ANGULO EN POSICION NORMAL II

ANGULO EN POSICION NORMAL II

1. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE
ÁNGULOS EN POSICIÓN NORMAL II
I.E 10214 – LA RAMADA Trigonometría – 5º de Secundaria
1.1.ÁÁngulos Cuadrantales ngulos Cuadrantales
Entenderemos por ángulo cuadrantal a
aquel ángulo en posición normal cuyo lado
final coincida con cualquier semieje del
plano cartesiano. La medida de este ángulo
siempre tendrá la forma:
“
2
π
n”; n Î Z ó “n. 90º”.
Ejemplo:
Para diferentes valores enteros de “n”
tendríamos: n = -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; 4; ….
n . 90 = -270º; -180º; -90º; 0; 90º; 180º; 270º;
360º;
El siguiente gráfico muestra algunos
Ángulos Cuadrantales y su medida.
2.2.R. T. de Ángulos CuadrantalesR. T. de Ángulos Cuadrantales
DondeDonde: :
COMPROBACIÓNCOMPROBACIÓN
1. 1
rr
y
º90sen ===
r
2. 0
rr
x
º90cos ===
0
3. /
r
y
º90tg $===
0
r
3.3.R. T. de Ángulos CoterminalesR. T. de Ángulos Coterminales
Si dos o más ángulos son coterminales
entonces las Razones Trigonométricas de
sus medidas tienen el mismo valor
numérico por ende diremos que son
iguales.
Prof. Edwin Ronald Cruz Ruiz
1
x
y
90º
180º
-90º
m∢
R.T.
0º,
360º
90º180º270º
0; 2pp/2 p 3p/2
Sen 0 1 0 -1
Cos 1 0 -1 0
Tg 0 N 0 N
Ctg N 0 N 0
Sec 1 N -1 N
Csc N 1 N -1
0 = Cero
1 = Uno
N = No definido
x
y
90º
(0; r)
r
La división de un
número entre 0
(cero) es una
operación no
definida.
x
y
(a; b)
a
q
R.T. a = R.T. q

2. Práctica Dirigida Nº 01Práctica Dirigida Nº 01
Tarea Nº 01Tarea Nº 01
Ejercicio Resueltos
I.E 10214 – LA RAMADA Trigonometría – 5º de Secundaria
Son ∢s coterminales los que tienen
el mismo lado inicial y final.
Ejemplos


1.Calcular:
8)Cos360º(2Sen270º
1)Cos180º(3Sen90º
E
2
2
+-
+-
=
Solución:
Reemplazando valores:
[ ]
[ ]8)2(-1)
1(-1)3(1)
E
2
2
+-
+-
=
1(
8
14
E
2
(-3)
2
+
+
=
17
17
E=
\ E = 1
1.Simplificar:
º360cosab2
º0cos)ba(º90sen)ba(
E
--+
=
a) a b) b c)
a
-1
d) b
-1
e) ab
2.Simplificar:
º90cscab2
º270sen)ba(º0sec)ba(
E
22
-++
=
a) a b) b c) 1
d) 2 e) 4
3.Si: f(x) = senx + cos2x + tg4x
Calcular: “)
2
(f
p
”
a) 0 b) 1 c) 2
d) -1 e) -2
4.Si: f(x) = sen2x + cos4x + cot6x
Calcular: “)
4
(f
p
”
a) 0 b) 1 c) 2
d) -1 e) -2
1.Calcular:
2abcsc270º
cos180º
2
b)-(asec360º
2
b)(a
E
++
=
a) 1 b) 2 c) 3
d) -3 e) -2
2.Calcular:
º90cscb3º0seca
º360cos)ba(º90sen)ba(
E
22
33
+
-++
=
a) a b) b c) 2a
d) 2b e) ab
3.Si:
4
x
tg
3
x
cos
2
x
sen)x(f ++=
Calcular: “f(p)”
a) 1 b) 1,5 c) 2
d) 2,5 e) 3
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2

3. Tarea Nº 01
I.E 10214 – LA RAMADA Trigonometría – 5º de Secundaria
4.Si: f(x) = 2sen2x + 3cos3x + 4tg4x
Calcular: “)
2
(f
p
”
a) 0 b) 1 c) 2
d) -1 e) -2
5.Calcular:
E = (3Sen90º – Cos180º)2 + (Sen270º – Cos360º)
a) 16 b) 17 c) 18
d) 19 e) 20
6.Reducir:
nCos0ºmSen90º
180º
5
Cos
2
n90º
3
Sen
2
m
C
+
+
=
a) m + n b) m – n c) mn
d)
nm
2
n
2
m
+
+
e)
nm
2
n
2
m
-
+
1.Calcular:
E = (2Sen180º – Sen90º)
2
+ (3Cos180º – Cos90º)
2
a) 8 b) 9 c) 10
d) 11 e) 12
2.Reducir:
270º
3
Sen
2
nmnSen270ºCos0º
2
m
Cos360º
3
nSen90º
3
m
J
--
-
=
a) m – n b) m + n c) m
d) n e) n – m
3.Calcular:
Csc270º2ab
Cos180ºb)(aSec360ºb)(a
E
22
-++
=
a) 1 b) 2 c) 3
d) -3 e) -2
4.Señale el signo de:
316ºCos
124º340º.CtgSen
P=
a) (+) b) (–) c) (+) y (–)
d) (+) ó (–) e) No se puede precisar
5.Señale el signo de:
190º
5
316º.Sen
3
Sec
310º
4
217º.Sen
3
160º.Tg
5
Cos
A=
a) (+) b) (–) c) (+) y (–)
d) (+) ó (–) e) No se puede precisar
6.¿A qué cuadrante pertenece ”q”, si: Cosq < 0;
y Senq < 0?
a) IC b) IIC c) IIIC
d) IVC e) Es cuadrantal
7.Si: f(x) = 2sen2x + 3cos3x + 4tg4x
Calcular: “)
2
(f
p
”
a) 0 b) 1 c) 2
d) -1 e) -2
8.Si: b Î IIC, a Î IIIC Ù q Î IVC
Indicar el signo de la expresión:
q-b
b+a
=
sectg
coscsc
E
a) + b) - c) + ó -
d) + Ù - e) Todas son positivas
9.Calcular: E =
Sec2π)
2
3π
Ctg(
Cosπ-)
2
π
2Sen(
+
a) –1 b) 1 c) – 2
d) 3 e) 22
10.Señale el signo de:
170º
3
200º.Cos
4
Sec
160º
2
214º.Tg
5
170º.Cos
3
Sen
A=
a) (+) b) (–) c) (+) y (–)
d) (+) ó (–) e) No se puede precisar
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3

4. =2π(n)+α ó = 360°(n)+α
ϴ ϴ
R.T[2π(n)+α]=R.T[α]
R.T[360°(n)+α]=R.T[α]
I.E 10214 – LA RAMADA Trigonometría – 5º de Secundaria
ÁNGULOS COTERMINALES
Los ángulos se pueden medir en el sentido
del movimiento de las agujas del reloj (tiene
medida negativa) y al contrario del
movimiento de las agujas del reloj (con
medida positiva).
Dos o más ángulos se denominan
coterminales, cuando tienen el mismo
lado inicial y el mismo lado final.
La diferencia entre dos o más ángulos
coterminales es el número de vueltas
sobre el lado inicial.
Aquí es donde se justifica porque los
ángulos trigonométricos no tienen límites
en su magnitud, pues sólo se diferencian
en el número de vueltas.
Ejemplos


Si dos o más ángulos son coterminales
entonces las Razones Trigonométricas de
sus medidas tienen el mismo valor
numérico por ende diremos que son
iguales.
Para encontrar un ángulo coterminal
positivo y uno negativo con un ángulo dado,
puede sumar y restar 360° si el ángulo es
medido en grados o 2π si el ángulo es
medido en radianes.
Ejemplo 1:
Encuentre un ángulo coterminal positivo y
uno negativo con un ángulo de 55°.
55° – 360° = –305°
55° + 360° = 415°
Un ángulo de –305° y un ángulo de 415°
son coterminales con un ángulo de 55°.
En General:
Ejercicios de Ángulos
Coterminales
Los siguientes ángulos están en la posición
estándar, encuentre dos ángulos coterminales
positivos y dos ángulos coterminales negativos en
cada caso.
1) 120°
2) 135°
3) 240°
4) 315°
5) 60°
6) 90°
7) -30°
8) -150°
9) 150°
10) -45°
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4
x
y
(a; b)
a
q
R.T. a = R.T. q

5. I.E 10214 – LA RAMADA Trigonometría – 5º de Secundaria
PRÁCTICA CALIFICADA DE MATEMÁTICA
QUINTO AÑO DE SECUNDARIA
“ÁNGULOS EN POSICION NORMAL”
ESTUDIANTE:……………………………………
RESOLUCION DE PROBLEMAS
1.Del siguiente gráfico calcular:
q-q= cot12sen10E
2.Si el punto )3;1(P- pertenece al lado
final de un ángulo en posición canónica
cuya medida es “a”
calcular: E = cota + csca
3.Del gráfico calcular:
b+b= cot4sec5E
4.Calcular:
2abcsc270º
cos180º
2
b)-(asec360º
2
b)(a
E
++
=
5.Reducir:
270º
3
Sen
2
nmnSen270ºCos0º
2
m
Cos360º
3
nSen90º
3
m
J
--
-
=
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5
x
y
q
(1; -3)
x
y
b
(1; -2)

6. I.E 10214 – LA RAMADA Trigonometría – 5º de Secundaria
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6