Aplicação das derivadas

1. Introdução

A derivada é utilizada para o estudo de taxas nas quais variem as grandezas
físicas. De modo geral, ela nos permite aplicar os seus conhecimentos a
qualquer quantidade ou grandeza, desde que ela seja representada por uma
função.
Definição
A derivada de uma função é o conceito central do cálculo diferencial,a derivada
pode ser usada para determinar a taxa de variação de alguma coisa devido a
mudanças sofridas em uma outra ou se uma função entre os dois objetos
existe e toma valores contínuos em um dado intervalo. Por exemplo, a taxa de
variação da posição de um objeto com relação ao tempo, isto é, sua
velocidade, é uma derivada. Consideremos uma função f(x) . A função f é
derivável em a, se:
f(a) = lim f(x) – lim f(a)

Aplicações de derivadas
As aplicações da derivada são variadas, onde ela está sempre relacionada a
uma taxa de variação. Entendemos a derivada como o coeficiente angular da
reta tangente, porém ela pode ser usada para indicar a taxa que o gráfico
apresenta em uma curva que deve subir ou descer. Entre as numerosas
aplicações da derivada podemos citar problemas relacionados à: tempo,
temperatura, volume, custo, pressão, consumo de gasolina, ou seja, qualquer
quantidade que possa ser representada por uma função.
Esses problemas podem ser reduzidos a determinar maior ou menor valor de
uma função em algum intervalo onde esse valor ocorre. Por exemplo, se o
tempo for a questão principal de um problema, pode-se estar interessado em
descobrir a maneira mais rápida de desempenhar uma tarefa (menor valor da
função), ou caso o custo seja a preocupação principal, pode-se também querer
saber o menor custo para desempenhar certa tarefa (maior valor da função).
Outra aplicação muito utilizada da derivada é com relação a taxas de variação
ou taxas relacionadas onde é possível relacionar variáveis como, por exemplo,
é possível relacionar a variação de uma variável em relação ao tempo e essa
variável pode está relacionada a um volume a uma distancia a uma velocidade
entre outros, possibilitando assim a relação entre estas variáveis.

2. O cálculo e a engenharia estão intimamente associados, por exemplo, para
calcular áreas, volumes, cargas, resultante de carregamentos (em estruturas
planas e espaciais), centros de gravidade, centroides, momentos de inércia e
deformações, solução de estruturas hiperestáticas (equações elásticas).

Alguns exemplos de como é aplicada na engenharia
Teoria da elasticidade
Umas das utilizações na construção civil de derivadas é o projeto de estruturas
que usa as equações derivadas da teoria da elasticidade para dimensionar as
colunas, vigas e lajes. De acordo com o peso que esses elementos vão
suportar, além de seu peso próprio, e dos materiais utilizados (concreto ou
aço), as máximas tensões calculadas não podem exceder o seu limite de
escoamento.
Como ilustração, o módulo de elasticidade do aço comum, usado nas perfis
estruturais é de 21000 kgf/mm2 e o limite de escoamento é de cerca de 21
kgf/mm2.Um fio de aço de 2 milímetros de diâmetro e 1 metro de comprimento,
com uma pessoa pendurada a ele pesando 60 kg, fica aproximadamente 1
milímetro maior devido a esse peso, e não se rompe. Volta a ficar com 1m após
ser liberado da carga.
Na construção mecânica, principalmente na aviação, onde não se pode abusar
do recurso de superdimensionar os elementos estruturais para aumentar sua
resistência, (o avião ficaria desnecessariamente pesado e portanto anti-
econômico), o cálculo preciso é fundamental. Como as formas muitas vezes
são complexas e difíceis de equacionar matematicamente, a solução é o uso
da aproximação pelo método dos elementos finitos. Com o crescente poder de
computação, esse método passou a ser largamente utilizado pela indústria a
partir do final do século XX.
Em estruturas (estática) cálculo de esforços
Em uma viga de vão L (biapoiada, que é o caso mais simples) submetida a um
carregamento distribuído q(x), o esforço cortante é:
Q(x)=-∫ q(x).dx
O momento é:
M=∫ Q(x).dx
Portanto a Q(x)=dM(x)/dx

3. Cálculo do momento máximo:

dM(x)/dx=Q(x)=0

Logo a seção de momento máximo é aquela em que o esforço cortante é nulo
(onde a reação de apoio e o carregamento até aquele ponto se anulam).

Em uma estrutura em arco de equação y=f(x), o esforço normal (tração ou
compressão) em uma seção tem a direção tangencial tg(θ)=dy/dx e o esforço
cortante é perpendicular a tangente.

A equação geral da curva elástica é um exemplo típico de utilização de
derivadas.
Qualquer problema que envolva taxa de variação de um fenômeno com o
tempo também utiliza derivadas.
Calcular a tendência de um fenômeno que se apresenta na forma de uma
curva ou na forma de sequência de pontos, também só é possível utilizando-se
derivadas.
A derivada de uma função é utilizada para diversas finalidades, algumas das
quais iremos explorar neste trabalho, porém não é possível generalizar as
aplicações que podemos atribuir às derivadas , muitos recursos podem ser
criados a partir dos seus conceitos, bastando para isto, a criatividade de cada
mente a se manifestar.
A derivada é a medida da declividade de uma reta tangente a cada ponto da
função de onde surgiu, ela também é uma função que fornece valores relativos
de muita utilidade, podemos ainda lembrar que o ângulo da reta tangente ao
ponto da curva inicial pode ser encontrado através da derivada, pois a derivada
fornece o valor da tangente deste ângulo.
Enfim, temos muito o que extrair das derivadas, elas nos fornecem vários
artifícios para manipular os números em uma função, possibilitando diversas
maneiras de extrair informações.
Introdução dimensionamento de uma viga

No dimensionamento de uma viga, por exemplo, a determinação dos
esforços de Momento Fletor e Esforço Cortante têm importância
fundamental. Podemos dizer de uma forma sucinta que o Momento Fletor
submete as seções transversais de uma viga comum a esforços de
tração e compressão enquanto que o Esforço Cortante solicita citadas
seções a Tensões de Cisalhamento.

Portanto, ao efetuarmos o dimensionamento de uma viga, quer seja
esta feita de concreto, aço, madeira, alumínio ou outro material
apropriado, devemos dividir esta tarefa em duas etapas.

4. A primeira etapa é constituída pelo cálculo dos esforços principais que
atuam na estrutura; em outras palavras: devemos achar o maior valor do
Momento Fletor assim como o maior valor da Força Cortante que atuam
na viga devido os diversos tipos de carregamento. A segunda etapa é
fazer o dimensionamento da viga propriamente dita, onde devem ser
verificadas quais são as dimensões necessárias da mesma para resistir
aos esforços solicitantes.

O Cálculo Diferencial e Integral nos permite encontrar as funções do
Momento Fletor e da Força Cortante em qualquer seção da viga.
Encontrada a função que possibilita calcular o Momento Fletor para
determinado trecho de uma viga, ao derivarmos esta função
encontraremos outra f(x) que nos dá, desta vez, o Esforço Cortante para o
trecho considerado.

Este estudo, no qual o Autor usou quantidade mínima de bibliografia,
porque preferiu, antes, buscar os conhecimentos adquiridos nos bancos
escolares da Universidade de Fortaleza no início da Década de 1980, visa
dar aos estudantes do Curso de Engenharia Civil da Universidade
Estadual Vale do Acaraú mais uma a opção de material didático.
Foram abordadas cinco tipos de vigas comumente encontradas.

CONVENÇÃO DE SINAIS ADOTADA

Para uma determinada seção S de uma viga, perpendicular ao eixo
da mesma, o Momento Fletor será considerado positivo se a força, quer
esteja esta à esquerda ou à direita da seção, tende a imprimir à viga
concavidade para cima; caso contrário, qual seja, se a força tende a
imprimir à viga concavidade para baixo, o Momento Fletor será
considerado negativo.Ao colocarmos os valores encontrados no D.M.F.
(Diagrama do Momento Fletor), teremos, por convenção, Momento Fletor
com valor negativo acima do eixo x e com valor positivo abaixo do eixo x.
Com relação ao Esforço Cortante para uma determinada seção
perpendicular ao eixo de uma viga , se a força tende a deslocar para cima
a parte da viga que fica à esquerda da seção, neste caso Q será
considerado positivo, o mesmo ocorrendo se a força tentar deslocar para
baixo a parte da viga que fica à direita da seção. Em ambos os casos o
valor de Q será positivo; se a força, contudo, tentar deslocar para baixo a
parte da viga que fica à esquerda da seção, ou deslocar para cima a
parte da viga que está à direita da seção, neste caso, então, o Esforço
Cortante Q será considerado negativo. Na elaboração do D.E.C. os
valores positivos de Q ficam acima do eixo x e os valores negativos ficam
abaixo de do eixo x.

5. UNIDADES ADOTADAS

Sabemos que a força que atua em um corpo de massa 1,0
quilograma e lhe imprime uma aceleração igual a 1,0m\S2
na mesma direção esentido da força, equivale a 1,0 Newton.
Considerando que um corpo de massa 1,0 kg tem peso igual a 9,8 N
em um local onde a aceleração da gravidade vale 9,8m\S2 (valor médio aceito
para toda a superfície da Terra) podemos, para efeitos didáticos e por
praticidade, substituírmos a unidade Newton(unidade de força) porkg(unidade
de massa), já que na superfície da Terra um corpo de massa1,0 kg pesa 1,0
Kgf.
Com relação à unidade de comprimento, adotamos o metro,
comumente usado em Engenharia Civil para medir o vão de vigas.
Veremos, a seguir, o estudo relativo a cinco tipos distintos de vigas
comumente usadas.


Alguns exemplos de vigas
VigaBiapoiada Com Carga UniformementeDistribuida

Seja a viga abaixo com vão igual a l metros, carga uniformemente
distribuída de q Kg\M e apoiada em A e B.




Para o cálculo das reações de apoio, aplicamos primeiramente aequação
e encontramos o valor deRb, em seguida aplicamos
eencontramos a reação Ra ,os valores das duas reações são iguais aql\2,
como era de se esperar(o carregamento é simétrico em relação a uma
seção tomada no meio da viga). A direção das reações é a direção vertical
e o sentido das mesmas é de baixo para cima.
Consideremos agora uma seção perpendicular ao eixo da viga e
distante x metros do apoio A.

6. Nesta seção da viga, assim como nas demais, o valor do momento fletor é
dado pela função que é uma função do segundo grau em x.
Derivando esta f(x) obtemos a função do Esforço Cortante, que será
do primeiro grau e a mesma nos permitirá calcular o Esforço Cortante
emqualquer seção distante x metros do apoio A.
Sendo assim, teremos:




Devemos notar que esta função Q(x)se anula em x=1\2e tambémconvém
ressaltar que em outras palavras: a função derivada de
Q(x) nos fornece o carregamento que atua na viga. É evidente que
podemos, também, percorrermos o caminho inverso, qual seja, dadas as
cargas encontramos a função Q(x) por integração; integrando esta,
obtemos M(x).
Conforme nos ensina o Cálculo Diferencial e Integral, o ponto onde a
derivada primeira de uma determinada função se anula ou deixa de
existir,constitui um ponto crítico desta função(ponto de máximo, ponto de
mínimo, ponto de inflexão ou a função inexiste neste ponto crítico).


Derivando mais uma vez M(x) encontramos a sua derivada desegunda ordem.
Pelo Teste da Derivada Segunda, sabemos então que nomeio da viga teremos
um valor máximo(positivo) para o momento fletoreste valor será igual a \8
Citado valor\8 foi encontrado ao calcularmosM(1\2).
. Devemos observar que na seção central da viga o valor do Esforço
Cortante é nulo. Temos ainda de ressaltar os valores nos extremos da
viga, onde o Momento Fletor é nulo; e onde o Esforço Cortante é
máximo, possuindo valores iguais a\2 e - \2, nos pontos A e B,
respectivamente.

Abaixo seguem os gráficos das funções que representam o Momento
Fletor e o Esforço Cortante para o caso estudado. Para entendermos
estes gráficos devemos recorrer à convenção usualmente adotada para
representá-los.

7. Diagrama do esforço cortante (d,e,c)


Diagrama do momento fletor (d,m,f)

8. Analisaremos em seguida o caso de uma viga
biapoiadasujeitaauma carga concentrada.

Seja agora a viga abaixo , apoiada em A e B, com l metros de
comprimento e possuindo um carregamento de P kg aplicado nopontosituado a
distancia igual a b metros do apoio B e a metros do apoio A,conforme a figura.


Aplicamos a equação e encontramos Rb=Pa\1 em seguida
fazemos e encontramos Ra=Pb\1, a direção das reações é a direção
vertical e o sentido das mesmas é de baixo para cima.
Consideremos agora uma seção S1 perpendicular ao eixo da viga,
distante x metros do apoio A e compreendida entre o apoio A e o ponto de
aplicação da força P.
Nesta seção, assim como nas demais do trecho em questão, o valor
do momento fletor é dado pela função M(X)=RaXque é uma f(x) do primeiro
grau em x. Assim, a representação do D.M.F. será representado porsegmentos
de retas inclinadas em relação ao eixo x, derivando M(x) obtemos a função do
Esforço Cortante, Q(X)=Ra sendoesta de grau zero(função constante) e nos
permitirá calcular o esforçocortante em qualquer seção distante x metros do
apoio A, no trechocompreendido entre A e o ponto de aplicação da força P.

Sabemos portanto que:



Convém notar que as funções acima são aplicáveis apenas no trecho
compreendido entre entre o apoio A e o ponto de aplicação da força P.

Por ser uma função constante, o diagrama do esforço Cortante será
dado por segmentos paralelos ao eixo x.
No caso em questão devemos também analisar o trecho
compreendido entre a carga P e o apoio B.
Neste trecho em qualquer seção distante x metros de A temos que:
M(x)= Rax-P(x-a).Derivando esta função encontramos a Q(x) para o Esforço
CortanteQ(x)=Ra-P ou seja, será igual a –Rb.

9. No ponto onde a força P é aplicada, a função que representa oEsforço Cortante
possui uma descontinuidade e o Momento Fletor nesteponto alcança seu valor
máximo, igual a Pab\1. Queremos comistoressaltar que o Momento Fletor de
uma viga não é necessariamentemáximo no local onde o esforço Cortante é
nulo. No caso em questãoocorre no ponto onde o valor do Esforço Cortante
também é máximo. Masdevemos atentar para o fato de que, neste ponto, o
gráfico da funçãoQ(x) dá um salto de descontinuidade.

Teremos a seguir os Diagramas do Momento Fletor e da ForçaCortante.

Diagra do momento fletor (D.M.F)




Diagrama do esforço cortante(D.M.C)

Analisaremos em seguida o caso de uma viga isostáticasimplesmente
engastada e sujeita a uma carga concentrada em suaextremidade livre.

10. VIGA COM UM ENGASTE E COM CARGA CONCENTRADA
EMSUAEXTREMIDADE.

Seja agora a viga abaixo , simplesmente engastada em A e com a
extremidade B em balanço, com l metros de comprimento e possuindo
um carregamento de P kg aplicado no ponto B situado à uma distancia
igual a l metros do apoio A, de acordo com a figura.


Para calcularmos as reações em A, reações estas que serãoconstituídas por
um momento e uma força vertical, aplicaremosprimeiramente a equação
, encontrando Ra=P, em seguida usaremos Ma=Plkg.m
encontrandoPlkg.m no sentido anti-horário. A reação RApossuia direção
vertical e sentido para cima. Assim, como no caso das vigasanteriores,
asreações de apoio horizontais serão nulas porque não existenenhuma
componente horizontal de carga atuante que solicite a viga.

Peguemos agora uma seção S distante x metros do apoio A,Nesta seção
genérica, a função M(x) do Momento Fletor será dada por M(x)=-Ma+Rax
OuMx(x)=-PL+Px.
Derivando M(x) encontraremos a função do Esforço Cortante, dadaPor
Q(X)=+PX Por ser uma função constante, o D.E.C. será representado por
segmento paralelo ao eixo x.

Com relação à função que representa o Momento da viga, em A
teremos o valor máximo para o Momento Fletor. Por ser M(x) do primeiro
grau, o D.M.F. será representado por um segmento inclinado em relação
ao eixo x, variando do valorMaao valor 0 em B, conforme a figura abaixo.
A registrar que o gráfico do Esforço Cortante comporta-se de maneira
análoga nos pontos A e B. Em A o Momento Fletor é máximo e em B é
igual a zero. De qualquer forma, em A existe um ponto de
descontinuidade no gráfico de Q(x), onde o Momento é máximo.

11. Diagrama do momento fletor.



Diagrama do esforço cortante...

A seguir veremos o caso de uma viga com um engaste apenas sóque, desta
vez, seu carregamento será uniformemente distribuído.

VIGA COM UM ENGASTE E COM CARGA UNIFORMEMENTE
DISTRIBUIDA.

12. Seja agora a viga acima ,engastada na extremidade A, também de
comprimento igual a l metros e submetida ao carregamento uniforme de q
kg/m ao longo de seu vão.

Usando as equações da Estática determinamos as reações de apoio.
Assim, fazendo encontramos a reação (Momento) no ponto A ,
Cujovalor será igual a\2 no sentido anti-horário. A reação horizontal H a
exemplo de todos os casos anteriores, não existe, por não existir,conforme já
afirmado anteriormente, carregamento que possuacomponente de força
atuando na direção horizontal. Fazendo encontramos a reação vertical
que atua no ponto A da viga engastada, eque possui o valorRa=Qlkg, com
direção vertical e sentido de baixo paracima.

Em uma seção S qualquer, distante x metros do ponto A, a função
doMomentoFletor é dada por .
Vemos que esta função é dosegundo grau e possui um máximo.
Derivando esta função M(x), encontramos a função que nos dá o Esforço
Cortante ao longo da viga, qual seja
Q(x)= Ql-Qx.
Na elaboração do gráfico do Momento Fletor, para encontrarmos os
valores mais importantes (no apoio, no meio e no final da viga), basta
encontrarmosM(0), M( 1\2)e M(l).
Ao fazermos isto, encontramos os valores:


Levando em consideração que o gráfico de M(x) é uma parábola,
conforme já dito, podemos elaborar o diagrama seguinte:

DIAGRAMA DO MOMENTO FLETOR

13. Na elaboração do D.E.C, visto abaixo, sabemos que Q(x) é uma f(x)
de primeiro grau, portanto o diagrama em questão será representado por
segmentos inclinados em relação ao eixo x. Calculando Q(0),Q=1\2 e Q(l)
encontramos respectivamente os valores ql, ql\2 e 0. Convém ressaltar que,
para este tipo de viga, ao usarmos semelhança de triângulos, concluímos
que o valor do esforço Cortante no meio da viga será sempre igual à
metade do valor do Esforço Cortante máximono apoio.

DIAGRAMA DO ESFORÇO CORTANTE




VIGA COM UM ENGASTE E COM CARGA TRIANGULAR



Seja a viga engastada em A e submetida a um carregamento de q
kg/m em A, carregamento este que vai diminuindo linearmente até ser
nulo em B.
Aplicando as equações e obtemos os valores de
e Convém notar que o valor deRa é numericamente igual à área
dotriângulo de base l e altura q ou seja, igual ao carregamento total queatua na

14. viga. Carregamento este que poderia ser substituído por umaforça concentrada
à uma distância 1\3de A(Centro de Gravidade doTriângulo).

Metodo utilizado para facilitar os cálculos
Para facilitar os nossos cálculos, façamos a origem do eixo x coincidircom o
ponto B portanto em uma determinada seção S distante x metros do apoio A,
a altura do triângulo será igual a uma carga , já que o triângulomaiorde
altura igual aqe base l é semelhante ao triângulo menor de altura iguala q1 e
base x l.

Sendo assim, em qualquer seção S distante x metros de B teremos:
, sendo esta última função obtida ao derivarmos M(x).
A função Mx) é do terceiro grau e seu gráfico será uma parábolacúbica.

Q(x), por outro lado, é do segundo grau. Derivando Qencontramos que é o
valor de q1a uma distância x do ponto B, comoera de se esperar.
Teremosno ponto A, neste caso, os valores máximos para o esforço
Cortante e o Momento Fletor. Estes valores serão, respectivamente,
iguais a conforme já visto. No meio da viga o valor do MomentoFletor
será
e valor de Q será , encontrados ao calcularmos M=1\2 e Q=1\2.

Diagrama do esforço cortante

15. Diagrama do momento fletor


Assim para carregamentos mais complexos,que são uma combinação dos
carregamentos aqui vistos podemos usar o principio de superposição dos
efeitos.

16. Faculdades Integradas de Cacoal-Unesc



Aplicações de Derivadas
Na Engenharia Civil











Calculo 2
Prof: ReilliAmon-Ha
Alunos: Wender de O. Meireles, Evaldo Neto
Engenharia civil 2c