Análisis Estructural - 8va.Ed - R. C. Hibbeler.pdf

Analisis estrcutural ejercicios y teoria, nivel universitario.

1. O C TA V A
NING
PEARSON

2. Tabla p a ra eva lu a r
J
m m ' dx
D e fle x io n e s y p e n d ie n te s d e vigas

3. D e fle x io n e s y p e n d ie n te s d e vig a s (co n tin u a ció n )
r =é.
e n x = L
w T
8 E l
0 - - ¡ É l
— 6 FJ
t a z = L
2AF.I
( x 4 - 47.x3 + d t V )
~4SF J
U2
P t¿
1 6 £ 7
c t i x s O o l » / .
p " 4 ^ 7 (4**" 3¿,x>’
O s i s /V2
/■o6(¿ +6
6/J-/
P a f t í / - + a )
6 / J - /
Pbt
r " ~6/.£/
O s x s o
SwL
3 8 4 £ / 2 4 E / 2 4 E /
(x* - 2Lx* + £»)
3 » / - ’
1 2 8 £ 7
7 » / . ’
3 8 4 E /
r = - ¿ i r (l6r’ " 2 4 /,í + 9/,J
O s x s L j l
^ D - 3 s l 7 ( 8 , , • 24/'*2 + ,7/*, x - /•,,
£ / 2 s x s L
HqL1
9 \ / Í E Í
0, =
0. -
Hpl-
" 6E l
MoL
3 £ /
Mjx
( iE I I.
L’ -x * )

5. ANÁLISIS
ESTRUCTURAL

7. ANALISIS
ESTRUCTURAL
OCTAVA EDICIÓN
R. C. HIBBELER
Tr a d u c c i ó n
J e s ú s E lm e r M u r r ie t a M u r r ie t a
M a e s tr o e n in v e s tig a c ió n d e o p e r a c io n e s
T e c n o ló g ic o d e M o n te rre y C a m p u s M o re lo s
Re v i s i ó n t é c n i c a
G e la c io J u á r e z L u n a D a v id S e p ú h /e d a G a rc ía
D e p a r t a m e n t o d e E s tru c tu ra s D e p a r ta m e n t o d e M e c á n ic a
U n iv e rs id a d A u tó n o m a M e tro p o lita n a E scu e la S u p e r io r d e In g e n ie ría M e c á n ic a y E lé c tric a
U n id a d A z c a p o tz a lc o U n id a d P ro fe s io n a l A z c a p o tz a lc o
In stitu to P o lité c n ic o N a c io n a l
PEARSON

8. y / l ) M c a d e c a t a l o g a c i ó n b i b l i o g r á f i c a
H 1 B B E L E R .R .C .
A n á lk r t e s t u c t u r a L
O c t a v a e d i c i ó n
P E A R S O N E D U C A C I Ó N , M é x i c o . 2012
IS B N : 9 7 8 - 6 0 7 - 3 2 - 1062-1
Á r e a : I n g e n ie r ía
f o r m a t o : 2 0 x 2 5 .5 c m P á g in a s : 7 2 0
A u t h o r i z e d I r a n s l a t i o n í r o m t h e E n g l is h la n g u a g e e d i l i o n . e n t i l l e d S T R U C T U R A L A N A L Y S I S , í * E d i l i o n .b y
R u s s e l l C H i b b d e r , p u b l i s h c d b y P e a r s o n E d u c a t i o n , In c .. p u b l is h in g a s P r e n ti c e H a ll In c ., C o p y r i g h t © 2 0 1 2 .
A ll r i g h t s r e s e r v e d .
IS B N 9 7 8 0 1 3 2 5 7 0 5 3 4
T r a d u c c ió n a u t o r i z a d a d e l a e d i c i ó n e n id io m a in g lé s , t i t u l a d a S T R U C T U R A L A N A L Y S I S , 8 ‘ E d i c i ó n p o r
R u s s e l l C H i b b d e r . p u b lic a d a p o r P e a r s o n E d u c a t i o n , In c ., p u b l i c a d a c o m o P r e n t i c e H a l l In c ., C o p y r i g h t © 2 0 1 2 .
T o d o s l o s d e r e c h o s r e s e r v a d o s .
E s ta e d i c i ó n e n e s p a ñ o l e s la ú n i c a a u t o r i z a d a .
E d ic ió n e n c s p a ú o l
D i r e c c i ó n G e n e r a l :
D i r e c c i ó n E d u c a c i ó n S u p e r i o r :
E d i t o r S p o n s o r :
E d i t o r d e D e s a r r o l l o :
S u p e r v i s o r d e P r o d u c c i ó n :
G e r e n c i a E d i t o r i a l
E d u c a c i ó n S u p e r i o r L a t i n o a m é r i c a :
O C T A V A E D I C I Ó N , 2 0 1 2
D .R . © 2 0 1 2 p o r P e a r s o n E d u c a c ió n d e M é x i c o . S .A . d e C .V .
A tla c o m u lc o 5 0 0 - 5 o . p is o
C b l. I n d u s t r i a l A t o t o
5 3 5 1 9 , N a u c a l p a n d e J u á r e z . E s t a d o d e M é x ic o
C á m a r a N a c i o n a l d e l a I n d u s t r i a E d i t o r i a l M e x ic a n a . R c g . n ú m . 1 0 3 1 .
R e s e r v a d o s t o d o s l o s d e r e c h o s . N i la t o t a l i d a d n i p a r t e d e e s t a p u b lic a c ió n p u e d e n r e p r o d u c i r s e , r e g i s t r a r s e o
t r a n s m i t i r s e , p o r u n s i s t e m a d e r e c u p e r a c i ó n d e i n f o r m a c ió n , e n n i n g u n a f o r m a n i p o r n in g ú n m e d io , s e a e l e c t r ó n i c o ,
m e c á n ic o , f o t o q u l m i c o , m a g n é t i c o o e l e c t r o ó p t i c o , p o r f o to c o p ia , g r a b a c i ó n o c u a l q u i e r o t r o , s in p e r m is o p r e v i o p o r
e s c r i t o d e l e d i t o r .
E l p r é s t a m o , a l q u i l e r o c u a l q u i e r o t r a f o r m a d e c e s i ó n d e u s o d e e s t e e j e m p l a r r e q u e r i r á t a m b i é n la a u t o r i z a c i ó n
d e l e d i t o r o d e s u s r e p r e s e n t a n t e s .
IS B N V E R S I Ó N I M P R E S A : 9 7 8 -6 0 7 -3 2 -1 0 6 2 -1
IS B N V E R S I Ó N E -B O O K : 9 7 8 4 Í 0 7 -3 2 -1 0 6 3 -8
IS B N E -C H A P T E R : 9 7 8 -6 0 7 -3 2 -1 0 6 4 -5
I m p r e s o e n M é x ic o . P r m l e d i n M é x ic o .
1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 - 1 5 1 4 13 12
L a u r a K o e s t i n g e r
M a r i o C o n t r e r a s
L u i s M . C r u z C a s t i l l o
e - m a i l : I u i s .c r u z @ p e a r s o n .c o m
B c r n a r d i n o G u t i é r r e z H e r n á n d e z
R o d r i g o R o m e r o V i l l a l o b o s
M a r i s a d e A n t a
PEARSON

9. A los e stu d ia n te s
Con la esperanza d e que este trab ajo estim ule
su interés p o r el análisis estructural y proporcione
una guía aceptable hacia su com prensión.

11. PREFACIO
E l p r o p ó s ito d e e s te lib ro e s p r o p o r c io n a r a l e s t u d ia n t e u n a p r e s e n ta c ió n
c la r a y c o m p le ta d e la te o r ía y la a p lic a c ió n d el a n á lisis e s tr u c tu r a l en
a rm a d u r a s , vigas y m a rc o s . E n e s t a o b r a s e h a c e é n f a s is e n e l d e s a r r o ll o
d e la c a p a c id a d d e lo s e s t u d ia n t e s p a r a m o d e la r y a n a liz a r u n a e s t r u c tu ­
ra , y s e p r o p o r c io n a n a p lic a c io n e s r e a le s c o m o las q u e p u e d e n e n c o n ­
tr a rs e e n la p rá c tic a p r o f e s io n a l.
D e s d e h a c e m u c h o s a ñ o s , lo s in g e n ie ro s h a n u tiliz a d o m é to d o s m a tri-
d a l e s p a r a a n a liz a r e s t r u c tu r a s . A u n q u e e s t o s m é to d o s s o n d e p r o b a d a
e fic ie n c ia p a r a r e a l iz a r u n a n á lis is e s tr u c tu r a l, e l a u to r o p in a q u e lo s
e s t u d ia n te s q u e to m e n p o r p r im e r a v e z u n c u r s o s o b r e e s t e te m a ta m ­
b ié n d e b e n c o n o c e r c o n p r o f u n d id a d a lg u n o s d e lo s m é to d o s c lá s ic o s
m ás im p o r ta n te s . L a p r á c tic a e n la a p lic a c ió n d e e s t o s m é to d o s c i m e n ­
ta r á u n a c o m p r e n s ió n m á s p r o f u n d a d e d o s d e las c ie n c ia s b á s ic a s d e
in g e n ie ría : la e s t á tic a y l a m e c á n ic a d e m a te ria le s . In c lu s iv e , la s h a b ilid a ­
d e s p a r a re s o lv e r p r o b le m a s s e d e s a r r o ll a n a ú n m á s c u a n d o s e c o n s id e ­
ra n y a p lic a n d iv e r s a s té c n ic a s d e u n a m a n e r a c la r a y o r d e n a d a . A l r e s o l­
v e r p ro b le m a s d e e s te m o d o e s p o s ib le c a p t a r d e u n a m e jo r m a n e r a la
fo r m a c o m o s e t r a n s m i te n la s c a r g a s a tr a v é s d e u n a e s t r u c t u r a y c o m ­
p r e n d e r c o n m á s e x a c titu d la m a n e r a e n q u e la e s t r u c tu r a s e d e f o r m a
b a jo u n a c a r g a . P o r ú ltim o , lo s m é to d o s c lá s ic o s b rin d a n u n m e d io p a ra
c o m p r o b a r lo s r e s u lta d o s o b te n i d o s a l u s a r u n a c o m p u t a d o r a , e n lu g a r
d e lim ita rs e a c o n f ia r e n lo s r e s u lta d o s g e n e ra d o s .
N ovedades en esta e d ició n
• P r o b le m a s f u n d a m e n t a le s . E s to s c o n ju n to s d e p r o b le m a s se
lo c a liz a n d e fo r m a s e le c tiv a ju s to d e s p u é s d e lo s p r o b le m a s d e e j e m ­
p lo . O f r e c e n a lo s e s t u d ia n te s a p lic a c io n e s s e n c illa s d e lo s c o n c e p to s y.
p o r lo ta n t o , le s p r o p o r c io n a n la o p o r t u n id a d d e d e s a r r o l l a r su s h a b i­
lid a d e s p a r a r e s o lv e r d if ic u lta d e s a n te s d e t r a t a r d e s o l u c io n a r a lg u n o
d e lo s p r o b le m a s típ ic o s q u e s e p r e s e n t a n m á s a d e la n te ; y p u e d e n
c o n s id e r a r s e e je m p lo s e x te n d id o s , p u e s t o q u e to d o s c u e n ta n c o n s o l u ­
c io n e s y r e s p u e s ta s a l fin a l d e l lib ro . A d e m á s , s o n u n m e d io e x c e le n te
p a r a e s t u d ia r a n te s d e lo s e x á m e n e s g e n e r a le s ; y ta m b ié n s o n m u y ú t i ­
le s c o m o p r e p a r a c ió n p a r a e l e x a m e n fin a l y a s e a d e l c u r s o o p a ra
o b t e n e r s u títu lo p r o f e s io n a l e n in g e n ie ría .
• R e v is ió n d e l c o n t e n id o . C a d a se c c ió n d e l te x t o s e re v is ó c u id a d o ­
s a m e n te p a r a m e j o r a r s u c la r id a d . E s to in c lu y e la in c o r p o ra c ió n , e n e l
c a p ítu lo l . d e la s n u e v a s n o r m a s s o b r e c a r g a s A S C E /S E I 0 7 -1 0 . u n a
e x p lic a c ió n m e jo r a d a s o b r e c ó m o tr a z a r d ia g r a m a s d e c o r t a n te , d i a ­
g ra m a s d e m o m e n to y l a c u r v a d e d e f le x ió n d e u n a e s tr u c tu r a ; la c o n ­
s o lid a c ió n d e l m a t e r i a l s o b r e e s t r u c tu r a s q u e ti e n e n u n m o m e n to d e
in e r c ia v a ria b le , la in c lu s ió n d e u n a n á lis is m ás p r o f u n d o d e la s e s t r u c ­
tu r a s q u e c u e n ta n c o n a r tic u la c io n e s in te r n a s a p lic a n d o a n á lis is m a tri-
d a l ; y l a a d ic ió n d e u n n u e v o A p é n d ic e B d o n d e s e a n a liz a n a lg u n a s
d e la s c a r a c te r ís tic a s c o m u n e s p a r a e je c u ta r e l s o f tw a r e c o m p u ta c io n a l
m á s r e c ie n te s o b r e a n á lis is e s tr u c tu r a l.

12. X Pr e f a c i o
• C a m b io s e n lo s e je m p lo s . C o n e l fin d e ilu s tr a r d e m e jo r m a n e r a
las a p li c a c io n e s p r á c tic a s d e la te o r ía , e n e l te x t o s e h a n c a m b ia d o
a lg u n o s e je m p lo s , y c o n a y u d a d e fo to g ra fía s s e h a n a p lic a d o té c n ic a s
d e m o d e la d o y a n á lisis d e c a r g a s s o b r e e s t r u c tu r a s re a le s .
• F o t o g r a f ía s a d ic io n a le s . La im p o r ta n c ia d e c o n o c e r e l o b j e t o d e
e s tu d io s e r e f le ja e n la s a p lic a c io n e s a l m u n d o re a l q u e s e m u e s tr a n a
tr a v é s d e u n a g r a n c a n ti d a d d e fo to g ra fía s n u e v a s y a c tu a liz a d a s , j u n t o
co n c o m e n t a r i o s a lo la r g o d e l lib ro .
• P r o b le m a s n u e v o s . A p r o x im a d a m e n te 7 0 % d e lo s p r o b l e m a s d e
e sta e d ic ió n s o n n u e v o s . C o n e s t o s e je r c ic io s s e m a n tie n e u n e q u ilib r io
e n tr e la s a p lic a c io n e s fá c ile s, la s r e g u la r e s y la s d ifíc ile s. E s to s p r o b l e ­
m a s h a n s i d o re v is a d o s ta n t o p o r e l a u t o r c o m o p o r o tr o s c u a tr o p a r ­
tic ip a n te s : S c o tt H e n d ric k s , N o h r a K a rim , N o rlin K u r t y K a i B e n g Y ap.
• D is p o s ic ió n d e lo s p r o b le m a s . P a r a m a y o r c o m o d id a d e n la a s ig ­
n a c ió n d e ta r e a s , lo s p r o b le m a s se h a n d is tr ib u id o a lo la r g o d e l te x to
e n s e c c io n e s b ie n d e f i n id a s c o n p r o b l e m a s il u s tr a tiv o s d e e je m p lo y u n
c o n ju n to d e p r o b l e m a s d e t a r e a d is p u e s to s e n o r d e n d e d if ic u lta d c r e ­
c ie n te .
O rganización y e n fo q u e
E l c o n te n i d o d e c a d a c a p ítu lo e s tá o r g a n i z a d o e n s e c c io n e s c o n te m a s
e sp e c ífic o s, c la s ific a d o s p o r s u b títu lo s . L o s r a z o n a m ie n to s re le v a n te s
s o b r e u n a t e o r í a p a r t ic u l a r s o n b re v e s p e r o c o m p le to s . E n la m a y o r ía d e
lo s c a s o s d e s p u é s d e e s to s r a z o n a m ie n to s s e p r e s e n t a u n a g u ía d e l " p r o ­
c e d im ie n to d e a n á lis is ” , la c u a l p r o p o r c io n a u n r e s u m e n d e lo s c o n c e p ­
to s m á s im p o r t a n te s y u n e n f o q u e s is te m á tic o p a r a l a a p lic a c ió n d e la
te o r ía . L os p r o b l e m a s d e e je m p lo s e re s u e lv e n u s a n d o e s t e m é to d o
e s q u e m a tiz a d o c o n e l fin d e h a c e r m ás c la r a s u a p lic a c ió n n u m é r ic a . L os
p r o b le m a s s e p r e s e n ta n al fin a l d e c a d a g r u p o d e s e c c io n e s y e s t á n o r g a ­
n iz a d o s p a r a c u b r ir e l m a te r ia l e n o r d e n s e c u e n c ia l. A d e m á s , p a r a c a d a
te m a lo s p r o b l e m a s e s t á n d is p u e s to s e n o r d e n d e d if ic u lta d c re c ie n te .
E lem entos im p o rta n te s
• F o t o g r a f ía s . A lo la r g o d e l lib r o s e u tiliz a u n a g r a n c a n ti d a d d e
fo to g ra fía s p a r a e x p lic a r c ó m o se a p lic a n lo s p rin c ip io s d e l a n á lis is
e s tr u c tu r a l e n s i tu a c io n e s d e l m u n d o r e a l.
• P r o b le m a s . E n la m a y o r ía d e lo s p ro b le m a s d e l lib r o s e p r e s e n ta n
s i tu a c io n e s r e a le s q u e p u e d e e n c o n tr a r s e e n la p r á c t ic a . E s te re a lis m o
d e b e r ía e s tim u la r e l in te r é s d e lo s e s t u d ia n t e s e n e l a n á lis is e s t r u c tu r a l
y d e s a r r o lla r s u h a b ilid a d p a r a r e d u c i r lo s p r o b l e m a s d e e s t e tip o
d e s d e s u d e s c r ip c ió n físic a h a s t a u n m o d e lo o r e p r e s e n ta c i ó n s im b ó li­
c a a la c u a l p u e d a a p lic a r s e l a te o r ía c o r r e s p o n d ie n te . E n e s t e lib ro h a y
u n b a la n c e d e p r o b le m a s e n lo s q u e s e u tiliz a n u n id a d e s d e l S is te m a
I n te r n a c io n a l ( m e tr o - k ilo g r a m o - s e g u n d o ) y d e l S is te m a In g lé s (p ie -
lib ra -s e g u n d o ) c o n l a in te n c ió n d e p o n e r a p r u e b a la h a b ilid a d d e l
e s tu d ia n te p a r a a p lic a r la te o r ía , te n i e n d o e n c u e n ta q u e lo s p r o b le m a s

13. Pr e f a c i o XI
q u e r e q u ie r e n c á lc u lo s te d io s o s s e p u e d e n r e l e g a r a u n a n á lis is p o r
c o m p u ta d o r a .
• R e s p u e s ta s a p r o b le m a s s e le c c io n a d o s . L as r e s p u e s ta s a lo s
p r o b le m a s s e le c c io n a d o s a p a r e c e n a l fin a l d e l lib ro . H e m o s te n i d o c u i ­
d a d o e s p e c ia l e n s u p r e s e n ta c ió n y s o lu c ió n ; to d o s h a n s i d o re v is a d o s ,
y s u s s o lu c io n e s c o m p r o b a d a s y v e rific a d a s u n a y o t r a v e z p a r a g a r a n ­
tiz a r s u c la r id a d y p re c is ió n n u m é ric a .
• P r o b le m a s d e e je m p lo . T b d o s lo s p r o b l e m a s d e e je m p lo s e p r e ­
s e n t a n d e m a n e r a c o n c is a y c o n u n e s t i l o fá c il d e e n te n d e r .
• I lu s t r a c io n e s . H e m o s a u m e n t a d o la c a n tid a d d e f ig u r a s ilu s tr a ti­
v a s e ilu s tr a c io n e s r e a le s q u e p r o p o r c io n a n u n a f u e r te c o n e x ió n c o n la
n a tu r a le z a tr id im e n s io n a l d e la in g e n ie r ía e s tr u c tu r a l.
• T r ip le c o m p r o b a c ió n d e la e x a c t it u d . E s ta e d ic ió n h a p a s a d o p o r
u n a r i g u r o s a c o m p r o b a c ió n d e s u e x a c titu d y u n a p r o f u n d a re v is ió n d e
la s p r u e b a s d e im p r e n ta . A d e m á s d e la re v is ió n q u e re a liz ó e l a u to r
s o b r e e l te x t o y la s ilu stracio n es, S c o tt H c n d ric k s ,d c l In s titu to I\>litécnico
d e V irg in ia ; K a r im N o h r a d e la U n iv e rs id a d d e l S u r d e F lo r id a , y K u rt
N o rlin , d e L a u re l T e c h n ic a l S e rv ic e s, r e v is a r o n d e n u e v o la s p r u e b a s
d e im p r e n ta y e n c o n ju n to in s p e c c io n a r o n to d o e l M a n u a l d e s o lu c io ­
n e s p a r a e l p ro f e s o r.
C o n te n id o
E s te lib r o e s tá d iv id id o e n tr e s p a r t e s . 1.a p r i m e r a c o n s ta d e s ie te c a p í t u ­
lo s q u e a b a r c a n lo s m é to d o s c lá s ic o s d e l a n á lis is d e e s t r u c tu r a s e s t á tic a ­
m e n te d e te r m in a d a s . E l c a p ítu lo 1 p r e s e n ta lo s d is tin to s tip o s d e f o r m a s
e s tr u c tu r a le s y c a r g a s E l c a p ítu lo 2 a n a liz a l a d e te r m in a c ió n d e f u e r z a s
e n lo s s o p o r t e s y c o n e x io n e s d e v ig a s y m a r c o s e s t á ti c a m e n t e d e t e r m i ­
n a d o s E l a n á lis is d e lo s d is tin to s ti p o s d e a r m a d u r a s e s t á tic a m e n te
d e te r m i n a d a s s e p r e s e n ta e n e l c a p ítu lo 3 ; e n t a n t o q u e la s f u n c io n e s y
lo s d ia g r a m a s d e c o r t a n te y d e m o m e n to d e fle x ió n e n v ig a s y m a r c o s se
e s tu d ia n e n e l c a p ítu lo 4 . E n e l c a p ítu lo 5 v e r e m o s lo s s i s te m a s s im p le s
d e c a b le y a rc o , y e n e l c a p ítu lo 6 s e e s t u d i a n la s fin c a s d e in f lu e n c ia p a r a
vigas, te n s o r e s y a rm a d u r a s . P o r ú ltim o , e l c a p ítu lo 7 o f r e c e v a r ia s té c n i­
ca s c o m u n e s p a r a e l a n á lis is a p r o x i m a d o d e e s t r u c tu r a s e s tá tic a m e n te
in d e te rm in a d a s .
L a s e g u n d a p a r t e d e l lib r o c u b re e n 6 c a p ítu lo s la s e s t r u c tu r a s e s tá tic a ­
m e n te in d e te r m in a d a s . E n e l c a p ítu lo 8 s e a n a liz a n lo s m é to d o s g e o m é ­
tric o s p a r a e l c á lc u lo d e d e fle x io n e s . E n e l c a p ítu lo 9 s e e s tu d ia n lo s
m é to d o s d e e n e r g í a p a r a e n c o n tr a r d e fle x io n e s . E l c a p ítu lo 10 h a c e u n
a n á lisis d e la s e s t r u c tu r a s e s t á ti c a m e n t e in d e te r m in a d a s m e d ia n te e l
m é to d o d e l a f u e r z a , a d e m á s d e u n e s tu d io d e la s lín e a s d e in f lu e n c ia
p a ra vigas. E n e l c a p ítu lo 11 e s tu d ia r e m o s lo s m é to d o s d e d e s p la z a m ie n to
q u e s e c o m p o n e n d e l m é to d o d e p e n d ie n te - d e f le x ió n , y e n e l c a p ítu lo 12
v e re m o s la d is tr ib u c ió n d e m o m e n to s . P o r ú ltim o , e l c a p ítu lo 1 3 o f r e c e
u n p a n o r a m a d e la s v igas y m a r c o s d e e le m e n to s n o p ris m á tic o s .

14. x i i P r e f a c i o
L a t e r c e r a p a r t e d e l lib r o t r a t a e l a n á lis is m a tr ic ia l d e e s t r u c tu r a s a p l i ­
c a n d o e l m é to d o d e l a r ig id e z . L a s a r m a d u r a s s e e x a m in a n e n e l c a p í t u ­
lo 14. la s v ig a s e n e l 15 y lo s m a r c o s e n e l 16. E n e l a p é n d ic e A se h a c e
u n r e p a s o d e l á lg e b r a m a tric ia l. m ie n tr a s q u e e l a p é n d ic e B p r o p o r c io n a
u n a g u ía g e n e r a l p a r a e l u s o d e l s o f tw a r e d is p o n ib le p a r a la re s o lu c ió n
d e p r o b l e m a s d e a n á lis is e s tr u c tu r a l.
Recursos para los p ro feso re s (en inglés)
• M a n u a l d e s o lu c io n e s p a r a e l p r o f e s o r . E l a u to r p r e p a r ó u n
m a n u a l d e s o lu c io n e s p a r a e l p r o f e s o r , e l c u a l ta m b ié n f u e re v is a d o
c o m o p a r t e d e l p r o g r a m a d e trip le c o m p r o b a c ió n d e e x a c titu d .
• P r e s e n ta c io n e s e n P o w e r P o in t . T o d a s la s ilu s tr a c io n e s d e l lib ro
e s tá n d is p o n ib le s e n d ia p o s itiv a s d e P o w e r P o in t y e n f o r m a to J P E G .
E s to s a rc h iv o s e s tá n d is p o n ib le s e n e l c e n tr o d e r e c u r s o s p a r a e l p r o ­
fe s o r e n W N v w .p earso n cn csp aflo l.co m /h ib b cler. C o n ta c t e a s u r e p r e ­
s e n ta n te lo c a l d e P e a r s o n p a r a o b t e n e r su s c la v e s d e acceso .
• S o lu c io n e s e n v id e o . S o n s o lu c io n e s e n v id e o c o n d e s c r ip c io n e s
p a s o a p a s o p a r a r e s o lv e r lo s p r o b l e m a s d e t a r e a m ás r e p r e s e n ta tiv o s
d e c a d a se c c ió n d e l lib ro . U tilic e e f ic ie n te m e n te las h o r a s d e c la s e y
o fre z c a a s u s e s t u d ia n t e s lo s m é to d o s c o m p le to s y c o n c is o s p a r a r e s o l­
v e r p r o b le m a s c o n e s t o s v id e o s , a lo s c u a le s p u e d e n t e n e r a c c e s o e n
c u a lq u ie r m o m e n to y e s t u d ia r a s u p r o p io r itm o . L o s v id e o s e s t á n
d is e rta d o s c o m o u n r e c u r s o fle x ib le q u e p u e d e u s a r s e c a d a v e z q u e el
p r o f e s o r y e l e s t u d ia n t e lo r e q u ie r a n . S o n u n a h e r r a m i e n ta m u y v a li o ­
s a y a q u e p u e d e v e rlo s u n a y o t r a v e z p a ra v e rific a r s u c o m p r e n s ió n y
t r a b a j a r c o n a lg ú n p r o b le m a s ig u ie n d o lo s p a s o s d e l v id e o . E s te m a t e ­
ria l s e e n c u e n t r a e n w N v w .p e a rso n e n e s p a flo l.c o m /h ib b e lc r, s ig u ie n d o
lo s v ín c u lo s d e S ir u c íu r a l A n a ly s i s h a s ta V id eo S o lu tio n s .
R econocim ientos
M á s d e u n c e n t e n a r d e m is c o le g a s e n la p r o f e s ió n d o c e n te y m u c h o s d e
m is a lu m n o s h a n h e c h o v a lio s a s s u g e r e n c ia s m u y ú tile s e n la p r e p a r a c ió n
d e e s t e lib ro . P o r e s t e m e d io m e g u s ta ría h a c e rle s u n r e c o n o c im ie n to p o r
to d o s s u s c o m e n ta r io s ; a s im is m o q u is ie r a a g r a d e c e r a lo s re v is o re s c o n ­
tr a ta d o s p o r m i e d i t o r p a r a e s t a n u e v a e d ic ió n :
T ilo m a s H . M ille r, O r e jó n S ta te U n iv e rs ity
H a y d e r A . R a s h e e d , K a n sa s S ta te U n iv e rs ity
J e ffre y A . l l a m a n , P e/in S ta te U n iv e rs ity
J e r r y R . B a y le ss , U n iv e rs ity o f M is s o u r i— R o lla
P a o k ) G a r d o n i , T exa s A & M U n iv e rs ity
T im o th y R o ss. U n iv e rs ity o f N e w M é x ic o
F W a y n e K la ib e r , lo w a S ta te U n iv e rs ity
H u s a m S, N a jm , R u tg e r s U n iv e rsity

15. Pr e f a c i o x i i i
T a m b ié n f u e r o n m u y a p r e c ia b le s las o b s e r v a c io n e s c o n s tr u c tiv a s d e
K a i B c n g Y a p y B a r iy N o la n , a m b o s in g e n ie r o s e n a c tiv o . P o r ú ltim o , m e
g u s ta r ía a g r a d e c e r e l a p o y o d e m i e s p o s a C o n n y , q u e s ie m p re h a s id o d e
g r a n a y u d a e n la p r e p a r a c ió n d e l m a n u s c rito .
E s ta r é m u y a g r a d e c id o a l le c to r q u e m e e n v íe a lg ú n c o m e n ta r io o s u g e ­
re n c ia s o b r e e l c o n te n id o d e e s t a e d ic ió n .
R tisse ll C h a rle s H ib b e le r
h ib b e le r G b e lls o u th .n e t

17. CREDITOS
E n tr a d a d e l c a p ítu lo 1: © C J G u n th e r /e p a /C o r b is
F ig u r a 1 .6 (a ) , p á g in a 7 : M a r k H a r r is /P h o to d is c /G e tty Im a g e s
F il tr a d a d e l c a p ítu lo 2: J o e G o u g h /S h u tte r s to c k
E n t r a d a d e l c a p ítu lo 3: © R o b c r t S h a n tz /A la m y
E n tr a d a d e l c a p ítu lo 4: R a li B r o s k v a r /I 2 3 r f
E n tr a d a d e l c a p ítu lo 5: © G r e g B a lf o u r E v a n s /A la m y
E n tr a d a d e l c a p ítu lo 6: © A c c e n t A ia s k a .c o m /A la m y
E n tr a d a d e l c a p ítu lo 7: © D a v id R . F r a z ie r P h o to lib r a ry ,
In c ./A la m y
E n t r a d a d e l c a p ítu lo 8 :[ F o tó g r a f o j/S to n e /G e tty Im a g e s
E n tr a d a d e l c a p ítu lo 9 : A la m y Im a g e s
E n t r a d a d e l c a p ítu lo 10: S h u tte r s to c k
E n t r a d a d e l c a p ítu lo 11:© 2 0 1 1 P h o to s .c o m . u n a d iv is ió n d e G e tty
Im a g e s. D e r e c h o s r e s e rv a d o s .
E n tr a d a d e l c a p ítu lo 12: R íto s e a r c h /S u p e r S to c k
E n tr a d a d e l c a p ítu lo 13: iS to c k p h o to .c o m
E ji tr a d a d e l c a p ítu lo 14: © C o r b i s R F /A la m y
F il tr a d a d e l c a p ítu lo 15: © P a u l A . S o u d e r s /C O R B I S
E n t r a d a d e l c a p ítu lo 16: © A l a n S c h e in /C o rb is
R i r t a d a 1: z im m y tw s \S h u tte is to c k
l\> r ta d a 2: V la d itto \S h u tte r s to c k
L a s fo t o g ra f ía s restantes fu e ro n p ro p o rc io n a d a s p o r e l autor,
f t C H ib b e le r .

19. CONTENIDO
1
T ip o s d e e stru ctu ra s
y cargas 3
1.1
1.2
1.3
1.4
2 .1
2.2
2.3
2.4
2.5
In tr o d u c c ió n 3
C la s ific a c ió n d e e s tru c tu ra s
C a rg a s 9
D is e ñ o e s t r u c t u r a l 2 6
P ro b le m a s 2 7
R e p a s o d e l c a p ít u lo 31
E s tru c tu ra id e a liz a d a 3 3
P r in c ip io d e s u p e r p o s ic ió n 4 6
E c u a c io n e s d e e q u il ib r io 4 7
D e te r m in a c ió n y e s t a b ilid a d 4 8
A p lic a c ió n d e la s e c u a c io n e s
d e e q u il ib r io 5 9
R e p a s o d e l c a p ít u lo 6 8
P r o b le m a s fu n d a m e n ta le s 7 0
P ro b le m a s 7 2
P ro b le m a d e p r o y e c t o 7 7
A nálisis d e arm aduras
e s tá tica m e n te
d e te rm in a d a s 79
3.1 T ip o s c o m u n e s d e a rm a d u r a s 7 9
3.2 C la s ific a c ió n d e a r m a d u r a s c o p la n a re s
3.3 El m é t o d o d e lo s n o d o s 94
3.4 B e m e n t o s d e fu e r z a c e r o 98
8 5
3.5 B m é t o d o d e la s s e c c io n e s 1 0 4
3.6 A r m a d u r a s c o m p u e s ta s 1 1 0
3.7 A r m a d u r a s c o m p le ja s 1 1 6
3.8 A r m a d u r a s e s p a c ia le s 1 2 0
P ro b le m a s 1 2 7
R e p a s o d e l c a p ít u lo 1 3 0
Cargas internas
desarrolladas en
elem entos estructurales 133
4.1 C a rg a s in te r n a s e n u n p u n t o
e s p e c íf ic o 1 3 3
4.2 F u n c io n e s d e fu e rz a c o r t a n t e
y d e m o m e n t o 1 3 9
4.3 D ia g ra m a s d e fu e rz a c o r t a n t e
y d e m o m e n t o p a ra u n a v ig a 1 5 0
4.4 D ia g ra m a s d e fu e rz a c o r t a n t e
y d e m o m e n t o p a ra u n m a r c o 1 6 3
4.5 D ia g ra m a s d e m o m e n t o c o n s t r u id o s
p o r e l m é t o d o d e s u p e r p o s ic ió n 1 6 8
P ro b le m a s 1 7 3
R e p a s o d e l c a p ít u lo 1 7 8
5
C ables
y arcos 181
5.1 C a b le s 181
5.2 C a b le s o m e t id o a c a rg a s
c o n c e n tr a d a s 1 8 2
5.3 C a b le s o m e t id o a u n a c a rg a
u n if o r m e m e n t e d is t r ib u id a 1 8 4
5.4 A r c o s 1 9 4
5.5 A r c o d e t r e s a rtic u la c io n e s 1 9 5
P ro b le m a s 2 0 1
R e p a s o d e l c a p ít u lo 2 0 3
2
A nálisis d e e stru ctu ra s
e s tá tica m e n te
d e te rm in a d a s 33

20. x v i i i C o n t e n i d o
6 j
Lineas de in flu e n cia para
e stru ctu ra s e s tá tica m e n te
d e te rm in a d a s 205
6.1 L in e a s d e in flu e n c ia 2 0 5
6.2 L ín e a s d e in flu e n c ia p a r a v ig a s 2 1 3
6 . 3 L in e a s d e in flu e n c ia c u a lita tiv a 2 1 6
6.4 L in e a s d e in flu e n c ia p a r a v ig a s
d e p is o 2 2 8
6.5 L ín e a s d e in flu e n c ia p a ra a r m a d u r a s 2 3 2
6.6 In flu e n c ia m á x im a e n u n p u n t o d e b id o a
ix ia s e rie d e c a r g a s c o n c e n tr a d a s 2 4 0
6.7 F u e rz a c o r t a n t e y m o m e n t o m á x im o
a b s o lu to 2 5 0
P r o b le m a s 2 5 5
R e p a s o d e l c a p ít u lo 2 6 0
A nálisis a p ro x im a d o de
l l i
e stru ctu ra s e s tá tica m e n te
in d e te rm in a d a s 263
7.1 U s o d e m é t o d o s a p r o x im a d o s
7 . 2 A r m a d u ra s 2 6 4
2 6 3
7.3 C a rg a s v e r t ic a le s s o b r e m a rc o s
d e c o n s tr u c c ió n 2 7 0
7.4 M a rc o s y a r m a d u r a s d e p o r t a l 2 7 3
7 . 5 C a rg a s la te ra le s e n m a r c o s d e
c o n s tr u c c ió n : M é t o d o d e l p o r t a l 2 8 2
7.6 C a rg a s la te ra le s s o b r e m a r c o s d e
c o n s tru c c ió n : M é t o d o d e l v o la d iz o 2 8 8
P r o b le m a s 2 9 4
R e p a s o d e l c a p ít u lo 2 9 6
8
D e fle x io n e s 299
8.1 D ia g r a m a s d e d e f le x ió n y la
c u rv a e lá s tic a 2 9 9
8.2 T e o ría d e la v ig a e lá s tic a 3 0 5
8.3 0 m é t o d o d e in te g r a c ió n d o b le 3 0 7
8.4 T e o re m a s d e l m o m e n t o d e á r e a 3 1 6
8.5 M é t o d o d e la v ig a c o n ju g a d a 3 2 6
P ro b le m a s 3 3 5
R e p a s o d e l c a p ít u lo 3 3 8
9
D e fle xio n e s e m p le a n d o
m é to d o s d e e n e rg ía 341
9.1 T ra b a jo e x t e r n o y e n e r g ía
d e d e f o r m a c ió n 3 4 1
9.2 P rin c ip io d e l t r a b a jo y la e n e r g ía 3 4 5
9.3 P rin c ip io d e l t r a b a jo v ir tu a l 3 4 6
9.4 M é t o d o d e l t r a b a jo v ir tu a l:
A rm a d u ra s 3 4 8
9.5 T e o re m a d e C a s tig lia n o 3 5 5
9.6 T e o re m a d e C a s tig lia n o p a ra
a rm a d u ra s 3 5 6
9.7 M é t o d o d e l t r a b a jo v irtu a l:
V ig a s y m a r c o s 3 6 4
9.8 E n e rg ía d e d e f o r m a c ió n v ir t u a l c a u s a d a
p o r c a r g a a x ia l, fu e rz a c o r t a n t e , t o r s ió n
y t e m p e r a t u r a 3 7 5
9.9 T e o re m a d e C a s tig lia n o p a r a v ig a s
y m a rc o s 3 8 1
P ro b le m a s 3 8 8
R e p a s o d e l c a p ít u lo 3 9 2

21. Co n t e n i d o
10
Análisis de estructuras
estáticam ente
in de term in a d as p o r el
m é to d o d e la fuerza 395
1 0 .1 E s tru c tu ra s e s tá tic a m e n te
in d e te r m in a d a s 3 9 5
1 0 .2 M é t o d o d e a n á lis is d e la fu e rz a :
P r o c e d im ie n t o g e n e r a l 3 9 8
10.3 T e o re m a d e M a x w e ll d e lo s
d e s p la z a m ie n to s r e c íp ro c o s ;
L e y d e B e t t i 4 0 2
10.4 M é t o d o d e a n á lis is d e la fu e rz a :
V ig a s 4 0 3
10.5 M é t o d o d e a n á lis is d e la fu e rz a :
M a rc o s 4 1 1
1 0 . 6 M é t o d o d e a n á lis is d e la fu e rz a :
A rm a d u r a s 4 2 2
1 0 . 7 E s tru c tu ra s c o m p u e s ta s 4 2 5
10.8 C o m e n ta r io s a d ic io n a le s s o b r e el
m é t o d o d e a n á lis is d e la fu e rz a
10.9 E s tru c tu ra s s im é tric a s 4 2 9
1 0 .1 0 L ín e a s d e in flu e n c ia p a r a v ig a s
e s tá tic a m e n te in d e te r m in a d a s
1 0 .1 1 L ín e a s d e in flu e n c ia c u a lita tiv a s
p a ra m a r c o s 4 3 9
P ro b le m a s 4 4 6
R e p a s o d e l c a p ít u lo 4 4 8
T T T
I
4 2 8
4 3 5
11
M é to d o d e análisis del
desplazam iento: Ecuaciones
de p e n d ie n te -d e fle xió n 451
12
M é to d o d e análisis del
desplazam iento: distribución
d e m o m en tos 487
12.1 P rin c ip io s g e n e r a le s
y d e fin ic io n e s 4 8 7
1 2 . 2 D is tr ib u c ió n d e m o m e n t o s
p a ra v ig a s 4 9 0
12.3 M o d if ic a c io n e s al f a c t o r
d e r ig id e z 5 0 0
12.4 D is tr ib u c ió n d e m o m e n t o s p a ra
m a rc o s : S in la d e o 5 0 8
1 2.5 D is tr ib u c ió n d e m o m e n t o s p a ra
m a rc o s : C o n la d e o 5 1 0
P ro b le m a s 5 1 8
R e p a s o d e l c a p ít u lo 5 2 1
13
V igas y m arcos
con e le m e n to s no
p ris m á tic o s 523
1 3.1 P r o p ie d a d e s d e c a rg a d e lo s e le m e n t o s
no p r is m á tic o s 5 2 3
13.2 D is tr ib u c ió n d e m o m e n t o s p a ra
e s tr u c tu r a s c o n e le m e n to s
no p r is m á tic o s 5 2 8
13.3 E c u a c io n e s d e p e n d ie n te - d e fle x ió n
p a ra e le m e n to s n o p r is m á tic o s 5 3 4
P ro b le m a s 5 3 6
R e p a s o d e l c a p ít u lo 5 3 7
11.1 M é t o d o d e a n á lis is d e l d e s p la z a m ie n to :
P r o c e d im ie n to s g e n e r a le s 4 5 1
11.2 E c u a c io n e s d e p e n d ie n te - d e fle x ió n 4 5 3
11.3 A n á lis is d e v ig a s 4 5 9
11.4 A n á lis is d e m a rc o s : S in la d e o 4 6 9
11.5 A n á lis is d e m a rc o s : C o n la d e o 4 7 4
P ro b le m a s 4 8 2
R e p a s o d e l c a p ít u lo 4 8 5

22. xx Co n t e n i d o
14
A nálisis d e arm aduras
u tiliz a n d o el m é to d o
de la rig id e z 539
14.1 F u n d a m e n to s d e l m é t o d o
d e la r ig id e z 5 3 9
14.2 M a tr iz d e r ig id e z d e l e le m e n t o 5 4 2
14.3 M a tr ic e s d e t r a n s f o r m a c ió n d e
fu e rz a y d e s p la z a m ie n to 5 4 3
14.4 M a tr iz d e r ig id e z g lo b a l d e l
e le m e n to 5 4 6
14.5 M a tr iz d e r ig id e z d e la a r m a d u r a 5 4 7
14.6 A p lic a c ió n d e l m é t o d o d e la r ig id e z
p a ra e l a n á lis is d e a r m a d u ra s 5 5 2
14.7 C o o r d e n a d a s n o d a le s 5 6 0
14.8 A r m a d u r a s c o n c a m b io s té r m ic o s
y e r r o r e s d e f a b ric a c ió n 5 6 4
14.9 A n á lis is d e a r m a d u r a s e s p a c ia le s 5 7 0
R e p a s o d e l c a p ít u lo 571
P r o b le m a s 5 7 2
15.4 A p lic a c ió n d e l m é t o d o d e la r ig id e z
al a n á lis is d e v ig a s 5 7 9
P ro b le m a s 5 9 2
16
A nálisis d e m arcos
planos u tiliz a n d o el
m é to d o d e la rig id e z 595
16.1 M a tr iz d e r ig id e z d e l
m a r c o - e le m e n to 5 9 5
16.2 M a tr ic e s d e tr a n s fo r m a c ió n d e l
d e s p la z a m ie n to y d e la s fu e rz a s 5 9 7
16.3 M a tr iz d e r ig id e z g lo b a l d e l
m a r c o - e le m e n to 5 9 9
16.4 A p lic a c ió n d e l m é t o d o d e la r ig id e z
p a ra e l a n á lis is d e m a rc o s 6 0 0
P ro b le m a s 6 0 9
15
A nálisis de vigas
u tiliz a n d o el m é to d o
de la rig id e z 575
15.1 C o m e n ta r io s p re lim in a re s 5 7 5
15.2 M a tr iz d e r ig id e z d e la
v ig a - e le m e n t o 5 7 7
15.3 M a tr iz d e r ig id e z d e la
v ig a - e s tr u c tu r a 5 7 9
A p é n d ic e s
A . A lg e b r a m a tr ic ia l p a ra
el a n á lis is e s t r u c t u r a l 612
B . P r o c e d im ie n to g e n e r a l p a ra u s a r e l
s o ftw a re d e a n á lis is e s tr u c tu r a l 6 2 5
S o lu c io n e s p a r c ia le s y re s p u e s ta s
a lo s p r o b le m a s fu n d a m e n ta le s 6 2 8
R e spu estas a p r o b le m a s s e le c c io n a d o s 6 6 5
ín d ic e 6 8 5

23. ANÁLISIS
ESTRUCTURAL

24. La e s tru ctu ra (el c o n tra v e n te o ) c o n p a tró n d e d ia m a n te (re fu e rzo cruzado)
instalada en esto s e d ific io s d e gran altura se u tiliz a para re sis tir las cargas
d e b id a s al vie n to .

25. Tipos de estructuras
y cargas
E s te c a p ít u lo c o n tie n e u n e s t u d io d e a lg u n o s d e lo s a s p e c to s p r e lim i­
n a re s d e l a n á lis is e s t r u c t u r a l. P r im e r o s e p r e s e n ta n la s fa s e s n e c e s a ria s
p a ra c o n s t r u ir u n a e s tr u c tu r a , d e s p u é s s e h a c e u n a in tr o d u c c ió n a lo s
t ip o s b á s ic o s d e e s tru c tu ra s , s u s c o m p o n e n te s y s o p o r te s , y p o r úl­
t im o , s e p r o p o r d o n a u n a e x p lic a c ió n b r e v e d e lo s d i s t i n t o s t ip o s d e
c a rg a s q u e d e b e n c o n s id e r a rs e p a r a u n a n á lis is y d is e ñ o a p r o p ia d o s .
1.1 Introducción
U n a e s tr u c tu r a s e r e f ie r e a u n s is te m a d e p a r t e s c o n e c ta d a s q u e se u tiliz a
p a ra s o p o r t a r u n a c a r g a . E n t r e lo s e je m p lo s m á s im p o r ta n te s r e l a c io n a ­
d o s c o n la in g e n ie r ía c iv il e s t á n lo s e d ific io s , lo s p u e n te s y las to r r e s ; e n
o t r a s ra m a s d e la in g e n ie r ía p u e d e d e c ir s e q u e s o n im p o r t a n te s las e s ­
tr u c tu r a s d e b a r c o s y a v io n e s , lo s ta n q u e s , lo s r e c ip ie n te s a p r e s ió n , lo s
s is te m a s m e c á n ic o s, y la s e s t r u c tu r a s d e s o p o r te d e lín e a s e lé c tr ic a s t a m ­
b ié n s o n im p o rta n te s .
C u a n d o s e d is e ñ a u n a e s t r u c t u r a p a r a q u e d e s e m p e ñ e u n a fu n c ió n e s ­
p e c ífic a p a r a e l u s o p ú b lic o , e l in g e n ie r o d e b e c o n s i d e r a r s u s e g u r id a d ,
e s t é t i c a y f a c i li d a d d e m a n t e n i m i e n t o , y a la v e z t e n e r p r e s e n t e s la s
l i m i t a n t e s e c o n ó m i c a s y a m b i e n ta l e s . A m e n u d o e s t o r e q u i e r e v a r io s
e s t u d io s in d e p e n d i e n te s s o b r e la s d if e r e n te s s o lu c io n e s p o s i b le s a n te s d e
to m a r u n a d e te r m in a c ió n fin a l s o b r e c u á l e s la f o r m a e s t r u c t u r a l m á s
a d e c u a d a . E s t e p r o c e s o d e d is e ñ o e s ta n t o c re a tiv o c o m o té c n ic o y r e ­
q u ie r e u n c o n o c im ie n to f u n d a m e n ta l d e la s p ro p ie d a d e s d e lo s m a te ria le s
y d e la s le y e s d e la m e c á n ic a q u e r ig e n l a r e s p u e s ta d e lo s m a te ria le s .
U n a v e z p r o p u e s to e l d is e ñ o p r e l im in a r d e u n a e s tr u c tu r a , é s ta d e b e
a n a liz a r s e p a r a a s e g u r a r q u e ti e n e la rig id e z y la f u e r z a n e c e s a r ia s . P a ra
a n a liz a r a d e c u a d a m e n te u n a e s t r u c t u r a d e b e n h a c e r s e a lg u n a s id e a liz a ­
c io n e s s o b r e c ó m o s e c o n e c t a n y a p o y a n lo s e le m e n to s e n tr e s í. L a s c a r ­
g a s s e d e t e r m i n a n a p a r t i r d e c ó d ig o s y e s p e c ific a c io n e s lo c a le s , m ie n tr a s
q u e la s f u e r z a s e n lo s e le m e n to s y su s d e s p la z a m ie n to s s e e n c u e n t r a n
a p lic a n d o la t e o r í a d e l a n á lis is e s tr u c tu r a l, q u e e s e l o b je t o d e e s tu d io d e
e s te te x to . L o s r e s u lta d o s d e e s te a n á lis is p u e d e n e m p le a r s e p a r a re d is e -
ñ a r la e s tr u c tu r a , lo q u e im p lic a u n a d e te r m in a c ió n m ás p r e c is a d e l p e s o

26. 4 Ca p i t u l o 1 T i p o s d e e s t r u c t u r a s y c a r g a s
y e l ta m a ñ o d e lo s e le m e n to s . ft>r lo ta n t o , e l d is e ñ o e s t r u c t u r a l p r o v ie n e
d e u n a s e r i e d e a p r o x i m a c i o n e s s u c e s iv a s e n la s q u e c a d a c ic lo r e q u i e r e
u n a n á lis is e s tr u c tu r a l. E n e s t e lib r o , e l a n á lis is e s t r u c tu r a l s e a p lic a a e s ­
tr u c tu r a s v in c u la d a s c o n la in g e n ie r ía civil; s in e m b a r g o , e l m é t o d o d e
a n á lisis d e s c r ito ta m b ié n p u e d e s e g u ir s e e n e l c a s o d e e s t r u c tu r a s r e l a ­
c io n a d a s c o n o tr o s c a m p o s d e la in g e n ie ría .
O E = >
v a r illa b a r r a
L u
á n g u lo c a n a l
s e c c io n e s tr a n s v e r s a l e s c o m u n e s
t e n s o r b a n a
Figura 1-1
v ig a s im p le m e n t e a p o y a d a
v ig a f i j a o e m p o t r a d a
v ig a c o n t i n u a
Figura 1 -2
1 .2 Clasificación de estructuras
P a r a u n in g e n ie r o e s tr u c tu r a l e s i m p o r t a n te r e c o n o c e r lo s d is tin to s tip o s
d e e le m e n to s q u e c o m p o n e n u n a e s t r u c t u r a , y s e r c a p a z d e c la s ific a r las
e s t r u c tu r a s d e a c u e r d o c o n s u f o r m a y f u n c ió n . E n e s t e p u n to s e p r e s e n ­
ta r á n a lg u n o s d e lo s a s p e c t o s m e n c io n a d o s y p o s te r io r m e n te , e n e l m o ­
m e n t o a d e c u a d o a lo la r g o d e l te x t o .s e p r o f u n d iz a r á e n e llo s .
Elem entos estructurales. A lg u n o s d e lo s e le m e n to s m á s c o m u ­
n e s d e lo s c u a le s e s t á n c o m p u e s ta s las e s t r u c tu r a s s o n lo s s ig u ie n te s .
Tensores. L o s e le m e n to s e s t r u c tu r a le s s o m e tid o s a u n a fu e r z a de
te n s ió n s u e le n d e n o m i n a r s e te n s o r e s o p u n ta le s. D e b id o a la n a tu r a le z a
d e la c a rg a d e s c r ita ,e s to s e le m e n to s tie n d e n a s e r d e lg a d o s y s u e le n e l e ­
g irse a p a r t i r d e v a rilla s , b a r r a s , á n g u lo s o c a n a le s , fig u ra 1-1.
Vigas. ft>r lo g e n e r a l, la s v ig a s s o n e le m e n to s re c to s h o r iz o n ta le s q u e
s e u s a n p r in c ip a lm e n te p a r a s o p o r t a r c a r g a s v e rtic a le s . C o n fr e c u e n c ia se
c la s ific a n s e g ú n la fo r m a e n q u e e s t á n a p o y a d a s , c o m o s e in d ic a e n la fi­
g u ra 1-2. E n p a r tic u la r , c u a n d o la s e c c ió n tr a n s v e r s a l d e l a v ig a v a ría ,
é s ta se c o n o c e c o m o v ig a a fila d a o e s t r e c h a d a . L a s s e c c io n e s tr a n s v e r s a ­
le s d e la s v ig a s ta m b ié n p u e d e n " c o n s tr u i r s e " a ñ a d ie n d o p la c a s e n su s
p a r te s s u p e r io r e in f e rio r .
L a s v ig a s se d is e ñ a n e n p r i n c ip i o p a r a r e s is t ir m o m e n to s d e fle x ió n ;
s in e m b a r g o , s i u n a v ig a e s c o r ta y s o p o r ta g r a n d e s c a rg a s , la f u e r z a c o r ­
ta n t e in t e r n a p u e d e lle g a r a s e r b a s t a n te g r a n d e y r e g ir e l d is e ñ o d e la
v ig a . C u a n d o e l m a te r ia l u tiliz a d o p a r a u n a v ig a e s u n m e ta l c o m o el
a c e r o o e l a lu m in io , la se c c ió n tr a n s v e r s a l r e s u lta m á s e f ic ie n te s i t i e n e la
fo r m a q u e s e m u e s tr a e n la fig u ra 1-3. A q u í, las f u e r z a s d e s a r r o lla d a s e n
la s a la s ( p a tin e s ) s u p e r io r e in f e r io r d e la v ig a f o r m a n e l p a r n e c e s a r io
q u e s e u s a p a r a re s is tir e l m o m e n to M a p lic a d o , m ie n tr a s q u e e l a lm a e s
e fic ie n te a l re s is tir la fu e rz a c o r ta n te V a p lic a d a . E s ta se c c ió n tra n s v e rs a l se
c o n o c e c o m ú n m e n te c o m o " a l a a n c h a " . I o H , y s u e le f o r m a r s e c o m o u n a
s o la u n id a d e n u n a la m in a d o r a c o n lo n g itu d e s d e h a s t a 75 p ie s ( 2 3 m ) . S i
s e r e q u i e r e n lo n g itu d e s m ás c o r ta s s e p u e d e s e le c c io n a r u n a se c c ió n c ó ­
n ic a c o n a la s a h u s a d a s ( o p a tin e s e s tr e c h a d o s ) . S i e s n e c e s a r io q u e la
viga te n g a u n c la r o m u y a m p lio y la s c a r g a s a p lic a d a s s o n b a s t a n te g r a n ­
d e s , la se c c ió n tr a n s v e r s a l p u e d e t o m a r la f o r m a d e u n a tra b e a r m a d a .
E s te e l e m e n t o s e fa b r ic a u tiliz a n d o u n a p la c a g r a n d e p a r a e l a lm a , a la
c u a l p a r a f o r m a r la s a la s s e le s u e l d a n o f ija n c o n p e r n o s p la c a s e n lo s e x ­
tr e m o s . 1.a t r a b e s u e le tr a n s p o r t a r s e a l c a m p o e n s e g m e n to s y é s t o s s e d i ­
s e ñ a n p a r a e m p a lm a r s e o u n ir s e e n t r e s í e n lo s p u n to s d o n d e l a tr a b e

27. 1 . 2 Cl a s i f i c a c i ó n d e e s t r u c t u r a s 5
F ig u r a 1 - 3
E s t a s t r a b e s d e c o n c r e t o p r e s i o n a d o e s t á n
s o p o r ta u n m o m e n to in te r n o p e q u e ñ o . (V e a la f o to g r a f ía e n la p a r t e in - sim plem ente apoyadas y se em plean en un
fe r io r d e e s ta p á g in a ) . Puenle c a r r e t e r o .
ft» r lo g e n e r a l , la s v ig a s d e c o n c r e t o t i e n e n s e c c io n e s tr a n s v e r s a le s r e c ­
ta n g u la r e s p o r q u e e s t a f o r m a e s fácil d e c o n s t r u ir d ir e c ta m e n te e n el
c a m p o . C o m o e l c o n c r e t o e s b a s t a n te d é b il e n c u a n to a s u re s is te n c ia a la
te n s ió n , se c o lo c a n v a rilla s d e a c e r o d e r e f u e r z o d e n t r o d e la v ig a e n la s
re g io n e s d e la s e c c ió n tr a n s v e r s a l s o m e tid a s a te n s ió n . D e l m is m o m o d o ,
las v ig a s o tr a b e s d e c o n c r e to p r e f a b r ic a d a s p u e d e n c o n s tr u ir s e e n u n t a ­
lle r o fá b r ic a p a r a d e s p u é s s e r t r a n s p o r t a d a s a l lu g a r d e tr a b a jo .
L as v ig a s d e m a d e r a p u e d e n o b te n e r s e d e u n a p ie z a s ó lid a d e m a d e r a
o la m in a r s e . L a s v ig a s la m in a d a s se c o n s tr u y e n c o n s e c c io n e s s ó lid a s d e
m a d e r a u n id a s e n tr e s í m e d ia n te a d h e s iv o s d e a lt a re s is te n c ia .
E n e s t a f o t o g r a f í a s e m u e s t r a n la s j u n t a s
d e p l a c a s e m p a l m a d a s q u e s e u s a n c o m ú n ­
m e n t e p a r a c o n e c t a r l a s t r a b e s d e a c e r o e n
u n p u e n t e c a r r e t e r o .
E l a c e r o d e r e f u e r z o q u e s e o b s e r v a a d e ­
r e c h a c i z q u i e r d a s e u t i l i z a p a r a r e s i s t i r c u a l ­
q u i e r t e n s i ó n q u e p u d i e r a o r i g i n a r s e e n l a s
v ig a s d e c o n c r e t o q u e s e f o r m a r á n a s u a l r e ­
d e d o r .

28. Ca p i t u l o 1 T i p o s d e e s t r u c t u r a s y c a r g a s
I
c o lu m n a
L o s e l e m e n t o s d e a l a a n c h a s u e l e n
u s a r s e c o m o c o l u m n a s . L a f o t o g r a f í a
p r e s e n t a u n e j e m p l o d e u n a c o l u m n a d e
v ig a ( a f l c x o c o m p r c s i ó n ) .
C o lu m n a s . L o s e le m e n to s q u e g e n e r a l m e n t e s o n v e rtic a le s y re s is te n
c a r g a s d e c o m p r e s ió n a x ia l s e c o n o c e n c o m o c o lu m n a s, fig u ra 1-4. L as
s e c c io n e s tr a n s v e rs a le s tu b u l a r e s y d e a la a n c h a s e s u e le n u tiliz a r p a r a
c o lu m n a s d e m e ta l, y las s e c c io n e s tr a n s v e r s a le s c ir c u la r e s y c u a d ra d a s ,
c o n v a rilla s d e re f u e rz o , s e u tiliz a n p a r a la s c o lu m n a s d e c o n c r e to . E n
o c a s io n e s , la s c o lu m n a s e s t á n s u j e ta s s i m u ltá n e a m e n te a u n a c a r g a a x ia l
y a u n m o m e n to d e fle x ió n , c o m o s e m u e s tr a e n la fig u ra 1-4. E s to s e l e ­
m e n to s s e d e n o m i n a n c o lu m n a s d e v ig a .
Tipos de estructuras. L a c o m b in a c ió n d e lo s e le m e n to s e s t r u c tu ­
ra le s y lo s m a te r ia le s d e q u e e s t á n h e c h o s s e c o n o c e c o m o s is te m a e s tr u c ­
tu ra l. C a d a s i s te m a e s t á c o n s tr u id o c o n u n o o m á s d e lo s c u a tr o tip o s
b á s ic o s d e e s tru c tu r a s . Si s e c la s ific a n p o r la c o m p le jid a d d e s u a n á lis is d e
fu e rz a s , lo s ti p o s b á s ic o s d e e s t r u c tu r a s s o n lo s s ig u ie n te s .
( ü i u m n a d e v i g a A r m a d u r a s . Q ia n d o s e r e q u i e r e q u e e l c la r o d e u n a e s t r u c tu r a s e a
a g r a n d e y s u p r o f u n d id a d , o p e r a l te , n o e s u n c r ite r io im p o r ta n te p a r a el
d iserto , s e p u e d e e le g i r u n a a r m a d u r a . L a s a r m a d u r a s c o n s is te n e n e l e ­
m e n to s d e lg a d o s , p o r lo g e n e ra l c o lo c a d o s e n fo r m a tr ia n g u la r . L a s a r ­
m a d u r a s p la n a s se c o m p o n e n d e e le m e n to s u b ic a d o s e n e l m is m o p la n o
y s e u tiliz a n p a r a e l s o p o r te d e p u e n te s y te c h o s , e n ta n t o q u e la s a r m a ­
d u r a s e sp a c ia le s ti e n e n e le m e n to s q u e s e e x tie n d e n e n tr e s d im e n s io n e s
y s o n a d e c u a d a s p a r a g r ú a s y to r r e s .
D e b id o a l a d is p o s ic ió n g e o m é t r i c a d e s u s e le m e n to s . la s c a r g a s q u e
h a c e n q u e t o d a la a r m a d u r a s e d e f o r m e s e c o n v ie r te n e n f u e r z a s d e t e n ­
s i ó n o c o m p r e s ió n e n lo s e le m e n to s . E n c o n s e c u e n c ia , u n a d e la s p r in c i­
p a le s v e n ta ja s d e u n a a r m a d u r a e n c o m p a r a c ió n c o n u n a v ig a e s q u e
u tiliz a m e n o s m a te r ia l p a r a s o p o r ta r u n a c a rg a d e te r m i n a d a , fig u ra 1-5.
A d e m á s , u n a a r m a d u r a se c o n s tr u y e a p a r t i r d e e le m e n to s la r g o s y d elg a -
d o s .q u e p u e d e n c o lo c a r s e d e v a ria s m a n e r a s p a r a s o p o r ta r u n a c a r g a . L a

29. 1 . 2 Cl a s i f i c a c i ó n d e e s t r u c t u r a s
H g u n i 1 - 5
l a s c a r g a s p r o v o c a n la f l e x i ó n d e u n a
a r m a d u r a , la c u a l d e s a r r o l l a c o m p r e s i ó n
e n s u s e l e m e n t o s s u p e r i o r e s y t e n s i ó n e n l o s
i n f e r i o r e s .
m a y o r ía d e la s v e c e s r e s u lta e c o n ó m ic a m e n te f a c tib le u s a r u n a a r m a ­
d u r a p a r a c u b r ir c la r o s q u e v a n d e s d e 3 0 p ie s (9 m e t r o s ) h a s ta 4 0 0 p ie s
(1 2 2 m ) , a u n q u e e n o c a s io n e s s e h a n e m p l e a d o a r m a d u r a s p a ra c u b r ir
c la r o s d e m a y o r lo n g itu d .
C a b le s y a r c o s . O t r a s d o s f o r m a s d e e s tru c tu r a q u e se u s a n p a r a c u b rir
d is ta n c ia s la r g a s s o n e l c a b le y e l arc o . I\>r lo g e n e ra l, lo s c a b les s o n flex i­
b les. s o p o r ta n c a rg a s e n te n s ió n y s e u tiliz a n c o m o s o p o r te e n p u e n te s , fi­
g u r a l- 6 a , y e n te c h o s d e ed ificio s. C u a n d o se u s a p a ra e s to s fines, e l cable
tie n e u n a v e n ta ja s o b r e la v ig a y la a r m a d u r a , e n p a rtic u la r p a r a c la ro s m a ­
y o re s a 150 p ie s (4 6 m e tro s ). D a d o q u e lo s c a b le s s ie m p re e s tá n e n te n s ió n ,
n o se v o lv e rá n in e s ta b le s n i s e c o la p s a rá n d e m a n e r a s ú b ita c o m o p u e d e s u ­
c e d e r c o n las vigas o la s a rm a d u ra s . A d e m á s , l a a r m a d u r a r e q u e r iría c o s to s
a d ic io n a le s p a ra s u c o n s tru c c ió n y u n p e ra lte m a y o r c o n fo r m e a u m e n te el
c la ro . P b r o t r o la d o , e l u s o d e c a b le s s ó lo e s tá lim ita d o p o r s u c o lg a m ie n to ,
s u p e s o y lo s m é to d o s d e a n c la je q u e s e e m p le e n .
E l a r c o lo g ra s u re s is te n c ia e n c o m p r e s ió n , p u e s t o q u e ti e n e u n a c u r v a ­
tu r a in v e r s a a la d e l c a b le . S in e m b a r g o , e l a r c o d e b e s e r r íg id o a fin d e
m a n t e n e r s u f o r m a , lo q u e s e tr a d u c e e n c a r g a s s e c u n d a r ia s q u e in v o lu c ­
r a n fu e iz a s c o r t a n t e s y d e m o m e n to , q u e d e b e n c o n s id e r a r s e e n s u d i­
s e ñ o . L o s a r c o s se u s a n e n e s t r u c tu r a s p a r a p u e n te s , f ig u r a 1 -6 6 , te c h o s
d e c ú p u la y a b e r t u r a s e n m u r o s d e m a n ip o s te r ía

30. 8 C a p i t u l o 1 T i p o s d e e s t r u c t u r a s y c a r g a s
ríg id a a r tic u la d a
L o s e l e m e n t o s d e l m a r c o e s t á n
s o m e t i d o s a c a r g a s i n t e r n a s a x i a l e s
c o r t a n t e s y d e m o m e n to .
ríg id a a r tic u la d a
lig a r a 1-7
M a r c o s . L o s m a rc o s s e s u e le n u s a r e n e d ific io s y e s t á n c o m p u e s to s
p o r v ig a s y c o lu m n a s c o n e c t a d a s r íg id a m e n te o m e d i a n te a rtic u la c io n e s ,
fig u ra 1 -7 . A l ig u a l q u e las v ig as, lo s m a r c o s s e e x ti e n d e n e n d o s o tr e s d i ­
m e n s io n e s . L a c a r g a e n u n m a r c o o c a s io n a fle x ió n d e s u s e le m e n to s ; y s i
tie n e c o n e x io n e s d e u n ió n ríg id a s, p o r lo g e n e ra l e s t a e s t r u c tu r a e s “i n d e ­
te r m i n a d a " d e s d e e l p u n to d e v is ta a n a lític o . L a r e s is te n c ia d e u n m a rc o
d e e s t e tip o s e d e r i v a d e la s in te r a c c io n e s d e m o m e n to e n t r e las v ig a s y
la s c o lu m n a s e n la s u n io n e s ríg id as.
E s t r u c t u r a s s u p e r f i c i a l e s . U n a e stru c tu r a s u p e r fic ia l e s tá h e c h a d e
u n m a te r ia l q u e ti e n e u n e s p e s o r m u y p e q u e ñ o e n c o m p a r a c ió n c o n su s
o t r a s d im e n s io n e s . S e Ies lla m a te n s o e s tr u c tu r a s c u a n d o e l m a t e r i a l e s
m u y fle x ib le y p u e d e t o m a r l a fo r m a d e u n a t i e n d a d e c a m p a ñ a o u n a e s ­
tr u c t u r a in f la d a c o n a ir e . E n a m b o s c a s o s , e l m a t e r i a l a c tú a c o m o u n a
m e m b r a n a q u e s e s o m e te a te n s ió n p u r a .
L as e s t r u c tu r a s s u p e r fic ia le s ta m b ié n p u e d e n e s t a r h e c h a s d e u n m a t e ­
ria l ríg id o c o m o e l c o n c r e t o re f o rz a d o . E n ta le s c a s o s p u e d e n t e n e r la
fo r m a d e p la c a s p le g a d a s .c ilin d r o s o p a r a b o lo id e s h ip e rb ó lic o s , y re c ib e n
el n o m b r e d e p la ca s d e lg a d a s o c a sc a ro n e s. E s ta s e s t r u c tu r a s a c tú a n
c o m o c a b le s o a rc o s , p u e s t o q u e s o p o r t a n c a r g a s s o b r e t o d o e n te n s ió n
o c o m p r e s ió n ,y e x p e r im e n ta n m u y p o c a fle x ió n . N o o b s t a n te , la s e s t r u c ­
tu r a s d e p la c a o c a s c a r ó n s u e le n s e r m u y d ifíc ile s d e a n a liz a r , d e b id o a la
g e o m e tr ía tr id im e n s io n a l d e s u s u p e rfic ie . U n a n á lis is d e e s t e tip o s e e n ­
c u e n tr a f u e r a d e l a lc a n c e d e l p r e s e n t e te x to ; s i n e m b a r g o , e x is te n lib r o s
d e d ic a d o s p o r c o m p le to a e s e te m a .
L a f o t o g r a f í a m u e s t r a u n e j e m p l o d e m a r c o
d e a c e r o q u e s e a s a p a r a s o s t e n e r e l r i e l d e
u n a g r ú a . S e s u p o n e q u e e l m a r c o e s t á u n i d o
r í g i d a m e n t e e n s u s j u n t a s s u p e r i o r e s y a r t i c u ­
l a d o e n b s a p o y o s .
E l t e c h o d e l " D o m o d e G e o r g i a " e n A t l a n t a ,
G e o r g i a , p u e d e c o n s i d e r a r s e c o m o u n a m e m ­
b r a n a d e l g a d a .

31. 1 .3 Cargas
U n a v e z q u e s e h a n d e f i n id o lo s r e q u is ito s d im e n s io n a le s p a r a u n a e s ­
tr u c tu r a , e s n e c e s a r io d e te r m i n a r la s c a rg a s q u e d e b e s o p o r ta r la e s t r u c ­
tu r a . L a a n tic ip a c ió n d e las d if e r e n t e s c a r g a s q u e s e im p o n d r á n a u n a
e s t r u c tu r a s u e le p r o p o r c io n a r e l tip o b á s ic o d e e s tr u c tu r a q u e s e e le g irá
p a ra e l d is e ñ o . I\>r e je m p lo , la s e s t r u c tu r a s m u y a lta s d e b e n s o p o r ta r
g r a n d e s fu e r z a s la t e r a l e s c a u s a d a s p o r e l v ie n to , y e n to n c e s s e s e le c c io ­
n a n p a r e d e s p a r a c o r t a n t e y s is te m a s d e m a r c o tu b u la r , e n ta n t o q u e lo s
e d if ic io s u b ic a d o s e n z o n a s p r o p e n s a s a te r r e m o t o s d e b e n d is e ñ a r s e
c o n m a r c o s y c o n e x io n e s fle x ib le s.
U n a v e z d e te r m i n a d a la fo r m a e s t r u c tu r a l, e l d is e ñ o r e a l c o m ie n z a c o n
lo s e le m e n to s q u e e s t á n s u je to s a la s c a r g a s p r im a r ia s q u e d e b e s o p o r ta r
la e s t r u c t u r a y p r o c e d e e n o r d e n s e c u c n c ia l a lo s d is tin to s e le m e n to s d e
a p o y o h a s ta a lc a n z a r e l c im ie n to o b a s e . IY>r lo ta n to , e n u n e d if ic io p r i ­
m e r o s e d is e ñ a r ía la lo s a d e c a d a p iso , d e s p u é s la s v ig a s d e s o p o r t e , la s
c o lu m n a s y, p o r ú ltim o , lo s c im ie n to s . D e m o d o q u e p a r a d is e ñ a r u n a
e s t r u c tu r a e s n e c e s a r io e s p e c if ic a r p r i m e r o la s c a r g a s q u e a c tú a n e n e lla .
L a c a rg a d e d is e ñ o d e u n a e s t r u c t u r a s u e l e e s t a r e s p e c if ic a d a e n c ó ­
d ig o s. E n g e n e r a l , e l in g e n ie r o e s tr u c tu r a lis ta t r a b a j a c o n d o s ti p o s d e
c ó d ig o s : lo s c ó d ig o s g e n e r a le s d e c o n s tru c c ió n y lo s c ó d ig o s d e d is e ñ o .
I .o s c ó d ig o s g e n e ra le s d e c o n s tr u c c ió n e s p e c ific a n lo s re q u is ito s d e lo s o r ­
g a n is m o s g u b e r n a m e n ta le s p a r a las c a r g a s m ín im a s d e d is e ñ o e n la s e s ­
tr u c tu r a s y la s n o rm a s m ín im a s p a r a la c o n s tru c c ió n . L o s c ó d ig o s d e
d is e ñ o p r o p o r c io n a n n o r m a s té c n ic a s d e ta l la d a s y s e u tiliz a n p a r a e s ta -
H e c e r lo s r e q u is ito s e n e l d is e ñ o re a l d e e s t r u c tu r a s . E n la ta b l a 1-1 se
e n u n c ia n a lg u n o s d e lo s c ó d ig o s m á s im p o r t a n te s q u e s e a p lic a n e n la
p rá c tic a . S in e m b a r g o , d e b e t e n e r s e e n c u e n ta q u e lo s c ó d ig o s p r o p o r c io ­
n a n s ó l o u n a g u ía g e n e r a l p a r a e l d is e ñ o . L a r e s p o n s a b ilid a d d e fin itiv a
d e l d is e ñ o reca e e n e l in g e n ie r o e stru c tu ra lista .
T A B L A 1 - 1 C ó d ig o s
C ódigos d e construcción g en erales (e n E stad o s U nidos)
M ínim um Design l o a d s fo r B uildings and O th er Structures,
A S C E /S E I 7-10 (C argas d e d iseñ o m ínim as p a ra edificios y otras
estructuras, A SC E /SE 1 7-10). A m erican Society o f Civil E ngineers.
International B uilding C o d e (C ódigo in ternacional d e construcción).
C ódigos d e D iseño
Building C ode R equirem ents fo r R einforced C oncrete (C ódigos d e re q u e ri­
m ientos d e construcción p a ra co n creto refo rzad o ). A m . C onc. Inst. ( A CI).
M an u a l o f S teel C onstruction (M anual de construcción e n a cero ), A m erican
Institutc o f S teel C onstruction (A ISC ).
Standard Specifications fo r H ighw ay B ridges (E specificaciones e s tá n d a r para
p uentes c a rre te ro s). A m erican A ssociation o f S tate H ighw ay and
'Iran sp o rtatio n O fficials (A A S H T O ).
N ational D esign Specifications fo r W o o d C onstruction (Especificación
n acional de d iseñ o p a ra la co n stru cció n e n m ad era). A m erican R arest an d
P aper A ssociation (A F P A ).
M anual f o r Railway E ngineering (M anual d e ingeniería ferro v iaria),
A m erican R ailw ay E ngineering A sso ciatio n (A R E A ).

32. Ca p i t u l o 1 T i p o s d e e s t r u c t u r a s y c a r g a s
D a d o q u e p o r lo c o m ú n u n a e s t r u c tu r a e s tá s o m e tid a a v a rio s tip o s d e
ca rg a s, a c o n tin u a c ió n s e p r e s e n ta r á u n b re v e a n á lisis d e e s t a s c a r g a s p a ra
ilu s tr a r la m a n e r a e n q u e d e b e n c o n s id e r a r s e su s e f e c to s e n la p rá c tic a .
Cargas m uertas. I-a s carg a s m u e r ta s s o n lo s p e s o s d e lo s d iv e r s o s
e le m e n to s e s t r u c tu r a le s y lo s p e s o s d e t o d o s lo s o b je t o s q u e e s t á n u n i­
d o s d e m a n e r a p e r m a n e n te a l a e s t r u c tu r a . ft>r lo ta n t o , la s c a r g a s m u e r ­
ta s d e u n e d if ic io s o n e l p e s o d e la s c o lu m n a s , v ig a s y tr a b e s , la lo s a d e l
p is o , e l te c h o , p a r e d e s , v e n ta n a s , f o n t a n e r í a , in s ta la c io n e s e lé c tr ic a s y
o tr o s a c c e s o rio s d iv e rs o s .
E n a lg u n o s c a so s, u n a c a r g a m u e r ta e s t r u c tu r a l p u e d e e s tim a r s e d e
m a n e r a s a tis f a c to r ia a p a r t i r d e fó r m u la s s e n c illa s b a s a d a s e n lo s p e s o s y
ta m a ñ o s d e e s t r u c tu r a s s im ila re s . A tr a v é s d e la e x p e r ie n c ia ta m b ié n e s
p o s ib le o b t e n e r u n a “ a p r e c ia c ió n " d e la m a g n itu d d e e s t a s ca rg a s. P o r
e je m p lo , e l p e s o m e d io d e lo s e d if ic io s d e m a d e r a e s d e 4 0 a 5 0 I b /p ie 2
( 1 .9 a 2 .4 k N /m 2) , p a r a lo s e d ific io s c o n e s t r u c tu r a d e a c e r o e s d e 6 0 a 75
lb /p ie ? (2 .9 a 3 .6 k N /m 2) ,y p a r a lo s e d ific io s d e c o n c r e t o r e f o r z a d o e s d e
110 a 130 Ib /p ie 2 (5.3 a 6.2 k N /m 2). S in e m b a r g o , u n a v e z q u e s e h a n d e ­
te r m in a d o lo s m a te ria le s y lo s ta m a ñ o s d e lo s c o m p o n e n t e s d e la e s t r u c ­
tu r a , se p u e d e n e n c o n tr a r su s p e s o s a p a r t i r d e ta b la s q u e m u e s tr a n su s
d e n s id a d e s .
E n la ta b l a 1 -2 s e e n u n c ia n las d e n s id a d e s d e lo s m a t e r i a le s q u e s e s u e ­
le n u s a r e n la c o n s tru c c ió n , y e n la ta b l a 1-3 p u e d e o b s e r v a r s e u n a p a r t e
T A B L A 1 - 2 D e n s id a d e s m ín im a s p a r a c a rg a s
d e d i s e ñ o d e d i s t i n t o s m a t e r ia le s *
Ib /p ie 3 k N /m 3
A lum inio 170 26.7
C oncreto, co n creto simple 108 17.0
C oncreto. p ie d ra simple 144 22.6
C oncreto, concreto reforzado 111 17.4
C oncreto, p ie d ra refo rzad a 150 23.6
A rcilla, seca 63 9.9
A rcilla, húm eda 110 17.3
A ren a y g rav a, seca, su elta 100 15.7
A ren a y g rav a, húm eda 120 18.9
M anipostería, co n creto só lid o ligero105 16.5
M anipostería, peso norm al 135 21.2
M adera co ntrachapada 36 5.7
A cero, estirad o e n frío 492 77.3
M adera, a b e to D o u g las 34 5.3
M adera, p in o d el su r 37 5.8
M adera, p in o ab eto 29 4.5
• R e p r o d u c i d o co n p e rm ito d e la A m erican S o d e ly o í Civil F.ngmeem, M ínim um
f í a i g n l.o a d s f o r fíu ild m g t a n d O d irr S a n caí res A S C E S E I 7-10 (C a rg a s d e
d s c f t o m ínim as p a ra e d i f i c i o s y o tr a s Estructuras A S C E /S E I 7-10). P ara ad q u irir
copias d e e ste están d ar d e A S C E acceda a l s i t » «ww.pubs.asce.org.

33. TA B LA 1 - 3 C a r g a s m u e r t a s m ín im a s d e d is e ñ o * I
M uros p sfk N /m 2
ladrillo d e arcilla. 4 p u lg (102 m m ) 39 1.87
ladrillo d e arcilla. 8 p u lg (203 m m ) 79 3.78
ladrillo d e arcilla. 12 p u lg (305 m m ) 115 5.51
P articiones y m u ro s d e m arco
M uros d e e n tra m a d o e x te rio r co n revestim iento d e ladrillo 48 2.30
V entanas, vidrio, m arco y hoja
E n tra m a d o s de m a d e ra d e 2 x 4 p u lg (51 X 102 m m )
8 0.38
sin enyesar
E ntram ados de m a d e ra d e 2 X 4 p u lg (51 X 102 m m )
4 0.19
enyesados d e un lado
E n tra m a d o s de m a d e ra d e 2 x 4 p u lg (51 X 102 m m )
12 0.57
enyesados p o r lo s d o s lados 20 0.96
R elleno d e p is o
C oncreto d e cem ento, p o r pulgada (m m ) 9 0.017
C b n creto ligero, sim ple, por p u lg ad a (m m ) 8 0.015
C bncreto d e p ied ra, p o r p u lg ad a (m m ) 12 0.023
Techos
lá m in a d e fibra acústica 1 0.05
Yeso so b re m osaico o co n creto 5 0.24
M alla de m etal suspendida y y eso revocado 10 0.48
Tejas de asfalto 2 0.10
L ám ina d e fibra, | pulg (13 m m ) 0.75 0.04
' R e p r o d u c i d o c o n p e r m i s o d e U A m e r i c a n S o t í e l y o t C i v i l E n g i n c e i * . M í n i m u m D a i g n L o a d s f o t
B u i i d m g t a n d O d i r r S i r u c l u r r \ A S C E / S E I 7 - 1 0 ( C a r g a » d e d b e f l o m ín i m a » p a r a e d i f i c i o » y o t r a *
a t r u c t u r a * . A S C T / S E I 7 - 1 0 ) .
d e l lis ta d o d e l p e s o d e lo s c o m p o n e n te s d e c o n s tr u c c ió n m ás c o m u n e s .
A u n q u e e l c á lc u lo d e la s c a r g a s m u e r ta s c o n b a s e e n e l u s o d e d a to s t a ­
b u la d o s e s b a s t a n te s e n c illo , d e b e t e n e r s e e n c u e n ta q u e e n m u c h o s a s ­
p e c to s e s t a s c a rg a s d e b e n e s tim a r s e e n la fa s e in ic ia l d e l d iserto . E s ta s
e s tim a c io n e s in c lu y e n m a t e r i a le s n o e s tr u c tu r a le s c o m o lo s p a n e le s d e
fa c h a d a p r e f a b r ic a d o s , lo s s is te m a s e lé c tr ic o s y d e f o n t a n e r í a , e tc é te r a .
In c lu so s i e l m a te r ia l e s tá e s p e c ific a d o , lo s p e s o s u n ita r io s d e lo s e le m e n ­
to s r e p o r ta d o s e n lo s c ó d ig o s p u e d e n v a r ia r r e s p e c to d e lo s d a t o s d e l f a ­
b ric a n te . y e l u s o p o s t e r i o r d e l e d if ic io p u e d e in c lu ir a lg u n o s c a m b io s e n
la c a r g a m u e r ta . E n c o n s e c u e n c ia , la s e s tim a c io n e s d e la s c a r g a s m u e r ta s
p u e d e n te n e r u n e r r o r d e 15 a 2 0 % o m ás.
N o r m a lm e n te la c a r g a m u e r ta n o e s m u y g r a n d e e n c o m p a r a c ió n c o n
la c a r g a d e d is e rto e n e s t r u c tu r a s s im p le s , c o m o u n a v ig a o u n m a r c o d e
u n a s o la p l a n t a ; sin e m b a r g o , p a ra e d if ic io s c o n v a rio s p is o s, e s im p o r ­
ta n t e c o n s id e r a r t o d a s la s c a r g a s m u e r ta s a fin d e d is e r ta r c o r r e c ta m e n te
las c o lu m n a s , e n e s p e c ia l p a r a lo s p is o s in fe rio re s.

34. 1 2 Ca p i t u l o 1 T i p o s d e e s t r u c t u r a s y c a r g a s
E JE M P LO 1.1
12 p u l g
F i g u r a 1 - 8
L a vig a d e p is o q u e s e m u e s tr a e n l a fig u ra 1-8 se u tiliz a p a r a s o p o r ta r
u n a lo s a d e c o n c re to lig e r o s im p le c o n 6 p ie s d e a n c h o y u n e s p e s o r de
4 p ulg. I-a lo sa s irv e c o m o u n a p a r t e d el t e c h o d e la p l a n t a d e a b a jo ,
p o r lo q u e s u p a r t e in f e r io r e s t á c u b ie r ta c o n y eso . A d e m á s , u n m u r o de
ta b iq u e s d e c o n c re to lig ero s ó lid o d e 8 p ie s d e a ltu r a y 12 p u lg d e e sp e so r,
s e e n c u e n tr a d ir e c ta m e n te s o b r e e l a la s u p e r io r d e la v ig a . D e te rm in e la
c a r g a e n la viga m e d id a p o r c a d a p ie d e lo n g itu d d e la viga.
S O L U C IÓ N
U s a n d o lo s d a t o s d e la s ta b la s 1-2 y 1-3, s e o b ti e n e :
L o s a d e c o n c r e t o : ( 8 l b / ( p i e ? • p u l g ) ) ( 4 p u l g ) ( 6 p i e s ) = 1 9 2 l b / p i e
Y e s o d e l l e c h o : ( 5 l b / p i e 2) ( 6 p i e s ) — 3 0 l b / p i c
M u r o d e t a b i q u e s : (1 0 5 l b / p i e 3) ( 8 p i e s ) ( 1 p i e ) - 8 4 0 I b /p i e
C a r g a t o t a l 10 6 2 I b / p i e - 1 .0 6 k / p i e
R esp.
A q u í la u n id a d k s ig n ific a " k i p ” , q u e s im b o liz a k ilo lib ra s . P b r lo ta n to .
1 k = 1000 Ib.
L a c a r g a v iv a s o b r e e l p i s o d e e s t e s a l ó n d e
c l a s e s c o n s i s t e e n l o s e s c r i t o r i o s , l a s s i l l a s y
e l e q u i p o d e l a b o r a t o r i o . P a r a e l d i s e ñ o , la
N o r m a A S C E 7 - 1 0 e s p e c i f i c a u n a c a r g a d e
4 0 p s f o 1 .9 2 k N / m 2.
Cargas vivas. L a s carg a s v iv a s p u e d e n v a r ia r ta n t o e n s u m a g n itu d
c o m o e n s u u b ic a c ió n . L a s p u e d e c a u s a r e l p e s o d e o b je to s c o lo c a d o s
p ro v is io n a lm e n te s o b r e u n a e s t r u c tu r a , v e h íc u lo s e n m o v im ie n to o f u e r ­
z a s n a tu r a le s . L a s c a r g a s v iv a s m ín im a s e s p e c ific a d a s e n lo s c ó d ig o s se
d e te r m in a n c o n b a s e e n el e s t u d io d e la h is to r ia d e su s e f e c to s s o b r e e s ­
tr u c tu r a s e x is te n te s . P o r lo g e n e ra l e s t a s c a rg a s in c lu y e n u n a p r o te c c ió n
a d ic io n a l c o n t r a u n a d e f o r m a c ió n e x c e s iv a o s o b r e c a r g a r e p e n t in a . E n el
c a p ítu lo 6 s e d e s a r r o ll a r á n té c n ic a s p a r a e s p e c if ic a r l a u b ic a c ió n a d e ­
c u a d a d e la s c a r g a s v iv a s s o b r e la e s t r u c tu r a , d e f o r m a q u e c a u s e n el
m a y o r e s f u e rz o o d e f le x ió n d e lo s e le m e n to s . A c o n tin u a c ió n s e a n a li z a ­
r á n lo s d is tin to s ti p o s d e c a r g a s vivas.
Cargas en e dificios. S e s u p o n e q u e lo s p iso s d e lo s e d ific io s e s t á n
s o m e tid o s a carg a s v iv a s u n ifo r m e s q u e d e p e n d e r á n d e la f in a lid a d p a r a
la c u a l s e d is e ñ ó e l e d if ic io . P o r lo g e n e r a l e s t a s c a r g a s s e e n c u e n t r a n
ta b u la d a s e n lo s c ó d ig o s lo c a le s , e s ta ta le s o n a c io n a le s. E n la ta b l a 1-4 se
p r e s e n ta u n a m u e s tr a r e p r e s e n ta tiv a d e carg a s v iv a s m ín im a s ,l a s c u a le s
s e to m a r o n d e la N o r m a A S C E 7 -1 0 . L os v a lo r e s s e d e te r m i n a n a p a r t i r
d e d a to s h is tó ric o s d e la s c a r g a s a p lic a d a s a d is ti n to s e d ific io s . L a s c a rg a s
m ín im a s in c lu y e n a lg ú n tip o d e p r o te c c ió n c o n t r a la p o s ib ilid a d d e s o ­
b r e c a r g a d e b i d o a s itu a c io n e s d e e m e r g e n c ia , c a r g a s d e c o n s tr u c c ió n y
lo s r e q u is ito s d e u tilid a d d e b i d o a la v ib ra c ió n . A d e m á s d e las c a r g a s u n i ­
fo rm e s . a lg u n o s c ó d ig o s e s p e c if ic a n carg a s v iv a s c o n c e n tr a d a s m ín im a s ,
o c a s io n a d a s p o r c a r r o s m a n u a le s , a u to m ó v ile s , e t c é t e r a , q u e ta m b ié n
d e b e n a p lic a rs e e n c u a lq u ie r p u n t o d e l s is te m a d e l p iso . P o r e je m p lo , e n
e l d is e ñ o d e u n e s ta c io n a m ie n to p a r a a u to m ó v ile s s e d e b e n c o n s i d e r a r
ta n t o la s c a r g a s v iv a s u n if o r m e s c o m o la s c o n c e n tra d a s .

35. 1.3 CA3GAS 1 3
T A B L A 1 - 4 C a r g a s v iv a s m ín im a s
C a rg a viva C a rg a viva
O cu p a c ió n o u so p sf k N /m 2 O cu p a c ió n o u so p sf k N /m 2
Z o n as d e reunión y te a tro s R esidencial
A sientos fijos 60 2.87 V iviendas (d e u n a y d o s fam ilias) 40 1.92
A sientos m óviles 100 4.79 H o teles y casas m ultifam iliarcs
E stacionam ientos (vehículos50 2.40 H abitaciones p riv ad as y pasillos 40 1.92
d e p asajero s so lam en te)
Edificios d e oficinas Salas públicas y pasillos 100 4.79
Vestíbulos 100 4.79 Escuelas
O ficinas 50 2.40 Salones d e clase 40 1.92
A lm acén Pasillos p o r encim a d e la p rim e ra planta 80 3.83
Ligero 125 6.00
ftisado 250 11.97
'R e p ro d u c id o con p e rm iso d e M m O num D ettgn l.o a d s f o r fíu ild m g s a n d O d itr S tr u a u rr i. A SC F/SF1 7-10 ( C a r g u d e diserto mínim as p a r a edificios y olraa
e s t r u c t u r a s . A S C E ^ S E I 7-10).
P a r a a lg u n o s tip o s d e e d ific io s q u e ti e n e n p iso s c o n á r e a s m u y g r a n d e s
m u c h o s c ó d ig o s p e r m itir á n u n a r e d u c c ió n d e la c a r g a v iv a u n if o r m e p a ra
e l p is o,p u e s t o q u e e s p o c o p r o b a b le q u e la c a rg a v iv a p r e s c r it a o c u r r a s i­
m u ltá n e a m e n te e n to d a la e s t r u c tu r a e n a lg ú n m o m e n to . P o r e je m p lo .
A S C E 7 -1 0 p e r m i t e u n a r e d u c c ió n d e la c a rg a v iv a s o b r e u n e le m e n to
q u e te n g a u n área d e in flu e n c ia ( K /j. At) d e 4 0 0 p i e s 2 (3 7 .2 n r ) o m ás.
E s ta c a r g a v iv a r e d u c id a s e c a lc u la e m p l e a n d o la s ig u ie n te e c u a c ió n :
( U n id a d e s P L S )
L - L0(o.25 +
' Vk u at )
( U n id a d e s S I)
d - 1 )
d o n d e
L = c a rg a v iv a d e d is e ñ o r e d u c id a p o r p ie c u a d r a d o o m e tr o
c u a d r a d o d e á r e a s o s te n id a p o r e l e le m e n to .
L 0 = c a rg a v iv a d e d is e ñ o s i n r e d u c i r p o r p i e c u a d r a d o o m e t r o c u a ­
d r a d o d e á r e a s o s te n id a p o r e l e le m e n to ( v e a la ta b l a 1-4).
K , , = f a c to r d e la c a r g a v iv a d e l e le m e n to . P a r a c o lu m n a s in te r io r e s .
K l l ~ 4.
At = á r e a tr ib u t a r ia e n p ie s c u a d r a d o s o m e tro s c u a d ra d o s .*
1.a c a r g a v iv a re d u c id a d e f in id a m e d i a n te la e c u a c ió n 1-1 s e lim ita a n o
m e n o s d e l 5 0 % d e L „ p a r a e le m e n to s q u e s o s tie n e n u n p is o , o n o m e n o s
d e l 4 0 % d e L„ p a ra e le m e n to s q u e s o p o r ta n m á s d e u n p is o . N o s e p e r ­
m ite la re d u c c ió n p a r a c a rg a s q u e e x c e d a n 100 Ib /p ie 2 (4 .7 9 k N /m ?). o
p a ra e s t r u c tu r a s q u e s e u tilic e n e n s itio s d e r e u n i ó n p ú b lic o s , e s t a c io n a ­
m ie n to s o te c h o s . E n e l e je m p lo 1-2 s e il u s t r a u n a a p lic a c ió n d e la e c u a ­
c ió n 1-1.
•En la sección 2-1 se proporcionan ejemplos específicos de la determinación de áreas tri­
butarias para vigas y columnas.

36. 1 4 Ca p i t u l o 1 T i p o s d e e s t r u c t u r a s y c a r g a s
E n ia f o to g r a f ía s e m u e s tr a u n e d if ic io d e o fic in a s d e d o s p is o s q u e
tie n e c o lu m n a s in te r io r e s s e p a r a d a s p o r 2 2 p ie s d e d is ta n c ia e n d o s
S O L U C IÓ N
C o m o s e m u e s tr a e n la fig u ra 1-9, c a d a c o lu m n a in t e r i o r tie n e u n á r e a
tr ib u t a r ia o á r e a c a r g a d a e fe c tiv a d e A r - (22 p ie s ) ( 2 2 p ie s ) - 484
p ie s 2. P o r lo ta n t o , u n a c o lu m n a d e la p l a n t a b a ja s o p o r ta u n a c a rg a
viva e n e l t e c h o d e
F „ = (2 0 l b / p i e 2)( 4 8 4 p ie s 2) = 9 6 8 0 Ib = 9 .6 8 k
E s ta c a r g a n o p u e d e r e d u c ir s e p o r q u e n o e s u n a c a rg a e n e l p iso . P a r a
e l s e g u n d o p is o , la c a rg a v iv a s e to m a d e l a t a b l a 1-4: L a = 50 Ib /p ie 2.
C o m o K I L = 4 , e n to n c e s AA T = 4 (4 8 4 p ie s 2) = 1936 p ie s 2 y 1 9 3 6 p ie s 2
> 4 0 0 p ie s 2, l a c a r g a v iv a p u e d e re d u c irs e m e d i a n te la e c u a c ió n 1.1.
ft> r lo ta n t o ,
A q u í, la re d u c c ió n d e la c a rg a e s (2 9 .5 5 /5 0 )1 0 0 % = 5 9 .1 % > 5 0 % .
M u y b ie n ! l\> r lo ta n t o ,
Ff = (2 9 .5 5 lb / p ie 2)( 4 8 4 p ie s 2) = 1 4 3 0 0 1 b = 14.3 k
E n to n c e s , la c a r g a v iv a to t a l s o p o r ta d a p o r la c o lu m n a d e la p la n ta
b a ja es.
d ir e c c io n e s p e r p e n d i c u la r e s S i la c a r g a d e l te c h o ( p la n o ) e s d e 2 0
Ib /p ie 2, d e te r m i n e la c a rg a viva r e d u c id a q u e s o p o r ta u n a c o lu m n a
in te r io r típ ic a s i tu a d a a n iv e l d e l p iso .
2 2 p ie s
X X
I— 2 2 p i e s - 4 - 2 2 p i e s — |
H guni 1-9
F = F ff + F F = 9 .6 8 k + 14.3 k = 2 4 .0 k R esp.

37. 1 . 3 Ca r g a s 1 5
Cargas en puentes carreteros. L a s c a r g a s v iv a s p rin c ip a le s e n
lo s c la r o s d e u n p u e n te s o n la s o c a s io n a d a s p o r e l trá fic o , y la c a rg a m á s
p e s a d a d e v e h íc u lo s q u e p u e d e e n c o n tr a r s e e s la c a u s a d a p o r u n a s e r ie
d e c a m io n e s . L a s e s p e c ific a c io n e s p a r a la s c a rg a s d e c a m io n e s e n p u e n ­
te s c a r r e t e r o s s e r e g is tr a n e n la L R F D fir id g e D e sig n S p e c ific a tio n s (E s ­
p e c ific a c io n e s p a r a e l d is e rto d e p u e n te s ) d e la A m e r ic a n A s s o c ia tio n o f
S ta te a n d H ig h w a y IV a n sp o rta tio n O ffic ia ls ( A A S H T O ) . P a r a c a m io n e s
d e d o s e je s , e s t a s c a r g a s s e d e s ig n a n c o n u n a H . s e g u id a p o r e l p e s o d el
c a m ió n e n to n e la d a s y o t r o n ú m e r o q u e p ro p o r c io n a el a rto d e las e s p e c i­
fic a c io n e s e n e l c u a l se r e p o r tó la c a r g a . Ix>s p e s o s d e lo s c a m io n e s d e la
s e r i e H v a r ía n d e 10 a 2 0 to n e la d a s . S in e m b a r g o , lo s p u e n te s u b ic a d o s
e n la s p r in c ip a le s c a r r e t e r a s q u e lle v a n u n a g r a n c a n tid a d d e trá fic o , se
d is e rta n c o m ú n m e n te p a r a c a m io n e s d e d o s e je s m á s u n s e m ir r e m o lq u e
d e u n e je c o m o e l d e la fig u ra 1 -1 0 . É s ta s s e d e n o m in a n c a r g a s H S. P o r lo
g e n e r a l la s e le c c ió n d e u n a c a rg a d e c a m ió n p a r a u n d is e rto d e p e n d e d e l
tip o d e p u e n te , s u u b ic a c ió n y la c la s e d e tr á f ic o p re v is to .
E n la s e s p e c ific a c io n e s ta m b ié n se r e p o r t a e l ta m a r to d e l “ c a m ió n
e s t á n d a r " y la d is tr ib u c ió n d e s u p e so . A u n q u e s e s u p o n e q u e lo s c a m io ­
n e s e s t á n e n la a u to p i s t a , n o to d o s lo s c a r r ile s e n e l p u e n te d e b e n e s t a r
c a r g a d o s c o n u n a fila d e c a m io n e s p a r a o b t e n e r l a c a r g a c rític a , p u e s to
q u e u n a c a rg a s e m e ja n te s e r ía m u y im p r o b a b le . L o s d e ta l le s s e a n a liz a n
e n e l c a p ítu lo 6.
Cargas en puentes ferroviarios. L a s c a r g a s s o b r e p u e n t e s f e ­
rr o v ia rio s . c o m o e l d e l a fig u ra 1-11, s e r e p o r t a n e n la s S p e c ific a tio n s f o r
S te e l R a ilw a y B r id g e s (E s p e c ific a c io n e s p a r a p u e n te s f e r r o v ia r io s d e
a c e r o ) p u b lic a d a s p o r la A m e r ic a n R a ilro a d E n g in e e r s A s s o c ia tio n
( A R E A ) . N o r m a lm e n te , p a r a e l d is e rto s e u tiliz a n la s c a r g a s E c o m o la s
c o n c ib ió o r ig in a lm e n te T T ieo d o re C o o p e r e n 1894. D e s d e e n to n c e s . B.
S te in m a n n h a a c tu a liz a d o la d is tr ib u c ió n d e c a r g a s d e C o o p e r e id e a d o
u n a s e r i e d e c a r g a s M . a c tu a lm e n te a c e p ta d a s p a r a e l d iserto . D a d o q u e
las c a r g a s d e u n t r e n im p lic a n u n a s e r i e c o m p lic a d a d e fu e r e a s c o n c e n ­
tr a d a s p a r a s im p lific a r lo s c á lc u lo s m a n u a le s , e n o c a s io n e s s e u tiliz a n t a ­
b las y g rá f ic a s e n c o m b in a c ió n c o n lín e a s d e in f lu e n c ia p a r a o b t e n e r la
c a r g a c rític a . T a m b ié n s e u s a n p r o g r a m a s d e c o m p u ta c ió n p a r a e s te
p ro p ó s ito .
H gura 1-10

38. Ca p i t u l o 1 T i p o s d e e s t r u c t u r a s y c a r g a s
Cargas de im pacto. L o s v e h íc u lo s e n m o v im ie n to p u e d e n r e b o t a r
o d e s p la z a r s e l a t e r a l m e n t e m ie n tr a s a v a n z a n p o r u n p u e n te , p o r lo ta n t o
p u e d e n tr a n s m i ti r u n im p a c to a la c u b ie r ta . E l p o r c e n t a je d e a u m e n t o d e
la s c a r g a s v iv a s d e b id o a l im p a c to s e d e n o m i n a fa c to r d e im p a c to , I. P o r
lo g e n e r a l , e s te f a c t o r s e o b ti e n e d e fó r m u la s d e s a r r o lla d a s a p a r t i r d e la
e v id e n c ia e x p e r im e n ta l. P o r e je m p lo , p a r a p u e n te s c a r r e te r o s la s e s p e c i­
fic a c io n e s d e l a A A S H T O r e q u i e r e n q u e
/ = L + 12S p e r o n o m a y o r a 0.3
d o n d e L e s la lo n g itu d e n p ie s d e l c la r o q u e e s t á s o m e tid o a l a c a rg a viva.
E n a lg u n o s c a s o s ta m b ié n e s n e c e s a r io t o m a r p re v is io n e s p a r a la c a rg a
d e im p a c to s o b r e la e s t r u c tu r a d e u n e d ific io . P o r e je m p lo , la N o rm a
A S C E 7 -1 0 r e q u i e r e q u e e l p e s o d e la m a q u in a r ia d e lo s a s c e n s o r e s se
in c r e m e n te 1 0 0 % , y q u e la s c a r g a s s o b r e c u a le s q u ie r s o p o r te s u tiliz a d o s
p a ra s o s te n e r lo s p is o s y b a lc o n e s s e in c r e m e n te n 3 3 % .
Cargas del viento, c u a n d o la s e s t r u c tu r a s b lo q u e a n e l f lu jo d e l
v ie n to , la e n e r g ía c in é tic a d e l v ie n to s e c o n v ie r te e n e n e r g ía p o te n c i a l d e
p r e s ió n , la c u a l o c a s io n a u n a c a r g a d e v ie n to . E l e f e c to d e l v ie n to s o b r e
u n a e s t r u c tu r a d e p e n d e d e la d e n s id a d y l a v e lo c id a d d e l a ir e , e l á n g u lo
d e in c id e n c ia d e l v ie n to , la f o r m a y la rig id e z d e la e s t r u c t u r a y la ru g o s i­
d a d d e s u s u p e r f ic ie . P a r a p r o p ó s ito s d e d is e ñ o , las c a r g a s d e l v ie n t o p u e ­
d e n a b o r d a r s e m e d ia n te u n m é to d o e s tá tic o o d in á m ic o .
P a r a e l m é to d o e s tá tic o , la p r e s ió n f lu c tu a n te o c a s i o n a d a p o r u n v ie n to
q u e s o p l a c o a s ta n te m e n te s e a p r o x im a m e d i a n te u n a p r e s ió n d e v e lo c i­
d a d m e d ia q u e a c tú a s o b r e la e s tr u c tu r a . E s ta p r e s ió n q e s tá d e f in id a p o r
s u e n e r g ía c in é tic a , q = jp V '2. d o n d e p e s la d e n s i d a d d e l a i r e y V e s s u
v e lo c id a d . D e a c u e r d o c o n la N o r m a A S C E 7 -1 0 , e s t a e c u a c ió n s e m o d i­
fic a a fin d e t o m a r e n c u e n ta la im p o r ta n c ia d e la e s t r u c t u r a .s u a lt u r a , y
e l t e r r e n o e n q u e s e lo c a liz a . S e r e p r e s e n ta c o m o
q . = 0. m 5 6 K . K 3 K d V 2 ( l b / p i e 2)
q ; = Q.f>\2>K; K :, K d V 2 { N / m 1)
(1-2)
d o n d e
V = la v e lo c id a d e n m illa s p o r h o r a (m /s ) d e u n a r á f a g a d e v ie n to
d e 3 s e g u n d o s m e d id a a 3 3 p ie s (1 0 m ) d e l s u e lo . lx»s v a lo r e s
e s p e c ífic o s d e p e n d e n d e la “ c a te g o r ía " d e la e s t r u c tu r a o b te n i d a
a p a r t i r d e u n m a p a e ó lic o . P o r e je m p lo , a l in t e r i o r d e l te r r it o r i o

39. 1 . 3 Ca r g a s 1 7
L o s v i e n t o s d e u n h u r a c á n c a u s a r o n e s t o s d a t o s a u n c o n d o m i ­
n i o e n M i a m i . F l o r i d a .
c o n tin e n ta l d e E s ta d o s U n id o s s e r e p o r ta u n a v e lo c id a d d e l
v ie n to d e 105 m i/h ( 4 7 m /s ) s i l a e s t r u c t u r a e s u n e d if ic io d e u so
a g ríc o la o d e a lm a c e n a m ie n to , y a q u e u n a f a lla d e la e s t r u c tu r a
r e p r e s e n ta u n b a jo rie s g o p a r a la v id a h u m a n a . M a s e n e l c a s o d e
la e s t r u c tu r a d e u n h o s p ita l, l a v e lo c id a d d e l v ie n t o e s d e 120
m i/h (5 4 m /s), p u e s s u f a lla p o d r í a o c a s io n a r u n a im p o r ta n te
p é r d id a d e v id a s h u m a n a s .
K t = e l c o e f ic ie n te d e e x p o s ic ió n a la p r e s ió n d e la v e lo c id a d , la c u a l
e s u n a fu n c ió n d e la a lt u r a y d e p e n d e d e l te r r e n o . E n la ta b l a 1-5
se lis ta n lo s v a lo r e s d e u n a e s t r u c tu r a q u e s e e n c u e n t r a a t e r r e n o
a b ie r to , c o n o b s tr u c c io n e s b a ja s d is p e rs a s .
K ;, = u n f a c to r q u e to m a e n c u e n ta lo s a u m e n t o s d e l a v e lo c id a d d e l
v ie n to d e b i d o a c o lin a s y a c a n t i l a d o s P a r a e l t e r r e n o p la n o
K t l = 1.0.
K d = u n f a c to r q u e to m a e n c u e n ta la d ir e c c ió n d e l v ie n to . S e u s a s ó l o
c u a n d o la e s t r u c t u r a e s tá s o m e ti d a a c o m b in a c io n e s d e c a r g a s
(v e a la se c c ió n 1-4). C u a n d o e l v ie n t o a c t ú a p o r s í s o l o , K d ■ 1.0.
T A B L A 1 - 5 C o e f ic ie n t e d e e x p o s ic ió n ¡
a la p r e s ió n d e la v e lo c id a d p a r a
t e r r e n o s c o n o b s t r u c c io n e s b a ja s .
7
p i e s m
0-15 0 -4 .6 085
20 6.1 0 9 0
25 7.6 0 9 4
30 9.1 0 9 8
40 12.2 1.04
50 15.2 1.09

40. 1 8 C a p i t u l o 1 T i p o s d e e s t r u c t u r a s y c a r g a s
P re sió n d e d is e ñ o d e l v ie n to p a r a e d ific io s c e r r a d o s . U n a v e z q u e s e h a
o b te n id o e l v a lo r p a r a q t , s e p u e d e d e te r m i n a r la p r e s ió n d e d is e ñ o a
p a r t i r d e u n a li s t a d e la s e c u a c io n e s p e r t in e n t e s e s t ip u la d a s e n la N o rm a
A S C E 7 -1 0 . L a e le c c ió n d e p e n d e d e la fle x ib ilid a d y la a lt u r a d e la e s ­
t r u c tu r a , y s i e l d is e ñ o e s tá d ir ig id o a l s i s te m a p rin c ip a l p a r a la r e s is t e n ­
cia d e l v ie n to o p a r a lo s c o m p o n e n t e s d e la c o n s tr u c c ió n y el
r e v e s tim ie n to . P o r e je m p lo , m e d ia n te u n ‘• p ro c e d im ie n to d i r e c d o n a l " la
p r e s ió n d e l v ie n to s a b r é u n e d if ic io c e r r a d o d e c u a lq u ie r a lt u r a s e d e t e r ­
m in a a p a r t i r d e u n a e c u a c ió n d e d o s té r m in o s q u e r e s u lta d e la s p r e s i o ­
n e s ta n t o e x te r n a s c o m o in te r n a s , e s d e c ir .
P = <lGCP ~ R h iG C p i) d - 3 )
A q u í
q = q . p a ra e l m u r o e n b a r lo v e n to a la a l t u r a z s o b r e e l s u e lo
( e c u a c ió n 1- 2 ) , y < /= « //, p a r a e l m u ro e n s o ta v e n to , las
p a r e d e s la t e r a l e s y e l t e c h o ,d o n d e z = / i . l a a l t u r a m e d ia
cfel te c h o .
G = f e c to r d e l e f e c to d e la r á f a g a d e v ie n to , q u e d e p e n d e d e
la e x p o s ic ió n . P o r e je m p lo , p a r a u n a e s t r u c tu r a ríg id a .
G - 0.85.
Cp = c o e fic ie n te d e p r e s ió n d e u n a p a r e d o u n te c h o
d e te r m i n a d o a p a r t i r d e u n a ta b l a . E n la f ig u r a 1-12 se
p r e s e n ta n e s to s v a lo r e s ta b u l a d o s p a r a la s p a r e d e s y u n
p a s o d e l te c h o d e 0 = 10°. O b s e r v e e n la v is ta d e e le v a c ió n
q u e la p r e s ió n v a r ía c o n la a lt u r a e n e l la d o d e b a r l o v e n to
d e la c o n s tru c c ió n , m ie n tr a s q u e e n lo s la d o s r e s ta n te s y e n
el t e c h o se s u p o n e q u e la p r e s ió n e s c o n s t a n te . L o s v a lo r e s
n e g a tiv o s in d ic a n p r e s io n e s q u e a c tú a n f u e r a d e la
su p e rfic ie .
( G C p l) = el c o e f ic ie n te d e la p r e s ió n in te r n a , q u e d e p e n d e d e l tip o d e
a b e r t u r a s e n e l e d ific io . P a r a lo s e d if ic io s c o m p l e ta m e n te
c e r r a d o s (G C p í) = ± (1 1 8 . A q u í lo s s ig n o s in d ic a n q u e
efen tro d e l e d if ic io p u e d e o c u r r i r p r e s ió n p o s itiv a o n e g a tiv a
(s u c c ió n ).
A l a p li c a r l a e c u a c ió n 1-3 im p lic a r á c á lc u lo s d e la s p r e s io n e s d e l v ie n to
d e c a d a la d o d e l e d ific io , c o n la s d e b id a s c o n s id e r a c io n e s p a r a la p o s ib i­
lid a d d e p r e s io n e s p o s itiv a s o n e g a tiv a s q u e a c tú a n s o b r e e l in t e r i o r d e l
ed ificio .
E l v i e n t o q u e s o p l a s o b r e u n m u r o t e n d e r á a
v o l t e a r u n e d i f i c i o o h a c e r q u e s e la d e e . P a r a
e v i t a r e s t o , l o s i n g e n i e r o s s u e l e n u s a r a r r i o s ­
t r a m i e n t e s c r u z a d o s p a r a p r o p o r c i o n a r e s ­
t a b i l i d a d . V e a t a m b i é n la p á g i n a 4 6 .

41. 1 . 3 Ca r g a s 19
«fcG C,
S u p e r f ic i eL / B U s o c o n
P a r e d e n T o d o s 0 .8 í i
b a r l o v e n t o l a s v a lo r e s
P a r e d e n
0 - 1 - 0 3
s o t a v e n t o
2 - 0 3 •b,
S 4 - 0 2
P a r e d e s
l a te r a le s
T o d o s
l e s v a lo r e s
- 0 . 7 Qk
D ir e c c i ó n
d e l v i e n t o
Á n g u lo fí d e
b a r l o v e n t o
A n g u l o d e
s o t a v e n t o
h / L 10° 0 - 1 0 °
N o r m a l a la
c r e s t a
* 0 2 5
0 5
> 1 . 0
- 0 7
- 0 9
- L 3
- 0 3
- 0 3
- 0 . 7
C o e f i c i e n t e s d e p r e s i ó n s o b r e u n a p a r e d , C r
<•)
fig u ra 1-12
C o e f i c i e n t e s d e p r e s i ó n n e g a t iv o s
m á x im o s e n e l t e c h o . C r p a r a s u u s o c o n
(b>
P a r a e d ific io s d e g r a n a h u r a o a q u e llo s q u e ti e n e n u n a f o r m a o u n a
u b ic a c ió n q u e lo s h a c e s e n s ib le s a l v ie n to , s e r e c o m ie n d a e l u s o d e u n
m é to d o d in á m ic o p a ra d e t e r m i n a r la s c a rg a s d e l v ie n to . L a m e to d o lo g ía
p a ra h a c e r e s t o ta m b ié n s e in d ic a e n la N o rm a A S C E 7 -1 0 . É s ta im p lic a
p r u e b a s e n tú n e l d e v ie n to , la s c u a le s s e re a liz a n s o b r e u n m o d e lo a e s ­
c a la d e l e d if ic io y la s c o n s tru c c io n e s q u e lo r o d e a n , c o n e l f i n d e s im u la r
e l a m b i e n te n a tu r a l. L o s e f e c t o s d e la p r e s ió n d e l v ie n to s o b r e e l e d if ic io
p u e d e n d e te r m i n a r s e a p a r tir d e tr a n s d u c to r e s d e p r e s ió n c o n e c ta d o s al
m o d e lo . A d e m á s , si e l m o d e lo ti e n e c a r a c te r ís tic a s d e r ig id e z q u e s e e n ­
c u e n tr a n e n la e s c a la a d e c u a d a p a r a e l e d ific io , ta m b ié n p u e d e n d e t e r m i ­
n a rs e la s d e fle x io n e s d in á m ic a s d e l e d ific io .

42. 2 0 Ca p i t u l o 1 T i p o s d e e s t r u c t u r a s y c a r g a s
E JE M P LO 1 .3
E l e d if ic io c e r r a d o q u e se m u e s tr a e n la fo to g ra fía y e n l a fig u ra l- 1 3 a
s e u tiliz a c o n fin e s d e a lm a c e n a m ie n to y s e e n c u e n t r a e n la s a f u e r a s
d e C h ic a g o , ! l lin o is ,e n u n t e r r e n o p la n o y a b ie r to . Si e l v ie n to ti e n e la
d ire c c ió n q u e se m u e s tr a , d e te r m i n e la p r e s ió n d e l v ie n t o d e d is e ñ o
q u e a c tú a s o b r e e l te c h o y lo s la te r a le s d e l e d if ic io e m p l e a n d o la s
e s p e c ific a c io n e s A S C E 7 -1 0 .
S O L U C IÓ N
E n p r im e r lu g a r , la p r e s ió n d e l v ie n t o se d e t e r m i n a r á m e d i a n te la
e c u a c ió n 1-2. L a v e lo c id a d b á s ic a d e l v ie n t o e s V = 105 m i/h . p u e s t o
q u e e l e d if ic io se u tiliz a p a r a a lm a c e n a m ie n to . A d e m á s , p a r a u n
te r r e n o p la n o , K ¡, = 1.0. C o m o s ó lo se e s t á c o n s id e r a n d o la c a r g a d e l
v ie n to , K d = 1.0. P o r lo ta n t o ,
q z = 0 .0 0 2 5 6 K zK a K d V 2
= 0 .0 0 2 5 6 K r (1 .0 ) ( 1 .0 ) ( 1 0 5 ) 2
= 28 .2 2 K z
A p a r t i r d e la fig u ra 1-13 a , A ' = 75 t a n 10° = 13.22 p ie s d e m o d o q u e
la a ltu r a m e d ia d e l te c h o e s h “ 2 5 + 1 3 .2 2 /2 - 31.6 p i e s S i se
e m p l e a n lo s v a lo r e s d e K z d e la ta b l a 1.5. lo s v a lo r e s c a lc u la d o s d e l
p e rf il d e la p r e s ió n s e lis ta n e n la ta b l a d e la fig u ra 1 -1 3 6 . O b s e r v e q u e
e l v a lo r d e K : se d e te r m i n ó p o r in te r p o la c ió n lin e a l p a r a z = h , e s
d e c ir . (1 .0 4 0 .9 8 )/(4 0 - 3 0 ) = (1 .0 4 - K.) /( 4 0 - 3 1 .6 ), K . - 0.990.
d e m o d o q u e qh = 2 8 .2 2 (0 .9 9 0 ) = 2 7 .9 lib ra s p o r p ie c u a d r a d o (p s f ) .
P a r a a p lic a r la e c u a c i ó n 1 -3 , e l f a c t o r d e r á f a g a e s G = 0 .8 5 , y (G C pi)
= ± 0 .1 8 . P o r lo ta n to ,
P = 9G C P - q h(G C pi)
= <7(0.85)Cp - 2 7 .9 ( ± 0 .1 8 )
= 0 .8 5 ^ C P =F 5 .0 3 (1 )
L a s c a r g a s d e p r e s ió n s e o b ti e n e n a p a r tir d e e s ta e c u a c ió n c o n lo s v a ­
lo r e s c a lc u la d o s p a r a q . q u e se lis ta n e n l a ta b la d e la fig u ra 1 -1 3 6 ,d e
a c u e r d o c o n e l p e rf il d e la p r e s ió n d e l v ie n t o d e la fig u ra 1- 1 2 .
z(p ¡e s) K , q , (psf)
0-15 0.85 24.0
20 0.90 25.4
25 0.94 26.5
h = 31.6 0 9 90 27.9
(b)

43. P a r e d e n b a r lo v e n t o . A q u í la p r e s ió n v a r ía c o n la a l t u r a z p u e s to
q u e d e b e u s a r s e q zG C p. P a ra to d o s lo s v a lo r e s d e L / f í , C p = 0 .8 . p o r
b q u e a p a r t i r d e la e c u a c ió n ( 1 ) ,
P o - i s = 11.3 p s f o 2 1 .3 p s f
p ío = 12.2 p s f o 22.3 p s f
P25 = 13.0 p s f o 23.1 p s f
P a r e d e n s o t a v e n t o . A q u í l . / B = 2 ( 7 5 ) /1 5 0 = l . d e m o d o q u e Cp
= -0.5. A d e m á s ,«/ = q h p o r lo q u e a p a r t i r d e la e c u a c ió n ( 1 ) ,
p = - 1 6 . 9 p s f o - 6 8 4 p s f
P a r e d e s la t e r a le s . P a r a to d o s lo s v a lo r e s d e L / B . Cp = 0.7, y c o m o
d e b e u tiliz a r s e q = q h. e n la e c u a c ió n ( 1 ) , s e tie n e
p = - 2 1 . 6 p s f o - 1 1 . 6 p s f
T e c h o e n b a r l o v e n t o . A q u í h / L = 3 1 .6 /2 ( 7 5 ) = 0.211 < 0 .2 5 , p o r
b q u e C p = - 0 . 7 y q = q h. P o r lo ta n to ,
p = - 2 1 . 6 p s f o - 11.6 p s f
T e c h o e n s o t a v e n t o . E n e s t e c a s o , C p = - 0 . 3 ; p o r lo ta n t o , c o n
q = qh se o b ti e n e
p = - 1 2 .2 p s f o - 2 0 9 p s f
E s to s d o s c o n ju n t o s d e c a r g a s s e m u e s tr a n e n la e le v a c ió n d e l e d ific io ,
b q u e r e p r e s e n ta u n a p r e s ió n in te r n a e n e l e d if ic io p o s itiv a o n e g a ­
tiv a (s u c c ió n ), fig u ra l- 1 3 c . L a e s tr u c tu r a p rin c ip a l d e la c o n s tru c c ió n
d e b e r e s is t ir e s t a s c a r g a s ; lo m is m o o c u r r e c o n las c a r g a s p o r s e p a r a d o
c a lc u la d a s a p a r tir d e l v ie n t o q u e s o p la e n la p a r t e d e l a n t e r a o la t r a ­
s e r a d e l e d ific io .
(c)

44. Ca p i t u l o 1 T i p o s d e e s t r u c t u r a s y c a r g a s
P re sió n d e l v ie n to d e d is e ñ o p a r a e sp e c ta c u la r e s. Si la e s t r u c tu r a r e p r e ­
s e n t a u n e s p e c ta c u la r , e l v ie n t o p r o d u c e u n a f u e r z a r e s u lta n t e q u e a c tú a
s o b r e la c a r a d e l a e s t r u c t u r a y q u e s e d e te r m i n a a p a r t i r d e
F = q hG C f A , ( 1 - 4 )
A q u í
q h = la p r e s ió n d e l v ie n to e v a lu a d a a l a a l t u r a h , m e d id a d e s d e e l s u e lo
h a s ta la p a r t e s u p e r io r d e l e s p e c ta c u la r .
G = la c to r d e l c o e f ic ie n te d e r á f a g a d e v ie n to y a d e f in id a a n te s .
C f = u n c o e f ic ie n te d e f u e r z a q u e d e p e n d e d e la re la c ió n d e a s p e c to
( a n c h o B d e l e s p e c t a c u la r s o b r e s u a l t u r a s \ y la re la c ió n d e á r e a
S b re ( a l t u r a s d e l e s p e c t a c u la r s o b r e la e le v a c ió n h , m e d id a d e s d e
d s u e l o h a s t a la p a r t e s u p e r io r d e la e s t r u c tu r a ) . P a r a lo s c a s o s e n
q u e e l v ie n t o se d ir ig e e n f o r m a n o r m a l h a c ia e l c e n t r o d e l e s p e c ­
ta c u la r. p a r a B / s ■= 4 . lo s v a lo r e s se lis ta n e n la ta b l a 1.6.
A , = d á r e a d e la c a r a d e l e s p e c t a c u la r e n p ie s 2 (m 2).
T A B L A 1 - 6 C o e f íd e n t e s d e f u e r z a
p a r a e s p e c t a c u la r e s s ó lid o s p o r
I e n c im a d e l s u e lo , C f
s / h Cf
1 1.35
0.9 1.45
0.5 1.70
0.2 1.80
£ 0 .1 6 1.85
P a r a p e r m itir la s d ir e c c io n e s n o r m a l y o b lic u a d e l v ie n to , s e s u p o n e
q u e la f u e r z a r e s u lta n te c a lc u la d a a c tú a y a s e a a tr a v é s d e l c e n tr o g e o ­
m é tr ic o d e la c a r a d e la s e ñ a l , o e n o t r o s lu g a r e s e s p e d f i c o s e n la c a r a d e
la s e ñ a l, lo s c u a le s d e p e n d e n d e la s r e l a c io n e s s / h y B / s .
w
\ I l o s v i e n t o s h u r a c a n a d o s q u e a c t ú a n s o b r e
la c a r a d e e s t e e s p e c t a c u l a r s o n l o b a s t a n t e
I f u e r t e s c o m o p a r a d o b l a r n o t a b l e m e n t e
lo s d o s b r a z o s d e s o p o r t e y o c a s i o n a r la
f l u e n c i a d e l m a t e r i a l . E s t o p u d o e v i t a r s e
M . f l l a • * c o n u n d i s e ñ o a d e c u a d o .

45. 1 . 3 Ca r g a s 2 3
Cargas de nieve. E n a lg u n a s p a r t e s d e E s ta d o s U n id o s la c a rg a
s o b r e e l te c h o d e b i d a a la n ie v e p u e d e s e r m u y g r a v e ; p o r lo ta n to , p r o t e ­
g e r e l te c h o c o n t r a p o s ib le s fa lla s e s u n a p re o c u p a c ió n p r im o r d ia l. R »r lo
c o m ú n , la s c a r g a s d e d is e rto d e p e n d e n d e la f o r m a g e n e r a l d e la c o n s ­
tr u c c ió n y la g e o m e tr ía d e l te c h o , la e x p o s ic ió n a l v ie n to , la u b ic a c ió n , s u
im p o rta n c ia , y s i s e u s a o n o c a le fa c c ió n . D e l m is m o m o d o q u e p a r a e l
v ie n to , e n la N o r m a A S C E 7 -1 0 se d e t e r m i n a n la s c a r g a s d e la n i e v e ,p o r
lo g e n e r a l a p a r t i r d e u n m a p a d e la z o n a c o n lo s r e p o r te s d e lo s p e r io d o s
d e r e c u r r e n c ia d e la p r o f u n d id a d e x tr e m a d e la n ie v e e n u n p e r i o d o d e
5 0 artos. P o r e je m p lo , e n la e x te n s ió n r e la tiv a m e n te p la n a a lo la r g o d e la
se c c ió n m e d ia d e Illin o is e In d ia n a , la c a rg a d e la n ie v e d e l s u e lo e s d e 2 0
l b / p i e 2 (0 .9 6 k N / m 2). S in e m b a r g o , p a r a e l á r e a d e M o n t a n a s e r e q u ie r e n
e s tu d io s s o b r e lo s c a s o s e sp e c ífic o s d e la s c a r g a s d e n ie v e d e b i d o a la e l e ­
v a c ió n v a ria b le d e l t e r r e n o e n to d o e l e s ta d o . L a s e s p e c ific a c io n e s p a r a
las c a r g a s d e n ie v e se c u b r e n e n l a N o r m a A S C E 7 -1 0 , a u n q u e n o h a y
n in g ú n c ó d ig o q u e p u e d a c u b r i r t o d a s la s im p lic a c io n e s d e e s t e tip o d e
c a rg a .
Si u n t e c h o e s p la n o , d e f i n id o c o m o u n te c h o c o n u n a p e n d ie n t e m e n o r
a 5 % , e n to n c e s la c a r g a d e la p r e s ió n p u e d e o b te n e r s e m o d ific a n d o la
c a rg a d e l a n ie v e s o b r e e l s u e l o ,p g, m e d ia n te l a s i g u ie n t e f ó r m u la e m p í­
ric a
P f - 0 J C t C , I sp g ( 1 - 5 )
A q u í
C , = u n f a c t o r d e e x p o s ic ió n q u e d e p e n d e d e l te r r e n o . P o r e je m p lo , p a r a
un te c h o c o m p l e ta m e n te e x p u e s to e n u n á r e a d e s p e ja d a . C , = 0.8,
e n t a n t o q u e s i e l te c h o e s t á p r o t e g id o y s i tu a d o e n e l c e n tr o d e
u n a c iu d a d g r a n d e , C , = 1.2.
C , = un f a c t o r té r m ic o q u e s e r e f ie r e a la te m p e r a t u r a m e d ia d e n t r o d e l
e d ific io . P a r a la s e s t r u c tu r a s s in c a le fa c c ió n q u e s e m a n tie n e n p o r
d e b a jo d e c e r o g r a d o s , C , = 1.2, e n t a n t o q u e s i e l te c h o s o p o r ta
u n a e s t r u c t u r a q u e se s u e l e c a le n ta r .e n t o n c e s C , = 1.0.
/ , = d f a c t o r d e im p o r ta n c ia e n lo q u e r e s p e c ta a la o c u p a c ió n . P o r
e je m p lo , / , ■ 0 .8 0 p a r a in s ta la c io n e s d e d ic a d a s a la a g r ic u ltu r a y e l
a lm a c e n a m ie n to , / , ■ 1.20 p a r a e s c u e la s y h o s p ita le s .
S i p g s 2 0 lb /p ie 2 (0 .9 6 k N /m 2), u s e e l va lo r m a y o r p a r a pf, y a s e a c a lc u ­
la d a d e s d e la e c u a d ó n a n t e r i o r o a p a r tir d e p f = /«p^. S i p g > 2 0 lb /p ie 2
(0 .9 6 k N /m 2), u tilic e pf = 7,(20 lb /p ie 2).
L a s c a r g a s e x c e s i v a s d e l a n i e v e y e l h i e l o
actúan sobre este techo.

46. 2 4 Ca p i t u l o 1 T i p o s d e e s t r u c t u r a s y c a r g a s
E JE M P LO 1 .4
Figura 1-14
L a in s ta la c ió n d e a lm a c e n a m ie n to s i n c a le fa c c ió n q u e s e m u e s tr a e n
la fig u ra 1-14 s e lo c a liz a e n u n t e r r e n o p la n o y a b i e r t o e n e l s u r d e
Illin o is, d o n d e la c a r g a e s p e c ific a d a d e la n ie v e s o b r e e l s u e lo e s d e 15
lb /p ie ? . D e te r m in e la c a r g a d e n ie v e d e d is e ñ o s o b r e e l te c h o , e l c u a l
tie n e u n a p e n d ie n t e d e 4 % .
S O L U C IÓ N
C ó m o la p e n d ie n t e d e l te c h o e s < 5 % . s e u s a r á la
e c u a c ió n 1.5. A q u í . C f = 0 .8 d e b id o a q u e s e t r a t a d e
u n á r e a a b i e r t a , C , = 1 .2 e / , - 0.8. P o r lo ta n to .
p f = 0 .7 C fC , I tp g
= 0 .7 ( 0 .8 ) ( l .2 ) ( 0 .8 ) ( 1 5 I b /p ie 2) = 8 .0 6 I b /p ie 2
C o m o p g = 15 Ib /p ie 2 < 20 Ib /p ie 2, e n to n c e s ta m b ié n
p f = l p g = 1 .2 (1 5 lb / p ie 2) = 18 I b /p ie 2
I\>r c o m p a r a c ió n , e lija
P f = 18 I b /p ie 7 R esp.
m a s a c o n c e n t r a d a
d e l te c h o
m a s a c o n c e n t r a d a
d e l a s c o l u m n a s
Figura 1-15
Cargas de terre m o to . L o s te r r e m o t o s p r o d u c e n c a r g a s s o b r e
u n a e s t r u c tu r a a tr a v é s d e s u in t e r a c c ió n c o n e l s u e l o y la s c a ra c te rís tic a s
d e s u r e s p u e s ta . E s ta s c a r g a s r e s u lta n d e la d is to r s ió n d e la e s t r u c t u r a a
c a u s a d e l m o v im ie n to d e l s u e lo y la re s is te n c ia la t e r a l d e la e s tr u c tu r a .
S u m a g n itu d d e p e n d e d e la c a n tid a d y tip o d e a c e le r a c io n e s d e l s u e l o y
d e la m asa y la rig id e z d e la e s tru c tu ra . P a r a o b t e n e r a lg ú n c o n o c im ie n to de
la n a tu r a le z a d e la s c a r g a s s ís m ic a s ,c o n s id e r e e l m o d e lo e s t r u c t u r a l s im ­
p le q u e s e m u e s tr a e n la fig u ra 1-15. E s te m o d e lo p u e d e r e p r e s e n t a r u n
e d ific io d e u n a s o la p la n t a , d o n d e e l b lo q u e s u p e r io r e s la m a s a " c o n c e n ­
t r a d a " d e l te c h o y e l b lo q u e m e d io e s la rig id e z a g r u p a d a d e to d a s la s c o ­
lu m n a s d e l e d ific io . D u r a n te u n te r r e m o to e l s u e lo v ib r a t a n t o h o r iz o n ta l
c o m o v e r tic a lm e n te . L a s a c e le r a c io n e s h o r iz o n ta le s c r e a n fu e r z a s c o r ­
ta n t e s e n la c o lu m n a q u e p o n e n a l b lo q u e e n m o v im ie n to s e c u e n c ia ! c o n
e l s u e lo . Si la c o lu m n a e s ríg id a y e l b lo q u e tie n e u n a m a s a p e q u e ñ a , el
p e r i o d o d e v ib r a c ió n d e l b lo q u e s e r á c o r lo y e l b lo q u e s e a c e l e r a r á c o n
el m is m o m o v im ie n to q u e e l s u e l o y s u f r ir á s ó lo p e q u e ñ o s d e s p la z a m ie n ­
to s re la tiv o s . P a r a u n a e s t r u c tu r a re a l q u e e s t é d is e ñ a d a c o n u n a g r a n
c a n tid a d d e r e f u e rz o s y c o n e x io n e s ríg id a s e s t o p u e d e s e r b e n e fic io s o ,
p u e s to q u e s e d e s a r r o lla m e n o s e s f u e r z o e n lo s e le m e n to s . l\> r o t r o la d o ,
a la c o lu m n a d e la f ig u r a 1 -15 e s m u y fle x ib le y e l b l o q u e t i e n e u n a m a s a
g r a n d e , e n to n c e s e l m o v im ie n to in d u c id o p o r e l te r r e m o to c a u s a r á p e ­
q u e ñ a s a c e le r a c io n e s d e l b lo q u e y g r a n d e s d e s p la z a m ie n to s re la tiv o s .
E n la p r á c tic a , lo s e f e c to s d e la a c e le ra c ió n , la v e lo c id a d y e l d e s p la z a ­
m ie n to d e u n a e s t r u c t u r a s e p u e d e n d e te r m i n a r y r e p r e s e n ta r c o m o u n
e sp e c tro d e re s p u e sta a l te r r e m o to . U n a v e z q u e s e h a e s t a b le c i d o e s ta
g rá fic a , la s c a r g a s d e l te r r e m o to p u e d e n c a lc u la r s e a p lic a n d o u n a nálisis

47. 1 . 3 Ca r g a s 2 5
á n á m i c o b a s a d o e n la t e o r í a d e la d in á m ic a e s t r u c tu r a l. E s te tip o d e
a n á lisis e s t á g a n a n d o p o p u la r id a d , a u n q u e a v e c e s e s m u y e l a b o r a d o y
r e q u ie r e u tiliz a r u n a c o m p u t a d o r a . A ú n a s í , d ic h o a n á lis is r e s u lta o b li g a ­
to r io si la e s t r u c t u r a e s g r a n d e .
A lg u n o s c ó d ig o s r e q u ie r e n q u e s e p r e s te a te n c ió n e s p e c ífic a a l d is e ñ o
sísm ic o , e s p e c ia lm e n te e n la s z o n a s d e l p a ís ( E s t a d o s U n id o s ) d o n d e
p r e d o m in a n f u e r te s te r r e m o to s . A d e m á s , e s t a s c a r g a s d e b e n c o n s id e ­
r a r s e c o n g r a n s e r ie d a d e n e l d is e ñ o d e e d if ic io s d e g r a n a l t u r a o p la n t a s
d e e n e rg ía n u c le a r. A fin d e e v a lu a r la im p o r ta n c ia d e la c o n s id e ra c ió n
d e l d is e ñ o p a r a s ism o s , e s p o s ib le c o r r o b o r a r lo s m a p a s sísm ic o s d e a c e ­
le r a c ió n d e l s u e lo p u b lic a d o s e n la N o r m a A S C E 7 -1 0 . E s to s m a p a s p r o ­
p o r c io n a n la s a c e le r a c io n e s p ic o d e l s u e l o c a u s a d a s p o r a lg ú n te r r e m o to ,
j u n t o c o n lo s c o e f ic ie n te s d e rie s g o . L a s r e g io n e s d e E s ta d o s U n id o s
v a ría n d e s d e u n rie s g o b a jo , c o m o e n a lg u n a s p a r t e s d e T e x a s, h a s t a u n
rie sg o m u y a lto , c o m o a lo la r g o d e la c o s ta o e s t e d e C a lifo rn ia .
P a r a e s t r u c tu r a s p e q u e ñ a s , u n a n á lisis e stá tic o p a r a e l d is e ñ o sísm ic o
p u e d e r e s u l t a r s a tis f a c to r io . E n e s t e c a s o la s c a rg a s d in á m ic a s s e a p r o x i­
m a n m e d ia n te u n c o n ju n to d e fu e r z a s e stá tica s e x te r n a s q u e s e a p lic a n
d e m a n e r a la t e r a l a la e s tr u c tu r a . U n o d e e s t o s m é to d o s e s t á r e p o r ta d o
e n la N o r m a A S C E 7 -1 0 , y se b a s a e n e l h a lla z g o d e u n c o e fic ie n te d e
re s p u e s ta s ís m ic a , C . d e te r m i n a d o a p a r t i r d e las p r o p ie d a d e s d e l s u e lo ,
las a c e le ra c io n e s d e é s te y la r e s p u e s ta v ib r a to r i a d e la e s tr u c tu r a . P a r a la
m a y o r ía d e la s e s t r u c tu r a s , e s t e c o e f ic ie n te s e m u ltip lic a p o r la c a rg a
m u e r ta t o t a l W d e la e s t r u c tu r a , c o n lo q u e s e o b tie n e la " f u e r z a c o r ta n te
b a s a l" e n l a e s t r u c tu r a . E l v a lo r d e C , s e d e te r m in a r e a l m e n t e a p a r tir d e
C,
R / I e
d o n d e
S DS = la a c e le r a c ió n d e r e s p u e s ta e s p e c t r a l d u r a n t e c o r t o s p e r i o d o s d e
v ib ra c ió n .
R = u n f a c t o r d e m o d ific a c ió n d e la r e s p u e s ta q u e d e p e n d e d e la
fle x ib ilid a d d e la e s tr u c tu r a . L o s e le m e n to s d e u n m a r c o d e
a c e ro q u e s o n m u y fle x ib le s p u e d e n t e n e r u n v a lo r a l t o d e 8 . e n
ta n to q u e la s e s t r u c tu r a s d e c o n c r e to re f o r z a d o p u e d e n t e n e r u n
v a lo r b a jo d e 3.
I t = e l fa c to r d e im p o rta n c ia q u e d e p e n d e d e l u s o d e l ed ificio . P o r
e je m p lo , le = 1 p a r a las in s ta la c io n e s d e a g ric u ltu ra y a lm a c e n a ­
m ie n to , e I , = 1.5 p a ra lo s h o s p ita le s y o tr o s s e r v id o s esen ciales.
A c a d a n u e v a p u b lic a c ió n d e la N o r m a , lo s v a lo r e s d e e s to s c o e f ic ie n te s
s e a c tu a liz a n c o n lo s d a t o s m á s p r e c is o s d is p o n ib le s s o b r e la r e s p u e s ta al
te r r e m o to .
Presión hidrostá tica y g e o stá tica . Q i a n d o la s e s t r u c tu r a s se
u tiliz a n p a r a r e t e n e r a g u a , t i e r r a o m a te r ia le s g r a n u la r e s , la p r e s ió n d e s a ­
r r o lla d a p o r e s ta s c a r g a s se c o n v ie r te e n u n c r ite r io im p o r ta n te p a r a s u
d is e ñ o . A lg u n o s e je m p lo s d e e s t e tip o d e e s t r u c tu r a s s o n lo s ta n q u e s , la s
p re s a s, lo s b u q u e s , la s m a m p a r a s y lo s m u r o s d e c o n te n c ió n . A q u í s e a p l i ­
c a n la s le y e s d e la h id r o s tá tic a y la m e c á n ic a d e s u e lo s p a r a d e f in ir la in ­
te n s id a d d e la s c a rg a s s o b r e la e s tr u c tu r a .
E l d i s e ñ o d e e s t e m u r o d e c o n t e n c i ó n r e ­
q u i e r e la e s t i m a c i ó n d e la p r e s i ó n g e o s t á t i c a
q u e a c t ú a s o b r e é l . A d e m á s , l a c o m p u e r t a
d e s e g u r i d a d e s t a r á s u j e t a a u n a p r e s i ó n h i ­
d r o s t á t i c a q u e d e b e c o n s i d e r a r s e d u r a n t e s u
d i s e ñ o .

48. Ca p i t u l o 1 T i p o s d e e s t r u c t u r a s y c a r g a s
O tra s cargas naturales. E n e l d is e ñ o d e u n a e s t r u c t u r a ta m b ié n
d e b e n c o n s id e r a r s e o t r o s ti p o s d e c a r g a s v iv a s e n fu n c ió n d e s u u b ic a ­
c ió n o s u u so . É s to s in c lu y e n e l e f e c t o d e l a e r o s ió n , lo s c a m b io s d e t e m ­
p e r a t u r a y lo s a s e n ta m ie n to s d if e r e n c ia le s d e lo s c im ie n to s .
1 .4 Diseño estructural
C a d a v e z q u e s e d is e ñ e u n a e s t r u c t u r a , e s i m p o r t a n t e c o n s i d e r a r las
in c e r tid u m b r e s d e lo s m a te ria le s y la s c a rg a s . E s ta s in c e r tid u m b r e s in c lu ­
y e n u n a p o s ib le v a r ia b ilid a d e n la s p r o p ie d a d e s d e l m a te r ia l, la te n s ió n
r e s id u a l e n lo s m a te r ia le s , la s m e d id a s p r e v is ta s q u e p u e d e n s e r d i f e r e n ­
te s a lo s ta m a ñ o s p r e f a b r ic a d o s , la s c a r g a s d e b id a s a la s v ib r a c io n e s o im ­
p a c to s y la c o r r o s ió n o d e c a d e n c i a d e lo s m a te ria le s .
D E P . L os m é to d o s d e d is e ñ o p o r e s f u e r z o s p e rm is ib le s ( D E P ) in c lu ­
y e n ta n to la s in c e r ti d u m b r e s d e l m a te r ia l c o m o la s d e la s c a r g a s e n u n
s o l o f a c t o r d e s e g u r id a d . L os d if e r e n te s tip o s d e c a r g a s y a a n te s a n a li z a ­
d o s p u e d e n o c u r r i r s i m u l tá n e a m e n te e n u n a e s t r u c tu r a , p e r o e s m u y
p o c o p r o b a b le q u e e l m á x im o d e to d a s e s ta s c a r g a s o c u r r a a l m ism o
t i e m p o P o r e je m p lo , la s c a r g a s m á x im a s d e l v ie n t o y d e lo s s is m o s n o
s u e l e n a c tu a r d e f o r m a s i m u ltá n e a s o b r e u n a e s tr u c tu r a . P a r a e l d is e ñ o
p o r e s fu e r z o s p e r m is ib le s.^ I e s f u e r z o e lá s ti c o c a lc u la d o e n e l m a te r ia l n o
d e b e e x c e d e r e l e s f u e rz o a d m is ib le p a r a c a d a u n a d e las d i f e r e n t e s c o m ­
b in a c io n e s d e c a r g a . L a s c o m b in a c io n e s d e c a r g a m ás c o m u n e s q u e s e e s ­
p e c ific a n e n la N o r m a A S C E 7 -1 0 in c lu y e n
• c a rg a m u e r ta
• 0 .6 ( c a r g a m u e r t a ) + 0.6 ( c a r g a d e l v ie n to )
• 0 .6 ( c a r g a m u e r t a ) + 0.7 ( c a r g a sís m ic a )
D F C R . C ó m o la in c e r tid u m b r e p u e d e to m a rs e e n c u e n ta e m p l e a n d o
la te o r ía d e p r o b a b ilid a d , h a h a b id o u n a c r e c ie n te te n d e n c ia a s e p a r a r la
in c e r tid u m b r e d e l m a t e r i a l d e la in c e r tid u m b r e d e las c a rg a s . E s te m é ­
to d o se d e n o m i n a d is e ñ o p o r r e s iste n c ia o D F C R ( D is e ñ o p o r fa c to re s
d e c a r g a y d e re s is te n c ia ) . P o r e je m p lo , p a r a t e n e r e n c u e n ta la in c e r ti­
d u m b r e d e la s c a rg a s , e s t e m é to d o u tiliz a lo s f a c to r e s d e c a r g a a p lic a d o s
a la s c a r g a s o c o m b in a c io n e s d e é s ta s . D e a c u e r d o c o n l a N o r m a A S C E
7 -1 0 , a lg u n o s d e lo s f a c to r e s d e c a r g a y c o m b in a c io n e s d e é s t a s s o n
• 1.4 ( c a r g a m u e r ta )
• 1.2 ( c a r g a m u e r t a ) + 1.6 ( c a r g a v iv a ) + 0.5 ( c a r g a d e n ie v e )
• 0.9 ( c a r g a m u e r t a ) + LO ( c a r g a d e v ie n t o )
• 0 .9 ( c a r g a m u e r t a ) + 1.0 ( c a r g a sís m ic a )
E n to d o s e s to s c a s o s s e c o n s id e r a q u e la s c o m b in a c io n e s p r o p o r c io n a n
u n a c a rg a m á x im a p e r o r e a l s o b r e la e s tr u c tu r a .

49. 1.4 Disefco EsraucruRAi 2 7
PROBLEMAS
1-1. El piso de un edificio q u e se u s a p a ra e l alm acen a­
m iento d e e q u ip o p esad o e s d e lo sas de co n creto con 6 pulg
d e espesor. Si el piso e s u n a losa q u e tiene u n a lo n g itu d de
15 p ies y una an ch u ra d e 10 pies, d eterm in e la fuerza resul­
tante cau sad a p o r la carg a m u erta y la carg a viva.
1-2. E l p iso d el edificio de oficinas e s de c o n c re to ligero
con 4 p u lg de espesor. Si el p iso d e la oficina e s una losa con
una longitud d e 20 p ies y u n a an ch u ra d e 15 pies, d eterm in e
la fuerza re su ltan te cau sad a p o r la carg a m u erta y la carga
viva.
•1 -4 . La b arrera “ N ew Jersey " se usa com únm ente d u ­
ran te la construcción de carreteras. Si e stá hech a de c o n ­
creto de p ie d ra sim ple, d eterm in e su p eso p o r p ie de
longitud.
P ro h . 1-2
1-3. La viga e n T e stá hech a d e co n creto y tiene u n peso
específico d e 150 lb/pie3. D eterm in e la carg a m u e rta p o r pie
d e longitud d e la viga. N o considere e l peso del re fu e rz o de
acero.
1-5. El piso de u n a b o d e g a d e alm acenam iento ligero está
hecho de co n creto sim ple lig ero con 150 m m d e esp eso r. Si
e l piso e s u n a losa q u e tiene u n a lo n g itu d d e 7 m y una
anchura d e 3 m . d eterm in e la fuerza resultante cau sad a por
la carga m u e rta y la carg a viva.
l- ó . l a trab e d e co n creto prcesforzado e s d e c o n c re to de
piedra sim ple y tiene c u a tro varillas d e refu erzo d e ¿ pulg,
hechas d e acero form ado e n frío. D eterm in e la carga
m uerta d e la trab e p o rc a d a pie de s u longitud.
2 6 pulg
P un Pu l?4 p u lg
P r o h . 1 - 3 P r o h . 1 - 6

50. 2 8 Ca p i t u l o 1 T i p o s d e e s t r u c t u r a s y c a r g a s
1-7. l a p a ie d tiene 2.5 m d e altu ra y consta d e p u n tales
de 51 m m X 102 m m enyesados p o r un lado. E n e l o tr o lado
hay una lám in a d e fibra d e 13 m m y ladrillos d e arcilla de
102 mm. D eterm in e la carg a p ro m c d io .c n kN /m d e la longi­
tud d e la p a re d , q u e la p ared ejerce so b re e l suelo.
1-11. U n edificio d e oficinas d e c u a tro pisos tiene colum ­
n as in terio res se p arad as a 3 0 pies de distancia e n d o s d irec­
ciones perpendiculares. S i la carg a viva d e l te c h o p lan o se
estim a e n 3 0 Ib/pie7, d e te rm in e la carga viva reducida que
so p o rta u n a colum na in te rio r n o rm al ubicada a nivel del
suelo.
2 .5 m
*1-12. U na co n stru cció n p a ra alm acenam iento ligero de
dos p lan tas tiene colum nas in te rio re s se p a ra d a s a 12 p ies
de distancia e n d o s direcciones perpendiculares. Si se e s­
tima q u e la carg a viva so b re e l tech o e s d e 2 5 lb/pie?, d e te r­
mine la carg a viva reducida q u e so p o rta una colum na
interior norm al (a ) al nivel d e la p la n ta baja, y (b ) al nivel
d el se g u n d o piso.
1-13. E l edificio d e oficinas tiene colum nas interiores se ­
p aradas a 5 m en direcciones perpendiculares. D eterm in e la
carga viva reducida q u e so p o rta u n a colum na in te rio r n o r­
mal ubicad a e n e l p rim e r p iso d eb a jo d e las oficinas.
* 1 -8 . U n a p a re d d e u n edificio se c o m p o n e de p a red es de
en tram ad o e x te rio r con revestim iento d e ladrillo y 13 mm
de lám ina d e fib ra e n un lado. Si la p ared tiene 4 m d e al­
tu ra . d eterm in e la carg a en kN /m q u e ejerce so b re e l suelo.
1-9. La p ared in te rio r de u n edificio está hech a d e p u n ta­
les d e m ad era de 2 x 4. enyesados p o r am b o s lados. Si la
p ared tie n e 12 p ies d e altu ra, d e te rm in e la carg a e n Ib/pie de
longitud de la p ared q u e ejerce so b re e l suelo.
1-10. E l seg u n d o piso de u n edificio u sa d o p a ra la m anu­
factu ra ligera e stá h ech o d e u n a losa de c o n c re to d e 5 pulg
de esp eso r, con u n relleno de 4 p u lg d e co n creto sim ple,
com o se m uestra e n la figura. Si e l te c h o susp en d id o d e la
prim era p la n ta c o n sta d e m alla m etálica y yeso, d eterm in e
el p eso m u erto d e d iseñ o e n lib ras p o r p ie cu adrado del
área d e l piso. Proh. 1-13
Prob. 1-10
c e m e n t o d e rc D c n o
d e 4 p u l g
— lo s a d e c o n c r e t o
d e 5 p u lg
T e c h o
1-14. U n h o tel d e d o s pisos tiene co lu m n as interiores
p a ra las h ab itacio n es q u e e s tá n se p arad as a 6 m d e distancia
en d o s direcciones perpendiculares. D eterm in e la carg a viva
rcducida q u e so p o rta una co lu m n a in te rio r típica e n e l pri­
m e r piso d eb a jo d e las h abitaciones públicas.

51. 1.4 Disefco EsraucruRAi 2 9
1-15. E l viento so p la lateralm en te so b re u n hospital com ­
pletam ente c e rra d o q u e se ubica e n u n te r re n o a b ie rto y
plano en A rizona. D e te rm in e la presión e x te rn a q u e actúa
so b re la p ared e n b arlovento, la c u a l tiene u n a altu ra d e 30
pies. E l tech o e s plano.
1-17. U n edificio c e rra d o d e alm acenam iento se en cu en ­
tra so b re u n te rre n o a b ie rto y plano e n e l c e n tro d e O h io . Si
la p ared lateral d e l edificio tiene 20 p ies de altu ra, d e te r­
mine la p resió n e x te rn a d el viento q u e actúa so b re las p a re ­
d e s en b arlov ento y so tav en to . C ad a p a re d tiene 6 0 p ies de
largo. S uponga q u e e l techo e s esen cialm en te plano.
P ro h . 1-15
•1 -1 6 . E l viento sopla lateralm en te so b re u n h o sp ital
com pletam ente c e rra d o q u e se u b ica e n u n te r re n o ab ierto
y p la n o en A rizona. D eterm in e la p resió n e x te rn a q u e actúa
so b re la p a re d e n sotavento, la c u a l tiene u n a longitud de
200 p ies y u n a altu ra de 3 0 pies.
P ro h . 1-17
1-18. E l edificio m etálico d e alm acenam iento lig ero está
e n u n terren o a b ie rto y plano e n e l c e n tro de O k lah o m a. Si
la p ared la te ra l d el edificio tiene 14 p ies de altu ra, ¿cuáles
so n los d o s v alores d e la p re sió n e x te rn a d el viento q u e
actúa so b re e sta p ared cuando e l viento sopla so b re la p arte
trasera d el edificio? E l tech o e s esencialm ente p lan o y el
edificio e stá to ta lm e n te cerrad o .
P ro h . 1-16 P ro h . 1-18

52. 3 0 Ca p i t u l o 1 T i p o s d e e s t r u c t u r a s y c a r g a s
1-19. D eterm in e la f u e r a resultante q u e actúa e n form a
p e rp en d icu lar a la c a ra d el esp ectacu lar y a trav és d e su
c e n tro si se e n c u e n tra e n M ichigan so b re u n te rre n o plano y
ab ierto . E l esp e c ta c u la r e s rígido y tiene una an ch u ra d e 12
m e tro s y una altu ra d e 3 m. Su p arte su p e rio r e stá a 15 m del
suelo.
1-21. E l edificio d e la escu ela tiene u n tech o plano. Se e n ­
cu en tra e n u n á re a ab ierta d o n d e la carg a d e la n iev e so b re
el su e lo e s d e 0.68 kN /m 7. D eterm in e la carga d e n iev e que
se re q u iere p a ra d ise ñ a r e l techo.
P roh. 1-21
1-22. E l h o sp ital tiene u n techo p lan o y se u b ica e n una
zona a b ie rta d o n d e e l p eso d e la nieve so b re el suelo e s de
30 lb/piez. D eterm ine la carg a de n iev e d e d iseñ o p a ra el
techo.
Proh. 1-19
*1-20. U n hospital u b icad o e n e l c e n tro d e Illinois tiene
un tech o p lan o . D e te rm in e la carg a de n iev e e n kN /m 7 que
se re q u iere p a ra d ise ñ a r e l techo.
Proh. 1-22

53. Re p a s o d e l c a p i t u l o 3 1
REPASO DEL CAPÍTULO
L os e lem en to s estru ctu rales básicos son:
T ensores m e m e n to s delgados som etidos a tensión. A m en u d o se u san co m o soportes.
Vigas E lem en to s disertados p a ra resistir m o m e n to s d e flexión. S u e le n s e r fijos o articulados, y p u e d e n te n e r la form a de
una trab e d e p laca de acero, una viga d e co n creto refo rzad o o de m a d e ra lam inada.
C olum nas m e m e n to s q u e resisten u n a fu e rz a d e com p resió n axial. Si la colum na tam bién resiste flexión, se denom ina
colum na viga.
te n s o r
J E =
v ig a s im p le m e n t e a p o y a d a
v i g a e n v o la d iz o
$
c o l u m n a c o l u m n a d e s ig a
L os tipos de e stru c tu ra s co n sid erad as e n este libro s o n las arm aduras hechas d e e lem en to s d elg ad o s articulados, que
form an una serie d e triángulos; lo s cables y los arcos,q u e so stien en carg as d e tensión y com presión, respectivam ente, y los
m arcos q u e se co m p o n en d e vigas y colum nas co n ectad as e n fo rm a ríg id a o m ediante pasad o res.
Las cargas se especifican e n códigos, com o el código
A S C E 7-10. L as cargas m uertas so n fijas y se re fie re n a
los pesos d e elem entos y m ateriales. L as cargas vivas
so n m óviles y co n sisten e n carg as u n ifo rm es so b re los
pisos d e lo s edificios, las cargas d el tráfico y e l tren
so b re lo s puentes, las cargas de im pacto cau sad as p o r
autom óviles y m áquinas, las cargas d el viento, las
cargas d e la nieve, las carg as sísm icas y la presión
hid ro stática y geostática.

54. C on frecue ncia lo s e le m e n to s estructurales, c o m o la s v ig a s y tra b e s q u e fo r­
m an e l so p o rte d e este e d ific io , e stá n con ectad os e n tre s i de ta l m o d o q u e el
análisis p u e d e considerarse e stá tica m en te d e te rm in a d o .

55. Análisis de estructuras
estáticamente
determinadas
E n e l p r e s e n te c a p ít u lo s e p re s ta rá a te n c ió n a la fo r m a m á s c o m ú n d e
e s tru c tu ra q u e e l in g e n ie ro t e n d r á q u e a n a liz a r, la c u a l se e n c u e n t r a e n
u n p l a n o y e s tá s o m e t id a a u n s is te m a d e fu e rz a s q u e ta m b ié n p e r t e ­
n e c e a l m is m o p la n o . E n la p r im e r a p a r te d e l c a p ít u lo s e e s tu d ia r á la
im p o r ta n c ia d e e le g ir u n m o d e lo a p r o p ia d o d e a n á lis is p a r a u n a e s ­
tr u c tu ra e n la q u e s u s fu e rz a s p u e d e n d e te r m in a r s e c o n u n a p re c is ió n
ra z o n a b le ; d e s p u é s s e a n a liz a rá n lo s c r ite r io s n e c e s a rio s p a ra o b t e n e r
la e s ta b ilid a d e s tr u c tu r a l y, p o r ú ltim o , s e p r e s e n ta r á e l a n á lis is d e e s ­
tru c tu ra s e s tá tic a m e n te d e te r m in a d a s , p la n a s y a rtic u la d a s .
2 .1 Estructura idealizada
E l a n á lis is e x a c to d e u n a e s t r u c tu r a e s im p o s ib le d e r e a liz a r , d e b i d o a
q u e s i e m p r e h a y q u e r e a liz a r e s tim a c io n e s d e la s c a rg a s y la re s is te n c ia
d e lo s m a te ria le s q u e c o m p o n e n l a e s t r u c tu r a . A d e m á s , ta m b ié n d e b e n
e s tim a r s e lo s p u n to s d e a p lic a c ió n d e las c a r g a s P o r lo ta n t o , e n la p r á c ­
tic a e s im p o r ta n te q u e e l in g e n ie r o e s tr u c tu r a lis ta d e s a r r o ll e la c a p a c i­
d a d d e m o d e la r o id e a liz a r u n a e s t r u c tu r a a fin d e p o d e r e f e c tu a r u n
a n á lisis d e fu e r z a s d e lo s e le m e n to s . E n e s t a se c c ió n se d e s a r r o ll a r á n la s
té c n ic a s b á s ic a s n e c e s a r ia s p a r a lle v a r a c a b o ta le s id e a liz a c io n e s .

56. 3 4 C a p i t u l o 2 A n á l i s i s d e e s t r u c t u r a s e s t á t i c a m e n t e d e t e r m i n a d a s
O b s e r v e q u e la c u b i e r t a d e e s t e p u e n t e d e
c o n c r e t o e s t á h e c h a d e f o r m a q u e p u e d e c o n ­
s i d e r a r s e q u e u n a s e c c i ó n e s t á u n i d a i r c d i a n t e
u n s o p o r t e d e r o d i l l o s o b r e la o t r a s e c c ió n .
Conexiones de soporte (apoyo). L os e le m e n to s e s tr u c tu r a le s
s e u n e n d e d iv e r s a s m a n e r a s d e p e n d ie n d o d e l a in te n c ió n d e l d is e ñ a d o r .
L o s tr e s tip o s d e ju n t a s q u e s e e s p e c ific a n c o n m a y o r f r e c u e n c ia s o n la
j u n t a a r t i c u l a d a , e l s o p o r t e d e r o d i ll o y la j u n t a fija . L a s j u n t a s a r t i c u ­
la d a s y lo s s o p o r t e s d e r o d illo p e r m it e n c ie r ta li b e r t a d d e r o t a c ió n , e n
ta n t o q u e u n a ju n t a f ija n o p e r m it e l a r o ta c ió n r e la tiv a e n t r e lo s e l e m e n ­
to s c o n e c ta d o s y, e n c o n s e c u e n c i a .s u fa b r ic a c ió n e s m ás c o s to s a . E n las
fig u ra s 2-1 y 2 -2 se m u e s tr a n e je m p lo s d e e s t a s j u n t a s f o r m a d a s , r e s p e c ti­
v a m e n te , e n m e ta l y c o n c r e to . P a r a la m a y o r ía d e la s e s t r u c tu r a s d e m a ­
d e r a . s e s u p o n e q u e lo s e le m e n to s d e b e r á n s e r a r tic u la d o s y a q u e el
h e c h o d e a to r n illa r lo s o c la v a rlo s n o e s s u f ic ie n te p a r a r e s tr in g ir la r o t a ­
c ió n d e u n e le m e n to c o n r e s p e c to a lo s d e m á s .
E n la s fig u ra s 2 - 3 a y 2 3- b se m u e s tr a n m o d e lo s id e a liz a d o s q u e s e u s a n
e n e l a n á lis is e s t r u c tu r a l y q u e r e p r e s e n t a n s o p o r te s fijo s y a rtic u la d o s ,
a s í c o m o ju n t a s fija s y a rtic u la d a s . S in e m b a r g o , e n r e a lid a d to d a s la s c o ­
n e x io n e s m u e s tr a n c ie r ta rig id e z a la r o t a c ió n d e la s a rtic u la c io n e s , d e ­
b id o a la fr ic c ió n y a l c o m p o r ta m ie n to d e l m a te r ia l. E n e s te c a s o , u n
m o d e lo m á s a p r o p i a d o p a r a u n s o p o r te o j u n t a p o d r í a s e r e l q u e se
m u e s tr a e n la fig u ra 2 - 3 r . S i la c o n s ta n te t o r s io n a l d e r e s o r t e k = 0 , la
ju n t a e s a rtic u la d a , y s i k —* o o , la ju n t a e s fija .
c o n e x i ó n “ a r t i c u l a d a ” t í p i c a ( d e m e t a l )
( a )
1 0
I L i S -
c o n e x i ó n “ f i j a " t í p i c a ( d e m e t a l )
<ar
f i g u r a 2 - 1
f r
)
y
t
-------------------------------------------
c o n e x i ó n “ d e r o d i l l o ” t í p i c a ( d e c o n c r e t o )
( a )
c o n e x ó n “ f i j a ” t í p i c a ( d e c o n c r e t o )
( b )
fig u ra 2 -2

57. 2 . 1 Es t r u c t u r a i d e a l i z a d a 3 5
s o p o r t e a r t i c u l a d o j u n t a a r tic u la d a
( a )
s o p o r t e fijo j u n t a f i j a
s o p o r t e d e r e s o r t e a n g u l a r j u n t a d e r e s o r t e a n g u la r
( c )
F i g u r a 2 - 3
( b )
A l s e le c c io n a r u n m o d e lo c o n c r e to p a r a c a d a s o p o r te o j u n t a , e l in g e ­
n ie r o d e b e e s t a r c o n s c ie n te d e c ó m o a f e c t a r á n lo s s u p u e s to s e l d e s e m ­
p e ñ o r e a l d e lo s e le m e n to s y s i lo s s u p u e s to s s o n r a z o n a b le s p a r a e l
d is e rto e s tr u c tu r a l. P b r e je m p lo , c o n s id e r e la v ig a q u e s e m u e s tr a e n l a f i ­
g u ra 2 -4 * .l a c u a l s e u s a p a r a s o p o r ta r u n a c a rg a c o n c e n t r a d a P . L a c o n e ­
x ió n m e d ia n te á n g u lo s e n e l s o p o r t e A e s c o m o l a d e la f ig u r a 2 . l a y p o r
lo ta n t o p u e d e id e a liz a r s e c o m o u n s o p o r te a r tic u la d o típ ic o . A d e m á s , e l
s o p o r te e n H p ro p o r c io n a u n p u n t o a p r o x im a d o d e c o n ta c to liso , d e
m o d o q u e p u e d e id e a liz a r s e c o m o u n ro d illo . E l e s p e s o r d e la v ig a p u e ­
d e ig n o r a r s e , d a d o q u e e s p e q u e ñ o e n c o m p a r a c ió n c o n la lo n g itu d d e la
viga y, p o r lo t a n t o , e l m o d e lo id e a l iz a d o d e la v ig a e s c o m o s e m u e s tr a e n
la fig u ra 2 -4 6 . E l a n á lis is d e c a r g a s e n e s t a v ig a d e b e p r o p o r c io n a r r e s u l­
ta d o s q u e s e a p r o x im e n m u c h o a la s c a r g a s r e a le s e n la viga. P a r a d e m o s ­
tr a r q u e e l m o d e lo e s a d e c u a d o , c o n s id e r e e l c a s o p a r t ic u l a r d e u n a v ig a
d e a c e ro c o n P - 8 k (8 0 0 0 lib ra s ) y I . - 2 0 p ie s . U n a d e la s s im p lific a c io ­
n e s m ás im p o r t a n te s q u e se h ic ie r o n a q u í f u e s u p o n e r q u e e l s o p o r te e n
A e s u n a a r tic u la c ió n . E l d is e rto d e la v ig a u s a n d o e l c ó d ig o d e p r o c e d i ­
m ie n to s e s t á n d a r * in d ic a q u e u n a s e c c ió n W 1 0 X 19 s e r ía s u f ic ie n te p a ra
s o p o r ta r la c a r g a . A l u s a r u n o d e lo s m é to d o s d e d e f le x ió n d e l c a p ítu lo 8,
la r o t a c ió n e n e l s o p o r t e " a r ti c u la d o " p u e d e c a lc u la r s e c o m o 0 = 0.0103
r a d = 0 .5 9 °. C o n b a s e e n la fig u ra 2 -4 c . ta l r o t a c ió n s ó lo m u e v e e l p a tín
( a la ) s u p e r io r o in f e r io r a u n a d is ta n c ia d e A = Or = (0 .0 1 0 3 ra d )(5 .1 2
p u lg ) = 0 .0 5 2 8 p u lg a d a s ! S in d u d a , e s t a p e q u e ñ a c a n tid a d p u e d e in ­
c lu irs e a l fa b r ic a r l a c o n e x ió n c o m o s e m u e s tr a e n la fig u ra 2 - l a y ,p o r lo
ta n to , la a rtic u la c ió n s irv e c o m o u n m o d e lo a d e c u a d o .
v ig a r e a l
(a)
0 .0 5 2 8 p u l g
( c )
v ig a i d e a l i z a d a
( b )
Figura 2 -4
• C ó d i g o s c o m o e l M a n u a l d e C o n s i m c c i ó n e n a c e r o d e l A m e r i c a n I n s titu to o f S t e e l C o n s -
tr u c tio n .

58. 3 6 C a p i t u l o 2 A n á l i s i s d e e s t r u c t u r a s e s t á t i c a m e n t e d e t e r m i n a d a s
S o p o r t e o s c i l a n t e c o m ú n q u e s e u s a e n
u n a t r a b e d e p u e n t e .
L o s r o d i l l o s y l o s c o j i n e t e s a s o c i a d o s s e
u s a n p a r a s o s t e n e r l a s t r a b e s d e c o n ­
c r e t o p r e s f o r z a d o d e u n p u e n t e c a r r e ­
t e r o .
E n l a ta b l a 2 -1 , s e m u e s tr a n o t r o s tip o s d e c o n e x io n e s c o m ú n m e n te
p r e s e n te s e n las e s t r u c tu r a s c o p la n a r e s . E s im p o r ta n te te n e r la c a p a c id a d
d e r e c o n o c e r lo s s ím b o lo s d e e s t a s c o n e x io n e s y lo s ti p o s d e r e a c c io n e s
q u e e je r c e n s o b r e lo s e le m e n to s a lo s q u e s e e n c u e n t r a n u n id a s . E s to
p u e d e h a c e r s e fá c ilm e n te s i s e o b s e r v a la fo r m a e n q u e la c o n e x ió n res­
tr in g e c u a lq u ie r g r a d o d e li b e r t a d o d e s p la z a m ie n to d e lo s e le m e n to s . E n
p a r tic u la r , e l s o p o r te d e s a r r o ll a r á u n a fu e r z a s o b r e e l e le m e n to s i e v ita s u
tr a sla c ió n y d e s a r r o ll a r á u n m o m e n t o s o b r e e l e le m e n to s i e v ita s u r o ta ­
c ió n . P o r e je m p lo , e n e l c a s o d e u n e le m e n to q u e e s t á e n c o n ta c to c o n
u n a s u p e r fic ie lis a (3 ) s e im p id e s u tr a s la c ió n e n u n a s o la d ir e c c ió n , la
c u a l e s p e r p e n d i c u la r o n o r m a l a l a s u p e r fic ie . P o r l o ta n t o , la s u p e r fic ie
e je r c e s ó l o u n a fu e r z a n o r m a l F s o b r e e l e le m e n to e n e s a d ir e c c ió n . L a
m a g n itu d d e e s t a f u e r z a r e p r e s e n t a u n a in c ó g n ita . A d e m á s , o b s e r v e q u e
e l e le m e n to e s lib r e d e g ir a r s o b r e la s u p e r fic ie , d e m o d o q u e é s t a n o
p u e d e d e s a r r o ll a r u n m o m e n to s o b r e e l e le m e n to . C o n s id e r e o t r o e je m ­
p lo e n e l q u e e l s o p o r te fijo (7 ) im p id e ta n to la tr a s la c ió n c o m o la r o t a ­
c ió n d e u n e le m e n to e n e l p u n to d e c o n e x ió n . E n c o n s e c u e n c i a ,e s t e tip o
d e s o p o r te e je r c e d o s c o m p o n e n t e s d e f u e r z a y u n m o m e n to s o b r e e l e l e ­
m e n to . E l “ g ir o " d e l m o m e n to s e e n c u e n t r a e n e l p la n o d e la p á g in a ,
d a d o q u e la r o t a c ió n s e e v ita e n e s e p la n o . P o r c o n s ig u ie n te , e n u n s o ­
p o r t e fijo h a y tres in c ó g n ita s .
E n la p r á c tic a , to d o s lo s s o p o r te s e je r c e n r e a lm e n te carg a s su p e r fic ia le s
d is tr ib u id a s s o b r e lo s e le m e n to s c o n q u e e s t á n e n c o n ta c to . l>as f u e r z a s y
m o m e n to s c o n c e n t r a d o s q u e se m u e s tr a n e n la ta b la 2-1 r e p r e s e n ta n las
re su lta n te s d e e s t a s d is tr ib u c io n e s d e c a r g a . P o r s u p u e s to , e s t a r e p r e s e n ­
ta c ió n e s u n a id e a liz a c ió n ; s in e m b a r g o , s e u s a a q u í p o r q u e e l á r e a d e la
s u p e r f ic ie s o b r e la q u e a c t ú a la c a r g a d is tr ib u id a e s c o n s id e r a b le m e n te
m e n o r q u e la s u p e r fic ie to ta l d e lo s e le m e n to s c o n e c ta d o s .
E l e s l a b ó n c o r t o s e u s a p a r a c o n e c ­
t a r l a s d o s t r a b e s d e l p u e n t e c a r r e ­
t e r o y p e r m i t e la e x p a n s i ó n t é r m i c a
d e la c u b i e r t a .
A r t i c u l a c i ó n t í p i c a e m p l e a d a p a r a
s o p o r t a r l a t r a b e d e a c e r o d e u n
p u e n t e f e r r o v i a r i o .

59. 2 . 1 Es t r u c t u r a i d e a l i z a d a 3 7
T A B L A 2 - 1 S o p o r t e s p a r a e s t r u c t u r a s c o p la n a r e s
T ip o d e c o n e x ió n S ím b o lo id e a liz a d o Reacción N ú m e ro de in c ó g n ita s
W ¿ P ' Y c a b le lig e ro
E s l a b ó n s in p e s o
U n a in c ó g n ila . L a r e a c c i ó n e s u n a f u e r z a
q u e a c t ú a e n l a d i r e c c i ó n d e l
c a b l e o d e l c s ta b ó n .
(2)
&
ro d illo s
b a la n c ín
U n a in c ó g n i l a . L a r e a c c i ó n e s u n a f u e r z a
q u e a c t ú a p e r p c n d i c u l a r m c n t c a la
s u p e r f ic ie e n e l p u n t o d e c o n t a c t o .
( 3 )
y
s u p e r f ic ie d e c o n t a c t o lisa
j ; f
F
U n a i n c ó g n i t a . L a r e a c c i ó n e s u n a f u e r z a
q u e a c t ú a p e r p e n d i c u l a r m c n t c a la
s u p e r f ic ie e n e l p u n t o d e c o n t a c t a
( 4 )
c o lla r ín a r t i c u l a d o lisof
F
U n a in c ó g n ita . 1 .a r e a c c i ó n e s u n a f u e r z a
q u e a c t ú a p e r p e n d i c u l a r m e n t e a la
s u p e r f ic ie e n e l p u n t o d e c o n t a c t o .
a r t i c u l a c i ó n o b i s a g r a lis a
£-
j
D a s in c ó g n ita s . L a s r e a c c i o n e s s o n
d o s c o m p o n e n t e s d e la f u e r z a .
(6)
tr
9-
M
d e s li z a d o r
D a s in c ó g n ita s . I-a»s r e a c c i o n e s s o n
u n a f u e r z a y u n m o m e n to .
Ir=
c o lla r ín c o n e c t a d o f i j a m e n t e
( 7 )
s o p o r t e fijo
T r e s in c ó g n ita s . L a s r e a c c i o n e s s o n
e l m o m e n t o y l a s d o s c o m p o n e n t e s
d e la f u e r z a .

60. 3 8 C a p i t u l o 2 A n á l i s i s d e e s t r u c t u r a s e s t á t i c a m e n t e d e t e r m i n a d a s
e s t r u c t u r a r e a l
(a )
m
-------------|
4 m
e s t r u c t u r a i d e a l i z a d a
<b)
F ig u ra 2 - 5
Estructura idealizada. D e s p u é s d e e s ta b le c e r la s d if e r e n t e s f o r ­
m a s e n q u e p u e d e n id e a liz a r s e las c o n e x io n e s d e u n a e s t r u c tu r a , a h o r a
e s p o s ib le a n a liz a r a lg u n a s d e la s té c n ic a s e m p le a d a s p a r a r e p r e s e n t a r
lo s d is tin to s s i s te m a s e s t r u c tu r a le s m e d ia n te m o d e lo s id e a liz a d o s .
C o m o p r i m e r e je m p lo , c o n s id e r e e l b ra z o d e g r ú a y e l c a r r o q u e se
m u e s tr a n e n la fig u ra 2 -5a. P a r a e l a n á lis is e s t r u c tu r a l s e p u e d e ig n o r a r el
e s p e s o r d e lo s (to s e le m e n to s p r in c ip a le s y s u p o n e r q u e la ju n t a e n B e s
ríg id a . A d e m á s , la c o n e x ió n e n A p u e d e m o d e l a r s e c o m o u n s o p o r te fijo
y e s p o s ib le e x c lu ir lo s d e ta l le s d e l c a rr o . P o r lo ta n t o , lo s e le m e n to s d e la
e s t r u c t u r a id e a liz a d a s e r e p r e s e n t a n m e d i a n te d o s lín e a s c o n e c t a d a s , y
la c a r g a s o b r e e l g a n c h o s e r e p r e s e n ta m e d ia n te u n a s o la f u e r z a c o n c e n ­
t r a d a F .f i g u r a 2 -5 6 . E s ta e s t r u c tu r a id e a liz a d a q u e se m u e s tr a a q u í c o m o
u n d ib u jo d e lin e a s p u e d e u s a r s e a h o r a p a r a a p li c a r to s p r in c ip io s d e l
a n á lisis e s t r u c t u r a l .e l c u a l c o n d u c ir á f in a lm e n te a l d is e ñ o d e s u s d o s e l e ­
m e n to s p rin c ip a le s .
L a s v ig a s y tr a b e s s u e l e n e m p le a r s e p a r a s o s te n e r lo s p is o s e n e d ific io s.
E n p a r t ic u l a r , u n a tr a b e e s e l e le m e n to p r in c ip a l p a r a e l s o p o r te d e las
c a r g a s d e l p is o , m i e n tr a s q u e lo s e le m e n to s m á s p e q u e ñ o s q u e ti e n e n
u n c la r o m á s c o r t o y q u e e s t á n c o n e c t a d o s a la s tr a b e s s e ll a m a n vig a s.
A m e n u d o , la s c a r g a s a p lic a d a s s o b r e u n a v ig a o tr a b e se t r a n s m i te n h a c ia
é s t a s a tr a v é s d e l p is o q u e s o s tie n e n . U n a v ez m ás, e s im p o r ta n te t e n e r la
c a p a c id a d d e id e a liz a r a p r o p i a d a m e n t e e l s is te m a c o m o u n a s e r ie d e m o ­
d e lo s . lo s c u a le s p u e d e n u s a r s e p a r a d e te r m i n a r d e m a n e r a a p ro x im a d a
la s f u e r / a s q u e a c tú a n s o b r e lo s e le m e n to s . C o n s id e r e , p o r e je m p lo , la e s ­
tr u c tu r a u tiliz a d a p a r a s o p o r ta r u n a lo s a d e p is o e n u n e d ific io típ ic o c o m o
e l q u e s e m u e s tr a e n la fig u ra 2 -6 a . A q u í la lo s a s e s o s tie n e m e d i a n te v i­
g u e ta s d e p is o s itu a d a s a in te r v a lo s re g u la r e s , la s c u a le s a s u v e z e s t á n s o ­
p o r t a d a s m e d ia n te la s d o s tr a b e s la t e r a l e s A B y C D . P a r a e l a n á lis is , e s
r a z o n a b le s u p o n e r q u e la s j u n t a s s o n a r t ic u la d a s y /o q u e e s t á n c o n e c t a ­
d a s m e d ia n te ro d illo s a la s tr a b e s y q u e é s ta s s o n a r tic u la d a s y /o e s t á n
c o n e c ta d a s m e d ia n te ro d illo s a la s c o lu m n a s. E n la fig u ra 2 -6b se m u e s tra
la v is ta s u p e r io r d e l p l a n o e s t r u c tu r a l d e e s t e s is te m a . E n e s t e e s q u e m a
“ g r á f ic o " , o b s e r v e q u e la s " lín e a s " q u e r e p r e s e n t a n la s v ig u e ta s n o to c a n
la s tr a b e s y q u e la s lín e a s d e la s tr a b e s n o to c a n las c o lu m n a s . L o a n t e r i o r
s im b o liz a c o n e x io n e s a r t ic u la d a s y /o a p o y a d a s e n ro d illo s . P o r o t r o la d o .
( a )
F i g u r a 2 - 6
H
p i a n o e s t r u c t u r a l id e a l i z a d o
< b)

61. 2 . 1 Es t r u c t u r a i d e a l i z a d a 39
si e l p l a n o e s t r u c t u r a l t r a t a d e r e p r e s e n ta r e le m e n to s c o n e c t a d o s f ija ­
m e n te , c o m o ju n t a s s o ld a d a s e n v e z d e s im p le s u n io n e s a to r n illa d a s , e n ­
to n c e s la s lín e a s p a r a la s v ig a s o tr a b e s to c a r ía n la s c o lu m n a s c o m o e n la
fig u ra 2 -7 . D e m a n e r a s im ila r, u n a v ig a s a lie n te c o n e c ta d a f ija m e n te e s ­
ta r ía r e p r e s e n ta d a e n la v ista s u p e r io r c o m o s e m u e s tr a e n la fig u ra 2 -8 .
Si s e u s a la c o n s t r u c c i ó n d e c o n c r e t o r e f o r z a d o , la s v ig a s y t r a b e s se
r e p r e s e n ta n m e d ia n te lín e a s d o b le s . P o r lo g e n e r a l e s t o s s i s te m a s e s tá n
c o n e c ta d o s f ija m e n te y, p o r lo ta n t o , lo s e le m e n to s se d ib u ja n to c a n d o
lo s s o p o r te s . P o r e je m p lo , e l g rá f ic o e s tr u c tu r a l p a r a e l s i s te m a d e c o n ­
c r e t o v a c ia d o e n s i ti o d e la fig u ra 2 -9a s e m u e s tr a e n s u v is ta s u p e r io r
c o m o e n la f ig u r a 2 -9 6 . L a s lín e a s d e la s v ig a s s e d ib u ja n d is c o n tin u a s d e ­
b id o a q u e e s t á n p o r d e b a jo d e la lo s a .
L as g rá f ic a s e id e a liz a c io n e s e s tr u c tu r a le s p a r a e s t r u c tu r a s d e m a d e r a
s o n s e m e ja n te s a la s d e m e ta l. P o r e je m p lo , e l s is te m a e s t r u c tu r a l q u e se
m u e s tra e n la fig u ra 2 - 1 0 a r e p r e s e n ta la c o n s tru c c ió n d e u n a v ig a de
p a r e d , d o n d e l a c u b ie r ta d e l t e c h o s e s o s tie n e m e d ia n te v ig a s d e m a d e r a ,
q u e tr a n s m ite n la c a r g a a u n m u r o d e m a n ip o s te r ía . P u e d e s u p o n e r s e q u e
las v ig a s e s t á n s im p le m e n te a p o y a d a s e n la p a r e d , d e m o d o q u e e l p la n o
e s tr u c tu r a l id e a liz a d o s e r í a c o m o e l q u e s e m u e s tra e n l a fig u ra 2 - 106.
>{
v ig a c o n e c t a d a f i j a m e n te
M i
v ig a i d e a l i z a d a
F ig u r a 2 - 7
(a)
F ig u r a 2 - 9
( b )
p l a n o e s t r u c t u r a l id e a l i z a d o
( b )
v ig a i d e a liz a d a
F ig u r a 2 - 8
Figura 2-10

62. 4 0 C a p i t u l o 2 A n á l i s i s d e e s t r u c t u r a s e s t á t i c a m e n t e d e t e r m i n a d a s
E l m a r c o e s t r u c t u r a l d e e s t e e d i f i c i o c o n ­
s i s t e e n v i g u e t a s d e c o n c r e t o , la s c u a l e s s e
f o r m a r o n e n e l s i t i o u s a n d o p l a c a s m e t á l i ­
c a s . E s t a s v i g u e t a s e s t á n s i m p l e m e n t e a p o ­
y a d a s s o b r e la s t r a b e s , q u e a s u v e z s e
a p o y a n s i m p l e m e n t e e n la s c o l u m n a s .
Cargas trib u ta ria s . O t a n d o la s s u p e r f ic ie s p la n a s c o m o p a re d e s ,
p is o s o le c h o s e s t á n s o p o r ta d a s p o r u n m a r c o e s tr u c tu r a l, e s n e c e s a r io
d e te r m in a r la f o r m a e n q u e s e tr a n s m ite l a c a r g a s o b r e e s t a s s u p e r fic ie s
h a c ia lo s d iv e r s o s e le m e n to s e s t r u c tu r a le s u tiliz a d o s p a r a s u s o p o r t e . E n
g e n e r a l, e x is te n d o s fo rm a s e n la s q u e p u e d e h a c e r s e e s to . L a e le c c ió n
d e p e n d e d e la g e o m e t r í a d e l s is te m a e s t r u c t u r a l ,e l m a t e r i a l d e l q u e e s tá
h e c h o y e l m é to d o e m p l e a d o p a r a s u c o n s tru c c ió n .
Sistema de una dirección. U n a lo s a o u n a c u b ie r ta q u e s e a p o y a d e
ta l m a n e r a q u e tr a n s f ie r e s u c a r g a a lo s e le m e n to s d e s o p o r te m e d ia n te
u n a a c c ió n e n u n s o lo s e n t id o .s e c o n o c e c o m o u n a ¡osa e n u n a d ir e c c ió n .
P a r a ilu s tr a r e l m é t o d o d e tr a n s m is ió n d e c a r g a s ,c o n s id e r e e l s i s te m a e s ­
tr u c tu r a l q u e s e m u e s tr a la fig u ra 2-1 la d o n d e la s v ig a s A t í , C D y E F
d e s c a n s a n s o b r e la s tr a b e s A E y B E . Si s e c o lo c a u n a c a r g a u n if o rm e d e
100 Ib /p ie 2 s o b r e la lo s a , e n to n c e s p u e d e s u p o n e r s e q u e la v ig a c e n tr a l
C D s o p o r ta la c a rg a q u e a c t ú a s o b r e e l á rea tr ib u ta r ia , la c u a l s e m u e s tra
c o n u n s o m b r e a d o o s c u r o e n e l p la n o d e l m a r c o e s t r u c t u r a l d e l a fig u ra
2-11 b . P o r lo ta n t o , e l e l e m e n t o C D se s o m e te a u n d is tr ib u c ió n d e c a rg a
B n e a lá e (1 0 0 lb /p ie 2X 5 p ie s ) = 5 0 0 lh / p ¡ e ,q u e s e m u e s tr a e n la v ig a id e a ­
liz a d a d e la fig u ra 2-1 l e . I.a s r e a c c io n e s s o b r e e s t a v ig a (2 5 0 0 lib r a s ) se
a p lic a r á n d e s p u é s a l c e n t r o d e la s tr a b e s A E (y B F \ q u e s e m u e s tr a n
id e a liz a d a s e n la fig u ra 2-11 d . S i se u s a e s te m is m o c o n c e p to , ¿ e s p o s ib le
o b s e r v a r c ó m o e l r e s t o d e la c a rg a d e la lo s a s e tr a n s m ite a lo s e x tr e m o s
d e l a tr a b e c o n u n v a lo r d e 1250 lib ra s ?
A ________________________B.. 1
2 .5 p ie s
l
“ f
ú e s
lies
“ f
lies
E f
p i a n o e s t r u c t u r a l id e a liz a d o
( a ) ( b )
2 5 0 0 Ib
1 2 5 0 1 b | 1 2 5 0 1 b
1 . I _ h
l _5 p i e s - ■5 p ie s
« g a i d e a liz a d a
(c)
Figura 2-11
t r a b e i d e a l i z a d a
(d)

63. 2 . 1 Es t r u c t u r a i d e a l i z a d a
E j e m p l o d e la c o n s t r u c c i ó n d e u n a l o s a e n u n a d i r e c c i ó n
e n u n e d i f i c i o c o n e s t r u c t u r a d e a c e r o q u e t i e n e u n p i s o
d e c o n c r e t o v a c i a d o s o b r e u n a c u b i e r t a d e m e t a l c o r r u ­
g a d o . S e c o n s i d e r a q u e la c a r g a s o b r e e l p i s o s e t r a n s m i t e
a l a s v ig a s y n o a l a s t r a b e s .
P a ra a lg u n o s s i s te m a s d e p is o , la s v ig a s y tr a b e s e s t á n c o n e c t a d a s a la s
c o lu m n a s a l a m is m a a ltu r a , c o m o e n la fig u ra 2 - 1 2 a. S i é s t e e s e l c a s o , e n
o c a s io n e s l a lo s a ta m b ié n p u e d e c o n s id e r a r s e c o m o u n a “ lo s a e n u n a d i ­
re c c ió n ’'. P o r e je m p lo , s i l a lo s a e s d e c o n c r e t o c o n r e f u e r z o e n u n a s o la
d ir e c c ió n o s i e l c o n c r e t o s e v a c ía e n u n a c u b ie r ta d e m e ta l c o r r u g a d o ,
c o m o e n l a f o to g r a f ía s u p e r io r , e n to n c e s p u e d e s u p o n e r s e u n a a c c ió n d e
tra n s m is ió n d e c a r g a e n u n s o l o s e n tid o . P o r o t r o la d o , s i la lo s a e s p la n a
e n las p a r t e s s u p e r io r e in f e r io r y s e r e f u e r z a e n d o s d ir e c c io n e s ,e n to n ­
c e s e s n e c e s a r io c o n s i d e r a r la p o s ib ilid a d d e q u e la c a r g a s e tr a n s m ita a
lo s e le m e n to s d e s o p o r te e n u n o o d o s s e n tid o s . P o r e je m p lo .c o n s id e r e la
lo sa y e l p la n o e s t r u c tu r a l d e la fig u ra 2-12¿>. D e a c u e r d o c o n e l A m e r i­
c a n C o n c r e te I n s tit u te . c ó d ig o A C I 3 1 8 , s i > / . | y s i b r e la c ió n d e l
c la r o ( L J L \ ) > 2, la lo s a se c o m p o r ta r á c o m o u n a lo s a e n u n a d ir e c c ió n ,
d a d o q u e c o m o L ¡ se h a c e m á s p e q u e ñ o , la s v ig a s A S , C D y E Fp r o p o r ­
c io n a n u n a m a y o r rig id e z p a r a s o p o r ta r la c a rg a .
lo s a d e c o n c r e t o
r e f o r z a d o e n d o s
d ir e c c io n e s ,
v a c i a d a e n f o r m a
p la n a
hA '
2 4 —
~ Y -i—
—i
¿Í
L x
M M
X
r a q u e l a lo s a a c t ú e e n u n
i c n t i d o , e l p l a n o e s t r u c t u r a l
fc le a liz a d o r e q u i e r e q u e L j / L \ > 2
fl>)
t r a b e
a i l u m n a
H gura 2-12

64. 4 2 C a p i t u l o 2 A n á l i s i s d e e s t r u c t u r a s e s t á t i c a m e n t e d e t e r m i n a d a s
(a )
F i g u r a 2 - 1 3
5 0 0 I b / p i e
— 5 p i e s —— 5 p i e s —
v ig a i d e a l i z a d a
Sistema en dos direcciones. Si d e a c u e r d o c o n e l c ó d ig o d e c o n ­
c r e t o A C I 3 1 8 l a re la c ió n d e s o p o r te e n la fig u ra 2 -1 2 6 e s ( L j / L x) s 2 , se
s u p o n e q u e la c a rg a s e tr a n s f ie r e a la s v ig a s d e s o p o r te y a la s tr a b e s e n
d o s d ir e c c io n e s . C u a n d o s e p r e s e n t a e s t a s itu a c ió n , la lo s a s e d e n o m in a
lo sa e n d o s d ir e c c io n e s . P a r a m o s tr a r u n m é to d o m e d ia n te e l c u a l p u e d a
e s tu d ia r s e e s te c a s o , c o n s i d e r e la lo s a c u a d r a d a d e c o n c r e to re f o r z a d o
q u e se m u e s tr a e n la fig u ra 2 - 1 3 a, la c u a l e s tá s o p o r ta d a p o r c u a tr o v ig a s
e n e l b o r d e .d e 10 p ie s d e la rg o : A B , B D , Ü C , y C A . A q u í L j f L x = 1. E l
ú rea tr ib u ta r ia s u p u e s ta p a r a la v ig a A /f ,d e b i d a a la a c c ió n d e la lo s a e n
d o s d ir e c c io n e s , s e m u e s tra c o n u n s o m b r e a d o o s c u r o e n la fig u ra 2 -1 3 6 .
E sta á re a se d e te r m in a al c o n s tr u ir lín e a s d ia g o n a le s a 4 5 ° c o m o s e m u e s ­
tr a e n la fig u ra . P o r lo ta n to , s i s e a p lic a u n a c a rg a u n if o r m e d e 100 I b /p ie 2
s o b r e la lo s a .s e o b te n d r á u n a in te n s id a d m á x im a d e (1 0 0 lb /p ie 2)(5 p ie s )
= 500 Ib /p ie s o b r e e l c e n t r o d e la v ig a A / Í . l o q u e r e s u lta e n u n a d i s t r i b u ­
c ió n d e c a r g a s tr ia n g u la r c o m o la q u e s e m u e s tr a e n la fig u ra 2 - 13c. P a r a
o t r a s g e o m e t r í a s q u e o c a s io n a n a c c io n e s e n d o s d ir e c c io n e s , p u e d e e m ­
p le a r s e u n p r o c e d im ie n to s im ila r. P o r e je m p lo , s i L ^ L X = 1.5 e n to n c e s e s
n e c e s a r io c o n s t r u ir lín e a s c r u z a d a s a 4 5 °, c o m o s e m u e s tr a e n la fig u ra
2 - 1 4 a. D e e s t a f o r m a , u n a c a rg a d e 100 Ib /p ie 2 c o lo c a d a e n la lo s a p r o d u ­
c i r á c a rg a s d is tr i b u id a s tr a p e z o id a le s y tr ia n g u la re s e n lo s e le m e n to s A B
y A C re s p e c tiv a m e n te , fig u ra s 2 -1 4 6 y 2 - 14c.
5 0 0 l b / p t c 5 0 0 I b / p i e
.p i e s - t ~ > p i e s -
v ig a i d e a l i z a d a
(c)

65. 2 . 1 Es t r u c t u r a i d e a l i z a d a 4 3
L a c a p a c id a d d e r e d u c i r u n a e s t r u c tu r a r e a l a u n a f o r m a id e a liz a d a ,
c o m o s e m u e s tr a e n e s to s e je m p lo s , s ó l o p u e d e a d q u ir ir s e a tr a v é s d e la
e x p e r ie n c ia . P a r a p r o p o r c io n a r u n a p rá c tic a a e s te r e s p e c to , lo s p r o b le ­
m as d e e je m p lo y lo s p ro b le m a s a re s o lv e r q u e s e in c lu y e n e n e s t e lib ro se
p r e s e n ta n e n f o r m a r e a lis ta , y e l e n u n c ia d o d e l p r o b le m a a y u d a a e x p lic a r
c ó m o p u e d e n m o d e la rs e la s c o n e x io n e s y lo s s o p o r te s m e d ia n te lo s e le - 2
m e n to s e n lis ta d o s e n la t a b l a 2 -1 . E n la p rá c tic a d e la in g e n ie r ía .s i s e tie n e
u n a d u d a s o b r e c ó m o m o d e la r u n a e s t r u c tu r a o tr a n s f e r ir la s c a r g a s a lo s
e le m e n to s , lo r e c o m e n d a b le e s c o n s id e r a r varias e s tr u c tu r a s y c a rg a s
id e a liz a d a s p a r a d e s p u é s d is e ñ a r l a e s t r u c tu r a re a l d e m o d o q u e p u e d a
re s is tir la s c a r g a s in c lu id a s e n to d o s lo s m o d e lo s id e a liz a d o s .
E JE M P LO 2.1
F i g u r a 2 - 1 5
E l p is o d e u n s a l ó n d e c la s e s d e b e e s t a r s o p o r t a d o p o r la s v ig u e ta s e n
fo r m a d e b a r r a c o m o s e m u e s tr a n e n l a f ig u r a 2 -1 5 a . L a s v ig u e ta s t i e ­
n e n 15 p ie s d e la r g o c a d a u n a y e n t r e s u s c e n tr o s h a y u n e s p a c io d e
2 5 p ie s . E l p is o s e h a r á d e c o n c r e to lig e r o d e 4 p u lg a d a s d e e s p e s o r .
Ig n o r e lo s p e s o s d e la s v ig u e ta s y d e la c u b ie r ta d e m e ta l c o r r u g a d o , y
d e te r m in e la c a r g a q u e a c tú a a lo la r g o d e c a d a v ig u e ta .
S O L U C IÓ N
L a c a r g a m u e r ta s o b r e e l p is o s e d e b e a l p e s o d e la lo s a d e c o n c r e to .
C b n b a s e e n la t a b l a 1-3 p a r a 4 p u lg a d a s d e c o n c r e t o lig e ro , é s t a e s
(4 )(8 lh /p ie 2) = 3 2 lb /p ie . D e la ta b l a 1-4 s e s a b e q u e la c a r g a v iv a
p a r a u n s a l ó n d e c la s e s e s d e 4 0 lb /p ic ?. A s í, la c a r g a to t a l d e l p is o e s
d e 3 2 lb /p ie 2 + 4 0 lb / p ic 2 = 7 2 lb /p ie 2. P a r a e l s is te m a d e l p is o , L x =
2 5 p i e s y L* = 15 p ie s . C o m o L j l L x > 2 , la lo s a d e c o n c r e to s e tr a ta
c o m o u n a lo s a e n u n a d ir e c c ió n . E l á r e a tr ib u t a r ia d e c a d a v ig u e ta se
m u e s tra e n l a fig u ra 2 -1 5 6 . P o r lo ta n t o , la c a rg a u n if o r m e e n to d a s u
b n g i t u d e s
iv = 72 lb /p ie 2 (2.5 p ie s ) = 180 lb /p ie
E n la fig u ra 2 -1 5 c s e m u e s tr a n e s t a c a rg a y la s r e a c c io n e s fin a le s s o b r e
c a d a v ig u e ta .

66. 4 4 C a p i t u l o 2 A n á l i s i s d e e s t r u c t u r a s e s t á t i c a m e n t e d e t e r m i n a d a s
E JE M P LO 2.2
E l te c h o p la n o d e l e d if ic io c o n e s t r u c t u r a d e a c e r o q u e s e m u e s tr a e n
la f o t o g r a f í a e s t á d e s t in a d o a s o p o r t a r u n a c a r g a t o t a l d e 2 k N /m 2
e n t o d a s u s u p e r fic ie . D e te r m in e la c a r g a d e l te c h o d e n t r o d e la re g ió n
A B C D q u e se tr a n s m ite a la v ig a B C . L a s d im e n s io n e s s e m u e s tr a n e n
la fig u ra 2 - 16a.
4 m
n
(a)
S O L U C IÓ N
E n e s t e c a s o . L i ■ 5 m y L \ - 4 m . C o m o l s ¿ L \ ■ 1.25 < 2 . se ti e n e la
a c c ió n d e u n a lo s a e n d o s d ir e c c io n e s . E n la f ig u r a 2 - 1 6 a s e m u e s tr a
la c a r g a tr ib u t a r ia a lo la rg o d e c a d a v ig a e n e l b o rd e , d o n d e e l á r e a d e
c a rg a tra p e z o id a l c o n u n s o m b r e a d o c la r o se tra n s m ite a l e le m e n to B C .
L a in te n s id a d m á s a lt a d e e s ta c a rg a e s ( 2 k N /m 2)(2 m ) = 4 k N /m . E n
c o n s e c u e n c ia , l a d is tr ib u c ió n d e c a r g a a lo la r g o d e B C e s c o m o se
m u e s tr a e n la f ig u r a 2 -1 6b .
4 k N / t a
E s te p ro c e s o d e tr a n s m is ió n d e la c a r g a tr i b u t a r i a ta m b ié n d e b e c a lc u ­
la r s e p a r a la re g ió n a la d e r e c h a d e B C c o m o s e m u e s tra e n la f o to ­
g ra f ía ; a d e m á s , e s ta c a r g a ta m b ié n d e b e c o lo c a r s e e n B C . V ea e l
s ig u ie n te e je m p lo .

67. 2 . 1 Es t r u c t u r a i d e a l i z a d a 4 5
E JE M P LO 2 .3
L a s tr a b e s d e c o n c r e to q u e se m u e s tr a n e n la fo to g ra fía d e l e s t a c i o ­
n a m ie n to p a r a a u to m ó v ile s d e p a s a je ro s m id e n 3 0 p ie s y e n tr e su s
c e n tr o s h a y u n a s e p a r a c ió n d e 15 p ie s . S i la lo s a d e l p is o ti e n e 5 p u l ­
g a d a s d e e s p e s o r , e s tá h e c h a d e c o n c r e t o d e p i e d r a r e f o r z a d o y la
c a rg a v iv a e s p e c ific a d a e s d e 5 0 Ib /p ie 2 (v e a la ta b l a 1 .4 ), d e te r m i n e
ki c a r g a d is tr ib u id a q u e e l s is te m a d e p is o tr a n s m ite a c a d a t r a b e in ­
te rio r.
S O L U C IÓ N
A q u í, L 2 = 3 0 p ie s y L x = 15 p ie s , d e m o d o q u e LjJLx = 2 S e ti e n e
u n a lo s a e n d o s d ir e c c io n e s . D e l a ta b l a 1-2, p a r a e l c o n c r e to d e p i e ­
d r a re f o rz a d o , e l p e s o e s p e c ífic o d e l c o n c r e t o e s 150 Ib /p ie 3. A sí, la
c a rg a d e d is e ñ o p a r a e l p is o e s
p = 150 Ib/pie'pie ^ + 5 0 I b / p ie 2 = 112.5 I b /p ie 2
U n a c a rg a d is tr ib u id a tr a p e z o id a l se tr a n s m ite a c a d a tr a b e in te r io r
A R d e s d e c a d a u n o d e s u s la d o s . L a i n t e n s i d a d m á x im a d e c a d a
u n a d e e s ta s c a rg a s d is trib u id a s e s (112.5 lb 'p ie 2)(7.5 p ie s ) = 843.75 Ib/pie,
d e m o d o q u e e n la t r a b e e s t a in t e n s i d a d s e c o n v ie r te e n 2 (8 4 3 .7 5
b / p i e ) = 1687.5 lb /p ie , fig u ra 2 -1 7 6 . N o ta : P a r a e f e c to s d e d is e ñ o , t a m ­
b ié n d e b e t e n e r s e e n c u e n ta e l p e s o d e l a tr a b e .
16873 Ib/pie
Figura 2 -1 7

68. 46 Ca p i t u l o 2 A n á l i s i s d e e s t r u c t u r a s e s t á t i c a m e n t e d e t e r m i n a d a s
2 .2 P rincipio d e superposición
E l p rin c ip io d e s u p e r p o s ic ió n e s la b a s e d e g r a n p a r t e d e la t e o r í a d e l
a n á lisis e s t r u c tu r a l. E s p o s ib le a f ir m a r lo s ig u ie n te : F] d e s p la z a m ie n to
to ta l o la s c a rg a s in te r n a s ( e s fu e r z o s ) e n u n p u n t o d e u n a e stru c tu r a s o m e ­
tid a a va ria s c a rg a s e x te m a s p u e d e d e te r m in a r s e a l s u m a r lo s d e s p la z a ­
m ie n to s o c a r g a s in te r n a s (e s fu e r z o s ) c a u s a d o s p o r c a d a u n a d e la s carg a s
e x te r n a s q u e a c tú a n p o r s e p a r a d o . P a r a q u e e s t e e n u n c ia d o s e a v á lid o e s
n e c e s a r io q u e e x is ta u n a re la c ió n lin e a l e n t r e la s c a rg a s , lo s e s f u e r z o s y
lo s d e s p la z a m ie n to s .
P a r a a p li c a r e l p rin c ip io d e s u p e r p o s ic ió n d e b e n im p o n e rs e d o s r e q u i­
sito s:
1 . E l m a t e r i a l d e b e c o m p o r ta r s e d e u n a m a n e r a c lá s tic a li n e a l, d e
m o d o q u e la ley d e H o o k e s e a v á lid a y , p o r lo ta n to , la c a r g a s e r á
p r o p o r c io n a l a l d e s p la z a m ie n to .
2 . l a g e o m e tr ía d e la e s t r u c tu r a n o d e b e e x p e r i m e n t a r u n c a m b io s ig ­
n if ic a tiv o a l a p li c a r la s c a r g a s ; e s d e c i r , s e a p li c a la t e o r í a d e lo s
p e q u e ñ o s d e s p la z a m ie n to s . S i s e d a n g r a n d e s d e s p la z a m ie n to s , la
p o sic ió n y la o r i e n ta c i ó n d e la s c a r g a s c a m b ia r á n e n f o r m a s ig n ific a ­
tiv a. U n e je m p lo p o d r í a s e r u n a b a r r a d e lg a d a e n v o la d iz o s o m e tid a
a u n a f u e r z a e n s u e x tr e m o .
A lo la rg o d e l p r e s e n t e te x to d e b e n c u m p lir s e e s t o s d o s r e q u i s it o s A q u í,
lo s m a te r ia le s s ó lo p r e s e n ta n u n c o m p o r ta m ie n t o lin e a l e lá s tic o y lo s
d e s p la z a m ie n to s p r o d u c id o s p o r las c a r g a s n o c a m b ia n s ig n ific a tiv a ­
m e n te la s d ir e c c io n e s d e la s c a r g a s a p lic a d a s n i las d im e n s io n e s u s a d a s
p a ra c a lc u la r lo s m o m e n to s d e la s fu e rz a s.
t i ?
v e n t o
L a s p a r e d e s l a t e r a l e s d e e s t e e d i f i c i o s e u t i l i z a n p a r a r e f o r ­
z a r s u e s t r u c t u r a c u a n d o la c o n s t r u c c i ó n e s t á s u j e t a a g r a n ­
d e s c a r g a s d e v i e n t o s h u r a c a n a d o s , l a s c u a l e s s e a p l i c a n e n
la s p a r t e s f r o n t a l o t r a s e r a d e l e d if ic io . E s t a s p a r e d e s l a t e r a ­
le s s e d e n o m i n a n " m u r o s c o r t a n t e s ” .

69. 2 . 3 Ec u a g c n e s d e EQUILIBRIO 4 7
2 . 3 Ecuaciones de e q u ilib rio
D e la e s tá tic a , d e b e r e c o r d a r s e q u e u n a e s t r u c tu r a o u n o d e s u s e le m e n ­
to s e s tá e n e q u ilib r io c u a n d o s e m a n tie n e u n b a la n c e d e f u e i z a s y m o ­
m e n to s . E n g e n e r a l, e s t o r e q u i e r e q u e se s a tis f a g a n la s e c u a c io n e s d e
e q u ilib r io d e la s f u e r z a s y d e lo s m o m e n to s a lo la r g o d e tr e s e je s in d e ­
p e n d ie n te s , a s a b e r ,
2 F X = 0 l P y = 0 S f ' r = 0
2 M X = 0 2 M y = 0 2 M Z = 0
N o o b s t a n te , la s p a r t e s p rin c ip a le s q u e s o p o r ta n c a rg a e n l a m a y o r ía d e
las e s t r u c tu r a s se e n c u e n t r a n e n u n s o l o p la n o , y c o m o la s c a r g a s ta m b ié n
s o n c o p la n a r e s . lo s r e q u is ito s a n te r io r e s p a ra e l e q u il ib r io se r e d u c e n a
(2-2)
A q u í, y S E y r e p r e s e n ta n r e s p e c tiv a m e n te la s s u m a s a lg e b r a ic a s d e
las c o m p o n e n te s x y y d e to d a s la s f u e r z a s q u e a c tú a n s o b r e la e s t r u c tu r a
o u n o d e su s e le m e n to s , y r e p r e s e n ta la s u m a a lg e b r a ic a d e lo s m o ­
m e n to s d e e s to s c o m p o n e n t e s d e f u e r z a a l r e d e d o r d e u n e je q u e e s p e r ­
p e n d ic u la r a l p la n o x - y (e l e j e z ) y q u e p a s a a tr a v é s d e l p u n t o O .
S ie m p re q u e s e a p li q u e n e s t a s e c u a c io n e s ,p r im e r o e s n e c e sa r io d ib u ja r
u n d ia g r a m a d e c u e r p o lib r e d e la e stru c tu r a o d e s u s e le m e n to s . Si s e s e ­
le c c io n a u n e le m e n to , d e b e a isla rse tfc s u s s o p o r te s y e n t o r n o p a r a d ib u ­
ja r s ó l o s u c o n to r n o . E s n e c e s a r io m o s tr a r to d a s la s fu e r z a s y m o m e n to s
d e p a r q u e a c tú a n so b r e e l e le m e n to . A e s t e re s p e c to , lo s ti p o s d e r e a c c io ­
n e s e n lo s s o p o r te s p u e d e n d e te r m in a r s e u s a n d o la ta b l a 2 -1 . T a m b ié n ,
d e b e r e c o r d a r s e q u e la s f u e r z a s c o m u n e s a d o s e le m e n to s a c tú a n c o n
m a g n itu d e s ig u a le s p e r o e n d ir e c c io n e s o p u e s t a s e n lo s r e s p e c tiv o s d i a ­
g r a m a s d e c u e r p o lib r e d e lo s e le m e n to s .
Si e s n e c e s a r io d e t e r m i n a r la s carg a s in te rn a s en u n p u n to e s p e c ífic o
d e u n e le m e n to , d e b e e m p le a r s e e l m é to d o d e la s se c c io n e s. E s to r e ­
q u ie r e h a c e r u n " c o r te " o se c c ió n p e r p e n d i c u la r a l e je d e l e le m e n to e n e l
p u n to d o n d e s e d e te r m i n a r á n la s c a r g a s in te r n a s . D e s p u é s s e a ís la u n
d ia g r a m a d e c u e r p o lib r e d e c u a lq u ie r s e g m e n to d e l " c o r te " d el e l e ­
m e n to y e n to n c e s se d e te r m i n a n la s c a rg a s in te r n a s a p a r t i r d e la s e c u a ­
c io n e s d e e q u il ib r io a p lic a d a s a e s t e s e g m e n to . P o r lo g e n e r a l la s c a r g a s
in te r n a s q u e a c tú a n e n l a s e c c ió n c o n s is te n e n u n a f u e r z a n o r m a l N .u n a
M M V,
D * ¡.-íC
v
fu e rz a c o r t a n te V y u n m o m e n to f le x io n a n te M .c o m o s e m u e s tr a e n la
fig u ra 2 -1 8 . fig u ra 2 -1 8
E n la s e c c ió n 2 -5 s e e s t u d i a r á n lo s p r i n c ip i o s d e la e s t á t i c a q u e se
e m p l e a n p a r a d e te r m i n a r la s r e a c c io n e s e x te r n a s s o b r e la s e s t r u c tu r a s .
L a s c a r g a s in te r n a s e n lo s e le m e n to s e s t r u c tu r a le s s e a n a li z a r á n e n el
c a p ítu lo 4.

70. 4 8 Ca p i t u l o 2 A n á l i s i s d e e s t r u c t u r a s e s t á t i c a m e n t e d e t e r m i n a d a s
2 .4 D e te rm in a ció n y e sta b ilid a d
A n te s d e in ic ia r e l a n á lis is d e f u e r z a s d e u n a e s l r u c t u r a .e s n e c e s a r io e s ­
ta b le c e r la d e te r m in a c ió n y la e s ta b ilid a d d e la e s t r u c tu r a .
D e t e r m i n a c i ó n . L a s e c u a c io n e s d e e q u ilib r io p ro p o r c io n a n la s c o n ­
d ic io n e s n e cesa ria s y s u fic ie n te s p a r a e l e q u ilib r io . C u a n d o to d a s la s f u e r ­
z a s e n u n a e s t r u c tu r a p u e d e n d e te r m in a r s e e s tr ic ta m e n te a p a r tir d e e s ta s
e c u a c io n e s , la e s t r u c tu r a s e d e n o m i n a e stá tic a m e n te d e te r m in a d a . L a s e s ­
tr u c tu r a s q u e ti e n e n m á s fu e r z a s d e s c o n o c id a s q u e e c u a c io n e s d e e q u il i­
b r io d is p o n ib le s se ll a m a n e stá tic a m e n te in d e te r m in a d a s . C o m o reg la
g e n e ra l, u n a e s tr u c tu r a p u e d e id e n tif ic a rs e c o m o e s tá tic a m e n te d e te r m i­
n a d a o in d e te r m in a d a a l d ib u j a r d ia g r a m a s d e c u e r p o lib re d e to d o s su s
e le m e n to s , o p a r t e s s e le c c io n a d a s d e su s e le m e n to s , p a r a d e s p u é s c o m p a ­
r a r e l to t a l d e f u e r z a s d e r e a c c ió n y c o m p o n e n te s d e m o m e n to d e s c o n o ­
c id o s c o n e l to ta l d e e c u a c io n e s d e e q u ilib r io d is p o n ib le s .* P a r a u n a
e s t r u c tu r a c o p la n a r e x is te n a lo s u m o tr e s e c u a c io n e s d e e q u il ib r io p a r a
c a d a p a r t e , p o r lo q u e s i h a y u n to t a l d e n p a r te s y r c o m p o n e n te s d e
fu e r z a s y m o m e n to s d e r e a c c i ó n ,s e ti e n e q u e
r - 3 /i. e s e s t á ti c a m e n t e d e te r m i n a d a
r > 3 n ,e s e s t á tic a m e n te in d e te r m in a d a
( 2 - 3 )
E n p a r tic u la r , s i u n a e s t r u c t u r a e s e stá tic a m e n te in d e te r m in a d a , las
e c u a c i o n e s a d ic io n a le s n e c e s a r ia s p a r a r e s o lv e r la s r e a c c io n e s d e s c o ­
n o c id a s s e o b ti e n e n a l r e l a c i o n a r la s c a r g a s a p lic a d a s y la s r e a c c io n e s
c o n e l d e s p l a z a m i e n t o o la p e n d i e n t e e n d i f e r e n t e s p u n t o s d e l a e s ­
t r u c t u r a . E s t a s e c u a c i o n e s , q u e s e c o n o c e n c o m o e c u a c io n e s d e c o m p a ­
tib ilid a d , d e b e n s e r ig u a le s e n n ú m e r o a l g ra d o d e in d e te r m in a c ió n d e
la e s t r u c t u r a . L as e c u a c io n e s d e c o m p a tib ilid a d in c lu y e n las p r o p ie d a d e s
g e o m é tr ic a s y físic a s d e la e s t r u c tu r a y s e e s t u d ia r á n m ás a d e l a n t e e n el
c a p ítu lo 10.
A c o n tin u a c ió n s e c o n s i d e r a r á n a lg u n o s e je m p lo s p a r a m o s tr a r la
f o r m a d e c la s ific a r la d e te r m in a c ió n d e u n a e s tr u c tu r a . E l p r im e r e j e m ­
p lo t r a t a s o b r e v ig a s , e l s e g u n d o s o b r e e s t r u c tu r a s a r t ic u la d a s y e l te r c e r o
s o b r e m a rc o s . L a c la s ific a c ió n d e a r m a d u r a s s e e s t u d i a r á e n e l c a p ítu lo 3.
• E l t r a z a d o d e d i a g r a m a s d e c u e r p o l i b r e n o e s e s t r i c t a m e n t e n e c e s a r io , p u e s t o q u e t a m ­
b i é n p u e d e h a c e r s e u n ,,c o n t c o m e n t a l " d e l n ú m e r o d e i n c ó g n i t a s p a r a c o m p a r a r l o c o n e l
n ú m e r o d e e c u a c i o n e s d e e q u i l i b r i o .

71. 2 . 4 D e t e r m i n a c i ó n y e s t a b i l i d a d
E JE M P LO 2 .4
G a s if iq u e c a d a u n a d e las vigas q u e s e m u e s tr a n e n la s f ig u r a s 2 -1 9 a a
2 -1 9 d c o m o e s tá tic a m e n te d e te r m i n a d a o e s t á ti c a m e n t e in d e t e r m i­
n a d a . Si s o n e s tá tic a m e n te in d e te r m in a d a s , in d iq u e e l n ú m e r o d e g r a ­
d o s d e in d e te r m in a c ió n . S e s u p o n e q u e la s v ig a s e s t á n s o m e tid a s a
c a rg a s e x t e r n a s c o n o c id a s q u e p u e d e n a c t u a r e n c u a lq u i e r lu g a r d e la s
vigas.
S O L U C IÓ N
l a s viga s c o m p u e s la s .e s d e c ir la s d e las fig u ra s 2 - 19c y 2 -1 9 < ¿.q u e se
c o m p o n e n d e e le m e n to s a r tic u la d o s , d e b e n d e s e n s a m b la rs e . C o n s i­
d e re q u e e n e s to s c a s o s la s f u e r z a s d e re a c c ió n d e s c o n o c id a s q u e
a c tú a n e n t r e c a d a e le m e n to d e b e n m o s tr a r s e e n p a r e ja s ig u a le s p e r o
o p u e s ta s . E n la s fig u ra s s e m u e s tr a n lo s d ia g r a m a s d e c u e r p o lib r e d e
c a d a e le m e n to . D e s p u é s d e a p li c a r r = 3 /i o r > 3 n .s e in d ic a n las c la -
á f i c a d o n e s r e s u lta n te s .
( a )
r - 3 . i i - l . 3 - 3 ( l )
* T = F
E s t á t i c a m e n t e d e t e r m i n a d a R e sp .
( b )
r - 5 . 1 1 - 1 . 3 > 3 ( 1 )
J— i
E s t á t i c a m e n t e i n d e t e r m i n a d a d e s e g u n d o g r a d oR e sp .
E s t á t i c a m e n t e d e t e r m i n a d a R e sp .
<d)
r - 1 0 . n - 3 . 1 0 > 3 ( 3 )
H
-------*
f * — t - i
E s t á t i c a m e n t e i n d e t e r m i n a d a d e p r i m e r g r a d o
fig u ra 2 -1 9
R e s p .

72. 5 0 C a p i t u l o 2 A n á l i s i s d e e s t r u c t u r a s e s t á t i c a m e n t e d e t e r m i n a d a s
EJE M P LO 2 .5
( b )
jr t
(C)
( d )
C la s ifiq u e c a d a u n a d e la s e s t r u c tu r a s a r tic u la d a s q u e s e m u e s tra n e n
la s fig u ra s 2 -2 0 a a 2 - 2 0d c o m o e s t á tic a m e n te d e t e r m i n a d a o e s t á tic a ­
m e n te in d e t e r m in a d a . Si e s e s t á ti c a m e n t e in d e te r m in a d a , in d iq u e el
n ú m e r o d e g r a d o s d e in d e te rm in a c ió n . S e s u p o n e q u e las e s t r u c tu r a s
e s t á n s o m e tid a s a c a r g a s e x te r n a s a r b itr a r ia s c o n o c id a s y q u e p u e d e n
a c tu a r e n c u a lq u ie r p u n to d e la s e s t r u c tu r a s .
S O L U C IÓ N
L a c la s ific a c ió n d e e s t r u c tu r a s a r tic u la d a s e s s e m e ja n t e a la d e la s
vigas. E n la s f ig u r a s s e m u e s tra n lo s d ia g r a m a s d e c u e r p o lib re d e lo s
e le m e n to s . A l a p li c a r r = 3 n o r > 3 n , s e in d ic a n la s c la s ific a c io n e s r e ­
s u lta n te s .
C - J
r
r - 7 ./ i - 2 .7 >6
E s t á t i c a m e n t e i n d e t e r m i n a d a d e p r i ­
m e r g r a d o Resp.
r - 9 , n - 3.9 - 9 .
E s t á t i c a m e n t e d e t e r m i n a d aR esp.
t
J
T
r - l O . n = 2 , 1 0 > 6 ,
E s t á t i c a m e n t e i n d e t e r m i n a d a d e
c u a r t o g r a d o R e sp .
T
\
r - 9 . n ~ 3 . 9 ~ 9 .
E s t á t i c a m e n t e d e t e r m i n a d a
Figura 2-20
R esp.
t r
r
j

73. 2 . 4 D e t e r m i n a c i ó n y e s t a b i l i d a d 5 1
E JE M P LO 2 .6
C la s ifiq u e c a d a u n o d e lo s m a r c o s q u e s e m u e s tr a n e n la s fig u ra s 2 - 2 la
y 2 -2 1 ¿> c o m o e s t á tic a m e n te d e te r m i n a d o o e s t á tic a m e n te in d e t e r m i­
n a d o . S i e s e s tá tic a m e n te in d e te r m in a d o , in d iq u e e l n ú m e r o d e g r a d o s
d e in d e te r m in a c ió n . S e s u p o n e q u e lo s m a r c o s e s t á n s o m e tid o s a c a r ­
g a s e x t e r n a s c o n o c id a s , la s c u a le s p u e d e n a c t u a r e n c u a lq u ie r p u n to
d e lo s m a rc o s.
S O L U C IÓ N
A d if e r e n c ia d e la s v ig a s y la s e s t r u c tu r a s a r tic u la d a s q u e s e m o s tr a ­
ro n e n lo s e je m p lo s a n te r io r e s , lo s m a rc o s e s t á n c o m p u e s to s p o r e l e ­
m e n to s q u e s e c o n e c t a n e n t r e s í m e d ia n te ju n t a s ríg id a s. E n o c a s io n e s ,
los e le m e n to s f o r m a n c ir c u ito s ( c r u jía s ) in t e r n o s c o m o e n la fig u ra
2 -2 1 a . A q u í A B C D fo rm a u n c ir c u it o c e r r a d o . P a r a c la s ific a r e s t a s e s ­
tr u c tu r a s e s n e c e s a r io e m p l e a r e l m é to d o d e la s s e c c io n e s y " c o r ta r " el
c ir c u ito e n d o s . E n la fig u ra s e m u e s tr a n lo s d ia g r a m a s d e c u e r p o lib re
d e la s p a r te s s e c c io n a d a s , d e m a n e r a q u e e s p o s ib le c la s ific a r e l m a rc o .
T e n g a e n c u e n ta q u e s ó l o s e n e c e s ita u n a s e c c ió n a tr a v é s d e l c ir c u ito ,
p u e s to q u e a l d e te r m in a r la s in c ó g n ita s e n la se c c ió n e s p o s ib le e n c o n tr a r
las f u e r z a s in t e r n a s e n c u a lq u i e r p u n to d e lo s e le m e n to s , e m p le a n d o
e l m é to d o d e la s s e c c io n e s y la s e c u a c io n e s d e e q u ilib r io . E n l a fig u ra
2-21 b s e m u e s tr a u n s e g u n d o e je m p lo d e e s to . S i b ie n e l m a r c o d e la fi­
g u r a 2 - 2 l e n o tie n e c ir c u ito s c e r r a d o s , e s p o s ib le e m p l e a r e l m ism o
m é to d o c o n s e c c io n e s v e rtic a le s p a r a c la s ific a rlo . E n e s te c a s o , ta m ­
b ié n se p u e d e d i b u j a r s u d ia g r a m a d e c u e r p o lib r e c o m p le to . L a c la s i­
ficació n r e s u lta n t e s e in d ic a e n c a d a fig u ra .
.Eh
4 v * ^
j - 4 = ¡ -
t
r
T r r
r = 1 8 , n = 3 , 1 8 > 9 ,
Estáticamente indeterminado de
ruveno grado R esp.
(b)
(c)
Figura 2-21
D
r = 9 , / i = 2 , 9 > 6 ,
Estáticamente indeterminado de
tercer grado R esp.
(a )
t
r - 9,n - 1 ,9 > 3 .
Estáticamente indeterminado de
sexto grado R e sp .
(Este marco no tiene circuitos cerrados.)
, 4 —
r = 1 8 , n = 4 , 1 8 > 1 2 ,
Estáticamente indeterminado de
sexto grado Resp.

74. Ca p i t u l o 2 A n á l i s i s d e e s t r u c t u r a s e s t á t i c a m e n t e d e t e r m i n a d a s
r
z
j M.
r e s t r i c c i o n e s p a r d a l e s
F ig u r a 2 - 2 2
E sta b ilid a d . P a r a g a r a n tiz a r e l e q u ilib r io d e u n a e s tr u c tu r a o d e su s
e le m e n to s , n o s ó l o e s n e c e s a r io s a tis f a c e r la s e c u a c io n e s d e e q u ilib r io ,
s i n o q u e lo s e le m e n to s ta m b ié n d e b e n e s t a r c o r r e c ta m e n te s u j e to s o r e s ­
tr in g id o s p o r s u s s o p o r te s . C u a n d o n o s e h a n c u m p lid o la s c o n d ic io n e s
a d e c u a d a s d e re s tric c ió n p u e d e n p r e s e n t a r s e d o s s itu a c io n e s d is tin ta s .
Restricciones parciales. E n a lg u n o s c a so s, u n a e s t r u c tu r a o u n o d e
s u s e l e m e n t o s p u e d e n t e n e r m e n o s f u e r z a s r e a c t iv a s q u e e c u a c i o n e s
d e e q u ilib r io a s a tis f a c e r. E n to n c e s la e s t r u c t u r a s e c o n v ie r te s ó lo e n p a r-
d a lm e n ie re strin g id a . P o r e je m p lo , c o n s id e r e e l e le m e n to d e la fig u ra 2 -2 2
c o n s u c o r r e s p o n d ie n t e d ia g r a m a d e c u e r p o lib re . A q u í, la e c u a c ió n 2 .F ,
= 0 n o s e r á s a tis f e c h a p o r la s c o n d ic io n e s d e c a r g a y, p o r lo ta n to , e l e l e ­
m e n t o s e r á in e s ta b le .
Restricciones impropias. E n a lg u n o s c a s o s p u e d e h a b e r ta n ta s
fu e r z a s d e s c o n o c id a s c o m o e c u a c io n e s d e e q u ilib r io ; s i n e m b a r g o , la
in e s ta b ilid a d o e l m o v im ie n to d e u n a e s t r u c tu r a o su s e le m e n to s p u e d e n
d e s a r r o lla r s e d e b id o a la re stric c ió n i m p r o p i a d e lo s s o p o r te s . E s to p u e d e
o c u r r ir s i t o d a s las r e a c c io n e s e n lo s s o p o r te s s o n c o n c u r r e n te s e n u n
p u n to . E n la f ig u r a 2 -2 3 se m u e s tr a u n e je m p lo d e e s t a s itu a c ió n . A p a r t i r
d e l d ia g r a m a d e c u e r p o lib r e d e la v ig a p u e d e o b s e r v a r s e q u e la s u m a d e
lo s m o m e n to s a lr e d e d o r d e l p u n t o O n o s e r á ig u al a c e r o (F d * 0), p o r lo
q u e se p r e s e n ta r á r o ta c ió n a l r e d e d o r d e l p u n to O .
O tr a f o r m a e n la c u a l la re s tric c ió n im p r o p ia c o n d u c e a la in e s ta b ili­
d a d o c u r r e c u a n d o t o d a s la s fu e r z a s r e a c tiv a s s> n p a ra le la s. U n e je m p lo
d e e s t e c a s o s e m u e s tra e n la fig u ra 2 -2 4 . A q u í, c u a n d o s e a p lic a u n a
fu e rz a in c lin a d a P . l a s u m a d e fu e r z a s e n la d ir e c c ió n h o r iz o n ta l n o s e r á
ig u al a c e r o .
o o
r e a c c i o n e s c o n c u r r e n t e s
F ig u r a 2 - 2 3
,P
z
Fa
z
T
F„
H gura 2-24
r e a c c i o n e s p a r a l e l a s

75. 2 . 4 D e t e r m i n a c i ó n y e s t a b i l i d a d 5 3
E n g en era l, u n a e s tr u c tu r a se r á g e o m é tr ic a m e n te in e s ta b le — e s decir, se
m o v e r á lig e r a m e n te o c o la p s a r á — s i h a y m e n o s fu e r z a s d e rea cció n q u e
e c u a c io n e s d e e q u ilib r io ; o, s i h a y s u fic ie n te s re a ccio n es, se p r o d u c ir á in e s ­
ta b ilid a d s i la s lín ea s d e a c c ió n d e la s fu e r z a s d e re a c c ió n se c r u z a n e n u n
p u n to c o m ú n o s o n p a r a le la s e n tr e s í. S i la e s t r u c tu r a s e c o m p o n e d e v a ­
rio s e le m e n to s o c o m p o n e n te s , la in e s ta b ilid a d lo c a l d e u n o o v a rio s d e 2
e s t o s e le m e n to s p u e d e d e te r m in a r s e g e n e r a lm e n te m e d ia n te in s p e c c ió n .
Si lo s e le m e n to s f o r m a n u n m e c a n is m o c o la p s a b le , la e s t r u c tu r a s e r á
in e s ta b le . A c o n tin u a c ió n s e f o r m a liz a r á n e s to s e n u n c ia d o s p a r a u n a es­
tr u c tu ra c o p la n a r c o n n e le m e n to s o c o m p o n e n te s y r r e a c c io n e s d e s c o ­
n o c id a s . D a d o q u e h a y tr e s e c u a c io n e s d e e q u il ib r io d is p o n ib le s p a ra
c a d a e le m e n to o c o m p o n e n t e .s e t i e n e q u e
r <3>n es in e s ta b le
r a 3 n e s in e s ta b le s i la s r e a c c io n e s d e lo s
e le m e n to s s o n c o n c u r r e n te s o p a r a le lo s
o a lg u n o s d e lo s c o m p o n e n te s f o r m a n u n
m e c a n is m o c o la p s a b le
( 2 - 4 )
Si la e s tr u c tu r a e s in e s ta b le , no im p o r ta si e s e s t á tic a m e n te d e t e r m i ­
n a d a o in d e t e r m in a d a . E n to d o s lo s c a so s, e s e tip o d e e s t r u c tu r a s d e b e
e v ita r s e e n la p rá c tic a .
L os s ig u ie n te s e je m p lo s ilu s tr a n la f o r m a e n q u e la s e s t r u c tu r a s o s u s
e le m e n to s p u e d e n c la s ific a rs e c o m o e s ta b le s o in e s ta b le s . E n e l c a p ítu lo 3
s e a n a liz a r á n la s e s t r u c tu r a s e n la f o r m a d e u n a a r m a d u r a .
E l r e f u e r z o e n K s o b r e e s t e m a r c o
p r o p o r c i o n a s o p o r l e l a t e r a l c o n ­
t r a e l v i e n t o y s o p o r t e v e r t i c a l d e
l a s t r a b e s d e l p i s o . O b s e r v e e l
a s o d e l a l e c h a d a d e c o n c r e t o ,
q u e s e a p l i c a p a r a a i s l a r e l a c e r o
y e v i t a r q u e p i e r d a s u r i g i d e z e n
c a s o d e p r e s e n t a r s e u n i n c e n d i o .

76. 5 4 C a p i t u l o 2 A n á l i s i s d e e s t r u c t u r a s e s t á t i c a m e n t e d e t e r m i n a d a s
C la s if iq u e c a d a u n a d e la s e s t r u c tu r a s q u e s e m u e s t r a n e n la f ig u r a
2 - 2 5 a a 2 -2 5d c o m o e s t a b le o in e s ta b le . S e s u p o n e q u e las e s t r u c tu r a s
e s t á n s o m e tid a s a c a r g a s e x te r n a s a r b itr a r ia s c o n o c id a s .
S O L U C IÓ N
L a s e s t r u c tu r a s s e c la s ific a n d e la m a n e r a in d ic a d a .
(a)
F igura 2 -2 5
E l e l e m e n t o e s e sta b le p u e s to q u e la s r e a c c io n e s n o s o n c o n c u r r e n te s
n i p a ra le la s . T a m b ié n e s e s t á ti c a m e n t e d e te r m in a d o . R e s p .
tr
(b)
E l e le m e n to e s in e s ta b le p u e s to q u e las tr e s re a c c io n e s s o n c o n c u r r e n ­
te s e n B . R e s p .
\r t
(C)
L a v ig a e s in e sta b le p u e s to q u e la s tr e s re a c c io n e s s o n p a ra le la s . R e s p .
C
(d)
D
f— r
j
r
j
r
L a e s t r u c tu r a e s in e sta b le p u e s to q u e r = 7 , n = 3. p o r lo q u e s e g ú n la
e c u a c ió n 2 -4 , r < 3 n ,7 < 9 . A d e m á s , e s t o p u e d e o b s e r v a r s e p o r in s p e c ­
c ió n . y a q u e A B p u e d e d e s p la z a r s e h o riz x )n ta lm e n te sin r e s tric c ió n .
R e s p .

77. 2 . 4 D e t e r m i n a c i ó n y e s t a b i l i d a d
PROBLEMAS
2- 1. 1.a e s tru c tu ra d e a c e ro se usa p a ra s o s te n e r una
lo sa d e c o n c re to d e p ie d ra re fo rz a d o q u e s e e m p le a en
u n a o ficin a. L a lo s a tie n e 200 m m d e e s p e s o r. D ib u je las
c a rg a s q u e a c tú a n a lo la rg o d e lo s e le m e n to s B E y F E D .
C o n s id e r e a — 2 m , b — 5 m . S u gerencia: V ea las ta b la s
1-2 y 1-4.
2-2. R e su e lv a e l p ro b le m a 2-1 co n a = 3 m ,b = 4 m.
2-6. E l m a rc o se usa p a ra s o p o r ta r u n p iso d e m a d e ra
d e 2 p u lg a d a s d e e sp e s o r e n u n a v iv ien d a re sid en cial. D i­
b u je la s c a rg a s q u e a c tú a n a lo la rg o d e lo s e le m e n to s
B G y A B C D. C o n s id e re a = 5 p ie s,b = 15 p ies. Sugeren-
d a : V e a las ta b la s 1-2 y 1-4.
2-7. R e su e lv a e l p ro b le m a 2-6. co n a - 8 p ies, b - 8
pies.
•2 -8 . R e su elv a e l p ro b le m a 2 -6 , c o n a — 9 p ie s y b — 15
pies.
Probs. 2 -1 /2 -2
2-3. E l siste m a d e p iso e m p le a d o e n u n a u la consiste
e n u n a lo sa d e c o n c re to d e p ie d ra re fo rz a d o d e 4 p u lg a­
das. D ib u je la s c a rg a s q u e a c tú a n a lo la rg o d e la v ig u eta
B F y la tr a b e la t e r a l ABC D E. C o n s id e r e a « 10 p ie s ,
b « 3 0 p i e s Sugerencia: V ea la s ta b la s 1-2 y 1-4.
•2 -4 . R e su e lv a e l p ro b le m a 2-3 co n a = 10 p ie s .6 = 15
pies.
2-5. R e su elv a e l p ro b le m a 2-3 c o n a - 7.5 p ie s , b - 20
pies.
Probs. 2-6Z2-7/2-8
2-9. L a e s tru c tu ra d e a c e ro se usa p a r a s o p o r ta r u n a
lo sa d e c o n c re to d e p ie d ra re f o rz a d o d e 4 p u lg ad as, la
c u a l s o s tie n e u n a c a rg a viva u n ifo rm e d e 500 Ib /p ie 2. D i ­
b u je la s c a rg a s q u e a c tú a n a lo la rg o d e lo s e le m e n to s
B E y F E D . C o n s id e re 6 -1 0 p ie s y a - 7.5 p ies. Suge­
rencia: C o n su lte la ta b la 1-2.
2-10.
pie&
R e su elv a e l p ro b le m a 2-9, c o n b — 12 p ies, a — 4
PtoIk. 2 - 3 /2 - 4 /2 - S Probs. 2-9/2-10

78. 5 6 C a p i t u l o 2 A n á l i s i s d e e s t r u c t u r a s e s t á t i c a m e n t e d e t e r m i n a d a s
2- 11. G a s if iq u e c a d a u n a d e la s e s tru c tu ra s c o m o e s tá ­
tic a m e n te d e te r m in a d a , e s tá tic a m e n te in d e te rm in a d a o
in estab le. Si e s in d e te rm in a d a , esp e c ifiq u e e l g ra d o de
in d e te rm in a c ió n . L o s s o p o rte s o c o n e x io n e s d e b e n s u je ­
ta r s e a lo s s u p u e s to s in d icad o s.
¿V n i ,
(a)
0»
P ro lx 2-11
*2-12. C la sifiq u e c ad a u n o d e lo s m a rc o s c o m o e s tá ti­
c a m e n te d e te r m in a d o s o in d eterm in ad o s. S i e s in d e te r­
m in a d o , e s p e c ifiq u e e l g ra d o d e in d e te rm in a c ió n . T odas
las ju n ta s in te rn a s e s tá n c o n e c ta d a s fijam en te.
—
-------------
(a)
(C )
(d )
Proh. 2-12

79. 2 . 4 D e t e r m i n a c i ó n y e s t a b i l i d a d 57
2-13. C la sifiq u e c a d a u n a d e la s e s tru c tu r a s c o m o e stá ­
tic a m e n te d e te r m in a d a , e stá tic a m e n te in d e te rm in a d a ,
e s ta b le o in e s ta b le . S i e s in d e te rm in a d a , e s p e c ifiq u e el
g ra d o d e in d e te rm in a c ió n . L o s s o p o r te s o c o n ex io n e s
d e b e n s u je ta rs e a lo s s u p u e s to s indicados.
( ¡ r l c u l a d ó n ro d illo
I
(a)
Aja♦
a r tic u la c i ó n
a rtic u la ció n a rtic u la c ió n flja
0»
2-15. G a s if iq u e c a d a u n a d e la s e s tru c tu r a s c o m o e s tá ­
tic a m e n te d e te rm in a d a , e s tá tic a m e n te in d e te rm in a d a o
in estab le. Si e s in d e te rm in a d a , esp e c ifiq u e el g ra d o de
in d e te rm in a c ió n .
¿rU culaclón j l i c u l a d ó n
(c)
Proh. 2-13
2-14. G a s if iq u e c a d a u n a d e la s e s tru c tu r a s c o m o e s tá ­
tic a m e n te d e te r m in a d a , e stá tic a m e n te in d e te rm in a d a ,
e s ta b le o in e s ta b le . S i e s in d e te rm in a d a , e s p e c ifiq u e el
g ra d o d e in d e te rm in a c ió n . I x » s o p o r te s o c o n ex io n e s
d e b e n s u je ta rs e a lo s s u p u e s to s indicados.
a r t i c u l a c i ó n
r o d i l l o
a r tic u la c i ó n
(b)
(a )
I ‘S)
¿ r o d i l l o a r t i c u l a c i ó n r o d i l l o ^ - a r t i c u l a c i ó n fija
( b )

80. 5 8 C a p i t u l o 2 A n á l i s i s d e e s t r u c t u r a s e s t á t i c a m e n t e d e t e r m i n a d a s
*2-16. C la sifiq u e c a d a u n a d e la s e s tru c tu r a s co m o
e s tá tic a m e n te d e te r m in a d a , e s tá tic a m e n te in d e te rm i­
nada o in estab le. Si e s in d e te rm in a d a , e s p e c ifiq u e el
g ra d o d e in d e te rm in a c ió n .
2 -1 7 . C la sifiq u e c a d a u n a d e la s e s tru c tu ra s c o m o e stá ­
ticam en te d e te rm in a d a , e s tá tic a m e n te in d e te rm in a d a ,
e s ta b le o in estab le. Si e s in d e te rm in a d a , esp e c ifiq u e el
g r a d o d e in d e te rm in a c ió n .
(a)
<b)
(a)
(b)
( c )
&
<c)
A
<d)
P r o h . 2 - 1 6
(d)
Proh. 2 -1 7

81. 2 . 5 Ap l i c a c i ó n d e i a s e c u a c i o n e s d e e q u i u b r i o
2 . 5 A p licació n de las ecuaciones
d e e q u ilib rio
H n fo r m a o c a s io n a l, lo s e le m e n to s d e u n a e s t r u c tu r a s e c o n e c t a n e n t r e s í
d e m o d o q u e la s ju n t a s p u e d e n a s u m ir s e c o m o a rtic u la c io n e s . L o s m a r - 2
e o s y la s a r m a d u r a s p a r a c o n s tru c c ió n s o n e je m p lo s típ ic o s q u e s u e le n
fo r m a rs e d e e s t a m a n e r a . Si u n a e s t r u c t u r a c o p l a n a r a r tic u la d a e s t á b ie n
r e s tr in g id a y n o c o n tie n e n in g ú n s o p o r te o e le m e n to a d ic io n a l n e c e s a r io
p a ra e v ita r e l c o la p s o , la s f u e r / a s q u e a c tú a n e n las ju n t a s y s o p o r te s p u e ­
d e n d e te r m i n a r s e m e d ia n te la a p lic a c ió n a c a d a e le m e n to d e las tr e s
e c u a c io n e s d e e q u ilib r io (2 .F , = 0 = 0 ,X A 1a = 0 ). E s c o m p r e n s ib le
q u e , u n a v e / q u e s e h a y a n c a lc u la d o las f u e r / a s e n la s j u n t a s , s e r á p o s ib le
d e te r m i n a r e l ta m a ñ o d e lo s e le m e n to s , las c o n e x io n e s y lo s s o p o r te s c o n
b a s e e n la s e s p e c ific a c io n e s d e lo s c ó d ig o s d e d is e ñ o .
P a ra il u s t r a r e l m é to d o d e a n á lis is d e fu e rz a s , c o n s id e r e e l m a r c o d e
tr e s e le m e n to s q u e se m u e s tr a e n la fig u ra 2 - 2 6 a ,e l c u a l e s t á s o m e tid o a
las c a r g a s P i y P 2. E n la fig u ra 2 -2 6 6 s e m u e s tr a n lo s d ia g r a m a s d e
c u e r p o lib r e d e c a d a e le m e n to . E n to t a l h a y n u e v e in c ó g n ita s ; s i n e m ­
b a rg o , p u e d e n e s c r ib ir s e n u e v e e c u a c io n e s d e e q u ilib r io , tr e s p a r a c a d a
e le m e n to , p o r lo q u e e l p r o b l e m a e s e stá tic a m e n te d e te r m in a d o . P a r a la
s o lu c ió n r e a l ta m b ié n e s p o s ib le , y c o n v e n ie n te a v e c e s, c o n s i d e r a r u n a
p o rc ió n d e l m a r c o o s u to ta lid a d a l m o m e n to d e a p lic a r a lg u n a d e e s t a s
n u e v e e c u a c io n e s . P o r e je m p lo , e n la fig u ra 2 -2 6 c se m u e s tra u n d ia g r a m a
d e c u e r p o lib r e d e to d o e l m a rc o . S e p o d r ía n d e t e r m i n a r las tr e s r e a c c io ­
n e s A ,,A vy C , s o b r e e s te s is te m a a r t ic u l a d o “ r íg id o ” p a r a d e s p u é s a n a ­
liz a r d o s d e c u a lq u ie r a d e s u s e le m e n to s , f ig u r a 2 - 2 6 6 ,y o b t e n e r la s o tr a s
se is in c ó g n ita s . A d e m á s , la s r e s p u e s ta s p u e d e n c o m p r o b a r s e , e n p a r t e
m e d ia n te la a p lic a c ió n d e la s tr e s e c u a c io n e s d e e q u il ib r io e n e l “ te r c e r "
e le m e n to r e s ta n te . E n r e s u m e n , e s te p r o b le m a p u e d e re s o lv e r s e a l e s c r i­
b ir u n m á x im o d e n u e v e e c u a c io n e s d e e q u ilib r io u s a n d o d ia g r a m a s d e
c u e r p o lib r e d e c u a le s q u ie r e le m e n to s y /o c o m b in a c io n e s d e e le m e n to s
c o n e c ta d o s . S i s e e s c r ib e n m ás d e n u e v e e c u a c io n e s , h a b r ía r e d u n d a n c ia
s o b r e la s n u e v e e c u a c io n e s o r ig in a le s y a lg u n a s d e é s ta s s ó lo s e r v ir ía n
p a r a c o m p r o b a r re s u lta d o s .
D , A,
Figura 2-26

82. 6 0 Ca p i t u l o 2 A n á l i s i s d e e s t r u c t u r a s e s t á t i c a m e n t e d e t e r m i n a d a s
C o n s id e r e a h o r a e l m a r c o d e d o s e le m e n to s q u e s e m u e s tr a e n la fi­
g u r a 2 -2 7a. A q u í, lo s d ia g r a m a s d e c u e r p o lib r e d e lo s e le m e n to s m u e s ­
t r a n s e is in c ó g n ita s , fig u ra 2 -2 7 6 ; s in e m b a r g o , e s p o s ib le e s c r ib ir se is
e c u a c io n e s d e e q u ilib r io , tr e s p a r a c a d a e le m e n to , p o r l o q u e d e n u e v o el
p r o b le m a e s e s t á ti c a m e n t e d e te r m i n a d o . A l ig u a l q u e e n e l c a s o a n te r io r ,
2 ta m b ié n p u e d e e m p le a r s e u n d ia g r a m a d e c u e r p o lib re d e t o d o e l m a rc o
p a ra u n a p a r t e d e l a n á lis is , fig u ra 2 -2 7 c . A u n q u e , c o m o s e m u e s tr a , el
m a r c o ti e n e te n d e n c ia a l c o la p s o si n o c u e n ta c o n s u s s o p o r te s , a l g i r a r
s o b r e la a r tic u la c ió n e n R . e s t o n o s u c e d e r á p u e s t o q u e e l s is te m a d e
fu e r z a s q u e a c tú a n s o b r e e l m a r c o to d a v ía p u e d e n m a n t e n e r l o e n e q u il i­
b rio . P o r lo ta n t o , si a s í s e d e s e a , la s se is in c ó g n ita s p u e d e n d e te r m in a r s e
m e d ia n te la a p lic a c ió n d e la s tr e s e c u a c io n e s d e e q u ilib r io a to d o el
m a r c o , fig u ra 2 -2 7 c , y ta m b ié n a l a p li c a r e s t a s e c u a c io n e s a u n o d e su s
e le m e n to s .
L o s d o s e je m p lo s a n te r io r e s m u e s tr a n q u e s i u n a e s t r u c tu r a e s t á b ie n
s o p o r ta d a y n o c o n tie n e n in g ú n a p o y o o e le m e n to a d ic io n a l q u e s e a n e ­
c e s a r io p a r a e v it a r e l c o la p s o , e l m a r c o s e c o n v ie r te e n e s t á tic a m e n te d e ­
te r m in a d o y, p o r lo ta n t o , la s f u e r z a s d e s c o n o c id a s e n lo s s o p o r t e s y
c o n e x io n e s p u e d e n d e te r m i n a r s e a p a r t i r d e la s e c u a c io n e s d e e q u ilib r io
a p lic a d a s a c a d a e le m e n to . A d e m á s , s i la e s t r u c t u r a s e m a n t ie n e rígida
( n o c o la p s a b le ) a l r e t i r a r lo s s o p o r t e s (f ig u ra 2 -2 6 c ), la s tr e s re a c c io n e s
e n lo s s o p o r te s p u e d e n d e te r m i n a r s e m e d i a n te la a p lic a c ió n d e la s tr e s
e c u a c io n e s d e e q u il ib r io a to d a la e s t r u c tu r a . S in e m b a r g o , s i la e s tr u c tu r a
n o p a r e c e s e r ríg id a ( c o l a p s a b l e ) d e s p u é s d e r e t i r a r lo s s o p o r t e s ( f ig u ­
r a 2 - 2 7 c ) ,s e r á n e c e s a r io d e s m e m b r a r la e s t r u c t u r a y c o n s i d e r a r e l e q u il i­
b r io d e lo s e le m e n to s in d iv id u a le s a f i n d e o b t e n e r s u fic ie n te s e c u a c io n e s
p a ra d e t e r m i n a r to d a s la s re a c c io n e s e n lo s s o p o r te s .
H gura 2-27

83. 2 . 5 Ap l i c a c i ó n d e l a s e c u a c i o n e s d e e q u i l i b r i o
Procedim iento de análisis
E l s ig u ie n te p r o c e d im ie n to p r o p o r c io n a u n m é to d o p a r a d e t e r m i n a r la s rea c c io n e s e n la s
ju n ta s e s t r u c tu r a s c o m p u e s ta s p o r e le m e n to s a rtic u la d o s .
D ia g r a m a s d e c u e r p o lib re
• D e s e n s a m b le la e s t r u c tu r a y d ib u j e u n d ia g r a m a d e c u e r p o lib r e d e c a d a e le m e n to .
A d e m á s , p u e d e s e r c o n v e n ie n te c o m p le m e n ta r e l d ia g r a m a d e c u e r p o lib r e d e u n e l e ­
m e n to c o n e l d ia g r a m a d e c u e r p o lib r e d e to d a la e s tr u c tu r a . C o n e s t e d ia g r a m a e s p o ­
s ib le d e te r m i n a r t o d a s o a lg u n a s d e la s r e a c c io n e s e n lo s s o p o r te s .
• R e c u e r d e q u e la s f u e r z a s d e r e a c c ió n c o m u n e s a d o s e le m e n to s a c tú a n c o n m a g n i tu ­
d e s ig u a le s p e r o c o n d ir e c c io n e s o p u e s ta s e n lo s r e s p e c tiv o s d ia g r a m a s d e c u e r p o lib re
d e lo s e le m e n to s .
• D e b e n id e n tif ic a rs e to d o s lo s e le m e n to s d e d o s fu e rz a s . S o b r e e s to s e le m e n to s , i n d e ­
p e n d ie n t e m e n t e d e s u f o r m a , n o a c tú a n c a rg a s e x t e r n a s y, p o r lo ta n to , s u s d ia g r a m a s
d e c u e r p o lib r e s e r e p r e s e n t a n c o n la s fu e r z a s c o lin e a le s ig u a le s p e r o o p u e s t a s a c ­
tu a n d o e n s u s e x tr e m o s .
• E n m u c h o s c a s o s e s p o s ib le e s t a b le c e r p o r in s p e c c ió n e l s e n tid o c o r r e c to d e la fle c h a
q u e in d ic a la d ir e c c ió n d e u n a f u e r z a o m o m e n to d e s c o n o c id o ; s in e m b a r g o , s i e s to p a ­
r e c e d ifíc il, e l s e n t id o d e la f u e r z a p u e d e s u p o n e r s e a r b itr a r ia m e n te .
E c u a c io n e s d e e q u ilib r io
• C u e n te e l n ú m e r o to t a l d e in c ó g n ita s p a r a a s e g u r a r q u e s e p u e d a e s c r ib ir u n n ú m e r o
e q u iv a le n te d e e c u a c io n e s d e e q u ilib r io p a r a s u s o lu c ió n . A e x c e p c ió n d e lo s e l e m e n ­
to s d e d o s fu e rz a s , r e c u e r d e q u e g e n e r a lm e n te p u e d e n e s c r ib ir s e tr e s e c u a c i o n e s d e
e q u ilib r io p a r a c a d a e le m e n to .
• E n m u c h a s o c a s io n e s la s o lu c ió n d e la s in c ó g n ita s s e r á s e n c illa , s i la e c u a c ió n d e m o ­
m e n t o “ O se a p lic a a lr e d e d o r d e u n p u n to ( O ) q u e s e e n c u e n t r e e n la i n t e r s e c ­
c ió n d e la s lín e a s d e a c c ió n d e ta n t a s f u e r z a s d e s c o n o c id a s c o m o s e a p o s ib le .
• A l a p li c a r la s e c u a c io n e s d e f u e r z a Í F , = 0 y Z F y = 0 , o r i e n t e lo s e je s x y y a lo la rg o
d e la s lín e a s q u e o f r e c e n la re d u c c ió n d e fu e r z a s m á s s im p le e n s u s c o m p o n e n t e s x y y.
• Si la s o lu c ió n d e las e c u a c io n e s d e e q u ilib r io p r o p o r c io n a u n a m a g n itu d n e g a tiv a p a ra
u n a f u e r z a o m o m e n to d e s c o n o c id o , e s to in d ic a q u e e l s e n t id o d e la f u e r z a e s o p u e s t o
a l q u e s e s u p u s o e n e l d ia g r a m a d e c u e r p o lib re .

84. 62 Ca p i t u l o 2 A n á l i s i s d e e s t r u c t u r a s e s t á t i c a m e n t e d e t e r m i n a d a s
EJE M P LO 2 .8
!r
D e te r m in e las re a c c io n e s s o b r e la v ig a q u e s e m u e s tra e n la fig u ra 2-28a.
6 0 k
60*A
60 i
5 0 k p i e
7
------------1 0 p ie s------------1-pJ --------7 p i e s--------
+ Ís f,
o.
0;
60" k
c o s 6 0 ° k 5 0 k-pie
10 p ie s
(a)
- 4 p i e s - t
»•
(b)
Figura 2 -2 8
S O L U C IÓ N
D ia g ra m a d e c u e rp o líb r e . C o m o s e m u e s tr a e n la fig u ra 2 -2 8 6 , la
f u e r z a d e 6 0 k s e r e s u e lv e e n s u s c o m p o n e n t e s x y y . ft>r o t r a p a r t e ,
la lín e a d im e n s io n a l d e 7 p ie s n o e s n e c e s a r ia p u e s t o q u e u n m o m e n to
d e p a r e s u n v e c to r lib r e y. p o r lo ta n t o , p u e d e a c t u a r e n c u a lq u ie r
p u n to d e la v ig a p a r a lo s fin e s d e c a lc u la r las r e a c c io n e s e x te rn a s .
E c u a c io n e s d e e q u flib r io . A l a p li c a r la s e c u a c io n e s 2 -2 e n u n a s e ­
c u e n c ia y a l e m p l e a r lo s re s u lta d o s c a lc u la d o s p r e v i a m e n t e .s e tie n e
Í 2 F X = 0 - A x ~ 6 0 e o s 6 0 ° = 0 A , = 3 0 .0 k R e sp
- 6 0 s e n 6 0 ° ( 1 0 ) + 6 0 c o s 6 0 ° ( 1 ) + « , ( 1 4 ) - 5 0 = 0 B f = 3 8 .5 k R esp.
R esp.- 6 0 s e n 6 0 ° + 3 8 .5 + A . 13.4 k
EJE M P LO 2 .9
15 k N / r
5 k N / n
------------------------------1 2 m------------------------------1
(a)
U l 0 k N / m K I 2 m ) - 6 0 k N
| ( 5 k N / m ) ( 1 2 m ) =
t e 4 “ kN
- H -
( b )
D e te r m in e las re a c c io n e s s o b r e la v ig a q u e s e m u e s tra e n la fig u ra 2-29a.
S O L U C IÓ N
D ia g ra m a d e c u e rp o li b r e . G o m o s e m u e s tr a e n la f ig u r a 2 -2 9b ,
la c a r g a tr a p e z o id a l d is tr ib u id a s e d iv id e e n u n a c a rg a tr ia n g u l a r y u n a
c a r g a u n if o r m e . L a s á r e a s b a jo e l tr iá n g u lo y e l r e c tá n g u lo r e p r e s e n ­
t a n la s f u e iz a s r e s u lta n te s. E s ta s fu e r z a s a c tú a n a tr a v é s d e l c e n tr o id e
d e s u s á r e a s c o rr e s p o n d ie n te s .
E c u a c io n e s d e e q u ilib r io
S F X = o ; A * = o
+ Í 2 F , = 0 ; A y - 6 0 - 6 00 120 k N
R esp.
R esp.
Figura 2-29 L + 2 Ma = 0 ; - 6 0 ( 4 ) - 6 0 ( 6 ) + MA = 0 MA = 6 0 0 k N - m R esp.

85. 2 . 5 Ap l i c a c i ó n d e i a s e c u a c i o n e s d e e q u i u b r i o 6 3
E JE M P LO 2 .1 0
D e te r m in e las r e a c c io n e s s o b r e la v ig a m o s tr a d a e n la f ig u r a 2 -3 (ta.
S u p o n g a q u e A e s u n a a r tic u la c ió n y e l s o p o r te e n f í e s u n r o d illo ( s u ­
p e rfic ie lis a ).
Figura 2 -3 0
S O LU C IÓ N
D ia g ra m a d e c u e rp o lib r e . C ó m o s e m u e s tr a e n la fig u ra 2 - 3 0 6 .e l
s o p o r te (“ r o d i ll o " ) e n B e je r c e u n a fu e r z a n o r m a l s o b r e la v ig a e n s u
p u n to d e c o n ta c to . L a lí n e a d e a c c ió n d e e s t a f u e r a e s tá d e f i n id a p o r
d tr iá n g u l o 3-4-5.
(b)
E c u a c io n e s d e e q u ilib r io . A l d e s c o m p o n e r N # e n s u s c o m p o n e n ­
te s x y y,y a l s u m a r lo s m o m e n to s a lr e d e d o r d e A se o b ti e n e u n a s o lu -
d ó n d ir e c ta p a r a N B. ¿ P o r q u é ? C o n e s t e r e s u lta d o e s p o s ib le o b t e n e r
A x y A y.
0;
0;
- 3 5 0 0 ( 3 .5 ) + (i)N B(4) + (Í)A rA( 1 0 ) = 0 R esp.
N „ = 1331.51b = 1.33 k
_ 1 / m i o = n = 1.07 k R e sp .
A y = 2 .7 0 k R esp.
A , - * ( 1 3 3 1 . 5 ) = 0
A , - 3 5 0 0 + f ( 1331.5) = 0

86. 6 4 C a p i t u l o 2 A n á l i s i s d e e s t r u c t u r a s e s t á t i c a m e n t e d e t e r m i n a d a s
EJE M P LO 2 .1 1
L a v ig a c o m p u e s ta q u e s e m u e s tr a e n la fig u ra 2 - 3\a e s tá fija e n A .
D e te r m in e la s r e a c c io n e s e n A , B y C . S u p o n g a q u e la c o n e x ió n e n B
e s u n a a rtic u la c ió n y q u e C e s u n ro d illo .
S O L U C IÓ N
D ia g ra m a s d e c u e r p o lib r e . E n la fig u ra 2 -3 1 6 s e m u e s tr a e l d i a ­
g r a m a d e c u e r p o lib re d e c a d a s e g m e n to . ¿ P o r q u é e s t e p r o b l e m a e s
e s t á tic a m e n te d e te r m i n a d o ?
#00 0 ib
A , — ( j !
A , | — l O p i e s -i “
^ ^1® i— |-----lOpies— I J ----------15 pies---------\
6 00 0 I b • pie
(b )
E c u a c io n e s d e e q u flib r io . H a y s e is in c ó g n ita s . A l a p li c a r la s s e is
e c u a c io n e s d e e q u ilib r io y e m p l e a r lo s re s u lta d o s c a lc u la d o s p r e v i a ­
m e n te , s e ti e n e
S e g m e n to B C \
5,+ Z M c = O.
+ tZ F , = 0;
% - Z F , = 0;
S e g m e n to AB:
l + S M * = O.
6 0 0 0 + f l ,( 1 5 ) = 0 B y
0;
0 ;
- 4 0 0 + Cy = 0
Ma ~ 8 0 0 0 (1 0 ) + 4 0 0 (2 0 ) =
Ma = 7 2 .0 k - p ie
A y - 8 0 0 0 + 4 0 0 = 0 A ,
A t - 0 = 0 A t
4 0 0 1 b
4 0 0 1 b
7 .6 0 k
0
R esp.
R esp.
R esp.
R esp.
R esp.
R esp.
(a )
Figura 2-31

87. 2 . 5 Ap l i c a c i ó n d e i a s e c u a c i o n e s d e e q u i u b r i o
E JE M P LO 2 .1 2
D e te r m in e las c o m p o n e n te s h o r iz o n ta l y v e r tic a l d e r e a c c ió n e n la s
a rtic u la c io n e s A , B y C cfcl m a r c o d e d o s e le m e n to s q u e s e m u e s tr a e n
b fig u ra 2 -3 2a.
Figura 2 -3 2
S O L U C IÓ N
Diagramas da cuerpo libre. E n la fig u ra 2 -3 2b s e m u e s tr a e l d i a ­
g r a m a d e c u e r p o lib r e d e c a d a e le m e n to .
Ecuaciones de equilibrio. 1.a a p lic a c ió n d e la s s e i s e c u a c i o n e s d e
e q u ilib r io e n la s ig u ie n te s e c u e n c ia p e r m it e u n a s o lu c ió n d i r e c t a p a ra
c a d a u n a d e la s se is in c ó g n ita s .
E le m e n to B C:
L + S A f c = 0 ;~ B y{2) + 6 ( 1 ) = 0 B y = 3 k N R esp.
E le m e n to A B :
J .+ 2 M Á = 0 .- 8 ( 2 ) - 3 (2 ) + B , { 1 .5 ) = 0B , = 14.7 k NR esp.
= 0;A x + ^ ( 8 ) - 14.7 = 0 A , = 9.87 k NR esp.
+ Í Z F y = 0;A y - Í(S) - 3 = 0 A y = 9 .4 0 k NR esp.
E le m e n to BC :
- ¿ Z F , = 0.14.7 - C , = 0 C , = 14.7 k NR e sp .
+ Í 2 F , = 0; 3 - 6 + C y = 0 C y = 3 k N R esp.

88. 6 6 C a p i t u l o 2 A n á l i s i s d e e s t r u c t u r a s e s t á t i c a m e n t e d e t e r m i n a d a s
EJE M P LO 2 .1 3
E l la d o d e la c o n s t r u c c i ó n q u e s e m u e s t r a e n la f ig u r a 2 - 3 3 a e s t á
s o m e ti d o a u n a c a r g a d e v ie n to q u e c r e a u n a p r e s ió n u n if o r m e n o r ­
m a l d e 15 k P a s o b r e e l la d o e n b a r lo v e n to y u n a p r e s ió n d e s u c c ió n d e
5 k P a e n e l la d o e n s o ta v e n to . D e te r m in e las c o m p o n e n t e s h o r iz o n ta l
y v e r tic a l d e la re a c c ió n e n la s c o n e x io n e s a r t ic u la d a s A , R y C e n e l
a rc o a d o s a g u a s q u e d a s o p o r te a la c o n s tru c c ió n .
(a)
Figura 2 -3 3
S O L U C IÓ N
C o m o la c a r g a e s t á d is tr i b u id a u n if o r m e m e n te , e l a r c o c e n tr a l a d o s
a g u a s s o p o r ta u n a c a rg a q u e a c tú a s o b r e la s p a r e d e s y e l te c h o d e l
á r e a tr ib u t a r ia q u e s e m u e s tr a c o n u n s o m b r e a d o o s c u ro . E s to r e p r e ­
s e n t a u n a c a r g a d is tr ib u id a u n if o r m e d e (1 5 k N /m ?)(4 m ) = 6 0 k N /m
e n e l la d o d e b a r lo v e n to y ( 5 k N /m 7)(4 m ) = 2 0 k N /m e n e l la d o d e s o ­
ta v e n to , fig u ra 2 -3 3 6 .

89. 2 . 5 Ap l i c a c i ó n d e i a s e c u a c i o n e s d e e q u i u b r i o 67
D ia g ra m a s d e c u e r p o lib r e . Si se s im p lific a n la s c a r g a s d is tr i b u i­
d a s. lo s d ia g r a m a s d e c u e r p o lib re d e to d o e l m a r c o y c a d a u n a d e s u s
p a r te s s o n c o m o s e m u e s tr a n e n la f ig u r a 2-33c.
(c )
2 5 4 .6 k N 2 .1 2
« i * B .
4 5 m
B r B
8 4 .9 k N
180 k N
A .
r n - 4 - l "
* 1 .5 m 1 5 m
M.v i
B . J A *
1 5 m
r
E cu a cio n e s d e e q u ilib r io . L a s o lu c ió n d e e c u a c io n e s s im u ltá n e a s
se e v it a a l a p li c a r la s e c u a c io n e s d e e q u ilib r io e n la s e c u e n c ia s i­
g u ie n te y u s a n d o lo s r e s u lta d o s c a lc u la d o s p r e v ia m e n te .*
M a r c o c o m p le to :
t + I M * = O. - ( 1 8 0 + 6 0 ) ( 1 .5 ) - (2 5 4 .6 + 8 4 .9 ) e o s 4 5 ° ( 4 .5 )
- (2 5 4 .6 s e n 4 5 ° ) ( 1.5) + (8 4 .9 s e n 4 5 ° ) ( 4 .5 ) + C , {6 ) = 0
C y = 24 0 .0 k N R esp.
+ 1 Z F y = 0 ; - A y - 25 4 .6 s e n 4 5 ° + 8 4 .9 s e n 4 5 ° + 24 0 .0 = 0
A y = 12 0 .0 k N R esp.
E le m e n to A B :
\,+ ZMb = 0 ; - A t (6) + 1 2 0 .0 (3 ) + 1 8 0 (4 .5 ) + 2 5 4 .6 (2 .1 2 ) = 0
A , = 28 5 .0 k N R esp.
- i 1 F , = 0 ; - 2 8 5 . 0 + 180 -f 25 4 .6 e o s 4 5 ° - B t = 0
B x = 7 5 .0 k N R esp.
+ ]'Z F y = 0 ; - 1 2 0 . 0 - 25 4 .6 s e n 4 5 ° + B y = 0
B y = 30 0 .0 k N R esp.
E le m e n to C B:
-4 = 0 ; - C , + 6 0 4- 8 4 .9 e o s 4 5 ° + 7 5 .0 = 0
C x = 19 5 .0 k N R esp.
• E l p r o b l e m a t a m b i é n p u e d e r e s o lv e r s e a l a p l i c a r l a s s e i s e c u a c i o n e s d e e q u i l i b r i o s ó l o
a l o s d o s e l e m e n t o s . S i s e h a c e c s t o . c s r e c o m e n d a b l e s u m a r p r i m e r o l o s m o m e n t o s a l ­
r e d e d o r d e l p u n t o A « o b re e l e l e m e n t o / l f i . d c s p u é s l o s d e l p u n t o C s o b r e e l e l e m e n t o
C B . D e e s t a m a n e r a r e s u l t a n d o s e c u a c i o n e s q u e d e b e n r e s o lv e r s e s i m u l t á n e a m e n t e
p a r a o b t e n e r B , y B r
6 0 k N
C,

90. 68 Ca p i t u l o 2 A n á l i s i s d e e s t r u c t u r a s e s t á t i c a m e n t e d e t e r m i n a d a s
REPASO DEL CAPÍTULO
S o p o rtes—A m enudo se su p o n e q u e lo s e lem en to s estru ctu rales d e b e n e sta r c o n e c ta d o s m ediante articu lacio n es si e n tre
ellos p u ed e o c u rrir u n a rotación relativa leve, y q u e d e b e n e sta r co n ectad o s fijam ente si la rotación n o e s posible.
s d d a d u r a
c o s ti lla s
c o n e x i ó n “ a r t i c u l a d a ” t í p i c a ( d e m e t a l )
s o l d a d u r a
c o n e x i ó n “ f i j a " t í p i c a ( d e m e t a l )
E stru ctu ras idealizadas—O ta n d o se realizan su p u esto s acerca de so p o rtes y conexiones, al considerar p o r ejem plo q u e so n
rodillos, articulaciones o fijos, los e lem en to s p u e d e n rep resen tarse co m o líneas, p o r lo q u e e s posible estab lecer u n m o d elo
idealizado q u e p u ed e usarse e n e l análisis.
c
E L
v ig a r e a l
T
v ig a i d e a l i z a d a
L as cargas tributarías so b re losas p u e d e n d eterm in arse al clasificar, en p rim e r lugar, la losa co m o e n u n a d irecció n o e n d o s
direcciones. C o m o reg la g e n e ra l, si L? es la d im en sió n m ás g ra n d e y Lj/Lt > 2, la losa se co m p o rta rá com o u n a losa en
u n a dirección. Si ¿ / Z . , < 2. la losa se co m p o rta rá co m o u n a losa en d o s direcciones.
la a c c ió n d e u n a lo s a e n u n a
d i r e c c i ó n r e q u i e r e q u e L 3/ L i > 2
la a c c ió n d e u n a lo s a e n d o s
d i r e c c i o n e s r e q u i e r e q u e L 2/ L, s 2

91. Re p a s o d e l c a p i t u l o 69
Principio d e s u p e r p o s ic ió n - L as carg as o los despla7am ienios p u e d e n sum arse siem p re q u e e l m aterial se a elástico lineal
y q u e sólo o c u rra n p eq u eñ o s desplazam ientos d e la estru ctu ra.
E qu itibrio L as estru c tu ra s estáticam ente d e te rm in ad as p ueden an alizarse al desensam blarlas y a l a p lic a r las ecuaciones
de eq uilibrio a cada elem ento. E l análisis d e u n a estru ctu ra estáticam ente d ete rm in a d a req u iere, p rim ero , d ib u jar e l d ia­
g ram a d e cuerp o libre de to d o s lo s elem en to s, p a ra d e sp u é s a p lic a r las ecuaciones d e equilibrio a c a d a elem en to .
2 F . - 0
2 F y = o
Z M o = 0
E l núm ero d e ecuaciones d e eq uilibrio p a ra lo s n e lem en to s de u n a estru ctu ra e s 3n . Si la estructura tiene r reacciones, e n ­
to n ces la estru c tu ra e s estáticamente determ inada si
r » 3 n
y estáticamente indeterm inada si
r > 3 n
E l núm ero adicional d e ecuaciones necesarias p a ra o b te n e r la solución se conoce com o e l g ra d o d e indeterm inación.
E stabilidad —Si h a y m en o s reaccio n es q u e ecuaciones d e equilibrio, en to n ce s la estru c tu ra será inestable p o rq u e e stá res­
tringida parcialm ente.T am bién p u ed e p re sen tarse una inestabilidad d eb id a a las restricciones im propias, si las lín eas de a c ­
ción d e las reacciones so n c o n c u rren tes e n u n p u n to o p aralelas e n tre sí.
T'
rea c c i o n e s c o n c u r r e n t e s
r e a c c io n e s p a r a l e l a s

92. 7 0 C a p i t u l o 2 A n á l i s i s d e e s t r u c t u r a s e s t á t i c a m e n t e d e t e r m i n a d a s
P R O B L E M A S F U N D A M E N T A L E S
F 2 -2 . D eterm ine las com p o n en tes h o rizo n tal y vertical de
la reacción e n las articu lacio n es A , B y C.
1 0 k N / m
F 2 -3 . D eterm ine las com p o n en tes h o rizontal y vertical de
la reacción e n las articu lacio n es A , B y C.
¥ 2 -4 . D eterm ine las com p o n en tes h o rizontal y vertical de
la reacción e n el so p o rte d e rodillos A y e n el so p o rte fijo R.
F 2 -5 . D eterm ine las com p o n en tes h o rizontal y vertical de
la reacción e n las articulaciones A , B y C del m arco d e d o s
elem entos.
3 0 0 Ib
F2-Ó. D eterm ine las c o m p o n en tes d e la reacción e n e l s o ­
p o rte d e ro d illo s A y e n la articu lació n C. La ju n ta B está
co n ectad a fijam ente.
6 k N
F 2 -1 . D eterm ine las com p o n en tes h o rizontal y vertical de
la reacción e n las articu lacio n es A .B yC .

93. Pr o b l e m a s r j n d a m e n t a i e s 7 1
R - 7 . D eterm ine las com p o n en tes h o rizontal y vertical de
la reacción e n las articu lacio n es A, B y D d el m arco d e tres
elem entos. La ju n ta e n C está c o n e c ta d a fijam ente.
8 k N 8 k N
F2-8. D eterm ine las com p o n en tes d e la reacción e n el s o ­
p o rte fijo D y e n las articulaciones A. B y C del m a rc o de tres
elem entos. N o to m e en cu en ta e l espesor d e los elem entos.
6kN 6kN
F 2-8
F2-9. I ^ te r m in e las com ponentes de la reacción e n el s o ­
p o rte fijo D y e n las articulaciones A.ByCd¿\ m a rc o d e tres
elem entos. N o to m e e n cu en ta e l espesor d e los e le m e n to s
2 k/pie
F2-10. D eterm ine las com ponentes de la reacción e n el s o ­
porte fijo D y en las articulaciones A, li y C del m arco d e tres
e lem en to s N o tom e en cu en ta el espesor d e los elem entos
8 k N 8 kN
F 2 - I 0

94. 7 2 C a p i t u l o 2 A n á l i s i s d e e s t r u c t u r a s e s t á t i c a m e n t e d e t e r m i n a d a s
P R O B L E M A S
2 -1 8 . D eterm ine las reacciones so b re la viga. N o to m e en
cu en ta s u espesor.
2 -2 1 . D eterm ine las reacciones e n lo s s o p o rte s A y B de la
viga co m puesta. S uponga q u e e n C hay una articulación.
18 IN
2 0 k N 2 0 k N
Í *-"
LJa
H r - J«
É - . . -
Prob. 2 -1 8
2 -1 9 . D eterm ine las reacciones so b re la viga.
3k/pie
2 -2 2 . D e te rm in e la s re a c c io n e s e n lo s s o p o rte s A, B.D
y f.
2 p ie s
Prob. 2 -2 2
•2 -2 0 . D eterm ine las reacciones so b re la viga. 2 -2 3 . La viga com puesta se sostiene m ediante u n a artic u ­
lación e n C y e stá ap o y ad a so b re un rodillo e n A y B . H ay
una bisagra (articulación) e n D . D eterm ine las reacciones
en lo s soportes. N o to m e en cu en ta el esp eso r d e la viga.
2 k / p i e
A
4 k
12 k
I
é
A \ D S 1 " ' P C
6
p ie s
4 «
8 - L 8 J- -D ies^'oiesH2 . p ie s — - p ¡ e s - » - p i e a -
p ie s
P ro b . 2 -2 3

95. PfOBlEMAS 7 3
•2 -2 4 . D eterm ine las reacciones so b re la viga. P uede su- 2 -2 7 . La viga com pu esta e stá fija e n A y se sostiene m e-
ponerse q u e e l so p o rte e n B e s un rodillo. d ian tc un o scilador e n tí y C . H ay bisagras (articulaciones)
e n D y E . D eterm ine las reacciones e n los soportes.
P ro h .2 -2 4
15 kN
2 -2 5 . D eterm ine las reacciones e n e l s o p o rte liso C y en el
so p o rte articu lad o .4. S uponga q u e la ju n ta e n fle s tá conec­
ta d a fijam ente.
•2 -2 # . D eterm ine las reacciones e n los s o p o rte s A y tí.
L as cu b iertas C D . D E . E Fy F G d el piso transm iten su s c ar­
gas a la trab e so b re so p o rte s lisos. S uponga q u e A es u n r o ­
dillo y q u e tí es u n a articulación.
3 k / p i c
10 k
Í 3pi in
U 1 ,
u - ir
1 1 1 1[ I
a r
4 4 4 4
p ie s p ie s p ie s p ie s
P ro b .2 -2 #
2-26. D eterm ine las reacciones e n lo s so p o rte s A y B d e la 2 -2 9 . D eterm ine las reacciones e n los so p o rte s A y tí d e la
arm adura. L a c a rg a d istribuida e s c a u sa d a p o r e l viento. viga com puesta. H ay u n a articulación e n C.
P r o b . 2 - 2 5
P r o h . 2 - 2 6 P r o b , 2 - 2 9

96. 7 4 Ca p i t u l o 2 A n á l i s i s d e e s t r u c t u r a s e s t á t i c a m e n t e d e t e r m i n a d a s
2 -3 0 . D eterm in e las reacciones e n lo s s o p o rte s A y B de la 2 -3 3 . D eterm ine las com p o n en tes h o rizontal y vertical de
viga com puesta. Hay una articulación e n C la reacción q u e a c tú a e n lo s s o p o rte s A y C.
2 k N / m
2 -3 1 . La viga está so m etid a a las d o s cargas co n cen trad as
com o se m u e s tra n e n la figura. Si se su p o n e q u e e l cim iento
ejerce u n a distribución de carga q u e v aría linealm cnte e n el
fondo, d eterm in e las intensidades d e c a rg a h'i y w 2 necesa­
ria s p a ra e l eq uilibrio (a ) e n térm inos d e los p a rá m e tro s
m ostrados, y (b ) co n sid eran d o P = 500 Ib, L = 1 2 pies.
2 P
P r o h 2-31
*2-32. La z a p a ta superficial se usa p a ra s o s te n e r una
p ared cerca d e s u b o rd e A , de m an era q u e causa u n a p r e ­
sión u niform e d el suelo d e b a jo d e la zapata. D eterm in e las
cargas uniform em ente d istrib u id as wA y wB m edidas en
Ib/pie so b re las alm o h ad illas A y B,necesarias p a ra so p o rta r
las fuerzas d e la p ared de 8000 y 2 0 000 lib ras
2 -3 4 . D eterm in e las reaccio n es e n e l so p o rte liso A y e n el
so p o rte articu lad o B . La ju n ta e n C está c o n e c ta d a fija­
m ente.
200001b
P r o h 2 -3 2 P r o h 2 -3 4

97. PfOBlEMAS 7 5
2-35. D eterm ine las reacciones en lo s so p o rte s A y /?. 2 -3 7 . D eterm ine las c o m p o n en tes d e fuerza h o rizontal y
v ertical e n las articu lacio n es A y C del m arco d e d o s e le ­
m entos.
200 N/r
P ro h . 2-35
•2 -3 6 . D eterm ine las com p o n en tes h o rizontal y vertical
d e la reacción e n los s o p o rte s A y B . S uponga q u e las ju n tas
e n C y D so n con ex io n es fijas.
2-38. 1.a grúa de p ared so p o rta una carg a d e 700 Ib. D e­
term ine las com p o n en tes h o rizo n tal y vertical d e la reac­
ción en las articulaciones A y D . A dem ás, ¿cuál e s la fuerza
d el cable e n W su jeto al m alacate?
P ro h . 2-38
7 0 0 1 b

98. 7 6 C a p i t u l o 2 A n á l i s i s d e e s t r u c t u r a s e s t á t i c a m e n t e d e t e r m i n a d a s
2 -3 9 . D eterm in e las fuerzas resultantes e n las articulacio­
nes B y C sobre e l e le m e n to A B C del m arco de c u a tro e le ­
m entos.
2 -4 1 . D eterm ine las reacciones verticales y ho rizo n tales
en las con ex io n es A y C del m a rc o a d o s aguas. S u ponga que
A , B y C so n conexiones articuladas. L as carg as c o n cen tra­
das, co m o D y E se aplican e n fo rm a p erp en d icu lar a la
linea cen tral de c ad a trab e.
Prob. 2-41
*2-40. D eterm ine las reacciones e n los so p o rte s A y D . 2-42. D eterm in e las com p o n en tes h o rizontal y vertical de
S uponga q u e A e stá fijo y q u e B .C y D e stán articuladas. la reacción e n A , C y D . S uponga q u e el m arco e stá articu­
lado e n A , C y D , y q u e h a y u n a ju n ta co n ectad a fijam ente
en B.
T
* . kN 40 kN
j--1.5 m-^ - -2 m -^ - 1.5 m -•
15 kN/m
4 m
6 m
P r o b . 2 - 4 0 P r o b . 2 - 4 2

99. P f O B L E M A D E P R O Y E C T O 77
2-43. D eterm ine las c o m p o n en tes h o rizo n tal y vertical e n *2-44. D eterm ine las reacciones e n los s o p o rte s A y tí.
A . tí y C. S uponga q u e e l m a rc o está articulado e n esto s l a s ju n ta s e n C y D e stán co n ectad as fijam ente,
puntos. L as ju n ta s e n D y E están co nectadas fijam ente.
P ro h . 2-43 P ro h . 2-44
PROBLEMA DE PROYECTO
2-1P. E l p u e n te ferroviario d e caballetes q u e se m u estra
e n la fo to g rafía se sostiene m ediante pilas d e co n creto re­
forzado. S u p on ga q u e las d o s trab es laterales sim plem ente
apoyadas, la b ase d e la vía y los d o s carriles, tien en u n peso
d e 0.5 Ic/pie y q u e la carga im p u esta p o r u n tre n e s d e 7.2
k/pic (vea la figura 1-11). C a d a viga tiene 2 0 p ies d e largo.
A plique la carg a so b re to d o e l p u e n te y d eterm in e la fuerza
d e com p resió n e n las colum nas d e c ad a pila. P ara e l análisis,
suponga q u e to d a s las ju n tas e stán articu lad as y n o to m e en
cu en ta el p eso d e la p ila ¿E sto s supuestos s o n reales?

100. Las fuerzas en lo s e le m e n to s d e este p u e n te p u e d e n analizarse a p lic a n d o el
m é to d o de lo s no do s o e l m é to d o de las secciones.

101. 3
Análisis de armaduras
estáticamente
determinadas
E n e s te c a p ít u lo s e d e s a r ro lla rá n lo s p r o c e d im ie n t o s p a ra a n a liz a r a r­
m a d u ra s e s tá tic a m e n te d e te r m in a d a s s ig u ie n d o e l m é t o d o d e lo s
n o d o s y el d e la s s e c c io n e s . S in e m b a r g o , p r im e r o se a n a liz a rá n la d e ­
te r m in a c ió n y la e s t a b ilid a d d e u n a a rm a d u r a . D e s p u é s s e c o n s id e r a rá
el a n á lis is d e tr e s t ip o s d e a r m a d u ra s p la n a s : s im p le s , c o m p u e s ta s y
c o m p le ja s . P o r ú ltim o , a l fin a l d e l c a p ít u lo s e re a liz a rá e l a n á lis is d e
u i a a rm a d u r a e s p a c ia l.
3 .1 T ip o s com unes d e arm aduras
U n a a r m a d u r a e s u n a e s t r u c tu r a c o m p u e s ta d e e le m e n to s d e lg a d o s u n i­
d o s e n su s e x tr e m o s . L o s e le m e n to s q u e se u s a n c o m ú n m e n te e n la c o n s ­
tr u c c ió n c o n s is te n e n p u n t a l e s d e m a d e r a , b a r r a s d e m e ta l, á n g u lo s o
c a n a le s . I.a s c o n e x io n e s e n la s ju n t a s s u e l e n f o r m a r s e a l e m p e r n a r o s o l­
d a r lo s e x tr e m o s d e lo s e le m e n to s a u n a p la c a c o m ú n , lla m a d a p la ca d e
e m p a lm e , c o m o s e m u e s tra e n la fig u ra 3 -1 , o s im p le m e n te p a s a n d o u n
p e r n o o u n p a s a d o r d e g r a n ta m a ñ o a tr a v é s d e c a d a u n o d e lo s e le m e n ­
tos. Ij i s a r m a d u r a s p la n a s s e u b ic a n e n u n s o l o p la n o y a m e n u d o s e e m ­
p le a n c o m o s o p o r te ( a p o y o ) d e te c h o s y p u e n te s .
. !!!
t - v X / i .
t flL
l a p l a c a d e e m p a l m e s e u s a p a r a c o n e c t a r
o c h o e l e m e n t o s d e l a a r m a d u r a q u e s o p o r t a
la e s t r u c t u r a d e u n t a n q u e d e a g u a .
Figura 3-1
79

102. 8 0 C a p i t u l o 3 A n á l i s i s d e a r m a d u r a s e s t á t i c a m e n t e d e t e r m i n a d a s
3
R g u ra 3-2
A u n q u e s o n m á s d e c o r a t i v a s q u e e s t r u c t u r a ­
le s , e s t a s a r m a d u r a s P r a t t s i m p l e s s e u s a n
p a r a la e n t r a d a d e u n e d if ic io .
Armaduras de techo. L a s a r m a d u r a s d e te c h o s e s u e l e n u tiliz a r
c o m o p a r t e d e u n m a r c o d e c o n s tr u c c ió n in d u s tr ia l, c o m o e l q u e se
m u e s tr a e n la fig u ra 3 -2 . E n e s t e c a s o , la c a r g a d e l te c h o s e tr a n s m i te a la
a r m a d u r a e n la s ju n t a s a tr a v é s d e u n a s e r i e d e la r g u e r o s . I>a a r m a d u r a
d e te c h o , j u n t o c o n s u s c o lu m n a s d e s o p o r te s e d e n o m i n a ca b a llete. P o r
lo g e n e r a l , la s a r m a d u r a s d e te c h o s e s o s tie n e n ta n t o p o r c o lu m n a s d e
m a d e r a , a c e r o o c o n c r e t o r e f o r z a d o , o p o r m e d io d e m u ro s d e m a n ip o s ­
te r ía . P a r a m a n t e n e r e l c a b a l le te ríg id o y, p o r lo ta n t o , c a p a z d e re s is tir
la s f u e r z a s h o r iz o n ta le s d e l v ie n to , e n o c a s io n e s s e u s a n e s q u in e r o s e n las
c o lu m n a s d e s o p o r te . E l e s p a c io e n t r e lo s c a b a lle te s a d y a c e n te s s e c o ­
n o c e c o m o b a h ía . L a s b a h ía s e s t á n e c o n ó m ic a m e n te e s p a c ia d a s a u n o s
15 p ie s (4 .6 m ) p a r a c la r o s a l r e d e d o r d e 6 0 p ies (1 8 m ) , y c e r c a d e 2 0 p ie s
(6.1 m ) p a r a c la r o s d e 100 p ie s ( 3 0 m ). C o n fr e c u e n c ia , la s b a h ía s e s t á n
u n id a s e n t r e s í m e d ia n te r e f u e r z o s d ia g o n a le s a fin d e m a n t e n e r la r i g i­
d e z d e l a e s t r u c t u r a d e l e d ific io .
L a s a r m a d u r a s e m p le a d a s p a r a s o p o r ta r te c h o s se s e le c c io n a n c o n
b a s e e n e l c la r o , l a p e n d ie n t e y e l m a te r ia l d e l te c h o . A lg u n o s d e lo s tip o s
d e a r m a d u r a s u tiliz a d o s c o n m a y o r fre c u e n c ia se m u e s tra n e n la fig u ra 3-3.
E n p a r t ic u l a r , la a r m a d u r a d e t i je r a s , fig u ra 3-3<?, p u e d e u s a r s e p a r a c la ­
ro s c o r to s q u e r e q u i e r e n u n e s p a c io s u p e r io r . L as a r m a d u r a s H o w e y
P r a t t, f ig u r a s 3b y 3 -3 c , s e u s a n p a ra te c h o s d e c la r o m o d e r a d o , a p r o x i­
m a d a m e n te e n tr e 6 0 p ie s ( 1 8 m ) y 100 p ie s (3 0 m ) . S i s e r e q u ie r e n c la r o s
m á s g r a n d e s p a r a s o s te n e r e l te c h o p u e d e n e m p le a r s e la s a r m a d u r a s d e
a b a n ic o o F in k , fig u ra s 3 -3d y 3 -3 e . E s ta s a r m a d u r a s p u e d e n c o n s tr u ir s e
c o n u n a c u e r d a in f e r io r c o n v e x a .c o m o l a q u e s e m u e s tra e n la fig u ra 3-3f.
Si s e s e le c c io n a u n te c h o p la n o o c a s i p la n o , a m e n u d o s e u s a la a r m a ­
d u r a W a rr e n , f ig u r a 3-3g . A d e m á s , la s a r m a d u r a s H o w e y P r a t t ta m b ié n
p u e d e n m o d ific a rs e p a r a te c h o s p la n o s . L a s a r m a d u r a s d e s i e r r a , fig u ra
3 -3 /i,s u e le n e m p le a r s e d o n d e e l e s p a c io e n t r e c o lu m n a s n o e s o b je ta b le y
la ilu m in a c ió n u n if o r m e e s im p o r ta n te . U n a fá b r ic a te x til s e r ía u n e je m ­
p lo . L a s a r m a d u r a s d e c u e r d a s , f ig u r a 3-3i , s e s e le c c io n a n e n o c a s io n e s
p a r a ta lle r e s y h a n g a r e s d e a v io n e s p e q u e ñ o s ; y la a r m a d u r a d e a r c o , fi­
g u ra 3 -3 /, a u n q u e e s r e l a tiv a m e n te c o s to s a , p u e d e u s a r s e p a r a c o n s t r u c ­
c io n e s c o n g r a n d e s a lt u r a s y c la r o s a m p lio s c o m o e n c a s a s d e c a m p o ,
g im n a sio s, e tc é te r a .
c u e r d a s u p e r i o r
c u e r d a i n f e r i o r
es efím ero

103. 3 . 1 Tp o s c o m u n e s d e a r m a d u r a s 8 1
le c h o^ ¡ e c h o n a
/ / \ v c n ,a n a - í ^ / / \ v e n i a n a
^ Y*/\
d e s i e r r a
<h)
arco de tres bisagras
0)

104. 8 2 C a p i t u l o 3 A n á l i s i s d e a r m a d u r a s e s t á t i c a m e n t e d e t e r m i n a d a s
r e f u e r z o
d e p o r t a l
l a r g u e r o s
p o s l e f in a l
d e p o r t a l
r e f u e r z o
r e f u e r z o a ( n t r a l a d e o
la t e r a l
s u p e r i o r
c u e r d a s u p e r i o r
c u b i e r t a
Armaduras de puente. E n la fig u ra 3 -4 s e m u e s tr a n lo s p r i n c ip a ­
le s e le m e n to s e s tr u c tu r a le s d e u n a a r m a d u r a d e p u e n t e tí p ic a . A q u í
p u e d e o b s e r v a r s e q u e u n a c a r g a s o b r e la c u b ie r ta s e tr a n s m ite e n p r i m e r
lu g a r a lo s la r g u e ro s, d e s p u é s a la s vigas d e p i s o y. f in a lm e n te , a la s ju n ta s
d e las d o s a rm a d u ra s la te ra le s d e s o p o r te . L a s c u e rd a s s u p e r io r e in f e r io r de
la s v ig a s la te r a le s s e c o n e c t a n m e d ia n te lo s re fu e r z o s la tera les s u p e r io r e
in f e rio r , q u e s i r v e n p a r a re s is tir la s f u e r z a s la te r a le s c a u s a d a s p o r e l
v ie n to y e l d e s p la z a m ie n to la t e r a l c a u s a d o p o r lo s v e h íc u lo s e n m o v i­
m i e n to s o b r e e l p u e n te . L o s so p o r te s d e p o r t a l y c o n tr a la d e o p r o p o r c io ­
n a n e s ta b ilid a d a d ic io n a l. A l ig u a l q u e e n e l c a s o d e m u c h a s a r m a d u r a s
d e c la r o a m p lio , e n u n e x tr e m o d e la a r m a d u r a d e p u e n te s e e n c u e n t r a
un r o d illo p a r a p e r m it ir la e x p a n s ió n té rm ic a .
E n la f ig u r a 3-5 s e m u e s tr a n a lg u n a s d e la s f o r m a s típ ic a s d e a r m a d u -
Para soportar este puente se usan ras d e p u e n te q u e s e u s a n a c tu a lm e n t e p a r a c la r o s in d iv id u a le s . E n p a r -
arm aduras Parker. tic u la r, la s a r m a d u r a s P r a tt. H o w e y W a r r e n s e u s a n n o r m a lm e n te p a r a
d a r o s d e h a s t a 2 0 0 p ie s (61 m ) d e lo n g itu d . 1.a fo r m a m ás c o m ú n e s la a r ­
m a d u ra W a r r e n c o n v e rtic a le s , f ig u r a 3 -5c. P a r a c la r o s m a y o r e s s e u s a
u n a a r m a d u r a c o n u n a c u e r d a s u p e r io r p o lig o n a l, c o m o la a r m a d u r a P a r ­
k er, f ig u r a 3 - 5 d ,a f i n d e lo g r a r a h o r r o s e n m a te r ia l. 1.a a r m a d u r a W a r r e n
c o n v e rtic a le s ta m b ié n p u e d e fa b r ic a rs e d e e s t a m a n e r a p a r a c la r o s d e
h a s ta 3 0 0 p ie s (91 m ). L a m a y o r e c o n o m í a e n m a te r ia l s e o b ti e n e s i las
d ia g o n a le s ti e n e n u n a in c lin a c ió n e n t r e 4 5° y 6 0° r e s p e c to a la h o riz o n ta l.
Si e s t a r e g l a s e m a n tie n e , e n to n c e s p a r a c la r o s d e m á s d e 3 0 0 p ie s (91 m ),
la p r o f u n d id a d d e la a r m a d u r a d e b e a u m e n ta r y. e n c o n s e c u e n c ia , e l p a n e l
se a la r g a r á . E s to s e tr a d u c e e n u n s is te m a d e c u b ie r ta p e s a d a y, p a r a
m a n te n e r e l p e s o d e la c u b ie r ta d e n t r o d e lo s lím ite s to le r a b le s , s e h a n
d e s a r r o ll a d o a r m a d u r a s s u b d iv id id a s . E n tr e lo s e je m p lo s m á s c o m u n e s
e s tá n las a r m a d u r a s B a ltim o r e y W a rre n s u b d iv id id a s , f ig u r a s 3 -5 e y 3 - 5 /
R k ú ltim o , la a r m a d u r a K q u e s e m u e s tr a e n la f ig u r a 3-5g ta m b ié n
p u e d e u tiliz a rs e e n lu g a r d e u n a a r m a d u r a s u b d iv id id a . d a d o q u e c u m p le
e l m ism o p r o p ó s ito .

105. (a)
W u rrc n (c o n v erticales)
(c)
W a r r c n s u b d iv x lid a
(0
annadura K
(g)
Figura 3-5

106. 8 4 C a p i t u l o 3 A n á l i s i s d e a r m a d u r a s e s t á t i c a m e n t e d e t e r m i n a d a s
Supuestos para el diseño. P a r a d is e ñ a r ta n t o lo s e le m e n to s
c o m o la s c o n e x io n e s d e u n a a r m a d u r a , a n te s h a y q u e d e t e r m i n a r la
f u e r z a d e s a r r o lla d a e n c a d a e le m e n to c u a n d o la v ig a e s t á s o m e tid a a u n a
c a r g a d a d a . A e s t e r e s p e c to s e h a r á n d o s s u p u e s to s im p o r ta n te s c o n e l fin
d e id e a liz a r la a r m a d u r a .
1 . L o s e le m e n to s e stá n u n id o s m e d ia n te p a s a d o r e s liso s. E n lo s c a s o s
e n q u e s e u s a n c o n e x io n e s a to r n illa d a s o s o ld a d a s , e s te s u p u e s to
su e le s e r s a tis f a c to r io s ie m p r e q u e las lín e a s c e n tr a le s d e lo s e l e ­
m e n to s u n id o s s e a n c o n c u r r e n te s e n u n p u n to , c o m o e n la fig u ra 3-1.
S in e m b a r g o , d e b e t e n e r s e e n c u e n ta q u e la s c o n e x io n e s r e a le s le
d a n u n p o c o d e r ig id e z a la a r tic u la c ió n y e s to a s u v e z in tr o d u c e la
fle x ió n d e lo s e le m e n to s c o n e c t a d o s c u a n d o la v ig a e s t á s o m e t i d a a
u n a c a r g a . E l e s f u e r z o f le x io n a n te ( o d e f le x ió n ) d e s a r r o ll a d o e n lo s
e le m e n to s s e d e n o m i n a e s fu e r z o s e c u n d a r io , m ie n tr a s q u e e l e s ­
fu e rz o e n lo s e le m e n to s d e l a a r m a d u r a id e a liz a d a , q u e ti e n e n j u n ­
ta s a r t ic u l a d a s .s e lla m a e s fu e r z o p r im a r io . U n a n á lis is d e l e s f u e r z o
s e c u n d a r io d e u n a a r m a d u r a se p u e d e e fe c tu a r u tiliz a n d o u n a c o m p u ­
ta d o r a , c o m o s e e x p lic a e n e l c a p ítu lo 16. P a r a a lg u n o s tip o s d e g e o ­
m e tría s d e a r m a d u r a e s to s e s f u e r z o s p u e d e n s e r g ra n d e s .
2 . Todas la s c a rg a s se a p lic a n e n la s ju n ta s . E n la m a y o r ía d e s i tu a c i o ­
n e s. c o m o e n e l c a s o d e a r m a d u r a s p a r a p u e n te s y te c h o s , e s te s u ­
p u e s to e s v e r d a d e r o . C o n f r e c u e n c ia e n e l a n á lis is d e fu e iz a s . el
p e s o d e lo s e le m e n to s s e d e s p r e c ia , d a d o q u e la f u e r z a s o p o r ta d a
p o r lo s e le m e n to s e s g r a n d e e n c o m p a r a c ió n c o n s u p e s o . S i e l p e s o
se v a a in c lu ir e n e l an á lisis, p o r lo g e n e r a l r e s u lta s a tis f a c to r io a p l i ­
c a r lo c o m o u n a f u e r z a v e rtic a l, d o n d e la m ita d d e s u m a g n itu d se
a p lic a e n c a d a e x tr e m o d e l e le m e n to .
D e b id o a e s t o s d o s s u p u e s to s , c a d a e le m e n to d e u n a a r m a d u r a a c tú a
c o m o u n m ie m b r o d e f u e r z a a x ia l y, p o r k» ta n to , la s fu e r z a s q u e a c tú a n
e n lo s e x tr e m o s d e l e le m e n to d e b e n e s t a r d ir ig id a s a lo la r g o d e s u e je . Si
la f u e r z a ti e n d e a a la r g a r d e le m e n to , s e t r a t a d e u n a fu e r z a d e te n s ió n
(7 ^ , f ig u r a 3 -6 a ; m ie n tr a s q u e s i la f u e r / a ti e n d e a a c o r ta r d e le m e n to , e s
u n a fu e r z a d e c o m p r e s ió n ( Q , fig u ra 3-6¿>. E n e l d is e ñ o re a l d e u n a a r ­
m a d u r a e s im p o r ta n te e s t a b le c e r si la f u e r z a e s d e te n s ió n o d e c o m p r e ­
s ió n . M u y a m e n u d o , lo s e le m e n to s s u je to s a c o m p r e s ió n d e b e n e s t a r
f a b r ic a d o s m á s g r u e s o s q u e lo s s o m e tid o s a te n s ió n , d e b id o a l p a n d e o o
la in e s ta b ilid a d s ú b ita q u e p u e d e o c u r r ir e n lo s e le m e n to s s u j e to s a c o m ­
p re s ió n .
c
<b)
Figura 3-6
C

107. 3 . 2 C l A S l R C A C Ó N D E A R M A D U R A S C O P L A N A R E S 85
3 .2 Clasificación de arm aduras coplanares
A n te s d e c o m e n / a r e l a n á lis is d e f u e r z a s d e u n a a r m a d u r a .e s im p o r ta n te
c la s ific a r la a r m a d u r a c o m o s im p le , c o m p u e s ta o c o m p le ja , p a r a e n t o n ­
c e s t e n e r la c a p a c id a d d e e s p e c ific a r s u d e te r m i n a c ió n y s u e s ta b ilid a d .
Arm adura simple. P a ra e v it a r e l c o la p s o , e l m a r c o d e u n a a r m a ­
d u r a d e b e s e r ríg id o . O b v ia m e n te , e l m a r c o d e c u a t r o b a r r a s / l f l C D d e la
fig u ra 3 -7 s e c o la p s a r á a m e n o s q u e s e a rta d a u n a d ia g o n a l d e s o p o r te ,
c o m o A C . E l m a r c o m á s s im p le q u e e s ríg id o o e s t a b le ti e n e la f o r m a d e
u n tr iá n g u lo . E n c o n s e c u e n c ia , u n a a r m a d u r a s i m p l e s e c o n s tr u y e a p a r ­
tir d e u n e le m e n to b á s ic o tr ia n g u la r , c o m o e l A B C d e l a fig u ra 3 -8 . c o ­
n e c ta n d o d o s e le m e n to s (A D y B D ) p a r a f o r m a r u n e le m e n to a d ic io n a l.
D e e s t a m a n e r a , s e o b s e r v a q u e a l c o lo c a r c a d a e l e m e n t o a d ic io n a l d e
d o s e le m e n to s e n la a r m a d u r a , e l n ú m e r o d e a r tic u la c io n e s s e in c r e ­
m e n ta e n u n o .
E n la fig u ra 3 -9 se m u e s tra u n e je m p lo d e u n a a r m a d u r a s im p le , d o n d e
e l e le m e n to tr ia n g u l a r “ e s t a b l e " b á s ic o e s A B C , a p a r t i r d e l c u a l s e e s t a ­
b le c e e l r e s to d e la s a r tic u la c io n e s D , E y F e n o r d e n a lf a b é tic o . S in e m ­
b a rg o . p a r a e s t e m é to d o d e c o n s tru c c ió n e s i m p o r t a n te t o m a r e n c u e n ta
q u e la s a r m a d u r a s s im p le s n o ti e n e n q u e c o a s is tir e n te r a m e n t e e n tr i á n ­
gulos. E n l a f ig u r a 3 -1 0 s e m u e s tr a u n e je m p lo d e e s to , d o n d e a p a r t i r d e
u n tr iá n g u lo A B C se a g r e g a n la s b a r r a s C D y A D p a r a f o r m a r la j u n t a D .
P o r ú ltim o , s e a g re g a n la s b a r r a s B E y D E p a r a f o r m a r la j u n t a E .
a r m a d u r a s i m p l e
f i g u r a 3 - 9
a r m a d u r a s im p le
f i g u r a 3 - 1 0

108. 86 Ca p i t u l o 3 A n á l i s i s d e a r m a d u r a s e s t á t i c a m e n t e d e t e r m i n a d a s
A r m a d u r a c o m p u e s t a . U n a a rm a d u ra c o m p u e s ta se f o r m a a l c o ­
n e c ta r d o s o m á s a rm a d u ra s s im p le s e n t r e s í. C o n m u c h a fr e c u e n c ia e ste
tip o d e a r m a d u r a s e u s a p a r a s o p o r ta r las c a rg a s q u e a c tú a n s o b r e u n claro
a m p lio , p u e s to q u e e s m ás b a r a t o c o n s tr u ir u n a a r m a d u r a c o m p u e s ta un
p o c o m á s lig e ra q u e u tiliz a r s ó l o u n a a r m a d u r a s im p le m á s p e sa d a .
H a y tr e s f o r m a s e n q u e la s a r m a d u r a s s im p le s s e u n e n p a r a f o r m a r u n a
a r m a d u r a c o m p u e s ta . L a s a r m a d u r a s p u e d e n e s t a r c o n e c t a d a s m e d ia n te
u n a j u n t a c o m ú n y u n a b a r r a . E n la fig u ra 3-1 l a se p r o p o r c io n a u n e je m ­
p lo , d o n d e la a r m a d u r a s o m b r e a d a A B C e s tá c o n e c ta d a a la a r m a d u r a
s o m b r e a d a C D E de e s t a m a n e r a . l a s a r m a d u r a s p u e d e n u n ir s e m e ­
d ia n te tr e s b a r r a s , c o m o e n e l c a s o d e la a r m a d u r a s o m b r e a d a A B C c o ­
n e c ta d a a la a r m a d u r a D E F m ás g r a n d e , f ig u r a 3 .1 1 6 . Y . p o r ú ltim o , las
a rm a d u ra s p u e d e n u n ir s e e n lo s p u n to s d o n d e la s b a r r a s d e u n a a r m a ­
d u r a s im p le d e g r a n ta m a ñ o , lla m a d a a r m a d u r a p r in c ip a l, s e h a n s u s ti­
tu id o p o r a r m a d u r a s s im p le s , lla m a d a s a r m a d u r a s s e c u n d a r ia s . E n la
fig u ra 3-1 l e se m u e s tr a u n e je m p lo , d o n d e lo s e le m e n to s s o m b r e a d o s d e
h a r m a d u r a p r in c ip a l A B C D E h a n s i d o su s titu id o s p o r la s a r m a d u r a s s e ­
c u n d a r ia s s o m b r e a d a s . S i e s t a a r m a d u r a s o p o r ta c a r g a s d e te c h o , e l u s o
d e a r m a d u r a s s e c u n d a r ia s p o d r í a r e s u lta r m á s e c o n ó m ic o , y a q u e lo s e l e ­
m e n to s tr a z a d o s c o n lín e a s d is c o n tin u a s p u e d e n e s ta r s o m e tid o s a f le ­
x ió n e x c e s iv a , m ie n tr a s q u e la s a r m a d u r a s s e c u n d a r ia s p u e d e n tr a n s f e r ir
m e jo r la c a rg a .
A r m a d u r a c o m p l e j a . U n a a r m a d u r a c o m p le ja e s a q u e lla q u e n o
p u e d e c la s ific a rs e c o m o s im p le o c o m p u e s ta . l a a r m a d u r a d e la fig u ra 3-12
e s u n e je m p lo .
p r in c ip a l
(c)
D i f e r e n t e s t i p o s d e a r m a d u r a s c o m p u e s t a s
F i g ó n 3 - 1 1

109. 3 . 2 C l A S l R C A C Ó N D E A R M A D U R A S C O P L A N A R E S
D e t e r m i n a c i ó n . P a r a c u a lq u ie r p r o b le m a e n e l a n á lis is d e a r m a d u r a s
d e b e t e n e r s e e n c u e n ta q u e e l n ú m e r o to t a l d e in c ó g n ita s in c lu y e la s
fu e r z a s e n e l n ú m e r o b d e b a r r a s d e la a r m a d u r a y e l n ú m e r o to t a l r de
r e a c c io n e s e x te r n a s e n lo s s o p o r te s . C o m o lo s e le m e n to s d e la a r m a d u r a
s o n t o d o s m ie m b r o s r e c to s d e f u e r z a a x ia l q u e s e u b ic a n e n e l m is m o
p ia n o , e l s i s te m a d e fu e r z a s q u e a c t ú a e n c a d a j u n t a e s c o p la n a r y c o n c u ­
rren te. E n c o n s e c u e n c ia , e l e q u ilib r io r o ta c io n a l o d e m o m e n to s e s a tis ­
fa c e d e m a n e r a a u to m á tic a e n l a ju n ta ( o a rtic u la c ió n ), y s ó lo e s n e c e s a r io
s a tis f a c e r 1 F , = 0 y 2 F y = 0 p a r a a s e g u r a r e l e q u ilib r io d e tr a s la c ió n o
d e f u e r z a s P o r lo ta n to , s ó l o p u e d e n e s c r ib ir s e d o s e c u a c io n e s d e e q u i l i ­
b rio p a r a c a d a j u n t a , y s i h a y u n n ú m e r o ; d e j u n t a s ,e l to ta l d e e c u a c io n e s
d is p o n ib le s p a r a la s o lu c ió n e s 2;\ S i s im p le m e n te s e c o m p a r a e l to ta l d e
in c ó g n ita s (/> + r ) c o n e l d e e c u a c io n e s d e e q u il ib r io d is p o n ib le s .e s p o s i­
b le e s p e c ific a r la d e te r m in a c ió n d e u n a a r m a d u r a s im p le , c o m p u e s ta o
c o m p le ja . S e ti e n e
( 3 - 1 )
E n p a r tic u la r , e l g ra d o d e in d e te r m in a c ió n x e s p e c ific a p o r la d if e r e n c ia
e n lo s n ú m e r o s ( b + r ) - 2/'.
Estabilidad. S i b + r < 2 jt u n a a r m a d u r a s e r á in e s ta b le , e s d e c ir , se
c o la p s a r á p o r q u e h a b r á u n a c a n ti d a d in s u fic ie n te d e b a r r a s o r e a c c io n e s
p a ra r e s tr in g ir to d a s la s ju n ta s . A d e m á s , u n a e s t r u c t u r a p u e d e s e r i n e s ta ­
b le s i e s e s t á tic a m e n te d e te r m i n a d a o e s tá tic a m e n te in d e te r m in a d a . E n
e s te c a s o , l a e s t a b ilid a d t e n d r á q u e d e te r m in a r s e p o r in s p e c c ió n o m e ­
d ia n te u n a n á lis is d e fu e iz a s.
E s t a b i l i d a d e x t e r n a . C o m o se e s ta b le c ió e n la s e c c ió n 2 -4 , u n a e s­
tr u c tu ra ( o a r m a d u r a ) e s e x te r n a m e n te in e s ta b le s i to d a s s u s rea c c io n e s
s o n c o n c u r r e n te s o p a ra le la s. P o r e je m p lo , la s d o s a r m a d u r a s d e la fig u ra
3 -1 3 s o n e x te r n a m e n t e in e s ta b le s p o r q u e las r e a c c io n e s e n lo s s o p o r te s
tie n e n lín e a s d e a c c ió n q u e s o n o c o n c u r r e n te s o p a ra le la s .
b + r = 2 ; e s tá tic a m e n te d e te r m i n a d a
b + r > 2) e s tá tic a m e n te in d e te r m in a d a
t \ t
r e a c c i o n e s c o n c u r r e n t e s i n e s t a b l e s r e a c c i o n e s p a r a l e l a s in e s t a b le s
lig a r a 3 -1 3

110. 8 8 C a p i t u l o 3 A n á l i s i s d e a r m a d u r a s e s t á t i c a m e n t e d e t e r m i n a d a s
F i g u r a 3 - 1 4
E s t a b i l i d a d i n t e r n a . C o n f r e c u e n c ia la e s t a b ilid a d in t e r n a d e u n a a r ­
m a d u r a p u e d e c o m p r o b a r s e m e d ia n te u n a in s p e c c ió n c u id a d o s a d e la
d is p o s ic ió n d e s u s e le m e n to s . S i e s p o s ib le d e te r m i n a r q u e c a d a j u n t a se
m a n tie n e fija d e m o d o q u e n o p u e d e m o v e r s e e n e l s e n t id o d e u n
" c u e r p o ríg id o " c o n r e s p e c to a la s o t r a s j u n t a s , e n to n c e s la a r m a d u r a
s e r á e s ta b le . O b s e r v e q u e u n a a r m a d u r a s im p le s ie m p r e s e r á in te r n a ­
m e n te e s ta b le , d a d o q u e p o r la n a tu r a le z a d e s u c o n s tr u c c ió n r e q u i e r e
p a r t i r d e u n e l e m e n t o tr ia n g u l a r b á s ic o p a r a d e s p u é s a g r e g a r s u c e s iv o s
“e le m e n to s r íg id o s ” , c a d a u n o c o n d o s e le m e n to s a d ic io n a le s y u n a
ju n ta . L a a r m a d u r a d e la fig u ra 3 -1 4 e s u n e je m p lo d e e s t a c o n s tru c c ió n ,
d o n d e , a p a r t i r d e l e le m e n to tr ia n g u la r s o m b r e a d o A B C, s e a g r e g a n s u ­
c e s iv a m e n te las j u n t a s D , E ,F, G y H.
Si u n a a r m a d u r a s e c o n s tr u y e d e m a n e r a q u e s u s ju n t a s n o s e m a n t ie ­
n e n e n u n a p o s ic ió n fija , s e r á in e s ta b le o te n d r á u n a “ f o r m a c r ític a " . U n
e je m p lo c la r o d e e s t o s e m u e s tra e n la f ig u r a 3 -1 5 , d o n d e p u e d e o b s e r ­
v a rse q u e n o h a y re s tric c ió n o fije z a e n tr e las ju n t a s d e C y F o R y E .p o r
lo q u e la a r m a d u r a c o la p s a r á b a jo c a rg a .
H g u r a 3 - 1 5
P a r a d e te r m i n a r l a e s t a b ilid a d in t e r n a d e u n a a r m a d u r a c o m p u e s ta , e s
n e c e s a r io id e n tif ic a r la f o r m a e n q u e la s a r m a d u r a s s im p le s e s t á n c o n e c ­
ta d a s e n t r e sí. P o r e je m p lo , la a r m a d u r a c o m p u e s ta d e la fig u ra 3 -1 6 e s
in e s ta b le p u e s t o q u e la a r m a d u r a s im p le i n t e r i o r A B C e s tá c o n e c t a d a a
la a r m a d u r a s im p le e x t e r i o r D E F m e d ia n te tr e s b a r r a s , A D , B E y C F ,
q u e s o n c o n c u r r e n te s e n e l p u n t o O . ft>r lo ta n t o , p u e d e a p lic a r s e u n a
c a r g a e x te r n a a la j u n t a A , B o C y o c a s i o n a r q u e la a r m a d u r a A B C g ire
lig e ra m e n te .
H g u r a 3 - 1 6

111. 3 . 2 C l A S i n C A G Ó N D E A R M A D U R A S C O P IA N A R E S 89
Si u n a a r m a d u r a s e id e n tif ic a c o m o c o m p le ja , e s p o s ib le q u e n o se
p u e d a e s t a b le c e r p o r in s p e c c ió n s i e s e s ta b le . ft>r e je m p lo , p u e d e d e m o s ­
tr a rs e , m e d ia n te e l a n á lis is p r e s e n ta d o e n la s e c c ió n 3.7, q u e l a a r m a d u r a
c o m p le ja d e la fig u ra 3 -1 7 e s in e s ta b le o ti e n e u n a “ f o r m a c r í ti c a " s ó lo si
la d im e n s ió n d = d '. S i d * d ' la a r m a d u r a e s e s ta b le .
L a in e s ta b ilid a d d e c u a lq u i e r f o r m a d e a r m a d u r a , y a s e a s im p le , c o m ­
p u e s ta o c o m p le ja , ta m b ié n p u e d e d e te r m in a r s e u tiliz a n d o u n a c o m p u ­
ta d o r a q u e re s u e lv a las 2j e c u a c io n e s s im u ltá n e a s e s c r ita s p a r a t o d a s la s
ju n ta s d e la a r m a d u r a . S i s e o b ti e n e n r e s u lta d o s in c o n s is te n te s , la a r m a ­
d u r a s e r á in e s ta b le o te n d r á u n a f o r m a c rític a .
Si n o s e re a liz a u n a n á lis is c o n c o m p u t a d o r a , p u e d e n u tiliz a rs e lo s m é ­
to d o s d e s c r ito s a n te r io r m e n te p a r a c o m p r o b a r la e s t a b ilid a d d e la a r m a ­
d u r a . A m o d o d e r e s u m e n , s i la a r m a d u r a ti e n e b b a r r a s , r re a c c io n e s
e x te r n a s y j ju n ta s , e n to n c e s s i
b + r = 2j e s in e s ta b le
b + r a 2 j e s in e s ta b le s i la s r e a c c io n e s e n lo s
s o p o r te s d e l a a r m a d u r a s o n
c o n c u r r e n te s o p a r a l e la s o si
a lg u n o s d e lo s c o m p o n e n te s d e la
a r m a d u r a f o r m a n u n m e c a n is m o
c o la p s a b le .
( 3 - 2 )
S in e m b a r g o , d e b e t e n e r s e e n c u e n ta q u e s i u n a a r m a d u r a e s in e sta b le , n o
im p o r ta s i e s e stá tic a m e n te d e te r m in a d a o in d e te r m in a d a. O b v ia m e n te , el
u so d e u n a a r m a d u r a in e s ta b le d e b e e v ita r s e e n la p rá c tic a .
Figura 3-17

112. 9 0 C a p i t u l o 3 A n á l i s i s d e a r m a d u r a s e s t á t i c a m e n t e d e t e r m i n a d a s
C la s ifiq u e c a d a u n a d e la s a r m a d u r a s d e la fig u ra 3.18 c o m o e s ta b le ,
in e s ta b le , e s t á tic a m e n te d e te r m i n a d a o e s t á tic a m e n te in d e te r m in a d a ,
l^as a r m a d u r a s e s t á n s o m e tid a s a c a r g a s e x te r n a s a r b itr a r ia s , la s c u a ­
le s s e s u p o n e n c o n o c id a s y p u e d e n a c tu a r e n c u a lq u ie r p u n t o d e la s
vigas.
F i g u r a 3 - 1 8 a . E sta b le e x te r n a m e n te , p u e s t o q u e la s r e a c c io n e s n o
s o n c o n c u r r e n te s n i p a ra le la s . C o m o b ■ 19, r = 3 . / ° 11, e n to n c e s b
+ r ■ 2 j o 2 2 - 22. P o r lo ta n to , la a r m a d u r a e s e stá tic a m e n te d e te r m i­
n a d a . P o r in s p e c c ió n , la a r m a d u r a e s e sta b le in te r n a m e n te .
F i g u r a 3 - 1 8 b . E s ta b le e x te r n a m e n te . C o m o b = 15, r = 4 ,; ' = 9,
e n to n c e s b + r > 2 j o 19 > 18. L a a r m a d u r a e s e stá tic a m e n te in d e te r ­
m in a d a d e p r im e r g ra d o . P o r in s p e c c ió n , l a a r m a d u r a e s esta b le in te r n a ­
m e n te .
S O L U C IÓ N
(a)
fig u ra 3-18

113. 3 . 2 C l A S l R C A C Ó N D E A R M A D U R A S C O P L A N A R E S 9 1
F ig u ra 3 - 1 8 c. E sta b le e x te r n a m e n te . C o m o b = 9 , r = 3 , / = 6 , e n t o n ­
c e s b + r = 2 j o 12 = 12. L a a r m a d u r a e s e stá tic a m e n te d e te r m in a d a .
R>r in s p e c c ió n , la a r m a d u r a e s esta b le in te r n a m e n te .
( c )
F ig u ra 3 - 1 8 d . E sta b le e x te r n a m e n te . C o m o b = 12, r « 3 . / = 8 , e n ­
to n c e s b + r < 7 j o í 5 < 16. L a a r m a d u r a e s in e sta b le in te r n a m e n te .

114. 9 2 C a p i t u l o 3 A n á l i s i s d e a r m a d u r a s e s t á t i c a m e n t e d e t e r m i n a d a s
P R O B L E M A S
3 -1 . G asifique c ad a u n a d e las arm ad u ras siguientes com o
estáticam ente d e te rm in a d a , estáticam en te in d eterm in ad a
o inestable. Si e s in d eterm in ad a, estab lezca su grado.
3 -2 . G asifique cada una de las arm aduras siguientes com o
estable, inestable, estáticam ente determ inada o estáticam ente
indeterm inada. Si e s indeterm inada.establezca s u grado.
(a)
(b)
(c)
P ro b .3 - 2
Proh. 3 -1

115. 3-3. C lasifique cada una d e las siguientes arm ad u ras com o
estáticam ente d e term in ad a, in d eterm in ad a o inestable. Si es
indeterm inada, establezca su grado.
*3-4. Clasifique c ad a una de las siguientes arm ad u ras com o
estáticam en te d e te rm in a d a , estáticam en te in d eterm in ad a
o inestable. Si e s in d eterm in ad a, establezca s u grado.
3 . 2 C l a s i f i c a g ó n D E A R M A D U R A S C O P L A N A R E S 9 3
(a)
(a)

116. 9 4 Ca p i t u l o 3 A n á l i s i s d e a r m a d u r a s e s t á t i c a m e n t e d e t e r m i n a d a s
3 .3 El m é to d o de los nodos
Si u n a a r m a d u r a e s tá e n e q u ilib r io , e n to n c e s c a d a u n a d e s u s ju n t a s o
n o d o s ta m b ié n d e b e e s t a r e n e q u ilib r io . P o r c o n s ig u ie n te , e l m é to d o d e
lo s n o d o s c o n s is te e n s a tis f a c e r la s c o n d ic io n e s d e e q u il ib r io 2 F , = 0 y
I F y — 0 p a r a la s f u e r / a s e je r c id a s s o b r e e l p a s a d o r e n c a d a j u n t a d e la a r ­
m a d u r a .
C u a n d o s e u tiliz a e l m é to d o d e lo s n o d o s , e s n e c e s a r io d ib u ja r e l d i a ­
g r a m a d e c u e r p o lib r e d e c a d a j u n t a a n te s d e a p li c a r la s e c u a c io n e s d e
e q u ilib r io . R e c u e r d e q u e la lín e a d e a c c ió n d e c a d a f u e r z a d e u n e l e ­
m e n t o q u e a c tú a s o b r e la j u n t a s e e sp e c ific a a p a r t i r d e la g e o m e tr ía d e la
a r m a d u r a , p u e s t o q u e la f u e r z a e n u n e l e m e n t o p a s a a lo l a r g o d e s u e je .
C o m o e je m p lo .c o n s id e r e la j u n t a B d e l a a r m a d u r a q u e s e m u e s tr a e n la
fig u ra 3 -1 9 a. C o n b a s e e n e l d ia g r a m a d e c u e r p o lib re , fig u ra 3 -1 9b , las
ú n ic a s in c ó g n ita s s o n la s m a g n itu d e s d e las f u e r z a s e n lo s e le m e n to s B A
y B C . C o m o s e m u e s tr a e n la f ig u r a , FBA e s tá “j a l a n d o " e l p a s a d o r , k) q u e
in d ic a q u e e l e le m e n to B A e s tá e n te n s ió n , m ie n tr a s q u e e s tá “ e m p u ­
j a n d o " e l p a s a d o r y. p o r c o n s ig u ie n te , e l e le m e n to B C e s tá e n c o m p r e ­
s ió n . E s to s e f e c to s s e d e m u e s tr a n c la r a m e n t e a l u s a r e l m é to d o d e las
s e c c io n e s y a l a is la r la j u n t a c o n p e q u e ñ o s s e g m e n to s d e lo s e le m e n to s
c o n e c ta d o s a l p a s a d o r , fig u ra 3-19 c . O b s e r v e q u e e l h e c h o d e e m p u j a r o
ja l a r e s t o s p e q u e ñ o s s e g m e n to s in d ic a e l e fe c to d e lo s e le m e n to s y a s e a
e n c o m p r e s ió n o e n te n s ió n .
E n to d o s lo s c a s o s , e l a n á lis is d e la s ju n t a s d e b e c o m e n z a r e n u n a j u n t a
c o n t a n d o c o n a l m e n o s u n a f u e r z a c o n o c id a y u n m á x im o d e d o s fu e r z a s
d e s c o n o c id a s , c o m o e n la f ig u r a 3-19¿>. D e e s t a m a n e r a , la a p lic a c ió n d e
1 F , = 0 y 2 F y = 0 g e n e r a d o s e c u a c io n e s a lg e b r a ic a s q u e p u e d e n r e s o l ­
v e rs e p a r a d e t e r m i n a r las d o s in c ó g n ita s . A l a p li c a r e s t a s e c u a c io n e s , e l
s e n tid o c o r r e c to d e u n a f u e r z a d e s c o n o c id a d e u n e l e m e n t o p u e d e d e t e r ­
m in a rs e m e d ia n te a lg u n o d e lo s d o s m é to d o s p o s ib le s .
K
5 0 0 N
F B(- ( c o m p r e s i ó n )
F jm ( t e n s i ó n )
( b )
5 0 0 N
(a )
Fj m ( t e n s i ó n )
(c)
FK ( c o m p r e s i ó n )
Figura 3-19

117. 3 . 3 E l M É T O D O D E L O S N O D O S
S ie m p r e s u p o n g a q u e la s fu e r z a s d e s c o n o c id a s d e lo s e le m e n to s q u e
a c tú a n e n e l d ia g r a m a d e c u e r p o lib r e d e la j u n t a e stá n e n te n s ió n , es
decir, " ja la n d o " e l p a s a d o r . Si s e h a c e e s t o , e n to n c e s la s o lu c ió n
n u m é r ic a d e la s e c u a c i o n e s d e e q u il ib r io p r o d u c i r á e sc a la re s p o s i ­
tiv o s p a r a lo s e le m e n to s e n te n s ió n y e s c a la r e s n e g a tiv o s p a r a lo s
e le m e n to s e n c o m p r e s ió n . U n a v e z q u e s e e n c u e n t r e la f u e r z a d e s ­
c o n o c id a d e u n e l e m e n t o , d e b e u tiliz a r s e s u m a g n i tu d y s e n t id o
c o r r e c to s ( T o C ) e n lo s d ia g r a m a s d e c u e r p o lib r e d e la s ju n t a s s u b ­
s e c u e n te s .
E n m u c h o s ca so s, e l s e n tid o c o r r e c to d e la d ir e c c ió n d e u n a f u e r z a
d e s c o n o c id a d e u n e le m e n to p u e d e d e te r m in a r s e "m e d ia n te in s p e c ­
c ió n ". P o r e je m p lo , FBc e n la fig u ra 3-19¿> d e b e e m p u j a r e l p a s a d o r
(c o m p r e s ió n ) y a q u e s u c o m p o n e n te h o r i z o n ta l , Fb c s e n 4 5 ° , d e b e
e q u ilib r a r la f u e r z a d e 5 0 0 N ( 2 F Z = 0). D e l m is m o m o d o , F ^ e s
u n a f u e r z a d e te n s ió n , d a d o q u e e q u il ib r a la c o m p o n e n t e v e rtic a l,
E s c e o s 4 5 ° (2F y = 0 ). E n c a s o s m á s c o m p lic a d o s , e l s e n t id o d e u n a
fu e rz a d e e le m e n to d e s c o n o c id a p u e d e su p o n e r s e ’,e n to n c e s , d e s p u é s
d e a p li c a r Las e c u a c io n e s d e e q u ilib r io , e l s e n tid o s u p u e s to p u e d e
v e rific a rs e a p a r t i r d e lo s r e s u lta d o s n u m é r ic o s . U n a r e s p u e s ta p o s i­
tiv a in d ica q u e e l s e n t id o e s c o r r e e r o ,m ie n tr a s q u e u n a r e s p u e s ta n e ­
g a tiv a in d ic a q u e e l s e n t id o m o s tr a d o e n e l d ia g r a m a d e c u e r p o
lib re d e b e in v e rtirse . É s te e s e l m é to d o q u e s e u tiliz a r á e n lo s p r o ­
b le m a s d e e je m p lo q u e s e p r e s e n ta n a c o n tin u a c ió n .
Procedim iento de análisis
E l s ig u ie n te p r o c e d im ie n to p r o p o r c io n a u n m e d io p a r a a n a liz a r u n a a r m a d u r a u s a n d o el
m é to d o d e lo s n u d o s .
• D ib u je e l d ia g r a m a d e c u e r p o lib r e d e u n a j u n t a c o n a l m e n o s u n a f u e r z a c o n o c id a y
u n m á x im o d e d o s f u e r z a s d e s c o n o c id a s . (S i e s t a j u n t a s e e n c u e n t r a e n u n o d e lo s s o ­
p o rte s , p u e d e s e r n e c e s a r io c a lc u la r la s r e a c c io n e s e x t e r n a s e n lo s s o p o r te s d ib u ja n d o
u n d ia g r a m a d e c u e r p o lib r e d e to d a la a r m a d u r a ) .
• U tilic e u n o d e lo s d o s m é to d o s d e s c r ito s a n te s p a r a e s ta b le c e r e l s e n t id o d e u n a f u e r z a
d e s c o n o c id a .
• L o s e je s x y y d e b e n o r i e n ta r s e d e m o d o q u e la s f u e r z a s e n e l d ia g r a m a d e c u e r p o lib r e
p u e d a n d e s c o m p o n e r s e fá c ilm e n te e n s u s c o m p o n e n t e s x y y . A p liq u e la s d o s e c u a c i o ­
n e s d e e q u ilib r io d e f u e r z a s , 2 F X = 0 y 2 F t = 0 , o b te n g a la s d o s f u e r z a s d e e le m e n to
d e s c o n o c id a s y v e rifiq u e s u s e n tid o d e d ir e c c ió n c o r r e c to .
• C o n tin u a r c o n e l a n á lis is d e c a d a u n a d e las o t r a s ju n t a s ,d o n d e d e n u e v o e s n e c e s a r io
e le g ir u n a j u n t a q u e te n g a c o m o m á x im o d o s in c ó g n ita s y p o r lo m e n o s u n a f u e r z a c o ­
n o c id a .
• U n a v e z q u e s e e n c u e n t r a la f u e r z a e n u n e le m e n to a p a r t i r d e l a n á lis is d e u n a j u n t a e n
u n o d e s u s e x tr e m o s , e l r e s u lta d o p u e d e u s a r s e p a r a a n a li z a r la s fu e r z a s q u e a c tú a n
s o b r e la j u n t a u b ic a d a e n s u o t r o e x tr e m o . R e c u e r d e q u e u n e le m e n to e n c o m p r e s ió n
“ e m p u ja " a la ju n t a y u n e le m e n to e n te n s ió n “j a l a " a la a itic u l a r i ó n .

118. 9 6 C a p i t u l o 3 A n á l i s i s d e a r m a d u r a s e s t á t i c a m e n t e d e t e r m i n a d a s
D e te r m in e la f u e r a e n c a d a e le m e n to d e la a r m a d u r a q u e s e m u e s tra en
la fo to g rafía. L a s d im e n s io n e s y la s c a rg a s s e m u e s tra n e n la fig u ra 3-2tto.
In d iq u e s i lo s e le m e n to s e s t á n e n te n s ió n o e n c o m p r e s ió n .
S O L U C IÓ N
S ó lo e s n e c e s a r io d e te r m i n a r la s f u e r z a s e n la m ita d d e lo s e le m e n to s ,
p u e s to q u e la a r m a d u r a e s s im é tr ic a ta n to c o n r e s p e c to a la c a rg a
c o m o a la g e o m e tr ía .
J u n ta A , fig u r a 3 - 2 0 b . E l a n á lis is p u e d e in ic ia r s e e n la j u n t a A .
¿ P o r q u é ? E l d ia g r a m a d e c u e r p o lib r e s e m u e s tr a e n la fig u ra 3 -2 0 6 .
+ í 2 / > = 0 ; 4 - Fa cs e n 3 0 ° = 0 F AC = 8 k N ( C ) R esp.
:+ S F , = 0 ; F AB - 8 e o s 3 0 ° = 0 F AB = 6 .9 2 8 k N ( T ) R esp.
J u n ta G , fig u r a 3 - 2 0 c . E n e s te c a s o , o b s e r v e c ó m o la o r ie n ta c ió n
d e lo s e j e s x y y e v ita la s o lu c ió n s i m u l tá n e a d e e c u a c io n e s .
+ \ " L F y = 0 ; Fg b s e n 6 0 ° - 3 e o s 3 0 ° = 0
Fc b = 3 .0 0 k N ( C ) R esp.
+ / " 2 F l = 0 ; 8 - 3 s e n 3 0 ° - 3 .0 0 c o s 6 0 “ - Fg f = 0
Fg f = 5 .0 0 k N ( C ) R esp.
J u n t a B, f i g u r a 3 - 2 0d.
+ 1 2 F y = 0 ; Fb f s e n 6 0 ° - 3 .0 0 s e n 3 0 ° = 0
Fb f = 1.73 k N ( T ) R esp.
;+ 2 F t = 0 ; F ^ + 1.73 e o s 6 0 ° + 3 .0 0 e o s 3 0 ° - 6.9 2 8 = 0
Fb c = 3 .4 6 k N ( T ) R e sp .
OOIcN 4
A y
3 .0 0 kN
3(£
6 .9 2 8 k N B ¥BC
(d)
fig u ra 3 -2 0

119. 3 . 3 El M É T O D O D E I O S M O D O S 9 7
D e te r m in e la f u e r z a e n c a d a e le m e n to d e la a r m a d u r a d e tije r a s q u e
se m u e s tr a e n la f ig u r a 3 - 2 l a . In d iq u e s i lo s e le m e n to s e s tá n e n t e n ­
s ó n o e n c o m p r e s ió n . l.a s r e a c c io n e s e n lo s s o p o r t e s s e p ro p o r c io n a n
e n la fig u ra .
S O L U C IÓ N
L a a r m a d u r a s e a n a liz a r á e n la s ig u ie n te s e c u e n c ia :
J u n ta E, fig u r a 3 - 2 1 b . O b s e rv e q u e la s o lu c ió n s i m u ltá n e a d e e c u a ­
c io n e s n o p u e d e r e a l iz a r s e d e b i d o a la o r i e n ta c i ó n d e lo s e j e s x y y .
+ / - 2 F y = 0 ; 191.0 e o s 3 0 ° - F F n s e n 15° = 0
Fe d = 639.1 Ib ( C ) R esp.
+ \ 2 F t = 0 ; 639.1 e o s 1 5° - FEf ~ 191.0 s e n 3 0 ° = 0
Fe f = 52 1 .8 I b ( T ) R esp.
J u n ta D , fig u r a 3 - 2 1 c.
+ S 1 F s = 0 ; ~ Fdf s e n 7 5 o = 0 F nF = 0 R esp.
+ \ Z F , = 0 ; - F o c + 63 9 .1 = 0 F DC = 639.1 Ib ( C ) R esp.
J u n t a C , f i g u r a 3 - 2 1 d .
- 4 2 F x - 0 ; F CB s e n 4 5 ° - 639.1 s e n 4 5 ° = 0
F e a = 6 3 9 .1 Ib ( C ) R esp.
+ 1 2 F y - 0; - F c f ~ 175 + 2 (6 3 9 .1 ) e o s 4 5 ° = 0
Fc f = 72 8 .8 I b ( T ) R esp.
J u n ta B, fig u r a 3 - 2 1 e .
+ \ Z F y - 0 ; F „fs e n 7 5° 2 0 0 = 0 F ñF = 207.1 Ib ( C ) R esp.
+ S 2 F X = 0 ; 63 9 .1 + 207.1 e o s 7 5 ° - F ñÁ = 0
Fba = 69 2 .7 I b ( C ) R esp.
J u n ta A, fig u r a 3 - 2 1 f.
± 2 F X = 0 ; Fa f e o s 3 0 ° - 692.7 e o s 4 5 ° - 141.4 = 0
Fa f = 7 2 8 .9 Ib ( T ) R esp.
+ 1 'LFy = 0 ; 12 5 .4 - 69 2 .7 s e n 4 5 ° + 72 8 .9 s e n 3 0 ° = 0
c o m p r o b a c ió n
O b s e rv e q u e c o m o y a s e h a n c a lc u la d o la s re a c c io n e s , p u e d e r e a li­
z a rs e u n a c o m p r o b a c ió n a d ic io n a l d e lo s c á lc u lo s a n a liz a n d o la ú ltim a
ju n t a F. I n t é n te l o y c o m p r u e b e lo s r e s u lta d o s .
175 Ib
rM>
V
75J r \
x f0fy \
3 0 ! i
____ / Ü 9 .1 Ib
1 9 1 .0 1 b
(b ) (c)
I * ' - " * \ © 9 .1 1 b
(e)
141.4 Ib
692.7 Ib
30“
1 2 5 .4 1 b
(0
Figura 3-21

120. 9 8 C a p i t u l o 3 A n á l i s i s d e a r m a d u r a s e s t á t i c a m e n t e d e t e r m i n a d a s
3 .4 E lem entos d e fuerza cero
E l a n á lis is d e a r m a d u r a s m e d ia n te e l m é to d o d e lo s n o d o s s e sim p lific a
e n g r a n m e d id a si p r i m e r o s e d e te r m i n a n lo s e le m e n to s q u e n o s o p o r ta n
ca rg a . E s to s e le m e n to s (le f u e r z a c e r o p u e d e n s e r n e c e s a r io s p a r a la e s t a ­
b ilid a d d e la a r m a d u r a d u r a n t e s u c o n s tr u c c ió n y p a r a p r e s ta r a p o y o s i la
c a r g a a p lic a d a c a m b ia . P b r lo g e n e r a l , lo s e le m e n to s d e f u e r z a c e r o d e
u n a a r m a d u r a p u e d e n d e te r m in a r s e m e d ia n te la in s p e c c ió n d e la s a r t ic u ­
la c io n e s y s e p r e s e n ta n e n d o s casos.
C a s o 1 . C b n s id e r e la a r m a d u r a d e la fig u ra 3 -2 2a . L o s d o s e le m e n to s
e n la j u n t a C <e c o n e c t a n e n t r e s í e n á n g u lo r e c t o y n o h a y c a rg a e x te r n a
s o b r e la ju n t a . E l d ia g r a m a d e c u e r p o lib r e d e la j u n t a C .f ig u r a 3 -2 2b , in ­
d ic a q u e la f u e r z a e n c a d a e le m e n to d e b e s e r c e r o a fin d e m a n t e n e r el
e q u ilib r io . A d e m á s ,c o m o e n e l c a s o d e la j u n t a A ,f ig u r a 3 - 2 2 c ,e s to d e b e
s e r c ie r to s i n im p o r t a r e l á n g u lo , d ig a m o s 0 , e n t r e lo s e le m e n to s .
C a s o 2 . L o s e le m e n to s d e f u e r z a c e r o ta m b ié n s e p r e s e n ta n e n la s j u n ­
ta s c o n u n a g e o m e t r í a c o m o la d e la j u n t a D e n l a fig u ra 3 -2 3 a . A q u í n in ­
g u n a c a r g a e x te r n a a c tú a s o b r e la j u n t a . d e m o d o q u e u n a s u m a to r i a d e
fu e r z a s e n la d ir e c c ió n y ,f i g u r a 3 - 2 3 6 ,q u e e s p e r p e n d i c u la r a lo s d o s e l e ­
m e n to s c o lin c a le s , r e q u i e r e q u e Fq f = 0- S i s e u s a e s te r e s u lta d o . F C
ta m b ié n e s u n e l e m e n t o d e f u e r z a c e ro , c o m o lo in d ic a e l a n á lis is d e f u e r ­
z a s d e la j u n t a F , fig u ra 3 -2 3 c.
E n r e s u m e n , s i s ó l o d o s e le m e n to s n o c o lin c a le s fo r m a n u n a j u n t a d e
u n a a r m a d u r a y n o s e a p lic a n in g u n a c a rg a e x te r n a o r e a c c ió n e n lo s s o ­
p o r te s s o b r e la ju n t a , lo s e le m e n to s d e b e n s e r e le m e n to s d e f u e r z a c e ro .
C a s o I. A d e m á s , s i tr e s e le m e n to s f o r m a n u n a j u n t a d e u n a a r m a d u r a
p a ra la c u a l d o s d e lo s e le m e n to s s o n c o lin e a le s .e l te r c e r e le m e n to e s u n
e le m e n to d e f u e r z a c e r o , s i e m p r e y c u a n d o n o s e a p liq u e n in g u n a f u e r z a
e x te r n a o r e a c c ió n e n lo s s o p o r t e s s o b r e la j u n t a . C a s o 2 . S e d e b e p r e s t a r
a te n c ió n e s p e c ia l a e s t a s c o n d ic io n e s g e o m é tr ic a s d e la j u n t a y la c a rg a ,
p u e s to q u e e l a n á lis is d e u n a a r m a d u r a p u e d e s im p lific a rs e c o n s i d e r a b l e ­
m e n te s i p r im e r o s e d e te c ta n lo s e le m e n to s d e f u e r z a c e ro .
Fn f - 0
F F
( c )
FF
f 1 F y - 0 ; F( ,- s e n 0 + 0 - 0
P e r = 0 ( p u e s s e n 0 * 0 )
* 2 P * “ O, Fc „ ** 0
+ ¿ 2 F ,- O .F c o - 0
0 »
+ T % F , * 0 ; F Ag s e n 0 = 0
F a b " 0 ( p u e s s e n 0 * 0)
% 'Z F , - 0 ; - Fa e + 0 - 0
Fjut ~ 0
( c )
F ig u r a 3 - 2 2
+ * 2 F ,= 0;F d, = 0
F i g u r a 3 - 2 3

121. 3 . 4 El e m e n t o s d e f u e r z a c e r o
E JE M P LO
U tiliz a n d o e l m é to d o d e lo s n o d o s , in d iq u e to d o s lo s e le m e n to s d e la
a r m a d u r a q u e s e m u e s tr a e n la fig u ra 3 -2 4 ti y c u y a f u e r z a e s c e ro .
(a)
H ^ u r a 3 - 2 4
<b)
( c )
S O L U C IÓ N
B u s c a n d o ju n ta s s e m e ja n te s a la s a n a liz a d a s e n las fig u ra s 3 .2 2 y 3 .2 3 ,
se ti e n e
J u n ta D, fig u r a 3 - 2 4 b .
+ 1 2 F y - 0 ; F K s e n 0 = 0 F - 0 R e sp .
- i 2 F x = 0 ; F DE + 0 = 0 F DE = 0 R esp.
J u n ta E, f ig u r a 3 - 2 4 c .
2 F x = 0 ; F e f = 0 R esp.
( O b s e rv e q u e FEC = P y u n a n á lis is d e la j u n t a C r e s u lta r ía e n u n a
fu e rz a e n e l e l e m e n t o C F .)
J u n ta H, fig u r a 3 - 2 4 d .
+ S Z F y = 0 ; F „ fí = 0 R esp.
J u n ta G, f ig u r a 3 - 2 4 a . E l s o p o r te d e o s c ila d o r e n G s ó lo p u e d e
e je r c e r u n c o m p o n e n t e x d e la f u e r z a s o b r e la j u n t a ; e s d e c i r , G , . P o r
b ta n t o ,
+1 2 F , = O, F c a = 0 R esp.
FH A
~F«»
X1
'IIP
<d)
< I A
G,e
G F
c,i
(e)

122. 1 0 0 C a p i t u l o 3 A n á l i s i s d e a r m a d u r a s e s t á t i c a m e n t e d e t e r m i n a d a s
P R O B L E M A S F U N D A M E N T A L E S
B - i D eterm ine la fuerza e n c ad a e lem en to de la a rm a ­
d u ra c indique si e stá e n tensión o en com presión.
F 3 -2 . D eterm ine la fu e rz a e n c ad a e lem en to de la arm a­
d u ra c indique si e stá e n tensión o en com presión.
F 3-2
F3-3. D eterm ine la fu e rz a e n c ad a e lem en to de la arm a­
d u ra e indique s i e stá e n tensió n o en com presión.
F 3-4
F 3 -5 . D eterm ine la fuerza e n c ad a e lem en to de la arm a­
d u ra e indique s i e stá e n tensión o en com presión.
1 3 -6 . D eterm ine la fuerza e n c ad a e lem en to de la a rm a ­
d u ra e indique s i e stá e n tensión o e n com presión.
F 3 - L D eterm ine la fu e rz a e n c ad a e lem en to de la arm a­
d u ra c indique si e stá e n tensión o en com presión.

123. 3 . 4 El e m e n t o s d e f u e r z a c e r o 1 0 1
P R O B L E M A S
3-5. Un señ alam ien to e stá so m etid o a u n a carg a del
viento q u e ejerce fuerzas ho rizo n tales d e 300 Ib e n las ju n ­
ta s B y C d e u n a d e las arm ad u ras laterales d e so p o rte . D e­
term ine la fuerza e n cada e lem en to de la a rm a d u ra e
indique si lo s elem entos e stán e n tensión o e n com presión.
3 -7 . D eterm ine la fuerza e n cada elem ento d e la a rm a ­
d ura. In d iq u e s i lo s e lem en to s e stán e n tensión o e n c o m ­
presión. C o n sid ere P = 8 IcN.
•3 -8 . Si la fuerza m áxim a q u e cu alq u ier e lem en to p u e d e
so p o rtar e s d e 8 kN e n tensión y 6 k N e n com p resión, d e te r­
mine la fuerza P máxim a q u e p u ed e so p o rta r la ju n ta D .
P r o h . 3 - 5 P r o b s . 3-7Z3-8
3 -6 . D eterm ine la fuerza e n cada elem ento d e la arm a­
d ura. In d iq u e si lo s e lem en to s e stán e n tensión o e n c o m ­
presión. S uponga q u e to d o s los e lem en to s están co nectados
m ediante articulaciones.
^ -9 . D eterm ine la fuerza e n cada e lem en to d e la a rm a ­
d ura. In d iq u e s i lo s e lem en to s e stán e n tensión o e n c o m ­
presión.

124. 1 0 2 C a p i t u l o 3 A n á l i s i s d e a r m a d u r a s e s t á t i c a m e n t e d e t e r m i n a d a s
3 -1 0 . D eterm in e la fuerza e n c ad a e lem en to d e la a rm a - *3-12. D eterm ine la fuerza e n c ad a e lem en to d e la arm a­
d ura. In d iq u e si lo s e le m e n to s e stán e n tensión o e n com - d ura. In d iq u e si lo s e lem en to s e s tá n e n tensión o e n com ­
p resión. presión. Suponga q u e to d o s los e lem en to s e stán co nectados
m ediante articulaciones. A G = G F = FF. = E D .
P ro b . 3 -1 0 Prob. 3 -1 2
3 -1 1 . D eterm ine la fuerza e n c ad a elem ento d e la arm a­
d ura. In d iq u e si lo s elem ento s e s tá n e n tensión o e n com ­
presión. Suponga q u e to d o s los e lem en to s e stán co nectados
m ediante articulaciones.
3 -1 3 . D eterm in e la fuerza e n c ad a elem ento d e la a rm a ­
dura. In d iq u e si lo s e lem en to s e stán e n tensión o e n com ­
presión.
Prob. 3-11
4 kN
5 kN
Prob. 3 -1 3

125. 3.4 Elementos de fuerza cero 1 0 3
3-14. D eterm ine la fuerza e n cada e lem en to d e la a rm a - *3-16. D eterm ine la fuerza e n c ad a e lem en to d e la a rm a ­
d u ra d e techo. Indique si lo s elem entos e s tá n e n tensión o d ura. In d iq u e s i lo s e lem en to s e stán e n tensión o e n c o m ­
e n com presión. presión.
8kN
6 X 4 m = 2 4 m
P r o h . 3 -1 4
P ro h . 3 - 1 6
3 -1 5 . D eterm ine la fuerza e n c ad a e lem en to d e la a rm a ­
d u ra d e techo. In d iq u e si lo s e lem en to s e s tá n e n tensión o
e n com presión. S uponga q u e to d o s los e lem en to s e stán c o ­
nectadas m ediante articulaciones.
3 -1 7 . D eterm ine la fuerza e n c ad a e lem en to d e la a rm a ­
d u ra d e techo. Indiq ue si lo s e lem en to s e s tá n e n tensión o
e n com presión. S u ponga q u e B e s u n p a s a d o r y q u e C e s un
so p o rte de rodillos.
P ro h . 3 - 1 5 P ro h . 3 - 1 7

126. 1 0 4 C a p i t u l o 3 A n á l i s i s d e a r m a d u r a s e s t á t i c a m e n t e d e t e r m i n a d a s
3 .5 El m é to d o de las secciones
Si s e d e b e n d e te r m i n a r la s f u e r / a s s ó l o e n u n o s c u a n to s e le m e n to s d e
u n a a r m a d u r a , p o r lo g e n e r a l e l m é to d o d e las s e c c io n e s p r o p o r c io n a el
m e d io m ás d ir e c to p a r a o b t e n e r e s t a s fu e rc a s. E l m é to d o d e la s se c c io n e s
c o n s is te e n h a c e r p a s a r u n a se c c ió n im a g in a r ia a tr a v é s d e la a r m a d u r a ,
d e m o d o q u e la c o r ta e n d o s p a r te s . S ie m p r e q u e t o d a la a r m a d u r a e s té
e n e q u il ib r io .c a d a u n a d e la s d o s p a r t e s ta m b ié n d e b e e s ta r e n e q u ilib r io
y. e n c o n s e c u e n c ia , la s tr e s e c u a c io n e s d e e q u ilib r io p u e d e n a p lic a r s e a
c u a lq u ie r a d e e s ta s d o s p a r t e s p a ra d e te r m i n a r la s f u e r z a s e n lo s e l e m e n ­
to s d e la " s e c c ió n c o r t a d a " .
C u a n d o s e e m p le a e l m é to d o d e la s se c c io n e s p a r a d e te r m in a r la fu e rz a
e n u n e le m e n to e n p a r tic u la r , d e b e to m a r s e u n a d e c is ió n s o b r e la fo r m a
d e “ c o r t a r " o s e c c io n a r la a r m a d u r a . C o m o s ó l o p u e d e n a p lic a r s e tres
e c u a c io n e s in d e p e n d ie n te s d e e q u ilib r io ( 2 F t = 0 . 1 F y = 0 , I M o = 0 ) a la
p a r t e a is la d a d e la a r m a d u r a , t r a t e d e s e le c c io n a r u n a s e c c ió n q u e , e n g e ­
n e r a l, n o p a s e a tr a v é s d e m á s d e tres e le m e n to s e n lo s q u e la s fu e r z a s
s e a n d e s c o n o c id a s . P o r e je m p lo .c o n s id e r e la a r m a d u r a d e la fig u ra 3 -2 So.
Si s e v a a d e te r m i n a r la f u e r z a e n e l e l e m e n t o G C , la s e c c ió n aa s e r ía
a d e c u a d a . E n la s fig u ra s 3-25b y 3 -2 5 c se m u e s tr a n lo s d ia g r a m a s d e
c u e r p o lib r e d e la s d o s p a r te s . E n p a r t ic u l a r , te n g a e n c u e n ta q u e la lín e a
d e a c c ió n d e c a d a f u e r z a e n u n e l e m e n t o s e c c io n a d o s e e s p e c ific a a p a r ­
ti r d e la g eo m etría d e la a r m a d u r a , p u e s to q u e la fu e rz a e n u n e le m e n to p a s a
a lo la r g o d e l e j e d e l e le m e n to . A d e m á s , la s fu e n -a s d e u n e le m e n to q u e
a c tú a n s o b r e u n a p a r t e d e la a r m a d u r a s o n ig u a le s p e r o o p u e s t a s a las
q u e a c tú a n s o b r e la o t r a p a r t e , lo q u e s e d e b e a la te r c e r a le y d e N e w to n .
C o m o p u e d e o b s e r v a r s e , lo s e le m e n to s q u e s u p u e s ta m e n t e e s tá n e n te n ­
s i ó n ( B C y C G ) e s t á n s o m e tid o s a u n “j a l ó n " , m ie n tr a s q u e e l e le m e n to
e n c o m p r e s ió n ( G F ) e s t á s o m e tid o a u n “ e m p u j ó n " .

127. 3 . 5 E l M É T O D O D E L A S S E C C IO N E S
L a s tr e s fu e r z a s d e e le m e n to d e s c o n o c id a s F a c , F q c y $ g f p u e d e n o b ­
te n e r s e m e d ia n te la a p lic a c ió n d e la s tr e s e c u a c io n e s d e e q u ilib r io a l d i a ­
g ra m a d e c u e r p o lib r e d e la fig u ra 3 -2 5 6 . S in e m b a r g o , s i s e c o n s id e r a e l
d ia g r a m a d e c u e r p o lib re d e la fig u ra 3 -2 5 c , d e b e r á n d e te r m in a r s e e n
p r im e r lu g a r la s tr e s r e a c c io n e s d e s o p o r t e !> ,, D 4, y E , . ¿ I\> r q u é ? ( P o r
s u p u e s to , e s to s e h a c e d e la m a n e r a u s u a l, c o n s id e r a n d o u n d ia g r a m a d e
c u e ip o lib r e d e to d a la a r m a d u r a). A l a p lic a r la s e c u a c io n e s d e e q u il i­
b rio , c o n s i d e r e la m a n e r a d e e s c r ib ir las e c u a c io n e s c o n e l fin d e o b t e n e r
u n a s o lu c ió n d ir e c ta p a r a c a d a u n a d e la s in c ó g n ita s , e n v e z d e t e n e r q u e
re s o lv e r e c u a c io n e s s im u ltá n e a s . P o r e je m p lo , s i s e s u m a n m o m e n to s r e s ­
p e c to a C e n la fig u ra 3 -2 5 6 g e n e r a r ía u n a s o lu c ió n d ir e c ta p a r a F g f
p u e s to q u e FBC y F í ; c c r e a n m o m e n to s c e r o a lr e d e d o r d e C . D e l m ism o
m o d o . FflC p u e d e o b te n e r s e d ir e c ta m e n te a p a rtir d e u n a s u m a to ria d e m o ­
m e n to s a lr e d e d o r d e G . P o r ú ltim o , Fc c p u e d e d e te r m in a r s e d i r e c t a ­
m e n te a p a r t i r d e u n a s u m a to r i a d e f u e iz a s e n la d ir e c c ió n v e rtic a l, d a d o
q u e FC f y F K n o ti e n e n c o m p o n e n t e s v e rtic a le s .
C o m o e n e l m é to d o d e lo s n u d o s , h a y d o s f o r m a s d e d e t e r m i n a r e l s e n ­
tid o c o r r e c to d e u n a f u e r z a d e e le m e n to d e s c o n o c id a .
L S ie m p r e s u p o n g a q u e la s fu e r z a s d e e le m e n to d e s c o n o c id a s e n la s e c ­
c ió n c o rta d a e s tá n en te n s ió n , e s decir, "ja la n d o " e l e le m e n to . D e e s ta
m a n e r a , l a s o lu c ió n n u m é r ic a d e la s e c u a c io n e s d e e q u ilib r io g e n e ­
r a r á e sc a la re s p o s i ti v o s p a r a lo s e le m e n to s e n te n s ió n y esca la res
n e g a tiv o s p a r a lo s e le m e n to s e n c o m p r e s ió n.
2. E n m u c h o s ca so s, e l s e n tid o c o r r e c to d e u n a f u e r z a d e e le m e n to d e s ­
c o n o c id a p u e d e d e te r m in a r s e “p o r i n s p e c c i ó n ”. P o r e je m p lo . FBC e s
u n a f u e r z a d e te n s ió n c o m o s e r e p r e s e n ta e n la fig u ra 3 - 2 5 6 ,p u e s to
q u e e l e q u ilib r io d e m o m e n to s r e s p e c to a G r e q u i e r e q u e F flC c r e e
u n m o m e n to o p u e s t o a l d e la f u e r z a d e 1000 N. A d e m á s . F GC es d e
te n s ió n p o r q u e s u c o m p o n e n t e v e r tic a l d e b e e q u i l i b r a r la f u e r z a
d e 1000 N . E n c a s o s m á s c o m p lic a d o s , e l s e n tid o d e u n a f u e r z a d e
e le m e n to d e s c o n o c id a p u e d e s u p o n e r s e . S i la s o lu c ió n r e s u lta s e r u n
e s c a la r n e g a tiv o , e s to in d ic a r á q u e e l s e n t id o d e la f u e r z a e s o p u e sto
a l m o s tr a d o e n e l d ia g r a m a d e c u e r p o lib re . É s te e s e l m é t o d o q u e
s e u tiliz a r á e n lo s s ig u ie n te s p r o b l e m a s d e e je m p lo .
E n e l n o r t e d e C a l i f o r n i a s e c o n s ­
t r u y e u n a a r m a d u r a d e p u e n t e s o b r e
e l l a g o S h a s t a .

128. Ca p i t u l o 3 A n á l i s i s d e a r m a d u r a s e s t á t i c a m e n t e d e t e r m i n a d a s
E l s ig u ie n te p r o c e d im ie n to p r o p o r c io n a u n m e d io p a r a a p lic a r e l m é to d o d e las s e c c io ­
n e s a fin d e d e t e r m i n a r la s fu e r z a s e n lo s e le m e n to s d e u n a a r m a d u r a .
D ia g ra m a d e c u e r p o lib re
• T o m e u n a d e c is ió n s o b r e la fo r m a d e “ c o r t a r " o s e c c io n a r la a r m a d u r a a tr a v é s d e lo s
e le m e n to s e n lo s q u e d e b e n d e te r m i n a r s e la s fu e rz a s .
• A n te s d e a is la r la se c c ió n a d e c u a d a , q u iz á s e r e q u i e r a d e t e r m i n a r la s r e a c c io n e s e x te r ­
n a s d e la a r m a d u r a , d e m o d o q u e las tr e s e c u a c io n e s d e e q u il ib r io s ó l o se u s e n p a r a
e n c o n tr a r la s fu e r z a s d e e le m e n to e n la se c c ió n c o r ta d a .
• D ib u je e l d ia g r a m a d e c u e r p o lib r e d e la p a r t e d e la a r m a d u r a s e c c io n a d a q u e t e n g a e l
m e n o r n ú m e r o d e f u e r z a s e n e lla .
• U tilic e u n o d e lo s d o s m é to d o s d e s c r ito s a n te r io r m e n te p a r a e s t a b le c e r e l s e n t id o d e
u n a f u e r z a d e s c o n o c id a .
E c u a c io n e s d e e q u ilib r io
• L o s m o m e n to s d e b e n s u m a r s e a lr e d e d o r d e u n p u n to q u e s e e n c u e n t r e e n la i n t e r s e c ­
c ió n d e la s lín e a s d e a c c ió n d e d o s f u e r z a s d e s c o n o c id a s ; d e e s t a m a n e r a , la te r c e r a
fu e rz a d e s c o n o c i d a s e d e te r m i n a d ir e c ta m e n te a p a r tir d e la e c u a c ió n .
• Si d o s d e la s fu e r z a s d e s c o n o c id a s s o n p a r a le la s,l a s fu e r z a s p u e d e n s u m a r s e e n f o r m a
p e r p e n d ic u la r a la d ir e c c ió n d e e s t a s in c ó g n ita s a fin d e d e te r m i n a r d ir e c ta m e n te la t e r ­
c e ra f u e r z a d e s c o n o c id a .
E j e m p l o d e u n a a r m a d u r a W a r r e n ( c o n v e r t i c a l e s )

129. 3 . 5 E l M É T O D O D E L A S S E C C IO N E S 107
D e te r m in e la f u e r z a e n lo s e le m e n to s G J y C O d e la a r m a d u r a d e
le c h o q u e s e m u e s tr a e n la fo to g r a f ía . L a s d im e n s io n e s y las c a r g a s se
m u e s tra n e n la fig u ra 3 -2 6 a . In d iq u e s i lo s e le m e n to s e s t á n e n te n s ió n
o e n c o m p r e s ió n . L a s r e a c c io n e s e n lo s s o p o r te s y a s e h a n c a lc u la d o .
5 0 0 1 b
3 0 0 1 b 3 0 0 Ib
3 0 0 1 b
3 0 0 I b . \ 0 3 0 0 1 b
A , = 0
1501b 1 5 0 1 b
1 1 5 9 .3 I b |*3 p i e s ' 3 p ie s 3 p ie s 3 p ie s 3 p i e s 3 p i e s 3 p i e s 3 p ie s 1 1159.3 Ib
(a)
Hgiira 3-26
S O L U C IÓ N
E le m e n to CF.
D ia g ra m a d e c u e r p o lib r e . 1.a f u e r z a e n e l e le m e n to G J p u e d e o b ­
te n e r s e a l c o n s i d e r a r la s e c c ió n a a d e la f ig u r a 3 - 2 6 a . E n la fig u ra
3 . 2 6b s e m u e s tr a e l d ia g r a m a d e c u e r p o lib r e d e la p a r t e d e r e c h a d e
e s ta se c c ió n .
E c u a c io n e s d e e q u ilib r io . A p lic a n d o £ A // ■ 0 s e p u e d e o b t e n e r
u n a s o lu c ió n d ir e c ta p a r a *V ;/ ¿ P o r q u é ? P a r a s im p lific a r, d e s lic e F<;j
h a c ia e l p u n t o G (p r in c ip io d e tr a n s m is ib ilid a d ). fig u ra 3 - 2 6 6 . P o r lo
ta n to . <b)
t + S M / = 0 ; - F Cj s e n 3 0 ° ( 6 ) + 3 0 0 (3 .4 6 4 ) = 0
f c , = 3 4 6 1 b ( C ) R esp.
E le m e n to G C
D ia g ra m a d e c u e r p o lib r e . La f u e r z a e n C O p u e d e o b te n e r s e
u s a n d o la s e c c ió n b b d e la fig u ra 3 -2 6 a . E n la fig u ra 3 -2 6 c se m u e s tra
el d ia g r a m a d e c u e r p o lib r e d e la p a r t e iz q u ie rd a d e la se c c ió n .
E cu a cio n e s d e e q u ilib r io . L o s m o m e n to s s e s u m a r á n r e s p e c to al
p u n t o A co n e l fin d e e li m i n a r la s in c ó g n ita s F OP y Fc 0 .
= 0; - 3 0 0 ( 3 .4 6 4 ) + F c o { 6 )
Fc o = 173 Ib ( T )
0
R esp. ( c )

130. 1 0 8 C a p i t u l o 3 A n á l i s i s d e a r m a d u r a s e s t á t i c a m e n t e d e t e r m i n a d a s
S O L U C IÓ N
D ia g ra m a d e c u e rp o lib r e . S e c o n s id e r a r á l a s e c c ió n aa d e la fi­
g u ra 3 -2 7a . ¿ P o r q u é ? E n la f ig u r a 3 -2 7b se m u e s tr a e l d ia g r a m a d e
c u e r p o lib r e a l a d e r e c h a d e e s ta s e c c ió n . L a d is ta n c i a E O p u e d e d e ­
te r m in a r s e m e d ia n te tr iá n g u lo s s e m e ja n te s o a l o b s e r v a r q u e e l e l e ­
m e n t o G E c a e v e r tic a lm e n te 4 .5 - 3 = 1.5 m e n 3 m , fig u ra 3 -2 7a . P o r
c o n s ig u ie n te , p a r a c a e r 4 .5 m d e s d e G . l a d is ta n c i a d e C a O (fcb e s e r
d e 9 m . A d e m á s , lo s á n g u lo s q u e f o r m a n ¥ GD y ¥ GF c o n l a h o r iz o n ta l
s o n t a n - ‘ (4 .5 /3 ) = 56.3° y t a n " '( 4 .5 / 9 ) = 2 6 .6 °, re s p e c tiv a m e n te .
E c u a c io n e s d e e q u ilib r io . L a f u e r z a e n G F p u e d e d e te r m i n a r s e d i­
r e c t a m e n t e a p lic a n d o 1 M D = 0. ¿ I\> r q u é ? P a r a e l c á lc u lo a p liq u e e l
p rin c ip io d e tr a n s m is ib ilid a d y d e s lic e ¥ GF h a s ta e l p u n t o O . P o r lo
ta n to .
5,+ S A /„ = O. - Fg f s e n 2 6 .6 ° (6 ) + 7 ( 3 ) = 0
Fg f = 7.83 k N ( C ) R esp.
l a f u e r z a e n G D se d e te r m i n a d ir e c ta m e n te a l a p li c a r 2íV/0 = 0 . P a ra
sim p lific a r a p liq u e e l p rin c ip io d e tra n sm isib ilid a d y d e slic e ¥ G n h a d a D .
A sí,
l + I M o = 0 ; - 7 ( 3 ) + 2 ( 6 ) + E c o s e n 5 6 .3 ° ( 6 ) = 0
E g d = 1.80 k N ( C ) R esp.
D e te r m in e la f u e r z a e n lo s e l e m e n t o s G E y G D d e la a r m a d u r a q u e se
m u e s tr a e n la fig u ra 3 -2 7 a . In d iq u e s i lo s e le m e n to s e s t á n e n te n s ió n o
e n c o m p r e s ió n . L a s re a c c io n e s e n lo s s o p o r t e s ya s e h a n c a lc u la d o .
Figura 3 -2 7

131. 3 . 5 E l M É T O D O D E I A S S E C C IO N E S 1 0 9
D e te r m in e la f u e r z a e n lo s e le m e n to s B C y M C efe la a r m a d u r a K q u e
se m u e s tr a e n la fig u ra 3-28 a . In d iq u e si lo s e le m e n to s e s t á n e n te n s ió n
o e n c o m p r e s ió n . L as re a c c io n e s e n lo s s o p o r te s y a se h a n c a lc u la d o .
A , — 2900 Ib 12001b 15001b 18001b
(a)
S O L U C IÓ N
D ia g ra m a d e c u e r p o lib r e . A u n q u e l a s e c c ió n aa q u e s e m u e s tr a
e n la fig u ra 3 -2 8 a r e a l i/ a u n c o r t e a tr a v é s d e c u a t r o e le m e n to s , e s p o ­
sib le d e s c o m p o n e r la f u e r z a e n e l e l e m e n t o B C u s a n d o e s ta s e c c ió n .
E n la fig u ra 3-28¿> se m u e s tra e l d ia g r a m a d e c u e r p o lib r e d e la p a r te
iz q u ie rd a d e la a r m a d u r a .
E cu a cio n e s d e e q u ilib r io . L a s u m a d e lo s m o m e n to s r e s p e c to a l
p o n t o L e lim in a tr e s d e la s in c ó g n ita s , p o r lo q u e
= O, - 2 9 0 0 ( 1 5 ) + F b c { 2 0 ) = 0
Fb c = 2 1 7 5 Ib ( T ) R esp.
D ia g ra m a s d e c u e rp o lib r e . L a f u e r z a e n M C p u e d e o b te n e r s e d e
m a n e r a in d ir e c ta a l o b t e n e r p r i m e r o la f u e r z a e n M B a p a r tir d e l
e q u ilib r io d e f u e iv a s v e r tic a le s e n la ju n t a B , f ig u r a 3 -2 8 c . e s d e c ir ,
FUfí = 1200 Ib (T ). E n to n c e s , c o n b a s e e n e l d ia g r a m a d e c u e r p o lib re
d e la fig u ra 3-28¿>.
+ T = 0 ; 2 9 0 0 - 1200 + 1200 - Fu l = 0
F = 2 9 0 0 Ib ( T )
E n la fig u ra 3 -2 8d se m u e s tra e l d ia g r a m a d e c u e r p o lib re d e l a ju n t a
A /.e n e l c u a l se u s a n e s t o s re s u lta d o s .
E cu a cio n e s d e e q u ilib r io .
X ? . F t = 0;
+ Í Z F y = 0;
F'm k = 0
(vn)F"c (vb)
2900 - 1200 - (w) F " c -
0
F „k = L532 Ib ( C ) Fm c = 1532 Ib ( T ) R esp.
E n o c a s io n e s , c o m o e n e s te e je m p lo , la a p lic a c ió n t a n t o d e l m é to d o d e
h s s e c c io n e s c o m o d e l m é to d o d e lo s n u d o s c o n d u c e a u n a s o lu c ió n
m ás d ir e c ta d e l p ro b le m a .
T a m b ié n e s p o s ib le o b t e n e r la f u e r z a e n M C u s a n d o e l r e s u lta d o de
FflC. E n e s te c a s o .s e p a s a u n a se c c ió n v e rtic a l a tr a v é s d e I .K , M K . M C
y B C , fig u ra 3 -2 8 a . S e a ís la la s e c c ió n iz q u ie r d a y s e a p lic a 1 M K = 0 .
L i
I**” F;.X
2 0 p ie s
\a
Fvl
F.va|
m "
29001b 12001b
(b)
F UB
« Fb c
12001b
( c )
29001b
12001b
( d )
Figura 3 -2 8

132. 1 1 0 C a p i t u l o 3 A n á l i s i s d e a r m a d u r a s e s t á t i c a m e n t e d e t e r m i n a d a s
3 .6 Armaduras compuestas
E n la se c c ió n 3 -2 s e e s ta b le c ió q u e las a r m a d u r a s c o m p u e s ta s s e f o r m a n
al c o n e c t a r e n tr e s í d o s o m á s a r m a d u r a s s im p le s , ya s e a m e d ia n te la s b a ­
r r a s o la s ju n t a s . D e m a n e r a o c a s io n a l, e s t e t i p o d e a r m a d u r a s e a n a liz a
d e u n a m e j o r m a n e r a s i s e a p li c a n la n ío e l m é t o d o d e lo s n u d o s c o m o
e l d e la s se c c io n e s. C o n f r e c u e n c ia e s c o n v e n ie n te r e c o n o c e r a n te s e l tip o
d e c o n s tr u c c ió n ,s e g ú n la lis ta p r e s e n ta d a e n la s e c c ió n 3 -2 , p a ra d e s p u é s
r e a liz a r e l a n á lis is a p lic a n d o e l s ig u ie n te p ro c e d im ie n to .
E JE M P LO 3.8
na
4 s e n 6 0 ° m
5 k N 4 k N
<b)
3 .4 6 k N
5 k N 4 k N
(c)
H g u r a 3 - 2 9
2 k N
I n d iq u e c ó m o a n a liz a r la a r m a d u r a c o m p u e s ta q u e s e m u e s tra e n la
fig u ra 3 -2 9a . L a s re a c c io n e s e n lo s a p o y o s y a se h a n c a lc u la d o .
-4, = 0
4kN £ - 5 kN
S O L U C IÓ N
L a a r m a d u r a e s c o m p u e s ta p u e s to q u e la s a r m a d u r a s s i m p l e s A C H y
C E G e s tá n c o n e c t a d a s m e d i a n te e l p a s a d o r e n C y la b a r r a 1IG .
L a s e c c ió n a a d e la fig u ra 3 - 2 9 a c o r ta la b a r r a H G y o tr o s d o s e l e ­
m e n to s q u e ti e n e n fu e rz a s d e s c o n o c id a s . E n la f ig u r a 3 -2 9 ¿> se m u e s tr a
u n d ia g r a m a d e c u e r p o lib r e d e l a p a r t e iz q u ie r d a . L a f u e r z a e n H G se
d e te r m in a d e la m a n e r a s ig u ie n te :
t + Z A / c - O , - 5 ( 4 ) + 4 ( 2 ) + F //C ( 4 s e n 6 0 ° )
F HG = 3 .4 6 k N ( C )
0
A h o r a s e p r o c e d e a d e t e r m i n a r la f u e r z a e n c a d a e le m e n to d e la s
a r m a d u r a s s im p le s s ig u ie n d o e l m é to d o d e lo s n u d o s . POr e je m p lo , el
d ia g r a m a d e c u e r p o lib r e d e A C H se m u e s tr a e n la fig u ra 3 -2 9 c . L a s
ju n t a s d e e s t a a r m a d u r a p u e d e n a n a liz a r s e e n la s ig u ie n te s e c u e n c ia :
J u n ta A : D e te r m in e la f u e r z a e n A B y A l .
J u m a H : D e te r m in e la f u e i v a e n H l y H J.
J u n ta I: D e te r m in e la f u e r z a e n U e IB .
J u n ta B : D e te r m in e la f u e r z a e n B C y BJ.
J u n ta J: D e te r m in e la f u e r z a e n J C .

133. 3 . 6 Ar m a d u r a s c o m p u e s t a s 1 1 1
L a s a r m a d u r a s d e te c h o c o m p u e s ta s s e u s a n e n u n v iv e ro , c o m o se
m u e s tra e n la f o to g ra fía .T ie n e n las d im e n s io n e s y la c a rg a q u e s e m u e s­
tr a n e n la fig u ra 3-30a. In d iq u e la f o r m a d e a n a liz a r e s ta a rm a d u ra .
S O L U C IÓ N
L a f u e r z a e n E F p u e d e o b t e n e r s e u s a n d o la s e c c ió n a a d e la fig u ra
3 -3 0 a . E n la f ig u r a 3 -3 0b se m u e s tra e l d ia g r a m a d e c u e r p o lib r e d e l
s g m e n t o d e la d e r e c h a .
i + I M 0 = 0 ; - 1 ( 1 ) - 1 (2 ) - 1 (3 ) - 1 (4 ) - 1 (5 ) - 0 .5 ( 6 ) + 6 ( 6 ) Fe f{ 6t a n 3 0 ° ) = 0
Fe f = 5 .2 0 k N ( T ) R esp.
I b r in s p e c c ió n , o h s e r v e q u e R T , E O y H J s o n e le m e n to s d e fu e rz a
c e r o p u e s to q u e + 1 2 F y = 0 e n la s ju n t a s R . E y H . re s p e c tiv a m e n te .
T a m b ié n , p o r a p lic a c ió n + \ Z F y = 0 ( p e r p e n d ic u la r a A O ) e n la s
ju n ta s d e P . Q . S y T , p u e d e d e te r m in a r s e d ir e c ta m e n te la f u e r z a e n
b s e le m e n to s P U , Q U , S C y T C , re s p e c tiv a m e n te .
(b)
fig u ra 3 -3 0

134. 1 1 2 C a p i t u l o 3 A n á l i s i s d e a r m a d u r a s e s t á t i c a m e n t e d e t e r m i n a d a s
In d iq u e c ó m o a n a liz a r la a r m a d u r a c o m p u e s ta q u e s e m u e s tra e n la
fig u ra 3-31<i. L a s re a c c io n e s e n lo s s o p o r t e s ya s e h a n c a lc u la d o .
A D_
3 k
12
• 4 5 °
6 D ÍC S —
, ' -**
y » 4 5 °
B
L— 6d í c s— -- o ic s
4 5 ° \ j
E \
— 6 d í c s — 1-— 6 ow l/ , V J J
3 k F, = 3 k
|— 6pies—|
12 pies
6 sen 45° pies
3 k 3 k
(c)
S O L U C IÓ N
L a a r m a d u r a p u e d e c l a s i f i c a r e c o m o c o m p u e s ta d e l tip o 2 , p u e s t o
q u e la s a r m a d u r a s s im p le s A B C D y F E H G e s tá n c o n e c ta d a s p o r tr e s
b a r r a s q u e n o s o n p a r a le la s n i c o n c u r r e n te s , a s a b e r , C E, B U y D G .
Si s e u s a la s e c c ió n a a d e la fig u ra 3 - 3 l a , e s p o s ib le d e t e r m i n a r la
f u e r z a e n c a d a b a r r a d e c o n e x ió n . E n la fig u ra 3 -3 1 b se m u e s tr a e l d i a ­
g r a m a d e c u e r p o lib r e d e la p a r t e iz q u ie r d a d e e s t a se c c ió n . P o r lo
ta n to ,
= O, - 3 ( 6 ) - F p c i és e n 4 5 ° ) + FC E e o s 4 5 ° (1 2 )
+ f ’C £ s e n 4 5 ° ( 6 ) = 0 (1 )
+ T 2 F , = 0 ; 3 - 3 - Fr h s e n 4 5 ° + FC £ s e n 4 5 ° = 0 (2 )
Z F , = 0 ; — Fb u e o s 4 5 ° + F ^ - F C E co s 4 5 ° = 0 (3 )
A p a r t i r d e la e c u a c ió n ( 2 ) , Ffín ■ FCú e n to n c e s , a l r e s o lv e r s im u ltá ­
n e a m e n te la s e c u a c io n e s ( 1 ) y (3 ) s e o b tie n e
F Bh = Fcf. = 2 .6 8 k ( C ) F n c = 3 .7 8 k ( T )
A h o r a p u e d e r e a liz a r s e e l a n á lis is d e c a d a a r m a d u r a s im p le c o n e c ­
ta d a s ig u ie n d o e l m é to d o d e lo s n u d o s P o r e je m p lo , c o n b a s e e n la fi­
g u ra 3 - 3 le , e s to p u e d e h a c e r s e e n la s ig u ie n te s e c u e n c ia .
J u n ta A : D e te r m in e la f u e r z a e n A B y A D .
J u n ta D: D e te r m in e l a f u e r z a e n D C y D B .
J u n ta C: D e te r m in e la f u e r z a e n C B .

135. 3 . 6 Ar m a d u r a s c o m p u e s t a s 1 1 3
P R O B L E M A S F U N D A M E N T A L E S
F 3 - 7 . D e t e r m i n e l a f u e r z a e n l o s e l e m e n t o s H G , I t G y B C
c i n d i q u e s i e s t á n e n te n s ió n o e n c o m p r e s i ó n .
1 3 - 1 0 . D e t e r m i n e l a f u e r z a e n l o s e l e m e n t o s G F , C F y
C D c i n d i q u e s i e s t á n e n te n s ió n o e n c o m p r e s i ó n .
4 0 0 1 b
1 3 - 8 . D e t e r m i n e l a f u e r z a e n l o s e l e m e n t o s H G , H C y B C 1 3 - 1 1 - D e t e r m i n e l a f u e r z a e n l o s e l e m e n t o s F E , F C y B C
e i n d i q u e s i e s t á n e n te n s ió n o e n c o m p r e s i ó n . e i n d i q u e s i e s t á n e n te n s ió n o e n c o m p r e s i ó n .
4 kN
6 0 0 1 b 6 0 0 I b 6 0 0 1 b 6 0 0 1 b 6 0 0 1 b
B
— 4 p ie s — — 4 p ie s -
1-3 -8
1 3 - 9 . D e t e r m i n e l a f u e r z a e n lo s e l e m e n t o s E D . B D y B C
c i n d i q u e s i e s t á n e n te n s ió n o e n c o m p r e s i ó n .
2 kN 2 kN
3 m - 3 m
1 3 - 1 1
1 3 - 1 2 . D e t e r m i n e l a f u e r z a e n l o s e l e m e n t o s G F , C F y
C D e i n d i q u e s i e s t á e n t e n s i ó n o e n c o m p r e s i ó n .
D 6 k N
.3¡>U
—
A l > -----J
y j
.— > r , l p \ — J
*1 1 ’l p 1V.> 1r p i t a
13-12

136. 1 1 4 C a p i t u l o 3 A n á l i s i s d e a r m a d u r a s e s t á t i c a m e n t e d e t e r m i n a d a s
P R O B L E M A S
3 - 1 8 . D e t e r m i n e l a f u e r z a e n l o s e l e m e n t o s G F , F C y C D
d e l a a r m a d u r a d e p u e n t e . I n d i q u e s i lo s e l e m e n t o s e s t á n e n
te n s ió n o e n c o m p r e s i ó n . S u p o n g a q u e t o d o s l o s e l e m e n t o s
e s t á n c o n e c t a d o s m e d i a n t e p a s a d o r e s .
I S k 10 k
P r o h . 3 - 1 8
3 - 1 9 . D e t e r m i n e l a f u e r z a e n l o s e l e m e n t o s J K . J N y C D .
I n d i q u e s i l o s e l e m e n t o s e s t á n e n t e n s i ó n o e n c o m p r e s i ó n .
I d e n t i f i q u e t o d o s l o s e l e m e n t o s d e f u e r z a c e r o .
3 - 2 1 . L a a r m a d u r a H o w e e s t á s u j e t a a la c a r g a q u e se
m u e s tr a . D e t e r m i n e l a s f u e r z a s e n lo s e l e m e n t o s G F , C D y
G C . I n d i q u e s i l o s e l e m e n t o s e s t á n e n t e n s i ó n o e n c o m p r e ­
s ió n . S u p o n g a q u e t o d o s lo s e l e m e n t o s e s t á n c o n e c t a d o s
m e d i a n t e p a s a d o r e s .
P r o h . 3 - 1 9
P r o h . 3 - 2 1
3 - 2 2 . D e t e r m i n e la f u e r z a e n lo s e l e m e n t o s R G , H G y R C
d e l a a r m a d u r a e i n d i q u e s i l o s e l e m e n t o s e s t á n e n t e n s i ó n o
e n c o m p r e s i ó n .
* 3 - 2 0 . D e t e r m i n e la f u e r z a e n l o s e l e m e n t o s G F , F C y C D
d e la a r m a d u r a e n v o la d iz o . I n d i q u e s i lo s e l e m e n t o s e s t á n
e n t e n s i ó n o e n c o m p r e s i ó n . S u p o n g a q u e t o d o s lo s e l e m e n ­
t o s e s t á n c o n e c t a d o s m e d i a n t e p a s a d o r e s .
G
6 k N 7 k N 4 k N
---------------12 m .4 X 3 m-----------
P r o h . 3 - 2 0 P r o h . 3 - 2 2

137. 3 . 6 Ar m a d u r a s c o m p u e s t a s 1 1 5
3 -2 3 . D eterm ine la fuerza e n lo s e le m e n to s G F . C F y CD
d e la a rm a d u ra d e tech o e indique si lo s e lem en to s e s tá n en
tensión o e n com presión.
3-25. D eterm ine la fuerza e n los e le m e n to s / / / . ID y CD
d e la a rm a d u ra . Indique si lo s e lem en to s e stán e n te n sió n o
e n com presión. S uponga q u e to d o s los elem entos e stán c o ­
nectados m ediante pasadores.
3-26. D eterm ine la fuerza e n lo s e le m e n to s .//, IC y C D de
la a rm a d u ra . Indique si los elem entos están e n tensión o en
com presión. S u ponga q u e to d o s los e lem en to s e s tá n conec­
tados m ed iante pasadores.
1 5 kN
Probs. 3-25/3-26
•3 -2 4 . D eterm ine la fu e rz a e n lo s e le m e n to s G F , F B y B C
de la a rm a d u ra F in k e in d iq u e si lo s elem en tos e stán e n ten ­
sión o e n com presión.
3-27. D eterm ine las fuerzas en los e lem en to s K J , C D y C l
d e la a rm a d u ra . Indique si lo s e lem en to s e stán e n te n sió n o
e n com presión.
P ro h . 3-24 P ro h . 3 - 2 7

138. Ca p i t u l o 3 A n á l i s i s d e a r m a d u r a s e s t á t i c a m e n t e d e t e r m i n a d a s
3 .7 A rm a d u ra s com plejas
L a s f u e r z a s e n lo s e le m e n to s d e u n a a r m a d u r a c o m p le ja p u e d e n d e t e r ­
m in a rs e s ig u ie n d o e l m é to d o d e lo s n u d o s ; s in e m b a r g o , la s o lu c ió n r e ­
q u e r i r á e s c r ib ir la s d o s e c u a c io n e s d e e q u ilib r io p a r a c a d a u n a d e la s j
ju n t a s d e la a r m a d u r a y d e s p u é s re s o lv e r e l c o n ju n to c o m p le to d e 2j
e c u a c io n e s e n f o r m a s im u ltá n e a * E s te e n f o q u e p u e d e s e r p o c o p rá c tic o
s i lo s c á lc u lo s s e r e a liz a n m a n u a lm e n te , e n e s p e c ia l c u a n d o la s a r m a d u ­
ra s s o n m u y g ra n d e s . P o r e llo , a c o n tin u a c ió n se p r e s e n t a u n m é t o d o m ás
d ir e c to p a r a a n a liz a r u n a a r m a d u r a c o m p le ja .c o n o c id o c o m o e l m é to d o
d e lo s e le m e n to s s u b s titu to s .
Procedim iento de análisis
C b n r e f e r e n c ia a la a r m a d u r a d e la f ig u r a 3 - 3 2 a .s e r e q u ie r e n lo s s ig u ie n te s p a s o s p a r a
d e te r m in a r las fu e r z a s e n lo s e le m e n to s m e d ia n te e l m é to d o d e lo s e le m e n to s s u s titu to s .
Fuerzas 5 / Fuerzas s,
<b> ( c )
fig u ra 3 -3 2
• F s t o p u e d e r e a l i z a r s e f á c i l m e n t e e m p l e a n d o u n a c o m p u t a d o r a , c o m o s e m u e s t r a e n e l
c a p i t u l o 14

139. 3 . 7 A r m a d u r a s c o m p l e j a s 117
R e d u c c ió n a u n a a r m a d u r a s im p le e s t a b l e
D e te r m in e la s r e a c c io n e s e n lo s s o p o r t e s y c o m ie n c e p o r im a g in a r c ó m o a n a liz a r ía la
a r m a d u r a a p lic a n d o e l m é to d o d e lo s n u d o s , e s d e c ir , p a s a n d o d e u n a j u n t a a o t r a y
re s o lv ie n d o p a r a e n c o n t r a r c a d a f u e r z a d e e le m e n to . S i se lle g a a u n a j u n t a d o n d e h a y
tres in c ó g n ita s , e lim in e u n o d e lo s e le m e n to s e n la a r tic u la c ió n y r e e m p lá c e lo p o r u n
e le m e n to im a g in a r io e n c u a lq u ie r o t r a p a r t e d e la a r m a d u r a . D e e s t a m a n e r a , s e
r e c o n s tr u y e la a r m a d u r a c o m o u n a a r m a d u r a s im p le e s ta b le .
ft>r e je m p lo , e n la fig u ra 3 -3 2 a s e o b s e r v a q u e c a d a ju n t a te n d r á tr e s fu e r z a s d e e l e ­
m e n t o d e s c o n o c id a s a c tu a n d o s o b r e e lla . ft>r lo t a n t o . s e e lim in a r á e l e le m e n to / I D y se
r e e m p la z a r á c o n e l e le m e n to im a g in a r io C E , fig u ra 3 -3 2b . E s ta a r m a d u r a p u e d e a n a l i ­
z a rs e a h o r a m e d ia n te e l m é to d o d e lo s n u d o s p a r a lo s d o s tip o s d e c a r g a q u e s ig u e n .
C a r g a e x t e r n a s o b r e u n a a r m a d u r a s im p le
C a r g u e la a r m a d u r a s im p le c o n la c a rg a r e a l P y d e s p u é s d e te r m i n e la f u e r z a 5 / e n c a d a
e le m e n to i. C u a n d o la s r e a c c io n e s y a h a n s i d o d e te r m i n a d a s ,e n la fig u ra 3 - 3 2 6 * p u e d e
c o m e n z a r e n la j u n t a A p a ra d e te r m i n a r la s fu e r z a s e n A R y A F , d e s p u é s e n la j u n t a F
p a r a d e te r m i n a r la s f u e r z a s e n F E y F O , lu e g o e n la j u n t a D p a r a d e te r m i n a r las f u e r z a s
e n D E y D C (la s c u a le s s o n ig u a le s a c e r o ) ; p o s t e r io r m e n t e , e n la j u n t a E p a ra
e n c o n tr a r E R y E C , y f in a lm e n te la j u n t a B p a ra d e t e r m i n a r la f u e r z a e n B C ,
R e tiro d e la c a r g a e x t e m a d e la a r m a d u r a s i m p l e
C o n s id e r e la a r m a d u r a s im p le s i n la c a rg a e x te r n a P . C o lo q u e carg a s u n ita r ia s g u a l e s
p e r o o p u e s ta s a lin e a d a s s o b r e l a a r m a d u r a e n la s d o s ju n ta s d e la s c u a le s s e r e t i r ó e l
e le m e n to . S i e s t a s fu e r z a s d e s a r r o ll a n u n a f u e r z a s, e n e l i- é s im o e le m e n to d e u n a
a r m a d u r a , e n to n c e s p o r p r o p o r c ió n u n a f u e r z a x d e s c o n o c id a e n e l e le m e n to r e t i r a d o
e je r c e r ía u n a f u e r z a d e x s ,e n e l í- é s im o e le m e n to .
C b n b a s e e n la f ig u r a 3 - 3 2 c ,la s c a r g a s u n ita r ia s ig u a le s p e r o o p u e s t a s n o c re a rá n r e a c ­
c io n e s e n A y C c u a n d o s e a p lic a n las e c u a c io n e s d e e q u ilib r io a to d a la a r m a d u r a . L a s
fu e r z a s s , p u e d e n d e te r m i n a r s e m e d ia n te u n a n á lis is d e la s j u n t a s e n l a m ism a s e c u e n c ia
a n te r io r , e s d e c ir , p r i m e r o la j u n t a A , lu e g o la s ju n t a s F . D . E y p o r ú ltim o la j u n t a B .
S u p e r p o s ic ió n
Si lo s e f e c to s d e las d o s c a r g a s a n te r io r e s s e c o m b in a n , la f u e r z a e n e l i-é s im o e l e m e n t o
d e la a r m a d u r a s e r á
S , = s ; + *5, ( 1 )
E n p a r tic u la r , p a r a e l e le m e n to s u s tit u id o E C e n la f ig u r a 3 -3 2b la f u e r z a S EC ■ S 'c c +
x s FC. C ó m o e l e l e m e n t o E C e n r e a lid a d n o e x is te e n la a r m a d u r a o r ig in a l, se e le g i r á x
c o n u n a m a g n itu d ta l q u e p r o d u z c a u n a fu e r z a c e r o e n E C .P o r c o n s ig u ie n te ,
S'EC + x s EC = O ( 2 )
o x = - S 'E c fs E c - v e z q u e se h a d e te r m i n a d o e l v a lo r d e x , las f u e r z a s e n lo s o t r o s
e le m e n to s i d e la a r m a d u r a c o m p le ja p u e d e n d e te r m i n a r s e a p a r t i r d e la e c u a c ió n (1 ).

140. 1 1 8 C a p i t u l o 3 A n á l i s i s d e a r m a d u r a s e s t á t i c a m e n t e d e t e r m i n a d a s
EJE M P LO 3.11
D e te r m in e la f u e iz a e n c a d a e le m e n to d e la a r m a d u r a c o m p le ja q u e
s e m u e s tr a e n la fig u ra 3 -3 3a . S u p o n g a q u e la s j u n t a s B , F y D x e n ­
c u e n tr a n e n la m ism a lín e a h o r iz o n ta l. I n d i q u e s i lo s e le m e n to s e s tá n
e n te n s ió n o e n c o m p r e s ió n .
8 p ie s
(a)
F ig u r a 3 - 3 3
S O L U C IÓ N
Reducción a una armadura simple estable. ft>r in s p e c c ió n , c a d a
ju n t a tie n e tr e s fu e r z a s d e e le m e n to d e sc o n o c id a s. E l a n á lisis d e la s j u n ­
ta s p u e d e r e a liz a r s e e n f o r m a m a n u a l s i. p o r e je m p lo , s e e lim in a e l e le ­
m e n t o C E y s e s u s titu y e p o r e l e le m e n to D E . f ig u r a 3 -3 3b . L a a r m a d u r a
r e s u lta n te e s e s t a b le y n o c o la p s a rá .
Carga externa sobre la armadura simple. C o m o s e m u e s tra e n la
fig u ra 3-33¿>,se h a n d e te r m in a d o la s re a c c io n e s e n lo s s o p o r te s d e la a r ­
m a d u r a . A p lic a n d o e l m é t o d o d e lo s n u d o s , p r i m e r o p u e d e a n a liz a rs e
la ju n t a C p a r a e n c o n tr a r las fu e rz a s e n lo s e le m e n to s C B y C D\lu e g o la
ju n ta F , d o n d e s e o b s e r v a q u e F A y F E s o n e le m e n to s d e f u e r z a c e ro ;
d e s p u é s la j u n t a E p a r a d e t e r m i n a r la s f u e r z a s e n lo s e l e m e n t o s E B
y E D \ p o s te r io r m e n te , l a ju n t a D p a ra d e te r m in a r las fu e r z a s e n D A y
D B,y p o r ú ltim o la ju n t a B p a r a d e te r m in a r la f u e r z a e n B A . E sta s fu e r­
z a s 5¡ se r e g is tr a n e n la c o lu m n a 2 d e la t a b l a 1, d o n d e s e c o n s id e r a a la
te n s ió n c o m o p o s itiv a y a la c o m p r e s ió n c o m o n e g a tiv a .
í
4375 k
(b)

141. 3 . 7 A r m a d u r a s c o m p l e j a s 119
(c)
R e tir o d e la c a rg a e x te m a d e la a rm a d u ra s im p le . E n la fig u ra
3 -3 3 c s e m u e s tr a l a c a rg a u n it a r i a q u e a c tú a s o b r e la a r m a d u r a . E s ta s
tu e r z a s ig u a le s p e r o o p u e s ta s n o c r e a n r e a c c io n e s e x te m a s s o b r e la
a r m a d u r a . E l a n á lis is d e ju n ta s s ig u e la m is m a s e c u e n c ia in d ic a d a a n ­
te r io r m e n te ; e s d e c i r , s e a n a liz a n la s j u n t a s C , F , E , D y B . L o s r e s u lta ­
d o s d e l a n á lis is d e f u e r z a s s, s e r e g is tr a n e n la c o lu m n a 3 d e la t a b l a 1.
S u p e rp o s ic ió n . S e r e q u i e r e
Sd b = S 'd b + x s d b = 0
A l s u s titu ir lo s d a t o s e n S ' DB y sDB, d o n d e S ’DB e s n e g a tiv a p u e s to q u e
h f u e r z a e s d e c o m p r e s ió n ,s e tie n e
- 2 . 5 0 + x ( 1 .1 6 7 ) = 0 x = 2.143
L o s v a lo r e s d e xs¡ s e r e g is tr a n e n l a c o lu m n a 4 d e la t a b l a 1. y la s f u e r ­
za s d e e l e m e n t o r e a le s S ,= S ¡ + xs¡ se e n lis ta n e n la c o lu m n a 5.
T A B L A 1 j
S e m e n tó
s¡ * ** s.
C B 3.54 -0 .7 0 7 -1 .5 2 2.02 (T)
CD -3 .5 4 -0 .7 0 7 - L 5 2 5.05 (C)
FA 0 0.833 1.79 1.79 (T)
FE 0 0.833 1.79 1.79 (T)
EB 0 -0 .7 1 2 -1 .5 3 1.53 (C)
F.D -4 .3 8 - 0 2 5 0 - 0 5 3 6 4.91 (C )
D A 5 3 4 -0 .7 1 2 -1 .5 3 3.81 (T )
D B -2 .5 0 1.167 2 5 0 0
BA 2.50 -0 .2 5 0 - 0 5 3 6 1.96 (T)
C B 2 1 4 (T)

142. 1 2 0 C a p i t u l o 3 A n á l i s i s d e a r m a d u r a s e s t á t i c a m e n t e d e t e r m i n a d a s
p
E l l e c h o d e e s l e p a b e l l ó n s e s o s t i e n e m e ­
d i a n t e u n s i s t e m a d e a r m a d u r a s e s p a c i a l e s .
3 .8 A rm aduras espaciales
U n a a rm a d u ra e sp a c ia l c o n siste e n e le m e n to s q u e e s t á n u n id o s e n tr e s i p o r
s u s e x tr e m o s p a r a fo rm a r u n a e s tru c tu r a trid im e n s io n a l e s ta b le . E n la se c ­
c ió n 3-2 s e d e m o s tr ó q u e la fo r m a m á s sim p le d e u n a a r m a d u r a b id im e n -
s io n a l e s ta b le s e c o m p o n e d e e le m e n to s d is p u e s to s e n fo r m a d e u n
triá n g u lo . D e s p u é s s e c o n s tru y ó u n a a r m a d u r a p la n a sim p le c o n b a s e en
e s te e le m e n to tria n g u la r, a ñ a d ie n d o d o s e le m e n to s a la v e z p a r a f o r m a r
n u e v o s m ie m b r o s D e m a n e r a s im ila r, e l m ie m b r o m á s sim p le d e u n a a r m a ­
d u r a e sp a c ia l e s ta b le e s u n te tra ed ro , f o r m a d o p o r l a c o n e x ió n d e se is e le ­
m e n to s m e d ia n te c u a tr o ju n ta s c o m o s e m u e s tr a e n la fig u ra 3-34. T o d o s los
e le m e n to s a d ic io n a le s a ñ a d id o s a e s t e e le m e n to b á sic o s e r ía n re d u n d a n te s
p a r a s o p o r ta r la fu e rz a P. U n a a r m a d u r a e sp a c ia l s im p le p u e d e c o n stru irse
a p a r t i r d e e s te m ie m b r o te tr a é d r ic o b á sic o , a g re g a n d o tr e s n u e v o s e le m e n ­
to s y o t r a j u n t a p a ra a s í f o r m a r te tr a e d r o s m u ltic o n e c ta d o s.
Determinación y estabilidad. A l o b s e r v a r q u e e n tr e s d i m e n ­
s io n e s h a y tr e s e c u a c io n e s d e e q u il ib r io p a ra c a d a j u n t a (2/ r, = 0 , 2 F V =
0 . 2 F . = 0 ) . e n to n c e s p a r a u n a a r m a d u r a e s p a c ia l c o n u n n ú m e r o j d e
ju n ta s , h a y 3j e c u a c io n e s d is p o n ib le s . Si la a r m a d u r a ti e n e u n n ú m e r o b
d e b a r r a s y u n n ú m e r o r d e r e a c c io n e s , c o m o e s e l c a s o d e u n a a r m a d u r a
p la n a ( e c u a c io n e s 3-1 y 3 -2 ). e s p o s ib le e s c r ib ir
b + r < 3 j a r m a d u r a in e s ta b le
b + r = 3 j e s tá tic a m e n te d e t e r m i n a d a - c o m p r o b a r
e s ta b ilid a d
b + r > 3 / e s tá tic a m e n te in d e t e r m in a d a - c o m p r o b a r
e s ta b ilid a d
( 3 - 3 )
L a esta b ilid a d exte rn a d e la a r m a d u r a e s p a c ia l r e q u ie r e q u e las re a c c io n e s
e n lo s s o p o r te s m a n te n g a n la a r m a d u r a e n e q u ilib r io d e fu e r z a s y m o ­
m e n to s r e s p e c to d e c u a le s q u ie r e je s. E n o c a s io n e s e s to p u e d e c o m p r o ­
b a rs e p o r in s p e c c ió n , p e r o s i la a r m a d u r a e s in e s ta b le u n a s o lu c ió n d e las
e c u a c io n e s d e e q u ilib r io d a r á r e s u lta d o s in c o n s is te n te s . L a e sta b ilid a d i n ­
te rn a p u e d e c o m p r o b a r s e a v e c e s m e d ia n te u n a in s p e c c ió n c u id a d o s a de
h d is p o s ic ió n d e lo s e le m e n to s . S ie m p re q u e c a d a ju n ta s e m a n te n g a fija
p o r s u s s o p o r te s o e le m e n to s c o n e c ta d o s , d e m o d o q u e n o p u e d a m o v e rs e
c o n r e s p e c to a la s d e m á s ju n ta s , l a e s tr u c tu r a p u e d e c la s ific a rs e c o m o e s ­
ta b le in te r n a m e n te . A d e m á s .s i s e h a c e u n a n á lisis d e fu e r z a s d e la a r m a ­
d u r a y s e o b tie n e n re s u lta d o s in c o n s is te n te s , e n to n c e s la c o n fig u ra c ió n de
la a r m a d u r a s e r á in e s ta b le o te n d r á u n a “ fo r m a c r ític a ” .
Supuestos para el diseño. L o s e le m e n to s d e u n a a r m a d u r a e s p a ­
cia l p u e d e n tr a ta r s e c o m o e le m e n to s d e f u e r z a ax ia l, s ie m p re q u e la c a rg a
e x t e m a se a p liq u e e n la s ju n t a s y é s t a s s e f o r m e n m e d ia n te c o n e x io n e s de
ró tu la . E s te s u p u e s to se ju s tific a s u p o n ie n d o q u e lo s e le m e n to s u n id o s p o r
u n a c o n e x ió n se c ru c e n e n u n p u n to c o m ú n y e l p e s o d e lo s e le m e n to s
p u e d a ig n o ra rse . E n lo s c a so s e n q u e e l p e s o d e u n e le m e n to s e in c lu y a en
e l an álisis, p o r lo g e n e ra l re s u lta s a tisfa c to rio a p lic a rlo c o m o u n a fu e rz a
v e rtic a l, co n la m ita d d e s u m a g n itu d a p lic a d a a c a d a e x tr e m o d e l e le m e n to .
P a r a e l a n á lis is d e fu e rz a s, lo s s o p o r t e s d e u n a a r m a d u r a e s p a c ia l s u e ­
le n m o d e la rs e c o m o u n e s la b ó n c o rto , u n a j u n t a d e ro d illo s p la n a , u n a
ju n t a d e ro d illo s r a n u r a d a o u n a j u n t a d e r ó tu la . E n la ta b la 3-1 s e m u e s ­
tr a c a d a u n o d e e s t o s s o p o r te s y s u s c o m p o n e n te s d e f u e r z a re a c tiv a .

143. 3 . 8 A r m a d u r a s e s p a c ia l e s
TA B LA 3 - 1 S o p o r t e s y s u s c o m p o n e n t e s d e f u e r z a r e a c t i v a
(2)
r o d illo
( 3 )
V -
r o d illo r a n u n i d o r e s t r i n g i d o
e n u n c i l i n d r o
( 4 )
F,
/
r .
— y
r ó tu l a

144. 1 2 2 C a p i t u l o 3 A n á l i s i s d e a r m a d u r a s e s t á t i c a m e n t e d e t e r m i n a d a s
F ig u r a 3 - 3 5
C o m po nentes de fuerza X, y , z. C ó m o e l a n á lis is d e u n a a r m a ­
d u r a e s p a c ia l e s tr id im e n s io n a l, a m e n u d o s e r á n e c e s a r io d e s c o m p o n e r la
f u e r z a F d e u n e le m e n to e n lo s c o m p o n e n te s q u e a c tú a n a lo la r g o d e lo s
e je s x , y , z . P o r e je m p lo , e n la f ig u r a 3 -3 5 e l e le m e n to A B tie n e u n a lo n g i­
tu d / y p r o y e c c io n e s c o n o c id a s x , y , z a lo la r g o d e lo s e je s c o o rd e n a d o s .
E s ta s p r o y e c c io n e s p u e d e n r e la c io n a r s e c o n la lo n g itu d d e l e le m e n to
v m e d ia n te la e c u a c ió n
D e b i d o a s u e f i c i e n c i a d e c o s t o s , la s t o r r e s
d e e s t e t i p o s e u s a n p a r a s o s t e n e r v a r i a s li­
n e a s d e t r a n s m i s i ó n e l é c t r i c a .
i = V ? T 7 T ? ( 3 - 4 )
C o m o la f u e r z a F a c tú a a lo l a r g o d e l e je d e l e le m e n to , la s c o m p o n e n ­
te s d e F p u e d e n d e te r m in a r s e p o r p r o p o r c ió n d e la s ig u ie n te m a n e r a :
* - < f ) - Í l ) (3-5)
T e n g a e n c u e n ta q u e e s to r e q u i e r e
f = VfT TF i + ( 3 - 6 )
E l u s o d e e s t a s e c u a c i o n e s s e il u s t r a r á e n e l e je m p lo 3 -1 2 .
E lem entos d e fuerza ce ro . E n a lg u n o s c a s o s , e l a n á lis is d e las
ju n t a s d e u n a a r m a d u r a p u e d e s im p lific a rs e s i e s p o s ib le d e t e c t a r lo s e l e ­
m e n to s d e f u e r z a c e r o a l r e c o n o c e r d o s c a s o s c o m u n e s e n la g e o m e tr ía
d e las ju n ta s .
C a s o 1 . Si to d o s lo s e le m e n to s c o n e c ta d o s a u n a a r m a d u r a m e n o s u n o
e s t á n e n e l m is m o p la n o y s ie m p r e q u e n in g u n a c a r g a e x te r n a a c tú e
s o b r e la ju n t a , e l e le m e n to q u e n o s e e n c u e n t r a e n e l p la n o d e lo s d e m á s
e le m e n to s d e b e e s t a r s o m e tid o a u n a f u e r z a c e r o . I-a p r u e b a d e e s ta a f i r ­
m a c ió n s e m u e s tra e n la fig u ra 3 -3 6 ,d o n d e lo s e le m e n to s A , f í y C e s tá n
e n e l p la n o x - y . C o m o la c o m p o n e n t e z d e F „ d e b e s e r c e r o p a r a s a t is f a ­
c e r - 0 , e l e l e m e n t o D d e b e s e r u n e l e m e n t o d e f u e r z a c e r o . P o r el
m is m o ra z o n a m ie n to , e l e le m e n to D s o p o r ta r á u n a c a rg a q u e p u e d e d e ­
te r m in a r s e a p a r t i r d e 1 F . = O si u n a f u e r z a e x te r n a a c tú a s o b r e la j u n t a
y ti e n e u n a c o m p o n e n t e q u e a c t ú a a k» l a r g o d e l e je z.
H gura 3-36

145. 3 . 8 A r m a d u r a s e s p a c ia l e s 1 2 3
C a s o 2 . S i s e h a d e te r m i n a d o q u e to d o s m e n o s d o s d e v a rio s e le m e n to s
c o n e c ta d o s a u n a ju n t a s o p o r ta n f u e r z a c e r o , lo s d o s e le m e n to s r e s ta n te s
ta m b ié n d e b e n s o p o r t a r f u e r z a c e r o , s ie m p r e q u e n o s e e n c u e n t r a n a lo
la rg o d e la m ism a lín e a . E s ta s itu a c ió n s e ilu s tr a e n la f ig u r a 3 -3 7 , d o n d e
s e s a b e q u e A y C s o n e le m e n to s d e f u e r z a c e r o . C o m o F D e s c o lin e a l c o n
e l e je y , e n to n c e s la a p lic a c ió n d e I F , = 0 o 1 F . = 0 r e q u i e r e q u e la s
c o m p o n e n te s x o z d e F fl s e a n c e r o . E n c o n s e c u e n c ia , F fí = 0. Si é s t e e s el
c a s o , F „ = 0 p u e s t o q u e Z F y = 0.
F ig u r a 3 - 3 7
D e b e p r e s ta r s e a te n c ió n e s p e c ia l a lo s d o s c a s o s a n t e r i o r e s d e c a rg a y
g e o m e tr ía d e la s ju n t a s , p u e s to q u e e l a n á lis is d e u n a a r m a d u r a e s p a c ia l
p u e d e s im p lific a rs e c o n s id e r a b le m e n te s i se d e t e c t a n p r i m e r o lo s e l e ­
m e n to s d e f u e r z a c e ro .
Procedim iento de análisis
P a r a d e t e r m i n a r la s f u e r z a s d e s a r r o ll a d a s e n lo s e le m e n to s d e u n a a r m a d u r a e s p a c ia l
p u e d e u s a r s e e l m é to d o d e la s s e c c io n e s o e l m é t o d o d e lo s n u d o s .
M é t o d o d e la s s e c c i o n e s
Si s ó l o d e b e n d e te r m i n a r s e a lg u n a s f u e iz a s d e e le m e n to , p u e d e u s a r s e e l m é to d o d e las
s e c c io n e s C u a n d o s e p a s a u n a s e c c ió n im a g in a r ia a tr a v é s d e u n a a r m a d u r a y é s t a se
d iv id e e n d o s p a r te s , e l s is te m a d e f u e r z a q u e a c tú a e n c a d a u n a d e las p a r te s d e b e
s a tis f a c e r la s s e is e c u a c io n e s e s c a la r e s d e e q u ilib r io : Z F , = 0, Z F r = 0 , Z f. = 0,
Z A f , = 0 , Z A /y = 0 , Z A f . = 0 . M e d ia n te la e le c c ió n a d e c u a d a d e la s e c c ió n y lo s e je s
p a r a s u m a r f u e r z a s y m o m e n to s .e s p o s ib le c a lc u la r d ir e c ta m e n te m u c h a s d e la s fu e r z a s
d e e l e m e n t o d e s c o n o c id a s e n u n a a r m a d u r a e s p a c ia l, e m p l e a n d o u n a s o la e c u a c ió n d e
e q u ilib r io . A e s te re s p e c to , r e c u e r d e q u e e l m o m e n t o d e u n a f u e r z a r e s p e c to a u n e je e s
c e r o s ie m p r e q u e la f u e r z a s e a p a r a le la a l eje o s u lín e a d e a c c ió n p a s e a tr a v é s d e u n
p u n to e n e l eje.
M é t o d o d e lo s n u d o s
E n g e n e r a l , s i d e b e n d e t e r m i n a r s e la s f u e r z a s e n l o d o s lo s e le m e n to s d e la a r m a d u r a ,
e l m é to d o d e lo s n u d o s e s e l m á s a d e c u a d o p a r a r e a l iz a r e l a n á lis is . C u a n d o s e u tiliz a e l
m é to d o d e lo s n u d o s , e s n e c e s a r io re s o lv e r las tr e s e c u a c io n e s d e e q u ilib r io e s c a la r e s
ZFx = 0 , ZFy = 0 , ZF . = 0 e n c a d a ju n ta . C o m o e s r e l a tiv a m e n te fá c il d ib u j a r lo s
d ia g r a m a s d e c u e r p o lib r e y a p lic a r la s e c u a c io n e s d e e q u ilib r io , e l m é to d o d e lo s n u d o s
es m u y c o n s is te n te e n s u a p lic a c ió n .

146. 1 2 4 C a p i t u l o 3 A n á l i s i s d e a r m a d u r a s e s t á t i c a m e n t e d e t e r m i n a d a s
EJE M P LO 3 .1 2
D e te r m in e la f u e r z a e n c a d a e l e m e n t o d e la a r m a d u r a e s p a c ia l q u e se
m u e s tr a e n la f ig u r a 3 -3 8 a . L a a r m a d u r a e s t á s o p o r ta d a p o r u n a j u n t a
d e r ó tu la e n A , u n a ju n t a d e r o d illo r a n u r a d o e n B y u n c a b le e n C.
Figura 3 -3 8
S O L U C IÓ N
L a a r m a d u r a e s e s t á tic a m e n te d e te r m i n a d a p u e s to q u e b + r = 3 ; o
b ie n 9 + 6 = 3 (5 ), fig u ra 3 -3 8 6 .
R e a c c io n e s e n lo s s o p o r te s . E s p o s ib le o b t e n e r la s r e a c c io n e s e n
lo s s o p o r te s a p a r t i r d e l d ia g r a m a d e c u e r p o lib r e d e to d a la a r m a ­
d u r a . fig u ra 3 - 3 8 6 ,d e l a s ig u ie n te m a n e r a :
Z M y = 0 ; - 6 0 0 ( 4 ) + B , ( S ) = 0 ñ , = 3 0 0 Ib
SA Z . = 0 ; C y = 0
2 M , = 0 ; B y{8 ) - 6 0 0 (8 ) = 0 B , = 6 0 0 Ib
l F t = 0 ; 3 0 0 - A , = 0 A , = 3 0 0 Ib
Z F y = 0 ; < 4 , - 6 0 0 - 0 <4, = 6 0 0 Ib
Z F . = 0 ; <4. - 6 0 0 = 0 <4. = 6 0 0 Ib

147. 3 . 8 A r m a d u r a s e s p a c i a l e s 1 2 5
6 0 0 1 b
J u n ta B. E l m é to d o d e lo s n u d o s p u e d e e m p e z a r e n B , p u e s t o q u e
h a y tr e s f u e r z a s d e e le m e n to d e s c o n o c id a s e n e s ta ju n t a , f ig u r a 3 -3 8 c.
L a s c o m p o n e n t e s d e Ffl£ p u e d e n d e t e r m i n a r e p o r p r o p o r c ió n a la
b n g i t u d d e l e le m e n to S E , c o m o se in d ic a e n la s e c u a c io n e s 3 -5 . S e
tie n e q u e
l F y = O. - 6 0 0 + E fl£(& ) = 0 Fb e = 9 0 0 I b ( T ) R esp.
S E , = 0 ; 300 - Fb c - 9 0 0 ( £ ) = 0 F BC = 0 R esp.
S E , = 0 ; Fb a - 9 0 0 ( g ) = 0 F RA = 6 0 0 I b ( C ) R esp.
J u n ta A . U s a n d o e l r e s u lta d o p a r a F ^ ■ 6 0 0 Ib ( C ) .e l d ia g r a m a d e
c u e r p o lib re d e la j u n t a A s e m u e s tr a e n la fig u ra 3 -3 8d . S e tie n e
S E , = 0 ;
S E V = 0;
S E , = 0;
6 0 0 - 6 0 0 + E ^ c s e n 45
Fa c = 0
0
- E r f í f o ) + 6 0 0 - 0
Fa e = 67 0 .8 Ib (C )
- 3 0 0 + Fa d + 6 7 0 . 8 ( ^ ) = 0
Fa d = 0
R esp.
R esp.
R esp.
AK
J u n ta D. P b r in s p e c c ió n , lo s e le m e n to s e n la j u n t a D , f ig u r a 3 -3 8 a ,
s o p o r ta n f u e iz a c e r o , y a q u e l a d is p o s ic ió n d e lo s e le m e n to s e s s im ila r
a c u a lq u ie ra d e lo s d o s c a so s a n a liz a d o s e n r e f e r e n c ia a la s fig u ra s 3 -3 6
y 3 -3 7 . A d e m á s , a p a r t i r d e l a f ig u r a 3 -3 8 e .
S E ,
S E ,
0;
0;
F D E
F n c
R esp.
R esp.
J u n ta C . l\> r o b s e r v a c ió n d e l d ia g r a m a d e c u e r p o lib re , fig u ra 3 -3 8f
F'c e = 0 R esp. 0 0 F t *
(f)

148. 1 2 6 C a p i t u l o 3 A n á l i s i s d e a r m a d u r a s e s t á t i c a m e n t e d e t e r m i n a d a s
EJE M P LO 3 .1 3
D e te r m in e lo s e le m e n to s d e f u e r z a c e r o d e l a a r m a d u r a q u e s e m u e s ­
tr a e n la f ig u r a 3 -3 9 a . L o s s o p o r te s e je r c e n la s c o m p o n e n t e s d e r e a c ­
c ió n e n la a r m a d u r a c o m o s e in d ic a e n la fig u ra .
<«)
f i g u r a 3 - 3 9
S O L U C IÓ N
E l d ia g r a m a d e c u e r p o lib re , fig u ra 3 -3 9 a , in d ic a q u e h a y o c h o r e a c ­
c io n e s d e s c o n o c id a s p a r a c u y a s o lu c ió n s ó lo h a y d is p o n ib le s s e is
e c u a c io n e s d e e q u ilib r io . A u n q u e é s t e s e a e l c a s o , la s r e a c c io n e s p u e ­
d e n d e te r m in a r s e , p u e s t o q u e 6 + r = 3 / o l 6 + 8 = 3 (8 ).
P a r a d e t e c t a r lo s e le m e n to s d e f u e r z a c e r o , e s n e c e s a r io c o m p a r a r
la s c o n d ic io n e s d e la g e o m e tr ía d e las ju n t a s y la c a rg a c o n la s in c lu i­
d a s e n la s fig u ra s 3 -3 6 y 3 -3 7 . C o n s id e r e la j u n t a F , fig u ra 3 -3 9b . C o m o
lo s e le m e n to s F C , F D y F E se e n c u e n t r a n e n e l p la n o x ' y ' y F G no
e s tá e n e s t e p la n o , F G e s u n e le m e n to d e f u e r z a c e r a ( D e b e s a tis f a ­
c e r s e "LF.• = 0 .) D e l a m is m a m a n e r a , a p a r t i r d e la j u n t a E , f ig u r a
3 -3 9 c. E F e s u n e le m e n to d e f u e r z a c e r o, p u e s t o q u e n o se e n c u e n t r a e n
e l p l a n o y '- z '. ( D e b e s a tis f a c e r s e E / y = 0 .) V o lv ie n d o a l a j u n t a F , fi­
g u r a 3 -3 9b , p u e d e o b s e r v a r s e q u e Ffd = F p c = 0 p u e s t o q u e Ff f =
F f c = 0 ,y n o h a y f u e r z a s e x te r n a s q u e a c tú e n s o b r e la ju n ta . U s e e s te
p r o c e d im ie n to p a r a d e m o s tr a r q u e A B e s u n e le m e n to d e f u e r z a c e r o .
E l a n á lis is n u m é r ic o d e fu e r z a s e n la s ju n t a s p u e d e p r o c e d e r a h o r a a
a n a liz a r la ju n t a G (Fg f = 0 ) p a r a d e te r m i n a r la s fu e r z a s e n G H , G B ,
G C , D e s p u é s s e a n a liz a la ju n t a H p a r a d e te r m in a r la s f u e r z a s e n H E ,
H B y H A -,la ju n t a E p a r a d e te r m i n a r la s fu e r z a s e n E A , E D \la j u n t a zl
p a ra d e te r m in a r la s f u e r z a s e n A B . A D y / l r ;la ju n t a B p a ra d e te r m i­
n a r la f u e r z a e n B C y B „ B ¡\ la ju n t a D p a r a d e te r m in a r la f u e r z a e n
D C y D y, D z y. p o r ú ltim o , la j u n t a C p a ra d e te r m i n a r C „ C y , C z.

149. 3 - 8 P R O B L E M A S 1 2 7
P R O B L E M A S
•3 -2 8 . D eterm ine las fuerzas e n to d o s los elem entos d e la
arm ad u ra c o m p le ja In d iq u e s i lo s elem entos e stán en te n ­
sión o e n com presión. Sugerencia: S ustituya A l ) por u n ele­
m ento ubicado e n tre E y C.
3-30. D eterm ine la fuerza e n c a d a e lem en to e indique si
los e lem en to s e s tá n e n tensión o e n com presión.
P ro h . 3-28
P ro h . 3 -3 0
>-29. D eterm ine las fuerzas e n to d o s lo s e lem en to s d e la
arm ad u ra (com pleja) e n fo rm a d e red. In d iq u e si los ele­
m entos están e n tensión o e n com presión. Sugerencia: S u sti­
tuya J E por u n e lem en to u b icad o e n tre K y F.
3-31. D eterm ine la fuerza e n to d o s lo s e le m e n to s d e la ar­
m adura c o m p le ja In d iq u e si lo s elem entos e stán e n tensión
o e n com presión.
P ro h . 3 -3 1

150. 1 2 8 C a p i t u l o 3 A n á l i s i s d e a r m a d u r a s e s t á t i c a m e n t e d e t e r m i n a d a s
*3-32. D eterm ine la fuerza desarrollada e n c ad a e le ­
m ento de la a rm a d u ra espacial e indique si lo s e lem en to s
e stán e n te n sió n o e n co m p resió n . L a caja tiene u n p eso de
150 Ib.
P ro b .3 -3 2
3 -3 3 . D eterm in e la fuerza e n c ad a e lem en to d e la arm a­
d u ra espacial e indique s i lo s elem ento s e stán e n te n sió n o
en com presión. Sugerencia: La reacción d e l so p o rte e n E
actúa a lo largo del e le m e n to £ /? .¿ F o r q u é ?
Proh. 3 -3 3
3 -3 4 . D eterm ine la fuerza e n c ad a elem ento d e la a rm a ­
d u ra espacial e indique si lo s elem entos e stán e n te n sió n o
en com presión. La a rm a d u ra se so stien e m ediante articu la­
ciones de ró tu la e n C . D . E y G . Ñola: A pesar d e q u e esta
arm ad u ra e s in d eterm in ad a de p rim e r grado, e s posible una
solución deb id o a la sim etría de la carg a y la geom etría.
Probs. 3 -3 5 /3 -3 6
3 -3 5 . D eterm in e la fuerza e n lo s e lem en to s F E y F.D de la
a rm a d u ra espacial e indique si los e lem en to s e stán e n te n ­
sión o e n com presión. La arm ad u ra se sostiene m ediante
una articulación d e ró tu la e n C y eslabones cortos c n A y B .
*3-36. D eterm ine la fuerza e n los e lem en to s G D , G E y
F D de la arm ad u ra espacial e indique si los e lem en to s están
en tensión o en com presión.
5 0 0 1 b
2 0 0 1 b

151. PfOBl E M A S D E P R O V E C T O 1 2 9
3-37. D eterm ine la fuerza e n cada e lem en to d e la arm a­
d u ra espacial. In d iq u e s i los e lem en to s e stán e n te n sió n o en
com presión.
3-38. D eterm ine la fu e rz a e n lo s e lem en to s B E. B E y B C
d e la arm ad u ra espacial c in d iq u e si los e lem en to s e stán en
tensión o e n com presión.
3-39. D eterm ine la fuerza en lo s e le m e n to s C D , F D y C F
d e la arm ad u ra espacial e in d iq u e si los elem entos e stán en
tensión o e n com presión.
P ro b . 3 -3 7 P robs. 3 -3 8 /3 -3 9
PROBLEMAS DE PROYECTO
3-1P. Las arm ad u ras P ratt d e tech o e s tá n espaciadas
uniform em ente a cada 15 pies. l a cubierta, e l m a terial del
techo y los larg u ero s tien en un peso p ro m ed io d e 5.6
Ib/pie7. E l edificio está situado e n N ueva Y ork, d o n d e la
carga d e nieve prevista e s d e 2 0 lb/pic2 y la carg a d e hielo
pronosticada e s d e 8 Ib/pie7. E stas carg as se pro d u cen e n el
área h o rizo n tal p ro y ectad a d e l techo. D e te rm in e la fuerza
e n cada e lem en to d eb id a a la carg a m u e rta y a las carg as de
la n iev e y el hielo. D esprecie e l p eso d e lo s e lem en to s d e la
arm ad u ra y su p o n g a q u e A e s u n a articulación y q u e F e s u n
rodillo.
Problem a d e proyecto 3 - 1 P

152. 1 3 0 C a p i t u l o 3 A n á l i s i s d e a r m a d u r a s e s t á t i c a m e n t e d e t e r m i n a d a s
r e p a s o d e l c a p ít u l o
L as arm a d u ra s se co m p o n en de e lem en to s delgados unidos e n sus e x tre m a s p a ra fo rm a r una se rie d e triángulos.
P ara e l análisis se su p o n e q u e lo s e lem en to s e stán con ec­
ta d o s m ediante p asa d o re s y q u e las carg as se aplican en
las juntas. P o r lo ta n to , lo s e lem en to s estarán e n te n sió n o
en com presión.
L as arm a d u ra s p u e d e n clasificarse e n tre s form as:
l a s arm aduras sim ples se fo rm an com enzando con u n e le m e n to trian g u lar inicial.después se conecta a d o s e lem en to s m ás
y u n a ju n ta para a s í fo rm ar u n seg u n d o triángulo, etcétera.
L as arm aduras com puestas se fo rm an al c o n e c ta r e n tre s í d o s o m ás arm a d u ra s sim ples u san d o u n a ju n ta c o m ú n y/o u n e le ­
m ento adicional.
L as arm aduras com plejas son aquellas q u e n o p u e d e n clasificarse com o sim ples o c o m p u estas
a r m a d u r a s
a r m a d u r a s i m p l e a r m a d u r a c o m p u e s t a
a r m a d u r a c o m p le ja
Si e l núm ero d e b a rra s o e lem en to s d e u n a a rm a d u ra es
b ,se tien en r reacciones y h a y j juntas, en to n ce s si
b + r = 2/. la arm ad u ra e s estáticam ente d eterm in ad a
b + r > 2/ la a rm a d u ra e s estáticam en te in d eterm in ad a

153. Re p a s o d e l c a p i t u l o 1 3 1
La arm ad u ra será inestable ex te rn a m e n te si las reacciones s o n co n cu rren tes o paralelas.
I a estabilidad in tern a p u ed e verificarse al c o n ta r e l n ú m ero de b a rra s b. las reacciones r y las ju n ta s j.
Si b + r < 2j, la a rm a d u ra e s inestable.
Si b + r a 2 / b a rm a d u ra aú n p u ed e s e r inestable, p o r lo q u e e s necesario inspeccionarla y b u scar arreg lo s d e b a rra s q u e
form en un m ecanism o p aralelo , sin fo rm ar u n e lem en to triangular.
i n c s i a b l e - r e a c c i o n e s p a r a l e l a s
i n e s t a b l e i n t e r n a m e n t e
l a s arm ad u ras p lan as p u e d e n analizarse p o r el m étodo
d t lo s nu d o s. E sto se hace seleccionando c ad a ju n ta e n se-
cu cn cia.d e m odo q u e ten g a com o m áxim o u n a fuerza c o ­
nocida y a l m enos d o s incógnitas. S e construye el
diagram a d e c u e rp o libre de c ad a ju n ta y se escrib en y re­
suelven d o s ecuaciones d e eq uilibrio d e fuerzas, E F , = 0
y E F , = 0, a fin d e d ete rm in a r las fu erzas d e elem ento
desconocidas.
E n e l m éto d o d e las secciones e s necesario p a sa r una
sección a trav és d e la arm ad u ra y después dibujar u n d ia ­
gram a de c u e rp o libre d e u n a de sus p a rte s seccionadas.
D espués se d e te rm in a n las fu erzas d e elem en to co rta d a s
p o r la sección a p a rtir d e las tre s ecuaciones d e equilibrio.
N orm alm ente p u ed e en co n trarse u n a so la incógnita si se
sum an los m o m en to s resp ecto a u n p u n to q u e elim ine las
otras d o s fuerzas.
l a s arm a d u ra s co m p u estas y co m plejas tam b ién p u c-
cfcn analizarse p o r e l m é to d o de lo s n o d o s y el m éto d o de
las secciones. P ara o b te n e r u n a solución d ire c ta d e la
fuerza en un e lem en to p articu lar d e u n a a rm a d u ra c o m ­
pleja p u ed e em plearse e l "m é to d o d e los e lem en to s su sti­
tutos” .

154. Las vigas y tr a b e s sim p le m e n te a p o y a d a s q u e form an la estru c tu ra d e e s te
edificio fu ero n d is e ñ a d a s p a ra resistir la fuerza c o rta n te y el m o m e n to in tern o s
q u e actú a n e n to d a s u lo n g itu d

155. Cargas internas
desarrolladas en
elementos estructurales
A n t e s d e d e t e r m in a r la s p r o p o r c io n e s d e u n e le m e n t o e s tr u c tu r a l, es
n e c e s a rio c o n o c e r la fu e rz a y e l m o m e n t o q u e a c tú a n e n s u in te r io r . E n
e s te c a p ít u lo s e d e s a r ro lla rá n lo s m é t o d o s p a r a h a lla r e s ta s c a rg a s en
p u n t o s e s p e c ífic o s a lo la r g o d e l e je d e u n e le m e n t o , y p a r a m o s tr a r
g r á fic a m e n te la v a r ia c ió n u tiliz a n d o lo s d ia g r a m a s d e fu e rz a c o r t a n t e y
d e m o m e n t o . S e p r e s e n ta r á n a p lic a c io n e s t a n to p a ra v ig a s c o m o p a ra
m a rc o s .
4 .1 Cargas in te rn a s en un p u n to
específico
C ó m o s e e s t u d ió e n la se c c ió n 2 -3 , la c a rg a in t e r n a e n u n p u n t o e s p e c í­
fico d e u n e le m e n to p u e d e d e te r m i n a r s e a p lic a n d o e l m é to d o d e la s s e c ­
c io n e s . E n g e n e r a l , e s t a c a r g a p a r a u n a e s t r u c tu r a c o p l a n a r c o n s is tir á e n
u n a f u e r z a n o r m a l N . u n a f u e r z a c o r t a n te V y u n m o m e n to fle x io n a n te
M * S in e m b a r g o , d e b e t e n e r s e e n c u e n ta q u e e s ta s c a r g a s r e p r e s e n ta n
e n r e a l id a d la s re s u lta n te s efe la d is tr ib u c ió n d e e s fu e r z o s q u e a c tú a s o b r e
e l á r e a tr a n s v e r s a l d e l e le m e n to e n la s e c c ió n c o r t a d a . U n a v e z q u e s e c o ­
n o c e n la s c a rg a s in te r n a s r e s u lta n te s , la m a g n itu d d e l e s f u e r z o p u e d e d e ­
te r m in a r s e s ie m p r e q u e se s u p o n g a u n a d is tr ib u c ió n d e e s f u e r z o s s o b r e
e l á r e a d e la s e c c ió n tr a n s v e r s a l e s p e c ífic a .
• L o s m a r c o s tr i d im e n s io n a le s t a m b i é n p u e d e e s t a r s o m e t i d o s a u n m o m e n t o d e t o n i ó n ,
q u e t i e n d e a d o b l a r e l e l e m e n t o r e s p e c t o d e s u e je .

156. 134 Ca p i t u l o 4 Ca r g a s i n t e r n a s d e s a r r o l l a d a s e n e l e m e n t o s e s t r u c t u r a l e s
C o n v e n c ió n d e sig n o s. A n te s d e p r e s e n t a r u n m é to d o p a r a e n ­
c o n tr a r la f u e r z a in t e r n a n o r m a l, la f u e r z a c o r t a n t e y e l m o m e n to fle x io -
n a n te . e s n e c e s a r io e s ta b le c e r u n a c o n v e n c ió n d e s ig n o s p a r a d e f in ir su s
v a lo r e s “ p o s itiv o " y “ n e g a tiv o ” .* Si b ie n l a e le c c ió n e s a r b i tr a r ia , la c o n ­
v e n c ió n d e s ig n o s q u e s e a d o p t a r á a q u í h a s id o a m p lia m e n te a c e p ta d a
e n la p r á c tic a d e l a in g e n ie r ía e s t r u c tu r a l y s e ilu s tr a e n la fig u ra 4 - l a . E n
la ca ra iz q u ie r d a d e l e le m e n to c o r ta d o , la f u e r z a n o r m a l N a c tú a h a c ia la
d e r e c h a , la f u e r z a c o r t a n t e in t e r n a V a c tú a h a c ia a b a jo y e l m o m e n to M
a c tú a e n s e n tid o in v e r s o a l d e la s m a n e c illa s d e l re lo j ( a n t ih o r a r io ) . D e
a c u e r d o c o n la te r c e r a ley d e N e w to n . u n a f u e r z a n o rm a l, u n a f u e r z a c o r ­
ta n t e y u n m o m e n to f le x io n a n te ig u a le s p e r o o p u e s t o s , d e b e n a c t u a r e n
la c a r a d e r e c h a d e l e l e m e n t o e n la s e c c ió n . Q u iz á s u n a m a n e r a fá c il d e
r e c o r d a r e s ta c o n v e n c ió n d e s ig n o s s e a a is la r u n p e q u e ñ o s e g m e n to d e l
e le m e n to y r e c o r d a r q u e u n a fu e r z a n o r m a l p o s itiv a tie n d e a a la r g a r e l
s e g m e n to , f ig u r a 4-l¿>; q u e u n a fu e r z a c o r ta n te p o s itiv a tie n d e a h a c e r
g ir a r e l s e g m e n to e n e l s e n tid o d e la s m a n e c illa s d e l r e lo j (h o r a r io ) , fig u ra
4 - l e , y q u e u n m o m e n t o fl e x io n a n t e p o s itiv o tie n d e a d o b la r e l s e g m e n to
e n f o r m a c ó n c a v a h a c ia a r r ib a ,a m a n e r a d e u n “ r e c ip ie n te p a r a a g u a ," fi­
g u r a 4-1 d.
M
<c>
I (
f i g u r a 4 - 1
M
)
(d )
•Esto será de utilidad posteriormente en las secciones 4-2 y 4-3,donde V y M x expresarán
en función de x y después se representarán gráficamente. El hecho de tener una conven­
ción de signos es semejante a asignar direcciones coordenadas positivas hacia la derecha
para x, y positivas hacia arriba para y al momento de trazar una función y = f[x).

157. 4.1 Ca r g a s i n t e r n a s e n u n p u n t o e s p e cIe i c o
Procedim iento de análisis
E l s ig u ie n te p r o c e d i m i e n to o f r e c e u n m e d io d e a p li c a r e l m é to d o d e la s s e c c io n e s p a r a
d e te r m i n a r la f u e r z a n o r m a l in te r n a , la f u e r z a c o r t a n te y e l m o m e n to f le x io n a n te e n u n a
u b ic a c ió n e s p e c íf ic a d e u n e l e m e n t o e s tr u c tu r a l.
R e a c c io n e s e n lo s s o p o r t e s
• A n te s d e “ c o r t a r " o s e c c io n a r e l e le m e n to , p u e d e s e r n e c e s a r io d e t e r m i n a r la s r e a c c i o ­
n e s e n s u s s o p o r te s d e m o d o q u e la s e c u a c io n e s d e e q u il ib r io s ó l o s e u tilic e n p a r a r e ­
s o lv e r la s c a rg a s in te rn a s c u a n d o s e s e c c io n e e l e le m e n to .
• Si e l e l e m e n t o e s p a r t e d e u n a e s t r u c tu r a a r tic u la d a , la s r e a c c io n e s e n la s a r tic u la c io ­
n e s p u e d e n d e te r m i n a r s e m e d ia n te lo s m é to d o s d e la s e c c ió n 2.5.
D ia g r a m a d e c u e r p o lib re
• M a n te n g a to d a s la s c a r g a s d is tr ib u id a s . lo s m o m e n to s d e p a r , y la s f u e r z a s q u e a c tú a n
s o b r e e l e le m e n to e n s u u b ic a c ió n exacta', d e s p u é s p a s e u n a s e c c ió n im a g in a r ia a
tr a v é s d e l e le m e n to , q u e s e a p e r p e n d i c u la r a s u e je e n e l p u n t o d o n d e s e d e s e a d e t e r ­
m in a r l a c a r g a in te rn a .
• D e s p u é s d e h a c e r la s e c c ió n , d ib u j e u n d ia g r a m a d e c u e r p o lib r e d e l s e g m e n to s o b r e el
q u e a c tú e e l m e n o r n ú m e r o d e c a rg a s . E n la s e c c ió n , in d iq u e la s in c ó g n ita s r e s u lta n te s
Ñ , V y M d e m o d o q u e a c tú e n e n s u s e n t i d o p o s itiv o (f ig u ra 4 - l a ) .
E c u a c io n e s d e e q u ilib r io
• L o s m o m e n to s d e b e n s u m a r s e e n la se c c ió n r e s p e c to a lo s e je s q u e p a s a n a tr a v é s d e l
c e n tr o id e d e la s e c c ió n tr a n s v e r s a l d e l e le m e n to , c o n e l f i n d e e li m i n a r la s in c ó g n ita s N
y V .p a r a a s í o b t e n e r u n a s o lu c ió n d i r e c t a d e M .
• Si la s o lu c ió n d e la s e c u a c io n e s d e e q u il ib r io e s u n a c a n ti d a d c o n m a g n itu d n e g a tiv a ,
e l s e n t id o d ir e c c io n a l s u p u e s to d e la c a n tid a d e s o p u e s to a l q u e s e m u e s tr a e n e l d i a ­
g ra m a d e c u e r p o lib re .

158. 1 3 6 Ca p i t u l o 4 C a r g a s i n t e r n a s d e s a r r o l l a d a s e n e l e m e n t o s e s t r u c t u r a l e s
EJE M P LO 4.1
3 .6 k N 1 2 k N ^ 1 2 ) M
(c)
Figura 4 -2
E l te c h o d e l e d if ic io q u e s e m u e s tr a e n la fo to g ra fía ti e n e u n p e s o d e
1.8 k N /m 2 y s e s o s t i e n e s o b r e v ig a s s i m p l e m e n t e a p o y a d a s d e 8 m
d e l a r g o .e n tr e las c u a le s h a y u n a s e p a r a c ió n d e 1 m .C a d a v ig a , q u e se
m u e s tr a e n la f ig u r a 4-2b , tr a n s m i te s u c a r g a a d o s tr a b e s , u b ic a d a s e n
la p a r t e d e l a n t e r a y tr a s e r a d e l e d ific io . D e te r m in e la f u e r / a c o r ta n te
y e l m o m e n to in t e r n o s d e la v ig a f r o n ta l e n e l p u n t o C .f ig u r a 4 -2 a . N o
to m e e n c u e n ta e l p e s o d e lo s e le m e n to s .
3 .6 k N 1 2 k N ^ 1 2 k N - ^ ^ = ■12 k N 3 . 6 kN
S O L U C IÓ N
R e a ccio n e s e n lo s s o p o r te s . L a c a rg a d e l te c h o s e tr a n s m ite a
c a d a v ig a c o m o u n a lo s a d e u n s o l o s e n tid o ( L 2/ L x = K m /1 m = 8 > 2 ).
I\> r lo ta n t o , la c a r g a tr i b u t a r i a e n c a d a v ig a in t e r i o r e s (1 .8 k N / m 2)
(1 m ) - 1.8 k N / m . ( L a s d o s v ig a s d e l b o r d e s o p o r ta n 0 .9 k N / m .) D e
la f ig u r a 4-2¿>. la r e a c c ió n d e c a d a v ig a in t e r i o r s o b r e la t r a b e e s (1 .8
k N / m ) ( 8 m ) / 2 = 7.2 kN .
1.8 k N / m
v ig a -
0 .5 m
I I I I I I 1 I I I
tr a b e
t
7 m
T
0 .5 m
7 .2 kN 7 .2 k N
( b )
D ia g ra m a d e c u e r p o lib r e . E n la fig u ra 4 - 2 a s e m u e s tra e l d i a ­
g r a m a d e c u e r p o lib r e d e la v ig a . T e n g a e n c u e n ta q u e la r e a c c ió n d e
c a d a c o lu m n a e s
[{ 2 (3 .6 k N ) + 1 1 (7 .2 k N ) [ / 2 = 4 3 .2 k N
E l d ia g r a m a d e c u e ip o lib r e d e l s e g m e n to iz q u ie r d o d e la tr a b e se
m u e s tr a e n la fig u ra 4 -2 c . A q u í s e s u p o n e q u e la s c a rg a s in te r n a s
a c tú a n e n s u s e n tid o p o s itiv o .
E c u a c io n e s d e e q u ilib r io
0 ; 4 3 .2 - 3 .6 - 2 (7 .2 ) - V c = 0 V c = 2 5 .2 k N R e sp.+ Í 2 F ,
M c + 7 .2 (0 .4 ) + 7 .2 (1 .4 ) + 3 .6 (2 .4 ) - 4 3 .2 (1 .2 ) = 0M c = 30.2 k N • m R esp.

159. 4.1 Ca r g a s i n t e r n a s e n u n p u n t o e s p e c í f i c o 1 3 7
D e te r m in e la f u e r z a c o r t a n te y e l m o m e n to in te r n o s q u e a c tú a n e n
u n a se c c ió n q u e p a s a p o r e l p u n t o C de la v ig a q u e se m u e s tr a e n la fi­
g u r a 4 -3 a .
R e a ccio n e s e n lo s s o p o r te s . A l s u s tit u ir la c a r g a d is tr ib u id a p o r
s u f u e r z a r e s u lta n t e y c a lc u la r la s re a c c io n e s , s e o b t i e n e n lo s r e s u lta ­
d o s q u e s e m u e s tr a n e n l a fig u ra 4 -3 6 .
D i a g r a m a d e c u e r p o l i b r e . S e c o n s id e r a r á e l s e g m e n to A C p u e s to
q u e p r o d u c e la s o lu c ió n m á s s e n c ifla , f ig u r a 4 -3 c . L a in t e n s i d a d d e la
c a rg a d is tr ib u id a e n C se c a lc u la p o r p r o p o r c ió n , e s d e c ir .
L s te p r o b le m a ilu s tr a la im p o r ta n c ia d e m a n te n e r la c a r g a d is tr i-
4 -3 6 se s e c c io n a r a e n C .e l e f e c t o d e la c a r g a d is tr ib u id a s o b r e e l s e g ­
m e n to A C n o se r e c o n o c e r ía .y e l r e s u lta d o V c = 9 k y M c = 54 k • p ie
i L
27 k
4
Figura 4 -3
S O L U C IÓ N
w c = (6 p i e s / 18 p ie s ) ( 3 k / p i e ) = 1 k /p i e
E c u a c io n e s d e e q u i l i b r i o .
+ f 2 F y = 0 . 9 - 3 - V c = 0 V c - 6 k R esp.
5 ,+ S M c = 0 . - 9 ( 6 ) + 3 ( 2 ) + M c = 0 M c = 4 8 k - p ie R esp.
3 |k
b u id a s o b r e la v ig a h a s t a d e s p u é s d e s e c c io n a ría . S i la v ig a d e la fig u ra
s e r ta e r r ó n e o .

160. 1 3 8 C a p i t u l o 4 C a r g a s i n t e r n a s d e s a r r o l l a d a s e n e l e m e n t o s e s t r u c t u r a l e s
EJE M P LO 4 .3
E l p a n e l d e p is o D E s o p o r ta la f u e r z a d e 9 k q u e s e m u e s tr a e n la fi­
g u r a 4 - 4 u ,e l c u a l a s u v ez e s t á s im p le m e n te a p o y a d o e n s u s e x tr e m o s
p o r v ig a s d e p is o . E s ta s v ig a s tr a n s m ite n s u s c a r g a s a la t r a b e s im p le ­
m e n te a p o y a d a A B . D e te r m in e l a f u e r z a c o r t a n te y e l m o m e n to i n t e r ­
n o s q u e a c tú a n e n e l p u n t o C d e la tr a b e .
9 k
F ig u ra 4 - 4
6 k
- i -
3 k
6 k
| 1 2 p i e s - • p i e s — j
3 .7 5 k
2 4 p i e s -
(b)
| 12 P * '
J_c,
" ,
3
'p i e s-
Ve
5.25 k 3.75 k
(c)
S O L U C IÓ N
R e a ccio n e s e n lo s s o p o rte s , fin la fig u ra 4-4¿> se m u e s tr a n e l e q u i-
S b rio d e l p a n e l d e p is o , la s v ig a s d e p is o y la tr a b e . S e r e c o m ie n d a v e ­
rific a r e s t o s r e s u lta d o s .
D ia g ra m a d e c u e r p o lib re . S e u tiliz a e l d ia g r a m a d e c u e rp o lib r e d e l
s e g m e n to -4 C p o r q u e c o n d u c e a la s o lu c ió n m á s s e n c illa , fig u ra 4 -4 c .
T e n g a e n c u e n ta q u e A C n o s o p o r ta c a r g a s s o b r e la s v ig a s d e p iso .
E cu a cio n e s d e e q u ilib r io .
+ f 2 F y = 0 ; 3 .7 5 - 6 - V c = 0 V c = - 2 . 2 5 k R esp.
S,+ £ M C = 0 ; - 3 .7 5 ( 1 5 ) + 6 ( 3 ) + M c = 0 M c = 3 8 .2 5 k - p ie Resp.

161. 4 . 2 Fu n c i o n e s d e f u e r z a c o r t a n t e y d e m o m e n t o 1 3 9
4 . 2 Funciones de fu e rza co rta n te
y d e m o m e n to
E l d is e ñ o d e u n a v ig a r e q u i e r e u n c o n o c im ie n to d e ta l la d o d e la s varia­
c io n e s d e la f u e r z a c o r t a n te V y e l m o m e n to M in te rn o s q u e a c tú a n e n
c a d a p u n t o a lo la rg o d e l e j e d e la v ig a . P o r lo g e n e r a l, la f u e r z a n o rm a l
in t e r n a n o s e c o n s i d e r a p o r d o s ra z o n e s : (1 ) e n la m a y o r ía d e lo s c a s o s la s
c a rg a s a p lic a d a s a u n a viga a c tú a n e n f o r m a p e r p e n d i c u la r a s u e je y, p o r
lo ta n t o ,s ó l o p r o d u c e n u n a f u e r z a in t e r n a c o r t a n te y u n m o m e n to fle x io -
n a n te ;( 2 ) y p a r a fin e s d e d is e ñ o , la re s is te n c ia a la f u e r z a c o r t a n te d e la
viga y, e n p a r tic u la r , a la fle x ió n , e s m á s im p o r ta n te q u e s u c a p a c id a d
p a ra r e s is t ir la f u e r z a n o rm a l. S in e m b a r g o , h a y u n a e x c e p c ió n im p o r ­
ta n t e a e s t o c u a n d o la s v ig a s e s t á n s o m e tid a s a f u e r z a s a x ia le s d e c o m ­
p re s ió n , p u e s t o q u e d e b e n in v e s tig a rs e e l p a n d e o o la in e s ta b ilid a d q u e
p u d ie r a n o c u r r ir .
L a s v a r ia c io n e s d e V y M e n fu n c ió n d e la p o s ic ió n x d e u n p u n to a r b i ­
tr a rio a lo la r g o d e l e je d e la v ig a p u e d e n o b te n e r s e m e d ia n te e l m é to d o
d e la s s e c c io n e s a n a li z a d o e n la se c c ió n 4 -1 . S in e m b a r g o , a q u í e s n e c e s a ­
rio lo c a liz a r la s e c c ió n im a g in a r ia o c o r t a r a u n a d is ta n c ia a r b i t r a r i a x
d e s d e u n e x tr e m o d e la v ig a e n v e z d e e n u n p u n t o e sp e c ífic o .
E n g e n e r a l , la s f u n c io n e s d e la f u e r z a c o r t a n t e y d e l m o m e n to in te r n o s
s e r á n d is c o n tin u a s , o s u p e n d ie n t e s e r á d is c o n tin u a , e n lo s p u n to s d o n d e
d tip o o l a m a g n itu d d e la c a r g a d is tr ib u id a c a m b i a ,o b ie n d o n d e s e a p li­
q u e n la s fu e r z a s c o n c e n t r a d a s o lo s m o m e n to s d e p a r. D e b id o a e s to , la s
fu n c io n e s d e la f u e r z a c o r t a n te y d e l m o m e n to d e b e n d e te r m i n a r s e p a ra
c a d a re g ió n d e la v ig a lo c a liz a d a e n tr e c u a lq u ie ra d e la s d o s d is c o n tin u i­
d a d e s d e c a rg a . P b r e je m p lo , la s c o o r d e n a d a s .ti, * 2 y xy d e b e r á n u s a rs e
p a ra d e s c r ib ir la v a ria c ió n d e V y M e n to d a la lo n g itu d d e l a v ig a e n la fi­
g u r a 4-5a . E s ta s c o o r d e n a d a s s e r á n v á lid a s s ó l o d e n t r o d e la s r e g io n e s
d e s d e A h a s ta B p a r a x ,. d e B a C p a r a x 2. y d e C a D p a r a x 3. A u n q u e
c a d a u n a d e e s t a s c o o r d e n a d a s ti e n e e l m ism o o r ig e n , c o m o s e h a s e ñ a ­
la d o a q u í, é s t e n o ti e n e p o r q u é s e r e l c a so . D e h e c h o , p u e d e s e r m á s fá c il
d e s a r r o ll a r las f u n c io n e s d e f u e r z a c o r t a n t e y d e m o m e n to , e m p l e a n d o
las c o o r d e n a d a s X |,x 2,x 3 q u e ti e n e n o ríg e n e s e n A , B y D c o m o s e m u e s ­
tr a e n la fig u ra 4-5/>. A q u í x i y x 2 s o n p o s itiv a s h a d a la d e r e c h a y x ¡ e s p o ­
s itiv a h a d a la iz q u ie rd a .
E l r e f u e r z o a d i c i o n a l q u e p r o p o r c i o n a n la s
p l a c a s v e r t i c a l e s l l a m a d a s c o s t i l l a s s e u ti l i z a
e n l o s s o p o r t e s a r t i c u l a d » » y d e o s c i l a d o r e n
e s t a s t r a b e s d e p u e n t e . A q u í , l a s r e a c c i o n e s
c a u s a r á n g r a n d e s f u e r z a s c o r t a n t e s e n la s
t r a b e s y l o s r e f u e r z o s e v i t a r á n p a n d e o s l o c a ­
l i z a d o s e n la s a l a s o e l a l m a d e la t r a b e .
A d e m á s , t e n g a e n c u e n t a l a i n c l i n a c i ó n d e l
s o p o r t e d e o s c i l a d o r c a u s a d a p o r la e x p a n ­
s i ó n t é r m i c a d e la c u b i e r t a d e l p u e n t e .
i
D
w
n
i %»_ _
C
D
— x ,
(a) ( b )
F i g u r a 4 - 5

162. 1 4 0 Ca p i t u l o 4 Ca r g a s i n t e r n a s d e s a r r o l l a d a s e n e l e m e n t o s e s t r u c t u r a l e s
Procedim iento de análisis
E l s i g u ie n t e p r o c e d i m i e n to o f r e c e u n m é t o d o p a r a d e te r m i n a r la v a ria c ió n d e la f u e r z a
c o r t a n te y e l m o m e n to e n u n a v ig a e n fu n c ió n d e la p o s ic ió n x.
R e a c c io n e s e n lo s s o p o r t e s
• D e te rm in e la s r e a c c io n e s e n lo s s o p o r t e s d e la v ig a y d e s c o m p o n g a to d a s la s fu e r z a s
e x te r n a s e n s u s c o m p o n e n t e s q u e a c tú a n e n f o r m a p e r p e n d i c u la r y p a r a l e la a l e je d e
la v ig a .
F u n c io n e s d e f u e r z a c o r t a n t e y d e m o m e n t o
• E s p e c if iq u e p o r s e p a r a d o la s c o o r d e n a d a s x y s u s o ríg e n e s a s o c ia d o s , e x te n d ié n d o s e a
las re g io n e s d e la v ig a e n t r e la s fu e r z a s c o n c e n t r a d a s y / o m o m e n to s d e p a r . o d o n d e
h a y a u n a d is c o n tin u id a d d e la c a rg a d is tr ib u id a .
• S e c c io n e la v ig a e n f o r m a p e r p e n d i c u la r a s u e je a c a d a d is ta n c i a x , y c o n b a s e e n el
d ia g r a m a d e c u e r p o lib r e d e u n o d e lo s s e g m e n to s d e te r m i n e las in c ó g n ita s V y M en
la s e c c ió n c o r t a d a e n fu n c ió n d e x . E n e l d ia g r a m a d e c u e r p o li b r e , V y M d e b e n m o s ­
tr a rs e a c tu a n d o e n s u s d ir e c c io n e s p o s itiv a s , d e a c u e r d o c o n la c o n v e n c ió n d e sig n o s
d a d a e n la f ig u r a 4-1.
• V se o b ti e n e d e l . F y = 0 y M se o b ti e n e a l s u m a r m o m e n to s c o n r e s p e c to a l p u n t o 5
u b ic a d o e n la s e c c ió n c o r t a d a , 'L M s = 0.
• L o s r e s u lta d o s p u e d e n c o m p r o b a r s e o b s e r v a n d o q u e d M / d x - V y q u e d V I d x = w ,
d o n d e w e s p o s itiv a c u a n d o a c t ú a h a c ia a r r ib a , a le já n d o s e d e l a v ig a . E s ta s re la c io n e s
se d e s a r r o ll a n e n la s e c c ió n 4-3.
I^ a s v i g u e t a s , v i g a s y t r a b e s q u e s e u s a n p a r a s o s t e n e r e s t e p i s o
p u e d e n d i s e ñ a r s e u n a v e z q u e s e c o n o c e n la f u e r z a c o r t a n t e y e l
m o m e n t o e n t o d a s u l o n g i t u d .

163. 4 . 2 F u n c i o n e s d e f u e r z a c o r t a n t e y d e m o m e n t o 1 4 1
E J E M P L O
P a ra la v ig a q u e s e m u e s tra e n la f ig u r a 4 - 6 a .d e t e r m in e l a f u e r z a c o r ­
ta n te y e l m o m e n to c o m o u n a fu n c ió n d e *.
2k /p * c
^ttttttTíTTT [ ] l
F igura 4 -6
S O L U C IÓ N
R e a ccio n e s e n lo s s o p o r te s . C o n e l fin d e c a lc u la r la s r e a c c io n e s
e n lo s s o p o r te s . la c a rg a d is tr ib u id a s e s u s titu y e p o r s u f u e r z a r e s u l­
ta n te d e 3 0 k . fig u ra 4-6¿>. S in e m b a r g o , e s im p o r ta n te r e c o r d a r q u e
e s ta r e s u lta n t e n o e s la c a r g a r e a l e n la viga.
3 0 k
3 0 k
íte:
6 0 0 k • p ie
2 0 p ie s
( b )
F u n c io n e s d e fu e r z a c o r t a n te y d e m o m e n to . E n l a fig u ra 4 -6 c
se m u e s tr a u n d ia g r a m a d e c u e r p o lib re d e l s e g m e n to d e v ig a c o n l o n ­
g itu d x . T e n g a e n c u e n ta q u e la in t e n s i d a d d e la c a r g a tr ia n g u l a r e n la
se c c ió n s e e n c u e n t r a p o r p r o p o r c ió n ; e s d e c i r , w / x = 2 /3 0 o w = * / 1 5 .
C o n la in te n s id a d d e c a r g a c o n o c id a , la r e s u lta n t e d e la c a r g a d is tr i­
b u id a se e n c u e n t r a d e la m a n e r a u s u a l c o m o s e m u e s tr a e n la fig u ra .
R>r lo ta n to .
+ T SFV = 0; 30 0
{,+ l M s = 0 ; 6 0 0 - 3 0 * + - —
-Ks>-
V = 3 0 — 0 .0 3 3 3 * 2
K é>]
- 6 0 0 + 3 0 * - 0.01 I I * 3
R e sp .
o
M
O b s e rv e q u e d M / d x = V y q u e d V / d x = - * /1 5
c o m o u n a v e rific a c ió n d e lo s r e s u lta d o s .
R esp.
w , lo c u a l s irv e
3 0 k
t
6 0 0
k - p i e
h ? 5 > ‘
HH
f
(c)

164. 1 4 2 Ca p i t u l o 4 C a r g a s i n t e r n a s d e s a r r o l l a d a s e n e l e m e n t o s e s t r u c t u r a l e s
E JE M P LO
P a r a la v ig a q u e s e m u e s tra e n la f ig u r a 4 -7 a , d e te r m i n e l a f u e r z a c o r ­
ta n t e y e l m o m e n to e n fu n c ió n d e x .
6 0 k
. , 1 4k/pie1 . ,
1lllillilil!
— *3-11 M H
— — -T
4| t|
108 k
ti
1588 k pá«
1
'
■Jf
— - « .— I
M
i
(a)
(c)
108 k r
t—
1588 k - p i e |— 6 p i e s ■
6 0 k
4 8 k
1 4 p ie s
¡ “
tb)
Figura 4 -7
S O L U C IÓ N
R e a ccio n e s e n lo s s o p o r te s . l a s r e a c c io n e s e n e l s o p o r te fijo s o n
V = 108 K y M - 1588 k . p e . fig u ra 4 -7b .
F u n c io n e s d e fu e r z a c o r ta n te y d e m o m e n to . D a d o q u e h a y u n a
d is c o n tin u id a d d e la c a r g a d is tr ib u id a e n x ■ 1 2 p ie s , d e b e n c o n s id e ­
r a r s e d o s re g io n e s d e x c o n e l f i n d e d e s c r ib ir la s f u n c io n e s d e c o r ta n te
y d e m o m e n to p a r a to d a la v ig a . A q u í x \ e s a p r o p i a d o p a r a lo s 12 p ie s
d e la iz q u ie r d a y x 2 p u e d e u s a r s e p a r a e l s e g m e n to re s ta n te .
0 s x 12 p ie s . O b s e r v e q u e V y M s e m u e s tr a n e n la d ir e c c ió n p o s i­
tiv a . fig u ra 4 -7 c .
+ 12 F y - 0 ; 108 - 4 x , - V = 0 . V = 108 - 4 x , R esp.
5 ,+ 2 A /* = 0 ; 1588 - 10 8 * , + 4 x , ( y ) + M = 0
M = - 1 5 8 8 + 10 8 * , - 2 x \ R esp.
12 p ie s s x 2 s 2 0 p ie s , f ig u r a 4-7d .
+ t Y .F y = 0 ; 108 - 4 8 - V = 0 , V = 6 0 R esp.
í + Z M s = 0 ; 1588 - 108*2 + 4 8 ( * 2 - 6 ) + M = 0
M = 6Q *2 - 1300 R esp.
E s to s re s u lta d o s p u e d e n v e rific a rs e e n f o r m a p a rc ia l s i s e ti e n e e n
c u e n ta q u e c u a n d o x 2 = 2 0 p ies, e n to n c e s l ' = 6 0k y A Í = -1 0 0k . p ie.
A d e m á s .o b s e r v e q u e d M / d x = V y d V / d x = w .

165. 4 . 2 Fu n c i o n e s d e f u e r z a c o r t a n t e y d e m o m e n t o 1 4 3
P a ra la v ig a q u e s e m u e s tr a e n la f ig u r a 4 -8 a , d e te r m i n e l a f u e r z a c o r ­
ta n te y e l m o m e n to e n fu n c ió n d e * .
30 k N /m
9 0 kN 9 0 I N
F ig u ra 4 - 8
ft> )
S O L U C IÓ N
R e a ccio n e s e n lo s s o p o r t e s . P a r a d e te r m i n a r la s r e a c c io n e s e n lo s
s o p o r te s , la c a r g a d is tr i b u id a se d iv i d e e n u n a c a r g a tr ia n g u l a r y u n a
r e c ta n g u la r , a la s c u a le s lu e g o r e e m p la z a n s u s fu e r z a s r e s u lta n te s .
E s ta s r e a c c io n e s y a s e h a n c a lc u la d o y s e m u e s tr a n e n e l d ia g r a m a d e
c u e r p o lib re d e la v ig a , fig u ra 4 -8 6 .
F u n c io n e s d e fu e r z a c o r t a n te y d e m o m e n to . E n l a f ig u r a 4 -8 c
se m u e s tr a u n d ia g r a m a d e c u e r p o lib r e d e la s e c c ió n c o r t a d a . C o m o
e n e l c a s o a n te r io r , la c a rg a tr a p e z o id a l se s u s titu y e p o r u n a d is tr i b u ­
c ió n r e c ta n g u la r y u n a tr ia n g u la r. O b s e r v e q u e la in te n s id a d d e la carg a
tr ia n g u la r e n e l c o r t e se e n c u e n t r a p o r p r o p o r c ió n ; a d e m á s , la fu e rz a
r e s u lta n te d e c a d a c a r g a d is tr ib u id a y s u u b ic a c ió n e s tá n in d ic a d a s . A l
a p lic a r la s e c u a c io n e s d e e q u ilib r io , se t i e n e
1 = 0 ; 7 5 — 10* —
X i> ]
- V = o
V = 7 5 - 10* - 1 .1 1 * 2
5 , + 2 M 5 = 0 ; - 7 5 * +
M = 7 5 * - 5 * 2 - 0 .3 7 0 * 3
R esp.
5 ( 2 0 ) l ? | *
- + M = 0
R e s p .
10* |( 2 0 K - J ) r
N/«
~ \ { r 10 k N /m
Jir
75 kN
i
(c)

166. 1 4 4 Ca p i t u l o 4 Ca r g a s i n t e r n a s d e s a r r o l l a d a s e n e l e m e n t o s e s t r u c t u r a l e s
P R O B L E M A S F U N D A M E N T A L E S
F 4 - L D eterm ine la fuerza norm al, la fuerza c o rta n te y el
m om ento flexionante in tern o s q u e actú a n en el p u n to C de
la viga.
1 4 -4 . D eterm ine la fuerza norm al, la fuerza c o rta n te y el
m om ento flexionante in tern o s q u e actú a n en el p u n to C de
la viga.
10 kN
20kN m
(
2m
F 4-1
300 Ib/pie
T T T T T m T m T ^
[—1.5 pies—|—1.5 pies- 3 pies
F 4-4
1 4 -2 . D eterm ine la fuerza norm al, la fuerza c o rta n te y el
m om ento flexionante in tern o s q u e actú a n en e l p u n to C de
la viga.
F 4 -5 . D eterm ine la fuerza norm al, la fuerza c o rta n te y el
m om ento flexionante in tern o s q u e actú a n en e l p u n to C de
la viga.
8 kN/m
F4-3. D eterm ine la fuerza norm al, la fuerza c o rta n te y e l F 4-6. D eterm ine la fuerza norm al, la fuerza c o rta n te y el
m om ento flexionante in tern o s q u e actú a n en e l p u n to C d e m om ento flexionante in tern o s q u e actú a n en e l p u n to C de
la viga. la viga.

167. 4 . 2 Fu n c i o n e s d e f u e r z a c o r t a n t e y d e m o m e n t o 1 4 5
F 4 -7 . P ara la viga m o strad a, d eterm in e la fuerza c o rta n te 14-10 . D eterm ine la fuerza c o rta n te y e l m om ento in ter-
y el m om ento in tern o s e n función d e x. nos e n función d e x a lo largo de la viga.
2 0 k N
F 4-10
F 4 -8 . Para la viga m o strad a, d eterm in e la fu e rz a c o rta n te F 4 -1 1. D eterm ine la fuerza c o rta n te y e l m om ento inter-
y e l m o m en to in tern o s e n función d e x . nos e n función de x a lo largo de la viga.
^ r r r n T n T
12 k N / m
* £ . - 1
------------f i m----------------------------
15 k N
5 k N / m
F 4-8 F4-11
F 4 -9 . D eterm ine la fuerza c o rta n te y el m o m en to in ter- 14-12. D eterm ine la fuerza c o rta n te y e l m om ento in ter­
nos e n función d e x a lo largo de la viga. nos e n función d e x a lo largo d e la viga.
F 4-9 1 4 -1 2

168. 1 4 6 Ca p i t u l o 4 C a r g a s i n t e r n a s d e s a r r o l l a d a s e n e l e m e n t o s e s t r u c t u r a l e s
P R O B L E M A S
4 -1 . D eterm ine la fuerza n o rm al, la fu e rz a co rtan te y el
m om ento flexionante in tern o s en los p u n to s C y D de la
viga. S uponga q u e el so p o rte e n A es una articu lació n y en
B e s un rodillo.
4 -3 . E l ag u iló n Í ) Fy la colum na D E de la g rú a tien en un
peso u niform e d e 5 0 lb /p ie. S i e l g ancho y la c a rg a p e sa n
300 libras, d eterm in e la fuerza n o rm al, la fu e rz a c o rta n te y
el m o m en to flex io n an te in tern o s e n lo s p u n to s A , B y C de
la grúa.
6 k N
2 0 k N m
hA C
- I m -- 1 m 2 m
T T J
2 m
P ro b .4 -1 P r o b .4 - 3
4 -2 . D eterm ine la fuerza n o rm al, la fu e rz a co rtan te y el
m om ento flexionante in tern o s en los p u n to s C y D de la
viga. S u ponga q u e e l so p o rte e n B es u n rodillo. E l p u n to D
está u b icad o ju s to a la d erech a d e la carg a d e 1 0 k.
*4-4. E x te rm in e la fuerza norm al, la fuerza co rtan te y el
m om ento flexionante internos e n e l p u n to O . C onsidere
q u e h = 150 N /m .
4 -5 . La viga A B fallará si e l m o m en to in tern o m áxim o en
D alcanza 800 N • m o si la fuerza n o rm al e n e l e le m e n to B C
llega a 1500 N . D eterm in e la carg a h- m ás g ra n d e q u e p u ed e
soportar.
10 k
25 k - p i e
( A
1 0 p i e s — — ■ 10 p i e s -
P r o h . 4 - 2
25 k - p i e
n
— -* — 1 0 p i e s — -j

169. 4 . 2 Fu n c i o n e s d e f u e r z a c o r t a n t e y d e m o m e n t o 1 4 7
4 - 6 . D e t e r m i n e l a f u e r z a n o r m a l , l a f u e r z a c o r t a n t e y el
m o m e n t o f l e x i o n a n t e i n t e r n o s e n l o s p u n t o s C y D d e la
v ig a. S u p o n g a q u e e l s o p o r t e e n A e s u n r o d i l l o y q u e t í e s
u n a a r t i c u l a c i ó n .
4 - 7 . D e t e r m i n e l a f u e r z a n o r m a l , l a f u e r z a c o r t a n t e y el
m o m e n t o f l e x i o n a n t e i n t e r n o s e n e l p u n t o C . S u p o n g a q u e
la s r e a c c i o n e s e n l o s s o p o r t e s A y t í so n v e r tic a le s .
1 .5 k N A n
P r o b . 4 - 7
• 4 - 8 . D e t e r m i n e l a f u e r z a n o r m a l , l a f u e r z a c o r t a n t e y e l
m o m e n t o f l e x i o n a n t e i n t e r n o s e n e l p u n t o C . S u p o n g a q u e
la s r e a c c i o n e s e n lo s s o p o r t e s A y t í so n v e r tic a le s .
1.5 k N / m
4 - 9 . D e t e r m i n e l a f u e r z a n o r m a l , l a f u e r z a c o r t a n t e y e l
m o m e n t o f l e x i o n a n t e i n t e r n o s e n e l p u n t o C <fc l a v ig a . F.l
s o p o r t e e n A e s u n r o d i l l o y B e s u n a a r t i c u l a c i ó n .
5 k N
4 - 1 0 . D e t e r m i n e l a f u e r z a n o r m a l , l a f u e r z a c o r t a n t e y el
m o m e n t o f l e x i o n a n t e i n t e r n o s e n e l p u n t o C . S u p o n g a q u e
la s r e a c c i o n e s e n l o s s o p o r t e s A y t í s o n v e r tic a le s .
4 - 1 1 . D e t e r m i n e l a f u e r z a n o r m a l , l a f u e r z a c o r t a n t e y el
m o m e n t o f l e x i o n a n t e i n t e r n o s e n lo s p u n t o s C y D . S u p o n g a
q u e la s r e a c c i o n e s e n lo s s o p o r t e s A y t í s o n v e r tic a le s .

170. 1 4 8 Ca p i t u l o 4 C a r g a s i n t e r n a s d e s a r r o l l a d a s e n e l e m e n t o s e s t r u c t u r a l e s
*4-12. D eterm ine la f u e r a c o rta n te y el m o m en to a lo
largo d e la viga e n función d e x.
P
----------------------------------L-------
4 P r o b . 4 - 1 2
4 -1 3 . D eterm in e la f u e r a c o rta n te y el m o m en to e n la
viga d e piso e n fu nción d e ¿ .S u p o n g a q u e e l so p o rte e n A e s
una articulación y q u e B es u n rodillo.
6 k N
4 - 1 4 . D eterm in e la f u e r a c o rta n te y el m o m en to a lo
largo d e la viga e n función d e x.
4 - 1 5 . I ^ te r m in e la f u e r a c o rta n te y e l m om ento a lo
largo d e la viga e n función d e x.
* 4 - 1 6 . D eterm ine la f u e r a c o rta n te y e l m o m en to a lo
largo d e la viga e n función d e x.
i íin 11 iH
P r o b . 4 - 1 6
4 - 1 7 . D eterm ine la f u e r a c o rta n te y el m om ento a lo
largo d e la viga e n función d e x.
8 k N 8 k N
b —
M o 1
P r o b . 4 - 1 4
P r o b . 4 - 1 5
12 k N *m

171. 4 . 2 Fu n c i o n e s d e f u e r z a c o r t a n t e y d e m o m e n t o 1 4 9
4 -1 8 . D eterm ine la fuerza c o rta n te y e l m o m en to a lo 4 -2 1 . D eterm ine la fuerza c o rta n te y e l m o m en to e n la
largo d e la viga e n función d e x. viga e n función d e x.
10 k 8 k
1 I 1
— 6 p i e s •]
---------4 p i e s------------
4 0 k p ie
Proh. 4 -1 8
r
2 0 0 I b / p ie
12001b
8 0 0 1 b
Proh. 4 -2 1
4 -1 9 . D eterm ine la fu e rz a c o rta n te y e l m o m en to a lo
largo d e la viga e n función d e x.
2 5 0 1 b 2 5 0 1 b
______________:
1 5 0 1 b /
1
p ie
. I.t
-— 4 pie:i
------
i -
-----------6 p ies -----------
f e------------------1
— 4 p . e s —
P roh. 4 -1 9
4 -2 2 . D eterm ine la fuerza c o rta n te y e l m o m en to a lo
largo d e la viga ahusada e n función d e x.
*4-20. D eterm ine la fuerza c o rta n te y e l m o m en to e n la
viga e n función d e x
P r o h . 4 - 2 0 P r o h . 4 - 2 2

172. 1 5 0 Ca p i t u l o 4 C a r g a s i n t e r n a s d e s a r r o l l a d a s e n e l e m e n t o s e s t r u c t u r a l e s
L a s v a r i a s c a r g a s c o n c e n t r a d a s q u e a c t ú a n
4 s o b r e e s t a v ig a d e c o n c r e t o r e f o r z a d o c r e a n
u n a v a r i a c i ó n d e l a c a r g a i n t e r n a e n la v ig a .
rt> r e s t a r a z ó n , e s n e c e s a r i o e l a b o r a r d i a g r a ­
m a s d e f u e r z a c o r t a n t e y d e m o m e n t o flc -
x i o n a n t c c o n e l f i n d e d i s e ñ a r c o r r e c t a m e n t e
l a v ig a .
4 .3 D iagram as de fu e rza co rta n te
y d e m o m e n to para una viga
A l r e p r e s e n ta r g r á f ic a m e n te las v a ria c io n e s d e V y M e n fu n c ió n d e x
q u e s e o b tu v i e r o n e n la s e c c ió n 4 .2 , la s g rá fic a s r e s u lta n t e s s e d e n o m i n a n
d ia g r a m a d e f u e r z a c o r la n te y d ia g r a m a d e m o m e n t o , re s p e c tiv a m e n te .
E n lo s c a s o s d o n d e u n a v ig a e s tá s o m e ti d a a va ria s fu e r z a s c o n c e n tra d a s ,
p a r e s y c a rg a s d is tr ib u id a s , la g r a f ic a c ió n d e V y M e n c o m p a r a c ió n c o n x
p u e d e s e r b a s t a n te te d i o s a p u e s t o q u e d e b e n r e p r e s e n ta r s e v a ria s fu n c io ­
n e s. E n e s t a se c c ió n s e a n a liz a u n m é to d o m á s s im p le p a r a la c o n s tru c c ió n
d e e s to s d ia g r a m a s ; u n m é to d o b a s a d o e n las re la c io n e s d if e re n c ia le s
q u e e x is te n e n t r e la c a r g a , la f u e r z a c o r t a n t e y e l m o m e n to .
P a ra o b t e n e r e s ta s r e la c io n e s ,c o n s id e r e la viga A D d e la fig u ra 4 - 9 a ,la
c u a l e s tá s o m e ti d a a u n a c a rg a a r b i tr a r ia d is tr i b u id a w = w(x) y a u n a
s e r ie d e fu e r z a s c o n c e n t r a d a s y p a re s . E n e l s ig u ie n te a n á lis is , la carg a
d is tr ib u id a s e c o n sid e ra rá p o s itiv a c u a n d o a c tú e h a c ia a r r ib a c o m o se
m u e s tr a e n la fig u ra . S e c o n s id e r a r á e l d ia g r a m a d e c u e r p o lib re p a r a u n
p e q u e ñ o s e g m e n to d e la v ig a c o n lo n g itu d A * , fig u ra 4-9¿>. C o m o e s te
s e g m e n to s e e lig ió e n u n p u n t o x a lo la r g o d e la v ig a q u e n o e s tá s o m e ­
tid o a u n a f u e r z a c o n c e n t r a d a o a u n p a r , lo s re s u lta d o s o b te n i d o s n o s o n
a p lic a b le s e n lo s p u n to s c o n c a r g a c o n c e n t r a d a . S e s u p o n e q u e la f u e r z a
c o r ta n te y e l m o m e n to f le x io n a n te in t e r n o s q u e s e m u e s tr a n e n e l d i a ­
g r a m a d e c u e r p o lib r e a c tú a n e n la d ir e c c ió n p o s i ti v a (te a c u e r d o c o n la
c o n v e n c ió n d e s ig n o s e s ta b le c id a , fig u ra 4 -1 . T e n g a e n c u e n ta q u e ta n t o
la f u e r z a c o r t a n te c o m o e l m o m e n to q u e a c tú a n s o b r e la c a r a d e r e c h a
d e b e n a u m e n t a r e n u n a c a n ti d a d p e q u e ñ a y f in ita c o n e l fin d e m a n t e n e r
al s e g m e n to e n e q u ilib r io . L a c a r g a d is tr ib u id a s e r e e m p la z ó p o r u n a
f u e r z a c o n c e n t r a d a w-(.r)Ax; q u e a c t ú a a u n a d is ta n c i a fr a c c io n a ! e (A r)
d e s d e e l e x tr e m o d e r e c h o ,d o n d e 0 < c < 1. ( P o r e je m p lo , s i \v (x ) e s u n i ­
fo r m e o c o n s t a n te , e n to n c e s w ( x )A r a c tu a rá e n j A t . a s í q u e e = j . ) A l
a p lic a r la s e c u a c io n e s d e e q u ilib r io , se ti e n e
+ 1 = 0 ; V + w(x) A x - {V + A V ) = 0
A V = w ( x ) A r
5,+ Z M o = 0 ; - V C x x - M - w{x) A * « ( A * ) + ( M + AM ) = 0
AAf = V t s x + w{x) e ( Ax f
M
» '( x )A x
— «(ÓX)
t U M+
LJ
A M
V + A V
F i g u r a 4 - 9
( b )

173. 4 . 3 D i a g r a m a s d e f u e r z a c o r t a n t e y d e m o m e n t o p a r a u n a v i g a 1 5 1
Si s e d iv id e e n t r e A * y s e to m a e l lím ite c u a n d o At - * 0 , e s t a s e c u a c io n e s
s e c o n v ie r te n e n
dV
— = w(x)
P e n d ie n te d e l d ia g r a m a 1 í I n t e a s id a d d e la
d e f u e r z a c o r t a n t e / \ c a rg a d is tr ib u id a
(4 - 1 )
(4 - 2 )
C ó m o s e h a s e ñ a la d o , la e c u a c i ó n 4-1 e s ta b le c e q u e la p e n d ie n te d e l d ia ­
g ra m a d e f u e r z a c o rta n te en u n p u n to ( d V /d x ) e s ig u a l a la in te n s id a d d e
la c a rg a d is tr ib u id a w ( x ) e n e se p u n t o . D e l m is m o m o d o , la e c u a c ió n . 2.4
e s ta b le c e q u e ¡a p e n d ie n te d e ! d ia g r a m a d e m o m e n t o ( d M /d x ) es ig u a l a
la in te n s id a d d e la f u e r z a c o r ta n te e n ese p u n to .
L a s e c u a c io n e s 4-1 y 4 -2 p u e d e n " i n te g r a r s e " d e s d e u n p u n t o h a s t a e l
o t r o e n t r e fu e r z a s c o n c e n tr a d a s o p a r e s ( p o r e je m p lo , d e B a C e n la f i ­
g u ra 4 -9 a ) . e n c u y o c a s o
d M
d x
P e n d ie n te d e l d i a g r a m a ]
> = { F u e rz a c o r ta n te
d e m o m e n to J
C a m b io e n l a l
fu e rz a c o r t a n t e /
A V = I w {x )d x
[ Á r e a b a j o el
Í
d ia g r a m a d e
c a rg a d is tr ib u id a
(4 - 3 )
y
A M = / V ( x ) d x
C a m b io e n 1 _ f Á r e a b a jo e l d ia g r a m a
e l m o m e n t o / \ d e f u e r z a c o r ta n te
(4 - 4 )
C ó m o s e h a s e ñ a la d o , la e c u a c ió n 4 -3 e s t a b le c e q u e e l c a m b io en la
fu e r z a c o r ta n te e n tr e d o s p u n to s c u a le s q u ie r a d e u n a v ig a e s ig u a l a l á rea
b a jo e l d ia g r a m a d e c a r g a d is tr ib u id a e n tr e e s o s p u n to s . D e l m is m o m o d o ,
la e c u a c i ó n 4 -4 e s ta b le c e q u e e l c a m b io en e l m o m e n t o e n tr e d o s p u n to s
d e u n a v ig a e s ig u a l a l á rea b a jo e l d ia g r a m a d e f u e r z a c o r ta n te e n tre e s o s
p u n to s . Si la s á r e a s b a jo lo s d ia g r a m a s d e c a r g a y d e fu e rz a c o r t a n t e s o n
fáciles d e c a lc u la r, la s e c u a c io n e s 4 -3 y 4 -4 p r o p o r c io n a n u n m é to d o p a ra
d e te r m i n a r n u m é r ic a m e n te lo s v a lo r e s d e l a f u e r z a c o r t a n te y e l m o ­
m e n to e n v a rio s p u n to s a lo l a r g o d e u n a v ig a .

174. 1 5 2 C a p i t u l o 4 C a r g a s i n t e r n a s d e s a r r o l l a d a s e n e l e m e n t o s e s t r u c t u r a l e s
i
O .
V | ^ i V + AV V ^ ^ V + AV
( a ) ( b )
Figura 4 -1 0
C o n b a s e e n la d e r iv a c ió n a n t e r i o r d e b e o b s e r v a r s e q u e la s e c u a c io n e s
4 -1 y 4-3 n o p u e d e n u s a r s e e n lo s p u n to s d o n d e a c tú a u n a f u e r z a c o n c e n ­
tr a d a . p u e s t o q u e e s ta s e c u a c io n e s n o to m a n e n c u e n ta e l c a m b io r e p e n ­
tin o d e la f u e r z a c o r t a n t e e n e s t o s p u n to s . D e l m is m o m o d o , d e b i d o a
u n a d is c o n tin u id a d d e l m o m e n to , la s e c u a c io n e s 4 -2 y 4 -4 n o p u e d e n e m ­
p le a r s e e n lo s p u n to s d o n d e s e a p lic a u n m o m e n to d e p a r . A fin d e c o n s i­
d e r a r e s t o s d o s c a s o s , e s n e c e s a r io t o m a r lo s d ia g r a m a s d e c u e r p o lib re
d e lo s e l e m e n t o s d i f e r e n c i a le s d e la v ig a q u e s e m u e s t r a n e n la fig u ra
4 - 9 a .l o s c u a le s e s t á n e n p u n to s c o n f u e r z a c o n c e n t r a d a y m o m e n to s d e
p a r. E n las f ig u r a s 4 - 10a y 4 -1 0 6 , re s p e c tiv a m e n te , s e m u e s tra n e je m p lo s
d e e s to s e le m e n to s . A p a r t i r d e la f ig u r a 4 -1 0 a . s e o b s e r v a q u e e l e q u il i­
b r io d e fu e r z a s r e q u i e r e q u e e l c a m b io e n la fu e rz a c o r t a n te s e a
+ ]'2F y = 0 ; A V = - F ( 4 - 5 )
A sí. c u a n d o F a c t ú a h a cia a b a jo » b r e l a v i g a .A V e s n e g a tiv a p o r lo q u e
e l d ia g r a m a d e c o r t e m u e s tra u n “ s a l t o " h a cia a b a jo . D e l m is m o m o d o , s i
F a c tú a h a c ia a r r ib a , e l s a l t o (A V') e s h a c ia a rr ib a . C o n b a s e e n la fig u ra
4 - 1 0 6 ,c u a n d o A r —* 0 ,e l e q u ilib r io d e m o m e n to s r e q u i e r e q u e e l c a m b io
e n e l m o m e n to s e a
S,+ 2 A / o = 0 ; A M = M ' ( 4 - 6 )
E n e s t e c a s o , s i s e a p lic a u n m o m e n to d e p a r e x te r n o M ' e n s e n tid o h o r a ­
rio . A M es p o s itiv o , p o r lo q u e e l d ia g r a m a d e m o m e n to s a l t a h a cia
a rr ib a , y c u a n d o M a c tú a e n s e n t i d o c o n tr a r io a l d e la s m a n e c illa s d el
re lo j, e l s a l t o (AM ) d e b e s e r h a c ia a b a jo .

175. 4 . 3 D i a g r a m a s d e f u e r z a c o r t a n t e y d e m o m e n t o p a r a u n a v i g a
Procedim iento de análisis
E l s ig u ie n te p r o c e d i m i e n to a p o r t a u n m é to d o p a r a c o n s t r u ir lo s d ia g r a m a s d e f u e r z a c o r ­
ta n t e y d e m o m e n to p a r a u n a v ig a e m p l e a n d o la s e c u a c io n e s 4-1 a 4-6.
R e a c c io n e s e n lo s s o p o r t e s
• D e te r m in e la s r e a c c io n e s e n lo s s o p o r te s y d e s c o m p o n g a la s f u e r z a s q u e a c tú a n s o b r e
la v ig a e n s u s c o m p o n e n te s p e r p e n d i c u la r e s y p a r a le la s a l e je d e la v ig a .
D ia g r a m a d e f u e r z a c o r t a n t e
• E s ta b le z c a lo s e je s V y x y g r a f iq u e lo s v a lo r e s d e la f u e r z a c o r t a n te e n lo s d o s e x tr e ­
m o s d e la v ig a .
• D a d o q u e d V / d x = w , la p e n d ie n t e d e l d ia g r a m a d e fu e r z a c o r la n te e n c u a lq u i e r p u n to
e s ig u a l a la in te n s id a d d e la carg a d is tr ib u id a e n e s e p u n to . ( l e n g a e n c u e n ta q u e w e s
p o s itiv a c u a n d o a c tú a h a c ia a r r ib a ) .
• Si d e b e d e te r m in a r s e u n v a lo r n u m é r ic o d e la f u e r z a c o r t a n t e e n e l p u n to , e s te v a lo r se
p u e d e e n c o n t r a r e m p l e a n d o e l m é to d o d e la s s e c c io n e s c o m o s e v io e n la se c c ió n 4 -1 .
o b ie n p u e d e u s a r s e la e c u a c ió n 4 -3 , la c u a l e s ta b le c e q u e e l c a m b io e n la f u e r z a c o r ­
ta n te es ig u a l a l á r e a b a jo e l d ia g r a m a d e c a rg a d is tr ib u id a .
• C o m o w (x ) s e in te g r a p a r a o b t e n e r V .c u a n d o w (x ) s e a u n a c u rv a d e g r a d o n , V ( x ) s e r á
u n a c u r v a d e g r a d o n + 1. P o r e je m p lo , s i rv (x ) e s u n if o r m e , V'(x) s e r á lin e a l.
D ia g r a m a d e m o m e n t o
• E s ta b le z c a lo s e j e s M y x y g r a f iq u e lo s v a lo r e s d e l m o m e n to e n lo s e x tr e m o s d e la
viga.
• D a d o q u e d M /d x = V, la p e n d ie n te d e l d ia g r a m a d e m o m e n t o e n c u a lq u ie r p u n to e s
ig u a l a la in te n s id a d d e la f u e r z a c o r ta n te e n e s e p u n to .
• E n e l p u n to d o n d e la f u e r z a c o r t a n te e s c e r o . d M / d x = « . p o r lo q u e é s t e p u e d e s e r u n
p u n to d o n d e e l m o m e n to p u e d e s e r m á x im o o m ín im o .
• Si d e b e d e te r m i n a r s e e l v a lo r n u m é r ic o d e l m o m e n to e n u n p u n to , e s t e v a lo r s e p u e d e
e n c o n tr a r e m p le a n d o e l m é t o d o d e la s s e c c io n e s c o m o s e v io e n la se c c ió n 4-1 o m e ­
d ia n te la e c u a c i ó n 4 -4 , la c u a l e s t a b le c e q u e d c a m b io en e l m o m e n t o es ig u a l a l área
b a jo e l d ia g r a m a d e f u e r z a c o r ta n te .
• C o m o V ( x ) s e in te g r a p a ra o b t e n e r M , c u a n d o V(x) s e a u n a c u rv a d e g r a d o n, M(x)
s e r á u n a c u r v a d e g r a d o n + 1. P o r e je m p lo , s i V 'íx ) e s li n e a l, M(x) s e r á p a r a b ó lic a .

176. 1 5 4 Ca p i t u l o 4 C a r g a s i n t e r n a s d e s a r r o l l a d a s e n e l e m e n t o s e s t r u c t u r a l e s
EJE M P LO 4 .7
L o s d o s e le m e n to s h o r iz o n ta le s d e la e s t r u c tu r a q u e s o s tie n e lín e a s d e
a lt a te n s ió n e s t á n s o m e tid o s a la s c a r g a s d e c a b le q u e s e m u e s tr a n e n
la fig u ra 4 - U n . D ib u je lo s d ia g r a m a s d e h i e r c a c o r t a n te y d e m o m e n to
p a ra c a d a e le m e n to
S O L U C IÓ N
R e a ccio n e s e n lo s s o p o rte s . C a d a p o s te e je r c e u n a f u e r z a d e 6 k N
s o b r e c a d a e le m e n to .c o m o s e m u e s tr a e n e l d ia g r a m a d e c u e r p o lib re .
D ia g ra m a d e fu e r z a c o r ta n te . P rim e ro s e g r a f ic a n lo s p u n to s e x ­
tr e m o s . t - 0 . V = - 4 k N y x = 6 m . V = 4 k N , fig u ra 4 -1 1 6 . C o m o se
h a in d ic a d o , la f u e r z a c o r ta n te e n t r e c a d a f u e r z a c o n c e n tr a d a e s c o n s ­
ta n te p u e s to q u e w = d V / d x - 0. L a f u e r z a c o r t a n te j u s t o a la d e r e c h a
d e l p u n t o B (o C y D ) p u e d e d e te r m in a r s e p o r e l m é to d o d e la s s e c ­
c io n e s, f ig u r a 4-1 I d . E l d ia g r a m a d e f u e r z a c o r t a n te ta m b ié n p u e d e
e s ta b le c e r s e “ s ig u ie n d o la c a r g a " e n e l d ia g r a m a d e c u e r p o lib re . C o ­
m e n z a n d o e n /1 ,1 a c a r g a d e 4 k N a c tú a h a c ia a b a j o d e m o d o q u e V A =
- 4 k N . N in g u n a c a rg a a c tú a e n t r e A y B. p o r lo q u e l a f u e iz a c o r ta n te
e s c o n s t a n te . E n B , la f u e r z a d e 6 k N a c tú a h a c ia a r r i b a , p o r lo q u e la
f u e r z a c o r t a n te s a lta h a c ia a r r ib a 6 k N , d e s d e - 4 k N h a s t a + 2 k N ,
e tc é te r a .
D ia g ra m a d e m o m e n to . E n p r i m e r lu g a r se g r á f ic a e l m o m e n to e n
lo s p u n to s e x tr e m o s x = 0 , W = 0 y r = 6 m , M = 0 , fig u ra 4 - 1 1c. La
p e n d ie n te d e l d ia g r a m a d e m o m e n to d e n t r o d e c a d a re g ió n d e 1.5 m
d e lo n g itu d e s c o n s ta n te p u e s to q u e V ta m b ié n e s c o n s ta n te . Ix>s v a lo ­
re s e s p e c ífic o s d e l m o m e n to , c o m o e n C , p u e d e n d e te r m i n a r s e p o r e l
m é to d o d e la s se c c io n e s, f ig u r a 4-1 I d o b u s c a n d o e l c a m b io e n e l m o ­
m e n t o m e d i a n te e l á r e a b a jo e l d ia g r a m a d e f u e r z a c o r t a n te . P o r
e je m p lo ,c o m o M A = O e n A,e n to n c e s e n C ,M c = M A + AM¿c = 0 +
( - 4 )( 1 .5 ) + (2 )( 1.5) = —3 k N • m.
F i g u r a 4 - 1 1

177. 4 . 3 D i a g r a m a s d e f u e r z a c o r t a n t e y d e m o m e n t o p a r a u n a v i g a
D ib u je lo s d ia g r a m a s d e f u e r z a c o r t a n te y d e m o m e n to p a r a la v ig a
q u e s e m u e s tr a e n la fig u ra 4 - 12a.
.- ^ T m T T T T H 1
pr t í .
— 9 m
---------
(a )
Figura 4 -1 2
S O L U C IÓ N
R e accion es e n lo s s o p o rte s . L a s r e a c c io n e s y a s e h a n c a lc u la d o y
s e m u e s tra n e n e l d ia g r a m a d e c u e r p o lib re d e la v ig a , fig u ra 4 -1 2b.
w n e g a t i v a c r e c i e n i e
p e n d i e n t e V n e g a t i v a c r e c i e n te
*<m)
D ia g ra m a d e fu e r z a c o r t a n te . P rim e ro s e g ra f te a n lo s p u n to s e x ­
tr e m o s x = 0 , V = + 3 0 k N y x = 9 m . V = - 6 0 k N . O b s e r v e q u e e l
d ia g r a m a d e f u e r z a c o r t a n te e m p ie z a c o n u n a p e n d ie n t e c e r o p u e s t o M(lcN-m)
q u e H' = 0 e n x = ü ,y t e r m i n a c o n u n a p e n d ie n t e d e tv = - 2 0 k N /m .
E l p u n t o d e f u e r z a c o r t a n te c e r o p u e d e e n c o n tr a r s e m e d ia n te el
m é to d o d e las s e c c io n e s a p lic a d o a u n s e g m e n to d e v ig a d e lo n g itu d x ,
fig u ra 4 -1 2 e .S e r e q u i e r e q u e V = O .p o r lo q u e
1 - 5 2 0 m
(c )
V p o s i t i v a d e c r e c i e n t e
p e n d i e n t e A i p o s itiv a
V n e g a t i v a c r e c i e n t e
p e n d i e n t e A i n e g a t i v a c r e c i e n t e
U F = 0 ; 3 0 - - 1 2 0 1 -
(!)}
5 .2 0 m
*|m)
<d)
D ia g ra m a d e m o m e n to . P a r a 0 < x < 5 .2 0 m e l v a lo r d e la f u e r z a
c o r ta n te e s p o s itiv a p e r o d e c r e c ie n te y. p o r lo ta n to , la p e n d ie n t e d e l
d ia g r a m a d e m o m e n to ta m b ié n e s p o s itiv a y d e c r e c ie n te (d M /d x = V).
E n x = 5 .2 0 m . d M /d x = 0 . L o m is m o s u c e d e p a r a 5 .2 0 m < x < 9 m .
b f u e r z a c o r t a n t e y p o r e n d e la p e n d ie n t e d e l d ia g r a m a d e m o m e n to
s o n n e g a tiv a s y c r e c ie n te s , ta l c o m o s e in d ic a e n la fig u ra .
E l v a lo r m á x im o d e l m o m e n to e s t á e n x = 5 .2 0 m p u e s t o q u e e n
e s te p u n t o d M /d x = V = 0, fig u ra 4 -1 2 d . A p a r t i r d e l d ia g r a m a d e
c u e r p o lib re d e la fig u ra 4 -1 2 e s e ti e n e
t + 2 M s = 0 ; - 3 0 ( 5 . 2 0 ) + | [ 2 0 ( 5| e ) ] ( 5 ^ 0 ) ( 5 | 2 ) + « “ 0
3 0 kN
j | 2 0 ( f ) | *
» ( f )
( e )
ir
M = 1 0 4 k N • m

178. 1 5 6 Ca p i t u l o 4 C a r g a s i n t e r n a s d e s a r r o l l a d a s e n e l e m e n t o s e s t r u c t u r a l e s
E JE M P LO
* r -
600 Ib
| 4000 Ib-pie
u10 pies-
| c n „
X 5 - L . 5
'p i e s < 'pies •
(a)
t í*
D ib u je lo s d ia g r a m a s d e f u e r z a c o r t a n te y d e m o m e n to p a r a l a v ig a
q u e s e m u e s tr a e n la fig u ra 4 - 13a.
S O L U C IÓ N
R e a c c io n e s e n lo s s o p o r te s . L a s r e a c c io n e s y a s e c a lc u la r o n y s en s a b b i u n a » « n i u» > u p u i h
in d ic a n e n e l d ia g r a m a d e c u e r p o lib r e
6 0 0 1 b
4 0 0 0 I b • p i e
100 Ib . „
(b)
» = 0
V(lb) P ^ i c n t c V
lool L-
D ia g ra m a d e fu e r z a c o r ta n te . Se g ra f ic a n lo s v a lo r e s d e la f u e r z a
c o r t a n te e n lo s p u n to s e x tr e m o s A (V A = + 100 Ib ) y B (VB - * 500
Ib ). E n C la f u e r z a c o r t a n te e s d is c o n tin u a p u e s to q u e a h í h a y u n a
f u e r z a c o n c e n tr a d a d e 6 0 0 Ib. E l v a lo r d e la f u e r z a c o r t a n te ju s to a la
d e r e c h a d e C p u e d e e n c o n tr a r s e a l s e c c io n a r la v ig a e n e s t e p u n to .
E s to p r o d u c e e l d ia g r a m a d e c u e r p o lib re q u e s e m u e s tr a e n e q u il i­
b rio e n la fig u ra 4 -1 3 e . E s te p u n t o ( V = - 5 0 0 Ib ) s e g r á f ic a s o b r e el
d ia g r a m a d e f u e r z a c o r t a n te . O b s e r v e q u e e n D n o s e p r e s e n t a n in g ú n
s a lto o d is c o n tin u id a d d e la f u e r z a c o r t a n t e . e n e s te p u n t o e s d o n d e se
a p lic a u n m o m e n to d e p a r d e 4 0 0 0 Ib • p ie , fig u ra 4 -1 3 6 .
(c)
MIb-pie)
D ia g ra m a d e m o m e n to . E l m o m e n to e n c a d a e x tr e m o d e la viga
e s c e r o , fig u ra 4 -1 3 d . E l v a lo r d e l m o m e n to e n C p u e d e d e te r m in a r s e
m e d ia n te e l m é to d o d e la s se c c io n e s, fig u ra 4 - 1 3 e ,o b i e n e n c o n tr a n d o
pendiente M constante negativa el á r e a b a jo e l d ia g r a m a d e f u e r z a c o r ta n te e n tr e A y C. C o m o M A * 0 ,
2500
V constante negativa
1000
\
Ma + A M ÁC
M ,
0 + (1 0 0 Ib )(1 0 p ie s )
1000 Ib • p ie
1500 A d e m á s , d a d o q u e M e = 1 0 0 0 Ib • p ie , e l m o m e n to e n D e s
(d)
M , M r + A MCD- 1000 Ib-pie + ( - 5 0 0 l b ) ( 5 p i e s )
M D = ~ 1 5 0 0 Ib • p ie
E n e l p u n to D x p r o d u c e u n s a lto d e b id o a l m o m e n to d e p a r d e
4 0 0 0 Ib • p ie . E l m é to d o d e la s s e c c io n e s , fig u ra 4 - 1 3 / ,d a u n v a lo r d e +
2 5 0 0 Ib • p ie ju s to a la d e r e c h a d e D .
6001b
1000 Ib pie
6001b
100 Ib
10 pies-
(e)
i)
- 5 0 0 1 b
|— 10 pies
| 2“ ° lb
1)
1001b
f i g u r a 4 - 1 3
5 pies
-5001b
(0

179. 4 . 3 D i a g r a m a s d e f u e r z a c o r t a n t e y d e m o m e n t o p a r a u n a v i g a 1 5 7
D ib u je lo s d ia g r a m a s d e f u e r z a c o r ta n te y d e m o m e n to p a r a c a d a u n a
d e las v ig a s q u e s e m u e s tr a n e n la fig u ra 4 -1 4 .
8 k N / r
M (líN -m )
p c n d i c n t c M n e g a t i v a
"
4
*(m )
(a)
15 k
2 0 k p i e
(b)
F i g u r a 4 - 1 4
H' n e g a t i v a c o n s t a n t e
V '( k ) p o d i e n t e V n e g a t i v a c o n s t a n t e
S O L U C IÓ N
E n to d o s lo s c a s o s se h a n c a lc u la d o la s r e a c c io n e s e n lo s s o p o r te s y se
in d ic a n e n la p a r t e s u p e r io r d e la s fig u ra s . S ig u ie n d o la s té c n ic a s d e s ­
c rita s e n lo s e je m p lo s a n te r io r e s , lo s d ia g r a m a s d e f u e r z a c o r t a n te y d e
m o m e n to s e m u e s tr a n d e b a jo d e c a d a v ig a . O b s e r v e c o n c u id a d o la
fo rm a e n q u e s e e s ta b le c ie r o n , c o n b a s e e n la p e n d i e n t e y e l m o ­
m e n to , d o n d e d V / d x = w y d M /d x = V. L o s v a lo r e s c a lc u la d o s s e h a ­
l a n e m p l e a n d o e l m é to d o d e la s s e c c io n e s o b ie n e n c o n tr a n d o la s
á re a s d e b a jo d e lo s d ia g r a m a s d e c a r g a o d e f u e r z a c o r ta n te .
i ( p i c s )
-1 5
V p o s i t i v a d e c r e c i e n t e
A í ( k - p i e ) p e n d i e n t e M p o s i t i v a d e c r e c i e n t e
- 2 0
x ( p ie s )
( c )

180. 1 5 8 Ca p i t u l o 4 C a r g a s i n t e r n a s d e s a r r o l l a d a s e n e l e m e n t o s e s t r u c t u r a l e s
EJE M P LO 4 .1 1
L a v ig a q u e s e m u e s tr a e n la f o to g r a f ía s e u s a p a r a s o s te n e r u n a p a r te
d e la s a l ie n t e d e la p u e r t a d e e n t r a d a a u n e d if ic io . E n la fig u ra 4 - 15a
s e m u e s tra e l m o d e lo id e a liz a d o d e la v ig a y d e la c a r g a q u e a c tú a
s o b r e e lla . S u p o n g a q u e H e s u n r o d illo y q u e C e s u n a a r tic u la c ió n .
D ib u je lo s d ia g r a m a s d e f u e r z a c o r t a n t e y d e m o m e n to p a r a la v ig a .
S O L U C IÓ N
R e a ccio n e s e n lo s s o p o r te s , l a s r e a c c io n e s s e c a lc u la n d e la
fo r m a h a b itu a l. L o s re s u lta d o s s e m u e s tr a n e n la f ig u r a 4-15/>.
I O k N / m
g
n mu
i
0.75 •1 m-
(a)
I O k N / m
m mui m
IA
------0.75 m—r .. *
I 5 J 1 kN
D ia g ra m a d e fu e r z a c o r ta n te . P rim e ro se g r á f ic a la f u e r z a c o r ­
ta n t e e n lo s e x tr e m o s d e la v ig a; e s d e c i r , V A - 0 y V c - - 2 . 1 9 k N , fi­
g u r a 4 - 15c. P a r a e n c o n tr a r la f u e r z a c o r t a n t e a la iz q u ie rd a d e B u s e e l
m é to d o d e la s s e c c io n e s p a r a e l s e g m e n to A B ,o b ie n , c a lc u le e l á r e a
b a jo e l d ia g r a m a d e c a r g a d is tr ib u id a , e s d e c i r , AV' = VB —0 =
- 1 0 ( 0 .7 5 ) , V'fl. = - 7 . 5 0 k N . L a r e a c c ió n e n e l s o p o r te h a c e q u e la
f u e r z a c o r t a n t e s a l t e - 7 . 5 0 + 15.31 = 7.81 k N . E l p u n to d e fu e rv a c o r ­
ta n t e c e r o p u e d e d e te r m i n a r s e a p a r t i r d e la p e n d ie n t e - 1 0 kN/m,o
p o r tr iá n g u lo s s e m e ja n te s , 7 .8\ / x ■ 2 . 1 9 / ( 1 - * ) , x - 0.781 m . O b s e r v e
c ó m o e l d ia g r a m a V a g ü e la p e n d ie n t e n e g a tiv a , q u e s e d e f i n e p o r la
c a rg a d is tr ib u id a n e g a tiv a y c o n s ta n te .
(b )
D ia g ra m a d e m o m e n to . P rim e ro s e g rá fic a e l m o m e n to e n lo s
p u n to s e x tr e m o s , M A = M c = 0 , f ig u r a 4 -1 5 d . L o s v a lo r e s d e - 2 .8 1 y
0 .2 3 9 e n e l d ia g r a m a d e m o m e n to p u e d e n c a lc u la r s e p o r e l m é to d o
d e la s s e c c io n e s o b ie n b u s c a n d o la s á r e a s b a jo e l d ia g r a m a d e f u e r z a
c o r t a n te . P o r e je m p lo . AAf » M B - 0 =* K ~ 7 .5 0 )(0 .7 5 ) = - 2 . 8 1 . M B =
- 2 .8 1 k N « m . A s im is m o ,d e m u e s tr e q u e e l m o m e n to p o s itiv o m á x im o
2 . 1 9 k N e s d e 0 .2 3 9 k N * m . O b s e r v e c ó m o s e fo r m a e l d ia g r a m a d e M, s i­
g u ie n d o la p e n d ie n t e d e f in id a p o r e l d ia g r a m a d e V.
P ( k N )
7.81
-*(m )
- 7 JO
0 .7 8 1 m
(c)
- 2 . 1 9
M flcN-m)
(d)
f i g u r a 4 - 1 5

181. 4 . 3 D i a g r a m a s d e f u e r z a c o r t a n t e y d e m o m e n t o p a r a u n a v i g a 1 5 9
D ib u je lo s d ia g r a m a s d e f u e r z a c o r t a n te y d e m o m e n to p a r a la v ig a
c o m p u e s ta q u e s e m u e s tr a e n la f ig u r a 4 - 16o. S u p o n g a q u e lo s s o p o r ­
te s e n A y C s a n ro d illo s y q u e f í y E s o n c o n e x io n e s a rtic u la d a s .
2 k / p i e
( ü k • p i e ^
¿ K/pt
5 k
1 0
3k/P 'c
g d i d lí íf c h i
^ \D 1
4 j _ 6 p i e s _ | _ 6 p i e s -
(»)
2 0 k
k )
24
. 2 1 0 1 6 20
— - r—
\
i32
( c )
■; 16 k
5 k ^ k / p i e
J—
4 k
1 6 k
( b )
Tr
4 5 k 6k
- « ( p i e s )
M
6 0
H g u ra 4 -1 6
1 0 16 2 0
2
32
- 9 6
- 1 8 0
x ( p ie s )
( d )
S O L U C IÓ N
R e accion es e n lo s s o p o r te s . U n a v e z q u e lo s s e g m e n to s d e v ig a se
d e s c o n e c ta n d e l p a s a d o r e n B , la s r e a c c io n e s e n lo s s o p o r t e s p u e d e n
c a lc u la rs e c o m o s e m u e s tr a e n la f ig u r a 4 -1 6 6 .
D ia g ra m a d e fu e r z a c o r ta n te . C ó m o s ie m p r e , s e c o m ie n z a p o r
g y a ficar la f u e r z a c o r t a n te e n lo s e x tr e m o s A y E , fig u ra 4 - 16c. E l p e r ­
fil d e l d ia g r a m a d e V se f o r m a s ig u ie n d o s u p e n d ie n te , d e f i n id a p o r la
c a rg a . T rate d e e s t a b le c e r lo s v a lo r e s d e la f u e r z a c o r t a n te u s a n d o la s
á re a s a p ro p ia d a s b a jo e l d ia g r a m a d e c a rg a (c u rv a w) a fin d e e n c o n tr a r
d c a m b io e n la f u e r z a c o r t a n t e . E l v a lo r c e r o p a r a la f u e r z a c o r ta n te
e n x = 2 p ie s , p u e d e e n c o n tr a r s e e m p l e a n d o tr iá n g u lo s s e m e ja n t e s o
u f a n d o la e s t á ti c a ,c o m o se h iz o e n la fig u ra 4 -1 2 e d e l E je m p lo 4 -8 .
D ia g ra m a d e m o m e n to . P rim e ro s e g ra f ic a n lo s m o m e n to s e n lo s
e x tr e m o s M A = 6 0 k • p ie y M e = 0, fig u ra 4 -1 6d . E s tu d ie e l d ia g r a m a
y o b s e r v e c ó m o s e e s t a b le c e n las d if e r e n t e s c u rv a s m e d i a n te d M / d x
= V . V e rifiq u e lo s v a lo r e s n u m é r ic o s d e lo s p ic o s u s a n d o la e s t á tic a o
c a lc u la n d o la s á r e a s a p r o p i a d a s b a jo e l d ia g r a m a d e f u e r z a c o r t a n t e a
fin d e e n c o n t r a r e l c a m b io e n e l m o m e n to .

182. 1 6 0 Ca p i t u l o 4 C a r g a s i n t e r n a s d e s a r r o l l a d a s e n e l e m e n t o s e s t r u c t u r a l e s
PRO BLEM AS F U N D A M E N T A LE S
F 4 -1 3 . D ibuje los diagram as d e fuerza co rlan te y d e m o ­
m ento p a ra la viga. Indique lo s v a lo re s en los s o p o rte s y en
los puntos d o n d e se p roduzca u n cam b io e n la carga.
8 kN
I 3 k N
-2 m
F 4 -1 3
F 4 -1 7 . D ibuje los diagram as d e fuerza co rtan te y d e m o­
m ento p a ra la viga. Indique lo s v a lo re s en los s o p o rte s y en
tos puntos d o n d e se p roduzca u n cam b io e n la carga.
2 kN/m 2 k N / m
K4-17
F 4 -1 8 . D ibuje los diagram as d e fuerza co rtan te y d e m o ­
m ento p a ra la viga. Indique lo s v alores e n los s o p o rte s y en
tos puntos d o n d e se p roduzca u n cam b io e n la carga.
4 k N / m
.^rrrrrrnTnT^^
| 1 . 5 m - 2 m - 1 5 m -
F 4 - 1 8
F 4 -1 5 . D ibuje los diagram as d e fuerza co rtan te y d e m o­
m ento p a ra la viga. In dique lo s v a lo re s en los s o p o rte s y en
tos puntos d o n d e se p roduzca u n cam b io e n la carga.
F 4 - I 5
F 4 -1 9 . D ibuje los diagram as d e fuerza co rtan te y d e m o ­
m ento p a ra la viga. Indique lo s v alores en los s o p o rte s y en
tos puntos d o n d e se p roduzca u n cam b io e n la carga.
6 k N / m
m u iu IIJIUI
_ 2 m
-------1-------2 » ------1------2 m
F 4-19
F 4 -1 6 . D ibuje los diagram as d e fuerza co rtan te y d e m o ­
m ento p a ra la viga. Indique lo s v a lo re s en los s o p o rte s y en
tos puntos d o n d e se p roduzca u n cam b io e n la carga.
£
6 k/pie
1 8 k
. - I
— 12 p i e s
1 2 p i e s - F 4 - 1 6
F 4 -2 0 . D ibuje los diagram as d e fuerza co rtan te y d e m o­
m ento p a ra la viga. Indique lo s v a lo re s e n los s o p o rte s y en
tos puntos d o n d e se p roduzca u n cam b io e n la carga.
6 p i e s 6 p i e s
F 4-20
F 4 -1 4 . D ibuje los diagram as d e fu erza co rtan te y d e m o ­
m ento p a ra la viga. Indique lo s v a lo re s en los s o p o rte s y en
tos puntos d o n d e se p roduzca u n cam b io e n la carga.
F4-14

183. 4 . 3 D i a g r a m a s d e f u e r z a c o r t a n t e y d e m o m e n t o p a r a u n a v i g a 1 6 1
PROBLEMAS
4 -2 3 . D ibuje lo s d iag ram as d e fuerza c o rla n te y de m o­
m ento p a ra la viga.
P ro h . 4 -2 3
4 -2 6 . D ibuje lo s d iag ram as d e fuerza co rtan te y d e m o ­
m ento para la viga.
10 k
A
n !
_C c c z l
* •
8 k
- 6 p i e s -I* 12 p i e s •
n
12 p i e s [ - 6 p i e s —
P ro h . 4-26
4 -2 7 . D ib u je lo s d iag ram as d e fuerza c o rta n te y de m o ­
m ento para la viga.
•4 -2 4 . D ibuje los d iag ram as de fuerza c o rta n te y de m o ­
m ento p a ra la viga.
2 k 2 k 2 k 2 k
.jf! 1 jx
|— 4 p i e s — | - 4 p i e s *1— 4 p i e s — |— 4 p i e s - | — 4 p i e s —|
P ro h . 4-24
4 -2 5 . D ib u je lo s d iag ram as d e fuerza c o rta n te y de m o ­
m ento p a ra la viga.
6 k N
. . 1 .
4 0 0 I b /p i e
n
-------------------------------15 p i e s-----------------------------------
P ro h . 4 -2 7
• 4 -2 8 . D ibuje lo s d iag ram as de fuerza co rtan te y d e m o ­
m ento p a ra la viga (a ) e n térm inos d e lo s p a rá m e tro s m o s­
trados; (b ) considere q u e M 0 = 500 N . m . I. = 8 m.
M , M 0
L/ 3 L/ 3 L/3- I
P ro h . 4 -2 8
4 -2 9 . D ibuje los d iag ram as d e fuerza c o rta n te y de m o­
m e n to p a ra la viga.
I S k N / m
2 m
3 m
□un
P ro h . 4 -2 5 P ro h . 4 -2 9

184. 1 6 2 Ca p i t u l o 4 C a r g a s i n t e r n a s d e s a r r o l l a d a s e n e l e m e n t o s e s t r u c t u r a l e s
4 -3 4 . D ibuje lo s d iag ram as d e fu e rz a co rtan te y d e m o ­
m ento p a ra la viga.
4 -3 0 . D ibuje los d iag ram as d e fu e rz a co rtan te y d e m o ­
m ento flexionante p a ra la viga.
P r o h . 4 - 3 0
2 0 0 Ib -p ie
2 0 0 I b / p i c
4 4 -3 1 . D ibuje los d iag ram as d e fuerza co rtan te y d e m o ­
m ento p a ra la viga.
n
P r o b . 4 - 3 1
* 4 -3 2 . D ibuje los d iag ram as d e fuerza co rtan te y d e m o ­
m ento p a ra la viga.
4 -3 5 . D ibuje lo s d iag ram as d e fuerza co rtan te y de m o­
m ento p a ra la viga.
2 0 0 I b / p i c
/
P r o h . 4 - 3 5
*4-36. D ibuje lo s diagram as d e fuerza c o rta n te y de m o ­
m ento p a ra la viga. S u ponga q u e e l so p o rte e n B e s una a r ­
ticulación y q u e A es u n rodillo.
P r o b . 4 - 3 6
4 -3 3 . D ibuje lo s d iag ram as d e fuerza co rtan te y d e m o­
m ento p a ra la viga.
2 0 k N
4 -3 7 . D ibuje lo s diagram as d e fuerza co rtan te y d e m o ­
m ento para la viga. Suponga que e l so p o rte e n tí es una articu­
lación.
8 k N / m
4 0 k N / t a
l
8 m
1 5 0 k N -m
P r o b . 4 - 3 3 P r o b . 4 - 3 7

185. 4 . 4 D i a g r a m a s d e f u e r z a c o r t a n t e y d e m o m e n t o p a r a u n m a r c o 1 6 3
4 . 4 D iagram as de fu e rza co rta n te
y d e m o m e n to para un m arco
R e c u e r d e q u e u n m a r c o s e c o m p o n e d e v a rio s e le m e n to s q u e e s tá n c o ­
n e c ta d o s f ija m e n te o a r t ic u l a d o s e n su s e x tr e m o s . C o n fr e c u e n c ia , e l d i­
s e ñ o d e e s ta s e s t r u c tu r a s r e q u i e r e e l a b o r a r d ia g r a m a s d e f u e r z a c o r ta n te
y d e m o m e n to p a r a c a d a u n o d e s u s e le m e n to s . P a r a a n a liz a r c u a lq u ie r
p r o b le m a , s e p u e d e u tiliz a r e l p r o c e d im ie n to d e a n á lis is d e s c r ito e n la
s e c c ió n 4 -3 . P a ra e l l o e s n e c e s a r io p r im e r o d e t e r m i n a r la r e a c c ió n e n lo s
s o p o r te s d e l m a rc o . D e s p u é s , a p lic a n d o e l m é to d o d e la s s e c c io n e s , s e e n ­
c u e n tr a n la f u e r z a a x ia l, la f u e r z a c o r t a n te y e l m o m e n to q u e a c tú a n e n
lo s e x tr e m o s d e c a d a e le m e n to . L o s d ia g r a m a s d e f u e r z a c o r t a n t e y d e
m o m e n to p a r a c a d a e le m e n to p u e d e n d ib u ja r s e d e la m a n e r a d e s c r ita
a n te r io r m e n te , s ie m p r e y c u a n d o t o d a s la s c a r g a s s e d e s c o m p o n g a n e n
c o m p o n e n te s q u e a c tú a n e n f o r m a p a r a le la y p e r p e n d ic u la r a l e je d e l
e le m e n to .
E n la p r á c tic a , a l d ib u ja r e l d ia g r a m a d e m o m e n to s e u s a u n a d e la s d o s
c o n v e n c io n e s d e s ig n o s e x is te n te s . E n p a r tic u la r , s i e l m a r c o e s d e c o n ­
c r e to r e fo r z a d o , lo s d is e ñ a d o r e s s u e le n d i b u j a r e l d ia g r a m a d e m o m e n to
p o s itiv o e n e l la d o d o n d e e l m a r c o e s t á s o m e tid o a te n s ió n . E n o t r a s p a ­
la b ra s , s i e l m o m e n to p ro d u c e te n s ió n e n la s u p e r fic ie e x t e r n a d e l m a rc o ,
e l d ia g r a m a d e m o m e n to s e d ib u j a p o s itiv o e n e s te la d o . C o m o e l c o n ­
c r e t o ti e n e u n a b a ja re s is te n c ia a la te n s ió n , e n to n c e s s e p o d r á d e c ir d e
u n v is ta z o e n q u é la d o d e l m a r c o d e b e c o lo c a r s e e l a c e r o d e re f u e rz o . S in
e m b a r g o , e n e s t e te x t o s e u s a r á la c o n v e n c ió n d e s ig n o s c o n tr a r i a e n la
q u e s ie m p r e s e d ib u ja e l d ia g r a m a d e m o m e n t o p o s itiv o e n e l la d o d o n d e
lo s e le m e n to s e stá n s o m e tid o s a c o m p r e s ió n. É s ta e s la m ism a c o n v e n c ió n
q u e s e u s ó p a r a la s vigas y s e a n a liz ó e n la se c c ió n 4 -1 .
L os s ig u ie n te s e je m p lo s ilu s tr a n e s te p r o c e d i m i e n to e n f o r m a n u m é ­
rica.
P a r a e l d i s e ñ o d e e s t a t r a b e s i m p l e m e n t e a p o y a d a , q u e f o r m a p a r t e
d e u n m a r c o d e c o n c r e t o p a r a c o n s t r u c c i ó n , p r i m e r o s e t r a z a r o n s u s
d i a g r a m a s d e f u e r z a c o r t a n t e y d e m o m e n t o .

186. 1 6 4 Ca p i t u l o 4 C a r g a s i n t e r n a s d e s a r r o l l a d a s e n e l e m e n t o s e s t r u c t u r a l e s
EJE M P LO 4 .1 3
D ib u je e l d ia g r a m a d e m o m e n to p a r a e l m a r c o a h u s a d o d e l a f ig u r a
4 -1 7 a . S u p o n g a q u e e l s o p o r t e e n A e s u n r o d i ll o y q u e B e s u n a a r ­
tic u la c ió n .
H g e ra 4 -1 7
S O L U C IÓ N
elemento CR
Reacciones en los soportes. L a s r e a c c io n e s e n lo s s o p o r te s se
m u e s tr a n e n e l d ia g r a m a d e c u e r p o lib r e d e to d o e l m a rc o , fig u ra 4-1 I b .
C o n e s t o s r e s u lta d o s , e l m a r c o s e s e c c io n a e n d o s e le m e n to s , y s e d e ­
te r m i n a n la s r e a c c io n e s in te r n a s e n la s ju n t a s e x tr e m a s d e lo s e le m e n ­
to s . fig u ra 4 - 17c. O b s e r v e q u e l a c a r g a e x te r n a d e 5 k s ó l o s e m u e s tra
e n e l d ia g r a m a d e c u e r p o lib r e d e la j u n t a e n C .
elemento AC
<d)
Diagrama de momento. D e a c u e r d o c o n n u e s t r a c o n v e n c ió n d e
sig n o s p o s itiv o s , y e l u s o d e la s té c n ic a s d e s c r ita s e n la s e c c ió n 4 -3 , lo s
d ia g r a m a s d e m o m e n to p a r a lo s e le m e n to s d e l m a r c o s o n c o m o se
m u e s tr a e n la f ig u r a 4 -1 7 d .

187. 4 . 4 D i a g r a m a s d e f u e r z a c o r t a n t e y d e m o m e n t o p a r a u n m a r c o 1 6 5
E JE M P LO 4 .1 4
( 0 . 1 4 1 4 k / p i e ) ( 1 4 . 1 4 p i e s ) = 2 k
D ib u je lo s d ia g r a m a s d e f u e r z a c o r t a n te y d e m o m e n to p a r a e l m a r c o
q u e s e m u e s tr a e n la fig u ra 4 - 18a. S u p o n g a q u e A e s u n a a r tic u la c ió n ,
C e s u n r o d illo y f í e s u n a j u n t a fija . I g n o r e e l e s p e s o r d e lo s e le m e n to s .
S O L U C IÓ N
T e n g a e n c u e n ta q u e la c a r g a d is tr ib u id a a c tú a s o b r e u n a lo n g itu d d e
10 p i e s V 2 = 14.14 p ie s . L a s r e a c c io n e s e n to d o e l m a r c o s e c a lc u la n
y s e m u e s tr a n e n s u d ia g r a m a d e c u e r p o lib re , fig u ra 4 -1 8 6 . A p a r tir d e
e s te d ia g r a m a s e d ib u ja n lo s d ia g r a m a s d e c u e r p o lib r e d e c a d a e l e ­
m e n to , fig u ra 4 -1 8 c. L a c a rg a d is tr ib u id a e n B C tie n e c o m p o n e n t e s a
b la r g o d e B C y p e r p e n d ic u la r e s a s u e je d e (0 .1 4 1 4 k / p i e ) e o s 4 5 ° =
(0 .1 4 1 4 k / p i e ) s e n 4 5 ° = 0.1 k /p ie , c o m o s e m u e s tr a . C o n b a s e e n
e s to s r e s u lta d o s , lo s d ia g r a m a s d e f u e r z a c o r t a n te y d e m o m e n to t a m ­
b ié n s e p r e s e n ta n e n la f ig u r a 4 - 18c.
U f a r a 4 - 1 8
4

188. 1 6 6 Ca p i t u l o 4 C a r g a s i n t e r n a s d e s a r r o l l a d a s e n e l e m e n t o s e s t r u c t u r a l e s
EJE M P LO 4 .1 5
D ib u je lo s d ia g r a m a s d e f u e r z a c o r t a n te y d e m o m e n to p a r a e l m a r c o
q u e s e m u e s tr a e n la fig u ra 4 - 19a. S u p o n g a q u e A e s u n a a r tic u la c ió n ,
C e s u n r o d illo y R e s u n a ju n t a fija.
80 kN
(a)
80kN
fig u ra 4 -1 9
S O L U C IÓ N
R e a ccio n e s e n lo s s o p o r te s . H1 d ia g r a m a d e c u e r p o lib r e d e to d o
e l m a r c o s e m u e s tr a e n la fig u ra 4 -1 9 6 . A q u í la c a rg a d is tr ib u id a , q u e
r e p r e s e n ta l a c a r g a d e l v ie n to , h a s i d o r e e m p la z a d a p o r s u r e s u lta n te
p a ra d e s p u é s c a lc u la r las r e a c c i o n e s L u e g o s e s e c c io n a e l m a r c o e n R
y s e d e te r m i n a n la s c a r g a s in te r n a s e n e s e p u n to , fig u ra 4 - 19c. C o m o
u n a c o m p r o b a c ió n , e l e q u il ib r io s e s a tis f a c e e n la j u n t a R , lo c u a l t a m ­
b ié n s e m u e s tr a e n la fig u ra .
D ia g ra m a s d e c o r ta n te y d e m o m e n to . I-as c o m p o n e n te s d e la
c a r g a d is tr ib u id a (7 2 k N ) / ( 5 m ) * 14.4 k N / m y ( 9 6 k N ) / ( 5 m ) - 19.2
k N / m , se m u e s tr a n e n e l e le m e n to A R , fig u ra 4 -1 9d . L o s d ia g r a m a s
a s o c ia d o s d e f u e i z a c o r t a n te y d e m o m e n to s e d ib u ja n p a r a c a d a e le ­
m e n to , c o m o s e m u e s tr a e n la s fig u ra s 4 -1 9 d y 4-19e.

189. 4 .4 D i a g r a m a s d e f u e r z a c o r t a n t e y d e m o m e n t o p a r a u n m a r c o 1 6 7

190. 1 6 8 Ca p i t u l o 4 C a r g a s i n t e r n a s d e s a r r o l l a d a s e n e l e m e n t o s e s t r u c t u r a l e s
4 .5 Diagramas de m om ento construidos
por el m étodo de superposición
D a d o q u e las v ig a s s e u tiliz a n p r in c ip a lm e n te p a r a re s is tir e s f u e r z o s fle-
x io n a n te s .e s i m p o r t a n te q u e e l d ia g r a m a d e m o m e n to a c o m p a ñ e a la s o ­
lu c ió n p a r a s u d is e ñ o . E n la se c c ió n 4 -3 e l d ia g r a m a d e m o m e n to se
c o n s tr u y ó d ib u j a n d o p r im e r o e l d ia g r a m a d e f u e r z a c o r t a n te . S in e m ­
b a rg o , s i s e a p lic a e l p rin c ip io d e s u p e r p o s ic ió n .c a d a u n a d e las c a r g a s e n
la v ig a p u e d e t r a ta r s e p o r s e p a r a d o y e n to n c e s e l d ia g r a m a d e m o m e n to
p u e d e c o n s t r u ir s e e n u n a s e r ie d e p a r t e s e n v e z d e h a c e r lo e n u n a s o la
fo r m a q u e e n o c a s io n e s r e s u lta c o m p lic a d a . M ás a d e l a n t e e n e l te x t o se
v e rá q u e e s t o p u e d e s e r e s p e c ia lm e n te v e n ta j o s o c u a n d o s e a p lic a n m é ­
to d o s d e d e f le x ió n g e o m é tric a p a r a d e te r m i n a r ta n t o la d e fle x ió n d e u n a
viga c o m o la s r e a c c io n e s e n v ig a s e s t á tic a m e n te in d e te rm in a d a s .
E n e l a n á lis is e s t r u c tu r a l, la m a y o r ía d e la s c a rg a s a p lic a d a s s o b r e v ig a s
e s u n a c o m b in a c ió n d e las c a r g a s d e la fig u ra 4 -2 0 . L a c o n s tr u c c ió n d e lo s
d ia g r a m a s d e m o m e n to a s o c ia d o s s e a n a liz ó e n e l E je m p lo 4 .8 . A f i n d e

191. 4 . 5 D A G R A M A S D E M O M E N T O C O N S T R U ID O S P O R E l M É T O D O D E S U P E R P O S IC IÓ N 1 6 9
I IS
4 k / p i e
ÍTTTTn
10 p i e s — — — 1 0 p ie s
15 k 25 LSlc*
4 k / p i e
TTTlTn
V k>»p“
p i e s — - — 1 0 p ie s* 4
2 5 k
M ( k p i e )
2 5 0
« p i e s )
- 5 0
d ia g r a m a d e m o m e n t o r e s u l t a n t e
40
Yünfm
1 0 p i e s — |
2 0 0 k - p i e " +
3 0 0 k • p ie
5 0 0 k p i e
;!
I
3 0 0 k
- 1 0 p i e s -
2 5 k
2 0 p ie s
2 5 k
M ( k - p i e )
-2 0 0
A l { k - p i e )
- 3 0 0 1
« p i e s )
« p i e s )
M
500
k - p ie )
« p i e s )
s u p e r p o s k i ó n d e la s v ig a s e n v d a d i z o s u p e r p o s i c i ó n d e l o s d i a g r a m a s d e m o m e n t o a s o c ia d o s
( a ) ( b )
H g u r a 4 - 2 1
e n t e n d e r c ó m o s e u s a e l m é to d o d e s u p e r p o s ic ió n p a r a c o n s t r u ir e l d i a ­
g r a m a d e m o m e n to , c o n s id e r e la v ig a s im p le m e n te a p o y a d a q u e se
m u e s tra e n la p a r t e s u p e r io r d e la fig u ra 4-21a. A q u í la s re a c c io n e s ya s e han
c a lc u la d o , p o r lo q u e e l s i s te m a d e fu e r z a s s o b r e la v ig a p r o d u c e u n a
fu e rz a c e r o y u n m o m e n to r e s u lta n te . E l d ia g r a m a d e m o m e n to p a r a e s te
c a s o s e m u e s tr a e n la p a r t e s u p e r i o r d e la f ig u r a 4 -2 1 6 . O b s e r v e q u e
e s t e m is m o d ia g r a m a d e m o m e n to s e p r o d u c e p a r a la viga e n v o la d iz o
c u a n d o e s t á s o m e ti d a a l m is m o s is te m a d e c a r g a s e s tá tic a m e n te e q u iv a ­
le n te s q u e la v ig a s im p le m e n te a p o y a d a . E n v e z d e c o n s i d e r a r to d a s las
c a rg a s s o b r e e s t a v ig a d e m a n e r a s im u ltá n e a a l tr a z a r e l d ia g r a m a d e m o ­
m e n to , se p u e d e n s u p e r p o n e r lo s r e s u lta d o s d e la s c a rg a s q u e a c tú a n p o r
s e p a r a d o e n la s tr e s v ig a s e n v o la d iz o d e la fig u ra 4 . 2 1 a . I \ ) r l o t a n t o .s i se
d ib u ja e l d ia g r a m a d e m o m e n to p a r a c a d a v ig a e n v o la d iz o , fig u ra 4 -2 1 6 ,
al s u p e r p o n e r e s to s d ia g r a m a s s e o b tie n e e l d ia g r a m a d e m o m e n to r e s u l­
ta n t e d e la v ig a s im p le m e n te a p o y a d a . l\ » r e je m p lo , c o n b a s e e n c a d a u n o
d e lo s d ia g r a m a s d e m o m e n to s e p a r a d o s , e l m o m e n to e n e l e x tr e m o A e s
Ma - - 2 0 0 - 300 4- 5 0 0 ■ O .c o m o se c o m p r u e b a e n e l d ia g r a m a d e m o ­
m e n to s u p e r io r d e la fig u ra 4 -2 1 6 . E n a lg u n o s c a s o s e s m á s f á c i l c o n s tr u ir
y u tiliz a r o t r a s e r i e d e d ia g r a m a s d e m o m e n to e s t á tic a m e n te e q u iv a le n ­
te s p a r a u n a v ig a , en lu g a r d e c o n s tr u ir e l d ia g r a m a d e m o m e n to “ r e s u l ­
ta n t e " d e la v ig a q u e s u e le s e r m á s c o m p lic a d o .

192. 1 7 0 C a p i t u l o 4 C a r g a s i n t e r n a s d e s a r r o l l a d a s e n e l e m e n t o s e s t r u c t u r a l e s
D e m a n e r a s im ila r, ta m b ié n p u e d e s im p lific a rs e la c o n s tr u c c ió n d e l
d ia g r a m a d e m o m e n to “ r e s u l t a n t e " p a r a u n a v ig a c o n u n a s u p e r p o s ic ió n
d e v ig a s “s im p le m e n te a p o y a d a s ” . P o r e je m p lo , la c a rg a s o b r e la v ig a q u e
s e m u e s tr a e n la p a r t e s u p e r io r d e la fig u ra 4 -2 2 a e s e q u iv a le n te a la s c a r ­
g a s d e la v ig a q u e s e m u e s tra e n la p a r t e in f e rio r . E n c o n s e c u e n c ia , se
p u e d e n u s a r lo s d ia g r a m a s d e m o m e n to s e p a r a d o s p a r a c a d a u n a d e
e s t a s tr e s v ig a s a i v e z d e d ib u ja r e l d ia g r a m a d e m o m e n to r e s u lta n t e q u e
s e m u e s tr a e n la fig u ra 4-22¿>.
2 0 k N ■ m
5 k N / m
lili lili 11
T ) 4 0 k N m
M
-12 m -
II
5 k N / i
-1 2 m -
M ( k N m )
x(m )
* ( m )
2 0 k N *
+
12m
M ( k N - m )
- 2 0
*(m )
-1 2:
4 0 k N - m
M ( k N m )
x(m>
- 4 0
s u p e r p o s i c i ó n d e v ig a s s i m p l e m e n t e a p o y a d a s
(a )
s u p e r p o s i c i ó n d e l o s d i a g r a m a s d e m o m e n t o a s o c ia d o s
( b )
F i g u r a 4 - 2 2

193. 4 . 5 D A G R A M A S D E M O M E N T O C O N S T R U ID O S P O R E l M É T O D O D E S U P E R P O S IC IÓ N 1 7 1
E JE M P LO 4 .1 6
D ib u je lo s d ia g r a m a s d e m o m e n to p a r a la v ig a q u e s e m u e s tr a e n la
p a r t e s u p e r io r d e la fig u ra 4 - 2 3 a u s a n d o e l m é to d o d e s u p e r p o s ic ió n .
C b n s id e r e q u e la v ig a e s tá e n v o la d iz o d e s d e e l s o p o r te e n ñ .
S O L U C IÓ N
Si la viga e s t u v ie r a a p o y a d a e n v o la d iz o d e s d e f í , e s t a r ía s o m e tid a a
las c a r g a s e s t á t i c a m e n t e e q u i v a l e n t e s q u e s e m u e s t r a n e n la fig u ra
4 -2 3 a . A c o n tin u a c ió n s e m u e s tr a n la s tr e s v ig a s e n v o la d iz o s u p e r ­
p u e s ta s j u n t o c o n s u s d ia g r a m a s d e m o m e n to a s o c ia d o s , fig u ra 4-23¿>.
( C o m o u n a a y u d a p a r a s u c o n s tru c c ió n , re v is e la fig u ra 4 -2 0 .) A u n q u e
n o e s n e c e s a r io a q u í , la s u m a d e e s to s d ia g r a m a s p r o d u c ir á e l d i a ­
g r a m a d e m o m e n to r e s u lta n t e p a r a la v ig a . C o m o u n a p r á c tic a , in ­
te n te d ib u j a r e s te d ia g r a m a y c o m p r u e b e lo s re s u lta d o s .
5 k / p i e
5 k / p i c
1 50 k
w rrlTnTI _
15 p ie s
1 5 k
x ( p i e s )
150 k • p ie
2 2 5 k
15 pie
5 k / p i e
■ x (p ie s )
^ m - í T Í
' - 1 8 7 5
s u p e r p o s i c i ó n d e l o s d i a g r a m a s d e m o m e n to a s o c ia d o s
( b )
I
------------------15 p i e s-----------
s u p e r p o s i c i ó n d e la s s ig a s e n v o la d iz o
(a)
Figura 4 -2 3

194. 1 7 2 C a p i t u l o 4 C a r g a s i n t e r n a s d e s a r r o l l a d a s e n e l e m e n t o s e s t r u c t u r a l e s
EJE M P LO 4 .1 7
150 k • pie
225 k-pie
15 pies
D ib u je lo s d ia g r a m a s d e m o m e n io p a r a la v ig a q u e s e m u e s tr a e n la
p a r t e s u p e r io r d e la fig u ra 4 -2 4 u , u s a n d o e l m é to d o d e s u p e r p o s ic ió n .
C o n s id e r e q u e la v ig a e s t á e n v o la d iz o d e s d e e l p a s a d o r e n A .
S O L U C IÓ N
L a s v ig a s e n v o la d iz o s u p e r p u e s ta s s e m u e s tr a n e n la f ig u r a 4 -2 4 a ,
j u n t o c o n s u s d ia g r a m a s d e m o m e n to a s o c ia d o s , fig u ra 4 -2 4b . T e n g a
e n c u e n ta q u e la r e a c c ió n e n e l p a s a d o r (2 2 .5 k ) n o s e c o n s id e r a y a
q u e n o p r o d u c e n in g ú n d ia g r a m a d e m o m e n to . C o m o u n e je r c ic io ,
c o m p r u e b e q u e e l d ia g r a m a d e m o m e n to r e s u lta n t e e s e l q u e s e p r e ­
s e n t a e n la p a r t e s u p e r io r d e la fig u ra 4 -2 4 6 .
5k/pic
5 k/pie
tí
15 k
superposición de las vigas en vdadizo desde A
(a)
M (k p ie )
* ( pies)
A f(kpie)
-1 5 0
í(p ie s )
x ( pies)
M (k p ie )
(b)
H g ura 4 -2 4

195. 4 . 5 D A G R A M A S D E M O M E N T O C O N S T R U ID O S P O R E l M É T O D O D E S U P E R P O S IC IÓ N 1 7 3
PROBLEM AS
4 -3 8 . D ibuje lo s diagram as d e fu e rz a c o rta n te y d e m o­
m ento p a ra c a d a u n o d e los tre s e lem en to s d el m arco. S u ­
ponga q u e e l m arco e stá articulad o e n A . C y D , y q u e hay
una ju n ta fija e n B.
* 4 -4 0 . D ibuje los d iag ram as d e fu e rz a co rtan te y d e m o ­
m ento p a ra cada u n o d e lo s e lem en to s d e l m arco. S uponga
q u e A es u n o scilador y q u e D está articulado.
50 kN
40 kN
15 kN/m
, V "
P ro b . 4 -4 0
P ro b . 4 -3 8
4 -3 9 . D ibuje lo s diagram as d e fu e rz a c o rta n te y d e m o­
m ento p a ra cada u n o d e lo s e lem en to s d e l m arco. S uponga
q u e e l so p o rte e n A e s una articulación y e n D es u n rodillo.
4 -4 1 . D ibuje lo s diagram as de fu e rz a c o rta n te y d e m o ­
m ento p a ra cada u n o d e los e lem en to s d e l m arco. S uponga
q u e e l m arco está articu lad o e n B , C y D,y q u e A está fijo.
0.8 k/pie
a s k/pie
3 k
t
6 k 6 k
pies
3 k
pies
1 5 p i e s
P r o b . 4 - 4 1

196. 1 7 4 Ca p i t u l o 4 C a r g a s i n t e r n a s d e s a r r o l l a d a s e n e l e m e n t o s e s t r u c t u r a l e s
4 -4 2 . D ibuje los d iag ram as d e fuerza co rlan te y d e m o ­
m ento p a ra c ad a u n o d e lo s e lem en to s d el m arco. S uponga
q u e A está fija, q u e la ju n ta e n B e s una articu lació n , y que
C e s un so p o rte d e rodillo.
* 4 - 4 4 D ibuje los d iag ram as d e fu e rz a c o rta n te y d e m o ­
m ento para c ad a e lem en to d el m arco. S uponga q u e el
m arco tiene u n so p o rte d e rodillo e n A y un so p o rte artic u ­
lado e n C.
2 0 k
Oik/pie R
1.5 k /pie
Prob. 4 -4 2
2 k
4 -4 3 . D ibuje los d iag ram as d e fuerza co rtan te y d e m o ­
m ento para cada e lem en to d el m arco. Suponga q u e el
marco e stá articulado e n A y q u e C e s u n rodillo.
4 -4 5 . D ibuje lo s d iag ram as d e fuerza co rtan te y d e m o ­
m ento p a ra c ad a e lem en to d el m arco. Ix k e lem en to s están
articulados e n A , B y C.
P r o b . 4 4 5

197. 4 . 5 D A G R A M A S D E M O M E N T O C O N S T R U ID O S P O R E l M É T O D O D E S U P E R P O S IC IÓ N 1 7 5
4 -4 6 . D ibuje lo s diagram as d e fu e rz a c o rta n te y d e mo
m entó p a ra cada e lem en to d el m arco.
* 4 -4 8 . D ibuje los d iag ram as d e fu e rz a co rtan te y d e m o ­
m ento p a ra c ad a elem ento d el m arco. I.a s ju n ta s e n A , f í y
C están articuladas.
P ro h . 4 -4 6 P roh. 4 -4 8
4 -4 7 . D ibuje lo s diagram as d e fu e rz a c o rta n te y d e m o ­
m ento p a ra cada e lem en to del m arco. S uponga q u e la ju n ta
e n A está articu lad a y q u e e l s o p o rte e n C e s u n rodillo. La
articulación e n U está fija. L a carg a d el v ie n to se tran sfiere a
los elem entos e n las co rre a s y larg u ero s d e sd e lo s segm en­
tos sim plem ente apoyados d e la p ared y e l techo.
4 -4 9 . D ibuje los d iag ram as de fuerza co rtan te y d e m o ­
m e n to p a ra cada u n o de lo s tr e s e lem en to s d e l m arco. S u ­
ponga q u e e stá articulado e n tí, C y D y q u e se encuentra
fijo e n A .
3 0 0 l b / p i c
5 0 0 I b /p i e
P r o h . 4 - 4 7 P r o h . 4 - 4 9

198. 1 7 6 Ca p i t u l o 4 C a r g a s i n t e r n a s d e s a r r o l l a d a s e n e l e m e n t o s e s t r u c t u r a l e s
4 -5 0 . D ibuje lo s diagram as d e m o m en to p a ra la viga
usando e l m éto d o de superposición. La viga e stá e n v ola­
dizo d e s d e A .
6 0 0 Ib 6 0 0 Ib 6 0 0 Ib
4 -5 4 . D ibuje los diagram as de m om ento para la viga usando
el m éto d o de superposición. C onsidere q u e la viga e stá en
voladizo d e sd e e l so p o rte articulado e n A .
4 -5 5 . D ibuje lo s diagram as d e m o m en to p a ra la viga
usando el m étodo de superposición. C onsidere q u e la viga está
en voladizo d e sd e el o scilador e n B.
30 kN
ITTi
—
4 k N /m
~fm
80 k N • m |
8 m -I 4 m
4 -5 1 . D ibuje lo s diagram as d e m o m en to p a ra la viga
usando e l m éto d o d e superposición.
P r o b s . 4 - 5 4 / 4 - 5 5
* 4 -5 6 . D ibuje lo s d iag ram as de m om ento p a ra la vi;
usando el m étodo d e superposición. C onsidere q u e la viga es
en voladizo d e sd e el e x trem o C.
4 k N /
3 0 kN
P r o b . 4 - 5 6
*4-52. D ibuje lo s diagram as d e m om ento p a ra la viga
usando el m étodo de su p erp o sició a C onsidere q u e la viga está
en voladizo d e sd e e l e x trem o A .
4 -5 3 . D ibuje lo s diagram as d e m o m en to p a ra la viga
usando el m étodo de su p erp o sició a C onsidere q u e la viga está
sim plem ente ap o y ad a e n A y e n fl.co m o se m u e stra e n la fi­
gura.
2 5 0 l b / p i e
4 -5 7 . D ibuje lo s diagram as d e m o m en to p a ra la viga
usando el m étodo d e superposición. C onsidere q u e la viga está
sim plem ente ap o y ad a e n A y B , com o se m u estra e n la fi­
gura.
2 0 0 l b / p i e
1 1 1 I 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 *
7— i 100
ar
2 0 p ie s
P r o b . 4 - 5 1
P r o b s . 4 - 5 2 / 4 - 5 3 P r o b . 4 - 5 7

199. Pr o b l e m a s d e p r o y e c t o 1 7 7
PRO BLEM AS DE PROYECTO
4 -1 P . E n la fo to g rafía se m uestra u n balcón u b icad o e n el
tercer piso d e u n m otel. E stá co n stru id o con u n a lo sa de
concreto d e 4 p ulgadas d e esp eso r (p ied ra lisa) la c u a l se
apoya so b re las c u a tro vigas de piso sim plem ente apoyadas,
d o s tra b e s laterales e n voladizo A B y H G ,y las trab es fr o n ­
tal y p o sterio r. E n la figura adyacente se m u estra e l p lan o
idealizado d e la estru c tu ra con d im ensiones p ro m ed io . D e
acuerdo co n lo s cód ig o s locales, la carga viva d el b alc ó n es
d e 45 psf. D ib u je los d iag ram as d e fuerza co rtan te y d e m o­
m ento p a ra la tra b e fro n ta l B G y u n a trab e lateral A B . S u ­
ponga q u e la tra b e fro n ta l e s u n canal con u n p eso d e 25
Ib /p ie y q u e las tra b e s laterales tien en secciones d e ala
ancha co n u n p eso d e 4 5 Ib/pie. Ignore el peso de las vigas
d e piso y d e la b aran d a frontal. P ara e sta solución considere
cada una de las cinco lo sas com o losas d e d o s vías.
4 - 2 P . E l pabellón q u e se m u e stra e n la fotografía p ro p o r­
ciona resguardo a la e n tra d a de un edificio. C onsidere q u e
todos lo s elem entos e stán sim plem ente apoyados. L as barras
d e a p o y o e n C, I). F., F tienen un p eso d e 135 Ib y u n a longi­
tud d e 2 0 pies c a d a u n a. E l te c h o tiene 4 p u lg a d a s d e e s­
p eso r y d e b e s e r de co n creto ligero co n u n a d en sid ad de
102 lb/picJ. Se supone q u e la carga viva causada por la acumu­
lación d e nieve e s trapezoidal, co n 6 0 p sf a la derech a (c o n ­
tra la p a re d ) y 20 psf a la izquierda (e n la saliente). S u ponga
q u e la losa de co n creto está sim plem ente ap o y ad a e n tre las
vigas. D ibuje lo s diagram as de fuerza c o rta n te y efe m o ­
m ento p a ra la viga lateral A B . N o to m e e n cu en ta s u peso.
P
6ft
//
“ J C 4 X 4 ! £ 4 4
« e s^ 1 pies~*~pies pies pies"
P r o b .4 - lP
P r o b . 4 - 2 P

200. 1 7 8 Ca p i t u l o 4 C a r g a s i n t e r n a s d e s a r r o l l a d a s e n e l e m e n t o s e s t r u c t u r a l e s
4 -3 P . E n la figura se m uestra el p lan o estru ctu ral ideali­
zado d e u n sistem a d e piso localizado e n el v estíbulo d e un
edificio d e oficinas. Hl piso e s d e co n creto refo rzad o co n
piedra de 4 pulgadas d e esp eso r. Si las p a red es del hueco
d el elev a d o r e stán hech as con m anipostería d e co n creto li­
gero sólido d e 4 p u lg ad as d e espesor, y tien en una a ltu ra de
10 pies, d eterm in e e l m o m en to m áxim o e n la viga A R . Ig­
nore el peso de los elem entos.
H
8 pies
pies
8 pies
D
H
Hueco
del
e l e v a d o r
H
/
M
L _ « Pi „ _ L
6 pies—I—6 pies—
Proh. 4 - 3 P
REPASO DEL CAPITULO
Los elem entos estructurales som etidos a carg as planas
soportan una fuerza norm al interna N . una fuerza c o r­
lante V y un m om ento flexionante M. Para encontrar
estos v alores e n un punto específico de u n elem ento,
debe usarse el m éto d o d e las secciones. P ara ello e s ne­
cesario dibujar u n diagram a d e cuerp o libre de un seg­
m ento del elem ento, y después aplicar las tres ecuaciones
de equilibrio. Siem pre m uestre las tre s cargas internas
sobre la sección e n sus direcciones positivas.
La fuerza c o rta n te y d e m o m en to p u e d e ex p resarse en
función d e x a lo largo d el e lem en to a l estab lecer el
origen en u n p u n to fijo (n o rm alm en te e n el extrem o
izquierdo d el elem en to , p a ra d esp u és u sa r el m éto d o
de las secciones, d o n d e se realiza la sección a u n a d is­
tan cia x desde e l o rig en ). P ara los e lem en to s so m e ti­
d o s a cargas diversas d eb en e x ten d e rse d iferen tes
co ordenadas * en tre las cargas.
convención de signos posáivos
— x ,—
-x2-
■Xy

201. Re p a s o d e l c a p i t u l o 1 7 9
l- o s d i a g r a m a s d e f u e r / a c o r t a n t e y d e m o m e n t o p a r a l o s e l e m e n t o s e s t r u c t u r a l e s p u e d e n d i b u j a r s e g r a f i c a n d o l a s f u n c i o ­
n e s d e f u e r z a c o r t a n t e y d e m o m e n t o . T a m b i é n p u e d e n d i b u j a r s e u s a n d o l a s d o s r e l a c i o n e s g r á f ic a s .
f x “ W {I)
t e n d i e n t e d e l d ia g r a m a 1 _ / I n t e n s id a d d e la
d e f u e r z a c o r t a n t e / \ c a rg a d is tr ib u id a
dJ L - v
dx v
t e n d i e n t e d e l d i a g r a m a /
d e m o m e n t o /
= { F u e r / a c o r t a n t e
T e n g a e n c u e n t a q u e u n p u n t o d e f u e r z a c o r t a n t e c e r o l o c a liz a a l p u n t o d e m o m e n t o m á x i m o p u e s t o q u e V = d M / d x = 0.
A V =J w { x ) d x
C a m b io e n la 1 _
fu e r z a c o r t a n t e /
Á r e a b a jo e l
d ia g r a m a d e
c a rg a d is tr ib u id a
A M = J V ( x ) d x
C a m b i o e n 1 _ í Á r e a b a jo e l d ia g r a m a
e l m o m e n t o / \ d e f u e r z a c o r t a n te
U n a f u e r z a q u e a c t ú a h a c i a a b a j o s o b r e l a v ig a l i a r á q u e e l d i a g r a m a d e f u e r z a c o r t a n t e s a l te h a c i a a b a j o , y u n m o m e n t o d e
p a r e n s e n t i d o c o n t r a r i o a l d e l a s m a n e c i l l a s d e l r e l o j h a r á q u e e l d i a g r a m a d e m o m e n t o s a l t e h a c i a a b a j o .
P
Ml . I Ml M ñ
I 1 1 ) ! - = = ■
V-
V u
IP \ r
J M ,
V'*
M ,
E m p l e a n d o e l m é t o d o d e s u p e r p o s i c i ó n , lo s d i a g r a m a s d e m o m e n t o p a r a u n e l e m e n t o p u e d e n r e p r e s e n t a r s e m e d i a n t e u n a
s e r ie d e f o r m a s m á s s im p le s . Ij i s f o r m a s r e p r e s e n t a n e l d i a g r a m a d e m o m e n t o p a r a c a d a u n a d e la s c a r g a s p o r s e p a r a d o .
E n to n c e s , e l d i a g r a m a d e m o m e n t o r e s u l t a n t e e s l a s u m a a l g e b r a i c a d e l o s d i a g r a m a s s e p a r a d o s .
4

202. E s te p u e n t e d e a r c o p a r a b ó l i c o s o s t i e n e l a c u b i e r t a q u e c o m u n i c a a m b o s e x t r e m o s .

203. Cables y arcos
A m e n u d o , lo s c a b le s y a rc o s c o n s t itu y e n e l e le m e n t o p r in c ip a l p a ra
s o p o r t a r c a rg a s e n m u c h o s t ip o s d e e s tr u c tu r a s , y e n e s t e c a p ít u lo se
a n a liz a rá n a lg u n o s d e lo s a s p e c to s m á s im p o r t a n t e s r e la c io n a d o s c o n
su a n á lis is e s tr u c tu r a l. El c a p ít u lo c o m ie n z a c o n u n e s t u d io g e n e r a l d e
lo s c a b le s , s e g u id o d e u n a n á lis is d e lo s c a b le s s o m e tid o s a u n a c a rg a
c o n c e n tra d a y a u n a c a rg a u n if o r m e m e n t e d is tr ib u id a . C o m o la m a ­
y o ría d e lo s a rc o s s o n e s tá tic a m e n te in d e te r m in a d o s , s ó lo s e c o n s id e ­
ra rá e l c a s o e s p e c ia l d e u n a r c o c o n tr e s a r tic u la c io n e s . El a n á lis is d e
e s ta e s tr u c tu ra a y u d a a u n a m e jo r c o m p r e n s ió n d e l c o m p o r t a m ie n t o
fu n d a m e n ta l d e t o d a s la s e s tr u c tu r a s a rq u e a d a s .
5 .1 Cables
E n la s o b r a s d e in g e n ie r ía c o n f r e c u e n c ia s e u s a n lo s c a b le s p a r a s o p o r ­
ta r y tr a n s m itir c a rg a s d e u n e le m e n to a o t r o . C u a n d o se u tiliz a n p a ra
s o s te n e r te c h o s c o lg a n te s , p u e n te s c o lg a n te s y la s r u e d a s d e u n c a r r e tó n ,
lo s c a b le s r e p r e s e n ta n e l e le m e n to p rin c ip a l p a r a s o p o r ta r la s c a r g a s
s o b r e la e s tr u c tu r a . E n e l a n á lis is d e fu e r z a s d e e s to s s i s te m a s .s e p u e d e
p a s a r p o r a l t o e l p e s o d e l c a b le e n s í; s in e m b a r g o , c u a n d o lo s c a b le s se
u s a n c o m o te n s o r e s p a r a a n t e n a s d e r a d io , lín e a s d e tr a n s m is ió n e lé c tric a
o to r r e s d e p e r f o r a c ió n , e l p e s o d e l c a b le p u e d e lle g a r a s e r i m p o r t a n te y
d e b e in c lu irs e e n e l a n á lis is e s tr u c tu r a l. E n la s s ig u ie n te s s e c c io n e s se
te n d r á n e n c u e n ta d o s c a so s : u n c a b le s o m e ti d o a c a r g a s c o n c e n t r a d a s y
u n c a b le s u j e to a u n a c a rg a d is trib u id a . S ie m p r e q u e e s t a s c a r g a s s e a n c o -
p la n a r e s c o n e l c a b le , lo s r e q u is ito s p a r a e l e q u il ib r io s e f o r m u la n d e m a ­
n e ra id é n tic a .

204. 1 8 2 Ca p i t u l o 5 C a b l e s y a r c o s
L a c u b i e r t a d e u n p u e n t e a t i r a n t a d o s e s o s ­
t i e n e m e d i a n t e u n a s e r i e d e c a b l e s c o n e c t a ­
d o s e n v a r i o s p u n t o s a l o l a r g o d e l a c u b i e r t a
y l o s p i l o n e s .
O t a n d o s e o b t e n g a n la s re la c io n e s n e c e s a r ia s e n t r e la f u e r z a e n el
c a b le y s u p e n d ie n te , s e s u p o n d r á q u e e l c a b l e e s p e r fe c ta m e n te fl e x ib l e e
in e x te n s ib le . D e b id o a s u fle x ib ilid a d , e l c a b le n o o f r e c e r e s is t e n c ia a la
f u e r z a c o r t a n te o a la fle x ió n y, p o r lo ta n to , la f u e r z a q u e a c tú a e n el
c a b le s ie m p re e s ta n g e n te a é s te e n lo s p u n to s u b ic a d o s e n to d a s u lo n g i­
tu d . Si e s in e x te n s ib le , e l c a b le ti e n e u n a lo n g itu d c o n s ta n te , ta n t o a n te s
c o m o d e s p u é s d e a p lic a r la c a r g a . E n c o n s e c u e n c ia , u n a v e z q u e s e a p lic a
la c a r g a , la g e o m e tr ía d e l c a b le p e r m a n e c e fija y e l c a b le , o u n s e g m e n to
d e é s t e , p u e d e t r a ta r s e c o m o u n c u e r p o ríg id o .
5 .2 C able so m e tid o a cargas
concentradas
C u a n d o u n c a b le c u y o p e s o s e p u e d e p a s a r p o r a l t o s o p o r ta v a ria s c a rg a s
c o n c e n tra d a s , t i e n e la f o r m a d e v a rio s s e g m e n to s d e lí n e a r e c t a , c a d a u n o
d e lo s c u a le s e s t á s o m e ti d o a u n a f u e r z a d e te n s ió n c o n s ta n te . C o n s id e r e ,
p o r e je m p lo , e l c a b l e q u e s e m u e s tr a e n la f ig u r a 5-1. A q u í 0 e s p e c ific a e l
á n g u lo d e l a c u e r d a d e l c a b le A B y L e s e l c la r o d e l c a b le . S i las d is ta n ­
c ia s L \ , L i y L 3 y la s c a r g a s P ( y P 2 s o n c o n o c id a s , e n to n c e s e l p r o b le m a
c o n s is te e n d e te r m i n a r la s n u e v e in c ó g n ita s d e q u e c o n sta b te n s ió n en
c a d a u n o d e lo s tr e s s e g m e n to s , la s c u a tr o c o m p o n e n t e s d e la r e a c c ió n
e n A y B , y la s fle c h a s y e y y o e n lo s d o s p u n to s C y D . P a ra la s o lu c ió n se
p u e d e n e s c r ib ir d o s e c u a c io n e s d e e q u ilib r io d e fu e r z a s e n c a d a u n o d e
lo s p u n to s A , B , C y D . E s to se tr a d u c e e n u n to ta l d e o c h o e c u a c io n e s.
P a ra c o m p l e ta r la s o l u c ió n .s e r á n e c e s a r io c o n o c e r a lg o a c e r c a d e la g e o ­
m e tr ía d e l c a b le a fin d e o b te n e r la n o v e n a e c u a c ió n n e cesaria. P o r e je m p lo ,
s i s e e s p e c ific a la lo n g itu d to ta l d e l c a b l e ££,e n to n c e s s e u s a e l te o r e m a
d e P itá g o ra s p a r a r e la c io n a r c o n c a d a u n a d e la s tr e s lo n g itu d e s d e lo s
s e g m e n to s , e s c r ito e n té r m in o s d e 0, y ^ y n * ^ 2 y ¿ 3 - P o r d e s g r a c ia ,
e s t e tip o d e p ro b le m a s n o p u e d e re s o lv e rs e c o n fa c ilid a d m a n u a lm e n te . Sin
e m b a r g o , o t r a p o s ib ilid a d c o n s is te e n e s p e c if ic a r u n a d e la s fle c h a s , y c o
y D , e n v e z d e l a lo n g itu d d e l c a b le . D e e s t a m a n e r a , la s e c u a c i o n e s d e
e q u ilib r io s o n s u f ic ie n te s p a r a la o b te n c ió n d e la s fu e r z a s d e s c o n o c id a s y
la fle c h a r e s ta n te . U n a v ez q u e se o b ti e n e la fle c h a e n c a d a p u n to , f £
p u e d e d e te r m i n a r s e p o r tr ig o n o m e tr ía .
A l r e a l iz a r u n a n á lis is d e e q u ilib r io p a r a u n p r o b le m a d e e s t e ti p o , las
fu e r z a s e n e l c a b le ta m b ié n p u e d e n o b te n e r s e e s c r ib ie n d o la s e c u a c io n e s
d e e q u ilib r io p a r a to d o e l c a b le o c u a lq u ie r p o r c i ó n d e l m ism o . E l s i­
g u ie n te e je m p lo ilu s tra e s t o s c o n c e p to s e n fo r m a n u m é r ic a .

205. 5 . 2 C a b l e s o m e t i d o a c a r g a s c o n c e n t r a d a s 1 8 3
D e te r m in e la te n s ió n e n c a d a s e g m e n to d e l c a b le q u e s e m u e s tr a e n la
fig u ra 5-2<j. A d e m á s , ¿ c u á l e s e l v a lo r d e la d im e n s ió n h 'í
S O L U C IÓ N
R>r in s p e c c ió n , h a y c u a t r o r e a c c io n e s e x te r n a s d e s c o n o c id a s ( A x , A y ,
D x y D y ) y tr e s te n s io n e s d e s c o n o c id a s , u n a e n c a d a s e g m e n to d e l
c a b le . E s ta s s i e t e in c ó g n ita s , j u n t o c o n la fle c h a h p u e d e n d e t e r m i ­
n a rs e a p a r t i r d e la s o c h o e c u a c io n e s d e e q u ilib r io d is p o n ib le s ( I . F , =
0 , 'ZFy = 0 ) a p lic a d a s a lo s p u n to s d e s d e A h a s ta D .
U n m é to d o m á s d ir e c to p a r a e n c o n tr a r la s o lu c ió n e s r e c o n o c e r q u e
la p e n d i e n t e d e l c a b l e C D e stá e s p e c i f i c a d a ; p o r e n d e , e n la fig u ra
5 -2b se m u e s tr a u n d ia g r a m a d e c u e r p o lib re d e to d o e l c a b le . L a t e n ­
s ió n e n e l s e g m e n to C D p u e d e o b te n e r s e d e la s i g u ie n t e m a n e r a :
i + Z M Á = O.
Tc dÍ3 / 5 ) ( 2 m ) + 7 c#)( 4 / 5 ) ( 5 .5 m ) - 3 k N ( 2 m ) - 8 k N ( 4 m ) = 0
Tc d = 6 .7 9 k N R esp.
A h o r a e s p o s ib le a n a li z a r d e m a n e r a s e c u e n d a l e l e q u ilib r io d e lo s
p u n to s C y D . P u n to C ( f i g u r a 5 -2 c);
X l F x = 0; 6 .7 9 kN( 3 / 5 ) - TBC e o s 0BC = 0
+ 1 = 0 ; 6 .7 9 k N ( 4 / 5 ) - 8 k N + 7 * - s e n 0 BC = 0
B fíc = 3 2 .3 ° Tb c = 4 .8 2 k N R esp.
P u n to B (fig u ra 5 -2d):
X l F ,
+ T ZFy
0; - T ñÁ e o s 0 BA + 4 .8 2 k N e o s 3 2 .3 ° = 0
0 ; Tb a s e n 0 RA - 4.82 k N s e n 3 2 3 ° - 3 k N
0 BA = 5 3 .8 ° Tb a = 6 .9 0 k N R esp.
h = ( 2 m ) t a n 5 3 .8 ° = 2 .7 4 m
ft> r l o t a n t o , c o n b a s e e n l a f i g u r a 5-2<i,
<b)
y
(c)
y
( d )
f i g u r a 5 - 2
Resp.

206. 1 8 4 Ca p i t u l o 5 C a b l e s y a r c o s
<b)
f i g u r a 5 - 3
5 .3 C able so m e tid o a una carga
u n ifo rm e m e n te d is trib u id a
L o s c a b le s p r o p o r c io n a n u n m e d io m u y e fic a z p a r a s o p o r ta r e l p e s o
m u e r to d e las tr a b e s o lo s a s d e p u e n te s c o n c la r o s m u y a m p lio s . U n
p u e n te c o lg a n te e s u n e je m p lo tf p i c o .e n e l q u e la c u b ie r ta e s t á s u s p e n ­
d id a d e l c a b le p o r m e d io d e u n a s e r ie d e s u je ta d o r e s c e r r a d o s e s p a c ia d o s
d e m a n e r a u n ifo rm e .
P a r a a n a li z a r e s te p r o b l e m a , p r i m e r o se d e te r m i n a r á la f o r m a d e u n
c a b le s o m e tid o a u n a c a rg a v e r tic a l iv 0 u n if o r m e m e n te d is tr ib u id a d e
m a n e r a h o r iz o n ta l, fig u ra 5 -3 a . A q u í, lo s e j e s x y y ti e n e n s u o r i g e n e n el
p u n to m á s b a jo d e l c a b le , d e m o d o q u e e n e s t e p u n t o la p e n d ie n t e e s
ce ro . E n la f ig u r a 5-3b se m u e s tr a e l d ia g r a m a d e c u e r p o lib r e d e u n s e g ­
m e n t o p e q u e ñ o d e l c a b le c o n u n a lo n g itu d A s .C o m o la f u e r z a d e te n s ió n
e n e l c a b le c a m b ia c o n tin u a m e n te , t a n t o e n m a g n itu d c o m o e n d ir e c c ió n
a to d o lo la r g o d e l c a b le , e s te c a m b io s e in d ic a e n e l d ia g r a m a d e c u e r p o
lib re c o n AT . L a c a r g a d is tr ib u id a se r e p r e s e n ta p o r m e d io d e s u f u e r z a
r e s u lta n t e u '0A z ,l a c u a l a c t ú a e n A x /2 d e s d e e l p u n t o O .
A l a p li c a r la s e c u a c io n e s d e e q u il ib r io s e o b ti e n e
X Z F , = 0 ; - Te o s 9 + ( 7 + A r ) c o s ( 0 + A 0) = 0
+ T 'Z F y = 0 ; - Ts e n 9 - w0(A x ) + { T + A 'F ) s e n ( 0 + A 0 ) = 0
{ ,+ Z A /o = 0 ; »v0( A x ) ( A x / 2 ) - T e o s 9 A y + 7 s e n 0 A * = 0
Si s e d iv i d e c a d a u n a d e e s t a s e c u a c io n e s e n t r e A x y s e to m a e l lím ite
c u a n d o A x - * 0 y. p o r e n d e , c u a n d o A y - * 0 , A 0 - * 0 y A T — 0 . r e s u lta
d ( T e o s 9)
d x
d ( T s e n 9)
d x
w o
d x
A l in t e g r a r la e c u a c ió n 5 -1 .d o n d e T = F „ e n x = 0, s e tie n e :
T e o s 9 = F „
( 5 - 1 )
( 5 - 2 )
( 5 - 3 )
( 5 - 4 )
k> q u e in d ic a q u e l a c o m p o n e n t e h o r iz o n ta l d e la f u e r z a e n c u a lq u ie r
p u n t o a lo la r g o d e l c a b le s e m a n tie n e co n sta n te.
Si s e i n t e g r a la e c u a c i ó n 5 -2 , t e n i e n d o e n c u e n t a q u e T s e n 0 = 0 e n
x = 0, r e s u lta
T s e n 9 = wqX ( 5 - 5 )
A l d iv id ir la e c u a c ió n 5 -5 e n tr e la e c u a c ió n 5 - 4 s e e lim in a T . L u e g o ,
u s a n d o la e c u a c ió n 5 -3 , e s p o s ib le o b t e n e r la p e n d ie n t e e n c u a lq u ie r
p u n to .
t a n 9
d x
" o *
F u
( 5 - 6 )

207. 5 . 3 Ca b l e s o m e t i d o a u n a c a r g a u n i f o r m e m e n t e d i s t r i b u i d a 185
Si se in te g r a p o r s e g u n d a v e z c o n y = O e n x = O se o b tie n e
JVo_
2 F „
(5 - 7 )
É s ta e s l a e c u a c ió n d e u n a p a r á b o la . L a c o n s t a n te p u e d e o b te n e r s e
m e d ia n te e l u s o d e la c o n d ic ió n d e f r o n te r a y = h e n . t = ¿ . P o r lo ta n to .
H
w 0L~
2 h
(5 - 8 )
F in a lm e n te , a l s u s titu ir e n la e c u a c ió n 5-7 r e s u lta
h 2
y - 7 ^
(5 - 9 )
E l p u e n t e V c r r a / a n o - N a r r o w s e n la e n t r a d a
a l p u e r t o d e N u e v a Y o r k c u e n t a c o n u n
c l a r o p r i n c i p a l d e 4 2 6 0 p i e s ( 1 . 3 0 k m ) .
D e la e c u a c ió n 5-4, la te n s ió n m á x im a e n e l c a b le o c u r r e c u a n d o 0 c s m á ­
x im a ; e s d e d r , e n x = L . P o r lo ta n to , a p a r tir d e la s e c u a c io n e s 5 -4 y 5-5,
T . * = V F 2h + ( w 0L ) 2 (5 - 1 0 )
O b ie n , c o n b a s e e n la e c u a c ió n 5.8 e s p o s ib le e x p r e s a r Tm íx e n té r m i ­
n o s d e w o .es d e c ir .
m i x»V0/ V i + ( L /2 J iY ( 5 - U )
O b s e r v e q u e s e h a ig n o r a d o e l p e s o d e l c a b le , e l c u a l e s u n if o r m e e n
to d a la lo n g itu d d el c a b l e y n o a lo l a r g o d e s u p r o y e c c ió n h o r iz o n ta l. E n
re a lid a d , u n c a b le s o m e tid o a s u p r o p i o p e s o y lib re d e c u a le s q u ie r o tr a s
c a rg a s to m a r á la f o r m a d e u n a c u r v a ca te n a ria . S in e m b a r g o , s i la r e la ­
c ió n d e fle c h a s o b r e c la r o e s p e q u e ñ a , c o m o e n e l c a s o d e la m a y o r ía d e
las a p lic a c io n e s e s tr u c tu r a le s , e s t a c u rv a se a p r o x im a a u n a fo r m a p a ­
ra b ó lic a . c o m o s e d e te r m i n ó a q u í.
C o n b a s e e n lo s r e s u lta d o s d e e s t e a n á lis is , s e d e d u c e q u e u n c a b le
m a n te n d r á u n a f o r m a p a r a b ó lic a s ie m p re q u e la c a r g a m u e r ta d e l a c u ­
b ie r ta p a r a u n p u e n te c o lg a n te o u n a tr a b e d e s u s p e n s ió n s e d is tr ib u y a
u n ifo r m e m e n te e n to d a la lo n g i tu d p r o y e c t a d a h o r iz o n ta l d e l c ab le . P o r
lo ta n t o , s i la tr a b e d e l a fig u ra 5 -4 a se s o s tie n e m e d ia n te u n a s e r ie d e
g a n c h o s , q u e e s tá n c e r r a d o s y u n if o r m e m e n te e s p a c ia d o s , l a c a rg a e n
c a d a g a n c h o d e b e s e r la m is m a p a r a q u e p u e d a a s e g u r a r s e q u e e l c a b le
tie n e u n a f o r m a p a ra b ó lic a .
S i s e u s a e s t e s u p u e s to , e s p o s ib le r e a l iz a r e l a n á lis is e s tr u c tu r a l d e la
tr a b e o d e c u a lq u ie r o t r a e s t r u c t u r a q u e e s té s u s p e n d id a lib r e m e n te d e l
c a b le . E n p a r tic u la r , si la t r a b e e s tá s im p le m e n te a p o y a d a , a s í c o m o s o s ­
te n id a p o r e l c a b le , e l a n á lisis s e r á e s t á tic a m e n te in d e te r m in a d o d e p r i ­
m e r g r a d o , f ig u r a 5 - 4 6 .S in e m b a r g o , s i la t r a b e t i e n e u n p a s a d o r in te r n o
e n a lg ú n p u n t o in te r m e d io d e t o d a s u lo n g itu d , fig u ra 5 -4 c ,é s ta s e r ía u n a
c o n d ic ió n d e m o m e n to c e r o y. p o r lo t a n t o .s e r í a p o s ib le r e a l iz a r u n a n á ­
lisis e s t r u c tu r a l d e te r m i n a d o d e la tr a b e .
(c)
fig u ra 5 -4

208. 1 8 6 C a p i t u l o 5 C a b l e s y a r c o s
EJE M P LO 5 .2
(a)
E l c a b le d e la fig u ra 5 - 5 a s o s tie n e u n a tr a b e q u e p e s a 8 5 0 I b /p ie . D e ­
te r m in e la te n s ió n e n e l c a b le e n lo s p u n to s A . B y C.
T
r
A
\
2 0
100 pies x
(b)
F ig u ra 5 -5
S O L U C IÓ N
E l o r i g e n d e lo s e je s c o o r d e n a d o s s e e s ta b le c e e n e l p u n t o i* .e l p u n to
m á s b a jo d e l c a b le , d o n d e la p e n d ie n t e e s c e r o , fig u ra 5-5d . A p a r tir d e
la e c u a c i ó n 5 -7 , la e c u a c ió n p a r a b ó l ic a d e l c a b le es:
= _Wq_ , _ 8 5 0 I b / p ie , = 425
^ i r ^ i r r
2 F „ 2 F „ F „
S u p o n ie n d o q u e e l p u n to Cse e n c u e n t r a a . t ' d e B, s e ti e n e
2 0 - f , *
Fu
( ! )
F „ = 2 12 5 x ' 2 (2)
A d e m á s ,p a r a e l p u n t o A ,
•40 - ^ [ - ( t ° 0 - x ') ! 2
425
x a + 2 0 0x ’ - 1 0 0 0 0 = 0
a:' = 41 .4 2 p ie s

209. 5 . 3 Ca b l e s o m e t i d o a u n a c a r g a u n i f o r m e m e n t e d i s t r i b u i d a 187
I\>r lo ta n t o , c o n b a s e e n las e c u a c io n e s 2 y 1 ( o la e c u a c i ó n 5 -6 ) se
tie n e
Fu = 2 1 .2 5 (4 1 ,4 2 )2 = 36 4 5 9 .2 1 b
d y 850
d x 36 4 5 9 .2
x = 0 .0 2 3 3 l x (3 )
E n e l p u n t o A ,
x = - ( 1 0 0 - 4 1 .4 2 ) = - 5 8 .5 8 p ie s
0 .0 2 3 3 1 ( - 5 8 . 5 8 ) = - 1 .3 6 6
d y
t a n 9 ^ r x
j — 5 8 3 8
9 Á = - 5 3 . 7 9 c
U s a n d o la e c u a c ió n 5 -4 ,
3 6 4 5 9 .2 ? fc
c o s f l^ c o s ( - 5 3 .7 9 ° )
E n e l p u n t o B , x = 0,
dv
= 0, eB = o°
d y
* -o
. 3 6 .5 k
e o s 6b e o s 0
E n e l p u n t o C ,
x = 4 1 .4 2 p ie s
0 .0 2 3 3 1 (4 1 .4 2 ) = 0.9657
d y
t a n 0C = —
d x
* = 4 1 . 4 2
flc = 44.0 :
T e m . r ! L . m * % l m S 0 .l k R e s p .
e o s 6C eos 4 4 .0 °

210. 1 8 8 C a p i t u l o 5 C a b l e s y a r c o s
EJE M P LO 5 .3
E l p u e n te c o lg a n te d e la fig u ra 5-6a x c o n s tr u y ó u s a n d o d o s a r m a d u ­
ra s d e rig id e z q u e e s t á n c o n e c ta d a s e n su s e x tr e m o s m e d ia n te u n p a ­
s a d o r e n C , y s e s o s tie n e n m e d ia n te u n p a s a d o r e n A y u n o s c ila d o r e n B.
D e te r m in e la te n s ió n m á x im a e n e l c a b le IH. E l c a b le ti e n e u n a fo r m a
p a ra b ó lic a y e l p u e n te e s t á s o m e ti d o a u n a s o la c a rg a d e 5 0 kN .
/ H
(a)
f i g u r a 5 - 6
S O L U C IÓ N
E n la f ig u r a 5 -6b se m u e s tr a e l d ia g r a m a d e c u e r p o l i b r e d e l s is te m a
c a b le - a r m a d u r a . D e a c u e r d o c o n l a e c u a c ió n 5 - 4 (7* e o s 9 = F „ ), la
c o m p o n e n te h o r iz o n ta l d e la te n s ió n d e l c a b le e n / y H d e b e s e r c o n s ­
ta n t e , F u . S i se to m a n lo s m o m e n to s c o n r e s p e c to a B , s e ti e n e
1 + 2 Mb = 0 ; — / y(2 4 m ) - Ay{2 4 m ) + 5 0 k N ( 9 m ) = 0
l y + A y = 18.75

211. 5 . 3 Ca b l e s o m e t i d o a u n a c a r g a u n i f o r m e m e n t e d i s t r i b u i d a 189
(c)
Si s e c o n s id e r a s ó lo la m ita d d e la e s t r u c tu r a s u s p e n d id a , fig u ra 5 -6 c ,
e n to n c e s a l s u m a r lo s m o m e n to s c o n r e s p e c to a l p a s a d o r e n C .s e o b ­
tie n e
i + 2 M c = 0 . Fh{ 14 m ) - F „ {6 m ) - / y( 1 2 m ) - ¿ , ( 1 2 m ) = 0
l y + A y = 0 .6 6 7 F h
A p a r t i r d e e s t a s d o s e c u a c io n e s .
18 .7 5 = 0.6 6 7 F „
Fh = 28.125 k N
P a r a o b t e n e r la te n s ió n m á x im a e n e l c a b le s e u tiliz a rá la e c u a c ió n 5-11.
p e ro p r im e r o e s n e c e s a r io d e te r m i n a r , c o n b a s e e n la e c u a c ió n 5 -8 , e l
v a lo r d e u n a c a r g a vv,, q u e s e s u p o n e u n if o r m e m e n te d is tr ib u id a :
2 F „ h = 2 (2 8 .1 2 5 k N ) ( 8 m )
L 2 ~ (1 2 m)^
IV0 = — r r = s T 1 = 3 .1 2 5 k N /m
R>r lo ta n to , u s a n d o la e c u a c ió n 5 -1 1 . se ti e n e
T mix = w , L\ / 1 + (L /2 H )2
= 3 .1 2 5 (1 2 m ) \ / l + (1 2 m / 2 ( 8 m ) ) 2
= 4 6 .9 k N R esp.

212. 1 9 0 C a p i t u l o 5 C a b l e s y a r c o s
PROBLEM AS
5 - 1 . D e t e r m i n e l a t e n s i ó n e n c a d a s e g m e n t o d e l c a b l e y la
l o n g i t u d t o t a l d e é s te .
5 - 3 . D e t e r m i n e l a t e n s i ó n e n c a d a s e g m e n t o d e c a b l e y la
d i s t a n c i a y D.
P r o b . 5 - 1 P r o b . 5 - 3
5 - 2 . E l c a b l e A B C D s o p o r t a l a c a r g a m o s t r a d a . D e t e r ­
m i n e l a t e n s i ó n m á x i m a e n e l c a b l e y l a f le c h a d e l p u n t o R.
* 5 - 4 . E l c a b l e s o p o r t a l a c a r g a m o s t r a d a . D e t e r m i n e la
d i s t a n c i a xB. m e d i d a d e s d e A , a l a a i a l a c t ú a l a f u e r z a e n e l
p u n t o B . C o n s i d e r e q u e P = 4 0 Ib .
5 - 5 . E J c a b l e s o p o r t a l a c a r g a m o s t r a d a . D e t e r m i n e la
m a g n i t u d d e l a f u e r z a h o r i z o n t a l P d e m a n e r a q u e x B = 6
p ie s .
P r o b . 5 - 2 P r o b s . 5 - 4 Z 5 - 5

213. 5 . 3 Ca b l e s o m e t i d o a u n a c a r g a u n i f o r m e m e n t e d i s t r i b u i d a 1 9 1
5-6. D eterm ine las fu e rz a s /*, y P , necesarias p a ra m an te­
n e r a l cable e n la posición in d ic a d a .e sd e c ir.d e m odo q u e el
segm ento C D se m antenga horizontal. T am bién e n c u e n tre
la carga m áxim a e n el cable.
•5 -8 . H cable soporta la carg a uniform e de w’0 “ 600 Ib/pie.
D eterm in e la tensión e n e l cable e n cada so p o rte (ap o y o )
A y B .
5-7. El c a b le está som etido a la carga uniform e. Si la p en - 5 -9 . D eterm ine la te n sió n m áxim a y m ínim a e n el cable,
d ie n te d el c a b le e n el p u n to O e s igual a ce ro , d e te rm in e
la ecu ació n d e la curva y la fu e rz a e n e l c a b le e n lo s p u n to s
O y B.
o
TTTTTT
8 p ie s
I 5 0 0 I b / p i e
15 p i e s t 15 p i e s '1
Prob. 5 -7
10 lO i
J — ,
n n
1 6 k N / m
P ro b . 5 -9

214. 1 9 2 C a p i t u l o 5 C a b l e s y a r c o s
5 -1 0 . D eterm in e la carg a u niform e w m áxim a, m e d id a en
Ib/pie, q u e p u ed e so p o rta r e l c a b le si e s capaz d e so sten er
una tensión m áxim a d e 3000 Ib antes d e rom perse.
5 -1 3 . I-as arm a d u ra s e s tá n articu lad as y cuelgan d el cable
parabólico. D eterm ine la fuerza m áxim a e n e l c a b le cuando
la estru c tu ra se s o m e te a la carga q u e se m uestra.
5 -1 1 . E l cable e stá so m etid o a u n a carga u niform e h1 =
250 Ib/pic. D eterm in e la te n sió n m áxim a y m ínim a e n el
cable.
5 -1 4 . D eterm in e la tensión m áxim a y m ínim a e n e l cable
parabólico y la fuerza e n c ad a uno d e los ganchos. La trab e
está so m etid a a una carga u niform e y se conecta m ediante
un p a sa d o r e n B.
5 -1 5 . D ib u je lo s diagram as d e fuerza c o rta n te y d e m o­
m ento p a ra las tra b e s articu lad as A B y BC. E l cable tiene
una fo rm a parabólica.
*5-12. E l cable q u e se m u estra e n la fig u ra e stá som etido
a la carg a u niform e »v0. D eterm in e la relación en tre la e le ­
vación h y e l claro / . q u e se trad u cirá e n el u so d e la can ti­
dad m ínim a d e m aterial p a ra el cable.
Proh. 5 -1 3
P r o h . 5 - 1 2 P r o b s . 5 — 1 4 /5 — 15

215. 5 . 3 Ca b l e s o m e t i d o a u n a c a r g a u n i f o r m e m e n t e d i s t r i b u i d a 1 9 3
*5-16. 1*1 c a b le se ro m p e rá cuando la tensión m áxim a al*
canee = 5000 kN. D eterm in e la carg a u n ifo rm em en te
distribuida tv máxim a necesaria p a ra d e sarro llar esta te n ­
sión m áxim a.
5-17. E l cable e stá som etido a u n a carg a u niform e d e w =
60 k N /m . D eterm in e la te n sió n m áxim a y m ínim a e n el
cable.
5-19. L as vigas A B y BC so so stien en m e d ian te el cable
q u e tiene una fo rm a parabólica. D eterm in e la tensión e n el
cable e n lo s p u n to s D, F y E, a s í com o la fu e rz a e n c ad a uno
d e lo s su jetad o re s ig ualm ente espaciados.
P robs. 5 -1 6 /5 -1 7 Prob. 5 -1 9
5-18. E l c a b le A B está som etido a una carga u nifo rm e d e *5-20. D ibuje los diagram as de co rtan te y d e m o m en to
200 N /m . Si se pasa p o r a lto el peso d el cable y los áng u lo s pura las vigas A B y BC. E l cable tiene u n a fo rm a parabólica,
d e la p e n d ien te e n lo s p u n to s A y B so n 3 0 y 60“. respectiva­
m ente, d eterm in e la cu rv a q u e d e fin e la fo rm a d e l cable y la
tensión m áxim a desarro llad a e n e l cable.

216. 1 9 4 C a p i t u l o 5 C a b l e s y a r c o s
5 .4 A rcos
A l ig u a l q u e lo s c a b le s, lo s a rc o s p u e d e n u s a r s e p a r a r e d u c ir lo s m o m e n ­
to s d e fle x ió n e n la s e s t r u c tu r a s c o n c la r o s a m p lio s . E n e s e n c ia , u n a rc o
fu n c io n a c o m o u n c a b le in v e r tid o , p o r lo q u e g e n e r a l m e n t e re c ib e c a rg a
e n c o m p r e s ió n ; a u n q u e , d e b id o a s u r ig id e z . ta m b ié n d e b e re s is tir a lg u ­
n a s f u e r z a s d e fle x ió n y d e c o r t a n t e d e p e n d ie n d o d e c ó m o e s té c a r g a d o y
c u á l s e a s u f o r m a . E n p a r t i c u l a r , s i e l a r c o t i e n e u n a f o r m a p a r a b ó lic a
y se s o m e te a u n a c a r g a v e r t ic a l u n ifo r m e m e n te d is tr ib u id a d e m a n e r a
h o r iz o n ta l, e n to n c e s a p a r t i r d e l a n á lis is d e lo s c a b le s se d e d u c e q u e e l
a r c o s ó lo re sistirá fu e r z a s d e c o m p r e s ió n . E n e s ta s c o n d ic io n e s , la fo r m a
H cu ra 5 - 7 ^ a r c o s e c lc n o m in a a r c o fu n i c u la r , p o r q u e d e n t r o d e é l n o s e p r o d u c e n
fu e r z a s d e fle x ió n n i f u e r z a s c o r ta n te s .
E n la f ig u r a 5 -7 s e m u e s tr a u n a r c o típ ic o , q u e e s p e c if ic a a lg u n a d e la
n o m e n c l a tu r a q u e s e u s a p a r a d e f i n ir s u g e o m e t r í a . D e p e n d i e n d o d e
la a p lic a c ió n , p u e d e n s e le c c io n a r s e v a rio s tip o s d e a rc o s p a r a s o p o r t a r
u n a c a rg a . U n a rco f i j o ,fig u r a 5 - 8 a ,s u e le h a c e r s e d e c o n c r e t o re f o rz a d o .
A u n q u e s u c o n s tr u c c ió n p u e d e r e q u e r ir m e n o s m a t e r i a l q u e la d e o tr o s
tip o s d e a rc o s , d e b e te n e r p ila s d e c im e n ta c ió n só lid a s , p u e s t o q u e e s in ­
d e te r m i n a d o d e t e r c e r g r a d o y, e n c o n s e c u e n c ia , p u e d e n in tr o d u c ir s e
te n s io n e s a d ic io n a le s a l a r c o , d e b i d o a l a s e n t a m i e n to r e l a ti v o d e su s s o ­
p o rte s . U n a r c o d e d o s a r tic u la c io n e s , fig u ra 5 - S b ,s e h a c e c o m ú n m e n te
d e m e ta l o d e m a d e r a . E s in d e te r m in a d o d e p r i m e r g r a d o y. a u n q u e n o e s
t a n r íg id o c o m o u n a rc o fijo, e s a lg o in s e n s ib le a l a s e n ta m ie n to . E s ta e s ­
tr u c tu r a p o d r í a h a c e r s e e s t á ti c a m e n t e d e te r m i n a d a a l s u s tit u ir u n a d e las
a rtic u la c io n e s p o r u n ro d illo . S in e m b a r g o , a l h a c e r t e d e e s t a m a n e r a se
e lim in a la c a p a c id a d d e la e s t r u c t u r a p a r a r e s is t ir la fle x ió n a lo la r g o d e
s u c la r o y, p o r e n d e , s e r v ir ía c o m o u n a v ig a c u r v a y n o c o m o u n a rc o . U n
a r c o d e tr e s a r tic u la c io n e s , fig u ra 5 - 8 c ,q u e ta m b ié n s e h a c e d e m e t a l o d e
m a d e r a , e s e s t á tic a m e n te d e te r m in a d o . A d if e r e n c ia d e lo s a r c o s e s t á t i ­
c a m e n te in d e te r m in a d o s , n o le a f e c ta n lo s c a m b io s e n e l a s e n t a m i e n to o
la te m p e r a t u r a . Ite r ú ltim o , s i se v a n a c o n s t r u ir a r c o s d e d o s y tr e s a r t ic u ­
la c io n e s s in r e q u e r ir g r a n d e s p ila s d e c im e n ta c ió n y s i e l e s p a c ia m ie n to
n o e s u n p r o b l e m a , e n to n c e s lo s s o p o r te s p u e d e n c o n e c ta r s e m e d ia n te
u n ti r a n t e , fig u ra 5-8d . U n a rco a tir a n ta d o p e r m ite q u e la e s t r u c t u r a se
c o m p o r te c o m o u n a u n id a d ríg id a , p u e s t o q u e e l ti r a n t e s o p o r ta la c o m ­
p o n e n te h o r iz o n ta l d e l e m p u je e n lo s s o p o r t e s A d e m á s , ta m p o c o le
a fe c ta e l a s e n t a m i e n to re la tiv o d e lo s s o p o r te s .
t r a s d ó s
(o )

217. 5 . 5A m o D E TRES A R T IC U L A C IO N E S 195
5 . 5 A rco de tre s articulaciones
C b n el fin d e o b t e n e r u n a id e a d e la f o r m a e n q u e lo s a r c o s tr a n s m ite n
las c a rg a s , a c o n tin u a c ió n s e c o n s id e r a r á e l a n á lis is d e u n a r c o d e tr e s a r ­
ticu lacio n es, c o m o e l q u e s e m u e s tra e n la fig u ra 5-9a . E n e s te c a so , la te rc e ­
ra a rtic u la c ió n s e e n c u e n t r a e n la c o r o n a y lo s s o p o r te s ( o a p o y o s ) e s tá n
a d if e r e n te s a ltu ra s . Si se d e s e a d e te r m i n a r la s r e a c c io n e s e n lo s s o p o r te s ,
e l a r c o d e b e d e s m o n ta r s e p a r a d e s p u é s h a c e r e l d ia g r a m a d e c u e rp o
lib re d e c a d a e le m e n to , c o m o s e m u e s tr a e n la f ig u r a 5 -9b . A q u í h a y s e is
in c ó g n ita s p a r a las c u a le s h a y d is p o n ib le s s e is e c u a c io n e s d e e q u ilib r io .
U n m é t o d o p a r a la s o lu c ió n d e e s te p r o b le m a c o n s is te e n a p li c a r la s
e c u a c io n e s d e e q u il ib r io d e m o m e n to s r e s p e c to a lo s p u n to s A y B . L a
s o lu c ió n s i m u ltá n e a p r o d u c i r á la s r e a c c io n e s C , y Cy L u e g o , la s r e a c c i o ­
n e s e n lo s s o p o r te s s e d e te r m i n a n a p a r t i r d e la s e c u a c io n e s d e e q u ilib r io
d e fu e rz a s. U n a v ez o b te n i d a s e s t a s r e a c c io n e s , e s p o s ib le d e t e r m i n a r la s
fu e r z a s n o r m a l y c o r t a n t e in te r n a s , a s í c o m o la s c a rg a s d e m o m e n to e n
c u a lq u ie r p u n t o d e l a r c o s ig u ie n d o e l m é to d o d e la s s e c c io n e s . A q u í, p o r
s u p u e s to , la s e c c ió n s e d e b e t o m a r p e r p e n d i c u la r a l e je d e l a r c o e n el
p u n to c o n s id e ra d o . P o r e je m p lo , e n la fig u ra 5 - 9 c s e m u e s tr a e l d ia g r a m a
d e c u e r p o lib r e p a r a e l s e g m e n to A D .
l-os a r c o s d e tr e s a r tic u la c io n e s ta m b ié n p u e d e n t o m a r la f o r m a d e d o s
a r m a d u r a s a r t ic u l a d a s ,c a d a u n a d e la s c u a le s r e e m p la z a r ía a la s c o s tilla s
d e l a r c o A C y C R en la f ig u r a 5 -9 a . E l a n á lis is d e e s t a f o r m a s ig u e e l
m ism o p r o c e d i m i e n to d e s c r ito a n te r io r m e n te . L o s s ig u ie n te s e je m p lo s
ilu s tr a n e s to s c o n c e p to s e n fo r m a n u m é r ic a .
(a)
(b)
El arco de arm aduras de Ircs articulaciones
x utiliza para soportar una parte de la carga
del lecho de este edificio (a). E l acerca­
miento muestra que el arco está articulado
en su parte superior (b).
(a)
* i
i
N n
Md
V „
A ,
<b)
F i g u r a 5 - 9
r
B.
(O

218. 1 9 6 C a p i t u l o 5 C a b l e s y a r c o s
(a )
n g n r a 5 - 1 0
S O L U C IÓ N
A q u í lo s a p o y o s ( s o p o r te s ) e s tá n a la m is m a a ltu r a . L o s d ia g r a m a s d e
c u e r p o lib r e d e to d o e l a r c o y d e la p a r t e R C se m u e s tr a n e n las fig u ­
ra s 5 -1 0 6 y 5 -1 0 c. A l a p li c a r las e c u a c io n e s d e e q u ilib r io , se tie n e :
A r c o c o m p le to :
t + S A f x = 0 ; C ,( 1 0 0 p i e s ) - 5 0 k ( 5 0 p i e s ) = 0
C , = 2 5 k
E l p u e n t e d e a rc o c o n e n ju ta a b i e r t a y tr e s a rtic u la c io n e s , c o m o e l q u e
s e m u e s tr a e n la fo to g ra fía tie n e u n a f o r m a p a r a b ó lic a . S i e s t e a r c o
d e b e s o p o r t a r u n a c a rg a u n if o r m e y ti e n e la s d im e n s io n e s in d ic a d a s
e n la fig u ra 5-10 a ,d e m u e s t r e q u e el a rc o e s t á s o m e ti d o s ó lo a c o m p r e ­
s ió n a x ia l e n u n p u n t o in te r m e d io c o m o e l p u n to D . S u p o n g a q u e la
c a rg a s e tr a n s m ite u n if o r m e m e n te a la s c o stilla s d e l a rc o .

219. 5 . 5 A l K O D E TRES A R T IC U L A C IO N E S 1 9 7
S e g m e n to B C cfcl arco :
t + Z A f f l = 0 ; - 2 5 k (2 5 p ie s ) + 25 k (5 ü p i e s ) - C , ( 2 5 p ie s ) = 0
C x = 2 5 k
X 2 F t = 0; Bx = 2 5 k
+ T 2 F y = 0 ; B y - 2 5 k + 2 5 k = 0
B y = 0
U n a se c c ió n d e l a rc o to m a d a a tr a v é s d e l p u n t o D ,.x = 2 5 p ie s , y =
- 2 5 ( 2 5 ) 2/ ( 5 0 ) 2 = - 6 .2 5 p i e s . s e m u e s tr a e n la fig u ra 5 -1 0 d . L a p e n ­
d ie n te d e l s e g m e n to e n D e s
d y - 5 0
= - 0 . 5
x = 25 p ira
e = -2 6.6°
A l a p li c a r la s e c u a c io n e s d e e q u ilib r io ,f ig u r a 5 - l ü d ,s e ti e n e
X 2 F , = 0 ; 2 5 k - N „ e o s 2 6 .6 o - V ^ s e n 2 6 .6 ° = 0
+ ] 2 F y = 0 ; - 1 2 . 5 k + N D s e n 2 6 .6 ° - V¡¡ e o s 2 6 .6 ° = 0
t + S M o = 0 ; Md + 12.5 k (1 2 .5 p ie s ) - 2 5 k{ 6.25 p ie s ) = 0
Nd = 2 8 .0 k R esp.
V n = 0 R esp.
Md = 0 R esp.
Nota: Si el arco tuviera una forma diferente o á la carga no fuera uniforme, entonces la
fu e ra cortante y el momento internos « rían nulos. Además, si « usara una viga sim­
plemente apoyada para soportar la carga distribuida, tendría que resistir un momento
flcxionante máximo de M = 625 k • pie. Por comparación, es más eficiente resistir es-
tmcturalmente la carga en compresión directa (aunque debe considerar» la posibili­
dad de pandeo) que resistir la carga debida a un momento flexionante.
(c)
5

220. 1 9 8 C a p i t u l o 5 C a b l e s y a r c o s
EJE M P LO 5 .5
E l a rc o a ti r a n t a d o d e tr e s a r tic u la c io n e s e s tá s o m e ti d o a la c a rg a q u e
s e m u e s tr a e n la fig u ra 5-1 la . D e te r m in e la f u e r z a e n lo s e le m e n to s
C H y C B . E l e l e m e n t o G F , tr a z a d o c o n lín e a s d is c o n tin u a s e n la a r ­
m a d u r a , e s tá d e s t in a d o a n o s o p o r ta r f u e r z a a lg u n a .
(a) <b)
Figura 5-11
S O L U C IÓ N
I-a s r e a c c io n e s e n lo s s o p o r te s p u e d e n o b te n e r s e d e u n d ia g r a m a d e
c u e r p o lib re d e to d o e l a r c o , fig u ra 5 -1 1 b:
Í + 2 Ma = 0 ; E y{ 1 2 m ) - 1 5 k N ( 3 m ) - 2 0 k N ( 6 m ) - 1 5 k N ( 9 m ) = 0
Ey = 2 5 k N
^ Z F x = 0 ; >4, = 0
+ T 2 F y = 0 ; A y - 15 k N - 2 0 k N - 15 k N + 2 5 k N = 0
Ay = 2 5 k N
L a s c o m p o n e n t e s d e f u e r z a q u e a c tú a n e n la j u n t a C p u e d e n d e t e r ­
m in a rs e c o n s id e r a n d o e l d ia g r a m a d e c u e r p o lib r e d e la p a r t e iz ­
q u ie r d a d e l a r c o , fig u ra 5 -1 le . P r i m e r o .d e t e r m in e la fu e rz a :
(c)
25 k N
t + Z M c = 0 ; F a e (5 m ) - 2 5 k N ( 6 m ) + 15 k N ( 3 m ) = 0
F jip = 2 1 .0 k N

221. 5 . 5 A l C O D E TRES A R T IC U L A C IO N E S 1 9 9
E n to n c e s .
X Z F X = 0; -c , + 2 1 .0 k N = 0 , C , = 2 1 .0 k N
+ T 2 F V = 0 ; 2 5 k N - 15 k N - 2 0 k N + C , = 0 . C y = 10 k N
P a r a o b t e n e r la s f u e r z a s e n C U y C B , p u e d e u s a r s e e l m é to d o d e las
ju n ta s d e l a s ig u ie n te m a n e r a :
J u n t a G ; fig u ra 5-1 I d ,
+ T 2 F , - 0 ; Fq c- 2 0 k N = 0
Fc c = 2 0 k N ( C )
J u n t a C ;f i g u r a 5-1 l e .
- i X F , = 0 ; Fcb( ^ ) - 2 1 .0 k N - F c « ( ^ ) = 0
+ 1 S F y = 0 ; + r c H ( ^ u ) - 2 0 k N + 10 k N = 0
2 0 k N
G
Fot
( d )
2 0 k N
' " a í -
t a r F f
10 k N
(c)
2 1 .0 k N
ft>r lo ta n to .
Fc b = 2 6 .9 k N (C )
F c n = 4 .7 4 k N ( T )
R esp.
R esp.
N o r a : E n o c a s i o n e s , l o s a r c o s a t i r a n t a d o s se
e m p l e a n e n p u e n t e s . A q u í la c u b i e r t a e s t á
« s i e n i d a p o r b a r r a s d e s u s p e n s i ó n q u e
t r a n s m i t e n s u c a r g a a l a rc o . L a c u b i e r t a e s t á
e n t e n s i ó n , d e m o d o q u e s o p o r t a e l e m p u j e
re a l o la f u e r z a h o r i z o n t a l e n l o s e x t r e m o s
d e l a r c o .

222. 2 0 0 C a p i t u l o 5 C a b l e s y a r c o s
EJE M P LO 5 .6
(b)
fig u ra 5 -1 2
E l a rc o d e a r m a d u r a d e tr e s a r tic u la c io n e s q u e s e m u e s tr a e n l a fig u ra
5 - 1 2 a s o p o r ta la c a r g a s im é tr ic a . D e te r m in e la a l t u r a h ¡ r e q u e r id a
p a ra la s ju n t a s R y D .de m o d o q u e e l a rc o te n g a u n a f o r m a fu n ic u la r.
E l e l e m e n t o H G e s tá d e s t in a d o a n o s o p o r t a r f u e r / a a lg u n a .
S O L U C IÓ N
P a r a u n a c a rg a s i m é tr ic a , la fo r m a f u n ic u la r d e l a r c o d e b e s e r p a r a b ó ­
lic a c o m o lo in d ic a la lín e a d is c o n tin u a (f ig u ra 5 -1 2 6 ). A q u í d e b e m o s
e n c o n tr a r la e c u a c ió n q u e s e a ju s ta a e s t a f o r m a . Si lo s e j e s x y y tie ­
n e n s u o r ig e n e n C . la e c u a c i ó n e s d e la f o r m a y « e x 2. P a r a o b t e n e r
la c o n s t a n te c . s e r e q u i e r e
- ( 1 5 p ie s ) = - c ( 2 0 p i e s ) 7
c = 0 .0 3 7 5 /p ie
P b r lo ta n t o .
y D = - ( Q 0 3 7 5 / p i e ) ( 1 0 p ie s ) 2 = - 3 .7 5 p ie s
A s í q u e a p a r t i r d e la f ig u r a 5 - 1 2 a,
h \ = 15 p ie s - 3.75 p ie s = 11.25 p ie s R esp.
A p r o v e c h a n d o e s t e v a lo r , s i a h o r a s e a p lic a e l m é to d o d e lo s n u d o s a
la a r m a d u r a , lo s r e s u lta d o s m u e s tra n q u e l a c u e r d a d e la p a r t e s u p e ­
r i o r y t o d o s lo s e le m e n to s d e la d ia g o n a l s e r á n e le m e n to s d e fu e re a
c e ro , y la c a r g a s im é tr ic a s e r á s o p o r t a d a s ó l o p o r lo s e le m e n to s A B ,
B C , C D y D E d e la c u e r d a in fe r io r d e l a a r m a d u r a .

223. 5 . 5 A I C O D E TRES A R T IC U L A C IO N E S 2 0 1
PROBLEM AS
5-21. E l arco a tira n ta d o d e tre s articulaciones e stá so m e ­
tido a las cargas indicadas. D eterm in e las c o m p o n en tes de
la reacción e n A y C .a s í co m o la tensión e n e l cable.
5-23. E l arco de e n ju ta co n tre s articulaciones e stá so m e ­
tido a las cargas indicadas. D eterm in e e l m o m en to in tern o
e n el a rc o e n e l p u n to D.
P ro h . 5-21 Proh. 5 -2 3
5-22. D eterm ine las fuerzas re su ltan tes e n lo s p asad o res
A , B y C d c la a rm a d u ra de tech o a rq u e a d a y de tre s articu­
laciones.
•5 -2 4 . E l a rc o a tira n ta d o d e tre s articulaciones e stá so m e ­
tido a las cargas indicadas. D eterm in e las c o m p o n en tes de
la reacción e n A y C .así co m o la tensión e n la barra.
P r o h . 5 - 2 2 P r o h . 5 - 2 4

224. 2 0 2 C a p i t u l o 5 C a b l e s y a r c o s
5 -2 5 . E l p u e n te e stá co n stru id o com o u n arco atirantado
de tres articulaciones. D eterm in e las com ponentes horizon-
tal y vertical d e la reacció n e n las articulaciones (pasadores)
A , R y C. E l e lem en to D E trazad o co n líneas discontinuas
está d e stin a d o a n o so p o rta r fu e rz a alguna.
5 -2 6 . D eterm in e las a ltu ra s de diserto h x, h j y h j d e la
cuerda inferior d e la arm ad u ra, d e m odo q u e e l a rc o d e tres
articulaciones resp o n d a com o un arco funicular.
•5 -2 8 . E l a rc o d e e n ju ta d e tre s articulaciones e stá som e­
tid o a la carg a uniform e d e 2 0 k N /m . D eterm in e e l m o­
m ento in tern o e n e l a rc o e n e l p u n to D .
Probs. 5 -2 5 /5 -2 6 Proh. 5-28
5 -2 7 . D eterm ine las com p o n en tes h o rizontal y vertical de
la reacción e n lo s p u n to s A , B y C del a rc o d e tre s articu la­
ciones. S uponga q u e A . R y Ce stán co n ectad o s m e d ian te un
pasador.
5 -2 9 . La estru ctu ra a rq u e a d a está som etida a la carg a que
se m u estra e n la figura. D eterm in e las com p o n en tes h o ri­
zontal y vertical d e la reacción e n A y D , así co m o la tensión
en la b a rra A D .
20 kN /m
Proh. 5 -2 7 Proh. 5 -2 9

225. Re p a s o d e l c a p i t u l o 2 0 3
REPASO DEL CAPÍTULO
Los cables so p o rta n su s carg as e n tensión s i se les considera
p erfectam en te flexibles.
Si e l cable e stá so m etid o a carg as concentradas, e n to n c e s la
tu erza q u e a c tú a en c ad a seg m en to de cable se d eterm in a
m ediante la aplicación d e las ecuaciones de eq uilibrio al
diagram a d e c u e rp o libre d e los g ru p o s de segm entos d el
cable o a las ju n ta s d o n d e se aplican las fuerzas.
Los arcos e s tá n d ise ñ a d o s prim ordialm ente para so p o rta r
una fuerza d e com presión. P ara so p o rta r una carga u n ifo r­
m em en te d istribuida so b re s u proyección h o rizo n tal se r e ­
q uiere u n a fo rm a parabólica.
Si e l c a b le so p o rta una carg a uniform e a lo largo d e una d is ­
tancia h o rizontal proyectada, en to n ce s e l c a b le to m a la
form a de una parábola.
I-os a rc o s d e tr e s articulacio nes so n estáticam en te d e te rm i­
nad o s y p ueden analizarse sep aran d o los d o s e lem en to s
p a ra después aplicar las ecuaciones d e eq uilibrio a c ad a e le ­
m ento.
a r c o d e t r e s a r t i c u l a c i o n e s
5

226. AJ d ise ñ a r lo s e le m e n to s de e s te p u e n te d e b e n ten erse e n cue nta las cargas
m óviles causadas p o r lo s trenes. Las lineas de in flu e n cia para lo s elem en tos
fo rm a n p a rte im p o rta n te d e l análisis estructural.

227. Líneas de influencia
para estructuras
estáticamente
determinadas
Las lín e a s d e in flu e n c ia tie n e n u n a a p lic a c ió n im p o r t a n t e e n e l d is e ñ o
d e la s e s tru c tu ra s q u e r e s is te n g r a n d e s c a rg a s v iv a s . E n e s te c a p ít u lo
se e s tu d ia r á c ó m o d i b u j a r la lín e a d e in flu e n c ia p a r a u n a e s tr u c tu ra
e s tá tic a m e n te d e te r m in a d a . La t e o r ía s e a p lic a a e s tr u c tu r a s q u e e s tá n
s o m e tid a s a u n a c a rg a d is t r ib u id a o a u n a s e rie d e fu e rz a s c o n c e n tr a ­
d a s ; a s im is m o , s e p re s e n ta n a p lic a c io n e s e s p e c ífic a s p a r a v ig a s d e
p is o y v ig a s d e p u e n te . A l f in a l d e l c a p ít u lo s e a n a liz a n la d e t e r m in a ­
c ió n d e la fu e rz a c o r t a n t e v iv a y e l m o m e n t o m á x im o s a b s o lu to s e n un
e le m e n to .
6 .1 Líneas d e influencia
E n lo s c a p ítu lo s a n te r io r e s s e h a n d e s a r r o lla d o té c n ic a s p a r a e l a n á lis is
d e fu e r z a s e n lo s e le m e n to s e s tr u c tu r a le s d e b id a s a carg a s m u e r ta s o
fija s . S e h a d e m o s tr a d o q u e lo s é a g r a m a s d e f u e r z a c o r la n te y d e m o ­
m e n to r e p r e s e n ta n lo s m é to d o s m á s d e s c r ip tiv o s p a r a m o s t r a r l a v a r ia ­
c ió n d e e s t a s c a r g a s e n u n e le m e n to . S in e m b a r g o , s i u n a e s t r u c tu r a e s t á
s o m e tid a a u n a carg a v iv a o m ó v il,[ a v a ria c ió n d e la fu e rz a c o r t a n te y d e l
m o m e n to d e fle x ió n e n e l e le m e n to s e d e s c r ib e m e jo r u s a n d o l a lín e a d e
in flu e n c ia . U n a lín e a d e in f lu e n c ia r e p r e s e n ta la v a ria c ió n y a s e a d e la
re a c c ió n , d e la f u e r z a c o r t a n t e , d e l m o m e n to o d e la d e f le x ió n e n u n
p u n to e s p e c ific o d e u n e le m e n to , a m e d id a q u e u n a f u e r z a c o n c e n tr a d a
s e m u e v e a k) la r g o d e l e l e m e n t a D e s p u é s d e c o n s t r u ir e s ta l í n e a ,e s p o ­
s ib le d e c ir d e u n v is ta z o d ó n d e d e b e c o lo c a r s e la c a r g a m ó v il s o b r e la e s ­
tr u c tu r a d e m o d o q u e c r e e la m a y o r in f lu e n c ia e n e l p u n to e s p e c ífic o .
A d e m á s , e n to n c e s p u e d e c a lc u la r s e la m a g n itu d d e la r e a c c ió n , la f u e r z a
c o r ta n te , e l m o m e n to o la d e f le x ió n a s o c ia d o s e n e l p u n t o a p a r t i r d e la s
o r d e n a d a s d e l d ia g r a m a d e l a lín e a d e in flu e n c ia . P o r e s t o la s lín e a s d e
in f lu e n c ia ju e g a n u n p a p e l i m p o r t a n te e n e l d is e rto d e p u e n te s , c a rr ile s
d e g r ú a s in d u s tria le s , t r a n s p o r t a d o r e s y o tr a s e s t r u c tu r a s d o n d e la s c a r ­
g a s s e m u e v e n a lo la r g o d e u n c la r o .

228. 206 Ca p i t u l o 6 L I n e a s d e i n f l u e n c i a p a r a e s t r u c t u r a s e s t á t i c a m e n t e d e t e r m i n a d a s
A u n q u e e l p r o c e d im ie n to p a r a c o n s t r u ir u n a lí n e a d e in f lu e n c ia e s b a s ­
ta n te b á s ic o , d e b e t e n e r s e c la r a la d fe r e n c ia e n tr e c o n s t r u ir u n a lí n e a d e
in f lu e n c ia y u n d ia g r a m a d e f u e r z a d e c o i t e o d e m o m e n to . L a s lín e a s
d e in f lu e n c ia r e p r e s e n ta n e l e f e c t o d e u n a carg a m ó v i l s ó lo e n u n p u m o
e s p e c ífic o d e u n e le m e n to , m ie n tr a s q u e lo s d ia g r a m a s d e f u e r a c o r t a n te
y d e m o m e n to r e p r e s e n ta n e l e f e c to d e la s carg a s f i j a s e n lo d o s lo s p u n ­
to s a lo la r g o d e l e j e d e l e le m e n to .
Procedim iento de análisis
Si se d e s e a c o n s t r u ir la lín e a d e in f lu e n c ia e n u n p u n t o P e s p e c ífic o d e u n e l e m e n t o p a r a
c u a lq u ie r fu n c ió n ( r e a c c ió n , f u e r z a c o r t a n te o m o m e n to ) p u e d e u s a r s e c u a lq u ie r a d e lo s
d o s p r o c e d im ie n to s s ig u ie n te s . E n a m b o s c a so s s e e le g irá la f u e r z a m ó v il q u e te n g a u n a
m a g n itu d s i n d im e n s io n e s d e u n id a d *
T a b u la c ió n d e v a lo r e s
• C o lo q u e u n a c a r g a u n it a r i a e n v a r ia s u b ic a c io n e s , x , a lo la r g o d e l e le m e n to y e n c ada
u b ic a c ió n u s e la e s t á tic a p a r a d e te r m i n a r e l v a lo r d e la fu n c ió n ( r e a c c ió n , f u e r z a c o r ­
ta n te o m o m e n to ) e n e l p u n to e sp e c ífic o .
• Si s e d e s e a c o n s t r u ir la lín e a d e in f lu e n c ia p a r a u n a f u e r z a d e r e a c c ió n v e rtic a l e n u n
p u n to s o b r e u n a v ig a , c o n s i d e r e q u e la r e a c c ió n s e r á p o s itiv a e n e l p u n t o d o n d e a c tú e
h a cia a rrib a .
• Si s e v a a d i b u j a r u n a lín e a d e in f lu e n c ia d e f u e r z a c o r t a n te o d e m o m e n to e n u n
p u n to , to m e la f u e r z a c o r t a n te o e l m o m e n to e n e l p u n to c o m o p o s itiv o s d e a c u e rd o
c o n la m ism a c o n v e n c ió n d e s ig n o s q u e s e e m p le a e n la e la b o r a c ió n d e lo s d ia g r a m a s
d e f u e r z a c o r t a n te y d e m o m e n to . (V e a la fig u ra 4 -1 ).
• Io d a s la s v ig a s e s t á tic a m e n te d e te r m i n a d a s te n d r á n lín e a s d e in f lu e n c ia q u e c o n s is te n
e n s e g m e n to s d e lín e a r e c t a . D e s p u é s d e a lg o d e p r á c tic a s e a d q u ie r e l a c a p a c i d a d d e
m in im iz a r lo s c á lc u lo s y u b ic a r la c a r g a u n it a r i a s ó l o e n lo s p u n to s q u e r e p r e s e n ta n lo s
p u n to s e x tr e m o s d e c a d a s e g m e n to d e lín e a .
• P a r a e v it a r e r r o r e s , s e r e c o m ie n d a p r i m e r o c o n s t r u ir u n a ta b l a q u e c o n te n g a la s “c a r ­
g a s u n ita r ia s e n x " c o n t r a e l v a lo r c o r r e s p o n d ie n t e d e la fu n c ió n c a lc u la d o e n e l p u n to
e s p e c ífic o ; e s d e c ir , “ la r e a c c i ó n R' \ “ l a f u e r z a c o r t a n t e V " o “ e l m o m e n to Af.” U n a v ez
q u e se h a c o lo c a d o la c a r g a e n v a rio s p u n to s a lo la r g o d e l c la r o d e l e l e m e n t o .e s p o s i­
b le g r a f ic a r lo s v a lo r e s ta b u la d o s y c o n s t r u ir lo s s e g m e n to s d e la lí n e a d e in flu e n c ia .
E c u a c io n e s d e las lín e a s d e in flu e n c ia
• L a lín e a d e in flu e n c ia ta m b ié n se p u e d e c o n s tr u ir a l c o lo c a r la c a rg a u n ita r ia e n u n a
p o s ic ió n va ria b le x s o b r e e l e le m e n to p a r a d e s p u é s c a lc u la r e l v a lo r d e R . V o M e n el
p u n to e n fu n c ió n d e x . D e e s ta m a n e r a s e p u e d e n d e te r m in a r y r e p r e s e n ta r g r á f ic a ­
m e n te la s e c u a c io n e s d e lo s d if e r e n te s s e g m e n to s q u e c o m p o n e n la lín e a d e in flu e n c ia .
• L a r a t ó n d e e s t a e l e c c i ó n s e e x p l i c a e n l a s e c c ió n 6-2.

229. 6 . 1 L IN E A S O E IN F L U E N C IA 2 0 7
E J E M P L O 6.1
S O L U C IÓ N
T a b u la c ió n d e v a lo r e s . S e c o lo c a u n a c a r g a u n ita r ia s o b r e la viga
e n c a d a p u n t o x s e le c c io n a d o , y e l v a lo r d e A y s e c a lc u la s u m a n d o lo s
m o m e n to s r e s p e c to a R . P o r e je m p lo , c u a n d o x = 2.5 p ie s y x = 5 p ie s ,
r e a la s fig u ra s 6-1 b y 6 - le , r e s p e c tiv a m e n te . I-os re s u lta d o s d e A y se
in tr o d u c e n e n la ta b l a .f i g u r a 6 - l d . A l g ra f íc a r e s t o s v a lo re s s e o b tie n e
bi lín e a d e in f lu e n c ia p a r a la r e a c c ió n e n A,f i g u r a 6 - le .
C o n s t r u y a l a l í n e a d e i n f lu e n c i a p a r a l a r e a c c i ó n v e r t i c a l e n e l p u n t o A
d e l a v i g a q u e s e m u e s t r a e n l a f i g u r a 6 - l a .
x - 2 5 p i e s
í
\*>
- l O p i e s -
C + I M a - 0 ; - . 4 , ( 1 0 ) + I ( 7 . 5 ) - 0
0 . 7 5
( b )
-10 p i e s -
C + = 0 ; - A . ( 1 0 ) + 1 ( 5 )
A , ~ 0 S
(c)
-t"'
I - 4 ,
0 1
2 50 . 7 5
5 0 . 5
1 5 0 . 2 5
1 0 0
(d)
( e )
E cu ació n d e la lín e a d e in flu e n c ia . C u a n d o la c a r g a u n ita r ia s e c o -
b e a a u n a d is ta n c i a v a r i a b le x d e s d e A ,f i g u r a 6 - 1 / , la r e a c c ió n A v en
fu n c ió n d e x p u e d e d e te r m in a r s e a p a r t i r d e
= O, -y ty(10) + (10 - x )(l) = 0
¿ y " 1 “ i i *
E s t a l í n e a s e t r a z a e n l a f i g u r a 6-le .
I—
• j?
10 p i e s —
(a)
Figura 6-1
Jzüzü
r=
l O p i e s -
(0

230. 2 0 8 C a p i t u l o 6 L I n e a s d e i n f l u e n c i a p a r a e s t r u c t u r a s e s t á t i c a m e n t e d e t e r m i n a d a s
EJE M P LO 6 .2
C o n s tr u y a la lín e a d e in f lu e n c ia p a r a la r e a c c ió n v e rtic a l e n e l p u n to B
d e la v ig a q u e s e m u e s tr a e n la fig u ra 6 -2 a .
S O L U C IÓ N
T a b u la c ió n d e v a lo r e s . C o n b a s e e n la e s t á t i c a ,c o m p r u e b e q u e lo s
v a lo r e s p a r a la r e a c c ió n B y q u e a p a r e c e n e n la ta b l a , fig u ra 6 -2 6 , e s tá n
c a lc u la d o s c o r r e c ta m e n te p a r a c a d a p o s ic ió n x d e la c a rg a u n ita r ia . Al
g ra f ic a r lo s v a lo r e s s e o b ti e n e la lín e a d e in f lu e n c ia q u e s e m u e s tr a e n
la fig u ra 6-2c.
X
0 0
2 S0 . 5
5 1
1 5 1 .5
1 0 2
(b)
(c)
E c u a c ió n d e la lín e a d e in flu e n c ia . Si se a p lic a la e c u a c ió n d e m o ­
m e n to s r e s p e c to a A , e n l a fig u ra 6-2d ,
i + S A / ^ - O ; « , ( 5 ) - l ( x ) = 0
B y = \ x
L o a n te r io r s e g rá fic a e n l a f ig u r a 6 -2c.
j~ f .
^ 5 m 5 m -
<d)

231. 6 . 1 L IN E A S 0 E IN F L U E N C IA 2 0 9
E JE M P LO
S O L U C IÓ N
T a b u la c ió n d a v a lo r a s . E n c a d a p o s ic ió n x s e le c c io n a d a p a r a la
c a rg a u n it a r i a , s e a p lic a e l m é to d o d e la s s e c c io n e s p a r a c a lc u la r el
v a lo r d e V c . O b s e r v e e n e s p e c ia l q u e la c a r g a u n ita r ia d e b e c o lo c a rs e
ju s to a la iz q u ie rd a (x - 1 5 " ) y a la d e r e c h a ( * - 2 .5 * ) d e l p u n t o C
p u e s to q u e la fu e rz a c o r t a n t e e s d is c o n tin u a e n C . f ig u r a s 6-3¿* y 6 -3 c .
A l g r a f ic a r lo s v a lo r e s d e la fig u ra 6-3d se o b ti e n e la lín e a d e in f lu e n -
d a p a r a la f u e r z a c o r t a n te e n C . fig u ra 6 -3e.
C o n s t r u y a la l í n e a d e i n f l u e n c i a p a r a l a f u e r z a c o r t a n t e e n e l p u n t o C
d e l a v i g a q u e s e m u e s t r a e n l a f i g u r a 6 -3a.
2 5 ' ,
n
n
0.75 0 .2 5
2 .5 * ,
1 P' CS 1
1 1
[O •
C 1 0 p ie s
0 .7 5
1
0 2 5
M c + T X F r - ( * V ' c - - < X 2 5 j v t c + t X f , - 0 ; V c - 0 . 7 5 |
0 .2 5 0 .2 5
(b) (c )
E cu a cio n e s d e la lín e a d e in flu e n c ia . A q u í d e b e n d e te r m in a r s e
d o s e c u a c io n e s p u e s t o q u e h a y d o s s e g m e n to s e n la lí n e a d e in flu e n -
d a . d e b i d o a la d is c o n tin u id a d d e la f u e r z a c o r t a n te e n C . f ig u r a 6-3f
E s ta s e c u a c io n e s s e g r a f ic a n e n la f ig u r a 6 -3 e.
t t
2 5
pics-1
C ■ í -
R
1 0 p i e s -
(a)
Figura 6 -3
XV'c
0 0
2 5 ' - 0 . 2 5
2 5 *0 .7 5
5 0 .5
7 5 0 .2 5
1 0 0
<d)
K n c a d e i n f l u e n c i a p a r a V c
(e )
i ,
{ £ - \ V 0SI<
2 5 pies
M~* M‘ *
i)(í
Vc
d:
J 2 5 p i c s < x s 10pies
í4* = I
( 0

232. 2 1 0 C a p i t u l o 6 L I n e a s d e i n f l u e n c i a p a r a e s t r u c t u r a s e s t á t i c a m e n t e d e t e r m i n a d a s
EJEMPLO
4 l
8
-—4 m— .- 4 m
4 m—
(a)
Figura 6 -4
C o n s tr u y a la lín e a d e in f lu e n c ia p a r a l a f u e r z a c o r t a n te e n e l p u n t o C
d e la v ig a q u e s e m u e s tr a e n la fig u ra 6 -4 a .
S O L U C IÓ N
T a b u la c ió n d e v a lo re s . C o n b a s e e n la e s tá tic a y e l m é t o d o d e la s
s e c c io n e s , c o m p r u e b e q u e lo s v a lo r e s d e la f u e r e a c o r t a n t e V c e n el
p u n to C d e la fig u ra 6 - 4 6 c o r r e s p o n d e n a c a d a p o s ic ió n x d e la c a rg a
u n ita r ia s o b r e la v ig a . A l g r a f ic a r lo s v a lo r e s d e la fig u ra 6 -4 6 se o b ­
tie n e la lín e a d e in f lu e n c ia e n la fig u ra 6 -4c.
X
0 0
4 ”
- 0 5
4*05
8 0
12- 0 5
(b)
0 .5 . r vc- \ - ± x
12
- 0 .5 - 0 .5
linca de influencia para Vc
<c)
E c u a c io n e s d e la lín e a d e in flu e n c ia . A p a r t i r d e la fig u ra 6 -4d ,
c o m p r u e b e q u e
V c = ~ \ x ü s i < 4 m
V c = 1 ~ k x 4 m < r s l 2 m
E s ta s e c u a c io n e s s e g r a f ic a n e n la fig u ra 6 -4 c .
X~ \ Mc-
)
U F * —
A , - 1 - i , Eh
M , - 1 - i - x
l t
(d)

233. 6 . 1 L IN E A S 0 £ IN F L U E N C IA 2 1 1
S O L U C I Ó N
T a b u la c ió n d e v a lo r e s . F,n c a d a p o s ic ió n s e le c c io n a d a p a r a la
c a rg a u n ita r ia , e l v a lo r d e M c se c a lc u la m e d ia n te e l m é to d o d e la s
se c c io n e s. P o r e je m p lo , v e a la fig u ra 6 - 5b p a r a x = 2.5 p ie s . A l g ra f ic a r
b s v a lo r e s d e la fig u ra 6 - 5 c s e o b ti e n e la lín e a d e in f lu e n c ia p a r a e l
m o m e n to e n C , fig u ra 6 -5d.
C o n s t r u y a la l ín e a d e i n f l u e n c i a p a r a e l m o m e n t o e n e l p u n t o C 'd e l a
v ig a q u e s e m u e s t r a e n l a f i g u r a 6 - 5 a .
2 . 5
p i e s
f
0 . 7 5
i
0 2 5
Mc
(ft
5 p i e s
J t * Z M C - 0 ; - M c + 0 2 5 ( 5 ) - 0
W c - 1 . 2 5
0 2 5
fl>)
X M c
0 0
2 . 5 1 . 2 5
7 . 5&
1 0 0
(c )
Mc M c - \ x
^ 5 - l x
5 1 0
I n c a d e i n f l u e n c i a p a r a M ( -
( d )
E cu a cio n e s d e la lin e a d e in flu e n c ia . L o s d o s s e g m e n to s q u e f o r ­
m a n la lín e a d e in f lu e n c ia p u e d e n d e te r m in a r s e e m p l e a n d o 2 M c = 0
ju n to c o n e l m é to d o d e las s e c c io n e s q u e s e m u e s tra e n la fig u ra 6 -5 e .
A l g r a f ic a r e s t a s e c u a c i o n e s se o b ti e n e la lí n e a d e in f lu e n c ia q u e se
m u e s tra e n la f ig u r a 6 -5d.
{ ,+ 2 M c = 0 ; M c + 1(5 - x) - ( l - ^ * > 5 = 0 j,+ 2 A f c = 0 ; M c - ( l - i ¡ x ) 5 = 0
M c = \ x 0 s r < 5 p i e s M c = 5 - \ x 5 p i e s < x £ 10 p ie s
■
i
5 p i e s
- I
Mc
I)
Vc
X ¿ M r V
F=
[ — 5 p i e s —
i t
Ve
(e)

234. 2 1 2 C a p i t u l o 6 L I n e a s d e i n f l u e n c i a p a r a e s t r u c t u r a s e s t á t i c a m e n t e d e t e r m i n a d a s
E JE M P LO
C o n s tr u y a la lín e a d e in f lu e n c ia p a r a e l m o m e n to e n e l p u n t o C d e la
viga q u e s e m u e s tr a e n la fig u ra 6 -6a.
S O L U C IÓ N
T a b u la c ió n d e v a lo re s . U se la e s t á tic a y e l m é to d o d e la s s e c c io n e s
p a ra v e rific a r q u e lo s v a lo r e s d e l m o m e n to M c e n e l p u n t o C d e l a fi­
g u r a 6 -6b c o r r e s p o n d e n a c a d a p o s ic ió n .t d e la c a rg a u n ita r ia . A l g r a -
fic a r lo s v a lo r e s d e la fig u ra 6-6¿> s e o b tie n e la lín e a d e in f lu e n c ia d e la
fig u ra 6-6c.
M c
0
2
0
- 2
<b)
E c u a c io n e s d e la lín e a d e in flu e n c ia . C o n b a s e e n la fig u ra 6 -6d
c o m p r u e b e q u e
M c = \ x 0 s j < 4 m
M C " 4 - \ x 4m < r s I 2 m
E s ta s e c u a c io n e s s e g ra f ic a n e n la fig u ra 6 -6c.
h ~ l , "c h '- '1
\
------- ' 1 0 £ * < 4 m ' f -----------
I— 1” — |V t \ - * — \
Ar- l - ± x A,= 1 - - J x
Mc
I) (í
I
) | 4m
< i s 12 m
□
(d)

235. 6 . 2 Lí n e a s d e i n f l u e n c i a p a r a v i g a s 2 1 3
6 . 2 Líneas d e ¡n flu e n d a para vigas
D a d o q u e la s vigas ( o tr a b e s ) c o n s titu y e n lo s e le m e n to s p r in c ip a le s p a ra
s o p o r ta r c a r g a s e n u n s is te m a d e p is o o e n la c u b ie r ta d e u n p u e n te , p o r
e llo e s im p o r ta n te t e n e r la c a p a c id a d d e c o n s t r u ir la s lín e a s d e in f lu e n c ia
p a ra la s r e a c c io n e s , la f u e r z a c o r ta n te o e l m o m e n to e n c u a lq u ie r p u n to
e s p e c ífic o d e u n a v ig a .
C a r g a s . U n a v e z q u e s e h a c o n s t r u id o la lín e a d e in f lu e n c ia p a ra u n a
f u n d ó n ( r e a c d ó n , f u e iz a c o r t a n te o m o m e n to ) , s e p o d r á n c o lo c a r la s
c a r g a s v iv a s s o b r e la v ig a p a r a p r o d u c i r e l v a lo r m á x im o d e la f u n c ió n .
A c o n tin u a c ió n se c o n s id e r a r á n d o s tip o s d e cargas.
F u e r z a c o n c e n t r a d a . D a d o q u e lo s v a lo r e s n u m é r ic o s d e u n a f u n ­
c ió n p a r a u n a lín e a d e in f lu e n c ia se d e t e r m i n a n m e d ia n te u n a c a rg a u n i ­
ta r ia s in d im e n s io n e s , e n to n c e s p a r a c u a lq u i e r f u e r / a c o n c e n t r a d a F q u e
a c tú a s o b r e la v ig a e n c u a lq u ie r p o s ic ió n x, e l v a lo r d e la fu n c i ó n p u e d e
e n c o n tr a r s e a l m u ltip lic a r la o r d e n a d a d e la lín e a d e in flu e n c ia e n la p o s i­
c ió n x p o r b m a g n itu d d e F. P b r e je m p lo , c o n s i d e r e la lín e a d e in f lu e n c ia
p a ra la r e a c c ió n e n e l p u n t o A d e la v ig a A B q u e s e m u e s tr a e n l a fig u ra
6-7. S i la carg a u n ita r ia e s tá e n x = $ L .la r e a c c ió n e n A e s A y = j c o m o lo
in d ic a la lín e a d e in f lu e n d a . P o r lo ta n to , s i la f u e r z a F h s e e n c u e n t r a e n
e s te m is m o p u n to , la r e a c c ió n e s A y = ( J ) ( F ) Ib. P o r s u p u e s to , e s t e m ism o
v a lo r ta m b ié n p u e d e d e te r m in a r e e p o r la e s tá tic a . O b v ia m e n te , la i n ­
flu e n c ia m á x i m a c a u s a d a p o r F s e p r o d u c e a l c o lo c a r la s o b r e l a v ig a e n la
m ism a u b ic a d ó n q u e e l p ic o d e la lín e a d e in f lu e n d a ; e n e s te c a s o e n x = 0 ,
d o n d e la r e a c c ió n s e r í a A y = ( 1 ) ( /- ) Ib.
C a r g a u n i f o r m e . C o n s id e r e u n a p a r t e d e u n a v ig a s o m e ti d a a u n a
c a rg a u n if o r m e w0, fig u ra 6-8. C o m o se m u e s tr a e n la G g u ra , c a d a s e g ­
m e n t o d x d e e s t a c a rg a c r e a u n a f u e r z a c o n c e n tr a d a d e d F = w 0 d x s o b r e
la v ig a . S i d V se e n c u e n t r a e n x , d o n d e la o r d e n a d a d e la lín e a d e in f lu e n ­
cia d e la v ig a p a r a a lg u n a fu n c ió n ( r e a c c ió n , f u e r z a c o r t a n te o m o m e n to )
e s y , e n to n c e s e l v a lo r d e la fu n c ió n e s (d F ) ( y) = (w0dx)y. E l e f e c to d e
to d a s la s fu e r z a s c o n c e n t r a d a s dF s e d e te r m i n a a l in te g r a r s e p o r to d a la
lo n g itu d d e la v ig a , e s d e c i r . f w 0y d x = w0f y d x . A d e m á s , c o m o f y d x
e q u iv a le n a l á r e a b a jo la lín e a d e in f lu e n c ia ;e n to n c e s , e n g e n e r a l , t i v a lo r
d e u n a fu n c i ó n c a u s a d a p o r u n a c a rg a u n ifo r m e m e n te d is tr ib u id a e s s ó lo
e l á r e a b a jo la lín e a d e in flu e n c ia p a r a la fu n c i ó n m u ltip lic a d a p o r la in ­
te n s id a d d e b ca rg a u n ifo r m e . P o r e je m p lo , e n e l c a s o d e la v ig a c a rg a d a
u n if o r m e m e n te q u e s e m u e s tr a e n la f ig u r a 6 -9 . la r e a c c ió n A ,, p u e d e d e ­
te r m in a r s e a p a r t i r d e la lín e a d e in f lu e n c ia c o m o A y = ( á r e a ) ( w 0) = Q
( l ) ( L ) J w 0 = \wqL . ?o v s u p u e s to ,e s t e v a lo r ta m b ié n p u e d e d e te r m i n a r s e
c o n b a s e e n la e s tá tic a .
"o
lin e a d e in flu e n c i a p a r a A,
- 1 1 - *
lín e a d e i n f l u e n d a p a r a la f u n d ó n
F i g u r a 6 - 8

236. 2 1 4 C a p i t u l o 6 L I n e a s d e i n f l u e n c i a p a r a e s t r u c t u r a s e s t á t i c a m e n t e d e t e r m i n a d a s
D e te r m in e la f u e r z a c o r t a n t e p o s itiv a m á x im a q u e s e p u e d e d e s a r r o ­
lla r e n e l p u n to C d e la v ig a q u e s e m u e s tra e n la fig u ra 6 - 1 0 a d e b id o
a u n a c a r g a m ó v il c o n c e n tr a d a d e 4 0 0 0 Ib y u n a c a r g a m ó v il u n if o rm e
d e 2 0 0 0 lb /p ie.
(a)
f i g u r a 6 - 1 0
Inca de influencia para Vc
<b)
S O L U C IÓ N
E n e l e je m p lo 6 -3 s e e s ta b le c ió la lín e a d e in f lu e n c ia p a r a la fu e rz a
c o r ta n te e n C , la c u a l s e m u e s tr a e n la f ig u r a 6 -1 0 6 .
F u e rz a c o n c e n tr a d a . L a f u e r z a c o r t a n te p o s itiv a m á x im a e n C se
p ro d u c e c u a n d o la f u e r z a d e 4 0 0 0 Ib s e u b ic a e n ,t = 2 .5 * p ies, p u e s t o
q u e e s e l p ic o p o s itiv o d e la lín e a d e in f lu e n c ia . L a o r d e n a d a d e e s te
p ic o e s + 0 .75; d e m o d o q u e
V c = 0 .7 5 (4 0 0 0 Ib ) = 3 0 0 0 Ib
C a rg a u n ifo r m e . L a c a rg a m ó v il u n ifo rm e c r e a la in f lu e n c ia p o s itiv a
m á x im a p a r a V c c u a n d o la c a rg a a c tú a s o b r e la v ig a e n t r e x = 2 .5 * p ies
y x = 1 0 p ie s , p u e s to q u e d e n tr o d e e s ta re g ió n la lín e a d e in flu e n c ia
tie n e u n á r e a p o s itiv a . 1.a m a g n itu d d e V c d e b id a a e s t a c a rg a e s
V c = [ K 10 P ie s ~ 2.5 p i e s ) ( 0 .7 5 ) ¡20 0 0 I b / p ie s = 5 6 2 5 Ib
F u e rz a c o r t a n te m á x im a t o t a l e n C.
(V’c)m íx = 3 0 0 0 Ib + 5 6 2 5 Ib = 8 6 2 5 Ib Resp.
T e n g a e n c u e n ta q u e u n a v e z q u e s e h a n e s ta b le c id o la s p o s ic io n e s
d e la s c a r g a s e m p l e a n d o la lín e a d e in f lu e n c ia , f ig u r a 6 - 1 0 c ,e s te v a lo r
(Vc)máx ta m b ié n p u e d e d e te r m i n a r s e u s a n d o l a e s t á tic a y e l m é to d o
d e las se c c io n e s. D e m u e s tr e q u e a s í es.

237. 6.2 LINEAS DE IN F L U E N C IA PA R A V.GAS 2 1 5
E JE M P LO 6 .8
L a e s t r u c tu r a d e l m a r c o q u e s e m u e s tr a e n la fig u ra 6 - l i a se u tiliz a
p a ra s o s te n e r u n a g r ú a q u e tr a n s f ie r e c a r g a s d e s tin a d a s a a lm a c e n a ­
m ie n to e n p u n to s q u e s e e n c u e n t r a n p o r d e b a jo d e e lla . S e p re v é q u e
ta c a rg a e n la p la ta f o r m a r o d a n te s e a d e 3 k N y q u e la v ig a C B te n g a
u n a m a s a d e 2 4 k g /m . S u p o n g a q u e e l ta m a ñ o d e la p la ta f o r m a r o ­
d a n te p u e d e p a s a r s e p o r a lto y q u e p u e d e v ia ja r a to d o lo la r g o d e la
viga. A d e m á s , s u p o n g a q u e A e s tá a r tic u la d o y q u e R e s u n ro d illo .
D e te r m in e la s r e a c c io n e s v e rtic a le s m á x im a s e n lo s s o p o r te s (a p o y o s )
e n A y B y e l m o m e n to m á x im o e n l a v ig a e n D .
S O L U C IÓ N
R e a cció n m á x im a e n A . E n p r im e r lu g a r se t r a z a la lín e a d e in ­
flu e n c ia p a r a A y,f ig u r a 6 -1 1 6 . E n e s p e c ífic o , c u a n d o u n a c a rg a u n it a ­
ria e s t á e n A la r e a c c ió n e n A e s 1 c o m o s e m u e s tr a e n la f ig u r a . La
o r d e n a d a e n C e s 1 .3 3 . A q u í e l v a lo r m á x i m o d e A v o c u r r e c u a n d o
la p la ta f o r m a r o d a n t e s e e n c u e n t r a e n C .C o m o l a c a r g a m u e r ta ( p e s o
d e l a v ig a ) d e b e c o lo c a rs e e n to d a la lo n g itu d d e la v ig a , s e tie n e .
( A y U , = 3 0 0 0 (1 .3 3 ) + 2 4 ( 9 .8 1 ) [ J ( 4 ) ( 1 J 3 ) ]
= 4 .6 3 k N R esp.
R e a cció n m á x im a en B . L a lín e a d e in f lu e n c ia ( o v ig a ) to m a la
fo rm a q u e s e m u e s tr a e n la f ig u r a 6-1 l e . I x s v a lo r e s e n C y R se d e t e r ­
m in a n c o n b a s e e n la e s tá tic a . A q u í, la p la ta f o r m a r o d a n te d e b e e s t a r
e n R . P o r lo ta n t o .
( f l , u = 3 0 0 0 (1 ) + 2 4 (9 .8 1 ) [ 1 ( 3 ) ( 1 ) ] + 2 4 (9 .8 1 ) [ } ( !)(■ -0 .3 3 3 ) ]
= 3.31 k N R esp.
M o m e n to m á x im o e n D . L a lí n e a d e in f lu e n c ia ti e n e l a fo r m a q u e
s e m u e s tr a e n la f ig u r a 6-1 I d . L o s v a lo r e s e n C y D se d e t e r m i n a n a
p a r t i r d e la e s tá tic a . E n e s t e c a s o .
( M » U = 3 0 0 0 (0 .7 5 ) + 2 4 ( 9 . 8 1 ) [ ! ( l ) ( - 0 . 5 ) ] + 2 4 (9 .8 1 ) [j( 3 )(0 .7 5 )]
= 2 .4 6 k N • m R esp.
lin c a d e i n f l u e n c i a p a r a M p
<d)
Figura 6-11
H nca d e i n f l u e n c i a p a r a A y
(b)
lin e a d e i n f l u e n c i a p a r a B ,
(c)

238. 8 3 3
2 1 6 C a p i t u l o 6 L I n e a s d e i n f l u e n c i a p a r a e s t r u c t u r a s e s t á t i c a m e n t e d e t e r m i n a d a s
(«>
6 .3 Líneas d e influencia cu a lita tiva
E n 1886, H e in r ic h M ü lle r- B r e s la u d e s a r r o lló u n a té c n ic a p a r a c o n s t r u ir
c o n r a p id e z la f o r m a d e u n a lí n e a d e in f lu e n c ia . E s te m é t o d o c o n o c id o
c o m o e l p r in c ip io d e M U ller-fíresIa u , esta b le c e q u e la lín e a d e in flu e n c ia
p a r a u n a fu n c i ó n (rea cció n, f u e r z a c o r ta n te o m o m e n t o ) e s tá a la m is m a
e sc a la q u e la fo r m a a lte r a d a d e la v ig a c u a n d o s o b r e ésta a c tú a la f u n c i ó n .
P a r a d ib u j a r a p r o p i a d a m e n t e la f o r m a a lt e r a d a , d e b e r e m o v e r s e la c a p a ­
c id a d d e la v ig a p a r a re s is tir la fu n c ió n d e m o d o q u e l a v ig a p u e d a d e f o r ­
m a r s e a l a p lic a r la fu n c ió n . P o r e je m p lo , c o n s i d e r e la v ig a d e la fig u ra
6 - 1 2 a. Si d e b e d e te r m in a r s e la f o r m a d e l a lín e a d e in f lu e n c ia p a r a la
rea cció n v e r tic a l e n A .p r i m e r o s e s u s titu y e e l p a s a d o r p o r u n a g u ía d e r o ­
d illo s c o m o se m u e s tr a e n la fig u ra 6 -1 2 6 . S e r e q u i e r e u n a g u ía d e r o d i ­
llo s p u e s to q u e la v ig a to d a v ía d e b e r á re s is tir u n a f u e r z a h o r iz o n ta l e n A ,
p e r o n in g u n a f u e r z a vertical. C u a n d o la f u e r z a p o s itiv a ( h a c ia a r r ib a ) A
s e a p lic a e n A , l a v ig a s e d e f o r m a h a s t a la p o s ic ió n m a r c a d a c o n lín e a s
d is c o n tin u a s ,* lo q u e r e p r e s e n ta la f o r m a g e n e ra l d e la lí n e a d e in f lu e n ­
c ia p a r a A y, fig u ra 6 -1 2 c . ( L o s v a lo r e s n u m é r ic o s p a r a e s t e c a s o e s p e c í­
fic o y a se c a lc u la r o n e n e l e je m p lo 6 -1 .) S i d e b e d e te r m in a r s e la f o r m a d e
la lín e a d e in f lu e n c ia p a r a la f i e n a c o r ta n te e n C , fig u ra 6 -13 a , la c o n e ­
x ió n e n C p u e d e s im b o liz a rs e m e d ia n te u n a g u ía d e r o d illo s c o m o se
m u e s tr a e n la fig u ra 6 -1 3 6 . E s te d is p o s itiv o re s is tirá u n m o m e n to y u n a
f u e r z a a x ia l, p e r o n in g u n a f u e r z a c o r ta n te. ' A l a p li c a r u n a f u e r z a c o r ­
ta n t e p o s itiv a V c a la v ig a e n C y a l p e r m it ir q u e la v ig a s e d e f o r m e h a s ta
la p o s ic ió n in d ic a d a c o n lín e a s d is c o n tin u a s , s e e n c u e n t r a la f o r m a d e la
lín e a d e in f lu e n c ia , c o m o s e m u e s tr a e n la fig u ra 6 - 13c. P o r ú ltim o , s i
d e b e d e te r m in a rs e la fo r m a d e la lín e a d e in flu e n c ia p a ra e l m o m e n to e n C,
fig u ra 6 - 1 4 a, se c o lo c a u n a b is a g ra o p a s a d o r in t e r n o e n C . p u e s t o q u e
e s t a c o n e x ió n r e s is tir á fu e r z a s a x ia le s y c o r ta n te s , p e r o n o p u e d e resistir
u n m o m e n t o , f ig u r a 6 -1 4 6 . A l a p li c a r lo s m o m e n to s p o s itiv o s M c a la
v ig a , é s t a s e d e f o r m a h a s t a l a p o s ic ió n in d ic a d a c o n lín e a s d is c o n tin u a s ,
q u e e s la f o r m a d e la lí n e a d e in f lu e n c ia , fig u ra 6 -1 4 c.
1.a c o m p r o b a c ió n d e l p r in c ip io d e M ü lle r- B r e s la u p u e d e e s ta b le c e r s e
m e d ia n te e l p r in c ip io d e l tr a b a jo v ir tu a l. R e c u e r d e q u e e l tr a b a jo e s el
d i s e c o d e la i r a b e d e e s t e p u e n t e s e b a s a
la s l i n c a s d e i n f l u e n c i a q u e d e b i e r o n
n s t r u i r s c p a r a l a c a r g a d e l t r e n .
• A lo l a r g o d e l a n á l i s i s t o d a s la s p o s ic i o n e s a l t e r a d a s s e d i b u j a n a u n a e s c a l a e x a g e r a d a
p a r a i l u s t r a r e l c o n c e p t a
t A q u i l o s r o d i l l o s s i m b o l i z a n lo s a p o y o s q u e s o p o r t a n c a r g a s , t a n t o e n te n s i ó n c o m o e n
c o m p r e s i ó n , v e a la t a b l a 2-1, s o p o r t e (2).

239. 6 .3 LINEAS DE INRUENCIA CUAUTATVA 2 1 7
<■>
<b>
V c
A1C
lí n e a d e i n f l u e n c i a p a r a V c
(c)
Hgura 6 - 1 3
C
(a )
f o r m a a l t e r a d a
(b)
li n c a d e i n f l u e n c i a p a r a M c
( c )
F ig u ra 6 - 1 4
p r o d u c to d e u n d e s p la z a m ie n to lin e a l p o r u n a f u e r z a e n la d ir e c c ió n d e l
d e s p la z a m ie n to o b ie n d e un d e s p la z a m ie n to d e r o ta c ió n p o r e l m o m e n t o
e n la d ire c c ió n d e l d e s p la z a m ie n to . Si u n c u e r p o ríg id o (v ig a ) e s t á e n
e q u ilib r io , la s u m a d e t o d a s la s f u e r z a s y to d o s lo s m o m e n to s d e b e s e r
ig u a l a c e ro . E n c o n s e c u e n c ia , s i a l c u e r p o s e le d a u n d e s p la z a m ie n to
im a g in a r io o v ir tu a l, e l tr a b a jo r e a liz a d o p o r to d a s e s ta s fu e r z a s y m o ­
m e n to s d e p a r ta m b ié n d e b e s e r ig u a l a c e r o . I\> r e je m p lo , c o n s i d e r e la
viga s im p le m e n te a p o y a d a q u e s e m u e s tr a e n l a fig u ra 6 - 15a. la c u a l e s tá
s o m e tid a a u n a c a r g a u n it a r i a c o lo c a d a e n u n p u n to a r b i tr a r io d e t o d a s u
lo n g itu d . Si a la v ig a se le d a u n d e s p la z a m ie n to v ir tu a l ( o im a g in a r io ) S y
e n e l s o p o r t e A ,f ig u r a 6 - 15¿>, e n to n c e s s ó lo la r e a c c ió n d e l s o p o r te A v y
la c a r g a u n it a r i a r e a liz a n t r a b a j o v ir tu a l. E n e s p e c ífic o , A v re a liz a e l t r a ­
b a jo p o s itiv o A y S y y la c a r g a u n i t a r i a re a liz a e l tr a b a jo n e g a tiv o - I 5 y ' .
(E l s o p o r te e n B n o s e m u e v e y, p o r lo ta n to , la f u e r z a e n t í n o h ace
n in g ú n tr a b a jo .) D a d o q u e la v ig a e s t á e n e q u ilib r io y p o r e n d e n o se
m u e v e , e l tr a b a jo v ir tu a l s u m a c e r o .e s d e c ir ,
A y 8 y - 1 8 / = ü
Si se e s ta b le c e q u e 8 y e s ig u al a 1 ,e n to n c e s
A y = S y '
E n o tr a s p a la b r a s , e l v a lo r dc A y r e p r e s e n ta l a o r d e n a d a d e la lí n e a d e in ­
flu e n c ia e n l a p o s ic ió n d e la c a rg a u n ita r ia . C o m o e s te v a lo r e s e q u iv a ­
le n te a l d e s p la z a m ie n to 8 y ' e n l a p o s ic ió n d e la c a r g a u n ita r ia , m u e s tra
q u e s e h a e s ta b le c id o la f o r m a d e la lín e a d e in f lu e n c ia p a r a la r e a c c ió n
e n A . L o a n t e r i o r c o m p r u e b a e l p rin c ip io d e M ü llc r- B r e s la u p a r a la s
re a c c io n e s.
I
c
( a )
( b )
F ig u ra 6 - 1 5

240. 2 1 8 C a p i t u l o 6 L I n e a s d e i n f l u e n c i a p a r a e s t r u c t u r a s e s t á t i c a m e n t e d e t e r m i n a d a s
H g u r a 6 - 1 5
D e la m is m a m a n e r a , s i la v ig a s e s e c c io n a e n C y e x p e r i m e n t a u n d e s ­
p la z a m ie n to v ir tu a l S y e n e s te p u n to , f ig u r a 6 - 1 5 c ,e n to n c e s s ó lo la fu e rz a
c o r ta n te e n C y la c a r g a u n it a r i a r e a liz a n tr a b a jo . I\>r lo ta n t o , la e c u a ­
c ió n d e l tr a b a jo v ir tu a l e s
V c S y - 1 6 / = 0
D e n u e v o , s i S y = I, e n to n c e s
vc = « y '
y s e e s t a b le c e la forma d e la lí n e a d e in f lu e n c ia p a r a la f u e r z a c o r t a n te
e n C .
<d)
l\>r ú ltim o , s u p o n g a la in tr o d u c c ió n d e u n a b is a g ra o p a s a d o r e n el
p u n to C d e la v ig a , f ig u r a 6 -15d. S i s e p r e s e n ta u n a r o t a c ió n v ir tu a l S<f> e n
e l p a s a d o r , s ó l o e l m o m e n to i n t e r n o y la c a r g a u n it a r i a r e a liz a r á n tr a b a jo
v irtu a l. A s í q u e
Mc &<t> - i «y' = o
Si s e e s t a b le c e S<t> = l . s e o b s e r v a q u e
M C = S y '
lo c u a l in d ic a q u e la v ig a d e f o r m a d a ti e n e la m is m a f o r m a q u e la lín e a d e
in f lu e n c ia p a r a e l m o m e n to in t e r n o e n e l p u n t o C (v e a la fig u ra 6 -1 4 ).
í\>r s u p u e s to , e l p r in c ip io d e M tllle r-B re s la u p r o p o r c io n a u n m é to d o
r á p i d o p a r a e s t a b le c e r la f o r m a efe la lín e a d e in f lu e n c ia . U n a v ez q u e se
s a b e e s t o , la s o r d e n a d a s e n lo s p ic o s p u e d e n d e te r m in a r s e a p lic a n d o el
m é to d o b á s ic o a n a liz a d o e n la s e c c ió n 6-1. A d e m á s , c o n s ó l o c o n o c e r la
fo r m a g e n e r a l d e la lí n e a d e in f lu e n c ia e s p o s i b le u b ic a r la c a r g a v iv a
s o b r e la v ig a y lu e g o d e te r m i n a r e l v a lo r m á x im o d e la fu n c ió n p o r e l u so
d e la e stá tica . E n e l e je m p lo 6 -1 2 s e ilu s tr a e s t a té c n ic a .

241. 6 .3 LINEAS DE INRUENCIA CUAUTATVA 2 1 9
EJEMPLO
P a ra c a d a v ig a d e las q u e a p a r e c e n e n la s fig u ra s 6 - 1 6 a a 6 - 1 6 c, tr a c e la
lín e a d e in f lu e n c ia p a r a la r e a c c ió n v e rtic a l e n A .
S O L U C IÓ N
E l s o p o r te e n A se s u s titu y e p o r u n a g u ía d e ro d illo s , p u e s t o q u e r e s is ­
tirá A , , p e r o n o A v. D e s p u é s s e a p lic a la f u e r z a A r
f o r m a a l t e r a d a
I n c a d e i n f l u e n c i a p a r a A ,
(a)
F ig u ra 6 - 1 6
D e n u e v o , se c o lo c a u n a g u ía d e ro d illo s e n A y s e a p lic a la f u e r z a A ...
JEnir
f o r m a a l t e r a d a
<b)
E n e s te c a s o d e b e u s a r s e u n a g u ía d e d o b le r o d illo , p u e s t o q u e e s te
tip o d e s o p o r te r e s is tir á ta n t o u n m o m e n to e n e l s o p o r t e fijo
c o m o u n a c a r g a a x ia l A r p e r o n o r e s is t ir á A v.
b=
línea d e influencia p a ra A y
(c)

242. 2 2 0 C a p i t u l o 6 L I n e a s d e i n f l u e n c i a p a r a e s t r u c t u r a s e s t á t i c a m e n t e d e t e r m i n a d a s
EJEMPLO 6.10
P a r a c a d a v ig a d e la s q u e a p a r e c e n e n la s fig u ra s 6 - 1 7 a a 6 - 1 7 c ,ir a c e la
lín e a d e in f lu e n c ia p a r a la f u e r z a c o r t a n te e n B .
S O L U C IÓ N
L a g u ía d e ro d illo s s e in tr o d u c e e n B y s e a p lic a la f u e r a c o r t a n t e p o ­
s itiv a \ R. O b s e r v e q u e e l s e g m e n to d e r e c h o d e la v ig a n o s e d e fo r m a r á
p o r q u e e l r o d illo e n r e a lid a d lim ita e l m o v im ie n to v e r tic a l d e la v ig a ,
y a s e a h a d a a r r ib a o h a d a a b a jo . [V e a e l s o p o r te (2 ) d e la ta b la 2-1].
li n e a d e i n f l u e n c i a p a r a V„
( a )
F ig u r a 6 - 1 7
A l c o lo c a r la g u ía d e ro d illo s e n f í y a p li c a r la f u e r z a c o r t a n t e p o s itiv a
e n B se o b ti e n e la fo r m a a lt e r a d a y la lín e a d e in f lu e n c ia c o r r e s p o n ­
d ie n te .
v » P*
f o r m a a l t e r a d a v „ B n ca d e i n f l u e n c i a p a r a VB
( b )
U n a v e z m á s , la g u ía d e ro d illo s s e c o lo c a e n B, s e a p lic a la f u e r z a c o r ­
ta n t e p o s itiv a , y s e m u e s tr a n la f o r m a a l t e r a d a y la lín e a d e in f lu e n c ia
c o r r e s p o n d ie n te . O b s e r v e q u e e l s e g m e n to iz q u ie r d o d e la v ig a n o se
d e f o r m a d e b id o a l s o p o r te fijo.
linea de influencia p a ra VB
(c)
f o r m a a l t e r a d a
Va
B
f o r m a a l t e r a d a

243. 6 .3 LINEAS DE INRUENCIA CUAUTATVA
EJEMPLO 6.1 1
P a ra c a d a v ig a d e las q u e a p a r e c e n e n la s fig u ra s 6 - 1 8 a a 6 - 1 8 c, tr a c e la
lín e a d e in f lu e n c ia p a r a e l m o m e n to e n B .
S O L U C IÓ N
Se in tr o d u c e u n a b is a g r a e n B y s e a p lic a n lo s m o m e n to s p o s itiv o s M fl
a la v ig a . E n la fig u ra s e m u e s tr a n la f o r m a a lt e r a d a y la lín e a d e i n ­
flu e n c ia c o r r e s p o n d ie n te .
f o r m a a l t e r a d a
( a )
Figura 6-18
A l c o lo c a r u n a b is a g ra e n B y a l a p lic a r lo s m o m e n to s p o s itiv o s M fl a
la v ig a s e o b ti e n e la f o r m a a lt e r a d a y la lín e a d e in flu e n c ia .
C o n la b is a g ra y e l m o m e n to p o s itiv o e n B , se m u e s tr a n la f o r m a a lt e ­
ra d a y la lí n e a d e in f lu e n c ia . E l m o v im ie n to d e l s e g m e n to iz q u ie r d o
d e la v ig a e s t á re s tr in g id o d e b id o a l a p a r e d f ija e n A .

244. 2 2 2 C a p i t u l o 6 L I n e a s d e i n f l u e n c i a p a r a e s t r u c t u r a s e s t á t i c a m e n t e d e t e r m i n a d a s
D e te r m in e e l m o m e n to p o s itiv o m á x im o q u e p u e d e d e s a r r o lla r s e e n
e l p u n t o D d e la v ig a q u e se m u e s tr a e n la fig u ra 6 - 1 9 a ,d e b i d o a u n a
c a rg a m ó v il c o n c e n tr a d a d e 4 0 0 0 Ib. u n a c a rg a m ó v il u n if o r m e d e 3 0 0
Ib /p ie . y e l p e s o d e la v ig a q u e e s d e 2 0 0 Ib /p ie .
S e c o lo c a u n a b is a g ra e n D y s e a p lic a n a la v ig a lo s m o m e n to s p o s i ti­
v o s M D. L a f o r m a a lt e r a d a y la lín e a d e in f lu e n c ia c o r r e s p o n d ie n t e se
m u e s tr a n e n la fig u ra 6 -1 9 6 . D e in m e d ia to s e r e c o n o c e q u e la c a rg a
m ó v il c o n c e n tr a d a d e 4 0 0 0 li b r a s c r e a u n m o m e n to p o s i ti v o m á x im o
e n D c u a n d o s e c o lo c a a h í. e s d e c ir , e l p ic o d e la lín e a d e in flu e n c ia .
A d e m á s , la c a r g a m ó v il u n if o rm e d e 3 0 0 Ib /p ie d e b e e x te n d e r s e d e s d e
C h a s ta E p a ra c u b r i r la re g ió n d o n d e e l á r e a d e la lín e a d e in f lu e n c ia
e s p o s itiv a . P o r ú ltim o , e l p e s o u n if o r m e d e 2 0 0 lb 'p ie a c tú a a to d o lo
la r g o d e l a v ig a . E n la f ig u r a 6 - 19c s e m u e s tr a n la s c a r g a s s o b r e la v ig a .
C u a n d o s e c o n o c e la p o s ic ió n d e la s c a rg a s , e s p o s ib le d e te r m i n a r e l
m o m e n to m á x im o e n D e m p le a n d o la e s t á ti c a . E n la fig u ra 6 -1 9d se
c a lc u la n la s r e a c c io n e s e n B E . A l s e c c io n a r la v ig a e n D y u s a r e l s e g ­
m e n t o D E , fig u ra 6 -1 9 e .s e tie n e
(»)
F i g u r a 6 - 1 9
S O L U C IÓ N
t + 2 A / 0 = 0 ; - M „ - 5 0 0 0 (5 ) + 4 7 5 0 (1 0 ) = 0
M n = 2 2 5 0 0 I b - p i e = 2 2 .5 k - p i eR esp.
f o r m a a l t e r a d a
Md
5 10
x
linea d e influencia para MD
(b)

245. 6 .3 LINEAS DE INRUENCIA CUAUTATVA 2 2 3
4 0 0 0 1 b
2 0 0 l b / p i e
5 0 0 I b / p i e
p i e s 5 p i e s
-------f— 5 p ie s -
(c)
10 p i e s -
4 0 0 0 1 b 7 5 0 0 1 b
1 0 0 0 Ib 1 0 0 0 1 b
<4,= 0 _
,_ _ _ _ r |- 2 A Jr
t p i e ! • I p ie s !
■ ■■■♦ . : B . - O ! , T
• 5 p i e s
------ - 7 .5 p i e s -
• 5 p ie s
A , -'5 0 0 1 b » , * - 5 0 0 1 b B , - 500 I b C , ~ 8 2 5 0 1 b
( d )
4 0 0 0 1 b 5 0 0 0 1 b
Md
V o ^ - 5 p i e s — |— 5 p i e s — |
E , - 4 7 5 0 1 b
( e )
E s te p r o b le m a ta m b ié n p u e d e s o lu c io n a r s e u s a n d o v a lo re s n u m é r i­
c o s p a ra l a lín e a d e in f lu e n c ia c o m o e n la se c c ió n 6 -1 . E n r e a l i d a d , a l
in s p e c c io n a r la fig u ra 6 -1 9 6 , s ó lo d e b e d e te r m in a rs e e l v a lo r p ic o h e n D .
E s to r e q u ie r e c o lo c a r u n a c a rg a u n ita ria s o b r e la v ig a e n e l p u n to D de
b fig u ra 6 - 19a y lu e g o d e te r m in a r e l m o m e n to in t e r n o e n la v ig a e n D .
D e m u e s tr e q u e e l v a lo r o b t e n i d o e s h = 3.33. P o r tr iá n g u lo s s e m e ja n ­
te s, 67(10—5) = 3 .3 3 /( 1 5 - 1 0 ) o b ie n h' = 3.33. P o r lo ta n t o , c o n la s
c a rg a s s o b r e la v ig a c o m o s e m u e s tr a n e n la fig u ra 6 - 19c y e m p l e a n d o
las á r e a s y v a lo r e s p ic o d e la lín e a d e in flu e n c ia , f ig u r a 6 - 1 9 6 ,s e tie n e
M d = 500[!(25 - 10)(3.33)] + 4000(3.33) - 200[J(10)(333)]
= 22 5 0 0 Ib • p i e = 2 2 .5 k • p i e R esp.

246. 2 2 4 C a p i t u l o 6 L I n e a s d e i n f l u e n c i a p a r a e s t r u c t u r a s e s t á t i c a m e n t e d e t e r m i n a d a s
PRO BLEM AS F U N D A M E N T A LE S
F 6 -1 . U tilice el principio d e M üller-B reslau y trace las li­
neas d e influencia p a ra la reacción vertical e n A , la fuerza
co rtan te e n C y e l m om ento e n C.
F 6 -5 . U tilice e l principio de M üller-B reslau y tra c e las lí­
neas d e influencia p a ra la reacción vertical e n A , la fuerza
co rtan te e n C y e l m o m en to e n C.
FÓ-1 FÓ-5
FÓ -2. U tilice e l principio de M üller-B reslau y tra c e las lí­
n eas d e influencia p a ra la reacción vertical e n A , la fuerza
co rtan te e n D y el m o m en to e n B.
F 5 -6 . U tilice e l principio de M üller-B reslau y tra c e las lí­
neas d e influencia p a ra la reacción vertical e n A , la fuerza
co rtan te ju s to a la izq u ierd a d el so p o rte de rodillo e n F. y el
m om ento e n A .
F 6 -2 PS-6
F 6 -3 . U tilice e l principio de M üller-B reslau y tra c e las lí­
n eas d e influencia p a ra la reacción vertical e n A , la fuerza
co rtan te e n D y el m o m en to e n D .
Hü-7. La viga so p o rta una c a rg a viva distribuida d e 1.5
kN /m y u n a sola carg a co n cen trad a d e 8 kN . La carga m uerta
e s de 2 kN /m . D eterm ine (a ) e l m om ento positivo m áxim o
e n C, y (b ) la fuerza co rtan te positiva m áxim a e n C.
F 6 -3 F6-7
F 6-4. U tilice e l principio de M üller-B reslau y tra c e las lí­
n eas d e influencia p a ra la reacción vertical e n A , la fuerza
co rtan te e n B y e l m om ento e n B.
ffc-8. l a viga so p o rta una carg a viva distribuida de 2 kN /m ,
y una sola carg a co n centrada d e 6 kN. La carg a m uerta e s de
4 kN/m. D eterm ine (a) la reacción vertical positiva m áxim a
en C .y (b ) el m o m en to negativo m áxim o e n A .
F & -4 K -8

247. 6 . 3 L IN E A S D E I N R U E N C I A C U A U T A T V A 2 2 5
PROBLEM AS
6 -1 . D ibuje las lín eas d e influencia p a ra (a) el m o m en to
e n C ;(b ) la reacción e n f t y (c) la fu e rz a c o rta n te e n C. S u ­
ponga q u e A está articu lad o y q u e R es u n rodillo. R esuelva
este p ro b lem a u san d o e l m éto d o básico de la sección 6-1.
6 -2 . R esuelva e l p ro b le m a 6 1 usando e l principio d e MU-
llcr-Breslau.
6 -7 . D ib u je la línea d e influencia p a ra (a ) el m o m en to en
B\ (b ) la fuerza c o rta n te e n C, y (c) la reacció n vertical e n R.
R esuelva e ste problem a usando e l m éto d o básico d e la sec­
ción 6-1. Sugerencia: E l so p o rte e n A sólo resiste una fuerza
horizontal y u n m o m en to flexionante.
• 6 -8 . R esuelva e l p ro b lem a 6-7 em p lean d o e l principio de
M üller-Breslau.
n
A
------10 pies-------
* ^ 3
------10 pies— ■
Di -------10 pies— -
Probs. 6 -1 /6 -2
6 -3 . D ibuje las líneas d e influencia p a ra (a ) la reacción
vertical e n -4; (b ) e l m o m en to e n A , y (c) la fu erza c o rta n te
e n R . S uponga q u e el so p o rte e n A e s fijo. R esuelva este
problem a u san d o el m éto d o básico d e la sección 6-1.
•6 -4 . R esuelva e l p ro b lem a 6-3 em pleando e l principio de
M üller-Breslau.
6 -9 . D ibuje la línea de influencia p a ra (a ) la reacción ver­
tical e n i4 ;(b ) la fuerza co rtan te e n B,y (c ) e l m om ento e n B.
Suponga q u e A e stá fijo. R esuelva e ste p ro b lem a u san d o el
m étodo básico d e la sección 6-1.
6 -1 0 . R esuelva e l p ro b lem a 6-9 em p lean d o e l principio de
M üller-Breslau.
s =
-----------7 =---------------a
B
--------------5 p ies-----------------•-------------5 p ies---------------1
Probs. 6-346-4
6 -5 . D ibuje las líneas d e influencia p a ra (a ) la reacción
vertical e n B\ (b ) la fuerza c o rta n te ju s to a la d e re c h a d el o s ­
cilad o r e n A , y (c) e l m o m e n to e n C. R esuelva e ste p ro ­
blem a u san d o el m éto d o básico de la sección 6-1.
6 -6 . R esuelva e l p ro b lem a 6-5 em p lean d o e l principio de
M üller-Breslau.
6 -1 1 . D ib u je las lín eas d e influencia p a ra (a) la reacción
vertical e n A \ (b ) la fuerza c o rta n te e n C , y (c) el m o m en to
e n C. R esuelva e ste p ro b lem a usando e l m éto d o básico de
la sección 6-1.
•6 -1 2 . R esuelva e l p ro b lem a 6 1 1 e m p le a n d o e l principio
d e M üller-B reslau.
6 p i e s 6 pies 6 p i e s
P r o h s . 6 - 5 / 6 - 6
6 p i e s *1* 6 p i e s - r 3 p i e s 3 p i e s —
P r o b s . 6 - 1 1 / 6 - 1 2

248. 2 2 6 C a p i t u l o 6 L I n e a s d e i n f l u e n c i a p a r a e s t r u c t u r a s e s t á t i c a m e n t e d e t e r m i n a d a s
6 -1 3 . D ib u je las líneas d e influencia p a ra (a ) la reacción
vertical e n A ;(b ) la reacción vertical e n B ;(c ) la fu e rz a c o r­
ta n te justo a la d e re c h a d el so p o rte e n A , y (d ) e l m om ento
en C. S uponga q u e el so p o rte e n A está articu lad o y q u e B
e s u n rodillo. R esuelva e ste p ro b lem a usando e l m éto d o b á ­
sico de la sección 6-1.
6 -1 4 . R esuelva e l p ro b lem a 6-13 e m p le a n d o e l principio
de M üller-B reslau.
v . M
H
\-
-----2m —
L -m
P robs. 6-13/6-14
6 -1 5 . L a viga e stá som etida a u n a carga m u e rta uniform e
de 1.2 IcN/m y u n a so la carga viva d e 4 0 kN . D eterm in e (a)
el m om ento m áxim o creado por e sta s cargas e n C, y (b ) la
tuerza co rtan te positiva m áxim a e n C. S u ponga q u e A está
6 articulado y q u e B es u n rodillo.
|- 6 m -|- 6 m -|
1 | J I’
4 0 k N
P ro b . 6 -1 5
6 -1 7 . E n la b a rra se colocarán una carga viva u niform e de
300 Ib/pie y una so la fuerza viva co n cen trad a de 1500 Ib. La
viga tiene u n p eso d e 150 Ib/pie. D eterm in e (a) la reacción
vertical máxim a e n e l so p o rte B, y (b ) e l m om ento negativo
m áxim o e n e l p u n to /L S u p o n g a q u e e ls o p o rte e n -4 está a r ­
ticulado y q u e B es u n rodillo.
6 -1 8 . La viga s o p o rta una carg a m u erta uniform e d e 0.4
k/pie; u n a carg a viva d e 1.5 k/pic. y una so la fu e m i viva co n ­
c en trad a d e 8 k. D eterm in e (a ) e l m o m en to positivo m á­
xim o e n C, y (b ) la reacción vertical positiva m áxim a e n B.
S uponga q u e A es u n rodillo y q u e B está articulado.
*6-16. La viga so p o rta una carga m u erta uniform e d e 500
N/m y u n a so la fuerza viva co n cen trad a d e 3000 N. D e te r­
m ine (a ) e l m om ento p ositivo m áxim o e n C, y (b ) la fuerza
co rtan te positiva m áxim a e n C. S u ponga q u e e l so p o rte en
A e s u n rodillo y q u e B está articulado.
P r o h . 6-16
6-19. l a viga se utiliza para so p o rtar u n a carg a m u e rta de
0.6 k/pie, u n a carga viva de 2 k/pie y una carga viva co n cen ­
trad a de 8 k . D eterm in e (a ) la reacción positiva m áxim a
(hacia a rrib a ) e n A \(b ) e l m om ento positivo m áxim o e n C,
y (c) la fuerza co rtan te positiva máxim a a la derech a d e l s o ­
p o rte e n A . S u ponga q u e e l so p o rte e n A está articu lad o y
q u e B e s u n rodillo.
P r o b . 6 -1 9

249. 6 . 3 L IN E A S D E I N R U E N C I A C U A U T A T V A 2 2 7
•6 -2 0 . l a viga com puesta e stá so m etid a a u n a carga
m uerta u niform e d e 1.5 kN /m y a una so la carg a viva d e 10
k N D eterm in e (a ) e l m o m en to negativo m áxim o cre a d o
por estas cargas e n A , y (b ) la fuerza c o rta n te positiva m á­
xim a e n B . S u ponga q u e A e s u n so p o rte fijo. B está artic u ­
lado y C es u n rodillo.
6 -2 3 . 1.a viga se em plea para so p o rta r una carg a m u erta
d e 800 N/m, una carg a viva d e 4 kN /m y u n a carga viva c o n ­
cen trad a d e 20 kN . D eterm ine (a ) la reacción positiva m á­
xim a (h acia arrib a ) e n B \( b ) e l m o m en to positivo m áxim o
e n C, y (c) la fuerza c o rta n te negativa m áxim a e n C. S u ­
ponga q u e B y D están articulados.
Proh. 6 -2 3
6 -2 1 . ¿D ónde d e b e colocarse una so la carg a viva d e 500 Ib
so b re la viga q u e se m u e s tra .d e m o d o q u e cause el m ayor
m om ento e n D ? ¿Q uó v a lo r tiene ese m om ento? S uponga
q u e el so p o rte e n A es fijo, q u e B está articulado y q u e C es
un rodillo.
p
1
1 C
S ~ - N p = 1
—
o
o
1
— o pies— — 8 pies— 20 pies
Proh. 6-21
6 -2 2 . ¿D ónde d e b e cargarse la viga A B C co n una carga
viva uniform em ente distribuida d e 300 Ib/pie d e m odo q u e
ocasione (a ) e l m ayor m o m en to e n e l p u n to A y (b ) la
m ayor fuerza co rtan te e n D ? C alcule lo s valores d el m o­
m ento y la fu e rz a cortante. S uponga q u e el so p o rte e n A es
fijo, q u e B está articu lad o y q u e C es u n rodillo.
n
L t1 C
U
D
I
— 8 p i e s-—8 p i e s—-
------------20 pies---------------
¿ J
P r o h . 6 - 2 2
•6 -2 4 . La viga se usa para so p o rtar u n a carg a m u erta de
400 Ib/pie, u n a carga viva d e 2 k/pic y u n a c a rg a viva co n ­
cen trad a d e 8 k. D eterm in e (a ) la reacción vertical positiva
m áxim a e n <4;(b) la fuerza c o rta n te positiva m áxim a ju s to a
la derech a d el so p o rte e n A , y (c ) e l m om ento negativo m á­
xim o e n C. S uponga q u e A e s u n rodillo, C e stá fijo y B e stá ¿
articulado.
Proh. 6 -2 4
6 -2 5 . La viga se usa para so p o rtar una carga m u e rta de
500 Ib/pie, u n a carg a viva d e 2 k/pic y u n a c a rg a viva c o n ­
cen trad a d e 8 k . D eterm in e (a ) la reacción positiva m áxim a
(hacia arriba) e n -4;(b) e l m om ento positivo m áxim o e n £,
y (c ) la fuerza co rtan te positiva m áxim a a la d e re c h a d el s o ­
porte e n C. S uponga q u e A y Cso n rodillos y q u e D está a r ­
ticulado.
P r o h . 6 - 2 5

250. 2 2 8 Ca p i t u l o 6 L I n e a s d e i n f l u e n c i a p a p a e s t r u c t u r a s e s t á t i c a m e n t e d e t e r m i n a d a s
6 .4 Líneas d e influe ncia para vigas
d e piso
O c a s io n a lm e n te , lo s s is te m a s d e p is o s e c o n s tr u y e n c o m o s e m u e s tr a e n
la fig u ra 6 - 2 0 a , d o n d e p u e d e o b s e r v a r s e q u e la s c a r g a s d e l p is o se t r a n s ­
m ite n d e la s lo s a s a la s vigas d e p i s o , lu e g o a la s ira b e s la te ra le s y, f in a l­
m e n te , a la s c o lu m n a s d e s o p o r te . E n la v is ta d e p l a n t a d e la f ig u r a 6-20¿>
s e m u e s tr a u n m o d e lo id e a liz a d o d e e s t e s is te m a . A q u í se s u p o n e q u e la
lo s a e s d e u n a s o la v ía y s e d iv id e e n c la r o s s im p le m e n te a p o y a d o s q u e
d e s c a n s a n s o b r e la s v ig a s d e p is o . A d e m á s , la t r a b e e s t á s im p le m e n te
a p o y a d a e n la s c o lu m n a s . D a d o q u e la s tr a b e s s o n lo s p r in c ip a le s e l e ­
m e n to s d e c a r g a e n e s t e s is te m a , a v e c e s e s n e c e s a r io c o n s t r u ir s u s lín e a s
d e in f lu e n c ia d e f u e r e a c o r t a n te y d e m o m e n to . E s to e s e s p e c ia lm e n te
c ie r to p a r a lo s e d ific io s in d u s tria le s q u e s e s o m e t e n a f u e r te s c a r g a s c o n ­
c e n tr a d a s . E n e s te s e n t id o , te n g a e n c u e n ta q u e u n a c a rg a u n ita r ia s o b r e
la lo s a d e l p is o s e tr a n s f ie r e a la t r a b e s ó lo e n lo s p u n to s d o n d e h a y c o n ­
ta c t o c o n la s v ig a s d e p is o , e s d e c ir , e n lo s p u n to s A , B , C y D . E s to s p u n ­
to s s e d e n o m i n a n p u n to s d e p a n e l y la re g ió n q u e e x is te e n t r e e s to s
p u n to s s e lla m a p a n e l,c o m o B C e n la f ig u r a 6-20¿>.
6
_______i
1
1
F* Fe
R ___C
i— i- f
P
(c)
t
Ffl
V " '
d - -V p
<d>
Figura 6 -2 0

251. 6 . 4 L IN F A S D E IN F L U E N C IA PA R A V IG A S D E P IS O 2 2 9
L a lín e a d e in f lu e n c ia p a r a u n p u n t o e s p e c íf ic o s o b r e l a v ig a p u e d e
d e te r m i n a r s e m e d i a n te e l m is m o p r o c e d i m i e n to e s t á ti c o q u e se u s ó e n
la se c c ió n 6-1, e s d e c ir , c o lo c a r la c a rg a u n it a r i a e n d iv e r s o s p u n to s x d e la
lo sa d e l p is o y c a lc u la r s ie m p r e la fu n c ió n ( d e f u e r z a c o r t a n te o d e m o ­
m e n to ) e n e l p u n to e s p e c ífic o P d e la v ig a , fig u ra 6 -2 0 6 . A l g r a f ic a r e s to s
v a lo r e s e n fu n c ió n d e x se o b ti e n e la lí n e a d e in f lu e n c ia p a r a la fu n c ió n
e n P . E n p a r tic u la r , e l v a lo r p a r a e l m o m e n to in t e r n o e n u n p a n e l d e la
tr a b e d e p e n d e r á d e d ó n d e se e lija e l p u n t o P p a r a la lín e a d e in f lu e n c ia ,
p u e s to q u e la m a g n itu d d e M p d e p e n d e d e la u b ic a c ió n d e l p u n t o d e s d e
e l e x tr e m o d e la tr a b e . P o r e je m p lo , si la c a rg a u n ita r ia a c tú a s o b r e la lo sa
d e l p is o c o m o s e m u e s tr a e n la fig u ra 6 -2 0 c , p r i m e r o s e e n c u e n t r a n las
re a c c io n e s F fl y F (; s o b r e la lo s a y lu e g o s e c a lc u la n la s r e a c c io n e s e n lo s
s o p o r te s F ! y F¿ s o b r e la tr a b e . D e s p u é s s e d e te r m i n a e l m o m e n to i n ­
t e r n o e n P m e d ia n te e l m é t o d o d e la s se c c io n e s, fig u ra 6 -2 0d . E s to r e ­
s u lta e n M p = F \d - F g f d - s). ft>r m e d io d e u n a n á lisis s im ila r , e s
p o s ib le d e t e r m i n a r la f u e iz a c o r t a n te in t e r n a \ P. S in e m b a r g o , e n e s te
c a s o V P s e r á c o n s ta n te a lo la r g o d e l p a n e l B C ( V P = F y — F B) y, p o r lo
ta n to , n o d e p e n d e d e la u b ic a c ió n e x a c t a d d e /* e n e l p a n e l. P o r e s t a
ra z ó n , la s lín e a s d e in f lu e n c ia p a r a la f u e r z a c o r t a n te e n v ig a s d e p is o se
e s p e c ific a n p a r a lo s p a n e le s d e la t r a b e y n o e n p u n to s e s p e c ífic o s a lo
la rg o d e é s t a . I-a f u e r z a c o r ta n te s e c o n o c e e n to n c e s c o m o fu e r z a c o r ­
ta n te d e p a n e l.T a m b ié n d e b e h a c e r s e n o t a r q u e c o m o la tr a b e s ó l o s e ve
a fe c ta d a p o r la s c a r g a s tr a n s m itid a s p o r la s v ig a s d e p is o , g e n e r a lm e n te 6
la c a rg a u n it a r i a s e c o lo c a e n c a d a u b ic a c ió n d e la s v ig a s d e p is o p a r a e s ­
ta b le c e r lo s d a t o s n e c e s a r io s p a r a d ib u j a r la lí n e a d e in flu e n c ia .
L os s ig u ie n te s e je m p lo s n u m é ric o s d e b e n c la r if ic a r e l an álisis d e fu e rz a s.
E l d i s e ñ o d e l s i s t e m a d e l p i s o e n c a l e a l m a c é n d e b e t e n e r e n
c u e n t a l a s u b i c a c i o n e s c r í t i c a s d e l o s m a t e r i a l e s d e a l m a c e n a ­
m i e n t o s o b r e e l p i s o . P a r a e s t e p r o p ó s i t o d e b e n u t i l i z a r s e l í ­
n e a s d e i n f l u e n c i a . { F o t o g r a f í a c o r t e s í a d e P o r t l a n d C e m e n t
A s s o c i a t i o n ) .

252. 2 3 0 C a p i t u l o 6 L I n e a s d e i n f l u e n c i a p a r a e s t r u c t u r a s e s t á t i c a m e n t e d e t e r m i n a d a s
EJEMPLO 6.13
f i g u r a 6 - 2 1
XVCD
0 0333
100
20 -0 3 3 3
300333
40 0
(b)
le n x = 0
f c
1-10 pies-
í
t
T
T
-30p
G , M
2A/G - 0 ; F , - 0 3 3 3 t
V£D
D ib u je l a lí n e a d e in f lu e n c ia p a r a la f u e r z a c o r la n te e n e l p a n e l C D de
la v ig a d e p i s o q u e s e m u e s tr a e n la fig u ra 6 - 2 la .
H M B C P F.
£
■10 pies
- G
10 pies 10 pies—(—10 pies —)
<«)
S O L U C IÓ N
T a b u la c ió n d e v a lo re s . La c a r g a u n it a r i a s e c o lo c a e n c a d a u b ic a -
d ó n d e la s v ig a s d e p is o y se c a lc u la la f u e r z a c o r ta n te e n e l p a n e l C D .
E n l a f ig u r a 6 -2 I b s e m u e s tr a u n a ta b l a c o n lo s r e s u lta d o s . L o s d e ta lle s
cb lo s c á lc u lo s , c u a n d o x = ü y x = 20 p ie s , s e d a n e n la s fig u ra s 6-21 c
y 6 - 2 1</, r e s p e c tiv a m e n te . O b s e r v e c ó m o , e n c a d a c a s o , p r i m e r o s e
c a lc u la n la s re a c c io n e s d e las v ig a s d e p is o s o b r e la tr a b e , lu e g o se d e ­
te r m in a la r e a c c ió n d e l s o p o r te e n e l p u n t o Fd e la t r a b e ( G , n o e s n e ­
c e s a r io ), y f in a lm e n te s e c o n s id e r a u n s e g m e n to d e la tr a b e y s e c a lc u la
la f u e r z a c o r t a n t e d e p a n e l i n t e r n a V Cf> . C o m o e je r c ic io , v e rifiq u e lo s
v a lo r e s d e V c d c u a n d o x10 p ie s . 3 0 p ie s y 4 0 p ie s .
■ 20 piesen x
l
1
Fy - 0333
0; V 'o = 0.333
*^-10 pies-
M |
VCD
-20 p in J
I M ( ; = 0 ^ = 0 3 3 3
t
Fy - 0333
1 F .- 0 - .Vc d- -03 3 3
(c) « 0
L ín e a d e in flu e n c ia . S i s e g r a f ic a n lo s v a lo r e s ta b u l a r e s y s e c o n e c ­
t a n lo s p u n to s c o n s e g m e n to s d e lí n e a r e c ta , la lín e a d e in f lu e n c ia r e ­
s u l ta n t e p a r a V CD e s c o m o s e m u e s tr a e n la fig u ra 6.2 le .
CD
0 3 3 3
0333
10 *
-0 3 3 3
40
Nnca de influencia para Vcn
(e)

253. 6 . 4 L IN F A S O E IN F L U E N C IA P A S A V IG A S D E P IS O 2 3 1
EJEMPLO 6 .1 4
D ib u je la lín e a d e in f lu e n c ia p a r a e l m o m e n to e n e l p u n t o F d e la
tr a b e d e p is o q u e se m u e s tr a e n la fig u ra 6 -2 2 a .
XM r
0 0
2 0 .4 2 9
4 0 .8 5 7
8 2.571
10 2 .4 2 9
12 2 2 8 6
16 0
(b)
Figura 6 -2 2
S O L U C IÓ N
T a b u la c ió n d e v a lo re s . L a c a rg a u n ita r ia se c o lo c a e n r = 0 y e n
c a d a p u n to p o s t e r io r e n e l p a n e l. L o s v a lo r e s c o r r e s p o n d ie n te s p a r a
M F se c a lc u la n y s e m u e s tr a n e n la ta b la , fig u ra 6 -2 2b . L o s d e ta l le s d e
b s c á lc u lo s p a r a i = 2 m s e m u e s tr a n e n la f ig u r a 6 -2 2 c. A l ig u a l q u e
e n e l e je m p lo a n te r io r , p r im e r o e s n e c e s a r io d e te r m i n a r la s r e a c c io n e s
d e las v ig a s d e p is o s o b r e l a tr a b e , s e g u id a s p o r la d e te r m in a c ió n d e la
re a c c ió n d e la t r a b e d e a p o y o G y ( H v n o e s n e c e s a r ia ) y, f i n a lm e n te .s e
c o n s id e r a e l s e g m e n to G Fd e la v ig a y s e c a lc u la e l m o m e n to in t e r n o
M f. C o m o e je r c ic io , d e te r m i n e lo s o t r o s v a lo r e s d e M f lis ta d o s e n la
fig u ra 6 -2 2b .
L ín e a d e in flu e n c ia . A l g r a f ic a r lo s v a lo r e s d e la ta b la s e o b ti e n e la
lín e a d e in f lu e n c ia p a r a MF,f i g u r a 6 -2 2d.
I en * - 2 m
U i A - 0 ; R , - 0 .5
- 0 5
L - J
' A
| 8 m [£ 6 m í
M r
n * 2 M „ - 0 ; G , - 0 .0 7 1 4
M,
S A Í , - 0 ; M , - 0 .4 2 9 | *
'Vd 1“
-----6
(C>
m —f
G r ~ 0^)714
(d>

254. 2 3 2 C a p i t u l o 6 L I n e a s d e i n f l u e n c i a p a p a e s t r u c t u r a s e s t á t i c a m e n t e d e t e r m i n a d a s
6 .5 Lineas de influencia para armaduras
L o s e l e m e n t o s d e e s t e p u e n t e d e a r m a d u r a s se
d i s e ñ a r o n u s a n d o l a s l i n c a s d c i n f l u c n c i a . d c
a c u e r d o c o n la s e s p e c if ic a c io n e s d e A A S I I T O .
L a s a r m a d u r a s s e u tiliz a n c o m o e le m e n to s p r in c ip a le s p a r a e l s o p o r te d e
c a r g a s e n p u e n te s . P o r lo ta n t o , p a r a e l d is e ñ o e s im p o r ta n te p o d e r c o n s ­
tr u ir la s lín e a s d e in f lu e n c ia d e c a d a u n o d e su s e le m e n to s . C o m o se
m u e s tr a e n la fig u ra 6 -2 3 , la c a r g a s o b r e la c u b ie r ta d e l p u e n te s e t r a n s ­
m ite a lo s la r g u e ro s , q u e a s u v e z tr a n s m ite n la c a rg a a la s v ig a s d e p is o y
lu e g o a la s ju n ta s a lo la r g o d e la c u e r d a in f e r io r d e la a r m a d u r a . D a d o
q u e lo s e le m e n to s d e la a r m a d u r a s ó l o s e v e n a f e c ta d o s p o r la c a r g a e n
la s ju n ta s , e s p o s ib le o b t e n e r lo s v a lo r e s d e la s o r d e n a d a s d e l a lín e a d e
in f lu e n c ia p a r a u n e le m e n to a l c a r g a r c a d a j u n t a a lo la r g o d e l a c u b ie r ta
c o n u n a c a r g a u n ita r ia , p a r a d e s p u é s u s a r e l m é to d o d e lo s n u d o s o e l
m é to d o d e la s s e c c io n e s a f i n d e c a lc u la r l a f u e r z a e n e l e le m e n to . L os
d a to s p u e d e n d is p o n e r s e e n f o r m a ta b u la r , lis ta n d o la “ c a r g a u n it a r i a e n
la j u n t a ” c o n tr a la “f u e r z a e n e l e l e m e n t o ” C o m o u n a c o n v e n c ió n , s i la
f u e r z a e n e l e le m e n to e s d e te n s ió n s e c o n s id e r a u n v a lo r p o s i t i v o ,y s i e s
d e c o m p r e s ió n e l v a lo r s e r á n e g a tiv o . L a lí n e a d e in f lu e n c ia p a r a e l e l e ­
m e n t o s e c o n s tr u y e a l g ra f íc a r lo s d a t o s y d ib u j a r lín e a s r e c t a s e n t r e lo s
p u n to s .
L os s ig u ie n te s e je m p lo s ilu s tr a n e l m é to d o d e c o n s tru c c ió n .
c u e r d a
s u p e r i o r
r e f u e r z o
d e l p o rta l"
c u b ie r ta
la r g u e r o s
r e f u e r z o
l a t e r a l
r e f u e r z o
c o n t r a l a d e o
c u e r d a i n f e r i o r
v i g a d e p is o
H gura 6 -2 3

255. 6 . 5 L IN E A S D E IN F L U E N C IA P A R A A R M A D U R A S 2 3 3
EJEMPLO 6 .1 5
D ib u je la lín e a d e in f lu e n c ia p a r a l a f u e r z a e n e l e l e m e n t o G B d e la
a r m a d u r a d e p u e n te q u e s e m u e s tr a e n la f ig u r a 6 -24a.
S O L U C IÓ N
T a b u la c ió n d e v a l o r e s . A q u í, a c a d a j u n t a s u c e s iv a e n la c u e r d a in ­
fe r io r s e le a g re g a u n a c a r g a u n it a r i a y se c a lc u la la f u e r z a e n e l e l e ­
m e n to G B a p lic a n d o e l m é to d o d e la s s e c c io n e s , fig u ra 6 -2 4 6 . P o r
e je m p lo , a l c o lo c a r la c a r g a u n it a r i a e n x = 6 m ( j u n ta B ) , p r i m e r o se
c a lc u la la r e a c c ió n e n e l s o p o r t e E , fig u ra 6 -2 4 a , y lu e g o se p a s a u n a
se c c ió n a tr a v é s d e H G , G B , B C y a is la n d o e l s e g m e n to d e la d e r e c h a ,
se d e t e r m i n a la f u e r z a e n G B , fig u ra 6 -2 4 c . D e la m is m a m a n e r a , se
d e te r m in a n lo s o t r o s v a lo r e s e n lis ta d o s e n la ta b la .
L ín e a d e in f lu e n c i a . A l g ra f ic a r lo s d a t o s t a b u l a r e s y c o n e c t a r lo s
p u n to s s e o b t i e n e la lí n e a d e in f lu e n c ia p a r a e l e l e m e n t o G B , fig u ra
6 -2 4 d . C o m o la lín e a d e in f lu e n c ia s e e x ti e n d e p o r to d o e l c la r o d e la
a r m a d u r a , e l e l e m e n t o G B s e c o n o c e c o m o u n e le m e n to p r im a r io .
E s to s ig n ific a q u e G B e s tá s o m e ti d o a u n a f u e r z a , i n d e p e n d i e n te ­
m e n te d e d ó n d e e s té c a r g a d a la c u b ie r ta d e l p u e n te ( c a r r e te r a ) , e x ­
c e p to . p o r s u p u e s to , e n x ■ 8 m . E l p u n t o d e f u e r z a c e r o , x ■ 8 m . se
d e te r m in a p o r tr iá n g u lo s s e m e ja n t e s e n t r e x = 6 m y x ■ 12 m , e s
d e c ir , (0 .3 5 4 + 0 .7 0 7 )/(1 2 - 6 ) - 0 .3 5 4 / x \ x ' - 2 m .d e m o d o q u e x - 6
+ 2 = 8 m .
Fon
fzl±
- 0 3 5 4
0.7 0 7
lin c a d e i n f l u e n c i a p a i a FOB
(d)
XFg b
0 0
6 0 3 5 4
12 - 0 . 7 0 7
18- 0 3 5 4
2 4 0
( b )
S F , - 0 ; 0 .2 5 F UB s e n 4 5 ° - 0
Fg b = 0 3 5 4
(c )
0 3 5

256. 2 3 4 C a p i t u l o 6 L I n e a s d e i n f l u e n c i a p a r a e s t r u c t u r a s e s t á t i c a m e n t e d e t e r m i n a d a s
EJEMPLO 6.16
I - *
(a)
rco
D ib u je l a lín e a d e in f lu e n c ia p a r a la f u e r a e n e l e le m e n to C G d e la
a r m a d u r a d e p u e n te q u e s e m u e s tr a e n la f ig u r a 6 -2 5 a .
Fea
X Fac
0 0
6 0
1 21
1 8 0
2 4 0
Fea Feo
( b )
I
( c )
H gura 6 -2 5
S O L U C IÓ N
T a b u la c ió n d e v a lo r e s . E n la fig u ra 6-25¿> se m u e s tr a u n a ta b la c o n
la p o s ic ió n d e la c a r g a u n it a r i a e n las ju n t a s d e la c u e r d a in f e r io r c o n ­
tr a la f u e r z a e n e l e l e m e n t o C G . E s to s v a lo r e s s e o b t i e n e n fá c ilm e n te
al a is la r la j u n t a C .f ig u r a 6 -2 5 c. A q u í se v e q u e C G e s u n e le m e n to d e
f u e r z a c e r o a m e n o s q u e la c a r g a u n ita r ia s e a p liq u e e n la j u n t a C .e n
c u y o c a s o F ^ - 1 (T ).
L ín e a d e in flu e n c ia . A l g ra f ic a r lo s d a t o s ta b u l a r e s y c o n e c t a r lo s
p u n to s se o b ti e n e la lín e a d e in f lu e n c ia p a r a e l e l e m e n t o C G c o m o se
m u e s tr a e n la fig u ra 6 - 2 5 d .E n p a r t ic u l a r , o b s e r v e q u e c u a n d o la c a rg a
u n ita r ia e s t á e n x = 9 m . la f u e r z a e n e l e l e m e n t o C G e s FCG = 0.5.
E s ta s itu a c ió n r e q u i e r e q u e la c a r g a u n it a r i a s e u b iq u e s o b r e la c u ­
b ie r ta d e l p u e n te e n tr e las ju n t a s . L a tr a n s f e r e n c ia d e e s t a c a rg a d e s d e
la c u b ie r ta h a s ta la a r m a d u r a s e m u e s tr a e n la fig u ra 6 -2 5 e . A p a r tir d e
e s t o p u e d e v e rs e q u e , e f e c tiv a m e n te . F Cg = 0.5 a l a n a li z a r e l e q u il i­
b r io d e l a j u n t a C , fig u ra 6 -2 5 /. D a d o q u e l a lí n e a d e in f lu e n c ia p a r a
C G n o se e x tie n d e a to d o e l c la r o d e l a a r m a d u r a , f ig u r a 6 - 2 5 d .e l e l e ­
m e n t o C G x c o n o c e c o m o u n e le m e n to s e c u n d a r io .
l i n c a ü c i n f l u e n c i a p a r a FCa
(d)
c a r g a d e l a a r m a d u r a
( e )
F e o- 0 5
le f
0 5
( 0
CD

257. 6 . 5 L IN E A S D E IN F L U E N C IA P A R A A R M A D U R A S 2 3 5
EJEMPLO 6 .1 7
P a r a d e te r m i n a r l a fu e rz a m á x im a e n c a d a e le m e n to d e l a a r m a d u r a W a-
rre n q u e s e m u e s tra e n la fo to g ra fía , p rim e ro d e b e n d ib u ja rs e la s lín e a s
d e influencia d e lo s e le m e n to s. S i se c o n sid e ra u n a a rm a d u ra sim ilar a la de
la fig u ra 6.26a, d e te r m in e la f u e r z a m á s g ra n d e q u e p u e d e d e s a rro lla rs e
e n e l e le m e n to B C d e b id a a u n a fuei7.a m ó v il d e 2 5 k y u n a c a rg a m óvil
d is trib u id a d e 0.6 le/pie. 1.a c a rg a se a p lic a e n la c u e rd a s u p e rio r.
- 2 0 p i e s - j- 2 0 p i c s - j - 2 0 p i e s j- 2 0 p i e s - |
X Fb c
0 0
2 0 1
4 0 0 . 6 6 7
6 0 0 3 3 3
8 0 0
( b )
(a) fig u ra 6 -2 6
S O L U C IÓ N
T a bu la ció n d e v a lo re s . E n la fig u ra 6-26b s e m u e s tr a u n a ta b la d e la
p o s ic ió n . t d e la c a rg a u n ita r ia e n la s ju n ta s a lo la r g o d e la c u e r d a s u p e ­
rio r c o n tr a la f u e r z a e n e l e le m e n to B C . P a r a lo s c á lc u lo s p u e d e u s a rs e
el m é to d o d e la s seccio n es. P o r e je m p lo , c u a n d o la c a rg a u n ita r ia e s t á en
la j u n t a / ( x = 2 0 p ie s ) , fig u ra 6 -2 6 a , p r im e r o s e d e te r m in a la re a c c ió n
E y (E y = 0.2 5 ). D e sp u é s, la a r m a d u r a s e s e c c io n a a tra v é s d e B C , I C y
/ / / y s e a ís la e l s e g m e n to d e la d e re c h a , f ig u r a 6-2 6 c. F/k- se o b tie n e al
s u m a r lo s m o m e n to s r e s p e c to a l p u n t o / , p a r a e lim in a r F /// y F /c . L os
d e m á s v a lo re s d e la f ig u r a 6 -2 6b se d e te r m in a n d e ig u a l m a n e ra .
L ín e a d e in flu e n c ia . A l g r a f ic a r lo s v a lo r e s ta b u l a r e s se o b ti e n e la
lín e a d e in f lu e n c ia , fig u ra 6 -2 6d . P o r in s p e c c ió n . B C e s u n e le m e n to
p rim a rio . ¿ P o r q u é ?
F u e rz a v iv a c o n c e n tr a d a . 1.a m a y o r f u e r z a e n e l e le m e n to B C
o c u r r e c u a n d o la f u e r e a m ó v il d e 2 5 k s e c o lo c a e n x = 2 0 p i e s P o r lo
ta n to ,
Fr c = ( L 0 0 ) ( 2 5 ) = 2 5 .0 k F*
C a rg a v iv a d is tr ib u id a . L a c a rg a viva u n if o r m e d e b e c o lo c a rs e
s o b r e t o d a la c u b ie r ta d e la a r m a d u r a p a r a c r e a r la m a y o r f u e r z a d e
te n s ió n B C * E n to n c e s ,
Fa t - 1.00 ( T )
(c)
Fb c = [J ( 8 0 ) ( 1 .0 0 ) ] 0 .6 = 2 4 .0 k
2 0
lin c a d e i n f l u e n c i a p a r a Fb c
<d)
8 0
F u e rz a m á x im a t o t a l.
( F B c ) m i x2 5 .0 k + 2 4 .0 k = 4 9 .0 k R esp.
• L a m a y o r f u e r z a d e te n s i ó n e n e l e l e m e n t o G B d e l e j e m p l o 6 1 5 s e c r e a c u a n d o la
c a r g a d i s t r i b u i d a a c t ú a s o b r e la c u b i e r t a d e la a r m a d u r a d e s d e x = 0 h a s t a x e 8 m , f i ­
g u r a 6 2 4i .

258. 2 3 6 C a p i t u l o 6 L I n e a s d e i n f l u e n c i a p a r a e s t r u c t u r a s e s t á t i c a m e n t e d e t e r m i n a d a s
PROBLEMAS
6 -2 6 . U n a carg a viva uniform e de 1.8 kN/m y u n a sola
tuerza viva co n cen trad a d e 4 kN se colocan so b re las vigas
de piso. D eterm in e (a ) la fuerza c o rta n te positiva máxim a
en e l p an el B C de la trab e, y (b ) el m om ento m áxim o e n el
p u n to G de la trabe.
6 -2 9 . D ibuje la linea de influencia para (a ) la fuerza c o r­
tante e n e l p a n e l B C de la trab e, y (b ) e l m o m en to e n D .
A
L
HI G
C
- t \ c — _
D i £
i \ C —
_i t C m
0 2 5 m 0 2 !
U j m —
i m
—l O n y U.3 in
P ro h . 6 -2 6
6 -2 7 . U n a carg a viva uniform e de 2 8 kN/m y u n a sola
tuerza viva co n cen trad a de 2 0 kN se colocan so b re las vigas
de piso. Si las vigas tam bién so p o rtan u n a carg a m u e rta uni­
form e d e 700 N /m , d eterm in e (a) la fuerza c o rta n te positiva
m áxim a e n el p a n e l B C de la trab e y (b ) el m o m en to posi­
tivo m áxim o en el p u n to G de la trab e.
6 -3 0 . U n carg a viva u niform e de 250 Ib/pie y u n a sola
fuerza viva co n cen trad a de 1.5 k d e b e n colocarse so b re las
« g a s de piso. D eterm in e (a ) la fuerza co rtan te positiva m á­
xim a en e l p a n e l A B , y (b ) e l m om ento m áxim o e n D . S u ­
ponga q u e e n los so p o rtes sólo se pro d u cen reacciones
verticales.
1—15 m
----
G
0.75 m 0.75 m
- 1 5 m -
d 6 2 X F
- 1 5 m-
P ro b .6 -2 7
-1.5 m-
*6-28. U na carga viva uniform e d e 2 k /p ic y u n a sola
fuerza viva co n cen trad a de 6 k se colocan so b re las vigas de
piso. Si las vigas tam bién so p o rta n una carga m u erta uni­
form e d e 350 Ib/pie, d eterm in e (a ) la fuerza co rtan te posi­
tiva m áxim a d e l p a n e l C D de la trab e, y (b ) el m om ento
negativo m áxim o en el p u n to D de la trab e. S u ponga q u e el
so p o rte e n C es u n rodillo y q u e E e stá articulado.
6 -3 1 . U n a carg a viva u niform e d e 0.6 k/pic y u n a sola
tuerza viva co n cen trad a d e 5 k d eb en colocarse so b re las
« g a s superiores. D e te rm in e (a ) la fuerza c o rta n te positiva
máxim a e n e l p a n e l B C de la tra b e , y (b ) e l m o m en to posi­
tivo m áxim o e n C. S u ponga q u e e l so p o rte e n B es u n ro d i­
llo y q u e D está articulado.
P r o h . 6 - 2 8 P r o h . 6 - 3 1

259. 6 . 5 L h J E A S D E IN F L U E N C IA P A R A A R M A D U R A S 2 3 7
•6 -3 2 . D ib u je la línea d e influencia p a ra e l m o m en to e n el
p u n to F de la tra b e . D eterm in e el m o m en to vivo positivo
m áxim o e n e l p u n to F de la trab e, si una so la fuerza viva
co n centrada d e 8 k N se m ueve a trav és d e las vigas d e piso
su p e rio re s S u ponga q u e los so p o rte s d e to d o s los e le m e n ­
tos só lo p u e d e n e je rc e r fuerzas h acia a rrib a o h acia ab ajo
so b re lo s elem entos.
6 -3 5 . D ib u je la línea d e influencia para la fu e rz a co rtan te
e n el p a n e l C D de la trab e. D e te rm in e la fu e rz a co rtan te ne­
gativa m áxim a e n e l p an el C D .d eb id a a una carg a viva u n i­
form e d e 500 lb/pic q u e a c tú a so b re las vigas superiores.
P ro h . 6 -3 2 P ro h . 6 -3 5
6 -3 3 . U na carg a viva uniform e d e 4 k/pie y u n a so la fuerza
viva co n cen trad a d e 2 0 k se colocan so b re las vigas d e piso.
Si las vigas tam bién so p o rtan u n a carg a m u e rta u niform e de
700 Ib/pie, d eterm in e (a ) la fuerza c o rta n te negativa m á­
xim a en el p an el D E <fc la trab e, y (b ) el m om ento negativo
m áxim o e n e l p u n to C <fe la trabe.
•6 -3 6 . U na carg a viva uniform e d e 6 kN /m y u n a sola
fuerza viva co n cen trad a d e 15 k N se colocan so b re las vigas
d e piso. Si las vigas tam b ién so p o rtan una carg a m u erta uni- 6
form e d e 600 N /m ,d eterm in e (a ) la fuerza c o rta n te positiva
m áxim a e n el p a n e l C D de la trab e, y (b ) el m om ento p o si­
tivo m áxim o en e l p u n to D de la trabe.
— - . _ f
.....f —
^
- £ b —
--------4 m---------1--------4 m---------
c
--------4 m-------
v - = 3 ?
-------4 m---------1
P ro h . 6 -3 3 P ro h . 6 -3 6
6 -3 4 . U na carga viva uniform e d e 0.2 k/pie y una sola fuerza
viva co n centrada de 4 k se colocan sobre las vigas d e piso. D e­
term ine (a) la fuerza co rtan te positiva máxim a e n el p an el DF.
tfe la tra b e ,y (b ) el m om ento positivo m áxim o e n H.
6 -3 7 . U na carg a viva u niform e d e 1.75 kN /m y u n a sola
fiierza viva co n cen trad a d e 8 kN se colocan so b re las vigas
d e piso. Si las vigas tam b ién so p o rtan una carg a m u erta u n i­
form e de 250 N /m ,d eterm in e (a ) la fuerza c o rta n te negativa
m áxim a e n e l p a n e l B C de la trab e, y (b ) e l m o m en to p o si­
tivo m áxim o e n B.
j-
---------------- 3 m •{• 1.5 m —- -—1-5 m —|
1 % “ -
- t r c i 0
-
P r o h . 6 - 3 4 P r o h . 6 - 3 7

260. 2 3 8 C a p i t u l o 6 L I n e a s d e i n f l u e n c i a p a r a e s t r u c t u r a s e s t á t i c a m e n t e d e t e r m i n a d a s
6 -3 8 . D ib u je la línea d e influencia p a ra la f u e r a e n (a ) el
e lem en to K J y (b ) e l e lem en to CJ.
6 -3 9 . D ib u je la línea d e influencia p a ra la f u e r a e n (a ) el
e lem en to y /;(b ) e l e le m e n to IF , y (c ) e l e le m e n to EF.
|*6 pies—1—6P*es—) 6 pies—|—6 p i e s - ^ 6 p ie s -|-6 pies-]
6 -4 5 . D ib u je la línea d e influencia p a ra la fuerza e n (a ) el
elem en to F .tl y (b ) e l e lem en to JF .
6 -4 6 . D ibuje la línea d e influencia p a ra la fuerza e n e l ele­
m ento JI.
6 -4 7 . D ib u je la línea d e influencia p a ra la fuerza e n e l ele­
m e n to A L .
L K J
Probs. 6 -3 8 /6 -3 9 Prob*. 6-45/6-46/6-47
*6-40. D ib u je la línea d e influencia p a ra la fu e rz a e n el
e lem en to KJ.
6 -4 1 . D ibuje la línea d e influencia p a ra la fuerza e n e l e le ­
m e n to JE.
*6-48. D ib u je la línea d e influencia p a ra la fu e rz a e n el
e lem en to B C de la arm ad u ra W arren. Indique los v alores
num éricos d e los picos.T odos los e lem en to s tien en la mism a
longitud.
[-8 pies—|—8 pies—J—H pies— 8 pies- {-8 pies—[-8 p i c s - |
Probs. 6-40/6-41 Prob. 6-48
6 -4 2 . D ib u je la línea d e influencia p a ra la fuerza e n e l e le ­
m e n to CD .
6 -4 3 . D ibuje la línea d e influencia p a ra la fuerza e n e l e le ­
m e n to JK .
*6-44. D ibuje la línea d e influencia p a ra la fuerza e n el
e lem en to D K .
6 -4 9 . D ib u je la línea d e influencia p a ra la fuerza e n e l ele­
m ento B F de la arm ad u ra W arren. Indique lo s valores
num éricos d e los picos.T odos lo s e lem en to s tien en la misma
longitud.
6 -5 0 . D ib u je la línea d e influencia p a ra la fuerza e n e l ele­
m ento F E de la arm ad u ra W arren. Indique lo s valores
num éricos d e los picos.T odos los e lem en to s tien en la m ism a
longitud.
Probs. 6-42/6-43/6-44 P r o b s . 6 -4 9 /6 -5 0

261. 6 . 5 L h J E A S D E IN F L U E N C IA P A R A A R M A D U R A S2 3 9
6 -5 1 . D ibuje la línea d e influencia p a ra la fuerza e n el ele­
m ento C L .
*6-52. D ibuje la línea de influencia p a ra la fu e rz a e n el
e lem en to D L .
6 -5 3 . D ibuje la línea d e influencia para la fuerza e n e l e le ­
m ento CD .
•6 -5 6 . D ibuje la línea d e influencia p a ra la fuerza e n el
e lem en to G D . luego d e te rm in e la fuerza m áxim a (e n te n ­
sión o com presión) q u e p u ed e d esarro llarse en e ste ele­
m ento deb id o a una carg a viva uniform e d e 3 kN /m q u e
actúa so b re la cu b ierta del p u e n te a lo largo de la c u e rd a in ­
ferior d e la arm adura.
6 ® 9 pies - 54 pies
-------
Probs. 6-51/6-52/6-53 P ro h . 6 -5 6
6 -5 4 . D ibuje la línea d e influencia p a ra la fuerza e n el ele
m entó CD .
6 -5 7 . D ibuje la linca d e influencia p a ra la fu e rz a e n el ele­
m ento C D y después d e term ine la fuerza m áxim a (e n tensión
o com presión) q u e p u e d e d esarro llarse en este e lem en to
deb id o a la carga viva uniform e d e 800 Ib/pie, la c u a l a c tú a a
lo largo d e la cu e rd a inferior d e la a rm a d u ra . 6
P ro b . 6 -5 4 P ro b . 6 -5 7
6 -5 5 . D ibuje la línea d e influencia p a ra la fuerza e n e l ele­
m ento KJ.
6 -5 8 . D ibuje la línea d e influencia p a ra la fu e rz a e n e l e le ­
m ento C F y después efetermine la fuerza m áxim a ( e n tensión
o com presión) q u e p u e d e d esarro llarse en este e lem en to
deb id o a la carg a viva uniform e d e 800 Ib/pie, q u e se tra n s­
mite a la a rm a d u ra lo largo de s u cu e rd a inferior.
P ro b . 6-58

262. 2 4 0 C a p i t u l o 6 L I n e a s d e i n f l u e n c i a p a r a e s t r u c t u r a s e s t á t i c a m e n t e d e t e r m i n a d a s
Cuando el Iren pasa so b ic esle puente de
vigas, la locom otora y sus vagones ejercen
reacciones verticales sobre la trabe. Para el
diseño del puente, deben considerarse estas
reacciones junto con la carga m uerta del
puente.
6
6 .6 In flu e n d a m áxim a en un p u n to
d e b id o a una serie d e cargas
concentradas
U n a v e z q u e s e h a e s ta b le c id o la lín e a d e in f lu e n c ia d e u n a fu n c ió n p a r a
u n p u n to d e u n a e s tr u c tu r a , e l e f e c t o m á x im o c a u s a d o p o r u n a f u e r z a
viva c o n c e n t r a d a se d e te r m i n a a l m u ltip lic a r la o r d e n a d a m á x im a d e la
lín e a d e in f lu e n c ia p o r la m a g n itu d d e la fu e r z a . S in e m b a r g o , e n a lg u n o s
c a s o s s e d e b e n c o lo c a r va ria s fu e r z a s c o n c e n t r a d a s s o b r e la e s tr u c tu r a ;
p o r e je m p lo , la s c a rg a s d e la s r u e d a s d e u n c a m ió n o u n tr e n . P a r a d e t e r ­
m in a r e l e f e c to m á x im o e n e s t e c a s o p u e d e u s a r s e u n p r o c e d i m i e n to d e
p r u e b a y e r r o r , o b ie n u n m é to d o b a s a d o e n e l c a m b io e n la fu n c ió n q u e
s e p r e s e n t e c o n e l m o v im ie n to d e la c a r g a . A c o n tin u a c ió n s e d a r á u n a
e x p lic a c ió n d e c a d a u n o d e e s t o s m é to d o s , e s p e c ífic a m e n te a p lic a d o s a la
f u e r z a c o r t a n te y e l m o m e n to .
Fuerza cortante. C o n s id e r e la v ig a s im p le m e n te a p o y a d a c o n la
lín e a d e in f lu e n c ia a s o c ia d a p a r a la f u e r z a c o r t a n te e n e l p u n t o C d e la fi­
g u ra 6 -2 7a . I ja fu e r z a c o rla n te p o s itiv a m á x im a e n e l p u n t o C e s tá d e t e r ­
m in a d a p o r la s e r ie d e c a rg a s c o n c e n tr a d a ( r u e d a s ) q u e s e m u e v e n d e
d e r e c h a a iz q u ie rd a s o b r e l a v ig a . 1.a c a r g a c r ític a s e p r o d u c ir á c u a n d o
u n a d e la s c a rg a s s e c o lo q u e ju s to a la d e r e c h a cfel p u n t o C , e l c u a l e s
c o in c id c n te c o n e l p ic o p o s itiv o d e l a lí n e a d e in f lu e n c ia . E n to n c e s , c a d a
u n o d e lo s tr e s c a s o s p o s ib le s p u e d e in v e s tig a rs e m e d ia n te p r u e b a y
e r r o r , f ig u r a 6 -2 7b . S e ti e n e
C a s o 1 : (V V ), = 1 (0 .7 5 ) + 4 ( 0 .6 2 5 ) + 4 ( 0 .5 ) = 5.25 k
C a s o 2 : (Vc )2 = 1 ( - 0 .1 2 5 ) -t 4 (0 .7 5 ) + 4 ( 0 .6 2 5 ) = 5.3 7 5 k
C a s o 3 : (Vc )s = * (0 ) + 4 ( - 0 . 1 2 5 ) + 4 (0 .7 5 ) = 2.5 k
E n e l c a s o 2 , c o n la f u e r z a d e 1 k lo c a liz a d a a 5* p ies d e l s o p o r te iz ­
q u ie r d o , s e o b ti e n e e l v a lo r m á s g r a n d e d e Vc y, p o r lo ta n to , r e p r e s e n ta
la c a r g a c rític a . E n r e a lid a d , la in v e s tig a c ió n d e l c a s o 3 n o e s n e c e s a r ia ,
p u e s to q u e p o r in s p e c c ió n p u e d e v e r s e q u e u n a r r e g lo d e c a rg a s c o m o
é s t e g e n e r a r ía u n v a lo r d e (V c h , q u e s e r í a m e n o r q u e ( Vc ) 2.
n e E = ?
10 pies- 1
---------------30 pies-
l k 4 k 4 k
h + H
0.75
10
025
línea de influencia para Vc
(a)
H gura 6 -2 7

263. 6 . 6 In f l u e n c i a m á x i m a e n u n p u n t o d e b d o a u n a s e r ie d e c a r g a s c o n c e n t r a d a s 2 4 1
|— 10 p i e s —|-
-------------------3 0 pi<
l k 4 k 4 k
i ¿ i
I 5 I 5 I
p ie s p ie s
l k 4 k 4 k
i — Ít— Íl
M O p ie s -4 ^
V c 0 .7 5
&
10 15 2 0
- 0 2 5
C a s o I
l k 4 k 4 k
C a s o 2
- 0 2 5
l k 4 k 4 k
Í> — Í)
0 .7 5
’c
5
- 0 . 1 2 5 .
10
- 0 2 5
( b )
C a s o 3
F i g u r a 6 - 2 7

264. 2 4 2 C a p i t u l o 6 L I n e a s d e i n f l u e n c i a p a r a e s t r u c t u r a s e s t á t i c a m e n t e d e t e r m i n a d a s
C u a n d o m u c h a s c a r g a s c o n c e n tr a d a s a c tú a n s o b r e e l c la r o , c o m o e n el
c a s o d e la c a r g a d e E -7 2 d e la fig u ra 1- 11, lo s c á lc u lo s p o r p r u e b a y e r r o r
u tiliz a d o s a n te r io r m e n te p u e d e n r e s u l t a r te d io s o s . E n v ez d e e s t o , la p o ­
s ic ió n c r ític a d e la s c a r g a s p u e d e d e te r m in a r s e d e u n a m a n e r a m á s d i ­
r e c ta s i s e e n c u e n t r a e l c a m b io e n la f u e r z a c o r t a n t e , A V , q u e s e p r o d u c e
c u a n d o las c a rg a s s e m u e v e n d e l c a s o 1 a l c a s o 2 ; lu e g o d e l c a s o 2 a l c a s o 3
y a s í s u c e s iv a m e n te . S ie m p re q u e c a d a A V c a lc u la d o s e a p o s itiv o , la
n u e v a p o s ic ió n p r o d u c i r á u n a f u e r z a c o r t a n t e m á s g r a n d e e n e l p u n t o C
d e l a v ig a q u e la p o s ic ió n a n te r io r . S e in v e s tig a c a d a m o v im ie n to h a s ta
q u e s e p r e s e n te u n c a m b io n e g a tiv o e n l a f u e r z a c o r t a n te . C u a n d o e s to
o c u r r e , la p o s ic ió n a n t e r i o r d e las c a r g a s p r o p o r c io n a r á e l v a lo r c rític o .
E l c a m b io AV' e n la f u e r z a c o r t a n te p a r a u n a c a r g a P q u e s e m u e v e d e s d e
la p o s ic ió n x i h a s ta x i s o b r e u n a v ig a p u e d e d e te r m in a r s e a l m u ltip lic a r
P p o r e l c a m b io e n la o r d e n a d a d e la lín e a d e in flu e n c ia , e s d e c ir (><2 -
y , ) . S i la p e n d ie n t e d e la lín e a d e in f lu e n c ia e s s .e n t o n c e s O 2 — >'») = s ( x2
- x }) y. p o r lo ta n t o
AV' = Ps(x2 ~ x,)
L ín e a in c lin a d a
(6-1)
Si la c a r g a s e m u e v e m ás a llá d e u n p u n t o e n e l q u e h a y u n a d is c o n ti­
n u id a d o “ s a l t o " e n la lí n e a d e in f lu e n c ia , c o m o e l p u n t o C d e la fig u ra
6 - 2 7 a ,e n t o n c e s el c a m b io e n la f u e r z a c o r t a n te n o e s m á s q u e
(6-2)
E l u s o d e la s e c u a c io n e s a n te r io r e s s e il u s t r a r á c o n r e f e r e n c ia a la viga,
la c a r g a y la lín e a d e in flu e n c ia p a r a V 'c .q u e s e m u e s tra e n la fig u ra 6 -28a.
O b s e r v e q u e la m a g n itu d d e la p e n d ie n te d e la lín e a d e in f lu e n c ia e s s =
0 .7 5 /(4 0 - 10) = 0 .2 5 /1 0 = 0.025, y e l s a lto e n C tie n e u n a m a g n itu d de
0 .7 5 + 0.25 = 1. C o n s id e r e q u e la s c a rg a s d el c a s o 1 s e m u e v e n 5 p ie s h a sta
e l c a s o 2 , f ig u r a 6 -2 8 6 . C u a n d o e s to o c u rr e , la c a rg a d e 1 k s a lta h a cia a b a jo
( 1) y to d a s la s c a rg a s s e m u e v e n h a cia a rr ib a p o r la p e n d ie n t e d e la
lí n e a d e in flu e n c ia . E s to c a u s a u n c a m b io d e la f u e r z a c o rta n te ,
A V 'j_2 = 1 ( - 1 ) + [1 + 4 + 4 J ( 0 .0 2 5 ) ( 5 ) = + 0 1 2 5 k
C o m o AV'i_ 2 es p o s i ti v o ,e l c a s o 2 g e n e r a r á u n v a lo r m ás g r a n d e p a r a V c
q u e e l c a s o 1. ( C o m p a r e las r e s p u e s ta s p a r a (V ¿ )\ y (V ¿ h c a lc u la d a s p r e ­
v ia m e n te , d o n d e d e h e c h o (Vch = ( ^ c ) i + 0 1 2 5 .) A l in v e s tig a r AV' 2_ 3
q u e s e p r o d u c e c u a n d o e l c a s o 2 s e m u e v e h a s ta e l c a s o 3 , fig u ra 6 -2 8 6 ,
d e b e t e n e r s e e n c u e n ta e l s a lto h a c ia a b a j o ( n e g a t iv o ) d e la c a r g a d e 4 k
y e l m o v im ie n to h o r iz o n ta l d e 5 p ie s d e to d a s la s c a r g a s h a cia a r r ib a p o r
la p e n d ie n t e d e la lín e a d e in f lu e n c ia . S e ti e n e
A V '2-3 = 4 ( - l ) + ( 1 + 4 + 4 ) ( 0 .0 2 5 ) ( 5 ) = - 2 .8 7 5 k
C o m o AV'2 -3 e s n e g a tiv o ,e l c a s o 2 e s la p o s ic ió n c r ític a d e la c a r g a ,c o m o
s e d e te r m i n ó p r e v ia m e n te .

265. 6 . 6 In f l u e n c i a m á x i m a e n u n p u n t o d e b d o a u n a s e r ie d e c a r g a s c o n c e n t r a d a s 2 4 3
lí n e a d e i n f l u e n c i a p a r a Vc
(a)
l k 4 k 4 k
Á r r-4—j l
hr+rH
p ie s p ie s
l k 4 k 4 k
- 0 . 2 5
C a s o 1
l k 4 k 4 k
i
5 5 1 5
p .e s p í o p*es C a s o 2
vc u J 0 .6 2 5
5
- 0 . 1 2 5 .
10 4 0
l k 4 k 4 k
C a s o 3
- 0 . 2 5
(b)
fig u ra 6-28

266. 2 4 4 C a p i t u l o 6 L I n e a s d e i n f l u e n c i a p a r a e s t r u c t u r a s e s t á t i c a m e n t e d e t e r m i n a d a s
L a s t r a b e s d e e s t e p u e n t e d e b e n r e s i s t i r e l m o ­
m e n t o m á x i m o c a u s a d o p o r e l p e s o d e e s te
a v i ó n a p r o p u l s i ó n m i e n t r a s p a s a s o b r e él.
6
M o m e n to . L o s m é to d o s a n te r io r e s ta m b ié n p u e d e n u tiliz a rse p a r a d e ­
te r m in a r la p o s ic ió n c r ític a d e u n a s e r ie d e fu e r z a s c o n c e n tr a d a s p a r a
q u e c r e e n e l m a y o r m o m e n to i n t e r n o e n u n p u n t o e s p e c ífic o d e u n a e s ­
tr u c tu r a . P o r s u p u e s to , p r i m e r o e s n e c e s a r io d ib u j a r la lí n e a d e in f lu e n c ia
p a ra e l m o m e n to e n e l p u n t o y d e t e r m i n a r la s p e n d ie n t e s s d e s u s s e g ­
m e n to s d e lín e a . P a r a u n m o v im ie n to h o r iz o n ta l (x 2 - ^ i ) d e u n a f u e r z a
c o n c e n tr a d a P , e 1 c a m b io e n e l m o m e n to A W .e s e q u iv a le n te a la m a g n i­
tu d d e la f u e r z a p o r e l c a m b io e n l a o r d e n a d a d e la lí n e a d e in f lu e n c ia
b a jo la c a r g a , e s d e c ir .
A M = P s { x 2 ~ x x)
l i n e a in c lin a d a
C ó m o e je m p lo , c o n s id e r e la v ig a , la c a r g a y la lí n e a d e in f lu e n c ia p a r a
e l m o m e n to e n e l p u n t o C d e la fig u ra 6 -2 9 a . S i c a d a u n a d e la s tr e s f u e r ­
z a s c o n c e n t r a d a s s e c o lo c a s o b r e l a v ig a , e n f o r m a c o in c id e n te c o n el
p ic o d e la lín e a d e in f lu e n c ia , s e o b t e n d r á la m a y o r in f lu e n c ia d e c a d a
fu e r z a . E n la fig u ra 6 -2 9b s e m u e s tr a n lo s t r e s c a s o s d e c a r g a . C u a n d o las
c a rg a s d e l c a s o 1 s e m u e v e n 4 p ie s a l a iz q u ie rd a h a s t a e l c a s o 2 . s e o b ­
s e r v a q u e la c a r g a d e 2 k á s m i n u y e A W ,_ 2, y a q u e la p e n d ie n te (7.5/10)
e s d e sc e n d e n te J ig u r a 6 -2 9a . A s im is m o , la s f u e r z a s d e 4 k y 3 k o c a s io n a n
u n a u m e n to d e A W |_ 2.p u e s t o q u e l a p e n d ie n te f7.5 /(4 0 - 10)J e s a s c e n ­
d e n te .S e ti e n e
A *.-» - - * ( l £ ) w + (4 + 3)(ió Zn o ) (4) = , 0k pie
C o m o A W |_ 2 e s p o s i ti v o .e s n e c e s a r io in v e s tig a r a ú n m á s e l m o v im ie n to
d e las c a r g a s d e 6 p ie s d e l c a s o 2 a l c a s o 3.
“ » = - ( 2 + 4> © < 6>+ i w h ¡ ) w= - 2 2 -5 k - p ie
A q u í e l c a m b io e s n e g a tiv o , p o r lo q u e e l m a y o r m o m e n to e n C o c u r r ir á
c u a n d o la v ig a e s t é c a r g a d a c o m o s e m u e s tr a e n el c a s o 2 . fig u ra 6 -2 9 c.
P or lo ta n t o , e l m o m e n to m á x im o e n C e s
( M c L i * = 2 ( 4 .5 ) + 4 ( 7 .5 ) + 3 ( 6 .0 ) = 5 7 .0 k - p ie
L o s s ig u ie n te s e je m p lo s ilu s tr a n a ú n m ás e s t e m é to d o .

267. 6 . 6 In f l u e n c i a m á x i m a e n u n p u n t o d e b d o a u n a s e r ie d e c a r g a s c o n c e n t r a d a s 2 4 5
' V i op ie s - 3 0 p ie s
2 k 4 k 3 k
j k Á -
“ * f 4 > H
« I p ie s p ie s
I n e a d e i n f l u e n c i a p a r a M c
(a )
2 k 4 k 3 k
C a s o 2
(c )
Figura 6 -2 9

268. 2 4 6 C a p i t u l o 6 L I n e a s d e i n f l u e n c i a p a r a e s t r u c t u r a s e s t á t i c a m e n t e d e t e r m i n a d a s
EJEMPLO 6.18
D e te r m in e la f u e r z a c o r t a n te p o s itiv a m á x im a c r e a d a e n e l p u n t o B
d e la v ig a q u e s e m u e s tr a e n la fig u ra 6 - 3 0 a ,d e b id o a la s c a rg a s d e la s
r u e d a s d e l c a m ió n e n m o v im ie n to .
15 k
1 0 k
B
-1 0 p i e s -
-10p i e s -| |-,
(a)
f i g u r a 6 - 3 0
S O L U C I Ó N
L a lín e a d e in f lu e n c ia p a r a la f u e r e a c o r t a n te e n B se m u e s tra e n la fi­
g u ra 6 -3 0 6 .
0.5
10
- 0 3
I n e a d e i n f l u e n c i a p a r a V „
( b )
2 0
M o v im ie n to d e 3 p ie s d e la c a rg a d e 4 k . Im a g in e q u e la c a r g a de
4 k a c t ú a j u s t o a la d e r e c h a d e l p u n t o f l . d e m a n e r a q u e s e o b ti e n e
s u in flu e n c ia p o s itiv a m á x im a . D a d o q u e e l s e g m e n to d e v ig a B C tie n e
10 p ie s d e la rg o , la c a r g a d e 10 k n o e s tá to d a v ía s o b r e la v ig a . C u a n d o
e l c a m i ó n s e m u e v e 3 p ie s a la iz q u ie rd a , la c a r g a d e 4 k s a lta 1 u n id a d
h a cia a h a jo s o b r e la lín e a d e in f lu e n c ia y la s c a r g a s d e 4 k , 9 k y 1 5 k
c r e a n u n in c r e m e n to p o s itiv o e n AVfl. p u e s to q u e la p e n d ie n te e s a s ­
c e n d e n t e h a c ia la iz q u ie r d a . A u n q u e la c a r g a d e 10 k ta m b ié n s e m u e v e
h a c ia a d e la n te 3 p ie s , a ú n n o e s tá s o b r e l a v ig a . P o r lo ta n to .
AV'fl = 4 ( — 1) + ( 4 + 9 + 1 5 ) ( ^ j ) 3 = + 0 .2 k
M o v im ie n to d e 6 p ie s d e la c a rg a d e 9 k . C u a n d o la c a r g a d e 9 k
a c tú a ju s to a la d e r e c h a d e B,y d e s p u é s e l c a m ió n s e m u e v e 6 p ie s a la
iz q u ie rd a , s e tie n e
= 9 ( 1 ) + ( 4 + 9 + 1 5 ) ( ^ ) ( 6 ) + i o ( 5 0 4 ) = + 1 .4 k
O b s e r v e e n e l c á lc u lo q u e la c a r g a d e 1 0 k s ó l o s e m u e v e 4 p ie s s o b r e
la v ig a .

269. 6 . 6 In f l u e n c i a m á x i m a e n u n p u n t o d e s d o a u n a s e r ie d e c a r g a s c o n c e n t r a d a s 2 4 7
M o v i m i e n t o d e 6 p i e s d e l a c a r g a d e 1 5 k . Si la c a rg a d e 15 k se
c o lo c a j u s t o a la d e r e c h a d e R y d e s p u é s e l c a m ió n se m u e v e 6 p ie s a
la iz q u ie r d a , la c a rg a d e 4 k s ó l o s e m u e v e u n p ie h a s ta q u e e s tá fu e ra
d e la v ig a , y ta m b ié n la c a r g a d e 9 k s e m u e v e s ó l o 4 p ie s h a s t a q u e
q u e d a f u e r a d e la v ig a . P o r lo ta n to .
A V „ = 1 5 ( - 1 ) + + 9 g ) ( 4 ) + (1 5 + 1 0 ) ( ^ ) ( 6 )
= - 5 . 5 k
C o m o A V B a h o ra e s n e g a tiv o , la p o s ic ió n c o r r e c ta d e la s c a r g a s se
p ro d u c e c u a n d o la c a rg a d e 15 k e s t á ju s to a la d e r e c h a d e l p u n t o R ,fi­
g u ra 6 -3 0 c . E n c o n s e c u e n c ia ,
( V 'f l W = 4 ( - 0 . 0 5 ) + 9 ( - 0 . 2 ) + 1 5 (0 .5 ) + 1 0 (0 .2 )
= 7.5 k R e sp .
E n l a p r á c tic a , ta m b ié n d e b e c o n s id e r a r s e e l m o v im ie n to d e l c a m ió n
d e iz q u ie r d a a d e r e c h a y lu e g o e le g ir e l v a lo r m á x im o e n t r e e s t a s d o s
s itu a c io n e s
1 4
().?
^
----J
- ° ° 5 . 0 2 -
10 16 20
- c L5
(c)

270. 2 4 8 C a p i t u l o 6 L I n e a s d e i n f l u e n c i a p a r a e s t r u c t u r a s e s t á t i c a m e n t e d e t e r m i n a d a s
EJEMPLO 6.19
D e te r m in e e l m o m e n to p o s itiv o m á x im o c r e a d o e n e l p u n t o B d e la
viga q u e s e m u e s tr a e n la fig u ra 6 - 3la , d e b id o a la s c a rg a s d e la s r u e ­
d a s d e la g rú a .
8 kN
4 k N I 3 k N
Á 3m
' A*u
( - 2 m -
u
-----3 m — |
4 k N 8 l j N 3 k N
¿ ' m - ¿ ■ ' " i
r l t1 - 2 m -|— 3 m — + - 2 m - j
(a)
Figura 6 -3 1
t20
4 , ,
ínea de influencia para M H
(b)
S O L U C IÓ N
L a línea d e in flu e n c ia p a r a e l m o m e n to e n B s e m u e s tra e n la fig u ra 6-31 b.
M o v im ie n to d e 2 m d e la c a rg a d e 3 k N . Si s e s u p o n e q u e la
c a r g a d e 3 k N a c t ú a e n B y lu e g o s e m u e v e 2 m a la d e r e c h a , fig u ra
6-3 1 /> ,el c a m b io e n e l m o m e n to e s
mAM „ = - 3 ( i f S ) ( 2 ) + s ( ^ ) ( 2 ) - 7 .2 0 k N
¿ P o r q u é n o s e in c lu y e la c a r g a d e 4 k N e n lo s c á lc u lo s ?
M o v im ie n to d e 3 m d e la c a rg a d e 8 k N . Si s e s u p o n e q u e la
c a rg a d e 8 k N a c tú a e n B y lu e g o s e m u e v e 3 m h a d a la d e r e c h a , e l
c a m b io e n e l m o m e n to e s
AMs = _ 3 ( l | 0 ) ( 3 ) _ 8( l f 0 ) o ) + 4 ( l|0 ) ( 2 ,
= - 8 .4 0 k N - m
O b s e r v e a q u í q u e la c a r g a d e 4 k N e s t a b a in ic ia lm e n te 1 m f u e r a d e la
v ig a , p o r lo q u e s e m u e v e s ó l o 2 m s o b r e la viga.
C o m o n o h a y u n c a m b io d e s ig n o e n D A S g.la p o s i d ó n c o n -e c ta d e
la s c a rg a s p a r a e l m o m e n to p o s itiv o m á x im o e n B se p r o d u c e c u a n d o
la f u e r z a d e 8 k N e s t á e n B,f i g u r a 6 -3 1 b . ft» r lo ta n to .
{Mb)mi* = 8 ( 1.20) + 3 ( 0 .4 ) = 10.8 k N • m R esp.

271. 6 . 6 In f l u e n c i a m á x i m a e n u n p u n t o d e s d o a u n a s e r i e d e c a r g a s c o n c e n t r a d a s 2 4 9
D e te r m in e la f u e r z a m á x im a d e c o m p r e s ió n d e s a r r o ll a d a e n e l e l e ­
m e n to B G d e la a r m a d u r a la te r a l q u e s e m u e s tr a e n la fig u ra 6 -3 2 a ,
d e b id o a la s c a r g a s d e la s r u e d a s d e l la d o d e r e c h o d e l a u to m ó v il y el
re m o lq u e . S u p o n g a q u e la s c a r g a s s e a p lic a n d ir e c ta m e n te a la a r m a ­
d u r a y q u e s e m u e v e n s ó l o a la d e r e c h a .
L a lín e a d e in f lu e n c ia p a r a la f u e r z a e n e l e le m e n to B G s e m u e s tr a e n
b fig u ra 6 -3 2b . A q u í s e u s a r á u n e n f o q u e d e p r u e b a y e r r o r p a r a o b t e ­
n e r la s o lu c ió n . C o m o s e b u s c a la m á x im a f u e r z a n e g a tiv a ( c o m p r e ­
sió n ) e n B G, s e c o m ie n z a d e la s ig u ie n te m a n e r a :
C a rg a d e 1 .5 k N e n e l p u n to C . E n e s te c a s o ,
C a rg a d e 4 k N e n e l p u n to C. I\>r in s p e c c ió n , é s t e p a r e c e u n c a s o
m ás r a z o n a b le q u e e l a n te r io r .
C a rg a d e 2 k N e n e l p u n t o C E n e s t e c a s o to d a s las c a r g a s
c r e a r á n u n a f u e r z a d e c o m p r e s ió n e n B C .
C o m o e s t e ú ltim o c a s o r e s u lta e n la r e s p u e s ta m á s g r a n d e , la c a r g a c r í­
tic a se p r o d u c e c u a n d o la c a r g a d e 2 k N e s t á e n C.
(■)
F i g u r a 6 - 3 2
S O L U C IÓ N
= - 0 .7 2 9 k N
Fb g = 4 k N ( - 0 . 6 2 5 ) + 1.5 k N( - | ^ P ) ( 4 m ) + 2 k N ( 0 3 1 2 5 )
= - 2 . 5 0 k N
Fbg = 2 k N ( - 0 .6 2 5 ) + 4 k N
= - 2 . 6 6 k N R esp.

272. 2 5 0 C a p i t u l o 6 L I n e a s d e i n f l u e n c i a p a p a e s t r u c t u r a s e s t á t i c a m e n t e d e t e r m i n a d a s
i
( i— J> J)
6 .7 Fuerza c o rta n te y m o m e n to m áxim o
a b so lu to
E n la se c c ió n 6-6 s e d e s a r r o ll a r o n lo s m é to d o s p a r a c a lc u la r la fu e rz a
c o r t a n te y e l m o m e n to m á x im o s e n u n p u m o e s p e c ífic o cfc u n a v ig a d e ­
b id o a u n a s e r ie d e c a rg a s m ó v ile s c o n c e n tr a d a s . U n p r o b l e m a m á s g e n e ­
r a l in v o lu c ra la d e te r m in a c ió n ta n t o d e la u b ic a c ió n d e l p u n t o e n la v ig a
c o m o d e la p o s ic ió n d e la carg a e n la v ig a d e m o d o q u e s e o b te n g a la
f u e r z a c o r ta n te y e l m o m e n to m á x im o a b s o lu to s r e s u lta n te s d e la s c a r ­
gas. S i la v ig a e s tá e n v o la d iz o o s im p le m e n te a p o y a d a , e s t e p r o b le m a
p u e d e re s o lv e r s e c o n fa c ilid a d .
Fuerza cortante. P a r a u n a viga e n v o la d i z o la f u e r z a c o r t a n t e m á ­
x im a a b s o l u ta s e p r o d u c i r á e n u n p u n to s i tu a d o j u s t o e n s e g u id a d e l s o ­
p o r t e fijo . L a f u e r z a c o r t a n te m á x im a se e n c u e n t r a p o r e l m é to d o d e las
s e c c io n e s , c o n la s c a r g a s u b ic a d a s e n c u a l q u i e r l u g a r d e l c l a r o , fig u ra
6 -3 3 .
P a r a la s vigas s im p le m e n te a p o y a d a s la f u e r z a c o r ta n te m á x im a a b s o ­
lu t a s e p r o d u c e j u s t o e n s e g u id a d e u n o d e lo s s o p o r te s . P o r e je m p lo , s i las
vg ¿ c a r g a s s o n e q u iv a le n te s ,s e c o lo c a n d e f o r m a q u e l a p r i m e r a e n la s e c u e n -
„ c ia s e u b iq u e c e r c a d e l s o p o r t e , c o m o e n la f ig u r a 6 -3 4 .
r i g u r a 6 - 3 4
M om ento. E l m o m e n to m á x im o a b s o l u to d e u n a v ig a en v o la d iz o se
p ro d u c e e n e l m is m o p u n t o d o n d e o c u r r e la f u e r z a c o r t a n te m á x im a a b ­
s o lu ta . a u n q u e e n e s t e c a s o la s c a r g a s c o n c e n t r a d a s d e b e n u b ic a r s e e n el
o tr o e x tr e m o d e la v ig a , c o m o e n la fig u ra 6 -3 5 .
P a r a u n a viga s im p le m e n te a p o y a d a , e n g e n e r a l , la p o s ic ió n c r ític a d e
i la s c a r g a s y e l m o m e n to m á x im o a b s o lu to a s o c ia d o n o p u e d e n d e te r m i-
A». n a r s e p o r in s p e c c ió n . S in e m b a r g o .e s p o s ib le d e t e r m i n a r la p o s ic ió n d e
m a n e r a a n a lític a . P a r a fin e s d e e s te a n á lis is , c o n s i d e r e u n a v ig a s o m e tid a
a la s f u e r z a s F ,. F 2. F , q u e s e m u e s tra e n la fig u ra 6 -3 6 a . D a d o q u e e l d i a ­
g r a m a d e m o m e n to p a r a u n a s e r ie d e fu e r z a s c o n c e n tr a d a s c o n s t a d e
s e g m e n to s d e r e c t a q u e t i e n e n p ic o s e n c a d a f u e r z a , e l m o m e n to m á x im o
a b s o lu to o c u r r ir á b a jo u n a d e la s f u e i z a s S u p o n g a q u e e s t e m o m e n to
m á x im o s e p r o d u c e b a jo F 2. L a p o s ic ió n d e la s c a r g a s F ,, F2. F3 s o b r e la
viga e s t a r á e s p e c ific a d a p o r la d is ta n c i a x , m e d id a d e s d e F2 h a s ta la lín e a
c e n tr a l d e la v ig a , ta l c o m o s e m u e s tr a . P a r a d e te r m i n a r u n v a lo r e s p e c í­
fic o d e x,p r i m e r o s e o b ti e n e la f u e r z a r e s u lta n t e d e l s i s te m a . F * ,y s u d is -
i
« g u r a 6 - 3 5
F , F 2
F *
U
= 1 '
L
2
A ,
( a )
»*
Figura 6-36
rm :
M,
(b)

273. 6 . 7 F l E R Z A C O N T A N T E Y M O M E N T O M Á X I M O A B S O L U T O 2 5 1
ta n c ia x ' m e d id a d e s d e F 2. U n a v ez h e c h o e s lo , lo s m o m e n to s s e s u m a n
re s p e c to a B, d e d o n d e s e o b ti e n e la r e a c c ió n a l a iz q u ie rd a d e l a v ig a ,
A v, e s d e c ir ,
S M fí = 0 ;
A y ° T ( F * )| - ( T -
S i la v ig a se s e c c io n a ju s to a la iz q u ie rd a d e F 2, e l d ia g r a m a d e c u e r p o
lib re r e s u lta n t e e s c o m o s e m u e s tr a e n la fig u ra 6-36¿>. P o r lo ta n to , e l
m o m e n to M 2 b a jo F 2 e s
S M = 0 ; M i - F t d
A { \ ~ x ) • ■
F r L F & F „x2 . F „ x x ' .. ,
“1
-----ñ / + — i M i
E l m o m e n t o m á x i m o a b s o l u t o e n e s t e
p u e n t e d e t r a b e s e s e l r e s u l t a d o d e la s c a r ­
g a s m ó v i l e s c o n c e n t r a d a s c a u s a d a s p o r la s
m e d a s d e l o s v a g o n e s d e l t r e n . L o s v a g o n e s
d e b e n e s t a r e n l a p o s i c i ó n c r í t i c a y d e b e
i d e n t i f i c a r s e la u b i c a c i ó n d e l p u n t o e n la
v ig a d o n d e s e p r o d u c e e l m o m e n t o m á x i m o
a b s o l u t o .
P a r a q u e Af2 s e a m á x im o s e r e q u i e r e
o b ie n .
d M i = - 2Fr x x F r x' _ Q
d x L L
x '
X ~ 2
ft>r l o ta n t o , s e p u e d e c o n c lu i r q u e e l m o m e n to m á x im o a b s o lu to en
u n a viga s im p le m e n te a p o y a d a s e p r o d u c e b a jo u n a d e Lis fu e r z a s c o n c e n ­
tradas, p o r lo q u e e s ta f u e r z a se c o lo c a s o b r e la v ig a d e m o d o q u e e lla y la
f u e r z a re s u lta n te d e l s is te m a s e a n e q u id is ta n te s d e s d e la lín e a c e n tr a l d e
la v ig a . P u e s to q u e h a y u n a s e r i e d e c a rg a s s o b r e e l c la r o ( p o r e je m p lo ,
F |, F 2, F , e n la fig u ra 6 -3 6a ), e s t e p r in c ip io te n d r á q u e a p lic a r s e a c a d a
c a rg a d e la s e r ie y d e b e r á c a lc u la rs e e n c a d a m o m e n to m á x im o c o r r e s ­
p o n d ie n te . P o r c o m p a r a c ió n , e l m o m e n to m ás g r a n d e s e r á e l m o m e n to
m á x im o a b s o lu to . S in e m b a r g o , c o m o r e g la g e n e r a l e l m o m e n to m á x im o
a b s o lu to s u e le o c u r r i r b a jo la f u e r z a m á s g r a n d e q u e s e u b ic a m á s c e rc a
d e la f u e r z a r e s u lta n t e d e l s is te m a .
Envolvente de los valores máxim os de la línea de in­
fluencia. L a s re g la s o fó r m u la s p a r a d e t e r m i n a r la f u e r z a c o r t a n te o
e l m o m e n to m á x im o s a b s o lu to s s o n d ifíc ile s d e e s t a b le c e r p a r a las v ig a s
q u e s e a p o y a n d e u n a m a n e r a d is tin ta a l v o la d iz o o a l a p o y o s i m p l e .q u e
ya s e a n a liz a r o n a q u í. N o o b s t a n t e , u n a f o r m a e le m e n ta l d e p r o c e d e r
p a ra la s o lu c ió n d e e s t e p r o b le m a r e q u i e r e l a c o n s tr u c c ió n d e lín e a s d e
in f lu e n c ia p a r a la f u e r z a c o r t a n te o e l m o m e n to e n lo s p u n to s s e le c c io n a ­
d o s a lo l a r g o d e to d a la v ig a y e l c á lc u lo p o s t e r io r d e l a f u e r z a c o r t a n t e o
e l m o m e n to m á x im o s e n la v ig a p a r a c a d a p u n to , e m p l e a n d o p a r a e llo
lo s m é to d o s d e la se c c ió n 6 -6 . A l g ra f ic a r e s t o s v a lo r e s s e o b ti e n e u n a
“e n v o lv e n te d e m á x im o s " , a p a r t i r d e la c u a l p u e d e d e te r m in a r s e ta n t o
e l v a lo r m á x im o a b s o lu to d e la f u e r z a c o r ta n te o d e l m o m e n to c o m o s u
u b ic a c ió n . P o r s u p u e s to , s e r e c o m ie n d a u n a s o lu c ió n e n c o m p u ta d o r a
p a ra la s s i tu a c io n e s c o m p lic a d a s d e e s t e p r o b l e m a , y a q u e e l t r a b a j o
p u e d e s e r te d i o s o s i s e re a liz a m a n u a lm e n te .

274. 2 5 2 C a p i t u l o 6 L I n e a s d e i n f l u e n c i a p a r a e s t r u c t u r a s e s t á t i c a m e n t e d e t e r m i n a d a s
D e te r m in e e l m o m e n to m á x im o a b s o l u to e n la c u b ie r ta d e l p u e n te
s im p le m e n te a p o y a d o d e la fig u ra 6 -3 7a.
S O L U C IÓ N
P r im e r o se d e te r m i n a n la m a g n itu d y la p o s ic ió n d e la f u e r z a r e s u l ­
ta n t e d e l s i s te m a , f ig u r a 6 -3 7a . S e ti e n e
* .
— ¡ i — *>, ' • — u “ y ~ *
A h o r a , u s a n d o la se c c ió n iz q u ie rd a d e la viga, f ig u r a 6-37c. s e o b tie n e
i + Z A /s = 0 ; - 2 .5 0 ( 1 6 .6 7 ) + 2 ( 1 0 ) + M s = 0
“ 4-5 k
|.____________ 3 0 p ie s -
F „ - 4 .5 k
+ 1 Fr = Z F ; F * = 2 + 1.5 + 1 = 4.5 k
M s = 21.7 k - p i e
A , = 2 S k
(c)
H gura 6 -3 7

275. 6 . 7 F l f R 7 A C O N T A N T E Y M O M E N T O M Á X I M O A B S O L U T O 253
H a y u n a p o s ib ilid a d d e q u e e l m o m e n to m á x im o a b s o l u to p u e d a
o c u r r ir b a jo la c a r g a d e 2 k , p u e s to q u e 2 k > 1.5 k y F/* e s tá e n t r e 2 k
y 1.5 k. P a r a in v e s tig a r e s t e c a s o , la c a r g a d e 2 k y F * se c o lo c a n e q u i­
d is ta n te s d e la lí n e a c e n tr a l d e la v ig a , fig u ra 6 -3 7d . D e m u e s tr e q u e A y
= 1.75 k c o m o s e in d ic a e n la fig u ra 6 - 3 7 e y q u e
e l c u a l s e p r o d u c e b a jo la c a r g a d e 1.5 k . c u a n d o la s c a rg a s s e u b ic a n
s o b r e la v ig a c o m o s e m u e s tr a e n la f ig u r a 6 -3 7b .
M s = 2 0 .4 k • p ie
ft>r c o m p a r a c ió n , e l m o m e n to m á x im o a b s o l u to e s
M s = 2 1 .7 k - p i e
F , - 4 3 k
2 k 1 3 k l k
2 k
A , - 1.75 k

276. 2 5 4 C a p i t u l o 6 L I n e a s d e i n f l u e n c i a p a r a e s t r u c t u r a s e s t á t i c a m e n t e d e t e r m i n a d a s
EJEMPLO 6.22
E l c a m ió n tie n e u n a m a s a d e 2 M g y u n c e n tr o d e g r a v e d a d e n G .c o m o
s e m u e s tra e n la fig u ra 6 -3 & I. D e te rm in e e l m o m e n to m á x im o a b s o lu to
q u e se d e s a r ro lla e n la c u b ie r ta d e l p u e n te s im p le m e n te a p o y a d o , d e ­
b id o a l p e s o d e l c a m ió n . E l p u e n te tie n e u n a lo n g itu d d e 1 0 m .
S O L U C IÓ N
C o m o s e o b s e r v a e n la f ig u r a 6 - 3 8 a ,e l p e s o d e l c a m i ó n , 2 ( 103) k g (9 .8 1
m /s2) = 19.62 k N .y la s r e a c c io n e s d e la s r u e d a s s e c a lc u la ro n c o n b a s e
e n la e s tá tic a . D a d o q u e l a m a y o r r e a c c ió n s e p r o d u c e e n la r u e d a d e ­
l a n t e r a , s e s e le c c io n a r á e s ta r u e d a j u n t o c o n la f u e r z a r e s u lta n t e y se
c o lo c a r á n e q u id is ta n te s d e la lín e a c e n t r a l d e l p u e n te , fig u ra 6 -3 8 6 . S e
u s a r á la f u e r z a r e s u lta n t e e n lu g a r d e la s c a r g a s d e la s ru e d a s , e n t o n ­
c e s la r e a c c ió n v e r tic a l e n B e s
Figura 6 -3 8
Í + S Ma = O, # , ( 1 0 ) - 1 9 .6 2 (4 .5 ) = 0
By = 8.8 2 9 k N
E l m o m e n to m á x im o o c u r r e b a jo la c a r g a d e la n i e d a d e la n te r a . U tili­
z a n d o la s e c c ió n d e r e c h a d e la c u b ie r ta d e l p u e n te , fig u ra 6 -3 8 c , se
tie n e
¡ , + 2 M s = 0 ; 8 .8 2 9 (4 .5 ) - M , = 0
M s = 39.7 k N • m R esp.

277. 6 . 7 F l E R Z A C O N T A N T E Y M O M E N T O M Á X I M O A B S O L U T O 2 5 5
PROBLEM AS
6 -5 9 . D eterm ine e l m o m en to m áxim o e n e l p u n to C d e la
trab e sim ple, cau sad o p o r e l m o vim iento de la p latafo rm a
móvil q u e tiene u n a m asa de 2 M g y u n c e n tro d e m asa e n G .
Suponga q u e A e s u n rodillo.
6 -6 2 . D eterm ine el m o m en to positivo m áxim o e n e l e m ­
palm e C sobre la tra b e lateral, causado p o r la carg a móvil
q u e se desplaza a lo largo del c e n tro d el p u en te.
«
TF
c R2
U
*
j w t j n i D m
P r o b . 6 - 5 9
P r o b . 6 - 6 2
*6-60. D eterm ine e l m o m en to m áxim o e n e l p u n to B del
carril susp en d id o s i é ste so p o rta la carg a d e 2.5 k so b re el
carro.
6 -6 3 . D eterm ine e l m o m en to m áxim o e n C deb id o a la
carga móvil.
P r o b . 6 -6 0
6 -6 1 . D eterm ine la fuerza c o rta n te positiva m áxim a e n el
p u n to B s i e l carril s o p o rta la carga d e 2.5 k so b re e l carro.
•6 -6 4 . D ibuje la línea d e influencia p a ra la fuerza e n el
e lem en to I H de la a rm a d u ra para puente. D e te rm in e la
fuerza máxim a (e n tensión o com presión) q u e p u e d e d esa­
rrollarse e n e ste e lem en to d e b id o a u n cam ió n d e 72 k q u e
tiene las cargas de las ru ed as q u e se m uestran e n la figura.
Suponga q u e el cam ión p u e d e viajar *7? cualquier dirección
a lo largo d el centro d e la cu b ierta, d e m odo q u e la m itad de
su carg a se tran sfiere a c a d a una d e las d o s arm a d u ra s late­
rales. S uponga tam bión q u e los e lem en to s e stán articulados
e n las placas d e refuerzo.
P r o b . 6 -6 3
P r o b . 6 - 6 1 P r o b . 6 - 6 4

278. 2 5 6 C a p i t u l o 6 L I n e a s d e i n f l u e n c i a p a r a e s t r u c t u r a s e s t á t i c a m e n t e d e t e r m i n a d a s
6 -6 5 . D eterm in e e l m o m en to positivo m áxim o e n el
p u n to C so b re la tra b e sim ple, d e b id o a la carga móvil.
5 m
*6-68. D ib u je la linea d e influencia p a ra la fu e rz a e n el
e lem en to I C de la arm ad u ra p a ra p u en te. D eterm in e la
tu erza m áxim a (e n tensión o com presión) q u e p u ed e d e s a ­
b o lla rse e n e l e lem en to d e b id o a u n cam ión de 5 k con las
cargas de las ru ed as q u e se m uestran e n la fig u ra S uponga
que e l cam ión p u ed e viajar en cualquier dirección a lo largo
d el centro de la c u b ic rta .d e m odo q u e la m itad d e la carga
se tran sfiere a c ad a una d e las d o s arm a d u ra s laterales. S u ­
p onga tam b ién q u e los elem entos e stán articu lad o s e n las
placas d e refuerzo.
P ro b . 6 -6 5
6 -6 6 . E l c a rro tiene u n peso de 2500 libras y un c e n tro de
gravedad e n G . D eterm ine e l m o m en to m áxim o positivo
creado e n e l p u n to C d e la trab e la te ra l m ien tras pasa p o r el
puente. S u ponga q u e e l c a rro puede viajar e n cu a lq u ie r d i­
rección a lo largo d e l centro d e la cu b ierta, d e m odo q u e la
m itad de su carg a se tran sfiere a c ad a u n a d e las d o s trab es
laterales.
Probs. 6-67/6-68
6 -6 9 . E l cam ión tiene u n a m asa de 4 M g y c e n tro d e m asa
en G ,.p o r s u p arte e l rem o lq u e tiene u n a m asa d e 1 M g y
centro de m asa e n G?. D eterm in e e l m o m en to vivo m áxim o
absoluto d esa rro lla d o e n e l puente.
P ro b . 6 -6 9
6 -6 7 . D ibuje la línea d e influencia p a ra la fuerza e n e l e le ­
m e n to B C de la a rm a d u ra p a ra puente. D e te rm in e la fuerza
m áxim a (e n te n sió n o com presión) q u e p u ed e desarrollarse
en e l e lem en to d e b id o a u n cam ión d e 5 k q u e tiene las c ar­
gas d e las ru ed as q u e se m uestran e n la figura. S u ponga que
el cam ió n p u e d e viajar en cualquier dirección a lo largo del
centro de la cu b ierta, d e m odo q u e la m itad de la carg a se
transfiere a c a d a u n a d e las d o s arm ad u ras laterales. S u ­
ponga tam bién q u e lo s elem entos e stán articulados e n las
placas d e refuerzo.
6 -7 0 . D eterm in e el m o m en to vivo m áxim o ab so lu to e n el
p u e n te d e l p ro b lem a 6-69 si se retira e l rem olque.
P r o h . 6 - 7 0

279. 6 . 7 F l E R Z A C O N T A N T E Y M O M E N T O M Á X I M O A B S O L U T O 2 5 7
6 -7 1 . D eterm ine la fuerza c o rta n te viva y e l m o m en to
vivo m áxim os ab so lu to s e n el b razo A l t cíe la g rúa, deb id o s
a la carg a d e 10 kN. L as restricciones e n los e x trem o s re­
q u ieren q u e 0.1 m < i < 3 . 9 m .
Prob. 6-71
•6 -7 2 . D eterm ine e l m o m en to m áxim o e n C causado por
las carg as móviles.
6 -7 3 . D eterm ine e l m o m en to m áxim o ab so lu to e n el
puente d e trabes, d e b id o a las cargas del cam ió n q u e se
m uestra. L as carg as se aplican d irectam en te so b re la trabe.
15 k
PTOb. 6 -7 3
6 -7 4 . D eterm ine la fuerza c o rta n te m áxim a ab so lu ta e n la
viga d e b id o a las carg as m ostradas.
2 0 kN
6 -7 5 . D eterm ine e l m o m en to m áxim o ab so lu to e n la viga
deb id o a las carg as m ostradas.
2 0 k N
P r o b . 6 - 7 2 P r o b . 6 - 7 5

280. 2 5 8 C a p i t u l o 6 L I n e a s d e i n f l u e n c i a p a r a e s t r u c t u r a s e s t á t i c a m e n t e d e t e r m i n a d a s
* 6 - 7 6 . D e t e r m i n e l a f u e r / a c o r t a n t e m á x i m a a b s o l u t a e n
la t r a b e d e l p u e n t e , d e b i d o a l a s c a r g a s m o s t r a d a s
6 - 7 9 . D e t e r m i n e la f u e r z a c o r t a n t e m á x i m a a b s o l u t a e n la
s i g a d e b i d o a l a s c a r g a s m o s t r a d a s
P r o h . 6 - 7 6
6 k
5 3 3
p ie s p ie s pies
- 3 0 p ie s -
Proh. 6 - 7 9
* 6 - 8 0 . D e t e r m i n e e l m o m e n t o m á x i m o a b s o l u t o e n e l
p u e n t e d e b i d o a l a s c a r g a s m o s t r a d a s
6 - 7 7 . D e t e r m i n e e l m o m e n t o m á x i m o a b s o l u t o e n la
t r a b e d e l p u e n t e , d e b i d o a l a s c a r g a s m o s t r a d a s
6 k
P r o h . 6 - 7 7
6 - 8 1 . E l c a r r o r u e d a e n C y D a l o l a r g o d e l a s a l a s i n f e r i o r
y s u p e r i o r d e l a v i g a A R . D e t e r m i n e e l m o m e n t o m á x i m o
a b s o l u t o d e s a r r o l l a d o e n l a v i g a s i l a c a r g a s o p o r t a d a p o r e l
c a r r o e s d e 2 K . S u p o n g a q u e e l s o p o r t e e n A e s t á a r t i c u l a d o
y q u e B e s u n r o d i l l o .
6 - 7 8 . D e t e r m i n e e l m o m e n t o m á x i m o a b s o l u t o e n
t r a b e d e b i d o a l a s c a r g a s m o s t r a d a s
10 k
8 k
3 2 2
pies p ie s pies -25 p ie s -
P ro h .6 -7 8 Proh. 6-81

281. P R O B .E M A S D E P R O Y E C T O 2 5 9
PROBLEMAS DE PROYECTO
6 -1 P. E l polipasto d e cad en a p u e d e colocarse e n c u a l­
q u ie r p u n to a lo largo d el aguilón de u n a g rú a de p ared (0.1
m < x < 3.4 m ) y tiene una capacidad n o m in al d e 2 8 kN.
U se u n facto r d e im pacto d e 0.3 p a ra d e te rm in a r el m o­
m ento flexionante m áxim o ab so lu to e n e l aguilón y la
fuerza máxim a d e sarro llad a e n la varilla d e re fu e rz o B C . El
aguilón está articu lad o a la colum na d e p a re d e n s u extrem o
izquierdo A. Pase p o r a lto el ta m a ñ o d el c a rro e n D .
6-2P. Se va a co n stru ir un p u e n te p e a to n a l sim plem ente
apoyado e n u n parq u e de la ciudad, p o r lo q u e se lian p r o ­
puesto d o s m o d elo s q u e se m uestran co m o caso a y caso b.
Los e lem en to s d e la a rm a d u ra d e b e n e sta r h ech o s d e m a­
d e ra . La cu b ierta se co m pone d e planchas d e 1.5 m etro s de
largo q u e tien en u n a m asa de 2 0 kg/m ?. U n cód ig o local e s­
tablece q u e la carg a viva so b re la c u b ie rta d e b e s e r de 5 kP a
con u n factor de im pacto de 0.2. C onsidere q u e la cu b ierta
e sta rá sim plem ente a p o y a d a e n los largueros. E ntonces, las
vigas d e piso transm iten la c a rg a a las ju n ta s inferiores de la
arm ad u ra (v e a la figura 6-23). E n cada caso, e n c u en tre cuál
e s e l e lem en to som etido a la m ay o r carga e n tensión y en
co m presión, y sugiera p o r q u é d e b e elegirse u n diseño
so b re e l o tro . N o to m e e n cu en ta el peso de lo s elem entos
d e la arm ad u ra.
caso a
P ro h . 6 - 1 P
caso b
P ro b . 6 -2 P
1 2 5 m -1 2 5 1 2 5 m —|— 1 2 5 m —|

282. 2 6 0 C a p i t u l o 6 L I n e a s d e i n f l u e n c i a p a r a e s t r u c t u r a s e s t á t i c a m e n t e d e t e r m i n a d a s
REPASO DEL C A P ÍTU LO
U n a línea d e influencia indica el valor d e u n a reacción, u n a fuerza c o rta n te o u n m o m en to e n u n p u n to específico d e un
elem ento, cu a n d o u n a carg a u n itaria se m ueve so b re éste.
D espués d e co n stru ir la línea de influencia p a ra u n a reacción, u n a fuerza co rtan te o u n m o m en to (función), se p o d rá lo ­
calizar la carga viva so b re e l elem ento q u e p roduzca e l m áxim o valor positivo o negativo d e la función.
U na fuerza viva co n cen trad a se aplica en lo s picos positivos (negativos) de la línea de influencia. E l valor d e la función
es igual a l p ro d u c to de la o rd e n a d a d e la línea d e influencia p o r la m agnitud d e la fuerza.
f
±d
U n a carga uniform em ente d istrib u id a se ex tien d e so b re u n a región positiva (n egativa) d e la línea d e influencia. E l valor
de la función e s igual al p ro d u c to d e la z o n a bajo la línea d e influencia p a ra la reg ió n y la m agnitud d e la carga uniform e.
M
"o
3,
La fo rm a g en eral de la línea d e influencia p u e d e d eterm in arse m e d ian te e l principio d e M U U er-B reslau.el c u a l establece
que la línea d e influencia p a ra u n a reacción, u n a fuerza co rtan te o un m o m en to , e stá a la m ism a escala q u e la form a alte ­
ra d a d e l e lem en to cuando a c tú a n so b re é l la reacción, la fuerza c o rta n te o e l m om ento.

283. Re p a s o d e l c a p i t u l o 2 6 1
L as lin eas d e influencia p a ra trab es d e piso y arm ad u ras p u e d e n establecerse a l c o lo c a r la carg a unitaria en c a d a p u n to o
ju n ta del panel, y calcular e l valor d e la reacción, la fuerza co rtan te o e l m o m en to necesarios.
Si so b re el e lem en to p asa una serie de carg as concentradas, entonces d e b e n considerarse las d iferen tes posiciones d e la
carga so b re e l e lem en to a fin d e d ete rm in a r la m ayor fuerza c o rta n te o el m ay o r m om ento e n e l elem ento. H n general, c o ­
lo q u e la carg a de m a n e ra q u e c a d a u n a ap o rte s u m áxim a influencia, la cual se d e te rm in a m ultiplicando c ad a carg a p o r la
o rd en ad a de la línea d e influencia. E ste proceso d e e n c o n tra r la posición re a l puede hacerse m ediante una técnica de
p ru e b a y e rro r, o buscando e l cam b io e n la fu e rz a c o rta n te o e l m o m en to cu a n d o las carg as se m u ev en de una posición a
otra. C ada m om ento se investiga h a sta q u e se p resen ta u n v a lo r negativo d e la fuerza c o rta n te o e l m om ento. U na v ez que
ocurre esto , la posición a n te rio r defin irá la c a rg a crítica.
I j i fu e rza córlam e máxim a ab so lu ta e n u n a viga e n vo­
ladizo o sim plem ente ap o y ad a se p ro d u cirá en u n s o ­
p o rte, cu a n d o u n a de las carg as se co lo q u e al la d o d e ese
soporte.
E l m o m en to m áxim o absoluto e n una viga e n voladizo se
produce cu a n d o la serie d e carg as co n centradas se c o lo ­
can e n e l p u n to m ás alejado d e l s o p o rte fijo.
Para d ete rm in a r el m om ento m áxim o ab so lu to e n una
viga sim plem ente a p o y ad a, p rim ero se d e te rm in a la
fuerza re su ltan te d el sistem a. D espués, ju n to co n u n a de
las fuerzas co n cen trad as e n e l sistem a, se coloca de m odo
que las d o s fuerzas se e n c u e n tre n eq u id istan tes d e la
línea c e n tra l d e la viga. E l m o m en to m áxim o se p ro d u ce
b ajo la fuerza seleccionada. C ad a fuerza en e l sistem a se
selecciona de esta m a n e ra y, p o r co m p aració n . la m ás
g ran d e d e to d o s esto s casos e s el m om ento m áxim o a b s o ­
luto.
<
F, F}
H t
^ !
-J|«N
u
F=i —^
L
2
A .

284. El p o rta l d e este p u e n te d e b e resistir cargas la te ra le s d e b id a s al v ie n to y al trá­
fico. Para hacer un d ise ñ o p re lim in a r d e lo s e le m e n to s p u e d e realizarse un
análisis a p ro x im a d o de la s fuerzas producidas, a n te s de lle var a ca b o u n a n á li­
sis e stru ctu ra l m ás preciso.

285. Análisis aproximado de
estructuras estáticamente
indeterminadas
E n e s t e c a p ít u lo s e p r e s e n ta r á n a lg u n o s d e lo s m é t o d o s a p r o x im a d o s
p a ra a n a liz a r a r m a d u r a s y m a rc o s e s tá tic a m e n te in d e te r m in a d o s . Estas
té c n ic a s s e d e s a r r o lla r o n c o n b a s e e n e l c o m p o r t a m ie n t o e s tr u c tu r a l y,
e n la m a y o r ía d e lo s c a s o s , su p r e c is ió n s e c o m p a r a fa v o r a b le m e n te
c o n m é t o d o s a n a lític o s m á s e x a c to s . A u n q u e a q u í n o se e s tu d ia rá n
t o d o s lo s t ip o s d e fo r m a s e s tru c tu ra le s , m e d ia n te e l e s t u d io d e e s to s
m é t o d o s se p r e te n d e p r o p o r c io n a r u n e n t e n d im ie n t o s u fic ie n te p a ra
q u e e l e s tu d ia n te p u e d a d e t e r m in a r c u á le s s e ría n lo s m e jo r e s a c e rc a ­
m ie n to s p a ra re a liz a r u n a n á lis is a p r o x im a d o d e fu e rz a s d e u n a e s tr u c ­
tu ra e s tá tic a m e n te in d e te r m in a d a .
7 .1 Uso d e m é to d o s a p ro xim a d o s
Q i a n d o s e u tiliz a u n m o d e lo p a ra r e p r e s e n ta r c u a lq u ie r e s t r u c tu r a , e l
a n á lisis d e la m ism a d e b e s a tis f a c e r ta n to la s c o n d ic io n e s d e e q u ilib r io
c o m o la s d e c o m p a tib ilid a d d e d e s p l a z a m i e n to e n la s ju n ta s . C o m o se
m o s tr a r á e n c a p ítu lo s p o s te r io r e s d e e s t e te x to , la s c o n d ic io n e s d e c o m ­
p a tib ilid a d p a r a u n a e s t r u c tu r a e stá tic a m e n te in d e te r m in a d a p u e d e n r e la ­
c io n a r s e c o n la s c a r g a s s ie m p r e q u e s e c o n o z c a e l m ó d u lo d e e la s tic id a d
d e l m a te r ia l, a s í c o m o e l ta m a ñ o y la f o r m a d e lo s e le m e n to s . S in e m ­
b a rg o . p a r a u n d is e ñ o in ic ia l n o se c o n o c e r á e l ta m a ñ o d e l e l e m e n t o y.
p o r e n d e , n o s e p o d r á c o n s id e r a r u n a n á lis is e s tá tic a m e n te in d e te r m i­
n a d o . P a r a lle v a r a c a b o e l a n á lis is se r e q u e r i r á d e s a r r o ll a r u n m o d e lo
m ás s im p le d e la e s t r u c tu r a q u e s e a e s t á tic a m e n te d e te r m i n a d o . U n a v e z
e s p e c ific a d o e s te m o d e lo , e l e s tu d io s e d e n o m i n a a n á lisis a p r o x im a d o .
M e d ia n te u n a n á lis is d e e s t e t i p o p u e d e h a c e r s e u n d is e ñ o p r e lim in a r d e
lo s e le m e n to s d e u n a e s t r u c tu r a , y a l c o m p l e ta r é s te e s p o s ib le r e a liz a r
u n a n á lis is in d e t e r m in a d o m ás e x a c to y p e r f e c c io n a r e l d is e ñ o . U n a n á l i ­
sis a p r o x im a d o ta m b ié n p r o p o r c io n a in f o r m a c ió n s o b r e e l c o m p o r ta ­
m ie n to d e u n a e s t r u c t u r a b a jo c a r g a y r e s u lta ú til a l v e r if ic a r la v a lid e z
d e u n a n á lis is m á s e x a c to o c u a n d o e l tie m p o , e l d in e r o o l a c a p a c id a d n o
s o n s u f ic ie n te s p a r a e f e c t u a r e l a n á lis is c o n m a y o r p re c is ió n .

286. 2 6 4 Ca p i t u l o 7 A n á l i s i s a p r o x i m a d o d e e s t r u c t u r a s e s t á t i c a m e n t e i n d e t e r m i n a d a s
E s n e c e s a r io t e n e r e n c u e n ta q u e , p o r lo g e n e r a l , to d o s lo s m é t o d o s d e
a n á lisis e s tr u c tu r a l s o n a p r o x im a d o s , s im p le m e n te p o r q u e la s c o n d ic io ­
n e s r e a l e s d e c a r g a , la g e o m e t r í a ,e l c o m p o r ta m ie n to d e l m a te r ia l y la r e ­
s is te n c ia d e la s ju n t a s e n lo s s o p o r te s n u n c a s e c o n o c e n e n u n s e n tid o
e stric to . S in e m b a r g o , e n e s t e te x t o e l a n á lisis e s tá tic a m e n te in d e te r m in a d o
d e u n a e s t r u c t u r a se lla m a r á a n á lisis e x a c to y e l a n á lis is e s t á tic a m e n te
d e te r m in a d o , q u e e s m á s s e n c illo , s e d e n o m i n a r á a n á lisis a p r o x im a d o .
7 .2 A rm a d u ra s
E n la f ig u r a 7 - l a s e m u e s tr a u n t i p o c o m ú n d e a r m a d u r a q u e s e u s a c o n
fr e c u e n c ia c o m o s o p o r t e la t e r a l p a r a e d if ic io s o e n la s c u e r d a s s u p e r io r
e in f e r io r d e lo s p u e n te s (v e a ta m b ié n la fig u ra 3 -4 ). C u a n d o s e u s a p a r a
ta l p r o p ó s ito , e s t a a r m a d u r a n o s e c o n s i d e r a u n e l e m e n t o p r i m a r i o
p a r a s o p o r ta r la e s tr u c tu r a y, e n c o n s e c u e n c ia , s u e le a n a liz a rs e p o r m é to d o s
a p ro x im a d o s . E n e l c a s o q u e s e m u e s tr a se p o d r á o b s e r v a r q u e a l e lim i­
n a r u n a d ia g o n a l d e c a d a u n o d e lo s tr e s p a n e le s , la a r m a d u r a s e v u e lv e
e s t á tic a m e n te d e te r m i n a d a . E n to n c e s , la a r m a d u r a e s e s t á tic a m e n te in ­
d e te r m i n a d a d e t e r c e r g r a d o ( a p a r t i r d e la e c u a c ió n 3 - 1 , 6 + r > 2/', o
b ie n 1 6 + 3 > 8 ( 2 ) ) y, p o r lo ta n to , d e b e n h a c e r s e tr e s s u p u e s to s r e s p e c to
d e la s fu e r z a s e n la s b a r r a s a fin d e c o n v e r t ir l a a r m a d u r a e n e s t á t i c a ­
m e n te d e te r m in a d a . E s to s s u p u e s to s p u e d e n h a c e r s e c o n r e s p e c to a las
d ia g o n a le s tr a n s v e r s a le s , s i s e o b s e r v a q u e c u a n d o u n a d ia g o n a l e n u n
p a n e l e s t á e n te n s ió n , la c o r r e s p o n d ie n t e d ia g o n a l tr a n s v e r s a l e s t á e n
c o m p r e s ió n . E s to e s e v id e n te e n l a G g u ra 7 - 1 6 ,d o n d e la “ f u e r z a c o r t a n te
d e l p a n e l ” V e s s o p o r ta d a p o r la c o m p o n e n te v e rtic a l d e f u e r z a d e t e n ­
s i ó n e n e l e l e m e n t o a , y l a c o m p o n e n te v e rtica l efe la f u e r z a d e c o m p re s ió n
e n e l e le m e n to 6 . E n g e n e r a l s e a c e p ta n d o s m é to d o s d e an á lisis.
M é t o d o 1 : Si la s d ia g o n a le s s e d is e ñ a n in te n c io n a lm e n te la rg a s y
d e lg a d a s .e s r a z o n a b le s u p o n e r q u e n o p u e d e n s o p o r ta r
u n a f u e r z a d e c o m p r e s ió n ; d e lo c o n tr a rio , s e p a n d e a r ía n
co n fa c ilid a d . P b r c o n s ig u ie n te , la f u e r z a c o r t a n t e d e l
p a n e l e s r e s is t id a e n s u t o t a li d a d p o r l a á a g o n a l d e t e n ­
s ió n . m ie n tr a s q u e la d ia g o n a l d e c o m p r e s ió n se a s u m e
c o m o u n e le m e n to d e f u e r z a cero.
M é t o d o 2 : Si lo s e le m e n to s d ia g o n a le s s e c o n s t r u y e n a p a r t i r d e
g r a n d e s s e c c io n e s la m in a d a s , c o m o á n g u lo s o c a n a le s,
p u e d e n s e r ig u a lm e n te c a p a c e s d e s o p o r ta r u n a fu e rz a
d e te n s ió n q u e u n a d e c o m p r e s ió n . A q u í s e s u p o n d r á
q u e c a d a d ia g o n a l d e te n s ió n y d e c o m p r e s ió n s o p o r ta
la m ita d d e la f u e r z a c o r t a n te d e l p a n e l.
f t a k r s
E s to s d o s m é to d o s d e a n á lis is a p r o x i m a d o s e ilu s tra n n u m é r ic a m e n te
e n lo s s ig u ie n te s e je m p lo s .
P a r a d e t e r m i n a r la s f u e r z a s d e l r e f u e r z o t r a n s v e r s a l e n
c a d a p a n e l d e e s t e p u e n t e f e r r o v i a r i o l e v a d i z o , p u e d e
u s a r s e u n m é t o d o a p r o x i m a d o . A q u í , l o s e l e m e n t o s
t r a n s v e r s a l e s s o n d e l g a d o s y. p o r l o t a n t o , p u e d e s u p o ­
n e r s e q u e n o s o p o r t a n n i n g u n a f u e r z a d e c o m p r e s i ó n .
F ig u r a 7 - 1

287. 7 2 A r m a d u r a s 2 6 5
D e te r m in e ( e n f o r m a a p r o x im a d a ) las f u e r z a s e n lo s e le m e n to s d e la
a r m a d u r a q u e se m u e s tr a e n la fig u ra 1 - l a . L as d ia g o n a le s d e b e n d i­
s e ñ a r s e p a r a s o p o r ta r ta n t o f u e r z a s d e te n s ió n c o m o d e c o m p r e s ió n y,
p o r e n d e , se s u p o n e q u e c a d a u n a s o p o r ta la m ita d d e la f u e r z a c o r ­
ta n te d e l p a n e l. I-as r e a c c io n e s e n lo s s o p o r te s y a se h a n c a lc u la d o .
2 0 k N
1 0 k N 2 0 k N 1 0 k N
(a)
F i g u r a 7 - 2
S O L U C IÓ N
R>r in s p e c c ió n , la a r m a d u r a e s e s t á tic a m e n te in d e te r m in a d a d e s e ­
g u n d o g r a d o . L o s d o s s u p u e s t o s r e q u i e r e n q u e la s d ia g o n a l e s d e
te n s ió n y d e c o m p r e s ió n s o p o r te n fu e r z a s ig u a le s , e s d e c ir , Ff b = F AE
= F . P a r a u n a se c c ió n v e r tic a l a tr a v é s d e l p a n e l iz q u ie r d o , fig u ra 7-2b ,
se ti e n e
+ 12 F y = 0 ; 2 0 - 1 0 - 2 ( j ) F = 0 F = 8 .3 3 k N R esp.
d e m o d o q u e
Ff b = 8 .3 3 k N ( T ) R esp.
F u = 8 .3 3 k N ( C ) R esp.
t + Z Ma = 0 ; - 8 . 3 3 ( f ) ( 3 ) + Ff e(3 ) = 0 Ff e = 6 .6 7 k N ( C)R e sp .
l + X W f = 0 ; - 8 . 3 3 ( |) ( 3 ) + ^ ( 3 ) = 0 FAfí = 6 .6 7 k N ( T )R esp.
A p a r t i r d e la j u n t a A ,f ig u r a 7 -2c,
+ 1 2 F , = 0 ; Fa f - 8 .3 3 ( í ) - 1 0 = 0 F AF = 15 k N ( T ) R esp.
E n la f ig u r a 7 -2d s e m u e s tr a u n a s e c c ió n v e rtic a l a tr a v é s d e l p a n e l
d e re c h o . D e m u e s tr e q u e
F DB = 8 .3 3 k N ( T ) , F ED = 6 .6 7 k N ( C ) R esp.
Fe c = 8.33 k N ( C ) , F BC = 6 .6 7 k N ( T ) R esp.
P b r o t r a p a r te , e m p le a n d o lo s d ia g r a m a s d e c u e rp o lib r e d e las a r t ic u ­
la c io n e s D y £ , f ig u r a s l - 2 e y 7 -2 /, d e m u e s tr e q u e
F iyc = 5 k N ( C )
Fe b = 10 k N ( T )
R esp.
R esp.
2 0 k N
(b)
( c )
F Í O
-----------►
V - 1 0 k N ¿ d
I
sf-
* D t , y
1 0 k N
(d)
6 .6 7 k N -
X/
8 3 3 k N F o c -
(e)
6 .6 7 k N — — 6 ,6 7 k N
8 .3 3 k N ‘ F f / 8 3 3 k N
(0

288. 2 6 6 C a p i t u l o 7 A n á l i s i s a p r o x i m a d o d e e s t r u c t u r a s e s t á t i c a m e n t e i n d e t e r m i n a d a s
EJEMPLO 7.2
P a r a p r o p o r c io n a r s o p o r t e la t e r a l a e s t e p u e n te c o n tr a e l v ie n to y la s
c a r g a s d e s b a la n c e a d a s d e l trá fic o , s e e m p l e a u n r e f u e r z o tr a n s v e r s a l.
D e te r m in e ( e n f o r m a a p r o x im a d a ) las fu e r z a s e n lo s e le m e n to s d e
e s t a a r m a d u r a . S u p o n g a q u e la s d ia g o n a le s s o n d e lg a d a s y p o r lo
ta n t o n o s o p o r ta n n in g u n a f u e r z a d e c o m p r e s ió n , l^as c a r g a s y la s
r e a c c io n e s e n lo s s o p o r te s s e m u e s tr a n e n la fig u ra 7 -3a.
P = 6 k
S O L U C IÓ N
P o r in s p e c c ió n , la a r m a d u r a e s e s t á tic a m e n te in d e te r m in a d a d e c u a r t o
g ra d o . A sí, lo s c u a t r o s u p u e s to s q u e s e u tiliz a rá n r e q u ie r e n q u e c a d a
d ia g o n a l d e c o m p r e s ió n s o s te n g a u n a f u e r z a n u l a . P o r lo ta n t o , a
p a r t i r d e u n a s e c d ó n v e r tic a l a tr a v é s d e l p a n e l iz q u ie rd o , fig u ra 7 -3 6 ,
s e ti e n e
+ TZFv = 0;
1 + 2 A/y = 0;
Fa i = 0
8 - 2 - Fj b e o s 4 5 ° = 0
F j n = 8.49 k ( T )
- 8 .4 9 s e n 4 5 ° ( 1 5 ) + F ; / (1 5 ) = 0
6 k < C )
Fa b = 0
A p a r t i r d e l a j u n t a A , f i g u r a 7 - 3c.
Fj a = S k ( C )
(a)
Figura 7 -3

289. 7 2 A r m a d u r a s 2 6 7
E n la f ig u r a 7 3 d se m u e s tr a u n a se c c ió n v e r tic a l d e la a r m a d u r a a
tr a v é s d e lo s e le m e n to s III, I C , B H y B C . L a f u e r z a c o r ta n te d e l p a n e l
e s V = 'LFy = 8 - 2 - 4 = 2 k . S e r e q u i e r e q u e
Fb h = 0 R esp.
+ 1 '¿ F y - 0 ; 8 - 2 - 4 - F IC e o s 4 5 ° = 0
F IC = 2 .8 3 k ( T ) R esp.
t + S A / , , = 0 ; - 8 ( 1 5 ) + 2 ( 1 5 ) - 2 .8 3 s e n 4 5 ° ( 1 5 ) + F /w(15) = 0
F /H = 8 k ( C ) R esp.
J.+ 2 A / , = 0 ; - 8 ( 1 5 ) + 2 ( 1 5 ) + F ^ 1 5) = 0
Fb c = 6 k ( T ) R esp.
A p a r t i r d e la j u n t a B , fig u ra 7 -3e,
Fs,
+ 1 2 F y = 0 ; 8.49 s e n 4 5 ° - F B, = 0 8 49^ | 45 > °
F fl/ = 6 k ( C ) R esp.
I-as f u e iz a s e n lo s o tr o s e le m e n to s s e p u e d e n d e te r m i n a r p o r s i­
m e tría , e x c e p to Fc / /;s in e m b a r g o , a p a r t i r d e la j u n t a C , fig u ra 7 -3 /, se
tie n e f( „
2 8 3 k I 2 8 3 k
4 5 7 .
6 k
(e )
1 2 F , = 0 ; 2 (2 .8 3 s e n 4 5 ° ) - F CH = 0 6 k 6 k
Fc h = 4 k ( C ) R e s p . (f)

290. 2 6 8 C a p i t u l o 7 A n á l i s i s a p r o x i m a d o d e e s t r u c t u r a s e s t á t i c a m e n t e i n d e t e r m i n a d a s
PROBLEM AS
7 -1 . D eterm ine (e n fo rm a ap ro x im ad a) la fuerza e n cada
elem ento d e la a rm a d u ra . S u ponga q u e las d iagonales p u e ­
den so p o rta r u n a fu e rz a d e tensión o d e com presión.
7 -2 . R esuelva e l p ro b lem a 7-1 su p o n ien d o q u e las d iag o ­
nales n o p u e d e n so p o rta r u n a fuerza de com presión.
7 -5 . D eterm ine (e n fo rm a ap ro x im ad a) la fu e rz a e n cada
elem ento d e la a rm a d u ra . S u ponga q u e las d iagonales p u e ­
den so p o rta r u n a fuerza d e tensión o d e com presión.
7 -6 . R esuelva e l p ro b lem a 7-5 su p o n ien d o q u e las d iag o ­
nales n o p u e d e n so p o rta r u n a fuerza de com presión.
5 0 k N 4 0 k N 2 0 k N
f O
P r o b s . 7 - 1 / 7 - 2
7 k 1 4 k 14 k 7 k
pies pies pies
P r o b s . 7 - 5 7 7 - 6
7 -3 . D eterm ine (e n fo rm a ap ro x im ad a) la fu e rz a e n cada
elem ento d e la a rm a d u ra . S uponga q u e las d iagonales p u e ­
den so p o rta r u n a fuerza d e tensión o d e com presión.
* 7 -4 . R esuelva el p ro b le m a 7-3 suponiendo q u e las d iag o ­
nales n o p u e d e n so p o rta r u n a fuerza de com presión.
7 -7 . D eterm in e (e n fo rm a apro x im ad a) la fuerza en cada
elem ento d e la a rm a d u ra . S u ponga q u e las d iagonales p u e ­
den so p o rta r u n a fuerza d e tensión o d e com presión.
*7-8. R esuelva e l p ro b le m a 7-7 suponiendo q u e las d iag o ­
nales n o p u e d e n so p o rta r u n a fuerza de com presión.
P r o b s . 7 - 3 7 7 - 4 P r o b s . 7 - 7 7 7 - 8

291. 7 2 A r m a d u r a s 2 6 9
7 -9 . D eterm ine (e n fo rm a apro x im ad a) la fuerza en c ad a
elem ento d e la a rm a d u ra . S uponga q u e las diagonales p u e ­
d e n so p o rta r tan to fuerzas de tensión co m o d e com presión.
pies
P ro b . 7 -9
7 -1 0 . D eterm ine (e n form a apro x im ad a) la fuerza e n c ad a
elem en to d e la arm ad u ra. S u ponga q u e las d iagonales D G y
A C no p u e d e n so p o rta r u n a fu e rz a d e com presión.
pies
7-11. D eterm ine (e n fo rm a apro x im ad a) la fuerza e n c ad a
elem ento d e la a rm a d u ra . S u ponga q u e las diagonales p u e ­
d e n so p o rtar u n a fuerza d e tensión o una d e com presión.
P ro b . 7-11
•7 -1 2 . D eterm ine (e n fo rm a apro x im ad a) la fuerza en
cada e lem en to d e la arm ad u ra. S uponga q u e las diagonales
no p ueden so p o rta r una fuerza d e com presión.
P ro h .7 -1 0 P r o b . 7 - 1 2

292. Ca p i t u l o 7 A n á l i s i s a p r o x i m a d o d e e s t r u c t u r a s e s t á t i c a m e n t e i n d e t e r m i n a d a s
7 .3 Cargas verticales so b re m arcos
de construcción
l\> r lo c o m ú n , lo s m a r c o s d e c o n s tr u c c ió n c o n s is te n e n tr a b e s q u e e s t á n
c o n e c ta d a s r íg id a m e n te a c o l u m n a s .d e m o d o q u e t o d a la e s t r u c t u r a ti e n e
u n a m a y o r c a p a c id a d p a r a re s is tir lo s e f e c to s d e la s fu e r z a s la te r a le s d e ­
b id a s a l v ie n t o y a lo s te r r e m o to s . E n la fig u ra 7 -4 s e m u e s tr a u n e je m p lo
d e u n m a r c o ríg id o , d e n o m i n a d o c a b a l le te d e e d ific io .
E n la p r á c t ic a , u n in g e n ie r o e s t r u c tu r a l p u e d e e m p l e a r d iv e r s a s té c n i­
c a s p a r a r e a l i z a r u n a n á lis is a p r o x im a d o d e u n c a b a l le te d e e d ific io . C a d a
u n o s e b a s a e n e l c o n o c im ie n to d e la fo r m a e n q u e la e s t r u c tu r a se d e fo r ­
m a r á b a jo c a r g a . U n a té c n ic a s e r ía la d e c o n s id e r a r s o la m e n te lo s e l e ­
m e n to s d e n t r o d e u n a re g ió n lo c a liz a d a d e la e s tr u c tu r a . E s to e s p o s ib le
s ie m p r e q u e la s d e fle x io n e s d e lo s e le m e n to s d e n t r o d e la re g ió n a lt e r e n
p o c o a lo s q u e e s t á n f u e r a d e e lla . S in e m b a r g o , c o n m u c h a fr e c u e n c ia se
to m a e n c u e n ta la c u rv a d e d e fle x ió n d e to d a la e s t r u c tu r a . A p a r t i r d e
e s to p u e d e c sp e c ific a re c la u b ic a c ió n a p r o x im a d a d e lo s p u n to s d e in f le ­
x ió n ; e s d e c ir , d e lo s p u n to s d o n d e e l e le m e n to c a m b ia s u c u r v a tu r a .
E s to s p u n to s p u e d e n c o n s id e r a r s e c o m o a r tic u la c io n e s, y a q u e e n lo s
p u n to s d e in fle x ió n d e l e l e m e n t o s e p r e s e n ta n m o m e n to s n u lo s. E n e s ta
s e c c ió n se u tiliz a r á e s t a id e a p a r a a n a liz a r las fu e r z a s e n lo s m a r c o s d e
c o n s tr u c c ió n d e b id a s a las c a r g a s v e rtic a le s , y e n la s s e c c io n e s 7 -5 y 7 -6 se
p r e s e n ta r á u n a n á lis is a p r o x im a d o d e lo s m a r c o s s o m e tid o s a c a r g a s l a t e ­
rales. D a d o q u e e l m a r c o p u e d e s o m e te r s e a e s t a s d o s c a r g a s a l m ism o
tie m p o , e n to n c e s , s i e m p r e q u e e l m a t e r i a l p e r m a n e z c a e lá s tic o , la c a rg a
r e s u lta n te p o d r á d e te r m i n a r s e p o r s u p e r p o s ic ió n .
Supuestos para el análisis aproxim ado. C o n s id e r e u n a
tr a b e tí p ic a lo c a liz a d a d e n t r o d e u n c a b a l le te d e e d ific io q u e e s t á s o m e ­
tid a a u n a c a r g a v e r tic a l u n if o r m e , c o m o se m u e s tr a e n la f ig u r a 7 -5a . L os
s o p o r te s d e c o lu m n a e n A y H e je r c e r á n , c a d a u n o , tr e s r e a c c io n e s s o b r e
la v ig a , p o r lo q u e é s ta e s e s t á ti c a m e n t e in d e t e r m in a d a d e te r c e r g r a d o
(6 r e a c c io n e s - 3 e c u a c io n e s d e e q u ilib r io ) . E n to n c e s , u n a n á lis is a p ro x i-
M a r c o d e c o n s t r u c c i ó n t í p i c a
H g u r a 7 - 4

293. 7 . 3 Ca r g a s v e r t i c a l e s s o b r e m a r c o s d e c o n s t r u c c i ó n
c o lu m n a
•y
c o l u m n a
. . ■ ■
1
viga
1
(a )
f i j a m c n ic a p o y a d a
( b )
s im p le m e n t e a p o y a d a
(C) ( d )
F igura 7-5
m a d o r e q u e r i r á I r e s s u p u e s to s p a r a h a c e r q u e la v ig a s e a e s tá tic a m e n te
d e te r m in a d a . S i la s c o lu m n a s s o n e x tr e m a d a m e n te ríg id a s n o se p r o d u ­
c ir á r o t a c ió n e n A y B,y l a c u r v a d e d e f le x ió n d e la tr a b e s e p a r e c e r á a la
q u e s e m u e s tr a e n la fig u ra 7-5¿>.Si se e m p l e a u n o d e lo s m é to d o s q u e s e
p r e s e n ta n e n lo s c a p ítu lo s 9 a 11, u n a n á lis is e x a c to r e v e la q u e e n e s te
c a s o lo s p u n to s d e in fle x ió n , o p u n to s d e m o m e n to n u lo , s e p r o d u c e n a
0.21 L d e c a d a s o p o r te . S in e m b a r g o , s i la s c o n e x io n e s d e la s c o lu m n a s e n
A y f í so n m u y fle x ib le s, e n to n c e s , c o m o s i s e t r a t a r a d e u n a v ig a s im p le ­
m e n te a p o y a d a .s e p ro d u c irá n m o m e n to s n u lo s e n lo s s o p o r te s , fig u ra 7-5c.
N o o b s ta n te , e n r e a lid a d la s c o lu m n a s p r o p o r c io n a n c ie r ta fle x ib ilid a d
e n lo s s o p o r te s y. p o r c o n s ig u ie n te , s e s u p o n d r á q u e o c u r r e u n m o m e n to
n u lo e n e l p u n to m e d i o e n tr e lo s d o s e x tr e m o s , e s d e c ir , a ( 0 .2 1Z. + 0 )/2 =*
0 .1 L d e c a d a s o p o r te , fig u ra . 7-5d . P o r o t r a p a r t e , u n a n á lis is e x a c to d e lo s
m a r c o s q u e s o p o r ta n c a rg a s v e r tic a le s in d ic a q u e la s f u e r z a s a x ia le s e n la
tr a b e s e p u e d e n p a s a r p o r a lto .
E n r e s u m e n , c a d a t r a b e d e lo n g i tu d / . p u e d e m o d e la r s e m e d ia n te u n
c la r o s im p le m e n te a p o y a d o d e 0 .8 /. d e la r g o q u e d e s c a n s a s o b r e d o s e x ­
tr e m o s e n v o la d iz o , c a d a u n o c o n u n a lo n g itu d d e 0 .1 L , fig u ra 7 -5e. E n
e s te m o d e lo s e h a n in c o r p o r a d o lo s s ig u ie n te s tr e s s u p u e s to s :
L H a y u n m o m e n to n u lo e n la t r a b e a 0 .1L d e l s o p o r te iz q u ie rd o .
2. H a y u n m o m e n to n u lo e n la t r a b e a 0 . \ L d el s o p o r te d e r e c h o .
X 1.a t r a b e n o s o p o r ta u n a f u e r z a a x ia l.
A h o r a e s p o s ib le o b t e n e r , m e d ia n te e l u s o d e la e s t á ti c a , las c a r g a s in ­
te r n a s e n la s tr a b e s y p u e d e h a c e r s e u n d is e ñ o p r e l im in a r d e su s s e c c io ­
n e s tr a n s v e rs a le s . E l s ig u ie n te e je m p lo ilu s tr a e s t o e n fo r m a n u m é r ic a .
F
0.1/. o .i/.
0 XI.
m í d e l o
( e )

294. 2 7 2 C a p i t u l o 7 A n á l i s i s a p r o x i m a d o d e e s t r u c t u r a s e s t á t i c a m e n t e i n d e t e r m i n a d a s
EJEMPLO 7.3
i
D e te r m in e ( e n f o r m a a p r o x im a d a ) e l m o m e n to e n la s ju n t a s E y C
c a u s a d o p o r lo s e le m e n to s E F y C D d e l c a b a l le te d e e d if ic io q u e se
m u e s tr a e n la f ig u r a 7-6a.
8 » I b / p i e
( b )
Figura 7-6
S O L U C IÓ N
P a ra u n a n á lis is a p r o x im a d o , e l m a r c o s e m o d e la d e la m a n e r a q u e se
m u e s tr a e n la fig u ra 7 -6 6 . T e n g a e n c u e n ta q u e lo s c la r o s e n v o la d iz o
q u e s o p o r ta n la p a r t e c e n tr a l d e la t r a b e t i e n e n u n a lo n g itu d d e 0.1 / .
= 0.1 ( 2 0 ) = 2 p ie s . E l e q u ilib r io r e q u i e r e q u e las r e a c c io n e s e n lo s e x ­
tr e m o s d e la p a r t e c e n tr a l d e la tr a b e s e a n d e 6 4 0 0 Ib. f ig u r a 7 -6 c. E n ­
to n c e s , lo s c la r o s e n v o la d iz o e s t á n s o m e tid o s a u n m o m e n to d e
r e a c c ió n d e
M = 1 6 0 0 (1 ) + 6 4 0 0 (2 ) = 14 4 0 0 I b - p i e = 14.4 k - p ie R e sp .
E s te m o m e n to a p r o x im a d o , c o n d ir e c c ió n o p u e s t a , a c tú a s o b r e la s
j u n t a s e n E y C ,f ig u r a 7 -6 a. C o n b a s e e n lo s r e s u lta d o s ,e l d ia g r a m a d e
m o m e n to a p r o x im a d o p a r a u n a d e la s tr a b e s e s c o m o s e m u e s tra e n la
fig u ra 7 -6d.
12 8 0 0 1 b
t 1 6 p i a
--------1
6 4 0 0 Ib
1600 I b 6 4 0 0 I b 6 4 0 0 I b U
1 4 4 0 0 1b p i e : 4 U n
2 p ie s
8 0 0 0 1 b 8 0 0 0 1 b
(c)
< 4 0 0 Ib
6 4 0 0 1 b 1600 Ib
1 4 4 0 0 I b - p i e
A (k-pic)
2 5 6
20
14.4
' 2 18 4
<d)
x ( p i e s )

295. 7 . 4 M a r c o s y a r m a d u r a s d e p o r t a l. 2 7 3
7 . 4 M arcos y arm a du ras de p o rta l
Marcos. L os m a rc o s d e p o r t a l s e s u e le n u s a r a la e n t r a d a d e u n
p u e n te * y c o m o u n e le m e n to d e r e f u e r7 o p r i n c ip a l e n e l d is e rto d e e d if i­
c io s c o n e l fin d e tr a n s f e r ir f u e r z a s h o r i z o n ta le s a p lic a d a s e n la p a r t e s u ­
p e r io r d e l m a r c o h a d a lo s c im ie n to s . E n lo s p u e n te s , e s t o s m a rc o s
re s is te n la s fu e r z a s p r o d u c i d a s p o r e l v ie n to , lo s te r r e m o to s y la s c a r g a s
d e s b a la n c e a d a s d e l tr á f ic o s o b r e l a c u b ie r ta d e l p u e n te . L o s p o r ta le s
p u e d e n t e n e r s o p o r te s a r tic u la d o s o fijo s, o b ie n s e p u e d e n s o s te n e r m e ­
d ia n te u n a fija c ió n p a r c ia l. A c o n tin u a c ió n se e s t u d ia r á e l a n á lis is a p r o x i­
m a d o d e c a d a c a s o m e d i a n te u n p o r t a l s e n c illo d e tr e s e le m e n to s .
A r t i c u l a d o s . E n la fig u ra 1 - l a s e m u e s tr a u n m a r c o d e p o r t a l a r ­
tic u la d o . D a d o q u e e x is te n c u a t r o in c ó g n ita s e n lo s s o p o r te s , p e r o s ó l o
tr e s e c u a d o n e s d e e q u ilib r io p a r a o b t e n e r la s o l u d ó n . e s ta e s t r u c tu r a e s
e s t á tic a m e n te in d e te r m in a d a d e p r i m e r g ra d o . E n c o n s e c u e n c ia , s ó l o
d e b e a d o p ta r s e u n s u p u e s to p a r a c o n v e r t ir e l m a r c o e n e s tá tic a m e n te
d e te r m in a d o .
E n la f ig u r a 1 - l b se m u e s tra la d e f le x ió n e lá s tic a d e l p o r ta l. E s te d i a ­
g ra m a in d ic a q u e u n p u n t o d e in fle x ió n , e s d e c ir , a q u e l d o n d e e l m o ­
m e n to c a m b ia d e fle x ió n p o s itiv a a fle x ió n n e g a tiv a , s e e n c u e n t r a
a p r o x im a d a m e n te e n e l p u n t o m e d io d e la tr a b e . C o m o e l m o m e n to e s
c e r o e n e s t e p u n t o d e la tr a b e , s e p u e d e s u p o n e r q u e a llí e x is te u n a b is a ­
g r a , p a r a d e s p u é s p r o c e d e r a d e te r m i n a r la s r e a c c io n e s e n lo s s o p o r te s
u tiliz a n d o la e s tá tic a . Si s e h a c e e s t o , p u e d e c o n s t a ta r s e q u e las r e a c c io ­
n e s h o r iz o n ta le s ( f u e r / a c o r t a n te ) e n la b a s e d e c a d a c o lu m n a s o n ig u a ­
le s y q u e la s o tr a s r e a c c io n e s s o n la s in d ic a d a s e n la fig u ra 7 -7 c . A d e m á s ,
lo s d ia g r a m a s d e m o m e n to p a r a e s te m a r c o s o n c o m o lo in d ic a la fig u ra
1 - l d .
( b )
(d)
?
— í -
r
Pb
<c)r
Pb
V e a l a f i g u r a 3 - 4 .

296. 2 7 4 C a p i t u l o 7 A n á l i s i s a p r o x i m a d o d e e s t r u c t u r a s e s t á t i c a m e n t e i n d e t e r m i n a d a s
(a)
Figura 7-8
F i j a m e n t e a p o y a d o s . Ix>s p o r t a l e s c o n d o s s o p o r t e s fijo s , fig u ra
7 - 8 u ,s o n e s t á tic a m e n te in d e te r m in a d o s d e t e r c e r g r a d o , p u e s to q u e h a y
u n to t a l d e se is in c ó g n ita s e n lo s s o p o r te s . S i lo s e le m e n to s v e r tic a le s t i e ­
n e n lo n g itu d e s y á r e a s tr a n s v e r s a le s ig u a le s , e l m a r c o s e d e f o r m a r á c o m o
s e m u e s tr a e n la fig u ra 7 -8b . E n e s t e c a s o s e s u p o n d r á q u e lo s p u n to s d e
in fle x ió n o c u r r e n e n lo s p u n to s m e d io s d e lo s tr e s e le m e n to s y, p o r lo
ta n to , la s b is a g ra s s e c o lo c a n e n e s to s p u n to s . P o r c o n s ig u ie n te , la s r e a c ­
c io n e s y lo s d ia g r a m a s d e m o m e n to p a ra c a d a e le m e n to p u e d e n d e t e r m i ­
n a r s e a l d e s m e m b r a r e l m a r c o e n las b is a g ra s y a l a p lic a r la s e c u a c io n e s
d e e q u ilib r io p a r a c a d a u n a d e las c u a t r o p a r te s . L o s r e s u lta d o s s e m u e s ­
tr a n e n l a fig u ra 7 -8 c .T e n g a e n c u e n ta q u e ,c o m o e n e l c a s o d e l p o r t a l a r ­
tic u la d o , las r e a c c io n e s h o r iz o n ta le s ( f u e r z a c o r t a n te ) e n la b a s e d e c a d a
c o lu m n a s o n ig u a les. E l d ia g r a m a d e m o m e n to p a ra e s t e m a r c o s e in d ic a
e n la fig u ra 7 -8d.
h H HH
i
L
( b ) (c)
r T f
1 Ph
f 1
P h 1
*
f *
«I
n
9
r
■ i
i
9
\
- 9
d i a g r a m a d e
m o m e n to
<d)
F i j a c i ó n p a r c i a l . D a d o q u e e s d ifíc il y c o s to s o c o n s t r u ir u n s o p o r te o
c im ie n to p e r f e c ta m e n te fijo p a r a u n m a r c o d e p o r ta l, e s c o n s e r v a d o r y
a lg o r e a l is t a s u p o n e r q u e s e p r o d u c e u n a lig e ra r o t a c ió n e n lo s s o p o r te s ,
fig u ra 7 -9 o . C o m o r e s u lta d o , lo s p u n to s d e in fle x ió n e n la s c o lu m n a s se
e n c u e n t r a n e n a lg ú n lu g a r e n t r e e l c a s o d e te n e r u n p o r t a l a r tic u la d o , fi­
g u r a 7-7í i,d o n d e lo s " p u n to s d e in f le x ió n " e s tá n e n lo s s o p o r te s ( b a s e d e
la s c o lu m n a s ) ,y u n p o r t a l f ija m e n te a p o y a d o , fig u ra 7 - 8 u ,d o n d e lo s p u n ­
to s d e in f le x ió n e s t á n e n e l c e n t r o d e la s c o lu m n a s . M u c h o s in g e n ie ro s
d e f in e n a r b i tr a r ia m e n te la u b ic a c ió n e n h H , f ig u r a 7 -9 6 , y p o r e n d e u b i ­
c a n b is a g ra s e n e s to s p u n to s , a s í c o m o e n e l c e n t r o d e la tr a b e .

297. 7 . 4 M a r c o s y a r m a d u r a s d e p o r t a l. 275
Figura 7 -9
Armaduras. C u a n d o u n p o r t a l s e u tiliz a p a r a a b a r c a r g r a n d e s d is ­
ta n d a s , p u e d e u s a r s e u n a a r m a d u r a e n v e z d e la tr a b e h o riz o n ta l. D ic h a
e s t r u c tu r a s e e m p le a e n g r a n d e s p u e n te s e in c lin a c io n e s tr a n s v e r s a le s
p a ra g r a n d e s a u d ito r io s e in s ta la c io n e s fa b rile s . U n e je m p lo típ ic o se
m u e s tr a e n la fig u ra 7 -1 0 a . E n to d o s lo s c a s o s , s e s u p o n e q u e la a r m a d u r a
s u s p e n d id a e s t á a r tic u la d a e n s u s p u n to s d e fija c ió n a la s c o lu m n a s .
A d e m á s , la a r m a d u r a m a n tie n e r e c t a s las c o lu m n a s d e n t r o d e la re g ió n
d e u n ió n c u a n d o e l p o r t a l s e s o m e te a l d e s p la z a m ie n to la t e r a l A . fig u ra
7-1 Ob. E n c o n s e c u e n c ia , lo s p o r ta le s d e a r m a d u r a p u e d e n a n a liz a r s e c o n
lo s m ism o s s u p u e s to s q u e s e u s a r o n p a r a lo s p ó r tic o s s im p le s . P a r a la s
c o lu m n a s a rtic u la d a s , s u p o n g a q u e la s r e a c d o n e s h o r i z o n ta le s ( f u e r z a
c o r t a n te ) s o n ig u a le s , c o m o e n la fig u ra 7 -7c. P a r a las c o lu m n a s f ija m e n te
a p o y a d a s , s u p o n g a q u e la s r e a c d o n e s h o r iz o n ta le s s o n ig u a le s y q u e e n
c a d a c o lu m n a s e p r o d u c e u n p u n to d e in f le x ió n ( o b is a g r a ) a m e d ia d is ­
ta n c ia e n t r e la b a s e d e la c o lu m n a y e l p u n to m á s b a jo d e la c o n e x ió n d e l
e le m e n to d e la a r m a d u r a c o n l a c o lu m n a , v e a la s f ig u r a s 7 -8 c y 7-106.
E l s i g u ie n t e e je m p lo ilu s tr a la f o r m a e n q u e s e d e t e r m i n a n la s f u e r z a s
e n lo s e le m e n to s d e u n p o r t a l d e a r m a d u r a s s ig u ie n d o e l m é to d o d e a n á ­
lisis a p r o x im a d o q u e s e d e s c r ib ió a n te r io r m e n te .
Figura 7 -1 0

298. 2 7 6 C a p i t u l o 7 A n á l i s i s a p r o x i m a d o d e e s t r u c t u r a s e s t á t i c a m e n t e i n d e t e r m i n a d a s
EJEMPLO 7 .4
( a )
D e te r m in e m e d i a n te m é to d o s a p r o x im a d o s la s f u e r z a s q u e a c tú a n e n
lo s e le m e n to s d e l p o r t a l W a r r e n m o s tr a d o e n la fig u ra 7-1 lo.
40 kN
V - 20 kN
F l« u ra 7 -1 1
S O L U C IÓ N
L a p o r c ió n B , C , F , G d e la a r m a d u r a a c t ú a c o m o u n a u n id a d ríg id a .
D a d o q u e lo s s o p o r te s e s t á n fijo s, s e s u p o n e q u e e x is te u n p u n t o d e in ­
fle x ió n 7 m /2 = 3.5 m p o r e n c im a d e A e / . y q u e e n la b a s e d e la s c o ­
lu m n a s a c tú a n r e a c c io n e s h o riz o n ta le s o tr a n s v e rs a le s ig u a le s, e s
d e c ir . 2 F , = O, V = 4 0 k N /2 = 20 k N . C o n e s t o s s u p u e s to s e s p o s ib le
s e p a r a r la e s t r u c t u r a e n la s b is a g r a s J y K , fig u ra 7 - 1 1 6 .y d e te r m i n a r
la s r e a c c io n e s e n la s c o lu m n a s d e la s ig u ie n te m a n e ra :
M i t a d i n f e r i o r d e l a c o lu m n a
5,+ S Ma = 0 ; M - 3 .5 ( 2 0 ) = 0 M = 7 0 k N • m
P o r c i ó n s u p e r i o r d e l a c o lu m n a
1 + 2 A#, = 0 ; - 4 0 ( 5 . 5 ) + N (8 ) = 0 N = 27.5 k N

299. 7 . 4 M a r c o s y a r m a d u r a s d e p o r t a l. 2 7 7
C o n b a s e e n e l m é to d o d e la s s e c c io n e s , f ig u r a 7-1 l e , a h o r a e s p o s i­
b le o b t e n e r la s f u e iz a s e n lo s e le m e n to s C D , B D y B U .
+ 1 2 F y = 0 ; - 2 7 . 5 + F BDs e n 4 5 ° = 0 F BD = 3 8 .9 k N ( T)R e sp .
5,+ S M f l = O, - 2 0 ( 3 . 5 ) - 4 0 ( 2 ) + F CD(2 ) = 0 F CD = 7 5 k N ( C ) Resp.
{,+ 1 Md = 0 ; F b h {2 ) - 2 0 ( 5 .5 ) + 2 7 .5 ( 2 ) = 0 F „„ = 2 7 .5 k N ( T)R e sp .
D e m a n e r a p a r e c id a , d e m u e s tr e q u e lo s r e s u lta d o s p u e d e n o b te n e r s e
e n e l d ia g r a m a d e c u e r p o lib r e d e la c o lu m n a F G I de la fig u ra 7-1 Id .
C ó n e s t o s r e s u lta d o s , a h o r a p u e d e e n c o n tr a r s e la f u e r z a e n c a d a u n o
d e lo s o tr o s e le m e n to s d e la a r m a d u r a d e l p o r t a l e m p l e a n d o e l m é ­
to d o d e lo s n u d o s.
( C )
J u n t a D , f i g u r a 7 - 1 1 *
+ 1 2 F y = 0 ; Fd h s e n 4 5 ° - 38.9 s e n 4 5 ° = 0 F DH = 3 8 .9 k N ( C ) R esp.
• i 2 F X = 0 ; 7 5 - 2 (3 8 .9 e o s 4 5 ° ) - F DE = 0 F DE = 2 0 k N ( C ) Resp.
J u n t a H , f i g u r a 7 - 1 1 f
+ ] 2 F y = 0 ; Fh e s e n 4 5 ° - 3 8 .9 s e n 4 5 ° = 0 F „ E = 3 8 .9 k N ( T ) R e sp .
E s to s r e s u lta d o s s e r e s u m e n e n la fig u ra 7-1 lg.
k - 2 m - |
3 8 .9 k N
_ 4 5 °/
2 7 5 k Ñ
2 m
3 5 m
2 0 k N t
2 7 .5 k N
<d)
4 0 k N C
2 7 5 k N CT) H 27.5 k N ( C )
, ? 0 k N
! 70k N m
275 kN
a
20kN,
7 0 kN -m |
' 2 7 5 k N
( 8 )
7 5 k N _ IJ^ > * _
3 8 .9 k N Fd h
(e)
3 8 .9 k N
2 7 5 k N H 2 7 5 k N
(0

300. 2 7 8 C a p i t u l o 7 A n á l i s i s a p r o x i m a d o d e e s t r u c t u r a s e s t á t i c a m e n t e i n d e t e r m i n a d a s
PROBLEM AS
7 -1 3 . D eterm ine (e n fo rm a apro x im ad a) los m o m e n to s 7 -1 5 . D eterm ine (en fo rm a apro x im ad a) los m o m en to s
internos e n las ju n ta s A y B d el m arco. in tern o s e n A causados p o r las carg as verticales.
■lilirn x flili
T
6 m
i F H
A B C D
6 m 1 8m 6 m
P ro b . 7 -1 3
7 -1 4 . D eterm ine (e n fo rm a apro x im ad a) lo s m o m en to s
internos e n las ju n ta s F y D d el marco.
•7 -1 6 . D eterm ine (e n form a apro x im ad a) los m o m en to s
in tern o s e n A y B causados p o r las cargas verticales.
P r o b . 7 - 1 4 Prob. 7 -1 6
Prob. 7 -1 5

301. 7 . 4 M a r c o s y a r m a d u r a s d e p o r t a l. 2 7 9
7 -1 7 . D eterm ine (en form a apro x im ad a) lo s m om entos
internos e n las ju n ta s / y L. Por o tr a p arte, ¿cuál e s e l m o ­
m ento in tern o e n la ju n ta / / cau sado p o r e l e lem en to H G 1
7-19. D eterm ine (e n fo rm a apro x im ad a) las reaccio n es en
los so p o rte s A y B d el m arco d e p o rta l. S uponga q u e lo s so­
portes e s tá n (a ) articulados, y (b ) fijos.
P ro b .7 -1 7
7 -1 8 . D eterm in e (e n fo rm a ap ro x im ad a) las reaccio n es e n *7-20. D eterm ine (e n fo rm a aproxim ada) e l m om ento in-
b s so p o rte s A , B y C d c l m arco. tem o y la fuerza c o rta n te e n lo s extrem os d e c ad a e lem en to
d el m arco de p o rta l. S uponga q u e los so p o rte s e n A y ü
e stán parcialm ente fijos, d e m odo q u e hay un p u n to d e in­
flexión ubicado e n h f t d e la p arte inferior d e c ad a colum na.
P r o h . 7 - 1 8 P r o h . 7 - 2 0

302. 2 8 0 C a p i t u l o 7 A n á l i s i s a p r o x i m a d o d e e s t r u c t u r a s e s t á t i c a m e n t e i n d e t e r m i n a d a s
7 -2 1 . D ib u je (en fo rm a apro x im ad a) e l d iag ram a de m o ­
m ento p a ra e l e lem en to A C E del p o rta l, e l cual se c o n s­
truyó co n u n e le m e n to rígido E G y so p o rte s aco d a d o s C F y
D H . S u ponga q u e to d o s lo s p u n to s d e c o n ex ió n e stán a r ­
ticulados. T am bién d eterm in e la fuerza e n e l re fu e rz o aco ­
d a d o CF.
7 -2 2 . R esuelva e l p ro b le m a 7 -2 1 si lo s so p o rte s e n A y B
so n fijos e n vez de articulados.
7 -2 3 . D eterm in e ( e n form a ap ro x im ad a) la fu e rz a e n cada
elem ento d e la a rm a d u ra d e l m arco d e p o rta l. T am bién e n ­
cu en tre las reacciones e n los so p o rte s fijo s A y B de la c o ­
lum na. S uponga q u e to d o s los e lem en to s d e la arm ad u ra
e stán articulados e n su s extrem os.
*7-24. R esuelva el p ro b lem a 7-23 si lo s so p o rte s c n A y B
e stán articulados e n vez d e fijos.
Probs. 7-23/7-24
7 -2 5 . D ib u je (en fo rm a apro x im ad a) e l d iag ram a de m o­
m ento p a ra la co lu m n a A G F cfcl p o rta l. S u ponga q u e to d o s
lo s e le m e n to s d e la a rm a d u ra y las co lu m n as e s tá n artic u ­
lados e n su s extrem os. T am bién d eterm in e las fu e rz a s en
to d o s los elem entos d e la arm ad u ra.
P roh. 7 -2 5
7 -2 6 . D ib u je (en fo rm a apro x im ad a) e l d iag ram a de m o­
m ento p a ra la co lu m n a A G F tk \ p o rta l. S u ponga q u e to d o s
los e lem en to s d e la arm ad u ra e stán articu lad o s e n su s e x tre ­
mos. L as colum nas e s tá n fijas e n A y t f .T am bién d eterm in e
la fuerza d e to d o s lo s e lem en to s d e la arm ad u ra.
P ro b .7 -2 6

303. 7 . 4 M a r c o s y a r m a d u r a s d e p o r t a l. 2 8 1
7 -2 7 . D eterm ine (e n form a apro x im ad a) la fuerza e n c ad a
elem ento d e la a rm a d u ra d el m arco d e p o rta l. T am bién e n ­
c u e n tre las reacciones e n lo s s o p o rte s A y t í de la colum na
fija S uponga q u e to d o s lo s e lem en to s d e la a rm a d u ra e stán
articulados e n su s extrem os.
•7 -2 8 . R esuelva e l p ro b lem a 7-27 s i lo s so p o rte s e n A y tí
están fijos e n vez de articulados.
7-31. D ibuje (e n fo rm a apro x im ad a) e l d iag ram a de m o ­
m ento p a ra la co lu m n a A C D del portal. S uponga q u e to d o s
lo s e le m e n to s d e la a rm a d u ra y las colum nas e stán artic u ­
lados e n sus extrem os. T am bién d eterm in e la fuerza e n los
e lem en to s F G , F U y EH.
•7 -3 2 . R esuelva e l p ro b le m a 7-31 s i lo s so p o rte s e n A y tí
e stán fijos e n vez de articulados.
P robs. 7-27/7-28
7 -2 9 . D eterm ine (e n form a apro x im ad a) la fuerza e n los
elem en to s GF, G K y J K del m arco d e portal. T am bién e n ­
c u e n tre las reacciones e n lo s s o p o rte s A y B de la colu m na
fija S uponga q u e to d o s los e lem en to s d e la a rm a d u ra e stán
co nectados e n su s extrem os.
7 -3 0 . R esuelva el p ro b lem a 7-29 s i lo s so p o rte s e n A y tí
están articu lad o s e n v ez d e fijos.
7 -3 3 . D ibuje (en fo rm a apro x im ad a) e l d iag ram a de m o ­
m entos p a ra la co lu m n a A J I d el portal. S u ponga q u e to d o s
lo s e le m e n to s d e la a rm a d u ra y las colum nas e stán articu­
lados en su s extrem os. T am bién d e te rm in e la fuerza e n los
e lem en to s H G , I I L y K L .
7 -3 4 . R esuelva el p ro b lem a 7-33 s i lo s so p o rte s e n A y tí
e stán fijos e n vez de articulados.
6<S> l í m = 9 m
2 k N /
4kN ] K L M N O
Probs. 7-31/7-32
Probs. 7-29/7-30 P ro b s. 7 - 3 3 / 7 - 3 4

304. 2 8 2 Ca p i t u l o 7 A n á l i s i s a p r o x i m a d o d e e s t r u c t u r a s e s t á t i c a m e n t e i n d e t e r m i n a d a s
7 .5 Cargas la te ra le s en m arcos de
construcción: M é to d o del p o rta l
E n la se c c ió n 7-4 s e a n a liz ó la a c c ió n d e las c a rg a s la t e r a l e s s o b r e lo s
m a r c o s d e p o r t a l y s e e n c o n tr ó q u e p a r a u n m a r c o fijo a p o y a d o e n s u
b a se , lo s p u n to s d e in fle x ió n o c u r r e n a p r o x i m a d a m e n te e n e l c e n t r o d e
c a d a v ig a y c o lu m n a y q u e las c o lu m n a s s o p o r ta n las m ism a s c a r g a s c o r ­
ta n te s , f ig u r a 7-8. U n c a b a l le te d e e d if ic io s e d e f o r m a d e la m is m a m a ­
n e ra q u e u n m a r c o d e p o r ta l, fig u ra 7 - 1 2a y, p o r lo ta n t o , s e r ía
c o n v e n ie n te s u p o n e r q u e lo s p u n to s d e in f le x ió n s e p r o d u c e n e n e l c e n ­
tr o d e la s c o lu m n a s y tr a b e s . Si s e c o n s id e r a q u e c a d a c a b a l le te d e la e s ­
tr u c tu r a s e c o m p o n e d e u n a s e r ie d e p o r t a le s , f ig u r a 7 -1 2 6 , e n to n c e s ,
c o m o s u p u e s to a d ic io n a l, la s c o lu m n a s in te r io r e s r e p r e s e n ta r ía n e l e fe c to
d e d o s c o lu m n a s d e l p o r t a l y, p o r e n d e , s o p o r t a r í a n e l d o b le d e fu e rz a
c o r l a n te V q u e las d o s c o lu m n a s e x te r io r e s .
o - punto de inflexión
(a)
V V V V
(b)
H gura 7-12

305. 7 . 5 Ca r g a s l a t e r a l e s e n m a r c o s d e c o n s t r u c c i ó n : M é t c o o d e l p o r t a l 283
E n r e s u m e n , e l m é to d o d e l p o r t a l p a r a a n a liz a r lo s m a r c o s d e c o n s ­
tr u c c ió n f ija m e n te a p o y a d o s r e q u i e r e lo s s ig u ie n te s s u p u e s to s :
L E n e l c e n tr o d e c a d a t r a b e s e c o lo c a u n a b is a g r a , p u e s to q u e s e s u ­
p o n e q u e é s te e s u n p u n to d e m o m e n to ce ro .
2 . E n e l c e n t r o d e c a d a c o lu m n a s e c o lo c a u n a b is a g r a , p u e s t o q u e se
s u p o n e q u e é s te e s u n p u n to d e m o m e n to c e ro .
3 . fin u n n iv e l d e p is o d a d o , la f u e r z a c o r t a n te e n la s b is a g ra s d e la c o ­
lu m n a in te r io r e s e l d o b le q u e e n la s b is a g ra s d e la c o lu m n a e x te r io r ,
p u e s to q u e e l m a r c o s e c o n s id e r a u n a s u p e r p o s ic ió n d e p o r ta le s .
E s to s s u p u e s to s p r o p o r c io n a n u n a re d u c c ió n a d e c u a d a d e l m a r c o a u n a
e s t r u c tu r a e s tá tic a m e n te d e te r m i n a d a p e r o e s t a b le b a jo c a rg a .
E n c o m p a r a c ió n c o n e l a n á lis is e s t á ti c a m e n t e in d e t e r m in a d o q u e e s
m ás e x a c to , e l m é to d o d e l p o r ta l e s e l m á s a d e c u a d o p a r a la s c o n s tr u c c io ­
n e s c o n p o c a a ltu ra y e stru c tu r a u n ifo r m e . 1.a ra z ó n d e e s t o tie n e re la c ió n
c o n la a c c ió n d e l a e s t r u c tu r a b a jo c a r g a . A e s t e r e s p e c to , c o n sid e re q u e el
m a r c o a ctú a c o m o u n a v ig a e n v o la d i z o q u e e s t á fija al s u e lo . R e c u e r d e
d e l e s tu d io d e la m e c á n ic a d e m a te r ia le s q u e la resisten cia a la f u e r z a
c o r ta n te se v u e lv e m á s im p o r ta n te e n e l d is e rto d e v ig a s co rta s, e n ta n t o
q u e la re siste n c ia a la f l e x i ó n e s m á s i m p o r t a n te s i la v ig a e s la r g a (v e a la
s e c c ió n 7 -6 ). E l m é t o d o d e l p o r t a l s e b a s a e n e l s u p u e s to r e l a c io n a d o c o n
la f u e r z a c o r ta n te c o m o s e in d ic a e n e l p u n to 3 a n te r io r .
L os s ig u ie n te s e je m p lo s ilu s tr a n l a fo r m a d e a p li c a r e l m é to d o d e l p o r ­
tal p a r a a n a liz a r u n c a b a l le te d e e d ific io .
E J m é t o d o d e l p o r t a l p u e d e u s a r s e p a r a r e a l i z a r u n a n á l i s i s ( a p r o x i m a d o ) d e l a s c a r ­
g a s l a t e r a l e s e n e s t e m a r c o d e u n a s o l a p l a n t a .

306. 2 8 4 C a p i t u l o 7 A n á l i s i s a p r o x i m a d o d e e s t r u c t u r a s e s t á t i c a m e n t e i n d e t e r m i n a d a s
EJEMPLO 7.5
D e te r m in e ( e n f o r m a a p r o x im a d a ) la s r e a c c io n e s e n la b a s e d e las c o ­
lu m n a s d e l m a r c o q u e s e m u e s tr a e n la fig u ra 7 -1 3 a . U se e l m é to d o d e
a n á lisis d e l p o rta l.
B M n N F O G
<b)
Figura 7 -1 3
S O L U C I Ó N
A I a p li c a r lo s d o s p r i m e r o s s u p u e s to s d e l m é to d o d e l p o r t a l , s e c o lo ­
c a n b is a g ra s e n lo s c e n tr o s d e la s tr a b e s y la s c o lu m n a s d e l a e s t r u c ­
tu r a , fig u ra 7 - 13a. U n a s e c c ió n a tr a v é s d e la s b is a g r a s d e c o lu m n a e n
I , J , K , L p r o d u c e e l d ia g r a m a d e c u e r p o lib r e q u e s e m u e s tr a e n l a fi­
g u r a 7 -1 3 6 . A q u í s e a p lic a e l te r c e r s u p u e s to e n re la c ió n c o n la s f u e r ­
z a s c o r t a n te s e n la s c o lu m n a s . S e r e q u i e r e
i*SFx = 0; 1200 - 6 ^ = 0 V = 200 Ib
C o n b a s e e n e s t e r e s u lta d o , a h o r a se p u e d e d e s m e m b r a r e l m a r c o
e n la s b is a g ra s y d e t e r m i n a r s u s r e a c c io n e s , C o m o re g la g e n e ra l, s ie m ­
p r e in ic ie e ste a n á lisis e n la e s q u in a o j u n t a d o n d e s e a p lic a la carg a h o ­
r iz o n ta l. P o r lo ta n to , e l d ia g r a m a d e c u e r p o lib re d e l s e g m e n to I B M
s e m u e s tr a e n la fig u ra 7 13c. L a s tr e s c o m p o n e n te s d e la r e a c c ió n e n
la s b is a g r a s l y, M x y M y x d e te r m in a n al a p li c a r d e 1 M ^ = 0 , 2 f ' , = 0,
'I F y = 0 , r e s p e c ti v a m e n te . A c o n t i n u a c i ó n s e a n a liz a e l s e g m e n to
a d y a c e n t e M J N , f ig u r a 7 -1 3 d , s e g u i d o p o r e l s e g m e n to N K O , fig u ra
7 -1 3 e ,y p o r ú lt im o e l s e g m e n to O G I ., fig u ra 7 - 1 3 / U s a n d o e s t o s r e ­
s u lta d o s , lo s d ia g r a m a s d e c u e r p o lib r e d e la s c o lu m n a s c o n la s r e a c ­
c io n e s e n s u s s o p o r te s s o n c o m o s e m u e s tr a n e n la f ig u r a 7 - 13g.

307. 7 . 5 Ca r g a s l a t e r a l e s e n m a r c o s d e c o n s t r u c c i ó n : M é t c o o d e l p o r t a l 2 8 5
Si s e c o n s id e r a n lo s s e g m e n to s h o r iz o n ta le s d e tr a b e s d e la s fig u ra s
7 - 1 3 c ,d ,e y / .e n t o n c e s e l d ia g r a m a d e m o m e n to p a r a la tr a b e e s c o m o
d q u e s e m u e s tr a e n la fig u ra 7 -1 3h .
12001b
» S p t e t " ’
6pÍC4
M
1 5 0 1 b
M , ~ 1 0 0 0 Ib
2 0 0 1 b
I f - 1 5 0 1 b
M 8 pies 8 pies
* Ny - 1501b
1 0 0 0 I b
-^ -------------N * = 6 0 0 Ib
1 5 0 1 b * 6 p i e *
J j 4 0 0 1 b
J , - 0
N
(c) (d)
6 0 0 1 b
A O , - 1 5 0 1 b
N 8 p i e s 8 p i e s 1
- U O . = 2 0 0 Ib
O
1 5 0 1 b * 6 p , e s
4 0 0 1 b * , K
■ n
1 5 0 1 b *
0
( e )
O
2 0 0 1 b
8 p i e s
150 I b *
“ I
1 50 I b t 6 p ie s
2 0 0 1 b - * — o L
L y = 1 5 0 Ib
<0
■50lbu
2 0 0 1 b
6 p i e s
A , - 2 0 0 Ib
M a = 1 2 0 0 Ib *p i e |
A y - 1 5 0 1 b
► 4 0 0 1 b w
-------► 4 0 0 I b
6 p i e s 6 p ie s
^ C , - 4 0 0 1 b
_________^_____E , - 4 0 0 I b
M c - 2 4 0 0 I b *p i e A f t = 2 4 0 0 I b • pie
1501b
L
6 p ie s
2 0 0 1 b
H , - 2 0 0 1 b
| M „ - 1 2 0 0 I b - p i e
H y - 1 5 0 1 b
( g )
M ( k - p ie )
1 . 2
1 2 1 2
/
/
\
\
8 16
24
\
3 2 4 0 48
- 1 2 - 1 2 - 1 2
x (pies)
( h )

308. 2 8 6 C a p i t u l o 7 A n á l i s i s a p r o x i m a d o d e e s t r u c t u r a s e s t á t i c a m e n t e i n d e t e r m i n a d a s
EJEMPLO 7.6
D e te r m in e ( e n f o r m a a p r o x im a d a ) la s r e a c c io n e s e n la b a s e d e las c o ­
lu m n a s d e l m a r c o q u e s e m u e s tr a e n la fig u ra 7 -1 4 a . U se e l m é to d o d e
a n á lisis d e l p o r ta l.
r H s i
20 kN'
2 5 m
Ar i v i v j
* O r * P , Q *
(b)
Figura 7 -1 4
S O L U C I Ó N
E n p r i m e r lu g a r .s e c o lo c a n la s b is a g r a s e n lo s c e n tr o s d e la s tr a b e s y
la s c o lu m n a s d e l m a r c o , fig u ra 7 - 1 4 a. U n a s e c c ió n a tr a v é s d e la s b is a ­
g ra s e n O , P , Q y J, K , L g e n e r a e l d ia g r a m a d e c u e r p o lib r e q u e se
m u e s t r a e n la f ig u r a 7 -1 4 6 . L a s f u e r z a s c o r t a n t e s e n la s c o lu m n a s
s e c a lc u la n d e l a s ig u ie n te m a n e ra :
X l , F x = 0 ; 2 0 - 4 F = 0 V = 5 k N
Í 2 F , = 0; 20 + 30 - 4V '
= 0 V ' = 12.5 kN

309. 7 . 5 Ca r g a s l a t e r a l e s e n m a r c o s d e c o n s t r u c c i ó n : M é t c o o d e l p o r t a l 2 8 7
U tiliz a n d o e s t o s re s u lta d o s s e p u e d e c o n tin u a r c o n e l a n á lis is d e
c a d a p a r t e d e l m a r c o . E l a n á lis is c o m ie n z a c o n e l s e g m e n to e n e sq u in a
O G R , fig u ra 7 - 14c. L a s t r e s in c ó g n ita s O y , R x y R y s e h a n c a lc u la d o
e m p le a n d o la s e c u a c io n e s d e e q u ilib r io . C o n e s t o s re s u lta d o s , s e a n a -
i z a a c o n tin u a c ió n e l s e g m e n to O J M , fig u ra 7 -1 4 < f;lu e g o e l s e g m e n to
J A , fig u ra 7 -1 4 c; K /> S ,fig u ra 7 -1 4 /; P M K N , fig u ra 7 -1 4 * . y K R , fig u ra
7-146. C o m p le te e s te e je m p lo y a n a lic e lo s s e g m e n to s S I Q , d e s p u é s
Q N L y p o r ú lt im o L C \ ta m b ié n d e m u e s tr e q u e C , » 12.5 k N . Cy -
15.625 k N , y M c - 3 7 .5 k N . m . A d e m á s , u s e lo s r e s u lta d o s p a r a d e ­
m o s tr a r q u e e l d ia g r a m a d e m o m e n to p a r a D M E N F e s c o m o se
m u e s tra e n la f ig u r a 7.14i.
3 .1 2 5 k N
* l í , ^ 3 .1 2 5 k N I t S’ ‘ 3 ' “ k N
O J Í M ~ L—* . = 1 5 k N 15k N
--J '!_jL-2k'ikN
« f t - » k N 1 0 k N ^ |
■ “ - ¡ S I « - — * « - , , m *2o m | | i 2 0 m
(C ) (O
3 .1 2 5 k N
í _ 5 k N p 10 k N
° | M r - l 2 J k N — ► A v - 1 2 . 5 1
2 .5 m 4 m 2 0 m
3 0 k N
----------* 4 _ U , = 7 2 5 k N 1 2 S -k N---------^ L , ---------N ¡ _
4 m 4 m |V
J 1 2 5 k N * 3 m
1 2 .5 k N
7 .5 k N
-a ■■ 1
-----------------------------------------------------------------------------------1 K
I z J k Ñ ] 7 5 k N I
Jf “ 1 5 .6 2 5 k N * K , - O
(d) (g)
» 15.625
J l -
1 5 .6 2 5 k N
12.5 kN
3 m
/i
T
A , = 1 2 J k N
Ma - 3 7 .5 k N - m
A , = 1 5 .6 2 5 k N
(e)
K *
3 m
B
-----B ,
• Mb
25 k N
<h)
M ( k N - m )

310. 2 8 8 Ca p i t u l o 7 A n á l i s i s a p r o x i m a d o d e e s t r u c t u r a s e s t á t i c a m e n t e i n d e t e r m i n a d a s
7 .6 Cargas laterales sobre marcos de
construcción: M étodo del voladizo
E l m é to d o d e l v o la d iz o se b a s a e n la m ism a a c c ió n q u e u n a v ig a e n v o la ­
d iz o la r g a s o m e tid a a u n a c a r g a tr a n s v e r s a l. C o m o s e v io e n e l e s t u d io d e
la m e c á n ic a d e m a te ria le s , ta l c a r g a p ro v o c a u n e s f u e r z o f le x io n a n te e n la
viga q u e v a r ía li n e a lm e n te d e s d e e l e je n e u t r o d e la v ig a , fig u ra 7 - 1 5 a. D e
m a n e r a s im ila r, la s c a rg a s la te r a le s s o b r e u n m a r c o tie n d e n a v o lc a r lo o a
c a u s a r le u n a r o t a c ió n r e s p e c to a u n “ e je n e u t r o " . e l c u a l s e e n c u e n t r a e n
u n p la n o h o r iz o n ta l q u e p a s a a tr a v é s d e la s c o lu m n a s e n t r e c a d a p is o .
P a r a c o n tr a r r e s ta r e s te v o lc a m ie n to , la s fu e r z a s (o e s f u e r z o s ) a x ia le s e n
la s c o lu m n a s s e r á n d e te n s ió n e n u n la d o d e l e je n e u tr o y d e c o m p r e s ió n
e n e l o t r o la d o , fig u ra 7 -1 5 6 . P o r lo ta n t o , a l ig u a l q u e c o n la v ig a e n v o la ­
d iz o . p a r e c e r a z o n a b le s u p o n e r q u e e s t e e s f u e rz o a x ia l tie n e u n a v a ria c ió n
lin e a l d e s d e e l c e n tr o id e d e la s á r e a s d e la c o lu m n a o e l e je n e u tr o . P o r
c o n s ig u ie n te , e l m é to d o d e l v o la d iz o e s a d e c u a d o s i e l m a r c o e s a lto y d e l ­
g a d o , o tie n e c o lu m n a s c o n á r e a s tr a n sv e rs a le s d ife r e n te s.
marco de construcción
<b)
H g u r a 7 - 1 5

311. 7 . 6 Ca r g a s l a t e r a l e s s o b r e m a r c o s d e c o n s t r u c c i ó n: Mé t o d o d e l v o l a d i z o 2 8 9
E n r e s u m e n , c u a n d o s e e m p le e e l m é t o d o d e l v o la d iz o , d e b e n a p li­
c a r s e lo s s ig u ie n te s s u p u e s to s a u n m a r c o f ija m e n te a p o y a d o .
L E n e l c e n t r o d e c a d a v ig a s e c o lo c a u n a b is a g r a , p u e s t o q u e s e s u ­
p o n e q u e é s te e s u n p u n to d e m o m e n to ce ro .
2 . E n e l c e n t r o d e c a d a c o lu m n a s e c o lo c a u n a b is a g r a , p u e s t o q u e se
s u p o n e q u e é s te e s u n p u n to d e m o m e n to c e ro .
3 . E l e s fu e r z o a x ia l e n u n a c o lu m n a e s p r o p o r c io n a l a s u d is ta n c ia
d e s d e e l c e n tr o id e d e la s á r e a s tr a n s v e r s a le s d e la s c o lu m n a s e n u n
n iv e l d e p is o d a d o . C o m o e l e s f u e r z o e s ig u a l a f u e r z a p o r á r e a , e n ­
to n c e s e n e l c a s o e s p e c ia l d e la s c o lu m n a s q u e tie n e n á rea s tr a n s v e r ­
sa les ig u a le s, la fu e r z a e n u n a c o lu m n a ta m b ié n e s p r o p o r c io n a l a s u
d is ta n c ia d e s d e e l c e n tr o id e d e la s á r e a s d e la c o lu m n a .
E s to s tr e s s u p u e s to s h a c e n q u e e l m a r c o s e a e s t a b le y e s t á tic a m e n te d e ­
te r m in a d o .
L o s s ig u ie n te s e je m p lo s ilu s tr a n la fo r m a e n q u e s e a p lic a e l m é to d o
d e l v o la d iz o p a ra a n a li z a r u n c a b a l le te d e e d ific io .
L a e s t r u c t u r a d e l e d i f i c i o t i e n e c o n e x i o n e s r í g i d a s . E l m é t o d o d e l v o l a d i / o p u e d e
i & a r s c p a r a r e a l i z a r u n a n á l i s i s ( a p r o x i m a d o ) d e c a r g a s l a t e r a l e s .

312. 2 9 0 C a p i t u l o 7 A n á l i s i s a p r o x i m a d o d e e s t r u c t u r a s e s t á t i c a m e n t e i n d e t e r m i n a d a s
3 0 kN
15 k N
D e te r m in e ( e n f o r m a a p r o x im a d a ) la s r e a c c io n e s e n la b a s e d e las c o ­
lu m n a s d e l m a r c o q u e s e m u e s tr a e n la fig u ra 7 - 1 6 a. S e s u p o n e q u e la s
c o lu m n a s ti e n e n á r e a s d e se c c ió n tr a n s v e r s a l ig u a le s. U s e e l m é to d o
d e a n á lis is d e l v o la d iz o .
- 6 m
(b)
S O L U C IÓ N
E n p r i m e r lu g a r s e c o lo c a n b is a g r a s e n lo s p u n to s m e d io s d e la s c o ­
lu m n a s y tra b e s . L a s u b ic a c io n e s d e e s to s p u n to s s e in d ic a n m e d ia n te
la s le tr a s G a L e n la f ig u r a 7 - 1 6 a. L o s c e n tr o id e s d e la s á r e a s tr a n s ­
v e rs a le s d e la s c o lu m n a s p u e d e n d e te r m i n a r s e p o r in s p e c c ió n , fig u ra
7 -1 6 6 ,0 a n a lític a m e n te d e la s ig u ie n te m a n e r a :
(c)
Y . x A 0 ( i 4 ) + 6 ( A )
x
2/1 A + A
3 m
E l e s fu e r z o a x ia l e n c a d a c o lu m n a e s p r o p o r c io n a l a s u d is ta n c ia
d e s d e e s te p u n to . A q u í la s c o lu m n a s ti e n e n la m ism a á r e a e n s u s e c ­
c ió n tr a n s v e r s a l y. p o r lo ta n t o , la f u e r z a e n c a d a c o lu m n a e s p r o p o r ­
c io n a l a s u d is ta n c ia d e s d e e l c e n tr o id e . E n to n c e s , u n a s e c c ió n a tr a v é s
d e la s b is a g r a s H y K e n e l p is o s u p e r io r g e n e r a e l d ia g r a m a d e c u e r p o
lib re q u e se m u e s tr a e n la fig u ra 7 - 16c. T e n g a e n c u e n ta q u e la c o ­
lu m n a a la iz q u ie r d a d e l c e n tr o id e d e b e e s t a r s o m e ti d a a te n s ió n , e n
ta n t o q u e l a c o lu m n a d e la d e r e c h a e s t a r á s o m e ti d a a c o m p r e s ió n .
E s to e s n e c e s a r io p a r a c o n t r a r r e s t a r e l v o lc a m ie n to c a u s a d o p o r la
f u e r z a d e 3 0 k N . A l s u m a r lo s m o m e n to s c o n r e s p e c to a l e je n e u tr o .s e
tie n e
i+ S M = ü; - 3 0 ( 2 ) + 3 H y + 3 K y = 0
I-a s in c ó g n ita s p u e d e n re la c io n a r s e p o r m e d io d e tr iá n g u lo s p r o p o r ­
c io n a le s , fig u ra 7 - 1 6 c .e s d e c ir .
H y K y
— = — o b i e n H y = K y
A s í q u e .
H y = K y = 1 0 k N

313. 7 . 6 Ca r g a s l a t e r a l e s s o b r e m a r c o s d e c o n s t r u c c i ó n: Mé t o d o d e l v o l a d i z o 2 9 1
D e u n a m a n e r a p a r e c id a , u tiliz a n d o u n a se c c ió n d e l m a r c o a tr a v é s
d e la s b is a g ra s e n G y L , f ig u r a 7 -\ 6 d , s c ti e n e
t + Z M = 0 ; - 3 0 ( 6 ) - 1 5 (2 ) + 3 G , + 3 L , = 0
G o m o G y /3 = L y/3 o b ie n G y = L y ,e n to n c e s
G y = L y = 3 5 k N
A h o r a p u e d e a n a liz a r s e c a d a p a r t e d e l m a r c o u s a n d o lo s r e s u lta d o s
a n te rio re s . C o m o e n lo s e je m p lo s 7 -5 y 7 -6 , s e c o m ie n z a e n la e s q u in a
s u p e r io r, d o n d e se p r o d u c e l a c a r g a a p lic a d a , e s d e c ir , e n e l s e g m e n to
W C /,fig u ra 7 -1 6 o .A I a p lic a r la s tr e s e c u a c io n e s d e e q u ilib r io , SAZ/ = 0 .
S f , = 0 y = 0 , se o b ti e n e n lo s r e s u lta d o s p a r a H „ I, e ^ ..r e s p e c ­
tiv a m e n te , q u e s e m u e s tra n e n e l d ia g r a m a d e c u e r p o lib r e d e la fig u ra
7 -1 6 e. C o n b a s e e n e s t o s r e s u lta d o s , e n s e g u id a s e a n a liz a e l s e g m e n to
/D A T ,fig u ra 7 - 1 6 /;s e g u id o d e H J G,f i g u r a 7 - 16g; d e s p u é s K J L,f ig u r a
7 -1 6 /j,y p o r ú ltim o la s p a r te s in f e r io r e s d e la s c o lu m n a s , fig u ra s 7-16#
y 7 -1 6 /. L o s d ia g r a m a s d e m o m e n to p a r a c a d a tr a b e s e m u e s tr a n e n la
fig u ra 7 -1 6 * .
3 0 1 N
1 0 k N 1 0 k N
7 .5 kN
G , - 2 2 .5 s r i
»35 k N
G l 2 2 .5 k N
2 m
A A , = 2 2 .5 k N
Ma - 4 5 k N - m
A , = 3 5 k N
(0
3 5 k N
<h)
3 5 k N
—+ 7 2 S k N
2 m
F , - 2 2 3 k N
N- ¡ 4 5 k N - m
F , = 3 5 k N
Ü)
M ( k N - m )
30
x ( m )
- 3 0
A i ( k N - m )
(k)

314. 2 9 2 C a p i t u l o 7 A n á l i s i s a p r o x i m a d o d e e s t r u c t u r a s e s t á t i c a m e n t e i n d e t e r m i n a d a s
EJEMPLO 7.8
M u e s tr e c ó m o s e d e te r m i n a n ( e n f o r m a a p r o x im a d a ) la s r e a c c io n e s
e n la b a s e d e la s c o lu m n a s d e l m a r c o q u e s e m u e s tra e n la fig u ra 7 -1 7 a.
I^as c o lu m n a s ti e n e n la s á r e a s d e s e c c ió n tr a n s v e r s a l q u e s e m u e s tr a n
e n la fig u ra 7 -1 7 6 . U se e l m é to d o d e a n á lis is d e l v o la d iz o .
P O R
t*\— T i
---------L
12pies 10pulg2 M 8 pulg2N !6pulg2 O n O p u lg 7
4 4 ' I T - .. / r , * — í
H 10 pulg7
O
10 pulg2 8 pulg2 6 pulg2
I ; I
16 pies E 10 pulg7 F 8 pulg7 G |6 p u lg 7
A R l e
-20 pies — |— 15 p ie s-j-
-----25 pies -|
(a)
— 2 0 p ie s — |—15 p i c s -
T i
-25 pies
(b)
Figura 7 -1 7
853 pies
2853 pies
------
S O L U C IÓ N
P r im e r o , s e s u p o n e q u e e x is te n b is a g r a s e n lo s c e n tr o s d e la s tr a b e s y
c o lu m n a s d e l m a r c o , f ig u r a s 7 - 1 7 d y 7-1 l e . E l c e n tr o id e d e la s á r e a s
tr a n s v e r s a le s d e las c o lu m n a s s e d e te r m in a a p a r t i r d e l a fig u ra 7.1 I b
d e l a s ig u ie n te m a n e ra :
• r o
6.47 pies
31.47 pies
2 x A 0 ( 1 0 ) + 2 0 (8 ) + 3 5 ( 6 ) -f 6 0 (1 0 )
x = „ = ---------------n
------l. '.' " -j 1. = 2 8 .5 3 p ie s
2 A 10 + 8 + 6 + 1 0
(c)
E n p r im e r lu g a r s e c o n s id e r a r á la s e c c ió n a tr a v é s d e la s b is a g r a s e n L ,
M . N y O .
<e>

315. 7 . 6 Ca r g a s l a t e r a l e s s o b r e m a r c o s d e c o n s t r u c c i ó n: Mé t o d o d e l v o l a d i z o 2 9 3
E n e s te p r o b l e m a las c o lu m n a s ti e n e n d ife re n te s á r e a s tr a n s v e rs a le s ,
p o r lo q u e d e b e t e n e r s e e n c u e n ta q u e e l e s fu e r z o a x ia l e n c a d a c o ­
lu m n a e s p r o p o r c io n a l a s u d is ta n c ia d e s d e e l e je n e u tr o , u b ic a d o e n
x = 28 .5 3 p ie s .
L os e s f u e r z o s e n la s c o lu m n a s p u e d e n re la c io n a r s e m e d ia n te tr i á n ­
g u lo s s e m e ja n te s , f ig u r a 7 -1 7 c . S i s e e x p r e s a n la s re la c io n e s e n té r m i ­
n o s d e la f u e r z a e n c a d a c o lu m n a , p u e s t o q u e o = F / A , s e ti e n e
8 p u lg 228 .5 3 '«10 p u lg 2 /
N y
6 .4 7 /
' L ’ \
6 p u lg 22 8 .5 3 ',1 0 p u lg 2/
O ,
31.47
I L y
10 p u lg 228 .5 3\ 10 p u lg 2
, 0 .1 3 6 /.,
6.47 p i e s N y 6 .4 7 ( L , \ „ P , - 0.725 k
8 k ^1 0 p i «
___
6 pies />, = 6.791 k
L ,= 1209 k j 7
31.47 p ie s
Z 7~y = tíT c T l 7^ T i l U y = l . W 5 L y 0.725k
( 0
A h o r a q u e c a d a f u e r z a e s t á re la c io n a d a c o n Z .,,e l d ia g r a m a d e c u e r p o
S b re e s c o m o s e m u e s tr a e n la fig u ra 7 -1 7d .
O b s e r v e c ó m o la s c o lu m n a s a la iz q u ie rd a d e l c e n tr o id e e s t á n s o ­
m e tid a s a te n s ió n y las d e la d e r e c h a e s t á n s o m e tid a s a c o m p r e s ió n .
¿ P o r q u é ? A l s u m a r m o m e n to s c o n r e s p e c to a l e je n e u t r o s e tie n e
0.725 k
Ti.209 i
I , - 2.902 k
6 p i « A / _
{,+ 1 M = 0 ; - 8 k ( 6 p ie s ) + ¿ , ( 2 8 . 5 3 p ie s ) + ( 0 . 2 3 9 / . , ) ( 8 . 5 3 p i e s ) l0J ~ ^ l O p i e s H r 8.489 k
„ . 2.720 k
+ ( 0 .1 3 6 ¿ ,) ( 6 .4 7 p i e s ) + (1 .1 0 3 /.,) ( 3 1 .4 7 p ie s ) = 0
3.627 k
(8)
R e s o lv ie n d o ,
L y = 0 7 2 5 k M y = 0 .1 7 4 k N y = 0.0987 k O , = 0 .8 0 0 k 3-627k
kt
F .'
------► 2 .7 2 0 k
8 p i e s
U s a n d o e s t e m is m o m é to d o , d e m u e s tr e q u e s e o b ti e n e n lo s r e s u lta d o s a, = 1720 k
d e la fig u ra 7 -1 7 e p a ta la s c o lu m n a s E , F , G y / / . 4 A#*-2 1 .7 6 4 k pie
A h o r a s e p u e d e p r o c e d e r a a n a liz a r c a d a p a r t e d e l m a r c o . C o m o e n »
b s e je m p lo s a n te r io r e s , s e c o m ie n z a c o n el s e g m e n to d e la e s q u in a
s u p e r io r L P , fig u ra 7 -1 7 /. U tiliz a n d o lo s r e s u lta d o s c a lc u la d o s , e n s e - (h)
g u id a s e a n a liz a e l s e g m e n to L E I , fig u ra 7 -1 7 g , s e g u id o p o r e l s e g ­
m e n to E A , fig u ra 7 -1 7 /j. L u e g o p u e d e n s e g u irs e a n a liz a n d o lo s o tr o s
s e g m e n to s e n s e c u e n c ia .e s d e c i r , P Q M,d e s p u é s M I F l ,e n s e g u i d a , F B
y a s í s u c e s iv a m e n te .

316. 2 9 4 C a p i t u l o 7 A n á l i s i s a p r o x i m a d o d e e s t r u c t u r a s e s t á t i c a m e n t e i n d e t e r m i n a d a s
PROBLEMAS
7 -3 5 . U se e l m éto d o d e análisis d e l p o rta l y d ib u je el d ia­
gram a d e m o m en to p a ra la tra b e FED .
15 kN F
|
------8 m------1------8 m------1
Proh. 7 -3 5
*7-36. U se e l m éto d o d e an álisis d e l p o rta l y dibuje e l d ia­
gram a d e m o m en to p a ra la tra b e J1UGF.
7 -3 9 . U se e l m éto d o d e análisis d e l p o rta l y d ib u je el d ia­
gram a d e m o m en to p a ra la colum na A F E .
*7-40. R esuelva el p ro b lem a 7-39 m ediante e l m é to d o de
análisis d el voladizo. T odas las colum nas tien en la mism a
á re a e n s u sección transversal.
P robs. 7-39/7-40
7 -3 7 . U se e l m éto d o d e l po rtal y d e te rm in e (e n form a
aproxim ada) las reacciones e n los so p o rte s A . B , C y D .
7 -3 8 . U se e l m éto d o del voladizo y d eterm in e ( e n form a
aproxim ada) las reacciones e n los s o p o rte s A , B , C y D.
Todas las colum nas tien en la m ism a á re a e n s u sección
transversal.
7 -4 1 . U se e l m éto d o d el po rtal y d e te rm in e (e n form a
aproxim ada) las reacciones e n A .
7 -4 2 . U se e l m éto d o del voladizo y d e te rm in e (e n form a
aproxim ada) las reacciones e n A.T odas las colum nas tienen
la m ism a á re a e n s u sección transversal.
Proh. 7 -3 6
5 m • [ - 5 m
------------5 m
P ro b s . 7 -3 7 /7 -3 8
[■—1 8 pies — |"
--------20 p ie s---------*|
P ro b s . 7 -4 1 /7 -4 2

317. Pr o b l e m a s d e p r o y e c t o 2 9 5
7 -4 3 . D ibuje (e n fo rm a apro x im ad a) los d iag ram as de
m om ento p a ra la tra b e P Q R S T y la colum na B G L Q del
m arco d e c o n stru c c ió a U se e l m éto d o d el portal.
*7-44. D ibuje (e n form a apro x im ad a) lo s d iag ram as de
m om ento p a ra la tra b e P Q R S T y la colum na B G L Q del
marco d e construcción. U se e l m éto d o d el voladizo.
7-45. D ibuje el d iag ram a d e m o m en to p a ra la tra b e ¡JK L
d el m arco de c o n stru c c ió a U se el m éto d o de análisis del
portal.
7-46. R esuelva el p ro b lem a 7-45 m e d ian te e l m é to d o de
análisis d el voladizo. C ad a co lu m n a tiene el á re a transversal
q u e se indica.
9 k
M
H
0 |>ies
lOpies
aJ L *JL dL elL dlS?*
2 0 2 0
- I
Probs. 7-43/7-44 4 m -— -j-
------ 5 m--------t——- 4 m-----j
S I I I
Area 24 (lO-3) m* 16 (10-3) m* 16 (10"*) m* 24(10", )m ?
Probs. 7-45/7-46
P R O B L E M A S DE P R O Y E C T O
7 -1 P . Los caballetes d e l edificio de alm acenam iento q u e hasta los c u a tro largueros y efespués a las colum nas e n el lado
se m uestra e n la fotografía e stán separados p o r 10 pies y se d e re c h a H a g a u n análisis aproxim ado y determ ine la carga
puede su p o n er que e stán articulados e n todos los puntos d e axial máxim a y el m om ento m áxim o e n la colum na A B . Su-
apovo. Utilice el m odelo idealizado q u e se m uestra y deter- ponga que las colum nas y los puntales acodados están articu-
mine la carga d el v ie n to prevista sobre el caballete.T enga e n lados e n sus extrem os. E l edificio está situado e n u n terren o
cuenta q u e la carga del viento se tran sm ite desde la p ared plano de N ueva O rleans.L ouisiana, donde V — 125 mi/h.

318. 2 9 6 C a p i t u l o 7 A n á l i s i s a p r o x i m a d o d e e s t r u c t u r a s e s t á t i c a m e n t e i n d e t e r m i n a d a s
REPASO D E L C A P ÍT U L O
U n análisis e stru c tu ra l ap ro x im ad o se utiliza p a ra con v er­
tir u n a e stru c tu ra estáticam ente in d eterm in ad a e n estáti­
cam ente d e term in ad a. D e e sta m an era p u ed e h acerse u n
diserto p relim in ar de lo s e le m e n to s y, u n a vez com pleto,
efectuar e l análisis indeterm inad o, q u e e s m ás exacto, p a ra
perfeccionar e l diserto.
Las arm ad u ras q u e tienen refu erzo s d iagonales trans­
versales d e n tro d e su s p an ele s p ueden analizarse su p o ­
niendo q u e la diagonal e n tensión so p o rta la fuerza
cortante del p an el y q u e la diagonal e n com p resió n e s u n
elem ento d e fuerza cero. E sto es razonable s i los ele m e n ­
tos so n largos y delgados. Para secciones m ás grandes, lo
razonable e s su p o n er q u e cada diagonal so p o rte la m itad
de la fuerza co rtan te d el panel.
V F- \ v -
' f w . I
t i— ti
E l análisis aproxim ado de una carg a vertical uniform e q u e
actúa so b re una trab e d e lo n g itu d /- .e n un m arco d e c o n s­
trucción co nectado fijam ente, p u ed e ap ro x im arse m e­
d iante e l supuesto de q u e la viga no so p o rta n in g u n a carga
axial y q u e hay p u n to s de inflexión (bisagras), u b icad o s a
0.1 ¿ d e los soportes.
L

319. Re p a s o d e l c a p i t u l o 2 9 7
Los m arcos d e p o rta l q u e cuentan co n s o p o rte s fijos se analizan e n fo rm a ap ro x im ad a suponiendo q u e hay bisagras e n el
p u n to m edio d e c a d a altu ra d e colum na, m ed id a h a sta la p arte in ferio r d el re fu e rz o de arm ad u ra. A dem ás, e n esto s m arcos
y e n lo s articulados, se su p o n e q u e c ad a colum na so p o rta la m itad d e la c a rg a c o rta n te so b re e l m arco.
Para lo s m arcos de construcción fijos q u e e stán som etidos a carg as laterales, se puede su p o n e r q u e hay bisagras e n los c e n ­
tro s de las colum nas y trabes. S i e l m arco tiene una elevación b aja, la resistencia a la fuerza c o rta n te es im p o rtan te y e s p o ­
sible e m p le a r e l m éto d o d e l portal, d o n d e las colu m nas in terio res e n cu alq u ier nivel d e piso d a d o so p o rta n e l d o b le de
fuerza cortante q u e las colum nas exteriores. Para los m arcos d elg ad o s y a lto s p u ed e usarse e l m éto d o d el voladizo, donde el
esfuerzo ax ial e n u n a colum na e s p ro p o rcio n al a s u d istan cia d e sd e el cen tro id e d el á re a de la sección transversal d e todas
las co lum nas e n u n n iv el de piso dado.
N
M é t o d o d e l v o la d iz o

320. l a deflexión d e e s te p u e n te a rq u e a d o d e b e su p erv isarse c u id a d o sa ­
m en te m ientras e s tá e n construcción.

321. Deflexiones
E n e s t e c a p ít u lo se m o s tr a r á c ó m o d e t e r m in a r la s d e f le x io n e s e lá s tic a s
d e u n a v ig a s ig u ie n d o e l m é t o d o d e la d o b le in te g r a c ió n y d o s im p o r ­
ta n te s m é t o d o s g e o m é tr ic o s , a s a b e r, lo s te o r e m a s d e l m o m e n t o d e
á re a y e l m é t o d o d e la v ig a c o n ju g a d a . La d o b le in te g r a c ió n s e e m ­
p le a p a ra o b t e n e r la s e c u a c io n e s q u e d e f in e n la p e n d ie n t e y la c u rv a
e lá s tic a . L o s m é t o d o s g e o m é tr ic o s p r o p o r c io n a n u n a fo r m a d e o b t e ­
n e r la p e n d ie n t e y la d e f le x ió n e n p u n t o s e s p e c ífic o s d e la v ig a . C a d a
m o d e e s to s m é t o d o s t ie n e s u s v e n ta ja s o d e s v e n ta ja s , q u e se a n a li­
z a rá n a l m o m e n t o d e p r e s e n ta r c a d a m é t o d o .
8 .1 D iagram as de d e fle x ió n y la curva
elástica
L a s d e f le x io n e s d e la s e s t r u c tu r a s p u e d e n t e n e r v a ria s f u e n t e s , c o m o la s
c a rg a s , la t e m p e r a t u r a , lo s e r r o r e s d e f a b r ic a c ió n o e l a s e n t a m i e n to .
D u r a n te e l d is e ñ o d e b e n lim ita r s e la s d e f le x io n e s a fin d e g a r a n tiz a r la
in te g r id a d y la e s ta b ilid a d d e lo s te c h o s y e v it a r e l a g r i e ta m ie n t o d e lo s
m a te r ia le s ríg id o s a d ju n to s c o m o e l c o n c r e to , e l y e s o o e l v id rio . A d e m á s ,
u n a e s t r u c tu r a n o d e b e v ib r a r o d e f o r m a r s e s e v e r a m e n te s i s e d e s e a q u e
“p a r e z c a " s e g u r a a la v is ta d e s u s o c u p a n te s . A ú n m ás i m p o r t a n te e s e l
h e c h o d e q u e , p a r a a n a liz a r la s e s t r u c tu r a s e s t á ti c a m e n t e i n d e t e r m in a ­
d a s , s e d e b e n d e t e r m i n a r las d e f le x io n e s e n p u n to s e s p e c ífic o s d e la e s ­
tr u c tu ra .
I-as d e fle x io n e s q u e se c o n s id e r a r á n e n e s te te x to s ó lo se a p lic a n a e s ­
tr u c tu r a s q u e ti e n e n u n a re s p u e sta m a te r ia l lin e a l e lá stica . E n e s t a s c o n d i­
c io n e s . u n a e s t r u c t u r a s o m e ti d a a u n a c a r g a v o lv e r á a s u p o s ic ió n o r ig i­
n al n o d e f o r m a d a a l r e t i r a r l a c a r g a . L a d e fle x ió n d e u n a e s t r u c tu r a la
c a u s a n s u s c a r g a s in te r n a s , c o m o la f u e r z a n o r m a l, la f u e r z a c o r t a n t e . o e l

322. 3 0 0 C a p i t u l o 8 D e f l e x i o n e s
T A B L A 8 -1
0 )
A = o
r o d i l l o u o s c f la d o r
(2)
A - 0
p a s a d o r
(3)
A = 0
0 - 0
s o p o r t e fijo
m o m e n to f le x io n a n te . S in e m b a r g o , e n e l c a s o d e la s v ig a s y lo s m a rc o s,
la s m a y o r e s d e s v ia c io n e s s u e l e n s e r c a u s a d a s p o r l a fl e x ió n in te r n a , e n
ta n t o q u e e n u n a a r m a d u r a las d e f le x io n e s la s o c a s io n a n la s fu e r z a s a x ia ­
les in te rn a s.
A n te s d e d e t e r m i n a r la p e n d ie n t e o e l d e s p la z a m ie n to d e u n p u n to
s o b r e u n a v ig a o u n m a r c o , a m e n u d o r e s u lta ú til b o s q u e j a r e l p e rf il d e ­
f o r m a d o d e la e s t r u c tu r a c u a n d o e s t á c a r g a d a p a r a v e r if ic a r p a r c i a l­
m e n te lo s r e s u lta d o s . E s te d ia g r a m a d e d e fle x ió n r e p r e s e n ta la cu rv a
e lá stic a o e l lu g a r g e o m é tr ic o d e lo s p u n to s q u e d e f i n e la p o s ic ió n d e s p l a ­
z a d a d e l c e n tr o id e d e la s e c c ió n tr a n s v e r s a l a lo l a r g o d e lo s e le m e n to s .
P a r a l a m a y o r ía d e lo s p r o b le m a s , la c u rv a e lá s tic a p u e d e b o s q u e ja r s e sin
m u c h a d if ic u lta d . S in e m b a r g o , a l h a c e r lo e s n e c e s a r io c o n o c e r la s r e s ­
tr ic c io n e s e n c u a n to a la p e n d ie n t e o e l d e s p la z a m ie n to q u e o c u r r e n a
m e n u d o e n u n s o p o r te o u n a c o n e x ió n . C o n r e f e r e n c ia a l a ta b l a 8 -1 , lo s
s o p o r te s q u e resisten u n a f u e r z a , c o m o u n p a s a d o r , re s trin g en e l d e s p la -
z a m ie n to '.y lo s q u e resisten u n m o m e n t o ,c o m o u n a p a r e d fija , re s trin g en
h r o ta c ió n . O b s e r v e ta m b ié n q u e la d e f le x ió n d e lo s e le m e n to s d e u n
m a r c o q u e e s t á n f ija m e n te c o n e c ta d o s (4 ) h a c e q u e la ju n t a g ir e lo s e l e ­
m e n to s c o n e c ta d o s e n la m ism a c a n ti d a d 0. P o r o t r o la d o , si e n l a j u n t a se
u s a u n a a r t ic u l a c ió n ,c a d a e le m e n to te n d r á u n a p e n d ie n te d ife r e n te o u n a
r o ta c ió n d is tin ta e n e l p a s a d o r , d e b i d o a q u e é s t e n o p u e d e s o p o r t a r u n
m o m e n to ( 5 ) .
( 4 )
j u n t a f i j a m e n t e c o n e c t a d a
( 5 )
I I
j u n t a a r t i c u l a d a
L o s m a r c o s d e d o s e l e m e n t o s s o p o r t a n t a n t o la c a r g a
m u e r t a d e l t e c h o c o m o la c a r g a v iv a d e la n i e v e . P u e d e
c o n s i d e r a r s e q u e e l m a r c o e s t á a r t i c u l a d o e n la p a r e d ,
f i j o e n e l s u e l o y q u e t i e n e u n a j u n t a f i j a m e n t e c o n e c ­
t a d a .

323. 8 . 1 D i a g r a m a s d e o e r e x j ó n y l a c u r v a e l á s t i c a 3 0 1
S i la c u r v a e lá s tic a p a r e c e d ifíc il d e e s ta b le c e r , s e s u g ie r e d ib u j a r p r i ­
m e r o e l d ia g r a m a d e m o m e n to p a r a la v ig a o e l m a rc o . P o r la c o n v e n c ió n
d e s ig n o s p a r a lo s m o m e n to s e s t a b le c id a e n e l c a p ítu lo 4 , u n m o m e n to
p o s itiv o ti e n d e a d o b l a r u n a v ig a o e le m e n to h o r iz o n ta l c ó n c a v o h a c ia
a rr ib a , fig u ra 8 -1 . D e l m is m o m o d o , u n m o m e n t o n e g a tiv o tie n d e a d o ­
b la r la v ig a o e l e le m e n to c ó n c a v o h a c ia a b a jo , fig u ra 8-2. P o r lo t a n t o , si
se c o n o c e la fo r m a d e l d ia g r a m a d e m o m e n t o , la c o n s tr u c c ió n d e la cu rv a
e lá stic a se r á f á c i l y v ic e v e r s a . P o r e je m p lo , c o n s id e r e la v ig a d e la fig u ra
8 -3 c o n s u d ia g r a m a d e m o m e n to a s o c ia d o . D e b id o a l s o p o r te d e p a s a ­
d o r y r o d illo , e l d e s p la z a m ie n to e n A y D d e b e s e r c e ro . D e n t r o d e la r e ­
g ió n d e m o m e n to n e g a tiv o , la c u r v a e lá s tic a e s c ó n c a v a h a c ia a b a jo ; y
d e n tr o d e la re g ió n d e m o m e n to p o s itiv o , la c u rv a e lá s tic a e s c ó n c a v a
h a c ia a r r ib a . E n p a r tic u la r , d e b e h a b e r u n p u n to d e in fle x ió n e n e l s i ti o
d o n d e la c u r v a c a m b ia d e c ó n c a v a h a d a a b a jo a c ó n c a v a h a d a a r r ib a ,
p u e s to q u e é s t e e s u n p u n to d e m o m e n to n u lo . U s a n d o e s to s m ism o s
p rin c ip io s, o b s e r v e c ó m o la c u r v a e lá s tic a p a r a la v ig a e n la fig u ra 8 -4 se
e l a b o r ó c o n b a s e e n s u d ia g r a m a d e m o m e n to . E s p c d f ic a m e n tc , te n g a e n
c u e n ta q u e la r e a c c ió n d e m o m e n to p o s itiv o d e s d e la p a r e d m a n tie n e la
p e n d ie n te in ic ia l d e la v ig a h o r iz o n ta l.
m o m e n t o p o s i t i v o ,
c ó n c a v o h a c i a a r r i b a
HRura 8-1
- M
i r » ) m e n t ó n e g a t i v o ,
c ó n c a v o h a c i a a b a j o
fig u ra 8-2
P,
L o
v i g a
d i a g r a m a d e m o m e n t o
i
M
r
v i g a
p u n t o d e i n f l e x i ó n
c u r v a d o d e f l e x i ó n , ,v *
f i g u r a 8 - 3 f i g u r a 8 - 4

324. 3 0 2 C a p i t u l o 8 D e f l e x i o n e s
D ib u je l a f o r m a a lt e r a d a d e c a d a u n a d e las v ig a s q u e s e m u e s tr a n e n
la fig u ra 8 -5 .
S O L U C IÓ N
E n la fig u ra 8 - 5 a ,e l r o d illo u b ic a d o e n A p e r m ite la r o t a c ió n lib r e s in
d e fle x ió n , m ie n tr a s q u e la p a r e d fija e n B im p id e ta n t o la r o ta c ió n
c o m o l a d e f le x ió n . L a f o r m a a lt e r a d a se m u e s tr a m e d ia n te la lín e a
g ru e s a . E n l a f ig u r a 8-5£>, n o p u e d e o c u r r ir r o ta c ió n n i d e f le x ió n e n A
y B . E n l a fig u ra 8 - 5 c ,e l m o m e n to d e p a r g ir a r á a l e x tr e m o A . E s to
o r i g in a r á d e f le x io n e s e n a m b o s e x tr e m o s d e la v ig a , p u e s t o q u e la d e ­
fle x ió n n o e s p o s ib le e n B n i e n C . O b s e r v e q u e e l s e g m e n to C D p e r ­
m a n e c e sin d e f o r m a c ió n ( u n a lín e a r e c t a ) , d a d o q u e e n é l n o a c tú a
n in g u n a c a r g a in te r n a . E n la f ig u r a 8 -5 ¿ /,e l p a s a d o r ( b is a g ra in t e r n a )
e n B p e r m ite la r o t a c ió n lib r e y, p o r lo ta n t o , la p e n d ie n t e d e la c u rv a
d e d e f le x ió n c a m b i a r á s ú b i ta m e n te e n e s t e p u n to , m ie n tr a s q u e la
viga e s t á r e s tr in g id a p o r s u s o p o r t e . E n la fig u ra 8 -5 e , la v ig a c o m ­
p u e s ta s e d e f o r m a d e la m a n e r a q u e s e m u e s tr a . I a p e n d ie n t e c a m b ia
a b r u p ta m e n te a c a d a la d o d e la a rtic u la c ió n e n B . P o r ú ltim o , e n la fi­
g u r a 8-5f e l c la r o B C se v o lv e r á c ó n c a v o h a d a a r r ib a d e b id o a la
c a r g a . D a d o q u e la v ig a e s c o n ti n u a , lo s d a r o s fin a le s se v o lv e r á n c ó n ­
c a v o s h a c ia a b a jo .
p
H'
A
8
- 2 T
D
A C
P
I
w
B C
F i g u r a 8 - 5

325. 8 . 1 D i a g r a m a s d e o e r e x j ó n y l a c u r v a e l á s t i c a 3 0 3
D ib u je la s f o r m a s a lt e r a d a s d e c a d a u n o d e lo s m a r c o s q u e se m u e s ­
tr a n e n la fig u ra 8 -6 .
B c B c D
' " I T
m\ |j/ >
(a)
S O L U C IÓ N
E n la fig u ra 8 - 6 a , c u a n d o l a c a r g a P e m p u ja las j u n t a s B y C h a d a la
d e r e c h a .s e p r o d u c e u n a r o t a d ó n d e c a d a c o lu m n a e n s e n tid o h o r a r io ,
d e la m a n e r a q u e s e m u e s tr a . C o m o r e s u lta d o , la s ju n t a s B y C d e b e n
g ir a r e n e l s e n tid o h o r a r io . D a d o q u e e n e s t a s a r tic u la c io n e s d e b e
m a n te n e r s e e l á n g u lo d e 9 0° e n t r e lo s e le m e n to s c o n e c ta d o s , la viga
B C se d e f o r m a r á d e m o d o q u e l a c u r v a tu r a s e in v ie r ta d e c ó n c a v a
h a c ia la iz q u ie r d a a c ó n c a v a h a d a la d e r e c h a . O b s e r v e q u e e s t o p r o ­
d u c e u n p u n to d e in f le x ió n d e n t r o d e la v ig a .
E n la fig u ra 8 - 6 b , P d e s p la z a la s ju n t a s B . C y D h a c ia la d e r e c h a ,
h a c ie n d o q u e c a d a c o lu m n a s e d o b le e n la f o r m a q u e s e m u e s tr a . I-as
ju n ta s fija s d e b e n m a n te n e r s u s á n g u lo s d e 9 0 ° y. p o r lo t a n t o . B C y
C D d e b e n t e n e r u n a c u r v a tu r a in v e r tid a c o n u n p u n to d e in fle x ió n
c e rc a d e s u p u n to m e d io .
E n la fig u ra 8 - 6 c ,la c a r g a v e r tic a l e n e s t e m a r c o s im é tric o d o b la r á la
viga C D c ó n c a v a h a c ia a r r ib a , c a u s a n d o u n a r o t a c ió n e n s e n t id o h o r a ­
rio d e la j u n t a C y e n s e n tid o a n ti h o r a r io d e la j u n t a D . C o m o e l á n ­
g u lo d e 9 0 ° e n la s ju n t a s d e b e m a n te n e r s e , las c o lu m n a s s e d o b la r á n
e n la f o r m a q u e se m u e s tr a . E s to h a c e q u e lo s c la r o s B C y D E x v u e l­
v a n c ó n c a v o s h a c ia a b a jo , lo q u e r e s u lta e n u n a r o t a c ió n e n s e n tid o
a n tih o r a r io e n B y e n s e n t id o h o r a r io e n E . P o r c o n s ig u ie n te , la s c o ­
lu m n a s s e d o b la n e n la f o r m a q u e s e m u e s tr a . I\>r ú ltim o , e n la fig u ra
8 -6d , las c a r g a s e m p u ja n la s j u n t a s B y C h a c ia la d e r e c h a , lo q u e
d o b la las c o lu m n a s e n la f o r m a q u e s e m u e s tr a . L a j u n t a fija B m a n ­
tie n e s u á n g u lo d e 9 0 °, sin e m b a r g o , n o h a y re s tric c ió n a la r o ta c ió n
re la tiv a e n t r e lo s e le m e n to s e n C p o r q u e la j u n t a e s t á a rtic u la d a . E n
c o n s e c u e n c ia , s ó l o la v ig a C D n o tie n e u n a c u r v a tu r a in v e r s a .
(c)
*í
<d)
f i g u r a 8 - 6

326. 3 0 4 C a p i t u l o 8 D e f l e x i o n e s
P R O B L E M A S F U N D A M E N T A L E S
(b)
(c)
r o - i
R*-3. D ibuje la form a alterad a d e c ad a m arco. Indique los
p u n to s d e inflexión.
1 8 -2 . D ibuje la form a alterad a d e c ad a m arco. Indique los
p u n to s d e inflexión.
» 8 - 3

327. 8 - 2 T E O f t l A D E L A V I G A E L A S T IC A 3 0 5
8 .2 Teoría d e la vig a elástica
E n e s t a se c c ió n s e d e s a r r o ll a r á n d o s e c u a c io n e s d if e r e n c ia le s im p o r t a n ­
te s q u e r e l a c io n a n e l m o m e n to in t e r n o e n u n a v ig a c o n e l d e s p la z a ­
m ie n to y la p e n d ie n t e d e s u c u rv a e lá s tic a . E s ta s e c u a c io n e s f o r m a n la
b a s e d e lo s m é to d o s d e d e f le x ió n q u e se p r e s e n ta n e n e s te c a p ít u lo , y p o r
e s a r a z ó n h a y q u e c o m p r e n d e r p le n a m e n te lo s s u p u e s to s y la s lim ita c io ­
n e s q u e s e a p liq u e n e n s u d e s a r r o llo .
P a ra o b t e n e r e s ta s re la c io n e s , e l a n á lis is s e lim ita r á a l c a s o m ás c o m ú n
d e u n a v ig a q u e e n p r in c ip io e s r e c ta y q u e s e d e f o r m a e lá s tic a m e n te d e ­
b id o a las c a r g a s a p lic a d a s d e m a n e r a p e r p e n d i c u la r a l e je x d e la v ig a , y
q u e s e s itú a n e n e l p la n o d e s i m e t r ía x - v d e la s e c c ió n tr a n s v e r s a l d e la
v ig a , f ig u r a 8 -7a . D e b id o a la s c a rg a s , la d e f o r m a c ió n d e la v ig a e s c a u ­
s a d a ta n t o p o r la f u e r z a c o r ta n te i n t e r n a c o m o p o r e l m o m e n to d e f le ­
x ión. S i la v ig a ti e n e u n a lo n g itu d m u c h o m a y o r q u e s u p r o f u n d id a d , la
m a y o r d e f o r m a c ió n s e r á c a u s a d a p o r la fle x ió n y, p o r e n d e , la a te n c ió n se
d ir ig i r á a s u s e f e c to s . L a s d e f l e x io n e s c a u s a d a s p o r la f u e r z a c o r t a n t e
s e a n a li z a r á n m á s a d e la n te e n e s te c a p ítu lo .
C u a n d o e l m o m e n to i n t e r n o M d e f o r m a e l e l e m e n t o d e la v ig a , c a d a
se c c ió n tr a n s v e r s a l s e m a n tie n e p la n a y e l á n g u lo e n t r e e lla s s e c o n v ie r te
e n dO , fig u ra 8 - 7b . E l a r c o d x q u e r e p r e s e n ta u n a p o r c ió n d e la c u rv a
e lá s tic a in t e r s e c a e l e je n e u tr o d e c a d a se c c ió n tr a n s v e r s a l. E l ra d io d e
c u r v a tu r a efe e s te a r c o se d e f in e c o m o la d is ta n c i a p. q u e s e m id e d e s d e el
c e n tr o d e la c u r v a tu r a O ' h a s ta d x . C u a lq u i e r a r c o e n e l e le m e n to d is tin to
a d x e stá s o m e tid o a u n a d e f o r m a c ió n n o rm a l. P o r e je m p lo . l a d e f o r m a ­
c ió n e n e l a r c o d s . q u e s e u b ic a e n u n a p o s ic ió n y r e s p e c to a l e je n e u tr o ,
e s € = (</s’ - d s ) /d s . S in e m b a r g o , d s = d x = p d O y d s ' = ( p - y )d O ,y a s í
“ ( I
M
( p - y ) dO - p dO
p d O
1 e
o b ie n - = —
P y
Si e l m a t e r i a l e s h o m o g é n e o y se c o m p o r ta d e m a n e r a lin e a l e l á s t i c a ,e n ­
to n c e s p u e d e a p lic a rs e la le y d e H o o k e . f - tríE . A d e m á s , d a d o q u e t a m ­
b ié n e s a p lic a b le la f ó r m u la d e la fle x ió n , a = - M y l l. A l c o m b in a r e s ta s
e c u a c io n e s y s u s tit u ir e n la e c u a c i ó n a n te r io r , s e ti e n e
a n t e s d e la
d e f o r m a c i ó n
d e s p u é s d e la
d e f o r m a c i ó n
( b )
F i g u r a 8 - 7
M
E l
(8-1)
A q u í
p = e l r a d i o d e c u r v a t u r a e n u n p u n to e s p e c ífic o d e la c u r v a e lá s tic a
( 1/p s e c o n o c e c o m o la c u r v a tu r a)
M = e l m o m e n to in t e r n o e n l a v ig a e n e l p u n t o d o n d e d e b e d e t e r m i ­
n a r s e p
E = e l m ó d u lo d e e la s tic id a d d e l m a te r ia l
/ - e l m o m e n to d e in e rc ia d e la v ig a c a lc u la d o r e s p e c to d e l e je n e u t r o

328. 3 0 6 C a p i t u l o 8 D e f l e x i o n e s
E n e s t a e c u a c ió n e l p r o d u c t o E l se c o n o c e c o m o la rig id e z a la fle x ió n ,
y s i e m p r e e s u n a c a n tid a d p o s itiv a . P u e s to q u e d x = p d O , e n to n c e s a p a r ­
ti r d e l a e c u a c i ó n 8 -1 ,
rf» = f j d x ( 8 - 2 )
Si s e e lig e e l e je v c o m o p o s itiv o h a c ia a r r ib a , fig u ra 8 -7 a ,y s i e s p o s ib le
e x p r e s a r l a c u r v a t u r a ( 1 /p ) e n té r m in o s d e x y ^ .e n t o n c e s s e p u e d e d e t e r ­
m in a r la c u rv a e lá s tic a d e la v ig a . E n la m a y o r ía d e lo s lib r o s d e c á lc u lo
s e d e m u e s tr a q u e e s ta re la c ió n d e c u r v a tu r a e s
1 d ’ v / d x 2
I\>r l o ta n t o .
p [1 + ( d v / d x ) 2? ' 2
M _ d 2v / d x 2
£ / " [ ! + ( d v / d x ) 2 p
( 8 - 3 )
E s ta e c u a c ió n r e p r e s e n ta u n a e c u a c ió n d if e r e n c ia l n o lin e a l d e s e ­
g u n d o o r d e n . S u s o lu c ió n , v = f ( x ) , p r o p o r c io n a la f o r m a e x a c ta d e la
c u r v a e lá s tic a ; s u p o n i e n d o , p o r s u p u e s to , q u e las d e fle x io n e s d e la v ig a se
p r o d u c e n s ó l o p o r fle x ió n . C o n e l f i n d e f a c ilita r la s o lu c ió n d e u n m a y o r
n ú m e r o d e p ro b le m a s , la e c u a c ió n 8 -3 s e m o d ific a rá a l h a c e r u n a im p o r ­
ta n t e s im p lific a c ió n . C o m o la p e n d ie n t e d e la c u rv a e lá s tic a p a r a la m a ­
y o ría d e la s e s t r u c t u r a s e s m u y p e q u e r t a .s e e m p l e a r á la te o r ía d e la p e ­
q u e ñ a d e f le x ió n y s e s u p o n d r á q u e d v l d x « 0 . E n c o n s e c u e n c ia , s u
c u a d r a d o s e r á in s ig n ific a n te e n c o m p a r a c ió n c o n la u n i d a d y p o r lo ta n t o
la e c u a c i ó n 8 -3 s e r e d u c e a
d h = M
d x 2 E l
( 8 - 4 )
T a m b ié n d e b e s e ñ a l a r s e q u e a l s u p o n e r q u e d v / d x =» 0 , la lo n g itu d
o r ig in a l d e l e je x d e la v ig a y e l a r c o d e s u c u r v a e lá s tic a s e r á n a p r o x im a ­
d a m e n t e lo s m is m o s . E n o t r a s p a la b r a s , d s e n la f i g u r a 8 - 7 6 e s a p r o x i ­
m a d a m e n te ig u a l a d x , p u e s t o q u e
d s = V d x 2 + d v 2 = V i + { d v / d x ) 2 d x * d x
E s te r e s u lta d o im p lic a q u e lo s p u n to s d e la c u r v a e lá s tic a s ó l o s e d e s p l a ­
z a rá n d e m a n e r a v e r tic a l m a s n o h o riz o n ta l.
R esultados ta b u la d o s. E n la s ig u ie n te se c c ió n s e m o s tr a r á c ó m o
a p lic a r la e c u a c i ó n 8 - 4 p a r a e n c o n tr a r la p e n d ie n t e d e u n a v ig a y la e c u a ­
c ió n d e s u c u rv a e lá s tic a . E n la c o n t r a p o r t a d a d e l lib r o s e u b ic a u n a ta b l a
q u e p r e s e n ta lo s r e s u lta d o s d e ta l a n á lis is p a r a a lg u n a s c a r g a s c o m u n e s
e n v ig a s q u e s e e n c u e n t r a n a m e n u d o e n e l a n á lis is e s tr u c tu r a l. T a m b ié n
s e e n u m e r a n la p e n d ie n t e y e l d e s p la z a m ie n to e n lo s p u n to s c rític o s d e la
viga. P o r s u p u e s to , u n a s o la ta b l a n o p u e d e in c lu ir lo s m u c h o s d if e r e n te s
c a s o s d e c a rg a y g e o m e tr ía q u e s e p r e s e n ta n e n la p r á c tic a . C u a n d o n o se
d is p o n e d e u n a ta b l a o s e ti e n e u n a in c o m p le ta , e l d e s p la z a m ie n to o la
p e n d ie n te e n u n p u n t o e s p e c ífic o d e u n a v ig a o u n m a r c o p u e d e n d e t e r ­
m in a rs e e m p l e a n d o e l m é to d o d e in te g r a c ió n d o b le o a lg ú n o t r o m é to d o
a n a liz a d o e n e s t e c a p ítu lo o e n e l s ig u ie n te .

329. 8 . 3 El m í t o o o d e i n t e g r a c i ó n d o b l e 3 0 7
8 .3 El m é to d o de in te g ra c ió n do b le
U n a v e z q u e M s e e x p r e s a c o m o u n a fu n c ió n d e la p o s ic ió n x ,e n to n c e s la s
in te g r a c io n e s s u c e s iv a s d e la e c u a c i ó n 8 .4 d a r á n la p e n d ie n t e d e la v ig a .
0^ t a n 0 = d v /d x = J ( M / E I ) d x ( e c u a c ió n 8 -2 ), y la e c u a c ió n d e la c u rv a
e lá s tic a , t* = f { x ) ■ / f ( M / E Í ) d x , re s p e c tiv a m e n te . P a r a c a d a in te g ra -
r i ó n , e s n e c e s a r io in tr o d u c ir u n a " c o n s ta n te d e in te g r a c ió n " y d e s p u é s r e ­
s o lv e r las c o n s ta n te s a f i n d e o b t e n e r u n a s o lu c ió n ú n ic a p a ra u n p r o ­
b le m a p a rtic u la r. R e c u e r d e d e la se c c ió n 4-2 q u e s i la c a rg a e n u n a viga e s
d is c o n tin u a , e s d e c ir , c o n siste e n u n a s e r ie d e v a ria s c a r g a s c o n c e n tr a d a s y
d is trib u id a s , e n to n c e s d e b e n e s c r ib ir s e v a ria s fu n c io n e s p a r a e l m o m e n to
in te rn o , c a d a u n a v á lid a d e n t r o d e la r e g i ó n e n t r e la s d is c o n tin u id a d e s .
P or e je m p lo , c o n s id e re l a v ig a q u e s e m u e s tr a e n la fig u ra 84*. E l m o ­
m e n to i n t e r n o e n la s r e g io n e s A B , B C y C D d e b e e s c r ib ir s e e n té r m in o s
d e las c o o r d e n a d a s x \ , x i y x y U n a v e z q u e e s ta s fu n c io n e s se in t e g r e n a
tr a v é s d e la a p lic a c ió n d e l a e c u a c i ó n 8 -4 , y q u e s e h a y a n d e te r m in a d o la s
c o n s ta n te s d e in te g ra c ió n , la s fu n c io n e s d a r á n la p e n d ie n t e y la d e fle x ió n
(c u rv a e lá s ti c a ) p a r a c a d a re g ió n d e la v ig a e n la q u e s o n v á lid a s.
C onvención d e signos. A l a p lic a r l a e c u a c ió n 8 -4 e s im p o r ta n te
u s a r el s ig n o a d e c u a d o p a r a M s e g ú n lo e s ta b le c e la c o n v e n c ió n d e s ig ­
n o s q u e s e u s ó e n la o b te n c i ó n d e e s t a e c u a c ió n , fig u ra 8 -9a. A d e m á s , r e ­
c u e r d e q u e l a d e f le x ió n v p o s itiv a e s h a c ia a r r ib a y, e n c o n s e c u e n c ia , e l
á n g u lo d e la p e n d ie n t e p o s itiv a d x m e d i r á e n s e n t id o a n ti h o r a r io d e s d e
e l e je x . 1.a ra z ó n d e e s to s e m u e s tr a e n la f ig u r a 8 - 9b . A q u í, lo s in c r e ­
m e n to s p o s itiv o s d x y d v e n x y r c re a n u n in c r e m e n to d e d Oq u e e s e n
s e n tid o a n ti h o r a r io . A d e m á s , c o m o e l á n g u lo d e la p e n d ie n t e tf s e r á m u y
p e q u e ñ o , s u v a lo r e n r a d i a n e s p u e d e d e te r m in a r s e d ir e c ta m e n te d e 0 *
ta n 0 » d v ld x .
C ondiciones de fro n te ra y de co n tin u id a d . L a s c o n s ta n te s
d e in te g r a c ió n s e d e t e r m i n a n e v a lu a n d o la s f u n c io n e s d e la p e n d ie n t e o
d e l d e s p la z a m ie n to e n u n p u n to p a r t ic u l a r d e la v ig a d o n d e s e c o n o c e el
v a lo r d e la f u n c ió n . E s to s v a lo r e s se lla m a n c o n d ic io n e s d e fr o n te r a . P o r
e je m p lo ,s i la v ig a s e s o s tie n e m e d ia n te u n r o d illo o u n p a s a d o r , e n to n c e s
s e r e q u i e r e q u e e l d e s p la z a m ie n to s e a c e r o e n e s to s p u n to s . In c lu s iv e , e n
u n s o p o r te fijo , la p e n d ie n t e y e l d e s p la z a m ie n to s o n ig u a le s a c e ro .
S i n o p u e d e u s a r s e u n a s o la c o o r d e n a d a x p a ra e x p r e s a r la e c u a c ió n d e
la p e n d ie n t e o la c u r v a e lá s tic a d e la v i g a ,e n t o n c e s d e b e n u s a r s e la s c o n ­
d ic io n e s d e c o n tin u id a d p a r a e v a lu a r a lg u n a s d e la s c o n s ta n te s d e in t e ­
g ra c ió n . C o n s id e r e la v ig a d e la fig u ra 8 -1 0 . A q u í la s c o o r d e n a d a s x , y x 2
s ó lo s o n v á lid a s d e n t r o d e la s r e g i o n e s A t í y B C , re s p e c tiv a m e n te . U n a
v ez q u e s e o b t i e n e n las f u n c io n e s d e la p e n d ie n t e y l a d e fle x ió n , é s t a s t i e ­
n e n q u e d a r lo s m ism o s v a lo r e s d e la p e n d ie n t e y la d e f le x ió n e n e l p u n to
B , xi = *2 = a . d e m a n e r a q u e la c u rv a e lá s tic a e s f ís ic a m e n te c o n tin u a .
E x p r e s a d o d e m a n e r a m a te m á tic a , e s t o r e q u i e r e q u e 0 \( a ) = ^ ( a ) y
u ,( a ) = v 2(a ). E s ta s e c u a c io n e s p u e d e n u s a r s e p a r a d e te r m i n a r d o s c o n s ­
ta n te s d e in te g ra c ió n .
h « - l *
C
---------------------XJ-
f i g u r a 8 - 8
□
(a)
c u r v a c l á s t i c a

330. Ca p i t u l o 8 D e f l e x i o n e s
P ro c e d im ie n to d e a n á lis is
E l s ig u ie n te p r o c e d im ie n to p r o p o r c io n a u n m é to d o p a r a d e t e r m i n a r la p e n d ie n t e y la
d e fle x ió n d e u n a v ig a ( o e j e ) u s a n d o e l m é to d o d e la in te g r a c ió n d o b le . D e b e t e n e r s e e n
c u e n ta q u e e s t e m é to d o s ó l o e s a d e c u a d o e n d e fle x io n e s e lá stica s p a ra la s c u a le s la p e n ­
d ie n te d e la v ig a e s m u y p e q u e ñ a . A d e m á s , e l m é t o d o c o n s i d e r a s ó lo la s d e fle x io n e s d e b i­
d a s a la fl e x i ó n . E n g e n e r a l , la d e fle x ió n a d ic io n a l p o r la f u e r z a c o r t a n te r e p r e s e n ta s ó lo
u n p e q u e ñ o p o r c e n t a je d e la d e f le x ió n d e b id a a la fle x ió n ; p o r e llo , e n la p rá c tic a d e la in ­
g e n ie r ía s u e le ig n o r a rs e .
C u rv a e lá s tic a
• D ib u je u n a v is ta e x a g e r a d a d e la c u r v a e lá s tic a d e la v ig a . R e c u e r d e q u e lo s p u n to s d e
p e n d ie n t e c e r o y d e s p la z a m ie n to c e r o s e p r o d u c e n e n u n s o p o r te fijo , y e l d e s p la z a ­
m ie n to c e r o s e p r o d u c e e n lo s s o p o r te s d e r o d illo y a rtic u la d o s .
• E s ta b le z c a lo s e je s d e la s c o o r d e n a d a s x y y . E l e j e x d e b e s e r p a r a le lo a la v ig a s i n d e ­
f o r m a rs e y s u o r ig e n d e b e e s t a r e n e l la d o iz q u ie r d o d e l a v ig a , c o n s e n tid o p o s itiv o
h a c ia l a d e r e c h a .
• Si h a y v a ria s c a r g a s d is c o n tin u a s p r e s e n te s , e s ta b le z c a la s c o o r d e n a d a s x q u e s e a n v á ­
lid a s p a r a c a d a re g ió n d e la v ig a e n t r e las d is c o n tin u id a d e s .
• E n t o d o s lo s c a so s, e l e je a s o c ia d o p o s itiv o v d e b e d ir ig ir s e h a c ia a r r ib a .
F u n c ió n d e la c a r g a o d e l m o m e n t o
• P a r a c a d a re g ió n e n la q u e h a y u n a c o o r d e n a d a x , e x p r e s e e l m o m e n to i n t e r n o M e n
fu n c ió n d e x.
• S ie m p r e s u p o n g a q u e M a c tú a e n la d ir e c c ió n p o s itiv a a l a p li c a r la e c u a c i ó n d e e q u il i­
b rio d e m o m e n to s p a r a d e t e r m i n a r M = f x ) .
P e n d i e n t e y c u rv a e lá s tic a
• S ie m p re q u e E l s e a c o n s t a n te , a p liq u e la e c u a c ió n d e m o m e n to E l <P v /d x * = M ( x ) ,
q u e r e q u i e r e d o s in te g ra c io n e s . P a r a c a d a in te g ra c ió n e s im p o r ta n te in c lu ir u n a c o n s ­
ta n t e d e in te g r a c ió n . L a s c o n s t a n te s s e d e te r m i n a n u s a n d o la s c o n d ic io n e s d e f r o n te r a
p a ra lo s s o p o r te s y la s c o n d ic io n e s d e c o n tin u id a d q u e s e a p lic a n a la p e n d ie n t e y al
d e s p la z a m ie n to e n lo s p u n to s d o n d e s e e n c u e n t r a n d o s fu n c io n e s .
• U n a v ez q u e s e d e t e r m i n a n la s c o n s t a n te s d e in te g r a c ió n y s e s u s titu y e n d e n u e v o e n
las e c u a c io n e s d e la p e n d ie n t e y l a d e f le x ió n , e s p o s ib le d e te r m i n a r la p e n d ie n t e y el
d e s p la z a m ie n to e n p u n to s e s p e c ífic o s d e l a c u rv a e lá s tic a . L o s v a lo r e s n u m é r ic o s o b t e ­
n id o s p u e d e n c o m p r o b a r s e g r á f ic a m e n te a l c o m p a r a r l o s c o n e l b o s q u e jo d e la c u rv a
d á s t ic a .
• L o s v a lo r e s p o s i ti v o s d e la p e n d ie n te s o n e n s e n tid o a n ti h o r a r io y e l d e s p la z a m ie n to
p o s itiv o e s h a c ia a r r ib a.

331. 8 . 3 El m é t o o o d e i n t e g r a c i ó n d o b l e 3 0 9
C a d a v ig u e ta d e p i s o s im p le m e n te a p o y a d a q u e se m u e s tr a e n l a f o to ­
g ra fía e s t á s o m e tid a a u n a c a r g a d e d is e ñ o u n if o rm e d e 4 k N /m , fig u ra
8-1 \a . D e te r m in e la d e f le x ió n m á x im a d e la v ig u e ta . E l e s c o n s ta n te .
C u rv a e lá s tic a , l i b i d o a la s i m e t r ía , la d e f le x ió n m á x im a d e la v i­
g u e ta s e p r o d u c i r á e n s u c e n tr o . .Sólo se r e q u i e r e u n a s o la c o o r d e n a d a
x p a r a d e t e r m i n a r e l m o m e n to in te rn o .
F u n c ió n d e m o m e n to . C o n b a s e e n e l d ia g r a m a d e c u e r p o lib re , fi­
g u ra 8 -1 1 s e tie n e
M = 2 0 x -
“(!)
2 0 a: - 2 x 2
P e n d ie n te y c u rv a e lá s tic a . A l a p lic a r la e c u a c ió n 8 -4 e in te g r a r
d o s v eces re s u lta
4 k N / m
d 2v ■%
E l— z = 2 0 * - 2 x
d x
E ¡ ^ ~ = lO x2 - 0 .6 6 6 7 * 3 + C ,
dx
E l v = 3 3 3 3 a : 3 - 0 . 1 6 6 7 a : 4 + C xx + C 2
( a )
A q u í v = O e n x = 0 , d e m o d o q u e C 2 = 0 y v = 0 e n . t = 10; p o r lo
q u e C , - - 1 6 6 .7 . l\> r lo ta n to , la e c u a c ió n d e l a c u rv a e lá s tic a e s
E l v = 3 . 3 3 3 a 3 - 0 . 1 6 6 7 a : 4 - 1 6 6 . 7 a :
E n a = 5 m , o b s e r v e q u e d v / d x = 0. P o r c o n s ig u ie n te , l a d e fle x ió n
m á x im a e s
( 4 x ) N
t » m á x = “
5 2 1
E l
R esp.

332. 3 1 0 C a p i t u l o 8 D e f l e x i o n e s
E J E M P L O 8 . 4
L a v ig a e n v o la d iz o q u e s e m u e s tr a e n la f ig u r a 8 -Í2 a e stá s o m e ti d a a
u n m o m e n to d e p a r M ,, e n s u e x tr e m o . D e te r m in e la e c u a c ió n d e la
c u rv a e lá s tic a . F.I e s c o n s ta n te .
" ■ * . . "
L
----------------___| | x
(a) (b)
Figura 8 -1 2
S O L U C IÓ N
C u r v a e l á s t i c a . La c a r g a ti e n d e a d e f o r m a r la v ig a c o m o s e m u e s tra
e n la f ig u r a 8 -9a. f t ) r in s p e c c ió n , e l m o m e n to in t e r n o p u e d e r e p r e s e n ­
ta r s e a lo la r g o d e la v ig a e m p le a n d o u n s is te m a d e u n a s o la c o o r d e ­
n a d a X.
F u n c ió n d a m o m e n t o . A p a r tir d e l d ia g r a m a d e c u e r p o lib re , c o n
M q u e a c t ú a e n la á r e c c ió n p o s i ti v a ,f ig u r a 8-12¿> ,se tie n e
5
ii
O*
P e n d i e n t e y c u r v a e l á s t i c a . A l a p li c a r la e c u a c ió n 8 -4 e in t e g r a r la
d o s v e c e s s e o b ti e n e
d 2v
E l — ¡ = M „ (1 )
E ' Tx = M oX + C | <2)
E l v = ^ * C , x + C , (3 )
Si s e u s a n la s c o n d ic io n e s d e f r o n t e r a d v l d x = ü e n x = üyt> = üen
x = (X e n to n c e s C \ = = 0. A l s u s tit u ir e s t o s r e s u lta d o s e n la s e c u a ­
c io n e s ( 2 ) y (3 ) c o n 0 = d v l d x, s e o b ti e n e
v m 2 E l R eS p

333. 8 . 3 E l M É T O O O D E IN T E G R A C IÓ N D O B L E 3 1 1
L a p e n d ie n t e y e l d e s p la z a m ie n to m á x im o s o c u r r e n e n A ( x = L ) ,
p a r a lo c u a l
E l r e s u lta d o p o s itiv o p a r a 0A in d ic a u n a r o t a c ió n e n s e n t id o a n tih o ra -
r io y e l r e s u lta d o p o s itiv o p a r a v A in d ica q u e v A a c tú a h a d a a rr ib a .
E s to c o n c u e r d a c o n lo s re s u lta d o s b o s q u e ja d o s e n la fig u ra 8 -1 2a.
C o n e l fin d e o b t e n e r u n a id e a d e la m a g n itu d re a l d e la p e n d ie n t e y
d d e s p la z a m ie n to e n e l e x tr e m o A , c o n s i d e r e q u e la v ig a d e la fig u ra
8 -1 2 a tie n e u n a lo n g itu d d e 12 p ie s , q u e s o p o r ta u n m o m e n to d e p a r
d e 15 k . p ie , y e s tá h e c h a d e a c e r o c o n E K - 2 9 (1 0 3) ksi. Si e s ta viga
se d is e ñ a r a s i n u n f a c to r d e s e g u r id a d s u p o n i e n d o q u e e l e s f u e rz o
n o rm a l p e r m is ib le e s ig u a l a l e s f u e r z o d e c e d e n c ia = 3 6 k si, e n ­
to n c e s s e e n c o n t r a r í a q u e u n p e r f il W 6 X 9 s e r í a a d e c u a d o ( / = 16.4
p u lg 4). A p a r t i r d e la s e c u a c io n e s (4 ) y ( 5 ) se o b ti e n e
e = 15 k ' p i e ( l 2 P u l&/ P 'e ) ( 12 P»es) (12 p u l g / p i e ) = ^
M 2 9 (1 0 3) k / p u l g 2( 16.4 p u lg 4)
15 k • p ie (1 2 p u l g / p i e )( 1 2 p ie s ) 2(12 p u lg /1 p i e ) 2 _
2 ( 2 9 ( 1 0 ’ ) k /p u l g 2) ! 1 6 .4 p u lg 4)
D a d o q u e fl2, = 0 .0 0 2 9 7 r a d 2 « 1 , s e ju s tif ic a e l u s o d e la e c u a c ió n
8 -4 e n v e z d e a p lic a r la e c u a c ió n m á s e x a c ta 8 -3 , p a r a e l c á lc u lo d e la
d e fle x ió n d e la s v ig as. A d e m á s , c o m o e s ta a p lic a c ió n n u m é r ic a e s p a ra
u n a viga en v o l a d i z o ,s e h a n o b te n i d o v a lo re s m á s g r a n d e s p a r a 9 y v
m á x im o s q u e lo s q u e s e h a b r ía n o b t e n i d o s i la v ig a e s tu v ie r a a p o y a d a
m e d ia n te p a s a d o r e s , ro d illo s u o tr o s s o p o r te s .

334. 3 1 2 C a p i t u l o 8 D e f l e x i o n e s
E J E M P L O 8.5
L a v i g a d e l a f i g u r a 8 - 1 3 a e s t á s o m e t i d a a u n a c a r g a P e n s u e x t r e m o .
D e t e r m i n e e l d e s p l a z a m i e n t o e n C . E l e s c o n s t a n t e .
r , , i . « .
F i) f
| Vl 4 ' 3 P
T
i
m2
(b)
Figura 8 -1 3
S O L U C IÓ N
C u r v a e l á s t i c a . L a v ig a s e d e f o r m a c o m o s e m u e s t r a e n la f ig u r a
8 - 1 3 a. D e b id o a l a c a r g a , d e b e n c o n s id e r a r s e d o s c o o r d e n a d a s x.
F u n c i o n e s d e m o m e n t o . Si s e u s a n lo s d ia g r a m a s d e c u e r p o lib re
q u e s e m u e s tr a n e n la f ig u r a 8 - 1 3 6 .s e ti e n e
P
M \ = X i 0 s i , s 2o
P 3 P
M i = - - ^ * 2 + - = - ( * 2 - 2 a )
2 2
P x 2 ~ 3 P a 2a 3a
P e n d i e n t e y c u r v a e l á s t i c a . A p lic a n d o la e c u a c ió n . 8 -4 ,
p a r a x¡.
« a
d x ,
E l v t
+ c,
+ C xx % + C 2
( »
(2 )

335. 8 . 3 E l M É T O O O D E IN T E G R A C IÓ N D O B L E 3 1 3
d 2v 2
P a r a * 2, E I ~ T~2 = P x i ~ ^ P a
d x 2
. d v ° l _ P 2
Eldt2 = 2Xl ~ 3PaX2 + C3 (3)
E l » l = - \ P a x * + CyX2 + C 4 (4 )
L a s c u a tr o c o n s ta n te s d e in te g r a c ió n s e d e t e r m i n a n m e d ia n te tres
c o n d ic io n e s d e f r o n te r a , a s a b e r , v , = 0 e n x x = 0 , t>j = 0 e n x x = 2 a y
v 2 = O e n x 2 = 2 a ,y u n a e c u a c ió n d e c o n tin u id a d . A q u í la c o n tin u id a d
d e la p e n d ie n t e e n e l r o d illo r e q u i e r e q u e d v \ ! d x \ = d v 2l d x 2 e n = x 2
= 2a. ( T e n g a e n c u e n ta q u e la c o n ti n u id a d d e l d e s p la z a m ie n to e n tí
ha s id o c o n s i d e r a d o d e m a n e r a in d ir e c ta e n la s c o n d ic io n e s d e f r o n ­
te ra , p u e s to q u e v ¡ = v 2 = 0 e n = x 2 = 2a.) A l a p li c a r e s t a s c u a t r o
c o n d ic io n e s re s u lta
«>i = O e n x \ = 0 ; 0 = 0 + 0 + C 2
= o e n = 2 a \ 0 = + C t {2 a ) + C 2
vz = O e n x 2 = 2 a \ 0 => £ (2 a)3 - \ P a i l a ) 1 + C 3(2 n ) + C 4
o Z
d v t ( 2 a ) d v i i l a ) p , p
¿ r ; - 7 + c - - 1 <2")2 - 3P° ™+ c >
R c s o lv ie n d o .s e o b ti e n e
C , - C 2 = 0 C 3 = j P a 2 C 4 = - 2 P a i
A l s u s tit u ir C 3 y C4 e n la e c u a c ió n (4 ) re s u lta
P , 3 P a 2 10P a 2 2 P a 3
01 “ 6é¡ ^ ~ 2 ¡ n x * ~ ~eF
E l d e s p la z a m ie n to e n C s e d e t e r m i n a a l e s t a b l e c e r x 2 = 3a. S e tie n e
q u e
P a 3
v c = R esp.

336. 3 1 4 C a p i t u l o 8 D e f l e x i o n e s
PRO BLEM AS F U N D A M E N T A LE S
r a - 4 . D eterm ine la ecu ació n d e la cu rv a elástica p a ra la
viga em p lean do la coordenada x que e s válida p ara 0 < x < L.
E l es constante.
FR-7. D eterm ine la ecu ació n d e la cu rv a elástica p a ra la
viga em pleando la coordenada * que e s válida para 0 < x < /..
E l e s constante.
t
r a - 4
F8-5. D eterm ine la ecu ació n d e la cu rv a elástica p a ra la
viga em pleando la coordenada x que e s válida para 0 < x < L .
E l es constante.
r a - 8 . D eterm ine la ecu ació n d e la cu rv a elástica p a ra la
viga em pleando la coordenada x que es válida para 0 < x < L.
F.I es constante.
F 8 -6 . D eterm ine la ecu ació n d e la cu rv a elástica p a ra la
viga em pleando la coordenada .r que e s válida para 0 < x < L.
E l es constante.
r a - 8
F 8 -9 . D eterm ine la ecu ació n d e la cu rv a elástica p a ra la
viga em pleando la coordenada x que es válida para 0 < x < L.
F.I es constante.

337. 8 . 3 E l m é t o o o d e i n t e g r a c i ó n d o b l e 3 1 5
P R O B L E M A S
8- 1 . D e t e r m i n e l a s e c u a c i o n e s d e la c u r v a e l á s t i c a p a r a la
v ig a e m p l e a n d o l a s c o o r d e n a d a s x , y x 7. E s p e c i f i q u e l a p e n ­
d i e n t e e n A y l a d e f l e x i ó n m á x i m a . E l e s c o n s t a n t e .
8- 6 . D e t e r m i n e l a d e f le x ió n m á x im a e n t r e lo s s o p o r t e s A y B .
E l a c o n s ta n te . U t i l i c e e l m é t o d o d e in te g r a c ió n .
m . 1
P r o h . 8 - 1
8- 2 . l a b a r r a e s t á s o p o r t a d a p o r u n a r e s t r i c c i ó n d e r o d i l l o
e n & , q u e p e r m i t e e l d e s p l a z a m i e n t o v e r t i c a l p e r o r e s i s t e la
c a r g a a x i a l y e l m o m e n t o . S i l a b a r r a s e s o m e t e a la c a r g a
q u e s e m u e s t r a , d e t e r m i n e l a p e n d i e n t e e n A y l a d e f l e x i ó n
e n C E l e s c o n s t a n t e .
8 - 3 . D e t e r m i n e l a d e f l e x i ó n e n e l p u n t o B d e l a b a r r a d e l
p r o b l e m a 8 -2 .
L
___k
2 2
P r o b s . 8 - 2 7 8 - 3
8 - 7 . I > ít e r m i n e l a c u r v a e l á s t i c a p a r a l a v ig a s i m p l e m e n t e
a p o y a d a u s a n d o l a c o o r d e n a d a i , 0 < í < I . )2 . A d e m á s . d e ­
t e r m i n e l a p e n d i e n t e e n A y l a d e f l e x i ó n m á x i m a d e l a v ig a .
E l e s c o n s t a n t e .
u
P r o h . 8 - 7
• 8 - 4 . D e t e r m i n e la s e c u a c i o n e s d e l a c u r v a e l á s t i c a u s a n d o
la s c o o r d e n a d a s x , y x 7, e s p e c i f i q u e l a p e n d i e n t e y l a d e f l e ­
x ió n e n B . E l e s c o n s t a n t e .
8 - 5 . D e t e r m i n e l a s e c u a c i o n e s d e l a c u r v a e l á s t i c a u s a n d o
la s c o o r d e n a d a s X | y x3 y e s p e c i f i q u e l a p e n d i e n t e y l a d e f l e ­
x ió n e n e l punto B . F . I e s c o n s t a n t e .
• 8 - 8 . D e t e r m i n e l a s e c u a c i o n e s d e l a c u r v a e l á s t i c a e m ­
p l e a n d o l a s c o o r d e n a d a s x , y x*. y e s p e c i f i q u e l a p e n d i e n t e
e n C y e l d e s p l a z a m i e n t o e n B . E l e s c o n s t a n t e .
8 - 9 . D e t e r m i n e l a s e c u a c i o n e s d e l a c u r v a e l á s t i c a e m ­
p l e a n d o la s c o o r d e n a d a s x i y x * y e s p e c i f i q u e l a p e n d i e n t e
e n B y l a d e f l e x i ó n e n C . E l e s c o n s t a n t e .
u n i te
h x> -
P r o b s . 8 - 4 / 8 - 5 P r o h s . 8 - 8 Z 8 - 9

338. 8 .4 Teorem as del m o m e n to de área
L a s id e a s in ic ia le s p a r a lo s d o s te o r e m a s d e l m o m e n to d e á r e a f u e r o n
d e s a r r o lla d a s p o r O t t o M o h r y m á s t a r d e e s ta b le c id a s f o r m a lm e n te p o r
C h a r le s E . G r e e n e e n 1873. E s to s te o r e m a s p r o p o r c io n a n u n a té c n ic a se-
m ig rá fic a p a r a d e t e r m i n a r la p e n d ie n t e d e la c u r v a e lá s tic a y s u a l t e r a ­
c ió n d e b id o a la fle x ió n . R e s u lta n p a r t ic u l a r m e n t e v e n ta jo s o s c u a n d o se
u tiliz a n p a r a r e s o lv e r p r o b le m a s d e v ig as, e n e s p e c ia l la s s u j e ta s a u n a
s e r ie d e c a r g a s c o n c e n t r a d a s o q u e ti e n e n s e g m e n to s c o n d if e r e n t e s m o ­
m e n to s d e in e rc ia .
P a r a d e s a r r o l l a r lo s te o r e m a s , s e h a c e r e f e r e n c ia a l a v ig a d e la fig u ra
8 - 1 4 a. S i s e d ib u j a e l d ia g r a m a d e m o m e n to p a r a la v ig a y d e s p u é s s e d i ­
v id e e n tr e la rig id e z a la fle x ió n , £ 7 ,r e s u lta e l " d ia g r a m a d e M I E F q u e se
m u e s tr a e n la f ig u r a 8 -1 4 6 . C o n b a s e e n la e c u a c i ó n 8 -2 ,
A s í p u e d e v e rs e q u e e l c a m b io d O ai la p e n d ie n t e d e la s ta n g e n te s a c a d a
la d o d e l e le m e n to d x e s ig u a l a l á r e a c o n s o m b r e a d o c la r o b a jo e l d i a ­
g r a m a M I E L A l in te g r a r d e s d e e l p u n t o A h a s ta e l p u n t o B d e la c u rv a
e lá s tic a , fig u ra 8 - 1 4 c ,s e ti e n e
E s ta e c u a c i ó n e s la b a s e p a r a e l p r i m e r te o r e m a d e l m o m e n to d e á r e a .
T e o r e m a 1: E l c a m b io e n la p e n d ie n t e e n t r e d o s p u n to s c u a le s q u ie r a
d e la c u rv a e lá s tic a e s ig u a l a l á r e a d e l d ia g r a m a M I E I e n t r e e s o s d o s
p u n to s .
La n o ta c ió n 0B,A se c o n o c e c o m o e l á n g u lo d e la t a n g e n t e e n B m e d id o
c o n r e s p e c to a la t a n g e n t e e n / L A p a r t i r d e la c o m p r o b a c ió n d e b e r í a s e r
e v id e n te q u e e s te á n g u lo s e m id e en se n tid o an tih o ra rio d e s d e la t a n ­
g e n te A h a s ta la t a n g e n t e B . s i e l á r e a d e l d ia g r a m a M I E I e s p o s itiv a , fi­
g u ra 8 -1 4 c . D e m a n e r a in v e r s a ,s i e s t a á r e a e s n eg a tiva .o e s tá p o r d e b a jo
d e l e je x . e l á n g u lo 0Bia se m id e e n s e n t id o horario d e s d e la t a n g e n t e A
h a s ta l a t a n g e n t e B . A d e m á s , c o n b a s e e n la s d im e n s io n e s d e la e c u a c ió n
8 - 5 ,0K A s e m i d e e n ra d ia n e s .
F i g u r a 8 - 1 4

339. 8 . 4 Te o r e m a s d e i m o m e n t o d e Ar e a 3 1 7
E l s e g u n d o te o r e m a d e l m o m e n to d e á r e a s e b a s a e n la d e s v ia c ió n r e ­
la tiv a d e la s ta n g e n te s a la c u r v a e lá s tic a . E n la f ig u r a 8 - 15c s e m u e s tra
u n a v ista m u y e x a g e r a d a d e l a d e s v ia c ió n v e rtica l d t cfc las ta n g e n te s a
c a d a la d o d e l e le m e n to d if e r e n c ia l d x . E s ta d e s v ia c ió n s e m i d e a lo la rg o
d e u n a lín e a v e rtic a l q u e p a s a a tr a v é s d e l p u n t o A . C o m o s e s u p o n e q u e
la p e n d ie n t e d e la c u rv a e lá s tic a y s u d e f le x ió n s o n m u y p e q u e ñ a s , re s u lta
s a tis f a c to r io a p r o x im a r la lo n g itu d d e c a d a lín e a d e la t a n g e n t e m e d ia n te
* y e l a r c o d s ' p o r m e d io d e d t. S i s e u s a la f ó r m u la d e l a r c o c ir c u la r s =
0 r, d o n d e r tie n e u n a lo n g itu d * , s e p u e d e e s c r ib ir d t - x dO. E m p le a n d o
la e c u a c ió n 8 -2 . d O - ( M I E l ) d x , la d e f le x ió n v e r tic a l d e la t a n g e n t e e n A
c o n r e s p e c to a la ta n g e n te e n B p u e d e e n c o n tr a r s e p o r in te g ra c ió n , e n
c u y o c a s o
U , B
M
Ja T i
— d x (8-6)
* A ,B
= X
r m_
Ja El
— d x (8 - 7 )
--------------x------------------------d x
(*>
R e c u e r d e q u e a l e s t u d i a r la e s t á tic a s e e s ta b le c ió q u e e l c e n tr o id e d e u n
á r e a s e d e te r m i n a a p a r t i r dc x f d A = f x d A . P u e s to q u e /M / E ! d x
r e p r e s e n ta u n á r e a d e l d ia g r a m a M /E I , ta m b ié n e s p o s ib le e s c r ib ir
( b )
A q u í a: e s la d is ta n c ia d e s d e e l e je v e r tic a l q u e p a s a p o r A h a s ta e l c e n ­
tr o id e d e l á r e a c o m p r e n d id a e n t r e A y f ig u r a 8 -1 5 6 .
A h o r a p u e d e e n u n c ia r s e e l s e g u n d o te o r e m a d e l m o m e n to d e á r e a d e
la m a n e r a s ig u ie n te :
T e o r e m a 2 : L a d e s v ia c ió n v e r tic a l d e la t a n g e n t e e n u n p u n t o ( A ) d e
la c u r v a e lá s tic a c o n r e s p e c to a la t a n g e n t e e x te n d id a d e s d e o t r o
p u n to ( B ) e s ig u a l a l “ m o m e n to ” d e l á r e a b a j o e l d ia g r a m a M I E l
e n tr e lo s d o s p u n to s (A y B \ E s te m o m e n to s e c a lc u la r e s p e c to d e l
p u n to A (e l p u n to s o b r e la c u rv a e lá s tic a ), d o n d e d e b e d e te r m in a r s e
la d e s v ia c ió n t A¡R.
C u a n d o se c a lc u la e l m o m e n to d e u n á rea p o s itiv a M I E l d e s d e A h a s ta
B , c o m o e n la fig u ra 8 -1 5 6 ,é s t e in d ic a q u e la t a n g e n t e e n e l p u n t o A e stá
p o r e n c im a d e la t a n g e n t e a la c u rv a e x te n d i d a d e s d e e l p u n t o B , fig u ra
8 -1 5 c. D e l m is m o m o d o , la s á r e a s n e g a tiv a s M I E I in d ic a n q u e la ta n g e n te
e n A e s tá p o r d e b a jo cfc l a t a n g e n t e e x te n d i d a d e s d e B . O b s e r v e q u e , e n
g e n e r a l . ia/b n o e s ig u a l a t BiA , q u e s e m u e s t r a e n la f ig u r a 8 -1 5 d . E n
e s p e c ífic o , e l m o m e n to d e l á r e a b a jo e l d ia g r a m a M I E I e n tr e A y B se
c a lc u la r e s p e c to d e l p u n to A p a r a d e te r m in a r t^ , f i g u r a 8 -1 5 6 ,y s e calc u la
re s p e c to a l p u n t o B p a ra d e t e r m i n a r tBIA.
E s im p o r ta n te te n e r e n c u e n ta q u e lo s te o r e m a s d e l m o m e n to d e á re a
s ó lo p u e d e n u s a r s e p a r a d e te r m i n a r lo s á n g u lo s o la s d e s v ia c io n e s e n tr e
las d o s t a n g e n t e s d e la c u r v a e lá s tic a d e la v ig a . P o r lo g e n e r a l n o p r o p o r ­
c io n a n u n a s o lu c ió n d ir e c ta p a r a la p e n d ie n t e o e l d e s p la z a m ie n to e n u n
p u n to d e la v ig a . E s ta s in c ó g n ita s d e b e n r e la c io n a r s e p r i m e r o c o n lo s á n ­
g u lo s o la s d e s v ia c io n e s v e rtic a le s d e la s ta n g e n te s s o b r e lo s p u n to s d e la
c u rv a e lá s tic a . H a b itu a lm e n te , las ta n g e n te s e n lo s s o p o r te s s e d ib u ja n
c o n e s t a in te n c ió n , p u e s t o q u e e s to s p u n to s n o e s t á n s o m e tid o s a d e s p l a ­
z a m ie n to s y /o ti e n e n p e n d ie n t e c e ro . E n lo s p r o b l e m a s d e e je m p lo se
p r o p o r c io n a n c a s o s e s p e c ífic o s p a r a e l e s ta b le c im ie n to d e e s t a s re la c io ­
n e s g e o m é tric a s .
c u r v a c lá s tic a
(c)
c u r v a e lá s tic a
(d)
Figura 8-15

340. 3 1 8 C a p i t u l o 8 D e f l e x i o n e s
P ro c e d im ie n to d e a n á lis is
E l s i g u ie n t e p r o c e d i m i e n to p r o p o r c io n a u n m é to d o q u e p u e d e u s a r s e p a r a d e t e r m i n a r el
d e s p la z a m ie n to y la p e n d ie n t e e n u n p u n to d e la c u rv a e lá s tic a d e u n a v ig a m e d ia n te lo s
te o r e m a s d e l m o m e n to d e á r e a .
D ia g r a m a M /E I
• D e te r m in e la s r e a c c io n e s e n lo s s o p o r t e s y d ib u je e l d ia g r a m a M I E l d e la v ig a .
• Si la v ig a e s t á c a r g a d a c o n f u e r / a s c o n c e n tr a d a s , e l d ia g r a m a M I E l c o n s is tirá e n u n a
s e r ie d e s e g m e n to s d e lin e a r e c ta , p o r lo q u e la s á r e a s y m o m e n to s r e q u e r id o s p a r a
a p lic a r lo s te o r e m a s d e l m o m e n to d e á r e a p o d r á n c a lc u la rs e c o n r e la tiv a fa c ilid a d .
• Si l a c a r g a c o n s is te e n u n a se r ie d e fu e r z a s c o n c e n tr a d a s y c a rg a s d is tr ib u id a s , p u e d e
r e s u lta r m á s s e n c illo c a lc u la r la s á r e a s y s u s m o m e n to s r e q u e r id o s a l d ib u j a r e l d i a ­
g r a m a M I E l p o r p a r t e s , e m p l e a n d o e l m é to d o d e s u p e r p o s ic ió n c o m o s e e s tu d ió e n la
se c c ió n 4 -5 . E n c u a lq u ie r c a s o , e l d ia g r a m a M I E l c o n s ta r á d e c u r v a s p a r a b ó lic a s , o
q u iz á d e o r d e n s u p e r io r , p o r lo q u e p a r a lo c a liz a r e l á r e a y e l c e n tr o id e b a jo c a d a
c u rv a s e s u g ie r e c o n s u lta r la ta b l a q u e a p a r e c e e n e l in t e r i o r d e la c o n t r a p o r t a d a d e
e s te lib ro .
C u rv a e lá s tic a
• D ib u je u n a v is ta e x a g e r a d a d e la c u rv a e lá s tic a d e la v ig a . R e c u e r d e q u e lo s p u n to s d e
p e n d ie n te c e r o o c u r r e n e n lo s s o p o r te s fijo s y q u e lo s p u n to s d e d e s p la z a m ie n to c e r o
se p r o d u c e n e n lo s s o p o r t e s fijos, a r tic u la d o s y d e ro d illo .
• Si e s d ifíc il d ib u j a r la fo r m a g e n e r a l d e l a c u r v a e lá s tic a , u tilic e e l d ia g r a m a d e m o ­
m e n to ( o M / E I ) . O b s e r v e q u e c u a n d o la v ig a e s t á s o m e ti d a a u n m á m e n lo p o s itiv o
é s ta s e d o b la có n c a v a h a d a a rr ib a , e n t a n t o q u e u n m o m e n to n e g a tiv o c u rv a la v ig a
c ó n c a v a h a c ia a b a jo . P o r o t r a p a r t e , u n p u n t o d e in fle x ió n o c a m b io e n la c u r v a tu r a
o c u r r e c u a n d o e l m o m e n to e n la v ig a ( o M I E l ) e s ig u al a c e ro .
• E l d e s p la z a m ie n to y la p e n d ie n t e a d e t e r m i n a r d e b e n in d ic a rs e e n la c u rv a . C o m o lo s
te o r e m a s d e l m o m e n to d e á r e a s ó l o se a p lic a n e n t r e d o s ta n g e n te s , d e b e p r e s ta r s e
a te n c ió n a q u e la s ta n g e n te s e s t é n c o n s tr u id a s d e m o d o q u e lo s á n g u lo s o la s d e s v ia -
d o n e s e n t r e e lla s c o n d u z c a n a la s o lu c ió n d e l p r o b le m a . E n e s te s e n t id o , d e b e n c o n s i­
d e ra r se la s ta n g e n te s e n lo s p u n to s c o n p e n d ie n te y d e s p la z a m ie n to d e s c o n o d d o s , a s í
c o m o e n lo s s o p o r te s , y a q u e g e n e r a lm e n te la v ig a ti e n e d e s p la z a m ie n to c e r o y /o p e n ­
d ie n te c e r o e n lo s s o p o r te s .
T e o r e m a s d e l m o m e n t o d e á r e a
• A p liq u e e l te o r e m a i p a r a d e t e r m i n a r e l á n g u lo e n t r e d o s ta n g e n te s , y e l te o r e m a 2
p a r a e n c o n t r a r la s d e s v i a d o n e s v e r tic a le s e n t r e la s ta n g e n te s .
• lé n g a e n c u e n t a q u e , p o r lo g e n e r a l , e l te o r e m a 2 n o r e s u lta r á e n e l d e s p la z a m ie n to d e
u n p u n t o s o b r e la c u rv a e lá s tic a . C u a n d o s e a p lic a c o r r e c ta m e n te , s ó l o d a r á la d is ta n ­
d a v e rtic a l o la d e s v ia c ió n d e u n a t a n g e n t e e n e l p u n t o A s o b r e la c u rv a e lá s tic a c o n
re s p e c to a la t a n g e n t e e n 8 .
• D e s p u é s d e a p lic a r e l te o r e m a 1 o e l te o r e m a 2 , e l s ig n o a lg e b ra ic o d e la re s p u e s ta p u e d e
v e rific a rse a p a r tir d e l á n g u lo o la d e s v ia d ó n s e g ú n se in d iq u e e n la c u rv a elástica.

341. 8 . 4 Te o r e m a s d e i m o m e n t o d e Ar e a 3 1 9
EJEMPLO 8.6
S O L U C IÓ N
D ia g ra m a M/EI. E s te d ia g r a m a s e m u e s tr a e n la fig u ra 8-16¿>. R e ­
s u lta m ás s e n c illo r e s o lv e r e l p r o b le m a e n té r m in o s d e E l y s u s titu ir
b s d a t o s n u m é r ic o s c o m o ú ltim o p a so .
C u rv a e lá s tic a . L a c a r g a d e 2 k h a c e q u e la v ig a s e d e f o r m e c o m o se
m u e s tra e n la fig u ra 8 -1 6c. (1 .a v ig a s e v u e lv e c ó n c a v a h a c ia a b a jo ,
p u e s to q u e M / E I e s n e g a tiv o .) A q u í la t a n g e n t e e n A (e l s o p o r te )
s ie m p r e e s h o r i z o n ta l.T a m b ié n s e in d ic a n la s ta n g e n te s e n B y C . S e
d e b e e n c o n t r a r 0 R y 0 C. P b r la c o n s tru c c ió n , e l á n g u lo e n tr e t a n A y
tan f l .e s d e c i r 0 n A ,e s e q u iv a le n te a 0R.
Ofí =
A d e m á s .
e c = e c / A
T e o re m a d e l m o m e n to d e á re a . A p lic a n d o e l te o r e m a 1. 0K A e s
ig u al a l á r e a b a jo e l d ia g r a m a M / E I e n tr e lo s p u n to s A y f l . e s d e c ir .
( 3 0 k*pieV . x 1 / 60 k • pie 3ük-pie\
- QB/ A - - ( J ( 1 5 p ie s ) - - y —
-----------------— j
6 7 5 k - p i e 2
D e t e r m i n e l a p e n d i e n t e e n lo s p u n t o s B y C d e l a v i g a q u e s e m u e s t r a
e n l a f i g u r a 8- I6 0. C o n s i d e r e q u e E = 2 9 ( l ü 3) k s i y q u e / = 6 0 0 p u l g 4.
(15 p ie s )
E l
A l s u s titu ir lo s d a t o s n u m é r ic o s d e E e I , y c o n v e r tir d e p ie s a p u lg a ­
d a s, s e ti e n e
=
- 6 7 5 k • p i e 2( 144 p u lg 2/ ! p i e 2)
a 2 9 (1 0 3) k /p u l g 2(6 0 0 p u lg 4)
= - 0 .0 0 5 5 9 r a d R esp.
E l s ig n o n e g a tiv o in d ic a q u e e l á n g u lo s e m id e e n s e n t id o h o ra r io
d e s d e A . fig u ra 8 - 16c.
D e m a n e r a s im ila r, e l á r e a b a jo e l d ia g r a m a M / E I e n t r e lo s p u n to s
A y C e s ig u a l a 0 QA. E n to n c e s .
\ ( 6 0 k - p i e \ _ . 4 9 0 0 k - p i e 2
»c = *c/a = 2 [—E ¡ ~ J {30pies) T i
S u s titu y e n d o lo s v a lo r e s n u m é r ic o s d e E l , se o b ti e n e
- 9 0 0 k • p ie 2( 144 p u lg 2/ p i e 7)
"C “ 2 9 ( lU ') k / p u lg ¡ (6 ü 0 p u lg ‘ )
= - 0 .0 0 7 4 5 r a d R e sp .
2 k
I
t
l 5 p i e s
--------\ B
----------K) ni»3 ) p i
(a)
Í7
tan.-t

342. 3 2 0 C a p i t u l o 8 D e f l e x i o n e s
E J E M P L O 8.7
¡ a b - 8 ( IíA) m m *
\,BC.
4 m J .
__
4(1 0 * )m m 4
- 3 m
i
(a)
M
F J ñ
D e te r m in e la d e f le x ió n e n lo s p u n to s B y C de la v ig a q u e s e m u e s tr a
e n la fig u ra 8 - 17a. L o s v a lo r e s p a r a e l m o m e n to d e in e r c ia d e c a d a
s e g m e n t ó s e in d ic a n e n la fig u ra . C o n s id e r e q u e E = 2 0 0 G P a .
5 0 0 N-m
S O L U C IÓ N
D i a g r a m a M /E I . ft>r in s p e c c ió n , e l d ia g r a m a d e m o m e n to p a r a la
viga e s u n r e c tá n g u lo . A q u í s e c o n s tr u ir á e l d ia g r a m a M I E I re la tiv o a
fflc . te n i e n d o e n c u e n ta q u e I AB m 2I BC, fig u ra 8 -1 7 6 . C o m o ú ltim o
p a so , s e s u s titu ir á n lo s d a t o s n u m é r ic o s p a r a E I BC.
C u r v a e l á s t i c a . E l m o m e n to d e p a r e n C h a c e q u e la v ig a s e d e ­
fo rm e , c o m o s e m u e s tr a e n la fig u ra 8 -1 7 c . S e in d ic a n la s ta n g e n te s e n
A (e l s o p o r t e ) . B y C . S e d e b e e n c o n tr a r A fl y A c . E s to s d e s p la z a m ie n ­
to s p u e d e n re la c io n a r s e d ir e c ta m e n te c o n la s d e s v ia c io n e s e n tr e la s
ta n g e n te s , d e m a n e r a q u e p o r c o n s tr u c c ió n A fl e s ig u a l a la d e s v ia c ió n
d e t a n B e n r e la c ió n c o n t a n A ; e s d e c ir .
250
ÉÍ7r
m
FImc
| - 2 —
B
A d e m á s .
Ib¡a
'C t A
(b)
T e o r e m a d e l m o m e n t o d e á r e a . A p lic a n d o e l te o r e m a 2 . tB/A e s
ig u a l a l m o m e n to d e l á r e a b a jo e l d ia g r a m a M / E I B í e n t r e A y B c a lc u ­
la d o c o n r e s p e c to a l p u n t o B , y a q u e é s t e e s e l p u n t o d o n d e d e b e d e ­
te r m in a r s e la d e s v ia c ió n ta n g e n c ia l. ft> r lo ta n t o , a p a r t i r d e la fig u ra
8 -1 7 6 ,
A » = t B/ A
2 5 0 N - m
E I K
( 4 m ) (2 m )
20 0 0 N • m ?
E l
BC
c A l s u s titu ir lo s d a to s n u m é r ic o s r e s u lta
A B =
20 0 0 N - m
(2 0 0 ( 109) N / m 2l(4 (1 0 6) mm4(l m 4/ ( 1 0 3) 4 m m 4) |
0.0025 m = Z 5 m m R esp.
D e l m is m o m o d o , p a r a ¡c ía se d e b e c a lc u la r e l m o m e n to d e to d o e l
d ia g r a m a M I E l g e d e s d e A h a s ta C re s p e c to d e l p u n to C. S e ti e n e
Ac = Ic/a
2 5 0 N - m
E l BC
7 2 5 0 N • m 3
( 4 m )(5m) +
500 N-m
E l
B C
(3 m)(1 .5 m )
7 2 5 0 N • m 3
E Ibc
= 0 .0 0 9 0 6 m
[200{109) N / n f l K l O ^ J Í l O " 12) m 4j
9 .0 6 m m R esp.
D a d o q u e a m b a s r e s p u e s ta s s o n p o s itiv a s , in d ic a n q u e lo s p u n to s B
y C se e n c u e n t r a n p o r e n c im a d e la t a n g e n t e e n A .

343. 8 . 4 Te o r e m a s d e i m o m e n t o d e Ar e a 3 2 1
EJEMPLO 8.8
D e t e r m i n e l a p e n d i e n t e e n e l p u n t o C d e la v i g a q u e s e m u e s t r a e n la
f i g u r a 8 - 1 8 a . £ = 2 0 0 G P a .l = 6 ( 1 0)6 m m '.
F i g u r a 8 - 1 8
S O L U C IÓ N
D ia g ra m a M /E f. F ig u r a 8-18¿>.
C u r v a e l á s t i c a . C o m o la c a rg a s e a p lic a a la v ig a e n f o r m a s im é ­
tric a . la c u rv a e lá s tic a e s s i m é tr ic a , c o m o s e m u e s tr a e n la fig u ra 8 -1 8 c.
Se d e b e e n c o n t r a r 0C. E s to p u e d e h a c e r s e fá c ilm e n te s i s e t i e n e e n
c u e n ta q u e la t a n g e n t e e n D e s h o r iz o n ta l y e n to n c e s , p o r c o n s tr u c ­
c ió n . e l á n g u lo 0D¡C e n tr e t a n C y t a n D es ig u a l a 0 C\ e s d e c ir ,
6c = Od/c
T e o re m a d e l m o m e n to d e á re a . C o n b a s e e n e l te o r e m a 1 ,0¡¡ic e s
ig u al a l á r e a s o m b r e a d a b a jo e l d ia g r a m a M I E I e n tr e lo s p u n to s C y D .
Se ti e n e
/3 0 k N - m \ , 1 /6 0 k N • m 3 0 k N -m \
c = = 3 m\ T i ) + 5<3 I i ~ )
135 kN • m 2
E l
R>r lo ta n to .
135 kN -m 2
° C ~ (2 0 0 ( 106) k N / m 2| [ 6 ( 106) ( 1 0 " 12) m 4) ” 0,112 r a d R e s p

344. 3 2 2 C a p i t u l o 8 D e f l e x i o n e s
EJEMPLO 8.9
8 k
M
E l
S O L U C IÓ N
D ia g ra m a M / E I . F ig u ra 8 -1 9 6 .
C u rv a e lá s tic a . L a c u rv a e lá s tic a s e m u e s tr a e n la fig u ra 8 -1 9 c . S e
d e b e e n c o n t r a r 0C\ p a r a e l l o , s e e s t a b le c e n la s t a n g e n t e s e n A , B (lo s
s o p o r t e s ) y C ,ta m b ié n o b s e r v e q u e Ocia e s e l á n g u lo e n t r e la s ta n g e n -
t e s e n A y C .A d e m á s .e l á n g u lo «¿de la fig u ra 8 -1 9 c p u e d e e n c o n tr a r s e
u s a n d o <t> = tB/AI L Afí. E s ta e c u a c i ó n e s v á lid a p o r q u e lB/A e s r e a lm e n te
m u y p e q u e ñ o , y p u e d e a p r o x im a r s e m e d ia n te la lo n g itu d d e u n a r c o
c ir c u la r d e f in id o p o r u n r a d io d e L AB - 2 4 p i e s y e l a lc a n c e d e <t>. ( R e ­
c u e rd e q u e s ■ Or.) C o n b a s e e n la g e o m e tr ía d e la fig u ra 8 -1 9 c . se
tie n e
'v a
2 4
D e t e r m i n e l a p e n d i e n t e e n e l p u n t o C d e l a v i g a q u e s e m u e s t r a e n l a
f i g u r a 8 - 1 9a. E = 2 9 ( 1 0 3) k s i , / = 6 0 0 p u l g 4.
e c = <b - o,
C I A ’ C /A d )
T e o re m a s d e l m o m e n to d e á re a . U s a n d o e l te o r e m a 1, 0OA e s
e q u iv a l e n te a l á r e a b a j o e l d i a g r a m a M / E I e n t r e lo s p u n t o s A y C ;
e s d e c ir ,
3 6 k-pie2
E l
Qc/a
1 / 1 2
- (6 p ie s )
k / p i e \
E l )
A l a p lic a r e l te o r e m a 2 , i BIA e s e q u iv a l e n te a l m o m e n to d e l á r e a
b a jo e l d ia g r a m a M / E I e n tr e B y A r e s p e c to a l p u n t o B , p u e s t o q u e
é s t e e s e l punto d o n d e d e b e d e te r m i n a r s e la d e s r í a d ó n ta n g e n c ia l. Se
tie n e
tB / A 6 p ie s + | ( 1 8 p ie s ) J [ | ( 1 8 p i e s ) ( - ) ]
+ - ( 6 p ie s )
4 3 2 0 k - pie-3
E l
S u s titu y e n d o e s t o s r e s u lta d o s e n la e c u a c ió n 1. re s u lta
4 3 2 0 k • p i e 3 3 6 k • p ie 2 144 k • p ie 2
dc =
(2 4 p ie s ) E l
d e m o d o q u e
E l
144 k • p ie '
E l
" 2 9 (1 0 ’ ) k /p u l g 2(1 4 4 p u lg 2/ p i e 2) 6 0 0 p u lg 4( l p i e 4/ ( 1 2 ) 4 p u lg 4)
= 0 .0 0 1 1 9 r a d R esp.

345. 8 . 4 Te o r e m a s d e i m o m e n t o d e Ar e a 3 2 3
EJEMPLO 8.10
D e t e r m i n e l a d e f l e x i ó n e n e l p u n t o C d e l a v i g a q u e s e m u e s t r a e n la
f i g u r a 8-2 0a . C o n s i d e r e q u e E = 2 9 ( 1 0 3) k s i , / = 2 1 p u l g 4.
u
T í
S O L U C IÓ N
D ia g ra m a M/EI. F ig u ra 8 -2 0 6 .
C u rv a e lá s tic a . A q u í d e b e m o s e n c o n t r a r A c , fig u ra 8 -2 0 c . É s ta n o
e s n e c e s a r ia m e n te la d e f le x ió n m á x im a d e l a v ig a , p u e s to q u e la c a r g a ,
y p o r lo t a n t o la c u rv a e lá s tic a , n o s o n sim é tric a s . E n la fig u ra 8 -2 0 c
ta m b ié n s e in d ic a n la s ta n g e n te s e n A , B (lo s s o p o r te s ) y C . S i s e d e ­
te r m in a /x ís , e n to n c e s A ' p u e d e e n c o n tr a r s e p o r tr iá n g u lo s s e m e ja n ­
te s, e s d e c ir , A '/1 2 = tAIBQ A o b i e n A ' = p a r t i r d e la c o n s t r u c ­
c ió n e n la f ig u r a 8 -2 0 c se tie n e q u e
'AJfí
~ ¡C /R (1)
T e o re m a d e l m o m e n to d e á re a . S e a p lic a rá e l te o r e m a 2 p a r a d e ­
t e r m i n a r tAiB y Io b - A q u í ¡ajb e s e l m o m e n to d e l d ia g r a m a M / E I e n tr e
A y B r e s p e c to a l p u n t o A ,
Ia/b ^ ( 2 4 p ie s ) 2 (2 4 p ie s )-Bf)]
4 8 0 k • p ie 3
E l
y I c i b es e l m o m e n to d e l d ia g r a m a M/EI e n tr e C y B r e s p e c to d e C.
i ( 1 2 p i e s ) ] [ i ( 1 2 p i e s ) ( ^ ! ^ ) ]l C /B
6 0 k-pie3
E l
S u s titu y e n d o e s t o s re s u lta d o s e n la e c u a c ió n (1 ) s e o b ti e n e
1 ( 4 8 0 k • p i e 3 \ 6 0 k • p ie 3 180 k • p ie 3
K:
El El El
Si se tr a b a ja e n u n id a d e s d e k ip s y p u lg a d a s , r e s u lta
180 k-pie3( 1728 p u lg 3/ p i e 3)
A C =
» ( 1 0 5) k / p u l g ^ l p u l g 4)
0.511 p u lg R esp.

346. 3 2 4 C a p i t u l o 8 D e f l e x i o n e s
E J E M P L O 8.11
6 k N / m
2 4 k N
R .
E l
S O L U C IÓ N
D ia g ra m a M /E I. C o m o s e m u e s tra e n la f ig u r a 8-21 ¿>,este d ia g r a m a
s e c o m p o n e d e u n tr iá n g u lo y u n s e g m e n to p a ra b ó lic o .
C u rv a e lá s tic a . L a c a r g a h a c e q u e la v ig a s e d e f o r m e , c o m o se
m u e s tr a e n la f ig u r a 8 2 1 c. S e d e b e e n c o n t r a r Ac - M e d ia n te la c o n s ­
tr u c c ió n d e Lis ta n g e n te s e n A , B (lo s s o p o r t e s ) y C .s e v e q u e A c =
t CIA - A '. S in e m b a r g o . A ' p u e d e r e la c io n a r s e c o n lBiÁ p o r tr iá n g u lo s
s e m e ja n t e s .e s d e c ir . A '/1 6 = tm A!8 o b ie n A ' = 21¡,/A. P o r lo ta n to .
D e t e r m i n e l a d e f l e x i ó n e n e l p u n t o C d e l a v i g a q u e s e m u e s t r a e n l a
f i g u r a 8 - 2 1 o . E = 2 0 0 G P a . I = 2 5 0 ( 1 0 6) m m 4.
(b)
- ¡ C / A ~ 2 * B /A (1)
T e o re m a d e l m o m e n to d e á re a . S e a p lic a r á e l te o r e m a 2 p a r a d e ­
t e r m i n a r /c ía y Ir ía• S i s e u s a l a ta b la d e la c o n t r a p o r t a d a in t e r i o r d e l
lib ro p a r a e l s e g m e n to p a r a b ó lic o y s e c o n s i d e r a e l m o m e n to d e l d i a ­
g r a m a M I E l e n tr e A y C re s p e c to d e l p u n t o C .s e tie n e
ÍCM. g , s m) ][i( 8m)p kN
[1<8
+ |-( 8 m ) + 8 m li­
li 264 kN • m3
- ) }
E l
E l m o m e n to d e l d ia g r a m a M I E l e n tr e A y B r e s p e c to d e l p u n t o B e s
192kN -m \l 2 0 4 8 kN-m3
Ib/a -
1,« J 192kN -m \l
5(8m)j[-(8m\
---17“ )\ E l
¿ P o r q u é e s t o s té r m in o s s o n n e g a tiv o s ? A l s u s titu ir lo s re s u lta d o s e n
la e c u a c ió n ( 1 ) s e o b ti e n e
11 2 6 4 k N • m 3 J 2048kN-m3‘
¿ c
-----------------Y , 21 -
71 6 8 kN-m3
E l
( 2 0 4 8 k N • m 3\
\ E l )
ft>r lo ta n t o .
Ac
- 7 1 6 8 kN-m3
|2 0 0 ( 106) k N / m 2I 2 5 0 ( 106) ( 1 0 " '2) m 4]
= - 0 .1 4 3 m R esp.

347. 8 . 4 Te o r e m a s d e i m o m e n t o d e Ar e a 3 2 5
D e te r m in e la p e n d ie n t e e n e l r o d illo B d e l a v ig a c o n d o b l e s a lie n te
q u e s e m u e s tr a e n la fig u ra 8 -2 2 a . C o n s id e r e q u e E = 200 G P a , / = 18
(106) m m \
S O L U C IÓ N
D ia g ra m a M / E f . La e la b o r a c ió n d e l d ia g r a m a M I E I p u e d e s im p lifi­
c a rs e a l d ib u ja r lo p o r p a r te s y c o n s i d e r a r lo s d ia g r a m a s M I E I d e la s
tr e s c a rg a s , d o n d e c a d a u n a a c tú a s o b r e u n a v ig a e n v o la d i /o fija e n D ,
fig u ra 8 .2 2b . ( L a c a rg a d e 1 0 k N n o s e to m a e n c u e n ta d a d o q u e n o
p ro d u c e n in g ú n m o m e n to e n t o r n o a D ).
C u rv a e lá s tic a . Si s e d ib u ja n ta n g e n te s e n R y C , fig u ra 8 -2 2 c . la
p e n d ie n t e e n B p u e d e d e te r m i n a r s e a l e n c o n t r a r tOB,y p a r a lo s á n g u ­
los p e q u e ñ o s .
*c í b
2 m
0 )
T e o re m a d e l m o m e n to d e á re a . P a r a d e t e r m i n a r í C i b se a p lic a e l
te o r e m a d e l m o m e n to d e á r e a , a fin d e e n c o n t r a r e l m o m e n to d e l d i a ­
g r a m a M I E I e n t r e B y C r e s p e c t o d e l p u n t o C . E s to s ó l o in v o lu c r a
al á r e a s o m b r e a d a b a jo d o s d e lo s d ia g r a m a s d e la fig u ra 8 -2 2b . E n ­
to n c e s.
'c/b = (1 m )
/ - 3 0 k N -m Y | . ^ 2 m \ f l V lO k N -n A l
5 3 .3 3 kN -m 3
E l
S u s titu y e n d o e n l a e c u a c ió n ( 1 ) ,
5 3 3 3 k N • m 3
( 2 m )|2 0 0 { l(/* ) k N /m 3J[1 8 (1 0 6)( 1 0 “ 12) m4J
0.00741 r a d Resp.
t a n B
(c)
F i g u r a 8 - 2 2
E l
M
E l
U
É l
( a )
- 3 0
10
F.l
20
É l
I
1 0
É l
■
<b)

348. Ca p i t u l o 8 D e f l e x i o n e s
8 .5 M é to d o de la vig a conjugada
H . M ü lle r- B r e s la u d e s a r r o lló e l m é t o d o d e la v ig a c o n ju g a d a e n 1865. E n
e s e n c ia , r e q u i e r e la m ism a c a n ti d a d d e c á lc u lo s q u e lo s te o r e m a s d e m o ­
m e n t o d e á r e a p a r a d e te r m i n a r la p e n d ie n t e o la d e f le x ió n d e u n a viga;
s in e m b a r g o , e s t e m é to d o s e b a s a s ó l o e n lo s p rin c ip io s d e la e s t á tic a y.
p o r lo t a n t o .s u a p lic a c ió n r e s u lta r á m ás fa m ilia r.
I-a b a s e p a r a e l m é to d o p r o v i e n e d e la s im ilitu d d e las e c u a c io n e s 4-1 y
4 -2 c o n la s e c u a c io n e s 8-2 y 8 -4 . P a r a d e m o s t r a r e s t a s e m e ja n z a , la s e c u a ­
c io n e s p u e d e n e s c r ib ir s e d e la s ig u ie n te m a n e r a :
d 7M
d 2v _ M
~ d ¿ ~ T i
d v
d x W
d e _ A/
d x ~ E l
O al in t e g r a r
a.
viga real
viga conjugada
f i g u r a 8 - 2 3
/ w d x
m
d x
M = / [ / w d x I d x
I t
-TT 1 d x I d x
/[/(!>
A q u í la f u e r z a c o r ta n te V s e c o m p a r a c o n la p e n d ie n te e l m o m e n to M
s e c o m p a r a c o n e l d e s p la z a m ie n to v ,y la carga e x te r n a w se c o m p a r a c o n
e l d ia g r a m a M I E I . P a r a a p lic a r e s ta c o m p a r a c ió n a h o r a s e c o n s id e r a r á ,
fig u ra 8 -2 3 , u n a v ig a c o n la m ism a lo n g itu d q u e l a v ig a r e a l , p e r o a q u í se
d e n o m i n a r á c o m o la “ v ig a c o n ju g a d a " , la c u a l s e “ c a r g a " c o n e l d ia g r a m a
M I E I o b te n i d o d e la c a r g a w s o b r e la v ig a r e a l. A p a r t i r d e la s c o m p a r a ­
c io n e s a n te r io r e s s e p u e d e n e n u n c ia r d o s t e o r e m a s r e la c io n a d o s c o n la
viga c o n ju g a d a , a s a b e r .
T e o r e m a 1 : I-a p e n d ie n t e e n u n p u n t o d e la v ig a re a l e s n u m é r ic a ­
m e n t e ig u a l a la fiie rz a c o r l a n te e n e l p u n t o c o r r e s p o n d ie n t e d e la
viga c o n ju g a d a .
T e o r e m a 2 : E l d e s p la z a m ie n to d e u n p u n to e n la v ig a re a l e s n u m é r i­
c a m e n te ig u al a l m o m e n to e n e l p u n t o c o r r e s p o n d ie n t e d e la viga
c o n ju g a d a .
Soportes de la viga conjugada. A l d i b u j a r la v ig a c o n ju g a d a
e s im p o r ta n te q u e la f u e r z a c o r t a n te y e l m o m e n to d e s a r r o lla d o s e n su s
s o p o r te s t o m e n e n c u e n ta la p e n d ie n t e y e l d e s p la z a m ie n to c o r r e s p o n ­
d ie n te s d e la v ig a r e a l e n s u s s o p o r te s , lo c u a l e s u n a c o n s e c u e n c ia d e lo s
te o r e m a s 1 y 2 . P o r e je m p lo , c o m o s e m u e s tr a e n la ta b l a 8.2, u n s o p o r te

349. 8 . 5 M É T O D O D E L A V I G A C O N J U G A D A 3 2 7
d e p a s a d o r o r o d illo e n e l e x tr e m o d e la v ig a r e a l p r o p o r c io n a u n d e s p la ­
z a m ie n to c e r o , p e r o la v ig a ti e n e u n a p e n d ie n t e d is ti n ta d e c e r o . P o r
c o n s ig u ie n te , a p a r t i r d e lo s te o r e m a s I y 2 , la v ig a c o n ju g a d a d e b e e s t a r
s o p o r ta d a p o r u n p a s a d o r o u n ro d illo , d a d o q u e e s t e s o p o r te ti e n e u n
m o m e n t o c e r o p e r o ti e n e u n a f u e r / a c o r t a n te o u n a r e a c c ió n e n e l e x ­
tr e m o . C u a n d o la v ig a re a l e s t á fijamente a p o y a d a ( 3 ) , t a n t o la p e n ­
d ie n te c o m o e l d e s p la z a m ie n to e n e l s o p o r te s o n ig u a le s a c e r o . A q u í la
viga c o n ju g a d a ti e n e u n e x tr e m o lib re , y a q u e e n e s t e e x tr e m o h a y u n a
fu e rz a c o r t a n te c e r o y u n m o m e n to c e r o . E n la t a b l a s e e n u m e r a n lo s s o ­
p o r te s c o r r e s p o n d ie n te s d e las v ig a s re a l y c o n ju g a d a e n o tr o s c a s o s , y e n
la fig u ra 8 -2 4 se m u e s tr a n e je m p lo s d e v ig a s r e a l e s y c o n ju g a d a s . O b ­
s e r v e q u e . c o m o r e g la , a l p a s a r p o r a l t o la f u e r z a a x ia l, la s v ig a s r e a le s
e s t á tic a m e n te d e te r m i n a d a s ti e n e n v ig a s c o n ju g a d a s e s t á tic a m e n te d e ­
te r m in a d a s ; y la s v ig a s r e a l e s e s t á ti c a m e n t e in d e te r m in a d a s , c o m o e n e l
ú ltim o c a s o d e la f ig u r a 8 -2 4 , se c o n v ie r te n e n v ig a s c o n ju g a d a s i n e s ta ­
b les. A u n q u e e s t o o c u r r a , la c a r g a M I E l p r o p o r c io n a r á e l " e q u i li b r io " n e ­
c e s a r io p a r a m a n t e n e r la e s t a b ilid a d d e l a v ig a c o n ju g a d a .
T A B LA 8 - 2
1) «
A - 0
V i g a r e a l
p a s a d o r
V i g a c o n j u g a d a
- f i =
p a s a d o r
2) e
A - 0
3 )
r o d illo
f ijo
V
M = 0
V - 0
M = 0
r o d i l l a
lib re
4 )
5 )
6 )
A - 0
lib r e
p a s a d o r i n l e m o
4 = 0 ro d illoinlemo
V
Ai
V
A f = 0
V
A i - 0
fijo
b is a g r a
b is a g r a
b is a g r a
V
M
r o d i l l o i n t e r n o

350. 3 2 8
8
Ca p i t u l o 8 D e f l e x i o n e s
v ig a r e a l v ig a c o n ju g a d a
Figura 8-24
P ro c e d im ie n to d e a n á lis is
E l s ig u ie n te p r o c e d im ie n to p r o p o r c io n a u n m é to d o q u e p u e d e e m p le a r s e p a r a d e t e r m i ­
n a r e l d e s p la z a m ie n to y la p e n d ie n t e e n u n p u n t o s o b r e la c u r v a e lá s tic a d e u n a v ig a s¡-
g u ie n d o e l m é to d o d e la v ig a c o n ju g a d a .
C u rv a e lá s t i c a
• D ib u je la v ig a c o n ju g a d a p a r a la v ig a re a l. E s t a v ig a ti e n e la m is m a lo n g itu d q u e la
v ig a r e a l y lo s s o p o r te s c o r r e s p o n d ie n t e s s e g ú n s e p r e s e n ta n e n la t a b l a 8 -2 .
• E n g e n e ra l, s i e l s o p o r te re a l p e r m it e u n a p e n d i e n t e sI s o p o r te c o n ju g a d o d e b e d e s a ­
rr o lla r u n a fu e r z a c o r ta n te ',y s i e l s o p o r te re a l p e r m it e u n d e s p la z a m ie n to ,e l s o p o r te
c o n ju g a d o d e b e d e s a r r o ll a r u n m o m e n to .
• L a v ig a c o n ju g a d a s e c a r g a c o n e l d ia g r a m a M I E l d e la v ig a r e a l. S e s u p o n e q u e e s ta
c a rg a e s t á d is tr ib u id a en la v ig a c o n ju g a d a y q u e s e d ir ig e h a c ia a r r ib a c u a n d o M I E l es
p o s itiv a , y h a cia a b a jo c u a n d o M I E l e s n e g a tiv a . E n o tr a s p a la b r a s , la c a r g a a c t ú a s ie m ­
p r e a le já n d o s e d e la viga.
E q u ilib rio
• U s a n d o la s e c u a c io n e s d e e q u ilib r io , d e te r m in e la s r e a c c io n e s e n lo s s o p o r te s d e la
v ig a c o n ju g a d a .
• L a s e c c ió n la v ig a c o n ju g a d a e n e l p u n t o d o n d e d e b e n d e te r m i n a r s e l a p e n d ie n t e d y
d d e s p l a z a m i e n to A d e la v ig a r e a l. E n la se c c ió n m u e s tr e la f u e r z a c o r t a n te V d e s c o ­
n o c id a y e l m o m e n to M ' q u e a c tú a e n s u s e n t id o p o s itiv o .
• D e te r m in e la f u e r z a c o r t a n t e y e l m o m e n to e m p l e a n d o la s e c u a c io n e s d e e q u ilib r io .
V y M ' s o n ig u a le s a 9 y A , re s p e c tiv a m e n te , p a r a la v ig a real. En p a r tic u la r , s i e s to s
v a lo r e s s o n p o s itiv o s , la p e n d ie n te tie n e u n s e n tid o a n tih o r a r io y e l d e s p la z a m ie n to es
h a cia a rrib a .

351. 8 . 5 M É T O D O D E L A V I G A C O N J U G A D A 3 2 9
D e te r m in e la p e n d ie n t e y la d e f le x ió n e n e l p u n t o & d e la v ig a d e
a c e ro q u e s e m u e s tr a e n la figura 8 -2 5 a . L a s r e a c c i o n e s y a s e h a n
c a lc u la d o . E = 2 9 (1 0 3) k s i ,/ = 8 0 0 p u lg 4.
( ! ■
S lc
I
7 5 k - p i e 1 5 p i e s .
v ig a r e a l
<■)
Figura 8-25
15
S O L U C IÓ N
V ig a c o n ju g a d a . L a f ig u r a 8 -2 5b m u e s tr a la v ig a c o n ju g a d a . L o s s o ­
p o r te s e n A ' y B ' c o r r e s p o n d e n a lo s s o p o r t e s A y B ck: la v ig a r e a l,
ta b la 8-2. E s m u y i m p o r t a n te e n t e n d e r p o r q u é s u c e d e e s t a E l dia- 75
g r a m a M I E l e s n e g a tiv o , p o r lo q u e la c a rg a d is tr ib u id a a c tú a h a c ia "
a b a jo .e s d e c ir , se a le ja d e la v ig a .
E q u ilib rio . D a d o q u e h a y q u e d e te r m in a r 0 B y A fl. e s n e c e s a r io c a lc u ­
la r V B‘ y Affl< e n la v ig a c o n ju g a d a , fig u ra 8-25c.
v ig a c o n j u g a d a
( b )
+ T 2 F , = 0 ;
0b - V tr - -
5 6 2 .5 k-pie2
E l
5 6 2 .5 k • p ie 2
E l
- 5 6 2 . 5 k-pie2
- 2 5 pie
2 9 (1 0 5) k /p u l g 2(1 4 4 p u lg V p ie 2) 8 0 0 p u I g 4( I p ie 4/ ( 12)4 p u lg 4)
5 6 2 .5
E l
re a c c io n e s
(c )
M,
1
V ,
- 0 .0 0 3 4 9 r a d R esp.
5 6 2 5 k • o ie 2
= 0 ; —
--------------(2 5 p ie s ) + M K = 0
A fl = M t t = -
1 4 0 6 2 .5 k-pie3
E l
- 1 4 06 2 .5 k - p i e 3
2 9 (1 0 3)( 1 4 4 ) k / p i e 2|8 0 0 /( 1 2 ) 4l p ie 4
-0 .0 8 7 3 p ie s = - 1 . 0 5 p u lg R esp.
Ix>s s ig n o s n e g a tiv o s in d ic a n q u e la p e n d ie n t e d e la v ig a se m id e e n
s e n tid o h o r a r io y q u e e l d e s p la z a m ie n to e s h a c ia a b a jo , f ig u r a 8 -2 5d .
(d>
— r~
a .
— J -

352. 3 3 0 C a p i t u l o 8 D e f l e x i o n e s
E J E M P L O 8.14
8 k N
J
18
F l
D e t e r m i n e l a d e f l e x i ó n m á x i m a d e l a v i g a d e a c e r o q u e s e m u e s t r a e n
la f i g u r a 8 - 2 6 a . L a s r e a c c i o n e s y a h a n s i d o c a l c u l a d a s . E = 2 0 0 G P a ,
/ = 6 0 ( 1 0 6) m m 4.
\ -
2 k N
-9 m - m—j
6 k N
v ig a ic a l
(a)
fig u ra 8 -2 6
I-
^ 4 A 27
•i rk
1— ~ — K2 "4
45
0
6 3
E l
r e a c c i o n e s e x t e r n a s
( c )
A'
r<rfrTff
g < í > -
f
!»!
v - o
45
E l
r e a c c io n e s i n t e r n a s
<d)
( b )
S O L U C IÓ N
V ig a c o n j u g a d a . E n la fig u ra 8 -2 6b se m u e s tr a la v ig a c o n ju g a d a
c a rg a d a c o n e l d ia g r a m a M /E I . C o m o ó s te e s p o s itiv o , la c a rg a d is tr i­
b u id a a c t ú a h a c ia a r r ib a ( a le já n d o s e d e la v ig a).
E q u H íb r ío . L a s r e a c c io n e s e x te r n a s s o b r e la v ig a c o n ju g a d a se d e ­
te r m i n a r o n e n p r i m e r lu g a r y se in d ic a n e n e l d ia g r a m a d e c u e r p o
lib re d e la fig u ra 8 -2 6 c. L a d e fle x ió n m á x im a d e la v ig a r e a l s e p ro d u c e
e n e l p u n to d o n d e la p e n d ie n te d e la v ig a e s ce ro . E s to c o r r e s p o n d e a l
m is m o p u n t o e n la v ig a c o n ju g a d a d o n d e la fu e r z a c o r ta n te e s ce ro . S i
s e s u p o n e q u e e s te p u n to a c t ú a d e n t r o d e la re g ió n ü s r s 9 m d e s d e
A \s e p u e d e a is la r la s e c c ió n q u e se m u e s tra e n la fig u ra 8 -2 6d . O b ­
s e r v e q u e e l p ic o d e la c a r g a d is tr ib u id a s e d e te r m i n ó p o r tr iá n g u lo s
s e m e ja n te s , e s d e c i r , w / x = ( \ S /E I ) / 9 . S e r e q u ie r e q u e V ' = ü d e m o d o
q u e
+ Í2 f\. = 0;
E l 2 \ E I /
x - 6.71 m ( 0 s x
= 0
9 m lO K
U s a n d o e s te v a lo r d e x, la d e fle x ió n m á x im a e n la v ig a r e a l c o r r e s ­
p o n d e a l m o m e n to M '. P o r c o n s ig u ie n te .
§ (6 7 .) - [ f ( ® H
- ( 6 . 7 1 ) + M '
' m lx
= M ' = -
201.2 kN-m-
E l
- 2 0 1 .2 IcN-m3
[2 0 0 ( 106) k N / m 2][60( 106) mm4(l m 4/ ( 103)4 mm4)j
= - 0 .0 1 6 8 m = - 1 6 . 8 m m
F.1 s ig n o n e g a tiv o in d ic a q u e la d e f le x ió n e s h a c ia a b a jo .
R esp.

353. 8 . 5 M É T O D O D E L A V I G A C O N J U G A D A 3 3 1
L a tr a b e d e la f ig u r a 8 - 2 7 a e s tá h e c h a d e u n a v ig a c o n tin u a y r e f o r ­
z a d a e n s u c e n tr o , c o n p la c a s d e c o b e r t u r a e n e l s i ti o d o n d e s u m o ­
m e n to d e in e r c ia e s m a y o r. L o s s e g m e n to s e x tr e m o s d e 12 p ie s ti e n e n
u n m o m e n to d e in e r c ia d e / = 4 5 0 p u lg 4 y la p a r t e c e n t r a l ti e n e u n
m o m e n to d e in e r c ia d e / ' = 9 0 0 p u lg 4. D e te r m in e la d e f le x ió n e n e l
c e n tr o C. C o n s id e r e q u e E = 2 9 (1 0 3) k si. L a s r e a c c io n e s y a h a n s id o
c a lc u la d a s.
S O L U C IÓ N
V i g a c o n j u g a d a . E n p r i m e r lu g a r s e d e t e r m i n a e l d i a g r a m a d e
m o m e n to p a r a la v ig a , figura 8-27¿>. Como / ' = 2 / , p o r s im p lic id a d ,
la c a r g a s o b r e la v ig a c o n ju g a d a p u e d e e x p r e s a r s e e n té r m in o s d e la
c o n s ta n te d e £ 7 , c o m o s e m u e s tr a e n la fig u ra 8 -2 7 c.
E q u ilib r io . L as r e a c c io n e s s o b r e la v ig a c o n ju g a d a p u e d e n c a lc u ­
la rse p o r la s i m e t r ía d e la c a rg a o m e d ia n te la s e c u a c io n e s d e e q u il i­
b rio . L o s r e s u lta d o s s e m u e s tr a n e n la figura 8-27</. C o m o d e b e d e t e r ­
m in a rs e l a d e fle x ió n e n C , s e d e b e c a lc u la r e l m o m e n to i n t e r n o e n C \
E m p le a n d o e l m é t o d o d e la s s e c c io n e s .e l s e g m e n to A ' C ' s e a ís la y se
d e te r m in a n la s r e s u lta n te s d e la s c a r g a s d is trib u id a s , a s í c o m o s u ubi­
c a c ió n . fig u ra 8 -2 7 e . P o r lo ta n t o ,
6 k
i
8 k
1
a h
6 k
i
. o
* / = 4 5 0 p u l g * / = 9 0 0 pulg* /= 4 5 0 p u l g 4A
1 0 k 10 k
v ig a r e a l
( a )
Figura 8 -2 7
1+2M c = O, ^ ( 1 8 ) - f > ) - ~*(3) - j - ^ 2 ) + M C = 0
M c = ~
I I 7 3 6 k - p i e 3
E l
A / ( k p i e )
A l s u s titu ir lo s d a to s n u m é r ic o s p a r a E l y a l c o n v e r t ir la s u n id a d e s , se
tie n e
11 7 3 6 k-pie3( 1728 p u l g '/ p i e 3)
A c = M c ' = - 2 9 ( lÓ ') k / p u l g ?(4 5 0 p u lg 4) = PU' 8
E l s ig n o n e g a tiv o in d ic a q u e l a d e f le x ió n e s h a c ia a b a jo .
1 2 0 1 4 4 120
12 18 24
d i a g r a m a d e m o m e n t o
(b)
3 6
* ( p ie s )
720 7 2 0
y - t í ?
, - í R d X
m a c a o n e s e x t e r n a s
«b
r e a c c io n e s i n t e r n a s
( e )

354. 3 3 2 C a p i t u l o 8 D e f l e x i o n e s
E J E M P L O 8.16
D e t e r m i n e e l d e s p l a z a m i e n t o d e l p a s a d o r e n B y la p e n d i e n t e d e c a d a
s e g m e n t o d e v i g a c o n e c t a d o a l p a s a d o r p a r a l a v i g a c o m p u e s t a q u e s e
m u e s t r a e n l a f i g u r a 8 - 2 8 a . E = 2 9 ( 1 0 3) k s i , / = 3 0 p u l g 4 .
8k
— 12 pies — 12 pies -j- 15 pies — I
T ^ O k -
8k
P*e
viga conjugada
(a)
curva elástica
(b)
F ig u r a 8 - 2 8
S O L U C IÓ N
V ig a c o n j u g a d a . E n la fig u ra 8 -2 8b s e m u e s tr a la c u rv a e lá s tic a
p a ra la v ig a c o n e l fin d e id e n tif ic a r e l d e s p la z a m ie n to d e s c o n o c id o Afl
y la s p e n d ie n t e s ( 0 fí)L y (0 fí) R a la iz q u ie r d a y a la d e r e c h a d e l p a s a ­
d o r. U s a n d o la ta b l a 8 .2 . la v ig a c o n ju g a d a s e m u e s tra e n la fig u ra
8 .2 8 c. R j r s im p lic id a d e n e l c á lc u lo , e l d ia g r a m a M / E I se h a e l a b o r a d o
e n p a r le s e m p le a n d o e l p r in c ip io d e s u p e r p o s ic ió n c o m o se d e s c r ib e
e n l a se c c ió n 4 -5 . A e s te re s p e c to , la v ig a re a l s e c o n s i d e r a e n v o la d iz o
d e s d e e l s o p o r te iz q u ie r d o , A . S e p r o p o r c io n a n lo s d ia g r a m a s d e m o ­
m e n t o p a r a la c a r g a d e 8 k , la f u e r z a r e a c t iv a Cy = 2 k , y la c a r g a d e 3 0
k • pie. O b s e r v e q u e la s r e g io n e s n e g a tiv a s d e e s te d ia g r a m a d e s a r r o ­
lla n u n a c a r g a d is tr ib u id a h a c ia a b a jo y la s re g io n e s p o s itiv a s tie n e n
u n a c a r g a d is tr ib u id a q u e a c tú a h a c ia a rr ib a .
reacciones externas
(c) <d)

355. 8 . 5 M É T O D O D E L A V I G A C O N J U G A D A 3 3 3
E q u ili b r io . E n p r i m e r lu g a r s e c a lc u la n la s r e a c c io n e s e x te r n a s e n
B ' y C ' y lo s r e s u lta d o s s e in d ic a n e n la fig u ra 8 -2 8 d . P a r a d e te r m i n a r
(0 fí)R se s e c c io n a la v ig a c o n ju g a d a j u s t o a la d e r e c h a d e B ' y se c a lc u la
h f u e r z a c o r t a n t e (V'/J-)#í. fig u ra 8 -2 8 e. E n to n c e s .
+ Í 2 F y = 0 ;
(0b)r= { V B' )r
2 2 8 .6 k • p ie7
E l
225
E l.
3 .6
E l5 P ^ - :
b p i e i
4 5 0
E l
(e)
22 8 .6 k • p ie 2
(2 9 (1 0 3) ( 1 4 4 ) k / p i c 2] [ 3 0 /( 1 2 ) 4j p ie 4
0.0378 r a d R esp.
E l m o m e n to in t e r n o e n B ’ p ro d u c e e l d e s p la z a m ie n to d e l p a s a d o r .
A s í q u e .
(,+ S W b - = O, - M e + | í( 5 ) - |5(7.5) - |y(15) = 0
A s = M g = -
2304 k • p ie 3
E l
- 2 3 0 4 k-pie3
(29( 10 3) (1 4 4 ) k / p i e 2|( 3 0 / ( 12 ) 4| p i e 4
- 0 3 8 1 p i e s = - 4 . 5 8 p u lg R esp.
E l
5 p t a - ¡ I - . . M
M » . *— l S p i c S - ^ l
(0
L a p e n d ie n t e (6a)¡. p u e d e e n c o n tr a r s e a p a r t i r d e u n a se c c ió n d e la
viga j u s t o a l a iz q u ie r d a d e B ’. fig u ra 8-28f P o r lo ta n t o .
( V \ , 2 2 8 .6 2 2 5 4 5 0 3 .6 _
E l + E l E l E l
(Bb)l = [ Vi t)l = 0
R esp.
I b r s u p u e s t o , Afl = M ñ > p a r a e s t e s e g m e n to e s e l m is m o q u e s e c a lc u ló
c o n a n t e r i o r i d a d , y a q u e e n la s f ig u r a s 8 -2 8 e y 8 - 2 8 / l o s b r a z o s d e l m o ­
m e n to s ó lo s o n a lg o d if e re n te s .

356. 3 3 4 C a p i t u l o 8 D e f l e x i o n e s
P R O B L E M A S F U N D A M E N T A L E S
1 3 -1 0 . U se los teo rem as d e l m o m en to de á re a y d e te r ­
mine la p e n d ien te e n A y la d eflex ió n e n A , E les constante.
1 3 -1 L R esuelva e l p ro b lem a F 8 -10 e m p le a n d o e l m étodo
de la viga conjugada.
6 k N
3 m —
R I-10/8-11
1 3 -1 6 . U se lo s te o re m a s d e l m o m en to de á re a y d e te r ­
mine la p e n d ien te e n A y e l desplazam iento e n C. F.I es
constante.
1 3 -1 7 . R esuelva el p ro b lem a F8-16 em pleando e l m étodo
de la viga conjugada.
8 k N
2 t = r A -
| 3 m
------------------1---------------3 m-----------------1
1 3 -1 6 /8 -1 7
1 3 -1 2 . U se los teo rem as d e l m o m en to de á re a y d e te r ­
mine la p endiente e n B y la deflexión e n B . E l e s constante.
1 3 -1 3 . R esuelva e l p ro b lem a F8-12 e m p le a n d o e l m étodo
de la viga conjugada.
8 k N -m
■)
| ‘ 4 m 'I
1 3 -1 2 /8 -1 3
1 3 -1 8 . U se lo s te o re m a s d e l m o m en to de á re a y d e te r­
mine la p e n d ien te e n A y e l desplazam iento e n C. E l es
constante.
1 3 -1 9 . R esuelva el p ro b lem a F8-18 em pleando e l m étodo
de la viga conjugada.
4 k N 4 k N
13-14. U se los te o re m a s d e l m om ento d e á re a y d e te r ­
m ine la p e n d ien te e n A y e l desplazam iento e n C. E l es
constante.
13-15. R esuelva el p ro b lem a F8-14 e m p le a n d o e l m étodo
<fc la viga conjugada.
13-20. U se lo s teo rem as d el m o m en to d e á re a y d e te r ­
mine la p e n d ien te e n B y e l desplazam iento e n B . E l es
constante.
1 3 -2 1 . R esuelva e l p ro b lem a F 8-20 em pleando e l m étodo
<fc la viga conjugada.
5 k N -m
^ = 7
I 1 .5 m
-----------
1 5
1 3 - 1 4 / 8 - 1 5
I
2 m 2 m
1 3 - 2 0 / 8 - 2 1

357. 8 . 5 M É T O D O D E L A V I G A C O N J U G A D A 3 3 5
P R O B L E M A S
8 -1 0 . D eterm ine la p endiente e n f í y el desplazam iento
m áxim o d e la viga. U se lo s teo rem as d e l m o m en to d e área.
C onsidere q u e F. = 29(10’) ksi. / = 500 p u lg 4.
8 -1 1 . R esuelva e l problem a 8-10 em pleando e l m éto d o de
la viga conjugada.
15 k
8 -1 8 . D eterm ine la p endiente y e l desplazam iento e n C.
E l e s constante. Use los teo rem as d el m o m en to d e área.
8 -1 9 . R esuelva e l p ro b lem a 8 - 1 8 em p lean d o e l m éto d o de
la viga conjugada.
fc1. J
r
R
---------6 pies-------------------------6 pies---------------
Probs. 8-10/8-11
JE
P ro b s. 8 -1 8 /8 -1 9
*8-12. D eterm ine la p e n d ie n te y e l desplazam iento e n C.
E l e s constante. U se los teo rem as d el m o m en to d e área.
8 -1 3 . R esuelva e l p ro b lem a 8-12 em pleando e l m éto d o de
la viga conjugada.
15 k
=i
- 3 0 p i e s — 1
Probs. 8-12/8-13
5 p ie s — |
8 -1 4 . D eterm ine e l v a lo r d e a tfc m odo q u e la p e n d ien te
e n A sea igual a ce ro . £ / e s constante. U se lo s teo rem as d el
m om ento d e área.
8 -1 5 . R esuelva e l p ro b lem a 8 - 1 4 em pleando e l m éto d o de
la viga conjugada.
•8 -1 6 . D eterm ine e l v a lo r d e a d e m odo q u e e l desplaza­
m iento e n C sea igual a cero. E l o co n stan te. U se los te o re ­
m as d e l m om ento d e área.
8 -1 7 . R esuelva e l p ro b lem a 8 - 1 6 em pleando e l m éto d o de
la viga conjugada.
P P
A
- - 2 — D
_ aH
---------L----------1 L
2
•8 -2 0 . D eterm ine la p e n d ien te y e l desplazam iento e n el
e x trem o C t f c la viga. E = 2 0 0 G P a . / = 7 0 ( 1 0 6) mm* U se
los te o re m a s d el m o m en to de área.
8 -2 1 . R esuelva e l p ro b lem a 8 - 2 0 em p lean d o e l m éto d o de
la viga conjugada.
8 kN
8 -2 2 . ¿A q u é distancia a d eb en colocarse lo s so p o rte s de
co jin ete e n A y tf.d e m odo q u e el desplazam iento e n el c e n ­
tro del eje se a igual a la deflexión e n sus ex trem o s? L os c o ­
jin etes sólo eje rc e n reacciones verticales so b re e l eje. E l es
constante. U se los teo rem as d el m om ento d e área.
8 -2 3 . R esuelva e l p ro b lem a 8 - 2 2 em p lean d o e l m éto d o de
la viga conjugada.
P r o b s . 8 - 1 4 / 8 - 1 5 / 8 - 1 6 / 8 - 1 7 P r o b s . 8 - 2 2 / 8 - 2 3

358. 3 3 6 C a p i t u l o 8 D e f l e x i o n e s
*8-24. D eterm ine el desplazam iento e n C y la p e n d ien te
en B . E l es co n stan te. U se los te o re m a s d e l m o m en to de
área.
8 -2 5 . R esuelva el p ro b lem a 8.24 e m p le a n d o e l m éto d o de
la viga conjugada.
4 k N 4 k N
4,
3 m 1 5 1 ■1.5 m 3 m
Prob*. 8 -24/8-25
8 -2 6 . D eterm in e e l desplazam iento e n C y la p e n d ien te
en B . E l es co n stan te. U se lo s teo rem as d e l m o m en to de
área.
8 -2 7 . D eterm ine e l desplazam iento e n C y la p e n d ien te
en B. E l e s constante. U se e l m éto d o de la viga conjugada.
*8-28. D eterm ine la fuerza F e n e l extrem o d e la viga C
de m odo q u e el desplazam iento e n C sea igual a cero. E l es
constante. U se los teo rem as d el m om ento d e área.
£
L
P r o b . 8 -2 8
8 -2 9 . D eterm in e la fu e rz a F en e l e x trem o de la viga C de
m odo q u e el d esp lazam ien to e n C sea igual a cero. E l es
constante. U se e l m éto d o de la viga conjugada.
L
i— 1 a --------
P r o b . 8 -2 9
8 -3 0 . D eterm in e la p e n d ien te e n B y el desplazam iento
en C. E l es co n stan te. U se los teo rem as d e l m o m en to de
L
a
--------
P r o h . 8 -3 0
8 -3 1 . D eterm in e la p e n d ien te e n B y el desplazam iento
en C. E l es constante. U se e l m éto d o d e la viga conjugada.
1
i
“ * * *
1- a 1 a
2 :
P r o b . 8 - 2 7 P r o b . 8 - 3 1

359. 8 . 5 M É T O D O D E L A V I G A C O N J U G A D A 3 3 7
•8-32. D eterm in e e l desplazam iento máximo y la pen­
d ien te e n A . E l es co n stan te. U se los teo rem as d el m o m en to
d e área.
•8 -3 6 . D eterm ine e l desplazam iento e n C .S uponga q u e A
e s un s o p o rte fijo, B e s u n a articulación y D e s un rodillo.
E l e s co n stan te. U se los teo rem as d e l m o m en to d e área.
Mo
P ro h . 8 -3 2
25 kN
8 -3 3 . D eterm ine e l d esp lazam ien to m áxim o e n B y la
pendiente e n A . E l es constante. U se e l m étodo d e la viga
conjugada.
Mo
P ro h . 8 -3 3
8 -3 4 . D eterm ine la p endiente y e l desplazam iento e n C.
E l e s constante. U se los teo rem as d el m o m en to d e área.
M0 ~ P a
P
i
P ro h . 8-34
P ro h . 8-36
8 -3 7 . D eterm ine e l desplazam iento e n C. S uponga q u e A
e s un s o p o rte fijo, B e s u n a articu lació n y D es un rodillo.
E l e s co n stan te. U se e l m éto d o de la viga conjugada.
8 -3 8 . D eterm ine e l d esp lazam ien to e n D y la p e n d ien te
e n D . Suponga que A e s un so p o rte fijo, B e s una articulación
y C e s u n rodillo. U se los teorem as d el m o m en to de área.
6 k
8 -3 5 . D eterm ine la p endiente y e l desplazam iento e n C.
E l e s constante. U se e l m éto d o de la viga conjugada.
8 -3 9 . D eterm ine e l desplazam iento e n D y la p e n d ien te
e n D . S uponga q u e A es u n s o p o rte fijo. B e s una articu la­
ción y C e s u n rodillo. U se e l m éto d o d e la viga conjugada.
M0 - Pa
P
i
6 k
P r o h . 8 - 3 5

360. 3 3 8 C a p i t u l o 8 D e f l e x i o n e s
REPASO D E L C A P ÍT U L O
La deflexión d e un elem ento (o e stru c tu ra ) siem pre
p u ed e establecerse cuando se conoce e l d iag ram a de
m om ento, p o rq u e los m om entos positivos te n d e rá n a
d o b lar e l elem ento cóncavo hacia a rrib a , y lo s m o­
m entos negativos ten d erán a d o b la r e l elem ento có n ­
cavo hacia abajo. D el m ism o m odo, la fo rm a general
del d iag ram a d e m om ento p u ed e d ete rm in a rse si se
conoce la cu rv a d e deflexión.
P ,
v ig a
d e in f le x ió n
c u r v a d o d e f l e x i ó n
M
La alteració n de u n a viga deb id o a la d eflex ió n p u e d e
determ inarse m e d ian te la doble in teg ració n d e la
ecuación
( f v M
d x 2 E l
A q u í, e l m o m en to in tern o M d e b e ex p resarse e n fun­
ción d e las c o o rd e n a d a s x q u e se e x tien d en a través
de la viga. L as co n stan tes d e integración se o b tie n e n de
las co n d icio n es de fro n te ra , com o la deflexión c e ro en
u n so p o rte d e p a sa d o r o rodillo, y la deflexión y la
p endiente cero e n u n so p o rte fijo. Si se re q u ie re n algu­
nas c o o rd e n a d a s ^ .e n to n c e s d e b e considerarse la co n ­
tinuidad d e la p e n d ien te y la deflexión, d o n d e 0\(a ) =
0?(a) y ü i(a ) - ^ ( a ) enx, - x 2 - a.

361. Re p a s o d e l c a p i t u l o 3 3 9
Si el d iag ram a d e m o m en to tiene u n a fo rm a sim ple, se p u e d e n u sa r los teo rem as d e l m o m en to d e á re a o e l m é to d o d e la
viga co n ju g ad a p a ra d ete rm in a r la desviación y la p endiente e n u n p u n to d e la viga.
Ix>s teo rem as d el m o m en to d e á re a co n sid e ra n los áng u lo s y las desviaciones verticales e n tr e las ta n g e n te s e n d o s p u n ­
to s A y fí so b re la curva elástica. E l cam b io e n la p e n d ien te se e n c u e n tra a p a rtir d e l á re a bajo e l d ia g ra m a M /E I e n tre los
d o s puntos, y la desviación se d eterm in a con base e n e l m o m en to d e á re a del d iag ram a M IE I co n resp ecto al p u n to d o n d e
ocurre la desviación.
jnrnrfTnTm^
°k/a ” A r e a d e l d i a g r a m a M / E I
M
E l m éto d o d e la viga co n ju g ad a e s muy d e tallad o y re q u iere la aplicación d e lo s principios d e la estática. D e m an era m uy
sim ple.se e stab lece la viga conjugada u san d o la ta b la 8-2, d esp u és se considera la carg a co m o e l d iag ram a M IE I. La p e n ­
d ien te (deflexión) e n u n p u n to so b re la viga re a l e s en to n ce s igual a la fuerza co rtan te (m o m e n to ) e n el m ism o p u n to sobre
la viga conjugada.
M
\ -
M
v ig a r e a l v ig a c o n ju g a d a
U /b ~ í ( Á r e a d e l d i a g r a m a M / E f )

362. El d e sp la z a m ie n to en los extrem o s d e la cu b ie rta d e este p u e n te p u e d e d e te r­
m inarse d u ra n te su con stru cció n e m p le a n d o m é to d o s de en ergía.

363. Deflexiones empleando
métodos de energía
E n e s t e c a p ít u lo s e m o s tr a r á c ó m o a p lic a r lo s m é t o d o s d e e n e r g ía
p a ra re s o lv e r p r o b le m a s q u e in v o lu c r a n a la p e n d ie n t e y a la d e f le x ió n .
El c a p ít u lo c o m ie n z a c o n u n a n á lis is d e l t r a b a jo y la e n e r g ía d e d e f o r ­
m a c ió n , s e g u id o p o r u n d e s a r r o llo d e l p r i n c ip io d e l t r a b a jo y la
e n e r g ía . D e s p u é s se e s tu d ia n e l m é t o d o d e l t r a b a jo v ir tu a l y e l t e o ­
re m a d e C a s tig lia n o , y e s ta s té c n ic a s s e e m p le a n p a r a d e t e r m in a r lo s
d e s p la z a m ie n to s e n p u n t o s e s p e c ífic o s d e a rm a d u ra s , v ig a s y m a rc o s .
9 .1 T rabajo e x te rn o y e n erg ía
d e d e fo rm a ció n
L o s m é to d o s s e m ig rá f íc o s p r e s e n ta d o s e n lo s c a p ítu lo s a n t e r i o r e s s o n
m u y e fe c tiv o s p a r a e n c o n t r a r lo s d e s p la z a m ie n to s y p e n d ie n t e s e n p u n ­
to s d e vigas s o m e tid a s a c a r g a s b a s t a n te s i m p l e s P a r a c a r g a s m á s c o m p li­
c a d a s o e n e s t r u c tu r a s c o m o a r m a d u r a s y m a rc o s , s e s u g ie r e r e a l iz a r lo s
c á lc u lo s s ig u ie n d o lo s m é to d o s d e e n e r g í a . 1.a m a y o r ía d e lo s m é to d o s d e
e n e r g ía s e b a s a n e n e l p r in c ip io d e c o n s e r v a c ió n d e la e n e r g ía , q u e e s t a ­
b le c e q u e e l tr a b a jo r e a liz a d o p o r to d a s la s f u e r z a s e x te r n a s q u e a c tú a n
s o b r e u n a e s t r u c tu r a . U r, s e tr a n s f o r m a e n tr a b a jo in t e r n o o e n e r g ía d e
d e f o r m a c ió n , U¡, la c u a l s e d e s a r r o ll a a l d e f o r m a r s e l a e s tr u c tu r a . Si n o se
e x c e d e e l lím ite e lá s tic o d e l m a t e r i a l, la e n erg ía d e d e fo r m a c ió n elástica
r e g r e s a r á a la e s t r u c tu r a a s u e s t a d o s i n d e f o r m a r , c u a n d o las c a r g a s s e a n
re tir a d a s . E l p r in c ip io d e c o n s e r v a c ió n d e la e n e r g í a p u e d e e s ta b le c e r s e
m a te m á tic a m e n te c o m o
Ur = U t ( 9 - 1 )
S in e m b a r g o , a n te s d e d e s a r r o ll a r c u a lq u ie r a d e lo s m é to d o s d e
e n e r g ía b a s a d o s e n e s t e p rin c ip io , p r i m e r o s e d e te r m i n a r á n e l tr a b a jo e x ­
t e r n o y la e n e r g ía d e d e f o r m a c ió n c a u s a d o s p o r u n a f u e r z a y u n m o ­
m e n to . L a s fo r m u la c io n e s q u e se p r e s e n ta r á n s e r v ir á n d e b a s e p a r a c o m ­
p r e n d e r lo s m é to d o s d e tr a b a jo y e n e rg ía q u e le s ig u e n .

364. 3 4 2 C a p i t u l o 9 D e f l e x i o n e s e m p l e a n d o m é t o d o s d e e n e r g í a
Trabajo e x te rn o , fuerza. O ia n d o u n a f u e r z a F e x p e r i m e n t a u n
d e s p la z a m ie n to d x e n la m is m a d ir e c c ió n q u e la f u e r z a , e l tr a b a jo r e a l i­
z a d o e s d U e = F d x . S i e l d e s p la z a m ie n to t o t a l e s x , e l tr a b a jo se c o n ­
v ie r te e n
U . = ¡ F d x ( 9 - 2 )
C o n s id e r e a h o r a e l e f e c to c a u s a d o p o r u n a f u e r z a a x ia l a p li c a d a a l e x ­
tr e m o d e u n a b a r r a c o m o la q u e s e m u e s tr a e n la fig u ra 9 - l a . A m e d id a
q u e la m a g n itu d d e F se in c r e m e n t a g r a d u a lm e n te d e s d e c e r o h a s ta u n
v a lo r lím ite F = P ,la e lo n g a c ió n f in a l d e la b a r r a se c o n v ie r te e n A . S i e l
m a t e r i a l ti e n e u n a r e s p u e s ta e lá s tic a lin e a l, e n to n c e s F = ( P /A )x. S i se
s u s titu y e e n l a e c u a c ió n 9 -2 y s e in t e g r a d e s d e 0 h a s t a A , r e s u lta
1 , = iPA (9-3)
lo q u e r e p r e s e n ta e l área tr ia n g u la r s o m b r e a d a d e la fig u ra 9 - la .
D e e s t o ta m b ié n p u e d e c o n c lu irs e q u e c u a n d o u n a f u e iz a s e a p lic a
g r a d u a lm e n te s o b r e la b a r r a , y s u m a g n itu d s e c o n s tr u y e lin e a lm e n te
d e s d e c e r o h a s ta a lg ú n v a lo r P te \ tr a b a jo r e a liz a d o e s ig u a l a la m a g n itu d
d e la fu e r z a m e d ia (/* /2 ) p o r e l d e s p la z a m ie n to (A ).
(a)
f i g u r a 9 - 1

365. 9 . 1 Tr a b a j o e x t e r n o y e n e r g í a d e d e e o r m a o ó n 3 4 3
S u p o n g a a h o r a q u e F y a e s t á a p lic a d a s o b r e la b a r r a y q u e a h o r a se
a p lic a o tra f u e r z a F , p o r lo q u e la b a r r a s e d e f o r m a a ú n m á s e n u n a c a n ­
tid a d A ', fig u ra 9-1 b . E n to n c e s , e l tr a b a jo re a liz a d o p o r P ( n o p o r F ')
c u a n d o la b a r r a e x p e r i m e n t a la d e f o r m a c ió n a d ic io n a l A ' e s
U; = P A ' (9 - 4 )
A q u í el t r a b a j o r e p r e s e n t a e l á rea r e c ta n g u la r s o m b r e a d a d e la fig u ra
9-l¿>. E n e s te c a s o . P no c a m b ia s u m a g n itu d p o r q u e A ' e s c a u s a d o s ó l o
p o r F '. P o r lo ta n to , e l tr a b a jo e s s im p le m e n te l a m a g n itu d d e la fu e rz a
( P ) p o r e l d e s p la z a m ie n to (A ').
E n to n c e s , p u e d e a f ir m a r s e d e m a n e r a r e s u m id a q u e a l a p li c a r u n a
f u e r z a P a la b a r r a , s e g u id a p o r la a p lic a c ió n d e u n a f u e r z a F . e l tr a b a jo
to ta l r e a liz a d o p o r la s d o s fu e r z a s e s t á r e p r e s e n ta d o p o r e l á r e a tr ia n g u ­
la r A C E ife la fig u ra 9-l¿>. E l á r e a tr ia n g u l a r A B G r e p r e s e n ta e l tr a b a jo
d e P q u e e s c a u s a d o p o r s u d e s p la z a m ie n to A , e l á r e a tr ia n g u l a r B C D r e ­
p r e s e n ta e l tr a b a jo d e F ' t b b i d o a q u e e s t a f u e r z a p r o v o c a u n d e s p la z a ­
m i e n to A ' y, p o r ú ltim o , e l á r e a r e c ta n g u la r s o m b r e a d a B D E G r e p r e ­
s e n t a e l tr a b a jo a d ic io n a l re a liz a d o p o r P c u a n d o s e d e s p la z a A ' a c a u s a
d e F ' .
Trabajo e x te rn o , m o m e n to . E l t r a b a j o d e u n m o m e n to s e d e ­
fin e p o r e l p r o d u c t o d e la m a g n itu d d e l m o m e n to M y e l á n g u lo d O a
tr a v é s d e l c u a l g ir a , e s d e c i r , d U e = M dO\ f ig u r a 9 -2 . Si e l á n g u lo to t a l d e
r o ta c ió n e s 0 ra d ia n e s , e l t r a b a j o s e c o n v ie r te e n
U e = J M d d (9 - 5 )
C o m o e n e l c a s o d e la f u e r z a , s i e l m o m e n to s e a p lic a g r a d u a lm e n te a
u n a e s t r u c tu r a q u e t i e n e r e s p u e s ta e lá s tic a lin e a l e n t r e c e r o y Ai, e n t o n ­
c e s e l tr a b a jo e s
U f = \ M 6 (9 -fi)
S in e m b a r g o , s i e l m o m e n to y a e s tá a p lic a d o a la e s t r u c tu r a y o t r a s c a r g a s
d e f o r m a n a ú n m á s la e s t r u c tu r a e n u n a c a n ti d a d F , e n t o n c e s M g ir a 0' y
e l tr a b a jo e s
U ; = M 6 ‘ (9 - 7 )
F’ + P
c
R r\
G
D
E
l
------A--------
1— A'
(b)
f i g u r a 9 - 1
M
fig u ra 9-2

366. Ca p i t u l o 9 D e f l e x i o n e s e m p l e a n d o m é t o d o s d e e n e r g í a
. , Energía d e d e fo rm a ció n , fu e rza axial. C u a n d o s e a p lic a u n a
1 f u e r z a a x ia l N d e m a n e r a g r a d u a l a la b a r r a q u e s e m u e s tr a e n l a fig u ra
9 -3 , d e f o r m a r á e l m a t e r i a l d e m a n e r a q u e e l tra b a jo e x te r n o re a liz a d o
p o r N se c o n v ie r te e n e n erg ía d e d e f o r m a c i ó n M c u a l s e a lm a c e n a e n la
b a r r a ( e c u a c ió n 9 -1 ). S ie m p re q u e e l m a te r ia l s e a elá stic o lin e a l, la le y d e
H o o k e s e r á v á lid a , o- = E e ,y si l a b a r r a ti e n e u n á r e a c o n s t a n te A e n s u
se c c ió n tr a n s v e r s a l y u n a lo n g itu d L , e l e s f u e r z o n o r m a l e s cr= N / A y la
d e f o r m a c ió n f in a l e s t = A/ L . E n c o n s e c u e n c ia , N / A = E ( A / L ) , y la d e s ­
v ia c ió n f in a l e s
! I *
H g u n . 9 - 3 A A E
I b r lo ta n to , a l s u s tit u ir c o n P «= N en la e c u a c ió n 9 -3 . la e n e r g ía d e d e ­
fo rm a c ió n e n la b a r r a e s
N 2I
U ‘ = 2 A E <’ - 9 >
Energía de de fo rm a ció n , fle xió n . C o n s id e r e la v ig a d e la fi­
g u ra 9 - 4 u ,q u e s e d is to r s io n a p o r la a p lic a c ió n g r a d u a l d e la s c a r g a s P y
w . E s ta s c a r g a s c r e a n u n m o m e n to i n t e r n o M e n l a v ig a e n u n a s e c c ió n s i ­
tu a d a a u n a d is ta n c ia x d e l s o p o r te iz q u ie rd o . L a r o t a c ió n r e s u lta n t e d e l
e le m e n to d if e r e n c i a l d x , f ig u r a 9 -4 6 . p u e d e d e te r m i n a r s e c o n b a s e e n la
e c u a c ió n 8 -2 , e s d e c ir , d O = ( M / E I ) d x . E n c o n s e c u e n c ia , la e n e r g ía d e
d e fo r m a c ió n , o e l t r a b a j o a l m a c e n a d o e n e l e le m e n to , s e d e te r m i n a a
p a r t i r d e l a e c u a c ió n 9 -6 p u e s t o q u e e l m o m e n to i n t e r n o se d e s a r r o lla
g r a d u a lm e n te . E n to n c e s .
d U l = p . 10)
L a e n e r g ía d e d e f o r m a c ió n p a ra la v ig a s e d e te r m i n a a l in t e g r a r e s t e r e ­
s u lta d o p o r to d a la lo n g itu d / . d e la v ig a . E l r e s u lta d o e s
M _ M
rams
ti* |
dx
(a) (b)
H gura 9 -4

367. 9 . 2 Pr i n c i p i o d e l t r a b a j o y l a e n e r gIa 3 4 5
9 .2 Principio del trabajo y la energía
A h o r a q u e y a s e h a n f o r m u la d o e l tr a b a jo y la e n e r g ía d e d e f o r m a c ió n
p a ra u n a f u e r z a y u n m o m e n to , s e il u s t r a r á c ó m o p u e d e n a p lic a r s e la
c o n s e r v a c ió n d e la e n e r g ía o e l p rin c ip io d e l t r a b a j o y la e n e r g í a p a r a d e ­
te r m in a r e l d e s p la z a m ie n to e n u n p u n to s o b r e u n a e s tr u c tu r a . P a r a h a ­
c e rlo . c o n s id e r e la d e te r m in a c ió n d e l d e s p la z a m ie n to D e n e l p u n to
d o n d e s e a p lic a la f u e r z a P a la v ig a e n v o la d iz o d e la f ig u r a 9-5. A p a r t i r
d e la e c u a c ió n 9 -3 , e l tr a b a jo e x t e r n o e s U f = J /* A . P a r a o b t e n e r la
e n e r g ía d e d e f o r m a c ió n r e s u lta n te , p r i m e r o d e b e d e te r m in a r s e e l m o ­
m e n to in t e r n o c o m o u n a fu n c ió n d e la p o s ic ió n x e n la v ig a y d e s p u é s
a p lic a r la e c u a c ió n 9 -1 1 . E n e s t e c a s o M = - P x . d c m o d o q u e
f L M } d x r L ( - P x ) 2 d x 1 p * Q
1 ~ L 2 E l J n 2 E l 6 E l
A l ig u a la r e l tr a b a jo e x t e m o c o n la e n e r g í a d e d e f o r m a c ió n in t e r n a y al
d e s p e j a r e l d e s p la z a m ie n to d e s c o n o c id o A ,s e ti e n e
Ue = U,
i p A =
2 6 El
a P ,?
A =
-------
3EI
A u n q u e l a s o lu c ió n a q u í e s b a s t a n te d ir e c ta , la a p lic a c ió n d e e s t e m é ­
to d o s e lim ita a u n o s c u a n to s p r o b le m a s s e le c c io n a d o s . C a b e s e ñ a l a r q u e
s ó lo p u e d e a p lic a r s e u n a c a rg a a la e s t r u c tu r a , p u e s t o q u e s i s e a p lic a s e
m á s d e u n a c a r g a h a b r í a u n d e s p la z a m ie n to d e s c o n o c id o b a jo c a d a c a r g a
c in c lu s iv e p o d r ía e s c r ib ir s e s ó l o u n a e c u a c ió n d e “ t r a b a j o " p a r a la v ig a .
A d e m á s , só lo p u e d e o b te n e r s e e l d e s p la z a m ie n to b a jo la f u e r z a , p o r q u e el
tr a b a jo e x te r n o d e p e n d e ta n t o d e la f u e r z a c o m o d e s u d e s p la z a m ie n to
c o r r e s p o n d ie n te . U n a m a n e r a d e s o r t e a r e s t a s lim ita c io n e s c o n s is te e n
e m p le a r e l m é to d o d e l tr a b a jo v ir tu a l o e l te o r e m a d e C a s tig lia n o . lo s
c u a le s s e e x p lic a n e n la s s ig u ie n te s s e c c io n e s .
p p

368. 3 4 6 Ca p i t u l o 9 D e f l e x i o n e s e m p l e a n d o m é t o d o s d e e n e r g í a
A p l i c a c i ó n d e l a c a r g a v i r t u a l / * ' - I
( a )
r>
A p l i c a c i ó n d e l a s c a r g a s r e a l e s P ,. P2. P;
( b )
Figura 9 -6
9 .3 P rinápio del trabajo virtual
E s te p r in c ip io f u e d e s a r r o ll a d o p o r J o h n B e r n o u lli e n 1717, y e n o c a s i o ­
n e s s e le c o n o c e ta m b ié n c o m o e l m é to d o d e la c a r g a u n ita ria . P r o p o r ­
c io n a u n m e d io g e n e r a l p a r a o b t e n e r e l d e s p la z a m ie n to y la p e n d ie n t e
e n u n p u n to e s p e c ífic o d e u n a e s t r u c tu r a , y a s e a u n a v ig a , u n m a r c o o
u n a a r m a d u r a .
A n te s d e d e s a r r o lla r e l p rin c ip io d e l tr a b a jo v ir tu a l s e r e q u i e r e h a c e r
a lg u n o s e n u n c ia d o s g e n e r a le s s o b r e e l p rin c ip io d e l tr a b a jo y la e n e r g ía ,
lo c u a l s e a n a liz ó e n l a s e c c ió n a n te r io r . S i s e to m a u n a e s t r u c t u r a d e -
f o r m a b le d e c u a lq u ie r f o r m a o ta m a ñ o y s e le a p lic a u n a s e r i e d e cargas
e x te r n a s P . s c p r o d u c i r á n c a r g a s in te rn a s u e n p u n to s a tr a v é s d e to d a la
e s tr u c tu r a . E s n e c e sa r io r e la c io n a r la s carg a s in te r n a s y e x te rn a s m e d ia n te
la s e c u a c io n e s d e e q u ilib r io . C o m o c o n s e c u e n c ia d e e s t a s c a rg a s , o c u ­
r r ir á n d e s p la z a m ie n to s e x te r n o s A e n la s c a r g a s P y s e p r e s e n ta r á n d e s ­
p la z a m ie n to s in t e r n o s 5 en c a d a p u n t o d e c a r g a i n t e r n a u . E n g e n e r a l,
e sto s d e s p la z a m ie n to s n o tie n e n q u e s e r e lá s tic o s ,y q u iz á n o s e r e l a c io n e n
c o n las c a r g a s ; s in e m b a r g o , lo s d e s p la z a m ie n to s in te rn o s y e x te r n o s d e b e n
esta r r e la c io n a d o s p o r la c o m p a tib ilid a d d e lo s d e s p la z a m ie n to s . E n o tr a s
p a la b r a s , s i s e c o n o c e n lo s d e s p la z a m ie n to s e x te r n o s , lo s d e s p la z a m ie n ­
to s in te r n o s c o r r e s p o n d ie n te s e s t a r á n d e f in id o s d e m a n e r a ú n ic a . E n t o n ­
ces. e l p r in c ip io d e l t r a b a j o y lo s e s ta d o s d e e n e r g ía p u e d e e n u n c ia r s e d e
m a n e r a g e n e r a l c o m o sig u e :
S P A = l u S
T r a b a j o d e la s T r a b a j o d e la s (9 - 1 2 )
c a rg a s e x te r n a s c a r g a s in te r n a s
C o n b a s e e n e s t e c o n c e p to , a h o r a s e d e s a r r o ll a r á e l p r in c ip io d e l t r a ­
b a jo v irtu a l. P a r a e l l o s e c o n s id e r a r á q u e la e s t r u c tu r a ( o c u e r p o ) ti e n e
u n a f o r m a a r b i t r a r i a c o m o se m u e s tr a e n la f ig u r a 9.6b * S u p o n g a q u e e s
n e c e s a r io d e t e r m i n a r e l d e s p la z a m ie n to A d el p u n to A e n e l c u e r p o c a u ­
s a d o p o r la s “ c a r g a s r e a l e s ” P i. P 2 y P3. D e b e e n t e n d e r s e q u e e s ta s c a rg a s
n o c a u s a n m o v im ie n to d e lo s s o p o r te s ; s in e m b a r g o , e n g e n e r a l , p u e d e n
d e f o r m a r e l m a t e r i a l m á s a llá d e l lim ite e lá s tic o .C o m o n in g u n a c a r g a e x ­
te r n a a c tú a s o b r e e l c u e r p o e n A n i e n la d ir e c c ió n d e A , e l d e s p la z a ­
m ie n to A p u e d e d e te r m i n a r s e s i s e c o lo c a p r im e r o u n a ca rg a " v ir tu a l"
s o b r e e l c u e r p o d e m o d o q u e e s ta f u e r z a P ' a c tú e e n la m is m a d ir e c c ió n
q u e A . fig u ra 9-6a . P o r c o n v e n ie n c ia , q u e s e r á e v id e n t e m á s a d e l a n t e .s e
e le g irá P ' co n u n a m a g n itu d “ u n it a r i a " , e s d e c i r , P ' = 1. P a r a d e s c r ib ir la
c a rg a s e u s a e l t é r m i n o “v ir tu a l” d e b i d o a q u e es im a g in a r ia y e n r e a lid a d
n o e x is te c o m o p a r le d e la carg a rea l. S in e m b a r g o , la c a rg a u n it a r i a ( P ’)
c re a u n a c a rg a v ir tu a l i n t e r n a u e n u n e le m e n to o f ib r a r e p r e s e n ta tiv a
d e l c u e r p o , c o m o s e m u e s tr a e n la fig u ra 9 -6 a . A q u í s e r e q u i e r e q u e P ' y
u se r e l a c io n e n m e d i a n te la s e c u a c io n e s d e e q u il ib r io .’
• E s t a f o r m a a r b i t r a r í a r e p r e s e n t a r á p o s t e r i o r m e n t e u n a a r m a d u r a , u n a v i g a o u n m a r c o es­
pecífico*.
' A u n q u e e s t a s c a r g a s p r o v o c a r á n d e s p l a z a m i e n t o s v i r t u a l e s , n o s e t o m a r á n e n c u e n t a s u s
m a g n i t u d e s .

369. 9 . 3 P a .N G P I O D E L T R A B A J O V IR T U A L
U n a v e z a p lic a d a s las c a rg a s v ir tu a le s , e l c u e r p o e s t á s o m e ti d o a la s cargas
reales P , t P 2 y P 3, fig u ra 9 -6b . E l p u n to A se d e s p la z a r á u n a c a n ti d a d A, la
c u a l c a u s a r á q u e e l e le m e n to s e d e f o r m e u n a c a n ti d a d d L . C o m o r e s u l­
ta d o , la f u e r z a v ir tu a l e x te r n a P ’ y la c a rg a v ir tu a l in t e r n a u s e “ p a s e a r á n
a lo la r g o ’’ d e A y d L ,re s p e c tiv a m e n te , y p o r lo ta n t o r e a liz a r á n u n tra b a jo
virtu a l e x te r n o d e I • A s o b r e e l c u e r p o y u n tra b a jo virtu a l in te r n o d e u - d L
s o b r e e l e le m e n to . S i s e to m a e n c u e n ta q u e e l t r a b a j o v ir tu a l e x t e r n o e s
ig u al a l tr a b a jo v ir tu a l in t e r n o r e a liz a d o e n to d o s lo s e le m e n to s d el
c u e r p o .e s p o s ib le e s c r ib ir la e c u a c ió n d el tr a b a jo v ir tu a l c o m o
d o n d e
P ' = l = c a rg a u n it a r i a v ir tu a l e x te r n a q u e a c tú a e n la d ir e c c ió n d e A.
u - carg a v irtu al in te rn a q u e a c tú a s o b r e e l e le m e n to e n la d ire c c ió n d e d L
A = d e s p la z a m ie n to e x t e m o c a u s a d o p o r la s c a rg a s re a le s .
d L = d e f o r m a c ió n in t e r n a d e l e le m e n to c a u s a d a p o r la s c a r g a s re a le s .
A l e l e g i r P = 1, p u e d e v e r s e q u e la s o lu c ió n p a r a A re s u lta d i r e c t a ­
m e n te , p u e s to q u e A - l u d L .
D e m a n e r a p a r e c id a , si d e b e n d e te r m i n a r s e e l d e s p la z a m ie n to r o t a c io ­
n al o l a p e n d ie n t e d e la t a n g e n t e e n u n p u n t o s o b r e u n a e s t r u c tu r a , se
a p lic a u n m o m e n t o d e p a r v ir tu a l M ’ co n m a g n itu d u n it a r i a e n e l p u n to .
C ó m o c o n s e c u e n c ia , e s t e m o m e n to d e p a r c a u s a u n a c a rg a v ir tu a l u # en
u n o d e lo s e le m e n to s d e l c u e r p o . Si s e s u p o n e q u e la s c a r g a s r e a l e s d e f o r ­
m a n e l e le m e n to u n a c a n ti d a d d L , la r o t a c ió n 0 p u e d e e n c o n tr a r s e a p a r ­
tir d e la e c u a c ió n d e l tr a b a jo v ir tu a l
d o n d e
M '= 1 = m o m e n to d e p a r u n it a r i o v ir tu a l e x t e r n o q u e a c tú a e n la
d ire c c ió n d e 6.
u e - c a r g a v ir tu a l i n t e r n a q u e a c tú a s o b r e u n e le m e n to e n la d ir e c c ió n
dc d L .
0= d e s p la z a m ie n to r o ta c io n a l e x t e r n o o p e n d ie n t e e n ra d ia n e s
c a u s a d o s p o r la s c a r g a s re a le s .
d L = d e fo r m a c ió n in t e r n a d e l e le m e n to c a u s a d a p o r la s c a r g a s re a le s .
E s te m é to d o p a r a a p li c a r e l p r in c ip io d e l t r a b a j o v ir tu a l s e c o n o c e
c o m ú n m e n te c o m o e l m é to d o d e la s fu e r z a s v ir tu a le s ,d a d o q u e s e a p lic a
u n a f u e r z a v ir tu a l d e lo q u e r e s u lta e l c á lc u lo d e u n d e s p la z a m ie n to rea l.
E n e s te c a s o , la e c u a c ió n d e l tr a b a jo v ir tu a l r e p r e s e n ta u n re q u isito d e
c o m p a tib ilid a d p a ra la e s tr u c tu r a . A u n q u e a q u í n o e s im p o r t a n te , o b ­
s e r v e q u e ta m b ié n e s p o s ib le a p lic a r e l p r in c ip io d e l t r a b a j o v ir tu a l c o m o
p
-------------j--------------c a rg a s v ir tu a le s
1 • A = l u - d L
l l
1 - 0 = 2 u e ‘ d L
t 1 _
ca rg a s v ir tu a le s
(9 -1 4 )
d e s p la z a m ie n to s re a le s

370. 3 4 8 Ca p i t u l o 9 De f l e x i o n e s e m p l e a n d o m é t o d o s d e e n e r g í a
u n m é to d o d e d e s p la z a m ie n to s v ir tu a le s . E n e s t e c a s o .s e im p o n e n d e s p l a ­
z a m ie n to s v ir tu a le s s o b r e la e s t r u c tu r a c u a n d o é s t a s e e n c u e n t r a s o m e ­
ti d a a carg a s r e a le s . E s te m é to d o p u e d e u s a r s e p a r a d e te r m i n a r u n a
f u e r z a s o b r e o d e n t r o u n a e s tr u c tu r a ,* d e m o d o q u e la e c u a c ió n d e l t r a ­
b a jo v ir tu a l s e e x p r e s a e n to n c e s c o m o u n r e q u isito d e e q u ilib r io .
E l m é to d o d e l tr a b a jo v ir tu a l p u e d e u s a r s e p a r a d e t e r m i n a r e l d e s p la z a ­
m i e n to d e u n a j u n t a d e a r m a d u r a c u a n d o la a r m a d u r a e s tá s o m e ti d a a
u n a c a r g a e x t e r n a , a u n c a m b io d e t e m p e r a t u r a , o p o r e r r o r e s d e fa b r ic a -
g u ra 9 -7a. A q u í, u n m ie m b r o típ ic o d e la a r m a d u r a s e r í a u n o d e s u s ele-
o c a s io n a n u n a re s p u e sta m a te r ia l lin e a l e lá s tic a .es t e m ie m b r o s e d e f o r m a
e n u n a c a n t i d a d A /. - N L / A E.d o n d e N e s la f u e r z a n o r m a l o a x ia l e n e l
e le m e n to , c a u s a d a p o r la s c a rg a s . S i s e a p lic a la e c u a c i ó n 9 -1 3 , e n to n c e s
la e c u a c i ó n d e l tr a b a jo v ir tu a l p a r a la a r m a d u r a e s
1 = c a rg a u n it a r i a v ir tu a l e x te r n a q u e a c tú a s o b r e la j u n t a d e la
n = f u e r e a n o r m a l v ir tu a l in t e r n a e n u n e le m e n to d e u n a a r m a d u r a
c a u s a d a p o r la c a r g a u n ita r ia v ir tu a l e x te r n a .
A = d e s p la z a m ie n to e x t e r n o d e la ju n t a c a u s a d o p o r las c a r g a s r e a le s
s o b r e la a r m a d u r a .
N = fu e rz a n o r m a l in t e r n a e n u n e le m e n to d e la a r m a d u r a c a u s a d a
p o r la s c a r g a s re a le s .
L = lo n g itu d d e u n e le m e n to .
A * á r e a tr a n s v e r s a l d e u n e le m e n to .
E - m ó d u lo d e e la s tic id a d d e u n e le m e n to .
La f o r m u la c ió n d e e s t a e c u a c ió n se s ig u e e n fo r m a n a tu r a l d e l d e s a r r o ­
llo e n la se c c ió n 9 -3 . A q u í la c a r g a u n it a r i a v ir tu a l e x t e m a c r e a fu e r z a s
v ir tu a le s in t e r n a s n e n c a d a u n o d e lo s e le m e n to s d e la a r m a d u r a . E n t o n ­
c e s la s c a rg a s re a le s h a c e n q u e la ju n t a d e la a r m a d u r a s e d e s p la c e A e n
la m ism a d ir e c c ió n q u e la c a r g a u n it a r i a v ir tu a l, y q u e c a d a e le m e n to se
d e s p la c e N L / A E e n la m is m a d ir e c c ió n q u e s u re s p e c tiv a f u e r z a n . E n
c o a s e c u e n c i a .e l tr a b a jo v ir tu a l e x t e r n o 1 - A e s ig u a l a l tr a b a jo v ir tu a l in ­
t e r n o o la e n e r g ía d e d e f o r m a c ió n in t e r n a ( v ir tu a l) a lm a c e n a d a e n to d o s
lo s e le m e n to s d e l a a r m a d u r a .e s d e c i r , Y n N L / A E .
9 .4 M é to d o del tra b a jo virtu a l:
A rm a d u ra s
Aplicación de la carga unitaria virtual en R
(a)
I
d ó n . A c o n t i n u a d ó n s e a n a liz a r á c a d a u n a d e e s t a s s itu a c io n e s .
Carga externa. P a ra f a c ilita r la e x p li c a d ó n . c o n s id e r e e l d e s p la z a ­
m i e n to v e r t ic a l A d e u n a j u n t a H d e la a r m a d u r a q u e s e m u e s tra e n la f¡-
m e n to s c o n lo n g itu d L , fig u ra 9 -7b . Si la s c a r g a s a p lic a d a s P | y P }
(9 - 1 5 )
Aplicación de las cargas reales P |, Pj
(b)
d o n d e
f i g ó n 9 - 7 a r m a d u r a e n la d ir e c c ió n in d ic a d a d e A
•Así se usó en la sección 6-3 en relación con el principio de MUller-Brcslau.

371. 9 . 4 M é t o d o d e l t r a b a j o v i r t u a l: Ar m a d u r a s 3 4 9
Temperatura. E n a lg u n o s c a s o s , lo s e le m e n to s d e u n a a r m a d u r a
p o d r ía n c a m b ia r s u lo n g i tu d d e b id o a la te m p e r a t u r a . S i o es e l c o e f i­
c ie n te d e e x p a n s ió n té r m ic a d e u n e l e m e n t o y ATe s e l c a m b io e n s u t e m ­
p e r a t u r a , e l c a m b io e n la lo n g i tu d d e u n e le m e n to e s A L - a A 7* L .P o r lo
ta n to , e l d e s p la z a m ie n to d e u n a j u n t a s e le c c io n a d a e n u n a a r m a d u r a d e ­
b id o a e s t e c a m b io d e te m p e r a t u r a p u e d e d e te r m i n a r s e a p a r t i r d e la
e c u a c ió n 9 -1 3 , e s c r ita c o m o
1 • A = 2 / i o A T L (9 - 1 6 )
d o n d e
1 = c a rg a u n it a r i a v ir tu a l e x te r n a q u e a c tú a s o b r e la j u n t a
d e la a r m a d u r a e n e l s e n t id o in d ic a d o d e A .
n ■ fu e rz a n o r m a l v ir tu a l in t e r n a e n u n e le m e n to d e u n a a r m a d u r a
c a u s a d a p o r la c a r g a u n ita r ia v ir tu a l e x te r n a .
A = d e s p la z a m ie n to e x te r n o d e la ju n t a c a u s a d o p o r e l c a m b io d e
te m p e r a tu r a .
a = c o e fic ie n te d e e x p a n s ió n té r m ic a d e l e le m e n to .
AT = c a m b io e n la t e m p e r a t u r a d e l e le m e n to .
L = lo n g itu d d e l e le m e n to .
Errores de fabricación y comba. E n o c a s io n e s p u e d e n p r e s e n ­
ta r s e e r r o r e s d e f a b r ic a c ió n e n la s lo n g itu d e s d e lo s e le m e n to s d e u n a a r ­
m a d u r a . A d e m á s , e n a lg u n o s c a s o s e s n e c e s a r io h a c e r lo s e le m e n to s u n
p o c o m ás la r g o s o m á s c o r t o s p a ra o b t e n e r u n a c o m b a e n la a r m a d u r a .
L a c o m b a s u e le c o n s tr u ir s e e n u n a a r m a d u r a d e p u e n te p a r a q u e la
c u e r d a in f e r io r s e c u rv e h a c ia a r r ib a e n u n a c a n tid a d e q u iv a l e n te a la d e ­
fle x ió n h a c ia a b a jo d e la c u e r d a c u a n d o e s t á s o m e tid a a to d o e l p e s o
m u e r to d e l p u e n te . S i u n e le m e n to d e l a a r m a d u r a e s m á s o m e n o s la r g o
d e lo p r e v is to , e l d e s p la z a m ie n to d e u n a j u n t a d e la a r m a d u r a r e s p e c to a
s u p o s ic ió n e s p e r a d a p u e d e d e te r m i n a r s e m e d i a n te la a p lic a c ió n d i r e c t a
d e la e c u a c i ó n 9 -1 3 , e s c r ita c o m o
1 • A = 2 / i A L (9 - 1 7 )
d o n d e
1 = c a rg a u n it a r i a v ir tu a l e x te r n a q u e a c tú a s o b r e la j u n t a
d e la a r m a d u r a e n la d ir e c c ió n in d ic a d a d e A.
n = f u e r z a n o r m a l v ir tu a l in t e r n a d e u n e le m e n to d e u n a a r m a d u r a
c a u s a d a p o r la c a r g a u n it a r i a v ir tu a l e x te r n a .
A = cfcsplaza m ie n to e x t e r n o d e la ju n t a o c a s io n a d o p o r lo s e r r o r e s
d e f a b r ic a c ió n .
AL = d if e r e n c ia e n lo n g itu d d e l e le m e n to r e s p e c to a s u ta m a ñ o
e s p e r a d o a c a u s a d e u n e r r o r d e f a b r ic a c ió n .
S i s o b r e la a r m a d u r a a c tú a n c a rg a s e x te r n a s y a lg u n o s d e lo s e le m e n to s
e s t á n s o m e tid o s a u n c a m b io té r m ic o o s e h a n f a b r ic a d o c o n d im e n s io ­
n e s in c o r re c ta s , s e r á n e c e s a r ia u n a c o m b in a c ió n d e lo s la d o s d e r e c h o s d e
las e c u a c io n e s 9 -1 5 a 9-17.

372. 3 5 0 Ca p i t u l o 9 D e f l e x i o n e s e m p l e a n d o m é t o d o s d e e n e r g í a
Procedim iento de análisis
E l s ig u ie n te p r o c e d im ie n to p u e d e u s a r s e p a r a d e t e r m i n a r u n d e s p la z a m ie n to e s p e c ífic o
d e c u a lq u ie r j u n t a e n u n a a r m a d u r a a p lic a n d o e l m é t o d o d e l tr a b a jo v ir tu a l.
F u e r z a s v ir tu a l e s n
• C o lo q u e la c a r g a u n it a r i a s o b r e l a a r m a d u r a e n la j u n t a d o n d e d e b e d e te r m i n a r s e el
d e s p la z a m ie n to . L a c a rg a d e b e e s t a r e n la m ism a d ir e c c ió n q u e e l d e s p la z a m ie n to e s ­
p e c ific a d o , p o r e je m p lo , h o r iz o n ta l o v e rtic a l.
• C o n la c a r g a u n ita r ia c o lo c a d a d e e s t a m a n e r a y c o n t o d a s la s c a r g a s r e a l e s retiradas
d e la v ig a , u tilic e e l m é to d o d e lo s n u d o s o e l m é to d o d e la s s e c c io n e s y c a lc u le la
f u e r z a i n t e r n a n e n c a d a e le m e n to d e la a r m a d u r a . S u p o n g a q u e la s fu e r z a s d e te n s ió n
s o n p o s itiv a s y q u e las fu e r z a s d e c o m p r e s ió n s o n n e g a tiv a s .
F u e r z a s r e a l e s N
• U s e e l m é to d o d e las s e c c io n e s o e l m é t o d o d e lo s n u d o s p a r a d e t e r m i n a r l a f u e r z a N
e n c a d a e le m e n to . E s ta s f u e r z a s s o n c a u s a d a s ú n ic a m e n te p o r la s c a rg a s r e a le s q u e
a c tú a n s o b r e la a r m a d u r a . U n a v e z m ás, s u p o n g a q u e la s fu e r z a s d e te n s ió n s o n p o s i ti­
v a s y q u e la s f u e r z a s d e c o m p r e s ió n s o n n e g a tiv a s .
E c u a c ió n d e l t r a b a j o v ir tu a l
• A p liq u e la e c u a c ió n d e l tr a b a jo v irtu a l, p a r a d e t e r m i n a r e l d e s p la z a m ie n to d e s e a d o .
E s im p o r ta n te c o n s e r v a r e l s ig n o a lg e b r a ic o d e c a d a u n a d e las f u e r z a s n y N c o r r e s ­
p o n d ie n te s a l s u s titu ir e s t o s té r m in o s e n la e c u a c ió n .
• Si la s u m a to r i a r e s u lta n t e 'L n N L / A E es p o s itiv a , e l d e s p la z a m ie n to A tie n e la m ism a
d ir e c c ió n q u e l a c a rg a u n ita r ia . S i s e o b ti e n e u n v a lo r n e g a tiv o . A es o p u e s t o a la c a r g a
u n ita ria .
A l a p li c a r 1 • A = I n a A T L , te n g a e n c u e n ta d e q u e s i a lg u n o d e lo s e le m e n to s e x p e r i ­
m e n ta u n a u m e n to d e te m p e r a tu r a , AT s e r á p o s i ti v o ,e n ta n t o q u e u n a á s m in u c i ó n de
la te m p e r a tu r a r e s u lta r á e n u n v a l o r n e g a tiv o p a r a A T.
P a ra q u e 1 • A = Z /i A /..c u a n d o u n e r r o r d e f a b r ic a c ió n a u m e n ta la lo n g i tu d d e u n e l e ­
m e n to , A L e s p o s i ti v a .e n ta n t o q u e u n a d is m in u c ió n d e la lo n g i tu d e s n eg a tiva .
A l a p lic a r c u a lq u ie r fó rm u la d e b e p r e s ta r s e a te n c ió n a la s u n id a d e s d e c a d a c a n tid a d n u ­
m é ric a . E n p a r tic u la r , a l a c a r g a u n it a r i a v ir tu a l p u e d e a s ig n á rs e le c u a lq u i e r u n id a d
a r b i tr a r ia (Ib, k ip , N , e t c ) , p u e s to q u e la s f u e r z a s n te n d r á n e s t a s m is m a s u n id a d e s ,y e n
c o n s e c u e n c ia las u n id a d e s , ta n t o d e la c a r g a u n it a r i a v ir tu a l c o m o d e la s fu e r z a s n se
c a n c e la r á n a a m b o s la d o s d e la e c u a c ió n .

373. 9 . 4 M é t o d o d e l t r a b a j o v i r t u a l: Ar m a d u r a s 3 5 1
D e te r m in e e l d e s p la z a m ie n to v e r tic a l d e la j u n t a C d e la a r m a d u r a d e
a c e ro q u e s e m u e s tr a e n la fig u ra 9-8a . E l á r e a d e la s e c c ió n tr a n s v e r ­
s a l d e c a d a e le m e n to e s A = 0.5 p u lg 2 y E = 2 9 (1 0 ’ ) ksi.
S O L U C IÓ N
F u e rza s v ir tu a le s n . S ó lo s e c o lo c a u n a c a rg a v e rtic a l d e 1 k e n la
ju n t a C y la f u e r z a e n c a d a e le m e n to s e c a lc u la a p lic a n d o e l m é to d o
d e lo s n u d o s . L o s re s u lta d o s s e m u e s tr a n e n la fig u ra 9 -8¿>. I-os n ú m e ­
ro s p o s itiv o s in d ic a n f u e r z a s d e te n s ió n y lo s n ú m e r o s n e g a tiv o s i n d i ­
c a n fu e r z a s d e c o m p r e s ió n .
F u e rza s re a le s N . L a s fu e r z a s r e a le s e n lo s e le m e n to s s e c a lc u la n
u s a n d o e l m é to d o d e lo s n u d o s . L o s re s u lta d o s s e m u e s tr a n e n la fi­
g u r a 9 -8c.
- 0 3 3 3 k
E c u a c ió n d e l tr a b a jo v ir tu a l.
tar, s e ti e n e
A l d is p o n e r lo s d a t o s e n f o r m a ta b ú - 0 3 3 3 k
E lem en to n (k) N (k) L (pies) nN L (le2 • pie)
A B 0.333 4 10 13.33
B C 0.667 4 10 26.67
CD 0.667 4 10 26.67
D E -0 .9 4 3 -5 .6 6 14.14 75.42
F E -0 .3 3 3 - 4 10 13.33
E B -Ü 4 7 1 0 14.14 0
B F 0.333 4 10 13.33
A F -0.471 -5 .6 6 14.14 37.71
C E 1 4 10 40
E n to n c e s . l k - A c . =
~ n N L
¿ A E
2 4 6 .4 7 k 2 - p ie
A E
2246.47
1 k
fuerzas virtuales n
( b )
.Si s e c o n v ie r te n la s u n id a d e s d e lo n g itu d d e l e l e m e n t o a p u lg a d a s y se
s u s titu y e n lo s v a lo r e s n u m é r ic o s d e A y £ , re s u lta
(2 4 6 .4 7 k 2 • p i e ) (12 p u l g / p i e )
1 k • A c , =
f u e r z a s r e a l e s N
(c)
fig u ra 9 -8
(0 .5 p u lg 2)( 2 9 ( 1 0 3) k /p w lg 2)
0 .2 0 4 p u lg R esp.

374. 3 5 2 C a p i t u l o 9 D e f l e x i o n e s e m p l e a n d o m é t o d o s d e e n e r g í a
E l á r e a d e la se c c ió n tr a n s v e r s a l d e c a d a e le m e n to d e la a r m a d u r a q u e
te r m in e e l d e s p la z a m ie n to v e r tic a l d e la j u n t a C s i s e a p lic a u n a fu e rz a
d e 4 k N s o b r e la a r m a d u r a e n C . ( b ) S i n in g u n a c a r g a a c tú a s o b r e la
v ig a , ¿ c u á l s e r ía e l d e s p la z a m ie n to v e r tic a l d e la j u n t a C á e l e le m e n to
A R f u e r a 5 m m m á s c o r to d e lo e s p e r a d o ?
F u e rz a s v ir tu a le s n . D a d o q u e d e b e d e te r m in a r s e e l desplaza­
miento v e r tic a l d e la j u n t a C ,s e a p lic a u n a f u e r z a v ir tu a l d e 1 k N e n C
c o n d ir e c c ió n v e r tic a l. L a s u n id a d e s d e e s t a f u e iz a s o n la s m is m a s q u e
la s d e l a c a r g a re a l. S e c a lc u la n la s r e a c c io n e s e n lo s s o p o r t e s A y B y
d e s p u é s s e d e te r m i n a la f u e r z a N e n c a d a e le m e n to p o r e l m é to d o d e
lo s n u d o s , c o m o s e m u e s tr a e n lo s d ia g r a m a s d e c u e r p o lib r e d e la s
j u n t a s A y B,f i g u r a 9 -9b.
F u e rz a s re a le s N . E n la fig u ra 9 -9 c se m u e s tr a e l a n á lis is d e la s j u n ­
ta s A y B c u a n d o s e a p lic a la c a rg a re a l d e 4 k N s o b r e la a r m a d u r a .
c
( a )
Figura 9 -9
S O L U C IÓ N
In c is o (a)

375. 9 . 4 M é t o d o d e l t r a b a j o v i r t u a l: Ar m a d u r a s 3 5 3
1.5 kN 1.5 kN
4 k N
(C)
2 .5 k N
► 2 k N
1 5 kN
h ie r v a s r e a l e s N
E cuación d e l tr a b a jo v ir t u a l. C o m o A E e s c o n s t a n te , c a d a u n o d e
b s té r m in o s n N L p u e d e c a lc u la r s e y d is p o n e r s e e n f o r m a ta b u la r .
A q u í lo s n ú m e r o s p o s itiv o s in d ic a n f u e r z a s d e te n s ió n y lo s n ú m e r o s
n e g a tiv o s in d ic a n f u e r z a s d e c o m p r e s ió n .
S e m e n tó n (kN) N (kN) M m ) n N L (kN2 • m)
A B Q667 2 8 10.67
A C -0.833 2.5 5 -10.41
C B -0.833 - 2 .5 5 10.41
210.67
rt>r lo ta n to .
1 k N • A c> = 2
n N L 10.67 k N 2 - m
A E A E
A l s u s titu ir lo s v a lo r e s A = 400 m m ? = 4 0 0 ( 1 0 6) m 2, E = 200 G P a
200 (1 0 6) k N / m 2,s e ti e n e
10.67 k N 2 - m
Cr 4 0 0 (1 0 ~ 6) m 2(2 0 0 (1 0 6) k N /m 2)
A c . = 0 .0 0 0 1 3 3 m = 0.1 3 3 m m R esp.
Inciso (b ). A q u í d e b e a p lic a r s e l a e c u a c ió n 9-17. C o m o se d e s e a d e ­
te r m in a r e l d e s p la z a m ie n to v e r tic a l d e C , p u e d e n u s a r s e lo s r e s u lta ­
d o s d e la fig u ra 9 -7 6 . S ó lo e l e le m e n to A B e x p e r im e n ta u n c a m b io e n
su lo n g itu d , e s t o es. d e AL = - 0 .0 0 5 m . E n to n c e s .
2 5 k N
2 k N ^ B
1.5 kN
1 • A = 2 / i A L
1 k N • Ac , = (0.667 k N ) ( - Q 0 0 5 m )
Ac = - 0 .0 0 3 3 3 m = - 3 . 3 3 m m R esp.
E l s ig n o n e g a tiv o in d ic a q u e la j u n t a C s e d e s p la z a h a cia a rr ib a,e n fo rm a
o p u e s ta a la c a rg a v e r t ic a l d e 1 k N . O b s e r v e q u e s i s e to m a n e n c u e n ta
b c a r g a d e 4 k N y e l e r r o r d e fa b r ic a c ió n , e l d e s p la z a m ie n to r e s u l­
ta n t e e s ACt = 0 .1 3 3 - 3 .3 3 = - 3 . 2 0 m m (h a c ia a r r ib a ) .

376. 3 5 4 C a p i t u l o 9 D e f l e x i o n e s e m p l e a n d o m é t o d o s d e e n e r g í a
EJEMPLO 9.3
p a r e d , I | C
D
2p u l f?
D e te r m in e e l d e s p la z a m ie n to v e r tic a l d e la j u n t a C d e la a r m a d u r a
q u e s e m u e s tra e n la fig u ra 9 - l ü u . D e b id o a l c a lo r r a d ia n te d e la p a r e d ,
e l e l e m e n t o A D e s tá s o m e tid o a u n a u m e n to e n la te m p e r a t u r a d e A T
= + 120°F. C o n s id e r e q u e a = 0 .6 ( 1 0 - 5) / " F y q u e E = 2 9 (1 0 3) k s i. E l
á re a d e la s e c c ió n tr a n s v e rs a l d e c a d a e l e m e n t o s e in d ic a e n la fig u ra .
i k i k
o
f u e r z a s v i r t u a l e s n
<b)
f u e r z a s r e a l e s N
(c)
S O L U C IÓ N
F u e rz a s v ir tu a le s n . Se a p lic a u n a c a r g a ve rtica l d e I k s o b r e la a r ­
m a d u r a e n la j u n t a C y s e c a lc u la n la s f u e r z a s e n lo s e le m e n to s , fig u ra
9-106.
F u e rz a s re a le s N . C o m o la s fu e r z a s n e n lo s e le m e n to s A B y B C
s o n ig u a le s a c e r o , n o e s n e c e s a r io c a lc u la r la s f u e r z a s N e n e s o s e l e ­
m e n to s . ¿ P o r q u é ? S in e m b a r g o , c o n e l p r o p ó s ito d e c o m p le ta r e l m é ­
to d o , e n la fig u ra 9 - 10c * m u e s tr a e l a n á lis is d e to d a s la s fu e r z a s re a le s .
E c u a c ió n d e l tr a b a jo v ir tu a l. T a n to la s c a r g a s c o m o la te m p e r a ­
tu r a a f e c ta n la d e f o r m a c i ó n ; p o r lo ta n t o , la s e c u a c io n e s 9 -1 5 y 9 -1 6 se
c o m b in a n . Si s e e m p l e a n u n id a d e s d e k ip s y p u lg a d a s , r e s u lta
1 - A c .
(0 .7 5 ) ( 1 2 0 ) ( 6 ) ( 12) ( 1 ) ( 8 0 ) ( 8 ) ( 1 2 )
2 [2 9 (1 0 3)] 2 (2 9 (1 0 3)]
( 1 -2 5 )( —100) (1 0 ) (1 2 )
1 .5 I2 9 ( 1 0 3) ]
A Cw = 0 .6 5 8 p u l g
+ ( 1 ) (0 .6 ( 10-5 ) J (1 2 0 ) ( 8 ) (1 2 )
R esp.

377. 9 . 5 Te o r e m a d e Ca s t g u a n o
9 . 5 Teorem a d e C astigliano
E n 1 8 7 9 , A lb e r t o C a s tig lia n o , in g e n ie r o ita lia n o d e f e r r o c a r r ile s , p u b lic ó u n
lib ro e n e l q u e e x p o n ía u n m é to d o p a r a d e te r m i n a r la d e fle x ió n o la p e n ­
d ie n te e n u n p u n t o e n u n a e s t r u c tu r a , e n u n a a r m a d u r a , u n a v ig a o u n
m a rc o . E s te m é to d o , c o n o c id o c o m o e l s e g u n d o te o r e m a d e C a s tig lia n o , o el
m é to d o d e l tr a b a jo m í n i m o ,s ó l o a p lic a a la s e s t r u c tu r a s q u e t i e n e n u n a t e m ­
p e r a t u r a c o n s t a n te , s o p o r te s q u e n o c e d e n y r e s p u e s ta m a t e r i a l elá stic a li­
n e a l. S i d e b e d e te r m in a r s e e l d e s p la z a m ie n to d e u n p u n to , e l te o r e m a e s t a ­
b le c e q u e é s t e e s ig u a l a la p r i m e r a d e r i v a d a p a rc ia l d e la e n e r g í a d e
d e f o r m a c ió n e n la e s t r u c t u r a c o n r e s p e c to a u n a f u e r z a q u e a c t ú a e n el
p u n to y e n la d ir e c c ió n d e l d e s p la z a m ie n to . O e u n a m a n e r a p a r e c i d a , la
p e n d ie n te e n u n p u n t o d e u n a e s t r u c tu r a e s ig u a l a l a p r im e r a d e r iv a d a p a r ­
c ia l d e la e n e r g ía d e d e f o r m a c ió n e n la e s t r u c tu r a c o n r e s p e c to a u n m o ­
m e n to d e p a r q u e a c tú a e n e l p u n t o y c o n la d ir e c c ió n d e la ro ta c ió n .
P a r a o b t e n e r e l s e g u n d o te o r e m a d e C a s tig lia n o . c o n s id e r e u n c u e r p o
( e s tr u c tu r a ) d e c u a lq u ie r f o r m a a r b i tr a r ia q u e e s t á s o m e tid o a u n a s e r ie d e
n fu e r z a s /* ,, P2
........P„. C o m o e l t r a b a j o e x t e r n o r e a liz a d o p o r e s t a s c a rg a s
e s ig u a l a la e n e r g ía d e d e f o r m a c ió n i n t e r n a a lm a c e n a d a e n e l c u e r p o ,
p u e d e e s c r ib ir s e
A h o r a b ie n , s i c u a lq u i e r a d e la s fu e rz a s , p o r e je m p lo P t, s e in c r e m e n ta e n
u n a c a n tid a d d if e r e n c ia l d P t, e l tr a b a jo in t e r n o ta m b ié n a u m e n t a d e m o d o
q u e la m u e v a e n e r g ía d e d e f o r m a c ió n s e c o n v ie r te e n
S in e m b a r g o , e s t e v a lo r n o d e b e d e p e n d e r d e la s e c u e n c ia e n la q u e e s t a s n
fu e r z a s s e a p lic a n a l c u e r p o . P o r e je m p lo , s i p r im e r o se a p lic a d P , al c u e r p o ,
e s to h a rá q u e e l c u e rp o s e d e s p la c e u n a c a n tid a d d ife re n c ia l d& t en la dirección
d e d P r P o r la ecu ació n 9 - 3 ( u f = } P A ), e l in c re m e n to d e la e n e rg ía d e d e f o r ­
m a c ió n s e r í a \ d P , d ¡ s t. S in e m b a r g o , e s t a c a n t i d a d e s u n d if e r e n c i a l d e
s e g u n d o o r d e n y p u e d e p a s a r s e p o r a l t a U n a a p lic a c ió n p o s t e r io r d e las
c a r g a s /* ,. P ^ ,..., Pn q u e d e s p la z a r ía a l c u e r p o A ,. A2, . . . , A ,,,p ro d u c ir ía la s i­
g u ie n te e n e r g ía d e d e fo r m a c ió n .
A q u í, c o m o a n te s ,
U ¡ e s la e n e r g í a d e d e f o r m a c ió n in t e r n a e n e l c u e r p o , c a u ­
s a d a p o r la s c a r g a s P \ , P-¡_ P„ y d U t = d P ,A , e s la e n e r g ía d e d e f o r m a c ió n
a d ic io n a l c a u s a d a p o r d P , ( e c u a c ió n 9 -4 , U , = /'A ') ,
E n r e s u m e n , la e c u a c ió n 9 -1 8 r e p r e s e n ta la e n e r g ía d e d e f o r m a c ió n e n el
c u e r p o .d e t e r m in a d a a l a p lic a r p r i m e r o la s c a r g a s P \. P i P„, d e s p u é s d P ,.
y la e c u a c ió n 9 -1 9 r e p r e s e n ta la e n e r g ía d e d e f o r m a c ió n d e te r m i n a d a al
(9 - 1 8 )
U , + d U , = U ¡ + d P ,A , (9 - 1 9 )

378. 3 5 6 Ca p i t u l o 9 D e f l e x i o n e s e m p l e a n d o m é t o d o s d e e n e r g í a
a p lic a r p r i m e r o dP ¡ y lu e g o las c a r g a s P \ , P i,-- -. P n• C o m o e s t a s d o s e c u a ­
c io n e s d e b e n s e r ig u a le s , se r e q u i e r e q u e
k> q u e d e m u e s tr a e l te o r e m a : e s d e c ir , e l d e s p la z a m ie n to A, e n la d ir e c ­
c ió n d e P¡ es ig u a l a la p r i m e r a d e r iv a d a p a rc ia l d e la e n e r g ía d e d e f o r ­
m a c ió n c o n r e s p e c to a P ¡*
D e b e s e ñ a la r s e q u e la e c u a c ió n 9 -2 0 e s u n e n u n c ia d o a c e r c a d e la c o m ­
p a tib ilid a d d e la e s tr u c tu r a . A d e m á s , la d e d u c c ió n a n t e r i o r e x ig e q u e e n
e l a n á lis is s ó l o se c o n s id e r e n la s fu e r z a s c o n s e r v a d o r a s . E s ta s fu e r z a s
re a liz a n tr a b a jo q u e e s i n d e p e n d i e n te d e la tr a y e c to r ia y p o r lo t a n t o n o
c r e a n p é r d id a s d e e n e r g í a . C o m o la s f u e r z a s q u e c a u s a n u n a r e s p u e s ta li­
n e a l e lá s tic a s o n c o n s e r v a d o r a s , e l te o r e m a s e lim ita a u n c o m p o r ta ­
m ie n to lin e a l e lá s tic o tfcl m a te r ia l. E s to c o n s titu y e u n a d if e r e n c ia c o n e l
m é to d o d e la f u e r z a v ir tu a l a n a liz a d o e n l a se c c ió n a n te r io r , q u e se a p lic a
ta n to a l c o m p o r ta m ie n to e lá s ti c o c o m o al n o e lá s tic o .
9 .6 Teorem a d e C a stig lia no para
arm aduras
1.a e n e r g ía d e d e f o r m a c ió n p a r a u n e le m e n to d e u n a a r m a d u r a e s tá d a d a
p o r la e c u a c i ó n 9 -9 , U¡ -* N 2L / 2 A E . A l s u s titu ir e s t a e c u a c i ó n e n la e c u a ­
c ió n 9 -2 0 y s i s e o m ite e l s u b ín d ic e /.r e s u l t a
A = — y ] — —
d P 2 A E
P b r l o g e n e r a l e s m á s f á c il r e a l iz a r la d if e r e n c ia c ió n a n te s d e l a s u m a to -
ria . E n e l c a s o g e n e r a l L , A y E s o n c o n s ta n te s p a r a u n e le m e n to d a d o , y
p o r k) t a n t o p u e d e e s c r ib ir s e a s í
* ■
M m
(9 - 2 1 )
d o n d e
A = d e s p la z a m ie n to d e la j u n t a e x te r n a d e la a r m a d u r a .
P = fu e rz a e x te r n a a p lic a d a a la ju n t a d e la a r m a d u r a e n la d ire c c ió n
d e A.
N ■ fu e rz a in t e r n a e n u n e le m e n to c a u s a d a ta n to p o r la f u e r z a P c o m o
p o r la s c a r g a s s o b r e la a r m a d u r a .
L » lo n g itu d d e u n e le m e n to .
A = á r e a d e la se c c ió n tr a n s v e r s a l d e u n e le m e n to .
E = m ó d u lo d e e la s tic id a d d e u n e le m e n to .
* E I p r i m e r l e o r e m a d e C a s t i g l i a n o e s p a r e c i d o a s u s e g u n d o t e o r e m a ; sin e m b a r g o , r e l a ­
c i o n a la c a r g a P t c o n l a d e r i v a d a p a r d a l d e la e n e r g í a d e d e f o r m a d ó n r e s p e c t o a l d e s ­
p l a z a m i e n t o c o r r e s p o n d i e n t e , e s d e d r P , = d U / d1-a c o m p r o b a d ó n e s p a r e c i d a a la
d a d a a n t e r i o r m e n t e y , c o m o e l m é t o d o d e l d e s p l a z a m i e n t o v i r t u a l , e l p r i m e r t e o r e m a d e
C a s t i g l i a n o s e a p l i c a t a n t o a l c o m p o r t a m i e n t o m a t e r i a l c l á s t i c o c o m o a l n o c lá s tic o . E s te
t e o r e m a e s o t r a m a n e r a d e e x p r e s a r l o s r e q u is ito s d e e q u i l i b r i o p a r a u n a e s t r u c t u r a y,
p u e s to q u e t i e n e u n u s o m u y l i m it a d o e n e l a n á l i s i s e s t r u c t u r a l , n o s e a n a l i z a e n e s t e l i b r a

379. 9 . 6 T P O R E M A d e Ca s t i g l i a n o p a r a a r m a d u r a s
E s ta e c u a c ió n e s s e m e ja n t e a la q u e s e u tiliz a e n e l m é to d o d e l t r a b a j o
v irtu a l, e c u a c ió n 9 -1 5 (1 • A = 'Z n N L / A E ) , e x c e p t o q u e n se s u s titu y e
p o r d N /d P . O b s e r v e q u e c o n e l fin d e t e r m i n a r e s t a d e r i v a d a p a rc ia l s e r á
n e c e s a r io t r a t a r P c o m o u n a v a r ia b le ( n o u n a c a n ti d a d n u m é r ic a e s p e c í­
fica) y, a d e m á s , c a d a e le m e n to d e la f u e r z a N d e b e e x p r e s a r s e e n fu n c ió n
d e P . E n c o n s e c u e n c ia , e l c á lc u lo d e d N /d P g e n e r a lm e n te r e q u i e r e u n
p o c o m ás d e o p e r a c i o n e s q u e la s n e c e s a r ia s p a r a c a lc u la r c a d a f u e r z a n
d e m a n e r a d ir e c ta . ft» r s u p u e s to ,e s t o s té r m in o s s e r á n ig u a le s p o r q u e n o
d N /d P e s s im p le m e n te e l c a m b io d e la f u e r z a i n t e r n a d e l e le m e n to c o n
re s p e c to a la c a r g a P . o e l c a m b io e n la f u e r z a d e l e l e m e n t o p o r c a rg a
u n ita ria .
Procedim iento de análisis
E l s ig u ie n te p r o c e d im ie n to p r o p o r c io n a u n m é to d o q u e p u e d e u tiliz a rs e p a r a d e t e r m i ­
n a r e l d e s p la z a m ie n to d e c u a lq u i e r j u n t a d e u n a a r m a d u r a u s a n d o e l te o r e m a d e C a s ti­
g lia n o .
F u e rz a e x t e r n a P
• C o lo q u e u n a f u e r z a P s o b r e la a r m a d u r a e n la j u n t a d o n d e s e d e s e a d e te r m i n a r e l d e s ­
p la z a m ie n to . S e s u p o n e q u e e s t a f u e r z a ti e n e u n a m a g n itu d v a r ia b le c o n e l fin d e o b ­
t e n e r e l c a m b io S N /d P . A s e g ú re s e d e q u e P e s té d ir ig id a a lo la r g o d e la lí n e a d e
a c c ió n d e l d e s p la z a m ie n to .
F u e rz a s in te r n a s N
• D e te r m in e la f u e r z a .V e n c a d a e le m e n to c a u s a d a ta n t o p o r la s c a r g a s r e a le s ( n u m é r i ­
c a s ) c o m o p o r la f u e r z a v a r i a b le P . S u p o n g a q u e las fu e r z a s d e te n s ió n s o n p o s itiv a s y
q u e la s d e c o m p r e s ió n s o n n e g a tiv a s .
• C a lc u le la s d e r iv a d a s p a r c i a le s r e s p e c tiv a s d N /B P p a r a c a d a e le m e n to .
• D e s p u é s d e d e te r m i n a r N y d N /d P , a s ig n e a P s u v a lo r n u m é r ic o s i h a re e m p la z a d o
u n a f u e r z a re a l s o b r e la a r m a d u r a . D e lo c o n tr a r i o .c o n s id e r e q u e P e s ig u a l a c e ro .
T e o re m a d e C a s tig lia n o
• A p liq u e e l te o r e m a d e C a s tig lia n o p a r a d e te r m i n a r e l d e s p la z a m ie n to A d e s e a d o . E s
i m p o r ta n te c o n s e r v a r lo s s ig n o s a lg e b r a ic o s p a ra lo s v a lo r e s c o r r e s p o n d ie n te s d e N y
d N /d P a l s u s titu ir e s t o s té r m in o s e n la e c u a c ió n .
• Si la s u m a to r ia r e s u lta n t e 1 N ( d N / d P ) L / A E e s p o s itiv a , A tie n e la m is m a d ir e c c ió n
q u e P . S i s e o b tie n e u n v a lo r n e g a ti v o , A e s o p u e s t o a P .

380. 3 5 8 C a p i t u l o 9 D e f l e x i o n e s e m p l e a n d o m é t o d o s d e e n e r g í a
EJEMPLO
3 m
----------* - 4 k N
- U - — ——^
4 m
----------1
(3)
4 k N
D e te r m in e e l d e s p la z a m ie n to v e r tic a l d e la j u n t a C d e la a r m a d u r a
q u e s e m u e s tr a e n la fig u ra 9 -1 1 a . E l á r e a d e la se c c ió n tr a n s v e rs a l d e
c a d a e l e m e n t o e s A = 4 0 0 m m 2 y E - 200 G P a .
S O L U C IÓ N
F u e rz a e x te r n a P . S e a p lic a u n a f u e r z a v e r tic a l P s o b r e la a r m a ­
d u r a e n la j u n t a C , p u e s t o q u e e s d o n d e d e b e d e te r m in a r s e e l d e s p l a ­
z a m ie n to v e rtic a l, fig u ra 9 -1 1 6 .
F u e rz a s in te rn a s N . S e d e t e r m i n a n la s r e a c c io n e s e n lo s s o p o r te s
A y H d e la a r m a d u r a y lo s re s u lta d o s s e m u e s tr a n e n la fig u ra 9 -1 1 6 .
U tiliz a n d o e l m é to d o d e lo s n u d o s , s e d e t e r m i n a n la s f u e r z a s N en
c a d a e le m e n to , fig u ra 9 -1 l e * P o r c o n v e n ie n c ia , e s t o s re s u lta d o s j u n t o
c o n la s d e r iv a d a s p a r c i a le s A V /d P s e e n u n c ia n e n fo r m a t a b u l a r d e la
s ig u ie n te m a n e ra :
05 P - 1.5 kN 0 -5 P + 1 .5 k N
E l e m e n t o N
¿>N
d P
N ( P = 0 ) L
“ ( S >
A B 0 . 6 6 7P + 2 0 .6 6 7 2 8 1 0 .6 7
A C - ( 0 . 8 3 3 / ' - 2 . 5 ) - 0 . 8 3 3 2 .5 5 - 1 0 . 4 2
B C - ( 0 . 8 3 3 / * + 2 .5 ) - 0 . 8 3 3 - 2 . 5 5 1 0 .4 2
( b )
4 k N
Na c - 0 .8 3 3P - 2 -5 k N
- A Á
1 = 1 0 .6 7 k N • m
E n v is ta d e q u e P e n r e a l id a d n o e x is te c o m o u n a c a rg a r e a l s o b r e la
a r m a d u r a , s e r e q u i e r e q u e P = O e n la ta b l a a n te r io r .
T e o re m a d e C a * tig lia n o . A l a p li c a r la e c u a c ió n 9 -2 1 . s e ti e n e
10.67 k N • m
- 0 6 6 7P * 2 k N
0 - 5 P - 1 .5 k N
* \ d P J A E A E
N „ c - 0 * 3 3P + 2 .5 k N
Na» “ 0 .6 6 7 /* + 2 k N ♦
0 .5 /* + 1-5 k N
( c )
R g H M 9 - 1 1
Si se s u s tit u y e A = 400 m m 2 = 4 0 0 (1 0 “ 6) m 2. E = 200 G P a = 2 0 0 (1 09)
P a ,y la s u n id a d e s d e s e c o n v ie r te n d e k N a N .s e ti e n e
1 0 .6 7 (1 0 3) N * m
4 0 0 ( 10”6 ) m 2( 2 0 0 (1 0 * ) N /m 2)
0 .0 0 0 1 3 3 m = 0.1 3 3 m m
R esp.
E s ta s o lu c ió n d e b e c o m p a r a r s e c o n e l m é to d o d e l tr a b a jo v ir tu a l d e l
e je m p lo 9-2.
' Q u i z á s e a m á s c o n v e n i e n t e a n a l i z a r la a r m a d u r a s ó l o c o n la c a r g a d e 4 k N s o b r e e lla ,
y lu e g o a n a l i z a r la a r m a d u r a c o n la c a r g a P , D e e s t e m o d o p u e d e n s u m a r s e l o s r e s u l ­
t a d o s p a r a o b t e n e r la s f u e r z a s N .

381. 9 . 6 T E O R É M A d e Ca s t i g l i a n o p a r a a r m a d u r a s
EJEMPLO 9 .5
D e te r m in e el d e s p la z a m ie n to h o r iz o n ta l d e la j u n t a I ) efe la a r m a d u r a
q u e s e m u e s tr a e n la f ig u r a 9 - 17a. C o n s id e r e q u e E = 2 9 (1 0 3) k si. E l
á re a d e la s e c c ió n tr a n s v e r s a l d e c a d a e le m e n to s e in d ic a e n la fig u ra .
(b)
Figura 9-12
S O L U C IÓ N
F u e rz a e x te r n a P . C o m o d e b e d e te r m i n a r s e e l d e s p la z a m ie n to h o ­
riz o n ta l d e D, s e a p lic a u n a f u e r z a v a r ia b le h o r i z o n ta l P a la j u n t a D ,
fig u ra 9 -1 2b .
F u e rza s in te rn a s N. A p lic a n d o e l m é to d o d e lo s n u d o s , s e c a lc u la
la f u e r z a N e n c a d a e le m e n to .* U n a v e z m á s , a l a p lic a r la e c u a c ió n 9-21.
se e s t a b le c e P = 0 p o r q u e e s t a f u e r z a n o e x is te r e a l m e n t e s o b r e la a r ­
m a d u r a . L o s re s u lta d o s s e m u e s tr a n e n la fig u ra 9 -1 2 6 . A l d is p o n e r lo s
d a to s e n f o r m a ta b u l a r , se ti e n e
Elem ento N
d N
dP
N ( P = 0) L
A B -13.33 0 -13.33 12 0
B C -13.33 0 -13.33 12 0
C D 16.67 0 16.6715 0
D A 16.67 + 1.25/'1.25 16.6715 312.50
B D -(20 + 0.75 P) -0.75-20 9 135.00
T e o re m a d e C a s tig lia n o . A l a p lic a r la e c u a c ió n 9 - 2 1 , s e ti e n e
A _ y N ( M \ L_ = 0 + Q + o + 3 1 2 .5 0 k - p i e ( 12 p u l g / p i e ) + 13 5.00 k - p i e ( 1 2 p u lg / p ie )
¿ \ d P ) A E ~ (0 .5 p u lg 2)[2 9 (1 0 J ) k /p u lg 2! (0 .7 5 p u lg 2) [2 9 (1 0 3) k /p u l g 2]
= 0.3 3 3 p u lg R esp.
•Como en el ejempkj anterior, quizá lo recomendable sea realizar un análisis por sepa­
rado de la armadura cargada con 10 k y cargada con P, para después superponer los
resultados.

382. 3 6 0 C a p i t u l o 9 D e f l e x i o n e s e m p l e a n d o m é t o d o s d e e n e r g í a
EJEMPLO 9.6
D e te r m in e e l d e s p la z a m ie n to v e r tic a l d e l a j u n t a C d e la a r m a d u r a
q u e s e m u e s tr a e n la fig u ra 9 - 13a. S u p o n g a q u e A = 0.5 p u lg * y q u e E
= 2 9 (1 0 3) ksi.
S O L U C IÓ N
F u e rz a e x te r n a P . L a f u e r e a d e 4 k e n C s e s u s tit u y e p o r u n a fu e r z a
v a r ia b le P e n la j u n t a C . fig u ra 9 -1 3 6 .
F u e rz a s in te r n a s N. S e u s a e l m é to d o d e lo s n u d o s p a r a d e t e r ­
m in a r l a f u e r z a N e n c a d a e le m e n to d e la a r m a d u r a . L o s r e s u lta d o s
s e r e s u m e n e n l a fig u ra 9 -1 3 6 . A q u í . P = 4 k c u a n d o s e a p lic a la
e c u a c ió n 9 -2 1 . L o s d a t o s r e q u e r id o s p u e d e n d is p o n e r s e e n fo r m a
ta b u l a r d e l a s i g u ie n t e m a n e r a :
(a)
E l e m e n t o N
T r »
( P = 4 k ) L
A B 0.333P + 2 6 6 7 0333 4 10 13.33
B C 0.667P + 1.333 0.667 4 10 26.67
C D 0.667 P + 1.333 0.667 4 10 26.67
D E -(0 .9 4 3 /* + 1.886) -0.943 -5 .6 6 14.14 75.42
EF - ( 0 .3 3 3P + 2 6 6 7 ) -0 .3 3 3 - 4 10 13.33
FA -(0 .4 7 1 /* + 3.771) -0.471 -5 .6 6 14.14 37.71
R F 0.333 P + 2.667 0333 4 10 13.33
B E - 0 4 7 1P + 1.886 -0.471 0 14.14 0
C E P 1 4 10 40
2 = 246.47 k - p ie
T e o re m a d e C a s tig lia n o . Si s e s u s titu y e n lo s d a t o s e n la e c u a c ió n
9 -2 1 . r e s u lta
0.333/*+2.667k 4 k P
(b)
Figura 9 -1 3
L _ 246.47 k • p ie
A E A E
0.667/*+1333k
A l c o n v e r t ir la s u n id a d e s d e lo n g itu d d e l e le m e n to e n p u lg a d a s y a l
s u s titu ir e l v a lo r n u m é r ic o d e A E,s e ti e n e
(2 4 6 .4 7 k - p i e ) (12 p u l g / p i e )
¿ ^ ( 0 , p ^ ) ( M ( l t f ) W ) - a 2 0 4 p u ' 8
D e b e o b s e r v a r s e la s e m e ja n z a e n t r e e s t a s o lu c ió n y la d e l m é to d o
d e l t r a b a j o v ir tu a l, e je m p lo 9-1.

383. PROBLEMAS FUNDAM ENTALES
P 9 -1 9 -2
1 9 -3 . D eterm ine e l desplazam iento horizontal de la ju n ta A .
A F e s constante. U se el principio d el trab ajo virtual.
1-9-4. R esuelva el p ro b le m a F9-3 u san d o e l te o re m a de
Castigliano.
1 9 -7 9 - 8
1-9-9. D eterm ine e l desplazam iento vertical d e la ju n ta B.
A F e s constante. U tilice e l principio d e l trab ajo virtual.
19-10. R esuelva e l p ro b lem a F9-9 u san d o e l te o re m a de
Castigliano.
1 9 -3 /9 -4
F 9 -5 . D eterm ine el desplazam iento horizontal d e la ju n ta D .
A E c s constante. U se el principio d el trab ajo virtual.
1 9 -6 . R esuelva e l p ro b le m a F9-5 usando e l te o re m a de
C astigliano.
1 9 -9 9 - 1 0
I 9 - 1 L D eterm ine e l desplazam iento v ertical de la ju n ta C.
A E es constante. U se e l principio d e l trab ajo virtual.
19-12 . R esuelva el p ro b lem a F 9-11 usando el te o re m a de
Castigliano.
1 9 -1 . D eterm in e e l desplazam iento vertical de la ju n ta B.
A E e s co n stan te. U se el principio d el trab ajo virtual.
F 9 -2 . R esuelva el p ro b le m a F9-2 u san d o e l te o re m a de
Castigliano.
1 9 -7 . D eterm in e el desplazam iento vertical de la ju n ta D .
A E e s constante. U tilice e l principio d e l trab ajo virtual.
F 9 -8 . R esuelva el p ro b le m a F9-7 usando e l te o re m a de
Castigliano.
1 9 - 1 1 9 - 1 2

384. 3 6 2 C a p i t u l o 9 D e f l e x i o n e s e m p l e a n d o m é t o d o s d e e n e r g í a
P R O B L E M A S
9 - 1 . D e t e r m i n e e l d e s p l a z a m i e n t o v e r t i c a l d e l a j u n t a A .
C a d a b a r r a e s t á h e c h a d e a c e r o y ti e n e u n á r e a e n s u s e c c i ó n
tr a n s v e r s a l d e 6 0 0 m m ? . C o n s i d e r e q u e £ = 2 0 0 G P a U s e e l
m é t o d o d e l t r a b a j o v ir tu a l.
9 - 2 . R e s u e l v a e l p r o b l e m a 9 -1 u s a n d o e l t e o r e m a d e C a s t i ­
g lia n o .
9 - 7 . D e t e r m i n e e l d e s p l a z a m i e n t o v e r t i c a l d e l a j u n t a D.
U s e e l m é t o d o d e l t r a b a j o v i r tu a l. A E e s c o n s t a n t e . S u ­
p o n g a q u e lo s e l e m e n t o s e s t á n a r t i c u l a d o s e n s u s e x t r e m o s .
* 9 - 8 . R e s u e l v a e l p r o b l e m a 9 -7 u s a n d o e l t e o r e m a d e C a s ­
tig lia n o .
5 k N
P r o b s . 9 - 1 / 9 - 2
9 - 3 . D e t e r m i n e e l d e s p l a z a m i e n t o v e r t i c a l d e l a j u n t a B.
P a r a c a d a e l e m e n t o A = 4 0 0 m m \ £ = 2 0 0 G P a . U s e e l m é ­
t o d o d e l t r a b a j o v ir tu a l.
* 9 - 4 . R e s u e l v a e l p r o b l e m a 9 - 3 a s a n d o e l t e o r e m a d e C a s ­
tig lia n o .
9 - 5 . D e t e r m i n e e l d e s p l a z a m i e n t o v e r t i c a l d e l a j u n t a £ .
P a r a c a d a e l e m e n t o A = 4íX) m m 2, £ = 2 0 0 G P a . U s e e l m é ­
t o d o d e l t r a b a j o v ir tu a l.
9 - 6 . R e s u e l v a e l p r o b l e m a 9 - 5 u s a n d o e l t e o r e m a d e C a s t i ­
g lia n o .
9 - 9 . U s e e l m é t o d o d e l t r a b a j o v ir tu a l.
9 - 1 0 . R e s u e l v a e l p r o b l e m a 9 -9 u s a n d o e l t e o r e m a d e C a s ­
tig lia n o .
P r o b s . 9 - 7 Z 9 - 8
P r o b s . 9 -V 9 -4 /9 -5 E > -6 P r o b s . 9 - 9 / 9 - 1 0

385. 9 . 6 T P O R P M A o e C a s t i g h a n o p a r a a r m a d u r a s 3 6 3
9 - 1 1 . D eterm ine el desplazam iento vertical d e la ju n ta A .
EJ á re a d e la sección transversal d e c ad a e lem en to se indica
e n la figura. S u ponga q u e lo s e lem en to s e s tá n articu lad o s en
sus ex trem o s. £ = 29(10)3 ksi. U se el m éto d o d el trab ajo
virtual.
• 9 - 1 2 . R esuelva e l p ro b lem a 9-11 usando el te o re m a de
Castigliano.
9 - 1 3 . D eterm ine el desplazam iento h o rizontal de la ju n ta D .
Suponga q u e los elem entos e stán articulados e n sus ex tre­
mos. AF. es co n stan te. U se e l m ótodo d el trab ajo virtual.
9 - 1 4 . Resuelva e l p ro b lem a 9-13 u san d o e l teo rem a de
Castigliano.
9 -1 5 . D eterm ine el d esp lazam ien to v ertical d e la ju n ta C
d e la a rm a d u ra . C ada e le m e n to tiene u n á re a e n s u sección
transversal d e A ~ 3H) m m '. E ^ 200 G P a U se e l m éto d o
d el trab ajo virtual.
• 9 - 1 6 . R esuelva e l p ro b lem a 9-15 usando el teo rem a de
Castigliano.
H G F
9 - 1 7 . D eterm ine e l desplazam iento vertical d e la ju n ta A .
S uponga q u e lo s elem entos e stán articulados e n su s e x tre ­
mos. C onsidere q u e A = 2 p u lg 2 y E = 29Í103) p a ra c ad a
elem ento. U se e l m é to d o d el trab ajo virtual.
9 - 1 8 . R esuelva e l p ro b lem a 9-17 u san d o e l teo rem a de
Castigliano.
9 - 1 9 . D eterm ine e l d esp lazam ien to vertical d e la ju n ta A si
b s e le m e n to s A B y B C experim entan u n au m en to d e la
tem p eratu ra d e A T = 200 "F. C onsidere q u e A = 2 p u lg 2 y £
= 29(103)k si. A d e m á s .« = 6 .6 0 ( 10~ V F
• 9 - 2 0 . D eterm ine e l desplazam iento vertical de la ju n ta A
s i e l e lem en to A E se fabrica 0.5 p u lg ad as m ás c o rto d e lo e s­
perado.
P r o b s . 9 - 1 1 / 9 - 1 2

386. 3 6 4 C a p i t u l o 9 D e f l e x i o n e s e m p l e a n d o m é t o d o s d e e n e r g í a
A p l i c a c i ó n d e l a c a r g a u n i t a r i a v i r t u a l a l p u n t o A
(»)
A p lic a c ió n d e la c a r g a r e a l *
( b )
R g ttra 9-14
I
*
Ü S *
A p l i c a c i ó n d e l a c a r g a r e a l w
fig u ra 9 -1 5
9 .7 M é to d o del tra b a jo virtu a l:
V igas y m arcos
E l m é to d o d e l t r a b a j o v ir tu a l ta m b ié n p u e d e a p lic a rs e a lo s p ro b le m a s de
d e fle x ió n e n vigas y m a rc o s. C o m o la s d e fo r m a c io n e s d e b id a s a l a fle x ió n
s o n la c a u sa p r in c ip a l d e las d e fle x io n e s e n vigas o m arco s, p r im e r o s e a n a ­
liz a rá n s u s e fe c to s . L as d e fle x io n e s d e b id a s a la s c a rg a s c o rta n te s , a x ia le s y
d e to r s ió n , a s í c o m o a la te m p e r a tu r a , s e c o n s id e r a r á n e n la se c c ió n 9-8.
E l p r in c ip io d e l t r a b a j o v ir tu a l o , m á s e x a c ta m e n te , e l m é to d o d e la
fu e rz a v ir tu a l, p u e d e fo r m u la r s e p a r a d e fle x io n e s e n v ig a s y m a r c o s al
c o n s id e r a r la v ig a q u e s e m u e s tra e n la fig u ra 9 -1 4 6 . A q u í d e b e d e te r m i­
n a r s e e l d e s p la z a m ie n to A d e u n p u n to A . P a r a c a lc u la r A se c o lo c a u n a
c a rg a v ir tu a l u n ita r ia q u e a c tú a e n la d ir e c c ió n d e A s o b r e la viga e n A , y
e l m o m e n t o v ir tu a l in te r n o n i se d e te r m in a m e d ia n te e l m é to d o d e las s e c ­
c io n e s e n u n a u b ic a c ió n a r b i t r a r i a x m e d id a d e s d e e l s o p o r te d e la iz ­
q u ie r d a , fig u ra 9 - 1 4 a. C u a n d o la s c a rg a s r e a le s a c tú a n s o b r e la v ig a , fig u ra
9 -1 4 6 , e l p u n to A s e d e s p la z a A . S ie m p re q u e e s t a s c a rg a s c a u s e n u n a res­
p u e sta m a te r ia l elá stic a lin e a l,e n to n c e s c o n b a s e e n la e c u a c ió n 8 -2 , e l e l e ­
m e n t o d x se d e f o r m a o g i r a d O - (M / E l ) d x.* A q u í M e s e l m o m e n to in ­
te r n o e n x c a u s a d o p o r la s c a rg a s re a le s . E n c o n s e c u e n c ia , e l tra b a jo
v irtu a l e x te r n o re a liz a d o p o r la c a r g a u n ita ria e s 1 • A, y e l tr a b a jo v ir tu a l
in te r n o r e a liz a d o p o r e l m o m e n to m e s m d d = m ( M/E l ) d x . L a s u m a to ria
d e lo s e fe c to s s o b r e to d o s lo s e le m e n to s d x a lo la r g o d e la v ig a r e q u ie r e
u n a in te g r a c ió n y. p o r lo ta n t o , la e c u a c i ó n 9 -1 3 s e c o n v ie r te e n
1 • A
J.
m M
E l
d x (9 -2 2 )
A p l i c a c i ó n d e l m o m e n t o d e p a r u n i t a r i o v i r t u a l
e n e l p u n t o A
<•)
d o n d e
1 = c a rg a u n it a r i a v ir tu a l e x te r n a q u e a c tú a s o b r e la v ig a o e l m a r c o e n
la d ir e c c ió n d e A.
m = m o m e n to v ir tu a l in te r n o e n l a viga o e l m a r c o , e x p r e s a d o c o m o u n a
f u n c ió n d e x y q u e e s c a u s a d o p o r la c a rg a u n ita r ia v ir tu a l e x te r n a .
A = d e s p la z a m ie n to e x te r n o d e l p u n to c a u s a d o p o r las c a r g a s r e a le s
q u e a c tú a n s o b r e la v ig a o e l m a rc o .
M = m o m e n to in t e r n o e n la v ig a o e l m a r c o , e x p r e s a d o c o m o u n a
f u n c ió n d e x y q u e e s c a u s a d o p o r las c a r g a s re a le s .
E ■ m ó d u lo d e e la s tic id a d d e l m a te ria l.
I ■ m o m e n to d e in e r c ia d e l á r e a tr a n s v e rs a l, c a lc u la d o c o n r e s p e c to
a l e je n e u tr o .
D e u n a m a n e r a s e m e ja n t e , s i d e b e d e te r m i n a r s e la r o ta c ió n d e la t a n ­
g e n te o e l á n g u lo 0 d e la p e n d ie n t e e n u n p u n t o A d e la c u rv a e lá s tic a d e
la v ig a , fig u ra 9 -1 5 , s e a p lic a p r im e r o u n m o m e n to d e p a r u n it a r i o e n el
p u n to , y s e d e t e r m i n a n lo s m o m e n to s in te rn o s c o r r e s p o n d ie n t e s m e.
C o m o e l t r a b a j o d e l p a r u n it a r i o e s 1 • 0 . e n to n c e s
1r
m dM
E l
d x (9 - 2 3 )
• R e c u e r d e q u e s i e l m a t e r i a l s e d e f o r m a m á s a l l á d e s u l im it e e l á s t i c o , t o d a v í a p u e d e a p l i ­
c a r s e e l p r i n c i p i o d e l t r a b a j o v ir t u a l, a u n c u a n d o e n e s t e c a s o d e b e e m p l e a r e u n a n á l is is
n o l i n e a l o p lá s tic o .

387. 9 . 7 M É T O D O D E L T R A B A J O V lR T U A i: V > G A S Y M A 3 C O S
1
F ig ó n 9-16
A l a p lic a r la s e c u a c io n e s 9 -2 2 y 9 -2 3 , e s im p o r ta n te t e n e r e n c u e n ta
q u e la s in t e g r a l e s d e f i n it iv a s a l la d o d e r e c h o r e p r e s e n t a n e n r e a lid a d
la c a n ti d a d d e e n e r g ía d e d e f o r m a c ió n v ir tu a l q u e e s t á a lm a c e n a d a e n la
viga. Si s o b r e la v ig a a c tú a n f u e r z a s c o n c e n t r a d a s o m o m e n to s d e p a r o s i
la c a r g a d is tr ib u id a e s d is c o n tin u a , n o s e p u e d e r e a l iz a r s ó l o u n a i n t e g r a ­
c ió n a tr a v é s d e to d a la lo n g itu d d e la v ig a . E n v e z d e e s t o d e b e r á n e le ­
g ir s e c o o r d e n a d a s x s e p a r a d a s d e n t r o d e la s re g io n e s q u e n o ti e n e n d is ­
c o n tin u id a d d e c a r g a . A d e m á s , n o e s n e c e s a r io q u e c a d a x te n g a e l
m ism o o r ig e n ; s in e m b a r g o , l a x s e le c c io n a d a p a r a d e te r m i n a r e l m o ­
m e n t o M re a l e n u n a re g ió n p a r t ic u l a r d e b e s e r la m is m a x q u e la s e le c ­
c io n a d a p a r a d e t e r m i n a r e l m o m e n to v ir tu a l m o m 0 d e n tr o d e la m ism a
re g ió n . P o r e je m p lo , c o n s id e r e l a v ig a d e l a fig u ra 9 -1 6 . P a r a d e te r m i n a r
e l d e s p la z a m ie n to d e D cfcben c o n s id e r a r s e c u a t r o re g io n e s d e la v ig a , y
p o r lo ta n to , d e b e n e v a lu a r s e c u a tr o in te g ra le s q u e c o n te n g a n la fo r m a
f ( m M / E I ) d x . E s p o s ib le u s a r x , p a r a d e te r m i n a r la e n e r g í a d e d e f o r m a ­
c ió n e n la re g ió n A B . x2 p a ra la re g ió n B C . x j p a r a la r e g i ó n D E y x4 p a ra
la re g ió n D C . E n c u a lq u i e r c a so , c a d a c o o r d e n a d a x d e b e s e le c c io n a r s e
d e m o d o q u e W y m ( o m e) s e p u e d a n f o r m u la r c o n fa c ilid a d .
Integración utilizando tablas. C u a n d o la e s t r u c tu r a e s t á s o m e ­
tid a a u n a c a rg a r e l a tiv a m e n te s im p le y q u e a ú n a s í la s o lu c ió n p a r a u n
d e s p la z a m ie n to r e q u i e r e v a r ia s in te g ra c io n e s , p u e d e u s a r s e u n m é to d o
ta b u la r p a ra r e a l iz a r e s t a s in te g ra c io n e s . E n e s t e m é to d o , p r im e r o s e d i­
b u ja n lo s d ia g r a m a s d e m o m e n to p a r a c a d a e le m e n to , t a n t o p a r a la s c a r ­
g a s r e a l e s c o m o v irtu a le s . A l r e la c io n a r e s t o s d ia g r a m a s p a r a m y M co n
lo s in d ic a d o s e n la ta b l a d e la p o r t a d a i n t e r i o r , s e p u e d e d e t e r m i n a r la
in t e g r a l J m M d x co n b a s e e n la f ó r m u la a p r o p i a d a . l o s e je m p lo s 9 -8 y
9 -1 0 ilu s tr a n la a p lic a c ió n d e e s t e m é to d o .

388. 3 6 6 Ca p i t u l o 9 D e f l e x i o n e s e m p l e a n d o m é t o d o s d e e n e r g í a
P r o c e d im ie n to d e a n á lis is
E l s ig u ie n te p r o c e d i m i e n to p u e d e u s a r s e p a r a d e te r m i n a r e l d e s p la z a m ie n to y / o la p e n ­
d ie n te e n u n p u n to d e la c u r v a e lá s tic a d e u n a v ig a o u n m a r c o m e d ia n te e l m é to d o d e l
t r a b a jo v irtu a l.
M o m e n to s v ir tu a l e s m o m0
• C o lo q u e u n a carg a u n ita r ia s o b r e la v ig a o m a r c o e n e l p u n to y e n la d ir e c c ió n d e l d e s ­
p la z a m ie n to d e s e a d o .
• Si d e b e d e te r m i n a r s e la p e n d ie n te , c o lo q u e u n m o m e n t o d e p a r u n ita r io e n e l p u n to .
• E s ta b le z c a la s c o o r d e n a d a s x a p r o p ia d a s q u e s o n v á lid a s d e n t r o d e las r e g io n e s d e la
v ig a o e l m a r c o d o n d e n o h a y a d is c o n tin u id a d d e l a c a r g a r e a l o v ir tu a l.
• C o n la c a r g a v ir tu a l e n s u s i ti o y to d a s la s c a r g a s r e a l e s r e m o v id a s cte la v ig a o el
m a rc o , c a lc u le e l m o m e n to i n t e r n o m o m 0 c o m o u n a fu n c ió n d e c a d a c o o r d e n a d a x ,
• S u p o n g a q u e m o m 0 a c tú a n e n la d ir e c c ió n p o s itiv a c o n v e n c io n a l, s e g ú n s e in d ic a e n
la fig u ra 4 -1 .
M o m e n to s r e a l e s
• U s a n d o la s m is m a s c o o r d e n a d a s x q u e la s e s ta b le c id a s p a r a m o m 0,d e te r m i n e lo s m o ­
m e n to s in te r n o s M c a u s a d o s s ó l o p o r la s c a r g a s re a le s.
• D e b id o a q u e s e s u p o n e q u e m o m 0 a c tú a n e n la d ir e c c ió n p o s itiv a c o n v e n c io n a l, es
im p o r ta n te q u e M p o s i ti v o a c tú e e n la m is m a d ire c c ió n . E s t o e s n e c e s a r io p o r q u e el
t r a b a jo in t e r n o p o s itiv o o n e g a tiv o d e p e n d e d e l s e n tid o d ir e c c io n a l d e la c a rg a ( d e f i­
n id o p o r ± m o ± m 0) y e l d e s p la z a m ie n to ( d e f in id o p o r ± M d x /E¡ ).
E c u a c ió n d e l t r a b a j o v ir tu a l
• A p liq u e la e c u a c i ó n d e l t r a b a j o v ir tu a l p a r a d e te r m i n a r e l d e s p la z a m ie n to d e s e a d o A
o l a r o t a c ió n Q. E s im p o r ta n te c o n s e r v a r e l s ig n o a lg e b r a ic o d e c a d a in te g r a l c a lc u la d a
d e n tr o d e s u re g ió n e s p e c ífic a .
• Si la s u m a a lg e b r a ic a d e t o d a s la s in te g r a le s p a r a to d a l a v ig a o m a r c o e s p o s itiv a . A o
A tie n e n l a m is m a d ir e c c ió n q u e l a c a r g a u n it a r i a v ir tu a l o e l m o m e n to d e p a r u n ita r io ,
re s p e c tiv a m e n te . S i s e o b ti e n e u n v a lo r n e g a tiv o , la d ir e c c ió n d e A o # c s o p u e s t a a la
d e la c a rg a u n i t a r i a o e l m o m e n to d e p a r u n ita rio .

389. 9 . 7 M É T O D O D E L T R A B A J O V lR T U A i: V > G A S Y M A 3 C O S 3 6 7
EJEMPLO
D e t e r m i n e e l d e s p l a z a m i e n t o d e l p u n t o B d e l a v ig a d e a c e r o q u e se
m u e s t r a e n la f i g u r a 9 .1 7 a . C o n s i d e r e q u e E = 2 0 0 G P a , / = 5 0 ü ( l( /* ) m m 4.
12 k N / m
TTTTTTTTTTTTTTH
1 0 m -
(a)
S O L U C IÓ N
M o m e n to v ir t u a l m . E l d e s p la z a m ie n to v e r tic a l d e l p u n to B x o b ­
tie n e al c o lo c a r u n a c a rg a v ir tu a l u n it a r i a d e 1 k N e n B . fig u ra 9 -1 7 6 .
ft» r in s p e c c ió n s e o b s e r v a q u e n o h a y d is c o n tin u id a d e s d e c a r g a e n la
v ig a , la n ío p a r a la s c a r g a s r e a l e s c o m o p a r a la s v ir tu a le s . A s í, p u e d e
u s a rs e u n a s o la c o o r d e n a d a x p a r a d e te r m i n a r la e n e r g ía d e d e f o r m a ­
c ió n v ir tu a l. E s ta c o o r d e n a d a se s e le c c io n a r á c o n o r ig e n e n B,p o r q u e
d e e s e m o d o n o h a b r á n e c e s id a d d e d e te r m i n a r la s r e a c c io n e s e n A
c o n e l fin d e e n c o n tr a r lo s m o m e n to s in t e r n o s m y M . U s a n d o e l m é ­
to d o d e la s s e c c io n e s , e l m o m e n to i n t e r n o m se f o r m u la d e la m a n e r a
q u e s e m u e s tr a e n la fig u ra 9 -1 7 6 .
M o m e n to r e a l M . C o n b a s e e n l a m is m a c o o r d e n a d a j . e l m o m e n to
n t e r n o M se f o r m u la c o m o s e m u e s tr a e n la fig u ra 9 - 17c.
E c u a c ió n d e l tr a b a jo v ir tu a l. E n to n c e s ,e l d e s p la z a m ie n to v e rtic a l
d e « e s
‘— i T í m J Ti
----
1 5 (1 0 * ) k N 2 - m 3
1 k N - A ,
E l
o r b ie n .
15(103) k N • nv
2 0 0 ( l ü 6) k N / m 2(5 0 0 (1 0 6) m m 4) ( l < r 12 m 4/ m m 4)
0 .1 5 0 m = 150 m m R esp.
i k N
" • - h i |
f u e r z a u n i t a r i a |
---------* -
( b )
,rf-1
i * - - # i f ífc
c a r g a r e a l
(c )
H g a ra 9 -1 7

390. 3 6 8 C a p i t u l o 9 D e f l e x i o n e s e m p l e a n d o m é t o d o s d e e n e r g í a
E J E M P L O 9.8
D e te r m in e la p e n d ie n te 0 e n e l p u n to R d e la viga d e a c e r o q u e s e m u e s­
tr a e n la fig u ra 9 1 8 a . C o a s id e r e q u e F. - 2 0 0 G P a . / = 60(10*) m m 4.
<»>
H gura 9 -1 8
S O L U C IÓ N
M o m e n t o v i r t u a l m „. 1.a p e n d ie n t e e n R se d e te r m i n a a l c o lo c a r u n
m o m e n to d e p a r u n ita r io v ir tu a l d e 1 k N • m e n R , fig u ra 9 -1 8 6 . A q u í
d e b e n s e le c c io n a r s e d o s c o o r d e n a d a s x co n e l fin d e d e te r m i n a r la
e n e r g ía d e d e f o r m a c ió n v ir tu a l to t a l e n la v ig a . 1.a c o o r d e n a d a x x
to m a e n c u e n ta la e n e r g ía d e d e f o r m a c ió n d e n t r o d e l s e g m e n to A R y
la c o o r d e n a d a x 2 in c lu y e la d e l s e g m e n to R C . L o s m o m e n to s in te r n o s
m 0 d e n tr o d e c a d a u n o d e e s to s s e g m e n to s s e c a lc u la n u s a n d o e l m é ­
to d o d e la s s e c c io n e s c o m o s e m u e s tr a e n l a fig u ra 9 -1 8 6 .
I m „ - 0
p a r u n i t a r i o v i r t u a l
( b )
3 k N

391. 9 . 7 M É T O D O DEL T R A B A J O V lR T U A i: V > G A S Y M A 3 C O S 3 6 9
3 kN
é
cr*
3 kN
f
x , |V,
3 k N
c a r g a r e a l
f c — 3(5 + x j
8.1 )
V2
(C)
M o m e n t o s r e a l e s M . Si s e u s a n la s m is m a s c o o r d e n a d a s x x y *2.1os
m o m e n to s in t e r n o s M se c a lc u la n c o m o s e m u e s tr a e n la f ig u r a 9 -1 8 c.
E c u a c ió n d e l t r a b a j o v i r t u a l . E n to n c e s , la p e n d ie n t e e n R e s r e s u l­
ta d o d e
1 ' 0 , d x
/
m „ M
E l
/ * ( 0 ) ( - 3 * ,) < / a : ,
J o E l
-1 1 2 .5 k N - m ?
E l
I .
5 ( l ) I - 3 ( 5 + x 7) \ d x 2
E l
O )
T a m b ié n s e p u e d e n e v a lu a r la s in t e g r a l e s J m 0M d x efe f o r m a g r á ­
f ic a . e m p l e a n d o la ta b l a q u e s e e n c u e n t r a a l r e v e r s o d e la p o r ta d a d e
e s te lib r o . P a r a e llo , p r im e r o e s n e c e s a r io e s t a b l e c e r lo s d ia g r a m a s
d e m o m e n to p a r a la s v ig a s e n la s fig u ra s 9 - 1 8 6 y 9 - 18c. É s to s s e m u e s ­
t r a n e n la s f i g u r a s 9 - 1 8 d y 9 -1 8 e . r e s p e c ti v a m e n te . C o m o n o h a y
m o m e n to m p a ra 0 S r < 5 m , s ó l o s e u tiliz a n la s á r e a s s o m b r e a d a s
r e c ta n g u la r e s y tr a p e z o id a le s p a r a e v a lu a r la in te g r a l. D e s p u é s d e e n ­
c o n tr a r e s t a s f o r m a s e n la fila y la c o lu m n a c o r r e s p o n d ie n t e s d e la
ta b l a .s e ti e n e
m » f l c N - m )
10
-x(m>
<d>
c
/ d x = + M 2)L = $ ( 1 ) ( - 1 5 - 3 0 )5
J5 M ( k N • m )
= - 1 1 2 . 5 k N 2 - m 3
É ste e s e l m is m o v a lo r q u e s e d e te r m i n ó e n la e c u a c ió n 1. P o r lo ta n to .
( l k N - m l - 0 -
________________- 1 1 2 .5 k N 2 - m 3________________
‘ ~ 20<)(106) k N / m 2|6 0 (1 0 6) m m 4|(1 0 ~ 1 2 m 4/ m m 4)
e B = - 0 .0 0 9 3 8 r a d R esp.
E l s ig n o n e g a tiv o in d ica q u e 0B e s o p u e s to a la d ir e c c ió n d e l m o m e n to
d e p a r v ir tu a l q u e s e m u e s tr a e n la fig u ra 9-186.
3 0
(e)

392. 3 7 0 C a p i t u l o 9 D e f l e x i o n e s e m p l e a n d o m é t o d o s d e e n e r g í a
EJEMPLO 9.9
D e te r m in e e l d e s p la z a m ie n to e n D d e la v ig a d e a c e r o q u e s e m u e s tr a
e n la fig u ra 9 - 19a. C o n s id e r e q u e E = 29( 103) k s i, / = 8 0 0 p u lg 4.
6 k
8 0 k p i e
G *
D
l O p i i 1 0 p ie s 15 p i e s -
(a)
fig u ra 9 -1 9
S O L U C IÓ N
M o m e n t o s v i r t u a l e s m . L a v ig a e s tá s o m e ti d a a u n a c a rg a v ir tu a l
u n ita r ia e n D , c o m o s e m u e s tr a e n la fig u ra 9 -1 9 6 . P o r in s p e c c ió n ,
d e b e n u s a r s e tres c o o r d e n a d a s , c o m o X j, x 2 y x3 p a ra c u b r i r t o d a s la s
re g io n e s d e la v ig a . O b s e r v e q u e e s t a s c o o r d e n a d a s c u b r e n la s r e g io ­
n e s d o n d e n o o c u r r e n d is c o n tin u id a d e s e n la s c a r g a s y a s e a n r e a le s o
v irtu a le s . L o s m o m e n to s in t e r n o s m se c a lc u la r o n e n la fig u ra 9-1 9 6
p o r e l m é to d o d e la s se c c io n e s.
i k
1
P . , - 1
1 .7 5 k0 .7 5 k
I k
m ,— lx,
I—,-i
1 k
* ' S 1
■n-awfr-nlf fi = .
^ 1 - |V
" - \ 1“ ”
1.75 k 0 .7 5 k
c a r g a s v i r t u a l e s
(b )
m ,— 0.75*,

393. 9 . 7 M É T O D O D E L T R A B A J O V lR T U A i: V > G A S Y M A 3 C O S 3 7 1
80 I pie
1
______________________________________________________________
& E5 T=T
I k 7 k
- I
[*E 3 C í j ™
I-— * i— I
80k p ie
* 3
------1 V ,
7 k l k
cargas reales
(c)
M o m e n t o s r e a l e s M . E n p r i m e r lu g a r s e c a lc u la n la s r e a c c io n e s
s o b r e l a v ig a; d e s p u é s , e m p l e a n d o la s m is m a s c o o r d e n a d a s x q u e se
u s a r o n p a ra rn .s e d e te r m i n a n lo s m o m e n to s in te r n o s M c o m o se m u e s ­
tra e n la fig u ra 9 - 19c.
E c u a c ió n d e l t r a b a j o v i r t u a l . A l a p lic a r la e c u a c ió n d e l tr a b a jo v ir ­
tu a l a l a v ig a ,c o n lo s d a to s d e las fig u ra s 9 -1 9 6 y 9 - 1 9 c ,s e tie n e
1 ‘ A " ‘ 1 T T d x
c
f ' 5 ( - 1 x ^ ( 0 ) dXl y 10( 0 .7 5 * 2 - 1 5 )( 7 * 2) dx2
" J o E l J o E l
, 0 ( - 0 . 7 5 * 3) ( 8 0 - 1*3) dxj
E l
0 3 5 0 0 2 7 5 0 6 2 5 0 k - p i e 3
* n = E l ~ E l ~ E l ~ ~ E l
o b ie n
- 6 2 5 0 k • p ie 3( 12) 3 p u lg 3/ p i e 3
A „ =
2 9 (1 0 3) k /p u l g 2( 8D« p u lg 1)
= - 0 .4 6 6 p u lg R esp.
EJ s ig n o n e g a tiv o in d ic a q u e e l d e s p la z a m ie n to e s h a d a a r r ib a ,
o p u e s to a la c a r g a u n ita r ia h a c ia a b a jo .f ig u r a 9 -1 9 6 .T a m b ié n te n g a e n
c u e n ta q u e e n r e a lid a d n o h a y n e c e s id a d d e c a lc u la r m i p u e s to q u e
A i, - 0.

394. 3 7 2 C a p i t u l o 9 D e f l e x i o n e s e m p l e a n d o m é t o d o s d e e n e r g í a
D e te r m in e e l d e s p la z a m ie n to h o r iz o n ta l d e l p u n t o C e n e l m a r c o q u e
s e m u e s tr a e n la fig u ra 9 -2 tto . C o n s id e r e q u e E = 2 9 (1 0 3) k s i e / = 600
p u lg 4 p a r a a m b o s e le m e n to s .
R g u ra 9 -2 0
S O L U C IÓ N
M o m e n t o s v i r t u a l e s m . R>r c o n v e n ie n c ia , s e u s a r á n las c o o r d e n a ­
d a s x \ y x 2 e n la fig u ra 9 -2 0 6 . S e a p lic a u n a c a rg a u n it a r i a h o r iz o n ta l
e n C , fig u ra 9 -2 0 6 . ¿ P o r q u é ? L a s r e a c c io n e s e n lo s s o p o r t e s y lo s m o ­
m e n to s in te r n o s v ir tu a le s s e c a lc u la n c o m o s e m u e s tra .
m : - 1.2 5 1 . v.
c a r g a s v ir t u a le s
( b )
1 2 5 k
I k

395. 9 . 7 M É T O D O D E L T R A B A J O V lR T U A i: V > G A S Y M A 3 C O S 3 7 3
Mi ~ 4 0 .t, - W
N,
4«
40 k
2
4 . v ,
i
25 k
W? - 25xj
N,
Vj|—
-8 pies-
25 k
I
40 k
4 0 k -
-----
)ic s
25 k
caigas reales
(c)
25 k
M o m e n to s re a le s M . D e ig u a l m a n e r a , la s r e a c c io n e s e n lo s s o p o r ­
te s y lo s m o m e n to s r e a l e s s e c a l c u l a n c o m o s e m u e s t r a e n la fig u ra
9-20c.
E c u a c ió n d e l tr a b a jo v ir tu a l. C b n b a s e e n lo s d a t o s d e la s f ig u r a s
9 -2 0 6 y 9 - 2 0 c .s e ti e n e
[ Lm M , / • 10( l i i ) ( 4 0 * 1 - 2x¡)dx, f»(\.25x2)(25x,)dx¡
'• Ac- =i = i — ü — + y. — t,—
4 c ,
8 3 3 3 .3 + S333.3
E l E l
13 6 6 6 .7 k • p ie-
E í
(1 )
Si s e d e s e a , la s in te g ra le s J m M / d x ta m b ié n p u e d e n e v a lu a r s e g r á f i­
c a m e n te e m p le a n d o l a ta b la q u e e s t á d e tr á s d e la p o r ta d a . L o s d ia g r a ­
m as d e m o m e n to p a r a e l m a r c o d e las fig u ra s 9 -2 0 6 y 9 -2 0 c se m u e s tra n
e n la s fig u ra s 9 -2 0d y 9 -2 0 e, re s p e c tiv a m e n te . P o r lo ta n to , u tiliz a n d o las
fó rm u la s p a ra la s fo rm a s s e m e ja n te s d e l a t a b l a .s e o b tie n e
f
m M d x = é ( 1 0 ) ( 2 0 0 ) ( 1 0 ) + J ( 1 0 ) ( 2 0 0 ) ( 8 )
= 8 3 3 3 .3 + 5 3 3 3 .3 = 13 6 6 6 .7 k 2 • p ie 3
Q u e e s ig u a l a lo q u e s e c a lc u ló e n la e c u a c ió n 1. A sí,
____________________________13 6 6 6 .7 k - p i e 3_________________________
C* (2 9 (1 0 3) t f p u t f ( ( 1 2 J 2 p u lg 2/ p i e 2) ] |6 0() p u lg 4( p ie 4/ ( 1 2 ) 4 p u lg 4)]
= 0 .1 1 3 p i e s = 1.3 6 p u l g R e s p .
10 kpic
10 k p i c
8 p ie s
\
\
\
1 0 p ie s
(d)
200 k- pie
2 0 0 k p ie
1
\
8 p ie s
\
10 p ie s
\
\
(e )

396. 3 7 4 C a p i t u l o 9 D e f l e x i o n e s e m p l e a n d o m é t o d o s d e e n e r g í a
EJEMPLO 9.11
5 k N
(a)
Figura 9-21
D e te r m in e la r o ta c ió n ta n g e n c ia l e n e l p u n to C d e l m a r c o q u e s e m u e s­
t r a e n la f ig u r a 9 - 2 l a . C o n s id e r e q u e E = 2 0 0 G P a , / = 15( 106) m m 4.
I k N - m l k N - m S k N 5 k N
c a r g a s v i r t u a l e s
c a r g a s r e a l e s
S O L U C IÓ N
M o m e n to s v ir tu a le s m0. S e u s a r á n las c o o r d e n a d a s xt y xj q u e se
m u e s tr a n e n l a f ig u r a 9 - 2 l a . S e a p lic a u n m o m e n to d e p a r u n it a r i o e n
C y s e c a lc u la n lo s m o m e n to s i n t e r n o s m g, fig u ra 9 -2 1 b.
M o m e n to s re a le s M . D e u n a m a n e r a s i m i la r .s e c a lc u la n lo s m o ­
m e n to s r e a le s M c o m o s e m u e s tr a e n l a fig u ra 9 - 2 le .
E c u a c ió n d e l tr a b a jo v ir tu a l. C o n b a s e e n lo s d a t o s d e la s fig u ra s
9 -2\ b y 9 - 2 1 c .s e tie n e
f Lm,M , [ H - l) { - 2 .S x , ) d x , . /*2 (1 )(7 .5)d x j
l-*“ y„ ~irix- i — Ti + i — ¡n—
11.25 15 _ 2 6 .2 5 k N • m 2
c E l + E l E l
o b ie n
0 _
_________________2 6 .2 5 kN -m 2 _________________
C “ 2 0 0 (1 0 6) k N / m 2|1 5 ( l( J 6) m m 4|( 1 0 " 12 m4/ m m 4)
= 0.00875 r a d R esp.

397. 9 . 8 En e r gIa d e d e f o r m a c i ó n v i r t u a l c a u s a d a p o r c a r g a a x i a l, f u e r z a c o r t a n t e, t o r s ó n y t e m p e r a t u r a 3 7 5
9 . 8 Energía de d e fo rm a c ió n virtu a l
causada p o r carga axial, fu e rza
co rta n te , to rs ió n y te m p e ra tu ra
A u n q u e la s d e f le x io n e s e n v ig a s y m a r c o s s e p r o d u c e n p r in c ip a lm e n te
d e b id o a l a e n e rg ía d e d e f o r m a c ió n p o r fle x ió n , e n a lg u n a s e s t r u c tu r a s la
e n e r g í a d e d e f o r m a c i ó n a d ic i o n a l d e la c a r g a a x ia l , la f u e r z a c o r t a n t e ,
la to r s ió n y q u iz á la t e m p e r a t u r a p u e d e n lle g a r a s e r im p o rta n te s . A c o n ­
tin u a c ió n s e c o n s id e r a r á c a d a u n o d e e s t o s e fe c to s.
Carga axial. L os e le m e n to s d e u n m a r c o p u e d e n e s t a r s o m e tid o s a
c a rg a s a x ia le s y la e n e r g ía d e d e f o r m a c ió n v ir tu a l c a u s a d a p o r e s t a s c a r ­
g a s s e h a e s ta b le c id o e n l a s e c c ió n 9 -4 . P a r a lo s e le m e n to s q u e c u e n ta n
c o n u n á r e a c o n s ta n te e n s u s e c c ió n t r a n s v e r s a l s e tie n e
c r . - = g
d o n d e
n = c a rg a a x ia l v ir tu a l in t e r n a c a u s a d a p o r la c a rg a u n it a r i a v ir tu a l
e x te m a .
N = fu e rz a a x ia l i n t e r n a e n e l e le m e n to c a u s a d a p o r la s c a rg a s re a le s .
E = m ó d u lo d e e la s tic id a d d e l m a te ria l.
A = á r e a d e l a s e c c ió n tr a n s v e r s a l d e l e le m e n to .
L = lo n g itu d d e l e le m e n to .
Fuerza cortante. P a r a d e te r m i n a r la e n e r g í a d e d e f o r m a c ió n v ir ­
tu a l d e b id a a la f u e r z a c o r t a n te e n u n a v ig a .s e c o n s id e r a r á e l e le m e n to
d x d e la v ig a q u e se m u e s tr a e n la f ig u r a 9 -2 2 . L a d is to r s ió n c o r t a n te d y
d e l e le m e n to c u a n d o e s c a u s a d a p o r la s carg a s rea les e s d y ■ y d x . S i la
d e f o r m a c ió n c o r t a n t e y e s c a u s a d a p o r l a re s p u e sta d e u n m a te r ia l elá s­
tic o lin e a l, e n to n c e s p u e d e a p lic a re c la le y d e H o o k e , y = t / G . P o r lo
ta n to , d y = ( t / G ) d x . E l e s f u e r z o c o r t a n te p u e d e e x p r e s a r s e c o m o t =
K ( V / A ) , d o n d e K e s u n fa c to r d e f o r m a q u e d e p e n d e d e l p e rf il d e l á r e a
tra n sv e rs a l A d e la viga. ft>r lo ta n t o .s e p u e d e e s c rib ir d y = K (V /G A ) d x .
E l tr a b a jo v ir tu a l in t e r n o h e c h o p o r u n a f u e r z a c o r t a n te v ir tu a l v . q u e
a c tú a s o b r e e l e l e m e n t o d y m ie n tr a s s e d e f o r m a , e s e n to n c e s d U , = v d y
= v (K V /G A ) dx. P a r a to d a la v ig a , la e n e r g í a d e d e f o r m a c ió n v ir tu a l se
d e te r m i n a p o r in te g ra c ió n .
U, ( 9 - 2 5 )
d o n d e
v = fu e rz a c o r t a n te v ir tu a l in t e r n a e n e l e le m e n to , e x p r e s a d a e n
fu n c ió n d e x y c a u s a d a p o r la c a r g a v ir tu a l u n it a r i a e x te r n a .
V = fu e rz a c o r t a n te in t e r n a e n e l e le m e n to ,e x p r e s a d a c o m o u n a
fu n c ió n d e x y c a u s a d a p o r la s c a r g a s re a le s .
A - á r e a d e la s e c c ió n tr a n s v e r s a l d e l e le m e n to .
K ■ f a c to r d e f o r m a p a r a e l á r e a d e la s e c c ió n tr a n s v e r s a l:
K - 1.2 p a r a s e c c io n e s tr a n s v e r s a le s re c ta n g u la r e s .
K = 1 0 /9 p a r a s e c c io n e s tr a n s v e r s a le s c irc u la re s .
K as 1 p a r a v ig a s d e a la a n c h a o d o b le T , d o n d e A e s e l á r e a d e l alm a .
G = m ó d u lo d e e la s tic id a d a l c o r te p a r a e l m a te ria l.

398. 3 7 6 C a p i t u l o 9 D e f l e x i o n e s e m p l e a n d o m é t o d o s d e e n e r g í a
T o r s i ó n . C o n fr e c u e n c ia , lo s m a r c o s tr id im e n s io n a le s s e s o m e te n a
c a rg a s d e to r s ió n . Si e l e le m e n to ti e n e u n a se c c ió n tr a n s v e r s a l circu la r,
n o o c u r r ir á n in g ú n p a n d e o e n s u á r e a tr a n s v e r s a l a l c a r g a r lo . C o m o r e ­
s u l ta d o . p u e d e o b te n e r s e la e n e r g ía d e d e f o r m a c ió n v ir tu a l e n e l e l e ­
m e n to . P a r a e l l o s e c o n s i d e r a u n e l e m e n t o d x d e l e l e m e n t o q u e e s tá
s o m e ti d o a u n p a r d e to r s ió n T a p lic a d o , fig u ra 9 -2 3 . E s te p a r d e to r s ió n
p ro d u c e u n a d e f o r m a c ió n c o r t a n t e d e y = (c d d ) / d x. D a d o q u e s e p r o ­
d u c e u n a resp u esta m a te r ia l lin e a l e lá s tic a , e n to n c e s , y ■ t / G , d o n d e r -
T c / J . P o r lo ta n t o , e l á n g u lo d e g i r o d 0 = ( y d x ) / c = (t/ Gc) d x = (T/GJ)
dx. S i s e a p lic a u n a c a r g a u n it a r i a v ir tu a l a la e s t r u c tu r a q u e o c a s io n e u n
p a r d e to r e ió n v ir tu a l in t e r n o t e n e l e le m e n to , d e s p u é s d e a p li c a r la s c a r ­
g a s r e a le s , la e n e r g í a d e d e f o r m a c ió n v ir tu a l e n e l e l e m e n t o d e lo n g itu d
d x s e r á dU, = td Ü = tT d x/G J. I n t e g r a r a t o d a la lo n g itu d L d e l e le m e n to
d a p o r r e s u lta d o
(9 - 2 6 )
d o n d e
r = p a r d e to r s ió n v ir tu a l in t e r n o c a u s a d o p o r la c a r g a u n it a r i a v ir tu a l
e x te r n a .
T - p a r d e to r s ió n in t e r n o e n e l e le m e n to c a u s a d o p o r la s c a rg a s re a le s .
G = m ó d u lo d e e la s tic id a d a l c o r t e d e l m a te ria l.
J = m o m e n to p o la r d e in e r c ia p a r a la s e c c ió n tr a n s v e r s a l. J = ttc* / 2 ,
d o n d e c e s e l r a d i o d e l á r e a d e la s e c c ió n tr a n s v e rs a l.
L = lo n g itu d d e l e le m e n to .
1.a e n e r g ía d e d e f o r m a c ió n v ir tu a l d e b id a a la to r s ió n d e e le m e n to s
q u e n o ti e n e n á r e a s tr a n s v e r s a le s c ir c u la r e s s e d e te r m i n a m e d i a n te u n
a n á lis is m ás r i g u r o s o q u e el q u e s e h a p r e s e n ta d o a q u í.
T e m p e r a t u r a . E n la s e c c ió n 9-4 s e c o n s i d e r ó el e f e c to d e u n c a m b io
d e te m p e r a tu r a u n if o r m e A 7*s o b r e u n e le m e n to d e u n a a r m a d u r a y s e in ­
d ic ó q u e e l e le m e n to s e a la r g a r ía o a c o r t a r í a u n a c a n ti d a d A L = a A T L .
S in e m b a r g o , e n a lg u n o s c a s o s u n e le m e n to e s t r u c t u r a l p u e d e e s t a r s o ­
m e t id o a u n a d ife r e n c ia d e te m p e r a tu r a e n to d a s u p r o f u n d id a d , c o m o e n
e l c a s o d e la v ig a q u e s e m u e s tr a e n la fig u ra 9 -2 4 a . S i e s to o c u r r e , e s p o ­
s ib le d e t e r m i n a r e l d e s p la z a m ie n to d e lo s p u n to s a lo l a r g o d e la c u rv a
e lá s tic a d e l a v ig a u s a n d o e l p rin c ip io d e l tr a b a jo v ir tu a l. P a r a e llo , p r i ­
m e r o d e b e c a lc u la r s e la c a n ti d a d d e ro ta c ió n d e u n e le m e n to d if e r e n c ia l
d x d e la v i g a .c a u s a d o p o r e l g r a d i e n te té r m i c o q u e a c t ú a s o b r e la se c c ió n
tr a n s v e r s a l d e la v ig a . P a r a h a c e r m á s c la r o e l a n á lis is , s e e le g irá e l c a s o
m á s c o m ú n d e u n a v ig a q u e ti e n e u n e je n e u t r o s itu a d o a la m ita d d e la
p r o f u n d id a d (c ) d e la v ig a . A l g ra f ic a r e l p e r f il d e la t e m p e r a t u r a , fig u ra
9-24¿> .se o b s e r v a r á q u e l a te m p e r a t u r a m e d ia e s Tm = ( 7 , + T? ) / 2 . S i 7 ,
> 7*2, la d if e r e n c ia d e t e m p e r a t u r a e n la p a r t e s u p e r io r d e l e le m e n to
c a u s a u n a d e f o r m a c ió n d e a la r g a m ie n to , m ie n tr a s q u e e n la p a r t e b a ja
p ro v o c a u n a d e f o r m a c ió n p o r c o n tr a c c ió n . E n a m b o s c a s o s la d if e r e n c ia
d e t e m p e r a t u r a e s A T m = 7 ’, — Tm = Tm — T 2. C o m o e l c a m b io té r m ic o

399. 9 . 8 En e r gIa d e d e f o r m a c i ó n v i r t u a l c a u s a d a p o r c a r g a a x i a l, f u e r z a c o r t a n t e, t o r s ó n y t e m p e r a t u r a
d e lo n g i tu d e n la p a r t e s u p e r io r e in f e r io r e s d e 8 x = a &Tm d x , f ig u r a
9 -2 4 c , e n to n c e s la r o t a c ió n d e l m i e m b r o e s
d e m a A T s d x
c
Si s e a p lic a u n a c a r g a u n ita r ia v ir tu a l e n u n p u n to d e la v ig a d o n d e
d e b e d e te r m i n a r s e e l d e s p la z a m ie n to , o s e a p lic a u n m o m e n to d e p a r
u n ita r io v ir tu a l e n u n p u n t o d o n d e d e s e a c o n o c e r s e e l d e s p la z a m ie n to
r o ta c io n a l d e la t a n g e n t e , e n to n c e s e s ta c a rg a c r e a u n m o m e n to v ir tu a l m
e n la v ig a e n e l p u n t o d o n d e se e n c u e n t r a e l e le m e n to dx. C u a n d o s e im ­
p o n e e l g r a d ie n te d e te m p e r a t u r a , la e n e r g ía d e d e f o r m a c ió n v ir tu a l e n
la v ig a e s
d o n d e
m = m o m e n to v ir tu a l i n t e r n o e n l a v ig a e x p r e s a d o e n fu n c ió n d e x , y
c a u s a d o p o r la c a r g a u n it a r i a v ir tu a l e x te r n a o e l m o m e n to d e
p a r u n it a r i o v ir tu a l e x te r n o .
a = c o e fic ie n te d e e x p a n s ió n té r m ic a .
& T m = d if e r e n c ia d e te m p e r a t u r a e n t r e la te m p e r a t u r a m e d ia y la t e m ­
p e r a t u r a e n la p a r t e s u p e r io r o in f e r io r d e la v ig a .
c = p r o f u n d id a d m e d ia d e la viga.
A m e n o s q u e s e in d iq u e lo c o n tr a r io , e n este te x to se c o n s id e r a r á n s ó l o
la s d e fle x io n e s e n v ig a s y m a r c o s d e b id a s a la fl e x i ó n . N o o b s t a n te , p o r lo
g e n e r a l lo s e le m e n to s d e v ig a s y m a r c o s p u e d e n e s t a r s o m e tid o s a v a ria s
d e las o tr a s c a r g a s a n a liz a d a s e n e s ta s e c c ió n . S in e m b a r g o .c o m o se m e n ­
c io n ó a n te r io r m e n te , la s d e fle x io n e s a d ic io n a le s c a u s a d a s p o r la s f u e r z a s
c o r t a n te s y a x ia le s a lt e r a n l a d e f le x ió n d e la s v ig a s e n s ó l o u n p e q u e ñ o
p o r c e n ta je p o r lo q u e g e n e r a lm e n te s e ig n o r a n , in c lu s o e n e l a n á lis is d e
“p e q u e ñ o s ” m a rc o s d e d o s o tr e s e le m e n to s c o n u n n iv e l d e a ltu r a . S i
é s t o s y o tr o s e f e c to s d e la to r s ió n y la te m p e r a t u r a d e b e n c o n s id e r a r s e
e n u n an á lisis, e n to n c e s s im p le m e n te se a g re g a s u e n e r g í a d e d e f o r m a ­
c ió n v ir tu a l d e f i n id a p o r la s e c u a c i o n e s 9 -2 4 a 9 -2 7 a la e c u a c i ó n d e l
tr a b a jo v ir tu a l d e f in id o p o r la e c u a c ió n 9 -2 2 o la e c u a c ió n 9 -2 3 . L o s s i­
g u ie n te s e je m p lo s ilu s tr a n l a a p lic a c ió n d e e s t a s e c u a c io n e s .
p e r f il d e la t e m p e r a t u r a
<b)
r o t a c i ó n p o s itiv a
'&r
— d x —
( C )
f i g u r a 9 - 2 4

400. 3 7 8 C a p i t u l o 9 D e f l e x i o n e s e m p l e a n d o m é t o d o s d e e n e r g í a
EJEMPLO 9.12
D e te r m in e e l d e s p la z a m ie n to h o r iz o n ta l d e l p u n t o C e n e l m a r c o d e
la f ig u r a 9 -2 5 a . C o n s id e r e q u e E = 2 9 (1 0 3) k s i, G = 12(1 0 3) k s i, / =
6 0 0 p u lg 4 y A = 80 p u lg 2 p a ra a m b o s e le m e n to s . E l á r e a d e la se c c ió n
tr a n s v e r s a l e s re c ta n g u la r . In c lu y a la e n e rg ía d e d e f o r m a c i ó n in t e r n a
d e b id a a la c a rg a a x ia l y la f u e r e a c o r ta n te .
- S p ie s -
4 k / p i c
T
10
(a)
f i g u r a 9 - 2 5
S O L U C I Ó N
A q u í d e b e a p lic a rs e u n a c a r g a u n it a r i a h o r iz o n ta l e n C . L o s d ia g r a ­
m a s d e c u e r p o lib r e n e c e s a r io s p a r a la s c a r g a s r e a le s y v ir tu a le s se
m u e s tr a n e n la s f ig u r a s 9 -2 5b y 9 -2 5 c.
g i - 1 2 5
n , = 1 2 5
M 2 - 2 Sx}
V 2 - 0 ♦ —f
1 0 p ie s
T
i - i
1 2 5 k
25 k
25 k
i
l k - U - | I k J - j
1 2 5 k 1.25 k
c a r g a s v ir t u a le s
( b ) ( c )

401. 9 . 8 En e r g í a d e d e e o r m a c i ó n v i r t u a l c a u s a d a p o r c a r g a a x i a l, r j e r z a c o r t a n t e, t o r s ó n y t e m p e r a t u r a 3 7 9
F le x i ó n . L a e n e r g ia d e d e f o r m a c ió n v ir tu a l d e b i d a a la fle x ió n se
d e te r m in ó e n e l e je m p lo 9 -1 0 . S e d e m o s tr ó q u e
, ' m M d x 13 6 6 6 .7 k 3 - p i e 3 1 3 6 6 6 .7 k J - p i e 3 (12-’ p u lg 3/ l p ie 3)
Ub
E l E l [2 9 (1 0 * ) k / p u l g ?[( 6 0 0 p u lg 4)
C a r g a a x i a l . A p a r tir d e lo s d a t o s d e la s fig u ra s 9 -2 5b y 9 -2 5 c .s e
tie n e
1.25 k (2 5 k ){ 1 2 0 p u l g ) + 1 k ( 0 ) ( 9 6 p u lg )
8 0 P u lg 2p 9 ( 1 0 3) k /p u lg 7] 8 0 p u lg ?[2 9 ( 10*) k /p u l g 2]
= 0.001616 p u lg • k
F u e r z a c o r t a n t e . A l a p lic a r l a e c u a c i ó n 9 -2 5 c o n K = 1.2 p a r a s e c ­
c io n e s tr a n s v e r s a le s re c ta n g u la r e s y a l u tiliz a r la s f u n c io n e s d e f u e r z a
c o r ta n te q u e s e m u e s tr a n e n l a fig u ra 9 -2 5 6 y 9 - 2 5 c .r e s u lta
f lo 1 .2 ( l ) ( 4 0 - A x\)d x \ r 8 1 .2 ( - 1 . 2 5 ) ( - 2 5 ) c/x2
“ J o G A J 0 "'o
540 k? - p i e ( 1 2 p u l g / p i e )
G A
= 0 .0 0 6 7 5 p u l g - k
[ 1 2 ( 1 0 3) k /p u l g 2]( 8 0 p u lg 2)
Si se a p lic a la e c u a c i ó n d e l tr a b a jo v ir tu a l .s e tie n e
1 k • = 1.357 p u lg • k + 0 .0 0 1 6 1 6 p u lg • k + 0 .0 0 6 7 5 p u lg • k
A Ct = 1.37 p u lg R esp.
L a in c lu s ió n d e lo s e f e c to s d e la f u e r z a c o r t a n te y la c a r g a a x ia l c o n tr i­
b u y ó s ó l o c o n u n a u m e n to d e l 0 .6 % s o b r e la r e s p u e s ta q u e s e d e t e r ­
m in ó u s a n d o ú n ic a m e n te la fle x ió n .
1.357 p u lg - k

402. 3 8 0 C a p i t u l o 9 D e f l e x i o n e s e m p l e a n d o m é t o d o s d e e n e r g í a
EJEMPLO 9.13
L a v ig a q u e s e m u e s tr a e n l a f ig u r a 9 - 2 6 a se u tiliz a e n u n e d if ic io s o ­
m e tid o a d o s a m b ie n te s té r m ic o s d if e r e n te s . S i la t e m p e r a t u r a e n la
s u p e r fic ie s u p e r io r d e la v ig a e s d e 8 0 °F y e n la in f e r io r e s d e 160°F,
d e te r m in e la d e fle x ió n v e rtic a l d e la v ig a e n s u p u n to m e d i o ,d e b id o al
g r a d ie n te d e te m p e r a t u r a . C o n s id e r e q u e a = 6 .5 (1 0 -6 )/° F .
80° F
)EEE
(b)
Figura 9 -2 6
S O L U C IÓ N
D a d o q u e la d e f le x ió n e n e l c e n tr o d e l a v ig a d e b e d e te r m in a r s e , se
c o lo c a u n a c a r g a v ir tu a l u n it a r i a a llí y s e c a lc u la e l m o m e n to v ir tu a l
in te r n o e n la v ig a , fig u ra 9 -2 6 6 .
La te m p e r a t u r a m e d ia e n e l c e n t r o d e la v ig a e s (1 6 0 ° + 8 0 ° ) / 2 =
120°F, p o r lo q u e p a r a la a p lic a c ió n d e la e c u a c i ó n 9 - 2 7 , ATm = 120°F
- 8 0 °F = 40°F . A d e m á s , c = 1 0 p u l g / 2 = 5 p u lg . A l a p li c a r e l p r in c i­
p io d e l t r a b a j o v ir tu a l .s e ti e n e
.... f L m a M m d x
1 Ib * A r = /
-------------------
C* Jo c
P -* ( í * ) 6 . 5 ( l < r 6) / oF (4 0 ° F )
--------------c---------------------d x
5 p u lg
A c , = 0.0936 p u lg R esp.
F.I r e s u lta d o in d ic a u n a d e f le x ió n m u y in s ig n ific a n te .

403. 9 . 9 Te o r e m a d e Ca s t o l i a n o p a r a v c a s y m a r c o s
9 . 9 Teorem a d e C astigliano para vigas
y m arcos
L a e n e r g ía d e d e f o r m a c ió n p o r fle x ió n in t e r n a p a r a u n a v ig a o u n m a r c o
re s u lta d e la e c u a c i ó n 9 -1 1 (U , = J M 2 d x / 2 E l ) . A l s u s titu ir e s t a e c u a c ió n
e n la e c u a c ió n 9 -2 0 (A , = d U ,/dP ¡) y o m itir e l s u b ín d ic e / . s e ti e n e
d [ ‘ M 2 dx
A = J p j a IeT
E n lu g a r d e e le v a r a l c u a d r a d o la e x p r e s ió n d e l m o m e n to in t e r n o M . in ­
te g r a r y lu e g o o b t e n e r la d e r iv a d a p a rc ia l, g e n e r a lm e n te r e s u lta m á s fá c il
d if e r e n c ia r a n te s d e la in te g ra c ió n . D a d o q u e E e I s o n c o n s ta n te s , se
tie n e
(9 - 2 8 )
d o n d e
A = d e s p la z a m ie n to e x t e m o d e l p u n t o c a u s a d o p o r las c a r g a s re a le s
q u e a c tú a n s o b r e la viga o m a rc o .
P = fu e rz a e x te r n a a p lic a d a a la v ig a o m a r c o e n la d ir e c c ió n d e A.
A i ■ m o m e n to in t e r n o e n la v ig a o m a r c o , e x p r e s a d o c o m o u n a fu n c ió n
d e x y c a u s a d o t a n t o p o r la f u e r z a P c o m o p o r la s c a rg a s r e a l e s
s o b r e la v ig a .
E = m ó d u lo d e e la s tic id a d d e l m a te r ia l d e l a viga.
/ = m o m e n to d e in e r c ia d e l á r e a d e l a s e c c ió n tr a n s v e r s a l c a lc u la d o
re s p e c to a l e je n e u tr o .
S i d e b e d e te r m i n a r s e la p e n d ie n t e 0 c n u n p u n t o .e s n e c e s a r io e n c o n ­
tr a r la d e r iv a d a p a rc ia l d e l m o m e n to i n t e r n o M co n r e s p e c to a u n m o ­
m e n to d e p a r e x te r n o M ' q u e a c t ú a e n e l p u n to , e s d e c ir .
í ‘\ AdM
\ d x
6 =
l U ) E l
( 9 - 2 9 )
L a s e c u a c io n e s a n te r io r e s s o n s im ila re s a la s u s a d a s p a r a e l m é to d o d e l
tr a b a jo v ir tu a l, e c u a c io n e s 9 -2 2 y 9 -2 3 , e x c e p to q u e HM/dP y d M /B M '
re m p la z a n a m y m » , re s p e c tiv a m e n te . C o m o e n e l c a s o d e la s a r m a d u r a s ,
g e n e r a lm e n te se r e q u i e r e u n p o c o m á s d e c á lc u lo p a ra d e t e r m i n a r la s
d e r iv a d a s p a r c ia le s y a p li c a r e l te o r e m a d e C a s tig lia n o e n v ez d e e m ­
p le a r e l m é t o d o d e l t r a b a j o v irtu a l. T a m b ié n , r e c u e r d e q u e e s t e te o r e m a
s ó lo s e a p lic a a m a te r ia le s q u e te n g a n u n a r e s p u e s ta e lá s tic a lin e a l. S i se
d e s e a u n a d e te r m i n a c ió n m á s c o m p le ta d e la e n e r g ía d e d e f o r m a c ió n e n
la e s t r u c tu r a , d e b e in c lu irs e la e n e r g ía d e d e f o r m a c ió n d e b id a a la s f u e r ­
z a s c o r t a n te s , a x ia le s y d e to r s ió n . L as d e d u c c io n e s p a r a la f u e r z a c o r ­
ta n t e y la to r s i ó n s ig u e n e l m is m o d e s a r r o ll o q u e la s e c u a c i o n e s 9 -2 5 y
9 -2 6 . L a s e n e r g í a s d e d e f o r m a c ió n y s u s d e r iv a d a s s o n . re s p e c tiv a m e n te .

404. Ca p i t u l o 9 D e f l e x i o n e s e m p l e a n d o m é t o d o s d e e n e r g í a
• - r
V 2 d x
2 A G d P
d x 9 U ,
d P
d x
S in e m b a r g o , e s t o s e fe c to s n o s e in c lu y e r o n e n e l a n á lis is d e lo s p r o b l e ­
m a s p a r a e s t e te x to , d e b id o a q u e la s d e f le x io n e s e n v ig a s y m a r c o s se
p r o d u c e n p r in c ip a lm e n te d e b id o a la e n e r g ía d e d e f o r m a c ió n p o r f le ­
x ió n . L o s m a r c o s m ás g ra n d e s , o a q u e llo s q u e ti e n e n u n a g e o m e tr ía i n u ­
s u a l . p u e d e n a n a liz a r s e p o r c o m p u t a d o r a , d o n d e e s t o s e f e c t o s p u e d e n
in c o r p o r a r s e fá c ilm e n te a l an á lisis.
P r o c e d im ie n to d e a n á lis is
E l s ig u ie n te p r o c e d i m i e n to p r o p o r c io n a u n m é to d o q u e p u e d e e m p le a r s e p a r a d e t e r m i ­
n a r la d e f le x ió n y / o la p e n d ie n t e e n u n p u n t o d e u n a v ig a o u n m a r c o u s a n d o e l te o r e m a
d e C a s tig lia n o .
F u e rz a e x t e r n a P o m o m e n t o d e p a r M
• C o lo q u e u n a f u e r z a P s o b r e l a v ig a o e l m a r c o e n e l p u n t o y e n la d ir e c c ió n d e l d e s p l a ­
z a m ie n to d e s e a d o .
• Si d e b e d e te r m i n a r s e la p e n d ie n te , c o lo q u e u n m o m e n to d e p a r M ' e n e l p u n to .
• Se s u p o n e q u e t a n t o P c o m o M ' ti e n e n u n a m a g n itu d v a r ia b le p a r a o b t e n e r lo s c a m ­
b io s dM/dP o dM/dM'.
M o m e n t o s in te r n o s M
• E s ta b le z c a la s c o o r d e n a d a s x a p r o p ia d a s q u e s o n v á lid a s d e n t r o d e la s r e g io n e s d e la
v iga o e l m a r c o d o n d e n o h a y d is c o n tin u id a d e n la f u e r z a , la c a rg a d is tr ib u id a o e l m o ­
m e n to .
• C a lc u le e l m o m e n to in t e r n o M en fu n c ió n d e P y M ' y c a d a c o o r d e n a d a x. A d e m á s ,
c a lc u le la d e r iv a d a p a rc ia l dM/dP o dM/dM' p a ra c a d a c o o r d e n a d a x.
• D e s p u é s d e d e t e r m i n a r M y dM/dP o dM/dM', a s ig n e a P o M ' s u v a lo r n u m é r ic o si
h a n s u s titu id o a u n a f u e r z a o m o m e n to re a le s . D e lo c o n tr a r i o .e s ta b l e z c a P o M ' g u a ­
les a c e r o .
T e o r e m a d e C a s tig lia n o
• A p liq u e la e c u a c ió n 9 -2 8 o 9 -2 9 p a r a d e t e r m i n a r e l d e s p la z a m ie n to A o la p e n d ie n t e 6
d e s e a d o s . E s i m p o r t a n te c o n s e r v a r lo s s ig n o s a lg e b r a ic o s d e lo s v a lo r e s c o r r e s p o n ­
d ie n t e s d e M y d M /d P o dM/dM'.
• Si la s u m a r e s u lta n t e d e to d a s la s in te g r a le s d e f in id a s e s p o s itiv a , A o A tie n e n la m ism a
d ir e c c ió n q u e P o M ' .

405. 9 . 9 T E O R E M A d e Ca s t g u a n o p a r a v i g a s y m a r c o s 3 8 3
D e te r m in e e l d e s p la z a m ie n to d e l p u n t o B d e la v ig a q u e s e m u e s tra
e n la fig u ra 9 2 1 a . C o n s id e r e q u e E = 2 0 0 G P a e / = 5 0 0 (1 0 6) m m 4.
1 2 k N , t a
11 11 11 11111
I
1A _
IW III
--------1
( a )
12 k N / m
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 I I
I— - —
1 0 m
(b)
S O L U C IÓ N
F u e rza e x t e r n a P. Se c o lo c a u n a f u e r z a v e r tic a l P s o b r e la v ig a e n
B c o m o s e m u e s tr a e n la fig u ra 9 -2 7 6 .
M o m e n to s in te r n o s M . Se r e q u i e r e u n a s o la c o o r d e n a d a x p a ra
o b t e n e r la s o lu c ió n , p u e s t o q u e n o h a y d is c o n tin u id a d e s d e c a r g a
e n t r e A y B . Si s e u s a e l m é to d o d e las s e c c io n e s , fig u ra 9 - 2 7 c .s e tie n e
P x = 0
d M
d P
- x
~ M -
M = ~ 6 x ! - P x
A l e s t a b le c e r P = 0 , s u v a lo r re a l, r e s u lta
M = - 6 x :
T e o re m a d e C a s tig lia n o . Si s e a p lic a la e c u a c ió n 9 -2 8 . se tie n e
dJ ±
d P
- x
A - r l J d M \ d x - 1 5 (1 0 * ) k N - m *
" i U P J E l i E l E l
(c)
f i g u r a 9 - 2 7
o b ien
15(103) kN • m3
A/í 200( 106) k N /m ?(500( 106) m m ^ l O '12 m '/m m 1;
= 0.150 m = 150 m m R esp.
D e b e o b s e r v a r s e l a s e m e ja n z a e n t r e e s t a s o lu c ió n y la o b te n i d a m e ­
d ia n te e l m é to d o d e l t r a b a j o v ir tu a l, e je m p lo 9-7.

406. 3 8 4 C a p i t u l o 9 D e f l e x i o n e s e m p l e a n d o m é t o d o s d e e n e r g í a
3 I tN
— Ti­
ta)
(b)
D e te r m in e la p e n d ie n t e e n e l p u n t o f í d e la v ig a q u e s e m u e s tr a e n la
fig u ra 9 -2 8 a . C o n s id e r e q u e E = 2 0 0 G P a , / = 6 0 (1 0 6) m m 4.
S O L U C IÓ N
M o m e n to d e p a r e x t e r n o M '. D a d o q u e d e b e d e te r m in a r s e la
p e n d ie n te e n e l p u n t o f í . s e c o lo c a u n p a r e x t e r n o M ' a > b re la v ig a e n
e s e p u n to , fig u ra 9 -2 8 6 .
M o m e n to s in t e r n o s M . P a r a d e te r m i n a r lo s m o m e n to s in te r n o e n
la v ig a d e b e n u s a r s e d o s c o o r d e n a d a s . x\ y a p u e s t o q u e h a y u n a d is ­
c o n tin u id a d . M ' ,e n f l .C o m o s e m u e s tr a e n la fig u ra 9 .2 8 6 .a :, va d e A
a f í y x 2 v a d e f í a C . U t i l i z a n d o e l m é t o d o d e la s s e c c i o n e s , fig u ra
9 -2 8 c . lo s m o m e n to s in te r n o s y la s d e r iv a d a s p a r c ia le s s e c a lc u la n d e
la s ig u ie n te m a n e r a :
P a r a * , :
L + S W = 0 ;
M i
M \
d M x
d M '
+ 3a: i =
= - 3a:,
= 0
3 k N 3 k N
f = 3 i r L
r.— Iv , l
M
. (
----
5 m
P a r a a2 :
t + = 0;
M,
l
e— |Va
- M ’ + 3 ( 5 + a:2 ) = 0
M 2 = M ' - 3 ( 5 + a , )
d M 2
d M '
= I
( c )
Figura 9 -2 8
T e o re m a d e C a s tig lia n o . Si s e e s t a b le c e M'
a p lic a la e c u a c ió n 9 -2 9 . r e s u lta
O .su v a lo r r e a l, y se
B i KdM'/EI
■f.
5 ( “ 3 a i ) ( 0 ) d x x f -- 3 ( 5 + a:2) ( 1 ) d x 2 1 1 2 .5 k N - m 2
l
E l F .I
o b ie n
- 1 1 2 . 5 kN-m2
n 2 0 0 (1 0 6) k N / m 2[60{ 106) m m 4]( 10 "12 m 4/ m m 4;
= - 0 .0 0 9 3 8 r a d Resp.
E l s ig n o n e g a tiv o in d ic a q u e 0fí e s o p u e s t o a la d ir e c c ió n d e l m o m e n to
d e p a r M '. O b s e r v e la s im ilitu d e n tr e e s ta s o lu c ió n y la d e l e je m p lo 9-8.

407. 9 . 9 T E O R E M A d e Ca s t g u a n o p a r a v i g a s y m a r c o s 3 8 5
D e te r m in e e l d e s p la z a m ie n to v e rtic a l d e l p u n t o C d e la v ig a q u e
se m u e s tr a e n la fig u ra 9 -2 9 a . C o n s id e r e q u e E = 21X3 G P a , 1 =
150 (1 06) m m 4.
S O L U C IÓ N
F u erza e x te r n a P . S e a p lic a u n a f u e r z a v e rtic a l P e n e l p u n to C,
fig u ra 9 -2 9b . D e s p u é s , e s t a f u e r z a s e r á ig u a l a u n v a lo r fijo d e
20 kN .
M o m e n to s in t e r n o s M . E n e s te c a s o s e r e q u i e r e n d o s c o o r d e n a d a s
x p a r a l a in te g r a c ió n , fig u ra 9-29¿>, p u e s to q u e la c a rg a e s d is c o n tin u a
e n C . E m p le a n d o e l m é to d o d e la s s e c c io n e s , f ig u r a 9 -2 9 c ,s e ti e n e
P a r a j j :
i,+ 2 W = 0 ; - ( 2 4 + 0 .5 P ) x , + 8 * , ( y ) + M , = 0
8 k N /m
2 0 kN
( a )
8 k N / m
aran
M \ = (2 4 + 0 .5 P ) * , - A x\
1 F = “ *»
2 4 + 0 .5P 8 + 0 5P
( b )
P a ra x 2:
= 0 ; - M 2 + ( 8 + 0 .5 P ) x 2 = 0
M 2 = ( 8 + 0 .5 P ) x 2
b m2
d p
0 .5x2
2 4 + 0 .5 P
8 + 0 .5 P
(c)
T e o re m a d e C a s tig lia n o . Si s e e s t a b le c e P = 2 0 k N , s u v a lo r r e a l, y
se a p lic a la e c u a c ió n 9 -2 8 , r e s u lta
F igura 9 -2 9
- ■ ■ j x m
/ - ( 3 4 » , - 4 x j ) ( 0 . 5x ,) d x , | í
J o E l J o
, , 4 ( I 8 * 2)(0 .5x 1) d x ,
E l
2 3 4 .7 k N • m 3 + 192 k N • m 3 42 6 .7 kN-m3
E l E l E l
o b ie n
=
_________________4 2 6 .7 k N • m 3__________________
kC’ ” 2 0 0 ( 106) k N /m 7[1 5 0 (1 0 6) m m 4j ( 1 0 - '2 m 4/ m m 4)
= 0 .0 1 4 2 m = 14.2 m m R esp.

408. 3 8 6 C a p i t u l o 9 D e f l e x i o n e s e m p l e a n d o m é t o d o s d e e n e r g í a
2 k / p i e
nTTTTT
1 2 p i e s £ J
(a)
vi
D e te r m in e la p e n d ie n t e e n e l p u n t o C d e l m a r c o d e d o s e le m e n to s
q u e s e m u e s tra e n la f ig u r a 9-30a . E l s o p o r te e n A es fijo. C o n s id e r e q u e
E = 2 9 (1 0 * ) k s i , / = 600 p u lg 4.
S O L U C IÓ N
M o m e n to d e p a r e x t e r n o M '. S e a p lic a u n m o m e n to v a r ia b le M '
s o b r e e l m a r c o e n e l p u n to C , p u e s t o q u e d e b e d e te r m i n a r s e la p e n ­
d ie n te e n e s te p u n to , fig u ra 9 -3 0 6 . D e s p u é s , e s t e m o m e n to s e ig u a la rá
a c e r o .
M o m e n to s in t e r n o s M . D e b id o a la d is c o n tin u id a d d e la c a rg a in ­
te r n a e n B, s e e lig e n d o s c o o r d e n a d a s .r, y * 2.c o m o s e m u e s tr a e n l a fi­
g u r a 9 -3 0 6 . U s a n d o e l m é to d o d e la s s e c c io n e s , f ig u r a 9 -3 0 c , s e tie n e
P a r a x x\
= O. - M , - 2 * , ( § ) - " ' - o
d M i
d M7
= -1
P a r a x 2:
t+ZA# = 0; - M 2 - 24{ ^2 e o s 6 0 ° + 6 ) - M ' = 0
M 2 = -2 4 { a :2 c o s 6 0 o + 6 ) - A f'
d M 2
d M '
= - 1
/I
2 4 k
t;
M; > Vj
N
T e o re m a d e C a s tig lia n o . A l e s t a b le c e r M ' = O y a p li c a r la e c u a ­
c ió n 9 -2 9 s e o b ti e n e
" ‘ ■ /“(Si
• « ( - * } ) { - ! ) d x ,
Xj e o s 6 0 * + 6 p i e s ( C)
F i g u r a 9 - 3 0
“ i s a - = í
E l
c
- 2 4 ( x 2 c o s 6 0 ° + 6 ) ( - l ) d x 7
E l
5 7 6 k - p i e 2 2 0 4 0 k - p i e 2 _ 2 6 1 6 k - p i e 2
E l + E l “ E l
2 6 1 6 k • p ie 2( 144 p u lg 2/ p i e 2)
°C ~ 2 9 (1 0 * ) k /p u l g 2(6 0 0 p u lg 4) 0 0 2 1 6 r a d
R esp.

409. 9 . 9 T E O R E M A d e Ca s t g u a n o p a r a v i g a s y m a r c o s 387
P R O B L E M A S F U N D A M E N T A L E S
19-13. D eterm ine la p endiente y e l desplazam iento e n el
punto A . E l e s constante. U se el principio del trab ajo virtual.
19-14. R esuelva el p ro b lem a F9-13 usando e l te o re m a de
Castigliano.
19-19. D eterm ine la p e n d ien te e n A y e l desplazam iento
e n e l p u n to C . E l e s co n stan te. U se el principio d el trab ajo
virtual.
19-20. R esuelva el p ro b lem a F9-19 usando el te o re m a de
Castigliano.
3 0 k N
3 m
19-13/9-14
i k N / m
innum.
4 m — 4 m
19-19/9-20
19-15. D eterm ine la p endiente y e l desplazam iento e n el
punto A . E l e s constante. U se e l principio del trab ajo virtual.
19-16. R esuelva e l p ro b lem a F9-15 usando el te o re m a de
Castigliano.
4 k N -m
(
19-21. D eterm ine la p endiente y e l desplazam iento e n el
punto C. E l e s constante. U se e l principio d el trab ajo virtual.
19-22. R esuelva el p ro b lem a F9-21 usando el te o re m a de
Castigliano.
12 k N
2m
-2 m
19-15/9-16
19-17. D eterm ine la p e n d ien te y e l desplazam iento e n el
punto tí. E l e s constante. U se e l p rin c ip o d e l trab ajo virtual.
19-18. R esuelva el p ro b lem a F9-17 usando el te o re m a de
Castigliano.
1 9 -2 1 9 -2 2
19-23. D eterm in e el desplazam iento e n el p u n to C. E l es
constante. U se el principio d el trab ajo virtual.
19-24 . R esuelva el p ro b lem a F9-23 usando el te o re m a de
Castigliano.
1 8 k N / r
TTTirnrm^
3 m
---------
19-17/9-18

410. 3 8 8 C a p i t u l o 9 D e f l e x i o n e s e m p l e a n d o m é t o d o s d e e n e r g í a
P R O B L E M A S
9 -2 1 . D eterm ine el desplazam iento d el p u n to C y la p e n ­
diente e n e l p u n to B . F.I es co n stan te. U se el principio del
trab ajo virtual.
9 -2 2 . R esuelva e l p ro b le m a 9-21 usando e l teo rem a de
Castigliano.
9 - 2 9 . D eterm ine la p e n d ie n te y e l d esp lazam ien to e n el
p u n to C .U s e el m éto d o d e l trab ajo virtual. F. = 29(10*) ksi.
/ - m p u lg 4.
9 - 3 0 . R esuelva el p ro b lem a 9-29 usando e l teo rem a de
C astigliano.
P r o h * . 9 - 2 5 / 9 - 2 6 / 9 - 2 7 / 9 - 2 8 P r o b s . 9 - 3 3 / 9 - 3 4
P r o b s . 9 - 2 1 / 9 - 2 2
9 - 2 3 . D eterm ine e l d esp lazam ien to e n el p u n to C. E l es
constante. U se e l m éto d o d el trab ajo virtual.
* 9 - 2 4 . Resuelva e l p ro b lem a 9-23 usando el teo rem a de
Castigliano.
P r o b s . 9 - 2 9 / 9 - 3 0
9 -3 1 . D eterm ine e l desplazam iento y la p endiente e n el
p u n to C de la viga en voladizo. E l m o m en to d e in ercia de
cada segm ento se indica e n la figura. C onsidere q u e E =
29(10*) ksi. U se e l principio del tra b a jo virtual.
*9-32. R esuelva e l p ro b lem a 9-31 usando e l teo rem a de
C astigliano.
P r o b s . 9 - 2 3 / 9 - 2 4
9 - 2 5 . D eterm in e la p endiente e n e l punto C. E l es c o n s­
tante. U se el m éto d o d el trab ajo virtual.
9 - 2 6 . R esuelva e l p ro b lem a 9-25 usando e l teo rem a de
Castigliano.
9 - 2 7 . D eterm in e la p endiente e n e l p u n to A . E l es c o n s­
tante. U se e l m éto d o d el trab ajo virtual.
*9-28. R esuelva e l p ro b lem a 9-27 usando e l teo rem a de
Castigliano.
P r o h s . 9 - 3 1 ) 9 - 3 2
9 -3 3 . D eterm ine la p e n d ie n te y el d esp lazam ien to e n el
p u n to B . E l es constante. U se el m éto d o d e l trab ajo virtual.
9 - 3 4 . R esuelva e l p ro b lem a 9-33 usando e l teo rem a de
C astigliano.

411. 9 . 9 T E O R E M A d e Ca s t g u a n o p a r a v i g a s y m a r c o s 3 8 9
9 -3 5 . D eterm ine la p e n d ien te y e l d csp laza m ien to e n el
p u n to B.S uponga q u e e l so p o rte e n A es un pasad o r y e n C
e s u n rodillo. C onsidere E - 29( 103) k si e / - 300 pulg4. U se
el m éto d o d el trab ajo virtual.
•9 -3 6 . R esuelva e l p ro b lem a 9-35 usando e l teo rem a de
Castigliano.
*9-40. D eterm ine la p e n d ien te y e l desplazam iento e n el
p u n to A . S uponga q u e C está articulado. U se el principio
d el trab ajo virtual. E l e s constante.
9 -4 1 . R esuelva e l p ro b lem a 9-40 usando el teo rem a de
Castigliano.
-1 0 p ie s -
P ro b s. 9-35)9-36
5 p ie s
9 -3 7 . D eterm ine la p e n d ien te y e l desplazam iento e n el
p u n to B.S uponga q u e e l so p o rte e n A es u n pasad o r y e n C
es u n rodillo. T o m e e n cu en ta la e n e rg ía d e d eform ación
adicional d eb id a a la fuerza co rtan te. C onsidere q u e E =
29(IO }) ksi. / «■ 300 p u lg 4. G - 12(10*) ksi y su p o n g a q u e
A B tiene u n á re a en s u sección transversal d e A = 7.50
pulg2.U se el m étodo d el tra b a jo virtual.
9 -4 2 . D eterm ine e l desplazam iento e n e l p u n to D . U se el
principio d e l trab ajo v irtu al. E l es constante.
4 k / p i e 8 k
9 -3 8 . D eterm ine el desplazam iento d el p u n to C. U se el
m étodo d el tra b a jo virtual. E l e s constante.
9 -3 9 . R esuelva e l p ro b lem a 9-38 usando el teo rem a de
Castigliano.
9 -4 3 . D eterm ine e l desplazam iento e n e l p u n to D . U se el
teorem a d e C astigliano. E l e s co n stan te.
*0
8 k
4 p i e s -
rrffm
i> _ ¡1
4 pies • 4 p i « -
P ro b .9 -4 3

412. 3 9 0 C a p i t u l o 9 D e f l e x i o n e s e m p l e a n d o m é t o d o s d e e n e r g í a
* 9 - 4 4 . U s e e l m é t o d o d e l t r a b a j o v i r t u a l p a r a d e t e r m i n a r la
d e f l e x i ó n v e r t i c a l e n e l s o p o r t e d e o s c i l a d o r D . E l e s c o n s t a n t e .
9 - 4 5 . R e s u e l v a e l p r o b l e m a 9 - 4 4 u s a n d o e l t e o r e m a d e
C a s t i g l i a n o .
9 - 4 9 . D e t e r m i n e e l d e s p l a z a m i e n t o h o r i z o n t a l d e l p u n t o C .
F .¡ e s c o n s t a n t e . U s e e l m é t o d o d e l t r a b a j o v i r t u a l .
9 - 5 0 . R e s u e l v a e l p r o b l e m a 9 - 4 9 u s a n d o e l t e o r e m a d e
C a s t i g l i a n o .
>ies
P r o b s . 9 - 4 4 / 9 - 4 5
9 - 4 6 . E l m a r c o e n f o r m a d e L s e c o m p o n e d e d o s s e g m e n ­
t o s , c a d a u n o d e l o n g i t u d I . y r i g i d e z a l a f l e x i ó n E l . S i s e s o ­
m e t e a l a c a r g a u n i f o r m e m e n t e d i s t r i b u i d a , d e t e r m i n e e l
d e s p l a z a m i e n t o h o r i z o n t a l d e l e x t r e m o C . U s e e l m é t o d o
d e l t r a b a j o v i r t u a l .
9 - 4 7 . E l m a r c o e n f o r m a d e L s e c o m p o n e d e d o s s e g m e n ­
to s , c a d a u n o d e l o n g i t u d L y r i g i d e z a l a f l e x i ó n E / . S i s e s o ­
m e t e a l a c a r g a u n i f o r m e m e n t e d i s t r i b u i d a , d e t e r m i n e e l
d e s p l a z a m i e n t o v e r t i c a l d e l p u n t o B . U s e e l m é t o d o d e l t r a ­
b a j o v i r t u a l .
*9-48. R e s u e l v a e l p r o b l e m a 9 - 4 7 u s a n d o e l t e o r e m a d e
C a s t i g l i a n o .
9 - 5 1 . D e t e r m i n e l a d e f l e x i ó n v e r t i c a l e n C . E l á r e a d e la
s e c c i ó n t r a n s v e r s a l y e l m o m e n t o d e i n e r c i a d e c a d a s e g ­
m e n t o s e m u e s t r a n e n l a f i g u r a C o n s i d e r e q u e E = 2 0 0
G P a . S u p o n g a q u e A e s u n s o p o r t e f ij o . U s e e l m é t o d o d e l
t r a b a j o v i r t u a l .
*9-52. R e s u e l v a e l p r o b l e m a 9 - 5 1 . i n c l u y e n d o e l e f e c t o d e
la e n e r g í a d e d e f o r m a c i ó n c o r t a n t e y a x i a l .
9 -5 3 . R e s u e l v a e l p r o b l e m a 9 - 5 1 u s a n d o e l t e o r e m a d e
C a s t i g l i a n o .
A h c “ 6 .5 (1 0 * ) m m ? c
h e = 100(10“) mm*
Aa b - 1 8 (1 0 ’) m m 1
. 9 t> Ia h 40CH106) m m *
5 0 kN
P r o b s . 9 - 4 9 / 9 - 5 0
P r o b a 9 - 4 6 ^ - 4 7 / 9 — 4 8 P r o b s . 9 - 5 1 / 9 - 5 2 / 9 - 5 3

413. 9 . 9 T E O R E M A d e Ca s t g u a n o p a r a v i g a s y m a r c o s 3 9 1
9 - 5 4 . D eterm ine la p endiente e n A . C o nsid ere q u e E =
29(103) ksi. E l m o m en to de inercia d e c ad a segm ento del
marco se indica e n la figura. S uponga q u e D e s u n so p o rte
articulado. U se e l m éto d o d e l trab ajo virtual.
9 - 5 5 . R esuelva e l p ro b lem a 9-54 usando e l te o re m a de
Castigliano.
9 - 5 8 . U se el m éto d o d e l trab ajo virtual y d eterm in e la d e ­
flexión horizontal e n C. E l es co n stan te H a y u n pasad o r e n A .
S uponga q u e C e s un rodillo y q u e B e s una ju n ta fija.
9 - 5 9 . Resuelva e l p ro b lem a 9-58 usando el teo rem a de
Castigliano.
12 k
400 Ib/pie
*9-56. U se e l m éto d o d el tra b a jo v irtual y d eterm in e la d e ­
flexión h o rizontal e n C. E l á re a d e la sección transversal de
cada e lem en to se indica e n la figura. S uponga q u e lo s ele­
m entos e stán articulados e n su s extrem os. E = 29(105) ksi.
9 - 5 7 . R esuelva e l p ro b lem a 9-56 usando el te o re m a de
C astigliano.
•9 -6 0 . E l m arco e stá so m etid o a la carg a d e 5 k. D eter­
mine el d esp la z a m ie n to vertical e n C. S u p o n g a q u e los
elem entos e stán articu lad o s e n z i .C y E,y q u e e stán conec­
tados fijam ente e n las ju n ta s a c o d ad as B y D . E l e s cons­
tante. U se e l m éto d o d el tra b a jo virtual.
9 - 6 1 . R esuelva e l p ro b lem a 9-60 usando e l teo rem a de
Castigliano.
2 k
Sk
Probs. 9 - 5 6 9 - 5 7

414. 3 9 2 C a p i t u l o 9 D e f l e x i o n e s e m p l e a n d o m é t o d o s d e e n e r g í a
r e p a s o d e l c a p ít u l o
Todos los m éto d o s d e e n e rg ía se b a sa n e n e l principio d e la conservación de la en ergía, e l cual establece q u e e l trab ajo rea­
lizado p o r to d a s las fuerzas ex tern as q u e actú a n so b re la e stru c tu ra . l/,.s c transform an e n trab ajo in tern o o en erg ía de d e ­
form ación. U¡, desarro llad a e n lo s e lem en to s cu a n d o la estru ctu ra se d eform a.
U r = U,
U n a fuerza (m om ento) realiza tra b a jo U cuando ex p erim en ta u n desplazam iento (ro tació n ) e n la dirección d e la fuerza
(m om ento).
U = M d
E l principio d e l trab ajo v irtu al se b asa e n el tra b a jo realizado p o r una fuerza u n itaria “ virtual" o im aginaria. Si d e b e o b te ­
nerse la deflexión (ro tació n ) e n u n p u n to d e la e s tru c tu ra .s e aplica una fu e rz a (m o m en to d e p a r) u n itaria virtual a la es­
tru c tu ra e n e sc punto. E s to ocasiona cargas virtuales in tern as e n la e stru ctu ra. E l tra b a jo virtual se d esarro lla cu a n d o las
cargas reales se colocan so b re la estru ctu ra p ro v o can d o s u deform ación.
l o s desplazam ientos e n las arm ad u ras se e n c u e n tra n utilizando
1 - A = 2
n N L
A E
Si el desplazam iento e s causado p o r la tem p eratu ra o e rro re s de fabricación, entonces
1 - A = I n a t f L 1 - A = ZnAL

415. Re p a s o d e l c a p i t u l o 3 9 3
Para las vigas y los m arcos, e l desplazam iento (ro tació n ) se define a p a rtir de
E l seg u n d o teo rem a d e C astigliano, tam b ién llam ado el m é to d o d el tra b a jo m ínim o, p u ed e usarse p a ra d ete rm in a r las d e ­
flexiones e n las estru ctu ras q u e resp o n d an clásticam ente. S e afirm a q u e e l desplazam iento (ro ta c ió n ) en u n p u n to de una
e stru ctu ra e s igual a la prim era d eriv ad a parcial d e la e n e rg ía d e d eform ación en la estru ctu ra con respecto a u n a fuerza /’
(m o m en to de p a r M ') q u e actúa e n e l p u n to y e n la dirección d el desplazam iento (ro tació n ). P ara u n a a rm a d u ra
=
Para vigas y m arcos

416. Las ju n ta s d e este m a rco d e c o n c re to c on ectad as fija m e n te ha ce n q u e la e s ­
tru c tu ra sea e s tá tica m en te in d e te rm in a d a .

417. Análisis de estructuras
estáticamente
indeterminadas por el
método de la fuerza
E n e s te c a p ít u lo s e a p lic a rá e l m é t o d o d e la fu e rza o d e la fle x ib ilid a d
p a ra a n a liz a r a rm a d u r a s , v ig a s y m a r c o s e s tá tic a m e n te in d e t e r m in a ­
d o s . A l f in a l d e l c a p ít u lo s e p re s e n ta rá u n m é t o d o p a r a d ib u j a r la lín e a
d e in flu e n c ia p a ra u n a v ig a o u n m a rc o e s tá tic a m e n te in d e t e r m in a d o .
1 0 .1 E structuras e stá tica m e nte
in d e te rm in a d a s
E n la s e c c ió n 2 - 4 s e e s ta b le c ió q u e u n a e s t r u c tu r a d e c u a lq u ie r tip o se
c la s ific a c o m o e stá tic a m e n te in d e te r m in a d a c u a n d o la c a n ti d a d d e r e a c ­
c io n e s o fu e r z a s in t e r n a s d e s c o n o c id a s e x c e d e a l a d e la s e c u a c io n e s d e
e q u ilib r io d is p o n ib le s p a r a s u a n á lis is . E n e s t a s e c c ió n s e a n a liz a r á n lo s
b e n e fic io s d e u tiliz a r la s e s t r u c tu r a s in d e te r m in a d a s y d o s f o r m a s f u n d a ­
m e n ta le s e n la s q u e p u e d e n a n a liz a rs e . T e n g a e n c u e n ta q u e la m a y o r ía
d e la s e s t r u c tu r a s d is e rta d a s e n la a c tu a lid a d s o n e s t á tic a m e n te in d e t e r ­
m in a d a s. E s ta in d e te r m in a c ió n p u e d e s u r g ir c o m o r e s u lta d o d e la a rta d i-
d u r a d e s o p o r te s o e le m e n to s , o d e b i d o a la fo r m a g e n e r a l d e la e s t r u c ­
tu r a . P o r e je m p lo , la s c o n s tr u c c io n e s d e c o n c r e to r e f o r e a d o s o n c a s i
s ie m p r e e s t á ti c a m e n t e in d e t e r m in a d a s p o r q u e la s c o lu m n a s y las v ig a s
s e v a c ía n c o m o e le m e n to s c o n ti n u o s a tr a v é s d e la s j u n t a s y s o b r e lo s
so p o rte s .

418. 3 9 6 Ca p i t u l o 1 0 A n á l i s i s d e e s t r u c t u r a s e s t á t i c a m e n t e i n d e t e r m i n a d a s p o r. . .
Ventajas y desventajas. A u n q u e e l a n á lis is d e u n a e s t r u c tu r a
e s t á tic a m e n te in d e te r m in a d a e s m á s c o m p lic a d o q u e e l d e u n a e s t á t i c a ­
m e n te d e te r m i n a d a , p o r lo g e n e r a l h a y v a r ia s ra z o n e s m u y im p o r ta n te s
p a ra la e le c c ió n d e e s te tip o d e e s t r u c tu r a d u r a n t e e l d iserto . P e r o a ú n
m á s i m p o r t a n te e s q u e , p a r a u n a c a r g a d a d a , e l e s f u e r z o m á x im o y l a d e ­
fle x ió n d e u n a e s t r u c tu r a in d e te r m in a d a s o n g e n e r a l m e n t e m á s p e ­
q u e ñ o s q u e lo s d e s u c o n t r a p a r t e e s t á ti c a m e n t e d e te r m i n a d a . ft>r e je m ­
p lo . l a v ig a f ija m e n te a p o y a d a y e s t á tic a m e n te in d e te r m in a d a d e la
fig u ra 1 0 - l a e s t a r á s o m e ti d a a u n m o m e n to m á x im o d e M mix m PI./8,
m ie n tr a s q u e la m is m a v ig a , c u a n d o e s t á s im p le m e n te a p o y a d a , fig u ra
1 0 - 1 6 .s e s o m e t e r á a d o s v e c e s e l m o m e n t o .e s d e c i r , = P L /4 . E n
c o n s e c u e n c ia , la v ig a f ija m e n te a p o y a d a ti e n e u n c u a r t o d e la d e f le x ió n y
la m ita d d e l e s f u e r z o e n e l c e n t r o q u e la v ig a s im p le m e n te a p o y a d a .
O tr a r a z ó n im p o r ta n te p a r a s e le c c io n a r u n a e s t r u c tu r a e s t á tic a m e n te
in d e te r m in a d a e s q u e ti e n e u n a te n d e n c ia a r e d i s tr ib u i r s u c a rg a e n su s
s o p o r te s r e d u n d a n t e s e n la s s i tu a c io n e s d o n d e o c u r r e u n d is e rto d e f e c ­
tu o s o o s e p r e s e n ta u n a s o b r e c a r g a . E n e s t o s c a s o s , l a e s t r u c tu r a m a n ­
tie n e s u e s ta b ilid a d y s e e v it a e l c o la p s o . L o a n t e r i o r e s p a r t ic u l a r m e n t e
im p o r ta n te c u a n d o s e im p o n e n s o b r e la e s t r u c tu r a c a rg a s la t e r a l e s re ­
p e n ti n a s ,c o m o la s p r o v o c a d a s p o r e l v ie n to o lo s sism os. P a r a il u s t r a r
e s to , c o n s i d e r e d e n u e v o la v ig a c o n u n e x tr e m o fijo d e la f ig u r a 1 0 -la .
A m e d id a q u e P a u m e n ta , e l m a te r ia l d e la v ig a e m p ie z a a c e d e r e n su s
p a r e d e s y e n s u c e n tr o f o r m a n d o “ a r tic u la c io n e s p lá s tic a s " lo c a liz a d a s ,
la s c u a le s h a c e n q u e la v ig a s e d e f o r m e , c o m o si e s tu v ie r a c o n e c t a d a m e ­
d ia n te b is a g ra s o p a s a d o r e s e n e s t o s p u n to s . A u n q u e la d e f le x ió n s e h a g a
g r a n d e , la s p a r e d e s d e s a r r o ll a r á n f u e r z a s h o r iz o n ta le s y r e a c c io n e s d e
m o m e n to q u e p o d r á n s o s te n e r la v ig a y a s í e v it a r q u e s e c o la p s e p o r
c o m p le to . E n e l c a s o d e l a v ig a s im p le m e n te a p o y a d a d e la fig u ra 10-16,
u n a c a r g a P e x c e siv a h a r á q u e la “ a rtic u la c ió n p lá s tic a " s e f o r m e s ó l o e n
e l c e n t r o d e la v ig a y, d e b i d o a la g r a n d e f o r m a c ió n v e rtic a l, lo s s o p o r te s
n o d e s a r r o ll a r á n n in g u n a f u e r z a h o r iz o n ta l n i r e a c c io n e s d e m o m e n to
q u e p u d ie r a n s e r n e c e s a r ia s p a r a e v it a r u n c o la p s o to ta l.
A u n q u e la s e s t r u c tu r a s e s t á tic a m e n te in d e te r m in a d a s p u e d e n s o p o r ­
t a r u n a c a rg a c o n e le m e n to s m á s d e lg a d o s y ti e n e n m a y o r e s t a b ilid a d e n
c o m p a r a c ió n c o n s u s c o n tr a p a r t e s e s t á tic a m e n te d e te r m in a d a s , h a y
c a so s e n lo s q u e , p o r e l c o n tr a r io , e s t a s v e n ta ja s p u e d e n c o n v e r tir s e e n
d e s v e n ta ja s . E l a h o r r o d e c o s to s e n m a t e r i a l d e b e c o m p a r a r s e c o n el
c o s to a d ic io n a l n e c e s a r io p a r a f a b r ic a r la e s tr u c tu r a , p u e s to q u e e n
m u c h a s o c a s io n e s la c o n s tr u c c ió n d e lo s s o p o r te s y la s ju n t a s d e u n a e s ­
tr u c tu r a in d e te r m in a d a e s m á s c o s to s a q u e la d e u n a d e te r m i n a d a . S in
e m b a r g o , m á s im p o r ta n te a ú n e s q u e la s e s t r u c tu r a s e s t á tic a m e n te in d e ­
te r m in a d a s t i e n e n r e a c c io n e s r e d u n d a n t e s e n lo s s o p o r te s , e s n e c e s a r io
te n e r m u c h o c u id a d o p a r a e v i t a r e l d e s p la z a m ie n to d if e r e n c ia l d e lo s s o ­
p o rte s . y a q u e e s t e e f e c to in tr o d u c e e s f u e r z o s in t e r n o s e n la e s tr u c tu r a .
I \ ) r e je m p lo , s e a ju s ta r a s i la p a r e d u b ic a d a e n u n e x tr e m o d e la v ig a fija
q u e s e m u e s tr a e n la fig u ra 1 0 - l a , s e d e s a r r o ll a r í a u n e s f u e r z o e n la v ig a
d e b id o a e s t a d e f o r m a c ió n “ o b lig a d a " . P o r o t r a p a r t e , s i la v ig a e s tu v ie r a
s im p le m e n te a p o y a d a o e s t á tic a m e n te d e te r m i n a d a , fig u ra 1 0 - 1 6 , e n t o n ­
c e s c u a lq u ie r a ju s te d e s u e x tr e m o n o o c a s io n a r ía u n a d e f o r m a c ió n d e la
v ig a y, p o r lo ta n t o , n o s e d e s a r r o ll a r á e s f u e r z o e n la v ig a . E n to n c e s , e n
g e n e r a l , c u a lq u ie r d e f o r m a c ió n c o m o la c a u s a d a p o r e l d e s p la z a m ie n to
re la tiv o d e u n s o p o r te o lo s c a m b io s e n la lo n g itu d d e lo s e le m e n to s p o r
e r r o r e s d e f a b r ic a c ió n o c a m b io s d e te m p e r a t u r a , in tr o d u c e e s f u e rz o s
a d ic io n a le s e n la e s t r u c tu r a , lo s c u a le s d e b e n s e r c o n s id e r a d o s e n e l d i ­
s e rto d e e s t r u c tu r a s in d e te r m in a d a s .

419. 1 0 . 1 Es t r u c t u r a s e s t á t i c a m e n t e i n d e t e r m i n a d a s 3 9 7
P p
(a) (b)
Figura 10-1
M étodos de análisis. A l a n a liz a r c u a lq u ie r e s t r u c tu r a in d e t e r m i­
n a d a e s n e c e s a r io s a tis f a c e r lo s r e q u i s it o s d e e q u ilib r io ,c o m p a tib ilid a d y
fu e r z a -d e s p la z a m ie n to p a r a la e s tr u c tu r a . E l e q u ilib r io s e s a tis fa c e c u a n d o
las f u e r z a s d e re a c c ió n m a n t ie n e n la e s t r u c tu r a e n r e p o s o y la c o m p a tib i­
li d a d s e c u m p le c u a n d o lo s d if e r e n t e s s e g m e n to s d e la e s t r u c tu r a s e a ju s ­
ta n s in in t e r r u p c io n e s o tr a s la p e s in te n c io n a le s . L o s r e q u is ito s d e fu e r z a -
d e s p la z a m ie n to d e p e n d e r á n d e la f o r m a e n q u e r e s p o n d a e l m a te r ia l; e n
e s te te x t o s e h a s u p u e s to u n a r e s p u e s ta e lá s tic a lin e a l. E n g e n e r a l, h a y
d o s m a n e r a s d if e r e n t e s d e s a tis f a c e r e s to s r e q u is ito s c u a n d o s e a n a liz a
u n a e s t r u c tu r a e s t á ti c a m e n t e in d e t e r m in a d a : e l m é to d o d e la f u e r z a o de
la fle x ib ilid a d y e l m é to d o d e l d e s p la z a m ie n to o de la rig id e z .
M é to d o de la fuerza. O r ig in a lm e n te , J a m e s C le r k M a x w e ll d e s a ­
rr o lló e n 1864 e l m é to d o d e la f u e r z a y p o s t e r io r m e n t e f u e r e f in a d o p o r
O tto M o h r y H e in r ic h M ü lle r-B re s la u . E s te m é to d o f u e u n o d e lo s p r i ­
m e r o s q u e e x is tió p a r a e l a n á lis is d e e s t r u c tu r a s e s t á tic a m e n te in d e t e r ­
m in a d a s . C o m o la c o m p a tib ilid a d f o r m a la b a s e d e e s t e m é to d o , e n o c a ­
s io n e s s e le h a lla m a d o e l m é to d o d e la c o m p a tib ilid a d o e l m é to d o d e lo s
d e s p la z a m ie n to s c o n s is te n te s . E s te m é t o d o c o n s is te e n e s c r ib ir la s e c u a ­
c io n e s q u e s a tis f a c e n lo s re q u isito s d e c o m p a tib ilid a d y d e fu e r z a - d e s p la ­
z a m ie n to p a ra la e s t r u c tu r a c o n e l f i n d e d e t e r m i n a r la s fu e r z a s r e d u n ­
d a n te s . U n a v e z q u e se h a n d e te r m i n a d o e s t a s f u e r z a s .s e c a lc u la e l r e s to
d e la s fu e r z a s d e re a c c ió n s o b r e l a e s tr u c tu r a m e d ia n te e l c u m p lim ie n to de
lo s r e q u is ito s d e e q u ilib r io . L o s p rin c ip io s f u n d a m e n ta l e s in v o lu c ra d o s
e n la a p lic a c ió n d e e s t e m é t o d o s o n fá c ile s d e e n t e n d e r y d e s a r r o ll a r , y se
e s t u d ia r á n e n e s te c a p ítu lo .
M étodo del desplazam iento. E s te m é to d o s e b a s a e n e s c r ib ir
p r im e r o la s re la c io n e s d e f u e r z a - d e s p la z a m ie n to p a r a lo s e le m e n to s ,
p a ra lu e g o s a tis f a c e r lo s re q u isito s d e e q u ilib r io efe la e s t r u c tu r a . E n e s te
c a s o la s in c ó g n ita s e n la s e c u a c io n e s s o n d e s p la z a m ie n to s . U n a v e z q u e
s e h a n o b te n i d o lo s d e s p la z a m ie n to s , la s fu e r z a s se d e t e r m i n a n a p a r t i r
d e la s e c u a c io n e s d e c o m p a tib ilid a d y d e fu e r z a - d e s p la z a m ie n to . E n lo s
c a p ítu lo s 11 y 1 2 s e e s t u d ia r á n a lg u n a s d e la s té c n ic a s c lá s ic a s q u e se u ti­
liz a n p a r a a p lic a r e l m é to d o d e l d e s p la z a m ie n to . D e b id o a q u e e n la a c ­
tu a lid a d c a s i to d o e l s o f tw a r e p a r a e l a n á lis is e s t r u c tu r a l s e d e s a r r o lla
iB a n d o e s t e m é to d o , e n lo s c a p ítu lo s 1 4 ,1 5 y 16 s e p r e s e n ta r á u n a f o r m u ­
la c ió n d e l a m a tr iz d e l m é to d o d e l d e s p la z a m ie n to .
C a d a u n o d e e s t o s d o s m é to d o s d e a n á lis is , q u e s e d e lin e a n e n la fig u ra
10-2 , ti e n e s u s v e n ta j a s y d e s v e n ta ja s p a r tic u la r e s , d e p e n d ie n d o d e la
g e o m e tr ía d e la e s t r u c tu r a y d e s u g r a d o d e in d e te r m in a c ió n . A l t e r m i n a r
la p r e s e n ta c ió n d e lo s m é to d o s , s e d a r á u n a e x p lic a c ió n s o b r e la u tilid a d
d e c a d a u n o d e e llo s.

420. 3 9 8 Ca p i t u l o 1 0 A n á l i s i s d e e s t r u c t u r a s e s t á t i c a m e n t e i n d e t e r m i n a d a s p o r. . .
In c ó g n ita s
E c u a c io n e s u s a d a s
p a r a la s o lu ció n
C o efic ien te s d e
la s incógnitas
M é to d o d e la fuerza F u e rz a s
C o m p a tib ilid a d y
fu e r/a -d c s p la /ít m íe n lo
C o e f ic ie n te s d e
flexibilidad
M é to d o del
d c s p L u a m ie n to
desp laza m íen los
E q u ilib rio y
fu e rz a -d e sp la z am ien to
C o e f i c i e n t e d e rig id ez
H gura i0 -2
1 0 .2 M é to d o d e análisis de la fue rza:
P ro ce d im ie n to general
v ig a r e a l
( a )
e s t r u c t u r a p r i m a r i a
< b )
10
r e d u n d a n t e B , a p lic a d a
(c )
a a ~ B yf BB |
(d)
H guni 10-3
t
ru .
B
T a l v e z la m e j o r m a n e r a d e il u s t r a r lo s p rin c ip io s in v o lu c r a d o s e n e l m é ­
to d o d e a n á lis is d e la f u e r z a s e a c o n s id e r a r la v ig a q u e s e m u e s tr a e n la
fig u ra 10-3a. S i s e d ib u ja r a s u d ia g r a m a d e c u e r p o lib re , h a b r í a c u a tr o
r e a c c io n e s d e s c o n o c id a s e n lo s s o p o r te s ; y c o m o s e p u e d e d is p o n e r d e
tr e s e c u a c io n e s d e e q u ilib r io p a r a o b t e n e r u n a s o lu c ió n , la v ig a e s i n d e ­
te r m in a d a d e p rim e r g ra d o . ft>r lo ta n to .s e r e q u ie r e u n a e c u a c ió n a d icio n al
p a ra la s o lu c ió n . C o n e l fin d e o b t e n e r e s t a e c u a c ió n s e u s a r á e l p rin c ip io
d e s u p e r p o s ic ió n y s e c o n s i d e r a r á la c o m p a tib ilid a d d e l d e s p la z a m ie n to
e n u n o d e lo s s o p o r t e s E s to s e h a c e a l e le g ir u n a d e la s re a c c io n e s e n lo s
s o p o r te s c o m o “ r e d u n d a n t e " y a l e li m i n a r te m p o r a lm e n te s u e fe c to
s o b r e la v ig a d e m a n e r a q u e é s t a s e v u e lv a e s t á tic a m e n te d e te r m i n a d a y
e s ta b le . E s ta v ig a s e c o n o c e c o m o la e stru ctu ra p r im a r ia . A q u í s e e lim i­
n a rá la a c c ió n d e re s tric c ió n d e l o s c ila d o r e n B . C o m o r e s u lta d o , la c a rg a
F h a rá q u e B q u e s e d e s p la c e h a c ia a b a jo e n u n a c a n ti d a d A ,,, c o m o se
m u e s tr a e n la fig u ra 10-3¿>. S in e m b a r g o , p o r s u p e r p o s ic ió n , la r e a c c ió n
d e s c o n o c id a e n B .e s d e c i r , Br h a c e q u e la v ig a e n B se d e s p la c e &'BR
h a c ia a r r i b a , fig u ra 1 0 -3 c. A q u í, la p r i m e r a lite r a l d e e s ta n o ta c ió n d e
d o b le s u b í n d ic e s e r e f ie r e a l p u n t o ( B ) d o n d e s e e s p e c ific a la d e f le x ió n , y
la s e g u n d a lite r a l s e r e f ie r e al p u n t o ( B ) d o n d e a c t ú a la r e a c c ió n d e s c o ­
n o c id a . Si s e s u p o n e q u e lo s d e s p la z a m ie n to s p o s itiv o s a c tú a n h a c ia
a r r ib a , e n to n c e s , a p a r t i r d e las f ig u r a s 10-3<r a 1 0 -3 c .e s p o s ib le e s c r ib ir la
e c u a c ió n d e c o m p a tib ilid a d n e c e s a r ia e n e l o s c ila d o r c o m o
( + t ) o = -Afl + á g g
A h o r a s e in d ic a rá el d e s p la z a m ie n to e n B c a u s a d o p o r u n a c a rg a u n i ­
ta ria q u e a c tú a e n la d ir e c c ió n d e c o m o e l c o efic ie n te d e fle x ib ilid a d li­
n e a l f RR. fig u ra 10-3d. S i s e e m p le a e l m is m o e s q u e m a a n t e r i o r p a r a e s ta
n o ta c ió n d e d o b le s u b ín d ic e , f RR e s la d e f le x ió n e n B c a u s a d a p o r u n a
c a r g a u n it a r i a e n B . C o m o e l m a t e r i a l s e c o m p o r ta d e u n a m a n e r a lin e a l-
e lá s tic a , u n a f u e r z a B ^ q u e a c t ú a e n B . e n v e z d e la c a r g a u n ita r ia , c a u ­
s a r á u n i n c r e m e n t o p r o p o r c io n a l e n f RR. P o r lo ta n to , e s p o s ib le e s c r ib ir
A *
C u a n d o s e e s c r ib e e n e s te f o r m a to , p u e d e v e rs e q u e e l c o e f ic ie n te d e f le ­
x ib ilid a d lin e a l f RR e s u n a m e d id a d e la d e fle x ió n p o r u n id a d d e fu e r z a , p o r
lo q u e s u s u n id a d e s s o n m /N . p i e / b . e tc é te r a . Ptor lo ta n t o , la e c u a c ió n
d e c o m p a tib ilid a d a n t e r i o r p u e d e e s c r ib ir s e e n té r m in o s d e l a in c ó g n ita
B y c o m o
0 = -Afl + fly/i

421. 1 02 M f r o o o DE ANÁLISIS DE LA F U E R Z A : P R O C E D IM IE N T O G E N E R A L 3 9 9
Si s e e m p l e a n lo s m é to d o s d e lo s c a p ít u lo s 8 o 9 , o la ta b l a d e d e fle x io n e s
q u e s e e n c u e n t r a d e tr á s d e la p o r t a d a d e l lib ro , e s p o s ib le o b t e n e r la s r e ­
la c io n e s a d e c u a d a s d e c a r g a - d e s p la z a m ie n to p a r a l a d e f le x ió n A fl, fig u ra
10-3¿>,y e l c o e f ic ie n te d e fle x ib ilid a d /b b. fig u ra 10-3*/; a s im is m o p u e d e
d e te r m in a r s e la s o lu c ió n p a r a # y, e s d e c i r , B y = Ab/ Íb b- U n a v e z h e c h o
e s t o .s e p u e d e n e n c o n t r a r las tr e s r e a c c io n e s e n la p a r e d A a p a r t i r d e la s
e c u a c io n e s d e e q u ilib r io .
C o m o s e in d ic ó a n te r io r m e n te , la e le c c ió n d e la r e d u n d a n t e e s a rb itra ­
ria. P o r e je m p lo , e l m o m e n to e n A ,fig u ra l0 - 4 a,p u e d e d e te r m i n a r s e d i­
re c ta m e n te a l e lim in a r la c a p a c id a d d e la v ig a p a r a s o p o r ta r u n m o m e n to
e n A , e s d e c ir , a l s u s tit u ir e l s o p o r te fijo p o r u n p a s a d o r . C o m o s e m u e s ­
tr a e n la fig u ra 10-4¿>, la r o ta c ió n e n A o c a s io n a d a p o r l a c a rg a P e s 6A, y la
r o ta c ió n e n A c a u s a d a p o r l a r e d u n d a n t e M,* e n A e s Q 'a a , fig u ra IO-4c.
Si se d e n o t a u n c o e fic ie n te d e fle x ib ilid a d a n g u la r a ^ c o m o e l d e s p l a z a ­
m ie n to a n g u la r e n A c a u s a d o p o r u n m o m e n to d e p a r u n ita r io a p lic a d o
s o b r e A,f i g u r a 1 0 - 4 J ,e n to n c e s ,
9'a a = M AaAA
R>r lo ta n t o , e l c o e f ic ie n te d e fle x ib ilid a d a n g u l a r m id e e l d e s p la z a ­
m ie n to a n g u la r p o r u n id a d d e m o m e n to p a r . y p o r lo ta n t o ti e n e u n id a ­
d e s d e r a d /N . m o d e r a d / lb • p ie, e tc é te r a . P or lo ta n to , la e c u a c ió n d e
c o m p a tib ilid a d p a r a l a r o ta c ió n e n A r e q u ie r e q u e ,
( r + ) 0 = 9 A + M Aa AA
E n e s t e c a so . M A - 0 /J aM . u n v a lo r n e g a tiv o ; q u e s im p le m e n te sig n ifica
q u e M 4 a c tú a e n u n a d ir e c c ió n o p u e s ta a la d e l m o m e n to d e p a r u n ita rio .
10
'
-------- - " I M ^ , MaQaa
° A e s t r u c t u r a p r i m a r i a r e d u n d a n t e a p l i c a d a
(b) (c )
----- - j a i
a AA
<d)
fig u ra 10-4

422. 4 0 0 C a p i t u l o 1 0 A n á l i s i s d e e s t r u c t u r a s e s t á t i c a m e n t e i n d e t e r m i n a d a s p o r...
P . P j
a.1 X1 i.
x -
viga real
(a)
P . P?
c .
^ — C - ■ J M U
As V A'c c^ /cc
estructura primaria redundante B , aplicada redundante C , aplicada
<b> (c) (d)
F ig u r a 1 0 - 5
AJ E=5=
“ T - fCB
(C)
1
B
_ £ i
---------
- - * Y " "
E n la f ig u r a 10-5a se d a u n te r c e r e je m p lo q u e il u s t r a la a p lic a c ió n d e l
m é to d o d e la fu e r z a . A q u í la v ig a e s in d e te r m in a d a d e s e g u n d o g r a d o , y
p o r lo ta n t o s e r e q u i e r e n d o s e c u a c io n e s d e c o m p a tib ilid a d p a r a o b t e n e r
la s o lu c ió n . S e e le g ir á n la s f u e r e a s v e rtic a le s e n lo s s o p o r te s d e r o d illo B
y C c o m o r e d u n d a n te s . L a v ig a e s t á tic a m e n te d e te r m i n a d a r e s u lta n t e se
d e f o r m a c o m o s e m u e s tr a e n la f ig u r a 1 0 -5 6 c u a n d o s e r e t i r a n la s f u e r ­
z a s r e d u n d a n te s . C a d a u n a d e e s t a s f u e r z a s , q u e s e s u p o n e a c tú a n h a c ia
a b a jo , d e f o r m a la v ig a c o m o s e m u e s tr a e n las f ig u r a s 10-5c y 1 0 -5 d , r e s ­
p e c tiv a m e n te . A q u í, lo s c o e f ic ie n te s d e fle x ib ilid a d f BB y f CB se e n c u e n ­
t r a n a p a r t i r d e u n a c a r g a u n ita r ia q u e a c tú a e n /¡ .f ig u r a 1 0 - 5 e ; y / c c y / s c
s e h a lla n a p a r t i r d e u n a c a rg a u n ita r ia q u e a c t ú a e n C , f ig u r a 1 0 - 5 / P o r
s u p e r p o s ic ió n , la s e c u a c io n e s d e c o m p a tib ilid a d p a r a l a d e f le x ió n e n R y
C s o n . r e s p e c tiv a m e n te
(+1) 0 = A„ + B Jm + C ,fBC
. ( 1 0 - 1 )
( + 1) 0=A C + V ea + C/cc
Íbc fÍC U n a v ez e s ta b le c id a s la s re la c io n e s c a r g a - d e s p la z a m ie n to u tiliz a n d o lo s
' f) m é to d o s d e lo s c a p ítu lo s 8 o 9 . s e p u e d e n r e s o lv e r s i m u ltá n e a m e n te e s ta s
e c u a c io n e s p a r a o b t e n e r las d o s fu e r z a s d e s c o n o c id a s . B y y C v.
D e s p u é s d e h a b e r ilu s tr a d o la a p lic a c ió n d e l m é to d o d e a n á lis is d e la
f u e r z a m e d ia n te u n e je m p lo , a h o r a s e a n a liz a r á s u a p lic a c ió n e n té r m i ­
n o s g e n e r a le s y lu e g o s e e m p l e a r á c o m o b a s e p a r a la s o lu c ió n d e p r o b l e ­
m a s r e la c io n a d o s c o n a rm a d u r a s , v ig a s y m a rc o s . S in e m b a r g o , p a r a
to d o s e s t o s c a s o s te n g a e n c u e n ta q u e c o m o e l m é to d o d e p e n d e d e la s u ­
p e rp o s ic ió n d e d e s p la z a m ie n to s , e s n e c e s a r io q u e e l m a te ria l p e r m a n e z c a
e lá stic o lin e a l c u a n d o se s o m e te a u n a ca rg a . A d e m á s , c o n s id e r e q u e c u a l­
q u i e r c a rg a d e r e a c c ió n e x te r n a o in t e r n a e n u n p u n t o d e la e s t r u c tu r a
p u e d e d e te r m i n a r s e d ir e c ta m e n te a l l i b e r a r e n p r i m e r lu g a r la c a p a c id a d
d e la e s t r u c tu r a p a r a s o p o r ta r la c a r g a , y d e s p u é s e s c r ib ir u n a e c u a c i ó n d e
c o m p a tib ilid a d e n e l p u n to . V e a e l e je m p lo 10-4.
*1BB es la deflexión en B causada por una carga unitaria en B;flH es la deflexión en C cau­
sada por una carga unitaria en R.

423. 1 0 . 2 M É T O D O D E A N Á L IS IS D E L A F U E R Z A : P f O C E D I M lE N T O G E N E R A L401
Procedim iento de análisis
E l s ig u ie n te p r o c e d i m i e n to o f r e c e u n m é to d o g e n e r a l p a r a d e te r m i n a r la s r e a c c io n e s o
c a rg a s in te r n a s d e e s t r u c tu r a s e s t á tic a m e n te in d e te r m in a d a s u tiliz a n d o e l m é t o d o d e
a n á lis is d e la f u e r z a o la fle x ib ilid a d .
P r in c ip io d e s u p e r p o s ic ió n
D e te r m in e e l n ú m e r o d e g r a d o s n e n q u e la e s t r u c tu r a e s in d e t e r m in a d a . D espués» e s p e ­
c ifiq u e la s n fu e r z a s o lo s n m o m e n to s r e d u n d a n t e s d e s c o n o c id o s q u e d e b e n r e t ir a r s e d e
la e s t r u c t u r a p a r a q u e s e a e s t á ti c a m e n t e d e te r m i n a d a y e s ta b le . U tiliz a n d o e l p r in c ip io
d e s u p e r p o s ic ió n , d ib u j e la e s t r u c t u r a e s t á tic a m e n te in d e te r m in a d a y m u e s tr e q u e e s
ig u a l a u n a s e r ie d e e s t r u c tu r a s e s t á ti c a m e n t e d e te r m in a d a s c o r r e s p o n d ie n te s . L a e s t r u c ­
tu r a p r im a r ia s o p o r ta la s m is m a s c a r g a s e x t e r n a s q u e la e s t r u c tu r a e s t á tic a m e n te in d e ­
te r m i n a d a , y c a d a u n a d e la s e s t r u c tu r a s q u e se a ñ a d e n a la e s t r u c tu r a p r i m a r i a m u e s tr a
la e s t r u c tu r a c a r g a d a c o n u n a f u e r z a o m o m e n to r e d u n d a n t e s e p a r a d o . T a m b ié n , t r a c e la
c u rv a e lá s tic a e n c a d a e s t r u c t u r a e in d iq u e s im b ó lic a m e n te e l d e s p la z a m ie n to o la r o t a ­
c ió n e n e l p u n to d e c a d a f u e r z a o m o m e n to r e d u n d a n te .
E c u a c io n e s d e c o m p a t ib ilid a d
E s c rib a u n a e c u a c ió n d e c o m p a tib ilid a d p a r a e l d e s p la z a m ie n to o la r o t a c ió n e n c a d a
p u n to d o n d e h a y a u n a f u e r z a o m o m e n to r e d u n d a n t e . E s ta s e c u a c io n e s d e b e n e x p r e ­
s a r s e e n té r m in o s d e las r e d u n d a n t e s d e s c o n o c id a s y s u s c o r r e s p o n d ie n t e s c o e f ic ie n te s
d e fle x ib ilid a d o b te n i d o s d e la s c a r g a s o m o m e n to s d e p a r u n ita r io s q u e s o n c o lin e a le s
c o n las fu e r z a s o m o m e n to s r e d u n d a n te s .
D e te r m in e t o d a s la s d e f le x io n e s y to d o s lo s c o e f ic ie n te s d e fle x ib ilid a d e m p l e a n d o la
ta b l a q u e a p a r e c e d e tr á s d e la p o r t a d a , o lo s m é to d o s d e lo s c a p ítu lo s 8 o 9.* S u s titu y a
e s ta s re la c io n e s d e c a r g a - d e s p la z a m ie n to e n las e c u a c io n e s d e c o m p a tib ilid a d y r e s u e lv a
la s r e d u n d a n t e s d e s c o n o c i d a s E n p a r t ic u l a r , s i e l v a lo r n u m é r ic o d e u n a r e d u n d a n t e e s
n e g a tiv o , in d ic a q u e la r e d u n d a n t e a c tú a o p u e s t a a s u f u e iz a u n it a r i a o m o m e n to u n ita r io
c o r r e s p o n d ie n te .
E c u a c io n e s d e e q u ilib r io
D ib u je u n d ia g r a m a d e c u e r p o lib r e d e la e s t r u c tu r a . C o m o la s f u e r z a s y / o m o m e n to s r e ­
d u n d a n te s y a h a n s id o c a lc u la d o s , la s r e a c c io n e s d e s c o n o c id a s r e s ta n te s p u e d e n d e t e r m i ­
n a r s e a p a r t i r d e la s e c u a c io n e s d e e q u ilib r io .
E s n e c e s a r io te n e r e n c u e n ta q u e u n a v ez q u e se h a y a n o b te n id o to d a s las r e a c c io n e s
e n lo s s o p o r te s , e s p o s ib le d ib u ja r lo s d ia g r a m a s d e f u e r z a c o r t a n te y d e m o m e n to , a s í
c o m o d e t e r m i n a r la d e f o r m a c ió n e n c u a lq u ie r p u n to d e la e s t r u c tu r a m e d ia n te lo s
m ism o s m é to d o s d e s c r ito s a n t e r i o r m e n t e p a r a e s t r u c tu r a s e s t á tic a m e n te d e te r m in a d a s .
• S e s u g ie r e q u e s i e l d i a g r a m a d e M I E I p a r a u n a v ig a c o n s i s t e e n s e g m e n t o s s im p le s, s e u s e n l o s t e o r e m a s d e l m o -
i r e n t o d e á r e a o e l m é t o d o d e l a v ig a c o n j u g a d a . I j i « g a s c o n d i a g r a m a s M I E I c o m p lic a d o s , e s d e c i r , a q u e l l a s q u e
p r e s e n t a n m u c h o s s e g m e n t o s c u r v o s ( p a r a b ó lic o s , c ú b ic o s , e t c é t e r a ) p u e d e n a n a l iz a r s e f á c ilm e n te u t i l i z a n d o e l m é ­
t o d o d e l t r a b a j o v i r t u a l , o e l s e g u n d o t e o r e m a d e C a s tig lia n o .

424. 4 0 2 Ca p i t u l o 1 0 A n á l i s i s d e e s t r u c t u r a s e s t á t i c a m e n t e i n d e t e r m i n a d a s p o r...
1 0 .3 Teorem a de M a xw e ll d e los
desplazam ientos recíprocos;
Ley de B e tti
C u a n d o M a x w e ll d e s a r r o lló e l m é to d o d e a n á lis is d e la fu e r z a , ta m b ié n
p u b lic ó e l te o r e m a q u e re la c io n a lo s c o e f ic ie n te s d e fle x ib ilid a d d e c u a l ­
q u ie r a d e lo s d o s p u n to s e n u n a e s t r u c t u r a e lá s tic a , y a s e a u n a a r m a d u r a ,
u n a v ig a o u n m a rc o . E s te te o r e m a s e c o n o c e c o m o e l te o r e m a d e lo s
d e s p la z a m ie n to s re c íp ro c o s y p u e d e e n u n c ia r s e c o m o s ig u e : E l d e s p la z a ­
m ie n to d e u n p u n to f l e n u n a e stru c tu r a d e b id o a u n a c a rg a u n ita r ia q u e
a c tú a e n e l p u n to A e s ig u a l a l d e s p la z a m ie n to d e l p u n to A c u a n d o la
c a rg a u n ita r ia a c tú a e n e l p u n t o B, e s d ecir, /& * = f AR.
L a c o m p r o b a c ió n d e e s t e te o r e m a p u e d e r e a liz a r s e fá c ilm e n te m e ­
d ia n te e l p r in c ip io d e l t r a b a j o v ir tu a l. P o r e je m p lo , c o n s id e r e la v ig a d e la
fig u ra 10-6. C u a n d o u n a c a rg a u n it a r i a re a l a c tú a e n A,s u p o n g a q u e lo s
m o m e n to s in te r n o s e n la v ig a e s t á n r e p r e s e n ta d o s p o r m A . P a r a d e t e r m i ­
n a r e l c o e f ic ie n te d e fle x ib ilid a d e n f l . e s d e c ir . f fíA, s e c o lo c a u n a c a rg a
v ir tu a l u n it a r i a e n f l.f ig u r a 10-7, y se c a lc u la n lo s m o m e n to s in t e r n o s m fí.
E n to n c e s , a l a p lic a r la e c u a c ió n 9 -1 8 s e o b tie n e
/ m Rm A
ÍB Á - ) ~ ¿ F d x
D e l m is m o m o d o , si d e b e d e te r m in a r s e e l c o e f ic ie n te d e fle x ib ilid a d f AR
c u a n d o u n a c a rg a u n it a r i a r e a l a c tú a e n fl. fig u ra 10-7. e n to n c e s m R r e ­
p r e s e n ta lo s m o m e n to s in te r n o s e n la v ig a d e b id o a u n a c a r g a u n ita r ia
re a l. P o r o t r a p a r t e , m A r e p r e s e n ta lo s m o m e n to s in te r n o s d e b id o s a u n a
c a r g a u n it a r i a v ir tu a l e n A,f i g u r a 10-6. P b r lo ta n to .
( m Am R
-
J ~eTíx
1
1
1 0 - ü - - ' - ' , ;
_________
ÍBA
H g u r a 10-6
1
H g u r a 1 0 -7

425. 1 0 - 4 M É T O D O D E A N Á L IS S D E L A P U E R Z A : V lG A S 4 0 3
P or s u p u e s to , a m b a s in te g r a le s d a n e l m is m o r e s u lta d o , lo q u e d e m u e s tr a
e l te o r e m a , e l c u a l ta m b ié n se a p lic a e n la s r o t a c io n e s re c íp ro c a s , y p u e d e
e n u n c ia r s e c o m o s ig u e : L a r o ta c ió n en e l p u n t o B d e u n a e s tr u c tu r a d e ­
b id a a l m o m e n to d e p a r u n ita r io q u e a ctú a en el p u n to A e s ig u a l a la r o ­
ta c ió n en e l p u n to A , c u a n d o e l m o m e n to d e p a r u n ita rio a ctú a e n e l p u n to B.
ft>r o t r a p a r t e , s i s e u s a u n a fu e iz .a u n it a r i a y u n m o m e n to c o n c e n t r a d o
u n ita rio , a p lic a d o s e n p u n to s s e p a r a d o s d e la e s t r u c tu r a , ta m b ié n se
p u e d e e s t a b le c e r q u e : h r o ta c ió n e n ra d ia n e s e n e l p u n to B d e u n a e stru c ­
tu ra d e b id a a u n a c a rg a u n ita ria q u e a c tú a en la ju n ta A e s ig u a l a l d e s p la ­
z a m ie n to en e l p u n t o A , c u a n d o u n m o m e n t o c o n c e n tr a d o u n ita rio a c tú a
e n e l p u n t o B .
C o m o c o n s e c u e n c ia d e e s te te o r e m a , e s p o s ib le a h o r r a r s e a lg u n o s t r a ­
b a jo s a l a p lic a r e l m é to d o d e la f u e r z a a lo s p r o b l e m a s q u e s o n e s t á tic a ­
m e n te in d e te r m in a d o s d e s e g u n d o g r a d o o d e u n g r a d o s u p e r io r . P o r
e je m p lo , e n la s e c u a c io n e s 10-1 s ó l o d e b e c a lc u la r s e u n o d e lo s d o s c o e f i­
c ie n te s d e fle x ib ilid a d f BC o f CB, p u e s t o q u e f BC = f CB. P o r o t r a p a r t e , e l
te o r e m a d e lo s d e s p la z a m ie n to s re c íp ro c o s ti e n e a p lic a c io n e s e n e l a n á ­
lisis d e m o d e lo s e s t r u c tu r a le s y e n la c o n s tru c c ió n d e lín e a s d e in f lu e n c ia
c o n e l p rin c ip io d e M ü lle r- B r e s la u ( v e a l a s e c c ió n 10-10).
C u a n d o e l te o r e m a d e lo s d e s p la z a m ie n to s r e c íp r o c o s s e f o r m a liz a e n
u n s e n t id o m ás g e n e r a l , se c o n o c e c o m o la ley d e B e tti. D ic h o b r e v e ­
m e n te : E l t r a b a j o v ir tu a l 8 U AB re a liz a d o p o r u n s i s te m a d e fu e r z a s S P „
q u e e x p e r im e n ta n u n d e s p la z a m ie n to c a u s a d o p o r u n s is te m a d e fu e r z a s
2 P ,< e s ig u a l a l tr a b a jo v ir tu a l b U n * c a u s a d o p o r la s fu e r z a s Z P A c u a n d o
la e s tr u c tu r a s e d e f o r m a d e b i d o a l s is te m a d e fu e r z a s d e S P fl. E n o tr a s
p a la b ra s , 8 UAB = 8 U ¡h. L a c o m p r o b a c ió n d e e s te e n u n c ia d o e s s im ila r a
la d a d a a n te r io r m e n te p a r a e l te o r e m a d e lo s d e s p la z a m ie n to s re c íp ro c o s .
1 0 .4 Método de análisis de la fuerza: Vigas
E l m é to d o d e la f u e r z a a p lic a d o a las v ig a s s e d e s c r ib ió d e m a n e r a g e n e ­
ra l e n la se c c ió n 10-2. U til iz a n d o e l “ p r o c e d i m i e n to d e a n á lis is " q u e t a m ­
b ié n s e v io e n e s a m ism a s e c c ió n , s e p r e s e n ta n a h o r a v a rio s e je m p lo s q u e
ilu s tr a n la a p lic a c ió n d e e s t a té c n ic a .
Estas trabes de puente son estáticam ente indeterminadas
puesto que son continuas sobre sus pilares.

426. 4 0 4 Ca p i t u l o 1 0 A n á l i s i s d e e s t r u c t u r a s e s t á t i c a m e n t e i n d e t e r m i n a d a s p o r...
EJE M P LO 10.1
Figura 10-8
34.4 kN
(t
50 kN
_ í _
112 kN-m | 6 m 1.
(c)
M (kN m )
327
-1 1 2
93.8
(d)
D e te r m in e la r e a c c ió n e n e l s o p o r te d e r o d illo B d e l a v ig a q u e se
m u e s tr a e n la fig u ra 1 0 -8 a. E l e s c o n s ta n te .
50 kN
. i
6 m - |
15.6 kN
+
Oc 7
estructura primaría redundante B, aplicada
(b)
S O L U C IÓ N
P rin c ip io d e s u p e rp o s ic ió n . P b r in s p e c c ió n , la v ig a e s e s tá tic a ­
m e n te in d e t e r m in a d a d e p r i m e r g ra d o . L a r e d u n d a n t e s e to m a r á
c o m o B v d e m o d o q u e e s ta f u e r z a p u e d a d e t e r m i n a r s e d ir e c ta m e n te.
E n la fig u ra 1 0 -8 6 s e m u e s tr a la a p lic a c ió n d e l p rin c ip io d e s u p e r p o s i­
c ió n . O b s e r v e q u e la r e m o c ió n d e l a r e d u n d a n t e r e q u i e r e q u e se r e tir e
e l s o p o r te d e r o d illo o la a c c ió n r e s tr ic tiv a d e la v ig a e n la d ir e c c ió n d e
B v. A q u í s e h a s u p u e s to q u e B,. a c tú a h a c ia a r r ib a s o b r e l a viga.
E c u a c ió n d e c o m p a tib ilid a d . Si s e to m a e l d e s p la z a m ie n to p o si-
t i v o c o m o d ir ig id o h a d a a r r ib a , fig u ra 1 0 -8 6 , se ti e n e
:+t>
0 = - A f l + B yf BR (1)
L o s t é r m i n o s An y f fíR s e o b ti e n e n f á c ilm e n te u s a n d o la ta b la d e la
p o r ta d a in te r io r . E n p a r t ic u l a r , o b s e r v e q u e A fl ■ Ac + 9 ({ 6 m ) P o r lo
ta n to ,
P ( L / 2 ) 3 P { L f 2 ?
A » = +
3 E l 2 E I(!)
( 5 0 k N ) ( 6 m ) 3 . ( 5 0 k N ) ( 6 m ) J „ .
+
-------------- (6m,
9 0 0 0 k N - m 1
3 E 7 2 E l E l
i
f “ ~ 3E l
1 (1 2 m ) 3 5 7 6 m 3
t
3 E l E l
A l s u s titu ir e s to s r e s u lta d o s e n la e c u a c i ó n ( 1 ) r e s u lta
T)
0 = + ^ ' ( e / ) By = 15,6 kN Resp'
S i e s ta r e a c c ió n s e c o lo c a s o b r e e l d ia g r a m a d e c u e r p o lib r e d e la v ig a ,
la s r e a e d o n e s e n A p u e d e n o b t e n e r s e a p a r t i r d e la s t r e s e c u a c io n e s
d e e q u ilib r io , fig u ra 1 0 -8c.
D e s p u é s d e h a b e r d e t e r m i n a d o t o d a s la s r e a c c io n e s , p u e d e c o n s ­
tr u ir s e e l d ia g r a m a d e m o m e n to c o m o se m u e s tra e n la fig u ra 10-8d.

427. 1 0 - 4 M É T O D O D E A N Á L IS S D E L A P U E R Z A : V lG A S
H ldfllJM IM U
D ib u je lo s d ia g r a m a s d e f u e r z a c o r t a n te y d e m o m e n to p a r a la v ig a
q u e s e m u e s tr a e n la f ig u r a 1 0 -9 a. E l s o p o r te e n B se a s i e n ta 1.5 p u lg .
C o n s id e r e q u e E = 2 9 (1 0 3) k s i, / = 7 5 0 p u lg 4.
( a )
= A
20 k
Í R
A»
c s l r u d u r a p r i m a r l a
( b )
- - “ E v ' - ' -
A'a* - V *
r e d u n d a n t e ; B , a p l i c a d a
F igura 10-9
S O L U C IÓ N
P rin c ip io d e s u p e rp o s ic ió n . P b r in s p e c c ió n . la v ig a e s in d e t e r m i­
n a d a d e p r i m e r g r a d o . S e e le g i r á e l s o p o r te c e n t r a l B c o m o r e d u n ­
d a n te , d e m a n e r a q u e s e e lim in a e l r o d i ll o e n B , fig u ra 10-9/>. A q u í se
s u p o n e q u e B. a c tú a h a c ia a b a jo s o b r e l a viga.
E c u a c ió n d e c o m p a t ib ilid a d . C o n r e f e r e n c ia a l p u n t o B d e la fi­
g u r a 1 0 -9 6 , u s a n d o u n id a d e s e n p u lg a d a s , se r e q u i e r e
+ 1)
1.5 p u lg = A fl + B y fb b (1)
S e u tiliz a rá la ta b l a d e la p o r ta d a in te r io r . O b s e r v e q u e p a r a A „ la e c u a -
d ó n d e la c u r v a d e d e f le x ió n r e q u i e r e q u e 0 < x < a . C o m o x = 24
pies, e n to n c e s a - 3 6 p ies. P b r lo ta n to .
A fl
P b x
( L 2 - b 2 - / '
2 0 (1 2 ) (2 4 )
f B B
6 L E r ' 6 ( 4 8 ) £ 7
3 1 ,6 8 0 k - p i e 3
E l
P L ? 1 (4 8 )3 2 3 0 4 k - p ie 3
[( 4 8 ) 2 - ( 1 2 ) 2 - (2 4 )2]
4S E 1 AS E l E l
A l s u s titu ir e s to s v a lo r e s e n la e c u a c ió n ( l ) , s e o b ti e n e
1.5 p u lg ( 2 9 ( 1 0 3) k/pulg^JCTSO p u lg 4)
= 3 1 .6 8 0 k • p ie 3( 12 p u lg /p ie ) 3 + f l ,( 2 3 0 4 k - p ie 3) (12 p u lg / p ie ) 3
B y = - 5 . 5 6 k
E l s ig n o n e g a tiv o in d ic a q u e B v a c tú a h a d a a r r ib a s o b r e la v ig a .

428. 4 0 6 C a p i t u l o 1 0 A n á l i s i s d e e s t r u c t u r a s e s t á t i c a m e n t e i n d e t e r m i n a d a s p o r...
E J E M P L O 10.2 (C o n tin u a c ió n )
E c u a c i o n e s d e e q u i l i b r i o . A p a r tir d e l d ia g r a m a d e c u e r p o lib re
q u e s e m u e s tr a e n la fig u ra 10-9c * ti e n e
i + 2 Ma = 0 ; - 2 0 ( 1 2 ) + 5 .5 6 (2 4 ) + C y(4 8 ) = 0
C y = Z 2 2 k
+ f 2 F y - 0 ; A y - 2 0 + 5 .5 6 + 2 .2 2 = 0
A y = 12.22 k
C o n b a s e e n e s to s r e s u lta d o s , v e rifiq u e lo s d ia g r a m a s d e f u e r z a c o r ­
ta n t e y d e m o m e n to q u e s e m u e s tr a n e n la f ig u r a I0 -9 d .
20 k
A
2 4 p i C 5 í
C
A , = 1 2 2 2 k 5 .5 6 k C , = 2 2 2 k
( c )
V
1222
k)
•7 .7 8
A f ( k p i c )
146.7
5 3 J
1 2 2 4
(d)
- 2 2 2
* ( p ie s )
x ( p i e s )

429. 1 0 - 4 M É T O D O D E A N Á L IS S D E L A P U E R Z A : V lG A S 4 0 7
D ib u je lo s d ia g r a m a s d e f u e r z a c o r t a n te y d e m o m e n to p a r a l a v ig a
q u e s e m u e s tr a e n la fig u ra l ü - l ü a . E l e s c o n s ta n te . I g n o r e lo s e f e c to s
d e la c a rg a a x ia l.
P rin c ip io d e s u p e rp o s ic ió n . C o m o la c a rg a a x ia l e s in s ig n ific a n te ,
la v ig a e s in d e te r m in a d a d e s e g u n d o g ra d o . L o s d o s m o m e n to s e n lo s
e x tr e m o s A y B se c o n s i d e r a r á n c o m o lo s r e d u n d a n t e s . L a c a p a c id a d
d e la v ig a p a r a re s is tir e s to s m o m e n to s s e e lim in a a l c o lo c a r u n p a s a ­
d o r e n A y u n o s c ila d o r e n B . E l p rin c ip io d e s u p e r p o s ic ió n a p lic a d o a
la v ig a s e m u e s tr a e n la fig u ra 10- 10/».
E c u a c io n e s d a c o m p a tib ilid a d . La r e f e r e n c ia a lo s p u n to s A y B .
fig u ra 1 0 -1 0 6 ,r e q u i e r e q u e
S O L U C IÓ N
(r+)
tt+)
0 = BA + Ma0aa + M „ a AB
0 = eB + MAaBA + Mbobb
O )
(2)
v ig a r e a l
II
e s t r u c t u r a p r i m a r i a
+
O a a - Ma«a a 0 ha ~ Ma"ha
m o m e n t o r e d u n d a n t e M * a p l i c a d o
4 ¡B C
------
o’AH “ -WH»A« 0’BH - Mb°HB
m o m e n t o r e d u n d a n t e M 0 a p l i c a d o
(b)
fig u ra 10-10

430. 4 0 8 C a p i t u l o 1 0 A n á l i s i s d e e s t r u c t u r a s e s t á t i c a m e n t e i n d e t e r m i n a d a s p o r . . .
L a s p e n d ie n te s y lo s c o e f ic ie n te s d e fle x ib ilid a d a n g u la r n e c e s a r io s
p u e d e n d e te r m i n a r s e u s a n d o la ta b la q u e s e e n c u e n t r a d e tr á s d e la
p o r ta d a . S e ti e n e
3 w L ? 3 ( 2 X 2 0 ) * 375
A 128E l ~ 1 2 8 É 7 E l
l w Q 7 ( 2 ) ( 2 0 ) J 29 1 .7
B ~ 3 8 4E l ~ 3 8 4 £ 7 " E l
M L = 1 (2 0 ) = ^ 6 7
0,4,4 3 E l 3 E l E l
M L 1 (2 0 ) = 6 ^ 7
a/fB 3 E I 3 E l E l
,
M L a = 252
° AB ° 6 E l " 6 E I " E l
O b s e r v e q u e Qr a = aAn,e s c o n s e c u e n c ia d e l te o r e m a d e M a x w e ll d e
lo s d e s p la z a m ie n to s re c íp ro c o s .
Si se s u s titu y e n lo s d a t o s e n la s e c u a c io n e s ( 1 ) y ( 2 ) r e s u lta
A l c a n c e l a r E ! y r e s o lv e r e s t a s e c u a c io n e s s im u ltá n e a m e n te , s e o b ­
tie n e
M A = - 4 5 . 8 k • p ie M B = - 2 0 . 8 k • p ie
C o n e s to s r e s u lta d o s p u e d e n c a lc u la r s e la s f u e r z a s c o r t a n te s e n lo s e x ­
tr e m o s , fig u ra 10-10 c , y g ra f ic a rs e lo s d ia g r a m a s d e c o r t a n t e y d e m o ­
m e n to .
/

431. 1 0 - 4 M É T O D O D E A N Á L IS S D E L A P U E R Z A : V lG A S 4 0 9
EJEMPLO 1 0 .4
D e te r m in e la s r e a c c io n e s e n lo s s o p o r te s d e la v ig a q u e s e m u e s tr a e n
la fig u ra 10-1 la . E l e s c o n s ta n te .
S O L U C IÓ N
P rin c ip io d e s u p e rp o s ic ió n . P o r in s p e c c ió n , la v ig a e s in d e t e r m i­
n a d a d e p r i m e r g ra d o . A q u í, c o n fin e s ilu s tra tiv o s , s e e le g irá e l m o ­
m e n to in t e r n o e n e l s o p o r te B c o m o l a r e d u n d a n t e . E n c o n s e c u e n c ia ,
b v ig a s e c o r ta y se c o lo c a n p a s a d o r e s e x tr e m o s o u n a b is a g ra e n B a
fin d e l i b e r a r s ó lo la c a p a c id a d d e l a v ig a p a r a re s is tir m o m e n to s e n
e s te p u n to , fig u ra 10-1 I b . E l m o m e n to in t e r n o e n B se a p lic a a la v ig a
e n la fig u ra 1 0 - 11c.
E cu a cio n e s d e c o m p a tib ilid a d . A p a r t i r d e la fig u ra 10-1 l a se r e ­
q u ie r e q u e l a r o t a c ió n r e la tiv a d e u n e x tr e m o d e u n a v ig a c o n r e s ­
p e c to a l e x tr e m o d e la o t r a v ig a s e a ig u a l a c e r o .e s d e c ir .
<r+)
d o n d e
e B + M B ° B B = 0
eB = e'B + o"B
° B B = ° B B + ° BB
5 0 0 1 b
1 20 I b /p i e
12 p i e s - | - 5 p i e s | 5 p i e s —|
v i g a r e a l
(a)
II
1 2 0 I b / p i e . 8 'b s » lb
estructura primaria
( b )
+
M a Ma
m o m e n to r e d u n d a n t e M B a p l i c a d o
(c)
Figura 10-11

432. 4 1 0 C a p i t u l o 1 0 A n á l i s i s d e e s t r u c t u r a s e s t á t i c a m e n t e i n d e t e r m i n a d a s p o r...
EJEMPLO 10.4 (C ontinuación)
5 8 6 Ib
L a s p e n d ie n t e s y lo s c o e f ic ie n te s d e fle x ib ilid a d a n g u la r e s p u e d e n
d e te r m in a r s e a p a r t i r d e la ta b l a q u e s e p r e s e n ta d e tr á s d e la p o r t a d a ,
e s d e c ir .
120( 12)3 8 6 4 0 Ib - p ie 3
2 4 E l
P L 2
1 6E l
M L
< * B B =
3 E I
M L
3 E l
2 4 E I
5 0 0 (1 0 )2
16 E l
1 (1 2 ) 4 p ie s
E l
3.33 p ie s
E l
3125 I b - p i e 2
E l
3 E l
1( 10)
3 E l E l
A s í
86 4 0 I b - p i e 2 , 3 1 2 5 I b - p ie 2
• +
------------77Z----------- + M ,
E l E l ° \ E l
M B = - 1 6 0 4 Ib - p ie
/ 4 p ie s 3 3 3 p i e s \
V E l E l )
E l s ig n o n e g a tiv o in d ic a q u e M B a c tú a e n la d ir e c c ió n o p u e s t a a la
q u e s e m u e s tr a e n l a fig u ra 1 0 -11c. U tiliz a n d o e s t e r e s u lta d o .s e c a lc u ­
la n la s r e a c c io n e s e n lo s s o p o r t e s c o m o s e m u e s tra e n la fig u ra 10-lid.
A d e m á s , lo s d ia g r a m a s d e f u e r z a c o r ta n te y d e m o m e n to s o n c o m o se
m u e s tr a e n la fig u ra 10-1 le .
5 0 0 1 b
1 6 0 4 Ib -p ie 1 6 0 4 Ib -p ie
8 5 4 1 b 854
c | T P : M = ¡
<54 I b 1 4 1 0 1 b 4 1 0 1 b 1
1 2 6 4 1 b
D
(d)
8 9 .6 Ib
C
M ( I b - p ie )
- x ( p ie s )
<e>

433. 1 0 . 5 M É T O D O D E A N Á L IS IS D E L A F U E R Z A : M A R C O S
1 0 .5 M é to d o d e análisis de la fuerza:
M arcos
E l m é to d o d e la f u e r z a e s m u y ú til p a r a r e s o lv e r p r o b l e m a s r e la c io n a d o s
c o n m a r c o s e s t á tic a m e n te in d e te r m in a d o s q u e ti e n e n u n s o lo n iv e l y u n a
g e o m e tr ía in u s u a l, c o m o lo s b a s tid o r e s d e d o s a g u a s. L o s p r o b l e m a s q u e
in v o lu c ra n m a r c o s c o n v a rio s n iv e le s, o a q u e llo s q u e p r e s e n ta n u n a lto
g r a d o d e in d e te r m in a c ió n , s e re s u e lv e n d e m e jo r m a n e r a m e d ia n te lo s
m é to d o s d e p e n d ie n t e - d e f le x ió n ,d e la d is tr ib u c ió n d e l m o m e n to .o d e la
rig id e z q u e s e a n a liz a rá n e n c a p ítu lo s p o s te rio r e s .
I-os s ig u ie n te s e je m p lo s ilu s tr a n la s a p lic a c io n e s d e l m é to d o d e la
fu e rz a u s a n d o e l p r o c e d im ie n to d e a n á lis is d e s c r ito e n la s e c c ió n 10-2.
E JE M P LO 1 0 .5
E l m a r c o , o c a b a lle te , q u e s e m u e s tr a e n la fo to g ra fía s e u s a p a r a s o ­
p o r t a r la c u b ie r ta d e l p u e n te . S i s e s u p o n e q u e E l e s c o n s ta n te , se
p u e d e p r e s e n t a r u n d ib u jo d e l m a r c o j u n t o c o n s u s d im e n s io n e s y la
c a rg a a p lic a d a , fig u ra 10 -1 2 a. D e te r m in e la s re a c c io n e s e n lo s s o p o rte s .
4 0 k N / m
(a)
Figura 10-12
S O L U C IÓ N
P r i n c ip i o d e s u p e r p o s i c i ó n . ft>r in s p e c c ió n , e l m a r c o e s e s t á tic a ­
m e n te in d e t e r m in a d o d e p r i m e r g ra d o . S e e le g i r á la r e a c c ió n h o r iz o n ­
tal e n A c o m o r e d u n d a n te . E n c o n s e c u e n c ia ,e l p a s a d o r A se re m p la z a
p o r u n o s c ila d o r , p u e s to q u e u n s o p o r te d e e s t e tip o n o r e s tr i n g ir á A
e n la d ir e c c ió n h o r iz o n ta l. E l p rin c ip io d e s u p e r p o s ic ió n a p lic a d o al
m o d e lo id e a liz a d o d e la e s t r u c t u r a s e m u e s tr a e n la fig u ra 10-12 b . O b ­
s e rv e c ó m o s e d e f o r m a e l m a r c o e n c a d a c a so .

434. 4 1 2 C a p i t u l o 1 0 A n á l i s i s d e e s t r u c t u r a s e s t á t i c a m e n t e i n d e t e r m i n a d a s p o r...
EJEMPLO 10.5 (C ontinuación)
40 kN/m
e s t r u c t u r a p r i m a r i a
4 0 k N / m
= 2 0 0 ( 5 + Jr3) - 4 Q r 3( S )
3 0 0 k N L - 1000 + ZOO», - 2 0 * ,2
( c )
<b>
E c u a c ió n d a c o m p a tib ilid a d .
10- I 2¿ r e q u i e r e q u e
L a r e f e r e n c ia a l p u n t o A d e l a fig u ra
( * )
0 = A ¿ + A Ja a (1)
L os té r m in o s A ¿ y f AA s e d e te r m i n a r á n u s a n d o e l m é to d o d e l t r a ­
b a jo v ir tu a l. D e b id o a la s im e tría d e la g e o m e t r í a y la c a r g a s ó l o s e n e ­
c e s ita n tr e s c o o r d e n a d a s x. E s ta s y lo s m o m e n to s in te rn o s s e m u e s tra n
e n la s fig u ra s 10-12c y 10-12d. E s i m p o r t a n te q u e c a d a c o o r d e n a d a x
s e a l a m is m a ta n to p a r a la s c a r g a s r e a le s c o m o p a r a la s v ir tu a le s .
A d e m á s , la s d ir e c c io n e s p o s itiv a s d e M y m d e b e n s e r la s m is m a s .
P a r a A ^ se r e q u i e r e la a p lic a c ió n d e la s c a r g a s re a le s , f ig u r a 10-12c.
y u n a c a r g a u n it a r i a v ir tu a l e n A , fig u ra 1 0 -1 2 d . A sí,
( 0 ) ( lx , ) d x ,
+ 2j f
(2 0 0x2) ( - 5 ) < /x2
E l lo E l jo
5 (1 0 0 0 + 2 0 0x3 - 2 0 x ^ ) ( - 5 ) d x 3
E l
E l
= 0 -
2 5 0 0 0 6 6 666.7
E l E l
9 1 6 6 6 .7
E l
f_X2- J = - S ¡ m , = - 5
P
1 k N
5 m
1 k N
2 0 0 k N
(d>

435. 1 0 . 5 M É T O D O D E A N Á L IS IS D E L A F U E R Z A : M A R C O S 4 1 3
P a r a f AA s e r e q u i e r e la a p lic a c ió n d e u n a c a r g a u n it a r i a re a l y u n a
c a rg a u n it a r i a v ir tu a l q u e a c tú e e n A , fig u ra 1 0 -1 2 d .P o r lo ta n t o ,
= l f r * "2 j [ ^ r 1 * 2l {5?dX2 +2[ {5fdx>
_ 583.33
E l
S u s titu y e n d o lo s r e s u lta d o s e n la e c u a c ió n ( 1 ) y r e s o lv ie n d o s e o b ­
tie n e
A x = 157 k N R esp.
E c u a c io n e s d e e q u i l i b r i o . C o n e s t e r e s u I ta d o .c n la f ig u r a 10-12e se
m u e s tra n la s r e a c c io n e s s o b r e e l m o d e lo id e a liz a d o d e l a e s t r u c tu r a .
4 0 k N / m
(c)

436. 4 1 4 C a p i t u l o 1 0 A n á l i s i s d e e s t r u c t u r a s e s t á t i c a m e n t e i n d e t e r m i n a d a s p o r...
EJE M P LO 1 0 .6
D e te r m in e e l m o m e n to e n e l s o p o r te fijo A p a r a e l m a r c o q u e se
m u e s tr a e n la fig u ra I0 -1 3 o . E l e s c o n s ta n te .
S O L U C IÓ N
Principio de superposición. E l m a r c o e s in d e t e r m in a d o d e p r i m e r
g ra d o . S e p u e d e o b t e n e r u n a s o lu c ió n d ir e c ta d e al e le g ir lo c o m o
r e d u n d a n t e . A s í. la c a p a c id a d d e l m a r c o p a r a s o p o r ta r u n m o m e n to
e n A se e lim in a y p o r lo t a n t o s e u s a u n p a s a d o r e n e l s o p o r t e . E l p r in ­
c ip io d e s u p e r p o s ic ió n a p lic a d o a l a e s t r u c tu r a s e m u e s tra e n la fig u ra
10-136.
Ecuación de compatibilidad. 1.a r e f e r e n c ia a l p u n t o A e n la fig u ra
1 0 -1 3 6 r e q u ie r e q u e
t t + ) 0 = B Á + Ma<*a a (1 )
C ó m o e n e l e je m p lo a n t e r i o r . 0 A y a AA s e c a lc u la u tiliz a n d o e l m é ­
to d o d e l tr a b a jo v ir tu a l. L a s c o o r d e n a d a s x cfcl m a r c o y lo s m o m e n to s
in te r n o s s e m u e s tr a n e n la s f ig u r a s 10-13c y 10-13J.
m o m e n t o r e d u n d a n t e
m a r c o r e a l e s t r u c t u r a p r i m a r i a a p l i c a d o
(b)

437. 1 0 . 5 M É T O D O D E A N Á L IS IS D E L A F U E R Z A : M A R C O S 4 1 5
P a r a 6a se r e q u i e r e la a p lic a c ió n d e la s c a rg a s re a le s , fig u ra 1 0 -1 3 c ,y
u n m o m e n to d e p a r u n ita r io v ir tu a l, fig u ra 1 0 -1 3 d .P o r lo ta n t o .
[ ‘ M m 0 d x
* Á * J , E l
= £ {79l7X'
) ( 1 - 0 .0 8 3 3 * ,) d x \
E l
í
(2 9 6 .7 x ? - 5 0 ^ ) ( 0 .0 6 6 7 x ? ) d x .
T i
51 8 .5 + 3 0 3 .2 82 1 .8
2 2 2 .5 I b
5 0 0 1 b 1 5 7 0 .8 I b
" , -
r
3 0 0 1 b
(c)
2 9 .1 7 Ib
£ / E l E l
P a r a a AA s e r e q u i e r e la a p lic a c ió n d e u n m o m e n to d e p a r u n ita rio
re a l y u n m o m e n to d e p a r u n ita r io v ir tu a l q u e a c tú e e n A,f ig u r a 10-13d.
R>r ta n to ,
0 .0 5 Ib
/0 .0 8 3 3 1 b
\ /
x f % /
V 0 .0 6 6 7 Ib
« j = 0 0 6 6 7 1 ,
< * A A
Sjf:
m </n 6
E l
d x
- 1
* (1 - 0 .0 8 3 3 x ,)2 </x1
E l
l
(ü .0 6 6 7 x 2) d x j
E l
3 .8 5 0 1 8 5 = 4 0 4
E l E l E l
m, - 1 < X 0 8 3 3 t ,
I
0 .0 8 3 3 I b — ► . —
| l l b - p i c
(d)
S u s titu y e n d o e s t o s r e s u lta d o s e n l a e c u a c ió n ( 1 ) y re s o lv ie n d o s e o b ­
tie n e
° = ^ T T + Ma\ Í T ) M a = _ 2 0 4 , b ' P ic R e sP ‘
E l s ig n o n e g a tiv o in d ic a M ,, a c tú a e n la d ir e c c ió n o p u e s ta a la q u e se
m u e s tra e n la f ig u r a 10-13¿>.
10

438. 4 1 6 C a p i t u l o 1 0 A n á l i s i s d e e s t r u c t u r a s e s t á t i c a m e n t e i n d e t e r m i n a d a s p o r...
P R O B L E M A S F U N D A M E N T A L E S
1 1 0 -1 . D eterm ine las reacciones e n e l s o p o rte fijo e n A y F10-4. D eterm ine las reacciones en la articulación A y en
en e l rodillo e n B. E l e s co n sta n te . los rodillos e n B y C.
4 0 kN
| A —^
-----------------2 m------------------
B
---------------2 m----------------*
F10-1
flO -2 . D eterm ine las reacciones e n el s o p o rte fijo e n A y R 0 - 5 . D eterm ine las reacciones en la articulación A y en
en e l rodillo e n B . E l es co n sta n te . los rodillos e n B y C so b re la viga. E l e s constante.
H-o
5 0 k N
1— 2m 7 m *1 ni
r¿ m
' A 111 •p- Ul
F10-5
10
F10-3. D eterm ine las reacciones e n e l so p o rte fijo e n A y
en e l rodillo e n B. E l so p o rte B se a sie n ta 5 m m . C onsidere
q u e E - 2M) G P a e / - 300 (10*) m m 4.
FIO -6. D eterm ine las reacciones en la articulación A y en
los rodillos e n B y C so b re la viga. E l s o p o rte B x a sie n ta 5
mm. C onsidere q u e £ = 200 G P a . / = 300(10*) m m 4.
f 1
---1---■ 1 1
10 kN/m
"T -------i . ■ ■ 10kN/m
uJü -1 1 .L i l .lililílili lili,11111
6 m
-
6 m ■ -6 m
1 1 0 - 3 F 1 0 - 6

439. 1 0 . 5 M É T O D O D E A N Á L IS IS D E L A F U E R Z A : M A R C O S 4 1 7
P R O B L E M A S
10-1. D eterm ine las reacciones e n lo s so p o rte s A y B . E I * 1 0 - 4 . D eterm ine las reacciones e n los s o p o rte s A , B y C;
es co n stan te. después d ib u je el d iag ram a d e fuerza c o rta n te y de m o ­
m ento. £ / e s constante.
1 0 - 2 . D eterm ine las reacciones e n lo s so p o rte s A . B y C.
d esp u és d ib u je los d iag ram as d e fu e rz a co rtan te y d e m o­
m ento. E l e s constante.
1 0 - 5 . D eterm ine las reacciones e n los soportes, d esp u és
dibuje e l d iag ram a d e fuerza co rtan te y d e m om ento. E l es
constante.
P r o b . 1 0 - 2 P r o b . 1 0 - 5
1 0 - 3 . D eterm ine las reacciones e n lo s s o p o rte s A y B . E I
e s constante.
1 0 - 6 . D eterm in e las reacciones e n lo s soportes, d esp u és
dibuje e l diagram a d e m om entos. S uponga q u e B y C so n
rodillos y q u e A está articulado. E l so p o rte e n B se asienta
hacia a b a jo 0.25 pies. C onsidere q u e F. = í^ lO ^ Ic s i c / =
500 p u lg 4.
P r o b . 1 0 - 1
P ro h . 10-3 P ro h . 10-6

440. 4 1 8 C a p i t u l o 1 0 A n á l i s i s d e e s t r u c t u r a s e s t á t i c a m e n t e i n d e t e r m i n a d a s p o r . . .
10-7. D eterm in e la deflexión en el e x tre m o B de la tira
aseg urada de a c e ro A -36. E l re so rte tiene u n a rigidez k = 2
N /m m . La tira tiene 5 m m de a n c h o y 10 m m d e alto.
A dem ás, dibuje lo s d iag ram as de fuerza c o rta n te y de m o­
m ento p a ra la tira.
10-10. D eterm ine las reaccio n es e n los soportes, d esp u és
dibuje e l d ia g ra m a d e m om entos. S uponga q u e e l so p o rte
en t í e s u n rodillo. E l e s constante.
*10-8. D eterm ine las reacciones en lo s soportes. E n la fi­
gura se m u estra e l m o m en to d e inercia p a ra cada segm ento.
S uponga q u e e l so p o rte e n B es u n rodillo. C onsidere q u e E
= 29(103) ksi.
10-11. D eterm in e las reaccio n es e n los soportes, d esp u és
dibuje e l diagram a de m om entos. S uponga q u e A está articu­
lado y q u e fí y C son rodillos. E l es constante.
6 0 0 I b /p i c
1 0 k
¡ A H - 6 0 0 p u l g 4
— 18 p i e s
----------
= 3 0 0 p u lg 4 ! C
1 2 p i e s J
Prob. 10-8
10-9. La sig a sim plem ente ap o y ad a se so m ete a la carga
1 0 que se m u estra. D eterm in e la deflexión e n su c e n tro C . E l
e s constante.
*10-12. D eterm ine las reacciones e n lo s soportes, d esp u és
dibuje e l d ia g ra m a d e m om entos. S u ponga q u e e l so p o rte
en A está articulado y q u e B y C so n rodillos. E l es c o n s­
tante.
6 k i p / p i e
S k i p - p i e
íp ie s - 8 p i e s -
Prob. 10-9
“ Í T r m ^ _
f
Prob. 10-12

441. 1 0 . 5 M É T O D O D E A N Á L IS IS D E L A F U E R Z A : M A R C O S 4 1 9
10-13. D eterm ine las reacciones e n lo s soportes. S uponga
q u e A y C e stán articulados y q u e la ju n ta e n B está conec­
ta d a fijam ente. E l es constante.
10-15. D eterm ine las reacciones e n los soportes, d esp u és
dibuje e l d iag ram a d e m om entos para c ad a elem ento. E l es
constante.
10 k
P ro h . 10-13
P ro h . 10-15
10-14. D eterm ine las reacciones e n los soportes. E l es
constante.
•1 0 -1 6 . D eterm ine las reacciones e n los soportes. S u ­
p onga q u e A está co n ectad o fijam ente. E e s constante.
3k

442. 4 2 0 C a p i t u l o 1 0 A n á l i s i s d e e s t r u c t u r a s e s t á t i c a m e n t e i n d e t e r m i n a d a s p o r . . .
10-17. D eterm ine las reaccio n es e n lo s soportes. E l es
constante.
10-19. E l m arco d e acero s o p o rta las carg as indicadas. D e­
term ine las com p o n en tes h o rizontal y vertical d e la re a c ­
ción e n lo s so p o rte s A y D . D ib u je e l d iag ram a d e m om en­
to s para lo s elem entos d el m arco. E es constante.
8 k N /m
P ro b . 10-17
10-18. D eterm ine las reacciones e n los so p o rte s A y D . El
m o m en to d e inercia de c ad a segm en to d el m arco se m ues­
tra en la figura. C onsidere q u e E = 29( 103) ksi.
12 p ies
3 k /p ic
U.L.U.LÜ..I-I.I.
h - 2/,
15 pies-
P ro h . 10-19
*10-20. D eterm ine las reacciones en lo s s o p o rte s S u ­
p onga q u e A y B están articu lad o s y q u e las ju n ta s e n C y D
so n con ex io n es fijas. E l es constante.
3 k /p ie
2 k
1 0 p ie s
-----------
P r o b . 1 0 - 1 8

443. 1 0 . 5 M É T O D O D E A N Á L IS IS D E L A F U E R Z A : M A R C O S 4 2 1
1 0 - 2 1 . D eterm ine las reacciones e n lo s soportes. S u ponga 1 0 - 2 3 . D eterm ine las reacciones e n lo s soportes. S uponga
q u e A y D e stán articulados. E l e s co n stan te. q u e A y B están articulados. E l es co n stan te.
8 k
15 íesr
2 0 p i e s -
Z Z E S T 7
10 p ie s
1
P r o h . 1 0 -2 1
P r o h . 1 0 - 2 3
1 0 - 2 2 . D eterm ine las reacciones e n los soportes. S uponga
q u e A y B e stán articulados. E l e s constante.
• 1 0 - 2 4 . D os tablas, c a d a u n a co n e l m ism o E l y la mism a
longitud L se cruzan e n tre s i de m an era perp en d icu lar,
com o se m u estra e n la figura. D eterm ine las reacciones ver­
ticales e n lo s soportes. S uponga q u e las tab las apen as se
tocan en tre s í an te s d e aplicar la carg a P .

444. 4 2 2 Ca p i t u l o 1 0 A n á l i s i s d e e s t r u c t u r a s e s t á t i c a m e n t e i n d e t e r m i n a d a s p o r...
1 0 .6 M é to d o d e análisis de la fue rza:
A rm aduras
E l g r a d o d e in d e te r m in a c ió n d e u n a a r m a d u r a ,p o r lo g e n e r a l p u e d e d e ­
te r m in a r s e p o r in s p e c c ió n ; s i n e m b a r g o , s i e s t o se h a c e d ifíc il, u s e la
e c u a c ió n 3 -1 , 6 + r > 2 j. A q u í la s in c ó g n ita s e s t á n r e p r e s e n ta d a s p o r el
n ú m e r o d e fu e r z a s e n la s b a r r a s ( fr), m á s la s r e a c c io n e s e n lo s s o p o r te s
( r ) , y e l n ú m e r o d e e c u a c io n e s d e e q u il ib r io d is p o n ib le s e s d e 2 j p u e s to
q u e p u e d e n e s c r ib ir s e d o s e c u a c io n e s p a r a c a d a u n a d e la s j u n t a s (/).
E l m é to d o d e la f u e r z a e s m u y a d e c u a d o p a r a a n a liz a r a r m a d u r a s q u e
s o n e s t á tic a m e n te in d e te r m in a d a s d e p r i m e r o o s e g u n d o g ra d o . L o s s i ­
g u ie n te s e je m p lo s ilu s tr a n la a p lic a c ió n d e e s t e m é to d o u s a n d o e l p r o c e ­
d im ie n to d e a n á lis is d e s c r ito e n la se c c ió n 10-2.
E JE M P LO 1 0 .7
4 0 0 Ib
D e te r m in e la f u e r z a e n e l e l e m e n t o A C d e la a r m a d u r a q u e s e m u e s ­
tr a e n la fig u ra 1 0 -1 4 a . A E e s ig u a l p a r a to d o s lo s e le m e n to s .
S O L U C IÓ N
P rin c ip io d e s u p e rp o s ic ió n . l\ » r in s p e c c ió n , la a r m a d u r a e s in d e ­
te r m in a d a d e p r i m e r g ra d o .* C o m o d e b e d e te r m in a r s e la f u e r z a e n el
e l e m e n t o C A .é s te s e e le g i r á c o m o r e d u n d a n te . P a r a e llo e s n e c e s a r io
“c o r t a r " e l e le m e n to p a r a q u e n o p u e d a s o s te n e r u n a f u e i z a , c o n lo
q u e la v ig a s e v u e lv e e s tá tic a m e n te d e te r m i n a d a y e s ta b le . E l p r in c i­
p io d e s u p e r p o s ic ió n a p lic a d o a la a r m a d u r a s e m u e s tr a e n la fig u ra
10-1 4 fr.
E c u a c ió n d e c o m p a tib ilid a d . C o n r e f e r e n c ia a l e l e m e n t o A C e n la
fig u ra 1 0 -1 4 fr.se r e q u i e r e q u e e l d e s p la z a m ie n to re la tiv o A ^ c .e l c u a l
o c u r r e e n lo s e x tr e m o s d e l e le m e n to c o r t a d o A C d e b id o a la c a r g a d e
4 0 0 Ib . m á s e l d e s p la z a m ie n to r e l a ti v o F M f ACAC c a u s a d o p o r la fu e rz a
r e d u n d a n t e q u e a c tú a s o la , s e a ig u a l a c e r o , e s d e c ir ,
0 = *a c + Fa c/a c a c ( 1 )
4 0 0 1 b
( b )
• A l a p l i c a r la e c u a c i ó n 3 - 1 , 6 + r > 2 jo 6 + 3 > 2 ( 4 ) . 9 > 8 , 9 - 8 = l c r g ra d o .

445. 1 0 . 6 M é t o d o d e a n á l i s i s d e l a f u e r z a: Ar m a d u r a s 4 2 3
A q u í e l c o e f ic ie n te d e fle x ib ilid a d ¿ c r e p r e s e n ta e l d e s p la z a m ie n to
re la tiv o d e lo s e x tr e m o s c o r t a d o s d e l e le m e n to A C c a u s a d o p o r u n a
c a rg a u n it a r i a “ r e a l " q u e a c t ú a e n lo s e x tr e m o s c o r t a d o s d e l e l e ­
m e n t o A C . E s te té r m in o, f AcAC y ^a c x c a lc u la r á n e m p l e a n d o e l m é ­
to d o d e a n á lis is d e l t r a b a j o v ir tu a l. E l a n á lis is d e la f u e r z a , u tiliz a n d o
e l m é to d o d e lo s n u d o s .s e r e s u m e e n la s fig u ra s 10-14c y 10-1 4d .
P a r a A ^ - s e r e q u i e r e la a p lic a c ió n d e la c a rg a re a l d e 4 0 0 Ib , fig u ra
10-14 c , y u n a f u e r z a u n it a r i a v ir tu a l q u e a c tú a e n lo s e x tr e m o s c o r t a ­
d o s d e l e l e m e n t o A C .f ig u r a 10-14d. P o r lo ta n to .
s ? n N L
*AC ~ ^~ A E
( ” 0 .8 ) ( 4 0 0 ) ( 8 ) - 0 . 6 ) ( 0 ) ( 6 ) . ( - 0 . 6 ) ( 3 0 0 ) ( 6 )
A E
t ( 1 ) ( - 5 0 0 ) ( 1 0 ) +
A E
A E
( 1 ) ( 0 ) ( 1 0 )
A E
A E
11 2 0 0
A E
P a ra f# : requiere la a p lic a c ió n d e la s f u e r z a s u n ita r ia s r e a l e s y
las f u e r z a s u n ita r ia s v ir tu a le s q u e a c tú a n e n lo s e x tr e m o s c o r ta d o s d e l
e le m e n to A C .f ig u r a 1 0 -1 4 d . A sí,
Ía c a c
A E
= 2
■ ( - 0 .8 ) 2(8 )
A E
+ 2
’ ( -0.6)2(6)
A E
+ 2
( i £ i o
A E
34 .5 6
A E
A l s u s tit u ir lo s d a to s e n la e c u a c ió n (1 ) y r e s o lv e r , s e o b tie n e
FÁC = 3 2 4 Ib ( T ) R e sp .
D a d o q u e e l r e s u lta d o n u m é r ic o e s p o s itiv o . A C e s tá s o m e tid o a
te n s ió n ta l c o m o s e s u p u s o , f ig u r a 10-14/». U s a n d o e s t e r e s u lta d o , la s
fu e rz a s e n lo s o tr o s e le m e n to s p u e d e n e n c o n tr a r s e m e d ia n te e l e q u i l i ­
b rio . u s a n d o e l m é t o d o d e lo s n u d o s .

446. 4 2 4 C a p i t u l o 1 0 A n á l i s i s d e e s t r u c t u r a s e s t á t i c a m e n t e i n d e t e r m i n a d a s p o r . . .
EJE M P LO 1 0 .8
D e te r m in e la f u e r z a e n c a d a e le m e n to d e la a r m a d u r a q u e s e m u e s tr a
e n la f ig u r a 10-15 a s i e l to r n iq u e t e s o b r e el e le m e n to A C se u tiliz a
p a ra a c o r t a r e l e le m e n to e n 0 .5 p u lg a d a s . C a d a b a r r a ti e n e u n á r e a e n
su s e c c ió n tr a n s v e rs a l d e 0.2 p u lg 2, y E = 2 9 (JO 6) psi.
F igura 10-15
S O L U C IÓ N
P r i n c i p i o d e s u p e r p o s i c i ó n . E s ta a r m a d u r a tie n e la m ism a g e o ­
m e t r í a q u e la d e l e je m p lo 10-7. C o m o A C se h a a c o r ta d o , s e e le g i r á
c o m o r e d u n d a n te , fig u ra 10-156.
E c u a c ió n d e c o m p a t i b i l i d a d . D e b id o a q u e n o h a y c a rg a s e x te r n a s
q u e a c tú e n s o b r e la e s t r u c tu r a p r i m a r i a ( a r m a d u r a ) , n o h a b r á d e s p l a ­
z a m ie n to r e l a ti v o e n t r e lo s e x tr e m o s d e l e le m e n to s e c c io n a d o c a u ­
s a d o p o r l a c a rg a ; e s d e c i r Aa c = 0 . E l c o e fic ie n te d e fle x ib ilid a d /a c a c
s e d e te r m i n ó e n e l e je m p lo 10-7, p o r lo q u e
Si s e s u p o n e q u e la c a n ti d a d e n la q u e s e a c o r ta la b a r r a e s p o s itiv a ,
e n to n c e s la e c u a c ió n d e c o m p a tib ilid a d p a r a la b a r r a e s
3 4 5 6
0 .5 p u lg = 0 + - ^tFac
A I r e c o n o c e r q u e e l /a c a c e s u n a m e d id a d e l d e s p la z a m ie n to p o r u n i­
d a d d e f u e r z a .s e tie n e
c s t r u c l u r a p r i m a r i a U b i c a c i ó n d e F A C r e d u n d a n t e
(b)
3 4 .5 6 p ie s ( 12 p u l g / p i e )
° P “ * " ° + ( 0.2 p u lg 2) |2 9 ( l ü 6) I b /p tilg 2] ^ AC
R > r lo ta n t o ,
Fa c = «#93 Ib = 6 .9 9 k ( T ) Resp.
D a d o q u e s o b r e la a r m a d u r a n o a c tú a n in g u n a f u e iz a e x t e r n a , la s
re a c c io n e s e x te r n a s s o n ig u a le s a c e ro . P b r lo ta n t o , si s e u s a FAC y s e
a n a liz a la v ig a m e d ia n te e l m é to d o d e lo s n u d o s s e o b ti e n e n lo s r e s u l­
ta d o s q u e s e m u e s tr a s e n l a fig u ra 10- 15c.

447. 10 . 7 Es t r u c t u r a s c o m pu e s t a s
1 0 .7 E structuras com puestas
L a s estru ctu ra s c o m p u e s ta s e s t á n f o r m a d a s p o r a lg u n o s e le m e n to s s o m e ­
tid o s s ó lo a f u e r / a a x ia l, m ie n tr a s q u e o tr o s e le m e n to s e s tá n s u j e to s a f le ­
x ión. S i la e s t r u c t u r a e s e s tá tic a m e n te in d e te r m in a d a , e l m é t o d o d e la
fu e rz a p u e d e s e r c o n v e n ie n te m e n te e m p l e a d o p a r a s u a n á lis is . E l s i­
g u ie n te e je m p lo ilu s tr a e l p ro c e d im ie n to .
l a v ig a d e p é n d o la a r m a d a q u e s e m u e s tr a e n la f o t o ­
g ra fía e s t á s im p le m e n te a p o y a d a y d e b e d is e rta rs e p a r a
s o p o r ta r u n a c a r g a u n if o rm e d e 2 k N /m . l a s d im e n s i o ­
n e s d e la e s t r u c tu r a s e m u e s tr a n e n la f ig u r a 10-16 a . D e ­
te r m in e la f u e r z a d e s a r r o ll a d a e n e l e l e m e n t o C E . N o
to m e e n c u e n ta e l e s p e s o r d e la v ig a y s u p o n g a q u e lo s
e le m e n to s d e la a r m a d u r a e s tá n c o n e c ta d o s m e d ia n te
p a s a d o r e s a la v ig a . A d e m á s , ig n o r e e l e f e c to d e la c o m ­
p r e s ió n a x ia l y la f u e r z a c o r t a n t e e n la v ig a . E l á r e a d e
ti se c c ió n tr a n s v e rs a l d e c a d a p u n ta l e s d e 4 0 0 m m ', y
p a r a la v ig a I
G P a .
2 0 (1 0 6) m m 1. C o n s id e r e q u e E = 200
e s t r u c t u r a r e a l
(a )
F i g u r a 1 0 - 1 6
2 k N /
m illlllllllíTTTl
S O L U C IÓ N
P rin c ip io d e s u p e rp o s ic ió n . S i s e c o n o c e l a f u e r z a e n u n o d e
lo s e le m e n to s d e la a r m a d u r a , e n to n c e s e s p o s ib le d e te r m i n a r
la f u e r z a e n t o d o s lo s d e m á s e le m e n to s , a s í c o m o e n l a v ig a , m e ­
d ia n te l a e s tá tic a . P o r lo ta n to , la e s t r u c tu r a e s in d e te r m in a d a
d e p r i m e r g ra d o . P a r a o b t e n e r l a s o lu c ió n , s e e lig e la f u e r z a e n
e l e le m e n to C E c o m o la r e d u n d a n t e . E n to n c e s , e s t e e le m e n to
se s e c c io n a p a r a e li m i n a r s u c a p a c id a d d e s o s te n e r u n a f u e r / a .
E l p r in c ip io d e s u p e r p o s ic ió n a p lic a d o a la e s t r u c t u r a s e m u e s ­
t r a e n la fig u ra 1 0 - 166.
E c u a c ió n d e c o m p a tib ilid a d . C ó n r e f e r e n c ia a l d e s p la z a ­
m ie n to re la tiv o d e lo s e x tr e m o s c o r t a d o s d e l e l e m e n t o C E , fi­
g u r a 1 0 - 1 6 6 .s e r e q u i e r e
0 = A c e + Fc eÍc e c e (1 )
10
r e d u n d a n t e d e F c e a p l i c a d a
( b )

448. 4 2 6 C a p i t u l o 1 0 A n á l i s i s d e e s t r u c t u r a s e s t á t i c a m e n t e i n d e t e r m i n a d a s p o r...
EJEMPLO 10.9 (C ontinuación)
S e u s a r á e l m é t o d o d e l t r a b a j o v ir tu a l p a r a e n c o n t r a r A c e y Íc e c e- E l
a n á lisis d e f u e r z a s n e c e s a r io se m u e s tr a e n las fig u ra s 1 0 - 16c y 1 0 - 16</.
2 k N / m
nirrrrmTnjj
rvsLJL-W
6 k N 6 k N
6 kN
is
- 0 5 kN - 0 5 kN
+ 1.118 kN .1 1 8 kN
1 kN
m , = - 0 5 i (
1.118 kN
2 n - |
1 .1 1 8 kN
~ 1 « , - - 0 5 * , + 0 5 ( * , - 2 )
I o 5 k N
(d)

449. 1 0 . 7 Es t r u c t u r a s c o m p u e s t a s 4 2 7
P a ra A c £ se r e q u i e r e la a p lic a c ió n d e las c a r g a s r e a le s ,f ig u r a IO -16c,
y u n a c a r g a u n ita r ia v ir tu a l a p li c a d a a lo s e x tr e m o s c o r t a d o s d e l e l e ­
m e n to C E , fig u ra 10-1 6d . A q u í s e u s a r á la s im e tr ía la n ío d e la c a rg a
c o m o d e la g e o m e t r í a , y s ó l o s e t e n d r á e n c u e n ta la e n e r g ía d e d e f o r ­
m a c ió n e n la v ig a y. p o r s u p u e s to , la e n e r g ía d e d e f o r m a c ió n a x ia l e n
b s e le m e n to s d e la a r m a d u r a . P o r lo ta n t o ,
[ lMm , , ^nNL _ f 1 (6x, - j¡)(-0 J* ,)d x ,
A“ = J
~ÍT + ¿‘ ~ÁE = J0 e T
+ Zj \6xi-Á ){~ 1 * * 2 + ^ (l.llg)(0)(V5)^
= - i - ^ + „ + o + o
- 2 9 .3 3 ( 1 0 ')
200(109) (20 )(1 0
-6\
- 7 . 3 3 3 ( 1 0 " ') m
P a r a/c e c bs e r e q u i e r e la a p lic a c ió n d e u n a c a r g a u n it a r i a r e a l y u n a
c a rg a u n ita r ia v ir tu a l e n lo s e x tr e m o s c o r ta d o s d e l e le m e n to C E , fi­
g u ra 10-16rf. P ó r lo ta n to .
L n t d x L . [ H - O S x t f d x , . r ' ( - i ) 2d x ,
E l
1.3333 2_ 5 3 9 0 0 5 2
E l E l A E A E A E
3 3 3 3 ( 1 0 ') 8 .0 9 0 Í1 0 3)
2 0 0 ( 109) (2 0 ) ( lü ~ 6) 4 0 0 ( 1 0 “ 6) (2 0 0 ( 109))
= 0 .9 3 4 5 ( 1 0 '') m /k N
S u s titu y e n d o lo s d a t o s e n l a e c u a c ió n ( 1 ) se ti e n e
0 = - 7 . 3 3 3 ( 1 0 " ') m + F Cf ( 0 . 9 3 4 5 ( 1 0 '') m / k N )
Fc e = 7.85 k N R esp.
10

450. 4 2 8 Ca p i t u l o 1 0 A n á l i s i s d e e s t r u c t u r a s e s t á t i c a m e n t e i n d e t e r m i n a d a s p o r...
1 0 .8 C o m en ta rio s adicionales so b re el
m é to d o de análisis d e la fuerza
A h o r a q u e y a s e h a n d e s a r r o ll a d o la s id e a s b á s ic a s s o b r e e l m é to d o d e la
fu e r z a , s e p r o c e d e r á a g e n e r a liz a r s u a p lic a c ió n y a n a liz a r s u u tilid a d .
C u a n d o se c a lc u la n lo s c o e f ic ie n te s d e f l e x i b i l i d a d ,/ ^ o a „ ) , p a r a la e s ­
t r u c tu r a , p u e d e o b s e r v a r s e q u e s ó l o d e p e n d e n d e lo s m a te r ia le s y d e las
p r o p ie d a d e s g e o m é tr ic a s d e lo s e le m e n to s y n o d e la c a rg a d e la e s t r u c ­
tu r a p r im a r ia . P o r lo ta n t o , u n a v e z d e te r m in a d o s , e s to s v a lo r e s p u e d e n
u s a r s e p a r a c a lc u la r la s r e a c c io n e s p a r a c u a lq u ie r c a r g a .
P a r a u n a e s t r u c tu r a q u e t i e n e n re a c c io n e s r e d u n d a n t e s , R „ .s e p u e d e n
e s c r ib ir n e c u a c io n e s d e c o m p a tib ilid a d , a s a b e r :
A | + /1 1 ^ 1 + / l 2 ^ 2 + ••• + f i n ^ n = 0
A2 + f 2\R\ + f 22^2 + ••• + fh,Rñ = o
A „ + f „ \ R \ + f n i R i + ••• + f m R n = o
A q u í lo s d e s p la z a m ie n to s . A i ,..., A „. s o n c a u s a d a s la n ío p o r la s cargas
rea les s o b r e la e s t r u c tu r a p r i m a r i a c o m o p o r e l a s e n ta m ie n to d e lo s s o ­
p o r te s o lo s c a m b io s d im e n s io n a le s d e b id o s a la s d if e r e n c ia s d e te m p e r a ­
tu r a o a lo s e r r o r e s d e f a b r ic a c ió n e n lo s e le m e n to s . P a r a s im p lific a r el
c á lc u lo d e e s t r u c tu r a s q u e ti e n e n u n a l t o g r a d o d e in d e te r m in a c ió n , las
e c u a c io n e s a n te r io r e s p u e d e n r e p la n te a r s e e n f o r m a m a tric ia l,
7 u/«2- fu "A i“
/21Í22 fu R2 a2
(10-2)
Ufn2 fnn. _A„_
o s i m p l e m e n t e
f R = - A
E n p a r tic u la r , o b s e r v e q u e f ¡ = = / 21, e t c é t e r a ) , u n a c o n s e c u e n c ia
d e l te o r e m a d e M a x w e ll d e lo s d e s p la z a m ie n to s re c íp ro c o s ( o le y d e
1 0 B e tti). P o r l o ta n to , la m a tr iz d e fl e x ib i li d a d s e r á s im é tric a , y e s t a c a r a c ­
te r ís tic a e s b e n e fic io s a e n la s o lu c ió n d e g r a n d e s c o n ju n to s d e e c u a c io n e s
lin e a le s , c o m o e n e l c a s o d e u n a e s t r u c t u r a a lt a m e n t e in d e te r m in a d a .
A lo la r g o d e e s t e c a p ítu lo s e h a n d e te r m i n a d o lo s c o e f ic ie n te s d e f le ­
x ib ilid a d u s a n d o e l m é t o d o d e l t r a b a j o v i r t u a l q u e s e a p li c a a to d a la
e s tr u c tu r a . S in e m b a r g o , e s p o s ib le o b t e n e r e s to s c o e f ic ie n te s p a r a c ada
e le m e n to d e la e s t r u c tu r a , p a r a d e s p u é s , u s a n d o la s e c u a c io n e s d e tr a n s ­
fo r m a c ió n , o b t e n e r s u s v a lo r e s d e to d a la e s t r u c tu r a . E s te e n f o q u e se
a n a liz a e n lo s lib r o s d e d ic a d o s a l a n á lis is m a t r i c ia l d e e s t r u c t u r a s y n o
s e in c lu y e e n e s t e te x to .*
• V e a . p o r e j e m p l o , H . C M a r t i n , b u r o d u c t i o n l o M a tr ix M e l h o d s o f S i r u c l u r a l A n a l y á s . M c-
G r a w - H i l l . N u e v a Y o rk .

451. 1 0 . 9 Es t r u c t u r a s s i m é t r i c a s 4 2 9
A u n q u e lo s d e ta l le s p a r a la a p lic a c ió n d e l m é to d o d e a n á lis is d e la
fu e rz a m e d ia n te m é to d o s in f o rm á tic o s ta m b ié n s e o m i te a q u í, e s p o s ib le
h a c e r a lg u n o s c o m e n ta r io s y o b s e r v a c io n e s g e n e r a le s q u e s e a p lic a n al
u tiliz a r e s te m é to d o p a r a re s o lv e r p r o b l e m a s q u e s o n a lt a m e n t e in d e t e r ­
m in a d o s y q u e , p o r c o n s ig u ie n te , im p lic a n g r a n d e s c o n ju n to s d e e c u a c io ­
n e s. A e s te re s p e c to , la p re c is ió n n u m é r ic a d e la s o lu c ió n m e jo r a si lo s
c o e fic ie n te s d e fle x ib ilid a d s i tu a d o s c e rc a d e la d ia g o n a l p r in c ip a l d e la
m a tr iz f s o n m a y o r e s q u e lo s s itu a d o s f u e r a d e la d ia g o n a l. P a r a lo g r a r
e s te o b je tiv o , d e b e d e d ic a r s e a lg u n a re f le x ió n a la s e le c c ió n d e la e s t r u c ­
tu r a p r im a r ia . P a r a f a c ilita r e l c á lc u lo d e fj;, ta m b ié n e s c o n v e n ie n te e l e ­
g ir la e s t r u c tu r a p r im a r ia d e m o d o q u e s e a a lg o s im é tr ic a . E s to te n d e r á a
p ro d u c ir a lg u n o s c o e f ic ie n te s d e fle x ib ilid a d s im ila r e s o ig u a le s a c e r o .
f t ) r ú ltim o , la f o r m a a lt e r a d a d e la e s t r u c t u r a p r i m a r i a d e b e s e r s im ila r a
la d e l a e s t r u c tu r a r e a l. S i e s t o o c u r r e , e n to n c e s la s r e d u n d a n t e s in d u ­
c ir á n s ó l o p e q u e ñ a s c o r r e c c io n e s a l a e s t r u c t u r a p r im a r ia , lo q u e r e s u lta
e n u n a s o lu c ió n m á s p r e c is a d e l a e c u a c ió n 10-2.
1 0 .9 E structuras sim étricas
U n a n á lis is e s t r u c t u r a l d e c u a lq u ie r e s t r u c t u r a a lt a m e n t e in d e te r m in a d a
o . p a r a e s e c a s o , in c lu s o u n a e s t r u c t u r a e s t á ti c a m e n t e d e te r m i n a d a , se
p u e d e s im p lif ic a r s ie m p r e q u e e l d is e ñ a d o r o e l a n a lis ta p u e d a n r e c o n o ­
c e r a q u e ll a s e s t r u c tu r a s q u e s o n s im é tr ic a s y q u e s o p o r t a n c a r g a s s i m é ­
tric a s o a n tis im é tric a s . E n u n s e n t id o g e n e r a l, u n a e s t r u c tu r a p u e d e s e r
c la s ific a d a c o m o sim é tr ic a s ie m p re q u e la m ita d d e é s t a d e s a r r o ll e la
m ism a c a r g a in t e r n a y d e f le x io n e s q u e la s d e s u im a g e n r e f le ja d a e n e l
e s p e jo r e s p e c to a s u e je c e n tr a l. N o r m a lm e n te l a s im e tr ía r e q u i e r e q u e la
c o m p o s ic ió n d e l m a te r ia l, la g e o m e t r í a , lo s s o p o r te s y la c a rg a s e a n ig u a ­
les e n c a d a la d o d e la e s tr u c tu r a . S in e m b a r g o ,e s t o n o s i e m p r e tie n e q u e
s e r así. T e n g a e n c u e n ta q u e p a r a la e s t a b ilid a d h o r iz o n ta l s e r e q u i e r e u n
p a s a d o r p a r a s o p o r ta r la v ig a y la a r m a d u r a e n la s fig u ra s 10-1 l a y 10-1 I b .
A q u í, la r e a c c ió n h o r iz o n ta l e n e l p a s a d o r e s ig u a l a c e r o y. p o r lo ta n to ,
a m b a s e s t r u c tu r a s s e d e f o r m a n y p r o d u c e n la m ism a c a r g a in t e r n a q u e
s u c o n t r a p a r t e r e f le ja d a . C o m o r e s u lta d o , p u e d e n c la s ific a rs e c o m o
sim é tric a s . O b s e r v e q u e e s t o n o s e r ía a s í p a r a e l m a r c o d e la fig u ra 1 0 -17c,
s i e l s o p o r t e f i jo e n A se s u s titu y e r a p o r u n p a s a d o r , p u e s t o q u e e n to n c e s
la f o r m a a lt e r a d a y la s c a rg a s in t e r n a s n o s e r ía n ig u a le s e n s u s la d o s iz ­
q u ie r d o y d e r e c h o .
e je d e s im e tr ía
(«)
Figura 10-17

452. 4 3 0 C a p i t u l o 1 0 A n á l i s i s d e e s t r u c t u r a s e s t á t i c a m e n t e i n d e t e r m i n a d a s p o r...
e j e d e s im e tr ía
(c)
Figura 10-17
E n o c a s io n e s , u n a e s t r u c tu r a s im é tr ic a s o p o r ta u n a c a r g a a n tis im é ­
tr ic a , e s d e c ir , la c a r g a d e s u la d o r e f le j a d o ti e n e la d ir e c c ió n o p u e s ta ,
c o m o lo m u e s tr a n lo s d o s e je m p lo s d e la fig u ra 10-18. S ie m p r e q u e la e s ­
tr u c tu r a s e a s im é tric a y s u c a rg a s e a s im é tr ic a o a n tis im é tr ic a , u n a n á lis is
e s t r u c tu r a l s ó lo te n d r á q u e ll e v a r s e a c a b o e n la m ita d d e lo s e le m e n to s
d e l a e s tr u c tu r a , p u e s t o q u e e n la o t r a m ita d s e p r o d u c ir á n re s u lta d o s
ig u a le s ( s im é tr ic a ) u o p u e s to s ( a n tis im é tr ic a ) . Si u n a e s t r u c tu r a e s s im é ­
tric a y s u c a rg a a p lic a d a e s a n tis i m é t r ic a ,e n t o n c e s e s p o s ib le tr a n s f o r m a r
e s a c a r g a e n c o m p o n e n t e s s im é tr ic o s y a n tis im é tric o s . P a r a e l l o .p r im e r o
la c a rg a s e d iv id e e n dos, lu e g o se re fle ja h a c ia e l o tr o la d o d e la e stru c tu r a
y s e p r o d u c e n lo s c o m p o n e n te s ta n to s im é tr ic o s c o m o a n tis im é tr ic o s . P o r
e je m p lo , la c a r g a s o b r e la v ig a d e l a f ig u r a 10- 19a se d iv id e e n d o s y s e r e ­
fle ja s o b r e e l e je d e s im e tr ía d e l a v ig a . A p a r t i r d e e s to , s e p r o d u c e n lo s
c o m p o n e n t e s s im é tr ic o s y a n tis im é tr ic o s d e l a c a r g a c o m o s e m u e s tr a
e n l a f ig u r a 10-19¿>. C u a n d o e s t o s c o m p o n e n t e s s e s u m a n s e p r o d u c e la
c a rg a o rig in a l. A h o r a p u e d e r e a liz a r s e u n a n á lis is e s t r u c tu r a l p o r s e p a ­
ra d o e m p l e a n d o lo s c o m p o n e n te s d e c a r g a s im é tr ic a y a n tis im é tric a ,
p a r a d e s p u é s s u p e r p o n e r lo s r e s u lta d o s y a s í o b t e n e r e l c o m p o r ta m ie n to
re a l d e la e s tr u c tu r a .
Je
carga antisimétrica
Figura 10-18
8 k N 2 k N / r
t JJTTTTTT[_
(a)
4 1 N 4 k N
1 k N / m
c a r g a s im é tr ic a
+
4 k N 1 k N / m
i r í íju t 11
,-^r, A
1 k N / m 4 k N
carga antisimétrica
(b)
Figura 10-19

453. 1 0 . 9 Es t r u c t u r a s s i m é t r i c a s 4 3 1
P R O B L E M A S
10-25. D eterm ine la tuerza e n cada e lem en to d e la a rm a ­
d u ra . A E e s constante.
10-27 . D eterm ine la fuerza e n el e lem en to A C de la a rm a ­
d u ra . A E e s co n stan te.
P ro h . 10-25
P ro h . 10-27
10-26. D eterm ine la fuerza e n cada e lem en to d e la a rm a ­
d u ra . E l á re a d e la sección transversal d e c ad a elem ento se
indica e n la figura. E = 29 (105) ksi. S uponga q u e lo s ele­
m entos e stán articu lad o s e n su s extrem os.
•1 0 -2 8 . D eterm ine la fuerza e n el e lem en to A D de la a r ­
m adura. E l á re a d e la sección tran sv ersal d e c ad a e lem en to
se m u estra e n la figura. S uponga q u e los e lem en to s e stán a r ­
ticulados e n su s extrem os. C onsidere q u e E = 29(10*) ksi.
P r o h . 1 0 - 2 6 P r o h . 1 0 - 2 8

454. 4 3 2 C a p i t u l o 1 0 A n á l i s i s d e e s t r u c t u r a s e s t á t i c a m e n t e i n d e t e r m i n a d a s p o r...
10-29. D eterm ine la fuerza e n c ad a e lem en to d e la arm a­
d ura. Suponga q u e lo s e le m e n to s e stán articu lad o s e n sus
extrem os. A E e s co n stan te.
10-30. D eterm ine la fuerza e n c ad a e lem en to s de la a rm a ­
d u ra articu lad a. A E e s co n stan te.
10-31. D eterm ine la fuerza e n e l e le m e n to C D de la a r ­
m ad u r a . A E e s co nsta n te.
*10-32. D eterm ine la fu e rz a e n e l e le m e n to G B de la a r ­
m adura. A E e s constante.
H G F
lOk 151 5 k
Prob. 10-30 Prob. 10-32

455. 1 0 . 9 Es t r u c t u r a s s i m é t r i c a s 4 3 3
10-33. l a viga e n v o lad izo A l t recibe so p o rte adicional
m ediante d o s tira n te s D eterm in e la fuerza en c ad a una de
estas b a rr a s Pase p o r a lto la com p resió n ax ial y la fuerza
co rtan te e n la viga. P ara la viga. Ib = 2 0 0 (l(^) m m 4 y p a ra
c ad a tira n te ,/! - 100 m m . C onsidere q u e E - 200 G P a.
1
80 kN
P ro h . 10-33
10-34. D eterm ine la fuerza e n lo s e le m e n to s A B , B C y
B ü que se utilizan ju n to co n la viga para so p o rta r la carga
d e 3 0 k . La viga tie n e u n m o m en to d e in ercia d e / = 600
pulg4, los e le m e n to s A B y B C tienen una sección transver­
sal de 2 pulg2 y B D tiene una sección transversal d e 4 pulg2.
C bnsidcrc q u e E = 29(10*) ksi. Ignore e l e sp e s o r de la viga
y su com presión axial, asim ism o suponga q u e to d o s lo s e le ­
m entos están articulados. A su m a tam b ién q u e e l so p o rte en
A e s u n p a sa d o r y e n E e s u n rodillo.
10-35. l a viga a rm a d a so p o rta la carga u n ifo rm em en te
d is trib u id a Si to d o s los e lem en to s d e la arm ad u ra tien en un
área e n s u sección tran sv ersal de 1.25 pulg2 d eterm in e la
fuerza e n e l e le m e n to BC . P ase p o r a lto la p ro fu n d id a d y
la com presión axial e n la viga. C onsidere q u e E = 29(10*) ksi
p ara to d o s los elem entos. A dem ás, p a ra la viga, IAn = 750
pulg4. Suponga q u e A es u n p a sa d o r y D e s un oscilador.
•1 0 -3 6 . La viga arm ad a so p o rta u n a fuerza co n cen trad a
d e 80k e n s u c en tro . D eterm ine la fuerza e n c ad a u n o d e los
tres p u n tales y dibuje e l d iag ram a d e m o m en to flexionante
para la viga. lx>s p u n ta le s tienen u n á re a e n s u sección
transversal d e 2 p u lg 2. S upongam os q u e e s tá n articulados
e n su s extrem os. N o to m e e n cu en ta la pro fu n d id ad d e la
viga n i e l efecto d e la com p resió n axial en é sta . C onsidere
q u e E = 29 (10*) k si p a ra la viga y los p u n ta le s A dem ás,
para la viga. / = 400 pulg4.
80k
P ro h . 1 0-3 4 P ro h . 10-36

456. 4 3 4 C a p i t u l o 1 0 A n á l i s i s d e e s t r u c t u r a s e s t á t i c a m e n t e i n d e t e r m i n a d a s p o r...
10-37. D eterm ine las reacciones e n el so p o rte C. F.I es
constante p a ra a m b a s vigas.
P
10-39. l a viga e n voladizo se sostiene e n u n extrem o m e­
d iante una b a rra de suspensión A C (fe $ pulgadas d e d iám e­
tro y e stá fija e n el o tro e x trem o B . D eterm in e la fuerza e n la
b a rra d e b id o a u n a carga u niform e d e 4 k /p ie . F. = 29(10*)
ksi. tan to para la viga co m o p a ra la b arra.
Prob. 10-39
10-38. 1.a viga A B tiene u n m o m en to d e in ercia / = 475
pulg4 y yace so b re lo s so p o rte s lisos e n su s e x tre m o s U na
varilla CD de 0.75 pulgadas d e d iám etro e stá soldada al
centro de la viga y al so p o rte fijo e n D . Si la tem p e ra tu ra de
la varilla se red u c e e n 150 °F, d eterm in e la fuerza d e sa rro ­
llada en la b arra. T an to la viga com o la b a rra están hech as
de u n a c e ro para el cual E = 200 G P a y o = 6.5(10~6)/°F.
*10-10. El en sam b le estru ctu ral so p o rta las cargas indica­
das. D ib u je los d iag ram as d e m o m en to p a ra cada una d e las
s ig a s C onsidere q u e / » 100(10®) m m 4 para las vigas y A -
200 m m ' para el tirante. T odos los e lem en to s e stán h ech o s
de acero para el c u a l F = 200 G P a.
15 k N
10 6 m 2 m —
|
--------------5 p i e s - 5 p i e s -
*
4 m
í
8 k N / m
iiiiíii
3 .
6 m
P ro h . 10-38 Prob. 10-40

457. 1 0 . 1 0 L IN E A S D E IN E IU E N C IA P A R A V IG A S E S T Á T IC A M E N T E IN D E T E R M IN A D A S
1 0 .1 0 Lineas d e influe ncia para vigas
está tica m e nte in d e te rm in a d a s
E n la se c c ió n 6 -3 se a n a liz ó e l u s o d e l p rin c ip io d e M lllle r- B r e s la u c o n e l
fin d e d ib u j a r la lín e a d e in f lu e n c ia p a r a la r e a c c ió n , la c o r t a n te y e l m o ­
m e n to e n u n p u n t o d e u n a v ig a e s t á ti c a m e n t e d e te r m i n a d a . E n e s t a s e c ­
c ió n se e x te n d e r á e s t e m é to d o y s e a p lic a r á a v ig a s e s t á tic a m e n te in d e ­
te rm in a d a s .
R e c u e r d e q u e , p a r a u n a v ig a , e l p rin c ip io d e M lllle r- B r e s la u e s ta b le c e
q u e ¡a lín e a d e in flu e n c ia p a r a u n a fu n c i ó n (re a c c ió n , f u e r z a c o r ta n te o
m o m e n t o ) está a la m is m a e sc a la q u e la fo r m a a lte ra d a d e la v ig a c u a n d o
la v ig a s e v e a fe c ta d a p o r ¡a f u n c i ó n . P a r a d ib u j a r la f o r m a a lt e r a d a c o ­
rr e c ta m e n te , d e b e e lim in a r s e la c a p a c id a d d e la v ig a p a r a re s is tir la f u n ­
c ió n a p lic a d a a fin d e q u e l a v ig a p u e d a d e f o r m a r s e c u a n d o s e a p lic a la
fu n c ió n . P a r a la s vigas e stá tic a m e n te d e te r m in a d a s , la s f o r m a s a lt e r a d a s
( o las lín e a s d e in f lu e n c ia ) s e r á n u n a s e r ie d e s e g m e n to s d e lín e a recta.
P a r a la s v ig a s está tic a m e n te in d e te r m in a d a s , r e s u l t a r á n c u rv a s . S e a n a li­
z a rá la c o n s tr u c c ió n d e c a d a u n o d e lo s tr e s ti p o s d e lín e a s d e in f lu e n c ia
(d e r e a c c ió n , d e f u e r z a c o r t a n te y d e m o m e n to ) p a r a u n a v ig a e s t á tic a ­
m e n te in d e te r m in a d a . E n c a d a c a s o .s e ilu s tr a r á la v a lid e z d e l p r in c ip io
d e M lllle r- B r e s la u u s a n d o e l te o r e m a d e M a x w e ll d e lo s d e s p la z a m ie n ­
to s re c íp ro c o s .
Reacción en A . P a ra d e t e r m i n a r la lín e a d e in f lu e n c ia p a r a la r e a c ­
c ió n e n A e n la fig u ra 1 0 -2 ü a ,s e c o lo c a u n a c a rg a u n it a r i a s o b r e la v ig a
e n p u n to s su c e s iv o s, y e n c a d a p u n to d e b e d e te r m i n a r s e la r e a c c ió n e n A .
U n a g r á f ic a d e e s t o s r e s u lta d o s g e n e r a l a lín e a d e in flu e n c ia . I\> r e je m ­
p lo , c u a n d o la c a rg a e s t á e n e l p u n t o D,f i g u r a 1 0 - 2 0 a ,la r e a c c ió n e n A ,
q u e r e p r e s e n ta la o r d e n a d a d e la lí n e a d e in f lu e n c ia e n D , p u e d e d e t e r ­
m in a rs e m e d i a n te e l m é to d o d e la fu e iz a . P a r a e llo , se a p lic a e l p r in c ip io
d e s u p e r p o s ic ió n , c o m o s e m u e s tr a e n la s fig u ra s IO -20a a 10 -2 0 c. P o r lo
ta n to , la e c u a c ió n d e c o m p a tib ilid a d p a r a e l p u n t o A e s 0 » f AD + A J a a
o b i e n A y = —/ « © / / x a i s ¡ n e m b a r g o , p o r e l te o r e m a d e M a x w e ll d e lo s
d e s p la z a m ie n to s r e c íp r o c o s f AD = ~ / m . fig u ra 10-2 lk /, p o r lo q u e ta m ­
b ié n e s p o s ib le c a lc u la r A y (o la o r d e n a d a d e la lí n e a d e in f lu e n c ia e n D )
u s a n d o la e c u a c ió n A
v ig a r e a l
(a)
D
R
n
e s t r u c t u r a p r i m a r i a
( b )
P b r c o m p a r a c ió n , e l p rin c ip io d e M lllle r- B r e s la u r e q u i e r e e lim in a r e l
s o p o r te e n A y a p lic a r u n a c a rg a u n it a r i a v e rtic a l. L a c u rv a d e d e f le x ió n
r e s u lta n te ,f ig u r a 10-2 0 </,es a c i e r t a e s c a la la f o r m a d e la lín e a d e in f lu e n ­
c ia p a r a A ,. S in e m b a r g o , e n la e c u a c ió n a n t e r i o r s e o b s e r v a q u e e l f a c to r
d e e s c a la e s I / f AA.
* ,f* A
-X--
A r a p l i c a c i ó n d e A , r e d u n d a n t e
r
( c )
Ja a
D
(d)
F i g u r a 1 0 - 2 0

458. 4 3 6 C a p i t u l o 1 0 A n á l i s i s d e e s t r u c t u r a s e s t á t i c a m e n t e i n d e t e r m i n a d a s p o r...
C o r t a n t e e n E . S i d e b e d e t e r m i n a r s e la lí n e a d e in f lu e n c i a p a r a
la f u e r z a c o r t a n te e n e l p u n t o E d e la v ig a q u e s e m u e s tr a e n la fig u ra
1 0 -2 l a . e n to n c e s , p o r e l p r in c ip io d e M ü lle r - B r e s la u , l a v ig a s e im a g in a
c o r ta d a e n e s te p u n t o y s e in s e r ta u n d is p o s itiv o d e d e s liz a m ie n to e n E ,
fig u ra 1 0 -2 1 6 . E s te d is p o s itiv o tr a n s m itir á u n m o m e n to y u n a f u e r z a n o r ­
m a l, p e r o n in g u n a f u e r z a c o r t a n te . C u a n d o la v ig a s e f le x io n a d e b id o a
la s c a r g a s c o r t a n te s u n ita r ia s p o s itiv a s q u e a c tú a n e n E , la p e n d ie n t e d e
c a d a la d o d e la g u ía s ig u e s i e n d o la m is m a , y la c u rv a d e d e f le x ió n r e p r e ­
s e n t a a c i e r t a e s c a la la lín e a d e in f lu e n c ia p a r a la f u e r z a c o r t a n te e n ¿ « f i­
g u ra 1 0 -2 le . S i s e a p lic a e l m é to d o b á s ic o p a r a e s ta b le c e r la lín e a d e in ­
flu e n c ia d e la f u e r z a c o r t a n t e e n E,e n t o n c e s s e r ía n e c e s a r io a p li c a r u n a
c a rg a u n it a r i a e n c a d a p u n t o D y c a lc u la r la f u e r z a c o r t a n te e n E , fig u ra
1 0 -2 l a . E s te v a lo r , VF,r e p r e s e n ta r ía la o r d e n a d a d e la lín e a d e in f lu e n c ia
e n D . C o m o e n e l c a s o a n te r io r , u s a n d o e l m é t o d o d e la f u e r z a y e l t e o ­
r e m a d e M a x w e ll d e lo s d e s p l a z a m i e n to s re c íp r o c o s , p u e d e d e m o s ­
t r a r s e q u e
D e n u e v o , e s t o e s ta b le c e la v a lid e z d e l p r in c ip io d e M ü lle r - B r e s la u , e s
d e c ir , u n a c a rg a u n it a r i a c o r t a n t e p o s itiv a a p li c a d a a la v ig a e n E , fig u ra
10-21c, h a r á q u e la v ig a s e a l t e r e c o n la f o r m a d e la lín e a d e in f lu e n c ia
p a ra la f u e r z a c o r t a n t e e n E . A q u í e l f a c to r d e e s c a la e s (1 / f FF).
l
1 0 t
1
<b)
I
(c)
1
Figura 10-21

459. 1 0 . 1 0 L IN E A S D E IN E IU E N C IA PA R A V IG A S E S T Á T IC A M E N T E IN D E T E R M IN A D A S4 3 7
M om ento en E. L a lí n e a d e in f lu e n c ia p a r a e l m o m e n to e n Ed e la
fig u ra 1 0 -2 2 a p u e d e d e te r m in a r s e a l c o lo c a r u n p a s a d o r o b is a g ra e n E ,
p u e s to q u e e s ta c o n e x ió n tr a n s m ite f u e r / a s n o r m a le s y c o r t a n te s , p e r o
n o p u e d e re s is tir u n m o m e n to , f ig u r a 10*226. A l a p lic a r u n m o m e n to d e
p a r u n it a r i o p o s itiv o , l a v ig a s e d e f o r m a a la p o s ic ió n m a r c a d a c o n tr a z o s
d is c o n tin u o s e n l a f ig u r a 10-2 2 c,k> q u e g e n e r a a c ie r ta e s c a la la lín e a d e
i n f lu e n c i a .d e n u e v o u n a c o n s e c u e n c ia d e l p r in c ip io d e M ü lle r-B re s la u .
Si se e m p l e a e l m é to d o d e la f u e r z a y e l te o r e m a d e la r e c ip r o c id a d d e
M a x w e ll, se p u e d e d e m o s tr a r q u e
E l f a c t o r d e e s c a la a q u í e s ( \ / a KF) .
1 1

460. 4 3 8 Ca p i t u l o 1 0 A n á l i s i s d e e s t r u c t u r a s e s t á t i c a m e n t e i n d e t e r m i n a d a s p o r...
E l s i g u ie n t e p r o c e d i m i e n to p r o p o r c io n a u n m é to d o p a r a e s ta b le c e r la lín e a d e in f lu e n c ia
d e la r e a c c ió n , la f u e r z a c o r t a n te o e l m o m e n to e n u n p u n to d e u n a v ig a , m e d ia n te la t é c ­
n ic a d e M U lle r-B re sla u .
L ín e a d e in f lu e n c ia c u a lita tiv a
E n e l p u n t o d e la v ig a p a r a e l c u a l d e b e d e te r m i n a r s e l a lí n e a d e in f lu e n c ia , c o lo q u e u n a
c o n e x ió n q u e e lim in e la c a p a c id a d d e la v ig a p a r a s o p o r ta r la fu n c ió n d e la lín e a d e in ­
flu e n c ia . S i la fu n c ió n e s u n a rea cció n v e rtic a l, u s e u n a g u ía d e r o d illo s v e rtic a l; s i la f u n ­
c ió n e s c o r í a m e ,u tilic e u n d is p o s itiv o d e d e s l i z a m i e n t o s s \ la fu n c ió n e s u n m o m e n t o .u s e
u n p a s a d o r o u n a b is a g ra . C o lo q u e u n a c a r g a u n ita r ia e n la c o n e x ió n q u e a c tú e s o b r e la
v iga e n la " d ir e c c ió n p o s itiv a " d e la f u n c ió n . D ib u je la c u rv a d e d e f le x ió n d e la v ig a . E s ta
c u rv a r e p r e s e n ta a c ie r ta e s c a la la f o r m a d e la lín e a d e in f lu e n c ia p a r a la v ig a .
L ín e a d e in f lu e n c ia c u a n ti ta t iv a
Si d e b e n d e te r m i n a r s e lo s v a lo r e s n u m é r ic o s d e la lí n e a d e in f lu e n c ia , c a lc u le e l d e s p la ­
z a m ie n to d e p u n to s s u c e s iv o s a lo la r g o d e la v ig a c u a n d o la v ig a e s tá s o m e ti d a a la c a rg a
u n ita r ia c o lo c a d a e n la c o n e x ió n m e n c io n a d a a n te r io r m e n te . D iv id a c a d a v a lo r d e d e s ­
p la z a m ie n to e n t r e e l d e s p la z a m ie n to d e te r m i n a d o e n e l p u n t o d o n d e a c t ú a la c a rg a u n i ­
ta ria . A l a p li c a r e s t e f a c t o r d e e s c a la , lo s v a lo r e s r e s u lta n te s s o n las o r d e n a d a s d e la lín e a
d e in flu e n c ia .
1 0
*
P a r a e s t e v i a d u c t o s e c o n s t r u y e r o n l a s l í n e a s
d e i n f l u e n c i a d e l a t r a b e c o n t i n u a p a r a d i ­
s e ñ a r l a a d e c u a d a m e n t e .

461. 1 0 . 1 1 L IN E A S D E I N F L U E N C IA C U A IIT A T V A S P A R A M A R C O S 4 3 9
1 0 .1 1 Líneas d e in flu e n d a cualitativas
para m arcos
H1 p rin c ip io d e M U IIer-B resIau p r o p o r c io n a u n m é to d o r á p i d o y tie n e u n
g r a n v a lo r p a r a e s t a b le c e r la f o r m a g e n e r a l d e la lí n e a d e in f lu e n c ia e n la
c o n s tru c c ió n d e m a r c o s U n a v e z q u e se c o n o c e la f o r m a d e la lín e a d e
in flu e n c ia , e s p o s ib le e s p e c if ic a r d e in m e d ia to la u b ic a c ió n d e la s c a r g a s
vivas d e m o d o q u e c r e e n la m a y o r in f lu e n c ia d e la fu n c ió n ( r e a c c ió n ,
fu e rz a c o r t a n te o m o m e n to ) e n e l m a rc o . P o r e je m p lo , la f o r m a d e la
lín e a d e in f lu e n c ia p a r a e l m o m e n to p o s itiv o e n e l c e n tr o / de la tr a b e
F G cfel m a rc o d e la fig u ra 1 0 -2 3 a se m u e s tr a m e d ia n te lín e a s d is c o n ti­
n u as. E n to n c e s , la s c a r g a s u n if o r m e s s e c o lo c a r ía n s ó l o s o b r e la s v ig a s
A B . C D y F G c o n e l f i n d e c r e a r e l m a y o r m o m e n to p o s itiv o e n / . C o n el
m a rc o c a r g a d o d e e s ta m a n e r a , fig u ra 10-23/», e n to n c e s p o d r ía r e a liz a r s e un
a n á lisis in d e te r m in a d o d e l m a r c o p a ra e n c o n tr a r e l m o m e n to c r ític o e n / .
(b)
« g u r a 1 0 - 2 3

462. 4 4 0 C a p i t u l o 1 0 A n á l i s i s d e e s t r u c t u r a s e s t á t i c a m e n t e i n d e t e r m i n a d a s p o r...
D ib u je la lí n e a d e in f lu e n c ia d e la r e a c c ió n v e rtic a l e n A p a ra la v ig a q u e
s e m u e s tra e n la fig u ra lü - 2 4 a . E l e s c o n s ta n te . G r a f i q u e lo s v a lo r e s
n u m é r ic o s c a d a 6 p ie s .
i k
S O L U C IÓ N
Se r e t i r a la c a p a c id a d d e l a v ig a p a r a re s is tir la r e a c c ió n A r E s to s e h ace
u s a n d o u n d is p o s itiv o d e ro d illo s v e rtic a le s e l c u a l s e m u e s tr a e n la fi­
g u r a 1 0 -2 4 6 . A l a p li c a r u n a c a rg a u n it a r i a v e r tic a l e n A se o b tie n e la
fo r m a d e la lí n e a d e in f lu e n c ia d e la fig u ra 10-24c.
C o n e l f i n d e d e te r m i n a r la s o r d e n a d a s d e la lí n e a d e in f lu e n c ia , se
u s a r á e l m é t o d o d e la v ig a c o n ju g a d a . L a s r e a c c i o n e s e n A y H s o b r e
la “v ig a re a l” , c u a n d o s e s o m e te a la c a r g a u n ita r ia e n A ,s e m u e s tr a n e n la
fig u ra 1 0 -2 4 6 . L a v ig a c o n ju g a d a c o r r e s p o n d ie n t e se m u e s tr a e n la fig u ra
10-24d. O b s e r v e q u e e l s o p o r t e e n A ' sig u e s i e n d o e l m is m o q u e e l d e A
e n la fig u ra 1 0 -2 4 6 . E s to s e d e b e a q u e u n d is p o s itiv o d e ro d illo s v e rtic a ­
les e n la v ig a c o n ju g a d a s o p o r ta u n m o m e n to , p e r o n o u n a f u e r / a c o r ­
ta n te . k> q u e c o r r e s p o n d e a u n d e s p la z a m ie n to p e r o n o a u n a p e n d ie n t e
e n e l p u n t o A d e la v ig a r e a l, fig u ra 10-24c. I-a s r e a c c io n e s e n lo s s o p o r ­
te s d e la v ig a c o n ju g a d a s e h a n c a lc u la d o y s e m u e s t r a n e n la f ig u r a
1 0 -2 4 d . A h o r a s e c a lc u la r á n lo s d e s p la z a m ie n to s d e lo s p u n to s e n la v ig a
r e a l, f ig u r a 10-246.
1 k
v ig a c o n ju g a d a
(d)
F i g u r a 1 0 - 2 4

463. 1 0 . 1 1 LINEAS D E I N F L U E N C IA C U A IIT A T V A S P A R A M A R C O S 4 4 1
P a r a B ', p u e s t o q u e n o e x is te u n m o m e n to s o b r e la v ig a c o n ju g a d a e n
B ’, fig u ra 10-24</, e n to n c e s
A
B = M b = 0
P a r a D',f i g u r a 10-24e:
2 M „ . = 0 ; A D =
P a r a C \ f ig u r a 1 0 - 2 4 /
- U ± -
E l ( 6 ) 2 \ E I
936
E l

------6 p i e s--------1
v i l i x S H .
162
E l
(e )
E l
1656
E l
P a r a A',f i g u r a 10-2 4d:
A Á = M , . =
1944
E l
P u e s to q u e u n a c a r g a v e r tic a l d e 1 k q u e a c tú a e n A » b r e l a v ig a d e
fa fig u ra 1 0 -2 4 a c a u s a r á u n a r e a c c ió n v e r tic a l e n A de 1 k ,e l d e s p la z a ­
m ie n to e n A , &A = 1944/£Y , d e b e c o r r e s p o n d e r a u n v a lo r n u m é r ic o
d e 1 p a r a la o r d e n a d a d e l a lín e a d e in f lu e n c ia e n A. P o r lo ta n t o , a l d i­
vidir lo s o tr o s d e s p la z a m ie n to s c a lc u la d o s e n t r e e s t e f a c t o r .s e o b tie n e
M r
t
- 1 2 p i e s -
V r
(0
X
A 1
C 0 . 8 5 2
D 0 . 4 8 1
tí 0
U n a g r á f ic a d e e s t o s v a lo r e s g e n e r a la lín e a d e in f lu e n c ia q u e se
m u e s tra e n la f ig u r a 10-24g.
A ,
° " 2
1 2 18
E
U n c a d e i n f l u e n c i a c u a n t i t a t i v a
p a r a l a r e a c c i ó n e n A
( g )

464. 4 4 2 C a p i t u l o 1 0 A n á l i s i s d e e s t r u c t u r a s e s t á t i c a m e n t e i n d e t e r m i n a d a s p o r...
EJE M P LO 10.1 1
I k
D ib u je la lín e a d e in f lu e n c ia d e la f u e r z a c o r ta n te e n D p a ra l a v ig a
q u e s e m u e s tr a e n la fig u ra 10 -2 5 a. E l e s c o n s ta n te . G r a f i q u e lo s v a lo ­
re s n u m é r ic o s c a d a 9 p ies.
p i e s - 4 - 9 p i e s - |
---------
18 p i e s -
( a )
F igura 10-25
S O L U C IÓ N
S e e lim in a la c a p a c id a d d e l a viga p a ra re s is tir u n a f u e r z a c o r la n te e n D .
E s to se h a c e m e d ia n te e l d is p o s itiv o d e r o d illo q u e s e m u e s tra e n la fi­
g u ra 1 0 -2 5 6 . A l a p li c a r u n a f u e r z a c o r t a n t e u n it a r i a p o s itiv a e n f í se
o b ti e n e la fo r m a d e l a lín e a d e in f lu e n c ia d e la fig u ra 10-25c.
E n la fig u ra 1 0 -2 5 6 se m u e s tr a n las r e a c c io n e s e n lo s s o p o r te s A , R
y C s o b r e la " v ig a r e a l " , c u a n d o é s t a s e s o m e te a la f u e r z a c o r ta n te
u n ita r ia e n D . L a v ig a c o n ju g a d a c o r r e s p o n d ie n t e s e m u e s tr a e n la f i ­
g u ra 10-25d. A q u í d e b e a p lic a r s e u n m o m e n to d e p a r e x t e r n o M 0 . en
D ' a fin d e p r o v o c a r u n m o m e n to in te r n o d if e r e n t e ju s to a l a iz q u ie r d a
y ju s to a la d e r e c h a d e D \ E s to s m o m e n to s in t e r n o s c o r r e s p o n d e n a
to s d e s p la z a m ie n to s j u s t o a la iz q u ie rd a y j u s t o a la d e r e c h a e n d e
s o b r e la v ig a re a l, fig u ra 10 -2 5 c. L a s re a c c io n e s e n lo s s o p o r t e s A ’, B' ,
C y e l m o m e n to e x t e r n o M/>- s o b r e la v ig a c o n ju g a d a s e h a n c a lc u ­
la d o y s e m u e s tr a n e n la fig u ra 10-25e. C o m o e je r c ic io , v e rifiq u e lo s
cálc u lo s.
9 k - p i e | 9 k pic
-P=1M=— íf
| — 9 p i e s —^ 9 p i e s 18 p i e s 1
1 k
i.
I k Ik 2 k
viga real
(b)
I k
li n e a d e i n f l u e n c i a c u a l i t a t i v a
p a r a la c o r t a n t e e n D
( c )
162
E l
r
1 6 2
E l
i " i - -
o ^ - j c
108
¡ f i T í
'•f W T7 -T^°
12 pies — 1-6 pie*—) F l |~6 Pic»-|
---12 P*es~ J
(d)
270
E Í
( e )
54
E l

465. 1 0 . 1 1 L IN E A S D E I N F L U E N C IA C U A IIT A T V A S P A R A M A R C O S 4 4 3
D a d o q u e e x is te u n a d is c o n tin u id a d d e l m o m e n to e n D\ s e c a lc u la rá 405
e l m o m e n to in t e r n o j u s t o a la iz q u ie rd a y j u s t o a la d e r e c h a d e D '. h ‘ n
J u s to a la iz q u ie rd a d e D\ f i g u r a 1 0 -2 5 /,s e ti e n e
l M n . = 0 ; A , = = - z r r ( 3 ) - — - ( 9 ) = -
4 0 -5 2 7 0 . . . 2 3 0 8 .5 . i M«r,
E l E l E l
X V o
A 0
o,. - 0 . 5 9 4
D* 0 . 4 0 6
B 0
E - 0 . 0 9 3 8
C 0
A l g ra f ic a r e s t o s v a lo r e s s e o b ti e n e la lí n e a d e in f lu e n c ia q u e s e m u e s ­
tr a e n l a fig u ra 10-25/.
h
;i
I 3 I
pies
(0
J u s to a l a d e r e c h a d e D ’, fig u ra 1 0 -2 5 g , r e s u lta
40-5 2 7 0 . 3 8 8 8 1579.5
Í M f f ' = 0 ; ' ~ = ~ E I~ ~ ~eT ~ E I ~ = E /
D e l a fig u ra 1 0 -2 5 e , 405
E l ±
= M * = 0 ¿ a = = 0 A c = Afc . = 0
P a ra e l p u n t o E,f i g u r a 10-25í>.si s e u s a e l m é to d o d e la s s e c c io n e s e n . J m ,
d p u n to E ' c o r r e s p o n d ie n te s o b r e la v ig a c o n ju g a d a , fig u ra 1 0 -2 5 /i,s e - 6 pies-i-. -j
tie n e | ¿
X M r = 0 ; a£ = Mf = ^ ( 3 ) - ^ ( 9 ) = - ^ <*>
L a s o r d e n a d a s d e la lín e a d e in f lu e n c ia s e o b ti e n e n a l d iv i d ir c a d a
u n o d e lo s v a lo r e s a n te r io r e s e n t r e e l f a c to r d e e s c a la W D- = 3 8 8 8 / f /.
E n to n c e s , AQ5
v * - : '4
I 6 _J
I 3
pies
pies 1
54
(h)
V'n
U 4 (16
2 7 3 6
9 18
- 0 . 0 9 3 8
- 0 3 9 4
lín e a d e i n f l u e n c i a c u a n t i t a t i v a
p a r a la c o r t a n t e e n D
(0
1 0

466. 4 4 4 C a p i t u l o 1 0 A n á l i s i s d e e s t r u c t u r a s e s t á t i c a m e n t e i n d e t e r m i n a d a s p o r...
D ib u je la lí n e a d e in f lu e n c ia d e l m o m e n to e n D p a r a la v ig a q u e se
m u e s tr a e n la f ig u r a 1 0 -2 6 a . E l e s c o n s ta n te . G r a f i q u e lo s v a lo r e s
n u m é r ic o s c a d a 9 p ie s .
S O L U C IÓ N
S e in s e rta u n a b is a g r a e n D co n e l fin d e e li m i n a r la c a p a c id a d d e la
m o m e n to s p a r u n ita r io s p o s itiv o s e n D .s e o b ti e n e la lí n e a d e in f lu e n ­
c ia d e la fig u ra 10-26c.
E n la fig u ra 10-2 6b se m u e s tr a n la s r e a c c io n e s e n A .B y C s o b r e la
“ vig a re a l" , c u a n d o é s ta se s o m e te a lo s m o m e n to s d e p a r u n ita r io s e n D.
L a v iga c o n ju g a d a c o rr e s p o n d ie n te y s u s re a c c io n e s s e m u e s tra n e n la fi­
g u r a 10-26d. S e s u g ie re v e rific a r la s r e a c c io n e s e n a m b o s casos. A p a r tir
d e la fig u ra W-2 6d,o b s e r v e q u e
A ¿ = M a = 0 Afl = M f l = 0 A¿- = = 0
l k - p i c l k - p i c
(a )
Figura 10-26
viga p a r a re s is tir u n m o m e n to e n e s e p u n to , fig u ra 10-266. A l a p li c a r
B
0 .1 1 1 k 0 2 2 2 k
v ig a r e a l
<b)
0 .1 1 1 k
1
E l
1 k - p i e , , 1 k - p i e
a
h n c a d e in f l u e n c ia c u a l i t a t i v a p a r a e l m o m e n t o e n D
(c)
I8
E l
48
FJ
.6
n
<d)

467. 1 0 . 1 1 L IN E A S D E I N F L U E N C IA C U A IIT A T V A S P A R A M A R C O S
P a ra e l p u n t o D',fig u ra 10-26e:
S M „ . - 0 ; A „ - - | 5 ( 3 ) + J | ( 9 ) -
P a ra e l p u n t o fig u ra 1 0 -2 6 /
£ M c = 0 ; A£ - M £. - ^ ( 3 ) - - | 7 ( 9 ) . - ^
E l d e s p la z a m ie n to a n g u la r a n o e n D d e la “v ig a r e a l " q u e s e m u e s ­
tra e n la fig u ra 10-26c s e d e f i n e p o r la r e a c c i ó n e n D ' s o b r e la viga
c o n ju g a d a . E s te f a c to r , D ’y = 4 8 /E l , s e d iv id e e n t r e lo s v a lo r e s a n t e ­
rio re s p a r a o b t e n e r la s c o o r d e n a d a s d e la lín e a d e in f lu e n c i a .e s d e c ir .
X m d
A 0
D 3 .6 5 6
B 0
E - 0 . 8 4 4
C 0
A l g r a f ic a r e s t o s v a lo r e s s e o b ti e n e la lín e a d e in f lu e n c ia q u e se
m u e s tra e n la f ig u r a 10-26g.
Mn
3 .6 5 6
—0 .8 4 4
I n c a d e i n f l u e n c i a c u a n t i t a t i v a
p a r a e l m o m e n t o e n D
(8)

468. 4 4 6 C a p i t u l o 1 0 A n á l i s i s d e e s t r u c t u r a s e s t á t i c a m e n t e i n d e t e r m i n a d a s p o r...
P R O B L E M A S
10—41. D ibuje la linea d e influencia p a ra la reacción e n C.
G rafique los v alores num éricos e n los picos. S uponga q u e A
e s u n pasad o r y q u e B y C » n ro d illo s E l e s constante.
10-45. D ibuje la línea d e influencia para la reacción e n C.
G ra fique los v a lo re s num éricos c ad a 5 pies. E / e s constante.
15 pies* _ j f
• 15 pies -i
Proh. 10-45
10-42. D ibuje la linca d e influencia p a ra e l m om ento e n A .
G rafique los v alores num éricos e n los picos. S u ponga q u e A
está fijo y q u e e l so p o rte e n B e s u n rodillo. E l e s constante.
10-43. D ibuje la linca de influencia para la reacción verti­
cal e n B . G ra fiq u e lo s v alores num éricos en los p ic o s S u ­
ponga q u e A e stá fijo y q u e e l so p o rte e n fí e s un rodillo. E l
e s constante.
10-46. B osqueje la linea d e influencia p a ra (a ) e l m o ­
m ento e n E\ (b ) la reacción e n C y (c) la fuerza co rtan te e n E.
E n c ad a caso, indique en u n d ib u jo d e la viga, d ó n d e d e b e
colocarse una carga viva uniform em ente distribuida de m odo
que p ro d u zca u n v a lo r positivo m áxim o d e e sta s funciones.
S uponga q u e la viga e stá fija e n D.
10
*10-44. D ibuje la linea de influencia p a ra la fuerza c o r­
ta n te e n C. G rafiq u e los v alores num éricos cada 1.5 m . S u ­
ponga q u e A e stá fijo y q u e e l so p o rte e n fí e s un rodillo. E l
e s constante.
P ro h . 10-46
10-47. B osqueje la línea d e influencia p a ra (a ) la reacción
v ertical e n C ;(b ) el m o m en to e n f l y (c) la fuerza co rtan te
en E. E n c ad a caso, indique en un d ib u jo d e la viga, d ó n d e
debe colocarse u n a carg a viva u n ifo rm em en te distribuida
de m odo q u e p roduzca u n v a lo r positivo m áxim o d e estas
(u n cio n es S uponga q u e la viga e stá fija e n F.
P r o h . 1 0 - 4 4 P r o h . 1 0 - 4 7

469. 10.11 L IN E A S D E I N F L U E N C IA C U A L IT A T IV A S P A R A M A R C O S4 4 7
•1 0 -4 8 . U se e l p rin cip io d e M üller-B rcslau para b o sq u e­
ja r la form a g en eral d e la línea d e influencia para (a ) e l m o ­
m ento e n A y (b ) la fuerza co rtan te e n B,
P ro b . 10-48
10-49. U se el principio d e M llller-B reslau p a ra b osquejar
la form a g en eral d e la línea de influencia p a ra (a ) el m o ­
m ento e n A y (b ) la fuerza co rtan te e n B.
10-50. U se el principio d e M llller-B reslau p a ra b osquejar
la form a g en eral d e la línea de influencia p a ra (a ) el m o ­
m ento e n A y (b ) la fuerza co rtan te e n B.
C
P ro b . 10-50
10-51. U se el principio d e M llller-B reslau para b osquejar
la form a g en eral d e la línea de influencia p a ra (a ) e l m o ­
m ento e n A y (b ) la fuerza c o rta n te e n B.
10
A ñ
P ro h . 10-51

470. 4 4 8 C a p i t u l o 1 0 A n á l i s i s d e e s t r u c t u r a s e s t á t i c a m e n t e i n d e t e r m i n a d a s p o r . . .
R E P A S O D E L C A P ÍT U L O
E l análisis d e una estru ctu ra estáticam ente in d eterm in ad a re q u iere q u e se satisfagan e l equilibrio, la co m patibilidad y
las relaciones d e fuerza-desplazam iento p a ra la e stru ctu ra. U n m éto d o d e análisis d e la fuerza consiste e n escrib ir las
ecuaciones q u e satisfacen los requisitos d e com patibilidad y d e fuerza-desplazam iento, lo q u e p ro p o rcio n a u n a solución
directa p a ra las reacciones red u n d an tes. U n a v ez o b ten id o esto , las reaccio n es re s ta n te s se e n c u e n tra n con b ase e n las
ecuaciones de equilibrio.
h
- - - - -*—fl? í
r r n r :
-------------^-----■£- +
v ig a r e a l e s t r u c t u r a p r i m a r i a
r e d u n d a n t e d e B , a p lic a d a
’u b ” B . Íb b |
i 0 = - Bff RH
E l m éto d o d e la fuerza p u e d e sim plificarse m e d ian te el
teo rem a d e M axw ell d e lo s d esp lazam ien to s recíprocos,
el cual e stab lece q u e e l desplazam iento d e u n p u n to B
sobre una estru ctu ra d e b id o a una carg a unitaria q u e
actúa e n e l p u n to A.fm, e s igual al d esp lazam ien to del
punto A cuando la carga actúa e n B ,f AH.
1
i
- I —
Ib a

471. R e p a s o d e l c a p i t u l o 4 4 9
El análisis de u n a estru c tu ra estáticam en te indeterm inada
p u ed e sim plificarse si la estru c tu ra tiene una sim etría del
m aterial, la g eo m etría y la carg a resp ecto a s u e je central.
E n p articu lar, las estru c tu ra s q u e tien en u n a carg a asim é­
trica p u e d e n sustituirse p o r la superposición d e una carga
sim étrica y antisim étrica.
L as líneas de influencia p a ra estru ctu ras estáticam en te in ­
d e te rm in ad as consistirán e n Uneos curvas. Se p u e d e n b o s­
q u e ja r usando e l principio d e M Uller-BresIau. el c u a l e sta ­
blece q u e la fo rm a de la línea d e influencia, ya sea para
u n a reacción, u n a fuerza c o rta n te o u n m o m en to esté a la
mism a escala q u e la form a alterad a de la estructura cuando
se vea afectad a p o r la reacción, la fuerza co rtan te o el m o­
m ento. respectivam ente. Si se em p le a el teo rem a d e M ax­
well de las d eflexiones recíprocas, e s posible o b te n e r los
valores específicos d e las o rd e n a d a s de cu a lq u ie r línea de
influencia.
8k N 2 k N / m
^ < JJTTTTTTL
II
4 k N 4 k N
, 1 k N / m |
II.1I1IUI11L
c a r g a s im é tr ic a
+
4 k N IkN/m
_ i.iiimIU
f í i i i r<
1kN/m 4kN
c a r g a a n t i s i m é t r i c a
- fc : ; ^ =1- J L .
f o r m a d e l a l í n e a d e i n f l u e n c i a p a r a e l m o m e n t o e n A

472. Los e le m e n to s d e e s te m arco e s tá n c o n e c ta d o s fijam en te, p o r lo q u e e l m arco
e s e s tá tic a m e n te in d eterm in ad o .

473. Método de análisis
del desplazamiento:
Ecuaciones de
pendiente-deflexión
E n e s t e c a p ít u lo s e d e s c r ib e n b r e v e m e n t e la s id e a s b á s ic a s p a ra a n a li­
z a r e s tr u c tu r a s u tiliz a n d o e l m é t o d o d e a n á lis is d e l d e s p la z a m ie n to .
U n a v e z q u e s e h a y a n p r e s e n ta d o e s to s c o n c e p to s , s e d e s a r r o lla r á n las
e c u a c io n e s g e n e r a le s d e p e n d ie n te - d e fle x ió n , y d e s p u é s s e u s a rá n
p a ra a n a liz a r v ig a s y m a rc o s e s tá tic a m e n te in d e te r m in a d o s .
1 1 .1 M é to d o d e análisis
del de splazam iento:
P roce dim ien to s generales
T o d a s la s e s t r u c tu r a s d e b e n s a tis f a c e r lo s r e q u is ito s d e e q u ilib r io , d e s p l a ­
z a m ie n to d e c a r g a y c o m p a tib ilid a d d e lo s d e s p la z a m ie n to s a fin d e g a ­
r a n t iz a r s u s e g u r id a d . E n la s e c c ió n 10-1 s e e s ta b le c ió q u e h a y d o s f o r ­
m as d if e r e n t e s d e s a tis f a c e r e s to s r e q u i s it o s c u a n d o se a n a liz a u n a
e s t r u c tu r a e s t á tic a m e n te in d e t e r m in a d a . E l m é to d o d e a n á lis is d e la
f u e r z a ,q u e s e e s tu d ió e n e l c a p ítu lo a n t e r i o r .s e b a s a e n l a id e n tific a c ió n
d e las fu e r z a s r e d u n d a n t e s d e s c o n o c id a s , p a r a d e s p u é s s a tis f a c e r la s
e c u a c io n e s d e c o m p a tib ilid a d d e la e s tr u c tu r a . E s to se h a c e a l e x p r e s a r
lo s d e s p la z a m ie n to s e n té r m in o s d e las c a r g a s u s a n d o la s re la c io n e s d e
c a rg a - d e s p la z a m ie n to . A l re s o lv e r la s e c u a c io n e s r e s u lta n t e s s e o b tie n e n
las r e a c c io n e s r e d u n d a n t e s , y d e s p u é s s e u tiliz a n la s e c u a c io n e s d e e q u i­
lib rio p a r a d e t e r m i n a r la s r e a c c io n e s r e s ta n te s d e la e s t r u c tu r a .
E l m é to d o d e l d e s p la z a m ie n to fu n c io n a d e m a n e r a in v e rs a . R e q u ie re
e n p r i m e r lu g a r s a tis f a c e r la s e c u a c io n e s d e e q u ilib r io p a r a la e s t r u c tu r a .
P a r a e l l o s e e s c r ib e n lo s d e s p la z a m ie n to s d e s c o n o c id o s e n té r m in o s d e la
c a rg a u s a n d o la s re la c io n e s d e c a rg a - d e s p la z a m ie n to , lu e g o s e re s u e lv e n
e s t a s e c u a c io n e s p a r a o b t e n e r lo s d e s p la z a m ie n to s . U n a v ez q u e s e c o n o ­
c e n lo s d e s p la z a m ie n to s , s e d e te r m i n a n la s c a rg a s d e s c o n o c id a s a p a r t i r
d e las e c u a c io n e s d e c o m p a tib ilid a d e m p l e a n d o la s re la c io n e s d e c a rg a -
d e s p la z a m ie n to . T odos lo s m é to d o s d e d e s p la z a m ie n to s ig u e n e s t e p ro -

474. 4 5 2 C a p i t u l o 1 1 M é t o d o d e a n á l i s i s d e l d e s p l a z a m i e n t o : Ec u a c i o n e s d e p e n d i e n t e-d e f l e x i ó n
c e d im ie n to g e n e r a l. E n e s t e c a p ít u lo s e g e n e r a liz a r á e l p r o c e d im ie n to
p a r a p r o d u c ir la s e c u a c io n e s d e p e n d ie n te - d e f le x ió n . E n e l c a p ítu lo 12 se
d e s a r r o ll a r á e l m é to d o d e d is tr ib u c ió n d e m o m e n to s ,e l c u a l d e ja d e la d o
e l c á lc u lo d e lo s d e s p la z a m ie n to s y e n s u lu g a r h a c e p o s ib le a p lic a r u n a
s e r ie d e c o r r e c c io n e s d e c o n v e r g e n c ia q u e p e r m it e n c a lc u la r d i r e c t a ­
m e n te lo s m o m e n to s e x tr e m o s . F\>r ú ltim o , e n lo s c a p ítu lo s 1 4 ,15 y 1 6 se
ilu s tr a r á la m a n e r a d e a p li c a r e s t e m é to d o m e d ia n te u n a n á lis is m a tri-
d a l . lo q u e lo h a c e a d e c u a d o p a r a s u u s o e n c o m p u ta d o ra s .
E n e l a n á lis is s ig u ie n te s e m o s tr a r á la f o r m a d e id e n tif ic a r lo s d e s p l a ­
z a m ie n to s d e s c o n o c id o s e n u n a e s t r u c tu r a y s e d e s a r r o ll a r á n a lg u n a s d e
la s re la c io n e s d e c a r g a - d e s p la z a m ie n to m ás im p o r t a n te s p a ra lo s e l e ­
m e n to s d e v ig a s y m a rc o s . L o s r e s u lta d o s s e u s a r á n e n la p r ó x i m a se c c ió n
y e n lo s c a p ítu lo s p o s t e r io r e s c o m o b a s e p a r a a p lic a r e l m é to d o d e a n á li­
sis d e l d e s p la z a m ie n to .
(a)
fig u ra 11-1
Grados de libertad. C u a n d o u n a e s t r u c tu r a e s t á c a r g a d a , lo s p u n ­
to s e s p e c ific a d o s s o b r e e l l a , lla m a d o s n o d o s , e x p e r i m e n t a r á n d e s p la z a ­
m ie n to s d e sc o n o c id o s. A e s to s d e s p la z a m ie n to s s e le s c o n o c e c o m o g ra d o s
d e lib e r ta d p a ra la e s tr u c tu r a , y e n e l m é to d o d e a n á lis is d e l d e s p la z a ­
m i e n to r e s u lta i m p o r t a n te e s p e c ific a r e s t o s g r a d o s d e lib e r ta d p u e s to
q u e s e c o n v ie r te n e n la s in c ó g n ita s a l a p lic a r e l m é to d o . E l n ú m e r o d e
e s t a s in c ó g n ita s se c o n o c e c o m o e l g r a d o e n q u e l a e s t r u c tu r a e s c in e m á ­
tic a m e n te in d e te r m in a d a .
f t ir a c o n o c e r la in d e te r m in a c ió n c in e m á tic a se p u e d e c o n s i d e r a r q u e
la e s t r u c tu r a c o n s is te e n u n a s e r ie d e e le m e n to s c o n e c ta d o s a lo s n o d o s ,
lo s c u a le s s e e n c u e n t r a n u s u a lm e n te e n la s ju n ta s , s o p o r te s o e x tr e m o s d e
u n e le m e n to , o c u a n d o é s t e e x p e r im e n ta u n c a m b io r e p e n tin o e n s u se c ­
c ió n tr a n sv e rs a l. E n tr e s d im e n s io n e s , c a d a n o d o e n u n m a rc o o u n a v ig a
p u e d e t e n e r u n m á x im o d e tr e s d e s p la z a m ie n to s lin e a le s y tr e s d e s p la z a ­
m ie n to s d e ro ta c ió n ; y e n d o s d im e n s io n e s , c a d a n o d o p u e d e t e n e r a lo
s u m o d o s d e s p la z a m ie n to s lin e a le s y u n d e s p la z a m ie n to d e r o ta c ió n .
A d e m á s , lo s d e s p la z a m ie n to s n o d a le s p u e d e n r e s tr in g ir s e m e d ia n te lo s
s o p o r te s , o d e b i d o a lo s s u p u e s to s b a s a d o s e n e l c o m p o r ta m ie n to d e la
e s t r u c tu r a . P o r e je m p lo , s i l a e s t r u c t u r a e s u n a v ig a y s ó l o s e c o n s i d e r a
la d e f o r m a c ió n d e b id a a la fle x ió n , e n to n c e s n o p u e d e h a b e r u n d e s p la z a ­
m i e n to lin e a l a lo la rg o d e l e je d e la viga p u e s to q u e e s te d e s p la z a m ie n to
lo c a u s a la d e f o r m a c ió n p r o v e n i e n te d e u n a f u e r z a a x ia l.
E s to s c o n c e p to s s e a c la r a n s i s e c o n s id e r a n a lg u n o s e je m p lo s , c o m e n ­
z a n d o c o n la v ig a d e la fig u ra 11- l a . A q u í c u a lq u i e r c a r g a P a p lic a d a a la
viga h a r á q u e e l n o d o A s ó lo g ir e (s i se ig n o r a la d e f o r m a c ió n a x ia l) , e n
ta n t o q u e e l m o v im ie n to d e l n o d o B e stá t o t a lm e n te r e s tr in g id o . E n c o n ­
s e c u e n c ia , la v ig a tie n e s ó l o u n g r a d o d e l i b e r t a d d e s c o n o c id o . 0A, y p o r
lo ta n t o e s c in e m á tic a m e n te in d e te r m in a d a d e p r i m e r g ra d o . L a v ig a d e
la fig u ra 1 1 -lfi ti e n e n o d o s e n A , B , y C y, p o r lo ta n t o , ti e n e c u a t r o g r a ­
d o s d e lib e rta d , d e s ig n a d o s p o r lo s d e s p la z a m ie n to s d e r o t a c ió n 0A, 0B,
Oc y e l d e s p la z a m ie n to v e r tic a l A ¿-;es c in e m á tic a m e n te in d e te r m in a d a
d e c u a r t o g ra d o . C o n s id e r e a h o r a e l m a rc o d e la fig u ra 1 1 -lc . U n a v ez
m ás, s i s e p a s a p o r a l t o la d e fo r m a c ió n a x ia l d e lo s e le m e n to s , u n a c a r g a P
a r b i tr a r ia a p lic a d a a l m a r c o p u e d e h a c e r q u e lo s n o d o s B y C g ire n y se
p u e d a n d e s p l a z a r h o r iz o n ta lm e n te u n a c a n ti d a d ig u a l. E n c o n s e c u e n c ia ,
e l m a r c o tie n e tr e s g ra d o s d e li b e r t a d . 0„. 0 C, A fl, y p o r lo t a n t o e s c i­
n e m á tic a m e n te in d e te r m in a d o d e t e r c e r g ra d o .

475. 1 12 E c u a c i o n e s d e p e n d i e n t e - d e f l e x i ó n 4 5 3
E n r e s u m e n , la e s p e c ific a c ió n d e l a in d e te r m in a c ió n c in e m á tic a o la
c a n tid a d d e g r a d o s d e li b e r t a d n o re s trin g id o s p a ra la e s tr u c tu r a , e s u n
p r im e r p a s o n e c e s a r io c u a n d o s e a p lic a e l m é to d o d e a n á lis is d e l d e s p l a ­
z a m ie n to . C o n e s t o s e id e n tif ic a e l n ú m e r o d e in c ó g n ita s e n e l p r o b l e m a ,
c o n b a s e e n lo s s u p u e s to s s o b r e e l c o m p o r ta m ie n t o d e la d e f o r m a c ió n d e
la e s t r u c tu r a . A d e m á s , u n a v e z q u e s e c o n o c e n e s t o s d e s p la z a m ie n to s n o ­
d a le s , e s p o s ib le e s p e c ific a r c o m p le ta m e n te la d e f o r m a c ió n d e lo s e l e ­
m e n to s e s tr u c tu r a le s , y o b t e n e r la s c a rg a s d e n t r o d e lo s e le m e n to s .
1 1 .2 Ecuaciones d e p e n d ie n te -d e fle x ió n
C o m o s e in d ic ó a n te r io r m e n te , e l m é t o d o d e lo s d e s p la z a m ie n to s c o n s is ­
te n te s q u e s e e s tu d ió e n e l c a p ítu lo 10 e s u n m é to d o d e an álisis d e l a fu e rz a ,
p u e s to q u e r e q u i e r e e s c r ib ir la s e c u a c io n e s q u e r e l a c io n a n la s fu e rz a s o
m o m e n to s d e s c o n o c id o s e n u n a e s tr u c tu r a . P o r d e s g r a c ia , s u u s o e s t á li­
m ita d o a e s t r u c tu r a s q u e n o s o n m u y in d e te rm in a d a s . E s t o s e d e b e a q u e
s e r e q u i e r e m u c h o t r a b a j o p a ra e s ta b le c e r las e c u a c io n e s d e c o m p a tib ili­
d a d y, a d e m á s , c a d a e c u a c ió n e s c r ita in v o lu c ra a to d a s la s in c ó g n ita s , lo
q u e h a c e difícil r e s o lv e r e l s is te m a d e e c u a c io n e s r e s u lta n te a m e n o s q u e
s e c u e n te c o n u n a c o m p u ta d o r a . E n c o m p a r a c ió n , e l m é to d o d e la p e n ­
d e n te - d e f l e x ió n n o e s t a n c o m p lic a d o . C o m o s e v e rá m á s a d e la n te .s e r e ­
q u ie r e m e n o s t r a b a j o t a n t o a l e s c r ib ir la s e c u a c io n e s n e c e s a r ia s p a r a o b ­
te n e r la s o lu c ió n d e l p ro b le m a c o m o al re s o lv e r e s ta s e c u a c io n e s y e n c o n tr a r
lo s d e s p la z a m ie n to s y c a r g a s in te r n a s d e s c o n o c id a s . A d e m á s , e l m é to d o
p u e d e p r o g r a m a r s e fá c ilm e n te e n u n a c o m p u ta d o r a y e m p le a r s e p a ra
a n a liz a r u n a a m p lia g a m a d e e s t r u c tu r a s in d e te rm in a d a s .
E l m é to d o d e la p e n d ie n te - d e f le x ió n fu e d e s a r r o ll a d o o r ig in a lm e n te
p o r H e in r ic h M a n d e r la y O t t o M o h r c o n e l p r o p ó s ito d e e s tu d ia r lo s e s ­
fu e rz o s s e c u n d a r io s e n las a rm a d u r a s . D e s p u é s , e n 1 9 1 5 .G .A . M a n e y d e ­
s a r r o ll ó u n a v e rs ió n m e jo r a d a d e e s t a té c n ic a y la a p lic ó a l a n á lis is d e
vigas in d e te r m in a d a s y e s t r u c tu r a s a rm a d a s .
Caso general. E l m é to d o d e la p e n d ie n te - d e f le x ió n s e lla m a a s í
p o r q u e r e l a c io n a las p e n d ie n te s y las d e fle x io n e s d e s c o n o c id a s c o n la
c a rg a a p lic a d a s o b r e u n a e s t r u c tu r a . C o n e l fin d e d e s a r r o lla r la fo r m a
g e n e r a l d e la s e c u a c io n e s d e p e n d ie n te - d e f le x ió n , s e c o n s id e r a r á u n
c la r o típ ic o A B de u n a v ig a c o n ti n u a , c o m o e l q u e s e m u e s tr a e n la fig u ra
11-2, e l c u a l s e s o m e te a u n a c a r g a a r b i tr a r ia y t i e n e u n a E l c o n s ta n te . S e
d e s e a r e la c io n a r lo s m o m e n to s in t e r n o s e n lo s e x tr e m o s d e la v ig a M AB y
Mb a e n té r m in o s d e s u s tr e s g r a d o s d e lib e r ta d , e s d e c ir , su s d e s p la z a ­
m ie n to s a n g u la r e s 0 A y Bb y e l d e s p la z a m ie n to l i n e a l A , q u e p u e d e s e r
c a u s a d o p o r u n a s e n t a m i e n to re la tiv o e n tr e lo s s o p o r te s . C o m o se d e s a ­
r r o lla r á u n a f ó r m u la , lo s m o m e n t o s y d e s p la z a m ie n to s a n g u la r e s s e c o n ­
s i d e r a r á n p o s itiv o s c u a n d o a c tú e n e n s e n tid o h o r a r io s o b r e e l c la r o ,c o m o
s e m u e s tr a e n la fig u ra 11 -2 . A d e m á s , e l d e s p la z a m ie n to lin e a l A se c o n s i­
d e r a p o s itiv o , d e la m a n e r a q u e s e m u e s tr a , p u e s t o q u e e s te d e s p la z a ­
m ie n to h a c e q u e la c u e r d a d e l c la r o y e l á n g u lo d e la c u e r d a d e l c la r o «/»
g ir e n e n s e n tid o h o ra r io .
L a s e c u a c io n e s d e p e n d ie n te - d e f le x ió n p u e d e n o b te n e r s e e m p l e a n d o
e l p rin c ip io d e s u p e r p o s ic ió n a l c o n s i d e r a r e n f o r m a se p a r a d a lo s m o ­
m e n to s d e s a r r o ll a d o s e n c a d a s o p o r te d e b i d o a c a d a u n o d e lo s d e s p la z a ­
m ie n to s 0A. Bn y A , y d e s p u é s la s c a rg a s . Figura 11-2

476. 4 5 4 C a p i t u l o 1 1 M é t o d o d e a n á l i s i s d e l d e s p l a z a m i e n t o : Ec u a c i o n e s d e p e n d i e n t e-d e f l e x i ó n
v ig a r e a l
(a)
)
M/m
F ig u ra 1 1 -3
Va-»a
v ig a c o n j u g a d a
(b)
D e s p l a z a m i e n t o angular e n A , 0 A. C b n s id e r e q u e e l n o d o A d el
e le m e n to q u e s e m u e s tr a e n la f ig u r a I l - 3 a g ir a f l^ .e n ta n t o q u e e l n o d o
B e n s u e x tr e m o le ja n o s e m a n tie n e f i j o . P a r a d e te r m i n a r e l m o m e n to
M AB n e c e s a r io p a r a c a u s a r e s te d e s p la z a m ie n to s e u s a r á e l m é to d o d e la
viga c o n ju g a d a . P a r a e s te c a so , la v ig a c o n ju g a d a s e m u e s tr a e n la fig u ra
11 -3 b . O b s e r v e q u e la f u e r z a c o r t a n te e n e l e x tr e m o A' a c tú a h a d a a b a jo
s o b r e l a v ig a , p u e s t o q u e 0 A tie n e s e n t id o h o r a r io . L a d e f le x ió n d e la
“ v ig a r e a l "en la fig u ra 1 l- 3 a d e b e s e r c e r o e n A y B , y p o r lo ta n t o la su -
m a to r ia c o r r e s p o n d ie n t e d e lo s m o m e n t o s en c a d a e x tr e m o A ' y B ’ d e la
viga c o n ju g a d a ta m b ié n d e b e s e r ig u a l a c e ro . D e e s t o r e s u lta
L | y + 0 a L
d e lo c u a l se o b t i e n e n la s s ig u ie n te s r e l a d o n e s d e c a rg a - d e s p la z a m ie n to .
M
4 E l
A B
U s a = I ?S a
(1 1-1)
(11-2)
D e s p l a z a m i e n t o a n g u l a r e n B , 0b- D e m a n e r a s im ila r, si e l e x ­
tr e m o B d e la v ig a g ira h a s ta s u p o s ic ió n fin a l 0„, m ie n tr a s e l e x tr e m o A
s e m a n tie n e f i j o , fig u ra 4 .1 1 . e s p o s ib le r e l a a o n a r e l m o m e n to a p lic a d o
Af i h c o n e l d e s p la z a m ie n to a n g u l a r Bfí y e l m o m e n to d e r e a c c ió n M AB e n
la p a r e d L o s r e s u lta d o s s o n
Mab
2 E l
( H - 3 )
( 1 1 - 4 )

477. 1 12 E c u a c i o n e s d e p e n d i e n t e - d e f l e x i ó n
M
AB
(
Mha
— —
-----------L--------
F i g u r a 1 1 - 4
D e s p l a z a m i e n t o l i n e a l r e l a t i v o , A . S i e l n o d o le ja n o B d e l e l e ­
m e n to s e d e s p la z a c o n r e s p e c to a A ,d e m o d o q u e l a c u e r d a d e l e le m e n to
g ira e n s e n tid o h o r a r io ( d e s p la z a m ie n to p o s itiv o ) p e r o lo s d o s e x tr e m o s
n o g ir a n ,e n to n c e s e n e l e le m e n to s e d e s a r r o ll a n m o m e n to s y r e a c c io n e s
c o r t a n te s ig u a le s p e r o o p u e s to s , f ig u r a 1 1 -5a. C o m o a n te s ,e l m o m e n to M
p u e d e re la c io n a r s e c o n e l d e s p la z a m ie n to A u s a n d o e l m é to d o d e la viga
c o n ju g a d a . E n e s t e c a s o , la v ig a c o n ju g a d a , fig u ra 11 -5 b , e s t á lib re e n
a m b o s e x tr e m o s , p u e s t o q u e la v ig a re a l ( e l e m e n t o ) e s tá f ija m e n te so -
p o r t a d a . S in e m b a r g o , d e b i d o a l d e s p la z a m ie n to d e la viga re a l e n B , e \
m o m e n t o e n e l e x tr e m o B ' d e la v ig a c o n ju g a d a d e b e t e n e r u n a m a g n i­
tu d d e A ,c o m o s e in d ic a .* A l s u m a r m o m e n to s r e s p e c to a f f . s e ti e n e
i - í í .
2 E lKIO] - [BWW] - * -°
Ma b = Mb a= M
- 6 E l
( H - 5 )
f\>r la c o n v e n c ió n d e s ig n o s a d o p ta d a , e s te m o m e n to in d u c id o e s n e g a ­
tiv o d e b id o a q u e . p a r a lo g r a r e l e q u ilib r io , d e b e a c tu a r e n s e n t id o a n ­
tih o r a r io s o b r e e l e le m e n to .
v i g a r e a l v ig a c o n ju g a d o
(a) <»»
F i g u r a 1 1 - 5
4 5 5
• L o s d i a g r a m a s d e m o m e n t o q u e s e m u e s t r a n s o b r e l a v ig a c o n j u g a d a s e d e t e r m i n a r o n
m e d ia n te e l m é t o d o d e s u p e r p o s i c i ó n p a r a u n a v ig a s i m p l e m e n t e a p o y a d a , s e g ú n s e e x ­
p lic ó e n l a s e c c i ó n 4 -5 .

478. 4 5 6 C a p i t u l o 1 1 M é t o d o d e a n á l i s i s d e l d e s p l a z a m i e n t o : Ec u a c i o n e s d e p e n d i e n t e-d e f l e x i ó n
M
\ i----------------- " i
1—
1
L L
1 2 2 1
pi.
í ñ
t
^ < T T í T T T f T r > ^
M
U 1 ¡
v ig a r e a l v ig a c o n j u g a d a
( a ) ( b )
Figura 11-6
M om entos en extrem os fijos. E n lo s c a so s a n te r io r e s s e h a n
c o n s id e r a d o la s re la c io n e s e n tr e lo s d e s p la z a m ie n to s y lo s m o m e n to s n e ­
c e s a r io s M AB y M / u q u e a c tú a n e n lo s n o d o s A y B ,re s p e c tiv a m e n te . S in
e m b a r g o , p o r lo g e n e r a l lo s d e s p la z a m ie n to s lin e a le s o a n g u la r e s d e lo s
n o d o s s o n c a u s a d o s p o r la s carg a s q u e a c tú a n s o b r e e l c la r o d e lo s e l e ­
m e n to s . n o p o r lo s m o m e n to s q u e a c tú a n e n su s n o d o s . P a r a d e s a r r o ll a r
la s e c u a c io n e s d e p e n d ie n te - d e f le x ió n e s n e c e s a r io t r a n s f o r m a r e s ta s
c a rg a s s o b r e e l c la r o e n m o m e n to s e q u iv a le n te s q u e a c tú e n e n lo s n o d o s ,
y d e s p u é s u s a r la s re la c io n e s c a r g a - d e s p la z a m ie n to q u e s e a c a b a n d e o b ­
te n e r . E s to s e lo g r a s im p le m e n te a l e n c o n t r a r e l m o m e n to d e r e a c c ió n
q u e c a d a c a rg a d e s a r r o lla e n lo s n o d o s . ft> r e je m p lo , c o n s i d e r e e l e l e ­
m e n t o f ija m e n te a p o y a d o q u e s e m u e s tra e n la fig u ra 11 -6a, e l c u a l e s tá
s o m e ti d o a u n a c a r g a c o n c e n tr a d a P e n s u c e n tr o . L a v ig a c o n ju g a d a
p a ra e s t e c a s o s e m u e s tr a e n la fig u ra 11-6¿>. C o m o s e r e q u i e r e q u e la
p e n d ie n te e n c a d a e x tr e m o s e a ig u a l a c e ro .
E s te m o m e n to s e d e n o m i n a m o m e n to d e e x tr e m o f i j o ( F E M ) . O b s e r v e
q u e d e a c u e r d o c o n la c o n v e n c ió n d e s ig n o s a d o p t a d a . e s n e g a tiv o e n el
n o d o A (s e n tid o a n ti h o r a r io ) y p o s itiv o e n el n o d o B (s e n tid o h o r a r io ) .
I\> r c o m o d i d a d e n la re s o lu c ió n d e p r o b le m a s , lo s m o m e n to s d e e x tr e m o
fijo s e h a n c a lc u la d o p a r a o tr a s c a r g a s y s e m u e s tr a n ta b u l a d o s e n e l in ­
t e r i o r d e la c o n t r a p o r t a d a d e l lib ro . Si s e s u p o n e q u e e s to s F E M s e h a n
d e te r m i n a d o p a r a u n p r o b le m a e s p e c ífic o (f ig u ra 11 -7 ). s e ti e n e q u e
Ma b = ( F E M ) ^ fl Mb a = ( F E M )BA (1 1 - 6 )

479. 1 12 E c u a c i o n e s d e p e n d i e n t e - d e f l e x i ó n 4 5 7
Ecuación de pendiente-deflexión. Si lo s m o m e n to s e n lo s e x t r e ­
m o s d e b id o s a c a d a d e s p la z a m ie n to ( e c u a c io n e s 1 1-1 a 1 1 -5 ) y la c a rg a
( e c u a c ió n 1 1 -6 ) s e s u m a n , lo s m o m e n to s r e s u lta n t e s e n lo s e x tr e m o s
p u e d e n e s c r ib ir s e c o m o
Ma b = 2e(j^ 2 6a + 9„ - 3 ( | ) ] + ( F E M ) x f l
Mb a = 2 £ ( 0 2 0 fl +dA - + ( F E M ) Bíl
( 1 1 - 7 )
D e b id o a q u e e s ta s d o s e c u a c io n e s s o n sim ila re s , e l r e s u lta d o p u e d e e x ­
p re s a rs e c o m o u n a s o la e c u a c ió n . Si se r e f ie r e a u n o d e lo s e x tr e m o s d e l
c la r o c o m o e l e x tr e m o c e r c a n o (N) y a l o t r o e x tr e m o c o m o e l e x tr e m o
le ja n o (F), y s e r e p r e s e n ta la rig id e z d e l e le m e n to c o m o k = IIL,y la m ia -
c ió n d e la c u e r d a d e l c la ro c o m o (p s i) = A I L .s e p u e d e e s c r ib ir
Este puente p eato n a l tiene una cubierta
de concreto reforzado. C om o se extiende
sobre todos sus soportes, es indeterminada
de segundo grado. Las ecuaciones de pen­
diente-deflexión proporcionan un método
conveniente para encontrar los mom entos
internos e n cada claro.
A ív = 2 E k ( 2 0 N + 9 f - 3 * ) + (F E M )jy
P a ra e l c la r o in t e r n o o e l c la r o final
c o n e l e x tr e m o le ja n o fijo
( H - 8 )
d o n d e
Mn = m o m e n to in t e r n o e n e l e x tr e m o c e r c a n o d e l c la r o ; e s t e
m o m e n to e s p o s itiv o e n s e n tid o h o r a r io c u a n d o a c t ú a s o b r e
e l c la r o .
E . k = m ó d u lo d e e la s tic id a d d e l m a t e r i a l y rig id e z d e l c la r o
k = l/L.
9h, 9f = p e n d ie n te s d e lo s e x tr e m o s c e r c a n o y le ja n o o d e s p la z a ­
m ie n to s a n g u la r e s d e l c la r o e n lo s s o p o r te s ; lo s á n g u lo s
s e m id e n e n ra d ia n e s y s o n p o s itiv o s e n s e n tid o h o r a r io .
™ r o ta c ió n d e la c u e r d a d e l c la r o d e b id a a u n d e s p la z a m ie n to
lin e a l, e s d e c i r . «/» = A / / . ; e s t e á n g u lo se m id e e n ra d ia n e s y
e s p o s itiv o e n s e n tid o h o r a r io .
( F E M ) |V « m o m e n to d e l e x tr e m o fijo e n e l s o p o r te d e l e x tr e m o c e r ­
c a n o ; e l m o m e n to e s p o s itiv o e n s e n tid o h o r a r io c u a n d o
a c tú a s o b r e e l c la r o ; c o n s u l te l a ta b la e n e l in t e r i o r d e la
c o n tr a p o r t a d a p a r a v e r d is tin ta s c o n d ic io n e s d e c a rg a .
A p a r t i r d e la d e d u c c ió n a n te r io r , la e c u a c i ó n 11-6 e s a la v e z u n a r e l a ­
c ió n d e c o m p a tib ilid a d y d e c a rg a - d e s p la z a m ie n to , q u e s e e n c o n tr ó c o n ­
s i d e r a n d o s ó l o lo s e f e c t o s d e l a fle x ió n e ig n o r a n d o la s d e f o r m a c io n e s
a x ia le s y c o rta n te s . S e c o n o c e c o m o la ec u a c ió n g e n e ra l d e p e n d ie n te -d e ­
fl e x ió n .C u a n d o s e u tiliz a p a r a la s o lu c ió n d e p r o b le m a s , e s t a e c u a c ió n se
a p lic a d o s v e c e s p a r a c a d a e le m e n to d e l c la r o (A B ) \ e s d e c i r , s e a p lic a
d e s d e A h a s t a B y d e s d e B h a s ta A p a r a e l c l a r o A B q u e s e m u e s tra e n la
fig u ra 1 1 -2 .

480. 4 5 8 C a p i t u l o 1 1 M é t o d o d e a n á l i s i s d e l d e s p l a z a m i e n t o : Ec u a c i o n e s d e p e n d i e n t e-d e f l e x i ó n
4á
(a)
Claro final articulado. E n o c a s io n e s , u n c la r o f in a l d e u n a v ig a o
u n m a r c o e s tá s o p o r t a d o m e d i a n te u n p a s a d o r o u n r o d illo e n s u e x tr e m o
le ja n o , fig u ra 11 -8 a. C u a n d o e s t o o c u r r e , e l m o m e n to e n e l r o d illo o p a s a ­
d o r d e b e s e r c e r o ; y s ie m p r e q u e e l d e s p la z a m ie n to a n g u l a r 0 B e n e s t e s o ­
p o r t e n o d e b a d e t e r m i n a r s e .e s p o s ib le m o d ific a r la s c o n d ic io n e s g e n e r a ­
le s d e l a e c u a c ió n d e p e n d ie n te - d e f le x ió n a fin d e a p lic a r la s ó lo u n a v e z
al c la r o , e n v ez d e d o s v e c e s. P a r a e s t o se a p lic a r á la e c u a c ió n 11-8 o las
e c u a c io n e s 11-7 a c a d a e x tr e m o d e la v ig a q u e s e m u e s tra e n la fig u ra 11-8.
E s to r e s u lta e n las d o s e c u a c io n e s s ig u ie n te s :
(b)
R giira 11-8
M N = 2 E k ( 2 0 N + 0F -ty )+ (F E M )jv
0 = 2 E k { 2 B F + 0N - 3 * ) + 0
(1 1 - 9 )
A q u í e l ( F E M ) f e s ig u a l a c e r o , p u e s t o q u e e l o t r o e x tr e m o e s t á fijo, fi­
g u ra 11 -8 6 . P b r o t r o la d o , e l ( F E M ) lV p u e d e o b te n e r s e , p o r e je m p lo , m e ­
d ia n te la t a b l a e n la c o lu m n a d e r e c h a d e l in t e r i o r d e la c o n t r a p o r t a d a d e
e s te lib r o . A l m u ltip lic a r la p r i m e r a e c u a c ió n p o r 2 y r e s t a r la s e g u n d a
e c u a c ió n d e é s t a , s e e lim in a la in c ó g n ita 0F y s e o b tie n e
Mn = 3 E k ( 8 „ - * ) + (F E M )jv
S ó lo p a r a u n c la r o f in a l c o n e l e x tr e m o le ja n o
a r tic u la d o o s o p o r t a d o p o r u n r o d illo
(11-10)
C ó m o el m o m e n to e n e l e x tr e m o le ja n o e s ig u a l a c e r o ,s ó lo s e n e c e s ita
u n a a p lic a c ió n d e e s ta e c u a c ió n p a r a e l c la r o fin a l. E s to s im p lific a e l a n á ­
lisis p o r q u e la e c u a c ió n g e n e r a l 11-8, r e q u e r ir í a d o s a p lic a c io n e s p a r a
e s t e c la r o y p o r lo t a n t o in v o lu c r a a l d e s p la z a m ie n to a n g u la r (a d ic io n a l)
d e s c o n o c id o 0R ( o d F) e n e l s o p o r te d e l e x tr e m o .
P a r a r e s u m i r l a a p lic a c ió n d e las e c u a c io n e s d e p e n d ie n te - d e f le x ió n ,s e
c o n s i d e r a la v ig a c o n ti n u a d e la f ig u r a 11-9, la c u a l ti e n e c u a t r o g r a d o s d e
lib e rta d . A q u í l a e c u a c ió n 11-8 p u e d e a p lic a rs e d o s v e c e s p a r a c a d a u n o
d e lo s tr e s c la ro s , e s d e c ir , d e A a f l . d e f l a A , d e t í a C , d c C a f l . d e C a
D y d e D a C . E s ta s e c u a c io n e s in v o lu c ra n a las c u a t r o r o ta c io n e s d e s c o ­
n o c i d a s , ^ , 0 b .O c,0 D ‘ S in e m b a r g o ,c o m o lo s m o m e n to s e x tr e m o s e n A y
D s o n ig u a le s a c e ro , n o e s n e c e s a r io 0 A y 0D . S e p r o d u c e u n a s o lu c ió n
m á s c o r t a a l a p lic a r la e c u a c ió n 11-1 0 d e f l a A y d e C a D , p a r a d e s p u é s
a p li c a r la e c u a c ió n 11 -8 d e f l a C y d e C a f l . E s ta s c u a t r o e c u a c i o n e s in ­
v o lu c r a n s ó l o a la s r o t a c io n e s d e s c o n o c id a s 0 H y 0C.

481. 1 1 . 3 A N Á L I S S D E V IG A S 4 5 9
1 1 .3 A nálisis d e vigas
Procedim iento de análisis
G r a d o s d e l i b e r t a d
M a r q u e lo d o s lo s s o p o r te s y a r tic u la c io n e s ( n o d o s ) c o n e l fin d e id e n tif ic a r lo s c la r o s d e
la v ig a o d e l m a r c o e n t r e lo s n o d o s A l d i b u j a r la f o r m a a lt e r a d a d e la e s t r u c tu r a s e r á p o ­
sib le id e n tif ic a r e l n ú m e r o d e g r a d o s d e lib e r ta d . E s p o s ib le q u e c a d a n o d o t e n g a u n d e s ­
p la z a m ie n to a n g u la r y u n d e s p la z a m ie n to lin e a l. L a c o m p a tib ilid a d e n lo s n o d o s se
m a n t ie n e s i e m p r e q u e lo s e le m e n to s q u e e s tá n c o n e c ta d o s f ija m e n te a u n n o d o e x p e r i ­
m e n te n lo s m ism o s d e s p la z a m ie n to s q u e e l n o d o . S i e s t o s d e s p la z a m ie n to s n o se c o n o ­
c e n , y e n g e n e r a l a s í s e r á , e n to n c e s p o r c o m o d id a d s u p o n g a q u e a c tú a n e n d ir e c c ió n
p o s itiv a d e m o d o q u e c a u s a n u n a r o ta c ió n e n s e n tid o h o r a r io d e u n e l e m e n t o o j u n t a , fi­
g u r a 1 1 -2 .
E c u a c io n e s d e p e n d ie n t e - d e f le x ió n
E s ta s e c u a c io n e s r e l a c io n a n lo s m o m e n to s d e s c o n o c id o s q u e s e a p lic a n a lo s n o d o s a fin
d e c a u s a r s u d e s p la z a m ie n to e n c u a lq u ie r c la r o d e la e s tr u c tu r a . S i e x is te u n a c a r g a e n el
c la r o , c a lc u le lo s F E M u s a n d o la ta b l a q u e se e n c u e n t r a e n e l in t e r i o r d e la c o n t r a p o r ­
t a d a . A d e m á s , s i u n n o d o ti e n e u n d e s p la z a m ie n to li n e a l. A , c a lc u le i\¡ = A / / , p a r a lo s c la ­
ro s a d y a c e n te s . A p liq u e la e c u a c i ó n 11-8 a c a d a e x tr e m o d e l c la r o , g e n e r a n d o a s í d o s
e c u a c io n e s d e p e n d ie n te - d e f le x ió n p a r a c a d a c la r o . S in e m b a r g o , s i u n c la r o e n e l e x ­
tr e m o d e u n a v ig a o u n m a r c o c o n ti n u o e s tá a r tic u la d o , a p liq u e la e c u a c ió n 11-1 0 s ó l o al
e x tr e m o re s trin g id o , lo q u e g e n e r a u n a e c u a c ió n d e p e n d ie n te - d e f le x ió n p a r a e l c la r o .
E c u a c io n e s d e e q u ilib r io
E s c r ib a u n a e c u a c ió n d e e q u ilib r io p a ra c a d a g r a d o d e li b e r t a d d e s c o n o c id o d e la e s t r u c ­
tu r a . C a d a u n a d e e s t a s e c u a c io n e s d e b e e x p r e s a r s e e n té r m in o s d e lo s m o m e n to s i n t e r ­
n o s d e s c o n o c id o s s e g ú n s e e s p e c ific a e n la s e c u a c io n e s d e p e n d ie n te - d e f le x ió n . P a r a las
v ig a s y lo s m a r c o s e s c r ib a la e c u a c ió n d e e q u ilib r io d e m o m e n to s e n c a d a s o p o r te , y p a r a
lo s m a r c o s ta m b ié n e s c r ib a la s e c u a c io n e s d e e q u ilib r io d e m o m e n to s e n c a d a ju n t a . S i el
m a r c o s e l a d e a o s e d e f o r m a e n s e n t id o h o r iz o n ta l, d e b e n re la c io n a r s e la s f u e r z a s c o r t a n ­
te s d e la c o lu m n a c o n lo s m o m e n to s e n lo s e x tr e m o s d e é s t a . L o a n t e r i o r s e a n a liz a e n la
se c c ió n 1 1 .5 .
S u s titu y a las e c u a c io n e s d e p e n d ie n te - d e f le x ió n e n la s e c u a c io n e s d e e q u il ib r io y
re s u e lv a lo s d e s p la z a m ie n to s d e s c o n o c id o s d e las ju n t a s . E s to s r e s u lta d o s s e s u s titu y e n
e n la s e c u a c io n e s d e p e n d ie n te -d e f le x ió n a fin d e d e te r m in a r lo s m o m e n to s in te rn o s e n lo s
e x tr e m o s d e c a d a e le m e n to . S i a lg u n o s d e lo s r e s u lta d o s s o n n e g a tiv o s. in d ic a n g ir o en
s e n tid o a n tih o r a r io ,e n t a n t o q u e lo s m o m e n to s y lo s d e s p la z a m ie n to s p o s itiv o s se a p lic a n
e n s e n tid o h o ra r io .

482. 4 6 0 C a p i t u l o 1 1 M é t o d o d e a n á l i s i s d e l d e s p l a z a m i e n t o : E c u a c i o n e s d e p e n d i e n t e - d e f l e x i ó n
E J E M P L O 11.1
6 k N / m
L - r - r f í T f i
6m
(a)
D ib u je lo s d ia g r a m a s d e f u e r z a c o r t a n t e y d e m o m e n to p a r a la v ig a
q u e s e m u e s tr a e n la f ig u r a l l - 1 0 a . E l e s c o n s ta n te .
MBC
Mc*
( b )
Figura 11-10
S O L U C IÓ N
E c u a c io n e s d e p e n d ie n te - d e fle x ió n . E n e s t e p r o b le m a d e b e n
c o n s id e r a r s e d o s c la ro s. P u e s to q u e n o h a y u n c la r o q u e te n g a e l e x ­
tr e m o le ja n o a r tic u la d o o s o p o r t a d o p o r ro d illo s, se a p lic a la e c u a c ió n
11-8 p a r a o b t e n e r la s o lu c ió n . S i s e e m p l e a n la s fó r m u la s d e lo s F E M
ta b u la d a s p a r a la c a r g a tr ia n g u l a r q u e s e m u e s tr a n e n e l in t e r i o r d e la
c o n t r a p o r t a d a .s e ti e n e
( F E M )b c = -
w L
3 0
6 (6 )J
3 0
- 7 . 2 k N • m
( F E M ) Cfl
w L
20
6 (6 )-
20
10.8 k N • m
O b s e r v e q u e ( F E M ) flC e s n e g a tiv o p o r q u e a c tú a e n s e n t id o a n ti h o r a ­
r i o s o b r e la v ig a e n B . A d e m á s . ( F E M ) ^ - (F E M ) * * = O p u e s to q u e
n o h a y c a r g a e n e l c la r o A B .
A f i n d e id e n tif ic a r las in c ó g n ita s , e n l a fig u ra 1 1 -1 0 6 se m u e s tr a la
c u rv a e lá s tic a d e l a v ig a . C o m o s e in d ic a , h a y c u a t r o m o m e n to s i n t e r ­
n o s d e s c o n o c id o s . S ó lo la p e n d ie n t e e n f l , 0 fl, e s d e s c o n o c id a . C o m o A
y C s o n s o p o r te s fijos, 0 A = Oc = 0. A d e m á s , d a d o q u e lo s s o p o r te s n o
s e a s i e n ta n , n i s e d e s p la z a n h a c ia a r r i b a o h a c ia a b a jo , i¡iAb = •I'b c = 0 .
P a r a e l c l a r o A B , si s e c o n s i d e r a q u e A e s e l e x tr e m o c e r c a n o y B e s e l
e x tr e m o le j a n o .s e ti e n e
Mn = 2 e ( { ) ( 2 * * + « f - 3 * ) + ( F E M ) *
= 2 / r ( 0 [ 2 ( O ) + 0 B - 3 ( 0 ) 1 + 0 = ^ 9 „ ( 1 )
A h o r a , t o m a n d o a B c o m o e l e x tr e m o c e r c a n o y a A c o m o e l e x tr e m o
le ja n o , r e s u lta
M , Á = 2 e ( ^ [ 2 9 8 + 0 - 3 ( 0 ) 1 + 0 - Y "
D e m a n e r a s im ila r, p a r a e l c la r o B C se t i e n e
Mb c = 2 / - ( ^ ) |2 0b + 0 - 3 ( 0 ) | - 7 . 2 = ™ - 7 . 2
(2)
( 3 )
Mc b 2E[ - )[2(0) + 0*
E l
3 ( 0 ) ] + > 0 . 8 = — e R + 1 0 . 8 ( 4 )

483. 1 1 . 3 AnÁ L IS S D E V IG A S 4 6 1
E cu a cio n e s d e e q u ilib r io . L as c u a t r o e c u a c io n e s a n te r io r e s c o n t i e ­
n e n c in c o in c ó g n ita s . L a q u in t a e c u a c ió n n e c e s a r ia p r o v ie n e d e la c o n ­
d ic ió n d e l e q u ilib r io d e m o m e n to s e n e l s o p o r te / / . E n la fig u ra I I - 1 0 c
* m u e s tra e l d ia g r a m a d e c u e r p o lib re d e u n s e g m e n to d e la v ig a e n fí.
A q u í se s u p o n e q u e M u * y M flC a c tú a n e n d ir e c c ió n p o s itiv a p a r a s e r
c o n s is te n te s co n la s e c u a c io n e s d e p e n d ie n te -d e fle x ió n .* l.a s c o r ta n te s
e n la v ig a c o n tr ib u y e n c o n u n m o m e n to in s ig n ific a n te a l r e d e d o r d e fí
p u e s to q u e e l s e g m e n to ti e n e u n a lo n g itu d d ife re n c ia l. P or l o ta n t o .
M,
= O, M Ba + Mb c = 0 (5 )
P a r a r e s o lv e r , s u s titu y a la s e c u a c io n e s (2 ) y (3 ) e n la e c u a c ió n (5 ),
d e d o n d e s e o b tie n e
E l
Si s e s u s titu y e d e n u e v o e s t e v a lo r e n la s e c u a c io n e s ( l ) - ( 4 ) r e s u lta
Ma b = 1.54 k N - m
M ñÁ = 3 .0 9 k N • m
Mb c = - 3 . 0 9 k N • m
Mc b = 12.86 k N • m
H v a lo r n e g a tiv o p a r a M B ( in d ic a q u e e s t e m o m e n to a c tú a e n s e n tid o
a n tih o r a r io s o b r e la v ig a , n o e n s e n t id o h o r a r io c o m o s e m o s tr ó e n la
fig u ra 11-106.
C o n b a s e e n e s to s r e s u lta d o s , la s f u e r z a s c o r t a n t e s e n lo s c la r o s e x ­
tr e m o s s e d e te r m i n a n a p a r t i r d e la s e c u a c io n e s d e e q u ilib r io , fig u ra
11-10d . E l d ia g r a m a d e c u e r p o lib r e d e to d a la v ig a y lo s d ia g r a m a s d e
fu e rz a c o r t a n te y d e m o m e n to s e m u e s tra n e n la fig u ra l l - 1 0 e .
C t y l
I V .,
(C >
L 5 4 k N - m
(1
A , - 0 .5 7 9 kN
• 8 m -
B f [ = 0 .5 7 9 k N
3 .0 9 k N - m
6 k N / m
' ?' . ~ 4 J7 k N ^ r f T í l c / - ,363kN
3 .0 9 k NI 6 » 1
1 2 .8 6 k N •
(d)
1 .5 4 k N - m
1
0 .5 7 9 k N
P ( k N )
- t t 5 7 9
A# ( k N - m )
1 5 42 .6 7
• E n s e n t i d a h o r a r i o s o b r e e l s e g m e n t o d e l a v ig a , p e r o ( p o r e l p r i n c i p i o d e a c c ió n , r e a c ­
c ió n i g u a l p e r o o p u e s t a ) e n s e n t i d o a n t i h o r a r i o s o b r e e l s o p o r t e
6 k N / r
t
1 2 .8 6 k N - m
4 .9 5 k N
4 .3 7 .
s f .10.% ,(m)
5 4 7 - , M 3
I I -
- 3 .0 9
(e)
- 1 2 . 8 6

484. 4 6 2 C a p i t u l o 1 1 M é t o d o d e a n á l i s i s d e l d e s p l a z a m i e n t o : Ec u a c i o n e s d e p e n d i e n t e-d e f l e x i ó n
EJE M P LO 1 1 .2
D ib u je lo s d ia g r a m a s d e f u e r z a c o r t a n te y d e m o m e n to p a r a la viga
q u e s e m u e s tr a e n la fig u ra 1 1 -la . E l e s c o n s ta n te .
12 k
r m <c rn f í ;
— 2 4 p i e s
---------
(a)
f i g u r a 1 1 -1 1
4
p K
- g p i e s -
S O L U C IÓ N
E c u a c io n e s d e p e n d ie n te - d e fle x ió n . E n e s t e p r o b le m a d e b e n
c o n s id e r a r s e d o s d a r o s . L a e c u a c ió n 11-8 s e a p lic a a l d a r o A B . S e
p u e d e u s a r la e c u a c ió n 11-1 0 p a r a e l c la r o B C p o r q u e e l e x tr e m o C
e s tá s o b r e u n ro d illo . S i s e u s a n la s fó r m u la s p a r a lo s F E M ta b u la d a s
q u e se e n c u e n t r a n e n e l in t e r i o r d e l a c o n tr a p o r t a d a , s e ti e n e
*2
wl1
( F E M ) * ,
---------— = - — ( 2 ) ( 2 4 ) 2 = - 9 6 k - p i e
\_
12
( F E M ) * *
w L £
12
^ ( 2 ) ( 2 4 ) 2
^ - « - S g S
% k • p ie
= - 1 8 k - p i e
O b s e r v e q u e ( F E M ) ^ fl y ( F E M ) flí s o n n e g a tiv o s , p u e s to q u e a c tú a n
e n s e n tid o a n ti h o r a r io s o b r e l a v ig a e n A y B , re s p e c tiv a m e n te .
A d e m á s , c o m o lo s a p o y o s n o se a s i e n ta n . f AB - if/BC = 0. A l a p lic a r la
e c u a c ió n 11-8 p a r a e l d a r o A B y t o m a r e n c u e n ta q u e 0A = 0 , s e tie n e
M N = 2 e ( 0 2 0 v + e F - 3 * ) + ( F E M ) *
Ma b = 2 f ( ^ ) [ 2 ( 0 ) + 9 B - 3 ( 0 ) J - %
Ma b = O .O 8 3 3 3 £ /0 fl - 9 6
Mb a = 2e( J ^ ) \ 2 0b + 0 - 3 ( 0 ) ] + %
O .1 6 6 7 £ /0 fl + 96
( 1)
M
BA (2)
Si s e a p lic a la e c u a c ió n 11-1 0 c o n B c o m o e l e x tr e m o c e r c a n o y C
c o m o e l e x tr e m o le ja n o , r e s u lta
M.v - 3e(j-)(«* - * ) + (FEM)„
h y , - o ) - «8
Mk = 3 E |
Mb c = 0 3 7 5 E l eb - 18 (3 )
R e c u e r d e q u e la e c u a c ió n 11-10 n o se a p lic a d e C ( e x tr e m o c e r c a n o ) a
B ( e x tr e m o le ja n o ) .

485. 1 1 . 3 AnÁ L IS S D E V IG A S 4 6 3
E c u a c i o n e s d e e q u i l i b r i o . L a s tr e s e c u a c io n e s a n te r io r e s c o n t i e ­
n e n c u a t r o in c ó g n ita s . 1.a c u a r ta e c u a c ió n n e c e s a r ia p r o v ie n e d e la s
c o n d ic io n e s d e e q u ilib r io e n e l s o p o r te H. E n la fig u ra 11 -11 b se m u e s ­
tra e l d ia g r a m a d e c u e r p o lib re . S e ti e n e
t + 2 W f l = O.
Mba + Mb c= 0 ( 4 )
P a ra r e s o lv e r , s u s titu y a la s e c u a c io n e s (2 ) y (3 ) e n la e c u a c ió n ( 4 ) , d e
d o n d e re s u lta
144.0
• ' - - i r
C o m o 0 b e s n e g a tiv o ( s e n tid o a n ti h o r a r io ) , la c u r v a e lá s tic a p a r a la
v ig a se d ib u j ó c o r r e c ta m e n te e n la f ig u r a 11-1 l a . A l s u s tit u ir 0„ e n la s
e c u a c io n e s ( l ) - ( 3 ) , s e o b tie n e
m a b = -10 8 .0 k - p ie
Mba = 7 2 .0 k - p i e
M a c = - 7 2 . 0 k - p i e
C o n b a s e e n e s to s d a t o s p a r a lo s m o m e n to s , s e h a n d e te r m i n a d o las
re a c c io n e s c o r t a n t e s e n lo s e x tr e m o s d e lo s c la r o s d e l a v ig a , s e g ú n se
m u e s tra e n l a fig u ra 11-1 le . L o s d ia g r a m a s d e f u e r e a c o r t a n te y d e
m o m e n to se g r a f ic a n e n la fig u ra 11-1 Id .
♦ " * \ K
t ♦ J
t V . .
(b)
V . - 253 k
t
48 k
±
VBf - 22.5 k
ít
108 k ’pic |— 12pie«— |— 12 pies— | 72 k-p
(c)
P . . - 1 5 k
Ct
72 k-pie
12 k
' tC , = 31) k
4 ' 4 1
p ies pies
Vk)
25 5
/
/
/
/
/
15P — 3
12.75
124 28 32
-22.5
M (k-pie)
54A
x (pies)

486. 4 6 4 C a p i t u l o 1 1 M é t o d o d e a n á l i s i s d e l d e s p l a z a m i e n t o : Ec u a c i o n e s d e p e n d i e n t e-d e f l e x i ó n
EJE M P LO 1 1 .3
(b)
V -£
M|m l E
8)00 N
Br
(C)
l
D e te r m in e e l m o m e n to e n A y B p a ra la v ig a q u e s e m u e s tr a e n la fi­
g u ra 11 -1 2 a. E l s o p o r te e n B x d e s p la z a ( a s ie n ta ) 8 0 m m . C o n s id e r e
q u e E = 2 0 0 G P a , / = 5(10*) m m 4.
8 kN
( a )
F ig u ra 11-12
S O L U C IÓ N
E cu a cio n e s d e p e n d ie n te - d e fle x ió n . E n e s t e p r o b l e m a s ó l o d e b e
c o n s id e r a r s e u n c la r o (AB) p u e s t o q u e e l m o m e n to e n M Bc d e b i d o a
la s a lie n te p u e d e c a lc u la rs e a p a r t i r d e la e s tá tic a . C o m o n o h a y c a r g a
e n e l c la r o A B , lo s F E M s o n ig u a le s a c e r o . C o m o s e m u e s tr a e n la fi­
g u r a 1 1-12 a . e l d e s p la z a m ie n to h a c ia a b a jo ( a s e n ta m ie n to ) d e B h a c e
q u e la c u e r d a d e l c la r o AB g ire e n s e n tid o h o r a r io . P o r lo ta n t o ,
0 .0 8 m ,w „
J>ab = ¡>ba = — i— = 0.02 r a d
L a rig id e z p a r a A B e s
5 (1 0 6) m m 4(1 0 ~ 12) m 4/ m m 4
4 m
I ^ I O " 6 ) m 3
8000 N(3m)
A l a p li c a r la e c u a c ió n d e p e n d ie n te - d e f le x ió n ( e c u a c ió n 1 1 -8 ) al
c la r o A B c o n 0A = 0 ,s e tie n e
Mn = 2 f c Q - ) ( 2 0 * + e F - + ( F E M ) *
= 2 (2 0 0 ( 1 0 9) N /m 2) [ l . 2 5 ( 1 0 ^ ) m ‘] [ 2 ( 0 ) + 0 B - 3 (0 .0 2 ) ] + 0 (1 )
M BA = 2 ( 2 0 0 ( 1 0 9) N /m 2) | 1 .2 5 (1 0 -6) m 3] |2 0 fl + 0 - 3 ( 0 . 0 2 ) ] + 0 (2 )
E c u a c io n e s d e e q u flib r io . E l d ia g r a m a d e c u e r p o lib r e d e la v ig a
e n e l s o p o r te B s e m u e s tr a e n la fig u ra 11 -12 c. E l e q u il ib r io d e
m o m e n to s r e q u i e r e q u e
t + 2 M fl = O, Mr a - 8 0 0 0 N ( 3 m ) = 0
Si s e s u s titu y e la e c u a c ió n (2 ) e n e s t a e c u a c ió n r e s u lta
l( lO 6)0 fl - 3 0 ( 1 0 ') = 2 4 (1 0 3)
dB = 0.0 5 4 r a d
P o r lo ta n t o , a p a r t i r d e la s e c u a c io n e s ( 1 ) y (2 )
Ma b = - 3 . 0 0 k N • m
Mb a = 2 4 .0 k N - m

487. 1 1 . 3 AnÁ L IS S D E V IG A S
MUSIJMKPE1
D e te r m in e lo s m o m e n to s in te r n o s e n lo s s o p o r t e s d e la v ig a q u e se
m u e s tra e n la fig u ra 11-1 3 a . E l s o p o r te d e r o d illo e n C es e m p u j a d o
h a c ia a b a j o 0.1 p ie s p o r la f u e r z a P. C o n s id e r e q u e E = 2 9 (1 0 ’ ) k s i e /
= 1500 p u lg 4.
Ugura 11-13
- 1 5 p i e r ­
d a »
B J
+ * . < ( ' ~ * I D
(b)
S O L U C IÓ N
E c u a c io n e s d e p e n d ie n te - d e fle x ió n . E n e s t e p r o b le m a d e b e n
c o n s id e r a r s e tr e s c la ro s. S e a p lic a la e c u a c ió n 11-8 p o r q u e lo s s o p o r te s
e n lo s e x tr e m o s A y D e s t á n fijo s. A d e m á s , s ó lo e l c la r o A B tie n e
F E M .
w [ 2 l
( F E M ) .,» = = - - ( 1 . 5 ) ( 2 4 ) J = - 7 2 . 0 k - p i e
W I ^ 1
( F E M)BA = — = ~ ( 1 . 5 ) ( 2 4 ) = 7 2 .0 k - p i e
C o m o s e m u e s tr a e n la fig u ra 1 1 -1 3 6 , e l d e s p la z a m ie n to (o a s e n t a ­
m ie n to ) d e l s o p o r t e C o c a s io n a q u e ip s c se a p o s itiv o , p u e s t o q u e la
c u e r d a d e l c l a r o B C g ira e n s e n t id o h o r a r io , y t¡/cD * a n e g a tiv o , p o r ­
q u e la c u e r d a d e l c l a r o C D g ira e n s e n t id o a n tih o r a r io . P o r lo ta n to .
* B C
0.1 p ie
0.0 0 5 r a d*c d = -
0.1 p ie
-0 .0 0 6 6 7 r a d
2 0 p ie s
..........~ 1 5 p ies
A s im is m o , a l e x p r e s a r la s u n id a d e s d e la rig id e z e n p ie s .s e tie n e
■AB 1500 4 = 0.003014 p i e s 3 k Bc = = 0 .0 0 3 6 1 7 p ie s 3
2 4 (1 2 ) 2 0 (1 2 )
* c d = ^ ^ = 0.0 04823 p i e s 3
Si se o b s e r v a q u e 0A = 6 n = 0 p u e s t o q u e A y f í s o n s o p o r te s fijo s, y
se a p lic a la e c u a c i ó n p e n d ie n te - d e f le x ió n ( e c u a c ió n 11-8 ) d o s v e c e s a
c a d a c la r o , re s u lta

488. 4 6 6 C a p i t u l o 1 1 M é t o d o d e a n á l i s i s d e l d e s p l a z a m i e n t o : Ec u a c i o n e s d e p e n d i e n t e-d e f l e x i ó n
EJEM PLO 1 1 .4 (C o n tin u a c ió n )
1 3 k / p i c
(a)
í v-
» r
M
U
M c.
P
Meo
ícn
Ve.
( C )
P a r a e l c la r o A B :
Ma b = 2 [2 9 (1 0 3)( 1 2 )2] ( 0 .0 0 3 0 1 4 )(2 (0 ) + d„ - 3 (0 )1 - 72
M AB = 2 5 1 7 3 .6 0 * - 7 2 (1 )
Mb a = 2 |2 9 (1 O 3) ( 1 2 ) 2](O.OO3O14)|20* + 0 - 3 ( 0 ) J + 7 2
M BA = 5 0 3 4 7 .2 0 * + 7 2 (2 )
P a r a e l c la r o B C :
Mb c = 2[29{103) ( 1 2 ) 2l(0 .0 0 3 6 1 7 )I2 « fl H c - 3 (0 .0 0 5 )1 + 0
Mb c = 6 0 4 1 6 .7 0 * + 3 0 2O 8.30C - 45 3 .1 (3 )
M c b = 2 |2 9 (1 O 3) ( 1 2 ) 21(O.OO3617)(20C + 0 * - 3 (0 .0 0 5 )1 + 0
M Cb = 6 0 4 1 6 .7 0 c + 3 0 2 0 8 .3 0 * - 45 3 .1 (4 )
P a r a e l c la r o CD :
Mcd = 2 |2 9 ( 1 0 3)(12 )2J(0 .0 0 4 8 2 3 ) [20c + 0 - 3 ( - 0 .0 0 6 6 7)| -f 0
M c d = 8 0 5 5 5 .6 0 c + 0 + 8 0 5 .6 (5 )
M o c = 2 (2 9 ( 10 3) ( 1 2 )21(0 .0 0 4 8 2 3 )(2 (0 ) + 0C - 3 ( - 0 .0 < ) 6 6 7 ) | + 0
M o c = 4O 2 7 7 .8 0 C + 8 0 5 .6 (6 )
E c u a c io n e s d e e q u ilib r io . E s ta s se is e c u a c io n e s c o n ti e n e n o c h o
in c ó g n ita s . Si s e e s c r ib e n las e c u a c io n e s d e e q u il ib r io d e m o m e n to s
p a r a lo s s o p o r te s e n B y C . fig u ra 1 0 -1 3 c ,s e ti e n e
(,+ 2 M * = 0 ; Mba+Mbc = 0 (7 )
(,+ S M c = 0 . M c s + M e o = 0 (8 )
P a r a e n c o n tr a r la so lu c ió n s e s u s titu y e n la s e c u a c io n e s (2 ) y ( 3 ) e n la
e c u a c ió n (7 ). y la s e c u a c io n e s (4 ) y (5 ) e n la e c u a c ió n (8). D e e s to re s u lta ,
0 c + 3 .6 6 7 0 8 = 0 .0 1 2 6 2
- 0 C - O.2140fl = 0 .0 0 2 5 0
ft>r lo ta n to .
0ñ = 0 .0 0 4 3 8 r a d 0C = - 0 .0 0 3 4 4 r a d
E l v a lo r n e g a tiv o d e 0C in d ica u n g ir o e n s e n t id o in v e r s o d e la t a n ­
g e n te e n C , fig u ra 1 1 -13a. A l s u s tit u ir e s to s v a lo r e s e n la s e c u a c io n e s
( l ) - ( 6 ) s e o b ti e n e
Mab = 3 8 .2 k • p ie R esp.
Mb a = 2 9 2 k - p i e R esp.
Mb c = - 2 9 2 k - p i e R esp.
M Cfl = - 5 2 9 k - p i e R esp.
M e o = 5 2 9 k • p ie R esp.
Mq c = 6 6 7 k - p i e R esp.
A p liq u e e s t o s m o m e n to s e n lo s e x tr e m o s a lo s c la r o s B C y C D y d e ­
m u e s tre q u e V c . “ 4 1 .0 5 k , V c - - 7 9 .7 3 k y q u e la fu e rz a s o b r e e l r o ­
d illo e s P = 121 k .

489. 1 1 . 3 AnÁ L IS S D E V IG A S 4 6 7
PROBLEM AS
1 1 - 1 . D eterm ine los m o m en to s e n A , B y C .y d e sp u é s d i­
buje e l d iag ram a d e m o m en to . E l e s co n stan te. S uponga
q u e e l so p o rte e n R es u n rodillo y q u e A y C e stán fijos.
• 1 1 - 4 . D eterm ine lo s m om entos e n lo s soportes, y d e s ­
pués dibuje el d iag ram a d e m om ento. S uponga q u e & e s un
rodillo y q u e A y C e stán fijos. E l es constante.
3 k 3 k 4 k
P r o b . 1 1 - 4
P r o h . 11—1
11 —2 . D eterm ine los m o m en to s e n A , B y C .y d e sp u é s d i­
buje e l d iag ram a d e m o m en to p a ra la viga. E l m o m e n to de
inercia d e c ad a claro se indica e n la figura. S uponga q u e el
s o p o rte e n B e s u n rodillo y q u e A y C e s tá n fijos. E —
2 9 (!0 5) ksi.
11-3. D eterm ine lo s m om entos e n lo s so p o rte s A y C , y
después d ib u je e l diagram a de m om ento. S uponga q u e la
ju n ta B e s u n rodillo. E l e s constante.
P r o h . 1 1 - 3
1 1 - 5 . D eterm ine e l m o m e n to cnA.B.Cy / ) , y d e sp u é s d i­
buje el diagram a d e m o m en to para la viga. S uponga q u e los
so p o rtes en Ay D están fijos y q u e B y C son rodillos. El es
constante.
1 1 - 6 . D eterm ine los m o m en to s e n A, B, C y D.y d esp u és
dibuje e l d iag ram a d e m o m en to p a ra la v ig a S u ponga q u e
b s so p o rte s enAyD e stán fijos y q u e B y C so n rodillos. El
e s co n stan te.
9 k 9 k
P r o h . 1 1 - 2
P r o h . 1 1 - 6

490. 4 6 8 Ca p i t u l o 11 Mé t o d o d e a n á l i s i s d e l d e s p l a z a m i e n t o : Ec u a c i o n e s d e p e n d i e n t e -d e f l e x i ó n
1 1 - 7 . D eterm in e e l m o m e n to e n ti, y d e sp u é s d ib u je e l 1 1 - 1 0 . D eterm ine lo s m o m en to s e n A y II. y d e sp u é s d i­
diagram a de m o m en to p a ra la viga. S u ponga q u e lo s so p o r- buje e l d ia g ra m a d e m o m en to para la viga. £ / e s constante,
tes e n A y C están articu lad o s y q u e ti es u n rodillo. El es
constante.
*11-8. D eterm ine lo s m o m en to s e n A. ti y C .y d esp u és
dibuje el d iag ram a d e m o m en to . El e s constante. S uponga
que e l so p o rte e n ti es u n rodillo y q u e Ay C e stán fijos.
11-11. D eterm ine los m o m en to s e n A, B y C .y d esp u és d i­
buje e l d iag ram a de m o m en to p a ra la viga. S uponga q u e el
so p o rte e n A está fijo, q u e ti y C so n rodillos, y q u e D está
articulado. El es co n stan te.
1 1 - 9 . D eterm in e los m o m en to s e n c ad a soporte, y d e s ­
pués dibuje e l diagram a de m om ento. S uponga q u e A está
fijo. F.I es constante.
• 1 1 - 1 2 . D eterm ine lo s m o m en to s q u e actú a n e n A y ti.
Suponga q u e A e stá fijam ente apoyado, q u e ti e s u n rodillo
y q u e C está articu lad o . El e s co n stan te.
Proh. 11-9 Proh. 11-12

491. 1 1 . 4 An á l i s i s d e m a u c o s: Si n l a d e o
1 1 .4 A nálisis de m arcos: Sin ladeo
U n m a r c o n o s e la d e a r á , o n o s e d e s p l a z a r á a la iz q u ie r d a o a la d e r e c h a ,
s ie m p r e y c u a n d o e s t é d e b id a m e n te re s trin g id o . E n la fig u ra 11-14 se
m u e s tra n a lg u n o s e je m p lo s . A d e m á s , n o se p r o d u c i r á u n d e s p la z a m ie n to
la te r a l e n u n m a r c o n o re s trin g id o , s ie m p r e q u e s e a s im é tr ic o c o n r e s ­
p e c to a la c a rg a y a la g e o m e tr ía , c o m o s e m u e s tr a e n la f ig u r a 11-15.
f t i r a a m b o s c a s o s , e l t é r m i n o y e n la s e c u a c io n e s d e p e n d ie n te - d e f le x ió n
e s ig u a l a c e r o , p u e s to q u e la fle x ió n n o h a c e q u e la s j u n t a s te n g a n u n
d e s p la z a m ie n to lin e a l.
L os s ig u ie n te s e je m p lo s ilu s tr a n l a a p lic a c ió n d e la s e c u a c io n e s d e p e n ­
d ie n te - d e f le x ió n u s a n d o e l p r o c e d im ie n to d e a n á lis is q u e s e d e s c r ib ió e n
la s e c c ió n 11-3 p a r a e s te tip o d e m a rc o s.
W W W
4 6 9
F i g u r a 1 1 - 1 5

492. 4 7 0 C a p i t u l o 1 1 M é t o d o d e a n á l i s i s d e l d e s p l a z a m i e n t o : Ec u a c i o n e s d e p e n d i e n t e-d e f l e x i ó n
EJE M P LO 1 1 .5
2 4 k N / m
/X -.
121
(a)
Figura 11-16
D e te r m in e lo s m o m e n to s e n c a d a j u n t a d e l m a r c o q u e s e m u e s tra e n
la fig u ra 11-16 a , El e s c o n s ta n te .
S O L U C IÓ N
E c u a c io n e s d e p e n d ie n te - d e fle x ió n . E n e s te p r o b le m a d e b e n
c o n s id e r a r s e tr e s c la r o s : AB, BC y CD. C o m o lo s c la r o s e s t á n f ija ­
m e n te a p o y a d o s e n A y D, se a p lic a la e c u a c ió n 11-8 p a r a e n c o n tr a r la
s o lu c ió n .
A p a r t i r d e la ta b l a q u e s e e n c u e n t r a e n e l in t e r i o r d e la c o n t r a p o r ­
ta d a . lo s F E M p a r a BC s o n
( F E M )
BC
5 \v l.
96
5 ( 2 4 ) ( 8 ) 2
9 6
- 8 0 k N - m
5 w L 2 5 (2 4 ) ( 8 )2
( F E M ) c f l = - = 8 0 k N - m
96 9 6
O b s e r v e q u e 0 A = = 0 y q u e i¡,AB = 4>b c = •I'c d = 0 . p u e s to q u e n o
s e p r o d u c i r á u n d e s p la z a m ie n to la te r a l.
A l a p lic a r la e c u a c ió n 11 -8 . se ti e n e
Mn = 2 E k ( 2 0 N + BF - 3 4 ,) + ( F E M)N
Ma b = 2 £ ( ^ ) [ 2 ( ° ) + ~ 3 ( ° ) 1 + 0
Má b = 0 .1 6 6 7 £ /* fl
(1)
M b a = 2e(J^[2 0b + 0 - 3 ( 0 ) ] + 0
Mb a = 0 .3 3 3E I d „ (2)
Mb c = 2 ^ ( g ) |20 B + e c - 3 (0 ) 1 - 8 0
M /u : = 0 .5E i e „ + 0 .2 5E I 6 C - 8 0 (3 )
Mc b = 2 * ( j ) p * c + 0B ~ 3 (0 ) 1 + « 0
Mc b = 0 .5 E 1 6 c + 0 .2 5 E I 0 B + 8 0 (4 )
Mc d = 2 E ( j ^ [ 2 d c + 0 - 3 ( 0 ) J + 0
Mc d = O .3 3 3 £ 7 0 c (5 )
Mdc = 2e(J^[2{0) + 9 c - 3 (0 )1 + 0
M o c = O .1 6 6 7 E /0 C (6)

493. 1 1 . 4 An á l i s i s d e m a r c o s: Si n l a d e o 4 7 1
E c u a c i o n e s d e e q u i l i b r i o . L as s e is e c u a c io n e s a n te r io r e s c o n t i e ­
n e n o c h o in c ó g n ita s . L a s d o s e c u a c io n e s d e e q u il ib r io r e s ta n te s p r o ­
v ie n e n d e l e q u il ib r io d e m o m e n to s e n la s ju n t a s H y C , f ig u r a 1 1 -1 6 6 .
Se t i e n e
m.
Mb a + M Bc ~ 0
M Cb + M Cd - 0
(7 )
(8)
P a r a re s o lv e r e s t a s o c h o e c u a c io n e s s e s u s titu y e n la s e c u a c io n e s (2 )
y (3 ) e n l a e c u a c ió n ( 7 ) . y se r e m p la z a n la s e c u a c io n e s (4 ) y ( 5 ) e n la
e c u a c ió n (8 ). R e s u lta
0 .8 3 3E 1 0b + Q 2 5 E I0 C = 8 0
0 .8 3 3E ! 0 C + O .2 5 E /0 fl = - 8 0
A l r e s o lv e r s i m u ltá n e a m e n te s e o b ti e n e
• • - - « c - T r
la c u a l c o n c u e r d a c o n la m a n e r a e n q u e s e d e f o r m a e l m a r c o .c o m o se
m u e s tra e n la fig u ra I I - 1 6 a . S i se s u s tit u y e e n la s e c u a c io n e s (1 ) - ( 6 ) .
se ti e n e
Ma r = 22.9 k N - m
Mb a = 4 5 .7 k N • m
M Bc = - 4 5 . 7 k N - m
M Cñ = 4 5 .7 k N • m
M Cd = - 4 5 . 7 k N • m
M o c = - 2 2 . 9 k N - m
R esp.
R esp.
R esp.
R esp.
R e sp .
R esp.
C 6 n b a s e e n e s t o s r e s u lta d o s p u e d e n d e te r m i n a r s e las r e a c c io n e s e n
lo s e x tr e m o s d e c a d a e le m e n to a p a r tir d e la s e c u a c io n e s d e e q u ilib r io y
es p o s ib le d ib u ja r el d ia g r a m a d e m o m e n to p a r a e l m a rc o , fig u ra 1 l - 16c.
M o
- f r * ^
C
T
M e o
(b)
823 kN-m

494. 4 7 2 C a p i t u l o 1 1 M é t o d o d e a n á l i s i s d e l d e s p l a z a m i e n t o : Ec u a c i o n e s d e p e n d i e n t e-d e f l e x i ó n
EJE M P LO 1 1 .6
D e te r m in e lo s m o m e n to s in te r n o s e n c a d a j u n t a d e la e s t r u c tu r a q u e
se m u e s tra e n la f ig u r a 11-17 a . E l m o m e n to d e in e rc ia p a r a c a d a e l e ­
m e n to s e d a e n la f ig u r a . C o n s id e r e q u e E = 2 9 (1 0 3) k si.
6 k
Figura 11-17
S O L U C IÓ N
E c u a c io n e s d e p e n d ie n te - d e fle x ió n . E n e s t e p r o b le m a d e b e n
c o n s id e r a r s e c u a tr o c la ro s. S e a p lic a la e c u a c ió n 11-8 a lo s c la r o s A B y
B C , y la e c u a c ió n 1 1-10 a C D y C E , p o r q u e lo s e x tr e m o s e n D y E
e s t á n a rtic u la d o s .
Si s e c a lc u la n la s rig id e c e s d e lo s e le m e n to s , s e ti e n e
* AB
k ñ c
400
4 = 0 0 0 1 2 8 6 p i e s ' k CD
200
4 = (1000643 p ie s 3
1 5 (1 2 )4 ” r " 1 5 (1 2 )'
0.002411 p ie s 3 k CE = = 0.002612 p i e s 3
1 6 (1 2 )4 *'*’ ‘ 1 2 (1 2 )'
L o s F E M d e b id o s a la s c a r g a s s o n
P L 6 (1 6 )
( F E M ) s c - = - - ^ = - 1 2 k - p i e
P L 6 (1 6 )
( F E M ) Cfi = — = - Y 2 = 12 k • p ie
wL2 3(12)2
( F E M) c e g - j - = - 5 4 k - p ie
A l a p li c a r la s e c u a c io n e s 11-8 y 11-10 a la e s t r u c tu r a y to m a r e n
c u e n ta q u e 0A = 0 , i/>AB = i¡ib c = •k c n = I c e = O d a d o q u e n o s e p r o ­
d u c e d e s p la z a m ie n to la t e r a l .s e ti e n e
Mn = 2 E k ( 2 B N + 0 F - t y ) + ( F E M ) *
Ma b = 2 (2 9 (1 0 3)( 12 ) 2|( 0 .0 0 1 2 8 6 ) ( 2 ( 0 ) + 0 B - 3 (0 )1 + 0
M A ñ = 1 0 7 4 0 .7 0 « (1 )

495. 1 1A A n á l i s i s d e m a u c o s : S i n l a d e o 4 7 3
M BA = 2 [2 9 ( 103) ( 1 2 )2] (0 .0 0 1 2 8 6 )[20B + 0 - 3 ( 0 ) ] + 0
A # * , « 2 1 4 8 1 .5 » * (2 )
« 2 (2 9 ( 103) ( 1 2 ) 2|( 0 .0 0 2 4 1 1 )[20„ + 0C - 3 ( 0 ) ] - 12M
Mk = 4 0 2 7 7 .8 6 B + 20 138.90c - 12 (3 )
Mc b = 2 (2 9 ( 103) ( 1 2 )2](0 .0 0 2 4 11 )[26c + 0 B - 3 ( 0 ) ] + 12
Mc b = 2 0 138.90fi + 40 2 7 7 .86C + 12
M s = 3E k ( 6 N ~ * ) + (FEM)*,
M c n = 3 [2 9 ( 103) (1 2 )2] (0 .0 0 0 6 4 3 ) [dc - 0 ] + 0
M Cn = 8 0 5 5 .6 0 c
M Ce = 3 [2 9 ( 103) (1 2 ) 2| (0 .0 0 2 6 1 2 )|0 c - 0 ] - 5 4
M Ce = 32 7 2 5 .76C - 54
(4 )
(5 )
(6)
E cu a cio n e s d e e q u ilib r io . E s ta s se is e c u a c i o n e s c o n tie n e n o c h o
in có g n itas. E s p o s ib le e s c r ib ir d o s e c u a c io n e s d e e q u ilib r io d e m o ­
m e n to s p a r a la s j u n t a s B y C , fig u ra 11 - 17 b . S e o b tie n e
Mb a + Mk = 0
Mc b + Mc d + Mc e - 0
(7 )
(8)
A fin d e e n c o n tr a r la s o l u c ió n ,s e s u s titu y e n la s e c u a c io n e s ( 2 ) y (3 ) e n
ki e c u a c i ó n ( 7 ) , y la s e c u a c io n e s ( 4 ) - ( 6 ) e n la e c u a c ió n (8 ). D e e s t o r e ­
s u lta
6 1 7 5 93 6 B + 2 0 138.90c = 12
2 0 138.90fl + 81 0 5 9 .0 0 c = 42
A l r e s o lv e r e s ta s e c u a c io n e s s i m u ltá n e a m e n te s e o b ti e n e
0fl = 2 .7 5 8 ( 10-5 ) r a d 0C = 5 .1 1 3 (1 0 -4 ) r a d
A l t e n e r u n s e n t id o h o r a r io ,e s t o s v a lo r e s tie n d e n a d is to r s io n a r la e s ­
tr u c tu r a c o m o se m u e s tra e n la f ig u r a 1 1 -1 7 a . S i s e s u s titu y e n e s t o s v a ­
lo re s e n las e c u a c io n e s (1 ) - ( 6 ) y s e re s u e lv e , r e s u lta
T « „ Í Mc»
<b)
Ma b = 0 .2 9 6 k - p i e R esp.
M,m = 0 .5 9 2 k - p i e R esp.
M BC = - 0 .5 9 2 k - p i e R esp.
M c b = 3 3 . 1 k • p ie R esp.
M c n = 4 .1 2 k - p ie R esp.
Mc e = “ 3 7 . 3 k - p ie R esp.

496. 4 7 4 C a p i t u l o 1 1 M é t o d o d e a n á l i s i s d e l d e s p l a z a m i e n t o : Ec u a c i o n e s d e p e n d i e n t e-d e f l e x i ó n
1 1 .5 A nálisis de m arcos: C on la d e o
l i g a r a 1 1 -1 8
U n m a r c o s e la d e a , o s e d e s p la z a l a t e r a l m e n t e .c u a n d o la c a r g a q u e a c tú a
s o b r e é l n o e s s im é tric a . P a r a il u s t r a r e s t e e f e c to , c o n s i d e r e e l m a r c o d e
la fig u ra 11-18. A q u í, la c a r g a P p ro v o c a m o m e n to s d e s ig u a le s M flC y
M Cfl e n la s j u n t a s t í y C , r e s p e c tiv a m e n te . M flC ti e n d e a d e s p l a z a r la
ju n t a t í h a d a la d e r e c h a , m ie n tr a s q u e M e a ti e n d e a d e s p la z a r la j u n t a C
h a c ia l a iz q u ie rd a . P u e s to q u e Mn c e s m a y o r q u e M< * ,e l r e s u lta d o n e to
e s u n d e s p la z a m ie n to la t e r a l A d e la s d o s ju n t a s B y C h a c ia la d e r e c h a ,
c o m o s e m u e s tra e n la f ig u r a .* P o r lo ta n t o , a l a p li c a r la e c u a c i ó n d e
p e n d ie n t e - d e f le x ió n a c a d a c o lu m n a d e e s t e m a r c o d e b e c o n s i d e r a r s e
la r o t a d ó n d e la c o lu m n a ( p u e s to q u e ip = A / £ ) c o m o in c ó g n ita e n la
e c u a c ió n . E n c o n s e c u e n c ia , d e b e in c lu ir s e u n a e c u a c ió n d e e q u ilib r io
a d ic io n a l p a r a o b t e n e r l a s o lu c ió n . E n la s s e c c io n e s a n te r io r e s s e d e ­
m o s tr ó q u e lo s d e s p la z a m ie n to s a n g u la r e s d e s c o n o c id o s 0 se r e l a d o n a n
m e d ia n te la s e c u a c io n e s d e e q u ilib r io d e m o m e n to s e n la s ju n ta s . D e u n a
m a n e r a s im i la r .c u a n d o s e p r o d u c e n d e s p la z a m ie n to s lin e a le s d e s c o n o c i­
d o s A e n la s ju n ta s ( o r o t a c io n e s i¡i d e l c la r o ) , s e r e q u i e r e e s c r ib ir las
e c u a c io n e s d e e q u ilib r io d e fu e r z a s p a r a o b t e n e r la s o lu c ió n c o m p le ta .
S in e m b a r g o , la s in c ó g n ita s e n e s t a s e c u a c io n e s s ó l o d e b e n in c lu ir lo s
m o m e n t o s in te r n o s q u e a c tú a n e n lo s e x tr e m o s d e la s c o lu m n a s , p u e s to
q u e la s e c u a c io n e s d e p e n d ie n te - d e f le x ió n in v o lu c r a n a e s t o s m o m e n to s .
L a té c n ic a p a r a re s o lv e r lo s p r o b l e m a s d e m a rc o s c o n d e s p la z a m ie n to la ­
te r a l s e ilu s tra d e m e jo r m a n e r a m e d ia n te e je m p lo s .
EJE M P LO 1 1 .7
401c
12 pies
(a)
F ig u ra 1 1 -1 9
D e te r m in e lo s m o m e n to s e n c a d a j u n t a d e l m a rc o q u e s e m u e s tra e n
la fig u ra 1 l- 1 9 a . E l e s c o n s ta n te .
S O L U C IÓ N
E c u a c i o n e s d e p e n d i e n t e - d e f l e x i ó n . C ó m o lo s e x tr e m o s e n A y
D e s tá n fijos, s e a p lic a l a e c u a c ió n 11-8 a lo s t r e s c la r o s d e l a e s t r u c ­
tu r a . A q u í s e p r o d u c e d e s p la z a m ie n to la t e r a l p o r q u e n i la c a r g a a p l i ­
c a d a n i la g e o m e t r í a d e la e s t r u c tu r a s o n s im é tric a s . E n e s te c a s o , la
c a rg a s e a p lic a d ir e c ta m e n te a la j u n t a t í y, p o r lo ta n t o , n in g ú n F E M
a c tú a e n la s ju n t a s . C o m o s e m u e s tr a e n la fig u ra 11-1 9 a . s e s u p o n e
q u e a m b a s j u n t a s t í y C se d e s p la z a n u n a c a n tid a d ig u a l A. E n c o n s e ­
c u e n c ia . j»AB = A /1 2 y i[i d c = A /1 8 , A m b o s té r m in o s s o n p o s itiv o s
p o r q u e la c u e r d a d e lo s e le m e n to A t í y C D " g ir a n ” e n s e n t id o h o r a ­
rio . S i s e r e l a c io n a il/AB c o n i|»o c ,s c t i e n e jiAB = (1 8 /1 2 )i/rDO A l a p lic a r
la e c u a c i ó n 11-8 a l m a r c o , r e s u lta
M
M
AB
BA
“(n)
©
2 £ [ —
2(0) +
2 0,
9fí ~ l f * DC
) ] + 0 = E l(O .16670fl - 0 .75 * n c )
+ 0 - 3 ( | | * « ; ) ] + 0 = E l { 0 3 3 3 0 B - O J S t o c )
M i 2 E [ j ^ j [ 2 B B + 0 C - 3 ( 0 ) ] + 0 = £ 7 ( 0 . 2 6 7 0 * + O . 1 3 3 0 c )
(1)
(2)
(3 )
•Recuerde que la deformación de los tres elementos debida a la tuerca cortante axial es in­
significante.

497. 1 1 . 5 AnAlis is d e m a r c o s: Co n l a d e o 4 7 5
Mc b = 2 E ( j ^ j [ 2 B c + 0„ ~ 3 ( 0 ) | + 0 = E l (0.2610C + O.1330fl) (4 )
M e o = 2 e ( J ^ [ 2 B c + 0 - 3* K \ + 0 = E /(O .2 2 2 0 C - 0 .3 3 34>oc) (5 )
M o c = 2 E ^ ) [ 2 ( 0 ) + dc - 3 M + 0 = £ 7 ( 0 .1 1 10c - 0 . 3 3 3 * d c ) (6 )
E cu a cio n e s d e e q u ilib r io . L a s s e is e c u a c io n e s c o n ti e n e n n u e v e
in c ó g n ita s . E s p o s ib le e s c r ib ir d o s e c u a c io n e s d e e q u ilib r io d e m o ­
m e n to s p a r a la s j u n t a s B y C , fig u ra 1 1 -1 9 6 ,a s a b e r ,
Mb a + Mb c = 0
A fe a + M c n = 0
C o m o se p r e s e n ta u n d e s p la z a m ie n to h o r iz o n ta l A . s e c o n s id e r a r á
la s u m a to r i a d e la s fu e rz a s s o b r e io d o e l m a r c o e n la d ir e c c ió n x . D e
e s to r e s u lta
■ ± Z F , = 0 ; 4 0 — V A — V p = 0
L a s r e a c c io n e s h o r iz o n ta le s o f u e r z a s c o r t a n te s d e c o lu m n a V A y V D
p u e d e n r e la c io n a r s e c o n lo s m o m e n to s in te r n o s a l c o n s i d e r a r e l d i a ­
g r a m a d e c u e r p o lib r e d e c a d a c o lu m n a p o r s e p a r a d o , f ig u r a 1 l-1 9 c .
Se t i e n e
Ma b + Mb a
4 0 k ■
SAZ*, = 0;
2 A /C = O,
R>r lo ta n to ,
Vd- -
12
M p c + M e o
1 8
4 0 +
Ma b + Mb a + M o c + M c n
0
1 2 18
A fin d e re s o lv e r, s e s u s titu y e n la s e c u a c io n e s ( 2 ) y (3 ) e n la e c u a -
d ó n ( 7 ) , la s e c u a c io n e s ( 4 ) y ( 5 ) e n la e c u a c ió n (8 ), y la s e c u a c io n e s
(1 ), ( 2 ) , ( 5 ) y (6 ) e n la e c u a c ió n ( 9 ) . D e a q u í s e o b ti e n e
O .60fl + 0 .1 3 3 0 c - 0 .7 5*d c = 0
0 .1 3 3 0b + O.4890c - 0 .3 3 3 ^ o c = 0
480
0 . 5 0b + O.2220c. - 1.944V/OC = -
£ /
T~„
Msc
^
&
T
MCD
(7 )
(8)
(b)
1 2 p ie s
V' T
Mam •
p -
(c)
v „ - f -
( 9 )
A l r e s o lv e r s im u ltá n e a m e n te , s e ti e n e
£ / 0 fl = 438.81 £ / 0 c = 136.18 E l ^ p c = 3 7 5 .2 6
ft>r ú ltim o , c o n b a s e e n e s t o s r e s u lta d o s y re s o lv ie n d o la s e c u a c io n e s ( l ) - ( 6 )
s ; o b ti e n e
M Ab = - 2 0 8 k - p i e R esp.
M Ba ° - 1 3 5 k • p i e R esp.
M b c ~ 135 k • p i e R esp.
Mc b = 9 4 .8 k • p i e R esp.
M Co = ^ 9 4 .8 k ■ p ie R esp.
A /b c = - 1 1 0 k - p i e R esp.

498. 4 7 6 C a p i t u l o 1 1 M é t o d o d e a n á l i s i s d e l d e s p l a z a m i e n t o : Ec u a c i o n e s d e p e n d i e n t e-d e f l e x i ó n
D e te r m in e lo s m o m e n to s e n c a d a j u n t a d e l m a r c o q u e s e m u e s tra e n
la fig u ra 1 l- 2 0 a . L o s s o p o r te s e n A y D e s tá n fijo s y s e s u p o n e q u e la
j u n t a C e s tá a rtic u la d a . E l e s c o n s ta n te p a r a c a d a e le m e n to .
S O L U C IÓ N
E c u a c io n e s d e p e n d ie n te - d e fle x ió n . S e a p lic a r á la e c u a c ió n 11-8
al e l e m e n t o A f í p u e s to q u e e s tá c o n e c ta d o f ija m e n te e n a m b o s e x t r e ­
m o s. L a e c u a c ió n 11-10 p u e d e a p lic a r s e d e / í a C y d e / ) a C p o r q u e e l
p a s a d o r e n C s o p o r ta u n m o m e n to c e ro . C o m o s e m u e s tra e n e l d i a ­
g r a m a d e d e f le x ió n , f ig u r a 1 1 -2 0 6 . h a y u n d e s p la z a m ie n to lin e a l d e s ­
c o n o c id o d e la e s t r u c tu r a y u n d e s p la z a m ie n to a n g u la r d e s c o n o c id o
6„ e n la j u n t a B * D e b id o a A . lo s e le m e n to s d e la c u e r d a A B y C D
g ira n e n s e n t id o h o r a r io , i = i¡iAfí = iftp c = A /4 . S i s e to m a e n c u e n ta
q u e dA = 0 D = O .y q u e n o h a y F E M p a r a lo s e le m e n to s , s e ti e n e
E c u a c io n e s d e e q u H ib rio . E l e q u ilib r io d e m o m e n to s e n la j u n t a B .
fig u ra 11- 2 0 c .r e q u ie r e q u e
Mb a + M a c = 0 ( 5 )
Si la s f u e r z a s s e s u m a n p a r a to d o e l m a r c o e n la d ir e c c ió n h o r iz o n ­
ta l , re s u lta
XSF, = O. 1 0 - VA-V D-0 (6)
C o m o s e m u e s tr a e n e l d ia g r a m a d e c u e r p o lib r e d e c a d a c o lu m n a , fi­
g u r a l l - 2 0 d .s e ti e n e
V 'x
V D
Ma b + Mb a
• L o s d e s p l a z a m i e n t o s a n g u l a r e s 0 CB y Bc n e n la j u n t a C ( a r t i c u l a d a ) n o e s t á n i n c l u i ­
d o s e n e l a n á l i s i s d e b i d o a q u e s e d e b e u s a r la e c u a c i ó n 1 1-1 0.
+ 0 F - 3 * ) + ( F E M ) *
+ 0B - 3 * ] + 0
+ 0 - 3 * ) + 0
~ t ) + ( F E M ) *

499. 1 1 . 5 An á l i s i s d e m a r c o s: Co n l a d e o 4 7 7
E n to n c e s , a p a r t i r d e la e c u a c ió n (6 ),
(7 )
A l s u s tit u ir la s e c u a c io n e s d e p e n d ie n te - d e f le x ió n e n la s e c u a c io n e s
(5 ) y ( 7 ) y a l s im p lific a r s e o b tie n e
R »r lo ta n to .
» * ¥ ( ! - ■ - ¥ * ) -
e *
240
21 E l
320
2 \ E l
t
- é r v * - ^ Vc
v- t " -
(d)
Si s e s u s titu y e n e s t o s v a lo r e s e n la s e c u a c io n e s ( l ) - ( 4 ) , s e tie n e
Ma r = - 1 7 .1 k N - m . M BA = - 1 1 . 4 k N • m
Mb c = 11.4 k N - m , M ^ = - 1 1 . 4 k N • m
R e sp .
R esp.
C b n b a s e e n e s to s r e s u lta d o s , e s p o s ib le d e te r m i n a r la s re a c c io n e s e n
b s e x tr e m o s d e c a d a e le m e n to a p a r t i r d e la s e c u a c io n e s d e e q u i l i ­
b rio , f ig u r a 1 l- 2 0 e . E l d ia g r a m a d e m o m e n to s p a r a e l m a r c o s e m u e s ­
tr a e n l a fig u ra 1 1 -2 0 /
1 0 k N
3 .8 1 k N 3 .8 1 k N
2 8 6 k N
2 .8 6 k N
1 1 .4 k N - m 1 1 .4 k N *
I H * “ « « H i
t
lM k K -i»
1 1 .4 k N - m
3 .8 1 k N
* 1 "
2 8 6 k N
1 1 .4 k N - r
7 .1 4 k N
3 .8 1 k N
3 .8 1 k N
7 .1 4 k N ♦ + -
T" .1 k N • i
3 .8 1 k N
ir
2 .8 6 k N
2 * 6 k N
1 1 .4 kN *
3 8 1 k N
3.81 k N
(e)
( 0

500. 4 7 8 C a p i t u l o 1 1 M é t o d o d e a n á l i s i s d e l d e s p l a z a m i e n t o : Ec u a c i o n e s d e p e n d i e n t e-d e f l e x i ó n
EJE M P LO 1 1 .9
A, + A ,
4)kN
7 m
------
<■)
Figura 11-21
E x p liq u e c ó m o s e d e te r m i n a n lo s m o m e n to s e n c a d a j u n t a d e la e s ­
tr u c tu r a d e d o s n iv e le s q u e s e m u e s tra e n la fig u ra 11 -2 1 a . E l e s c o n s ­
ta n te .
S O L U C IÓ N
Ecuación de pendiente-deflexión. C o m o lo s s o p o r te s e n A y F
e s t á n fijo s, la e c u a c ió n 11-8 se a p lic a p a r a lo s s e is c la r o s d e la e s t r u c ­
tu r a . N o e s n e c e s a r io c a lc u la r n in g ú n F E M p o r q u e la c a r g a a p lic a d a
a c tú a e n las ju n t a s . A q u í, la c a rg a d e s p la z a a la s j u n t a s R y E u n a c a n ­
ti d a d A i. y a C y D u n a c a n ti d a d A | + A?. E l r e s u lta d o e s q u e lo s e l e ­
m e n to s A B y F E e x p e r im e n ta n r o ta c io n e s d e = A , / 5 . y B C y E D se
s o m e te n a r o t a c io n e s d e “ A ^ S .
A l a p li c a r la e c u a c i ó n 11-8 a l m a r c o s e o b ti e n e
Mab = 2 f ( j y [2 ( 0 ) +eB- 3 * , ] + 0 (1)
Mba = 2 E ^ [ 7 Bb + 0 - 3 * J + 0 (2)
M b c = 2 ¿ ( 0 [ 2 0 s + ec - 3<tel + o (3 )
Mc b = 2£^0 [2 0 c + 0B - 3 ^ 2] + 0 (4)
Mc d = 2 E Í ^ p 0 c + 0D - 3 (0 )1 + 0 (5)
M a c = 2e( ^ ) [ 2 Bd + 0 C - 3 (0 )1 + 0 (6)
Mb e = 2 £ ^ ) [ 2 0 a + e E - 3 (0 ) 1 + 0 (7)
Mf b = 2 e ( Í ) [ 2 0 * + B ñ - 3 (0 ) 1 + 0 (8 )
M Ef> = 2 e [^\2 B e + 0 n - 3 * 21 + 0 (9)
M nE = 2 e Q ) [ 2 9 0 + B E - 3 * 2) + 0 (1 0 )
Mf e = 2 £ G ) , 2 ( o ) + ° F ~ 3 ^ ' 1 + 0
(1 1 )
Me f = 2e( ‘- W + 0 - 3 ^ ,1 + 0 (1 2 )
E s ta s 12 e c u a c io n e s c o n ti e n e n 18 in c ó g n ita s .

501. 1 1 . 5 An á l i s i s d e m a r c o s: Co n l a d e o 4 7 9
E c u a c io n e s d e e q u li b r i o . E l e q u ilib r io d e m o m e n to s e n la s ju n t a s
R , C , D y E ,fig u r a 11 -2 1 6 . r e q u i e r e q u e
Mb a + Mb e + Mb c = ü (1 3 )
M Cb + Mc d = ü (1 4 )
M p c + Md e = 0 (1 5 )
Me f + Me b + Me d = 0 (1 6 )
C o m o e n lo s e je m p lo s a n te r io r e s . la f u e r z a c o r t a n te e n la b a s e d e
to d a s la s c o lu m n a s d e c u a lq u ie r n iv e l d e b e e q u il ib r a r la s c a r g a s h o r i­
z o n ta le s a p lic a d a s , fig u ra 1 1 -2 le . D e a q u í r e s u lta
X 1 F , = 0; 4 0 - V K - V ED
4 o + M K + M c b + Me d + Md e = Q
(1 7 )
X ZFX = 0; 40 + 8 0 - V AB - V FE = 0
120 + + Me f ± M FE = q
(18)
L a s o lu c ió n r e q u i e r e s u s titu ir la s e c u a c io n e s ( l ) - ( 12 ) e n la s e c u a c io ­
nes (1 3 ) - ( 1 8 ), d e d o n d e r e s u lta n se is e c u a c io n e s c o n s e is in c ó g n ita s .
E s ta s e c u a c io n e s p u e d e n re s o lv e rs e d e m a n e r a
s i m u ltá n e a . L o s re s u lta d o s s e s u s titu y e n d e n u e v o e n las e c u a c io n e s
(1 )-(1 2 ). d e d o n d e s e o b ti e n e n lo s m o m e n to s e n las ju n ta s .
(c)

502. 4 8 0 C a p i t u l o 1 1 M é t o d o d e a n á l i s i s d e l d e s p l a z a m i e n t o : Ec u a c i o n e s d e p e n d i e n t e-d e f l e x i ó n
E J E M P L O 1 1 .1 0
D e te r m in e lo s m o m e n to s e n c a d a j u n t a d e l m a rc o q u e s e m u e s tra e n
la fig u ra 1 l- 2 2 a . E l e s c o n s ta n te p a r a c a d a e le m e n to .
, ¿ y « r
( c )
Figura 11-22
S O L U C IÓ N
E c u a c io n e s d e p e n d ie n te * d e fle x ió n . La e c u a c i ó n 11-8 s e a p lic a a
c a d a u n o d e lo s tr e s c la ro s . L o s F E M s o n
( F E M ) * ; = -
w L ¿ 2 ( 1 2 ) '
- 2 4 k - p ie
1 2 12
w 1 } 2 ( 12 )2
( F E M ) Cfl = - j z r = ~ “ = 2 4 k • p ie
12 12
E l e l e m e n t o in c lin a d o A ñ o c a s io n a q u e e l m a rc o s e la d e e h a c ia la
d e r e c h a , s e g ú n s e m u e s tr a e n la fig u ra 11-2 2 a . C o m o r e s u lta d o , la s
ju n t a s R y C e x p e r im e n ta n d e s p la z a m ie n to s , t a n t o d e r o t a c ió n c o m o
lin e a le s . I-os d e s p la z a m ie n to s lin e a le s se m u e s tr a n e n la fig u ra 11-226,
d o n d e B se m u e v e A , h a c ia R ' y C s e m u e v e A 3 h a c ia C '. E s to s d e s p l a ­
z a m ie n to s h a c e n q u e la s c u e r d a s d e lo s e le m e n to s g ir e n i/»,, */»3 ( s e n ­
tid o h o r a r i o ) y - */»? ( s e n tid o a n t i h o r a r i o ) , c o m o s e m u e s tra e n la fi­
g u ra * P o r lo ta n to .
IÓ = ~ñ 20
C o m o s e m u e s tr a e n la fig u ra 11-2 2 c ,lo s tr e s d e s p la z a m ie n to s p u e d e n
re la c io n a r s e . B a r e je m p lo . A2 = 0 .5 A , y A 3 = 0 .8 6 6 A ,.P o r lo ta n t o , a
p a r t i r d e la s e c u a c io n e s a n te r io r e s s e tie n e
= - 0 . 4 1 7 * / » , * 3 = 0 . 4 3 3 * / » i
C o n b a s e e n e s t o s re s u lta d o s , la s e c u a c io n e s d e p e n d ie n te - d e f le x ió n
d e la e s t r u c tu r a s o n
• R e c u e r d e q u e la s d i s t o r s i o n e s d e b i d a s a la s f u e r / a s a x ia le s s e p a s a n p o r a l i o y q u e l o s
d e s p l a z a m i e n t o s a r q u e a d o s H ñ ’ y C C p u e d e n c o n s i d e r a r s e c o m o l í n e a s r e c t a s ,p u e s t o
q u e t í i y ifr, a » n e n r e a l i d a d m u y p e q u e ñ o s .

503. 1 1 . 5 An á l i s i s d e m a r c o s: Co n l a d e o 4 8 1
MÁ„ = 2 e (^ )[2 (0 ) + »„ - 3*,| + 0
Mba = 2£ ( 4) |2#s + ° “ 3lí'] + 0
"bc = 2 e ( ^ ) |2 « 8 + ec - 3 1 - 0 .4 1 7 * ,) ] - 2 4
Mc b = 2 £ ^ ) [ 2 » c + 0 „ - 3 1 - 0 .4 1 7 * ,) ] + 2 4
Mcd = 2 fi(^)|2 » c + 0 - 3(0.433*,)] + 0
Md c = 2 £ ( ¿ ) l 2 ( 0 ) + » c " 3 ( 0 .4 3 3 * ,) ] + 0
E s ta s s e is e c u a c io n e s c o n ti e n e n n u e v e in c ó g n ita s .
0 )
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
E cu a cio n e s d e e q u ilib r io . D e l e q u ilib r io d e m o m e n to s e n la s j u n ­
ta s B y C se o b ti e n e
M Ba + Mb c = 0 (7 )
M Cd + M Cfí = 0 (8 )
L a t e r c e r a e c u a c ió n d e e q u ilib r io n e c e s a r ia p u e d e o b te n e r s e a l s u m a r
m o m e n to s r e s p e c to a l p u n to O s o b r e to d o e l m a r c o , fig u ra 11-2 2 J .
E s to e l im in a las fu e r z a s d e s c o n o c id a s n o rm a le s y N D y, p o r lo ta n to
f + S A f o = O,
Mm + M „ c - ( ^ e i+0 ^ ) ( 3 4 ) - ( M n c 2+0 M c o ) ( 4 0 . 7 8 ) - 2 4 ( 6 ) = 0
~ 2 .4 M AB - 3 A M „a - 2.04A fC/> - 1.04iU n e - 1 4 4 = 0 (9 )
A l s u s titu ir la s e c u a c io n e s (2 ) y ( 3 ) e n la e c u a c ió n ( 7 ) , la s e c u a c io n e s
(4 ) y (5 ) e n la e c u a c ió n ( 8 ) , y la s e c u a c io n e s ( 1 ) , ( 2 ) , (5 ) y ( 6 ) e n la
e c u a c ió n (9 ) r e s u lta
0 .7 3 3 0 * + O.1670c - 0 .3 9 2 * , = ^
0 .1 6 7 0 * + 0 .5 3 3 0 c + 0 .0 7 8 4 * , = -
c /
20.78 pies
- 1 .8 4 0 0 * - 0 .5 1 2 0 c + 3 .8 8 0 * ,
144
E l
A l r e s o lv e r e s ta s e c u a c io n e s s i m u ltá n e a m e n te s e o b ti e n e
E I 0 „ = 8 7 .6 7 E I 0 c = - 8 2 . 3 £ / * , = 67.83
Si s e s u s titu y e n e s t o s v a lo r e s e n la s e c u a c io n e s ( l ) - ( 6 ) , s e tie n e
Ma b = - 2 3 . 2 k • p i e M BC = 5.63 k • p ie M c o = - 2 5 . 3 k • p ie
/
Mba = - 5 . 6 3 k - p ie MCB = 2 5 .3 k • p ie Mn c = -17.0 k - p i e
R esp.
R e sp.

504. 4 8 2 C a p i t u l o 11 M é t o d o d e a n á l i s i s d e l d e s p l a z a m i e n t o : E c u a c i o n e s d e p e n d i e n t e - d e f l e x i ó n
P R O B L E M A S
11-13. D eterm ine lo s m o m en to s e n A , B y C .y d esp u és d i­
buje e l d iag ram a d e m o m en to p a ra c ad a elem en to . S uponga
que to d a s las ju n ta s están c o n e c ta d a s fijam ente. E l es c o n s­
tante.
11-15. D eterm ine el m o m en to e n B , y d esp u és d ib u je el
diagram a de m o m en to p a ra c ad a e lem en to d el m arco. S u ­
p onga q u e el so p o rte e n A e stá fijo y q u e C está articulado.
£ / es constante.
2 k N / m
11-14. D eterm ine los m om entos e n los soportes, y d e s ­
pués dibuje e l d iag ram a de m om ento. Los e lem en to s están
co nectados fijam ente e n lo s so p o rte s y e n la ju n ta B . E l m o ­
m ento d e inercia d e c ad a e lem en to se p roporciona e n la fi­
gura. C on sidere q u e £ = 29(10*) ksi.
•11-16. D eterm ine los m o m e n to s e n B y D , y d e sp u é s d i­
buje el d iag ram a d e m om entos. S u ponga q u e A y C están
articulados y q u e B y D están co n ectad o s fijam ente. E l es
constante.
Proh. 11-16
l K = 1 2 0 0 p u l g 4
Prob. 11-14

505. 1 1 . 5 AnAlisis d e m a r c o s: Co n l a d e o 4 8 3
1 1 - 1 7 . D eterm ine e l m o m en to q u e e je rc e c ad a e lem en to
so b re la ju n ta e n B , y d esp u és dibuje e l d iag ram a de m o ­
m ento para c ad a e len ten to d e l m arco. Suponga q u e e l so­
p o rte e n A e s fijo y e n C está articulado. F J e s co n stan te.
1 1 - 1 9 . D eterm ine e l m o m en to e n las ju n ta s D y C, y des­
pués dibuje el diagram a d e m o m en to p a ra c ad a e lem en to
d el m arco. Suponga q u e lo s so p o rte s e n A y f í e stán artic u ­
lados. F.I e s constante.
P r o h . 1 1 - 1 7
1 1 - 1 8 . D eterm ine e l m om ento q u e ejerce c ad a e lem en to
so b re la ju n ta e n f í ,y d esp u és dibuje e l d iag ram a d e m o­
m ento p a ra c ad a e lem en to d el m arco. S uponga q u e lo s so­
portes e n A , C y D están articulados. E l e s constante.
• 1 1 - 2 0 . D eterm ine e l m o m en to q u e ejerce c ad a e lem en to
so b re las ju n ta s e n fí y D . y d esp u és d ib u je el d iag ram a de
m om ento para c ad a e lem en to d e l m arco. S uponga q u e los
so p o rte s e n A . C y E están articulados. E l e s constante.
P ro h . 11-18
P ro h . 11-20

506. 4 8 4 C a p i t u l o 1 1 M é t o d o d e a n á l i s i s d e l d e s p l a z a m i e n t o : E c u a c i o n e s d e p e n d i e n t e - d e f l e x i ó n
11-21. D eterm ine el m o m e n to e n las ju n ta s C y /) . y d e s ­
pués dibuje e l d iag ram a d e m om ento p a ra c ad a elem ento
d el m arco. S uponga q u e lo s so p o rtes e n A y B e stán artic u ­
lados. £ / es constante.
11-23. D eterm in e los m o m en to s q u e actú a n e n lo s so p o r­
te s A y D cfcl m arco d e colum nas inclinadas. C onsidere que
£ *= 29(103) lcs¡ e / - fiOO pulg4.
Prob. 11-23Prob. 11-21
8 kN/m
11—22. D eterm ine e l m om ento en las ju n ta s A , R , C y D , y
después dibuje e l d iag ram a de m om ento p a ra c ad a e le ­
m ento d el m arco. S uponga q u e lo s so p o rte s e n A y B están
fijo s E l e s co n stan te.
*11-24. I a s cargas d e l viento se transm iten al m a rc o e n la
ju n ta £ . Si A , B , E , D y £ están articu lad as y C está con ec­
ta d a fijam ente, d e te rm in e lo s m o m en to s e n la ju n ta C y d i­
buje lo s d iag ram as d e m o m en to flexionante para la trabe
B C E . E l es constante.
P r o b . 1 1 -2 4

507. Re p a s o d e l c a p i t u l o 4 8 5
PROBLEMA DE PROYECTO
11-1P. E l tech o se sostiene m ediante largueros q u e se a p o ­
yan e n d o s trab es. C ad a larg u ero p u ed e considerarse sim ­
p lem ente apoyado, y la tra b e frontal p u ed e considerarse
unida a las tre s colum nas m ediante u n p a sa d o r e n A y ro d i­
llos e n B y C. S uponga q u e e l tech o se h a rá de c o n c re to de
c em e n to co n 3 pulgadas d e esp eso r y q u e c ad a larg u ero
tiene u n p eso d e 550 Ib. D e acu erd o co n el código, el tech o
e sta rá som etido a u n a carga de nieve d e 2 5 Ib p o r p ie c u a ­
d rad o . Ixts larg u ero s tienen una longitud d e 25 pies. D ibuje
los d iag ram as d e fuerza co rtan te y d e m o m en to p a ra la
trabe. S uponga q u e las colum nas d e so p o rte s o n rígidas.
m
P r o b l e m a d e p r o y e c t o 1 1 - 1 P
r e p a s o d e l c a p ít u l o
A lo s desplazam ientos d esconocidos d e u n a estru c tu ra se les conoce co m o lo s grados d e lib ertad p a ra la e stru ctu ra. C onsis­
ten en desplazam ientos o ro tacio n es d e juntas.
l a s ecuaciones d e pendiente-deflexión relacionan los m o m en to s desconocidos en c a d a ju n ta de u n e lem en to estru ctu ral con
las ro tacio n es desconocidas q u e se p ro d u c e n ahí. La siguiente ecu ació n se aplica d o s veces a c ad a elem ento o claro, consi­
deran d o a c ad a lado com o el extrem o “c e rc a n o " y a s u c o n trap arte co m o e l e x tre m o lejano.
A#v = 2 E k ( 2 B N + 0 F - t y ) + ( F E M ) *
Para el claro in tern o o el claro final c o n e l e x trem o lejan o fijo
E sta ecuación se aplica sólo u n a vez. d o n d e el extrem o “ lejan o " está e n e l so p o rte d e p a sa d o r o d e rodillo.
M s = 3E k ( 0 N - * ) + ( F E M ) *
Sólo p a ra e l claro final co n e l e x trem o lejano articu lad o o so p o rta d o p o r rodillos
U na v ez q u e se escrib en las ecuaciones d e pendiente-deflexión, se sustituyen en las ecuaciones d e eq uilibrio d e m om entos
en c a d a ju n ta y d esp u és se resuelve p a ra e n c o n tra r lo s desplazam ientos desconocidos. Si la estru c tu ra (m arco ) tiene u n d e s ­
p lazam ien to lateral, en to n ce s o c u rrirá un desplazam iento h o rizontal desconocido e n c ad a nivel d e piso, y las fu e rz a s c o r­
ta n te s d e colum na desconocidas d eb en relacionarse c o n lo s m om entos e n las ju n tas, e m p le a n d o las ecu acio n es de
equilibrio de fu e r/a s y d e m om entos. U n a ve* o b ten id o s lo s desplazam ientos desconocidos, las reacciones desconocidas se
e n cu en tran a p a rtir d e las relaciones d e carga-desplazam iento.

508. T odas las tr a b e s e n e ste edificio d e c o n c re to e s tá n fija m e n te c o n e c ta d a s, p o r
to q u e el análisis e s tá tic a m e n te in d e te rm in a d o d e la estru c tu ra p u e d e h acerse
utilizando e l m é to d o d e la distribución d e m o m en to s.

509. Método de análisis
del desplazamiento:
distribución de
momentos
0 m é t o d o d e d is tr ib u c ió n d e m o m e n t o s e s u n m é t o d o d e a n á lis is d e l
d e s p l a z a m i e n to q u e e s fácil d e a p li c a r u n a v e z d e t e r m i n a d a s c ie r ta s
c o n s t a n t e s e lá s tic a s . E n e s t e c a p ít u lo s e e s t a b l e c e r á n e n p r im e r lu g a r
la s d e f i n ic io n e s y c o n c e p t o s m á s im p o r t a n te s p a r a la d is tr i b u c ió n d e
m o m e n to s , y d e s p u é s s e a p lic a r á e l m é t o d o p a r a re s o lv e r p r o b l e m a s
d e v ig a s y m a r c o s e s t á t i c a m e n t e in d e t e r m i n a d o s . E n la ú ltim a p a r t e
d e l c a p ítu lo s e e s t u d i a la a p lic a c ió n d e l m é t o d o e n m a r c o s c o n v a rio s
n iv e le s .
1 2 .1 P rincipios generales y de fin icio ne s
E l m é to d o p a r a a n a liz a r v ig a s y m a r c o s m e d ia n te la d is tr ib u c ió n d e m o ­
m e n to s fu e d e s a r r o ll a d o p o r H a r d y C r o s s e n 1930. C u a n d o e s t e m é to d o
s e p u b lic ó p o r p r i m e r a v e z a tr a jo la a te n c ió n d e in m e d ia to , y h a s i d o r e ­
c o n o c id o c o m o u n o d e lo s a v a n c e s m á s n o ta b l e s e n e l a n á lis is e s t r u c tu r a l
d u r a n t e e l s ig lo x x .
C o m o s e e x p lic a rá e n d e ta l le m á s a d e la n te , la d is tr ib u c ió n d e m o m e n ­
to s e s u n m é t o d o d e a p r o x im a c io n e s su c e s iv a s q u e p u e d e n r e a liz a r s e c o n
c u a lq u ie r g r a d o d e p re c is ió n d e s e a d o . E n e s e n c ia , e l m é to d o c o m ie n z a a l
s u p o n e r q u e c a d a j u n t a d e u n a e s t r u c tu r a e s t á fija. D e s p u é s , a l lib e r a r y
b lo q u e a r c a d a j u n t a d e m a n e r a s u c e s iv a , lo s m o m e n to s in te r n o s e n la s
ju n ta s s e “ d is tr ib u y e n ” y e q u ilib r a n h a s t a q u e la s ju n t a s g ira n h a d a s u s
p o s ic io n e s fin a le s o c a s i fin a le s. S e e n c o n tr ó q u e e s t e p ro c e s o d e c á lc u lo
e s a la v ez r e p e t it iv o y fá c il d e a p lic a r. S in e m b a r g o , a n te s d e e x p lic a r la s
té c n ic a s p a r a la d is tr ib u c ió n d e m o m e n to s , d e b e n p r e s e n ta r s e a lg u n a s
d e fin ic io n e s y c o n c e p to s .

510. 4 8 8 C a p i t u l o 1 2 M é t o d o d e a n á l i s i s d e l d e s p l a z a m i e n t o : d i s t r i b u c i ó n d e m o m e n t o s
i ?
P
,— 1 w
8 0 0 N
i.
mtri m j 1 í "“I
A B *
™BA
F i g u r a 1 2 - 1
- u
|
------------5 m-------------
1 8
------------5 m------------
F i g u r a 1 2 - 2
Convención d e signos. Se e s t a b le c e r á la m is m a c o n v e n c ió n d e
sig n o s q u e p a r a la s e c u a c io n e s d e p e n d ie n te - d e f le x ió n : lx>s m o m e n to s
q u e a c tú a n s o b r e e l e l e m e n t o co n s e n tid o h o r a r io s e c o n s id e r a n p o s iti­
v o s . y lo s m o m e n to s c o n s e n tid o a n tih o r a r io s e r á n n e g a tiv o s , f ig u r a 12-1.
M o m e n to s en e x tre m o s fijos (FEM). l o s m o m e n to s e n las
" p a r e d e s " o e n la s ju n t a s fija s d e u n e le m e n to c a rg a d o s e d e n o m i n a n
m o m e n to s e n e x tr e m o s f i j o s . E s to s m o m e n to s p u e d e n d e te r m in a r s e c o n
b a s e e n la ta b l a q u e s e e n c u e n t r a e n e l in t e r i o r d e la c o n tr a p o r t a d a , d e ­
p e n d ie n d o d e l tip o d e c a r g a s o b r e e l e le m e n to . P ó r e je m p lo , l a v ig a c a r ­
g a d a c o m o s e m u e s tr a e n la f ig u r a 12-2 tie n e m o m e n to s e n lo s e x tr e m o s
fijo s d e F E M = P L / 8 = 8 0 0 ( 1 0 ) /8 = 1000 N • m. Si s e to m a e n c u e n t a la
a c d ó n d e e s to s m o m e n to s so b r e ¡a v ig a y s e a p lic a la c o n v e n c ió n d e s ig ­
n o s a d o p t a d a , s e v e q u e M a b = - 1000 N • m = y M b a = + 1000 N • m .
Factor d e rigidez del e le m e n to . C o n s id e r e l a v ig a d e la fig u ra
12-3. q u e e s t á a r tic u la d a e n u n e x tr e m o y fija e n e l o tr o . L a a p lic a c ió n d e l
m o m e n to M h a c e q u e e l e x tr e m o A g ire a tr a v é s d e u n á n g u lo 0A . E n el
c a p ítu lo 11 s e r e la c io n ó M c o n dA u s a n d o e l m é to d o d e la v ig a c o n ju ­
g a d a . D e e s t o r e s u ltó la e c u a c ió n 11-1. e s d e c ir . M = (4E I / L ) 0 A. E l t é r ­
m in o e n t r e p a r é n te s is
(1 2-1)
s e c o n o c e c o m o e l fa c to r d e r ig id e z e n A y p u e d e d e f in ir s e c o m o la c a n ti­
d a d d e m o m e n to M n e c e s a r ia p a r a h a c e r g ir a r e l e x tr e m o A cfc la v ig a e n
dA = 1 ra d .
H g u r a 1 2 - 3

511. 1 2 . 1 P siN JC IP lO S G E N E R A L E S Y D E F IN IC IO N E S 4 8 9
Factor d e rigidez e n la junta. Si v a rio s e le m e n to s e s t á n c o n e c t a ­
d o s f ija m e n te a u n a ju n t a y c a d a u n o d e s u s e x tr e m o s le ja n o s e s t á fijo , e n ­
to n c e s p o r e l p r i n c i p i o d e s u p e r p o s i c i ó n , e l f a c t o r d e r i g id e z to ta l e n
la ju n t a e s la s u m a d e lo s f a c to r e s d e r ig id e z d e lo s e le m e n to s u n id o s a la
ju n ta , e s d e c ir , K j = 2 K . P o r e je m p lo , c o n s id e re la ju n t a A d e u n m a r c o
q u e s e m u e s tra e n la fig u ra 12-4a. E l v a lo r n u m é r ic o d el f a c t o r d e rig id ez
d e c a d a e le m e n to s e d e te r m in a a p a r tir d e la e c u a c ió n 12-1 y se p r e s e n ta
e n la fig u ra . C o n e s to s v a lo re s, e l f a c to r d e rig id e z to ta l d e la ju n t a A e s K r
- 2 K «= 4 0 0 0 + 5 0 0 0 + 1000 - 10 0 0 0 . E s te v a lo r r e p r e s e n ta la c a n tid a d
d e m o m e n to n e c e s a r io p a r a g i r a r la ju n t a a tr a v é s d e u n á n g u lo d e 1 r a d .
Factor d e distribución (DF). Si s e a p lic a u n m o m e n to M a u n a
ju n t a c o n e c t a d a f i ja m e n te , c a d a e l e m e n t o c o n e c t a d o p r o p o r c io n a r á
u n a p a r te d e l m o m e n to d e re s is te n c ia n e c e s a r io p a r a s a tis f a c e r e l e q u il i­
b rio d e m o m e n to s e n la ju n t a . E s a fr a c c ió n d e l m o m e n to d e re s is te n c ia
to ta l s u m in is tr a d a p o r e l e le m e n to s e lla m a fa c to r d e d is tr ib u c ió n ( D F ) .
P a r a o b t e n e r s u v a lo r , im a g in e q u e la j u n t a e s t á f ija m e n te c o n e c t a d a a n
e le m e n to s . S i u n m o m e n to M a p lic a d o h a c e q u e la j u n t a g ir e u n a c a n ti­
d a d 0 . e n to n c e s c a d a e l e m e n t o / g ir a e s t a m is m a c a n tid a d . S i e l f a c t o r d e
rig id e z d e l /-é s im o e l e m e n t o e s /C „ e n to n c e s e l m o m e n to a p o r t a d o p o r el
d e m e n t o e s = K f l . D a d o q u e e l e q u ilib r io r e q u i e r e q u e M = M x + M n
= K x9 + K „ 0 = 0 £ /C „ e n to n c e s e l f a c to r d e d is tr ib u c ió n p a r a e l /-é sim o
e le m e n to e s
d f , = ^ = _ M
' M 8 2 K ,
A l c a n c e l a r el t é r m i n o c o m ú n 0 ,s e v e q u e e l f a c t o r d e d is tr ib u c ió n d e u n
e le m e n to e s ig u a l a l f a c t o r d e r ig id e z d e l e l e m e n t o d iv id id o e n tr e e l fa c ­
to r d e rig id e z to ta l d e la ju n t a ; e s d e c ir , e n g e n e r a l .
D F
K
2 K
( 1 2 - 2 )
Ka d - 1000 . Km - 4 0 0 0
/>
K . . - 5 0 0 0
C
(»)
M = 2 0 0 0 N • m
<b)
r
2 0 0 N m
S i - 2 0 0 0 N - m
8 0 0 N -
1 000 N m
(c)
f i g u r a 1 2 - 4
l\> r e je m p lo , lo s fa c to re s d e d is tr ib u c ió n p a r a lo s e le m e n to s A R , A C y
A D e n la j u n t a A d e la fig u ra 12-4a s o n
D F ^ fl = 4 0 0 0 /1 0 0 0 0 = 0.4
D Fa c = 5 0 0 0 /1 0 0 0 0 = 0.5
D F x o = 1 000/10 0 0 0 = 0.1
C o m o r e s u lta d o , s i M = 2 0 0 0 N • m a c tú a e n la j u n t a A , f ig u r a 12-4/>.Ios
m o m e n to s d e e q u ilib r io e je r c id o s p o r lo s e le m e n to s s o b r e la ju n t a , fig u ra
1 2 -4 c ,s o n
Ma b = 0 .4 (2 0 0 0 ) = 8 0 0 N - m
Ma c = 0 .5 (2 0 0 0 ) = 1000 N • m
Ma d = 0 .1 (2 0 0 0 ) = 2 0 0 N - m

512. 4 9 0 C a p i t u l o 1 2 M é t o d o d e a n á l i s i s d e l d e s p l a z a m i e n t o : d i s t r i b u c i ó n d e m o m e n t o s
12
L a s c a r g a s e s t á t i c a m e n t e i n d e t e r m i n a d a s e n l a s t r a b e s d e l
p u e n t e , l a s c u a l e s s o n c o n t i n u a s s o b r e s u s p i l o t e s , p u e d e n d e ­
t e r m i n a r s e u s a n d o e l m é t o d o d e l a d i s t r i b u c i ó n d e m o m e n t o s .
Factor de rigidez relativa del elem ento. G > n b a s t a n te f r e ­
c u e n c ia u n a v ig a o u n m a r c o c o n ti n u o s s e h a r á n d e l m is m o m a t e r i a l, p o r
k> q u e s u m ó d u lo d e e la s tic id a d E s e r á ig u a l p a ra to d o s lo s e le m e n to s . Si
e s a s í, e l f a c t o r c o m ú n 4 £ e n la e c u a c ió n 12-1 s e c a n c e la rá d e l n u m e r a d o r
y d e l d e n o m i n a d o r d e la e c u a c ió n 12-2, a l d e t e r m i n a r e l f a c t o r d e d is tr i­
b u c ió n p a r a u n a ju n ta . P o r lo ta n to , r e s u lta m á s f á c i l s ó lo d e te r m i n a r el
fa c to r d e r ig id e z r e la tiv a d el e l e m e n t o
(1 2 - 3 )
y u s a r e s to p a r a lo s c á lc u lo s d e l D F.
Factor de traslado. C ó n s id e r e d e n u e v o la v ig a d e la fig u ra 12-3.
E n e l c a p ít u lo 11 s e d e m o s tr ó q u e M AB = ( 4 £ / / Z .) 0 ^ ( e c u a c ió n 1 1 -1 ) y
M r a = ( 2E I /L ) Q a ( e c u a c ió n 11-2). S i s e r e s u e lv e p a r a 0 A y s e ig u a la n
e s t a s e c u a c io n e s r e s u lta Mb a = M A B Í2 . E n o t r a s p a la b r a s ,e l m o m e n to M
e n e l p a s a d o r in d u c e u n m o m e n to d e M ' = \ M e n la p a r e d . E l f a c t o r d e
tr a s la d o r e p r e s e n ta la fr a c c ió n d e M q u e e s “ tr a s la d a d a ” d e l p a s a d o r a la
p a r e d . P o r lo ta n to , e n e l c a s o d e u n a v ig a el e x tr e m o le ja n o f i j o . eI f a c to r
d e tr a s la d o e s + E l s ig n o m á s in d ic a q u e a m b o s m o m e n to s a c tú a n e n la
m ism a d ir e c c ió n .
1 2 .2 D istribución de m om entos para vigas
1.a d is tr ib u c ió n d e m o m e n to s s e b a s a e n e l p r in c ip io d e l s u c e s iv o b l o ­
q u e o y lib e r a c ió n d e la s ju n t a s d e u n a e s t r u c t u r a a fin d e p e r m itir q u e lo s
m o m e n to s e n j u n t a s se d is tr ib u y a n y e q u ilib r e n . L a m e jo r m a n e r a d e e x ­
p lic a r e l m é to d o e s p o r m e d io d e e je m p lo s .

513. 1 2 . 2 Di s t r i b u c i ó n d e m o m e n t o s p a r a v i g a s 4 9 1
U l l l 11 i 111
| / A 8 - 3 0 0 p u l g 4^ l a c - 6 0 0 p u l g 4 C l
|
---------15 p i e s p 2 0 p i e s 1
(a)
Figura 12-5
C o n s id e r e u n a v ig a q u e t i e n e u n m ó d u lo d e e la s tic id a d E c o n s ta n te y
las d im e n s io n e s y l a c a r g a q u e s e m u e s tr a n e n l a fig u ra 12-5a. A n te s d e
c o m e n z a r , lo p r i m e r o e s d e t e r m i n a r lo s fa c to re s d e d is tr ib u c ió n e n lo s
d o s e x tr e m o s d e c a d a c la r o . C o n b a s e e n la e c u a c ió n 1 2 -1 . K = 4E I / L ,
lo s f a c to r e s d e rig id e z a a m b o s la d o s d e B s o n
4 £ ( 3 0 0 ) 4 4 £ ( 6 0 0 )
Km = — — = 4 £ ( 2 0 ) p u l g / p i e K e c = = 4 £ ( 3 0 ) p u l g '/ p i e
l \ ) r lo t a n t o ,s i se u s a la e c u a c i ó n 1 2 -2 , D F = K I S K , p a r a lo s e x tr e m o s c o ­
n e c ta d o s a la j u n t a B,s e ti e n e
4 E Í 2 0 )
D l' BA ~ 4 £ ( 2 0 ) + 4 E ( 3 0 ) ' ° ’4
4 £ { 3 0 )
D FflC " 4 E ( 2 0 ) + 4 E ( 3 0 ) = ° ’6
E n la s p a r e d e s , j u n t a s A y C .e l f a c t o r d e d is tr ib u c ió n d e p e n d e d e l f a c to r
d e rig id e z d e l e le m e n to y d e l “ f a c t o r d e r ig id e z " d e la p a r e d . C o m o e n
te o r ía s e n e c e s ita r ía u n m o m e n to d e ta m a ñ o " i n f i n ito " p a r a h a c e r q u e la
p a re d g ir a r a u n r a d iá n , e l f a c t o r d e rig id e z d e l a p a r e d e s i n f i n i t a P o r
ta n to , p a r a las j u n t a s A y C se ti e n e
4 E ( 2 0 )
D Fá b ~ oo + 4 E ( 2 0 ) ~ °
4 E ( 3 0 )
D F ™ = o o + 4 E ( 3 0 ) = °
O b s e rv e q u e lo s re s u lta d o s a n te r io r e s ta m b ié n p o d r í a n h a b e r s e o b t e ­
n id o s i e n lo s c á lc u lo s s e h u b ie r a u s a d o e l f a c to r d e rig id e z r e la tiv a K R =
1 /1 . ( e c u a c ió n 12-3). A d e m á s ,s ie m p r e q u e s e u s e u n c o n ju n t o co n siste n te
d e u n id a d e s p a r a e l f a c t o r d e r ig id e z , e l D F n o te n d r á u n id a d e s , y e n u n a
ju n ta , e x c e p t o c u a n d o s e e n c u e n t r e e n u n a p a r e d fija , la s u m a d e lo s D F
s e r á s ie m p r e ig u a l a 1.
D e s p u é s d e h a b e r c a lc u la d o lo s D F. a h o r a se d e te r m i n a r á n lo s F E M .
S ó lo e l c la r o B C e s tá c a r g a d o y. c o n b a s e e n la ta b la u b ic a d a e n la p a r t e
in te r io r d e la c o n tr a p o r t a d a , p a r a u n a c a r g a u n if o r m e s e ti e n e
W L 2 2 4 0 (2 0 )2
(FEM )bc “ “ -J2- “ ñ ~ = " ® 00,b'Pie
w L z 2 4 0 (2 0 )2
( F E M ) c a = — = Kn = 8 0 0 0 I b - p i e

514. 4 9 2 Ca p i t u l o 1 2 M é t o d o d e a n á l i s i s d e l d e s p l a z a m i e n t o : d i s t r i b u c i ó n d e m o m e n t o s
240 Ib/pic
u irm i n 11|
'8000 Ib-pie8000 Ib-pie
la junta B se mantiene fija
<b)
8000 Ib-pie
aum ento de corrección aplicado a la junta B
(c)
Ju n taA B C
E lem en toA B B A B C C B
D F
F E M
D ist.T R
0 0.4 0.6
-8000
jonn
0
8000
1600- — 3200 480 0 - - 2400
1 M 1600 3200 --3200 10 400
(e)
S e e m p ie z a p o r s u p o n e r q u e la j u n t a B e s tá fija o b lo q u e a d a . E n to n c e s el
m o m e n to d e e x tr e m o fijo e n B c o n tie n e e l c la r o B C e n e s t a p o s ic ió n fija
o b lo q u e a d a , c o m o s e m u e s tr a e n la fig u ra 12-5Í». P o r s u p u e s to , e s t o n o
re p r e s e n ta la s itu a c ió n d e e q u il ib r io r e a l e n B , p u e s t o q u e lo s m o m e n to s
e n c a d a la d o d e e s t a j u n t a d e b e n s e r ¡g u a le s p e r o o p u e s t o s P a r a c o r r e g ir
b a n t e r i o r s e a p lic a rá u n m o m e n to ig u al p e r o o p u e s t o d e 8 0 0 0 Ib • p ie a
la j u n t a y s e p e r m it ir á q u e la j u n t a g ir e lib r e m e n te , fig u ra !2 - 5 c . C o m o
r e s u lta d o , la s p o r c io n e s d e e s t e m o m e n to s e d is tr ib u y e n e n lo s c la r o s B C
y B A . d e a c u e r d o c o n lo s D F (o la r i g id e z ) d e e s t o s c la r o s e n la j u n t a . E n
e sp e c ífic o , e l m o m e n to e n B A es d e 0 .4 (8 0 0 0 ) = 3 2 0 0 Ib • p i e y e l m o m e n to
e n B C e s d e 0 .6 (8 0 0 0 ) 4 8 0 0 Ib • p ie . P o r ú ltim o , d e b id o a la r o ta c ió n lib re
q u e o c u r r e e n B , e s t o s m o m e n to s d e b e n “ t r a s l a d a r s e " p u e s t o q u e lo s
m o m e n to s s e d e s a r r o ll a n e n lo s e x tr e m o s d e l c la r o . S i s e u s a u n f a c t o r d e
tr a s la d o d e + J .l o s r e s u lta d o s s o n c o m o s e m u e s tr a e n la fig u ra 1 2 -5d.
E s te e je m p lo in d ic a lo s p a s o s b á s ic o s n e c e s a r io s e n la d is tr ib u c ió n d e
m o m e n to s e n u n a ju n ta : D e te r m in a r e l m o m e n to n o e q u ilib r a d o q u e
a c tú a in ic ia lm e n te e n l a ju n t a “ b lo q u e a d a " , d e s b l o q u e a r la j u n t a y a p l i ­
c a r u n m o m e n to d e s e q u ilib r a d o ig u a l p e r o o p u e s t o p a r a c o r r e g ir e l e q u i ­
lib rio , d is tr i b u ir e l m o m e n to e n t r e lo s c la r o s c o n e c ta d o s , y tr a s la d a r el
m o m e n to e n c a d a c la r o h a s ta s u o t r o e x tr e m o . P o r lo g e n e r a l , lo s p a s o s
s e p r e s e n ta n e n fo r m a d e ta b la , c o m o s e in d ic a e n la fig u ra 1 2 - 5 e .A q u í la
n o ta c ió n D i s t .T R in d ic a u n a fila d o n d e lo s m o m e n to s s e d is tr ib u y e n y
d e s p u é s se tr a s la d a n . E n e s t e c a s o p a r t ic u l a r s ó l o e s n e c e s a r io u n c ic l o d e
d is trib u c ió n d e m o m e n to s , p u e s t o q u e lo s s o p o r te s d e p a r e d e n A y C
“ a b s o r b e n ” lo s m o m e n to s y n o d e b e e q u ilib r a r s e o d e s b lo q u e a r s e n i n ­
g u n a ju n t a a d ic io n a l p a r a s a t is f a c e r e l e q u ilib r io d e la ju n t a . U n a v e z d is ­
tr ib u id o s d e e s ta m a n e r a , lo s m o m e n to s e n c a d a ju n t a s e s u m a n , o b t e ­
n ie n d o lo s r e s u lta d o s fin a le s q u e se m u e s tr a n e n la fila in f e r io r d e la
ta b l a d e la fig u ra 12-5e. O b s e r v e q u e a h o r a la j u n t a B se e n c u e n t r a e n
e q u ilib r io . C o m o M g c e s n e g a tiv o , e s t e m o m e n to s e a p lic a a l c l a r o B C
e n u n s e n tid o a n tih o r a r io , c o m o s e m u e s tra e n lo s d ia g r a m a s d e c u e r p o
lib re d e lo s c la r o s d e la v ig a e n la fig u ra 12-5/. A I c o n o c e r lo s m o m e n to s
e n lo s e x tr e m o s .s e c a lc u la n la s f u e r z a s c o r t a n t e s e n lo s e x tr e m o s a p a r t i r
d e las e c u a c io n e s d e e q u il ib r io a p lic a d a s a c a d a u n o d e e s to s c la ro s.
C o n s id e r e a h o r a la m ism a v ig a , e x c e p t o q u e e l s o p o r te e n C e s u n o s c i­
la d o r, f ig u r a 12-6a. E n e s t e c a s o , s ó l o u n e le m e n t o e stá e n la j u n t a C . p o r
b q u e e l f a c t o r d e d is tr ib u c ió n p a r a lo s e le m e n to s d e C B e n la j u n t a C e s
D Fc b =
4 E (3 0 )
4 £ '(3 0 )
= 1
16001b- VHl - 320 Ib V's. - 2040 Ib, , ?,4°|lb|/p Í^ Vc - 2760 IbI Ib -p ie * f t ” •>«» •!» V B = ¿OHI ID - r
C Ir 1
VA - 320 Ib!
------«5 pies 1 3200 I b-pie |—
-2 0 p i e s 1f
1 0 4 0 0 I b - p ie
( 0
H g u r a 12-5

515. 1 2 . 2 Di s t r i b u c i ó n d e m o m e n t o s p a r a v i g a s 4 9 3
L o s o tr o s f a c to r e s d e d is tr ib u c ió n y lo s F E M s o n ig u a le s a lo s c a lc u la d o s
c o n a n t e r i o r i d a d . S e e n u n c i a n e n la s fila s 1 y 2 d e la t a b l a e n la fig u ra
12-66. E n u n in ic io s e s u p o n d r á q u e las j u n t a s B y C e s tá n b lo q u e a d a s . S e
c o m ie n z a p o r l i b e r a r la j u n t a C y c o lo c a r u n m o m e n to e q u il ib r a n te d e
- 8 0 0 0 Ib • p ie e n la ju n t a . T o d o e l m o m e n to s e d is tr ib u y e e n e l e le m e n to
C B p u e s t o q u e ( 1 ) ( - 8 0 0 0 ) Ib • p ie = - 8000 Ib • p ie. L a fle c h a e n la fila
3 in d ic a q u e $ ( - 8 0 0 0 ) Ib • p ie = - 4 0 0 0 Ib • p ie s e tr a s la d a a la j u n t a B
p u e s to q u e la j u n t a C a h o ra p u e d e g ir a r lib r e m e n te . L a j u n t a C se b lo ­
q u e a d e n u e v o . C o m o e l m o m e n to to t a l e n C e s t á e q u ilib r a d o ,s e c o lo c a
u n a f ila d e b a jo d e l m o m e n to d e - 8000 Ib • p ie. A h o r a s e c o n s id e r a r á e l
m o m e n to d e s e q u i li b r a d o d e - 12 0 0 0 Ib • p ie e n la j u n t a B . A q u í, p a r a lo ­
g r a r e l e q u il ib r io .s e a p lic a u n m o m e n to d e + 12 0 0 0 Ib • p ie a B y e s ta
ju n t a se d e s b l o q u e a d e m o d o q u e la s p a r t e s d e l m o m e n to s e d is tr ib u y a n
e n B A y B C .e s d e c ir . (0 .4 ) ( 12 0 0 0 ) = 4 8 0 0 Ib • p e y (0 .6 )(1 2 0 0 0 ) = 7200
Ib • p e , c o m o s e m u e s tr a e n la fila 4 .T a m b ió n te n g a e n c u e n ta q u e + $ de
e s t o s m o m e n to s d e b e tr a s la d a r s e a l a p a r e d fija A y a l r o d illo C p u e s to
q u e l a j u n t a B h a g ir a d o . L a j u n t a B a h o r a s e b lo q u e a d e n u e v o . U n a v ez
m ás. la j u n t a C x lib e r a y e l m o m e n to d e s e q u i li b r a d o e n e l r o d illo s e d is ­
trib u y e c o m o se h iz o a n te r io r m e n te . L o s re s u lta d o s s e m u e s tra n e n la fila 5.
Si la s ju n t a s B y C se b lo q u e a n y d e s b l o q u e a n d e m a n e r a s u c e s iv a , e n
e s e n c ia s e d is m in u y e e l ta m a ñ o d e l m o m e n to q u e d e b e e q u ilib r a r s e
h a s ta q u e s e v u e lv e in s ig n ific a n te e n c o m p a r a c ió n c o n lo s m o m e n to s o r i ­
g in a le s, fila 14. C a d a u n o d e lo s p a s o s e n la s fila s 3 y 14 d e b e n e n te n d e r s e
p le n a m e n te . Si s e s u m a n lo s m o m e n to s , lo s r e s u lta d o s fin a le s s o n lo s q u e
s e m u e s tr a n e n la fila 15. d o n d e s e v e q u e lo s m o m e n to s f in a le s y a s a tis ­
fa c e n e l e q u il ib r io d e la ju n t a .
______740 lb/pie
«iHttlIlUJi.
IAB = 3 0 0 p u lg 4 ¡bc ~ 6 0 0 pu lg *
15 pies— 1
-------------20 pies-----------1
(«>
Figura 12-6
Junta A B C
Elemento A B BA B C CB
DF 0 0.4 0.6 1 1
FEM
-8 0 0 0 8000
-4 0 0 0
------8000
2
3
2400 — 4800 7200 - 3600
-1800
------3600
4
5
360 — 720 1080 - 540
-2 7 0 — -5 4 0
6
7
54 — 108 162 — 81
-4 0 .5 — -81
8
9
8.1 — 16.2 24.3 — 12.2
- 6 . 1 - -1 2 .2
10
11
u 4 - Z 4 3.6 4 * 1.8
- 0 .9 — - 1 .8
12
13
0.4 0.5 14
1 M 2823.3 5647.0 -5647.0 0 15
(b)

516. 4 9 4 C a p i t u l o 1 2 M é t o d o d e a n á l i s i s d e l d e s p l a z a m i e n t o : d i s t r i b u c i ó n d e m o m e n t o s
E n lu g a r d e a p li c a r e l p r o c e s o d e d is tr ib u c ió n d e m o m e n to s d e m a n e r a
s u c e s iv a a c a d a j u n t a ,c o m o s e m u e s tr a a q u í , ta m b ié n e s p o s ib le a p lic a rlo
e n to d a s la s ju n ta s al m is m o tie m p o . E s te e s q u e m a s e m u e s tra e n la ta b l a de
la fig u ra 12-6c. E n e s t e c a so , s e c o m ie n z a p o r fija r to d a s la s ju n t a s p a r a
d e s p u é s e q u il ib r a r y d is tr i b u ir lo s m o m e n to s d e l e x tr e m o f i jo e n la s j u n ­
ta s H y C .f ila 3 . S i s e lib e r a n la s j u n t a s R y C a l m is m o tie m p o (la j u n t a A
s ie m p r e e s t á fija ), e n to n c e s lo s m o m e n to s s e tr a s la d a n a l e x tr e m o d e
c a d a c la r o , fila 4. U n a v ez m á s , la s ju n ta s s e b lo q u e a n , y lo s m o m e n to s se
e q u ilib r a n y d is tr ib u y e n , fila 5. A l l i b e r a r la s ju n t a s u n a v e z m á s s e p e r ­
m ite q u e lo s m o m e n to s se tr a s la d e n , c o m o s e m u e s tr a e n la fila 6 . C o n t i ­
n u a n d o d e e s t a m a n e r a s e o b tie n e e l m is m o r e s u lta d o fin a l q u e a n te s , el
c u a l a p a r e c e e n la lín e a 2 4 . E n c o m p a r a c ió n , e s t e m é t o d o d a u n a c o n v e r ­
g e n c ia m á s le n t a q u e la r e s p u e s ta d e l m é to d o a n te r io r , s in e m b a r g o , e n
m u c h o s c a s o s , la a p lic a c ió n d e e s t e m é to d o e s m á s e f ic ie n te y p o r e l l o se
u tiliz a r á e n lo s e je m p lo s q u e s ig u e n . ft>r ú ltim o , c o n b a s e e n lo s r e s u lta ­
dos. y a s e a d e la fig u ra 1 2 -6b o 12-6c, lo s d ia g r a m a s d e c u e r p o lib r e d e
c a d a c la r o d e la v ig a s o n c o m o s e p r e s e n ta n e n la f ig u r a 12-6d .
A p e s a r d e q u e e n e s te c a s o la o b te n c ió n d e lo s r e s u lta d o s f in a le s im ­
p lic ó v a rio s p a s o s , e l t r a b a j o q u e se n e c e s ita e s b a s t a n te m e tó d ic o , p u e s to
q u e r e q u i e r e la a p lic a c ió n d e u n a s e r i e d e p a s o s a r i tm é ti c o s .e n v ez d e r e ­
s o lv e r u n c o n ju n t o d e e c u a c i o n e s c o m o e n e l m é t o d o d e la p e n d ie n t e - d e -
Junta A B C
Hcmcnto A B BA BC CB
D F 0 0.4 0 6 1 1
FEM -8000 8000 2
D isi
/
, 3200 4800
1
-8000 3
TR 1600 -4000 2400 4
D isi , 1600 2400 f-2400 5
TR 800 -1200 1200 6
D isi . 480 720 -1200 7
TR 240 -600 • 360 8
D isi , 240 360 -360 9
TR 120 j -1 8 0 9; 180 10
D isi . 72 108 -180 II
TR 36 ' - 9 0 , ' 54 12
D isi 36
54 /
-5 413
TR 18 " -2 7 27 14
D isi
■ ■ ■ j
10.8
F.»
162 -27 15
TR 5.4 -13.5 8.1 16
D isi 5.4
M J
-8.1 17
TR 2.7 ' -4.05 4.05 18
D isi 162 243, —405 19
TR 0.81 -2.02 122 20
D isi 060
P.%i »V^<2
122 -1 2 2 21
TR 0.40 * -0.61 0.61 22
D isi 024 037 -0 6 1 23
XM 2823 5647 -5647 0 24
(c)
l í g u r a 1 2 - 6
28233 Ib pie f s ,- 5 6 4 .7 1 b
i¡ = t
* I 15 P,cs 1 5647.0 Ib • i
V . — 564.7 Ib ' ' pM5
V „ t = 2 6 8 2 .4 I b 2 4 0 I b/ p i e Vc = 2 1 1 7 .6 Ib
M inm fitnu
lj
---------2 0 pies--------11
5647S) I b p ie
<d)

517. 1 2 . 2 Di s t r i b u c i ó n d e m o m e n t o s r a r a v i g a s
fle x ió n . S in e m b a r g o , c a b e s e ñ a l a r q u e e l p r o c e s o f u n d a m e n ta l d e la d is ­
tr ib u c ió n d e m o m e n to s s ig u e e l m is m o p r o c e d im ie n to q u e c u a lq u ie r m é ­
to d o d e d e s p la z a m ie n to . A h í e l p r o c e s o c o n s is te e n e s ta b le c e r re la c io n e s
d e c a r g a - d e s p la z a m ie n to e n c a d a j u n t a y s a tis f a c e r la s n e c e s id a d e s d e
e q u ilib r io e n la s j u n t a s a fin d e d e t e r m i n a r e l d e s p la z a m ie n to a n g u la r c o ­
r r e c to d e la j u n t a ( c o m p a tib ilid a d ) . A q u í, s i n e m b a r g o , e l e q u il ib r io y la
c o m p a tib ilid a d d e la r o t a c ió n e n la j u n t a s e s a tis f a c e n d ir e c ta m e n te a p li­
c a n d o u n “ b a la n c e d e m o m e n to s ” , p r o c e s o q u e in c o r p o r a la s re la c io n e s
d e c a rg a - d e fle x ió n ( f a c to r e s d e rig id e z ) . T a m b ié n e s p o s ib le s im p lific a r
a ú n m á s e l u s o d e la d is tr ib u c ió n d e m o m e n to s , y e s t o s e e s t u d ia r á e n la
p ró x im a s e c c ió n .
P r o c e d im ie n to d e a n á lis is
E l s ig u ie n te p r o c e d i m i e n to p r o p o r c io n a u n m é to d o g e n e r a l p a r a d e t e r m i n a r lo s m o m e n ­
to s e n lo s e x tr e m o s d e c la r o s d e v ig a m e d i a n te la d is tr ib u c ió n d e m o m e n to s .
F a c t o r e s d e d is tr i b u c ió n y m o m e n t o s d e e x t r e m o fijo
E s n e c e s a r io id e n tif ic a r la s ju n t a s e n la v ig a y c a lc u la r lo s f a c to r e s d e rig id e z p a r a c a d a
c la r o e n las ju n t a s . C o n e s t o s v a lo r e s e s p o s ib le d e te r m i n a r lo s f a c to r e s d e d is tr ib u c ió n a
p a r t i r d e D F - K / 7 .K , R e c u e r d e q u e D F ■ 0 p a r a u n e x tr e m o f ijo , y D F » 1 p a r a u n s o ­
p o r t e d e p a s a d o r o r o d illo e n e l e x tr e m o .
L o s m o m e n to s d e e x tr e m o fijo p a ra c a d a c la r o c a r g a d o s e d e te r m i n a n u tiliz a n d o la
ta b l a q u e s e e n c u e n t r a e n e l in t e r i o r d e la c o n tr a p o r t a d a . L os F E M p o s itiv o s a c tú a n e n
s e n tid o h o r a r io s o b r e e l c la r o y lo s F E M n e g a tiv o s a c tú a n e n s e n t id o c o n tr a r io . P a r a
m a y o r c o m o d id a d , e s t o s v a lo r e s p u e d e n r e g is tr a r s e e n f o r m a ta b u la r , c o m o s e m u e s tr a
e n la fig u ra 12-6c.
P r o c e s o d e d is tr i b u c ió n d e m o m e n t o s
S u p o n g a q u e to d a s la s j u n t a s e n la s q u e d e b e n d e te r m i n a r s e lo s m o m e n to s s o b r e lo s c la ­
r o s c o n e c ta d o s e s t á n in ic ia lm e n te b lo q u e a d a s . E n to n c e s :
1 . D e te r m in e e l m o m e n to n e c e s a r io p a r a p o n e r c a d a j u n t a e n e q u ilib r io .
2 . L ib e re o “ d e s b l o q u e e " la s ju n t a s y d is tr ib u y a lo s m o m e n to s d e e q u ilib r io e n e l c la r o
c o n e c ta d o a c a d a ju n t a .
3 . ’l h t s l a d e e s t o s m o m e n to s e n c a d a c la r o h a c ia s u o t r o e x tr e m o m u ltip lic a n d o c a d a m o ­
m e n to p o r e l f a c to r d e tr a s la d o + $ .
A l r e p e t i r e s t e c ic lo d e b lo q u e o y d e s b l o q u e o d e la s ju n t a s s e e n c o n t r a r á c o n q u e las
c o rr e c c io n e s d e lo s m o m e n to s d is m in u ir á n p u e s t o q u e la v ig a t i e n d e a a lc a n z a r s u f o r m a
fin a l a lte r a d a . C u a n d o s e o b ti e n e u n v a lo r s u f ic ie n te m e n te p e q u e ñ o p a r a la s c o r r e c c io ­
n e s , e l p r o c e s o c íc lic o d e b e d e te n e r s e s i n “tr a s l a d a r " lo s ú ltim o s m o m e n to s . D e s p u é s
d e b e s u m a r s e c a d a c o lu m n a d e F E M , m o m e n to s d is tr ib u id o s y m o m e n to s d e tr a s la d o . Si
e s to s e h a c e c o r r e c ta m e n te , s e lo g r a r á e l e q u ilib r io d e m o m e n to s e n la s ju n ta s .

518. 4 9 6 C a p i t u l o 1 2 M é t o d o d e a n á l i s i s d e l d e s p l a z a m i e n t o : d i s t r i b u c i ó n d e m o m e n t o s
EJE M P LO 12.1
D e te r m in e lo s m o m e n to s in te rn o s e n c a d a s o p o r te d e la v ig a q u e se
m u e s tr a e n la fig u ra !2 - 7 a . E l e s c o n s ta n te .
7 0 k N / m
2 5 0 k N
4 m 4 m
H g u r a 1 2 - 7
S O L U C IÓ N
P r im e r o d e b e n c a lc u la r s e lo s f a c t o r e s d e d is tr ib u c ió n e n c a d a j u n t a *
L o s fa c to re s d e rig id e z p a r a lo s e le m e n to s s o n
4 £ / 4 £ 7 4 E l
^ A f í - ~ n r * 8 c - T T e n
12 12
P o r lo ta n t o .
D F AB = D F o c = 0 D F a x = D F Bc
4 E 7 /1 2
8
4 E 7 /1 2
D F
C B
4 £ / / 1 2 + 4 £ 7 / 8
0 .4 D F c o
4 E 7 /1 2 + 4 £ / / 1 2
- 4 £ / / 8
" 4 £ / / 1 2 + 4 £ / / 8
0 . 5
0.6
Ix>s m o m e n to s d e e x tr e m o fijo s o n
(F F .M )fl<>
( F E M )CD
12 12
w l 2 - 2 0 ( 1 2 f w L 2 2 0 ( 12)2
= - 2 4 0 k N • m ( F E M )Cfl = 4 4 = - 4 4 - = 240 k N • m
P L = - 2 5 0 ( 8 )
8
P L 2 5 0 (8 )
= - 2 5 0 k N • m ( F E M ) * * = — = — «= 2 5 0 k N • m
o o o
E m p e z a n d o c o n lo s F E M . fila 4 d e la fig u ra 1 2 -7 6 . lo s m o m e n to s e n
la s ju n t a s H y C se d is tr ib u y e n e n f o r m a s im u ltá n e a , fila 5. D e s p u é s ,
e s t o s m o m e n to s s e tr a s la d a n s im u ltá n e a m e n te a lo s r e s p e c tiv o s e x t r e ­
m o s d e c a d a c la r o , fila 6 . D e n u e v o , lo s m o m e n to s r e s u lta n te s se d is tr i­
b u y e n y s e tr a s la d a n s im u l tá n e a m e n te , fila s 7 y 8 . E l p r o c e s o c o n tin ú a
h a s ta q u e lo s m o m e n to s r e s u lta n t e s d is m in u y a n a la c a n ti d a d a d e ­
c u a d a , fila 13. L os m o m e n to s r e s u lta n te s s e d e te r m i n a n m e d ia n te u n a
s u m a to r ia . fila 14.
Si s e c o lo c a n lo s m o m e n to s s o b r e c a d a c la r o d e la v ig a y s e a p lic a n
la s e c u a c io n e s d e e q u ilib r io , se o b ti e n e n las f u e r z a s c o r t a n te s e n lo s
e x tr e m o s q u e s e m u e s tr a n e n la fig u ra 12-7c y e l d ia g r a m a d e m o ­
m e n t o f le x io n a n te p a r a t o d a la v ig a , fig u ra 12-7d .
'A q u í s e ú til i / ó e l t a c t o r d e r ig i d e z 4 E t / L \ á n e m b a r g o , t a m b i é n p u d o h a b e r s e e m ­
p l e a d o e l t a c t o r d e r i g i d e z r e l a t i v a l / L .

519. 1 2 . 2 D lS T R iB U C lÓ N D E M O M E N T O S RARA V IG A S 4 9 7
Ju n taA B C
Elem entoA B B A B C C B CD
D F 0 0.5 0.5 0.4 0.6
FF.M - 2 4 0 240 - 2 5 0 250 4
Dist.
/
120
120 X
4
6 .
5
T R 60 2 X 60 3 6
Dist.
/
- 1
“ 1 X
- 2 4 - 3 6 7
T R - 0 .5 - 1 2 X - 0 .5
N
- 1 8 8
Dist.
------------------j e .
6
6 X
0.2 0 3 . 9
T R 3 X a i x 3 0.2 10
Dist.
___/
-0 .0 5 - 0 . 0 5 1 - 1 .2
_ - M . J
11
T R -0 .0 2 - 0 . 6 -0 .0 2 - 0 .9 12
Dist. 0.3 0 3 0.01 0.01 13
62.5 125.2 -1 2 5 .2 281.5 -2 8 1 .5 234.3 14
" 7 j i
1 5 A k N
1 5 .6 k N
12 1
1 0 7 .0 k N
1 2 5 .2 kN *t
2 0 k N / m
UliiiLLL
2 5 0 k N
1 3 3 .0 k N 1 3 0 .9 k N 1 1 9 .1 k N
12:
1) ( t á ¿ á t )
2 8 1 .5 k N - m \ r n i
2 3 4 3 kN *
(c)
12

520. 4 9 8 C a p i t u l o 1 2 M é t o d o d e a n á l i s i s d e l d e s p l a z a m i e n t o : d i s t r i b u c i ó n d e m o m e n t o s
EJE M P LO 1 2 .2
D e te r m in e e l m o m e n to in te r n o e n c a d a s o p o r te d e la v ig a q u e s e m u e s­
tr a e n la f ig u r a 12-8a. S e in d ic a e l m o m e n to d e in e r c ia d e c a d a claro .
4 0 0 Ib
6 0 Ib
S O L U C IÓ N
E n e s t e p r o b le m a n o h a y u n m o m e n to q u e s e d is tr ib u y a e n e l c la r o s a ­
li e n te z l £ ; p o r lo ta n t o , e l f a c t o r d e d is tr ib u c ió n ( D F ) * , - 0 . L a rig i­
d e z d e l c l a r o B C se b a s a e n 4E l / L p u e s to q u e e l o s c i la d o r n o e s t á e n
e l e x tr e m o le ja n o d e la v ig a . L o s f a c to r e s d e r ig id e z , lo s f a c to r e s d e
d is tr ib u c ió n y lo s m o m e n to s d e e x tr e m o fijo s e c a lc u la n d e la s i­
g u ie n te m a n e r a :
4 £ ( 7 5 0 )
'RC 150 E K c n “
4 £ ( 6 0 0 )
2 0 15
D F flc = 1 - ( D F ) f l^ = 1 - 0 = 1
1 5 0 £
a 1 6 0 E
D F C»
D F
C D
1 5 0 £ + 1 6 0 £
1 6 0 £
1 5 0 £ + 1 6 0 £
1 6 0 £
= 0.4 8 4
= 0.516
oo + 160£
= 0
D e b id o a la s a lie n te .
( F E M ) fl^ = 4(K) lb ( 10 p i e s ) = 4 0 0 0 I b - p ie
( F E M ) f lc =
( F E M )c í,
12
w ¡ ¿ _
12
6 0 ( 2 0 )2
12
6 0 ( 2 0 )2
12 =
= - 2 0 0 0 I b - p i e
2 0 0 0 I b - p ie
E s to s v a lo r e s s e m u e s tr a n e n la c u a r ta fila d e la ta b la , fig u ra 12-86.
E l c la r o s a lie n te r e q u i e r e q u e e l m o m e n to in t e r n o a l a iz q u ie rd a d e B
s e a + 4 0 0 0 Ib • p ie. E l e q u ilib r io e n l a j u n t a B e x ig e u n m o m e n to in ­
t e r n o d e - 4 0 0 0 Ib • p ie a la d e r e c h a d e B . C o m o s e m u e s tra e n la
q u i n t a f ila d e la ta b l a , s e a g r e g a n - 2 0 0 0 Ib • p ie a B C co n e l fin d e s a ­
tis fa c e r e s t a c o n d ic ió n . L a s o p e r a c i o n e s d e d is tr ib u c ió n y tr a s la d o se
re a liz a n d e la m a n e r a u s u a l, c o m o s e in d ic a e n la ta b la .

521. 1 2 . 2 Di s t r i b u c i ó n d e m o m e n t o s p a r a v i g a s 4 9 9
D a d o q u e s e c o n o c e n lo s m o m e n to s in t e r n o s .e s p o s ib le c o n s t r u ir e l
d ia g r a m a d e m o m e n to p a r a l a v ig a ( f ig u r a 12-8c).
J u n t a B
f
D
E l e m e n t o B C C B C D D C
D F 0 I 0.4 8 40 3 1 6 0
F E M 4 0 0 0 - 2000 2000
D is t. - 2 0 0 0 w - 9 6 8 - 1 0 3 2 v
T R - 4 8 4 X- 1 0 0 0 - 5 1 6
D is t. 4 8 4 v 4 8 4 5 1 6 v
T R 242 A 2 4 2 258
D ist.
_________I - 2 0 v- 1 1 7 .1 - 1 2 4 , 9 v
T R - 5 8 . 6
_ \
121 - 6 2 . 4
D is t.__________l 3 & 6 v v 5 8 .6 6 2 .4 v
T R 2 9 .3 2 9 J 3 1 2
D ist. - 2 9 . 3 v - 1 4 2- 1 5 . l v
T R - 7 . 1 X - 1 4 . 6
\
- 7 6
D is t.
7 , 1 V
7.1
7 -6 v
T R 3 .5 3.5
\
3 .8
D ist. - 3 . 5 x -1.7 - 1 . 8 v
T R - 0 . 8 —1.8
\
- 0 . 9
D is t. 0 . 8 x 0.9
° * 9 \
T R 0 .4 0.4 0.4
D is t. - 0 . 4 x - 0 2 - 0 . 2
T R - 0 . 1 x -0 2 - 0 . 1
D ist. 0.1 0.1 0.1
XA/ « 0 0 - 4 0 0 0 5 8 7 .1 - 5 8 7 . 1 7 9 3 6
<b)
-4000
(c)

522. 5 0 0 C a p i t u l o 1 2 M é t o d o d e a n á l i s i s d e l d e s p l a z a m i e n t o : d i s t r i b u c i ó n d e m o m e n t o s
M =
4 El
j u n t a
li b e r a d a
j u n t a
b l o q u e a d a
Figura 12-9
M
a a
ju n ta
lib e r a d av ig a r e a l
( a )
e x t r e m o
a r t i c u l a d o
M l í D
T r, £ /
A v ig a c o n j u g a d a
(b)
Figura 12-10
1 2 .3 M od ificacio ne s al fa c to r d e rig id e z
E n lo s e je m p lo s a n te r io r e s d e la d is tr ib u c ió n d e m o m e n to s , a l d is tr i b u ir y
tr a s la d a r lo s m o m e n to s s e h a c o n s id e r a d o q u e c a d a c la r o d e la v ig a e s tá
re s tr in g id o p o r u n s o p o r te fijo ( ju n ta b lo q u e a d a ) e n s u e x tr e m o le ja n o .
ft> r e s t a r a z ó n s e h a n c a lc u la d o lo s f a c to r e s d e rig id e z , lo s f a c to r e s d e d is ­
tr ib u c ió n y lo s fa c to re s d e tr a s la d o a p a r t i r d e l c a s o d e la fig u ra 12-9. P o r
s u p u e s to , a q u í K =» 4 E I / L es e l f a c t o r d e rig id e z ( e c u a c ió n 1 2 -1 ) y e l fa c ­
t o r d e tr a s la d o e s + } .
E n a lg u n o s c a so s e s p o s ib le m o d ific a r e l f a c t o r d e rig id e z d e u n c la r o
p a r tic u la r d e l a v ig a y p o r lo t a n t o s im p lif ic a r e l p ro c e s o d e d is tr ib u c ió n
d e m o m e n to s . A c o n tin u a c ió n s e e s t u d ia r á n tr e s c a so s p rá c tic o s e n lo s
q u e e s to o c u r r e c o n fre c u e n c ia .
E l e m e n t o a r t i c u l a d o s o p o r t a d o e n s u e x t r e m o l e j a n o . M u c h a s
v ig a s in d e te r m in a d a s t i e n e n e l e x tr e m o le ja n o d e s u c la r o s o p o r t a d o p o r
u n p a s a d o r ( o u n ro d illo ) c o m o e n e l c a s o d e la j u n t a B d e l a fig u ra 12-10a.
A q u í, e l m o m e n to M a p lic a d o g ir a e l e x t r e m o A e n u n a c a n ti d a d 0. P a r a
d e te r m i n a r f l .d c b e d e te r m in a r s e la f u e r z a c o r t a n te e n e l p u n t o A ’ d e la
viga c o n ju g a d a , fig u ra 12-10¿>.Se tie n e
= 0;
o b ie n
Va = 0
M L
3 E l
ft>r lo ta n t o , e l f a c t o r d e rig id e z p a r a e s ta v ig a e s
E x tr e m o le ja n o a r tic u la d o
o c o n s o p o r t e d e r o d illo
(1 2 - 4 )
A d e m á s , o b s e r v e q u e e l fa c to r d e tr a s la d o e s c e r o , p u e s t o q u e e l p a s a d o r
e n B n o s o p o r ta u n m o m e n to . E n to n c e s , p o r c o m p a r a c ió n , s i e l e x tr e m o
le ja n o e s tu v ie r a fija m e n te a p o y a á o ,e l fa c t o r d e r ig id e z K = 4 E I / L te n d r ía
q u e m o d ific a r s e en 3 a f i n d e m o d e la r e l c a s o d e l e x tr e m o le ja n o a r tic u ­
la d o . Si s e to m a e n c u e n ta e s t a m o d ific a c ió n , e l p r o c e s o d e d is tr ib u c ió n
d e m o m e n to s s e s im p lif ic a p u e s t o q u e e l e x tr e m o a r tic u la d o n o tie n e q u e
b lo q u c a r e e y d e s b lo q u e a r s e s u c e s iv a m e n te p a r a d is tr i b u ir lo s m o m e n to s .
A d e m á s , c o m o e l e x tr e m o d e l c la r o e s t á fijo , lo s m o m e n to s d e e x tr e m o
fijo p a r a e l c la r o s e c a lc u la n e m p l e a n d o lo s v a lo r e s e n la c o lu m n a d e ­
r e c h a d e la ta b la q u e s e e n c u e n t r a e n e l in te r io r d e la c o n tr a p o r t a d a . E n
el e je m p lo 12-4 s e ilu s tr a la f o r m a d e a p li c a r e s ta s s im p lific a c io n e s .

523. 1 2 . 3 Mo d i f i c a c i o n e s a i f a c t o r d e r ig i d e z 5 0 1
V' t ^ z
\ *
T í
v ig a r e a l v ig a c o n j u g a d a
(a) <b)
F ig u r a 1 2 - 1 1
r
M
F .l
V i g a y c a r g a s i m é t r i c a s . Si u n a v ig a e s s im é tr ic a c o n r e s p e c to a
su c a r g a y ta m b ié n a s u g e o m e t r í a , e l d ia g r a m a d e m o m e n to fle x io n a n te
d e la v ig a ta m b ié n s e r á s im é tric o . E n c o n s e c u e n c ia , p u e d e h a c e r s e u n a
m o d ific a c ió n d e l f a c t o r d e rig id e z p a r a e l c la r o c e n tr a l, p o r lo q u e lo s
m o m e n to s e n la v ig a s ó l o d e b e n d is tr ib u ir s e a tr a v é s d e la s j u n t a s q u e
e s t á n e n a m b o s p u n to s m e d io s d e la v ig a . P a r a d e s a r r o ll a r la m o d ific a ­
c ió n a d e c u a d a d e l f a c to r d e rig id e z , c o n s id e r e la v ig a d e la fig u ra 12-1 la .
D e b id o a la s im e tr ía , lo s m o m e n to s in te r n o s e n B y C s o n ig u a le s . S u p o ­
n ie n d o q u e e s t e v a lo r s e a M , la v ig a c o n ju g a d a p a r a e l c la r o R C e s c o m o
s e m u e s tr a e n la f ig u r a 1 2 -1 1¿>. P o r lo ta n t o , la p e n d ie n t e Q e n c a d a e x ­
tr e m o e s .
l + S M c . = 0; - V r { L ) + = 0
o b ie n
M L
V p- = 6 =
------
H 2 E I
2 E l
M = = j - 0
E n to n c e s ,e l f a c to r d e rig id e z p a r a e l c la r o c e n t r a l e s
(1 2 - 5 )
E n c o n s e c u e n c ia , s ó lo s e p u e d e n d is tr i b u ir lo s m o m e n to s d e la m ita d
d e la v ig a d a d o q u e e l f a c t o r d e rig id e z p a r a e l c la r o c e n tr a l s e c a lc u la
e m p l e a n d o la e c u a c ió n 1 2 -5 . E n c o m p a r a c ió n , d f a c t o r d e r ig id e z d e l
c la ro c e n tr a l se r á la m ita d d e l q u e g e n e r a lm e n te s e d e te r m in a e m p le a n d o
K = 4 E I / L

524. 5 0 2 Ca p i t u l o 1 2 M é t o d o d e a n á l i s i s d e l d e s p l a z a m i e n t o : d i s t r i b u c i ó n d e m o m e n t o s
» M > < f >
v ig a r e a l
(a )
v ig a c o n j u g a d a
( b )
Figura 12-12
Viga simétrica con carga antisim étrica. Si u n a v ig a s im é tric a
s e s o m e te a u n a c a r g a a n tis im é tr ic a , e l d ia g r a m a d e m o m e n to r e s u lta n t e
s e r á a n tis im é tric o . A l ig u a l q u e e n e l c a s o a n te r io r , e l f a c to r d e rig id e z
d e l c la r o c e n tr a l s e p u e d e m o d ific a r d e m a n e r a q u e s ó l o d e b a c o n s i d e ­
r a r s e la m ita d d e la v ig a p a r a e l a n á lis is d e d is tr ib u c ió n d e m o m e n to s .
C o n s id e r e la v ig a d e la fig u ra 12 -1 2 a. 1.a v ig a c o n ju g a d a p a r a s u c la r o
c e n t r a l B C se m u e s tr a e n la fig u ra 12-12/». D e b id o a la c a rg a a n tis im é ­
tr ic a . e l m o m e n to in t e r n o e n B e s ig u a l p e r o o p u e s t o al q u e o c u r r e e n C.
Si se s u p o n e q u e e s te v a lo r e s M , la p e n d i e n t e Q e n c a d a e x tr e m o s e d e ­
te r m in a d e la m a n e r a s ig u ie n te :
o b ie n
ft» r lo ta n t o , e l f a c t o r d e rig id e z p a r a e l c la r o c e n t r a l e s
K =
6 E l
L
V iga s im é tr ic a c o n
c a rg a a n tis im é tr ic a
(1 2 - 6 )
E n c o n s e c u e n c ia , c u a n d o e l f a c to r d e rig id e z p a r a e l c la r o c e n tr a l d e la
viga s e c a lc u la m e d ia n te la e c u a c i ó n 12-6 ,s ó l o d e b e n d is tr ib u ir s e lo s m o ­
m e n to s e n la m i ta d d e la v ig a . A q u í, e l fa c t o r d e r ig id e z e s u n a y m e d ia
veces m á s g ra n d e q u e e l q u e se d e te r m in a u s a n d o K = A E I / L

525. 1 2 . 3 Mo d i f i c a c i o n e s a i f a c t o r d e r ig i d e z 5 0 3
E JE M P LO 1 2 .3
D e te r m in e lo s m o m e n to s in te r n o s e n lo s s o p o r t e s d e la v ig a q u e se
m u e s tra e n la f ig u r a 12 -1 3 a. El e s c o n s ta n te .
-t-tTTTT
4 k / p i e
TUTTTtt.-
n
15 pie 20 p ie s 15 p ie s
(a)
Figura 12-13
S O L U C IÓ N
ft>r in s p e c c ió n , la v ig a y la c a r g a s o n sim é tric a s . P o r lo ta n to , s e a p li­
c a r á K - 2E l / L p a r a c a lc u la r e l f a c t o r d e rig id e z d e l c la r o c e n t r a l B C
y, p o r lo t a n t o , e n e l a n á lis is s e e m p l e a r á s ó l o la m i ta d iz q u ie r d a d e
la v ig a . E l a n á lis is p u e d e r e d u c ir s e a ú n m ás u s a n d o K - 3E l / L p a ra
c a lc u la r e l f a c t o r d e r ig id e z d e l s e g m e n to A B p u e s to q u e e l e x tr e m o A
e s tá fijo . A d e m á s , la d is tr ib u c ió n d e m o m e n to s e n A p u e d e o m itirs e
i s a n d o e l F E M p a r a u n a c a rg a tr ia n g u l a r s o b r e u n p la n o c o n u n e x ­
tr e m o fijo y e l o t r o a r tic u la d o . P o r lo ta n to ,
*a b =
B C
D Fb a =
D F flC =
3 E 7
15
2 E l
20
3 E 7 /1 5
( u s a n d o la e c u a c i ó n 1 2 - 4 )
( u s a n d o la e c u a c i ó n 1 2 - 5 )
= 1
( F E M ) W
3 E / / 1 5
3 E / / 1 5
3 E / / 1 5 + 2 E / / 2 0
2 E //2 0
3 £ 7 / 1 5 + 2 E 7 /2 0
w L 1 4 ( 1 5 ) 2
= 0.667
0.333
15 15
6 0 k • p ie
( F E M ) s c = -
w l¿
12
4 ( 2 0 )2
12
- 1 3 3 3 k - p i e
E s to s d a to s s e e n c u e n t r a n e n la ta b l a d e la fig u ra 12-13¿>. A I c a lc u la r los
fa c to re s d e rig id e z c o m o s e m o s tr ó a n te s , s e re d u c e c o n s id e ra b le m e n te
d a n á lis is , p u e s to q u e s ó l o d e b e e q u ilib r a rs e la j u n t a B , y lo s tr a s la d o s
h a d a la s a r tic u la d o n e s A y C n o s o n n e c e sa rio s. P o r s u p u e s to , la j u n t a C
e s tá s o m e ti d a a l m is m o m o m e n to in te r n o d e 10 8 .9 k . p ie.
J u n taA B
E le m e n toA B B A B C
D F 1 0.667 0.333
F E M 60 - 1 3 3 .3
D ist. 48.9 24.4
2A # 0 108.9 - 1 0 8 .9
< b)

526. 5 0 4 Ca p i t u l o 1 2 Mé t o d o d e a n á l i s i s d e l d e s p l a z a m i e n t o : d i s t r i b u c i ó n d e m o m e n t o s
EJE M P LO 1 2 .4
D e te r m in e lo s m o m e n to s in t e r n o s e n lo s s o p o r te s d e la v ig a q u e se
m u e s tr a e n l a fig u ra \2 - \A a . E l m o m e n to d e in e rc ia d e lo s d o s c la r o s
s e m u e s tr a e n la fig u ra .
240 Ib/pie
S O L U C IÓ N
C o m o la v ig a e s tá s o p o r ta d a p o r ro d illo s e n s u e x tr e m o le ja n o C .la r i ­
g id e z d e l c l a r o R C s e c a lc u la rá c o n b a s e e n K = 3 E I / L . S e ti e n e
4 E l 4 £ ( 3 0 0 )
Ka b
Kbc =
L
3 E I
L
15
3 £ ( 6 0 0 )
” ” 20
8 0 £
9 0 £
R j r lo ta n t o .
D Fa b
D Fb a =
D F flC
D F Cfl =
8 0 £
oo + 8 0 £
8 0 £
8 0 £ + 9 0 £
9 0 £
8 0 £ + 9 0 £
9 0 £
= 0.4706
0.5294
9 0 £
1
E n e s t e p r o b le m a e s p o s ib le o b t e n e r u n a m a y o r sim p lific a c ió n d e l
m é to d o d e d is tr i b u c ió n ,s i s e to m a e n c u e n ta q u e p u e d e u sa r se u n m o ­
m e n t o s o lo d e e x tr e m o f i jo p a r a e l c la r o f in a l B C . S i se e m p l e a la c o ­
lu m n a d e r e c h a d e la ta b l a u b ic a d a e n e l in t e r i o r d e la c o n tr a p o r t a d a ,
p a r a u n c la r o c a r g a d o u n if o r m e m e n te q u e t i e n e u n la d o fijo y e l o t r o
a rtic u la d o , s e tie n e
w / 2
( F E M ) BC = - — =
2 4 0 (2 0 ) 2
- 1 2 0 0 0 I b - p ie

527. 1 2 . 3 Mo d i f i c a c i o n e s a i f a c t o r d e r ig i d e z 5 0 5
L o s d a to s a n te r io r e s s e in t r o d u c e n e n la ta b l a d e la fig u ra 12-14b y
se r e a liz a la d is tr ib u c ió n d e m o m e n to s . E n c o m p a r a c ió n c o n l a fig u ra
12-6¿> ,este m é to d o sim p lific a c o n s id e r a b le m e n te la d is trib u c ió n .
C o n b a s e e n lo s r e s u lta d o s , las fu e r z a s c o r t a n te s e n lo s e x tr e m o s d e
la v ig a y lo s d ia g r a m a s d e m o m e n to s o n c o m o s e m u e s tra e n la fig u ra
12-14c.
Junta A B C
E lem entoA B BA B C C B
D F 0 Q4706 0.5294 1
FEM
Dist.
/
, 5647.2
-1 2 0 0 0
© 52.8
CO 2823.6
1 M 2823.6 5647.2 -5 6 4 7 .2 0
(b)
2 4 0 I b / p i e
5 6 4 .7 1 b 5 6 4 .7 1 b 2 6 8 2 1 b f [ í [ V 1 ‘ I T " 1 2 1 1 8 Ib
7 S 6 4 7 ! b ‘p i e I I 5 6 4 7 Ib* p í e W U H J I H L
M l b p i e , 5 Pl e s t 2 0p ieS
I 3 2 4 7 Ib
(c)

528. 5 0 6 C a p i t u l o 1 2 M é t o d o d e a n á l i s i s d e l d e s p l a z a m i e n t o : d i s t r i b u c i ó n d e m o m e n t o s
PROBLEMAS
1 2 - 1 . D e t e r m i n e lo s m o m e n t o s e n t í y C . E l e s c o n s ta n te .
S u p o n g a q u e t í y C s o n r o d illo s y q u e A y D e s tá n a r tic u la d o s .
* 1 2 - 4 . D e t e r m i n e la s r e a c c i o n e s e n l o s s o p o r t e s y d e s p u é s
d i b u j e e l d i a g r a m a d e m o m e n t o s . S u p o n g a q u e A e s t á fijo .
E l e s c o n s t a n t e .
5001b
8 0 0 lb /p ie
nfrm
3 ? i ?
i
20 p i e s 1
------15 p ie s — -
P r o b . 1 2 - 1 P r o b . 1 2 - 4
1 2 - 2 . D e t e r m i n e lo s m o m e n t o s e n A , t í y C . S u p o n g a q u e
e l s o p o r t e e n t í e s u n r o d i l l o y q u e A y C e s t á n fijo s . E l e s
c o n s t a n t e .
1 2 - 5 . D e t e r m i n e l o s m o m e n t o s e n t í y C, y d e s p u é s d i b u j e
e l d i a g r a m a d e m o m e n t o s p a r a l a v ig a . S u p o n g a q u e C e s u n
s o p o r t e fijo . E l e s c o n s t a n t e .
12 kN
1 2 - 3 . D e t e r m i n e l o s m o m e n t o s e n A , t í y C, y d e s p u é s d i ­
b u je e l d i a g r a m a d e m o m e n t o s . S u p o n g a q u e e l s o p o r t e e n
t í e s u n r o d i l l o y q u e A y C e s t á n fijo s . E l e s c o n s t a n t e .
1 2 - 6 . E x t e r m i n e lo s m o m e n t o s e n t í y C . y d e s p u é s d i b u j e
e l d i a g r a m a d e m o m e n t o s p a r a l a v i g a T o d a s l a s c o n e x i o n e s
e s t á n a r t i c u l a d a s . S u p o n g a q u e la s r e a c c i o n e s h o r i z o n t a l e s
s o n i g u a l e s a c e r o . E l e s c o n s t a n t e .
9001b 9001b
A
6 6 6
- p i e s- ) - 10 p i e s —
C
- 1 0 p i e s -
12 k N /m
— — - -1 <J r— 4
? --------------------*rS
-------------------*n i n i
12 k N / m
Prob. 1 2 - 3 P ro b . 12-6

529. 1 2 . 3 Mo d i f i c a c i o n e s a i f a c t o r d e r ig i d e z 5 0 7
1 2 - 7 . D e t e r m i n e l a s r e a c c i o n e s e n l o s s o p o r t e s . S u p o n g a
q u e A e s t á fijo y q u e B y C s o n r o d i l l o s q u e p u e d e n e m p u ­
j a r o j a l a r l a v ig a . E l e s c o n s t a n t e .
*12-41. D e t e r m i n e i o s m o m e n t o s e n B y C , y d e s p u é s d i ­
b u je e l d i a g r a m a d e m o m e n t o s p a r a l a v ig a . S u p o n g a q u e
lo s s o p o r t e s e n B y C s o n r o d i l l o s y q u e A y D e s t á n a r t i c u ­
la d o s . E l e s c o n s t a n t e .
1 2 - 9 . D e t e r m i n e l o s m o m e n t o s e n B y C ,y d e s p u é s d i b u j e
e l d i a g r a m a d e m o m e n t o s p a r a l a v ig a . S u p o n g a q u e lo s s o ­
p o r t e s e n B y C s o n r o d i ll o s y q u e A e s t á a r t i c u l a d o . E l e s
c o n s t a n t e .
3 0 0 1 b
2 0 0 Ib / p i e
rn¿;
-?•’ vi*7? -
I 1 0 p i e s 1
--------10 p i e s —-j— 8 p i e s —
1 2 - 1 0 . D e t e r m i n e e l m o m e n t o e n B . y d e s p u é s d ib u je e l d i a ­
g r a m a d e m o m e n t o s p a r a l a v ig a . S u p o n g a q u e lo s s o p o r t e s e n
A y C s o n r o d illo s y q u e B e s tá a r t i c u l a d o . E l e s c o n s t a n t e .
P r o b . 1 2 - 1 0
1 2 - 1 1 . D e t e r m i n e l o s m o m e n t o s e n B. C y D , y d e s p u é s
d i b u j e e l d i a g r a m a d e m o m e n t o s p a r a l a v ig a . E l e s c o n s ­
t a n te .
P r o b . 1 2 - 1 1
*12—1 2 . D e t e r m i n e e l m o m e n t o e n B y d e s p u é s d i b u j e el
d i a g r a m a d e m o m e n t o s p a r a l a v ig a . S u p o n g a q u e e l s o ­
p o r t e e n A e s tá a r t i c u l a d o , q u e B es u n r o d i ll o y q u e C e s t á
fijo . E l e s c o n s t a n t e .
4 k / p i e
1
*
------------15 p i e s--------------1--------11 p ie s — -|
P ro h . 1 2 -9 P ro h . 1 2 -1 2

530. 5 0 8 C a p i t u l o 1 2 M é t o d o d e a n á l i s i s d e l d e s p l a z a m i e n t o : d i s t r i b u c i ó n d e m o m e n t o s
1 2 .4 Distribución de momentos
para marcos: Sin ladeo
L a a p lic a c ió n d e l m é t o d o d e d is tr ib u c ió n d e m o m e n to s p a r a m a r c o s sin
la d e o s ig u e e l m is m o p r o c e d im ie n to q u e e l d e s c r ito p a r a la s v ig as. P a r a
r e d u c i r a l m ín im o la p o s ib ilid a d d e e r r o r e s s e s u g ie r e q u e e l a n á lis is se
o r g a n ic e e n f o r m a ta b u l a r , c o m o e n lo s e je m p lo s a n te r io r e s . A d e m á s , la
d is tr ib u c ió n d e m o m e n to s p u e d e s im p lific a rs e si e l f a c to r d e rig id e z d e
u n c la r o p u e d e m o d ific a rs e c o m o s e in d ic ó e n la se c c ió n a n te r io r .
D e te r m in e lo s m o m e n to s in te r n o s e n las ju n t a s d e l m a r c o q u e se
m u e s tr a e n la fig u ra 1 2 -15a. F. y D e s tá n a rtic u la d o s y e n e l p u n t o A
h a y u n s o p o r te fijo. E l e s c o n s ta n te .
J u n taA R C D E
E le m e n to A R R A R C C R C D C E D C E C
D F 0 0.545 0.455 0.330 0.298 0.372 1 1
F E M
D ist. 73.6
-1 3 5 135
61.4 -4 4 .6 -4 0 .2 -5 0 .2
T R
D ist.
36.8 '
12.2
- 2 2 .3 X 30.7
10.1 -1 0 .1- 9 .1-1 1 .5
T R
D ist.
6.1 X
2.8
- 5 . 1 5.1
2 3 - 1 .7- 1 .5- 1 . 9
T R
D is t
w r
, 0.4
- 0 . 8 1.2
0.4 - 0 .4 -Ü .4 - 0 .4
T R
D ist.
0.2
0.1
- 0 . 2 0.2
0.1 -0 .1 0.0 - 0 .1
' m 44.5 89.1 -8 9 .1 115 -5 1 .2-6 4 .1
(b)
Figura 12-15

531. 1 2 . 4 D S T R B U C IÓ N D E M O M E N T O S P A R A M A R C O S : S i N L A D E O 5 0 9
S O L U C IÓ N
R>r in s p e c c ió n , e l p a s a d o r e n E im p e d ir á q u e e l m a r c o s e la d e e . L o s
fa c to re s d e r ig id e z d e C D y C E p u e d e n c a lc u la r s e u s a n d o K = 3 E I / L
p u e s to q u e lo s e x tr e m o s e s t á n fijo s. A d e m á s , la c a r g a d e 2 0 k n o c o n ­
tr ib u y e c o n u n F E M p o r q u e e s t á a p lic a d a e n la ju n t a R . P o r lo ta n t o .
r - 4EI K - AEI r - 3EI r - 3EI
Ka b ~ - j j - K B C ~ ~ Y f K C D - - ¡ f * C £ "
d p a b = 0
4 £ 7 / 1 5
D F /m “ 4 E / / 1 5 4- 4 E / / 1 8 " 0 5 4 5
D F „ € = 1 - 0 . 5 4 5 = 0.4 5 5
4 £ / / 1 8
|) F r i> =
---------------------------------------------- = 0 330
CB 4 E / / 1 8 + 3 E / / 1 5 + 3 E / / 1 2
3 E / / 1 5
D F c o " 4 E / / 1 8 + 3 E / / 1 5 + 3 E / / 1 2 “ 0 2 9 8
D F c e = 1 - 0 . 3 3 0 - 0 .2 9 8 = 0 .3 7 2
D F o c = 1 D F £C = 1
- w L 2 ~ 5 ( 18 )2
( F E M ) a c = = — — — = - 1 3 5 k - p ie
w L 2 5 (1 8 )2
( F E M)CB = - ¡ j - " “ 7 ^ “ = 135 k ’ P ie
L o s d a t o s s e m u e s tr a n e n la ta b l a d e la fig u ra 12-15/». A q u í s e re a liz a
s u c e s iv a m e n te la d is tr ib u c ió n d e m o m e n to s e n la s j u n t a s B y C . I>os
m o m e n to s fin a le s s e m u e s tr a n e n la ú ltim a fila .
FJ d ia g r a m a d e m o m e n to s p a r a e l m a r c o d e la fig u ra 1 2 -1 5c se c o n s ­
tru y e u tiliz a n d o e s t o s d a to s .
1 0 1 k - p ie

532. 5 1 0 Ca p i t u l o 1 2 Mé t o d o d e a n á l i s i s d e l d e s p l a z a m i e n t o : d i s t r i b u c i ó n d e m o m e n t o s
1 2 .5 D istrib u ció n d e m om entos
para m arcos: C on ladeo
E n la se c c ió n 11-5 s e m o s tr ó q u e lo s m a r c o s q u e n o s o n s im é tr ic o s o q u e
e s t á n s u je to s a c a rg a s n o s im é tr ic a s ti e n e n u n a te n d e n c ia a la d e a r s e . U n
e je m p lo d e e s to s c a s o s s e m u e s tr a e n la fig u ra 12- 1 6 a. A q u í, l a c a r g a a p l i ­
c a d a P g e n e r a r á m o m e n to s d e s ig u a le s e n la s ju n t a s f l y C d e m o d o q u e el
m a r c o se d e s v i a r á u n a c a n ti d a d A h a c ia la d e r e c h a . P a r a d e t e r m i n a r e s ta
d e fle x ió n y lo s m o m e n to s in t e r n o s e n la s ju n t a s m e d ia n te la d is tr ib u c ió n
d e m o m e n to s s e u s a r á e l p r in c ip io d e s u p e ip o s ic ió n . E n e s te s e n t i d o se
c o a s i d e r a p r i m e r o q u e e l m a rc o d e la fig u ra 1 2 -1 6 6 n o e x p e r im e n ta
la d e o a l a p li c a r u n s o p o r te a rtific ia l e n la j u n t a C . S e a p lic a la d i s t r i b u ­
c ió n d e m o m e n to s y d e s p u é s , p o r la e s tá tic a , s e d e te r m i n a la f u e r z a r e s ­
tr ic tiv a R . L u e g o s e a p lic a a la e s t r u c tu r a u n a f u e r z a d e r e s tr ic c ió n ig u a l
p e r o o p u e s ta , fig u ra 12- 16c, y se c a lc u la n lo s m o m e n to s e n e l m a r c o . U n
m é to d o p a r a r e a liz a r e s t e ú ltim o p a s o r e q u ie r e , e n p r i m e r lu g a r , s u p o n e r
u n v a lo r n u m é r ic o d e u n o d e lo s m o m e n to s in te rn o s , p o r e je m p lo M 'a , .
Si s e u s a la d is tr ib u c ió n d e m o m e n to s y la e s t á ti c a , e s p o s ib le d e t e r m i n a r
la d e f le x ió n A ' y la f u e r z a e x t e r n a R ' c o r r e s p o n d ie n te s a l v a lo r s u p u e s to
p a r a M ’a * . D a d o q u e s e p r o d u c e n d e f o r m a c io n e s c lá s tic a s lin e a le s , la
f u e r z a R ’ d e s a r r o lla m o m e n to s e n e l m a rc o q u e s o n p r o p o r c io n a le s a lo s
d e s a r r o lla d o s p o r R . P o r e je m p lo , s i se c o n o c e n y R ' . e l m o m e n to
e n H d e s a r r o lla d o p o r R s e r á M = M ' b a ( R / R ') . A l s u m a r lo s m o m e n ­
to s e n las ju n t a s p a r a a m b o s c a s o s , fig u ra s 1 2 -1 6 6 y c . s e o b t e n d r á n lo s
m o m e n to s r e a le s e n e l m a rc o , fig u ra 12-16o. L a a p lic a c ió n d e e s ta té c n ic a
s e ilu s tr a e n lo s e je m p lo s 12-6 a 12-8.
M arcos de varios niveles. C o n m u c h a fr e c u e n c ia , lo s m a r c o s d e
v a rio s n iv e le s p u e d e n t e n e r a lg u n o s d e s p la z a m ie n to s in d e p e n d ie n te s e n
s u s ju n t a s y. p o r c o n s ig u ie n te , e l a n á lis is d e la d is tr ib u c ió n d e m o m e n to s
e m p le a n d o las té c n ic a s d e s c r ita s a n te r io r m e n te im p lic a rá u n m a y o r n ú ­
m e r o d e c á lc u lo s. P o r e je m p lo , c o n s i d e r e e l m a r c o d e d o s n iv e le s q u e se
m u e s tr a e n la fig u ra 12-17 a . E s ta e s t r u c tu r a p u e d e te n e r d o s d e s p la z a -
(a)
a p l i c a c i ó n d e u n a j u n l a
a r t i f i c i a l (s in l a d e o )
( b )
Figura 12-16
j u n t a a r t i f i c i a l r e t i r a d a
( c o n l a d e o )
(c )

533. 1 2 . 5 D S T S fIB U G Ó N D E M O M E N T O S PA R A M A R C O S : C O N L A D E O
m ie n to s in d e p e n d íe n le s e n su s ju n t a s , p u e s to q u e e l d e s p la z a m ie n to la t e ­
r a l A , d e l p r im e r n iv e l e s i n d e p e n d i e n te d e c u a lq u ie r d e s p la z a m ie n to A2
e n e l s e g u n d o n iv el. P o r d e s g r a c ia , e s t o s d e s p la z a m ie n to s n o s e c o n o c e n
in ic ia lm e n te , p o r lo q u e e l a n á lis is d e b e p r o c e d e r c o n b a s e e n la s u p e r p o ­
s ic ió n , d e la m is m a m a n e r a q u e se a n a liz ó a n te s . E n e s t e c a s o s e a p lic a n
d o s fu e r z a s d e r e s tr ic c ió n : R i y R 2, fig u ra 12-17/», y s e d e te r m in a n y d is ­
trib u y e n lo s m o m e n to s d e e x tr e m o fijo. I-os v a lo r e s n u m é ric o s d e R | y
R 2 s e d e t e r m i n a n c o n b a s e e n las e c u a c io n e s d e e q u ilib r io . D e s p u é s se
r e tir a la re s tric c ió n e n e l p is o d e l p r i m e r n iv e l y e l p is o e x p e r im e n ta u n
d e s p la z a m ie n to A '. E s te d e s p la z a m ie n to p r o v o c a m o m e n to s d e e x tr e m o
fijo ( F E M ) e n e l m a r c o , a lo s q u e p u e d e n a s ig n á rs e le s v a lo r e s n u m é r ic o s
e sp e c ífic o s. A l d is tr i b u ir e s t o s m o m e n to s y a l e m p le a r la s e c u a c io n e s d e
e q u ilib r io , e s p o s ib le d e t e r m i n a r lo s v a lo r e s n u m é r ic o s a s o c ia d o s d e R J y
R 2. D e m a n e r a s im ila r , e l p is o d e l s e g u n d o n iv e l e x p e r i m e n t a u n d e s p l a ­
z a m ie n to A*, fig u ra 12-I7¿/. S i s e s u p o n e n v a lo r e s n u m é r ic o s d e lo s m o ­
m e n to s d e e x tr e m o fijo, l a d is tr ib u c ió n d e m o m e n to s y e l a n á lisis d e l
e q u ilib r io g e n e r a r á n v a lo r e s e s p e c ífic o s d e R ] y R 2. C o m o lo s ú ltim o s
d o s p a s o s a s o c ia d o s c o n la s f ig u r a s 12-17c y d c te p e n d e n d e v a lo r e s s u ­
p u e s to s p a r a lo s F E M , e s n e c e s a r io a p li c a r fa c to re s d e c o r r e c c ió n C y C
a lo s m o m e n to s d is trib u id o s . C o n r e f e r e n c ia a la s fu e r z a s d e re s tric c ió n
d e la s f ig u r a s 1 2 -1 7 c y 1 2 -1 7 d , s e r e q u i e r e la a p lic a c ió n ig u a l p e r o
o p u e s t a d e R | y R 2 s o b r e la e s t r u c tu r a , d e t a l m a n e r a q u e
A l r e s o lv e r e n f o r m a s i m u ltá n e a e s t a s e c u a c io n e s se o b ti e n e e l v a lo r d e
C y C . E s to s f a c to r e s d e c o r r e c c ió n s e m u ltip lic a n p o r lo s m o m e n to s in ­
te r n o s e n la s ju n t a s q u e s e e n c o n tr a r o n c o n b a s e e n la d is tr ib u c ió n d e
m o m e n to s , f ig u r a s 1 2 -1 7 c y I 2 - I 7 d . D e s p u é s , lo s m o m e n to s r e s u lta n te s s e
d e te r m in a n a l s u m a r e s t o s m o m e n to s c o r r e g id o s c o n lo s o b te n i d o s e n el
m a rc o d e la fig u ra 12-1 Ib .
H a y o t r o s tip o s d e m a r c o s c o n d e s p la z a m ie n to s in d e p e n d i e n te s e n s u s
j u n t a s q u e p u e d e n a n a liz a r s e m e d i a n t e e l m is m o p r o c e d i m i e n to ; sin
e m b a r g o , d e b e r e c o n o c e r s e q u e e l m é to d o a n t e r i o r r e q u i e r e b a s t a n te s
c á lc u lo s n u m é r ic o s . A u n q u e s e h a n d e s a r r o ll a d o a lg u n a s té c n ic a s p a ra
r e d u c ir lo s c á lc u lo s , l o m e jo r e s r e s o lv e r e s t e tip o d e p r o b l e m a s e n u n a
c o m p u t a d o r a , d e p r e f e r e n c ia q u e re a lic e a n á lis is m a tric ia le s . L a s t é c n i ­
c a s p a r a lle v a r a c a b o e s t o s e e s t u d ia r á n e n e l c a p ítu lo 16.
r2 = - C R ' 2 + C " R \
K, = +C'R\ - C R \
(a) <b> (c) (d)
Figura 12-17

534. 5 1 2 C a p i t u l o 1 2 M é t o d o d e a n á l i s i s d e l d e s p l a z a m i e n t o : d i s t r i b u c i ó n d e m o m e n t o s
EJE M P LO 1 2 .6
! 6 k N
1 m | 4 m
(»)
II
1 6 kN
D e te r m in e lo s m o m e n to s e n c a d a j u n t a d e l m a r c o q u e s e m u e s tra e n
la fig u ra 12 -1 8 a. E l e s c o n s ta n te .
S O L U C IÓ N
E n p r i m e r lu g a r s e c o n s id e r a r á q u e e l m a r c o n o s u f r e d e s p la z a m ie n to
la t e r a l c o m o s e m u e s tr a e n la fig u ra 12-186. S e ti e n e
1 6 (4 )2(1 )
( F E M ) f lc =
--------- r - - = - 1 0 . 2 4 kN-m
( F E M ) c a
( 5 ) 2
1 6 (1 )2(4 )
( 5 ) 2
2 .5 6 k N • m
E l f a c to r d e r ig id e z d e c a d a c la r o s e c a lc u la c o n b a s e e n 4E I / L o e m ­
p le a n d o e l f a c t o r d e r ig id e z r e l a t i v a / / / . . L o s D F y l a d is tr ib u c ió n d e
m o m e n to s s e m u e s tr a n e n la ta b la d e la f ig u r a 12-18d . C o n b a s e e n
e s to s re s u lta d o s s e a p lic a n la s e c u a c io n e s d e e q u ilib r io a lo s d ia g r a ­
m a s d e c u e r p o lib r e d e la s c o lu m n a s a fin d e d e t e r m i n a r A , y D,. fi­
g u ra 12-18e. A p a r t i r d e l d ia g r a m a d e c u e r p o lib r e d e to d o e l m a r c o
( n o s e m u e s tr a ) , la r e s tr ic c ió n R d e la j u n t a e n l a f ig u r a 1 2 -1 8 6 tie n e
u n a m a g n itu d d e
1 F X = 0 . R = 1.73 k N - 0.81 k N = 0 .9 2 k N
A h o r a d e b e a p lic a rs e u n v a lo r ig u a l p e r o o p u e s t o d e R = 0 .9 2 k N
s o b r e e l p u n t o C d e l m a r c o y e s n e c e s a r io c a lc u la r lo s m o m e n to s in ­
te r n o s . fig u ra 12 -1 8 c. P a r a re s o lv e r e l p r o b le m a d e l c á lc u lo d e e s to s
m o m e n to s , s e s u p o n d r á q u e se a p lic a u n a f u e r z a R ’ s o b r e C . lo q u e
o c a s io n a q u e e l m a r c o s e d e s v í e A '. c o m o s e m u e s t r a e n la fig u ra
1 2 - 1 8 / A q u í la s ju n t a s e n R y C s e e n c u e n t r a n te m p o r a lm e n te re s trin ­
g id a s a la r o ta c ió n , y c o m o r e s u lta d o se d e te r m i n a n lo s m o m e n to s d e
e x tr e m o fijo e n lo s e x tr e m o s d e la s c o lu m n a s c o n b a s e e n l a f ó r m u la
d e l a d e f l e x ió n q u e s e e n c u e n t r a e n e l i n t e r i o r d e la c o n t r a p o r t a d a ,
e s d e c ir .
J u n taA B C D
E le m e n toA B B A B C C B C D D C
D F 0 0.5 0.5 0.5 0.5 0
F E M
D ist.
T R
5.12
2.56
-1 0 .2 4 2.56
5 .1 2 - 1 .2 8
- 0 . 6 4 2.56
- 1 .2 8
—0.64
D ist.
T R
y 0.32
0.16
0 .3 2 y - 1 .2 8
- 0 . 6 4 0.16
- 1 . 2 8
—0.64
D ist. 0.32
0.16
0 .3 2 x - 0 .0 8 - 0 .0 8
T R - 0 . 0 4 A 0.16 - 0 .0 4
D ist. 0.02 0 .0 2 - 0 .0 8 - 0 .0 8
2.88 5.78 - 5 . 7 8 2.72 - 2 .7 2 - 1 .3 2
<d)
5 .7 8 k N - m
5 m
2 .8 8 k N - m
,4 r = I . 7 3 k N
(e)
r
1 3 2 k N - m
0
D , = 0 .8 1 k N

535. 1 2 . 5 D S T S fIB U G Ó N D E M O M E N T O S PA R A M A R C O S : C O N L A D E O 5 1 3
( 0
Junta A B C
»
n
E lem entoA B B A B C C B CD D C
D F 0 0.5 0.5 0.5 0.5 0
FE M -100 - 100 - 1 0 0 - 100
Dist.
/
50 5 0 x 50
5 0 \
T R 25 X 25 X 25 25
Dist.
¡T12.5 -1 2 .5 v -1 2 .5 -1 2 .5 v
T R -6 .2 5 -6 ,2 5 --6.25 - 6 2 5
Dist.
____j L
3.125 3.125w 3.125 3.125
T R 1.56 1 .5 6 A 1.56
\
1.56
Dist.
_
-0.78 -0 .7 8 -0.78 -0 .7 8
T R - 0 .3 9 ^ -0 .3 9 ^ 0 . 3 9 -0.39
D ist. 0.195 0.195 0.195 0.195
SAZ -8 0 .0 0 - 60.00 60.00 60.00 -6 0 .0 0 - 80.00
(8)
M =
6E/A
E n v is ta d e q u e la n ío B c o m o C x d e s p la z a n la m is m a c a n ti d a d A ',
y A B y D C ti e n e n lo s m is m o s v a lo r e s d e E , / y L .e l F E M e n A B s e rá
d m is m o q u e e n D C . C o m o s e m u e s tr a e n la fig u ra 1 2 -1 8 /, s e s u ­
p o n d r á a r b itr a r ia m e n te q u e e s t e m o m e n to d e e x tr e m o fijo s e a
( F E M ) x s = ( F E M ) flx = ( F E M )c d = ( F E M ) » : = - 1 0 0 kN-m
Se r e q u i e r e u n s ig n o n e g a tiv o p o r q u e e l m o m e n to d e b e a c t u a r en s e n ­
tid o a n tih o r a r io s a b r é la c o lu m n a p a r a o b t e n e r u n a d e f le x ió n A ’ h a c ia
b d e r e c h a . A h o r a p u e d e d e te r m i n a r s e e l v a lo r d e R ’ a s o c ia d o c o n
e s te m o m e n to d e - 100 k N • m . L a d is tr ib u c ió n d e m o m e n to s d e lo s
F E M s e m u e s tra e n la fig u ra 1 2 -I8 g . C o n b a s e e n e l e q u ilib r io , se c a lc u ­
lan las r e a c c io n e s h o r iz o n ta le s e n A y D ,f ig u r a 12-18/j. A sí, p a r a to d o
e l m a r c ó s e r e q u i e r e
2 F X = 0 ; R ' = 2 8 + 2 8 = 5 6 .0 k N
ft>r lo ta n to , R ' = 5 6 .0 k N c r e a lo s m o m e n to s ta b u l a d o s e n la fig u ra
12-18g. L o s m o m e n to s c o r r e s p o n d ie n te s c a u s a d o s p o r R = 0.92 k N
p u e d e n d e te r m in a r s e p o r p r o p o r c ió n . P o r lo ta n t o , e l m o m e n to r e s u l­
ta n te e n e l m a r c o , fig u ra 1 2 - 18a , e s ig u a l a la s u m a d e lo s c a lc u la d o s
p a r a e l m a r c o e n la f ig u r a 1 2 - 1 8 6 , m á s la c a n ti d a d p r o p o r c io n a l d e lo s
q u e se c a lc u la r o n e n la f ig u r a 1 2 - 18c. S e ti e n e
Ma b
= 1 8 8 + ® - 8 0 ) = 1.57 kN-m R esp.
Mb a= 5 .7 8 + j g ( - 6 0 ) = 4 .7 9 kN-m R esp.
Mbc
= " 5 .7 8 + $ 8 ( 6 0 ) = - 4 . 7 9 kN-m R esp.
m c b
= 1 7 2 + $ 8 ( 6 0 ) = 3.71 kN-m R esp.
m c d
= - 2 . 7 2 + $ 8 ( ~ 6 0 ) = - 3 .7 1 kN-m R esp.
M DC
= - 1 . 3 2 + $ 8 ( - 8 0 ) = - 2 . 6 3 kN-m R esp.
0—'
6 0 k N - m 6 0 k N -
5 m
8 0 k N - m 8 0 k N - m
jf
¿ , - 2 8 k N 4 D , - 2 8 k N
0 0

536. 5 1 4 Ca p i t u l o 1 2 Mé t o d o d e a n á l i s i s d e l d e s p l a z a m i e n t o : d i s t r i b u c i ó n d e m o m e n t o s
E JE M P LO 1 2 .7
D e te r m in e lo s m o m e n to s e n c a d a j u n t a d e l m a r c o q u e s e m u e s tr a e n
la f ig u r a 1 2 -19a. E l m o m e n to d e in e r c ia d e c a d a e l e m e n t o s e in d ic a
e n la fig u ra .
Figura 12-19
S O L U C IÓ N
E n p r i m e r lu g a r s e e v it a u n la d e o e n e l m a rc o , c o m o s e m u e s tr a e n la
fig u ra 12-1 9b. L o s m o m e n to s in t e r n o s e n la s ju n t a s s e c a lc u la n c o m o
s e in d ic a e n l a fig u ra \2 - \9 d . A q u í,e l fa c to r d e rig id e z d e l C D s e c a lc u ló
e m p l e a n d o 3 E I / L , p u e s t o q u e h a y u n p a s a d o r e n D . E l c á lc u lo d e la s
r e a c c io n e s h o r iz o n ta le s e n A y D s e m u e s tr a e n la f ig u r a 12 19e. E n ­
to n c e s , p a r a to d o e l m a rc o ,
1 F , = O, K = 2 .8 9 - 1 . 0 0 = 1.89 k
J u n taA B C D
E le m e n toA B B A B C C B C D D C
D F 0 0.615 0.385 0.5 0.5 1
F E M
D ist. . 14.76
-2 4 24
9 . 2 4 - 1 2 -12
T R
D ist.
7 .3 8 '
, 3.69
- 6 4.62
2.31 -2 .3 1 -2 .3 1
T R
D ist.
1.84 '
0.713
- 1 . 1 6 1.16
0 4 4 7 - 0 .5 8- 0 .5 8
T R
D ist.
0.357
0.18
- 0 . 2 9 0.224
0.11 -0 .1 1-0 .1 1
9.58 19.34 - 1 9 .3 4 15.00 --15.00 0
1 19.34 k-pie 115.00 k-r■pie 1 15.00k-pie
10 pies
95$ k • pie
2.89 k
15 pies
r
D, = 1.00 k
(d)
(e)

537. 1 2 . 5 D S T S fIB U G Ó N D E M O M E N T O S PA R A M A R C O S : C O N L A D E O 5 1 5
Junta A B C D
E lem en toA B BA B C C B CD D C
D F 0 0.615 0.385 0.5 0.5 1
F E M
D ist.
- 1 0 0 - 1 0 0
615
-27.78
38.5 13.89 13.89
T R
D ist.
30.75
-4 .2 7
6.94 19.25
- 2 .6 7 ^ - 9 .6 2 5 - 9.625
T R
D ist.
—2.14
. 2 .%
- 4 . 8 1 - 1 . 3 4
1.85 0.67 0.67
T R 1.48 0.33 0.92
D ist. —0.20 - 0 .1 3 - 0 .4 6 - 0 .4 6
I M -6 9 .9 1 -4 0 .0 140.01 23.31 -2 3 .3 1 0
<g>
L a f u e r z a o p u e s t a s e a p lic a a h o r a s o b r e e l m a r c o c o m o s e m u e s tr a e n
la f ig u r a 1 2 -19c. A l ig u a l q u e e n e l e je m p lo a n te r io r , s e c o n s id e r a r á
u n a f u e r z a R ' q u e a c tú a e n la fo r m a m o s tr a d a e n la fig u ra 12-19/.
C o m o r e s u lta d o , la s j u n t a s B y C se d e s p la z a n la m ism a c a n ti d a d A '.
L o s m o m e n to s d e e x tr e m o fijo p a r a B A se c a lc u la n a p a r t i r d e
6 E / A 6 £ ( 2 0 0 0 ) A '
( F E M ) , , - ( F E M ) * . - - 2 ^
----------------
S in e m b a r g o , c o n b a s e e n la ta b la q u e s e e n c u e n t r a e n e l in t e r i o r d e la
c o n tr a p o r t a d a , p a r a C D
( F E M )Cn = ~
ti e n e
3 £ / A 3 ¿*(2500) A'
(1 5 )2
Si se s u p o n e q u e e l F E M p a ra A B e s d e - 100 k • p ie c o m o s e m u e s tra en
la fig u ra 1 2 -1 9 /.e l F E M c o r r e s p o n d ie n te e n C .q u e c a u s a e l m i s m o A ',
se e n c u e n t r a p o r c o m p a r a c ió n .e s to es.
A = -
1 0 0 )( 1 0 )2 ( F E M ) c o ( 1 5 ) 2
6 E ( 2 0 0 0 ) 3 £ ( 2 5 0 0 )
( F E M ) c o = - 2 7 . 7 8 k-pie
40 .0 1 k - p i e
L a d is tr ib u c ió n d e m o m e n to s p a r a e s to s F E M s e ta b u la e n la fig u ra
12-19g. L o s c á lc u lo s d e la s r e a c c io n e s h o r i z o n ta le s e n A y D se m u e s ­
tr a n e n la fig u ra 12 19/i. E n to n c e s , p a r a to d o e l m a r c o ,
2 E , = 0 ; R ' = 1 1 .0 + 1.55 = 12.55 k A'f - l l i k
R>r lo ta n to , lo s m o m e n to s r e s u lta n te s e n e l m a r c o s o n
M AR = 9 .5 8 + ( & & ) ( - 6 9 .9 1 ) = - 0 . 9 4 8 k-pie R esp.
M RA = 19 .3 4 + ( A R ) ( —4 0 . 0 1 ) = 13.3 k • p i e R esp.
Mb c = - 1 9 .3 4 + ( f f i ) ( 4 0 . 0 1 ) = - 1 3 . 3 k • p i e R esp.
M CR = 15 .0 0 + ( i ® ) ( 2 3 . 3 1 ) * 18.5 k-pie R esp.
Mc d = - 1 5 . 0 0 + ( i ® ) ( - 2 3 . 3 1 ) = - 1 8 . 5 k-pie R esp.
2 3 J l k - p i c
1 0 p ie s
6 9 .9 1 k - p i e
15 p ie s
r
/ X , - 1 3 5 k
<h>

538. 5 1 6 C a p i t u l o 1 2 M é t o d o d e a n á l i s i s d e l d e s p l a z a m i e n t o : d i s t r i b u c i ó n d e m o m e n t o s
EJE M P LO 1 2 .8
<«)
D e te r m in e lo s m o m e n to s e n c a d a j u n t a d e l m a r c o q u e s e m u e s tra e n
la fig u ra 12 -2 0 a. E l e s c o n s ta n te .
( b )
Figura 12-20
( c )
S O L U C IÓ N
P rim e ro s e e v it a e l d e s p la z a m ie n to la t e r a l m e d i a n te la f u e r z a d e r e s ­
tr ic c ió n R. fig u ra 1 2 -2 0 6 . Ix>s F E M p a r a e l e l e m e n t o B C s o n
8(10) 8(10)
( F E M ) * ;
------— = - 1 0 k-pie ( F E M ) o , = — = 10 k-pie
C o m o lo s c la r o s A B y D C e s tá n a r tic u la d o s e n s u s e x tr e m o s , e l f a c to r
d e rig id e z s e c a lc u la e m p l e a n d o 3E l / L . L a d is tr ib u c ió n d e m o m e n to s
s e m u e s tr a e n la fig u ra 12-20d .
L a s rea ccio n es h o r iz o n ta le s e n A y D d e b e n d e te r m i n a r s e a p a r t i r
d e e s t o s r e s u lta d o s , lo c u a l se h a c e m e d ia n te u n a n á lis is d e l e q u ilib r io
p a ra c a d a e le m e n to , f ig u r a 12 -2 0 e. A l s u m a r l o s m o m e n to s r e s p e c to d e
b s p u n to s B y C e n c a d a p ie r n a , s e ti e n e
J,+ 2 Mb = 0 ; - 5 . 9 7 + - 4 ,( 8 ) - 4 ( 6 ) = 0 A , = 3 .7 5 k
[ , + l M c = O, 5 .9 7 - D x {8 ) + 4 ( 6 ) = 0 D , = 3 .7 5 k
I b r lo ta n t o , p a r a to d o e l m a rc o .
J u n taA B C D
E le m e n t óA B B A B C C B C D D C
D F 1 0.429 0571 0 5 7 1 0 .4 2 9 1
F E M
D ist. 4 2 9
- 1 0
5.71
10
. - 5 .7 1 - 4 2 9
I R
D ist. 1 2 3
- 2 8 6
1 .0 3 .
' 2 8 6
, - 1 .6 3- 1 2 3
I R
D ist. 0 3 5
- 0 8 2
t t 4 7 >
‘ 0 8 2
. - 0 4 7- 0 3 5
I R
D ist. a t o
- 0 2 4
0.13
' 0 2 4
- Q 1 3- a i o
0 5.97 - 5 . 9 7 5.97- 5 . 9 70
K = 3 .7 5 - 3 .7 5 + 2 0 = 2 0 k
4 p ie s a * 4 p ie s
5 .9 7 k -p ie | 2 0 k S p i e s j s p i e s r 1 * 9 7 k - p i e
I f 5 .9 7 k p i e v r
l 5 .9 7 k • p i e 1 \ S p i e8 p i e s / ,
A ,
Y-
4 k | , “
(d) ( c )

539. 1 2 . 5 D S T S fIB U G Ó N D E M O M E N T O S PA R A M A R C O S : C O N L A D E O 5 1 7
L a f u e r z a o p u e s t a R se a p lic a a h o r a a l m a r c o c o m o s e m u e s tr a e n la
fig u ra 12 -2 ü c. C o n e l fin d e d e te r m i n a r lo s m o m e n to s in t e r n o s d e s a -
iT o lla d o s p o r R se c o n s id e r a r á p r i m e r o q u e la f u e r z a R ' a c tú a c o m o se
m u e s tra e n la fig u ra 1 2 -2 0 /. A q u í la s lín e a s d is c o n tin u a s n o r e p r e s e n ­
tan la d is to rs ió n d e lo s e le m e n to s d e l m a rc o , s i n o q u e s e c o n s tru y e n
c o m o lín e a s r e c ta s e x te n d i d a s h a s t a las p o s ic io n e s fin a le s R ' y C
d e s d e lo s p u n to s R y C , re s p e c tiv a m e n te . D e b id o a la s im e tría d e l
m a rc o , e l d e s p la z a m ie n to R R ' - C C ' - A ’. A d e m á s , e s t o s d e s p la z a ­
m ie n to s h a c e n q u e R C g ire . L a d is ta n c ia v e rtic a l e n tr e R ' y C ' e s 1.2A ',
c o m o s e m u e s tra e n e l d ia g r a m a d e d e s p la z a m ie n to , fig u ra 12-20g.
D a d o q u e c a d a c la r o e x p e r i m e n t a d e s p la z a m ie n to s h a s ta u n p u n to
e x tr e m o q u e o c a s io n a n u n g i r o e n é s t e , s e in d u c e n m o m e n to s d e e x ­
tr e m o fijo e n lo s d a r o s . D ic h o s m o m e n to s so n :
( F E M ) /m = ( F E M ) c o = - 3 E / A '/ ( 1 0 ) 2. ( F E M ) SC = ( F E M ) Cfl =
6 £ 7 ( 1 .2 A ') / ( 1 0 ) 2.
O b s e r v e q u e p a r a B A y C D los m o m e n to s s o n n e g a tiv o s p u e s to q u e
u n a r o ta c ió n e n s e n t id o h o r a r io d e l c la r o o c a s io n a u n F E M c o n s e n ­
tid o a n tih o r a r io .
Si s e a s ig n a a r b i t r a r i a m e n t e u n v a lo r d e (F E M )^ = ( F E M ) C 0 =
— 100 k • p ie , e n to n c e s a l ig u a la r A ' e n las fó r m u la s a n te r io r e s s e o b ­
tie n e (FEM)flC - ( F E M ) ^ - 240 k • p ie . E s to s m o m e n to s s e a p lic a n
al m a r c o y s e d is tr ib u y e n , fig u ra 1 2 -2 0 6 . C o n lo s re s u lta d o s a n te r io r e s ,
d a n á lis is d e e q u ilib r io e s c o m o s e m u e s tra e n la fig u ra 12-20/. P a ra
c a d a p i e r n a s e ti e n e
{,+ I Mb = 0 ; - A ' x {8 ) + 2 9 .3 6 (6 ) + 146.80 = 0 A't = 4 0 .3 7 k
{,+ 2 M c = 0 ; - ü ; ( 8 ) + 2 9 .3 6 (6 ) + 146.80 = 0 D'x = 4 0 .3 7 k
E n to n c e s , p a r a to d o e l m a rc o .
2 F , = 0 ; R ' = 4 0 .3 7 + 4 0 .3 7 = 80 .7 4 k
ft>r lo ta n to , lo s m o m e n to s r e s u lta n te s e n e l m a r c o s o n
Mr a = 5 .9 7 + ( A ) ( ~ >46-80) = - 3 0 . 4 k-pie
Mr c = - 5 - 9 7 + ( * ) ( 146.80) = 3 0 .4 k - p ie
Mc b = 5 .9 7 + ( g $ h ) ( 1 4 6 .8 0 ) = 4 2 .3 k-pie
Mc d = - 5 . 9 7 + ( n $ a ) ( - 1 4 6 .8 0 ) = - 4 2 3 k-pie
R esp.
R esp.
R e sp .
R esp.
2 9 3 6 k
2 9 3 6 k
10 p ie s
T"~i46itt)k- p, 7
2 9 3 6 k
- i V e lU 46- k ' PÍC
1 4 6 3 0 k p i e i 1 4 6 3 0 k - p ie
2 9 3 6 k 2 9 3 6 k
(i)
8 p ie s
2 9 .3 6 k
Junta A B C D
ElementoAH B A BC C B C D D C
DF 1 0429 0.571 0.571 0.429 1
FEM -1 0 0 240 240 -100
Dio. -« 1.06 -79.94 -79.94 -6 0.06
T R -3 J.9 7 -39.97
Dio. 17.152232 22.82 17.15
T R 11.41 11.41
D í a - 4 8 9 - 6 5 2 -6 .5 2 - 4 3 9
T R -3 .2 6 -3 .2 6
D i a 1.40 1.86 1.40
T R 0 93 0.93
D ía. - 0 4 0 - Q 5 3 -0 .5 3 - 0 4 0
0 -146.60 14630 14680 -14680 0
<h>

540. 5 1 8 C a p i t u l o 1 2 M é t o d o d e a n á l i s i s d e l d e s p l a z a m i e n t o : d i s t r i b u c i ó n d e m o m e n t o s
P R O B L E M A S
1 2 - 1 3 . D e t e r m i n e e l m o m e n t o e n B % y d e s p u é s d i b u j e e l
d i a g r a m a d e m o m e n t o s p a r a c a d a e l e m e n t o d e l m a r c o . S u ­
p o n g a q u e l o s s o p o r t e s e n A y C e s t á n a r t i c u l a d o s . E l e s
c o n s t a n t e .
1 2 - 1 5 . D e t e r m i n e l a s r e a c c i o n e s e n A y D . S u p o n g a q u e
lo s s o p o r t e s e n A y D e s t á n f i jo s y q u e B y C e s t á n c o n e c t a ­
d o s f ija m e n te . E l e s c o n s t a n t e .
mi mi un,
15 p ie s
2 4 p ie s
P ro h . 1 2 - 1 3 Prob. 1 2 - 1 5
1 2 - 1 4 . D e t e r m i n e lo s m o m e n t o s e n lo s e x t r e m o s d e c a d a
e l e m e n t o d e l m a r c o . S u p o n g a q u e l a j u n t a e n tí e s tá f ija , q u e
C e s tá a r t i c u l a d a y q u e A e s t á fijo . E l m o m e n t o d e in e r c ia d e
c a d a e l e m e n t o s e m u e s tr a e n l a f ig u r a . E - 2 9 ( 1 0 ’ ) k si.
* 1 2 - 1 6 . E x t e r m i n e lo s m o m e n t o s e n D y C , y d e s p u é s d i ­
b u je e l d i a g r a m a d e m o m e n t o s p a r a c a d a e l e m e n t o d e l
m a r c o . S u p o n g a q u e l o s s o p o r t e s e n A y t í e s t á n a r t i c u l a d o s
y q u e l a s j u n t a s D y C e s t á n fija s . E l e s c o n s t a n t e .
2k/pie
8 p i tü
TTTTTTT
4 k-
8 pies
l i e - 8 0 0 p u l g 4 C
1 2 p i e s
-----------
Ia b = 5 5 0 p u l g 4
Prob. 1 2 - 1 4 Prob. 1 2 - 1 6

541. 1 2 . 5 D S T R IB U C IÓ N D E M O M E N T O S PA R A M A R C O S : C O N L A D E O 5 1 9
12-17. D eterm ine los m o m en to s e n e l so p o rte fijo A y en
la ju n ta D . y d esp u és d ib u je el d iag ram a d e m o m en to s para
el m arco. S u ponga q u e B está articulado.
1 2 -1 8 . D eterm ine los m o m en to s e n c ad a ju n ta d e l m arco,
y d esp u és dibuje e l d iag ram a d e m om entos p a ra el ele­
m ento A C E ,S uponga q u e B , C y Ee stán fijam ente c o n ecta­
d o s y q u e A y D están articulados. £ = 29Í105) ksi.
1 2 -1 9 . El m arco e stá h ech o de tu b o s q u e se c o n e c ta n fija­
m ente. Si so p o rta las cargas q u e se m u estran , d e te rm in e los
m om entos desarrollados e n c ad a u n a d e las ju n tas. £ / es
constante.
1 8 k N 18 k N
•1 2 -2 0 . D eterm ine los m o m en to s e n B y C , y d e sp u é s d i­
buje el diagram a d e m o m en to s p a ra cada e le m e n to d el
marco. S u ponga q u e los so p o rtes e n A . E y D e stán fijos. F.l
e s co n stan te.
1 0 k
P r o h . 1 2 - 1 8 P r o h . 1 2 - 2 0

542. 5 2 0 C a p i t u l o 1 2 M é t o d o d e a n á l i s i s d e l d e s p l a z a m i e n t o : d i s t r i b u c i ó n d e m o m e n t o s
12-21. D eterm ine k s m o m e n to s e n D y C .y d e sp u é s d i­
buje e l d iag ram a d e m om entos p a ra c ad a e le m e n to del
m arco. S uponga q u e lo s so p o rtes e n A y II están articulados.
E l es constante.
12-23. D eterm ine lo s m om entos que actú a n e n los e x tre ­
m os d e c ad a e le m e n to d el m arco. E l e s constante.
P rob. 12-21 Proh. 12-23
12-22. D eterm ine lo s m om entos q u e actú a n e n los e x tre ­
m os d e c ad a elem ento. S uponga q u e lo s so p o rte s e n A y D
e stán fijos. E l m o m en to d e inercia d e c ad a e lem en to se
m uestra e n la figura. E = 29(10*) ksi.
•12-24. !>¿term ine los m om entos q u e a c tú a n en lo s e x tre ­
mos d e cada elem ento. S u ponga q u e las ju n tas e s tá n fija­
m ente c o n e c ta d a s y q u e A y R son so p o rte s fijos. E l e s c o n s­
tante.
1 5 p i e s
6k/pie
t t t t t t t t t ;
!bc= 1200 pulg4 C
!cn = 600 pulg4
¡a b- 800 pulg4
A
10 pies
0.2 k/pie
24 pies -
—
D ~
,
181
>ies
— *
*
A
- ^ 7
------------20 p ie s---------------------
12 pies
Proh. 12-22 Prob. 12-24

543. Re p a s o d e l c a p i t u l o 5 2 1
12-25. D eterm ine lo s m o m en to s e n las ju n ta s B y C .y des­
pués d ibuje e l d iag ram a d e m om entos p a ra c ad a e lem en to
d el m arco. L os s o p o rte s e n A y D están articulados. E l es
constante.
12-26. D eterm ine lo s m o m en to s e n las ju n ta s C y D , y
después d ib u je el d iag ram a d e m om entos para c ad a ele­
m ento d e l m arco. S u ponga q u e lo s so p o rte s e n A y B e stán
articulados. E ! es co n stan te.
P ro h . 12-26
REPASO DEL CAPITULO
La distribución d e m om entos e s u n m éto d o d e aproxim aciones sucesivas q u e p u e d e realizarse co n cu alq u ier grado d e p r e ­
cisión d esead o . Inicialm ente se re q u iere b lo q u e a r to d a s las ju n ta s d e la e stru ctu ra. Luego se d e te rm in a e l m o m en to de
equilibrio p a ra cada junta; las ju n ta s se d esbloquean y e ste m o m en to se distribuye a c ad a e lem en to conectado, y d e sp u é s la
m itad de su v a lo r se traslad a al o tro la d o d el claro. E ste ciclo de b lo q u e a r y liberar las ju n ta s se re p ite h a sta q u e e l traslado
de m o m en to s se vuelva acep tab lem en te pequeflo. E n to n ces se d etie n e e l proceso y e l m o m en to e n c ad a ju n ta e s la su m a de
los m o m en to s e n c ad a ciclo d e b lo q u eo y desbloqueo.
E l proceso d e distribución de m o m en to s se realiza d e m an era có m o d a e n la form a tabular. A n te s de com enzar d e b e calcu­
larse e l m o m en to d e e x trem o fijo p a ra cada claro em p lean d o la ta b la q u e a p arece e n e l in te rio r d e la c o n trap o rtad a de este
libro. Los factores d e distribución se o b tien en a l dividir la rigidez d e u n e le m e n to e n tre la rigidez to tal d e la ju n ta. P ara los
e lem en to s q u e cu e n ta n con u n e x trem o lejano fijo, use K = 4 F / / / .; p a r a un e lem en to con s u e x tre m o lejano articu lad o o
so p o rtad o p o r rodillos, use K = 3 £ // L ;p a r a un claro y u n a carg a sim étricos, K = 2 E I / L ,y p a ra u n a carg a antisim étrica K
= 6F .I/L . R ecu erd e q u e el fa c to r d e distribución p a ra u n e x tre m o fijo e s D F = 0, y p a ra un e x tre m o articulado o so p o rta d o
p o r rodillos, D F = 1.

544. 0 u s o d e tra b e s co n m o m e n to s d e in ercia variables re d u jo e n form a c o n sid e ­
rable e l p e s o m u e rto d e c a d a u n o d e e s t o s claros.

545. Vigas y marcos
con elementos no
prismáticos
1 3
E n e s te c a p ít u lo s e a p lic a r á n lo s m é t o d o s d e la p e n d ie n te - d e fle x ió n y
d e la d is tr ib u c ió n d e m o m e n t o s p a r a a n a liz a r v ig a s y m a r c o s c o m p u e s ­
to s p o r e le m e n t o s n o p ris m á tic o s . P r im e r o se e s tu d ia r á c ó m o o b t e n e r
lo s t r a s la d o s d e fa c to r e s , lo s fa c to r e s d e r ig id e z y lo s m o m e n t o s d e e x ­
tr e m o f ijo n e c e s a rio s . A e s t o le s ig u e u n a n á lis is r e la c io n a d o c o n e l u s o
d e v a lo r e s ta b u la r e s q u e s e p u b lic a n c o n fre c u e n c ia e n la lite ra tu r a d e
d is e ñ o . P o r ú lt im o se e s tu d ia r á e l a n á lis is d e e s tr u c tu r a s e s tá tic a m e n te
in d e te r m in a d a s u tiliz a n d o lo s m é t o d o s d e la p e n d ie n te - d e fle x ió n y d e
la d is tr ib u c ió n d e m o m e n to s .
1 3 .1 P ropiedades de carga d e los
elem entos n o prism áticos
C b n fr e c u e n c ia , la s tr a b e s q u e s e u s a n e n lo s c la r o s g r a n d e s d e p u e n t e s y
e d ific io s s e d is e ñ a n c o m o v ig a s n o p ris m á tic a s , e s d e c ir , q u e d e b e n c o n t a r
c o n m o m e n to s d e in e r c ia v a ria b le s ; lo a n te r io r , c o n e l fin d e a h o r r a r m a ­
te r ia l. L a s f o r m a s m á s c o m u n e s d e lo s e le m e n to s e s t r u c tu r a le s n o
p ris m á tic o s ti e n e n e n r i ñ o n a d o s q u e s o n e s c a lo n a d o s , a h u s a d o s o p a r a b ó ­
licos, fig u ra 13-1. S ie m p r e q u e s e a p o s ib le e x p r e s a r e l m o m e n to d e in e r ­
c ia d e l e le m e n to e n fu n c ió n d e la c o o r d e n a d a .t d e lo n g itu d , se p u e d e
u s a r e l p rin c ip io d e l t r a b a j o v ir tu a l o te o r e m a d e C a s tig lia n o c o m o s e e x ­
p lic ó e n e l c a p ítu lo 9 p a r a e n c o n t r a r s u d e fle x ió n . L a s e c u a c io n e s s o n
M m
E l
d x o b ie n
/
d M M J
J p E Í dX
Si l a g e o m e tr ía y la c a rg a d e l e le m e n to r e q u i e r e n l a e v a lu a c ió n d e u n a
in te g ra l q u e n o p u e d e d e te r m in a r s e e n fo r m a c e r r a d a , e n to n c e s d e b e r á
u s a rs e l a r e g la d e S im p s o n o a lg u n a o t r a té c n ic a n u m é r ic a p a r a lle v a r a
c a b o la in te g ra c ió n .
e n r i t o n a d o s a h u s a d o s
e n r íA o n a d o s p a r a b ó l i c o s
R g i i r a 1 3 - 1
5 2 3

546. 5 2 4 C a p i t u l o 1 3 V i g a s y m a r c o s c o n e l e m e n t o s n o p r i s m á t i c o s
13
E l p i l ó n a h u s a d o d e c o n c r e t o s e u s a p a r a s o ­
p o r t a r l a s t r a b e s d e l p u e n t e d e e s t a a u t o ­
p i s t a .
Si la s e c u a c io n e s d e p e n d ie n te - d e f le x ió n o la d is tr ib u c ió n d e m o m e n ­
to s s e e m p l e a n p a r a d e te r m i n a r la s r e a c c io n e s s o b r e u n e l e m e n t o n o
p ris m á tic o , e n to n c e s p r i m e r o d e b e n c a lc u la r s e la s s ig u ie n te s p r o p i e d a ­
d e s p a r a e l e le m e n to .
M o m e n to s d e e x tre m o fijo (FEM). S o n la s r e a c c io n e s d e m o ­
m e n t o e n lo s e x tr e m o s d e l e le m e n to q u e s e s u p o n e e s t á f ija m e n te a p o ­
y a d o , fig u ra 13-2a.
F a cto r d e rig id e z (K). E s la m a g n itu d d e l m o m e n to q u e d e b e
a p lic a rs e a l e x tr e m o d e l e le m e n to d e m o d o q u e e s e e x tr e m o g ire a tr a v é s
d e u n á n g u lo d e 0 = 1 ra d . A q u í s e a p lic a el m o m e n to e n e l s o p o r te a r tic u ­
la d o , m ie n tr a s e l o t r o e x tr e m o s e s u p o n e fijo, fig u ra 13-2b .
F actor de tra sla d o (FTR). R e p r e s e n t a la f r a e d ó n n u m é r ic a (C )
d e l m o m e n to q u e s e “ t r a s la d a " d e s d e e l e x tr e m o a r tic u la d o h a s t a la
p a r e d , f ig u r a 13.2c.
U n a v ez o b te n id o s , e s p o s ib le v e rific a r lo s c á lc u lo s d e lo s f a c to r e s d e
rig id e z y d e tr a s la d o ; e n p a r te , o b s e r v a n d o u n a im p o r ta n te re la c ió n q u e
e x is te e n t r e e llo s . A l re s p e c to , c o n s id e r e la v ig a d e la fig u ra 13-3 s o m e ­
tid a a la s c a rg a s y d e f le x io n e s q u e s e m u e s tra n . 1.a a p lic a c ió n d e l t e o ­
r e m a r e c íp r o c o d e M a x w e ll-B e tti r e q u i e r e q u e e l t r a b a j o r e a liz a d o p o r
la s c a r g a s d e la f ig u r a 1 3 - 3 a .q u e a c tú a n a tr a v é s d e lo s d e s p la z a m ie n to s
d e la fig u ra 13-3¿», s e a ig u a l a l t r a b a j o d e la s c a r g a s q u e s e m u e s tr a n e n
la f ig u r a 1 3 -3 6 . q u e a c tú a n a tr a v é s d e lo s d e s p la z a m ie n to s d e l a ñ g u r a
1 3 -3 a ,e s d e c ir ,
U a r = U BA
K a ( 0) + Ca bKa { 1 ) = C b a K b ( 1 ) + K b {0 )
o b ie n
Ca bKa = Cb aKb (1 3 - 1 )
l\> r lo ta n to , u n a v e z d e te r m in a d o s , lo s f a c to r e s d e rig id e z y tr a s p a s o
d e b e n s a tis f a c e r la e c u a c ió n 13-1.
( F E M ) ,
0 (1 r a d )
< F E M ) a
CK
H g u ra 13-2

547. 1 3 .1 P r o p i e d a d e s d e c a r g a d e l o s e l e m e n t o s n o p r i s m á t i c o s 5 2 5
CAB*A
fig u ra 13-3
E s ta s p r o p ie d a d e s p u e d e n o b te n e r s e u s a n d o , p o r e je m p lo , e l m é to d o
d e la v ig a c o n ju g a d a o u n m é t o d o d e e n e r g ía . S in e m b a r g o , a m e n u d o e l
p ro c e s o im p lic a u n a c o n s id e r a b le c a n ti d a d d e tr a b a jo . E n c o n s e c u e n c ia ,
s e h a n d e s a r r o ll a d o g rá f ic a s y ta b la s p a r a d e t e r m i n a r e s t o s d a t o s p a ra la s
fo rm a s c o m u n e s q u e s e u tiliz a n e n e l d is e ñ o e s t r u c tu r a l. U n a d e e s a s
fu e n te s e s e l H a n d b o o k o f F ra m e C o n s ta n ls ( M a n u a l d e c o n s ta n te s e n
m a r c o s ), p u b lic a d o p o r la P o r tla n d C e m e n t A s s o c ia tio n .* E n la s ta b la s
13-1 y 13-2 se p r e s e n ta u n a p a r t e d e e s t a in f o r m a c ió n to m a d a d e la p u b li­
c a c ió n m e n c io n a d a . U n a fo r m a ta b u l a r m á s c o m p le ta d e e s t o s d a t o s
p u e d e e n c o n tr a r s e e n e l m a n u a l d e la P C A , j u n t o c o n la s c o r r e s p o n d ie n ­
te s d e d u c c io n e s d e la s fó r m u la s e m p le a d a s .
L a n o m e n c la tu r a s e d e f in e d e la m a n e r a s ig u ie n te :
a a, ü b = re la c ió n d e la lo n g itu d d e l e n r i ñ o n a d o e n lo s e x tr e m o s A y
B c o n l a lo n g itu d d e l c la r o .
b = re la c ió n d e la d is ta n c ia d e s d e la c a r g a c o n c e n t r a d a h a s ta
d e x t r e m o A r o n la lo n g itu d d e l c la r o .
CaB‘ c b a = fa c to re s d e tr a s la d o d e l e le m e n to A # en lo s e x tr e m o s A y
B , re s p e c tiv a m e n te .
h A. h fí = p r o f u n d id a d d e l e le m e n to e n lo s e x tr e m o s A y B , r e s p e c ti­
v a m e n te .
h e = p r o f u n d id a d d e l e l e m e n t o e n l a s e c r ió n m ín im a .
¡c = m o m e n to d e in e r d a d e l a s e c d ó n a la p r o f u n d id a d m ín im a.
k BA = f a c to r d e rig id e z e n lo s e x tr e m o s A y B . re s p e c tiv a m e n te .
I . = lo n g itu d d e l e le m e n to .
M a B ’ M Ba = M o m e n to d e e x tr e m o fijo e n lo s e x tr e m o s A y B ,r e s p e c ti­
v a m e n te ; s e e s p e d f ic a e n las ta b la s p a r a u n a c a rg a u n i­
f o r m e iv o u n a f u e r z a c o n c e n t r a d a P ,
r A' r B = re la c io n e s p a r a la s s e c c io n e s tr a n s v e r s a le s re c ta n g u la r e s ,
d o n d e rA ■ ( h Á - h c ) l h c .r fí ■ ( h fí - h c ) / h c .
C o n f r e c u e n c i a , e n l a c o n s t r u c c i ó n d e i g l e ­
s i a s s e u s a n l o s m a r c o s d e m a d e r a c o n m o ­
m e n t o s d e i n e r c i a v a r i a b l e s .
L a a p lic a c ió n d e l u s o d e la s ta b l a s s e il u s t r a r á e n e l e je m p lo 13-1.
C ó m o s e in d ic ó a n te r io r m e n te , lo s m o m e n to s d e e x tr e m o fijo y lo s f a c t o ­
res d e tr a s la d o p u e d e n e n c o n tr a r s e e n la s ta b la s . E l f a c to r d e rig id e z a b ­
s o lu ta p u e d e d e te r m in a r s e e m p l e a n d o lo s f a c to r e s d e rig id e z ta b u l a d o s y
a p a r tir d e la s s ig u ie n te s e c u a c io n e s :
k A B E I C „ k BAE I C
Ka = — - — Kb = — - — (1 3 - 2 )
«»<>
*Handbook o f Frame Constaras. P o r t l a n d C e m e n t A s s o c i a t i o n , C h i c a g o , I l l i n o i s .

548. TABLA 13-1 E n m o n a d o s rectos; ancho c o n s ta n te
5 2 6 Ca p i t u l o 1 3 V i g a s y m a r c o s c o n e l e m e n t o s n o p r i s m á t i c o s
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549. TABLA 13-2 E n riñ o n a d o s p a r a b ó lic o s ; ancho c o n s t a n t e
1 3 . 1 Pr o p i e d a d e s d e c a r g a d e l c s e l e m e n t o s n o p r i s m á t i c o s
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550. 5 2 8 C a p i t u l o 1 3 V i g a s y m a r c o s c o n e l e m e n t o s n o p r i s m á t i c o s
1 3 .2 Distribución de momentos
para estructuras con elementos
no prismáticos
U n a v e z q u e s e h a n d e te r m i n a d o lo s m o m e n to s d e e x tr e m o fijo y lo s fa c ­
to r e s d e rig id e z y tr a s la d o p a r a lo s e le m e n to s n o p ris m á tic o s d e u n a e s ­
t r u c tu r a , la a p lic a c ió n d e l m é to d o d e d is tr ib u c ió n d e m o m e n to s s ig u e el
m is m o p r o c e d i m i e n to q u e s e d e s c r ib ió e n e l c a p ítu lo 12. A l re s p e c to , r e ­
c u e r d e q u e la d is tr ib u c ió n d e m o m e n to s p u e d e a c o r t a r s e a l m o d ific a r el
f a c to r d e rig id e z d e u n e le m e n to p a r a t o m a r e n c u e n ta la s c o n d ic io n e s d e
lo s e x tr e m o s d e l c la r o c o n s o p o r te a r tic u la d o y la s im e tr ía o a n tis im e tría
d e la e s tr u c tu r a . E n lo s e le m e n to s n o p r is m á tic o s ta m b ié n p u e d e n h a ­
c e r s e m o d ific a c io n e s sim ila re s .
V ig a a rtic u la d a e n e l e x tr e m o le ja n o . C ó n s id e r e l a v ig a d e la
fig u ra 1 3 - 4 a ,la c u a l e s t á a r t ic u l a d a e n s u e x tr e m o le ja n o B . E l f a c to r d e
rig id e z a b s o l u t a K ’A e s e l m o m e n to a p lic a d o e n A d e m o d o q u e l a v ig a
e n A g ir e 0A = 1 r a d y p u e d e d e te r m i n a r s e d e la s ig u ie n te m a n e r a . E n
p r im e r lu g a r s u p o n g a q u e B e s tá te m p o r a lm e n te fijo y q u e s e a p lic a u n
m o m e n to K A e n A , f ig u r a 13-4¿>. E l m o m e n to in d u c id o e n f i e s CA g K A,
d o n d e C a b e s e l f a c to r d e tr a s la d o d e A a fi. E n s e g u n d o lu g a r , c o m o B
n o e s tá fijo , la a p lic a c ió n d e l m o m e n to o p u e s t o CA g K A s o b r e la v ig a , fi­
g u ra 1 3 -4 c ,in d u c ir á u n m o m e n to C fíAC AfíK A e n e l e x tr e m o A . M e d ia n te
la s u p e r p o s ic ió n , e l r e s u l t a d o d e e s ta s d o s a p lic a c io n e s d e m o m e n to o c a ­
s io n a q u e la v ig a e s t é c a r g a d a c o m o s e m u e s tr a e n la fig u ra 13-4a. P o r lo
ta n to , p u e d e v e rs e q u e e l f a c t o r d e rig id e z a b s o lu ta d e la v ig a e n A es
A q u í Ka e s e l f a c to r d e rig id e z a b s o l u ta d e la v ig a , s u p o n ie n d o q u e e s tá
fija e n e l e x t r e m o B . P o r e je m p lo , e n e l c a s o d e u n a v ig a p r is m á tic a , K A =
4 E 1 IL y CAb = Cbjk = A l s u s titu ir e n la e c u a c ió n 13-3 s e o b tie n e K 'A =
3 £ 7 / / . , q u e e s ig u al a la e c u a c ió n 12-4.
(1 3 - 3 )
Oa O r a d )
( 1 r a d )
M I r a d )
H
Ca iKa , ^BA^AS^A
I T «
Ca bKa
Figura 15-4

551. 1 3 . 2 Di s t r i b u c i ó n d e m o m e n t o s p a r a e s t r u c t u r a s c o n e l e m e n t o s n o p r i s m á t i c o s 5 2 9
V ig a y c a rg a si m é tric a s. E n e s t e c a s o e s n e c e s a r io d e te r m i n a r e l
m o m e n to K ' A n e c e s a r io p a r a g ir a r e l e x tr e m o A . 0 A = + 1 r a d . m ie n tr a s
q u e 0B = - 1 r a d . fig u ra 1 3 -5 a . A q u í p r i m e r o s e s u p o n e q u e e l e x tr e m o B
e s t á f i jo y s e a p li c a e l m o m e n t o K A e n A , f i g u r a 13-5¿>. D e s p u é s s e a p l i ­
c a u n m o m e n to K B n e g a tiv o s o b r e e l e x tr e m o B s u p o n ie n d o q u e e l e x ­
tr e m o A e s tá fijo. L o a n te r io r r e s u lta e n u n m o m e n to C ^ K g e n e l e x tre - 13
m o A c o m o s e m u e s tr a e n la f ig u r a 13-5c. A l s u p e r p o n e r e s ta s d o s
a p lic a c io n e s d e m o m e n to e n A s e o b t i e n e n lo s r e s u lta d o s d e la fig u ra
1 3 -5 a. S e r e q u i e r e
K 'a = Ka - Cb aKb
C b n b a s e e n la e c u a c i ó n 13-1 ( C ^ K g = CABK A\ ta m b ié n e s p o s ib le
e s c r ib ir
K'a = K a { 1 - C AB) 0 3 - 4 )
E n e l c a s o d e u n a v ig a p r i s m á t ic a . K A = 4 E I I L y C A B ~ 3 , d e m o d o q u e
K 'a = 2 E I / L , l o c u a l e s ig u a l a la e c u a c ió n 12-5.
o A r a d )
i — *
(b)
Ca bKa +
Figura 13-5
(c)

552. 5 3 0 C a p i t u l o 1 3 V i g a s y m a r c o s c o n e l e m e n t o s n o p r i s m á t i c o s
6 . (1 r a d )
M I r a d )
13
M » r a d )
b
M I rad)
K,
< b )
Figura 13-6
Viga simétrica con carga antisim étrica. E n e l c a s o d e u n a
viga s im é tr ic a c o n c a r g a a n tis im é tr ic a , e s n e c e s a r io d e t e r m i n a r K ' A d e
m o d o q u e o c u r r a u n a r o t a c ió n ig u a l e n lo s e x tr e m o s d e la v ig a , fig u ra
1 3 -6 a. P a r a h a c e r e s to , p r im e r o s e fija e l e x tr e m o B y s e a p lic a e l m o ­
m e n t o Ka e n A , fig u ra 13-66. D e l m is m o m o d o , e n la fig u ra 1 3 -6 c se
m u e s tra la a p lic a c ió n d e K B e n e l e x tr e m o t i e n t a n t o q u e e l e x tr e m o A
s e m a n tie n e fijo. A l s u p e r p o n e r lo s d o s c a s o s s e o b ti e n e n lo s re s u lta d o s
d e la fig u ra l3 - 6 a . P o r lo ta n to .
o . s i s e u s a la e c u a c ió n 13-1 ( C ^ ^b ™ c a hk a ) , r e s u lta q u e p a r a la r i g i­
d e z a b s o lu ta
A l s u s titu ir lo s d a to s p a r a u n e le m e n to p ris m á tic o . KA = A E U L y C AB =
s e o b ti e n e K ' A = 6 E / / L , l o c u a l e s ig u a l a la e c u a c i ó n 12-6.
K'a = Ka + Cb aKb
Ka = K a ( I + C AB) (1 3 - 5 )

553. 1 3 . 2 Di s t r i b u c i ó n d e m o m e n t o s p a r a e s t r u c t u r a s c o n e l e m e n t o s n o p r i s m á t i c o s 5 3 1
Cb aKb j
F ig u ra 1 3 - 7
T raslació n re la tiv a d e una ju n ta e n u n a v ig a . lx»s m o m e n ­
to s d e e x tr e m o fijo se d e s a r r o ll a n e n u n e le m e n to n o p ris m á tic o si é s te
tie n e u n a tr a s la c ió n r e la tiv a d e u n a j u n t a A e n tr e su s e x tr e m o s A y B , fi­
g u r a 1 3 -7 a. P a r a d e t e r m i n a r e s to s m o m e n to s se p r o c e d e d e la m a n e r a
s ig u ie n te . E n p r i m e r lu g a r , c o n s i d e r e q u e lo s e x t r e m o s A y B e s t á n a r ­
tic u la d o s y q u e e l e x t r e m o B d e la v ig a s e d e s p la z a u n a d is ta n c i a A de
t a l m a n e r a q u e la s r o ta c io n e s d e lo s e x tr e m o s s o n dA = 0 B = A /L ,f ig u r a
13-76. E n s e g u n d o lu g a r , s u p o n g a q u e B e s tá fijo y a p liq u e u n m o m e n to
d e M ' a = - K A ( h / L ) s o b r e e l e x tr e m o A cfc m a n e r a q u e e l e x tr e m o g ire
0 A = - A / L , f i g u r a 13-7c. E n te r c e r lu g a r , s u p o n g a q u e A e s t á fijo y a p li­
q u e u n m o m e n to M B = - K ñ(A /£) al e x tr e m o B d e m o d o q u e é s t e g ire
Ob = - A //., fig u ra 3-7d . C o m o la s u m a to t a l d e e s t a s tr e s o p e r a c io n e s
g e n e r a la c o n d ic ió n q u e s e m u e s tr a e n la f ig u r a 1 3 -7 a .s e t i e n e q u e e n A
( F E M ) J S = - Ka j- - C S Í K , , |
y A
" E
<d)
A l a p li c a r la e c u a c ió n 13-1 (C ñAK n = C AfíK A) s e o b ti e n e
{ F E M ) a b = - K a — (1 + C AB) (1 3 - 6 )
f ó r a e l e x tr e m o B p u e d e e s c r ib ir s e u n a e x p r e s ió n s im ila r. R e c u e r d e q u e
p a ra q u e u n e le m e n to p r is m á tic o K A = 4E / / L y C AR = J. P o r l o ta n t o
( F E M ) ^ = - 6 £ 7 D / £ \ l o c u a l e s ig u a l a la e c u a c ió n 11-5.
Si e l e x tr e m o B e s tá a r tic u la d o e n v ez d e fijo, fig u ra 13-8, e l m o m e n to
d e e x tr e m o f i jo e n A p u e d e d e te r m in a r s e d e u n a m a n e r a s im ila r a la d e s ­
c r ita a n te r io r m e n te . E l r e s u lta d o e s
(FEM)^b rA
1
(F E M ) U b = ~ K a ^ (1 - C ABC BA) (1 3 - 7 ) |_
A q u í p u e d e v e r s e q u e . p a r a u n e le m e n to p ris m á tic o , e s ta e c u a c ió n d a
( F E M ) '^ fl ■» - 3 £ / A / / . ?. la c u a l e s ig u a l a la q u e a p a r e c e e n e l in te r io r
d e la c o n tr a p o r t a d a .
E l s ig u ie n te e je m p lo ilu s tr a la a p lic a c ió n d e l m é to d o d e d is trib u c ió n
d e m o m e n to s e n e s t r u c tu r a s q u e t i e n e n e le m e n to s n o p ris m á tic o s . U n a
v ez q u e s e h a n d e te r m i n a d o lo s m o m e n to s d e e x tr e m o fijo y lo s f a c to r e s
d e rig id e z y d e tr a s p a s o , y q u e s e h a m o d ific a d o e l f a c t o r d e rig id e z d e
a c u e r d o c o n la s e c u a c io n e s d a d a s a n te r io r m e n te , e l p ro c e d im ie n to d e a n á ­
lisis e s ig u a l a l d e s c r ito e n e l c a p ítu lo 1 2 .
Figura 13-8

554. 5 3 2 C a p i t u l o 1 3 V i g a s y m a r c o s c o n e l e m e n t o s n o p r i s m á t i c o s
E J E M P L O 13.1
D e te r m in e lo s m o m e n to s in t e r n o s e n lo s s o p o r te s d e la v ig a q u e se
m u e s tr a e n la fig u ra 1 3 -9 u . L a viga ti e n e u n e s p e s o r d e l p ie y E e s
c o n s ta n te .
J im 11 Ti iiiiii u-T
* • + * " • * .
Ta - L f S
4 p c s
-1 5 p ie s
2 5 p ie si
5 p ie s 5 p ie s -
a
c
•5 p i e s —
10 p ie s
(a)
H gura 13-9
S O L U C IÓ N
C o m o lo s c n r ir to n a d o s s o n p a r a b ó lic o s , se u tiliz a r á l a ta b la 13-2 p a r a
o b t e n e r la s p r o p i e d a d e s d e la d is tr ib u c ió n d e m o m e n to s d e la v ig a .
C la ro A B
5 4 - 2
a A = a B = 2 5 = 0 .2 r A = r R = - y = 1.0
C o n f o r m a n d o e s t a s re la c io n e s e n la ta b la 13-2, s e e n c u e n t r a q u e
Ca b = C BA = 0.6 1 9
k AR = k BA = 6.41
A p a r t i r d e las e c u a c io n e s 1 3 -2 ,
k E l c 6 .4 1 E ( J ,) ( 1 ) ( 2 ) 3
Ka r = KHA
25
0 .1 7 1 E
C o m o e l e x tr e m o le ja n o d e l c la r o H A e s tá a r t ic u l a d o ,s e m o d if ic a r á el
f a c to r d e rig id e z d e B A m e d ia n te la e c u a c ió n 13-3. S e ti e n e
K 'r a = K ,M (1 - Ca bCb a) - 0 .1 7 1 £ [1 - 0 .6 1 9 ( 0 .6 1 9 ) ] = 0 .1 0 5 £
C o n b a s e e n la t a b l a 13-2, p a r a la c a rg a u n if o rm e
( F E M Jx b = - ( 0 .0 9 5 6 ) ( 2 ) ( 2 5 ) 2 = - 1 1 9 .5 0 k - p i e
(F E M = 1 1 9 3 0 k - p i e

555. 1 3 . 2 Di s t r i b u c i ó n d e m o m e n t o s p a r a e s t r u c t u r a s c o n e l e m e n t o s n o p r i s m á t i c o s 5 3 3
O a r o B C
5 4 - 2
= «c = Tó = 0,5
' B = ~ Y ~ = 10
E n la la b i a 13-2 s e e n c u e n t r a q u e
C BC = 0.7 8 1 C CB = 0.6 6 4
k BC = 13.12 k CB = 15.47
ft>r lo la n ío , a p a r i i r d e la s e c u a c io n e s 13-2,
Lé lu
k E l c I 5 . 4 7 £ ( ¿ ) ( 1 ) ( 2 ) J
* “ ■ ~ ¡ r ¡ó
------------ 1031£
P a ra la c a r g a c o n c e n t r a d a ,
3
( F E M ) a c = -0 .1 8 9 1 ( 3 0 ) ( 10) = - 5 6 . 7 3 k - p i e
( F E M ) Cfl = 0 .0 7 5 9 (3 0 ) (1 0 ) - 22 .7 7 k - p i e
Si s e e m p l e a n lo s v a lo r e s a n t e r i o r e s p a r a lo s f a c to r e s d e r ig id e z , se
c a lc u la n lo s f a c to r e s d e d is tr ib u c ió n y s e in tr o d u c e n e n la ta b l a , fig u ra
13-96. L a d is tr ib u c ió n d e m o m e n to s s ig u e e l m ism o p r o c e d im ie n to
d e s c r ito e n e l c a p ítu lo 12. L o s r e s u lta d o s e n k . p ie se m u e s tr a n e n la
ú ltim a fila d e la ta b la .
Ju nta A B C
E lem entoA f í B A B C C B
K 0 1 7 1E0.105 E0 8 7 5E1.031 F.
D F 1 0.107 0.893 0
F T R 0.619 0.619 0.781 0.664
F E M -119.50 119.50 -5 6 .7 3 22.77
Dist. 119.50 N -6 .7 2 -5 6 .0 5
iL . ■ —1
re * 73.97 -4 3 .7 8
D ist. -7 .9 1-6 6 .0 6
V
re -5 1 .5 9
0 178.84 -1 7 8 .8 4 -7 2 .6 0
(b)
Figura 13-9

556. 5 3 4 Ca p i t u l o 1 3 V i g a s y m a r c o s c o n e l e m e n t o s n o p r i s m á t i c o s
1 3 .3 Ecuaciones d e p e n d ie n te -d e fle x ió n
para e le m e n to s no prism áticos
L a s e c u a c io n e s d e p e n d ie n te - d e f le x ió n p a r a e le m e n to s p r is m á tic o s se
e s t a s e c u a c io n e s p a r a q u e ta m b ié n s e a p liq u e n a lo s e le m e n to s n o p r i s m á ­
tico s. P a r a e llo s e u tiliz a rá n lo s re s u lta d o s d e la s e c c ió n a n t e r i o r y se p r o ­
c e d e r á a f o r m u la r las e c u a c io n e s d e la m ism a m a n e r a q u e s e h iz o e n el
c a p ít u lo 1 1 ; e s d e c i r , c o n s i d e r a n d o lo s e f e c t o s c a u s a d o s p o r la s c a rg a s .
s e p a r a d o , p a r a d e s p u é s s u p e r p o n e r lo s re s u lta d o s .
C argas. L a s c a r g a s s e e s p e c ific a n p o r lo s m o m e n to s d e e x tr e m o fijo
(F E M )* /» y (F E M )/» * q u e a c tú a n e n lo s e x tr e m o s A y B d el c la r o . L os
m o m e n to s p o s itiv o s a c tú a n e n s e n t id o h o r a r io .
Traslación relativa d e las juntas. C u a n d o o c u r r e u n d e s p la z a m ie n to
re la tiv o e n tr e la s ju n ta s . lo s m o m e n to s in d u c id o s s e d e te r m in a n a p a r t i r de
la e c u a c ió n 13-6. E n e l e x tr e m o A e s te m o m e n to e s - [/¡T *A /L )(1 + C AB)
y e n e l e x tr e m o B e s - [K B\ / L ) { 1 + C&4).
R otación en A. Si e l e x tr e m o A g ir a 0 * , e l m o m e n to r e q u e r id o e n el
p u n to / 1 d e l c la ro e s K A0A . A d e m á s , e s to in d u c e a u n m o m e n to d e c AfíK Ae A
= C BAK B6 A en e l e x tr e m o B .
R otación en B. Si e l e x tr e m o B g ir a d B, u n m o m e n to d e K B0B d e b e
a c tu a r e n e l e x tr e m o B , y e l m o m e n to in d u c id o e n e l e x tr e m o A e s
L o s m o m e n to s e x tr e m o s to ta le s c a u s a d o s p o r e s t o s e fe c to s p r o d u c e n las
e c u a c io n e s d e p e n d ie n te - d e f le x ió n g e n e r a liz a d a s q u e . p o r lo ta n t o , p u e ­
d e n e s c r ib ir s e c o m o
C o m o e s t a s d o s e c u a c io n e s s o n s im ila re s , p u e d e n e x p r e s a r s e c o m o u n a
s o la e c u a c ió n . Si s e d e n o m i n a a u n o d e lo s e x tr e m o s d e l c la r o c o m o el
e x tr e m o c e r c a n o ( N ) , y a l o t r o c o m o e l e x tr e m o le ja n o (F). y a d e m á s se
r e p r e s e n ta la r o ta c ió n d e l e le m e n to c o m o 1¡i = A / L ,s e ti e n e
Mn = m o m e n to in te r n o e n e l e x tr e m o c e rc a n o d e l c la r o ;e s te m o m e n to
e s p o sitiv o c u a n d o a c tú a s o b r e e l c la r o e n s e n tid o h o rario .
K .v = rig id e z a b s o l u ta d e l e x tr e m o c e r c a n o , d e te r m i n a d a a p a r t i r d e
la s ta b la s o p o r m e d io d e c á lc u lo s .
1 3 d e s a r r o lla r o n e n e l c a p ítu lo 11. E n e s t a se c c ió n s e g e n e ra liz a r á l a f o r m a de
e l d e s p la z a m ie n to r e l a ti v o d e la s ju n t a s y la r o t a c ió n d e c a d a j u n t a p o r
k„0b = cABKAofí
M n = K N(6S + C N0F - * ( 1 + CN)) + (F E M ) .v (1 3 - 8 )
A q u í

557. 1 3 . 3 Ec u a c i o n e s d e p e n d i e n t e-o e c i e x i ó n p a r a e l e m e n t o s n o p r i s m á t i c o s
#iv. = p e n d ie n te s d e l e x tr e m o c e r c a n o y d e l e x tr e m o le ja n o d e l
c la r o e n lo s s o p o r te s ; lo s á n g u lo s s e m id e n e n ra d ia n e s y
so n p o s itiv o s e n s e n tid o h o r a r io ,
ili = r o t a c ió n d e la c u e r d a d e l c la r o d e b id a a u n
d e s p la z a m ie n to li n e a l, i¡i = A//.;e s t e á n g u lo s e m id e e n
ra d ia n e s y e s p o s itiv o e n s e n tid o h o r a r io .
( F E M ) * = m o m e n to d e e x tr e m o fijo e n e l s o p o r t e d e l e x tr e m o c e r ­
c a n o ; e l m o m e n to e s p o s itiv o c u a n d o a c tú a e n s e n t id o h o ­
r a r io s o b r e e l c la r o y s e o b ti e n e a p a r t i r d e la s ta b la s o
p o r m e d io d e cálc u lo s.
L a a p lic a c ió n d e la e c u a c ió n s ig u e e l m is m o p r o c e d im ie n to q u e se
d e s c r ib ió e n e l c a p it u lo 11 y, p o r lo ta n to , n o s e a n a li z a r á a q u í . E n p a r ­
tic u la r . t e n g a e n c u e n ta q u e la e c u a c ió n 13-8 s e r e d u c e a la e c u a c ió n 11 -8
c u a n d o se a p lic a a e le m e n to s q u e s o n p ris m á tic o s .
A m e n u d o l a s c o n s t r u c c i o n e s m e t á l i c a s l i g e r a s s e d i ­
s e r t a n u t i l i z a n d o m a r c o s c o n e l e m e n t o s q u e t i e n e n m o ­
m e n t o s d e i n e r c i a v a r i a b l e s .
F u e n t e c a r r e t e r o c o n t i n u o d e c o n c r e t o r e f o r z a d o .

558. 5 3 6 C a p i t u l o 1 3 V i g a s y m a r c o s c o n e l e m e n t o s n o p r i s m á t i c o s
PROBLEMAS
1 3
13-1. D eterm ine los m om entos e n A , B y C p o r e l m étodo
de la distribución de m om entos. S uponga q u e los so p o rte s
en A y C so n fijos y q u e e l so p o rte d e rodillos e n R e stá en
una b ase rígida. La viga tiene u n esp eso r d e 4 pies. U se la
tabla 13-1. E es co n sta n te . L os e n rito n a d o s s o n rectos.
1 3 - 1 R esuelva el p ro b lem a 13-1 u san d o la sccu acio n cs de
pendiente-deflexión.
13-5. U se e l m éto d o d e la distribución de m o m en to s para
d ete rm in a r el m o m en to e n c ad a ju n ta d el m arco sim étrico
p ara p u en te. L os so p o rte s e n F y E so n fijos y R y C están
co nectados fijam ente. U se la tabla 13-2. S u ponga q u e E es
constante y que cada e lem en to tiene 1 p ie d e espesor.
13-6. R esuelva el p ro b lem a 13-5 u san d o las ecu acio n es de
pendiente-deflexión.
4 pies
2 pies 4 pies
4 k/pie
Probs. 13-1/13-2 Probs. 13-5/13-6
13-3. A plique e l m éto d o d e distribución d e m o m e n to s 13-7. A plique el m éto d o de la distribución d e m om entos
para d ete rm in a r el m o m en to en cada ju n ta d el m arco p a - para d e te rm in a r el m om ento e n c ad a ju n ta d e l m arco sim é-
rabólico en riñonado. Ix k so p o rte s A y R so n fijos. U se la trico parabólico enriftonado. L os s o p o rte s A y D so n fijos,
tabla 13-2. C ad a uno de los e lem en to s tiene 1 pie d e e sp e - L/sc la tabla 13-Z C ad a elem ento tiene 1 pie d e espesor. E es
sor. E es co n sta n te . constante.
*13-4. R esuelva e l p ro b lem a 13-3 u san d o las ecuaciones
de pendiente-deflexión.
*13-8. R esuelva el p ro b lem a 13-7 u san d o las ecuaciones
d e pendiente-deflexión.
2 p.es
rTT#TfPíTTTl
5 pies
B
• 12 pies-
4 0 p ie s
15 p ie s
• , • 3 pies
P r o b s . 1 3 - 3 / 1 3 - 4 P r o b s . 1 3 - 7 / 1 3 - 8

559. Re p a s o d e l c a p i t u l o 5 3 7
13-9. U se el m éto d o d e la distribució n de m o m en to s p a ra
d e te rm in a r e l m o m en to e n c ad a ju n ta d e l m arco. L os so p o r­
tes e n A y C e stán articulados e n las ju n tas, y B y D e stán co­
nectados fijam ente. S uponga q u e E es co n stan te y q u e los
e lem en to s tienen un e sp e s o r d e I pie. L os e n riñ o n a d o s so n
rectos, p o r lo q u e p u ed e u sa r la tabla 13-1.
13-10. R esuelva el p ro b lem a 13-9 u san d o las ecuaciones
d e pendiente-deflexión.
13-11. U se e l m éto d o d e la distribución d e m om entos
para d e te rm in a r el m o m en to e n c a d a ju n ta d el m arco sim é ­
trico p a ra p u en te. L os so p o rte s F y E so n fijos y B y C e stán
co nectados fijam ente. I.o s enriñ o n ad o s son rectos, p o r lo
q u e p u ed e em p lear la tabla 13-2. S uponga q u e E e s cons­
tante y q u e los elem entos tien en 1 p ie d e espesor.
•1 3 -1 2 . R esuelva el p ro b lem a 13-11 usando las ecuacio­
nes d e p endiente-deflexión .
500 Ib/pie
P ro b s . 1 3 -1 1 /1 3 -1 2
REPASO DEL CAPITULO
Los e lem en to s n o p rism ático s q u e tienen m om entos d e inercia variables se usan co n frecuencia e n p u en tes y m arcos de
construcción co n claro s am plios a fin d e a h o rra r m aterial.
Hl análisis e stru c tu ra l q u e incluye e lem en to s n o prism áticos p u ed e realizarse e m p le a n d o las ecuaciones d e p en d ien te-
deflexión o la distribución de m om entos. A l h acer e sto .se vuelve necesario o b te n e r los m om entos d e e x trem o fijo, los fac­
to re s de rigidez y lo s factores de traslad o p a ra el elem ento. U na fo rm a d e o b te n e r esto s v alores consiste e n u sa r e l m étodo
de la viga co njugada, au n q u e e l trabajo e s algo tedioso. T am b ién e s p osible o b te n e r esto s v alores a p a rtir de d a to s ta b u la ­
dos, com o los publicados p o r la P o rtlan d C e m c n t A ssociatkm .
Si se usa e l m éto d o d e la distribución d e m om entos, en to n ce s e l proceso p u ed e sim plificarse al m odificar la rigidez d e al­
gunos d e los elem entos.

560. El análisis d e la arm adura espacial en estas to rre s de transm isión eléctrica
puede realizarse u tiliz a n d o e l m é to d o d e la rigidez.

561. Análisis de armaduras
utilizando el método
de la rigidez
E n e s te c a p ít u lo se e x p lic a r á n lo s f u n d a m e n to s b á s ic o s d e l u s o d e l m é ­
t o d o d e la r ig id e z p a ra e l a n á lisis d e e s tru c tu ra s . S e m o s tra rá q u e la
a p lic a c ió n d e e s t e m é t o d o , a u n q u e te d io s a p a ra h a c e r lo m a n u a lm e n te ,
re s u lta m u y a d e c u a d a p a ra s u u s o e n c o m p u ta d o r a . S e p r o p o r c io n a r á n
e je m p lo s d e a p lic a c io n e s e s p e c ífic a s e n a r m a d u ra s p la n a s . El m é t o d o
se a m p lia rá p a r a in c lu ir e l a n á lis is d e a r m a d u ra s e s p a c ia le s . L a s v ig a s y
e s tru c tu ra s a rm a d a s s e e s tu d ia rá n e n lo s p r ó x im o s c a p ítu lo s .
1 4 .1 F undam entos del m é to d o
de la rig id e z
E n e s e n c ia , h a y d o s f o r m a s d e a n a liz a r la s e s t r u c tu r a s u tiliz a n d o m é t o ­
d o s m a tric ia le s . E l m é t o d o d e la rig id e z , q u e se u s a r á e n é s t e y lo s s i­
g u ie n te s c a p ítu lo s , e s u n m é to d o d e a n á lis is d e l d e s p la z a m ie n to . P a ra
a n a liz a r la s e s t r u c tu r a s ta m b ié n p u e d e e m p le a r s e u n m é to d o d e fu e r z a ,
l la m a d o e l m é to d o d é l a fle x ib ilid a d , c o m o s e in d ic a e n la se c c ió n 9 -1 ; sin
e m b a r g o , t a l m é to d o n o s e p r e s e n ta e n e s te te x to . E x is te n v a r ia s ra z o n e s
p a ra e llo , la m á s im p o r ta n te e s q u e e l m é to d o d e la r ig id e z p u e d e u s a rs e
ta n t o p a r a a n a liz a r e s t r u c tu r a s e s t á tic a m e n te d e te r m i n a d a s c o m o in d e ­
te r m in a d a s . m ie n tr a s q u e e l m é to d o d e la fle x ib ilid a d r e q u i e r e u n p r o c e ­
d im ie n to d if e r e n t e p a r a c a d a u n o d e e s t o s d o s c a so s. In c lu s iv e , d e l m é ­
to d o d e la rig id e z s e o b t i e n e n lo s d e s p la z a m ie n to s y la s fu e r z a s d e fo r m a
d ir e c ta , m ie n tr a s q u e c o n e l m é t o d o d e la fle x ib ilid a d , lo s d e s p la z a m ie n ­
to s n o s e o b ti e n e n d e e s a m a n e r a . A d e m á s ,p o r lo g e n e r a l e s m u c h o m á s
fácil f o r m u la r la s m a tr ic e s n e c e s a r ia s p a r a r e a liz a r la s o p e r a c io n e s e n
c o m p u t a d o r a m e d ia n te e l m é to d o d e la rig id e z ; y u n a v ez h e c h o e s t o , lo s
c á lc u lo s e n c o m p u t a d o r a p u e d e n r e a liz a r s e d e m o d o e f ic ie n te .

562. 5 4 0 C a p i t u l o 1 4 A n á l i s i s d e a r m a d u r a s u t i l i z a n d o e l m é t o d o d e l a r i g i d e z
L a a p lic a c ió n d e l m é to d o d e la rig id e z r e q u i e r e s u b d iv id ir la e s t r u c tu r a
e n u n a s e r ie d e e le m e n to s f i n i t o s d is c re to s e id e n tif ic a r su s p u n to s e x t r e ­
m o s c o m o n o d o s . P a r a e l a n á lis is d e la a r m a d u r a , lo s e le m e n to s f in ito s se
r e p r e s e n ta n m e d i a n te c a d a u n o d e lo s e le m e n to s q u e la c o m p o n e n y lo s
n o d o s r e p r e s e n ta n las ju n ta s . S e d e te r m in a n las p r o p ie d a d e s d e la
f u e r z a - d e s p la z a m ie n to e n c a d a e l e m e n t o y d e s p u é s s e r e l a c io n a n e n t r e s í
u s a n d o la s e c u a c io n e s d e e q u ilib r io d e fu e r z a s e s c r ita s e n lo s n o d o s .
lA ieg o e s t a s r e la c io n e s , p a r a to d a la e s t r u c tu r a , s e a g ru p a n e n lo q u e se
d e n o m in a m a tr iz d e r ig id e z d e la e s tr u c tu r a K . U n a v e z e s ta b le c id o e s to ,
s e p u e d e n d e t e r m i n a r lo s d e s p la z a m ie n to s d e s c o n o c id o s d e lo s n o d o s
p a ra c u a lq u i e r c a rg a d a d a s o b r e la e s t r u c t u r a . A l c o n o c e r e s to s d e s p la z a ­
m ie n to s p u e d e n c a lc u la rs e la s fu e r z a s e x te r n a s e in te rn a s e n la e s t r u c ­
tu r a u tiliz a n d o la s re la c io n e s d e f u e r z a - d e s p la z a m ie n to p a r a c a d a e l e ­
m e n to .
A n te s d e d e s a r r o ll a r u n p r o c e d i m i e n to f o r m a l p a r a a p li c a r e l m é to d o
d e la r ig id e z , e s n e c e s a r io e s t a b le c e r p r i m e r o a lg u n a s d e fin ic io n e s y c o n ­
c e p to s p re lim in a re s .
Id e n tific a c ió n d e l e le m e n to y el n o d o . U n o d e lo s p r im e r o s
p a s o s p a r a a p li c a r e l m é t o d o d e l a rig id e z c o n s is te e n id e n tif ic a r lo s e l e ­
m e n to s o m ie m b r o s d e la e s t r u c tu r a y s u s n o d o s . C a d a e le m e n to s e e s p e ­
c ific a rá p o r u n n ú m e r o e n c e r r a d o e n u n c u a d r a d o , y p a r a id e n tif ic a r lo s
n o d o s s e u s a r á u n n ú m e r o d e n t r o d e u n c írc u lo . T a m b ié n s e id e n tif ic a r á n
lo s e x tr e m o s “ c e r c a n o " y " l e j a n o " d e c a d a e le m e n to m e d ia n te u n a fle c h a
in d ic a d a a lo la r g o d e l e le m e n to , c o n la p u n ta d e la fle c h a d ir ig id a h a c ia
e l e x tr e m o le ja n o . E n la fig u ra 1 4 -l a se m u e s tr a n a lg u n o s e je m p lo s c o n
la id e n tif ic a c ió n d e l e le m e n to , e l n o d o y la “ d ir e c c ió n " p a r a u n a a r m a ­
d u ra . E s ta s a s ig n a c io n e s s e h ic ie ro n d e m a n e r a a r b itr a r ia .*
C o o r d e n a d a s g lo b a l y d e l e le m e n to . D a d o q u e la s c a r g a s y
lo s d e s p la z a m ie n to s s o n c a n ti d a d e s v e c to r ia le s , e s n e c e s a r io e s t a b le c e r
u n s is te m a d e c o o r d e n a d a s a f i n d e p r e c i s a r e l s e n tid o c o r r e c to d e la d i ­
re c c ió n . A q u í s e u s a r á n d o s ti p o s d if e r e n te s d e s is te m a s c o o r d e n a d o s . S e
u s a r á u n siste m a d e c o o r d e n a d a s d e la e s tr u c tu r a o g lo b a l x , y , c 1 c u a l e s
ú n ic o , y s irv e p a r a e s p e c if ic a r e l s e n t id o d e c a d a u n o d e lo s c o m p o n e n te s
d e la f u e r z a e x te r n a y e l d e s p la z a m ie n to e n lo s n o d o s , fig u ra 1 4 -la . S e
e m p l e a r á u n sis te m a d e c o o r d e n a d a s lo c a le s o d e l e le m e n to p a r a e s p e c if i­
c a r e l s e n t id o d e d ir e c c ió n d e s u s d e s p la z a m ie n to s y la s c a r g a s in tern a s
e n e l e le m e n to . E s te s i s te m a s e id e n tif ic a rá c o n e je s x ' , y ' c o n e l o r ig e n e n
e l n o d o “ c e r c a n o " y e l e j e x ' e x te n d ié n d o s e h a c ia e l n o d o “ le j a n o " . E n la
fig u ra 14-1 6 se m u e s tra u n e je m p lo p a r a e l e le m e n to 4 d e l a a r m a d u r a .
P a r a v ig a s g r a n d e s , l a s m a n i p u l a c i o n e s m a l r i c i a l c s u s a n d o K r e s u l t a n s e r m á s c f i d c n l c s s i
s e e m p l e a u n a n u m e r a c i ó n s e le c tiv a d e l o s e l e m e n t o s e n u n p a t r ó n d e o n d a , e s d e c i r , c o ­
m e n z a n d o d e s d e l a p a r t e s u p e r i o r h a s t a la p a r t e i n t e r i o r y d e s p u é s d e a b a j o h a c i a a r r i b a ,
etcétera.

563. 1 4 . 1 F l A D A M I M T O S OCL M É T O D O D E L A R IG ID E Z 5 4 1
I n d e t e r m i n a c i ó n c i n e m á t i c a . C o m o s e e x p lic ó e n la s e c c ió n 11-1.
lo s g ra d o s d e li b e r t a d n o r e s tr in g id o s p a r a u n a a r m a d u r a r e p r e s e n ta n la s
in c ó g n ita s p r im a r ia s d e c u a lq u i e r m é to d o d e d e s p la z a m ie n to , y p o r lo
ta n t o é s t o s d e b e n id e n tific a rs e . C o m o r e g la g e n e r a l h a y d o s g r a d o s d e li­
b e r ta d , o d o s p o s ib le s d e s p la z a m ie n to s , p a r a c a d a j u n t a ( n o d o ) . P a r a su
a p lic a c ió n , c a d a g r a d o d e lib e r ta d s e e s p e d f i c a r á s o b r e la a r m a d u r a m e ­
d ia n te u n c ó d ig o n u m é r ic o , m o s tr a d o e n l a j u n t a o n o d o , y s e r e f e r ir á a s u
d ir e c c ió n c o o r d e n a d a g lo b a l p o s itiv a c o n u n a fle c h a a s o c ia d a . P o r e je m ­
p lo , la a r m a d u r a d e la fig u ra 14-1 a tie n e o c h o g r a d o s d e lib e r ta d , lo s c u a ­
les s e h a n id e n tif ic a d o m e d ia n te lo s “ c ó d ig o s ” d e l 1 al 8 , c o m o s e m u e s ­
tr a . I-a a r m a d u r a e s c in e m á tic a m e n te in d e te r m in a d a d e q u in t o g r a d o
d e b id o a e s t o s o c h o p o s ib le s d e s p la z a m ie n to s : d e l 1 a l 5 r e p r e s e n t a n g r a ­
d o s d e lib e r ta d d e s c o n o c id o s o sin re s tric c io n e s, y d e l 6 al 8 r e p r e s e n ta n
g r a d o s d e lib e r ta d r e s tr in g id o s . D e b id o a la s re s tric c io n e s , a q u í lo s d e s ­
p la z a m ie n to s s o n ig u a le s a c e ro . P a r a f u t u r a s a p lic a c io n e s , lo s n ú m e r o s
d e c ó d ig o m á s b a jo se u sa r á n s ie m p r e p a r a id e n tific a r lo s d e s p la z a m ie n ­
to s d e s c o n o c id o s (g r a d o s d e lib e r ta d n o re s trin g id o s), y lo s n ú m e r o s d e
c ó d ig o m á s a lto s e u tiliz a r á n p a r a id e n tific a r lo s d e s p la z a m ie n to s c o n o c i­
d o s (g r a d o s d e lib e r ta d r e s tr in g id o s ). L a r a z ó n p a r a e le g i r e s t e m é to d o d e
id e n tif ic a c ió n ti e n e q u e v e r c o n la c o m o d i d a d p o s t e r io r a l d iv id ir la m a ­
triz d e rig id e z d e la e s tr u c tu r a , d e m o d o q u e lo s d e s p la z a m ie n to s d e s c o ­
n o c id o s s e p u e d a n e n c o n t r a r d e f o r m a m á s d ir e c ta .
U n a v e z e t i q u e t a d a la a r m a d u r a y e s p e c ific a d o s lo s n ú m e r o s d e c ó ­
d ig o , s e p u e d e d e te r m i n a r la m a triz d e rig id e z d e la e s t r u c tu r a K . P a ra
h a c e r e s t o p r i m e r o d e b e e s ta b le c e r s e u n a m a tr iz d e r ig id e z d e l e le m e n to
k ' p a ra c a d a e le m e n to d e la a r m a d u r a . E s ta m a triz s e u s a p a r a e x p r e s a r
las re la c io n e s d e c a r g a - d e s p la z a m ie n to d e l e le m e n to e n té r m in o s d e la s
c o o r d e n a d a s lo c a le s. P u e s t o q u e n o to d o s lo s e le m e n to s d e la a r m a d u r a
e s t á n e n la m ism a d ir e c c ió n .s e d e b e d e s a r r o ll a r u n a m a n e r a d e tr a n s f o r ­
m a r e s t a s c a n tid a d e s d e s d e e l s i s te m a lo c a l d e c o o r d e n a d a s x ' , y ' d e c a d a
e le m e n to a l s is te m a d e c o o r d e n a d a s x , y , d e l a e s t r u c tu r a g lo b a l. E s to
p u e d e h a c e r s e e m p l e a n d o m a tric e s d e tra n s fo r m a c ió n d e la f u e r z a y e l
d e s p la z a m ie n to . U n a v e z e s ta b le c id o s , lo s e le m e n to s d e la m a tr iz d e rig i­
d e z d e l e le m e n to se tr a n s f o r m a n d e la s c o o r d e n a d a s lo c a le s a la s g lo b a ­
les, y lu e g o s e j u n t a n p a r a c r e a r l a m a triz d e rig id e z d e la e s t r u c tu r a . S i se
u s a K .c o m o se e s ta b le c ió a n t e r i o r m e n t e .e s p o s ib le d e te r m i n a r p r i m e r o
lo s d e s p la z a m ie n to s d e l n o d o p a r a d e s p u é s e n c o n tr a r la s re a c c io n e s e n lo s
s o p o r te s y las f u e r z a s d e lo s e le m e n to s . A h o r a s e tr a b a ja r á e n e l d e s a r r o ­
llo d e e s t e m é to d o .
F i g u r a 1 4 - 1

564. 5 4 2 C a p i t u l o 1 4 A n á l i s i s d e a r m a d u r a s u t i l i z a n d o e l m é t o d o d e l a r i g i d e z
(a)
1 4 .2 M a triz d e rig id e z del e le m e n to
E n e s t a se c c ió n s e e s t a b le c e r á la m a tr iz d e rig id e z p a r a u n s o l o e le m e n to
d e u n a a r m a d u r a c o n c o o r d e n a d a s lo c a le s x \ y ' , o r i e n ta d a s c o m o se
m u e s tr a e n la fig u ra 14-2. L o s té r m in o s d e e s t a m a triz r e p r e s e n ta n la s r e ­
la c io n e s d e c a r g a - d e s p la z a m ie n to p a r a e l e le m e n to .
U n e le m e n to d e u n a a r m a d u r a s ó l o p u e d e d e s p la z a r s e a lo la r g o d e s u
e je ( e j e x ' ) p u e s t o q u e la s c a r g a s s e a p lic a n a lo la r g o d e e s e e je . P o r lo
ta n to , p u e d e n o c u r r i r d o s d e s p la z a m ie n to s in d e p e n d ie n te s . C u a n d o se
im p o n e u n d e s p la z a m ie n to p o s itiv o d N s o b r e e l e x tr e m o c e r c a n o d e l e l e ­
m e n to , m ie n tr a s e l e x tr e m o le ja n o s e m a n tie n e a r tic u la d o , fig u ra 14-2a,
la s f u e r z a s d e s a r r o ll a d a s e n lo s e x tr e m o s d e lo s e le m e n to s s o n
A E
< ¡F
^ - A
~ L
O b s e r v e q u e q ’F e s n e g a tiv a p o r q u e p a r a lo g r a r e l e q u ilib r io a c tú a e n la
d ir e c c ió n n e g a tiv a x '. D e l m is m o m o d o , u n d e s p la z a m ie n to p o s itiv o d F
e n e l e x tr e m o le ja n o , q u e m a n t ie n e a l e x tr e m o c e r c a n o a r tic u l a d o , fig u ra
14-2/»,r e s u lta e n la s s ig u ie n te s fu e r z a s d e e le m e n to
q N =
A E
-
A E A
P o r s u p e r p o s ic ió n , fig u ra 1 4 -2 c, la s f u e r z a s r e s u lta n te s c a u s a d a s p o r
a m b o s d e s p la z a m ie n to s s o n
( b )
A E A A E A
< ¡ N ~ ~ £ d F
A E A E
q F = - — d s + — d F
(1 4 - 1 )
(1 4 - 2 )
E s ta s e c u a c io n e s d e c a r g a - d e s p la z a m ie n to p u e d e n e s c r ib ir s e e n fo r m a
m a tric ia l* c o m o
W
a e r i -1d N
<1F
L l-l1[ d F \
o b ie n
q = k 'd (1 4 - 3 )
d o n d e
k ' =
A E
L I -
(1 4 - 4 )
E s ta m a tr iz , k ' . s e d e n o m i n a m a tr iz d e r ig id e z d e l e le m e n to , y t i e n e la
m is m a fo r m a p a r a c a d a e l e m e n t o d e la a r m a d u r a . L o s c u a t r o e le m e n to s
q u e l a c o m p o n e n s e lla m a n c o e fic ie n te s d e in flu e n c ia d e la r ig id e z d e l e le ­
m e n to , k 'ij. F ís ic a m e n te , k '# r e p r e s e n ta la f u e r z a e n l a j u n t a i c u a n d o se
(c )
Figura 14-2
' E n e l A p é n d i c e A . s e h a c e u n r e p a s o d e á l g e b r a m a tr ic ia l.

565. 1 4 . 3 M a t r i c e s d e t r a n s f o r m a c i ó n d e rjer?a y c e s p i a z a m i e n t o
im p o n e u n d e s p la z a m ie n to u n ita r io e n la j u n t a j . P o r e je m p lo ,s i i = j = 1,
e n to n c e s k ’n es la f u e r z a e n la ju n t a c e r c a n a c u a n d o la j u n t a le ja n a se
m a n tie n e fija, y l a ju n t a c e rc a n a e x p e r im e n ta u n d e s p la z a m ie n to dedN = l,
e s d e c ir ,
, , A E
9 . - - - J -
D e l m is m o m o d o , la f u e r z a e n la ju n ta le ja n a s e d e te r m in a a p a r t i r d e / ■ 2,
j = 1, p o r lo q u e
q F = ~
E s to s d o s té r m in o s r e p r e s e n ta n la p r i m e r a c o lu m n a d e la m a trb . d e rig i­
d e z d e l e le m e n to . D e la m ism a m a n e r a , la s e g u n d a c o lu m n a d e e s t a m a ­
triz r e p r e s e n ta la s f u e r z a s e n e l e l e m e n t o s ó lo c u a n d o e l e x tr e m o le ja n o
d e l e le m e n to e x p e r i m e n t a u n d e s p la z a m ie n to u n ita rio .
1 4 .3 M atrices de tra n sfo rm a ció n
de fu e rza y de spla zam ien to
C ó m o u n a a r m a d u r a e s t á c o m p u e s ta d e m u c h o s e le m e n to s (m ie m b r o s ) ,
a h o ra s e d e s a r r o ll a r á u n m é to d o p a r a tr a n s f o r m a r la s fu e r z a s q d e l e l e ­
m e n to y lo s d e s p l a z a m i e n to s d ife fin id o s e n c o o r d e n a d a s lo c a le s a c o o r ­
d e n a d a s g lo b a le s . A fin d e e s t a b le c e r u n a c o n v e n c i ó n ,s e c o n s id e r a r á q u e
las c o o r d e n a d a s g lo b a le s x p o s itiv a s e s t á n a la d e r e c h a y la s c o o r d e n a d a s
y p o s itiv a s h a c ia a r r ib a . L os á n g u lo s m e n o r e s e n t r e lo s e je s g lo b a l e s x , y ,
p o s itiv o s , y e l e je lo c a l x 'p o s iti v o se d e f in ir á n c o m o 0, y 0y, ta l c o m o se
m u e s tr a e n la f ig u r a 14-3. Ix»s c o s e n o s d e e s t o s á n g u lo s s e u s a r á n e n e l
a n á lisis m a tric ia l q u e sig u e . É s to s s e id e n tif ic a r á n c o m o \ x = e o s 0 „ Ar =
e o s 0 y. Ix»s v a lo r e s n u m é ric o s p a r a A , y Ay p u e d e n g e n e r a r s e fá c ilm e n te
p o r c o m p u t a d o r a u n a v e z q u e s e h a n e s p e c ific a d o la s c o o r d e n a d a s x . y
d e l e x tr e m o c e r c a n o N y d e l e x tr e m o le ja n o F d el e le m e n to . P o r e je m p lo ,
c o n s id e r e e l e le m e n to N Fd e la a r m a d u r a q u e s e m u e s tra e n l a f ig u r a 14-4.
A q u í, la s c o o r d e n a d a s d e N y F s o n ( x N, y N) y (x ^.y /r), r e s p e c ti v a m e n te *
R>r lo ta n to .
A , = e o s e t
= a> s 0y
x F ~ x N
y F - y s
x F - XN
V { x F - x N)2 + (y,r - y w ) :
yp ~ y»
V ( x p - x s ) 2 + (y p - y s ) :
(1 4 -5 )
(1 4 -6 )
L o s s ig n o s a lg e b r a ic o s d e e s t a s e c u a c io n e s “ g e n e r a liz a d a s " c o n ta r á n d e
fo r m a a u to m á ti c a p a r a lo s e le m e n to s o r i e n ta d o s e n o tr o s c u a d r a n te s d e l
p ia n o x -y .
Figura 14-3
Figura 14-4
‘ H o r i g e n p u e d e u b ic a r s e e n c u a l q u i e r p u n t o c o n v e n i e n t e . S i n e m b a r g o , u s u a l m e n t e s e l o ­
c a liz a d e m o d o q u e la s c o o r d e n a d a s x . y d e t o d o s l o s n o d o s s e a n p o s i t i v a s ,c o m o s e m u e s ­
t r a e n l a f i g u r a t4 - 4 .

566. 5 4 4 C a p i t u l o 1 4 A n á l i s i s d e a r m a d u r a s u t i l i z a n d o e l m é t o d o d e l a r i g i d e z
M a triz de tra n sfo rm a ció n de l desp la zam iento. E n las
c o o r d e n a d a s g lo b a le s , c a d a e x tr e m o d e l e le m e n to p u e d e t e n e r d o s g r a ­
d o s d e li b e r t a d o d e s p la z a m ie n to s in d e p e n d ie n te s ; a s a b e r , l a j u n t a N
ti e n e D s , y D Ny, fig u ra s 1 4 -5 a y 14-5¿»,y la j u n t a F tie n e D Fx y D Fy, f ig u ­
ra s 1 4 -5 c y 14-5d . A h o r a s e c o n s id e r a r á n c a d a u n o d e e s t o s d e s p la z a ­
m ie n to s p o r s e p a r a d o , a f i n d e d e t e r m i n a r s u d e s p la z a m ie n to d e c o m p o ­
n e n te a lo la r g o d e l e le m e n to . C u a n d o e l e x tr e m o le ja n o s e m a n tie n e
a r tic u la d o y a l e x tr e m o c e r c a n o s e le d a u n d e s p la z a m ie n to g lo b a l D s ,,
fig u ra 1 4 -5 a, e l d e s p la z a m ie n to c o r r e s p o n d ie n t e ( d e f o r m a c ió n ) a lo
la rg o d e l e le m e n to e s D s , e o s 8 , * D e l m is m o m o d o , u n d e s p la z a m ie n to
D Ny o c a s io n a rá q u e e l e l e m e n t o se d e s p l a c e D Ny e o s 0y a lo la r g o d e l e je
x\ f i g u r a 1 4 -5 6 .E 1 e fe c to d e a m b o s d e s p la z a m ie n to s g lo b a le s h a c e q u e el
e le m e n to s e d e s p la c e
d N = D N xc o s 8x + D N yeos 0y
D e m a n e r a s im ila r, lo s d e s p la z a m ie n to s p o s itiv o s D Ft y D Fy, a p lic a d o s
e n f o r m a s u c e s iv a e n e l e x tr e m o le ja n o F , m ie n tr a s e l e x tr e m o c e r c a n o se
m a n tie n e a r tic u la d o , fig u ra s !4 -5 c y I 4 - 5 d , h a r á q u e e l e le m e n to se d e s ­
p la c e
tlF = D Fx e o s 8 , + D Fy e o s 8 y
Si se c o n s i d e r a q u e Ax = e o s 0 t y A r = e o s 8y r e p r e s e n ta n lo s c o s e n o s d ir e c ­
to r e s p a r a e l e l e m e n t o .s e ti e n e
d s = 1>SXA , + D Ny \y
d F = D FtA x + D Fy\ y
q u e p u e d e e s c r ib ir s e e n f o r m a m a tric ia l c o m o
d s ] =Ax A, 0 0 D s y
d F \. 0 0 Ax
Ay
o F,
O s ,
(1 4 - 7 )
o b ie n
d o n d e
T D
Ax A, O O
LO O Ax At
(1 4 -8 )
(1 4 - 9 )
f i g u r a 1 4 - 5
D e la d e d u c c i ó n a n t e r i o r , T tr a n s f o r m a lo s c u a t r o d e s p l a z a m i e n to s D
g lo b a le s x , y , e n lo s d o s d e s p la z a m ie n to s d lo c a le s x '. P b r lo ta n t o , T se
c o n o c e c o m o la m a tr iz d e tr a n s fo r m a c ió n d e I d e s p la z a m ie n to .
• E l c a m b i o e n O , o 0 , n o s e t o m a r á e n c u e n t a p o r q u e e s m u y p e q u e f lo .

567. 1 4 . 3 M a t r i c e s d e t r a n s f o r m a c i ó n d e t u e r z a y c e s p l a z a m i e n t o 5 4 5
M a triz de tra n sfo rm a ció n d e fuerza. C o n s id e r e a h o r a la
a p lic a c ió n d e la f u e r z a q s s o b r e e l e x tr e m o c e r c a n o d e l e le m e n to , e l e x ­
tr e m o le ja n o s e m a n tie n e a r tic u la d o , f ig u r a 14-6a. A q u í la s c o m p o n e n te s
d e la f u e r z a g lo b a l d e q s cn N s o n
Qn x = qn e o s e x Q N y = q N e o s 6y
D e l m is m o m o d o .s i s e a p lic a qF a la b a r r a .f i g u r a 1 4 -6 6 ,la s c o m p o n e n te s
d e la f u e r z a g lo b a l e n Fs o n
Qfx = q F C O se x Q Fy = q F c o s d ,
C o n b a s e e n lo s c o s e n o s d i r e c t o r e s I , - e o s 0 „ X y = e o s 9y, e s t a s e c u a ­
c io n e s s e c o n v ie r te n e n
Qn x - Qn^x Q N y ~ QN*y
Qfx = q F * x Q Fy = «7rAy
q u e p u e d e n e s c r ib ir s e e n f o r m a m a tric ia l c o m o
~ Q sx~ "A ,o '
Q \ y A, 0
Qf, 0A ,
Q F y .. 0
q N |
.qF J
(1 4 - 1 0 )
(b)
Figura 14-6
o b ie n
d o n d e
Q = T r q (1 4 -1 1 )
A ,0
A y 0
0 A ,
0
V
(1 4 - 1 2 )
E n e s t e c a s o . T ' tr a n s f o r m a la s d o s fu e r z a s q lo c a le s ( x ’) q u e a c tú a n e n
lo s e x tr e m o s d e l e le m e n to e n la s c u a t r o c o m p o n e n te s d e l a f u e r z a Q g lo ­
b al ( x .y ) . R>r c o m p a r a c ió n , p u e d e e s ta b le c e r s e q u e e s t a m a tr iz d e tr a n s ­
fo r m a c ió n d e la f u e r z a e s la tr a n s p u e s ta d e la m a tr iz d e tr a n s f o r m a c ió n
d e l d e s p la z a m ie n to , e c u a c ió n 14-9.

568. 5 4 6 C a p i t u l o 1 4 A n á l i s i s d e a r m a d u r a s u t i l i z a n d o e l m é t o d o d e l a r i g i d e z
1 4 .4 M a triz d e rig id e z g lo b a l
del e le m e n to
A h o r a s e c o m b i n a r á n lo s r e s u l t a d o s d e la s s e c c i o n e s a n t e r i o r e s y se
d e te r m i n a r á la m a triz d e rig id e z d e u n e le m e n to q u e re la c io n a lo s c o m ­
p o n e n te s d e la f u e r z a g lo b a l Q d el e l e m e n t o c o n s u s d e s p la z a m ie n to s
g lo b a le s D . S i s e s u s titu y e la e c u a c i ó n 1 4 - 8 ( d = T D ) e n la e c u a c ió n 1 4 - 3
( q = k ' d ) , e s p o s ib le d e te r m i n a r la s f u e r z a s q d e lo s e le m e n to s e n f u n ­
d ó n d e lo s d e s p la z a m ie n to s g lo b a l e s I ) e n su s p u n to s e x tr e m o s , a s a b e r ,
q = k T D ( 1 4 - 1 3 )
A l s u s tit u ir e s t a e c u a c ió n e n la e c u a c ió n 1 4 - 1 1 . Q = T r q , s e o b ti e n e e l r e ­
s u lta d o fin a l.
Q = T 7 k ’ T D
o b ie n
d o n d e
k = T r k ' T
Q = k l ) ( 1 4 - 1 4 )
( 1 4 - 1 5 )
L a m a t r i z k e s la m a tr iz d e r ig id e z d e I e le m e n to e n c o o r d e n a d a s g lo b a le s.
D a d o q u e T r . T y k ' y a s e c o n o c e n .e n t o n c e s
A , o “
A , 0 A E 1 “ I 1 [ A , \ y 0 0
0 A ,L - 1i J L o 0 A , A , .
0
A > _
Si s e re a liz a n la s o p e r a d o n e s m a tric ia le s s e o b ti e n e
N x Ny
F x F y
•2*
i
A , A, "A $ í
>
i N x
A « A >
- A 2,
A 2
- A . A ,
- A , A y
A l
- A 2
A , A ,
N y
F,
_ - A , A y-A 2 A ^ .F y
( 1 4 - 1 6 )

569. 1 4 . 5 M a t r i z d e r i g i d e z d e l a a r m a d u r a 5 4 7
L a u b ic a c ió n d e c a d a e le m e n to e n e s t a m a triz s im é tric a d e 4 X 4 e s t á
r e f e r e n c ia d a c o n c a d a g r a d o d e lib e r ta d g lo b a l a s o c ia d o c o n e l e x tr e m o
c e r c a n o jV, s e g u i d o p o r e l e x tr e m o le ja n o F. E s to s e in d ic a m e d ia n te la
n o ta c ió n d e l n ú m e r o d e c ó d ig o a lo la r g o d e la s fila s y c o lu m n a s ,e s d e c ir ,
N „ N y , Ft , Fr A q u í k r e p r e s e n ta la s re la c io n e s d e f u e r z a - d e s p la z a m ie n to
p a ra e l e le m e n to c u a n d o la s c o m p o n e n t e s d e la f u e r z a y e l d e s p la z a ­
m ie n to e n lo s e x tr e m o s d e l e le m e n to e s tá n e n la s d ir e c c io n e s g lo b a le s x . y .
ft>r lo ta n to , c a d a u n o d e lo s té r m in o s d e la m a tr iz e s u n c o e fic ie n te d e
in flu e n c ia d e la rig id e z k ,,.lo q u e d e n o ta l a c o m p o n e n te d e f u e r z a x o y ­
e n /.n e c e s a r i a p a r a o r i g in a r u n a c o m p o n e n te u n ita ria d e d e s p la z a m ie n to
a s o c ia d a l o y c n j . C o m o r e s u lta d o ,c a d a c o lu m n a id e n tif ic a d a d e l a m a ­
triz r e p r e s e n t a la s c u a tr o c o m p o n e n t e s d e f u e r z a d e s a r r o ll a d a s e n lo s
e x tr e m o s d e l e le m e n to c u a n d o e l e x tr e m o id e n tif ic a d o se s o m e te a u n
d e s p la z a m ie n to u n it a r i o r e la c io n a d o c o n s u c o lu m n a d e la m a triz . P o r
e je m p lo , u n d e s p la z a m ie n to u n i t a r i o D Nx = 1 c r e a r á la s c u a t r o c o m p o ­
n e n te s d e f u e r z a s o b r e e l e l e m e n t o q u e s e m u e s tr a n e n la p r i m e r a c o ­
lu m n a d e la m a triz .
1 4 .5 M a triz de rig id e z d e la arm a du ra
U n a v e z q u e s e f o r m a n to d a s la s m a tric e s d e rig id e z d e lo s e le m e n to s e n
c o o r d e n a d a s g lo b a le s , e s n e c e s a r io e n s a m b la r la s e n e l o r d e n c o r r e c to
p a ra q u e s e p u e d a d e te r m i n a r la m a tr iz d e rig id e z K de t o d a la a r m a ­
d u ra . E s te p r o c e s o d e c o m b in a c ió n d e m a tric e s d e lo s e le m e n to s d e ­
p e n d e d e u n a c u id a d o s a id e n tif ic a c ió n d e lo s m ie m b r o s d e c a d a m a triz
d e l e le m e n to . C o m o s e a n a liz ó e n l a s e c c ió n a n te r io r , e s t o se h a c e p o r la
d e s ig n a c ió n d e fila s y c o lu m n a s d e la m a triz m e d ia n te lo s c u a t r o n ú m e ­
ro s d e c ó d ig o N t , N y, F t , Fy q u e s e u tiliz a n p a ra id e n tif ic a r lo s d o s g r a d o s
d e li b e r t a d g lo b a le s q u e p u e d e n o c u r r i r e n c a d a e x tr e m o d e l e le m e n to
(v e a la e c u a c ió n 1 4 -1 6 ). L a m a tr iz d e rig id e z d e l a e s t r u c t u r a t e n d r á e n ­
to n c e s u n o r d e n q u e s e r á ig u a l a l n ú m e r o d e c ó d ig o m a y o r a s ig n a d o a la
a r m a d u r a , y a q u e r e p r e s e n ta la c a n ti d a d to t a l d e g r a d o s d e li b e r t a d p a r a
la e s t r u c tu r a . C u a n d o s e e n s a m b le n las m a tr ic e s k .c a d a e le m e n to e n k se
p o n d r á e n to n c e s e n s u m is m a d e s ig n a c ió n d e f ila y c o lu m n a e n la m a triz
d e rig id e z d e la e s t r u c t u r a K . E n p a r t ic u l a r ,c u a n d o d o s o m á s e le m e n to s
e s t á n c o n e c ta d o s a la m is m a ju n t a o n o d o , e n to n c e s a lg u n o s d e lo s e l e ­
m e n to s d e c a d a m a triz , k d e l e l e m e n t o s e a s i g n a r á n a la m ism a p o s ic ió n
e n l a m a tr iz K . C u a n d o e s t o o c u r r e , lo s e le m e n to s a s ig n a d o s a la u b ic a ­
c ió n c o m ú n d e b e n s u m a r s e a lg e b r a ic a m e n te . L a r a z ó n d e e s t o s e h a c e
e v id e n te s i s e ti e n e e n c u e n ta q u e c a d a e le m e n to d e la m a tr iz k r e p r e ­
s e n t a la r e s is te n c ia d e l e le m e n to a u n a f u e r z a a p lic a d a e n s u e x tr e m o . D e
e s ta m a n e r a , la s u m a d e e s ta s r e s is te n c ia s e n la d ir e c c ió n x o y al f o r m a r
la m a tr iz K d e te r m i n a la re siste n c ia to t a l d e c a d a j u n t a a u n d e s p la z a ­
m ie n to u n it a r i o e n la d ir e c c ió n x o y.
E s te m é to d o d e e n s a m b le d e la s m a tr ic e s d e lo s e le m e n to s p a r a f o r ­
m a r la m a triz d e rig id e z d e l a e s t r u c t u r a se m o s tr a r á a h o r a m e d ia n te d o s
e je m p lo s n u m é ric o s. A u n q u e e s te p r o c e s o e s a lg o te d io s o s i s e h a c e m a ­
n u a lm e n te , r e s u lta m á s fá c il s i s e p r o g r a m a e n u n a c o m p u ta d o r a .

570. 5 4 8 C a p i t u l o 1 4 A n á l i s i s d e a r m a d u r a s u t i l i z a n d o e l m é t o d o d e l a r i g i d e z
EJEMPLO 1 4 .1
D e te r m in e la m a tr iz d e rig id e z d e la e s t r u c t u r a p a r a la a r m a d u r a d e
d o s e le m e n to s q u e s e m u e s tr a e n la fig u ra !4 -7 a . A E e s c o n s ta n te .
___5
4 p ie s
f i g u r a 1 4 - 7
S O L U C IÓ N
P o r in s p e c c ió n , <2) te n d r á d o s c o m p o n e n te s d e d e s p la z a m ie n to d e s c o ­
n o c id a s , e n t a n t o q u e la s j u n t a s <D y @ e s t a r á n lim ita d a s p o r e l d e s p l a ­
z a m ie n to . E n c o n s e c u e n c ia , la s c o m p o n e n t e s d e l d e s p la z a m ie n to e n la
j u n t a ® s e c o d if ic a n n u m é r ic a m e n te e n p r im e r lu g a r, s e g u id a s p o r la s
d e la s a r tic u la c io n e s ® y <D, fig u ra 14-76. E l o r ig e n d e l s i s te m a d e
c o o r d e n a d a s g lo b a le s p u e d e u b ic a r s e e n c u a lq u ie r p u n t a P a r a m a y o r
c o m o d i d a d .s e e le g i r á la j u n t a @ ,c o m o s e m u e s tr a . L o s e le m e n to s se
id e n tif ic a n d e f o r m a a r b i tr a r ia y s e tr a z a n fle c h a s a lo la r g o d e lo s d o s
e le m e n to s p a r a id e n tif ic a r lo s e x tr e m o s c e r c a n o y le ja n o d e c a d a e l e ­
m e n to . A h o r a p u e d e n d e te r m i n a r s e lo s c o s e n o s d ir e c to r e s y la m a tr iz
d e rig id e z p a r a c a d a e le m e n to .
E le m e n t o 1 . C o m o ® es e l e x tr e m o c e r c a n o y (D e s e l e x tr e m o le ­
ja n o , e n to n c e s a p a r t i r d e la s e c u a c io n e s 14-5 y 1 4 -6 , s e ti e n e
3 - 0 . . 0 - 0
A , = 1 0
3 3
C o n b a s e e n la e c u a c ió n 14-16, s i s e d iv id e c a d a t é r m i n o e n t r e L = 3
p ies, s e ti e n e
1 2 3 4
0 3 3 30- 0 3 3 3 o " 1
A E 0 0 0 0 2
- 0 .3 3 3 0 0.3 3 3 0 3
0 0 0 0 4
Ix»s c á lc u lo s p u e d e n v e rific a rs e e n p a r t e a l o b s e r v a r q u e k ( e s s im é ­
trica . T e n g a e n c u e n ta q u e las fila s y c o lu m n a s e n lq se id e n tif ic a n p o r
lo s g r a d o s d e li b e r t a d x , y e n e l e x tr e m o c e r c a n o , s e g u id o s p o r e l e x ­
tr e m o le j a n o .e s d e c ir , 1 ,2 .3 .4 . re s p e c tiv a m e n te , p a r a e l e le m e n to 1, fi­
g u ra 14 7 6 . E s to s e h a c e c o n e l fin d e id e n tif ic a r lo s té r m in o s p a r a e l
e n s a m b le p o s t e r io r e n l a m a t r i z K.

571. 1 4 . 5 M a t r i z d e r i g i d e z d e l a a r m a d u r a 5 4 9
E le m e n to 2 . C o m o <2> e s e l e x tr e m o c e r c a n o y ® e s e l e x tr e m o le ­
ja n o , s e ti e n e
3 - 0
A , = 0.6
4 - 0
0.8
1 2 5 6
0.072 0 .0 9 6 - 0 .0 7 2 - 0 . 0 9 6 "1
0 .0 % 0 .1 2 8 - 0 .0 9 6 - 0 .1 2 8 2
0.0 7 2 - 0 .0 % 0.072 0.0 9 6 5
0.0 9 6 - 0 .1 2 8 0 .0 % 0.1 2 8 6
5 7 5
A sí, la e c u a c ió n 14-1 6 c o n L = 5 p ie s s e c o n v ie r te e n
k 2 = A E
A q u í la s fila s y c o lu m n a s s e id e n tif ic a n c o m o 1, 2 , 5 . 6 , p u e s to q u e
e s to s n ú m e r o s r e p r e s e n ta n , re s p e c tiv a m e n te , lo s g r a d o s d e l i b e r t a d x ,
y e n lo s e x tr e m o s c e r c a n o y le ja n o d e l e l e m e n t o 2 .
M a tr iz d « r ig id e z d e la e s tr u c tu r a . E sta m a tr iz tie n e u n a o r d e n
d e 6 X 6 p o r q u e h a y s e is g r a d o s d e l i b e r t a d d e s ig n a d o s p a r a la a r m a ­
d u r a . fig u ra 1 4 -7 6 . L os e le m e n to s c o r r e s p o n d ie n te s d e la s d o s m a tric e s
a n te r io r e s s e s u m a n a lg e b r a ic a m e n te p a r a f o r m a r l a m a tr iz d e r ig id e z
d e la e s t r u c tu r a . Q u iz á e l p r o c e s o d e e n s a m b le e s m á s fácil d e o b s e r ­
v a r s i la s c o lu m n a s y fila s n u m é r ic a s f a l ta n t e s e n k , y k 2 s e e x p a n d e n
c o n c e r o s p a r a f o r m a r d o s m a tr ic e s d e 6 X 6. E n to n c e s ,
K = k , + k ;
A E
K = A E
1 2 3 4 5 6 1 2 34 5 6
0 .3 3 3 0 - 0 .3 3 3 0 o o " 1 0 .0 7 2 0 .0 9 60 0 - 0 .0 7 2- 0 .0 9 6 " 1
0 0 0 0 0 0 2 0.096 0.1 2 8 0 0 - 0 .0 9 6 - 0 .1 2 8 2
- 0 .3 3 3 0 0.3 3 3 0 0 0 3 0 0 0 0 0 0 3
0 0 0 0 0 0 4 + A E 0 0 0 0 0 0 4
0 0 0 0 0 0 5 - 0 .0 7 2 - 0 0 9 6 0 0 0.072 0.0 9 6 5
0 0 0 0 0 0_ 6 _ - 0 .0 9 6 - 0 1 2 8 0 0 0 .0 % 0 .1 2 8 . 6
0.405 0 .0 9 6 - -0 3 3 3 0 -0 .0 7 2 - 0 .0 9 6 '
0.096 0.1 2 8 0 0 -0 .0 9 6 - 0.1 2 8
- 0 .3 3 3 0 0.3 3 3 0 0 0
0 0 0 0 0 0
- 0 .0 7 2 - 0 .0 9 6 0 0 0.072 0.0 9 6
- 0 .0 9 6 - 0 .1 2 80 0 0 .0 % 0.1 2 8
Si s e u s a u n a c o m p u t a d o r a p a r a e s t a o p e r a c ió n , p o r lo g e n e r a l s e e m ­
p ie z a c o n u n a K d o n d e to d o s lo s té r m in o s s o n c e r o ;d e s p u é s ,c o n f o r m e
se g e n e r a n las m a tric e s d e rig id e z g lo b a le s d e l e le m e n tó , é s t a s s e c o lo ­
c a n d ir e c ta m e n te e n s u s re s p e c tiv a s p o s ic io n e s e le m e n ta le s e n la m a ­
triz K .e n v ez d e d e s a r r o ll a r la s m a tric e s d e rig id e z d e c a d a e le m e n to y
a lm a c e n a rla s , p a r a d e s p u é s e n s a m b la r la s .

572. 5 5 0 C a p i t u l o 1 4 A n á l i s i s d e a r m a d u r a s u t i l i z a n d o e l m é t o d o d e l a r i g i d e z
EJEMPLO 14.2
10 p ie s
D e te r m in e la m a triz d e rig id e z d e la e s t r u c tu r a p a r a la a r m a d u r a q u e
s e m u e s tr a e n la fig u ra 14-8a. A E e s c o n s ta n te .
S O L U C IÓ N
A u n q u e la a r m a d u r a e s e s t á tic a m e n te in d e te r m in a d a d e p r i m e r
g ra d o , e s to n o r e p r e s e n ta n in g u n a d if ic u lta d p a r a la o b te n c ió n d e la
m a tr iz d e rig id e z d e l a e s t r u c tu r a . C a d a j u n t a y c a d a e le m e n to se id e n ­
tific a n n u m é r ic a m e n te e n f o r m a a r b i tr a r ia , y lo s e x tr e m o s c e r c a n o y
le ja n o s e in d ic a n m e d ia n te fle c h a s a lo la r g o d e lo s e le m e n to s . C o m o
s e m u e s tr a e n la fig u ra 1 4 -8 6 , lo s d e s p la z a m ie n to s n o r e s tr in g id o s se
c o d ific a n n u m é r ic a m e n te e n p r i m e r lu g a r . H a y o c h o g ra d o s d e lib e r ta d
p a ra la a r m a d u r a y, p o r lo ta n t o , K s e r á u n a m a triz d e 8 X 8 . C o n e l fin
d e m a n te n e r to d a s las c o o r d e n a d a s d e la s ju n t a s p o sitiv a s, e l o r ig e n d e
fes c o o r d e n a d a s g lo b a le s s e e lig e e n ® . A h o r a se a p lic a rá n la s e c u a c io ­
n e s 1 4 -5 ,1 4 -6 y 14-16 a c a d a e le m e n to .
E l e m e n t o 1 . A q u í I. ■ 10 p ie s .d e m o d o q u e
1 0 - 0
A,
10
A E
= 1
%
0 - 0
y
10
12 6 5
0.1 0 - 0 .1 0
0 0 0 0
- 0 .1 0 0.1 0
0 0 0 0
E l e m e n t o 2 . A q u í L = 10 p ie s , p o r lo q u e
A ,
1 0 - 0
10 V 2
= 0.707
1 0 - 0
1 0 V 2
0.707
A E
A,
1 2 7 8
0.035 0.0 3 5 - 0 .0 3 5 - 0 .0 3 5
0.035 0.0 3 5 - 0 .0 3 5 - 0 .0 3 5
- 0 .0 3 5 - 0 .0 3 5 0.035 0.0 3 5
- 0 .0 3 5 - 0 .0 3 5 0.035 0.0 3 5
í L = 10 p ie s , e n to n c e s
0 - 0
— 11
0
N>
1 0 - 0= |
10 10
3 4
" 0 0 0 0 n1
= A E
0 0.1
0 0
0 - 0 .1
0 0
2
3
0 - 0 .1 0 0 .1 ^ 4

573. 1 4 . 5 M a t r i z d e r i g i d e z d e l a a r m a d u r a 5 5 1
E le m e n to 4 . A q u í I- = 10 p ie s , d e m o d o q u e
1 Ay
1010
10
= 0
34 7 8
0.1 0 - 0 .1 0 ' 3
0 0 0 0 4
0.1 0 0.1 0 7
0 0 0 0 8
E le m e n to 5 . A q u í L = 10X ^2 p ie s . p o r lo q u e
1 0 - 0 0 - 1 0
A , =
------------= 0 .7 0 7 Ay =---------y r = - 0 .7 0 7
10 V 2 10 V 2
3 4 6 5
0 .0 3 5 - 0 .0 3 5 - 0 .0 3 5 0 .0 3 5 " 3
0.0 3 5 0.0 3 5 0 .0 3 5 - 0 .0 3 5 4
0.0 3 5 0.0 3 5 0 .0 3 5 - 0 .0 3 5 6
0 .0 3 5 - 0 .0 3 5 - 0 .0 3 5 0 .0 3 5 _5
E le m e n to 6 . A q u í L = 10 p ie s , e n to n c e s
-0 A
y ~
10
6 5 7 8
0 0 0 0
0 0.1 0 - 0 .1
0 0 0 0
0 - 0 .1 0 0.1
M a tr iz d e r ig id e z d e la e s tr u c tu r a . A h o r a , la s s e i s m a tric e s a n t e ­
rio re s p u e d e n e n s a m b la n te e n la m a tr iz K d e 8 X 8 a l s u m a r a lg e b r a i­
c a m e n te s u s e le m e n to s c o rr e s p o n d ie n te s . P o r e je m p lo , p u e s t o q u e
( * 11)1 = > 4 £ (0 .1 ), ( * 11)2 = A £ '( 0 .0 3 5 ), ( k n ) 3 = ( * 11)4 = ( ¿ 11)5 = ( ¿ 11)6
= 0 , e n to n c e s , K u = A£(0.1 + 0 .0 3 5 ) = A £ '(0 .1 3 5 ), y a s í s u c e s iv a ­
m e n te . P o r lo ta n t o , e l r e s u lta d o f in a l e s
1 2 3 4 5 6 7 8
0.135 0 .0 3 5 0 0 0 - 0 .1 - 0 .0 3 5 - 0 . 0 3 5 ' 1
0.035 0.1 3 5 0 - 0 . 1 0 0 - 0 .0 3 5 - 0 .0 3 5 2
0 0 0.1 3 5 -0 .0 3 5 0.0 3 5 - 0 .0 3 5 - 0 . 1 0 3
0 - 0 . 1 -0 .0 3 5 0.1 3 5 -0 .0 3 5 0.0 3 5 0 0 4
0 0 0.0 3 5-0 .0 3 5 0.1 3 5 - 0 .0 3 5 0 - 0 . 1 5
- 0 . 1 0 - 0 .0 3 5 0.0 3 5 - 0 .0 3 5 0.1 3 5 0 0 6
-0 .0 3 5 - 0 .0 3 5 - 0 .1 0 0 0 0.1 3 5 0.0 3 5 7
- 0 .0 3 5 - 0 .0 3 5 0 0 - 0 .1 0 0.0 3 5 0.1 3 5 8

574. 5 5 2 C a p i t u l o 1 4 A n á l i s i s d e a r m a d u r a s u t i l i z a n d o e l m é t o d o d e l a r i g i d e z
1 4 .6 A p licació n del m é to d o de la rig id e z
para el análisis d e arm aduras
U n a v ez q u e s e f o r m a la m a triz d e rig id e z d e la e s t r u c tu r a , la s c o m p o ­
n e n te s d e f u e r z a g lo b a l Q q u e a c tú a n s o b r e la a r m a d u r a p u e d e n r e l a c io ­
n a r c o n su s d e s p la z a m ie n to s g lo b a le s D u tiliz a n d o
Q = K D (1 4 - 1 7 )
E s ta e c u a c ió n se c o n o c e c o m o la e c u a c ió n d e r ig id e z d e la e stru c tu r a .
C o m o s ie m p r e se h a n a s ig n a d o lo s n ú m e r o s m á s b a jo s d e c ó d ig o p a r a
id e n tif ic a r lo s g r a d o s d e li b e r t a d n o re s trin g id o s , e s t o p e r m it ir á a h o r a
h a c e r u n a p a r tic ió n d e la e c u a c i ó n e n la f o r m a sig u ie n te :*
Q*
LQU.
11
1*21
K .2
*72.
n
*
(1 4 - 1 8 )
A q u í
Q*D* c a rg a s e x te r n a s y d e s p la z a m ie n to s c o n o c id o s ; a q u í la s c a r g a s
e x is te n e n la a r m a d u r a c o m o p a r t e d e l p r o b l e m a , y lo s d e s ­
p la z a m ie n to s s u e le n e s p e c ific a rs e c o m o ig u a le s a c e r o d e b id o
a la s lim ita c io n e s d e s o p o r te s c o m o p a s a d o r e s o ro d illo s.
Q U,D U = c a rg a s y d e s p la z a m ie n to s d e sc o n o c id o s- a q u í las c a r g a s
r e p r e s e n ta n la s r e a c c io n e s d e s c o n o c id a s e n lo s s o p o r te s
y lo s d e s p la z a m ie n to s s e p r e s e n t a n e n las ju n t a s d o n d e el
m o v im ie n to n o e s tá re s trin g id o e n u n a d ir e c c ió n p a rtic u la r.
K = m a triz d e rig id e z d e l a e s tr u c tu r a ,q u e s e p a r t e p a r a s e r c o m ­
p a tib le c o n la s p a r tic io n e s d e Q y D .
A I e x p a n d ir la e c u a c ió n 14-18 se o b ti e n e
Q * = K „ D U + K 12D * (1 4 - 1 9 )
Q u = K 21D ü + K n D k (1 4 - 2 0 )
M u y a m e n u d o D t - 0 , p u e s t o q u e lo s s o p o r t e s n o se d e s p la z a n . C u a n d o
s e d a e s t e c a s o , la e c u a c ió n 14-1 9 s e c o n v ie r te e n
Q * = K „ D U
C o m o lo s e le m e n to s d e la m a triz p a r t i d a K u r e p r e s e n ta n la resisten cia
to ta l e n u n a ju n t a d e a r m a d u r a a u n d e s p la z a m ie n to u n ita r io , y a s e a e n la
d ire c c ió n x o y ,e n t o n c e s la e c u a c ió n a n t e r i o r s im b o liz a la c o le c c ió n d e
to d a s la s e c u a c io n e s d e e q u ilib r io d e fu e r z a s a p lic a d a s a las ju n t a s d o n d e
las c a r g a s e x te r n a s s o n c e r o o ti e n e n u n v a lo r c o n o c id o (Q *). S i s e d e s ­
p e ja !>„. r e s u lta
D „ = [ K ( i ] ~ ' Q * ( 1 4 - 2 1 )
D e e s t a e c u a c ió n p u e d e o b te n e r s e u n a s o lu c ió n d i r e c t a p a r a to d o s lo s
d e s p la z a m ie n to s d e j u n t a d e s c o n o c id o s ; e n to n c e s , a p a r t i r d e la e c u a c ió n
14-20, c o n D t = 0 , s e o b ti e n e
Q u = * 2il>u (1 4 - 2 2 )
c o n b a s e e n l a c u a l p u e d e n o b te n e r s e la s r e a c c io n e s d e s c o n o c id a s e n lo s
s o p o r te s . L a s fu e r z a s d e l e le m e n to p u e d e n d e te r m in a r s e m e d ia n te la e c u a ­
c ió n 14-13, a s a b e r :
q = k T D
• E s t e e s q u e m a d e p a r t i c i ó n s e r á e v i d e n t e e n l o s e j e m p l o s n u m é r i c o s q u e s ig u e n .

575. 1 4 . 6 A P L IC A C IÓ N D E L M É T O D O D E L A R IG ID E Z P A R A E L A N Á L IS IS D E A R M A D U R A S5 5 3
A l e x p a n d ir e s t a e c u a c ió n s e o b tie n e
<7 .v"
_ A E [ 1 - 1 A , Ay 0 0
M r L L - i 1. . 0 0 Ax Ay
D Nx
o N,
df ,
- D f , .
C o m o q s = - q F p a r a e l e q u ilib r io , s ó l o d e b e e n c o n tr a r s e u n a d e la s
fu e rz a s. A q u í s e d e te r m i n a r á q F, la c u a l e je r c e te n s ió n e n e l e le m e n to , fi­
g u r a 14-2c.
(1 4 -2 3 )
E n p a r tic u la r , s i e l r e s u lta d o q u e se c a lc u la m e d ia n te e s t a e c u a c i ó n e s n e ­
g ativ o , e n to n c e s e l e le m e n to e s t á e n c o m p r e s ió n .
Procedimiento de análisis
E l s ig u ie n te m é to d o p r o p o r c io n a u n m e d io p a r a d e te r m i n a r lo s d e s p la z a m ie n to s y la s
r e a c c io n e s e n lo s a p o y o s d e s c o n o c id o s p a r a u n a a r m a d u r a u tiliz a n d o e l m é to d o d e la r i ­
g id e z .
N o ta c ió n
• E s ta b le z c a e l s is te m a d e c o o r d e n a d a s g lo b a le s x , y . P o r lo g e n e r a l ,e l o r i g e n s e lo c a liz a
e n u n a ju n t a p a r a la c u a l la s c o o r d e n a d a s d e t o d a s las d e m á s j u n t a s s o n p o sitiv a s.
• I d e n tif iq u e c a d a j u n t a y e le m e n to e n f o r m a n u m é r ic a , y e s p e c ifiq u e a r b i tr a r ia m e n te
lo s e x tr e m o s c e r c a n o y le ja n o d e c a d a e l e m e n t o d e m a n e r a s im b ó lic a al d ir ig ir u n a
fle c h a a lo la r g o d e l e le m e n to c o n la p u n ta d ir ig id a h a c ia e l e x tr e m o le ja n o .
• E s p e c if iq u e lo s d o s n ú m e r o s d e c ó d ig o e n c a d a j u n t a , c o n s id e r e lo s n ú m e r o s m á s
b a jo s p a r a id e n tif ic a r lo s g ra d o s d e lib e r ta d n o r e s tr in g id o s , s e g u id o s p o r lo s n ú m e r o s
m a y o r e s p a r a id e n tif ic a r lo s g r a d o s d e lib e r ta d r e s trin g id o s.
• C o n b a s e e n e l p r o b l e m a ,e s ta b le z c a D * y Q t .
M a triz d e r i g id e z d e la e s t r u c t u r a
• P a ra c a d a e le m e n to , d e te r m i n e A , y A,, y la m a triz d e rig id e z d e l e l e m e n t o u s a n d o la
e c u a c ió n 14-16.
• E n s a m b le e s t a s m a tr ic e s p a r a f o r m a r la m a triz d e r ig id e z d e t o d a la a r m a d u r a , c o m o
s e e x p lic ó e n la se c c ió n 14-5. P a r a v e rific a r p a r c ia lm e n te lo s c á lc u lo s , r e v is e q u e la s
m a tric e s d e rig id e z d e l e le m e n to y l a e s t r u c tu r a s e a n sim étrica s.
D e s p la z a m ie n t o s y c a r g a s
• P a r t a la m a triz d e rig id e z d e la e s t r u c tu r a ,c o m o lo in d ic a la e c u a c i ó n 14-18.
• D e te r m in e lo s d e s p l a z a m i e n to s d e s c o n o c id o s D ü d e l a j u n t a m e d i a n te la e c u a c i ó n
14-21, la s r e a c c io n e s e n lo s s o p o r te s Q u c o n b a s e e n la e c u a c ió n 14-22, y c a d a f u e r z a
d e e le m e n to u s a n d o la e c u a c i ó n 14-23.

576. 5 5 4 C a p i t u l o 1 4 A n á l i s i s d e a r m a d u r a s u t i l i z a n d o e l m é t o d o d e l a r i g i d e z
EJEMPLO 14.3
— r
4 p i e s
D e te r m in e la f u e r z a e n c a d a u n o d e lo s d o s e le m e n to s q u e c o m p o n e n
la a r m a d u r a q u e s e m u e s tr a e n la fig u ra 14-9a . A E es c o n s ta n te .
S O L U C IÓ N
N o ta c ió n . E n la fig u ra 14-9 6 se m u e s tr a n e l o r ig e n d e x , y y la n u ­
m e r a c ió n d e la s j u n t a s y lo s e le m e n to s . A d e m á s , lo s e x tr e m o s c e r c a n o
y le ja n o d e to d o s lo s e le m e n to s s e id e n tif ic a n m e d ia n te fle c h a s y se
u s a n n ú m e r o s d e c ó d ig o e n c a d a ju n ta . P o r in s p e c c ió n , p u e d e v e rse
q u e lo s d e s p la z a m ie n to s e x te r n o s c o n o c id o s s o n D 3 = D 4 = l ) 5 = D 6
= 0. In c lu siv e , la s c a r g a s e x t e r n a s c o n o c id a s s o n Q \ = 0 . 0 2 = _ 2 k .
F\>r lo ta n t o .
(*)
fig u ra 14-9
» * = Q*
o
- 2
M a tr iz d e r ig id e z d e la e s tr u c tu r a . S i s e e m p l e a la m ism a n o ta ­
c ió n q u e s e u s ó a q u í, e s ta m a tr iz y a s e d e s a r r o lló e n e l e je m p lo 14-1.
D e s p la z a m ie n to s y c a rg a s .
p a ra e s t a a r m a d u r a s e tie n e
A l e s c r ib ir la e c u a c i ó n 14-17 . Q * K D .
o " 0.405 0 .0 9 6 i
0 .1 2 8 ;
- 0 .3 3 3 0 - 0 .0 7 2 - 0 .0 9 6 "
- 2 ..0 .0 9 6
.... ...0..........0
-.0 ,0 9 6
-.0 ,1 2 8
Gs
Qa
= A E
- 0 3 3 3
0
"o
.......r
0
0.3 3 3
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0 )
Q s
- 0 .0 7 2 - 0 . 0 9 6 | 0 0 0.0 7 2 0 .0 9 6 0
_ C?6_
_ - 0 .0 9 6 - 0 .1 2 8 í 0 0 0 .0 9 60 .1 28__ 0 _
A p a r t i r d e e s t a e c u a c ió n s e p u e d e id e n tif ic a r K (1 y a s í d e t e r m i n a r D u.
S e ve q u e la m u ltip lic a c ió n d e m a tric e s , c o m o la e c u a c ió n 1 4 -1 9 . r e ­
s u l t a e n
A E
\D i
+
0
[ l h .
0 .
0 .4 0 5 0.0 9 6
.0 .0 9 6 0 .1 2 8 .
A q u í r e s u lta fá c il r e s o lv e r m e d i a n te u n a e x p a n s ió n d ir e c ta .
0 = A £ ( 0 .4 0 5 D , + 0 .0 9 6 /> 2)
- 2 = A £ ( 0 .0 9 6 D , + 0 .1 2 8 D 2)
F ís ic a m e n te e s t a s e c u a c io n e s r e p r e s e n ta n £ £ * - = O y 2 £ v = 0 a p lic a d a s
a la j u n t a <2). D e s p e ja n d o , s e o b ti e n e
4.5 0 5
D,
A E
D 2
- 1 9 .0 0 3
A E

577. 1 4 . 6 A P L IC A C IÓ N D E L M É T O O O D E L A R IG ID E Z P A R A E L A N Á L IS IS D E A R M A D U R A S5 5 5
ft>r in s p e c c ió n d e l a f ig u r a 1 4 - 9 6 .d e h e c h o s e e s p e r a r ía la o c u rr e n c ia
d e u n d e s p la z a m ie n to h a c ia la d e r e c h a y h a c ia a b a j o e n l a j u n t a ®
s g ú n lo in d ic a n lo s s ig n o s p o s itiv o s y n e g a tiv o s d e e s t a s re s p u e s ta s .
C o n e s t o s r e s u lta d o s , a h o r a s e o b tie n e n la s re a c c io n e s e n lo s s o p o r ­
te s a p a r t i r d e la e c u a c ió n ( 1 ) . e s c r ita e n la fo r m a d e la e c u a c ió n 14-20
(o la e c u a c ió n 1 4 -2 2 ) c o m o
Qy " - 0 . 3 3 30 "o"
< ? 4
= A E
0 0 1 4 .5 0 5 '
+
0
0 5
- 0 .0 7 2 - 0 .0 9 6A E- 1 9 .0 0 3 . 0
_ < ?6_ . - 0 . 0 9 6 - 0 . 1 2 8 . _0_
A l e x p a n d e r y d e s p e j a r la s re a c c io n e s .
Q i = - 0 .3 3 3 ( 4 .5 0 5 ) = - 1 . 5 k
(?4 = 0
Q 5 = - 0 .0 7 2 ( 4 .5 0 5 ) - 0 . 0 9 6 ( - 1 9 .0 0 3 ) = 1.5 k
Q 6 = - 0 .0 9 6 ( 4 .5 0 5 ) - 0 . 1 2 8 ( - 1 9 .0 0 3 ) = 2 .0 k
L a f u e r z a e n c a d a e le m e n to s e e n c u e n t r a c o n b a s e e n la e c u a c ió n
14-23. E m p le a n d o lo s d a t o s p a r a Ax. y Av e n e l e je m p lo 1 4 -1 . s e tie n e
E l e m e n t o 1 : Ax = l.Ay = 0 . / . = 3 p ie s .
1 2 3 4
A E
t¡\
4.5 0 5 1
19.0032
0 3
0 4
- 1 -4 .5 0 5 ) = - 1 . 5 k R esp.
E l e m e n t o 2 : Ax = 0 .6 ,A . = 0 .8 , L = 5 p ie s .
h it 1 2 5 6 ,
A E r i 1
92 = - H - 0 . 6 - 0 . 8 0 .6 0 .8 ] —
4.505
-1 9 .0 0 3
0
0
- ( - 0 .6 ( 4 .5 0 5 ) - 0 . 8 ( - 19.003)1 = 2 .5 kR esp.
ft>r s u p u e s to , e s t a s r e s p u e s ta s p u e d e n v e rific a rs e m e d ia n te e l e q u i l i ­
b rio . a p lic a d o e n la j u n t a <2>.

578. 5 5 6 C a p i t u l o 1 4 A n á l i s i s d e a r m a d u r a s u t i l i z a n d o e l m é t o d o d e l a r i g i d e z
EJEMPLO 14.4
10 pies
(a)
D e te r m in e la s r e a c c io n e s e n lo s s o p o r te s y la f u e r z a e n e l e le m e n to 2
d e la a r m a d u r a q u e s e m u e s tr a e n la fig u ra 1 4 10a. A E e s c o n s ta n te .
S O L U C IÓ N
N o ta c ió n . Se n u m e r a n la s ju n t a s y lo s e le m e n to s n u m e r a d o s y se
e s ta b le c e e l o r i g e n d e lo s e j e s x . y e n <D, f ig u r a 1 4 -1 0 6 . A d e m á s , la s
fle c h a s s e u s a n p a r a h a c e r r e f e r e n c ia a lo s e x tr e m o s c e r c a n o y le ja n o
d e c a d a e le m e n to . S i s e e m p l e a n lo s n ú m e r o s d e c ó d ig o d o n d e lo s n ú ­
m e r o s m á s b a jo s in d ic a n lo s g r a d o s d e li b e r t a d n o r e s trin g id o s , fig u ra
1 4 -1 0 6 .s e ti e n e
D ¡
01
o"6 0 2
07 Q* = 2 3
0 _8 -4 4
0 5
E s tru c tu ra d e la m a tr iz d e r ig id e z . E s ta m a tr iz s e d e te r m i n ó e n e l
e je m p lo 14-2 c o n la m is m a n o ta c ió n q u e e n la fig u ra 14-106.
D e s p la z a m ie n to s y c a rg a s . P a r a e s t e p r o b l e m a Q = K I ) e s
0 0.135 0 .0 3 5 0 0 0 - 0 .1 - 0 .0 3 5 - 0 .0 3 5
0 .
0 0.035 0 .1 3 5 0 - 0 . 1 0 0 - 0 .0 3 5 - 0 .0 3 5
2 0 0 0 .1 3 5 - 0 .0 3 5 0.0 3 5 - 0 .0 3 5 - 0 . 1 0 l h
- 4
= A E
0 - 0 . 1 - 0 .0 3 5 0 .1 3 5 - 0 .0 3 5 0.0 3 5 0 0 0 4
0 0 0 0 .0 3 5 - 0 .0 3 5 0.1 3 5 - 0 .0 3 50 - 0 . 1 0 5
<?6 - 0 . 1 0 - 0 .0 3 5 0 .0 3 5 - 0 .0 3 5 0.1 3 5 0 0 0
<27 - 0 .0 3 5 - 0 .0 3 5- 0 . 1 0 0 0 0.135 0.0 3 5 0
<?*
- 0 .0 3 5 - 0 .0 3 5 0 0 - 0 .1 0 0.035 0.1 3 5 0
(1)
Si s e m u ltip lic a d e m o d o q u e p u e d a fo r m u la r s e l a e c u a c ió n 14-18 d e l
d e s p la z a m ie n to d e s c o n o d d o .s e o b ti e n e
0 ' "0.135 0.0 3 5 0 0 0 'Dt' "o
0 0.035 0.1 3 5 0 - 0 . 1 0
d2
0
2= AE0 0 0.1 3 5 - 0 .0 3 5 0.0 3 5
0 3
+ 0
- 4 0 - 0 .1 - 0 .0 3 5 0.1 3 5 - 0 .0 3 5 0 4 0
0_ _ 0 0 0.0 3 5 - 0 .0 3 5 0 .1 3 5 _
_ 0 5 _
_0

579. 1 4 . 6 Ap l i c a c i ó n d e l m é t o d o d e l a r i g i d e z p a r a e l a n á l i s i s d e a r m a d u r a s 5 5 7
A l e x p a n d ir e s t a s e c u a c io n e s y d e s p e j a r lo s d e s p la z a m ie n to s r e s u lta
1 7 .9 4 '
1
A E
- 6 9 .2 0
- 2 . 0 6
d a - 8 7 .1 4
.d5_ - 2 2 .0 6
Si s e d e s a r r o lla la e c u a c i ó n 14-20 a p a r tir d e l a e c u a c ió n ( 1 ) , e m ­
p le a n d o lo s re s u lta d o s c a lc u la d o s , se tie n e
17.94
'C ?6_ —0.1 0 -0 .0 3 5 0.0 3 5- 0 . 0 3 5 '
1
- 6 9 .2 0 ‘ o
Q i
= A E- 0 .0 3 5 - 0 .0 3 5 - 0 . 1 0 0
1
A E
- 2 . 0 6+0
Q8 . - 0 .0 3 5 - 0 .0 3 5 0 0 - 0 . 1 - 8 7 .1 4. 0
- 2 2 .0 6
A l e x p a n d ir y c a lc u la r la s r e a c c io n e s e n lo s s o p o r te s s e o b ti e n e
Q 6 = - 4 . 0 k R esp.
@7 = 2 .0 k R esp.
Qh = 4 .0 k R esp.
E l s ig n o n e g a tiv o p a r a Q h in d ic a q u e la r e a c c ió n e n e l s o p o r te d e o s c i­
la d o r a c tú a e n la d ir e c c ió n x n e g a tiv a . L a f u e r z a e n e l e le m e n to 2 se
e n c u e n tr a a p a r t i r d e l a e c u a c i ó n 14-23, d o n d e d e s d e e l e je m p lo 14-2,
A , * 0 .7 0 7 , A}, = 0 .7 0 7 , L = 10 V 5 p ie s . E n to n c e s .
q2 = —— [-0.707
10 V 2
- 0 .7 0 7 0 .7 0 7 0.707)
A E
17.94
- 6 9 .2 0
0
0
= 2 . 5 6 k R esp .

580. 5 5 8 C a p i t u l o 1 4 A n á l i s i s d e a r m a d u r a s u t i l i z a n d o e l m é t o d o d e l a r i g i d e z
EJEMPLO 14.5
(a)
<b)
Figura 14-11
D e te r m in e la f u e r z a e n e l e l e m e n t o 2 d e l e n s a m b le q u e s e m u e s tr a e n
la f ig u r a 14-1 l a s i e l s o p o r te e n la j u n t a <D s e a s i e n ta 2 5 m m h a cia
a b a jo.C o n s id e r e q u e A E = 8(10*) kN .
S O L U C IÓ N
N o ta c ió n . ft>r c o m o d id a d , e l o r i g e n d e la s c o o r d e n a d a s g lo b a le s e n
la fig u ra 14-1 I b se e s ta b le c e la j u n t a ® y . c o m o s i e m p r e , lo s n ú m e r o s
m á s b a jo s d e l c ó d ig o s e u s a n p a r a h a c e r r e f e r e n c ia a lo s g ra d o s d e li­
b e r t a d n o r e s trin g id o s . R>r l o ta n to ,
n » -
o
- 0 .0 2 5
0
0
0
0
M a t r iz d e r ig id e z d e la e s tr u c tu r a . C ó n b a s e e n la e c u a c ió n 14-16,
s e ti e n e
E le m e n to 1 : A , = 0 ,A V = l , L = 3 m . d e m o d o q u e
k , - A E
4
0
0 3 3 3
0
2
0
- 0 3 3 3
0
0 .3 3 3. 0 - 0 3 3 3
E le m e n to 2 : A , = - 0 . 8 , \ y = - 0 . 6 , / . - 5 m , e n to n c e s
A E
1
0 1 2 8
0 . 0 % 0 .0 7 2
- 0 . 1 2 8 - 0 . 0 %
- 0 . ( 1 % -0X172
2 5 6
0 . 0 % - 0 . 1 2 8 - 0 . 0 %
- 0 . 0 % -0 X 1 7 2
0 .1 2 8 0X1%
0 . 0 % 0X172
E le m e n to 3 : A , = l,Al - 0.L = 4 m ,e n t o n c e s
k , - A E
7 8 1 2
0 2 5 0 - 0 2 5 0
0 0 0 0
- 0 2 50 0 2 5 0
0 0 0 0
A l e n s a m b la r e s t a s m a tric e s , l a m a triz d e rig id e z d e la e s t r u c t u r a se
c o n v ie r te e n
K = A E
1 2 3 4 5 6 7 8
0 3 7 80 .0 %0 0 - 0 . 1 2 8- 0 . 0 % - 0 2 5 o " 1
0 . 0 % 0 .4 0 5 0 - 0 . 3 3 3 - 0 . 0 % - 0 . 0 7 2 0 0 2
0 0 0 0 0 0 0 0 3
0 - 0 3 3 3 0 0.3 3 30 0 0 0 4
- 0 . 1 2 8 - 0 . 0 % 0 0 0 .1 2 8 0 . 0 % 0 0 5
- 0 . 0 % - 0 . 0 7 2 0 0 0 . 0 % 0 .0 7 2 0 0 6
- 0 2 5 0 0 0 0 0 0 2 50 7
0 0 0 0 0 0 0 o _ 8

581. 1 4 . 6 A P L IC A C IÓ N D E L M É T O O O D E L A R IG ID E Z P A R A E L A N Á L IS IS D E A R M A D U R A S5 5 9
D e s p l a z a m i e n t o s y c a r g a s . A q u í Q = K D r e s u lta e n
o ' (1 3 7 8 0 . 0 % i 0 0 - 0 . 1 2 8 - 0 0 % - 0 2 5 0 D ,
0 <1096 0 4 0 5 ! 0 - 0 3 3 3 : o i> %- 0 . 0 7 20 0
Q i 0 ó
........T o 0 0Ó ÓÓ 0
04
- AF.
0 - 0 3 3 3 1 0 0 3 3 3 00 0 0- 0 0 2 5
0 5 - 0 . 1 2 8 - 0 . 0 % ] 00 0 .1 2 80 . 0 %0 0 0
0 6 - 0 0 % - 0 . 0 7 2 j 0 0 0 1 )% 0 .0 7 2 0 0 0
0 7 - 0 2 5 0 j 0 0 0 0 0 2 500
Lg._ 0 0 i 0 0 0 0 0 0 0
A l d e s a r r o lla r la s o lu c ió n p a ra lo s d e s p la z a m ie n to s .e c u a c ió n 1 4 -1 9 .s e
tie n e
A E
0 .3 7 80 1 ) % '« . I
u 4XT
0 0 - 0 . 1 2 8 -< 1 0 % - 0 2 5 0
0 . 0 % 0 .4 0 5 ]J h \
T /I C
.0 - 0 . 3 3 3 - 0 . 0 % - 0 .0 7 2 0 0
0
-0.025
0
0
0
0
D e d o n d e s e o b tie n e
0 = A £ j( 0 .3 7 8 D | -* 0 .0 9 6 D ? ) + 0 |
0 = /1E K 0.Ü 96Z ), + 0 .4 0 5 D 2) + 0 .00833]
A l r e s o lv e r e s ta s e c u a c io n e s s i m u ltá n e a m e n te d a
D , = 0 .0 0 5 5 6 m
D 2 = - 0 .0 2 1 8 7 5 m
A p e s a r d e q u e n o e s n e c e s a r io c a lc u la r la s r e a c c io n e s e n lo s s o p o r te s ,
si a s í s e d e s e a p u e d e n e n c o n tr a r s e a p a r t i r d e la e x p a a s ió n d e f in id a
p o r la e c u a c i ó n 14-20. S i s e u s a la e c u a c ió n 14-23 p a r a d e te r m i n a r la
fu e rz a e n e l e le m e n to 2 r e s u lta
E l e m e n t o 2 : A , = - 0 .8 . Ar = - 0 .6 . L = 5 m . A E = 8 ( 103) k N . d e
m o d o q u e
8Í103)
q 2 = (0 .8 0 .6 - 0 .8 - 0 .6 )
8(10>)
0 .0 0 5 5 6
- 0 .0 2 1 8 7 5
0
0
(0 .0 0 4 4 4 - Q 0 1 3 1 ) = - 1 3 . 9 k NR esp.
U s a n d o e l m is m o p ro c e d im ie n to , s e m u e s tr a q u e la f u e r z a e n e l e l e ­
m e n to 1 e s í/ | = 8.34 k N y e n e l e l e m e n t o 3 ,</3 = 11.1 kN . Ix>s r e s u lta ­
d o s se m u e s tr a n e n e l d ia g r a m a d e c u e r p o lib r e d e la j u n t a <25. fig u ra
14-1 l e . l a c u a l p u e d e c o m p r o b a r s e q u e e s tá e n e q u ilib r io .
11.1 kN (2)
y\13.9 kN
834 kN
(c)

582. 5 6 0 C a p i t u l o 1 4 A n á l i s i s d e a r m a d u r a s u t i l i z a n d o e l m é t o d o d e l a r i g i d e z
1 4 .7 C oordenadas nodales
E n o c a s io n e s , u n a a r m a d u r a p u e d e e s t a r s o p o r ta d a m e d ia n te u n r o d illo
s itu a d o e n u n p la n o i n d i n a d o ,y c u a n d o e s to o c u r r e la re s tric c ió n d e c e ro
d e f le x ió n e n e l s o p o r te ( n o d o ) n o p u e d e d e f in ir s e d ir e c ta m e n te e m ­
p le a n d o u n s o l o s i s te m a g lo b a l d e c o o r d e n a d a s h o r iz o n ta le s y v e rtic a le s .
P b r e je m p lo , c o n s i d e r e la a r m a d u r a e n la fig u ra 14 -1 2 a. L a c o n d ic ió n d e
d e s p la z a m ie n to c e r o e n e l n o d o <D e s tá d e f in id a s ó lo a lo la r g o d e l e j e y ",
y d e b id o a q u e e l r o d illo p u e d e d e s p la z a r s e a lo la rg o d e l e je xT, e s te
n o d o te n d r á c o m p o n e n te s d e d e s p la z a m ie n to a lo la r g o d e a m b o s e je s d e
c o o r d e n a d a s g lo b a le s , x , y . P o r e s t a ra z ó n n o e s p o s ib le in c lu ir la c o n d i­
c ió n d e d e s p la z a m ie n to c e r o e n e s t e n o d o al e s c rib ir l a e c u a c ió n d e rig id e z
g lo b a l d e la a r m a d u r a u s a n d o lo s e je s x . y .s i n h a c e r a lg u n a s m o d ific a c io ­
n e s e n e l p r o c e d im ie n to d e l a n á lis is m a tric ia l.
P a r a re s o lv e r e s te p r o b le m a , d e m o d o q u e p u e d a in c o r p o r a r s e f á c il­
m e n te e n u n a n á lis is d e c o m p u t a d o r a , s e e m p l e a r á u n c o n ju n t o d e c o o r ­
d e n a d a s n o d a le s x ", yr q u e se lo c a liz a e n e l s o p o r te in c lin a d o . E s to s e je s
e s tá n o r i e n ta d o s d e m o d o q u e la s re a c c io n e s y lo s d e s p la z a m ie n to s se
e n c u e n t r a n e n lo s s o p o r te s a lo la rg o d e c a d a u n o d e lo s e j e s d e c o o r d e ­
n a d a s. fig u ra 14-12a. C o n e l fin d e d e te r m in a r la e c u a c ió n d e rig id e z g lo b a l
d e la a r m a d u r a , s e v u e lv e n e c e s a r io d e s a r r o ll a r la s m a tr ic e s d e tr a n s f o r ­
m a c ió n d e la fueiv.a y e l d e s p la z a m ie n to p a r a c a d a u n o d e lo s e le m e n to s
c o n e c ta d o s e n e s t e s o p o r t e , p a r a q u e lo s r e s u lta d o s p u e d a n s u m a r s e e n
e l m is m o s is te m a d e c o o r d e n a d a s g lo b a l, x , y . P a r a m o s tr a r c ó m o s e h a c e
e sto , c o n s i d e r e e l e le m e n to 1 d e la a r m a d u r a q u e s e m u e s tr a e n la fig u ra
14-126, c o n u n s is te m a d e c o o r d e n a d a s g lo b a le s x , y e n e l n o d o c e r c a n o
® . y u n s is te m a d e c o o r d e n a d a s n o d a le s x “, y " e n e l n o d o l e j a n o © .
C u a n d o se p r o d u c e n d e s p la z a m ie n to s D d e m a n e r a q u e te n g a n c o m p o ­
n e n te s a lo la rg o d e c a d a u n o d e e s to s e je s , c o m o s e m u e s tr a e n l a fig u ra
14-1 2 c ,lo s d e s p la z a m ie n to s d e n la d ir e c c ió n x ' a lo la r g o d e lo s e x tr e m o s
d e l e le m e n to s e c o n v ie r te n e n
d N = Vn i C O S » , + D s y C O S O y
d p = D p x ’ C O s O , ’ + D p y - c o s O y -
y
F i g u r a 1 4 - 1 2

583. 1 4 . 7 Co o r d e n a d a s n o o a l e s 5 6 1
~dn ;
E s t a s e c u a c i o n e s p u e d e n e s c r i b i r s e e n f o r m a m a t r i c i a l c o m o
dN' A xA, 0 0 DNy
dF.. 0 0
VV
¿ V x *
L * V J
D e l m is m o m o d o , la s f u e r z a s q e n lo s e x tr e m o s c e r c a n o y le ja n o d e l e le
m e n tó , fig u ra 1 4 -\ 2 d ,ti e n e n c o m p o n e n t e s Q a lo la r g o d e lo s e je s g lo b a
le s d e
Q s x = < 7 v e o s 0, QNy = q N e o s 0y
Q Ff = <7f e o s Bt . Q Fy. = q F e o s 0y.
las c u a le s p u e d e n e x p r e s a r s e c o m o
<b>
L a s m a tric e s d e tr a n s f o r m a c ió n d e l d e s p la z a m ie n to y la f u e r z a e n la s
e c u a c io n e s a n te r io r e s s e u s a n p a r a d e s a r r o ll a r la m a tr iz d e rig id e z d e l
e le m e n to p a r a e s t a s itu a c ió n . A l a p li c a r la e c u a c ió n 14-15, se ti e n e
k = T 7 k T
Si se r e a liz a n la s o p e r a c io n e s m a tr id a le s , r e s u lta
k =
A E
L
A 2x A . A , - A . A , . A XA V*
\ , \ y A j - A , A , . - A y A y .
- A , A , - - A , A X. A 2, - A , * A y *
L - w - A y A , , A , - A y .
A > *
(1 4 - 2 4 )
E s ta m a triz d e rig id e z s e u s a d e s p u é s p a r a c a d a e le m e n to q u e e s té c o ­
n e c ta d o a u n s o p o r te d e ro d illo s in c lin a d o , y e l p ro c e s o p a r a e n s a m b la r
la s m a tric e s y f o r m a r la m a tr iz d e r ig id e z d e la e s t r u c tu r a s ig u e e l p r o c e ­
d im ie n to a c o s tu m b ra d o . E l s ig u ie n te p r o b le m a d e e je m p lo ilu s tra s u
a p lic a c ió n .

584. 5 6 2 C a p i t u l o 1 4 A n á l i s i s d e a r m a d u r a s u t i l i z a n d o e l m é t o d o d e l a r i g i d e z
EJEMPLO 14.6
<3>-
® 3 0 k N
3 m
4 m
(a)
(c)
(d)
F ig ó n 14-13
D e te r m in e la s r e a c c io n e s e n lo s s o p o r t e s p a r a la a r m a d u r a q u e se
m u e s tr a e n la f ig u r a 14-13a.
S O L U C IÓ N
N o ta c ió n . C ó m o e l s o p o r te d e ro d illo s e n @ se e n c u e n t r a s o b r e u n
p la n o in c lin a d o , e n e s t e n o d o d e b e n u s a r s e c o o r d e n a d a s n o d a le s . S e
n u m e r a n las ju n t a s y lo s e le m e n to s y s e e s t a b le c e n lo s e je s g lo b a l e s x ,
y , e n e l n o d o ® , fig u ra 14-136. O b s e rv e q u e lo s n ú m e r o s d e c ó d ig o 3 y 4
e s t á n a lo la rg o d e lo s e j e s xT , / , a fin d e p o d e r u s a r la c o n d ic ió n d e
q u e D x = 0.
M a tr ic e s d e r ig id e z d e lo s e le m e n to s . L a s m a tric e s d e rig id e z d e
lo s e le m e n to s 1 y 2 d e b e n d e s a r r o lla r s e m e d ia n te la e c u a c ió n 14-24,
p u e s to q u e e s t o s e le m e n to s tie n e n n ú m e r o s d e c ó d ig o e n la d ire c c ió n
d e lo s e j e s g lo b a le s y n o d a le s . L a m a tr iz d e r ig id e z p a r a e l e l e m e n t o 3
s e d e te r m i n a d e la f o r m a h a b itu a l.
E le m e n to 1 . F ig u r a 14-1 3 c, A , = 1, A , = 0 ,A ,- = 0 . 7 0 7 , = - 0 .7 0 7
k, = A E
5 6
0 .2 5 0
0 0
- 0 .1 7 6 7 5 0
0 .1 7 6 7 5 0
3
-0 .1 7 6 7 5
0
0.1 2 5
- 0 .1 2 5
4
0 .1 7 6 7 5
0
- 0 .1 2 5
0 .1 2 5
E le m e n to 2. F ig u r a 1 4 -1 3 d , A , - 0 . Ay - - 1 . A*- - - 0 . 7 0 7 , Ay-
- 0 .7 0 7
A E
1 2 3 4
0 0 0 0 1
0 0 3 3 3 3 - 0 .2 3 5 7 - 0 .2 3 5 72
0 - 0 .2 3 5 7 0.1667 0 .1 6 6 7 3
0 -0 .2 3 5 7 0.1667 0 .1 6 6 7 4
E le m e n to 3 . A , = 0 .8 .A., = 0.6
k , = A E
5 6 1 2
0.128 0.0 9 6 - 0 .1 2 8 - 0 . 0 9 6 “ 5
0 .0 % 0.0 7 2 - 0 .0 9 6 - 0 .0 7 2 6
- 0 .1 2 8 - 0 . 0 % 0.128 0.0 9 6 1
- 0 .0 9 6 - 0 .0 7 2 0 .0 % 0.0 7 2 2

585. 1 4 . 7 C O O R D E N A D A S N O O A lE S 5 6 3
M a tr iz d e r i g i d e z d e la e s t r u c t u r a . A l e n s a m b la r e s t a s m a tric e s
p a ra d e t e r m i n a r la m a tr iz d e rig id e z d e la e s t r u c t u r a .s e ti e n e
' 3 0 ' 0.128 0.0 9 6 0 0 - 0 .1 2 8 - 0 .0 9 6 "
' 0 .
0 0.096 0 .4 0 5 3- 0 .2 3 5 7 | - 0 .2 3 5 7- 0 .0 9 6- 0 .0 7 20 2
0
= A E
0 -0 .2 3 5 7 0.2917 0 .0 4 1 7-0 .1 7 6 7 5 0
.03
Q* 0 -0 .2 3 5 7 0 .0 4 1 7 | 0 .2 9 1 70 .1 7 6 7 5 0 0
Q s - 0 .1 2 8 - 0 .0 9 6 - 0 .1 7 6 7 5 | 0.17675 0.3 7 8 0.0 9 6 0
.<?*_ _ -0 .0 9 6 - 0 .0 7 2 0 0 0.0 9 6 0 .0 7 2 _ _ 0
Si se re a liz a la m u ltip lic a c ió n m a tr ic ia l d e la s p a r tic io n e s s u p e r io r e s se
p u e d e n d e t e r m i n a n lo s tr e s d e s p la z a m ie n to s d e s c o n o c id o s D a l re s o l-
v e r s i m u ltá n e a m e n te la s e c u a c io n e s r e s u lta n te s , e s d e c ir .
I > , = ^
1 A E
- 1 5 7 .5
A E
- 1 2 7 .3
A E
*>2
L a s r e a c c io n e s d e s c o n o c id a s Q s e o b ti e n e n a l m u ltip lic a r la s m a tric e s
p a r tid a s in f e r io r e s e n la e c u a c i ó n (1 ). S i s e u s a n lo s d e s p la z a m ie n to s
c a lc u la d o s .s e tie n e .
0 4 = 0 (3 5 2 .5 ) - Q 2 3 5 7 ( - 1 5 7 .5 ) + 0 . 0 4 1 7 ( - 127.3)
= 3 1 .8 k N R e s p
0 5 = - 0 .1 2 8 ( 3 5 2 .5 ) - 0 . 0 9 6 ( - 1 5 7 .5 ) - 0 .1 7 6 7 5 ( - 1 2 7 . 3 )
= - 7 . 5 k N R e s p
0 6 = - 0 .0 9 6 ( 3 5 2 .5 ) - 0 . 0 7 2 ( - 157.5) + 0 ( - 1 2 7 3 )
= - 2 2 . 5 k N R esp .

586. 5 6 4 C a p i t u l o 1 4 A n á l i s i s d e a r m a d u r a s u t i l i z a n d o e l m é t o d o d e l a r i g i d e z
1 4 .8 A rm a d u ra s con cam bios té rm ico s
y e rro re s d e fabricación
Si a lg u n o s d e lo s e le m e n to s d e la a r m a d u r a s e s o m e te n a u n a u m e n t o o
d is m in u c ió n d e s u lo n g itu d d e b id o a c a m b io s té r m ic o s o e r r o r e s d e f a b r i­
c a c ió n , e s n e c e s a r io u s a r e l m é t o d o d e s u p e r p o s ic ió n p a ra o b t e n e r la s o l u ­
c ió n . L o a n te r io r r e q u i e r e tr e s p a so s . E n p r i m e r l u g a r .s e c a lc u la n las f u e r ­
z a s d e e x tr e m o f i jo n e c e s a r ia s p a ra e v ita r e l m o v im ie n to d e n o d o s c o m o
e l c a u s a d o p o r la t e m p e r a t u r a o lo s e r r o r e s d e f a b r ic a c ió n . E n s e g u n d o
lu g a r, s e c o lo c a n fu e r z a s ig u a le s p e r o o p u e s ta s s o b r e lo s n o d o s d e la a r ­
m a d u r a y s e c a lc u la n lo s d e s p la z a m ie n to s d e lo s n o d o s m e d ia n te u n a n á ­
lisis m a tric ia l. P o r ú ltim o , se d e te r m i n a n las fu e r z a s r e a le s d e lo s e le m e n ­
to s y las r e a c c io n e s e n la a r m a d u r a m e d ia n te l a s u p e r p o s ic ió n d e e sto s
d o s re s u lta d o s . P o r s u p u e s to .e s te p r o c e d im ie n to s ó lo e s n e c e s a r io s i la a r ­
m a d u r a e s e s tá tic a m e n te in d e te r m in a d a . S i la v ig a e s e s tá tic a m e n te d e t e r ­
m in a d a , lo s d e s p la z a m ie n to s e n lo s n o d o s p u e d e n e n c o n tr a r s e m e d ia n te
e ste m é to d o ; s in e m b a r g o , lo s c a m b io s d e t e m p e r a t u r a y lo s e r r o r e s d e f a ­
b ric a c ió n n o a f e c t a r á n la s r e a c c io n e s y la s fu e r z a s d e e le m e n to p u e s to
q u e la a r m a d u r a e s lib r e d e a ju s ta r s e a lo s c a m b io s d e lo n g itu d .
E f e c to s té rm ic o s . Si u n e le m e n to d e u n a a r m a d u r a c o n lo n g itu d L
e s t á s u je to a u n a u m e n to d e te m p e r a t u r a AT, e l e le m e n to e x p e r im e n ta r á
u n a u m e n t o e n s u lo n g itu d d e A L = a A T L ,d o n d e a e s e l c o e f ic ie n te d e
e x p a n s ió n té r m ic a . U n a f u e r z a d e c o m p r e s ió n qu a p lic a d a a l e le m e n to
c a u s a r á u n a d is m in u c ió n e n la lo n g itu d d e l e le m e n to d e A L ' = q ^ L I A E .
Si s e ig u a la n e s t o s d o s d e s p la z a m ie n to s , e n to n c e s q0 - A E a A T . E s ta
f u e r z a m a n t e n d r á fijo s lo s n o d o s d e l e le m e n to , c o m o s e m u e s tr a e n l a fi­
g u ra 14-14, y e n to n c e s s e ti e n e
( < ? j v ) o = A E a & T
(*7/0o = “A E a A T
O b s e r v e q u e s i o c u r r e u n a d is m in u c ió n d e la t e m p e r a t u r a , e n to n c e s AT
s e v u e lv e n e g a tiv o y e s ta s f u e r z a s in v ie r te n la d ir e c c ió n a fin d e m a n t e ­
n e r e l e l e m e n t o e n e q u ilib r io .
E s ta s d o s f u e r z a s p u e d e n tr a n s f o r m a r s e e n c o o r d e n a d a s g lo b a le s
u s a n d o la e c u a c ió n 1 4 -1 0 , d e d o n d e s e o b ti e n e
(Qnx)o
1
o
M
Ax“
(Q\y) 0
=
A, 0
AEa&T I = A E a b T
A,
(C?f*)o 0 A, L - iJ “ A,
. 0 A,_ L -aJ
(1 4 -2 5 )
E rro re s d e fa b ric a c ió n . Si u n e le m e n to d e a r m a d u r a se h a c e d e ­
m a s ia d o la rg o e n u n a c a n ti d a d A L a n te s d e a ju s ta r s e e n la a r m a d u r a .e n -
to n c e s la f u e r z a </o n e c e s a r ia p a r a m a n te n e r a l e le m e n to e n s u lo n g itu d
d e d is e ñ o L e s q0 = A E \ U L, p o r lo q u e p a r a e l e l e m e n t o d e la fig u ra
1 4 -1 4 .s e tie n e
, . A E & L
Í9,v)o !
(Qf)o = "
L
A E \ L

587. 1 4 . 8 Ar m a d u r a s c o n c a m b i o s t é r m i c o s y e r r o r e s d e f a b r i c a c i ó n
Si o r ig in a lm e n te e l e le m e n to e s d e m a s ia d o c o rto , e n to n c e s AL se v u e lv e
n e g a tiv o y e s t a s f u e r z a s s e in v ie rte n .
E n c o o r d e n a d a s g lo b a le s , e s t a s fu e r z a s s o n
~(QNt)0" a/
(£?*>)<)
A E \ L Ky
(Qf*)0
L - A ,
A Qf>)o_ _ - A ,J
(1 4 - 2 6 )
A n álisis m a tric ia l. E n e l c a s o g e n e r a l ,s i u n a a r m a d u r a s e s o m e te a
la a p lic a c ió n d e fu e rz a s , a c a m b io s d e te m p e r a t u r a y a e r r o r e s d e fa b r ic a ­
c ió n , la re la c ió n in ic ia l d e f u e r z a - d e s p la z a m ie n to p a r a la a r m a d u r a se
c o n v ie r te e n
Q = K D + Q o (1 4 - 2 7 )
A q u í Q „ e s u n a m a triz c o lu m n a p a r a to d a la a r m a d u r a , d e la s fu e r z a s d e
e x tr e m o fijo in ic ia le s, c a u s a d a s p o r lo s c a m b io s d e t e m p e r a t u r a y lo s
e r r o r e s d e f a b r ic a c ió n d e lo s e le m e n to s d e fin id o s e n la s e c u a c io n e s 14-25
y 14-26. E sta e c u a c ió n p u e d e p a r t i r s e e n la fo r m a s ig u ie n te
[9*
LQu
K , | I K 12
K ?r f * 2 2 .
A l . r ( Q * ) o l
o'ki L íq J o J
(1 4 - 2 8 )
(1 4 - 2 9 )
Si se lle v a a c a b o la m u ltip lic a c ió n , r e s u lta
Q* = + (Q*)o
Qu = *2|1>U + K2 2D* + (Qu)o
D e a c u e r d o c o n e l p r o c e d i m i e n to d e s u p e r p o s ic ió n d e s c r ito a n t e r i o r ­
m e n te , lo s d e s p la z a m ie n to s d e s c o n o c id o s D u s e d e t e r m i n a n a p a r t i r d e la
p r im e r a e c u a c ió n a l r e s t a r K )2D ¿ y (Q*)o e n a m b o s la d o s , p a r a d e s p u é s
d e s p e j a r D u. D e e s t o s e o b ti e n e
D u = K í í ( Q * - K 12D * - (Q í) o )
U n a v e z o b te n i d o s e s t o s d e s p la z a m ie n to s n o d a le s , la s fu e r z a s d e lo s e l e ­
m e n to s se d e t e r m i n a n p o r s u p e r p o s ic ió n , e s d e c ir ,
q = k ' T D + <*)
Si e s t a e c u a c ió n se e x p a n d e p a r a d e t e r m i n a r la f u e r z a e n e l e x tr e m o le ­
j a n o d e l e le m e n to , r e s u lta
~ D Nx
qF - ~y~ [-A, -Ay Kx Ky ]
- D p y }
E s te r e s u lta d o e s s im ila r a la e c u a c ió n 14-23, e x c e p t o q u e a q u í s e ti e n e
e l t é r m i n o a d ic i o n a l (</f)<>, lo q u e r e p r e s e n t a la f u e r z a d e e x tr e m o fijo
in i c ia l d e b i d a a lo s c a m b i o s d e t e m p e r a t u r a y / o e r r o r e s d e f a b r i c a ­
c ió n c o m o s e d e f in ió a n te r io r m e n te . T e n g a e n c u e n ta q u e s i e l r e s u lta d o
c a lc u la d o a p a r t i r d e e s ta e c u a c ió n e s n e g a tiv o , e l e le m e n to e s t a r á e n
c o m p r e s ió n .
I x s d o s e je m p lo s s ig u ie n te s ilu s tra n la a p lic a c ió n d e e s t e p r o c e d i­
m ie n to .
' N y
+ (Qf) o (1 4 - 3 0 )

588. 5 6 6 C a p i t u l o 1 4 A n á l i s i s d e a r m a d u r a s u t i l i z a n d o e l m é t o d o d e l a r i g i d e z
EJEMPLO 14.7
D e te r m in e la f u e r z a e n lo s e le m e n to s I y 2 d e l e n s a m b le a r tic u la d o
q u e s e m u e s tr a e n la fig u ra 14-15, s i e l e le m e n to 2 s e h iz o 0,01 m m á s
c o it o d e lo e s p e r a d o a n te s d e a ju s ta r lo e n s u lu g a r . C o n s id e r e q u e A E
■ 8 (1 0 3) k N .
S O L U C IÓ N
C o m o e l e le m e n to e s c o r to , e n to n c e s AL = - 0 .0 1 m y, p o r lo ta n t o , a l
a p lic a r l a e c u a c ió n 14-26 e n e l e le m e n to 2 , c o n A , = — 0 .8 , A , = - 0 . 6 ,
s e tie n e .
( 0 . ) o " - 0 . 8 “ 0 0 0 1 6 "
m o
A £ ( - 0 . 0 1 )- 0 . 6
= A E
0 0 0 1 2
( 0 s ) o 5 0.8 - 0 0 0 1 6
0 .6 _ _ - Ü 0 0 1 2 _
L a m a tr iz d e rig id e z d e la e s t r u c tu r a p a r a e s t e e n s a m b le y a se e s t a ­
b le c ió e n e l e je m p lo 14-5. A l a p li c a r la e c u a c ió n 1 4 -2 7 .s e o b tie n e
’ 0 ' 0.378 0 .0 9 6 | 0 0 - 0 .1 2 8 - 0 .0 9 6 - 0 .2 5 0
0 0.096 0 .4 0 5 j 0 - 0 .3 3 3 - 0 .0 9 6 - 0 .0 7 2 0 0
' &
0 0 0 0
....o.........0 Ó Ó
Qa
= A E
0 - 0 .3 3 3 |0 0.3 3 3 0 0 0 0
O s
- 0 .1 2 8 - 0 .0 9 6 | 0 0 0.1 2 8 0 .0 9 6 0 0
0 6 - 0 .0 9 6- 0 .0 7 2 |0 0 0 .0 9 6 0.0 7 2 0 0
0 7 - 0 .2 5 0 0 0 0 0 0 .2 5 0
_ 0 * .
0 0 0 0 0 0 0 0
/>»
O 2
0
0
0
o
o
o
+ A E
0 .0 0 1 6
0.0012
Ó
0
0 .0 0 1 6
0.0012
0
0
(1)

589. 1 4 . 8 Ar m a d u r a s c o n c a m b i o s t é r m i c o s y e r r o r e s d e f a b r i c a c i ó n 5 6 7
Si s e p a r t e n la s m a tric e s d e la m a n e r a q u e s e m u e s tr a y s e lle v a a c a b o
la m u ltip lic a c ió n p a r a o b t e n e r la s e c u a c io n e s d e lo s d e s p la z a m ie n to s
d e s c o n o c id o s , r e s u lta
‘O
0
0*
= A E
0 .3 7 8 0.0961
f ^ 1 1 + A E f °
0 - 0 .1 2 8 - 0 .0 9 6 - 0 .2 5 01
0 .0.096 0 .4 0 5 JI D 2 \ .0 - 0 .3 3 3 - 0 .0 9 6 - 0 .0 7 20 o ]
0
b q u e d a
0 = A E [Q 3 1 % D X + 0.096Z )2] + A E [ 0 ] + /4 £ (0 .0 0 1 6 ]
0 = y4 £ [ 0 . 0 9 6 0 , + 0 .4 0 5 O J + A £ [ 0 ] + A E J0 .0 0 1 2 ]
A l r e s o lv e r e s ta s e c u a c io n e s s im u ltá n e a m e n te .
O , = - 0 .0 0 3 7 0 4 m
0 2 = - 0 .0 0 2 0 8 4 m
A u n q u e n o s e a n e c e s a r io , la s r e a c c io n e s Q p u e d e n d e te r m in a r s e a l e x ­
p a n d ir la e c u a c i ó n ( l ) . s i g u i e n d o e l f o r m a to d e la e c u a c ió n 14-29.
A fin d e d e te r m i n a r l a f u e r z a e n lo s e le m e n to s 1 y 2 . d e b e a p lic a rs e
b e c u a c i ó n 14-30. p o r lo t a n t o s e ti e n e
E l e m e n t o 1 . A , = 0.A » = 1 .L = 3 m, A E = 8 (1 0 3) k N .d e m o d o q u e
8{103)
<!\
[0 - 1 0 1]
0
0
-0 .0 0 3 7 0 4
-0 .0 0 2 0 8 4
+ [0]
<7i = - 5 . 5 6 k N R esp.
E l e m e n t o 2 . Ax = - 0 . 8 , A V = - 0 . 6 .L = 5 m, A E = 8 ( 103) k N .p o r lo
q u e
8 ( 103)
q 2 = [0 .8 0 .6 - 0 .8 - 0 .6 |
q 2 = 9 . 2 6 k N
-0 .0 0 3 7 0 4
- 0 .0 0 2 0 8 4
0
0
8 (1 0 3) ( - 0 . 0 1 )
R esp .
0 .0 0 1 6
0.0012

590. 5 6 8 C a p i t u l o 1 4 A n á l i s i s d e a r m a d u r a s u t i l i z a n d o e l m é t o d o d e l a r i g i d e z
EJEMPLO 14.8
E l e le m e n to 2 d e la a r m a d u r a q u e s e m u e s tr a e n la fig u ra 14-16 s e s o ­
m e te a u n a u m e n t o e n la t e m p e r a t u r a d e 150°F. D e te r m in e la f u e r z a
d e s a r r o lla d a e n e l e le m e n to 2 . C o n s id e r e q u e a = 6 .5 (1 0 _6V °F, E =
2 9 (1 0 6) Ib /p u lg 2. C a d a e l e m e n t o tie n e u n á r e a tr a n s v e r s a l d e A = 0 .7 5
p u lg 2.
Figura 14-16
S O L U C IÓ N
C o m o h a y u n a u m e n t o d e t e m p e r a t u r a , A T = + 150°F. A I a p li c a r la
e c u a c ió n 14-2 5 e n e l e le m e n to 2 , d o n d e A , - 0 . 7 0 7 1 , A,. = 0 .7 0 7 1 , se
tie n e
L a m a triz d e rig id e z p a r a e s t a a r m a d u r a y a se d e s a r r o ll ó e n e l e je m p lo
14-2.
( G O o
0 . 7 0 7 1 “ < 1 0 0 0 6 8 9 3 2 5 *
(6 2 ) 0
( C M o
= ¿ £ ( 6 . 5 ) 0 0 - * ) ( 1 5 0 )
0 .7 0 7 1
- 0 . 7 0 7 1
= A E
< 1 0 0 0 6 8 9 3 2 5
- 0 0 0 0 6 8 9 3 2 5
J M o .
- 0 . 7 0 7 1 - U 0 0 0 6 8 9 3 2 5
0 ' 0 .1 3 5 0 .0 3 5 0 0 0 : - 0 .1 - 0 . 0 3 5 - 0 . 0 3 5 '" D i ' 0 .0 0 0 6 8 9 3 2 5 '1
0 0 .0 3 5 0 .1 3 5 0 - 0 1 0 j 0 - 0 . 0 3 5 - 0 . 0 3 5d2 0 .0 0 0 6 8 9 3 2 52
0 0 0 0 .1 3 5 - 0 0 3 5 0 .0 3 5 ! - 0 . 0 3 5- 0 1 0 o , 0 3
0
0
= A E
0
0
-0 .1
0
- 0 . 0 3 5
0 .0 3 5
0 .1 3 5
- 0 . 0 3 5
- 0 . 0 3 5 í 0 .0 3 5
0 .1 3 5 ! - 0 . 0 3 5
0
0
0
-0 .1
D ,
9> .
+ A E
0
0
4
5
Q„ -0 .1 0 - Q 0 3 5 0 .0 3 5 - 0 . 0 3 5 i 0 .1 3 5 0 0 0 0 6
Ot - 0 . 0 3 5 - 0 . 0 3 5- O I 0 0 i 0 0 .1 3 5 0 .0 3 5 0 - 0 . 0 0 0 6 8 9 3 2 5 7
.<?«_
_ - 0 . 0 3 5 - 0 0 3 50 0 - 0 1 ! 0 0 .0 3 5 0 .1 3 5 __ 0 _ - 0 . 0 0 0 6 8 9 3 2 58
0)

591. 1 4 . 8 Ar m a d u r a s c o n c a m b i o s t é r m i c o s y e r r o r e s d e f a b r i c a c i ó n 5 6 9
Si se e x p a n d e p a r a d e te r m i n a r las e c u a c io n e s d e lo s d e s p la z a m ie n to s
d e s c o n o c id o s , y e s t a s e c u a c io n e s s e re s u e lv e n s im u ltá n e a m e n te , r e ­
s u lta
D \ = -0 .0 0 2 0 2 7 p ie s
D-¡ = - 0 0 1 1 8 7 p ie s
D , = -0 .0 0 2 0 2 7 p ie s
D 4 = -0 .0 0 9 8 4 8 p ie s
D s = -0 .0 0 2 0 2 7 p ie s
C o n b a s e e n la e c u a c i ó n 14-3 0 e s p o s ib le d e te r m i n a r la f u e r z a e n e l
d e m e n t o 2 , s e tie n e
_ 0 7 5 |2 9 ( 1 0 ^ ) | 7 o ?
1 0 V 2
- 0 . 7 0 7 0.7 0 7 0.7071
-0 .0 0 2 0 2 7
-0 .0 1 1 8 7
0
0
- 6 0 9 3 Ib = - 6 . 0 9 k R esp.
O b s e rv e q u e e l a u m e n t o d e te m p e r a t u r a e n e l e le m e n to 2 n o c a u ­
s a r á n in g u n a r e a c c ió n e n la a r m a d u r a p u e s t o q u e e n lo e x t e r n o la a r ­
m a d u r a e s e s tá tic a m e n te d e te r m in a d a . P a r a d e m o s t r a r e s t o , c o n s id e r e
la e x p a n s ió n d e l a m a tr iz d e la e c u a c ió n ( 1) p a r a d e t e r m i n a r la s re a c -
rio n e s . C o n b a s e e n lo s r e s u lta d o s d e lo s d e s p la z a m ic n to s .s e tie n e
0 6 = j4 £ [ - 0 . 1 ( - 0 .0 0 2 0 2 7 ) + 0 - 0 .0 3 5 ( - Q 0 0 2 0 2 7 )
+ 0 .0 3 5 ( - 0 .0 0 9 8 4 8 ) - 0 .0 3 5 ( - 0 .0 0 2 0 2 7 ) 1 -f / l £ [ 0 l = 0
0 , = A E [ -0 .0 3 5 ( - 0 .0 0 2 0 2 7 ) - 0 .0 3 5 { - 0 .0 1 1 8 7 )
- 0.1 ( - 0 .0 0 2 0 2 7 ) + 0 + O) + -4 £ [-0 .0 0 0 6 8 9 3 2 5 1 = 0
0 8 = > 4 £ ( - 0 .0 3 5 ( - 0 .0 0 2 0 2 7 ) - 0 .0 3 5 (- 0 .0 1 1 8 7 ) + 0
+ 0 - 0 . 1 ( - 0 .0 0 2 0 2 7 ) 1 + / 1 £ [ ~ 0 .0 0 0 6 8 9 3 2 5 1 = 0
0 .7 5 [2 9 ( 1 0 6) JJ6.5 (1 0 "^) J (1 5 0 )

592. 5 7 0 C a p i t u l o 1 4 A n á l i s i s d e a r m a d u r a s u t i l i z a n d o e l m é t o d o d e l a r i g i d e z
1 4 .9 A nálisis de arm aduras espaciales
E l a n á lis is d e las a r m a d u r a s e s p a c ia le s e s t á ti c a m e n t e d e te r m i n a d a s e in ­
d e te r m in a d a s p u e d e r e a liz a r s e e m p l e a n d o e l m is m o p r o c e d im ie n to
d e s c r ito a n te r io r m e n te . S in e m b a r g o , p a r a te n e r e n c u e n t a lo s a s p e c to s
tr id im e n s io n a le s d e l p r o b le m a e s n e c e s a r io in c lu ir e le m e n to s a d ic io n a ­
le s e n la m a tr iz d e tr a n s f o r m a c ió n T . A e s t e re s p e c to , c o n s id e r e e l e l e ­
m e n t o d e u n a a r m a d u r a q u e se m u e s tra e n la fig u ra 14-17. 1.a m a triz d e
rig id e z p a r a e l e le m e n to d e f in id a e n té r m in o s d e la c o o r d e n a d a lo c a l x '
e s tá d a d a p o r l a e c u a c i ó n 14-4. A ú n m ás, p o r la in s p e c c ió n d e la fig u ra
14 -1 7, lo s c o s e n o s d ir e c to r e s e n t r e la s c o o r d e n a d a s g lo b a le s y lo c a le s
p u e d e n e n c o n tr a r s e e m p l e a n d o e c u a c i o n e s a n á lo g a s a la s e c u a c io n e s
14-5 y 1 4 -6 , e s d e c ir .
A , = e o s e g
~ * N
L
A y = e o s e y
V ( x F - x N )2 + (y F ~ y N ) 2 + (ZF ~ Zn)2
yF ~ y»
( 1 4 - 3 1 )
y F ~ y s
A . = e o s B.
\ / ( x F ~ x N f + ( y F ~ y N )2 + (z F - z * ) 2
z F ~ z N
(1 4 - 3 2 )
Zf - z,s
V ( x F - x N ) 2 + (y F ~ y Nf + {z f - ZN)7
(1 4 - 3 3 )
C o m o r e s u lta d o d e la t e r c e r a d im e n s ió n , l a m a tr iz d e tr a n s f o r m a c ió n ,
e c u a c ió n 1 4 -9 , s e c o n v ie r te e n
[Ax \ y Ar 0 0 0 1
[ o 0 0 A , A , AZJ
Si se s u s titu y e e s t a e c u a c ió n y la 14-4 e n la e c u a c ió n 1 4 -1 5 , k = T 7k ’T . r e ­
s u lta
A,o '
A, 0
Ar
0
0
A*
0
Ay
0
ArJ
A E r 1 - 1 ] [ A X Ar 0 0 O l
L [ “ I 1 JL 0 0 0 Ax A y a J

593. R e p a s o d e l c a p i t u l o 5 71
Si s e lle v a a c a b o la m u ltip lic a c ió n m a tric ia l s e o b tie n e la m a triz sim é tric a
N,
A?
" r
A,Ar
N ,
A,AZ
F,
-Aí
P,
“ A«Ay
Pz
-A ,A ,N,
A,A,
a;
AyAj“ AyAj-a;
-A ,A ,N ,
A{A, A*Ar A i-A*A,"AjAy- A 2»z
L
-A 2, -A .A ,—A*A* Ai A«Ay A«AX F,
~AyA|-a; ~AyAj AjA,
a; AjA<F ,
_ ” A j A ,- A . - A ,“ A? A ¿A, A . - A ,Al Fz
(1 4 -3 4 )
14
E s ta e c u a c i ó n r e p r e s e n ta la m a tr iz d e r ig id e z d e l e le m e n to e x p r e s a d a e n
c o o r d e n a d a s g lo b a le s. L o s n ú m e r o s d e c ó d ig o a lo l a r g o d e la s fila s y la s
c o lu m n a s h a c e n r e f e r e n c ia a la s d ir e c c io n e s x , y , z e n e l e x tr e m o c e rc a n o ,
N x, N p Nz,s e g u id o s p o r lo s q u e e s t á n e n e l e x tr e m o le ja n o , F ,, Fy , Fr
S i s e v a a p r o g r a m a r e n c o m p u t a d o r a , p o r lo g e n e r a l r e s u lta m á s e f i­
c ie n te u s a r la e c u a c ió n 14-3 4 q u e lle v a r a c a b o l a m u ltip lic a c ió n m a tr ic ia l
T r k 'T p a r a c a d a e le m e n to . U n a f o r m a d e a h o r r a r e s p a d o d e a lm a c e n a ­
m ie n to e n la c o m p u t a d o r a e s in ic ia liz a r la m a triz d e rig id e z d e la “e s t r u c ­
t u r a " K co n to d o s lo s e le m e n to s e n c e r o ; d e s p u é s , a m e d id a q u e s e g e n e ­
ra n lo s té r m in o s d e c a d a m atriz, d e rig id e z d e lo s e le m e n to s , é s t o s se
c o lo c a n d ir e c ta m e n te e n s u s re s p e c tiv a s p o s ic io n e s e n K . L u e g o d e
h a b e r d e s a r r o ll a d o la m a tr iz d e rig id e z d e la e s t r u c t u r a p u e d e s e g u ir s e el
m ism o p r o c e d im ie n to d e s c r ito e n la s e c c ió n 14-6 p a r a d e te r m i n a r lo s
d e s p la z a m ie n to s e n la s ju n t a s , la s r e a c c io n e s e n lo s s o p o r t e s y la s f u e r z a s
in te rn a s e n lo s e le m e n to s .
El m ateo estructural de este hangar para ae­
ronaves está com pletam ente construido con
arm aduras, a fin de reducir de m anera signi­
ficativa el peso de la estructura. (Cortesía de
Bethlehem Steel Corporation).
REPASO DEL CAPÍTULO
EJ m é to d o d e la rigidez e s el p referido para an alizar estru ctu ras usando u n a co m p u tad o ra. E n p rim e r lugar, e s necesario
identificar la can tid ad d e elem entos estru ctu rales y sus nodos. D esp u és se establecen las co o rd en ad as globales p a ra toda
la estru ctu ra y se ubica cada uno d e lo s sistem as co o rd e n a d o s locales d e los elem entos, d e m o d o q u e s u o rig en e sté e n el
extrem o cercan o seleccionado, y d e tal m an era q u e el eje x ’ positivo se ex tien d a hacia e l extrem o lejano.
L a form ulación d e l m éto d o re q u iere q u e p rim ero se construya c ad a e lem en to d e la m atriz d e rigidez k '. É sta relaciona las
cargas e n lo s extrem os d e l elem en to , q. con su s desplazam ientos, d .d o n d e q = k 'd . D espués, con b ase e n la m atriz de
transform ación T . lo s desplazam ientos locales d se relacio n an con lo s desplazam ientos globales D, d o n d e d = TD,
A dem ás, las fu e rz a s locales q se tran sfo rm an en las fuerzas g lo b ales Q em pleando la m atriz d e tran sfo rm ació n T .e s decir,
Q = T 'q . C u a n d o e sta s m atrices se com binan, se o b tie n e la m atriz de rigidez d el e le m e n to K e n co ordenadas globales, k
— T rk 'T . Si se e n sam b lan to d a s las m atrices d e rigidez d e los elem entos, se o b tie n e la m atriz d e rigidez K p a ra to d a la e s­
tructura.
Los desplazam ientos y las carg as so b re la estru c tu ra se o b tien en a l p a rtir Q ■ K D .d e m o d o q u e lo s desplazam ientos d e s ­
conocidos se d e term in an con b ase e n D„ = [K ,,] ’Q *. siem pre q u e lo s so p o rte s n o se desplacen. P o r últim o, las reaccio­
nes e n los so p o rte s se o b tien en d e Q„ = K ^ .D ^ .y cada fuerza de elem ento se e n c u e n tra a p a rtir d e q = k 'T D .

594. 5 7 2 C a p i t u l o 1 4 A n á l i s i s d e a r m a d u r a s u t i l i z a n d o e l m é t o d o d e l a r i g i d e z
PROBLEMAS
1 4 -1 . D eterm ine la m atriz de rigidez K p a ra el ensam ble.
C ónsidere q u e A = 0.5 p u lg 7 y q u e £ - 29(10’) k si para
cada elem ento.
1 4 -2 . D eterm ine los desplazam ientos horizontales y v e r­
ticales e n la ju n ta <$ del ensam ble d el p ro b lem a 14-1.
1 4 -3 . D eterm ine la fuerza e n c ad a elem ento d el e n sa m ­
ble d e l p ro b lem a 14-1.
1 4 -7 . D eterm ine la m atriz d e rigidez K p a ra la arm ad u ra.
C onsidere q u e A = 0.0015 m7 y q u e E = 200 G P a p a ra c ad a
elem ento.
•1 4 -8 . D eterm ine el desplazam iento vertical e n la ju n ta ®
y la fuerza e n e l e lem en to [ 5 ] . C onsidere q u e A = 0.0015
m7yquc £ = 200 G P a.
Probs. 14-1/14-2/14-3 P robs. 14-7/14-8
* 1 4 -4 . [ ^ te r m in e la m atriz d e rigidez K para la a rm a ­
d ura. C onsidere q u e A = 0 7 5 p u lg 7 y q u e E = 29(10*) ksi.
1 4 -5 . D eterm ine e l desplazam iento horizontal d e la ju n ta
<D y la fuerza e n e l e lem en to [ 2 1. C onsidere q u e A - 0.75
pulg7 y q u e £ = 29(10*) ksi.
14-6. D eterm ine la fuerza e n el e lem en to [ T ] si s u te m ­
p e ratu ra se in crem en ta e n lOO”!'. C onsidere q u e A *■ 0.75
pulg7. £ = 29( 103) ksi. a - 6.5( 10_6)/°F .
2
1 4 -9 . D eterm ine la m atriz d e rigidez K p a ra la arm ad u ra.
C onsidere q u e A = 0.0015 m7 y q u e £ = 200 G P a p a ra cada
elem ento.
1 4 -1 0 . D eterm ine la fuerza e n e l e lem en to | 5 ]. C o n si­
d ere q u e A = 00015 m 7 y q u e £ = 200 G P a p a ra c ad a ele­
mento.
1 4 -1 L D eterm m e e l desplazam iento vertical d el n o d o ®.
si e l elem ento [ T ] e ra 10 m m m ás largo d e lo esp erad o
a n te s d e ajustarlo e n la a rm a d u ra . P ara o b te n e r la solución
re tire la c a rg a de 2 0 k. C o n sid ere q u e A - 00015 m7 y q u e £
= 200 G P a p a ra cada elem ento.
Probs. 14-4/14-5/14-6 Probs. 14-9/14-10/14-11

595. PfOBtEMAS 5 7 3
14-13. D eterm ine e l desplazam iento h o rizontal d e la
ju n ta ® y la fuerza e n e l elem ento [ T ] . C o n sid ere q u e A -
2 pulg2 y q u e E = 29(10’) ksi. N o to m e e n c u e n ta e l eslabón
co rto e n <2>.
14-14. D eterm ine la fuerza en el e le m e n to [ T ] si e l ele­
m ento e ra 0.025 p u lg ad as m ás c o rto d e lo e sp e ra d o an te s de
ajustarse e n la arm ad u ra. C o nsid ere q u e A = 2 p u lg 2 y q u e E
- 29( 103) ksi. N o to m e e n cu en ta el eslabón c o rto e n <Z>.
* 1 4 -1 2 . D e te r m in e la m a tr iz d e r ig id e z K p a ra la a r m a ­
d u r a . C o n s id e re q u e A = 2 p u lg 2 y q u e E = 2 9 (1 0 ’) k s i.
14-17. U se u n p ro g ram a d e co m p u tad o ra p a ra d e te rm i­
n a r las reacciones so b re la a rm a d u ra y la fuerza e n c ad a e le ­
m ento. A E es co n stan te.
----------------8 p i e s--------------------
Probs. 14-12/14-13/14-14
P ro b . 14-17
1 4 -1 5 . D eterm in e la m atriz d e rigidez K para la a rm a ­
d u ra . A E e s constante.
* 1 4 -1 6 . D eterm in e e l d esplazam iento vertical d e la ju n ta
® y las reacciones e n los so p o rtes. A E e s constante.
1 4 -1 8 . U se u n program a d e c o m p u ta d o ra p a ra d e te rm i­
n a r las reacciones so b re la a rm a d u ra y la fuerza e n c ad a e le ­
m ento. A E es co n stan te.
« 7 \ ,
Probs. 14-15/14-16

596. Las tra b e s de este p u e n te s o n c o n tin u a s s o b re lo s p ilo te s , y las cargas e s tá ti­
cam e nte in d e te rm in a d a s en ellas p u e d e n determ ina rse u tiliz a n d o e l m é to d o
d e la rigidez.

597. Análisis de vigas
utilizando el método
de la rigidez
E n e s t e c a p ít u lo s e e x t e n d e r á n lo s c o n c e p to s p r e s e n ta d o s e n e l c a p í­
t u lo a n t e r io r y se a p lic a r á n al a n á lis is d e v ig a s . S e p o d r á v e r q u e u n a
v e z d e s a r r o lla d a s la m a tr iz d e r ig id e z y la m a triz d e tr a n s fo r m a c ió n d e l
e le m e n to , e l p r o c e d im ie n t o p a r a su a p lic a c ió n e s e x a c ta m e n te e l
m is m o q u e p a ra la s a rm a d u ra s . S e p re s ta rá a te n c ió n e s p e c ia l a lo s
ca so s d e a s e n ta m ie n to s y t e m p e r a t u r a s d ife r e n c ia le s .
1 5 .1 C om entarios pre lim ina res
A n te s d e m o s tr a r c ó m o se a p lic a e l m é to d o d e la rig id e z a las v ig as, p r i­
m e r o s e a n a liz a r á n a lg u n o s c o n c e p to s y d e f in ic io n e s p r e lim in a r e s r e l a ­
c io n a d o s c o n e s t o s e le m e n to s .
Identificación de l e le m e n to y el n o d o . C o n e l fin d e a p li c a r
e l m é to d o d e la rig id e z a la s v ig as, p r i m e r o d e b e d e te r m in a r s e c ó m o s u b -
d iv id ir la v ig a e n lo s e le m e n to s f i n it o s q u e la c o m p o n e n . E n g e n e r a l ,
c a d a e l e m e n t o d e b e e s t a r lib r e d e c a rg a y te n e r u n a s e c c ió n p r is m á tic a ,
f t j r e s t a ra z ó n lo s n o d o s d e c a d a e le m e n to s e lo c a liz a n e n u n s o p o r te o
e n lo s p u n to s d o n d e lo s e le m e n to s se c o n e c t a n e n t r e s í. o s e a p lic a u n a
fu e rz a e x te r n a ; d o n d e e l á r e a d e la s e c c ió n tr a n s v e r s a l c a m b ia s ú b i ta ­
m e n te , o d o n d e d e b e d e te r m i n a r s e e l d e s p la z a m ie n to v e rtic a l o d e r o t a ­
c ió n e n u n p u n to . P o r e je m p lo , c o n s id e r e la v ig a d e la fig u ra 1 5 -la . S i se
u s a e l m is m o e s q u e m a q u e p a r a la s a r m a d u r a s , lo s c u a tr o n o d o s s e e s p e ­
cific a n e n f o r m a n u m é r ic a d e n t r o d e u n c írc u lo y lo s tr e s e le m e n to s se
id e n tif ic a n n u m é r ic a m e n te d e n t r o d e u n c u a d r a d o . O b s e r v e ta m b ié n q u e
lo s e x tr e m o s " c e r c a n o ” y " l e j a n o " d e c a d a e l e m e n t o s e id e n tif ic a n m e ­
d ia n te fle c h a s e s c r ita s a lo la r g o d e c a d a e le m e n to .
Figura 15-1

598. 5 7 6 Ca p i t u l o 1 5 A n á l i s i s d e v i g a s u t i l i z a n d o e l m é t o d o d e l a r i g i d e z
f i g u r a 1 5 - 1
1 5
| 4
1 7
L 5 I 2 II 6
3 —
(a)
12
I * t í a
p
i
w
(a)
/ > 4
Di
(b)
H gura 15-3
C o o r d e n a d a s g lo b a le s y d e l e le m e n to . E l s is te m a d e c o o r ­
d e n a d a s g lo b a le s se id e n tif ic a r á u tiliz a n d o lo s e j e s x , y . z . q u e p o r lo g e ­
n e r a l ti e n e n s u o r ig e n e n u n n o d o y s e p o s ic io n a n d e m o d o q u e lo s n o d o s
e n o t r o s p u n to s d e la v ig a te n g a n c o o r d e n a d a s p o s itiv a s , fig u ra 1 5 - la . L as
c o o r d e n a d a s lo c a le s o d e l e l e m e n t o x ' , y \ z ' tie n e n s u o r ig e n e n e l e x ­
tr e m o " c e r c a n o ” d e c a d a e le m e n to , y e l e je p o s itiv o x ' x d irig e h a c ia e l
e x tr e m o " l e ja n o ” . E n l a f ig u r a 15-1 6 se m u e s tr a n e s t a s c o o r d e n a d a s p a r a
e l e le m e n to 2 . E n a m b o s c a s o s s e h a e m p l e a d o u n s i s te m a d e c o o r d e n a ­
d a s d ie s tr o , d e m o d o q u e s i lo s d e d o s d e la m a n o d e r e c h a s e c ie r r a n d e l
e j e x ( * ' ) h a c ia e l e j e y ( y ') , e l p u l g a r a p u n ta e n la d ir e c c ió n p o s itiv a
d e l e je z ( z ') . q u e s e d ir ig e h a c ia a f u e r a d e la p á g in a . T e n g a e n c u e n ta
q u e p a r a c a d a c o m p o n e n t e d e la v ig a lo s e j e s x y x ' s e r á n c o lin e a le s y q u e
la s c o o r d e n a d a s g lo b a le s y d e l e le m e n to s e r á n to d a s p a ra le la s . P o r lo
ta n to , a d if e r e n c ia d e l c a s o d e la s a r m a d u r a s , a q u í n o s e r á n e c e s a r io d e s a ­
r r o lla r m a tric e s d e tr a n s f o r m a c ió n e n t r e e s t o s s i s te m a s d e c o o rd e n a d a s .
In d e te rm in a c ió n c in e m á tic a . U n a v e z q u e s e h a n id e n tif ic a d o
lo s e le m e n to s y lo s n o d o s , y q u e s e h a e s ta b le c id o e l s is te m a d e c o o r d e ­
n a d a s g lo b a le s , p u e d e n d e te r m i n a r s e lo s g ra d o s d e lib e r ta d p a r a la v ig a y
s u d e te r m in a c ió n c in e m á tic a . S i s e to m a n e n c u e n t a lo s e f e c to s d e la f le ­
x ió n y la f u e r z a c o r t a n t e , e n to n c e s cada n o d o e n u n a v ig a p u e d e t e n e r
d o s g r a d o s d e lib e r ta d ; e s d e d r . u n d e s p la z a m ie n to v e r tic a l y u n a r o ta -
d ó n . C o m o e n e l c a s o d e la s a r m a d u r a s , e s t o s d e s p la z a m ie n to s lin e a le s
y d e r o t a d ó n s e id e n tific a n p o r c ó d ig o s n u m é ric o s. I x k n ú m e ro s m ás b a jo s
d e c ó d ig o s e u s a r á n p a ra id e n tif ic a r lo s d e s p la z a m ie n to s d e s c o n o c id o s
( g r a d o s d e li b e r t a d n o r e s tr in g id o s ) , y la s d f r a s m á s a lta s s e u tiliz a rá n
p a ra id e n tif ic a r lo s d e s p la z a m ie n to s c o n o c id o s ( g r a d o s d e lib e r ta d r e s ­
tr in g id o s ) . R e c u e r d e q u e la ra z ó n p a r a e le g i r e s te m é to d o d e id e n tific a -
d ó n s e r e l a d o n a c o n la c o n s ig u ie n te c o m o d id a d a l r e a l iz a r la p a r tic ió n
d e la m a triz d e rig id e z d e la e s tr u c tu r a , d e m o d o q u e lo s d e s p la z a m ie n to s
d e s c o n o d d o s p u e d a n d e te r m in a r s e d e la m a n e r a m á s d ir e c ta .
P a r a m o s tr a r u n e je m p lo d e e ti q u e ta d o c o n c ó d ig o s n u m é r ic o s , c o n s i­
d e re d e n u e v o la v ig a c o n ti n u a q u e s e m u e s tr a e n la fig u ra 1 5 - l a . A q u í , la
viga e s d n e m á t ic a m e n te in d e te r m in a d a d e c u a r t o g ra d o . H a y o c h o g r a ­
d o s d e lib e r ta d , p o r lo c u a l lo s n ú m e r o s d e c ó d ig o d e l 1 a l 4 r e p r e s e n ta n
lo s d e s p la z a m ie n to s d e s c o n o c id o s y lo s n ú m e r o s d e l 5 a l 8 r e p r e s e n ta n lo s
d e s p la z a m ie n to s c o n o c id o s , q u e e n e s te c a s o s o n to d o s ig u a le s a c e ro .
C o m o o t r o e je m p lo , la v ig a d e la fig u ra 1 5 -2 a p u e d e s u b d iv id irs e e n tr e s
e le m e n to s y c u a tr o n o d o s. E n p a r tic u la r , o b s e r v e q u e l a a r tic u la c ió n in ­
te r n a e n e l n o d o 3 s e d e f o r m a e n la m is m a c a n ti d a d p a r a lo s e le m e n to s 2
y 3; s in e m b a r g o , la r o ta c ió n e n e l e x tr e m o d e c a d a e l e m e n t o e s d if e r e n te .
ft> r e s o s e u s a n tr e s n ú m e r o s d e c ó d ig o p a r a m o s tr a r e s t a s d e fle x io n e s .
A q u í h a y n u e v e g ra d o s d e lib e rta d , c in c o d e lo s c u a le s s o n d e s c o n o c id o s ,
c o m o s e m u e s tra e n la fig u ra 1 5 -2 6 . y c u a t r o c o n o c id o s ; d e n u e v o , to d o s
s o n ig u a le s a c e ro . I\>r ú ltim o , te n g a e n c u e n ta e l m e c a n is m o d e s liz a n te
u s a d o e n l a v ig a d e la fig u ra 1 5 -3 a. A q u í la d e f le x ió n d e la v ig a s e m u e s ­
tr a e n la fig u ra 15-3 6 y. p o r lo ta n to , h a y c in c o c o m p o n e n te s d e s c o n o c i­
d o s d e d e f le x ió n e ti q u e ta d o s c o n lo s n ú m e r o s d e c ó d ig o m á s b a jo s . L a
viga e s c in e m á tic a m e n te in d e t e r m in a d a d e q u in t o g ra d o .
E l d e s a r r o ll o d e l m é to d o d e la rig id e z p a r a la s v ig a s s ig u e u n p r o c e d i ­
m ie n to s im ila r a l u tiliz a d o p a r a la s a r m a d u r a s . E n p r i m e r lu g a r d e b e e s ­
ta b le c e r s e l a m a tr iz d e rig id e z d e c a d a e le m e n to , d e s p u é s e s t a s m a tric e s
s e c o m b in a n p a r a f o r m a r la m a tr iz d e rig id e z d e la v ig a o d e la e s t r u c ­
tu r a . Si s e u s a la e c u a c ió n m a tric ia l d e la e s t r u c t u r a ,e n t o n c e s p u e d e p r o -

599. 1 5 . 2 M a t r iz d e r i g i d e z d e l a v i g a-e l e m e n t o 5 7 7
c e d e r s e a d e te r m i n a r lo s d e s p la z a m ie n to s d e s c o n o c id o s e n lo s n o d o s y
d e e s t a f o r m a d e t e r m i n a r la s r e a c c io n e s s o b r e la v ig a y la f u e r z a c o r ta n te
y e l m o m e n to in te r n o s e n lo s n o d o s .
1 5 .2 M atriz de rigidez de la viga-elem ento
E n e s t a se c c ió n se d e s a r r o ll a r á la m a tr iz d e rig id e z p a r a u n c o m p o n e n te
d e v ig a o u n e le m e n to q u e te n g a u n a s e c c ió n tr a n s v e r s a l c o n s ta n te y e s té
r e f e r e n c ia d o a l s i s te m a d e c o o r d e n a d a s lo c a le s x ' . y ' , z ' , fig u ra 15-4. E l
o r ig e n d e las c o o r d e n a d a s s e lo c a liz a e n e l e x tr e m o “ c e r c a n o ” N,y e l e je
x ' p o sitiv o s e e x tie n d e h a c ia e l e x tr e m o “ le j a n o " F . H a y d o s r e a c c io n e s
e n c a d a e x tr e m o d e l e le m e n to , q u e c o n s is te n e n la s f u e r z a s c o r t a n t e s q ^
y qpy' y e n m o m e n to s f le c to r e s q*-• y q F ¡- E s ta s c a r g a s a c tú a n e n la s
d ir e c c io n e s c o o r d e n a d a s p o s itiv a s . E n p a r t ic u l a r , lo s m o m e n to s qN.• y
q F i' s o n p o s itiv o s en s e n tid o a n tih o r a r io , p u e s t o q u e p o r la r e g la d e la
m a n o d e r e c h a lo s v e c to r e s d e m o m e n to e s t á n d ir ig id o s a lo la r g o d e l e je
z ' p o s itiv o , e l c u a l s e d ir ig e h a c ia a f u e r a d e la p á g in a .
L o s d e s p la z a m ie n to s lin e a le s y a n g u la r e s a s o c ia d o s c o n e s t a s c a r g a s
ta m b ié n s ig u e n e s ta m ism a c o n v e n c ió n d e s ig n o s p o sitiv o s. A h o r a s e im ­
p o n d r á n c a d a u n o d e e s t o s d e s p la z a m ie n to s p o r s e p a r a d o y d e s p u é s se
d e te r m i n a r á n la s c a r g a s q u e a c tú a n s o b r e e l e le m e n to , c a u s a d a s p o r c a d a
d e s p la z a m ie n to .
y*
</AY d fy
ÑW ¿N i Í (
qFyd? 1 r , d fí
l—
.— -------------------------*
c o n v e n c ió n d e s i g n o s p o s itiv o s
F i g u r a 1 5 - 4
D e s p la z a m ie n to s e n yO t á n d o s e im p o n e u n d e s p la z a m ie n to
p o s itiv o d s y' m ie n tr a s s e e v ita n o tr o s p o s ib le s d e s p la z a m ie n to s , s e c re a n
fu e r z a s c o r t a n te s y m o m e n to s d e fle x ió n r e s u lta n te s c o m o lo s q u e se
m u e s tra n e n la fig u ra l5 - 5 a . E n p a rtic u la r, e l m o m e n to se h a d e s a r r o ­
lla d o e n la s e c c ió n 11.2 c o m o la e c u a c i ó n 11.5 . D e l m is m o m o d o ,c u a n d o
s e im p o n e d ¡ y , \ a s fu e r z a s c o r t a n t e s y m o m e n to s fle x io n a n te s n e c e s a r io s
so n c o m o s e m u e s tr a e n la fig u ra 15-56.
d e s p l a z a m i e n t o s e n /
( a ) ( b )
Figura 15-5

600. 5 7 8 C a p i t u l o 1 5 A n á l i s i s d e v i g a s u t i l i z a n d o e l m é t o d o d e l a r i g i d e z
Figura 15-6
Rotaciones e n z '. S i s e im p o n e u n a r o t a c ió n p o s itiv a d N¿ m ie n tra s
s e e v ita n t o d o s lo s o tr o s d e s p la z a m ie n to s p o s ib le s , la s f u e r z a s c o r t a n t e s y
lo s m o m e n to s r e q u e r id o s p a r a la d e f o r m a c ió n s e m u e s tr a n e n la fig u ra
1 5 1 5 -6 a. E n p a r tic u la r , e l m o m e n to r e s u lta n t e s e d e s a r r o lló e n la se c c ió n
11-2 c o m o la s e c u a c io n e s 11-1 y 1 1 -2 . D e l m is m o m o d o , c u a n d o s e im ­
p o n e d f ¡ \ \ a s c a r g a s r e s u lta n t e s s o n c o m o s e m u e s tr a e n la f ig u r a 1 5 -6b.
I\>r s u p e r p o s ic ió n , s i s e s u m a n lo s r e s u lta d o s a n te r io r e s d e las fig u ra s
15-5 y 15-6, la s c u a t r o re la c io n e s d e c a r g a - d e s p la z a m ie n to r e s u lta n te s
p a ra e l e le m e n to p u e d e n e x p r e s a r s e e n f o r m a m a tr ic ia l c o m o
(1 5 -1 )
E s ta s e c u a c io n e s ta m b ié n p u e d e n e s c r ib ir s e d e m a n e r a a b re v ia d a c o m o
q = k d (1 5 - 2 )
L a m a tr iz s im é tr ic a k e n la e c u a c i ó n 15-1 s e c o n o c e c o m o l a m a tr iz d e r i­
g id e z d e l e le m e n to . L o s 1 6 c o e f ic ie n te s d e in f lu e n c ia k v q u e la c o m p o n e n
r e p r e s e n ta n lo s d e s p la z a m ie n to s d e l e le m e n to p o r la f u e r z a c o r t a n t e y
p o r e l m o m e n to fle x io n a n te . F ís ic a m e n te , e s t o s c o e f ic ie n te s r e p r e s e n ta n
la c a rg a s o b r e e l e le m e n to c u a n d o é s t e e x p e r i m e n t a u n d e s p la z a m ie n to
u n ita r io e sp e c ífic o . P o r e je m p lo , s i d s y = 1 , fig u ra 1 5 -5 a, m ie n tr a s q u e
to d o s lo s o tr o s d e s p la z a m ie n to s s o n ig u a le s a c e r o ,e l e l e m e n t o e s t a r á s o ­
m e t id o ú n ic a m e n te a la s c u a t r o c a r g a s in d ic a d a s e n la p r i m e r a c o lu m n a
d e la m a tr iz k. D e m a n e r a s im ila r, la s o t r a s c o lu m n a s d e la m a tr iz k so n
la s c a r g a s d e e le m e n to p a r a lo s d e s p la z a m ie n to s u n ita r io s id e n tif ic a d o s
m e d ia n te lo s n ú m e r o s d e c ó d ig o d e lo s g r a d o s d e li b e r t a d q u e a p a r e c e n
«arriba d e la s c o lu m n a s . C o n b a s e e n e l d e s a r r o llo se h a n s a tis f e c h o ta n t o
e l e q u ilib r io c o m o la c o m p a tib ilid a d d e lo s d e s p la z a m ie n to s . A d e m á s ,
d e b e h a c e r s e n o t a r q u e e s t a m a tr iz e s la m is m a e n c o o r d e n a d a s lo c a le s y
e n c o o r d e n a d a s g lo b a le s p u e s t o q u e lo s e j e s x ' . y ' , z ' s o n p a r a l e lo s a lo s
e je s x . y , z ; p o r lo ta n to , n o s e r e q u i e r e n m a tr ic e s d e tr a n s f o r m a c ió n e n t r e
la s c o o rd e n a d a s .

601. 1 5 . 4 A p l i c a c i ó n d e l m é t o d o d e l a r i g i d e z a l a n á l i s i s d e v i g a s 579
1 5 .3 M a triz de rig id e z d e la
vig a -e stru ctu ra
U n a v e z q u e s e h a n e n c o n t r a d o t o d a s l a s m a t r i c e s d e r i g i d e z d e l o s e l e ­
m e n t o s , e s n e c e s a r i o e n s a m b l a r l a s e n l a m a t r i z d e r i g i d e z d e l a e s t m c t u r a K .
E s t e p r o c e s o d e p e n d e d e c o n o c e r p r i m e r o l a u b i c a c i ó n d e c a d a t é r m i n o
d e l a m a t r i z d e r i g i d e z d e l o s e l e m e n t o s . A q u í l a s f i l a s y c o l u m n a s d e
c a d a m a t r i z k ( e c u a c i ó n 1 5 - 1 ) s e i d e n t i f i c a n p o r l o s d o s n ú m e r o s d e c ó ­
d i g o e n e l e x t r e m o c e r c a n o d e l e l e m e n t o ( N y- , N Z’) , s e g u i d o s p o r l o s d e l
o t r o e x t r e m o ( / y , F.< ) . P o r l o t a n t o , a l e n s a m b l a r l a s m a t r i c e s c a d a e l e ­
m e n t o d e b e c o l o c a r s e e n l a m i s m a u b i c a c i ó n d e l a m a t r i z K . D e e s t a
m a n e r a , K t e n d r á u n o r d e n q u e s e r á i g u a l a l n ú m e r o d e c ó d i g o m a y o r
a s i g n a d o a l a v i g a , p u e s t o q u e é s t e r e p r e s e n t a e l t o t a l d e g r a d o s d e l i b e r ­
t a d . T a m b i é n , c u a n d o h a y v a r i o s e l e m e n t o s c o n e c t a d o s a u n n o d o , s u s
c o e f i c i e n t e s d e i n f l u e n c i a d e l a r i g i d e z d e l e l e m e n t o t e n d r á n l a m i s m a
p o s i c i ó n e n l a m a t r i z K y p o r l o t a n t o d e b e n s u m a r s e a l g e b r a i c a m e n t e
p a r a d e t e r m i n a r e l c o e f i c i e n t e d e i n f l u e n c i a d e l a r i g i d e z n o d a l p a r a l a
e s t r u c t u r a . E s t o e s n e c e s a r i o p o r q u e c a d a c o e f i c i e n t e r e p r e s e n t a l a r e s i s ­
t e n c i a d e l a e s t r u c t u r a n o d a l e n u n a d i r e c c i ó n p a r t i c u l a r ( y * o z' ) c u a n d o s e
p r o d u c e u n d e s p l a z a m i e n t o u n i t a r i o ( y ' o z ' ) , y a s e a e n e l m i s m o n o d o o
e n o t r o . P o r e j e m p l o , K23 r e p r e s e n t a l a c a r g a e n l a d i r e c c i ó n y e n l a u b i ­
c a c i ó n d e l n ú m e r o d e c ó d i g o **2” c u a n d o o c u r r e u n d e s p l a z a m i e n t o u n i t a ­
r i o e n l a d i r e c c i ó n y e n l a u b i c a c i ó n d e l n ú m e r o d e c ó d i g o “ 3 " .
1 5 .4 A plicación d e l m é to d o d e la rig id e z
al análisis de vigas
D e s p u é s d e d e t e r m i n a r l a m a t r i z d e r i g i d e z d e l a e s t r u c t u r a , l a s c a r g a s e n
l o s n o d o s d e l a v i g a p u e d e n r e l a c i o n a r s e c o n l o s d e s p l a z a m i e n t o s s i s e
u t i l i z a l a e c u a c i ó n d e r i g i d e z d e l a e s t r u c t u r a
Q = K D
A q u í Q y D s o n m a t r i c e s c o l u m n a q u e r e p r e s e n t a n t a n t o l a s c a r g a s c o ­
n o c i d a s y d e s c o n o c i d a s c o m o l o s d e s p l a z a m i e n t o s . A l h a c e r l a p a r t i c i ó n
d e l a m a t r b . d e r i g i d e z e n l o s e l e m e n t o s c o n o c i d o s y d e s c o n o c i d o s d e l a
c a r g a y e l d e s p l a z a m i e n t o , s e t i e n e
V.
ss
K,. | K„1
fft.1
.Qu K2. 1 K Jo*
q u e a l e x p a n d i r l a g e n e r a l a s d o s e c u a c i o n e s
Q * « K „ D „ + K 1?D * ( 1 5 - 3 )
Q * = K 21D u + K ^ D * ( 1 5 - 4 )
L o s d e s p l a z a m i e n t o s d e s c o n o c i d o s D u s e d e t e r m i n a n a p a r t i r d e l a p r i ­
m e r a d e e s t a s e c u a c i o n e s . S i s e u s a n e s t o s v a l o r e s , p u e d e n c a l c u l a r s e l a s
r e a c c i o n e s d e a p o y o Q u p a r a l a s e g u n d a e c u a c i ó n .

602. 580 Ca p i t u l o 1 5 A n á l i s i s d e v i g a s u t i l i z a n d o e l m é t o d o d e l a r i g i d e z
1 5
w L
2
L
w ¡}
12
w L
2
w l.2
12
c a r g a s s o b r e l a s j u n t a s
d e u n e l e m e n t o
c o n e x t r e m o s f i j o s
( b )
c a r g a s r e a l e s
( a )
w L
w l.2
Í 2
—
w L
BT
w l.1
12
c a r g a s y r e a c c i o n e s r e a l e s
s o b r e u n e l e m e n t o
f i j a m e n t e a p o y a d o
( c )
f ig u r a 1 5 -7
Cargas interm edias. P a r a s u a p l i c a c i ó n , e s i m p o r t a n t e q u e l o s
e l e m e n t o s d e l a v i g a e s t é n l i b r e s d e c a r g a e n t o d a s u l o n g i t u d . E s t o e s n e ­
c e s a r i o p u e s t o q u e l a m a t r i z d e r i g i d e z d e c a d a e l e m e n t o s e d e s a r r o l l ó
s o l a m e n t e p a r a c a r g a s a p l i c a d a s e n s u s e x t r e m o s . ( V e a l a f i g u r a 1 5 - 4 . )
S i n e m b a r g o , e s f r e c u e n t e q u e l a s v i g a s s o p o r t e n u n a c a r g a d i s t r i b u i d a y
e s t a c o n d i c i ó n r e q u i e r e m o d i f i c a c i o n e s p a r a p o d e r r e a l i z a r e l a n á l i s i s
m a t r i d a l .
P a r a m a n e j a r e s t e c a s o , s e u s a r á e l p r i n c i p i o d e s u p e r p o s i c i ó n d e u n a
m a n e r a s i m i l a r a l a e m p l e a d a p a r a l a s a r m a d u r a s q u e s e e s t u d i a r o n e n l a
s e c c i ó n 1 4 - 8 . P a r a m o s t r a r s u a p l i c a c i ó n , c o n s i d e r e e l e l e m e n t o d e v i g a
c o n l o n g i t u d L d e l a f i g u r a 1 5 - 7 a . e l c u a l e s t á s o m e t i d o a l a c a r g a u n i ­
f o r m e d i s t r i b u i d a w . P r i m e r o s e a p l i c a r á n l o s m o m e n t o s d e e x t r e m o f i j o
y l a s r e a c c i o n e s s o b r e e l e l e m e n t o , l o s c u a l e s s e u s a r á n e n e l m é t o d o d e
l a r i g i d e z , f i g u r a 1 5 - 7 6 . S e h a r á r e f e r e n c i a a e s t a s c a r g a s c o m o u n a m a t r i z
c o l u m n a - q „ . D e s p u é s s e a p l i c a r á n l a s c a r g a s d i s t r i b u i d a s y s u s r e a c c i o ­
n e s . f i g u r a 1 5 - 7 c . I . a s c a r g a s r e a l e s e n l a v i g a s e d e t e r m i n a n a l s u m a r
e s t o s d o s r e s u l t a d o s . L a s r e a c c i o n e s d e e x t r e m o f i j o p a r a o t r o s c a s o s d e
c a r g a s e d a n e n e l i n t e r i o r d e l a c o n t r a p o r t a d a . A d e m á s d e r e s o l v e r p r o ­
b l e m a s q u e i m p l i c a n c a r g a s l a t e r a l e s d e e s t e t i p o , e s t e m é t o d o t a m b i é n
p u e d e u s a r s e p a r a r e s o l v e r p r o b l e m a s r e l a c i o n a d o s c o n l o s c a m b i o s d e
t e m p e r a t u r a o e r r o r e s d e f a b r i c a c i ó n .
Fuerzas del elem ento. L a f u e r z a c o r t a n t e y e l m o m e n t o e n l o s
e x t r e m o s d e c a d a e l e m e n t o d e l a v i g a p u e d e n d e t e r m i n a r s e a p a r t i r d e l a
e c u a c i ó n 1 5 - 2 y a l a ñ a d i r c u a l e s q u i e r r e a c c i o n e s d e e x t r e m o f i j o q „ . s i e l
e l e m e n t o e s t á s o m e t i d o a u n a c a r g a i n t e r m e d i a . S e t i e n e
q = k d + q (1 ( 1 5 - 5 )
S i l o s r e s u l t a d o s s o n n e g a t i v o s , e s t o i n d i c a q u e l a c a r g a a c t ú a e n d i r e c ­
c i ó n o p u e s t a a l a m o s t r a d a e n l a f i g u r a 1 5 - 4 .

603. 1 5 . 4 A p l i c a c i ó n d e l m é t o d o d e l a r i g i d e z a l a n á l i s i s d e v i g a s 5 8 1
P r o c e d im ie n to d e a n á lis is
E l s i g u i e n t e m é t o d o p r o p o r c i o n a u n m e d i o p a r a d e t e r m i n a r l o s d e s p l a z a m i e n t o s , l a s
r e a c c i o n e s e n l o s s o p o r t e s y l a s c a r g a s i n t e r n a s d e l o s m i e m b r o s o e l e m e n t o s f i n i t o s d e
u n a v i g a e s t á t i c a m e n t e d e t e r m i n a d a o e s t á t i c a m e n t e i n d e t e r m i n a d a .
N o ta c ió n
D i v i d a l a v i g a e n e l e m e n t o s f i n i t o s e i d e n t i f i q u e a r b i t r a r i a m e n t e c a d a e l e m e n t o y s u s
n o d o s . U s e u n n ú m e r o e s c r i t o d e n t r o d e u n c í r c u l o p a r a u n n o d o y u n n ú m e r o e s c r i t o
d e n t r o d e u n c u a d r o p a r a u n m i e m b r o . P o r l o g e n e r a l , u n e l e m e n t o s e e x t i e n d e e n t r e
l o s p u n t o s d e a p o y o , l o s p u n t o s d e c a r g a s c o n c e n t r a d a s y l a s j u n t a s , o e n l o s p u n t o s
d o n d e d e b e n d e t e r m i n a r s e l a s c a r g a s i n t e r n a s o l o s d e s p l a z a m i e n t o s . A d e m á s , l o s v a ­
l o r e s d e F e I p a r a l o s e l e m e n t o s q u e d e b e n s e r c o n s t a n t e s .
E s p e c i f i q u e e n f o r m a s i m b ó l i c a l o s e x t r e m o s c e r c a n o y l e j a n o d e c a d a e l e m e n t o a l d i ­
r i g i r u n a f l e c h a a l o l a r g o d e l e l e m e n t o , c o n l a p u n t a d i r i g i d a h a c i a e l e x t r e m o l e j a n o .
E n c a d a p u n t o n o d a l , e s p e c i f i q u e n u m é r i c a m e n t e l o s n ú m e r o s d e c ó d i g o y y z . E n
t o d o s l o s c a s o s , u s e l o s n ú m e r o s d e c ó d ig o m á s b a j o s p a r a i d e n t i f i c a r t o d o s l o s g r a d o s
d e l i b e r t a d n o r e s t r i n g i d o s , s e g u i d o s p o r e l r e s t o d e l o s n ú m e r o s m á s a l t o s p a r a i d e n t i ­
f i c a r l o s g r a d o s d e l i b e r t a d q u e e s t á n r e s t r i n g i d o s .
C o n b a s e e n e l p r o b l e m a , e s t a b l e z c a l o s d e s p l a z a m i e n t o s c o n o c i d o s D * y l a s c a r g a s e x ­
t e r n a s c o n o c i d a s Q * . I n c l u y a c u a l e s q u i c r c a r g a s d e e x t r e m o f i j o in v e r t i d a s , s i u n e l e ­
m e n t o s o p o r t a u n a c a r g a i n t e r m e d i a .
1 5
M a triz de rig id e z d e la e s tru c tu ra
• A p l i q u e l a e c u a c i ó n 1 5 - 1 p a r a d e t e r m i n a r l a m a t r i z d e r i g i d e z p a r a c a d a e l e m e n t o e x ­
p r e s a d a e n c o o r d e n a d a s g l o b a l e s .
• D e s p u é s d e d e t e r m i n a r l a m a t r i z d e r i g i d e z d e c a d a e l e m e n t o , y c u a n d o l a s f i l a s y c o ­
l u m n a s e s t é n i d e n t i f i c a d a s c o n l o s n ú m e r o s d e c ó d i g o a d e c u a d o s , e n s a m b l e l a s m a t r i ­
c e s p a r a d e t e r m i n a r l a m a t r i z d e r i g i d e z d e l a e s t r u c t u r a K . C o m o u n a c o m p r o b a c i ó n
p a r c i a l , l a s m a t r i c e s d e r i g i d e z d e t o d o s l o s e l e m e n t o s y l a m a t r i z d e r i g i d e z d e l a e s ­
t r u c t u r a d e b e n s e r s im é t r ic a s .
D e sp la z a m ie n to s y cargas
• P a r t a l a e c u a c i ó n d e r i g i d e z d e l a e s t r u c t u r a y r e a l i c e l a m u l t i p l i c a c i ó n m a t r i c i a l c o n e l
f i n d e d e t e r m i n a r l o s d e s p l a z a m i e n t o s d e s c o n o c i d o s D u y l a s r e a c c i o n e s e n l o s s o p o r ­
t e s d e s c o n o c i d a s Q „ .
• L a f u e r z a c o r t a n t e y e l m o m e n t o i n t e r n o s q e n l o s e x t r e m o s d e c a d a e l e m e n t o d e v i g a
p u e d e n d e t e r m i n a r s e a p a r t i r d e l a e c u a c i ó n 1 5 - 5 , t o m a n d o e n c u e n t a l a s c a r g a s d e e x ­
t r e m o f i j o a d i c i o n a l e s .

604. 5 8 2 C a p i t u l o 1 5 A n á l i s i s d e v i g a s u t i l i z a n d o e l m é t o d o d e l a r i g i d e z
EJEMPLO 15.1
D e t e r m i n e l a s r e a c c i o n e s e n l o s s o p o r t e s d e l a v i g a q u e s e m u e s t r a e n
l a f i g u r a 1 5 - 8 a . E l e s c o n s t a n t e .
5 k N
J
2 m
( a )
Figura 15-8
2 m
S O L U C IÓ N
N o ta c ió n . L a v i g a t i e n e d o s e l e m e n t o s y t r e s n o d o s , q u e s e i d e n t i f i ­
c a n e n l a f i g u r a 1 5 - 8 6 . L o s n ú m e r o s d e c ó d i g o d e l 1 a l 6 s e i n d i c a n d e
f o r m a q u e l o s n ú m e r o s m á s b a j o s 1 - 4 id e n t if ic a n l o s g r a d o s d e lib e r t a d
n o r e s t r in g id o s .
L a s m a t r i c e s d e l a c a r g a y e l d e s p l a z a m i e n t o c o n o c i d o s s o n
Q*
01
- 52
03
04
i
M a tr ic e s d e r ig id e z d e lo s e le m e n to s . C a d a u n a d e l a s d o s m a t r i ­
c e s d e r i g i d e z d e l o s e l e m e n t o s s e d e t e r m i n a a p a r t i r d e l a e c u a c i ó n
1 5 - 1 . O b s e r v e c o n c u i d a d o c ó m o s e e s t a b l e c e n l o s n ú m e r o s d e c ó d i g o
p a r a c a d a c o l u m n a y f i l a .
6 4 5 3 5 3 2 1
1 . 5 1 . 5 - 1 . 5 1 . 5 "6 1 . 5 1 . 5 - 1 . 5 1 . 5 " 5
E l 1 . 52 - 1 . 51 4 k 2 = E l 1 . 52 - 1 . 51 3
- 1 . 5 - 1 . 5 1 . 5 - 1 . 5 5 - 1 . 5 - 1 . 5 1 . 5 - 1 . 5 2
1 5 1 - 1 . 52 3 1 . 5 1 - 1 . 52 1

605. 1 5 . 4 A p l i c a c i ó n d e l m é t o d o d e l a r i g i d e z a l a n á l i s i s d e v i g a s 583
D e s p la z a m ie n to s y c a rg a s . A h o r a e s p o s i b l e e n s a m b l a r e s t o s e l e ­
m e n t o s e n l a m a t r i z d e r i g i d e z d e l a e s t r u c t u r a . P o r e j e m p l o . e l e l e m e n t o
K , , = 0 + 2 = 2 , K s s = 1 . 5 + 1. 5 = 3 . e t c é t e r a . f t > r l o t a n t o .
Q = K D
1 2 3 4 5 6
0 " 2 - 1 . 51 0 ; 1 . 5 0 D x
- 5 - 1 . 5 1 . 5 - 1 . 5 0 | - 1 . 5 0
d2
0 = E l1 - 1 . 5 4 1 0 1 . 5D y
0 0
. . . o . .. .
1
..........
1 . 5
? 4
< ? 5 1 . 5 - u Ó - 1 . 5 j 3 - 1 . 50
0 6_
0 0 1 . 5 1 . 5 1 - 1 . 5 1 . 5 .. 0 .
L a s m a t r i c e s s e p a r t e n d e l a m a n e r a q u e s e m u e s t r a . S i s e r e a l i z a l a
m u l t i p l i c a c i ó n p a r a l a s p r i m e r a s c u a t r o f i l a s , s e t i e n e
0 = 2O , - 1 . 5D 2 + D i + 0
- y , = “ , 5 D i + , 5 D 2 “ L 5 D ' + 0
0 = D i - 1 . 5D , + 4D y + D i
0 = 0 + 0 + D 3 + 2 D 4
R e s o l v i e n d o ,
2 6 . 6 7
D 2 = -
D y = ~
E l
6 . 6 7
E l
3 . 3 3
E l
C o n b a s e e n e s t o s r e s u l t a d o s y a l m u l t i p l i c a r l a s d o s ú l t i m a s f i l a s , r e s u l t a
0 s . , . 5 £ / ( _ _ , , £ / ( _ - ) + 0 _ , 5 £ / ( ^ )
= 1 0 k N R e s p .
Q6 = 0 + 0 + . . 5 £ / ( - ^ ) + 1 . 5 f c 7 ( ^ )
= - 5 k N R e s p .

606. 5 8 4 C a p i t u l o 1 5 A n á l i s i s d e v i g a s u t i l i z a n d o e l m é t o d o d e l a r i g i d e z
EJEMPLO 15.2
D e t e r m i n e l a f u e r / a c o r t a n t e y e l m o m e n t o e n e l m i e m b r o 1 d e l a v i g a
c o m p u e s t a q u e s e m u e s t r a e n l a f i g u r a 1 5 - 9 a . E l e s c o n s t a n t e .
S O L U C I Ó N
N o ta c ió n . Q i a n d o l a v i g a s e d e f o r m a , e l p a s a d o r i n t e r n o p e r m i t i r á
u n a s o l a d e f l e x i ó n , s i n e m b a r g o , l a p e n d i e n t e d e c a d a m i e m b r o c o n e c ­
t a d o s e r á d i f e r e n t e . A d e m á s , s e p r e s e n t a r á u n a p e n d i e n t e e n e l r o d i ­
l l o . E s t o s c u a t r o g r a d o s d e l i b e r t a d d e s c o n o c i d o s s e e t i q u e t a n c o n l o s
n ú m e r o s d e c ó d i g o 1 , 2 , 3 y 4 , f i g u r a 1 5 - 9 / > .
1
7
“0“5
3 D ‘ =
0 6
j
_0_7
4
F i g u r a 1 5 - 9
M a tric e s d e r ig id e z d e lo s m ie m b ro s . S i s e a p l i c a l a e c u a c i ó n 1 5 - 1
a c a d a m i e m b r o , d e a c u e r d o c o n l o s n ú m e r o s d e c ó d i g o q u e s e m u e s ­
t r a n e n l a f i g u r a 1 5 - 9 / » , s e t i e n e
6 7 3 1 3 2 5 4
12 6 12 6 " 12 6 12 6 '
L3 L 2 L ? L 2
o
L ? L 2 L3 L 2
6 4 6 2
*7
6 4 6 2
L 2 L L 2 L
/
k2 = E l
L 2 L L 2 L
12 6 12 6 12 6 12 6
L3 L 2 L3 L 2
J
L3 L 2 L3 L 2
6 2 6 4
1
6 2 6 4
L 2 L L 2 L L 2 L L 2 L
D e s p la z a m ie n to s y c a rg a s . L a m a t r i z d e r i g i d e z d e l a e s t r u c t u r a s e
f o r m a a l e n s a m b l a r l o s e l e m e n t o s d e l a s m a t r i c e s d e r i g i d e z d e l o s
m i e m b r o s . S i s e a p l i c a l a e c u a c i ó n m a t r i d a l d e l a e s t r u c t u r a , r e s u l t a q u e
Q = K D

607. 1 5 . 4 A p l i c a c i ó n d e l m é t o d o d e l a r i g i d e z a l a n á l i s i s d e v i g a s
1 0
2 0
3 0
4—A#o
= £ 7
5
Os
6
0 6
7
0 7
1 2 3 4 5 6 7
4
0
6
0 0
6 2
L L 2 £ 2
L
0
4
L
6
Ú
2
L
6
L2
0 0
6 6 2 4 6 i 12 12 6
L 2 L 2 l )
1?
L3 l ? L 2
0
2 6 4 6
0 0
Z . L 2
........f j
L2
0
............6........12 6 12
0 0
£ 2 £ 3 L 2£ 3
6
L 2
0
12
1 }
0 0
12
O
6
L2
2
0
6
0 0
6 4
L L 2 L 2 L
A l m u l t i p l i c a r l a s c u a t r o p r i m e r a s f i l a s p a r a d e t e r m i n a r
m i e n t o s e o b t i e n e
o ■ I D ' - T > d >
0 ■ i Dj +
h D i * i D‘
6 6 2 4 6
° _ - - D l + - D 2 t - 0 3 + _ 0 4
~ M ° =
\ ^ 2 + t*Dí +
D e m o d o q u e
1 2 E l
D 2 = -
M 0L
6 E l
3 3 E l
n _ 2 W o L
- " 3 1 7
C b n b a s e e n e s t o s r e s u l t a d o s , l a r e a c c i ó n £ s s e o b t i e n e d e l a m u l t i p l i -
' " • ' ' • ó n d e l a q u i n t a f i l a .
6E l i M 0 L \ 1 2E l ( M 0 L 2 \ 6 F . l ( 2M 0L \
’ L 2 V 6E / y L 3 \ 3E ! ) l2 \ 3 E I )
c a c i ó n d e l a q u i n t a f i l a .
' L \ _ W I ( M o L 2 \ _ 6 E I ( 2 M 0¡
I ) L ? \ 3E l ) L 2 V 3F J )
O s =
E s t e r e s u l t a d o p u e d e c o m p r o b a r s e f á c i l m e n t e s i s e a p l i c a l a e s t á t i c a a l
m i e m b r o Í2l.
585

608. 586 Ca p i t u l o 1 5 A n á l i s i s d e v i g a s u t i l i z a n d o e l m é t o d o d e l a r i g i d e z
EJEMPLO 15.3
L a v i g a d e l a f i g u r a 1 5 - l O u e s t á s o m e t i d a a l o s d o s m o m e n t o s d e p a r . S i
e l s o p o r t e c e n t r a l @ s e a s i e n t a 1 . 5 m m , d e t e r m i n e l a s r e a c c i o n e s e n l o s
s o p o r t e s . S u p o n g a q u e l o s s o p o r t e s d e r o d i l l o e n ( D y ® p u e d e n j a l a r o
e m p u j a r l a v i g a . C o n s i d e r e q u e E - 2 0 0 G P a y q u e / « 2 2 ( 1 0 ~ 6 ) m \
4 kN m 4 kN
n ~ t u
2 m
( a )
F i g u r a 1 5 - 1 0
S O L U C I Ó N
N o ta c ió n . L a v i g a t i e n e d o s e l e m e n t o s y t r e s g r a d o s d e l i b e r t a d d e s ­
c o n o c i d o s . É s t o s s e e t i q u e t a n c o n l o s n ú m e r o s d e c ó d i g o m á s b a j o , f i ­
g u r a 1 5 1 0 6 . A q u í l a s m a t r i c e s d e c a r g a y d e s p l a z a m i e n t o c o n o c i d o s s o n
41 0
Q* = 02 D* = - 0 . 0 0 1 5
_ - 4 _3 0
6 5 4
¡ 3 4 k N - m
I 2
4 k N - m 1
(b)
M a tr ic e s d e r ig id e z d e lo s m ie m b ro s . l a s m a t r i c e s d e r i g i d e z d e
l o s m i e m b r o s s e d e t e r m i n a n m e d i a n t e l a e c u a c i ó n 1 5 - 1 . d e a c u e r d o
c o n l o s n ú m e r o s d e c ó d i g o y l a s d i r e c c i o n e s d e l o s m i e m b r o s q u e s e
m u e s t r a n e n l a f i g u r a 1 5 - 1 0 6 . S e t i e n e .

609. 1 5 . 4 A p l i c a c i ó n d e l m é t o d o d e l a r i g i d e z a l a n á l i s i s d e v i g a s 5 8 7
6 3 5 2
15 1.5 - 1 . 5 1.5" 6
1.5 2 - 1 . 5 1 3
- 1 . 5 - 1 . 5 1.5 - 1 . 5 5
1.5 1 - 1 . 5 2 2
5 2 4 1
1.5 1.5 - 1 . 5 1.5“5
1.5 2 -1 .5 1 2
- 1 . 5 -1 .5 1.5 -1 .5 4
1.5 1 -1 .5 2 1
D e s p la z a m ie n to s y c a rg a s . Si se ensam bla la m a triz d e rig id e z de
la e stru ctu ra y se escribe la ecuación d e rig id e z d e la e s tru c tu ra , re ­
sulta
1 2 3 4 5 6
4 " 2 1 0 -1 .5 1.5 0 Di
0 1 4 1 -1 .5 0 1.5 D2
- 4
= E l0 1 2 0 -1 .5 1.5
.......
D>
Qa - 1 . 5 -1 .5 0 1.5 " '- 1 5 ' 0
Qs 1.5 0 - 1 . 5 -1 .5 3 -1 .5
i
i
Qo
0 1.5 1.5 0 - 1 . 5 1.5 0
A l r e s o l v e r l o s d e s p l a z a m i e n t o s d e s c o n o c i d o s .
- 4 ( = 2 D , + D ? + 0 D3 - 1 . 5 ( 0 ) + 1 . 5 ( — 0 . 0 0 1 5 ) + 0
t i
0 = 1 / ) , + 4n 2 + 1D3 - 1 . 5 ( 0 ) + 0 + 0
^ = 0 D , + \ D 2 + 2 D3 + 0 - 1 . 5 ( - 0 . 0 0 1 5 ) + 0
£ /
S i s e s u s t i t u y e E l = 2 0 0 ( 1 0 6 ) ( 2 2 ) ( 1 0 6 ) y s e r e s u e l v e .
D \ = 0 . 0 0 1 5 8 0 r a d . D z = 0 . D 3 = - 0 . 0 0 1 5 8 0 r a d
f t > r l o t a n t o , c o n b a s e e n e s t o s r e s u l t a d o s , l a s r e a c c i o n e s e n l o s s o p o r ­
t e s s o n
0 4 = 2 0 0 ( 1 0 6 ) 2 2 ( 1 0 - 6 ) [ - 1 . 5 ( 0 . 0 0 1 5 8 0 ) - 1 . 5 ( 0 ) + 0 + 1 . 5 ( 0 ) - 1 . 5 ( - 0 . 0 0 1 5 ) + 0 ) = - 0 . 5 2 5 k N
0 5 = 2 0 0 ( 1 0 6 ) 2 2 ( 1 0 “ 6 ) [ 1 . 5 ( 0 . 0 0 1 5 8 0 ) + 0 - 1 . 5 ( - 0 . 0 0 1 5 8 0 ) - 1 . 5 ( 0 ) + 3 ( - 0 . 0 0 1 5 ) - 1 . 5 ( 0 ) 1 = 1 - 0 5 k N
06 = 2 0 0 ( 1 06) 2 2 { 1 0 ~ 6 ) [ 0 + 1 . 5 ( 0 ) + 1 . 5 ( - 0 . 0 0 1 5 8 0 ) + 0 - 1 . 5 ( - 0 . 0 0 1 5 ) + 1 . 5 ( 0 ) ) = - 0 . 5 2 5 k N
R e s p .
R e s p .
R esp.

610. 588 Ca p i t u l o 1 5 A n á l i s i s d e v i g a s u t i l i z a n d o e l m é t o d o d e l a r i g i d e z
E J E M P L O 15.4
1 2 k
2k / p i e
D e t e r m i n e e l m o m e n t o d e s a r r o l l a d o e n e l s o p o r t e A d e l a v i g a q u e s e
m u e s t r a e n l a f i g u r a 1 5 - I I a . S u p o n g a q u e l o s s o p o r t e s d e r o d i l l o p u e ­
d e n j a l a r o e m p u j a r l a v i g a . C o n s i d e r e q u e E = 2 9 ( 1 0 ’ ) k s i y q u e / =
5 1 0 p u l g 4 .
S O L U C IÓ N
N o ta c ió n . A q u í , l a v i g a t i e n e d o s g r a d o s d e l i b e r t a d n o r e s t r i n g i d o s ,
i d e n t i f i c a d o s p o r l o s n ú m e r o s d e c ó d i g o 1 y 2.
E l a n á l i s i s m a t r i c i a l r e q u i e r e q u e l a c a r g a e x t e r n a s e a p l i q u e e n l o s
n o d o s y , p o r l o t a n t o , l a s c a r g a s d i s t r i b u i d a s y c o n c e n t r a d a s s e r e e m ­
p l a z a n p o r s u s m o m e n t o s d e e x t r e m o f i j o e q u i v a l e n t e s , l o s c u a l e s s e
d e t e r m i n a n a p a r t i r d e l a t a b l a q u e a p a r e c e e n e l i n t e r i o r d e l a c o n t r a ­
p o r t a d a . ( V e a e l e j e m p l o 1 1 . 2 . ) O b s e r v e q u e n o h a y c a r g a s e x t e r n a s
c o l o c a d a s e n <X> y n o h a y f u e n r a s e x t e r n a s v e r t i c a l e s u b i c a d a s e n
p u e s t o q u e l a s r e a c c i o n e s e n l o s n ú m e r o s d e c ó d i g o 3 , 4 y 5 d e b e n s e r
d e s c o n o c id o s e n l a m a t r i z d e c a r g a . S i s e u s a s u p e r p o s i c i ó n , l o s r e s u l ­
t a d o s d e l a n á l i s i s m a t r i c i a l p a r a l a s c a r g a s d e l a f i g u r a 1 5 - 1 1 6 s e m o d i ­
f i c a r á n p o s t e r i o r m e n t e c o n l a s c a r g a s d e l a f i g u r a 1 5 - 1 l e . A p a r t i r d e
l a f i g u r a 1 5 - 1 1 6 , l a s m a t r i c e s d e l d e s p l a z a m i e n t o c o n o c i d o y l a c a r g a
c o n o c i d a s o n
’ o " 4
2 4 p i e s
o
4
p i e s
O * =
1
o o
i
5 Q * -
6
1 4 4
1 0 0 8
9 6 k p i e - 1 2 k p i e - 1 0 0 8 k p u l g
M a tric e s d e r ig id e z d e lo s m ie m b ro s . C a d a u n a d e l a s d o s m a t r i c e s
d e r i g i d e z d e l o s m i e m b r o s s e d e t e r m i n a a p a r t i r d e l a e c u a c i ó n 1 5 - 1 .
E l e m e n t o 1 :
1 2E l _ 1 2 ( 2 9 ) ( 1 0 3 ) ( 5 1 0 )
L3
6 E l
2
1 2 k - p i e - 1 4 4 k - p u l g
v i g a q u e s e a n a l i z a r á p o r e l m é t o d o d e l a r i g i d e z
( b )
L ‘
4E ¿
L
2 E I
[ 2 4 ( 1 2 ) ] '
6 ( 2 9 ) ( 1 0 - ' ) ( 5 1 0 )
[ 2 4 ( 1 2 ) j 2
4 { 2 9 ) ( 1 0 3 ) ( 5 1 0 )
2 4 ( 1 2 )
2 ( 2 9 ) ( 1 0 3 ) ( 5 1 0 )
7 . 4 3 0
= 1 0 6 9 . 9
2 0 5 4 1 7
9 6 k • p i e - 1 1 5 2 k • p u l g
v i g a s u j e t a a l a c a r g a r e a l y a l a s
r e a c c i o n e s f i j a m c n t c a p o y a d a s
(C)
figura 15-11
k i =
E l e m e n t o 2 :
1 4 4 k - p u l g
L 2 4 ( 1 2 )
/ u o
4 3 5 2
7 . 4 3 0 1 0 6 9 . 9 - 7 . 4 3 0 1 0 6 9 . 9 " 4
1 0 6 9 . 9 2 0 5 4 1 7 - 1 0 6 9 . 9 1 0 2 7 0 8 3
- 7 . 4 3 0 - 1 0 6 9 . 9 7 . 4 3 0 - 1 0 6 9 . 9 5
1 0 6 9 . 9 1 0 2 7 0 8 - 1 0 6 9 . 9 2 0 5 4 1 7 _2
1 2 £ 7 1 2 ( 2 9 ) ( 1 0 3 ) ( 5 1 0 )
L3 [8(12) | ¿UÜ-Í,U2
6 E l
— = - =
6( 2 9 ) (103 ) ( 5 1 0 ) =
L 1 [8(12) j

611. 1 5 . 4 A p l i c a c i ó n d e l m é t o d o d e l a r i g i d e z a l a n á l i s i s d e v i g a s 5 8 9
5 2 6 1
2 0 0 . 6 0 2 9 6 2 8 . 9 1 - 2 0 0 . 6 0 2 9 6 2 8 . 9 15
* 1 =
9 6 2 8 . 9 16 1 6 2 5 0- 9 6 2 8 . 9 13 0 8 1 2 52
- 2 0 0 . 6 0 2- 9 6 2 8 . 9 1 2 0 0 . 6 0 2 - 9 6 2 8 . 9 16
9 6 2 8 . 9 13 0 8 1 2 5- 9 6 2 8 . 9 16 1 6 2 5 01
D e s p la z a m ie n to s y c a rg a s . S e r e q u i e r e
Q = K D
i 2 3 4 5 6
" 144' 616250 308 125 j 0 0 9628.91 -9628.91'
1008 308 125 821667 [ 102 708 1069.9 8559.01 -9628.91 02
Qs ó
........ÍÓ2 708 T
1069.9 j
8559.01 |
205 417 ¡069.9 -1069.9 .........0 ó
Qa 0 1069.9 7.430 -7.430 0 0
Qs
9628.91 -1069.9 -7.430 208.03 -200.602 0
. G* ._-9628.91 -9628.91 : 0 0 -200.602 200.602__ 0 _
R e s o l v i e n d o d e l a m a n e r a u s u a l ,
1 4 4 = 6 1 6 2 5 0D , + 3 0 8 1 2 5 D 2
1 0 0 8 = 3 0 8 1 2 5 D , + 8 2 1 6 6 7D 2
D , = - 0 . 4 6 7 3 ( 1 0 - 3 ) p u l g
D2 = 1 . 4 0 2 0 3 ( 1 0 - 3 ) p u l g
R > r l o t a n t o ,
0 3 = 0 + 1 0 2 7 0 8 ( 1 . 4 0 2 0 3 ) ( 1 0 " 3 ) = 1 4 4 k - p u l g = 12 k - p i e
E l m o m e n t o r e a l e n A d e b e i n c l u i r l a r e a c c ió n f i j a m e n t e a p o y a d a d e
+ 9 6 k • p i e q u e s e m u e s t r a e n l a f i g u r a 1 5 - 1 l e , j u n t o c o n e l r e s u l t a d o
c a l c u l a d o p a r a Q y. P o r t a n t o ,
= 12 k • p i e 4 - 9 6 k • p i e = 1 0 8 k • p i e ^ R e s p .
E s t e r e s u l t a d o s e c o m p a r a c o n e l d e t e r m i n a d o e n e l e j e m p l o 11-2.
A u n q u e n o e s n e c e s a r i o a q u í , p u e d e d e t e r m i n a r s e e l m o m e n t o i n ­
t e r n o y l a f u e r z a c o r t e i n t e r n a e n R a l c o n s i d e r a r , p o r e j e m p l o , e l
m i e m b r o 1 y e l n o d o 2 , f i g u r a 1 5 - 1 1 6 . E l r e s u l t a d o r e q u i e r e e x p a n d i r
q, = M + (q0)i
4 3 5 2
<74 7.430 1069.9 -7.430 1069.9 0 24"
<7?=1069.9205 417-1069.9 102 708 0
(10“3) +
1152
<75
-7.430 -1069.9 7.430 -1069.9 0
\ /
24
-<72_
1069.9102 708-1069.9205 417 .1.40203 --1*52.

612. 590 Ca p i t u l o 1 5 A n á l i s i s d e v i g a s u t i l i z a n d o e l m é t o d o d e l a r i g i d e z
EJEMPLO 15.5
D e t e r m i n e l a d e f l e x i ó n e n < D y l a s r e a c c i o n e s s o b r e l a v i g a q u e
m u e s t r a e n l a f i g u r a 1 5 - 1 2a . E l e s c o n s t a n t e .
Figura 15-12
S O L U C IÓ N
N o ta c ió n . l a v i g a s e d i v i d e e n d o s e l e m e n t o s y l o s n o d o s y l o s
m i e m b r o s s e i d e n t i f i c a n s i g u i e n d o l a s d i r e c c i o n e s d e s d e e l e x t r e m o
c e r c a n o h a s t a e l e x t r e m o l e j a n o , f i g u r a 1 5 - 1 2 6 . L a s d e f l e x i o n e s d e s c o ­
n o c i d a s s e m u e s t r a n e n l a f i g u r a 1 5 - 1 2 c . E n p a r t i c u l a r , t e n g a e n c u e n t a
q u e n o o c u r r e u n d e s p l a z a m i e n t o d e r o t a c i ó n D4 d e b i d o a l a r e s t r i c ­
c i ó n d e r o d i l l o s .
IL.
f e a ® a
( b )
6
M a tr ic e s d e r ig id e z d e lo s m ie m b ro s . C o m o E l e s c o n s t a n t e y l o s
m i e m b r o s s o n d e i g u a l l o n g i t u d , l a s m a t r i c e s d e r i g i d e z d e l o s m i e m ­
b r o s s o n i d é n t i c a s . U s a n d o n ú m e r o s d e c ó d i g o p a r a i d e n t i f i c a r c a d a
f i l a y c o l u m n a . d e a c u e r d o c o n l a e c u a c i ó n 1 5 - 1 y l a f i g u r a 1 5 - 1 2 6 , s e
t i e n e
E l
k? = E l
3 4 1 2
1 .5 1 . 5 - 1 . 5 1 . 5 " 3
1 . 52 - 1 . 51 4
- 1 . 5 - 1 . 5 1 . 5 - 1 . 5 1
1 . 51 - 1 . 52 2
1 2 5 6
1 . 5 1 . 5 - 1 . 5 1 . 5 " 1
1 . 52 - 1 . 512
- 1 . 5 - 1 . 5 1 . 5 - 1 . 5 5
1 . 51 - 1 . 52 6

613. 1 5 . 4 A p l i c a c i ó n d e l m é t o d o d e l a r i g i d e z a l a n á l i s i s d e v i g a s 591
D e s p la z a m ie n to s y c a rg a s . A l e n s a m b l a r l a s m a t r i c e s d e r i g i d e z
d e l o s m i e m b r o s e n l a m a t r i z d e r i g i d e z d e l a e s t r u c t u r a , y a l a p l i c a r l a
e c u a c i ó n m a t r i c i a l d e r i g i d e z d e l a e s t r u c t u r a , r e s u l t a
- P
0
0
Qa
Q s
Qo.
K I )
E l
1 2 3 4 5 6
3 0 - 1 . 5 ; ■- 1 . 5- 1 3 1 . 5 'D y
0 4 1 . 5 i 1 - 1 3 1 D i
- 1 . 5 1 . 5 1 . 5 ! 1 3 0 0 P :
- 1 . 51 1 . 5 | "2 0 0 0
- 1 3 - 1 . 5
o
0 1 . 5 - 1 . 50
1 .5 1 o ! 0 - 1 . 52 0
S i s e d e s p e j a n l o s d e s p l a z a m i e n t o s s e o b t i e n e
- J j = 3 D ' + 0 D 2 - 1 5 Z > 3
0 = «/>,+ 4 D 2 + l.Silj
0
D x - -
- 1 . 5 D , + 1 . 5 D2 + 1 . 5 1 * 3
1 . 6 6 7 P
E l
D } = -
2 .6 6 1 P
E l
R e s p .
O b s e r v e q u e l o s s i g n o s d e l o s r e s u l t a d o s c o i n c i d e n c o n l a s d i r e c c i o n e s
d e l a s f l e c h a s m o s t r a d a s e n l a f i g u r a 1 5 - 1 2 c . P o r l o t a n t o , a p a r t i r d e
e s t o s r e s u l t a d o s , l a s r e a c c i o n e s s o n
2 . 6 6 7 P \
E l )
- 0 . 5 P
= P
2 . 6 6 7 P \
E l )
2 .6 6 1 P \
E l )
= -1.5 P
R e s p .
R e s p .
R esp.

614. 5 9 2 C a p i t u l o 1 5 A n á l i s i s d e v i g a s u t i l i z a n d o e l m é t o d o d e l a r i g i d e z
P R O B L E M A S
1 5 - 1 . D e t e r m i n e l o s m o m e n t o s e n <D y ® . S u p o n g a q u e ®
e s u n r o d i l l o y q u e CD y ® e s t á n f i j o s . E l e s c o n s t a n t e .
1 5 - 2 . D e t e r m i n e l o s m o m e n t o s e n CD y ® s i e l s o p o r t e ® s e
m u e v e 5 m m h a c i a a r r i b a S u p o n g a q u e ® e s u n r o d i l l o y
q u e CD y ® e s t á n f i j o s . E l = 6 0 ( 1 C ^ ) N • m \
1 5 - 5 . D e t e r m i n e l a s r e a c c i o n e s e n l o s s o p o r t e s . S u p o n g a
q u e <Z> y ® s > n r o d i l l o s y q u e CD e s u n p a s a d o r . E l e s c o n s ­
t a n t e .
1 5 - 3 . D e t e r m i n e l a s r e a c c i o n e s e n l o s s o p o r t e s . S u p o n g a 1 5 - 6 . D e t e r m i n e l a s r e a c c i o n e s e n l o s s o p o r t e s . S u p o n g a
q u e l o s r o d i l l o s p u e d e n e m p u j a r o j a l a r l a v i g a . E l e s c o n s - q u e CD e s t á f i j o y q u e ® y ® s o n r o d i l l o s . E l e s c o n s t a n t e ,
t a n t e .
1 2 1
P r o h . 1 5 - 3
* 1 5 - 4 . D e t e r m i n e la s r e a c c i o n e s e n l o s s o p o r t e s S u p o n g a - 1 5 - 7 . D e t e r m i n e l a s r e a c c i o n e s e n l o s s o p o r t e s S u p o n g a
m o s q u e <D e s u n p a s a d o r y q u e ® y ® s o n r o d i l l o s q u e p u e - q u e <D y ® e s t á n f i j o s y q u e ® e s u n r o d i l l o . F . I e s c o n s t a n t e ,
d e n e m p u j a r o j a l a r l a v i g a . E l e s c o n s t a n t e .
P r o b . 1 5 - 7

615. 1 5 . 4 A p l i c a c i ó n d e l m é t o d o d e l a r i g i d e z a l a n á l i s i s d e v i g a s 593
• 1 5 - 8 . D e t e r m i n e l a s r e a c c i o n e s e n l o s s o p o r t e s . F .I e s
c o n s t a n t e .
1 5 - 9 . D e t e r m i n e lo s m o m e n t o s e n <2> y <3>. E l e s c o n s t a n t e .
S u p o n g a q u e ® y ® s o n r o d i l l o s y q u e <3> e s t á a r t i c u l a d o .
1 5 - 1 0 . D e t e r m i n e la s r e a c c i o n e s e n l o s s o p o r t e s . S u p o n g a
q u e (2) e s t á a r t i c u l a d o y q u e CD y ® s o n r o d i l l o s . E l e s c o n s ­
t a n t e .
4
’ * ’ \ '
3 k . / p i c J
Prob. 15-10
1 5 - 1 1 . D e t e r m i n e l a s r e a c c i o n e s e n l o s s o p o r t e s . H a y u n
d e s l i z a d o r l i s o e n (D . F .I e s c o n s t a n t e .
• 1 5 - 1 2 . U s e u n p r o g r a m a d e c o m p u t a d o r a p a r a d e t e r m i ­
n a r la s r e a c c i o n e s s o b r e l a v i g a . S u p o n g a q u e A e s t á f i j o . E l
e s c o n s t a n t e .
12 k
P r o b . 1 5 - 1 2
1 5 - 1 3 . U s e u n p r o g r a m a d e c o m p u t a d o r a p a r a d e t e r m i n a r
la s r e a c c i o n e s s o b r e l a v i g a . S u p o n g a q u e A y D s o n p a s a d o ­
r e s y q u e n y C s o n r o d i l l o s . F .I e s c o n s t a n t e .

616. E l m a r c o d e e s t e e d i f i c i o e s e s t á t i c a m e n t e i n d e t e r m i n a d o . E l a n á l i s i s d e f u e r ­
z a s p u e d e r e a l i z a r s e u t i l i z a n d o e l m é t o d o d e l a r i g i d e z .

617. Análisis de marcos
planos utilizando el
método de la rigidez
L o s c o n c e p t o s p r e s e n t a d o s e n l o s c a p í t u l o s a n t e r i o r e s s o b r e a r m a d u ­
r a s y v i g a s s e e x t e n d e r á n e n e s t e c a p í t u l o y s e a p l i c a r á n a l a n á l i s i s d e
m a r c o s . S e v e r á q u e e l p r o c e d i m i e n t o p a r a o b t e n e r u n a s o l u c i ó n e s
p a r e c i d o a l d e l a s v i g a s , p e r o s e r e q u i e r e e l u s o d e m a t r i c e s d e t r a n s ­
f o r m a c i ó n p u e s t o q u e l o s e l e m e n t o s d e l o s m a r c o s e s t á n o r i e n t a d o s
e n d i f e r e n t e s d i r e c c i o n e s .
1 6 .1 M atriz de rigidez del m arco-elem ento
E n e s t a s e c c i ó n s e d e s a r r o l l a r á l a m a t r i z d e r i g i d e z p a r a u n e l e m e n t o d e
m a r c o p r i s m á t i c o c o n r e f e r e n c i a a l s i s t e m a d e c o o r d e n a d a s l o c a l e s x ' . y ' ,
z\ f i g u r a 1 6 - 1 . A q u í , e l e l e m e n t o e s t á s o m e t i d o a l a s c a r g a s a x i a l e s qN x •,
a l a s c a r g a s c o r t a n t e s <7\ y - , q r y . y a l o s m o m e n t o s f l e x k m a n t e s q N z>,
q F z' e n s u s e x t r e m o s c e r c a n o y l e j a n o , r e s p e c t i v a m e n t e . E s t a s c a r g a s
a c t ú a n e n l a s d i r e c c i o n e s c o o r d e n a d a s p o s i t i v a s , j u n t o c o n s u s d e s p l a z a ­
m i e n t o s a s o c i a d o s . C o m o e n e l c a s o d e l a s v i g a s , l o s m o m e n t o s q y . < y q Fz-
s o n p o s i t i v o s e n s e n t i d o a n t i h o r a r i o , y a q u e p o r l a r e g l a d e l a m a n o d e ­
r e c h a l o s v e c t o r e s d e m o m e n t o s e d i r i g e n a l o l a r g o d e l e j e z ’ p o s i t i v o ,
q u e e s t á f u e r a d e l a p á g i n a .
E n l o s c a p í t u l o s a n t e r i o r e s s e h a c o n s i d e r a d o c a d a u n a d e l a s r e l a c i o ­
n e s c a r g a - d e s p l a z a m i e n t o c a u s a d a p o r e s t a s c a r g a s . L a c a r g a a x i a l s e
a n a l i z ó c o n r e f e r e n c i a a l a f i g u r a 1 4 - 2 , l a c a r g a c o r t a n t e e n r e l a c i ó n c o n
l a f i g u r a 1 5 - 5 , y e l m o m e n t o f l e x i o n a n t e c o n r e f e r e n c i a a l a f i g u r a 1 5 - 6 .
I f o r s u p e r p o s i c i ó n , a l s u m a r e s t o s r e s u l t a d o s , l a s s e i s r e l a c i o n e s r e s u l t a n -

618. 5 9 6 C a p i t u l o 1 6 A n á l i s i s d e m a r c o s p l a n o s u t i l i z a n d o e l m é t o d o d e l a r i g i d e z
E s t e p u e n t e p e a t o n a l t ie n e l a f o r m a d e u n a
" a r m a d u r a V e n d r e e l " . S i b i e n , e n s e n t i d o e s ­
t r i c t o , n o e s u n a a r m a d u r a p o r q u e n o h a y
d i a g o n a l e s , f o r m a u n m a r c o d e c a ja e s t á t i c a ­
m e n t e i n d e t e r m i n a d o , q u e p u e d e a n a l iz a r s e
e m p l e a n d o e l m é t o d o d e l a r i g i d e z .
c o n v e n c i ó n d e s ig n o s p o s i t i v o s
F i g u r a 1 6 - 1
t e s d e c a r g a - d e s p l a z a m i e n t o p a r a e l e l e m e n t o s e p u e d e n e x p r e s a r e n f o r m a
m a t r i d a l c o m o
N . A L N .
(16-1)
o e n f o r m a a b r e v i a d a c o m o
q = k ' d (1 6-2)
L a m a t r i z d e r i g i d e z d e l e l e m e n t o k ' s e c o m p o n e d e t r e i n t a y s e i s c o e f i ­
c i e n t e s d e i n f l u e n c i a q u e r e p r e s e n t a n f í s i c a m e n t e l a c a r g a s o b r e e l e l e ­
m e n t o c u a n d o é s t e s e e n c u e n t r a s o m e t i d o a u n d e s p l a z a m i e n t o u n i t a r i o
e s p e c i f i c a d o . E n c o n c r e t o , c a d a c o l u m n a d e l a m a t r i z r e p r e s e n t a l a s c a r ­
g a s d e l o s e l e m e n t o s p a r a d e s p l a z a m i e n t o s u n i t a r i o s i d e n t i f i c a d o s p o r l a
c o d i f i c a c i ó n d e g r a d o s d e l i b e r t a d q u e s e e n l i s t a e n c i m a d e l a s c o l u m n a s .
C o n b a s e e n e l e n s a m b l e . s e h a n s a t i s f e c h o e l e q u i l i b r i o y l a c o m p a t i b i l i ­
d a d d e d e s p l a z a m i e n t o s .

619. 1 6 . 2 M a t r i c e s d e t r a n s f o r m a c i ó n d e l d e s p l a z a m i e n t o y d e l a s f u e r z a s 5 9 7
1 6 .2 M atrices de tra n sfo rm a ció n del
desplazam iento y d e las fuerzas
C o m o e n e l c a s o d e l a s a r m a d u r a s . s e d e b e t e n e r l a c a p a c i d a d d e t r a n s ­
f o r m a r l a s c a r g a s i n t e r n a s d e l e l e m e n t o q y l a s d e f o r m a c i o n e s d , d e l a s
c o o r d e n a d a s l o c a l e s x ' , y ' , z ' a l a s c o o r d e n a d a s g l o b a l e s x , y , z . P o r e s t a
r a z ó n s e r e q u i e r e n m a t r i c e s d e t r a n s f o r m a c i ó n .
M atriz de transform ación del desplazam iento. C ó n s i d e r e
e l e l e m e n t o d e u n m a r c o q u e s e m u e s t r a e n l a f i g u r a 1 6 - 2 a . A q u í s e o b ­
s e r v a q u e u n d e s p l a z a m i e n t o e n c o o r d e n a d a s g l o b a l e s D s t c r e a d e s p l a ­
z a m i e n t o s e n c o o r d e n a d a s l o c a l e s
d s * = Dn xe o s 0, d N y = - D Nxc o s e ,
A s i m i s m o , u n d e s p l a z a m i e n t o e n c o o r d e n a d a s g l o b a l e s f i g u r a 1 6 - 2 6 .
c r e a l o s s i g u i e n t e s d e s p l a z a m i e n t o s e n c o o r d e n a d a s l o c a l e s
¿ . V x - = D x y C O S0y d Ny = D Ny e o s 0,
I \ > r ú l t i m o , c o m o l o s e j e s z ' y z s o n c o i n c i d e n t e s . e s d e c i r . e s t á n d i r i g i d o s
h a c i a a f u e r a d e l a p á g i n a , u n a r o t a c i ó n Dn- r e s p e c t o a z g e n e r a u n a r o t a ­
c i ó n c o r r e s p o n d i e n t e d s ¡ - a l r e d e d o r d e z ' . P o r l o t a n t o .
d s z ' = D N Z
D e m a n e r a s i m i l a r , s i s o b r e e l e x t r e m o l e j a n o d e l e l e m e n t o s e i m p o n e n
d e s p l a z a m i e n t o s g l o b a l e s D F t e n l a d i r e c c i ó n x , D Fy e n l a d i r e c c i ó n y y
u n a r o t a c i ó n D F : , l a s e c u a c i o n e s d e t r a n s f o r m a c i ó n r e s u l t a n t e s s o n . r e s ­
p e c t i v a m e n t e ,
d F x - = D F t e o s 6X d F</ = D F r e o s 0,
d F * = D F y c o s O y
d F z■ = D Fz
I p y - L>Fx '■y
d p y = D F y e o s 0 ,
S i s e c o n s i d e r a q u e A , = c o s 0„ A r = e o s 0y r e p r e s e n t a n l o s c o s e n o s d i r e c ­
t o r e s d e l o s e l e m e n t o s , p u e d e e s c r i b i r s e l a s u p e r p o s i c i ó n d e l o s d e s p l a z a ­
m i e n t o s e n f o r m a m a t r i c i a l c o m o
< b )
F i g u r a 1 6 - 2
■
d N * A x A y
0 0 0 0
/ > v .
d N / " A y A x 0 0 0 0
O s y
2
0 0 1 0 0 0 l> Nz
d F í > ü 0 0 A x A y
0 o Fx
d p y 0 0 0
" A y A ,0 D p y
- d F Í _ 0 0 0 0 0 1 .I Df: _
( 1 6 - 3 )
o b i e n
d = T D ( 1 6 - 4 )
P o r i n s p e c c i ó n , T t r a n s f o r m a l o s s e i s d e s p l a z a m i e n t o s D g l o b a l e s x , y , z
e n l o s s e i s d e s p l a z a m i e n t o s d l o c a l e s x \ y ' , z ' . P o r t a n t o . T s e c o n o c e
c o m o l a m a t r iz d e t r a n s f o r m a c ió n d e l d e s p la z a m ie n t o .

620. 5 9 8 C a p i t u l o 1 6 A n á l i s i s d e m a r c o s p l a n o s u t i l i z a n d o e l m é t o d o d e l a r i g i d e z
M a tr iz d e tra n s fo rm a c ió n d e la fu e rz a . S i a h o r a s e a p l i c a
c a d a c o m p o n e n t e d e c a r g a s o b r e e l e x t r e m o c e r c a n o d e l e l e m e n t o , e s p o ­
s i b l e d e t e r m i n a r l a f o r m a d e t r a n s f o r m a r l o s c o m p o n e n t e s d e c a r g a d e
l a s c o o r d e n a d a s l o c a l e s a l a s g l o b a l e s . A l a p l i c a r q Nx‘, f i g u r a 1 6 - 3 a , s e
p u e d e v e r q u e
<?A’, = < 7 v rC O S 0 ,
< b )
R g n r a 1 6 - 3
Qn x = Qn¿ e o s ex Q Ny = q N x . e o s f l y
S i s e a p l i c a q Ny . f i g u r a 1 6 - 3 ¿ > , e n t o n c e s s u s c o m p o n e n t e s s o n
Qn x = ~ Q s y e o s B y Q S y = q Ny e o s d ,
P b r ú l t i m o , c o m o q N l' e s c o l i n e a l c o n Q s ¡ , s e t i e n e
Q s z = QNy
D e m a n e r a s i m i l a r , l a s c a r g a s e n l o s e x t r e m o s d e < / / * • , Qf/ > Qf: ' g e n e r a r á n
l o s s i g u i e n t e s c o m p o n e n t e s r e s p e c t i v o s :
Qf x = Q F y e o s d , Q F y = q F < e o s 0y
Qf x = ~ Qf/ e o s 6y Q F y = q F y e o s Bx
Qf z = Q Fy
A l e n s a m b l a r e s t a s e c u a c i o n e s e n f o r m a m a t r i c i a l c o n A , = e o s 0 t, \ y =
e o s f l y . s e o b t i e n e
0 6 - 5 )
o b i e n
Q = T T q 0 6 - 6 )
A q u í , c o m o s e d i j o a n t e s , T7 t r a n s f o r m a l a s s e i s c a r g a s d e e l e m e n t o e x ­
p r e s a d a s c o n c o o r d e n a d a s l o c a l e s e n l a s s e i s c a r g a s e x p r e s a d a s c o n c o o r ­
d e n a d a s g l o b a l e s .

621. 1 6 . 3 M atriz d e r i g i d e z g l o b a l d e i m a r c o-e l e m e n t o 5 9 9
1 6 .3 M atriz de rigidez global del
marco-elemento
L o s r e s u l t a d o s d e l a s e c c i ó n a n t e r i o r s e c o m b i n a r á n a h o r a c o n e l f i n d e
d e t e r m i n a r l a m a t r i z d e r i g i d e z d e u n e l e m e n t o q u e r e l a c i o n e l a s c a r g a s
g l o b a l e s Q c o n l o s d e s p l a z a m i e n t o s g l o b a l e s I ) . P a r a e l l o . s e s u s t i t u y e l a
e c u a c i ó n 1 6 - 4 ( d = T D ) e n l a e c u a c i ó n 1 6 - 2 ( q = k ' d ) . S e t i e n e
k ' T D ( 1 6 - 7 )
A q u í l a s f u e r z a s q d e l o s e l e m e n t o s e s t á n r e l a c i o n a d a s c o n l o s d e s p l a ­
z a m i e n t o s g l o b a l e s D . A l s u s t i t u i r e s t e r e s u l t a d o e n l a e c u a c i ó n 1 6 - 6 ( Q =
T r q ) s e o b t i e n e e l r e s u l t a d o f i n a l .
( 1 6 - 8 )T k ' T D
o b i e n
d o n d e
Q = k l >
k = T ' k ’ T ( 1 6 - 9 )
A q u í k r e p r e s e n t a l a m a t r i z d e r i g i d e z g l o b a l d e l e l e m e n t o . S u v a l o r
p u e d e o b t e n e r s e e n f o r m a g e n e r a l u t i l i z a n d o l a s e c u a c i o n e s 1 6 - 5 . 1 6 - 1 y
1 6 - 3 y a l r e a l i z a r l a s o p e r a c i o n e s m a t r i c i a l e s . C o n e s t o s e o b t i e n e e l r e s u l ­
t a d o f i n a l .
k -
N , Ny N t F, PT F,
A E , 12 E l ,\
.7T*‘ T T * ')
6 E l
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- 7 7 a*
L
(1 6 -1 0 )
O b s e r v e q u e e s t a m a t r i z d e 6 X 6 e s s im é t r ic a . A d e m á s , l a u b i c a c i ó n d e
c a d a e l e m e n t o s e a s o c i a c o n l a c o d i f i c a c i ó n e n e l e x t r e m o c e r c a n o . N x,
N y , N ¡ , s e g u i d a p o r l a d e l e x t r e m o l e j a n o . F „ F y, F z . l a c u a l a p a r e c e e n l a p a r ­
t e s u p e r i o r d e l a s c o l u m n a s y a l o l a r g o d e l a s f i l a s . A l i g u a l q u e e n l a m a ­
t r i z k ' , c a d a c o l u m n a d e l a m a t r i z k r e p r e s e n t a l a s c a r g a s c o o r d i n a d a s
s o b r e l o s n o d o s d e l e l e m e n t o q u e s o n n e c e s a r i a s p a r a r e s i s t i r u n d e s p l a z a ­
m i e n t o u n i t a r i o e n l a d i r e c c i ó n d e f i n i d a p o r e l c ó d i g o d e l a c o l u m n a . P o r
e j e m p l o , l a p r i m e r a c o l u m n a d e k r e p r e s e n t a l a s c a r g a s e n c o o r d e n a d a s
g l o b a l e s s o b r e l o s e x t r e m o s l e j a n o y c e r c a n o c a u s a d a s p o r u n d e s p la z a ­
m ie n t o u n it a r io e n e l e x t r e m o c e r c a n o e n l a d i r e c c i ó n * , e s d e c i r . D S x.

622. Ca p i t u l o 1 6 A n á l i s i s d e m a r c o s p l a n o s u t i l i z a n o o e l m é t o d o o e l a r i g i d e z
1 6 .4 A p licació n del m é to d o de la rig id e z
para el análisis d e m arcos
U n a v e z q u e s e h a n e s t a b l e c i d o l a s m a t r i c e s d e r i g i d e z d e l o s e l e m e n t o s ,
é s t a s p u e d e n e n s a m b l a r s e e n l a m a t r i z d e r i g i d e z d e l a e s t r u c t u r a e n l a
f o r m a h a b i t u a l . S i s e e s c r i b e l a e c u a c i ó n m a t r i c i a l d e l a e s t r u c t u r a . e s p o ­
s i b l e d e t e r m i n a r l o s d e s p l a z a m i e n t o s e n l o s n o d o s r e s t r i n g i d o s . s e g u i d o s
d e l a s r e a c c i o n e s y l a s c a r g a s i n t e r n a s e n l o s n o d o s . L a s c a r g a s l a t e r a l e s
q u e a c t ú a n s o b r e u n e l e m e n t o , l o s e r r o r e s d e f a b r i c a c i ó n , l o s c a m b i o s d e
t e m p e r a t u r a , l o s s o p o r t e s i n c l i n a d o s y l o s s o p o r t e s i n t e r n o s s e m a n e j a n
d e l a m i s m a m a n e r a q u e s e i n d i c ó p a r a l a s a r m a d u r a s y l a s v i g a s .
P r o c e d im ie n to d e a n á lis is
E l s i g u i e n t e m é t o d o p r o p o r c i o n a u n m e d i o p a r a e n c o n t r a r l o s d e s p l a z a m i e n t o s , l a s r e a c ­
c i o n e s e n l o s s o p o r t e s y l a s c a r g a s i n t e r n a s d e l o s e l e m e n t o s q u e f o r m a n m a r c o s e s t á t i c a ­
m e n t e d e t e r m i n a d o s c i n d e t e r m i n a d o s .
N o t a c i ó n
• D i v i d a l a e s t r u c t u r a e n e l e m e n t o s f i n i t o s e i d e n t i f i q u e a r b i t r a r i a m e n t e c a d a e l e m e n t o
y s u s n o d o s . P o r l o g e n e r a l , l o s e l e m e n t o s s e e x t i e n d e n e n t r e p u n t o s d e a p o y o , p u n t o s
d o n d e s e a p l i c a n c a r g a s c o n c e n t r a d a s , e s q u i n a s o j u n t a s o e n t r e l o s p u n t o s d o n d e
d e b e n d e t e r m i n a r s e l a s c a r g a s i n t e r n a s o l o s d e s p l a z a m i e n t o s .
• E s t a b l e z c a e l s i s t e m a g l o b a l d e c o o r d e n a d a s x , y , z . p o r l o g e n e r a l s i t u a d o c o n v e n i e n ­
t e m e n t e c o n e l o r i g e n e n u n p u n t o n o d a l s o b r e u n o d e l o s e l e m e n t o s y l o s e j e s u b i c a ­
d o s d e m o d o q u e t o d o s l o s n o d o s t e n g a n c o o r d e n a d a s p o s i t i v a s .
• E n c a d a p u n t o n o d a l d e l m a r c o , e s p e c i f i q u e n u m é r i c a m e n t e l o s t r e s c o m p o n e n t e s d e
c o d i f i c a c i ó n x , y , z . E n t o d o s l o s c a s o s u s e l o s n ú m e r o s d e c ó d ig o m á s b a j o s p a r a i d e n ­
t i f i c a r t o d o s l o s g r a d o s d e l i b e r t a d n o r e s t r in g id o s ,s e g u i d o s p o r e l r e s t o d e l o s n ú m e r o s
d e c ó d i g o m á s a lt o s p a r a i d e n t i f i c a r l o s g r a d o s d e lib e r t a d r e s t r in g id o s .
• C b n b a s e e n e l p r o b l e m a , e s t a b l e z c a l o s d e s p l a z a m i e n t o s c o n o c i d o s D * y l a s c a r g a s e x ­
t e r n a s c o n o c i d a s Q * . A I d e f i n i r Q * . a s e g ú r e s e d e i n c l u i r c u a l q u i e r c a r g a d e e x t r e m o
f i j o in v e r t id a s i u n e l e m e n t o s o p o r t a u n a c a r g a i n t e r m e d i a .
M a t r i z d e r i g i d e z d e l a e s t r u c t u r a
• A p l i q u e l a e c u a c i ó n 1 6 - 1 0 p a r a d e t e r m i n a r l a m a t r i z d e r i g i d e z p a r a c a d a e l e m e n t o
e x p r e s a d a e n c o o r d e n a d a s g l o b a l e s . E n p a r t i c u l a r , l o s c o s e n o s d i r e c t o r e s A , y X y s e d e ­
t e r m i n a n a p a r t i r d e l a s c o o r d e n a d a s x . y d e l o s e x t r e m o s d e l e l e m e n t o , e c u a c i o n e s 1 4 - 5
y 1 4 - 6 .
• D e s p u é s d e e s c r i b i r c a d a m a t r i z d e r i g i d e z d e l o s e l e m e n t o s , y l u e g o d e i d e n t i f i c a r l a s
s e i s f i l a s y c o l u m n a s c o n l o s n ú m e r o s d e c ó d i g o c e r c a n o s y l e j a n o s , l a s m a t r i c e s s e
u n e n p a r a f o r m a r l a m a t r i z d e r i g i d e z d e l a e s t r u c t u r a K . C o m o u n a c o m p r o b a c i ó n
p a r c i a l , t o d a s l a s m a t r i c e s d e r i g i d e z d e l o s e l e m e n t o s y d e l a e s t r u c t u r a d e b e n s e r
s im é t r ic a s .

623. 1 6 - 4 A P l t C A C I Ó N 0 5 1 M É T O D O 0 5 L A R 1 G I0 5 2 P A R A 5 L A N Á L IS IS D 5 M A R C O S601
D e s p l a z a m i e n t o s y c a r g a s
• H a g a u n a p a r t i c i ó n d e l a m a t r i z d e r i g i d e z , c o m o l o i n d i c a l a e c u a ­
c i ó n 1 4 - 1 8 . U n a e x p a n s i ó n p o s t e r i o r c o n d u c e a
Q * = K „ D . + K 1?D *
Qu = K2|I>u + K?2l>*
L o s d e s p l a z a m i e n t o s d e s c o n o c i d o s D „ s e d e t e r m i n a n a p a r t i r d e l a
p r i m e r a d e e s t a s e c u a c i o n e s . C o n b a s e e n e s t o s v a l o r e s , l a s r e a c c i o ­
n e s e n l o s s o p o r t e s Q u s e c a l c u l a n a p a r t i r d e l a s e g u n d a e c u a c i ó n .
R > r ú l t i m o , l a s c a r g a s i n t e r n a s q e n l o s e x t r e m o s d e l o s e l e m e n t o s
p u e d e n c a l c u l a r s e a p a r t i r d e l a e c u a c i ó n 1 6 - 7 , e s d e c i r ,
q = k ’T D
S i l o s r e s u l t a d o s d e c u a l e s q u i e r i n c ó g n i t a s s e c a l c u l a n c o m o c a n t i ­
d a d e s n e g a t i v a s , e s t o i n d i c a q u e a c t ú a n e n l a s d i r e c c i o n e s c o o r d e ­
n a d a s n e g a t i v a s .
EJEMPLO
D e t e r m i n e l a s c a r g a s e n l a s j u n t a s d e l a e s t r u c t u r a d e d o s e l e m e n t o s
q u e s e m u e s t r a e n l a f i g u r a 1 6 - 4 a . C o n s i d e r e q u e / = 5 0 0 p u l g 4 . A = 1 0
p u l g 2 . y E = 2 9 ( 1 0 3) k s i p a r a a m b o s e l e m e n t o s .
S O L U C I Ó N
N o ta c ió n . f t > r i n s p e c c i ó n , e l m a r c o t i e n e d o s e l e m e n t o s y t r e s
n o d o s , q u e s e i d e n t i f i c a n c o m o s e m u e s t r a e n l a f i g u r a 1 6 - 4 6 . E l o r i g e n
d e l s i s t e m a g l o b a l d e c o o r d e n a d a s s e e n c u e n t r a e n ( D . I x j s n ú m e r o s d e
c ó d i g o e n l o s n o d o s s e e s p e c i f i c a n n u m e r a n d o e n p r i m e r l u g a r l o s g r a ­
d o s d e l ib e r t a d n o r e s t r in g id o s . A p a r t i r d e l a s r e s t r i c c i o n e s e n ( D y ® . y
d e l a c a r g a a p l i c a d a , s e t i e n e
” " l
2
D , - " ' Q , - 0 3
4
_ _ 5
M a triz d e r ig id e z d e la e s tr u c tu r a . L o s s i g u i e n t e s t é r m i n o s s o n
c o m u n e s a a m b a s m a t r i c e s d e r i g i d e z d e l o s e l e m e n t o s :
” 5 "
" o " 6
n
0 7
u
0 8 Q ‘ =
0
n
_ 0 _9
u
0
A E = 1 0 [ 2 9 ( 1 0 3 ) ]
L 2 0 ( 1 2 )
1 2 £ 7 1 2 1 2 9 ( 1 0 ’ ) ( 5 0 0 ) ]
= 1 2 0 8 . 3 k / p u l g
120(12)1*
= 12.6 k / p u l g
20 p i e s
( a )
llgura 16-4

624. 6 0 2 C a p i t u l o 1 6 A n á l i s i s d e m a r c o s p l a n o s u t i l i z a n o o e l m é t o d o d e l a r i g i d e z
EJEMPLO 16.1 (C o n tin u a ció n )
6 E l 6 ( 2 9 ( 1 0 3 ) ( 5 0 0 ) 1
L 2 [ 2 0 { 1 2 ) j 2
4 E I 4 | 2 9 ( 1 0 3 ) ( 5 0 0 ) |
L 2 0 ( 1 2 )
2 E l 2 ( 2 9 ( 1 0 3 ) ( 5 0 0 ) |
L 2 0 ( 1 2 )
E l e m e n t o 1 :
A x
k2 =
= 1 5 1 0 . 4 k
= 2 4 1 . 7 ( 1 0 3 ) k • p u l g
= 1 2 0 . 8 3 ( 1 ( ? ) k ' p u l g
2 0 - 0 , 4 0 - 0
- i s - = 1 A ’ = ^ - = °
A l s u s t i t u i r l o s d a t o s e n l a e c u a c i ó n 1 6 - 1 0 , s e t i e n e
4 6 5 1 2 3
" 1 2 0 8 . 3 0 0 - 1 2 0 8 . 3 0 0 4
0 1 2 . 6 1 5 1 0 . 4 0 - 1 2 . 6 1 5 1 0 . 46
k , =
0 1 5 1 0 . 42 4 1 . 7 ( 1 0 3 ) 0 - 1 5 1 0 . 4n o ^ i o 3 ) 5
- 1 2 0 8 3 0 0 1 2 0 8 . 3 0 0 1
0 - 1 2 . 6 - 1 5 1 0 . 4 0 1 2 . 6 - 1 5 1 0 . 4 2
0 1 5 1 0 . 41 2 0 . 8 3 ( 1 0 3 ) 0 - 1 5 1 0 . 42 4 1 . 7 ( 1 0 3 ) 3
L a s f i l a s y l a s c o l u m n a s d e e s t a m a t r i z d e 6 X 6 s e i d e n t i f i c a n p o r l o s
t r e s n ú m e r o s d e c ó d i g o x , y , z , p r i m e r o e n e l e x t r e m o c e r c a n o y d e s ­
p u é s e n e l e x t r e m o l e j a n o , e s d e c i r . 4 . 6 , 5 . 1 , 2 , 3 , r e s p e c t i v a m e n t e , f i ­
g u r a 1 6 - 4 6 . E s t o s e h a c e p a r a e l e n s a m b l e p o s t e r i o r d e l o s e l e m e n t o s .
E l e m e n t o 2 :
A x
2 0 - 20
0 A , «
- 2 0 - 0
2 0 * 20
A l s u s t i t u i r l o s d a t o s e n l a e c u a c i ó n 1 6 - 1 0 r e s u l t a
- 1
1 2 3 7 8 9
1 2 .6 0 1 5 1 0 . 4 - 1 2 . 6 0 1 5 1 0 . 4 1
0 1 2 0 8 . 3 0 0 - 1 2 0 8 3 0 2
1 5 1 0 . 4 0 2 4 1 . 7 ( 1 0 ’ ) - 1 5 1 0 . 4 0 1 2 0 . 8 3 ( 1 0 - ’ ) 3
- 1 2 . 6 0 - 1 5 1 0 . 4 1 2 . 6 0 - 1 5 1 0 . 4 7
0 - 1 2 0 8 . 3 0 0 1 2 0 8 . 3 0 8
1 5 1 0 . 4 0 1 2 0 . 8 3 ( 1 0 3 ) - 1 5 1 0 . 4 0 2 4 1 . 7 ( 1 0 3 ) _ 9
C o m o e s u s u a l , l a i d e n t i f i c a c i ó n d e c o l u m n a s y f i l a s s e h a c e c o n r e f e ­
r e n c i a a l o s t r e s n ú m e r o s d e c ó d i g o e n l a s e c u e n c i a x , y , z p a r a l o s e x ­
t r e m o s c e r c a n o y l e j a n o , r e s p e c t i v a m e n t e ; e s d e c i r , 1 , 2 , 3 y d e s p u é s 7 ,
8 , 9 , f i g u r a 1 6 - 4 6 .

625. 1 6 - 4 A P L IC A C IÓ N 0 5 1 M É T O D O 0 5 L A R lG lO E Z P A R A 5 L A N Á L IS IS D 5 M A R C O S603
L a m a t r i z d e r i g i d e z d e l a e s t r u c t u r a s e d e t e r m i n a a l e n s a m b l a r k , y k 2.
E l r e s u l t a d o , q u e s e m u e s t r a p a r t i d o c o m o Q = K D , e s
I 2 3 4 5 6 7
5 “ 17209 0 15104 -12083 0 0 -126
0 0 17209 -15104 0-151Q4 j -126 0
0 15104 -15104 4833(10) 0 12083(10) 15104 -15104
0 -1708.3 0 0 12033 0 : o 0
0 0 -15104 12083(10)
...® ....
241.7< 1°*)1510 4 0
a 0 -12*15104 0 15104 126 0
Q> -12* 0 15104 0 0 0 126
a 0-12003 0 0 0
: 0
0
Q . 15104 0 12083(10) 0 0 : o -1510.4
17 0 8 .J
0
9
1 5 1 0 4
0
12Q K 3(iO )
) - 1 5 1 0 4
O 0
) 2 4 1 .7 (1 0 * )
o,
D i
O ,
O .
D ,
0
o
o
o
( I )
D e s p la z a m ie n to s y c a rg a s . S i s e e x p a n d e p a r a d e t e r m i n a r l o s d e s ­
p l a z a m i e n t o s r e s u l t a
5 ' 1 2 2 0 . 9 0 1 5 1 0 . 4- 1 2 0 8 . 3 o " ~ D ~ " o “
0 0 1 2 2 0 . 9 - 1 5 1 0 . 4 0 - 1 5 1 0 . 4¡ h 0
0 = 1 5 1 0 . 4 - 1 5 1 0 . 44 8 3 . 3 ( 1 0 ’ ) 0 1 2 0 . 8 3 ( 1 0 3 ) D y+ 0
0 - 1 2 0 8 . 3 0 0 1 2 0 8 . 3 0 Da 0
0 . 0
1
C /i
o
i * 1 2 0 . 8 3 ( 1 0 3 ) 0 2 4 1 . 7 ( 1 0 3 ) _ . D s _ _ 0 _
A l r e s o l v e r , s e o b t i e n e
’ D t ~ 0 . 6 9 6 p u l g
d2 - 1 . 5 5 ( 1 0 ” * ) p u l g
D y= - 2 . 4 8 8 ( 1 0 ” * ) r a d
Da 0 . 6 % p u l g
D s _ 1 . 2 3 4 ( 1 0 “ * ) r a d _
C o n b a s e e n e s t o s r e s u l t a d o s , l a s r e a c c i o n e s e n l o s s o p o r t e s s e d e t e r ­
m i n a n a p a r t i r d e l a e c u a c i ó n (1) d e l a s i g u i e n t e m a n e r a :
Q f,
Q i=
( 2 8
( 2 9 .
—
1
0
-1 2.6
0
1 5 1 0 . 4
2
-1 2 .6
0
- 1 2 0 8 . 3
0
3 4
1 5 1 0 . 4 0
- 1 5 1 0 . 4 0
0 0
1 2 0 . 8 3 ( 1 0 3 ) 0
5
1 5 1 0 . 4
0
0
0
0 . 6 9 6
—1 . 5 5 ( 1 0 “ 3 )
- 2 . 4 8 8 ( 1 0 3 )
0 . 6 9 6
1 . 2 3 4 ( 1 0 - * )
o ' - 1 . 8 7 k
0 - 5 . 0 0 k
0 1 . 8 7 k
0 .
7 5 0 k - p u l g
R esp.

626. 6 0 4 C a p i t u l o 1 6 A n á l i s i s d e m a r c o s p l a n o s u t i l i z a n d o e l m é t o d o d e l a r i g i d e z
EJEMPLO 16.1 (C o n tin u a ció n )
L a s c a r g a s i n t e r n a s e n e l n o d o @ p u e d e n d e t e r m i n a r s e a l a p l i c a r l a
e c u a c i ó n 1 6 - 7 e n e l e l e m e n t o 1 . A q u í k í s e d e f i n e m e d i a n t e l a e c u a ­
c i ó n 1 6 - 1 y T, p o r m e d i o d e l a e c u a c i ó n 1 6 - 3 . A s í .
q , - k ,T ,D -
4 6 5
1 2 3
1 7 0 6 .30 0 - 1 2 0 8 . 3 0 0 10 0 0 0 o " 0 .6 9 6 4
0 1 2 .6 151 0 .4 0 - 1 2 . 6 151 0 .4 010 0 0 0 0 6
0 1 5 1 0 .4 2 4 1 . 7 ( 1 0 ’ ) 0 - 1 5 1 0 . 4
i í o s.x i o' )0 0 10 0 0 5
170 8 .3 0 0 1 2 0 8 .3 0 0 0 0 0 10 0 0 .6 9 6 1
0 - 1 2 . 6 - 1 5 1 0 . 4 0 1 2 .6 - 1 5 1 0 . 4 0 0 0 0 1 0 - 1 . 5 5 ( 1 0 - * ) 2
0 1 5 1 0 .4 1 2 0 .8 3 (1 0 * )0 - 1 5 1 0 . 4 2 4 1 . 7 ( 1 0 ’ ) .. 000 0 0 1_ - 2 . 4 8 8 ( 1 0 - * ) _ 3
T e n g a e n c u e n t a l a d i s p o s i c i ó n a d e c u a d a d e l o s e l e m e n t o s e n l a s m a ­
t r i c e s c o m o l o i n d i c a n l o s n ú m e r o s d e c ó d i g o a l o l a r g o d e l a s c o l u m ­
n a s y l a s f i l a s . A l r e s o l v e r s e o b t i e n e
R e s p .
<74 0
<76
- 1 . 8 7 k
<75 = 0
* 7 i 0
*72
1 . 8 7 k
_ *7 3 _ - 4 5 0 k - p u l g
L o s r e s u l t a d o s a n t e r i o r e s s e m u e s t r a n e n l a f i g u r a 1 6 - 4 c . L a s d i r e c c i o ­
n e s d e e s t o s v e c t o r e s e s t á n e n c o n c o r d a n c i a c o n l a s d i r e c c i o n e s p o s i t i v a s
d e f i n i d a s e n l a f i g u r a 1 6 - 1 . A d e m á s . e l o r i g e n d e l o s e j e s l o c a l e s x ' ,y \z '
s e e n c u e n t r a e n e l e x t r e m o c e r c a n o d e l e l e m e n t o . D e m a n e r a s i m i l a r ,
e l d i a g r a m a d e c u e r p o l i b r e d e l e l e m e n t o 2 e s c o m o s e m u e s t r a e n l a
f i g u r a 1 6 - 4d .
1 .8 7 k
( c ) < d )
Hj-ura 16-4

627. 1 6 - 4 A P l t C A C I Ó N 0 5 1 M É T O D O 0 5 L A R 1 G I0 5 2 P A R A 5 L A N Á L IS IS D 5 M A R C O S
EJEMPLO 1 6 .2
D e t e r m i n e l a s c a r g a s e n l o s e x t r e m o s d e c a d a e l e m e n t o d e l a e s t r u c ­
t u r a q u e s e m u e s t r a e n l a f i g u r a 1 6 - 5 a . C o n s i d e r e q u e / = 6 0 0 p u l g 4 ,
A = 1 2 p u l g 2 y E = 2 9 ( 1 0 3 ) k s i p a r a c a d a e l e m e n t o .
S O L U C I Ó N
N o ta c ió n . P a r a l l e v a r a c a b o u n a n á l i s i s m a t r i c i a l . l a c a r g a d i s t r i ­
b u i d a q u e a c t ú a s o b r e e l e l e m e n t o h o r i z o n t a l s e r á r e e m p l a z a d a p o r
m o m e n t o s y f u e r z a s c o r t a n t e s e q u i v a l e n t e s e n l o s e x t r e m o s c a l c u l a ­
d o s c o n b a s e e n l a e s t á t i c a y e n l a t a b l a q u e s e e n c u e n t r a e n e l i n t e r i o r
d e l a c o n t r a p o r t a d a . ( T e n g a e n c u e n t a q u e n o h a y n i n g u n a f u e r z a e x ­
l e r n a d e 3 0 k o m o m e n t o d e 1 2 0 0 k . p u l g u b i c a d o s e n ® p u e s t o q u e
t a s r e a c c i o n e s e n l o s n ú m e r o s d e c ó d i g o 8 y 9 d e b e n s e r d e s c o n o c id o s
e n l a m a t r i z d e c a r g a . ) D e s p u é s , m e d i a n t e s u p e r p o s i c i ó n , l o s r e s u l t a ­
d o s o b t e n i d o s p a r a e l m a r c o d e l a f i g u r a 1 6 - 5b s e m o d i f i c a r á n p a r a
e s t e e l e m e n t o c o n b a s e e n l a s c a r g a s m o s t r a d a s e n l a f i g u r a 1 6 - 5 c .
C o m o s e m u e s t r a e n l a f i g u r a 1 6 - 5 6 , l o s n o d o s y l o s e l e m e n t o s e s t á n
n u m e r a d o s y e l o r i g e n d e l s i s t e m a d e c o o r d e n a d a s g l o b a l e s s e c o l o c a
e n e l n o d o < 5. C o m o d e c o s t u m b r e , l o s n ú m e r o s d e c ó d i g o s e e s p e c i f i ­
c a n c o n n ú m e r o s a s i g n a d o s p r i m e r o a l o s g r a d o s d e l i b e r t a d n o r e s ­
t r i n g i d o s . P o r l o t a n t o .
D * =
04
05
0 6
07
0 8
09
Q * =
o
- 3 0
-1 2 0 0
M a tr iz d e r ig id e z d e la e s tr u c tu ra
E l e m e n t o 1 :
A E
L
1 2 ( 2 9 ( 1 0 , )1
3 k / p i e
rmrm
1 5 p i e s
0
( b )
+
3 k / i
2 5 ( 1 2 )
1 2 £ 7 1 2 ( 2 9 ( 1 0 3 ) | 6 0 0
O [ 2 5 ( 1 2 ) J 3
6 E I 6 [ 2 9 ( 1 0 3 ) J 6 0 0
Ü [ 2 5 ( 1 2 ) ] 2
A E 1 4 | 2 9 ( 1 0 3 ) 1 6 0 0
L 2 5 ( 1 2 )
2 E l 2 | 2 9 ( 1 0 3 ) J 6 0 0
L 2 5 ( 1 2 )
2 0 - 0
A ,
= 2 5 = 0 '8
1 1 6 0 k / p u l g
■ 7 . 7 3 k / p u l g
1 1 6 0 k
2 3 2 { 1 0 3 ) k • p u l g
116{103 ) k • p u l g
A ' 2 5
J r ( 3 ) ( 2 0 ) * - 1 0 0 k • p ie* 'l ) p,< * 1 0 0 k • p i e
(1200 k p u l g ) <1200 k p u l g )
( c )
0 . 6

628. 6 0 6 C a p i t u l o 1 6 A n á l i s i s d e m a r c o s p l a n o s u t i l i z a n o o e l m é t o d o d e l a r i g i d e z
EJEMPLO 16.2 (C o n tin u a ció n )
A l a p l i c a r l a e c u a c i ó n 1 6 - 1 0 , s e t i e n e
4 5 6 1 2 3
7 4 5 . 1 8 5 5 3 . 0 9 - 6 9 6 - 7 4 5 . 1 8- 5 5 3 . 0 9- 6 9 6 4
5 5 3 . 0 94 2 2 . 5 5 9 2 8 - 5 5 3 . 0 9- 4 2 2 . 5 5 9 2 8 5
- m 9 2 8 2 3 2 ( 1 0 3 ) 6 9 6 - 9 2 8 1 1 6 ( 1 0 3 ) 6
- 7 4 5 . 1 8- 5 5 3 . 0 96 9 6 7 4 5 . 1 8 5 5 3 . 0 96 9 6 1
- 5 5 3 . 0 9 - 4 2 2 . 5 5 - 9 2 8 5 5 3 . 0 9 4 2 2 . 5 5 - 9 2 8 2
- 6 9 6 9 2 8 1 1 6 ( 1 0 3 ) 6 9 6 - 9 2 8 2 3 2 ( 1 0 ' ) . 3
E l e m e n t o 2 :
A E 1 2 [ 2 9 ( 1 0 3 )J
L 2 0 ( 1 2 )
1 2 E l 1 2 [ 2 9 ( 1 0 ' ) ] 6 0 0
O ( 2 0 ( 1 2 ) ] 3
6 E l
6 [ 2 9 ( l ü ' ) ] 6 0 0
L z [ 2 0 ( 1 2 ) ] ?
4 E I 4 J 2 9 ( 1 0 3 ) J 6 0 0
L 2 0 ( 1 2 )
1 E I 2 [ 2 9 ( 1 0 3 ) ] 6 0 0
L [ 2 0 ( 1 2 ) ]
4 0 - 2 0
1 4 5 0 l c / p u l g
= 1 5 . 1 0 k / p u l g
= 1 8 1 2 . 5 0 k
= 2 . 9 0 ( 1 0 5 ) k • p u l g
= L 4 5 Í 1 0 3 ) k • p u l g
A ,
1 5 - 1 5
2 0 7 2 0
f \ > r l o t a n t o , l a e c u a c i ó n 16-10 s e c o n v i e r t e e n
0
1 2 3 7 8 9
1 4 5 0 0 0 - 1 4 5 0 0 0 1
0 1 5 . 1 0 1 8 1 2 . 5 0 0 - 1 5 . 1 0 1 8 1 2 . 5 0 2
0 1 8 1 2 . 5 0 2 9 0 ( 1 0 ' ) 0 - 1 8 1 2 . 5 0 1 4 5 ( 1 0 3 ) 3
- 1 4 5 0 0 0 1 4 5 0 0 0 7
0 - 1 5 . 1 0 - 1 8 1 2 . 5 0 0 1 5 . 1 0 - 1 8 1 2 . 5 0 8
0 1 8 1 2 . 5 0 1 4 5 ( 1 0 3 ) 0 - 1 8 1 2 . 5 0 2 9 0 ( 1 0 ' ) _ 9

629. 1 6 - 4 A P L IC A C IÓ N 0 5 1 M É T O D O 0 5 L A R lG lO E Z P A R A 5 L A N Á L IS IS D 5 M A R C O S607
L a m a t r i z d e r i g i d e z d e l a e s t r u c t u r a , i n c l u i d a e n Q = K D , s e c o n ­
v i e r t e e n
1 I 3 4 5 6 7 8 8
0 ~ 21*5.18 5 5 3 .0 » m - 7 4 5 . 1 8 - 5 5 3 . 0 »6 9 6 - 1 4 5 0 0 0 D .
- 3 0 553.0 »
4 3 7 .6 5
88 4 .5 - 5 5 3 . 0 » - 4 2 1 5 5- 9 2 8 0 - 15.10 1 8 1 2 5 0 I h
- 1 2 0 0 6 4 6 80 4 .5 « 2 ( 1 0 ' ) « 6 928 n o d o * » 0 1 8 1 2 5 0
.......
t >
( ? .
-7 4 5 .1 8- 5 5 3 0 8 6 » 6 7 4 5 .1 8 5 5 X 0 » 6 9 6 0 0 0
Q ,
- 5 5 3 .0 » 4 2 2 .5 5 8 2 8 5 5 3 .0 9 4 2 2 5 5 8 7 8 0 0 0 0
C .
( M - 8 2 8 1 1 6 ( 1 0 ') - 0 8 6 8 2 8 2 3 2 (1 # * ) 0 0 0 0
O í
- 1 4 5 0 0 0 0 0 0 1 450 0 0 0
<?.
0 - 1 5 . 1 0 - 1 8 1 2 . 5 0 0 0 0 0 15.10 - 1 8 1 2 5 0 0
0 . -
0 1812.50 1 4 5 J1 0 1) 0 0 0 0 - 1 8 1 2 5 0 2 9 0 ( 1 0 ^ . -
D e s p la z a m ie n to s y c a rg a s . S i s e e x p a n d e p a r a d e t e r m i n a r l o s d e s ­
p l a z a m i e n t o s , y s e r e s u e l v e , r e s u l t a
o' " 2 1 9 5 . 1 8 5 5 3 . 0 9 6 9 6 _ 0 > '"o"
- 3 0= 5 5 3 . 0 9 4 3 7 . 6 5 8 8 4 . 5 0 2+ 0
. - 1 2 0 0 . 6 9 6 8 8 4 . 55 2 2 ( 1 0 * ) _
_ 0 3 ._o
' 0 . ' 0 . 0 2 4 7 p u l g "
0 2= - 0 . 0 9 5 4 p u l g
_ 0 3 _
_ - 0 . 0 0 2 1 7 r a d _
A p a r t i r d e e s t o s r e s u l t a d o s , l a s r e a c c i o n e s e n l o s s o p o r t e s s e d e t e r ­
m i n a n c o n b a s e e n l a e c u a c i ó n ( 1 ) d e l a s i g u i e n t e m a n e r a :
Q4 " - 7 4 5 . 1 8- 5 5 3 . 0 9 - 6 9 6 " "o" 3 5 . 8 5 k
Qs
- 5 5 3 . 0 9 - 4 2 2 . 5 5 9 2 8 0 2 4 . 6 3 k
Qt>m
6 9 6 - 9 2 8 1 1 6 Í 1 0 3 )
U . U Z 4 /
- 0 . 0 9 5 4 +
0=
- 1 4 5 . 9 9 k - p u l g
Qi
- 1 4 5 0 0 0 0 - 3 5 . 8 5 k
- 0 . 0 0 2 1 7
Qs 0 - 1 5 . 1 0 - 1 8 1 2 . 5 0 0 5 . 3 7 k
_Q>.
0 1 8 1 2 . 5 0 1 4 5 ( 1 0 3 ) _ _ o _ _ - 4 8 7 . 6 0 k - p u l g

630. 608 Ca p i t u l o 1 6 A n á l i s i s d e m a r c o s p l a n o s u t i l i z a n d o e l m é t o d o d e l a r i g i d e z
EJEMPLO 16.2 (C o n tin u a ció n )
L a s c a r g a s i n t e r n a s p u e d e n d e t e r m i n a r s e d e s d e l a e c u a c i ó n 1 6 - 7
a p l i c a d a a l o s e l e m e n t o s 1 y 2 . E n e l c a s o d e l e l e m e n t o l , q =
d o n d e k í s e d e t e r m i n a a p a r t i r d e l a e c u a c i ó n 1 6 - 1 y T i c o n b a s e e n l a
e c u a c i ó n 1 6 - 3 . P o r l o t a n t o .
4 5 6 1 2 3
<74 1 1 6 0 0 0 - 1 1 6 0 0 o ' ' 0 .8 0 . 6 0 0 0 o ' 0 4
*75 0 7 . 7 3 1 1 6 0 0 - 7 . 7 3 1 1 6 0- 0 . 60 . 80 0 0 0 0 5
«76 0 1 1 6 0 2 3 2 ( 1 0 * ) 0 - 1 1 6 0 1 1 6 ( 1 0 * ) 0 0 1 0 0 0 0 6
<7i - 1 1 6 0 0 0 1 1 6 0 0 0 0 0 0 0 . 8 0 . 6 0 0 . 0 2 4 7 1
*7? 0 - 7 . 7 3 - 1 1 6 0 0 7 .7 3 - 1 1 6 0 0 0 0 - 0 . 60 . 8 0 - 0 . 0 9 5 4 2
.«73.
0 1 1 6 0 1 1 6 ( 1 0 * ) 0 - 1 1 6 0 2 3 2 ( 1 0 * ) _ 0 0 0 0 0 1 ._ - 0 . 0 0 2 1 7 _ 3
t a i k
A q u í l o s n ú m e r o s d e c ó d i g o i n d i c a n l a s f i l a s y c o l u m n a s d e l o s e x t r e ­
m o s c e r c a n o y l e j a n o d e l o s e l e m e n t o s , r e s p e c t i v a m e n t e ; e s d e c i r . 4 . 5 .
6 , y d e s p u é s 1 , 2 , 3 , f i g u r a 1 6 - 5 6 . E n t o n c e s ,
<d>
<1*
4 3 . 5 k
«75
- 1 . 8 1 k
<76
a
-1 4 6 k • p u l g
</\ - 4 3 . 5 k
<12
1 . 8 1 k
.< 7 3 _
- 3 9 8 k • p u l g
R e sp .
E s t o s r e s u l t a d o s s e m u e s t r a n e n l a f i g u r a 1 6 - 5d .
P a r a e l e l e m e n t o 2 s e r e a l i z a u n a n á l i s i s s i m i l a r . L o s r e s u l t a d o s s e
m u e s t r a n e n l a p a r t e i z q u i e r d a d e l a f i g u r a 1 6 - 5 e . P a r a e s t e e l e m e n t o
e s n e c e s a r i o s u p e r p o n e r l a s c a r g a s d e l a f i g u r a 1 6 - 5 c . d e m o d o q u e l o s
r e s u l t a d o s f i n a l e s d e l e l e m e n t o s 2 s e m u e s t r a n a l a d e r e c h a .
8 0 2 3 k - p u l g
3 5 . 8 5 k —
5 3 7 k
3 k / p i e
3 0 k r r r r r r n 3 0 k
3 k / p i e
M . 6 k | | | | | i | 13 5 . 4 k5 3 7 k
— + I |
___________________I I = — -1*1 --------3 5 . 8 5 k
3 5 . 8 5 k I I 3 5 . 8 5 k
4 8 7 . 6 k - p u l g 1 2 0 0 k - p u l g 1 2 0 0 k - p u l g 3 9 8 k - p u l g 1 6 8 8 k - p u l g
(e)
Figura 16-5

631. 1 6 - 4 A P L IC A C IÓ N 0 5 1 M É T O D O 0 5 L A R 1 G I0 5 2 P A R A 5 L A N Á L IS IS D 5 M A R C O S609
PROBLEM AS
1 6 - 1 . D e t e r m i n e l a m a t r i z d e r i g i d e z d e l a e s t r u c t u r a K
p a r a e l m a r c o . S u p o n g a q u e ( C y ® e s t á n f i j o s . C o n s i d e r e
q u e E = 2 0 0 G P a . / = 3 0 0 0 0 6) mm4 y A = 1 0 ( 1 0 * ) m m 2
p a r a c a d a e l e m e n t o .
1 6 - 2 . D e t e r m i n e la s r e a c c i o n e s e n l o s s o p o r t e s f i j o s <D y <3>.
C o n s i d e r e c j u c £ = 2 0 0 G P a . / = 3 0 0 ( 1 0 6 ) m m 4 y A =
10(10^ ) m m ' p a r a c a d a e l e m e n t o .
• 1 6 - 4 . D e t e r m i n e l a s r e a c c i o n e s e n l o s s o p o r t e s <D y <S).
C o n s i d e r e < j u e E = 2 0 0 M P a . / - 3 0 0 ( 1 0 6) m m 4 y A -
21 (103) m m p a r a c a d a e l e m e n t o .
P r o h . 1 6 - 4
P r o b s . 1 6 - 1 / 1 6 - 2
1 6 - 3 . D e t e r m i n e l a m a t r i z d e r i g i d e z d e l a e s t r u c t u r a K
p a r a e l m a r c o . S u p o n g a q u e @ e s t á a r t i c u l a d o y q u e <D e s t á
f i j o . C o n s i d e r e q u e E = 2 0 0 M P a . / = 3 0 0 ( 1 < ^ ) m m 4 y A =
2 1 ( 1 0 5 ) m m 2 p a r a c a d a e l e m e n t o .
1 6 - 5 . D i t e r m i n e l a m a t r i z d e r i g i d e z d e l a e s t r u c t u r a K
p a r a e l m a r c o . C o n s i d e r e q u e £ = 2 ) 0 G P a , / = 3 5 0 ( 1 0 * )
m m 4 y A = 1 5 ( 1 0 * ) m m 2 p a r a c a d a e l e m e n t o . L a s j u n t a s e n
W y <£ e s t á n a r t i c u l a d a s .
Proh. 16-3
Proh. 16-5

632. 6 1 0 C a p i t u l o 1 6 A n á l i s i s d e m a r c o s p l a n o s u t i l i z a n d o e l m é t o d o d e l a r i g i d e z
1 6 - 6 . D e t e r m i n e l a s r e a c c i o n e s e n l o s s o p o n e s a r t i c u l a ­
d o s ® y ® . C o n s i d e r e q u e E = 2 0 0 G P a . / = 3 5 0 ( 1 0 * ) m m 4 y
A -= I S Í I O 5) m m 7 p a r a c a d a e l e m e n t o .
9 60 kN 2
P r o h . 1 6 - 6
1 6 - 7 . D e t e r m i n e l a m a t r i z d e r i g i d e z d e l a e s t r u c t u r a K
p a r a e l m a r c o . C o n s i d e r e q u e E = 2 9 ( 1 0 5) k s i . / = 6 5 0 p u l g 4 .
A = 2 0 p u l g 7 p a r a c a d a e l e m e n t o .
2
* 1 6 - 8 . D e t e r m i n e l o s c o m p o n e n t e s d e l o s d e s p l a z a m i e n ­
t o s e n <D . C o n s i d e r e q u e E = 2 9 ( 1 0 * ) k s i . / = 6 5 0 p u l g 4 y
A — 20 p u l g 7 p a r a c a d a e l e m e n t o .
2
1 6 - 9 . D e t e r m i n e l a m a t r i z d e r i g i d e z K p a r a e l m a r c o .
C o n s i d e r e q u e E - 2 9 ( 1 0 3) k s i . 1 - 3 0 0 p u l g 4 y A - 1 0 p u l g 7
p a r a c a d a e l e m e n t o .
1 6 - 1 0 . l X ; t e r m i n e l a s r e a c c i o n e s e n l o s s o p o r t e s d > y (3>.
C o n s i d e r e q u e E = 2 9 ( 1 0 * ) k s i , / = 3 0 0 p u l g 4 y A - 1 0 p u l g 7
p a r a c a d a e l e m e n t o .

633. 1 6 - 4 A P L IC A C IÓ N 0 5 1 M É T O D O 0 5 L A R 1 G I0 5 2 P A R A 5 L A N Á L IS IS D 5 M A R C O S611
16-11. D e t e r m i n e l a m a t r i z d e r i g i d e z d e l a e s t r u c t u r a K
p a r a e l m a r c o . C o n s i d e r e q u e E = 2 9 ( 1 0 ’ ) k s i . / = 7 0 0 p u l g 4
y A =* 2 0 p u l g 7 p a r a c a d a e l e m e n t o .
7
*16—12. D e t e r m i n e l a s r e a c c i o n e s e n l o s s o p o r t e s a r t i c u l a ­
d o s ® y <8>. C o n s i d e r e q u e E = 2 9 ( 1 0 ’ ) k s i , / = 7 0 0 p u l g 4 y A
- 2) p u l g 2 p a r a c a d a e l e m e n t o .
7
16-13. U s e u n p r o g r a m a d e c o m p u t a d o r a p a r a d e t e r m i ­
n a r la s r e a c c i o n e s e n e l m a r c o . A E y E l s o n c o n s t a n t e s .
Prob. 16-13
16-14. U s e u n p r o g r a m a d e c o m p u t a d o r a p a r a d e t e r m i ­
n a r l a s r e a c c i o n e s e n e l m a r c o . S u p o n g a q u e A , B . D y F
e s t á n a r t i c u l a d a s . A d e m á s A E y E l s o n c o n s t a n t e s .
Proh. 16-14

634. APÉNDICE
A
Algebra matricial para
el análisis estructural
A .1 D efiniciones básicas y tip o s
d e m atrices
C o n l a a c c e s i b i l i d a d d e l a s c o m p u t a d o r a s d e e s c r i t o r i o . s e h a g e n e r a l i z a d o
l a a p l i c a c i ó n d e l á l g e b r a m a t r i c i a l p a r a e l a n á l i s i s d e l a s e s t r u c t u r a s . E l
á l g e b r a m a t r i c i a l p r o p o r c i o n a u n a h e r r a m i e n t a a d e c u a d a p a r a e s t e t i p o
d e a n á l i s i s , p u e s t o q u e l a s o l u c i ó n e s r e l a t i v a m e n t e f á d l d e f o r m u l a r d e
u n a m a n e r a c o n c i s a , p a r a d e s p u é s r e a l i z a r l a s m a n i p u l a c i o n e s n e c e s a r i a s
e n l a m a t r i z r e a l m e d i a n t e u n a c o m p u t a d o r a . P o r e s t a r a z ó n , e s i m p o r ­
t a n t e q u e e l i n g e n i e r o e s t r u c t u r a l e s t é f a m i l i a r i z a d o c o n l a s o p e r a c i o n e s
f u n d a m e n t a l e s d e e s t e t i p o d e m a t e m á t i c a s .
M atriz. U n a m a t r iz e s u n a r r e g l o r e c t a n g u l a r d e n ú m e r o s q u e t i e n e n
m f i l a s y n c o l u m n a s . L o s n ú m e r o s , q u e s e d e n o m i n a n e le m e n t o s , s e
e n s a m b l a n e n t r e c o r c h e t e s P o r e j e m p l o , l a m a t r i z A s e e s c r i b e c o m o :
«i i« 1 2 ” • « 1 »
A =
«2 1 « 2 2 « 2 *
_ « m l « m 2 a mn .
S e d i c e q u e e s t a m a t r b t i e n e u n o r d e n d e m x n ( m p o r n ) . O b s e r v e q u e
e l p r i m e r s u b í n d i c e d e u n e l e m e n t o i n d i c a l a p o s i c i ó n d e s u f i l a y e l
s e g u n d o s u b í n d i c e i n d i c a l a p o s i c i ó n d e s u c o l u m n a . E n t o n c e s , e n g e n e ­
r a l . a v es e l e l e m e n t o s i t u a d o e n l a i és i m a f i l a y e n l a j - és i m a c o l u m n a .
M atriz fila. S i l a m a t r i z s e c o m p o n e s ó l o d e e l e m e n t o s e n u n a s o l a
f i l a , s e d e n o m i n a m a t r iz f i l a . P o r e j e m p l o , u n a m a t r i z f i l a d e 1 X n s e
e s c r i b e c o m o
A = [ « i a 2 • • • f l * j
A q u í s e u s a u n s o l o s u b í n d i c e p a r a d e n o t a r u n e l e m e n t o , p u e s t o q u e s e
e n t i e n d e q u e e l s u b í n d i c e d e f i l a s i e m p r e s e r á i g u a l a l . e s d e c i r . a , = a , , ,
a 2 = a | 2 , y a s í s u c e s i v a m e n t e .
6 1 2

635. A . 1 D e f i n i c i o n e s b á s i c a s y t i p o s d e m a t r i c e s 6 1 3
Columna matriz. U n a m a t r i z c o n e l e m e n t o s a p i l a d o s e n u n a s o l a
c o l u m n a s e l l a m a m a t r iz c o l u m n a . L a m a t r i z c o l u m n a d e m x 1 e s
« i
a 2
_ a m _
A q u í l a n o t a c i ó n d e l o s s u b í n d i c e s s i m b o l i z a a ¡ = a n , a 2 " <*2 i * y 3 5 1 s u c e ­
s i v a m e n t e .
Matriz cuadrada. C u a n d o e n u n a m a t r i z e l n ú m e r o d e f i l a s e s
i g u a l a l n ú m e r o d e c o l u m n a s , s e d i c e q u e e s u n a m a t r iz c u a d r a d a . U n a
m a t r i z c u a d r a d a d e n X n s e r í a
a i i« 1 2• ” f l l n
A =
f l? i A 2 ? " • A 2 *
_ f l / . i f l« 2 A " " .
A
Matriz diagonal. Q i a n d o t o d o s l o s e l e m e n t o s d e u n a m a t r i z c u a ­
d r a d a s o n i g u a l e s a c e r o , e x c e p t o a l o l a r g o d e l a d i a g o n a l p r i n c i p a l , q u e
d e s c i e n d e d e i z q u i e r d a a d e r e c h a , l a m a t r i z s e d e n o m i n a m a t r iz d ia g o n a l.
f t > r e j e m p l o .
f l n0 0
A = 0 fl220
_ o 0
f l 3 3 .
Matriz unitaria O identidad. L a m a t r iz u n i t a r i a o id e n t id a d e s
u n a m a t r i z d i a g o n a l , d o n d e t o d o s l o s e l e m e n t o s d e l a d i a g o n a l s o n i g u a ­
l e s a l a u n i d a d . P o r e j e m p l o .
I =
1 0 0
0 1 0
0 0 1
Matriz simétrica. U n a m a t r iz c u a d r a d a e s s i m é t r i c a s i e m p r e q u e
a = a ¡ i' P ° r e j e m p l o .
3 5 2
5 - 1 4
2 4 8

636. 6 1 4 Ap é n d i c e A Á l g e b r a m a t r i c i a l p a r a e l a n á l i s i s e s t r u c t u r a l
A.2 Operaciones matridales
Ig u a ld a d d e m a tric e s . S e d i c e q u e l a s m a t r i c e s A y B s o n i g u a l e s
s i s o n d e l m i s m o o r d e n y c a d a u n o d e s u s e l e m e n t o s c o r r e s p o n d i e n t e s
s o n i g u a l e s , e s d e c i r . a ^ = f y . P o r e j e m p l o , s i
2 6
D
2 6
4 - 3
n —
4 - 3 .
e n t o n c e s A ® B.
A d ic ió n y s u s tra c c ió n d e m a tric e s . D o s m a t r i c e s p u e d e n
s u m a r s e e n t r e s í o r e s t a r u n a d e l a o t r a s i s o n d e l m i s m o o r d e n . E l r e s u l ­
t a d o s e o b t i e n e a l s u m a r o r e s t a r l o s e l e m e n t o s c o r r e s p o n d i e n t e s . P o r
e j e m p l o , s i
6 7 - 5 8
A =
2 - 1 .
B =
1 4
e n t o n c e s
1 15
1
11 -1
A + B =
.3 3
A - B =
. 1 - 5 .
M u ltip lic a c ió n p o r u n e s c a la r. C u a n d o u n a m a t r i z s e m u l t i p l i c a
p o r u n e s c a l a r , c a d a e l e m e n t o d e l a m a t r i z s e m u l t i p l i c a p o r e l e s c a l a r .
P b r e j e m p l o , s i
- í]
k = - 6
e n t o n c e s
k \
-2 4 - 6
-3 6 12
M u ltip lic a c ió n d e m a tric e s . D o s m a t r i c e s A y B p u e d e n m u l t i ­
p l i c a r s e e n t r e s í s ó l o s i s o n c o n f o r m a b le s . E s t a c o n d i c i ó n s e c u m p l e s i e l
n ú m e r o d e c o l u m n a s d e A e s i g u a l a l n ú m e r o d e f i l a s d e B. P o r e j e m p l o ,
s i
A =
0 \ \ 012
B =
b \ \ b \ 2
a i \ <*22 J>. 21t>72
e n t o n c e s e s p o s i b l e d e t e r m i n a r A B , p u e s t o q u e A t i e n e d o s c o l u m n a s y
B t i e n e d o s f i l a s . O b s e r v e , s i n e m b a r g o , q u e B A n o p u e d e o b t e n e r s e .
¿ P o r q u é ?

637. A.2 O p e r a c i o n e s m a t r i c i a i . e s 615
S i l a m a t r i z A q u e t i e n e u n a o r d e n d e ( m X « ) s e m u l t i p l i c a p o r l a
m a t r i z B q u e t i e n e u n o r d e n d e ( n X q ) , s e o b t e n d r á u n a m a t r i z C q u e
t e n d r á u n o r d e n d e ( m X q ) , e s d e c i r .
A B = C
( m X / i ) ( / i X q ) ( m X q )
L o s e l e m e n t o s d e l a m a t r i z C s e e n c u e n t r a n u s a n d o l o s e l e m e n t o s a „ e n
A y b e n B d e l a s i g u i e n t e m a n e r a :
CH = 5] a ik b kl
k = I
( A - 2 )
L a m e t o d o l o g í a d e e s t a f ó r m u l a p u e d e e x p l i c a r s e m e d i a n t e a l g u n o s
e j e m p l o s s e n c i l l o s C o n s i d e r e q u e
A =
2 4 3
- 1 6 1
f \ > r i n s p e c c i ó n , e s p o s i b l e o b t e n e r e l p r o d u c t o C = A B p u e s t o q u e l a s
m a t r i c e s s o n c o n f o r m a b l e s . e s d e c i r , A t i e n e t r e s c o l u m n a s y B t i e n e t r e s
f i l a s . A p a r t i r d e l a e c u a c i ó n A - 2 , l a m u l t i p l i c a c i ó n g e n e r a r á u n a m a t r i z C
q u e t e n d r á d o s f i l a s y u n a c o l u m n a . L o s r e s u l t a d o s s e o b t i e n e n d e l a
s i g u i e n t e m a n e r a :
c „ : M u l t i p l i q u e l o s e l e m e n t o s d e l a p r i m e r a f i l a d e A p o r l o s e l e m e n t o s
c o r r e s p o n d i e n t e s e n l a c o l u m n a d e B y s u m e l o s r e s u l t a d o s ; e s d e c i r .
c „ = c , = 2 ( 2 ) + 4 ( 6 ) + 3 ( 7 ) = 4 9
c 2 1 : M u l t i p l i q u e l o s e l e m e n t o s d e l a s e g u n d a f i l a d e A p o r l o s e l e m e n t o s
c o r r e s p o n d i e n t e s e n l a c o l u m n a d e B y s u m e l o s r e s u l t a d o s ;
c 2 , = c 2 = - 1 ( 2 ) + 6 ( 6 ) + 1 ( 7 ) = 4 1
A s í
4 9
4 1

638. 6 1 6 A p é n d i c e A Á l g e b r a m a t r i c i a l p a r a e l a n á l i s i s e s t r u c t u r a l
C o m o s e g u n d o e j e m p l o , c o n s i d e r e
5 3
4 1
- 2 8
B
2 7
- 3 4
U n a v e z m á s . e s p o s i b l e e n c o n t r a r e l p r o d u c t o C =» A B p u e s t o q u e A
t i e n e d o s c o l u m n a s y B t i e n e d o s f i l a s . L a m a t r i z C r e s u l t a n t e t i e n e t r e s
f i l a s y d o s c o l u m n a s L o s e l e m e n t o s s e o b t i e n e n d e l a s i g u i e n t e m a n e r a :
( p r i m e r a f i l a d e A p o r l a p r i m e r a
c o l u m n a d e B )
( p r i m e r a f i l a d e A p o r l a s e g u n d a
c o l u m n a d e B )
( s e g u n d a f i l a d e A p o r l a p r i m e r a
c o l u m n a d e B )
( s e g u n d a f i l a d e A p o r l a s e g u n d a
c o l u m n a d e B )
C31 = - 2 ( 2 ) + 8 ( - 3 ) = - 2 8 ( t e r c e r a f i l a d e A p o r l a p r i m e r a
c o l u m n a d e B )
( t e r c e r a f i l a d e A p o r l a s e g u n d a c o l u m ­
n a d e B )
c „ = 5 ( 2 ) + 3 ( — 3 ) = 1
c \ 2 = 5 ( 7 ) + 3 ( 4 ) = 4 7
c 2 , = 4 ( 2 ) + l ( - 3 ) = 5
C22 = 4 ( 7 ) + 1 ( 4 ) = 3 2
C32 = - 2 ( 7 ) + 8 ( 4 ) = 1 8
E l e s q u e m a p a r a l a m u l t i p l i c a c i ó n s i g u e l a a p l i c a c i ó n d e l a e c u a c i ó n A -2.
l \ > r l o t a n t o ,
1 4 7
5 3 2
- 2 8 1 8
O b s e r v e a d e m á s q u e B A n o e x i s t e , p u e s t o q u e e s c r i t a s d e e s t a m a n e r a
l a s m a t r i c e s n o s o n c o n f o r m a b l e s .
l a s s i g u i e n t e s r e g l a s s o n a p l i c a b l e s a l a m u l t i p l i c a c i ó n d e m a t r i c e s .
1. E n g e n e r a l , e l p r o d u c t o d e d o s m a t r i c e s n o e s c o n m u t a t i v o :
A B * B A ( A - 3 )
2. l a l e y d i s t r i b u t i v a e s v á l i d a :
A ( B + C ) = A B + A C ( A - 4 )
3. L a l e y a s o c i a t i v a e s v á l i d a :
A ( B C ) = ( A B ) C ( A - 5 )
M a tr iz tra n s p u e s ta . U n a m a t r i z p u e d e t r a n s p o n e r s e a l i n t e r c a m b i a r
s u s f i l a s y c o l u m n a s . P o r e j e m p l o , s i
«11 « 1 2 o n
<*21 «22 « 2 3
_ « 3 1 « 3 2 « 3 3 _
B = [6, b j 63J

639. A . 2 O p e r a c i o n e s m a t r i o a i.e s 6 1 7
E n t o n c e s
« i iA 2 1 « 3 1 V
A r =
« 1 2 « 2 2 « 3 2
B T =b i
_ f l 13 « 2 3 « 3 3 .
I e n g a e n c u e n t a q u e A B n o e s c o n f o r m a b l e p o r l o q u e e l p r o d u c t o n o
e x i s t e . ( A t i e n e t r e s c o l u m n a s y B t i e n e u n a f i l a . ) D e m a n e r a a l t e r n a t i v a , l a
m u l t i p l i c a c i ó n A B ' e s p o s i b l e p o r q u e a q u í l a s m a t r i c e s s o n c o n f o r m a b l e s
( A t i e n e t r e s c o l u m n a s y B 7 t i e n e t r e s f i l a s ) . L a s m a t r i c e s t r a n s p u e s t a s
t i e n e n l a s s i g u i e n t e s p r o p i e d a d e s :
( A + B ) T = \ T + B r
( * A ) r = * A r
( A B ) T = B r A r
E s t a ú l t i m a i d e n t i d a d s e i l u s t r a r á m e d i a n t e u n e j e m p l o . S i
A - í6 2l R - í4 3l
M i - 3] [ 2 s j
E n tonces, a p a r tir d e la e c u a c ió n A -8,
(A - 6 )
(A - 7 )
(A - 8 )
(E -* JDT-E a
R -2D’-[
3 - f
2 8
. 2 8 - I
6 1
2 - 3
2 8 - 2
2 8 - 1 2
2 8 - 2
2 8 - 1 2
P a r tic ió n d e m a tric e s . U n a m a t r i z p u e d e s u b d i v i d i r s e e n s u b m a -
t r i c e s a l e f e c t u a r u n a p a r t i c i ó n . P o r e j e m p l o .
«1. i « 1 2 « 1 3 « u n
A t i A n
A = « 2 1 i « 2 2 « 2 3 « 2 4
=
11 1 L
A 2 I A 2 2 .
- « 3 1 !« 3 2 « 3 3 « 3 4 _
A q u í l a s s u b m a t r i c e s s o n
Ah = [ « i i j
A 2 | =
« 2 1 *
A 22 -
« 3 1 -
| f l | 2 a i 3 « l 4 J
«72 «2i a 24
. « 3 2 « 3 3 « 3 4

640. 6 1 8 Ap é n d i c e A Á l g e b r a m a t r i c i a l p a r a e l a n á l i s i s e s t r u c t u r a l
L a s r e g l a s d e l á l g e b r a m a t r i c i a l s o n a p l i c a b l e s a l a s m a t r i c e s p a r t i c i o n a d a s
s i e m p r e q u e l a p a r t i c i ó n s e a c o n f o r m a b l e . P o r e j e m p l o , l a s s u b m a t r i c e s
c o r r e s p o n d i e n t e s d e A y B p u e d e n s u m a r s e o r e s t a r s e s i e m p r e y c u a n d o
t e n g a n e l m i s m o n ú m e r o d e f i l a s y c o l u m n a s . D e l m i s m o m o d o , l a m u l t i ­
p l i c a c i ó n d e m a t r i c e s e s p o s i b l e s i e m p r e q u e e l r e s p e c t i v o n ú m e r o d e
c o l u m n a s y f i l a s d e A y B y s u s s u b m a t r i c e s s e a n i g u a l e s . f t > r e j e m p l o , s i
4 1 j - 1 2 - 1
A = - 2 0 1 - 5 B = 0 8
6 3 i 8 7 4
e n t o n c e s e l p r o d u c t o A B e x i s t e , p u e s t o q u e e l n ú m e r o d e c o l u m n a s d e A
e s i g u a l a l n ú m e r o d e f i l a s d e B ( t r e s ) . D e l m i s m o m o d o , l a s m a t r i c e s p a r ­
t i c i o n a d a s s o n c o n f o r m a b l e s p a r a l a m u l t i p l i c a c i ó n d a d o q u e A s e s u b d i -
v i d e e n d o s c o l u m n a s y B s s u b d i v i d e e n d o s f i l a s . e s d e c i r .
A B =
Aj íA !2
A U B , | + Ai jBj,
A 2iA ^ . B , , A 2i B , , + A 22B21.
A l m u l t i p l i c a r l a s s u b m a t r i c e s s e o b t i e n e
- I
A B
A i i B n
aI2b21
'.-í :e i i - u 3
- 1
. - 5
A 2 I B „ = [ 6
A ^ B , , = [ 8 J [ 7
8 4
V
3)
4 1 =
2 - 1
.0 8
4 1 = [ 5 6
- 7 - 4
- 3 5 - 2 0
[12
3 2 J
1 8 1
f 8 1
1 - 4 2 JL - 4
[12
2
1 8 1 + [ 5 6
- 7
- 3 5
- 4
- 2 0
3 2 1
1 0 "
= - 3 9 - 1 8
6 8 5 0 _
A . 3 D ete rm inan tes
E n l a s i g u i e n t e s e c c i ó n s e a n a l i z a r á c ó m o i n v e r t i r u n a m a t r i z . C o m o e s t a
o p e r a c i ó n r e q u i e r e u n a e v a l u a c i ó n d e l d e t e r m i n a n t e d e l a m a t r i z , a h o r a
s e e x p o n d r á n a l g u n a s d e l a s p r o p i e d a d e s b á s i c a s d e l o s d e t e r m i n a n t e s .
U n d e t e r m i n a n t e e s u n a r r e g l o c u a d r a d o d e n ú m e r o s e n c e r r a d o e n t r e
b a r r a s v e r t i c a l e s . P o r e j e m p l o , u n d e t e r m i n a n t e d e o r d e n / i - é s i m o , c o n n
f i l a s y n c o l u m n a s , e s
<*110 1 2” • 0 1 *
A \ =
0 2 1 0 2 2 ” • 0 2 *
0 * 1 0 « 2 • ” 0 « «

641. A . 3 D e t e r m i n a n t e s 6 1 9
L a e v a l u a c i ó n d e e s l e d e t e r m i n a n t e c o n d u c e a u n s o l o v a l o r n u m é r i c o
q u e p u e d e d e t e r m i n a r s e m e d i a n t e l a e x p a n s ió n d e L a p l a c e . E s t e m é t o d o
h a c e u s o d e l o s m e n o r e s y c o f a c t o r e s d e l d e t e r m i n a n t e . E n e s p e c í f i c o ,
c a d a e l e m e n t o a¡ ¡ d e u n d e t e r m i n a n t e d e o r d e n n t i e n e u n m e n o r A / „ q u e e s
u n d e t e r m i n a n t e d e o r d e n n — 1 . E s t e d e t e r m i n a n t e ( m e n o r ) e s l o q u e
q u e d a c u a n d o s e c a n c e l a n l a i- é si m a f i l a y l a y ' - ó s i m a c o l u m n a q u e c o n t i e ­
n e n a l e l e m e n t o S i e l m e n o r s e m u l t i p l i c a p o r s e o b t i e n e e l
c o f a c l o r d e a t/, e l c u a l s e d e n o t a c o m o
c u = (-iy +'Af<,
f t > r e j e m p l o , c o n s i d e r e e l d e t e r m i n a n t e d e t e r c e r o r d e n
a u a i? fli3
<*2l « 2 ? 02 3
« 3 1 « 3 2 0 3 3
L o s c o f a c t o r e s p a r a l o s e l e m e n t o s d e l a p r i m e r a f i l a s o n
( A - l ü )
C „
C , 2
( -1)1
1 + 1
0 2 2 0 2 3 a n 0 2 3
0 3 2 0 3 3 0 3 2 0 3 3
1 * 2 0 2 1 0 2 3 0 2 1 0 2 3
0 3 1 0 3 3 0.31
a
13
1 * 3
0 2 1 0 2 2 0 2 1 0 2 2
0 3 1 0 3 2 0 3 1 0 .3 2
c „ " ( -1)'
L a e x p a n s i ó n d e L a p l a c e p a r a u n d e t e r m i n a n t e d e o r d e n n , e c u a c i ó n
A - 9 , e s t a b l e c e q u e e l v a l o r n u m é r i c o r e p r e s e n t a d o p o r e l d e t e r m i n a n t e
e s i g u a l a l a s u m a d e l o s p r o d u c t o s d e l o s e l e m e n t o s d e c u a l q u i e r f i l a o
c o l u m n a p o r s u s r e s p e c t i v o s c o f a c t o r e s . e s d e c i r .
D = f l f l C / , + a a C a + • • • + aIHC lH
................( i - 1 , 2..........o / i )
o ( A — 1 1 )
D = + °2/C2/ + ■ ” + a n¡C n¡ í = 1 ,2
......o n )
P a r a s u a p l i c a c i ó n , s e o b s e r v a q u e d e b i d o a l o s c o f a c t o r e s e l n ú m e r o D
s e d e f i n e e n t é r m i n o s d e n d e t e r m i n a n t e s ( c o f a c t o r e s ) . c a d a u n o d e
o r d e n n - 1 . E s t o s d e t e r m i n a n t e s p u e d e n r e e v a l u a r s c d e m a n e r a i n d e ­
p e n d i e n t e e m p l e a n d o l a m i s m a f ó r m u l a , p o r l o q u e e s n e c e s a r i o e v a l u a r
( n - 1 ) d e t e r m i n a n t e s d e o r d e n ( n - 2 ) , y a s í s u c e s i v a m e n t e . E l p r o c e s o
d e e v a l u a c i ó n c o n t i n ú a h a s t a q u e l o s d e t e r m i n a n t e s r e s t a n t e s p a r a s e r
e v a l u a d o s s e r e d u c e n a l s e g u n d o o r d e n , e n e l q u e l o s c o f a c t o r e s d e l o s
e l e m e n t o s s o n e l e m e n t o s i n d i v i d u a l e s d e D . C o n s i d e r e , p o r e j e m p l o , e l
s i g u i e n t e d e t e r m i n a n t e d e s e g u n d o o r d e n
D
3 5
- 1 2
D p u e d e e v a l u a r s e a l o l a r g o d e l a f i l a s u p e r i o r d e l o s e l e m e n t o s . d e d o n d e
r e s u l t a
D = 3 ( - l ) , + , ( 2 ) + 5 ( - l ) l + 2 ( - l ) = 1 1
O . p o r e j e m p l o , s i s e u s a l a s e g u n d a c o l u m n a d e l o s e l e m e n t o s . s e t i e n e
D = 5 ( - l ) , + 2 ( - l ) + 2 ( - l ) 2* 2 ( 3 ) = 11

642. 620 Ap é n d i c e A Á l g e b r a m a t r i c i a l p a r a e l a n á l i s i s e s t r u c t u r a l
E n v e z d e u s a r l a s e c u a c i o n e s A - 1 1 , q u i z á s e a m á s f á c i l d a r s e c u e n t a
q u e l a e v a l u a c i ó n d e u n d e t e r m i n a n t e d e s e g u n d o o r d e n p u e d e l l e v a r s e a
c a b o a l m u l t i p l i c a r l o s e l e m e n t o s d e l a d i a g o n a l , d e s d e e l e l e m e n t o s u p e ­
r i o r i z q u i e r d o h a c i a a b a j o a l a d e r e c h a , y r e s t a r d e e s t o e l p r o d u c t o d e l o s
e l e m e n t o s d e s d e e l e l e m e n t o s u p e r i o r d e r e c h o h a c i a a b a j o a l a i z q u i e r ­
d a , e s d e c i r , s i g a l a f l e c h a
» - l > í
3 ( 2 ) - 5 ( - l ) = 1 1
C o n s i d e r e a h o r a e l d e t e r m i n a n t e d e t e r c e r o r d e n
\D \
1 3 - 1
4 2 6
-10 2
C o n b a s e e n l a e c u a c i ó n A - l l , | D | p u e d e e v a l u a r s e e m p l e a n d o l o s e l e ­
m e n t o s u b i c a d o s , y a s e a a l o l a r g o d e l a f i l a s u p e r i o r , o b i e n e n l a p r i m e ­
r a c o l u m n a , e s t o e s
D = ( ! ) ( - ! )
i*i
2 6
0 2
+ (3 )H )
1 * 2
4 6
- 1 2
+ (-1 )( -l),+3
1 ( 4 - 0 ) - 3 ( 8 + 6 ) - 1 ( 0 + 2 ) = - 4 0
D = 1 ( - 1 )
1*1
2 6
0 2
+4(-l)
2 * 1
3 - 1
0 2
+ ( - ! ) ( — 1 )
3 - 1
4
- 1
= 1 ( 4 - 0 ) - 4 ( 6 - 0 ) - 1 ( 1 8 + 2 ) = - 4 0
C o m o u n e j e r c i c i o , t r a t e d e e v a l u a r | D | u s a n d o l o s e l e m e n t o s a l o l a r g o
d e l a s e g u n d a f i l a .
A.4 Inversa de una matriz
C o n s i d e r e e l s i g u i e n t e c o n j u n t o d e t r e s e c u a c i o n e s l i n e a l e s :
« 1 1 * 1 + « 1 2 * 2 + « 1 3 * 3 = c\
« 2 1 * 1 + « 2 2 * 2 + « 2 3 * 3 = C2
« 3 1 * 1 + « 3 2 * 2 + « 3 3 * 3 = * 3
q u e p u e d e n e s c r i b i r s e e n f o r m a m a t r i c i a l c o m o
« 1 1 « 1 2 « 1 3 * 1 C\
« 2 1 « 2 2 « 2 3 * 2
=
C2
. « 3 1 « 3 2 « 3 3 . _ * 3 _ - C 3 .
Ax
( A - 1 2 )
( A - 1 3 )

643. A . 4 I n v e r s a d e u n a m a t r i z 6 2 1
R x l r í a p e n s a r s e q u e e s p o s i b l e d e t e r m i n a r u n a s o l u c i ó n p a r a x a l d i v i d i r
C e n t r e A ; s i n e m b a r g o , l a d i v i s i ó n n o e s p o s i b l e e n e l á l g e b r a m a t r i c i a l .
E n s u l u g a r , s e m u l t i p l i c a p o r e l i n v e r s o d e l a m a t r i z . L a i n v e r s a d e l a
m a t r i z A e s o t r a m a t r i z d e l m i s m o o r d e n , l a c u a l s e e s c r i b e s i m b ó l i c a ­
m e n t e c o m o A - 1 y t i e n e l a s i g u i e n t e p r o p i e d a d ,
A A - 1 = A " ' A = I
d o n d e I e s u n a m a t r i z i d e n t i d a d . A l m u l t i p l i c a r a m b o s l a d o s d e l a e c u a ­
c i ó n A - 1 3 p o r A - 1 , s e o b t i e n e
A “ ' A x = A ~ ' C
C o m o A _ , A x = I x = x , s e t i e n e
x = A " ' C ( A - 1 4 )
S i e m p r e q u e s e p u e d a o b t e n e r A " 1 s e r á p o s i b l e e n c o n t r a r u n a s o l u c i ó n
p a r a x .
P a r a e l c á l c u l o m a n u a l , e l m é t o d o u s a d o p a r a f o r m u l a r A - 1 p u e d e
d e s a r r o l l a r s e e m p l e a n d o l a r e g l a d e C r a m e r . E l d e s a r r o l l o n o s e p r e s e n ­
t a r á a q u í , s ó l o s e p r o p o r c i o n a n l o s r e s u l t a d o s . * e s t e r e s p e c t o , l o s e l e m e n t o s
e n l a s m a t r i c e s d e l a e c u a c i ó n A - 1 4 p u e d e n e s c r i b i r s e c o m o
x = A ' C
* 1
1
" c „ c 2 1
Q i C \
* 2
A
= J Á \
C \ 2 C2 2 C3 2 C 2
( A - 1 5 )
* 3 _ C x 3 C2 3 C3 3. _ C 3 _
A q u í \ A| e s u n a e v a l u a c i ó n d e l d e t e r m i n a n t e d e l a m a t r i z d e c o e f i c i e n t e s
A , q u e s e d e t e r m i n a m e d i a n t e l a e x p a n s i ó n d e L a p l a c e a n a l i z a d a e n l a
s e c c i ó n A . 3 . L a m a t r i z c u a d r a d a q u e c o n t i e n e l o s c o f a c t o r e s C ¿. s e l l a m a
l a m a t r iz a d ju n t a . P o r c o m p a r a c i ó n , s e o b s e r v a q u e l a m a t r i z i n v e r s a A -1
s e o b t i e n e a p a r t i r d e A a l r e m p l a z a r p r i m e r o c a d a e l e m e n t o a l ; p o r s u
c o f a c t o r C ^ , d e s p u é s s e t r a n s p o n e l a m a t r i z r e s u l t a n t e , r e s u l t a n d o l a
m a t r i z a d j u n t a y , f i n a l m e n t e , s e m u l t i p l i c a l a m a t r i z a d j u n t a p o r
P a r a i l u s t r a r n u m é r i c a m e n t e c ó m o s e o b t i e n e A - I , s e c o n s i d e r a r á l a
s o l u c i ó n d e l s i g u i e n t e s i s t e m a d e e c u a c i o n e s l i n e a l e s :
*1 - * 2 + x i = " I
- x , + x 2 + x 3 = - 1
x , + 2 x 2 “ 2 * 3 = 5
( A - 1 6 )
A q u í
1 - 1 1
- 1 1 1
1 2 - 2
• V e a K r c y s r i g . E . , Advanced E ng in eerin g Maihemalics, J o h n W i l c y & S o n s , I n c . , N u e v a
Y o r k .

644. 6 2 2 A p é n d i c e A Á l g e b r a m a t r i c i a l p a r a e l a n á l i s i s e s t r u c t u r a l
L a m a t r i z d e c o f a c t o r e s d e A e s
1 1 - 1 1 - 1 1
2 - 2 1 - 2 1 2
- 1 1 1 1 1 - 1
2 - 2 1 - 2 1 2
- 1 1 1 1 1 - 1
1 1 - 1 1 - 1 1
S i s e e v a l ú a n l o s d e t e r m i n a n t e s y s e t o m a l a t r a n s p u e s t a , l a m a t r i z a d j u n t a e s
P u e s t o q u e
A 1 - 1 1
A = - 1 1 1 = - 6
1 2 - 2
f t » r l o t a n t o , l a i n v e r s a d e A e s
A l r e s o l v e r l a s e c u a c i o n e s A - 1 6 s e o b t i e n e
1
" - 4 0 - 2 ~
X j
6
- 1 - 3 - 2
. * 3 -
v
_ - 3 - 3 o _
x, - - ¿ [ ( - 4 K - 1 ) + 0 ( - l ) + (-2 )(5 )] - 1
= —¿ K - l ) ( - l ) + ( - 3 ) ( - l ) + ( - 2 ) ( 5 ) | = l
x , = —il( —3)( —1) + ( - 3 ) ( - l ) + (0)(5)1 = - I
l \ > r s u p u e s t o , l o s c á l c u l o s n u m é r i c o s s e e x t i e n d e n m u c h o m á s p a r a
g r a n d e s c o n j u n t o s d e e c u a c i o n e s . P o r e s t a r a z ó n . e n e l a n á l i s i s e s t r u c t u r a l
s e u s a n c o m p u t a d o r a s p a r a d e t e r m i n a r l a i n v e r s a d e l a s m a t r i c e s .

645. A.5 M É T O O O D E G A U S S PA R A RESOLVER E C U A C IO N E S S IM U L T Á N E A S 6 2 3
A. 5 M étodo de Gauss para resolver
ecuaciones simultáneas
C u a n d o h a y q u e r e s o l v e r m u c h a s e c u a c i o n e s l i n e a l e s s i m u l t á n e a s , p u e d e
u s a r s e e l m é t o d o d e e l i m i n a c i ó n d e G a u s s d e b i d o a s u e f i c i e n c i a n u m é r i c a .
I - a a p l i c a c i ó n d e e s t e m é t o d o r e q u i e r e r e s o l v e r u n a e c u a c i ó n d e u n c o n ­
j u n t o d e n e c u a c i o n e s p a r a u n a i n c ó g n i t a , p o r e j e m p l o ,x v e n t é r m i n o s d e
t o d a s l a s o t r a s i n c ó g n i t a s . X j , x 3 , . . . . x n. A l s u s t i t u i r e s t a e c u a c i ó n l l a m a d a
e c u a c ió n p iv o t e e n l a s e c u a c i o n e s r e s t a n t e s d e j a u n c o n j u n t o d e n - 1
e c u a c i o n e s c o n n - 1 i n c ó g n i t a s . S i s e r e p i t e e l p r o c e s o r e s o l v i e n d o u n a d e
e s t a s e c u a c i o n e s p a r a x 2 e n t é r m i n o s d e l a s n - 2 i n c ó g n i t a s r e s t a n t e s , x 3 ,
x 4 , . . . , * „ , s e f o r m a l a s e g u n d a e c u a c i ó n p i v o t e . D c s p u é s . e s t a e c u a c i ó n s e s u s ­
t i t u y e e n l a s o t r a s e c u a c i o n e s , d e j a n d o u n c o n j u n t o d e n - 3 e c u a c i o n e s
c o n n — 3 i n c ó g n i t a s . E l p r o c e s o s e r e p i t e h a s t a q u e q u e d a u n a e c u a c i ó n
p i v o t e c o n u n a i n c ó g n i t a , q u e d e s p u é s s e r e s u e l v e . L a s d e m á s i n c ó g n i t a s s e
d e t e r m i n a n a l s u s t i t u i r s u c e s i v a m e n t e h a c i a a t r á s e n l a s e c u a c i o n e s p i v o t e
r e s t a n t e . P a r a m e j o r a r l a p r e c i s i ó n d e l a s o l u c i ó n , e n e l d e s a r r o l l o d e c a d a
e c u a c i ó n p i v o t e s e r e c o m i e n d a s e l e c c i o n a r s i e m p r e l a e c u a c i ó n d e l a s e r i e
q u e t e n g a e l m a y o r c o e f i c i e n t e n u m é r i c o p a r a u n a i n c ó g n i t a q u e s e e s t á
t r a t a n d o d e e l i m i n a r . E l p r o c e s o s e i l u s t r a r á c o n u n e j e m p l o .
R e s u e l v a e l s i g u i e n t e s i s t e m a d e e c u a c i o n e s m e d i a n t e l a e l i m i n a c i ó n
d e G a u s s :
- 2 x \ + 8x2 + 2*3 = 2 ( A - 1 7 )
2 * , - *2 + *3 = 2 ( A - 1 8 )
4 * , - 5 * 2 + 3 * 3 = 4 ( A - 1 9 )
S e i n i c i a r á c o n l a e l i m i n a c i ó n d e * , . E l m a y o r c o e f i c i e n t e d e * , e s t á e n
l a e c u a c i ó n A - 1 9 ; p o r c o n s i g u i e n t e , s e t o m a r á c o m o l a e c u a c i ó n p i v o t e . S i
s e r e s u e l v e p a r a * , , s c t i e n e
* , = 1 + 1 . 2 5 * 2 - 0 . 7 5 * 3 ( A - 2 0 )
A l s u s t i t u i r e n l a s e c u a c i o n e s A - 1 7 y A - 1 8 . p a r a d e s p u é s s i m p l i f i c a r ,
r e s u l t a
2 . 7 5 * 2 + 1 . 7 5 * 3 = 2 ( A - 2 1 )
1 . 5 * 2 “ 0 . 5 * 3 = 0 ( A - 2 2 )
A c o n t i n u a c i ó n s e e l i m i n a x ¿ . S e e l i g e l a e c u a c i ó n A-21 c o m o e c u a c i ó n
p i v o t e p o r q u e e l c o e f i c i e n t e d e x2 e s m a y o r a h í . S e t i e n e
* 2 = 0 . 7 2 7 - 0 . 6 3 6 * 3 ( A - 2 3 )
S i s e s u s t i t u y e e s t a e c u a c i ó n e n l a e c u a c i ó n A - 2 2 y s e s i m p l i f i c a , r e s u l t a l a
e c u a c i ó n p i v o t e f i n a l , q u e p u e d e r e s o l v e r s e p a r a x i . D e e s t o s e o b t i e n e *3
= 0 . 7 5 . A l s u s t i t u i r e s t e v a l o r e n l a e c u a c i ó n p i v o t e A - 2 3 d a x2 - 0 . 2 5 .
F i n a l m e n t e , a p a r t i r d e l a e c u a c i ó n p i v o t e A - 2 0 s e t i e n e q u e * , = 0 . 7 5 .

646. 6 2 4 A p é n d i c e A Á l g e b r a m a t r i c i a l p a r a e l a n á l i s i s e s t r u c t u r a l
P R O B L E M A S
' 3 6 " ‘ - i
2 ]
' 6 5 - l ‘ " 2- 1 - l "
A - 1 . S i A = 2 7 y b = 5 8 L d e t e r m i n e • A - 1 2 . S i A = 0 3 2 y B = 3 2 5
_ 4— 2 _ - 2
— J
_ 21 4 _2 4 6 .
2 A - B y A + 3 B . d e t e r m i n e A B .
3 5 - 2 6 4 - 3
A - 2 . S i A = 4 3 1 y b -3 2 - 2
_ 1 - 1 7 . . 5 1 6 _
d e t e r m i n e 3 A - 2 B y A - 2 B .
A - 1 3 . D e m u e s t r e q u e l a l e y d i s t r i b u t i v a e s v á l i d a , e s
d e c i r . A ( B + C ) = A B + A C s i A =
5 1 y B =
4 - 1 1
2 2 . d e t e r m i n e A B .
B =
2
- 1 c =
4
2
0
1 .
* A - 4 . S i A = d e t e r m i n e A B .
4 2 - 1
1 3 5 6 J ’
A - 1 4 . D e m u e s t r e q u e l a l e y a s o c i a t i v a e s v á l i d a , e s d e c i r .
A ( B C ) = ( A B ) C s i A =
C = [ 2 - 1 3 J .
2 5 1
- 5 6 0
B
(A + B)r = A r + B
A - 1 5 . E v a l ú e l o s d e t e r m i n a n t e s
A - 7 . S i A =
A - 8 . S i A =
2 3 6
5 9 2
-10 2
2 5
8 - 1
4 3
- I 6
5 7 2
1 8 2
-14 0
. d e t e r m i n e A + \ T.
• A - 1 6 . S i A =
2 5
4 - 1
A - 9 . S i A = | ^ ^ I . d e t e r m i n e A A r .
A - 1 0 . S i A =
d e t e r m i n e A B .
. d e t e r m i n e A A r .
3 5 1 ~
A - 1 7 . S i A = 4 - 12
_ 0 3 1 .
. d e t e r m i n e A -1
. d e t e r m i n e A
i
5 6 0 1
2
- 1 2
3 j y B =
-----------
1
o —
i
i
A - l l . S i A =
d e t e r m i n e A B .
2 5 - 1
3 2 5
y B =
2
5
- 1
A - 1 8 . R e s u e l v a l a s e c u a c i o n e s 4 x , + x 2 + x 3 = - 1 , - 5 x ,
+ 4 x j + 3 x 3 **• 4 . x , — 2 X j + x , “ 2 u s a n d o l a e c u a c i ó n
m a t r i c i a l * = A ’ C .
A - 1 9 . R e s u e l v a la s e c u a c i o n e s d e l p r o b l e m a A - 1 8 u s a n d o
e l m é t o d o d e e l i m i n a c i ó n d e G a u s s .
• A - 2 0 . R e s u e l v a l a s e c u a c i o n e s x , + 2 x ? - 2 * 3 = 5 . x , -
x 2 + JCy = - 1 . x , — x 2 - x 3 = 1 u s a n d o l a e c u a c i ó n m a t r i c i a l
x = A ' C .
A - 2 1 . R e s u e l v a la s e c u a c i o n e s d e l p r o b l e m a A - 2 0 u s a n d o
e l m é t o d o d e e l i m i n a c i ó n d e G a u s s .

647. Procedimiento general
para usar el software
de análisis estructural
APÉNDICE
B
E n l a a c t u a l i d a d e x i s t e n p r o g r a m a s p o p u l a r e s d e s o f t w a r e p a r a a n á l i s i s
e s t r u c t u r a l c o m o S T A A D , R I S A , S A P , e t c é t e r a ; t o d o s e l l o s b a s a d o s e n e l
m é t o d o d e a n á l i s i s d e l a m a t r i z d e r i g i d e z , q u e s e d e s c r i b e e n l o s c a p í t u l o s
1 3 a 1 5 . * A u n q u e c a d a p r o g r a m a t i e n e u n a i n t e r f a z u n p o c o d i f e r e n t e ,
t o d o s r e q u i e r e n q u e e l o p e r a d o r i n t r o d u z c a d a t o s r e l a c i o n a d o s c o n l a
e s t r u c t u r a .
A c o n t i n u a c i ó n s e d e s c r i b e u n p r o c e d i m i e n t o g e n e r a l p a r a u s a r c u a l ­
q u i e r a d e e s t o s p r o g r a m a s .
Pasos preliminares. A n t e s d e e m p l e a r c u a l q u i e r p r o g r a m a , e s n e c e ­
s a r i o p r i m e r o i d e n t i f i c a r n u m é r i c a m e n t e l o s e l e m e n t o s y a r t i c u l a c i o n e s ,
l l a m a d a s n o d o s . d e l a e s t r u c t u r a y e s t a b l e c e r l o s s i s t e m a s d e c o o r d e n a d a s
g l o b a l e s y l o c a l e s c o n e l f i n d e e s p e c i f i c a r l a g e o m e t r í a d e l a e s t r u c t u r a y
l a c a r g a . P a r a e l l o , q u i z á d e s e e h a c e r u n b o s q u e j o d e l a e s t r u c t u r a y e s p e ­
c i f i c a r c a d a e l e m e n t o c o n u n n ú m e r o e n c e r r a d o e n u n c u a d r a d o , y u s a r
u n n ú m e r o d e n t r o d e u n c í r c u l o p a r a i d e n t i f i c a r l o s n o d o s . E n a l g u n o s
p r o g r a m a s t a m b i é n d e b e n i d e n t i f i c a r s e l o s e x t r e m o s “ c e r c a n o " y " l e j a ­
n o " d e l o s e l e m e n t o s . E s t o s e h a c e m e d i a n t e u n a f l e c h a t r a z a d a a l o l a r g o
d e l e l e m e n t o , c o n l a p u n t a d e l a f l e c h a d i r i g i d a h a c i a e l e x t r e m o l e j a n o .
E n l a s f i g u r a s B - l , B - 2 y B - 3 s e m u e s t r a l a i d e n t i f i c a c i ó n d e l o s e l e m e n ­
t o s , l o s n o d o s y l a “ d i r e c c i ó n " p a r a u n a a r m a d u r a p l a n a , u n a v i g a , y u n
m a r c o p l a n o . E n l a f i g u r a B 1 . e l n o d o © e s t á e n e l " e x t r e m o c e r c a n o " d e l
e l e m e n t o 0 ] y e l n o d o © e s t á e n s u “ e x t r e m o l e j a n o ” . E s t a s a s i g n a c i o n e s
p u e d e n h a c e r s e a r b i t r a r i a m e n t e . S i n e m b a r g o , o b s e r v e q u e l o s n o d o s d e
l a a r m a d u r a s i e m p r e e s t á n e n l a s a r t i c u l a c i o n e s , p u e s t o q u e e s d o n d e s e
a p l i c a n l a s c a r g a s y d o n d e d e b e n d e t e r m i n a r s e l o s d e s p l a z a m i e n t o s y l a s
f u e r z a s e n l o s e l e m e n t o s . P a r a l a s v i g a s y l o s m a r c o s , l o s n o d o s s e
e n c u e n t r a n e n l o s s o p o r t e s , e n u n a e s q u i n a o j u n t a , e n u n p a s a d o r i n t e r ­
n o , o e n u n p u n t o d o n d e d e b e d e t e r m i n a r s e e l d e s p l a z a m i e n t o l i n e a l o
d e r o t a c i ó n , f i g u r a s B - 2 y B - 3 .
C o m o l a s c a r g a s y l o s d e s p l a z a m i e n t o s s o n c a n t i d a d e s v e c t o r i a l e s , e s
n e c e s a r i o e s t a b l e c e r u n s i s t e m a d e c o o r d e n a d a s a f i n d e p r e c i s a r e l s e n t i ­
d o c o r r e c t o d e l a d i r e c c i ó n . A q u í d e b e n u s a r s e d o s t i p o s d e s i s t e m a s d e
c o o r d e n a d a s .
Coordenadas globales. U n s o l o s is t e m a d e c o o r d e n a d a s g l o b a le s
o d e l a e s t r u c t u r a, q u e u s a l o s e j e s d e r e c h o s x , y , z, s e e m p l e a p a r a e s p e c i ­
f i c a r l a u b i c a c i ó n d e c a d a n o d o c o n r e s p e c t o a l o r i g e n y p a r a i d e n t i f i c a r e l
s e n t i d o d e c a d a u n a d e l a s c a r g a s e x t e r n a s y d e l o s c o m p o n e n t e s d e l d e s ­
p l a z a m i e n t o e n l o s n o d o s . R e s u l t a c o n v e n i e n t e u b i c a r e l o r i g e n e n u n
n o d o . d e m o d o q u e t o d o s l o s d e m á s n o d o s t e n g a n c o o r d e n a d a s p o s i t i v a s .
V e a c a d a u n a d e l a s f i g u r a s .
L o s l i b r o s r e l a c i o n a d o s c o n e l a n á l i s i s m a t r i c i a l p r e s e n t a n u n a c o b e r t u r a m á s c o m p l e t a
d e e s t e m é t o d o , i n c l u i d o s l o s e f e c t o s d e l a t o i s i ó n e n m a r c o s t r i d i m e n s i o n a l e s .
6 2 5

648. 6 2 6 Ap é n d i c e B P r o c e d i m i e n t o g e n e r a l p a r a u s a r e l s o f t w a r e d e a n á l i s i s e s t r u c t u r a l
3 0 0 n
b | ® a
I
-------------m — ^ 121 i *
|— 1 . 5 m — |—15 m — |
----------2 m 1
F i g u r a B - 2
x '
Figura B-3
x
Coordenadas locales. U n s is t e m a d e c o o r d e n a d a s lo c a le s o d e l
e le m e n t o s e u s a p a r a e s p e c i f i c a r l a u b i c a c i ó n y d i r e c c i ó n d e l a s c a r g a s
e x t e r n a s q u e a c t ú a n s o b r e l o s e l e m e n t o s d e l a v i g a y e l m a r c o o d e c u a l ­
q u i e r o t r a e s t r u c t u r a , a f i n d e p r o p o r c i o n a r u n a f o r m a d e i n t e r p r e t a r l o s
r e s u l t a d o s c a l c u l a d o s p a r a l a s c a r g a s i n t e r n a s q u e a c t ú a n e n l o s n o d o s d e
c a d a e l e m e n t o . E s t e s i s t e m a p u e d e i d e n t i f i c a r s e u s a n d o l o s e j e s d e r e c h o s
x ' . y ' . z ’ c o n e l o r i g e n e n e l n o d o " c e r c a n o " y e l e j e x ' e x t e n d i é n d o s e a l o
l a r g o d e l e l e m e n t o h a c i a e l n o d o " l e j a n o ” . E n l a s f i g u r a s B - l y B - 3 , r e s ­
p e c t i v a m e n t e , s e m u e s t r a u n e j e m p l o p a r a e l e l e m e n t o 4 d e u n a a r m a d u ­
r a y e l e l e m e n t o 3 d e u n m a r c o .
Operación del programa. Q i a n d o u n p r o g r a m a s e e j e c u t a ,
d e b e a p a r e c e r u n m e n ú q u e p e r m i t a v a r i a s s e l e c c i o n e s p a r a i n t r o d u c i r
l o s d a t o s y o b t e n e r l o s r e s u l t a d o s . A c o n t i n u a c i ó n s e e x p l i c a n l o s c o m p o ­
n e n t e s u s a d o s p a r a l o s d a t o s d e e n t r a d a . P a r a c u a l q u i e r p r o b l e m a , a s e g ú ­
r e s e d e u s a r u n c o n j u n t o c o n s i s t e n t e d e u n i d a d e s p a r a l a s c a n t i d a d e s
n u m é r i c a s .
Información de la estructura general. f t > r l o g e n e r a l , e s t e
c o m p o n e n t e d e b e s e l e c c i o n a r s e e n p r i m e r l u g a r a f i n d e a s i g n a r l e u n
t í t u l o a l p r o b l e m a e i d e n t i f i c a r e l t i p o d e e s t r u c t u r a a a n a l i z a r a r m a d u r a ,
v i g a o m a r c o .
Datos del nodo. I n t r o d u c i r u n o a u n o e l n ú m e r o d e c a d a n o d o y
l a s c o o r d e n a d a s g l o b a l e s d e s u s e x t r e m o s c e r c a n o y l e j a n o .
Datos del elemento. I n t r o d u c i r u n o a u n o e l n ú m e r o d e c a d a e l e ­
m e n t o , l o s n ú m e r o s d e l o s n o d o s c e r c a n o y l e j a n o , y l a s p r o p i e d a d e s d e l
e l e m e n t o . £ ( m ó d u l o d e e l a s t i c i d a d ) . A ( á r e a d e l a s e c c i ó n t r a n s v e r s a ! )
d o 1 ( e l m o m e n t o d e i n e r c i a y / o e l m o m e n t o p o l a r d e i n e r c i a u o t r o t i p o
d e c o n s t a n t e d e t o r s i ó n a d e c u a d a n e c e s a r i a p a r a l o s m a r c o s t r i d i m e n s i o ­
n a l e s * ) . S i e s t a s p r o p i e d a d e s d e l e l e m e n t o s o n d e s c o n o c i d a s , e n t o n c e s
s i e m p r e q u e l a e s t r u c t u r a s e a e s t á t i c a m e n t e d e t e r m i n a d a , e s t o s v a l o r e s
p u e d e n e s t a b l e c e r s e i g u a l e s a u n o . S i l a e s t r u c t u r a e s e s t á t i c a m e n t e i n d e ­
t e r m i n a d a e n t o n c e s l a e s t r u c t u r a n o d e b e t e n e r a s e n t a m i e n t o e n l o s
• C o n m u c h a f r e c u e n c ia p u e d e s e le c c io n a r s e f o r m a e s t r u c t u r a l d a d a , p o r e j e m p l o u n p e r f i l
d e a l a a n c h a o W , s i e l p r o g r a m a t ie n e u n a b a s e d e d a t o s c o n s u s p r o p ie d a d e s g e o m é t r ic a s .

649. Ap é n d i c e B P r o c e d i m i e n t o g e n e r a l p a r a u s a r e l s o f t w a r e d e a n á l i s i s e s t r u c t u r a l
s o p o r t e s y l o s e l e m e n t o s d e b e n t e n e r l a m i s m a á r e a e n s u s e c c i ó n t r a n s ­
v e r s a l y e s t a r h e c h o s d e l m i s m o m a t e r i a l . E n t o n c e s , l o s r e s u l t a d o s c a l c u ­
l a d o s p r o p o r c i o n a r á n l a s r e a c c i o n e s c o r r e c t a s y l a s f u e r z a s i n t e r n a s , p e r o
n o e l d e s p l a z a m i e n t o c o r r e c t o .
S i u n a a r t i c u l a c i ó n i n t e r n a o u n p a s a d o r c o n e c t a a d o s e l e m e n t o s d e
u n a v i g a o u n m a r c o , e n t o n c e s d e b e e s p e c i f i c a r s e l a l i b e r a c i ó n d e l
m o m e n t o e n e s e n o d o . P o r e j e m p l o , e l e l e m e n t o 3 d e l m a r c o q u e s e
m u e s t r a e n l a f i g u r a B - 3 t i e n e u n p a s a d o r e n e l n o d o l e j a n o , 4 . D e l
m i s m o m o d o , e s t e p a s a d o r t a m b i é n p u e d e i d e n t i f i c a r s e e n e l n o d o c e r c a ­
n o d e l e l e m e n t o 4 .
DatOS del soporte. S e i n t r o d u c e n u n o a u n o l o s n o d o s u b i c a d o s e n
u n s o p o r t e , i n d i c a n d o l a s d i r e c c i o n e s d e l a s c o o r d e n a d a s g l o b a l e s e n d o n d e
s e p r o d u c e n l a s r e s t r i c c i o n e s . P o r e j e m p l o , d a d o q u e e l n o d o 5 d e l m a r c o
d e l a f i g u r a B - 3 e s u n s o p o r t e f i j o . s e i n t r o d u c e u n c e r o e n l a s d i r e c c i o n e s
( d e r o t a c i ó n ) x , y y z ; s i n e m b a r g o , s i e s t e s o p o r t e s e a s i e n t a 0 . 0 0 3 m h a d a
a b a j o , e n t o n c e s e l v a l o r i n t r o d u d d o p a r a y d e b e r í a s e r - 0 . 0 0 3 .
Datos de la carga. L a s c a r g a s s e e s p e c i f i c a n , y a s e a e n l o s n o d o s
o e n l o s e l e m e n t o s . I n t r o d u z c a l o s v a l o r e s a l g e b r a i c o s d e \a s c a r g a s n o d a ­
l e s e n r e l a c i ó n c o n l a s c o o r d e n a d a s g lo b a le s . P o r e j e m p l o , p a r a l a a r m a ­
d u r a d e l a f i g u r a B - l , l a c a r g a e n e l n o d o 2 e s t á e n l a d i r e c d ó n y y t i e n e
u n v a l o r d e - 2 0 0 . P a r a l o s e le m e n t o s d e v i g a s y m a r c o s , l a s c a r g a s y s u
u b i c a c i ó n s e r e f c r e n c i a n u s a n d o l a s c o o r d e n a d a s l o c a l e s . P o r e j e m p l o , l a
c a r g a d i s t r i b u i d a s o b r e e l e l e m e n t o 2 d e l a e s t r u c t u r a m o s t r a d a e n l a f i g u ­
r a B - 3 s e e s p e c i f i c a c o n u n a i n t e n s i d a d d e - 4 0 0 N / m u b i c a d a a 0 . 7 5 m
d e l n o d o 2 y - 4 0 0 N / m u b i c a d a a 3 m d e e s t e n o d o .
Resultados. U n a v e z q u e s e i n t r o d u c e n t o d o s l o s d a t o s , e n t o n c e s e s
p o s i b l e r e s o l v e r e l p r o b l e m a . S e o b t i e n e n l a s r e a c c i o n e s e x t e r n a s s o b r e
l a e s t r u c t u r a y l o s d e s p l a z a m i e n t o s y c a r g a s i n t e r n a s e n c a d a n o d o .
C ó m o u n a c o m p r o b a c i ó n p a r d a l d e l o s r e s u l t a d o s , c o n f r e c u e n c i a s e d a
u n a v e r i f i c a c i ó n e s t á t i c a e n c a d a u n o d e l o s n o d o s . E s m u y i m p o r t a n t e
q u e n o c o n f í e t o t a l m e n t e e n l o s r e s u l t a d o s o b t e n i d o s . E n v e z d e e l l o ,
s e r í a c o n v e n i e n t e r e a l b a r u n a n á l i s i s e s t r u c t u r a l i n t u i t i v o p a r a c o n t r o l a r
a ú n m á s l a s r e s p u e s t a s . D e s p u é s d e t o d o , e l i n g e n i e r o e s t r u c t u r a l d e b e
a s u m i r t o d a l a r e s p o n s a b i l i d a d , t a n t o d e l m o d e l a d o c o m o d e l c á l c u l o d e
l o s r e s u l t a d o s f i n a l e s .

650. Soluciones parciales y respuestas
a los problemas fundamentales
C a p ítu lo 2
F 2 - 1 . l + S Wi4 = 0 : 6 0 - F * c ( j ) ( 4 ) = 0 F K = 2 5 . 0 k N
1 + 2 M „ = 0 ; 6 0 - i 4 , ( 4 ) = 0 A y = 1 5 .0 k N Resp.
X 2F , = l>. A , - 25.0(3) = 0 A , = 2 0 . 0 k N Resp.
B , = C , = 2 5 . 0 ( 1 ) = 2 0 . 0 k N B y = C y = 2 5 . 0 ( $ ) = 1 5 . 0 k N Resp.
F 2 - 2 . \,+ 1 Ma = 0\
l + 2 M « = 0 ;
X l F , = 0.
Fb c s e n 4 5 ° ( 4 ) - 1 0 ( 4 ) ( 2 ) = 0 F BC =
20
k N
s e n 4 5 °
1 0 ( 4 ) ( 2 ) - A y(4 ) = 0 A , = 2 0 . 0 k N Resp.
\ s c n 4 5 ° /
fl. = M ^ ) (cos* ’ ) = 20 0 kN
fl' = c' = ( í ñ v ) (sen45”) = 20-0kN
( e o s 4 5 ° ) = 0 A , = 2 0 . 0 k N Resp.
Resp.
Resp.
F a c s e n 6 0 ° ( 4 ) - 1 0 ( 2 ) ( 1 ) = 0 F K = k NF 2 - 3 . l + 2 M ^ = 0;
1 + 2 A Í a = 0;
X 2F , = 0 ; ( — J(cos 6 0 ú ) - A , = 0 A , = 2 . 8 9 k N Resp.
\ s e n 60 /
8- = c' = (¡¡sW )(a>s60") = 28,kN
fi’ = c' = ( ííW ) (sen60", = 5'0ükN
s e n 6 0 °
1 0 ( 2 ) { 3 ) - A y(4 ) = 0 A y = 1 5 . 0 k N Resp.
Resp.
Resp.
F 2 - 4 .E l e m e n t o A C
t + 2 W c = 0 ;
1 + 2 M m = 0;
E l e m e n t o B C
X l F , = 0,
+ Í 2 F , = 0 ;
l + 2 A f f l = 0 ;
1 0 ( 3 ) - Na(4 ) = 0 Na = 7 . 5 0 k N t f e s p .
C r ( 4 ) - 1 0 ( 1 ) = 0 C y = 2 5 0 k N
B x = 0 Resp.
B r - 2 . 5 0 - 8 ( 2 ) = 0 B , = 1 8 .5 k N Resp.
2 . 5 0 ( 2 ) + 8 ( 2 ) ( 1 ) - M a = 0 = 2 1 . 0 k N - m Z í e s p .

651. So l u c i o n e s p a r c i a l e s y r e s p u e s t a s a l o s p r o b l e m a s f u n d a m e n t a l e s 6 2 9
F 2 - 5 . I + ? M a = O . F s c ( i ) ( 4 ) + F K ( Í X3 ) - 3 0 0 ( 2 ) = 0 P K = 1 2 5 I b
X Y F , = G A , - 125(1) = 0 = 1 0 0 I b
+ T 2 F , = 0 ; A , + 1 2 5 ( | ) - 3 0 0 = 0 A , = 2 2 5 I b
B , = C , = 1 2 5 ( | ) = 1 0 0 Ib
B , = C , = 1 2 5 ( ^ ) = 7 5 . 0 I b
F 2 - 6 . l + Z M c = G
X Z P M = G
+ Í 2 F , = 0 ;
6 ( 2 ) + 2 ( 2 ) - Na(4 ) = 0 i V ^ = 4 . 0 0 k N
C , - 2 = 0 C , = 2 0 0 k N
C . + 4 . 0 0 - 6 = 0 C , = 2 0 0 k N
Resp.
Resp.
Resp.
Resp.
Resp.
Resp.
Resp.
* 2 - 7 .
8 k N 8 k N
E l e m e n t o A B
Í + S Ma = G B , (4 ) - B y(3 ) - 3 ( 5 ) ( 2 . 5 ) = 0
H c m c n t o B C D
Í + ' L Md = G 8 ( 2 ) + 8 ( 4 ) - B , (4 ) - B , (6 ) = 0
B , = 1 0 . 2 5 k N f l 4 = 1 . 1 6 7 k N = 1 . 1 7 k N Resp.
E l e m e n t o A B
X Z F , = G
+ t 2 f r = 0 ;
E l e m e n t o B CD
X * F , = G
+ T 2 F , = 0 ;
- A t + 3 ( 5 ) ( j ) - 1 0 . 2 5 = 0 A , = 1 . 7 5 k N / t e s p .
- ( 3 ) ( 5 ) ( ^ ) - 1 . 1 6 7 = 0 Ar = 1 0 .1 6 7 k N = 1 0 . 2 k N Resp.
1 0 . 2 5 - Dm = 0 D , = 1 0 . 2 5 k N Resp.
D , + 1 .1 6 7 - 8 - 8 = 0 Dy = 1 4 .8 3 3 k N = 1 4 .8 k N Resp.

652. 630 So l u c i o n e s p a r c i a l e s y r e s p u e s t a s a l o s p r o b l e m a s f u n d a m e n t a l e s
F 2 - 8 .
Elemento A B
1 + 2 * 4 - 0 ;
\,+ Z Mh = 0 ;
Elemento B C
X XF, = o.
l+XA#c = 0;
l + X A / « = 0 ;
Elemento A B
+ t X 5 , = 0 ;
Elemento CD
- Í 2 F , = 0 .
+ Í X F , = 0 ;
l + X M o = 0 ;
i
6 m
-o,
M 0
D -
5 ,( 6 ) - 4(3) = 0 B , = ZOO kN Resp.
4(3) - -4,(6) = 0 A , = ZOO kN Resp.
ZOO - C , = 0 C , = ZOO kN Resp.
6(2) + 6 (4) - 5 ,(6 ) = 0 5 , = 6.00 kN Resp.
C , (6 ) - 6(2) - 6(4) = 0 C , = 6 0 0 kN Resp.
A y - 6 0 0 = 0 A y = 6.00 kN Resp.
ZOO - D x = 0 D , = ZOO kN Resp.
D y - 6 0 0 = 0 D y = 600 kN Resp.
Md ~ Z 0 0 ( 6 ) = 0 M d - 1 2 . 0 k N • m Resp.

653. So l u c i o n e s p a r c i a l e s y r e s p u e s t a s a l o s p r o b l e m a s f u n d a m e n t a l e s 6 3 1
F 2 - 9 .
0 . 5 ( 6 ) k
E l e m e n t o A f í
i + 2 M A = 0; B , (6) - 0.5(6)(3) = 0 B , = 1.50k Resp.
= 0; 0.5(6)(3) - -4,(6) = 0 A , = 1.50 k Resp.
E l e m e n t o B C
i+2Mc = 0; 2(8)(4) - By(8) - 0 B y = 8.00k Resp.
[t+2Mfí = 0\ Cy{S) - 2(8)(4) = 0 C y = 8.00 k Resp.
2Fm = Ot 1-50 - C , = 0 C, = 1.50 k Resp.
E l e m e n t o A B
+ t 2Fy = 0; A y — 800 = 0 A y = 8.00 k Resp.
E l e m e n t o C D
X 2 . F , = 0; 1.50 - D , = 0 D , = 1.50 k Resp.
+ t 2 F y = 0; D y - 8.00 = 0 D y = 8.00 k Resp.
i,+ 2MD= 0, Md - 1.50(4) = 0 M D = 6.00 k - pie Resp.

654. 6 3 2 S o l u c i o n e s p a r c i a l e s y r e s p u e s t a s a l o s p r o b l e m a s f u n d a m e n t a l e s
F 2 - 1 0 .
E l e m e n t o B C
|,+ 2 Mb = 0 ; C , ( 6 ) - 8 ( 2 ) - 8 ( 4 ) - 6 ( 6 ) = 0 C y = 1 4 . 0 k N Resp.
1 + 2M c = 0 ; 8 ( 2 ) + 8 ( 4 ) + 6 ( 6 ) - B y{6 ) = 0 B , = 1 4 . 0 k N Resp.
E l e m e n t o A B
= 0;
X * F , = O.
+ U F , = 0 ;
B , = 0 Resp.
A , = 0 Resp.
A y - 1 4 . 0 = 0 A , = 1 4 . 0 k N Resp.
E l e m e n t o B C
X Z E , = O. C , = 0 Resp.
E l e m e n t o C D
- Í Z F , = 0 ;
+ U F f = 0 ;
l + Z A f 0 = 0 ;
D , - 1 . 5 ( 6 ) = 0 D , = 9 . 0 0 k N Resp.
D y - 1 4 . 0 = 0 D y = 1 4 .0 k N Resp.
1.5(6)(3) - M o = 0 M o = 27.0 kN • m Resp.

655. So l u c i o n e s p a r c i a l e s y r e s p u e s t a s a l o s p r o b l e m a s f u n d a m e n t a l e s 6 3 3
F 3 - I .
J u m a B
F 3 -2 .
J u n t a C
1 3 - 3 .
J u n t a C
'LF, = 0 ; 4 0 - Fcb{Í) = 0 FCB = 5 0 . 0 k N ( C ) Resp.
4 0 + 1 = 0 ; 5 0 . 0 ( 3 ) - FCA = 0 F C a = 3 0 . 0 k N ( T ) Resp.
VCB = 5 0 .0 k N X Z F , = 0 ; 5 0 . 0 ( 3 ) - F , , * = 0 F BA = 4 0 . 0 k N ( T ) Resp.
N *
J u n t a F
£
f m R
6 k N
+ T 2 F w = 0 ; J V « - 5 0 . 0 ( 3 ) = 0 = 3 0 . 0 k N
+ T SF y = 0 ; F a c s e n 4 5 ° - 6 = 0 = 8 . 4 8 5 k N ( T ) = 8 4 9 k N ( T ) Resp.
± > 2 F , = 0; F fl„ - 8 . 4 8 5 e o s 4 5 ° = 0 F BA = 6 . 0 0 k N ( C ) Resp.
F f O C
Í 2 F , = 0 ;
+ Í 2 F , , = 0 ;
8 . 4 8 5 e o s 4 5 ° - F c o = 0
- 8 4 8 5 s e n 4 5 ° = 0
F Cd = 6 . 0 0 k N ( T )
Fc a = 6 . 0 0 k N ( C )
Resp.
Resp.
J
\ | 4 5 "
8 .4 8 5 k N
J u n t a C
C
1 0 k N
■
Í Z F , = 0 ;
+ U F y = 0 ;
1 0 - F c „ c o s 4 5 ° = 0
F CB - 1 4 . 1 4 s e n 4 5 ° = 0
F Cn = 1 4 . 1 4 k N ( T ) =
Fc b = 1 0 .0 k N ( C )
1 4 .1 k N ( T ) Resp.
Resp.
4 y / 3
F c o
F c »
1 4 J 4 k N V í F * = O.
\ ü / \ + 2 / y = 0 ;
J u n t a D
1 4 . 1 4 - F D a = 0 F D , * = 1 4 . 1 4 k N ( T ) = 1 4 .1 k N ( T ) Resp.
F / i b ~ 0 Resp.

656. 6 3 4 S o l u c i o n e s p a r c i a l e s y r e s p u e s t a s a l o s p r o b l e m a s f u n d a m e n t a l e s
J u n t a fí
-
1 0 k N
R
X 2 F , = 0 ;
+ f Z F , = 0 ;
F a a = 0
Nh - 1 0 . 0 = 0/ V „ = 1 0 . 0 kN
Resp.
1
,
F 3 - 4 . J u n t a D
2 k
n f o c
• Í E F , = 0 ;
+ Í S F , = 0 ;
F o c - 2 = 0
F D A = 0
F ^ = 2 0 0 k (T ) Resp.
Resp.
F#>x
J u n t a C
F CB
X Z F , = 0 ; ^ C a ( | ) “ 2 = 0 Fc a = 3 . 3 3 3 k ( C ) = 3 . 3 3 k ( C ) Resp.
+ 1 l F r = 0 ; 3 . 3 3 3 { | ) - F CB = 0 ^ c a = 2 . 6 6 7 k ( T ) = 2 6 7 k ( T ) / fe s p .
J u n t a .4
3 3 3 3 k =
+ T2F,*0;
F x »
N x
F x f l - 3 . 3 3 3 ( Í ) = 0 F x a = Z 0 0 k ( T )
N x - 3 . 3 3 3 ( | ) = 0 Na = 2 6 6 7 k
Resp.
F 3 - 5 . J u n t a / )
F w
F o x
X l . F , = 0 ;
+ t 2 F r = 0 ;
F o c = 0
* D A « 0
Resp.
Resp.
J u n t a C
■ i 1 F , = O , 8 e o s 6 0 ° - F C x e o s 4 5 ° = 0 F C Á = 5 . 6 5 7 k N ( T ) = 5 . 6 6 k N ( T)R e sp
+ T 2 F , = 0 ; F Ch - 5 . 6 5 7 s e n 4 5 ° - 8 s e n 6 0 “ = 0 F c a = 1 0 .9 3 k N ( C ) = 1 0 .9 k N (C )R e sp .
6 0 °
8 k N

657. So l u c i o n e s p a r c i a l e s y r e s p u e s t a s a l o s p r o b l e m a s f u n d a m e n t a l e s 6 3 5
J u n t a f í
I
1A B
1 0 .9 3 k N
N s
± > X F , = 0 ;
+ Í Z F r = 0 ;
Fab = 0
Nb = 1 0 .9 3 k N
Resp.
F 3 - 6 . T o d a l a a r m a d u r a
J u n t a E
l + S A f 4 = 0 ; E¿8) - 6 0 0 ( 2 ) - 8 0 0 ( 4 ) - 6 0 0 ( 6 ) = 0 E, = 1 0 0 0 N
+ T 2 F , = 0 1 0 0 0 - Fe fs e n 4 5 ° = 0 F E F = 1 4 1 4 . 2 1 N ( C ) = 1 .4 1 k N ( C ) Resp.
= 0 ; 1 4 1 4 2 1 e o s 4 5 ° - F ED = 0 F ED = 1 0 0 0 N ( T ) = 1 . 0 0 k N ( T ) Resp.
J u n t a F
2 F , = 0 ; Ff c - 1 4 1 4 . 2 1 e o s 4 5 ° = 0 P K = 1 0 0 0 N ( C ) = 1 . 0 0 k N ( C ) Resp.
+ ] l F y = O , 1 4 1 4 . 2 1 s e n 4 5 ° - F FD = 0 F n = 1 0 0 0 N ( T ) = 1 . 0 0 k N ( T ) Resp.
J u n t a D
~ ix 1 0 0 0 N + T 2 F r = 0 1 0 0 0 - 6 0 0 - F 0 0 X 0 4 5 ° = 0 F ¡ x ; = 5 6 5 . 6 9 N ( C ) = 5 6 6 N ( C ) Resp.
1 0 0 0N ^ = °*> 1(K W + 5 6 5 . 6 9 e o s 4 5 ° - F p c = 0 F q c = 1 4 0 0 N ( T ) = 1 . 4 0 k N ( T ) Resp.
6 0 0 N
J u n t a C
f e a
8 0 0 N
F c c - 8 0 0 = 0 Fqq = 8 0 0 N ( T ) Resp.+ Í 2 F , = 0 .
D e b i d o a l a s i m e t r í a ,
Fb c » Fd c= 1 . 4 0 k N ( T ) P & = Fd g = 5 6 6 N ( C ) F HG = Ff c = 1 . 0 0 k N ( C ) Resp.
Fh b = Ff d = 1 . 0 0 k N ( T ) Fa h = Fe f = 1 .4 1 k N ( C ) F ^ = F ED = 1 . 0 0 k N ( T ) Resp.

658. 6 3 6 S o l u c i o n e s p a r c i a l e s y r e s p u e s t a s a l o s p r o b l e m a s f u n d a m e n t a l e s
r v - 7 .
F3-8.
J u n t a H
P a r a t o d a l a a r m a d u r a
l + Z M # r = 0 ; 2 ( 5 ) + 2 ( 1 0 ) + 2 ( 1 5 ) - / l . ( 2 0 ) = 0 A y = 3 . 0 0 k
+
' I F , = O. A , = 0
P a r a e l s e g m e n t o i z q u i e r d o
+ í 2 F , = 0 ; 3 . 0 0 - 2 - ^ f l C s e n 4 5 ° = 0 = L 4 1 k ( C )
t + S A f f l = 0 ; F H<!( 5 ) - 3 ( 5 ) = 0 F H G = a 0 0 k ( C )
l + Z A f c = 0 ; F w . ( 5 ) + 2 ( 5 ) - 3 . 0 0 ( 1 0 ) = 0 = 4 0 0 k ( T )
Resp.
Resp.
Resp.
2 . 0 k
P a r a t o d a l a a r m a d u r a
l + S M f = 0 ; 6 0 0 ( 1 6 ) + 6 0 0 ( 1 2 ) + 6 0 0 ( 8 ) + 6 0 0 ( 4 ) - . 4 , ( 1 6 ) = 0
¿ 1 ^ = 0 ; A , = 0
P a r a e l s e g m e n t o i z q u i e r d o
l + 2 A / c = 0 ; F „ , (3 ) + 6 0 0 ( 4 ) + 6 0 0 ( 8 ) - 1 5 0 0 ( 8 ) = 0
1 + 2M , = 0 ; F f lc < 3 ) + 6 0 0 ( 4 ) - 1 5 0 0 ( 4 ) = 0
A y = 1 5 0 0 I b
F , „ = 1 6 0 0 I b ( C )
Fb c = 1 2 0 0 I b ( T )Resp.
6 0 0 1 b 6 0 0 1 b
6 0 0 1 b
1 6 0 0 1 b F „ o
^ * F , = 0 ;
+ T S F , = 0 ;
1 6 0 0 - F „ c = 0 Fh g = 1 6 0 0 I b ( C )
F „ c - 6 0 0 = 0 F „ c = 6 0 0 I b ( C )
Resp.
Resp.
F „ c

659. So l u c i o n e s p a r c i a l e s y r e s p u e s t a s a l o s p r o b l e m a s f u n d a m e n t a l e s 6 3 7
F 3 - 9 .
1 3 - 1 0 .
P a r a t o d a l a a r m a d u r a
t + 2 i V / ^ = 0 ; N c ( 4 ) - 8 ( 2 ) - 6 ( 2 ) = 0
C o n s i d e r e e l s e g m e n t o d e r e c h o
+ l 2 . F y = 0 ; 7 . 0 0 - Fa „ s e n 4 5 ° = 0
= 0 ; 7 . 0 0 ( 2 ) - 6 ( 2 ) - F ED(2 ) = 0
l + 2 M D = 0 . 0 - Fbc(2 ) = 0
N c = 7 . 0 0 k N
I'bd = 9 £ 9 9 k N ( T ) = 9 . 9 0 k N ( T ) Resp.
Fe d = 1 . 0 0 k N ( C ) R e sp
Fb c = 0 Resp.
P a r a t o d a l a a r m a d u r a
= 0 ; N e (3 2 ) - 4 0 0 ( 8 ) - 4 0 0 ( 1 6 ) - 4 0 0 ( 2 4 ) - 4 0 0 ( 3 2 ) = 0 N E = 1 0 0 0 I b
C b n s i d e r e e l s e g m e n t o d e r e c h o
t + X i W £ = 0 ; 4 0 0 ( 8 ) - F c , ( $ ) ( 1 6 ) = 0 Fc f = 3 3 3 . 3 3 I b ( C ) = 3 3 3 I b ( C ) Resp.
i + S M c = 0 ; 1 0 0 0 ( 1 6 ) - 4 0 0 ( 1 6 ) - 4 0 0 ( 8 ) - Fc f( Í ) [ 1 6 ) = 0 Fg f = 6 6 6 6 7 I b ( C ) = 6 6 7 I b ( C ) R esp .
i + l M F = (y. 1 0 0 0 ( 8 ) - 4 0 0 ( 8 ) - Fc d(6 ) = 0 F CD = 8 0 0 I b ( T ) Resp.

660. 6 3 8 S o l u c i o n e s p a r c i a l e s y r e s p u e s t a s a l o s p r o b l e m a s f u n d a m e n t a l e s
F 3 - 1 1 . P a r a t o d a l a a r m a d u r a
1 + 1 Ma = 0 ; Nd{6 ) - 2(6) - 4 ( 3 ) = 0 ND = 4 0 0 k N
C o n s i d e r e e l s e g m e n t o d e r e c h o
+ 1 2 F y = 0 ; 4 . 0 0 - 2 - F Ks e n 4 5 ° = 0 Ff c = 2 8 2 8 k N ( C ) = 2 8 3 k N ( C )
[ + S M f = 0 ; 4 . 0 0 ( 3 ) - 2 ( 3 ) - F f l C ( 1 . 5 ) = 0 f W = 4 . 0 0 k N ( T )
| , + 2 : M C = 0 ; 4 . 0 0 ( 1 . 5 ) - 2 ( 1 . 5 ) - Ff e( I . S ) = 0 Ff e = 2 0 0 k N (C)
2 k N
Para toda la arm adura
t+XAf* = 0; Nd 16) - 500(4) - 500(8) - 500(12) = 0 NB = 750 Ib
Considere el segm ento derecho
1,+ X iW f = 0 ; 7 5 0 ( 4 ) - F c / ) ( 3 ) = 0 Fc o = 10(K) Ib (T ) Resp.
= 0; 750(8) - 500(4) - F 0#^ - J = ) ( 1 6 ) = 0 Fg f = 1030.78 Ib = 1.03 k (C ) Resp.
(,-fSA /o = 0 ; FC/r(|)(16) + 500(12) - 750(8) = 0 Fc f = 0 Resp.
Resp.
R esp.
R esp.

661. So l u c i o n e s p a r c i a l e s y r e s p u e s t a s a l o s p r o b l e m a s f u n d a m e n t a l e s 6 3 9
F 4 - L
F 4 - 2 .
F 4 - 3 .
F 4 - 4 .
F 4 - 5 .
t + 2 M „ = 0;
Segm ento CB
X Z F x = 0;
+ Í2 F , = 0;
t + 2 M c = 0;
B ,(2) + 2 0 - 10(4) = 0 By = 10.0 kN
A/c = 0
Vc + 10 - 1 0 = 0 Vc = 0
M c + 1 0 (1 ) - 1 0 (3 ) = 0 M c = - 2 0 k N - m
Resp.
Resp.
Resp.
\,+ 2 Ma = 0 ; B y(3 ) - 4 (1.5)(0.75) - 8 (1.5)(2.25) = 0 By = 10.5 kN
Segm ento CB
X Z F X = 0 N c = 0
+ t 2 F , = 0; Vc + 10.5 - 8 (1.5) = 0 Vc - 1.50 kN
l + 2 iMc = 0 ; 10.5(1.5) - 8 (1.5)(0.75) - M c = 0 M c = 6.75 k N - m
Resp.
Resp.
Resp.
t + S V / 8 = 0;
■ i.2 F x = 0:
Segm ento A C
X Z F x = b.
+ T 2 F , = 0;
t+ 2 iW c = 0;
- ( 6 ) ( 6 ) ( 3 ) - Ay(6 ) = 0 Ar = 9.00 kN
A , = 0
N c = 0
9.00 - ^ (3 ) (1 .5 ) - Vc = 0 Vc = 6.75 kN
Wc + |( 3 ) ( 1 .5 ) ( 0 .5 ) - 9.00(1.5) = 0 M c = 12.4 k N - m
Resp.
Resp.
Resp.
L +2/W * = 0; 300 (3 )(1 .5 ) - - ( 3 0 0 ) ( 3 ) ( 1 ) - Ar (3 ) = 0 A , = 3001b
X Z F , = 0: A , = 0
Segm ento AC
X Z F , = 0. N c = 0
+ t 2 F , = 0; 300 - 300(1.5) - Vc = 0 Vc = -1 5 0 1 b
(,2 M C = 0 ; M c + 300(1.5 )(0 .7 5 ) - 300(1.5) = 0 M c = 112.5 Ib
Resp.
Resp.
Resp.
R eacciones
Í + Z M A = 0;
X 2 F , =
+ í 2 F , = 0;
Segm ento AC
X Z F , = O,
+ T 2 F , = 0;
t + 2 M c = 0;
F asen 4 5 "(3 ) - 5 (6 )(3 ) = 0 F a = 42.43 kN
4 2 4 3 e o s 45° - A , = 0 A , = 30.0 kN
42.43 s e n 45° - 5 (6 ) - A , = 0 A , = 0
N c ~ 30.0 = 0 N c = 30.0 kN
- 5 ( 1 .5 ) - Vc = 0 Vc = -7 .5 0 kN
M c + 5 ( 1.5 )(0.75) = 0 Mc = -5 .6 2 5 k N • m
Resp.
Resp.
Resp.

662. 6 4 0 So l u c i o n e s p a r c i a l e s y r e s p u e s t a s a l o s p r o b l e m a s f u n d a m e n t a l e s
F4-6.
F 4 -7 .
F4-8.
F4-9.
F 4 - 1 0 .
R eacciones
1+ 1 Ma = 0 ; By( 15) - 150(9)(10.5) - 600(6) - 800(3) = 0 By = 1345 Ib
Seg m ento CB
X X F , = 0, N c = 0
+ T X F , = 0 ; Vc + 1345 - 150(6) = 0 Vc = -4 4 5 Ib
|,+ 2 M c = 0; 1345(6) - 150(6){3) - M c = 0 M c = 5370 Ib - pie = 5.37 k • pie
Resp.
Resp.
Resp.
Seg m ento izquierdo
+ ? X F , = 0;
\.+ 2 M 0 = 0;
" 6 ■ K t x)w "
v = 0 v = <_3^ ' 6> kN
M + + 61 = 0 M =
m
Resp.
Resp.
R eacción
l+ X M fl = 0;
Segm ento izquierdo
+ Í X F , = 0;
i,+ 2 M 0 = 0;
- ( 1 2 ) ( 6 ) ( 2 ) - -4 ,(6 ) = 0 Ay = 12.0 kN
120 ■ K r > > "
v=° v={i20" x2>kN
, w + K f H f ) " n o x = 0 M = { , 2 a t " l x 3 } k N '
m
Resp.
Resp.
R eacciones
L + X A ^ - 0 ;
\,+ 2 M b = 0;
Segm ento izq u ierd o . 0 < x < 4
+ Í X F , = 0;
l+ X M o = 0;
Segm ento derech o . 4 m < í < 8 m
+ í X F , = 0;
By(S) - 8 (4 ) (6 ) = 0 B , = 24.0 kN
8 (4 ) (2 ) - A r{&) = 0 A , = 8.00 kN
8.00 - V = 0 V = (8 ) kN
M - 8.00* = 0 M = {8.*} k N -m
V + 24.0 - 8 (8 - . t ) = 0 V = {40 - 8*} kN
l+ X M 0 = 0 ; 24.0(8 - x ) - 8(8 - ~ w = 0 W = {“ 4z2 + 40.r - 64} k N • m
Resp.
Resp.
Resp.
Resp.
-= x < 2 m
t X F , = 0;
- XA/0 = 0;
m < * s 4 m
t X F , = 0;
■ X A/0 = 0;
V' =0
M + 70 = 0 M = - 2 0 k N -m
M
-5 ( * - 2 ) - V = 0 1/ = {10 - 5x} kN
+ 5(* - + 15 + 20 = 0 M = { - I * 2 + 10* - 45JkN • m
Resp.
Resp.
Resp.
Resp.

663. So l u c i o n e s p a r c i a l e s y r e s p u e s t a s a l o s p r o b l e m a s f u n d a m e n t a l e s 6 4 1
1 4 - 1 1 . R eacciones
+ t 2 F r = 0;
Í + Z Ma = 0;
Ay - 5 (2 ) - 15 = 0 Ay = 25.0 kN
- 5 (2 )(1 ) - 15{4) = 0 Ma = 7 0 .0 k N - m
Segm ento izquierdo, ( ) s t < 2 m
+ t 2 F , = 0 : 25.0 - 5 x - V = 0 V = {25 - 5*} kN
t+ X M 0 = 0; M + 5 x ( | ) + 70.0 - 25.0* = 0 M = j - 1 x 2 + 25* - 7 0 J k N -m
Segm ento derech o , 2 m < j < 4 m
+ Í 2 F , = 0;
t + S W 0 = 0;
V - 15 = 0 V = 15 kN
- M - 15(4 - x ) = 0 M = {15x - 60} k N -m
1 4 - 1 2 . R eacciones en lo s so p o rtes
l + 1 Ma = 0 ; By{2 4 ) - 2<12)(6) - 18(12) = 0 By = 15.0 k
t + S A f fl = 0 ; 18(12) + 2(1 2)( 18) - -4 ,(2 4 ) = 0 A , = 2 7 .0 k
Segm ento iz q u ie rd o .0 S r < 12 pies
+ T = 0; 27.0 - 2 x - V = 0 V = {27 - 2 x } k
t + 2 W 0 = 0; A/ + 2 x ( | ) - 27.0* = 0 M = { - x 2 + 27*} k -pie
Segm ento derech o . 12 p ies < x < 24 pies
+ T 2 F , = 0;
L+2,V/G = 0;
1 4 -1 3 .
y ( k N )
II
V + 15.0 = 0 V = { - 1 5 k}
15.0(24 - x ) - M = 0 M = ( - 1 5 * + 360} k - p ie
M (kN -m )
-x(m )
1 4 -1 4 .
k'(kN)
0
•6
8.5
Ü 5
M (kN -m )
4 6
— *(m )
Resp.
Resp.
Resp.
Resp.
Resp.
Resp.
Resp.
Resp.

664. 6 4 2 S o l u c i o n e s p a r c i a l e s y r e s p u e s t a s a l o s p r o b l e m a s f u n d a m e n t a l e s
F 4-16.
V
k )
6 3
i a s 12
2 4 x ( p i e s )
' - ' s i
- 2 7
F 4-17.
M ( k N - m )
F 4 -I8 .
V(1cN) M ( k N - m )
0 . 5
1 . 5 • 3 . 5 5
H
-----f—
w
- 1 . 5 - 1 . 5
x (m )
F 4-19.
V ( k N ) M (k N -m )
i( m )

665. So l u c i o n e s p a r c i a l e s y r e s p u e s t a s a l o s p r o b l e m a s f u n d a m e n t a l e s
P t - 2 0 .
W ( k p i e )
x (pies) * < p ic s)
F6-2.
M
„
F6-3.
Md
B D C B D
F6-4.
Va M a
n i.
6 4 3

666. 6 4 4 S o l u c i o n e s p a r c i a l e s y r e s p u e s t a s a l o s p r o b l e m a s f u n d a m e n t a l e s
F6-5.
¥6-6.
Ma
'
--------1— x
e c n
¥6-7.
( * c W > = 8 (1 ) + I 1 ( 6 - 2 ) ( 1 ) 1(1-5) +;(+) - v * / • | 2 '
- 13.0 k N -m
(2 ) +- ( 6 - 2 ) ( 1 ) (2 )
Resp.
(VV W ) = 8(0-5)
^ (2 )(0 .5 )](1 .5 ) + [ ^ ( 6 - 4 )(0 .5 )]( 1.5)
2 (2 )(0 .5 )( 2 ) +- ( 4 - 2 ) ( —0.5)(2) - ( 6 - 4 )(0 .5 ) (2 )
= 6 5 0 kN Resp.

667. So l u c i o n e s p a r c i a l e s y r e s p u e s t a s a l o s p r o b l e m a s f u n d a m e n t a l e s 6 4 5
FÓ-8.
-*<m)
«> (Cr) = 6 ( 2 ) 4
b ) ( A / a U „ - > = 6 ( - 3 ) f
1 ( 9 - 3 ) ( 2 ) ] ( 2 ) + [1 ( 9 - 3 )(2 )]< 4 ) = 48 kN
- ( 6 - 0 ) ( - 3 )(2) +¿ ( 6 - 0 ) { - 3 ) |( 4 ) - fl(9-6)(3)](4)
= - 5 4 k N -m
Resp.
R esp .
r e - L
J
- z r

668. 6 4 6 S o l u c i o n e s p a r c i a l e s y r e s p u e s t a s a l o s p r o b l e m a s f u n d a m e n t a l e s
FH-2.

669. So l u c i o n e s p a r c i a l e s y r e s p u e s t a s a l o s p r o b l e m a s f u n d a m e n t a l e s 6 4 7
F 8 - 4 .
F 8 - 5 .
P ara 0 < x t < y
P
M \ = 2*i
F , d2v' - P .
£ ,^ = f ; + C' <"
E l v, = + C ,x , * C 2 (2 )
P ara | < x2 * L
M 2 = ^ ( L -x2) = ^ - Z X2
4 7o2 PL P
U d x\ 2 2 X7
E l
d vj PL
d xj
= - y * 2 ~ ~jx\ + C 3 (3)
El 1>2 = -j7¿2 - —x\ + C j*2 + C 4 ( 4 )
o , = 0 e n x , = 0. D e la ecu ació n (2), C2 = 0
d v i L PL2
—— = 0 e n x , = —. De la ecu ació n (1), C\ = — —
dx i 2 16
~ ^ = 0 e n x } = D e la ecu ació n (3). C j = - ^ 7 ~
a xi 2 16
P L ?
Vj = 0 e n x j = L. De la ecu ació n ( 4 ) , C4 = — -
*i = i “ 3 ¿ 2 ) * " P
ü2 = - ¿ ¡ ( - 4 * 1 + l2 L x l - 9 ¿ 2j 2 + ¿ 3) fosp.
M = Px - PL
d2v
E . - ^ - P x - P E
d v P ,
E l — = - x 2 - P Lx -f C , (1)
d x 2
£/ v = f 13 “ T 1*2 + c >* + c? (2)
= 0 en .r = 0. D e la ecu ació n (1 ), C i = 0
dx
o = 0 en x = 0. D e la ecu ació n (2 ), C2 - 0
v = {e1 { x * ~ 3 L x )
Resp

670. 648 S o l u c i o n e s p a r c i a l e s y r e s p u e s t a s a l o s p r o b l e m a s f u n d a m e n t a l e s
F8-6. M = M 0 - ~ x
L
. . Mo
d ? " " T *
E , t = !2 * - & + C 'x + C 2 (O
v = 0 e n x = 0. D e la ecu ació n (1). C2 = 0
v = Q e n x = L. D e la ecuación (1 ), =
• - 6i f c - * + 3L ' ' - R" r
F 8 -7 . P ara 0 £ x t < y
m = - t x>
d2Vy M„
L X‘
£ / * , = - ^ ? + C ,* l + C2 (2)
P ara ^ < x 2 * L
M = M 0 — — *2
, / ® 2 , , W0
" " T * 1
f i n +Ci «3>
E/t, =
* Cj*2 + c. («)
ü , = 0 e n Xi = 0. D e la ecuación (2), C2 = 0
ü j = 0 e n x 2 = L. D e la ecuación (4). 0 = C jL + C4 + (5)
dt)\ dih L MfíL
d 7 ,= 772 en Xí = Xj = 2’ De las ecuaciones 0 ) y (3)- c > - c 3 = ~y~ (^)
/ Mn L?
t>i = t»2 e n x \ = x2 = y . D e las ecuaciones (2 ) y (4), C \L - C jL - 2C4 = ■ (7)

671. So l u c i o n e s p a r c i a l e s y r e s p u e s t a s a l o s p r o b l e m a s f u n d a m e n t a l e s 6 4 9
F 8 -8 .
FX-9.
R esolviendo las ecuaciones (5), (6 ) y (7)
_ 11 MpL _ MoL
~ I C j 2 4 “ ~~ ~24~
M
Pi = 24£ /I^"4x' + Rr$p
** = 7¿ E H {~AX* + ULX* " U/A? + 3¿3) RCSp
M = - j x 2 + w L x -
d2 v
dx2
dv
dx
dv
— = 0 e n .t = 0. D e la ecu ació n ( 1). C , = 0
ax
v = 0 en x = 0. D e la ecu ació n (2 ), C } = 0
W ' - x * + 4 ¿ x 3 - 6Z.2*2) Resp.
- | * 2 + K ’L x_
_ * 3 + *
2
H - L 2
— ■ ■■■■ 1
\
6 2 2 '
■ 5 * * + T * * -
H - / . 2 .
"
~ x
24 E l
— a *
«S~a*
« • - - á f e » ’ +«*♦<* (2)
= o en x = L D e la ecu ació n (1), C\ = ^ 7 -
a x 2 4
WnL
f = ü en x = L. D e la ecuación (2 ), C j = — —
- - M’° < - * 5 + 5L*x - 4 L 5) Resp
120 E IL

672. 6 5 0 S o l u c i o n e s p a r c i a l e s y r e s p u e s t a s a l o s p r o b l e m a s f u n d a m e n t a l e s
r e - 10.
M
n
A A = \i a/b\
E l
0 =
27 k N - m ?
E l
7
5 4 k N • m ?
E l
r a - i i .
+tSF, =0: n . i ( ü ^ ) ( 3 m ) = „
l + £ M „ = 0 ; - M \ - [ i ( MkEN/ ' 11) ( 3 , n ) ] [ l ( 3 , n ) ] = 0
54 k N - m 3 54 k N - m 3 ,
M A ~ ir,
----------¡r.-----i
E l
r a - 1 2 .
w
F.I
8 kN-m
E l
f— x(m )
32 k N • m ?
E l
¿ < 4 m )
6 4 k N - m 3
E l
Resp.
Resp.
Resp.
Resp.
Resp.
Resp.

673. So l u c i o n e s p a r c i a l e s y r e s p u e s t a s a l o s p r o b l e m a s f u n d a m e n t a l e s 6 5 1
r e -13.
/ 8 k N - m v „ .
( ) 11E l
♦ T S P ,-* (SJga),4.,-V..-0
(,+ Z M s = 0 ; M ¿ - [ ( ^ í ) ( 4 m ) ] ( 2 n . ) = 0 A T » = a , =
r e - 1 4 .
M
t - x ( m )
t a n A
¡b/a
Í1 / 5 kN • m V xl f 2 #, .1 15 k N -m 3
= [2 v e7 / ][j J = E /
4.6875 k N -m 1
E l
1 1 (1 5 kN • m3\ 7.5 kN • m3
A = 2 ^ = 2 Í “ £ r “ j = — £ 7 “
I'r/aI 15kN -m 3/ E / 5 kN -m 2 _
A i
Eab
A c = A - fc//4 =
3 m E l
7.5 kN • m3 4.6875 k N • m 3 2 8 1 k N • m 3
E l E l E l
i
Resp.
Resp.
Resp.
Resp.

674. 6 5 2 So l u c i o n e s p a r c i a l e s y r e s p u e s t a s a l o s p r o b l e m a s f u n d a m e n t a l e s
r e -15.
F.I
+ Í 2 F , = 0; - V 'A - 5kN.!m~ = 0
El
iA = v A = 5 k N ' m2 = 5 k N ‘ m2 ^
5 m)(0 .5 m ) -
2 8 1 2 5 kN -m 3 281 kN -m 3 ,
Ac = M c
-----------—--------- — -------*
r e -16.
El F.I
El
^ 25 k N -m 2'
El
1(1.5 m ) - M ’c = 0
Resp.
Resp.
1 2 k N -
1 / 1 2 k N -m V 18 kN -m 2
Ba ~ °C/A ~ 2 { — ¡n — p m ) ~ — é i —
^
»1 18 kN • n
54 k N - m 3
[1 /1 2 kN
' c ' - ~ [2\— El
= oal c =
18 kN•m~ ^
(3 m) =
A c = A ' - I C / A =
e i r F!
5 4 k N -m 3 18 k N -m 3 36 k N -m 3
El
r e - 1 7 .
El El
i
Resp.
Resp.
f
* < ! * £ = ) « » - >
1 8 k N -
E l
T
1 8 k N - m '
E l

675. So l u c i o n e s p a r c i a l e s y r e s p u e s t a s a l o s p r o b l e m a s f u n d a m e n t a l e s 6 5 3
* U F , - 0; - k í - . ^ V - o
t + 2 W c = 0 ; M f c + ( H 1 ^ 5 Í ) ( 3 « n ) - [ j
36 k N - m 3 36 k N - m 3 ,
18 k N - m 2 18 k N - m 2 - .
• a = Va
-------- ~ ----- ■
E l El
M i = A c = -
E l E l
M
tC,A
= j» ^ « k N - m \
[2 \ E l )
(2 m ) || 2 m + - (2 m ) | +
B r )
( 2 m )
(lm) =
37.33 k N - m '
E l
y= *aLm: =
(
a c = y - ic / A =
24 k N *m2\ . 9 6 k N - m 3
= — i ¡ —
96 k N - m 2 37.33 k N - m 3 58.7 k N - m 3
E l E l El
1
H l-19.
Resp.
Resp.
Resp.
Resp.
( S ^ S ) « 4 - , + i
F.l El
* ( “ * = ) < 2 « , ( 8- ^ ) ( 2 m ,
-Im H
2 .6 6 7 m
" "
4 m J 1
2 4 k N - m a
El
E l E l
Resp.
l+ S W c . * M, + ( 2 ^ ( 4 - , - - ( 2 ^ = ) p - K . - ) - o
58.7 kN • m3 ,
Ac = W{r =
E l
Resp.

676. 6 5 4 S o l u c i o n e s p a r c i a l e s y r e s p u e s t a s a l o s p r o b l e m a s f u n d a m e n t a l e s
r e - 20.
M
n
Resp.
“ M I
2 m + j(2 m )
60 k N -m
E l
R i-21.
■ftSF, = 0; -V » - m ) = 0
18 k N - m 2 18 k N • m 2 v
El E l
Resp.
= 0 ; M'„ + [ | ( 18 f / m ) ( 2 m ) ] [ | ( 2 n .) + 2m= 0
60 k N -m * 60 k N - m 3 ,
M u = d » = ”
---- =------- i
E l E l
Resp.

677. « 9 - 1 .
¥9-2.
¥9-3.
FV -4.
So l u c i o n e s p a r c i a l e s y r e s p u e s t a s a l o s p r o b l e m a s f u n d a m e n t a l e s
□ e m e n to n flb ) N flb) i- (pies) nNL ( b 2 - p ie )
A B
AC
BC
-1.667
1
1.333
-2 5 0
150
200
10
6
8
4166.67
900.00
2133.33
2 7200
E ntonces,,
l l b - A * , =
v nN L 7200 Ib2-pie
^ A E A E
7200 I b - p ie .
A E
S e m e n tóN
XN
XP
N (P = 150 Ib)L (pies) N (
, s O l ( l b ’p ie )
A B
AC
BC
1.667P -
P
1.333P
-1.667
1
1.333
-2 5 0
150
200
10
6
8
4166.67
900.00
2133.33
2 7200
, 7200 I b - p ie .
i » . - - ■ A E
□ e m e n ton (kN) N (kN) M m ) nNL (kN 2 -m )
A B 1 -4.041 2 -8.0829
AC 0 8.0829 2 0
BC 0 -8 .0 8 2 9 2 0
CD 0 8.0829 1 0
2 -8.0829
E ntonces.
n N L 8.0829 k N 2-m
l k N - A ^ 2
A E A E
808 k N • m 8.08 k N -m
4* =
--------Je- = — ¿e---------- Resp
□ e m e n to N (kN)
SN
SP
N ( P = 0 ) (k N )M m )
N ( s ) L ( k N ' m )
A B P - 4.041 1 -4.041 2 -8.083
A C 8.083 0 8.083 2 0
B C -8.083 0 -8.083 2 0
CD 8.083 0 8.083 1 0
2 - 8 .0 8 3
S N \ L 8.083 k N -m 8.08kN-m

678. 6 5 6 S o l u c i o n e s p a r c i a l e s y r e s p u e s t a s a l o s p r o b l e m a s f u n d a m e n t a l e s
F 9 -5 .
F 9 -6 .
F 9 - 7 .
E l e m e n t o n (kN )
N (k N ) L n N L ( k N 2 - m )
A B 0 0 3 _
0
A C 1.414 8 .4 8 5 3 \ / 2 50.91
B C - 1 - 6 3 1 8 .0 0
A D 0 - 6 3 0
C D - 1 0 3 0
2 6 8 .9 1
1 k N • A Dí ■
v n \ L
A E
6 8 .9 1 k N 2 - m
A E
\ —
6 8 .9 k N - m
A />. “
A E
E l e m e n t oN (k N )
cSN
S P
N ( P= 0 ) (k N )L ( m )
A B
A C
0
V Í ( P + 6 )
0
V i
0
6 V 2
3
3 V 2
0
50.91
B C - ( / > + 6 )- i - 6 3 1 8 .0 0
A D - 6 0 - 6 3 0
C D - P - 1 0 3 0
2 6 8 .9 1
A D, = 2 N |
\ 6 P ) A E
6 8 .9 k N - m
A E
E l e m e n t on ( k N ) N ( k N ) L ( m ) n N L ( k N 2 • m )
A B 0 .3 7 5 18.75 3 2 1 .0 9
B C 0 .3 7 5 1 8 .7 5 3 2 1 .0 9
A D - 0 . 6 2 5 - 3 1 . 2 5 5 9 7 .6 6
C D - 0 . 6 2 5 - 3 1 . 2 5 5 9 7 .6 6
B D 0 5 0 4 0
R e s p .
R e s p .
2 237.5
2 3 7 .5 k N - m ,
A ° - = ■ - A E " 1
R esp.

679. So l u c i o n e s p a r c i a l e s y r e s p u e s t a s a l o s p r o b l e m a s f u n d a m e n t a l e s 6 5 7
F 9 - 8 .
F9-9.
W -10.
S e m e n tó N (kN )
8N
8P
N ( P = 0 )(k N ) L(m )
N ( ^ ) L ' k N - m >
A B J/» + 18.75 0.375 18.75 3 21.09
BC ¡P + 18.75 0.375 18.75 3 21.09
A D - ( ¡ r + 31.25) -0.625 -3 1 .2 5 5 97.66
CD - ( ¡ P + 31.25) -0.625 -3 1 .2 5 5 97.66
BD 50 0 50 4 0
2 237.5
237.5 kN • m
A E
i Resp.
S e m e n tó n(kN ) N (kN) L(m) nNL (k N 2 -m )
A B 0 - 6 1.5 0
BC 0 - 6 1.5 0
BD 1 0 2 0
CD 0 10 2.5 0
A D -1 .2 5 - 1 0 2.5 31.25
D E 0.75 12 1.5 13.5
1 4 4 .7 5
1 k N • Afl,
A».
- 2
nN !. 44.75 kN 2 * m
A E
44.75 k N -m
A E
AE
Resp.
S e m e n tó N (kN)
8N
8P
N (P = 0 ) ( k N )Hm)
A B - 6 0 - 6 1.5 0
BC - 6 0 - 6 1.5 0
BD P 1 0 2 0
CD 10 0 10 2.5 0
A D - ( 1 .2 5 P + 10) -1 .2 5 - 1 0 2.5 31.25
DE 0.75P + 12 075 12 1.5 13.5
144.75
A » , = 5 >
5 N '
8p
44.75 k N • m
A E
l Resp.

680. 6 5 8 So l u c i o n e s p a r c i a l e s y r e s p u e s t a s a l o s p r o b l e m a s f u n d a m e n t a l e s
E lem en to n(lcN) N (k N ) L(m) nNL (k N 2 -m )
A B 0.5 50 2 50.00
D E 0.5 50 2 50.00
BC 0.5 50 2 50.00
CD 0.5 50 2 50.00
A H -0.707! -70.71 2 V Í 141.42
E F -0.7071 -7 0 .7 1 2 V 2 141.42
B U 0 30 2 0
DF 0 30 2 0
CU 0.7071 28.28 2 V § 56.57
C F 0.7071 28.28 2 V 2 56.57
CG 0 0 2 0
G H - 1 - 7 0 2 140.00
FC, - 1 - 7 0 2 140.00
2 878.98
^ n N L 875.98 kN 2 -m
. 876 k N - m ,
A c< =
-----— — 1 Resp.
19-12.
E lem en to N (kN)
8N
6P
N { P = 4 0 kN ) M m ) N ^ L O c M - m )
A B 0.5/* + 3 0 0.5 50 2 50.00
D E 0.5 P + 30 0.5 50 2 50.00
BC 0.5 P + 30 0.5 50 2 50.00
CD 0.5/* + 30 0.5 50 2 50.00
A H -(0 .7 0 7 1 P + 42.43) -0.7071 -70.71 2 V 2 141.42
E F -(0 .7 0 7 1 P + 42.43) -0.7071 -70.71 2SÍ2 141.42
B H 30 0 30 2 0
D F 30 0 30 2 0
C H 0.7071/» 0.7071 28.28
8S
56.57
C F 0.7071 P 0.7071 28.28 56.57
CG 0 0 0 2 0
G H - (P + 30) - 1 - 7 0 2 140.00
FG - ( / » + 30) - 1 -7 0 2 140.00
X 875.98
875.98 k N -
876 kN-m.

681. So l u c i o n e s p a r c i a l e s y r e s p u e s t a s a l o s p r o b l e m a s f u n d a m e n t a l e s 6 5 9
» - 1 3 .
r e - 14.
r e - i s .
r e - i 6 .
P a ra la p e n d ie n te .
1
. . . - / W / , / 3" ( - l ) ( - 3 a * ) , 135 kN 2 • m3
E l dX = — , —
135 k N - m2
E l
Para e l desplazam iento.
eA =
------—--------7 Resp.
270 kN -m 5 ,
V =
------—-------1 Resp.
Para la p en d ien te, M = - 30x — A /'. P o r lo ta n to , = - 1 . S e a M ’ = 0. E n to n ces, Ai = ( ~ 3 0 r ) k N . m.
0*1
f t j 9 M \ d x f i m ( - 3 0 x ) ( - l ) d x 135 k N - m 2 —
9 * - i - i 1 7 " — 7
Para e l d esplazam iento, Af •» — P x . P o r lo ta n to , = - x .
dP
Sea P = 30 kN . E ntonces, A# = ( - 3 0 r ) kN . m.
( - 3 0 x ) ( - x ) r f x 270 k N - m 3 .
E l E l
Para la p endiente. m e = 1 kN . m y M = 4 k N • m.
. . . „ m gM f 3m( l)(4 )d x 12 k N 2-m 3
,kN— ^=2 T T dx = J £/ = Ti
12 k N - m 2
• - — B — ^
Para e l d esplazam iento, m x kn . m y Ai ^ 4 k N . m.
3“ x(4)rfx 18 k N 2 - m3
E l E l
Resp.
18 k N - m 3
= —Y¡— T Resp-
Para la p en d ien te, M = A f. P o r lo ta n to , ~ = 1.
oM
Sea M ‘ = 4 k N • m. E nto nces, M = 4 k N . m.
r L j B M \ d x [ im 4 (l)d x 12 k N - m 2
Para e l d esplazam iento. A/ = (P x + 4) k N . m P o r lo ta n to . = x.
o P
Sea P = 0. E ntonces. M = 4 k N . m.
r ‘\ . ( d M \ d x f 3m4(x)dx 18 k N • m 34
^ ’ A ■ JÍ “ 5
----------i í — 1

682. 6 6 0 S o l u c i o n e s p a r c i a l e s y r e s p u e s t a s a l o s p r o b l e m a s f u n d a m e n t a l e s
W -17.
W -18.
W -19.
F9-20.
Para la p en d ien te. m g = — 1 k N • m y Ai = ( —x3) k N • m.
20.25 k N 2-m 3
1 k N - m - 0 ,
J o E l J o E l E l
20.25 k N - m 2
E / ^ Resp
Para el d esp lazam ien to ,m = ( - x ) kN • m y M = (-¿ ® )k N • m.
m M J f 3m( - x ) ( - x i ) 48.6 kN 2 -m 3
, k N - W o ^ = /o — ^ 7 — = — É í—
48.6 k N -m 3 ,
*• = —T i— * p
Para la p en d ien te, M = (A i' + x3) k N . m. R>r lo tan to , = -1.
o M
S e a M ' ■ Q E ntonces, Ai ■ ( —x3) k N • m.
í L . . ( d M \ d x [ im ( - ¿ ) ( - \ ) d x 3 ) .2 5 k N - m 2 ^
= jo " l i F j i ? - J
-1 ¡ — - Él ^ * *
Para el d esplazam iento. Ai = — (Px + x3) k N . m.
ft>r lo tan to . ~ = - x . S e a P = 0. E ntonces. W = ( - x 3) k N -m .
d r
f L j 8 M \ d x f im ( - x i) ( - x ) d x 48.6 k N - m 3 ,
a »- - y . \ i p f k ¡ - y — » — - — e t — 1 r " "
Para la p en d ien te, m g = (1 - 0.125x) k N . m y Ai = (32x - 4x*) kN . m.
[ ' . [ * ” ( ' " ® '1 2 5 x ) ( 3 2 x - 4X2 ) 170.67 k N 2 - m 3
I k M - m .0A = J — d x = l d x =
---------------------
171 k N -m 2 _
0A =
------—-----\ Resp.
Para el desplazam iento, m = (0.5x) k N. m y M = (32x - 4x2) k N . m.
j f dx = 2l ‘
0.5x(32x - 4 x 2) 426.67 kN 2 • m3
-----------------------d x ------------------------
E l E l
427 k N - m 3 ,
A c , Y ¡ * R e s p
Para la p en d ien te. Ai = A i - 0.125AÍ'x + 32x - 4x*. Por lo tan to . ^ = 1 - 0.125x.
o S i
S e a A i' - 0. en to n ce s. Ai - (3 2 t - 4 t 2) k N . m.
_ r U ( 9 M \ d x _ (32x - 4x2) ( l - 0.12 5 x ) j
4 i VaWV E l i E l dX
170.67 k N • m 2 171 kN • m2
T i = £ 7

683. So l u c i o n e s p a r c i a l e s y r e s p u e s t a s a l o s p r o b l e m a s f u n d a m e n t a l e s 6 6 1
» - 2 1 .
W -22.
Para el desplazamiento, M = 0.5Px + 32* - 4*7. ftir lo tanto. ^ = 0.5*. Sea P = O.cntonces, M = (32* - 4 r ?) kN • m.
aP
(32* - 4 * 7)(0 .5x)dx
E l
426.67 k N - m ' 427 k N - m '
E l El
i Resp.
Para la p e n d ie n te (m fl), = 0 ;( m #)2 = - 1 kN .m , A f, = ( - 12*,) k N . m
y M2 - - I2 (i2 + 2 ) k N . m.
. . . . [ L m ,M 0 ( - l 2 « i ) r 2m { - 1 ) [ - 1 2 ( * 2 + 2 )]
,kN m^ = l
- E T d x = L T i----------------- T i---------i :
1 k N - m - e c = 7 2 k ^ / ' m
72 k N - m 7 _
gc = —Y i— 7 Resp
Para e l d esp la z a m ie n to .m , = 0 ,m 2 = - x Jt Af, — ( - 1 2 * ,) k N • m
y M j = - 12(Xj + 2 ) kN . m.
, t " < H -I2 * 0 /-J” 12(x 2 + 2 ) ]
,kN'ic = l
T T d x = l — T - d x + l T , *
, , kt . 80 kN 7 -m '
l k N - A c. = £ / -
80 k N • m ' ,
d c. = —y í— A P
Para la p en d ien te. M , = ( - 1 2 * ,) k N . m y A#2 - - 12(*, + 2 ) - A f'.
ft>r lo tan to , ^ = 0 y ^ 7 = - 1 . Sea Af' = 0 , A/ 2 = - 12(*2 + 2).
72 k N - m -
" T i 7
Para e l d esplazam iento. A/, = ( - 1 2 * ,) k N . m y W , = - 12(x? + 2 ) - Pxr
l\>r lo ta n to , —^ = 0 y —^ = - x 2. S e a P = 0, A/, = — 12(x, + 2 ) kN • m.
di * d r
80 k N - m 3 ,
£ /

684. 6 6 2 S o l u c i o n e s p a r c i a l e s y r e s p u e s t a s a l o s p r o b l e m a s f u n d a m e n t a l e s
HJ-24.
F 1 0 - 1 .
M x = 0 .5 x ,. M7 = 0.5x2, M, = ^ 2 4 x , - k N -m
y M 7 = f 4Kx2 “ 6 x | + kN' • m.
fL . 6m ( 0 . 5 x , ) f 2 4 x , - ¿ x ? ) ^ (0 .5 x 2 ) Í 4 8 x 2 - 6 x | + J x | )
Ik N -A C. = / ^ f d x = l \ - — L ± dXx + £
--------- F7---------^
1620 kN ? • m 3
F J
16 2 0 k N -m 3 ,
c * = E l P
M x = 0.5 P xt + 2 4 x , - M j = O.SPxj + 4Sx2 “ 6x? +
o 6
dMx n r dM7 n r
E n to n ces,— = 0.5x,t — = 0.5x2.
Sea P = 0. A/, = ^ 2 4 x , - g x ^ kN • m y V/2 = ^48x2 - 6x3 + ^ x $ j k N • m
P . j m \ i x ! * ' ( 2411 - H ,0 -5 i , ) . / . - ( « * » - « 4 + ! < ) « « «
^ - y . M u - í T , d " + J 1 7
1620 k N • m J ,
= — Y i— 1 ^
S uperposición
(£ /2 )> L 3 4 3 2.667 m 3 ,
,HB 3 £ 7 2AEI 2 4 £ 7 £7
A « = A 'fl +
( + t ) 0 . . 2 S S ^ £ + J ip « a í )
= 100 k N /tesp.
E quilibrio
¿ X F , = 0; >1, = 0 Resp.
+ T = 0; 100 - 4 0 - A , = 0 A , = 60 k N Resp.
1+ 2M a = 0; 100(2) - 4 0 ( 4 ) - M Á = Q M Á = 4 0 kN • m Resp.
dx2

685. So l u c i o n e s p a r c i a l e s y r e s p u e s t a s a l o s p r o b l e m a s f u n d a m e n t a l e s 6 6 3
F10-2. Superposición
8 J0 E l J , E l 30 F.I
f L m m ( L < - * > ( - * ) O ,
l ~ E Í = Ja — E r - d x = 3EI[
= A'fl + B y f n
. i . „ wol * „ ( E3 \ „ WqL .
(+i) 0 = »£í+ “'(mí) s’''nr = i5-f Rwp-
E quilibrio
^ 2 F , = 0, -4 , = 0
1 H V i L 2 t V f í L
+ ÍZ £ , = 0; ^ “ 2 ^ + “j j = 0 ^ * 5 * " P
(,+ 2 3 ^ = 0 ; + ^ ( ¿ ) - = 0 A#* = ^ £esp.
F 1 0 -3 . Superposición
v - wL4 - ,0(64) - «B O IcN -n»3 1620(103) N , a i3
8 8 £ / 8 E l ' E l [200(104) N/m2][300(10-6 ) m4] “
/f l8 ^ 3 É 7 ^ 3Y r ~ É F = [200(1 (#*)N /m 2][300( 10- 6 ) m 4] = 1,2(10
A,, = A',, + B /flfl
( + i ) 5 (1 0 ” 3) m = 0.0 2 7 m + f l ^ - 1 . 2 ( 1 0 '6)m /N ]
By = 18 J 3 ( 103) N = 18.33 k N = 18.3 k N Resp.
E quilibrio
X Z F , = 0 ; A , = 0 Resp
+ 1 2 /% = O. + 18.33 - 6 0 = 0 Ay = 41.67 k N = 41.7 kN tfesp.
t + 2 3 / ^ = 0; M Á + 18.33(6) - 6 0 (3 ) = 0 = X>.0 kN • m Resp
F10-4. Superposición
“ • - - * !) - rF T T T rrK 2' - ) ’ - *■’ ] - 1
6 £ / La c 6 £ / ( 2 L ) ' J 4 £ /
£ 3ac ( ^ ) 3 ¿ 3 .
788 4 8 £ / 4 8 £ / 6 £ /
A * = A'fl + f l , / flfl
(•

686. 6 6 4 S o l u c i o n e s p a r c i a l e s y r e s p u e s t a s a l o s p r o b l e m a s f u n d a m e n t a l e s
E q u il i b r i o
X I . F , = 0,
t + 2 W /4 = 0 ¡
+ Í Z £ r = 0;
F 1 0 - 5 . S u p e r p o s i c i ó n
- 4 , = 0
- C y ( 2 L ) + - ^ ( L ) - M 0 = 0
3M 0 M 0
~ 2 L " A L ‘ A ’ ' °
r _ Mo
4 L
A = ^
A ' 4 L
A’ « =
f B B ~
6 E I Lm
t i c 8
6£ / (8)
(8 2
£ /
4 8 £ / 4 S E I
A „ = A 'fl +
10-667 m 1
E l
( + t ) o = -
3 6 6 .6 7 k N - m 3 , / 1 0 . 6 6 7 m
V E lE l
B y = 3 4 .3 7 5 k N = 2 4 . 4 k N
E q u ilib r io
L+XAf4 = 0;
+ T X £ r = 0 ;
± 2 F , = 0;
R e s p .
R e s p .
R e s p .
3 4 .3 7 5 ( 4 ) - 5 0 ( 2 ) - C , ( 8 ) = 0
4 y + 3 4 .3 7 5 - 5 0 - 4 .6 8 7 5 = 0
C y = 4 .6 8 7 5 k N = 4 6 9 k N
A y = 2 0 .3 1 2 5 k N = 2 0 .3 k N
A , = 0
R e s p .
R e s p .
R e s p .
R e s p .
F 1 0 - 6 . A's =
f B B =
5 w L \ - 5 ( 1 0 ) ( 1 2 4 ) 2 7 0 0 k N - m 3 2 7 0 0 ( 1 0 3) N - m 1
3 8 4 E l 3 8 4 E l
12 3 3 6 m 3
El
L \ c
( 2 0 0 ( 1 0 9) N /m 2 ] [ 3 0 0 ( 1 0 - 6 ) m 4]
3 6 m 3
= 0 .0 4 5 m i
= 0 . 6 ( 1 0 - 6 ) m / N t
4 8 £ 7 4 8 E I E l ( 2 0 0 ( 1 0 9) N / m 2] ( 3 0 0 ( 1 0 ' 6) m 4]
A « = A'h + B y f BB
( + 1 ) 5 ( 1 0 " ’ ) m = 0 .0 4 5 m + B y [- 0 . 6 ( 10 - 6 ) m / N j t í , = 6 6 .6 7 ( 1 0 3) N = 6 6 .7 k N
E q u ilib r io
\ , + 1 Ma = 0 ; C 7( 1 2 ) + 6 6 . 6 7 ( 6 ) - 1 2 0 ( 6 ) = 0 C y = 2 6 .6 7 k N = 2 6 .7 k N
+ 1 ' L F y = 0 ; A , + 2 6 .6 7 + 6 6 .6 7 - 1 2 0 = 0 A y = 2 6 .6 7 k N = 2 6 .7 k N
X Z F , = 0 ; A , = 0
R e s p .
R e s p .
Resp.

687. Respuestas a problemas seleccionados
C apítulo 1
1-1.F = 48.3 k
1-2.F = 24.6 k
1-3.w - 521 lb/pie
1-5.F = 173 kN
1-6. ve = 468 lb/pie
1 -7 . 6 2 0 kN /m
1-9.w = 240 lb/pie
1-10.C arga m u erta to ta l = 106 lb/pie7
1-11.F, = 94.5 k
1-13.L = 1.70 kN /m 2
1-14.L = 3 0 2 kN /m 2
1-15.Pt>-\s = 27.8 p sf
P20 = 29.1 p sf
= 30.1 psf
p w = 31.1 p sf
1-17. B arlovento:
p> u = 2).9 p sf
pi„ = 21.8 p sf
Sotavento:
p = -1 5 .4 psf
1-18.p - - 18.6 psf
1-19.F = 81.3 kN
1-21.p , = 0.816 kN /m 7
1-22.pf = 36 lb/pie2
C apítulo 2
2 - L S o b re B E - 14.2 kN /m ; so b re FED,
F.y = 35.6 kN
2 -2 . S o b re B E carg a trap ezo id al, pico 21.4 kN/m
so b re FED cargas triangulares, picos 10.7
kN /m , co n fu e rz a co n cen trad a de 26.7 kN e n E.
2 -3 . S o b re EF,0.9 k/pie; so b re A B C D E 3 fu erzas
d e 13.5 k
2 -5 . S o b re B F = 0.675 k/pie. so b re A B C D E 3
fuerzas d e 6.75 k
2 -6 . S o b re B G = 230 lb/pie, so b re A BCD E 2
fuerzas d e 1725 Ib
2 -7 . S o b re B G = 368 lb/pie pico triangular
S o b re A BCD con 2 fuerzas de 736 Ib, 184 lb/pie
pico triangular
2 -9 . S o b re B E carga trapezoidal, pico 4.125 k/pie,
so b re FED cargas triangulares, picos 2.06 k/pie
y £ - 12.9 k
2 -1 0 . Sobre B E 2 2 0 k/pie. sobre FED fuciza de 13.2 k
2 -1 1 . a. Indeterm inada d e 2o
b . Inestable
c. E státicam ente d ete rm in a d a
d . E státicam ente d ete rm in a d a
e. Inestable
2 -1 3 . a. E státicam ente d ete rm in a d a
b . E státicam ente in d eterm in ad a d e I o
c. E státicam ente in d eterm in ad a d e I o
2 -1 4 . a. Inestable
b . E stable y estáticam en te d ete rm in a d a
c. E stable y estáticam en te indeterm inada
d e se g u n d o grado
2 -1 5 . a. Inestable
b . E stable y estáticam en te indeterm inada
d e p rim e r g ra d o
c. Inestable
2 -1 7 . a. Inestable
b . E stable y estáticam en te indeterm inada
d e se x to grado
c. E stable y estáticam en te d ete rm in a d a
d . Inestable
2 -1 8 . B , = 48.0 kN
Ay = 16.0 kN
A , = 10.0 kN
2 -1 9 . Fb = 110 k
A , = 95.3 k
Ay = 5.00 k
2 -2 L N A = 12 kN
B , = 0
By = 3 0 kN
M R = 84 kN • m
2 -2 2 . N F = 4.00 k
N n = 6.00 k
N„ = 15.0 k
Ay = 7.00 k
A , = 0
2 -2 3 . Na = 9.59 k
C , = 9.20 k
N„ = &54 k
Cy = 2 9 3 k
6 6 5

688. 6 6 6 Re s p u e s t a s a p r o b l e m a s s e l e c c i o n a d o s
2-26.
2-27.
2-29.
2-30.
2-31.
2-33.
2-34.
2-35.
2-37.
2-38.
2-39.
2 - 2 5 .
2 - 4 1 .
C = *4.8 Ib
Ay = 47.4 Ib
Ay = 398 Ib
fíy = 5.12 kN
Ay = 14.7 kN
B , = 20.0 kN
C , = 0
By = 7 5 0 kN
MÁ = 45.0 k N -m
A y = 7.50 kN
A , = 0
A y = 4.00 kN
M„ = 63.0 k N -m
By = 17.0 kN
B, = 0
Ay = 2.00 kN
B, = IZO kN
B, = 0
Mb = 32.0 k N -m
2 P
W' ~ T
4 P
W7 = T
iv, = 83.3 Ib/pic
iv? = 167 Ib/pie
A , = 30.0 kN
Ay = 6.67 kN
C , = 10.0 kN
Cy = 6 6 7 kN
Na = 11.2 k
B, = 9.70 k
By = 4.10 k
By = 16.6 k
A , = 29.0 k
A , = 17.0 k
A , = 300 N
A , = 300 N
C , = 300 N
Cy - 300 N
T = 3501b
Ay = 700 Ib
A , = 1.88 k
D, = 1.70 k
D , = 1.70 k
= 1.53 k
Fc n = 350 Ib
A , = 522 Ib
Ay = 1.47 k
C , = 678 Ib
Cy = 1.97 k
2 -4 2 . C , = 45.0 kN
D, = 45.0 kN
Cy = 7.00 kN
A y = 83.0 kN
A , = 45.0 kN
Dy = 7.00 kN
2 -4 3 . B, = 24.8 k
By = 22.1 k
C , = 8.16 k
Cy = 31.9 k
C a p ítu lo 3
£ - L a . Inestable
b . E státicam ente in d eterm in ad a d e I o
c. E státicam ente d ete rm in a d a
d . E státicam ente d eterm in ad a
3 -2 . a . E státicam en te d eterm in ad a
b . E státicam ente d eterm in ad a
c. Inestable
3 -3 . a . Interna y ex te rn a m e n te e sta b le (d e 2o)
b . Interna y ex te rn a m e n te e sta b le (d e I o)
c. Interna y ex te rn a m e n te e sta b le (d e I o)
3 -5 . Fcd = 780 Ib (C)
Fcb = 720 Ib (T )
F„h = 0
Fde = 780 Ib (C)
Fbe = 791 Ib (T )
Fb a = 7221b (T)
3 -6 . Fah = 4.47 k (C )
Fab = 4 0 0 k (T )
F « c = 4 0 0 k ( T )
Fbh = 0
Fhc = Z 2 4 k ( C )
F „ c = 2 2 4 k ( C )
Ffc = 0
Fpg = L 5 k ( C )
Fge = Z 2 4 k ( C )
Foc = 0
Fec = Z 24 k (T )
Feo = 3.5 k (C)
Foc = 0
3 -7 . Fqc = 9.24 k N (T )
Fde = 4.62 k N (C)
FeE = * 2 4 k N (C)
Fc b = 9.24 k N ( T )
Fb e = 9 .2 4 k N (C )

689. Re s p u e s t a s a p r o b l e m a s s e l e c c i o n a d o s 6 6 7
3 - 9 .
3 -1 0 .
3 -1 L
3 -1 3 .
3 - 1 4 .
Fba = 9.24 k N ( T ) Fbj = 7.94 k N ( D
Fea = 4-62 k N (C ) Fbc = 34.3 k N (T )
Fa f = 3.33 k (T) F „ = 35.7 k N (C)
FAB = Z 6 7 k (C ) Fjc = 6 0 0 k N (C)
Fbf = 9.00 k (C) FCI = 9.11 k N (T )
Fhc = 2 6 7 k (C) FCfí = 77.4 kN (T )
FFC = 5.00 k (T ) Fih = 35.7 k N (C)
Ffe = 1.33 k (C ) FHD = 6.00 k N (C)
Fce = 3.00 k (C ) Fh e = 7-94 k N (T )
Fc o = L33 k (T ) F„c = 42.9 k N (C)
Fd e = 1.67 k ( C ) FeD = 34.3 k N (T )
Fef s 11*7 k (C ) F,D = 9.11 k N (T )
Feo = 8.875 k (T ) Ffg = 42.9 kN (C)
FDf = 0
Fc e = 4 0 0 kN (C)
Fpc = 8 l 8 7 5 k (T) Ffe = 41.1 kN (T)
= 2 1 5 k ( Q 3 -1 5 .F ah = Ffe = 25 k N ( Q
= L 3 7 5 k (T ) F ah = Fde = 20 k N (T)
F BH = 0 Fbc = Fcd = 2 0 k N (T)
f f le = L375 k (T) Fbh = Fo f= 10 kN (T)
F fC = 4 0 4 k ( C ) Fhg = Fc f = 16.7 kN (C)
f > c = 7 .6 7 k (C ) Fhc = Fc r = 8.33 kN (C)
^ c c = 3.00 k (C ) Fec = 20 k N (T )
FGh = 7.67 k ( C ) 3 -1 7 .Fag = Foe = 4.00 k N (T )
F cw = 5 .8 6 k (T ) Fab = Foe = 3 4 6 k N (C)
F £D = 8.33 k N (T ) Fcf = Fef = 4.00 k N (T )
Fc o = 6 6 7 kN (C )
Fcr = Fec = 0
Fbc = 6 6 7 k N (C) Fbf = Fcf = 231 kN (C )
F e s = 5 k N (T ) FBC = 231 k N (C)
Fcf = 20 kN (T ) 3 -1 8 .Foc = 11.7 k ( T )
Fc a = 15 k N (T ) Ff g = 16.6 k ( C )
= 18.0 kN (C) Ffc = 4.86 k (T )
= 10.0 kN (C) 3 -1 9 .FCo = 2 0 0 k (T )
Fbb = 4.17 kN (C) Fjn = 2 5 0 k (T )
Ffb = 7 i 0 k N (T ) Fik = 4 0 3 k (C)
Fff = 12.5 kN (T)
Los e lem en to s KN, N L , MB, BL, CL, IO , OH,
Fde = 16.3 k N (C )
GF., EH, H D son e lem en to s d e fuerza cero.
Fpc = H40 kN (T )
3 -2 1 .Feo = 6 6 7 k N (T )
Fea = 8-85 kN (C )
FCf = 12.5 kN (C)
Fec = 6 2 0 kN (C)
F cc = 0
Fcf = &77 k N (T )
3 -2 2 .Fbc = 8 0 0 k N (T )
FCb = 2 2 0 k N (T )
Fhc = 10.1 k N (C)
Fba = 311 kN (T )
Fbc = 1.80 k N (T)
Fbf = 6 2 0 k N (C )
3 -2 3 .FGf = 1.78 kN (T)
Ffa = 6 2 0 kN (T )
Feo = 2 2 3 k N (C)
Fak = 42.9 k N (C) FCf = 0
Fab — 41.1 k N (T ) 3 -2 5 .F„, = 6 0 0 k N (T)
Fkb = 4.00 kN (C ) Fm = 4.24 k N ('O
Fkj = 42.9 kN (C) Feo = 10.1 kN (C)

690. 3-26.
3-27.
3-29.
6 6 8
3-30.
3-31.
3-33.
3 - 3 4 .
Re s p u e s t a s a p r o b l e m a s s e l e c c i o n a d o s
F „ = 9.00 kN (T ) Fbc = 1-80 k N (T )
F,c = 6.00 k N (C) Fbe = 1.80 k N (T )
Fcd = 10.1 k N (C) 3-35. Ffe = o
Fkj = 115 k N (C ) Fed = 0
Fc, = 27.0 k N (T) 3-37.Fab = 4 0 0 k N (T )
FCp = 97.5 k N (T ) Fbe = 5.66 k N (T )
Fab = Ü
Fbd = 2.00 k N (C )
Fa C = 1.50 k ( C )
II
II
3
ii
Füb = 0.707 k (T ) 3-38.Fbc = L15 kN (C )
Fol = 0.500 k (C ) Fdf = 4.16 k N (C )
Fo'/ = 0.707 k (C) Fbe = 4.16 kN (T )
FL, = 0.707 k (T ) 3-39.Fcf = 0
FrK = 0.500 k ( C ) Feo = 2 3 1 k N (T )
F /Jf = 0.707 k (C) Fed = 3.46 k N (T)
F/ f = 0.707 k (T)
Fbf = 2.12 k (T )
Capítulo 4
Fb c = 1.00 k ( C )
4 -1 .Nc = 0
Ffc = Q707 k (T )
Vc = 0.667 kN
f > „ = 2 .1 2 k (T )
Mc = 0.667 k N • m
Fkh = 0.707 k (T )
N n = 0
F * , = L 50 k (C )
VD = - 5 3 3 kN
F ,w = Z 1 2 k ( T )
Md = - 9 3 3 k N -m
FCD = 0
4-2. Nc = 0
F/>£ = 0.500 k (C )
Vc = 3.33 k
FC£ = 0.707 k (C )
Mc = 58.3 k - pie
Fhe = 0.707 k (T)
N „ = 0
Fj e = 1.50 k ( C )
V p = -6 .6 7 k
Fad = Fbe = 0
Faf = Fbc- = 4.00 k N (C )
4 -3 .
M o = 91.7 k - p ie
N A = 0
Ffd = FCe = kN (T)
Ffe = FCd = 11.3 k N (C)
Fed = 16.0 kN (C)
Fef = 1.15 k N (T )
/I
V A = 450 Ib
Ma = -1 .1 2 5 k - p ie
Nb = 0
Feo = 3.46 k N (C)
VB = 850 Ib
Fba = L 1 5 k N ( T )
M a = - 6 3 2 5 k - pie
Fbc = 1-15 k N (T )
Vc = 0
Fao = 4 2 4 k N (T )
Nc = -1 .2 0 kip
Faf = L58 k N (T )
A/c = -8 .1 2 5 k - p ie
Fcf = L41 kN (C )
4-5.w = 100 N/m
Fc o = 4 7 3 k N (C)
4-6. Nc = 0
Fbf = 1.15 k N (T )
Vc = -Q 7 5 kN
Fab = 6 4 6 k N ( T )
Mc = -0 .3 7 5 k N -m
F'a c= Fa d = L 5 0 k N ( O N D = 0
Fbc = Fbd = 3.70 k N (C ) V o = 1-25 kN
Fbe = 4.80 k N (T ) M p = 1.875 k N -m
Fbc=Fbd= 134 k N (C ) 4 -7 .Nc = 0
FAa = 2 4 k N ( C ) Vc = 1.75 kN
FaC = Fae = L01 k N (T ) Mc = 8.50 k N • m
Fc e = 0

691. Re s p u e s t a s a p r o b l e m a s s e l e c c i o n a d o s 6 6 9
4-10.
4-11.
4-13.
4-14.
4-15.
4-17.
4-18.
4 - 9 .
4 - 1 9 .
N c = 0
Vc = 1.25 kN
Mc = 3.50 kN • m
N c = 0
Vc = -(1 8 7 0 k
Mc = 11.2 k - p i e
N D = 0
V D = Q 930 k
M„ = 11.0 k - p ie
Ne = 0
V E = 0.450 k
M f = -0 .6 7 5 k - pie
0 £ a < 1 m . V = 4.50 kN
M = { 4 . 5 0 a } k N -m
l m < i < 3 m , V = 0.500 kN
M = {0.5a: + 4} k N - m
] m < i < 4 m , l ' - - 5 5 0 kN
M = {-5.5(1» + 22} k N -m
0 £ x <
4-21.
4-22.
M = — a
a < L .V =
Mu
M = - l )
) S t < 2 m , V = 3 7 5 kN
M = {3.75a} k N -m
? m < i < 4 m , V = - 3 2 5 kN
M = { -3 .2 5 a + 1 4 | k N -m
4 m < a < 8 m .
V = - 3 2 5 kN .
M = { - 3 . 2 5 a + 2 6 } k N • m
) < i < I m , K - —4 kN
M = { - 4 a } k N - m
1 m < a < 2 m . V = - 1 2 kN
M = { - 1 2 a + 8 } k N - m
2 m < a s 3 m . V = - 2 0 kN
M = { - 2 0 a + 2 4 } k N -m
3 s a < 6 p ie. V = { 3 0 - 2 a ) k
M = { - a 2 + 30a - 216} k -pie
5 p ie < A S 10 pies. V = 8.00 k
M = { 8 a - 1 2 0 } k -pie
) £ a < 4 p ie. V = - 2 5 0 Ib
M = { - 2 5 0 a } Ib -p ie
4 p ies < a < 1 0 pies, V = { 1 0 5 0 - 1 5 0 a } Ib
M = { - 7 5 a 2 + 1 0 5 0 a - 4 0 0 0 } Ib -p ie
1 0 p ies < a s 1 4 p ies. V = 2 5 0 Ib
M = { 2 5 0 a - 3 5 0 0 } Ib - p ie
V = { - 1 0 a 2 - 8 0 0 } Ib
M = { - 3 . 3 3 a j - 8 0 0 a - 1 2 0 0 } Ib - p i e
V = { 0 . 4 4 4 a 2 - 8 a + 3 6 ) kN
M = | 0 . 1 4 8 a s - 4 a 2 + 3 6 a - 1 0 8 ) k N - m
4-23.V'mix =- 3 8 6 Ib
M m i,=-2 1 0 0 Ib -p ie
4-25. - 4 8 9 kN
M mU =- 2 0 kN • m
4-26. 10.1 k
M na =- 6 0 k - pie
4-27.
V'mto =
- 3 .0 4 k
Mmu =11.6 k - pie
4-29.
v m* =- L25 kN
WmiX =0.521 kN
4-30.V'mto =- 5 1 0 Ib
M „ a ,=2401 Ib -p ie
3 wL
4-31.
v « * =
8
9 wL2
Moni, =
128
4-33.V'ml, =- 1 8 6 kN
Moni, =
224 k N -m
4-34.
V'm*x =± 1 2 0 0 Ib
M nU ,=6400 Ib -p ie
4-35.V'nnix3- 3 .8 0 k
M mÁ% =-5 5 .2 k -pie
4-37.v mb =24.5 kN
Mn** =34.5 k N -m
4-38.V mta =83 kN
M mix =- 1 8 0 kN • m
4-39.Vm* =- 1 1 .8 k
Mn*> =
-8 7 .6 k - pie
4-41.Vmíx =12 k
=- 9 0 k - pie
4-42. 20.0 k
M nU, =
- 1 4 4 k -p ie
4-43.V'nni, =
- 3 6 k
M n i, =
162 k - pie
4 4 5 .
Vm* =
13.3 kN
Mn** =26.7 k N -m
4-46.V mto =-1 4 .5 kN
Moni, =52.5 k N -m
4 4 7 .
V'nni, =2 2 2 k
M m i, =15.5 k - pie
4-49.V'nni, =12 k
M o a, =
- 9 0 k - pie

692. ' 0 Re s p u e s t a s a p r o b l e m a s s e l e c c i o n a d o s
apítulo 5
5-27.By = 0 1 1 6 k . f l , = 1 7 2 k
5-1. Fbc = 46.7 Ib Fba = 83.0 Ib FCD = 88.1 Ib A , = 1 7 2 k, A y = 3.78 k
1 = 70.2 pies C , = 0.276 k. C y = Q 216k
5-2. /'n a , = 6.41 kN 5-29.A , = 3 k
y„ = 2.43 m Df = 8.06 k
5-3.Tac = 1.60 kN
*
Ay = 1.94 k
Tc ¡> = 3.72 kN
Tad = 4.08 k
Táb = 2.99 kN
y„ = 1 1 0 m Capítulo 6
5-5. P = 71.4 Ib 6-15.(M e)m í, = 142 k N -m
5-6. /», = 2.50 kN
(V'c)m4, = 2 0 k N
P2 = 6.25 kN 6-17.( * , W ) = 12.4 k
F ^ = 115 kN = -3 7 .5 k - pie
5 -7 .y = 0.0356*2 6-18.<MCW ) = H 2.5 k - p ic
T0 = 7.03 k (By W ) = 24.75 k
Tb = 10.3 k
6-19.M /Ím í* » ) = 20.1 k
5 -9 .T min = 4(K> kN (M e ) mí**» = 151 k - p ie
T mit = 431 kN
(Vv W ) = 40.1 k
5-10. w = 51.9 Ib/pie 6-21.( Mo)ma« = - 4 k • pie
5-11.T m it= 14.4 k
6-22.( M ^ ) ^ , = -8 6 .4 k - p ie
T mía = 13.0 k (V, o)mtt = 5.40k
5-13.T mix = 10.9 k 6-23.( f l , W (+) = 87.6kN
5-14.r mío = ioo k (M c ),„4rt.) = 7 1 0 k N - m
T m it= 117 k ( V c U « - ) = -2 3 .6 kN
Tgmcbo = 10 k
6-25.M , W ) = 2 0 .5 k
5-15.Vmla= ± S h (M £ ) „ w *) = 51.25 k - p ie
A/mi, = 6.25 k - pie
(V 'c-)mto( , ) = 33 .0 k
5-17.7 mln = 6.25 MN
6-26.( V ' a c W ) = 7.15 kN
T'mi, = 6.93 MN (Me)má»(- , = -9 .8 1 k N - m
5-18.y = (38.5x2 * 577^)(10 3) m 6-27.< V « : W > « 17.8 kN
T mit = 5.20 kN
(M c )m fa (t)= 46.7 k N -m
5-19.T , = 7.0 kN
6-30. (V'Afl)¡n4, = 2 .7 3 k
Te = Td = 8.75 kN (M/»)m4, = 61.25 k • pie
Tp^ = t 31 kN
6-31.(^flc)m ái = 7 k
5-21. - 4 , = 0 (M c ) m4, = 105 k - p ie
Cy = 9.55 kN 6-33.( V / > i r W ) = - 5 2 .9 k
Ay = 15.5 kN (M c)mM -> = - 1 1 8 k - p ie
T = 4.32 kN
6-34.(V'mW * ) = 5.07 k
5-22.Fb = 6.77 k ( M „ ) ^ t ) = 19.2 k - p i e
FÁ = 10.8 k 6-35. 0 ' c / > W - , = - 6 k
Fc = 11.7 k
6-37.(V'bcU - - , = -8 -2 1 kN
5-23.M „ = 10.8 k N -m (M fl) m^ . ) = 113 k N - m
5-25. fl, = 46.7 k . f l , = 5.00 k
6-57.<^c dW ) = 12.0 k ( T )
A , = 46.7 k . A y = 95.0 k 6-58. ( * C f W > = 7 .5 4 k ( T )
C , = 46.7 k ,C f = 85 k
6-59.(M c ) n4, = 44.1 k N - m
5-26. 6 , = 43.75 pies
6-61.(V'fl)m*x = 1.4 6 k
h2 = 75.00 pies
6-62.( M c U ^ , ) = 20.0 k N - m
hy = 93.75 pies 6-63.(M c )mix<.> = 16.8 k - p ie

693. Re s p u e s t a s a p r o b l e m a s s e l e c c i o n a d o s 6 7 1
6-65. (M c )« á * +) = 34.0 kN • m
6 - 6 6 . ( W c ) m i « . ) = 4 3 7 5 k - p i e
6 -6 7 . ( f a c U « = 2 3 7 k ( T )
6 -6 9 . W M , = 67.8 k N -m
6 -7 0 . M máx = 6 4 .5 k N • m
6 -7 1 . V míx = 10 kN
M mi, = - » kN • m
6 -7 3 . = 555 k - p ie
6 -7 4 . V&i = 67.5 kN
6 -7 5 . M mi% = 164 k N -m
6 -7 7 . A/,,,*, = 97.2 k • pie
6 -7 8 . - 1 3 0 k - p ie
fr-79. V * = 12.5 k
6 -8 1 . = 10.5 k - p ie
7 - 5 .
C apítulo 7
7 -1 . Fae =
=
7 - 2 .
7 -3 .
Fa b =
Fc b =
F D E ~
F BC =
F AF =
Fb e =
Fc d =
Fa e =
Fb f =
Fe f =
F AH =
Fb d =
F of. ~
Fb c =
F Af
Fb e
Fc d
Fh b
Fa c
Fa b
Fa h
Fhc
Fg c
Fb f
Fg f
FGb
F BC
Fe c
Fd f
Fc d
Fbf = 14.1 kN (C )
10.0 k N (C)
10.0 k N (T )
Fbd = 14.1 kN (C)
= 10.0 k N (C)
= 10.0 kN (T )
- 60.0 k N (C)
= 20.0 k N (C)
- 30.0 kN (C)
= F e s = 0
= 28.3 kN (T)
- 20.0 k N (C)
= 0
= 28.3 kN (T )
= 20.0 kN (C )
= 0
= TO.O kN (C)
= 40.0 kN ( Q
40.0 kN (C)
= 5.89 k (T)
= 5.89 k (C)
= 9.17 k ( T )
= 14.2 k (C)
- 4 1 7 k (C)
= 1.18 k (C)
- 1.18 k (T )
: 7.5 k (C)
= 5.0 k (C)
- 12.5 k (T )
= 8.25 k (T)
= 8.25 k (C)
= 5.83 k (T )
7 - 6 .
7 - 7 .
7 - 9 .
Fe d
Ff e
Ff c
Fa g
Fb h
Fa b
F Gh
Fb f =
F CC =
Ff g -
Fb c =
Fdf =
F Ce =
Fe f =
F Cd =
Fa h
Fb g
Fd e
Fa g
Fc e
Fd e
Fbh
Fg h
Fa b =
Fea =
Ff c =
Fbc =
Fef =
Fc d =
Fa h
Fbg
Fc f
Fd e
Fe c
Fb d
Fe d
Fb c
Fc d
Ff b
Fa e
Ff e
Fa b
Fb e
Fa f
Fdg
Fc f
Ff c
= 15.8 k (C )
= 0.833 k (C )
= 5 0 k (C )
= 12.1 k ( C )
= 1Z1 k (T )
= 7.67 k (T )
= 9.67 k (C )
= 0.417 k (C)
= 0.417 k (T)
- 19.7 k (C)
= 17.7 k (T )
11.25 k (C)
11.25 k (T )
- 11.0 k ( C )
= 9.00 k (T )
= 14.25 k (C)
= 7.00 k (C )
= 13.75 k (C )
= F b f = F d f = 0
= 22.5 k (T )
= 20.5 k (C )
= 24.2 k (T )
= 19.3 k (C )
= 2 0 0 k (C)
- 0 8 3 3 k (T)
= 20.0 k (C)
17.3 k ( T )
- 20.0 kN (C)
= 0
= 21.5 k (C )
= 14.5 k (C )
= 14.0 k (C)
= 20.5 k (C )
= 3.33 kN (T)
= 3.33 kN (C )
= 2 6 7 k N (T )
- 2 6 7 kN (C)
= 2 0 0 kN (T )
- 10.0 kN (T )
= 10.0 kN (C )
= 13.3 k N (T)
- 13.3 k N (C)
= 4.00 kN (T)
= 6 0 0 kN (T )
= 2 4 8 k (C )
- 2 4 8 k (T )
- 3.25 k (C )

694. 6 7 2 Re s p u e s t a s a p r o b l e m a s s e l e c c i o n a d o s
Fcd = 3 2 5 k (T ) A , = 18.0 kN
Fac = 3 8 9 k (C) f í, = 6.00 kN
Fflc = 3.89 k ( T ) By = 18.0 kN
Fbc = 7.75 k (T ) Fijos:
F*g = 7.75 k (C) A , = 6 0 0 kN
Fef = 2.12 k (C) Ay = 9.00 kN
FDE = 1.50 k ( T ) Ma = 18.0 k N -m
F„f = 0 2 5 0 k (C) B , = 6.00 kN
Feo = 1 0 0 k (C) By = 9.00 kN
Fa b = 275 k ( T ) M„ = 18.0 k N -m
7-10.
Fnc = Fac = 0
7-21.Fcf = 1.77 k (T )
Fcf = 4.95 k (T ) 7-22.Fc e = 1-06 k ( T )
Fc o = L 50 k (T ) 7-23.A , = 1.50 k
Ffc = 5.00 k ( C ) Ay = 1.875 k
Fue = 7.78 k (T )
Ma = 9.00 k - p ie
Fbc = 3 0 0 k (T )
B , = 1.50 k
F aG = 10.5 k (C)
By = 1.875 k
Fef = 2.12 k (C)
Mb = 9.00 k - p ie
F o t = 1.50 k ( T )
Fpc = 3.125 k (C)
F o f = 2.00 k (C )
Fea = 5.50 k (C)
Fc n = 2 0 0 k (T )
f ab = o
Ffg = 1 0 0 k (C)
7-11.Fd f = 6.67 k N (T )
FnF = 3.125 k (T )
Fcf. = 6.67 k N (C)
Fdf. = 3.00 k (C)
Fc d = 5.33 k N (C)
7-25.Ff.g = 27.5 k N (T )
Fa c = 15.0 k N ( T )
Fff = 24.0 k N (C )
FBf = 15.0 k N (C )
Feo = 4-00 k N (C)
Fef = 5.33 k N (T ) Fce = 27.5 k N (C)
F a c = 2 2 .7 k N (C) Fde = 20.0 k N (T )
Faf = 22.7 kN (T) 7-26. FEG = 15.0 k N (T )
Fde = 4.00 k N (C) F eo = 4.00 k N (C)
Fcf = 3 0 0 k N (C ) Fpp = 14.0 k N (C)
Fa b = 9 0 0 k N (T )
FCe = 15.0 k N (C)
7-13.M Á = 4.86 k N -m
Foe = 10.0 k N (T)
M„ = 3.78 k N -m
7-27.A , = 10.0 kN
7-14.Mf = 4.05 k - pie
Ay = 14.0 kN
M „ = 7.20 k - p ie
Ma = 30.0 k N -m
7-15.Ma = 40.3 k N -m
B, = 10.0 kN
7-17.M, = 9.00 k - pie
By = 14.0 kN
Ml = 20.25 k • pie
y
M „ = 27.0 k - pie
Mb = 30.0 k N -m
7-18.A , = 0 ; B , = 0 ; C , = 0
Ff h = 17.5 k N (C )
Ay = 12 k ; ñy = 16 k ; C y = 4 k
Fef = 16.5 k N (C )
Ma = 16.2 k - pie; Ai o = 9 k -p ie ;
Fgh = 17.0 kN (T )
Mc = 7.2 k - pie Feh - 17.5 kN (T)
7-19. A rticulados: Fhi = 4 0 0 kN (C )
A , = 6 0 0 kN Fp, = 17.5 k N (C)

695. Re s p u e s t a s a p r o b l e m a s s e l e c c i o n a d o s 6 7 3
7 - 2 9 .
Fd e
F'd i :
FC,=
A , =
7-30.
7-31.
7-33.
7-34.
M Á =
Bx =
B ,=
M „*
Fgk
F'c e
Fj k
A , =
A , =
B , =
B ,=
Fg k
Fg f
Fj k
Ffg
Fe h
Ff h
Fhc
Fk l
Fhl
f h g
Fk l
Fh l
= 4.50 k N (T )
= 17.5 k N (T )
= 25.0 k N (C )
ZOO k
1.125 k
12.0 k - p ie
ZOO k
1.125 k
= 12.0 k - p ie
= 1.875 k (C )
= 0
= (1500 k (C)
ZOO k
1.875 k
ZOO k
1.875 k
= 3.125 k (C )
= 0
= (1500 k (T)
= 0
= 0.500 k (T )
= 3.125 k (C )
= 4.02 k N (C)
= 5.29 k N (T )
= 5.43 kN (C)
= 2.52 k N (C)
= 1.86 kN (T )
= Z 9 9 k N (C)
C apítulo 8
8-1* 0A
V' ^ 6 E Í
Fa
Fo(o ~ L)
P xx
2 FJ
8-6.
8 -7 .
8 -9 .
8-1 0.
8-11.
fl* i + ~ L )\
8-2. B
**
= Ü f i x* Xi ~ L) +
3 P L 2
A SE/
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Vc~ ~ 6eT
„ _ ■■p L '
* » - 4 8 É /
* -* • » I = + 4o' f - « A »
•» = S S < 4 , ) * a - 4 ¿ )
8-14.
8-15.
8-17.
8-18.
8-19.
8-21.
8-2 2.
8-23.
~ 6E l
wa*
WL*
1 8 V 3 E l
5 wol?
V =
192 E l
WqX
Pmí» =
960E l L
w0l *
(4 0L7x7 - I6x* - 25L A)
120 E l
Iw a3
v, =
6E l
waxi
(2x\ - 9 a»,)
8 -1 3 . Bc =
12 FJ
7h’oj
Vc 12 E l
Vi = Ú i (~ x í + 8<u-’" + 4 ,3 x 3 " “4)
0B = 0.00268 r a d \
A **, = 0.322 pulg i
eB = 0.00268 rad
AnUa = 0.322 pulg i
3937.5 k • p ie2 _
Ac =
E l
50.625 k • pie3
E l
8 -2 5 . 0B =
AC =
a = 0.153L
a = 0.153 L
L
“ ° 3
« c = — X
c 4 E l
A c = — t
C 4 E l '
0C = 0.00171 ra d ^
Ac = 3.86 m m i
a = 0.152 L
a = 0.152/.
18 k N - m 2
£ /
9 0 kN • m 3
E l

696. 6 7 4 Re s p u e s t a s a p r o b l e m a s s e l e c c i o n a d o s
8 - 2 6 . 6 a =
Ac =
8 - 2 7 . 0 S =
Ac =
8 - 2 9 . F =
8 - 3 0 . 0 » =
Ac =
8 - 3 1 . 0 « =
AC =
8 - 3 3 . 0 A =
A - ,, -
7 / V
4 F l
9 P a 3
A E !
IP a 7
4 E l
9 / V
A E I
P
A
S P a 7
12 E l
3 Per'
A E I
S P a 7
12 E l
3 Pa*
A E I
MpL
2 A E I
0.00802 MnL 2,
A
1
7
1
7
1
7
1
E l
8 - 3 4 . 0C =
A c =
8 - 3 5 . 0C =
A C =
8 - 3 7 . 0/> =
A c ~
8 - 3 8 . 0O =
A „ =
» - 3 9 . 0 O =
A n =
3Po*
E l
2 5 P a3 ■
6 £ /
£ /
2 5 Po3 ■
6 E l
75 kN -m *
F J
169 k N • m3
E l
1008 k - pie*
E l
10368 k - p i e 3
E l
1008 k • pie* ,
E l
10368 k - p i e 3
E l
i
Capítulo 9
9 - 1 . \ A i
9 - 2 . A ,,
9 - 3 . A fl.
9 - 5 . A E f
= ü 536 m m i
= (1536 m m 1
= 3.38 m m l
= 2.95 m m i
9 - 6 .A E' = 2.95 m m i
9 - 7 .
199 k N • m ,
A d- A E 1
9 - 9 .A , t = 0.0392 p u lg i
9 - 1 0 .A f = 00392 p u lg i
9 - 1 1 .A Aw = 00582 p u lg i
9 - 1 3 .
170 k • pie
A “ - A E '
9 - 1 4 .
170 k - p ie
A ° ‘ A E
9 - 1 5 .Ac , = 4.91 m m l
9 - 1 7 .A x> = 0.0341 p u lg l
9 - 1 8 .A Av = 0.0341 p u lg l
9 - 1 9 .A ^ = 0.507 p u lg t
9 - 2 1 .\ P° i
A c 4 S E Í*
P Ü
9 - 2 2 . Ac =
9 - 2 3 .
9 - 2 5 .
9 - 2 6 .
9 - 2 7 .
9 - 2 9 .
9 - 3 0 .
9 - 3 1 .
Ac =
0C =
0c =
16 E l
P L3
A H E I
P L l
16 F . I
2 P a *
3 E l
S P a 7
A
1
A
1
9 - 3 3 . 0« =
A » =
6 E l
S P a 7
6 E l
e
A 6 E I
0C = 0.00156 ra d ^
Ac = Q 145 p u lg 1
0C = 0.00156 ra d \
Ac = 0 1 4 5 p u lg i
Bc = 0.00670 'x
Ac = 0 2 8 2 p u lg i
3 1 5 0 N - m 2 T_
i
9 - 3 4 . 0fl =
9 - 3 5 .
E l
6637.5 N - m 3
E l
3150 N - m 2
E l
6637.5 N - m 3 .
E l 1
08 = 0.00448 ra d A
A fl = 0.455 pulg
Ah =

697. Re s p u e s t a s a p r o b l e m a s s e l e c c i o n a d o s 6 7 5
9-37.0„ = 0.00*48 ra d ¿
AB = 0.469 p u lg l
_ A
10-3. 4 , = 0
51wL
' 128
9-38.
.
A c 120£7
H - 1WL
B’ 128
9-39.
w0L* .
A c 120 £7
9 k N - m 2 _
w 9wL}
Ma 128
1/*
9-41
= E l 7
22.95 k N - m 3 ,
E l 1
10-5.
: h o á
II II
1397 k - p ic 3
A d E l 1
1397 k - p ie3 .
A ° E l 1
9-42.
9-43. 10-6.B , = 37.7 k
440 k • p ie3 .
= E l 1
*4, = 0
9-45. Af = 17.1 k
9-46.
5wL4
C , = 17.1 k
Ac . - ~
C* SE I 10-7. A,, = 1.50 m m
9-47. wL*
' _ 4 E ?
10-9.
2640 k - p ie 3
Ac = ¿ ,
9-49.
1148 k - p i e 3
^ E l -
1148 k - p ic 3
10-10.B , = 75 Ib
*4, = 0
9-50.
Ac* E l
Ay = 75 Ib
9-51.(Ac )t = 2.81 mm 1
Ma = 200 Ib -p ie
9-53.(Ac ) , = 2.81 mm i
10-11.By = 7.20 k
9-54.0A = 0.414(10~3) rad
A , = 0.900 k
9-55.0A = 0.414(10"3) rad -4 , = 0
9-57.(Ac)a = 0.0*01 p u lg — Cy = 0 9 0 0 k
79.1 k - pie3 10-13. C x = 3.75 k
9-58.
(A c)* E l A , = 21.75 k
9-59.
79.1 k - p ic 3
(A c)‘ = - E l
Cy = 42.4 k
A , = 29.6 k
9-61.
417 k - p i c 3 ,
(Ac ) . - £ / i
10-14.Cy = 1.875 k
A , = 3.00 k
C apítulo 1 0
Ay = 3.125 k
10-1. * 4 , - 0
2wqL
Ma = 6.25 k • pie
A> ~ - — 10-15.Ay = 4.35 k
C , = 0
y 10
C r = 5.65 k
, . *v0L2
Mc = 10.4 k • pie
10-2.c , = o
C , = 14.625 k
B , = 30.75 k
Ay = 2.625 k
10-17.Cy = » . 0 kN
A , = 33.0 kN
A , = 24.0 kN
Ma = 45.0 k N - m

698. 6 7 6 Re s p u e s t a s a p r o b l e m a s s e l e c c i o n a d o s
1 0 -1 8 .
1 0 - 1 9 .
1 0-2 1.
1 0-2 2.
1 0 - 2 3 .
1 0 - 2 5 .
1 0 - 2 6 .
1 0 - 2 7 .
1 0 - 2 9 .
1 0 - 3 0 .
1 0 - 3 1 .
A y = -1 5 .0 k 1 0 - 3 3 .F 0b= 19.2 kN
D, = 2 1c FCB = 53.4 kN
Dy = 15.0 k 1 0 - 3 4 .F « o = 22.8 k ( C )
M „ = 19.5 k - p ie Fab = 18.4 k (T )
D, = - 2 2 7 k
Fac = 16.3 k ( T )
Dy = 22.5 k
1 0 - 3 5 .Fbc = 28.1 k (T )
Ay = 22.5 k
1 0 - 3 7 .C , = 0
A , = 2 2 7 k
c m t
D , = 5.41 k C' " 3
A , = 2 5 9 k
1 0 - 3 8 .FCo = 7.48 k ip
Dy = 4.65 k
1 0 - 3 9 .Fac = 28.0 k
A y = 4.65 k
10-15.C y = 0241 k
fí, = 2.65 kN
A, = 2 6 5 kN
Capítulo 11
1 1 - 1 . M a = -4.62 k - p ie
f l , = 0
Mb = -& 7 6 k - pie
Ay = 0 Mc = - 10.6 k - pie
fí, = 1.53 kN 1 1 - 2M a B = -1 0 2 k - p ie
A , = 1.53 kN
Mba = 8 4 k • pie
By = 7 5 0 kN
Mbc = - 8 4 k - pie
Ay = 15.0 kN
Mca = 4 8 k - p ie
Fab = 0.667 k (C) 1 1 - 3 .Mab = -1 8 .5 k N -m
Fbd = 0.667 k (T ) Mcb = 20.4 k N -m
Fbc = 0 Mba = 1925 k N • m
Fcb = 3.06 k ( C ) Mac = -1 9 .2 5 k N -m
F 4 C = & 2 3 k (C ) 1 1 - 5 .Mab = 4.09 k N -m
F o c = 6 5 8 k ( T ) Mba = 8.18 k N -m
F Ofl = 5 .1 0 k (T ) Mac = -8 .1 8 k N - m
F ^ = 10.1 k (C) Mcb = 8.18 k N -m
FD„ = 4 9 4 k ( T ) Mc o = - 8 1 8 k N - m
Fac = 7.91 k N (C ) M I)C = - 4 0 9 k N • m
= 8.54 k N (C) 1 1 - 6 .M ab = -4 9 .5 k -pie
= 6-0* ^ N (T ) M ba = 13.5 k - pie
Fab = 6.04 k N (T ) Mac = -1 3 .5 k - pie
Fea = >4.1 k N (T ) Mea = 9 k - p i c
Fc o = 10.0 k N (C) M eo = - 9 k • pie
FBE = 5.61 k N (T ) M oc = 40.5 k -pie
Fbd = 14.0 k N (C) 1 1 - 7 .M Ba = 41 2 5 k N - m
Foe = 3.96 kN (C) Mac = -4 1 .2 5 k N - m
Fa c = 1.41 k (T ) 1 1 - 9 .M ab = -1 6 7 k - pie
F'd c = Fc b = 0.414 k (T ) M Ba = 66.0 k - pie
= 0.414 k ( T ) Mae = -6 6 .0 k -p ie
Foa = 0 5 8 6 k (C) Mch = 2 6 1 k - pie
Fc o = 4.63 kN (T) MCo = - 2 6 1 k - pie

699. Re s p u e s t a s a p r o b l e m a s s e l e c c i o n a d o s 6 7 7
11-10. MaB = -10.5 k - p ie
Mba = 2 4 k - p ie
11-11. Mab = -2 4 .5 k • pie
M Ba = -Q 9 2 3 k - pie
Mac = 0.923 k - p ie
Mc b = 77.2 k - pie
MCd = -2 7 .2 k - p ie
11-13. M AB = - 1 2 6 k • pie
M ^ = 7 2 k - p ie
Mac = - 7 2 k • pie
Mc b = - 3 6 k • pie
11-14. Ma b= -42.9 k -p ie
MCb = 16.7 k - pie
11-15. M a b = - 1.98 k N - m
Mba = 0.540 kN • m
Mac = -0 .5 4 0 k N -m
11-17. MaB = -Z l l k - p i e
Mba = 40.8 k -pie
Mbc = -4 0 .8 k • pie
11-18. M BA = <fí.8 k N -m
m bc = - M 9 kN • m
Mbd = -3 4 .9 kN • m
11-19. M pc = ~ 13.4 k • pie
MCd = 13.4 k - p ie
Mda = 13.4 k - pie
Mc b = - 1 3 .4 k - p ie
11-21. Mdc = 6 4 .0 k N - m
MCd = 80.0 k N -m
Mda = -6 4 .0 k N -m
MCb = -8 0 .0 k N -m
11-22. M Mi = -2 5 .9 k N • m
Mda = - 3 3 2 k N • m
Mdc = 3.32 k N - m
MCd = 6 3 2 k N - m
Mbc = -9 .4 3 k N - m
Mcb = “ 6 3 2 kN • m
11-23. Mab = 25.4 k - pie
Mdc = -5 6 .7 k - pie
C apítulo 12
12-1. Mb = M c = - 8 4 .0 k - p ie
12-2. Ma = - 2 3 0 k -p ie
Mb = - 1 8 7 k - pie
Mc = - 1 2 2 k - pie
12-7. A , = 0
Ay = 33 kN
B j = 33 kN
Ma = 30 k N -m
Cy = 6 k N
12-14. Ma b= - Z3 0 k - p i e
Mba = 19.4 k • pie
Mbc = -1 9 .4 k - p ie
Mc a = 0
12-15. A , = 29.3 k
Ay = 96.0 k
Ma = 146 k - p ie
D, = 29.3 k
Dy = % .0 k
Md = 146 k - pie
12-19. Ma = 20.6 kN -m
Mb = -4 1 .1 k N -m
Mc = -4 1 .1 k N -m
Md = 20.6 k N - m
12-22. Mab = 128 k - pie
Mba = 218 k -p ie
Mbc = - 2 1 8 k - pie
MCb = 175 k -pie
Mcd = - 1 7 5 k - p ie
Mdc = -5 5 .7 k - p ie
12-23. Mba = ~ 104 k • pie
Mbc = 104 k -p ie
Mc b = 196 k - p ie
Mcd = - 1 9 6 k • pie
Mab = Md c= 0
12-25. Mba = 24.0 k -p ie
Mbc = “ 24.0 k • pie
MCb = “ 24.0 k • pie
Mcd = 24.0 k - pie
12-26. Mda = 14.2 k - pie
Mdc = -1 4 .2 k - p ie
Mcd = -7 .5 4 k - p ie
Mc b = 7.54 k - pie
C apítulo 13
1 3 -L Mab = -3 4 8 k • pie
Mba = 301 k -p ie
Mbc = -3 0 1 k - p ie
MCb = 348 k - p ie

700. 6 7 8 Re s p u e s t a s a p r o b l e m a s s e l e c c i o n a d o s
1 3 - 2 .
1 3 - 3 .
1 3 - 5 .
1 3 - 6 .
1 3 - 7 .
1 3 - 9 .
1 3 - 1 0 .
Mab = -3 4 8 k - pie
Mba = 301 k - p ie
Mk = -3 0 1 k - p ie
Mcb = 348 k - pie
Mac = 37.6 k • pie
Mca = 75.1 k - pie
Mcb = “ 75.1 k -p ie
Mgc = 369 k -p ie
Mab = 0
MBa = ft>4 k • pie
Mgc = - 6 1 0 k - p ie
Mbf = 5.53 k • pie
Mfb = 2.77 k • pie
Mcb = 610 k - p ie
M eo = -6 0 4 k • pie
Mce = -5 .5 3 k -p ie
MF.c = "2 -7 7 k -p ie
M a c = 0
Mab = 0
Mb a = 604 k - p ie
MBc ~ - 6 1 0 k - pie
Mhf = 5.53 k - pie
Mfb = 2.77 k - p ie
Mcb = 610 k - pie
Mcd = -6 0 4 k - p ie
Mce = “ 5.53 k • pie
Me c = -2 .7 7 k • pie
Mdc = 0
Ma b = 1-75 k - p ie
M Ba = 3.51 k - pie
Mac = -3 .5 1 k - p ie
Mcb = 3.51 k - pie
Mcd = -3 .5 1 k - p ie
M nc = -1 .7 5 k - p ie
Mba = 28.3 k - p ie
Mbd = -2 8 .3 k - p ie
Mdb = 28.3 k - p ie
Mdc = -2 8 .3 k - p ie
Mab = Mcd = 0
Mba = 28.3 k - p ie
Mbd = -2 8 .3 k - pie
Md b = 2 8 3 k - p ie
M d c = “ 28.3 k - p ie
M ab = M Cd = 0
1 3 - 1 1 . M c o = M BA = 180k - p ie
Mcf = M Be = 94.6 k - p ie
Mcb = Mbc = - 2 7 4 k - p ie
M pc = M Eb = 47.3 k - pie
C a p ítu lo14
14-1.
5 1 0 . 7 2 0 - 2 0 1 J 9 0 - 1 5 4 . 6 7 - 1 1 6 - 1 5 4 . 6 7 1 1 6
0 1 7 4 0 0 - 1 1 6 - 8 7 . 0 1 1 6 - 8 7 . 0
- 2 0 1 . 3 9 0 2 0 1 .3 9 0 0 0 0 0
V —
0 0 0 0 0 0 0 0
K -
- 1 5 4 . 6 7- 1 1 6 0 0 1 5 4 .6 7 1 1 6 0 0
- 1 1 6 - 8 7 . 0 0 0 1 1 6 8 7 .0 0 0
- 1 5 4 . 6 7 1 1 6 0 0 0 0 1 5 4 .6 7 - 1 1 6
1 1 6 - 8 7 . 0 00 0 0 - 1 1 6 8 7 . 0
1 4 - 2 . D , = 0
D j = -0 .0 2 3 0 pulg
1 4 - 3 . <7, = 33.3 k (C )
q2 = 0
q2 = 3.33 k (T )
1 4 - 5 . / ) , = -0 .00172 p u lg
q2 = 12.7 I b (C )
1 4 - 6 . q7 = 6.57 k (C )
1 4 - 7 . k =
703.033 - 5 3 .0 3 3 -5 3 .0 3 3 53.033 - 1 5 0 0 0 0 0
- S . I D 3 5 3 0 3 3 53.033 -5 3 .0 3 3 0 0 0 0 0
-S .C B 35 3 0 3 3256 06 6 0 0 0 - 5 3 0 3 3 - 5 3 0 3 3- 1 5 0
53.033 -S .Q 3 30 256.066 0 - 1 5 0- 5 3 0 3 3- 5 3 0 3 3 0
- 1 5 0 0 0 0 30 0 0 - 1 5 0 0 0
0 0 0 - 1 5 0 0 ISO 0 0 0
0 0 - 5 3 .0 3 3 -5 3 .0 3 3 - 1 5 0 0 2 0 30 33 53.033 0
0 0 - 5 3 .0 3 3 - 5 3 0 3 3 0 0 53.033 53.033 0
0 0 - 1 5 0 0 0 0 0 0 150
0 0 0 0 0 0 0 0 0
1 4 - 9 . k -
U 3 4 28.8 - 7 50 - 3 8 .4 -2 8 .8 0 0 0 0
28? 21.6 0 0 -2 8 .8 - 2 1 . 6 0 0 0 0
- 7 50 150 0 0 0 0 0 - 7 5 0
0 0 0 100 0 - 1 0 0 0 0 0 0
-3 S .4 -3B.8 0 0 1 5 1 8 0 0 - 7 5 - 3 8 .428.8
-2 8 .8 - 2 1 . 6 0 - 1 0 0 0 143.2 0 0 2 8 * - 2 1 .6
0 0 0 0 0 0 100 0 0 - 1 0 0
0 0 0 0 - 7 50 0 75 0 0
0 0 - 7 5 0 - 3 8 428.8 0 0 113.4 - a *
0 0 0 0 28 J* - 2 1 .6 - 1 0 0 0 - 2 8 * 121.6.

701. Re s p u e s t a s a p r o b l e m a s s e l e c c i o n a d o s 6 7 9
14-10. qs = 3 3 3 kN
14-11. Db = 0.0133 m
14-13. Ds = 0.00546 m
q$ — 1.64 k (C)
14-14. q3 = 3.55 k (T)
14-15.
Capítulo 16
16-1. ■ -
S L 2 9 0 22J5 - 1 L 2 5 0 22.5-•DO 0 0
0 511.25 -2 2 .5 0 - a » 0 0 - 1 1 .2 5 -2 2 .5
22.5 - 2 2 5 120 -2 2 .5 0 30 0 22.5 30
- n . 2 5 0 - 2 2 5 11.25 0 - 2 2 .5 0 0 0
0 •5 X 1 0 0 5 0 0 0 0 0 0
22.5 0 3 0 -2 2 .50 6 0 0 0 0
- 5 0 )0 0 0 0 0 500 0 0
0 - l i a s 22.5 0 0 0 0 11.25 22.5
0 -2 2 .5 30 0 0 0 0 22.5 6 0
<1*>
K - A E
' 0 4 0 5 » 0.096 0.01697 - 0 1 1 8 7 9 - 0 » 3 3 30
O W 6 0.128 0.(12263 - 0 1 5 8 3 9 0 0
0016 9 7002263 0 1 2 9 - 0 1 5 3 0 0.17678
- 0 1 1 8 7 9 - 0 1 5 8 3 9- 0 1 5 30 J 2 1 0 - 0 1 7 6 7 8
- 0 3 3 D 30 0 0 0 3 3 3 3 30
0 0 0.17678 - 0 1 7 6 7 8 0 0.25
16-2. = 3.21 k N —
= 21.6 k N t
R* = 2.72 k N - m J
K , = 6.79 k N —
K* = 26.4 k N T
R>, = 19.6 k N • m ^
C apítulo 15
15-1. M x = 9 0 kN m 16-3.
15-2.
15-3.
15-5.
15-6.
M,
M x
M3
Ry
K*
R$
*6
R*
R5
R«
Ry
R4
Rs
R«
15-7. R2
Ry
R4
«5
R<
15-9. M 2
15-10. 0 4
Qs
Ve
15-11. R2
Ry
R4
= 22.5 k N • m
= 27.5 k N • m
= 116 k N -m
= 7.85 kN
= 40.2 kN
= 8 6 .6 k N - m
= 39.6 kN
= 1.93 kN
= 34.5 kN
= 12.4 kN
= 32.25 kN
= 85.75 kN
= 22.0 kN
= 14.0 k N -m
= 41.4 kN
= 7.725 kN
= 2 .3 0 k N -m
= 28.9 kN
= 30.8 k N -m
= M i = 44.2 k N -m
= 25.5 k
= 2 1 .0 k
= 25.5 k
- 80 k N - m
= 120 kN
= 160 k N -m
K -
851250 0 225CD 22500 -1 1 2 5 0 0 - 4 0 0 0 0 0 0
0 1055760 - 1 4 4 0 0 0 0 -D 5 0 0 0 0 0 -5 7 6 0 - 1 4 1 0 0
22500 - U 4 X ) 10800) 30000 -22SOO 0 0 14100 24000
22500 0 30 0 0) 60000 -22500 0 0 0 0
-1 1 2 5 00 -2 2 5 0 0 -22500 11250 0 0 0 0
0 - B s a x i o 0 0 0 1050000 0 0 0
-MOOOO 0 0 0 0 0 140000 0 0
0 -5 7 6 0 14400 0 0 0 0 5760 14400
0 -1 4 4 X 1 24000 0 0 0 0 14100 48000
16-5.
R -
76 1125 0 2 6 2 5 26.25 0 - O . I 2 5 0 - 7 5 0 0
0 7 0 . 1 2 5 - * . 2 5 0 - * . 2 5 0 - 7 5 0 0 -1 3 .1 2 5
» . 2 5 - » 2 5 140 35 35 - * . 2 5 0 0 2 6 2 5
26.25 0 3 5 70 0 - * . 2 5 0 0 0
0 -26 .25 3 5 0 7 0 0 0 0 26.25
- 1 3 .1 2 5 0 - * . 2 5 - * . 2 5 0 13.175 0 0 0
0 -7 5 0 0 0 0 0 750 0 0
- 7 5 0 0 0 0 0 0 0 750 0
0 -1 3 .1 2 5 2 6 2 5 0 2 6 2 5 0 0 0 1 1 1 2 5
16-6.
16-7.
Rt = 5.54 kN
R7 = 35.5 kN
= 5.54 kN
R„ = 24.5 kN
4 0 3 . 3 3 0 0 4833 3 3 0 0 0 0 0
0 130 9 0 78 54.17 0 - 0 0 . 9 0 7 8 5 4 1 7 0 0 0
0 7X54.17 S 8 3 3 3 .3 30 - 7 8 5 4 1 7 321165.67 0 0 0
- « 3 3 . » 0 0 « 0 9 .0 10 5154.28 - 7 5 . 7 5 0 5451.28
0 - 0 0 . 9 0 - * 5 4 . 1 7 0 4158.68-78 5 4 .1 7 0 -4 )2 7 .7 8 0
0 7854.17 31416667 5451.28 - 7 8 5 4 1 7 1151964.64-5454.28 0 261105.55
0 0 0 - 7 5 .7 5 0 515428 75.75 0 -5 15 4 .2 8
0 0 0 0 4127.78 0 0 4027.78 0
0 0 0 5451.28 0 261805.55 5451.28 0 5 236 11.11.

702. 680 Re s p u e s t a s a p r o b l e m a s s e l e c c i o n a d o s
' 126875 0 3625 0 3625 - 1 M 8 .3 3 0 -«> .416 7 0
0 242422 906.25 506.25 0 0 - 7 3 5 2 10 -3 4 1 6 .6 7
* 2 5 90625 455000 72500 145000 0 -505.2 5 - * 2 5 0
0 90625 72500 145000 0 0 - « 6 0 . 2 5 0 0
* 2 5 0 145000 0 290000 0 0 - * 2 5 0
- 1M 8 .33 0 0 0 0 120833 0 0 0
0 -7 .5 5 2 1-506.25-906.25 0 0 7 3 5 2 1 0 0
- « 1 4 1 6 70 -* > 2 5 0 -* > 2 5 0 0 6 0 4 1 6 7 0
0 -2416.67 0 0 0 0 0 0 2416.67
16-10. R7 = 2 0 k
R* = 0
R9 = 2 0 k
16-11. K
3)4 8 31 0 -3301.04 -35 0 4.0 4 0 - 3 4 4 1 7 0 0 - M I 3.8 9 0
0 3101.03-M W .4 6 0 - M68.46 0 -30 2 0 .8 3 0 -1 0 .1 9 76
- 3 * 4 . 0 4-1468.46* 4 8 6 1211458 1409723301.01 0 0 1468.46
- 3 * 4 040 211458 422917 0 3301.04 0 0 0
0 -1468.46 U W 7 2 0 2819.44 0 0 0 0
3* 4 1 70 0 3 3 0 4 0 4 33 0 4 0 1 0 3 4 4 1 7 0 0 0 0
0 - M M .8 30 0 0 0 * 2 0 * 3 0 0
- M I 3.890 0 0 0 0 0 3 )1 3 8 9 0
0 - 1 0 . 1 9 * 1468460 1468.45 0 0 0 1(11976
Apéndices
A - l . 2A - B =
A + 3B =
A - 2 . 3A - 2 B =
A - 2B =
A - 5 . A B =
8
24
7 10'
- 1 6
1 0 - 5
0 12'
17 31
“ 2 1.
' - 3 7 o '
6 5 7
_ - 7 - 5 9 .
- 9 - 3 4"
- 2 - 1 5
''-i
i
o*
1
- 5 .
-1 2 ]
12 - 1 0 '
- 3 0 25
36 -3 0
A - 6 . (A + B )r = [ 1 9 10J = Ar + B'
A + A r =A -7 .
A - 9 . A r =
4 8
8 18
5 2
6 8 3 8
38 2 6
A -1 0 . A B =
A - l l . A B =
10
- 5
30'
1 1.
A - 15. |-41 = 27
Ifll = - 3 0
a-> 7 . a- - ¿
A -1 8 .
- 7
- 4
12
A -1 9 .
A -2 1 .
* i —
9
5
* 2=
9
4
*3=
3
4
*1
=
9
5
•*2
9
4
*3
3
*1
=1
* 2
=1
* 3
=- 1
16
3
- 9
17
2 2
- 2 3

703. índice
A
A lm as, 4
A m erican A ssociation o f S tate an d Highway
T ransportatíon O fficials (A A S H T O ),9 ,15-16
A m erican C o n crete Institute (A C I),9 ,4 1
A m erican R>rcst an d P a p e r A ssociation (A F P A ),9
A m erican Institute o f S teel C onstruction ( A IS C ), 9,35
A m erican R ailroad E ngineers A sso ciatio n (A R E A ) ,9.15
A m erican Socicty o f Civil E n g in eers (A S C E ),9
A nálisis
d e m a rc o s p lan o s, utilizando e l m éto d o d e la rigidez.
595-611
dinám ico, carg as sísm icas, 25
estático, c a rg a s sísmicas, 25
m atricial, 539,565. Vea también M étodo d e análisis d e la
rigidez
Arcos, 7.31.194-203
atados, 194
d e d o s articulaciones, 194
d e tres articulaciones, 194-200,203
fijos, 194
form a p arab ó lica d e . 194
tuerzas d e com p resió n y, 194-203
funiculares. 194
usos estru ctu rales d e , 7 .3 1.194
Á rea d e influencia, carg as vivas, 13
A rm adura
d e abanico, 80-81
d e tijeras, 80-81
d ien te d e sierra. 80-81
R n k , 80-81
H owc, 80-83
P ratt. 80-83
W brren, 80-83
A rm aduras, 6-7,31.79-131.232-235,261.264-267,275-277,
296-297,300,348-360.376-377,392-393.422-425.
S 8-573
análisis aproxim ado de. 264-267,273-277,296-297
articuladas. 84.130.275.297
carga ex te rn a , y 348
cargas com unes, 8 4 ,1 3 0
clasificación d e las, 85-94
com plejas. 86.116-119,130
com p o n en tes verticales, 264
com puestas, 8 6 ^7 .1 1 0 -1 1 2 .1 3 0
con re fu e rz o tran sv ersal, 264-267
conexiones fijas, 275,297
co o rd en ad as nodales, 560-563
coplanares. 85-94
curvatura d e , 349
deflexiones d e . 275-277,297.300,348-360.376-377,
392-393
desplazam iento ro tacio n al d e . 300,348-360,376-377.
392-393
determ inación de. 87.120,130
efectos de la tem p eratu ra (térm ico s) sobre, 349,392,
564-565.568-569
elem en tes d e fuerza cero. 98-99,122-123.264
e rro re s d e fabricación. 349,392.564-567
estabilidad d e . 82.87-91,120,131
estáticam ente d eterm in ad as, 79-131
estáticam ente indeterm inadas, 264-267,275-277,296-297.
422-425
identificación d e e lem en to s y n o d o s e n las, 540
indeterm inación cinem ática, 541
líneas d e influencia p a r a .232-235.261
m atrices d e rigidez p a ra . 540,542-543.546-559,570-571
m atrices d e tran sfo rm ació n p a ra , 543-545.570
m atriz d e rigidez (d el elem ento) g lobal (k), 546-547
m atriz de rigidez d e la e stru c tu ra (K ). 540,547-551
m atriz d e rigidez d e l e lem en to ( k ) . 541 -543.546-551
m atriz d e transform ación de la fuerza (Q ) p a ra , 545,
564-569
m atriz d e transform ación d el d esp lazam ien to (T ) p a ra .
544
m étodo d e análisis d e la fuerza, 422-425
m étodo d e análisis d e la rigidez, 538-573
m étodo d e las secciones para, 104-109,123,131
m étodo d e los elem entos sustitutos, 116-119
m étodo d e los nudos p a ra , 94-97,123,131
6 8 1

704. 6 8 2 ÍN D IC E
nodos, 540
para techo, 80-81
placa de refuerzo, 79
planas, 6 .7 9
p o rtales de. 275-277,297
procedim ientos d e análisis p a ra . 95,106,116-117,123,
350,357.553
puentes. 82-83
relaciones carga-desplazam iento, 542-543
sim ples, 85,130
sistem as d e coordenadas, 540,543-545.560-563,570
sa p o rtcs p a ra , 275-277,297
subdivididas, 82
supuestos de d iseñ o p a ra , 84.120,130
teo rem a d e C astigliano p a ra . 356-360.390
tipos d e , 80-83
trab ajo virtual p a ra , m éto d o d el. 346-354,392
uso estru ctu ral de. 6 -7 ,3 1 ,7 9
A rm aduras esp aciales, 6,120-126,570-571
com p o n en tes d e fuerza x ,y ,z de, 122
determ in ació n , 120
elem entos d e fuerza c e ro en. 122-123
estab ilid ad d e . 120
m atrices de tran sfo rm ació n para, 570
m étodo d e análisis d e la rigidez, 570-571
procedim iento d e análisis para. 123
so p o rtes p a ra , 120-121
supuestos d e para e l d iseñ o p a ra , 120
B
Bahías, 80
Bisagras, 282-283.289,297,437
B ridas A las. 4
C
C aballetes, 80
C ables, 7 ,3 1 ,37,181-193,203
carg as co n cen trad as y, 182-183,203
carg as u n ifo rm em en te distrib u id as y, 184-189,203
conexiones d e ap o y o , 37,181-193
c u n a ca te n a ria , 185
ecuaciones d e e q u ilib rio p a ra , 182-185
flecha, 182
flexibilidad d e los, 182,203
form a parabólica d e . 185
usos estru ctu rales de. 7 ,3 1,181
C aparazones, estru c tu ra s superficiales, 8
C arg a d e datos, softw are p a ra el análisis estru ctu ral. 627
Cargas. 2-31 .4 0 -4 3 .4 7 .6 8 .1 3 2 -179.181-183,203,201-261.
270-272,282-293,296-297,430.501-503,523-527,
529-530
antisim étricas. 430.502 .53 0
códigos d e construcción (gen erales), 9
códigos d e d iseñ o . 9
d e nieve. 22-24
d el viento. 16-22
d iseñ o d e edificios y. 12-14,16-26,270-272,296
efecto s de la p resió n del suelo, 25
efecto s de la p resió n h idrostática,25
elem entos estructurales, e n . 132-179
elem entos n o prism áticos, 523-527,529-530
estru ctu ras d e cable, 181-193,203
estru c tu ra s idealizadas. 40-13.68
estru c tu ra s y. 2-31
facto r de im p acto (/). 16
fijas, 205-206. Vea también C argas m uertas
fuerza co n cen trad a. 182-183.203.213-214.240-249,
260-261
laterales, 282-293,297
líneas d e influencia p a ra . 204-261
móviles, vea C argas vivas
m uertas, 10-12,31,205-206
n aturales, 26
publicaciones de la P ortland C em en t A ssociation,
525-527
p uentes carretero s, 15
p uentes ferroviarios, 15
se rie de, 244-245,261
sim étricas, 501,503,529
sísm icas, 23-25
unitarias. 206-212,260-261
unitarias, líneas de influencia y. 206-212, 260-261
verticales, 270-272,296
verticales, análisis de m arcos de construcción y, 270-272,296
C argas concentradas. 182-183,203.213-214.240-254,
260-261
cables, 182-183,203
elem entos d e u n a a rm a d u ra . 84,94-95,104-105,130
estru ctu ras arqueadas, 194-203
fuerza c o rta n te (V ) e n . 240-243,261
fuerza c o rta n te y m o m en to m áxim os ab so lu to s e n ,
250-254,261
líneas d e influencia y. 213-214,240-254.260-261
m étodo d e las secciones y. 104-105

705. ÍN D IC E 6 8 3
m om ento (M ) e n . 244-245,261
serie d e . 240-249.261
vigas, 213-214,240-249,260-261
C argas distribuidas, 150-151.184-189,203.213-214.260.
Vea también C argas uniform es
cables, 184-189,203
d iagram as d e fuerza c o rta n te y de m om ento y. 150-151
líneas d e influencia y, 213-214,260
uniform em ente. 184-189,203.213-214,260
vigas. 213-214.260
C argas internas, 47,132-179,303.305-308
cargas distrib u id as y. 150-151
convención d e signos p a ra . 134
deflexiones y. 303.305-308
d iagram as d e fuerza c o rta n te y de m om ento p a ra ,
150-159,178-179
d iagram as d e m o m en to p a ra , 168-172
elem entos estructurales, 132-179
fuerza c o rta n te (V ) y. 133-138.178
fuerza d e m o m en to flexionante (M ). 133-138,178,303,
305-308
fuerza n o rm al (N ) y, 133-135,178
funciones de fuerza co rtan te y de m om ento d e . 139-143,
178-179
m arcos, 163-167
m étodo d e la superposición para, 168-172
m étodo d e las secciones para, 47,133-138,178
p rocedim ientos d e análisis p a ra . 135,140,153
puntos específicas, fuerzas e n . 133-138.178
vigas. 132-159.178-179
C argas laterales, 282-293,297
análisis ap ro x im ad o p a ra , 282-293.297
deflexión por. 282-283,297
m arcos d e construcción. 282-293,297
m étodo d el p o rta l p a ra . 282-287.297
m étodo d el voladizo p a ra , 288-293,297
so p o rte s fijos p a ra . 282-283,289,297
C argas tributarias. 40-43.68
losas d e d o s se n tid o s (sistem a), 42-43,68
losas d e u n solo sentido (sistem a). 40-41,68
Cargas uniform es, 12-14.184-189.203.213-214.260
cables y, 184-189,203
distribuidas, 184-189,203,213-214,260
líneas d e influencia y. 213-214,260
vigas. 213-214,260
v ivas 12-14.213-214,260
Cargas vivas, 12-26.31.204-261
á re a de influencia. 13
cargas d e im pacto. 16
cargas d e la nieve, 23-24
cargas d el viento. 16-22
cargas sísm icas. 24-25
diseño d e edificios y. 12-14.16-26,228-231,261
diseño d e p u en tes y. 15-16,240-254,261
efectos de la p resió n hidrostática y d el suelo. 25
facto r de im pacto, 16
líneas d e influencia p a ra , 204-261
naturales, 26
reducidas, ecuación p a ra , 13-14
uniform es, 12-14
C astigliano. teo rem a de, 381.392
C ódigos
de construcción (gen erales), 9
de d iseñ o , 9
C olum na viga. 6,31
C olum nas 6,31
C om ba. 349
C om patibilidad, 48.397-107
ecuaciones d e . 48.398-401
estru ctu ras estáticam ente d eterm in ad as. 48
estru ctu ras estáticam ente indeterm inadas, 397-401
m étodo d e análisis d e la fuerza, 397-401
requisitos de. 397
C om ponentes
de fu e rz a x, y, z , arm ad u ras espaciales, 122
verticales, arm ad u ras. 264
C ondiciones
de con tin u id ad , m éto d o d e la d o b le integración. 307
de fro n te ra , m éto d o d e la d o b le in tegración, 307
C onexiones d e ju n ta de rótula, 120-121
C onexiones d e los soportes, 34-37,68,120-121,181-193,
273-277.282-283.289.297.300-303.326-333,339
arm aduras. 84.120-121.130.275,297
arm ad u ras espaciales, 120-121
articuladas, 3 4 -3 7 .6 8 .84.130.273,275.297
bisagras, 282-283,289.297
bola y cu en ca, 120-121
cables, 37.181-193
deflexión y, 300-303,326-333,339
eslabones cortos, 36,121
estru ctu ras estáticam ente indeterm inadas. 273-277.
282-283.289.296-297
estru ctu ras idealizadas, 34-37
fijación parcial. 274

706. 6 8 4 ÍN D IC E
fijas. 34-37.274.275.282-283,289,297
fuerza (F ), reacciones. 52
ju n ia de ró tu la , 120-121
juntas, 34-37.68
ju n tas co n ectad as co n rodillos, 34-37,120-121
m arcos, 273-275,282-283,289,297
m étodo d e la viga conjugada y, 326-333.339
portales. 273-277.297
C o ordenadas
d el e lem en to (locales), 540.576.627
glo b ales (d e la e stru c tu ra ), 540,576.625
n o d ales 560-563
Q ib ie rta , cargas so b re el p u e n te y la, 82
CUrva cate n aria. 185
Q irv a clástica. 299-303.307-313.316-325,228-339
ce n tro d e cu rv atu ra (O '). 305
deflexiones tan g e n c ia le s 317
deflexiones y. 299-303.316-325,339
m étodo d e la d o b le integración p a ra , 307-313,338
p endiente y. 300-301,307-308,316
radio de cu rv atu ra (p). 305-306
rigidez a la flexión (E l) , 305-306
teorem as d e m o m en to -área p a ra , 316-325,339
teoría d e la viga clástica y. 305-306
C U rvatura (p), 305-306
D
D atos
d e los e le m e n to s softw are p a ra el análisis estructural,
626-627
d el nodo, softw are p a ra e l análisis estru c tu ra l, 626
d el so p o rte , softw are p a ra análisis estructural. 627
D eflexión, 205,216-223,260,270-277,282-283,296-297,
2 ^ -3 3 9 ,3 4 1 -3 9 3
arm a d u ra s 275-277.297.300,348-360,376-377.392-393
c arg as laterales y. 282-283,297
c arg as verticales y. 270-272,296
c arg as vivas y. 205,216-223,260
convención d e signos p a ra , 304,307,316-317
c o rta n te (V )y ,3 7 5
c u rv a elástica p a ra . 299-303.307-313,316-325,338-339
c u rv a tu ra (p), 305-306
d e desplazam iento (ro tació n ) (desplazam iento), 341-393
d iagram as (M /E I), 299-303.316-325.338-339
elem entos c irc u la re s 376
en erg ía d e d efo rm ació n (U i) y. 341.344.375-380.392
e stru ctu ras d e portal, 273-277.297
estru ctu ras estáticam en te in d e te rm in a d a s 270-277.296
flexión (M ). 303,305-313,338.344
flexión in tern a (M ) y, 303.305-308
fuerzas axiales (N ) y. 303.344.375
líneas d e influencia y. 205.216-223,260
m a rc o s 270-275,282-283,296-297,300-303,364-386.393
m arcos d e construcción y. 270-272.282-283.296-297
m étodo d e la d o b le integración p a ra . 307-313,338
m étodo d e la viga conjugada p a ra , 326-333,339
m étodos d e en erg ía para. 341-393
pendiente y. 300-301,307-308,316
principio de conservación d e la en ergía, 341,392
principio de M U ller-Breslau p a ra , 216-223,260
principio del tra b a jo v irtu al p a ra . 346-348
principio del tra b a jo y la en erg ía p a ra , 345
procedim ientos p a ra e l análisis de, 308.318,328,350,357.
366,382
punto d e inflexión.304,338
respuesta m a terial lineal elástica,355-356,375-376
so p o rtes y, 300-303,326-333,339
tem p eratu ra (T ) y. 349,376-377
teo rem a d e C astigliano para, 355-360,381-386.393
teorem as d e área-m o m en to p a ra . 316-325,339
teoría de la viga elástica p a ra . 305-306
to rsió n (T ) y, 376
trab ajo e x te rn o (Uf) y .341-344,392
trab ajo virtual, m éto d o d el. 346-354,364-380.392-393
trab ajo y. 341-393
v igas 205.216-223.260.298-339.364-386.393
D eflexiones 299-339
D eflexiones em p lean d o m éto d o d e la en ergía, 341-393
d eflex io n es 341-393
desplazam ientos d e rotación, 341-393
e n e rg ía d e d efo rm ació n (U i), 341,344-345.355-356,
375-380.392
fuerza (F ) y. 342-343
principio de conservación d e la en ergía. 341,392
principio del tra b a jo y. 346-348.392
teo rem a d e C astigliano.355-360,381-386.393
trab ajo e x te rn o (U e). 341 -344,355,392
trab ajo virtual. 346-354.364-380.392-393
trab ajo y. 341-393
D esplazam iento (u), 326-328,341-393.397-398,402-403,
448,450485.486-521.542-543.577-578,595-5% . Vea
también D eflexiones m éto d o s de en erg ía
an g u lar (0). 454-455
cero, 327

707. ÍN D IC E 6 8 5
convención d e signos p a ra , 453.459.488
de rotación (deflexión). 341-393
deflexión y. 326-328
distribución d e m om entos p a ra . 486-521
ecuaciones d e eq uilibrio p a ra , 397.459
ecuaciones d e pendiente-deflexión p a ra . 450-485
en erg ía d e d eform ación (U i) y, 341.344-345.355-356.
375-380.392
e stru ctu ras estáticam ente determ inadas, 341-393
estructuras estáticam ente indeterm inadas. 397-398.
402-403,448,450-485
factores de rig id ez.457-458.488-490.500-505
g rados d e libertad. 452-453.452-453,459,485
lineal (A ), 453,455
m arcos, 452-453.459.469-481,495.508-517
m atrices d e rigidez. 542-543.577-578,595-596
m étodo d e la viga co n ju g ad a y. 326-328
nodos. 452-453.459
relaciones carga-desplazam iento. 542-543.577-578.
595-596
lé o re m a de la reciprocidad d e M axw ell, 402-403,448
trab ajo virtual p a ra , 346-354,364-380.392-393
vigas. 452-453,459-466.491-505.577-578
D esplazam iento
an g u lar (0), 454-155
de rotación, 341-393. Vea también D eflexión
de to rsió n , e lem en to s circulares. 376
lineal (A ).453.455
D esplazam iento lateral. 469-181.485,508-517
distribución d e m om entos p a ra . 508-517
ecuaciones d e pendiente-deflexión p a ra , 469-480
m arcos co n . 474-181.510-517
m arcos sin. 469-473,508-509
m étodo d e análisis d e l desplazam iento para, 469-481,
485,508-517
D esplazam ientos y m om entos ce ro . 327
D eterm inación. 4 8 -5 4 .6 9 .8 7 .1 2 0 ,1 3 0
arm aduras. 87.1 2 0 ,1 3 0
a rm ad u ras espaciales, 120
ecuaciones d e com patibilidad p a ra , 48
ecuaciones d e eq uilibrio y, 48-51.69
estabilidad y. 48-54,69
estáticam ente d e term in ad a. 48
estáticam ente in d eterm in ad a, 48
D eterm in an tes p a ra matrices, 618-620
D iagram as d e cuerp o libre, 47-51,59-60
D iagram as d e fu e rz a c o rta n te y de m o m en to . 150-159.
163-167.178-179,205-206
cargas distrib u id as y. 150-151
cargas in tern as y 150-159.163-167.178-179
cargas m u e rta s y, 205-206
m arcos. 163-167
vigas, 150-159,178-179
D iagram as d e m o m en to , 168-172
D iseño d e edificios. 12-14,16-26.228-231.261,270-272.
2X2-293.296-297
cargas laterales y. 282-293.297
cargas vivas y. 12-14,16-26.228-231.261
cargas verticales y. 270-272,296
deflexión y. 270-272,2X2-283.296-297
m étodo d e l voladizo para, 288-293,297
líneas d e influencia p a r a .228-231.261
m arcos, 270-272.282-293,296
m étodo d e l p o rta l p a ra , 282-287.297
so p o rtes y, 282-283,289.296-297
D ispositivos de deslizam iento. 436
D istribución d e m om entos, 486-521,528-533
convención d e signos p a ra . 459,488
desplazam iento la te ra l y, 508-517
elem entos articulados, 528-529
elem entos n o prism áticos, 528-533
facto r de traslado, 490
factores de distribución (D F ), 489,491
factores de rigidez, 488-490,500-505
m arcos, 495,508-517
m étodo d e análisis d e l desplazam iento. 486-521.
528-533
m om entos de e x trem o fijo (FE M ). 491-495
p rocedim ientos d e análisis usando la, 487-490.495
traslación relativ a de las ju n ta s, 531
vigas. 491-505.528-533
vigas sim étricas, 501-503,529-530
E cuación de rigidez d e la e stru c tu ra , 552
E cuaciones d e pendiente-deflexión. 450-485.534-535
claro final articulado, 458,485
convención d e signes p a ra . 453
desplazam iento a n g u la r {ff). 454-455
desplazam iento la te ra l y.469-481.485
desplazam iento lin eal (A ),453.455
elem entos n o prism áticos. 534-535
estru ctu ras estáticam ente indeterm inadas, 450-485
facto r d e rigidez (/c). 457-458

708. 6 8 6 ÍN D IC E
m arcos. 469-481
m étodo d e análisis d el desplazam iento usando. 450-485.
534-535
m étodo d e la viga conjugada para, 454-457
m om entos de e x trem o fijo (F E M ), 456-458,485,534-535
principio de superposición p a ra , 453
p rocedim iento d e análisis em p lean d o . 459
rigidez d e l e lem en to (k),457
rotación d el claro («H 457
traslación relativa d e las juntas, 534-535
vigas, 459-466
E fectos
d e la presión d e l su e lo so b re e n las e stru ctu ras, 25
de la presión h idrostática.25
E lem entos
circulares, desplazam iento torsional d e , 376
d e la arm ad u ra de fuerza ce ro , 98-99.122-123
d e u n a m atriz, 612
estru ctu rales, vea Vigas d e v er; E lem ento s n o prism áticos
E lem entos n o prism áticos, 522-537
carg as antisim étricas, 530
carg as sim étricas, 529
distribución d e m om entos p a ra , 528-533
ecuaciones d e pendiente-deflexión, 534-535
extrem os articulados, 528
factor de rigidez (K ), 524-525
facto r de tra sla d o (C O F T R ), 524-525
m étodo d e análisis d el desplazam iento. 522-537
m om entos de e x trem o fijo (F E M ), 524-525,531,534-535
p ropiedad es d e carg a e n , 523-527
sustitutos, m éto d o de análisis de los, 116-119
traslación relativa d e las juntas. 531,534-535
vigas. 528-533
vigas sim étricas, 529-530
E nergía d e d eform ación (U), 341,344-345,355-356,
375-380.392
cam b io s d e te m p e ra tu ra (7 ) y. 376-377
d eflexión y. 341,344.375-380.392
elem entos circulares, 376
fuerza ax ial (N ) d e , 344,375
fuerza c o rta n te (V )y .3 7 5
m om ento flexionante (M ) d e . 344
principio del tra b a jo y de la en erg ía con, 345
teo rem a d e C astigliano para. 365-366,393
to rsió n ( 7 ) y, 375
trab ajo virtual y, 375-380
E nvolvente d e los v alores m áxim os d e la línea de
influencia. 251
E quilibrio, 47-51.59-67,69.182-185,398-401.459
análisis d e cables y, 182-185
aplicaciones estáticam en te d eterm in ad as. 59-67
desplazam iento y, 397,459
d eterm in ació n y. 48-51,69
diagram as d e cuerp o libre p a ra , 47-51.59-60
ecuaciones de, 47-51,59-67.69.182-185,398-401.459
incógnitas, 397
m étodo d e análisis d e la fu e rz a y, 397-401
requisitos d e , 397
E rro res d e fabricación. 349,392.564-567
arm aduras, 349,392,564-567
deflexión y. 349,392
m atriz d e transform ación de la fuerza (Q ) p a ra . 564-565
m étodo d e análisis d e la rigidez p a ra . 564-567
Escalares, m ultiplicación d e m atrices y, 614
Esfuerzo
perm isibles d e d iseñ o (E P D D E P ), 26
prim ario, 84
secu n d ario . 84
Esfuerzos, ju n tas de lo s e lem en to s y, 84
Esquineros, 80
E stabilidad. 48-54.69,82.87-91,120,131
arm aduras, 82,87-91.120,131
arm ad u ras espaciales, 120
d eterm in ació n y. 48-54,69
ecuaciones d e eq uilibrio y. 48-51
e x te rn a ,87,120,131
ex terna, arm aduras, 87.120,131
in tern a. 88-89.120.131
in tern a, arm aduras, 88-89,120,131
por inspección, 53
reacciones e n los so p o rtes, 52
restricciones im propias y, 52-53
restricciones p arciales y, 52
E structuras, 2-31,32-77,79-131.132-179.180-203.204-261.
262-297,394-449.450-485.486-521,522-537,538-573.
574-593,594-611.625-627
análisis de. 3-4,79-131.132-179,180-203
arcos, 7.31.194-203
arm aduras, 6-7,31.79-131
cables, 7,31.181-193.203
carg as in te rn a s en lo s elem entos, 132-179
carg as tributarias. 40-43.68
carg as y, 2-31.132-179.204-261

709. ÍN D IC E 6 8 7
clasificación de. 4-8
códigos d e co n stru cció n (gen erales), 9
colum nas, 6 .3 1
com puestas, 425-427
com puestas, m étodo de análisis d e la fuerza p a ra , 425-427
conexiones de los so p o rte s p a ra , 34-37.68
de placa d elg ad a . 8
determ inación de, 48-54,69
diagram as d e c u e rp o libre de, 47-51.59-60
diserto d e , 9 .2 6
diserto d e l esfuerzo perm isible (D E P ), 26
ecuaciones d e com patibilidad p a ra , 48
ecuaciones d e eq uilibrio de. 47-51.59-67.69
elem entos n o prism áticos, 397,450485,486-521.522-537
elem entos p a ra , 4-6
estabilidad d e . 48-54,69
estáticam ente d eterm in ad as. 32-77,79-131.204-261
estáticam ente in d eterm in ad as,48-51,262-297.394-449,
450-485.486-521,522-537
factores de carga y resistencia d e diserto (L R F D ), 26
idealizadas, 33-45,68
lineas d e influencia p a ra , 204-261
m arcos, 8,31
m étodo d e análisis d e la fuerza, 394-449
m étodo d e análisis d e la rigidez. 538-573,574-593.
594-611
m étodo d e análisis d e l d esplazam iento, 397,450-485,
486-521,522-537
m éto d o s d e análisis aproxim ados, 262-297
p lacas delgadas (cap arazó n ), 8
p rocedim iento d e análisis p a ra , 61
restricciones im propias p a ra , 52-53
restricciones parciales, 52
sim étricas. 429-430.449
sistem as, tipos de. 6-6
softw are p a ra e l análisis d e . 625-627
superficiales, 8
superposición, principio d e la. 46,69
tirantes, 4.31
trabes, 4-5,38
vigas. 4-5,31.38-39,132-179
E structuras estáticam ente determ inadas, 32-77,79-131,
212-261,396-397
análisis de. 79-131
análisis idealizado, de. 33-45,68
arm aduras, 79-131
articuladas, 50.59-61
determ inación de, 48-54
ecuaciones d e eq uilibrio aplicadas a. 59-67
estabilidad de. 48-54
estructuras estáticam ente in d eterm in ad as co m p arad as
con. 396-397
líneas d e influencia p a ra . 204-261
m arcos. 51
p rocedim ientos d e análisis p a ra . 61.206
restricciones im propias p a ra , 52-53
restricciones parciales, 52
vigas, 49
E stru ctu ras estáticam ente indeterm inadas, 48-51,262-297,
394-449,450-485,486-521.522-537
análisis de. p o r el m éto d o de la fuerza, 395-449
arm aduras, 264-267,275-277,296-297,422-125
cargas laterales, 282-293,297
cargas verticales. 270-272,296
deflexión d e . 270-277,282-283,296-297
desplazam iento la te ra l y,469-481
determ inación de. 48-51.395.452-453
distribución d e m om entos p a ra . 486-521,528-533
ecuaciones de pendiente-deflexión para, 450-485.534-535
elem entos n o prism áticos, 522-537
estru ctu ras com puestas. 425-427
estructuras estáticam ente d eterm in ad as com paradas
con. 396-397
estru ctu ras sim étricas, 429-430,449
g rad es d e libertad, 452-453,459,485
ley d e B etti.403
líneas d e influencia p a ra .435-445,449
m arcos, 270-274,282-293,296-297,411-415,439-445,
452-453.459,469-481.495.508-517
m arcos d e construcción, 270-272,282-293,296
m étodo d e análisis d e la f u e r z a 394-449
m étodo d e análisis d e l desplazam iento. 450-485.486-521.
522-537
m étodo d e l p o rta l para. 282-287,297
m étodo d e l voladizo p a r a 288-293.297
m étodos d e análisis aproxim ados, 262-297
portales, 273-277,282-287,297
p rocedim ientos d e análisis p a ra . 401.438.459
puntos d e inflexión,274-275.282.297
so p o rtes y. 273-277,282-283,289,296-297
teo rem a d e M axw ell d e los desplazam ientos recíprocos,
402-403.448
vigas, 403-410.452-153.435-138,459-466.491-505.
528-533

710. 6 8 8 ÍN D IC E
E stru ctu ra s idealizadas, 33-45,68
articulaciones, 34-37
carg as tributarias, 40-43,68
conexiones d e so p o rte . 34-37,68
m odelos, 38-45
planes estructurales, 38-39
sistem a d e d o s sentido s, 42-43
sistem as d e u n so lo sentido. 40-41
E stru ctu ras sim étricas 429-430.449.501 -503,529-530
cargas, 501,503,529
c arg as antisim étricas. 430,502,530
elem entos n o prism áticos. 529-530
m étodo d e análisis d e la fuerza, 429-430,449
m étodo d e análisis d el desplazam iento. 501-503.529-530
vigas. 501-503,529-530
E structuras superficiales, 8
F
Factor
d e carg a d e im pacto (/), 16
d e carg a y resistencia d e d is e ñ o (L R F D ), 26
d e distribución (D F ). 489.491
de rigidez d e l claro ( k \ 457-458
de rigidez relativ a (/£„), 490
d e rigidez to ta l ( / í r ). 489
d e traslad o (C O F F T R ), 490.524-525
ía c to re s d e rigidez, 457-458.488-490,500-505,524-525
c arg as antisim étricas. 502
c arg as sim étricas, 501,503
de e lem en to s n o prism áticos, 524-525
de un e lem en to d e viga (K ),4 8 8 ,500-505
d e las ju n ta s, 489
d e vigas sim étricas, 501-503
d el claro (*>.457-458
distribución d e m om entos y. 488-490,500-505
ecuaciones d e pendiente-d eflexión, 457-458
extrem os articulados, 458,500
m odificación. 500-505
relativa (K *).490
to tal (K r ),489
F lc c h a .c n cables, 182
Flexibilidad de cables, 182,203
fo rm a s parabólicas, 185,194
F u erza (F ). 36-37.84.94-95,104-105,122-123,130,194-203.
303.305-313,338.342-344.355-362,375,381 -383. Vea
también C argas; Fuerza co rtan te
análisis de arm ad u ras y, 84,94-95,104-1(6,122-123,130
axial (N ). 303.344.375
c o m p o n en tes x . y . z de la , 122
d e c o m p r e s i ó n ( C ) . 8 4 .9 4 - 9 5 ,1 0 4 - 1 0 5 .1 3 0 ,1 9 4 - 2 0 3
d e flexión (M ). 303,305-313.338.344
d e tensión (T ), 84.94-95.104-105.130
deflexión (d esp lazam ien to d e ro tació n ) y, 303,305-313.
338,342-344.355-362.375,381-383
elem entos d e a rm a d u ra de fuerza ce ro , 98-99.122-123
estru ctu ras arqueadas, 194-203
fueiza e x te rn a (P ), 355-362,381-383
fuerza in te rn a (N ). 356-362
m agnitud d e la. 94-95
por inspección, 95
reacciones e n los soportes, 36-37
trab ajo virtual y. 375
trab ajo y, 342-343
Fu erza c o rta n te ( V ),4 -5 ,133-138,178,216-220.240-243.
250-254.261.375.436
aplicada. 4-5
carg as co n cen trad as y. 240-243,250-254,261
carg as internas y. 133-138.178
carg as vivas y. 216-220,260
desplazam iento d e rotación (deflexiones) y. 375
en erg ía d e d efo rm ació n virtual cau sad a por, 375
envolvente d e los v a lo re s m áxim os de la línea de
influencia. 251
líneas d e influencia y, 216-220,240-243,250-254,261,436
m áxim a absoluta. 250-254,261
máxim a ab so lu ta (V ) y m o m en to (M ). 250-254,261
principio de M üller-B reslau p a ra , 216-220,260
se rie d e carg as concentradas, 240-243,261
vigas e n voladizo. 250,261
vigas sim plem ente apoyadas, 250-251,261
Fu erzas ax iales (N ). desplazam iento de rotación
(deflexiones) y. 303,344.375
Ftincioncs d e fuerza c o rta n te y d e m om ento. 139-143,
178-179
G
G aus, m éto d o d e . 623
G ra d o s d e libertad. 452-453,459.485
1
Igualdad d e m atrices, 614
Indeterm inación cinem ática, 541,576-577
Integración p a ra e l trab ajo virtual, 364-365
Inversa de una m atriz, 620-622

711. ÍN D IC E 6 8 9
J
Juntas. 3 4-39.50.59-67.68.84.94-97,123,130-131.489.531.
534-535
análisis d e arm ad u ras y. 84.94-97.13,130-131
articuladas, 34-37.50.59-61.84.130
conectadas fijam ente. 34-39
conectadas m ediante rodillos, 34-37
conexiones e n los so p o rte s p a ra , 34-37.68
ecuaciones d e eq uilibrio aplicadas a. 59-67
elem entos n o prism áticos, 531,534-535
e stru ctu ras idealizadas, 33-39,68
esfuerzos e n los e lem en to s y. 84
facto r d e rigidez (/Q . 489
fuerza de com p resió n (C ) aplicada a .8 4 ,1 3 0
fuerza d e tensión (7} ap licad a a. 84,130
m étodo d e las, 94-97,123.131
m om entos d e e x trem o fijo (F E M ) y. 531.534-535
reacciones d e fuerza (F ). 36-37
traslación relativa d e las ju n tas, 531,534-535
Juntas co n ectad as co n rodillos, 34-37.120-121,216-217
L
Ia rg u c ro s, carg as d el p u e n te y. 82
Ley d e B etti, 403
Línea de acción. 94
lin e a s de in flu en cia.204-261,435-445.449
arm aduras. 232-235,261
cargas u n ifo rm em en te distribuidas y, 213-214,260
cargas vivas y, 204-261
construcción d e . 205-212
cualitativas, 216-223,438-445
cuantitativas, 438
deflexión y. 205,216-223.260
d iagram as d e fuerza c o rta n te y de m om ento en
com paración con. 205-206
diseño d e edificios y. 228-231.261
diseño d e p u en tes y, 240-254.261
dispositivos de deslizam iento p a ra . 436
ecuaciones, 206-212
envolvente d e valores m áxim os, 251
estructuras estáticam ente determ inadas, 204-261
e stru ctu ras estáticam ente indeterm inadas. 435-445.449
fuerza c o rta n te (VO y. 216-220,240-243,250-254,261,436
fuerza c o rta n te (V ) y m o m en to (M ) m áxim os absolutos,
250-254.261
fuerzas co n centradas (cargas) y, 213-214,240-254.260-261
m arcos. 215,439-445
m áxim a en u n punto. 240-249
m om entos (M ) y .216-219.221-223.244-245.250-254.
261,437
pasad o r o bisagra p a ra . 437
posiciones d e la carg a unitaria p a ra , 206-212,260-261
principio de M llUer-BresIau para, 216-223,260
p rocedim ientos d e análisis para, 206,438
reacciones curvas p a ra . 435-436.449
serie d e carg as concentradas, 240-249.261
teo rem a d e M axw ell d e los desplazam ientos recíprocos
para. 435-437
trab es de piso. 228-231.261
vigas 213-231.240-254,260-261.435-438
Losas, cargas trib u tarias y. 40-43,68
M
M agnitud. 94-95
M arcos, 8.31.163-167,270-274,282-293.296-297,364-386,
393.411-415.439-445.452-453.459.469-481.495.
508-517,594-611
análisis ap ro x im ad o d e . 270-274,282-293.296-297
articulados, 273.297
bisagras. 282-283,289,297
carga ax ial (N ),3 7 5
cargas verticales, 270-272,296
de construcción. 270-272,282-293,296-297
de varios niveles, 510-511
deflexiones y. 270-274.282-283.297.364-386.393
desplazam iento lateral de. 474-481,510-517
desplazam iento rotacional d e . 364-386.393
diagram as d e fuerza cortante y de m om ento para. 163-167
distribución d e m om entos. 495.508-517
ecuaciones d e pendiente-desplazam iento, 459,469-481
elec to s de la tem p eratu ra (T ) so b re , 376-377
en erg ía d e d eform ación y. 375-380
fijam ente apoyados, 274,282-283.289.297
grados d e libertad. 452-453,459
líneas d e influencia y. 439-445
m atrices d e rigidez, 595-596,599-600
m atrices d e tran sfo rm ació n p a ra , 597-598
m atriz d e rigidez (d el elem en to ) g lobal (k ), 599
m atriz d e rigidez d e la e stru c tu ra (K ),6 0 0
m atriz d e rigidez d e l e lem en to (k), 595-596,599
m atriz d e rigidez sim étrica (d el elem en to ), 599
m atriz d e transform ación de la fuerza (Q ),598
m atriz d e transform ación d el desplazam iento (T ),597
m étodo d e análisis d e la fuerza, 411-415,439-445

712. 6 9 0 ÍN D IC E
m étodo d e análisis d e la rigidez. 594-611
m étodo d e análisis d el desplazam iento, 452-453.459,
469-481,495.508-517
m étodo d el p o rta l p a ra . 282-287,297
m étodo d el voladizo p a ra . 288-293,297
portales, 273-274,297
procedim iento. 600-601
p rocedim ientos d e análisis p a ra , 366,382,459,495
puntos d e inflexión, 274-275,282,297
relación carga-desplazam iento para, 595-596
sin desplazam iento lateral d el, 469-473,508-509
so p o rtes p arcialm en te fijos, 274,297
teo rem a d e C astigliano para. 381-386,393
trab ajo virtual, m éto d o d el, 364-380,393
uso estru ctu ral d e , 8,31
M atrices. 428-429,540-551.570-571,577-579,597-599.
612-624
adición y sustracción d e . 614
colum na, 613
cuadradas, 613
d e flexibilidad. 428-429
de rigidez. 540-543,546-551,570-571,577-579,599
d e transform ación.543-545,570,597-598
de transform ación d e la fuerza (Q ), 545,564-569,598
d e transform ación d e l d esp lazam ien to (T ). 544.597
d eterm in an tes p a ra , 618-620
d iagonal. 613
elem entos de, 612
escalares y. 614
fila. 612
identidad, 613
igualdad d e . 614
inversa de. 620-622
m étodo d e G au ss p a ra soluciones sim ultáneas, 623
m ultiplicación d e , 614-616
o rd e n d e las, 612
partición de, 617-618
relaciones d e carga-desplazam iento y, 542-543.577-578,
595-596
sim étricas, 578,599,613
transpuestas, 616-617
unitarias, 613
usando e l álg ebra. 612-624
M atrices d e rigidez, 540-543.546-551,570-571,577-579,599
arm aduras, 540-543.546-551
de la estru c tu ra (K ),5 4 0 .547-551,579,600
d el e le m e n to (k), 541-543.546-551.577-578.595-596.599
g lo b ales (d e lo s elem entos). 546-547.599
indeterm inación cinem ática. 541,576-577
marcos, 595-596,599-600
relaciones carga-desplazam iento y. 542-543.577-578,
595-596
sim étricas, 578,581
vigas, 576-579
M atrices d e transform ación. 543-545,570,597-598
arm aduras. 543-545.570
d e la fuerza (Q ). 545.564-569.598
d el d esp lazam ien to (T ), 544,597
marcos, 597-598
M atriz
colum na, 613
c u a d ra d a . 613
d e flexibilidad, 428-429
d e rigidez d e la e stru c tu ra (K ). 540,547-551.579,600
diagonal, 613
fila. 612
identidad. 613
transpuesta. 616-6 1 7
unitaria, 613
M atriz de rigidez d e l e lem en to (k), 541-543,546-551,
577-578,595-596,599
arm aduras, 541 -543.546-551
m arcos planos, 595-5% , 599
vigas, 577-578
M atriz de transform ación
d e la fuerza (Q ). 545,564-569.598
d el d esp lazam ien to (T ), 544.597
Maxwell, teo rem a d e la recip ro cid ad , 402-403,448
M étodo
d e análisis d el p o rta l,282-287,297
d e G auss para soluciones sim ultáneas. 623
d e la d o b le integración. 307-313,338
d e lo s nu d o s, 94-97.123,131
d el voladizo, análisis d e carg a lateral. 288-293,297
M étodo d e análisis d e la fuerza. 394-449
arm aduras, 422-425
carg as antisim étricas, 430
com paración d e la d eterm in ació n . 396-397
co m patibilidad y. 48.397-407
desplazam ientos y. 397-398,428
eq uilibrio y, 397-401
estru ctu ras com puestas, 425-427
estru ctu ras estáticam en te indeterm inadas, 394-449
estru c tu ra s sim étricas, 429-430.449

713. ÍN D IC E 6 9 1
Ley d e B ctti. 403
líneas d e influencia p a ra ,435-445.449
marcos, 411-415,439-445
m atriz d e flexibilidad, 428-429
principio de superposición p a ra , 400-401
procedim ientos p a ra e l análisis d e , 401,438
teo rem a d e M axw ell d e los desplazam ientos recíprocos,
402-403.448
vigas. 403-410,435-438
M étodo d e análisis d e la rigidez. 538-573.574-593.594-611
análisis m atricial, 539.565
aplicaciones d el, 552-559,579-591,600-608
a rm ad u ras y. 538-573
a rm ad u ras espaciales, 570-571
co ordenadas d el e lem en to (locales), 540.576
co o rd en ad as globales (de la estru ctu ra), 540,576
co o rd en ad as nodales, 560-563
ecuación de rigidez d e la e stru ctu ra, 552
efectos térm icos (d e la te m p e ra tu ra ) y. 564-565.568-569
e rro re s d e fabricación y. 564-567
identificación d e e lem en to s y n o d o s d e . 540,575
indeterm inación cinem ática, 541,576-577
m arco s p lan o s, 594-611
m atrices d e rigidez. 540.542-543.546-559,570-571.
576-579,595-5% . 599-600
m atrices d e tran sfo rm ació n p a ra . 543-545,570.597-598
m atriz d e rigidez (d el elem en to ) g lobal (k). 546-547.599
m atriz d e rigidez d e la e stru c tu ra (K ), 540.547-551,579,
600
m atriz d e rigidez d e l e lem en to (k), 541-543,546-551,
577-578,595-5% , 599
m atriz d e rigidez sim étrica (d el elem ento), 578,599
m atriz d e transform ación de la fuerza (Q ), 545,564-569,
598
m atriz d e transform ación d el desplazam iento (T ),544.
597
nodos. 540.575
p rocedim ientos d e análisis usando e l. 553,581.600-601
sistem as d e co o rd en ad as, 540,543-545,560-563,576
vigas. 574-593
M étodo d e análisis d e la viga conjugada, 326-333,339,
454-457
deflexiones, 326-333,339
desplazam iento a n g u la r (0), 454-455
desplazam iento lineal (A ). 455
desplazam iento y m om entos ce ro , 327,454
ecuaciones d e pendiente-deflexión usando. 454-457
m om entos de e x trem o fijo (FE M ). 456-457
p rocedim iento d e análisis m ediante e l. 328
so p o rtes p a ra . 326-327
M étodo d e análisis d el desplazam iento. 397.450-485,
486-521.522-537
convención d e signos p a ra . 453,459,488
desplazam iento la te ra l y.469-481.485.508-517
distribución d e m om entos p a ra . 486-521.528-533
ecuaciones d e pendiente-deflexión p a ra , 450-485.
534-535
elem entos n o prism áticos. 522-537
estru ctu ras estáticam ente indeterm inadas. 450-485.
486-521.522-537
ex trem os fijam ente apoyados. 458,485,528
facto r d e distribución (D F ), 489,491
facto r de traslad o (C O F ). 490,524-525
facto res de rigidez, 457-458.488-490.500-505.524-525
grados d e libertad, 452-453,452-453.459,485
m arcos. 452-453,459.469-481.495,508-517
m om entos de e x trem o fijo (FE M ), 456-458,485.491-495,
524-525,531,534-535
p rocedim ientos p a ra e l. 451 -453,459,487-490.495
traslación relativa de las ju n tas, 531,534-535
vigas. 452-453.459-466.491-505.529-533
M étodo d e las secciones, 104-109,123,131,133
arm aduras, KM-109,123,131,133
arm ad u ras espaciales, 123
cargas internas, 47.133-138,178
elem entos estructurales, 133-138,178
p rocedim ientos d e análisis m ediante e l, 106,123,135
M étodo d el tra b a jo m ínim o, vea T eorem a d e C astigliano
M étodos d e análisis aproxim ados. 262-297
arm aduras, 264-267.273-277.296-297
cargas laterales, 282-293,297
cargas verticales, 270-272.296
estru ctu ras estáticam ente indeterm inadas. 262-297
m arcos d e construcción, 270-272,282-293,296
m arcos p a ra p o rtales. 273-274.282-287.297
m étodo d el p o rta l para. 282-287,297
m étodo d e l voladizo para, 288-293,297
supuestos de los, 264,270-271.283,289
M om ento d e p a r (A O .381-382.384
M om entos (M ).4 -5 ,133-138,178,216-219,221-223,
244-245.250-254,260-261.326-328.343-344,381-386.
437,456-458,485
aplicados, 4-5
cargas co n cen trad as y. 244-245,250-254,261

714. 6 9 2 ÍN D IC E
carg as in te rn a s y. 133-138.178.381-386
cargas vivas y. 216-219.221-223,244-245.250-254.260-261
cero, 327
de e x trem o fijo (F E M ). 456-458,485
d e p a r (A /'). 381-382
deflexión y. 326-328,343-344.381-386
ecuaciones d e pendiente-deflexión, 456-458.485
en erg ía d e d efo rm ació n (U¡) de lo s 344
envolvente d e los v alores m áxim os de la línea de
influencia, 251
flexionantes (M ). 133-138,178,344
líneas d e influencia y. 216-219.221-223,244-245,250-254,
260-261,437
m áxim os a b so lu to s 250-254,261
m étodo d e la viga conjugada y. 326-328
principio d e M Qller-BresIau p a ra , 216-219,260
se rie d e carg as c o n c e n tra d a s 244-245,261
teo rem a d e C astigliano y. 381-386
trab ajo e x te rn o (üt ) de, 343.392
vigas e n voladizo, 250,261
vigas sim plem ente a p o y a d a s 250-251.261
M om entos d e e x trem o fijo (F E M ). 456-458,485.491-495.
524-525.531.534-535
distribución d e m om entos d e , 488,491-495,531
ecuaciones d e pendiente-deflexión y. 456-458.485,
534-535
elem entos n o p rism ático s 524-525,534-535
traslación relativa d e las ju n tas y. 531,534-535
M om entos flexionantes (M). 133-138,178.303,305-313,
338.344
carg as in tern as y. 133-138,178
deflexión p o r. 303,305-313,338.344
en erg ía d e d efo rm ació n (U¡) y. 344
fuerza (M ), 133-138,178
m étodo d e la d o b le integración y. 307-313,338
teoría de la viga elástica p a ra . 305-306.338
M üller-B reslau. principio de. 216-223,260
N
N o d o s 452-453.459.540.575
P
Partición d e m a tric e s 617-618
F u n d ien tes deflexión y, 300-301.307-308.316
P isos 38-45.68,82.228-231,261
carg as trib u ta ria s 40-43,68
estru c tu ra s id ealizad as 38-45
líneas d e influencia p a ra . 228-231.261
losa d e d o s se n tid o s (sistem a). 42-43.68
losa d e u n solo sentido (sistem a). 40-41.68
planos d e e stru ctu ra. 38-39
puentes a rm a d o s 82
pun tos d e panel, 228-229
tr a b e s 38.228-231.261
v ig a s 82
v ig u e ta s 38-39
Planos de e s tru c tu ra s 38-39
l\>r inspección. 53.95
B írlales. 82.273-277.282-287,297
análisis d e carg a lateral, 282-287,297
a rm a d u ra s 82,275-277.297
artic u la d o s 273.275,297
deflexión d e . 270-277,296-297
estab ilid ad d e . 82
fijam ente a p o y a d o s 274.275.297
m a rc o s 273-274.282-287,297
parcialm ente fijo s 274
B írtland C e m e n t A ssociation, 525-527
P ratt. a rm a d u ra , 80-83
Presión del v ie n to d e diseño. 18-22
F*rincipio
d e conservación d e la en ergía, 341.392
d e M üller-B reslau, 216-223,260
d el tra b a jo virtual. 346-348.392
d el tra b a jo y la en ergía. 345
P u e n te s 15-16.82-83.232-235,240-254.261. Vea también
M arcos d e portal, arm a d u ra s
a rm a d u ra s 82-83.232-235.261
carg as c o n c e n tra d a s serie d e . 240-254.261
carg as vivas y. 15-16.232-235,240-254.261
c a rre te ro s 15
cu b ierta, 82
facto r de carga d e l im pacto ( 1). 16
fe rro v ia rio s 15
fuerza c o rta n te (V ) y. 240-243.250-254.261
fuerza c o rta n te (V ) y m o m en to (M ) m áxim os a b so lu to s
250-254,261
la rg u e ro s 82
líneas d e influencia p ara.2 3 2 -2 3 5 .240-254.261
m om entos (M ) y. 244-245,250-254,261
p o rta le s 82
refu erzo co ntraladeo, 82
vigas d e piso, 82

715. ÍN D IC E 6 9 3
Puntos
de inflexión. 274-275.282.297,301.338
del panel. 228-229
R
R ad io d e c u rv a tu ra (p),305-306
R efuerzo cruzado, arm ad u ras, 264-267
R efuerzos co ntraladeo, esta b ilid a d d e la a rm a d u ra , 82
R elaciones d e carga-desplazam iento. 542-543,577-578.
595-596
R espuesta m aterial lineal elástica. 355-356,375-376
Rigidez a la flexión (£ '/), 305-306
R otación (t¡i). claros finales articulados, 457
R otación d e l claro (y), 457
S
Secciones, m éto d o d e análisis d e las, 104-109,131
Sistem as d e coordenadas, 540.543-545,560-563.570,576,
597-598.625-626
arm aduras, 540,543-545.570
del e lem en to (locales), 540,576,626
globales (d e la e stru c tu ra ),540,576.625
m atrices d e tran sfo rm ació n p a ra , 543-545,570,
597-598
nodal. 560-563
softw are p a ra e l análisis estru ctu ral y, 625-626
uso de. p a ra e l m éto d o de la rigidez, 540,560-563.576
Software p a ra e l análisis, p ro ced im ien to p a ra el. 625-627
S oportes articulados, 3 4 -37,50,59-61,84,130,273,275,297,
4 37.458.485.500.528
análisis d el desplazam iento y. 458,485.500,528
arm aduras, 84.130.275.297
claros finales, 458,485
conexiones d e viga. 34-37.50.500,528
conexiones d e las ju n tas, 34-37.50.59-61.84.130
determ inación d e , 50
distribución d e m om entos, 500,528
ecuaciones d e eq uilibrio p a ra , 59-60
ecuaciones d e pendiente-deflexión, 458,845
elem entos n o prism áticos, 528
estructuras estáticam ente determ inadas, 50.59-61
e stru ctu ras estáticam ente indeterm inadas, 273,275.297,
4 37.458.485.500.528
e stru ctu ras idealizadas. 34-37
factores de rigidez, 458,500
líneas d e influencia y, 437
m arcos, 273,297
portales. 273,275.297
reacciones d e fuerza (F). 36-37
S oportes fijos, 34-39,274-275,282-283,289,297
arm aduras, 275,297
cargas laterales. 282-283,289,297
conexiones d e juntas, 34-39
m arcos. 274.282-283.289.297
portales, 274-275,297
Superposición, 46.69.168-172.400-401
diagram as d e m om ento construidos p o r el m éto d o de,
168-172
m étodo d e análisis d e la fuerza m ed ian te,400-401
principio de la, 46.69.400-40!
vigas, 168-172
T
Techos, 23-24,40-45
cargas d e nieve. 23-24
cargas tributarias, 40-43
estru ctu ras idealizadas, 40-45
T em p eratu ra (T), 349.376-377.564-565.568-569
desplazam iento rotacional (deflexiones) y, 349.376-377
efectos e n las arm aduras. 349,376-377.564-565.568-569
m atriz d e transform ación de la fuerza ( Q ) p a r a la,
564-565
m étodo d e análisis p a ra la rigidez. 564-565,568-569
T eorem a d e C astigliano. 355-360.381-386,393
arm aduras, 356-360,390
deflexión (d esplazam iento d e ro tació n ) y, 355-360,
381-386.393
en erg ía d e d efo rm ació n (í/^) y. 355-356,392
fuerza e x te rn a (P ) p a ra . 355-362,381-383
fuerzas in tern as (M ) p a ra , 356-362
m arcos, 381-386,393
m om ento de p a r (M ') p a ra , 381-382,384
m om entos in tern o s (M ) p a r a .381-386
p rocedim ientos d e análisis m ediante usando e l. 357.382
trab ajo e x te rn o y ( í /f),355.392
vigas, 381-386.393
T eorem a d e M axw ell d e los desplazam ientos recíprocos,
4(12-403,435-437.448
Teorem as d e m o m en to -área, 316-325,339
T eoría de la viga elástica, 305-306
T irantes, 4.31
TVabajo, 341-393
deflexión (d esplazam iento d e rotación) y, 341-393
energía d e deformación (£/,) y. 341,344,355-356,375-380,392

716. 6 9 4 ÍN D IC E
ex te rn o (Uf). 341-344.355.392
fuerza ( F ) y, 342-343
m om ento (M ) d e , 343
principio de conservación d e la en ergía. 341.392
principio d e la en erg ía y e l, 345
teo rem a d e C astigliano para el, 355-360,381-386,393
virtual, 346-354,364-374,392
virtual, principio d e l, 346-348
T rabajo e x te rn o ((/,). 341 -344,392
Trabajo virtual. 346-354.364-380,392-393
cam b io s d e tem p e ra tu ra y, 376-377
d eflexión (d esplazam iento d e ro tació n ) y. 346-354.
364-374.392
desplazam ientos d e la a rm a d u ra y. 348-354.392
en erg ía d e d eform ación y 375-380
e rro re s d e fabricación y. 349,392
e x te m o , 348.364,392
fuerza ax ial (N )y ,3 7 5
fuerza c o rta n te (10 y. 375
integración p a ra . 364-365
interno. 364-365
m arcos, 364-380,393
principio del. 346-348,392
p rocedim ientos d e análisis usando. 350,366
tem p e ra tu ra (T) y,349.392
to rsió n (7} y, 375
vigas, 364-380.393
Trabes, 4-5.38.228-231.261
e stru c tu ra s idealizadas, 38
líneas d e influencia p a ra , 228-231.261
placas, 4-5
uso estru ctu ral d e . 4-5
T raslación relativa d e las juntas, 531.534-535
V
Vigas, 4-5.31.34-39.50,132-159.168-172,178-179.213-231.
240-254.260-261.298-339.364-386.393,403-410,
435-438.452-453.459-466.491-505.528-533.574-593
alm as, 4
análisis d e . utilizando e l m éto d o de rigidez, 575
articuladas e n lo s extrem os. 34-37,50.500,528
bridas, 4
c arg a antisim étrica, 502,530
c arg as axiales (V ). 375
c arg as c o rta n te s (V ). 375
c arg as d istrib u id as y. 150-151,213-214,260
c arg as in tern as en, 132-159,168-172,178-179
carg as sim étricas, 501.503
carg as u n ifo rm em en te distrib u id as y, 213-214,260
co n creto , 5
deflexión y, 205,216-223,260,298-339.364-386.393
desplazam iento rotacional d e . 364-386.393
diagram as d e fuerza c o rta n te y de m o m en to p a ra ,
150-159,178-179
diagram as d e m o m en to p a ra . 168-172
distribución d e m om entos. 491-505.528-533
ecuaciones d e pendiente-desplazam iento, 459-466
efecto s de la te m p e ra tu ra (T ) so b re , 376-377
e n voladizo, 169,250,261
en erg ía d e d efo rm ació n y. 375-380
estáticam en te in d eterm in ad as,403-410,435-438.452-453,
459-466.491-505,528-533
estru c tu ra s idealizadas, 38-39
facto r de rigidez (K ),4 8 8 ,500-505
flexión in tern a (M),303,305-308
flexión. 303,305-313,338
fuerzas co n cen trad as (cargas) y, 213-214,240-254.
260-261
funciones de fu e rz a c o rta n te y de m o m en to e n . 139-143,
179
grados de libertad. 452-453.459
identificación de e lem en to s y n o d o s p a ra , 575
indeterm inación cinem ática y. 576-577
lam inadas, 5
largueros, 4-5,38.228-231,261
líneas d e influencia p a r a .213-231.240-254.260-261.
435-438
m atrices d e rigidez. 576-579
m atriz d e rigidez d e la estru c tu ra (K ), 579
m atriz d e rigidez d el elem ento (k), 577-578
m étodo d e análisis d e la fuerza, 403-410,435-138
m étodo d e análisis d e la rigidez. 574-593
m étodo d e análisis d el desplazam iento. 459-466.491-505,
528-533
m étodo d e la d o b le integración p a ra . 307-313.338
m étodo d e la viga conjugada para, 326-333,339
m om entos de e x trem o fijo (F E M ), 491-495
no prism áticas, 528-533
principio de M üllcr-B rcslau p a ra , 216-223,260
procedim ientos p a ra e l análisis de, 134,140,153,308,318,
328.366.382.459.495,581
puntos específicos, fuerzas e n . 133-138,178
relaciones carga-desplazam iento, 577-578
sim étricas. 501-503.529-530

717. ÍN D IC E 6 9 5
sim étricas, m atriz d e rigidez (d el e le m e n to ). 578
sim plem ente apoyadas, 250-253,261
teo rem a d e C astigliano p a ra . 381-386,393
teorem as d e m o m en to -área p a ra , 316-325.339
trab ajo virtual, m éto d o del, 364-380,393
traslación relativ a d e la ju n ta, 531
uso estru ctu ral d e . 4-5,31
viguetas d e piso, 38-39
y m arcos co n e lem en to s no prism áticos, 523-537
W
W krrcn. a rm a d u ra , 80-83

718. Propiedades geom étricas d e las áreas
T r a p e z o i d e
A -
f f - j »
A
_L
* m í »
•’ - i *
E n j u t a p a r a b ó l i c a
M e d i o s e g m e n t o d e u n a c u n a d e n - f e i m o g r a d o
_ ftl» • II
* " 1“CTTT)
T
A
1
A - MC;
E n j u t a d e u n a c u n a d e n - í s i m o g r a d o

719. M o m e n to s d e e x tre m o fijo
p
l
y
w m » - f
fdi-)
- f -
FEM
í'héd-d-)■ — T - + - - g — I— y - H
( F E M ) a ,
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(FEM),,

720. Este lib r o o fre c e un a p re s e n ta c ió n clara y c o m p le ta d e la te o ría y la a p lic a c ió n d e l análisis
e s tru c tu ra l e n a rm a d u ra s, v ig a s y m a rco s c o n é nfasis e n el d e s a rro llo d e la h a b ilid a d d e los
e s tu d ia n te s p a ra m o d e la r y a n a liza r e s tru c tu ra s ; a sim ism o e l c o n te n id o in c lu y e a p lica cio n e s
reale s, s im ila re s a las q u e se e n c u e n tra n e n la p rá c tic a p ro fe s io n a l.
El te x to s e re v is ó c u id a d o s a m e n te p a ra q u e los c o n c e p to s fu e ra n claros, c o n ciso s y
e s tu v ie ra n to ta lm e n te a ctu a liza d o s. E s to in c lu y e la in c o rp o ra c ió n d e las n u e va s n o rm a s s o b re
ca rg a s A S C E /S E I 0 7 -1 0 , y una e x p lic a c ió n m e jo ra d a d e c ó m o tra z a r d ia g ra m a s d e c o rta n te ,
d ia g ra m a s d e m o m e n to y la cu rva d e d e fle x ió n d e u na e s tru c tu ra .
• P ro b le m a s fu n d a m e n ta le s . E sto s p ro b le m a s son a p lica cio n e s sencillas d e los c o n c e p to s
v is to s e n e l te x to , y q u e o fre c e n la o p o rtu n id a d d e re s o lv e r d ific u lta d e s a n te s d e tr a ta r d e
s o lu c io n a r los p ro b le m a s típ ic o s .
• C a m b io s e n lo s e je m p lo s . Se han c a m b ia d o n u m e ro s o s e je m p lo s , y c o n a y u d a d e
fo to g ra fía s s e e x p lic a n las té c n ic a s d e m o d e la d o y e l análisis d e ca rg a s s o b re e s tru c tu ra s
reale s.
• F o to g ra fía s a d ic io n a le s . La im p o rta n c ia d e c o n o c e r e l o b je to d e e s tu d io se re fle ja e n
a p lica cio n e s a l m u n d o re a l, las cuales se m u e s tra n a tra v é s d e una g ra n c a n tid a d d e
fo to g ra fía s nuevas y a ctu a liza d a s, ju n to c o n sus c o m e n ta rio s .
• P ro b le m a s n u e v o s . A p ro x im a d a m e n te 7 0% de los p ro b le m a s s o n n u e vo s, y se h an
d is tr ib u id o a lo la r g o d e l te x to e n se ccione s b ie n d e fin id a s c o n o rd e n d e d ific u lta d
c re c ie n te .
Para m a y o r in fo rm a c ió n v is ite la p á g in a W e b d e l lib ro e n :
w w w .p e a rs o n e n e s p a ñ o l.c o m /h ib b e le r
V is íte n o s e n :
w w w .p e a rs o n e n e s p a r io l.c o m