Aplicaciones crecimiento poblacional Ecuaciones Diferenciales

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Aplicaciones crecimiento poblacional Ecuaciones Diferenciales

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Language: es

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Slide Content

APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DFERENCIALES DE PRIMER
ORDEN

CRECIMIENTO POBLACIONAL: MODELO EXPONENCIAL
La rapidez o razón de cambio de la población (P) de una cierta comunidad es
proporcional al tiempo.
Modelo matemático
Sean:
??????(&#3627408481;):&#3627408477;&#3627408476;&#3627408463;&#3627408473;&#3627408462;&#3627408464;??????ó&#3627408475; &#3627408477;&#3627408479;&#3627408466;&#3627408480;&#3627408466;&#3627408475;&#3627408481;&#3627408466; &#3627408466;&#3627408475; &#3627408466;&#3627408473; &#3627408474;&#3627408476;&#3627408474;&#3627408466;&#3627408475;&#3627408481;&#3627408476; &#3627408481;
????????????
????????????
:&#3627408479;&#3627408462;&#3627408477;??????&#3627408465;&#3627408466;?????? &#3627408462; &#3627408473;&#3627408462; &#3627408464;&#3627408482;&#3627408462;&#3627408473; &#3627408464;&#3627408479;&#3627408466;&#3627408464;&#3627408466; &#3627408473;&#3627408462; &#3627408477;&#3627408476;&#3627408463;&#3627408473;&#3627408462;&#3627408464;??????ó&#3627408475; ??????
&#3627408465;??????
&#3627408465;&#3627408481;
=&#3627408472;?????? ,&#3627408472;>0
Condiciones:
??????(0)=??????
0
??????(&#3627408481;
1
)=??????
1

Resolución de la ecuación:
&#3627408465;??????
&#3627408465;&#3627408481;
=&#3627408472;?????? →
&#3627408465;??????
??????
=&#3627408472;&#3627408465;&#3627408481; → ∫
&#3627408465;??????
&#3627408465;&#3627408481;
=∫&#3627408472;&#3627408465;&#3627408481; → ln(??????)=&#3627408472;&#3627408481;+??????

??????&#3627408476;&#3627408475;&#3627408465;??????&#3627408464;??????ó&#3627408475;:??????(0)=??????
0

ln(??????
0
)=??????
ln(??????)=&#3627408472;&#3627408481;+ln(??????
0
) → ??????=&#3627408466;
ln(??????
0
)+????????????
→ ??????(&#3627408481;)=??????
0
&#3627408466;
????????????

PROBLEMA
La cantidad de bacterias de cierto cultivo se incrementa una tasa proporcional al número de
bacterias presentes en cualquier instante y la cantidad original se incrementa un 50% en 30
minutos.
a) En cuanto tiempo se espera tener 3 veces la cantidad inicial.

Resolución:
??????(0)=??????
0

??????(
1
2
⁄)=1.5??????
0

&#3627408465;??????
&#3627408465;&#3627408481;
=&#3627408472;?????? →
&#3627408465;??????
??????
=&#3627408472;&#3627408465;&#3627408481; → ∫
&#3627408465;??????
&#3627408465;&#3627408481;
=∫&#3627408472;&#3627408465;&#3627408481; → ln(??????)=&#3627408472;&#3627408481;+??????

Debemos encontrar los valores de ?????? y &#3627408472; con los datos que nos dan en el enunciado a
partir de: ln(??????)=&#3627408472;&#3627408481;+??????

Primero, encontramos el valor de ??????:
??????&#3627408476;&#3627408475;&#3627408465;??????&#3627408464;??????ó&#3627408475; ??????&#3627408475;??????&#3627408464;??????&#3627408462;&#3627408473;: ??????(0)=??????
0
→ ln(??????
0
)=??????

Segundo, encontramos el valor de &#3627408472;:
??????(
1
2
⁄)=1.5??????
0

&#3627408472;=2ln(
1.5??????
0
??????
0
) → &#3627408472;=2ln(1.5)

Finalmente tenemos:
ln(??????)=&#3627408472;&#3627408481;+?????? → &#3627408472;&#3627408481;=ln(
??????
??????
0
) → &#3627408481;=
1
&#3627408472;
ln(
??????
??????
0
)

&#3627408481;=
ln(
??????
??????
0
)
2ln(1.5)

a) ??????(&#3627408481;
1
)=3??????
0

&#3627408481;
1=
ln(
3??????
0
??????
0
)
2ln(1.5)
→ &#3627408481;
1=
ln(3)
2ln(1.5)
→ ??????=??????.???????????? ??????