Anual SM Semana 10 - RM.pdf anuallllllllllllllllllll

Anual SM Semana 10

1. w w w . a d u n i . e d u . p e

2. P R O G R A M A A C A D É M I C O V I R T U A L
Ciclo Anual virtual ADUNI
Docente: Oscar Acevedo Castillo
RAZONAMIENTO
MATEMÁTICO

3. Lógica
Proposicional

4. OBJETIVO
Comprenderyaplicarcorrectamente
lastablasdeverdaddelosoperadores
lógicosasícomotambiénlasleyesde
lalógicaproposicional.

5. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I AC U R S O D E R A Z . M A T E M Á T I C O
LÓGICA PROPOSICIONAL
Es una parte de la lógica que estudia el razonamiento humano, que se da a través del lenguaje
mediante el estudio de las proposicionesy la relación existente entre ellas.
Para poder entender mejor este tema debemos tener en cuenta los siguientes conceptos:
ENUNCIADO
Es toda frase u oración que se utiliza en el lenguaje común.
Cuatro es mayor a tres
La luna es un planeta
No se canta en la sala
¡ Auxilio !
Todos ellos son
enunciados, pero
no todos ellos son
proposiciones.

6. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I AC U R S O D E R A Z . M A T E M Á T I C O
ENUNCIADO
Es aquel enunciado que puede
ser calificado como verdadero
(v)o falso (F)sin ambigüedad
en un determinado contexto.
ENUNCIADO CERRADO
(PROPOSICIÓN)
ENUNCIADO ABIERTO
(CUASIPROPOSICIÓN)
Cusco es capital del Perú
2 ÷2 + 2 = 3
Juan trabaja y estudia
Es aquel enunciado que contiene
una o más variables y que no son
verdaderos o falsos. Se le llama
función proposicional.
Toda proposición es
un enunciado pero
no todo enunciado
es una proposición.
x < 5 (No se sabe si es V o F )
Si x = 2, la expresión es verdadera
Si x = 7, la expresión es falsa
¿Qué día es hoy?
Tengo sed
¡Eureka lo logre!
CLASES DE ENUNCIADOS
Además: Toda interrogación, deseo o admiración no son proposiciones
………………debido a que no se les puede calificar como verdadero o falso .

7. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I AC U R S O D E R A Z . M A T E M Á T I C O
Aplicación 01:
¿Cuál o cuáles de los siguientes
enunciados son proposiciones lógicas?
I. x +5 < 3
II.
3
27−2+2020
0
≥ 6
2
−16
1
2
III. El agua bulle a 120 ℃.
IV. Aquí es necesario usar mascarilla
V. ¡Ojalá todas las mañanas salga el sol!
A)Solo II B) Solo III
C) Solo II y III D) Solo III y IV
Resolución:
Importante
-Las proposiciones simples son siempre afirmativas.
-Las exclamaciones, órdenes,deseoso preguntasno
….son proposiciones al no poder ser evaluadas como
….verdaderas o falsas.
De los datos:
Analizaremos a cada uno
de los enunciados:
I. Xpuede tomar cualquier valor numérico. (no es una proposición lógica)
II. Se puede saber si es verdadero o falso. (es una proposición lógica)
III. Es un enunciado aseverativo o afirmativo.(es una proposición lógica)
IV. Es una orden o mandato. (no es una proposición lógica)
V. Es una exclamación. (no es una proposición lógica)
∴????????????&#3627408480;&#3627408477;&#3627408479;&#3627408476;&#3627408477;&#3627408476;&#3627408480;??????&#3627408464;??????&#3627408476;&#3627408475;&#3627408466;&#3627408480;&#3627408473;ó????????????&#3627408464;??????&#3627408480;&#3627408480;&#3627408476;&#3627408475;????????????????????????????????????.

8. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I AC U R S O D E R A Z . M A T E M Á T I C O
PROPOSICIÓN
LÓGICA
PROPOSICIÓN SIMPLE
O ATÓMICA
Lasproposicionessedenotancon
lasletrasminúsculas:p,q,r,s…etc.
PROPOSICIÓN COMPUESTA
O MOLECULAR
CLASES DE PROPOSICIONES
Es aquella proposición afirmativa
que expresa una sola idea, no
tienen conectivos lógicos.
Es aquella proposición que expresa mas
de una idea, se obtienen al combinar
dos o mas proposiciones simples o al
negar una proposición simple.
p: Kevin estudia inglés
q: 3 es un número primo
r: −4
2
=16
Kevin estudia inglés y computación
p q
y es llamado conectivo lógico
Los conectivos lógicos
son símbolosque niegan
una proposición simple o
enlazan proposiciones
simples para formar una
proposición compuesta.

9. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I AC U R S O D E R A Z . M A T E M Á T I C O
ENUNCIADO
ENUNCIADO CERRADO
(PROPOSICIÓN LÓGICA)
ENUNCIADO ABIERTO
(CUASIPROPOSICIÓN)
PROPOSICIÓN SIMPLE
O ATÓMICA
PROPOSICIÓN COMPUESTA
O MOLECULAR
LÓGICA PROPOSICIONAL :Resumen teórico
Si hacemos
una analogía
Una proposición simple
es como un ladrillo
Los conectivos lógicos son
como el cemento que une
las proposiciones
La proposiciones compuestas son como las
paredes donde descansa la lógica proposicional
LÓGICA
PROPOSICIONAL

10. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I AC U R S O D E R A Z . M A T E M Á T I C O
Lavalidezdeunaproposicióncompuestadependedelosvaloresdeverdaddelasproposiciones
simplesquelacomponenysepuedeesquematizarmedianteunatabladeverdad.
p
V V
pq
V
F FV
VF
FF
pqr
VV V
VV F
FV V
FV F
VF V
VF F
FF V
FF F
Para 1 proposiciónPara 2 proposicionesPara 3 proposiciones
TABLAS DE VERDAD
Sean las proposiciones:
P:estoyestudiando
q:voyacenar
r:mirolasnoticias
2 posibilidades
4 posibilidades
8 posibilidades
Para conocer el valor de verdad de una proposición compuesta debemos
de hacer un análisis considerando los conectivos lógicos que las enlazan.

11. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I AC U R S O D E R A Z . M A T E M Á T I C O
CONECTIVOS LÓGICOS
Son palabrasque se representan por símbolos, se utilizan paranegar una proposición simple o enlazan
proposiciones simples sin ser parte de ellos. Dichos símbolos también toman el nombre de operadores.
Losconectivoslógicosson
No es cierto que jugaré fútbol
Miguel va a comer obeber
Sime rioentoncesestoy jugando
Luisa trabaja yestudia
Ome caso ome quedo soltero
Ingresare si y solo siestudio
OPERACIÓN
LÓGICA
CONECTIVOS LÓGICOS SÍMBOLO REPRESENTACIÓN
NEGACIÓN No es cierto que
CONJUNCIÓN … y …
DISYUNCIÓN
INCLUSIVA
… o …
CONDICIONAL Si … entonces …
BICONDICIONAL … si y solo si …
DISYUNCIÓN
EXCLUSIVA
o … o …
~p~
p q
p q
p →q→
p q
p q

12. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I AC U R S O D E R A Z . M A T E M Á T I C O
OPERACIONES LÓGICAS DE LAS PROPOSICIONES COMPUESTAS
Vamos a estudiar cada uno de los conectivos lógicos mas importantes.
Empezaremos con aquellas proposiciones compuestas que tienen un conectivo lógico
I. NEGACIÓN
La negación es una proposición cuyo valor es opuesto a la proposición original
Símbolo :~
Esquema :~p
Se lee:
Nop
No es cierto que p
Nuncap
Es falso que p
Sea la proposición p : Voy a obedecer
p ~p
V
F
F
V
~p :No voy a obedecer

13. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I AC U R S O D E R A Z . M A T E M Á T I C O
II.CONJUNCIÓN
p qp q
V V
Soloesverdaderasisusdoscomponentesson
verdaderas,enotrocasoseráfalsa.
V
F
F
F
p qp q
V
V
F
F
V
F
V
F F
V
V
V
V F
F V
F F
Otraspalabrasque
indicanconjunción
son:
además,pero,sin
embargo,aunque,
también,…
Eselresultadodeenlazardosproposiciones
medianteelconectivológico“y“osusequivalentes.
Ricardo enseña yaprende
p q
III.DISYUNCIÓN DÉBIL O INCLUSIVA
Eselresultadodeenlazardosproposiciones
medianteelconectivológico“o“osusequivalentes.
Otraspalabrasque
indicandisyunción
débilson:
salvoque,osino,
exceptoquetambién,
…
Kiara cocina olee
p v q
Soloesfalsasisusdoscomponentessonfalsas,
enotrocasoseráverdadera.
Kiarapuedesolococinar,
sololeerohacerambas
cosasalavez.Esdecir:
poqoambos

14. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I AC U R S O D E R A Z . M A T E M Á T I C O
III.CONDICIONAL
p qp →q
V
V
F
F
Otraspalabrasqueindicanlacondicionalson:
Sip,q
psólosiq
pessuficienteparaq
Cuandop,q
pporlotantoq
qdadoquep
qporquep
qdeahíquep
qsiemprequep
V
F
V
F
F
V
V
V
ANTECEDENTE(CAUSA)
CONSECUENTE(CONSECUENCIA)
Eselresultadodeenlazardosproposicionesmedianteelconectivológico“Si..entonces…”osusequivalentes.
Soloesfalsocuandoelantecedenteesverdaderoy
elconsecuenteesfalso,enotrocasoseráverdadera.
Siestudias entoncestriunfaras
p q→

15. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I AC U R S O D E R A Z . M A T E M Á T I C O
VI.DISYUNCIÓNFUERTEOEXCLUSIVA
p qp q
V
V
F
F
V
F
V
F
V.BICONDICIONAL
p q
p q
V
V
F
F
V
F
V
F
F
F
V
V
V
V
F
F
Eselresultadodeenlazardosproposicionesmediante
elconectivológico“siysolosi“osusequivalentes.
Ingresaras si y solo si estudias
p q
Soloesverdaderasisusdoscomponentesson
iguales,enotrocasoseráfalsa.
Otraspalabrasqueindican
labicondicional
son:
Cuandoysolocuando,es
necesarioysuficientepara,
eslomismoque,…
Esaquellaqueresultadeenlazardosideasde
maneraexclusiva,esdecirlaocurrenciadeunaidea
garantizaquelaotraideanovaaocurrir.
OAndrés camina oduerme
p q
Andréssolocaminao
soloduermeperono
puedehacerambas
cosasalavez.
Soloesverdaderasisusdoscomponentesson
diferentes,enotrocasoseráfalsa.
Otraspalabrasque
indicandisyuncióndébil
son:
salvoquesolo,...o…o,
amenosquesolamente,
…

16. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I AC U R S O D E R A Z . M A T E M Á T I C O
pqp qp qp →qp qp ∆q
V
V
F
F
V
F
V
FF
V
V
V
V
F
F
F
F
V
V
V
V
V
F
F
V
V
F
F
TABLASDEVERDAD:Resumenteórico
Lastablasdeverdadnospermitenanalizarcualquierfórmulayhallarsusvaloresdeverdad,
siunrazonamientoesválidoono,constituyeunprocedimientodedecisiónqueenunnúmerofinito
depasosnosdicesiunesquemamolecularesunatautología,unacontradicciónounacontingencia.

17. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I AC U R S O D E R A Z . M A T E M Á T I C O
APLICACION 02:
Seap,qyrproposicionescuyo
valoresdeverdadsonV,FyF,
respectivamente.Indiqueelvalorde
verdadencadaunodelossiguientes
casos:
I.(∼p∧r)→q
II.(∼r∨q)∆p
III.∼q↔(p∨(∼r→q))
A)VVF B)VFV
C)VFF D)FVV
Resolución:
Por dato:
p ≡ V q ≡ F r ≡ F
Piden:Losvaloresdeverdadde
I.(∼p∧r)→q II.(∼r∨q)∆p III.∼q↔(p∨(∼r→q))
F
F
V
V
V V
F
V
VV
V
∴??????&#3627408476;&#3627408480;????????????&#3627408473;&#3627408476;&#3627408479;&#3627408466;&#3627408480;&#3627408465;&#3627408466;??????&#3627408466;&#3627408479;&#3627408465;??????&#3627408465;&#3627408480;&#3627408476;&#3627408475;VFV.

18. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I AC U R S O D E R A Z . M A T E M Á T I C O
Aplicación 03:
Dadas las proposiciones:
p: 79 es un número de una cifra
q: 16 es un número cuadrado
perfecto
r: 50 es un número impar
Determine el valor de verdad de:
A)V B) F C) r D) q
Resolución:
Nos piden:“Elvalordeverdaddelaexpresióndada”
[(p→q)(r∆q)]r
p:79esunnúmerodeunacifra.
q:16esunnúmerocuadradoperfecto.
r:50esunnúmeroimpar.
A partir de las siguientes proposiciones:
Entonces:
( )
( )
( )
V
F
F
[(→)(∆)]VV F VF
V F[  ]V
F V
F
∴??????&#3627408473;????????????&#3627408473;&#3627408476;&#3627408479;&#3627408465;&#3627408466;??????&#3627408466;&#3627408479;&#3627408465;??????&#3627408465;&#3627408466;&#3627408480;F

19. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I AC U R S O D E R A Z . M A T E M Á T I C O
APLICACIÓN 04
Determineelvalordeverdaddelas
proposicionesp,q,rys,
respectivamente,sisesabequelas
proposicionessiguientessonfalsas.
(~rq)→p
~p(~rs)
A) FVFV B) FVFF
C) FVVV D) VVVF
Resolución:
Nos piden :Determinar el valor de verdad de las proposiciones p, q, r y s
Sesabequelasproposicionessiguientessonfalsas.
(~rq)→p ~p(~rs)≡F ≡F
F F
FV
V V
F
V F
V F
∴El valor de verdad de las proposiciones p, q, r y s respectivamente es: F V F F

20. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I AC U R S O D E R A Z . M A T E M Á T I C O
FORMACIÓN DE ESQUEMAS MOLECULARES
Con frecuencia se necesita convertir un texto largo a un texto mas pequeño que indique lo mismo.
Para ello es necesario formalizardicho texto es decir trasladar el texto a un esquema molecular.
CRITERIO DE LOS SIGNOS DE PUNTUACIÓN
La jerarquía es la siguiente
Menor
jerarquía
Mayor
jerarquía
coma Punto y
coma
Punto
seguido
Punto
aparte
Si no hay signos de puntuación los operadores del
mismo orden se resuelven de izquierda a derecha
considerando la siguiente jerarquía
Para formalizar un texto se siguen los siguientes pasos:
1. Se identifican las proposiciones simples
2. Se identifican los conectivos lógicos
3. Se agrupan las proposiciones haciendo uso
….de los signos de puntuación, considerando
.…la jerarquía de los signos de puntuación
CRITERIO DE LOS CONECTIVOS LÓGICOS
Menor
jerarquía
Mayor
jerarquía
~  →

21. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I AC U R S O D E R A Z . M A T E M Á T I C O
Aplicación 05:
Determineelnúmerodevalores
verdaderosdelamatrizprincipal
de
(∼p→q)∆((∼q∨p)↔∼p)
A)4B)1C)0 D)3
Resolución:
p q
V
V
F
F
V
F
V
F
F
F
V
V
V
F
V
F
V
V
V
F
V
V
F
V
F
F
V
V
V
V
F
F
F
V
F
V
V
V
V
V
(∼p → q) ∆ (( ∼q ∨p )↔ ∼p)
Nospidenelnúmerodevaloresverdaderosdelamatrizprincipalde
F
F
F
V
∴??????&#3627408473;&#3627408475;ú&#3627408474;&#3627408466;&#3627408479;&#3627408476;&#3627408465;&#3627408466;????????????&#3627408473;&#3627408476;&#3627408479;&#3627408466;&#3627408480;??????&#3627408466;&#3627408479;&#3627408465;??????&#3627408465;&#3627408466;&#3627408479;&#3627408476;&#3627408480;&#3627408466;&#3627408480;4
CLASIFICACIÓN DE LOS ESQUEMAS MOLECULARES
TAUTOLOGIA ( T ) : Ocurre cuando todos los valores de verdad de la matriz principal son verdaderos.
CONTRADICCIÓN ( ꓕ) : Ocurre cuando todos los valores de verdad de la matriz principal son falsos.
CONTINGENCIA ( Q ) : Ocurre cuando en los valores de verdad de la matriz principal hay por lo menos
…………………………………….. uno falsoy por lo menos uno verdadero.
Lamatrizprincipal

22. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
Determine la matriz principal
después de confeccionar la
tabla de verdad de la
proposición
∼(pq)↔(∼pq)
A)VFFV B) VFVF
C) FVVF D)VVFF
Aplicación06:
Resolución:
p q ∼ ( p q )↔ ∼p ∧ q
V V F V V F F V
V F F V V F F F
F V F V F V V V
F F V F F V F F
Luego completamos primero los valores de verdad de p y q y
continuamos con los conectores de acuerdo a su jerarquía y a
los signos de agrupación, es decir:
primero el ,luego el , luego la negación (∼), y al final el ↔
( )
C U R S O D E R A Z . M A T E M Á T I C O
Nos pide: El resultado que se obtiene en la matriz principal
∴VVFF
Elaboramos la tabla de verdad
Lamatrizprincipal

23. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I AC U R S O D E R A Z . M A T E M Á T I C O
TAUTOLOGÍA CONTRADICCIÓN CONTINGENCIA
RECONOCIENDO LOS ESQUEMAS MOLECULARES :

24. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I AC U R S O D E R A Z . M A T E M Á T I C O
Aplicación07:
Un profesor escribe las siguientes
proposiciones
p: Edgar es profesor,
q: Matías es ingeniero,
r: David es médico.
Le pidió a su alumno Miguel hallar la
expresión simbólica del enunciado:
“Si Matías no es ingeniero y no es
cierto que Edgar sea profesor,
entonces David es médico”.
A)(q ∧p) →(p v r)
B)(∼q ∧∼p) →(p v r)
C)(∼q ∧∼p) →r
D)(q v p) →r
Resolución:
( )
Nos piden: simbolizar el enunciado
De los enunciados tenemos lo siguiente:
Matías no es ingeniero: ∼q
No es cierto que Edgar sea profesor: ∼p
David es médico: r
Uniendo las proposiciones mediante conectores tendríamos los siguiente:
SiMatías no es ingeniero yno es cierto que Edgar sea profesor ,
entoncesDavid es médico
∼q ∼p∧
→
r
r∼q ∧∼p ∴??????&#3627408473;&#3627408481;&#3627408466;&#3627408479;&#3627408475;??????&#3627408481;????????????????????????
,

25. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I AC U R S O D E R A Z . M A T E M Á T I C O
LEYES DE LA LÓGICA PROPOSICIONAL
Sonequivalenciaslógicasquenospermitenreduciresquemasmolecularescomplejos
yexpresarlosenformamássencilla.
Las demostraciones de dichas leyes se hacen construyendo la tabla de verdad en cada caso.
Para un mejor entendimiento veamos el siguiente ejemplo con una ley muy conocida
Leydelacondicional
p→q≡~pq
p→q≡~q→~p
V
F
V
V
V
F
V
V
Se comprueba las
equivalencias lógicas al
tener todas la misma
matriz principal.

26. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I AC U R S O D E R A Z . M A T E M Á T I C O
LEYESLÓGICASNOTABLES
2.Leydelaidempotencia
3.Leyconmutativa
4.Leyasociativa
5.Leydistributiva
1.LeyInvolutivao
…..doblenegación
10.Leydelcomplemento
11.Leydelaidentidad
6.LeydeD´Morgan
7.Leydeabsorción
8.Leydelacondicional
9.Leydelabicondicional
pq≡(p→q)(q→p)
pq≡(pq)(~p~q)
p→q≡~pq
p→q≡~q→~p
~(pq)≡~p~q
~(pq)≡~p~q
p(pq)≡p
p(pq)≡p
p(~pq)≡pq
p(~pq)≡pq
pp≡p pp≡p
p(qr)≡(pq)r
p(qr)≡(pq)r
p(qr)≡(pq)(pr)
p(qr)≡(pq)(pr)
pV≡p pF≡F
pF≡p pV≡V
p~p≡F p~p≡V
( p ) ≡ p

27. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I AC U R S O D E R A Z . M A T E M Á T I C O
Aplicación08:
Paracomunicacionessecretasen
unaoperaciónmilitarseutiliza
elsiguientecódigo:
((~p→q)q)((p→q))
Alsimplificarlaoperaciónse
obtiene
A)p B) q
C) p q D) ~p
Resolución:
((~p→q)q)((p→q))
Nospiden:simplificarlaexpresión
( p q )q
Propiedad condicional
p →q ≡~p q
Propiedad absorción
p (p q) ≡p
q
(~p q )
Propiedad condicional
p →q ≡~p q
(~p q ) 
q ( q~p ) 
q
Propiedad absorción
p (p q) ≡p
Propiedad conmutativa
p q ≡q p
∴Luegodesimplificarresulta:q

28. w w w . a d u n i . e d u . p e