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1. Ângulos de Euler
Samuel da Silva
Professor Associado
UNESP - Universidade Estadual Paulista
Departamento de Engenharia Mecânica
Ilha Solteira, SP, Brasil
[email protected]
™https://www.samueldasilva.org/
CC BY: $
\ = Samuel (UNESP) Dinâmica Outubro, 2022 1 / 13

2. Escopo
1
Ângulos de Euler
2
Ângulos de Cardan
CC BY: $
\ = Samuel (UNESP) Dinâmica Outubro, 2022 1 / 13

3. Ângulos de Euler
Posso girar um corpo rígido no espaço a partir de um eixo de Euler
qualquer noR
3
.
Uma consequência do teorema de Euler é que isto pode ser
parametrizado a partir de três ângulos.
Assim três ângulos, e. g., ,esão sucientes para descrever os
nove cossenos diretos da matriz de rotaçãoA.
Ou seja, três giros consecutivos são necessários para um giro qualquer
no espaço.
Esta sequência de três ângulos é conhecida como.
Não é única, várias opções. Uma bastante popular é:
Primeiro giro em torno dezz1com
_
- Precessão
Segundo giro em torno dex1x2com
_
- Nutação
Terceiro giro em torno dez2z3com
_
- Spin
CC BY: $
\ = Samuel (UNESP) Dinâmica Outubro, 2022 2 / 13

4. 1.ºGiro - Movimento de precessão
Primeiro giro em torno dezz1com
_
- Precessão
Sistema inercialIcom(x; y; z)e
n
^i;^j;
^
k
o
.
Sistema móvelB1com(x1; y1; z1)e
n
^i1;^j1;
^
k1
o
.
CC BY: $
\ = Samuel (UNESP) Dinâmica Outubro, 2022 3 / 13

5. Matriz de rotação
Para passar do sistema inercialIpara o sistema móvelB1utiliza-se
a matriz de rotaçãoT :
8
<
:
^i1
^j1
^
k1
9
=
;
=
2
4
cos sin 0
sin cos 0
0 0 1
3
5
8
<
:
^i
^j
^
k
9
=
;
Assim:
B1
s=T Is; Is=T
T
B1
s;
A velocidade angular do sistema de referênciaB1é:
B1
_
=I
_
=
8
<
:
0
0
_

9
=
;
CC BY: $
\ = Samuel (UNESP) Dinâmica Outubro, 2022 4 / 13

6. 2.ºGiro - Movimento de nutação
Segundo giro em torno dex1x2com
_
- Nutação
Sistema móvelB2com(x2; y2; z2)e
n
^i2;^j2;
^
k2
o
.
CC BY: $
\ = Samuel (UNESP) Dinâmica Outubro, 2022 5 / 13

7. Matriz de rotação
Para passar do sistema inercialB1para o sistema móvelB2utiliza-se
a matriz de rotaçãoT:
8
<
:
^i2
^j2
^
k2
9
=
;
=
2
4
1 0 0
0 cossin
0sincos
3
5
8
<
:
^i1
^j1
^
k1
9
=
;
Assim:
B2
s=TB1
s; B1
s=T
T
B2
s;
A velocidade angular do sistema de referênciaB2é:
B2
_
=B1
_
=
8
<
:
_

0
0
9
=
;
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\ = Samuel (UNESP) Dinâmica Outubro, 2022 6 / 13

8. 3.ºGiro - Movimento despin
Segundo giro em torno dez2z2com
_
- Spin
Sistema móvelB3com(x3; y3; z3)e
n
^i3;^j3;
^
k3
o
.
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\ = Samuel (UNESP) Dinâmica Outubro, 2022 7 / 13

9. Matriz de rotação
Para passar do sistema inercialB2para o sistema móvelB3utiliza-se
a matriz de rotaçãoT:
8
<
:
^i3
^j3
^
k3
9
=
;
=
2
4
cossin0
sincos0
0 0 1
3
5
8
<
:
^i2
^j2
^
k2
9
=
;
Assim:
B3
s=TB2
s; B2
s=T
T
B3
s;
A velocidade angular do sistema de referênciaB3é:
B3
_
=B2
_
=
8
<
:
0
0
_

9
=
;
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\ = Samuel (UNESP) Dinâmica Outubro, 2022 8 / 13

10. Matriz de rotação
É possível mudarIpara o sistemaB3a partir de:
8
<
:
^i3
^j3
^
k3
9
=
;
=TTT
8
<
:
^i
^j
^
k
9
=
;
E também ir deB3para o sistemaI:
8
<
:
^i
^j
^
k
9
=
;
=T
T

T
T

T
T

8
<
:
^i3
^j3
^
k3
9
=
;
A matriz de rotação geral para transformar da baseIpara a baseB3
éA=TTT :
A=
2
4
coscos sinsin cossincos cos+ cossin sinsin
cossin cossincos coscos cossinsin cossin
sin sin cos sin cos
3
5
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\ = Samuel (UNESP) Dinâmica Outubro, 2022 9 / 13

11. Algumas questões
Outras sequências de giro podem ser feitas, porém, estas operações
não comutam, como acontece em movimento apenas de translação.
A velocidade angular total do sistema é:
B2
!=B2
_
+B2
_
+B2
_
=TB1
_
+B2
_
+B2
_

Assim:
B2
!=
8
<
:
_

_
sin
_
cos+
_

9
=
;
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\ = Samuel (UNESP) Dinâmica Outubro, 2022 10 / 13

12. Existem outras sequências de giro?
A sequência anterior do tipo3!2!3não é única.
A sequência anterior é popular em mecânica celeste e no estudo do
pião simétrico.
Várias sequências de3giros consecutivos podem ser feitas para girar
um corpo no espaço.
Dependendo da área da atuação (navegação inercial, automobilística,
aeronáutica, etc), os ângulos de Euler nestas sequências tem
nomenclaturas diversa, por exemplo: guinada, arfagem, etc.
Esta mudança na ordem de giro pode em algumas aplicações reduzir so
inconvenientes associados com, pois em alguns ângulos,
os cossenos diretores podem ser muito grandes ou muito pequenos.
Problema é agravado na integração de equações de movimento, onde
muitas vezes deve se inverter estas matrizes de rotação.
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\ = Samuel (UNESP) Dinâmica Outubro, 2022 11 / 13

13. Ângulos de Cardan
Uma sequência de rotação útil em dinâmica de máquinas rotativas é
usando os, as vezes também chamado de ângulos
de Euler.
Nesta sequência os primeiros dois ângulos podem ser linearizados
assumindo pequenos deslocamentos angulares, porém o último é
assumido ser grande.
Normalmente, este último giro é a rotação própria em torno do eixo de
simetria da máquina.
Útil no estudo de cinemática e dinâmica de turbinas, rotores,
geradores, etc.
A sequência usada é do tipo:
Primeiro giro em torno dexx1.
Segundo giro em torno dey1y2.
Terceiro giro em torno dez2z3.
Pode-se associar diversas variantes.
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\ = Samuel (UNESP) Dinâmica Outubro, 2022 12 / 13

14. Como Citar este Material?
S. da Silva,Ângulos de Euler, Universidade Estadual Paulista UNESP,
Ilha Solteira, SP, Brasil, 2022.
Estas notas podem ser distribuídas com licença Creative
Commons BY-NC-ND 4.0,para finalidades educacionais.
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\ = Samuel (UNESP) Dinâmica Outubro, 2022 13 / 13