Análisis numérico richard burden 7ma edición

Análisis
| eS

numérico

Contenido

1 Preliminares matemáticos 1
1a poses 2
12 Bord mate y ets e comp 18
Bm

N

Soluciones de ecuaciones de una
variable 47

ZU Matis de basée 4
22 nel de pono fp 55

23 Hate Nevin 66

24 And eee pars os mation lea 8
25 Camere clr 86

26 Corn de ploomlosyel foto de Miller 91
27. Una visión pera de métodos y de sofware 101

3 interpolación y aproximación
polinomial 104
31. Ine limon e Lange 17
D me te
a 00
M ré e ic 41
5 Arne Iss
DE tan 16

“ Contenido

4 Diferenciación e integración
numéricas 166

41 Dilemma 167
42 spac de chain. 178

43 Elements del inegació numérica. 186
44 teegación numérica compe 196
4S rie de Ramberg 207

46 Mendes aptas de cura 213
47. Condes pas 20

48 teers ls 227

49 rere impmpls 241

4:10, Resta debas y software 247

5 Problemas de valor inicial para ecuaciones
diferenclales ordinarias 249

Seul letal dels problemes de ao ia! 251
52 Moto Je ler 256

33 Mel de ago de erden superior. 266

34 Méodos de Runge Kuta 272

55 Com del erry el mod de Range Kuta Feber, 282

56. Métodos maipo 299

37 Mado muipsos co tamaño verb de paso 301

38 Métodos de cxrapolación. 307

33 Ecunianes de orden spé y ae de caciones difrecials 313
510 Estabilidad 324

3.1 Ecuaciones diferencial gas 334

3.2, Rena de métodos y de software 342

6 Métodos directos para resolver sistemas
lineales 344

61 Sistema de ecuaciones nales 345
62 Enrucgi de poo 399

63 Aleta ie € mers de maces 370
64. Determine de um mate 38)

65 Pain de maces 208

88 Tipos espece de mares 198

87 Resta demos y deste 413

Contents wi

7 Métodos Iterativos en el álgebra
matricial 417

LA Normas de veces yd amics 418
72. Vectores y valore canteros 420
A]
1A Estimaciones de er y inane erro. 454
15. Emo del gradiente snjgnde 465

76 Reseña de modos y de ste 481

8 Teorfa deta aproximación 483

Aron der por tien cuado 484
Plon ortogonales y aprosimacge por iin curados 476
Polos de Cocer y cconomiación de a src depres $07
Aproximación mediante la función nacio! 517

‘Agora polnomi! iponombtes 529

Truformadas idas de Four 537

Reset de métodos y de programas de pie 548

Q Aproximación de los valores
característicos 550

91 Álgebra cal y ares ceactrisicos 551
92 Meo dela potencia 60

93 Mad Honeholéer 577

94 Ario OR 388

95. Reseña de meiden y programas de cómputo $97

10 soluciones numéricas de sistemas de
ecuaciones no lineales 600
101. Pan jon por ocio de veis res 402
102 Moo de Newton 611
103 Mél eu New 620
104 Men dl dscemo nb ido 624
103, Moos de homotopy de mic 633
106 Reseed métodos de programas de córpuo 633

wi

11 Problemas con valor en la frontera para
ecuaciones diferenciales ordinarias 645

11 Flim pr ne 646
112. 54 método del pen pa poem ines 653

113. Métodos de een fits para los problem sen 60
MA. Métodos de deonis fits pra problems mo Hare 667
115 tdo de Rayleigh 672

116. Reset de meinen y de programs decómquio 688

12 Soluciones numéricas para las ecuaciones
diferenciales parciales 691

121. Povacions diferenciales pace elas 4
rechne diferencias parcs pac 704
cine emis parcs pri. 718
‘Un indi tid de comemos finn 736
Rosa de tn de programas de éme Tal

Bibliografía 743
Respuestas a ejercicios seleccionados 753
Índice 831

Prefacio

Acerca del texto

Hemos elaborado ete materia para una serie de cursos acerca dela cora y aplicación de
las técnicas de oroximación numérica, Ed discado sobre ido para estate orienta:
dos a ls matemáticas, ciencias e ingencra que han concluido su curso de cul en
«encata Será de uid est (amiarzade con ls Fundament del álgebra de matices
y la ecuaciones diferenciales, aunque en el texto presentamos un material nroductorto
“cuado par ests temas, de modo que estos cursos no son prerrquisitos

Las ediciones anteriores de Andis numérico se wtiizan en situaciones muy variadas.
Fin algunos caso, se ent el análisis matemático en que se bas el desarollo de
técnicas de pronimación y no los propios métodos; en tros, e énfasis fu ala Imena.
Asimismo, e br se uiliza como referencia Básica para cursos iniciales posteriores a la
licenciatura en programas de ingeniería y ciencias dela computación; como base para un
examen de actuaría en métodos numéricos, donde es común el estudio autodidacta; y en
‘cursos de análisis introductorio impartidos en universidades itemacinals. Hemos tata
“o de adapta cl libro esto varios tan diseno in comprometer nuetr pop.
nal;

Ofrecer una inmdncción à les técnicos modemas de aproximación: explicar cómo.
por qué y cuando se espera que funcionen: y proporcionar na base firme para le
tudo posterior del análisis mamérico y el cómputo cie

bo comieno suficiente material para un año complot de uti, aunque tal vez
Los lectores lo licen sólo para un cuño de un semestre. En es lapso, ls estudiantes
aprende a ideüficr qué problemas requieren métodos numérico para su solución y ven
ejemplos dela propagación ( dfuión) del eror que puede ocur al apliaros Además.
reconocen cómo proximas con precisión las soluciones de problemas q
resolver con exactitud y aprenden écncas de ctimación de cotas (o ln
las aproximaciones. El resto del texto ire como referencia para métodos no considerados
en el curo. El tamiento de un ño o um semestre © comisete con Is prop del
‘Cas todos os concepts el texto se ilustres mediane ejemplos; eta eich coni-
ne más de 2000 ejercicio prod en elas que abarcan dende aplicaciones elementales

x Prefacio

delos métodos y los algoritmos hasta generalizaciones y extensiones de a tora Además,
Jos conjunts de ejercicio incluyen muchos problemas de aplicación de diversas áreas de
la ingeniería, asi como de las chncis fies, de la computación biológicas y socials. Las
aplicaciones elegidas demvestan en forma conca Cómo e pueden aplicarlos métodos
mumdeicos en situaciones rele,

Eten varios paquetes de sofware paa realizar clcuios matemáticos imbicos. De
sos. predominan enel medio académico Derive, Maple y Mathematica Las veniones =
colares de estos paquetes están disponible à precio razenabls y funcionan en la mayo.
ía de lus compaadoras. Aunque existen diferencias importante entr los paquetes, ato
en desempeño como en preci, tados puede realizar operaciones comunes de lu y
Algebra

El hecho de contar con un paquete pars l cálculo simbólico puede ser may dl enel
studio de las técnicas de aprorimacién. Los cultos de la mayor pate de nuestros

cálculo simbólico. Además, para muchas Kenicas numéricas, el análisis del error enge
‘cota una derivada ordinaria parcial de orden seperior de una funció, lo cual puede ser
una tarea tios y poco instructiva curado se dominan ls técnicas del culo. Las de
‘das se pueden obtener rápidamente en forma srólica y un poco de ingenio permi
ue un cálculo simbolo ayude también e el proceso de acuacidn.

Se gie a Maple como paquete estándar debido al uso generalizado, pero Derive ©
Mathematica se pueden susitircon sólo ligeras modificaciones También, ve agregaron
ejemplos y ejercicios donde se ice a impresión que un sitema de álgebra por computa-
¿oca pra tae heneficionSigificlvos y se analizaron los métodos de aproximación
que usa Maple cuando no ex posible resolver un problems de manera exacta,

Novedades en esta edición

La sépuima edición incluye dos nuevas secciones importantes. El método del gradiente
conjugado precondciondo se agreó al cpítal 7 para proporcionar un tratamiento más
‘completo del solución numérica de los sistemas de ecuaciones lincals, Se presenta co-
‘no una erica de aproximación heraiva para resolver sistemas lineales postvos defi
ox. De esta forma, es paricularmene dul par aproximar I solución de sienes dispenos
de gran tamaño.

Enel ap 10 «e añadió una sección sobre métodos de homotopía y continuación
st proporcionan una nica muy dit, queen fechas recientes ha low mucho la
steven, para aproximar ls solucione de sistemas de cusciones no linces

“También se añaden en todo el libro grandes listados de código Maple. pues los evi
sorescomidearon dt ua característica en la sera edición. Hemos actualizado odo el
«código Maple a aversión 6, que cs la más reciente. Las personas famiirizadas con nucs-
tras diciones anteriores von que casi odas ls páginas mejoraron de alguna manera. Se
actualizaron y revisaron ls referencias y se han agregado nuevos ejercicios, Esperamos
que todos stos cambios le parezcan benéficos para la enseñanza y el estudi del análisis
rumérico: la mayor part de ellos han sido motivados por cambios on La resentachn del
material auestros propios estudiantes,

reco x
Otra modificación importe en sta edición es un sii en Iteret® en
Hip a ana fires Numerical: Analia

In ewe si colocasemos programas actualizados conforme cambie e software, así
como respuestas à lo comentarios realieados por usuario del libro, Tambien podemos
Agregar nuevo material que podría incurs en ediciones posteriores, en la forma de archi
Vos PDF que pueden ser consultados por os usuarios,

Esperamos que eto ample la vida de la séptima eden, la vez que mantenga ac
tua el material

nm cei neu cd Asi, es ca di o ae pes
cg meo pues is canbe ec

Algoritmos

Como en as ediciones anteriors, e proporciona un algoritmo detallado y estructurado sin
«listado del programa para cada método en el testo, Los algoritmos aparecen de foma
¿ue los estudiantes puedan codiicaros, sun con poca experiencia en programación

Los programas para ada algoritmo están escritos en FORTRAN, Pascal y C. Además
los hemos codificado por medio de Maple y Mathematica, así como MATLAB, un paque:
te de software ampliamente tira pea aplicaciones del lgeeuinnl Esto debe gara
Fa que se dispone de un conjunto de programas para la muyor pate de Jo sistemas de
<ómpao,

Por medio de los algoritmos ss obtienen programas que daa os resultados correctos
para los ejemplos y ejercicios en el texto, pero de ingún modo se intentó escribi sotwn-
vo profesional de carácter general, En particular, lo lgoiumos no siempre sn eserios
de una forma que conduce al programa más ec en téminos de requisitos de tiempo
almacenamiento, Cuando ocurre un conflicto entre escribir un a of exvemadamen-
le eficaz y uno algo diino que ilustre mejor ls caracteres importantes del método,
e opa por lo segundo.

Acerca de los complementos en la dirección www.thomsontearning.com.mx

Ea el to, el lector encontar información sobre ete libro y podr, además, consultar
los archivos electrónicos de los algoritmos que aparecen enel texto (e distiios forma:
tog), Para cada algoriuno hay un programs €, Fortran, Maple, Mathematica, MATLAB,
y Pascal y paa cada sistema hay varios programas. cuya aplicación depende dela ver
sión del software que se emplee: esos programas se cjemplifean con un problema del ex-
Lo de modo que el usuario pueda resolveco en el lenguaje de su eleción € identifique
la errada (INPUT) y la salida (OUTPUT); éstos pueden también modificarse para re-
oler os problemas, Las entradas y salidos son calas mismas en ada sima de
programación.

xt Pre

Los programas pueden sortes e una computadora que posca los sistemas operai-
vos MS-DOS, Windows 0 Macintosh Sin embargo, se require un software apropad,co-
mo un compilado para Pascal, oran, C, algún sistema algebaico para computadora
(Maple, Mathematica o MATLAB). El lector encontrará ses subdirectris para ada len-
nie y los archivos complementarios.

“Todos los programas est en archivos ASCII y hojas de cálculo; y pueden modifier
se mediante un procesador de palabras, capaz de crea un archivo estándar de ASCII (de
los Mlamados "sso texto”)

Los archivos README se presentan en formato ASCII y PDF. y se incluyen con los
archivos del programas, de manera que los sistemas de programación puedan ejecuar en
forma individual

Sugerencias para un curso

“Análisis numérico está dictado para que los profesores puedan cleir entre os temas, ast
‘como el nivel de rigor teórico y e énfais en ls aplicaciones. En concordancia con estos
propósitos, proporcionamos referencias dealladas para los resultados no demostrados en
«el texto yla aplicaciones utilizadas par indica a importancia práctica de los métodos.
Las referencias son las que tienen mis posibilidades de scr halladas cn las bibliotecas de
las universidades y se actualizaron para reflejar la edición más reciente en el momento en
(que este libro se imprimió. También incluimos citas de arículos originales de imestita-
ción cuando consideramos que el materiales accesible a nuestros lectores,

En el siguiente diagrama de Majo se indican los prerrequists de cada coptuo. La
‘ica desviación de et diagrama se describen la ota al pie de página, al inicio dela
sección 34. La mayor pane delas secuencia posibles que pueden generas con este dis-
grama, los autores ls tlizaron en Youngstown State Univesity

Ronn!
E

1] Be

E)

[1]:
ee

EE

Paie EU

Agradecimientos

Nos sentimos muy afortunados porque muchos de nuestros estudiantes y colegas non
han comunicado ss Impresiones acer de a ediciones anteriors de cue ibn. Todoses-
tos comentarios fucron tomados en cueta y se procuró incluir todas Las sspeencias
condes con lo priocipis el libro: asimismo, agradecrnos a todos aquellos que sc han
mado un tempo par contactarnos informarnos de mejoras que podemos hacer en ver
sones ponterors.

En particular. queremes agradecer el esfuerzo de a siguientes personas:

Glen Granzow, Maho State University
José Miguel, Universidad Peruana Cayetano Heredia, Lima, Pet
John M Neuberger. Nonhern Arizona University

LG. de Plis Harvey Mudd College

‘Agradscemos cn patcuat a nuestro amigo y alguna vez alumno, Jim Daglama, de
‘Ball Se Univer. Jun estuvo de acurdo en revisar arplamen ea edición y nos
ayudó aacuaizas las secciones de ibaa y software, Es muy grafica vr el de.
sarrollo de matos estudiantes en su prolesión,

‘Ota persons que se desempeña bien en su presi, aunque de manera may lina,
‘ex nuestro edi Gary Os gerente sobresaliente de nuestros proyectos y gran amigo en
lo personal, Extataremos en gran medida su dirección y apoyo, y aprosecharos la opor
idad para deseark lo mejor en su promo rei de Brooke

Igual que cn las ediciones anteriores de et bro, aprovechamos la ayuda de los ex
radians de Youngstown State University para preparas la séptima edición. Nuestra hi
Asiste para eta cición ue Laurie Mariel, ala que agradecemos su trabajo También
queremos expresar noes gratitud alos colegas académicos y administrative de Yaungs-
town State Univenity por damos L oportunidad y feciliamos los medios para concluir es-
te proyecto,

Por último, quisiéramos agradecer à quienes han wlizado y adoptado Las diversas edi
ciones de Anais numerco en esos años Es maravilloso aber de tatos estudiantes y.
venes profesores que utilizan nuesto litro en su primer encuentro con el estudio e los
métodos numéricos, Esperamos que esta ediién conde eta tendencia y apoye el gusto
delos etuanes por el análisis numérico. Si sted ene sugerencias para mejorar el ma
teria que puedan incorporarse en las próxima ediciones del libro, agradeceremos sus co-
‘mentrios en las siguiente dircctons de corso electónico:

Richond L Banden
burn malte
À Douglas Pures
[ais math do

CAPÍTULO

1 Preliminares
matemáticos

Es prmers cursos de quie inreduce ale del gas el,
v= er,
ap reins I presión Pl volumes Y, la temperatura 7 y e ó-
trade moles N den pue “ea” En et enc sa cone
tante que depende dl lema de meda
Sope ques raza dos eperimentes para comprare
tae con lmiemo gas en cada cas, En el pier experimento,
Pe t00atm, 0100,
Naomi, R= ac
Pe et day dl a els price que temperatur dels
wi

(1.040.100)

7 = FE = O ms = 17°C.

Al medic La temperatura del gas, vemos que la temperatura real es
15*c.

2 CAPÍTULO 2 + Pitimiares matemáticos

Luego, repetimos el experimento con los mismos valores de R y
A pero se Incrementa la presión por un factor de dos y se reduce el
volumen por el mismo factor. Como el producto PY es el mismo, la
temperatura prevista aún es 17°C, pero ahora la temperatura real
el gas es de 19°C.

Por supuesto que se sospecha de la ey del gs Ideal, pero antes
¿e concule que la ley no es válida en eta situación es necesario ext.
minar los datos para ve sel error se puede atribuir a fs resulta-
(des experimentales En caso afirmativo, podríamos determinar
precisión necesaria en nuestros resultados experimentales para ga-
rantizar que no ocurra un error de eta magnitud.

El anis del error que surge en ls cálculos es un tema impor-
tante en el undllsis numérico y se presenta enla sección 12. Esta
Aplicación particular se considera en el ejercicio 28 de exa seción.

Este capítulo contiene un breve repaso de temas de cálculo cle
mental de una variable, necesarios en capítulos posteriores, junto
‘con una introducción a la convergencia, lands del error y la res
presentación de los números en lo dispositivos utilizados para la
realización de los cálculos.

11. Repaso de cálculo

Los conceptos de mie y consinuida de una función son fundamentales en el estudio del
cal diferencia,

Definición 1.1 Una función definida en un conjunto X de números reales ias el límite Len xy denota
do por
ln fey = La

si, dado cusiuiee número rel € > 0, existe un número real 8 > Oral que Lye) = £1 <

6 siempre que xe Xy O< [xl < 6. (Vene la figura 1.1) .
Definición 1.2 Sca una función definida unconjumo X de mimeros reales y 1, € X. Entonces es con-
naa en as
Jin f= Ji
La función es continu eae! comjumo Xs es continua en cada número en X. .

12 paso de cleo 3

Figura 11 |

CU deno al conjunto de funciones que som continuas en X. Cuando X es un inter
valo de erecta ral, se omic los paréntesis en eta notación Por ejemplo, el conjnto de
todas ls funciones conúnsas en el imervalo cerdo [.b] se denota Ca)

Elimite de una sucesión e números reales o complejos se define de manera similar.

Definición 3.3 Sen (s,)z., una sucesión infinita números rales o complejos. La sucesión (1)z. ie
e cl ne «(converge 14, para cualqier «> O, existe un enero positivo Mal que
Ta, = al < e sempre quen > Me) La notación

lims= 0 mr cuado no

significa que la sucesión (x), converge ax .

En el siguiente teorema se relacionan os concepts de corvergencia y coin
Teoremo 1.4 Si es una función definida en un conjunto X de números reales y x X, entonces las si
guientes afimscioes son equivalente:
2 fos continus en

bo SI (x.y en cualquier sucesión en X que comerge a, entonces
im Ka) = Se .

Supondremos que son continuas ls funciones por considera en el análisis de los
métodos numéricos, pues Ete es un requisito mínimo para tener un comportamiento pre-
decile. Las funciones discortinuss peden interumpies en los puntos de interés, lo que
Puede causar dificultades a imenar aproximar una solución a un problema. Por lo pen
fa los supuestos más laborados acerca de ura función conducen mejores resultados de
“aproximación. Por ejemplo, una furciô con gráfica uniforme se comporará, por lo gene-

Definición 1.5

Figura 12

Teorema 1.6

Teoremo 1.7

CAPÍTULO 1 + Prises metio

ral. de manera más predecible que una en forma de sra. La condición de suavidad sb:
a enel concep de derivada.

Sea una función definida e un intervalo aber que cotine ax, La (unción es dere
rable en pai
10-109

“=.

Say = im

existe. El mer fx es la derivada de fen x, Una función que tene derivada en cado
mer de un conjunto X ex derfable en X.

La diva em ya pen erecta ungen gende fen J)
como se muestra en la figura 12.

| taste sn pentane Ho)

no
Î es rs
Sia función fes derivable e 1, entonces es continua ex, .

EI conjum de tds las funciones que tienen derivadas continuas en X se denota
¿000 el conjunto de funciones que tienen derivadas de todos los órdenes en X e deno-
ta C-U) Las funcions poinceniles, racionales, trigonométricas, exponenciales y log
ímicas están en C(X). donde X consta de todo los números par los que estén definida
las funciones. Si X sun intervalo de la oca ra, ne omilende nucvo los paréntesis ener
ta notación.

‘Los siguientes toremas son fundamentales en a deducción de métodos paa la ei
mación del ere. Las demostraciones de estos teoremas y de Tos demás resultados sn re
ferenca a eta sección se pueden encotrar en calque texto de esate

(Teorema de Rolle)

Sajona que fa Cla] y que Ser derivable en (a). Sila) = JU) entoces existe un
número € en (a,b) al que '() = 0. (Véase la figura 13) .

14 apse deco 5

Fgura13

Dan 4 pone

Teoremo 1.8 (Teorema del valor medio)
Sife Cla, bly fe derivable en (a,b, etonces exit un número € en (a,b) al que

po LULU, (reset pue 14) ‘

Figura 14

Teorem 1.9. (Teorema de los valores extremos)
Sie Ca b entonces existence € [ab ales que fe) 5/0) 5/0) pra td x €
1a D Aden ies detal nda), stone Js nero, Y aparecen en loser
A de la bin donde a ana (Vesela figura 15) .

Como se mencionó en el prefacio, cuado sea adecundo usaremos el sitema de ge

tra por compatadora, Male. Los sistemas e álgebra por computadora son les para la
derivación simbólica y el trazo de gráfica. Ambas tecnica se ostra e el ejemplo 1

Figura 15

EJEMPLO 1

CAPÍTULO 1 + Pelis motendtios

Ohm

Determine mé, ol pora

Ju) = 5 eo 2

en los imevalos (1,21 y {05 1
Primero warmen las capachadesgrifias de Maple, Para ene acceso al paquete
de graicación se scribe La instrucción

swichtploce) 7

‘A comimación aparecen ls instrucciones del paquete. Se intoduce la definición de fal
‘scribe

La respuesta de Maple es
Jam S cosa) ~ 24500 20

Para graficar fen el intervalo (0S, 2, we la insración

ploe(t 20.8

La gráfica aparece como en la figura 1.6, enla cual se puedeo determina as coordenadas
de cualquier punto sobre la räfic al ave el apuntador del ratón a punto deseadoy opr
ini el botón ingicro. Eta encase wll paa estimar las inteicciones con los jes
y los extremos delas uncon.

"Completas el ejemplo usando el teorema de valores extemos, Primero, comsidere-
‘mos el rtrvao 1,2]. Para cbtener a primera derivada g = fe sere

varedift fs xb7

la respuesta de Maple es
a: + 12 seni2e) = Au cout)

Figura 16
Logo, podemos resolver) = 0 pra 1 = + = 2, com la instrucción
com lo cual e cine 1356229874, y e calcula (1388229874) media
Como JU) = — 3809329037 y fi) = ~0241008124, tenemos, pra el inte
11,2 aloe máximo de (2) = “0 241008124, como se muestra col figura 17, un
Figura 17

4

8 CAPÍTULO 2 + Pinions metemos

5675301338. Por tanto,

valor mínimo aprocimad de (1358229874)
Ira as8220874 | = 5615301338.

ints, 1500026 = 2esen 2c]
‘Si atmos de resolver 46) = 0, para D. x 1, vemos que al introduce
Maple esponde con
folve(~12 sen(2 ~ Au cos (2.2.3.1)

Jo cual india que Maple o pudo encontrar una solución en 05, I} Si graica y, verá que
0 hay soluciones en ese imervalo, y el máximo ocurre en un extremo. Por tanto, / uo.
case anula en [05,1], como se muestra en la figura 18. y como /(.5) = 1860040545 y
J) = 3899329037, tenemos

msn, [5.08 2e~ 2e sen 2e] = [p(y] = 339329037. .

Figura 18

El otto concepto Psico de cálculo que usaremos ampliamente e a integral de Rie-

Definición 1.10 La integral de Riemano de a función fen el itrvao [2] sel siguente init, si és:

Figura 19

Teorema 1.11

14 Rose deco 9

Sonde los nero fos stsacen a x SS, = By A 22 à
par toda (= 1.2... my 2 se lie de manera arbitra en elintenalo Us...

Toda función continus fen [a,b es Riemann-integrble en La, 6. Eo nos permite
para fines de cálculo los puntos, uniformemente disbuidos en [ab]. y pra car
= 1, Ense caso,

Pros 25 ap.
dende ls números que auecn en la figura 1 como ona, 6 + À
vr

mer es una generalización del teorema del valor medio para integrales

(Teorema del valor medio ponderado para Integrales)
Suponga que fe Cl, B.que I integral de Riemann de exit en (a. D] y que gl) no
«cambia de sign en [a]. Entonces existe un minero em a,b al que

sen a= so fra .

‘Cuando gl) el crema 1.11 sel dl valo medio para integrales gue proporco-
a el valor promedio de la función fen el intervalo a. b] como

i
Finca

Vase la figura 1.10)

10 CAPÍTULO 1 © Primos motes

Figura 110

ral Le

Porto general. a demostración del corema 1.1 90 se da enum curso isco de cca-
lo. prose puede encontrar en la mayor part de los texto de anliis (use, por ejemplo,
IF. p. 162).

lotro teoema que necesitremos y que normalmente no se presenta en un curso bi-
sco de cálculo se deduce al aplicar de manera sucesva el eorema de Role af... Y
por álimo, a fr

Teorema 1.12. (Teorema generalizado de Rolle)
Suponga que /€ Cl, b] es n veces derivable en (a,b). Six) se anula en los + 1 núme.
ros ins... & en [a ], entonces existe un número cn (a,b) al que Ve)

FE siguente teorema es el de valor intermedio. Aunque su enunciado parece razonable,
la dementraci et fuer del alcance de un curo usual de cálculo. Sin embargo, puede
encontar en la mayor pare delo textos de análisis (xése por ejemplo, (Fa p. 67).

Teorema 1.13 (Teorema del valor Intermedio)
SifeCla bl y K es cunlquie número entre fa y f(b. entonces existe un número € en
(a. bya que flo) = K: .

En la figura 1.11 se muestra una lección del número garantizado por el torema del
var intermedio. En est ejemplo hay tras dos posibilidades.

Figura 111

ce un

Po)

ar

14 Rosso deed u

EJEMPLOZ Para mostrar que. — 26) + 3° ~ 1 =O ine una solución en el interval [0,1], cous
dere f6) = 8 = 20) + 38 = 1, Poesio que

so) -1<0<1=f0)

y Fs comin, ltorema del valor intermedio indica que exis un número xen 0 < x <
Fparaelques = 20430 = 10, .

Como vimos en el ejemplo 2, el eorema del valor intermedio sive para determinar si
existen soluciones de ciertos problems. Sin embargo, no proporciona un método fiar
para determinar aos soluciones. Estudiaremos este tema en el capitulo 2.

El limo teorema en st repaso de cálculo describe ls polinomios de Taylor. Éstos
ve usan ampliamente en el análisis numérico.

Teorema 1.14 (Teorema de Taylor)
Suponga que fe Cr, 1), que fr" existe en a, 6] yx, € (a,b) Para cada x € ja 8),
existe un número gx entre y al que

JO = PO) + RO,

donde
ng po
rn =) + ra = a OOO Go a
2 pe
= Lo a
,

Fa ete cas, P.(s)es el a-ésimo poligomt de Taylor para respect a 2. y Re) sc
laa el término del residuo (o error de truncamiento) asociado a Pe). La serie if
ita cena al oma el imite de P(x) cuendo = = es La sere de Taylor para fen tor-
0 2.4 Enel caso x, = 0.elpolisomio de Taylor suele llamarse pollnomio de Maclau-
rin, yla ere de Taylor se nombra serie de Maclauin

El témino error de runcamiento s eee al roc impot a usar una suma tur
ada, iia, para apeoximar la suma de una serie ini

EJEMPLO 3 Determine (a) el segundo y (0) ler polinomio de Taylor para fx) = osx respecto a
23 = 0, y ue estos polinomios para aproximar os O1. () Con el tercer polinomio de

Taylor y su témino de residue aprnime [cor de
Cow € C= (Bel crema de Taylor se puede aplicar a cualquier n 20. Además

Simon f= coun Jens y far

2 CAPITULO à + Pano aos
dencia ge
Om. for For y ro
à Penn =23: mot
corn t= tte Lun go,

donde ft) es un mero entr 0 y x. (Véase la figura 1.12)

Figura 112

Paca «= 001, el polinomio de Taylor y el término del residue son

1 901) sen $
001 = 1 Loon? + L001) en ge)

= 099995 + 0.18 X 10-* sen Kn.

onde 0 < fx) < DOI (La Para sobre cl 6 en 0.16 e us pars indicar que ele dígito se
pit de manera indefinida) Puesto que sen ¿| < 1 para toda x, tenemos

cox 001 - 0399951 = 0.18 x 10-%,
de modo que la aproximación 0.99995 cock
tox de cor 001, y

(0.999983 < 0.99995 — 1 X 10-# cor 0.01 = 099995 + 18 x 1074
< 09999517.

La co de eorex mucho mayor que el ror el, Esto e debe en pre ala pobre
‘cota que usamos para [sen £()|. Se paede demostrar que para todo valor de x, tenemos
[sen = [x].Como0 = § < 091, podíamos ware echo de que sen Anl = 001
co a (ema para el error lo que produce la cota 0.16% 10%.

or lo menos con los primeros cisco dig

1a Repose de culo 5

h. Comof”10) = 0, elterce polinomio de Taylor con érmivo de reiduo entorno à 2
de

spi
ca t= Lats Le fo

done 0 < Gis) < 001. El polinomio deapoximació es el mismo ya proxima:
ión ai es 09995, pro sora tenemos un much jor uan de ec,
Puso que [eos = 1 pars toe mor

cos Gt] sh 42x io
Le cs Ei] = JE OU) = 42 x 10

De modo que

Jos 001 ~ 0999981 = 42 x 10-1,

090004090058 = 099995 = 42 x 10-10
5 con 001 50995 + 42 x 10-1

Soo.

En las dos primeras parts de ete ejemplo se lan ls ds obeivos del ani
sis numérico. El primero es encontrar una aronimación. que lox polinomion de Taylor
proporcionan en ambas panes. El segundo es determina la precisión de la aproxima»
ción En este cso, el tercer polinomio de Taylor fue mucho más Informativo que el
Segundo, aunque ambos dieron la misma aproximación.

€. Usamos el tercer polinomio de Taylor para obtener

Konsum A (cu ou

fees Eu de

Loup + L cos Ela) de.
wre fare IA

Portanto,
O A
fo 1- Lon

Se puede determinar una cota para el error en xa aproximación a paride la integral
del término del residuo de Taylor y el hecho de que [cos Ei] = 1 para toda x

[frontal =

fF # loos Et de

2

shl'zarsixon

1 CAPITULO à © Preliminares matemáticos

(Coma el valor real de esta integral es

cos xd = sen] = sen 0.1 = 0099833417,

+ ero real para cta aproximación es 8332 % 107%, que est dentro dela cota.
de ere .

Es elejemplo 3, umbién podríamos sar un sistema de Algebra por computadora. Por
metio de Maple, se define a como

nt recon:

Maple nos permit colocar vari enunciados en un engión y war ls dos puntos para lie
min ls respuestas de Maple. Pr ejemplo, obtenemos el tercer polinomio de Taylor con

nod rstaylor(f,x00,4)1 plisconvert(e3, polymer à

La primera pan calcula l sere de Taylor con cuatro términos (grado 3) y el reiduo de
salado respect ax = 0. La segunda parte comviet la serie 13 en el palinamio p3 al
climinar el residoo. Par obtener 11 eifas decimales enel resulado, inrodocimos

y evaluamos (001,000 y [f(001) ~ 4001 con

m

so produce y, = 0.01) = 099995000082,» = PD) = 099995000000 y
(1000 ~ man = 210°,
Para oben nagra sir a L qua 112 idiot

ott os Jo

Pen

Las instrucciones para las inegrles non.

derrieabstai-a?):
«om lo cual se obúenen ox valores

Pals) de = 0099833333933,

ofen à x

con error 083314 x 10.

En ls incisos (a) y () del ejemplo se mucsra cómo dos técnicas pueden produce la
‘misma aproximación pero con diversas garantis de precisión. Recverde que determinar
las aproximaciones e sólo part de nucto objetivo. Una parte igualmente importante es
determina al menos una cota para la pccivión dela aproximación

11 pas de ede 15

CONJUNTO DE EJERCICIOS. 11
Demo qu ips cocos nel menos na ación e os ino ads
© sms 28 921 m0, [02,031 9112.13
2F-mx=0 ple
© Remy re (20904
Alano 1a
2. Determine ies qe conten soluciones ls ies evans.

© 828-0300
A a+ one + 40m + 101-0
2. Dem que e aa l menos na ve co trado ados.
AN]
Arab (Ot
© Summer te din 112
& Mme Due (UN
e Dermine mi, | pr as sgn fc itera
= far u
x men. sn
© fono PA
a a
5. Untreue line or de all ar maras que a ás de) =
12's be Females cocine una e, impor lao de art k
6 Suponga ue fe Cab] y q) exis nta by Dee qe sia) # Opa ta xen
da bene puede esr o nono un names pen Ja Jl que) = 0
STA
Determine segundo primo de Tal.) noo 4, = 0.
1 Cale ROS) y eo ral sar POS) ara aria 05).
© ende.
4. Rept eins cone iam dein
2. Obten re plz de To pas faci) = VIT Venton aig = 0
‘Avot VS, VOT, VIE y VIS wands Po. cle o ers es
9. Dem sp pi de Typ afc fi = ee mo = 0

Use POS) pura prima 05) Determine us oa spri pura el eme 005)
',05)] pu ma el mala pr lee y compl cone emo ra

1 Caled wa cota pr temo I) sf] a ar Pe) para rima fon ein
‘eral 1

€ Apronime 6 depor meti de PA) de
ae un ee per punt or ne) medie [| y competa comet
1%. Rep el je 920 = =
I. Determine el re polinomio de Tye ys pura fi J) =
Ra

ins eco à

16 CAPÍTULO à + Primes metoméror

me Use PO.) pur aprunmar (D) Determine una cta superior ur el er 103) =
PS] pe meso de la (mal ur e er y compár cn el or eo

1% Case na cta par eme JU Pa war) ura aprisa) ee
terio 103,1)

© Aprosi JU usando [Pad de

4. Cala un cua opere para ror en (6) mece | [A dl, y cé con

12 Sean fn) = 26000 = 2 ya
Determine el re pln de Tye Py) y cio aes 08)
seta mal et ere en ewes de Tyo y determine cone nc pr
pu em 1/04) (Oa) Cae eme a

& Determine el ut polo de air) ch par ri 04

& Conlara mr nel toma d Taylor eerie wa et api a em
Ve PA Cake

19, Caella pio de Tip #4) pra oc) arten une 0
=. Cale on o sper prt D Plon 3 1 = 04
Do Arocine [id wand ("Pac
© Deine une pei panel err mda" Pd.

Aone 102) wand (02) cle leer

14 Ueno dere de un pmo de Tyke pura mare
sent apa lr e F

15. Use an polen d Tyler pet pr apoio" ona pin de 10-4

16 on) = sr) ic Male pander pene,
cer oline de Macia 5.

2 y vna oa pas le = Pol eo,

17. Sn) = ne +2 ce Maple pus determinar o spin.
El polinomio d Tylor Ps) an desmonta 4
A emma Iso — Pol po € 2 € 1
€ Bi pina de Malas Py) pura.
© menos jin ~ Pi pond 2 s 1
©1240 ari 40 mejo de que Pi) oni af?

AR San 00) = 1)" y 2 0. Determine din pons de Tal Ps pa en
ino, Demi u na peso pr que Pe penne 07) hata 10°
pro

18, Seat = 32 = 0. Determine amo po de Ty par Js) pe
A Determine u lod nc pr qe pene») sta 10 [005

20. Obra msi plod Macari Pf pr) = aa

21, El pollo Po) = 1 = E wer para aromas [cos xa [- Deere
a va para er maui.

22, Elo plomo de To par ma funk 5 conoce vs como un plo
mode po al sumo, que spin "mejora Jon de xy
= ple porqe adm e desen.

IR Detemin el polaomiocundr que mejo sona una fico crade à =
areca gen e = enel ecuación y m 4e 1 y JD = 6

pias men

14 Resse deco 17

23, Pan ee la gd 25 desea pln de Macha pu Laos
torres arias cea owe B=. Dan ca paseo en

24 afin recono
co E [eta

proporciona a probidad qe cue de aa serie de mayor et a menos de ui
ads ea meda, poned que los ensayos en um dsc normal cun mea y
eich etnia V 22 Ena gral pardo era en min de fncions elemen:
tale, de mando que deb war en ic de grund.

nee sr de Maclin para co eli de mar que

ña
ae

De La función ero Lumen pued enges e a orm

a Ged ES

Vers qu It ds sees coince pars = 1, 2.3.4. Sugerencia Ue laser de
Macao para e
+: Use a serie del iio) par aproximar e) hna 10
4. Usee mismo ero de minos del io () para apo cr) co a sei del
incho 0)
Bape porqué hay dictados al war serie de Incio) par prime eo.
38, Una fasion; lo DI» satis un condición de Lui on coman de Lips
ena. parc x.y fa tenemos Lf) = F001 = Lx yl
a Demi que face ua concn de Lipshitz com constan de Lipschiz en on
incl a) eneoees fe Cla 6)
1% Dem que ene un derivada acotada cla 2) pr La once tc un
Sonden de Lac con coma e Lise Len a.)
€ Dur ejempl de una unción que coin en un intervals cera er queno ati»
{aga una condición de Lice lineal.
24. Supenga quee Cla BI que a y 2 ed en [a 0 y que ey y cy son contes peas
Demente que exist un nero fees al que

al) au)

p= St

37, Seanfe Qu, bi pen lier ino (a.
= Suponga que fp) 4 0 Demeure que exit 8 > 0 a que fad Opar ia ren
lo An Bl donde a — &p + Bes sabsonu de la
1. Suponga que Up) = Oy en > Dun valor dado, Demeure que exis 3 > 0 al que
Ga pura oda eno — &p + SL do lp = A + des abort de la Di

18 CAPÍTULO 1 + Pins motendies

12 Errores de redondeo y aritmética de una computadora

La arama que eliza una calculadora o una computadora es distinta de a asuméica de
nuestros coros de álgebra o Clculo, Pr experiencia esperaría que siempre tuvera
‘ome enunciados verdaderos cons como 2 + 2 = 4,44 = 169 (VI? = 3, En la ani
ética computacional comin, siempre se tendrán ls dos primeros pero no siempre etre
cer. Para ver por qué, debemos explora el mundo dela arlumdlca cum un número finito.
decima.

Ea nuestro mundo matemático tradicional pemitimos la existencia de números coo
una cantidad ¡nin de cifras. La aritmética que usamos en este mundo define à V3 co-
mol nico número positivo al que al mulipcare por xf mismo proce el entro 3. Sin
‘embargo, en el mundo delas computadoras, cada número representable tiene slo un nie
mer fito, jo, de cifra. Esto significa, por ejemplo, que solos números rcioale (y
0 odos llos) se pueden representa con exact, Puesto que VÍ noes racional, se da
una prestación aproximada, una cuyo cuadrado no ser À, aunque a bastante cerca
9 à 3 como para que sea sceptuble en la mayor parte dels situaciones Luego, en mu
hos casos, est amética de la máquoa es sasacura y se apeucba in más, aunque a
Veces et discrepancia puede generar problemas.

Los errores de redondeo surgen al usar na calculadora 0 computadora para cálculos
con números reales, pues la atria de a máquina sólo utiliza números con una can
ad isa de cifras, e modo que os cálculos se realzan únicamente con representaciones
“aproximadas de los nümeros verdadero. En una computadora comén, sólo se usa un sub-
‘onjunto relativamente pequeño de sitema de meros rales par representris atodos.
Est sutconjunto conene so numeros racionales (tanto polos Como negation) y
almacena a pare fraccionaria, jet con wna parte exponencial

En 1988, el Insite for Electrical and Electronic Engincns, IEEE (Into pas I-
A grticros Electrics y Electrónicos) pubis un informe amd Binary Floating Point
Arhmeti Standard 754-1985. Se especificaon los formatos para ls precios simple.
cb y extendida; en general, os fabricantes de microcomputadocasuilizan estos ex
ases para el hardare de punto Notas. Por ejemplo, cl coprcesador numérico de las PC
liza un representación de 64 bts (its binario) para un número real, llamado real
largo. El primer bt es un indicador de signo. denotado como s Le sigue un exponente de

11 be, denominado característica y ana [ación bieaia de 52 bit, rada mantl-
sa, La hase para el exponente es 2.

Como 2 dígitos binarios comesponde a ente 16 y 17 digitos decimales, podemos
suponer que o número representado en et sitema ene al menos 16 cifras decimales de
precisión. El exponente de 11 dígitos Daran proporciona un intervalo de 04 20 - 1 =
2047. Sin embargo, e uo exclusivo de enteros posiivos para el exponente no permitia
una representación adecuada de los números con magnitud pequeña, Para garanızar que
stos números también scan represetabes, e resta 1023 de la característica. de modo.
que el inevalo del exponente es en realidad de -1023 1024.

Para ahomar espacio de almacenamiento y proporcionar un representación única de
da número de punto Notnte se impone una normalización. El uso de este sistema pro-
porcina un número de puno Mota dela foma

C2 +p.
Considere, pr ejemplo, el número de máquina
10000000! 1 1011 10010001000000000000000000000000000000000000000.

12. Eros de ronde y amé de one computdere 19

FE bit de a extrema izquierda s cero, lo cual indica que el número es pont Los siguen-
tes I bits, 1000000001, que da la cratrtica, son equivalentes al número decimal

CORA 10044241 = 1027.

La parte exponencial del números, or tato, 2051-08 m 24, Los últimos 52 Wits espe
‘flan que la mans es

OOOO ONO)

Fa comecuenci, este número de máguina representa con precisión al número decia!

a)

nz + dp

Sin embargo, el siguiente námero de máquina menor es

6 10000080011 10

NORD,

guiente número de máquina mayor es
‘10090000011 1011100100010900090070000e00000n0000n000000000000001

Esto significa que nuestro número de méquin original represent no sólo a 27.56640625,
sino también mitad delos meros reales que estin entre 2756640625 y los dos nú:
meros de máquina más próximos él Para se preciso, representa a eulquier nümero rel
a interalo

{27.546404239999998223643160599739535322 1893310546875,
27.$6406250000001 77635683 002504646778106689453125).

El menor mümero posiivo normulizado que puedo representarse tine ceros en odas

panes, excepto ene bit del exremo derecho (donde tiene un 1) y es equivalent a
2-006 (1+ 2-3) 10,

y el mayor tiene un ceo a pincipio seguido de unos; es equivalent a

+= 2-8) 10,

Los múmeros que aparecen en los eflelos y tienen una magnitad menor que 2-1

(142° producen un desbordamiento de la capacidad minima o subdesbordamiento

>. poe lo general, se igualan acer. Los números mayores que 212%. (2-29) prodacen

un desbordamiento” y hacen que se detengan lo cálculos.

El uso de gts binarios ende a encubri lsdiiulades de cálculo que aparece al
usa una colección finita de núrsros de máquiea per representar atodos los números ea
les Para examina estos problemas, supondremos, para mayor caida, que ls Rümerus
de máquinas representan enla forma de punto fownte decimal normalizada

Oddy id XI, 154,59, y 02429,

pura cada = 1,2... Los números de esa forma se llaman números de máquina de.
‘Cimales con k digs,

de RT: cece mon i crm eo y men

20

EJEMPLO 1

Definición 1.15

EJEMPLO 2

CAPÍTULO à = Pubininoes motemátcos

Cualquier mero positive real dentro del intervalo numérico de la máquina se puede
ommalizar como.

y" Odd thera» X 10
La forma de punto Notare de y que denotamos fs bien terminando a mania dey
en cifras decimales, Hay dos formas de realizar esto, Un método, llamado truncamiento,
ons simplemente en cortar los digits yd … para obtener

J) = 04d dy XA,

El ours método, Nlamado redondeo, sama $ X 10-41 ay y luego trun el resultado para
obtener un número de a forma.

JG) = 088... x 10%
Asia redondear sd, 5, sumamos 1 ad, para obtener IX s decir, redondeomos ha:
cia arriba, Sido, < 5, simplemente truncamos todo excepto los primeros k dígitos; al, re
dondeamos hacia abejo, Si el redondeo es hacia abajo, etonces 4, = d, para cada } =
1,2... Sia embargo, los dígitos podrían cambiar sel redondeo es hacia ariba.

El número tiene un desarollo decimal infinito de la forma = 3.14159265... Escrito en
forma decimal normalizada, tenemos

me 0314159265... x 10!
La forma de punto ote de x con un truncamiento a cinco cifras es
Pia) = DIS x 10! = 3.1415

Puesto que la sexta ia del desarollo decimal de es
tn redondeo a cinco cis es

forma de punto Mota de con

Ha) = (031415 + 0.00001) X 10! = 3.1816, .

Bl eo que resulta al susitir un número por su forma de punio flotte ese error de
redondeo (sin importar si se determinó por truncamiento o redondeo), En la siguiente defii-
ción se describen dos métodos para medi rores de upoximacia,

es una aproximación de p, el error absoluto es |p - p*| y el error relativo es
TE, siempre que p # 0. .

Considero eros abo yrelatv al representar p por pen el ejemplo siguiente

1 = 0.3000 x 10! y p* = 0.3100 x 10), el ero absoluto es 01 y el ero reatvo
£6 0.3353 x 10"

Definición 1.16

Tabla 14,

12. Era de andes y amenée de une computadora a

he Sip = 0.000% 107 p*
ro relativo es 0.3353 10

€: Sip = 0.3000 10% y p* = 0.3100 x 10% el enor absoluto es 0.1 x 10 y el error
el e de muevo 0.3393 X 10-1

(0.3100 x 10 el error absoluto es 0.1 10-+y el

ste ejemplo muestra que ocune el mismo error real, 0.3335 X 10-1, pra una
gran variedad de cores abroltos, Como una medida dela precisión, el er absoluto
puede eva a confusiones, en tanto qe el error relivo ex más sigalietvo, pues toma.
en cuenta el tamaño de var .

La siguiente deiicié lien e ror relativo como una medida dela iras signi
cars de precisión para una aproximación.

El número p* aproxima a p con # cifras significativas sires el mayor entero no
negativo para el cual

<sx 10
lol .

Es la abla 1. e iar la naturales com
var, para divesos valores dep, la mínima cota superior de |p = pt, que se denota
máx p = pr. cuando p* coincide con p hast cuatro ira sgcativas,

» je os m 1m sm me tan

mann | owas ones om ETE à

De regreso ala representación de ls números en la máquina, vemos que /1) como.
punto ont para el número y iene el ero elaivo

vost)

‘ise usan keifrs decimales y el nuncamient par a represenacié en la máquina de

y=04

dern 10,

1-1 een |
Fe | aaa DS

Como dy # 0, el valor mínimo del denominador e501. Le a cota superior del name
dor. En consecuencia

= 10-4

PMO) oD
y | Or

2 CAPÍTULO 1 + Pimiers motemdties

De muncr similar, una cota paa el ero relativo al usar la alimdicn de redondeo ake:
fran es 08 x 10-11, (Véase el ejercicio 24)

‘Observe que as cots para cl error reaivo al sar a arinática con À fa son inde”
pendientes del número repesentado, Exe resultado se debe ala manera en que se distr
‘yen los números de máquina a 1 aro de La recta real Debido La forma exponencal
se la ceracterica, ws is misma camidad de números decimales de rina pars repre»
sentar cada uno de os intervalos (0.1, 1]. 1,10] y {10 100. De hecho, der de los limi
ex de la máquina, la camiad de números decimales de máquina en {10 101] e cons:
ante para todo enteo.

Además del representación imprecisa de los ndmero, La arta realizada en una
omputadora noes exacta. Laacunética implica el manejo delos dígitos binarios median-
te diversas operaciones de corimieno, o lógica. Como la mecánica rea de esas opers-
clones no cs pertinente mesa presentación, discfaremos nuestro propio enfoque de laa
ética de una compatadora. Aunque muera aritmética no drá la imagen was, bastará
para explica los problemas potenciales (Para una explicación dela mecánica real el ec»
vor deberá consular eus de ciencias de la computación más orientados alos aspectos
técnicos, como (Mal. Computer System Architecture.)

Suponga que se tienen las representaciones de punto tant IC) y 51) para los d=
meros reales xy y, y que ls símbolos @, ©, ©, @ representan ls operaciones de suma,
resta, mulipliacion y división en la máquina, respectivamente, Supondremos que se usa
na aitmética con un ero init de cfrs dada por

1D y = JUN + MO 183 =D XA),
FOUND. 19 y = HU) + HO.

Esto comeponde a realizar la armée exact con ls representaciones de punto flotante

dex y». pra luego comerl el resultado exacto e au representación de punto tan

le on un mer ita de cf.

a aritméica de redondeo se leva a cabo fcilmen co un sistema de álgebra por

computador La insucción de Maple

>igiter=t

‘nace que toda la armée se nedondes a ifs, Por ejemplo, SII) FH) se realiza

«on armées de redondeo a ias mediano

eval (evaif eva)

La ejecución de la armen de tancamieno a cifras es mds diel y requiere una serie

de pasos oun procedimiento, En el ji 27s esti ese problema.

EJEMPLO3 Suponga que x = 3, y = $ y que se usa el truncamiento a cinco cifras para los cálculos
rmticon donde intervienen y . En la tabla 1 2 se enumeran lo ales de esas ope»
racines de po computadora con IC) = 0.71428 x 1? y IG) = 033333 x10. m

Taba 12 Open Reads 7 7 Eo
E CET ETT]
Or RIA OO OS
Ly IA OSO OOO
yOx ORD IO INT OSTIXIO+ 0267 x 104

12. Eros endende yartmdkc de un computadora a

Com et máximo error relativo para ls operaciones del ejemplo es 0267 x 10-4 La
aimée produce resultados atsatoros con cinco cif Soponga, in embargo, que
fambién tenemos os números = 0714251, = 997659 y w= 0.1111 LU 10e mo
do que flu) = OTISZS X UP, 249) = 098765 15 y lu = O LIMIT x 10 + (Ele
mes estos números par star algunos problemas que pueden sug co la arumética
‘cuando se ine una cantidad fila de cire)

Fa la abla 1.3.5 w produce un er absoluto pequeño, pero un or relativo gran
de. La división poster entr el número pequeño 17 la mulúplicación por el número.
grande y aumenta clero absolut, sin moducar lero eltivo La suma de los adme-
os grande y pequeño u y v produc un cor absoluto grande pero no uno lao simil

Tabla 13 CC Re eee
102 MXN OTRO am GIE
MONDE oma RA SS one
Omer MXN OSI aus one

AI ORSAI OO OO GES x 104

{Uno delos los cálculos más comunes que producen errores tien que vr con la can
estación de cifras sigificativas debido a a eta de námeros cs iguales. Suponga que dos
mémeros eas Iguales xy y, con x > y, even las representaciones de cifras

LU O dy pe 04% 10%

INN = ad on Bp By 10%
La forma de puto Moa dex = yes
Lisle) ~ 19) * 04,

Cp 8X1,

donde

A ~ Obs Br

El ndnero de punto flotante utilizado para representar y tene lo sumo kp cias
signifiaticas. Sin embargo, en la mayor parte de los disponivos de cálculo ax y se le
“asigncta À cts de modo que las limas p e arulrin serán asignadas al ara. En
todos los cálculos posteriores con — y e tendrá el problema de contar con A pcifas
significativas, pes ua cutena de cálculos no es más precisa que su pane más de.

Si una representación con un mero fio de cifras o un cálculo introduce un emo,
ste aumenta al dividir entre un número con magniud pequeña (o, en forma equivalen,
al mulipliar por un número cam magi grande) Suponga. por ejemplo, que el núme
10 tiene la apotimación con un número fito de cifras + À donde el or Bsurge por

la representación oun cle anterior Suponga aber que dividimos enue e = 10°" done
den > 0. Entonces

(ae
Unes

En n(fO)- c+ ox i0,

24

EJEMPLO 4.

EJEMPLOS

CAPÍTULO 1 = Prine matenstior

Ast el or absoluto en esta aproximación. 1 x 10% e el enor absolu orinal |],
malilicado pore fate 10

Sean p = 0.54617 yq = 0.S4601. Fl valor exacto der = pe ges r = 000016, Suponga
que La resta se realiza con una asic de cuatro cifras. Al redondear p y ga cua c+
fas, tenemos p* = 05462 y 9? = 05480, respectvamente,y 72 = pe ~ 4 OOD es
la aproximación de cua cifras de y. Como

lowoie - 0.00021
1000016!

=028,

+ resultado slo tiene una cifrasigniiativa, en tanto que Ia precisión paa p* y 4° fue de
cavas, sespoctivamente
Si se usa el runcamiento pra obtener as cuatro citas, ls aproximaciones de curo
cifras de p q y son p* = OS461,q* = 03460 y o = p> = q* = 00001. Con sto se
obiene

Lo que tabién produce sólo una cifra de» isa, .

La périda de precisión debida al era de redondeo se puede citar a menu median-
tela reformulación dl problema, como se muestra en el siguente ejemplo.
La Fórmula cuadra establece que las rales de ae + be + € = cuando a # 0,500

AVE AV
y. .

ay

Con aritmética de redondeo a cw cifras, consider eta formals aplicada a a cuación
2 + 62.105 + 1 = 0, cuyas aes son aproximadamente

x, 7 001610723 y à = 620890,

En eta eceac6a, b s mucho mayor que dee, de modo que el numerador en el cácuo de
4 implca la rr de números cas iguales. Como

VP = VELO = EII = VIE = 1006 = VIER.
2.06,

‘una mala aproximacléa a4, = 00161, co el enor relative grande

| -oot61s + 002000]
[-ooien!
do, el cálculo de x, implica la suma de los números casi iguales -b y
0 00 presenta problemas, pues
6210-6206 _ 1242

Mi) ER RE anno

ETS

EJEMPLO 6

Tabla 14

12. Erre de reonde y eñímética de una computadora 25

Mine el ror relativo pequeño

16208 + 62.101

marx 104
T-s2081

Para obtener una pronimación mis precisa con redondeo a cuir cifras para se
‘cambin la forma dela formula cuadrática mediante le racionalización del numerador:

Se VE (VE), 0 te
Vda)” amb = V

lo que se simplifica como una Fórmula cuadrticaaltemativa

ie
ur an
EVE
Al usar (1.2) tenemos
1 ER = oni,
100 "a 2
con el pequeño emo relativo 62x 10-4 .

La técnica de rcionalizacin se pusde aplicar también para obtener I siguiente fm
la cuadeáda alternativa par x:

= as

DV N
Est forma se utilizar si b cs un múmero nego. Sin embargo, en el ejemplo $, el uso
¡incorrecto de esta fórmula para x no sólo produciría L esta de números csi iguales, sino

también la división entre el resulado pequeño de esta rest. La imprecisión que eta com-
Binacidn produce.

2000 200
j0 = 6206 ” 101000

fx) Es -5000,

Wien e gran erorelatvo 19 x 10-4

‘La pérdida de precisión debia a un eror de redondeo también se puede reducir eo
<enando ls cálculos omo se muestra en el siguente ejemplo.

Evalie fs) = = 616 + 325 + 15 en = 471 con un armée deus cits

Fa a tbla 1.4 se dan lon resultados intermedios delos cálculos, Verifique con Cukd-
o estos resultados para separas de que es coto su concept de aritmética on un m
mer fito de irn. Observe que ls valores truncado rs cifras sólo conservan ls tres
rimers. sin ningän redondeo: estos valores difieren de manera sigiiatva de Jo val
res redondeados aes cifras,

Ea am Em IA SIDO iso
Trois (recam) A7 321k he 159
Tr ii round in 22 ww 1 184

26

CAPÍTULO 1 + Pme mctemdicas

Exacto: 404.71) = 104487111 ~ 13932301 + 15072 + LS
= 1426089
Tres cf (uncamiento} ATI) = (104, ~ 134) + 180) + 15 = 135;
‘Tres cias (rodondeo) JT) = (0S. — 135) + 15.) +15 = 134.

Los eres relativos para fos métodos con rs cis son

14263999 4 135

ae |~ 085, par rumcamieato

4.263809 + 134

an | 006, pararedonico

Como método alemaivo, f(x) se puede escribir de una manera anidada como
Anm = 618 + 328+ 18 = (GI LS
Eat de como resaltado

res cifras (runcamicoto): ATI) = (471 - 61)A71 + 324671 + 15 = 142

y una respuesta con redondeo a tres cfrs de 143. Los nuevos eres relaivos son

Tres cs (ruamieto}

= 14260809 + 143

Tees cis (donde: | HER

0.0035,

El anidamient rujo el error relativo para la aproximación por truncamient a menos de
10% del original. Para la aproximación por redondeo, la mejora ha sido más crásica: el
sor en ee aso se redujo más de 95%. .

Los potinonos siempre den expresarse en forma anda ams de realizar exakuier
lan, pues ex forma minimiza! número de cálculos acético. La disminución del
error enel ejemplo 6 se det ala reducción de ls culos, de cuatro muliplicaciones y tes
unas a dos mulipliccions y res sumas. Una forme de reducir los emres de redondeo
«consiste en reducir el número de culos que pueden producir eres.

CONJUNTO DE EJERCICIOS. 1.2

1. Cal el mr acto y lo rito en e sproimachne de p medians 9.
A prepa CET
peep ene a paVipte ian

12 ores de bodes y ota de ue comptes a

e pre 1 pe tor p= 100
bpm Bip = 38900 ho p= 9. Vite?

2 Determine mayor iver que det star para aria con u rr ea de
‘lo uno 10 par cda alr
ur be e vi au

2 oponga que pete sro ap con mec lato 410 sum 10". Determine el mé
ir tral que be esp pas ca a de.
2 1 oo Par uw

4. Reale os pins cios () em forma exact, (i) meine una arm de wc
net es is yi con una arme de redondeo ate ci.) Calcule seo
Fa ess ha) y

5. Un md de add a es is pr esses culos. Calcule lora
ely leo alv con lalo esco dia pro meno ic ina
= mom & 1-00
© 02-03%) = 119 a (11-027

6. Rep jack Sando wn armée e des uo ci
7. Rep ji $ con una amé de acm a es cia.
8. Rep coco mean na armé de mcamen uno is

3. Los prime re ricos owls la sec e Maclin para ocn ro tangent son
AO + (SW Cal ero cio y me elo e ls sigues sine
‘oes de aol polinomio en verde fron ro ten.

a denft)emmfi)] à ml)

10. E mer es une define como = Sag (Und, onde = D
0 y01= 1. Ca eer ok y er lavo e ls guientes grins de

a gi EL

ma sa

po Esmas

a cut

Ue wn métis de ent cu cis ar ean 0.0,

€ Roemplcecada fusión ténor vt polo de Macri y el

4. E valores.) = — 1989998. Demi el eo en ara los valores oh
tendon enn in LL

(
qj
1

2 CAPÍTULO 1 + Primes motemáticos

n.

Es

1
x

m

sea

2 Calella, ale
Bo Use una animé de monde rs cis para calas 0.
menacé en us toe plone cta pc
EL valor eal e 01) = 200323800, Does el mor clavo ar ls valore ce
os en los non () y EX

‘Use na années de rodeo cur las y as (Salas del eme 8 para determine
las prsimuciones más pci dels u de ls ult ecuaciones cur. Cl

A Lasa,
e ta Beet ste
© ME OE FOO HO Las cs ons 0
Rep ji 1 con tds de amet ca ci.

Vel er et Lo de 6 a pur comia dca ee opinen
éme mga pn te

O lot O RR

À NO LORENA

à ON ACLARAR
Deri m ial des mer ea pris yey ma in
nr dd ee seni 8

Seren qn don an 30) eu ne nec y Send
fpr dan ics agenda

x»

„an
vr

o Dennis qe ums fórmulas son algebraica cometan

% Valor on dat ty 2) = (136,120) UY) = (19,46) yl ati de ron
alar ordenada igen de abs fer. Cal méd e

Et polinomio de Tala de grado para) = es Kg CH. Use el polinomio de Taylor
Ge gre our y la sui de aan a ss para écrin mue arme
ida deo"? median cado un els méd pene.

es een

Es Un valo aponimado de e ona cis comet ex 674 x 10 ¿Cad faa)
00 ars preci Por gue?
sea ea dos pue dos
o,
onde 6, tn dado, e pue ever en mino de xy y como se:

12. Eros de redonde y ntm de un computers »

a Lunar 6990) = 14.20
Bitar + 1220 = 01370
22, Repel eric 19 con us aii de vucumino curo cif

1. Deuce ue cia de aide de polinomios crise e jem 6 también
sine pura ear
Ki = Lot age = Mes 122 15,
a Una arti de rond as cfa, co soporto e quee = 462 be
bo de gue = (cf pur cua JU 5) sept lo ado cn ico)
€ Rete iis) ero prime aie los celos
4. Compre ls aroimacioes delos css) y 6) con el resaltado ral hasta ec
sto = 10
22. Un paie rectangle Ino e agde 3,4 y Sem, medial eine
rs crane. {Cle So ls mejores os nee Supe para vue de pa
po y cales purs ls de pre
23. Sea PA) pina de Macrae ga para faci ac agent. ur modo de
cima cme cl valo den caro prs seni demo

[Sugey < 8. moce 10) = 0, OSI 7 Sees fl) =
AN

re el mero de om pura li shojo de A bj un cojo co m
à oponga q o números decimals de pin tal forma
ddr, PET EPETENEE TNA ENT
¿Cube el mayer alo dem aa qe fie ool
Fr cer edn dein u co Sb

30 CAPÍTULO 1 + ina motemétes

Domne qu (ias pte ars
Va)

Ole tapar aed mug cate ai pnts vane me
{omen forme no an aro sep
&. Use tures e 09 vn amie de oncnino curo pr cal

mero de manos posible de $ ara en una Baraja co 52 cas. Calculo los ere
ay aire.

26. Sea Cla una fan sya dard exi ea. Soponga ques rar fen fy
€ a), poro ede calar el vr el) lar primado ing ee valo ea
defen + e deci JU) = fl +0.

Une ler del vals medio pra xr el or abe 11,9 = Jt) y leo
velo LG) = [I/O |: upland quel) #0
Re ie 50107 ag I cl Ls cts de os ces abu y rai para
Klone Danger
€ Rep clin icon = (8 10-9 = 10
7. Eigene primo de Maple mca un mer de past tate xen as.

cae (erune e010" (Era) MOT)

Venue qu el rociero lucia pure signs valores

es hos
e t= as
Paper Poren La 0006622
Eo 000683," =2 hor moon 2

38. nel je inca de cue capo se desc um experimento fico enr aa np
ras de un ga bajo pre. En et placé, tramos que P = 110 ambien, Y =
(C100 mW = 0620 mes y R= OOR2DG Al despeja em ey del ps sal eos

HIS K = 17°C.

Encl abortos determinó qu aj as condicions la temperatura Tera de 18 Cy
¿ue dupa a prs y re volum aa ma, ea igual 19°C. Supe que
Ine datos extn männer com ua presi gol al me de eis dd y deme
qu ls clas del laboratorio etn den de las ota de resis de a ey el a ¡da

13 Aorta y comorenco a

13. Algoritmos y convergenda

[En el texto estaremos analizando procedimientos de aproximación lamados algorinos
relacionados con series e cálculos, Un algoritmo es un procedimiento que desc, sin
ambigiododes, una serie finita de pasos realizar en un orde específico. El objeto del al
orto es poner en prática un procedimiento para resolver un problema o aproximan a
tuna soli del problema
Uaremos un seudocódigo para describir ls algoritmos, Ese seudocódigo especifica
la forma dela entrada por proporcionar y la forma dela salia descada. No con todos los
procedimientos numéncos se obtiene una salia setfotoria para uno entrado elegida de
manera arbivaria. Como Consecuencia, en cad algoritmo se incopora una (nica para
detenerlo, independiente de la técnica numérica, para evi ciclos infinitos
En ls algoritmos se usan do símbolos de puntusción:
Un punto () indica el fin de un pas,
+ pto y coma () separa las tareas dentro de un paso.
Las sangras se usan para idicar que los grupos de enunciados deben considerarse como
una sola cidad.
Las técnicas de formación de ciclos en Jos alorimos son controladas por un conta-
dor, como gor ejemplo.
Pas Ln
Esublezca a= a) + 42h
© por una condición, como
Mientras 1 <1 ejecute Pasos 3-6
Para permi un ejecución condiciona, usamas Las construcciones estándar
Si... entonces

Si... entonces
‘Los pasos en los algoritmos siguen las reglas e a consuución esucturada de pro-
ramas. Los hemos organizado de modo que haya pocas dificultades para traducir el Su
Soeddigo a cualquee lenguaje de programación adecuado para las aplicaciones científicas
A los algrimos se es añaden comentario escritos en cunivas y dentro de paré»
sis para diinguidon delo enunciados delos gone.

EJEMPLO 1 Un algorismo para calcular

32

EJEMPLO2

CAPÍTULO 1 + Primes mtemdties

donde y ls meros oe Xy Es dados, e describe como sigue

ENTRADA ere ty
SALIDA SUMA = sx,
Peso 1 Esablezea SUMA = 0. (Ineali el acumulador)
Peso 2 Parai=1,2..... Naga
far SUMA = SUMA + x, (Agrega el siguiente término)

Peso 3 SALIDA (SUMA);
PARAR.

Emo polinomio de Tor ara) = In des e om a, 1er
Po a,

y el valor de In 1. con echo cifras decimals es 040546511. Suponga que queremos
Falla el valor mimo de Necesario para que

Ins mas] <10-*

sin usar el término del residuo en et polinomio de Taylor, En los cursos de clculo
aprendimos qu ses una ser aleman con lím A cuyos émis miayen
en magnitd, etonc Ay la Néima suma parcial Ay 32. a, diferen po menos que la
Mgmt del (N + 1) ¿sano Urmino; e deci,

14 = ul « las)
spe gare eect

ENTRADA valor, tolerancia TOL, amero máximo de itenaiones M.
SALIDA grado N del polinomio oun mensaje de er.
Paso 1 Esublezca N = |
SUMA = 0,
POTENCIA y.
TÉRMINO = y
SIGNO = =1. (Se usa para ejectar la alternancia designor)

Paso 2. Miowas N = M relic los Pasos 3,

Paso 3 Fine SIGNO = ~SIGNO. (Altera lo signet)
SUMA = SUMA + SIGNO - TÉRMINO; cumule los términos)
POTENCIA = POTENCIA +4;

TÉRMINO = POTENCIANN + 1). (Calcula e siguen término)

13. Agron y comorgenca 3

Paso 4 Si |TERMINO| < TOL entonces (Verifea la precisión,
SALIDA (Ni:
PARAR. (El procedimiento no éxito.)

Peso 5 Fin N = N +1. (Prepara la siguien leración)
Paso § SALIDACEL método falls); (El procedimiento no aro die)
PARAR.

La entrada de nuestro problema es x LS, TOL = 10 y tal vez M = 15. Esta elcción
de M proporciona una cota superior para el numero de cálulos que estamos dispuestos a
realzar, reconociendo la posibilidad de que alle el algoritmos se excede esta cota El he
cho de quel said sc el valor de N oe mensaje de err depende de La precisión del di.
positivo utilizado para realizar os elculos .

[Nos interesa elegir métodos que produzcan resultados precisos según la ircunsun-
las) para una amplia variedad de problemas. Uno delos rerio que siempre tataremos
‘de imposer sobre un algoriumo es que los cambios pequeños en los dacs iniciales produz-
‘ta oor comespondictes en Jo resultados finale, Un algoritmo que satisfaga exa pro.
Piedad es stable, en caso conta, Inextabl, Algunos lgoritmos sólo son estables para
‘ents elecciones de datos iniciales cos se ls llama condicionalmente estable. C
‘ackrizaremo ls propiedades de enable de o lgoriunor sempre que sea porible
Par continuar nuesro análisis del crecimiento de los eroxs de redondeo y su rela
ción con la eibilidad de un algoiemo, suponga que se inoduce un error de magnitud
E, > 0 en cietctaa de os cálculos y quese denota por E a magnitud del ero después
‘2 operaciones sucesivas. Los dos casos que surge con ás recuenein en la pr
einen como sigue

Definición 1.17 Suponga que E, > 0 denota un or inicial y E, representa la magnitud de un error des-
pués de operaciones sucesivas. Si E, = Cal donde Cer una constant independiente de
m Senn ds quel ram de or lina SE, CE, pr ana C> 1,
entonces el creciicoto del no se denomina exponencial.

Normalmente es inviable el crecimiento lineal del error y, cuando € y E, son
pequeños, por o general son aceptables los resultados. Por tr lao, hay que evitar el
«recinto expooencial del err, pues el mimo C* coxe incluso para valores de a rele-
"amen pequeños. Esto conduce a imprecisiones inaceptable, sin importar el tamaño de
E, Ea consecuencia, un agoriune que euhibe un crecimiento lineal del eros es esa,
peroo asun algoritmo con creciniento exponencial del error. (Véase la figura 1.13 de
la página 34)

EJEMPLO 3 La ecuación recuniva

fine a solución

34 CAPÍTULO 4 © Patines matemdices

Figura 113

reno especie
+ neo

rro
OPER eed
PORC RTE

Sipo= 1ypı = Í,tevemos ey = 1 y ey = 0, de mado que p, = (y para toda n Surongs
qu wea una arcade redondeo a cinco ci par calcula lo términos de In sucesión
dada por esta ecuación. Etonce Ay = 1.0000 y p= 0.33333, lo cual require modifica
Tas constants a6, = 10000 y €, = —0.12500 % 10°%. As que la sucesión (Jr. geno-
rada ent dada por

3, ~ 10000 (1) = 012500 x 10-507,
y leno ero,
Pa ~ ha = 0.12500 x 10°09,
cree em foma esponecial on. Est e ea en a precis extra después
delos primers términos, como se muestra cn a bla 15
or o ado. ecuación de rue

Pe Pep Po TES

13 tn yon ss
murs [X
ame an
$US an Du
aa ee)
isa ren
amare
A AA
a ST enr see ye
Tiny $n ts emana en ac
a
5, Lown 08
giana a
: 2)
newer 2}.
ceo nen ne a said arena
Tabla 16 Po calculado coreo Error relative

9 mx osx
1 assim os
E A
3 000% to! o1mmox 1010

4 Cor “ox 0

5 eur Zommmxı ans
6 “ox OO

7 “MX ID 0307 o

1 ooo 23 10

Los efectos del error por redondeo se pueden reducir mediante una arimética de o.
den superior, como La opción de precisión dobie o mile en a mayor pare de las com
putadoras. El uso de In arimética de doble precision presenta Las denvenajs de más
po de cómputo y nos elimina el crecimiento del cor por redondeo, sina solamente
se pospone hata realizar otros cálclos.

36

Definición 1.18

EJEMPLO 4

Tabia17

CAPÍTULO 4 + Prior moteméticos

{Un método para estimar el error de redondeo consist en usar armétca de intervals
(es deci. comenta os valores máximo y mínimo en cada paso). de modo que, a final, ob-
tenemos un intervalo que contiene al valor real. Desaforunadamente se necesitara un
intervalo muy pequeño para un ejecución razonable

Puesto que se usan con frecuencia las técnicas eraivas relacionadas con sucesiones,
esta sección concluye con un breve análisis de cierta terminología usada para describir la
rapide a la que acu la convergencia cuando se emplea un ica numenca. En genera
uisiéramon que la técnica comergiee lo más rápido posible. Se usa la siguiente defini-
ción pera comparar las razones de comergencia de varios métodos

Suponga que (8,7. e una sucesión cuyo valor de comergencia es cero y que (9,
converge a un número a. Si existe una constatepositiva £ tal que

entonces decimos que {a}, converge a a con rapidez de convergent
presión se lee "O mayuscula de 8," e indica escribiendo m,

axial, pean grande,

Aumque a definición 118 pete comparar (a)
sj cas odos as situaciones usamos

on una sucesión arbitraria

[CA

1
Bae

pars algún número p > 0. Por lo general, se tiene interés en el mayor valor dep ta que
2, = a + OU)

Suponga que. para = 1,

‘Ange lin, ua, = Oy lin, à, = Oa sucesión f,) comer en ese imite macho más
rápido que la sucesión (a), usando la aritmética de redondeo a cinco cifras, como se
muestra en la tabla 17.

CN 7 7 7 7 a 7
@, 20ND) 078000 mas 031250024000 mim GI
bn 400000 062500 DE DI IO OMU NGDISS

Sip, Un y, = Me? vemos que
231 inte

wil
ole Att sth sl

13, Alpines y comence 37
de modo que

sovo() y a-0s0(&}

La pide de comergenciade (a,) cero similar a comergencia de {1/] ce:
10, en tano que (3) converge à cero con una raider similar la de la sucesión (a) la
‘val conver mis rápido. .

También usemos la notación “O mayúscula” par describir la rapides de converge
ca de Funciones

Definición 1.19 Suponga que lm, 4) = Oy li, FUN L Si existe una constant positiva Xtal
que

Iam-ul salat. para suficientemente pequeña,

entonces escribimos Fh) = £ + CG. .

Por lo comin, las funciones que usamos para la comparación tienen La fora GU) =
Ir. donde p > 0. Nos interesa el mayor valor dep para el que Fih) = L + OÙ).

EJEMPLOS Enel ejemplo Mb) de la sección 1.1 vimos que el tre polínomio de Taylor da

dels
cont LP = cos Ei

De ete reitado se deduce que

cooks tite 1 oum,
pue cos + Je) = 11 = | cos En ¿Esto implica que, cuando h +0,
cosh + 14 converge a au Hi. 1, cas tan pido com M converge à 0. .

CONJUNTO DE EJERCICIOS 13
tica de wuncaming de we cis
o a +

{A Ue prime
E Loum med es más precio? ¿Fo

ho sebo gon para sumar la seri fa AL 2, em ode inten

2. Bolero se define umo = 37!) donde n= ma} 2: 1 ura # Oy = I
‘Use Land de iurcanieno de cao ci para aclara spice apnée de
ey demi lo eme lo y rito

38 CAPÍTULO 1 + Primes metemáticos

ci reto
ee aha
ar + Aux

A La ei de Mac pur lució ant

ene en 1 < 13 1 yet dad por

Ueto deu ta = pur ia née eros ase que
on se pn pte RAD CIO
lege de programación ua qu el alo srt ea deso
me de u en apa sr dp.
pS
de Bac 31 a mb pu en pu en mapa d A
FN © jon à amen pena le ol q a wear} tar
Pose sep von nf y e cue name ere emos
JL am unmet opin deo ee dee 103
5. Ova ému lar e one St de a id wt = un cn
na rinse mes sep puerta oe
ae

6. Desemiae Lair de comerncade as sipienes seines cundo n= =

« mbat}-0 un + 0

Dati as razones de comernca de as guents funciones cdo 4 =>

coun
a 1 ns
PA ému

Ba ¿Cobras raliicaiones y sus se eceshun pra detras u

domar
Len

bo Mose la sua del inc (a ex un fra equivalent que rara el número de
silos.
Suponga qu seen llama A) = ag + "À + + a + ayy 5, Cora
ve algo pur vat P(g) por medi de una raliplicacón anid.
En em $ dea seis 2 e dan ma asia paras aces y, y da +
ur <= 0. Conan un algun com card ad, y sl 1 ue pera callar
Iss res xy (ue pueden sr igus Complejos congas) made a mer Cada
pura ca at
Coya an ago ya eta e un nero = 1, o mao à 33 0
reo coy ada nl pac (IN LE
12 Sepongn que
“u Lure a,
78 Tres

soma del sigiewe

13 Agoñtres y comrgunco 39

pas «€ À y = 025, Esra y jcute un rro que cule mer de miss
ecos en el mimo igueno dela oui, de mad qu et 1 nuit dera
‘etd de on menos de 10

Be

Suponga que 0 < 4 < py qe a, =a + Oo) Demeure qu a, = a + On 9.
Coma aba co oe valores de Un, / y Ut para = 3,10, 100 1000
Yamal las variaciones en las ma de omergcia een sevens a eda que
Suponga que < 4 < py que FUN = L + OU) Denver que A = L + OX.

bo un ab cow dore de A, M pur 03,0.,001 y DOD yan
lie varckne ens a de comergnca de estas potencias de cuando ende

1, Soporga que cuando ende 4 cr,

Fara Li + ou y Ft + ou,

Sen 96 ntm no las, y dia

Amer + GPU GUd= Flea + Fe

Demuestre ga y= min, mance, cuando ede cera

16 La!

UD = cb + edo un D Gui +h, + our.
són (F,) decia pot Fe 1. Fy 2 Vy Fu E + Foe 2 O Mama ace

sión de Fibonace, Sos manos paces e mir ptr en sachs especies eto
parc pal yor pln o enanas en onenaden en a forma e una expira og
‘ic. Considere am adenda = FE Sopaiendo ue cbr Myf, = 8
Gomme que x= (0 + VSY2 Tate er e ar rx ure,

a

18. a eel 1 + 3 + À + + dere pola mc y = ehem rim

a ación dePionac ambi asa acción

rra A)
Pri rice bla pr Pa

{se Mal cone or pecera por min de a seguido e evt par

Poe quel rs dl inciso (a) e má rio que e dl nin (7

Poe ul reso el cio (0) ovine més rápido que e del coo a)
Qué se cen las la marié snp 67 en verd ova. pra aula ig?

lao cones pues (y, un ei cctade no rc Elite y= 0377215669
ela secesión (y) se lama cow de Ele

»

Une evo pedceminado de Digit en Maple pura clar e velo de para us y,
cs tenon de 10 de y.

Use evoke preteen de 9
et à meno de 10" de y.
¿Qué ocr seu e vale predeterminado de Diem en Maple ara ler le
dor den par que, ef amenos de 10" de y?

ai eo Maple paral el aor e pura que y

40 CAPÍTULO 1 + Primes mutemáncos

1.4. Software numérico

Los paquetes de computación wilden pra aproximar la soluciones numéricas cuán
disponibles en diversas formas. En este libro incluimos los programas escritos en C, FOR.
TRAN, Maple, Mathematica, MATLAB y Pascal con los cuales pueden soluciona los
prsblras de km ejemplos y ejercicio. Exts programas drán resuladossasactoris pa
a a mayor pare delos problemas que necesite resolver, unque xan de os Namaden eo
grumas de propósiv específico. Usa ese tino para distinguidos de ls disponibles
fen las biblioteas de subeinas matemáticas. Los programas en esos paquetes e llama:
inde propio general

Dista e los algoritmos y programas quese inluyen en este Lio, es la finalidad
de os programas de propósito general, ésos ofrecen medios para reducir los emos ati
uidos a redondeo de La computador yal desbordamiento tant dela capacidad mínima
como máxima. También deseriben cl interval de entradas que conducirá resultados con
‘ero nivel de exactitad. Como éstas sn caracteristicas que dependen de la máquina, los
paquets de propósito general usan perimetros que describen Is características de panto
tant de 1a computadora tira par realizarlos cálculos

Par uta algunas diferencias ente los programas incluidos en un paquete de po-
posto general y los programas que empleamos en ct libro, consideremos un algormo,
on el que se calcula la norma euclidiana de un vector X = (jens de dimensión
1. Con frecuencia, esta norma se usa en programas de gran tamaño y Se define como

er re dr CPI VÍ,

de modo que su distancia desde 0 = (0,0,0,0, 07 es VID = 436.

Veamos un algoritmo del po que presenariamos para ete problema.
tiene parámetros que dependan dela máquina n garantía d precision, pero dará resulta
dos precisos "la mayor put de los casos

ENTRADA nx,
SAUDA NORMA,

Paso 1 Tome SUMA = 0

Paso 2 Parai= 1,2... establezca SUMA = SUMA + af.
Peso 3 Tome NORMA = SUMAN?

Paso 4 SALIDA (NORMA):
PARAR.

14. Seftor numérico “1

Es fácil escribir y comprender un programa basado en este algoritmo. Sin embargo, el
programa podria no darla precisión suficiente por varas razones. Por ejemplo, la magni
{ud de algunos meros para ser demasiado grande o pequeña para poder representan
¿con precisión en el site de punto (loan de la computadora, Además, el orden usual de
Les eálulos podría no dar los mejore resultados, oa rutin para obtener La az cuadrada
del software común podria no sr la ms adecuada prac problema. Las cuestiones de ese
tipo son analizada por os discñadores de algoriimos al escribi programas para sofware
de propéat general, Con frecuencia, estos programas sc uilian como subprogramas ar
ra resolver problemas mayores, de mado que deben incoporar conles que nosotros no

Consideremos ahora un algorino para un programa de software de propósito general
ue permita calcular la noma euciiona. En primer lugar, es posible que un componente
4 del vector esté dentro del rango de la máquina, pero no as el cuadrado del componce-
1 Esto puede rue euando algún estan pequeño que 1? suse un subdesbordamieno
cuando agin y estan grande que x eau un desbordamiento, También e posible que
todos los érminos estén dentro del rango de la máquina, pro que haya un desbordamiento
por la suma del cuadrado de uno delos términos ala suma recién calculada,

Com los erierio de exactitud dependen e a computadora utilizada para realizarlos
sus, el algorimo incorpora algunos parámetros dependientes de a máquina. Supen-
a que estamos trabajando en una computadora hipotética con hase 10, con 1 = 4 cias de
precisión, un exponente mínimo emin.y un exponente máximo emdr, Entonces el conjen
o de números de punto tame en esa máquina cont de 0 y de los números de la forma

ISSO, donde EI +10 Hm +100

donde 15 f, 29 y 0% J, 9 para cata 1. y donde emin 5 ¢ ema, Estos
Tessin implican qu el mero pod más psc representa nea máquina
es a= 10", de modo que cualquier número calculado x coal < a provoca un
seraient y hace que x se Igual a cero. El mayor número positho et À =
{= 10°10, y ctaluir número calculado con [| > À produce un detordamien-
to. Cuando hay SUbdesbordamieno, el programa coninda sin ue haya una pérsida signi
ficaia d exactitud Si ocur un desbordamiento, alar el programa

El algoritmo supone que las características de punt tart de la máquina se desc
ben mediate os parámetros NS. Y. Nes cl námero máximo de dato que se pueden
sumar con a menos ifs de precisión, Esto signifies que el algoritmo Waar de caes:
Tar la norma de un vector = (ys 2/30 si n= Para resolver el problema de
»obdesordamiento-deshordamiento, los números no lo de unto Mane se separan en
tre gropon ls nämeren x de peque magne que satisfacen 0 < [x] < y on núme
ros de magnitud media, donde y= Jl < Y y los números de gra mugaitd, dnde

al Los partos yy Ye elgen de modo que nose presente problenas de sube
¿esbondamieno desbordamiento al sumar os números de magritd media y clear al
sanado Al levar a cuadrado los números de pequeña magnitud pued cuir un sue
bondamieno, or lo ual se usa un factor escalar 5 mucho major que I de cs modo (Se)
‘vital bdeshordamieto unque no lo haga Al sumar y eleva al cuadrado los núme
ros de gan magna se puede tner un desbordamiento, de mado que en cue cause usa
un factor de escala mucho meno que para garantizar que (no provoque un desborda:
rien al calcula incorporo cn una suma, aun cuando genre problema.

Par evitar os cambios de escala inecsaos, y Y se eigen de modo que el intr
valo de números de magnitud media se lo más amplio posible. El siguene algoimo es

“2

CAPÍTULO 1 + Premios matendtker

una modiicació del descrito en [Brow, K, p. 47 Éste incorpora un procedimiento para
cambiar a scala de las componentes del vector que tienen magnitud pequeña hast e
contar una componente de magnitud medina. Lucgo, se insicte La escala de la suma
ant y se contin elevando al cuadrado y sumando números pees y medianos has-
la encontar una componente de gran magaitd. Una vez que apazece xa, el algocimo
escala la suma ante y se procedo a cambiarla escala, elcvar al cuadrado y sumar los
ümeros restantes, Supone que al pasar de los números pequeños a los medianos, los ná.
meros pequeños no ecalados resaltan inigiicantes en comparación con los números me
din. De manera sila al pasar de números medianor a grandes, los números medianos
10 escalados sn insignifiant comparas con los números grandes. Así hay que elegir
Jos parámeos de escalamiento de modo que los números sean anulados (gualados à
ero slo cuando realmente sean insignifcaes, Las relaciones usuales ente las caracte»
rístca de la maquina descritas por, 0, A, emi, emá y los parémetos N, 5, , y y Y ap
recen después del agormo

En el algoritmo se utilizan tes banderas para indicar ls diversas capas del proc
de suma. Estas banderas rciben aus valores iniciales en el paso 3. La BANDERA 1 es 1
hasta que aparezca un componente mediano o grande: entonces se transforma en 0. La
BANDERA 2.3 0 mientras se sumen números pequeños, se convient en | al encontrar un
número mediano po pia ez y vuelvo ser al apurcer un número grand. La BAN.
DERA 3 es igual O al principi y se wansforma co | cuendo aparece un número grande
por vez primera. En el pao 3 bin se introduce la bandera HECHO, que es igual a 0
hasta concluir fos cálculos, y una vez terminados, vuelve a sr 1

ENTRADA NES IVA me Lo
SALIDA NORMA 0 un mensaje pertinente de error

Paso 1. Sin =O emonces SALIDA (El euro m debe ser positivo"
PARAR.

Paso 2 Sin = Nentonces SALIDA (El entero nes demasiado grande’):
PARAR.

Paso 3 Tome SUMA = 0:
BANDERA] = |; (Se están sonando los números pequeños.)
BANDERA? = 0,
BANDERAS = 0,
HECHO = 0;
En
Paso 4 Mientras = ny BANDERA = 1) haga Paso .
Paso 5 Si la] < y entonces csublezca SUMA = SUMA + (Sep
Pit
sino cxtableaca BANDERAT = 0, (Se halló un número que no en pequeño.)
Peso 6 Si > rentonces establezca NORMA = (SUMAJVIS;
HECHO = À

si 0 esuibleca SUMA = (SUMAAYS; (Combi la escala de números grande}
BANDERA =

Poso 7 Minas (15 ny RANDERA2 = 1) efectie Paso 8. (Sima de números medio»

14 Seftor numérico 43

Peso 8 Si I] < Y entonces establezca SUMA = SUMA + 53:
Hair
no estbleaca BANDERA2 = 0. (5e ha encontrado un número grande.)
Paso 9 Si HECHO = O tonces
Ud > mentoncesestablezea NORMA = (SUMA,
HECHO = 1
‘bien extaberca SUMA = ((SUMANOs: (Cambia de ecula a os números grandes)
BANDERAS = 1
Paso 10 Mientras (in y BANDERAS = 1) ejecuto Paso 11
Paso 11. Establaca SUMA = SUMA + (sx, (Suma las números grandes.)
mil
Poso 12 Si HECHO = Denis
si SUMA € Ar entonces establezca NORMA = (SUMAN ir,
HECHO = 1
bien establezca SUMA = A. (La noma es demasiado grande)
Paso 13 SI ECHO = 1 entonces SALIDA (La norma es, NORMA)
bien SALIDA (Norma 2", NORMA, “our un destordamieno”.
Peso 14. PARAR.

Las relaciones entr ls características de la máquina , 0, A. eminem y los paré
metros del algoritmo N, 3, $, y y Y fueron elegidas en [Brow W, p.471] como:

N= 10%, donde ey =L¢=242), el mayor entero menor iguala (1-2);
sm 10% — donde e, =L-temde + ad:

S105, donde enema, el menor entero mayor iguala (1 —
paro

yal, donde gelten +1 290%
Y=10%, domde <= Liemdr— V2)

La confiabilidad incorporada e ce algoritmo de propóxito general ha incrementado en
gran medida el grado de dificultad en comparación con el algoritmo de propósito espec
Fico mostrado antes en esta sección.

ist muchos tipos de software comerciales disponibles y de dominio público de
propósito general para el análisis moménco. La mayor parte e os primeros software Luce
ron escritos para supercomputadoras (mainframe); una buena referencia para eto es Sour
ces and Developments of Mathematical Sofware, editado por Wayne Cowell [Co]. Ahora
que la computador de cscruorio se ha vuelto bastante poderosa, e dispone de software
umério comin para ls computadoras personales y caciones de tajo, La mayor par.
te de ete software eu escrito en FORTRAN, aungue algunos paquetes ein escritos en
C.C+ + y FORTRANOO.

En 1971 [WR] presentó algunos procedimientos en ALGOL para el ecu de matrices.
Luego a partir de un paquete desubruinas de FORTRAN basadas en los procedimientos
de ALGOL, se obtuvieron ls ninas EISPACK. Éstas estén documentadas en Jos mamua-
Les publicados por Springer-Verlag como pare de su serie Lecture Notes in Computer

44 CAPÍTULO 1 + Prin matemdes

Sciences (Sm. BI y (Gath Las subrtins en FORTRAN se usan pars calcula valores y
eciores caractericos para una amplia varcdad de matrices El proyesto EISPACK foe
El primer paquete de software numénco a gran escala que estuvo disponible para e domi
mio público y fue La guía de muchos paquetes posteiores. EISPACK recibe muntenimien
do de rely aparece en la dirección bp /www net orgeipac.

LINPACK es un paquete de subetinas de FORTRAN para analizar y resolver siste
mas de ecuaciones ile y problemas inate de mínimos cuadrados. La documentación
de ese poque est en [DBMS] y aparece en p/w. neiborginpack. [CV] de una
introducción paso a paso a LINPACK, EISPACK y BLAS (por sus sighs en inglés de su
rutinas búsics de gra lineal, Basi Linea Algebra Subprugras).

El paquete LAPACK, lanzado al mercado en 1992, e una bblicaca de abrutis de
FORTRAN superior a LINPACK y FISPACK, que integra ets dos conan de algo-
mon en un pague unificado y actualizado. El afiare se reestructr para lograr ma
yor eficiencia con procesadores vectoriales y eros moliprocesadores de alo rendimiento,
“ode memoria compara LAPACK se ampli en profendidad y alcance en la version 19.
‘ispoible en FORTRAN, FORTRANDO, €. C++ y JAVA, FORTRANDO,C y JAVA 4
lo eso disponibles como interfaces de lenguaje 0 traducciones de a biblitecas en FOR-
‘TRAN de LAPACK EI paquete BLAS no forma pate de LAPACK, pero el código de
BLAS se distribuye con LAPACK. El texto LAPACK User's Guide, teren edición [An]
está disponible en SIAM en hp /inww nei orglapeci/l/lapack Ju bm, Todo LA-
PACK 0 algunas de sus tinas individuales pueden oenenc por medi de neti a ne-
Liber gor. net bresarch a com. o ap rw op.

Existe ros paquetes de dominio púbico que sirven para resolver cies tipos de
problemas, La infomación acerca de estos programas se puede ohener por medi de co-
roo electrónico, emiendo el mensaje "help" a alguna de las siguientes direcciones: nl
research acom, ntiorn go, neibaxc no. nelibraci s wow ed. au 0 la ice
cp dicas uune!rescarchlneli, Como akeratve a neh, puede user Xncti para bus
ca enla Dase do datos yobtener el software. Hay más información en el arcu Sofa.
re Disripaon using Neth, de Dongara. Roman y Wade [DRW)

Estos paquetes son muy eícces, exactos y confables. Además. se han probado en
forma exhaustive y su documentación cs fácil de consular Angee estos programas son
pores, ex baena investiga su compalbiidad con la máquina y ler con detenimiento
{ex la documentación. Los programas verifican cs as las comingencia parulares
¿que psa proc cores y Tallas A Final deco capital analizarcnos algas de os
paquetes adecuados de propósito general.

Hon paquetes comerciales también representa lo más avanzado on métodos unér
cos. Por lo general. su contenido se basa en los paquetes de dominio público, pero incl

ales en matemáticas y estadístico) incluye las tnblitecas MATH, STAT y SFUN para
metemáucas numéricas, elastics y funciones especiales del análisis numérico, respec
vamente. Estas biblioteca contienen más de 900 subrtinas disponibles oiginalmenne
en FORTRAN 77 y ahora en C++, FORTRANSO y JAVA. Con ets subrutina se resort
Ven os problemas más comunes de anlisis numérico. En 1970, IMSL se conini en la
primera blotca cientifica de gran escala para ls sopercompuradoros (mainframe). Des.
‘de none», las biblias han estado dispones part sismos de mao que van desde
Jas supereomputadors ha as computadoras personals. Estas pueden adquirir en Vi
sual Numerics, 9990 Richmond Ave $400, Houston, TX 7052-448, con disección eo
Internet Mu rw vricom. Los paquetes se enlregan en foma compilado, com amplia

14 Seftor nombre 45

documentación. Hay un programa ejemplo para cada rutina, asf como información basis
de referencia. Las IMSL contienen métodos para sistemas licals. análisis de sitemas
«arcirísios, interpolación y sprovimación, integración y derivación, ecuscones dife»
renciaes, ransformdas, ecuaciones no lineales, optimización y operaciones básicas con
matices y vetores, La biblioteca comico además muchas ticas de estadía,

FI Numerical Algritums Grup (NAG e fundó 1970, en Reino Unido. NAG ofte-
‘ce mds de 1000 subruinas en una biblioteca de FORTRAN 77, er de 400 subrtinss en
‘una biblioteca en C, más de 200 subruinas en su ble de FORTRAN 90 y una bil
teca numérica de FORTRAN MPI para méquias en paralelo y cúmulos de estaciones de
trabajo o computadoras personales Un subconjunto deu biblioteca en FORTRAN 77 da
NAG Foundation Library) ei dispone para computadoras pesas y vaciones de
trabajo donde el espacio es limitado, La bibliteras NAG €. FORTRAN 90 y FOR:
‘TRAN MPI ofrecen muchas delas minas minas de La biblioteca FORTRAN. El manual
del usuario de NAG incluye instrucciones y ejemplos, junto con una salida muestra para
‘eda una de las rain, [Pb] es una introduce dul para ls ruinas NAG. La biblioteca
[NAG corten ruinas que permiten realizar la mayor parte de las tareas estar de aii
sis numérico de mancra similar a las IMSL. También incluye algunas ruinas de etc
y un conjunto de rutinas gráficas, La Biblioteca se puede comprar en Numerical Algo-
Fins Group, Ic. 100 Opus Place, Site 200, Downers Grove IL 61515-5702, con di
rección en Iniemet ht Ras om.

[Los paquetes IMSL. y NAG ein diseñados pars los matemáticos, cientificos € inge:
eros que descan llamar desde un programa as ubrutinas FORTRAN de alla calidad
¿eno de un programa La documentación que incluyen lo paquetes comercals explica
+l programa metro quese necesita para ar ls rutinas de la bibcteca. Los siguientes
tv paquetes de software son ambiestesindependintes. Al activaros, el usuario teca
nstruceones para que el paquete resuelva e problema, Sin embargo coda paquete permi
te programar dentro del lenguaje de sus intrucciones.

MATLAB os un Iabortoro de maces que originalmente ea un programa en FOR
RAN publicado por Cleve Moler (Mo). El Inhurtorio se hata sobre todo en as su
rutinas EISPACK y LINPACK, sunque sc han incorporado funciones como sistemas
lineales, integración numérsa,tazadores cubos, jute de curvas, optimización. cu
ciones diferencias ordinarias y heamients grficas. MATLAB est escrho acalmen-
le en € y en lenguaje emamblador, y la verdn par computadora personal requiere un
copencesador numérico, La extra ble conve en reat operaciones con mati
«es, como determinar los valores caractersios de una matriz introducida dese la inca
¿e instrucciones o dede un archivo cxtemo modiane llamadas de funciones, Este ex un
poderoso sistema autosuficiente que resalta moy dl para la enseñanza de Álgbra nc
“aplicada. MATLAB ester el mercado desde 198 y puede qui en The Math Works
Inc, Cochitune Place, 24 Prime Park Way, Natick, MA 01760, La dreción de coco.
eleciróaico de The Math Works es infomalbworks.com y la disección en Intemet es
Intp/ wi matar com, EI software de MATLAB est diseñado pars ejecuta en
muchas computadoras. incluyendo las computadoras personales compatibles con IBM,
APPLE Macininh y las estaciones de aba SUN, La version de MATLAB para el esto
lame no requiere un coprocesador pero lo usar en caso que té disponible

EE segundo paquete ex GAUSS, un sitema matemático y estadístico producido por
Lee E Edison y Samuel D. Jones en 1988, Est codiicado en lenguaje emamblador y
se basa en ISPACK y LINPACK. Como enel caso de MATLAB, dispone de integración,
¿berivación,xictemas mo lines, arformados rápidas de Fourier y gráfica. GAUSS ev
14 menos orientado ala enseñanza en lgebra lineal y más hacia el als estadístico de

46 CAPÍTULO 2 © Primes matemáticos

datos. Este paquete también usa un coprocesador numérico si está disponible. Puede ade
quirine en Aplech Systems, Inc. 23004 SE. Keal-Kangley Road, Male Valley, WA
98038 (infoaptech com).

El tercer paquete es Maple, un sistema de álgebra por computador desarollado en
1980 por The Symbolic Computational Group dela Universidad de Weoo. E diseño
del sitema Maple origina se presenta en el artículo de B.W, Char, K.O. Geddes, WM.
(Gentlemen y GH, Gone [CGGG], Maple et en el mercado desde 1935 y se consigue
en Waterloo Maple Inc, $7 Erb Suet, Waterloo ON NZL 6C2. La dirección de coreo
electónico de Waterloo Maple es infomaplesoftcom y la dirección en Internet es
pv mapleof com Maple et escrito en € y ene la capacidad de maneja la in
formación de manera simbalic, I cual permite al usuario obtener respuestas exactas en
ver de valores numéricos. Con Maple se pueden ener respuestas exacts a problemas
matemáticos como integrales, ecuaciones diferenciales y sistemas Iinenles Contiene una
estructura de programación y permite guardar text e isruccones en sus archivo de bj
de trabajo. Luego, estas hojas de trabajo se pueden introducir en Maple y ejer ls in
iruccines. Debido a sus carcterísicas de célelo simbólico, cálculo numericny hojas
de trabajo, se eligió a Maple como lenguaje para este texto. En tdo el bro se intercalan
Gnseucciones de Maple

Existen muchos paquetes que pueden sr catalogados como paquetes de supercalo-
“dora para Computadoras personales, Sin embargo, ci no deben confundir. con el
software de propósito general mencionado aquí. Si usted tien interés en alguno de exis
paquete, debe let Supecaleulatore on he PC por B. Simon y RM. Wilson [SW]

Para obtener más información acerca el software y las bibliotecas de software con-
sult os iros de Cody y Waite [CW] y Kocher [Ko]: así como en el anículo de 1995 de
Dasara y Walker [DW En el wo de Chin Calin y Prey [CF y el aru de Gol:
bere [Go] ay más información acerca del cálsulo de punto Nota,

“Algunos libros dedicados a a aplicación de técnicas numéricas en computadoras en
paralelo son Schendel (She, Philips y Freeman (PF y Golub y Ortega [GO]

CAP{TULO

2

47

Soluciones de
ecuaciones
de una variable

El einen de uns pobiacón manera parde modelar
trate prado reves, on lo npocer que eta cae cosant-
ente con el lmpo un aa que es proporcional al mer de
Ballast que xen en tempo dense on Mn ane
tad de habitantes ene impo y con À adc comite dena-
tadad a població aia Lecce dlfrenca

0 0

MO «aw,

La oc de esta canción et AU) = Nye, dnde dente po
blación ci

Fay ened A eh)

Tudemaiid 1 À

48 CAPÍTULO 2 + Soluciones devociones de uno erie

Este modelo exponencial es válido sólo cuando la población se
alla alslda, es decir, sin que exist Inmigración proveniente del ex-
terior Sis permite la Inmigración con una asa constante la ccua-
én diferencial que rige la situación será

au
a

ner,
cuya solución es
N= Ne + Han
NU) = Ne + Le 1),
Supéngase que cierta población tene Inicialmente un mil de
habitantes, que 435 000 de elos Inmigran hacia la comunidad du
rante el primer año y que 1 564 000 se encuentran en cla al nal del

año L. Si queremos determinar la natalidad de esta población, debe-
mos determinar A enla ecuación

1564000 = 1.000 00004 + Sp,

Los métodos numéricos que se tratan en este capítulo sirven para
‘obtener aproximaciones ls soluciones de este tipo de ecuaciones,
‘cuando no es posible obtener respuestas exactas con métodos ale
hralcos En el ejercicio 20 de La sección 23 se considera la solución
de este problema en particular.

21 El método de bisección

En ste capitulo stuiaremos uno de ls problemas básicos dela aproximación numérica:
el problema de la búsqueda de raíces Consste en obtener una rut, 0 solución, de una
estación e la forma f(x) = O para una función dada f. (Al número x e le lama también
‘cero de El problema de encontrar una aproximacin ala raíz de una ecuación se remon-
a poro menos al ño 1700 aC. Una tabla cunciforme que pertenece al Yale Babylonian
eo. y que da ec odo. da ero santa use equal à

2 como aproximación a V2, resultado que tiene una precisión de hasta 10°? Esta
ironia s ponte da lan wee cc dsc a el eco 19 ele
sección 22,

La primera wena, que e bas en el teorema del valor intermedio, se conoce con el
nombre de método de biseceiön o de búsqueda binaria. Supongamos que es una fun
«ión continua definida en el intervalo a. conf) y.) e signos diferentes, De acuer»
‘do com el eorema del valor intermedio, exit un número p en (ab) tl que Up) = 0. Si
Bin el procedimiento se aplica aunque exsta más de una ez enel intervalo 2), po a
zones de simplicidad suponemos que la ai de este intervalo es nica. El método reguie-
e dividir varias veces ala mild Io subintevaos de [a by cn cada paso localizar la mi
tad que contenga ap.

22 Endod de cin “

Para empezar, sopongamos que a, = ay By = by sea l punto medio dela, bl: es

dei
amas A,
7
Si.) =D entonces = pde no ser a, enonce Jp) eee mie sino gue)
US sta) cme em meee Qu oan py

+b, = by Si FU} y Ja) tienen signos opuestos, entoces p € (6) Y lomamos 2,
y, = py. Después volvemos a aplica el proceso al interval [ay] Esto nos da el mé
too quese describe enel algoritmo 2. (Vene fig. 2.)

Figura 21

Bisecden

241 | par obtencr una solución a f(x) = O daa a funcidnf continua en el imerval [a,b] don

de fla) D) cn signos opuestos:
ENTRADA. extremos a,b; olranca TOL: número máximo de itesciones Ny
SALIDA. solución aproximada p 0 mensaje de env

Paso 1 Tome = 1
A = Ju

Paso 2 Mientras = N haga pasos 36,

Peso 3 Tome p = a + (b ~ a¥2 (Calcule)
FP = fi.

50 CAPÍTULO 2 + Seiner de ecacones de ne varie

Paso 4 Si FP = 00 (b — V2 < TOL entonces
SALIDA (p); (Procedimiente terminado savsfactoriamente)
PARAR.

Paso 5 Tome i= 1+ 1

Paso 6 Si FA: FP > Oemonces tome a = pi (Calcule 4, ,)
HAS Fe
no tome D = p.

Paso 7 SALIDA (EI método fracasó después de Ny iteraciones Ny
(Procedimiento terminado sin éxito.)
PARAR. .

‘A continuación describitemos ors procedimientos de paro que pueden aplicarse en
«el paso4 del algoritmo 2.1 0 a cualquier de as técnicas eat que se estuian en este
‘aptul, Pr ejemplo, seleccione una oleancia e > 0 genere... y hasta quese s2-
tisfaga una de Las siguientes condiciones:

lou = ml <a an

es

Por desgracia, al usar cualquiera de estos criterios de paro pueden surgir problemas
Por ejemplo existen sucesiones {py} ug Con la propiedad de que las difrercias, = Py
convergen a ceo, mientras que la sucesión diverge (ejericie 15). También es posible que
Fi.) esté cercano acero, mientras que py dire sgnficivament dep (véase el ejerei-
slo 14) En eas de que nose conozcan fo pl desigualdad (2.2) x el mejor erlerio de
paro al que puede recurs, ya que verifica cl ero relativo,

Cuando se generan aproximaciones por medio de la computadora, conviene far el
número máximo de ieraciones que se cecturán; af se evitará inoducir un ciclo infini
10, posibilidad que puede presentas cuando la sucesión diverge (y también cuando el pro-
rama n está codificado corectamente). Est e hac en el paso 2 del algoritmo 2.1, don-
de e estableció la frontera inicial y el procedimiento terminaba si > Ny,

‘Obsérvese que paa iniciar el algoritmo de bisecció, hay que encontar un intervalo
a, bl de modo que f(a) fb) <0. En cada pas, longiud del intervalo que se sabe que
contiene un cero de e reduce en un factor de 2: por tato, convene escoger un intervalo
inicial a,b o más pequeño posible. Por ejemplo si (+) = 20° = 2 + x = 1, entonces

JDE <0 yf) <0.

de manera que el algoritmo de W-ecidn pueda emplease en uno de ls intervalos [4,4]
010, 1} Alcomeazar el algoriumo de biscción e 0, 1] y mo en [4,4] la canidad de
heracions ecesaria para alcanzar determinada exactitud dsmiouir en 3.

EJEMPLO 1

Tabla 21

22. Eimtode de bcn si

El siguiente ejemplo ilar el algoritmo de bseccón. En este ejemplo la iteración se
teaming cuando el ero relativo es menor que 0.001, x decir, cuando

ooh
PTE
i

La ecuación f(x) = 2) + 4 — 10 0 vène una raíz en {1,2}, ya que JO) = ~Sy
[0 = 14. El algorino de biseción da los valores de La aba 2.1,

= 5 ps Ton
Tt zo Ts 2

3 0 13 as 120007
as 15 as su
4s ins us 088839
5 ns uns 12075, Zossen
6 ms 1578 13590 Coca
7 sms ins Bones oo
Brass ens ES rem
9 Les [ER 1268234375 ooo
wem Less TIM -001S
Ho ass LS Lou “00
12 Leman Less 13610235
nass es 1398112508

Después de 13 iteracones, yy = 1365112305 aproxima la raíz p con un emor de

lp pyl < lou = al =! 1365284978 ~1.365112508] = 0000122070

Presto que leal < lol,

Ip=pul _ lau
Pi“ le

590x105,

1a aproximación será coca al menos en cunıo di os initio. El valor certo
dep. con move cifras decimals, np = 1265230013. Observe que py ent más cera de
qu I aproximación fin! py. Podemos suponer que eso es verdad ya que [fp] <
eu pe où Poe TRES 00 acces la poca vela 9

13 modo de scr, unge cr dede ol pst de ia conca, ic ln
(one por, cm de core ie dc. N pode volver
my andes que 19. py a aan poque) dream pon de
Char cs ben aim med Seng, ene apn roped de
te sempre came nun sd . pola mad memo ae asl osé.
thee mar ens que expres más art ee cp.

52 CAPÍTULO 2 + Solcanr de scuaciones de une verte

Teorema 2.1 Supongamos que fe Cab] y fa): Ab) <0. El método de biscción que se ua en ell
emo 2.1 genera una sucesión (p, |. que aproxima aun cero de p def, al que

.
\
nue hocs y vem
“como p, = La, +) parta 2 1, ete que
1
In-plsto, u

Yaque

In-ol=0-0h,
POÈTES

pat og ap mg
==
,
neveo(d)
sinn ir ul 2 dat a dro rina

y ave ésta puede ser extresadamente conservadora. Pot ejemplo, cuado la aplicamos al
problema del jempl 1 s6 garantiza que

lp- pol = 2% 10%,

per el error rel es mucho menor:
lo yl = |1.368230013 - 1.365234375| = 4.4 x 10-4

EJEMPLOZ Para detcminar la canidad de ileraciones necesarias para resolver f(s) = 2° + rt =
10 = O on una exacitad de 10 ? por medio de a, = 1 y de by = 2 hay que encontra un
nero N que satsaga

lou 215 2-0 = à) = 2-9 < 107,

Par determinar N uszemos logaritmos. Aunque se podrían usar logactmos de cual
quie base, utilizaremos los de base 10, porque I toleran: está dada como uma potencia
EI. Pret que 2" < 10" implica que log? < lopyl™ = 3 leemos,

NIE y >

99%,
ete?

Por tanto, se necesitan unas die iteracones para lograr una aproximación exacta dentro
de 10-2 La tabla 21 muestra que el valor dep = 1365234375 es exacto dentro de 104

21. Emo de Baten 53

Conviene recordar que el análisis de eo 0 da más que una cota del mero de iteracio-
es necesarias muchas veces eta cola e mucho mayor que cl número que se requiere.

La cota paa el número de iteraciones en el método de biseción supone que los
culos se realizan en una artumédica con un infinidad de dígitos, Al aplicarse el método
en una compatador, hay que tomar en cuenta los efectos de los eures por redondeo Por
ejemplo, el cálculo del punto medio del inervalo [a] debe encontre mediante la
ecuación

y 00 con la ecuación algebrsicamenteeyuivaleme

gt by

La primera ecuación agrega una pequeta corecién,(b, ~ a2. al valor conocido a.
‘Cuando b, — a, est ceca de la precisión máxima de la máquina, esa coección podía
ener un ero, pero st no afectaría de manera significativa el valor calculado de p,. Sin
embargo, cuando, = 4, est ceca de la precisión máxima de la máquina, es posible que
(a + 8/2 ceros un panto medio que siguiera esté en el interval a, ,)

Como observación final, para determinar cuil subitevalo de (a, B] comiene una
def. es mejor usar la función igno, quese deis como

liso,
sino) =] 0, six=0,
1 dr>0

Elerierio
signo Wlan I < 0 enligarde Sof) <0

a el mismo resultado pero evita posibilidad de un robeilujo en a maltpicacion de
NII)

CONJUNTO DE EJERCICIOS 2.1

1. Alig el mie de Hiscción pars bte para fe) = VÍ co en O, I

2 Seafi = M + IDC ¿) n= 1) Aplique ltd de sec o gui ratos
“is Aleıanzı

3. Anl el método de clé para enor soluciones exacta den de 10- par —

“on sa epa

se CAPITULO 2 © Soluciones de ecocons de une vr

4. Anl leid ecc pura encerrar as soluciones esca den de 10- pra =
ROTAR Ar + 4 2 Den cada ne

“1-2 Kon en a 1-10
8. Lie éd de Bsccón pra encontrar una oh exact enr de 10° para = tn
tee

6 Use et méodo de Bei para encontrar una solución exacts dentro de 10° pars 24
ete 2 9 = 0 = 0enOS 15)

7. Aplique el método de ch pars ent sinn exacts demo de 10- pra os
see problemas

Meteo poses i

hé-iu-220 prosas!

€ doma) FO panda 2 y pe 15450

de rconr— 2043-1" pmOISes0 y pm 122113

1. Seafla)= (0+ 210+ LP ete = 1) = 2) ¿A cu er de mers elm de ie
tine os sigue tras?

“1127 & (05.24) LOS (O
9 Sea fed = a+ 2) (4 + 1) = D 2 LA cu or de come el método de bie
chine lon isin tral?
“12 [2 ELLI LS

pa a ln pe
Seca nee)

21 ciar VS aca 0 pr mdd rd ei

pol ans md
DR pr cos
ER One rin rnc seb

23 Un dren! pan cote où À eng de ees qe oe pel
er apa
ST One rin rune

O nhs type be la Demme we Yale da qm
DEREN

16 Sea toe ap. =f Dem qu) deca

16 ta p= eet et tr Marg nn
ep

Daa osbes aa a weise an, M ete
(Wines) Cars eps ae a pr
cna

Ve Loser ~ Parser) = Me? = 89)

22 rc de pate fo ss

Sopena qu L= 10 pes r= 1 pi. y queY= 124 pe, Determine rond de agua
cri rt 001 pe

I. Una parca pate dl reposo she um pao ico nome. cu ángulo 0 cambia co
na pies om de

Al Gal de segando posó de bj en daa por

PERS |

Span ute pie edel 17 in. Encuentre, cn tna exacto de 10, la
pude won gue Bam Sapa que = 3217 pes

22. Meracion de punto fijo

Un punto jo e una función sus número para el ua ip) = p En esta sección es
‘adem el problema de encontra ls solucione os problemas de punto y la co
es ene éstos y los de basques dela az que descamos resolve

Los problemas e búsqueda de ries y los de paro fio so class equivalentes enel
sigue sentido:

Dado un problema de buscar una isp) = 0, podemos definir un función con un
punto jo en p de diversas formas: po ejemplo, como gs) =~ f(x) como.)
+ 3/00. Poe el contra. si la función y ee un pant jo en , entonces la fun
a diia por fe) = x= gl) iene un ero ep.

Aunque ls problemas que queremos resolver vienen en forma de búsqueda de aies
la forma de punto fo es más fil e analizar; algunas opciones de put fijo dan eigen
unicas muy poderosas de búsqueda de aces.

Le primero que debemos hacer e acostembramos a ce nuevo tipo de problem, y
‘ec und una función tine un punto fio y cómo podemen aproximar los pantos
jos con determinado grado de precision

EJEMPLO La función gie) = 2 ~ 2, para 2515 3, ene putos fos en x=
pompe

a ire y 1@=7-222 .

Eso podemos observado en la figura 2

Figura 22

Teoremo 2.2

CAPÍTULO 2 = Soluciones de scans de un varie

E siguiente corcma conten suficientes condiciones para la existencia y unidad del
punto fio.

m. Sig e Clos Bly ga) € la, la para toda x< (a,b entonces gie un punto fo
enla.)
he Y s además 4 existe en (a, ) y exite una constante positiva 4 < 1 con
Lec)! <A.

pi re (0,6).

entonces el panto Go en [a es ni

se Fig. 2 .

22. een de porto fio 57

EJEMPLOZ a

la) = 00 gb) = , emtonce tend un pnt jo en un extreme. Supongamos
que noes au, entonces deterá sr cero que sa) > a y que sib) <b. La función
o) = 2) = sen continu. [a] y tenemos

Ma)= sa) 2>0 y Hb)=#0)-b<0

"licor del valor intermedi estable que exit uns € (ab) parla cil Mp) = 0
Ese nero pes un punto jo de.

O=Kp)=s)—p image xp) =p.

Suponga además que [g')| = k < 1 y que p y q som puntos fijos en [a,b] tal que
1% q. Según el arms del valo medi, exis un número fete py 9. po lato
Calo. bl que

Poctamo,

lo=al = 10 - sta)! = 5001 p— al =tlp~al < lp=al.

Lo cules una convadicción. Esa conadccón se debe solamente ula supi,
#4. Ports, p = 4 y el punto jo en Le, s único Ses

Sea 40 = 62 = DA en (1, 1 El crema de valor extemo establece que el mini
mo about de ocue en = y 40) = =}, De manera anog, el máximo abso-
Io de gocume en x = = 1 y dene el valor g'= 1) = 0. Además gs connus y

para ioda € (1, D.

let =] < à

Por amo, se todas as hips dl torema 22 y ten un punto jo único en
Gin.

En ste ejemplo el ico punto fijo p enel itenlo[=1, 1] pode deteminae al.
-1 a
ps EE po pp

Lo cul, por ls femal cusdrica, implica que

»-j0- VB,

Nótese que también ene un punto fo nico p ={(3 à VT3) enel ineralo 2.)
Sin embar, $64) = 5 y $4) = à > La que 5 0 sac ls hipótesis del tor:
ma 22 en [3.4] Eto demeesin que ess hipótesis son sfciets para puraizar un
pasto jo dic, per no son necesarias (vs Fig. 2.4)

58 CAPÍTULO 2 » Solcions de ecuaciones de une sono

Figure 24

ha Sea gl) = 372. Puesto que 1) = ~3°FIn3 < Oen(0, 1) a función y esdececen
teen (0,1) Por ano

ADA}S e515 90), pa OSes.

Así. para (0, 1}, tendremes gx) € (0,1. tendrá un panto fio en [0.1]. Pues
oqe

£0 = -1n3

~1.098612289,

22 leven de puro fo 59

Il # 1 en (0, 1, y no se puede utilizar el teorema 2.2 para determinar
unicidad. Sin embargo Siempre es decrcciet y en la figura 2. se observa cla-
ramenle que el punto fijo ha de ser único. .

Par aproximar el punto fijo de una función, escogemos una aproximación inicial py
y generamos la sucesión (p, 17. haciendo p, = to, 1) Para cada n > I, Sila secuencia
‘converge en p ys ges continu. entonces

so.

Hm 0-1) = 8 (EP

y cbtenemes una solución con x= g(x). Esta técnica recibe el nombre de Heración de
punto Ajo. Heración funcional. Este procedimieno se describe detalladamente en el al
Formo 22 y se muestra gráficamente enla figura 26.

Figura 26
neu Ama
Be mH)

cori) Neradén de punto jo
Para bic un solución =p) dad una aposimacn nical
ENTRADA. aproximación incl ps tolerancia TOL: amero mimo de henacions Mo
SALIDA. solución nprorimada po mensaje de emo
Puo1 Tome = 1.
Paso 2 Mien = Mapa pasos 3-6
Paso 3 Tome p= xp). Cale 7.)
Paso 4 Si |p pal < TOLenonces

SALIDA (py, (Procedimlemt terinado soifctoriament)

60 CAPÍTULO 2 = Soluciones de ecuaciones de una noble

PARAR.
Peso 5 Tome i= i+ 1
Paso § Tome py = p. - (Defina de nuevo pe)

Paso 7 SALIDA CE método fracasó después de N, iteraciones Ny = NJ
(Procedimiento terminado sin éxito)
PARAR. .

El siguiente ejemplo ilustra a nic dela tcrción funcional.

EJEMPLO3 La ccuación "+ 41° ~ 10 0 tiene una rate única en 1, 2) Hay muchas formas para
«comenta en la forma x = xx) mediante un simple manejo alebraco. Por ejemplo. pa-
a obtenerla función g quese desde en (c), podemos manejarla ecuación © + 4 =
10 = Oast

1
sola»)
duo.

ea ni si Gaara em
ee
en

a regi) ans 42 +10

e rear

rs a

Con py = 1, la bla 22 proporciona lo resultados del método de train de punto f=
Je par as cinco opciones de x

La rai eal es 1365230013, según se señaló en el ejemplo 1 de la seción 21. Al
compara los resultados del algoritmo de biseccién que vienen en el ejemplo, observamos
que se obtuvieron excelentes resultados con las opciones (€). (4) y (). ya que el método
de biseción requiere 27 eraciones para garamizar a exactitud. Conviene señalar que la
‘pein (a) ocasion divergencia y que (0) se toma indefinida porque contine la ai cu
¿rada de un nämero negativo. .

‘Aun cuando ls funciones de este ejemplo son problemas de punto jo para el mismo
problema de búsqueda de rl, difieren ampliamente como métodos para aproximar la so

Tebia22

Teorema 2.3

22 Hein de puto fo “a
= @ © @ a @
ous 15 15 15 1s
DONS OMS Im AOS II
2 am 2 JAN LITE? 1242018
5 7 CAS LAS LS LEON
mx KISS 1308201788
5 Hamann 1205228884
$ Eso 1365200596,

7 LEO 136229042
5 HMS 13652002
5 RIT 105230012
1 EME 1308230014
15 FM 1355230013
» Lo
5 13682308
EJ 1368230013

lución a este tipo de problemas. Su propósito es luar la pregunta que es preciso con-

¿Cómo podemos encontrar un problema de punto fijo capaz de producir una sucesión
que comerga confiable y rápidamente en una solución en un problema de búsqueda.
den?

El estado siguiente y su corlaio nos dan algunas pista sobre lo procedimientos
que deberíamos segir y quizá lo más important, algunos que debemos excluir

(Teorema de punto fijo)
Sea g Cle bla que gtx «lo, 8 para toda x en a,b. Además supongamos que es
de gen (a, D) y vna constan positiva O <A < 1 ales que
Iewisk pariodaxe (ab)
Entonces, par cualquier número p, en [o] la sucesión definida poe
PROD mee
converge al nico punt jo en ta BI =

Demostración El corer 2.2 implica que existe un punto fj único en a, . Puesto que
Female bn mao aca 4d pod 03, ui
‘para toda n. Aplicando el hecho de que |) l'& & y el teorema del valor medio, tene-
mon, para cada,

log pl=latry..) il = lalo.

¡onde £, € (ab). Al aplicas eta desigualad inductivamente se obiene

plalo, pl.

In-olatlan-plawina-ls.. sem. 0m

62

Corolario 2.4

CAPITULO 2 + Sooiones de carie de uno ero

Prato que O <A € seine lim, = 0
um Le, ol stim elo, ~ pl «0
¥ Ws-gcomere ap ...
Sac a pte dl crema 23, os del err qe sopne warp par
prime pen dads or
log pl =e mix ry ~ 0.6 Ay)
yoo.

Ip paraiso na. .

a primera cota proviene de la desigualdad (2.4)

In-plzelp-plzemsein-as-n

Para n= 1 el procedimiento empleado en la demostración del torema 23 implica
we
Pr = len) AA MEA

Por tanto, cundo m > n 2 1,

Inu Pal = bea Pant + Pans" + Pav ~ Pal
A ++ loss Pal
rro pol + pl += + lp pol
=elp pl AA den,

Poceltcorema 23, lia, p= pede modo que

I~ pal dim lng = pl im ty = SU se lp roi St
ero Sr. Ks una seri geomtic cn razón ky 0 € < L Fa ici comen à
AA = oque mor dela soda col:

e

lp~ els Ez In-al

bas desigualdades del coolari relacionan I ratón ale que (7, converge ala
‘ota e a primer drid. La razón de convergenca depende el factor I. Cuando más
pequeño sex el valo de , más rápida scr a convergencia la cul puede ser muy Int si
‘est cerca de 1. En el siguiente ejemplo, recomideraremos ls métodos de panto jo del
ejemplo 3 ala luz delos resulados que describimos en el corema 23 y su corolari,

22 Hein de pat fio 6

EJEMPLOS = Pang) x = 1° — de? + 10,tenemos (1) = 6 42) = ~12.de modo que 5
ome [1.2] ens mismo Además. 0 1 — 30 Ba. de modo que [e (ol
> 1 para toda en [, 2) Aunque el crema 2. o parents que el método dba a-
tr paa eva loción de $ tampoco nem rzón par esper, una eomergenca
D Con = RU) da poeme ver que y no man (2) 1.29 qua
da en po = 1. Además, umpeeo hay un iterialo
ue

lol <1, puesogue lil = 34

No hay ran para esperar que este método coneja.
e Paalafanción gy) = $10 = 2)"

oboe ao ehh

así que ges esitaene decreciente en (1 2]. Sin embargo, [gí2)] = 2.12, por
lo coal a concción Lago! = &< 1 falla en [), 2). Un and más cerca dela
sucesión (9,7. comenzando con po = 1.5 revela que basta considera el intrva-
To, Ls}en vez de [1, 2, En eue Intervalo sigue siendo verdad que (1) < 0 #3
ex exricamene decreciente, pero además

15128 51.9) 5 O = 15,
para tado x [1.1.5] Eso demuenta que mage el intra {1 13) en mise
mo, Pacs que ambién cono que a)! = 84) = 066 en exe ter

lo. el teorema 2. confirma la convergencia de la cual ya estíunos conscientes
de Para gal) = (LO +20)! tenemos

<015, path x6 (1,2)

OS

La cot en la magnitad de gx) es mucho menor que la dela magnited de (x) lo
cual explica In convergencia más rápida que se bene con $.

e Lasucenión definida por

converge mucho más rápido que nuestras ctas opciones. En las siguientes secciones
veremos de dónde provino esta opción y porqué estan eeciv. .

CONJUNTO DE EJERCICIOS 22

1. Use el manejo crio par ema que as sigues fncone een un puro pen p
cociente cundo ip) = donde fi) + 2 = rm 3.

DETENTE CENTS

“ CAPITULO 2 > Soc ch done
ES a apne en

2. m Efectó cut erocone, sie posible hacerlo ls funciones didn en el jr
Chena rae mater
I {Coa fund, us ul, dar la mejor aproximación solución?

3 Se proponen ls wes mods spice purs callar 21, Cail yor ode, saone
pura lo en a aide de convergence y sponiendo que py = 1

= MPs + 2 à
a

Bera

4. Los cut sigues métodos tienen por bjt cau 7%, Ciel por orden ane
camo ase rapier de comercia y manie qe y= 1

1. Al método de el de pan fi pre cerita oli co ena ead e
10 pe D mom) Ute y=

tige m me de tación de puso opaca tenia una wc caca dea de
1 pu a |= Ocal Uc,

7. Aplique crema 22 pr demon que) = +0. set in an di peto fio cn
(0 29 Urola dación de ano par one pic puro cr maca
nd. 10 Une cab 24 porta la cuide cae esas ar log
Sow cat de 10 y después compr ea eva tecla cn qe sl
tesoro

4. Aplique esoo 22 pr demon que po) = 2° eeu Si pan jo en
ice train de un Fo ar ee a princi del am ac
leo 24 pura ear la cana de er sn pas lear na ec
10 *y dels compar ea ciación tec lcd que alee quer

3. Aplique un mé de hrc de po fo ur obte an pri a VA con ua
cd 0% Compare asado con ler e heras que ete lap
À bases een 1d nn 2 sa

10, eu men e rc de pos ia ara ans ua sprich a VB cam eu:
vdd 10° Compas ud con nner de eros qe rue lapa
denia ll 11 dr wech 2
En cda a Je silence o ira ene comer la

raión de pat je. Bm card de heras tora para ebene ui

Sema cb e107 id ca

Fern $y

weit a eden
cement dk xe
aro Là Ostens + 08)

12, Fa ud un des ne con Gin nn cé y ner onde
Inside una Fo comune en nación psn ea a
mxo o Road
ings las soluciones on us end de

22 Hrn de puto fd 65

1 Encodes os eos dee) = 2+ 10 cos alicando el méd de traci depart
{pare a faci de ec apropia Encuentro Los cero on una ect de 10
I Aplique el més de ración de pu paa determinar una oi con un exact de

TE]

15. Aplique el método de ración de punto Go paa detemina una sci con um sacd de

A par Dun m+ = Ol, ne

16. Sea una consume pos ya) = 2x = A

2. Demuestre ques una raid de puto Bj converge au Unie rn de cero, non
‘eve nie sp = VA, de modo que a mena de us numero pued otero ande 16
lo matiplescnen y arenes

1 scene an terial aeedor de VA donde camera un teri de peto ij, con
cin de gue ps encuentre en ee itera

1. neue un funcin dida [. 1 que mo sinfaganagusa de as its del ore

ma 22. peo que ig eme un parao fo dio en, 1

A a. Devuesre que el teorema 22 es verdadero sl desigualdad | 001 = se emplaza con
KIDS kpar toda € (ab). Segre o» pone en ela de juicio la unicidad)

1. Dore qe el rena 23 noc vid sta desa | = roma coo
0) A [Sugerencia denen que 60 = À = 2 pura xn 10, I, proporciona un com
in mio,

19. a. Aplique el crema 23 pars dera qu la sucesión defini por

comerge Vi sempre que xy >
Aplique sl eco de que 0. ig — VER sempre que», # VÍ par demon que 81 0<
soc Venen, > VA
€ Ui I restan deL pates (y para demora que la succión en (a) comer
à VA sempre que 2, > 0
2. a. Derveste que i A ex mer poso, entonces La sucesión defrida pe meso de

+ pm ne,

corer VÁ siempre guy > 0.

¿Qué sede 07

Reese la spin dl torna 23 de que “ext un número oso £< 1 con

Leto] 8” eo sic a onion de ip sel il aD] on la coman

de Li <1 (ne el ji 28, secó 1.1) Dee que Le orcas e

‘Ste trea gun des ilies.

22. Sapo qe ges umge ferne en lg nero que coming el pu.
fio pe Den que Ip) | Ices ci un > Oval que la ración de pu.
tof comer pra calce aroinaciónp siempre ue [a =p| = &

23. Un jo ue cc veine em el ie ed jet a una rencia visos y también ae
forma de gcd. Supone qe dejanos cet un bo de tsa ende na ar e
ladra dl to después de era en

EE

+ ta

66 CAPÍTULO 2 + Soluciones de acciones de una renabe

donde = 217 et! rps teme ie del ai en ops. Sp
Pe = 30 ccm 2028 hy uel =O bss. Cc, on vn actin de 801
A po que td oe oo du and is nr al.

2 Sage mm e pena en py ms
tee eine un 62 Oia quer De ll < Ren y =p < ps pl or
{sin importa qué un ela prisión ial dep ie era
‘cence js e malo que ie de u LC #

23 Elmétodo de Newton

El método de Newton (o método de Newten-Raphson) es una de Ls técnicas numéricas
par resolver un problema de búsqueda de rakes fs) = O más podernasy conocida. Hay
muchas formas de introduire. La más común cosiste en considero gráficamente. Oia
poxiiidad consiste co drivlo como una ¡étnica que permi logar una convergencia
más rápida que la que ofecen ots tipos deieraci funcional, Eso lo hacemos en asc
ción 24. Una tercera forma de introducir el método de New, que ctudaremos a on
nun, se basa en los polinomios de Taylor.

Supongamos que Je Cla, l. Sea € [a,b] ua aproximación de pal que (0 # 0
y lp = il ex “pequeño”. Consideremos el primer polinomio de plo pars Js) expandi-
do alededoe de

10) = 16) + «HP Era
onde 6 et ent 7: Dado que Y) = Ota cui, con =p de

0 +p-D/@+

re.
Derivamos el métado de Newon suponiendo que, como |p ~ les tan pequeño, el té
0 que contiene (p ~ KP es mucho menor y que

0040-20
Despejand p de eta ecuación cbtenernos

10

sto nos prepara para introducir el método de Newton, el cual comienza con una pren
maciôn inicia y gener la sucesión (9). definida por

Hons)
-4 nai as
Pel rey

m

La figura 2.7 muestra gráficamente cómo se otiene Is aproximaciones usando tanger
tes seesivas.(Véase también el ejeciio 11.) Comenzando con La prunimachtn inicial py.
la aroxiraciónp, es La intersección con el ej x dela ea tangent a la gráfica de Jen
o) Laaproximació pe la inerseción yde la anger ala gráfica de fen (9,0)
ys ocesivamente. El algriuno 23 sigue ete procedimiento.

23 Eimtedo de Newton or
Figura 27
sr
lose
“auconrmuo Método de Newton
23

Para obtener una solución a (x)= O dada la unc diferenciable y una aproximación
inicial py

ENTRADA. eponimación inkl: tleracia TOL: número maine de caciones My
SALIDA solución aproximada p o mensaje de fracaso
oso 1 Tomei |
Peso 2. Mienras = Ny haga pasos 3-6
Pu Tome p= pe JM UD. (Caladep,)
Paso 4 Si |p~ pal < TOL etonces

SALIDA GX (Procedimienoterminado satisactriamente)
PARAR.

Paso 5 Tomei 1+ 1.
Peso 6 Tome p, = p.(Redefina pe)
Peso 7 SALIDA (El método fracasó después de Ny teraciones, Ny

Mo:
(Procedimiento terminado in éxito)
PARAR. .

Las desigualdades de a técnica de paro dadas con el método de biseción som aplica-
bles al método de Neon. Es deci, seleccione una tolerancia €> 0 y constuya py... Py
hasta que

lu pu <a es
I

Inn
ETS en

Toul

68 CAPÍTULO 2 © Soluciones se cnrs de ue vice
oben

low! <e. es

Una foma de a ea 2.) se nen e so 4 del alor 2. Obese qe tl
ve desigulda (2) no propoccions mach inlomación sde el err real Ip Pl
(Const el eric LA em laseción 2.1.)

Ti método de Newton es una cia de tración funciona de la forma, #7.
re

2
u are
DE Feet,

De hecho, dt ea uenic de ercin funcional que usamos para une I ids
comergenca que vos e la ar () del ejemplo 3 e a sección 22.

De ecuación (2) fer que 0 es pile canna con el metodo de Newton
Sify.) = para ago n De hecho, veremos que el ato es má efectivo cundo
ot acta lejos de cero y cera dep.

as

EJEMPLO 1 Suponga que queremos aproximar un punto Aj deg) = con. La grfics dela figura 28
mplca que sólo hay un pato jo en [. m2),

Figura 28

La tabla 23 muestra los resultados dela herción de pun jo comp = mi. Lo más
que podemos concluir de eto resultados ex que p = 07.

Pars otro enfoque de este problems, definemos 4) = cos x = + y apliquemos el
método de Newton. Como") = ~sen.x~ I, la sucesión es generada por

paran

Para py = #4, se generan ls aproximaciones de la abla 24. Se obsene una excelente
aproximación con m = 3. Sera de experar que exe rede tenga una preci del
ámero de cis enumeradas, debido ala concidecia dep, y Pr .

Teorema 2.5

‘Tabla 23
1 oooO 1 anes
2 cam 2 omsızı
3 rum 3 oran
Fre 4 ous
Sons
CR
7 omas

La derivación del método de Newton pr medio de as seis de Tayo, ema que a=
amos al nich de esta sección, subraya la importancia de una ar mach iil exact
La oposición fundamental esque el émi o qe conten (p — 3) es, en comparación con
Ip =, un pequeño que podemos supra, Esto evidentemente er also a menos
que sed una buena aproximación de . En particular, sy nos cesa bastante aa nie
‘eal el método de Newton quizá no contra ala az Per o siempre e as (En los jte
‘clos 12 y 16 e ejemplscan algunas de as poxibildade que pueden pesntai)

El igiete crema de comergencia par el método de Newton mucura la importan:
ist de In eles e py

Seafe Cab} Sip € a,b] etal que ftp) = OU) # O. entonces existe 8> Ota que
+ método de Newton genera una vcesién(p,)., que comerge ap para cualquier apro-
ximació inca py lp = &p + 8. 7

Demostración La demostnción se bas en analizar el método de Newton como un es-
quema de trai funcional p= p, y Para = Icon

wo
For

POI

‘Sea kun nimeo cualquiera en (0,1). Primero debemos encontrar un inevalo lp ~ 8

+ Dane £ mapca co mismo yen que [gol = kp ada x € (= 8, p + 5)
Como fp) #0 J' ex comima, exist 5 > 0 tl que) # 0 par x e Ip ~ 5,

1 + 8) Le Porto, 5 et tii y cocina en ~ 9 + Ay, También

_ Loft for
vor

puraxelp ~ 8, p + 51y come Clo,b) tendremos ge Cllp~ 8. + 5
Por suposicin.f(p) = O, x que

0 CAPÍTULO 2 + Salons de ecuaciones de una voto

Como es comin y cur 0 < A € 1, pure (dere 2 nación. implica
ea om 0 28-28,
lecol sk paria xe = 4p +8)

“dar faa demon qe manda p = ,p + Bee = Bp + BL Six6 1p — &
1 + Bore dl valor meto Implc que, pura ain mes Gent = . |=) =
rol = lel le= pl Poros,

Isco = pl = Lae) sl = 1 QI
Peso que xp = & p + 8, se deduceque [x = pl < 8y que |,
‚sultado implica que g manda [p — & p + 5} en (p — & p + 5}.

"odas a ps el crea de pumo ps afore de modo que la most
LP tein por

plsle-pl<l-pl
= pl < 8er

£04.) A
up LL, ne

BP Mes FE a

‘converge ap para cualquier pe € Ip — 8.7 + 8 sa

El teorema 25 establece que, bajo suposiciones razonable, el método de Newton
converge a condición de que se escoja una aproximación inicial suScietemente exacta.
“También implica que la constate A que acota la derivada de yy. en consecuencia, odia
la rapide de convergencia del método, disminuye a cero a medida que el procedimiento
avanza. Este resultado es importante para La teoría del método de Newton, aunque pocas
veces se aplica en La prática, ya que no nos dico cómo determinar 8. En un aplicación
práctica, se elige una aproximación inicial y ls apoximacions sucesivas se generan
mediante el método de Newton. Por lo general, eto comvenerá rápidamente à a rar, 0
será claro que la comergenca es improbable.

El métoo de Newton es una técnica may poderosa, pero presenta un grave problema:
la necesidad de conocer el vals dela derivada defen caca aproximación. Con Irecencia
es más dificil determinar 1) y se requieren más operaciones arinéicas para calcula
ue para fio).

Si queremos evita el problems de evaluar la derivada en el método de Newton, dei
vamos una pequeña variación. Por definición,

Al aplicar et aproximación para ftp, en la nua de Newton, se obicne

NE AA EE)
PP ET]

La nic que ua est fama cie el nombre de método del secante y e incluyo
enel algoritmo 24 (véase Fig. 29). Comenzando cn ls ds aprosimacinen iin 9
a peoimacinp sa rein de ee x yl Une que une JU) Y Pr PL
EE aproimaciónp la itersecin de eje yl loca qu une (193 ee
Yan mecınamene

elo

23 Giméoé de Newton n

Figure 29

secante
Para econrar uns solución para fa) = O dadas ls apeonimaciones iniciales yy

ENTRADA. aproximaciones iniciales yy

dernca TOL: mero máximo de cie

SALIDA solchen aproximada po mensaje de fracaso.
Peso 1 Tomei=2:
= fo
ae
Poso 2 Metas = Na haga pasos 6.
Paso 3 Tome p = Pa = Gi = PQ ay). (Calle pe)

Po Si lp= nil <TOL mon
SALIDA (o. redime terminado sifacioiamente
PARAR

Paso § Tome ii +1

Peso 6 Tome py pi (Redfin Py de Prd)
aa
mem
am
Paso 7 SALIDA (El método fs despots de N iteraciones. Ny
(Procedimiento termina sin eto)
PARAR.

Noe

siguiente ejemplo incluye un problems que vimos enel ejemplo 1, donde splice
mor el método de Newton con y= 24

n CAPÍTULO 2 © Soluciones de ecuaciones de un orbe

EJEMPLO 2 Aplique el método e a secante par encotrar una solución de x = cos x En el ejemplo 1
comparaos la track funcional y el método de Newton con la aproximación inicial
po = wi. Aquí necesitamos dos aproximaciones iniciales. La tabla 25 lisa Js cálculos
comp) = 05.4 m ms y la fórmula

pen ner,

tomada del lgorimo 24, .
Tabia25 TZ

os

noms

Prem

07390581392

07350851895.
02350451592

Al compararlos resultados de ara co fos del ejemplo 1 observamos que pes exac-
10 hasta la décima cia decimal. Nótese que la convergencia dl método de la sécame es
más ráida que la iteración funcional, pero un poco más lent en ee emp que el mé.
todo de Newton, en el cual obtuvimos ete grado de exactitud con p,. Ese resulado gee:
ralment es verdadero (Ver el jeexci 12 de la sección 24)

El método e Newton ol método de I secante menudo se usan para reinas are
puestas conseguidas con or cca, como el método de bsección. Dado que el método.
de Newton requiere de una buena aproximación inicial, poro poro general da una comer-
geacia rápida. seve perfectamente paa el propósito antes mencionado.

‘Cada par sucesivo de apoximaciones en el método de Bisecció encera una rte >
de a ocuació; x deci, para cada entro position, una rfz se encuenta cate, y by
Ello sig que para cada as traciones del método de biscciónsmisfacen

1
In-pl<d
me ls ede eo pr a penn ci cb EN
une e spend put nel má de een el em:
GE ac nr ess od Nena
ÍA à lle compu wan pm en 0 RS.
q ds cc op ini dl
(ease Stan can pan ae eva 2 La on
ln chon pc a prea ots ete ro
ost re

ada etapa tn as nie méd aa) ne
sacl ons eo ed cane ps tes ra pr nape
de eb Ase sow aldo ga Fe,
en farce ue ps pe an,

Pave spa la aros sy rca fp) fp) <0 Lao
sinc sd li me quee o o mo D
deci nde in qe AO) Ml) Pr cn cine

23 Emtec de ones B

cakularemos p, venficames fp) Sy). Si este valor e negativo, entonces py py ence-
‘ran una al, eleptemosp como Ia intrseción en x ela ect que une (Pp) Y (Pr
Spa}. Sino, elegimos py como la inersceción con x de la recta que une Py J) y
GS) y después intereambiamos ls indices depa y py En forma análoga, una vez en
<contrado py, el sign de fp) - (7) determina si usaremos p, y , © Py Y Py Para calcular
‘Enel segundo caso se rotiguean p yp Con ello nos aseguramos e que la raíz que»
de entre Heaciones consecutivas. El processo describe en el algoritmo 25 yla figura
2:10 muestra cómo las iteraciones pueden diferir de las dl método dela secame. En ete
‘ejemplo, las rs primeras aproximaciones son Iguales, pero la cuarta es diferente

Figura 2.10

Mods de ascane Meade posi se

yes

icone") | Método de la posición falsa
2.5 | Par encontrar una solución aL) =0 dada la función continua fen el intervalo [7 7)
onde Fin) y JU) enn signos opuestos
ENTRADA. aproximaciones
Ne
SALIDA solución aproximada po mensaje de falla.
Paso 1 Tome |= 2;
= S00:
CE

Paso 2 Mientras 1 Ny haga pasos 3-7
Paso 3 Tome p= p,— ap, = Pa — 9). (Calenie pe)
Paso 4 Si lp=pı| < TOLemonces

SALIDA ip); (Procedimiento terminado satisfactoriamente)
PARAR.

cales pp, tolerancia TOL; mimero máximo de eraciones

74 CAPÍTULO 2 + Soucanes de chen de uno varíe

Peso 5 Tomei = i+
=.

Peso 6 Sigs q, < Oemonces ome py = py

dar

Peso 7 Tome p, = pi
ane
Peso 8 SALIDA (El método alió después de N caciones,

(Procedimiento terminado sin éxito.)
PARAR. .

EJEMPLO 3 La tabla 2 6 contiene los resultados del método de la posición falsa aplicado ax) = 08 x
= x co la mismas aproximaciones iniciales que uilizamos paa el método dela secante
en elejemplo 2. Nótese que Las aproximaciones son iguales asta p y que el método de la
posición falsa requiere una iteración más para alcanzar a misma exactitud que el de la se

Tabla26 BR

os
Dase
os
Osez
ose
ose

La seguridad adicional que oftec el método de la posición ala ue requerir más
seuls que el método de la secante, del mismo modo que la simplificación quese logra
con este último método respect a aquél sele logran cosa de leracioes adicionales.

A resolve lo ejercicio 13 y 1, se verán más ejemplos de los aspectos positivos y nega

tivos de ambos meiden

CONJUNTO DE EJERCICIOS 2.3

1. Sean fu) = 2 - 6y py = 1 Aptiqne
2 Sean fu) = = = 08 y pe =
on via py = 07
À Safe ~6.Conpy= yp, = Zonen,
e Aplique el tio det scat,
1 Aplique el meio et posición asa
(Est) 00) más cra de VE?
4 Seau = =D = con Cony = =1 yp Oobenga
1 Aplique el método de a sect 1% Apliue el método de pin aia

método de Neon pus enonine #;
Aplique el modo de Newton para encontar po ¿Po

23 Eimttode de Newton 15

8. Aplique el méd de Now par obtener scones on una until de 10~ pac mi
uke prole
2 920320, na € rend ml
Reel [3-21 & +-08-02ums 0. (0 721
1. Aplque el mode de Newon par obtener scones cn una exact de 10°? pars
cs poles
CRRESPE PE Ou Open srs?
1B toe = 19+ one ~ En
emma 22d de rd
dU-- tnx Opa 12 y meza
Eee opnosrslypassess
Lone t0 pur 02 25 Lun 351% dy am 6 57
17. Rept er usando (I meinte le a scan y (el med del pi Ga
A. Rep rie 6 usando método de a ce y 4) el método de la posición aa
3. Une a meine de Newon pars apeima, con un nta de 104 lo de x que en

ri de y = pro el punt nds cercano a (1,0) (Segre: rune lim fF

onde di) repris dans ene) 90-03}

10. Comel método de Newton proie, con un grado de exc de 104, l alor x queen

rea dey = Va pedo l punto más cerco a D)

Lo puente describo gráficamente el méodo de Newton: pongamos que ex 4) y que
se ala a (a6. Sagan, adn. que eue na € Le, ue) = 0.5 ea
INC o, bl rara. Sen pl onto onde le gra fe ge fi) ral je. Par:
in = 1 sup, la Inereción en dela nene nen (Pig). Deriva fala que
done ex modo.

12. Camel método de Newton reel la ecuación

onde

ma cum

7

here usando el método de Newion hata hogrr una exact de 10", Explique porqué e
‘tad pre poco umal par lodo de Nevin También reis In evan 60 =
Sey 7-10,

13. E potnomio de curo gado,

1002200 + 160490229
ene do ceo als, mon [=1,0Jy toe (0 1}. The de aroma estos cero con una
xd de 10° por medi de
med dela pin fala
o E método dela seco
© D méodo de Newton
Utile os euremos de cda itera como aproximaciones cles a) y en (9) y lo in
termetion como sprumaienes caes (0.

14. La fc Ro = un mu = 6 ere un oro en (IF aan 6 = OAI, Scan py = Oy
I. O48, se der teacions de cda uno de tiles Método ar aproximar ea a
{ait de els e más eer y porqué?

e Método de biseción
la Método de eps fe

76 CAPÍTULO 2 © Soluciones de ecuaciones de una voile

Espino gen
rime 24,

16. Laccucións? — 1Ocos = 0 ene dossolciones 21.379364, Co el método de Newton pro
‘ime las soluciones con prado de exc de 10 para ln ici valora dep
AS eno
& mo -50 pas L pan 100
17, Use Maple pur detemina cuántas raciones del mö de Newton con py = wi e necia
pura encontrar an cer fe) = € = 4 cone exact de 10-18,
Repulse jeri 17 copy = py = fy el mio de a scan
La funcé desert por) = I? + 1) = tu tee ona cantidad nit de cern
2. Determine con un exact de 1041 nico cero negativo
1 Determin con vos ent de 10-+ Ion ur cere posos ms pegue.

+ Determine una apoximación inal rzoable pra obtener el simo cer patio más pe
queno de (Sugerencia: ce una gf proimada Sf.)

4. Use la pane (pat determinar co una exact de 1O- 1 25 ero positive más pegue
af.
38, Encuene ans aproximación de À con ua eratiud de 10-4 pra la cación de población

sa cui ende se menos sia que ll

1564000.

TRES CPE

que explicamos nl roch del fe, Use ee valo para pre a població que a
da el det sono ño, poniendo que La ta de nmigracén dure ee ño se manne
£8 435 000 persons por a.

1 La soma de dos números 20. Sicad un e arog la cudrda proce sd
mas e 15535. Determine Js des número co u exact de 10d,

22. var acumulado dean coca de boro ques asa pagos pence puede calcularse os
la ccnoción de anualidad venció

a Burn

Fa eus ecuación, À 6 mons deL cuenta, sl caida que dépliant
a sa deters por pedo para ls a pesos de depóx A un Ingeniero Le gst tor
‘scat dears con un mono de 750000 drs al moment de erase ent de 2 a,
y puede depositar 1500 dólares mensuales para log dich at. ¿Cuál es La aa mii de
laters à que pase ivenie cs diner, poniendo que cs un ets compuesto mensual?

23, Los problema elisa ier neces pra paar u pekca de un cst deus un pero:
o jo de tempo gen La (mal

ar Eugen

denominad euació de anda ona Ea xa end À ex el impar de hip
Pes: impone de ed pago ee la sa de ers por peñodo ara pion Supongamos que
se aceite un iota de 135 000 dólares pr na casa 30 años y que os pagos in que
puce el el ete non de 100 dues meme. ¿Cu set el rta más al que pode
rent

23 EL mtd de Newton n

24. E molcaneno admin a un paient produce ans conenació nl coment ang

ca dada por cl) = Ae malgre poe malo, bras después de inyectar Anidados

La ánima conceaación segura de 1 mom

1 Qué Soi deter Incl a patent or lar a máxima concentré sg
undo se presenta esta concentración?

la Una cmd aol del metcamen deber minas sl ace desp de que a
cena damiuya a 025 mya. Determine. con un aproximación a mito mis
cano, tdo debe picar a segund inyección

+: Soponiendo que la concentra produce por neccone comecsivas e ta y que
79% dea dot ects agierte se admin en la sarta inyección, cubo e
el momenta de abate ect nee

28 Sauf» tt 7

2. Use los comundos o incon de Maple solve y foove para tar de encontar o-
ono co de

Gage fü) par biene ls speosimacioes inicie de on cero de.
Camel mein de Novem encuentro ceros de con un nati de 10°
4. Encuentre alctesicament as slings ei def)» 0.

2% Rep el eerie 28 wando fo = 20370

E model logic dl ereimientodemogifice e die pr malo de una cación de a
forms

=
pr
onde P, € y > Don untar y PD € ablación enel tempo, teresa. l valor
Unite de a pblación. aque im, =P, Util Los dto de los censos comen.
le ls años 195,196 y 1970 que ines en la lade la página 108 pura oca as
cannes P y À pra un modulo logie de creciento Unico el modelo ge pura
Prose población e Extados Union en Jos ah 1990 y 2010, spomiendo que Y = Den
1930. Cape co el val al apreció ela a 1980
2%, modelo de Gomper ur el crecimiento demogrfic e dese por me de

she P €y1> 0 on constant y PU) ela población enel ep Rep el jo 27
‘undo € adela de Gompertz ea er del mio lego,

29, jugador A car en ceo (pr una pnt de 21 à 0) al jugador B en un parido de a
eich cen aprobaba Se

ETA
e

Sonde p denota a robaba de que À ane un Intecambi de rs (nepedicemme del
eric) (Vase Kall, p- 2671) etrmin, con una exc de 10 el valo mimo de
que para que A dejá en cer a Ba men la mad els patios que jueguen

0. Enel dise do vehículos parao po de teo, necro tee escueta Gla
cundo se unta de iar do os de ole. Una ella por contento, y cur su
Snel vial tent cura am cru que hace ques ondo vague el sco. La u mete
«nombre de falo por colin del deers deinen y ocre codo el vehi descend
Forma una y la desa deters ua llo.

78 CAPÍTULO 2 = Soluciones de ecacons de uno erie

La figura ana, apd de Bek), mues los componer wala al segundo ip de a
la. E elas indica que el Ángulo máximo a qu puedo alcanzar on vba cuando sel
Agulo máximo en queno cure la ala por rate solace la coin

A en a con a + Bunt a- Cea a Eten a 2 0,

onde
Anton fy, Beisnß, C= (H+ 05Dpe0 A, -05Dun A,

y Bm (h + 030) con 6, ~ 05D.

2. Safina que, cuando 89 pug. = 49 alg. D SS pul y = 1.5% el dng ases

rá aproradarene de 3” Venue este rind,

1h Encoene a para a sición en qe y , sn Iguales como en I par a. pero D =

opa

24 Análisis de error para los métodos lterativos

Ea esta sección imvestigaremos el orden de convergencia de los esquemas de iteración
Funcional y, con el propósito de obtener una rápida convergencia redescubriremos el més
todo de Newton. También estudiaremos los métodos para acelerar la convergencia del
método de Newton en circunstancias especiales. Ane todo, necesitamos un provedimien-
10 muevo para medir la rapidez con que converge una sucesión

Definición 2.6 Supongamos que {p.}-0 es una sucesión que converge a p, con p, # p para toda n. Si
ie comia pis Ay con
PATES
fet or
noes 9, 7 eg com orden y ane constant de erro anat A m
Se ee que nds rio ed Som p, = e orde, lla
sión lp, converge a la solución p = ¿(p) con orden a.

Ec pal nescence u dnde comesgeci covers más rpidamen-
ve qu ña con be orden más aj. La cotas aca ays e la pia de comer
AG par no ee an Imre como el enn. Enfocarenos mc Mención en dos
ade

2.4 Andis de eo par os método trs 1

1. Sia =1,la sucesión sá linealmente convergente.
2. Sia = 2, la sucesión será cundráticamente convergente.

En el siguio ejemplo se compara una succión lincalmente convergente con una
vadelticamente convergente, y e demuestra por qué trataremos de encontrar métodos que
produzcan sucesions comergentes de un orden superior.

EJEMPLO Y. Sopongamos que (y, come inemene con

Enel esquema lincalment convergent, esta suposición significa que
lol =1p,1 =0slp,.,l = 057lp,-a1 = 08 lent,

mientras que el procedimiento cuadeticamente enmvergente ne

lo,

ol = lal =oslj,.,12 = 050515, li
= OL, Ol
olle,

Os li, alt

La tabla 27 uate I rapidez relativ de convergecia a ceo de las sucesiones cuando
In = lal =

Tabla27 Socia ae
conan lo come Pla
a or Os
TREE? TI HET rar
2 2x 1.280010"
30 12 FRS 10
4 mx iO
5 AO esa lo
8 har ocio

La sucesión cudrticamente convergente se encuentra cerca de 0 a menos de 10°
por el séptimo término. Se necesitan 126 minos po Io menos para garatizar eta pre-
‘isin dela sucesión Iimealmente comergente.

30 CAPÍTULO 2 © Soluciones de cuacone de une verbe

En general, as sucesiones cusrticamente convergentes lo hacen con mucha mayor
rapidez que las que convergen slo de modo lnea), pero muchas écncas que genean au
cesiones convergentes fo hacen sólo en forma linea

Teorema 2.7 Sea g € Clo, bl que ga) € la, b] para toda x € Cla, bl. Supongamos, además, que y
es comuna en (o, ) y que existe una conste posa À < 1 con

lec] pariodoze (a.

Sig) # 0, entonces para cualquier número pen [o ] la sucesión
Pom AO.) pas nel
‘converge sólo ineslmente ene rico punt fj pen [a Bl. .

Demostración Enel eorema 23 del punt jo que vimos en la scción 22 encontramos.
que a sucesión converge ap. Puesto qe existe en [o] podemos aplicar el corea del
valor medio para demostrar que, para cualquier,

Pen P= HO) =D
donde E, ets entre py p Puesto que (, a9 converge a
1. Como ges continua en a,b, tendremos

Jin #16) = Fo

m ey

En consecuencia la ieración de unto fo muestra una convergencia incl con una cone
tante de or asno | siempre que pp) # 0. aaa

El teorema 2.7 establece que, ene caso de Lo métodos de punto jo, convergencia
de enden superior puede ocurrir sólo cuando sp) = 0, El resultado siguleme deste
‘as condiciones que garantizan la convergencia cundetca que banca

Sea puna solución de la ecuación 1 = gl. Supongamos que gg) = 0 y x” es continu y
sá esitamente acotada por en un intervalo abierto que contene ap Entonces existe
‘ana 5> Otal que, para pe [p— 8. + A] la sucesión definida poe p, = py) cuando
‘n= 1, cooverge al menos cuadcticamente a p. Adams, para valores suficientemente
grandes dem,

ena Pl < E lp, p la. a
Demostración. Exoja en (0.1) y 60 ul que enel itgnalo Ip - & y +), onen
doe tenemos [gol = y #° sa cortina. Dado que [co | = < 1 el argument
temples e la demonración dl crema 2. ela sehn 2.3 iia que los términos de
In sucesión (p. ein cocidos cn ip — &p + 8- Al desarrolle) en un polie.
mio lineal de Tao par ve Ip — 5p + 8] icnenos:

24 Andis de eno pra los mtoesiterstives a1

a

donde E e encuentra entre xy p. Las hipótesis stp) = py FU)

significan que
£0 4p
woe p + O pp
En particular, cuando = py,
re
2

Paar #10) =P +

=.

‘con £, entre p, yp. Po ant,

DT

Puesto que [91 =< Len ip ~ 8,p + 8] y g manda [p - 8. p + 8] en sí mismo, del
teorema de pumo fio se deduce que (p,) ay converge ap. Per & se encuenta ente p y

para can. de modo que (£,)3.o ambien converge ap. y

Ln

El resaltado amteior implica que la sucesión (p,)5. es Cusdricamente convergente si
£ Wo) # 0 y con convergencia de orden superior Si 4p) = 0.

Puesto que y esd estrictamente acotada por M en el interval [p ~ & p + 8} esto
también implica que, con valores suficientemente grandes de ,

cil
Iwan ol <M be, a

Los coremas 27 y 28 nos idican que nuestra bisqueda de os métodos de punto
Jo cusdrticamente convergentes debería señalar hacia las funciones cuyas derivadas se
‘anulan en € punto Bj.

La manera más fil e plntear un problema de punto fo relacionado con el de a
digue de races fi) = O consist en rear a x un múltiplo de f(x). Por tanto, a cnt
muación comiera un exquraa dela forma

PROD para nda

para dela forma
au) = 2 = dt JO.

onde & es una función difernciabe que será elgida més tarde.
Par que el procedimiento erativo derivado de tea cusdrticamente convergent, en
necesario tener) = 0 cuando fip) = 0, Dado que

a) 1860/09 = Fe,

a

Definición 2.9

Teorema 2.10

Teorema 2,11

CAPÍTULO 2 © Soluciones de ecuaciones de ana voraie

tendremos

EOI EMO LO BP) = 1 = 80)-0- HP) = 1 LA).

ED = Os y od = US).
Un cafoque razonable cs suponer que ts) = 16, lo cual garamizaró que dp) =
Usp) y entonces el procedimiento natura para producir a comverencia cuadrática será

Lees)

Pam HP) Pat GES

Este, porsupuesto, e el método de Newton

En la explicación anterior, impusimos a resición de que Y) # 0, donde pes a
solución de JU) = 0. Conforme a a deinición del método de Newton, es evidente que
pueden surgir dificultad ip.) ende a cero simuliáncarente con fip)- En particular,
1 método de Newton y el de a secant generalmente ocasionrán problemas sy) = 0
<vandoJ(») = 0. Para examinar más a fondo estas file, daros la siguiente defi
ción

Una solocida p de fi) = Oe un ceo de multplicidad m de fs para x p, podemos ex
rt) = (r= PY" gi. Sonde lim, 0 # 0. .

En esenca, gr represen a pane de f(t) que no contribuye al cero de El sgulen-
te resultado proporciona um método [ci pura idee los eros almple de una fancies,
los que tienen maliplicidad uno,

J Cil. b) iene en cero simple en pe La, 8) iy sólo ai ph = 0. pero pr. m

Demostración Si f iene un cero simple cn p. entonces fip) = 0 y fa) = (x = pitt)
onde lim, gs) #0. Pueso que fe Cab].

I hg) = lim ae + € PO! = in 0) #0.

Por el conta, si/(p)= 0, pero fp) # 0, desarolamos fen el polinomio de Taylor de
grado cero alrededor dep. Entonces

PA
dt cen ee. Dang fe Ca
tarso rfuaces)=roren

Definiendo q =J" O € tenemos que JU = Ls ~ pl, donde lin, la) # 0. Porta
to, enc un ceo simple cap. ...

En elejereicio 10 se aplica I siguiente generaizacidn del torema 2.10.
La función f¢ Cro, bl ie un cero de muliplicidad men pen (a) si y lo si

LÄDT E DA]

EEMPLO2

Agurazıı

24. Andi de or paa es mts testes a

El resultado del torera 2.10 implica que alrededor dep existe un intervalo al que el
método de Newion comerge cunrticamente en p para cualquier aproximación inicial
Po = px coodicón de que p sea un er simple. El siguiente ejemplo muestra «o la
«merecia cuatrica posiblemente no Gerra condo el crono es simple

La función descrita por fs) = €
que f= 2-0" 1=0y/ 0
‘Bos expresa 6) ela forma

~ 1 ne un cero de mali ds en
= 12 0, pero 70)

De hecho, pode

as
sou EL,

onde, por a regla de Lp

Et a ee
a Re rs

En a tabla 28 e incluyen fos términos que se generaron con el método de Newton
aplicado a on pg = 1. La sucesión converge lamento a cer, peo 0 es conic
mente convergent. La pra de se muera en a gun 211. .

10 9 mx

EEE
2000 Ki
3 OO 2 Saxo
5 oo OK sos
& om as 420% 10
7 OT e aio

Biases

36

HEMPLO3

Tabla 29

CAPÍTULO 2 + Sotcions de ecvacions de une vorble

{Un método par resolver el problema de las rafces mips consiste en definir una
Función ps por medio de

Si pes un cero def de muliplicidad m y 5/60) = (x= pate, entonces

so)
mat pe

-u-n

también iene un oro en p. Pero como ip) # 0,

Y

IÓN

por tam, pes un cero simple de pu As, pokemon aplicar el método de Newton a1 fan

ción y para obtener
po sou

TP = L'ONU OR

su

wo

bien a
Ju ro A
ET Ja om

Si g tien as condiciones de conindad necesaria, a tración funcional aplicada a
ser cuadricamente convergent sin importar la multiplicidad dela ar def En tora,
& Unico inconveniente de este método e el cálculo adicional de a y el procedimiento
más laborioso con quese calolan ls teraciones. Sin embargo, en la práctica la presecia
de un cero mile puede ocasionar serios problemas de redondeo porque el denomina-
dor de (2.11) conta de la diferencia de do mimeros que ein cercanos a riz,

La tabla 29 contiene ls aproximaciones de La ra doble en x = 0 de f(x) = ef — x = 1
illzundo p, = 87, 1). param = 1. donde ges dada por (2.11). Los resultados fueron
‘btenidos wando una calculadora con die gi de precisión Elegimos l aproximación
inicial de py = 1 de modo que las entrados puedan compararse con ls de la abla 28, Lo
que no aque en a tabla 29 es que po se logra mejoramiento alguno ea la aproximación
dela ale 2.085217 X 10- en los cólculonsubrcuents cuando se usa et calculado:
ra, ya que el denominador y el numerador se acercan al cero. .

3421061 x 107
Lasers x 10°
Thassos x 10-3
3 esmero
Samar 107

EJEMPLO 4

Tabla 230

24. dis de oo pora ls méacos eins ss

En el ejemplo 3 de a sección 22 encontramos I rie p = 136823001 de = +
442 — 10 = 0, Para compara I convergencia ar un rlz de mulplicidad uno porel mé-
todo de Newton y el método modificado de Newton que se menciona en a cuación 2.

o LEI a mé de
Wat Mn
ha 00, dodo cine de La alé 2.1),
Ma + a 10.6

EL ONE MEL"

Cuando py = 15, ls wes primeras iteraiones para) y (i) se inhuyen enla abla
210. Lov eds muesran la comerenciaráid de ambos métodos en el caso de wna
rat simple .

o ©

3650 136819565
Er

CONJUNTO DE EJERCICIOS 24

LU mn Nena er tc de o ses pins o na
o,
À ous Voie t pass 1
€ D a0 0 + Md) =F 0 "pads rs
EEE ee parler so

2. Repite ejido 1 and el mo mien de Newt Rao sr cn cu.
‘ln 21) Mejor la pira cid en compra com je 1?

3. Ange mei de Neo y el mito meat de New Rapa descr en cu
ón 21) pa contra una lacie del pee poles con una exacted e 10%

+ Late 2074 0300=0 par —1<1<0
te sl np que 16 no qe ei core ha se emplazado pr ss =
‘mucins de caso dipl Comp ls ais on o restado de 18) de 3)

(Dem has nom cinc = 0, ¿Qu pate ee
= le.

en

a. Demasse que pr ug er poo ei eii por, = 1 comer
Eos ap = 0
1% Pas cada pa de ern y m determine un no N paa lal UM < 10°

86 CAPÍTULO 2 + Sales de ecvacones de une role

& Demiere pe most, = 10: convegecadricunente ee
X Devos que la sein p, 10-* m comerge anditcamente cera in pura el
uno dl espneniek > 1

7. 8. Consens una sacs que cove cero de eden 3.
À Seponga que a > L Con una cei que comer acer done

1. Suponga qu p una ae de mul m de [dde fe comas en un neral aber
to que cuen. Demo que el see mé de put Tj ene) = 0
fo
vo

Demucure que alone de Buche 2. da un can con na cota de or que conve
rinnen à ce

soma

10, Sopong qe ene m derivadas coimas. Mie I derma del oem 2.10 ara
argu fen une rf de raid en psy le à

On WSF ph pen Pro
FA mé era pr rele) = ado pr el méd pnt i 2) = dde

en

Frames meta

cat gp) = 8) = 0. Et generate prié una comergencia bin (m = 3). Use at
sis del empl | pura compar la conerena Curia} I comennca bin.

12, Pure denne (fe peep, (DA: pp. 228239) gu, (i sn pina
ae compen ein ri te ents pte tn) ono
‘Sines comme Ceo pe pf= Co, =p peg =p Ip aos amenos
fants cea Spgs qu hamma pen mers deu nr te VE
Ti bie nul gy des denegada dave es anton:
Pi

25 Convergenda acelerada

ara vez podemos dao el jo de tene una comerencia cuadra; pr ell, x conte
sci edison una técnica denomizda método A! de Alten, tcl sine para
Accra a comegencia de una scsi que se selene umengene. president
de origen optic

Sauron que (rm cei calme convergent cn un nie p Pax
campal la conne una cen GE que cone spent ap que
(pe aupongamo primero que lon signos Sep, P Pray Pr Y Ps Don PS
Ye es sainteté grande come pra que

=,

Entonces,
WR nn

A map + rate

HEMPLO 1

able 211

28. Comegenco rad 8

Bert Pa WDR Passe Por

Al despeja obtenemos

Passa”

Paar Bact Pe

jas

Sisomumos y retamos los términos 2 y App, enel numerator, podemos reseibir es

taexprenión as:

map. Sammer

id Parr Paci * Pa

AA NL
Pasa” Pass * Pe

EMEA

md le sa posó e qua ación
w 8 LOT Et A

converge más rápidamente que la sucesión orginal (12.6

La sesión (p, cou ln) converge linealmente ap = 1, En tabl 21

Y (Pere Sim duda parece

donde p,

se incluyen los primeros términos delas sucesiones (,
que til

7
2
5

converge mis rápidamente a p = que (0,

a
sat
var
09801
09981

La notación A asociada a esta tenia tenc su rigen en a siguiente definición.

Definición 2.12 Dada la sucesión (9). la diferencia progresiva Sp, ext defini por

ape PAZO,

88

Teorema 2.13

CAPÍTULO 2 + Soluciones de auacones de una vraie

Las ptes mayres Ap, se deinen reunivamene por medio de
Sen at panke? .

La definición anterior significa que

Sp, = Mp, Mos =p — Peet) = Pana Pad
Poet,
Spe tes ern
Y lala caca (212) pue rie a
pr LE, pan so em

Has ahora al hablar del método 87 de Aitker, hemos dicho que la sucesión (7)
cames à p más rpdament que la scesió ol (7, pro no bemos dico la
que se entiende por una convergencia “más rápida”. El Lorna 2.13 explica y jus

Ya terminología. La demostración del tcorema se verá en el ejercicio 14

Supongamos que (p< una sucesión que comerge linelmene al límite py que. po
atodos os valores aufclntemente grandes dem, enemos (p, — P) Ques — 0) > OE
tonces la sucesión (Sng converge ap con mayor rpidez que {p,]s-0 en el sentido de
qe

tim ze
ner

=o. .

A aplicar un método 8? modificado de Aitken a una sucesión Iinealmente comer-
gene obtenida mediante a iteración de punto fi, podemos acelerar la comercia à
uadráica. A este procedimiento ele conoce com el nombre de método de Steffen, y
fire un poco de la aplicación del método 4? de Aiken directamente ala sucesión de ie»
raciones de punto jp que comergen linealmente, El método de Aiken deberá construir
dos términos en el orden:

Dem a ES
OS
onde (A?) indica que e us la cación (2.13) El método de Stflensen construye los
nismos primeros cur trios Py y Y fy NO Obsane, cn ete pas s

SS una mj aproximación de p que py y aplica I tración de punto jo a
a, Al aplica esta notación. la secuencia generada será

O Y AR A.

La ecusción (2.13) genera cada tere término; los demás usan iteración de punto jo en
cl émmino anterior. El procedimiento se desrie en e algoritmo 2.6

ALGORITMO
26

EJEMPLO 2

Tabla 212

25. Comeenci clero 89

Método de Stetfensen
Para encontar una solución p= (p) dada una aproximación inch

EXTRADA aproximación incl; tolerancia TOL; número máximo de iterciones Ny
SALIDA. solución aproximada p o mensaje de falla

Paso 1 Tome i= ts

Paso 2 Mientras Na haga pasos 36,

Peso 3 Tome py = sry: Calcule pt)
Pensions (Calle py)
Pepe RU; + A (Calle pi)
Paso 4 Si |p = pal < TOL emonces
SALIDA (pi (Procedimiento terminado atifctriamene)
PARAR.

Paso 5 Tomei = i+
Paso 6 Tome py = p. (Redefina py)

Peso 7 SALIDA (El método fll después de N, terciones, Ny =". Ny
(Procedimiento terminado sn to)
PARAR. .

(Obsérese que Sp, puede ser ceo, lo cual introducía un cero en el denominador de
La siguiente train DE ser a, eminariamos a sucesión yescogeranos "como la
respuesta aproximada.

Para resolver x + Art — 10 = 0 mediante el método de Seesen, ea x) + 4x2 = 10 y
despejamos x dividiendo entre x + 4. Con este procedimiento se produce el método de
punto fo

w= (2

lizado en el ejemplo 34) dela seción 22.

EE procedimiento de Stetfensen on py = 1.5 da los valores de a tabla 2.12. La exac-
tial de La leración pl? = 1465230013 sde mueve cias decimales. En ete ejemplo, con
el método de Sietlemen se ou cas la misma rapier de convergencia que con el mé:
todo de Newton (véase el ejemplo 4 dela sección 24). .

o 13199725 IE
\ Pa LRO

90 CAPÍTULO 2 = Solms de auch de uns vate

En elejemplo 2, bsrvamos qu el metndo de Stetfensen parece dar la convergencia
cuadrática sin evaluar una derivada; el corema 2.14 verifica que realmente es así La de-
mostación de esc 1orema se d en [He2, pp. 90.92 o en IK, pp. 103-107],

Teorema 2.14 Supongamos que x= s(x) tene la solución con gp) Y 1-Shxise 6 > 0 a que se
¿Cp — dp + 8, emonces con el metodo de Steffensen btcadremos Eacomergencia cute
rca para cualquier py € [p = 8,9 + 61 .

CONJUNTO DE EJERCICIOS 2.5

1. Las sipóotey scene sos nee comerme, Cine Los ico primeros mino de
act (i) por meda del mie 8} de Alien
A RS]
ES)
nO Aut nel
En. mon. nel

2. Comer a función) = + 32 ~ Bt (I 2°. Aplique el tdo de New
tea con py = par agotimar vna rie ef. Gener mios ats que TP, =p, |<
(00002. Comuna a sei («Me la comergenc

2. Sen sn) = cous — D y” = 2. Aplique el mid de Sein par ence .

4 San 0) = 1 à n° = À Ape dnd de Steen panna 7

5 EL Sen mami x rtd = 137 = a de

"= 073. ¿Que pc ery

e D de stent e tesi y me ep = hyp = VE pane.
tener pl" = 27802 Qué eS?

7. Resta = = 1 Opara la a en [1,1 co un exact de 10-4 aplcndo el mein
(& Siles y compare después os resultados con os el jcc 6 elección 22.

8 Reeva 4 2-1 = Opun al en D, 1] co na exi de 10° empleando el més de
Siena y compar después In eros co I del eee del were 22.

9. Aplique el metodo de Steffan con py = 2 ara calcula a ciación de VScom una ca
fia e 10% Después compare ee rena con Jos nids nl rie 9 de la sección
22 y enel ceil 10 de ci 21

10. Apiueel mio de Sres ara apo las soluciones de as sige canciones con
ta acid de 10%.

a an (2 «+ 29/3, doe y sa fnción enel ji Hk) dea sección 22
c= OS Gen + cos), does la uni en je 1) e la sccón 22.
€ 38 6 = 0, donde ges la unción e el jc 2) dela sche 22.
A = on 0, dende pel foci nel ejercicio 129) el cin 22.

I. Lon pesones sigue omerge 40. Ue el mé 8 d Allen paa pen} hasta
que Ind 25% 10

126. (eos de polie ye to de Miter si

12, Se die que un suce (y, es superlnealmene convergent à

la. pl
tio Mei og
In ol

a Dear que, + poononden a para
ven ap.
1% Demi que 7, = ex suprkincamente COMETE m0, pero que no comer a cero
cameron parda >.
13. Suponga que (7) es supericalmentecomerene en. mestre que

tonces (er noerincalmem con

14. Denuene el torera 213 [Suro vagon qu , = Wary PMP, —P)=A y deme»
te que my =O Despues irn = PM, = PCR lnea 8 Bun A

1, Sea Pel pro de Tape de rado par) = dears seed e,
Cen fa demeure qu p= Pt atic ls hize del ores UN.
N Seuss 1, Ute mie 3? de Athen par grea la sucesión À Pi
€: En eus che, je avr comergecia come modo de Aike?

26 Ceros de polinomios y el método de Müller
Un polinomio de gro nena forma

mo

$a + dy

onde las denominadas corficients de P, son constantes y a, # 0. La función cero,
Ux) = O para todos los valores de, e considera un polinomio, pro sin quese le asigne
grado alguno

Teoremo 2.15. (teorema fundamental de slgebra)
Si PI) ex un polinomio de gado n = 1 con coeficientes reales o complejos, emonces
Pix) = tee al menos una af (poiblemente compleja) .

Aunque el torema 2.15 x ic en el eto de ls funcione clementales, la de-
mostración habil require técnicas tomadas del estudio de la toda de las funciones
«complejas. Le recomendamos al lector consultar [SaS,p. 1], a fin de concluir na expo-
sición sistemática de ls temas necesarios para demote coma 218

Una consecuencia importante de es teorema e el corolario siguien.

Corolarlo 2.16 Si) esun polinomio de grado = | con cofiientes sales o complejos. entonces xis-
Jen cores Une. we Poeme coves y nen Pon m
mp tales que hm = ny

Peay = aga = Uma ro .

92

Corolario 2.17

Teoremo 2.18

EJEMPLO 1

CAPÍTULO 2 = Soluciones de ecacones de ne vai

E corolario 2.16 establos que el conjumo de cers de un polinomio es único y que,
si cada cero 1,5 cuenta el miso número de veces que su multipicidad m, entonces un
polinomio de rado ntndeá exactamente n ces.

El siguiente corolario del teorema fundamental de Sigebea se usará con frecuencia en
esta sección y en captlos posteriores.

Sean PL y QU polinomios de grado,
ros disimos con PL) = Qu) para C=
valores de x

lo msn. Si x. % 4, Con À > n, son núme:
eve ds entonces Pla) = QG) par todos os
.

Si queremos localiza los cero aproximados de un polinonio P(x) con el procedi
iento de Newton, necesitamos evaluar Pf) en valores especificados, Puesto que Ps) y
PA) son polinomios, la eficieacia computacional requiere evaluar stas funciones en la
forma anidada que explicamos en la seción 12. El método de Homer incorpora eta éc-
ica y, por lo mismo, requiere solo a maliplicaciones y n sumas para evaluar un plino-
mio arbuaio de grado m

(Método de Homer)

Sea
EAT
say
O
enonce = Ps) Misa,
DE) geht byt bb
id PEs) = a + ey .

Demostración Según la deiición de QU,
CA + by O te yer BY + Dy
EI EEE EEE 72}

Te EEE EEE D + By
be + = bat + + by = D + — hi)

De acuerdo con a hipótesis, = 0, y By = Bapro 2, por tanto
(AUD + b= y dy PO) ...

Aplique el método de Horner para evaluar A) = 2 — Art + 3

“Cuando relizamos manualmente ls cálculos en el método de Homer
iruimos una tabla que super el nombre de división sméica comúnmente aplicado sta
técnica. Ea exe problem, la tabla es la siguiente:

2.6 Ces de ponamies y el método de Maller 93
Coeficiente Coeficiente — Coeficiente — Coeficiente Termine

det den des dex sane
2.20 o ae
DA bem 10 Dig 14

CONTE 25 no

Por tain,

Pts) = (x + ae) = Al + Sr = 7) + 10, .

Ua ven más del uso del proceimicne de Hore ( división snéic) comi
u Di = a + by
donde
A A A By
al dear pesto a obenemos
PE) + Pis) = Qu ey

Cuando usamos el metodo de Newion-Raphson para encontrar un ceo aproximado de un
polinomio, podemos evalua de a misma manera Ps) y 20)

EJEMPLO2 Encuentre una aproximación a uno delos ceros de
Pu) = 2 = A Ma,
sande e proc

cd iteración 3,
‘Con a, = ~2 como aproximación inicial, obtuvimos A2) en el ejemplo por me

miento de Newton y la división side para evaluar PG,

yo) en

diode
2 0
. 8
2 $ DETTES

"Usando el sora 2.18 y la ecuación

Qu = Wit y PEDAL

de modo que (2) pace encontar al evaluar Q(—2) de manera similar:

2 4 $s =
4 6 2
a wm ET ET TE)

4 CAPÍTULO 2 + Salons de ecuaciones de un varie
y
BE. es
Tg U
Al repetir el procedimiento para encontar 1
3
17 sa |
240 =)
2908
2 TAM 16353 = = PUY).
or tanto, (1,796) = 1.742, P(=1.796) = =32.565, y
amos,

on cinco cias decimales es — 173896,

De modo semejante, y =

Otsérvese que el polinon
bis de una tración tra
El algoritmo 2.7 eakula x) y Pa) por medio del método de Homer

QC) depende de a aproximación quese emplea, y cam

icone | Método de Homer

27 Para evaluat el polinomio

= age tar

at ay = OU + hy
su derivada en

ENTRADA. grado: coeficientes o a. 4,
SALIDA y Poggi = PU

Poso1 Tomey=0, (Calle b, para P)
=. (Cale be para 0)

Paso 2

(Caleute y para P)
(Calcule, para 0)
Peso 3 Tome y= yy + dy, (Calcule by para P)

Paso 4 SALIDA 6
PARAR. .

Sila iteración M, x ml procedimieno de Newton es un cero aproximado de P, en

a = à

QU) + By = = 1990) + PE) = a — 14900,

2 Ces de polraries y método de Maer 95

‘de modo que x = x, será un facto aproximado de Pa) Suponiendo que à, =
vo apronimads de Py que Qu) m Qs) sea el factor auoximado,obtendeman

P= tx = 5 Qi.

Si aplicamos el método de Newton à Q(0 podemos encontrar un segundo cero aprons
¿do de P. Si Pt) es un polinomio de grado n conn cere eles aplicamos vais veces este
procedimiento para finalmente cbiener (m = 2) cer aprorimados de P y un factor eux
Arico anime Q, , (0. En et cepa. pres resolver Q, = 0 median una (de
‘mula casietia para obtener ls dos lios cero aproximados de P. Aunque podemos
nar ete método para obten todos lo ceros aproximados, se basa en el so repetido de
“aproximaciones y puede generar resultados muy impreciso»,

El procedimiento que acabamos de desenbir e lama deición. El problema dela
exsctud e la efación se debe al hecho de que, cuando obtenemos los ceros aproximar
¿os de Pi) e mode de Newton se aplica al polinomio redacido O), e decir al que
tiene la propiedad de que

Prom la Ke Ap = HVC.

Uncer aproximado $, de Q, generalmente no aprouimar una air de A) = Otan bien
como una rfz de la ecuación reducida Qs) = 0, y La inxacitd se incremental aumen-
tar k. Una forma de sopera esta dificultad conste wilizar las ecuaciones roducidas
par obtener ls aproximaciones a. dy... 3, los ceros de P y mejoras después al
cando el metodo de Newton al polinamio orignal Pi)

Un problems que se presenta 2 aplicas el método de Newton a Los polinomio, esla
posibilidad de que el polinomio contenga races camplejas, cuando toot lo coeficientes
son números rales. S la aproximación inicial mediante el método de Newton es un ne
mero ral también serán las aproximaciones subsecuentes, Una manera de superar eta
difcalud consiste en comenzar con una aproximación inicial compleja y efectuar todos
los cálculos por medio de la aiuméica compleja. Ora manera se bara enel siguiente to-

Teorema 2.19 Sit = a + hiesuncero complejo de mulplcidad m del polinomio PX). entonces
tam sá un ero de multpliidu m del poli Pa) y GP = 2ax + a3 + BY

sed un factor de Pt .

Podemos dar una división sintética que contengs polinomios cuadáicos para fato-
izar aproximadamente e polinomio, de modo que un término sca un poinomio cuade
co cuyas races complejas scan aproximacion als aes del polinomio original Esta
técnica se describió con clero detalle nl segunda edición del ro [BER]. vez de pro
(der en esa forma, ahora estodiaremos un método que fue propuesto Inicialmente por
DE Maller [Mu] Podemos aplico en cualquier problema de búsqueda de rlcs, pero
rs de gran tidad sobe tdo al aproximar las rakes de pinos,

El método de Maller es una extensión del método de la secan. Ee último comien-
22 con dos aproximaciones iniciales xy, y determina la siguiente aproximación x, como
la intersección del eje x con a Maca que eruza (y f(s) Y Cs FU) (Vene la Fg.
2.1240) El método de Müller uiliza tes apronimaciones inicial, y 4. yx, y determi.
‘a la siguiente aproximación x, al comiderar la ntección del je con la parábola que
aies Uf) (4 Jus) $C SU). Ve la Fiz. 2120)

96 CAPITULO 2 + Salons de canine d une vii

Figura 212

La deducción del método de Muller comienza considerando el polinomio cuadeáico

Pays em ah + map re

que pas por (fg) ef) ¥ iy fl) Podemos determina las constante, a, by
Ca partir de las condiciones,

109 = at = + Hy) + as)
Moy) san = 2) + Kai = ap + € ein
y
fa)= a+b -Ore~e em
par set
aw
PU fer = 0 = 2 Ug) = fe
PVR fe APO LE, e

CRETE PEN]

AU FED] = 6e = ADV) = D
id Go = Kt na

Si queremos eterna & un cero de aplicamos la (örmulacundrticn PL) = 0. Sia
embargo, debido alos problema del error de redendeo ocasionados por la sustracción de
meros cal iguales, lizaremen la Fórmula como se indica en el ejemplo de la cc.
ción 12

Va

28 Ces depois y el métdo de Mer 9

Est órmola ote dos posibilidades dex, según el sign que precede al término adi
cal Enel método de Miller, el sigo e cie de mod que coespooda al sign deb De
{forms el denominador srs el de mayer magnitud y hard que 15 elccionada como

La rá de P que eth más cercana a. Por lato,
2
BR Tanai) VER

onde a, by € estén dads en a ecuación (2.15)

Una vee que dtcrmiarnos 1, enkiliamos el procedmiento usando x.y 1, en
vez de ke 3 5 para cons siguiente apoximacin, x. El método pique asta
que e logra uns conclusión sasfactoria En cada paso e método contiene e radical
Vi dp tnt, pde aproximar ls races compleja cuando bac < 0. Con cl
algoritmo 2 se estable exe procedimiento.

Método de Matter
Par obtener una solución de 1) = O dads tes aproximaciones, xx ¥

ENTRADA ay o
SALIDA. solución aproximado po mensaje de falla

tolransia TOL: número mimo de ieacones Ny.

Paso 2 Mies <

y haga pasos 37.
Paso 3 b= 8 + hat
D = = MN. | (ta e puede necesita rimética compleja)

Paso Si |b = D] < lb + Dlentooces tome E= b+ D
sio, tome E = b~ D.

Paso Tome h= — ME

Paso 6 Si |A] < TOL emonces
SALIDA ip}, (Proedimientoterminado stifatriomente)
PARAR.

Paso 7 Tome sym (Prepdrese para la siguiente ración)
ad
Rane
oma
B= Gia) = N

98

EJEMPLO

Tabla 213

CAPÍTULO 2 + Salons descucones de una verte

4, = (hss) = Anh,
du e Bd + hy
iii
Paso 8 SALIDA ('El modo alé después de Ny Heracones.
(Procedimiento terminado sin site)
PARAR. .

Considere el polinomi fx) = 16x4 - 400 + Sr? + 208 + 6, A utilizar el algoritmo 2.8
con TOL = 10° y diversos valores de x, Y Xy se obtienen Jos resultados quese pro
Poreionan enla tabla 2.13,

100% 42-03 920
1 A i)
3 DSF 307
4 “ous + 0102101 DS = 10m
5 ZU HOM 0395087 067016
& OIT HOLM -0.146746 - 0007
7 02608 + DAS ORS x 107? + 3970 X 10°%
BOND + LR ONO + 0983474 x 10-4
3
nes lo eis
‘ x 10
3 Be
4 anon
s 0219640 x 103
$ 02100 10-4
5 as x
mis n=20 s
‘ ‘ só
3 1 0611255
3 Cine os
5 100 020% 104
© iso ORO

Usamos Maple para generar la pate () de a tabla 2.13. Para est, definimos 0) y
Las aproximacionesinicales como

110-0,53 0210.05

2.8. Cut pony mdse de Maer »

Evalsamos el poinomio en lo valore iniciales

Otomo

y tenemos € = 6,6 = 10,0 = 9 y py = 05555955584 0.5983516452 usando las
emus del método de Male:

pets

SB: {(p0-52) 2e (f1-£2)-(pt-p2))26(€0-12)) 7 (PD-P2)+ (PL -P2)e(P0-pL) Iz

San {{p1-p2)*€0-€2)~pep2) +(£2-£2)) 0194-02) (03-9296 (0-B1) e
Sp eep2-(24e)/ (oe babe (D enge (D°2-4tate)

Generamos el valor usando armé compleja a igual que en el élu

atom

lo que da, = 294070112 — 3898724738,

Los valores reales de ls faces de la ecuxción son 1.241677, 1970446 y
0356062 2 0 16275; lo cual dermest la exactitud dels aproximaciones obtenidas
con el método de Male. :

Enel ejemplo 3 xe muestra qu e método de Miler permite aproximar ls races de
los polinomios con varios valores inicie. De hecho, ste método generalmente comer
e à a ríe de un polinomio con cualquier aproximación inicial, aunque podemos cons.
{tur problemas en que no haya comergenia e algunas ciccones de las aproximaciones
Iniciles. Eto puede soccer, por ejemplo, si para alguns ¡tenemos JU) = o,
St) 0. Entonces in ecuación cuis a dore a una fonción contento no ter y
‘nunca curarte jez. Sin embargo, aa vez sí y lo paquetes de computación que u
Hex método de Mller piden so una aproximación nca or rat inciso la propor
cion como opción

CONJUNTO DE EJERCICIOS 26

pin api mél de Neon

a faye 28-5
De 8 +38 21

«fares —x—
american

ef = 9 + 4001s + 40026 + 1100
DPI EEE

2 hg pm no de et 103 a Ir eo pens
[eg In pm de moe pa pra deemiar scr compo.

100 CAPÍTULO 2 = Soluciones e acucones de une sale

à Rep

Emmen 136
Brom = = 128 16040
AS
40m + the 2108 = 108 2
à ym Hit à RAD à 1500 + Dar = 200
CPAS.
Bondar = 48 eared
Romans
2 ei aplicando el tod de Mle
Rept eco 2 aplicando el método de Mille.
‘Use el modo de Newton ar bene, on una exc de 10° cers y los puto er
‘conde as get fuck. Ure cta formació pr za la ric de.
Amer & 20 AR IR
160) = 100 BA + 2295 ~ 021131 = Düne un al en x= 029. Us el método de

encon roma m, 02 parta e ear Espiel

‘Use Maple ar netas Ls ac exacts dl pina fs) a + A = 4,
Use Maple ar coa Las co exacts del polinomio = 2? = 2 +5.

plaga Los bd slots para oben us solución con una exacta de 1° purs el
posers

(ne = 5500 + 20008 2001 = 0.
1m Made iin de Método de a porción aos

E Modo de Nestn Método Mater

€ Método de laser

‘Do valse ran en un pio de anche Cada uo eg de a se de un mare a un
pen mande enfe. La cales curan a una lea ab del paves Dar
o que ls oidos dea salas son, = 20 Sy = 30 pes y que = pi cal

Debemos fabricar un de forma circa cele rca que conga 100 cu. La tapa
car ea par speir y dl ondo don tn un ride 0.2 cm más q lacio ela
Ja pra qu hrs se lic ar sella co apre ter. L ja de ma on que
cure ea pa de la la mid debe sr 025 em más grande que la cconerenia e
la aa d modo quepa hacerse ll Cale co un ect e 10°, la anida m
ma de mural scr pr arca ah.

2.7 Une vision general de métodos y de fee 101

ne

12. Ea 1224, Leonard de Ps. mejor conocido como tone, ec el ro masemático de
‘sa de Pleo e presencia del emperador Federico I EI to const en oben una al,
de ani y + 20 + Vu = 20 Primero demons que cul cra de cs race
e y de una racional cu dans, deci o tna ninguna ae dun dels formas
a + Vi, Va + V5, Va 2 Vive VVa = Vin doe ay son números aionals Después
[Sproul nica ar el, probleme alado un método slgebaco de Omar Khayyam

‘hic a iii de un culo y de una puto Su respuesta la dio en un stem

do) do) (5)

lat

Qué exci tenía apron?

2.7 Una visión general de métodos y de software

En este captul hemos estudiado el problema de resolver la covción f(x) = 0 donde fes
una feign cominua determinada. Todos los métodos comienzan con una aproximación
inicial y generan una sucesión que comerge a una ral de la ecuación, sil método es exi-
1030. Si [a,b es un itervalo donde f(a) (0) nen signe diferente, entonces el método.
de bsccción y el deposición falsa comveger. Pro la comergenca de ambos será lenta.
Por lo general, se loa una convergencia más rápida usando el método dela secate 0 el
de Newton. Ambos requieren buenas aproximaciones iniciales, el método de a secte re
er dos y una el método de Newton: por tao, el método de iseción o el de posición
Falk pueden servir como métodos iniciales en el método de la secano 0 ene de Newton
El método de Muller nos dará una convergencia rápida sin una aproximación inicial
muy buena. N e tan eficiente como el método de Newion; su orden de convergencia ce
ca de una raíz es aproximadamente @ = 1.84, en comparación con el orden euadráico,
“a = 2, del método de Newton. Pero es mejor que el método de la secante, cuyo orden es
aproximadamente a = 1.62 y tene la ventaja adicional de aproximar races complejas.
‘Ladefacch generalmente se emplea con el met de Müller, una ez que se ha de-
terminado una raz aproximada de un polinomio. Hecha la aproximación aplique el mio.
do de Müllero el de Newton en el polinomio original que tenga eta al como apoxima:

102 CAPÍTULO 2 © Soluciones de scucones de uno vraie

ción inicia. El procedimiento garatiar que L ral que ext siendo aproximads ses una
solución dela ecuación verdadera, no dela ecuación deacionada. Recordemos el uo.
del método de Miller para obres toda a raíces de polinomio, unto rales como com
Plejas. También puede utilizas con ua función contin arbitraria

Existen otros métodos de orde superior para determinar las races de polinomios. Si
‘te tema cs de su inter, I aconscjamos estudiar el método de Lagon, el cal ofrece
una convergencia cubica y además aproxima raíces complejs (véase [Ho. pp. 176-179)
onde se incluye una explicación muy complet, el método de Jenkins-Traub (véase TI)
y el método de Brat (consliese (Bre).

‘Otro método ineresunte, el de Caux, se asemeja al de Male, sólo que no incurre
enel problema del rasa del método de Miller, cuando f(x) = f(t.) AC para al
guna ¡Recomendamos al cor consultar (YG, secciones 4.10, 4.11 y $4] donde viene
‘aa explicación interesante de este método y también más detalles sobre el método de MU:
er

Con una función y una tolerancia especificadas, un programa eficintedcberdgene-
Far una aproximación a una o varias soluciones def) = O, cada una con un error absolu-
100 relativo dentro de la tolerancia; lo resultados Haba de sor generados en un tempo
razonable. Sel programa no puede realizar esta tara, pelo menos deberá dar expliacio=
es Jóicas depor qué no ve consiguió el éxito una indicació de cómo comegi la ca
a del caso.

La surutina ZANLY de FORTRAN de IMSL. wilza el método de Mae con dea
ción para proximas varias rfcs de fla) = O. Latina ZBREN, diseñada por RP. Bros
a una combinación de inverpolación linea, una interpolación cuadrática inversa seme:
Jane al método de Müller y el método de biscción, y require que se especifique un in.
tervlo [o] que contenga una ral, Las runs (eros on de C y ZREAL de FORTRAN
e IMSL se basan en una vaiate del modo de Müller y aproximan los cero de un fun
ción ral cuado sólo» tienen aproximaciones iniciales pobres. Las rutinas para detec
‘mina los ceros de polinomios sn f_zeos_poly de Cy ZPORC de FORTRAN. que usan
el método de Jenkins: Trab paca cocontrar los ceros de un polinomio real: ZPLRC, que
usa el método de Laguere para determina Ip ceros de un polinomio real y as rutinas
&.2ero_poly de Cy ZPOCC de FORTRAN, que usan el método de Jnkins-Traub para
encontar los cers de un polinomio complejo,

La subrnias cOSae de € y COSADF y COSAZE de FORTRAN de NAG usan una
combinación del método de bsceción, a interpolación lineal yla extrepolción para apro-
iar un ceo real de JG) = O a el Iniralo [a,b La subruina COSAGF es similar a
CCOSADF pero sólo requiere un valo inicial, en ve de un Itrvlo, y regresa un inter
Lo que contiene una al. Las subrurinas COSAJP y COSAXF de FORTRAN de NAG usa
un método de continaación con una iteracion de secante pra aproximar el cer real de una
función Ademés, NAG proporciona ls subruinas COSAGF y COSAFF para aproximar to
¿os los ceros de an polinomio real o complejo, respectivamente. Ambas subrutinas um
vn método modificado de Laguere para encontrar ls rlces de un polinomio,

[Las subratina (aro de FORTRAN de nc usa una combinación del método de bi-
sección y el método de la secant, desamollad por T. J, Dele para aponimar un cero
real def) = Den el intervalo a,b. Reqier la especificación de un intervalo [a] que
contenga una al, y regresa un iteralo con un ancho menor ala tolerancia dada, La su
ia sdr0f de FORTRAN usa una combinación para determinar un ero ral de fx) =
D en un intervalo dado (a,b. Las ruinas rpzero y epzero e pueden sar para aproximar
todo los eero de un polinomio real o complejo, respectivamente Ambas usas el método
¿e Newton para sistemas, que estudiaremos en el capo 10, Todas ls ings een pre.

23 Una ión gener de meta y de sere 103

‘isin simple y doble. Estos métodos están disponibles en els de ne en Internet,
gel orpatec/sr.

Dentro de MATLAB, ls función ROOTS sive par calcular todas ls raíces de un po
ino, tnt las reales Como as complejas. Para una función arbivaía, FZERO calcul
una az cercana a una aproximación inicial especificada co determinada tolerancia.

Maple tien el procedimiento £201 para encontrar as aces dels ecuaciones. Por
ejemplo,

A)

‘revere ls números - 6180339887 y 1615033989. También podemos espcificaruna va-
Fable y un intervalo para buscar Por ejemplo,

soie be 2x, 22.213

reviene el mero 1618033989. ao Lve wiiza vais técnicas especializadas que te ba-
san en L forma panícula de l ecuación o sitema de ecuaciones

"Obsérvese que, a pesar de la diversidad delos métodos, los paquetes profesionales de
‘computa tienen como fundamentoprncipalmente los métis y principios que exp.
simos en el presente capte, El lector deberá ser capaz de usarlos leyendo los manuales
correspondientes para entender mejo los parmetros y las espeificacones delos esl
dos quese obtienen.

Hay es libros clásicos cn la resolación de las couciones no nales: los de Traub
(Tr, de Ostrowski [Os] y de Houschalde [Ho] Además. libro de Brent (Bre) ha sido la
bse de muchos delos métodos de búsqueda de aes que se utilizan actualmente.

CAPÍTULO

3 Interpolación
y aproximación
polinomial

Coca rotor sean un cs e població en Edo Unidos
En lente al a cy datos ela población, en lc de
habias de 19401990

1980
Isar

1590,
Bass

Año 1940 | 1950 | 1980 | 1970
Población | 132,168 [151,926 179,323 [203,202
en mes de
habitamos

105

Al revisar los datos anterlores, podríamos preguntarnos s es
Posible utilizartos para obtener una estimación razonable dela po-
blación que habría en —Algamos— 1965 e Incluso en el alo 2010.
Este tipo de predicciones puede obtenerse por medio de una función
que corresponda a os datos disponibles. Este proceso recibe el nom.
bre de interpolación y es el tema que ahora nos ocupa. Este proble:
ma demográfico se estudia a Lo largo del capítulo y en los ejericos
24 dela sección 3.1, 14 dela sección 3.2 y 24 de la sección 34.

Una de las cases de funciones más tiles y mejor conocidas que “manda” al conjun-
to delos números rele sobre sí mismo sl de los polinomios alebracos, 0 sa el con-
umo defunciones de a forma,

A ta teten

+de
onde mes un enero no negative Y dys on contame reales. Su importania se de-
‘bea que aproximan de manera uniform aa funciones continuas. Dada una función cual

quiera, definida y continua en un intercalo cerado, existe un polinomio que estan “cer

a” de la función como se dete. Est resultado se express con precisión en el siguente
teorema. (Véase Fig. 3.1)

Figura 3.1

“hote
ser
ven
TS

Teoremo 3.1 (Teorema de aproximación de Welerstrass)

Suponga que fest definida y es continua en a,b. Para cada €> 0, existe un polinomio
PAR) con la propiedad de que

lo ~ Poel <e, para oda xen a,b) .
La demostración de este corema aparece en cualquier libro de fundament de andli-

ss real (ase, por ejemplo, [Ban, pp. 165-172).
ra azón importante por la cual se debe considerar la clase de polinomios en La apro-
ximación de funciones, es que la derivada y la integral indefinida de un polinomio son fi

106 CAPÍTULO 3 © Inerpolación y eprnimció polinomio!

cils de determinar y también son polinomios. Por estas razones, con frecuencia se usan
los polinomios para aproximar alas funciones continuas.

En la primera sección del bro vimos lo polinomio de Taylor, y se dio que son una
delas bases fundamentales del análisis numérico. Por su importancia, cabría soponer que
en la interpolación polinómica se usaran ampliamente dichas funciones, pero no es al
Los polinomios de Taylor coinciden en lo posible con determinada función en un punto es
clo, pero concentran su exactitud cerca de él. Una buena interpolación polindmic de.
be offecer una aproximación relativamente exacta en todo un interval, y os polinomios
de Taylor generalmente no lo hacen. Por ejemplo, suponga que calculamos los seis prime.
ros polinomios de Taylor alrededor de xy = 0 para fl) et, Como todas ls derivadas de
{oon e, as cuales al evaluarse en x, = 0 dan I, los polinomios de Taylor son

® £
Pamita Polar Pm de

Pas

2,8% jr
vo Roms

Las gráficas de Jos polinomios se muestran en la Figura 3.2. (Observe que aun en os
polinomios de grado superior e error empeora progresivamente al alejamos de ceo.)

Figura32

Ly =r
vera

8
+
i

voran

vera

‘Aunque en est problema se obtienen mejores aproximaciones para f(s) = e sit
amos los polinomios de Taylor de grado superior, no siempre es at, Supongamos, como

Tabla:

34. Inteploióny poinomi de Lounge 107

un ejemplo extemo, que usamos los polinomios de diversos grado de Taylor con fs) =
Va desarllada alcddor de x, = 1 pura aprunimar 3) = 4. Puesto que

Mm fee, A.
FO = IN,
seda

e O ip Seve

Si queremos spoximas (0) = + por medio de (3) con valores crecientes de m, bene
‘mos los valores en la abla 3.1 un vente fracas,

Elio de dificultad que encontramos en st aso es muy común, pue os polinomios
de Taylor tenen La propiedad de que toda la infomación vtlizada en la aproximación se
concentra en el único punto xy Et problema generalmente limita el uso de la proxima.
ción polinómica de Taylor al aso en que las aproximaciones se necesiten sólo en puntos
cercanos à x, En los cálculos ordinario conviene más war métodos que incayan
información en diversos puntos y que estudiaremos en las siguiente páginas de este
capfulo La principal aplicación de ls polinomios de Taylor en el análisis numérico o es
la aproximación, sino la derivación de los métodos numéricos y la estimación del error

3.1. Interpolación y polinomlo de Lagrange

Como los polinomios de Taylor no son adccvados para a intepolaión es necesario hacer
uso de métodos aleron. En exa seción encontraremos polinomios de aproximación que
se determinan con sólo especificar determinados puntos enel plano por donde deben par.
El problema de encontra un polinomio de primer grado que pas por los puntos di.
tintos Cy Jo) Y ay y) es el mismo que el de aproximar una función / para la cul
{= 363 Ri) = y por medio de un polinomio de prime gado que inerpole los valo-
es de fen los puntos dados o que coincida con els. Primero definiremos las funcions

toni

y

y se define entonces
Puy OO) + LOS)

108 CAPÍTULO 3 = Intepolació y ami patina!

Como

Hu)20. LG9=0 y Ll)
Phi) = flag + 0 fle) = flag = Yo
Pls) = 02 ft) +1 fox) = fos) =»,

Asp es la dia Función lineal que pass por (43 Y Cy 3) (Vea la Fig. 3.3.)

Figura 3.3

rape

nl

A in de generalizar el concepto de interpolación lincal,comsideremos Ta comución
de un polinomio de grado máximo n que puse por los + 1 puntos

GHD Cp SDN SR

(Vene a figura 34)

Figura. 24

21. Intel ypoineie de Loyrnge 109

En cate caso para cada = 0.1. ....n construimos una fence L (3) con la propie-
Aad de que 1,105) = O. cuando # ya) = L. Para satisfacer La) = O para cada
se requiero que el numerador deL 0 contenga el rina

(arn ae DE aloe

Para saifacer LE) = 1, el denominader de 1,0) debe coincidir con exe ¡émmino
‘cut se cale en x = x E decir

a TE
Tah Hy

co

Le 7

UT

En la figura 35 se muestra un dibujo de a gräica de un coma,

La

El polinomio de interpolación se describe Fácilmente ahora que conocemos I forma
de Lx: Este polinomio, denominado n-ésimo polinomio Interpolante de Lagrange,
se define enel siguiente icorema.

Teoremo 3.2. Sis Xy ...x, 500 + | números distintos y ses ura función cuyos valores están da-
dos e esos números, entonces exite un Único polinomio PL) de grado lo más, con la
propiedad de que

JD = Pa) para cad k= 01,0008
Est polinomioesé dedo por

PO = dl + ve 4 JU on
onde para cada = 0.1 ene
L CERTES 3
AO an er
mma)
“Maa

Eseribiemos Lo) simplemente como (a) cuado hay

arado.

110 CAPÍTULO 3 + Intepolació y orainación pin

EJEMPLO 1

Si queremos utilizar los números (o modos) x 22, x, = 25 y x; = 4 para tener el e-
und polinomio imtepolante para /() = Us debemos determinar los cocficienespolinó-
micos La, Ly) y E

Lo =~ 65+ 10,
GAME _ EE
HO ass 3
y
= 210-2) ases
BOT G> naa 2H 3

Puesto que f(x) = $2) = 05,105) = 2.5) = 04 y fx) = (4) = 0.25, endremos

pare Ÿ sooo

+20

050 652 + 10) +08
= (005 = 0428} + LAS.

Una aproximación 8 (5) = 4, (Vene Fig 36) es

4) = PO) = 0528

Figura 36

Compare eto on la abla 3.1, donde no se podía usar ningún polinomio de Taylor
(desarrollado alrededor de x,» 1) para aproximar razonablemente (3) = 5 .

Teorema 3.3

21 Intepolcie y polinomio de Lapenge an

Podemos usar un programa de cómputo para coast un polinomio iterpoante. Poe
cjemplo, ea Maple mos

hose es asta fn, 4 Yes lia Yan (4) yx sl variable a er sado
En ue cpl podemos geerr un polinomio intrpoane p = OS? — 0425: + 115
ce el comand

2.5441, {0.5,0-4,0.251,%

Para calcular coro un aprosimacién (3) = À sra

Lo cunt 61032
El siguente paso conte en calolr un reido o cota del cor iu al apr

‘mar una función median un polinomio incrolame, Eso se hace en el dite

Sepongamoe qu x.y. 4m números ici en lintenal [ably que fe C1
la.) Entonces, para cada en fab exit un número E) en (a, com

ape aan o»

done Ps sel polinomio iterpolane de la ouai (3.9). .

Demostración Obserse primero que, ix = x, para À = 0... m, eones JU) =
Pa). a selecionr f(x) arbtrariamente en (a,b) ovis la cousin (93) Six #
5, Para euer = 0. ,...,n defina la funció g para cn a D} por medio de

5 CE)
= = PO ~ WO) PN ned

So Po tre - Pent

coque C8. Pe Ca. dea quee Cab Condor =
sms

is) =) = Pos) — Vu) + AO EZ = 0- y ~ Po 050.
0 = = na = Yo) = Mnf] EEE «ju no = D OI = 0

Por tanto, g « Ca, ), y sephnula en los m + 2 números distimos Xe Ares
Conforme l corea perde de Roll, xine fen ab) al qe gr 6) = 0.

12

EJEMPLO 2

CAPÍTULO 3 + Intels y opreición paloma

On eng a

os

Por sr Pl) un polinomio de grado lo más n, 0 (n+ pésima derivada, Pa),
un polinomio de grado (n + 1) y

por un,

ee

19 -0- Un = A Fe

y luego de despejar a), tendremos
Xo
ED

fa-n

Joe a+

La frmala de eo otenid en el coca 3 es un estado teórico muy importan
de, porqe los polinomic de Lagrange se emplean frocucntement para deducir la diferen
ciación muménica y lon métodos de integración. Las cotas de ere de estas lcnicas se
bienen aplicado la emia dl error de Lagrange.

‘Nétexe que la forma del ere del polinomio de Lagrange se parece mucho aa del po-
linomiode Tale: El polinomio de Taylor de grado n alrededor dex, concentra cn xa toda
la información conocida y tine un término de errr dela forma

LME og ape,

wen

El poinomio de Lagrange de grado n
2e My eh garde (x = su fórmula de error ua un producto dem + | tem
TETE ven A

xeon)
wel

(= gern ET en

El uso específico de ena Fórmula de error e limita
cota conocidas

ls funciones cuyas derivadas tienen

Suponga que debe preparar una tabla dela función fa) = e, para x en {0 1. Suponga,
emis, que el número de clas decimales de cad entra © valor es d = 8 y que hcl
maño del puso, sl diferencia entr los vales nyacentes dex. ¿Cuál debe er el valor
¿e para que I interpolación Heal es decir el polinomio de gado 1 de Lagrange) rro»
je un err abuoluo o máximo de 10-47

EJEMPLOS

24. Interpol y pobam de erage 413

Sean x los mers en ls ques eva fen xen [0 1 ysoponga qe j
ce 5° 3 5, La ecuación (33) significa que el er de a interpol lineal ex

sp LO cs

Lo ral ;

a

Por ser hel tamato del paso, se deduce que 5, = JA = Y + Dy que

al
Le jo = + nl

Wa = ol =
Peu,
Ur = rl = md mi le ane url
> ás laa + ml
A come = (= JU = Y Upa 5254 + DAY apical me

todos de duo (ate jr 2) encontramos q

ANR

mie le mega me lec le((p+ 20],

as, mago Dl = ‚as ot = (+ 2 E
En consecuencia lero el intepolación incl cs acotado por

I = Pool =

y cen gt hie modo que
to imp qe € 172 10°

Peso que n = (1 — OY debe ser un enter, una elecidn Méga del tamaño de pas es
b= 000 .

En el siguiente ejemplo se explica itempolación cuando no € posible emplear a
pure dela cusción (3.3) corespondiet al mer.

La abla 3.2 muestra os valores de una función en diversos puntos, Compararemos las
sprotimaions 315) ends con vario polinomios de Lagrange

116

CAPÍTULO 3. Intupoeció y prrimann palm

Como LS e halla entre 1.3 y 1.6, el polinomio lineal utilizar, = 13 y 4, = 16. EL
‘valor del polinomio iterpolate en 1.3 es

05-19 oganog6o) + USTD =
Py) = ER O0 + HE 0455402) = 05102968,

Es razonable emplea do polinomios de grado 2: uno suponiendo que x5 = 1.1 = 16
y ue xy = 1.9, Io eval not da

(15 = eus = 19 US 13015 = 19)

IA = 19) 8 AL 1) OHM
y GSH 13H18 2 16
ETES)
= 05112897,

y eo suponiendo que 19 = 10.2 = 13, y que, 16 to ua os da
Aas) = osizans.

En el caso del rer grado bay dos formas de elegir el poioomio, Una consist en at
poner que xo = 1.3.2, = 16,27 = 19 y que xy m 22,10 cua os da

PAS) = 05118302,
La tra consist en suponer que x= 1.0.1 = 13,2, LÉ, y que x= 19,10 cul nos da
PS =osusız.

El polinomio de Lagrange de euro grado ul todas as entradas o valores del tabla
(Como = 10.5, = 13.1 = L6 4 = 19 y cuando a, = 22. la aprotimacin es

PAIS) = 05118200.

Esperamos obtener ete grado de cxactitad con las aproximaciones anteriors, ya que
PAS) PAS) y PAIS) coinciden con una exact de 2X 10" unidades. También es
eramos que PA.) sea la aproximación más exact, porque emplea una mayor cantidad
¿e os datos proporcionados.

La función que estamos aproximando es la función de Bese de primer tipo de orden
cer. cuyo valoren LS es de 118277; por ano, étas son las venaderasexacttudes de
las aproimaciones:

Dejas) 10.51.5310,
leas 105154210,
lan) - su.syl~ 6400107,
leas ~s.s)|~ 25 x 10 +
laa) -zusıl= 150 x 10°
leg) -gasıl= 77x 10-

33. Inepicción y poiomio de Logran 115

Aiénase que (1.5) es la aproximación más exacta; per si o conocemos el valor
real de 1.) sectaiamos P.(1.5) como la mejor aproximación. ya que uliza una ma»
or cantidad e los dato proporcionados. En ste aso o podemos servimos dl término
el error o érmino residual derivado en el tcrema 3.3, ya que no conocemos la cur de
riad def Desafortunadamente, cs siempre ocur exo .

de aplia, generalmene cl grado del plicomi necesario pars
lograr la exactuod deseada no se conoce ante de determinar los cálculo Se acostun-
ba obtener los resaltados a pri de varios polinomios, asta que se logra una cree
“encia apropiada como e el ejemplo anterior. Además, el trabajo resizado al calcular la
“aproximación mediante el segundo polinomio no reduce el quese requiere para calcular el
tercero; tampoco es más (Sci obtenerla cuata aproximación una vez conocida la teresa
y só sucesivamente. À continuación derivaremor estos polinomios de aproximación detal
forma quese arunechen mejor ls cálculos anteriores

Definición 3.4. Sea funa unción defini en x A: 2. Ay, ¥ SUPONGAMOS que my... Ms SON À
entr dits con = m, = para ca . EI polinomio de Lagrange que concuerda con
En os PUMOS Ja A 00 Kay € SHOE POC Pam ny CO .

EJEMPLOS Sixy=l.xy = 2x3 = Jay 4. 6, y xo) ue, entonces P 24) rá el polie
mio que concuerda son) en, = 2, x, = 3 y con x= 6,6 dect

LIO EMO, Y
E)

Pia

Enel siguente ru

o e describe un ét com el que se generan recusivamen-
te aproximaciones al polinomio de Lagrange.

Teorema 3.5 Sifesh definida en xy x. Y 3,Y 3,200 dos números distintos de ct conjunto en
Pan joa 0 a 400
on rr)

describe el polinomio de grado k de Lagrange que interpola fen los k + 1 puntos xy.

Demostración Para facilitar la notación, sean Qe Pa, ane. LAT

“jo. Puesto que Qe y Ot) son polinomios de grade à = 1' menos, PGA sera de gra

E et bi
DR yy,

Además. como Quy) = f(x). tenemos.

6

EP ju = fun

LUE

116 CAPÍTULO 3 0 Intopelacó y apracinacó pont

De modo anslogo, como Q(x) = ls). cbtenemos Pta) = f(x) Pro, por definición,
Pay... el polinomio dico de grado alo más qué concuerda con Fea Ay...
y Por Sonsiguente, P= Poy, Be

De acuerdo con el torema 3.5, los polinomios interpolates pueden generare de ma-
nora recursiva. Por ejemplo, podemos generalos como se indica en La aba 3.3, donde ca-
<a hileras termina ate de iniciar as siguentes.

Tabla aa = Tee
a Ara
5 Bro
5 B= Oe =%
nds Pisse Qs Ps = Qu

A est procedimicato se le conoce co el nombre de método de Neville. La notación
que se usa en I tabla 33 es dificil de manejar por la cantidad de subíodics con quese
representan las entradas o datos. Pero obsérvese que, l constr un ego, so se nece-
tan dos subindces. Descende por la tabla equivale a utilizar puntos consecutivos», On
A más grande; desplazarse hacia la derecha equivae a aumentar el grado del polinomio
intepolate, Dado que los puntos aparecen consecutivamente en cada entrada, debemos
‚desenbir únicamente un punt inicial yla camidad de puntos adicionales con que se cons.
Inu Is aproximación.

Para evita los subindices múlipls, sea (0), 0 = jj el polinomio interpone
de grado jem los Y + RMS 5 genen nn € i,

gi

Al aplicas esta notación cn el método de Neville se cbtiene cl urn de la notación Q de
la tabla 33.

EJEMPLOS. Enel ejemplo 3, os valores de dros pinos inerplanes en x = 1.5 e obuieron
poe medi de los duos cuido en las du primers conan de la bla 34. En ea
‘jmp, aproximamos (1.5) usando el rvaltado del coma 3.8 Si x = 10,2 = 1,
Eas & = 13 y d xy 22 entonces Oop =/(10) Qin = U3) Oi 4010)
Gig SUS) y Qug = JUE 2) Eston 500 los cio polio de grado cero constan)
is aproximan (13).

Al calar ns aproximaciones de primer grado 15, entrenos
[EEE EEE

015) =

22%
LS — 100, = (LS = 1060
1310
0 6200860) om

= = 0523349,

De manera análoga
(15 — 1.390.4354022) ~ (15 — 1.9(0.600860)

Zei 05102968,

PO)
DOSE y 0.15) = 05810820.

21. Imepotciónypuónomio de Logronge 17

‘Se esper que la mejor aproximación lineal sea Qa, a que LS se encuentra entre
ayn lay 16

En forma parecida, las aprouimaciones usando los polinomios de grado superior s-
tán dadas por

LS = 10,0S102968) - (1 ~ LONOS23349
Qua = GET OSTERN ELSE ET

Qu) = 051287 y OLAS) = 05137361

Las aproximaciones de grado superior se genen de modo semejante y se incluyenen

abla 34. .
Tabla 3.4 To over

13 OGM os

rr O

19 OM OSI OSI OSMA

22 ONG Os GI OS 0118200

Sila ima apeoximació, Qu: 90 ofrce la exactitud deseada. podemos selecionar
(ro nodo, y agregar otra hilera o renglön ala abl:

% Qs Ou Ll; Ce Oy
Entonces podemos compar: Que Qu» as Pas ene an más cut

ancl jp cv units I conte como de Bes de rine de cren c-
ro. cay valoren Sex ~DDSE3858, Con eno podemos consti una mor lr oren-
Binde sproximacnns a LS:

25-0038 04807699 05301984 05119070 05118890 05118277,

La última entrada valor, 05118277, es coreta st cias decimals.

EJEMPLOS La tabla 35 contene ls valores de (9) = In on una precision de cas décimales dada.

Tablas o
0 29 0m
1 2 om
2 D ou»
Nos servimos del método de Novi para apranumar f(21) «ln 2.1 A completar la
tabla, da los valores.
Tabla 36 7
o 20 où own
1 22 01 amas are
2 23-02 om oi oma

18 CAPÍTULO 3 + Intenolaión y aproximación plnomit

Por tant, P21) = On 07420. Puesto que (21
lugares decimales de exacted, el enor absoluto será

In 2.1 = 0.7419 con custo

lye) - 292101 = 107919 - 078201

Sin embargo fa) = 14, JD = ee, y JT) = 20, así que la Fémula (33) de una
cota de nor

Len-ranl- a - aaa)

1 3 10%,

Nótese que el ere real, 104, rebasa la cota de cor 83 X 103, Esta contradicción
aparente es consecuencia de los cálculos con un número finito de dígitos. Hemos wo
las aproximaciones de cuir dígitos ya förmula dl error (3) supone uns arimdtia de
dígitos nfits. A ell se debe que nuestros errores reales scan mayores que la estimación

pe .
En el algoritmo 3.1 se constrayen por renglones las entradas o datos del método de
Neville.
conso | MMerpolacton Iterada de Neville
31 | Para evaluar el polinomio imerpolante en los n+ 1 números into xp... 1, enel

úmero x par a función

ENTRADA los mümeros xy 1.» 1 valores fC) U 2 SU) como a primera co-
luna Qu Quo =» Day de Q.
SALIDA latabla Q eva PCE) = Que

Pao Pasi= 1,2,
para) = 1,2.

Paso 2 SALIDA (OX
PARAR, .

‘Se puede modifica el algoritmo para agregar nuevos nodo interpolanes. Por ejem
plo, podemos hacer uso de a desigualdad.

lou Ql <e

‘como ctiteio de pao, donde es una tolerancia prescrita dl cor. Sita desigualdad es
verdadera, ©, ser una aproximación razonable a). Si es ala, se agrega un nuevo pu
10 de interpolación 4

22. Ines ypoinom de Lorene 19

CONJUNTO DE EJERCICIOS 3.1

1. Para sucios das la sun, = 0, 4, = 06 x= 09. Comu poison de ine:
pación de grados uno dos lo mimo para aro 049), y ciu el em rel
Koco à Joe Vive
ea a+) a Joux

2. Apt crea 3 pus ca

3, Use os lim nerptants de Lagrange apropos e ras uno os y es ar +
Final plc:

ae EOS) = RDA, FA) = 1756892, JE) = 1850818, 187) = 1882091
84-4) à 095) = ~007181280, 1-05) = -00247500, JI025)= 0234991750,
for 110100000
025) si 3) = 060008558, (02) = 02190868. f09) = DONNE,
Jos)» 0208000
4.094500) = ~0.17404440, 0.7 = 00137527, AY» 022363382,
410) = 068809197
4. Aplpe el metodo de Neil purs obtener as aproximaciones eee 3.
1. Anl el modo de Neve pur primar VS co a fact JU) = 3 ls valores x =
cid nt
Apap el método de Neve par sean V3 con la fansite fo) = VE y Jos valores
Pay 23 = ya = 5 Compare I excita coma del ji.

7. Lon aos el ce 33 gear ands las sigue uniones Use 1 ma comes

armen
De flay 2+ $0018 + 40026 + 1.101
© fie) nur 26 4 = 1

a. = eme

Sean) = Vim sy Pa epi inert n= 04,945 = 1. Cle valer
mus rane des, cn O.) prac eval (03) ~ 7403) = 025.

9. Sea PA el polinomio itp pars eds 0, (03,33) y
elceiine de sen Pes &

10. Use pois erate de Lagrange de grado eso mesos y ls antic de ort cu
to ls para aos 0750 por mei Se on lentes var Cale ns cou ro

Event

ea 0658-0761 cm O739~07532 eon 0168 = 0719 mas) = CNE

El ae al de con 0750 0.717 (co una exci de curo cis decimales). Expliqe la
‘Ssrepncia ex eee e cr el y la ot de ero.

I. Use on oem ales y a aga de redondo cabo don gra comuna au
‘ici del tercer pin de Lagrange 2/10) La función que va
A) = gy us Coco terior cli una cta del res

se spose

Jamo JLOS)=02M4 JDN ¿0D 032

120

CAPÍTULO 3 © Inuplación y apraimació ptm!

22 Rep el ejercicio 11 usado Male y la amé de redondeo ai eos
13, Ei meine de Neville sine pra aproximar (09), cundo se dispone ela sigues bl.

Bao Rao
Pen
2207

ta

Desemine P, = 107)
4. El mtd de Neil sie pars npronima DA). oem co ion tabla,

el

Detemine P, = 03)

15, Coostraya los poliamlcIerplnu de Lagrange para ls siguentes funciones y obtenga
nn cota del ero hole ele iy
a fem, 0 7031 «06e 2
DJ) = nn A
ET =
Omer #05, 022,03. 0,= 10.883

16 Sea fn) = espa = 122,

2. Aprotime 25) media la erpolació alos, 0 1 = 03.

1 Aproime (075) meant a incpolacón ica con a, = 0 y, = L

{Apron (028) 105) mia el segundo polinomio interpola om = 0, = 1
Pers

4. Cates proinacines soa mejores y por gud?

17. Sapo ge necesita consi de bo hanes decimals pr a fuciónlgarmic co
amd, de base 10, de «= 1a. = 10, de modo go la xerplaió hal aga ns exc
de 10"% Determine un cos del mao del us pr eta abla ¿Qué tama de puso escoge
‘pra megan de que la ala ncya x= 107

1, Sepa que, = far =0,1,2,3 geste pe
E
ea Pal
19, Sonn que, + 01,233 y que sebo que
FO Rada Patty OS
Oca Pa 29)
20. E orita de Neville ve pr apor 0) or medi ef). =D, ff). Se

pan que 4-1) 5 soeces por 2 y que JU) se bene. 3. Determine le dl
‘clo original del valor del pero lterplate al prim 10)

21, Consrya uma sesión de valores imorpolacts y, 2/0 + V0) donde fo) = (1-2) pe
PSSS, como ge par cda = 1,2... 10.084 = lin Y PY VO),

terre

21. Imre y plano de Lgrenge 121

(Pars aa = 01,2. ¿Parece que sucesión.) comege enjtl + VI?
Interpol versa. Sopenga que € Cta

ID Sesa 37 + À mers iio e a) con fe) =, pr cada BO.
12... Si que aproximar p. consta el polinomio inept e rado n co dos
Yous Pa À Pue que = 0493 0™ Jip se dede que 14) 43P = VOL
SE me de mais rads murs so impact ra pra sr:
mus 10),

la temoin trade iver para obtener un apoio 4 slide x=
(por edi dr onda

axes [os | ames

(Conary un agin que ra par cera nrc ima.
fale invodescónd ue caía senor ua aba con población de Eaton Unidos,
tr lo sor 1940 y 1090 Use la mec de Lagrange para potion
os años, 190, 1965 2010
La población de 1930 fr aroximadamene de 13 203 0 habits. ¡Qué ea 2
ui, ne ss cis concorde als aos 196 y 20107
25, Se some qe ls vas concessions de tio als jos de os roble os a
abel ciment des larvas del pla ea (Opel broma L.. Geometrie)
ue ala alos roles en lunes o La bl anexa coto sp promo de Sot
‘orate de av, amadas els princton 28 ds eps del aci La primer mac.
{Wo cri en js de robes Jovenes rt qe la sepia o hizo en bas maduras del

fosse

re

mme tel
le Use la tolé de Lgrnge pa proie cara dl peso prometo de la meee

I Paracas pci má soma decada muera. dermis edi
e polinomio epa.

pa peje yoyo jaja
a pra feed era bord etd bo
Peso promedio del mues 2) | 887 | ven | 1889] 1500| 103% | 944

26, En a jee 24 del sche I e negó una si de Malan pra armar et,
ende ef es taco noma de a anión de ere defi por

PET
à tm rm 1p

eis) donde 3, = 024 paa illo,

A Uta imrplación nea y acorn pura tener na proximate dee!) ¿Qué
modo puce mis ec?

27, Demo ewe pica proven dea demon el em 3.3.5

= AO Po Yon = Re LO
ast
onde Pe el polinomio de Taylor em xi gado y we el crema 1.12

12

CAPÍTULO 3 + Intels y cored point

28 Demaeate que mir, Le = donde sin = u = Aka YA DA

23. El polinomio de Bertin de gado n para CI, 1 en dado por

El) {E)ea ar

donde (7) denon = A. Ets plies pueden suo en ua demon ona
tiv del era de apcnimación de Meier (ne (Ban, ya qe in Aa) =f
pars case [0
+ Obengs 8 pars onions

Den m wei
da Deora que, era nat 5 2

ER
te a yt coe qe sp pa a

See mou

par emo que cundo fis) = 2

DIE
4. Utilice la prec par estar ao de pacs pars que I, | < 1079100
A pra as a [1

3.2 Diferencias divididas

En la sección ameio iizame la intepolaciónieada para genera aproximaciones po-
indices de grado cada vez mayor en un punto especifico, Los métodos de diferencias di
vidas, que explicaremos en esta sección, sirven para generar sucesivamente los polio»
alos. El estudio que remos de este tra er breve, pues los resultados de esta scion
o tendrán gran uso en lo que reta del tr, En la mayor parte e os textos antiguos de
análisis numéricos se examinan de modo exhaustivo los métodos de las ifereneas dvi
das. Si used necesita un tratamiento más completo le recomendamos consultar el libro de

Hildebrand [Hd
Supongamos que P(x) es el nésimo polinomio de Lagrange que concuerda con la

función Fen los números disinos xy ty... Las diferencias divididas de respeto a
fe eo 56 usan para eapresae 1) en la forma,
Bra) tat es
Ha 5)
par as constantes aprepiada dy +

32 Discos idées 123

ara cetera la rimes es consnes, a ote que, Pa su eco en a
forma del ecuación (35), entoces al rar Lo en ued slo término constan
a dece
a= Ping = Sa)

De mascra similar, cundo se el Pa eno ios trios no et en len

tuación dP) son os émino costat y inca,
LD Hay = x = Pas) Je

asique

os

Ahorn es necesario pesenar Ia notación de diferencias divididas, que os recuerda la no-
tación 2? de Alien que uiizamos en a sección 2. La diferencia dividida cero de la
unción respecto ax, que se denota como fx], s simplemente el valor de fen

Sis) = fu. on

te des drena vidas dec en forma adc. La primera dreh
dade respecto a, uy den La dee a
Dies, = EA 08)

2,3} se define como sig
Pneu

Mtra

En forma análoga, después e dtemánar ls primeras (£= 1) diferencias divididas,

fes ul > Mi Sr
La Abu diferencia divi relate 2,2, 90 está dada por
Metz AR pe Ro

Hesse

en

Con ena notin, podemon reexpresar I ecucién (36) como a, = lt xy el patito
mio interpolate dela ecunción (3.3) 0%

PAA) = Sind + flag RE AD + ase AE a
tt au = le) + le)
(Como cabe suponer tas evaluat dy a

as consanesrequeridas son

a eee Ah
arcade 0,1, Potato, poems reescribir) como ase [Hild pp. 43-47)

PF + Ÿ Mig ay enden 2)

Ce 010)

1m CAPÍTULO 3 + plc inci pl
mon nen ré rd ste nd lo
ee pre tes ie cen een
peed Sligo geri orme
nee e le
A a nm go

nou 37
> =

en ie

ums

sf Meter

au
woo acme aon
ee creme
ENEE] Prt des teens vin erat e tn

32

Para obten los coeficientes de as diferencias divididas del polinomio inrpolame P en
Jos (m + 1) mámerosdistinios yn para la función:

ENTRADA. os números Ay Xj 2,3 vanes fle) fh

NE) Fago Fay os

A
SALIDA me Fy Fy a end
ro Sry Tu

EJEMPLO 1

Teorema 3.6

32 Dern dies 125

Pool Panel 2.2
SEEN

Eg Fr

tome Fy

Paso 2 SALIDA (Fae Fun
PARAR. .

Enel ejemplo de a secció 3.1 uiizamos vais polinomios inrpoanes para aproxi
mar 15), por medi de os ass contenidos els tes primeras columnas de a tabla 3.8
re de sradas o datos de L ba ichyen diferencias divididas quese callar me.
ante el algorimo 32.

Los coeficientes de a Imola de ls diferencias divididas progresiva del polinomio
{nterplane de Newton s encuentran al largo de a diagonal de a abla. El polinomio e

Pa) = 0768197 — 04837057 (x — 10) = 0108733562 — LI = 13)
+ 006874 = 10K = 13X 16)
+ 0001821 10M 13 1.086 19)

Nótese que el valor P 1.5 = 05118200 concuerda con el resultado de a ección 3.1
«ejemplo como debe ser porge los polinomios so os mismos .
Ta Teal Mes tl
© 10 ansım

„dam
113 os 010809
2 16 ous ooo coast
319 om Di

sms

42 ons

El corra del valor medio aplicado a a ecuación (13) cuando = 0,

significa que, cundo existe fi, x) = (Epa algún número ¿entre , y Elsi
Ain tore grrr ct retin

Supongamos que f'e Ca. Y Xp Xu: 2,00 números dits en [a,b]. Entonces
existe un número fen a,b) co,

aa}
Motel E

126 CAPÍTULO 3 + Intapeloció y armé potinam

Demostración Sea
80 2/0 = Pan

Puesto que fü) = a) para cada 4 = 0, Lone ma función y ene + 1 coos distin
tosen [ab]. Contorme al corn generalizado de Role, exit en (a,b) un númers Econ
AXE) = Dal que

= PNG) rn
Por ser Px) un polinomio de grado n cuyo coficiente principale tp 1 2h.

FU nt fie

pars os Io ares de Ea comecuenci,
mo
Aue

La fórmula de las diferencias divididas inerpoantes de Newton puede expresane en
forma simplificada cuando se areglan consecuivamente 4... CO espacios pue
les. Al introduce la notación pas Oita ty sare
4g + sh, pomos escribir la diferencia. — 4, como «= 4, = (5 I. Por tanto accuse
ción (3.10) e trastoema en
PL = Pig + 5H) AM) À 56 A)
Kent mat D yee
“I Date kt fes

Air mc de cociente oil.
= Dune + D
0-75

nern Ej 0m

A ésas le ama fórmula de ls diferencias ivdldas progresvas de Newton. ta
forma, denominada fórmula delas diferencias progresivas de Newton, se contre u
Tirand La notación de ls diferencias progresivas que explicamos a hablar del método.
A de Aten. Con eta notación,

ficas
Mol Mo)

Definición 3.7

32 Den vids 1

yen genera.

Mie

rs
once, In ción (1) en siguen émis.
Forma des iferendas progresivas de Newton
ron (Karo om
Sierdenano lodos ite 000 15
eine a O10)
PIE Med A
ee ne
Sil do men ego igs con =, + hy nm, (+ = Dhetnces
=
= een e Wendt
Kar Deren fen

Est forma se conoce con el nombre de érmul de las diferencias divididas regre-
sivas de Newton. sire pr dra una formula de uso mis comindenaminadaförmu-
la de las diferencias regesvas de Newton, Para explicar esta lima, necesitamos la si
oie definición

59% cine una fórmula

Da a scesión (po defina a diferencia sereiv Up, (as nubla) po meio de

VRP Per Pz.
Las potencias mayores se define recursvamene por

Vip, O part. .

La definición 3.7 implica que

1

SIN A
yen penca,

1
Pete Seal ™ Fogg VO
En cosecuencia,
at ed ly

PA) = fis + Hn) + fgg + ng EEE a,

128 CAPÍTULO 3 © Enterptein y pracimaciónpotnomio

La notación del coetciente binomial se ampli, para inclui odos los valores rakes
des aliomar

(ein, „liegst

2 ce PL

poro,
rien spay cal

sto os da el siguiente restado,

Pira ds ne reg dec
(¿Jr om
A A cn.

rose À

Tabla 39 Co ET Teen Cu
echas déni fonds donnes
vin (ih dien diva

10 ron

Pr]
13 00000 1002300
ns ame
16 ous ET comes
oso os
19 0200006 oo
oso

o

EN
‘onpanzarenus los punto para obtener mejores aprenimaciones de inerpolacón de grados
1,2 y 3. Est nos dará la exoctitud de una aprosimación de cuano grado para el valor dado.
des

Sh se requiere una aproximación a /(1.1) una lección adecuada de Tos nodos será 2

polivomio interpolaie hasta de grado 4 usa estos cinco puntos, pero

= 10,2 = 13,4, = 16,2, = 19y x," 22, porque ela que vtliza lo antes posible lor
puntos de datos más cercanos a = 1, y también hace uso de la cuarta diferencia divi
da, Ello significa que h = 0.3 y que = y, por lo cual la fórmula se emplea con ls dife-
encia divididas que aparecen sre ds con líneas spas en la tabla 39:

1
PAID PALO += 103)

1 Lay
mori + Locas + (asco

19

2) osram

$)(-$) ua

= 07196880,

Si queremos aproximar un valor cuendo es cerca del Gal dels valores talados,
‘igamos x = 20, de nuevo sería conveniente ulizr lo antes posible os punto de dato
más cercanos a, Para elo es necesario aplicar La fórmula de iferencis divididas rege
is con += ~ à yla diferencias divididas dela tabla 3.9 que aparecen subrayados con
Incas punteado

ann (i223)

ns - À oax-osmsaio ~ 2 (4) esxoornies
HE) (3) coronas - 2 (4)(4)(2) osnoonisasn
momen, .

Las fórmalas de Newton no son convenientes para aproxima un valor J) para xs
sd cerca del cent de la abl, pore x, no podrá esta cora de xs empleamos el me
{odo regresivo ol progresivo, de mode que inevengal diferencia de arden ás to. En
este caso disponemos de vais fórmulas de diferencias divide, cads una de ellas x al
‘able de manera Óptima en determinadas situaciones. esas técnicas se ls lama frm
Jas de diferencias centradas. Fay vas de ell pero por ahora sólo nos ocuparemos de
una, el método de Sing un vez más, al ctor que desee una explicación más compl
a e acomsjamos comsltr a Hildebrand [Hd

Para o falas de diferencias votadas escogemos x cerca del punto que va aer
“apronimado y marcamos os nodos directamente por debajo de xp como 2... ¥ como
Jos que extn directamente ariba como x... Con ea convenció, la fórmula de
‘Stirling ext dada por

ren) Gl)

sin = 2m + 1esimpa. ya = Zmes par aplicamos la misma fórmula pero supriimos.
la hima nea Los elementos de esta formula aparecen subrayados en la abla 3.10.

EJEMPLO 3 Consider aaa de datos que se dia en os ejemplos precedente. Si queremos aplicar la

(Gerla de Sting paa proximas /(1.5) con xy = 16, usamos ls elementos subrayadas
nl blade diferencias 3.1.

130 CAPÍTULO 3 © Intepolociiny manon poliment
‘Tabla 310 Ez Segundas Tae a
Mercian erences rocas Sins
fey ase ds ii tr
2 Ae
Mara
Al Mer)
Mees Misty fh
eBid Sete Mota
Ass) Mato het
5. Ass
As
sn
Tabla 3.11 = Semin Teens Car
ecke ferns een
10 dde dim dis
10 ans
04837097
13 oo axes
soso cossar
16 ass 00m vous:
cosmo Dos
19 ass sous
mosso

La fórmula con à = 03,x, = 16 y x= = |,se conviene en

Ye)

Las
ose + (-2)(22) cosas + cosmo,

sao

E)
+(-Hosn-ansun

JE
JE)

= 05118200. .

nen

32 Dennis eres 11

CONJUNTO DE EJERCICIOS 3.2

1. Use tol eaten Sn ipl de Nena o el gro 32 pr con
A olmos gc wm ey tes combos ines du. U end
elos pales pon na al sica
4 JO) if) = 16 94410, JA) = 175641. 46) = 5015. JA) = 180001
£09) à 100 = -D 17650, KON = OLIS, JO) = CHINE, 11.0) =

2 Use la la de ec poser de Menton pr cti pineal de
{pau doy wes on pe tn Apis repair cda e
Sox polo
2 [Ch à 079 = OTIS, K-05) = “ONDE, 1-029 = 02349370,

100 = 11000000
a fos)
Ozea

3. Use la fórmula de ierenisrpreivas de Newton pars consi polinomios interpolates de
grado uo, don 3 ex con hor guientes at Por me de cada uno de los pliz apro.

DAS, 0.2) = 0289, J.) = DOM, DA) =

ach à SOS) = -DOTISI20, 4-0.) = -0O24TI009, 4-029) = 0348170,
10) = 110100000

15029 u 100) =
LEE

4. à ed ago 32 pus come el polo iront de grado cust con lo pn
tox diner que pure e a nca

262009988, Ja

O 2RIGRAÓ. J3) = 00066008. OA =

x fo
CET]
CT
oy sora
06 -sıma
10 4m

1 Agen UL.) = 39958) a bay conerys lpia epa de rao cin.
‘Sm Ayroime (005) meda lov sens dto a fala de diferencia vidi pro
ris de Neon:

+ joo jor Jos pos | os
E E

la Use a rata delas diferencias as represivas de Nota para apronimar 106)
€ Aplique ela de Siri pura aproximar (0.43.
6 Denese que el polinomio que ep en gees da es de gado .

132 CAPÍTULO 3 © Intepolación y aproximación pot

7. m. Demueste qu os ploomio de diferencias divididas progresivas de Neon
= + 1) + Or IN E+ Danke
y
Qu = 1-4 Ae +2) — NB ++ BE IM
Inepoan Los datos

ator

‘a Porqué a pa a) o villa propiedad esaglaad de os oinomio nerptats?

&. Un polinomio de cuuno gado Pa) aaa 4440) = 24, AO)» 6 y ANO) = 0, donde
AAD = + 1) = PL Calle AO

9. Seen los siguientes datos pura un polinomio Fs) de rado desconcid.

a jo jJı ja

mole [fe

‘termine e cocine de»? en Ps loka a resin progres ete nen os 1
10 Se dan os sigles ao pce un lim PL) de grado desconocido.

x jo 1 12 15
tato Dis Dir

Determine el eee de > en tl odas La rec progres onen on 1

I. La ému e las fereneis vidas rogeivas de Newton sve para primar (03) se
seta con ls sigue dor.

x oo | 02 jos Jos
Joy Tio Paie Dos Tao

¡oponga quese descubre que (04) Fc abend cn 10 y que JS) fr sobrccpusado

33. Ct deber mine I apecnimacón (03

12. Con ona fusée role ls diras divididas Iran de Neon d lolo:
no mean

16
Pin = 1 + de + du — 029) + Ea = 029 — 0.5,

en fos not y = 0.4, = 028.23 08 y 2 = O75, Oberg (0.78,
3. Con ans fach fa rencias divididas prorata cae dads pot

=00

Lena
sos fui Mad
Hal = 10

m-07 fins

Demi o dos qu am en a tabla.

33. Imepolocén de Meme 13

14 a. Enlairodccónde ee caos incluyó ua bla qe onen lapoblaió de Et
des Union de 1940 199. ce Las diferencias vids adecuadas para aros Ja
‘tac de o ate 190, 1965 y 2010.

Ea 1930 la posi ue aproximadamente de 123 203 09. ¿Cul ea su uc exc
tia dea ia corses à on sos de 196 y 20107
15 Sisetine

ED = fg) + Hg aD ode — a=)
Pepa a) +
$e an

use Pf para demon qu a = fl

Meee Bo)

pu alguna EU Sage según la ecc (3.3,

gun
wen

PE) CEE EN

Si consideramos el poison imerplane de ra m+ 1 0 Xp: y EEO

I Baa)” PLD = ie Fe MOE + AD)

17. Sen nero delos ete 0. |... Dent gee fy So) = fle
Ic. 3) [Sort orate el coin precip del posi de Lagrange de 8
eas duos Uap A]

3.3. Interpolacién de Hermite

Los polinomios osculamtes represen una generalización delos polinomios de Taylor y
de Lagrange. Dados +1 números disimos My... En lo. D] y los emeros no nega
tiv mg M2 Me Y m = máx im m... my). polinomio osculeme que aproxima
tuna fución Je Ca, DJ. en x, para cada = 0... nes el poivomio de menor grado
que concuerda con la función / y con todas sus derivadas de orden menor o igual que m,
ny, pra cada] 0, I... m El grado de exe polinomio meule ex, lo más

dnd nen

Som, + tn + D. y un polinomio de gra-
do M tiene M + coeficientes que podemos wiliza para stisfacea.

134

Definición 3.8

Teorema 3.9

CAPITULO 3 + Intupolacón yapaciacón polonia!

Sean Xe Xp. Xu + 1 meros dstinios en (a, b y mun entero no negativo avciado
an, paral 0.1." n. Supéngne que e Ca, D] y que m = má, Me El polino-
lo osculante que sprutima es el polloomlo Pl) de menor grado al que

LEO
Pah peca, Y ko

Nótese que, cuando n=, el polinomio osculante que aproxima fes simplemente el
polinomio my-éimo de Taylor para fen x; Cuando m, = 0 paa cada el polinomio ose
lante es el ”résimo polinomio de Lagrange que imerpola fen Xy Xp ++

Cuando m, = 1 par cada = 0, 1...., M 5e produce una clase de polinomios deno-
nados pollnomlos de Hermite. En una función dada, estos últimos concuerdan con /
En sp Xy: Ke Además, como sus primeras derivadas concuerda con las def tea
la misma “forma” que la función en (Cr), e el sentido de que las [neos tangntes del
polisomio coinciden on las de la función. Aquí estudiaremos sólo los polinomios oscu-
Janis en eta situación y examinaremos primero un teorema que describe con precisid la
forma delos poinomios de Hermite

Sif € Cia, ] y 5 y... x, € [es } von distintos, el polinomio único de menor grado
que concuenda con fyF ex. .1, sel polinomio de Hermite de grado ao más 2n + | que
ss dado por

seat” Sap + S70 yo
cono

Hh) =~ 206 = ER

Ajo = = ap.

Dento de este contesto L,() denota el sin polinomio de Lagrange de grado def
ido en In ccuación (3.2)
Más adn, si 6 C2", b etonces para x € [0.5]

A
CI

par alguna £con a < £< à. .

10) = Han) +

Demostración Ante wo, recuerde que

ue le sisi

sie).

EJEMPLO 1

33. Inerpolación de Merce 135

Fue sano cundo +.
ja) =0yÍ,,0)=0.
mientas que

4,

65) = 1120, x 91-1

Dart WO

En consecuencia,

Mari) Ÿ fos) 04 Ju) + Er) CE
a8 que Hy concuerda con fen Kenn Ey

Si queremos demosrar la concorducla de A, con fen los modos, primer obser
vamos que L, (2) es un factor de 27,1), de modo que Mf, (5) = O cuando ij. Ade
msi =J Y L,, (9) = 1,tencmen,

Mote) = a,

RD +
214,44) =0,

Aa, a, PL CE CR)
er}

or tanto H, (x) = O par todas las iy las.
Finalmente,

Ff ta) = 18 60) + = ar ED
= ND + 2 = je

ast que fos) = Ost # 3 (o) = 1 Al combiner eos Rechos tenemos

to up cor Sig) 0474991 ru

Por tnt, Hy concuerda on fy Hy CON XX By
Enel ejescio# se consideran le unicidad de eut polinomio yla Fórmula de ero,

Vice e polinomio de Hermite que concuerda con los datos de a tabla 3.12 qua obtener
una sproximaci def).

me CAPÍTULO 3 © Intrploción y oosimación paloma!

‘Tabla 312

1 1 assem 0.8689
219 OS “ass

Calcule primero los polinomios de Lagrange y ss derivadas

CE

E une Ma LE,

un. ame ine 22, , 2
,

unes Ey

rer ie O

Asi los polinomio Hy) y Hy, (250m

50
Ma = 120 10

30, ns 18

PA EAS

cin (2 CH

10, 30 my
IN
mo > 7)

és Da 15, 12)F
A See 18,8)

Finalmente,

His) = 06200860, a) + 0.554022

05220232) ~ OS, ~ S8U1S71À CO

33 Imola de Merit 137

E E

= 051182
resultado ya exactitud corresponde a ls Ingaes decimales indicados. .

Ame el tcorema 39 proporciona una descripción completa de ls polinomios de
Hermite,en el ejemplo | compras lo sguiet; la necesidad de determina y evaluar
Jos polinomios de Lagrange y sus derivadas hace tedioso el procedimiento, au par valo:
es pequeños den. Oro método pra generar la aproximaciones de Hermit ene como
base la fórmula de diferencias divididas interpolnts de Newton (3.10) pars el polinomio
de Lagrange en kg ee 3

Ps) Slag +

Mg Soe A = ae HD

y la conexión entre la ésima diferencin dividida yla derivada de grade n de / como se

escribió en el teorema 36 de la sección 32.
Supongamos que los números dites Xy 2. 2: Está dados junto con ls valo-

1 de y de” en esos números. Defina una sucsión MUEVA es. Aa PO medio de

er pamead d= 0 ln

y comuruya la tabla de diférencis divididas en Le form de la tabl 37 que li ty

Ren, a ae M ie sateen
teo de A ponte dE quel
tie ae esas O poms es ee
ae

SE
‘en verde las primeras diferencias diviica no definidas

Fig fey he lu
Las diferencias vidas restantes se obtienen enla forma habitual yla diferencias divi
didas apropiadas se emplean en la fórmula de iferencias divididas interpolats de New
on. La ah 3.13 contiene los datos quese emplean en las columna dels tres primeras
¿diferencias divididas cuando se determina el polinomio de Hermite H.C) para ru ¥ 3
Los datos restantes se generan tal como se hizo en la tabla 37, El polinomio de Hermite
es dado por

Ma a Sogo SE ae =
Una demostración de este hecho viene en (Po, p. 36].

138

Tabla 313

EJEMPLO

Tabla 314

CAPÍTULO 3 + Intels y orniación palm

Primer iceman Sd

m

=p)

ne ru

cn ue

ru

Meets
and

Reged =F

>

wer

Los valves de la tabl 3.14 una lo datos del ejemplo. Los valores subrayados on los
datos conocido: los restantes se generan mediate la fórmula de Las diferencias divididas
ordinarias (1.9%

HS) = 06200860 + (LS ~ 1.34 05220232) + (LS = 13)%-0.0897427)
+ (LS = LIL = 1.6)0.0663687) + (15 ~ LAPS = 16700026663)
+ (1.5 ~ 13705 — LOPS ~ 1.9x-0.0027738)

= OS118277,

Pre

osssuon2

ogro

oa

ETE

.
oran

omnes?
-00008330 Domus

nées vas
00290557 0010120

De
“eco

La técnica aplicada en el algoritmo 3.3 pucde ampliarse y ware par determina tros

polingeios sculantes. Una exphcaciôn concisa dels procedimienios la encuentren [Po
pp. $357)

33 Impede Mere 19

icono Interpolación de Hermite
33 pura cbene os coeficientes de polinomio itrolame de Hermite Min) e Is (n + 1)
mers dits xy... 5, par la función f
RADA. Jos mero xy Y. 5 valores fh on JU) YF Uh oe SU
SALIDA. os nées Qay Qu Or ey donde
HE) = Ogg + O, = &) + = + Ole)
+ Queen
À Quant = ADF = ne

una)

Paso 4 Pain 241

para = 2.3... Homar Qy =

Paso 5 ENTRADA Qu Op o Oost ae
PARAR. .

CONJUNTO DE EJERCICIOS 33

1. Un lens 39 lahm 3. pars consi pie de prono pra os

oes dt.

2 | os | rw. * «4 gw | fu
a | now | suse os [ome | nes

es js fo «e | no | fu

2 Los dus de joe 1 se earn po ma de ls ue funcio». Use ls plo
in come ne rin 1 par lalo dao de xy So e ron) cae

140 CAPÍTULO 3» Intpeacn y apraimacn porn

an
BA = sende De opinar 109)
E fa) = + $001 2 4 4002+ LOI: prier / -D.
4. fa) = toma 28 + de Kap 20
A a Use los siguentes vos y a artic de edonden cnc dígitos ar conse un po
Bono into e Hert que le pra aponimar se 034,

ow
as | oats? | os
ass | 030 | 097

la Determine una ea de er pura sapin de La pure (y compres co el er
+ Aura scn 33 = 0.32404 y co 0.33 = 4 aos atin y vela festa ls che
tos

4 Seajtn) = See - e.
2° Aprxine (1.09) por medio del polinomio trol de Mene de grado máximo us
zando 4 = yx = 105 Compare el ro ral om La cota leo.
In Repita) Cone pie iria de Here de grado máximo coco cado
fem los 10533, 101,
Use fl de ee y Maple pra ecorrar una cta dels eres en ls aproximaciones
‘ef mln pre () €) el eco 2
6 La bl suene cone dan ferns la fn que se describe median fs) = Oi
Apantime Jl 23) por io de 123) y MA 23), donde Mya o odos fe 1. = 23
33H ele o don 1 y 2 = 13. Cael ls cts de eme cn ts Spon

fazer | sarnore

meant TS oman
ans dasizero | o osea
nod Vaginas | Os
an TN NT

7. Un atoms liza un record po na cartera rc y se cocoa su como en ve
ño poston Los dto recabados dels Chacon incluyen cn lala junta, mdse
‘Sempo se ie en segun, tancia en pe y a veloc en pe por pudo

Tiempo, sys"
Dis |]
Var CARRE

a. Us el poliromio de Hermie par rece la posición del asromérl ys velocidad cundo
PEO
1 Uso ladera dl plinomio e Hermite para dinar sl esto rebase it
de velocidad de 5 mb en cartera. Do seal, eal ela primera vz que la code?
+ ¿Cul sl velocidad sia preci de und?
a Deere que Ha sl palio alo de men rado que concuerda com y con
From. Sopeencia ponga que Pa) ro polo de ee po y sondere D
TM]

24. Inept de tardas cios 141

1. Dada el miso de re enel oem 39 [Seren piu el mino mind que
a deducción del mor de Lagrange tema 23 quede

20-10 ES

y dema que FU) een +2} ceo sis 1.1
D Saa Ag Xp 3213 1, Conseya la bla aer de is is

Pe ET

CS

an

fos)
ro

a

Demuestre que el pliz ce de Hem a) ari und ron omo E) +
A A

34 Interpolacion de trazadores cúbicos"

En scones anteriores e este cap estamos a aronimación de uns función abia
‘spr medio de un pleno en un intel cela Si embargo La str catia
‘eos polinomios de alo gado yl propiedad de que una Actuación cn una pare peque
a de un intl puede ocaso imporants ucaciones e odo el rango lia su
lación. A fal de esta sección veremos un buen ejemplo de ello. (Véxse la Fig 312)
Un procedimiento altemo consiste cn dividir el imeralo en una serie de sbimeva
Lo, y en cada sdinierao consi un polinomio (generalmente) diferent de aproxima:
ce esta forma de aproximar por medio de funcione el conne como aproximación

trapmentara.

La aproximación polinómicafagmentaria es a intempolción ica fragmenaia que

consiste en unir un serie de puntos de datos
eo Mee Dh SOE
redime una sri de segmentos de rectas, como los que aparece ea figura 37,

La proimación por funciones cales muestra una desventaja: ose bene Iseguri-
ade que haya ferien los extremos de los suite als ocu dent de
an contexto geoméxico siga que la función interpolate no cx sae” en dios pun:
tox A menudo ls condiciones cas indican claramente quese requiere ca condición y
ue L función aprotimane debe sr coninoament ifernciabe

‘Ovo procedimiento consi en emplear un polinomio ragmenro de po Hert.
Po jm, los valores el funció fy de se conocen en Io ptos y <x <<
3, Podemos emplear un polinomio de Hermite de grad tes en cada ano de los sine
vos ip yh lt, ar obtener una foci continuamente free
nel interval [1 2, Si quremos determinar el polinomio cóbicoMemit apropia en

Las demon de o treat de et sins usa alos stos dl ai 6

142 CAPITULO 3 memset aroimaié promet

Figura 37

determinado intervalo, basta calcular) para ce intervalo. Puesto que ls polinomios
interpolates de Lagrange necesarios para calcular , son de primer grado, podemos ha-
ce cl esiulo sn gran dificultad, Sin embargo, para wlza los polisomios fragments
¿e Henne enla ierpoación general, necesitamos conoce la derivada de la función que
Va a ser aproximada, lo cual muchas veces no es posible

En lo que rest de esta sección estudiaremos la aproimaciôn por meio de plino-
mios fragmentaios que no requieren información sobre la dertada, salvo, quizá, en los
exremor el intervalo donde se aproxima 1 funció.

El ipo más simple de funció de polinomio fragmentariodifeenciable en un inter
Lo entre [14 2, esla función obenida al ajuar un polinomio ceric entre cada par
consecutiv de nodos. Esos ace consnendo una circa en [1 1, queconcuerd con
la función en 4, yen; y as sucesivamente. Un polinomio cudrádic general tien tes
constames arbivaras eine cant, el coeficiente de xy el coeficiente de 3 y
únicamente se requieren don condiciones pura ajustar as dats en los exis de cda
terio, por el, existe Nexbilidad que permite seleccionar la cuctica de modo que la
inerpolate tenga una derivada continua cn (x , El problema de este procedimiento se
presenta cuando hay que especiiar las condiciones rfernts a a dead del interpo-
lante en lo extremen x, 2. No hay constantes suficientes para ceriorane de quese sa-
tisfagan ls condiciones vés el ejercicio 22.

La aproximación polinómica fragmentria más comin utiliza polinomios entre cada
put consecutivo de nodos y recibe el nombre de interpolación de trazadores cúbicos. Un
polinomio úbicopencral conicne custo constants: al puck, el procedimiento del taz.
‚dor cábic ofrece suiciene Nexiilidad para goaniza que el intepolae no sto sea
‘ontinaamentediferencableen el intervalo, sino que además teng una segunda deriva:
‘da continua en el interval, Sin embargo, e la contuoción de razador cúbico no seau
pone que ls derivadas del interpolante concuerdan oe las de la función, n siquiera en los
modon. (Véase la Fig LA)

34. Intepoleción de warden etic 143

Figura 3.8

Definición 3.10 Dac una función definida en La, ] y un conjunto de nodos a = 2, € < €, = 6
‘un iterpotante de trazador cúbico $ para es una función que cumple con ls condicio:

= Ses un polinomio cúbico, denorado $). enel sbintervalo [1 x, ara
&j=0 dm le

Do SU) = fs) par cada j= 0 one

© Spa = 50.) par cala) = 0.1,

A Sparta) Sey) par cada) = 0,1. n = 2

Gm

Una dels siguientes condiciones de frontera se sta:
WM SW) = 5”) = 0 (frontera bre o natura);
SWL y SF) | (irontere je),

“Aunque los razdores cúbicos se definen co ctas condiciones de frontera, ls con
icles dadas en (D son alicientes en este caso, Cuando e presentan las condiciones de
frontera libre el trazados recibe el nombre de trazador natural y su gráfica se aproxima.
la forma que adoptaía una varilla Lara y flexible si a hiciéramos pasar por los puntos
(FC): (SU) «> US

En términos generales, en ls condiciones de frotera sujetas logran apronimaciones
más exacts, ya que abarcan más información acerca dela función. Por paa que se cum
a este po de condición de frontera, u require tene los valores de la derivada en los
tuemos 0 ben una aproximación peca de ellos.

Si queremos consi el interpolate del tazador cúbico de determinada función.
aplicamos ls condiciones de a definición a lo polinomios cábicos:

144

CAPÍTULO 3 + Intopoicó y apreciación pom
Sea + bu a) teem ah + dt)

para cada = 0.1,
Est claro que

Sia) =H).

y sie aplica a condición (0.

05 Pa ET a
para éadaj = 0.1, n 2.
Presto que los nos ~ , 5 tlzarán varias veces en est desarollo, comie-

e introduit a notación más simple
Naty
para cada] =0,1,.... n= 1. Si también definimos, = fü), entonces la cación

a tA GN Gn ay

será válida pars cada 0, 1... nm.
De manera análoga, define B, = 5°, y observe que

SO = + RE e

signa que Ss) = 6 paca cada) = 0,1, n = L A aplicar a condición (8) obcno-
DREIER REN EN
par cad = 0.1... n = 1

[Al define e, = SU,V2 y aplicar I condición (el. se obtiene cra relación entre los
cochcientes de $, En est caso, paa cada = 0. hun. n = 1

EA om

Al despejar den la ecuación (3.17) y sustir este al en las ecuaciones (3.15) y
(2.16), para cada = O, ,.., = 1 sc obienea las ecuaciones

4
gum a+ + À Os tops) on
E
battle gad 0

La relación final que inclye los coeficientes se obiene resolviendo a ecuación co-
respondent en a forma del ecuación (3.18), primero para.

yet
DATOS

à 020
Ft en 020)

34. Imepolachn de trodes cites 15

y eonces, con una reducción del ndice, para

Curado sustitutos esos v ln ecuación obieida dela ecuación (3.19), con el fae
ie reducido en 1 obtenemos el sistema de ecuaciones tneles

haa tl + gt Gare 4
ha Ba + MG th Gay a

wm 0m

par cade j= 1,2... 8 = 1, Este sitema conins sólo (€. como incógnita, ya que

los valores de (cy de (qj). estén dados por el espacido delos nodos {x}. y los
valores de fen ét.
Nótese que una vez que se conocen los valores de (y. encontrar el resto de

las comsate (2 prendo de la ecuación (320) y (d)
csm lem ce (Spe ei

"El inten pénal ques latin en relación com exa construción css poe
ea deteinar los valores de (6, por mudo del sistema de ecuaciones dado e (320)
Je de scr axa on voces on con. Figen teorema indica que exo ex punible
ando se cvablec una delas dos condone de froner de la pere del definición.
Las demostraciones de estos woremas requiera los conceptos de Agea lineal quese ex:
Flan en el capitulo 6

aS ta ccución (3.17) para

Teorema 3.11 Si definimos fen à = x, < xy < = € à, = entonces endrí un iterpolane Unico de
trazados natural en lo nodos Hy... 1 es dci, un iterpolatedetrzador que cu
pl con las condiciones de Frontera (a) = 0 y SUB) = 0. .

Demostración En este caso, las condiciones de roter significan quee, = "(1,2 = 0
yaue
0m SUR = 2e + = x

asf que 69 = 0

Las dos ccucione cy = 0 ye, = O Junto con les ecusciones de (321) peoducen un
sistema lineal descrito por I ecvación vectorial Ax = b, donde À esla mace (n + 1) x
a.»

o. o ss N

DE tr a

he

é o o '

y donde by x som los vectores

146

ALGORITMO:
34

CAPÍTULO 3 + Intepolación y aprorimaciónplnomial

La matiz À es estictamento dominante en setid diagonal, de manera que satisface las
Tips del eorema 6.19 del sección 6.6. Por tanto, el sistema nel tiene una solución
nie par cy Coons Sy ...

La solución del problema de os trazadores cábicos con las condiciones de Frontera
Six) = 5°U,) = 0 puede obenene por medio del algoritmo 3.4,

Trazador cúbico natural

Para construir el inerpolatedetrazador cúbico S de a func qu se deine en ls m
meros xy € 2, < 0 €, y que satisface SU, = ST) = 0:

ENTRADA me es 30) = led, = FEE
SALIDA ap by dy param Outer m= 1

(ota: Sis} = 5,62) ar Erreger)

=f.

Paso 1 Para = 0,1... nm Lome hy x;
Paso 2 Parai=1,2,.... n = Lome
3 3
ae Fan) Fm 0.0

Peso 3 Tomely= 1; (Los pasos 3 4,5 y parte de paso 6 resuelven un sistema lineal
tridiagonal usllsando ef mado descrito en e algorino 6.7.)

Poso 4

Paso 5

rn nn
Di e ahh = Nl +20

Frame NS

24 Intepolocin de tacos eben 147
Paso 7. SALIDA (ab, 6, dpare/ = 0.1... n
PARAR. .

Enel caso de las condiciones de frontera sujetas obiene un resultado similar al del
teorema 3.11

Teorema 3.12 Sifesädehnidaena = 5 € x, € € a, = b ys derencible en ayb, mocos iene
vn ic trzador sujet que inerpola los odos y A. $ € deci, un interpolane de
trazador que cumple las condiciones de fosters Sa) = jte) y 510) =). .

Demostración Puesto que fla) = S'a) = St) = by ponemos ver que la ecuación
(20) con) = Oimplica que

3

Ss % 4) Org + e]
Ea cms
est haie Bu = ap =
Mo
Dem end
EN

de modo que la ecuación (320) con] = n = 1 implica que

yq.

Las ecuaciones (321) junto com ls ecuaciones

3
Dot here Fla 0910

»

3
fact + Den ID a,
bet YO,

determinan el ster lineal Ax = b, donde

us CAPÍTULO 3 + Inrpolacón y eprcinocén poinemiel

1 y, por tano, cumple con las
condiciones del teorema 6.19. En consecuencia, el sistema lineal tene una solución única
para co 6 ...

La solución del problema de los razadores cúbicos con condiciones de frontera
SU) =F y SU) = J's) puedo obtener usando el algoritmo 33.

icons) Trazador cúbico sujeto

35 Para construir el interpolante de trazado cúbico S para la función f que se define en los nú-
moon CA y Qe ala SU = y SU =P)

ENTRADA, hy à ta = JO, 0y = dc 0, = 0): FPO FU)
FEN = fie)

SALIDA ab, cd para j = 0.1... n = 1
(Nota: SGŸ 5 (= 9, + = x) + 6 —

Paso 3 Para iO, Ios

D + Gee x) pam x Sn)
Liomeh = 3,4) =

= ah = 3 FPO:
re 3 FPN = No,

Peso 3 Paral 1,2,

Paso 4 Tome y= 2h (Lor Pasar 45,6 y parte del paso 7 resuelven un sistema lineal
Aragon nlitunde un mé desert en el algortmo 67.)
by = 05:
29% ally

14. Inteploción de rade cides 149

POS Parai=

Paso 7 Pari .0
Ble = 8h = hoj +25
dle CM).
Paso 8 SALIDA (ay by pd para] = 0.1... Di
PARAR. .

EJEMPLO 1 La figura 3.9 muestra a un joven pato en pleno vuelo Para aproximar el perfil de la parte
superior del pato, seleccionamos algunos puntos a lo lago de la curva por donde quere=
mos que pase la curva de aproximación. La abla 3.15 incluye las coordenadas de 21 pu
os de dto relation al sistema de coordenadas sobrepuetas que aparece enla igua 310.
‘Obsérvese que se uilizan más puntos cuando la curva cambia rápidamente que cuando lo
ace con más emit,

Figura 3.9

‘Tabla 315
x [a9ra| 19] 24/20] 20/29] 44 [ar] 50/60 | 70] a0 | 92 fios|i13] 116] 120] :26| 99 [133
oo LEE 21] ETES EX EX fas] 21 225 [29] 235[155[54/0 07/06 [os [04 [935

A tizare algimo 3.4 para generar el rzador cúbico libre con estos dato, se ob-
tienen los coeficientes que aparecen e la tabla 3.16, Esta curva de trazador es cas idée
a a perfil, como se observa en la figura.

150 CAPÍTULO 3 = Intozeloción y promoción pn

Figura 3.10

me RRA

34. Inerpolacón de nzedres cies 151

Figura 3.11

104

A finde fail la comparación, a figura 3.12 ofrece un ejemplo gráfico de la curva
quese genera con un polinomio inerolane de Lagrange que coresponde los datos de
la bla 3.15, generándose así una extraña ¡lutación dl lomo del pat en vuelo 0 en otra
posición, En ste aso el polinomio imterpolate es de grado 20 y oscila demasiado.

Figura 312
104

152 CAPÍTULO 3 = Intwplccón y prince polonia

‘i queremos utilizar un trazsdor sujeto para aproximar eta curva, necesitaremos apro»
imaciones de la derivada para lo extremen. Y aun cuando tuviéramos dichas aproxima:
«sones, podríamos esperar poco o nada de mejora a causa de a estrecha concordancia en
tre el trazado cóbico libre yl cuva del perfil de la pare superior. .

¡Sera mucho más dificil construir un tazador cubic para aproximar el pri de la
arte inferior del pato, ya que la curva de exa pure no puede expresarse en fanción de x
y en algunos puntos Ia curva no parce ser suave. Estos problemas se pueden resolver por
medio de razadores individuales que representan vara ares de a curva pero en a e
siente sección estoiaremos un procedimiento más eficaz para la curvas de ue tipo.

Por lo generales preferible contar con las condiciones de frontera sjta cuando se
aproximan funciones por medio de uazadores cúbicos: de ah la necesidad de estimar la
criada dela función en los extremos del intervalo. En el caso en que lor nodos estén
igualmente expuciados cerca de ambos extremos, podemos obtenerla aprorimaciones
media la cación (4.7) o cualqier fórmula apopiada delas que vienen en las secos
mes 41 y 42. Enel caso de nodos espaciado de forma desigual, el problema resula mu-
he más di,

A manera de conclusión para ea sección, incluiremos una fórmula para la cota de
cnr del trazador ii con condiciones de frontera sujeta. La demostración de ee re
valtdo viene en [Schul. pp. 57-58),

Teorema 3.13 Sea Cha. Has máx, u, [Ua] MSc era único de zado
mo de ep Li tone nennen CR = has

o Ce

me, Vo - Sul = ap .

{Un resultado para a cola de error del cur orden también se oie en el caso de
las condiciones de frontera libre, pro ex más dificil de expresa. (Véase (BD, pp. 827
ES

¡Cerca de los extremos del interval [x x, as condiciones de fonera bee casi ie
pre dan resultados menos exacts a menos que la función casualmente atisaga Ue) =
JT, = 0. Una atematva dela condición de fonera ire que no requiere el conocimien:
o dela derivada Je fe la condición no un nodo (ése (Deb, pp. 55-56), Eta condición
tige que SA) sca continuo en, Yan

CONJUNTO DE EJERCICIOS 3.4

1. Deine el zado cic bc que interpol los din 0) = 0,0) = 1 yf(2)= 2.

2. Denise el razadr ic jes que epa o af) + 0,0) = 1.4) = 2 que
ne AO = de 1

2. Caney trader bio ee de gees dan

. mn rare”
as | insasis 10 | asser

34 Intepolacó de toes bios 153

A su à sy mw
ET) DE
ens 02 | -o2umese

04 | oz

Los ds del jo 3 e generaron usados sip Focions. ice los eras
ics consid en e ejer 3 pars lar ado de à in de soni Jn) 9/60

tone [anf
Kram ste = 2 ie 097709.

© fap ES an» 1.0% nie py
EE

&. Crest el zur etc oe cado los dos del joio 3 y el bo de qe

ARD = NES 786) = 156
ATOD=Z190SyF 00) = 200605

© 4-03) = 0751000 3,10 = «20000

ASTON = 3s8s0200 y LOS = 21652946

Rep el ji 4 por mai los rade os conti en ec
Va zar clic nta Se. 2] xá fi por

cee
Frac ee gene eee ae

a ES
A

= [See = 1 + be E Fae, DS,
PA
ati

al 7 ai + T= 1, sise=2
ne

Conary m vn etc He ur prima) = os iia pra los aos
‘gorse ds enfant = 0,025.05, 075 10, ce leader a 0. 1) y compare ele
ido conf eos watt = 0 Arne 09) J") po md de ls eda el ra.
‘er Compa us armen on o valo ls

‘Conary u zado ein Wie pr pon Ju) = or med de os alos dados
poe JU) en = 0.025.075 y 1.0 Ine lade cn 0.1] y compare el rs cn

154

CAPITULO 3 + Intepclacón y opocimación prom!

Sy du 1 — Ve Meanie ls derivates del zado apronime 0:9) y 105). Cope
primaires con lo ales le

13. Repia el gere 1, onen sta ve el rado cc nye con 40) "FD = D

14 Realejo 2. comaruyendo cua vez el ara bio jo cn (10) = 1.440) =

18, Suponga que) sun piro de grado 3. Denuete que fe pop ware eb
covet, pr que o puede sr u roe nado clio e.

16 Soporga que los dts (6, np escurre obre una recta ¿Qué pomos dir cbre
Lords bios bt y co dela fc. [Seren ago kn elas Je
ton join y 21

1. Dada patin y= 05, 2 005) x= 0. de 10,0 chen loción mere nal
Fragen para) = € Aron JU de con [Fede compare el shade con

IR. Sea Cle By sen 2 1, <a, << y 8x nodo dados: Deuce un einai
dl or semeja a de rer 3.13 pura fuel intel ina ragt Foe
reo de cm estimación, eve bn ot de me corses a ec IT,

19. ena Jos agen 4 3 para Ice como slide hun primer y sde del
tna e os odos

38, Een lov algun 4 y 3 pura tae omo sal ital el rado
lolis)

21, Dado la pain 19 90,1, = DRS. 01 de [OY 0 =e
2 Oheng el rarader cbc à con ls condicione de foment einer
1 Obtenga ons aproximación de Je de lan}! 09
Aplique el crema 3.13 par sis ty 0 = cy

Crau [al

4. Determine ara ca Sco condiciones de rot ie y compare depts 002),
MONET ON
22, Se fl fui defini en [ab] y son =x,< x, < x= lo odos dado, Ua fain
‘merle det trazado nl Se compu por el posa cure

A)

y polinomio cuatro

Sea + Bea Hea ele
tales gue

Si) = Asp Se) = He SU»

i) Se Cyt

Deren qu a condiciones (1 yi dan origen a inc coacones en assis ines
fy Be ty € proble conve en ce qué condición dnl etaheer pars
Acer que la solución seu rica ¿Se one una solución safe con la ceedkion
Se Cal

23, Determine um trado coro que Etre ls den (0) = 0. JU)
ga 0) =

102 y que

34. Intepolacón de us bios 155

BA a En la inci del cp ic una tabla que code la pai de Esas
Unidos duane pedo comprendido ee 1940 y 190. Por med de la nr
dle nado cio ite, voi a población e ls aos 1930, 196 y 2010.
Ia E 199, la posi fe erica e 12320909 Raines. ¿Qué exc en
5 pinte esca comedia ao años 1965 y 20107
28, Una va po una cate meta ys vlc crane vars putos, Lo de
ox omado ela obreras sparen cn la bla jon, ode el Sempo scan en 0
den a stc pc y a vcd e pls po senda

ee [ops ps papa
pa ojo] ej»
wa] Ta Pr

Ut un waar cto sto par pedo picó del toni y avia cue
aos

Le deta dl zado pars determinar il ei reus el ii evoca de
mA de srl, en qué mo el amó o cod?

+. ¿Cas a veld mima pese el amén

24, El caba amado Thnde Gulch pa e Derby eKenacky e 195, con un emp de

¿el carr de 1 mills. Los emp ns pts que marca ar

19 mi, min e la mil yl mila or rapoctramente 223,4 y 125

Une ales ans junco e impo de angie y consiga un waar cto
Ie par carer de Trader Gl

a sel rar pr pri e po en el ost e ves curs de mila y compare le
sss con el opal 10,

‘Se sospecha que ls concessions ats de nina e Ls hojas mar de ble item e

ciment dean dla oil even (perp roma L. Gomera) qe a

tan ass Lo gun años El ita nase ine ps rome de dos

mes de lavas los primeros 2 sept de nace. La primera ma e có

Djs ere oven a sound en js maduras de miso At

Fu mai del azar cic ie spotine cua de pes rome decade muera

1 Otsego pe ino sro mad deca cn. deman pr ciel
imo del are

a [oe [1933 EN [010 [oom [rere
Fe pret Seta wars ma) | 667 [isn [1059 | 1500 [1056 | 92: [an

28. Med os iros de tar ones cios js ev prima une spe de
paso qe se mesa sige pa Se az cura cnn ciclo pari lua
‘conn ua Uni agro 3 pr cons fon sara bios ji

156 CAPÍTULO 3 + Interpol y opronimación pain

m

Cuna Cua? cura
CC A TO
9 1 no m ws m om al om
1 2 70 1 4 4

1 3 38 al 23 u
as à se 5m 0 ms
5 4 66 sa

on 71 Kerr)

7 D 0

In 4-00

29. Repita el jeri 28 comtrayend es azdores navals con el agoino 3.4

3.5 Curvas paramétricas

Ninguna de las técnicas que hemos desarrollado se para genera curvas como la que
“aparece enla figura 3.13, ya que est curva no puede expresan en función de una vara:
le coordenada a parir de La cr. En esta sección explicaremos cómo representar cunas
generales aplicando un parámetro paa expresar ls variables de la coordenadas xy y. Ee
te procedimiento se puede apica también para representa las cuvas y superficie gene-
rales enel espacio.

38 Cas parents 157

Figura 3.13

Un método parsmétrico sencillo con el que se determina un poinomioo un poino-
mio fragmenta para conectar los punts (ry, Y) Yor Oye) Enel orden dado.
consi en usar un parimerro en un interval [to 1, Jon < 1, <= € y y consular
funciones de aproximación media

Sey) Y TI) pareada lO do

siguiente ejemplo deme a cnica en e caso en que las dos funciones aproxi
‘mantes sea polinomios interpolantes de Lagrange:

EJEMPLO 1 Cons un par de polinomios de Lagrange para apcoximar la curva de la gara 3.13,
emplcando los puntos de datos que aparece en a curva
La sección del parámetro admite Nenbilida, y cxcogeremos los punto (4).
Igualmente espaciados en [0 1. En este casa, contamos con los datos del

Tabla 317 TA

où os 7% 1

oF oe 4
10s 6 1

{Esto genera os polinomios itepolates

sn (eu)

158 CAPÍTULO 3 © intepelació y ruiner ponme!

else)

Al grafica ete sistema paramético se obtiene la gráfica de la igure 3.14, Aunque es
La curva pasa por los punto requerdosy presenta la misma forma bic, es una aproxi.
mación burda a La curva original Una aproximación más exacta requería más nodo, con
«el consecuente aumento de cálculos .

Figura 3.04

Las curvas de Hermite y del trazados pueden generar de modo semejante, pero una
vez mas debemos cfectar muchos cálculos

Las aplicaciones de las grsias por computadora requieren la rápida generación de
curvs suaves que puedan ser [ci y répidamente modificable. Además, por razones s-
ais y de cálculo, el cambio de una pare de etas curvas debe tener pac 0 nulo efecto
en otras panes Ax! Jebemon prescindir de los polinomios y tazadores interpolantes. pon
al cambiar una pane de las cures infuimos en la curva entera,

En general, a seleción de ka curva que e lard en la gráfica por computador ex
na forma del polinomio cübic fagmcatacio de Hermite Toda las parte de un polis
mio de se tipo se determinanftegramente al especificar sus extern y as derivadas en
éstos. En comecucocia cs posible modificar una parte de la curva in aie la mayor par
te de cl; slo se deben modifica las ports odyacentes para garantizar un aspect sue
en los extremes. Los cálculos se pueden eectar rápidamente y se puede modifica una
sección del curva ala vez

El problema que implica la inepolación de Hermie esla necesidad de specific las
derivadas en los extremos de cada sección de la curva. Supongamos que la curva tiene

de datos (MA)... UI) JU) Y qu se desa parmetar el cúbico
ir caractersticas complejas Emones se debe esperar.) y YU) para cada
1 Ello no resaltan difícil como parce a primera via, puesto que ca

15. Canes prontos 159

da pane puede generarse de modo independiente, a condición de que nos aseguremos de
que La dentadas en los extremos de cada porción comesponden ala pre adyacente Así
pass, en esencias puede simplifica el procedimiento y comento simplemente en ete
‘mina, en cd sección de Le curva, un par de los polinomios de Hermie en el parámetro
adonde ty = Oy 4 = 1s aon los dos de In extremos CD) KO). CD LD y ls der
hod dle (en = 0 y dde (cn = 1

Obsérvese, no obstante, que estanos especificando sólo sis condiciones y que cada
linomio cúbico iene cuatro armes. lo cul nos da un ttl de aco. Esta situación
Permite un gran flexbilidad al scleciona el par de polinomios cúbicos de Hermit para
ampli con estas condone. La flexibilidad s debe aque la forma natural de deter
ar y require espiar 10, (1, Y (0) y YU). La sur explica de Hermite
en. y en y requiere especificar sólo los cocientes

Bun e 2
ao

Al malúplica (0) y (0) por un factor escalar com, la amgente de a cuna en (0), y
MO) permanece sin cambio, pro la forma e la curva varía. Cuando major ea el fc
tor escalar, más cera estará la curva de aproximar la angent cerca de (40). KO). Una
situación parecida se presenta e el uo extemo (1), 1)

Si queremos simplificar aún ás el proceso en ls gráficas interctvas por compu
tadora, Pay que especificar gráficamente a deriv e un extremo y describir un segundo
puto, denominado pur ud, en ka tangente deseada Cuanto má: jo ext ex pumo del
do, mayor ser el at escala y la curva aprimar más la tangete cera del nodo.

Ea la figura 3.15 los modos se encuentran cn (x Y) y € (2 Y), el pant guía de
Lay. 10 5 6 + Yo + Bo). y el de Ce es + ay M — Bi. polinomno cbico.
de Hermite) e 0.1] debe satisfacer

Dex x)

X0=0 y lea,

Figura 315

de met 0

Se puede verifica écilmene qu el polinomio cúbico único que cumple con estas
condiciones es

si) = (lag = 2) + (ay + a}? + Dr = 5) Ce Hal ag + Hy 02D

160 CAPITULO 3 + Intopolacón y apracimacdn panel

De modo análogo, el polinomio cábico nico que sasace

vo

Om x= A oy OA

HO HR + BD + BO, A + BR By + 02)

Figura 316

025029
oF ¿ara

33 Canes poremtrñ 161

EJEMPLO2 Las gráficas de la figura 3.16 muestran algunas posibilidades de curvas generadas por as
{ecuaciones (32) y (3.23) cuando los nodos son (0,0) y (1, 0) y cuando las pendiemte en
estos nodos son 1 y —1,respecivamente, Las especificaciones dela pendiente en los ex-
msn relato que = By > E Parque razones yO, ds hs
pendientes en los exvemosiaquierd y derecho, respectivamene

El procedimiento habitual on el quese determinan las curvas en un modo interact
vo de grficación consiste en usar primero un dispositive de entrada (un raté 0 un tack
Ball po ejemplo) pars fia os nodos corectament, Después se colocan los puntos guía
para genera una peimera aproximación ala curva descada. Estos puntos pueden Aiase
manualmente, pero la mayor parte delos sistemas de grficación permiten utiliza el di
positivo de entrada par dibujar manualmente la curva sobr la pantalla y seleccionar los
odos y puntos gula apropiados para eta curva

Después podemos manipular los nodos y los puntos guía para coocaros en una po-
sición que produzca una curva saisfacora desde el pao de vista estático. Como los
‘cAlculos son mínimos, penalmente podemos determina a curva con ant epider que el
‘cambio roulante puede observance de inmediat, Además todos los datos necesarios par
Fa calcular la curvas estén integrados en ls coordenadas de los nodos y de los puntos
gula; por tato, el usario del sistema no necesita un conocimiento aallic.

taciones manuals, argue en forma un poco dismi. Los polsomio eis de em
dese describen como polinomios de ri. on cule incorporan un factor escalar de 3
sand e alcala ls deriada e lo extremos. Elo mexica ls ecuaciones param
cas y ls anto en

20 = i=) + ay + a + Bey = x = Na, + 2 + Bay + (020)
yen

101 [299 = 9) + 308, + B+ BO, = HD = 3B, FRE + 3444 Jo 825)
para 011, pro et cambio noes venido por el usario del tema.

Con e alfa 36 u conunye un coju de cunas de Bénc bass cn las

ecucions pramétics en (324) 325.

uconrmmo | Curva de Bezier

346 | Para construir las curvas de Bezier Cu... Ci en forma paramética, donde €) está re
presentada por
GO.) = (al de Pr + de

AS

par 05151, deeminada por el erro ige, y, el punto guía de la iq
da ay el exremo derecho (y) Y Pom gía del derecha (a paa
cada =O. ban

ENTRADA. ge) XCD

DC TEE

SALIDA coeficientes (a).

NS

162 CAPÍTULO 3 + tam ame pin
Po 1 Pare da Qu n= Hier pas 2 3
fio 2 Tome a =
ay;
a= tx
CPS

= + = 20
MA

Peay a + 3 Be

rama
Paso 3 SALIDA (el al cod BP 8 8
Paso 4 PARAR .

Las curvas tridimensionales se generan en forma similar, especificando además los
terceros componentes oy 3, para los nodos, así como 2, # Y E,— Y Para Jos pun

tos guía, El problema más dic relacionado con la representación de curvas tidimenso-
als esla pérdida de la tercer dimensión cuando proyectamos la curva en una pantalla
de computadoa bidimensional. Se usan vacios métodos de proyesción, pro exe tema re

bas el ámbito de las gráficas por computadora. Sel lector desea una introducción a esto
tema ya las formas de modificar La écnica paa Obener representaciones de superficies,
le recomendamos cualquiera de las obres sobre métados de gráficas por computadora co:
smo el de (Hil. FI

CONJUNTO DE EJERCICIOS 3.5

1 Sean ig) = 0,0) = (2) los ents de una curva. Use los put gía dados
pra cols aroincioespraméeics clics de Here y) leur y la
Fics de las proimacones

“NEN 6 OS09YSS LS
EULDYEH 270.0

2 Rep lei | tlizand polinomios cúbicos de Béiee

3. Conny y prafique os plac cbc de Béve se ene losgulets pasos y pa

ven gu
2 Pat (11) eel puro guía (1, 125) 4 pom (6,2) con pmo ula. 3)
ha Punto (1 1) one punt guía (125, 1) al puto (6 2) cm el panto ula. 3)

+: Punto (00) omel puto gd (05, 0) a ano (4) co el unto gui de entrada 0.5.7)
y puro gula de aa (43, 3) al puto (16 el pono ula 0, 2)

4. El put (D. 0) co el pato gía 03,0) al put (21) cone! pato gía de eta, 1)
yl puro ua de ala, Dal poto 4 0) on el punto gua de eta (, 1) y el puro
ut esa, 1) al paro (61) co el punto gua (63, 029)

26 Rested métodos y de fier 163

lie os ts de a abla une lapin 3.6 ar aproximar a forma delata M

8. Supong qu aces par un pion cubcode Dése por a 4) y (4 1 con spo
fou a uy, 0) 9 (ny) epee
a. Dedanc ls ecuaciones armen de ut) y el) saponendo que

MO) Hea

vorn e
yee

WOH MEH RC ET en

D Ses fil) «par = 01.2.3 sea y pra = 01.2.3. Demuestre qee poli
oro de rad we Se Bernie pur ea) y que en pra € 0), (Cone l
‘erin 29 dense 31)

3.6 Reseña de métodos y de software

En ete capítulo euren a apozimación de ua funci por medio de polinomin y de
polinomios fagmentaros. Podemos específica La unción con una ecuación incluyendo.
‘Puntos en el plano por donde pasa la gific dela función. Un conjunto de nodo xy.
in 22 2,86 da e Cada caso, aunque tal ez se requira más información: por eumplo, el
valor de algunas derivadas. El problema convite en enconrar una función aproximanie
que cumpla con las condiciones especificadas por estos datos.

El polinomio interpoante Pr) sel de menor grado que safe, para una función f

Pax) = JG) paracada = 0,1,

Aunque else un ico polinomio inepolante, se puede adopar muchísimas formas. La
forma de Lagrange es la que más se emp para interpola as tablas, cuando es peque
o y para derivar las fórmalas con las cuales aprosimamos ls derivadas e integalo. EI
método de Nevill sine par evalua aros polinomios intepolantes en el miuna valor de
2 Las formas de los polinomio de Nowon son más adscuadas para los Cálculos y también
e usan mucho cuando e deducen fórmulas para resolver Ls ecuaciones diferenciales Sin
embargo la ierpolaciónpolinómica presenta una deli Inrineca de ocación. sobre
todo s hay muchos nodos. En ete caso disponemos de ros métodos cuya aplicación es
fs apropiada,

Los polinomios de Hermite interpolan una función y su derivada en os nodos, y pue»
Ge resultar samament precios, pero requieren más infomación sore la función a pro
ximar.Turnbién presentan la debi de oscilación cuando existen mucho nodos

164 CAPÍTULO 3 + Intepolació y aprrivació pti

La forma más común de inerpolacións polinónico- fragmenta. Si xe conocen lor
valores de la función y de la desivaa, ca recomendable aplicar la interpolación cúbica
fragmentaria de Hermiie Est es el método preferido cuando se inerolan valores de una
unción que esla solución de una ecuación diferencial, Cuando sóo e conoce lo alo-
ex e la funció. podemos emplea la intespolación de tazadores cúbicos ies: eto ha-
«e que la segunda derivada del raradar aca ceo en los extremos, Os trazados cúbicos
requieren más datos. Por ejemplo, el trazador cúbico sujeto requiere que se conozcan
los valores de la derivada dela función en los exuemos del intervalo,

Existen tos métodos de interpolación que se ulzan con cierta frccuncia La inter
úpolació Ingenomeiricase emplea con grandes caidas de datos cuando la función es
de naturaleza periódica. En particular, e tiza la transformada rápida de Fourier, la cual
se explica enel capítulo 8. También se usa I interpolación por funciones ecionales Si se
Sespech dela excita delos datos, podemos aplicar écncasde alzamiento yrecomen-
damos alguna forma de ajue de Jos datos mediante ls minimos cuadrados. Cuando se
realiza el ajuste con eta técnica, pueden rlizrs ls polinomios, bs funciones tngono-
mdticas la funciones racionales y Jos tazadors. Estos temas Jos stdiaremos en el ca
Pi.

Las ia de interpolación que se incluyen en la biblioteca IMSL se Rusa en li
6 A Practical Gude to Splines, de Cal de Boo [Deb] y usa os tazadores cúbicos La
subrutina CSDEC se usa en Ia interpolación mediame trazadores cos l usuario es-
table las condiciones finales; CSPER se ws en la irpolación mediante trazados cd
icos con condiciones finales periódicas y CSHER se emplea en la interpoació median-
te polinomios fragmntaios cuasi Here La subruina CSDEC incorpora los algonimos
34 y 33. La subrutina CSINT se sine de la condición no-un nodo que se mencionó fe
al dela sección 3.4. También hay trazadorencóbicn que noce al múnimo Las nc:
clones © preserva la concavidad. También e incluyen méodos de interpolación biie
sional por medio de tazadores bcibicos.

La biblioteca NAG pm net org contiene ls subrtinas EOI AER para la in-
terpoaciónpolinómica yla interpolación de Hermite, ROLBAF para la interpolación con
‘waradorescubicos y EOIBEF para la itempolaión cúbica fragmenta de Hert. La
subrtina EO ABF srv pra interpola los datos en punos igualmente epacidos, La nu
tina EOLAAF se aplica se prestan Jos datos en pantosdesigualwente espacios. NAG
‘contin ademas subruias para interpolr Las funcione de dos variables.

La biblioteca nel contiene subrainas cubspL e el paquete pack para calcular el
rarador cúbico on varia condiciones de extremos. En el paquete slate, point genera
«coeficientes de diferencia divididas de Newon para un conjunto discreto de puntos dato y
en el paquete saec/pchip hay vais tins para evaluar los polinomios fragmentario de
Hermite

La función INTERPI de MATLAB sine para imerpolar un conjumo discreto de
union dato, vsando la interpolación ms cercana, interpolació lineal, interpolación
"zado cábico 0 isepolación chica. INTERPI produce la evaluación polinoral en un

junto discreto de puntos. POLYFIT,husado cala aproximación de mínimos cuadrados
(ses la sección A.) puede usarse para encontar una función inrpolane de grado md
ximo que cruza + 1 puntos especificados, Con la función SPLINE podemos produit
trazadores cúbicos. Maple construe un polinomio inerpolate por medio del comando,

pi. Ye 01

donde X es la lista (x(0),x01)...0e(R1}, Yes la lista LEIRLON
LED nen. LORD) y cla variable a tar

36 Reta de métodos y de tone 165

El tazador cúbico natural también puede contarse con Maple, Primero Introduzca

(0p

para disponer del paquete Con X y Y como en el pára anterior, el comando
sepline tn,

construye el tazador cúbico natural que interpola X-[#(0): +: #{n)) y Y
iO] à e¥ {a J donde x e avaiable y india el grado dl trazados cúbico. Tar
i podemos crea trazadores incale y cundriios
Las obras de consula general para Jos métodos que se estudiaron en ste capítulo son
los iors de Powell [Po] y de Davis [Da]. El primer trabajo quese dedicó als trazadores
5 bra de Schoenberg [Scho]. Oto libros importante sobre el tema son los de Schulz
Schul], De Boor [Deb] Dieter [Di] y Schumaker [Schum]

CAPÍTULO

4

166

Diferenciación
e integración
numéricas

Score una toe scant par chao, do una má
Quina que comprime una aa plans, de sami, la transforma
a a bela ca ocn rasen den la for de nda de la
función e.

Se necesita una hoja corrugada de 4 pes de largo cuyas ondas
Venen una altura de 1 pulgada. desde la lnea central, cada onda ie
roximadamente un periodo de 2 pulg El problema de calcu-
onglud de la primera hoja plana consiste en determinar la
longitud de la onda dada por f(x) = sen x dex = 0 pulg ax = 48
pulg. Por el cálculo sabemos que esta longitud ex

be [Vir Tee LV.

(de modo que el problema consistirá en evaluar eta Integra. Aunque
la función seno es una de las más comunes en matemática, el cálculo
de su lomgltud da origen a una integral elíptica de segunda case, la
cual no puede evaluarse con métodos normales, En este capítulo des
crbiremos los métodos de aproximación del solución a este tipo de
problemas. Los abordaremos en particular en el ejercicio 21 dela
sección 44 y en el ejercicio 10 de a sección 4,

43 Ojea només 167

En a introducción del capitle señalamos que una delas razo»
es para que aproximemos un conjunto arbitrario de datos mediante
polinomios algbralcs esque, dada una unción continua cualquie.
aque esté definida en un interval cerrado, existirá un polinomio
“sufiientemente cercano ala función en todos lo puntos del Inter
lo. Por I demás, las deriadas y las Integrale de les polinomios se
obtienen y se evan fácilmente Por el, no debería sorprendernos
que a mayoría de los procedimientos para aproximar integrales y
¿derivadas sen polinomios que aproximan a función.

41. Diferenciación numérica

La derivada de la furción es

vans fa B= fd
oa er
tmnt e ieee oii dic

La +10)
*

ar vaors pequeños deh, Aunque et parezca evidente, noe muy il, dedi a nuesto

Viejo enemigo, el mr po edondco Sin embargo. irtament sun puro de parida.
Para aproxima supongamos primero que 1, € (a) donde Fe Cia, J.y que

= 20 + A par alguna h # 0 que es I bastante pequeña para auepuamos de qe, €

[a,b Consnimos el primer polinomio de Lagrange Pate) ar dteminadapor xy

2 co su tein de enor

¿a+ EE rage

Jar

LOQUO, flag thea) | YU 20 = 4)
Sih im, ru

para algun £a mo BL. A diferenciar obtenemos

a HERALD y [a pry

MATE
D

NEN p rege
grea,

de modo que

PE
D

168

Figura 41

EJEMPLO 1

bis 4.

CAPITULO 4 « Dferncicón e inegación numéricos

Un problema de ets fórmula radica en que carecemos de información sobre DE)
poro cul no podemos estima el eror de trancamiento.Peo cuando x ex 2 el cocficen-

te de DJ's cr y la forma se implica como sige
AAA
pape AER pr), en

Para valores pequeños de, podemos uilizar el cocinte dela diferencia x + A)
‘Sli ara proximas (1) con un ero acotado por M2, donde Ares una cota en
Ita para x a,b). À esta fórmula ele lama fórmula dela diferencta progresiva si
n> O (véase Fig. 4.1) y fórmula de diferencia regresiva sh < 0.

Sean (x)= lo xy = 1.8. La fórmula de la diferencia progresiva
Just,
o

sine para aproximar (18) con el error

brel „Al „il -
ET IICA

Lun resultados dela abla 4.1 se producen cuando à = 01,001 y 0001

aja _

passe

o EJ
1 oa os aos
Bor OS OSO OVNIS

DOM OR OSSI) NOISE

Puesto que (2) = Use valor exacto de (1.8) 8 0.855 y as cots de error om ade-
cuadas .

KA fence rendre 169

Para obtener fármols de aproximación a derivada mis gererae,opongamos que
Us Xu: 5) an + 1) meros dinos en algún intel y gue fe CU) Del
Verena 33,
E EE
Neo,

COS
pars guna en, donde 1,0 dnot el k<simo polinomio de coca de Lara:
BE Yaa fen ony Al rca sta expresión tenemos

=F pastis + 0, [SPE PTA
A

w=S pple
rw 1

+ SER pt

‘Una vez ms tendremos un problems al er el ere de tuncamieto menos qe
2 sea uno delos números x, En este caso, el mine que contre D" a) es ce
o. y entonces a femola queda a

$ soto) FED ff
nn

su)

Co an

La ecuación (42) oie e nombre de Fórmula de (a + 1) puntos para spronimar
En éminos generales, la lié de ms puno de valacón en lección (42)
produce una mayor exactitud, aunque so no convene dada la cantidad de claciones
Funcionales y el aumento e el emor de redondeo, Las fórmulas más comunes son las que
abarcan tes y inc putos de evaluación.
Primer derivamos alguna frmula dl de es puntos y consideramos los apoco de
sos eos, Puesto que

CETTE
Balken Baer Teen

De manera análoga,

NE syn =="
DATE TE Ra
Porno, de auto cn la uci (42)
el fe as
A Co i

Be 0: hades dn
Las tres fórmulas de la ecuación (4.8) son de gran utilidad si Tos nodos son cquidis-

ath y sent
En el esto de esta sesión supondremos que el espaciamiento de Tos modo es ul.

par alguna #0.

170 CAPÍTULO 4 + fea tacón mu
tar cc (43) co 2 + yo = y + cerdos
ipa nr
reo] e

“Al hacer o mismo con, x. Otenernos

soho Eu] Be

3 dE
root [En ot Era] + Er
AA

ri E LA
pue [2 sar Luo rom] E

A +2] - 2 por
Play+h) il LD + Eu 2] rw

A
rum EL 2009 Im Em

Der e coalición al ri, por nen
ci en pa fr me me ft) ons
Se Ip ihnen Ama Ean ert
as para aproximar f (xp):

re Long enema rm Er

1 Ra
TI ZT 2 + fag + = EME) y

pue Ea Eo

Finalmente nótese que, como podemos obener la dma ecuación a parte dela primera
con slo reemplazar con —h en realidad tenemos slo do (mls

m
= 2 LV) + Hay + ra E pore a
LD = 35 VO) + Vo SANA IA

onde se encuentra entre 9 x, + 24y

1 EE po a
Sts) y + DS DI IG as

donde E, et emu (x, — WD Le + 4)

61 Diferenciación memérco m

‘Aunque los eres en (44) y (4) son OVA) el or dela ecuación (4.9) s aproxi-
madameto la mita del error dela ecusció (4.4). EJ se debe a que en la ecuación (4.5)
so emplean dato en ambos lados de x, ya que la ecuación (4.4) tiza únicamente los de
un ado. Asimismo, nötese que debe evaluane sólo en dos punts en la ecuación (4.3

mientras que enla ecuación (4.4) e requirente evaluaciones, En la figura 4.2 se ilustra
la aproximación producida co la ecuación (4.8).

Ea la ecuación (4 4) la aproximación es il cerca de os extremos del intervalo ya que
posiblemente nose tenga información de fer del intervalo.

Los métodos presentados en as ecuaciones (4.4) y (4.3) reciben el nombre de fra
Las de tres puntos (aunque el ercer punto f(y) no aparer a a cevación (45), Asim
mo, Hamad fórmulas de cinco puntos en que se evalúa a fención en dos punos más,
per cuyo término de eror tine la fora OV). Una de ess fórmulas es

1 m
FU) = ng Vin = By = m + Ho +H) = flay + DOI + OH,
E] EJ

as
donde Está entre x — 2h yx, + 2h. Oua fórmula de cinco puntos de gran wid, so-

be todo e lo relacionado con la interpolación de trazadores cúbicos sujetos de la sección
34.05 la siguiente

raro rara un
y
+ WO flag + 3h) — Ya, + 40) + zn

onde Ese encuentra entr 2 y ay + Ah. Las spronimaciones del extremo isquierdo pue-
den oenerue aplicando la fórmula con > 0 y las aprnnimaciones del extremo derecho.
rer

372 CAPÍTULO 4 + Djreniacise e iotegación neméncos

EJEMPLO 2 Los valores de fs) = x están o la tabla 42

Tabla 42 7

1746957
19885030

Puesto que (x) = (x + Ne nern (2.0) = 22167168, Al aproximar 20) median
te las formulas de ws y cinco puntos se obtinen Ios siguientes resultados,

Fórmulas de tres puntos
Usando (44) con h = 0.1: 41-520) + 4121) = £22)] = 22032310,
Usando (44) con h = =0.: (—Y/(20) + 419) = LAN = 22054925,
Usando (4.5) con h = 01: ¿ Y) ~f(1.9)] = 22228790,
Usando (45) con = 02: 1/22) - KB] = 2241416),

Los errores en ls fórmulas son aproximadamente

sas
i di
ia vitae unseren
er.
sexi

Est claro que la fórmula de cinco puntos da el mejor resultado, Observe además que
lero de la cación (45) conh = 01 tiene aproximadamente la mid dela magnitod
del enor que se genera al emplear la ecuación (44) con h = D. och m =. m

“También poems derivar métodos para obtener Las aproximaciones a derivadas de or
den superior de una función, utilizando exclusivamente los valores tabulador de una fün-
«ión en varios puntos Sin embargo, desde el puto de vista algbraco la derivación os te-
‘ion y. por tato, solo desribitemos un procedimiento representativo,

Desarrllames una función fen un rer polinomio de Taylor alrededor de un puto
2 Y evaluemos en, + Ay xy = À Po tan,

rl rua Luo + L pue
a+ MI) SAA GEA ¿ITA q PEE

42 Dferncaciónnuntico 173

y
1 1 + L pu,
= D = D SODA SSRI GITA IE

donde 5 AE << <a + h
Si agregamos esas ecusckones, el término f(x) se cancela y obtendremos

Le + M + fu STORE.
A rover") en ou ci, teens
Pa = UNS += ren pe (n

Supongamos que f° es continua en [xo = hy xa + Al. Dado que À UE) +

PE.) se eneuenr eme XE) y AXE. el corea de valor interme

io implica que exist un número £ente €, y Ey por tato, en (x, = hy +, com
1

re

Worten

Est nos permite rescibir Ia cuación (4.8) como.

Fe) = À Vs = = 2/0) + + I À

a
pun en te h< bh
ESEMPLOZ. Cont am el oo. ui) e pu ar mn) pr
aa ee as aa POs BR
EE
rave yas) yan faune men,

al emplear (49 conh = 02 obtenemos

1
20)— I vun ~ 20) +/02) = 2070405.
LO“ VUN ~ YAM + rad
Los eres son apronimadamente 3.70 X 10-2 y ~1.48 X 10-1, repecivamenie. a
‘Un punto moy importante enel studio dela diferenciación numérica eel efecto que

tiene el eer de redondeo en la aproximación. Examinemos más detenidamente la cu.
ción (35)

LD = zu Vo + D = fre = = EIA

En

Supongamos que al evaluar tx, + I) y fy ~ I) descubriemos los erores de redondeo.
0 + A) y ex, = I) Entonges os valores calculados Jr, + 1) yx = A) se relacionan
¿on ls valores verdaderos (9 + À) x, = I) por medio de as Fórmulas:

Análisis numérico richard burden 7ma edición

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