Analisis dimensional y ejercicios.pptx

Metodos de analisis dimensional

1. 2. MÉTODOS DE ANÁLISIS Dimensional I ESTUDIO EXPERIMENTAL RELACIONES EMPÍRICAS VARIABLES DEL SISTEMA DEPENDIENTES IND E PE N D IENTES ANÁLISIS DIMENSIONAL Reduce el número de experimentos Facilita la interpretación de resultados Análisis dimensional  Método físico-matemático que permite establ e cer la relación existente entre las variables que intervienen en un fenómeno agrupándolas en un número reducido de módulos adimensionales. Facilita la interpretación de los resultados. Módulos adimensionales  Agrupa cón de variables sin dimensiones físicas. TEMA 1

2. PRINCIPIOS EN LOS QUE SE FUNDAMENTA EL ANÁLISIS DIMENSIONAL Resultados análisis dimensional Todas las variables que influyen en el fenómeno físico Comprobación experimental de las relaciones empíricas TEMA 1 Ecuación Dimensional El símbolo utilizado para representar una  ecuación dimensional  son los corchetes [  ]. Dentro del corchete se coloca la letra que simboliza la  magnitud física . Ejemplo: [A]: Se lee  la ecuaci ó n dimensional de A [A]: Se lee  la ecuación dimensional de A  ó simplemente la dimensión de A Las ecuaciones dimensionales de magnitudes físicas se representan por letras o símbolos .

3. Las ecuaciones dimensionales de magnitudes físicas se representan por letras o símbolos. Ejemplos:  [Longitud] = L;    se lee « la ecuaci ó n dimensional de la longitud es L »  [Longitud] = L;    se lee «la ecuación dimensional de la longitud es L» [Masa] = M ;        se lee « la ecuaci ó n dimensional de la masa es M » [Masa] = M ;        se lee «la ecuación dimensional de la masa es M» [Tiempo] = T ;      se lee « la ecuaci ó n dimensional del tiempo es T » [Tiempo] = T ;      se lee «la ecuación dimensional del tiempo es T» [Temperatura] =  θ  ;  se lee la ecuaci ó n dimensional de la temperatura es  θ   [Temperatura] = θ ;  se lee la ecuación dimensional de la temperatura es θ  

4. Tabla 1 Fórmulas Dimensionales de las Magnitudes Fundamentales

5. Propiedades de las Ecuaciones Dimensionales 1.   Ecuación dimensional de un producto.     La ecuación dimensional de un producto es el producto de ecuaciones dimensionales.     [AB]=[A][B]     2.   Ecuación dimensional de un cociente.     La ecuación dimensional de un cociente es el cociente de ecuaciones dimensionales. [ AB ]=[ A ][ B ] [AB]=[A][B]     3.   Ecuación dimensional de una potencia o raíz     La ecuación dimensional de una potencia es la  ecuación dimensional de la base  elevada a su exponente. [ An ]=[ A ] n [ An ]=[A]n      La ecuación dimensional de una raíz es la raíz de la  ecuación dimensional del radicando. [ n √ A ]= n √ [ A ] [ An ]=[A]n

6. Propiedades de las Ecuaciones Dimensionales 4.   Ecuación dimensional de un número o cantidad adimensional     La ecuación dimensional de un número (cantidad sin dimensión)  es 1.      [Cantidad adimensional]=1     Ejemplos:           [45 o ]=1 [45o]=1                 [ángulo]=1      [ tg 30 o ]=1  [tg30o]=1              [función trigonométrica]=1      [ log 4]=1  [log4]=1                [logaritmo] =1      [√ π ]=1 [π]=1                 [número]=1      

7. A partir de las relaciones definitorias 2 Velocidad La velocidad se define como la derivada de la posición respecto al tiempo. Una derivada no es más que un cociente entre dos cantidades muy pequeñas y por tanto sus dimensiones serán las del numerador divididas por las del denominador, esto es,                La unidad en el SI de velocidad es 1 m/s.

8. 3 Cantidad de movimiento La cantidad de movimiento es el producto de la masa por la velocidad, por lo que sus dimensiones serán las del producto de estas dos cantidades:                                         La unidad SI de la cantidad de movimiento es 1  kg·m /s. 4 Aceleración La aceleración es la derivada de la velocidad respecto al tiempo, por tanto                        La unidad de aceleración en el SI será 1  m/s² .

9. 6 Trabajo El trabajo se define a partir de una integral, esto es, una suma de muchas cantidades muy pequeñas. Las dimensiones de la integral son entonces las mismas que las de cada uno de los sumandos. Cada sumando es un  trabajo diferencial , igual al producto escalar de una fuerza por un desplazamiento. Por ello                                                                         Vemos que el trabajo posee dimensiones de masa por velocidad al cuadrado, que son las mismas de la energía cinética                                                                                                  La unidad de trabajo en el sistema internacional es el julio, equivalente a                        

10. 7 Potencia La potencia es el cociente entre un trabajo diferencial y el tiempo diferencial en que se realiza. Las dimensiones las da también el cociente                               La unidad SI de potencia es el vatio, que equivale a                     

11. EJERCICIOS PARA RESOLVER EN CLASE Si A es una magnitud física,,entonces [A] es la dimensión de la magnitud física A. Si x:tiempo entonces :[x]=T Si v:velocidad entonces :[v]=LT⁻1

12. Solución: Veamos el principio de homogeneidad y observar como quedará nuestra fórmula: [Kv]=[Ft] Separando: [K][v]=[F][t] Revisamos nuevamente nuestra tabla de magnitudes físicas: [K]LT−1=MLT−2T Despejando: [K]=MLT−2TLT−1=MT−2+1T−1=MT−1T−1=M Observamos que  K  representa a la  masa. Problema 1.  La siguiente es una fórmula física correcta: Kv = Ft, donde v: velocidad, F: fuerza, t: tiempo. qué magnitud representa K? 

13.   Problema 2.  La siguiente expresión es dimensionalmente correcta y homogénea: KF = mv², donde F: fuerza, m: masa, v: velocidad. qué magnitud representa K? Solución: Por principio de homogeneidad dimensional, tenemos: [KF]=[mv2] Separamos: [K][F]=[m][v2] Buscamos nuestra tabla de magnitudes físicas: [K]MLT−2=ML2T−2 A simple vista observamos que nuestro resultado será: [K]=ML2T−2MLT−2=L Y esto nos conduce a decir que  K  representa a la  longitud

14. EJERCICIOS DE TAREA