ANALISIS ESTRUCTURAL Y ELEMENTOS FINITOS.pdf

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1. SESION 02
ANALISIS ESTRUCTURAL Y ELEMENTOS
FINITOS

2. CONCEPTO,
CAPACIDADES Y
LIMITACIONES DEL MEF

3. CONCEPTO DE FEM (FINITE ELEMENT METHOD)
Es un método numérico aproximado con el
cual se resuelven ecuaciones diferenciales,
necesarias para la resolución de
estructuras de naturaleza continua tales
como placas, cubiertas, puentes, presas,
etc.
El MEF es el método más potente para el
análisis estructural uni, bi o
tridimensionales sometidas a diversas
cargas externas (1)
https://www.prontubeam.com/articulos/10_2015_mito_caverna_ing_estruct/10_2015_mito
_caverna_articulo.php

4. CONCEPTOS PREVIOS
Modelado
Matemático: Introduce
la idea de representar
objetos físicos en
términos matemáticos,
necesarios para
realizar análisis
numéricos.
https://fotos.habitissimo.com.mx/foto/modelos-matematicos-de-estructuras-etabos-o-robot_357322

5. CONCEPTOS PREVIOS
Dominio: Región del espacio físico que se está
analizando. En el MEF, el dominio se divide en
elementos más pequeños para facilitar el
análisis.
Elemento: Base para realizar cálculos
aproximados sobre el dominio completo. Pueden
tener formas y tamaños variados, como
triángulos o cuadriláteros en problemas
bidimensionales, o tetraedros y hexaedros en
problemas tridimensionales.
Nodos: Puntos discretos en los que se evalúan las
soluciones del problema. Definen las esquinas de
los elementos y son los puntos donde se realizan
los cálculos.

6. CONCEPTOS PREVIOS
Malla o Mallado: Es la distribución de nodos y
elementos en todo el dominio. La calidad de la malla
afecta la precisión de los resultados obtenidos.
https://www.comsol.com/multiphysics/mesh-refinement
Funciones de Forma: Son funciones matemáticas
utilizadas para describir la variación de las
propiedades en el interior de cada elemento en
función de las coordenadas locales de los nodos.
https://biblus.us.es/bibing/proyectos/abreproy/70238/fich
ero/Capitulo+5.pdf

7. CAPACIDADES DEL MEF
1.Modelado de Geometrías Complejas (subdivisión
del dominio en elementos más simples).
2.Versatilidad: (ingeniería estructural, mecánica,
térmica, electromagnética, fluidodinámica, etc.)
3.Adaptabilidad a Diferentes Materiales: (No
homogéneos y anisotrópicos).
4.Refinamiento de Malla
5.Análisis Estático y Dinámico
6.Interacción Fluido-Estructura
7.Optimización Topológica: (distribución óptima de
material).
8.Evaluación de Condiciones de Contorno y Cargas
9.Validación Experimental, ajuste de modelos
https://www.researchgate.net/publication/237037650_Estrategias_para_el_modelado_y_el
_analisis_sismico_de_estructuras_historicas/link/00b7d5265b5602c07f000000/download?_t
p=eyJjb250ZXh0Ijp7ImZpcnN0UGFnZSI6Il9kaXJlY3QiLCJwYWdlIjoicHVibGljYXRpb24iLCJwcmV
2aW91c1BhZ2UiOiJfZGlyZWN0In19

8. LIMITACIONES DEL MEF
1.Discretización: Una malla inadecuada puede conducir a soluciones no representativas y errores numéricos.
2.Singularidades Numéricas: Especialmente en problemas con concentradores de esfuerzos, pueden surgir
singularidades numéricas que afectan la precisión de los resultados.
3.Sensibilidad a las Condiciones de Contorno: Definir adecuadamente las restricciones en los nodos para evitar
soluciones no físicas.
4.Modelado de Contacto y Fricción: El modelado preciso de interacciones de contacto y fricción puede ser
complejo y requerir métodos especializados.
5.Convergencia: En algunos casos, la convergencia del método puede ser lenta o difícil de alcanzar.
6. Modelado de Materiales NL: Requiere técnicas avanzadas para su modelado y convergencia.
7.Requisitos Computacionales: Modelos complejos y problemas grandes pueden requerir recursos
computacionales significativos en términos de tiempo de CPU y memoria. (2)
8.Validación Experimental: Siempre es importante validar los resultados con pruebas experimentales para
asegurar su confiabilidad.
https://www.prontubeam.com/articulos/05-07-2017-CONCENTRACION-
TENSIONES-ESQUINAS-FEM

9. FUNCIONAMIENTO
DEL MEF

10. ETAPAS BASICAS DEL MEF (1)
ETAPA 1: SELECCIONAR MODELO MATEMATICO
- Teoría a usar (láminas planas, láminas curvas,
elasticidad tridimensional…)
- Geometría y dimensiones
- Condiciones de borde
- Propiedades mecánicas de los materiales,
tipo de análisis.

11. ETAPAS BASICAS DEL MEF (1)
ETAPA 2: DISCRETIZACION DEL DOMINIO EN EF
- Se discretiza la estructura en porciones no
intersectantes entre sí (EF)
- El valor de las variables principales dentro de
los elementos se encuentran interpolando los
valores en los nodos.
Los elementos finitos se conectan a través de
los nodos.
La malla de EF puede tener elementos de
distinta geometría
http://www.iberisa.com/soporte/femap/reglas_mallado.htm

12. ETAPAS BASICAS DEL MEF (1)
ETAPA 3: Obtención de matrices de rigidez y vector de carga para cada EF
- A partir de la expresión del PTV se obtienen las matrices de rigidez K(e) y el vector de cargas f (e) para
cada elemento.
Etapa 4: Se procede al ensamblaje de las matrices de rigidez y el vector de carga elementales en la
matriz de rigidez global de toda la malla de elementos finitos K y el vector de cargas sobre los nodos f ,
respectivamente.
Etapa 5: El sistema de ecuaciones resultante Ka = f se resuelve para calcular las variables incógnitas
(movimientos de todos los nodos de la malla) a, utilizando uno cualquiera de los métodos conocidos
para solución de ecuaciones algebraicas simultaneas lineales.
Etapa 6: Una vez calculados los movimientos nodales a se pueden calcular las deformaciones y,
seguidamente, las tensiones en cada elemento, así como las reacciones en los nodos con movimientos
prescritos.

13. ETAPAS BASICAS DEL MEF (1)
Etapa 7: Obtenidos los resultados numéricos, la etapa siguiente es la interpretación y presentación de
los mismos. Para ello suele hacerse uso de técnicas graficas que facilitan dicha labor (Postproceso).
Etapa 8: Una vez estudiados los resultados, el técnico analista puede plantearse efectuar varias
modificaciones en cualquiera de las etapas anteriores.

14. ETAPAS BASICAS DEL MEF (1)

15. BASES TEORICAS
DEL MEF

16. PROBLEMAS BIDIMENSIONALES USANDO
TRIÁNGULOS DE DEFORMACIÓN
UNITARIA CONSTANTE
El vector desplazamiento �es dado como:
??????=�,�
T
Los esfuerzos y deformaciones unitarias están
dados de la siguiente forma:
??????=??????
�,??????
�,??????
��
T
??????=�
�,�
�,??????
��
T
Donde:
� � �: Componentes � y � de ??????
La fuerza de cuerpo, el vector de tracción y el
volumen elemental están dados de la siguiente
manera:
??????=??????
�,??????
�
T
�=�
�,�
�
T
??????�=�????????????
f: Fuerza del cuerpo (Fuerza ⁄ Volumen unitario)
T: Vector de tracción (Fuerza ⁄ Área unitaria))
dV: Volumen elemental
t: Espesor a lo largo de la dirección z

17. PROBLEMAS BIDIMENSIONALES USANDO
TRIÁNGULOS DE DEFORMACIÓN
UNITARIA CONSTANTE
Las relaciones deformación unitaria-
desplazamiento están dadas por
Los esfuerzos y las deformaciones unitarias están
relacionados por
Donde:
t: Espesor en (x,y)
fx, fy: Componentes de la fuerza de cuerpos por
volumen unitario en (x,y)
??????=
�
�
�
�
,
�
�
�
�
,
�
�
�
�
+
�
�
�
�
�
??????=????????????
Problema bidimensional

18. PROBLEMAS BIDIMENSIONALES USANDO
TRIÁNGULOS DE DEFORMACIÓN
UNITARIA CONSTANTE
CÓMO CONSTRUIR EL MODELO DEL ELEMENTO
FINITO
Denotamos el vector de desplazamiento global
como
Donde:
N: Número de grados de libertad
Discretización del elemento finito
�=??????
1,??????
2,……,??????
??????
T

19. PROBLEMAS BIDIMENSIONALES USANDO
TRIÁNGULOS DE DEFORMACIÓN
UNITARIA CONSTANTE
??????=??????
1,??????
2,……,??????
6
T
Elemento triangular
La tabla establece la correspondencia entre los
números de nodos local y global y los
correspondientes grados de libertad
q:Vector desplazamiento del elemento

20. PROBLEMAS BIDIMENSIONALES USANDO
TRIÁNGULOS DE DEFORMACIÓN
UNITARIA CONSTANTE
TRIÁNGULO DE DEFORMACIÓN UNITARIA
CONSTANTE (CST)
En particular, ??????
�+??????
�+??????
� representa un plano
con altura de 1 en los nodos 1,2y 3, entonces es
paralelo al triángulo 123. En consecuencia, para
toda ??????
�+??????
�+??????
�
??????
1+??????
2+??????
3=1
Las funciones de forma independientes son
representadas convenientemente por el par ??????,??????,
como sigue
??????
1=??????
??????
2=??????
??????
3=1−??????−??????
??????,??????:Coordenadasnaturales

21. PROBLEMAS BIDIMENSIONALES USANDO
TRIÁNGULOS DE DEFORMACIÓN
UNITARIA CONSTANTE
Funciones de forma Áreas coordenadas

22. PROBLEMAS BIDIMENSIONALES USANDO
TRIÁNGULOS DE DEFORMACIÓN
UNITARIA CONSTANTE
Representación isoparamétrica
??????
1=
??????
1
??????
??????
2=
??????
2
??????
??????
3=
??????
3
??????
A: Área del elemento
Los desplazamientos dentro del elemento se
escriben ahora usando las funciones de forma y
los valores nodales del campo de desplazamiento
desconocido
�=??????
1??????
1+??????
2??????
3+??????
3??????
5
�=??????
1??????
2+??????
2??????
4+??????
3??????
6
�=??????
1−??????
5??????+??????
3−??????
5??????+??????
5
�=??????
2−??????
6??????+??????
4−??????
6??????+??????
6

23. PROBLEMAS BIDIMENSIONALES USANDO
TRIÁNGULOS DE DEFORMACIÓN
UNITARIA CONSTANTE
Las relaciones anteriores se pueden expresarse
en forma matricial definiendo una matriz N de
función de forma
Ésta es la representación isoparamétrica. Este
enfoque le da simplicidad al desarrollo y retiene
la uniformidad con otros elementos complejos.
Tenemos
??????=
??????
10??????
2
0??????
10
0??????
30
??????
20??????
3
N: Funciónde forma
y
??????=????????????
�=??????
1�
1+??????
2�
2+??????
3�
3
�=??????
1�
1+??????
2�
2+??????
3�
3
�=�
1−�
3??????+�
2−�
3??????+�
3
�=�
1−�
3??????+�
2−�
3??????+�
3

24. PROBLEMAS BIDIMENSIONALES USANDO
TRIÁNGULOS DE DEFORMACIÓN
UNITARIA CONSTANTE
Usando la notación �
��=�
�−�
� y �
��=�
�−�
�,
se escribe:
�=�
13??????+�
23??????+�
3
�=�
13??????+�
23??????+�
3

25. PROBLEMAS BIDIMENSIONALES USANDO
TRIÁNGULOS DE DEFORMACIÓN
UNITARIA CONSTANTE
EJEMPLO 1:
Evalúe las funciones de forma ??????
1+??????
2+??????
3 en el punto interior P para el elemento triangular en la figura.

26. PROBLEMAS BIDIMENSIONALES USANDO
TRIÁNGULOS DE DEFORMACIÓN
UNITARIA CONSTANTE
Usando la representación isoparamétrica,
tenemos
Resolviendo las ecuaciones, se obtiene ξ=0.3 y
η=0.2, lo que implica
3.85=1.5??????
1+7??????
2+4??????
3=−2.5??????+3??????+4
4.8=2??????
1+3.5??????
2+7??????
3=−5??????−3.5??????+7
Las dos ecuaciones anteriores se reagrupan en la
forma
2.5??????−3??????=0.15
5??????+3.5??????=2.2
??????
1=0.3
??????
2=0.2
??????
3=0.5

27. PROBLEMAS BIDIMENSIONALES USANDO
TRIÁNGULOS DE DEFORMACIÓN
UNITARIA CONSTANTE
Al evaluar las deformaciones unitarias, las derivadas parciales de u y v se toman con respecto a x y
y. Se observa que u,v y también x,y son funciones de ξ y η.
Es decir, u=u(x(ξ,η),y(ξ,η)) y, similarmente, v=v(x(ξ,η),y(ξ,η)).
Usando la regla de la cadena para derivadas parciales de u, tenemos
��
�??????
=
��
��
��
�??????
+
��
��
��
�??????
��
�??????
=
��
��
��
�??????
+
��
��
��
�??????

28. PROBLEMAS BIDIMENSIONALES USANDO
TRIÁNGULOS DE DEFORMACIÓN
UNITARIA CONSTANTE
que puede escribirse en notación matricial como Al tomar las derivadas de x y y, resulta
��
�??????
��
�??????
=
��
�??????
��
�??????
��
�??????
��
�??????
��
��
��
��
donde la matriz cuadrada de (2 X 2) se denomina
el jacobiano J de la transformación:
�=
��
�??????
��
�??????
��
�??????
��
�??????
�=
�
13�
13
�
23�
23
También, de la ecuación
��
��
��
��
=�
−1
��
�??????
��
�??????

29. PROBLEMAS BIDIMENSIONALES USANDO
TRIÁNGULOS DE DEFORMACIÓN
UNITARIA CONSTANTE
Donde ??????
−�
es la inversa del jacobiano ??????, dada por
�
−1
=
1
det�
�
23−�
13
−�
23�
13
det�=�
13�
23−�
23�
13
Puede verse que la magnitud del det J es el
doble del área del triángulo. Si los puntos 1, 2 y 3
se ordenan en sentido opuesto al de las
manecillas del reloj, el det J es positivo en signo.
Tenemos
??????=
1
2
det�
Donde || representa la magnitud. La mayor
parte de los códigos de computadora usan un
sentido opuesto al de las manecillas del reloj
para los nodos y usan el det J para evaluar el
área.

30. PROBLEMAS BIDIMENSIONALES USANDO
TRIÁNGULOS DE DEFORMACIÓN
UNITARIA CONSTANTE
EJEMPLO
Determine el jacobiano J de la transformación
para el elemento triangular mostrado en la figura
mostrada en el ejercicio anterior.
Se tiene:
�=
�
13�
13
�
23�
23
=
−2.5−5.0
3.0−3.5
En consecuencia, det J=23.75 unidades. Ésta es el
doble del área del triángulo. Si 1,2 y 3 están en el
sentido de las manecillas del reloj, entonces det J
será negativo.

31. PROBLEMAS BIDIMENSIONALES USANDO
TRIÁNGULOS DE DEFORMACIÓN
UNITARIA CONSTANTE
De las ecuaciones anteriores, se infiere que
��
��
��
��
=
1
det�
�
23
��
�??????
−�
13
��
�??????
−�
23
��
�??????
+�
13
��
�??????
Reemplazando u por el desplazamiento v, obtenemos una expresión similar

32. PROBLEMAS BIDIMENSIONALES USANDO
TRIÁNGULOS DE DEFORMACIÓN
UNITARIA CONSTANTE
��
��
��
��
=
1
det�
�
23
��
�??????
−�
13
��
�??????
−�
23
��
�??????
+�
13
��
�??????
Usando las relaciones deformación unitaria-desplazamiento, se obtiene:
??????=
��
��
��
��
��
��
+
��
��
=
1
det�
�
23??????
1−??????
5−�
13??????
3−??????
5
−�
23??????
2−??????
6+�
13??????
4−??????
6
−�
23??????
1−??????
5+�
13??????
3−??????
5+�
23??????
2−??????
6−�
13??????
4−??????
6

33. PROBLEMAS BIDIMENSIONALES USANDO
TRIÁNGULOS DE DEFORMACIÓN
UNITARIA CONSTANTE
De la definición de �
�� y �
�� podemos escribir �
31=−�
13 y �
12=�
13−�
23, etc. La ecuación anterior
puede escribirse en la forma
??????=
1
det�
�
23??????
1+�
31??????
3+�
12??????
5
�
32??????
2+�
13??????
4+�
21??????
6
�
32??????
1+�
23??????
2+�
13??????
3+�
31??????
4+�
21??????
5+�
12??????
6
Esta ecuación puede escribirse en forma
matricial como
??????=????????????
Donde B es una matriz de elemento
deformación unitaria-desplazamiento de (3 X 6)
que relaciona las tres deformaciones unitarias
con los seis desplazamientos nodales y está
dada por

34. PROBLEMAS BIDIMENSIONALES USANDO
TRIÁNGULOS DE DEFORMACIÓN
UNITARIA CONSTANTE
EJEMPLO3
??????=
1
det�
�
230�
31
0�
320
�
32�
23�
13
0�
120
�
130�
21
�
31�
21�
12
Note que todos los elementos de la matriz B son
constantes expresadas en términos de las
coordenadas nodales.
Encuentre las matrices ??????
??????
de deformación unitaria-desplazamiento nodal para los elementos mostrados en la
figura. Use los números locales dados en los vértices.
??????
1
=
1
det�
�
230�
31
0�
320
�
32�
23�
13
0�
120
�
130�
21
�
31�
21�
12
=
1
6
200
0−30
−323
0−20
300
00−2

35. PROBLEMAS BIDIMENSIONALES USANDO
TRIÁNGULOS DE DEFORMACIÓN
UNITARIA CONSTANTE
Donde ??????
�
se obtiene de �
13�
23−�
23�
13=
32−30=6. Usando los números
locales de los vértices, ??????
�
puede escribirse
usando la relación como
??????
2
=
1
6
−200
030
3−2−3
020
−300
002

36. PROBLEMAS BIDIMENSIONALES USANDO
TRIÁNGULOS DE DEFORMACIÓN
UNITARIA CONSTANTE
Enfoque de la energía potencial
La energía potencial ∏ del sistema está dada por
i:Punto de aplicación de una carga puntual P
Π=
1
2
න
??????
??????
�
????????????�????????????−න
??????
??????
�
??????�????????????−න
??????
??????
�
��????????????−෍
ⅈ
??????
�
??????
�
�
Π=෍
??????
�
??????−෎
??????
න
??????
??????
�
??????�????????????−න
??????
??????
�
��????????????−෍
ⅈ
??????
�
??????
�
�
Usando la triangulación la energía potencial total puede escribirse en la forma
Π=෎
??????
1
2
න
??????
??????
�
????????????�????????????−෎
??????
න
??????
??????
�
??????�????????????−න
??????
??????
�
��????????????−෍
ⅈ
??????
�
??????
�
�
o

37. PROBLEMAS BIDIMENSIONALES USANDO
(CST) Matriz de rigidez del elemento
Donde
Ahora, ׬
??????
????????????=??????
??????, donde Ae es el área del
elemento. Entonces,
U
e=
1
2
න
??????
??????
�
????????????�????????????
es la energía de deformación unitaria del
elemento
U
e=
1
2
න
??????
??????
�
????????????�????????????
=
1
2
න
??????
??????
T
??????
�
??????????????????�????????????
Ue: Energía de deformación unitaria del
elemento
U
e=
1
2
??????
T
??????
�
????????????�
??????න
??????
??????????????????
te: Espesordel elemento
U
e=
1
2
??????
T
�
????????????
????????????
�
??????????????????
??????
e
:Matrizde rigidezdel elemento
??????
e
=�
????????????
????????????
�
????????????

38. PROBLEMAS BIDIMENSIONALES USANDO
(CST) MATRIZ DE RIGIDEZ DE LA ESTRUCTURA
K:Matrizderigidezglobal
�=෎
??????
1
2
??????
T
??????
e
??????=
1
2
�
T
��

39. Elementos Finitos en
SAP2000

40. ELEMENTO TIPO SHELL
Son elementos de área de tres o cuatro nodos.
Cada nodo posee 5 grados de libertad con
deformación (tres traslaciones U1, U2 y U3 y dos
rotaciones R1, R2). Son estables de forma
independiente ante cargas perpendiculares y en el
plano del elemento. Representa la suma de una
Membrana con un plate.
Se pueden utilizar para modelar, analizar y diseñar
losas, muros o placas sometidas a flexión, corte y
fuerza axial.

41. ELEMENTO TIPO SHELL

42. ELEMENTO TIPO SHELL

43. ELEMENTO TIPO SHELL

44. ELEMENTO SHELL THIN
Formulacióndeshellfina("KirchoffThinShell
Formulation"):
Dependiendo de la relación espesor o longitud
de la estructura, la deformación por corte
puede ser despreciada en comparación con la
deformación a flexión. Si la longitud de la
estructura es 20 veces mayor que el espesor,
por tanto, la pieza es relativamente fina, es
decir:
Si L/T > 20, entonces usar elementos Shell Finos
(Donde: L = longitud del elemento de área, T =
espesor del elemento)
La formulación de Kirchoff fue creada para los
casos donde la deformación a corte es
despreciable, permite un ahorro importante de
tiempo y esfuerzo de cálculo.

45. ELEMENTO SHELL THICK
-Formulacióndeshellgrueso("MindlinThick
ShellFormulation"):
Se aplica en el caso de elementos Shell de
espesor considerable donde la deformación por
el corte no se desprecia en comparación con la
deformación a flexión.
Si L/T < 20, entonces usar elementos Shell
Gruesos

46. ELEMENTO TIPO PLATE
Elementos de área de tres o cuatro
nodos. En cada nodo se tienen 3 grados
de libertad con deformación (Traslación
U3 perpendicular al plano y dos
rotaciones R1 y R2). Es decir, los
desplazamientos en su plano U1 y U2
están liberados. La matriz de rigidez de
un elemento Tipo Plate está en función
del módulo de elasticidad y de las
inercias.

47. ELEMENTOS TIPO PLATE
Si se discretiza (Mesh) un área de plates y se les aplica cargas que generen deformaciones en su plano
se forma un mecanismo. Debido a ello, en cada nodo generado de una discretización deberá existir un
elemento de apoyo, a fin de limitar dichas deformaciones.

48. ELEMENTOS TIPO MEMBRANA
Elementos de área de 3 o 4 nodos. En cada nodo se tienen 2
grados de libertad con deformación U1 y U2 en el plano del
elemento, es decir, el desplazamiento perpendicular a su
plano u3 y las rotaciones R1 y R2 están libres (no hay
momentos). La matriz de rigidez de un elemento tipo
membrana está en función del módulo de elasticidad y de su
área.
Si se discretiza (Mesh) un área de membranas y se les aplican
cargas que generen deformaciones perpendiculares a su
plano, se obtiene un mecanismo. Debido a ello, en cada nodo
generado de una discretización, deberá existir un elemento de
apoyo a fin de limitar dichas deformaciones.
Si se divide (mesh) un área de membranas y se les aplican
cargas que generen deformaciones en sus ejes locales U1 y U2
donde hay una rigidez definida.

49. ELEMENTOS TIPO MEMBRANA
Se pueden utilizar para modelar losas simplemente apoyadas
sobre vigas y/o correas bajo cargas perpendiculares a su
plano, donde la transmisión de dichas cargas a las mismas se
hace a través del método de área tributaria.
Si las cargas uniformes son perpendiculares al plano y se
distribuyen en un solo sentido se obtienen cargas uniformes
en las vigas, pero si se distribuyen en dos sentidos se obtienen
cargas de forma triangular y/o trapezoidal, dependiendo de la
forma geométrica de la losa.
Se pueden utilizar para analizar y diseñar muros de concreto
armado o planchas metálicas sometidas a un régimen de
cargas en su plano.
Los vínculos deben ser articulados.

50. REFERENCIAS
(1) Oñate E. (1992), Cálculo de Estructuras por el Método de los Elementos Finitos, C.I.M.N.E.,
Barcelona
(2) Peña, F. (2010). Estrategias para el modelado y análisis sísmico de estructuras históricas. Revista
de Ingeniería Sísmica N° 83, 43 - 63
(15) ASCE (2016). ASCE 7-16: Minimum Design Loads and Associated Criteria for Buildings and Other
Structures. Structural Engineering Institute

51. GRACIAS