Antiderivação integrais indefinidas

1. 1
Curso- Engenharia Civil/Mecânica
Disciplina- Cálculo II– Prof. Olga
2º Semestre de 2014
Antiderivação- Integração Indefinida
Muitas vezes conhecemos a derivada de uma função e queremos encontrar a própria
função.
Por exemplo: um físico conhece a velocidade de um corpo em movimento e quer saber
a posição desse corpo em um determinado tempo futuro.
O processo de obter uma função a partir de sua derivada é chamadoantiderivação ou
integração indefinida.
F(x) é uma antiderivada de f(x) para qualquer x do domínio de f se F’(x) = f(x)
Exemplo: F(x) =x
2
é uma antiderivada de f(x) = 2x pois F’(x) = 2x
Observamos também que F(x) = x
2
+ 3 é também uma antiderivada de f(x) = 2x pois
F’(x) = 2x.
Dada uma função f(x) existe uma família de antiderivadas de f(x) da forma F(x) + C em
que C é uma constante.
Ou seja, se F(x) é uma antiderivada de f(x), todas as antiderivadas de f(x) são da forma
F(x) +C.
Essa família de antiderivadas é representada por :
em que F’(x) = f(x)

dxxf)(  integral indefinida de f(x)
f(x) integrando
dx símbolo que indica a variável x ( variável de integração).
Exemplos:
1) C
x
dxx 
4
4
3
pois
3
4
4.
4
1
)
4
( xC
x
dx
d
 = x
3
2) poisCxdxx 
32
3
23
3)( xCx
dx
d

3) 


(
2
1
23
dt
d
poisCtdtt
32
)
2
1

 tCt
Regras de integração:
1)Regra da constante

 CxFdxxf )()(

 Ckxkdx (k =constante )

2. 2
Exemplos :
 Cxdx22 ;
 Cxdx33 ;
 Cxdx
2)Regra da potência
Exemplos:
C
x
C
x
dxx 




312
312
2
; CtC
t
dtt 






2
13
3
2
1
13
3)Regra do logaritmo
Na regra da potência, se n =-1, temosdxx
1
que não pode ser calculada como
11
11


x
+ C ( o denominador se anula )
Temos então :
x0
4)Regra da exponencial
Regras algébricas para integração:
1) 
 dxxfkdxxfk )()(.
2)  
 dxxgdxxfdxxgxf )()()]()([
3)  
 dxxgdxxfdxxgxf )()()]()([
Exemplos :
1) 
 dxxdxdxxdxxdxxx
32323
515)15( 
dxdxx 1
2
=
C
n
x
dxx
n
n





1
1
( n-1 )
Cxdx
x
dxx 

ln
1
1
Ce
k
dxe
kxkx

1
, k0

3. 3
5(
321
3
4
32
3
1
4
5;
34
5
)(
3
)
4
CCCCCx
x
xCxC
x
C
x

Verificação:
Podemos verificar as integrações indefinidas, derivando a expressão final para ver se
obtém o integrando ou uma forma equivalente do mesmo.
No exemplo anterior:
(
dx
d
)
34
5
3
4
Cx
x
x  = 4. 1501
3
1
.3
4
5
2323
 xxxx
Lista5
Calcule a integral dada. Verifique se o cálculo está correto derivando o resultado:
1)
dxx)34(
2) dxxx )184(
2

3) dttt )349(
2

4) dtttt )732(
23

5) dz
zz
)
31
(
23

6) du
u
u )
1
3(
7) dvvvv )362
44
1
4
5


8) dxx

2
)13(
9)
dxxx )32(
10) dx
x
xx
)
72
(
3


11) dtte
t
)3(
5


12) dxxx
e
x
)
2
(
13) dx
x
xx
)
12
(
2
2


14) dy
y
yy )
1
2(
3

15) dx
x
xx )5
1
()2(
23


4. 4
16) dy
yyy
)
32
2
1
(
2

17) dx
x
xx

 23
2
18) du
u
e
u
)2ln
6
2( 
19) 1;
1
1
3




xdx
x
x
20) dxxx

2
)12(
21) dxsenxx )2cos5(

22) dttt )cos(
Tabela de integrais indefinidasTabela de derivadas
1)
 Cxdxdx1 1)(x
dx
d
2) )1(
1
1





nC
n
x
dxx
n
n n
n
x
n
x
dx
d



)
1
(
1
3) 0;ln
1

xCxdx
x x
x
dx
d 1
)(ln ; x0
4)
 Cxsendxxcos xxsen
dx
d
cos)( 
5)
 Cxdxxsen cos senxx
dx
d
)(cos
6) Ctgxxdx 
2
sec xtgx
dx
d
2
sec)(
7) Cgxxdxec 
cotcos
2
xcogx
dx
d
2
sec)(cot 
8) Cxtgxdxx 
secsec tgxxx
dx
d
.sec)(sec
9) Cecxgxdxxec 
coscot.cos gxxcoecx
dx
d
cot.sec)(cos 
6) Cedxe
xx

xx
ee
dx
d
)(
7) Ce
k
dxe
kxkx

1
kxkx
ee
kdx
d
)
1
(

5. 5
Problemas de valor inicial
1)Determine a função f, sabendo que a sua derivada f’(x) =4
1
2
54

x
xx , e
que f( 1 ) =
9
5
2)Determine a função f tal que f’(x) = 5x
3
-2x + 15, com f(0) =-1
3)Sabendo que u’(t) = 3
373
.19ttt , e que u(1) = 1, determine a função u
4)Determine a função polinomial cuja tangente tem inclinação 4x+1 e cuja curva
passa pelo ponto (1,2)
5)Determine a função polinomial cuja tangente tem inclinação 3x
2
+ 6x-2 e cuja
curva passa pelo ponto ( 0,6)
6)Estima-se que daqui a t meses a população de certa cidade estará aumentando à
razão de 4 + 5 t
3
2
habitantes por mês. Se a população atual é de 10000 habitantes,
qual será a população daqui a 8 meses?
7)A velocidade escalar em um movimento é dada por v(t) = t
3
2
. Ache a função
horária do movimento, sabendo que ela vale 1 no instante t=0
8)Um corpo está se movendo de tal forma que sua velocidade após t minutos é v(t)
= 1 + 4t + 3 t
2
metros por minuto. Que distância o corpo percorre no terceiro
minuto?
9)Um fabricante constatou que o custo marginal é 3q
2
– 60q + 400 reais por
unidade, onde q é o número de unidades produzidas. O custo total para produzir
as primeiras 2 unidades é R$900,00. Qual é o custo total para produziras
primeiras 5 unidades?
10)Se um ponto se move em uma reta coordenada com aceleração a(t) e as
condições iniciais dadas, determine s(t)
a)a(t) = 2-6t ; v(0)=-5 e s(0) = 4
b)a(t) = 3 t
2
; v(0)= 20 e s(00 = 5
Integração por Substituição( Cálculo-Um Curso Moderno e Suas
Aplicações Hoffmann, pág. 311)
Uso da Substituição para integrar
dxxf)(
1)Escolha uma substituição u = u(x) que simplifique f(x)
2)Expresse toda a integral em termos de u e du = u’(x) dx. Isto significa que todos
os termos que envolvem x e dx devem ser transformados em termos que
envolvem u e du
3)Depois de executado o 2º passo, a integral deve estar na forma
 
 duugdxxf )()(
4)Calcule o valor desta integral
5)Substitua u por g(u)
Exemplo:
dxx

7
)53(

6. 6
u= 3x + 5
3
dx
du
dx =
3
du
dxx

7
)53( =
3
7du
u
=
3
1
duu
7
=
3
1
C
u

8
8
=
24
8
u
+ C= C
x


24
)53(
8
Calcule as seguintes integrais
1) dx
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
Lista 6
Exercícios
1)Calcule as integrais indefinidas:
a)
b) dx
c) dx
d)
e) dx
f)
g)

7. 7
h) dx
i)
j)
k)
l)
Integração por partes
É uma técnica utilizada para integrar produtos de funções, isto é, o integrando
é do tipo f (x) . g (x)
Para tanto, podemos seguir os seguintes passos para a integração por partes.
1)Escolha os fatores, um fator fácil de integrar e outro fácil de derivar
2)Se f (x) será derivada, derive
3)Se g’(x) dx será integrado, integre, encontrando g (x)
4)Substitua os fatores encontrados na fórmula de integração por partes, ou seja,
ou
Exemplos: Calcule as integrais abaixo, utilizando a integração porpartes:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)

8. 8
Algumas vezes precisamos utilizar a integração por partes mais de uma vez
Exemplo:
9)
10)
11)
Lista 7
Calcule a integral dada. Verifique se o cálculo está correto derivando o resultado:
1) dx
x
x )4
1
(
3
5

2) dxx
x
)
1
(
3) dx
x
x )
1
2(
4
3

4) dx
x
x
)
1
(
2


, x>0
5) dxx)33(
52

6) dxxx)31( 
7) dxxx)(
32

8) dxxx )1(
2

9) dxxx

2
)1(
10)
 dxx)cos3(
11)
 dxsenxx )(
2
12) dxe
x

2
13) dxe
x
)3(


14) dxtgxx

2
)(sec
15) dxx
72
16) dxx

5
)62(

9. 9
17) dxxx

52
)34(8
18) dttt
52
)1(
19) dxxx
4
3
32
)1(
20) dxe
x

1
21) dy
y
y

1
2
5
4
22) dx
x
x

1
23) dx
xx
x



382
63
2
24) dx
x
x

2
)(ln
25) dxe
x

25
Respostas
1) Cx
x
x
 4
2
1
6
2
6
2) lnx+ Cx
3
3
2
3) C
x
x

3
4
3
1
2
4) Cx
x
ln
2
2
5) Cxx 3
7
15
57
6) x- 2
2
2
3x
x
7) C
x

8
3
38
8) C
xx

3
2
7
2
37
9) C
xxx

23
2
4
234
10) 3x + senx + C
11) Cx
x
cos
3
3
12) Ce
x

2
2
1

10. 10
13) 3x- C
e
x

1
14) 2 tgx + 2 secx–x + C
15) C
x


3
)72(
3
16) C
x


12
)62(
6
17) C
x


6
)34(
62
18) C
t


12
)1(
62
19) Cx 
4
7
3
)1(
21
4
20)- eC
x

1
21) Cy1ln
5
2
5
22) x-1+ln1x+C
23) Cxx  382
2
3
2
24) Cx
3
)(ln
3
1
25) Ce
x

25
5
1
Lista 8- Integrais Trigonométricas
Calcule as seguintes integrais trigonométricas ( método da substituição)
1)
xdx4cos
2)
dxxsen43
3) dxx)34cos(

4) dx
x
x

cos
5) dxxsenx55cos
3

6) dxxx
3
cos
7)
v sen(vdv)
2
8) dxxsenx
3
33cos
9) dxxsenx

2
)cos( (sugestão: sen 2x = 2 senx cosx)
10) dxxsenx

2
)cos1(

11. 11
11) dx
x
senx
 4
cos
12) dt
sent
t


2
)1(
cos
13) dxx)43(sec
2

14) dxxtgx33sec
2

15) dx
x

2cos
1
2
16)
dxxsen
2
( sen
2
2cos1
2 x
x

 )
17) dxx
2
cos (cos
2
2cos1
2 x
x

 )
18)
dxtgx
Respostas:
1) Cxsen4
4
1
2)- Cx4cos
4
3
3) Cxsen )34(
4
1
4) 2 senx+C
5)- Cx5cos
20
1
4
6)
3
3
2
xsen+C
7)- Cv)cos(
2
1
2
8)
3
4
)3(
4
1
xsen+ C
9) x- Cx2cos
2
1
10)–cos x- cosx
2
- x
3
cos
3
1
+ C
11) C
x

3
cos3
1
12)
sent1
1
+ C
13) Cxtg )43(
3
1

12. 12
14) Cx3sec
6
1
2
15) Cxtg2
2
1
16) C
xsenx

4
2
2
17) C
xsenx

4
2
2
18) lnxsec + C
Lista 9
Calcule as seguintes integrais:
1)
x
dx
57
2)
7
4
2
x
xdx
3)
xdxx2cos
4) dxxe
x

3
5) dx
e
e
x
x

4
3
6)
xdx5ln
7)
x
x)4(lnsec
2
dx; u = ln4x
8) xdxsenx3
2

9)
dxxe
x
2
5
10) dx
x
senx


2
)cos2(
Respostas:
1) x57ln
5
1
 +C
2) 2ln(x)7
2
+C
3) Cxxxsen  2cos
4
1
2
2
1
4)
xx
exe
33
9
1
3
1
 +C
5) 6 4
x
e +C
6) x ln5x–x +C
7) tg(ln4x) +C

13. 13
8) Cxxxsenx
x
 3cos
27
2
3
9
2
3cos
3
2
9) Ce
x

2
5
10
1
10) C
x

cos2
1