Aplicaciones de calculo de integrales dobles y triples
walterabel03
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Feb 05, 2014
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Geraldine Cisneros Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones
UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática.
75
3. APLICACIONES DE LAS INTEGRALES MÚLTIPLES
En este capítulo se presentan algunas de las aplicaciones tanto físicas como
geométricas de las integrales múltiples, específicamente para las integrales dobles y
para las integrales triples.
3.1 APLICACIONES DE LAS INTEGRALES DOBLES
Entre las aplicaciones de las integrales dobles, se tienen las
aplicaciones geométricas y las físicas. En el primer grupo se
encuentran: el cálculo del área de una figura plana y el cálculo de
volúmenes de sólidos en el espacio; entre las aplicaciones físicas
están el cálculo de: masa, momentos estáticos de figuras planas,
centros de masa y momentos de inercia para una región
bidimensional.
3.1.1. ÁREA DE UNA FIGURA PLANA
En el capítulo 1 de este trabajo, se explicó el significado intrínseco
de la integral doble de una función f positiva en una región
bidimensional D,
()
D
fx,y dA∫∫
, como el volumen del sólido S
definido sobre la región D y bajo la gráfica de la funciónf. Ahora,
si se considera que (),1fxy=, entonces la integral anterior queda
como:
()
DD
fx,y dA dA=∫∫∫∫
( III.1)
Por lo tanto, empleando la definición de la integral doble, se tiene
que:
0
11
nm
ij
D P
ij
dA Lim A
→
==
= ∆∑∑∫∫ ( III.2)
Recuerde que la integral
doble
(
)
D
fx,ydA∫∫
,
también puede escribirse
como
()
0
11
nm
**
ij ij
P
ij
Lim f x , y A
→
==
∆∑∑
UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática.
75
3. APLICACIONES DE LAS INTEGRALES MÚLTIPLES
En este capítulo se presentan algunas de las aplicaciones tanto físicas como
geométricas de las integrales múltiples, específicamente para las integrales dobles y
para las integrales triples.
3.1 APLICACIONES DE LAS INTEGRALES DOBLES
Entre las aplicaciones de las integrales dobles, se tienen las
aplicaciones geométricas y las físicas. En el primer grupo se
encuentran: el cálculo del área de una figura plana y el cálculo de
volúmenes de sólidos en el espacio; entre las aplicaciones físicas
están el cálculo de: masa, momentos estáticos de figuras planas,
centros de masa y momentos de inercia para una región
bidimensional.
3.1.1. ÁREA DE UNA FIGURA PLANA
En el capítulo 1 de este trabajo, se explicó el significado intrínseco
de la integral doble de una función f positiva en una región
bidimensional D,
()
D
fx,y dA∫∫
, como el volumen del sólido S
definido sobre la región D y bajo la gráfica de la funciónf. Ahora,
si se considera que (),1fxy=, entonces la integral anterior queda
como:
()
DD
fx,y dA dA=∫∫∫∫
( III.1)
Por lo tanto, empleando la definición de la integral doble, se tiene
que:
0
11
nm
ij
D P
ij
dA Lim A
→
==
= ∆∑∑∫∫ ( III.2)
Recuerde que la integral
doble
(
)
D
fx,ydA∫∫
,
también puede escribirse
como
()
0
11
nm
**
ij ij
P
ij
Lim f x , y A
→
==
∆∑∑
Geraldine Cisneros Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones
UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática.
76
donde
ij
A∆ es el área del rectángulo genérico denotado
ij
D, el
cual puede observarse en la figura 3.1
D
a = x0
y
x
xi xn= bxi-1
c = y0
d = ym
yj-1
yj
yj
xi
(xi
*,yj
*)
D
ij
Figura 3.1
Región
D dividida en subrectángulos
ij
D
En otras palabras, la integral
D
dA
∫∫
representa el volumen de un
sólido de sección transversal constante, cuya base es la región
D
y cuya altura es igual a la unidad. Para un sólido con estas
características, el volumen se obtiene como el producto del área
de la base y la altura del mismo.
A partir de todo lo anterior, se define el cálculo del área de una
región plana.
ÁREA DE UNA FIGURA PLANA
Sea
D una región bidimensional D, tal que
2
D⊆\ . Sea
A el
área de la región
D, entonces:
D
A dxdy=∫∫
( III.3)
UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática.
76
donde
ij
A∆ es el área del rectángulo genérico denotado
ij
D, el
cual puede observarse en la figura 3.1
D
a = x0
y
x
xi xn= bxi-1
c = y0
d = ym
yj-1
yj
yj
xi
(xi
*,yj
*)
D
ij
Figura 3.1
Región
D dividida en subrectángulos
ij
D
En otras palabras, la integral
D
dA
∫∫
representa el volumen de un
sólido de sección transversal constante, cuya base es la región
D
y cuya altura es igual a la unidad. Para un sólido con estas
características, el volumen se obtiene como el producto del área
de la base y la altura del mismo.
A partir de todo lo anterior, se define el cálculo del área de una
región plana.
ÁREA DE UNA FIGURA PLANA
Sea
D una región bidimensional D, tal que
2
D⊆\ . Sea
A el
área de la región
D, entonces:
D
A dxdy=∫∫
( III.3)
Geraldine Cisneros Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones
UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática.
77
Observe que si la región
D es de tipo 1, la ecuación anterior
queda como:
()
()
[]
()
()
bgx b gx
fxafx a
A dydx ydx==∫∫ ∫
( III.3)
() ()
b
a
A gx f x dx=−
∫
( III.4)
Donde la última integral, representa el área comprendida entre las
gráficas de ()yfx= y ()ygx= en el intervalo cerrado []a,b. Esta
integral se estudia en la asignatura
Análisis Matemático II, dentro
de las aplicaciones de la integral definida.
Dibuje la región
D y calcule su área, empleando las integrales
dobles:
D
dxdy∫∫
y
D
dydx∫∫
, ()
{ }
22
24Dx,yxyy x y=≥−∧≤−
Solución:
La región
D se encuentra acotada por las gráficas de las
parábolas horizontales
2
2
xy y=− y
2
4xy=−, tal como se puede
observar en la siguiente figura.
Figura 3.2
Región
D del ejemplo 3.2
EJEMPLO 3.1
Recuerde que la gráfica
de la ecuación:
2
xay by c=++
Es una parábola
horizontal
Recuerde que una región
D es de tipo 1 si se
cumple:
(
)
() ()
x,y a x b
D
fxygx
≤≤ ∧
=
≤≤
2
4
x y=−
2
2xyy=−
D
UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática.
77
Observe que si la región
D es de tipo 1, la ecuación anterior
queda como:
()
()
[]
()
()
bgx b gx
fxafx a
A dydx ydx==∫∫ ∫
( III.3)
() ()
b
a
A gx f x dx=−
∫
( III.4)
Donde la última integral, representa el área comprendida entre las
gráficas de ()yfx= y ()ygx= en el intervalo cerrado []a,b. Esta
integral se estudia en la asignatura
Análisis Matemático II, dentro
de las aplicaciones de la integral definida.
Dibuje la región
D y calcule su área, empleando las integrales
dobles:
D
dxdy∫∫
y
D
dydx∫∫
, ()
{ }
22
24Dx,yxyy x y=≥−∧≤−
Solución:
La región
D se encuentra acotada por las gráficas de las
parábolas horizontales
2
2
xy y=− y
2
4xy=−, tal como se puede
observar en la siguiente figura.
Figura 3.2
Región
D del ejemplo 3.2
EJEMPLO 3.1
Recuerde que la gráfica
de la ecuación:
2
xay by c=++
Es una parábola
horizontal
Recuerde que una región
D es de tipo 1 si se
cumple:
(
)
() ()
x,y a x b
D
fxygx
≤≤ ∧
=
≤≤
2
4
x y=−
2
2xyy=−
D
Geraldine Cisneros Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones
UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática.
78
a) Para calcular el área de la región por medio de la integral doble
D
dxdy∫∫
, es necesario definir los límites de integración, que se
ilustran en la figura 3.3
Figura 3.3
Región
D del ejemplo 3.1 como una región tipo 2
Por tanto el área se obtiene como:
2
2
24 2
2
12 1
42 2 9
y
yy
Adxdy yydy
−
−− −
= =−+ =
∫∫ ∫
9
D
Adxdy
= =∫∫
b) Cuando se desea calcular el área
D con el orden de integración
inverso, esto es
D
A dydx=∫∫
, entonces, se necesita conocer las
ecuaciones de las curvas en función de la variable
x y además
identificar los límites de integración, que a continuación se
muestran en la figura 3.4
Observe que la región D
es una región tipo 2, por
lo cual el área se obtiene
empleando una sola
integral doble de la
forma
D
dxdy∫∫
.
Para la primera curva:
2
2xyy=−
Se tiene que:
11yx=± +
Para la segunda curva:
2
4
x y=−
entonces:
4yx=± −
Valor de x a
la salida de D
2
4
x y=−
D
Valor de x a
la entrada de D
2
2
xyy=−
UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática.
78
a) Para calcular el área de la región por medio de la integral doble
D
dxdy∫∫
, es necesario definir los límites de integración, que se
ilustran en la figura 3.3
Figura 3.3
Región
D del ejemplo 3.1 como una región tipo 2
Por tanto el área se obtiene como:
2
2
24 2
2
12 1
42 2 9
y
yy
Adxdy yydy
−
−− −
= =−+ =
∫∫ ∫
9
D
Adxdy
= =∫∫
b) Cuando se desea calcular el área
D con el orden de integración
inverso, esto es
D
A dydx=∫∫
, entonces, se necesita conocer las
ecuaciones de las curvas en función de la variable
x y además
identificar los límites de integración, que a continuación se
muestran en la figura 3.4
Observe que la región D
es una región tipo 2, por
lo cual el área se obtiene
empleando una sola
integral doble de la
forma
D
dxdy∫∫
.
Para la primera curva:
2
2xyy=−
Se tiene que:
11yx=± +
Para la segunda curva:
2
4
x y=−
entonces:
4yx=± −
Valor de x a
la salida de D
2
4
x y=−
D
Valor de x a
la entrada de D
2
2
xyy=−
Geraldine Cisneros Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones
UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática.
79
Figura 3.4
Región
D del ejemplo 3.1 como tres regiones tipo 1
Entonces
123
DD D D
=∪∪ , donde:
(){ }
(){}
(){}
1
2
3
1011 11
0311 4
34 4 4
Dx,
y xx y x
Dx, y xx y x
Dx, y xx y x
= −≤ ≤ ∧ − + ≤ ≤+ +
=≤≤∧−+≤≤−
=≤≤∧−−≤≤−
Así:
123
DD D
A dydx dydx dydx=++∫∫ ∫∫ ∫∫
011 3 4 4 4
11 1 0 1 1 3 4
xx x
xxx
A dydx dydx dydx
++ − −
−−+ −+ −−
=++∫∫ ∫∫ ∫∫
( )
03 4
10 3
21 4 1 1 24
A xdx x x dx xdx
−
=++−−+++−∫∫ ∫
4194
9
333
A=++=
9
D
Adydx= =∫∫
En este caso, la región D
queda dividida en tres
regiones tipo 1,
identificadas como: D
1,
D
2 y D3..
Al comparar los dos
cálculos de área de la
región D del ejemplo 3.1,
resulta mucho más
sencillo emplear la
integral
D
dxdy∫∫
que
con el orden inverso.
Valor de y a
la salida de D
1
11yx=++
D2
Valor de y a
la entrada de D
1
11yx=−+
D3
D
1
Valor de y a
la salida de D
2
4yx=−
Valor de y a
la salida de D
3
4yx=−
Valor de y a
la entrada de D
2
11yx=−+
Valor de y a
la entrada de D
3
4yx=− −
3x =
0x=
UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática.
79
Figura 3.4
Región
D del ejemplo 3.1 como tres regiones tipo 1
Entonces
123
DD D D
=∪∪ , donde:
(){ }
(){}
(){}
1
2
3
1011 11
0311 4
34 4 4
Dx,
y xx y x
Dx, y xx y x
Dx, y xx y x
= −≤ ≤ ∧ − + ≤ ≤+ +
=≤≤∧−+≤≤−
=≤≤∧−−≤≤−
Así:
123
DD D
A dydx dydx dydx=++∫∫ ∫∫ ∫∫
011 3 4 4 4
11 1 0 1 1 3 4
xx x
xxx
A dydx dydx dydx
++ − −
−−+ −+ −−
=++∫∫ ∫∫ ∫∫
( )
03 4
10 3
21 4 1 1 24
A xdx x x dx xdx
−
=++−−+++−∫∫ ∫
4194
9
333
A=++=
9
D
Adydx= =∫∫
En este caso, la región D
queda dividida en tres
regiones tipo 1,
identificadas como: D
1,
D
2 y D3..
Al comparar los dos
cálculos de área de la
región D del ejemplo 3.1,
resulta mucho más
sencillo emplear la
integral
D
dxdy∫∫
que
con el orden inverso.
Valor de y a
la salida de D
1
11yx=++
D2
Valor de y a
la entrada de D
1
11yx=−+
D3
D
1
Valor de y a
la salida de D
2
4yx=−
Valor de y a
la salida de D
3
4yx=−
Valor de y a
la entrada de D
2
11yx=−+
Valor de y a
la entrada de D
3
4yx=− −
3x =
0x=
Geraldine Cisneros Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones
UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática.
80
Dada la región D, determine las ecuaciones de las curvas que la
limitan y calcule su área empleando las integrales dobles:
D
dxd
y∫∫
y
D
d
ydx∫∫
.
Figura 3.5
Región
D del ejemplo 3.2
Solución:
Las ecuaciones de las curvas que limitan a la región
D son:
1
16 20C: y x
=+
2
220C: y x=−+ y
2
3
4C:
yx=
a) Para el cálculo del área de la región
D por medio de la integral
doble
D
dxd
y∫∫
, se necesita saber que valor toma la variable x a la
entrada y salida de la región. En la figura 3.6 se pueden observar
estos valores.
EJEMPLO 3.2
Las ecuaciones de las
curvas en función de la
variable y son:
1
20
16
y
C: x
−
=
2
20
2
y
C: x
−
=
1
2
y
C: x=±
C1
D
C3
C2
UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática.
80
Dada la región D, determine las ecuaciones de las curvas que la
limitan y calcule su área empleando las integrales dobles:
D
dxd
y∫∫
y
D
d
ydx∫∫
.
Figura 3.5
Región
D del ejemplo 3.2
Solución:
Las ecuaciones de las curvas que limitan a la región
D son:
1
16 20C: y x
=+
2
220C: y x=−+ y
2
3
4C:
yx=
a) Para el cálculo del área de la región
D por medio de la integral
doble
D
dxd
y∫∫
, se necesita saber que valor toma la variable x a la
entrada y salida de la región. En la figura 3.6 se pueden observar
estos valores.
EJEMPLO 3.2
Las ecuaciones de las
curvas en función de la
variable y son:
1
20
16
y
C: x
−
=
2
20
2
y
C: x
−
=
1
2
y
C: x=±
C1
D
C3
C2
Geraldine Cisneros Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones
UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática.
81
Figura 3.6
Región
D del ejemplo 3.2 como tres regiones tipo 2
Como
123
DD D D= ∪∪ , entonces:
123
DD D
A dxdy dxdy dxdy=++∫∫ ∫∫ ∫∫
donde:
()
()
()
1
2
3
04
22
20
416
16 2
20 20
16 20
16 2
yy
Dx,y x y
yy
Dx,y x y
yy
Dx,y x y
=−≤≤∧≤≤
−
=≤≤∧≤≤
−−
=≤≤∧≤≤
20
416 20
22 2
20 20
04 16
16 16
2
yy y
yyy
A dxdy dxdy dxdy
−
−−
−
=+ +∫∫ ∫∫ ∫∫
416 20
04 16 20 45 9
216 416yyy
Ay dy dy dy
−
=+− +−
∫∫ ∫
16 157 9
36
362
A
=++=
La región D no es una
región tipo 2, sin
embargo se puede dividir
en tres regiones: D
1, D2
y D
3., que sí lo son. Por
esta razón, para resolver
la integral doble
D
dxdy∫∫
se debe
emplear la propiedad
aditiva respecto a la
región de integración.
Valor de x a
la salida de D
3
20
2
y
x
−
=
D
3
Valor de x a
la entrada de D
3 20
16
y
x
−
=
Valor de x a
la salida de D
2
2
y
x=
D2
Valor de x a
la entrada de D
2
20
16
y
x
−
=
Valor de x a
la salida de D
1
2
y
x=
D
1
Valor de x a
la entrada de D
1
2
y
x=−
4y=
16y=
UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática.
81
Figura 3.6
Región
D del ejemplo 3.2 como tres regiones tipo 2
Como
123
DD D D= ∪∪ , entonces:
123
DD D
A dxdy dxdy dxdy=++∫∫ ∫∫ ∫∫
donde:
()
()
()
1
2
3
04
22
20
416
16 2
20 20
16 20
16 2
yy
Dx,y x y
yy
Dx,y x y
yy
Dx,y x y
=−≤≤∧≤≤
−
=≤≤∧≤≤
−−
=≤≤∧≤≤
20
416 20
22 2
20 20
04 16
16 16
2
yy y
yyy
A dxdy dxdy dxdy
−
−−
−
=+ +∫∫ ∫∫ ∫∫
416 20
04 16 20 45 9
216 416yyy
Ay dy dy dy
−
=+− +−
∫∫ ∫
16 157 9
36
362
A
=++=
La región D no es una
región tipo 2, sin
embargo se puede dividir
en tres regiones: D
1, D2
y D
3., que sí lo son. Por
esta razón, para resolver
la integral doble
D
dxdy∫∫
se debe
emplear la propiedad
aditiva respecto a la
región de integración.
Valor de x a
la salida de D
3
20
2
y
x
−
=
D
3
Valor de x a
la entrada de D
3 20
16
y
x
−
=
Valor de x a
la salida de D
2
2
y
x=
D2
Valor de x a
la entrada de D
2
20
16
y
x
−
=
Valor de x a
la salida de D
1
2
y
x=
D
1
Valor de x a
la entrada de D
1
2
y
x=−
4y=
16y=
Geraldine Cisneros Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones
UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática.
82
36
D
Adxdy
= =∫∫
b) En la figura 3.7 se muestran los límites de integración para la
integral interna de
D
A dydx=∫∫
.
Figura 3.7
Región
D del ejemplo 3.2 como dos regiones tipo 1
Luego:
12
DD
A dydx dydx=+∫∫ ∫∫
, donde:
(){ }
(){}
2
1
2
2
104 1620
024 220Dx,y x xyx
Dx,y x xyx
=−≤≤∧≤≤+
=≤≤∧≤≤−+
22
01620 2 220
14 0 4xx
xx
A dydx d ydx
+−+
−
=+∫∫ ∫∫
()( )
02
22
10 32 76
16 20 4 2 20 4 36
33
A x xdx x xdx
−
=+−+−+−=+=∫∫
36
D
Adydx
= =∫∫
La región D puede
dividirse en dos regiones
tipo 1, identificadas
como: D
1 y D
2 ; es decir:
12
DD D=∪
D2
D
1
Valor de y a
la salida de D
1
16 20yx
=+
Valor de y a
la salida de D
2
220yx
=−+
Valor de y a
la entrada de D
1
2
4yx=
Valor de y a
la entrada de D
2
2
4yx=
0x
=
UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática.
82
36
D
Adxdy
= =∫∫
b) En la figura 3.7 se muestran los límites de integración para la
integral interna de
D
A dydx=∫∫
.
Figura 3.7
Región
D del ejemplo 3.2 como dos regiones tipo 1
Luego:
12
DD
A dydx dydx=+∫∫ ∫∫
, donde:
(){ }
(){}
2
1
2
2
104 1620
024 220Dx,y x xyx
Dx,y x xyx
=−≤≤∧≤≤+
=≤≤∧≤≤−+
22
01620 2 220
14 0 4xx
xx
A dydx d ydx
+−+
−
=+∫∫ ∫∫
()( )
02
22
10 32 76
16 20 4 2 20 4 36
33
A x xdx x xdx
−
=+−+−+−=+=∫∫
36
D
Adydx
= =∫∫
La región D puede
dividirse en dos regiones
tipo 1, identificadas
como: D
1 y D
2 ; es decir:
12
DD D=∪
D2
D
1
Valor de y a
la salida de D
1
16 20yx
=+
Valor de y a
la salida de D
2
220yx
=−+
Valor de y a
la entrada de D
1
2
4yx=
Valor de y a
la entrada de D
2
2
4yx=
0x
=
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UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática.
83
Calcule, empleando integrales dobles, el área comprendida entre
dos círculos concéntricos de radios 2 y 4.
Solución:
Considere una corona circular con centro en el origen del sistema
de coordenadas tal como se observa a continuación.
Figura 3.8
Región
D del ejemplo 3.3
Como
D
A dydx=∫∫
y la región D es simétrica respecto al origen,
entonces para simplificar el cálculo de área, sólo se evaluará
1
1
D
A dydx=∫∫
, donde
1
A es el área de la región D que se encuentra
en el primer cuadrante, denotada como
1
D, de manera que:
1
4
AA=
La región denotada como
D1, se muestra en la figura 3.9.
La región D planteada en
el ejemplo 3.3 recibe el
nombre de corona
circular, y su área es:
()
22
A Rrπ=−
donde
R: Radio externo
r: radio interno
EJEMPLO 3.3
D
22
16xy+=
22
4xy+=
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83
Calcule, empleando integrales dobles, el área comprendida entre
dos círculos concéntricos de radios 2 y 4.
Solución:
Considere una corona circular con centro en el origen del sistema
de coordenadas tal como se observa a continuación.
Figura 3.8
Región
D del ejemplo 3.3
Como
D
A dydx=∫∫
y la región D es simétrica respecto al origen,
entonces para simplificar el cálculo de área, sólo se evaluará
1
1
D
A dydx=∫∫
, donde
1
A es el área de la región D que se encuentra
en el primer cuadrante, denotada como
1
D, de manera que:
1
4
AA=
La región denotada como
D1, se muestra en la figura 3.9.
La región D planteada en
el ejemplo 3.3 recibe el
nombre de corona
circular, y su área es:
()
22
A Rrπ=−
donde
R: Radio externo
r: radio interno
EJEMPLO 3.3
D
22
16xy+=
22
4xy+=
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84
Figura 3.9
Región
1
D del ejemplo 3.3
Luego:
1. 1.
1
AB
DD
A dydx d ydx=+∫∫ ∫∫
, donde:
() { }
(){}
22
1
2
1
02 4 16
240 16
.A
.B
D x,y x x y x
Dx,y x y x
=≤≤∧−≤≤−
=≤≤∧≤≤−
22
2
216 416
1
04 20xx
x
A dydx dydx
−−
−
=+∫∫ ∫∫
( )
24
22 2
1
02
16 4 16
A xxdx xdx=−−−+−∫∫
1
8
23 23 3
33
Aππ π
=++−+=
12
D
Adydx
π==∫∫
Valor de y a
la salida de D
1.A
2
16yx=−
Valor de y a
la entrada de D
1.A 2
4yx=−
D1.A
2x=
D1.B
Valor de y a
la salida de D
1.B
2
16yx=−
Valor de y a
la entrada de D
1.B
0y=
Para calcular el área de la
región D
1, se puede
dividirla en dos regiones
tipo 1:
11 1.A .B
DD D= ∪
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84
Figura 3.9
Región
1
D del ejemplo 3.3
Luego:
1. 1.
1
AB
DD
A dydx d ydx=+∫∫ ∫∫
, donde:
() { }
(){}
22
1
2
1
02 4 16
240 16
.A
.B
D x,y x x y x
Dx,y x y x
=≤≤∧−≤≤−
=≤≤∧≤≤−
22
2
216 416
1
04 20xx
x
A dydx dydx
−−
−
=+∫∫ ∫∫
( )
24
22 2
1
02
16 4 16
A xxdx xdx=−−−+−∫∫
1
8
23 23 3
33
Aππ π
=++−+=
12
D
Adydx
π==∫∫
Valor de y a
la salida de D
1.A
2
16yx=−
Valor de y a
la entrada de D
1.A 2
4yx=−
D1.A
2x=
D1.B
Valor de y a
la salida de D
1.B
2
16yx=−
Valor de y a
la entrada de D
1.B
0y=
Para calcular el área de la
región D
1, se puede
dividirla en dos regiones
tipo 1:
11 1.A .B
DD D= ∪
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85
3.1.2. VOLUMEN DE UN SÓLIDO EN EL ESPACIO
En el capítulo 1 de este trabajo, se determinó que la integral
()
D
fx,y dA∫∫
representa el volumen del sólido S definido sobre la
región
D y bajo la gráfica de la función
f; sin embargo, la integral
doble también puede emplearse para determinar el volumen de un
sólido más general.
Dibuje el sólido
S acotado por las superficies:
22
2zx y=+ y
22
20zx y=−− y plantear su volumen empleando integrales
dobles.
Solución:
En la figura 3.10 se muestra el sólido
S de este ejemplo, donde la
superficie superior es
22
20zx y= −− y la superficie inferior viene
dada por la ecuación
22
2zx y= +.
VOLUMEN DE UN SÓLIDO EN EL ESPACIO
Sean
2
:f→\\ y
2
:g →\\ dos funciones reales, continuas
en una región bidimensional
D, tales que ()
(),,fxyg xy≤
(),xyD∀∈. Sea V el volumen del sólido acotado
superiormente por la gráfica de la función
g y acotado
inferiormente por la gráfica de la función
f, entonces:
()(),,
D
V gxyfxydA=−
∫∫
( III.5)
EJEMPLO 3.4
UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática.
85
3.1.2. VOLUMEN DE UN SÓLIDO EN EL ESPACIO
En el capítulo 1 de este trabajo, se determinó que la integral
()
D
fx,y dA∫∫
representa el volumen del sólido S definido sobre la
región
D y bajo la gráfica de la función
f; sin embargo, la integral
doble también puede emplearse para determinar el volumen de un
sólido más general.
Dibuje el sólido
S acotado por las superficies:
22
2zx y=+ y
22
20zx y=−− y plantear su volumen empleando integrales
dobles.
Solución:
En la figura 3.10 se muestra el sólido
S de este ejemplo, donde la
superficie superior es
22
20zx y= −− y la superficie inferior viene
dada por la ecuación
22
2zx y= +.
VOLUMEN DE UN SÓLIDO EN EL ESPACIO
Sean
2
:f→\\ y
2
:g →\\ dos funciones reales, continuas
en una región bidimensional
D, tales que ()
(),,fxyg xy≤
(),xyD∀∈. Sea V el volumen del sólido acotado
superiormente por la gráfica de la función
g y acotado
inferiormente por la gráfica de la función
f, entonces:
()(),,
D
V gxyfxydA=−
∫∫
( III.5)
EJEMPLO 3.4
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86
Figura 3.10
Sólido
S del ejemplo 3.4
El volumen del sólido S, mostrado en la figura anterior, se obtiene
mediante la integral doble:
22 22
20 2
D
Vx y xydA
=−−−+
∫∫
donde
D es la proyección del sólido S en el plano xy. Esta
proyección, para este ejemplo, resulta ser un círculo con centro en
el origen, al que se obtiene en la intersección de las dos
superficies:
22
22 22
22
2
220
20
zxy
xy xy
zxy
=+
⇒+=−−
=−−
( )
22 22 22
420 4xy xy xy+=−− ⇒ +=
Entonces:
()
{ }
22
,4Dxyxy= +≤
La superficie definida por
la ecuación:
22
20zxy=−−
Es una semiesfera (parte
superior).
La superficie definida por
la ecuación:
22
2zxy=+
Es un cono .
S
Valor de z a
la salida de S
22
20z xy= −−
Valor de z a
la entrada de S
22
2zxy= +
UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática.
86
Figura 3.10
Sólido
S del ejemplo 3.4
El volumen del sólido S, mostrado en la figura anterior, se obtiene
mediante la integral doble:
22 22
20 2
D
Vx y xydA
=−−−+
∫∫
donde
D es la proyección del sólido S en el plano xy. Esta
proyección, para este ejemplo, resulta ser un círculo con centro en
el origen, al que se obtiene en la intersección de las dos
superficies:
22
22 22
22
2
220
20
zxy
xy xy
zxy
=+
⇒+=−−
=−−
( )
22 22 22
420 4xy xy xy+=−− ⇒ +=
Entonces:
()
{ }
22
,4Dxyxy= +≤
La superficie definida por
la ecuación:
22
20zxy=−−
Es una semiesfera (parte
superior).
La superficie definida por
la ecuación:
22
2zxy=+
Es un cono .
S
Valor de z a
la salida de S
22
20z xy= −−
Valor de z a
la entrada de S
22
2zxy= +
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87
Figura 3.11
Región
D del ejemplo 3.4
Es decir, ()
{ }
22
,224 4Dx y xx y x=−≤≤−−≤≤−
Volviendo a la integral de volumen, se tiene que:
2
2
24
22 22
24
20 2
x
x
Vxyxydydx
−
−−−
=−−−+
∫∫
Ahora, para resolver esta integral se requiere un procedimiento
muy riguroso y largo, por lo cual a continuación sólo se presenta el
resultado de esta integral, el cual fue obtenido con software
matemático:
22 22
20 2 19,77678464
D
VxyxydA
=−−−+=
∫∫
Valor de y a
la salida de D
2
4yx=−
Valor de y a
la entrada de D
2
4yx=−−
D
Donde D es una región
tipo 1 y también tipo 2,
pero en este ejemplo se
trabaja como una región
tipo 1.
En el siguiente capítulo,
se mostrará como
resolver una integral de
este tipo, empleando un
cambio de variable
apropiado.
UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática.
87
Figura 3.11
Región
D del ejemplo 3.4
Es decir, ()
{ }
22
,224 4Dx y xx y x=−≤≤−−≤≤−
Volviendo a la integral de volumen, se tiene que:
2
2
24
22 22
24
20 2
x
x
Vxyxydydx
−
−−−
=−−−+
∫∫
Ahora, para resolver esta integral se requiere un procedimiento
muy riguroso y largo, por lo cual a continuación sólo se presenta el
resultado de esta integral, el cual fue obtenido con software
matemático:
22 22
20 2 19,77678464
D
VxyxydA
=−−−+=
∫∫
Valor de y a
la salida de D
2
4yx=−
Valor de y a
la entrada de D
2
4yx=−−
D
Donde D es una región
tipo 1 y también tipo 2,
pero en este ejemplo se
trabaja como una región
tipo 1.
En el siguiente capítulo,
se mostrará como
resolver una integral de
este tipo, empleando un
cambio de variable
apropiado.
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88
Dibuje el sólido S acotado por las superficies: 4zx
y=+ y 1z= y
dentro del cilindro
22
1xy
+≤, calcule su volumen empleando
integrales dobles.
Solución:
En la figura siguiente se aprecia el sólido
S, acotado por las
superficies
4zx
y=+ y 1z= y dentro del cilindro
22
1xy+≤.
Figura 3.12
Sólido
S del ejemplo 3.5
El volumen del sólido S, se obtiene mediante la integral doble:
[ ] [ ]41 3
DD
VxydAxydA=+−=+∫∫ ∫∫
donde
D es la proyección del sólido S en el plano xy. Esta
proyección, se observa en la figura 3.13
EJEMPLO 3.5
S
22
1xy+=
Valor de z a
la salida de S
4zxy
=+
Valor de z a
la entrada de S
1
z=
UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática.
88
Dibuje el sólido S acotado por las superficies: 4zx
y=+ y 1z= y
dentro del cilindro
22
1xy
+≤, calcule su volumen empleando
integrales dobles.
Solución:
En la figura siguiente se aprecia el sólido
S, acotado por las
superficies
4zx
y=+ y 1z= y dentro del cilindro
22
1xy+≤.
Figura 3.12
Sólido
S del ejemplo 3.5
El volumen del sólido S, se obtiene mediante la integral doble:
[ ] [ ]41 3
DD
VxydAxydA=+−=+∫∫ ∫∫
donde
D es la proyección del sólido S en el plano xy. Esta
proyección, se observa en la figura 3.13
EJEMPLO 3.5
S
22
1xy+=
Valor de z a
la salida de S
4zxy
=+
Valor de z a
la entrada de S
1
z=
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89
Figura 3.13
Región
D del ejemplo 3.5
En este caso, la región D se define como:
()
{ }
22
,1 111Dxy yx y y= −−≤≤− −≤≤
Por lo tanto la integral de volumen queda como:
[]
2
2
11 1
2
11 1
3613
y
y
Vxydxdyydy
π
−
−−− −
=+=−=∫∫ ∫
[ ]33
D
VxydA π=+ =∫∫
Dibuje el sólido
S acotado por
33
1zxyxy=+ + , 0z=,
3
yx x
=− y
2
yx x=+ y calcule su volumen empleando integrales dobles.
Solución:
En la figura 3.14 se observa el sólido
S, acotado superiormente por
33
1zxyxy=+ + e inferiormente por 0z
=; mientras que las
superficies
3
yx x
=− y
2
yx x=+definen las paredes de dicho
cuerpo tridimensional.
EJEMPLO 3.6
Valor de x a
la salida de D
2
1x y=−
Valor de x a
la entrada de D
2
1x y=− −
D
En este ejemplo, la
región D es de tipo 1 y
también tipo 2, pero se
trabaja como una región
tipo 2.
UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática.
89
Figura 3.13
Región
D del ejemplo 3.5
En este caso, la región D se define como:
()
{ }
22
,1 111Dxy yx y y= −−≤≤− −≤≤
Por lo tanto la integral de volumen queda como:
[]
2
2
11 1
2
11 1
3613
y
y
Vxydxdyydy
π
−
−−− −
=+=−=∫∫ ∫
[ ]33
D
VxydA π=+ =∫∫
Dibuje el sólido
S acotado por
33
1zxyxy=+ + , 0z=,
3
yx x
=− y
2
yx x=+ y calcule su volumen empleando integrales dobles.
Solución:
En la figura 3.14 se observa el sólido
S, acotado superiormente por
33
1zxyxy=+ + e inferiormente por 0z
=; mientras que las
superficies
3
yx x
=− y
2
yx x=+definen las paredes de dicho
cuerpo tridimensional.
EJEMPLO 3.6
Valor de x a
la salida de D
2
1x y=−
Valor de x a
la entrada de D
2
1x y=− −
D
En este ejemplo, la
región D es de tipo 1 y
también tipo 2, pero se
trabaja como una región
tipo 2.
Geraldine Cisneros Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones
UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática.
90
Figura 3.14
Sólido
S del ejemplo 3.6
Donde, el volumen del sólido S, se obtiene como:
33 33
101
DD
VxyxydAxyxydA
=++−=++
∫∫ ∫∫
Al proyectar el sólido anterior en el plano
xy, se obtiene la región
bidimensional
D, la cual se aprecia en la figura 3.15
Figura 3.15
Región
D del ejemplo 3.6
Valor de y a
la salida de D
3
yx x
=−
Valor de y a
la entrada de D
2
yx x
=+
D
En la figura 3.15, se
observa que la región D
del ejemplo 3.6 es una
región de tipo 1.
S
Valor de z a
la salida de S
33
1
z xy xy=+ +
Valor de z a
la entrada de S
0z
=
UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática.
90
Figura 3.14
Sólido
S del ejemplo 3.6
Donde, el volumen del sólido S, se obtiene como:
33 33
101
DD
VxyxydAxyxydA
=++−=++
∫∫ ∫∫
Al proyectar el sólido anterior en el plano
xy, se obtiene la región
bidimensional
D, la cual se aprecia en la figura 3.15
Figura 3.15
Región
D del ejemplo 3.6
Valor de y a
la salida de D
3
yx x
=−
Valor de y a
la entrada de D
2
yx x
=+
D
En la figura 3.15, se
observa que la región D
del ejemplo 3.6 es una
región de tipo 1.
S
Valor de z a
la salida de S
33
1
z xy xy=+ +
Valor de z a
la entrada de S
0z
=
Geraldine Cisneros Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones
UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática.
91
Por lo tanto, la región D se define como:
()
{ }
23
,10Dxy x xxyxx= −≤ ≤ + ≤ ≤ −
La integral de volumen queda como:
3
2
0
33
1
1
xx
xx
Vxyxydydx
−
+−
=++
∫∫
13 9
0
11 8 7 6 3 2
1
7 517
42 2
4 4 1260
xx
Vxxxxxxxdx
−
=−+−−−+−−=
∫
33 517
1
1260
D
VxyxydA=++ =
∫∫
3.1.3. MASA DE UNA FIGURA PLANA
A continuación, se explica como determinar la masa de una figura
plana no homogénea, de área
D, como la región mostrada en la
figura 3.16; es decir para regiones donde la densidad varía en
cada punto
()x,y D∈.
Figura 3.16
Región
D no homogénea
La densidad tiene
unidades de masa por
área unitaria.
Para esta aplicación,
considere que la función
densidad ρ es continua
en la región D.
En la figura 3.16 la
región D es no
homogénea, por lo cual
su sombreado no es
uniforme.
Adicionalmente:
() ()0
x,y x,y Dρ =∀ ∉
UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática.
91
Por lo tanto, la región D se define como:
()
{ }
23
,10Dxy x xxyxx= −≤ ≤ + ≤ ≤ −
La integral de volumen queda como:
3
2
0
33
1
1
xx
xx
Vxyxydydx
−
+−
=++
∫∫
13 9
0
11 8 7 6 3 2
1
7 517
42 2
4 4 1260
xx
Vxxxxxxxdx
−
=−+−−−+−−=
∫
33 517
1
1260
D
VxyxydA=++ =
∫∫
3.1.3. MASA DE UNA FIGURA PLANA
A continuación, se explica como determinar la masa de una figura
plana no homogénea, de área
D, como la región mostrada en la
figura 3.16; es decir para regiones donde la densidad varía en
cada punto
()x,y D∈.
Figura 3.16
Región
D no homogénea
La densidad tiene
unidades de masa por
área unitaria.
Para esta aplicación,
considere que la función
densidad ρ es continua
en la región D.
En la figura 3.16 la
región D es no
homogénea, por lo cual
su sombreado no es
uniforme.
Adicionalmente:
() ()0
x,y x,y Dρ =∀ ∉
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92
Si se escoge un punto arbitrario
( )
**
ij ij
x,y D∈ , entonces la masa
de este subrectángulo, denotada como
ij
m, se obtiene como:
( )
**
,
ij i j ij
mxyAρ= ∆ ( III.6)
Por lo tanto la masa de la placa plana de área A, se puede
estimar mediante la doble suma de Riemann:
()
**
11
,
nm
ij ij
ij
mxyAρ
==
≈ ∆∑∑ ( III.7)
Si se aumenta el número de subintervalos, de manera que la
norma de la partición
P tienda a cero, se tiene:
()
**
0
11
,
nm
ij ij
P
ij
mLim xy Aρ
→
==
= ∆∑∑ ( III.8)
() ()
**
0
11
,,
nm
ij ij
DP
ij
mLim xy A xydAρρ
→
==
=∆=∑∑ ∫∫ (III.9)
Entonces, el cálculo de la masa de una figura plana se obtiene
mediante:
MASA DE UNA FIGURA PLANA
Considere una lámina plana de densidad variable ()x,yρ ,
que ocupa una región
D en el plano xy, entonces su masa,
denotada
m, se obtiene como:
(),
D
mxydAρ=∫∫
( III.10)
El cálculo de masa de
una región
D, también
puede emplearse para
calcular la carga
eléctrica, Q, distribuida
sobre una región
D.
(
),
D
QxydAσ=∫∫
Donde
σ es la función
densidad de carga.
UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática.
92
Si se escoge un punto arbitrario
( )
**
ij ij
x,y D∈ , entonces la masa
de este subrectángulo, denotada como
ij
m, se obtiene como:
( )
**
,
ij i j ij
mxyAρ= ∆ ( III.6)
Por lo tanto la masa de la placa plana de área A, se puede
estimar mediante la doble suma de Riemann:
()
**
11
,
nm
ij ij
ij
mxyAρ
==
≈ ∆∑∑ ( III.7)
Si se aumenta el número de subintervalos, de manera que la
norma de la partición
P tienda a cero, se tiene:
()
**
0
11
,
nm
ij ij
P
ij
mLim xy Aρ
→
==
= ∆∑∑ ( III.8)
() ()
**
0
11
,,
nm
ij ij
DP
ij
mLim xy A xydAρρ
→
==
=∆=∑∑ ∫∫ (III.9)
Entonces, el cálculo de la masa de una figura plana se obtiene
mediante:
MASA DE UNA FIGURA PLANA
Considere una lámina plana de densidad variable ()x,yρ ,
que ocupa una región
D en el plano xy, entonces su masa,
denotada
m, se obtiene como:
(),
D
mxydAρ=∫∫
( III.10)
El cálculo de masa de
una región
D, también
puede emplearse para
calcular la carga
eléctrica, Q, distribuida
sobre una región
D.
(
),
D
QxydAσ=∫∫
Donde
σ es la función
densidad de carga.
Geraldine Cisneros Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones
UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática.
93
Determine la masa de la placa plana limitada por las curvas
2
1xy=− y
2
22xy
=− , cuya densidad es igual a la unidad.
Solución:
Recuerde que la densidad se calcula como
(),
D
mxydAρ=∫∫
, por
lo tanto para esta placa se tiene:
D
mdA=
∫∫
Ahora, se debe identificar la región
D para definir los límites de
integración.
Figura 3.17
Región
D del ejemplo 3.7
Entonces la región D está definida como:
()
{ }
22
22 1 1 1Dx,y y xy y= −≤≤ − ∧−≤≤
Por lo tanto:
()
2
2
11 1
2
12 2 1 4
1
3y
y
mdxdyydy
−
−− −
= =− =∫∫ ∫
2
2
11
12 2 4
3y
y
mdxdy
−
−−
= =∫∫
EJEMPLO 3.7
Valor de x a
la salida de D
2
1xy=−
Valor de x a
la entrada de D
2
22xy=−
D
UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática.
93
Determine la masa de la placa plana limitada por las curvas
2
1xy=− y
2
22xy
=− , cuya densidad es igual a la unidad.
Solución:
Recuerde que la densidad se calcula como
(),
D
mxydAρ=∫∫
, por
lo tanto para esta placa se tiene:
D
mdA=
∫∫
Ahora, se debe identificar la región
D para definir los límites de
integración.
Figura 3.17
Región
D del ejemplo 3.7
Entonces la región D está definida como:
()
{ }
22
22 1 1 1Dx,y y xy y= −≤≤ − ∧−≤≤
Por lo tanto:
()
2
2
11 1
2
12 2 1 4
1
3y
y
mdxdyydy
−
−− −
= =− =∫∫ ∫
2
2
11
12 2 4
3y
y
mdxdy
−
−−
= =∫∫
EJEMPLO 3.7
Valor de x a
la salida de D
2
1xy=−
Valor de x a
la entrada de D
2
22xy=−
D
Geraldine Cisneros Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones
UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática.
94
Determine la masa de la placa plana limitada por las curvas
23
64
2
yxx=−+
y
22yx=− , cuya densidad varía de acuerdo a la
función
() 12
x,y xρ =+.
Solución:
El cálculo de la masa se obtiene de la integral doble
(),
D
mxydAρ=∫∫
, por lo tanto:
( )12
D
mxdA=+∫∫
A continuación se muestra la región
D.
Figura 3.18
Región
D del ejemplo 3.8
Entonces:
( ) ( )()
12
12 12 12
DD D
mxdAxdAxdA=+ = + + +∫∫ ∫∫ ∫∫
Donde
()
()
2
1
2
23
0 2 64 24
2
3
24 6424
2
Dx,y x xx yx
Dx,y x xx yx
= ≤≤ ∧ − +≤≤− +
=≤≤∧−+≤≤−
Según la definición del
valor absoluto
220
2
220
xsix
x
xsix
−−≥
−=
−−<
entonces
24 2
42 2
xsix
y
xsix
−≥
=
−<
EJEMPLO 3.8
La región D debe
dividirse en dos regiones
tipo 1, tal que:
12
DD D= ∪
D
24yx=−
23
64
2
yxx=−+
24yx=−+
UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática.
94
Determine la masa de la placa plana limitada por las curvas
23
64
2
yxx=−+
y
22yx=− , cuya densidad varía de acuerdo a la
función
() 12
x,y xρ =+.
Solución:
El cálculo de la masa se obtiene de la integral doble
(),
D
mxydAρ=∫∫
, por lo tanto:
( )12
D
mxdA=+∫∫
A continuación se muestra la región
D.
Figura 3.18
Región
D del ejemplo 3.8
Entonces:
( ) ( )()
12
12 12 12
DD D
mxdAxdAxdA=+ = + + +∫∫ ∫∫ ∫∫
Donde
()
()
2
1
2
23
0 2 64 24
2
3
24 6424
2
Dx,y x xx yx
Dx,y x xx yx
= ≤≤ ∧ − +≤≤− +
=≤≤∧−+≤≤−
Según la definición del
valor absoluto
220
2
220
xsix
x
xsix
−−≥
−=
−−<
entonces
24 2
42 2
xsix
y
xsix
−≥
=
−<
EJEMPLO 3.8
La región D debe
dividirse en dos regiones
tipo 1, tal que:
12
DD D= ∪
D
24yx=−
23
64
2
yxx=−+
24yx=−+
Geraldine Cisneros Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones
UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática.
95
En la figura 3.19 se muestra el orden de integración para obtener
la masa de la placa con la forma de la región
D.
Figura 3.19
Región
D del ejemplo 3.8 como dos regiones tipo 1
Entonces:
()
()
22
242 424
33
064 264
22
12 12
xx
xx xx
mxd
ydx x d ydx
−−
−+ −+
=+++∫∫ ∫∫
24
32 3 2
02 13 29
34 838
22
mxxxdx xxxdx
=−+ + +−−+ −
∫∫
40 80
40
33
m=+=
( )12 40
D
mxdA= +=∫∫
D1
D
2
Valor de y a
la salida de D
1
42yx
=−
Valor de y a
la salida de D
2
24yx
=−
Valor de y a
la entrada de D
1
23
64
2
yxx= −+
Valor de y a
la entrada de D
2
23
64
2
yxx= −+
2x=
UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática.
95
En la figura 3.19 se muestra el orden de integración para obtener
la masa de la placa con la forma de la región
D.
Figura 3.19
Región
D del ejemplo 3.8 como dos regiones tipo 1
Entonces:
()
()
22
242 424
33
064 264
22
12 12
xx
xx xx
mxd
ydx x d ydx
−−
−+ −+
=+++∫∫ ∫∫
24
32 3 2
02 13 29
34 838
22
mxxxdx xxxdx
=−+ + +−−+ −
∫∫
40 80
40
33
m=+=
( )12 40
D
mxdA= +=∫∫
D1
D
2
Valor de y a
la salida de D
1
42yx
=−
Valor de y a
la salida de D
2
24yx
=−
Valor de y a
la entrada de D
1
23
64
2
yxx= −+
Valor de y a
la entrada de D
2
23
64
2
yxx= −+
2x=
Geraldine Cisneros Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones
UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática.
96
3.1.4. MOMENTOS ESTÁTICOS DE FIGURAS PLANAS
El momento estático de una partícula alrededor de un eje se
define como el producto de su masa y la distancia que la separa
de ese eje. A continuación, se trata específicamente, los
momentos estáticos de una figura plana
D alrededor de los ejes
coordenados.
Considere una lámina o placa plana
D, dividida en
subrectángulos
ij
D, tal como se muestra en la siguiente figura:
Figura 3.20
Región general
D no homogénea
Entonces, el momento estático alrededor del eje x, para cada
subrectángulo
ij
D, denotado como
ij
x
M, viene dado por:
( )
***
,
ij
xjijij
My xyAρ= ∆ ( III.11)
Sumando el momento estático alrededor del eje
x para cada
subrectángulo, se tiene que:
()
***
11
,
nm
xjijij
ij
My xyAρ
==
≈ ∆∑∑ ( III.13)
Los momentos estáticos
son momentos de
“equilibrio”.
x
Mes una medida de la
tendencia a girar en torno
al eje x, análogamente,
y
M es una medida de la
tendencia a girar
alrededor del eje y.
UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática.
96
3.1.4. MOMENTOS ESTÁTICOS DE FIGURAS PLANAS
El momento estático de una partícula alrededor de un eje se
define como el producto de su masa y la distancia que la separa
de ese eje. A continuación, se trata específicamente, los
momentos estáticos de una figura plana
D alrededor de los ejes
coordenados.
Considere una lámina o placa plana
D, dividida en
subrectángulos
ij
D, tal como se muestra en la siguiente figura:
Figura 3.20
Región general
D no homogénea
Entonces, el momento estático alrededor del eje x, para cada
subrectángulo
ij
D, denotado como
ij
x
M, viene dado por:
( )
***
,
ij
xjijij
My xyAρ= ∆ ( III.11)
Sumando el momento estático alrededor del eje
x para cada
subrectángulo, se tiene que:
()
***
11
,
nm
xjijij
ij
My xyAρ
==
≈ ∆∑∑ ( III.13)
Los momentos estáticos
son momentos de
“equilibrio”.
x
Mes una medida de la
tendencia a girar en torno
al eje x, análogamente,
y
M es una medida de la
tendencia a girar
alrededor del eje y.
Geraldine Cisneros Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones
UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática.
97
Tomando el límite cuando el número de subrectángulos aumenta
en la expresión anterior:
()
***
0
11
,
nm
xjijij
P
ij
MLim yxyAρ
→
==
= ∆∑∑ ( III.14)
() ()
***
0
11
,,
nm
xjijij
DP
ij
MLim yxyA yxydAρρ
→
==
=∆=∑∑ ∫∫ (III.15)
Análogamente, el momento estático alrededor del eje
y, que se
denota
y
M, se obtiene como:
() ()
***
0
11
,,
nm
yiijij
DP
ij
MLim x x yAxx ydAρρ
→
==
=∆=∑∑ ∫∫ (III.16)
MOMENTOS ESTÁTICOS DE FIGURAS PLANAS
Sea
D una región del plano xy, tal que su densidad viene
dada por la función
2
:ρ →\\, la cual es continua
()
x,y D∀∈ , entonces el momento estático alrededor del eje x,
denotado
x
M, se obtiene como:
(),
x
D
My xydAρ=∫∫
( III.17)
Mientras que el momento estático alrededor del eje
y,
denotado
y
M, se calcula como:
(),
y
D
M xxydAρ=∫∫
( III.18)
UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática.
97
Tomando el límite cuando el número de subrectángulos aumenta
en la expresión anterior:
()
***
0
11
,
nm
xjijij
P
ij
MLim yxyAρ
→
==
= ∆∑∑ ( III.14)
() ()
***
0
11
,,
nm
xjijij
DP
ij
MLim yxyA yxydAρρ
→
==
=∆=∑∑ ∫∫ (III.15)
Análogamente, el momento estático alrededor del eje
y, que se
denota
y
M, se obtiene como:
() ()
***
0
11
,,
nm
yiijij
DP
ij
MLim x x yAxx ydAρρ
→
==
=∆=∑∑ ∫∫ (III.16)
MOMENTOS ESTÁTICOS DE FIGURAS PLANAS
Sea
D una región del plano xy, tal que su densidad viene
dada por la función
2
:ρ →\\, la cual es continua
()
x,y D∀∈ , entonces el momento estático alrededor del eje x,
denotado
x
M, se obtiene como:
(),
x
D
My xydAρ=∫∫
( III.17)
Mientras que el momento estático alrededor del eje
y,
denotado
y
M, se calcula como:
(),
y
D
M xxydAρ=∫∫
( III.18)
Geraldine Cisneros Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones
UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática.
98
Determine los momentos estáticos de la placa plana descrita en el
ejemplo 3.7.
Solución:
Los momentos estáticos se calculan de la siguiente manera:
(),
x
D
My xydAρ=∫∫
y (),
y
D
M xxydAρ=∫∫
.
Entonces:
()
2
2
11 1
2
12 2 1
10
y
x
y
M ydxdy y y dy
−
−− −
= =−=∫∫ ∫
2
2
11 1
42
12 2 1 33 8
3
22 5y
y
y
M xdxdy y y dy
−
−− −
= =−− + =−
∫∫ ∫
Por lo tanto, los momentos estáticos para una lámina con la forma
de la región
D del ejemplo 3.7 son:
0
8
5
x
D
y
D
MydA
MxdA
= =
= =−
∫∫
∫∫
Determine los momentos estáticos de la placa plana descrita en el
ejemplo 3.8.
Solución:
Los momentos estáticos se calculan como:
(),
x
D
M yxydAρ=∫∫
y
(),
y
D
M xxydAρ=∫∫
.
() ()
22
242 424
33
064 264
22
12 12
xx
x
xx xx
M y x dydx y x dydx
−−
−+ −+
=+++∫∫ ∫∫
2
5432
0
4
5432
29 135
35 10 16
48
9 135
35 10 16
48
x
M xxxxxdx
x xxxxdx
=−+ − + + +
+− + − + +
∫
∫
EJEMPLO 3.9
EJEMPLO 3.10
La región del ejemplo 3.7
se muestra a continuación
Y se encuentra acotada
por las curvas
2
1xy=−
y
2
22xy=− .
La densidad es :
(
)1x,yρ =
()
22
22 1
11
x,y y x y
D
y
−≤≤ −∧
=
−≤ ≤
La región del ejemplo 3.8
se muestra a continuación
La densidad:
(
)12x,y xρ =+
Donde
12
DD D= ∪
()
()
1
2
2
2
02
3
64 24
2
24
3
64 24
2
x, y x
D
xx y x
x,y x
D
xx yx
≤≤ ∧
=
−+≤≤−+
≤≤ ∧
=
−+≤≤ −
UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática.
98
Determine los momentos estáticos de la placa plana descrita en el
ejemplo 3.7.
Solución:
Los momentos estáticos se calculan de la siguiente manera:
(),
x
D
My xydAρ=∫∫
y (),
y
D
M xxydAρ=∫∫
.
Entonces:
()
2
2
11 1
2
12 2 1
10
y
x
y
M ydxdy y y dy
−
−− −
= =−=∫∫ ∫
2
2
11 1
42
12 2 1 33 8
3
22 5y
y
y
M xdxdy y y dy
−
−− −
= =−− + =−
∫∫ ∫
Por lo tanto, los momentos estáticos para una lámina con la forma
de la región
D del ejemplo 3.7 son:
0
8
5
x
D
y
D
MydA
MxdA
= =
= =−
∫∫
∫∫
Determine los momentos estáticos de la placa plana descrita en el
ejemplo 3.8.
Solución:
Los momentos estáticos se calculan como:
(),
x
D
M yxydAρ=∫∫
y
(),
y
D
M xxydAρ=∫∫
.
() ()
22
242 424
33
064 264
22
12 12
xx
x
xx xx
M y x dydx y x dydx
−−
−+ −+
=+++∫∫ ∫∫
2
5432
0
4
5432
29 135
35 10 16
48
9 135
35 10 16
48
x
M xxxxxdx
x xxxxdx
=−+ − + + +
+− + − + +
∫
∫
EJEMPLO 3.9
EJEMPLO 3.10
La región del ejemplo 3.7
se muestra a continuación
Y se encuentra acotada
por las curvas
2
1xy=−
y
2
22xy=− .
La densidad es :
(
)1x,yρ =
()
22
22 1
11
x,y y x y
D
y
−≤≤ −∧
=
−≤ ≤
La región del ejemplo 3.8
se muestra a continuación
La densidad:
(
)12x,y xρ =+
Donde
12
DD D= ∪
()
()
1
2
2
2
02
3
64 24
2
24
3
64 24
2
x, y x
D
xx y x
x,y x
D
xx yx
≤≤ ∧
=
−+≤≤−+
≤≤ ∧
=
−+≤≤ −
Geraldine Cisneros Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones
UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática.
99
85664
33 3
x
M=+ =
Calculando el momento estático respecto al eje
y se tiene:
()
()
22
242 424
33
064 264
22
12 12
xx
y
xx xx
M x x dydx x x dydx
−−
−+ −+
=+++∫∫ ∫∫
262 1162 1424
15 15 15
y
M=+ =
Finalmente, para la región del ejemplo 3.8 se tiene que:
()
()
64
12
3
1424
12
15
x
D
y
D
MyxdA
MxxdA
=+=
=+=∫∫
∫∫
3.1.5. CENTRO DE MASA
El centro de gravedad de una figura plana
D, es un punto P de
coordenadas
()x,yD∈, en el cual la región se equilibra
horizontalmente. Las coordenadas de este punto se obtienen de
las ecuaciones:
y
M
x
m
= ( III.19)
x
M
y
m
= ( III.20)
Donde tanto la masa de la placa plana como los momentos
estáticos se calculan por medio de integrales dobles.
El centro de gravedad
también es llamado
centro de masa.
El significado físico del
centro de gravedad, es
que la lámina se
comporta como si su
masa estuviera
concentrada en ese punto.
El centro de gravedad
recibe el nombre de
centroide cuando la
densidad es constante.
UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática.
99
85664
33 3
x
M=+ =
Calculando el momento estático respecto al eje
y se tiene:
()
()
22
242 424
33
064 264
22
12 12
xx
y
xx xx
M x x dydx x x dydx
−−
−+ −+
=+++∫∫ ∫∫
262 1162 1424
15 15 15
y
M=+ =
Finalmente, para la región del ejemplo 3.8 se tiene que:
()
()
64
12
3
1424
12
15
x
D
y
D
MyxdA
MxxdA
=+=
=+=∫∫
∫∫
3.1.5. CENTRO DE MASA
El centro de gravedad de una figura plana
D, es un punto P de
coordenadas
()x,yD∈, en el cual la región se equilibra
horizontalmente. Las coordenadas de este punto se obtienen de
las ecuaciones:
y
M
x
m
= ( III.19)
x
M
y
m
= ( III.20)
Donde tanto la masa de la placa plana como los momentos
estáticos se calculan por medio de integrales dobles.
El centro de gravedad
también es llamado
centro de masa.
El significado físico del
centro de gravedad, es
que la lámina se
comporta como si su
masa estuviera
concentrada en ese punto.
El centro de gravedad
recibe el nombre de
centroide cuando la
densidad es constante.
Geraldine Cisneros Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones
UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática.
100
Determine el centro de masa de la placa plana descrita en el
ejemplo 3.7.
Solución:
El centro de masa es un punto
()Px,y D∈ , tal que sus
coordenadas se obtienen empleando las ecuaciones
III.21 y
III.22. Como ya se calculó la masa y los momentos estáticos para
esta región, entonces sólo queda sustituir en las ecuaciones
III.19
y
III.20
8
65
45
3
y
M
x
m
= =− =−
0
0
4
3
x
M
y
m
= ==
CENTRO DE MASA
Sea
D una región del plano xy, tal que su densidad viene
dada por la función
2
:ρ →\\, la cual es continua
()
x,y D∀∈ , entonces el centro de gravedad viene dado por:
()
1
,
D
x xxydA
mρ=∫∫
( III.21)
()
1
,
D
yyxydA
m ρ=∫∫
( III.22)
Donde
m es la masa de la placa D, que se obtiene como
(),
D
xydAρ∫∫
.
La región del ejemplo 3.7
está acotada por las
curvas
2
1xy=− y
2
22xy=− .
Su densidad es :
(
)1x,yρ =
Y adicionalmente se
obtuvo:
2
2
11
12 2 4
3y
y
mdxdy
−
−−
==∫∫
0
8
5
x
D
y
D
MydA
MxdA
==
==−∫∫
∫∫
EJEMPLO 3.11
UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática.
100
Determine el centro de masa de la placa plana descrita en el
ejemplo 3.7.
Solución:
El centro de masa es un punto
()Px,y D∈ , tal que sus
coordenadas se obtienen empleando las ecuaciones
III.21 y
III.22. Como ya se calculó la masa y los momentos estáticos para
esta región, entonces sólo queda sustituir en las ecuaciones
III.19
y
III.20
8
65
45
3
y
M
x
m
= =− =−
0
0
4
3
x
M
y
m
= ==
CENTRO DE MASA
Sea
D una región del plano xy, tal que su densidad viene
dada por la función
2
:ρ →\\, la cual es continua
()
x,y D∀∈ , entonces el centro de gravedad viene dado por:
()
1
,
D
x xxydA
mρ=∫∫
( III.21)
()
1
,
D
yyxydA
m ρ=∫∫
( III.22)
Donde
m es la masa de la placa D, que se obtiene como
(),
D
xydAρ∫∫
.
La región del ejemplo 3.7
está acotada por las
curvas
2
1xy=− y
2
22xy=− .
Su densidad es :
(
)1x,yρ =
Y adicionalmente se
obtuvo:
2
2
11
12 2 4
3y
y
mdxdy
−
−−
==∫∫
0
8
5
x
D
y
D
MydA
MxdA
==
==−∫∫
∫∫
EJEMPLO 3.11
Geraldine Cisneros Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones
UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática.
101
Entonces:
()
6
,,0
5
Pxy
=−
En la siguiente figura se observa el centro de masa o de gravedad
de la placa
D descrita en el ejemplo 3.7
Figura 3.21
Centro de masa de la región
D del ejemplo 3.7
Determine el centro de masa de la placa plana descrita en el
ejemplo 3.8.
Solución:
Sustituyendo el valor de la masa y los momentos estáticos en las
ecuaciones que permiten calcular las coordenadas del centro de
masa, se tiene: 1424
17815
40 75
y
M
x
m
== =
EJEMPLO 3.12
La región D del ejemplo
3.8, tiene una densidad
que varía según:
(
)12x,y xρ =+
En los ejemplos 3.8 y
3.10, se obtuvo:
()12 40
D
mxdA=+ =∫∫
()
()
64
12
3
1424
12
15
x
D
y
D
MyxdA
MxxdA
=+=
=+=∫∫
∫∫
6
0
5
,
−
D
UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática.
101
Entonces:
()
6
,,0
5
Pxy
=−
En la siguiente figura se observa el centro de masa o de gravedad
de la placa
D descrita en el ejemplo 3.7
Figura 3.21
Centro de masa de la región
D del ejemplo 3.7
Determine el centro de masa de la placa plana descrita en el
ejemplo 3.8.
Solución:
Sustituyendo el valor de la masa y los momentos estáticos en las
ecuaciones que permiten calcular las coordenadas del centro de
masa, se tiene: 1424
17815
40 75
y
M
x
m
== =
EJEMPLO 3.12
La región D del ejemplo
3.8, tiene una densidad
que varía según:
(
)12x,y xρ =+
En los ejemplos 3.8 y
3.10, se obtuvo:
()12 40
D
mxdA=+ =∫∫
()
()
64
12
3
1424
12
15
x
D
y
D
MyxdA
MxxdA
=+=
=+=∫∫
∫∫
6
0
5
,
−
D
Geraldine Cisneros Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones
UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática.
102
64
83
40 15
x
M
y
m
= ==
Luego:
()
178 8
,,
75 15
Pxy
=
En la figura 3.22 se aprecia la región D y su centro de masa:
Figura 3.22
Centro de masa de la región
D del ejemplo 3.8
3.1.6. MOMENTO DE INERCIA
El momento de inercia de una partícula alrededor de un eje se
define como el producto de su masa y el cuadrado de la distancia
que la separa de ese eje y se considera como una medida de la
oposición a girar del cuerpo cuando actúa sobre él una fuerza de
rotación. Los segundos momentos más importantes son los
momentos de inercia alrededor de los ejes coordenados y del
origen.
Los momentos de inercia
también son llamados
segundos momentos.
Los momentos de inercia
son momentos de “giro”.
178 8
75 15
,
D
UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática.
102
64
83
40 15
x
M
y
m
= ==
Luego:
()
178 8
,,
75 15
Pxy
=
En la figura 3.22 se aprecia la región D y su centro de masa:
Figura 3.22
Centro de masa de la región
D del ejemplo 3.8
3.1.6. MOMENTO DE INERCIA
El momento de inercia de una partícula alrededor de un eje se
define como el producto de su masa y el cuadrado de la distancia
que la separa de ese eje y se considera como una medida de la
oposición a girar del cuerpo cuando actúa sobre él una fuerza de
rotación. Los segundos momentos más importantes son los
momentos de inercia alrededor de los ejes coordenados y del
origen.
Los momentos de inercia
también son llamados
segundos momentos.
Los momentos de inercia
son momentos de “giro”.
178 8
75 15
,
D
Geraldine Cisneros Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones
UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática.
103
El procedimiento para obtener estos momentos como integrales
dobles es similar al que se ilustró para los momentos estáticos,
por lo tanto, el momento de inercia de una placa
D, respecto al eje
x, denotado
x
I, se calcula como:
()( ) ()
2
*** 2
0
11
,,
nm
xjijij
DP
ij
ILim y x y A y x y dAρρ
→
==
=∆=∑∑ ∫∫ (III.23)
Análogamente, el momento de inercia alrededor del eje
y se
denota como
y
I y se obtiene como:
() ( ) ()
2
*** 2
0
11
,,
nm
yiijij
DP
ij
ILim x x y A x x y dAρρ
→
==
=∆=∑∑ ∫∫ (III.24)
La suma de estos dos momentos se conoce como momento de
inercia alrededor del origen,
0
I, donde:
()( ) ( ) ( ) ()
22
** ** 22
0
0
11
,,
nm
ij ijij
DP
ij
ILim x y x y A x y x y dAρρ
→
==
=+ ∆=+
∑∑ ∫∫
(III.25)
MOMENTOS DE INERCIA DE FIGURAS PLANAS
Sea
D una región del plano xy, tal que su densidad viene
dada por la función
2
:ρ →\\, la cual es continua
()
x,y D∀∈ , entonces los momentos de inercia alrededor de
los ejes
x y y, denotados
x
I e
y
I, se obtienen como:
()
2
,
x
D
I yxydAρ=∫∫
( III.26)
()
2
,
y
D
I xxydAρ=∫∫
( III.27)
El momento polar de inercia,
0
I, es:
( )()
22
0
,
D
I xy xydAρ=+∫∫
( III.28)
El momento de inercia
alrededor del origen
también es conocido
como momento polar de
inercia.
0 xy
III=+
En las ecuaciones III.23
y III.24, el cuadrado de x
o de y recibe el nombre
de brazo de palanca.
UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática.
103
El procedimiento para obtener estos momentos como integrales
dobles es similar al que se ilustró para los momentos estáticos,
por lo tanto, el momento de inercia de una placa
D, respecto al eje
x, denotado
x
I, se calcula como:
()( ) ()
2
*** 2
0
11
,,
nm
xjijij
DP
ij
ILim y x y A y x y dAρρ
→
==
=∆=∑∑ ∫∫ (III.23)
Análogamente, el momento de inercia alrededor del eje
y se
denota como
y
I y se obtiene como:
() ( ) ()
2
*** 2
0
11
,,
nm
yiijij
DP
ij
ILim x x y A x x y dAρρ
→
==
=∆=∑∑ ∫∫ (III.24)
La suma de estos dos momentos se conoce como momento de
inercia alrededor del origen,
0
I, donde:
()( ) ( ) ( ) ()
22
** ** 22
0
0
11
,,
nm
ij ijij
DP
ij
ILim x y x y A x y x y dAρρ
→
==
=+ ∆=+
∑∑ ∫∫
(III.25)
MOMENTOS DE INERCIA DE FIGURAS PLANAS
Sea
D una región del plano xy, tal que su densidad viene
dada por la función
2
:ρ →\\, la cual es continua
()
x,y D∀∈ , entonces los momentos de inercia alrededor de
los ejes
x y y, denotados
x
I e
y
I, se obtienen como:
()
2
,
x
D
I yxydAρ=∫∫
( III.26)
()
2
,
y
D
I xxydAρ=∫∫
( III.27)
El momento polar de inercia,
0
I, es:
( )()
22
0
,
D
I xy xydAρ=+∫∫
( III.28)
El momento de inercia
alrededor del origen
también es conocido
como momento polar de
inercia.
0 xy
III=+
En las ecuaciones III.23
y III.24, el cuadrado de x
o de y recibe el nombre
de brazo de palanca.
Geraldine Cisneros Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones
UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática.
104
Determine los momentos de inercia de la placa plana descrita en
el ejemplo 3.7.
Solución:
Los momentos de inercia alrededor de los ejes coordenados se
calculan de la siguiente manera:
()
2
,
x
D
I yxydAρ=∫∫
,
()
2
,
y
D
I xxydAρ=∫∫
y ( )()
22
0
,
D
I xy xydAρ=+∫∫
.
()
2
2
11 1
222
12 2 1 4
1
15y
x
y
I y dxdy y y dy
−
−− −
= =−=∫∫ ∫
2
2
11 1
2642
12 2 1 77 32
72
33 15y
y
y
Ixdxdy yyydy
−
−− −
==−+−=
∫∫ ∫
()
2
2
11 1
22 6 4 2
0
12 2 1 77 12
66
33 5y
y
Ixydxdyyyydy
−
−− −
=+=−+−=
∫∫ ∫
Nótese que el momento polar de inercia puede calcularse como se
acaba de ilustrar, sin embargo, también puede obtenerse a partir
de:
0
4323612
15 15 15 5
xy
III
=+= + = =
Entonces los momentos de inercia para la placa plana descrita en
el ejemplo3.7 son:
()
2
2
22
0 4
15
32
15
12
5
x
D
y
D
D
IydA
IxdA
IxydA
==
==
= +=
∫∫
∫∫
∫∫
La gráfica de la región D
del ejemplo 3.7 se
muestra a continuación:
Cuya densidad es :
(
)1x,yρ =
()
22
22 1
11
x,y y x y
D
y
−≤≤ −∧
=
−≤ ≤
EJEMPLO 3.13
UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática.
104
Determine los momentos de inercia de la placa plana descrita en
el ejemplo 3.7.
Solución:
Los momentos de inercia alrededor de los ejes coordenados se
calculan de la siguiente manera:
()
2
,
x
D
I yxydAρ=∫∫
,
()
2
,
y
D
I xxydAρ=∫∫
y ( )()
22
0
,
D
I xy xydAρ=+∫∫
.
()
2
2
11 1
222
12 2 1 4
1
15y
x
y
I y dxdy y y dy
−
−− −
= =−=∫∫ ∫
2
2
11 1
2642
12 2 1 77 32
72
33 15y
y
y
Ixdxdy yyydy
−
−− −
==−+−=
∫∫ ∫
()
2
2
11 1
22 6 4 2
0
12 2 1 77 12
66
33 5y
y
Ixydxdyyyydy
−
−− −
=+=−+−=
∫∫ ∫
Nótese que el momento polar de inercia puede calcularse como se
acaba de ilustrar, sin embargo, también puede obtenerse a partir
de:
0
4323612
15 15 15 5
xy
III
=+= + = =
Entonces los momentos de inercia para la placa plana descrita en
el ejemplo3.7 son:
()
2
2
22
0 4
15
32
15
12
5
x
D
y
D
D
IydA
IxdA
IxydA
==
==
= +=
∫∫
∫∫
∫∫
La gráfica de la región D
del ejemplo 3.7 se
muestra a continuación:
Cuya densidad es :
(
)1x,yρ =
()
22
22 1
11
x,y y x y
D
y
−≤≤ −∧
=
−≤ ≤
EJEMPLO 3.13
Geraldine Cisneros Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones
UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática.
105
Determine los momentos de inercia de la placa plana descrita en
el ejemplo 3.8.
Solución:
Calculando el momento de inercia respecto al eje
x, se tiene:
()
()
22
242 424
22
33
064 264
22
12 12
xx
x
xx xx
Iy xdydx y xdydx
−−
−+ −+
=+++∫∫ ∫∫
( )
()
()
()
3
2
3
2
0
3
4
3
2
2
12 3
42 6 4
32
12 3
24 64
32
x
x
I xxxdx
x
x xx dx
+
= −− −+ +
+
+−−−+
∫
∫
712 2168 576
35 35 7
x
I=+ =
Calculando el momento inercia respecto al eje
y se tiene:
()
()
22
242 424
22
33
064 264
22
12 12
xx
y
xx xx
I xxdydx xxdydx
−−
−+ −+
=+++∫∫ ∫∫
24
543 5 432
02 13 29
34 388
22
y
I xxxdx xxxxdx
=−+ + +−+ −−
∫∫
128 3472 3856
515 15
y
I=+ =
El momento polar de inercia puede obtenerse como:
( )() () ()
2 2
242 424
22 22
330
064 264
22
12 12
xx
xx xx
I xy xdydx xy xdydx
−−
−+ −+
=+++++∫∫ ∫∫
O también como:
0
576 3856 35632
715105
xy
III=+= + =
()
()
() ()
2
2
22
0 576
12
7
3856
12
15
35632
12
105
x
D
y
D
D
IyxdA
IxxdA
IxyxdA
=+=
=+=
=++=∫∫
∫∫
∫∫
EJEMPLO 3.14
La gráfica de la región D
del ejemplo 3.8 se
observa a continuación:
Cuya densidad vienen
dada por:
(
)12x,y xρ =+
Donde
12
DD D= ∪
()
()
1
2
2
2
02
3
64 24
2
24
3
64 24
2
x, y x
D
xx y x
x,y x
D
xx yx
≤≤ ∧
=
−+≤≤−+
≤≤ ∧
=
−+≤≤ −
UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática.
105
Determine los momentos de inercia de la placa plana descrita en
el ejemplo 3.8.
Solución:
Calculando el momento de inercia respecto al eje
x, se tiene:
()
()
22
242 424
22
33
064 264
22
12 12
xx
x
xx xx
Iy xdydx y xdydx
−−
−+ −+
=+++∫∫ ∫∫
( )
()
()
()
3
2
3
2
0
3
4
3
2
2
12 3
42 6 4
32
12 3
24 64
32
x
x
I xxxdx
x
x xx dx
+
= −− −+ +
+
+−−−+
∫
∫
712 2168 576
35 35 7
x
I=+ =
Calculando el momento inercia respecto al eje
y se tiene:
()
()
22
242 424
22
33
064 264
22
12 12
xx
y
xx xx
I xxdydx xxdydx
−−
−+ −+
=+++∫∫ ∫∫
24
543 5 432
02 13 29
34 388
22
y
I xxxdx xxxxdx
=−+ + +−+ −−
∫∫
128 3472 3856
515 15
y
I=+ =
El momento polar de inercia puede obtenerse como:
( )() () ()
2 2
242 424
22 22
330
064 264
22
12 12
xx
xx xx
I xy xdydx xy xdydx
−−
−+ −+
=+++++∫∫ ∫∫
O también como:
0
576 3856 35632
715105
xy
III=+= + =
()
()
() ()
2
2
22
0 576
12
7
3856
12
15
35632
12
105
x
D
y
D
D
IyxdA
IxxdA
IxyxdA
=+=
=+=
=++=∫∫
∫∫
∫∫
EJEMPLO 3.14
La gráfica de la región D
del ejemplo 3.8 se
observa a continuación:
Cuya densidad vienen
dada por:
(
)12x,y xρ =+
Donde
12
DD D= ∪
()
()
1
2
2
2
02
3
64 24
2
24
3
64 24
2
x, y x
D
xx y x
x,y x
D
xx yx
≤≤ ∧
=
−+≤≤−+
≤≤ ∧
=
−+≤≤ −
Geraldine Cisneros Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones
UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática.
106
3.2 APLICACIONES DE LAS INTEGRALES TRIPLES
Las aplicaciones de las integrales triples, son similares a las
aplicaciones de las dobles. Sus definiciones se obtienen a partir
de la triple suma de Riemann; sin embargo a continuación se
presentan de una vez con la integral triple correspondiente para
cada una de ellas. Las aplicaciones que se mencionan a
continuación son: volúmenes de sólidos en el espacio, masa,
momentos estáticos, centros de masa y momentos de inercia de
cuerpos en el espacio.
3.2.1. VOLUMEN DE UN SÓLIDO EN EL ESPACIO
En el capítulo 2 se definió la integral triple de una función
f sobre
una región tridimensional B, ( )
B
fx,y,z dV∫∫∫
, como el límite de
una triple suma de Riemann , ()
0
111
nml
***
i j k ijk
P
ijk
Lim f x ,y ,z V
→
===
∆∑∑∑ . Si la
función
f es igual a la unidad; es decir, ( )1fx,y,z=, entonces, la
integral triple representa el volumen
V del sólido
B, resultando la
siguiente integral:
B
VdV=
∫∫∫
(III.29)
VOLUMEN DE UN SÓLIDO EN EL ESPACIO
Sea B una región tridimensional, entonces su volumen,
denotado como
V, se obtiene como
B
VdV=
∫∫∫
( III.30)
UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática.
106
3.2 APLICACIONES DE LAS INTEGRALES TRIPLES
Las aplicaciones de las integrales triples, son similares a las
aplicaciones de las dobles. Sus definiciones se obtienen a partir
de la triple suma de Riemann; sin embargo a continuación se
presentan de una vez con la integral triple correspondiente para
cada una de ellas. Las aplicaciones que se mencionan a
continuación son: volúmenes de sólidos en el espacio, masa,
momentos estáticos, centros de masa y momentos de inercia de
cuerpos en el espacio.
3.2.1. VOLUMEN DE UN SÓLIDO EN EL ESPACIO
En el capítulo 2 se definió la integral triple de una función
f sobre
una región tridimensional B, ( )
B
fx,y,z dV∫∫∫
, como el límite de
una triple suma de Riemann , ()
0
111
nml
***
i j k ijk
P
ijk
Lim f x ,y ,z V
→
===
∆∑∑∑ . Si la
función
f es igual a la unidad; es decir, ( )1fx,y,z=, entonces, la
integral triple representa el volumen
V del sólido
B, resultando la
siguiente integral:
B
VdV=
∫∫∫
(III.29)
VOLUMEN DE UN SÓLIDO EN EL ESPACIO
Sea B una región tridimensional, entonces su volumen,
denotado como
V, se obtiene como
B
VdV=
∫∫∫
( III.30)
Geraldine Cisneros Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones
UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática.
107
Determine el volumen del sólido
B acotado por las superficies:
0x=, yx=, 2y x=−, 1z= y
22
5zxy=−− .
Solución:
Para calcular el volumen del sólido
B, se emplea la integral triple
B
dV∫∫∫
. En la siguiente gráfica se ilustra el sólido B acotado por
las superficies mencionadas en el ejemplo 3.15 y adicionalmente
se señalan los valores que toma la variable
z a la entrada y la
salida del recinto
B.
Figura 3.23
Sólido B del ejemplo 3.15
Por lo tanto el volumen se obtiene como:
22
5
1
xy
D
VdzdA
−−
=∫∫ ∫
Donde
D es la proyección del sólido B sobre el plano xy. Dicha
proyección se muestra en la figura 3.24.
EJEMPLO 3.15
B
2yx=−
yx=
Valor de z a
la salida de B
22
5zxy
=−−
Valor de z a
la entrada de B
1z
=
UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática.
107
Determine el volumen del sólido
B acotado por las superficies:
0x=, yx=, 2y x=−, 1z= y
22
5zxy=−− .
Solución:
Para calcular el volumen del sólido
B, se emplea la integral triple
B
dV∫∫∫
. En la siguiente gráfica se ilustra el sólido B acotado por
las superficies mencionadas en el ejemplo 3.15 y adicionalmente
se señalan los valores que toma la variable
z a la entrada y la
salida del recinto
B.
Figura 3.23
Sólido B del ejemplo 3.15
Por lo tanto el volumen se obtiene como:
22
5
1
xy
D
VdzdA
−−
=∫∫ ∫
Donde
D es la proyección del sólido B sobre el plano xy. Dicha
proyección se muestra en la figura 3.24.
EJEMPLO 3.15
B
2yx=−
yx=
Valor de z a
la salida de B
22
5zxy
=−−
Valor de z a
la entrada de B
1z
=
Geraldine Cisneros Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones
UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática.
108
Figura 3.24
Proyección del sólido B del ejemplo 3.15 en el plano xy
Entonces la región D, está definida como:
(){ }01 2Dx,y x xy x= ≤≤ ∧ ≤≤−
Luego:
()
22
12 5 12
22
01 0
4
xxy x
xx
V dzdydx x y dydx
−−− −
==−−∫∫ ∫ ∫∫
1
32
016 8 8
44
33 3
Vxxxdx
= +−− =
∫
8
3
B
VdV
= =∫∫∫
Determine el volumen del sólidoB acotado por las superficies:
4y=,
2
yx=, 0z= y 4z y=−.
Solución:
El cálculo de volumen del sólido
B, se realiza por medio de la
integral triple
B
dV
∫∫∫
. En la figura 3.25 se ilustra el sólido B de
este ejemplo. Adicionalmente se muestran los valores de la
variable
z a la entrada y la salida del recinto B.
La región D del ejemplo
3.15 es una región tipo 1
D
Valor de y a
la salida de D
2yx
=−
Valor de y a
la entrada de D
yx
=
EJEMPLO 3.16
UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática.
108
Figura 3.24
Proyección del sólido B del ejemplo 3.15 en el plano xy
Entonces la región D, está definida como:
(){ }01 2Dx,y x xy x= ≤≤ ∧ ≤≤−
Luego:
()
22
12 5 12
22
01 0
4
xxy x
xx
V dzdydx x y dydx
−−− −
==−−∫∫ ∫ ∫∫
1
32
016 8 8
44
33 3
Vxxxdx
= +−− =
∫
8
3
B
VdV
= =∫∫∫
Determine el volumen del sólidoB acotado por las superficies:
4y=,
2
yx=, 0z= y 4z y=−.
Solución:
El cálculo de volumen del sólido
B, se realiza por medio de la
integral triple
B
dV
∫∫∫
. En la figura 3.25 se ilustra el sólido B de
este ejemplo. Adicionalmente se muestran los valores de la
variable
z a la entrada y la salida del recinto B.
La región D del ejemplo
3.15 es una región tipo 1
D
Valor de y a
la salida de D
2yx
=−
Valor de y a
la entrada de D
yx
=
EJEMPLO 3.16
Geraldine Cisneros Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones
UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática.
109
Figura 3.25
Sólido B del ejemplo 3.16
Por lo tanto el volumen se obtiene como:
4
0
y
D
VdzdA
−
=∫∫ ∫
Donde
D es la proyección del sólido B sobre el plano xy. Esta
proyección se observa en la figura 3.26.
Figura 3.26
Proyección del sólido B del ejemplo 3.16 en el plano xy
B
Valor de z a
la salida de B
4zy
=−
Valor de z a
la entrada de B
0z
=
La región D del ejemplo
3.16 es una región tipo 1
D
Valor de y a
la salida de D
4y
=
Valor de y a
la entrada de D
2
yx
=
UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática.
109
Figura 3.25
Sólido B del ejemplo 3.16
Por lo tanto el volumen se obtiene como:
4
0
y
D
VdzdA
−
=∫∫ ∫
Donde
D es la proyección del sólido B sobre el plano xy. Esta
proyección se observa en la figura 3.26.
Figura 3.26
Proyección del sólido B del ejemplo 3.16 en el plano xy
B
Valor de z a
la salida de B
4zy
=−
Valor de z a
la entrada de B
0z
=
La región D del ejemplo
3.16 es una región tipo 1
D
Valor de y a
la salida de D
4y
=
Valor de y a
la entrada de D
2
yx
=
Geraldine Cisneros Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones
UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática.
110
La región D, del ejemplo 3.16 está definida como:
()
{ }
2
22 4Dx,y x xy= −≤≤ ∧ ≤≤
Luego:
()
22
4
244 24 2
2
20 2 2
256
484
215y
xx x
V dzdydx y dydx x dx−
−−−
==−=−+=
∫∫∫ ∫∫ ∫
256
15
B
VdV==∫∫∫
Plantear mediante integrales triples el volumen comprendido entre
dos esferas concéntricas de radios 1 y 4.
Solución:
Sea
B el sólido mencionado en el ejemplo 3.17. En la figura 3.27
se ilustran las dos esferas concéntricas de radios 1 y 4.
Figura 3.27
Sólido B del ejemplo 3.17
EJEMPLO 3.17
B
222
16xyz++=
222
1xyz++=
La región tridimensional
comprendida entre las
dos esferas concéntricas
es simétrica respecto al
origen, razón por la cual,
dicha región se divide en
8 partes correspondientes
a cada cuadrante.
UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática.
110
La región D, del ejemplo 3.16 está definida como:
()
{ }
2
22 4Dx,y x xy= −≤≤ ∧ ≤≤
Luego:
()
22
4
244 24 2
2
20 2 2
256
484
215y
xx x
V dzdydx y dydx x dx−
−−−
==−=−+=
∫∫∫ ∫∫ ∫
256
15
B
VdV==∫∫∫
Plantear mediante integrales triples el volumen comprendido entre
dos esferas concéntricas de radios 1 y 4.
Solución:
Sea
B el sólido mencionado en el ejemplo 3.17. En la figura 3.27
se ilustran las dos esferas concéntricas de radios 1 y 4.
Figura 3.27
Sólido B del ejemplo 3.17
EJEMPLO 3.17
B
222
16xyz++=
222
1xyz++=
La región tridimensional
comprendida entre las
dos esferas concéntricas
es simétrica respecto al
origen, razón por la cual,
dicha región se divide en
8 partes correspondientes
a cada cuadrante.
Geraldine Cisneros Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones
UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática.
111
A continuación se muestra la porción del sólido B que se
encuentra en el primer octante, el cual se denomina como
B1.
También se muestran los valores de la variable
z a la entrada y la
salida del recinto
B1.
Figura 3.28
Sólido
1
B del ejemplo 3.17
Entonces:
1
8
BB
VdV dV==∫∫∫ ∫∫∫
Como el valor de la variable
z cambia a la entrada del sólido B1,
entonces se debe emplear la propiedad aditiva respecto a la
región de integración, por lo cual:
22 22
22
11 2
16 16
01
88
xy xy
BD Dxy
V dV dzdA dzdA
−− −−
−−
== +
∫∫∫ ∫∫ ∫ ∫∫ ∫
Donde
D1 y D2 son las regiones bidimensionales que se obtienen
al proyectar el sólido
B1 sobre el plano xy. En la figura 3.29 se
aprecia dicha proyección.
Valor de z a
la salida de B
1
22
16zxy=−−
Valor de z a
la entrada de B
1
0z
=
B1
Valor de z a
la salida de B
1
22
16z xy=−−
Valor de z a
la entrada de B
1 22
1z xy=−−
Figura 3.29
Proyección del sólido B
1
sobre el plano xy
D1
D
2
UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática.
111
A continuación se muestra la porción del sólido B que se
encuentra en el primer octante, el cual se denomina como
B1.
También se muestran los valores de la variable
z a la entrada y la
salida del recinto
B1.
Figura 3.28
Sólido
1
B del ejemplo 3.17
Entonces:
1
8
BB
VdV dV==∫∫∫ ∫∫∫
Como el valor de la variable
z cambia a la entrada del sólido B1,
entonces se debe emplear la propiedad aditiva respecto a la
región de integración, por lo cual:
22 22
22
11 2
16 16
01
88
xy xy
BD Dxy
V dV dzdA dzdA
−− −−
−−
== +
∫∫∫ ∫∫ ∫ ∫∫ ∫
Donde
D1 y D2 son las regiones bidimensionales que se obtienen
al proyectar el sólido
B1 sobre el plano xy. En la figura 3.29 se
aprecia dicha proyección.
Valor de z a
la salida de B
1
22
16zxy=−−
Valor de z a
la entrada de B
1
0z
=
B1
Valor de z a
la salida de B
1
22
16z xy=−−
Valor de z a
la entrada de B
1 22
1z xy=−−
Figura 3.29
Proyección del sólido B
1
sobre el plano xy
D1
D
2
Geraldine Cisneros Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones
UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática.
112
Figura 3.30
Región
1
Ddel ejemplo 3.17
Entonces, la región D1 viene dada por la unión de las regiones:
()
{ }
(){}
22
11
2
12
01 1 16
140 16
.
.
D x,y x x y x
Dx,y x y x
=≤≤∧−≤≤−
=≤≤∧≤≤−
Figura 3.31
Región
2
Ddel ejemplo 3.17
La región bidimensional
D
1 se divide en dos
regiones tipo 1; es decir:
11.11.2
DDD=∪
D1.1
D
1.2
Valor de y a
la salida de D
1.1
2
16yx=−
Valor de y a
la salida de D
1.2 2
16yx=−
Valor de y a
la entrada de D
1.1 2
1yx=−
Valor de y a
la entrada de D
1.2
0y=
1
x=
D2
Valor de y a
la salida de D
2
2
1yx=−
Valor de y a
la entrada de D
2
0y=
La región bidimensional
D
2 es una región tipo 1.
UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática.
112
Figura 3.30
Región
1
Ddel ejemplo 3.17
Entonces, la región D1 viene dada por la unión de las regiones:
()
{ }
(){}
22
11
2
12
01 1 16
140 16
.
.
D x,y x x y x
Dx,y x y x
=≤≤∧−≤≤−
=≤≤∧≤≤−
Figura 3.31
Región
2
Ddel ejemplo 3.17
La región bidimensional
D
1 se divide en dos
regiones tipo 1; es decir:
11.11.2
DDD=∪
D1.1
D
1.2
Valor de y a
la salida de D
1.1
2
16yx=−
Valor de y a
la salida de D
1.2 2
16yx=−
Valor de y a
la entrada de D
1.1 2
1yx=−
Valor de y a
la entrada de D
1.2
0y=
1
x=
D2
Valor de y a
la salida de D
2
2
1yx=−
Valor de y a
la entrada de D
2
0y=
La región bidimensional
D
2 es una región tipo 1.
Geraldine Cisneros Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones
UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática.
113
Con base a la figura 3.31, se tiene que:
()
{ }
2
2
010 1Dx,
y x y x=≤≤∧≤≤−
Por lo tanto, las integrales triples que permiten calcular el volumen
comprendido entre dos esferas concéntricas de radios 1 y 4 son:
222 222
2
222
22
1 16 16 4 16 16
01 0 10 0
11 16
00 1
88
8
xxy xxy
x
xxy
xy
V dzdydx dzdydx
dzdydx
−−− −−−
−
−−−
−−
=++
+∫∫ ∫ ∫∫ ∫
∫∫ ∫
3.2.2. MASA DE UN SÓLIDO EN EL ESPACIO
Considere una región tridimesional B, no homogénea, esto es que
su densidad ρ varía en cada punto ( )x,y,z B∈ , donde la función
densidad está expresada en unidades de masa por unidad de
volumen, entonces la masa se obtiene como la integral triple de la
función densidad sobre la región
B, tal como se define a
continuación:
MASA DE UN SÓLIDO EN EL ESPACIO
Considere un cuerpo tridimensional
B de densidad variable
()
x,y,zρ , entonces su masa, denotada m, se obtiene como:
( ),,
B
mxyzdVρ=∫∫∫
( III.31)
Resolver estas integrales
es un proceso bastante
laborioso; sin embargo
con un software
matemático se puede
obtener que el volumen
planteado en el ejemplo
3.17 es:
(
)8 32.98672287V=
UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática.
113
Con base a la figura 3.31, se tiene que:
()
{ }
2
2
010 1Dx,
y x y x=≤≤∧≤≤−
Por lo tanto, las integrales triples que permiten calcular el volumen
comprendido entre dos esferas concéntricas de radios 1 y 4 son:
222 222
2
222
22
1 16 16 4 16 16
01 0 10 0
11 16
00 1
88
8
xxy xxy
x
xxy
xy
V dzdydx dzdydx
dzdydx
−−− −−−
−
−−−
−−
=++
+∫∫ ∫ ∫∫ ∫
∫∫ ∫
3.2.2. MASA DE UN SÓLIDO EN EL ESPACIO
Considere una región tridimesional B, no homogénea, esto es que
su densidad ρ varía en cada punto ( )x,y,z B∈ , donde la función
densidad está expresada en unidades de masa por unidad de
volumen, entonces la masa se obtiene como la integral triple de la
función densidad sobre la región
B, tal como se define a
continuación:
MASA DE UN SÓLIDO EN EL ESPACIO
Considere un cuerpo tridimensional
B de densidad variable
()
x,y,zρ , entonces su masa, denotada m, se obtiene como:
( ),,
B
mxyzdVρ=∫∫∫
( III.31)
Resolver estas integrales
es un proceso bastante
laborioso; sin embargo
con un software
matemático se puede
obtener que el volumen
planteado en el ejemplo
3.17 es:
(
)8 32.98672287V=
Geraldine Cisneros Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones
UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática.
114
Calcular la masa del sólido comprendido entre los planos: 0z
= y
1zy=− y dentro de la superficie definida por la ecuación
22
44xy+= , cuya densidad viene dada por ( ),, 2xyz zρ =
Solución:
El sólido
B del ejemplo 3.18 se muestra en la figura 3.32, también
se muestran los valores que toma la variable
z a la entrada y salida
de la región
B.
Figura 3.32
Sólido
B del ejemplo 3.17
Para calcular la masa del sólido mostrado en la figura anterior, se
emplea la ecuación
III.31, donde al sustituir el primer orden de
integración y la función densidad, se obtiene:
1
0
2
y
D
mzdzdA
−
=∫∫ ∫
donde
D es la proyección del sólido B en el plano xy. Esta
proyección, junto con el segundo orden de integración se ilustra en
la figura 3.33
EJEMPLO 3.18
B
Valor de z a
la salida de B
1zy
=−
Valor de z a
la entrada de B
0z
=
UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática.
114
Calcular la masa del sólido comprendido entre los planos: 0z
= y
1zy=− y dentro de la superficie definida por la ecuación
22
44xy+= , cuya densidad viene dada por ( ),, 2xyz zρ =
Solución:
El sólido
B del ejemplo 3.18 se muestra en la figura 3.32, también
se muestran los valores que toma la variable
z a la entrada y salida
de la región
B.
Figura 3.32
Sólido
B del ejemplo 3.17
Para calcular la masa del sólido mostrado en la figura anterior, se
emplea la ecuación
III.31, donde al sustituir el primer orden de
integración y la función densidad, se obtiene:
1
0
2
y
D
mzdzdA
−
=∫∫ ∫
donde
D es la proyección del sólido B en el plano xy. Esta
proyección, junto con el segundo orden de integración se ilustra en
la figura 3.33
EJEMPLO 3.18
B
Valor de z a
la salida de B
1zy
=−
Valor de z a
la entrada de B
0z
=
Geraldine Cisneros Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones
UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática.
115
Figura 3.33
Región
Ddel ejemplo 3.18
La región D está definida como:
()
22
44
22
22
x x
Dx,y x y
−−
=−≤≤∧−≤≤
Volviendo al cálculo de la masa:
()
22
22
44
21 2
2
22
4420 2
22
21
xx
y
xx
m zdzdydx y dydx
−−
−
−−−−
−−
==−∫∫ ∫ ∫∫
33
22
2
2
14 4 5
11
32 2 2
xx
mdx
π
−
−−
=+ −− =
∫
5
2
2
B
mzdV
π
==∫∫∫
Calcular la masa del sólido comprendido entre los paraboloides
22
44zx y=+ y
22
84 4zxy=− − , cuya densidad viene dada por ( ),, 1xyz x y zρ =+++ .
EJEMPLO 3.19
D
Valor de y a
la salida de D
2
4
2
x
y
−
=
Valor de y a
la entrada de D
2
4
2
x
y
−
=−
La gráfica de la ecuación:
22
44xy+=
Es una elipse horizontal.
La región bidimensional
D del ejemplo 3.18 es
una región tipo 1 y
también una región tipo
2.
UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática.
115
Figura 3.33
Región
Ddel ejemplo 3.18
La región D está definida como:
()
22
44
22
22
x x
Dx,y x y
−−
=−≤≤∧−≤≤
Volviendo al cálculo de la masa:
()
22
22
44
21 2
2
22
4420 2
22
21
xx
y
xx
m zdzdydx y dydx
−−
−
−−−−
−−
==−∫∫ ∫ ∫∫
33
22
2
2
14 4 5
11
32 2 2
xx
mdx
π
−
−−
=+ −− =
∫
5
2
2
B
mzdV
π
==∫∫∫
Calcular la masa del sólido comprendido entre los paraboloides
22
44zx y=+ y
22
84 4zxy=− − , cuya densidad viene dada por ( ),, 1xyz x y zρ =+++ .
EJEMPLO 3.19
D
Valor de y a
la salida de D
2
4
2
x
y
−
=
Valor de y a
la entrada de D
2
4
2
x
y
−
=−
La gráfica de la ecuación:
22
44xy+=
Es una elipse horizontal.
La región bidimensional
D del ejemplo 3.18 es
una región tipo 1 y
también una región tipo
2.
Geraldine Cisneros Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones
UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática.
116
Solución:
En la figura 3.34, se muestra el sólido
B del ejemplo 3.19 y también
los valores que toma la variable
z a la entrada y salida de la región
B, los cuales permiten establecer los límites para la primera
integración parcial.
Figura 3.34
Sólido B del ejemplo 3.19
Por lo tanto, la masa se obtiene como:
()
22
22
84 4
44
1
xy
Dxy
mxyzdzdA
−−
+
=+++∫∫ ∫
siendo
D la proyección del sólido B en el plano xy. Para determinar
la ecuación de la curva que delimita a esta región D, es necesario
resolver el siguiente sistema:
22
22
44
84 4
zx y
zxy
=+
=− −
Sumando ambas ecuaciones se tiene que
4z=
B
Valor de z a
la salida de B
22
84 4zxy=− −
Valor de z a
la entrada de B
22
44zx y=+
UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática.
116
Solución:
En la figura 3.34, se muestra el sólido
B del ejemplo 3.19 y también
los valores que toma la variable
z a la entrada y salida de la región
B, los cuales permiten establecer los límites para la primera
integración parcial.
Figura 3.34
Sólido B del ejemplo 3.19
Por lo tanto, la masa se obtiene como:
()
22
22
84 4
44
1
xy
Dxy
mxyzdzdA
−−
+
=+++∫∫ ∫
siendo
D la proyección del sólido B en el plano xy. Para determinar
la ecuación de la curva que delimita a esta región D, es necesario
resolver el siguiente sistema:
22
22
44
84 4
zx y
zxy
=+
=− −
Sumando ambas ecuaciones se tiene que
4z=
B
Valor de z a
la salida de B
22
84 4zxy=− −
Valor de z a
la entrada de B
22
44zx y=+
Geraldine Cisneros Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones
UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática.
117
Sustituyendo el valor de z en la primera ecuación del sistema, se
obtiene la ecuación
22
1xy
+=.
Figura 3.35
Región
Ddel ejemplo 3.19
La región D queda definida como:
()
{ }
22
11 1 1Dx,y xx y x=−≤≤∧−−≤≤−
Luego, la masa se obtiene mediante la integral triple
()
222
222
11 844
11 44
1
xxy
xxy
m x y z dzdydx
−−−
−−− +
=+++∫∫ ∫
()
2
2
11
32 22 23
11
40 8 40 8 8 8 8 40 8
x
x
m x x x xy x y y y y dydx
−
−−−
=−−+−−+−−∫∫
1
222232
1160 32 160 32
11 1 120
33 3 3
mxxxxxxxdx
π
−
=−+−−−−−=
∫
( )120
B
mxyzdV π=+++=∫∫∫
Recuerde que la gráfica
de la ecuación:
22
1xy+=
Es una circunferencia.
La región D del ejemplo
3.19 puede clasificarse
como una región tipo 1 y
también como una región
tipo 2.
D
Valor de y a
la salida de D
2
1yx=−
Valor de y a
la entrada de D
2
1yx=−−
UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática.
117
Sustituyendo el valor de z en la primera ecuación del sistema, se
obtiene la ecuación
22
1xy
+=.
Figura 3.35
Región
Ddel ejemplo 3.19
La región D queda definida como:
()
{ }
22
11 1 1Dx,y xx y x=−≤≤∧−−≤≤−
Luego, la masa se obtiene mediante la integral triple
()
222
222
11 844
11 44
1
xxy
xxy
m x y z dzdydx
−−−
−−− +
=+++∫∫ ∫
()
2
2
11
32 22 23
11
40 8 40 8 8 8 8 40 8
x
x
m x x x xy x y y y y dydx
−
−−−
=−−+−−+−−∫∫
1
222232
1160 32 160 32
11 1 120
33 3 3
mxxxxxxxdx
π
−
=−+−−−−−=
∫
( )120
B
mxyzdV π=+++=∫∫∫
Recuerde que la gráfica
de la ecuación:
22
1xy+=
Es una circunferencia.
La región D del ejemplo
3.19 puede clasificarse
como una región tipo 1 y
también como una región
tipo 2.
D
Valor de y a
la salida de D
2
1yx=−
Valor de y a
la entrada de D
2
1yx=−−
Geraldine Cisneros Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones
UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática.
118
3.2.3. MOMENTOS ESTÁTICOS
El momento estático de una región
B tridimensional respecto a los
planos coordenados
xy, yz y xz, se definen de la siguiente manera:
Calcular los momentos estáticos alrededor de los planos
coordenados para el sólido descrito en el ejemplo 3.18.
Solución:
El sólido
B del ejemplo 3.18 se definió como:
()
22
44
22 01
22
xx
B x,y,z x y z y
−−
=−≤≤∧−≤≤ ∧≤≤−
Calculando los momentos estáticos por medio de las ecuaciones:
III.32, III.33 y III.34, se tiene:
MOMENTOS ESTÁTICOS DE UN SÓLIDO EN EL ESPACIO
Sea B un recinto del espacio, tal que su densidad viene dada
por la función
3
:ρ→\\, la cual es continua ()
x,y,z B∀∈ ,
entonces los momentos estáticos alrededor de los planos
xy,
yz y xz, denotados
xy
M,
yz
M y
xz
M, respectivamente, se
obtienen a partir de las siguientes expresiones:
( ),,
xy
B
M zxyzdVρ=∫∫∫
( III.32)
( ),,
yz
B
M xxyzdVρ=∫∫∫
( III.33)
( ),,
xz
B
M yxyzdVρ=∫∫∫
( III.34)
EJEMPLO 3.20
UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática.
118
3.2.3. MOMENTOS ESTÁTICOS
El momento estático de una región
B tridimensional respecto a los
planos coordenados
xy, yz y xz, se definen de la siguiente manera:
Calcular los momentos estáticos alrededor de los planos
coordenados para el sólido descrito en el ejemplo 3.18.
Solución:
El sólido
B del ejemplo 3.18 se definió como:
()
22
44
22 01
22
xx
B x,y,z x y z y
−−
=−≤≤∧−≤≤ ∧≤≤−
Calculando los momentos estáticos por medio de las ecuaciones:
III.32, III.33 y III.34, se tiene:
MOMENTOS ESTÁTICOS DE UN SÓLIDO EN EL ESPACIO
Sea B un recinto del espacio, tal que su densidad viene dada
por la función
3
:ρ→\\, la cual es continua ()
x,y,z B∀∈ ,
entonces los momentos estáticos alrededor de los planos
xy,
yz y xz, denotados
xy
M,
yz
M y
xz
M, respectivamente, se
obtienen a partir de las siguientes expresiones:
( ),,
xy
B
M zxyzdVρ=∫∫∫
( III.32)
( ),,
yz
B
M xxyzdVρ=∫∫∫
( III.33)
( ),,
xz
B
M yxyzdVρ=∫∫∫
( III.34)
EJEMPLO 3.20
Geraldine Cisneros Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones
UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática.
119
()
()
22
22 3
44
21 2
22
4420 2
22
21
2
3
xx
y
xy
xx
y
M z z dzdydx dydx
−−
−
−−−−
−−
−
==
∫∫ ∫ ∫∫
()
32
22 2
221 7
44
36 3
xy
Mxxdx
π
−
=−+−=
∫
Respecto al plano
yz:
()
()
22
22
44
21 2
2
22
4420 2
22
21
xx
y
yz
xx
M x z dzdydx x y dydx
−−
−
−−−−
−−
==−∫∫ ∫ ∫∫
()
32
22 2
2
1
44 0
12
yz
Mxxxxdx
−
= −+ − =
∫
Y finalmente, respecto al plano
xz:
()
()
22
22
44
21 2
2
22
4420 2
22
21
xx
y
xz
xx
M y z dzdydx y y dydx
−−
−
−−−−
−−
==−∫∫ ∫ ∫∫
()
32
22
21
4
6
xz
Mxdx
π
−
=−− =−
∫
()
()
()
7
2
3
20
2
xy
B
yz
B
xz
B
MzzdV
MxzdV
MyzdV
π
π
==
==
= =−
∫∫∫
∫∫∫
∫∫∫
Calcular los momentos estáticos alrededor de los planos
coordenados para el sólido descrito en el ejemplo 3.19.
Solución:
El sólido
B del ejemplo 3.19 está definido como:
()
{ }
222222
111 1 44 844Bx,y,z x x y xx yzx y=−≤≤∧−−≤≤−∧+≤≤−−
EJEMPLO 3.21
UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática.
119
()
()
22
22 3
44
21 2
22
4420 2
22
21
2
3
xx
y
xy
xx
y
M z z dzdydx dydx
−−
−
−−−−
−−
−
==
∫∫ ∫ ∫∫
()
32
22 2
221 7
44
36 3
xy
Mxxdx
π
−
=−+−=
∫
Respecto al plano
yz:
()
()
22
22
44
21 2
2
22
4420 2
22
21
xx
y
yz
xx
M x z dzdydx x y dydx
−−
−
−−−−
−−
==−∫∫ ∫ ∫∫
()
32
22 2
2
1
44 0
12
yz
Mxxxxdx
−
= −+ − =
∫
Y finalmente, respecto al plano
xz:
()
()
22
22
44
21 2
2
22
4420 2
22
21
xx
y
xz
xx
M y z dzdydx y y dydx
−−
−
−−−−
−−
==−∫∫ ∫ ∫∫
()
32
22
21
4
6
xz
Mxdx
π
−
=−− =−
∫
()
()
()
7
2
3
20
2
xy
B
yz
B
xz
B
MzzdV
MxzdV
MyzdV
π
π
==
==
= =−
∫∫∫
∫∫∫
∫∫∫
Calcular los momentos estáticos alrededor de los planos
coordenados para el sólido descrito en el ejemplo 3.19.
Solución:
El sólido
B del ejemplo 3.19 está definido como:
()
{ }
222222
111 1 44 844Bx,y,z x x y xx yzx y=−≤≤∧−−≤≤−∧+≤≤−−
EJEMPLO 3.21
Geraldine Cisneros Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones
UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática.
120
Calculando el momento estático respecto al plano xy:
()
222
222
11 844
11 44
1
xxy
xy
xxy
M zxyzdzdydx
−−−
−−− +
=+++∫∫ ∫
()()
2
2
11
4222 2 4 22
1132
488 383419 1
3 x
xy
x
M xxxyxyyy xy dx
−
−−−
=− − + + − + + + + −∫∫
1
22346
1 8832 128 34688 128 4096 4096 272
1
35 3 105 3 35 105 3
xy
Mx xxxxx
π
−
=− +− − + − =
∫
Respecto al plano
yz:
()
222
222
11 844
11 44
1
xxy
yz
xxy
M x x y z dzdydx
−−−
−−− +
=+++∫∫ ∫
() ()
2
2
11
22
11
851
x
yz
x
M xx yxy dx
−
−−−
=− + + + −∫∫
1
2234
1 160 32 160 32 2
1
33 3 3 3
yz
Mxxxxx
π
−
=− +− − =
∫
Respecto al plano
xz:
()
222
222
11 844
11 44
1
xxy
xz
xxy
M y x y z dzdydx
−−−
−−− +
=+++∫∫ ∫
() ()
2
2
11
22
11
851
x
xz
x
My x yxy dx
−
−−−
=− + + + −∫∫
()
2
1
24
1
32 1 2
12
15 3
xz
x
Mxx
π
−
−
=−+=
∫
Entonces, para el sólido del ejemplo 3.19 se tiene:
()
()
()
272
1
3
2
1
3
2
1
3
xy
B
yz
B
xz
B
MzxyzdV
MxxyzdV
MyxyzdV
π
π
π
=+++= =+++=
=+++=∫∫∫
∫∫∫
∫∫∫
UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática.
120
Calculando el momento estático respecto al plano xy:
()
222
222
11 844
11 44
1
xxy
xy
xxy
M zxyzdzdydx
−−−
−−− +
=+++∫∫ ∫
()()
2
2
11
4222 2 4 22
1132
488 383419 1
3 x
xy
x
M xxxyxyyy xy dx
−
−−−
=− − + + − + + + + −∫∫
1
22346
1 8832 128 34688 128 4096 4096 272
1
35 3 105 3 35 105 3
xy
Mx xxxxx
π
−
=− +− − + − =
∫
Respecto al plano
yz:
()
222
222
11 844
11 44
1
xxy
yz
xxy
M x x y z dzdydx
−−−
−−− +
=+++∫∫ ∫
() ()
2
2
11
22
11
851
x
yz
x
M xx yxy dx
−
−−−
=− + + + −∫∫
1
2234
1 160 32 160 32 2
1
33 3 3 3
yz
Mxxxxx
π
−
=− +− − =
∫
Respecto al plano
xz:
()
222
222
11 844
11 44
1
xxy
xz
xxy
M y x y z dzdydx
−−−
−−− +
=+++∫∫ ∫
() ()
2
2
11
22
11
851
x
xz
x
My x yxy dx
−
−−−
=− + + + −∫∫
()
2
1
24
1
32 1 2
12
15 3
xz
x
Mxx
π
−
−
=−+=
∫
Entonces, para el sólido del ejemplo 3.19 se tiene:
()
()
()
272
1
3
2
1
3
2
1
3
xy
B
yz
B
xz
B
MzxyzdV
MxxyzdV
MyxyzdV
π
π
π
=+++= =+++=
=+++=∫∫∫
∫∫∫
∫∫∫
Geraldine Cisneros Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones
UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática.
121
3.2.4. CENTRO DE MASA
A continuación se define el centro de masa para un sólido
tridimensional como un punto
( )Px,y,z, donde las coordenadas
de este punto se obtienen de las ecuaciones:
yz
M
x
m
= ( III.35)
xz
M
y
m
= ( III.36)
xy
M
z
m
= ( III.37)
Entonces:
CENTRO DE MASA DE UN SÓLIDO DEL ESPACIO
Sea B un recinto del espacio, tal que su densidad viene dada
por la función
3
:ρ→\\, la cual es continua ()
x,y,z B∀∈ ,
entonces el centro de masa es un punto ()Px,y,z, donde sus
coordenadas son:
()
1
,,
B
x xxyzdV
mρ=∫∫∫
( III.38)
()
1
,,
B
yy xyzdV
mρ=∫∫∫
( III.39)
()
1
,,
B
zzx
yzdV
mρ=∫∫∫
( III.40)
Donde
m es la masa del sólido
B, que se obtiene como
( ),,
B
mx yzdVρ=∫∫∫
.
UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática.
121
3.2.4. CENTRO DE MASA
A continuación se define el centro de masa para un sólido
tridimensional como un punto
( )Px,y,z, donde las coordenadas
de este punto se obtienen de las ecuaciones:
yz
M
x
m
= ( III.35)
xz
M
y
m
= ( III.36)
xy
M
z
m
= ( III.37)
Entonces:
CENTRO DE MASA DE UN SÓLIDO DEL ESPACIO
Sea B un recinto del espacio, tal que su densidad viene dada
por la función
3
:ρ→\\, la cual es continua ()
x,y,z B∀∈ ,
entonces el centro de masa es un punto ()Px,y,z, donde sus
coordenadas son:
()
1
,,
B
x xxyzdV
mρ=∫∫∫
( III.38)
()
1
,,
B
yy xyzdV
mρ=∫∫∫
( III.39)
()
1
,,
B
zzx
yzdV
mρ=∫∫∫
( III.40)
Donde
m es la masa del sólido
B, que se obtiene como
( ),,
B
mx yzdVρ=∫∫∫
.
Geraldine Cisneros Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones
UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática.
122
Determine las coordenadas del centro de masa del sólido B
descrito en el ejemplo 3.18.
Solución:
Las coordenadas del centro de masa del sólido
B se obtienen
empleando las ecuaciones
III.38, III.39 y III.40; sin embargo,
como en el ejemplo 3.20 se calcularon los momentos estáticos
alrededor de los planos coordenados, a continuación se utilizan las
ecuaciones
III.35, III.36 y III.37:
0
0
5
2yz
M
x
m
π
= ==
2
5 5
2
xz
M
y
m
π
π
−
= ==−
7
143
5 15
2
xy
M
z
m
π
π
===
Entonces:
()
214
0
515
Px,y,z , ,
=−
Figura 3.36
Centro de gravedad del sólido Bdel ejemplo 3.18
EJEMPLO 3.22
214
0
515
,,
−
B
Para el ejemplo 3.18 se
obtuvo:
5
2
2
B
mzdV
π
==∫∫∫
()
()
()
7
2
3
20
2
xy
B
yz
B
xz
B
MzzdV
MxzdV
MyzdV
π
π
==
==
==−∫∫∫
∫∫∫
∫∫∫
UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática.
122
Determine las coordenadas del centro de masa del sólido B
descrito en el ejemplo 3.18.
Solución:
Las coordenadas del centro de masa del sólido
B se obtienen
empleando las ecuaciones
III.38, III.39 y III.40; sin embargo,
como en el ejemplo 3.20 se calcularon los momentos estáticos
alrededor de los planos coordenados, a continuación se utilizan las
ecuaciones
III.35, III.36 y III.37:
0
0
5
2yz
M
x
m
π
= ==
2
5 5
2
xz
M
y
m
π
π
−
= ==−
7
143
5 15
2
xy
M
z
m
π
π
===
Entonces:
()
214
0
515
Px,y,z , ,
=−
Figura 3.36
Centro de gravedad del sólido Bdel ejemplo 3.18
EJEMPLO 3.22
214
0
515
,,
−
B
Para el ejemplo 3.18 se
obtuvo:
5
2
2
B
mzdV
π
==∫∫∫
()
()
()
7
2
3
20
2
xy
B
yz
B
xz
B
MzzdV
MxzdV
MyzdV
π
π
==
==
==−∫∫∫
∫∫∫
∫∫∫
Geraldine Cisneros Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones
UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática.
123
Determine las coordenadas del centro de gravedad del sólido
descrito en el ejemplo 3.19.
Solución:
Las coordenadas del centro de masa del sólido
B, igual que en el
ejemplo anterior, se obtienen a partir de las ecuaciones
III.35,
III.36 y III.37:
2
13
20 30
yz
M
x
m
π
π
== =
2
13
20 30
xz
M
y
m
π
π
== =
272
683
20 15
xy
M
z
m
π
π
== =
Entonces:
()
1168
30 30 15
Px,y,z , ,
=
En la siguiente figura, se aprecia el centro de masa del sólido
B.
Figura 3.37
Centro de gravedad del sólido Bdel ejemplo 3.19
EJEMPLO 3.23
1168
30 30 15
,,
B
Para el ejemplo 3.19 se
obtuvo:
() 120
B
mxyzdV
π=+++=∫∫∫
272
3
2
3
2
3
xy
yz
xz
M
M
M
π
π
π
=
=
=
UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática.
123
Determine las coordenadas del centro de gravedad del sólido
descrito en el ejemplo 3.19.
Solución:
Las coordenadas del centro de masa del sólido
B, igual que en el
ejemplo anterior, se obtienen a partir de las ecuaciones
III.35,
III.36 y III.37:
2
13
20 30
yz
M
x
m
π
π
== =
2
13
20 30
xz
M
y
m
π
π
== =
272
683
20 15
xy
M
z
m
π
π
== =
Entonces:
()
1168
30 30 15
Px,y,z , ,
=
En la siguiente figura, se aprecia el centro de masa del sólido
B.
Figura 3.37
Centro de gravedad del sólido Bdel ejemplo 3.19
EJEMPLO 3.23
1168
30 30 15
,,
B
Para el ejemplo 3.19 se
obtuvo:
() 120
B
mxyzdV
π=+++=∫∫∫
272
3
2
3
2
3
xy
yz
xz
M
M
M
π
π
π
=
=
=
Geraldine Cisneros Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones
UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática.
124
3.2.5. MOMENTOS DE INERCIA
Los momentos de inercia del sólido
B respecto a los planos
coordenados, se obtienen como sigue:
Calcular los momentos de inercia alrededor de los ejes
coordenados y respecto al origen para el sólido descrito en el
ejemplo 3.18.
Solución:
El sólido
B mencionado está definido como:
()
22
44
22 01
22xx
B x,y,z x y z y
−−
=−≤≤∧−≤≤ ∧≤≤−
Calculando los momentos estáticos por medio de las ecuaciones:
III.41, III.42 y III.43, se tiene:
MOMENTOS DE INERCIA DE FIGURAS PLANAS
Sea B un recinto del espacio, tal que su densidad viene dada
por la función
3
:ρ→\\, la cual es continua ()
x,y,z B∀∈ ,
entonces los momentos de inercia alrededor de los ejes
coordenados, denotados
x
I,
y
I e
z
I se obtienen a partir de:
( )( )
22
,,
x
B
I yz xyzdVρ=+∫∫∫
( III.41)
( )( )
22
,,
y
B
I xz xyzdVρ=+∫∫∫
( III.42)
( )( )
22
,,
z
B
I xy xyzdVρ=+∫∫∫
( III.43)
El momento polar de inercia,
0
I, es:
( )( )
222
0
,,
B
I xyz xyzdVρ=++∫∫∫
(III.44)
EJEMPLO 3.24
UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática.
124
3.2.5. MOMENTOS DE INERCIA
Los momentos de inercia del sólido
B respecto a los planos
coordenados, se obtienen como sigue:
Calcular los momentos de inercia alrededor de los ejes
coordenados y respecto al origen para el sólido descrito en el
ejemplo 3.18.
Solución:
El sólido
B mencionado está definido como:
()
22
44
22 01
22xx
B x,y,z x y z y
−−
=−≤≤∧−≤≤ ∧≤≤−
Calculando los momentos estáticos por medio de las ecuaciones:
III.41, III.42 y III.43, se tiene:
MOMENTOS DE INERCIA DE FIGURAS PLANAS
Sea B un recinto del espacio, tal que su densidad viene dada
por la función
3
:ρ→\\, la cual es continua ()
x,y,z B∀∈ ,
entonces los momentos de inercia alrededor de los ejes
coordenados, denotados
x
I,
y
I e
z
I se obtienen a partir de:
( )( )
22
,,
x
B
I yz xyzdVρ=+∫∫∫
( III.41)
( )( )
22
,,
y
B
I xz xyzdVρ=+∫∫∫
( III.42)
( )( )
22
,,
z
B
I xy xyzdVρ=+∫∫∫
( III.43)
El momento polar de inercia,
0
I, es:
( )( )
222
0
,,
B
I xyz xyzdVρ=++∫∫∫
(III.44)
EJEMPLO 3.24
Geraldine Cisneros Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones
UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática.
125
() ()
2
2
4
21
222
420
2
2
x
y
x
x
I yz zdzdydx
−
−
−−
−
=+∫∫ ∫
() ()
2
2
4
2
42
22
42
2
1
11
2
x
x
x
I yy ydydx
−
−−
−
=−+−
∫∫
() ()
532
22 2 22
213 1 27
44 4
2 160 3 8
x
Ixxxdx
π
−
=−+−+−=
∫
Respecto al eje
y:
() ()
2
2
4
21
222
420
2
2
x
y
y
x
I xz zdzdydx
−
−
−−
−
=+∫∫ ∫
() ()
2
2
4
2
42
22
42
2
1
11
2
x
y
x
I yx ydydx
−
−−
−
=−+−
∫∫
()
()
()
5
222
32
2222
2
43 1119
44
160 12 2 24
y
xx
Ixxxdx
π
−
−+
=+−+−+=
∫
Respecto al eje
z:
() ()
() ()
2 2
2 2
44
21 2
2
22 2222
4420 2
22
21
xx
y
z
xx
I x y z dzdydx y x y dydx
−−
−
−−−−
−−
=+=+−∫∫ ∫ ∫∫
() ()( )
532
2222222
211 37
414 4
80 12 12
z
Ixxxxxdx
π
−
=−++−+−=
∫
Finalmente, el momento polar de inercia:
() ()
2
2
4
21
2222
0
420
2
2
x
y
x
I x y z z dzdydx
−
−
−−
−
=++∫∫ ∫
() () ()
2
2
4
2
42
222
0
42
2
1
11
2
x
x
I yyx ydydx
−
−−
−
=−++−
∫∫
UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática.
125
() ()
2
2
4
21
222
420
2
2
x
y
x
x
I yz zdzdydx
−
−
−−
−
=+∫∫ ∫
() ()
2
2
4
2
42
22
42
2
1
11
2
x
x
x
I yy ydydx
−
−−
−
=−+−
∫∫
() ()
532
22 2 22
213 1 27
44 4
2 160 3 8
x
Ixxxdx
π
−
=−+−+−=
∫
Respecto al eje
y:
() ()
2
2
4
21
222
420
2
2
x
y
y
x
I xz zdzdydx
−
−
−−
−
=+∫∫ ∫
() ()
2
2
4
2
42
22
42
2
1
11
2
x
y
x
I yx ydydx
−
−−
−
=−+−
∫∫
()
()
()
5
222
32
2222
2
43 1119
44
160 12 2 24
y
xx
Ixxxdx
π
−
−+
=+−+−+=
∫
Respecto al eje
z:
() ()
() ()
2 2
2 2
44
21 2
2
22 2222
4420 2
22
21
xx
y
z
xx
I x y z dzdydx y x y dydx
−−
−
−−−−
−−
=+=+−∫∫ ∫ ∫∫
() ()( )
532
2222222
211 37
414 4
80 12 12
z
Ixxxxxdx
π
−
=−++−+−=
∫
Finalmente, el momento polar de inercia:
() ()
2
2
4
21
2222
0
420
2
2
x
y
x
I x y z z dzdydx
−
−
−−
−
=++∫∫ ∫
() () ()
2
2
4
2
42
222
0
42
2
1
11
2
x
x
I yyx ydydx
−
−−
−
=−++−
∫∫
Geraldine Cisneros Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones
UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática.
126
()
()
()
5
222
2
32
2222
0
2
34 4 4137
44
160 12 2 24xx x
Ixxxdx
π
−
−+ −
=+−++−=
∫
() ()() ()
() ()
() ()
22
22
222
222
0 27
2
8
119
2
24
37
2
12
137
2
24
x
B
y
B
z
B
B
IyzzdV
IxzzdV
IxyzzdV
IxyzzdV
π
π
π
π
=+ =
=+ =
=++ =
=++ =∫∫∫
∫∫∫
∫∫∫
∫∫∫
Calcular los momentos de inercia alrededor de los ejes
coordenados para el sólido descrito en el ejemplo 3.19.
Solución:
El sólido
B del ejemplo 3.19 está definido como:
()
{ }
222222
111 1 44 844Bx,y,z x x y x x y z x y=−≤≤∧−−≤≤−∧+≤≤−−
Calculando los momentos de inercia:
() ()
222
222
11 844
22
11 44
1
xxy
x
xxy
I yzxyz dzdydx
−−−
−−− +
=++++∫∫ ∫
()() ()
() ( )()
() () ]
2
2
11
22 55 4
11
32 2 2 3 4
2328
116 16 13
3
32 1 32 13 13 16 3
29 401 64 208 29 448x
x
x
Ixyxyxy
xy x y y y x y
yx y yy dydx
−
−−−
=− + − + + + +
+ −+ + −− + + +
+−− + + − +
∫∫
EJEMPLO 3.25
Para resolver las integrales
que permiten calcular los
momentos de inercia
pedidos en el ejemplo 3.25
se ilustra sólo el segundo
momento respecto al eje x.
Los demás resultados
fueron calculados con un
software matemático.
UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática.
126
()
()
()
5
222
2
32
2222
0
2
34 4 4137
44
160 12 2 24xx x
Ixxxdx
π
−
−+ −
=+−++−=
∫
() ()() ()
() ()
() ()
22
22
222
222
0 27
2
8
119
2
24
37
2
12
137
2
24
x
B
y
B
z
B
B
IyzzdV
IxzzdV
IxyzzdV
IxyzzdV
π
π
π
π
=+ =
=+ =
=++ =
=++ =∫∫∫
∫∫∫
∫∫∫
∫∫∫
Calcular los momentos de inercia alrededor de los ejes
coordenados para el sólido descrito en el ejemplo 3.19.
Solución:
El sólido
B del ejemplo 3.19 está definido como:
()
{ }
222222
111 1 44 844Bx,y,z x x y x x y z x y=−≤≤∧−−≤≤−∧+≤≤−−
Calculando los momentos de inercia:
() ()
222
222
11 844
22
11 44
1
xxy
x
xxy
I yzxyz dzdydx
−−−
−−− +
=++++∫∫ ∫
()() ()
() ( )()
() () ]
2
2
11
22 55 4
11
32 2 2 3 4
2328
116 16 13
3
32 1 32 13 13 16 3
29 401 64 208 29 448x
x
x
Ixyxyxy
xy x y y y x y
yx y yy dydx
−
−−−
=− + − + + + +
+ −+ + −− + + +
+−− + + − +
∫∫
EJEMPLO 3.25
Para resolver las integrales
que permiten calcular los
momentos de inercia
pedidos en el ejemplo 3.25
se ilustra sólo el segundo
momento respecto al eje x.
Los demás resultados
fueron calculados con un
software matemático.
Geraldine Cisneros Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones
UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática.
127
(
)
2
1
23
1
4567
1
143968 22240 251584 30656
105
160864 12512 53248 4096
x
x
I xxx
xxxxdx
−
−
=+−−+
++−−
∫
462
x
I
π=
Los momentos de inercia respecto a los ejes coordenados y al
origen para el sólido del ejemplo 3.19, se muestran a continuación:
( )( )
() ()
() ()
() ()
22
22
222
222
0
1462
1 462
20
1
3
1396
1
3
x
B
y
B
z
B
B
IyzxyzdV
IxzxyzdV
IxyzxyzdV
IxyzxyzdV π
π
π
π
=++++=
=++++=
=+++++=
=+++++=∫∫∫
∫∫∫
∫∫∫
∫∫∫
UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática.
127
(
)
2
1
23
1
4567
1
143968 22240 251584 30656
105
160864 12512 53248 4096
x
x
I xxx
xxxxdx
−
−
=+−−+
++−−
∫
462
x
I
π=
Los momentos de inercia respecto a los ejes coordenados y al
origen para el sólido del ejemplo 3.19, se muestran a continuación:
( )( )
() ()
() ()
() ()
22
22
222
222
0
1462
1 462
20
1
3
1396
1
3
x
B
y
B
z
B
B
IyzxyzdV
IxzxyzdV
IxyzxyzdV
IxyzxyzdV π
π
π
π
=++++=
=++++=
=+++++=
=+++++=∫∫∫
∫∫∫
∫∫∫
∫∫∫
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