ap PA de ordem superior lineares e não lineares .pptx

Progressões

1. 3.4 Progressão Aritméticas de Ordem Superior Amaral Teixeira Joaciran Reis

2. MA12 Matemática discreta. Progressão Aritmética de Ordem Superior Defini-se para sequências o operador Δ , chamado de operador diferença, por Δ a n = a n+1 - a 𝑛 Portanto, da definição segue imediatamente que uma sequência (a 𝑛 ) é uma Progressão Aritmética se, e somente se Δ a n = (a n+1 - a 𝑛 ) é constante. O exemplo a seguir estabelece o Teorema Fundamental da Somação, que é o análogo discreto do Teorema Fundamental do Cálculo. Amaral Teixeira e Joaciran Reis 2

3. MA12 Matemática discreta. Progressão Aritmética de Ordem Superior Exemplo 3.15: Mostre que   Amaral Teixeira e Joaciran Reis 3 = Δ a 1 + Δ a 2 + Δ a 3 + . . . + Δ a n-1 + Δ a n = (a 2 – a 1 ) + (a 3 – a 2 ) + (a 4 – a 3 ) + . . . + ( a n – a n-1 ) + (a n+1 – a n ) = (– a 1 ) + a n+1 Δ a k = n n+1 – a n

4. MA12 Matemática discreta. Progressão Aritmética de Ordem Superior Definição 3.16 Uma Progressão Aritmética de segunda ordem é uma sequência ( a n ) na qual as diferenças Δ a n = a n+1 - a n , entre cada termo e o termo anterior, formam uma progressão aritmética não estacionária. De modo mais geral, uma progressão aritmética de ordem k(k > 2) é uma sequência na qual as diferenças entre cada termo e o termo anterior formam uma Progressão Aritmética de ordem k - 1. Amaral Teixeira e Joaciran Reis 4

5. MA12 Matemática discreta. Progressão Aritmética de Ordem Superior Exemplo: A sequência (a 𝑛 )𝑛∈ℕ = (2, 8, 20, 40, 70, ...), é uma Progressão Aritmética de 3º ordem. ( a n ) = (2, 8, 20, 40, 70, 112, ...) Amaral Teixeira e Joaciran Reis 5 6 12 20 30 42 ( b n ) = ( Δ a n ) = (a n+1 - a 𝑛 ) = (6, 12, 20, 30, 42, ...) 6 8 10 12 ( c n ) = ( ΔΔ a n ) = ( Δ 2 a n ) = (6, 8, 10, 12, ...) 2 2 2 ( d n ) = ( ΔΔΔ a n ) = ( Δ 3 a n ) = (2, 2, 2, ...) P.A. estacionaria P.A. de 1º ordem razão   ≠ 0 P.A. de 2º ordem P.A. de 3º oredem

6. MA12 Matemática discreta. Progressão Aritmética de Ordem Superior Exemplo 3.18 A abaixo mostra uma sequência ( a n ) = (n 3 – n) e suas diferenças ( Δ a n ), ( Δ 2 a n ) = ( ΔΔ a n ), ( Δ 3 a n ) = ( ΔΔ 2 a n ) etc... Amaral Teixeira e Joaciran Reis 6 n 1 2 3 4 5 6 ordem a n 6 24 60 120 210 PA de 3°ordem Δa n 6 18 36 60 90   PA de 2°ordem Δ 2 a n 6 12 18 24 30     PA Δ 3 a n 6 6 6 6        

7. MA12 Matemática discreta. Progressão Aritmética de Ordem Superior Solução: Isso é verdade, pois a n = n 3 – n Δ a n = n n+1 – a n = (n + 1) 3 – (n + 1) – [n 3 – n] = 3n 2 + 3n Δ 2 a n = 3(n + 1) 2 + 3(n + 1) – [3n 3 – 3n] = 6n + 6 Δ 3 a n = 6(n + 1) + 6 – [6n – 6n] = 6 Amaral Teixeira e Joaciran Reis 7  e Δ 3 a n realmente é constante

8. MA12 Matemática discreta. Progressão Aritmética de Ordem Superior Observação 3.19 A sequência cujo termo de ordem n é a soma S n = a 1 + a 2 + ... + a n dos n primeiros termos de uma progressão aritmética de ordem p é uma progressão aritmética de ordem p + 1. Basta observar que o operador diferença, aplicado a (S n ), fornece Δ S n = S n+1 – S = a n+1 e define, portanto, uma progressão aritmética de ordem p. Amaral Teixeira e Joaciran Reis 8

9. MA12 Matemática discreta. Progressão Aritmética de Ordem Superior Teorema 3.20 Toda sequência na qual o termo de ordem n é um polinômio em n, de grau p, é uma Progressão Aritmética de ordem p e, reciprocamente, se ( a n ) é uma Progressão Aritmética de ordem p, então (a n ) é um polinômio de grau p em n. Amaral Teixeira e Joaciran Reis 9

10. MA12 Matemática discreta. Progressão Aritmética de Ordem Superior Demonstração: (para progreções aritméticas de 2º ordem) Se a n = an 2 + bn + c, com a   ≠ 0, temos Δ a n = n n+1 – a n = a(n + 1) 2 + b(n + 1) + c – (an 2 + bn + c) = 2an + (a + b). Amaral Teixeira e Joaciran Reis 10

11. MA12 Matemática discreta. Progressão Aritmética de Ordem Superior Demonstração: Por outro lado se ( a n ) é uma P.A. de seguda ordem, b n = Δ a n = n n+1 – a n é uma P.A. com razão diferente de zero e b 1 + b 2 + b 3 + ... + b n-2 + b n-1 = (a 2 – a 1 ) + (a 3 – a 2 ) + (a 4 – a 3 ) + . . . + ( a n – a n-1 ) + (a n+1 – a n ) = n a+1 – a 1 Amaral Teixeira e Joaciran Reis 11

12. MA12 Matemática discreta. Progressão Aritmética de Ordem Superior Exemplo 3,21: Obtenha uma expressão para a soma   Amaral Teixeira e Joaciran Reis 12