Aplicaciones de Espacios y Subespacios Vectoriales en la Carrera de Mecatrónica

Se da a conocer un poco sobre los espacios y subespacios vectoriales, además de distintas aplicaciones de los mismos en la mecatrónica y distintos ejercicios aplicando el método Wronskiano para determinar la linealidad de un conjunto de funciones.

1. APLICACIONES DE ESPACIOS Y SUBESPACIOS VECTORIALES EN LA CARRERA DE MECATRÓNICA

2. Introducción Los espacios y sub espacios vectoriales son temas esenciales dentro del Algebra Lineal. Sin embargo, se desconoce casi por completo la aplicación de estos dentro del ámbito profesional y pre profesional, de allí que el interés en estos tópicos resulte relativamente nulo, pero los espacios y subespacios vectoriales son de suma importancia dentro de la Mecatrónica. Esto se evidencia cuando se estudia temas como la vibración que soporta una máquina para no desmantelarse, o en la creación de robots. El estudio de este tema facilita a los estudiantes de esta carrera a comprender de una manera metódica varios conceptos y argumentos de espacios y subespacios vectoriales, siendo este un pilar fundamental para la formación del estudiante de manera pre profesional. Es vital entender e indagar las asignaturas que la carrera mencionada tendrá en su malla curricular, ya que las asignaturas como Algebra Lineal se enlazan de manera concatenada a materias de niveles superior, siendo esta una de las asignaturas más importantes para carreras ingenieriles.

3. Objetivos Estudiar los espacios y subespacios vectoriales, comprendiendo la aplicación en el ámbito profesional y preprofesional de la carrera de ingeniería en Mecatrónica a través de conceptos y definiciones bibliográficas. Aplicar el método W ronskiano en distintos tipos de funciones, con la finalidad de determinar la dependencia o independencia lineal de las mismas.

4. Fundamentación Teórica

5. Espacio vectorial Es un conjunto no vacío de V objetos, llamados vectores, en el que se han definido dos operaciones: la suma y el producto por un escalar. Propiedades de la adición Conmutativa: Asociativa: Modulativa: Opuesto Aditivo: Propiedades del producto escalar Distributiva para suma de vectores: Distributiva para suma de escalares: Asociativa: Modulativa: Ejemplo: Los vectores de Rn= {(x1, x2, …, xn ), con xi ∈ R}  

6. Subespacio vectorial Sea V un espacio vectorial y W un subconjunto no vacío de V. W es un subespacio vectorial de V si W es en si mismo un espacio vectorial con las mismas operaciones (suma de vectores y producto por un escalar) definidas en V.

7. Aplicaciones Mecatrónica

8. El saber que algo es un espacio vectorial permite saber qué reglas cumplen sus elementos, y cómo se relacionan entre sí. Por ejemplo, sabes que si sumas vectores saldrá otro vector, otro elemento, que también cumple las mismas reglas que los originales. O puedes descomponer una onda en "elementos" que son a su vez ondas. El descomponer un espacio vectorial en subespacios permite centrarte en conjuntos más simples de elementos, en lugar de en todo el espacio. Puedes encontrar qué elementos básicos del espacio vectorial son los que dan lugar por combinación lineal a cualquier otro elemento.

9. Vibraciones Mecánicas Las vibraciones que soporta una máquina, pueden descomponerse en "modos de vibración", que no dejan de ser las bases del espacio vectorial de todas las posibles vibraciones (las vibraciones se suman linealmente). Los movimientos en el espacio n-dimensional pueden descomponerse en una serie de operaciones básicas (dilataciones, rotaciones,), cada una correspondiente a un subespacio del espacio n-dimensional.

10. Robots Para posicionar en el espacio las piezas por parte de un robot. Las deformaciones de un sólido también se describen mediante un espacio vectorial, como combinación de distintas "bases" de deformaciones.

11. Mecánica de fluidos La mecánica de fluidos es una asignatura perteneciente a la carrera de Ingeniería en Mecatrónica, esta asignatura es una rama de la Física que estudia los fluidos, aplicando los principios de la mecánica clásica; los fluidos que son parte del estudio, en ciertas condiciones, se los puede modelizar como un medio continuo, este medio también se lo puede realizar en estudio de suelos y estructuras, de esta manera se pueden definir magnitudes cuyas identidades son precisamente campos vectoriales, de esta manera el ingeniero mecatrónico debe tener conocimientos básicos de algebra lineal y en especial de espacios vectoriales para poder manejar este tipo de fluidos a lo largo de su carrera

12. Mecánica Estructural Otro ejemplo de aplicación de espacios vectoriales en la carrera de Mecatrónica es el estudio de estructuras (Mecánica Estructural), el propósito de este estudio es modelizar tensiones en el seno de materiales como espacios vectoriales, los cuales se los puede clasificar como el tensor de tensiones o el tensor de deformaciones. El tensor de Green Laplace es un ejemplo apropiado de tensor de deformaciones y la aplicación de espacios vectoriales, ya que permite caracterizar las deformaciones de un sólido, basándose en ecuaciones vectoriales y sus propiedades.

13. Desarrollo Método Wronskiano

14. Funciones Polinómicas Ejercicio 1 Considere: f { } En primer lugar, se determina a que espacio vectorial pertenecen las funciones, en este caso en (polinomios de grado menor o igual a 3) Para resolver por el método del Wronskiano , debemos derivar las funciones hasta términos, se obtiene:  

15. Para indicar el determinante de la matriz se obtiene Aplicando determinantes por menores tenemos: El conjunto de funciones es linealmente independiente  

16. Ejercicio 2 Considere: f = { } Desarrollando el Wronskiano de la función polinomial se tiene que: El conjunto de funciones es linealmente dependiente.  

17. Ejercicio 3 C onsidere : f = El conjunto de funciones es linealmente independiente  

18. Función Compuesta EJERCICIO 1 Considere: f { Para indicar el determinante de la matriz se obtiene Resolviendo la determinante de la matriz se obtiene El conjunto de vectores es linealmente dependiente  

19. Ejercicio 2 A partir de la función Construimos el Wronskiano . El conjunto de vectores es linealmente independiente   Función Exponencial

20. Conclusiones El algebra lineal aporta la capacidad para resolver una infinidad de problemáticas, otorgando al ingeniero herramientas lógicas y matemáticas necesarias, para desarrollar muchos de los retos dentro de su actividad profesional, como es el caso del estudio de las vibraciones que soportan las máquinas en la Mecatrónica. Lograr la determinación de la dependencia o la independencia lineal en un intervalo a partir de vectores en el espacio definido podría resultar un verdadero desafío si no existiera el proceso de la determinante Wronskiana . Su implementación es relativamente fácil. Teniendo en cuenta que su aplicación está definida en funciones analíticas inherentes a la materia de estudio.

21. Bibliografía Aplicación de espacios vectoriales en la ingeniería. (2021, 12 febrero). Gerónimo. http://geronimomoraleshhcc.blogspot.com/2015/03/ aplicacion - de-espacios-vectoriales-en.htmlGómez Club Ensayos. (17 de Julio de 2013). Como se aplican los espacios vectoriales en ingeniería . Obtenido de https://www.clubensayos.com/Temas-Variados/Como-Se-Aplican-Los-Espacios-Vectoriales-En-Ingenier%C3%ADa/915414.html F. P. I. Y. (2017, 8 noviembre). Espacios y subespacios vectoriales - Definición, propiedades y ejemplos. Álgebra y Geometría Analítica. https://aga.frba.utn.edu.ar/blog/2016/09/22/espacios-y-subespacios-vectoriales/ Fachinotti , V., & Álvarez Hostos, J. (20 de Septiembre de 2018). Mecánica de Sólidos Capiítulo II: Deformación y Movimiento. Obtenido de https://cimec.org.ar/foswiki/pub/Main/Cimec/MecanicaDeSolidos/Deformacion_Y_Movimiento.pdf Reyes Taméz , G., Rubio Oca, J., & Fernández Fassnacht , E. (2005). Manual de la asignatura Mecánica de Fluidos. México D.F.: Subsitema de Universidades Politécnicas.