Analisis real elon lages

Lima, Elon Lages
An´alisis Real, Volumen 1.
Instituto de Matem´atica y Ciencias Aﬁnes, UNI, 1997.
240pp. (Colecci´on Textos del IMCA)

Textos del IMCA
An´alisis Real
Volumen 1
Elon Lages Lima
Traducido por Rodrigo Vargas
IMCA Instituto de Matem´atica y Ciencias Aﬁnes

Copyrightc, 1997 by Elon Lages Lima
Impreso en Chile / Printed in Chile
Car´atula: Rodolfo Capeto y Noni Geiger
Textos del IMCA
Editor: C´esar Camacho

Con esta serie de textos el IMCA inicia sus trabajos contribu-
yendo a la difuci´on de la cultura matem´atica por medio de una
literatura de alta calidad cient´ıﬁca.
Esta colecci´on busca poner a disposici´on de alumnos y profe-
sores universitarios, libros escritos con rigor y claridad, que sirvan
como textos de cursos de graduaci´on.
La publicaci´on de este libro cont´o con el apoyo decidido de la
Sociedad Brasileira de Matem´aticay de laUniversidad Nacional de
Ingenier´ıa del Per´uque compartieron su costo. A estas institucio-
nes damos nuestro agradecimiento.
El Editor

Prefacio
Este libro pretende servir de texto para un primer curso de An´ali-
sis Matem´atico. Los temas tratados se exponen de manera simple
y directa, evitando digresiones. As´ı espero facilitar el trabajo del
profesor que, al adoptarlo, no necesitar´a perder mucho tiempose-
leccionando los temas que tratar´a y los que omitir´a. Grupos espe-
ciales, estudiantes avanzados, lectores que deseen una presentaci´on
m´as completa y los alumnos, por as´ı decirlo, normales que busquen
lecturas complementarias pueden consultar el “Curso de An´alisis
Matem´atico, vol. 1”que trata de la misma materia con un enfoque
m´as amplio, y que tiene aproximadamente el doble de tama˜no.
Los lectores que tengo en mente son alumnos con conocimientos
equivalentes a dos per´ıodos lectivos de C´alculo
*
, ya familiarizados
con las ideas de derivada e integral en sus aspectos m´as elemen-
tales, principalmente los c´alculos con las funciones m´as conocidas
y la resoluci´on de ejercicios sencillos. Tambi´en espero que tengan
una idea suﬁcientemente clara de lo que es una demostraci´on ma-
tem´atica. La lista de prerrequisitos termina diciendo que el lector
debe estar habituado a las notaciones usuales de la teor´ıa de con-
juntos, tales comox∈A,A⊂B,A∪B,A∩B, etc.
Una parte importante de este libro son sus ejercicios, que sirven
para ﬁjar ideas, desarrollar algunos temas esbozados en el textoy
como oporunidad para que el lector compruebe si realmente ha en-
tendido lo que acab´o de leer. En el cap´ıtulo ﬁnal se presentan las
soluciones, de forma completa o resumida, de 190 ejercicios selec-
cionados. Los restantes son, en mi opini´on, bastante f´aciles. Natu-
ralmente, me gustar´ıa que el lector s´olo consultase las soluciones
despu´es de haber hecho un serio esfuerzo para resolver cada pro-
*
N.T. dos cuatrimestres

blema. Precisamente es este esfuerzo, con o sin ´exito, el que nos
conduce a buenos resultados en el proceso de aprendizaje.
El procesamiento del manuscrito, por el sistema TEX, lo rea-
lizaron Mar´ıa Celano Maia y Solange Villar Visgueiro, supervisa-
das por Jonas de Miranda Gomes, al que debo bastantes consejosy
opiniones sensatas durante la preparaci´on del libro. La revisi´on del
texto original en portugu´es la hicieron Levi Lopes de Lima, Ricar-
do Galdo Camelier y Rui Tojeiro. A todas estas personas debo mis
agradecimientos cordiales.
La publicaci´on de la edici´on original brasile˜na fue ﬁnanciada por
la CAPES; con su director, profesor Jos´e Ubirajara Alves, estoyen
deuda por el apoyo y la compresi´on demostrados.
Rio de Janeiro
Elon Lages Lima

Prefacio a la edici´on en espa˜nol
La iniciativa de editar este libro en espa˜nol se debe al Profesor
C´esar Camacho que, con su empe˜no caracter´ıstico, tuvo la idea,
superviso la traducci´on, cuid´o de la impresi´on y asegur´o la publi-
caci´on. Es a ´el, por lo tanto, que tengo la satisfaci´on de manifestar
mis agradecimientos.
Tambi´en estoy agradecido a Lorenzo Diaz Casado, que hizo la
traducci´on y a Roger Metzger y Francisco Le´on por el trabajo de
revisi´on.
Rio de Janeiro, noviembre de 1997.
Elon Lages Lima

´Indice general
Cap´ıtulo 1. Conjuntos ﬁnitos e inﬁnitos 1
1. N´umeros naturales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
2. Conjuntos ﬁnitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
3. Conjuntos inﬁnitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
4. Conjuntos numerables . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
5. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
Cap´ıtulo 2. N´umeros reales 13
1.Res un cuerpo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.Res un cuerpo ordenado . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3.Res un cuerpo completo . . . . . . . . . . . . . . . . 18
5. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
Cap´ıtulo 3. Sucesiones de n´umeros reales 25
1. Limite de una sucesi´on . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2. L´ımites y desigualdades . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3. Operaciones con l´ımites . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
4. L´ımites inﬁnitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
5. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
Cap´ıtulo 4. Series de n´umeros 41
1. Series convergentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2. Series absolutamente convergentes . . . . . . . . . . . 44
3. Criterios de convergencia . . . . . . . . . . . . . . . . 45
4. Reordenaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
5. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
Cap´ıtulo 5. Algunas nociones de topolog´ıa 53
1. Conjuntos abiertos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
2. Conjuntos cerrados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
9

10
´
INDICE GENERAL
3. Puntos de acumulaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
4. Conjuntos compactos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
5. El conjunto de Cantor . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
6. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
Cap´ıtulo 6. L´ımites de funciones 69
1. Deﬁnici´on y primeras propiedades . . . . . . . . . . . 69
2. L´ımites laterales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
3. L´ımites en el inﬁnito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
4. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
Cap´ıtulo 7. Funciones continuas 83
1. Deﬁnici´on y propiedades b´asicas . . . . . . . . . . . . 83
2. Funciones continuas en un intervalo . . . . . . . . . . 86
3. Funciones continuas en conjuntos compactos . . . . . 90
4. Continuidad uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
5. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
Cap´ıtulo 8. Derivadas 101
1. La noci´on de derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
2. Reglas de derivaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
3. Derivada y crecimiento local . . . . . . . . . . . . . . 107
4. Funciones derivables en un intervalo . . . . . . . . . . 109
5. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
Cap´ıtulo 9. F´ormula de Taylor y aplicaciones de la de-
rivada 117
1. F´ormula de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
2. Funciones c´oncavas y convexas . . . . . . . . . . . . . 121
3. Aproximaciones sucesivas y el m´etodo de Newton . . . 127
5. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
Cap´ıtulo 10. La integral de Riemann 135
1. Revisi´on de sup e ´ınf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
2. Integral de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
3. Propiedades de la integral . . . . . . . . . . . . . . . . 141
4. Condiciones suﬁcientes para la integrabilidad . . . . . 145
5. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

Cap´ıtulo 11. C´alculo con integrales 151
1. Teorema cl´asicos del C´alculo Integral . . . . . . . . . . 151
2. La integral como l´ımite de sumas de Riemann . . . . . 155
3. Logaritmos y exponenciales . . . . . . . . . . . . . . . 157
4. Integrales impropias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
5. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
Cap´ıtulo 12. Sucesiones y series de funciones 171
1. Convergencia puntual y convergencia uniforme . . . . 171
2. Propiedades de la convergencia uniforme . . . . . . . . 175
3. Series de potencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
4. Series trigonom´etricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
5. Series de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
5. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
Cap´ıtulo 13. Soluciones de los ejercicios 193
Lecturas recomendadas 223

1
Conjuntos ﬁnitos
e inﬁnitos
En este cap´ıtulo se establecer´a con precisi´on la diferencia entrecon-
junto ﬁnito y conjunto inﬁnito. Tambi´en se har´a la distinci´on entre
conjunto numerable y conjunto no numerable. El punto de partida
es el conjunto de los n´umeros naturales.
1. N´umeros naturales
El conjuntoNde los n´umeros naturales se caracteriza por las
siguientes propiedades:
1. Existe una funci´on inyectivas:N→N. La imagens(n) de
cada n´umero naturalnse llamasucesorden.
2. Existe un ´unico n´umero natural 1≤Ntal que 16=s(n) para
todon∈N.
3. Si un conjuntoX⊂Nes tal que 1∈Xys(X)⊂X(esto es,
n∈X⇒s(n)∈X) entoncesX=N.
Estas aﬁrmaciones pueden ser reformuladas as´ı:
1

2Conjuntos Finitos Cap. 1
1
′
. Todo n´umero natural tiene un sucesor, que tambi´en es un n´ume-
ro natural; n´umeros diferentes tienen sucesores diferentes.
2
′
. Existe un ´unico n´umero natural que no es sucesor de ninguno.
3
′
. Si un conjunto de n´umeros naturales contine el n´umero 1 y tam-
bi´en contiene el sucesor de cada uno de sus elementos, entonces
ese conjunto contiene a todos los n´umeros naturales.
Las propiedades 1, 2, 3 de arriba se llaman axiomas de Peano.
El axioma 3 es conocido como “principio de inducci´on”. Intuitiva-
mente, ´este signiﬁca que todo n´umero natural puede obtenerse a
partir del 1, tomando su sucesors(1), el sucesor de ´este,s(s(1))
y as´ı en adelante, en un n´umero ﬁnito de etapas. (Evidentemente
“n´umero ﬁnito” es una expresi´on que, en este momento, no tiene
todav´ıa signiﬁcado. La formulaci´on del axioma 3 es una manera
extraordinariamente h´abil de evitar la introducci´on de un nuevo
principio hasta que la noci´on de conjunto ﬁnito est´e dada).
El principio de inducci´on es la base de un m´etodo para demos-
trar teoremas sobre n´umeros naturales, conocido como elm´etodo de
inducci´on(o recurrencia), que funciona as´ı: “si una propiedadPes
v´alida para el n´umero 1 y si, suponiendoPv´alida para el n´umero
n, como consecuencia se tiene quePtambi´en es v´alida para su su-
cesor, entoncesPes v´alida para todos los n´umeros naturales”.
Como ejemplo de demostraci´on por inducci´on, probaremos que
para todon∈N, se tienes(n)6=n. Esta aﬁrmaci´on es verdedara
cuandon= 1, porque el axioma 2 se tiene 16=s(n) para todon,
luego, en particular, 16=s(1). Si suponemos verdadera la aﬁrma-
ci´on para alg´unn∈N, se cumplen6=s(n). Como la funci´onses
inyectiva, entoncess(n)6=s(s(n)), esto es, la ﬁrmaci´on es verdade-
ra paras(n).
En el conjunto de los n´umeros naturales se deﬁnen dos opera-
ciones fundamentales, laadici´on, que asocia a cada par de n´umeros
naturales (m, n) susumam+n, y lamultiplicaci´onque hace co-
rresponder al par (m, n) su productomn. Estas dos operaciones
se caracterizan por las siguientes igualdades, que sirven como deﬁ-

Secci´on 1 N´umeros naturales3
nici´on:
m+ 1 =s(m) ;
m+s(n) =s(m+n),esto es, m+ (n+ 1) = (m+n) + 1;
m1 =m
m(n+ 1) =mn+m.
Con otras palabras: sumar 1 amsigniﬁca tomar su sucesor. Y
una vez conocida la sumam+ntambi´en es conocidom+ (n+ 1),
que es el sucesor dem+n. En cuanto a la multiplicaci´on: multi-
plicar por 1 no altera el n´umero. Y conocido el productomnes
conocidom(n+ 1) =mn+m. La demostraci´on de la existencia
de las operaciones + ycon las propiedades anteriores, as´ı como
su unicidad, se hace por inducci´on. Los detalles se omiten aqui. El
lector interesado puede consultar el “Curso de An´alisis Matem´ati-
co”, vol. 1, o las referencias bibliogr´aﬁcas de dicho libro, donde se
demuestran (inductivamente) las siguientes propiedades de la adi-
ci´on y la multiplicaci´on:
asociativa: (m+n) +p=m+ (n+p),m(np) = (mn)p;
distributiva:m(n+p) =mn+mp;
conmutativa:m+n=n+m,mn=nm;
ley de corte:m+n=m+p⇒m=p,mn=mp⇒n=p.
Dados dos n´umeros realesm, nse escribem < ncuando existe
p∈Ntal quem+p=n. Se dice quemesmenorquen. La no-
taci´onm≤nsigniﬁca quem < n´om=n. Se puede probar que
m < nyn < p⇒m < p(transitividad) y que dadosm, n∈N
cualesquiera, se cumple una, y s´olo una, de estas tres posibilidades:
m < n,m=n´om > n.
Una de las propiedades m´as importantes de larelaci´on de orden
m < nentre n´umeros naturales es el llamadoprincipio de buena
ordenaci´on, enunciado y probado a continuaci´on.
Todo subconjunto no vac´ıoA⊂Nposee un menor elemento,
esto es, un elementon0∈Atal quen0≤npara todon∈A.
Para probar esta aﬁrmaci´on llamemos, para cada n´umeron∈N,
Inal conjunto de los n´umeros naturales≤n. Si 1∈Aentonces

4Conjuntos Finitos Cap. 1
1 es el menor elemento deA. Si 1/∈Aentonces consideramos el
conjuntoXde los n´umeros naturalesntales queIn⊂N−A. Como
I1={1} ⊂N−A, vemos que 1∈X. Por otra parte, comoAno
es vac´ıo, conclu´ımos queX6=N. Luego la conclusi´on del axioma 3
no es v´alida. Se sigue que debe existirn∈Xtal quen+ 1/∈X.
EntoncesIn={1,2, . . . , n} ⊂N−Ayn0=n+1∈A. Por lo tanto
n0es el menor elemento del conjuntoA.
2. Conjuntos ﬁnitos
Continuaremos usando la notaci´onIn={p∈N;p≤n}. Un
conjuntoXse dice ﬁnito cuando es vac´ıo o bien existenn∈Ny una
biyecci´onf:In→X. Escribiendox1=f(1),x2=f(2), . . . , xn=
f(n) tenemosX={x1, . . . , xn}. La biyecci´onfse llamaenume-
raci´onde los elemento deX, y el n´umeronse llaman´umero de
elementos o cardinaldel conjunto ﬁnitoX. El Corolario 1 m´as
adelante prueba que el cardinal est´a bien deﬁnido, esto es, que no
depende de la enumeraci´onfescogida.
Lema 1.Si existe una biyecci´onf:X→Y, entonces dadosa∈X
yb∈Ytambi´en existe una biyecci´ong:X→Ytal queg(a) =b.
Demostraci´on:Seab
′
=f(a). Comofes sobreyectiva, existea
′
∈
Xtal quef(a
′
) =b. Deﬁnamosg:X→Ycomog(a) =b,g(a
′
) =b
′
yg(x) =f(x) six∈Xno es igual ni aani ab. Es f´acil ver queg
es una biyecci´on.
Teorema 1.SiAes un subconjunto propio deIn, no puede existir
una biyecci´onf:A→In.
Demostraci´on:Supongamos, por reducci´on al absurdo, que el
teorema sea falso y consideremosn0∈Nel menor n´umero na-
tural para el que existen un subconjunto propioA⊂In0y una
biyecci´onf:A→In0. Sin0∈Aentonces, por el Lema, existe una
biyecci´ong:A→In0cong(n0) =n0. En este caso la restricci´on de
gaA− {n0}es una biyecci´on del subconjunto propioA− {n0}en
In0−1, lo que contradice la minimalidad den0. Si, por el contrario,
tuvi´esemosn0/∈Aentonces tomar´ıamosa∈Aconf(a) =n0y la

Secci´on 2 Conjuntos ﬁnitos5
restricci´on defal subconjunto propioA− {a} ⊂In0−1ser´ıa una
biyecci´on enIn0−1, lo que de nuevo contradice la minimalidad de
n0.
Corolario 1.Sif:Im→Xyg:In→Xson biyecciones, entonces
m=n.
En efecto, si tuvi´esemosm < nentoncesInser´ıa un subconjunto
propio deIn, lo que violar´ıa el Teorema 1, puesg
−1
◦f=Im→In
es una biyecci´on. An´alogamente se demuestra que no es posible
m < n. Luegom=n.
∗
Corolario 2.SeaXun conjunto ﬁnito. Una aplicaci´onf:X→X
es inyectiva si, y s´olo si, es sobreyectiva.
En efecto, existe una biyecci´onϕ:In→X. La aplicaci´onf:
X→Xes inyectiva o sobreyectiva si, y s´olo si,ϕ
−1
◦f◦ϕ:In→In
lo es. Luego podemos considerarf:In→In. Sifes inyectiva
entonces tomandoA=f(In) tendremos una biyecci´onf
−1
:A→
In. Por el Teorema 1,A=Inyfes sobreyectiva, Rec´ıprocamente,
sifes sobreyectiva entonces, para cadax∈Inpodemos escoger
y=g(x)∈Intal quef(y) =e. Entoncesges inyectiva y, por lo
que acabamos de probar,ges sobreyectiva. As´ı, siy1, y2∈Inson
tales quef(y1) =f(y2), tomamosx1, x2cong(x1) =y1,g(x2) =y2
y tendremosx1=f◦g(x1) =f(y1) =f(y2) =f(g(x2)) =x2, de
dondey1=g(x1) =g(x2) =y2, luegofes inyectiva.
Corolario 3.No puede existir una biyecci´on entre un conjunto
ﬁnito y una parte propia de ´este.
El Corolario 3 es una mera reformulaci´on del Teorema 1.
Teorema 2.Todo subconjunto de un conjunto ﬁnito es ﬁnito.
Demostraci´on:En primer lugar probaremos el siguiente caso par-
ticular: siXes ﬁnito ya∈XentoncesX−{a}es ﬁnito. En efecto,
existe una biyecci´onf:In→Xque, por el Lema, podemos su-
poner que cumplef(n) =a. Sin= 1 entoncesX− {a}es ﬁnito.
Sin >1, la restricci´on defaIn−1es una biyecci´on enX− {a},
luegoX− {a}es ﬁnito y tienen−1 elementos. El caso general se
prueba por inducci´on sobre el n´umeronde elementos deX. Este es

6Conjuntos Finitos Cap. 1
evidente siX=∅´on= 1. Supongamos el Teorema verdadero para
conjuntos denelementos, seanXun conjunto den+ 1 elementos
eYun subconjunto deX. SiY=Xno hay nada que probar. En
caso contrario, existea∈Xtal quea /∈Y. Entonces tambi´en se
cumpleY⊂X− {a}. ComoX− {a}tienenelementos, se sigue
queYes ﬁnito.
Corolario 1.Dadaf:X→Y, siYes ﬁnito yfes inyectiva
entoncesXes ﬁnito; siXes ﬁnito yfes sobreyectiva entoncesY
es ﬁnito.
En efecto, sifes inyectiva entonces es una biyecci´on deXen
el subconjuntof(X) del conjunto ﬁnitoY. Por otra parte, sif
es sobreyectiva yXes ﬁnito entonces, para caday∈Ypodemos
elegirx=g(y)∈Xtal quef(x) =y. Esto deﬁne una aplicaci´on
g:Y→Xtal quef(g(y)) =ypara todoy∈Y. Se concluye que
ges inyectiva luego, por lo que acabamos de probar,Yes ﬁnito.
∗
Un subconjuntoX⊂Nse diceacotadocuando existep∈Ntal
quex≤ppara todox∈X.
Corolario 2.Un subconjuntoX⊂Nes ﬁnito si, y s´olo si, est´a aco-
tado.
En efecto, siX={x1, . . . , xn} ⊂Nes ﬁnito, tomandop=
x1+ +xnvemos quex∈X⇒x < p, luegoXest´a acotado.
Rec´ıprocamente, siX⊂Nest´a acotado entoncesX⊂Ippara
alg´unp∈N, por tanto del Teorema 2 se sigue queXes ﬁnito.
∗
3. Conjuntos inﬁnitos
Se dice que un conjunto esinﬁnitocuando no es ﬁnito. As´ı,Xes
inﬁnito cuando ni es el conjunto vac´ıo ni existe para ning´unn∈N
una biyecci´onf:In→X.
Por ejemplo, en virtud del Corolario 2 del Teorema 2, el conjunto
Nde los n´umeros naturales es inﬁnito. Por el mismo motivo, si
k∈Nentonces el conjuntokNde los m´ultiplos dekes inﬁnito.
Teorema 3.SiXes un conjunto inﬁnito, entonces existe una apli-
caci´on inyectivaf:N→X.

Secci´on 4 Conjuntos numerables7
Demostraci´on:Para cada subconjunto no vac´ıoA⊂Xescoge-
mos un elementoxA∈A. A continuaci´on, deﬁnimosf:N→X
inductivamente. Hacemosf(1) =xXy, suponiendo ya deﬁnidos
f(1), . . . , f(n), escribimosAn=X− {f(1), . . . , f(n)}. ComoXes
inﬁnitoAnno es vac´ıo. Entonces deﬁnimosf(n+ 1) =xAn. Esto
completa la deﬁnici´on def. Para probar quefes inyectiva, sean
m, n∈N, por ejemplom < n. Entoncesf(m)∈ {f(1), . . . , f(n−
1)}mientras quef(n)∈X− {f(1), . . . , f(n−1)}, luegof(m)6=
f(n).
Corolario.Un conjuntoXes inﬁnito si, y s´olo si, existe una bi-
yecci´onϕ:X→Yes un subconjunto propioY⊂X.
En efecto, seaXinﬁnito yf:N→Xuna aplicaci´on inyec-
tiva. Escribimos, para cadan∈N,f(n) =xn. Consideremos el
subconjunto propioY=X−{x1}. Deﬁnimos entonces la biyecci´on
ϕ:X→Ytomandoϕ(x) =xsixno es ninguno de losxny
ϕ(xn) =xn+1(n∈N). Rec´ıprocamente, si existe una biyecci´on de
Xen un subconjunto propio entoncesXes inﬁnito, en virtud del
Corolario 3 del Teorema 1.
∗
SiN1=N− {1}entoncesϕ:N→N1,ϕ(n) =n+ 1, es
una biyecci´on deNen su subconjunto propioN1={2,3, . . .}. De
forma general, dadop∈Npodemos considerarNp={p+ 1, p+
2, . . .}y deﬁnir la biyecci´onϕ:N→Np,ϕ(n) =n+p. Este
tipo de fen´omenos ya eran conocidos por Galileo, el primero en
observar que “hay tantos n´umeros pares como n´umeros naturales”,
que demostr´o que siP={2,4,6, . . .}es el conjunto de los n´umeros
pares entoncesϕ:N→P, dada porϕ(n) = 2n, es una biyecci´on.
Evidentemente, siI={1,3,5, . . .}es el conjunto de los n´umero
impares, entoncesψ:N→I,ψ(n) = 2n−1, tambi´en es una
biyecci´on. En estos dos ´ultimos ejemplos,N−P=IyN−I=P
son inﬁnitos, mientras queN−Np={1,2, . . ., p}es ﬁnito.
4. Conjuntos numerables
Un conjuntoXse dicenumerablecuando es ﬁnito o cuando exis-
te una biyecci´onf:N→X. En este caso,fse llama numeraci´on de
los elementos deX. Si escribimosf(1) =x1, f(2) =x2, . . . , f(n) =
xn, . . .se tiene entoncesX={x1, x2, . . . , xn, . . .}.

8Conjuntos Finitos Cap. 1
Teorema 4.Todo subconjuntoX⊂Nes numerable.
Demostraci´on:SiXes ﬁnito no hay nada que demostrar. En
caso contrario, numeramos los elementos deXtomandox1= me-
nor elemento deX. Suponiendo deﬁnidosx1< x2< < xn,
escribimosAn=X− {x1, . . . , xn}. Observando queA6=∅, pues
Xes inﬁnito, deﬁnimosxn+1= menor elemento deAn. Entonces
X={x1, x2, . . . , xn, . . .}. En efecto, si existiese alg´un elemento de
Xdiferente de todos losxntendr´ıamos quex∈Anpara todon∈N,
luegoxser´ıa un n´umero natural mayor que todos los elementos del
conjunto inﬁnito{x1, . . . , xn, . . .}, lo que contradice el Corolario 2
de Teorema 2.
Corolario 1.Seaf:X→Yinyectiva. SiYes numerableX
tambi´en lo es. En particular, todo subconjunto de un conjunto nu-
merable es numerable.
En efecto, basta considerar el caso en que existe una biyecci´on
ϕ:Y→N. Entoncesϕ◦f:X→Nes una biyecci´on deXen
un subconjunto deN, que es numerable, por el Teorema 4. En el
caso particularX⊂Y, tomamosf:X→Yigual a la aplicaci´on
inclusi´on.
∗
Corolario 2.Seaf:X→Ysobreyectiva. SiXes numerable
entoncesYtambi´en lo es.
En efecto, para caday∈Ypodemos tomarx=g(y)∈X
tal quef(x) =y. Esto deﬁne una aplicaci´ong:Y→Xtal que
f(g(y)) =ypara todoy∈Y. De donde se concluye queges
inyectiva. Por el Corolario 1,Yes numerable.
∗
Corolario 3.El producto cartesiano de dos conjuntos numerables
es un conjunto numerable.
En efecto, siXeYson numerables entonces existen aplicaciones
sobreyectivasf:N→Xyg:N→Y, luegoϕ:N×N→X×Y
dada porϕ(m, n) = (f(m), g(n)) es sobreyectiva. Por tanto, es
suﬁciente probar queN×Nes numerable. Para esto consideremos
la aplicaci´onψ:N×N→Ndada porψ(m, n) = 3
m
2
n
. Por la
unicidad de la descomposici´on de un n´umero en factores primos,ψ
es inyectiva. Se concluye queN×Nes numerable. ∗

Secci´on 4 Conjuntos numerables9
Corolario 4.La uni´on de una familia numerable de conjuntos nu-
merables es numerable.
TomandoX=
S
∞
n=1
Xn, deﬁnimos la aplicaci´on sobreyectiva
f:N×N→Xhaciendof(m, n) =fn(m), El caso de uni´on ﬁnita
se reduce al caso anterior ya queX=X1∪X2∪ ∪Xn∪Xn+1∪ .
∗
El Teorema 3 signiﬁca que el inﬁnito numerable es el “menor”de
los inﬁnitos. En efecto, el teorema se puede reformular como sigue:
Todo conjunto inﬁnito contiene un subconjunto inﬁnito numera-
ble.
Ejemplo 1.El conjuntoZ={. . . ,−2,−1,0,1,2, . . .}de los n´ume-
rosenteroses numerable. Se puede deﬁnir una biyecci´onf:N→Z
comof(n) = (n−1)/2 sines impar yf(n) =−n/2 sines par.
Ejemplo 2.El conjuntoQ={m/n:m, n∈Z, n6= 0}de los
n´umerosracionaleses numerable. En efecto, si escribimosZ
∗
=
Z− {0}podemos deﬁnir una funci´on sobreyectivaf:Z×Z
∗
→Q
comof(m, n) =m/n.
Ejemplo 3.(Un conjunto no numerable). SeaSel conjunto de
todas las sucesiones inﬁnitas formadas con los s´ımbolos 0 y 1, como
por ejemplos= (0 1 1 0 0 0 1 0. . .). Con otras palabras,S
es el conjunto de todas las funcioness:N→ {0,1}. Para cada
n∈N, el valors(n), igual a 0 ´o 1, es eln-´esimo t´ermino de la
sucesi´ons. Aﬁrmamos que ning´un subconjunto numerableX=
{s1, s2, . . . , sn, . . .} ⊂Ses igual aS. En efecto, dadoX, indiquemos
mediantesnneln-´esimo t´ermino de la sucesi´onsn∈X. Formamos
una nueva sucesi´ons
∗
∈Xtomando eln-´esimo t´ermino des
∗
igual
a 0 sisnn= 0. La sucesi´ons
∗
no pertenece al conjuntoXporque
sun-´esimo t´ermino es diferente deln-´esimo t´ermino desn. (Este
argumento, debido a G. Cantor, es conocido como “m´etodo de la
diagonal”).
En el pr´oximo cap´ıtulo demostraremos que el conjuntoRde los
n´umeros reales no es numerable.

10Conjuntos Finitos Cap. 1
5. Ejercicios
Secci´on 1: N´umeros naturales
1. Usando el m´etodo de inducci´on, pruebe que
(a) 1 + 2 + +n=n(n+ 1)/2.
(b) 1 + 3 + 5 + + (2n−1) =n
2
.
2. Dadosm, n∈Nconn > m, pruebe que ´ones m´ultiplo demo
que existenq, r∈Ntales quen=mq+r,r < m. Pruebe queq
yrson ´unicos con esta propiedad.
3. SeaX⊂Nun subconjunto no vac´ıo tal quem, n∈X⇔m, m+
n∈X. Pruebe que existek∈Ntal queXes el conjunto de los
m´ultiplos dek.
4. Dadon∈N, pruebe que no existex∈Ntal quen < x < n+ 1.
5. Obtenga el principio de inducci´on como consecuencia del princi-
pio de buena ordenaci´on.
Secci´on 2: Conjuntos ﬁnitos
1. Indicando mediant cardXel n´umero de elementos del conjunto
ﬁnitoX, pruebe que:
(a) SiXes ﬁnito eY⊂X, entonces cardY≤cardX.
(b) SiXeYson ﬁnitos, entoncesX∪Yes ﬁnito y
card (X∪Y) = cardX+ cardY−card (X∩Y).
(c) SiXeYson ﬁnitos, entoncesX×Yes ﬁnito y
card(X×Y) = cardXcardY.
2. SeaP(X) el conjunto cuyos elementos son los subconjuntos de
X. Pruebe, usando el m´etodo deinducci´on, que siXes ﬁnito
entonces cardP(X) = 2
cardX
.
3. SeaF(X;Y) el conjunto de las funcionesf:X→Y. Si cardX=
my cardY=n, pruebe que card (F(X;Y)) =n
m
.

Secci´on 4 Ejercicios11
4. Pruebe que todo conjunto ﬁnitoXde n´umeros naturales posee
un elemento m´aximo (esto es, existex0∈Xtal quex≤x0
∀x∈X).
Secci´on 3: Conjuntos inﬁnitos
1. Dadaf:X→Y, pruebe que:
(a) SiXes inﬁnito yfes inyectiva entoncesYes inﬁnito.
(b) SiYes inﬁnito yfes sobreyectiva entoncesXes inﬁnito.
2. SeanXun conjunto ﬁnito eYun conjunto inﬁnito. Pruebe que
existe una funci´on inyectivaf:X→Yy una funci´on sobreyec-
tivag:Y→X.
3. Pruebe que el conjuntoPde los n´umeros primos es inﬁnito.
4. D´e un ejemplo de una sucesi´on decrecienteX1⊃X2⊃ ⊃
Xn⊃ de conjuntos inﬁnitos cuya intersecci´on
T
∞
n=1
Xnsea
vac´ıa.
Secci´on 4: Conjuntos numerables
1. Deﬁnaf:N×N→Nmediantef(1, n) = 2n−1 yf(n+ 1, n) =
2
n
(2n−1). Pruebe quefes una biyecci´on.
2. Pruebe que existeg:N→Nsobreyectiva tal queg
−1
(n) es
inﬁnito para cadan∈N.
3. EscribaN=N1∪N2∪ ∪Nn∪ como uni´on inifnita de
subconjuntos inﬁnitos disjuntos dos a dos.
4. Para cadan∈N, seaPn={X⊂N: cardX=n}. Prue-
be quePnes numerable. Concluya que el conjuntoPfde los
subconjuntos ﬁnitos deNes numerable.
5. Pruebe que el conjuntoP(N) de todos los subconjuntos deNno
es numerable.
6. SeaYnumerable yf:X→Ysobreyectiva tal que, para cada
y∈Y,f
−1
(y) es numerable. Pruebe queXes numerable.

12Conjuntos Finitos Cap. 1

2
N´umeros reales
El conjunto de los n´umeros reales se denotar´a porR. En este cap´ıtu-
lo haremos una descripci´on completa de sus propiedades; ´estas,
as´ı como sus consecuencias, se utilizar´an en los pr´oximos cap´ıtu-
los.
1.Res un cuerpo
Esto signiﬁca que enRest´an deﬁnidas dos operaciones, llamadas
adici´onymultiplicaci´on, que cumplen ciertas condiciones, especiﬁ-
cadas a continuaci´on.
La adici´on hace corresponder a cada par de elementosx, y∈R,
su sumax+y∈R, mientras que la multiplicaci´on asocia a estos
elementos su productoxy∈R.
Los axiomas a los que obedecen estas operaciones son:
Asociatividad:para cualesquierax, y, z∈Rse tiene (x+y) +z=
x+ (y+z) yx(yz) = (xy)z.
Conmutatividad:para cualesquierax, y∈Rse tienex+y=y+x
yxy=yx.
Elementos neutros:existen enRdos elementos distintos 0 y 1 tales
quex+ 0 =xyx1 =xpara cualquierx∈R.
13

14N´umeros reales Cap. 2
Inversos:todox∈Rposee un inverso aditivo−x∈Rtal que
x+ (−x) = 0 y six6= 0, tambi´en existe uninverso multiplicativo
x
−1
∈Rtal quexx
−1
= 1.
Distributividad:para cualesquierax, y, z∈Rse tienex(y+z) =
xy+xz.
De estos axiomas resultan todas las reglas familiares del c´alculo
con n´umeros reales. A t´ıtulo de ejemplo, establecemos algunas.
De la conmutatividad resulta que 0 +x=xy−x+x= 0 para
todox∈R. An´alogamente, 1x= 1 yx
−1
x= 1 cuandox6= 0.
La sumax+ (−y) se indicar´a conx−yy se llamadiferenciaentre
xey. Siy6= 0, el productoxy
−1
tambi´en se representar´a porx/y
y se llamar´a cociente entrexey. Las operaciones (x, y)→x−y
y (x, y)→x/yse llaman, respectivamente,substracci´onydivisi´on.
Evidentemente, la divisi´on dexporys´olo tiene sentido cuando
y6= 0, pues el n´umero 0 no tiene inverso multiplicativo.
De la distributividad se concluye que, para todox∈R, se tiene
x0 +x=x0 +x1 =x(0 + 1) =x1 =x. Sumando−xa
ambos miembros de la igualdadx+x=xobtenemosx0 = 0.
Por otro parte, sixy= 0 podemos concluir quex= 0 ´oy= 0.
En efecto, siy6= 0 entonces podemos multiplicar ambos miembros
de la igualdad pory
−1
y obtenemosxyy
−1
= 0y
−1
, de donde
x= 0.
Tambi´en es resultado de la distributividad la “regla de los sig-
nos”:x(−y) = (−x)y=−(xy) y (−x)(−y) =xy. En
efecto,x(−y) +xy=x(−y+y) =x0, sumando−(xy)
a ambos miembros de la igualdadx(−y) +xy= 0 se tiene
x(−y) =−(xy). An´alogamente, (−x)y=−(xy). Luego
(−x)(−y) =−[x(−y)] =−[−(xy)] =xy. En particular
(−1)(−1) = 1. (Observaci´on: la igualdad−(−z) =z, anterior-
mente usada, resulta al sumarza ambos miembros de la igualdad
−(−z) + (−z) = 0.)
Si dos n´umeros realesx, ytienen cuadrados iguales, entonces

Secci´on 2 Res un cuerpo ordenado15
x=±y. En efecto, six
2
=y
2
entonces 0 =x
2
−y
2
= (x−y)(x+y),
y como sabemos, el producto de dos n´umeros reales s´olo es cerosi
al menos uno de los factores es nulo.
2.Res un cuerpo ordenado
Esto signiﬁca que existe un subconjuntoR
+
⊂Rllamado con-
junto de losn´umeros reales positivos, que cumple las siguientes con-
diciones:
P1. La suma y el producto de n´umeros reales positivos son positi-
vos. O sea,x, y∈R
+
⇒x+y∈R
+
yxy∈R
+
.
P2. Dadox∈Rse veriﬁca una, y s´olo una, de las 3 alternativas
siguientes: ´ox= 0, ´ox∈R
+
´o−x∈R
+
.
Si indicamos medianteR
−
al conjunto de los n´umeros−x, don-
dex∈R
+
, la condici´on P2 nos dice queR=R
+
∪R
−
∪ {0}, y que
los conjuntosR
+
,R
−
y{0}son disjuntos dos a dos. Los n´umeros
y∈R
−
se llamannegativos.
Todo n´umero realx6= 0 tiene cuadrado positivo. En efecto,
six∈R
+
entoncesx
2
=xx∈R
+
por P1. Six /∈R
+
en-
tonces (comox6= 0)−x∈R
+
, luego, tambi´en por P1, tenemos
x
2
= (−x)(−x)∈R
+
. En particular, 1 es un n´umero positivo,
pues 1 = 1
2
.
Se escribex < y, y se dice quexes menor quey, cuando
y−x∈R
+
, esto es,y=x+zdondezes positivo. En este ca-
so, tambi´en se escribey > x, y se dice queyes mayor quex. En
particular,x >0 signiﬁca quex∈R
+
, esto es, quexes positivo,
mientras quex <0 quiere decir quexes negativo, esto es, que
−x∈R
+
.
Se tiene las siguientes propiedades para la relaci´on de orden
x < yenR:
O1.Transitiva:six < yey < zentoncesx < z.
O2.Tricotom´ıa:dadosx, y∈R, ocurre una, y s´ola una, de las
siguientes alternativas siguientes, ´ox=y, ´ox < y´ox > y.

16N´umeros reales Cap. 2
O3.Monoton´ıa de la adici´on:six < yentonces, para todoz∈R,
se tienex+z < y+z.
O4.Monoton´ıa de la multiplicaci´on:six < yentonces para todo
z >0 se tienexz < yz. Si, por el contrario,z <0 entonces
x < yimplicaxz > yz.
Demostraci´on:O1.x < yey < zsigniﬁcany−x∈R
+
e
z−y∈R
+
. De P1 se sigue que (y−x) + (z−y)∈R
+
, esto
es,z−x∈R
+
, o sea,x < z.
O2. Dadosx, y∈R, ´oy−x∈R
+
, ´oy−x= 0 ´oy−x∈R
−
(esto
es,x−y∈R
+
). En el primer caso se tienex < y, en el segundo
x=yy en terceroy < x. Por P2 estas posibilidades se excluyen
mutuamente.
O3. Six < yentoncesy−x∈R
+
, de donde (y+z)−(x+z) =
y−x∈R
+
, esto esx+z < y+z.
O4. Six < yyz >0 entoncesy−x∈R
+
yz∈R
+
, luego
(y−x)z∈R
+
, o sea,yz−xz∈R
+
, lo que signiﬁca quexz < yz.
Six < yyz <0 entoncesy−x∈R
+
yy−z∈R
+
, de donde
xz−yz= (y−x)(−z)∈R
+
, lo que signiﬁca queyz < xz.
En general,x < yyx
′
< y
′
implicanx+x
′
< y+y
′
pues
yy
′
−xx
′
=yy
′
−yx
′
+yx
′
−xx
′
=y(y
′
−x
′
) + (y−x)x
′
>0.
Si 0< x < yentoncesy
−1
< x
−1
. Para probar esto observe
primero quex >0⇒x
−1
=x(x
−1
)
2
>0. A continuaci´on multi-
plicando ambos miembros de la desigualdadx < yporx
−1
y
−1
se
tieney
−1
< x
−1
.
Como 1∈Res positivo, se sigue que 1<1+1<1+1+1< .
Entonces podemos considerarN⊂R. Se tieneZ⊂R, pues 0∈R
yn∈R⇒ −n∈R. Adem´as, sim, n∈Z, donden6= 0, entonces
m/n=mn
−1
∈R, lo que no permite concluir queQ⊂R. As´ı,
N⊂Z⊂Q⊂R.
En la pr´oxima secci´on veremos que la inclusi´onQ⊂Res propia.

Secci´on 2 Res un cuerpo ordenado17
Ejemplo 1.(Desigualdad de Bernoulli) Para todo n´umero real
x≥ −1 y todon∈N, se tiene (1 +x)
n
≥1 +nx. Esto se de-
muestra por inducci´on respecto an. La desigualdad es obvia si
n= 1. Suponiendo la desigualdad v´alida paran, multiplicamos
ambos miembros por el n´umero (1 +x)≥0 y obtenemos
(1 +x)
n+1
=(1 +x)
n
(1 +x)≥(1 +nx)(1 +x) = 1 +nx+x+nx
2
= 1 + (n+ 1)x+nx
2
≥1 + (n+ 1)x .
Usando el mismo argumento se puede ver que (1 +x)
n
>1 +nx
cuandon >1,x >−1 yx6= 0.
La relaci´on de orden deRnos permite deﬁnir elvalor absoluto
(om´odulo) de un n´umero realx∈Rcomo sigue:|x|=xsix >0,
|0|= 0 y|x|=−xsix <0. Con otras palabras,|x|= m´ax{x,−x}
es el mayor de los n´umeros realesxy−x.
Se tiene−|x| ≤x≤ |x|para todox∈R. En efecto, la desigual-
dadx≤ |x|es obvia, mientras que−|x| ≤xresulta al multiplicar
por−1 ambos miembros de la desigualdad−x≤ |x|. As´ı podemos
caracterizar|x|como el ´unico n´umero≥0 cuyo cuadrado esx
2
.
Teorema 1.Six, y∈Rentonces|x+y| ≤ |x|+|y|y|xy|=|x||y|.
Demostraci´on:Sumando miembro a miembro las desigualdades
|x| ≥xe|y| ≥yse tiene|x|+|y| ≥x+y. An´alogamente, de|x| ≥
−xy|y| ≥ −yresulta|x|+|y| ≥ −(x+y). Luego|x|+|y| ≥ |x+y|=
m´ax{x+y,−(x+y)}. Para probar|xy|=|x| |y|es suﬁciente
demostrar que estos dos n´umeros tienen el mismo cuadrado, pues
ambos son≥0. Ahora bien, el cuadrado de|xy|es (xy)
2
=x
2
y
2
,
mientras que (|x| |y|)
2
=|x|
2
|y|
2
=x
2
y
2
.
Teorema 2.Seana, x, δ∈R. Se tiene|x−a|< δsi, y s´olo si,
a−δ < x < a+δ.
Demostraci´on:Como|x−a|es el mayor de los dos n´umerosx−a
y−(x−a), aﬁrmar que|x−a|< δes equivalente a decir que se tiene
x−a < δy−(x−a)< δ, o sea,x−a < δyx−a >−δ. Al sumarase
concluye:|x−a|< δ⇔x < a+δyx > a−δ⇔a−δ < x < a+δ.

18N´umeros reales Cap. 2
De modo an´alogo se puede ver que|x−a| ≤δ⇔a−δ≤x≤
a+δ.
Usaremos la siguiente notaci´on para representar tipos especiales
de conjuntos de n´umeros reales, llamados intervalos:
[a, b] ={x∈R:a≤x≤b}(−∞, b] ={x∈R:x≤b}
(a, b) ={x∈R:a < x < b}(−∞, b) ={x∈R:x < b}
[a, b) ={x∈R:a≤x < b}[a,∞) ={x∈R:a≤x}
(a, b] ={x∈R:a < x≤b}(a,+∞) ={x∈R:a < x}
(−∞,+∞) =R
Los cuatro intervalos de la izquierda est´anacotados, sus extre-
mos sona, b; [a, b] es un intervalocerrado, (a, b) esabierto, [a, b) es
cerrado por la izquierday (a, b]cerrado por la derecha. Los cinco
intervalos a la derecha sonno acotados: (−∞, b] es la semirrecta
cerrada a la derecha con origen enb. Los dem´as tienen denomina-
ciones an´alogas. Cuandoa=b, el intervalo [a, b] se reduce a un
´unico elemento y se llamaintervalo degenerado.
En t´erminos de intervalos, el Teorema 2 aﬁrma que|x−a|< δ
si, y s´olo si,xpertenece al intervalo abierto (a−δ, a+δ). An´alo-
gamente,|x−a| ≤δ⇔x∈[a−δ, a+δ].
Es muy ´util imaginar el conjuntoRcomo una recta (la “recta
real”) y los n´umero reales como sus puntos. Entonces la relaci´onx <
ysigniﬁca que el puntoxest´a a la izquierda dey(eya la derecha de
x), los intervalos son segmentos de la recta y|x−y|es la distancia
del puntoxal puntoy. As´ı, el signiﬁcado del Teorema 2 es que el
intervalo (a−δ, a+δ) est´a formado por los puntos que distan menos
queδdel puntoa. Tales interpretaciones geom´etricas constituyen
un valioso auxilio para comprender los conceptos y teoremas del
An´alisis Matem´atico.
3.Res un cuerpo completo
Nada de lo dicho hasta ahora nos permite distinguirRdeQ,
pues los n´umero racionales tambi´en forman un cuerpo ordenado.
A continuaci´on acabaremos nuestra caracterizaci´on deR, descri-
bi´endolo como un cuerpo ordenado y completo, propiedad que no

Secci´on 3 Res un cuerpo completo19
cumpleQ.
Un conjuntoX⊂Rse diceacotado superiormentecuando exis-
teb∈Rtal quex≤bpara todox∈X. En este caso se dice queb
es unacota superiordeX. An´alogamente, se dice que el conjunto
Xest´aacotado inferiormentecuando existea∈Rtal quea≤x
para todox∈X. Entonces el n´umeroaes unacota inferiorde
X. SiXest´a acotado superiormente e inferiormente se dice que es
un conjuntoacotado. Esto signiﬁca queXest´a contenido en alg´un
intervalo acotado de la forma [a, b], o, equivalentemente, que existe
k >0 tal quex∈X⇒ |x| ≤k.
SeaX⊂Racotado superiormente y no vac´ıo. Un n´umerob∈R
se llamasupremodel conjuntoXcuando es la menor de las cotas
superiores deX. De forma expl´ıcita,bes el supremo deXcuando
se cumple las dos condiciones siguientes:
S1. Para todox∈Xse tienex≤b.
S2. Sic∈Res tal quex≤cpara todox∈X, entoncesb≤c.
La condici´on S2 admite la siguiente reformulaci´on
S2
′
. Sic < bentonces existex∈Xtal quec < x.
En efecto, S2
′
aﬁrma que ning´un n´umero real menor quebpuede
ser una cota superior deX. A veces S2
′
se escribe as´ı: para todo
ε >0 existex∈Xtal queb−ε < x.
Escribimosb= supXpara indicar quebes el supremo del con-
juntoX.
An´alogamente, siXes un conjunto no vac´ıo acotado, inferior-
mente se dice que un n´umero realaes el´ınﬁmodeX, y se escribe
a= ´ınfX, cuando es la mayor de las cotas inferiores deX. Esto es
equivalente a las dos aﬁrmaciones siguientes:
I1. Para todox∈Xse tienea≤x.
I2. Sic≤xpara todox∈X, entoncesc≤a.
La condici´on I2 se puede formular tambi´en as´ı:

20N´umeros reales Cap. 2
I2
′
. Sia < centonces existex∈Xtal quex < c.
De hecho, I2
′
nos dice que ning´un n´umero mayor queaes una
cota inferior deX. Equivalentemente: para todoε >0 existex∈X
tal quex < a+ε.
Se dice que un n´umerob∈Xes elm´aximodel conjuntoX
cuandob≥xpara todox∈X. Esto quiere decir quebes una
cota superior deXqueperteneceaX. Por ejemplobes el m´aximo
del intervalo [a, b], sin embargo el intervalo [a, b) no posee m´aximo.
Evidentemente, si un conjuntoXposee un m´aximo ´este es su supre-
mo. La noci´on de supremo sirve precisamente para substituir a la
idea de m´aximo de un conjunto cuando ´este no existe. El supremo
del conjunto [a, b) esb. Se pueden hacer consideraciones totalmente
an´alogas con relaci´on al ´ınﬁmo.
Aﬁrmar que el cuerpo ordenadoRescompletosigniﬁca aﬁrmar
que todo conjunto no vac´ıo y acotado superiormenteX⊂Rposee
un supremob= supX.
No es necesario postular tambi´en que todo conjunto no vac´ıo y
acotado inferiormente posee un ´ınﬁmo. En efecto, en este caso el
conjuntoY={−x:x∈X}no es vac´ıo y est´a acotado superior-
mente, luego posee un supremob∈R. Entonces, como se puede ver
f´acilmente, el n´umeroa=−bes el ´ınﬁmo deX.
A continuaci´on veremos algunas consecuencias de la completitud
deR.
Teorema 3.
i) El conjuntoN⊂Rde los n´umero naturales no est´a acotado
superiormente;
ii) El ´ınﬁmo del conjuntoX={1/n:n∈N}es igual a0;
iii) Dadosa, b∈R
+
, existen∈Ntal quena > b.
Demostraci´on:SiNestuviese acotado superiormente, existir´ıa
c= supN. Entoncesc−1 no ser´ıa una cota superior deN, esto
es, existir´ıan∈Ntal quec−1< n. De dondec < n+ 1, luego

Secci´on 3 Res un cuerpo completo21
cno ser´ıa una cota superior deN. Esta contradicci´on prueba i).
Respecto a ii): 0 es, evidentemente, una cota inferior deX. Enton-
ces basta probar que cualquierc >0 no es un cota inferior deX.
Ahora bien, dadoc >0, existe, por i), un n´umero naturaln >1/c,
de donde 1/n < c, lo que prueba ii). Finalmente, dadosa, b∈R
+
usamos i) para obtenern∈Ntal quen > b/a. Entoncesna > b, lo
que demuestra iii).
Las propiedades i), ii) y iii) del teorema anterior son equivalentes
y signiﬁcan queRes un cuerpoarquimediano. En realidad, iii) se
debe al matem´atico griego Eudoxo, que vivi´o algunos siglos antes
que Arqu´ımedes.
Teorema 4. (Principio de los intervalos encajados)Dada
una sucesi´on decrecienteI1⊃I2⊃ ⊃In⊃ de intervalos
cerrados y acotados,In= [an, bn], existe al menos un n´umero real
ctal quec∈Inpara todon∈N.
Demostraci´on:Las inclusionesIn⊃In+1signiﬁcan que
a1≤a2≤ ≤an≤ ≤bn≤ ≤b2≤b1.
El conjuntoA={a1, a2, . . . , an, . . .}est´a, por tanto, acotado supe-
riormente; seac= supA. Evidentemente,an≤cpara todon∈N.
Adem´as, como cadabnes una cota superior deA, tenemosc≤bn
para todon∈N. Por tantoc∈Inpara todon∈N.
Teorema 5.El conjunto de los n´umeros reales no es numerable.
Demostraci´on:Demostraremos que ninguna funci´onf:N→R
puede ser sobreyectiva. Para esto, suponiendofdada, construire-
mos una sucesi´on decrecienteI1⊃I2⊃ ⊃In⊃ de intervalos
cerrados y acotados tales quef(n)/∈In. Entonces, sices un n´ume-
ro real que pertenece a todos losInning´un valor def(n) puede
ser igual ac, luegofno es sobreyectiva. Para obtener los inter-
valos, comenzaremos tomandoI1= [a1, b1] tal quef(1)< a1y,
suponiendo obtenidosI1, I2, . . . , Intales quef(j)/∈Ij, considera-
mosIn= [an, bn]. Sif(n+ 1)∈In, al menos uno de los extremos,
por ejemploan, es diferente def(n+ 1), esto es,an< f(n+ 1).
En este caso tomamosIn+1= [an+1, bn+1], dondean+1=any
bn+1= (an+f(n+ 1))/2.

22N´umeros reales Cap. 2
Un n´umero se llamairracionalcuando no es racional. Como
el conjuntoQde los n´umeros racionales es numerable, del teore-
ma anterior resulta que existen n´umeros irracionales y, a´un m´as,
comoR=Q∪(R−Q), los irracionales constituyen un conjunto
no numerable (por tanto son la “mayor´ıa” de los n´umeros reales)
pues la uni´on de dos conjuntos numerables es numerable. Eviden-
temente, se pueden exhibir n´umero irracionales expl´ıcitamente.En
el Cap´ıtulo 3, Ejemplo 15, veremos que la funci´onf:R→R
+
,
dada porf(x) =x
2
, es sobreyectiva. Luego existe un n´umero real
positivo, expresado por
√
2, cuyo cuadrado es igual a 2. Pit´agoras
y sus disc´ıpulos demostraron que ning´un n´umero racional puedete-
ner cuadrado igual a 2. (En efecto, si (p/q)
2
= 2 entonces 2q
2
=p
2
,
dondepyqson enteros, lo que es absurdo pues el factor primo
2 aparece un n´umero par de veces en la descomposici´on dep
2
en
factores primos y un n´umero impar de veces en la de 2q
2
).
Corolario 1.Todo intervalo no degenerado no es numerable.
En efecto, todo intervalo no degenerado contiene un intervalo
abierto (a, b). Como la funci´onf: (−1,1)→(a, b), deﬁnida como
f(x) =
1
2
[(b−a)x+a+b], es una biyecci´on, basta probar que
(−1,1) no es numerable. Ahora bien, la funci´onϕ:R→(−1,1),
dada porϕ(x) =x/(1 +|x|), es una biyecci´on cuya inversa esψ:
(−1,1)→R, deﬁnida medianteψ(y) =y/(1−|y|), puesϕ(ψ(y)) =
yeψ(ϕ(x)) =xpara cualesquieray∈(−1,1) yx∈R, como se
puede ver f´acilmente.
∗
Teorema 6.Todo intervalo no degeneradoIcontiene n´umeros ra-
cionales e irracionales.
Demostraci´on:ObviamenteIcontiene n´umeros irracionales, pues
en caso contrarioIser´ıa numerable. Para probar queIcontiene
n´umeros racionales consideramos [a, b]⊂I, dondea < bse pueden
tomar irracionales. Tomemosn∈Ntal que 1/n < b−a. Los
intervalosIm= [m/n,(m+ 1)/n],m∈Z, cubren la recta real, esto
es,R=
S
m∈Z
Im. Por lo tanto existemtal quea∈Im. Comoaes
irracional, tenemosm/n < a <(m+ 1)/n. Como 1/n, la longitud
del intervaloIm, es menor queb−a, se tiene que (m+ 1)/n < b.
Luego el n´umero racional (m+ 1)/npertenece al intervalo [a, b], y
por tanto al intervaloI.

Secci´on 5 Ejercicios23
5. Ejercicios
Secci´on 1:Res un cuerpo.
1. Pruebe las siguientes unicidades:
(a) Six+θ=xpara todox∈Rentoncesθ= 0;
(b) Sixu=xpara todox∈Rentoncesu= 1;
(c) Six+y= 0 entoncesy=−x;
(d) Sixy= 1 entoncesy=x
−1
.
2. Dadosa, b, c, d∈R, sib6= 0 yd6= 0 pruebe que (a/b+c/d) =
(ad+bc)/bdy (a/b)(c/d) = (ac/bd).
3. Sia, b∈R,a6= 0 yb6= 0, pruebe que (ab)
−1
=a
−1
b
−1
y
concluya que (a/b)
−1
=b/a.
4. Pruebe que (1−x
n+1
)/(1−x) = 1+x+ +x
n
para todox6= 1.
Secci´on 2:Res un cuerpo ordenado
1. Para cualesquierax, y, z∈R, pruebe que|x−z| ≤ |x−y|+|y−z|.
2. Pruebe que||x| − |y|| ≤ |x−y|para cualesquierax, y∈R.
3. Dadosx, y∈R, six
2
+y
2
= 0 pruebe quex=y= 0.
4. Pruebe por el m´etodo de inducci´on que (1 +x)
n
≥1 +nx+
[n(n−1)/2]x
2
six≥0.
5. Para todox6= 0, pruebe que (1 +x)
2n
>1 + 2nx.
6. Pruebe que|a−b|< ε⇒ |a|<|b|+ε.
7. Usando que el trinomio de segundo gradof(λ) =
P
n
i=1
(xi+
λyi)
2
es≥0 para todoλ∈Rpruebe la desigualdad de Cauchy-
Schwarz:

n
X
i=1
xiyi
!
2
≤

n
X
i=1
x
2
i
!
n
X
i=1
y
2
i
!
Pruebe tambi´en que se tiene la igualdad si, y s´olo si, existeλtal
quexi=λyipara todoi= 1, . . . , n.

24N´umeros reales Cap. 2
8. Sia1/b1, . . . , an/bnpertenecen al intervalo (α, β) yb1, . . . , bnson
positivos, pruebe que (a1+ +an)/(b1+ +bn) pertenece
a (α, β). Con las mismas hip´otesis, sit1, . . . , tn∈R
+
, pruebe
que (t1a1+ +tnan)/(t1b1+ +tnbn) tambi´en pertenece al
intervalo (α, β).
Secci´on 3:Res un cuerpo ordenado completo
1. Se dice que una funci´onf:X→Rest´aacotada superiormente
cuando su imagenf(X) ={f(x) :x∈X}es un conjunto aco-
tado superiormente. Entonces se escribe sup(f) = sup{f(x) :
x∈X}. Pruebe que sif, g:X→Rest´an acotadas superior-
mente ocurre lo mismo con la sumaf+g:X→R; adem´as se
tiene sup(f+g)≤sup(f) + sup(g). D´e un ejemplo en el que
sup(f+g)<sup(f) + sup(g). Enuncie y pruebe un resultado
an´alogo con ´ınf.
2. Dadas funcionesf, g:X→R
+
acotadas superiormente pruebe
que el productofg:X→Res una funci´on acotada (superior
e inferiormente) tal que sup(fg)≤sup(f) sup(g) e ´ınf(fg)≥
´ınf(f)´ınf(g). D´e ejemplos en los que se tenga<en vez de =.
3. Con las hip´otesis del ejercicio anterior demuestre que sup(f
2
) =
sup(f)
2
e ´ınf(f
2
) = ´ınf(f)
2
.
4. Dadosa, b∈R
+
cona
2
<2< b
2
, tomex, y∈R
+
tales que
x <1,x <(2−a
2
)/(2a+ 1) ey <(b
2
−2)/2b. Pruebe que
(a+x)
2
<2<(b−y)
2
y (b−y)>0. A continuaci´on, considere
el conjunto acotadoX={a∈R
+
:a
2
<2}y concluya que el
n´umero realc= supXcumplec
2
= 2.
5. Pruebe que el conjunto de los polinomios con coeﬁcientes enteros
es numerable. Un n´umero real se llamaalgebraicocuando es ra´ız
de un polinomio con coeﬁciente enteros. Pruebe que el conjunto
de los n´umeros algebraicos es numerable. Un n´umero real se
llamatrascendentecuando no es algebraico. Pruebe que existen
n´umeros trascendentes.
6. Pruebe que un conjuntoI⊂Res un intervalo si, y s´olo si,
a < x < b,a, b∈I⇒x∈I.

3
Sucesiones
de n´umeros reales
En este cap´ıtulo se introducir´a la noci´on de l´ımite en su forma m´as
simple, el l´ımite de una sucesi´on. A partir de aqu´ı, todos los con-
ceptos importantes del An´alisis Matem´atico, de una forma u otra
se reducir´an a alg´un tipo de l´ımite.
1. Limite de una sucesi´on
Una sucesi´on de n´umeros reales es una funci´onx:N→Rque
asocia a cada n´umero naturalnun n´umero realxn, llamadon-´esi-
mo t´ermino de la sucesi´on.
Se escribe (x1, x2, . . . , xn, . . .) o (xn)n∈N, o simplemente (xn), pa-
ra indicar la sucesi´on cuyon-´esimo t´ermino esxn.
No debe confundirse la sucesi´on (xn) con el conjunto{x1, x2, . . . ,
xn, . . .}de sus t´erminos. Por ejemplo, la sucesi´on (1,1, . . . ,1, . . .) no
es lo mismo que el conjunto{1}. O de otra forma: las sucesiones
(0,1,0,1, . . .) y (0,0,1,0,0,1, . . .) son diferentes pero el conjunto de
sus t´erminos es el mismo, igual a{0,1}.
Una sucesi´on (xr) se diceacotada superiormente(respectiva-
menteinferiormente) cuando existec∈Rtal quexn≤c(respec-
tivamentexn≥c) para todon∈N. Se dice que la sucesi´on (xn)
25

26Sucesiones de n´umeros reales Cap. 3
est´aacotadacuando est´a acotada superior e inferiormente. Esto
equivale a decir que existek >0 tal que|xn| ≤kpara todon∈N.
Ejemplo 1.Sia >1 entonces la sucesi´on (a, a
2
, . . . , a
n
, . . .) est´a aco-
tada inferiormente pero no superiormente. En efecto, multiplican-
do ambos miembros de la desigualdad 1< apora
n
obtenemos
a
n
< a
n+1
. Se sigue quea < a
n
para todon∈N, luego (a
n
) est´a aco-
tada inferiormente pora. Por otra parte, tenemosa= 1 +d, con
d >0. Por la desigualdad de Bernoulli, para todon∈Nse tiene
a
n
>1+nd. Por tanto, dado cualquierc∈Rpodemos hacera
n
> c
siempre que tomemos 1 +nd > c, esto es,n >(c−1)/d.
Dada una sucesi´onx= (xn)n∈N, unasubsucesi´ondexes la res-
tricci´on de la funci´onxa un subconjunto inﬁnito deN
′
={n1<
n2< < nk< }deN. Se escribex
′
= (xn)n∈N
′´o (xn1, xn2, . . . ,
xnk
, . . .}, ´o (xnk
)k∈Npara indicar la subsucesi´onx
′
=x|N
′
. La nota-
ci´on (xnk
)k∈Nindica que una subsuceci´on se puede considerar como
una sucesi´on, esto es, una funci´on cuyo dominio esN.
Recordemos queN
′
⊂Nes inﬁnito si, y s´olo si, no est´a acotado,
esto es, para todon0∈Nexistenk∈N
′
tal quenk> n0.
Ejemplo 2.Dado un n´umero reala <−1, consideremos la sucesi´on
(a
n
)n∈N. SiN
′
⊂Nes el conjunto de los n´umeros pares yN
′′
es el
conjunto de los n´umeros impares entonces la subsucesi´on (a
n
)n∈N
′′
s´olamente est´a acotada superiormente.
Se dice que un n´umero realaes ell´ımitede la sucesi´on (xn)
cuando para todo n´umero realε >0, dado arbitrariamente, se pue-
de obtenern0∈Ntal que todos los t´erminosxncon ´ındicen > n0
cumplen la condici´on|xn−a|< ε. Se escribe entoncesa= l´ımxn.
Esta importante deﬁnici´on signiﬁca que, para valores muy gran-
des den, los t´erminosxnpermanecen tan pr´oximos aacuando se
desee. M´as precisamente, estipul´andose un errorε >0, existe un
´ındicen0∈Ntal que todos los t´erminos de la sucesi´on con ´ındice
n > n0son valores aproximados deacon un error menor queε.
Con s´ımbolos matem´aticos, se escribe:
a= l´ımxn ≡ ∀ε >0∃n0∈N;n > n0⇒ |xn−a|< ε,

Secci´on 1 Limite de una sucesi´on 27
en donde el s´ımbolo ≡ signiﬁca que lo que sigue es la deﬁnici´on
de lo que antecede,∀signiﬁca “para todo” o “cualquier que sea”
y∃signiﬁca “existe”. El punto y como quiere decir “tal que” y la
ﬂecha⇒signiﬁca “implica”.
Es conveniente recordar que|xn−a|< εes lo mismo que
a−ε < xn< a+ε, esto es,xnpertenece al intervalo (a−ε, a+ε).
As´ı, decir quea= l´ımxnsigniﬁca que cualquier intervalo abierto
centrado enacontiene todos los t´erminosxnde la sucesi´on excepto
un n´umero ﬁnito de ´estos (a saber, los de ´ındicen≤n0, donden0
se escoge en funci´on del radioεdel intervalo).
En vez dea= l´ımxn, tambi´en se escribea= l´ım
n∈N
xn,a= l´ım
n→∞
xn,
´oxn→a. Esta ´ultima expresi´on se lee “xntiende aa” o “xn
converge aa”. Una sucesi´on que posee l´ımite se llamaconvergente.
En caso contrario se llamadivergente.
Teorema 1.(Unicidad del l´ımite)Una sucesi´on no puede con-
verger a dos l´ımites diferentes.
Demostraci´on:Sea l´ımxn=a. Dadob6=apodemos tomarε >0
tal que los intervalo abiertosI= (a−ε, a+ε) yJ= (b−ε, b+ε)
sean disjuntos. Existen0∈Ntal quen≥n0, implicaxn∈I.
Entonces, para todon≥n0, tenemosxn/∈J. Luego no se tiene
l´ımxn=b.
Teorema 2.Sil´ımxn=aentonces toda subsucesi´on de(xn)con-
vergea.
Demostraci´on:Sea (xn1, xn2, . . . , xnk
, . . .) una subsucesi´on. Dado
cualquier intervalo abierto centrado enaexisten0∈Ntal que
todos los t´erminosxn, conn≥n0, pertenecen aI. En particular,
todos los t´erminosxnk
connk≥n0, tambi´en pertencen aI. Luego
l´ımxnk
=a.
Teorema 3.Toda sucesi´on convergente est´a acotada.
Demostraci´on:Seaa= l´ımxn. Tomandoε= 1 vemos que existe
n0∈Ntal quen > n0⇒xn∈(a−1, a+ 1). Seanbel mayor yc
el menor elemento del conjunto ﬁnito{x1, x2. . . , xn0, a−1, a+ 1}.

28Sucesiones de n´umeros reales Cap. 3
Todos los t´erminosxnde la sucesi´on est´an contenidos en [c, b], luego
la sucesi´on est´a acotada.
Ejemplo 3.La sucesi´on (2,0,2,0, . . .), cuyon-´esimo t´ermino es
xn= 1 + (−1)
n+1
, est´a acotada. Sin embargo no es convergente
porque posee dos sucesiones constantes,x2n−1= 2 yx2n= 0, con
l´ımites diferentes.
Ejemplo 4.La sucesi´on (1,2,3, . . .), conxn=n, no es convergente
porque no est´a acotada.
Una sucesi´on (xn) se llamamon´otonacuando se tienexn≤xn+1
para todon∈N, o bienxn≥xn+1para todon∈N. En el pri-
mer caso se dice que (xn) esmon´otona creciente, y en el segundo
caso que (xn) esmon´otona decreciente. En particular, si tenemos
xn< xn+1(respec.xn> xn+1) para todon∈Ndecimos que la su-
cesi´on esestrictamente creciente(respc.estrictamente decreciente).
Toda sucesi´on mon´otona creciente (resp. decreciente) est´aaco-
tada inferiormente (respec. superiormente) por su primer t´ermino.
Para que est´e acotada es suﬁciente que tenga una subsucesi´onacota-
da. En efecto, sea (xn)n∈N
′una subsucesi´on acotada de una sucesi´on
mon´otona (supongamos creciente) (xn). Tenemoos,xn≤cpara to-
don∈N
′
. Dado cualquiern∈Nexisten
′
∈N
′
tal quen < n
′
.
Entoncesxn≤xn
′≤c.
El pr´oximo teorema nos da una condici´on suﬁciente para que
una sucesi´on converja. Cuando intentaba demostrarlo mientraspre-
paraba sus clases, a mediados del siglo XIX, R. Dedekind percibi´o la
necesidad de una formalizaci´on rigurosa del concepto de n´umero
real.
Teorema 4.Toda sucesi´on mon´otona y acotada es convergente.
Demostraci´on.Sea (xn) mon´otona, supongamos que creciente, y
acotada. EscribimosX={x1, . . . , xn, . . .}ya= supX. Aﬁrmamos
quea= l´ımxn. En efecto, dadoε >0, el n´umeroa−εno es una
cota superior deX. Luego existen0tal quea−ε < xn0≤a. As´ı,
n > n0⇒a−ε < xn0≤xn< a+ε, de donde l´ımxn=a.
An´alogamente, si (xn) es decreciente y acotada entonces l´ımxn
es el ´ınﬁmo del conjunto de valoresxn.

Secci´on 2 L´ımites y desigualdades 29
Corolario. (Teorema de Bolzano.Weierstrass) Toda suce-
si´on acotada de n´umeros reales posee una subsucesi´on convergente.
En efecto, basta demostrar que toda sucesi´on acotada (xn) posee
una subsucesi´on mon´otona. Decimos quexnes un t´erminodestacado
de la sucesi´on (xn) sixn≥xppara todop > n. SeaDel conjunto de
´ındicesntal quexnes un t´ermino destacado. SiDes un conjunto
inﬁnito,D={n1< n2< < nk< }, entonces la subsucesi´on
(xn)n∈Des mon´otona decreciente. Por el contrario, siDes ﬁnito
sean∈Nel mayor de losn∈D. Entoncesxn1, donden1=n+ 1,
no es destacado, luego existen2> n1tal quexn1< xn2. A su
vez,xn2no es destacado, luego existen3> n2conxn1< xn2<
xn3. Prosiguiendo obtenemos una sucesi´on estrictamente creciente
xn1< xn2< < xnk
< . ∗
Ejemplo 5.La sucesi´on cuyon-´esimo t´ermino esxn= 1/nes
mon´otona, estrictamente decreciente y acotada. Tenemos entonces
l´ım 1/n= ´ınf{1/n;n∈N}= 0, por el Teorema 3, Cap´ıtulo 2.
Ejemplo 6.Sea 0< a <1. La sucesi´on (a, a
2
, . . . , a
n
, . . .), formada
por las sucesivas potencias, deaes estrictamente decreciente y aco-
tada, pues multiplicando 0< a <1 pora
n
resulta 0< a
n+1
< a
n
.
Aﬁrmamos que l´ımn→∞a
n
= 0. En efecto, como 1/a >1, del Ejem-
plo 1 se deduce que, dadoε >0 arbitrario existen0∈Ntal que
(1/a)
n0
>1/ε, o sea,a
n0
< ε. Se sigue que l´ıma
n
= ´ınf{a
n
;n∈
N}= 0.
2. L´ımites y desigualdades
SeaPuna propiedad referente a los t´erminos de una sucesi´on
(xn). Diremos que “para todonsuﬁcientemente grandexncumple la
propiedadP”para signiﬁcar que “existen0∈Ntal quen≥n0⇒xn
cumple la propiedadP”.
Teorema 5.Seaa= l´ımxn. Sib < aentonces, para todonsuﬁcien-
temente grande, se tieneb < xn. An´alogamente, sia < bentonces
xn< bpara todonsuﬁcientemente grande.
Demostraci´on:Tomandoε=a−b, tenemosε >0 yb=a−ε.
Por la deﬁnici´on de l´ımite, existen0∈Ntal quen > n0⇒a−ε <
xn< a+ε⇒b < xn. La otra aﬁrmaci´on se prueba de forma
an´aloga.

30Sucesiones de n´umeros reales Cap. 3
Corolario 1.Seaa= l´ımxn. Sia >0entonces, para todon
suﬁcientemente grande, se tienexn>0. An´alogamente, sia <0
entoncesxn<0para todonsuﬁcientemente grande.
Corolario 2.Seana= l´ımxnyb= l´ımyn. Sixn≤yn, para todo
nsuﬁcientemente grande entoncesa≤b. En particular, sixn≤b
para todonsuﬁcientemente grande entoncesl´ımxn≤b.
En efecto, si tuvi´esemosb < aentonces tomar´ıamosc∈Rtal
queb < c < ay tendr´ıamos, por el Teorema 5,yn< c < xnpara
todonsuﬁcientemente grande, contradiciendo la hip´otesis.∗
Observaci´on:Si tuvi´esemosxn< ynno podr´ıamos concluir que
a < b. Basta considerarxn= 0 eyn= 1/n.
Teorema 6.(Teorema del Sandwich.)Sil´ımxn= l´ımyn=ay
xn≤zn≤ynpara todonsuﬁcientemente grande entoncesl´ımzn=
a.
Demostraci´on:Dado cualquierε >0, existenn1, n2∈Ntales
quen > n1⇒a−ε < xn< a+εyn > n2⇒a−ε < yn< a+ε.
Sean0= m´ax{n1, n2}. Entoncesn > n0⇒a−ε < xn≤zn≤yn<
a+ε⇒zn∈(a−ε, a+ε), luego l´ımzn=a.
3. Operaciones con l´ımites
Teorema 7.Sil´ımxn= 0e(yn)es una sucesi´on acotada (conver-
gente o no) entoncesl´ım(xnyn) = 0.
Demostraci´on:Existec >0 tal que|yn| ≤cpara todon∈N.
Dado cualquierε >0, existen0∈Ntal quen > n0⇒ |xn|< ε/c.
Entonces,n > n0⇒ |xnyn|=|xn| |yn|<(ε/c)c=ε. Luego
l´ım(xnyn) = 0.
Ejemplo 7.Sixn= 1/neyn= sin(n) entonces (yn) no es conver-
gente, sin embargo como−1≤yn≤1, se tiene l´ım(xnyn) =
l´ım(sin(n)/n) = 0. Por otra parte, si l´ımxn= 0 pero (yn) no
est´a acotada, la sucesi´on producto (xnyn) puede ser divergente
(tomexn= 1/neyn=n
2
) o tender a cualquier valorc(tome
xn= 1/neyn=cn).

Secci´on 3 Operaciones con l´ımites 31
Para uso posterior, observamos que, como resultado directo de
la deﬁnici´on de l´ımite, se tiene:
l´ımxn=a⇔l´ım(xn−a) = 0⇔l´ım|xn−a|= 0.
Teorema 8.Sil´ımxn=ayl´ımyn=bentonces:
1.l´ım(xn±yn) =a±b
2.l´ım(xnyn) =ab
3.l´ım
xn
yn
=
a
b
sib6= 0.
Demostraci´on:1. Dado cualquierε >0, existenn1, n2∈Ntales
quen > n1⇒ |xn−a|< ε/2 yn > n2⇒ |yn−b|< ε/2. Sea
n0= m´ax{n1, n2}. Entoncesn > n0⇒n > n1yn > n2, luego
|(xn+yn)−(a+b)|=|(xn−a) + (yn−b)| ≤ |xn−a|+|yn−b|<
ε
2
+
ε
2
< ε. Por lo tanto, l´ım(xn+yn) =a+b. El mismo argumento
sirve para (xn−yn).
2. Tenemosxnyn−ab=xnyn−xnb+xnb−ab=xn(yn−b)+(xn−
a)b. Por el Teorema 3, (xn) est´a acotada. Adem´as, l´ım(yn−b) =
l´ım(xn−a) = 0. Se deduce del Teorema 7 y de la parte 1 que
l´ım(xnyn−ab) = l´ım[xn(yn−b)] + l´ım[(xn−a)b] = 0, de donde
l´ım(xnyn) =ab.
3. Se cumplexn/yn−a/b= (xnb−yna)/ynb. Como l´ım(xnb−yna) =
ab−ba= 0, para concluir que l´ım
ı
xn
yn
−
a
b
≡
= 0, y por tanto que
l´ım
ı
xn
yn
≡
=
a
b
, basta probar que (1/ynb) es una sucesi´on acotada.
Ahora, escribiendoc=b
2
/2, tenemos 0< c < b
2
. Como l´ımynb=
b
2
, se sigue del Teorema 5 que, para todonsuﬁcientemente grande,
se tienec < ynb, y por tanto 1/ynb <1/c, lo que completa la
demostraci´on.
Ejemplo 8.Sixn>0 para todon∈Ny l´ım(xn+1/xn) =a <1
entonces l´ımxn= 0. En efecto, tomemosc∈Rcona < c <1.
Entonces 0< xn+1/xn< cpara todonsuﬁcientemente grande.
Se sigue que 0< xn+1= (xn+1/xn)xn< cxn< xn, luego, para
nsuﬁcientemente grande, la sucesi´on (xn) es mon´otona y acotada.
Seab= l´ımxn. Dexn+1< cxnpara todonsuﬁcientemente grande

32Sucesiones de n´umeros reales Cap. 3
resulta, haciendon→ ∞, queb≤cb, esto es, (1−c)b≤0. Como
b≥0 y 0< c <1, conclu´ımos queb= 0.
Ejemplo 9.Como aplicaci´on del ejemplo anterior, se obtiene que,
sia >1 yk∈Nson constantes, entonces:
l´ım
n→∞
n
k
a
n
= l´ım
a
n
n!
= l´ım
n!
n
n
= 0.
En efecto, escribiendoxn=
n
k
a
n,yn=
a
n
n!
yzn=
n!
n
nresultayn+1/yn=
a/n+ 1, luego l´ım(yn+1/yn) = 0 y, por el Ejemplo 8, l´ımyn= 0.
Tambi´en tenemosxn+1/xn=
Γ
1 +
1
n

k
a
−1
, por tanto (por el Teore-
ma 8) l´ım(xn+1/xn) = 1/a <1. Del Ejemplo 8 se deduce l´ımxn= 0.
Finalmente,zn+1/zn= [n/(n+ 1)]
n
, de donde l´ım(zn+1/zn) = 1/e.
(vea el Ejemplo 12 m´as adelante). Como 1/e <1, se sigue que
l´ımzn= 0.
Ejemplo 10.Dadoa >0 demostraremos que la sucesi´on dada por
xn=
n
√
a=a
1/n
tiene l´ımite igual a 1. En efecto, se trata de una
sucesi´on mon´otona (estrictamente decreciente sia >1 y creciente
sia <1) y acotada, por lo tanto existeL= l´ım
n→∞
a
1/n
. Se tiene
L >0. En efecto, si 0< a <1 entoncesa
1/n
> apara todon∈N,
de dondeL≥a. Sin embargo, sia >1 entoncesa
1/n
>1 para todo
n∈N, de dondeL≥1. Consideremos la subsucesi´on (a
1/n(n+1)
) =
(a
1/2
, a
1/6
, a
1/12
, . . .). Como 1/n(n+1) = 1/n−1/(n+1), el Teorema
2 y el apartado 3 del Teorema 8 nos dan:
L= l´ıma
1/n(n+1)
= l´ım
a
1/n
a
1/(n+1)
=
L
L
= 1.
Ejemplo 11.Sea 0< a <1. La sucesi´on cuyo t´ermino general
esxn= 1 +a+ +a
n
= (1−a
n+1
)/(1−a) es estrictamen-
te creciente y acotada, puesxn<1/(1−a) para todon∈N.
Adem´as, l´ım
n→∞
(1/(1−a)−xn) = l´ım
n→∞
a
n
/(1−a) = 0, por lo tanto
l´ım
n→∞
xn= l´ım(1 +a+ +a
n
) = 1/(1−a).
La igualdad anterior tambi´en es v´alida cuando se tiene−1<
a <1, esto es,|a|<1. En efecto, el argumento se basa en que
l´ım
n→∞
a
n
= 0, lo que persiste cuando se tiene solamente|a|<1, pues
l´ım|a|
n
= 0⇔l´ıma
n
= 0.

Secci´on 3 Operaciones con l´ımites 33
Ejemplo 12.La sucesi´on cuyo t´ermino general es
an= 1 + 1 +
1
2!
+ +
1
n!
es, evidentemente, creciente. Tambi´en est´a acotada pues
2≤an≤1 + 1 +
1
2
+
1
2
2
+ +
1
2
n
<3.
Escribimose= l´ıman. El n´umeroees una de las constantes
m´as importantes del An´alisis Matem´atico. Como acabamos de ver,
se tiene 2< e≤3. En realidad la expresi´on deecon sus cuatro
primeros decimales ese= 2,7182.
Ejemplo 13.Consideremos la sucesi´on cuyo t´ermino general es
bn= (1 + 1/n)
n
= [(n+ 1)/n]
n
. Por la f´ormula del binomio de
Newton:
bn= 1 +
n1
n
+
n(n−1)
2!
1
n
2
+ +
n(n−1)(n−2) 1
n!
1
n
n
= 1 + 1 +
1
2!
`
1−
1
n
´
−
1
3!
`
1−
1
n
´ `
1−
2
n
´
+ +
1
n!
`
1−
1
n
´

`
1−
n−1
n
´
.
Luegobnes una suma donde todos los sumandos son positivos.
El n´umero de sumandos, as´ı como cada una de ellos, crece conn.
Por tanto la sucesi´on (bn) es estrictamente creciente. Es claro que
bn< an(ver el Ejemplo 12). Se sigue quebn<3 para todon∈N.
Aﬁrmamos que l´ımbn= l´ıman. En efecto, sin > p:
bn≥1+1+
1
2!
`
1−
1
n
´
+ +
1
p!
`
1−
1
n
´ `
1−
2
n
´

`
1−
p−1
n
´
.
Tomando unpcualquiera y haciendon→ ∞, de la ´ultima desigual-
dad obtenemos l´ım
n→∞
bn≥1+
1
2!
+ +
1
p!
=ap. Como esta desigual-
dad es v´alida para todop∈N, se sigue que l´ım
n→∞
bn≥l´ım
p→∞
ap=e.
Pero como ya hemos visto queba< anpara todon∈N, entonces
l´ımbn≤l´ıman. Esto completa la prueba de l´ımbn=e.

34Sucesiones de n´umeros reales Cap. 3
Ejemplo 14.Consideremos la sucesi´on cuyon-´esimo t´ermino es
xn=
n
√
n=n
1/n
. Tenemosxn≥1 para todon∈N. Esta sucesi´on
es estrictamente decreciente a partir del tercer t´ermino. En efecto,
la desigualdad
n
√
n >
n+1
√
n+ 1 es equivalente an
n+1
>(n+ 1)
n
,
esto es,n >(1+1/n)
n
, que es verdad sin≥3 pues, como acabamos
de ver, (1 + 1/n)
n
<3 para todon. Por tanto existeL= l´ımn
1/n
y
se tieneL≥1. Consideremos la subsucesi´on (2n)
1/2n
tenemos:
L
2
= l´ım[(2n)
1/2n
]
2
= l´ım[2
1/n
n
1/n
] = l´ım 2
1/n
l´ımn
1/n
=L,
(cfr. Ejemplo 10.) ComoL6= 0, deL
2
=LresultaL= 1. Conclui-
mos por tanto que l´ım
n
√
n= 1.
Ejemplo 15.(Aproximaciones sucesivas de la ra´ız cuadrada.)
El siguiente m´etodo iterativo para obtener, con error tan peque˜no
cuanto se desee, ra´ıces cuadradas de un n´umero reala >0 ya
era conocido por lo babilonios 17 siglos antes de la era cristiana.
Se toma de forma arbitraria un valorx1>0 y se deﬁne induc-
tivamentexn+1= [xn+a/xn]/2. Para demostrar que la sucesi´on
(xn) as´ı obtenida converge a
√
aprimero observamos que, para
todox6= 0, se tiene [x+a/x]
2
≥4a. En efecto, desarrollando
el cuadrado y pasando 4aal primer t´ermino, vemos que esta de-
sigualdad es equivalente a aﬁrmar que (x−a/x)
2
≥0, lo que
es obvio. De aqu´ı resultax
2
n+1= [xn+a/xn]
2
/4≥apara todo
n∈N. Adem´as, six
2
≥aentonces [x+a/x]
2
/4 =x
2
. En efecto,
a≤x
2
⇒[x+a/x]
2
/4≤[x+x
2
/x]
2
/4 =x
2
. Comox
2
n+1
≥a
para todon, se sigue quex
2
n+2≤x
2
n+1, luegoxn+2≤xn+1, pues
estos n´umeros son≥0. Por lo tanto, inclusive six1<
√
a, siem-
pre se cumplex2≥x3≥x4≥ , conx
2
n+1
≥apara todon.
Por lo tanto, existec= l´ımxn. Haciendon→ ∞en la igual-
dadxn+1= [xn+a/xn]/2 obtenemosc= [c+a/c]/2, de donde
c
2
=a, esto es l´ımxn=
√
a. As´ı vemos que todo n´umero real
a >0 posee una ra´ız cuadrada real. M´as a´un, el proceso iterativo
xn+1= [xn+a/xn]/2 muestra r´apidamente buenas aproximaciones
de
√
a, como se puede veriﬁcar tomando ejemplos concretos.
4. L´ımites inﬁnitos
Dada una sucesi´on (xn), se dice que “el l´ımite dexnes m´as inﬁ-
nito” y se escribe l´ımxn= +∞, para signiﬁcar que, dado cualquier

Secci´on 4 L´ımites inﬁnitos35
A >0, existen0∈Ntal quen > n0implicaxn> A.
An´alogamente, l´ımxn=−∞signiﬁca que, para todoA >0
dado, se puede encontrarn0tal quen > n0⇒xn<−A.
Se debe enfatizar que +∞y−∞no son n´umeros y que, si
l´ımxn= +∞y l´ımym=−∞, las sucesiones (xn) e (yn) no son
convergentes.
Como l´ım(xn) = +∞ ⇔l´ım(−xn) =−∞, limitaremos nuestros
comentarios al primer caso.
Si l´ımxn= +∞entonces la sucesi´on (xn) no est´a acotada
superiormente. El rec´ıproco es falso. La sucesi´on dada porxn=
n+ (−1)
n
nno est´a acotada superiormente, sin embargo no se tiene
l´ımxn= +∞, puesx2n−1= 0 para todon∈N. No obstante si (xn)
es creciente, entonces (xn) no es acotada⇒l´ımxn= +∞.
En el Ejemplo 1 demostramos que las potenciasa, a
2
, a
3
, . . .de
un n´umeroa >1 forman una sucesi´on que no est´a acotada y real-
mente probamos que l´ıma
n
= +∞.
Teorema 9.
(1)Sil´ımxn= +∞y(yn)est´a acotada inferiormente entonces
l´ım(xn+yn) = +∞.
(2)Sil´ımxn= +∞y existec >0tal queyn> cpara todon∈N
entoncesl´ım(xnyn) = +∞.
(3)Sixn> c >0,yn>0para todon∈Nyl´ımyn= 0entonces
l´ım
xn
yn
= +∞.
(4)Si(xn)est´a acotada yl´ım(yn) = +∞entoncesl´ım
xn
yn
= 0.
Demostraci´on:(1) Existec∈Rtal queyn≥cpara todon∈N.
Dado cualquierA >=, existen0∈Ntal quen > n0⇒xn>
a−c. Se sigue quen > n0⇒xn+yn> A−c+c=A. Luego
l´ım(xn+yn) = +∞.
(2) Dado cualquierA >0, existen0∈Ntal quen > n0⇒xn>
A/c. Luegon > n0⇒xnyn>(A/c)c=A, de donde l´ım(xnyn) =

36Sucesiones de n´umeros reales Cap. 3
+∞.
(3) DadoA >0, existen0∈Ntal quen > n0⇒yn< c/a. Entonces
n > n0⇒xn/yn> cA/c=A, de donde l´ım(xn/yn) = +∞.
(4) Existec >0 tal que|xn| ≤cpara todon∈N. Dado cualquier
ε >0, existen0∈Ntal quen > n0⇒yn> c/ε. Entonces
n > n0⇒ |xn/yn|< cε/c=ε, luego l´ım(xn/yn) = 0.
Las hip´otesis de los diversos apartados del teorema anterior tie-
nen por objeto evitar algunas de las llamadas “expresiones indeter-
minadas”. En el apartado (1) se intenta evitar la expresi´on +∞−∞.
De hecho, si l´ım(xn) = +∞y l´ım(yn) =−∞nada puede aﬁrmarse
sobre l´ım(xn+yn). Este l´ımite puede no existir (como en el caso en
quexn=n+ (−1)
n
eyn=−n), puede ser igual a +∞(sixn= 2n
eyn=−n), puede ser−∞(tomexn=neyn=−2n) o puede ser
un valor cualquierac∈R(por ejemplo,xn=n+ceyn=−n).
Debido a este compartamiento err´atico, se dice que +∞ − ∞es
una expresi´on indeterminada. En los apartados (2), (3) y (4), las
hip´otesis excluyen los l´ımites del tipo 0× ∞(tambi´en evitado en
el Teorema 7), 0/0 y∞/∞, respectivamente, que constituyen ex-
presiones indeterminadas en el sentido que acabamos de explicar.
Otras expresiones indeterminadas frecuentes son∞
0
, 1
∞
y 0
0
.
Los l´ımites m´as importantes del An´alisis Matem´atico casi siem-
pre aparecen en forma de expresiones indeterminadas. Por ejemplo,
el n´umeroe= l´ım
n→∞
(1 + 1/n)
n
es de la forma 1
∞
. Y, como veremos
m´as adelante, la derivada es un l´ımite del tipo 0/0.
Proseguimos con una aﬁrmaci´on sobre el orden de magnitud. Si
k∈Nyaes un n´umero real>1 entonces l´ım
n→∞
n
k
= l´ım
n→∞
a
n
=
l´ım
n→∞
n! = l´ım
n→∞
n
n
. Todas estas sucesiones tienen l´ımite inﬁnito. El
Ejemplo 9 nos dice que, para valores muy grandes den, tenemos
n
k
≪a
n
≪n!≪n
n
, donde el s´ımbolo≪quiere decir “es una frac-
ci´on muy peque˜na de” o “es insigniﬁcante en comparaci´on con”.
Por eso se dice que el crecimiento exponencial supera al polinomial,
el crecimiento factorial supera al exponencial con base constante
pero es superado por el crecimiento exponencial con base creciente.
Por otro lado, el crecimiento den
k
(inclusive cuandok= 1) supera
al crecimiento logar´ıtmico, como demostraremos a continuaci´on.

Secci´on 5 Ejercicios37
En el Cap´ıtulo 9 probaremos la existencia de una funci´on es-
trictamente creciente log :R
+
→R, tal que log(xy) = logx+ logy
y logx < xpara cualesquierax, y∈R
+
. De aqu´ı resulta que
logx= log(
√
x
√
x) = 2 log
√
x, de donde log
√
x= (logx)/2.
Adem´as, logx= log 1 + logx, de donde log 1 = 0. Como log es es-
trictamente creciente, se tiene logx >0 para todox >1. Tambi´en
se cumple log(2
n
) =nlog(2), por tanto l´ım
n→∞
log(2
n
) = +∞. Como
log es creciente, se sigue l´ım
n→∞
logn= +∞.
Probaremos ahora que l´ım
n→∞
logn
n
= 0.
Para todon∈N, tenemos log
√
n <
√
n. Como log
√
n=
1
2
logn, se deduce que logn <2
√
n. Dividiendo pornresulta que
0<logn/n <2/
√
n. Haciendon→ ∞se tiene l´ım
n→∞
logn
n
= 0.
5. Ejercicios
Secci´on 1: L´ımite de una sucesi´on.
1. Se dice que una sucesi´on (xn) es peri´odica cuando existep∈N
tal quexn+p=xnpara todon∈N. Pruebe que toda sucesi´on
peri´odica convergente es constante.
2. Dadas las sucesiones (xn) e (yn), deﬁna (zn) comoz2n−1=xny
z2n=yn. Pruebe que si l´ımxn= l´ımyn=aentonces l´ımzn=a.
3. Pruebe que si l´ımxn=aentonces l´ım|xn|=|a|.
4. Si una sucesi´on mon´otona tiene una subsucesi´on convergente,
pruebe que entonces la propia sucesi´on es convergente.
5. Un n´umeroase llamavalor de adherenciade la sucesi´on (xn)
cuando es el l´ımite de alguna subsucesi´on de (xn). Para cada una
de los conjuntosA, ByCdados a continuaci´on encuentre suce-
siones que tengan dichos conjuntos como valores de adherencia:
A={1,2,3},B=N,C= [0,1].
6. Para que un n´umero realasea valor de adherencia de la sucesi´on
(xn) es necesario y suﬁciente que, para todoε >0 yk∈N, exista
n > ktal que|xn−a|< ε.

38Sucesiones de n´umeros reales Cap. 3
7. Para que un n´umero realbno sea valor de adherencia de la
sucesi´on (xn) es necesario y suﬁciente que existan0∈Nyε >0
tales quen > n0⇒ |xn−b| ≥ε.
Secci´on 2: L´ımites y desigualdades
1. Si l´ımxn=a, l´ımyn=by|xn−yn| ≥εpara todon∈N, pruebe
que entonces|a−b| ≥ε.
2. Sean l´ımxn=ay l´ımyn=b. Pruebe que sia > bentonces existe
n0∈Ntal quen > n0⇒xn< yn.
3. Si el n´umero realano es el l´ımite de la sucesi´on acotada (xn),
pruebe que existe alguna subsucesi´on convergente de (xn) con
l´ımiteb6=a.
4. Pruebe que una sucesi´on acotada es convergente si, y s´olo si,
posee un ´unico valor de adherencia.
5. ¿Cu´ales son los valores de adherencia de la sucesi´on (xn) deﬁnida
porx2n−1=nyx2n= 1/n? ¿Es esta sucesi´on convergente?
6. Dadosa, b∈R
+
deﬁna inductivamente las sucesiones (xn) e
(yn) comox1=
√
ab,y1= (a+b)/2 yxn+1=
√
xnyn,yn+1=
(xn+yn)/2. Pruebe que (xn) e (yn) convergen al mismo l´ımite.
7. Se dice que (xn) es unasucesi´on de Cauchycuando, para todo
ε >0, existen0∈Ntal quem, n > n0⇒ |xm−xn|< ε.
(a) Pruebe que toda sucesi´on de Cauchy est´a acotada.
(b) Pruebe que una sucesi´on de Cauchy no puede tener dos va-
lores de adherencia distintos.
(c) Pruebe que una sucesi´on (xn) es convergente si, y s´olo si, es
de Cauchy.
Secci´on 3: Operaciones con l´ımites
1. Pruebe que, para todop∈N, se tiene l´ım
n→∞
n+p
√
n= 1.
2. Si existenε >0 yk∈Ntales queε≤xn≤n
k
para todon
suﬁcientemente grande, pruebe que l´ım
n
√
xn= 1. Use esto para
calcular l´ım
n→∞
n
√
n+k,l´ım
n→∞
n
q
n
√
n,l´ım
n→∞
n
p
logny l´ım
n→∞
n
p
nlogn.

Secci´on 5 Ejercicios39
3. Dadoa >0, deﬁna inductivamente la sucesi´on (xn) mediante
x1=
√
ayxn+1=
√
a+xn. Pruebe que (xn) es convergente y
calcule su l´ımite:
L=
r
a+
q
a+
√
a+
4. Seaen= (xn−
√
a)/
√
aelerror relativode lan-´esima etapa
del c´alculo de
√
a. Pruebe queen+1=e
2
n
/2(1 +en). Concluya
queen≤0,01⇒en+1≤0,00005⇒en+2≤0,00000000125 y
observe la rapidez de la convergencia del m´etodo.
5. Dadoa >0, deﬁna inductivamente la sucesi´on (xn) comox1=
1/ayxn+1= 1/(a+xn). Considerecla ra´ız positiva de la
ecuaci´onx
2
+ax−1 = 0, el ´unico n´umero positivo tal que
c= 1/(a+c). Suponga quex1< c(El casox1> cse puede
tratar de forma an´aloga). Pruebe quex1< x3< < x2n−1<
< c < < x2n< < x4< x2y que l´ımxn=c. El n´umero
cse puede considerar como la suma de lafracci´on continua:
1
a+
1
a+
1
a+
1
a+. . .
6. Dadoa >0, deﬁna inductivamente la sucesi´on (yn) mediante
y1=aeyn+1=a+ 1/yn. Demuestre que l´ımyn=a+c, donde
cest´a deﬁnido como en el ejercicio anterior.
7. Deﬁna la sucesi´on (an) inductivamente comoa1=a2= 1 y
an+1=an+1+anpara todon∈N. Escribaxn=an/an+1y
pruebe que l´ımxn=a, dondeaes el ´unico n´umero positivo tal
que 1/(a+ 1) =a. El t´erminoanse llaman-´esimon´umero de
Fibonacciya= (−1+
√
5)/2 es eln´umero de orode la Geometr´ıa
Cl´asica.
Secci´on 4: L´ımites inﬁnitos
1. Pruebe que l´ım
n
√
n= +∞.

40Sucesiones de n´umeros reales Cap. 3
2. Si l´ımxn= +∞ya∈R, pruebe que:
l´ım
n→∞
[
p
log(xn+a)−log
√
xn] = 0.
3. Dadosk∈NyA >1, determine el l´ım
n→∞
n!
n
k
a
n
. Suponiendo
quea >1 ya6=e, calcule l´ım
n→∞
a
n
n!
n
n
y l´ım
n→∞
n
k
a
n
n!
n
n
.
4. Demuestre que l´ım
n→∞
log(n+ 1)/log(n) = 1.
5. Sean (xn) cualquier sucesi´on y (yn) una sucesi´on estrictamen-
te creciente tal que l´ımyn= +∞. Suponiendo que l´ım(xn+1−
xn)/(yn+1−yn) =a, pruebe que l´ımxn/yn=a. Concluya que
si l´ım(xn+1−xn) =aentonces l´ımxn/n=a. En particular, de
l´ım log(1 + 1/n) = 0, concluya que l´ım(logn)/n= 0.
6. Si l´ımxn=ay (tn) es una sucesi´on de n´umeros positivos tal
que:
l´ım(t1+ +tn) = +∞,
entonces pruebe que:
l´ım
t1x1+ +tnxn
t1+ +tn
=a .
En particular, siyn=
x1++xn
n
, tambi´en se tiene l´ımyn=a.

4
Series de n´umeros
Una serie es una sumas=a1+a2+ +an+ con un n´umero
inﬁnito de sumandos. Para que esto tenga sentido escribiremoss=
l´ım
n→∞
(a1+ +an). Como todo l´ımite, ´este puede existir o no. Por
eso hay series convergentes y divergentes. Aprender a distingir las
unas de las otras es el objetivo principal de este cap´ıtulo.
1. Series convergentes
A partir de una sucesi´on (an) de n´umeros reales dada formamos
una nueva sucesi´on (sn), donde
s1=a1, s2=a1+a2, . . . , sn=a1+a2+ +an,etc.
Los n´umerossnse llamansumas parcialesde la serie
P
an. El
sumandoanes eln-´esimo t´erminoot´ermino generalde la serie.
Cuando existe el l´ımites= l´ım
n→∞
sn, decimos que la serie
P
an
esconvergenteys=
P
an=
P
∞
n=1
an=a1+a2+ +an+
se llamasumade la serie. Si l´ımsnno existe decimos que
P
anes
una seriedivergente.
A veces es conveniente considerar series del tipo
P
∞
n=0
anque
empiezan ena0en vez dea1.
Ejemplo 1.Como ya hemos visto (Ejemplos 11 y 12, Cap´ıtulo 3),
cuando|a|<1 laserie geom´etrica1 +a+a
2
+ +a
n
+ es
convergente y su suma es 1/(1−a) y la serie 1 + 1 + 1/2! + +
1/n! + tambi´en es convergente, y su suma es igual ae.
41

42Series de n´umeros Cap. 4
Ejemplo 2.La serie 1−1 + 1−1 + , cuyo t´ermino general es
(−1)
n+1
, es divergente, pues la suma parcialsnes cero sines par,
e igual a 1 sines impar. Por lo tanto no existe l´ımsn.
Ejemplo 3.La serie
P
1/n(n+ 1), cuyo t´ermino general esan=
1/n(n+ 1) = 1/n−1/(n+ 1), tiene comon-´esima suma parcial:
sn=
`
1 +
1
2
´
+
`
1
2
−
1
3
´
+ +
`
1
n
−
1
n+ 1
´
= 1−
1
n+ 1
.
Por lo tanto l´ımsn= 1, esto es,
P
1/n(n+ 1) = 1.
Sian≥0 para todon∈N, las sumas parciales de la serie
P
an
forman una sucesi´on creciente. Por lo tanto una serie
P
ancuyos
t´erminos no son negativos, converge si, y s´olo si, existe una cons-
tantektal quea1+ +an≤kpara todon∈N. Por esto usaremos
la notaci´on
P
an<+∞para expresar que la serie
P
an, tal que
an≥0, es convergente.
Sian≥0 para todon∈Ny (a
′
n) es una subsucesi´on de (an)
entonces
P
an<+∞implica
P
a
′
n
<+∞.
Ejemplo 4.(La serie arm´onica) La serie
P
1/nes divergente.
De hecho, si
P
1
n
=sfuese convergente entonces
P
1
2n
=ty
P
1
2n−1
=utambi´en lo ser´ıan. Adem´assn=tn+un, haciendo
n→ ∞tendr´ıamoss=t+u. Perot=
P
1
2n
=
1
2
P
1
n
=
s
2
, por lo
tantou=t=
s
2
.
Por otra parte
u−t= l´ım
n→∞
(un−tn)
= l´ım
n→∞

1−
1
2
´
+
`
1
3
−
1
4
´
+ +
`
1
2n−1
−
1
2n

= l´ım
n→∞
`
1
12
+
1
34
+ +
1
(2n−1)2n
´
>0,
luegou > t. Lo que nos da una contradicci´on.
Teorema 1. (Criterio de comparaci´on)Sean
P
any
P
bn
series de t´erminos mayores o iguales a0. Si existenc >0yn0∈N
tales quean≤cbn, para todon > n0, entonces la convergencia
de
P
bnimplica la de
P
an, mientras que la divergencia de
P
an
implica la de
P
bn.

Secci´on 1 Series convergentes43
Sin p´erdida de generalidad podemos suponer quean≤cbnpara
todon∈N.
Demostraci´on:Las sumas parcialessnytn, de
P
any
P
bnres-
pectivamente, forman sucesiones crecientes tales quesn≤ctnpara
todon > n0. Comoc >0, (tn) acotada implica (sn) acotada, y
si (sn) no est´a acotada entonces (tn) tampoco est´a acotada, pues
tn≥sn/c.
Ejemplo 5.Sir >1, la serie
P
1/n
r
converge. En efecto, seac
la suma de la serie geom´etrica
P
∞
n=0
(2/2
r
)
n
. Demostraremos que
toda suma parcialsnde la serie
P
1
n
res menor quec. Seantal que
m≤2
n
−1. Entonces
sm≤1 +
`
1
2
r
+
1
3
r
´
+
`
1
4
r
+
1
5
r
+
1
6
r
+
1
7
r
´
+
+ +
`
1
(2
n−1
)
r
+ +
1
(2
n
−1)
r
´
,
sm<1 +
2
2
r
+
4
4
r
+ +
2
n−1
(2
n−1
)
r
=
n−1
X
i=0
`
2
2
r
´
i
< c .
Como la serie arm´onica diverge, del criterio de comparaci´on
resulta que
P
1
n
rtambi´en diverge cuandor <1 pues, en este caso,
1/n
r
>1/n.
Teorema 2.El t´ermino general de una serie convergente tiene cero
como l´ımite.
Demostraci´on:Si la serie
P
anes convergente, entonces escri-
biendosn=a1+ +an, existes= l´ım
n→+∞
sn. Consideremos la
sucesi´on (tn) cont1= 0 ytn=sn−1cuandon >1. Evidentemente,
l´ımtn=sysn−tn=an. Por lo tanto l´ıman= l´ım(sn−tn) =
l´ımsn−l´ımtn=s−s= 0.
El criterio contenido en el Teorema 2 es la primera cosa que se
debe veriﬁcar cuando se quiere saber si una serie es convergenteo
no. Si el t´ermino general no tiende a cero, la serie diverge. La serie
arm´onica demuestra que la consici´on l´ıman= 0 no es suﬁciente
para garantizar la convergencia de
P
an.

44Series de n´umeros Cap. 4
2. Series absolutamente convergentes
Una serie
P
anse diceabsolutamente convergentecuando
P
|an|
converge.
Ejemplo 6.Una serie convergente cuyos t´erminos son todos del
mismo signo es absolutamente convergente. Cuando−1< a <1,
la serie geom´etrica
P
∞
n=0
a
n
es absolutamente convergente, pues
|a
n
|=|a|
n
, con 0≤ |a|<1.
El ejemplo cl´asico de serie convergente
P
antal que
P
|an|=
+∞es dado por
P
(−1)
n+1
/n= 1−
1
2
+
1
3
−
1
4
+ . Cuando tomamos
la suma de los valores absolutos, obtenemos la serie arm´onica, que
diverge. La convergencia de la serie dada se deduce del siguiente
resultado:
Teorema 3. (Leibniz)Si(an)es una sucesi´on mon´otona decre-
ciente que tiende a cero entonces
P
(−1)
n+1
anes una serie conver-
gente.
Demostraci´on:Seasn=a1−a2+ + (−1)
n+1
an. Entonces
s2n=s2n−2+a2n−1−a2nes2n+1=s2n−1−a2n+a2n+1. Luego las
sumas parciales de ´ındice par forman una sucesi´on creciente (pues
a2n−1−a2n≥0) y las de ´ındice impar una sucesi´on decreciente
(pues−a2n+a2n+1≤0). Adem´as, comos2n=s2n−1−a2n, tenemos
s2n−1−s2n=a2n≥0. Esto demuestra que
s2≤s4≤ ≤s2n≤ ≤s2n−1≤ ≤s3≤s1
y que l´ıms2n= l´ıms2n−1, pues l´ıman= 0. Luego (sn) converge y el
teorema est´a probado.
Ejemplo 7.Por el Teorema 3, la serie
P
(−1)
n+1
log
Γ
1 +
1
n

es
convergente. Sin embargo no es absolutamente convergente pues la
n-´esima suma parcial de la serie
P
log(1 + 1/n) =
P
log
Γ
n+1
n

es
sn= log 2 + log
`
3
2
´
+ log
`
4
3
´
+ + log
`
n+ 1
n
´
= log 2 + log 3−log 2 + log 4−log 3 + + log(n+ 1)−log(n)
= log(n+ 1).
Por tanto, l´ımsn= +∞.

Secci´on 3 Criterios de convergencia 45
Una serie convergente
P
antal que
P
|an|= +∞se llamacon-
dicionalmente convergente.
El pr´oximo teorema se puede interpretar de la siguiente manera:
si tomamos una serie convergente cuyos t´erminos son todos≥0 y,
de forma completamente arbitraria, cambiamos el signo de algunos
t´erminos (inclusive de un n´umero inﬁnito de estos), obtenemos una
serie que tambi´en es convergente.
Teorema 4.Toda serie absolutamente convergente es convergente.
Demostraci´on:Sea
P
|an|convergente. Para cadan∈N, deﬁni-
mos los n´umerospnyqndel modo siguiente:pn=an, sian≥0 y
pn= 0 sian<0; an´alogamente,qn=−ansian≤0 yqn= 0 si
an>0. Los n´umeropnyqnse llaman, respectivamente,parte posi-
tivayparte negativadean. Entoncespn≥0,qn≥0,pn+qn=|an|
(en particularpn≤ |an|yqn≤ |an|) ypn−qn=an. (Observe que,
para cadan∈N, al menos uno de los n´umerospnyqnes cero). Por
el Teorema 1 las series
P
pny
P
qnson convergentes. Luego tam-
bi´en es convergente la serie
P
an=
P
(pn−qn) =
P
pn−
P
qn.
Dada la serie
P
an, acabamos de deﬁnir los n´umerospn=
m´ax{an,0}yqn= m´ax{−an,0}, las partes positiva y negativa
dean. Si
P
anes condicionalmente convergente, necesariamente
P
pn= +∞y
P
qn= +∞. En efecto, si s´olo una de estas dos se-
ries fuese convergente (por ejemplo, la primera), tendr´ıamos
P
an=
P
pn−
P
qn=a− ∞=−∞. Y si ambas,
P
pny
P
qn, fuesen
convergentes tendr´ıamos
P
|an|=
P
pn+
P
qn<+∞, y la serie
ser´ıa absolutamente convergente.
3. Criterios de convergencia
Teorema 5.Sea
P
bnuna serie absolutamente convergente tal que
bn6= 0para todon∈N. Si la sucesi´on(an/bn)est´a acotada (en
particular, converge) entonces la serie
P
anes absolutamente con-
vergente.
Demostraci´on:Si para alg´unc >0 tuvi´esemos|an/bn| ≤c, sea
cual fueren∈N, entonces|an| ≤c|bn|. Por el criterio de compara-
ci´on (Teorema 1) la serie
P
anes absolutamente convergente.

46Series de n´umeros Cap. 4
Corolario. (Criterio de d’Alambert)Seaan6= 0para todo
n∈N. Si existe una constantectal que|an+1/an| ≤c <1para
todonsuﬁcientemente grande (en particular, sil´ım|an+1/an|<1)
entonces la serie
P
anes absolutamente convergente.
En efecto, si para todonsuﬁcientemente grande se tiene
|an+1/an| ≤c=c
n+1
/c
n
, entonces|an+1|/c
n+1
≤ |an|/c
n
.
As´ı la sucesi´on de n´umeros mayores o iguales a cero|an|/c
n
es
decreciente a partir de un determinado ´ındice, luego est´a acotada.
Como la serie
P
c
n
es absolutamente convergente, se deduce del
Teorema 5 que
P
anconverge absolutamente. En el caso particular
en que existe l´ım|an+1|/|an|=L <1, escogemos un n´umeroctal
queL < c <1 y as´ı tendremos|an+1|/|an|< cpara todonsuﬁ-
cientemente grande (Teorema 5 del Cap´ıtulo 3). Estamos entonces
en el caso ya demostrado.
Observaci´on:Cuando se aplica el criterio de d’Alambert, en ge-
neral se intenta calcular l´ım|an+1/an|=L. SiL >1 entonces la
serie es divergente pues se tiene|an+1/an|>1, de donde|an+1|>
|an|para todonsuﬁcientemente grande y as´ı el t´ermino generalan
no tiende a cero. SiL= 1 el criterio nada nos permite concluir; la
serie puede ser convergente (como en el caso
P
1/n
2
) o divergente
(como en el caso
P
1/n).
Ejemplo 8.Seaan= 1/(n
2
−3n−1). Considerando la serie conver-
gente
P
1/n
2
, como l´ım[(n
2
−2n+1)/n
2
] = l´ım[1/(1−3/n+1/n
2
)] =
1, concluimos que la serie es convergente.
Ejemplo 9.Se sigue del Ejemplo 9 del Cap´ıtulo 3 y del criterio de
d’Alambert que las series
P
(a
n
/n!),
P
(n!/n
n
) y
P
(n
k
/a
n
), esta
´ultima cona >1, son convergentes.
Teorema 6. (Criterio de Cauchy)Si existe un n´umero realc
tal que
n
p
|an| ≤c <1para todon∈Nsuﬁcientemente grande
(en particular, sil´ım
n
p
|an|<1) la serie
P
anes absolutamente
convergente.
Demostraci´on:Si
n
p
|an| ≤c <1 entonces|an| ≤c
n
para todon
suﬁcientemente grande. Como la serie geom´etrica
P
c
n
es conver-
gente, del criterio de comparaci´on se deduce que
P
anconverge ab-
solutamente. En el caso particular en que existe l´ım
n
p
|an|=L <1,

Secci´on 3 Criterios de convergencia 47
escogemosctal queL < c <1 y tendremos
n
p
|an|< cpara todo
nsuﬁcientemente grande (Teorema 5, Cap´ıtulo 3) y estamos as´ı en
el caso anterior.
Observaci´on:Cuando se aplica el criterio de Cauchy tambi´en se
intenta calcular l´ım
n
p
|an|=L. SiL >1, la serie es divergente. En
efecto, en este caso se tiene
n
p
|an|>1 para todonsuﬁcientemente
grande, de donde|an|>1, luego la serie
P
anes divergente pues
su t´ermino general no tiende a cero. CuandoL= 1, la serie pue-
de ser divergente (como en el caso
P
(1/n)) o convergente (como
P
(1/n
2
)).
Ejemplo 10.Seaan= (logn/n)
n
. Como
n
√
an= log/ntiende a
cero, la serie
P
anes convergente.
El pr´oximo teorema relaciona los criterios de d’Alambert y
Cauchy.
Teorema 7.Sea(an)una sucesi´on cuyos t´erminos son diferentes
de cero. Sil´ım|an+1|/|an|=L, entoncesl´ım
n
p
|an|=L.
Demostraci´on:Para simpliﬁcar la notaci´on supondremos que
an>0 para todon∈N. En primer lugar consideremos el caso
L6= 0. Dadoε >0, ﬁjamosK,Mtales queL−ε < K < L <
M < L+ε. Entonces existeptal quen≥p⇒K < an+1/an< M.
Multiplicando miembro a miembro lasn−pdesigualdadesK <
ap+i/ap+i−1< M i= 1, . . . , n−p, obtenemosK
n−p
< an/ap<
M
n−p
para todon > p. Escribimosα=ap/K
p
yβ=ap/M
p
.
EntoncesK
n
α < an< M
n
β. Extrayendo ra´ıces se obtieneK
n
√
α <
n
√
an< M
n
√
βpara todon > p. Si tenemos en cuentaL−ε < K,
M < L+ε, l´ım
n
√
α= 1 y l´ım
n
√
β= 1, conclu´ımos que existe
r0> ptal quen > n0⇒L−ε < K
n
√
αyM
n
√
β < L+ε. Entonces
n > n0⇒L−ε <
n
√
an< L+ε. SiL= 0 es suﬁciente considerar
exclusivamenteMen la prueba del casoL6= 0.
Ejemplo 11.Del Teorema 7 resulta que l´ımn/
n
√
n! =e. En efecto,
escribiendoan=n
n
/n! se tienen/
n
√
n! =
n
√
an. Ahora bien,
an+1
an
=
(n+ 1)
n+1
(n+ 1)!
n!
n
n
=
(n+ 1)(n+ 1)
n
(n+ 1)n!
n!
n∗n
=
`
n+ 1
n
´
n
,
luego l´ım(an+1/an) =e, y de aqu´ı l´ım
n
√
an=e.

48Series de n´umeros Cap. 4
4. Reordenaciones
Una serie
P
anse diceincondicionalmente convergentesi, para
cualquier biyecci´onϕ:N→N, haciendobn=aϕ(n), la serie
P
bn
es convergente. (En particular, tomandoϕ(n) =n, vemos que
P
an
es convergente). Como consecuencia de los resultados que demos-
traremos m´as adelante, se tiene que si
P
anes incondicionalmente
convergente, entonces
P
bn=
P
an, independiente de la biyecci´on
ϕ. Esta es la manera m´as precisa de aﬁrmar que la suma
P
anno
depende del orden de sus t´erminos. No obstante, esto no ocurre
siempre.
Ejemplo 12.La serie
s= 1−
1
2
+
1
3
−
1
4
+
converge, pero no incondicionalmente. En efecto, tenemos
s
2
=
1
2
−
1
4
+
1
6
−
1
8
+ .
Entonces podemos escribir
s= 1−
1
2
+
1
3
−
1
4
+
1
5
−
1
6
+
1
7
−
1
8
+
s
2
= 0 +
1
2
+ 0−
1
4
+ 0 +
1
6
+ 0−
1
8
+ .
Sumando t´ermino a t´ermino
3s
2
= 1 +
1
3
−
1
2
+
1
5
+
1
7
−
1
4
+
1
9
+
1
11
−
1
6
+ .
La ´ultima serie, cuya suma es
3s
2
, tiene los mismos t´erminos que
la serie inicial, cuya suma ess, pero en orden diferente.
Teorema 8.Si
P
anes absolutamente convergente entonces para
toda biyecci´onϕ:N→N, haciendobn=aϕ(n), se tiene
P
bn=
P
an.
Demostraci´on:Supongamos inicialmente quean≥0. Escribimos
sn=a1+ +anytn=b1+ +bn. Para cadan∈N, los n´umeros

Secci´on 4 Reordenaciones49
ϕ(1), . . . , ϕ(n) pertenecen al conjunto{1,2, . . . , m}, dondemes el
mayor de losϕ(i). Entonces:
tn=
n
X
j=1
bn≤
m
X
j=1
aj=sm.
As´ı, para cadan∈Nexistem∈Ntal quetn≤sm. Rec´ıprocamen-
te, (considerandoϕ
−1
es vez deϕ) para cadam∈Nexisten∈N
tal quesm≤tn. Se sigue que l´ımtn= l´ımsn, esto es,
P
bn=
P
an.
En el caso general, tenemos
P
an=
P
pn−
P
qn, dondepnes la
parte positiva yqnla parte negativa dean. Toda reordenaci´on (bn)
de los t´erminosandeterminan reordenaciones (un) de lospny (vn)
de losqn, de forma queunes la parte positiva yvnla parte negativa
debn. Por lo que acabamos de ver
P
un=
P
pny
P
vn=
P
qn.
Luego
P
an=
P
un−
P
vn=
P
bn.
El pr´oximo teorema implica que solamente las series absoluta-
mente convergentes son incondicionalmente convergentes.
Teorema 9. (Riemann)Alterando convenientemente el orden de
los t´erminos de una serie condicionalmente convergente es posible
hacer que su suma sea igual a cualquier n´umero real preﬁjado.
Demostraci´on:Sea
P
anla serie dada. Escogido un n´umeroc,
empezamos a sumar los t´erminos positivos de
P
an, en su orden
natural, uno a uno, parando cuando, al sumaran1, la suma supere
por primera vez ac. (Esto es posible por que la suma de los t´ermi-
nos positivos de
P
anes +∞). A esta suma a˜nadimos los t´erminos
negativos, tambi´en en su orden natural, uno a uno, parando en
cuanto al sumaran2(<0) la suma resulte menor quec(lo que es
posible porque la suma de los t´erminos negativos es−∞). Prosi-
guiendo an´alogamente, obtenemos una nueva serie, cuyos t´erminos
son los mismos de
P
anen orden diferente. Las sumas parciales de
esta nueva serie oscilan alrededor decde forma que (a partir del
´ındicen1) la diferencia entre cada una de ellas es inferior, en va-
lor absoluto, al t´erminoank
donde tuvo lugar el ´ultimo cambio de
signo. Ahora bien, l´ım
k→∞
ank
= 0 pues la serie
P
anconverge. Luego
las sumas parciales de la nueva serie convergen ac.

50Series de n´umeros Cap. 4
5. Ejercicios
Secci´on 1: Series Convergentes
1. Dadas las series
P
any
P
bn, tales quean=
√
n+ 1−
√
ny
bn= log(1−
1
n
), demuestre que l´ıman= l´ımbn= 0. Calcule
expl´ıcitamente lasn-´esimas sumas parcialessnytnde dichas
series y demuestre que l´ımsn= l´ımtn= +∞, luego las series
dadas son divergentes.
2. Use el criterio de comparaci´on para probar, a partir de la con-
vergencia de
P
2/n(n+ 1), que
P
1/n
2
es convergente.
3. Seasnlan-´esima suma parcial de la serie arm´onica. Pruebe que
paran= 2
m
se tienesn>1 +
m
2
y concluya de aqu´ı que la serie
arm´onica es divergente.
4. Demuestre que la serie
∞
X
n=2
1
nlogn
diverge.
5. Demuestre que sir >1 la serie
∞
X
n=2
1
n(logn)
r
converge.
6. Pruebe que la serie
X
logn
n
2
converge.
7. Pruebe que sia1≥ ≥an≥ y
P
anconverge, entonces
l´ım
n→∞
nan= 0.
Secci´on 2: Series absolutamente convergentes
1. Si
P
anes convergente yan≥0 para todon∈Nentonces la
serie
P
anx
n
es absolutamente convergente para todox∈[−1,1]
y
X
ansen(nx),
X
ancos(nx)
son absolutamente convergentes para todox∈R.
2. La serie 1−
1
2
+
2
3
−
1
3
+
2
4
−
1
4
+
2
5
−
1
5
+
2
6
−
1
6
+ tiene t´erminos
alternadamente positivos y negativos y su t´ermino general tiende
a cero. No obstante es divergente. ¿Por qu´e esto no contradice
el Teorema de Leibniz?

Secci´on 5 Ejercicios51
3. D´e un ejemplo de una serie convergente
P
any de una sucesi´on
acotada (xn) tales que la serie
P
anxnse divergente. Examine
lo que sucede si una de los siguientes hip´otesis se cumple: (a)xn
es convergente; (b)
P
anes absolutamente convergente.
4. Pruebe que la serie obtenida a partir de la serie arm´onica al-
ternando el signo de los t´erminos de modo que apt´erminos
positivos (p∈Nﬁjo) siganpt´erminos negativos es convergente.
5. Si
P
anes absolutamente convergente y l´ımbn= 0, escribacn=
a0bn+a1bn−1+ +anb0. Pruebe que l´ımcn= 0.
6. Si
P
anes absolutamente convergente, pruebe que entonces
P
a
2
n
converge.
7. Si
P
a
2
n
y
P
b
2
n
convergen, pruebe que
P
anbnconverge absolu-
tamente.
8. Pruebe que una serie es absolutamente convergente si, y s´olo si,
el conjunto de todas las sumas ﬁnitas formadas con los t´erminos
anest´a acotado.
Secci´on 3: Criterios de convergencia
1. Pruebe que si existen inﬁnitos ´ındicesntales que
n
p
|an| ≥1
entonces la serie
P
andiverge. Sian6= 0 para todony|an+
1/an| ≥1 para todon > n0entonces
P
andiverge. Por otra
parte, la serie 1/2+1/2+1/2
2
+1/2
2
+1/2
3
+1/2
3
+ converge
y sin embargo se tienean+1/an= 1 para todonimpar.
2. Si 0< a < b <1, la seriea+b+a
2
+b
2
+a
3
+b
3
+
es convergente. Demuestre que el criterio de Cauchy nos lleva a
este resultado y que, sin embargo, el criterio de d’Alambert nada
nos permite concluir.
3. Determine si la serie
P
(logn/n)
n
es convergente usando los cri-
terios de d’Alambert y Cauchy.
4. Dada una sucesi´on de n´umeros positivosxn, tal que l´ımxn=a,
demuestre que l´ım
n
√
x1x2 xn=a.

52Series de n´umeros Cap. 4
5. Determine para qu´e valores dexconverge cada una de las si-
guientes series:
X
n
k
x
n
,
X
n
n
x
n
,
X
x
n
/n
n
,
X
n!x
n
,
X
x
n
/n
2
Secci´on 4: Reordenaciones
1. Demuestre que si una serie es condicionalmente convergente en-
tonces existen reordenaciones tales que las sumas de las nuevas
series son iguales a +∞y−∞.
2. Efect´ue expl´ıcitamente una reordenaci´on de los t´erminos de la
serie 1−1/2 + 1/3−1/4 + 1/5− de modo que su suma ser
igual a 1/2.
3. Se dice que una sucesi´on (an) essumable, con sumas, cuando
para todoε >0 existe un subconjunto ﬁnitoJ0⊂Ntal que,
para todoJﬁnito,J0⊂J⊂N, se tiene|s−
P
n∈J
an|< ε.
Pruebe que:
(a) Si la sucesi´on (an) es sumable entonces, para toda funci´on
sobreyectivaϕ:N→N, la sucesi´onbn, deﬁnida comobn=
aϕ(n), es sumable, con la misma suma.
(b) Si la sucesi´on (an) es sumable, con sumas, entonces la serie
P
an=ses absolutamente convergente.
(c) Rec´ıprocamente, si
P
anes una serie absolutamente conver-
gente, entonces la sucesi´on (an) es sumable.

5
Algunas nociones
de topolog´ıa
La topolog´ıa es la rama de las matem´aticas donde se estudian, con
gran generalidad, las nociones de l´ımite y de continuidad y las ideas
anexas. En este cap´ıtulo abordaremos algunos conceptos topol´ogi-
cos de car´acterer elemental referentes a subconjuntos deR, pre-
tendiendo establecer las bases para desarrollar adecuadamente los
pr´oximos cap´ıtulos. Adoptaremos un lenguaje geom´etrico, diciendo
“punto” en vez de “n´umero real”, y “recta” en vez del “conjunto
R”.
1. Conjuntos abiertos
Se dice queaes un puntointeriordel conjuntoX⊂Rcuando
existe un n´umeroε >0 tal que el intervalo abierto (a−ε, a+ε)
est´a contenido enX. El conjunto de los puntos interiores deX
se llamainteriordel conjuntoX, y se representa mediante intX.
Cuandoa∈intXse dice que el conjuntoXes unentornoo una
vencidaddel puntoa. Un conjuntoA⊂Rse llamaabiertosiA=
intA, esto es, cuando todos los puntos deAson puntos interiores
deA.
Ejemplo 1.Todo puntocdel intervalo abierto (a, b) es un punto
interior de (a, b). Los puntosayb, extremos del intervalo cerrado
[a, b], no son interiores. El interior del conjuntoQde los n´umeros
racionales es vac´ıo. Por otra parte, int [a, b] = (a, b). El intervalo
cerrado [a, b] no es un entorno ni deani deb. Un intervalo abierto
53

54Algunas nociones de topolog´ıa Cap. 5
es un conjunto abierto. Todo intervalo abierto (acotado o no) es un
conjunto abierto.
La deﬁnici´on de l´ımite de una sucesi´on puede ser reformulado
en t´erminos de conjuntos abiertos: se tienea= l´ımxnsi, y s´olo
si, para todo abiertoAque contiene aaexisten0∈Ntal que
n > n0⇒xn∈A.
Teorema 1.
a) SiA1yA2son conjuntos abiertos entonces la intersecci´onA1∩
A2es un conjunto abierto.
b) Si(Aλ)λ∈Les una familia cualquiera de conjuntos abiertos, la
uni´onA=
S
λ∈L
Aλes un conjunto abierto.
Demostraci´on:a) Six∈A1∩A2entoncesx∈A1yx∈A2.
ComoA1yA2son abiertos, existenε1>0 yε2>0 tales que
(x−ε1, x+ε1)⊂Ay (x−ε2, x+ε2)⊂A2. Seaεel menor de los
n´umerosε1, ε2. Entonces (x−ε, x+ε)⊂A1y (x−ε, x+ε)⊂A2,
luego (x−ε, x+ε)⊂A1∩A2. As´ı, todo puntox∈A1∩A2es un
punto interior, o sea, el conjuntoA1∩A2es abierto.
b) Six∈Aentonces existeλ∈Ltal quex∈Aλ. ComoAλes
abierto, existeε >0 tal que (x−ε, x+ε)⊂Aλ⊂A, luego todo
punto deAes interior, esto es,Aes abierto.
Ejemplo 2.Resulta inmediatamente de a) en el Teorema 1 que la
intersecci´onA1∩ ∩Ande un n´umero ﬁnito de conjuntos abiertos
es un conjunto abierto. No obstante, aunque por b) la uni´on ﬁnitade
conjuntos abiertos tambi´en es un conjunto abierto, la intersecci´on
de un n´umero inﬁnito de conjuntos abiertos no es necesariamente
abierta. Por ejemplo, siA= (−1,1), A2= (−1/2,1/2), . . . , An=
(−1/n,1/n), . . .entoncesA=A1∩A2∩ ∩An ={0}. En
efecto, six6= 0 existen∈Ntal que|x|>1/n, luegox /∈An, de
dondex /∈A.
2. Conjuntos cerrados
Se dice que un puntoaesadherenteel conjuntoX⊂Rcuando
es l´ımite de alguna sucesi´on de puntosxn∈X. Evidentemente, to-
do puntoa∈Xes adherente aX: basta tomar todos losxn=a.

Secci´on 2 Conjuntos cerrados55
Se llamacierre,clausuraoadherenciade un conjuntoXal
conjuntoXformado por todos los puntos adherentes aX. Se tiene
X⊂X. SiX⊂YentoncesX⊂Y. Un conjunto se dicecerrado
cuandoX=X, esto es, cuando todo punto adherente aXpertenece
aX. SiX⊂Y, se dice queXes denso enYcuandoY⊂X, esto
es, cuando todob∈Yes adherente aX. Por ejemplo,Qes denso
enR.
Teorema 2.Un puntoaes adherente al conjuntoXsi, y s´olo si,
todo entorno deacontiene alg´un punto deX.
Demostraci´on:Seaaadherente aX. Entoncesa= l´ımxn, donde
xn∈Xpara todon∈N. Dada cualquier entornoVdeatenemos
xn∈Vpara todonsuﬁcientemente grande (por la deﬁnici´on de
l´ımite), luegoV∩X6=∅. Rec´ıprocamente, si todo entornoVde
acontiene puntos deXpodemos escoger en cada intervalo (a−
1/n, a+ 1/n),n∈N, un puntoxn∈X. Entonces|xn−a|<1/n,
luego l´ımxn=a, y as´ıaes adherente aX.
Por el teorema anterior, para que un puntoano pertenezca a
Xes necesario y suﬁciente que exista un entornoVdeatal que
V∩X=∅.
Corolario.El cierre de cualquier conjunto es un conjunto cerrado.
(O sea,X=Xpara todoX⊂R).
En efecto, siaes adherente aXentonces todo conjunto abierto
Aque contiene aatambi´en contiene alg´un puntob∈X. As´ı,Aes
un entorno deb. Comobes adherente aX, se sigue queAcontiene
alg´un punto deX. Luego cualquier punto adherente aXtambi´en
es adherente aX, esto es,a∈X.
Teorema 3.Un conjuntoF⊂Res cerrado si, y s´olo si, su com-
plementarioA=R−Fes abierto.
Demostraci´on:SeanFcerrado ya∈A, esto esma /∈F. Por el
Teorema 2, existe alg´un entornoVdeaque no contiene puntos de
F, esto es,V⊂A. As´ı, todo punto deAes interior aA, o sea,Aes
abierto. Rec´ıprocamente, si el conjuntoAes abierto y el puntoaes
adherente aF=R−Aentonces todo entorno deacontiene puntos
deF, luegoano es interior aA. ComoAes abierto, tenemosa /∈A,

56Algunas nociones de topolog´ıa Cap. 5
o sea,a∈F. As´ı, todo punto adherente aFpertenece aF, luego
Fes cerrado.
Teorema 4.
a) SiF1yF2son cerrados entoncesF1∪F2es cerrado.
b) Si(Fλ)λ∈Les una familia cualquiera de conjuntos cerrados en-
tonces su intersecci´onF=
T
λ∈F
Fλes un conjunto cerrado.
Demostraci´on:a) Los conjuntosA1=R−F1yA2=R−F2son
abiertos, por el Teorema 3. Luego, por el Teorema 1,A1∩A2=
R−(F1∪F2) es abierto. De nuevo por el Teorema 3,F1∪F2es
cerrado.
b) Para cadaλ∈L,Aλ=R−Fλes abierto. Se sigue queA=
S
λ∈L
Aλes abierto. ComoA=R−F,Fes cerrado.
Ejemplo 3.SeaXacotado no vac´ıo. Entoncesa= ´ınfXyb=
supXson adherentes aX. En efecto, para todon∈N, podemos
escogerxn∈Xtal quea≤xn< a+ 1/n, luegoa= l´ımxn.
An´alogamente se ve queb= l´ımyn, conyn∈X. En particular,ay
bson adherentes a (a, b).
Ejemplo 4.El cierre de los intervalos (a, b),(a, b] y [a, b) es el
intervalor [a, b].Qes denso enRy, para todo intervaloI,Q∩Ies
denso enI. Una uni´on inﬁnita de conjuntos cerrados puede no ser
un conjunto cerrado; en efecto,todoconjunto (cerrado o no) es la
uni´on de sus puntos, que son conjuntos cerrados.
Unaescisi´onde un conjuntoX⊂Res una descomposici´on
X=A∪Btal queA∩B=∅yA∩B=∅, esto es, ning´un punto
deAes adherente aBy ning´un punto deBes adherente aA. (En
particular,AyBson disjuntos). La descomposici´onX=X∪∅se
llamaescisi´on trivial.
Ejemplo 5.SiX=R−{0}, entoncesX=R+∪R−es una escisi´on.
Dado un n´umero irrracionalα, seanA={x∈Q:x < α}y
B={x∈Q:x > α}. La descomposici´onQ=A∪Bes un escisi´on
del conjuntoQde los racionales. Por otra parte, sia < c < b,
entonces [a, b] = [a, c]∪(c, b] no es una escisi´on.
Teorema 5.Un intervalo de la recta s´olo admite la escisi´on trivial.

Secci´on 3 Puntos de acumulaci´on 57
Demostraci´on:Supongamos, por reducci´on al absurdo, que el in-
tervaloIadmite una escisi´on no trivialI=A∪B. Tomemosa∈A,
b∈By supongamos quea < b, con lo que [a, b]⊂I. Seacel punto
medio del intervalo [a, b]. Entoncesc∈A´oc∈B. Sic∈A, to-
maremosa1=c,b1=b. Sic∈B, escribiremosa1=ayb1=c.
En cualquier caso obtendremos un intervalo [a1, b1]⊂[a, b], con
b1−a1= (b−a)/2 ya1∈A,b1∈B, A su vez, el punto medio de
[a1, b1] descompone a ´este en dos intervalos cerrados yuxtapuestos
de longitud (b−a)/4. Para uno de estos intervalos, que llamaremos
[a2, b2], se tienea2∈Ayb2∈B.
Prosiguiendo an´alogamente obtendremos una sucesi´on de interva-
los encajados [a, b]⊃[a1, b1]⊃ ⊃[an, bn]⊃ tales que
(bn−an) = (b−a)/2
n
,an∈Aybn∈Bpara todon∈N. Por
el Teorema 4, Cap´ıtulo 2, existec∈Rtal quean≤c≤bnpara
todon∈N. El puntoc∈I=A∪Bno puede estar ni enA, pues
c= l´ımbn∈B, ni enB, puesc= l´ıman∈A, lo que nos lleva a
una contradicci´on.
Corolario.Los ´unicos subconjuntos deRque son simult´aneamente
abiertos y cerrados son el conjunto vac´ıo yR.
En efecto, siA⊂Res abierto y cerrado, entoncesR=A∪(R−
A) es una escisi´on, luego ´oA=∅yR−A=R, o bienA=Ry
R−A=∅.
3. Puntos de acumulaci´on
Se dice quea∈Res unpunto de acumulaci´ondel conjunto
X⊂Rcuando todo entornoVdeacontiene alg´un punto deX
diferente del propioa. (Esto es,V∩(X− {a})6=∅). Equivalente-
mente: para todoε >0 se tiene (a−ε, a+ε)∩(X− {a})6=∅. Se
representa medianteX
′
al conjunto de los puntos de acumulaci´on
deX. Por lo tanto,a∈X
′
⇔a∈X− {a}. Sia∈Xno es un
punto de acumulaci´on deXse dice queaes unpunto aisladode
X. Esto signiﬁca que existeε >0 tal queaes el ´unico punto deX
en el intervalo (a−ε, a+ε). Cuando todos los puntos del conjunto
Xson aislados se dice queXes un conjuntodiscreto.
Teorema 6.DadosX⊂Rya∈R, las siguientes aﬁrmaciones
son equivalentes:

58Algunas nociones de topolog´ıa Cap. 5
(1)aes punto de acumulaci´on deX;
(2)aes l´ımite de una sucesi´on de puntosxn∈X− {a};
(3) Todo intervalo abierto centrado enacontiene inﬁnitos puntos
deX.
Demostraci´on:Suponiendo (1), para todon∈Npodemos en-
contrar un puntoxn∈X,xn6=a, en el entorno (a−1/n, a+ 1/n).
Luego l´ımxn=a, lo que prueba (2). Por otra parte, suponiendo
(2), entonces, para cualquiern0∈N, el conjunto{xn:n > n0}
es inﬁnito, pues en caso contrario existir´ıa un t´erminoxn1que se
repite inﬁnitas veces, lo que nos dar´ıa una sucesi´on constante con
l´ımitexn16=a. Por lo tanto, de la deﬁnici´on de l´ımite se ve que
(2)⇒(3). Finalmente, la implicaci´on (3)⇒(1) es obvia.
Ejemplo 6.SiXes ﬁnito entoncesX
′
=∅(un conjunto ﬁnito no
tiene puntos de acumulaci´on).Zes inﬁnito pero todos los puntos
deZson aislados.Q
′
=R. SiX= [a, b) entoncesX
′
= [a, b]. Si
X={1,1/2, . . .,1/n, . . .}entoncesX
′
={0}, esto es, 0 es el ´unico
punto de acumulaci´on deX. Observe que todos los puntos de este
´ultimo conjunto son aislados (Xes discreto).
A continuaci´on presentaremos una versi´on del Teorema de
Bolzano-Weiertrass en t´erminos de puntos de acumulaci´on.
Teorema 7.Todo conjunto inﬁnito y acotado de n´umeros reales
tiene, al menos, un punto de acumulaci´on.
Demostraci´on:SeaXinﬁnito y acotado;Xposee un subconjun-
to inﬁnito numerable{x1, x2, . . . , xn, . . .}. Fijando esta numeraci´on
tenemos una sucesi´on (xn) de t´erminos, distintos dos a dos, pertene-
cientes aX, por lo tanto una sucesi´on acotada que, por el Teorema
de Bolzano-Weiertrass, posee una subsucesi´on convergente. Elimi-
nado los t´erminos que no est´an en esta subsucesi´on y cambiandola
notaci´on, podemos admitir que (xn) converge. Seaa= l´ımxn. Co-
mo los t´erminosxnson todos distintos, como m´aximo uno de ellos
puede ser igual aa. Descart´andolo, en caso de que ´este exista, ten-
dremos queaes el l´ımite de una sucesi´on de puntosxn∈X− {a},
luegoa∈X
′
.

Secci´on 4 Conjuntos compactos59
4. Conjuntos compactos
Un conjuntoX⊂Rse llamacompactosi es cerrado y acotado.
Todo conjunto ﬁnito es compacto. Un intervalo de la forma [a, b]
es compacto. Por otra parte, (a, b) est´a acotado pero no es cerrado,
luego no es compacto. TampocoZes compacto pues no est´a acota-
do, aunque es cerrado (su complementarioR−Zes la uni´on de los
intervalos abiertos (n, n+ 1),n∈Z, luego es un conjunto abierto).
Teorema 8.Un conjuntoX⊂Res compacto si, y s´olo si, toda
sucesi´on de puntos deXposee una subsucesi´on que converge a un
punto deX.
Demostraci´on:SiX⊂Res compacto, toda sucesi´on de pun-
tos deXest´a acotada, luego (por Bolzano-Weierstrass) posee una
subsucesi´on convergente, cuyo l´ımite es un punto deX(puesXes
cerrado). Rec´ıprocamente, seaXun conjunto tal que toda sucesi´on
de puntosxn∈Xposee una subsucesi´on que converge a un punto
deX. EntoncesXest´a acotado pues, en caso contrario, para ca-
dan∈Npodr´ıamos encontrarxn∈Xcon|xn|> n. La sucesi´on
(xn) as´ı obtenida no contendr´ıa ninguna subsucesi´on acotada luego
no tendr´ıa ninguna subsucesi´on convergente. Adem´as,Xes cerrado
pues en caso contrario existir´ıa un puntoa /∈Xcona= l´ımxn,
donde cadaxn∈X. La sucesi´onxnno poseer´ıa entonces ninguna
subsucesi´on convergente a un punto deXpues todas sus subsuce-
siones tendr´ıan l´ımitea. LuegoXes compacto.
Observaci´on:SiX⊂Res compacto entonces, por el Ejemplo
3,a= ´ınfXyb= supXpertenecen aX. As´ı, todo conjunto com-
pacto posee un elemento m´ınimo y un elemento m´aximo. O sea,X
compacto⇒ ∃x0, x1∈Xtales quex0≤x≤x1para todox∈X.
El pr´oximo teorema generaliza el principio de los intervalos en-
cajados.
Teorema 9.Dada una sucesi´on decrecienteX1⊃X2⊃ ⊃
Xn⊃ de conjuntos compactos no vac´ıos, existe (como m´ınimo)
un n´umero real que pertenece a todos losXn.
Demostraci´on:Deﬁnimos una sucesi´on (xn) escogiendo, para ca-
dan∈N, un puntoxn∈Xn. Esta sucesi´on est´a contenida en el

60Algunas nociones de topolog´ıa Cap. 5
compactoX1, luego posee una subsucesi´on (xn1, xn2, . . . , xnk
, . . .)
que converge a un puntoa∈X1. Dado cualquiern∈Ntenemos
xnk
∈Xnsiempre quenk> n. ComoXnes compacto, se sigue que
a∈Xn. Esto prueba el teorema.
Terminamos nuestro estudio de los conjuntos compactos de la
recta con la demostraci´on del Teorema de Heine-Borel.
Se llamarecubrimientode un conjuntoXa una familiaϕde
conjuntosCλcuya uni´on contiene aX. La condici´onX⊂
S
λ∈L
Cλ
signiﬁca que, para cadax∈X, existe, necesariamente, (al menos)
unλ∈Ltal quex∈Cλ. Cuando todos los conjuntosCλson
abiertos, se dice queϕes unrecubrimiento abierto. CuandoL=
{λ1, . . . , λn}es un conjunto ﬁnito, se dice queX⊂Cλ1∪ ∪Cλn
es unrecubrimiento ﬁnito. Si existeL
′
⊂Ltal que a´un se tiene
X⊂
S
λ∈L
′Cλ
′, se dice queϕ
′
= (Cλ
′)λ
′
∈L
′es un subrecubrimiento
deϕ.
Teorema 10. (Borel-Lebesgue)Todo recubrimiento abierto de
un conjunto compacto posee un subrecubrimiento ﬁnito.
Demostraci´on:Inicialmente consideremos un recubrimiento abier-
to [a, b]⊂
S
λ∈L
Aλdel intervalo compacto [a, b]. Supongamos, por
reducci´on al absurdo, queϕ= (Aλ)λ∈Lno admite ning´un subrecu-
brimiento ﬁnito. El punto medio del intervalo [a, b] lo subdivide en
dos intervalos de longitud (b−a)/2. Al menos uno de esto interva-
los, que llamaremos [a1, b1], no puede ser recubierto por un n´umero
ﬁnito de conjuntosAλ. Mediante subdivisiones sucesivas obtene-
mos una sucesi´on decreciente [a, b]⊃[a1, b1]⊃[a2, b2]⊃ ⊃
[anbn]⊃ de intervalos tales que (bn−an) = (b−a)/2
n
y ning´un
[an, bn] puede estar contenido en una uni´on ﬁnita de abiertosAλ.
Por el Teorema 9 existe un n´umero realcque pertenece a todos
los intervalos [an, bn]. En particularc∈[a, b]. Por la deﬁnici´on de
recubrimiento, existeλ∈Ltal quec∈Aλ. ComoAλes abierto,
tenemos (c−ε, c+ε)⊂Aλpara un ciertoε >0. Entonces, tomando
n∈Ntal que (b−a)/2
n
< ε, tenemosc∈[an, bn]⊂[c−ε, c+ε], de
donde [an, bn]⊂Aλ, luego [an, bn] se puede recubrir con el conjunto
Aλ, lo que es absurdo. En el caso general, tenemos un recubrimien-
to abiertoX⊂
S
λ∈L
Aλdel compactoX. Tomemos un intervalo
compacto [a, b] que contenga aXy, a˜nadiendo a losAλel nuevo

Secci´on 5 El conjunto de Cantor 61
abiertoAλ0=R−X, obtenemos un recubrimiento abierto de [a, b],
del que podemos extraer, por la parte ya probada, un subrecubri-
miento ﬁnito [a, b]⊂Aλ0∪Aλ1∪ ∪Aλn. Como ning´un punto
deXpuede pertencer aAλ0, tenemosX⊂Aλ1∪ ∪Aλn; esto
completa la demostraci´on.
Ejemplo 7.Los intervalosAn= (1/n,2),n∈N, forman un recu-
brimiento abierto del conjuntoX= (0,1], pues (0,1]⊂
S
n∈N
An.
No obstante, este recubrimiento no admite un subrecubrimiento ﬁ-
nito pues, comoA1⊂A2⊂ ⊂An⊂ , toda uni´on ﬁnita de
los conjuntosAncoincide con el conjunto de mayor ´ındice, luego no
contiene a (0,1].
El Teorema de Borel-Lebesgue, cuya importancia es crucial, se
usar´a en este libro solamente una vez, en el Cap´ıtulo 10, Secci´on4,
(cfr. Teorema 7 en dicho cap´ıtulo.) Se puede probar, rec´ıprocamen-
te, que si todo recubrimiento abierto de un conjuntoX⊂Rposee
un subrecubrimiento ﬁnito entoncesXes cerrado y acotado (cfr.
Curso de An´alisis Matem´atico, vol. 1, p.147.)
5. El conjunto de Cantor
El conjunto de Cantor, que describiremos a continuaci´on, tiene
las siguientes propiedades:
1) Es compacto.
2) Tiene interior vac´ıo (no contine intervalos).
3) No contiene puntos aislados (todos sus puntos son puntos de
acumulaci´on).
4) No es numerable.
Elconjunto de CantorKes un subconjunto cerrado del interva-
lo [0,1] obtenido como el complemento de una uni´on de intervalos
abiertos, de la siguiente forma. Se retira del intervalo [0,1] el inter-
valo abierto centrado en el punto medio de [0,1] de longitud 1/3,
(1/3,2/3) (su tercio central). Se retiran despu´es los tercios centrales
de cada uno de los intervalos restantes, [0,1/3] y [2/3,1]. Entonces
sobra [0,1/9,]∪[2/9,1/3]∪[2/3,7/9]∪[8/9,1]. A continuaci´on se
retira el tercio central de cada uno de estos cuatro intervalos. Se

62Algunas nociones de topolog´ıa Cap. 5
repite este proceso inductivamente. El conjuntoKde los puntos no
retirados es el conjunto de Cantor.
Si indicamos medianteI1, I2, . . . , In, . . .los intervalos retirados
vemos queF=R−
S
∞
n=1
Ines un conjunto cerrado, luegoK=
F∩[0,1] es cerrado y acotado, o sea, el conjunto de Cantor es
compacto.
Fig. 1- Construyendo el conjunto de Cantor
0 1/3 2 /3 1
0 1/9 2/9 1/3 2 /3 7/9 8/9 1
Para demostrar queKtiene interior vac´ıo, observamos que des-
pu´es de la etapan-´esima de la construcci´on s´olo restan intervalos
de longitud 1/3
n
. Por tanto, dado cualquier intervaloJ⊂[0,1]
de longitudc >0, si tomamosntal que 1/3
n
< c, el intervaloJ
habr´a sido subdividido despu´es de lan-´esima etapa de la construc-
ci´on deK. As´ı,Kno contiene intervalos.
Los puntos extremos de los intervalos retirados en las diversas
etapas de la construcci´on deK, tales como 1/3, 2/3, 1/9, 2/9, 7/9,
8/9,etc, pertenecen aK, pues en cada etapa s´olo se retiran puntos
interiores de los intervalos que quedaban de la etapa anterior.
´
Estos
forman un conjunto numerable, sin puntos aislados. En efecto, sea
c∈Kextremo de alg´un intervalo, digamos (c, b), retirado de [0,1]
para obtenerK. Cuando (c, b) fue retirado qued´o un cierto intervalo
[a, c]. En las siguientes etapas de la construcci´on deK, quedar´an
siempre tercios ﬁnales de intervalos, del tipo [an, c], conan∈K.
La longitud de [an, c] tiende a cero, luegoan→cy as´ıcno es un
punto aislado deK.

Secci´on 5 El conjunto de Cantor 63
Ahora supongamos quec∈Kno es extremo de ning´un interva-
lo retirado de [0,1] durante la construcci´on deK. (De hecho, hasta
ahora, no sabemos si tales puntos existen, pero en seguida vamos
a ver que ´estos constituyen la mayor´ıa de los puntos deK). Pro-
bemos quecno es un punto aislado deK. En efecto, para cada
n∈N,cpertenece al interior de un intervalo [xn, yn] de los que
quedaron despu´es de lan-´esima etapa de la construcci´on deK.
Tenemosxn< c < yn, conxn, yn∈K, yxn−yn= 1/3
n
. Luego
c= l´ımxn= l´ımynes un punto de acumulaci´on deK.
Constatamos as´ı queKno posee puntos aislados. Probaremos
ahora que el conjunto de Cantor no es numerable. Dado cualquier
subconjunto numerable{x1, x2, . . . , xn, . . .} ⊂K, obtendremos un
puntoc∈Ktal quec6=xnpara todon∈N. Para esto, con
centro en un punto deK, tomamos un intervalo compactoI1tal
quex1/∈I1. Como ning´un punto deKen el interior deI1, toma-
mos un intervalo compactoI2⊂I1tal quex2/∈I2. Prosiguiendo
de forma an´aloga, obtenemos una sucesi´on decreciente de interva-
los compactosI1⊃I2⊃ ⊃In⊃ tales quexn∈Ine
In∩K6=∅. Sin p´erdida de generalidad, podemos suponer queIn
tiene longitud<1/n. Entonces el puntoc, perteneciente a todos
losIn(cuya existencia est´a asegurada por el Teorema 9), es ´unico,
esto es,
T
∞
n=1
In={c}. Escogiendo, para cadan∈N, un punto
yn∈In∩K, tendremos|yn−c| ≤1/n, de donde l´ımyn=c. Co-
moKes cerrado, se deduce quec∈K. Por otra parte, para todo
n∈N, tenemosc∈In, luegoc6=xn, concluyendo la demostraci´on.
Los puntos del conjunto de Cantor admiten una caracterizaci´on
interesante y ´util en t´erminos de su representaci´on en base 3.Dado
x∈[0,1], representarxen base 3 signiﬁca escribirx= 0, x1x2x3 ,
donde cada uno de los d´ıgitosxnes 0,1 ´o 2, de modo que
x=
x1
3
+
x2
3
2
+ +
xn
3
n
+ .
Para tenerx= 0, x1x2 xn000 es necesario y suﬁciente quexsea
un n´umero de la formam/3
n
, conmynenteros ym≤3
n
. Por
ejemplo, 17/27 = 0,122000. . .en base 3. Cuando el denominador
de la fracci´on irreduciblep/qno es una potencia de 3 la repre-
sentaci´on dep/qen base 3 es per´ıodica. Por ejemplo, en base 3,

64Algunas nociones de topolog´ıa Cap. 5
1/4 = 0,020202. . .y 1/7 = 0,010212010212. . .. Los n´umeros irra-
cionales tienen representaci´on no peri´odica.
En la primera etapa de la formaci´on del conjunto de Cantor, al
retirar el intervalo abierto (1/3,2/3) quedan excluidos los n´umeros
x∈[0,1] cuya representaci´on en base 3 tienenx1= 1, con la ´unica
excepci´on de 1/3 = 0,1, que permanece. En la segunda etapa, son
exclu´ıdos los n´umeros de los intervalos (1/9,2/9) y (7/9,8/9), o sea,
aquellos de la forma 0,01x3x4. . .o de la forma 0,21x3x4. . .(excep-
to 1/9 = 0,01 y 7/9 = 0,21 que permanecen). En general, podemos
aﬁrmar que los elementos del conjunto de Cantor son los n´umeros
del intervalo [0,1] cuya representaci´onx= 0, x1x2 xn. . .en base
3 s´olo contiene los d´ıgitos 0 y 2, excepto aquellos que s´olo contienen
un ´unico d´ıgito 1 como d´ıgito ﬁnal, como, por ejemplo,x= 0,20221.
Si observamos que 0,02222 = 0,1 podemos substituir el d´ıgito
1 por la sucesi´on 0222. . .. Por ejemplo: 0,20201 = 0,20200222. . ..
Con este acuerdo se puede aﬁrmar, sin excepciones, que los elemen-
tos del conjunto de Cantor son los n´umeros del intervalo [0,1] cuya
representaci´on en base 3 s´olo contiene los d´ıgitos 0 y 2.
De aqu´ı resulta f´acilmente que el conjunto de Cantor no es nu-
merable (ver Ejemplo 3, Cap´ıtulo 1) y que 1/4 = 0,0202 pertenece
al conjunto de Cantor.
6. Ejercicios
Secci´on 1: Conjuntos Abiertos
1. Pruebe que, para todoX⊂R, se tiene int(intX) = intX;
concluya que intXes un conjunto abierto.
2. SeaA⊂Run conjunto con la siguiente propiedad: “Si (xn) es
una sucesi´on que converge hacia un puntoa∈A, entoncesxn
pertenece aApara todonsuﬁcientemente grande”. Pruebe que
Aes abierto.
3. Pruebe que int(A∪B)⊃intA∪intBe int(A∩B) = intA∩intB
para cualesquieraA, B⊂R. SiA= (0,1] yB= [1,2], demuestre
que int (A∪B)6= intA∪intB.

Secci´on 6 Ejercicios65
4. Para todoX⊂R, pruebe que se tiene la uni´on disjuntaR=
intX∪int (R−x)∪F, dondeFest´a formado por los puntos
x∈Rtales que todo entorno dexcontiene puntos deXy puntos
deR−X. El conjuntoF=frX=∂Xse llamafronteraoborde
deX. Pruebe queA⊂Res abierto si, y s´olo si,A∩frA=∅.
5. Determine la frontera de cada uno de los siguientes conjuntos:
X= [0,1],Y= (0,1)∪(1,2),Z=QyW=Z.
6. SeanI1⊃I2⊃ ⊃In⊃ intervalos acotados distintos dos
a dos cuya intersecci´onI=
T
∞
n=1
Inno es vac´ıa. Pruebe queI
es un intervalo, que nunca es abierto.
Secci´on 2: Conjuntos cerrados
1. SeanIun intervalo no degenerado yk >1 un n´umero natural.
Pruebe que el conjunto de los n´umeros racionalesm/k
n
, cuyos
denominadores son potencias dekcon exponenten∈N, es denso
enI.
2. Pruebe que, para todoX⊂R, se tieneX=X∪frX. Concluya
queXes cerrado si, y s´olo si,X⊃frX.
3. Pruebe que, para todoX⊂R,R−intX=R−XeR−X=
int (R−X).
4. SiX⊂Res abierto (respectivamente, cerrado) yX=A∪Bes
una escisi´on, pruebe queAyBson abiertos (respectivamente,
cerrados).
5. Pruebe que siX⊂Rtiene frontera vac´ıa entoncesX=∅o
X=R.
6. SeanX, Y⊂R. Pruebe queX∪Y=X∪Yy queX∩Y⊂
X∩Y. D´e un ejemplo en el queX∩Y6=X∩Y.
7. Dada una sucesi´on (xn), pruebe que la clausura del conjunto
X={xn:n∈N}esX=X∪A, dondeAes el conjunto de los
puntos adherentes de (xn).

66Algunas nociones de topolog´ıa Cap. 5
Secci´on 3: Puntos de acumulaci´on
1. Pruebe que, para todoX⊂R, se tieneX=X∪X
′
. Concluya
queXes cerrado si, y s´olo si, contiene a todos sus puntos de
acumulaci´on.
2. Pruebe que toda colecci´on de intervalos no degenerados disjuntos
dos a dos es numerable.
3. Pruebe que si todos los puntos del conjuntoX⊂Rson aislados
entonces, para cadax∈X, se puede escoger un intervaloIx
centrado enxtal quex6=y⇒Ix∩Iy=∅.
4. Pruebe que todo conjunto no numerableX⊂Rposee alg´un
punto de acumulaci´ona∈X.
5. Pruebe que, para todoX⊂R,X
′
es un conjunto cerrado.
6. Seaaun punto de acumulaci´on del conjuntoX. Pruebe que
existe una sucesi´on estrictamente creciente o estrictamente de-
creciente de puntosxn∈Xtal que l´ımxn=a.
Secci´on 4: Conjuntos Compactos
1. Pruebe que el conjuntoAde los valores de adherencia de una
sucesi´on (xn) es cerrado. Si la sucesi´on est´a acotada,Aes com-
pacto, luego existenℓyL, respectivamente, el menor y el mayor
valor de adherencia de la sucesi´on acotada (xn). Se suele escribir
ℓ= l´ım infxnyL= l´ım supxn.
2. Pruebe que la uni´on ﬁnita y la intersecci´on arbitraria de conjun-
tos compactos es un conjunto compacto.
3. D´e ejemplos de una sucesi´on decreciente de conjuntos cerrados
no vac´ıosF1⊃ ⊃Fn⊃ y de una sucesi´on decreciente
de conjuntos acotados no vac´ıosL1⊃ ⊃Ln⊃ tales que
T
Fn=∅y
T
Ln=∅.
4. SeanX, Yconjuntos disjuntos no vac´ıos,Xcompacto eYce-
rrado. Pruebe que existenx0∈Xey0∈Ytales que|x0−y0| ≤
|x−y|para cualesquierax∈Xey∈Y.

Secci´on 6 Ejercicios67
5. Un conjunto compacto cuyos puntos son todos aislados es ﬁni-
to. D´e ejemplos de un conjunto cerrado y acotadoXy de un
conjunto acotado que no sea cerradoY, cuyos puntos sean todos
aislados.
6. Pruebe que siXes compacto los siguientes conjuntos tambi´en
son compactos:
a)S={x+y:x, y∈X}
b)D={x−y:x, y∈X}
c)P={xy:x, y∈X}
d)C={x/y:x, y∈X}, si 0/∈X.
Secci´on 5: El conjunto de Cantor
1. Determine qu´e n´umeros 1/n, 2≤n≤10, pertenecen al conjunto
de Cantor.
2. Dado cualquiera∈[0,1] pruebe que existenx < ypertenecientes
al conjunto de Cantor tales quey−x=a.
3. Pruebe que la suma de la serie cuyos t´erminos son las longitudes
de los intervalos retirados al formar el conjunto de Cantor es
igual a 1.
4. Pruebe que los extremos de los intervalos retirados forman un
subconjunto numerable denso en el conjunto de Cantor.

68Algunas nociones de topolog´ıa Cap. 5

6
L´ımites
de funciones
El concepto de l´ımite, que estudiamos en el Cap´ıtulo 3 en el caso
particular de sucesiones, se extender´a ahora al caso m´as general en
el que se tiene una funci´onf:X→R, deﬁnida en un subconjunto
cualquiera deR.
1. Deﬁnici´on y primeras propiedades
SeanX⊂Run conjunto de n´umeros reales,f:X→Runa
funci´on cuyo dominio esXya∈X
′
un punto de acumulaci´on del
conjuntoX. Se dice que el n´umero realLes el l´ımite def(x) cuan-
doxtiende aa, y se escribe l´ım
x→a
f(x) =L, cuando, para cualquier
ε >0, se puede obtenerδ >0 tal que|f(x)−L|< εsiempre que
x∈Xy 0<|x−a|< δ.
Con s´ımbolos matem´aticos se escribe:
l´ım
x→a
f(x) =L.≡.∀ε >0∃δ >0;x∈X; 0<|x−a|< δ⇒ |f(x)−L|< ε.
Informalmente: l´ım
x→a
f(x) =Lquiere decir que se puede tomarf(x)
tan pr´oximo aLcuanto se quiera siempre que se tomex∈Xsuﬁ-
cientemente pr´oximo, pero diferente, aa.
La restricci´on 0<|x−a|signiﬁcax6=a. As´ı, en el l´ımite
L= l´ımx→af(x) no est´a permitido que la variablextome el valor
a. Por lo tanto, el valorf(a) no tiene nunguna importancia cuando
69

70L´ımites de funciones Cap. 6
se quiere determinarL: lo que importa es el comportamiento de
f(x) cuandoxse aproxima aa, siempre conx6=a.
En la deﬁnici´on de l´ımite es esencial quease un punto de acu-
mulaci´on del conjuntoX, pero es irrelevante siapertence o no a
X, esto es, quefest´e deﬁnida o no en el puntoa. Por ejemplo, en
uno de los l´ımites m´as importantes, a saber, la derivada, se estudia
l´ım
x→a
q(x), donde la funci´onq(x) = (f(x)−f(a))/(x−a) no est´a de-
ﬁnida en el puntox=a.
En las condicionesf:X→R,a∈X
′
, negar que l´ım
x→a
f(x) =L
es equivalente a decir que existe un n´umeroε >0 con la siguiente
propiedad: sea cual fuereδ >0, siempre se puede encontrarxδ∈X
tal que 0<|xδ−a|< δy|f(xδ)−L| ≥ε.
Teorema 1.Seanf, g:X→R,a∈X
′
,l´ım
x→a
f(x) =Lyl´ım
x→a
g(x) =
M. SiL < Mentonces existeδ >0tal quef(x)< g(x)para todo
x∈Xcon0<|x−a|< δ.
Demostraci´on:SeaK= (L+M)/2. Si tomamosε=K−L=
M−Ktenemosε >0 yK=L+ε=M−ε. Por la deﬁnici´on
de l´ımite, existenδ1>0 yδ2>0 tales quex∈X, 0<|x−a|<
δ1⇒L−ε < f(x)< Kyx∈X, 0<|x−a|< δ2⇒K <
f(x)< M+ε. Por tanto, escribiendoδ= m´ın{δ1, δ2}se tiene:
x∈X
′
, 0<|x−a|< δ⇒f(x)< K < g(x). Lo que prueba el
Teorema.
Observaci´on:En el Teorema 1 no se puede substituir la hip´ote-
sisL < MporL≤M.
Observaci´on:Para el Teorema 1 y sus corolarios, as´ı como para
el Teorema 2 abajo, valen versiones an´alogas con>en lugar de<.
Usaremos tales versiones sin mayores comentarios.
Corolario 1.Sil´ım
x→a
f(x) =L < Mentonces existeδ >0tal que
f(x)< Mpara todox∈Xcon0<|x−a|< δ.
Corolario 2.Seanl´ım
x→a
f(x) =Lyl´ım
x→a
g(x) =M. Sif(x)≤g(x)
para todox∈X− {a}entoncesL≤M.

Secci´on 1 Deﬁnici´on y primeras propiedades 71
En efecto, si se tuvieseM < Lentonces tomar´ıamos un n´umero
realKtal queM < K < L. En tal caso, existir´ıaδ >0 tal que
x∈X, 0<|x−a|< δ⇒g(x)< K < f(x), lo que es absurdo.
∗
Teorema 2. (Teorema del Sandwich) Seanf, g, h:X→R,
a∈X
′
, yl´ım
x→a
f(x) = l´ım
x→a
g(x) =L. Sif(x)≤h(x)≤g(x)para
todox∈X− {a}entoncesl´ım
x→a
h(x) =L.
Demostraci´on:Dado cualquierε >0, existenδ1>0 yδ2>0
tales quex∈X, 0<|x−a|< δ1⇒L−ε < f(x)< L+εyx∈X,
0<|x−a|< δ2⇒L−ε < g(x)< L+ε. Seaδ= m´ın{δ1, δ2}.
Entoncesx∈X, 0<|x−a|< δ⇒L−ε < f(x)≤h(x)≤g(x)<
L+ε⇒L−ε < h(x)< L+ε. Luego l´ım
x→a
h(x) =L.
Observaci´on:La noci´on de l´ımite eslocal, esto es, dadas funcio-
nesf, g:X→Rya∈X
′
, si existe un entornoVdel puntoatal
quef(x) =g(x) para todox6=aenV∩Xentonces existe l´ım
x→a
f(x)
si, y s´olo si, existe l´ım
x→a
g(x). Adem´as, si existen, estos l´ımites son
iguales. As´ı, por ejemplo, en el Teorema 2, no es necesario suponer
quef(x)≤h(x)≤g(x) para todox∈X− {a}. Es suﬁciente que
exista un entornoVdel puntoatal que estas desigualdades valgan
para todox6=aperteneciente aV∩X. Una observaci´on an´aloga
vale para el Teorema 1 y su Corolario 2.
Teorema 3.Seanf:X→Rya∈X
′
. Para quel´ım
x→a
f(x) =L
es necesario y suﬁciente que, para toda sucesi´on de puntosxn∈
X− {a}conl´ımxn=a, se tengal´ımf(xn) =L.
Demostraci´on:En primer lugar supongamos que l´ım
x→a
f(x) =Ly
que se tiene una sucesi´on de puntosxn∈X− {a}con l´ımxn=a.
Dado cualquierε >0, existeδ >0 tal quex∈Xy 0<|x−a|<
δ⇒ |f(x)−L|< ε. Existe tambi´enn0∈Ntal quen > n0⇒
0<|xn−a|< δ(ya quexn6=apara todon). Por consiguiente,
n > n0⇒ |f(xn)−L|< ε, luego l´ımf(xn) =L. Rec´ıprocamente,
supongamos quexn∈X−{a}y l´ımxn=aimpliquen l´ımf(xn) =L
y probemos que en tal caso l´ım
x→a
f(x) =L. En efecto, negar esta
igualdad es equivalente a aﬁrmar que existe un n´umeroε >0 con
la siguiente propiedad: para cualquiern∈Npodemos encontrar

72L´ımites de funciones Cap. 6
xn∈Xtal que 0<|xn−a|<1/ny|f(xn)−L| ≥ε. Entonces
tenemosxn∈X− {a}, l´ımxn=asin que l´ımf(xn) =L. Esta
contradicci´on completa la demostraci´on.
Corolario 1. (Unicidad del l´ımite)Seanf:X→Rya∈X
′
.
Sil´ım
x→a
f(x) =Lyl´ım
x→a
f(x) =MentoncesL=M.
En efecto, basta tomar una sucesi´on de puntosxn∈X− {a}
con l´ımxn=a, la que es siempre posible por el Teorema 6 del
Cap´ıtulo 5. Tendremos entoncesL= l´ımf(xn) yM= l´ımf(xn).
De la unicidad del l´ımite de la sucesi´on (f(xn)) se tieneL=M.
∗
Corolario 2. (Operaciones con l´ımites)Seanf, g:X→R,
a∈X
′
, conl´ım
x→a
f(x) =Lyl´ım
x→a
g(x) =M. Entonces
l´ım
x→a
[f(x)±g(x)] =L±M
l´ım
x→a
[f(x)g(x)] =LM
l´ım
x→a
f(x)
g(x)
=
L
M
siM6= 0.
Adem´as, sil´ım
x→a
f(x) = 0ygest´a acotada en un entorno dea, se
tienel´ım
x→a
[f(x)g(x)] = 0.
En efecto, dada cualquier sucesi´on de puntosxn∈X− {a}
tal que l´ımxn=a, por el Teorema 8 del Cap´ıtulo 3 se tiene
l´ım[f(xn)±g(xn)] = l´ımf(xn)±l´ımg(xn) =L±M, l´ımf(xn)
g(xn) = l´ımf(xn)l´ımg(xn) =LMy tambi´en l´ım[f(xn)/g(xn)] =
l´ımf(xn)/l´ımg(xn) =L/M. Finalmente, si existen un entornoV
deay una constantectal que|g(x)| ≤cpara todox∈Venton-
ces, comoxn∈Vpara todonsuﬁcientemente grande, la sucesi´on
g(xn) est´a acotada; luego, por el Teorema 7 del Cap´ıtulo 3, se tiene
l´ımf(xn)g(xn) = 0, pues l´ımf(xn) = 0. Por lo tanto, el Corolario
2 es consecuencia del Teorema.
∗
Teorema 4.Seanf:X→Rya∈X
′
. Si existel´ım
x→a
f(x)entonces
fest´a acotada en un entorno dea, esto es, existenδ >0yc >0
tales quex∈X,0<|x−a|< δ⇒ |f(x)| ≤c.

Secci´on 1 Deﬁnici´on y primeras propiedades 73
Demostraci´on:SeaL= l´ım
x→a
f(x). Tomando en la deﬁnici´on de
l´ımiteε= 1, se obtieneδ >0 tal quex∈X, 0<|x−a|< δ⇒
|f(x)−L|<1⇒ |f(x)|=|f(x)−L+L| ≤ |f(x)−L|+|L|<|L|+1.
Basta entonces tomarc=|L|+ 1.
El Teorema 4 generaliza el hecho de que toda sucesi´on conver-
gente est´a acotada.
Ejemplo 1.Sif, g:R→Rest´an dadas porf(x) =cyg(x) =x
(funci´on constante y funci´on identidad), entonces es evidenteque,
para todoa∈R, se tiene l´ım
x→a
f(x) =cy l´ım
x→a
g(x) =a. Del Corolario
2 del Teorema 3 se sigue que, para todo polinomiop:R→R,
p(x) =a0+a1x+ +anx
n
, se tiene l´ım
x→a
p(x) =p(a), sea cual fuere
a∈R. An´alogamente, para toda funci´on racionalf(x) =p(x)/q(x),
cociente de dos polinomios, se tiene l´ım
x→a
f(x) =p(a)/q(a) siempre
que se tengaq(a)6= 0. Cuandoq(a) = 0, el polinomio es divisible
porx−ay en tal caso escribimosq(x) = (x−a)
m
q1(x) yp(x) =
(x−a)
k
p1(x), dondem∈N,k∈N∪ {0},q1(a)6= 0 yp1(a)6= 0.
Sim=kentonces l´ım
x→a
f(x) =p1(a)/q1(a). Sik > m, se tiene
l´ım
x→a
f(x) = 0 puesf(x) = (x−a)
k−m
[p1(x)/q1(x)] para todox6=a.
No obstante, sik < m, entoncesf(x) =p1(x)/[(x−a)
m−k
q1(x)]
para todox6=a. En este caso, el denominador def(x) tiene l´ımite
cero y el numerador no. Esto implica que no puede existir l´ım
x→a
f(x).
En efecto, sif(x) =ϕ(x)/ψ(x), donde l´ım
x→a
ϕ(x) = 0 y existeL=
l´ım
x→a
f(x), entonces existe l´ım
x→a
ϕ(x) = l´ım
x→a
[ψ(x)f(x)] =L0 = 0.
Por tanto se trata de una regla general: si l´ım
x→a
ψ(x) = 0, entonces
s´olo puede existir l´ım
x→a
[ϕ(x)/ψ)] en el caso que tambi´en se tenga
l´ım
x→a
ϕ(x) = 0 (aunque est´a condici´on de por s´ı no es suﬁciente para
garantizar la existencia de l´ım[ϕ/ψ].)
Ejemplo 2.SeaX=R− {0}. Entonces 0∈X
′
. La funci´onf:
X→Rdeﬁnida mediantef(x) = sen(1/x) no posee l´ımite cuando
x→0. En efecto, la suseci´on de puntosxn= 2/(2n−1)πes tal
que l´ımxn= 0, perof(xn) =±1 seg´un seanimpar o par, luego
no existe l´ımf(xn). Por otra parte, sig:X→Rse deﬁne como
g(x) =xsen(1/x) , se tiene l´ım
x→0
g(x) = 0, pues|sen(1/x)| ≤1 para

74L´ımites de funciones Cap. 6
todox∈X, y l´ım
x→0
x= 0. Los gr´aﬁcos de estas dos funciones est´an
en la Fig.2 abajo.
Fig. 2
Ejemplo 3.Seaf:R→R, deﬁnida comof(x) = 0 sixes
racional yf(x) = 1 sixes irracional. Dado cualquiera∈R, po-
demos obtener una sucesi´on de n´umeros racionalesxn6=ay otra
de n´umeros irracionalesyn6=acon l´ımxn= l´ımyn=a. Entonces,
l´ımf(xn) = 0 y l´ımf(yn) = 1, luego no existe l´ımx→af(x).
Observaci´on:Dos de los l´ımites m´as importantes que aparecen
en el An´alisis Matem´atico son l´ımx→0(senx/x) = 1 y l´ımx→0(e
x
−
1)/x= 1. Para calcularlos es necesario, sin embargo, realizar un
estudio riguroso de las funciones trigonom´etricas y de la funci´on
exponecial. Esto se har´a en los Cap˜nitulos 9 y 10. Continuaremos,
no obstante, usando estas funciones, as´ı como sus inversas (como
el logaritmo), en ejemplos, inclusive antes de estos cap´ıtulos, de-
bido a que estos ejemplos ayudan a ﬁjar ideas sin interferir en el
encadenamiento l´ogico de la materia presentada. Informamos al lec-
tor interesado que una presentaci´on rigurosa de car´acter elemental
sobre logaritmos y la funci´on exponencial puede encontrarse en el
librillo “Logaritmos”, citado en la bibliograf´ıa.
2. L´ımites laterales
SeaX⊂R. Se dice que el n´umero realaes unpunto de acu-
mulaci´onpor la derecha deX, y se escribea∈X
′
+
, cuando todo
entorno deacontiene alg´un punto dex∈Xtal quex > a. Equi-
valentemente: para todoε >0 se tieneX∩(a, a+ε)6=∅. Para

Secci´on 1 L´ımites laterales75
quea∈X
′
+
es necesario y suﬁciente quease l´ımite de una sucesi´on
de puntosxn> a. pertenecientes aX. Finalmente,aes un punto
de acumulaci´on por la derecha del conjuntoXsi, y s´olo si, es un
punto de acumulaci´on ordinario del conjuntoY=X∩(a,+∞).
An´alogamente se deﬁnepunto de acumulaci´on por la izquierda.
Por deﬁnici´on,a∈X
′
−signiﬁca que, para todoε >0, se tiene
X∩(a−ε, a)6=∅, o sea,a∈Z
′
, dondeZ= (−∞, a)∩X. Para
que esto suceda, es necesario y suﬁciente quea= l´ımxn, donde
(xn) es una sucesi´on cuyos t´erminosxn< apertencen aX. Cuando
a∈X
′
+
∩X
′
−
se dice queaes unpunto de acumulaci´on bilateral de
X.
Ejemplo 4.SeaX={1,1/2, . . . ,1/n, . . .}; entonces 0∈X
′
+pero
0/∈X
′
−
. SeaIun intervalo. Sic∈intIentoncesc∈I
′
+
∩I
′
−
; sin
embargo, sices uno de los extremos deIentonces solamente se
tienec∈I
′
+
sices el extremo inferior yc∈I
′
−
sices el extremo
superior deI.
Ejemplo 5.SeaKel conjunto de Cantor. Sabemos que todo punto
a∈Kes punto de acumulaci´on. Siaes extremo de un intervalo
retirado en alguna de las etapas de la construcci´on deKentonces
s´olo una de las posibilidadesa∈K
′
+´oa∈K
′
−es v´alida. Sin
embargo, sia∈Kno es extremo de ning´un intervalo retirado,
entoncesa∈K
′
+
∩K
′
−
como se deduce de los argumentos usados
en el Cap´ıtulo 5, secci´on 5.
Seanf:X→R,a∈X
′
+
. Se dice que el n´umero realLes
ell´ımite por la derechadef(x) cuandoxtiene aa, y se escribe
L= l´ım
x→a
+
f(x) cuando para todoε >0, es posible obtenerδ >0
tal que|f(x)−L|< εsiempre quex∈Xy 0< x−a < δ. Con
s´ımbolos matem´aticos:
l´ım
x→a
+
f(x) =L.≡.∀ε >0∃δ >0;x∈X∩(a, a+δ)⇒ |f(x)−L|< ε.
An´alogamente se deﬁne ell´ımite por la izquierdaL= l´ım
x→a
−f(x),
en el caso en quef:X→Rya∈X
′
−: esto signiﬁca que, para
cualquierε >0, se puede escogerδ >0 tal quex∈X∩(a−δ, a)⇒
|f(x)−L|< ε.

76L´ımites de funciones Cap. 6
Las demostraciones de las propiedades generales de los l´ımites,
secci´on 1, se adaptan f´acilmente a los l´ımites laterales. Basta obser-
var que el l´ımite por la derecha l´ım
x→a
+
f(x) se reduce al l`ımite ordi-
nario l´ım
x→a
g(x), dondeges la restricci´on de la funci´onf:X→Ral
conjuntoX∩(a,+∞). An´alogamente para el l´ımite por la izquierda.
Por ejemplo, el Teorema 3 en el caso del l´ımite por la derecha
se expresa as´ı:
“Para que l´ım
x→a
+
f(x) =Les necesario y suﬁciente que para to-
da sucesi´on de puntosxn∈Xconxn> ay l´ımxn=a, se tenga
l´ımf(xn) =L.”
Como puede verse f´acilmente, dadoa∈X
′
+∩X
′
−, existe l´ım
x→a
f(x) =
Lsi, y s´olo si, existen y son iguales los l´ımites laterales l´ım
x→a
+
f(x) =
l´ım
x→a
−
f(x) =L.
Ejemplo 6.Las funcionesf, g, h:R− {0} →R, deﬁnidas como
f(x) = sen(1/x),g(x) =x/|x|yh(x) = 1/xno poseen l´ımites
cuandox→0. Respecto a los l´ımites laterales, tenemos l´ım
x→0
+
g(x) =
1 y l´ım
x→0
−
g(x) =−1 porqueg(x) = 1 parax >0 yg(x) =−1 si
x <0. Las funcionesfyhno poseen l´ımites laterales cuando
x→0, ni por la izquierda ni por la derecha. Por otra parte,ϕ:
R− {0} →R, deﬁnida comoϕ(x) =e
−1/x
, posee l´ımite por la
derecha, l´ım
x→0
+
ϕ(x) = 0, pero no existe l´ım
x→0
−
ϕ(x) puesϕ(x) no
est´a acotada para valores negativos dexpr´oximos a cero.
Ejemplo 7.SeaI:R→Rla funci´on ‘parte entera dex’. Para
cadax∈R, existe un ´unico n´umero enterontal quen≤x < n+1;
se escribe entoncesI(x) =n. Sin∈Zse tiene y l´ım
x→n
−
I(x) =n−1.
En efecto,n < x < n+ 1⇒I(x) =n, mientras quen−1<
x < n⇒I(x) =n−1. Por otra parte, siano es entero entonces
l´ım
x→a
+
I(x) = l´ım
x→a
−
I(x) =I(a) pues en este casoI(x) es constante
en un entorno dea.
Se dice que una funci´onf:X→Resmon´otona crecientecuan-
do para todox, y∈X,x < y⇒f(x)≤f(y). Six < y⇒f(x)≥
f(y) se dice quefesmon´otona decreciente. Si se cumple la implica-
ci´on con la desigualdad estricta,x < y⇒f(x)< f(y), decimos que

Secci´on 3 L´ımites en el inﬁnito77
fesestrictamente creciente. Finalmente, six < y⇒f(x)> f(y)
decimos quefes una funci´onestrictamente decreciente.
Teorema 5.Seaf:X→Runa funci´on mon´otona y acota-
da. Para todoa∈X
′
+y todob∈X
′
−existenL= l´ım
x→a
+
f(x)y
L= l´ım
x→b
−
f(x). O sea: siempre existen los l´ımites laterales de una
funci´on mon´otona y acotada.
Demostraci´on:Para ﬁjar ideas, supongamos quefes creciente.
SeaL= ´ınf{f(x) :x∈X, x > a}. Aﬁrmamos que l´ım
x→a
+
f(x) =L.
En efecto, dado cualquierε >0,L+εno es una cota inferior del
conjunto acotado{f(x) :x∈X, x > a}. Luego existeδ >0 tal
quea+δ∈XyL≤f(a+δ)< L+ε. Comofes creciente
x∈X∩(a, a+δ)⇒L≤f(x)< L+ε, lo que prueba la aﬁrmaci´on.
De forma an´aloga se ve queM= sup{f(x) :x∈X, x < b}es el
l´ımite por la izquierda, esto es,M= l´ım
x→b
−
f(x).
Observaci´on:Si en el Teorema 5 tenemos quea∈Xentonces
no es necesario suponer quefest´e acotada. En efecto, supongamos,
para ﬁjar ideas, quefes mon´otona creciente y quea∈X
′
+
. Enton-
cesf(a) es una cota inferior de{f(x) :x∈X, x < a}y el ´ınﬁmo
de este conjunto es l´ım
x→a
+
f(x). An´alogamente, sia∈X
′
−
entonces
f(a) es una cota superior del conjunto{f(x) :x∈X, x < a}, cuyo
supremo es el l´ımite por la izquierda l´ım
x→a
−
f(x).
3. L´ımites en el inﬁnito, l´ımites inﬁnitos, expresiones inde-
terminadas
SeaX⊂Run conjunto no acotado superiormente. Dadaf:
X→R, se escribe
l´ım
x→+∞
f(x) =L
cuando el n´umero realLcumple la siguiente condici´on:
∀ε >0∃A >0;x∈X , x > A⇒ |f(x)−L|< ε .
O sea, dado cualquierε >0, existeA >0 tal que|f(x)−L|< ε
siempre quex > A.

78L´ımites de funciones Cap. 6
De manera an´aloga se deﬁne l´ım
x→−∞
f(x) =L, cuando el dominio
defno est´a acotado inferiormente: para todoε >0 dado, existe
A >0 tal quex <−A⇒ |f(x)−L|< ε.
En estos casos son v´alidos los resultados ya demostrados para
el l´ımite cuandox→a,a∈R, con las adaptaciones obvias.
Los l´ımites cuandox→+∞yx→ −∞son, de cierta forma,
l´ımites laterales (el primero es un l´ımite por la izquierda y el se-
gundo por la derecha). Luego el resultado del Teorema 5 es v´alido:
sif:X→Res mon´otona y acotada entonces existen l´ım
x→+∞
f(x)
(si el dominioXno est´a acotado superiormente) y l´ım
x→−∞
f(x) (si el
dominioXno est´a acotado inferiormente).
El l´ımite de una sucesi´on es un caso particular de l´ımite en el
inﬁnito: se trata de l´ım
x→+∞
f(x), dondef:N→Res una funci´on
deﬁnida en el conjuntoNde los n´umeros naturales.
Ejemplo 8.l´ım
x→+∞
1/x= l´ım
x→−∞
1/x= 0. Por otra parte, no exis-
ten l´ım
x→+∞
senxni l´ım
x→−∞
senx. Se tiene l´ım
x→−∞
e
x
= 0 pero no existe
l´ım
x→+∞
e
x
, en el sentido de la deﬁnici´on anterior. Como hicimos en
el caso de las sucesiones, introduciremos “l´ımites inﬁnitos” para
abarcar situaciones como ´esta.
En primer lugar, seanX⊂R,a∈X
′
yf:X→R. Diremos
que l´ım
x→a
f(x) = +∞cuando, para todoA >0 existeδ >0 tal que
0<|x−a|< δ,x∈X⇒f(x)> A.
Por ejemplo, l´ım
x→a
1/(x−a)
2
= +∞, pues dadoA >0, tomamos
δ= 1/
√
A. Entonces 0<|x−a|< δ⇒0<(x−a)
2
<1/A⇒
1/(x−a)
2
> A.
Deﬁniremos l´ım
x→a
f(x) =−∞de modo semejante. Esto signiﬁca
que, para todoA >0, existeδ >0 tal quex∈X, 0<|x−a|<
δ⇒f(x)<−A. Por ejemplo, l´ım
x→a
−1/(x−a)
2
=−∞.

Secci´on 3 L´ımites en el inﬁnito79
Evidentemente, las deﬁniciones de l´ım
x→a
+
f(x) = +∞, l´ım
x→a
−
f(x) =
+∞, etc no presentan mayores diﬁcultades y se dejan a cargo del
lector. Tambi´en omitiremos las deﬁniciones obvias de l´ım
x→+∞
f(x) =
+∞, l´ım
x→−∞
f(x) = +∞, etc. Por ejemplo,
l´ım
x→a
+
1
(x−a)
= +∞,l´ım
x→a
−
1
(x−a)
=−∞,
l´ım
x→+∞
e
x
= +∞,l´ım
x→+∞
x
k
= +∞(k∈N).
Insistimos en que +∞y−∞no son n´umeros reales; as´ı pues, las
aﬁrmaciones l´ım
x→a
f(x) = +∞y l´ım
x→a
f(x) =−∞no expresan l´ımites
en el sentido estricto del t´ermino.
Observaci´on:Se tiene para l´ım(f+g), l´ım(f) y l´ım(f/g) resul-
tados an´alogos a los del Cap´ıtulo 3 (cf. Teorema 9) sobre l´ımitesde
sucesiones.
Observaci´on:Admitiendo l´ımites inﬁnitos, existen siempre los
l´ımites laterales de una funci´on mon´otonaf:X→Ren todos los
puntosa∈X
′
, inclusive cuandox→ ±∞. Se tiene l´ım
x→a
+
f(x) =L,
L∈R, si, y s´olo si, para alg´unδ >0,fest´a acotada en el con-
juntoX∩(a, a+δ). Si, por el contrario, para todoδ >0,fno
est´a acotada (por ejemplo superiormente) enX∩(a, a+δ) enton-
ces l´ım
x→a
+
f(x) = +∞.
En a˜nadidura a los comentarios hechos en la secci´on 4 del Cap´ıtu-
lo 3, diremos algunas palabras sobre las expresiones indeterminadas
0/0,∞ − ∞, 0× ∞,∞/∞, 0
0
,∞
0
y 1
∞
.
Veamos, por ejemplo, 0/0. Como la divisi´on por cero no est´a de-
ﬁnida, esta expresi´on no tiene sentido aritm´etico. Aﬁrmar que 0/0
es un indeterminada tiene el siguiente signiﬁcado preciso:
SeanX⊂R,f, g:X→R,a∈X
′
. Supongamos que l´ım
x→a
f(x) =
l´ım
x→a
g(x) = 0 y que, escribiendoY={x∈X:g(x)6= 0}, a´un se
tienea∈Y
′
. Entonces cuandox∈Y,f(x)/g(x) est´a deﬁnido y tie-
ne sentido preguntarse si existe o no el l´ım
x→a
f(x)/g(x). No obstante,

80L´ımites de funciones Cap. 6
en general nada puede aﬁrmarse sobre dicho l´ımite. Dependiendo
de las funcionesfyg, ´este puede ser cualquier valor real o no
existir. Por ejemplo, dada cualquierc∈R, si tomamosf(x) =cx
yg(x) =x, tenemos que l´ım
x→0
f(x) = l´ım
x→0
g(x) = 0, mientras que
l´ım
x→0
f(x)/g(x) =c. Por otra parte, si tom´asemosf(x) =xsen(1/x),
(x6= 0), yg(x) =x, tendr´ıamos l´ım
x→0
f(x) = l´ım
x→0
g(x) = 0, sin que
exista l´ım
x→0
f(x)/g(x).
Por el mismo motivo,∞ − ∞es una indeterminada. Esto quie-
re decir: podemos encontrar funcionesf, g:X→R, tales que
l´ım
x→a
f(x) = l´ım
x→a
g(x) = +∞, mientras que l´ım
x→a
[f(x)−g(x)], depen-
diendo de nuestra elecci´on defyg, puede tomar cualquier valor
c∈Ro no existir. Por ejemplo, sif, g:R− {a} →Rson dadas
por:
f(x) =c+
1
(x−a)
2
yg(x) =
1
(x−a)
2
,
entonces l´ım
x→a
f(x) = l´ım
x→a
g(x) = +∞y l´ım
x→a
[f(x)−g(x)] =c. An´alo-
gamente, si
f(x) = sen
1
x−a
+
1
(x−a)
2
yg(x) =
1
(x−a)
2
,
entonces no existe l´ım
x→a
[f(x)−g(x)].
Para terminar, un nuevo ejemplo: Dado cualquier n´umero real
c∈Rpodemos encontrar funcionesf, g:X→R, cona∈X
′
,
l´ım
x→a
f(x) = l´ım
x→a
g(x) = 0 yf(x)>0 para todox∈X, tales que
l´ım
x→a
f(x)
g(x)
=c. Basta, por ejemplo, deﬁnirf, g: (0,+∞)→Rco-
mof(x) =x,g(x) = logc/logx. En este caso, se tiene l´ım
x→0
f(x)
g(x)
=
c. (Tome los logaritmos de ambos miembros.) Todav´ıa en este caso,
es posible escogerfygde forma que el l´ımite def(x)
g(x)
no exista.
Basta tomar, por ejemplo,f(x) =xyg(x) = log(1 +|sen 1/x|)
(logx)
−1
. Entoncesf(x)
g(x)
= 1 +|sen 1/x|y por tanto no existe
l´ım
x→0
f(x)
g(x)
.
Estos ejemplos deben ser suﬁcientes para entender el signiﬁcado
de “expresiones indeterminada”. El instrumento m´as eﬁcaz para

Secci´on 4 Ejercicios81
el c´alculo del l´ımite de una expresi´on indeterminada es la llamada
“Regla de L’Hˆopital”, objeto de un sinf´ın de ejercicios en los cursos
de C´alculo.
4. Ejercicios
Secci´on 1: Deﬁnici´on y primeras propiedades
1. Seanf:X→R,a∈X
′
eY=f(X− {a}). Pruebe que si
l´ım
x→a
f(x) =L, entoncesL∈Y.
2. Seanf:X→Rya∈X
′
. Pruebe que para que exis-
ta l´ım
x→a
f(x) es suﬁciente que, para toda sucesi´on de puntos
xn∈X− {a}tal que l´ımxn=a, la sucesi´on (f(xn)) sea
convergente.
3. Seanf:X→R,g:Y→Rconf(X)⊂Y,a∈X
′
yb∈Y
′
∩Y. Si l´ım
x→a
f(x) =by l´ım
y→b
g(y) =c, pruebe que
l´ım
x→a
g(f(x)) =c, siempre quec=g(b) o quex6=aimplique
f(x)6=b.
4. Seanf, g:R→R, deﬁnidas mediantef(x) = 0 sixes
irracional yf(x) =xsix∈Q;g(0) = 1 yg(x) = 0 si
x6= 0. Demuestre que l´ım
x→0
f(x) = 0 y l´ım
x→0
g(x) = 0, y que sin
embargo no existe l´ım
x→0
g(f(x)).
5. Seaf:R→Rdeﬁnida mediantef(0) = 0 yf(x) = sen(1/x)
six6= 0. Demuestre que para todoc∈[−1,1] existe una
sucesi´on de puntosxn6= 0 tales que l´ımxn= 0 y l´ımf(xn) =
c.
Secci´on 2: L´ımites laterales
1. Pruebe quea∈X
′
+(respectivamente,a∈X
′
−) si, y s´olo si,
a= l´ımxnes el l´ımite de una sucesi´on estrictamente decre-
ciente (respectivamente, estrictamente creciente) de puntos
pertenecientes al conjuntoX.

82L´ımites de funciones Cap. 6
2. Pruebe que l´ım
x→a
+
f(x) =L(respectivamente, l´ım
x→a
−
f(x) =L)
si, y s´olo si, para toda sucesi´on estrictamente decreciente (res-
pectivamente, estrictamente creciente) de puntosxn∈Xtal
que l´ımxn=ase tiene l´ımf(xn) =L.
3. Seaf:R− {0} →Rdeﬁnida mediantef(x) = 1/(1 +a
1/x
),
dondea >1. Pruebe que l´ım
x→0
+
f(x) = 0 y l´ım
x→0
−
f(x) = 1.
4. Seanf:X→Rmon´otona ya∈X
′
+. Si existe una sucesi´on
de puntosxn∈Xtal quexn> qa, l´ımxn=ay l´ımf(xn) =
L, pruebe que l´ım
x→a
+
f(x) =L.
5. Dadaf:R− {0} →R, deﬁnida comof(x) = sen(1/x)/(1 +
2
1/x
), determine el conjunto de los n´umerosLtales queL=
l´ımf(xn), con l´ımxn= 0,xn6= 0.
Secci´on 3: L´ımites en el inﬁnito, l´ımites inﬁnitos, etc.
1. Seap:R→Run polinomio no constante, esto es, para todo
x∈R,p(x) =a0+a1x+ +anx
n
, conan6= 0 yn≥1. Pruebe
que, sines par, entonces l´ım
x→+∞
p(x) = l´ım
x→−∞
p(x) = +∞si
an>0 y l´ım
x→+∞
p(x) = l´ım
x→−∞
p(x) =−∞sian<0. Sines
impar entonces l´ım
x→+∞
p(x) = +∞y l´ım
x→−∞
p(x) =−∞cuando
an>0 y los signos de los l´ımites se invierten cuandoan<0.
2. Seaf:R→Rdeﬁnida porf(x) =xsenx. Pruebe que, para
todoc∈R, existe una sucesi´onxn∈Rcon l´ım
x→∞
xn= +∞y
l´ım
x→∞
f(xn) =c.
3. Seaf: [a,+∞)→Runa funci´on acotada. Para cadat≥a
denotaremos medianteMtymtel sup y el ´ınf defen el
intervaloI= [t,+∞), respectivamente. Mediantewt=Mt−
mtdenotamos lasoscilaci´ondefenI. Pruebe que existen
l´ım
t→+∞
Mty l´ım
t→+∞
mt. Pruebe que existe l´ım
t→+∞
f(x) si, y s´olo si,
l´ım
t→+∞
wt.

7
Funciones
continuas
La noci´on de funci´on continua es uno de los puntos centrales de
la Topolog´ıa. Ser´a estudiada en este cap´ıtulo en sus aspectos m´as
b´asicos, como introducci´on a un enfoque m´as amplio y como ins-
trumento que ser´a usado en cap´ıtulos posteriores.
1. Deﬁnici´on y propiedades b´asicas
Una funci´onf:X→R, deﬁnida en el conjuntoX⊂R, se
dice que escontinua en el puntoa∈Xcuando, para todoε >0,
se puede obtenerδ >0 tal quex∈Xy|x−a|< δimpliquen
|f(x)−f(a)|< ε. Con s´ımbolos matem´aticos,fcontinua en el
puntoasigniﬁca:
∀ε >0∃δ >0 ;x∈X,|x−a|< δ⇒ |f(x)−f(a)|< ε .
Se llamadiscontinua en el puntoa∈Xa una funci´onf:X→
Rque no es continua en dicho punto. Esto quiere decir que existe
ε >0 con la siguiente propiedad: para todoδ >0 se puede encontrar
xδ∈Xtal que|xδ−a|< δy|f(xδ)−f(a)| ≥ε. En particular, si
tomamosδigual a 1,1/2,1/3, . . .y as´ı sucesivamente y escribimos
xnen vez dex1/n, vemos quef:X→Res discontinua en el punto
a∈Xsi, y s´olo si, existeε >0 con la siguiente propiedad: para
cadan∈Nse puede encontrarxn∈Xcon|xn−a|<1/ny
|f(xn)−f(a)| ≥ε. Evidentemente,|xn−a|<1/npara todon∈N
implica l´ımxn=a.
83

84Funciones continuas Cap. 7
Se dice quef:X→Res unafunci´on continuacuandofes
continua en todos los puntosa∈X.
La continuidad es un fen´omenolocal, esto es, la funci´onf:X→
Res continua si, y s´olo si, existe un entornoVdeatal que la res-
tricci´on defaV∩Xes continua en el puntoa.
Siaes un punto aislado del conjuntoX, esto es, si existeδ >0
tal queX∩(a−δ, a+δ) ={a}, entonces toda funci´onf:X→Res
continua en el puntoa. En particular, siXes un conjunto discreto,
como por ejemploZ, entonces toda funci´onf:X→Res continua.
Sia∈X∩X
′
esto es, sia∈Xes un punto de acumulaci´on
deX, entoncesf:X→Res continua en el puntoasi, y s´olo si,
l´ım
x→a
f(x) =f(a).
Al contrario de lo que sucede con el l´ımite, en la deﬁnici´on de
funci´on continua el puntoapertenece necesariamente al conjunto
Xy se puede tomarx=a, pues en tal caso, la condici´on|f(x)−
f(a)|< εse convierte en 0< ε, lo que es obvio.
Teorema 1.Seanf, g:X→Rcontinuas en el puntoa∈X, con
f(a)< g(a). Entonces existeδ >0tal quef(x)< g(x)para todo
x∈X∩(a−δ, a+δ).
Demostraci´on:Tomemosc= [g(a) +f(a)]/2 yε=g(a)−c=
c−f(a). Entoncesε >0 yf(a)+ε=g(a)−ε=c. Por la deﬁnici´on
de continuidad, existenδ1>0 yδ2>0 tales quex∈X,|x−a|<
δ1⇒f(a)−ε < f(x)< cyx∈X,|x−a|< δ2⇒c < g(x)<
g(a) +ε. Seaδel menor de los n´umerosδ1yδ2. Entoncesx∈X,
|x−a|< δ⇒f(x)< c < g(x), lo que prueba el teorema.
Corolario 1.Seaf:X→Rcontinua en el puntoa∈X. Si
f(a)6= 0existeδ >0tal que, para todox∈X∩(a−δ, a+δ),f(x)
tiene el mismo signo quef(a).
En efecto, para ﬁjar ideas supongamos quef(a)<0. Entonces
basta tomargid´enticamente nula en el Teorema 1.
∗
Corolario 2.Dadasf, g:X→Rcontinuas, seanY={x∈X:
f(x)< g(x)}yZ={x∈X:f(x)≤g(x)}. ExistenA⊂Rabierto

Secci´on 1 Deﬁnici´on y propiedades b´asicas 85
yF⊂Rcerrado tales queY=X∩AyZ=X∩F. En particular,
siXes abierto tambi´enYes abierto, y siXes cerrado tambi´enZ
es cerrado.
En efecto, por el Teorema 1, para caday∈Yexiste un intervalo
abiertoIy, centrado eny, tal que{y} ⊂X∩Iy∩Y. De donde
S
y∈Y
{y} ⊂
S
y∈Y
(X∩Iy)⊂Y, o sea:Y⊂X∩(
S
y∈Y
Iy)⊂Y.
EscribiendoA=
S
y∈Y
Iy, el Teorema 1, Cap´ıtulo 5, nos asegura que
Aes un conjunto abierto. Adem´as, deY⊂X∩A⊂Yconclu´ımos
queY=X∩A. Respecto al conjuntoZ, tenemos queZ=X−{x∈
X:g(x)< f(x)}. Por lo que acabamos de ver, existeB⊂Rabierto
tal queZ=X−(X∩B) =X∩(R−B). Por el Teorema 3 del
Cap´ıtulo 5,F=R−Bes cerrado, y por tantoZ=X∩Fcomo
pretend´ıamos demostrar.
∗
Teorema 2.Para que la funci´onf:X→Rsea continua en el
puntoaes necesario y suﬁciente que, para toda sucesi´on de puntos
xn∈Xconl´ımxn=a, se tengal´ımf(xn) =f(a).
La demostraci´on se deduce usando exactamente los mismos ar-
gumentos que en el Teorema 3, Cap´ıtulo 6, y por tanto se omite.
Corolario 1.Sif, g:X→Rson continuas en el puntoa∈
Xentonces tambi´en son continuas en dicho punto las funciones
f+g, fg:X→R, as´ı como la funci´onf/g, en el caso en que
g(a)6= 0.
El dominio de la funci´onf/g, bien entendido, es el subconjunto
deXformado por los puntosxtales queg(x)6= 0. As´ı, existeδ >0
tal queX∩(a−δ, a+δ) est´a contenido en dicho dominio.
Ejemplo 1.Todo polinomiop:R→Res una funci´on continua.
Toda funci´on racionalp(x)/q(x) (cociente de dos polinomios) es
continua en su dominio, que es el conjunto de los puntosxtales que
q(x)6= 0. La funci´onf:R→R, deﬁnida mediantef(x) = sen(1/x)
six6= 0 yf(0) = 0, es discontinua en el punto 0 y continua en
los dem´as puntos de la recta. La funci´ong:R→R, dada como
g(x) =xsen(1/x) six6= 0 yg(0) = 0, es continua en toda la
recta. La funci´onϕ:R→R, deﬁnida porϕ(x) = 0 para todo
xracional yϕ(x) = 1 para todoxirracional, es discontinua en
todos los puntos de la recta; sin embargo, sus restricciones aQy a

86Funciones continuas Cap. 7
R−Qson continuas porque son constantes. Si deﬁnimosψ:R→R
escribiendoψ(x) =xϕ(x) vemos queψes continua exclusivamente
en el puntox= 0.
Teorema 3.Seanf:X→Rcontinua en el puntoa∈X,g:Y→
Rcontinua en el puntob=f(a)∈Yyf(X)⊂Y, de forma que
la funci´on compuestag◦f:X→Rest´a bien deﬁnida. Entonces
g◦fes continua en el puntoa. (La composici´on de dos funciones
continuas es continua.)
Demostraci´on:Dadoε >0 existe, por la continuidad degen el
puntob, un n´umeroη >0 tal quey∈Y;|y−b|< ηimplican
|g(y)−g(b)|< ε. A su vez, la continuidad defen el puntoanos
asegura que existeδ >0 tal quex∈X,|x−a|< δimplican
|f(x)−b|< η. Por consiguiente,x∈X∩(a−δ, a+δ)⇒ |g(f(x))−
g(b)|=|(g◦f)(x)−(g◦f)(a)|< ε, lo que prueba el teorema.
2. Funciones continuas en un intervalo
Teorema 4. (Teorema del valor intermedio)Seaf: [a, b]→
Rcontinua. Sif(a)< d < f(b)entonces existec∈(a, b)tal que
f(c) =d.
Demostraci´on:Consideremos los conjuntosA={x∈[a, b] :
f(x)≤d}yB={x∈[a, b] :f(x)≥d}. Por el corolario 2
del Teorema 1,AyBson cerrados, luegoA∩B=A∩B=
A∩B. Adem´as, es claro que [a, b] =A∪B. Si tuvi´eramosA∩B6=
∅entonces el teorema estar´ıa demostrada ya quef(c) =dpara
cualquierc∈A∩B. Si, por el contrario, tuvi´esemosA∩B=∅
entonces [a, b] =A∪Bser´ıa una escisi´on no trivial (puesa∈Ay
b∈B), lo que est´a prohibido por el Teorema 5 del Cap´ıtulo 5. Luego
necesariamenteA∩B6=∅; as´ı pues el teorema est˜na probado.
Corolario 1.SiI⊂Res un intervalo yf:I→Res continua,
entoncesf(I)es un intervalo.
El resultado es obvio sifes constante. En caso contrario, sea
α= ´ınf(f(I)) = ´ınf{f(x) :x∈I}yβ= sup(f(I)) = sup{f(x) :
x∈I}. Sif(I) no est´a acotado tomaremosα=−∞yβ= +∞.
Para probar quef(I) es un intervalo (abierto, cerrado o semiabier-
to) cuyos extremos sonαyβtomemosdtal queα < d < β. Por

Secci´on 2 Funciones continuas en un intervalo 87
las deﬁniciones de ´ınf y sup, existena, b∈Itales queα≤f(a)<
d < f(b)≤β. Por el Teorema 4 existeC∈[a, b], por tantoc∈I,
tal quef(c) =d. As´ıd∈f(I). Esto prueba que (α, β)⊂f(I).
Comoαes el ´ınf yβes el sup def(I), ning´un n´umero real menor
queαo mayor queβpuede pertenecer af(I). Por tantof(I) es un
intervalo cuyos extremos sonαyβ.
∗
Observaci´on:SiI= [a, b] es un intervalo compacto entonces
f(I) tambi´en es un intervalo compacto; ver el Teorema 7 m´as ade-
lante. Pero siIno es cerrado o no est´a acotado,f(I) puede no
ser del mismo tipo queI. Por ejemplo, seaf:R→Rdada
porf(x) = senx. Tomando sucesivamente los intervalos abiertos
I1= (0,7),I2= (0, π/2) eI3= (0, π), tenemosf(I1) = [−1,1],
f(I2) = (0,1) yf(I3) = (0,1].
Ejemplo 2.Como aplicaci´on demostraremos que todo polinomio
p:R→Rde grado impar tiene alguna ra´ız real. Seap(x) =a0+
a1x+ +anx
n
connimpar yan6= 0. Para ﬁjar ideas supongamos
quean>0. Sacandoanx
n
como factor com´un, podemos escribir
p(x) =anx
n
r(x), donde
r(x) =
a0
an

1
x
n
+
a1
an

1
x
n−1
+ +
an−1
an

1
x
+ 1.
Es claro que l´ım
x→+∞
r(x) = l´ım
x→−∞
r(x) = 1. Luego l´ım
x→+∞
p(x) =
l´ım
x→+∞
anx
n
= +∞y l´ım
x→−∞
p(x) = l´ım
x→−∞
anx
n
=−∞(puesnes
impar). Por tanto, el intervalop(R) no est`a acotado, ni superior ni
inferiormente, esto es,p(R) =R. Esto signiﬁca quep:R→Res
sobreyectiva. En particular existec∈Rtal quep(c) = 0. Eviden-
temente, un polinimio de grado par puede no tener ra´ıecs reales,
como por ejemplo,p(x) =x
2
+ 1.
Ejemplo 3.(Existencia de
n
√
a) Dadon∈N, la funci´onf:
[0,+∞)→[0,+∞), deﬁnida comof(x) =x
n
, es creciente (por
tanto inyectiva), conf(0) = 0 y l´ım
x→+∞
f(x) = +∞. Por tanto, su
imagen es un subintervalo no acotado de [0,+∞) que contiene a su
extremo inferior, igual a cero. Luegof([0,+∞)) = [0,+∞), esto es,
fes una biyecci´on de [0,+∞) en s´ı mismo. Esto signiﬁca que, para
todo n´umero reala≥0, existe un ´unico n´umero realb≥0 tal que

88Funciones continuas Cap. 7
a=b
n
, o sea,b=
n
√
a. En el caso particular en quenes impar, la
funci´onx→x
n
es una biyecci´on deRenR; as´ı, en este caso, todo
n´umero realatiene una ´unica ra´ızn-´esima que es positiva cuando
a >0 y negativa cuandoa <0.
Ejemplo 4.El Teorema 4 es uno de los denominados “teoremas
de existencia”. En ciertas condiciones nos asegura la existencia de
una ra´ız para la ecuaci´onf(x) =d. Una de sus aplicaciones m´as
sencillas es la que sigue. Seaf: [a, b]→Runa funci´on continua tal
quef(a)≤ayb≤f(b). En estas condiciones existe al menos un
n´umeroc∈[a, b] tal quef(c) =c. En efecto, la funci´onϕ: [a, b]→
R, deﬁnida medianteϕ(x) =x−f(x), es continua conϕ(a)≥0
yϕ(b)≤0. Por el Teorema 4, existec∈[a, b] tal queϕ(c) = 0,
esto es,f(c) =c. Un puntox∈Xtal quef(x) =xse denomina
punto ﬁjode la funci´onf:X→R. El resultado que acabamos de
probar es una versi´on unidemensional del conocido “Teorema del
punto ﬁjo de Brouwer”.
Otra aplicaci´on del Teorema 4 es la que se reﬁere a la conti-
nuidad de la funci´on inversa. SeanX, Y⊂Ryf:X→Yuna
biyecci´on. Suponiendo quefes continua, ¿se puede concluir que su
inversaf
−1
tambi´en lo es? La respuesta es, en general, negativa,
como lo demuestra el siguiente ejemplo.
Ejemplo 5.SeanX= [−1,0]∪(1,2] eY= [0,4]. La funci´on
f:X→Ydeﬁnida comof(x) =x
2
, es una biyecci´on deXen
Y, que es obviamente continua (ver Fig. 3). Su inversag:Y→X
est´a dada porg(y) =−
√
ysi 0≤y≤1 yg(y) =
√
ysi 1< y≤4.
Luegoges discontinua en el puntoy= 1 (pues l´ım
y→1
−
g(y) =−1 y
l´ım
y→1
+
g(y) = 1.)

Secci´on 2 Funciones continuas en un intervalo 89
+
+
+
4
3
2
1
2
Fig. 3
Demostraremos ahora que si una biyecci´on entre intervalosf:
I→Jes continua, entonces su inversa tambi´en lo es. En la secci´on
3, m´as adelante, veremos que, si el dominio es compacto, la inversa
de una biyecci´on continua tambi´en es continua. (En el Ejemplo 5
el dominio defno es ni un intervalo ni un conjunto compacto.)
Teorema 5.SeaI⊂Run intervalo. Toda funci´on continua e
inyectivaf:I→Res mon´otona y su inversag:J→I, deﬁnida
en el intervaloJ=f(I), es continua.
Demostraci´on:Supongamos, inicialmente, queI= [a, b] sea un
intervalo cerrado y acotado. Para ﬁjar ideas, seaf(a)< f(b). De-
mostraremos quefes estrictamente creciente. En caso contrario
existir´ıan puntosx < yen [a, b] conf(x)> f(y). Hay dos posi-
bilidades:f(a)< f(y) yf(a)> f(y). En el primer caso, tenemos
f(a)< f(y)< f(x), luego, por el Teorema 4, existec∈(a, x) coon
f(c) =f(y), contradiciendo la inyectividad def. En el segundo
caso, se tienef(y)< f(a)< f(b), por tanto existec∈(y, b) con
f(c) =f(a), obteni´endose otra contradicci´on, luegofes estricta-
mente creciente. Sea ahoraf:I→Rcontinua e inyectiva en un
intervalo cualquieraI. Sifno fuese mon´otona existir´ıan puntos
u < vyx < yenItales quef(u)< f(v) yf(x)> f(y). Sean
ael menor ybel mayor de los n´umerosu, v, x, y. Entonces, la res-
tricci´on defal intervalo [a, b], ser´ıa continua e inyectiva, pero no
mon´otona, contradiciendo lo que acabamos de probar. Finalmen-
te, consideremos la invaersag:J→Ide la biyecci´on continua

90Funciones continuas Cap. 7
estrictamente crecientef:I→J. Evidentemente,ges estricta-
mente creciente. Seaa∈Iun punto cualquiera yb=f(a). Para
probar queges continua en el puntobcomenzaremos suponiendo
queaes interior aI. Entonces, dadoε >0 podemos admitir que
(a−ε, a+ε)⊂I. As´ı,f(a−ε) =b−αyf(a+ε) =b+β, don-
deα >0 yβ >0. Seaδ= m´ın{α, β}. Comoges estrictamente
creciente,y∈J,b−δ < y < b+δ⇒b−α < y < b+β⇒
g(b−α)< g(y)< g(b+β)⇒a−ε < g(y)< a+ε. Luegoges
continua en el puntob. Si, por el contrario,aes un extremo deI,
supongamos inferior, entoncesb=f(a) es el extremo inferior deJ.
Dado cualquierε >0 podemos suponer quea+ε∈Iy tendremos
quef(a+ε) =b+δ,δ >0. Entonces:
y∈J , b−δ < y < b+δ⇒b≤y < b+δ
⇒a≤g(y)≤g(b+δ)
⇒a≤g(y)< a+ε
⇒a−ε < g(y)< a+ε ,
luegog, tambi´en en este caso, es continua en el puntob.
Corolario 1.Para todon∈N, la funci´ong: [0,+∞)→[0,+∞),
deﬁnida medianteg(x) =
n
√
xes continua.
En efecto,ges la inversa de la biyecci´on continuaf: [0,+∞)→
[0,+∞) deﬁnida comof(x) =x
n
.
∗
En el caso particular en quenes impar,f:R→Rdada por
f(x) =x
n
es una biyecci´on continua y su inversag:R→R, tam-
bi´en denotada porg(x) =
n
√
x, es continua en toda la recta.
SeanX⊂ReY⊂R. Un homeomorﬁsmo entreXeYes
una biyecci´on continuaf:X→Ycuya inversaf
−1
:Y→X
tambi´en es continua. El Teorema 5 nos deice, por tanto, que siIes
un intervalo entonces toda funci´on continua e inyectivaf:I→R
es un homeomorﬁsmo local entreIy el intervaloJ=f(I).
3. Funciones continuas en conjuntos compactos
Muchos problemas de las matem´aticas, as´ı como de sus apli-
caciones, consisten en encontrar los puntos de un conjuntoXen

Secci´on 3 Funciones continuas en conjuntos compactos 91
los que una determinada funci´on realf:X→Ralcanza su valor
m´aximo o su valor m´ınimo. Antes de intentar resolver un problema
de este ripo es ncesario saber si tales puntos existen. Para empe-
zar, la funci´onfpuede no estar acotada superiormente (y entonces
no posee valor m´aximo) o inferiormente (y entonces no posee valor
m´ınimo). Sin embargo, inclusive en el caso de estar acotada,fpue-
de no alcanzar un valor m´aximo enX, o el m´ınimo, o ninguno de
los dos.
Ejemplo 6.SeanX= (0,1) yf:X→Rdada porf(x) =x.
Entoncesf(X) = (0,1), luego para todox∈Xexistenx
′
, x
′′
∈X
tales quef(x
′
)< f(x)< f(x
′′
). Esto signiﬁca que, para cualquier
x∈X, el valorf(x) no es ni el mayor ni el menor quefalcanza en
X. Un ejemplo: podemos considerarg:R→R,g(x) = 1/(1 +x
2
).
Tenemos 0< g(x)≤1 para todox∈R. Comog(0) = 1, vemos
queg(0) es el mayor m´aximo deg(x), dondex∈R. Sin embargo,
no existex∈Rtal queg(x) sea el menor valorg. En efecto, si
x >0 basta tomarx
′
> xpara tenerg(x
′
)< g(x). Y six <0,
basta tomarx
′
< xy nuevamente se tieneg(x
′
)< g(x).
Fig. 4- Gr´aﬁco de la funci´ong(x) =
1
1+x
2
El pr´oximo teorema garantiza la existencia de valores m´aximos
y m´ınimos de una funci´on continua cuando su dominio es compacto.
Teorema 6. (Weierstrass)Seaf:X→Rcontinua en el con-
junto compactoX⊂R. Entonces existenx0, x1∈Xtales que
f(x0)≤f(x)≤f(x1)para todox∈X.
Obtendremos el Teorema de Weierstrass como consecuencia del

92Funciones continuas Cap. 7
Teorema 7.La imagenf(X)de un conjunto compactoX⊂Rpor
una funci´on continuaf:X→Res un conjunto compacto.
Demostraci´on:Por el Teorema 8 del Cap´ıtulo 5 tenemos que pro-
bar que toda sucesi´on de puntosyn∈f(X) posee una subsucesi´on
que converge a alg´un puntob∈f(X). Ahora bien, para cadan∈N
tenemosyn=f(xn), conxn∈X. ComoXes compacto, la suce-
si´on (xn) posee una subsucesi´on (xn)n∈N
′que converge a un punto
a∈X. Comofes continua en el puntoa, de l´ım
n∈N
′
xn=aconclu´ımos
queb= l´ım
n→N
′
yn= l´ım
n∈N
′
f(xn) =f(a), y as´ıb=f(a) yb∈f(X),
como quer´ıamos demostrar.
Demostraci´on:(del Teorema 6) Como vimos en la secci´on 4 del
Cap´ıtulo 5, el conjunto compactof(X) posee un menor elemento
f(x0) y un mayor elementof(x1). Esto quiere decir que existen
x0, x1∈Xtales quef(x0)≤f(x)≤f(x1) para todox∈X.
Corolario 1.SiX⊂Res compacto entonces toda funci´on conti-
nuaf:X→Rest´a acotada, esto es, existec >0tal que|f(x)| ≤c
para todox∈X.
Ejemplo 7.La funci´onf: (0,1]→R, deﬁnida mediantef(x) =
1/x, es continua pero no est´a acotada. Esto es posible ya que el
dominio (0,1] no es compacto.
Teorema 8.SiX⊂Res compacto entonces toda biyecci´on conti-
nuaf:X→Y⊂Rtiene inversa continuag:Y→X.
Demostraci´on:Tomaremos un punto cualquierab=f(a)∈Yy
demostraremos queges continua en el puntob. Si no fuese as´ı, exis-
tir´ıan un n´umeroε >0 y una sucesi´on de puntosyn=f(xn)∈Y
tales que l´ımyn=by|g(yn)−g(b)| ≥ε, esto es,|xn−a| ≥ε
para todon∈N. Considerando, si as´ı fuese necesario, una subsuce-
si´on, podemos suponer que l´ımxn=a
′
∈X, puesXes compacto.
Se tiene|a
′
−a| ≥ε. En particular,a
′
6=a. Sin embargo, por la
continuidad def, l´ımyn= l´ımf(xn) =f(a
′
). Como ya tenemos
l´ımyn=b=f(a), se deduce quef(a) =f(a
′
), contradiciendo la
inyectividad def.
Ejemplo 8.El conjuntoY={0,1,1/2, . . .,1/n, . . .}es compacto
y la biyecci´onf:N→Y, deﬁnida mediantef(1) = 0,f(n) =

Secci´on 4 Continuidad uniforme93
1/(n−1) sin >1, es continua, pero su inversaf
−1
:Y→Nes
discontinua en el punto 0. Luego en el Teorema 8 la compacidad de
Xno puede ser substituida por la deY.
4. Continuidad uniforme
Seaf:X→Ycontinua. Dadoε >0, para cadax∈Xse puede
encontrarδ >0 tal quey∈X,|x−y|< δimplican|f(x)−f(y)|< ε.
El n´umero positivoδdepende no s´olo delε >0 dado sino tambi´en
del puntoxdonde se examina la continuidad. Dadoε >0 no es
simpre posible encotrar unδ >0 que sirva para todos los puntos
x∈X(inclusive cuandofes continua en todos estos puntos).
Ejemplo 9.Seaf:R− {0} →Rdeﬁnida mediantef(x) =
x
|x|
,
luegof(x) = 1 six >0 yf(x) =−1 parax <0. Esta funci´on es
continua enR−{0}pues es constante en un entorno de cada punto
x6= 0. No obstante, si tomamosε <2, para todoδ >0 escogido,
siempre existir´an puntosx, y∈R− {0}tales que|y−x|< δy
|f(x)−f(y)| ≥ε. Basta tomarx=δ/3 ey=−δ/3.
Ejemplo 10.La funci´onf:R
+
→R, deﬁnida mediantef(x) =
1/x, es continua. Sin embargo, dadoε >0, con 0< ε <1, sea cual
fuere elδ >0 escogido, tomamos un n´umero naturaln >1/δy
escribimosx= 1/ney= 1/2n. Entonces 0< y < x < δ, de donde
|y−x|< δ, pero|f(y)−f(x)|= 2n−n=n≥1> ε.
Una funci´onf:X→Rse diceuniformemente continuaen el
conjuntoXcuando, para todoε >0 dado, se puede obtenerδ >0
tal quex, y∈X,|y−x|< δimplican|f(y)−f(x)|< ε.
Una funci´on uniformemente continuaf:X→Res continua en
todos los puntos del conjuntoX. El rec´ıproco es falso, como puede
verse en los Ejemplos 9 y 19 de arriba.
La continuidad de una funci´onf:X→Ren el puntoa∈X
signiﬁca quef(x) est´a tan pr´oximo af(a) cuanto se desee, siempre
que se tomexsuﬁcientemente pr´oximo aa. Obs´ervese la asimetr´ıa:
el puntoaest´a ﬁjo yxtiene que aproximarse aapara quef(x)
se aproxime af(a). En la continuidad uniforme se puede hacer que
f(x)−f(y) est´en tan pr´oximos cuanto se quiera: basta con quex

94Funciones continuas Cap. 7
eytambi´en lo est´en. Aqu´ı,xeyson variables y juegan papeles
sim´etricos en la deﬁnici´on.
Otra diferencia entre la mera continuidad y la continuidad uni-
forme es la siguiente: si cada puntox∈Xposee un entornoVtal
que la restricci´on defaV∩Xes continua, entonces la funci´on
f:X→Res continua. Sin embargo, como lo demuestram los
Ejemplos 9 y 10, si cada puntox∈Xposee un entornoVtal que
fes uniformemente continua enX∩V, no se puede concluir que
f:X→Rsea uniformemente continua en el conjuntoX. Esto se
expresa diciendo que la continuidad es una noci´onlocal, mientras
que la continuidad uniforme es un conceptoglobal.
Ejemplo 11.Una funci´onf:X→Rse llamalipschitzianacuando
existe una constantek >0 (llamadaconstante de Lipschitzde la
funci´onf) tal que|f(x)−f(y)| ≤k|x−y|sean cuales fueren
x, y∈X. Para quefsea Lipschitziana es necesario y suﬁciente que
el cociente (f(x)−f(y))/(x−y) est´e acotado, esto es, exista una
constantek >0 tal quex, y∈X,x6=y⇒ |f(x)−f(y)|/|x−y| ≤k.
Toda funci´on lipschitzianaf:X→Res uniformemente continua:
dadoε >0, se tomaδ=ε/k. Entoncesx, y∈X ,|x−y|< δ⇒
|f(x)−f(y)| ≤k|x−y|< kε/k=ε. Sifes un polinomio de grado
≤1, esto es,f(x) =ax+b, cona, b∈R, entoncesfes lipschitziana
con constantek=|a|, pues|f(y)−f(x)|=|ay+b−(ax+b)|=|a||y−
x|. La funci´on del Ejemplo 10, evidentemente, no es lipschitziana
pues no es uniformemente continua. No obstante, para todoa >0,
la restricci´on defal intervalo [a,+∞) es lipschitziana (y, por tanto,
uniformemente continua) con constante de Lipschitzk= 1/a
2
. En
efecto, six≥aey≥aentonces|f(y)−f(x)|=|y−x|/|xy| ≤
|y−x|/a
2
=k|y−x|.
Teorema 9.Para quef:X→Rsea uniformemente continua es
necesario y suﬁciente, para todo par de sucesiones(xn),(yn)enX
tales quel´ım(yn−xn) =, se tengal´ım(f(yn)−f(xn)) = 0.
Demostraci´on:Sifes uniformemente continua y l´ım|yn−xn|= 0
entonces dado cualquierε >0, existeδ >0 tal quex, y∈X,
|y−x|< δimplican|f(y)−f(x)|< ε. Existe tambi´enn0∈Ntal que
n > n0implica|yn−xn|< δ. Luegon > n0implica|f(yn)−f(xn)|<
ε, de donde l´ım(f(yn)−f(xn)) = 0. Rec´ıprocamente, supongamos

Secci´on 4 Continuidad uniforme95
v´alida la condici´on estipulada en el enunciado del teorema. Sif
no fuese uniformemente continua, existir´ıaε >0 con la siguiente
propiedad: para todon∈Npodr´ıamos encontrar puntosxn, ynen
Xtales que|xn−yn|<1/ny|f(xn)−f(yn)| ≥ε. Tendr´ıamos
entonces l´ım(yn−xn) = 0 sin que l´ım(f(yn)−f(xn)) = 0. Esta
contradicci´on concluye la prueba del teorema.
Ejemplo 12.La funci´onf:R→R, dada porf(x) =x
2
no
es uniformemente continua. En efecto, tomandoxn=neyn=
n+ (1/n) tenemos l´ım(yn−xn) = l´ım(1/n) = 0, perof(yn)−
f(xn) =n
2
+ 2 + (1/n
2
)−n
2
= 2 + 1/n
2
>2, luego no se tiene
l´ım[f(yn)−f(xn)] = 0.
Teorema 10.SeaX⊂Rcompacto. Toda funci´on continuaf:
X→Res uniformemente continua.
Demostraci´on:Sifno fuese uniformemente continua existir´ıan
ε >0 y dos sucesiones (xn), (yn) enXtales que l´ım(yn−xn) = 0 y
|f(yn)−f(xn)| ≥εpara todon∈N. Considerando una subsucesi´on,
si as´ı fuese necesario, podemos suponer, en virtud de la compacidad
deX, que l´ımxn=a∈X. Entonces, comoyn= (yn−xn) +xn,
tambi´en se tiene l´ımxn=a. Comofes continua en el puntoa,
tenemos l´ım[f(yn)−f(xn)] = l´ımf(yn)−l´ımf(xn) =f(a)−f(a) =
0, lo que contradice que|f(yn)−f(xn)| ≥εpara todon∈N.
Ejemplo 13.La funci´onf: [0,+∞)→R, dado porf(x) =
√
x,
no es lipschitziana. En efecto, multiplicando el numerador y el
denominador por (
√
y+
√
x) vemos que (
√
y−
√
x)/(y−x) =
1/(
√
y+
√
x). Tomandox6=ysuﬁcientemente peque˜nos, podemos
conseguir que
√
y+
√
xsea tan peueno cuanto se desee, luego el
cociente (
√
y−
√
x)/(y−x) no est´a acotado. No obstante,fes
lipschitziana (por tanto uniformemente continua) en el intervalo
[1,+∞), ya quex, y∈[1,+∞)⇒
√
x+
√
y≥2⇒ |
√
y−
√
x|=
|y−x|/(
√
y+
√
x)≤
1
2
|y−x|. En el intervalo [0,1],ftambi´en es
uniformemente continuam aunque no se lipschitziana, pues [0,1] es
compacto. De aqu´ı resulta quef: [0,+∞)→Res uniformemente
continua. En efecto, dadoε >0 existenδ1>0 yδ2>0 tales que
x, y∈[0,1],|y−x|< δ1⇒ |f(y)−f(x)|<
ε
2
, yx, y∈[1,+∞),
|y−x|< δ2⇒ |f(y)−f(x)|< ε/2. Seaδ= m´ın{δ1, δ2}. Da-
dosx, y∈[0,+∞) con|y−x|< δ, obviamente six, y∈[0,1]
´ox, y∈[1,+∞) tenemos|f(y)−f(x)|< ε. Si, por ejemplo,

96Funciones continuas Cap. 7
x∈[0,1] ey∈[1,+∞) entonces|y−1|< δy|x−a|< δ, luego
|f(y)−f(x)| ≤ |f(y)−f(1)|+|f(1)−f(x)|<
ε
2
+
ε
2
=ε.
Teorema 11.Toda funci´onf:X→Runiformemente continua
en un conjunto acotadoXest´a acotada.
Demostraci´on:Sifno estuviera acotada (supongamos superior-
mente) existir´ıa una sucesi´on de puntosxn∈Xtales quef(xn+1)>
f(xn) + 1 para todon∈N. ComoXest´a acotado, podemos (con-
siderando una subsucesi´on si as´ı fuera necesario) suponer que la
sucesi´on (xn) es convergente. Entonces, escribiendoyn=xn+1,
tendr´ıamos l´ım(yn−xn) = 0, pero comof(yn)−f(xn)>1, no
es verdad que l´ım[f(yn)−f(xn)] = 0, luegofno ser´ıa uniforme-
mente continua.
El Teorema 11 nos da otra forma de ver quef(x) = 1/xno
es uniformemente continua en el intervalo (0,1], puesf(0,1] =
[1,+∞).
Teorema 12.Sif:X→Res uniformemente continua entonces,
para todoa∈X
′
(inclusive siano pertenece aX), existel´ım
x→a
f(x).
Demostraci´on:Escojamos una sucesi´on de puntosan∈X− {a}
tal que l´ıman=a. Del Teorema 11 se sigue que la sucesi´on (f(an))
est´a acotada. Considerando una subsucesi´on, si as´ı fuese necesario,
podemos suponer que l´ımf(an) =b. Ahora aﬁrmamos que se tiene
l´ımf(xn) =bse cual fuere la sucesi´on de puntosxn∈X− {a}
con l´ımxn=a. En efecto, tenemos l´ım(xn−an) = 0. Comofes
uniformemente continua, se sigue que l´ım[f(xn)−f(an)] = 0, luego
l´ımf(xn) = l´ımf(an) + l´ım[f(xn)−f(an)] =b.
Ejemplo 14.El Teorema 12 implica que 1/xenR
+
, as´ı comox/|x|
y sen(1/x) enR− {0}, no son uniformemente continuas.
5. Ejercicios
Secci´on 1: Deﬁnici´on y primeras propiedades
1. Seanf, g:X→Rcontinuas en el puntoa∈X. Pruebe
que tambi´en son continuas en el puntoalas funcionesϕ, ψ:
X→R, deﬁnidas medianteϕ(x) = m´ax{f(x), g(x)},ψ(x) =
m´ın{f(x), g(x)}para todox∈X.

Secci´on 5 Ejercicios97
2. Seanf, g:X→Rcontinuas. Pruebe que siXes abierto
entonces el conjuntoA={x∈X:f(x)6=g(x)}es abiero, y
que siXes cerrado el conjuntoF={x∈X:f(x) =g(x)}
es cerrado.
3. Una funci´onf:X→Rse dicesemicontinua superiormente
(scs) en el puntoa∈Xcuando, para todoc > f(a), existe
δ >0 tal quex∈X,|x−a|< δ, implicanf(x)< c. Deﬁna
el concepto de funci´onsemicontinua inferiormemente(sci)
en el puntoa. Pruebe quefes continua en el puntoasi, y
s´olo si, es scs y sci en dicho punto. Pruebe que sifes scs,
ges sci yf(a)< g(a) entonces existeδ >0 tal quex∈X,
|x−a|< δ⇒f(x)< g(x).
4. Seaf:R→Res continua. Pruebe que sif(x) = 0 para todo
x∈Xentoncesf(x) = 0 para todox∈X.
5. Pruebe que sif:R→Res continua si, y s´olo si, para todo
X⊂Rse tienef(X)⊂f(X).
6. Seanf, g:X→Rcontinuas en el puntoa. Suponga que, para
cada entornoVdea, existen puntosx, ytales quef(x)< g(x)
yf(y)> g(y). Pruebe quef(a) =g(a).
7. Seaf:X→Rdiscontinua en el puntoa∈X. Pruebe que
existeε >0 con la siguiente propiedad: o se puede encontrar
una sucesi´on de puntosxn∈Xcon l´ımxn=ayf(xn)>
f(a)+εpara todon∈N, o bien se encuentra (yn) conyn∈X,
l´ımyn=ayf(y−n)< f(a)−εpara todon∈N.
Secci´on 2: Funciones continuas en un intervalo
1. Una funci´onf:X→Rse dicelocalmente constantecuando
todo punto deXposee un entornoVtal quefes constante
enV∩X. Pruebe que toda funci´onf:I→Rlocalmente
constante en un intervaloIes constante.
2. Seaf:I→Runa funci´on mon´otona deﬁnida en un intervalo
I. Si la imagenf(I) es un intervalo pruebe que entoncesfes
continua.

98Funciones continuas Cap. 7
3. Se dice que una funci´onf:I→Rdeﬁnida en un intervaloI
tiene lapropiedad del valor intermediocuando la imagenf(J)
de cualquier intervaloJ⊂Ies un intervalo. Demuestre que
la funci´onf:R→R, dada porf(x) = sen(1/x) six6= 0 y
f(0) = 0 tiene la propiedad del valor intermedio y sin embargo
no es continua.
4. Seaf:I→Runa funci´on con la propiedad del valor inter-
medio. Si para cadac∈Rexisten como m´aximo un n´umero
ﬁnito de puntosx∈Itales quef(x) =c, pruebe quefes
continua.
5. Seaf: [0,1]→Rcontinua y tal quef(0) =f(1). Pruebe que
existex∈[0,1] tal quef(x) =f(x+ 1/2). Pruebe el mismo
resultado con 1/3 en vez de 1/2. Generalice.
Secci´on 3: Funciones continuas en conjuntos compactos
1. Seaf:R→Rcontinua, tal que l´ım
x→+∞
f(x) = l´ım
x→−∞
f(x) =
+∞. Pruebe que existex0∈Rtal quef(x0)≤f(x) para
todox∈R.
2. Seaf:R→Rcontinua con l´ım
x→+∞
f(x) = +∞y l´ım
x→−∞
f(x) =
−∞. Pruebe que, para todoc∈R, entre las ra´ıces de la
ecuaci´onf(x) =cexiste una cuyo m´odulo|x|es m´ınimo.
3. Pruebe que no existe ninguna funci´on continuaf: [a, b]→R
que alcance cada uno de sus valoresf(x),x∈[a, b], exacta-
mente 2 veces.
4. Una funci´onf:R→Rse dice peri´odica cuando existep∈R
+
tal quef(x+p) =f(x) para todox∈R. Pruebe que toda
funci´on continua peri´odicaf:R→Rest´a acotada y alcanza
sus valores m´aximo y m´ınimo, esto es, existenx0, x1∈Rtales
quef(x0)≤f(x)≤f(x1) para todox∈R.
5. Seaf:X→Rcontinua en un conjunto compactoX. Pruebe
que, para todoε >0, existekε>0 tal quex, y∈X,|y−x| ≥
ε⇒ |f(y)−f(x)| ≤kε|y−x|. (Esto signiﬁca quefcumple
la condici´on de Lipschitz siempre que los puntosx, yno est´en
muy pr´oximos.)

Secci´on 5 Ejercicios99
Secci´on 4: Continuidad uniforme
1. Si toda funci´on continuaf:X→Res uniformemente conti-
nua pruebe que el conjuntoXes cerrado pero no necesaria-
mente compacto.
2. Demuestre que la funci´on continuaf:R→R, dada por
f(x) = sen(x
2
), no es uniformemente continua.
3. Dadaf:X→Runiformemente continua, deﬁnaϕ:X→R
medianteϕ(x) =f(x) six∈Xes un punto aislado yϕ(x) =
l´ım
y→x
f(y) six∈X
′
. Pruebe queϕes uniformemente continua
y queϕ(x) =f(x) para todox∈X.
4. Seaf:R→Rcontinua. Pruebe que si existen l´ım
x→+∞
f(x) y
l´ım
x→−∞
f(x) entoncesfes uniformemente continua. La misma
conclusi´on es v´alida si existen los l´ımites def(x)−xcuando
x→ ±∞.
5. Seanf, g:X→Runiformemente continua. Pruebe que
f+ges uniformemente continua. Lo mismo ocurre con el
productofgsiempre quefygest´en acotadas. Pruebe
queϕ, ψ:X→Rdadas porϕ(x) = m´ax{f(x), g(x)}y
ψ(x) = m´ın{f(x), g(x)},x∈X, son uniformemente conti-
nuas.

100Funciones continuas Cap. 7

8
Derivadas
Seanf:X→Rya∈X. El cocienteq(x) = [f(x)−f(a)]/(x−a)
tiene sentido six6=a, luego deﬁne una funci´onq:X− {a} →R;
el valorq(x) es lapendiente de la secante(recta que une los puntos
(a, f(a)) y (x, f(x)) del gr´aﬁco def) en relaci´on al ejex.
Si imaginamosxcomo el tiempo yf(x) como la abscisa, en el
instantex, de un punto m´ovil que se desplaza a lo largo del ejex,
entoncesq(x) es lavelocidad mediade dicho punto en el intervalo
de tiempo comprendido entre los instantesayx.
De modo general, el cocienteq(x) es la relaci´on existente entre
la variaci´on def(x) y la variaci´on dexa partir del puntox=a.
En el caso en quea∈X
′
∩Xen natural considerar l´ımx→aq(x).
Las interpretaciones de este l´ımite en los contextos anteriores sonm
respectivamente, la pendiente de la tangente al gr´aﬁco defen el
punto (a, f(a)), y la velocidad instant´anea del m´ovil en el instante
x=a, o, en general, el “cociente incremental” de la funci´onfen
el puntoa.
Dicho l´ımite es una de las nociones m´as importantes de las Ma-
tem´aticas y de sus aplicaciones.
´
Este ser´a el objetivo de estudio de
este cap´ıtulo.
101

102Derivadas Cap. 8
1. La noci´on de derivada
Seaf:X→Rya∈X∩X
′
. La derivada de la funci´onfen el
puntoaes el l´ımite:
f(a) = l´ım
x→a
f(x)−f(a)
x−a
= l´ım
h→0
f(a+h)−f(a)
h
.
Bien entendido, el l´ımite anterior puede existir o no. Si existe
se dice quefesderivable en el puntoa. Cuando existe la deriva-
daf
′
(x) en todos los puntosx∈X∩X
′
se dice que la funci´on
f:X→Resderivable en el conjuntox, obteni´endose una nueva
funci´onf
′
:X∩X
′
→R,x→f
′
(x), llamadafunci´on derivada de
f. Sif
′
es continua se dice quefes de claseC
1
.
Otras notaciones para la derivada defen el puntoason
Df(a),
df
dx
(a),y
df
dx

x=a
Teorema 1.Para quef:X→Rsea derivable en el puntoa∈
X∩X
′
es necesario y suﬁciente que existac∈Rtal quea+h∈
X⇒f(a+h) =f(a) +ch+r(h), dondel´ım
h→0
r(h)/h= 0. En caso
aﬁrmativo se tienec=f
′
(a).
Demostraci´on:SeaY={h∈R:a+h∈X}. Entonces 0∈
Y∩Y
′
. Suponiendo quef
′
(a) exista, deﬁnimosr:Y→Rcomo
r(h) =f(a+h)−f(a)−f
′
(a)h. Entonces,
r(h)
h
=
f(a+h)−f(a)
h
−f
′
(a),
luego l´ım
h→0
r(h)/h= 0. La condici´on es, por tanto, necesaria. Rec´ıpro-
camente, si la condici´on es v´alida, entoncesr(h)/h= [f(a+h)−
f(a)]/h−c, luego l´ım
h→0
(f(a+h)−f(a))/h−c= l´ım
h→0
r(h)/h= 0, por
tantof
′
(a) existe y es igual ac.
Corolario 1.Una funci´on es continua en los puntos donde es de-
rivable.
En efecto, sifes derivable en el puntoa, entoncesf(a+h) =
f(a)+f
′
(a)h+[r(h)/h]hcon l´ım
h→0
r(h)/h= 0, luego l´ım
h→0
f(a+h) =
f(a), o sea,fes continua en el puntoa.

Secci´on 1 La noci´on de derivada 103
Observaci´on:Paratodafunci´onf, deﬁnida en los puntosay
a+h, y todo n´umero realc, siempre se puede escribir la igualdad
f(a+h) =f(a) +ch+r(h), que simplemente deﬁne el n´ume-
ror(h). Lo que aﬁrma el Teorema 1 es que existe como m´aximo
un ´unicoc∈Rtal que l´ım
h→0
r(h)/h= 0. Dicho n´umeroc, cuando
existe, es igual af
′
(a). El Teorema 1 nos dice tambi´en que, cuando
f
′
(a) existe, el incrementof(a+h)−f(a) es igual a la suma de
una “parte lineal”ch, proporcional al incrementohde la variable
independiente, y de un restor(h), que es inﬁnitamente peque˜no en
relaci´on ah, en el sentido de que el cocienter(h)/htiende a cero
conh.
Cuandoa∈Xes un punto de acumulaci´on por la derecha, esto
es,a∈X∩X
′
+
, se puede considerar el l´ımitef
′
+
(a) = l´ım
x→a
+
q(x).
Cuando existe, dicho l´ımite se llamaderivada por la derechadefen
el puntoa. An´alogamente, sia∈X∩X
′
−
, tiene sentido considerar
el l´ımite por la izquierdaf−(a) = l´ım
x→a
−
q(x); si existe, ´este se llama
derivada por la izquierdadefen el puntoa.
En el caso en quea∈X∩X
′
+
∩X
′
−
, esto es, siaes un punto
de acumulaci´on bilateral, la funci´onfes derivable en el puntoasi,
y s´olo si, existen y son iguales las derivadas por la derecha y por la
izquierda, en cuyo casof
′
(a) =f
′
+
(a) =f
′
−
(a). El Teorema 1 (con
l´ım
h→0
+
r(h)/h= 0 y l´ım
h→0
−r(h)/h= 0), as´ı como su contrario valen
para las derivadas laterales. Por ejemplo, si existe la derivada por
la derechaf
′
+(a) entoncesfes continua por la derecha en el punto
a, esto es,f(a) = l´ımh→0
+f(a+h).
En particular, sia∈X∩X
′
−
∩X
′
+
y existen ambas deriva-
das laterales,f+(a) yf
′
−
(a), entoncesfes continua en el puntoa.
(Inclusive si estas derivadas laterales son diferentes).
Ejemplo 1.Una funci´on constante es derivable y su derivada es
id´enticamente nula. Sif:R→Rest´a dada porf(x) =ax+b
entonces, para cualesquierac∈Ryh6= 0, [f(c+h)−f(c)]/h=a,
luegof
′
(c) =a. Para cualquiern∈N, la funci´onf:R→R, con
f(x) =x
n
, tiene derivadaf
′
(x) =nx
n−1
. En efecto, por el binomio
de Newton,f(x+h) = (x+h)
n
=x
n
+hnx
n−1
+h
2
p(x, h), donde

104Derivadas Cap. 8
p(x, h) es un polinomio enxyh. Por tanto [f(x+h)−f(x)]/h=
nx
n−1
+hp(x, h). Se sigue quef
′
(x) = l´ımh→0[f(x+h)−f(x)]/h=
nx
n−1
.
Ejemplo 2.La funci´onf:R→R, deﬁnida mediantef(x) =
xsen(1/x) cuandox6= 0 yf(0) = 0, es continua y posee deri-
vada en todo puntox6= 0. En el punto 0, tenemos [f(0 +h)−
f(0)]/h= [hsen(1/h)]/h= sen(1/h). Como no existe l´ım
h→0
sen(1/h),
se concluye quefno es derivable en el puntox= 0, donde tam-
poco existe ninguna derivada lateral. Por otra parte, la funci´on
g:R→R, deﬁnida medianteg(x) =xf(x), esto es,g(x) =
x
2
sen(1/x),x6= 0,g(0) = 0, es derivable en el puntox= 0, porque
l´ım
h→0
[g(0 +h)−g(0)]/h= l´ım
h→0
hsen(1/h) = 0. Luegog
′
(0) = 0.
Cuandox6= 0 las reglas de derivaci´on conocidas nos dang
′
(x) =
2xsen(1/x)−cos(1/x). Observe que no existe l´ımx→0g
′
(x). En
particular, la funci´on derivada,g
′
:R→R, no es continua en el
punto 0, luegogno es de claseC
1
.
Ejemplo 3.La funci´onϕ:R→R, dada porϕ(x) =|x|, es
derivable en todox6= 0. En efecto,ϕ(x) =xsix >0 yϕ(x) =−x
six <0. Luegoϕ(x) = 1 parax >0 yϕ
′
(x) =−1 six <0. En el
punto 0 no existe la derivadaϕ
′
(0). De hecho, existenϕ
′
+(0) = 1 y
ϕ
′
−
(0) =−1. La funci´onI:R→R, deﬁnida comoI(x) =ncuando
n≤x < n+ 1,n∈Z, es derivable, conI
′
(x) = 0, en los puntos
x /∈Z. Sines entero, existeI
′
+
(n) = pero no existeI
′
−
(n). En efecto,
si 1> h >0, se tieneI(n+h) =I(n) =n, pero para−1< h <0,
I(n+h) =n−1,I(n) =n. Por tanto l´ım
h→0
+
[I(n+h)−I(n)]/h= 0
y l´ım
h→0
−
[I(n+h)−I(n)]/h= l´ım
h→0
(−1/h), que no existe.
Ejemplo 4.Regla de L’HˆopitalEsta regla constituye una de las
aplicaciones m´as populares de la derivada. En su forma m´as sencilla
sirve para clacular l`ımites de la forma l´ım
x→a
f(x)/g(x) cuandofyg
son derivables en el puntoay l´ım
x→a
f(x) =f(a) = 0 =g(a) =
l´ım
x→a
g(x). As´ı, por la deﬁnici´on de derivada,f
′
(a) = l´ım
x→a
f(x)/(x−a)
yg
′
(a) = l´ım
x→a
g(x)/(x−a). Sig
′
(a)6= 0, la Regla de L’Hˆopital nos

Secci´on 1 La noci´on de derivada 105
dice que l´ım
x→a
f(x)
g(x)
=
f
′
(a)
g
′
(a)
. La prueba es inmediata:
l´ım
x→a
f(x)
g(x)
= l´ım
x→a
f(x)
(x−a)
g(x)
(x−a)
=
l´ım
x→a
f(x)
(x−a)
l´ım
x→a
g(x)
(x−a)
=
f
′
(a)
g
′
(a)
.
Como aplicaci´on consideremos los l´ımites l´ım
x→0
(senx/x) y l´ım
x→0
(e
x
−
1)/x. Aplicando la Regla de L’Hˆopital, el primer l`ımite se reduce a
cos 0 = 1 y el segundo ae
0
= 1. Sin embargo, conviene observar que
estas aplicaciones (y otras an´alogas) de la Regla de L’Hˆopital no son
totalmente correctas pues, para utilizarla, es necesario conocerlas
derivadasf
′
(a) yg
′
(a). En estos dos ejemplos los l´ımites a calcular
son, por deﬁnici´on, las derivadas de senxy dee
x
en el puntox= 0.
2. Reglas de derivaci´on
Teorema 2.Seanf, g:X→Rderivables en el puntoa∈X∩X
′
.
Las funcionesf±g,fgyf/g(sig(a)6= 0) tambi´en son derivables
en el puntoa, con
(f±g)
′
(a) =f
′
(a)±g
′
(a),
(fg)
′
(a) =f
′
(a)g(a) +f(a)g
′
(a)y
`
f
g
´
′
(a) =
f
′
(a)g(a)−f(a)g
′
(a)
g(a)
2
.
Demostraci´on:Vea cualquier libro de C´alculo.
Teorema 3. (Regla de la Cadena)Seanf:X→R,g:Y→R,
a∈X∩X
′
,b∈Y∩Y
′
,f(X)⊂Yyf(a) =b. Sifes derivable en
el puntoaygderivable en el puntobentoncesg◦fes derivable en
el puntoa, con(g◦f)
′
(a) =g
′
(f(a))f
′
(a).
Demostraci´on:Consideremos una sucesi´on de puntosxn∈X−
{a}tal que l´ımxn=ay escribamosyn=f(xn), de modo que
l´ımyn=b. SeanN1={n∈N:f(xn)6=f(a)}yN2={n∈N:
f(xn) =f(a)}. Sin∈N1entoncesyn∈Y− {b}y
g(f(xn))−g(f(a))
xn−a
=
g(yn)−g(b)
yn−b

f(xn)−f(a)
xn−a
.

106Derivadas Cap. 8
Por lo tanto, siN1es inﬁnito, se tiene l´ım
n∈N1
g(f(xn))−g(f(a))]/(xn−
a) =g
′
(f(a))f
′
(a). SiN2es inﬁnito se tiene l´ımn∈N2[f(xn)−
f(a)]/(xn−a) = 0, luegof
′
(a) = 0. As´ı, inclusive en este caso, se
tienen∈N2[g(f(an))−g(f(a))]/(xn−a) = 0 =g
′
(f(a))f
′
(a). De
N=N1∪N2, resulta que, en cualquier caso,
l´ım
n∈N
g(f(xn))−g(f(a))
xn−a
=g
′
(f(a))f
′
(a),
lo que prueba el teorema.
Corolario 1.Seaf:X→Yuna biyecci´on entre los conjuntos
X, Y⊂R, con inversag=f
−1
:Y→X. Sifes derivable en el
puntoa∈X∩X
′
yges continua en el puntob=f(a)entoncesg
es derivable en el puntobsi, y s´olo si,f
′
(a)6= 0. En caso aﬁrmativo
se tieneg
′
(b) = 1/f
′
(a).
En efecto, sixn∈X− {a}para todon∈Ny l´ımxn=a
entonces, comofes inyectiva y continua en el puntoa, se tiene
yn=f(xn)∈Y− {b}y l´ımyn=b. Por lo tantob∈Y∩Y
′
. Siges
derivable en el puntob, la igualdadg(f(x)) =x, v´alida para todo
x∈X, junto con la Regla de la Cadena implican queg
′
(b)f
′
(a) = 1.
En particular,f
′
(a)6= 0. Rec´ıprocamente, sif
′
(a)6= 0 entonces,
para cualquier sucesi´on de puntosyn=f(xn)∈Y− {b}tal que
l´ımyn=b, la continuidad degen el puntob, nos da l´ımxn=a,
por tanto:
l´ım
g(yn)−g(b)
yn−b
= l´ım
≤
yn−b
g(yn)−g(b)
≥
−1
= l´ım
≤
f(xn)−f(a)
xn−a
≥
−1
= 1/f
′
(a).
Ejemplo 5.Dadaf:R→Rderivable, consideremos las funciones
g:R→Ryh:R→R, deﬁnidas porg(x) =f(x
2
) yh(x) =f(x)
2
.
Se tieneg
′
(x) = 2xf
′
(x
2
) yh
′
(x) = 2f(x)f
′
(x), para todox∈R.
Ejemplo 6.Paran∈Nﬁjo, la funci´ong: [0,+∞)→[0,+∞),
dada porg(x) =
n
√
x, es derivable en el intervalo (0,+∞) con
g
′
(x) = 1/n
n
√
x
n−1
. En efecto,ges la inversa de la biyecci´onf:
[0,+∞)→[0,+∞), dada porf(x) =x
n
. Por el corolario anterior,
escribiendoy=x
n
, tenemosg
′
(y) = 1/f
′
(x) sif
′
(x) =nx
n−1
6= 0,

Secci´on 1 La noci´on de derivada 107
esto es, six6= 0. As´ıg
′
(y) = 1/nx
n−1
= 1/n
n
p
y
n−1
y, cambian-
do la notaci´on,g
′
(x) = 1/n
n
√
x
n−1
. En el puntox= 0 la funci´on
g(x) =
n
√
xno es derivable (excepto sin= 1). Por ejemplo, la fun-
ci´onϕ:R→Rdada porϕ(x) =x
3
, es un homeomorﬁsmo, cuya
inversay→
3
√
yno tiene derivada en el punto 0.
3. Derivada y crecimiento local
Las proposiciones que siguen, que hacen referencia a derivadas
laterales y desigualdades, tienen versiones an´alogas conf
′
−
en vez
def
′
+con>substituido por<, etc. Para evitar repeticiones tedio-
sas trataremos s´olamente un caso, aunque utilizaremos con total
libertad sus an´alogos.
Teorema 4.Sif:X→Res derivable por la derecha en el punto
a∈X∩X
′
+, conf
′
+(a)>0entonces existeδ >0tal quex∈X,
a < x < a+δ, implicanf(a)< f(x).
Demostraci´on:Tenemos l´ım
x→a
+
[f(x)−f(a)]/(x−a) =f
′
+
(a)>
0. De la deﬁnici´on de l´ımite por la derecha, tomandoε=f
′
+
(a),
obtenemosδ >0 tal que
x∈X , a < x < a+δ⇒[f(x)−f(a)]/(x−a)>0⇒f(a)< f(x).
Corolario 1.Sif:X→Res mon´otona creciente entonces sus
derivadas laterales, donde existan, son≥0.
En efecto, si alguna derivada lateral, digamosf
′
+(a), fuese ne-
gativa entonces el (an´alogo del) Teorema 4 nos dar´ıax∈Xcon
a < xyf(x)< f(a), lo que es absurdo.
∗
Corolario 2.Seaa∈Xun punto de acumulaci´on bilateral. Si
f:X→Res dierivable en el puntoa, conf
′
(a)>0, entonces
existeδ >0tal quex, y∈X,a−δ < x < a < y < a+δ, implican
f(x)< f(a)< f(y).

108Derivadas Cap. 8
Se dice que una funci´onf:X→Rtiene unm´aximo localen
el puntoa∈Xcuando existeδ >0 tal quex∈X,|x−a|< δ
implicanf(x)≤f(a). Cuandox∈X, 0<|x−a|< δimplican
f(x)< f(a) se dice queftiene unm´aximo local estrictoen el
puntoa. Las deﬁniciones dem´ınimo localym´ınimo local estricto
son an´alogas. Cuandox∈Xes tal quef(a)≤f(x) para todo
x∈X, se dice queaes un punto dem´ınimo absolutode la funci´on
f:X→R. Si se tienef(a)≥f(x) para todox∈X, se dice quea
es un punto dem´aximo obsoluto-
Corolario 3.Sif:X→Res derivable por la derecha en el
puntoa∈X∩X
′
+
y tiene en dicho punto un m´aximo local entonces
f
′
+
(a)≤0.
En efecto, si tuvi´eramosf
′
+(a)>0, entonces, por el Teorema
4, obtendr´ıamosf(a)< f(x) para todox∈Xa la derecha y
suﬁcientemente pr´oximo aa, luegofno tendr´ıa un m´aximo local
en el puntoa.
∗
Corolario 4.Seaa∈Xun punto de acumulaci´on bilateral. Si
f:X→Rtiene enaun punto de m´aximo o m´ınimo local y es
derivable en dicho punto, entoncesf
′
(a) = 0.
En efecto, por el Corolario 3 tenemosf
′
+(a)≤0 yf
′
−(a)≥0.
Comof
′
(a) =f
′
+
(a) =f
′
−
(a), se sigue quef
′
(a) = 0
∗
Ejemplo 7.Del Teorema 4 y de su Corolario 2 no se puede concluir
que una funci´on con derivada positiva en un puntoasea estricta-
mente creciente en un entorno dea(excepto sif
′
es continua en
el puntoa). Lo m´aximo que se puede aﬁrmar es quef(x)< f(a)
six < a,xpr´oximo aa, yf(x)> f(a) sixest´a pr´oximo aacon
x > a. Por ejemplo, seaf:R→Rdada porf(x) =x
2
sen(1/x)+
x
2
six6= 0 yf(0) = 0. La funci´onfes derivable, conf
′
(0) = 1/2 y
f
′
(x) = 2xsen(1/x)−cos(1/x) + 1/2 six6= 0. Si tomamosx6= 0
peque˜no con sen(1/x) = 0 y cos(1/x) = 1 tendremosf
′
(x)<0.
Luego existen puntosxarbitrariamente pr´oximos a 0 conf
′
(x)<0
y conf
′
(x)>0. Del Corolario 1 se deduce quefno es mon´otona
en ning´un entorno de 0.

Secci´on 1 La noci´on de derivada 109
Ejemplo 8.En el Corolario 1, incluso sifes mon´otona estricta-
mente creciente y derivable, no se puede garantizar que su derivada
sea positiva en todos los puntos. Por ejemplo,f:R→Rdada por
f(x) =x
3
, es estrictamente creciente, pero su derivadaf
′
(x) = 3x
2
se anula enx= 0.
Ejemplo 9.Sif:X→Rtiene, por ejemplo, un m´ınimo local en
el puntoa∈X, no se puede concluir de aqu´ı quef
′
(a) = 0. En
primer lugar,f
′
(a) tal vez no exista. Este es el caso def:R→R,
f(x) =|x|, que posee un m´ınimo local enx= 0, donde se tiene
f
′
+
(0) = 1 yf
′
−
(0) =−1, lo que est´a de acuerdo con el Corolario
4. En segundo lugarm inclusive sifes derivable en el puntoa, es
posible que dicho punto no sea un punto de acumulaci´on bilateral, y
entonces puede suceder quef
′
(a)6= 0. Este es el caso de la funci´on
f: [0,1]→R,f(x) =x. Tenemosf
′
(0) =f
′
(1) = 1; sin embargof
tiene un m´ınimo en el puntox= 0 y un m´aximo en el puntox= 1.
Un puntoc∈Xse llamapunto cr´ıticode la funci´on derivable
f:X→Rcuandof
′
(c) = 0. Sic∈X∩X
′
+∩X
′
−es un punto de
m´ınimo o de m´aximo local entoncesces cr´ıtico, pero el rec´ıproco
es falso: la biyecci´on estrictamente crecientef:R→R, dada por
f(x) =x
3
, no puede tener m´aximos ni m´ınimos locales pero tiene
un punto cr´ıtico enx= 0.
4. Funciones derivables en un intervalo
Como se ver´a a continuaci´on la derivada goza de la propiedad
del valor intermedio, incluso cuando es discontinua.
Teorema 5. (Darboux)Seaf: [a, b]→Rderivable. Sif
′
(a)<
d < f
′
(b)entonces existec∈(a, b)tal quef
′
(c) =d.
Demostraci´on:Supongamos inicialmente qued= 0. Por el Teore-
ma de Weierstrass, la funci´on continuafalcanza su valor m´ınimo
en alg´un puntocdel conjunto compacto [a, b]. Comof
′
(a)<0,
el Teorema 4 nos asegura que existen puntosx∈(a, b) tales que
f(x)< f(a), luego tal m´ınimo no se alcanza en el puntoa, esto es,
a < c. Por los mismos motivos se tienec < b. As´ı el Corolario 4 nos
daf
′
(c) = 0. El caso general se reduce a ´este considerando la fun-
ci´on auxiliarg(x) =f(x)−dx. Entoncesg
′
(x) =f
′
(x)−d, de donde
g
′
(c) = 0⇔f
′
(c) =d, yg
′
(a)<0< g
′
(b)⇔f
′
(a)< d < f
′
(b).

110Derivadas Cap. 8
Ejemplo 10.Seag: [−1,1]→Rdeﬁnida comog(x) =−1 si
−1≤x <0 yg(x) = 1 si 0≤x≤1. La funci´ongno goza de la
propiedad del valor intermedio ya que, en el intervalo [−1,1], s´olo
toma los valores−1 y 1. Luego no existef: [−1,1]→Rderivable
tal quef
′
=g. Por otra parte, la funci´onh: [−1,1]→R, dada por
h(x) = 2xsen(1/x)−cos(1/x) six6= 0 yh(0) = 0, que presenta
una discontinuidad bastante complicada en el puntox= 0, es la
derivada de la funci´onf: [−1,1]→R,f(x) =x
2
sen(1/x) six6= 0
yf(0) = 0. En el Cap´ıtulo 10 veremos que toda funci´on continua
g: [a, b]→Res la derivada de alguna funci´onf: [a, b]→R, y en
el Ejercicio 4.1 de este cap´ıtulo se invita al lector a demostrar que
sig: [a, b]→Res discontinua en un puntoc∈(a, b), donde existen
los l´ımites laterales l´ım
x→c
−
g(x) y l´ım
x→c
+
g(x), entonces no es posible
quegsea la derivada de una funci´onf: [a, b]→R.
Teorema 6. (Rolle)Seaf: [a, b]→Rcontinua conf(a) =f(b).
Sifes derivable en(a, b)entonces existec∈(a, b)tal quef
′
(c) = 0.
Demostraci´on:Por el Teorema de Weierstrass,falcanza su valor
m´ınimomy su valor m´aximoMen puntos de [a, b]. Si dichos puntos
fuesenaybentoncesm=Myfser´ıa constante, luegof
′
(x) = 0
para cualquierx∈(a, b). Si uno de estos puntos, llam´emoslec,
estuviera en (a, b), entoncesf
′
(c) = 0.
Teorema 7. (Teorema del Valor Medio, de Lagrange) Sea
f: [a, b]→Rcontinua. Sifes derivable en(a, b), existec∈(a, b)
tal quef
′
(c) = [f(b)−f(a)]/(b−a).
Demostraci´on:Consideremos la funci´on auxiliarg: [a, b]→R,
dada porg(x) =f(x)−dx, dondedes escogido de forma que
g(a) =g(b), o sea,d= [f(b)−f(a)]/(b−a). Por el Teorema de
Rolle, existec∈(a, b) tal queg
′
(c) = 0, esto es,f
′
(c) =d=
[f(b)−f(a)]/(b−a).
Un enunciado equivalente: Seaf: [a, a+h]→Rcontinua y
derivable en (a, a+h). Entonces existe un n´umeroθ, 0< θ <1, tal
quef(a+h) =f(a) +f
′
(a+θh)h.
Corolario 1.Una funci´onf:I→R, continua en el intervaloI,
con derivadaf
′
(x) = 0 para todox∈intI, es constante.

Secci´on 1 La noci´on de derivada 111
En efecto, dados cualesquierax, y∈I, existeccomprendido
entrexeytal quef(y)−f(x) =f
′
(c)(y−x) = 0(y−x), luego
f(x) =f(y).
Corolario 2.Sif, g:I→Rson funciones continuas, derivables
en
R
Iconf
′
(x) =g
′
(x) para todox∈intI, entonces existec∈R
tal queg >(x) =f(x) +cpara todox∈I.
En efecto, basta aplicar el Corolario 1 a la diferenciag−f.
Corolario 3.Seaf:I→Rderivable en el intervaloI. Si existe
k∈Rtal que|f
′
(x)| ≤kpara todox∈Ientoncesx, y∈I⇒
|f(y)−f(x)| ≤k|y−x|.
En efecto, dadosx, y∈I,fes continua en el intervalo cerrado de
extremosxey, y derivable en su interior. Luego existezentrexey
tal quef(y)−f(x) =f
′
(z)(y−x), de donde 1f(y)−f(x)| ≤k|y−x|.
Corolario 4.Para que una funci´on derivablef:I→Rsea
mon´otona creciente en el intervaloIes necesario y suﬁciente que
f
′
(x)≥0 para todox∈I. Sif
′
(x)>0 para todox∈Ientonces
fes una biyecci´on estrictamente creciente deIen un intervaloJy
su inversag=f
−1
:J→Ies derivable, cong
′
(y) = 1/f
′
(x) para
todoy=f(x)∈J.
En efecto, ya sabemos, por el Corolario 1 del Teorema 4, que
sifes mon´otona creciente entoncesf
′
(x)≥0 para todox∈I.
Rec´ıprocamente, si se cumple esta condici´on entonces, para cuales-
quierax, y∈I, tenemosf(y)−f(x) =f
′
(z)(y−x), dondez∈I
est´a entrexey. Comof
′
(z)≥0, vemos quef(y)−f(x)≥0, esto
es,x, y∈I,x < y⇒f(x)≤f(y). De igual forma se ve que, supo-
niendof
′
(x)>0 para todox∈I,fes estrictamente creciente. Las
dem´as aﬁrmaciones son consecuencia del Teorema 5, Cap´ıtulo 7,y
del corolario de la Regla de la Cadena (Teorema 3).
Ejemplo 11.El Corolario 3 es el recurso m´as natural para ver
si una funci´on es Lipschitziana. Por ejemplo, sip:R→Res un
polinomio entonces, para cada subconjunto acotadoX⊂R, la res-
tricci´onp|Xes lipschitziana porque la derivadap
′
, al ser continua,
est´a acotada en el compactoX. Como toda funci´on lipschitziana es
uniformemente continua, se sigue del Teorema 12, Cap´ıtulo 7, que
si la derivada def: (a, b)→Rest´a acotada entonces existen los

112Derivadas Cap. 8
l´ımites laterales l´ım
x→a
+
f(x) y l´ım
x→b
−
f(x). La derivada de la funci´on
f:R
+
→R, dada porf(x) = sen(1/x), no puede estar acotada en
ning´un intervalo de la forma (0, δ) pues no existe l´ım
x→0
+
f(x).
5. Ejercicios
Secci´on 1: La noci´on de derivada
1. Demuestre que para quef:X→Rsea derivable en el punto
a∈X∩X
′
es necesario y suﬁciente que exista una funci´on
η:X→Rcontinua en el puntoatal quef(x) =f(a) +
η(x)(x−a) para todox∈X
2. Seanf, g, h:X→Rtales quef(x)≤g(x)≤h(x) para
toodox∈X. Sifyhson derivables en el puntoa∈X∩X
′
,
conf(a) =h(a) yf
′
(a) =h
′
(a), demuestre queges derivable
en dicho punto y queg
′
(a) =f
′
(a).
3. Seaf:X→Rderivable en el puntoa∈X∩X
′
+
∩X
′
−
. Si
xn< a < ynpara todony l´ımxn= l´ımyn=a, pruebe que
l´ım
n→∞
[f(yn)−f(xn)]/(yn−xn) =f
′
(a). Interprete geom´etrica-
mente esta propiedad.
4. D´e un ejemplo de una funci´on derivablef:R→Ry de
sucesiones de puntos 0< xn< yn, con l´ımxn= l´ımyn= 0,
tales que no exista el l´ımite l´ım
n→∞
[f(yn)−f(xn)]/(yn−xn).
5. Seaf:X→Rderivable en el puntoa∈X∩X
′
+
∩X
′
−
. Pruebe
que l´ım
h→0
[f(a+h)−f(a−h)]/2h=f
′
(a). D´e un ejemplo en
que dicho l´ımite exista y sin embargofno sea derivable en el
puntoa.
Secci´on 2: Reglas de derivaci´on
1. Admitiendo que (e
x
)
′
=e
x
y que l´ım
y→+∞
e
y
/y= +∞, pruebe
que la funci´onf:R→R, deﬁnida porf(x) =e
−1/x
2
cuando
x6= 0 yf(0) = 0, tiene derivada igual a cero en el punto
x= 0, y que lo mismo ocurre conf
′
:R→R,f
′′
, . . .y
as´ı sucesivamente.

Secci´on 5 Ejercicios113
2. SeaIun intervalo abierto. Una funci´onf:I→Rse dicede
claseC
2
cuando es derivable y su derivadaf
′
:I→Res de
claseC
1
. Pruebe que sif(I)⊂Jyg:J→Res de claseC
2
entonces la funci´on compuestag◦f:I→Res de claseC
2
.
3. Seaf:I→Rde claseC
2
conf(I) =Jyf
′
(x)6= 0 para todo
x∈I. Calcule la derivada segunda def
−1
J
→Ry demuestre
quef
−1
es de claseC
2
.
4. SeaIun intervalo centrado en 0. Una funci´onf:I→Rse
llamaparcuandof(x) =f(−x) eimparcuandof(−x) =
−f(x) para todox∈I. Sifes par, sus derivadas de orden
par (si existen) son funciones pares y sus derivadas de orden
impar son funciones impares. En particular estas ´ultimas se
anulan en el punto 0. Enuncie un resultado an´alogo paraf
impar.
5. Seaf:R→Rderivable, tal quef(tx) =tf(x) para cuales-
quierat, x∈R. Pruebe que existec∈Rtal quef(x) =cx
para todox∈R. En general, sif:R→Reskveces deriva-
ble yf(tx) =t
k
f(x) para cualesquierat, x∈R, pruebe que
existec∈Rtal quef(x) =cx
k
para todox∈R.
Secci´on 3: Derivada y crecimiento local.
1. Sif:R→Res de claseC
1
, demuestre que el conjunto de
sus puntos cr´ıticos es cerrado. D´e un ejemplo de una funci´on
derivablef:R→Rtal que 0 sea el l´ımite de una sucesi´on
de puntos cr´ıticos defy sin embargof
′
(0)>0.
2. Seaf:I→Rderivable en el intervalo abiertoI. Un punto
cr´ıticoc∈Ise llamano degeneradocuandof
′′
(c) es diferente
de cero. Pruebe que todo punto cr´ıtco no degenerado es un
punto de m´aximo local o de m´ınimo local.
3. Sic∈Ies un punto cr´ıtico no degenerado de una funci´onf:
I→R, derivable en el intervalo abiertoI, pruebe que existe
δ >0 tal queces el ´unico punto cr´ıtico defen el intervalo
(c−δ, c+δ). Concluya que en un conjunto compactoK⊂
I, donde todos los puntos cr´ıticos defson no degenerados,
exiten como m´aximo un n´umero ﬁnito de `estos.

114Derivadas Cap. 8
4. Pruebe directamente (sin usar el ejercicio anterior) que si un
punto cr´ıticocde una funci´onf:I→Res el l´ımite de una
sucesi´on de puntos cr´ıticoscn6=centoncesf
′′
(c) = 0.
5. Pruebe que el conjunto de los puntos de m´aximo o m´ınimo
local estricto de cualquier funci´´onf:R→Res numerable.
Secci´on 4: Funciones derivables en un intervalo
1. Seag:I→Rcontinua en el intervalo abiertoI, excepto
en el puntoc∈I. Pruebe que si existen los l´ımites laterales
l´ım
x→c
−
g(x) =Ay l´ım
x→c
+
g(x) =B, conA6=B, entonces no
existe ninguna funci´on derivablef:I→Rtal quef
′
=g.
2. Seaf:R
+
→Rdeﬁnida mediantef(x) = logx/x. Admitien-
do que (log
′
)(x) = 1/x, indique los intervalos de crecimiento
y decrecimiento def, sus puntos cr´ıticos y los l´ımites def
cuandox→0 y cuandox→+∞.
3. Realice un estudio similar al del ejercicio anterior con la fun-
ci´ong:R
+
→R, deﬁnida porg(x) =e
x
/x; para esto admita
que (e
x
)
′
=e
x
.
4. Suponiendo conocidas las reglas de derivaci´on de las funcio-
nes seno y coseno, pruebe que sen : (−π/2, π/2)→(−1,1),
cos : (0, π)→(−1,1) y tan = sen/cos : (−π/2, π/2)→Rson
biyecciones con derivadas6= 0 en todo punto; calcule las deri-
vadas de las funciones inversas arc sen : (−1,1)→(π/2, π/2),
arc cos : (−1,1)→(0, π) y arctan :R→(−π/2, π/2).
5. Dadafderivable en el intervaloI, seanX={f
′
(x) :x∈I}
eY={[f(y)−f(x)]/(y−x) :x6=y y, x∈I}. El Teorema
del Valor Medio nos asegura queY⊂X. D´e un ejemplo en el
queY6=X. Pruebe queY=X, concluya que supX= supY
e ´ınfX= ´ınfY.
6. Seaf: (a, b)→Racotada y derivable. Si no existe l´ım
x→a
+
f(x)
o l´ım
x→b
−
f(x), pruebe que, para todoc∈R, existex∈(a, b) tal
quef
′
(x) =c.

Secci´on 5 Ejercicios115
7. Seaf: [a, b]→Rcontinua y derivable en el intervalo abierto
(a, b), tal quef
′
(x)≥0 para todox∈(a, b). Sif
′
(x) = 0 so-
lamente en un conjunto ﬁnito, pruebe quefes estrictamente
creciente.
8. Use el principio de los intervalos encajados para probar direc-
tamente (sin usar el Teorema del Valor Medio) que sif:I→
Res derivable, conf
′
(x) = 0 en todo puntoxdel intervaloI,
entoncesfes constante.
9. Usando la t´ecnica del ejercicio anterior, pruebe que una fun-
ci´on derivablef:I→R, tal que|f
′
(x)| ≤kpara to-
doxen el intervaloI, cumple la condici´on de Lispschitz
|f(y)−f(x)| ≤k|y−x|para todox, y∈I.
10. Seaf: [a, b]→Runa funci´on con derivada acotada en (a, b)
que cumple la propiedad del valor intermedio (cfr. Ejercicio
2.3, Cap´ıtulo 7). Pruebe quefes continua.
11. Sif:I→Rcumple|f(y)−f(x)| ≤c|y−x|
α
para todo
x, y∈I, conα >1 yc∈R, pruebe quefes constante.
12. Pruebe que sif:X→Res derivable yf
′
:X∩X
′
→R
es continua en el puntoa, entonces, para cualquier par de
sucesionesxn6=yn∈Xcon l´ımxn= l´ımyn=a, se tiene
l´ım[f(yn)−f(xn)]/(yn−xn) =f
′
(a).

116Derivadas Cap. 8

9
F´ormula de Taylor
y aplicaciones de la derivada
Las aplicaciones m´as elementales de la derivada, relacionadas con
problemas de m´aximos y m´ınimos, y la regla de L’Hˆopital, se en-
cuentran ampliamente divulgadas en los libros de c´alculo. Aqu´ı ex-
pondremos dos aplicaciones, a saber, el estudio de las funciones
convexas y el m´etodo de Newton.
1. F´ormula de Taylor
Lan-´esima derivada (o derivada de ordenn)de una funci´onfen
el puntoase indicar´a con la notaci´onf
(n)
(a). Paran= 1,2 y
3 se escribef
′
(a), f
′′
(a) yf
′′′
(a), respectivamente. Por deﬁnici´on
f
′′
(a) = (f
′
)
′
(a), y as´ı sucesivamente:f
(n)
(a) = (f
(n−1)
)
′
(a). Para
quef
(n)
(a) tenga sentido es necesario quef
(n−1)
(x) est´e deﬁnida
en un conjunto del queasea punto de acumulaci´on y que sea deri-
vable en el puntox=a. En todos lo casos que consideraremos tal
conjunto ser´a un intervalo. Cuando existef
(n)
(x) para todox∈I,
se dice que la funci´onf:I→Resderivablenveces en el intervalo
I. Cuandofes derivable (n−1) veces en un entorno deay existe
f
(n)
(a) decimos quef:I→Resderivablenveces en el punto
a∈I.
Decimos quef:I→Res un funci´on declaseC
n
, y escribimos
f∈C
n
, cuandofes derivablenveces y, adem´as, la funci´onf
(n)
:
I→Res continua. Cuandof∈C
n
para todon∈N, decimos que
fes declaseC
∞
, y escribimosf∈C
∞
. Es conveniente considerar
fcomo su propia “derivada de orden cero” y escribirf
(0)
=f.
117

118F´ormula de Taylor y aplicaciones de la derivada Cap. 9
As´ıf∈C
0
quiere decir quefes una funci´on continua.
Ejemplo 1.Paran= 0,1,2, . . .seafn:R→Rdeﬁnida mediante
fn(x) =x
n
|x|. Entonces,fn(x) =x
n+1
six≥0 yfn(x) =−x
n+1
six≥0. Cada funci´onfnes de claseC
n
pues sun-´esima derivada
es igual a (n+ 1)!|x|. Sin embargofnno es derivable (n+ 1) veces
en el punto 0, luego no es de claseC
n+1
. Las funciones de uso m´as
frecuente, tales como polinomios, funciones racionales, funciones
trigonom´etricas, exponenciales y logaritmo son de claseC
∞
.
Seaf:I→Rdeﬁnida en el intervaloIy derivablenveces en el
puntoa∈I. Elpolinomio de Taylor de ordennde la funci´onfen
el puntoaes el polinomiop(h) =a0+a1h+ anh
n
(de grado≤n)
cuyas derivadas de orden≤nen el puntoh= 0 coinciden con las de-
rivadas del mismo orden defen el puntoa, esto es,p
(i)
(0) =f
(i)
(a),
i= 0,1, . . . , n. Ahora bien, las derivadasp
(0)
(0), p
(1)
(0), . . . , p
(n)
(0)
determinan un´ıvocamente el polinomiop(h), puesp
(i)
(0) =i!ai. Por
tanto, el polinomio de Taylor de ordennde la funci´onfen el punto
aes:
p(h) =f(a) +f
′
(a)h+
f
′′
(a)
2!
h
2
+ +
f
(n)
(a)
n!
h
n
.
Sip(h) es el polinomio de Taylor de ordennde la funci´onf:
I→Res el puntoa∈Ientonces la funci´onr(h) =f(a+h)−p(h),
deﬁnida en el intervaloJ={h∈R:a+h∈I}, es derivablen
veces en el punto 0∈J; adem´asr(0) =r
′
(0) = =r
(n)
(0) = 0.
Lema 1.Sear:J→Rderivablenveces en el punto0∈J.
Para quer
(i)
= 0,i= 0,1, . . . , n, es necesario y suﬁciente que
l´ım
h→0
r(h)/h
n
= 0.
Demostraci´on:En primer lugar supongamos que las derivadas
derde orden menor o igual an, se anulan en el punto 0. Para
n= 1, esto quiere decirr(0) =r
′
(0) = 0. Entonces l´ım
h→0
r(h)/h=
l´ım
h→0
[r(h)−r(0)]/h=r
′
(0) = 0. Paran= 2 tenemosr(0) =r
′
(0) =
r
′′
(0) = 0. Por lo que acabamos de ver esto implica l´ım
x→0
r
′
(x)/x= 0.
El Teorema del Valor Medio nos asegura que, para todoh6= 0,
existexen el intervalo de extremos 0 yhtal quer(h)/h
2
= [r(h)−
r(0)]/h
2
=r
′
(x)h/h
2
=r
′
(x)/h. Por consiguente, l´ım
h→0
r(h)/h
2
=

Secci´on 1 F´ormula de Taylor119
l´ım
h→0
r
′
(x)/h= l´ım
h→0
[r
′
(x)/x][x/h] = 0, puesh→0 implicax→0
y, adem´as.|x/h| ≤1. El mismo argumento nos permite pasar de
n= 2 an= 3 y as´ı sucesivamente. Rec´ıprocamente, supongamos
que l´ım
h→0
r(h)/h
n
= 0. De aqu´ı resulta que, parai= 0,1, . . . , n,
l´ım
h→0
r(h)/h
i
= l´ım
h→0
(r(h)/h
n
)h
n−i
= 0. Por tantor(0) = l´ım
h→0
r(h) =
l´ım
h→0
r(h)/h
0
= 0. Adem´as,r
′
(0) = l´ım
h→0
r(h)/h= 0. Respecto ar
′′
(0)
consideremos la funci´on auxiliarϕ:J→R, deﬁnida comoϕ(h) =
r(h)−r
′′
(0)h
2
/2. Evidentemente,ϕ(0) =ϕ
′
(0) =ϕ
′′
(0) = 0. De
la parte del lema ya demostrada se deduce que l´ım
h→0
ϕ(h)/h
2
= 0.
Comoϕ(h)/h
2
=r(h)/h
2
−r
′′
(0)/2 y sabemos que l´ım
h→0
r(h)/h
2
= 0,
resulta quer
′′
(0) = 0. El mismo argumento nos permite pasar de
n= 2 an= 3, y as´ı sucesivamente.
Teorema 1. (F´ormula de Taylor inﬁnitesimal)Seaf:I→R
nveces derivable en el puntoa∈I. La funci´onr:J→R, deﬁnida
en el intervaloJ={h∈R:a+h∈I}mediante la igualdad
f(a+h) =f(a) +f
′
(a)h+
f
′′
(a)
2!
h
2
+ +
f
(n)
(a)
n!
h
n
+r(h),
cumplel´ım
h→0
r(h)/h
n
= 0. Rec´ıprocamente, sip(h)es un polinomio
de grado≤ntal quer(h) =f(a+h)−p(h)cumplel´ım
h→0
r(h)/h
n
= 0,
entoncesp(h)es el polinomio de Taylor de ordenndefen el punto
a, esto es,
p(h) =
n
X
i=0
f
(i)
(a)
i!
h
i
.
Demostraci´on:La funci´onr, deﬁnida a partir de la f´ormula de
Taylor, esnveces derivable en el punto 0 y sus derivadas, hasta
la de ordenn, son nulas en dicho punto. Luego, por el Lema, se
tiene l´ım
h→0
r(h)/h
n
= 0. Rec´ıprocamente, sir(h) =f(a+h)−p(h)
es tal que l´ımr(h)/h
n
= 0 entonces, de nuevo por el Lema, las
derivadas, hasta la de ordenn, deren el punto 0 son nulas, luego
p
(i)
(0) =f
(i)
(a) parai= 0,1, . . . , n, o sea,p(h) es el polinomio de
Taylor de ordennde la funci´onfen el puntoa.
Ejemplo 2.Seaf:I→Rnveces derivable en el puntoa∈intI
y tal quef
(i)
(a) = 0 para 1≤i < nyf
(n)
(a)6= 0. Sines par,

120F´ormula de Taylor y aplicaciones de la derivada Cap. 9
entoncesfposee un m´ınimo local estricto en el puntoasiempre
quef
(n)
(a)>0, un m´aximo local estricto siempre quef
(n)
(a)<0.
Sines impar entoncesano es punto ni de m´ınimo ni de m´aximo
local. En efecto, en este caso podemos escribir la f´ormula de Taylor
como
f(a+h)−f(a) =h
n
≤
f
(n)
(a)
n!
+
r(h)
h
n
≥
.
Por la deﬁnici´on de l´ımite existeδ >0 tal que paraa+h∈I,
0<|h|< δ, la suma de los t´erminos dentro de los corchetes tiene el
mismo signo quef
(n)
(a). Comoa∈intI, podemos tomarδde modo
que|h|< δ→a+h∈I. Entonces, cuandones par yf
(n)
8a)>0, la
diferenciaf(a+h)−f(a) es positiva siempre que 0<|h|< δ, luego
fposee un m´ınimo local estricto en el puntoa. An´alogamente, si
nes par yf
(n)
(a)<0, la diferenciaf(a+h)−f(a) es negativa
cuando 0<|h|< δ, luegoftiene un m´aximo local en el puntoa.
Finalmente, sines impar, el factorh
n
tiene el mismo signo queh,
luego la diferenciaf(a+h)−f(a) cambia de signo cuandohas´ı lo
hace, luegofno tiene ni un m´aximo ni un m´ınimo local en el punto
a.
Ejemplo 3. (De nuevo la Regla de L’Hˆopital)Seanf, g:
I→Rnveces derivables en el puntoa∈I, con derivadas nulas en
dicho punto hasta la de ordenn−1. Sig
(n)
(a)6= 0 entonces
l´ım
x→a
f(x)
g(x)
=
f
(n)
(a)
g
(n)
(a)
.
En efecto, por la f´ormula de Taylor, tenemos
f(a+h) =h
n
≤
f
(n)
(a)
n!
+
r(h)
h
n
≥
y
g(a+h) =h
n
≤
g
(n)
(a)
n!
+
s(h)
h
n
≥
,
donde l´ım
h→0
r(h)
h
n
= l´ım
h→0
s(h)
h
n
= 0. Por tanto
l´ım
x→a
f(x)
g(x)
= l´ım
h→0
f(a+h)
g(a+h)
= l´ım
h→0
f
(n)
(a)
n!
+
r(h)
h
n
g
(n)
(a)
n!
+
s(h)
h
n
=
f
(n)
(a)
g
(n)
(a)
.

Secci´on 2 Funciones c´oncavas y convexas 121
La f´ormula de Taylor inﬁnitesimal se denomina as´ı porque s´olo
aﬁrma algo cuandoh→0. A continuaci´on daremos otra versi´on
de esta f´ormula donde se calcula de forma aproximada el valor de
f(a+h) parahﬁjo.
´
Esta es una generalizaci´on del Teorema del
Valor Medio de Lagrange. Igual que en aquel teorema, se trata de
un resultado de car´acter global, donde se supone quefesnveces
derivable en todos los puntos del intervalo (a, a+h).
Teorema 2. (F´ormula de Taylor, con resto de Lagrange.)
Seaf: [a, b]→Rderivablenveces en el intervalo abierto(a, b)y
f
(n−1)
continua en[a, b]. Entonces existec∈(a, b)tal que:
f(b) =f(a)+f
′
(a)(b−a)+ +
f
(n−1)
(a)
(n−1)!
(b−a)
n−1
+
f
(n)
(c)
n!
(b−a)
n
.
Escribiendob=a+h, esto quiere decir que existeθ,0< θ <1, tal
que
f(a+h) =f(a) +f
′
(a)h++
f
(n−1)
(a)
(n−1)!
h
n−1
+
f
(n)
(a+θh)
n!
h
n
.
Demostraci´on:Seaϕ: [a, b]→Rdeﬁnida mediante
ϕ(x) =f(b)−f(x)−f
′
(x)(b−x)− −
f
(n−1)
(x)
(n−1)!
(b−x)
n−1
−
K
n!
(b−x)
n
,
donde la constanteKse escoge de forma queϕ(a) = 0. Entonces
ϕes continua en [a, b], diferenciable en (a, b) yϕ(a) =ϕ(b) = 0. Se
ve facilmente que
ϕ
′
(x) =
K−f
(n)
(x)
(n−1)!
(b−x)
n−1
.
Por el Teorema de Rolle, existec∈(a, b) tal queϕ
′
(c) = 0. Esto
signiﬁca queK=f
(n)
(c). Ahora el Teorema 2 se obtiene haciendo
x=aen la deﬁnici´on deϕy recordando queϕ(a) = 0.
2. Funciones c´oncavas y convexas
Sia6=b, la recta que une los puntos (a, A) y (b, B) en el plano
R
2
es el conjunto de los puntos (x, y) tales que
y=A+
B−a
b−a
(x−a),

122F´ormula de Taylor y aplicaciones de la derivada Cap. 9
o equivalentemente
y=B+
B−A
b−a
(x−b).
a x
b
f(a)
f(x)
f(b)
Cuando se tiene una funci´onf:X→R, deﬁnida en un conjunto
X⊂R, dadosa, b∈X, la recta que une los puntos (a, f(a)) y
(b, f(b)) del gr´aﬁco defse llamasecanteab.
SeaI⊂Run intervalo. Una funci´onf:I→Rse llamaconve-
xacuando su gr´aﬁco est´a situado debajo de cualquier secante. De
forma m´as precisa, la convexidad defse expresa como sigue:
a < x < benI⇒f(x)≤f(a) +
f(b)−f(a)
b−a
(x−a),
o sea
a < x < benI⇒f(x)≤f(b) +
f(b)−f(a)
b−a
(x−b).
Por tanto,f:I→Res convexa en el intervaloIsi, y s´olo si,
se cumplen las desigualdaddes fundamentales:
(∗)a < x < benI⇒
f(x)−f(a)
x−a
≤
f(b)−f(a)
b−a
≤
f(x)−f(b)
x−b
.
Una cualquiera de las dos desigualdades anteriores implica la
otra. Signiﬁca que, sia < x < b, la secanteaxtiene menor pendiente
que la secanteaby ´esta, a su vez, tiene menor pendiente que la
secantexb.
Teorema 3.Sif:I→Res convexa en el intervaloIentonces
existen las derivadas lateralesf
′
+
(c)yf
′
−
(c)en todo puntoc∈intI.

Secci´on 2 Funciones c´oncavas y convexas 123
Demostraci´on:En virtud de las observaciones que acabamos de
hacer la funci´onϕc(x) =
f(x)−f(c)
x−c
es mon´otona creciente en el inter-
valoJ=I∩(c,+∞). Adem´as, comoc∈intI, existea∈I, tal que
a < c. Por tanto,ϕc(x)≥[f(a)−f(c)]/(a−c) para todox∈J.
As´ı, la funci´onϕc:J→Rest´a acotada inferiormente. Luego existe
el l´ımite por la derechaf
′
+
(c) = l´ım
x→c
+
ϕc(x). Para la derivada por la
izquierda usamos un razonamiento semejante.
Corolario 5.Una funci´on convexaf:I→Res continua en todo
punto del interior del intervaloI.
Obs´ervese quef: [0,1]→R, deﬁnida porf(0) = 1 yf(x) = 0
si 0< x≤1, es convexa y sin embargo discontinua en el punto 0.
Teorema 4.Las siguiente aﬁrmaciones sobre la funci´onf:I→R,
derivable en el intervaloI, son equivalentes:
(1)fes convexa.
(2) La derivadaf
′
:I→Res mon´otona creciente.
(3) Para cualesquieraa, x∈Ise tienef(x)≥f(a) +f
′
(a)(x−a),
o sea, el gr´aﬁco defest´a situado encima de sus tangentes.
Demostraci´on:Probaremos las implicaciones (1)⇒(2)⇒(3)⇒(1).
(1)⇒(2). Seana < x < benI. Haciendo primerox→a
+
, y
despu´esx→b
−
, en las desigualdades fundamentales (∗), se tiene
f
′
+
(a)≤[f(b)−f(a)]/(b−a)≤f
′
−
(b). Luegoa < b⇒f
′
(a)≤f
′
(b).
(2)⇒(3). Consideremosa < xenI. Por el Teorema del Valor Me-
dio existez∈(a, x) tal quef(x) =f(a) +f
′
(z)(x−a). Como
f
′
es mon´otona creciente, tenemosf
′
(z)≥f
′
(a). Luegof(x)≥
f(a)+f
′
(a)(x−a). En el casox < ase usa un razonamiento an´alo-
go.
(3)⇒(1). Seana < c < benI. Escribimosα(x) =f(c) +f
′
(c)(x−c
y llamamosH={(x, y)∈R
2
:y≥α(x)}al semiplano superior
limitado por la recta tangente al gr´aﬁco defen el punto (c, f(c)),
y=α(x). Evidentemente,Hes un subconjunto convexo del plano,
esto es, el segmento que une dos puntos cualesquiera deHest´a con-
tenido enH. La hip´otesis (3) nos asegura que los puntos (a, f(a))

124F´ormula de Taylor y aplicaciones de la derivada Cap. 9
y (b, f(b)) pertenecen aH. En particular, el punto de dicho seg-
mento que tiene abcisacpertenece aH, esto es, tiene ordenada
≥α(c) =f(c). Esto signiﬁca quef(c)≤f(a) +
f(b)−f(a)
b−a
(c−a).
Comoa < c < bson puntos cualesquiera deI, la funci´onfes
convexa.
Corolario 1.Todo punto cr´ıtico de una funci´on convexa es un
punto de m´ınimo absoluto.
c a x
Fig. 6- La funci´onf:R
+
→R, dada porf(x) =
x
2
16
+
1
x
,
es convexa. Su punto cr´ıticoc= 2 es un m´ınimo absoluto.
Su gr´aﬁco est´a situado encima de sus tangentes.
En efecto, decir quea∈Ies un punto cr´ıtico de la funci´on
f:I→Requivale a aﬁrmar queftiene derivada nula en dicho
punto. Sifes convexa ya∈Ies un punto cr´ıtico defentonces
la condici´on (3) de arriba nos asegura quef(x)≥f(a) para todo
x∈I, luegoaes un punto m´ınimo absoluto def.
Corolario 2.Una funci´on dos veces derivable en el intervaloI,
f:I→R, es convexa si, y s´olo si,f
′′
(x)≥0 para todox∈I.
En efecto,f
′′
(x)≥0 para todox∈Iequivale a aﬁrmar que
f
′
:I→Res mon´otona creciente.
Una funci´onf:I→Rse dice c´oncava cuando−fes convexa,
esto es, cuando el gr´aﬁco defest`a encima de sus secantes. Las
desigualdades que caracterizan a una funci´on c´oncava son an´alogas
a las de (∗) de arriba, con≥en vez de≤. En cada punto interiorade
su dominio existen las derivadas laterales de una funci´on c´oncava,

Secci´on 2 Funciones c´oncavas y convexas 125
luego la funci´on es continua en dichos puntos. Una funci´on derivable
es c´oncava si, y s´olo si, su derivada es mon´otona decreciente. Una
funci´on dos veces derivable es c´oncava si, y s´olo si, su derivada
segunda es≤0. Una funci´on derivable es c´oncava si, y s´olo si, su
derivada segunda es≤0. Una funci´on derivable es c´oncava si, y
s´olo si, su gr´aﬁco est´a situado debajo de sus tangentes. Todopunto
cr´ıtico de una funci´on c´oncava es un punto de m´aximo absoluto.
Existen tambi´en las nociones de funci´onestrictamente convexa
yestrictamente c´oncava, donde se exige que
a < x < b⇒f(x)< f(a) +
f(b)−f(a)
b−a
(x−a)
en el caso convexo, y con>en vez de<en el caso c´oncavo. Esta
condici´on impide que el gr´aﬁco defposea partes rectil´ıneas. La
convexidad estricta implica quef
′
es estrictamente creciente, pero
no implicaf
′′
(x)>0 para todox∈I. No obstante,f
′′
(x)>0
para todox∈I⇒f
′
estrictamente creciente⇒festrictamente
convexa.
Ejemplo 4.Para todon∈Nla funci´onf:R→R,f(x) =x
2n
es
estrictamente convexa, perof
′′
(x) = 2n(2n−1)x
2n−2
se anula en el
puntox= 0. La funci´on exponencialf(x) =e
x
es (estrictamente)
convexa, mientras que logx(six >0) es c´oncava. La funci´ong:
R− {0} →R,g(x) = 1/x, es c´oncava six <0 y convexa six >0.
Los puntosxdel intervalo [a, b] se escriben de forma ´unica, como
x= (1−t)a+tb, con 0≤t≤1. En efecto, esta igualdad es
equivalente at= (x−a)/(b−a). El segmento de recta que une
los puntos (a, f(a)) y (b, f(b)) en el plano, el punto de abscisax=
(1−t)a+tbtiene como ordenada (1−t)f(a) +tf(b). Por tanto,
una funci´on es convexa si, y s´olo si,
a, b∈I,0≤t≤1⇒f((1−t)a+tb)≤(1−t)f(a) +tf(b).
Equivalentemente,f:I→Res convexa si, y s´olo si, para
cualesquieraa1, a2∈Iyt1, t2∈[0,1] tales quet1+t2= 1, se tiene
f(t1a1+t2a2)≤t1f(a1) +t2f(a2).
Ahora consideremosf:I→Rconvexa,a1, a2, a3∈Iyt1, t2, t3∈
[0,1], cont1+t2+t3= 1. Aﬁrmamos que
f(t1a1+t2a2+t3a3)≤t1f(a1) +t2f(a2) +t3f(a3).

126F´ormula de Taylor y aplicaciones de la derivada Cap. 9
En efecto, esta desigualdad es obvia sit1=t2= 0 yt3= 1. No
obstante, sit1+t26= 0, podemos escribir
t1a1+t2a2+t3a3= (t1+t2)
≤
t1
t1+t2
a1+
t2
t1+t2
a2
≥
+t3a3.
Como
(t1+t2) +t3= 1 y
t1
t1+t2
+
t2
t1+t2
= 1,
aplicando dos veces el caso ya conocido, en el que se tiene dos
sumandos, resulta la desigualdad que queremos obtener.
An´alogamente, sif:I→Res convexa, entonces, dadosa1, . . . , an∈
Iyt1, . . . , tn∈[0,1] tales quet1+ +tn= 1, se tiene
f(t1a1+ +tnan)≤t1f(a1) + +tnf(an).
Este resultado aplicado a la funci´on convexaf(x) = exp(x), con
t1=t2= =tn= 1/n,a1= logx1, . . . , an= logxn, nos da, para
cualesquierann´umeros reales positivosx1, . . . , xn, la desigualdad
n
√
x1x2 xn=
n
√
e
a1e
a2 e
an
= exp
`
a1+ +an
n
´
=f(t1a1+ +tnan)
≤t1f(a1) + +tnf(an)
=
e
a1
+ +e
an
n
=
x1+ +xn
n
,
o sea:
n
√
x1x2 xn≤
x1+ +xn
n
.
´
Esta es la desigualdad cl´asica entre las medias aritm´eticas y geom´etri-
ca.
En general, el mismo m´etodo sirve para demostrar la desigual-
dad:
x
t1
1
x
t2
2
x
tn
n
≤t1x1+t2x2+ +tnxn
v´alidas para n´umeros mayores o iguales ax1, . . . , xnyt1, . . . , tn
tales quet1+t2+ +tn= 1. La desigualdad anterior entre las
medias aritm´eticas y geom´etrica corresponde al caso particulart1=
=tn= 1/n.

Secci´on 3 Aproximaciones sucesivas y el m´etodo de Newton 127
3. Aproximaciones sucesivas y el m´etodo de Newton
Se dice que una funci´onf:X→Res unacontracci´oncuando
existe una constantek∈[0,1) tal que|f(y)−f(x)| ≤k|y−x|para
cualesquierax, y∈X. Los ejemplos m´as comunes de contracciones
son las funcionesf:I→R, derivables en el intervaloI, tales que
|f
′
(x)| ≤k <1 para todox∈I. Evidentemente, toda contracci´on
es una funci´on uniformemente continua.
Teorema 5. (Punto ﬁjo de las contracciones)SiX⊂Res
cerrado entonces toda contracci´onf:X→Xposee un ´unico punto
ﬁjo. De forma m´as precisa, dado cualquierx0∈X, la sucesi´on de
las aproximaciones sucesivas
x1=f(x0), x2=f(x1), . . . , xn+1=f(xn), . . .
converge para el ´unico puntoa∈Xtal quef(a) =a.
Demostraci´on:Sea|f(y)−f(x)| ≤k|y−x|para cualesquiera
x, y∈X, donde 0≤k <1. Entonces|xn+1−xn| ≤k|xn−xn−1|,
luego, por el Criterio de d
´
Alembert, la series=
P
∞
n=1
(xn−xn−1) es
absolutamente convergente. Ahora bien, la suma de losnprimeros
t´erminos de esta serie essn=xn−x0. De l´ımsn=sse sigue
l´ımxn=s+x0=a. Como el conjuntoXes cerrado se tienea∈X.
Haciendon→ ∞en la igualdadxn+1=f(xn), comofes continua,
se obtienea=f(a). Finalmente, sia=f(a) yb=f(b) entonces
|b−a|=|f(b)−f(a)| ≤k|b−a|, o sea, (1−k)|b−a| ≤0. Como
1−k >0, concluimos quea=b, luego el punto ﬁoa∈Xes
´unico.
Ejemplo 5.La funci´onf:R→R, dada porf(x) =
√
1 +x
2
,
no tiene ning´un punto ﬁjo, puesf(x)> xpara todox∈R. Su
derivadaf
′
(x) =x/
√
x
2
+ 1 cumple|f
′
(x)|<1, luego se tiene
|f(y)−f(x)|<|y−x|para cualesquierax, y∈R. Este ejemplo
demuestra que solamente la condici´on|f(y)−f(x)|<|y−x|no es
suﬁciente para obtener un punto ﬁjo.
Ejemplo 6.La funci´onf: [1,+∞)→R, dada porf(x) =x/2,
es una contracci´on; sin embargo, no tiene ning´un punto ﬁjoa∈
[1,+∞). Esto demuestra que en el m´etodo de las aproximaciones
sucesivas es esencial veriﬁcar que la condici´onf(X)⊂Xse cumple.
En este ejemplo, no se tienef([1,+∞))⊂[1,+∞).

128F´ormula de Taylor y aplicaciones de la derivada Cap. 9
Ejemplo 7.f: (0,1)→(0,1), dada porf(x) =x/2, tiene derivada
f
′
(x) = 1/2; sin embargo no posee ning´un punto ﬁjo, pues (0,1) no
es cerrado.
Una aplicaci´on importante del m´etodo de las aproximaciones
sucesivas es el llamadom´etodo de Newtonpara la obtenci´on de
aproximaciones de una ra´ız de la ecuaci´onf(x) = 0. En este m´etodo
se tiene una funci´onf:I→Rde claseC
1
en el intervaloI, tal que
f
′
(x)6= 0 para todox∈I, se toma un valor inicialx0y se escribe
x1=x0−
f(x0)
f
′
(x0)
,
x2=x1−
f(x1)
f
′
(x1)
,
.
.
.
xn+1=xn−
f(xn)
f
′
(xn)
,etc.
Cuando la sucesi´on (xn) converge, su l´ımiteaes una ra´ız de la
ecuaci´onf(x) = 0 pues, haciendon→ ∞en la igualdad
xn+1=xn−
f(xn)
f
′
(xn)
,
resultaa=a−f(a)/f
′
(a), de dondef(a) = 0.
El m´etodo de Newton resulta al observar que las ra´ıces de la
ecuaci´onf(x) = 0 son los puntos ﬁjos de la funci´onN=Nf:I→
R, deﬁnida mediante
N(x) =x−
f(x)
f
′
(x)
.
El n´umeroN(x) =x−f(x)/f
′
(x) es la abscisa del punto en
que la tangente al gr´aﬁco defen el punto (x, f(x)) intersecta al
eje horizontal. La idea que motiva el m´etodo de Newton es que, si la
tangente es una aproximaci´on de la curva, entonces su intersecci´on
con el ejexes una aproximaci´on del punto de intersecci´on de la
curva con dicho eje, esto es, el puntoxtal quef(x) = 0.
Es f´acil dar ejemplos en los que la sucesi´on (xn) de las aproxi-
maciones del m´etodo de Newton no converge: es suﬁciente tomar
una funci´on, como por ejemplof(x) =e
x
, que no alcance el valor
0.

Secci´on 3 Aproximaciones sucesivas y el m´etodo de Newton 129
y
x
y=f(x)
0 x0x1x2
f(x0)
f(x1)
Fig. 7- Como la pendiente de la tangente esf
′
(x) =
f(x0)/(x0−x1), se sigue quex1=x0−f(x0)/f
′
(x0)
Incluso en el caso en que la ecuaci´onf(x) = 0 tenga una ra´ız real la
sucesi´on (xn) puede ser divergente, por ejemplo six0se toma lejos
de la ra´ız.
Existen, evidentemente, inﬁnitas funciones cuyos puntos ﬁjos
son las ra´ıces de la ecuaci´onf(x) = 0. La importancia de la fun-
ci´onN(x) reside en la rapidez con que las aproximaciones sucesivas
convergen a la ra´ızade la ecuaci´onf(x) = 0 (cuando convergen):
cadaxn+1=N(xn) es una aproximaci´on deacerca del doble de los
d´ıgitos decimales exactos dexn. (Vea el Ejemplo 9).
A continuaci´on demostraremos que si la derivida segunda de
f:I→Res continuamf
′′
:I→Ryf
′
(x)6= 0 para todo
x∈I, entonces cada puntoa∈Ital quef(a) = 0 tiene un entorno
J= [a−δ, a+δ] tal que, comenzando con cualquier valor inicial
x0∈J, la sucesi´on de puntos (xn+1) =N(xn) converge aa.
En efecto, la derivadaN
′
(x) =f(x)f
′′
(x)/f
′
(x)
2
se anula en el
puntox=a. ComoN
′
(x) es continua, si ﬁjamos cualquierk∈(0,1)
obtendremosδ >0 tal queJ= [a−δ, a+δ]⊂Iy|N
′
(x)| ≤k <1
para todox∈J. Aﬁrmamos quex∈J⇒N(x)∈J. De hecho,
x∈J⇒ |N(x)−N(a)| ≤k|x−a|<|x−a| ≤δ⇒N(x)∈J.
Por tanto,N:J→Ies una contracci´on. Luego la sucesi´onx1=
N(x0), . . . , xn+1=N(xn) converge al ´unico punto ﬁjoa∈Jde la
contracci´onN.

130F´ormula de Taylor y aplicaciones de la derivada Cap. 9
-x0
-1/2
x01/2
Fig. 8- La funci´onf: [−1/2,1/2]→R, dada porf(x) =
x−x
3
, se anula six= 0. Los valores aproximados de esta
ra´ız por el m´etodo de Newton, cuando el valor inicial es
x0=
√
5/5, son sucesivamentex0,−x0, x0,−x0, etc. As´ı,
el m´etodo no converge.
Ejemplo 8. (C´alculo aproximado de
n
√
n).Dadoc >0 yn∈
N, consideremos el intervaloI= [
n
√
c,+∞) y la funci´onf:I→R,
dada porf(x) =x
n
−c. Comof
′
(x) =nx
n−1
, la funci´on de Newton
N:I→Res de la formaN(x) =
1
n
[(n−1)x+c/x
n−1
]. As´ı,
para todox >0,N(x) es la media aritm´etica de losnn´umeros
x, x, . . . , x, c/x
n−1
. Como la media geom´etrica de estosnn´umeros
es
n
√
c, conclu´ımos queN(x)≥
n
√
cpara todox >0. En particular,
x∈I⇒N(x)∈I. Adem´asN
′
(x) =
n−1
n
(1−c/x
n
), luego 0≤
N
′
(x)≤(n−1)/npara todox∈I. Esto demuestra queN:I→I
es una contracci´on. Por tanto, tomando cualquierx0>0, tenemos
N(x0) =x1∈Iy las aproximaciones sucesivasxn+1=N(xn)
convergen (r´apidamente) a
n
√
c.
Ejemplo 9. (El m´etodo de Newton converge cuadr´atica-
mente.)Consideremosf:I→Rde claseC
2
en el intervalo
I, tal que|f
′′
(x)| ≤Ay|f
′
(x)| ≥Bpara todox∈I, donde
AyBson constantes positivas. Acabamos de ver que, si toma-
mos la aproximaci´on inicialx0suﬁcientemente cerca de un punto
atal quef(a) = 0, la sucesi´on de las aproximaciones de Newton
xn+1=xn−f(xn)/f
′
(xn) converge aa. A continuaci´on usaremos el
Teorema 2 para obtener una comparaci´on entre los errores|xn+1−a|
y|xn−a|. Existe un n´umeroccomprendido entreayxntal que:
0 =f(a) =f(xn) +f
′
(xn)(a−xn) +
f
′′
(c)
2
(a−xn)
2
.

Secci´on 5 Ejercicios131
Entonces
f
′
(xn)xn−f(xn)−f
′
(xn)a=
f
′′
(c)
2
(xn−a)
2
.
Dividiendo porf
′
(xn) obtenemos:
xn−
f(xn)
f
′
(xn)
−a=
f
′′
(c)
2f
′
(xn)
(xn−a)
2
,
esto es,
xn+1−a=
f
′′
(c)
2f
′
(xn)
(xn−a)
2
.
De donde, inmediatamente, se tiene|xn+1−a| ≤
A
2B
|xn−a|
2
. Cuando
|xn−a|<1, el cuadrado|xn−a|
2
es mucho menor, lo que muestra la
rapidez de la convergencia en el m´etodo de Newton. Por ejemplo, si
f(x) =x
n
−ctenemosf
′′
/2f
′
= (n−a)/2x. Por tanto, si queremos
calcular valores aproximados de
n
√
c, dondec >1, podemos empezar
conx0>1 y siempre tendremos|xk+1−
n
√
c| ≤
n−1
2
|xk−
n
√
c|
2
. Si
n≤3 se tiene|xk+1−
n
√
c| ≤ |xk−
n
√
c|
2
. Luego sixktienepd´ıgitos
decimales exactos entoncesxk+1tiene 2p.
5. Ejercicios
Secci´on 1: F´ormula de Taylor
1. Use la igualdad
1
(1−x)
= 1 +x+ +x
n
+
x
n+1
(1−x)
y la f´ormula de Taylor inﬁnitesimal para calcular las derivadas
sucesivas en el puntox= 0, de la funci´onf: (−1,1)→R,
dada porf(x) = 1/(1−x).
2. Seaf:R→Rdeﬁnida porf(x) =x
5
/(1 +x
6
). Calcule las
derivadas de orden 2001 y 2003 defen el puntox= 0.
3. Seaf:I→Rde claseC
∞
en el intervaloI. Supongamos
que existek >0 tal que|f
(n)
(x)| ≤kpara todox∈Iy
n∈N. Pruebe que para cualesquierax0, x∈Ise tienef(x) =
P
∞
n=0
f
(n)
(x)
n!
(x−x0)
n
.

132F´ormila de Taylor y aplicaciones de la derivada Cap. 9
4. Usando la f´ormula de Taylor con resto de Lagrange demuestre
quef
′′
≥0⇒fconvexa.
5. Seaf:I→Rde claseC
2
en el intervaloI. Dadoa∈Ideﬁna
la funci´onϕ:I→Rcomoϕ(x) = [f(x)−f(a)]/(x−a) si
x6=ayϕ(a) =f
′
(a). Pruebe queϕes de claseC
1
. Demuestre
quef∈C
3
⇒ϕ∈C
2
.
6. Seap:R→Run polinomio de gradon. Pruebe que para
cualesquieraa, x∈Rse tiene:
p(x) =p(a) +p
′
(a)(x−a) + +
p
(n)
(a)
n!
(x−a)
n
.
7. Seanf, g:I→Rdos veces derivables en el puntoa∈intI.
Sif(a) =g(a),f
′
(a) =g
′
(a) yf(x)≥g(x) para todox∈I,
demuestre quef
′′
(a)≥g
′′
(a).
Secci´on 2: Funciones c´oncavas y convexas
1. Seanf:I→Ryg:J→Rfunciones convexas tales que
f(I)⊂Jygmon´otona creciente. Pruebe queg◦fes con-
vexa. D´e otra demostraci´on suponiendo quefygson dos
veces derivables. Demuestre mediante un ejemplo que signo
es mon´otona creciente el resultado no es necesariamente ver-
dadero.
2. Sif:I→Rposee un punto cr´ıtico no degeneradoc∈intI
en el quef
′′
es continua, demuestre que existeδ >0 tal que
fes convexa o c´oncava en el intervalo (c−δ, c+δ).
3. Analice la convexidad de la suma y el producto de dos fun-
ciones convexas.
4. Una funci´onf:I→R, deﬁnida en el intervaloI, se llama
quasi-convexa(respectivamente,quasi-c´oncava) cuando, para
todoc∈R, el conjunto{x∈I:f(x)≤c}(respectivamen-
te,{x∈I:f(x)≥c}) es vac´ıo o es un intervalo. Pruebe
que toda funci´on convexa (respectivamente, c´oncava es quasi-
convexa (respectivamente, quasi-c´oncava) y que toda funci´on
mon´otona es, simult´aneamente, quasi-convexa y quasi-c´onca-
va.

Secci´on 5 Ejercicios133
5. Pruebe quef:I→Res quasi-convexa si, y s´olo si, pa-
ra todox, y∈Iyt∈[0,1], se tienef((1−t)x+ty)≤
m´ax{f(x), f(y)}. Enuncie el resultado an´alogo parafquasi-
c´oncava.
6. Seaf: [a, b]→Runa funci´on continua quasi-convexa, cu-
yo valor m´ınimo se alcanza en el puntoc∈[a, b]. Pruebe
que sic=aentoncesfes mon´otona creciente, sic=b,f
es mon´otona decreciente, y, ﬁnalmente, sia < c < b,fes
mon´otona decreciente en [a, c] y mon´otona creciente en [c, b].
Enuncie un resultado an´alogo parafquasi-c´oncava. Concluya
que una funci´on continuaf: [a, b]→Res quasi-convexa si, y
s´olo si, existec∈[a, b] tal quefes mon´otona decreciente en
el intervalo [a, c] y mon´otona creciente en el intervalo [c, b].
7. Para cadan∈N, seafn:I→Runa funci´on convexa. Supon-
ga que la sucesi´on de n´umeros (fn(x))n∈Nconverge para todo
x∈I. Pruebe que la funci´onf:I→R, deﬁnida median-
tef(x) = l´ım
n→∞
fn(x) es convexa. Pruebe resultados an´alogos
para funciones quasi-convexas, concavas y quasi-c´oncavas.
8. Seaf: [a, b]→Runa funci´on continua y convexa tal que
f(a)<0< f(b). Pruebe que existe un ´unico puntoc∈(a, b)
tal quef(c) = 0.
Secci´on 3: Aproximaciones sucesivas. M´etodo de Newton
1. SeanI= [a−δ, a+δ] yf:I→Rtal que|f(x)−f(y)| ≤
k|x−y|, donde 0≤k <1. Pruebe que si|f(a)−a| ≤(1−k)
δ
entonces existe un ´unicox∈Ital quef(x) =x.
2. Deﬁnaf: [0,+∞)→[0,+∞) mediantef(x) = 2
−x/2
. De-
muestre quefes una contracci´on y que siaes su ´unico punto
ﬁjo entonces−aes la ra´ız negativa de la ecuaci´onx
2
= 2
x
. Use
el m´etodo de las aproximaciones sucesivas y una calculadora
para obtener el valor deacon 8 d´ıgitos decimales exactos.
3. SeaI= [a−δ, a+δ]. Si la funci´onf:I→Res de claseC
2
,
conf
′
(x)6= 0 yf(x)f
′′
(x)/f
′
(x)
2
| ≤k <1 para todox∈I, y
|f(a)/f
′
(a9|<(1−k)δ, pruebe que entonces, para cualquier
valor inicialx0∈I, el m´etodo de Newton converge hacia la
´unica ra´ızx∈Ide la ecuaci´onf(x) = 0.

134F´ormila de Taylor y aplicaciones de la derivada Cap. 9
4. Dadoa >1, considere la funci´onf: [0,+∞)→R, dada por
f(x) = 1/(a+x). Pruebe que, dado cualquierx0>0, la su-
cesi´on deﬁnida inductivamente comox1=f(x0), . . . , xn+1=
f(xn), converge a la ra´ız positivacde la ecuaci´onx
2
+ax−1 =
0. (Cfr. Ejercicio 3.6, Cap´ıtulo 3).
5. Pruebe que 1,0754 es un valor aproximado, con 4 d´ıgitos deci-
males exactos, de la ra´ız positiva de la ecuaci´onx
6
+6x−8 = 0.
6. Seaf: [a, b]→Rconvexa y dos veces derivable. Sif(a)<
0< f(b), pruebe que comenzando con un puntox0∈[a, b] tal
quef(x0)>0, el m´etodo de Newton siempre converge a la
´unica ra´ızx∈[a, b] de la ecuaci´onf(x) = 0.

10
La integral
de Riemann
Las nociones de derivada e integral constituyen los dos conceptos
m´as importantes del An´alisis Matem´atico. Mientras que la derivada
corresponde a la noci´on geom´etrica de tangente y a la idea f´ısica
de velocidad, la integral est´a asociada a la noci´on geom´etrica de
´area y a la idea f´ısica de trabajo. Es un hecho notable de suma
importancia que estas dos nociones, aparentemente tan distintas,
est´en ´ıntimamente relacionadas.
1. Revisi´on desupe´ınf
Demostraremos, para su uso inmedianto, algunos resultados ele-
mentales sobre supremos e ´ınﬁmos de conjuntos de n´umeros reales.
Dada una funci´on acotadaf:X→R, recordemos que supf=
supf(X) = sup{f(x) :x∈X}e ´ınff= ´ınff(X) = ´ınf{f(x) :x∈
X}. Todos los conjuntos que consideraremos a continuaci´on ser´an
no vac´ıos.
Lema 1.SeanA, B⊂Rtales que, para todox∈Aey∈B, se
tienex≤y. EntoncessupA≤supB. Para quesupA= ´ınfBes
necesario y suﬁciente que, para todoε >0, existanx∈Aey∈B
tales quey−x < ε.
Demostraci´on:Caday∈Bes una cota superior deA, luego
supA≤y. Lo que demuestra que supAes una cota inferior deB
y por tanto supA≤´ınfB. Si tuviesemos la desigualdad estricta
135

136La integral de Riemann Cap. 10
supA <´ınfB; entoncesε= ´ınfB−supA >0 ey−x≥εpara
cualesquierax∈Aey∈B. Rec´ıprocamente, si supA= ´ınfB
entonces, dadoε >0, supA−ε/2 no es una cota superior deA
e ´ınfB+ε/2 no es una cota inferior deB, luego existenx∈Ae
y∈Btales que supA−ε/2< x≤supA= ´ınfB≤y <´ınfB+ε/2.
Por lo tantoy−x < ε.
Lema 2.SeanAyBconjuntos acotados yc∈R. Entonces los
conjuntosA+B={x+y:x∈A, y∈B}ycA={cx:x∈A}
tambi´en son acotados. Adem´as, se tienesup(A+B) = supA+
supB,´ınf(A+B) = ´ınfA+´ınfB,sup(cA) =csupAy´ınf(cA) =
c´ınfA, cuandoc≥0. Sic <0entonces,sup(cA) =c´ınfAe
´ınf(cA) =csupA.
Demostraci´on:Escribiendoa= supAyb= supB, para todo
x∈Aey∈Bse tienex≤aey≤b, luegox+y≤a+b. Por
tanto,a+bes una cota superior deA+B. Adem´as, dadoε >0,
existenx∈Aey∈Btales quea−ε/2< xyb−ε/2< y, de donde
a+b−ε < x+y. Lo que demuestra quea+bes la menor cota
superior deA+B, o sea, sup(A+B) = supA+ supB. La igualdad
sup(cA) =csupAes obvia sic= 0. Sic >0, dado cualquier
n´umerodmenor quecatenemosd/c < a, luego existex∈Atal
qued/c < x. De donded < cx. Lo que demuestra quecaes la
menor cota superior decA, o sea, sup(cA) =csupA. Los dem´as
casos enunciados en el lema se prueban de forma an´aloga.
Corolario 3.Seanf, g:X→Rfunciones acotadas. Entonces las
funcionesf+g, cf:X→Rtambi´en est´an acotadas para todoc∈
R. Adem´as sup(f+g)≤supf+ supg, ´ınf(f+g)≥´ınf(f) +´ınf(g),
sup(cf) =csupfe ´ınf(cf) =c´ınffcuandoc≥0. Sic <0, se
tiene sup(cf) =c´ınf(f) e ´ınf(cf) =csupf.
En efecto, seanA=f(X),B=g(X),C= (f+g)(X) ={f(x)+
g(x) :x∈X}. Evidentemente,C⊂A+B, luego sup(f+g) =
sup(C)≤sup(A+B) = supA+ supB= supf+ supg. Adem´as,
sup(cf) = sup{cf(x) :x∈X}= sup(cA) =csupA=csupf,
cuandoc≥0. Los dem´as casos enunciados en el Corolario se prue-
ban de forma an´aloga.
Observaci´on:De hecho se puede tener sup(f+g)<supf+ supg
e ´ınf(f+g)>´ınff+ ´ınfg. Basta considerarf, g: [0,1]→R,
f(x) =xyg(x) =−x.

Secci´on 2 Integral de Riemann137
Lema 3.Dadaf:X→Racotada, seanm= ´ınff,M= supfy
ω=M−m. Entoncesω= sup{|f(x)−f(y)|:x, y∈X}.
Demostraci´on:Dados cualesquierax, y∈X, que para ﬁjar ideas
supondremos tales quef(x)≥f(y), se tienem≤f(y)≤f(x)≤
M, de donde|f(x)−f(y)| ≤M−m=ω. Por otra parte, dado
cualquierε >0 podemos encontrarx, y∈Xtales quef(x)>
M−ε/2 yf(x)< m+ε/2. Entonces|f(x)−f(y)| ≥f(x)−f(y)>
M−m−ε=ω−ε. As´ı,ωes la menor de las cotas superiores del
conjunto{|f(x)−f(y)|:x, y∈X}, lo que prueba el lema.
Lema 4.SeanA
′
⊂AyB
′
⊂Bconjuntos acotados de n´umeros
reales. Si para cadaa∈Ayb∈Bexistena
′
∈A
′
yb
′
∈B
′
tales
quea≤a
′
yb
′
≤b, entoncessupA
′
= supAe´ınfB
′
= ´ınfB.
Demostraci´on:Evidentemente, supAes una cota superior deA
′
.
Adem´as, sic <supAexistea∈Atal quec < a, luego existea
′
∈A
′
tal quec < a≤a
′
, por tantocno es una cota superior deA
′
. As´ı,
supAes la menor cota superior deA
′
, esto es, supA= supA
′
. Un
razonamiento an´alogo demuestra el resultado para ´ınfB= ´ınfB
′
.
2. Integral de Riemann
Unapartici´ondel intervalo [a, b] es un subconjunto ﬁnito de
puntosP={t0, t1, . . . , tn} ⊂[a, b] tal quea∈Pyb∈P. Siempre
usaremos esta notaci´on de forma quea=t0< t1< < tn=b. El
intervalo [ti−1, ti], delongitudti−ti−1, se llamar´ai-´esimo intervalo
de la partici´onP. Evidentemente,
P
n
i=1
(ti−ti−1) =b−a.
SeanPyQparticiones del intervalo [a, b]. Se dice queQreﬁna
PcuandoP⊂Q. La manera m´as sencilla de reﬁnar una partici´on
consiste en a˜nadirle un nuevo punto.
Dada una funci´on acotadaf: [a, b]→R, usaremos la nota-
ci´onm= ´ınf{f(x) :x∈[a, b]}yM= sup{f(x) :x∈[a, b]}.
En particular, tenemosm≤f(x)≤Mpara todox∈[a, b]. Si
P={t0, t1, . . . , tn}es una partici´on de [a, b], la notaci´onmi=
´ınf{f(x) :ti−1≤x≤ti},Mi= sup{f(x) :ti−1≤x≤ti}y
ωi=Mi−mi, indica el ´ınﬁmo, el supremo y laoscilaci´ondef(x)

138La integral de Riemann Cap. 10
en eli-´esimo intervalo deP. Cuandofes continua los valoresmi
yMison alcanzados porfen [ti−1, ti]. En particular, en este caso
existenxi, yi∈[ti−1, ti] tales queωi=|f(yi)−f(xi)|.
Lasuma inferiordefrelativa a la partici´onPes el n´umero
s(f;P) =m1(t1−t0) + +mn(tn−tn−1) =
n
X
i=1
mi(ti−ti−1).
Lasuma superiordefrelativa a la partici´onPes, por deﬁni-
ci´on,
S(f;P) =M1(t1−t0) + +Mn(tn−tn−1) =
n
X
i=1
Mi(ti−ti−1).
Evidentemente,m(b−a)≤s(f;P)≤S(f;P)≤M(b−a), sea
cual fuere la partici´onP. Adem´asS(f;P)−s(f;P) =
P
n
i=1
ωi(ti−
ti−1).
Cuando en el contexto est´e claro qui´en esf, se puede escribir
simplementes(P) yS(P) en vez des(f;P) yS(f;P), respectiva-
mente.
at1 t2t3 t4b
at1 t2t3 t4b
Fig. 9- La suma inferior y la suma superior
En el caso en quef(x)≥0 para todox∈[a, b], los n´umeros
s(f;P) yS(f;P) son valores aproximados, por defecto y por exceso
respectivamente, del ´area de la regi´on limitada por el gr´aﬁco def,
el intervalo [a, b] en el eje de abcisas y las perpendiculares a dicho
eje en los puntosayb. Cuandof(x)≤0 para todox∈[a, b], esas
sumas son aproximadamente de dicha ´area con el signo invertido.

Secci´on 2 Integral de Riemann139
Laintegral superiory laintegral inferiorde una funci´on acotada
f: [a, b]→Rse deﬁnen, respectivamente, como
Z
b
a
f(x)dx= sup
P
s(f;P),
Z
b
a
f(x)dx= ´ınf
P
S(f;P),
donde el sup y el´ınf se toman en el conjunto de todas las particiones
Pdel intervalo [a, b].
Teorema 1.Cuando se reﬁna una partici´on, la suma inferior no
disminuye y la suma superior no aumenta. O sea:P⊂Q⇒s(f;P)≤
s(f;Q)yS(f;Q)≤S(f;P).
Demostraci´on:Supongamos inicialmente que la partici´onQ=
P∪ {r}resulte al a˜nadir aPun ´unico puntory que, por ejemplo,
tj−1< r < tj. Seanm
′
ym
′′
los´ınﬁmos defen los intervalos [tj−1, r]
y [r, tj], respectivamente. Evidentemente,mj≤m
′
,mj≤m
′′
y
tj−tj−1= (tj−r) + (r−tj−1). Por tanto
s(f;P)−S(f;P) =m
′′
(tj−r) +m
′
(r−tj−1)−mj(tj−tj−1)
= (m
′′
−mj)(tj−r) + (m
′
−mj)(r−tj−1)≥0.
Para obtener el resultado en el caso general, dondeQse obtiene al
a˜nadir aP kpuntos, se usakveces lo que acabamos de probar.
An´alogamente, se tieneP⊂Q⇒S(f;Q)≤S(f;P).
Corolario 1.Para cualesquiera particionesP, Qdel intervalo [a, b]
y cualquier funci´on acotadaf: [a, b]→Rse tienes(f;P)≤
S(f;Q).
En efecto, la partici´onP∪Qreﬁna simult´aneamentePyQ,
lugeos(f;P)≤s(f;P∪Q)≤S(f;P∪Q)≤S(f;Q).
Corolario 2.Dadaf: [a, b]→R, sim≤f(x)≤Mpara todo
x∈[a, b], entonces:
m(b−a)≤
Z
b
a
f(x)dx≤
Z
b
a
f(x)dx≤M(b−a).
En efecto, las desigualdades de los extremos son obvias, la cen-
tral resulta del Corolario y del Lema 1.

140La integral de Riemann Cap. 10
Corolario 3.SeaP0una partici´on de [a, b]. Si consideremos las
sumass(f;P) yS(f;P) relativas exclusivamente a las particiones
Pque reﬁnanP0, obtendremos los mismos valores de
R
b
a
f(x)dxy
de
R
b
a
f(x)dx.
En efecto, es suﬁciente combinar el Teorema 1 y el Lema 4.
Una funci´on acotadaf: [, b]→Rse diceintegrablecuando su
integral inferior y su integral superior son iguales. Este valor com´un
se llamaintegral(de Riemann) def, y se denota
R
b
a
f(x)dx.
En el s´ımbolo
R
b
a
f(x)dx,xes lo que se denomina “variable mu-
da”, esto es,
R
b
a
f(x)dx=
R
b
a
f(y)dy=
R
b
a
f(t)dt, etc.
A veces se preﬁere usar la notaci´on m´as simple
R
b
a
f. La raz´on
para usar la notaci´on m´as complicada se ver´a en el Teorema 2,
Cap´ıtulo 11.
Cuandofes integrable, su integral
R
b
a
f(x)dxes el n`umero real
cuyas aproximaciones por defecto son las sumas inferioress(f;P) y
cuyas aproximaciones por exceso son las sumas superioresS(f;P).
El Teorema 1 aﬁrma que estas aproximaciones mejoran cuando se
reﬁna la partici´onP. Geom`etricamente, cuandof(x)≥0 para todo
x∈[a, b], la existencia de
R
b
a
f(x)dxsigniﬁca que la regi´on limita-
da por el gr´aﬁco def, el segmento [a, b] en eje de abcisas y las
perpendiculares a dicho eje en los puntosaybes medible (esto es,
posee ´area), y el valo de la integral es, por deﬁnici´on, el ´area de esta
regi´on. En el caso general, se tienen el ´area externa
R
b
a
f(x)dxy el
´area interna
R
b
a
f(x)dx, que pueden ser diferentes, como veremos a
continuaci´on.
Ejemplo 1.Seaf: [a, b]→R, deﬁnida mediantef(x) = 0 si
xes racional yf(x) = 1 sixes irracional. Dada una partici´on
cualquieraP, como cada intervalo [ti−1, ti] contiene n´umeros racio-
nales e irracionales, tenemosmi= 0 yMi= 1, luegos(f;P) = 0
yS(f;P) =b−a. As´ı,fno es integrable, pues
R
b
a
f(x)dx= 0 y
R
b
a
f(x) =dx= 1.
Ejemplo 2.Seaf: [a, b]→Rconstante,f(x) =cpara todox∈
[a, b]. Entonces, sea cual fuere la partici´onP, tenemosmi=Mi=c

Secci´on 3 Propiedades de la integral 141
en todos los intervalos de la partici´on, luegos(f;P) =S(f;P) =
c(b−a). As´ı,fes integrable y
R
b
a
f(x)dx=
R
b
a
f(x) =
R
b
a
f(x)dx=
c(b−a).
Teorema 2. (Condici´on inmediata de integrabilidad)Sea
f: [a, b]→Racotada. Las siguientes aﬁrmaciones son equivalentes:
(1)fes integrable.
(2) Para todoε >0, existen particionesP, Qde[a, b]tales que
S(f, Q)−s(f, P)< ε.
(3) Para todoε >0, existe una partici´onP={t0, . . . , tn}de[a, b]
tal queS(f;P)−s(f;P) =
P
n
i=1
ωi(ti−ti−1)< ε.
Demostraci´on:SeanAel conjunto de las sumas inferiores yBel
conjunto de las sumas superiores def. Por el Corolario 1 del Teo-
rema 1, se tienes≤Spara todas∈Ay todaS∈B. Suponiendo
(1), entonces supA= ´ınfB. Luego, por el Lema 1, (1)⇒(2). Para
probar que (2)⇒(3) basta observar que siS(f;Q)−s(f;P)< ε
entonces, como la partici´onP0=P∪Qreﬁna ambas, del Teorema
1 se sigue ques(f;P)≤s(f;P0)≤S(f;P0)≤S(f, Q), de donde
se sigue queS(f;P0)−s(f;P0)< ε. Finalmente, (3)⇒(1) por el
Lema 1.
Ejemplo 3.Seaf: [a, b]→R, deﬁnida comof(x) =ccuandoa <
x≤byf(a) =A. Aﬁrmamos quefes integrable y que
R
b
a
f(x)dx=
c(b−a). Para ﬁjar ideas, supongamos quec < A. Entonces, dada
cualquier partici´onP={t0, t1, . . . , tn}tenemosm1=c,M1=A
ymi=Mi=cpara 1< i≤n. Por tanto,S(f;P)−s(f;P) =
(A−c)(t1−t0). Dado cualquierε >0, tomamos una partici´onPtal
quet1−t0< ε/(A−c), y obtenemosS(f;P)−s(f;P)< ε. Luegof
es integrable. Adem´as, comos(f;P) =c(b−a) para toda partici´on
P, tenemos
R
b
a
f(x)dx=c(b−a). Finalmente, comofes integrable,
resulta
R
b
a
f(x)dx=
R
b
a
f(x)dx=c(b−a). Evidentemente, se tiene
un resultado an´alogo cuandof(x) =cparax∈[a, b).
3. Propiedades de la integral
Teorema 3.Seana < c < b. Una funci´on acotadaf: [a, b]→
Res integrable si, y s´olo si, sus restriccionesf|[a,c]yf|[c,b]son

142La integral de Riemann Cap. 10
integrables. En caso aﬁrmativo, se tiene
R
b
a
f(x)dx=
R
c
a
f(x)dx+
R
b
c
f(x)dx.
Demostraci´on:SeanAyB, respectivamente, los conjuntos de las
sumas inferiores def|[a,c]yf|[c,b]. Es f´acil ver queA+Bes el con-
junto de las sumas inferiores defrelativas a las particiones de [a, b]
que contienen al puntoc. Por el Corolario 3 del Teorema 1, para
calcular la integral inferior defbasta considerar las particiones de
este tipo, pues estas son las que reﬁnanP0={a, c, b}. Por el Lema
2,
R
b
a
f(x)dx= sup(A+B) = supA+supB=
R
c
a
f(x)dx+
R
b
c
f(x)dx.
An´alogamente se demuestra que
R
b
a
f(x)dx= sup(A+B) = supA+
supB=
R
c
a
f(x)dx+
R
b
c
f(x)dx. Luego
Z
b
a
f−
Z
b
a
f=

Z
c
a
f−
Z
c
a
f
!
+

Z
b
c
f−
Z
b
c
f
!
.
Como las dos restas dentro de los par´entesis son≥0, su suma es
cero si, y s´olo si, ambas son nulas. As´ı,fes integrable si, y s´olo si,
sus restriccionesf|[a,c]yf|[c,b]lo son. En el caso aﬁrmativo, se tiene
la igualdad
R
b
a
f=
R
c
a
f+
R
b
c
f.
Ejemplo 4.Se dice quef: [a, b]→Res unafunci´on escalonada
cuando existe una partici´onP={t0, t1, . . . , tn}de [a, b] y n´umeros
realesc1, . . . , cntales quef(x) =cicuandoti−1< x < ti. (Observe
que no se exige nada a los valoresf(ti)). Del Teorema 3 y del
Ejemplo 3 se sigue que toda funci´on escalonada es integrable y que
R
b
a
f(x)dx=
P
n
i=1
ci(ti−ti−1).
Convenio:La igualdad
R
b
a
f(x)dx=
R
c
a
f(x)dx+
R
b
c
f(x)dxtiene
sentido exclusivamente cuandoa < c < b. Para que sea v´alida, se
cuales fuerena, b, c∈R, de aqu´ı en adelante adoptaremos dos con-
venios: Primero
R
a
a
f(x)dx= 0. Segundo
R
b
a
f(x)dx=−
R
a
b
f(x)dx.
Aceptado esto, es v´alida para toda funci´on integrable la igualdad
anterior. Para veriﬁcar esto hasy seis casos a considerar:a≤b≤c,
a≤c≤b,b≤a≤c,b≤c≤a,c≤a≤byc≤b≤a. Bas-
ta en cada caso admitir la integrabilidad defen el mayor de los
intervalos.
Teorema 4.Seanf, g: [a, b]→Rintegrables. Entonces:

Secci´on 3 Propiedades de la integral 143
(1) La sumaf+ges integrable y
Z
b
a
[f(x) +g(x)]dx=
Z
b
a
f(x)dx+
Z
b
a
g(x)dx .
(2) El productofges integrable. Sic∈R,
R
b
a
cf(x)dx=c
R
b
a
f(x)dx.
(3) Si0< k≤ |g(x)|para todox∈[a, b], entonces el cocientef/g
es integrable.
(4) Sif(x)≤g(x)para todox∈[a, b]entonces
R
b
a
f(x)dx≤
R
b
a
g(x)dx.
(5)|f|es integrable y

R
b
a
f(x)dx

≤
R
b
a
|f(x)|dx.
Demostraci´on:Dada cualquier partici´onPde [a, b], denotamos
porm
′
i
, m
′′
i
ymilos ´ınﬁmos def, gyf+gen eli-´esimo intervalo
deP, respectivamente. Del Corolario del Lema 2 se deduce que,
m
′
i+m
′′
i≤mi, luegos(f;P) +s(g;P)≤s(f+g;P)≤
R
b
a
(f+g)
para toda partici´onP. Si tomamos dos particionesPyQtambi´en
tendremos:
s(f;P) +s(g;Q)≤s(f;P∪Q) +s(g;P∪Q)≤
Z
b
a
f+g ,
por consiguiente,
Z
b
a
f+
Z
b
a
g= sup
P
s(f;P) + sup
Q
s(g;Q)
= sup
P,Q
[s(f;P) +s(g;Q)]≤
Z
b
a
(f+g).
Esto prueba la primera de las desigualdades que vienen a conti-
nuaci´on; la tercera se demuestra de forma an´aloga y la segunda es
obvia:
Z
b
a
f+
Z
b
a
g≤
Z
b
a
(f+g)≤
Z
b
a
(f+g)≤
Z
b
a
f+
Z
b
a
g .

144La integral de Riemann Cap. 10
Cuandofygson integrales las tres desigualdades se convierten
en igualdades, lo que prueba (1).
(2) SeaKtal que|f(x)| ≤Ky|g(x)| ≤Kpara todox∈[a, b].
Dada una partici´onPsean, respectivamente,ω
′
i
, ω
′′
i
yωilas oscila-
ciones def, gyfgen eli-´esimo intervalo [ti−1, ti]. Tenemos:
|f(y)g(y)−f(x)g(x)|=|(f(y)−f(x))g(y) +f(x)(g(y)−g(x))|
≤ |f(y)−f(x)||g(y)|+|f(x)||g(y)−g(x)|
≤K|ω
′
i
+ω
′′
i
|.
De donde
P
ωi(ti−ti−1)≤K[
P
ω
′
i
(ti−ti−1) +
P
ω
′′
i
(ti−ti−1)].
Por el Teorema 2, la integrabilidad defges consecuencia de
la integrabilidad defyg. Con respecto acf, su integrabilidad
resulta de lo que acabamos de probar. Adem´as, sic≥0, tenemos
s(cf;P) =cs(f;P) para cualquier partici´onP, de donde, por el
Lema 2,
Z
b
a
cf=
Z
b
a
=c
Z
b
a
f=c
Z
b
a
f .
Cuandoc <0, tenemoss(cf;P) =cS(f;P), luego
R
b
a
cf=
R
b
a
cf=
c
R
b
a
f=c
R
b
a
f.
(3) Comof/g=f(1/g), basta probar que siges integrable y 0<
k≤ |g(x)|para todox∈[a, b] entonces 1/gtambi´en es integrable.
Indicamos medianteωiyω
′
i
, respectivamente, las oscilaciones degy
1/gen eli-´esimo intervalo de la partici´onP. Dadoε >0, podemos
tomarPde forma que
P
ωi(ti−ti−1)< εK
2
. Para cualesquiera
x, yen eli-´esimo intervalo dePse tiene:

1
g(y)
−
1
g(x)

=
|g(x)−g(y)|
|g(y)g(x)|
≤
ωi
K
2
,
por tantoω
′
i< ωi/K
2
. As´ı
P
ω
′
i(ti−ti−1)< ε, luego 1/ges inte-
grable.
(4) Sif(x)≤g(x) para todox∈[a, b] entoncess(f;P)≤s(g;P)
yS(f;P)≤S(g;P) para toda partici´onP, de donde
R
b
a
f(x)dx≤
R
b
a
g(x)dx.
(5) La desigualdad evidente||f(y)|−|f(x)|| ≤ |f(y)−f(x)|demues-
tra que la oscilaci´on de|f|en cualquier conjunto no supera la de
f. Luego,fintegrable⇒ |f|integrable. Adem´as, como−|f(x)| ≤

Secci´on 4 Condiciones suﬁcientes para la integrabilidad 145
f(x)≤ |f(x)|para todox∈[a, b], de (4) resulta que−
R
b
a
|f(x)|dx≤
R
b
a
f(x)dx≤
R
b
a
|f(x)|dx, o sea,

R
b
a
f(x)dx

≤
R
b
a
|f(x)|dx.
Corolario 1.Sif: [a, b]→Res integrable y|f(x)| ≤Kpara
todox∈[a, b] entonces

R
b
a
f(x)dx

≤K(b−a).
Observaci´on:Si una funci´on integrablef: [a, b]→Res tal que
f(x)≥0 para todox∈[a, b] entonces
R
b
a
f(x)dx≥0. Esto es
consecuencia del apartado (4) del teorema anterior. Sin embargo,
es posible quef(x)≥0 para todox∈[a, b] y
R
b
a
f(x)dx= 0 sin
quefse id´enticamente nula. Basta tomarf(x) = 1 en un con-
junto ﬁnito de puntos de [a, b] yf(x) = 0 en los dem´as puntos
de [a, b]. Por el Ejemplo 4,fes integrable y su integral es nula.
No obstante, sifes continua yf(x)≥0 para todox∈[a, b]
entonces
R
b
a
f(x)dx= 0 implica quefes id´enticamente nula. En
efecto, si hubiese alg´un puntox0∈[a, b] tal quef(x0) =c >0
entonces existir´ıa un intervalo [α, β], dondex0∈[α, β]⊂[a, b], tal
quef(x)> c/2 para todox∈[α, β]. Entonces, comof(x)≥0,
tendr´ıamos
R
b
a
f(x)dx≥
R
β
α
f(x)dx >
c
2
(β−α)>0, lo que es ab-
surdo.
4. Condiciones suﬁcientes para la integrabilidad
Teorema 5.Toda funci´on continuaf: [a, b]→Res integrable.
Demostraci´on:Dadoε >0, por la continuidad uniforme defen
el compacto [a, b]. existeδ >0 tal quex, y∈[a, b],|y−x|< δ
implican|f(y)−f(x)|< ε/(b−a). SeaPuna partici´on de [a, b]
tal que rodos sus intervalos tienen longitud< δ. En cada intervalo
[ti−1, ti] dePexistenxi, yitales quemi=f(xi) yMi=f(yi), de
dondeωi=f(yi)−f(xi)< ε/(b−a). As´ı,
P
ωi(ti−ti−1)< ε. Por
el Teorema 2,fes integrable.
Teorema 6.Toda funci´on mon´otonaf: [a, b]→Res integrable.
Demostraci´on:Para ﬁjar ideas, seafcreciente. Dadoε >0, sea
P={t0, t1, . . . , tn}una partici´on de [a, b] tal que todos sus inter-
valos tienen longitud< ε/(f(b)−f(a)). Para cadai= 1, . . . , n

146La integral de Riemann Cap. 10
tenemosωi=f(ti)−f(ti−1), por tanto
P
ωi=f(b)−f(a) y
X
ωi(ti−ti−1) =
ε
f(b)−f(a)

X
ωi
=
ε
f(b)−f(a)
X
[f(ti)−f(ti−1)] =ε .
Luegofes integrable.
Las consideraciones que siguen son una preparaci´on para el Teo-
rema 7, que engloba a los Teoremas 5 y 6 como casos particulares.
Sia < b, denotaremos mediante|J|=b−alalongituddel inter-
valo (abierto, cerrado o semiabierto)Icuyos extremos sonayb. Se
dice que el conjuntoXtienemedida nulacuando, dado cualquier
ε >0, existe un recubrimiento numerable (ﬁnito o inﬁnito) deX,
X⊂
S
Ik, cuyos elementos son intervalos abiertosIktales que la
suma de sus longitudes es
P
|Jk|< ε.
Ejemplo 5.Todo conjunto numerableX={x1, . . . , xk, . . .}tiene
medida nula. En efecto, dado cualquierε >0, seaJkel intervalo
abierto centrado enxkde longitudε/2
k+1
. EntoncesX⊂
S
Iky
P
|Ik|=ε/2< ε. En particular, el conjuntoQde los n´umeros
racionales tiene medida nula.
Teorema 7.Si el conjuntoDde los puntos de discontinuidad de
una funci´on acotadaf: [a, b]→Rtiene medida nula entoncesfes
integrable.
Demostraci´on:Dadoε >0, existen intervalosI1, . . . , Ik, . . .tales
queD⊂
S
Iky
P
|Jk|< ε/2K, dondeK=M−mes la oscilaci´on
defen [a, b]. Para cadax∈[a, b]−D, seaJxun intervalo abierto
centrado enxdonde la oscilaci´on defes menor queε/2(b−a).
Por el Teorema de Borel-Lebesgue, el recubrimiento abierto [a, b]⊂
(
S
k
Ik)∪(
S
x
Jx) posee un subcubrimiento ﬁnito [a, b]⊂I1∪ ∪
Im∪Jx1∪ ∪Jxn. SeaPla partici´on de [a, b] formada oir los
puntosa, by los extremos de estosm+nintervalos que pertenecen
a [a, b]. Indicaremos mediante [tα−1, tα] los intervalos dePque est´an
contenidos en alg´unIky mediante [tβ−1, tβ] los dem´as intervalos de
P. Entonces
P
(tα−tα−1)< ε/2Ky la oscilaci´on defen cada

Secci´on 4 Condiciones suﬁcientes para la integrabilidad 147
intervalo [tβ−1, tβ] esωβ< ε/2(b−a). Luego
S(f;P)−s(f;P) =
X
ωα(tα−tα−1) +
X
ωβ(tβ−tβ−1)
<
X
K(tα−tα−1) +
X
ε(tβ−tβ−1)
2(b−a)
< K
ε
2K
+
ε(b−a)
2(b−a)
=ε .
Luegofes integrable.
Observaci´on:Se puede demostrar que el rec´ıproco del Teorema 7
es verdadero, o sea, que el conjunto de puntos de discontinuidadde
una funci´on integrable tiene medida nula (cfr. “Curso de An´alisis
Matem´atico, vol 1”.)
Ejemplo 6.El conjunto de CantorK(secci´on 5 del Cap´ıtulo 5),
tiene medida nula, aunque no es numerable. En efecto, si paramos
en lan-´esima etapa de su construcci´on, vemos que el conjunto de
Cantor est´a contenido en la uni´on de 2
n
intervalos, cada uno de
longitud 1/3
n
. Dadoε >0 podemos tomarn∈Ntal que (2/3)
n
<
ε, as´ı concluimos que la medida deKes cero. Podemos considerar
la funci´onf: [0,1]→R, deﬁnida mediantef(x) = 0 six∈K
yf(x) = 1 six /∈K. Como [0,1]−Kes abierto, la funci´onf
es localmente constante, por tanto continua en los puntosx /∈K.
ComoKno posee puntos interiores,fes discontinua en todos los
puntos deK. Por el Teorema 7,fes integrable. Dada cualquier
partici´onPde [0,1], todos los intervalos dePcontienen puntos
que no pertenecen aK, pues intK=∅. As´ı,Mi= 1 yS(f;P) = 1
para toda partici´onP. De donde
R
1
0
f(x)dxd=
R
1
0
f(x)dx= 1.
Ejemplo 7.Sia < bel intervalo [a, b] no tiene mediada nula. Para
probar esto recordemos que lafunci´on caracter´ısticade un conjunto
X⊂[c, d] es la funci´onξX(x) = 1 six∈XyξX(x) = 0 six /∈X. Es
f´acil ver que siX⊂X1∪ ∪Xk⊂[c, d], entoncesξX≤
P
k
i=1
ξXi
.
Supongamos que [a, b]⊂I1∪ ∪Ik⊂[c, d]. dondewces el menor y
del mayor extremo de los intervalosIj. Para simpliﬁcar escribamos
ξ=ξ[a,b]yξj=ξIj
. Entoncesξ≤
P
k
j=1
ξj: [c, d]→R, luego
b−a=
R
d
c
ξ(x)dx≤
P
k
j=1
ξj(x)dx=
P
k
j=1
|Ij|. As´ı, la suma de las
longitudes de cualquier colecci´on ﬁnita de intervalos abiertos cuya
uni´on contiene [a, b] es, como m´ınimo,b−a. De donde resulta que

148F´ormula de Taylor y aplicaciones de la derivada Cap. 10
[a, b] no tiene medida nula. En efecto, por el Teorema de Borel-
Lebesgue, si [a, b]⊂
S
∞
j=1
Ijentonces [a, b]⊂J1∪ ∪Jkpara
alg´unk∈N.
5. Ejercicios
Secci´on 1: Integral de Riemann
1. Deﬁnaf: [0,1]→Rcomof(0) = 0 yf(x) = 1/2
n
si
1/2
n+1
< x≤1/2
n
,n∈N∪ {0}. Pruebe quefes integrable
y calcule
R
1
0
f(x)dx.
2. Seaf: [−a, a]→Rintegrable. Sifes una funci´on impar,
pruebe que
R
a
−a
f(x)dx= 0. Si, por el contrario,fes par
pruebe entonces que
R
a
−a
f(x)dx= 2
R
a
0
f(x)dx.
3. Seaf: [a, b]→Rdeﬁnida comof(x) = 0 sixes irracional y
f(x) = 1/qsix=p/qes una fracci´on irreducible conq >0.
(Hagaf(0) = 1 su 0∈[a, b]). Pruebe quefes continua
exclusivamente en los puntos irracionales de [a, b], quefes
integrable y que
R
b
a
f(x)dx= 0.
4. Seaf: [a, b]→Runa funci´on integrable, tal quef(x)≥0
para todox∈[a, b]. Pruebe que sifes continua en el punto
c∈[a, b] yf(c)>0, entonces
R
b
a
f(x)dx >0.
5. Seaf: [a, b]→Rdeﬁnida comof(x) =xcuandoxes racional
yf(x) =x+ 1 cuandoxes irracional. Calcule las integrales
superior e inferior def. Use una funci´on integrableg: [a, b]→
Ren vez dex, y deﬁnaϕ(x) =g(x) sixes racional yϕ(x) =
g(x) + 1 sixes irracional. Calcule las integrales (inferior y
superior) deϕen funci´on de la integral deg.
Secci´on 2: Propiedades de la integral
1. Seaf: [a, b]→Rintegrable. Pruebe que la funci´onF:
[a, b]→R, deﬁnida medianteF(x) =
R
x
a
f(t)dt, es lipschit-
ziana.
2. Pruebe que sif, g: [a, b]→Rson integrables entonces tam-
bi´en lo son las funcionesϕ, ψ: [a, b]→R, deﬁnidas como

Secci´on 5 Ejercicios149
ϕ(x) = m´ax{f(x).g(x)}yψ(x) = m´ın{f(x), g(x)}. Deduzca
que las funcionesf+, f−: [a, b]→Rdadas porf+(x) = 0 si
f(x)≤0,f+(x) =f(x) sif(x)≥0;f−(x) = 0 sif(x)≥0,
f−(x) =f(x) sif(x)≤0, son integrables (suponiendo quef
lo sea).
3. Pruebe que sif, g: [a, b]→Rson continuas entonces:
≤Z
b
a
f(x)g(x)dx
≥2
≤
Z
b
a
f(x)
2
dx
Z
b
a
g(x)
2
dx ,
(Desigualdad de Schwarz.)
Secci´on 3: Condiciones suﬁcientes de integrabilidad
1. Pruebe que la funci´onfdel Ejercicio 1.3 es integrable.
2. Pruebe que el conjunto de los puntos de discontinuidad de una
funci´on mon´otona es numerable. Concluya que el Teorema 6
es consecuencia del Teorema 7.
3. SeaDel conjunto de los puntos de discontinuidad de una
funci´on acotadaf: [a, b]→R. SiD
′
(el conjunto de los
puntos de acumulaci´on deD) es numerable pruebe entonces
quefes integrable.
4. Una funci´on acotadaf: [a, b]→R, que se anula fuera de un
conjunto de medida nula, puede no ser integrable. En estas
condiciones, y suponiendo quefes integrable, pruebe que su
integral es igual a cero.
5. Se dice que un conjuntoX⊂Rtiene contenido nulo cuando,
para todoε >0, existe un recubrimiento ﬁnitoX,X⊂I1∪
∪Ik, formado por intervalos abiertos tal que
P
k
j=1
|Ij|< ε.
Pruebe que:
(a) SiXtiene contenido nulo lo mismo sucede con su cierre
X.
(b) Existen conjuntos de medida nula que no tienen contenido
nulo.
(c) Un conjunto compacto tiene medida nula si, y s´olo si,
tiene contenido nulo.

150F´ormula de Taylor y aplicaciones de la derivada Cap. 10
(d) Seag: [a, b]→Runa funci´on acotada que coincide con
una funci´on integrablef: [a, b]→Rexcepto en un con-
junto de contenido nulo. Pruebe queges integrable y que
su integral es igual a la def.
6. Si un conjuntoX⊂[a, b] no tiene medida nula pruebe enton-
ces que existeε >0 tal que, para toda partici´onPde [a, b],
la suma de los intervalos dePque contienen puntos deXen
su interior es mayor queε.
7. Seaϕ: [a, b]→Runa funci´on positiva (esto es,ϕ(x)>0 para
todox∈[a, b]). Entonces existeα >0 tal que el conjunto
X={x∈[a, b] :ϕ(x)≥α}no tiene medida nula.
8. Si la funci´onϕ: [a, b]→Res positiva e integrable, enton-
ces
R
b
a
ϕ(x)dx >0. Concluya que sif, g: [a, b]→Rson
integrables yf(x)< g(x) para todox∈[a, b], entonces
R
b
a
f(x)dx <
R
b
a
g(x)dx.
9. Seap: [a, b]→Rintegrable, tal quep(x)≥0 para todo
x∈[a, b]. Pruebe que si
R
b
a
p(x)dx= 0, entonces el conjunto
formado por los puntosx∈[a, b] tales quep(x) = 0 es denso
en [a, b]. Sif: [a, b]→Res una funci´on integrable cualquie-
ra que se anula en un conjunto denso en [a, b], pruebe que
R
b
a
f(x)dx= 0.

11
C´alculo
con integrales
Este cap´ıtulo es continuaci´on del anterior. En aqu´el se deﬁni´ola
integral y se establecieron condiciones generales que aseguraban
la integrabilidad de una funci´on. Es ´este se probar´an las reglas
para el uso eﬁcaz de las integrales, entre ´estas el llamdo Teorema
Fundamental del C´alculo, un movido camino de ida y vuelta que
relaciona derivadas e integrales. Tambi´en usaremos la integral para
dar las deﬁniciones precisas de logaritmo y exponencial. El cap´ıtulo
termina con una breve discusi´on sobre integrales impropias.
1. Teoremas cl´asicos del C´alculo Integral
Para comenzar estableceremos la conexi´on entre derivada e in-
tegral.
Teorema 1. (Teorema Fundamental del C´alculo). Seaf:
I→Rcontinua en el intervaloI. Las siguientes aﬁrmaciones sobre
la funci´onF:I→Rson equivalentes:
(1)Fes una integral indeﬁnida def, esto es, existea∈Ital que
F(x) =F(a) +
R
x
a
f(t)dtpara todox∈I.
(2)Fes una primitica def, esto es,F
′
(x) =f(x)para todox∈I.
Demostraci´on:(1)⇒(2) Six0, x0+h∈IentoncesF(x0+h)−
F(x0) =
R
x0+h
x0
f(t)dtyhf(x0) =
R
x0+h
x0
f(x0)dt, por tanto:
F(x0+h)−F(x0)
h
−f(x0) =
1
h
Z
x0+h
x0
[f(t)−f(x0)]dt .
151

152C´alculo con integrales Cap. 11
Dadoε >0, por la continuidad defen el puntox0, existeδ >0
tal quet∈I,|t−x0|< δimplican|f(t)−f(x0)|< ε. Entonces,
0<|h|< δ,x0+h∈Iimplican:

F(x0+h)−F(x0)
h
−f(x0)

≤
1
h
Z
x0+h
x0
|f(t)−f(x0)|dt
<
1
|h|
|h| ε=ε .
Lo que demuestra queF
′
(x0) =f(x0).
(2)⇒(1) SeaF
′
=f. Como acabamos de ver, si ﬁjamosa∈I
y deﬁnimosϕ(x) =
R
x
0
f(t)dt, tendremosϕ
′
=f. Las dos fun-
cionesF, ϕ:I→Rtiene la misma derivada, luego diﬁeren en
una constante. Comoϕ(a) = 0, esta constante esF(a). Por tanto
F(x) =F(a) +ϕ(x), esto es,F(x) =F(a) +
R
x
a
f(t)dtpara todo
x∈I.
Comentarios.(1) Acabamos de probar que toda funci´on continua
posee una primitiva. De forma m´as precisa: sif: [a, b]→Res inte-
grable, entoncesF: [a, b]→R, deﬁnida comoF(x) =
R
x
a
f(t)dt, es
derivable en todo puntox0dondefes continua, y se tieneF
′
(x0) =
f(x0). En dicho punto tambi´en es derivable la funci´onG: [a, b]→R
dada porG(x) =
R
b
x
f(t)dt, y se tieneG
′
(x0) =−f(x0). En efecto,
F(x) +G(x) =
R
b
a
f(t)dt=constante, luegoF
′
(x0) +G
′
(x0) = 0.
(2) Tambi´en hemos probado que siF: [a, b]→Res de claseC
1
(es-
to es, tiene derivada continua) entoncesF(x) =F(a) +
R
x
a
F
′
(t)dt.
En particular,F(b) =F(a) +
R
b
a
F
′
(t)dt. Esto reduce el c´alculo de
la integral
R
b
a
f(x)dxa encontrar una primitiva def. SiF
′
=f,
entonces
R
b
a
f(x)dx=F(b)−F(a).
Teorema 2. (Cambio de variables)Seanf: [a, b]→Rcon-
tinua,g: [c, d]→Rcon derivada integrable yg([c, d])⊂[a, b].
Entonces
Z
g(d)
g(c)
f(x)dx=
Z
d
c
f(g(t))g
′
(t)dt .
Demostraci´on:Por el Teorema 1,fposee una primitivaF:
[a, b]→Ry se tiene
R
g(d)
g(c)
f(x)dx=F(g(d))−F(g(c)). Por otra
parte, la regla de la cadena nos da (F◦g)
′
(t) =F
′
(g(t))g
′
(t) =

Secci´on 1 Teoremas cl´asicos del C´alculo Integral 153
f(g(t))g
′
(t) para todot∈[a, b]. LuegoF◦g: [c, d]→Res
una primitiva de la funci´on integrablet→f(g(t))g
′
(t). Por tanto
R
d
c
f(g(t))g
′
(t)dt=F(g(d))−F(g(c)), lo que prueba el teorema.
Observaci´on:El Teorema 2 nos da una buena justiﬁcaci´on para
usar la notaci´on
R
b
a
f(x)dxen vez de
R
b
a
f. Para cambiar de variables
en
R
g(d)
g(c)
f(x)dx, se tomax=g(t). La diferencial dexser´adx=
g
′
(x)dx. Estas substituciones nos dan
Z
g(d)
g(c)
f(x)dx=
Z
d
c
f(g(x))g
′
(x)dx .
El cambio de los l´ımites de integraci´on es natural:; cuandotvar´ıa
entrecyd,x=g(t) lo hace entreg(c) yg(d).
Es tradicional en el c´alculo la notaci´onF|
b
a=F(b)−F(a).
Teorema 3. (Integraci´on por partes)Sif, g: [a, b]→Rtienen
derivadas integrables entonces:
Z
b
a
f(x)g
′
(x)dx=fg|
b
a
−
Z
b
a
f
′
(x)g(x)dx .
Demostraci´on:Es suﬁciente observar quefges una primitiva
defg
′
+f
′
ge integrar la suma usando el Teorema Fundamental
del C´alculo.
Teorema 4. (F´ormula del Valor Medio para integrales).
Seanf, p: [a, b]→R,fcontinua ypintegrable conp(x)≥0
para todox∈[a, b]. Entonces existe un n´umeroc∈(a, b)tal que
R
b
a
f(x)p(x)dx=f(c)
R
b
a
p(x)dx.
Demostraci´on:Para todox∈[a, b], tenemosm≤f(x)≤M,
dondemes el ´ınﬁmo yMel supremo defen [a, b]. Comop(x)≥0
se tienemp(x)≤f(x)p(x)≤Mp(x) para todox∈[a, b].
SeaA=
R
b
a
p(x)dx, De las desigualdades anteriores resultam
A≤
R
b
a
f(x)p(x)dx≤MA. Luego existed∈[m, M] tal qu
R
b
a
f(x)p(x)dxdA. Comofes continua, tenemosd=f(c) para
alg´unc∈(a, b), lo que prueba el teorema.
Corolario 1.Seaf: [a, b]→Rcontinua. Entonces existec∈(a, b)
tal que
R
b
a
f(x)dx=f(c)(b−a).

154C´alculo con integrales Cap. 11
Lema 5.Siϕ: [0,1]→Rtiene derivada de ordennintegrable,
entonces:
ϕ(1) =
n−1
X
i=0
ϕ
(i)
(0)
i!
+
Z
1
0
(1−t)
n−1
(n−1)!
ϕ
(n)
(t)dt .
Demostraci´on:Sin= 1, esta f´ormula se reduce aϕ(1) =ϕ(0) +
R
1
0
ϕ
′
(t)dt, v´alida por el Teorema Fundamental del C´alculo. Para
n= 2, la integraci´on por partes nos da
Z
1
0
(1−t)ϕ
′′
(t)dt= (1−t)ϕ
′
(t)|
1
0+
Z
1
0
ϕ
′
(t)dt
=−ϕ
′
(0) +ϕ(1)−ϕ(0),
luego
ϕ(1) =ϕ(0) +ϕ
′
(0) +
Z
1
0
(1−t)ϕ
′′
(t)dt .
Paran= 3, de nuevo la integraci´on por partes nos da
Z
1
0
(1−t)
2
2!
ϕ
′′′
(t)dt=
(1−t)
2
2!
ϕ
′′
(t)

1
0
+
Z
1
0
(1−t)ϕ
′′
(t)dt
=−
ϕ
′′
(0)
2
+ϕ(1)−ϕ(0)−ϕ
′
(0),
luego
ϕ(1) =ϕ(0) +ϕ
′
(0) +
ϕ
′′
(0)
2!
+
Z
1
0
(1−t)
2
2
ϕ
′′
(t)dt .
El proceso inductivo est´a claro, as´ı el lema es v´alido para todo
n.
Teorema 5. (F´ormula de Taylor con resto integral).Sif:
I→Rtiene derivadan-´esima integrable en el intervalo de extremos
a, a+hentonces
f(a+h) =f(a) +f
′
(a)h+ +
f
(n−1)
(a)
(n−1)!
h
n−1
+
≤Z
1
0
(1−t)
n−1
(n−1)!
f
(n)
(a+th)dt
≥
h
n
.

Secci´on 2 La integral como l´ımite de sumas de Riemann 155
Demostraci´on:Deﬁniendoϕ: [0,1]→Rcomoϕ(t) =f(a+th),
se tieneϕ
(i)
(0) =f
(i)
(a)h
i
. Ahora el Teorema 5 resultado del lema
anterior.
Corolario 1. (F´ormula de Taylor con resto de Lagrange).
Sif:I→Res de claseC
n
en el intervalo de extremosa, a+h∈I
entonces existeθ∈(0,1)tal que
f(a+h) =f(a) +f
′
(a)h+ +
f
(n−1)
(a)
(n−1)!
h
n−1
+
f
(n)
(a+θh)
n!
h
n
.
En efecto, si llamamosAa la integral que aparece en el enun-
ciado del Teorema 5, por el Teorema 4 existeθ∈(0,1) tal que
A=f
(n)
(a+θh)
Z
1
0
(1−t)
n−1
(n−1)!
dt=
f
(n)
(a+θh)
n!
.
Observaci´on:Esta demostraci´on es m´as natural que la que se
di´o en el Teorema 2, Cap´ıtulo 9; sin embargo, se exige m´as a la
funci´onf.
2. La integral como l´ımite de sumas de Riemann
Lanormade una partici´onP={t0, t1, . . . , tn} ⊂[a, b] es el
n´umero|P|= mayor longitudti−ti−1de los intervalos deP.
Teorema 6.Seaf: [a, b]→Racotada. Para todoε >0, existe
δ >0tal que|P|< δ⇒S(f;P)≤
R
b
a
f(x)dx+ε.
Demostraci´on:Supongamos inicialmente quef(x)≥0 en [a, b].
Dadoε >0 existe una partici´onP0={t0, t1, . . . , tn}de [a, b] tal
queS(f;P0)<
R
b
a
f(x)dx+ε/2. SeaM= supf. Tomemosδtal
que 0< δ < ε/2Mn. SiPes una partici´on cualquiera de [a, b] tal
que|P|< δ, indicaremos mediante [rα−1, rα] los intervalos dePque
est´en contenidos en alg´un [ti−1, ti] deP0, y mediante [rβ−1, rβ] los
restantes intervalos deP. Cada uno de estos contiene, al menos,
un puntotien su interior, luego hay como m´aximonintervalos del
tipo [rβ−1, rβ]. Escribiremosα⊂isi [rα−1, rα]⊂[ti−1, ti]. Cuando
α⊂ise tieneMα≤Miy
P
α⊂i
(rα−rα−1)≤ti−ti−1. Estos

156C´alculo con integrales Cap. 11
n´umero son todos≥0, luego
P
α⊂i
Mα(rα−rα−1)≤Mi(ti−ti−1)
yMβ(rβ−rβ−1)≤Mδ. Por tanto:
S(f;P) =
X
α
Mα(rα−rα−1) +
X
β
Mβ(rβ−rβ−1)
≤
n
X
i=1
Mi(ti−ti−1) +Mnδ
< S(f;P) +ε/2
<
Z
b
a
f(x)dx+ε .
En el caso general, comofest´a acotada, existe una constantectal
quef(x) +c≥0 para todox∈[a, b]. Tomandog(x) =f(x) +c,
tenemosS(g;P) =S(f;P) +c(b−a) y
Z
b
a
g(x)dx=
Z
b
a
f(x)dx+c(b−a),
luego estamos en el caso anterior.
Aﬁrmar queS(f;P)<
R
b
a
f(x)dx+εes equivalente a|
Rb
a
f(x)dx−
S(f;P)|< ε, Luego el Teorema 6 signiﬁca que l´ım
|P|→0
S(f;P) =
Rb
a
f(x)dx.
De forma totalmente an´aloga se prueba que
R
b
a
f(x)dx= l´ım
|P|→0
s(f;P).
Unapartici´on puntuadadel intervalo [a, b] es un parP
∗
= (P, ξ)
dondeP={t0, . . . , tn}es una partici´on de [a, b] yξ= (ξ1, . . . , ξn)
es una colecci´on denn´umeros escogidos de forma queti−1≤ξi≤ti
para cadai= 1, . . . , n.
Dada una funci´on acotadaf: [a, b]→Ry una partici´on pun-
tuadaP
∗
de [a, b], se deﬁne lasuma de Riemann:
X
(f;P
∗
) =
n
X
i=1
f(ξi)(ti−ti−1).
Evidentemente, sea cual fuere la forma en que se punt´ue la par-
tici´onP, se tiene
s(f;P)≤
X
(f;P
∗
)≤S(f;P).

Secci´on 3 Logaritmos y exponenciales 157
Se dice que el n´umero realIes ell´ımitede
P
(f;P
∗
) cuando
|P| →0, y se escribeI= l´ım
|P|→0
X
(f;P
∗
), cuando, para todoε >0,
se puede escogerδtal que|
P
(f;P
∗
)−I|< εsea cual fuere la
partici´on puntuadaP
∗
tal que|P|< delta.
Teorema 7.Sif: [a, b]→Res integrable entonces
R
b
a
f(x)dx=
l´ım
|P|→0
X
(f;P
∗
).
Demostraci´on:Del Teorema 6 se sigue que sifes integrable,
entonces
l´ım
|P|→0
s(f;P) = l´ım
|P|→0
S(f;P) =
Z
b
a
f(x)dx .
Como se tienes(f;P)≤
P
(f;P
∗
)≤S(f;P), es inmediato que
l´ım
|P|→0
X
(f;P
∗
) =
Z
b
a
f(x)dx.
Observaci´on:El rec´ıproco del Teorema 7 es verdadero, pero es
menos interesante. (Vea “Curso de An´alisis Matem´atico”, vol. 1).
3. Logaritmos y exponenciales
Seaaun n´umero real mayor que 1. Se suele deﬁnir el logaritmo
de un n´umero realxen baseacomo el exponentey,y= log
ax, tal
quea
y
=x.
O sea, la funci´on log
a:R
+
→Rse suele deﬁnir como la in-
versa de la funci´on exponencialy→a
y
. Para esto se requiere el
trabajo previo de establecer el signiﬁcado y las propiedades de las
potenciasa
y
, dondeyes un n´umero real cualquiera, lo que se puede
hacer rigurosamente. Sin embargo, nos parece m´as sencillo deﬁnir
en primer lugar el logaritmo y, a partir de ´este, la exponencial, tal
como haremos a continuaci´on.
Deﬁniremos la funci´on log :R
+
→R, como
logx=
Z
x
1
dt
t
,
para cadax∈R
+
.

158C´alculo con integrales Cap. 11
El n´umero logxse llamalogaritmodex. Si recordamos que
R
b
a
f(x)dx=−
R
a
b
f(x)dx, vemos que logx <0 si 0< x <1,
log 1 = 0 y logx >0 cuandox >1.
La funci´on logaritmo es mon´otona, estrictamente creciente y
derivable; adem´as (logx)
′
= 1/x, (logx)
′′
(x) =−1/x
2
, etc. Por
tanto, log es derivable inﬁnitas veces, esto es, log∈C
∞
. Tambi´en
se puede ver que log es una funci´on c´oncava.
Teorema 8.Para cualesquierax, y∈R
+
se tienelog(xy) = logx+
logy.
Demostraci´on:log(xy) =
R
xy
1
dt/t=
R
x
1
dt/t+
R
xy
x
dt/t= logx+
R
xy
x
dt/t. Cuandosvar´ıa entre 1 ey, el productoxsvar´ıa entrexy
xy, luego el cambio de variablet=xsnos dadt=xdsy
R
xy
x
dt/t=
R
x
1
xds/xs=
R
y
1
ds/s= logy, lo que prueba el teorema.
Corolario 1.Para todo n´umero racionalrse tiene log(x
r
) =
rlogx.
En efecto, del Teorema 8 se deduce log(x
n
) =nlogxcuandon∈
N. Dex
n
x
−n
= 1 resulta 0 = log(x
n
x
−n
) = log(x
n
) +log(x
−n
) =
nlogx+log(x
−n
), de donde log(x
−n
) =−nlogx. Esto demuestra el
corolario cuandor∈Z. En el caso general,r=p/qdondep, q∈Z,
por deﬁnici´on (x
p/q
)q=x
p
, de aqu´ı, por lo que acabamos de probar,
qlog(x
p/q
) =plogx, de donde log(x
p/q
) = (p/q) logx.
Corolario 2.log :R
+
→Res sobreyectiva.
Como log es continua, su imagen es un intervalo, por tanto basta
demostrar que log no est´a acotada, ni superior ni inferiormente, lo
que es consecuencia de las igualdades log(2
n
) =nlog 2 y log(2
−n
) =
−nlog 2.
Como log es una funci´on estrictamente creciente, entonces es
una biyecci´on deR
+
enR. Su inversa, exp :R→R
+
, se llama
funci´on exponencial. Por deﬁnici´on, exp(x) =y⇔logy=x, o sea
log(exp(x)) =xy exp(logy) =y.
Existe un ´unico n´umero real cuyo logaritmo es igual a 1. Este
se denota con el s´ımboloe. En breve demostraremos queecoincide
con el n´umero introducido en los Ejemplos 12 y 13 del Cap´ıtulo 3.
De momento, su deﬁnici´on ese= exp(1).

Secci´on 3 Logaritmos y exponenciales 159
Teorema 9.La funci´on exponencialexp :R→R
+
es una biyec-
ci´on creciente de claseC
∞
, tal que(expx)
′
= exp(x)yexp(x+y) =
exp(x)exp(y)para cualesquierax, y∈R. Adem´as, para todor∈Q
se tieneexp(r) =e
r
.
Demostraci´on:Por la regla de derivaci´on de la funci´on inversa,
para cadax∈R, tal que exp(x) =y, se tiene (expx)
′
= 1/(logy)
′
=
y= exp(x). As´ı exp
′
= exp, de donde exp∈C
∞
. Dadosx, y∈R,
seanx
′
= expxey
′
= expy, luegox= logx
′
ey= logy
′
. Entonces
exp(x+y) = exp(logx
′
+ logy
′
) = exp[log(x
′
y
′
)] = exp(x)exp(y).
Sires racional, el Corolario 1 del Teorema 8 nos da log(exp(r)) =
r=r1 =rlog(e) = log(e
r
); as´ı, por la inyectividad de log,
exp(r) =e
r
.
La igualdad exp(r) =e
r
, sir∈Q, junto con la relaci´on exp(x+
y) = exp(x)exp(y) nos indican que exp(x) se comparta como
una potencia con baseey exponentex. Escribiremos entonces, por
deﬁnici´on,e
x
= exp(x) para todox∈R. Gracias a esto, pasa a
tener signiﬁcado la potenciae
x
para cualquierxreal.
Con esta notaci´on tenemos
e
x+y
=e
x
e
y
, e
0
= 1, e
−x
= 1/e
x
,
x < y⇔e
x
< e
y
log(e
x
) =x=e
logx
.
Tambi´en tenemos l´ım
x→∞
e
x
= +∞y l´ım
x→−∞
e
x
= 0, como se puede
ver f´acilmente.
Por el Teorema del Valor Medio, para todox >1, existectal
que 1< c < xy logx= logx−log 1 = (logc)
′
(x−1) = (x−1)/c.
As´ı se tiene logx < xpara todox≥1. Como logx= 2 log
√
x,
tenemos 0<logx <2
√
x, de donde 0<logx/x <2/
√
xpara todo
x≥1. Como l´ım
x→+∞
(2/
√
x) = 0, se tiene que l´ım
x→∞
logx/x= 0, lo
que ya hab´ıa sido probado en el ﬁnal del Cap´ıtulo 3 suponiendo que
x=n∈N.
Por otra parte, dado cualquier polinomiop(x), se tiene l´ım
x→+∞
p(x)/e
x
=
0. Para probar esto es suﬁciente considerar el casop(x) =x
k
. En-
tonces escribimose
x/k
=y, de dondex=klogy. Evidentemente,
x→+∞si, y s´olo si,y→+∞.

160C´alculo con integrales Cap. 11
Por tanto
l´ım
x→+∞
ı
x
e
x/k
≡
= l´ım
y→+∞
`
k
logy
y
´
= 0,
y as´ı
l´ım
x→+∞
x
k
e
x
= l´ım
x→+∞
ı
x
e
x/k
≡
k
= 0.
Sicykson constantes reales, la funci´onf(x) =ce
kx
tiene
derivadakce
kx
=kf(x). Esta propiedad de ser la derivada de
la funci´onfproporcional a s´ı misma es la causa de gran parte de
las aplicaciones de la funci´on exponencial. Demostraremos que esta
propiedad es exclusiva de las funciones de este tipo.
Teorema 10.Seaf:I→Rderivable en el intervaloI, con
f
′
(x) =kf(x). Si para alg´unx0∈Ise tienef(x0) =c, entonces
f(x) =ce
k(x−x0)
para todox∈I.
Demostraci´on:Seaϕ:I→Rdeﬁnida comoϕ(x) =f(x)
e
−k(x−x0)
. Entoncesϕ
′
(x) =f
′
(x)e
−k(x−x0)
−kf(x)e
−k(x−x0)
= 0.
Luegoϕes constante. Comoϕ(x0) =c, se tieneϕ(x) =cpara todo
x∈I, o sea,f(x) =ce
k(x−x0)
.
Como la derivada de la funci´onf(x) =e
x
tambi´en esf
′
(x) =e
x
,
tenemosf
′
(0) = 1. Por tanto, de la deﬁnici´on de derivada se deduce
que l´ım
x→0
(e
x
−1)/x= 1.
Dadosa >0 yx∈R, deﬁniremos la potenciaa
x
de forma que
sea v´alida la f´ormula log(a
x
) =xloga. Para esto, tomaremos dicha
igualdad como deﬁnici´on, o sea, diremos quea
x
es el (´unico) n´umero
real cuyo logaritmo es igual axloga.
En otras palabras,a
x
=e
xloga
.
La funci´onf:R→R, deﬁnida comof(x) =a
x
, tiene las
propiedades esperadas.
La primera es que six=p/q∈Q(dondeq >0),f(x) =
q
√
a
p
.
En efecto,f(x) = exp((p/q) loga) = exp(log
q
√
a
p
) =
q
√
a
p
.
Se tienea
x+y
=a
x
a
y
,a
0
= 1,a
−x
= 1/a
x
y (a
x
)
y
=a
xy
.
La funci´onf(x) =a
x
tiene derivadaf
′
(x) =a
x
loga, por tanto
es de claseC
∞
. La derivadaf
′
es positiva sia >1 y negativa si
0< a <1.
Luego en el primer casofes creciente, y decreciente en el se-
gundo. Cuandoa >1, se tiene l´ım
x→+∞
a
x
= +∞y l´ım
x→−∞
a
x
= 0. Si

Secci´on 4 Integrales impropias161
0< a <1, los valores de estos l´ımites se intercambian. En cualquier
caso,f(x) =a
x
es una biyecci´on deRenR
+
cuya inversa se denota
mediante log
a:R
+
→R; log
axse llamalogaritmo dexen basea.
As´ı,y= log
ax⇔a
x
=y, volviendo a la deﬁnici´on cl´asica.
Cuandoa=e, se tiene log
ex= logx. Por tanto, el logaritmo que
deﬁnimos al principio de esta secci´on tiene basee. Es el llamada
logaritmo natural o logaritmo neperiano. Para todox >0 tenemos
e
logx
=x=alog
ax=e
log
a
zloga
,
por tanto, logx= log
axloga, o sea, log
ax= logx/loga. Como
consecuencia de esta ´ultima f´ormula tenemos las propiedades de
log
axan´alogas a las de logx, como log
a(xy) = log
ax+ log
ayo
(log
ax)
′
=
1
xloga
.
Para ﬁnalizar esta secci´on demostraremos queecoincide con el
n´umero deﬁnido en los Ejemplos 12 y 13 del Cap´ıtulo 3.
La derivada de la funci´on logxes igual a 1/x. En el puntox= 1
esta derivada vale 1. Esto signiﬁca que
l´ım
x→0
log(1 +x)
x
= 1,
o sea,
l´ım
x→0
log(1 +x)
x
= 1.
Como (1 +x)
1/x
= exp{log[(1 +x)
1/x
]}, entonces l´ım
x→0
(1 +x)
1/x
=
exp(1) =e, Si hacemosy= 1/xconcluimos que l´ım
y→∞
(1+1/y)
y
=e.
En particular, l´ım
n∈N
(1 + 1/n)
n
=e.
4. Integrales impropias
Las hay de dos clases: integrales de funciones que no est´an acota-
das (deﬁnidas en un intervalo acotado pero no cerrado) e integrales
de funciones deﬁnidas en un intervalo que no est´a acotado.
El siguiente teorema descarta el caso trivial.
Teorema 11.Seaf: (a, b]→Racotada, tal que la restricci´on
f|[c,d]es integrable para todoc∈(a, b]. Entonces, sea cual fuere el
valor que se le asigne af(a), se obtiene una funci´on integrable tal
que
R
b
a
f(x)dx= l´ım
c→a
+
Z
b
c
f(x)dx.

162C´alculo con integrales Cap. 11
Demostraci´on:SeaKtal quea≤x≤b⇒ |f(x)| ≤K. Dadoε >
0 tomemosc∈(a, b] conK(c−a)< ε/4. Comof|[c,b]es integrable,
existe una partici´onPde [c, d] tal queS(f;P)−s(f;P)< ε/2.
EntoncesQ=P∪ {a}es una partici´on de [a, b] tal que
S(f;P)−S(f;Q)≤2K(c−a) +S(f;P)−s(f;P)< ε ,
luegof: [a, b]→Res integrable. La integral indeﬁnidaF: [a, b]→
R,F(x) =
R
b
x
f(x)dx, cumple la condici´on de Lipschitz|F(y)−
F(x)| ≤K|y−x|, luego es (uniformemente) continua, de donde
F(a) = l´ım
c→a
+
F(c) = l´ım
c→a
+
Z
b
c
f(x)dx.
Un resultado an´alogo es v´alido paraf: [a, b)→R.
Por tanto, es suﬁciente considerarf: (a, b]→Rque no est´an
acotadas. Supondremos tambien quefes continua. Laintegral im-
propia
R
b
a
f(x)dxse deﬁne como
Z
b
a
f(x)dx= l´ım
ε→0
+
Z
b
a+ε
f(x)dx .
En cada intervalo cerrado [a+ε, b],fes continua, luego es inte-
grable. El problema reside en saber si existe o no el l´ımite anterior.
Si el l´ımite existe la integral esconvergente, si ´este no existe la in-
tegral esdivergente.
Evidentemente, el caso de una funci´on continuaf: [a, b)→R
que no est´a acotada se trata de forma semejante, haciendo
R
b
a
f(x)dx=
l´ım
ε→0
+
Z
b−ε
a
f(x)dx. Finalmente, el casof: (a, b)→Rcontinua
se reduce a los dos anteriores tomandoc∈(a, b) y escribimoa
R
b
a
f(x)dx=
R
c
a
f(x)dx+
R
b
c
f(x)dx.
Ejemplo 1.Seaf: [0,1]→Rdada porf(x) = 1/x
α
. Suponiendo
α6= 1, tenemos
Z
1
0
dx
x
α
= l´ım
ε→0
+
Z
1
ε
dx
x
α
= l´ım
ε→0
+
x
1−α
1−α

1
ε
= l´ım
ε→0
+
1−ε
1−α
1−α
=
(
+∞siα >1
1
1−α
siα <1
.

Secci´on 4 Integrales impropias163
Cuandoα= 1, tenemos
Z
1
0
dx
x
= l´ım
ε→0
+
Z
1
ε
dx
x
= l´ım
ε→0
+
logx

1
ε
= l´ım
ε→0
+
(−logε) = +∞.
Por tanto
R
1
0
dx/x
α
diverge cuandoα≥1 y converge a (1−α)
−1
si
α <1. En particular,α= 1/2 nos da
R
1
0
dx/
√
x= 2.
Ejemplo 2.Seaf: [0,1)→R,f(x) = 1/
√
1−x
2
. Entonces
Z
1
0
dx/
√
1−x
2
= l´ım
ε→0
+
Z
1−ε
0
dx/
√
1−x
2
= l´ım
ε→0
+
arc senx

1−ε
0
= l´ım
ε→0
+
arc sen(1−ε)
= arc sen 1 =
π
2
.
Cuandof: (a, b]→Rcumplef(x)≥0 para todox∈(a, b],
la integral
R
b
a
f(x)dxconverge si, y s´olo si, existek >0 tal que
R
b
a+ε
f(x)dx≤kpara todoε∈(b−a), pues la funci´onϕ(ε) =
R
b
a+ε
f(x)dxes creciente. Si existe una funci´ong: (a, b]→Rtal
que
R
b
a
g(x)dxes convergente y 0≤f(x)≤kg(x) para todo
x∈(a, b], entonces
R
b
a
f(x)dxes convergente pues, en este caso,
ϕ(ε)≤k
R
b
a
g(x)dxpara todoε∈(0, b−a).
Ejemplo 3.La integralI=
R
1
0
dx/
p
(1−x
2
)(1−k
2
x
2
) conver-
ge siempre quek∈Rcumplak
2
<1. En efecto, como 0≤
x≤1, tenemos 1−k
2
≤1−k
2
x
2
. HaciendoK= 1/
√
1−k
2
se tiene que 1/
p
(1−x
2
)(1−k
2
x
2
)≤K/
√
1−x
2
, por tantoI≤
R
1
0
k/
√
1−x
2
=kπ/2.
Se dice que la integral impropia
R
b
a
f(x)dxesabsolutamente con-
vergentecuando
R
b
a
|f(x)|dxes convergente. Como en el caso de las
series, la convergencia de
R
b
a
|f(x)|dximplica la de
R
b
a
f(x)dx.
En efecto, dadaf: (a, b]→Rcontinua, deﬁnimos, paraa <
x < b, suparte positivay suparte negativa,f+, f−: (a, b]→R,
como:
f+(x) = m´ax{f(x),0}yf−(x) = m´ax{−f(x),0}.

164C´alculo con integrales Cap. 11
Entoncesf+(x) =
1
2
[|f(x)|+f(x)] yf−(x) =
1
2
[|f(x)|−f(x)], as´ıf+
yf−son continuas. Adem´as, tenemos quef+(x)≥0,f−(x)≥0,
f=f+−f−y|f|=f++f−, de dondef+≤ |f|yf−≤ |f|.
De estas desigualdades se deduce que si
R
b
a
f(x)dxes absolutamen-
te convergente entonces
R
b
a
f+(x)dxy
R
b
a
f−(x)dxconvergen. Luego
R
b
a
f(x)dx=
R
b
a
f+(x)dx−
R
b
a
f−(x)dxes convergente.
Por tantto sirve elcriterio de comparaci´on: sif, g: [a, b)→R
son continuas y
R
b
a
g(x)dxconverge entonces la condici´on|f(x)| ≤
kg(x) para todox∈[a, b) implica que
R
b
a
f(x)dxes (absoluta-
mente) convergente. Por ejemplo, sif: [a, b)→Res continua y
existen constantesk >0 yα <1 tales que|f(x)| ≤k/(b−x)
α
para
todox∈[a, b), entonces la integral
R
b
a
f(x)dxes (absolutamente)
convergente.
A continuaci´on trataremos de integrales deﬁnidas en intervalos
que no est´an acotados.
Dadaf: [a,+∞)→Rcontinua, se deﬁne la integral impropia
defcomo:
Z
+∞
a
f(x)dx= l´ım
A→+∞
Z
A
a
f(x)dx .
Si el l´ımite anterior existe, se dice que la integral esconver-
gente. En caso contrario se dice que esdivergente. Una deﬁnici´on
an´aloga sirve paraf: (−∞, b]→R. Entonces
R
b
−∞
f(x)dx=
l´ımB→−∞
R
b
B
f(x)dx. Finalmente, paraf: (−∞,+∞)→Rse toma
un punto cualquieraa∈R(en generala= 0) y se escribe
Z
+
−∞
∞f(x)dx=
Z
a
−∞
f(x)dx+
Z
+∞
a
f(x)dx .
Ejemplo 4.Seaf: [1,+∞)→R,f(x) = 1/x
α
. Siα6= 1 se tiene
Z
A
1
dx
x
α
=
A
1−α
−1
1−α
,
luego
Z
∞
1
dx
x
α
=
1
1−α
converge siα >1. Por otra parte, siα≤1,
R
+∞
1
dx/x
α
diverge.
Esto contrasta con el comportamiento de la integral de la misma
funci´on en el intervalo (0,1].

Secci´on 4 Integrales impropias165
Ejemplo 5.
R
+∞
0
dx/(1 +x
2
) =π/2. En efecto, arctanxes una
primitiva de 1/(1 +x
2
). Por consiguiente
Z
+∞
0
dx
1 +x
2
= l´ım
A→+∞
(arctanA−arctan 0) =
π
2
.
Se dice que una integral
R
+∞
a
esabsolutamente convergente
cuando
R
+∞
a
|f(x)|dxconverge. Como cuando ten´ıamos intervalos
acotados, se prueba que en tal caso,
R
+∞
a
f(x)dxconverge.
Por tanto sirve elcriterio de comparci´on: sif, g: [a,+∞)→R
son continuas,
R
+∞
a
g(x)dxconverge y existek >0 tal que|f(x)| ≤
k |g(x)|para todox∈[a,+∞), entonces
R
+∞
a
f(x)dxes (absolu-
tamente) convergente. En particular, si|f(x)| ≤k/x
α
, conα >1,
entonces
R
+∞
a
f(x)dxes (absolutamente) convergente.
Ejemplo 6.Seaa >0. La integral
R
+∞
a
dx/x
2
es convergente, como
se puede ver f´acilmente, su valor es 1/a. Incluso su no supi´esemos
que la derivada de arctanxes 1/(1 +x
2
), concluir´ıamos, por com-
paraci´on, que
R
+∞
a
dx/(1 +x
2
) converge, pues 1/(1 +x
2
)≤1/x
2
.
Ejemplo 7.(La funci´on Gamma)Se trata de la funci´on Γ : (0,+∞)→
R, deﬁnida para todot >0 como la integral Γ(t) =
R
+∞
0
e
−x
x
t−1
dx.
Para demostrar que dicha integral converge la descompondremos
en la suma
R
1
0
+
R
+∞
1
. La integral
R
1
0
e
−x
x
t−1
dxconverge porque
e
−x
x
t−1
≤1/x
1−t
. El segundo sumando,
R
+∞
1
e
−x
x
t−1
dx, conver-
ge porquee
−x
x
t−1
≤1/x
2
para todoxsuﬁcientemente grande.
En efecto, esta desigualdad es equivalente ax
t+1
/e
x
≤1. Ahora
bien, sabemos que l´ım
x→+∞
x
t+1
/e
x
= 0, luego existea >0 tal que
x > a⇒x
t+1
/e
x
≤1. La funci´on gamma extiende la noci´on de
factorial pues Γ(n) = (n−1)! para todon, como se puede ver
integrando por partes.
Ejemplo 8.La integral de DirichletI=
R
∞
0
(senx/x)dxconverge,
pero no absolutamente. En efecto, para todon∈N, seaan=
R
(n+1)π
nπ
|senx/x|dx. EntoncesI=a0−a1+a2−a3+ . Es claro
quea0≥a1≥a2≥ y que l´ıman= 0. Luego, por el Teorema
de Leibniz, la serie
P
∞
n=0
(−1)
n
an(y en consecuencia la integral)
converge. Por otra parte,
R
+∞
0
|senx|/xdxes la suma de la serie
P
∞
n=0
an, cuyo t´erminoanes el ´area de una regi´on que contiene un

166C´alculo con integrales Cap. 11
tri´angulo de baseπy altura 2/(2n+1)π. El ´area de dicho tri´angulo
es igual 1/(2n+ 1). Como la serie arm´onica es divergente, se tiene
que
P
an= +∞. (Se puede probar que
R
∞
0
senx/xdx=π/2).
Una aplicaci´on bastante conocida de las integrales impropias es
el criterio de convergencia de series de n´umeros, recogido en el si-
guiente teorema, cuya demostraci´on se puede encontrar en cualquier
libro de c´alculo.
Teorema 12.Seaf: [a,+∞)→R, continua y mon´otona crecien-
te. Para cada n´umero naturaln≥a, seaan=f(x). Entonces la
serie
P
anconverge si, y s´olo si, la integral
R
+∞
a
f(x)dxconverge.
5. Ejercicios
Secci´on 1: Teorema cl´asicos del C´alculo Integral
1. Seaf: [a, b]→Rintegrable y continua por la derecha en
el puntox0∈[a, b). Pruebe queF: [a, b]→R, median-
teF(x) =
R
x
a
f(t)dt, es derivable por la derecha en punto
x0y queF
′
+(x0) =f(x0). Enuncie un resultado similar con
“izquierda” en vez de derecha. D´e ejemplos de funcionesf
integrables y discontinuas en el puntox0tales que:
(a) ExisteF
′
(x0).
(b) No existeF
′
(x0).
2. Seaf: [a, b]→Rderivable tal quef
′
es integrable. Prue-
be que para cualesquierax, c∈[a, b] se tienef(x) =f(c) +
R
x
c
f
′
(x)dx. Concluya que el Teorema 5 es v´alido con “inte-
grable” en vez de continua.
3. Seaf: [a, b]→Rderivable, tal quef
′
es integrable yf
′
(x)≥
0 para todox∈[a, b]. Si{x∈[a, b] :f
′
(x) = 0}tiene conte-
nido nulo, pruebe quefes estrictamente creciente.
4. Dadaf: [a, b]→Rcon derivada continua, pruebe el Teorema
del Valor Medio (Teorema 7 del Cap´ıtulo 8) como consecuen-
cia de la f´ormula del mismo nombre para integrales (Corolario
al Teorema 11 en este cap´ıtulo).

Secci´on 5 Ejercicios167
5. Seanf: [a, b]→Rcontinua yα, β:I→[a, b] derivables.
Deﬁnaϕ:I→Rescribiendoϕ(x) =
R
β(x)
α(x)
f(t)dtpara todo
x∈I. Pruebe queϕes derivable y queϕ
′
(x) =f(β(x))β
′
(x)−
f(α(x))α
′
(x).
6. Seanf: [0,1]→Rla funci´on del Ejercicio 1.3 yg: [0,1]→R
deﬁnida comog(0) = 0 yg(x) = 1 six >0. Demuestre quef
ygson integrables pero queg◦f: [0,1]→Rno lo es.
7. Dadaf: [a, b]→Rcon derivada integrable, seam= (a+
b)/2. Pruebe quef(a) +f(b) = [2/(b−a)]
R
b
a
[f(x)−f(x−
m)f
′
(x)]dx.
8. Seanf: [a, b]→R,fcontinua ypintegrable tal quep(x)≥0
para todox∈[a, b]. Pruebe que si
R
b
a
f(x)p(x)dx=f(a)
R
b
a
p(x)dx
entonces existex∈(a, b) tal quef(a) =f(c) (existe un re-
sultado an´alogo conf(b) en vez def(a)). Concluya que en el
Teorema 4 se puede tomarc∈(a, b) y que en el corolario de
Teorema 6 se puede exigir queθ∈(0,1).
Secci´on 2: La integral como l´ımite de sumas de Riemann
1. Con la ayuda de las sumas de Riemann pruebe la validez de
las siguientes igualdades:
(a) l´ım
n→∞
1
n
p+1
n
X
i=1
i
p
=
1
p+ 1
,
(b) l´ım
n→∞
1
n
n
X
i=1
sen
`
iπ
n
´
=
2
π
.
2. Dadaf: [a, b]→R, acotada o no, tiene sentido considerar
para cualquier partici´on puntuadaP
∗
la suma de Riemann
P
(f;P
∗
). Pruebe que si existe l´ım
|P|→0
X
(f;P
∗
), entoncesfes
una funci´on acotada.
3. Pruebe el rec´ıproco del Teorema 7: si existe l´ım
|P|→0
X
(f;P
∗
) =
L, entonces la funci´on acotadaf: [a, b]→Res integrable y
R
b
a
f(x)dx=L.

168C´alculo con integrales Cap. 11
4. Seanf, g: [a, b]→Rintegrables. Para cada partici´onP=
{t0, . . . , tn}de [a, b] seanP
∗
= (P, ξ) yP
#
= (P, η) dos parti-
ciones puntuadas deP. Pruebe que l´ım
|P|→0
X
(f(ξ)g(ηi))(ti−
ti−1) =
Z
b
a
f(x)g(x)dx.
5. Dadasf, g: [a, b]→R, para cada partici´on puntuadaP
∗
de
[a, b] se deﬁne lasuma de Riemann-Stieltjes
P
(f, g;P
∗
)
P
f(xi)[g(ti)−
g(ti−1)]. Pruebe que sifes integrable ygposee derivada in-
tegrable, entonces
l´ım
|P|→0
X
(f, g;P) =
Z
b
a
f(x)g
′
(x)dx .
6. Dadaf: [a, b]→R, para cadan∈Nsea
M(f;n) =
1
n
n
X
i=1
f(a+ih), h=
(b−a)
n
,
la media aritm´etica de los valoresf(a+h), f(a+2h), . . . , f(a+
kh) =f(b). Pruebe que si la funci´onfes integrable, entonces
l´ım
n→∞
M(f;n) =
1
(b−a)
Z
b
a
f(x)dx.
Por esto, el segundo miembro de esta igualdad se llamavalor
de la funci´ıonfen el intervalo [a, b].
7. Pruebe que sif: [a, b]→Res convexa entoncesf
`
a+b
2
´
≤
1
(b−a)
R
b
a
f(x)dx.
8. Demuestre que l´ım
n→∞
n!e
n
n
n
= +∞. (Calcule
R
n
1
logxdxy consi-
dere la suma superior de logxrelativa a la partici´on{1,2, . . . , n}
de [1, n]).
Secci´on 3: Logaritmos y exponenciales
1. Seanf:R→Ryg:R
+
→Rfunciones continuas, no
id´enticamente nulas, tales quef(x+y) =f(x)f(y) yg(uv) =

Secci´on 5 Ejercicios169
g(u) +g(v) para cualesquierax, y∈Ryu, v∈R
+
. Pruebe
que existena, b∈Rtales quef(x) =e
ax
para todox∈Ry
g(x) =blogxpara todox∈R
+
.
2. Pruebe que la sucesi´on cuyon-´esimo t´ermino esxn= 1 +
1/2+ +1/n−lognes decreciente y acotada, luego conver-
gente. (Su l´ımite es conocido como laconstanteγde Euler-
Mascheroni, que vale aproximadamentey≃0,5772.)
3. Pruebe que l´ım
x→0
xlogx= 0.
4. Pruebe que, para todox∈R, se tiene l´ım
n→∞
ı
1 +
x
n
≡
n
=e
x
.
Secci´on 4: Integrales impropias
1. Estudie la convergencia o divergencia de las integrales
Z
1
0
dx
1−cosx
,
Z
3
−3
dx
x
3
,
Z
1
−1
dx
3
√
x
.
2. Estudie la convergencia o divergencia de las integrales
Z
+∞
0
dx
(1 +x)
√
x
,
Z
+∞
−∞
dx
1 +x
6
,
Z
+∞
1
xdx
1−e
x
.
3. Demuestre que
R
+∞
0
sen(x
2
)dxconverge, pero no absoluta-
mente.
4. Demuestre que, aunque la funci´onf(x) =xsen(x
4
) no est´a aco-
tada, la integral
R
+∞
0
xsen(x
4
)dxes convergente.
5. Seaf: [a,+∞)→Rcontinuas, positiva y mon´otonna cre-
ciente. Pruebe que si
R
+∞
a
f(x)dxes convergente, entonces
l´ım
x→+∞
xf(x) = 0.
6. Seaf: [a,+∞)→Rintegrable en cada intervalo acotado
[a, x]. Pruebe que su integral impropia
Z
+∞
a
f(x)dx= l´ım
x→∞
Z
x
a
f(x)dx
existe si, y s´olo si, dadoε >0, existeA >0 tal queA < x < y
implica|
R
y
x
f(t)dt|< ε. (“Criterio de Cauchy”).
7. Pruebe el Teorema 12.

170C´alculo con integrales Cap. 11

12
Sucesiones
y series de funciones
En muchos problemas de Matem´aticas y de sus aplicaciones se bus-
ca una funci´on que cumpla determinadas condiciones. Es frecuente
en estos casos obtener una sucesi´on de funcionesf1, f2, . . . , fn, . . . ,
cada una de las cuales cumple las condiciones exigidas, pero s´olo de
forma aproximada; sin embargo estas aproximaciones son cada vez
mejores. Entonces se espera que la funci´on l´ımite de esta sucesi´on
tambi´en cumpla tales condiciones. Esto nos lleva a estudiar l´ımites
de sucesiones de funciones.
Muchas veces cada funci´on de la sucesi´on se obtiene a partir
de lo anterior sumando una funci´ongn. En este caso se tiene una
serie de funciones
P
gn. En este cap´ıtulo se estudiar´an sucesiones
y series de funciones.
Mientras que para las sucesiones y series de n´umeros existe so-
lamente una noci´on de l´ımite, para las funciones existen varias.
Aqu´ı examinaremos las dos nociones m´as comunes, que deﬁniremos
a continuaci´on.
1. Convergencia puntual y convergencia uniforme
Se dice que una sucesi´on de funcionesfn:X→R(n= 1,2, . . .)
converge puntualmentea una funci´onf:X→Rcuando para todo
x∈X, la sucesi´on de n´umerosf1(x), . . . , fn(x), . . .converge af(x).
171

172Sucesiones y Series de funciones Cap. 12
As´ı,fn→fpuntualmente enXcuando, dadosε >0 yx∈X
existen0(que depende deεy dex) tal quen > n0⇒ |fn(x)−
f(x)|< ε.
Gr´aﬁcamente, en cada recta vertical que pasa por un puntox∈
Xqueda determinada una sucesi´on de puntos (x, f1(x)), . . . ,(x, fn(x)), . . .
las intersecciones de dicha recta con los gr´aﬁcos def1, . . . , fn. Estos
puntos convergen a (x, f(x)), la intersecci´on de la recta vertical con
el gr´aﬁco def.
Ejemplo 1.La sucesi´on de funcionesfn:R→R, dondefn(x) =
x/nconverge puntualmente a la funci´onf:R→Rid´enticamente
nula. En efecto, para cadax, se tiene l´ım
n→∞
(x/n) = 0.
Un tipo de convergencia de funciones, m´as fuerte que la con-
vergencia puntual, es la convergencia uniforme, que deﬁnimos a
continuaci´on.
Una sucesi´on de funcionesfn:X→Rconverge uniformemente
a una funci´onf:X→Rcuando, para todoε >0, existen0∈N
(que depende exclusivamente deε) tal quen > n0⇒ |fn(x)−f(x)|ε
se cual fuerex∈X.
En el planoR
2
, dadoε >0, labanda de radioεalrededor del
gr´aﬁco defes el conjunto
F(f;ε) ={(x, y)∈R
2
:x∈X, f(x)−ε < y < f(x) +ε}.
Decir quefn→funiformemente enXsigniﬁca que, para todo
ε >0, existen0∈Ntal que el gr´aﬁco defnest´a contenido en la
banda de radioεalrededor defpara todon > n0.

Secci´on 1 Convergencia puntual y convergencia uniforme 173
fn
f
x
}ε
}ε
Fig. 10- El gr´aﬁco defnest´a contenido en la banda
F(f;ε).
Ejemplo 2.Nunguna banda de radioεalrededor del eje de abscisas
(gr´aﬁco de la funci´on id´enticamente nula) contiene al gr´aﬁco de
cualquier funci´onfn:R→R,fn=x/n. Luego la sucesi´on (fn) del
Ejemplo 1 no converge uniformemente a la funci´on id´enticamente
nula. Por otra parte, siX⊂Res un conjunto acotado, supongamos
que|x| ≤cpara todox∈X, entoncesfn→0 uniformemente
enX. En efecto, dadoε >0, basta tomarn0> c/ε. Entonces
n > n0⇒ |fn(x)|=|x|/n < c/n0< ε.
Ejemplo 3.La sucesi´on de funciones continuasfn: [0,1]→R,
fn(x) =x
n
, converge puntualmente a la funci´on discontinuaf:
[0,1]→R,f(x) = 0 si 0≤x <1,f(1) = 1. La convergencia es
uniforme en cada intervalo de la forma [0,1−δ], 0< δ <1, pero
no es uniforme en [0,1]. Estas dos aﬁrmaciones son consecuencia de
propiedades generales (a saber, los Teoremas 1 y 2 de abajo), pero
se pueden probar f´acilmente a partir de la deﬁnici´on. En efecto,
si escribimosa= 1−δ, tenemos 0< a <1, luego l´ım
n→∞
a
n
= 0.
Dadoε >0, sean0∈Ntal quen > n0⇒a
n
< ε. Entonces
n > n0⇒0< fn(x)< a
n
< εpara todox∈[0, a]. Por tanto
fn→0 uniformemente en el intervalo [0,1−δ]. Por otra parte, si
tomamosε= 1/2 aﬁrmamos que, sea cual fueren0∈N, existen
puntosx∈[0,1] tales que|fn0(x)−f(x)| ≥1/2, o sea,x
n0
≥
1/2. Basta observar que l´ım
x→1
−
x
n
= 1. Luego existeδ >0 tal que
1−δ < x <1⇒x
n0
>1/2. Esto demuestra quefnno converge
uniformemente afen el intervalo [0,1].

174Sucesiones y Series de funciones Cap. 12
y = x
y = x
2
y = x
3
y=x
4
Fig. 11- Las funcionesfn(x) =x
n
convergen puntual-
mente en el intervalo [0,1] a una funci´on discontinua.
Ejemplo 4.La sucesi´on de funciones continuasfn: [0,1]→R,
fn(x) =x
n
(1−x
n
), converge puntualmente a la funci´on id´entica-
mente nula. Esta convergencia no es uniforme. En efecto, para todo
n∈Ntenemosfn(
n
p
1/2) = 1/4. Luefo, siε= 1/4, ninguna fun-
ci´onfntiene su gr´aﬁco contenido en la banda de radioεalrededor
de la funci´on 0. Por otra parte, si 0< δ <1, tenemosfn→0 uni-
formemente en el intervalo [0,1−δ], puesx
n
→0 uniformemente
en dicho intervalo y 0≤x
n
(1−x
n
)≤x
n
.
1
4
10
f1
f2
f3
Fig. 12
Las consideraciones hechas en esta secci´on incluyen a la suma
f=
P
fnde una serie de funcionesfn:X→R. En este importante
caso particular se tienef= l´ımsn,sn(x) =f1(x)+ +fn(x) para

Secci´on 2 Propiedades de la convergencia uniforme 175
todon∈Nyx∈X. As´ı, decir que la serie
P
fnconverge uniforme-
mente signiﬁca que la sucesi´on (sn) converge uniformemente, y es
equivalente a aﬁrmar que la sucesi´on de funcionesrn:X→R(“res-
tos” de la serie), deﬁnidas mediantern(x) =fn+1(x)+fn+2(x)+
converge uniformemente a 0. En efectom basta observar quern=
f−sn.
2. Propiedades de la convergencia uniforme
Teorema 1.Si una sucesi´on de funcionesfn:X→Rconverge
uniformemente af:X→Ry cadafnes continua en el punto
a∈Xentoncesfes continua en el puntoa.
Demostraci´on:Dadoε >0, existen0∈Ntal quen > n0⇒ |fn(x)−
f(x)|< ε/3 para todox∈X. Fijemos un n´umero naturaln > n0.
Comofnes continua en el puntoa, existeδ >0 tal quex∈X,
|x−a|< δ⇒ |fn(x)−fn(a)|< ε/3, de donde
|f(x)−f(a)| ≤1fn(x)−f(x)|+|fn(x)−fn(a)|+|fn(a)−f(a)|
<
ε
3
+
ε
3
+
ε
3
=ε.
Lo que prueba el teorema.
Ejemplo 5.La sucesi´on de funciones continuasfn(x) =x
n
no
puede converger uniformemente en [0,1], pues converge puntual-
mente a la funci´on discontinuaf: [0,1]→R,f(x) = 0 si 0≤
x <1,f(1) = 1. Por otra parte, la sucesi´on de funciones continuas
fn(x) =x
n
(1−x
n
) converge puntualmente a la funci´on 0 en el in-
tervalo [0,1], que es continua, sin que esto implique la convergencia
uniforme. La misma observaci´on se puede hacer a prop´osito de la
sucesi´on de funciones continuasfn:R→R,fn(x) =x/n. De es-
to trata el pr´oximo teorema. Antes de demostrarlo, daremos una
deﬁnici´on.
Se dice que una sucesi´on de funcionesfn:X→R,converge
mon´otonamenteaf:X→Rcuando, para todox∈X, la suce-
si´on de funciones (fn(x))n∈Nes mon´otona y converge af(x). Por
ejemplo, las funciones de los Ejemplos 1 y 3 convergen mon´otona-
mente.

176Sucesiones y Series de funciones Cap. 12
Es claro que sifn→fmon´otonamente enX, entonces|fn+1(x)−
f(x)| ≤ |fn(x)−f(x)|para todox∈Xy todon∈N.
Teorema 2. (Dini).Si la sucesi´on de funciones continuasfn:
X→Rconverge mon´otonamente a la funci´on continuaf:X→R
en un conjunto compactoXentonces la convergencia es uniforme.
Demostraci´on:Dadoε >0, escribimos, para cadan∈N,Xn=
{x∈X:|fn(x)−f(x)| ≥ε}. Comofnyfson continuas, cada
Xnes compacto. A su vez, la monoton´ıa de la convergencia implica
X1⊃X2⊃X3⊃ . Finalmente, como l´ım
n→∞
fn(x) =f(x) para
todox∈X, vemos que
T
∞
n=1
Xn=∅. Del Teorema 9, Cap´ıtulo 5,
se deduce que alg´unXn0(y por tanto todoXntal quen > n0) es
vac´ıo. Esto signiﬁca quen > n0⇒ |fn(x)−f(x)|< ε, sea cual fuere
x∈X.
Ejemplo 6.La sucesi´on de funciones continuasfn: [0,1)→R,
fn(x) =x
n
, converge mon´otonamente a la funci´on (continua) id´enti-
camente nula en el conjunto [0,1), que no es compacto; sin embargo,
la convergencia no es uniforme. En efecto, dado 0< ε <1, para
todon∈Nexisten puntosx∈[0,1) tales quex
n
> ε, ya que
l´ım
x→−1
x
n
= 1> ε.
Teorema 3. (Paso al l´ımite bajo el signo integral).Si la
susesi´on de funciones integrablesfn: [a, b]→Rconverge uniforme-
mente af: [a, b]→Rentoncesfes integrable y
Z
b
a
f(x)dx= l´ım
n→∞
Z
b
a
fn(x)dx .
En otra palabras: si la convergencia es uniforme,
R
b
a
f(x)dx= l´ım
n→∞
Z
b
a
fn.
Demostraci´on:Dadoε >0, existen0∈Ntal quen > n0⇒ |fn(x)−
f(x)|< ε/4(b−a) para todox∈[a, b]. Fijemosm > n0, comofm
es integrable exist una partici´onPtal que, si indicamos mediante
ωi, ω
′
i
las oscilaciones defyfm, respectivamente, en el intervalo
[ti−1, ti] deP, se tiene
P
ω
′
i(ti−ti−1)< ε/2. Por otra parte, para
cualesquierax, y∈[ti−1, ti] se tiene:
|f(y)−f(x)| ≤ |f(y)−fm(y)|+|fm(y)−fm(x)|+|fm(x)−f(x)|
< ω
′
i+
ε
2(b−a)
.

Secci´on 2 Propiedades de la convergencia uniforme 177
Por tanto,ωi< ω
′
i
+ε/2(b−a). De donde
X
ωi(ti−ti−1)≤
X
ω
′
i
(ti−ti−1) + [ε/2(b−a)]
X
(ti−ti−1)
< ε/2 +ε/2 =ε .
Esto demuestra quefes integrable. Adem´as,

Z
b
a
f(x)dx−
Z
b
a
fn(x)dx

=

Z
b
a
[f(x)−fn(x)]dx

≤
Z
b
a
|f(x)−fn(x)|dx
≤
(b−a)ε
4(b−a)
< ε
sin > n0. En consecuencia, l´ım
n→∞
Z
b
a
fn(x)dx=
Z
b
a
f(x)dx.
Observaci´on.Si cadafnes continua la demostraci´on se simpliﬁca
considerablemente pues entoncesftambi´en es continua, y por tanto
integrable.
Ejemplo 7.Si una sucesi´on de funciones integrablesfn: [a, b]→R
converge puntualmente af: [a, b]→R, puede suceder quefno sea
integrable. Por ejemplo, si{r1, r2, . . . , rn, . . .}es una enumeraci´on
de los n´umeros racionales en [a, b] y deﬁnimosfncomo la funci´on
que vale 1 en los puntosr1, r2, . . . , rny cero en los dem´as puntos de
[a, b], entoncesfnconverge puntualmente a la funci´onf: [a, b]→R
tal quef(x) = 1 six∈Q∩[a, b] yf(x) = 0 sixes racional.
Evidentemente, cadafnes integrable, y sin embargofno lo es.
Ejemplo 8.Incluso cuando una sucesi´on de funciones integrables
fn: [a, b]→Rconverge puntualmente a una funci´on integrable
f: [a, b]→R, puede suceder que l´ım
n→∞
Z
b
a
fn(x)dx6=
Z
b
a
f(x)dx.
Por ejemplo, para cadan∈N, seafn: [0,1]→Rdeﬁnida como
fn(x) =nx
n
(1−x
n
). Entoncesfn(1) = 0 y 0≤fn(x)< nx
n
si 0≤
x <1. Ahora bien, l´ım
n→∞
nx
n
= 0 si 0≤x <1. Por tantofnconverge
puntualmente en [0,1] a la funci´on id´enticamente nula. Adem´as
R
1
0
fn(x)dx=n
2
/(n+ 1)(2n+ 1); por tanto l´ım
n→∞
Z
b
0
fn(x)dx= 1/2
y sin embargo
R
1
0
f(x)dx= 0.

178Sucesiones y Series de funciones Cap. 12
Para que se veriﬁque que la derivada del l´ımite sea igual al l´ımite
de las derivadas, en vez de suponer quefnconverge uniformemen-
te, se tiene que postular que la sucesi´on de las derivadas converja
uniformemente.
Teorema 4. (Derivaci´on t´ermino a t´ermino).Sea(fn)una
sucesi´on de funciones de claseC
1
en el intervalo[a, b]. Si la sucesi´on
formada por los n´umeros(fn(c))converge para alg´unc∈[a, b]y
las derivadasf
′
n
convergen uniformemente a una funci´ongen[a, b],
entonces(fn)converge uniformemente a una funci´onf, de claseC
1
,
tal quef
′
=gen[a, b]. En resumen:(l´ımfn)
′
= l´ımf
′
nsiempre que
las derivadasf
′
n
converjan uniformemente.
Demostraci´on:Por el Teorema Fundamental del C´alculo, para
cadan∈Ny todox∈[a, b], tenemosfn(x) =fn(c) +
R
x
c
f
′
n
(t)dt.
Si hacemosn→ ∞, vemos por el Teorema 3, que existef(x) =
l´ım
n→∞
fn(x) y quef(x) =f(c) +
R
x
c
g(t)dt. Adem´as, por el Teorema
1,ges continua, luego (de nuevo por el Teorema Fundamental del
C´alculo)fes derivable yf
′
(x) =g(x) para todox∈[a, b]. En
particular,f
′
es continua, esto es,fes de claseC
1
. S´olo nos falta
probar que la convergenciafn→fes uniforme. Ahora bien,
|fn(x)−f(x)| ≤ |fn(c)−f(c)|+
Z
x
c
|f
′
n(t)−g(t)|dt .
Comof
′
n
→guniformemente, resulta quefn→funiformemente.
Ejemplo 9.La sucesi´on de funcionesfn(x) = sen(nx)/nconver-
ge uniformemente cero en toda la recta. Sin embargo la sucesi´on
f
′
n(x) = cos(nx) no converge, ni tal siquiera puntualmente, en
ning´un intervalo. (Todo intervalo contiene alg´un n´umero de la for-
max=mπ/p, conm, penteros, luego cos(nx) alcanza inﬁnitas
veces los valores 1 y−1.
En el caso de una serie
P
fnlos teoremas anteriores se formulan
como sigue:
1. Si
P
fnconverge uniformemente afy cadafnes continua en el
puntoaentoncesfes continua en el puntoa.

Secci´on 2 Propiedades de la convergencia uniforme 179
2. Si cada t´erminofn:X→Res una funci´on continua tal que
fn(x)≥0 para todox∈X, y la serie
P
fnconverge a una
funci´on continuaf:X→Ren el compactoX, entonces la
convergencia es uniforme.
3. Si cadafn: [a, b]→Res integrable y
P
fnconverge uniforme-
mente af: [a, b]→R, entoncesfes integrable y
R
b
a
P
fn(x)dx=
R
b
a
f(x)dx.
4. Si cadafn: [a, b]→Res de claseC
1
,
P
f
′
nconverge uniforme-
mente en [a, b] y
P
fn(c) converge para alg´unc∈[a, b], enton-
ces
P
fnconverge uniformemente a una funci´on de claseC
1
y
(
P
fn)
′
=
P
f
′
n.
Ejemplo 10.La serie
P
∞
n=0
x
2
/(1 +x
2
)
n
, cuyos t´erminos son fun-
ciones continuas deﬁnidas en toda la recta, converge a la suma 1+x
2
para todox6= 0. En el puntox= 0 todos los t´erminos de la serie
son nulos, luego la suma es cero. De donde la serie dada converge
puntualmente en toda la recta; sin embargo, la convergencia no es
uniforme, pues la suma es una funci´on discontinua.
El teorema b´asico sobre convergencia de series de funciones,
enunciado a continuaci´on, no tiene an´alogo para sucesiones.
Teorema 5. (Criterio de Weiertrass).Dada la sucesi´on de
funciones,fn:X→R, sea
P
anuna serie convergente de n´umeros
realesan≥0tales que|fn(x)| ≤anpara todon∈Nyxd∈X.
En estas condicionesm las series
P
|fn|y
P
fnson uniformemente
convergentes.
Demostraci´on:Por el criterio de comparaci´on, para todox∈X
la serie
P
|fn|(y por tanto la serie
P
fn) es convergente. Dado
ε >0, existen0∈Ntal que
P
n>n0
an< ε. Escribiendo
Rn(x) =
X
k>n
|fn(x)|yrn(x) =
X
k>n
fn(x),
se tiene inmediatamente que|rn(x)| ≤Rn(x)≤
P
k>n
ak< εpara
todon > n0luego
P
|fn|y
P
fnson uniformemente convergentes.

180Sucesiones y Series de funciones Cap. 12
3. Series de potencias
Las funciones m´as importantes del An´alisis se pueden escribir
como sumas de series de la forma:
f(x) =
∞
X
n=0
an(x−x0)
n
=a0+a1(x−x0) + +an(x−x0)
n
+ .
Estas series, que son la generalizaci´on natural de los polinomios,
se llamanseries de potencias.
Para simpliﬁcar la notaci´on, preferimos tratar el caso en que
x0= 0, esto es, series de la forma
∞
X
n=0
anx
n
=a0+a1x+ +anx
n
+ .
El caso general se reduce a ´este haciendo el cambio de varia-
blesy=x−x0. As´ı, los resultados que obtengamos para las series
P
anx
n
se pueden adaptar f´acilmente al caso
P
∞
n=0
an(x−x0)
n
.
La primera propiedad destacable sobre la serie de potencias
P
∞
n=0
an(x−x0)
n
es que el conjunto de valores dexpara los que
´esta converge es un intervalo centrado enx0. Dicho intervalo puede
ser acotado (abierto, cerrado o semiabierto), igual aR, o simple-
mente reducirse a un ´unico punto. Demostraremos esto en breve;
antes veamos un ejemplo que ilustra todas estas posibilidades.
Ejemplo 11.Por el criterio de d’Alembert, la serie
P
x
n
/n! con-
verge para cualquier valor dex. La serie
P
[(−1)
n
/(2n+ 1)]x
2n
converge si, y s´olo si,x∈[−1,1]. La serie
P
[(−1)
n
/n]x
n
converge
six∈(−1,1] y diverge fuera de dicho intervalo. El conjunto de
puntosx∈Rpara los que la serie geom´etrica
P
x
n
converge es
el intervalo abierto (−1,1). Finalmente, la serie
P
n
n
x
n
converge
exclusivamente en el puntox= 0.
Dada una serie de potencias
P
anx
n
, la localizaci´on de los pun-
tosxdonde ´esta converge se hace mediante el criterio de Cauchy
(Teorema 6, Cap´ıtulo 4), que pone de maniﬁesto el compartamiento
de la sucesi´on (
n
p
|an|).

Secci´on 3 Series de potencias181
Si la sucesi´on (
n
p
|an|) no est´a acotada entonces la serie
P
anx
n
converge solamente cuandox= 0. En efecto, para todox6= 0 la
sucesi´on de n´umeros
n
p
|anx
n
|=|x|
n
p
|an|no est´a acotada, as´ı que
ocurre los mismo con|anx
n
|, luego el t´ermino general de la serie
P
anx
n
no tiende a cero.
Por otro parte, si la sucesi´on (
n
p
|an|) est´a acotada entonces el
conjunto:
R={ρ >0 :
n
p
|an|<1/ρpara todon∈Nsuﬁcientemente grande}
no es vac´ıo. En realidad, es f´acil ver que siρ∈Ry 0< x < ρenton-
cesx∈R. LuegoRes un intervalo del tipo (0, r), (0, r] o (0,+∞),
donder= supR. El n´umerorse llamaradio de convergenciade
la serie
P
anx
n
. (SiRno est´a acotada convendremos en escribir
r= +∞).
El radio de convergenciarde la serie de potencias
P
anx
n
ve-
riﬁca las siguientes propiedades;
1. Para todox∈(−r, r) la serie
P
anx
n
converge absolutamente.
En efecto, tomandoρtal que|x|< ρ < rtenemos
n
p
|an|<1/ρ,
por consiguiente
n
p
|anx
n
|=|x|
n
p
|an|<|x|/ρ <1 para todo
n∈Nsuﬁcientemente grande. Luego, por el criterio de Cauchy,
P
anx
n
converge absolutamente.
2. Si|x|> rla serie
P
anx
n
diverge. En efecto, en este casox /∈R,
luego no se tiene
n
p
|an|<1/|x|para todonsuﬁcientemente
grande. Esto signiﬁca que
n
p
|an| ≥1/|x|, y por tanto|anx
n
| ≥1,
para inﬁnitos valores den. Luego el t´ermino general de la serie
P
anx
n
no tiende a cero y por tanto la serie diverge.
3. Six=±r, en general, no puede aﬁrmarse nada: la serie
P
anx
n
puede ser divergente o convergente, seg´un los diferentes casos.
4. Si existeL= l´ım
n→∞
n
p
|an|entoncesr= 1/L. (Se sobreentiende
que siL= 0 entoncesr= +∞). En efecto, para todoρ∈R
existen0∈Ntal quen > n0⇒
n
p
|an|<1/ρ. Haciendon→ ∞
obtenemosL≤1/ρ, de dondeρ≤1/L. Se deduce quer=
supR≤1/L. Ahora supongamos, por reducci´on al absurdo, que
r <1/L, entonces tomar´ıamosctal quer < c <1/L, de donde

182Sucesiones y Series de funciones Cap. 12
L <1/c. Por la deﬁnici´on de l´ımite tendr´ıamos
n
p
|an|<1/c
para todonsuﬁcientemente grande, de dondec∈Ry as´ıc≤r,
que es una contradicci´on. Luegor= 1/L.
El an´alisis que acabamos de hacer se puede resumir como sigue:
Teorema 6.Una serie de potencias
P
anx
n
, ´o converge exclusiva-
mente cuandox= 0, ´o exister,0< r≤+∞, tal que la serie con-
verge absolutamente en el intervalo abierto(−r, r)y diverge fuera
del intervalo cerrado[−r, r]. En los extremos−ryrla serie puede
converger o diverger. Si existeL= l´ım
n
p
|an|entoncesr= 1/L. El
n´umerorse llama radio de convergencia de la serie. Adem´as, se
tiene0< ρ < r⇔
n
p
|an|<1/ρpara todon∈Nsuﬁcientemente
grande.
Observaci´on:Del Teorema 7, Cap´ıtulo 4, se deduce que si los
coeﬁcientesanson diferentes de cero y existe l´ım|an+1|/|an|=L,
entonces el radio de convergencia de la serie
P
anx
n
esr= 1/L.
Teorema 7.Una serie de potencias
P
anx
n
converge uniforme-
mente en todo intervalo compacto de la forma[−ρ, ρ], donde0<
ρ <radio de convergencia.
Demostraci´on:La serie
P
anρ
n
es absolutamente convergente y,
para todox∈[−ρ, ρ]. se tiene|anx
n
| ≤ |an|ρ
n
. Del criterio de
Weiertrass (Teorema 5) se sigue que la serie
P
anx
n
converge uni-
formemente en el intervalo [−ρ, ρ].
Corolario 1.Sir >0 es el radio de convergencia de la serie
P
anx
n
, entonces la funci´onf: (−r, r)→R, deﬁnida mediante
f(x) =
P
anx
n
, es continua.
Ejemplo 12.La serie
P
anx
n
no es necesariamente uniformemente
convergente en todo el intervalo (−r, r), donderes el radio de con-
vergencia. Esto est´a claro en el caso de la serie
P
x
n
/n!, que tiene
radio de convergencia inﬁnito, para la cualrn(x) =
P
k>n
x
k
/k!>
x
n+1
/(n+ 1)! sixes positivo. Dadoε >0, independiente deln
escogido, es imposible quern(x)< εpara todoxpositivo.
Teorema 8. (Integraci´on t´ermino a t´ermino).Searel radio
de convergencia de la serie
P
anx
n
. Si[α, β]⊂(−r, r)entonces:
Z
β
α
ıX
anx
n
≡
dx=
X
an
n+ 1
(β
n+1
−α
n+1
).

Secci´on 3 Series de potencias183
Demostraci´on:La convergencia de
P
anx
n
es uniforme en el in-
tervalo [α, β], pues si escribimosρ= m´ax{|α|,|β|}< rtendremos
[α, β]⊂[−ρ, ρ]. Luego, por el Teorema 3, podemos integrar t´ermino
a t´ermino.
Teorema 9. (Derivaci´on a t´ermino a t´ermino).Searel radio
de convergencia de la serie de potencias
P
anx
n
. La funci´onf:
(−r, r)→R, deﬁnida comof(x) =
P
anx
n
, es derivable yf
′
(x) =
P
∞
n=1
nanx
n−1
; adem´as la serie de potenciasf
′
(x)tambi´en tiene
radio de convergenciar.
Demostraci´on:Sear
′
el radio de convergencia de la serie
P
n≥1
nanx
n−1
,
que converge si, y s´olo si,x
P
nanx
n−1
=
P
nanx
n
converge. Luego
r
′
tambi´en es el radio de convergencia de esta ´ultima serie. Abrevia-
mos la expresi´on “para todonsuﬁcientemente grande” escribiendo
“n≫1”. Si 0< ρ < rentonces, tomandoccon 0< ρ < c < r, tene-
mos
n
p
|an|<1/c,n≫1. Por otra parte, como l´ım
n
√
n= 1 entonces
n
√
n < c/ρ,n≫1. Multiplicando las dos ´ultimas desigualdades se
tiene
n
p
|an|<1/ρ,n≫1. Por tanto, 0< ρ < r⇒0< ρ < r
′
. Co-
mo es obvio que 0< ρ < r
′
⇒0< ρ < r, concluimos quer=r
′
. As´ı,
las serie de potencias
P
n≥0
anx
n
y
P
n≥1
nanx
n−1
tienen el mismo
radio de convergencia. Dado cualquierx∈(−r, r) tomamosρtal
que|x|< ρ < r. Ambos series son uniformemente convergentes en
[−ρ, ρ] luego, por el Teorema 4, tenemosf
′
(x) =
P
n≥1
nanx
n−1
.
Corolario 1.Searel radio de convergencia de la serie de potencias
P
anx
n
. La funci´onf: (−r, r)→R, deﬁnida mediantef(x) =
P
anx
n
, es de claseC
∞
. Adem´as para cualesquierax∈(−r, r) y
k∈Nse tiene
f
(k)
(x) =
X
n≥k
n(n−1) (n−k+ 1)anx
n−k
.
En particular,ak=f
(k)
(0)/k!.
Por tanto,a0+a1x+ +anx
n
es el polinomio de Taylor de
ordennde la funci´onf(x) =
P
anx
n
en un entorno del punto
x= 0.
Corolario 2. (Unicidad de la representaci´on en serie de po-
tencias).Sean
P
anx
n
y
P
bnx
n
series de potencias convergentes
en el intervalo(−r, r)yX⊂(−r, r)un conjunto que tiene al0

184Sucesiones y Series de funciones Cap. 12
como punto de acumulaci´on. Si
P
anx
n
=
P
bnx
n
para todox∈X
entoncesan=bnpara todon≥0.
En efecto, las hip´otesis nos aseguran que las funcionesf, g:
(−r, r)→R, deﬁnidas comof(x) =
P
anx
n
yg(x) =
P
bnx
n
,
tienen las mismas derivadas,f
(n)
(0) =g
(n)
(0),n= 0,1,2, . . .. Luego
an=f
(n)
(0)/n! =g
(n)
(0)/n! =bn.
4. Series trigonom´etricas
Demostraremos ahora, sucintamente, c´omo se pueden deﬁnir de
forma precisa las funciones trigonom´etricas sin apelar a la intuici´on
geom´etrica.
Las series de potencias:
c(x) =
∞
X
n=0
(−1)
n
(2n)!
x
2n
ys(x) =
∞
X
n=0
(−1)
n
(2n+ 1)!
x
2n+1
tienen radio de convergencia iniﬁnita, luego deﬁnen funcionesc:
R→Rys:R→R, ambas de claseC
∞
.
Es inmediato quec(0) = 1,s(0) = 0,c(−x) =c(x) ys(−x) =
−s(x). Derivando t´ermino a t´ermino, se tienes
′
(x) =c(x) yc
′
(x) =
−s(x).
La derivada de la funci´onf(x) =c(x)
2
+s(x)
2
es
2cc
′
+ 2ss
′
=−2cs+ 2cs= 0,
luego es constante. Comof(0) = 1, concluimos quec(x)
2
+s(x)
2
= 1
para todox∈R.
De forma an´aloga se prueban las f´ormulas de la suma:
s(x+y) =s(x)c(y) +s(y)c(x),
y
c(x+y) =c(x)c(y)−s(x)s(y).
Para esto basta ﬁjary∈Ry deﬁnir las funcionesf(x) =
s(x+y)−s(x)c(y)−c(x)s(y) yg(x) =c(x+y)−c(x)c(y)+s(x)s(y).

Secci´on 4 Series trigonom´etricas 185
Se tienef
′
=gyg
′
=−f, de dondef
2
+g
2
tiene derivada id´enti-
camente nula, luego es constante. Comof(0) =g(0) = 0, se deduce
quef(x)
2
−g(x)
2
= 0 para todox∈R. Por tantof(x) =g(x) = 0
para todox∈Ry as´ı las f´ormulas est´an probadas.
Aﬁrmamos ahora que, necesariamente, existe alg´unx∈Rtal
quec(x) = 0.
En caso contrario, comoc(0) = 1, tendr´ıamosc(x)>0 para
todox >0 y, comoces la derivada des, la funci´onsser´ıa crecien-
teen la semirectaR
+
. Entonces, para cualquierx >1, se tendr´ıa
c(x) =c(1)−
R
x
1
s(t)dt >0, de dondec(1)>
R
x
1
s(t)dt > s(1)(x−1);
la ´ultima desigualdad se debe a queses creciente. Pero la desigual-
dadc(1)> s(1)(x−1) para todox >1 es absurdo. Luego existe
alg´unxtal quec(x) = 0.
El conjunto de los n´umerosx≥0 tales quec(x) = 0 es cerrado
porqieces continua. Luego posee un menor elemento, que no es ce-
ro puesc(0) = 1. Llamaremosπ/2 al menor n´umero positivo para
el que se tienec(x) = 0.
Veremos ahora que las funcionesc(x) ys(x) son peri´odicas,
con per´ıodo 2π. En efecto, la segunda f´ormula de la suma nos da:
c(2x) =c(x)
2
−s(x)
2
= 2c(x)
2
−1, luegoc(π) =−1 yc(2π) = 1,
de dondes(π) =s(2π) = 0. De nuevo las f´ormulas de la suma de-
muestran ques(x+ 2π) =s(x) yc(x+ 2π) =c(x), lo que prueba
la aﬁrmaci´on.
Las notaciones usuales para estas funciones sonc(x) = cosxy
s(x) = senx.
Este peque˜no resumen justiﬁca el uso de las funciones senxy
cosxen el An´alisis Matem´atico. A partir de aqu´ı se deﬁnen las
dem´as funciones trigonom´etricas de la forma habitual: tanx=
senx/cosx, secx= 1/cosx, etc.
En particular, l´ım
x→0
senx/x= 1 porque, como sen(0) = 0, este
l´ımite es la derivada de senxen el puntox= 0, que es igual a cos 0,
o sea, a 1.

186Sucesiones y Series de funciones Cap. 12
5. Series de Taylor
Cuando la serie de potencias
P
an(x−x0)
n
tiene radio de con-
vergenciar >0, se dice que es laserie de Taylor, alrededor del
puntox0, de la funci´onf: (x0−r, x0+r)→R, deﬁnida mediante
f(x) =
P
an(x−x0)
n
. Esta denominaci´on se debe a que la suma de
losn+ 1 primeros t´erminos de esta serie es el polinomio de Taylor
de ordenndefen el puntox0. Veremos ahora las serie de Taylor
de algunas funciones conocidas.
A veces la serie de Taylor de una funci´on en el puntox0= 0
se llama “serie de Maclaurin”; sin embargo, no adoptaremos esta
terminolog´ıa.
1. Funciones seno y coseno
Sus series de Taylor en un entorno del puntox= 0 son:
senx=x−
x
3
3!
+
x
5
5!
− y cosx= 1−
x
2
2
+
x
4
4!
−
en virtud de la propia deﬁnici´on de dichas funciones.
2. Funci´on 1/(1−x)
La serie de potencias 1 +x+x
2
+ es una serie geom´etrica,
que converge a la suma 1/(1−x) cuando|x|<1, y diverge cuando
|x| ≥1. Luego es la serie de Taylor de la funci´onf: (−1,1)→R,
deﬁnida comof(x) = 1/(1−x).
Se deduce que 1−x+x
2
− =
P
n≥0
(−1)
n
x
n
es la serie de Tay-
lor de la funci´on 1/(1+x), que converge si|x|<1 y diverge|x| ≥1.
De aqu´ı tambi´en resulta que 1−x
2
+x
4
− =
P
n≥0
(−1)
n
x
2n
es la serie de Taylor de la funci´ong(x) = 1/(1 +x
2
) alrededor del
puntox= 0. En este caso la funci´ongest´a deﬁnida para todo
x∈R; sin embargo su serie de Taylor converge solamente en el
intervalo (−1,1). (Este fen´omeno est´a relacionada con el hecho de
que la funci´on de variable complejag(z) = 1/(1 +z
2
) no est´a de-
ﬁnida en los puntosz=±
√
−1, ambos con valor absoluto igual a 1).

Secci´on 5 Series de Taylor187
Si queremos obtener desarrollos ﬁnitos podemos escribir, respec-
tivamente,
1
1−x
= 1 +x+ +x
n
+
x
n+1
1−x
, x6= 1,
1
1 +x
= 1−x+ + (−1)
n
x
n
+
(−1)
n+1
x
n+1
1 +x
, x6=−1,
1
1 +x
2
= 1−x
2
+ + (−1)
n
x
2n
+
(−1)
n+1
x
2n+2
1 +x
2
, x∈R.
En cada una de estas expresiones el ´ultimo sumando es el resto
de la f´ormula de Taylor. En efecto, si llamamos, respectivamente,
r, syta estos restos vemos f´acilmente que
l´ım
x→0
r(x)
x
n
= l´ım
x→0
s(x)
x
n
= l´ım
x→0
t(x)
x
n
= 0.
3. Funci´on exponencial
La serie
P
∞
n=0
x
n
/n! converge para todox∈R, luego la funci´on
f:R→R, deﬁnida comof(x) =
P
∞
n=0
x
n
/n!, es de claseC
∞
.
Derivando t´ermino a t´ermino vemos quef
′
(x) =f(x). Comof(0) =
1, del Teorema 17, Cap´ıtulo 9, se concluye quef(x) =e
x
para todo
x∈R. Por tanto:
e
x
= 1 +x+
x
2
2
+
x
3
3!
+
es la serie de Taylor de la funci´on exponencial en el puntox= 0.
4. Funci´on logaritmo
Como la funci´on logaritmo no tiene sentido cuandox= 0, con-
sideraremos la funci´on log(1 +x), deﬁnida para todox >−1. Por
deﬁnici´on, log(1+x) =
R
x
0
dt/(1+t). Integrando t´ermino a t´ermino
la serie de Taylor de 1/(1 +x), que acabamos de ver, obtenemos:
log(1 +x) =x−
x
2
2
+
x
3
3
−
x
4
4
+ =
∞
X
n=1
(−1)
n+1
x
n
n
,
la serie de Taylor de log(1 +x), que es convergente en el intervalo
abierto (−1,1), pues su radio de convergencia es 1. Por el Teo-
rema de Leibniz (Teorema 3, Cap´ıtulo 4) se tiene que esta serie

188Sucesiones y Series de funciones Cap. 12
converge tambi´en parax= 1 (sin embargo diverge parax=−1).
Ser´ıa interesante saber si la funci´onf: (−1,1]→R, deﬁnida co-
mof(x) =
P
n≥1
(−1)
n+1
x
n
/n, que coincide con log(1 +x) cuando
|x|<1, tambi´en coincide con log(1 +x) en el puntox= 1. Esto
es verdad, como veremos a continuaci´on. En efecto, si integramos
t´ermino a t´ermino el desarrollo ﬁnito de 1/(1 +x) visto anterior-
mente, obtenemos (llegando hasta el ordennen vez den+ 1):
log(1 +x) =x−
x
2
2
+
x
3
3
− + (−1)
n
x
n
n
+rn(x),
donde
rn(x) = (−1)
n
Z
x
0
t
n
1 +t
dt .
Parax= 1, tenemos|rn(x)| ≤
R
1
0
t
n
dt=
1
n+1
.
Por tanto, l´ım
n→∞
rn(1) = 0. De donde
log 2 = 1−
1
2
+
1
3
− +
(−1)
n
n
+ .
Esta es una expresi´on interesante de log 2 como suma de una serie
alternada que demuestra que la serie de Taylor
P
∞
n=1
(−1)
n+1
x
n
/n
representa log(1 +x) en el intervalo (−1,1].
5. Funci´on arctanx
De los cursos de C´alculo es conocido que la funci´on tan : (−
π
2
,
π
2
)→
Res una biyecci´on de claseC
∞
con derivada positiva, y que su in-
versa arctan :R→(−π/2, π/2) tiene derivada igual a 1/(1 +x
2
),
para todox∈R. El desarrollo de tanxen serie de Taylor es com-
plicado, mientras que el de arctanxes bastante simple; por eso
pasamos a exponerlo. Tenemos que arctanx=
R
x
0
dt/(1 +t
2
), para
todox∈R. Cuando|x|<1, podemos integrar t´ermino a t´ermino el
desarrollo de Taylor de 1/(1 +x
2
) visto anteriormente, obteniendo:
arctanx=x−
x
3
3
+
x
5
5
− +(−1)
n
x
2n+1
2n+ 1
+ =
∞
X
n=0
(−1)
n
x
2n+1
2n+ 1
.
Este argumento (integraci´on t´ermino a t´ermino) nos garantizala
validez de esta igualdad cuando−1< x <1. Sucede que la serie en

Secci´on 5 Ejercicios189
cuesti´on tambi´en converge en los puntosx= 1 yx=−1. Por tanto,
es natural esperar que el desarrollo de arctanxen serie de Taylor
valga en todo el intervalo cerrado [−1,1]. Para ver esto integramos
el desarrollo ﬁnito de 1/(1 +x
2
), obteniendo:
arctanx=x−
x
3
3
+
x
5
5
− + (−1)
n−1
x
2n−1
2n−1
+rn(x),
dondern(x) = (−1)
n
R
x
0
t
2n
1+t
2dt.
Para todox∈[−1,1] tenemos
|rn(x)| ≤
Z
|x|
0
t
2n
dt=
|x|
2n+1
2n+ 1
≤
1
2n+ 1
,
luego l´ım
n→∞
rn(x) = 0, por tanto vale la igualdad:
arctanx=
∞
X
n=0
(−1)
n
x
2n+1
2n+ 1
para todox∈[−1,1]. En particular, parax= 1, obtenemos la
f´ormula de Leibniz:
π
4
= 1−
1
3
+
1
5
−
1
7
+.
5. Ejercicios
Secci´on 1: Convergencia puntual y Convergencia uniforme
1. Demuestre que la sucesi´on de funcionesfn: [0,+∞)→R,
dadas porfn(x) =x
n
/(1 +x
n
) converge puntualmente. De-
termine la funci´on l´ımite y demuestre que la convergencia no
es uniforme.
2. Pruebe que la sucesi´on del ejercicio anterior converge uni-
formemente en todos los intervalos de la forma [0,1−δ] y
[1 +δ,∞); 0< δ <1.
3. Pruebe que la serie
P
∞
n=1
x
n
(1−x
n
) converge cuandoxper-
tenece al intervalo (−1,1]. Adem´as la convergencia es unifor-
me en todos los intervalos de la forma [−1 +δ,1−δ], donde
0< δ <1/2.

190Sucesiones y series de funciones Cap. 12
4. Pruebe que para que una sucesi´on de funcionesfn:X→R
sea uniformemente convergente es necesario y suﬁciente que,
para todoε >0, existen0∈Ntal quem, n > n0⇒ |fm(x)−
fn(x)|< εpara cualquierx∈X. (Criterio de Cauchy).
5. Si la sucesi´on de funcionesfn:X→Rconverge uniforme-
mente af:X→R, pruebe quefest´a acotada si, y s´olo si,
existenK >0 yn0∈Ntales quen > n0⇒ |fn(x)| ≤Kpara
todox∈X.
6. Si la sucesi´on de funcionesfn:X→Res tal quef1≥f2≥
≥fn≥ yfn→0 uniformemente enX, pruebe que la
serie
P
(−1)
n
fnconverge uniformemente enX.
7. Si
P
|fn(x)|es uniformemente convergente enX, pruebe que
P
fn(x) tambi´en lo es.
Secci´on 2: Propiedades de la convergencia uniforme
1. Sifn→fygn→guniformemente en el conjuntoX, pruebe
quefn+gn→f+guniformemente enX. Pruebe tambi´en que
sifygest´an acotadas entoncesfngn→fguniformemente
enX. Finalmente, si existec >0 tal que|g(x)| ≥cpara todo
x∈X, pruebe que 1/gn→1/guniformemente enX.
2. Seap:R→Run polinomio de grado≥1. Demuestre que
la sucesi´on de funcionesfn:R→R, dadas porfn(x) =
p(x) + 1/n, converge uniformemente apenR; sin embargo
(f
2
n) no converge uniformemente ap
2
.
3. Considere la sucesi´on de funcionesfn: [0,1]→R, donde
fn(x) = sen(nx)/
√
n. Pruebe que (fn) converge uniformemen-
te a 0, pero que la sucesi´on de las derivadasf
′
nno converge
en ning´un punto del intervalo [0,1].
4. Demuestre que la sucesi´on de funcionesgn(x) =x+x
n
/n
converge uniformemente en el intervalo [0,1] a una funci´on
derivablegy que la sucesi´on de derivadasg
′
n
converge pun-
tualmente en [0,1]: sin embargo,g
′
no es igual a l´ımg
′
n
.
5. Seag:Y→Runiformemente continua. Si la sucesi´on de
funcionesfN:X→Rconverge uniformemente af, con

Secci´on 5 Ejercicios191
f(X)⊂Yyfn(X)⊂Ypara todon∈N, pruebe queg◦fn→
g◦funiformemente enX. Analice tambi´en el caso m´as sencillo
fn◦g→f◦g.
6. SeanXcompacto,Uabierto yf:X→Rcontinua tal que
f(X)⊂U. Pruebe que si una sucesi´on de funcionesfn:X→
Rconverge uniformemente af, entonces existen0tal que
n > n0⇒fn(X)⊂Y.
7. Si una sucesi´on de funciones continuasfn:X→Res unifor-
memente convergente en un conjunto densoD⊂X, pruebe
que (fn) converge uniformemente enX.
8. La sucesi´on de funcionesfn: [0,1]→R,fn(x) =nx(1−x)
n
,
converge, pero no uniformemente. Demuestre que, no obstan-
te, se tiene:
Z
1
0
ı
l´ım
n→∞
fn
≡
= l´ım
n→∞
Z
1
0
fn.
9. Dada una sucesi´on de funcionesfn:X→R, suponga que
existec∈Rtal que
n
p
|fn(x)| ≤c <1 para todox∈X
yn∈Nsuﬁcientemente grande. Pruebe que
P
|fn|y
P
fn
convergen uniformemente enX.
10. En el ejercicio anterior suponga quefn(x)6= 0 para todo
n∈Nyx∈Xy, en vez de
n
p
|fn(x)| ≤c <1, suponga que
|fn+1(x)/fn(x)| ≤c <1 para todox∈Xynsuﬁcientemente
grande. Obtenga la misma conclusi´on.
Secci´on 3: Series de potencias
1. Searel radio de convergencia de la serie de potencias
P
an(x−
x0)
n
. Pruebe que sir∈R
+
entoncesr= 1/L, dondeLes el
mayor valor de adherencia de la sucesi´on acotada (
n
p
|an|).
Por tanto,r= 1/(l´ım sup
n
√
an).
2. Pruebe que si l´ım
n
p
|an|=Lentonces la series de potencias
∞
X
n=0
anx
2n
y
∞
X
n=0
anx
2n+1
tiene radio de convergencia igual a 1/
√
L.

192Sucesiones y series de funciones Cap. 12
3. Determine el radio de convergencia de las siguientes series:
X
a
n
2
x
n
,
X
a
√
n
x
n
y
X
n
logn
nx
n
.
4. Pruebe que la funci´onf: (−r, r)→R, dada porf(x) =
P
∞
n=0
anx
n
, donderes el radio de convergencia de la serie, es
una funci´on par (respectivamente, impar) si, y s´olo si,an= 0
para todonimpar (respectivamente, par). (Ver Ejercicio 2.4,
Cap. 8).
5. Sea
P
∞
n=0
anx
n
una serie de potencias cuyos coeﬁcientes est´an
determinados por las igualdadesa0=a1= 1 yan+1=an+
an−1. Demuestre que el radio de convergencia de dicha serie
es igual a (−1 +
√
5)/2.
6. Pruebe que la funci´on
f(x) =
∞
X
n=0
(−1)
n
1
(n!)
2
ı
x
2
≡
2n
est´a bien deﬁnida para todox∈Ry quef
′′
+
f
′
x
+f= 0
para todox6= 0.

13
Soluciones de
los ejercicios
Cada una de las doce seciones de este cap´ıtulo tiene el t´ıtulo de
uno de los doce cap´ıtulos anteriores y contiene las soluciones de los
ejercicios propuestos en dicho cap´ıtulo. La notaci´onp.qquiere decir
q-´esimo ejercicio de la secci´onpdel cap´ıtulo correspondiente.
1. Conjuntos ﬁnitos e inﬁnitos
1.2 El conjuntoAde los m´ultiplos demmayores quenno es vac´ıo
pues (n+ 1)m∈A. Sea (q+ 1)mel menor elemento deA. Si
nno es m´ultiplo dem,qm < n <(q+ 1)m, luegon=qm+r,
conr < m. Rec´ıprocamente, sin=qm+rconr < mentonces
(q+1)mes el menor elemento deA, luegoqest´a univocamente
determinado junto ar=n−mq.
1.3 Seakel menor elemento deX. Sin∈Xentoncesn≥k. As´ı,
´ones m´ultiplo dek´on=qk+r, conr < k. Ahora bien,ny
qkpertenecen aX, luegor∈X, lo que es absurdo pueskes el
menor elemento deX. Por lo tanto, todon∈Xes m´ultiplo de
k.
1.4n < x < n+ 1⇒x=n+p,p∈N⇒n+p < n+ 1⇒p <1,
lo que es absurdo.
1.5 SeaX⊂Ntal que 1∈Xyn∈X⇒n+1∈X. SiX=Ntome
k=menor elemento deN−X. Se tiene 1∈X, luegok=p+ 1
193

194Soluciones de los ejercicios Cap. 13
conp < k, as´ıp∈X, luegop+ 1 =k /∈X, obtenemos una
contradicci´on.
2.2 SiY=X∪{a}, dondea∈Y, entoncesP(Y) est´a formado por
las partes deYque no contienen aaunidos a las que contienen
aa. La primeras constituyenP(X), el n´umero de las segundas
es igual al de las primeras, luegoP(Y) = 2P(X). Ahora es
suﬁciente aplicar el m´etodo de inducci´on sobre el n´umero de
elementos deX.
2.3 SiX=X
′
∪{a},a /∈X
′
, entonces cada funci´onf
′
:X
′
→Yse
puede extender denmaneras diferentes a una funci´onf:X→
Y, que corresponden a lasnim´agenes posibles dea,f(a)∈Y.
Luego cardF(X;Y) = cardF(X
′
;Y)×n. Ahora es suﬁciente
aplicar el m´etodo de inducci´on sobre el n´umero de elementos
mdeX.
3.3 Use la idea de Euclides: suponga quePes ﬁnito, considere el
producto de todos los n´umeros primos y sume 1 a este producto,
as´ı se obtiene un n´umeronque no puede ser primo, por lo tanto
tiene un divisor propio. Llegue a una contradicci´on.
3.4 TomeXn=N−In= conjunto de los n´umeros naturales mayo-
res quen. Entoncesa∈
T
∞
n=1
Xnsigniﬁca queaes mayor que
cualquier otro n´umero natural.
4.1 Para ver quefes inyectiva use la unicidad de la descomposici´on
en factores primos. Para ver que es sobreyectividad, dadok∈N
seamel mayor n´umero natural tal quekes divisible por 2
m
.
Entoncesk= 2
m
ℓ, dondeℓes impar, luegoℓ= 2n−1.
4.2 Tomeg=π◦ϕ, dondeϕ:N×N→Nes sobreyectiva y
π(m, n) =n.
4.3 Use el ejercicio anterior.
4.4 La funci´onf:Pn→N
n
=N× ×Ndeﬁnida comof(X) =
(m1, m2, . . . , mn) si{m1< m2< < mn}es inyectiva, por lo
tantoPnes numerable, luegoP=
∞
[
n=1
Pntambi´en lo es.

Secci´on 2 N´umeros reales195
4.5 Interprete cada subconjuntoX⊂Ncomo una sucesi´on de ceros
y unos, donde eln-´esimo t´ermino es 1 sin∈Xy 0 sin /∈X.
4.6X=
S
y∈Y
f
−1
(y).
2. N´umeros reales
2.2x=x−y+y⇒ |x| ≤ |x−y|+|y| ⇒ |x| − |y| ≤ |x−y|.
An´alogamente,|y|−|x| ≤ |x−y|luego||x|−|y|| ≤m´ax{|x|−
|y|,|y| − |x|} ≤ |x−y|.
2.3 No use el m´etodo de inducci´on. Escriba (1 +x)
2n
= (1 + 2x+
x
2
)
n
y use la desigualdad de Bernoulli.
2.6 Se deduce de 2.2.
2.7 Observe quef(λ) =aλ
2
+bλ+c, dondea=
P
y
2
i
,b=
2
P
xiyi,c=
P
x
2
i
.
3.3 SeaA= supf. Se tienef(x)≤A, de dondef(x)
2
≤A
2
para
todox∈X, luego sup(f
2
)≤A
2
. Por otra parte, sic < A
2
entonces
√
c < A, luego existex∈Xcon
√
c < f(x)< A, y
as´ıc < f(x)
2
< A
2
. Por lo tanto, sup(f
2
) =A
2
.
3.4 Dex <(2−a
2
)/(2a+1) se tienea
2
+2ax+x <2. Comox <1,
se tienex
2
< x, luego (a+x)
2
=a
2
+2ax+x
2
< a
2
+2ax+x <
2. Por otra parte, comoy <(b
2
−2)/2bentoncesb
2
−2by >2,
de donde (b−y)>(b−2y)>0. Estas desigualdades nos
dicen que siX={a >0 :a
2
<2}, entoncesc= supXno
pertenece ni aXni al conjuntoY={b >0 :b
2
>2}. Luego
c
2
= 2.
3.5 La correspondencia que asocia al polinomiop(x) =a0+a1x+
+anx
n
la (n+ 1)-upla (a0, a1, . . . , an) es una biyecci´on en-
tre el conjuntoPnde los polinomios con coeﬁcientes enteros
de grado≤ny el producto cartesianoZ
n+1
=Z× ×Z,
luegoPnes numerable. As´ı el conjuntoP=
S
∞
n=0
Pnde los
polinomios con coeﬁcientes enteros es numerable. Para cada
n´umero algebraicoαﬁje, de una vez por todas, un polinomio
Pαcon coeﬁcientes enteros que tengaαcomo ra´ız. La corres-
pondenciaα→Pαdeﬁne una funci´on del conjuntoAde los

196Soluciones de los ejercicios Cap. 13
n´umeros algebraicos reales en el conjunto numerableP, tal
que la imagen inversa de cada elemento dePes ﬁnito. Luego
Aes numerable.
3.6 Seanα= ´ınfIyβ= supI, escribiremosα=−∞(resp.β=
+∞) siIno est´a acotado inferiormente (resp. superiormente).
Basta probar que (α, β)⊂I. Ahora bien,x∈(α, β)⇒α <
x < β⇒(por la deﬁnici´on de ´ınﬁmo y supremo) existen
a, b∈Itales quea < x < b, luego, por hip´otesis,x∈I.
3. Sucesiones de n´umeros reales
1.2 Dadoε >0, existenn1, n2∈Ntales quen > n1⇒ |xn−a|< ε
yn > n2⇒ |yn−a|< ε. Tomen0= m´ax{2n1,2n2−1}. Si
m= 2k, entoncesn > n0⇒2k >2n1⇒k > n1⇒ |zn−a|=
|xk−a|< ε. Sin= 2k−1, entoncesn > n0⇒2k−1>
2n2−1⇒k > n2⇒ |zn−a|=|yk−a|< ε. Por tanto,
l´ımzn=a.
1.3 Basta observar que||xn| − |a|| ≤ |xn−a|.
1.5 Para el conjuntoB, tome una descomposici´onN=N1∪
N2∪ dondeNkson inﬁnitos y disjuntos 2 a 2, escriba
xn=ksin∈Nk. Para el conjuntoC, tome una numera-
ci´onx1, x2, . . . , xn, . . .de los n´umeros racionales en el intervalo
[0,1].
1.6 Para ver que es condici´on suﬁciente tome sucesivamenteε=
1,1/2,1/3, y obtengan1< n2< n3< tales que|xnk
−a|<
1/k.
2.3 Existeε >0 tal que|xn−a| ≥εpara un conjunto inﬁnito
N
′
de valores den. Por el Teorema de Bolzano Weierstrass, la
sucesi´on (xn)n∈N
′tiene una subsucesi´on convergente:N
′′
⊂N
′
y l´ım
n∈N
′′
xn=b. Se tiene|b−a| ≥ε, luegob6=a.
2.4 Seaael ´unico valor de adherencia de (xn). Por el ejercicio
anterior se tiene l´ımxn=a.
2.5 La sucesi´on dada tiene 0 como ´unico valor de adherencia, sin
embargo, no converge pues no est´a acotada.

Secci´on 3 Sucesiones de n´umeros reales 197
2.6 Seaa < b. Como la media aritm´etica es mayor que la media
geom´etrica, se tienea < x1< x2< < y2< y1< b.
Luego existenx= l´ımxney= l´ımyn. Haciendon→ ∞en
yn+1= (xn+yn)/2 se tieney= (x+y)/2, de dondex=y.
2.7 (a) Tomandoε= 1 se ve que existen0∈Ntal que|xm−a|<1
para todom > n0, dondea=xn0+1. Entonces los t´erminos de
la sucesi´on pertenecen al conjunto{x1, . . . , xn0}∪[a−1, a+1],
que est´a acotado.
(b) Si l´ım
n∈N
′
xn=ay l´ım
n∈N
′′
xn=bcon|a−b|<3ε, entonces,
existen ´ındices arbitrariamente grandes tales que|xm−a|< ε
y|xn−b|< ε. Como 3ε=|a−b| ≤ |a−xm|+|xm−xn|+|xn−
b| ≤2ε+|xm−xn|, de donde|xm−xn|> ε, concluy´endose
que (xn) no es de Cauchy.
(c) Se deduce de los apartados anteriores y del ejercicio 2.4.
3.1 Observe que 1<
n+p
√
n <
n
√
n.
3.3 La sucesi´on es estrictamente creciente, puesx1< x2, y supo-
niendo quexn−1< xn, se tienex
2
n
=a+xn−1< a+xn=x
2
n+1
,
de dondexn< xn+1. Adem´as, sices la ra´ız positiva de la
ecuaci´onx
2
−x−a= 0, o seac
2
=a+c, se tienexn< c
para todon. Esto es verdad sin= 1, comoxn< c, resulta
x
2
n+1
=a+xn< a+c=c
2
, luegoxn+1< c. Por lo tanto,
existe l´ımxn. Haciendon→ ∞en la igualdadx
2
n+1
=a+xn
se tiene que l´ımxn=c.
3.5 Observe quex2= 1/(a+x1) yx3= 1/(a+x2) = (a+x1)/(a
2
+
ax1+1). Se tienex1< c= 1/(a+c)<1/(a+x1) =x2. Luego,
x1< x2= 1/(a+x1)⇒x1(a+x1)<1⇒(multiplicando
poray sumandox1)x1(a
2
+ax1+x1)< a+x1⇒x1<
(a+x1)/(a
2
+ax1+x1), as´ıx1< x3< c < x2. An´alogamente,
se ve quex1< x3< c < x4< x2, y as´ı sucesivamente. Por
lo tanto, existen l´ımx2n−1=ξy l´ımx2n=η. En la relaci´on
xn+2= (a+xn)/(a
2
+axn+1), si tomamos el l´ımite, tenemos
ξ= (a+ξ)/(a
2
+aξ+ 1) yη= (a+η)/(a
2
+aη+ 1), luego
ξ
2
+aξ−1 = 0 yη
2
+aη−1 = 0. Comoξyηson positivos
se tieneξ=η=c.
3.6 Obverve queyn+1=a+xn.

198Soluciones de los ejercicios Cap. 13
3.7 Basta observar quexn+1= 1/(1 +xn).
4.1 Por el Ejemplo 9, dado cualquierA >0, existen0∈Ntal que
n > n0⇒n!> A
n
⇒
n
√
n!> A, luego l´ım
n
√
n! = +∞.
4.2 Recuerde que
√
A−
√
B= (A−B)/(
√
A+
√
B).
4.3 Para todonsuﬁcientemente grande,n!/(n
k
a
n
)> n!/(a
n

a
n
) =n!/(a
2
)
n
, luego l´ım
n→∞
n!/(n
k
a
n
) = +∞. Escribiendo
xn= (a
n
n!)/n
n
, obtenemos senxn+1/xn=a(n/(n+ 1))
n
,
por lo tanto l´ım(xn+1/xn) =a/e. Del Ejemplo 8 se dedu-
ce que l´ımxn= +∞sia > el´ımxn= 0, evidentemente
l´ımyn= +∞sia≥e. Cuandoa < e, el cocienteyn+1/yn=
[(n+ 1)/n]
k
(xn+1/xn) tiene l´ımitea/e <1, luego l´ımyn= 0.
4.4 Observe que [log(n+1)/logn]−1 = log(1+1/n)/logntiende
a cero cuandonlo hace para +∞.
4.5 SeanXn=xn+1−xneYn=yn+1−yn. Dadoε >0, existep∈
Ntal que, para todok∈N, los n´umerosXp/Yp, . . . , Xp+k/Yp+k
pertenecen al intervalo (a−ε, a+ε). Del Ejercicio 2.8, Cap´ıtu-
lo 2, se deduce que (Xp+ +Xp+k)/(Yp+ +Yp+k)∈
(a−ε, a+ε), o sea,xp+k+1−xp/(yp+k+1−yp)∈(a−ε, a+ε) para
dichopy todok∈N. Divida el numerador y el denominador
poryp+k+1, hagak→ ∞y concluya que l´ım(xn/yn) =a.
1. Es una consecuencia inmediata del ejercicio anterior.
4. Series de n´umeros
1.1 Observe quebn= log
n+1
n
= log(n+ 1)−logn.
1.4 Agrupe los t´erminos de uno en uno, de dos en dos, de cuatro en
cuatro, de ocho en ocho, etc, y compare con la serie arm´onica.
1.5 Use el m´etodo del Ejemplo 5.
1.6 Paransuﬁcientemente grande, logn <
√
n.
1.7 Observe quena2n≤an+1+ +a2n≤an+1 =s−sn,
luegona2n→0, de donde (2n)a2n→0. Tambi´en,na2n−1≤
an+ +a2n−1≤an+ =s−sn−1→0, luegona2n−1→0,

Secci´on 4 Series de n´umeros199
de donde (2n)a2n−1→0 y (2n−1)a2n−1→0- As´ı, seanpar
o impar, se tiene l´ımnan= 0.
2.4 Observe ques2p< s4p< s6p< < s5p< s3p< sp, que
2np≤i≤(2n+1)p⇒s2np≤si≤s(2n+1)p, y, ﬁnalmente, que
s(2n+1)p−s2np< p
1
2np
=
1
2n
→0.
2.5 Sean|bn| ≤Bpara todon≥0 y
P
|an|=A. Dadoε >0,
existen0∈Ntal quen > n0⇒ |bn|< ε/2Ay|an|+|an+1|+
< ε/2B. Entonces,n >2n0⇒
|cn|=|a1bn+ +an0bn−n0+an0+1bn−n0+1+ +anb1|
≤(|a1|+ +|an0|)
ε
2A
+ (|an0+1|+ +|an|)B
<
Aε
2A
+
ε
2B
B=ε ,por lo tanto l´ımcn= 0.
2.7 Por la desigualdad de Cauchy-Schwarz,

n
X
i=1
|ai||bi|
!
≤
n
X
i=1
a
2
i

n
X
i=1
b
2
i
para todon∈N.
2.8 Si
P
anes absolutamente convergente entonces cualquier su-
ma ﬁnitaSde t´erminosanes menor quepy mayor que−q,
donde, con la notaci´on del Teorema 4,p=
P
pnyq=
P
qn.
Rec´ıprocamente, si las sumas ﬁnitas de t´erminosanforman
un conjunto acotado entonces, en particular, las sumas parcia-
les de las series
P
pny
P
qnest´an acotadas, luego estas dos
series son convergentes, y as´ı
P
anconverge absolutamente.
3.3 No hay diﬁcultad en usar el criterio ed Cauchy. El criterio de
d’Alambert da
an+1
an
=
log(n+1)
n+1

Γ
n
n+1

n

ı
log(n+1)
logn
≡
n
. El primer
factor tiene l´ımite cero, el segundo 1/e, luego basta probar
que el tercer factor est´a acotado. Paran≥3, tenemos [(n+
1)/n]
n
< n, por lo tanto (n+1)
n
< n
n+1
, tomando logaritmos
nlog(n+ 1)<(n+ 1) logn, de donde log(n+ 1)/log(n)<
(n+ 1)/n. Entonces (log(n+ 1)/log(n))
n
<((n+ 1)/n)
2
< e,
luego l´ım(an+1/an) = 0.

200Soluciones de los ejercicios Cap. 13
3.4 Escribazn=x1x2 xny use el Teorema 7.
3.5−1< x <1,x= 0,−∞< x <+∞,x= 0,−1≤x≤1.
4.1 Sume los primeros t´erminos positivos hasta que, por primera
vez, la suma sea≥1, sume despu´es un ´unico t´ermino negati-
vo. A continuaci´on sume los t´erminos positivos, en su orden,
hasta que, por primera vez, la suma sea≥2, sume entonces
un ´unico t´ermino negativo. Continue. Esta reordenaci´on tiene
suma +∞. An´alogamente para−∞.
4.2 Siga la receta del Teorema 9.
4.3 (a) Dadoε >0, seaJ1⊂Nﬁnito tal queJ1⊂J⊂N,J
ﬁnito, implique 1s−
P
n∈J
an|< ε. TomeJ0⊂Ny tal que
ϕ(J0) =J1. EntoncesJ⊃J0⇒ϕ(J)⊃ϕ(J0) =J1. Por lo
tantoJ: 0⊂J⊂N,Jﬁnito, implica

s−
X
n∈J
bn

=

s−
X
n∈J
aϕ(n)

=

s−
X
m∈ϕ(J)
am

< ε .
(b) Para simpliﬁcar, para cadaJ⊂Nﬁnito, seasJ) =
P
n∈J
an. En vista del Ejercicio 2.8, basta probar que el con-
junto de las sumassJ,J⊂Nﬁnito, est´a acotado. Ahora bien,
dadoε= 1 existeJ0⊂Nﬁnito tal queJ⊃J0⇒ |s−sJ|<1.
Escribiendoα=
P
n∈J0
|an|, se ve que, para todoJ⊂Nﬁ-
nito, vale|s−sJ|=|s−sJ∪J0−sJ0−J|<1 +α, luegosJ
pertenece al intervalo de centrosy radio 1 +α.
(c) Seans=
P
an=u−v,u=
P
pn,v=
P
qn, como
en la demostraci´on del Teorema 4. Para cadaJ⊂Nﬁnito,
seansJ=
P
n∈J
an,uJ=
P
n∈J
pnyvJ=
P
n∈J
qn, de donde
sJ=uJ−vJ. Dadoε >0, existen0∈Ntal que, escribiendo
J0={1, . . . , n0},J⊃J0⇒ |u−uJ|< ε/2,|v−vJ|< ε/2,
luegoJ⊃J0⇒ |s−sJ| ≤ |u−uJ|+|v−vJ|< ε.
5. Algunas nociones de topolog´ıa
1.1 Para todoa∈int (X) existe, por deﬁnici´on,ε >0 tal que
(a−ε, a+ε)⊂X. Basta probar que (a−ε, a+ε)⊂X.
Siy∈(a−ε, a+ε), seaδel menor de los n´umeros positivos

Secci´on 5 Algunas nociones de topolog´ıa 201
y−(a−ε),(a+ε)−y. Entonces, (y−ε, y+ε)⊂(a−ε, a+ε)⊂
X, luegoy∈int (X).
1.2 SiAno fuese abierto existir´ıa un puntoa∈Aque no ser´ıa
interior. Entonces para cadan∈N, se podr´ıa encontrarxn∈
(a−1/n, a+ 1/n),xn/∈A. As´ı l´ımxn=a, lo que es una
contradicci´on.
1.5 frX={0,1}, frY={0,1,2}, frZ=R, frW=W.
1.6 Seanan< bnlos extremos deIn. Entoncesa1≤a2≤ ≤
an≤ ≤bn≤ ≤b2≤b1. Siα= supanyβ= ´ınfbn,
entoncesα=β⇒ ∩Jn={α}pues la intersecci´on es no
vac´ıa. Siα < βentoncesα < x < β⇒an< x < bnpara
todon, luego (α, β)⊂I. Por otra parte,c < α⇒c < anpara
alg´unn⇒c /∈In⇒c /∈I. An´alogamentec > α⇒c /∈I.
Por lo tanto (α, β)⊂I⊂[α, β]. Esto nos garantiza queI
es un intervalo cuyos extremos sonαyβ. Como losInson
distintos dos a dos, al menos una de las sucesiones (an) o (bn),
por ejemplo la primera, tiene inﬁnitos t´erminos diferentes.
Entonces, para todon∈Nexistep∈Ntal quean< an+p≤
α < β≤bn, luegoα∈(an, bn)⊂In. Por lo tanto,α∈IeI
no es un intervalo abierto.
2.1 Del Teorema 2 se deduce queD⊂Xes denso enXsi, y s´olo
si, existen puntos deDen todo intervalo (x−ε, x+ε),x∈X.
Sines tal quek
n
>1/ε, los intervalos [m/k
n
,(m+ 1)/k
n
]
tienen longitud 1/k
n
< ε, luego simes el menor entero tal
quex+ε <(m+ 1)/k
n
entoncesm/k
n
∈(x−ε, x+ε)
2.2 Sia∈ X, entonces ´oa∈X´o todo entorno deacontiene
puntos deXy deR−X(a saber, el propioa), luegoa∈frX.
2.3 Decir quea /∈intXes lo mismo que aﬁrmar que todo entorno
deacontiene puntos que no est´an enX, esto es, quea∈
R−X.
2.4 SeanXabierto ya∈Acualquiera. Para todoε >0 suﬁ-
cientemente peque˜no, (a−ε, a+ε)⊂X. Si ninguno de estos
intervalos estuviese contenido enA, cada uno contendr´ıa pun-
tos deB, as´ıa∈A∩B, lo que es absurdo. Luego existeε >0

202Soluciones de los ejercicios Cap. 13
tal que (a−ε, a+ε)⊂AyAes abierto. An´alogamente para
B. SiXes cerrado ya∈Aentoncesa∈X. No es posible
quea∈B, pues en tal casoa∈A∩B6=∅. Luegoa∈Ay
Aes cerrado. An´alogamente paraB.
2.5 Si frXes vac´ıo entoncesX⊃frXyX∩frX=∅, luegoX
es cerrado y abierto.
2.6 DeX⊂X∪YeY⊂X∪Yse concluye queX⊂X∪Y
eY⊂X∪Y. Rec´ıprocamente, sia∈X∪Yentoncesa=
l´ımznconzn∈X∪Y. O inﬁnitos t´erminos de esta sucesi´on
est´an enX(y entoncesa∈Y). Luegoa∈X∪Y. Por lo
tanto,X∪Y⊂X∪Y. Adem´as, deX∩Y⊂XyX∩Y⊂Y
se deduceX∩Y⊂XyX∩Y⊂Y, de dondeX∩Y⊂
X∩Y. SiX= [0,1) eY= (1,2] entoncesX∩Y=∅, luego
∅=X∩Y⊂X∩Y= [0,1]∩[1,2] ={1}.
2.7 Evidentemente,X∪A⊂X. Rec´ıprocamente, sia∈X, enton-
ces ´oa∈X´o, en caso contrario, todo entorno deacontiene
alg´unxn6=a. Escriban1= menorn∈Ntal que|xn−a|<1,
y una vez deﬁnidosn1< < nktales que|xni
−a|<1/i,
escribank+1= menorn∈Ntal que|xn−a|<1/k+ 1 y
<|xnk
−a|. Entonces, l´ımxnk
=a∈A.
3.2 Escoja en cada intervaloIde la colecci´on un n´umero racio-
nalrI. La correspondenciaI→rIes inyectiva. ComoQes
numerable la colecci´on tambi´en lo es.
3.3 Para cadax∈Xexisteεxtal que (x−εx, x+εx)∩X={x}.
SeaIx= (x−εx/2, x+εx/2). Dadosx6=y∈X, sea, por
ejemplo,εx≤εy. Siz∈Ix∩Iyentonces|x−z|< εx/2 y
|z−y|< εy/2, luego|x−y| ≤ |x−z|+|z−y|< εx/2+εy/2≤εy,
de dondex∈Iy, lo cual es un absurdo.
3.4 Por los dos ejercicios anteriores, todo conjunto tal que todos
sus puntos son aislados es numerable.
4.1 Sia /∈Aentonces, por el Ejercicio 1.7 del Cap´ıtulo 3, existe
ε >0 tal que ning´un punto del intervalo (a−ε, a+ε) pertenece
aA. LuegoAes cerrado.
4.3Fn= [n,+∞) yLn= (0,1/n).

Secci´on 6 L´ımites de funciones203
4.4 Seaα= ´ınf{|x−y|:x∈Xyy∈Y}. Existen sucesiones
de puntosxn∈Xeyn∈Ytales que l´ım(xn−yn) =α.
Considerando una subsucesi´on, si as´ı fuese necesario, se puede
suponer que l´ımxn=x0∈X. Como|yn| ≤ |yn−xn|+|xn|, se
deduce que (yn) est´a acotada. Considerando nuevamente una
subsucesi´on, se tiene l´ımyn=y0∈Y. Luego|x0−y0|=α.
4.5 Todo conjunto inﬁnito acotado tiene un punto de acumulaci´on
a. SiXes compacto,a∈X. Los ejemplos sonX=Ne
Y={1,1/2, . . . ,1/n, . . .}.
4.6 Es f´acil probar que los conjuntos dados est´an acotados. Para
demostrar queSes cerrado, suponga que l´ım(xn+yn) =z,
xn, yn∈X. ExisteN
′
⊂Ninﬁnito tal que l´ımn∈N
′xn=x0∈
X. Entonces, comoyn= (xn+yn)−xn, existe l´ımn∈N
′yn=
y0∈X, as´ız= l´ımn→N
′(xn+yn) =x0+y0∈S. La demos-
traci´on paraD, PyQse hace de forma an´aloga.
5.1 Pertenecen al conjunto de Cantor los n´umeros 1/3 = 0,1 =
0,0222. . .,1/4 = 0,0202. . .,1/9 = 0,01 = 0,00222. . .y
1/10 = 0,00220022. . .(desarrollos en base 3).
5.2 Demuestre en primer lugar que dado un n´umero de la forma
a=m/3
n
(que en base 3 tiene un desarrollo ﬁnito), existen
x, y∈Ktales quex−y=a. Observe despu´es que, comoK
es compacto, el conjuntoDde los n´umeros|x−y|, x, y∈K,
es compacto. Como las fraccionesm/3
n
son densas en [0,1],
se deduce queD= [0,1].
5.4 Los extremos de los intervalos retirados son los puntos deK
que tienen desarrollo ﬁnito en base 3. Los puntos restantes son
l´ımites de estos. (Ejemplo: 0,20202 = l´ımxn, dondex1= 0,2,
x2= 0,20,x3= 0,202, etc.)
6. L´ımites de funciones
1.2 Basta probar que sixn, yn∈X− {a}y l´ımxn= l´ımyn=a
entonces l´ımf(xn) = l´ımf(yn). Para esto, deﬁna (zn) escri-
biendoz2n−1=xnyz2n=yn. Se tiene l´ımzn=a, luego
(f(zn)) converge, as´ı l´ımf(xn) = l´ımf(yn), pues (f(xn)) y
f((yn)) son subsucesiones de (f(zn)).

204Soluciones de los ejercicios Cap. 13
1.5 Tomea∈Rcon sena=cy hagaxn= 1/(a+ 2πn).
2.1 Basta observar que si l´ımxn=ayxn> apara todon∈N,
entonces (xn) posee una subsucesi´on decreciente (que, natu-
ralmente, coverge aa).
2.2 Haga lo mismo que en el ejercicio anterior.
2.5 El intervalo [−1,1]. En efecto, si−1≤c≤1, tome una
sucesi´on de n´umerosxn<0 tal que l´ımxn= 0 y sen 1/xn=
cpara todon∈N, (como en el Ejercicio 1.5). Entonces,
f(xn) =c/(1 + 2
1/xn
) tiene l´ımitec.
3.1 Escribap(x) =x
n
[(a0/x
n
) + (a1/x
n−1
) + + (an−1/x) +an].
3.2 Cuando 2πn−
π
2
≤x≤2πn+
π
2
, la funci´onxsen(x) alcanza
todos los valores comprendidos entre
π
2
−2πny
π
2
+ 2πn.
Dadoc∈R, existen0∈Ntal que
π
2
−2πn≤c≤2πn+
π
2
para todon≥n0. Luego, para todon≥n0, existexn∈
[2πn−
π
2
,2πn+
π
2
] tal quexnsenxn=c. Entonces l´ımxn=∞
y l´ımf(xn) =c.
3.3Mtymtson funciones mon´otonas det(decreciente y crecien-
te, respectivamente), ambas acotadas. Luego existen l´ım
t→+∞
Mt=
L, l´ım
t→+∞
mt=ℓy l´ım
t→+∞
ωt=L−ℓ. Comomt≤f(t)≤Mtpara
todot≥a, si l´ımωt= 0 entonces existe l´ım
x→+∞
f(x) =L=ℓ.
Rec´ıprocamente, si l´ım
x→+∞
f(x) =Aentonces, para todoε >0,
existet≥atal queA−ε≤f(x)≤A+εpara todox > t,
luegoMt−mt<2ε. Se sigue que l´ımMt= l´ımmty l´ımωt= 0.
7. Funciones continuas
1.1 Observe queϕ(x) =
1
2
[f(x) +g(x) +|f(x)−g(x)|] yψ(x) =
1
2
[f(x) +g(x)− |f(x)−g(x)|].
1.2A=A1∩A2, dondeA1={x∈X:f(x)< g(x)}yA2=
{x∈X:f(x)> g(x)}, yF=F1∩F2, dondeF1={x∈X:
f(x)≤g(x)}yF2={x∈X:f(x)≥g(x)}.

Secci´on 7 Funciones continuas205
1.5 Sifes discontinua en el puntoa∈Rexistenε >0 y una
sucesi´on (xn) tales que l´ımxn=ay|f(xn)−f(a)|> εpara
todon∈N. Entonces, tomandoX={x1, . . . , xn, . . .}, se
tienea∈Xyf(a)/∈f(x), luegof(X)*f(x). El rec´ıproco
es obvio.
1.7 Claramente, existenε >0 y una sucesi´on de puntosxn∈X
tales que l´ımxn=ay|f(xn)−f(a)|> εpara todon∈N.
Existe un conjunto inﬁnito{n1< n2< < nk< }
de ´ındices para los que la diferenciaf(xn)−f(a) tiene el
mismo signo (supongamos que positivo.) Entonces, escribimos
xk=xnk
y tenemosf(xnk
)> f(a) +εpara todok∈N.
2.1 Fijea∈I. HaciendoA={x∈I:f(x) =f(a)}yB={x∈
I:f(x)6=f(a)}se tieneI=A∪B. Comofes localmente
constante, cadax∈Atiene un entorno disjunto deB, luego
x /∈B. As´ı,A∩B=∅. An´alogamente,A∩B=∅, por lo
tantoI=A∪Bes una escisi´on. Comoa∈A, se sigue que
A6=∅, de dondeA=Iyfes constante.
2.2 Suponga quefes creciente. Dadoa∈intI, seanℓ= l´ım
x→a
−
f(x)
yL= l´ım
x→a
+
f(x). Sifes discontinua en el puntoaentonces
ℓ < L. Si tomamosx, y∈Itales quex < a < yyztal que
ℓ < z < L, se tienef(x)< z < f(y), y, sin embargo,z /∈f(I),
luegof(I) no es un intervalo. (Razonamos de forma an´aloga
siaes un extremo deI).
2.4 Sifes discontinua en el puntoa∈I, existenε >0 y una
sucesi´on de puntosxn∈Itales que l´ımxn=ay (por ejem-
plo)f(xn)> f(a) +ε. Si tomamosc∈(f(a), f(a) +ε), la
propiedad del valor medio nos asegura que para cadan∈N
existezncomprendido entreayxntal quef(xn) =c. Evi-
dentemente, el conjunto de losznas´ı obtenidos es inﬁnito, lo
que es absurdo.
2.5 Deﬁnaϕ: [a,1/2]→Rcomoϕ(x) =f(x+ 1/2)−f(x).
Entoncesϕ(0) +ϕ(1/2) = 0, luego existex∈[0,1/2] tal que
f(x) =f(x+ 1/2). En el otro caso tomeψ: [0,2/3]→R,
ψ(x) =f(x+ 1/3)−f(x) y observe queψ(0) +ψ(1/3) +
ψ(2/3) = 0, luegoψcambia de signo y por lo tanto se anula
en alg´un puntox∈[0,2/3].

206Soluciones de los ejercicios Cap. 13
3.1 Tome cualquiera∈R. ExisteA >0 tal quea∈[−A, A]
y|x|> A⇒f(x)> f(a). La restricci´on defal conjunto
compacto [−A, A] alcanza su valor m´ınimo en un puntox0∈
[−A, A]. Comof(x0)≤f(a), se deduce quef(x0)≤f(x)
para todox∈R.
3.2 Basta observar que el conjunto de las ra´ıcesxde la ecuaci´on
f(x) =ces cerrado y (como l´ım
x→+∞
f(x) = +∞y l´ım
x→−∞
f(x) =
−∞) acotado.
3.3 Como el intervalo [a, b] s´olo tiene dos puntos extremos, ´o el
valor m´ınimo ´o el m´aximo def(supongamos que este) se
alcanzar´a en un punto interior de [a, b], y en otro puntod∈
[a, b]. Entonces existeδ >0 tal que en los intervalos [c−δ, c),
(c, c+δ] y (casodno sea el extremo inferior del intervalo [a, b])
[d−δ, d) la funci´on toma valores menores quef(c) =f(d).
SeaAel mayor de los n´umerosf(c−δ), f(c+δ) yf(d−δ). Por
el Teorema del Valor Medio existenx∈[c−δ, c), y (c, c+δ)
yz∈[d−δ, d) tales quef(x) =f(y) =f(z) =A, lo que es
absurdo.
3.4 Tomex0, x1∈[0, p], los puntos en quef|[0,p]alcanza valores
m´ınimo y m´aximo.
3.5 En caso contrario existir´ıaε >0 con la siguiente propiedad:
para todon∈Nhay puntosxn, yn∈Xtales que|xn−yn| ≥ε
y|f(xn)−f(yn)| ≥n|xn−yn|. Considerando una subsucesi´on,
se tendr´ıa l´ımxn=a∈Xy l´ımyn=b∈Xdonde|b−a| ≥ε
y
+∞= l´ım[|f(xn)−f(yn)|]/|xn−yn|=|f(b)−f(a)|/|b−a|,
lo que es absurdo.
4.1 SiYno es cerrado, tomea∈ X−Xy considere la funci´on
continuaf:X→R, deﬁnida comof(x) = 1/(x−a). Como
no existe l´ım
x→a
f(x),fno es uniformemente continua. Por otra
parte,Nno es compacto, y sin embargo toda funci´onf:N→
Res uniformemente continua.
4.2 Tomexn=
p
(n+ 1/2)πeyn=
√
nπ. Entonces, l´ım(xn−
yn) = 0 perof(xn)−f(yn) = 1 para todon∈N.

208Soluciones de los ejercicios Cap. 13
1.5 Vuelva al Ejercicio 1.3. El Ejemplo pedido puede ser la funci´on
f(x) =xsen(1/x) o cualquier funci´on con (f(−x) =−f(x))
que no tenga derivada en el puntox= 0.
2.1 Por la Regla de la Cadena las derivadas de orden superior de
fenx6= 0 son el producto dee
−1/x
2
por un polinomio en
1/x. En el puntox= 0 se tienef
′
(0) = l´ım
h→0
e
−1/h
2
h
= 0, como
puede verse escribiendo 1/h=y. Suponiendof
′
(0) = =
f
(n)
(0) = 0 se tienef
(n+1)
(0) = l´ım
h→0
1
h
f
(n)
(h) = l´ım
h→0
P(1/h)
h

e
−1/h
2
= l´ım
h→0
Q(1/h)e
1/h
2
= 0.
2.5 Derivekveces en relaci´on atla igualdadf(tx) =t
k
f(x)
y obtengaf
(k)
(tx)x
k
=k!f(x). Hagat= 0 y concluya que
f(x) =
f
(k)
(0)
k!
x
k
.
3.1 Tomef(x) como en el Ejemplo 7.
3.2 Para ﬁjar ideas suponga quef
′′
(c)>0. Por el Corolario 2 del
Teorema 4, existeδ >0 tal quec−δ < x < c < y < c+
δ⇒f
′
(x)<0< f
′
(y). Entoncesc−δ < x < c⇒f(x)> f(c),
pues si tuvi´esemosf(x)≤f(c), como la derivadaf
′
(x) es
negativa, el m´ınimo defen el intervalo [x, c] no se alcanzar´ıa
ni enxni enc, sino en un puntoz∈(x, c), por lo tantof
′
(z) =
0, lo que contradice la hip´otesisz∈(c−δ, c). An´alogamente
se demuestra quec < y < c+δ⇒f(y)> f(c). Luegoces
punto de m´ınimo local. En el caso en quef
′′
(c)<0,ces un
punto de m´aximo local.
3.3 Por el Corolario 2 del Teorema 4, existeδ >0 tal quec−δ <
x < c < y < c+δ⇒f
′
(x)<0< f
′
(y), luegoces el ´unico
punto cr´ıtico defen el intervalo (c−δ, c+δ).
3.4f
′′
(c) = l´ım
n→∞
f
′
(cn)−f
′
(c)
cn−c
= 0, puesf
′
(cn) =f
′
(c) = 0 para
todon.
3.5 SeaMel conjunto de los puntos de m´aximo local estricto
def. Para cadac∈Mtomamos n´umeros racionalesrc, sc
tales querc< c < scyx∈(rc, sc),x6=c⇒f(x)< f(c).

Secci´on 8 Derivadas209
Sid∈Mes diferente decentonces los intervalos (rc, sc) y
(rd, sd) son distintos porqued /∈(rc, sc) oc /∈(rd, sd), en
efecto,d∈(rc, sc)⇒f(d)< f(c) yc∈(rd, sd)⇒f(c)<
f(d). ComoQes numerable, la correspondenciac→(rc, sc)
es una funci´on inyectiva deMen un conjunto numerable.
LuegoMes numerable.
4.1 Suponga queA < B. Tomeε >0 tal queA+ε < B−ε.
Existeδ >0 tal quec−δ≤x < c < y≤c+δ⇒g(x)<
A+C < B−ε < g(y), en particular,g(c−δ)< A+εy
g(c+δ)> B−ε. Si tomamos ahorad6=g(c) en el intervalo
(A+ε, B−ε) no existex∈(c−δ, c+δ) tal queg(x) =d.
Luego, por el Teorema de Darboux,gno es la derivada de
ninguna funci´onf:I→R.
4.5 Un ejemplo esf(x) =x
3
. Como cada punto deXes l´ımite
de puntos deYse tieneX⊂Y, de dondeX⊂Y. Por otra
parte,Y⊂Xpor el Teorema del Valor Medio, luegoY⊂X.
4.6 Las hip´otesis implican quef
′
(x) no est´a acotada ni superior
ni inferiormente. En efecto, si tuvi´esemosf
′
(x)≥Apara todo
x∈(a, b), la funci´ong(x) =f(x)−Axtendr´ıa derivada≥0,
luego ser´ıa mon´otona y acotada, por lo tanto existir´ıan los
l´ımites deg(y en consecuencia los def) cuandox→ay
x→b. An´alogamente, no es posible quef
′
(x)≤Bpara todo
x∈(a, b). As´ı, dado cualquierc∈Rexistenx1, x2∈(a, b)
tales quef
′
(x1)< c < f
′
(x2). Por el Teorema de Darboux,
existex∈(a, b) tal quef
′
(x) =c.
4.7 Sabemos quefes creciente. Sifno fuese estrictamente cre-
ciente, existir´ıanx < yen [a, b] conf(x) =f(y), entoncesf
ser´ıa constante yf
′
igual a cero en el intervalo [x, y].
4.8 Supongamos, por reducci´on al absurdo, que existana < ben
Itales que|f(b)−f(a)|=α >0, entonces, en al menos una
de las mitades del intervalo [a, b], por ejemplo [a1, b1], tenemos
|f(b1)−f(a1)| ≥α/2>0. Razonando an´alogamente se obtie-
ne una sucesi´on de intervalos [a, b]⊃[a1, b1]⊃ ⊃[an, bn]⊃
talesbn−an= (b−a)/2
n
y|f(bn)−f(an)| ≥α/2
n
. Si
an≤c≤bnpara todon, entonces|f
′
(c)|= l´ım|f(bn)−
f(an)|/|bn−an| ≥α/(b−a)>0.

210Soluciones de los ejercicios Cap. 13
4.10 Para todox6=cen (a, b) existezcomprendido entrexyc
tal que [f(x)−f(c)]/(x−c) =f
′
(z). Por lo tanto,f
′
(c) =
l´ım
x→c
[f(x)−f(c)]/(x−c) = l´ım
x→c
f
′
(x) =L.
4.11 Comof
′
est´a acotada, existen l´ım
x→a
+
f(x) y l´ım
x→b
−
f(x). Para que
la propiedad del valor medio sea v´alida paraftales l´ımites
tienen que ser iguales af(a) yf(b), respectivamente (Cfr.
soluci´on de 4.1).
4.12|f(x)−f(a)|/(x−a)≤c|x−a|
α−1
. Comoα−1>0, se tiene
quef
′
(a) = 0 para todoa∈I. Luegofes constante.
4.13 Observe que [f(xn)−f(yn)]/(xn−yn) =f
′
(zn), dondezn
est´a comprendido entrexneyn, luegozn→a. Por la conti-
nuidad def
′
en el puntoa, el cociente tiende af
′
(a).
9. F´ormula de Taylor y aplicaciones de la derivada
1.1 Seaf(x) = 1/(1−x),−1< x <1. Escribiendop(h) = 1 +
h+ +h
n
yr(h) =h
n+1
/(1−h) se tiener(h) =f(h)−p(h).
Comop(h) es un polinomio de gradony l´ım
h→0
r(h)/h
n
= 0 se
deduce quep(h) es el polinomio de Taylor defen el punto 0,
luegof
(i)
(0) =i! parai= 0,1, . . . , n.
1.2 Comof(x) =x
5
−x
11
+ + (−1)
n
x
6n+5
+ (−1)
n
x
6n+11
/(1 +
x
6
), se tiene quef
(i)
(0) = 0 siino es de la forma 6n+ 5,
mientras quef
(i)
(0) = (−1)
n
i! sii= 6n+5. Luegof
(2001)
(0) =
0 yf
(2003)
(0) = (−1)
333
(2003)!.
1.3 Se tienef(x) =pn(x) +rn(x) dondepn(x) es el polino-
mio de Taylor de ordennen torno del puntox0. Por la
f´ormula del resto de Lagrange existezentrexyx0tal que
rn(x) =f
(n+1)
(z)/(n+ 1)!, luego|rn(x)| ≤K/(n+ 1)!. Se
deduce que l´ım
n→∞
rn(x) = 0 para todox∈I, as´ı el resultado
est´a demostrado.
1.4 Vea “Curso de An´alisis Matem´atico”, vol. 1, p´agina 232.
1.5 Sif∈C
2
, escribaf(x) =f(a) +f
′
(a)(x−a) +
f
′′
(a)
2
(x−
a)
2
+r(x), donde l´ım
x→a
r(x)/(x−a)
2
= l´ım
x→a
r
′
(x)/(x−a) = 0.

Secci´on 9 F´ormula de Taylor y aplicaciones de la derivada 211
Entoncesϕ(x) =f
′
(a) +
f
′′
(a)
2
(x−a) +r(x)/(x−a) yϕ
′
(x) =
f
′′
(a)/2 +r
′
(x)/(x−a)−r(x)/(x−a)
2
, luego l´ım
x→a
ϕ
′
(x) =
f
′′
(a)/2. Del Ejercicio 4.10 del Cap´ıtulo 8 se sigue queϕ∈C
1
.
Paraf∈C
3
se procede de forma an´aloga.
1.6 Por la f´ormula de Taylor inﬁnitesimal, haciendox=a+h, o
sea,x−a=h, se puede escribirp(a+h) =
P
n
i=0
(p
(i)
(a)/i!)h
i
+
r(h), donde lasnprimeras derivadas der(h) en el punto 0 son
nulas. Comor(h) es un polinomio de grado≤n(diferencia
entre dos polinomios), se tiene quer(h) es id´enticamente nulo.
1.7 Seaϕ(x) =f(x)−g(x). Entoncesϕ:I→Res dos veces
diferenciable en el puntoa,ϕ(x)≥0 para todox∈Iy
ϕ(a) =ϕ
′
(a) = 0. Entonces,ϕ(x)) =ϕ
′
(a)(x−a) +
ϕ
′′
(a)
2
(x−
a)
2
+r(x), donde l´ım
x→a
r(x)/(x−a)
2
= 0. As´ı,ϕ(x) = (x−
a)
2
h
ϕ
′′
(a)
2
+
r(x)
(x−a)
2
i
. Si, se tuvieseϕ
′′
(a)<0, entonces existir´ıa
δ >0 tal que, para 0<|x−a|< δ, la expresi´on de dentro
de los corchetes, y en consecuenciaϕ(x), ser´ıa<0, lo que es
absurdo. Luego, necesariamente,ϕ
′′
(a)>0, esto es,f
′′
(a)>
g
′′
(a).
2.2 Para ﬁjar ideas, seaf
′′
(c)>0. Existeδ >0 tal quec−δ <
x < c+δ⇒f
′′
(x)>0. Entoncesfes convexa en el intervalo
(c−δ, c+δ).
2.3 La suma de dos funciones convexas es convexa, sin embargo
para el producto esto no es siempre verdad. Ejemplo: (x
2
−
1)x
2
.
2.4 Sifes convexa, seaX={x∈I:f(x)≤c}. Dadosx, y∈X,
yx < z < y, se tienez= (1−t)x+ty, donde 0≤t≤1.
Entonces,f(z) =f((1−t)x+ty)≤(1−t)f(x) +tf(y)≤
(1−t)c+tc=c, luegoz∈X. As´ı,Xes un intervalo yfes
quasi-convexa.
2.5 Seanc= m´ax{f(x), f(y)}yz= (1−t)x+ty, donde 0≤t≤1.
Entoncesf(x)≤c,f(y)< cyzpertenece al intervalo de
extremosxey. Luego,f(z)≤z.
2.6 Si el m´ınimo defse alcanza en el puntoa, entonces dadosx <
yen [a, b], se tienex∈[a, y], luegof(x)≤m´ax{f(a), f(y)}=

212Soluciones de los ejercicios Cap. 13
f(y), por lo tantofes creciente. An´alogamente, si el m´ınimo
se alzanza en el puntob,fes decreciente. De aqu´ı se deduce
que sifalcanza su m´ınimo en el puntoc∈(a, b) entoncesf
es decreciente en [a, c] y creciente en [c, b].
2.8 La existencia deces consecuencia del Teorema del Valor Me-
dio. Falta probar su unicidad. Si existiesenc1, c2tales que
a < c1< c2< byf(c1) =f(c2) = 0, se tendr´ıac1=
ta+ (1−t)c2, donde 0< t <1. Entonces, por la convexidad
def, 0 =f(c1)≤tf(a) + (1−t)f(c2), de dondetf(a)≥0,
lo que es absurdo.
3.1 Basta probar quex∈I⇒f(x)∈I. Ahora bien,x∈I⇒ |x−
a| ≤δ⇒ |f(x)−a| ≤ |f(x)−f(a)|+|f(a)−a| ≤k|x−a|+
(1−k)δ≤kδ+ (1−k)δ=δ⇒f(x)∈I.
3.2a= 0,76666469.
3.3 Use el Teorema 10 y el Ejercicio 3.1.
3.4 Observe que (f
′
(x))≤1/a <1.
10. La integral de Riemann
1.1 Dadoε >0 existen∈Ntal que 1/2
n
< ε/2. La restricci´on
def1defal intervalo [1/2
n
,1], es una funci´on escalonada,
por lo tanto integrable. Existe entonces una partici´onP1de
este intervalo tal queS(f;P1)−s(f;P2)< ε/2. La partici´on
P={0}∪P1del intervalo [0,1] cumpleS(f;P)−s(f;P)< ε.
1.2 Sifes impar, basta probar que
R
0
−a
f(x)dx=−
R
a
0
f(x)dx.
Ahora bien, a cada partici´onPde [0, a] le corresponde una
partici´onPde [−a,0], obtenida cambiando el signo de los
puntos de divisi´on. Comof(−x) =−f(x), si en el intervalo
[ti−1, ti] dePel ´ınf y el sup defsonmiyMi, entonces,
en el intervalo [−ti,−ti−1] el ´ınf y el sup son−Miy−mi,
respectivamente. Por lo tantoS(f;P) =−s(f;P) ys(f;P) =
−S(f;P). Ahora la aﬁrmaci´on es inmediata. An´alogamente
para el casofpar.

Secci´on 10 La integral de Riemann 213
1.3 Evidentemente,fes discontinua en los racionales. Seac∈
[a, b] irracional. Dadoε >0 el conjunto de los n´umeros na-
turalesq≤1/ε, y por lo tanto el conjunto de los puntos
x=p/q∈[a, b] tales quef(x) = 1/q≥ε, es ﬁnito. Sea
δla menor distancia entrecy uno de estos puntos. Enton-
cesx∈(c−δ, c+δ)⇒f(x)< ε, y as´ıfes continua en
el puntoc. Toda suma inferiors(f;P) es cero pues todo in-
tervalo no degenerado contiene n´umeros irracionales, luego
R
b
a
f(x)dx= 0. En cuanto a la integral superior, dadoε >0,
seaF={x1, x2, . . . , xn}el conjunto de los puntos de [a, b]
para los que se tienef(xi)≥ε/2(b−a). Con centro en cada
xitome un intervalo de longitud< ε/2n, escogido de forma
que estosnintervalos sean disjuntos dos a dos. Los puntos
a, b, junto con los extremos de losnenteros que pertenezcan
a [a, b], forman un partici´onPtal queS(f;P)< ε. Luego
Rb
a
f(x)dx= 0.
1.4 Seam=f(c)/2. Existeδ >0 tal quef(x)> mpara todo
x∈[c−δ, c+δ]. Entonces, para toda partici´on que contenga
a los puntosc−δyc+δ, se tienes(f;P)>2mδ. De donde
R
b
a
f(x)dx≥s(f;P)>0.
1.5 Para todo partici´onPde [a, b] se tienes(ϕ;P) =S(g;P) y
S(ϕ;P) =S(g;P)+(b−a). Luego
R
b
−a
ϕ(x)dx=
R
b
−a
g(x)dxy
Rb
a
ϕ(x)dx=
R
b
a
g(x)dx+(b−a). En particular, parag(x) =x,
R
b
a
ϕ(x)dx= (b
2
−a
2
)/2 y
Rb
a
f(x)dx= (b
2
−a
2
)/2 + (b−a).
2.1 Parax, y∈[a, b]
|F(x)−F(y)|=

Z
y
x
f(t)dt

≤M|x−y|,
dondeM= sup{|f(t)|:t∈[a, b]}.
2.2ϕ=
1
2
[f+g+|f−g|],ψ=
1
2
[f+g− |f−g|],f+= m´ax{f,0}
yf−=−m´ın{f,0}.
2.3 La desigualdad de Schwarz para integrales resulta del hecho de
que en el espacio vectorial de las funciones continuas en [a, b],
hf, gi=
R
b
a
f(x)g(x)dxdeﬁne un producto interno. Lectores

214Soluciones de los ejercicios Cap. 13
que todav´ıa no est´en familiarizados con el
´
Algebra L´ıneal,
pueden probar esta desigualdad con los argumentos usados
en el Cap´ıtulo 2, Ejercicio (2.7), considerando el trinomio de
grado 2p(x) =
R
b
a
(f(x) +λg(x))
2
dx.
3.1 El conjunto de los puntos de discontinuidad defesQ∩[a, b],
por lo tanto numerable, y en consecuencia de medida nula.
3.2 Dada una funci´on mon´otonaf: [a, b]→Rbasta probar que
el conjuntoDde los puntos de discontinuidad defen (a, b) es
numerable. Para cadax∈Dseanaxel menor ybxel mayor
de los tres n´umeros l´ım
y→x
−
f(y),l´ım
y→x
+
f(y) yf(x). Comofes
discontinua en el puntoxse tieneax< bx. Adem´as, comof
es mon´otona, six6=yenDentonces los intervalos abiertos
(ax, bx) y (ay, by) son disjuntos. Para cadax∈Descoja un
n´umero racionalr(x)∈(ax, bx). La funci´onx→r(x), deD
enQ, es inyectiva, luegoDes numerable.
3.3 Todos los puntos del conjuntoD−D
′
son aislados, luego, en
virtud de Ejercicio 3.4, Cap´ıtulo 5, dicho conjunto es numera-
ble. Se deduce queDes numerable, puesD⊂(D−D
′
)∪D
′
.
4.1 La funci´onf: [0,1]→R. igual 1 en los racionales y 0 en
los irracionales, se anula fuera de un conjunto de medida nula
pero no es integrable. Por otra parte, sif: [a, b]→$ es
integrable e igual a cero fuera de un conjunto de medida nula,
en cualquier subintervalo de [a, b] el ´ınﬁmo defes cero, luego
R
b
a
f(x)dx= 0, de donde
R
b
a
f(x)dx= 0.
4.2 (a) SiX⊂I1∪ ∪IkentoncesX⊂J1∪ ∪Jk, donde
Jies un intervalo con el mismo centro y el doble de longitud
queJi. Luego
P
Ii< ε⇒
P
Ji<2ε, y se concluye queX
tiene contenido nulo.
(b) Todo conjunto de contenido nulo est´a acotada, luego el
conjuntoQ, que tiene medida nula, no tiene contenido nulo.
Adem´as,Q∩[a, b], aunque est´a acotada, tiene medida nula
pero no tiene contenido nulo, en virtud del apartado (a), pues
su cierre es [a, b], cuyo contenido no es nulo.
(c) Use Borel-Lebesgue.
(d) La diferenciag−f: [a, b]→Res igual a cero excepto

Secci´on 11 C´alculo con integrales 215
en un conjuntoXde contenido nulo. SeaM= sup
X(f−g).
Todas las sumas inferiores deg−fson nulas. En cuanto a
las sumas superiores, dadoε >0 existen intervaloI1, . . . , Ik
tales queX⊂I1∪ ∪Iky|J1|+ +|Jk|< ε/M. Sin
p´erdida de generalidad podemos suponer que los intervalos
Ijest´an contenidos en [a, b]. Los extremos de estos intervalos
junto aaybforman una partici´on de [a, b]. Los intervalos de
dicha partici´on que contienen puntos deXson losIj. Como
P
|Ij|< ε/M, se sigue queS(f;P)< ε. En consecuencia,
Rb
a
|g−f|= 0. As´ı,g−fes integrable y su integral es cero.
Finalmente,g=f+ (g−f) es integrable y
R
b
a
g=
R
b
a
f.
11. C´alculo con integrales
1.2 Dada cualquier partici´onP={t0, t1, . . . , tn}del intervalo de
extremoscyx, se tienef(x)−f(c) =
P
[f(ti)−f(ti−1)].
Aplique el Teorema del Valor Medio a cadaf(ti)−f(ti−1) y
concluya qies(f;P)≤f(x)−f(c)≤S(f;P) para cualquier
partici´onP.
1.3 Es sabido quefes creciente. Sifno fuese estrictamente cre-
ciente existir´ıanx < yen [a, b] tales quef(x) =f(y). Enton-
cesfser´ıa constante yf
′
nula en el intervalo [x, y], que no
tiene contenido nulo.
1.4f(b)−f(a) = ´ınf
b
a
f
′
(x)dx=f
′
(c)(b−a),a < c < b.
1.5 Fijandoc∈(a, b) se tieneϕ(x) =
R
β(x)
c
f(t)dt−
R
α(x)
c
f(t)dt.
Entonces basta considerarϕ(x) =
R
α(x)
c
f(t)dt. Ahora bien,
ϕ=F◦α, dondeF: [a, b]→Res dada como
R
x
c
f(t)dt. Use
la Regla de la Cadena.
1.7 Integre por partes.
2.2 Basta probar que sifno est´a acotada entonces, para toda
partici´onPy todo n´umeroA >0, existe una partici´on pun-
tuadaP
∗
= (P, ξ) tal que|
P
(f;P)|> A. En efecto, dada
P fno est´a acotada en, al menos, uno de sus intervalos, su-
pongamos que [ti−1, ti]. Una vez tomados los puntosξ, en los

216Soluciones de los ejercicios Cap. 13
dem´as intervalos, se puede escogerξi∈[ti−1, ti] de forma que
|
P
(f;P
∗
)|> A.
2.3 Dadoε >0, existeP={t0, t1, . . . , tn}tal que|
P
(f;P
∗
)−
L|< ε/4 se cual fuere la forma de puntuar la partici´onP.
TomePy puntue de dos formas. Primero escoja en cada
[ti−1, ti] un puntoξital quef(ξi)< mi+ε/2n(ti−1−ti), obte-
niendoP
∗
tal que
P
(f;P
∗
)< s(f;P) +ε/4. An´alogamente,
obtengaP
#
tal queS(f;P
#
)−ε/4<
P
(f;P
#
). De don-
deS(f;P)−s(f;P)<
P
(f;P
#
)−
P
(f;P
∗
) +ε/2. Pero,
como|
P
(f;P
∗
)−L|< ε/4 y|
P
(f;P
#
)−L|ε/4, se tiene
P
(f;P
#
−
P
(f;P
∗
)< ε/2. LuegoS(f;P)−s(f;P)< εyf
es integrable. Evidentemente, por el Teorema 7,
R
b
a
f(x)dx=
L.
2.4
P
f(ξi)g(ηi)(ti−ti−1) =
P
f(ξi)g(ξi)(ti−ti−1) +
P
f(ξi)
[g(ηi)−g(ξi)](ti−ti−1). El segundo sumando del segundo
miembro tiende a cero cuando|P| →0, ya que|f(ξi)| ≤M.
2.7 Por el Ejercicio 2.6,
R
b
a
f(x)dx/(b−a) = l´ım
n→∞
M(f;n). Como
fes convexa,M(f;n)≥f
×
1
n
P
n
i=1
(a+ih)
∗
, dondeh= (b−
a)/n. Ahora bien,
1
n
P
n
i=1
(a+ih) =
n−1
n
a+b
2
→(a+b)/2
cuandon→ ∞.
2.8 Escribaxn=n!e
n
/n
n
. Integrando por partes se tiene
R
n
a
logxdx=
nlogx−n+ 1 =An. SiBnes la suma superior de la funci´on
logxrelativa a la partici´on{1,2, . . . , n}del intervalo [1, n] se
tieneAn< Bn=
P
n
k=2
logk= log(n!). Una aproximaci´on por
exceso deAnse puede obtener considerando, para cadak=
2, . . . , n, el ´area del trapecio de base el intervalo [k−1, k] en el
eje de lasx, con dos lados verticales y cuyo lado inclinado es la
tangente al gr´aﬁcoy= logxen el punto (k−1/2,log(k−1/2)),
tal ´area vale log(k−1/2). Seacn=
P
n
k=2
log(k−1/2) la su-
ma de las ´areas de estos trapecios. Se tieneAn< Cn< Bny
por el Teorema del Valor Medio,k−1/2≤θk≤k. Como la
serie arm´onica es divergente, se deduce que
P
1/θk= +∞,
luego l´ım(Bn−An)≥l´ım(Bn−Cn) = +∞. Finalmente, co-
moBn−An= logn!−nlogn+n−1 = log(n!e
n−1
n
−n
), se
concluye que l´ımxn= +∞.

Secci´on 11 C´alculo con integrales 217
3.1 Para todox∈R,f(x) =f(x/2 +x/2) = (f(x/2))
2
≥0.
Si existiesec∈Rtal quef(c) = 0 entoncesf(x) =f(x−
c)f(c) = 0 para todox∈R. Luegof(x)>0 para cualquier
x. Adem´as,f(0) =f(0 + 0) =f(0)f(0), luegof(0) = 1.
Tambi´enf(−x)f(x) =f(−x+x) =f(0) = 1, por lo tanto
f(−x) =f(x)
−1
. De aqu´ı,f(px) =f(x)
p
para todop∈Z.
Tambi´en, para todoq∈N,f(x) =f(x/q+ +x/q) =
f(x/q)
q
, de dondef(x/q) =f(x)
1/q
. Entonces, para todor=
p/q∈Q, tal queq∈N, se tienef(r) =f(p/q) =f(1)
p/q
=
f(1)
r
. Seaf(1) =e
a
. Se deduce quef(r) =e
ar
para todo
r∈Q. Comofes continua, se tienef(x) =e
ax
para todo
x∈R. La segunda parte se prueba de forma an´aloga (v.
Corolario 1 del Teorema 15) o usando el hecho de que las
funciones exp y log son una la inversa de la otra.
3.2 Comoxn−xn−1= log(1 + 1/n)−1/(n+ 1), basta observar
que el m´ınimo de la funci´on 1/xen el intervalo [1,1 + 1/n] es
n/(n+ 1), luego log(1 + 1/n) =
R
1+1/n
1
dx/x >
1
n
n
n+1
=
1
n+1
.
3.3 Escribiendox= 1/y, se tiene l´ım
x→0
xlogx= l´ım
y→∞
−
logy
y
= 0.
3.4 Escribiendox/n=ym se obtiene (1 +x/n)
n
= (1 +y)
x/y
=
[(1 +y)
1/y
]
x
, luego l´ım
n→∞
(1 +x/n)
n
= l´ım
y→0
[(1 +y)
1/y
]
x
=e
x
.
4.1 Divergente, divergente y convergente.
4.2 Las tres son convergentes.
4.3 La integral en cuesti´on vale
P
∞
n=0
(−1)
n
an, dondeanes el
valor absoluto de
Z
√
(n+1)π
√
nπ
sen(x
2
)dx .
Como|sen(x
2
)| ≤1, se tiene 0< an≤
p
(n+ 1)π−
√
nπ,
luego l´ıman= 0. En la integral cuyo valor absoluto esan+1,
haga el cambio de variablex=
√
u
2
+π,dx=udu/
√
u
2
+π,
observe que
p
(n+ 1)π≤x≤
p
(n+ 2)π⇔
√
nπ≤u≤
p
(n+ 1)πy deduzca quean+1< an. Por el Teorema de Leib-
niz la integral converge. La concavidad de la funci´on|sen(x
2
)|

218Soluciones de los ejercicios Cap. 13
en el intervalo [
√
nπ,
p
(n+ 1)π] implica queanes mayor que
el ´area del tri´angulo is´osceles de base dicho intervalo y altu-
ra 1. Luego la serie
P
andiverge y la integral
R
+∞
0
|sen(x
2
)|
tambi´en.
4.4 El m´etodo es el mismo que el del ejercicio anterior. Escribien-
doa=
4
√
nπyb=
4
p
(n+ 1)πse tiene
R
b
a
|xsen(x
4
)|dx <
´area del tri´angulo cuya base es el intervalo [a, b] y cuya altura
esb. Comob
4
−a
4
=π= (b−a)(a
3
+a
2
b+ab
2
+b
3
), tal
´area valeb(b−a) =bπ/(a
3
+a
2
b+ab
2
+b
3
), luego tiende
a cero cuandon→ ∞, Haciendoc= (n+ 2)π, el cambio
de variablex=
4
√
u
4
+πnos daan+1=
R
c
b
|xsen(x
4
)|dx=
R
b
a
|usen(u
4
)|
u
2
4
√
(u
4
+π)
2
du, luegoan+1< an=
R
b
a
|xsen(x
4
)|dx.
Por el Teorema de Leibniz, la serie
P
∞
n=0
(−1)
n
anconverge al
valor de la integral en cuesti´on.
4.5 Seaϕ(x) =
R
x
a
f(t)dt,x≥a. Por hip´otesis existeL= l´ım
x→+∞
ϕ(x).
Luego dadoε >0, existeA >0 tal quex > A⇒L−ε <
ϕ(x)< L. De dondex >2A⇒L−ε < ϕ(x/2)< ϕ(x)< L,
as´ıε > ϕ(x)−ϕ(x/2) =
R
x
x/2
f(t)dt≥(x/2)f(x), puesfes
creciente. Luego l´ım
x→+∞
(x/2)f(x) = 0, y se sigue el resultado.
4.6 Deﬁnaϕ: [a,+∞)→Rmedianteϕ(t) =
R
t
a
f(x)dx. Sit≥a,
seanMt= sup{ϕ(x);x≥t},mt= ´ınf{ϕ(x);x≥t}yωt=
Mt−mt. Entoncesωt= sup{|ϕ(x)−ϕ(y)|;x, y≥t}, (Cfr.
Lema 2, Secci´on 1). La condici´on del enunciado equivale a
aﬁrmar que l´ım
t→+∞
ωt= 0. El resultado se deduce entonces del
Ejercicio 3.3. del Cap´ıtulo 6.
12. Sucesiones y series de funciones
1.1 Se tiene l´ımfn=f, dondef(x) = 0 si 0≤x <1,f(1) = 1/2
yf(x) = 1 six >1.
1.2 La convergenciafn→fes mon´otona, tanto en [0,1−δ]
como en [1 +δ,∞). Por el Teorema de Dini, la convergencia
es uniforme en [0,1−δ], pues este intervalo es compacto. En
el otro intervalo basta observar que cadafnes estrictamente

Secci´on 12 Sucesiones y series de funciones 219
creciente, luegofn(1 +δ)>1−ε⇒fn(x)>1−εpara todo
x≥1 +δ.
1.3 Seaa= 1−δ. Entoncesx∈[−1+δ,1−δ] signiﬁca|x| ≤ |a|<
1. Adem´as,|x| ≤a <1⇒
P
i≥n
|x
i
(1−x
i
)| ≤
P
i≥n
|x
i
| ≤
P
i≥n
|a
i
|=a
n
/(1−a). Luego, para todoε >0 existen0∈N
tal quen > n0⇒
P
i≥n
|x
i
(1−x
i
)|< ε, lo que nos asegura la
convergencia uniforme. La aﬁrmaci´on inicial es obvia.
1.4 La necesidad de la condici´on es evidente. Respecto a la suﬁ-
ciencia, observe que, para todox∈X, la sucesi´on de n´umeros
realesfn(x),n∈N, es de Cauchy, luego por el Ejercicio 2.7
del Cap´ıtulo 3, existe l´ım
n→∞
fn(x) =f(x). Esto deﬁne una fun-
ci´onf:X→Rtal quefn→fpuntualmente. Para probar
que la convergencia es uniforme, tomeε >0 y obtengan0∈N
tal quem, n > n0⇒ |fm(x)−fn(x)|< ε/2 para todox∈X.
Fijen > n0y hagam→ ∞en esta desigualdad. Concluya
quen > n0⇒ |f(x)−fn(x)| ≤ε/2< ε.
1.5 Sifn→funiformemente enXentonces, dadoε= 1, existe
n0∈Ntal quen > n0⇒ ||fn(x)|−|f(x)|| ≤ |fn(x)−f(x)|<1
para todox∈X, Luegon > n0⇒ |fn(x)|<|f(x)|+ 1 y
|f(x)|<|fn(x)|+ 1. De aqu´ı se deduce el resultado.
1.6 Adapte la demostraci´on del Teorema de Leibniz (Teorema 3,
Cap´ıtulo 4).
1.7 Para todox∈Xla serie
P
∞
n=1
fn(x) converge, luego tie-
ne sentido considerarrn(x) =fn(x) +fn+1(x) + , como
|rn(x)| ≤Rn(x) =|fn(x)|+|fn+1(x)|+ , se deduce que
l´ım
n→∞
rn(x) = 0 uniformemente enX, luego
P
fnconverge
uniformemente.
2.1 Observe que|fn(x)+gn(x)−(f(x)+g(x))| ≤ |fn(x)−f(x)|+
|gn(x)−g(x)|, que|fn(x)gn(x)−f(x)g(x)| ≤ |fn(x)||gn(x)−
g(x)|+|gn(x)||fn(x)−f(x)|, y que|1/gn(x)−1/g(x)| ≤
(1/|g(x)gn(x)|)|gn(x)−g(x)|.
2.3 Comof
′
n
(x) =
√
ncos(nx), s´olo existe l´ım
n→∞
f
′
n
(x) cuando l´ım
n→∞
cos(nx) =
0. Teniendo en cuenta que cos(2nx) = cos
2
(nx)−sen
2
(nx),

220Soluciones de los ejercicios Cap. 13
haciendon→ ∞se obtendr´ıa 0 =−1. Luego no existe
l´ım
n→∞
f
′
n(x), sea cual fuerex∈[0,1].
2.6 El conjuntof(X) es compacto, disjunto del conjunto cerrado
R−U. Por el Ejercicio 4.4 del Cap´ıtulo 5, existeε >0 tal que
x∈Xey∈R−U⇒ |x−y| ≥ε, luegox∈X,|f(x)−z|<
ε⇒z∈U. Tomen0∈Ntal que|fn(x)−f(x)|para todo
n≥n0y todox∈X. Entoncesfn(X)⊂Usin≥n0.
2.7 Dadoε >0, existen0∈Ntal quem, n > n0⇒ |fm(d)−
fn(d)|< ε/2 para todod∈D, luego|fm(x)−fn(x)| ≤ε/2< ε
para todox∈X, puesxes el l´ımite de una sucesi´on de puntos
deD. Por el criterio de Cauchy, (Ejercicio 1.4), (fn) converge
uniformemente enX.
2.8 Integrefnpor partes y hagan→ ∞.
2.9 Adapte la demostraci´on del criterio de d
′
Alembert, usando, si
le parece, el Teorema 5.
2.10 Adapte la demostraci´on del criterio de Cauchy, usando, si le
parece, el Teorema 5.
3.1 Seana, btales quea <1/r < b. Entoncesr <1/a, luego
1/a /∈R, por lo tanto existen inﬁnitos ´ındicesntales que
a≤
n
p
|an|. Adem´as, 1/b < r, luego existeρ∈R. As´ı, para
todoNsuﬁcientemente grande, se tiene
n
p
|an|<1/ρ < b.
Con otras palabras, solamente hay un n´umero ﬁnito de´ındices
ntales queb≤
n
p
|an|. De donde 1/res un valor de adherencia
de la sucesi´on
n
p
|an|y ning´un mayor que 1/rtiene dicha
propiedad.
3.2 Se tiene
P
anx
2n
=
P
bnx
n
, dondeb2n=anyb2n−1= 0. As´ı,
los t´erminos de orden impar de la sucesi´on
n
p
|bn|son iguales
a cero y los de orden par forman la sucesi´on
q
n
p
|an|, cuyo
l´ımite es
√
L. Por lo tanto, la sucesi´on (
n
p
|bn|tiene dos valo-
res de adherencia: 0 y
√
L. Por el ejercicio anterior, el radio
de convergencia de
P
A−nx
2n
es 1/
√
L. Un razonamiento
an´alogo vale para la otra serie.

Secci´on 12 Sucesiones y series de funciones 221
3.3 El radio de convergencia de
P
a
n
2
x
n
es +∞si|a|<1, 0 si
|a|>1 e igual a 1 si|a|= 1.
3.4 Use el Corolario 2 del Teorema 9 (Unicidad de la representa-
ci´on en series de potencias).
3.5 Vea el Ejercicio 3.7, Cap´ıtulo 3.

222Soluciones de los ejercicios Cap. 13

Lecturas recomendadas
Para profundizar, y complemento de algunos t´opicos abordados en
este libro, la referencia natural es
1. E. L. Lima, Curso de An´alisis Matem´atico, vol. 1. (8
a
edici´on).
Proyecto Euclides, IMPA, 1994.
Para una presentaci´on del tema logar´ıtmos, siguiendo las mis-
mas ideas del texto, aunque de car´acter bastante m´as elemental,
con numerosos ejemplos y aplicaciones, vea:
2. E. L. Lima, Logaritmos, Sociedade Brasileira de Matem´atica,
Rio de Janeiro, 1994.
Otros libros que pueden ser de gran utilidad para comprender mejor
los temas aqu´ı estudiados, trat´andolos con enfoques diferentes y
abordando puntos que aqu´ı no fueron considerados, son
3. R. G. Bartle, Elementos de
´
Analise Real, Editora Campus,
Rio de Janeiro, 1983.
4. D. G. Figueiredo, An´alise I. L.T.C. Rio de Janeiro, 1995 (2
a
edici´on).
5. P.R. Halmos, Teoria Ingˆenua dos Conjuntos. Ed. USP, S˜ao
Paulo, 1970.
6. A. Hefez,
´
Algebra, vol. 1, Cole¸c˜ao Matem´atica Universit´aria,
IMPA, Rio de Janeiro, 1997 (2
a
edici´on).
7. L.H. Jacy Monteiro, Elementos de
´
Algebra, Ao Livro T´ecnico
S.A., Rio de Janeiro, 1969.
8. W. Rudin, Princ´ıpios de An´alisis Matem´atica, Ed. UnB e Ao
Livro T´ecnico, Rio de Janeiro, 1971.

224Soluciones de los ejercicios Cap. 13
9. M. Spivak, C´alculo Inﬁnitesimal, 2 vols. Editorial Revert´e,
Barcelona, 1970.
Tambi´en recomendamos:
10. R. Courant, Diﬀerential and Integral Calculus, vol. 1, Inters-
cience, New York, 1947.
11. O. Forster, Analysis 1, Vieweg, Braunschweig, 1987 (en ale-
man).
12. S. Lang, Analysis 1, Addison-Wesley, Reading Massachus-
sets, 1969.

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