APLICACIÓN DE LAS SUPERFICIES CUÁDRICAS.docx

apilcaciones de calculo II

2. APLICACIONES
El espacio es el protagonista de la Ingeniería; para iniciar un Proyecto es necesario conocer de espacios,
delimitar superficies y también conocer de muchas materias, entre ellas para este trabajo hablaremos sobre
la Geometría Analítica y el tema en específico que tocaremos será: las superficies cuádricas; abordaremos su
definición, las superficies cuádricas existentes y algunas de sus aplicaciones.
Existen muchos ingenieros y arquitectos los cuales aplicaron superficies cuádricas para realizar sus proyectos,
entre los más conocidos tenemos a Félix Candela, Gaudí, Santiago Calatrava, Eladio Dieste, Javier Manterola,
entre otros; de los cuales también abordaremos sobre algunas de sus más populares estructuras.

APLICACIÓN DE LAS SUPERFICIES CUÁDRICAS

La esfera


Si en la ecuación
�
2
�
2
+
�
2
�
2
+
�
2
�
2
=1 se verifica que a = b= c, se transforma en
x
2
 y
2
 z
2
 a
2
, que representa una esfera de centro el punto (0,0,0) y radio a .

En el caso de que el centro de la esfera fuera el punto (h,
k, j)
ecuación sería
en lugar del origen, su

 x  h
2
  y  k 
2
  z  j 
2
 a
2
.



Ilustración 1. Superficie Esférica.

3. Una de sus aplicaciones la encontramos en la estructura de Richard Buckminster
Fuller, quien era un hito de la arquitectura mundial para la década de los años
sesenta. Sus esferas geodésicas ya estaban esparcidas en todo el orbe, y sus
inventos revolucionarios e ideas sobre el ahorro de energía invitaban a la
reflexión. Su importancia y presencia era tal, que el gobierno de EE. UU. lo invitó
a construir el pabellón que representaría en la Exposición Universal Montreal 67.
Se trata de un domo de 76 metros de diámetro y 62 metros de alto, el cual fue
llamado desde entonces: la Biosfera de Montreal. Desdesu interior se domina la
isla de Santa Elena y el río San Lorenzo; su estructura es de metal y las celdas
eran de acrílico, pero fueron devoradas por un incendio en 1976. En 1990 se
convirtió en un museo sobre el medio ambiente; desde entonces es uno de los
puntos más distintivos de la ciudad y un museo que te invita a reflexionar sobre
la naturaleza y nuestra interacción con ella.
Ilustración 2. La biósfera de Montreal.

4. Elipsoide
Si a, b, c son distintos, la ecuación



�
2
�
2
+
�
2
�
2
+
�
2
�
2
=1
Representa el caso más general de una cuádrica. Si a  b , pero b  c , el
elipsoide es de revolución.

Si el centro del elipsoide es el punto (h, k, j)
coordenadas, la ecuación adquiere la forma
y sus ejes son paralelos a las dos

(�−ℎ)
2
�
2
+
(�−ℎ)
2
�
2
+
(�−�)
2
�
2
=1

Si el centro es el origen, la ecuación es :
�
2
�
2
+
�
2
�
2
+
�
2
�
2
=1





Ilustración 3. Superficie Elíptica.
Encontramos dentro de sus aplicaciones a una estructura muy conocida, la
Cybertecture es considerada la arquitectura del siglo XXI y dentro de este campo
se puede clasificar el proyecto del edificio Cybertecture Egg, diseñado por el
arquitecto James Law para la ciudad de Mumbai en la India.

Se trata de un edificio inteligente de 13 plantas y un total de 32.000 metros
cuadrados, que combinará espacio para el trabajo y para la convivencia de las

5. personas. En él se combina la tecnología más avanzada que permite interactuar
con los usuarios. La forma original del edificio permite el ahorro de un 15% en
materiales, ya que entre otras cosas se eliminarían gran parte de los pilares que
forman habitualmente parte de cualquier construcción.

El edificio utilizaría paneles solares y un sistema para canalizar el agua de la
lluvia que pasaría por una planta depuradora para poder abastecer de esta forma
a todo el edificio. Todo esto va en armonía con lo que se intenta busca con este
edificio, que no es otra cosa que hacer menos uso de la energía para un mejor
cuidado del medio ambiente y para conseguirlo se hará uso de paneles solares
y turbinas eólicas.



Ilustración 4. Cybertecture Egg.


Hiperboloide de una hoja


En el caso de que el signo de una de las variables sea distinto de las otras, como por ejemplo
�
2
�
2
+
�
2
�
2
−
�
2
�
2
=1

6. la superficie se llama hiperboloide de una hoja
Si a  b , la superficie es el hiperboloide de revolución de una hoja.
Las secciones paralelas a los planos e son hipérbolas. Las secciones paralelas
al plano son elipses, excepto en el caso del hiperboloide de revolución en el que
son circunferencias.


Ilustración 5. Superficie Hiperboloide de una hoja.

Entre las estructuras más características de esta superficie, encontramos a La
catedral de Brasilia, la cual tiene 40 metros de altura y capacidad para 4 mil
personas. La base del edificio es circular y de unos 60 m de diámetro. Su techo
de cristal mate, comienza en la planta y cuenta con el apoyo de
16 columnas curvas. Su estructura circular evita la existencia de una fachada
principal. Su nave estaba hundida a lo largo de 70 metros de diámetro, de
manera longitudinal a pesar de la planta circular de la Catedral. Su interior está
decorado con vidrieras. Cerca de la entrada hay cuatro estatuas conocidas
como los Cuatro Evangelistas. Finalmente, en sus diseños, Niemeyer combinó

7. técnicas y materiales modernistas con líneas curvas, y la libre utilización de
reminiscencias del barroco brasileño.

Niemayer tenía tendencias políticas comunistas y confiaba en que en algún
futuro este régimen se instaurara en Brasil. Niemayer diseño la catedral de
forma que cuando Brasil sucumbiese al comunismo se pedirá acceder al
templo restando importancia a las estatuas.

La estructura hiperboloide está construida de hormigón, y parece que con su
techo de vidrio se alzara abierto hacia el cielo. La estructura de la Catedral de
Brasilia fue terminada el 31 de mayo de 1970 y se basó en los hiperboloides de
revolución, en donde las secciones son asimétricas. La estructura hiperboloide
en sí es el resultado de 16 idénticas columnas. Estas columnas, que tienen una
sección hiperbólica y pesan 90 toneladas, representan dos manos moviéndose
hacia el cielo.


Ilustración 6. Catedral de Brasilia.
Hiperboloide de dos hojas

La ecuación
�
2
�
2
−
�
2
�
2
+
�
2
�
2
=1, representa un hiperboloide de dos hojas. Como se
observa esta ecuación coincide con la del elipsoide con signo contrario en dos
de las variables. Si b  c , la cuádrica es de revolución.

8. Las secciones paralelas a los planos xy y xz son hipérbolas. Las secciones
paralelas al plano yz son elipses, excepto en el caso del hiperboloide de
revolución en el que son circunferencias.
Ilustración 7. Superficie Hiperboloide de dos hojas.
Una estructura característica la encontramos en la plaza de los tres poderes de
Brasilia, exactamente en el espacio destinado al congreso, fuera del edificio
principal tenemos dos superficies una cóncava y otra convexa, las cuales
asemejan al hiperboloide de dos hojas, estas superficies acogen bajo ellas el
senado y la cámara de diputados. El diseño estuvo a cargo del arquitecto Oscar
Niemeyer.

Ilustración 8. Plaza de los tres poderes

9. El cono recto circular

x
2
 y
2
 c
2
z
2
 0
Esta superficie se puede considerar generada por la rotación de la recta
alrededor del eje z .
Las secciones horizontales producidas por planos paralelos al xy son
circunferencias.
Las correspondientes a planos paralelos al yz , o al xz , son hipérbolas.

Ilustración 9. Superficie Cono recto circular

Una obra emblema de esta superficie cuádrica es la Catedral de Nuestra Señora
de la Gloria, en Maringá, en el estado de Paraná, Brasil, su arquitectura moderna
y arrojada, idealizada por Don Jaime Luiz Coelho y proyectada por el arquitecto
José Augusto Bellucci, inspirado en el satélite Sputnik.
El cono tiene una altura externa de 114 metros sustentando una cruz de 10
metros. Tiene capacidad para 4,700 personas.

12. Ilustración 10. Catedral de Nuestra Señora de la Gloria.



Paraboloide Elíptico



Es el lugar geométrico de los puntos representado por la ecuación
�
2
�
2
+
�
2
�
2
=2��
Las secciones obtenidas por los planos z  k son elipses cuyas dimensiones van
aumentando a medida que el plano se aleje del plano xy .
Si c  0 , la cuádrica está toda ella por encima del plano xy . Si c  0 , la superficie
está toda ella por debajo de dicho plano xy .
Las secciones correspondientes a planos paralelos a los de coordenadas xz o
yz son parábolas.
Si a  b la superficie es de revolución.

13. Ilustración 11. Superficie Paraboloide Elíptico.
Una obra emblemática del arquitecto Félix Candela, es el Palacio de los
Deportes, su construcción empezó en el año de 1966 y fue concluida para 1968,
año en el que México fue sede de los Juegos Olímpicos. Félix Candela ideó la
cúpula del palacio en su afamada solución estructural de cascarones de
concreto, basados en su paradigma del paraboloide.
La planta del edificio es circular, con una cúpula geodésica compuesta por
cuadros que abarcan un claro máximo es de 160 metros y que cubren un área
aproximada de 27,171 m
2
. La cúpula se compone de paraboloides hiperbólicos
de aluminio tubular cubiertos por una subestructura de láminas de

14. madera forrada de cobre resistente al agua, sustentadas en grandes arcos de
acero.

Ilustración 12. Palacio de los Deportes.

15. Paraboloide Hiperbólico


Es el lugar geométrico de los puntos representados por la ecuación

�
2
�
2
+
�
2
�
2
=2��,(�  0)


0 , son hipérbolas
cuyos ejes real e imaginario son paralelos, respectivamente, a los de coordenadas x e y , y
cuyas dimensiones aumentan a medida que lo hace k .

Si k =0 , la sección degenera en el par de rectas
�
2
�
2
−
�
2
�
2
=0
las secciones correspondientes a los planos y = k son parábolas abiertas por
su parte superior, y las correspondientes a x = k
parte inferior.
son parábolas abiertas por su



Ilustración 13. Superficie Paraboloide Hiperbólico.
Este diseño de Félix Candela, está ubicado en Xochimilco, lugar de enorme
significación por los orígenes prehispánicos, hoy Ciudad de México, una zona
conocida por haber tenido una de las fuentes más importantes de agua dulce
para la ciudad de aquel entonces. El edificio del restaurante “Los Manantiales”
construido el año 1957, contiene una gran sala con capacidad para cerca de

16. 1000 personas, formada por la intersección de 4 paraboloides hiperbólicos,
constituyendo un destacable ejemplo de esta rama de diseño estructural.

El diseño de una bóveda, formada por la intersección de 8 gajos que provienen
del encuentro de 4 paraboloides hiperbólicas, generó una planta de casi 42
metros de diámetro y paraboloides de 25×30 metros en el inicio de su desarrollo,
contando con una altura máxima de 8.25 metros en el exterior y en el interior
5.90 metros, entregando una interesante y espaciosa planta libre.
Este gran espacio se cierra con placas de cristal, con perfiles de metal dispuestos
en una grilla de 2,4 mx2,4m, entre los bordes de las parábolas centrales. Bajo
este espacio está ubicado el restaurante, que en su parte central contiene una
gran pista de baile. El juego de luces que genera la estructura de paraboloides
hiperbólicas define la espacialidad interior del recinto.



Ilustración 14. Restaurant los Manantiales

APLICACIONES DE LAS FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES EN LA INGENIERIA
CURVAS DE NIVEL
Las curvas de nivel son líneas que conectan ubicaciones de igual valor en un dataset de ráster que
representa fenómenos continuos como: elevación, temperatura, precipitación, contaminación o presión

17. atmosférica. Las entidades de línea conectan celdas de valor constante en la entrada. Las líneas de
curvas de nivel, generalmente, se denominan isolíneas, pero también pueden tener términos específicos
según lo que se esté midiendo. Algunos ejemplos son isobaras para la presión, isotermas para la
temperatura e isoyetas para la precipitación.
La distribución de las líneas de las curvas de nivel muestra cómo cambian los valores a través de una
superficie. Cuando hay poco cambio en un valor, las líneas están más separadas entre sí. Cuando los
valores suben o bajan rápidamente, las líneas están más juntas.
Curvas de nivel en relación con las funciones de varias variables
Podemos asociar las curvas de nivel de una función con su gráfico. Si una pregunta te da varios
gráficos/mapas de contorno. Tengan en cuenta que las curvas de nivel de una zanahoria ideal son
circunferencias De todos modos, la idea es tomar las curvas de nivel que tienen en el plano 2D y pensar
en ellas como si estuviesen en el plano 3D. ¡El secreto está en esta transición! Para eso les vamos a dar
una pequeña ayuda: piensen que cuando les dan un mapa de contorno, aplastaron todas las curvas a la
hoja. Así. vean los siguientes ejemplos como ayuda:


�=����+2����

�=√�
??????
+�
??????

18. Superficies de nivel
El conjunto de puntos (x,y,z) en el espacio donde una función de tres variables independientes tiene un
valor constante f(x,y,z)=c.

En el estudio de la ingeniería química es frecuente el uso de curvas y superficies de nivel, en diseño de
experimentos, isobaras, isotermas, etc.
Por ejemplo, una Isoterma de adsorción describe el equilibrio de la adsorción de un material en una
superficie a temperatura constante.
Ejemplos de gráficos de curvas de nivel con funciones de variables:
a)������� �� ��??????� �� ������ �� �����
�=√�
2
−�
2

19. Con respecto al espaciamiento de las curvas de nivel, es importante tener en cuenta que cuanto más
cerca se encuentren, más rápido crecerá la función. Del mismo modo, cuanto más espaciados estén, más
lenta será la variación.
Por ejemplo, mira la imagen que muestra las distintas áreas de presión atmosférica en los Estados
Unidos:

20. Podemos ver que en el noroeste las curvas de nivel están muy cerca. Por tanto, la variación de presión
es demasiado alta. Las curvas de nivel ayudan a representar funciones con una entrada bidimensional y
una salida unidimensional. Por ejemplo, considera esta función:
�(�,�)=�
4
+�
2
−�
2

En las gráficas, la manera de asociar el valor de entrada, f(x,y) con el de salida, f(x,y)f, es
combinándolos en un triplete (x,y,f(x,y), y graficarlo como un punto en un espacio tridimensional. La
gráfica consiste en todos los posibles puntos tridimensionales de la forma (x,y,f(x,y)), que en conjunto
forman un tipo de superficie.
Pero algunas veces, dibujar una imagen tridimensional puede ser complicado o difícil de hacer a mano.
Las curvas de nivel nos ayudan a representar la función.

21. Gráfica de la función del ejemplo.

Gráfica con planos de nivel que la cortan.

Gráfica con las curvas de nivel marcadas.

22. Líneas proyectadas
Curvas de nivel aisladas de una gráfica en el plano xy.

Ejemplo de un mapa de curvas de nivel
.

23. CONCLUSIONES

En el trabajo vimos cómo se relacionó el curso que llevamos Geometría analítica,
el tema de superficies cuádricas y vimos su aplicación a en nuestra carrera, la
ingeniería civil. Se presencian estas superficies no solo en las estructuras, si no
en cosas simple como un huevo el cual se asemeja a un elipsoide o la popular
silla de montar que se asemeja a un paraboloide hiperbólico, en cosas sencillas
y cotidianas las podemos ver.

Gracias a los avances tecnológicos e ingenieriles se han podido obtener
estructuras nuevas como las presentadas en la India; como podemos notar se
han usado desde siempre; grandes exponentes como el arquitecto Félix Candela
quien se consideraba un contratista estructural, han sido inspiraciones en demás
autores.

En el curso aprendimos las gráficas de estas superficies y ahora
complementamos con sus aplicaciones.

24. REFERENCIAS



Encinas, K. A. (2016). Superficies Cuádricas, Aplicaciones a la Arquitectura.
Klinde, J. H. (1992). Teoría y problemas de Geometría
Analítica plana y del espacio. McGraw Hill.
Lehman, C. H. (1989). Geometría Analítica. México: Limusa.
Luján, A. S. (s.f.). Análisis de la Arquitectura del resturante
Los Manantiales ubicado en Xochimilco de Félix
Candela Outeriño.
Sosa, D. A. (s.f.). Cilindros y Superficies Cuádricas.
Uribe, B. (27 de Enero de 2017). Archidaily. Obtenido de
Archidaily: https://www.archdaily.pe/pe/626588/feliz-
cumpleanos-felix-candela
Wikiarquitectura. (s.f.). Obtenido de Wikiarquitectura:
https://es.wikiarquitectura.com/edificio/ciudad-de-las-artes-
y-las-ciencias/
Adonai E. (2014). Aplicaciones de las derivadas parciales en la ingeniería.
https://www.clubensayos.com/Ciencia/APLICACION-DE-LAS-DERIVADAS-
PARCIALES-EN-LA-INGENIERIA/2265872.html