Análisis estructural solución de vigas por integración [guía de ejercicios]

Análisis estructural solución de vigas por integración

1. DEPARTAMENTO DE PROGRAMACIÓN Y TECNOLOGÍA EDUCATIVA

PROGRAMACIÓN APLICADA AL ANÁLISIS ESTRUCTURAL















Solución de Vigas por Integración
Guía de Ejercicios










Profesor Francisco D’Amico D’Agosto

Abril 2003

2. Francisco D’Amico Vigas Isostáticas - 1
Guía de Ejercicios

PROGRAMACIÓN APLICADA AL ANÁLISIS ESTRUCTURAL









Solución de Vigas por Integración




Guía de Ejercicios 1

A continuación se muestran 6 modelos matemáticos diferentes de vigas
isostáticas; utilizando las relaciones entre carga, cortante y momento determine
para cada viga:

Reacciones en los vínculos.
Ecuaciones que describen a las características de solicitación en todas
las secciones.
Diagrama de fuerza cortante y momento flector.

No se dispone de información acerca de las características del material y de la
sección de las vigas.

3. Francisco D’Amico Vigas Isostáticas - 2
Guía de Ejercicios

PROGRAMACIÓN APLICADA AL ANÁLISIS ESTRUCTURAL

4. Francisco D’Amico Vigas Isostáticas - 3
Guía de Ejercicios

PROGRAMACIÓN APLICADA AL ANÁLISIS ESTRUCTURAL








Cálculo de las reacciones
:
Por simetría:
4500 4 1
2 9000
22
ij
RRkgf
⋅
==⋅ = ↑
Otra forma, por equilibrio:
1 4500 4 2 4500 4
04 44 80
32 3 2
9000
4500 4
0 2 9000 0
2
9000
V
MiRj
Rj kgf
FRi
Ri kgf
⋅⋅
=⇒⋅⋅ + +⋅ − =


⇒= ↑
⋅
=⇒− ⋅+ + =
⇒= ↑∑
∑


Cálculo de las características de solicitación
:
()
() ()
2
0 4 (primer segmento)
4500
4500 1125 4500
4
562,5 4500 9000
x
Wx x x
Vx Wxdx x x
≤≤
=−=−
==−+
∫


Ri Rj

5. Francisco D’Amico Vigas Isostáticas - 4
Guía de Ejercicios

PROGRAMACIÓN APLICADA AL ANÁLISIS ESTRUCTURAL
() ()
()
()
()
() ()
() ()
()
()
32
2
3
187,5 2250 9000
40
4 12000
0 4 (segundo segmento)
4500
1125
4
562,5
187,5 12000
4 9000
40
MxVxdx x x x
V
Mmkgf
x
Wx x x
V x W x dx x
Mx Vxdx x
Vkgf
M
==−+
=
=
≤≤
=− =−
==−
==−+
=−
=∫
∫
∫


Diagramas de cortante y momento
:

6. Francisco D’Amico Vigas Isostáticas - 5
Guía de Ejercicios

PROGRAMACIÓN APLICADA AL ANÁLISIS ESTRUCTURAL
Ri Rj









Cálculo de las reacciones
:
Por equilibrio:
()
7,50 1 3000 7,5
0 2000 7,5 5 3000 7,5 7,5 0
232
13250
7,5
0 5000 2000 3000 13250 0
2
16000
V
Mi Rj
Rj kgf
FRi
Ri kgf
⋅
=⇒ ⋅ ⋅ +⋅ +⋅ ⋅ − =
⇒= ↑
=⇒ − + − + =
⇒= ↑∑
∑


Cálculo de las características de solicitación
:
()
()
()
()
()
2
32
0 5 (primer segmento)
5000 3000
5000 400 5000
5
200 5000 16000
200
2500 16000
3
5 4000
5 25833,33
x
Wx x x
Vx x x
Mx x x x
Vkgf
Mmkgf
≤≤
−
=−=−
=−+
=− +
=−
=

7. Francisco D’Amico Vigas Isostáticas - 6
Guía de Ejercicios

PROGRAMACIÓN APLICADA AL ANÁLISIS ESTRUCTURAL
()
()
()
()
()
()
2
1
2
0 200 5000 16000 0
3,77
21,23 5 no es solución
3,77 28360,10
5 (fuerza puntual)
5 3000 4000 7000
5 25833,33
0 2,50 (segundo segmento)
3000 2000
3000 400 3000
2,5
20
Vx x x
xm
xmm
Mmkgf
x
Vkgf
Mmkgf
x
Wx x x
Vx
=⇒ − + =
=
=>
=
=
=− − =−
=
≤≤
−
=−=−
=
()
()
()
2
32
0 3000 7000
200
1500 7000 25833,33
3
2,5 13250
2,5 0
xx
Mx x x x
Vkgf
M
−−
=−−+
=−
=


Diagramas de cortante y momento
:

8. Francisco D’Amico Vigas Isostáticas - 7
Guía de Ejercicios

PROGRAMACIÓN APLICADA AL ANÁLISIS ESTRUCTURAL







Cálculo de las reacciones
:
Por equilibrio:
()
2 3000 2 1 3000 3 3
0 2 750 2 3 5 1000 3 5 1,5 1500 8 0
32 3 2 2
5937,5
3000 2 3000 3
0 1000 3 1500 5937,5 0
22
6062,5
V
Mi Rj
Rj kgf
FRi
Ri kgf
⋅⋅  
=⇒⋅⋅ + + +⋅ ⋅ + + ⋅ ⋅+ + ⋅ − =
 
 
⇒= ↑
⋅⋅
=⇒ − − − ⋅− + =
⇒= ↑∑
∑

Cálculo de las características de solicitación
:
()
()
()
()
()
()
()
2
3
0 2 (primer segmento)
3000
1500
2
750 6062,5
250 6062,5
2 3062,5
2 10125
2 (momento aplicado)
3062,5
750 10125 10875
x
Wx x x
Vx x
Mx x x
Vkgf
Mmkgf
x
Vx kgf
Mxmkgf
≤≤
=− =−
=− +
=− +
=
=
=
=
=+ =

Ri Rj

9. Francisco D’Amico Vigas Isostáticas - 8
Guía de Ejercicios

PROGRAMACIÓN APLICADA AL ANÁLISIS ESTRUCTURAL
()
()
()
()
()
()
2
32
2
1
2
0 3 (segundo segmento)
3000
3000 1000 3000
3
500 3000 3062,5
500
1500 3062,5 10875
3
3 1437,5
3 11062,59
0 500 3000 3062,5 0
1, 3
4,7 3 no es solución
(1, 3) 12
x
Wx x x
Vx x x
Mx x x x
Vkgf
Mmkgf
Vx x x
xm
xmm
M
≤≤
=−=−
=−+
=−+ +
=−
=
=⇒ − + =
⇒=
⇒= >
=
()
()
()
()
()
()
()
2
687,42
0 1,5 (tercer segmento)
1000
1000 1437,5
500 1437,5 11062,59
1,5 2937,5
1,5 7781,34
1,5 (fuerza puntual)
1500 2937,5 4435,5
7781,34
0 1,5 (cuarto
mkgf
x
Wx
Vx x
Mx x x
Vkgf
Mmkgf
x
Vx kgf
Mx mkgf
x
≤≤
=−
=− −
=− − +
=−
=
=
=− − =−
=
≤≤
()
()
()
()
()
2
segmento)
1000
1000 4437,5
500 4437,5 7781,34
1,5 5937,5
1, 5 0
Wx
Vx x
Mx x x
Vkgf
M
=−
=− −
=− − +
=−
=

10. Francisco D’Amico Vigas Isostáticas - 9
Guía de Ejercicios

PROGRAMACIÓN APLICADA AL ANÁLISIS ESTRUCTURAL
Diagramas de corte y momento:

11. Francisco D’Amico Vigas Isostáticas - 10
Guía de Ejercicios

PROGRAMACIÓN APLICADA AL ANÁLISIS ESTRUCTURAL











Cálculo de las reacciones
:

Por equilibrio:
()
1000 2,5 2100 3,5
0 2000 0
22
6925
2 1000 2,5 1 2100 3,5
0 2,5 2,5 1 2000 4,5 3,5 0
32 32
29908,33
V
FRi
Ri kgf
Mi Mi
Mi mkgf
⋅⋅
=⇒ − − − =
⇒= ↑
⋅⋅ 
=⇒− +⋅ ⋅ + +⋅ + +⋅ =


⇒=∑
∑


Cálculo de las características de solicitación
:

()
()
()
()
()
2
3
0 2,5 (primer segmento)
1000
400
2,5
200 6925
200
6925 29908,33
3
2,5 5675
2,5 13637,55
x
Wx x x
Vx x
Mx x x
Vkgf
Mmkgf
≤≤
=− =−
=− +
=− + −
=
=−

()
()
()
0 1 (segundo segmento)
0
5675
5675 13637,55
x
Wx
Vx
Mx x
≤≤
=
=
=−

Ri
Mi

12. Francisco D’Amico Vigas Isostáticas - 11
Guía de Ejercicios

PROGRAMACIÓN APLICADA AL ANÁLISIS ESTRUCTURAL
()
()1 5675
1 7962,55
VkgfM mkgf
=
=−

()
()
()
()
()
()
()
()
()
2
1 (fuerza puntual)
2000 5675 3675
7962,55
0 1 (tercer segmento)
0
3675
3675 7962,55
1 3675
1 4287,55
0 3,5 (cuarto segmento)
2100
2100 600 2100
3,5
300 2100
x
Vx
Mx mkgf
x
Wx
Vx
Mx x
Vkgf
Mmkgf
x
Wx x x
Vx x x
=
=− + =
=−
≤≤
=
=
=−
=
=−
≤≤
=−=−
=−+
()
()
()
32
3675
100 1050 3675 4287,55
3,5 0
3,5 0
Mx x x x
V
M
=− +−
=
=


Diagramas de corte y momento
:

13. Francisco D’Amico Vigas Isostáticas - 12
Guía de Ejercicios

PROGRAMACIÓN APLICADA AL ANÁLISIS ESTRUCTURAL
















Cálculo de las reacciones
:

Por equilibrio:
6000 7
00
2
21000
2 6000 7
0 250 300 350 7 0
32
98900
V
FRi
Ri kgf
Mi Mi
Mi mkgf
⋅
=⇒ − =
⇒= ↑
⋅
=⇒−++++⋅⋅ =
⇒=∑
∑


Cálculo de las características de solicitación
:

()
()
()
()
()
2
3
0 2 (primer segmento)
1714,29
857,14
2
428,57 21000
142,86 21000 98900
2 19285,72
2 58042,88
x
Wx x x
Vx x
Mx x x
Vkgf
Mmkgf
≤≤
=− =−
=− +
=− + −
=
=−

()
()
2 (momento aplicado)
19285,72
58042,88 250 57792,88
x
Vx kgf
Mxmkgf
=
=
=− + =−

Ri
Mi

14. Francisco D’Amico Vigas Isostáticas - 13
Guía de Ejercicios

PROGRAMACIÓN APLICADA AL ANÁLISIS ESTRUCTURAL
()
()
()
()
()
2
32
0 2 (segundo segmento)
1714,29
1714,29 857,14 1714,29
2
428,57 1714,29 19285,72
142,86 857,15 19285,72 57792,88
2 14142,86
2 23792,87
x
Wx x x
Vx x x
Mx x x x
Vkgf
Mmkgf
≤≤
=− − =− −
=− − +
=− − + −
=
=−

()
()
2 (momento aplicado)
14142,86
23792,87 300 23492,87
x
Vx kgf
Mxmkgf
=
=
=− + =−

()
()
()
()
()
2
32
0 3 (tercer segmento)
2571,43
3428,57 857,14 3428,57
3
428,57 3428,57 14142,86
142,86 1714,29 14142,86 23492,87
30
3 350,12
x
Wx x x
Vx x x
Mx x x x
V
Mmkgf
≤≤
=− − =− −
=− − +
=− − + −
=
=−

()
()
3 (momento aplicado)
0
350,12 350 0,12 0
x
Vx
Mx mkgf
=
=
=− + =− ≈


Diagramas de corte y momento
:

15. Francisco D’Amico Vigas Isostáticas - 14
Guía de Ejercicios

PROGRAMACIÓN APLICADA AL ANÁLISIS ESTRUCTURAL










Cálculo de las reacciones
:

Por equilibrio:
1,5 3 7500 1000 6 7500 12 9 1000
56250
0 7500 15 56250 0
56250
izq der
V
Mi Mi Rj
Rj kgf
FRi
Ri kgf
=⇒−⋅⋅+=−⋅⋅++
⇒= ↑
=⇒− ⋅ + + =
⇒= ↑∑∑
∑


Cálculo de las características de solicitación
:

()
()
()
()
()
2
0 3 (primer segmento)
7500
7500
3750
3 22500
3 33750
x
Wx
Vx x
Mx x
Vkgf
Mmkgf
≤≤
=−
=−
=−
=−
=−

()
()
3 (momento aplicado + reacción)
22500 56250 33750
33750 1000 32750
x
Vx kgf
Mxmkgf
=
=− + =
=− + =−




Ri Rj

16. Francisco D’Amico Vigas Isostáticas - 15
Guía de Ejercicios

PROGRAMACIÓN APLICADA AL ANÁLISIS ESTRUCTURAL
()
()
()
()
()
()
()
()
2
0 9 (segundo segmento)
7500
7500 33750
3750 33750 32750
0 7500 33750 0 4,5
4,5 43187,50
9 33750
9 32750
9 (momento aplicado + reacción)
33750 56250 22500
x
Wx
Vx x
Mx x x
Vx x x m
Mmkgf
Vkgf
Mmkgf
x
Vx kgf
M
≤≤
=−
=− +
=− + −
=⇒− + =⇒=
=
=−
=−
=
=− + =
()
()
()
()
()
()
2
32750 1000 33750
0 3 (tercer segmento)
7500
7500 22500
3750 22500 33750
30
00
xmkgf
x
Wx
Vx x
Mx x x
V
M
=− − =−
≤≤
=−
=− +
=− + −
=
=


Diagramas de corte y momento
:

17. Francisco D’Amico Vigas Hiperestáticas - 16
Guía de Ejercicios

PROGRAMACIÓN APLICADA AL ANÁLISIS ESTRUCTURAL









Solución de Vigas por Integración




Guía de Ejercicios 2

A continuación se muestran 4 modelos matemáticos diferentes de vigas
hiperestáticas; utilizando las relaciones entre carga, cortante, momento, rotación
y deformación determine para cada viga:

Ecuación general de la carga.
Ecuación general de la fuerza cortante.
Ecuación general del momento flector.
Ecuación general de la deformada (elástica).
Momento flector máximo y distancia a la cual se encuentra.
Deformación máxima y distancia a la cual ocurre.

Todas las vigas poseen la misma sección transversal típica con inercia I
xx = 9600
cm
4
en acero estructural con módulo de elasticidad E = 2100000 kgf/cm
2
.

18. Francisco D’Amico Vigas Hiperestáticas - 17
Guía de Ejercicios

PROGRAMACIÓN APLICADA AL ANÁLISIS ESTRUCTURAL

19. Francisco D’Amico Vigas Hiperestáticas - 18
Guía de Ejercicios

PROGRAMACIÓN APLICADA AL ANÁLISIS ESTRUCTURAL










Ri
Mi
Rj
Mj

20. Francisco D’Amico Vigas Hiperestáticas - 19
Guía de Ejercicios

PROGRAMACIÓN APLICADA AL ANÁLISIS ESTRUCTURAL
()
()
()
()
()
()
()
()
()
2
32
432
1
1
5432
2
2
4500
4500
8
4500
4500
16
4500
2250
48
4500 2250
192 3 2
000
4500 2250
960 12 6 2
000
80
80
0 288000 32 8
06
xx
xx
Wx x
Vx x x Ri
Mx x x Rix Mi
Ri
EI x x x x Mix C
xxC
Ri Mi
EI x x x x x C
xxC
xx
xx
Ri Mi
θ
θ
δ
δ
θ
δ
=−
=−+
=−+−
=−+−+
=⇒ =⇒ =
=−+−+
=⇒ =⇒ =
=⇒ =
=⇒ =
=− + −
=−
14400 85,3 32
resolviendo el sistema de ecuaciones resulta:
12600
14400
4500 8
0 12600 0 5400
2
V
Ri Mi
Ri kgf
Mi mkgf
FRjRjkgf



+−
=
=
⋅
=⇒ − + =⇒ =
∑

21. Francisco D’Amico Vigas Hiperestáticas - 20
Guía de Ejercicios

PROGRAMACIÓN APLICADA AL ANÁLISIS ESTRUCTURAL
() []
() []
2
18
0 14400 8 4500 8 5400 0 9600
32
Ecuación general de la carga:
562,50 4500 0,8
Ecuación general de la fuerza cortante:
281,25 4500 12600 0,8
Ecuación general del moment
MiMjMjmkgf
Wx x x
Vx x x x
=⇒− +⋅⋅ ⋅−⋅ + =⇒ =
=−∀∈
=−+∀∈∑
() []
() []
() []
()
32
43 2
5432
o flector:
93,75 2250 12600 14400 0,8
23,44 750 6300 14400 0,8
Ecuación general de la deformada:
4,69 187,5 2100 7200 0,8
Máximo momento flector:
0 281
xx
xx
Mx x x x x
EI x x x x x x
EI x x x x x x
Vx
θ
δ
=−+−∀∈
=−+− ∀∈
=− +− ∀∈
=⇒
()
()
m
()
()
2
1
2
43 2
1
2
3
,25 4500 12600 0
3, 62
12,38 8 no es solución
3,62 6174,41
0 14400
0 14400 para 0
Máxima deformación:
0 23,44 750 6300 14400 0
0 empotramiento
3,8
xx
xm
xmm
Mmkgf
Mmkgf
MM mkgf x
xxxxx
x
xm
x
θ
−+=
⇒=
⇒= >
=
=−
⇒= =− =
=⇒ − + − =
⇒=
⇒=
⇒

()
4
8 empotramiento
20,19 8 no es solución
3,8 1, 2 para 3,8
m
xmm
cm x m
δδ
=
⇒= >
⇒= =− =

22. Francisco D’Amico Vigas Hiperestáticas - 21
Guía de Ejercicios

PROGRAMACIÓN APLICADA AL ANÁLISIS ESTRUCTURAL








()
()
()
()
()
()
()
()
()
2
32
1
1
43 2
2
2
2000
2000
1000
333,3
2
000
83,3
62
000
80
80
170666,6 32 8
341333,3 85,3 32
resolviendo el si
xx
xx
Wx
Vx x Ri
Mx x Rix Mi
Ri
EI x x x Mix C
xxC
Ri Mi
EI x x x x C
xxC
xx
xx
Ri Mi
Ri Mi
θ
θ
δ
δ
θ
δ
=−
=− +
=− + −
=− + − +
=⇒ =⇒ =
=− + − +
=⇒ =⇒ =
=⇒ =
=⇒ =
 =−

=−




stema de ecuaciones resulta:
8000
10666,67
por simetría 8000
Ri kgf
Mi mkgf
Rj kgf
=
=
=




Ri
Mi
Rj
Mj

23. Francisco D’Amico Vigas Hiperestáticas - 22
Guía de Ejercicios

PROGRAMACIÓN APLICADA AL ANÁLISIS ESTRUCTURAL
() []
() []
()
2
por simetría: 10666,67
Ecuación general de la carga:
2000 0,8
Ecuación general de la fuerza cortante:
2000 8000 0,8
Ecuación general del momento flector:
1000 8000 10166,67
Mj mkgf
Wx x
Vx x x
Mx x x
=
=− ∀ ∈
=− + ∀ ∈
=− + −
[]
() []
()
()
()
()
m
() ()
43 2
0,8
Ecuación general de la deformada:
83,33 1333,33 5333,33 0,8
Máximo momento flector:
0 2000 8000 0
4
4 5333,33
0 10666,67
8 10666,67
0 8 10666,67
xx
x
EI x x x x x
Vx x
xm
Mmkgf
Mmkgf
Mmkgf
MM M mkgf
δ
∀∈
=− + − ∀ ∈
=⇒− + =
⇒=
=
=−
=
⇒= = =−
()

()
32
1
2
3
para 0 y 8
Máxima deformación:
0 333,33 4000 10666,67 0
0 empotramiento
4
8 empotramiento
4 1,06 para 4
xx
xxxx
x
xm
xm
cm x m
θ
δδ
= =
=⇒− + − =
⇒=
⇒=
⇒=
⇒= =− =

24. Francisco D’Amico Vigas Hiperestáticas - 23
Guía de Ejercicios

PROGRAMACIÓN APLICADA AL ANÁLISIS ESTRUCTURAL







()
()
()
()
()
()
()
()
()
2
32
432
1
1
5432
2
2
400 5000
200 5000
200
2500
3
200 2500
12 3 2
000
200 2500
60 12 6 2
000
7,5 0
7,5 0
298828,13 28,13 7,5
580078
xx
xx
Wx x
Vx x x Ri
Mx x x Rix Mi
Ri
EI x x x x Mix C
xxC
Ri Mi
EI x x x x x C
xxC
xx
xx
Ri Mi
θ
θ
δ
δ
θ
δ
=−
=−+
=− +−
=− +−+
=⇒ =⇒ =
=− +−+
=⇒ =⇒ =
=⇒ =
=⇒ =
=−
,12 70,31 28,13
resolviendo el sistema de ecuaciones resulta:
15363,19
17778,44
Ri Mi
Ri kgf
Mi mkgf



=−
=
=




Ri
Mi
Rj
Mj

25. Francisco D’Amico Vigas Hiperestáticas - 24
Guía de Ejercicios

PROGRAMACIÓN APLICADA AL ANÁLISIS ESTRUCTURAL
() []
() []
()
2
32
Ecuación general de la carga:
400 5000 0;7,5
Ecuación general de la fuerza cortante:
200 5000 15363,19 0;7,5
Ecuación general del momento flector:
66,67 2500 15363,19 17778,44
Wx x x
Vx x x x
Mx x x x
=− ∀∈
=−+ ∀∈
=−+ −
[]
() []
()
()
5432
2
1
2
0;7,5
Ecuación general de la deformada:
3,33 208,33 2560,53 8889,22 0;7,5
Máximo momento flector:
0 200 5000 15363,19 0
3,59
21,41 7,5 no es solución
3,59 8239,88
xx
x
EI x x x x x x
Vx x x
xm
xmm
Mm
δ
∀∈
=− + − ∀∈
=⇒ − + =
⇒=
⇒= >
=
()
m
()
()

43 2
1
2
3
4
0 17778,44
0 17778,44 para 0
Máxima deformación:
0 16,67 833,33 7681,60 17778,44 0
0 empotramiento
3,66
7,5 empotramiento
38,83 7,5 no es solución
kgf
Mmkgf
MM mkgf x
xxxxx
x
xm
xm
xmm
θ
δ
=−
⇒= =− =
=⇒ − + − =
⇒=
⇒=
⇒=
⇒= >
⇒=
()3,66 1,43 para 3,66cm x mδ =− =

26. Francisco D’Amico Vigas Hiperestáticas - 25
Guía de Ejercicios

PROGRAMACIÓN APLICADA AL ANÁLISIS ESTRUCTURAL







()
()
()
()
()
()
()
()
()
2
3
42
1
1
53 2
2
2
6000
7
6000
14
6000
42
6000
168 2
000
6000
840 6 2
000
70
70
49000 7
120050 57,16 24,5
resolviendo e
xx
xx
Wx x
Vx x Ri
Mx x Rix Mi
Ri
EI x x x Mix C
xxC
Ri Mi
EI x x x x C
xxC
xMx
xx
Ri Mi
Ri Mi
θ
θ
δ
δ
δ
=−
=− +
=− + −
=− + − +
=⇒ =⇒ =
=− + − +
=⇒ =⇒ =
=⇒ =
=⇒ =
 =−

=−

l sistema de ecuaciones resulta:
9450
17150
Ri kgf
Mi mkgf
=
=

Ri
Mi
Rj

27. Francisco D’Amico Vigas Hiperestáticas - 26
Guía de Ejercicios

PROGRAMACIÓN APLICADA AL ANÁLISIS ESTRUCTURAL


()
[]
() []
() []
2
3
Ecuación general de la carga:
6000
0,7
7
Ecuación general de la fuerza cortante:
6000
9450 0,7
14
Ecuación general del momento flector:
6000
9450 17150 0,7
42
Ecuación general
Wx x x
Vx x x
Mx x x x
=− ∀ ∈
=− + ∀ ∈
=− + − ∀ ∈
()
[]
()
()
()
m
()
53 2
2
1
2
de la deformada:
6000 9450 17150
0,7
840 6 2
Máximo momento flector:
6000
0 9450 0
14
4,7
4,7 0 no es solución
4,7 12433,18
0 17150
0 17150 para 0
Máxi
xx
EI x x x x x
Vx x
xm
xm
Mmkgf
Mmkgf
MM mkgf xδ=− + − ∀ ∈
=⇒− + =
⇒=
⇒=− <
=
=−
⇒= =− =
()

()
42
1
2
3
4
ma deformación:
0 35,71 4725 17150 0
0 empotramiento
4,18
8,83 7 no es solución
13,01 0 no es solución
4,18 2,18 para 4,18
xxxx
x
xm
xmm
xm
cm x m
θ
δδ=⇒− + − =
⇒=
⇒=
⇒= >
⇒=− <
⇒= =− =

28. Francisco D’Amico Rotaciones y Deformaciones en Vigas - 27
Guía de Ejercicios

PROGRAMACIÓN APLICADA AL ANÁLISIS ESTRUCTURAL









Solución de Vigas por Integración




Guía de Ejercicios 3

A continuación se muestran 4 modelos matemáticos diferentes de vigas
hiperestáticas y 6 de vigas isostáticas; utilizando las relaciones entre carga,
cortante, momento, rotación y deformación determine para cada viga:

La rotación en las secciones I, J, A y B.
El desplazamiento vertical en las secciones I, J, A y B.

Todas las vigas poseen la misma sección transversal típica con inercia I
xx =
10000 cm
4
en acero estructural con módulo de elasticidad E = 2100000 kgf/cm
2
.

29. Francisco D’Amico Rotaciones y Deformaciones en Vigas - 28
Guía de Ejercicios

PROGRAMACIÓN APLICADA AL ANÁLISIS ESTRUCTURAL

30. Francisco D’Amico Rotaciones y Deformaciones en Vigas - 29
Guía de Ejercicios

PROGRAMACIÓN APLICADA AL ANÁLISIS ESTRUCTURAL








()
()
()
()
()
()
()
()
()
()
2
1
1
32
2
2
Tramo (I-J) 0 5
0
(1)
2
000
(2)
62
000
condiciones en la frontera:
5
55
25
55
2
xx
xx
xx
x
Wx
Vx Ri
Mx Rix Mi
Ri
EI x x Mix C
xxC
Ri Mi
EI x x x C
xxC
VRi
MRiMi
EI Ri Mi
θ
θ
δ
δ
θ
≤≤
=
=−
=− +
=− + +
=⇒ =⇒ =
=− + +
=⇒ =⇒ =
=−
=− +
=− +

()
()
()
2
Articulación J (condiciones en la frontera)
5
Voladizo (J-A) 0 2
1000
(3) 1000
(4) 500 5
Vj Ri Rj
Mj Ri Mi
x
Wx
Vx x Ri Rj
MxxRixRjxRiMi
=− +
=− +
≤≤
=−
=− − +
=− − + − +

Ri
Mi
Rj

31. Francisco D’Amico Rotaciones y Deformaciones en Vigas - 30
Guía de Ejercicios

PROGRAMACIÓN APLICADA AL ANÁLISIS ESTRUCTURAL
()
()
()
() ()
()
322
3
433 2 2
34
4
33500
(5) 5
322
500 5
(6)
12 6 6 2 2
000
con (1) y (5): 5 0
25 25
550 (I)
22
de (2) 5
xx
xx
tramo voladizo
xx xx
Ri Rj
EI x x x x Rix Mix C
Ri Rj Mi
EI x x x x Rix x C x C
xxC
EI EI
Ri Mi C Ri Mi C
θ
δ
δ
θθ
δ=− − + − + +
=− − + − + + +
=⇒ =⇒ =
=
−+=⇒−+−=
=
()
()
125 25
0 0 (II)
62
de (3) 2 0 2000 0 2000 (III)
de (4) 2 0 2000 7 2 0 7 2 2000 (IV)
formando sistema con I, II, III y IV:
25
05 1
2
125 25
00
62
1100
7210
Ri Mi
V RiRj RiRj
M RiRjMi RiRjMi
⇒− + =
=⇒− − + =⇒− + =
=⇒− − + + =⇒− + + =

−−



−


−

−
()
()
2
33
6000
26000

2000 1000
2000 2500
Nodo I: de ecuación (1) 0 0
de ecuación (2) 0 0
Nodo B: de ec
Ri Ri kgf
Rj Rj kgf
Mi Mi mkgf
CCkgfm
θ
δ

 = 
 
=
 ⋅=
  =
 
=− 


=
=
()
()
()
()
()
4
4
3
uación (1) 2,5 2,976 10
de ecuación (2) 2,5 7,440 10
Nodo J: de ecuación (5) 0 1,190 10
de ecuación (6) 0 0
Nodo A: de ecuación (5) 2 1,82
rad
m
rad θ
δ
θ
δ
θ
−
−
−
=⋅
=⋅
=− ⋅
=
=−
()
3
3
510
de ecuación (6) 2 3,333 10
rad
m
δ
−
−
⋅
=− ⋅

32. Francisco D’Amico Rotaciones y Deformaciones en Vigas - 31
Guía de Ejercicios

PROGRAMACIÓN APLICADA AL ANÁLISIS ESTRUCTURAL







()
()
()
()
()
()
()
()
()
()
2
1
1
32
2
2
Tramo (I-J) 0 5
0
(1)
2
000
(2)
62
000
condiciones en la frontera:
5
55
25
55
2
xx
xx
xx
x
Wx
Vx Ri
Mx Rix Mi
Ri
EI x x Mix C
xxC
Ri Mi
EI x x x C
xxC
VRi
MRiMi
EI Ri Mi
θ
θ
δ
δ
θ
≤≤
=
=−
=− +
=− + +
=⇒ =⇒ =
=− + +
=⇒ =⇒ =
=−
=− +
=− +

()
()
()
2
3
Articulación J (condiciones en la frontera)
5
Voladizo (J-A) 0 2
500
(3) 250
250
(4) 5
3
Vj Ri Rj
Mj Ri Mi
x
Wx x
Vx x Ri RjMxxRixRjxRiMi
=− +
=− +
≤≤
=−
=− − +
=− − + − +

Ri
Mi
Rj

33. Francisco D’Amico Rotaciones y Deformaciones en Vigas - 32
Guía de Ejercicios

PROGRAMACIÓN APLICADA AL ANÁLISIS ESTRUCTURAL
()
()
()
() ()
()
422
3
533 2 2
34
4
33250
(5) 5
12 2 2
250 5
(6)
60 6 6 2 2
000
con (1) y (5): 5 0
25 25
550 (I)
22
de (2) 5
xx
xx
tramo voladizo
xx xx
Ri Rj
EI x x x x Rix Mix C
Ri Rj Mi
EI x x x x Rix x C x C
xxC
EI EI
Ri Mi C Ri Mi C
θ
δ
δ
θθ
δ=− − + − + +
=− − + − + + +
=⇒ =⇒ =
=
−+=⇒−+−=
()
()
125 25
0 0 (II)
62
de (3) 2 0 1000 0 1000 (III)
2000 2000
de (4) 2 0 7 2 0 7 2 (IV)
33
formando sistema con I, II, III y IV:
25
05 1
2
125 25
00
62
1100
7210
Ri Mi
V RiRj RiRj
M RiRjMi RiRjMi
=⇒− + =
=⇒− − + =⇒− + =
=⇒− − + + =⇒− + + =

−−



−
−
−
()
()
2
33
0
400
0
1400
1000
666,67
2000
1666,67
3
Nodo I: de ecuación (1) 0 0
de ecuación (2) 0 0
No
Ri Ri kgf
Rj Rj kgf
Mi Mi mkgf
CCkgfm
θ
δ


 =


=

⋅= 
  =
 

=− 



=
=
()
()
()
()
4
4
4
do B: de ecuación (1) 2,5 1,984 10
de ecuación (2) 2,5 4,960 10
Nodo J: de ecuación (5) 0 7,937 10
de ecuación (6) 0 0
Nodo A: de ecuación (
rad
m
rad θ
δ
θ
δ
−
−
−
=⋅
=⋅
=− ⋅
=
()
()
3
3
5) 2 1,270 10
de ecuación (6) 2 2,286 10
rad
mθ
δ
−
−
=− ⋅
=− ⋅

34. Francisco D’Amico Rotaciones y Deformaciones en Vigas - 33
Guía de Ejercicios

PROGRAMACIÓN APLICADA AL ANÁLISIS ESTRUCTURAL








()
()
()
()
()
2
Por simetría: 1000
Voladizo izquierdo 0 1
1000
1000
500
condiciones en la frontera:
1 1000
1 500
Articulación I condiciones en la frontera:
1000 1000 0
500
Tr
RiRj kgf
x
Wx
Vx x
Mx x
Vkgf
Mmkgf
Vi
Mi mkgf
==
≤≤
=−
=−
=−
=−
=−
=− + =
=−
()
()
()
()
()
()
()
1
2
12
2
22
11
amo (I-J) 0 5
0
0
500
(1) 500
(2) 250
000
5 0 250 5 5 1250
xx
xx
x
Wx
Vx Vi
Mx
EI x x C
EI x x C x C
xxC
x xCCkgfm
θ
δ
δ
δ
≤≤
=
==
=−
=− +
=− + +
=⇒ =⇒ =
=⇒ =⇒− ⋅ + ⇒ =




Ri
Rj

35. Francisco D’Amico Rotaciones y Deformaciones en Vigas - 34
Guía de Ejercicios

PROGRAMACIÓN APLICADA AL ANÁLISIS ESTRUCTURAL
()
()
()
()
()
()
4
4
4
Nodo I: de (1) 0 5,952 10
de (2) 0 0
Nodo B: de (1) 2,5 0
de (2) 2,5 7,440 10
Nodo J: de (1) 5 5,952 10
de (2) 5 0
Articu
rad
m
rad θ
δ
θ
δ
θ
δ
−
−
−
=⋅
=
=
=⋅
=− ⋅
=
()
()
()
()
()
2
32
3
432
34
lación J condiciones en la frontera
1000
500
Voladizo derecho 0 1
1000
1000 1000
500 1000 500
500
(3) 500 500
3
500 500
(4) 250
12 3
xx
xx
Vj kgf
Mj mkgf
x
Wx
Vx x
Mx x x
EI x x x x C
EI x x x x C x C
x
θ
δ
=
=−
≤≤
=−
=− +
=− + −
=− + − +
=− + − + +
=
()
() ()
()
()
4

3
2
3
4
4
000
con (1) y (3): 5 0
500 5 1250
1250
Nodo A: de (3) 1 6,746 10
de (4) 1 6,548 10
tramo voladizo derecho
xx xx
xC
EI EI
C
C kgfm
rad
mδ
θθ
θ
δ
−
−
⇒=⇒=
=
⇒− ⋅ + =
⇒=−
=− ⋅
=− ⋅

36. Francisco D’Amico Rotaciones y Deformaciones en Vigas - 35
Guía de Ejercicios

PROGRAMACIÓN APLICADA AL ANÁLISIS ESTRUCTURAL








()
()
()
()
()
2
3
Por simetría: 500
Voladizo izquierdo 0 1
1000 1000
500 1000
500
500
3
condiciones en la frontera:
1 500
1 333,33
Articulación I condiciones en la frontera:
500 500
Ri Rj kgf
x
Wx x
Vx x x
Mx x x
Vkgf
Mmkgf
Vi
==
≤≤
=−
=−
=−
=−
=−
=− + =
()
()
()
()
()
()
()
1
2
12
2
22
11
0
333,33
Tramo (I-J) 0 5
0
0
333,33
(1) 333,33
(2) 166,67
000
5 0 166,67 5 5 833,33
xx
xx
Mi mkgf
x
Wx
Vx Vi
Mx
EI x x C
EI x x C x C
xxC
x x C C kgfm
θ
δ
δ
δ
=−
≤≤
=
==
=−
=− +
=− + +
=⇒ =⇒ =
=⇒ =⇒− ⋅ + ⇒ =



Ri
Rj

37. Francisco D’Amico Rotaciones y Deformaciones en Vigas - 36
Guía de Ejercicios

PROGRAMACIÓN APLICADA AL ANÁLISIS ESTRUCTURAL
()
()
()
()
()
()
4
4
4
Nodo I: de (1) 0 3,968 10
de (2) 0 0
Nodo B: de (1) 2,5 0
de (2) 2,5 4,960 10
Nodo J: de (1) 5 3,968 10
de (2) 5 0
Articu
rad
m
rad θ
δ
θ
δ
θ
δ
−
−
−
=⋅
=
=
=⋅
=− ⋅
=
()
()
()
()
()
2
3
42
3
53
lación J condiciones en la frontera
500
333,33
Voladizo derecho 0 1
1000
500 500
500
500 333,33
3
500
(3) 250 333,33
12
500 500
(4) 166,6
60 3
xx
xx
Vj kgf
Mj mkgf
x
Wx x
Vx x
Mx x x
EI x x x x C
EI x x x
θ
δ
=
=−
≤≤
=−
=− +
=− + −
=− + − +
=− + −
()
() ()
()
()
2
34
4

3
2
3
4
4
7
000
con (1) y (3): 5 0
333,33 5 833,33
833,33
Nodo A: de (3) 1 4,563 10
de (4) 1 4,405 10
tramo voladizo derecho
xx xx
xCx C
xxC
EI EI
C
C kgfm
rad
m
δ
θθ
θ
δ
−
−
++
=⇒ =⇒ =
=
⇒− ⋅ + =
⇒=−
=− ⋅
=− ⋅

38. Francisco D’Amico Rotaciones y Deformaciones en Vigas - 37
Guía de Ejercicios

PROGRAMACIÓN APLICADA AL ANÁLISIS ESTRUCTURAL







()
()
()
52
0 1000 5 5 1666,67
23
5
0 1000 1666,67 0 833,33
2
Voladizo izquierdo 0 1
0
0
0
Articulación I condiciones en la frontera
833,33
0
Tramo
izquierda derecha
V
Mi Mi
Rj Rj kgf
FRiRikgf
x
Wx
Vx
Mx
Vi kgf
Mi
=
=− ⋅⋅⋅+ ⇒ =
=⇒− ⋅+ + =⇒ =
≤≤
=
=
=
=
=∑∑
∑
()
()
()
()
()
()
()
()
()
2
3
42
1
53
12
2
53 2
11
05
200
100 833,33
100
833,33
3
5 1666,67
50
(1) 8,33 416,67
(2) 1,67 138,89
000
5 0 1,67 5 138,89 5 5 0 2430,56
xx
xx
x
Wx x
Vx x
Mx x x
Vkgf
M
EI x x x C
EI x x x C x C
xxC
x x C C kgfm
θ
δ
δ
δ
≤≤
=−
=− +
=− +
=−
=
=− + +
=− + + +
=⇒ =⇒ =
=⇒ =⇒− ⋅ + ⋅ + =⇒ =−

Ri
Rj

39. Francisco D’Amico Rotaciones y Deformaciones en Vigas - 38
Guía de Ejercicios

PROGRAMACIÓN APLICADA AL ANÁLISIS ESTRUCTURAL
()
()
()
()
()
3
5
3
3
Nodo I: de (1) 0 1,157 10
de (2) 0 0
Nodo B: de (1) 2,5 7,234 10
de (2) 2,5 1,938 10
Nodo J: de (1) 5 1,323 10
de (2
rad
rad
m
rad θ
δ
θ
δ
θ
−
−
−
−
=− ⋅
=
=− ⋅
=− ⋅
=⋅
()
()
()
()
()
()
()
() ()
3
34
4

42
33
) 5 0
Voladizo derecho 0 1
0
1666,67 1666,67 0
0
(3)
(4)
000
con (1) y (3): 5 0
8,33 5 416,67 5 2430,56 2777,78
xx
xx
tramo voladizo derecho
xx xx
x
Wx
Vx
Mx
EI x C
EI x C x C
xxC
EI EI
CC
δ
θ
δ
δ
θθ=
≤≤
=
=− + =
=
=
=+
=⇒ =⇒ =
=
⇒− ⋅+ ⋅− = ⇒ =
()
()
2
3
3
Nodo A: de (3) 0 1,323 10
de (4) 1 1,323 10
kgfm
rad
m θ
δ
−
−
=⋅
=⋅

40. Francisco D’Amico Rotaciones y Deformaciones en Vigas - 39
Guía de Ejercicios

PROGRAMACIÓN APLICADA AL ANÁLISIS ESTRUCTURAL
Ri
Mi
Rj








()
()
()
()
()
()
()
()
2
32
1
1
43 2
2
2
Tramo 0 5
1000
(1) 1000
(2) 500
500
(3)
32
000
500
(4)
12 6 2
000
de (4): 5 0 26041,67 20,83 12,5 0
xx
xx
x
Wx
Vx x Ri
Mx x Rix Mi
Ri
EI x x x Mix C
xxC
Ri Mi
EI x x x x C
xxC
xx RiMi
θ
θ
δ
δ
δ
≤≤
=−
=− +
=− + −
=− + − +
=⇒ =⇒ =
=− + − +
=⇒ =⇒ =
=⇒ =⇒− + − =
()
()
(I)
de (2): 5 0 12500 5 0 (II)
formando sistema con ecuaciones I y II:
312520,83 12,5 26041,67
5 1 12500 3125
condiciones en la frontera:
5 5000 3125 1
xMx RiMi
Ri Ri kgf
Mi Mi mkgf
V
=⇒ =⇒− + − =
=−
⋅= ⇒
− = 
=− + =−
()
875
5 12500 5 3125 3125 0
0 1000 5 3125 0 1875
V
kgf
M
FRjRjkgf
=− + ⋅ − =
=⇒− ⋅+ + =⇒ =
∑

41. Francisco D’Amico Rotaciones y Deformaciones en Vigas - 40
Guía de Ejercicios

PROGRAMACIÓN APLICADA AL ANÁLISIS ESTRUCTURAL
()
()
()
()
()
()
() ()
3
34
4

3
Articulación J condiciones en la frontera:
1875 1875 0
0
Voladizo 0 2
0
0
0
(5)
(6)
000
con (3) y (5): 5 0
500 3
5
3
xx
xx
tramo voladizo derecho
xx xx
Vj
Mj
x
Wx
Vx
Mx
EI x C
EI x C x C
xxC
EI EI
θ
δ
δ
θθ
=− + =
=
≤≤
=
=
=
=
=+
=⇒ =⇒ =
=
⇒− ⋅ +
()
()
()
()
()
22
33
4
3125
5 3125 5 2604,16
2
Nodo I: de (3): 0 0
de (4): 0 0
Nodo B: de (3): 2,5 3,100 10
de (4): 2,5 1,550 10
Nodo J: de (3): 5 1,240 10
CC kgfm
rad
m
θ
δ
θ
δ
θ
−
−
⋅− ⋅= ⇒ =
=
=
=− ⋅
=− ⋅
=⋅
()
()
()
3
3
3
de (4): 5 0
Nodo A: de (5): 2 1,240 10
de (6): 2 2,480 10
rad
rad
m δ
θ
δ
−
−
−
=
=⋅
=⋅

42. Francisco D’Amico Rotaciones y Deformaciones en Vigas - 41
Guía de Ejercicios

PROGRAMACIÓN APLICADA AL ANÁLISIS ESTRUCTURAL
Mi
Ri Rj








()
()
()
()
()
()
()
()
2
32
432
1
1
5432
2
2
Tramo 0 5
200 1000
(1) 100 1000
(2) 33,3 500
(3) 8,3 166,6
2
000
(4) 1,6 41,6
62
000
de (4): 5
xx
xx
x
Wx x
Vx x x Ri
Mx x x Rix Mi
Ri
EI x x x x Mix C
xxC
Ri Mi
EI x x x x x C
xxC
xx
θ
θ
δ
δ
δ
≤≤
=−
=−+
=−+−
=− +−+
=⇒ =⇒ =
=− +− +
=⇒ =⇒ =
=⇒



()
0 20833,3 20,83 12,5 0 (I)
de (2): 5 0 8333,3 5 0 (II)
formando sistema con ecuaciones I y II:
200020,83 12,5 20833,3
51 1666,678333,3
cond
Ri Mi
xMx RiMi
Ri Ri kgf
Mi Mi mkgf
=⇒− + − =
=⇒ =⇒− + − =
 =−
⋅= ⇒
− =  




()
()
iciones en la frontera:
5 2500 2000 500
5 8333,3 5 2000 1666,67 0
0 2500 2000 0 500
V
Vkgf
M
FRjRjkgf
=− + =−
=− + ⋅ − =
=⇒− + + =⇒ =
∑

43. Francisco D’Amico Rotaciones y Deformaciones en Vigas - 42
Guía de Ejercicios

PROGRAMACIÓN APLICADA AL ANÁLISIS ESTRUCTURAL
()
()
()
()
()
()
() ()
3
34
4

3
Articulación J condiciones en la frontera:
500 500 0
0
Voladizo 0 2
0
0
0
(5)
(6)
000
con (3) y (5): 5 0
1041,6
xx
xx
tramo voladizo derecho
xx xx
Vj
Mj
x
Wx
Vx
Mx
EI x C
EI x C x C
xxC
EI EI
Ckg
θ
δ
δ
θθ
=− + =
=
≤≤
=
=
=
=
=+
=⇒ =⇒ =
=
⇒=

()
()
()
()
()
2
5
4
4
Nodo I: de (3): 0 0
de (4): 0 0
Nodo B: de (3): 2,5 9,301 10
de (4): 2,5 6,975 10
Nodo J: de (3): 5 4,960 10
de (4):
fm
rad
m
rad θ
δ
θ
δ
θ
−
−
−
=
=
=− ⋅
=− ⋅
=⋅
()
()
()
4
4
50
Nodo A: de (5): 2 4,960 10
de (6): 2 9,921 10
rad
mδ
θ
δ
−
−
=
=⋅
=⋅

44. Francisco D’Amico Rotaciones y Deformaciones en Vigas - 43
Guía de Ejercicios

PROGRAMACIÓN APLICADA AL ANÁLISIS ESTRUCTURAL
Ri Rj







()
()
()
()
()
2
3
11
1 1000 5 33,3
32
1
0 1000 33,3 0 533,3
2
Voladizo izquierdo 0 1
1000
500
166,6
condiciones en la frontera:
1 500
1 166,6
Art
izquierda derecha
V
Mi Mi
Rj Rj kgf
FRiRikgf
x
Wx x
Vx x
Mx x
Vkgf
Mmkgf
=
−⋅⋅ ⋅ = ⇒ =
=⇒− ⋅− + =⇒ =
≤≤
=−
=−
=−
=−
=−∑∑
∑




()
()
()
()
()
()
2
1
32
12
2
iculación I condiciones en la frontera:
500 533,3 33,3
166,6
Tramo 0 5
0
33,3
33,3 166,6
(1) 16,6 166,6
(2) 5,5 83,3
000
xx
xx
Vi kgf
Mi mkgf
x
Wx
Vx
Mx x
EI x x x C
EI x x x C x C
xxC
θ
δ
δ
=− + =
=−
≤≤
=
=
=−
=−+
=− ++
=⇒ =⇒ =

45. Francisco D’Amico Rotaciones y Deformaciones en Vigas - 44
Guía de Ejercicios

PROGRAMACIÓN APLICADA AL ANÁLISIS ESTRUCTURAL
()
()
()
()
()
()
()
32 2
11
5 0 5,5 5 83,3 5 5 0 277,7
condiciones en la frontera:
533,3
50
Articulación J condiciones en la frontera:
33,3 33,3 0
0
Voladizo derecho 0 1
0
0
0
(3)
xx
x xCCkgfm
Vkgf
M
Vj
Mj
x
Wx
Vx
Mx
EI xδ
θ=⇒ =⇒ ⋅ − ⋅ + =⇒ =
=
=
=−=
=
≤≤
=
=
=



()
()
() ()
()
()
()
3
34
4

2
3
4
5
(4)
000
con (1) y (3): 5 0
138,8
Nodo I de(1): 0 1,323 10
de(2): 0 0
Nodo B de(1): 2,5 1,653 10
xx
tramo voladizo derecho
xx xx
C
EI x C x C
xxC
EI EI
Ckgfm
rad
rad
δ
δ
θθ
θ
δ
θ
−
−
=
=+
=⇒ =⇒ =
=
⇒=−
=⋅
=
=− ⋅

()
()
()
()
()
4
5
5
5
de(2): 2,5 1,241 10
Nodo J de(1): 5 6,614 10
de(2): 5 0
Nodo A de(3): 1 6,614 10
de(4): 1 6,614 10
m
rad
rad
m δ
θ
δ
θ
δ
−
−
−
−
=⋅
=− ⋅
=
=⋅
=− ⋅

46. Francisco D’Amico Rotaciones y Deformaciones en Vigas - 45
Guía de Ejercicios

PROGRAMACIÓN APLICADA AL ANÁLISIS ESTRUCTURAL
Ri Rj









()
()
()
()
()
()
()
2
32
1
43
12
2
2
1
Por simetría: 2500
Tramo 0 5
1000
1000 2500
500 2500
(1) 166,6 1250
(2) 41,6 416,6
000
5 0 5208,3
Nodo I de (1
xx
xx
Ri Rj kgf
x
Wx
Vx x
Mx x x
EI x x x C
EI x x x C x C
xxC
xxC kgfm
θ
δ
δ
δ
==
≤≤
=−
=− +
=− +
=− + +
=− + + +
=⇒ =⇒ =
=⇒ =⇒ =−



()
()
()
()
()
()
3
3
3
): 0 2,480 10
de (2): 0 0
Nodo B de (1): 2,5 0
de (2): 2,5 3,875 10
Nodo J de (1): 5 2,480 10
de (2): 5 0
condiciones en la f
rad
m
radθ
δ
θ
δ
θ
δ
−
−
−
=− ⋅
=
=
=− ⋅
=⋅
=
()
()
rontera:
5 2500
50
Vkgf
M
=−
=

47. Francisco D’Amico Rotaciones y Deformaciones en Vigas - 46
Guía de Ejercicios

PROGRAMACIÓN APLICADA AL ANÁLISIS ESTRUCTURAL
()
()
()
()
()
()
() ()
3
34
4

4
Articulación J condiciones en la frontera:
2500 2500 0
0
Voladizo derecho 0 1
0
0
0
(3)
(4)
000
con (1) y (3): 5 0
xx
xx
tramo voladizo derecho
xx xx
Vj
Mj
x
Wx
Vx
Mx
EI x C
EI x C x C
xxC
EI EI
C
θ
δ
δ
θθ
=− + =
=
≤≤
=
=
=
=
=+
=⇒ =⇒ =
=
⇒
()
()
2
3
3
5208,3
Nodo A de (3): 1 2,480 10
de (4): 1 2,480 10
kgfm
rad
m
θ
δ
−
−
=
=⋅
=⋅

48. Francisco D’Amico Rotaciones y Deformaciones en Vigas - 47
Guía de Ejercicios

PROGRAMACIÓN APLICADA AL ANÁLISIS ESTRUCTURAL
Ri Rj







()
()
()
()
()
2
32
432
1
54 3
Por simetría: 1250
Tramo-segmento (I-B) 0 2,5
400 1000
(1) 200 1000 1250
(2) 66,6 500 1250
(3) 16,6 166,6 625
(4) 3,3 41,6 208,3
xx
xx
Ri Rj kgf
x
Wx x
Vx x x
Mx x x x
EI x x x x C
EI x x x x C
θ
δ
==
≤≤
=−
=−+
=−+
=− ++
=− + +



()
()
()
()
()
()
()
()
12
2
2
3
4
3
5
000
de (1): 2,5 0
de (2): 2,5 1041,6
Tramo-segmento (B-J) 0 2,5
400
(5) 200
(6) 66,6 1041,6
(7) 16,6 1041,6
(8) 3,3 520,83
xx
xx
xC
xxC
V
Mmkgf
x
Wx x
Vx x
Mx x
EI x x x C
EI x x x
δ
θ
δ
+
=⇒ =⇒ =
=
=
≤≤
=−
=−
=− +
=− + +
=− +




() ()
() ()
2
34
() ( )
432
13
() ( )
54 3
14
con (3) y (7): 2,5 0
16,6 2,5 166,6 2,5 625 2,5 (I)
con (4) y (8): 2,5 0
3,3 2,5 41,6 2,5 208,3 2,5 2,5 (II)
IB BJ
xx xx
IB BJ
xx xx
Cx C
EI EI
CC
EI EI
CC
θθ
δδ
−−
−−
++
=
⇒⋅− ⋅+⋅+=
=
⇒⋅ − ⋅ + ⋅ + =

49. Francisco D’Amico Rotaciones y Deformaciones en Vigas - 48
Guía de Ejercicios

PROGRAMACIÓN APLICADA AL ANÁLISIS ESTRUCTURAL
()
52
2
11
33
4
de (8): 2,5 0
3,3 2,5 520,83 2,5 2,5 3 4 0 (III)
formando sistema con I, II y III:
1 1 0 1953,125 1953,125
2,5 0 1 1953,125 0
0 2,5 1 2929,6875
xx
EI
CC
CCkgfm
CC
CCδ =
⇒− ⋅ + ⋅ + + =
−− =−

−⋅ =− ⇒ =

 −


()
()
()
()
()
2
4
4
3
4
2929,6875
Nodo I de (3): 0 9,301 10
de (4): 0 0
Nodo B de (3): 2,5 0
de (4): 2,5 1,395 10
Nodo J de (7): 2,5 9,301 10

kgfm
rad
m
rad
θ
δ
θ
δ
θ
−
−
−
=−
=− ⋅
=
=
=− ⋅
=⋅
()
()
()
()
()
()
()
() ()
()
5
56
6
()
2
5
de (8): 2,5 0
Voladizo derecho 0 1
0
0
0
(9)
(10)
000
con (7) y (9): 2,5 0
1953,125
Nodo A de (9): 1 9,301 10
xx
xx
B J voladizo derecho
xx xx
x
Wx
Vx
Mx
EI x C
EI x C x C
xxC
EI EI
Ckgfm
δ
θ
δ
δ
θθ
θ
−
=
≤≤
=
=
=
=
=+
=⇒ =⇒ =
=
⇒=
=⋅
()
4
4
de (10): 1 9,301 10
rad
m δ
−
−
=⋅