apropiada, garantiza un margen adecuado de seguridad. Prof. Ing. José Grimán Morales 27

28. 2.2 Resistencia de las secciones sometidas a flexión Se han desarrollado métodos de análisis más realistas para estimar la resistencia última basados en el comportamiento inelástico real (en vez de suponer el comportamiento elástico de los materiales) y en los resultados de una investigación experimental bastante amplia . Estos métodos basados en la teoría de rotura se utilizan actualmente , en forma casi exclusiva, en la práctica del diseño estructural . Prof. Ing. José Grimán Morales 28

29. 2.2 Resistencia de las secciones sometidas a flexión Con el objeto de desarrollar métodos sencillos de cálculo, los reglamentos de construcción recurren a hipótesis simplificadoras en las cuales se fija un valor de la deformación unitaria máxima útil del concreto, ε cu y donde se definen diagramas idealizados de los esfuerzos de compresión, de tal manera que el área del diagrama de esfuerzos y la posición de la resultante de compresión sean semejantes a las que corresponderían a una distribución real. Prof. Ing. José Grimán Morales 29

30. 2.2 Resistencia de las secciones sometidas a flexión HIPÓTESIS ACI El Reglamento del Instituto Americano del Concreto (ACI 318-02) utiliza las hipótesis simplificadoras que se resumen en la figura 2.7. En lugar de la distribución real de esfuerzos , se propone una distribución rectangular , con una profundidad igual a β 1 veces la profundidad del eje neutro . Se acepta que el elemento alcanza su resistencia máxima a una deformación unitaria máxima útil del concreto en compresión igual a 0.003, con una distribución lineal de deformaciones unitarias . Prof. Ing. José Grimán Morales 30

31. 2.2 Resistencia de las secciones sometidas a flexión El parámetro β 1 , se hace depender de la resistencia nominal f’c de acuerdo con la ecuación mostrada en la figura 2.7. El valor de β 1 , es constante e igual a 0.85 para f‘c menor o igual a 280 kgf /cm 2 . Esta variación tiene por objeto tomar en cuenta el cambio en la forma de la curva esfuerzo-deformación del concreto al incrementar su resistencia, ya que el área del rectángulo equivalente debe ser aproximadamente igual al área bajo la curva esfuerzo-deformación . La hipótesis del bloque equivalente de esfuerzos es aplicable a secciones de cualquier forma. Prof. Ing. José Grimán Morales 31

32. Prof. Ing. José Grimán Morales 32 Figura 2.7.(Tomado de González Cuevas y Robles Fernández)

33. Prof. Ing. José Grimán Morales 33 Figura 2.8.(Tomado de Perdomo y Yépez)

34. Procedimiento de análisis o revisión de SSA Se tiene como datos: b, h, rd , d = h – rd , As, f’c y fy . Se pide determinar la resistencia nominal Mn, la resistencia de diseño 𝜙·Mn y compararla con el momento último Mu o resistencia requerida o solicitación por flexión mayorada. Se establece el valor de 𝛽1: Prof. Ing. José Grimán Morales 34

35. Procedimiento de análisis o revisión de SSA Se calcula la profundidad del bloque rectangular equivalente “a” .   Prof. Ing. José Grimán Morales 35

36. Se verifica si el acero de refuerzo longitudinal está en cedencia, es decir si fs = fy   Prof. Ing. José Grimán Morales 36

37. Procedimiento de análisis o revisión de SSA Continuación paso 3 Se calcula la relación: Si a/d ≤ , el acero está cediendo, se continúa al paso 4, si esto no se cumple, se determina de nuevo la profundidad del bloque rectangular “a” considerando que el acero de refuerzo longitudinal no cede. Se presenta el procedimiento luego del paso 5 y se designan como pasos 4a y 5a y además se concluye que en este caso la sección está controlada por compresión.   Prof. Ing. José Grimán Morales 37

38. Procedimiento de análisis o revisión de SSA Se verifica si la sección está controlada por tracción Se calcula la relación: Se calcula la relación: Si ≤ , la sección está controlada por tracción entonces 𝜙=0,90 . Se continúa al paso 5. Si no se cumple, se concluye que la Sección es sección en transición.   Prof. Ing. José Grimán Morales 38

39. Procedimiento de análisis o revisión de SSA Se determina la resistencia nominal a flexión Mn y la resistencia de diseño 𝟇 · Mn . (Esto es cuando As cede)   Prof. Ing. José Grimán Morales 39

40. Procedimiento de análisis o revisión de SSA Paso 4a. Se calcula de nuevo “a” cuando el acero no cede. Se escribe la ecuación: 𝜀 s = , luego se escribe:   Prof. Ing. José Grimán Morales 40

41. Continuación del Paso 4a. acero no cede. Se resuelve la ecuación de segundo grado para “a”, y luego se determina:   Prof. Ing. José Grimán Morales 41

42. Procedimiento de análisis o revisión de SSA 5a. Se determina la resistencia nominal a flexión Mn y la resistencia de diseño 𝟇 ·Mn, para el caso en que As no cede.   Prof. Ing. José Grimán Morales 42

43. Continuación del paso 5 o el paso 5a: Se determina se determina la resistencia de diseño f ·Mn . Para sección controlada por tracción f = 0,90. Para las otras condiciones 𝜙 se determina según la figura siguiente: Prof. Ing. José Grimán Morales 43

44. Prof. Ing. José Grimán Morales 44 Figura 2.10.(Tomado de Perdomo y Yépez)

45. Prof. Ing. José Grimán Morales 45

46. REVISIÓN DE SECCIONES RECTANGULARES DOBLEMENTE ARMADAS Se tiene como datos: b, h, r d , d = h - r d , d’, As, A’s , f’c y fy . Se pide determinar la resistencia nominal Mn, la resistencia de diseño 𝜙·Mn y compararla con el momento último Mu o resistencia requerida o solicitación por flexión mayorada. Se establece el valor de 𝛽1: Prof. Ing. José Grimán Morales 46

47. REVISIÓN DE SECCIONES RECTANGULARES DOBLEMENTE ARMADAS Caso 1: Se asume que tanto el acero a tracción como el acero de compresión fluyen ( fs = f’s = fy ) De la figura (f) viga 2: A’s·fy = A s2 ·fy ⇒ A s2 = A’s Entonces: De la figura (d) viga 1: Se calcula la profundidad “a”: Por equilibrio, en la figura (e): , se obtiene: Se calcula la relación (d’/a) límite = Si , el acero a compresión cede.   Prof. Ing. José Grimán Morales 47

48. REVISIÓN DE SECCIONES RECTANGULARES DOBLEMENTE ARMADAS Se calcula la relación Si , el acero a tracción está en cedencia Si se cumple lo supuesto, que los aceros a tracción y compresión están en cedencia la solución continúa aquí en el caso 1. S i el acero a compresión no cede, o si el acero a tracción no cede, o si ninguno de los dos aceros cede, se debe continuar la solución en el caso 2.   Prof. Ing. José Grimán Morales 48

49. REVISIÓN DE SECCIONES RECTANGULARES DOBLEMENTE ARMADAS Continuación del Caso 1: El acero de compresión y el acero a tracción ceden. De la figura (f) viga 2: Se calcula el momento de la viga 2: De la figura (d) viga 1: Se calcula el momento de la viga 1: Resultando: El momento nominal total:   Prof. Ing. José Grimán Morales 49

50. REVISIÓN DE SECCIONES RECTANGULARES DOBLEMENTE ARMADAS Excluyendo el área de concreto desplazada por A’s Caso 1: Se asume que el acero de compresión y el acero a tracción están en cedencia ( fs = f’s = fy ) Se considera : A s2 = , en las ecuaciones anteriores donde aparezca A’s , se sustituye por el valor de A s2 . Entonces la profundidad del eje neutro resulta: Se calcula la relación (d’/a) límite = Si , el acero a compresión cede.   Prof. Ing. José Grimán Morales 50

51. REVISIÓN DE SECCIONES RECTANGULARES DOBLEMENTE ARMADAS Excluyendo el área de concreto desplazada por A’s Se calcula la relación Si , el acero a tracción está en cedencia Si se cumple lo supuesto, que los aceros a tracción y compresión están en cedencia la solución continúa aquí en el caso 1 . Si el acero a compresión no cede, o si el acero a tracción no cede, o si ninguno de los dos aceros cede, se debe continuar la solución en el caso 2. El momento nominal total:   Prof. Ing. José Grimán Morales 51

52. REVISIÓN DE SECCIONES RECTANGULARES DOBLEMENTE ARMADAS Caso 2: Se tiene que , entonces el acero a compresión no cede ( f’s < fy ) y/o si se tiene que , el acero a tracción no cede ( fs < fy ). La “a” calculada antes es incorrecta y hay que calcularla de nuevo. Por triángulos semejantes en la figura (b) se obtiene fs y f’s : Las fuerzas de la figura (c) tienen los valores siguientes:   Prof. Ing. José Grimán Morales 52

53. REVISIÓN DE SECCIONES RECTANGULARES DOBLEMENTE ARMADAS Continuación del Caso 2: Por equilibrio en la figura (c): Considerada en conjunto con las ecuaciones Para cada problema numérico particular, se resuelve para “ a”: El momento nominal se obtiene tomando momentos a Cc y a Cs con respecto a T.   Prof. Ing. José Grimán Morales 53

54. REVISIÓN DE SECCIONES RECTANGULARES DOBLEMENTE ARMADAS Excluyendo el área de concreto desplazada por A’s Para el caso 2: Donde el acero de compresión no cede y el acero a tracción cede o no cede. Por equilibrio en la figura (c): Considerada en conjunto con las ecuaciones Para cada problema numérico particular, se resuelve para “ a”: El momento nominal se obtiene tomando momentos a Cc y a Cs con respecto a T .   Prof. Ing. José Grimán Morales 54

55. REVISIÓN DE SECCIONES RECTANGULARES DOBLEMENTE ARMADAS Para determinar la resistencia de diseño , hay que verificar si la sección está controlada por tracción, controlada por compresión o es una sección en transición. Si el acero a tracción no cede, la sección está controlada por compresión, entonces 𝜙 = 0,65 si el refuerzo transversal es de estribos, 𝜙 = 0,70 si es de espiral. Si el acero a tracción está en cedencia hay que chequear si la sección está controlada por tracción: Se determina la relación: Si , la sección está controlada por tracción y 𝜙 = 0,90   Prof. Ing. José Grimán Morales 55

56. REVISIÓN DE SECCIONES RECTANGULARES DOBLEMENTE ARMADAS Si el acero a tracción está en cedencia pero , la sección está en transición, se determina 𝜙 según las ecuaciones dadas en la figura siguiente:   Prof. Ing. José Grimán Morales 56

57. Prof. Ing. José Grimán Morales 57 Determinar si la siguiente sección es subreforzada o sobrerreforzada. Calcular la resistencia a flexión de la sección. Determinar la deformación unitaria en el acero en el momento de alcanzar la resistencia.

58. Prof. Ing. José Grimán Morales 58 Determinar si la siguiente sección es subreforzada o sobrerreforzada. Calcular la resistencia a flexión de la sección. Determinar la deformación unitaria en el acero en el momento de alcanzar la resistencia.

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64. Concreto Armado I Contenido: Tema 2: Miembros sometidos a flexión simple 2.1Comportamiento de secciones sometidas a flexión 2.2 Resistencia de las secciones sometidas a flexión (Secciones Te) Prof. Ing. José Grimán Morales 64

65. REVISIÓN DE SECCIONES Te Las secciones T y L son vigas con un ala a compresión de ancho b que colabora con el nervio de la viga para resistir el momento flector en la sección: Prof. Ing. José Grimán Morales 65

66. REVISIÓN DE SECCIONES Te El ala en compresión puede ser una parte de una placa de espesor t, vaciada monolíticamente con la viga o bien un ensanchamiento superior del nervio para formar una viga T o L aislada. Para el caso en que el ala en compresión forme parte de una placa de entrepiso, el ancho efectivo del ala debe cumplir los siguientes requisitos: En las vigas T, el ancho efectivo b del ala no será mayor a: Prof. Ing. José Grimán Morales 66

67. REVISIÓN DE SECCIONES Te b) En las vigas L, con el ala a un lado de la sección, el ancho de colaboración debe cumplir: c) En viga T aisladas, las alas otorgan un área adicional de compresión, en este caso se exige: Prof. Ing. José Grimán Morales 67

68. REVISIÓN DE SECCIONES Te En las vigas T o L se pueden presentar dos casos, en relación a la posición que ocupa el eje neutro: El eje neutro corta la placa de concreto o se halla en la interfaz entre el ala y el nervio: c  t El eje neutro corta el ancho del nervio de la viga en el ancho b w : c > t El caso I) es similar al de una viga rectangular de ancho b, donde se desprecia la parte agrietada del viga ubicada bajo el eje neutro, por lo que la viga se analiza como rectangular. El caso II) es el de una viga T o L donde el ala está totalmente comprimida y además está comprimida una parte del nervio. Prof. Ing. José Grimán Morales 68

69. Prof. Ing. José Grimán Morales 69 Figura 2.13.(Tomado de Perdomo y Yépez)

70. Prof. Ing. José Grimán Morales 70 Figura 2.14.(Tomado de Perdomo y Yépez)

71. Prof. Ing. José Grimán Morales 71 Figura 2.15.(Tomado de Perdomo y Yépez)

72. Prof. Ing. José Grimán Morales 72 Figura 2.16.(Tomado de González Cuevas y Robles Fernández)

73. Prof. Ing. José Grimán Morales 73 Figura 2.17.(Tomado de González Cuevas y Robles Fernández)

74. Prof. Ing. José Grimán Morales 74 Figura 2.18.(Tomado de González Cuevas y Robles Fernández)

75. Prof. Ing. José Grimán Morales 75 Figura 2.19.(Tomado de González Cuevas y Robles Fernández)

76. Prof. Ing. José Grimán Morales 76 Figura 2.20.(Tomado de González Cuevas y Robles Fernández)

77. DETERMINACIÓN DE LA RELACIÓN BALANCEADA PARA SECCIONES TE SIMPLEMENTE ARMADAS Prof. Ing. José Grimán Morales 77 Figura 2.25.(Tomado de González Cuevas y Robles Fernández)

78. Prof. Ing. José Grimán Morales 78 Figura 2.25.(Adaptado de González Cuevas y Robles Fernández)

79. Prof. Ing. José Grimán Morales 79 Figura 2.26.(Adaptado de González Cuevas y Robles Fernández)

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