Análisis gráfico de MRU ( Gráficas por intervalo y Gráficas de persecución y encuentro)

Análisis gráfico de MRU ( Gráficas por intervalo y Gráficas de persecución y encuentro)

1. Uno de los cambios físicos al que estamos más habituados es el movimiento de los cuerpos. A menudo
hablamos de un tren que se desplaza a gran velocidad o de un auto que está detenido en el semáforo. Todos
estos eventos de nuestro diario vivir que conciernen al movimiento de los cuerpos pueden ser estudiados a
través de la cinemática.
Lacinemática es la rama de la física que describe el movimiento de los cuerpos sin considerar las causas que
lo originan y se limita, principalmente, al estudio de la trayectoria en función del tiempo. Para ello utiliza los
conceptos de sistema de referencia, velocidad y aceleración, que describen cómo cambia la posición en función
del tiempo.
Los cuerpos normalmente en la naturaleza pueden considerarse que estén en movimiento o en reposo. Por
ejemplo: Un espectador que está al pie de la carretera y ve pasar un auto con dos personas (piloto y copiloto),
asegurará que están en movimiento al observar cómo se desplazan a través de la carretera. Pero, ¿Qué dirá el
piloto, respecto al compañero que permanece a un costado de él? Seguramente afirmará que su compañero no
se mueve de su lado y que está en reposo. De esto se puede deducir que el movimiento sea relativo, pues
depende del punto de referencia desde donde el observador estudia y analiza dicho fenómeno.
De aquí la importancia que, para describir un movimiento de un objeto, debemos tomar como referencia otros
cuerpos que consideramos fijos. Estos cuerpos fijos constituyen lo que se conoce como un sistema de
referencia.
Llamamos sistema de referencia a un punto o conjunto de puntos del espacio respecto al cual se describe o
se estudia el movimiento de un cuerpo.
Así, recordando el caso del automóvil y el espectador al pie de carretera, las dos personas en el auto cambian
de posición respecto del espectador, pero entre el piloto y el copiloto ninguno cambia de posición uno respecto
al otro.
Dicho esto, se puede recalcar que un cuerpo estará en movimiento si cambia de posición con respecto al
sistema de referencia, en el caso de que este no cambie su posición respecto a dicho sistema, diremos que el
cuerpo está en reposo.
Para poder determinar el movimiento de un cuerpo, necesitamos conocer la posición que ocupa en cada
momento. La posición de un cuerpo la podremos definir como el espacio que ocupa el mismo en un instante
determinado de tiempo. A recalcar que la posición es un vector y por ende tiene módulo, dirección y sentido.
Si un cuerpo está en reposo respecto al sistema de referencia que hemos escogido, su posición no varía con el
tiempo, pero si está en movimiento, su posición irá cambiando. Al conocer que el cuerpo cambia de posición el
mismo describirá una trayectoria, que no es nada más que la línea formada por los sucesivos puntos que ocupa
dicho cuerpo durante su movimiento.
Podemos clasificar los movimientos según la forma geométrica de la trayectoria que presentan. Entre ellos a
están:
Movimiento Rectilíneo. Como el de un ascensor.
Movimiento curvilíneo:
Circular: como el giro de un disco DVD.
Elíptico: como el movimiento de los planetas alrededor del sol si consideramos el astro como
un cuerpo fijo.
Parabólico: como el de una flecha que es lanzada oblicuamente desde el suelo y regresa a él
luego de un cierto tiempo.
Movimiento en una dirección o movimiento rectilíneo
Para iniciar el estudio del movimiento iniciaremos con el más simple que podemos tener, el movimiento
unidireccional; el cual ocurre cuando el objeto se mueve en una sola dirección. Se hace coincidir la dirección
del movimiento con uno de los tres ejes cartesianos, entonces decimos que le objeto se mueve en x, y o z.

2. En nuestro caso de momento estudiaremos el Movimiento Rectilíneo Uniforme (MRU)
Movimiento Rectilíneo Uniforme (MRU)
Un movimiento es rectilíneo cuando un móvil describe una trayectoria recta, y es uniforme cuando su velocidad
es constante en el tiempo, dado que su aceleración es nula. Nos referimos a él mediante el acrónimo MRU.
Características:
Movimiento que se realiza sobre una línea recta.
Velocidad constante; implica magnitud y dirección constantes.
La magnitud de la velocidad recibe el nombre de celeridad o rapidez.
Aceleración nula.
La ecuación que describe al movimiento rectilíneo uniforme es la siguiente:

Donde:





A continuación, se muestra otros conceptos primordiales para el estudio del MRU.
Distancia
Se define como la longitud medida sobre la trayectoria, que existe
entre las posiciones inicial y final de un cuerpo. Imagínate que viajas
del Punto A al Punto B por la carretera y quieres la distancia recorrida.
Puede ser tanto una línea recta como cualquiera de los otros
recorridos. Para esto se mide la longitud de la trayectoria. La longitud
de un punto a otro recibe el nombre de distancia, es una magnitud
escalar y su unidad es el metro o similares.
Desplazamiento
Es el vector que define la posición de un punto o partícula en relación
a un origen A con respecto a una posición B. El vector se extiende
desde el punto de referencia hasta la posición final. Cuando se habla
del desplazamiento en el espacio solo importa la posición inicial y la
posición final, ya que la trayectoria que se describe no es de
importancia. Como se observa en la imagen, a pesar del recorrido, el
desplazamiento es menor a la distancia ya que depende únicamente
del inicio y del final. Dado que es un vector el desplazamiento del
cuerpo está dado por:

Donde:



Ejemplo: Una persona se mueve en línea recta sobre el eje x, se encuentra inicialmente a 12,0 m y después se
mueve a -5,0 m del origen. Determina el desplazamiento y la distancia.

3. Solución:
El desplazamiento depende de la posición final y la inicial.


La distancia recorrida es todo lo que se movió.
= +
= 5,0 + 12,0 = 17,0
Es la relación entre la distancia recorrida y el tiempo empleado en completarla. Su magnitud se designa como
tiene el carácter vectorial de ésta. La diferencia entre velocidad y rapidez es que la velocidad tiene un carácter
vectorial y la rapidez es una magnitud de carácter escalar.

Ejemplo:
Si un móvil recorre una distancia de 20,0 m en 4,0 s, su rapidez es:

Velocidad Media
Es la razón entre el desplazamiento y el tiempo empleado en realizarlo. Nos indica que ten rápido y en qué
sentido se desplaza un objeto. La velocidad media en la dirección x de una partícula (V
m
se define como el cambio de posición de la partícula por unidad de tiempo.

Donde:



Debemos recordar que rapidez y velocidad no significan lo mismo, aun cuando en lenguaje cotidiano
acostumbramos a usarlo por igual. La diferencia primordial es que la rapidez es un escalar y la velocidad es un
vector.
Graficas del MRU
Al igual que otros fenómenos de la física, le MRU se puede representar en gráficas de posición en función del
tiempo (x- vs -t) y por graficas de velocidad en función del tiempo (V- vs-t).
Gráficas de Posición (x) vs tiempo (t) para el MRU:
Estas gráficas se obtienen representando el tiempo en el eje horizontal la posición en el eje vertical, uniendo
los puntos sucesivos que se obtienen.
Para el caso el MRU la gráfica de posición vs tiempo es un segmento de recta:

4. La pendiente dela gráfica posición vs tiempo nos dará la velocidad media del móvil.
Ejemplo:
Supongamos que estudiamos el movimiento de un carrito de juguete que se desplaza en línea recta a lo largo
de un eje que llamaremos x. Para ello, se midieron las posiciones del carrito en diferentes tiempos, lo que se
presentan en la siguiente tabla.
t(s) 0,0 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0
x(m) 0,0 3,0 6,0 9,0 12,0 15,0
Como puedes observar, por cada segundo transcurrido el cuerpo se desplaza 3,0 m, el gráfico de posición en
función del tiempo, para este carrito es:
Donde la pendiente se calcula de la siguiente manera:



De aquí queda demostrado la relación lineal entre las variables posición y tiempo para el MRU ya que el gráfico
que se obtiene es el de un segmento de línea recta, pues recordando la ecuación de la recta podemos
comprobar que:


Al ser la gráfica resultante una línea recta la pendiente es la misma en cualquier punto. Las unidades de esta
pendiente son m/s, la cual concuerda con las de rapidez y velocidad. En toda gráfica de posición frente al tiempo
la pendiente representa la velocidad media. El movimiento rectilíneo está definido como aquel que se realiza,
durante todo el recorrido, con velocidad constante. Cabe destacar que la pendiente del gráfico puede ser positiva
si la velocidad es positiva o negativa si la velocidad es negativa. El signo de la velocidad indica en qué sentido
se mueve el móvil.

5. Gráfica de velocidad (V) en función del tiempo (t) para MRU
Para el MRU la gráfica de velocidaden función del tiempo seráuna recta paralela al eje del tiempo.
En la gráfica de V- vs- t, al calcular el área de la figura bajo el gráfico, se obtiene el desplazamiento.
Área de un cuadrado = Base x Altura
(5,0 s) x (3,0 m/s) = 15 m

6. 1. Un auto se desplaza con movimiento rectilíneo uniforme (MRU), en diversos intervalos de tiempo, tal cual
se muestra en la siguiente gráfica de posición versus tiempo (x-vs-t). Para el mismo encuentre:
a) La posición del auto al iniciar su recorrido.
b) Calcule el desplazamiento en cada uno de los intervalos.
c) Diga en que instante o instantes, si los hay, el auto cambia la dirección de su movimiento.
d) Calcule la velocidad media del auto en cada uno de los intervalos.
e) En que intervalo o intervalos, si los hay, el auto está en repos
f) Cuál es la posición final del auto respecto al punto de partida al final del recorrido.
g) Calcule el desplazamiento total del auto.
h) Calcule la distancia total recorrida por el auto.
i) En que instante o instantes, si los hay, el auto regresa al punto de partida.
j) Construya la gráfica de velocidad en función del tiempo (V-vs-t), para dicho auto.
Desarrollo

7. Primero le colocamos los intervalos correspondientesa cada segmento de la gráfica.
a) La posición del móvil al iniciar su recorrido es .
b) El desplazamiento en cada uno de los intervalos es:
c) El auto cambia la dirección de su movimiento en los instantes t= 4,0 s; t=8,0 s; t= 10,0 s y t= 16,0 s.
Esto se puede saber al observar el cambio de signo en los de los desplazamientos de los intervalos
calculados en la pregunta anterior, donde se aprecia cómo estos cambia en instantes específicos de
positivo a negativo y viceversa.
d) Cálculo de la velocidad media del auto en cada uno de los intervalos

8. e)El autoestá en reposo en los intervalos donde su desplazamiento da igual a 0 km, entre estos sepuede
destacar solamente el IV intervalo.
f)La posición final del auto, con respecto al punto de partida al finalizar el recorrido es
g) El desplazamiento total del auto se calcula, preferiblemente, sumando algebraicamente cada uno de los
desplazamientos obtenidos en la pregunta b. Algebraicamente significa que se toma en cuenta el signo
de cada desplazamiento, ya sea negativo o positivo. Se representa matemáticamente así:

Para este tipo de gráficas existe una manera más sencilla de calcular el desplazamiento total, ya que para las
gráficas X-vs-t se puede conocer con facilidad la posición inicial al comenzar el recorrido y finalizar el mismo.
Debido a esto el desplazamiento total se puede calcular en base a estos datos tal cual se ve a continuación:
h) La distancia total recorrida por el auto, se calculará sumando los valores absolutos de cada uno de los
desplazamientos. Valor absoluto significa que todos los valores de los desplazamientos se tomarán con
signo positivo tal cual se ve a continuación. ( La distancia siempre tendrá signo positivo)

i) El móvil regresa al punto de partida en el instante t= 12 s. esto se puede apreciar claramente en la
gráfica donde se observa que en ese instante el objeto vuelve a la posición 0,0 km o punto de referencia
de donde partió.
j) Gráfica de Velocidad en función del tiempo ( V-vs-t)

9. 2. Dos automóviles A y B se van por una misma carretera. En el gráfico de este problema se indica
las posiciones de cada uno de los autos respecto al inicio de la carretera, en función del tiempo.
Responda las siguientes interrogantes:
a)
b) Calcule la velocidad para ambos automóviles durante dicho trayecto.
c) Escriba la ecuación que describe la posición en función del tiempo para cada uno de los
autos.
d) Calcule el desplazamiento resultante para ambos móviles a las 4 horas desde iniciado el
recorrido.
e) En que instante ambos autos tienen la misma posición y demuéstrelo matemáticamente
utilizando las ecuaciones obtenidas en la tercera pregunta. (verificar con la gráfica)
f) Calcule el desplazamiento de cada auto a las 2 horas desde iniciado el recorrido.
g) Cuál es la posición de cada auto con respecto al inicio de la carretera a las 3 horas.
h) Cuál es el desplazamiento de cada uno de los autos a las 3 horas.
i) Cuál es el valor del desplazamiento de cada auto a las 6 h.
j) Si la persecución solo durase una hora, lograrían encontrarse los automóviles. Sustente su
respuesta.

10. Análisis de la gráfica X-vs-t para MRU
a) La posición inicial para cada uno de los autos es:




b) Las velocidad media para cada uno de los autos corresponde la pendiente de cada una de las
rectas trazadas en la gráfica x-vs-t, tomando dos puntos cualesquiera para cada recta por
independiente, se calcula de la siguiente manera:
c) La ecuación que describe la posición en función del tiempo para cada uno de los autos, se
obtiene sustituyendo el valor de las variables en la ecuación de la recta:

Como las variables de las gráfica que analizamos tienen nombres de cantidades físicas medibles,
resaltamos que en lugar de las variable (y,m,x) utilizaremos en su reemplazo (
,quedando:

11. d)Para calcular el desplazamiento de ambos autos a las 4 horas no podemos utilizar la ecuación
de desplazamiento , ya que si observamos la gráfica, tenemos a disposición las
posiciones finales de cada auto a las 4 horas. Debido a esto la única opción que se tiene es
utilizar las ecuaciones obtenidas en la pregunta anterior para extrapolar los resultados a lo que
nos sugiere la pregunta tal cual vemos a continuación:

e) Para lograr calcular el tiempo de encuentro entre ambos autos, siempre partiremos de la
premisa que nos dice que para que dos objetos se encuentren en un punto del espacio, las
posiciones finales de ambos deben ser iguales y a partir de estas reemplazamos a que
corresponde cada posición final, según las ecuaciones obtenidas en la pregun
Si bien se puede observar, el valor obtenido a través de los cálculos es igual a lo que se puede ver en
la gráfica donde se intersectan ambas rectas, pues este caso nos permite corroborar nuestra respuesta
gráficamente, pero hay casos en los que solo se puede saber dicho tiempo a través de los cálculos.

12. f) El desplazamiento de cada auto a las 2 horas desde iniciado el recorrido es:

g) La posición de cada auto con respecto al inicio de la carretera a las 3 horas es:
Cuando nos hagan esta pregunta se refiere a la posición final que posee el cuerpo en ese
instante específico y para esos utilizamos las ecuaciones obtenidas en la pregunta C.
h) El desplazamiento de cada uno de los autos a las 3 horas es
:

Si se observa detenidamente los resultados de posición y de desplazamiento a las 3 horas, podemos
ver que los valores solo coinciden para uno de los autos. Esto se debe a que estas magnitudes son
dos cosas totalmente diferentes a pesar de poseer la misma unidad de medida, y sus valores solo
coincidirán cuando la relación entre las variables tiempo y posición sea directamente proporcional, es
decir que la gráfica salga del origen de coordenadas.
i) El valor del desplazamiento de cada auto a las 6 h es: ( En este caso se hace una extrapolación,
utilizando las ecuaciones obtenidas para cada uno de los autos en la pregunta D)







j) Si la persecución sólo durase una hora, el encuentro entre ambos móviles no se produciría, ya
que se pudo demostrar gráfica y matemáticamente, que dicho encuentro se produce a las 2 h
de iniciado el recorrido.