Aplicaciones de gauss curvatura (3)

1. Captulo 3
Aplicacion de Gauss. Curvaturas.
3.1. La aplicacion de Gauss y el operador de Weingarten.
SeaSuna supercie orientable yN:S!S
2
un campo normal unitario, al que lla-
maremosaplicacion de Gauss.Siguiendo la misma idea que se uso para la denicion de
curvatura de una curva plana, podramos estudiar como se curva la supercie mirando la
variacion del plano tangente, o equivalentemente, la variacion de la aplicacion de Gauss.
Por ello consideramos su diferencial en un puntop2S,
dNp:TpS!T
N(p)S
2
=hN(p)i
?
=TpS;
que es un endomorsmo de espacios vectoriales. Recordemos que enTpStenamos una
estructura de espacio vectorial metrico eucldeo, dada por la primera forma fundamental
Ip(v; w) =hv; wi,8v; w2TpS. Veamos quedNptiene un buen comportamiento frente a
la primera forma fundamental.
Lema 3.1.1En la situacion anterior,dNpes un endomorsmo autoadjunto de(TpS; Ip).
Demostracion.SeaX=X(u; v):UR
2
!R
3
una parametrizacion deSalrededor dep.
Entonces,
h(NX)v; Xui= (hNX; Xui)
v
hNX; Xuvi=hNX; Xuvi
=hNX; Xvui= (hNX; Xvi)
u
hNX; Xvui=h(NX)u; Xvi:
Usando la regla de la cadena, deducimos quehdNX(Xv); Xui=hdNX(Xu); Xvi. Por bili-
nealidad, ahora es trivial probar quehdNp(v1); v2i=hdNp(v2); v1i,8v1; v22TpS. 2
Dos invariantes asociados a un endomorsmo de espacios vectoriales son la traza y
el determinante. Ademas, en el caso de endomorsmos diagonalizables (en particular, los
51

2. 52 CAP

ITULO 3. APLICACI

ON DE GAUSS. CURVATURAS.
autoadjuntos) en dimension 2, caracterizan al endomorsmo. Estos dos invariantes tiene un
nombre especial en el caso de que el endomorsmo seadNpy como es natural, gobiernan la
forma local de una supercie. Dedicaremos el resto de la asignatura a estudiar en que forma
lo hacen.
Denicion 3.1.1Se denen lacurvatura de Gaussy lacurvatura mediadeSenpcomo
K(p) = det(dNp); H(p) =
1
2
Traza(dNp):
Claramente, la curvatura de Gauss no depende de la eleccion del normal unitario, por lo
que tiene sentido denirla para supercies no orientables. Por el contrario, la curvatura
mediaHdepende de la eleccion de la aplicacion de Gauss, peroH
2
puede denirse sobre
supercies no orientables.
Denicion 3.1.2En la situacion anterior, se dene el endomorsmo de Weingarten de
Senpasociado a la aplicacion de GaussNcomoAp=dNp.
3.2. Segunda forma fundamental. Curvaturas.
En un espacio vectorial metrico eucldeo (V;h;i), hay una biyeccion :A ! Bentre el
conjuntoAde endomorsmos autoadjuntos y el conjuntoBde formas bilineales simetricas:
Dadof2 A, se dene (f) =gf2 Bmediante
gf(x; y) =hf(x); yi;8x; y2V;
y dadag2 B, se denefg=
1
(g)2 Acomo el unico endomorsmo deVque a cada
x2Vle asigna el vectorfg(x) deVdado por
g(x; y) =hfg(x); yi;8y2V:
Volvamos a nuestra supercieSorientada por una aplicacion de GaussN:S!S
2
.
Aplicando lo anterior a (TpS; Ip), el endomorsmo de WeingartenAp=dNptiene una
forma bilineal simetrica asociada, que se llama lasegunda forma fundamentaldeSenp:
p(v; w) = [(Ap)](v; w) =hdNp(v); wi;8v; w2TpS:
ComoApes un endomorsmo autoadjunto ha de ser ortogonalmente diagonalizable. A los
valores propiosk1(p); k2(p) deApse les llamacurvaturas principalesdeSenprespecto
a la aplicacion de GaussN. Cuandok1(p)6=k2(p), entoncesAptiene dos subespacios
propios, cada uno con dimension 1. En este caso, a las direcciones propias deApse les

3. 3.2. SEGUNDA FORMA FUNDAMENTAL. CURVATURAS. 53
llamadirecciones principalesdeSenp. Sife1; e2ges una base de direcciones principales,
entonces
Apei=dNp(ei) =ki(p)ei; i= 1;2:
As,
K=k1k2; H=
1
2
(k1+k2);
y la ecuacion caracterstica queda
(3.1) k
2
i2Hki+K= 0;
parai= 1;2. Como la anterior ecuacion de segundo grado tiene solucion, su discriminante
ha de ser mayor o igual a cero:
KH
2
;
con igualdad enp2Ssi y solo sik1(p) =k2(p). En este caso,pse dice un puntoumbilical
(en este casodNpes un multiplo de la identidad y la segunda forma fundamentalpenp
es un multiplo de la primeraIp).
Un puntop2Sse diceelptico(resp.hiperbolico, llano) siK(p)>0 (resp.K(p)<0,
K(p) = 0). Dentro de los puntos llanos, se distinguen entreparabolicos(cuandop6= 0) y
planos(cuandop= 0).
Veamos algunos ejemplos.
1. R
3
la aplicacion de Gauss es constante, luegodNp= 0
8p2. Esto nos dice quek1=k2=K=H= 0 en . Como todos los puntos son
umbilicales, decimos que un plano afn estotalmente umbilical.Por tanto, todos los
puntos de son de tipo plano.
2. S
2
(p0; r) de centrop02R
3
y radior >0 tenemos dos normales unita-
rios:N:S
2
(p0; r)!S
2
,Np=
pp0
r
y su opuesto. Con esta eleccion de aplicacion
de Gauss, el endomorsmo de Weingarten esApv=dNp(v) =
1
r
v,8v2TpS
2
(p0; r)
luegok1=k2=
1
r
=HyK=
1
r
2. Por tanto,S
2
(p0; r) tambien es una supercie
totalmente umbilical y todos sus puntos son elpticos.
3. C=fp= (x; y; z)2R
3
jx
2
+y
2
=r
2
g, los normales unita-
rios sonN:C!S
2
,Np=
1
r
(x; y;0) y su opuesto. Tomando esta aplicacion de
Gauss, el endomorsmo de Weingarten esApv=dNp(v) =
1
r
(v1; v2;0) para cual-
quier (v1; v2;0)2TpC. Notemos quef(0;0;1);(y; x;0)ges base deTpCy que
Ap(0;0;1) = 0,Ap(y; x;0) =
1
r
(y; x;0), con lo quek1= 0,k2=
1
r
,H=
1
2r
y
K= 0. Todos los puntos deCson de tipo parabolico.
Las supercies conK= 0 se llamanllanas,y las que tienenH= 0 se dicenmnimas.Por
ejemplo, el plano y el cilindro son supercies llanas, mientas que el plano y la catenoide

4. 54 CAP

ITULO 3. APLICACI

ON DE GAUSS. CURVATURAS.
(Ejercicio 1) son mnimas. En una supercie mnima no puede haber puntos de tipo elptico,
y sus puntos umbilicales coinciden con los puntos de tipo plano mientras que el resto son
puntos hiperbolicos.
Las unicas supercies llanas y mnimas a la vez son abiertos de planos anes (siH=
K= 0 entoncesk1=k2= 0 luegodNp= 0 para todop, suponiendo la supercie conexa,
esto nos lleva a queNes constantea2S
2
, lo que implica facilmente que la supercie
esta contenida en un plano afn ortogonal aa). Notese que tambien hemos probado que si
una supercie tiene segunda forma fundamental identicamente nula, entonces es un abierto
de un plano afn.
Teorema 3.2.1 (Supercies totalmente umbilicales)Las unicas supercies conexas,
orientables y totalmente umbilicales son abiertos de planos anes y de esferas.
Demostracion.Seala segunda forma fundamental de una supercie conexa, orientable
y totalmente umbilicalSR
3
con respecto a una eleccion de su aplicacion de Gauss
N:S!S
2
. ComoSes totalmente umbilical,=h;ipara cierta funcion:S!R.
Veamos quees diferenciable: Tomemos un puntop2Sy una parametrizacion
X:UR
2
!R
3
deSalrededor dep. As,
(X)kXuk
2
=X(Xu; Xu) =hdNX(Xu); Xui=h(NX)u; Xui:
ComokXuk
2
no tiene ceros enUykXuk
2
,h(NX)u; Xuison funciones diferenciables en
U, deducimos quees diferenciable enX(U). Por serparbitrario enS,sera diferenciable
enS.
Veamos ahora quees constante enS: Como=h;ienS, entoncesdNp=1TpS
para todop2S. Volviendo a usar la parametrizacion anterior,
(NX)u=dNX(Xu) =(X)Xu;(NX)v=dNX(Xv) =(X)Xv
enU. Derivando la primera ecuacion respecto avy restando la derivada de la segunda
respecto aunos queda
0 =(X)vXu+ (X)uXv:
ComofXu; Xvgson linealmente independientes, deducimos que (X)u= (X)v= 0
enU. TomandoUconexo,sera constante enU. Ahora un argumento sencillo de conexion
deSnos lleva a quees constante enS.
Una vez que sabemos quees constante enSseparamos dos casos: Si= 0,entonces
= 0 enSy habamos visto antes de este teorema queSes un abierto de un plano. Y
si2R f0g,denimosF:S!R
3
porF(p) =p+
1

Np, diferenciable. Dadop2Sy
v2TpS,
dFp(v) =v+
1

dNp(v) =vv= 0:

5. 3.2. SEGUNDA FORMA FUNDAMENTAL. CURVATURAS. 55
Comop2S,v2TpSson arbitrarios ySes conexa,Fes sera una constantep02R
3
. Esto
nos dice queSesta contenida en una esfera centrada enp0de radio 1=jj. 2
A continuacion estudiaremos el comportamiento local de una supercie alrededor de
un punto elptico o hiperbolico. Para ello nos basaremos en la nocion de hessiano de una
funcion diferenciable denida sobre una supercie, en un punto crtico. Este concepto es
una extension a supercies del correspondiente para funciones diferenciables en el plano,
y nos permitira estudiar los extremos locales de dicha funcion.
Denicion 3.2.1Seaf:S!Runa funcion diferenciable denida sobre una supercie
SR
3
. Sip02Ses un punto crtico def, se dene elhessianodefenp0como la
aplicacion (r
2
f)p0
:Tp0
S!Rdada por
(r
2
f)p0
(v) =
d
2
dt
2




t=0
(f)(t);
donde: ("; ")!Ses cualquier curva diferenciable con(0) =py
0
(0) =v.
Para que la denicion anterior tenga sentido debemos probar que no depende de la curva
elegida para representar al vectorv. Supongamos queX:UR
2
!R
3
es una para-
metrizacion deSalrededor deX(0;0) =p. ComofXu(0;0); Xv(0;0)ges base, tendremos
v=aXu+bXvparaa=u
0
(0),b=v
0
(0)2R(omitimos el punto (0;0) en lo que sigue).
Ademas, la curvaanterior se escribira(t) =X(u(t); v(t)) dondet7!(u(t); v(t)) es una
curva diferenciable valuada enU. Entonces,
d
2
dt
2




t=0
(f)(t) =
d
2
dt
2




t=0
(fX)(u(t); v(t)) =
d
dt




t=0

(fX)uu
0
(t) + (fX)vv
0
(t)

=

(fX)uuu
0
(0) + (fX)uvv
0
(0)

u
0
(0) + (fX)uu
00
(0)
+

(fX)vuu
0
(0) + (fX)vvv
0
(0)

v
0
(0) + (fX)vv
00
(0):
En cada una de las dos ultimas lneas, el ultimo sumando vale cero porquepes punto
crtico def, luego queda
d
2
dt
2




t=0
(f)(t) = (fX)uuu
0
(0)
2
+ 2(fX)uvu
0
(0)v
0
(0) + (fX)vvv
0
(0)
2
= (a; b)

(fX)uu(fX)uv
(fX)uv(fX)vv

a
b

=

Hess
(0;0)(fX)

(a; b);
donde Hess
(0;0)(fX) es el hessiano del Analisis de la aplicacion diferenciablefXen
el punto (0;0). En particular,
d
2
dt
2



t=0
(f)(t) no depende dey

Hess
(0;0)(fX)

(a; b)
no depende deX.
El desarrollo anterior tambien prueba que (r
2
f)p0
es una forma cuadratica sobreTp0
S,
y podemos trasladar directamente propiedades sobre extremos locales de funciones.

6. 56 CAP

ITULO 3. APLICACI

ON DE GAUSS. CURVATURAS.
Lema 3.2.1Seaf:S!Runa funcion diferenciable denida sobre una supercieS
R
3
, yp02Sun punto crtico def.
1. p0es un maximo (resp. mnimo) local def, entonces la forma cuadratica(r
2
f)p0
es semidenida negativa (resp. positiva).
2. (r
2
f)p0
es denida negativa (resp. positiva), entoncesp0es un maximo (resp.
mnimo) local def.
Ahora estudiaremos el hessiano de dos funciones denidas sobre cualquier supercie, que
contienen importante informacion geometrica de la misma. En primer lugar, consideramos
un puntop0de una supercieSR
3
y el plano tangente afn enp0, cuya ecuacion es
hpp0; N(p0)i= 0, dondeNuna aplicacion de Gauss deS. Consideramos la funcion
alturah:S!Rrespecto a dicho plano afn,
h(p) =hpp0; N(p0)i; p2S:
Entonces, se cumpleh(p0) = 0,p0es un punto crtico deh(porquedhp0
(v) =hv; N(p0)i=
0,8v2Tp0
S) y dadov2Tp0
S,
(r
2
h)p0
(v) =
d
2
dt
2




t=0
h(t)p0; N(p0)i=
d
dt




t=0
h
0
(t); N(p0)i
(3.2) = h
00
(0); N(p0)i=h
0
(0); dNp(
0
(0))i=p0
(v; v);
donde: ("; ")!Ses una curva diferenciable tal que(0) =p0,
0
(0) =v.
A continuacion consideramos el la funcion cuadrado de la distancia a un puntoq02R
3
,
f:S!Rdada por
f(p) =kpq0k
2
; p2S:
Si un puntop02Ses crtico paraf, entonces 0 =dfp0
(v) = 2hv; p0q0ipara todov2TpS
luegop0q0es perpendicular aTp0
S, es decirp0q0=Np0
para cierto2Ry en este
caso,
(r
2
f)p0
(v) =
d
2
dt
2




t=0
k(t)q0k
2
= 2
d
dt




t=0
h
0
(t); (t)q0i
= 2

h
00
(0); (0)q0i+k
0
(0)k
2

= 2

h
00
(0); Np0
i+kvk
2

(3.3) = 2

h
0
(0); dNp(
0
(0))i+kvk
2

= 2

kvk
2
+p0
(v; v)

Ahora podemos particularizar el Lema 3.2.1 a las dos funciones anteriores. La infor-
macion geometrica obtenida es la siguiente:

7. 3.2. SEGUNDA FORMA FUNDAMENTAL. CURVATURAS. 57
Figura 3.1: Izquierda: punto elptico. Derecha: punto hiperbolico.
Proposicion 3.2.1Seap0un punto de una supercieSR
3
.
1. p0es elptico, entonces existe un entorno dep0enScontenido en uno de los
semiespacios en los que el plano tangente afn aSenp0divide aR
3
, y el unico
punto de contacto entre dicho plano y el entorno esp0.
2. p0es hiperbolico, entonces en cualquier entorno dep0enShay puntos en ambos
semiespacios, ver Figura 3.1.
Demostracion. 1.Tomemos una aplicacion de GaussNparaSen un entorno dep0. Como
p0es elptico, podemos elegirNde forma que las curvaturas principalesk1; k2enp0son
ambas positivas. Seafe1; e2guna base ortonormal de direcciones principales enp0(en rigor,
para hablar de direcciones principales necesitamos quep0no sea un punto umbilical; si
p0es umbilical, entoncesk1=k2tambien pueden tomarse positivas y elegimos cualquier
base ortonormal deTp0
S). Sea2R f0ga determinar yq0:=p0+Np0
. Entonces, la
funcion distancia al cuadrado aq0,f(p) =kpq0k
2
, tiene un punto crtico enp0y (3.3)
nos dice que la forma bilineal simetrica asociada a (r
2
f)p0
es
(r
2
f)p0
(v; w) = 2 (hv; wi+p0
(v; w)); v; w2Tp0
S;
cuya matriz respecto a la base ortonormalfe1; e2ges
(3.4) 2

1 +k1 0
0 1 + k2

:
As, tomando <0 sucientemente grande en valor absoluto como para que 1 +ki<0,
i= 1;2, tendremos que (r
2
f)p0
es denido negativo luegoftiene un maximo local estricto
enp0. A partir de aqu, el apartado1es evidente.
2.Razonando por reduccion al absurdo, supongamos que en cierto entorno dep0, la
supercieSse queda a un lado del plano tangente afn enp0. Tomemos un sistema de

8. 58 CAP

ITULO 3. APLICACI

ON DE GAUSS. CURVATURAS.
referencia enR
3
con origenp0, de forma que el plano tangente afn aSenp0=~0 esfz= 0g
y nuestra supercieSse queda localmente entorno al origen en el semiespaciofz0g. Sea
a= (0;0;1) yh:S!Rla funcion altura respecto aa,h(p) =hp; ai. As,p0es un mnimo
local (no necesariamente estricto) parahluego el hessiano (r
2
h)p0
es semidenido positivo
sobreTp0
S=fz= 0gg. Elegimos una aplicacion de GaussNparaSen un entorno de
p0, de forma queNp0
=a. As, (3.2) nos dice quep0
(v; v) = (r
2
h)p0
(v)08v2Tp0
S,
de donde la curvatura the Gauss enp0es no negativa, contradiccion con que el punto sea
hiperbolico. 2
En el apartado1de la ultima demostracion vimos que si un puntop02Ses elptico,
entonces existe un puntoq02R
3
fp0gtal que la funcion distancia al cuadrado aq0
tiene un maximo local enp0. Veamos que el recproco es tambien cierto: supongamos que
p02Ses un maximo local def:S!R,f(p) =kpq0k
2
, para algunq02R
3
fp0g.
Por serp0punto crtico def, tenemos quep0q0lleva la direccion normal aSenp0o
equivalentemente, podemos elegir una aplicacion de GaussNparaSalrededor dep0de
forma quep0q0=Np0
para cierto2R f0g. Comop0es maximo local def, el
hessiano (r
2
f)p0
es semidenido negativo. Razonando como en el apartado1de la ultima
demostracion, la matriz de la forma bilineal simetrica asociada a (r
2
f)p0
respecto a una
base ortonormal de direcciones principales
1
viene dada por (3.4). Por tanto, 1 +ki0,
i= 1;2, luego 1(k1)(k2) =
2
K(p0) dondeKes la curvatura de Gauss deS. Esto
nos dice quep0es un punto elptico.
Dos consecuencias inmediatas de esta caracterizacion de los puntos elpticos como los
maximos locales de funciones distancia al cuadrado son:
Corolario 3.2.1Toda supercie compacta deR
3
tiene un punto elptico.
Demostracion.Seaq02R
3
Syf:S!Rla funcion distancia al cuadrado ap0. ComoS
es compacta,fdebe tener un maximop02S. Por el desarrollo anterior al este corolario,
p0es un punto elptico. 2
Corolario 3.2.2No hay supercies mnimas compactas enR
3
.
Demostracion.SiSR
3
es compacta, entonces existe un punto elpticop2S. ComoS
es mnima, las curvaturas principales enpson opuestas luegoK(p)0, contradiccion.2
3.3. La aplicacion de Gauss en coordenadas locales.
En esta seccion obtendremos una formulas utiles para calcular la aplicacion de Gauss,
la primera y segunda formas fundamentales y las curvaturas de Gauss y media de cualquier
1
De nuevo tenemos que observar que si el puntop0es umbilical paraS, este paso puede darse.

9. 3.3. LA APLICACI

ON DE GAUSS EN COORDENADAS LOCALES. 59
supercieSR
3
, en terminos de una parametrizacionX:UR
2
!R
3
de la misma.
Sabemos por (2.4) que
(3.5) NX=
XuXv
kXuXvk
es una aplicacion de Gauss denida enX(U). Llamemos

E F
F G

;

e f
f g

a las matrices de la primera y segunda formas fundamentales respecto a la basefXu; Xvg,
es decir:
(3.6) E=kXuk
2
; F=hXu; Xvi; G=kXvk
2
:
(3.7)
e=(Xu; Xu) =h(NX)u; Xui=hNX; Xuui; f=hNX; Xuvi; g=hNX; Xvvi:
Proposicion 3.3.1En la situacion anterior, la curvatura de GaussKy mediaHdeS
vienen dadas por
(3.8) KX=
egf
2
EGF
2
; HX=
Eg2F f+Ge
2(EGF
2
)
:
Demostracion.Seanv; w2TpS, dondep2X(U). SeanvB; wB2R
2
las coordenadas de
v; wrespecto a la baseB=fXu; Xvg. La igualdadp(v; w) =hv; dNp(w)ise escribe
matricialmente
vBMB(p)w
t
B=vBMB(Ip)M(dNp; B)w
t
B;
dondeMB(Ip) =

E F
F G

,MB() =

e f
f g

son las matrices de la primera y segunda
forma fundamental respecto aB, yM(dNp; B) es la matriz de la diferencial deNenp
respecto aB. Como lo anterior es cierto para cualesquieravB; wB2R
2
, obtenemos
(3.9) MB(p) =MB(Ip)M(dNp; B):
Por tanto,
K= det(dNp) = det
"


E F
F G

1


e f
f g

#
=
egf
2
EGF
2
;

10. 60 CAP

ITULO 3. APLICACI

ON DE GAUSS. CURVATURAS.
Figura 3.2: ves el plano de vertical en la gura.
H=
1
2
traza(dNp) =
1
2
traza
"

E F
F G

1


e f
f g

#
=
1
2(EGF
2
)

GeF f GfF g
EfF e EgF f

=
Eg2F f+Ge
2(EGF
2
)
:
2
Como las funcionesE; F; G; e; f; gson diferenciables, de la Proposicion 3.3.1 obtenemos
queKyHson tambien funciones diferenciables. Como las curvaturas principales vienen
dadas por
ki=H
p
H
2
K
(esto se deduce de resolver la ecuacion de segundo grado (3.1), deducimos quek1yk2son
funciones continuas enS, y diferenciables enS fpuntos umbilicalesg.
3.4. Curvatura normal y formula de Euler.
Seapun punto de una supercieSR
3
yv2TpSun vector unitario. Tomemos una
aplicacion de GaussNparaS(hacemos esto localmente alrededor dep, lo cual permite
tener siempre una aplicacion de Gauss aunque no sea global). Consideremos el plano afn
vque pasa porpcuya variedad de direccion esta generada porvyNp, ver Figura 3.2):
v=fq2R
3
j hqp; vNpi= 0g:
As,fvjv2TpS;kvk= 1ges el haz de planos anes con base la recta normal aSenp.
Lema 3.4.1En la situacion anterior, existe un abiertoVdeSconteniendo apy una
curva diferenciablev: ("; ")!Sconv(0) =py
0
v(0) =v, tal queV\v=traza(v).

11. 3.4. CURVATURA NORMAL Y F

ORMULA DE EULER. 61
Demostracion.Por el Corolario 2.1.1,Slocalmente alrededor depcomo imagen inversa
de un valor regular (que podemos suponer que es cero) por una funcion diferenciable
F:O!R, dondeOes un abierto deR
3
que contiene ap. Denimosf: v\O!Rcomo
f=Fjv\O, que es diferenciable sobre el trozo de planov\O. Ademasp2v\Oy
f(p) =F(p) = 0 ydfp= (dFp)jTpv. Sipfuera un punto crtico def, entonces tendramos
Tpvker(dFp) =TpS, lo cual es imposible porqueSy vse cortan transversalmente.
Terminaremos la demostracion probando que existe una curva diferenciable: ("; ")!
R
3
con valores enF
1
(f0g), con(0) =py tal queparametrizaF
1
(f0g)\v=
f
1
(f0g) localmente alrededor dep. Para ello, tras aplicar un movimiento rgido enR
3
podemos suponer quep= 02R
3
y que v=f(x; y; z)jz= 0g, al que identicaremos con
R
2
. Nuestra funcion diferenciablefes ahora del tipof:O1!R, dondeO1=O\ fz= 0g
es un abierto deR
2
, y cumplef(0;0) = 0,df
(0;0)6= 0. Ademas, el conjunto de ceros de
fcorresponde con los puntos del plano vR
2
que estan sobre la supercieS. Como
df
(0;0)6= 0, podemos suponerfy(0;0)6= 0 luego por el teorema de la funcion implcita del
Analisis existe un abiertoO2deR
2
con (0;0)2O2O1tal que el conjunto de ceros de
fenO2se parametriza de la forma
f
1
(f0g)\O2=f(x; g(x))jx2("; ")g;
dondeg: ("; ")!R
2
es una aplicacion diferenciable. Reparametrizando la curva(x) =
(x; g(x)) por el arco tendremos la curva que estabamos buscando. 2
Volviendo a la situacion que tenamos antes del Lema 3.4.1, podemos parametrizar por
el arco la curvav: ("; ")!Sdada por el Lema 3.2.1 (eso no destruye la condicion

0
v(0) =vporquekvk= 1). Seav2Rla curvatura devcomo curva plana, donde para
denirla debemos elegir una orientacion en el plano v; tomamos aquella que hace que la
basefv; Npgsea positiva. Entonces,v=h
00
v(0); Npi. Derivando la igualdadh
0
v; Nvi=
0 ent= 0 se tiene
0 =h
00
v(0); Npi+h
0
v(0); dNp(
0
v(0)i=v+hv; dNp(v)i=vp(v; v);
de dondep(v; v) =vnos da una interpretacion geometrica de la segunda forma funda-
mental. Ap(v; v) se le llamacurvatura normaldeSen la direccion dev.
A continuacion vamos a obtener laformula de Euler,que relaciona las curvaturas
principales con las curvaturas normales. Tomamos una base ortonormalfe1; e2gdeTpS
condNp(ei) =ki(p)ei, entonces
v=p(v; v) =p
0
@
2
X
i=1
hv; eiiei;
2
X
j=1
hv; ejiej
1
A=
2
X
i=1
hv; eii
2
p(ei; ei)
=hv; e1i
2
k1(p) +hv; e2i
2
k2(p);

12. 62 CAP

ITULO 3. APLICACI

ON DE GAUSS. CURVATURAS.
que es la formula de Euler
2
. De esta formula se deduce que sik1(p)k2(p), entonces
k1(p)vk2(p);8v2TpS;kvk= 1;
es decir,las curvaturas principales son el maximo y el mnimo de las curvaturas de las
secciones normales aSenp.En el caso de quepsea un punto umbilical, deducimos
que todas las curvaturas normales coinciden. Esto nos dice que en un punto umbilical, la
supercie se curva de identica forma en cada direccion tangente.
3.5. Teoremas de Hilbert, Jellet-Liebmann y Hilbert-Liebmann.
Los tres teoremas de esta seccion son de tipo global, y dependen de la continuidad de
las curvaturas principales de una supercie.
Teorema 3.5.1 (Hilbert)SeaSuna supercie orientada yk1k2:S!Rlas corres-
pondientes curvaturas principales. Supongamos que en un puntop02Sse cumplen las
siguientes propiedades:
1.k1tiene un mnimo local enp0.
2.k2tiene un maximo local enp0.
3.p0es un punto elptico.
Entonces,p0es un punto umbilical.
Demostracion.Por reduccion al absurdo, supongamos quep0no es umbilical, y por tanto
k1(p0)< k2(p0). As, tienen sentido las direcciones principales enp0. Tras un movimiento
rgido, podemos suponer quep0=~0 es el origen deR
3
, el plano tangente enp0esfz= 0g,
las direcciones principales sone1= (1;0;0),e2= (0;1;0) y el normal enp0es (0;0;1). Por
el Corolario 2.1.1, existe una parametrizacionX:UR
2
!R
3
deSalrededor dep0de
la formaX(u; v) = (u; v; h(u; v)), dondeh:U!Res cierta funcion diferenciable yUes
un abierto deR
2
que contiene a (0;0). Por tanto,
h(0;0) =hu(0;0) =hv(0;0) = 0:
Calculamos los coecientes de la segunda forma fundamental deS:
(3.10) e=
huu
p
1 +h
2
u+h
2
v
; f=
huv
p
1 +h
2
u+h
2
v
; g=
hvv
p
1 +h
2
u+h
2
v
:
2
Esta es una reformulacion en lenguaje moderno delTeorema de Euler,generalizado mas tarde por
Meusnier:las curvaturas de las innitas secciones normales de una supercie en un punto dado no son
un conjunto arbitrario de numeros, sino que toman los valores de un polinomio de segundo grado en dos
variables.

13. 3.5. TEOREMAS DE HILBERT, JELLET-LIEBMANN Y HILBERT-LIEBMANN. 63
ComoXu(0;0); Xv(0;0) son direcciones principales deS, (3.10) implica
(3.11)huu(0;0) =e(0;0) =p0
(e1; e1) =k1(p0); huv(0;0) = 0; hvv(0;0) =k2(p0):
Consideremos las curvas(u) =X(u;0),(v) =X(0; v), y las curvas espaciales (valuadas
en la esfera unidad)
E1(v) =
1
kXu(0; v)k
Xu(0; v); E2(u) =
1
kXv(u;0)k
Xv(u;0):
As,E1(v)2T
(v)SyE2(u)2T
(u)S. Ahora denimos las funciones
h1(v) =
(v)(E1(v); E1(v)) =
huu
(1 +h
2
u)
p
1 +h
2
u+h
2
v
(0; v);
h2(u) =
(u)(E2(u); E2(u)) =
hvv
(1 +h
2
v)
p
1 +h
2
u+h
2
v
(u;0):
Usando la hipotesis2tenemos
h2(0) =p0
(e2; e2) =k2(p0)k2((u))
(u)(E2(u); E2(u)) =h2(u):
De forma analoga, usando la hipotesis1deducimos
h1(0) =p0
(e1; e1) =k1(p0)k1((v))
(v)(E1(v); E1(v)) =h1(v):
Por tanto,h1tiene un mnimo local env= 0 yh2un maximo local enu= 0. De aqu se
deduce que
(3.12) h
00
2(0)0h
00
1(0):
Ahora derivamos enuen la denicion deh2, para obtener
h
0
2(u) =
huvv
(1 +h
2
v)
p
1 +h
2
u+h
2
v

2hvhuvhvv
(1 +h
2
v)
2
p
1 +h
2
u+h
2
v

hvv(huhuu+hvhuv)
(1 +h
2
v)(1 +h
2
u+h
2
v)
3=2
:
Derivando de nuevo, evaluando enu= 0 y usando quehu(0;0) =hv(0;0) = 0:
h
00
2(0) =huuvv(0;0)hvv(0;0)

3huv(0;0)
2
+huu(0;0)
2

:
Si ahora simplicamos usando (3.11) tendremos
(3.13) h
00
2(0) =huuvv(0;0)k2(p0)k1(p0)
2
:
Razonando analogamente conh1se obtiene
(3.14) h
00
1(0) =huuvv(0;0)k1(p0)k2(p0)
2
:

14. 64 CAP

ITULO 3. APLICACI

ON DE GAUSS. CURVATURAS.
Ahora (3.12), (3.13) y (3.14) implican
0h
00
2(0)h
00
1(0) =k2(p0)k1(p0)
2
+k1(p0)k2(p0)
2
=K(p0)[k2(p0)k1(p0)];
dondeK(p0) es la curvatura de Gauss deSenp0, que es positiva por serp0un punto
elptico. As,k2(p0)k1(p0), contradiccion. 2
Teorema 3.5.2 (Jellet-Liebmann)SeaSR
3
una supercie compacta y conexa con
curvatura media constante y curvatura de Gauss positiva. Entonces,Ses una esfera.
Demostracion.SeaH2Rla curvatura media deS.Hno puede ser cero, porque la
supercie es compacta. AdemasSes orientable por ser compacta enR
3
. Consideremos
una aplicacion de Gauss paraS, y seank1k2:S!Rlas curvaturas principales deS
respecto a esta. Comok1es continua ySes compacta, existep02Sdondek1alcanza su
mnimo. Comok2= 2Hk1yHes constante, deducimos quek2alcanza un maximo en
p0. Por tanto podemos aplicar el Teorema de Hilbert para concluir quep0es umbilical.
Tomemos ahora cualquier puntop2S. Entonces,
k2(p)k2(p0) =k1(p0)k1(p);
luegok1(p) =k2(p), es decirpes tambien umbilical. Esto prueba queSes totalmente
umbilical, luego es una esfera por ser compacta. 2
Teorema 3.5.3 (Hilbert-Liebmann)SeaSR
3
una supercie compacta y conexa
con curvatura de Gauss constante. Entonces,Ses una esfera.
Demostracion.SeaK2Rla curvatura de Gauss deS. Por serScompacta admite un
punto elptico (luegoK >0) ySes orientable. Consideremos una aplicacion de Gauss
paraS, y seank1k2:S!Rlas curvaturas principales deSrespecto a esta. Comok1
es continua ySes compacta, existep02Sdondek1alcanza su mnimo. ComoK=k1k2
es una constante positiva, deducimos quek2alcanza un maximo enp0. Ahora se termina
igual que en la demostracion del Teorema de Jellet-Liebmann. 2

15. 3.6. EJERCICIOS. 65
3.6. Ejercicios.
1.
catenoidef(x; y; z)2R
3
jx
2
+y
2
= cosh
2
zgson
K(x; y; z) =
1
cosh
4
z
; H= 0; k1(x; y; z) =k2(x; y; z) =
1
cosh
2
z
:
2. f(x; y; z)2
R
3
jx
2
+y
2
= 2zgvienen dadas por
K(x; y; z) =
1
(1 + 2z)
2
; H
2
(x; y; z) =
(1 +z)
2
(1 + 2z)
3
:
Concluir que todos sus puntos son de tipo elptico.
3. A2O(3),b2R
3
y:R
3
!R
3
el movimiento rgido(p) =Ap+b. SiSR
3
es una supercie
e
S=(S), probar que las curvaturas de Gauss y media deSy
e
Sestan
relacionadas por
e
K=K,
e
H=H.
4. S=S(B; b; c) =fp2R
3
j hBp; pi+ 2hb; pi+c= 0gla cuadrica denida en el
Ejercicio 2 del tema anterior, dondeB2 M3(R)es una matriz simetrica no nula,b2R
3
yc2R. Demostrar que
Np=
Bp+b
kBp+bk
; p2S;
es una aplicacion de Gauss enS, y que la segunda forma fundamental asociada es
p(v; v) =
1
kBp+bk
hBv; vi; p2S; v2TpS:
Concluir que un elipsoide tiene curvatura de Gauss positiva en todos sus puntos.
5. a >0. Consideremos la parametrizacion global(u; v)2R
2
7!X(u; v) = (vcosu;
vsinu; au)del helicoideS=f(x; y; z)jxsin(z=a) =ycos(z=a)g. Probar queSes una
supercie mnima, y que la curvatura de Gauss deSviene dada por
KX=
a
2
(a
2
+v
2
)v
2
:
En particular, el helicoide no tiene puntos umbilicales y su aplicacion de GaussNes un
difeomorsmo local. >EsNun difeomorsmo?

16. 66 CAP

ITULO 3. APLICACI

ON DE GAUSS. CURVATURAS.
6. S=f(x; y; f(x; y))j(x; y)2Ugel grafo de una funcion diferenciablef:UR,
dondeUes un abierto deR
2
. Probar que
N=
1
q
1 +f
2
x+f
2
y
(fx;fy;1)
es una aplicacion de Gauss paraS, que su curvatura de Gauss es
K=
fxxfyyf
2
xy
(1 +f
2
x+f
2
y)
2
;
y que la curvatura media respecto aNes
H=
(1 +f
2
y)fxx2fxfyfxy+ (1 +f
2
x)fyy
2(1 +f
2
x+f
2
y)
3=2
:
7. S=f(x; y; z)jz=x
2
y
2
g
es
K=
4
1 + 4x
2
+ 4y
2
:
Concluir que todos los puntos deSson hiperbolicos.
8.
son elpticos, hiperbolicos y llanos.
9. :I! f(x; y; z)jx= 0g,(u) = (0; y(u); z(u)),
dondey(u)>0para todou2I. SeaX:I(0;2)!R
3
la parametrizacion de la
supercie de revolucionSobtenida al giraralrededor del eje OZ. Demostrar que las
curvaturas de Gauss y media deSviene dadas por
K(X(u; v)) =
z
0
(u)(y
0
(u)z
00
(u)y
00
(u)z
0
(u))
y(u)(y
0
(u)
2
+z
0
(u)
2
)
2
=
z
0
(u)
y(u)
(u)
k
0
(u)k
;
H(X(u; v)) =
y(u)(y
0
(u)z
00
(u)y
00
(u)z
0
(u)) +z
0
(u)(y
0
(u)
2
+z
0
(u)
2
)
2y(u)(y
0
(u)
2
+z
0
(u)
2
)
3=2
=
z
0
(u)
2y(u)
1
k
0
(u)k
+
(u)
2
;
dondees la curvatura decomo curva plana. Concluir que las supercies de revolu-
cion llanas, esto es, conK= 0, son abiertos de planos, cilindros o conos. Probar tambien
que las supercies de revolucion mnimas son abiertos de planos o de catenoides.

17. 3.6. EJERCICIOS. 67
10. :R
3
!R
3
,(p) =p, la homotecia de razon >0. Demostrar quees un
difeomorsmo deR
3
en s mismo, que su inversa es la homotecia de razon1=y que
la diferencialdpconserva los angulos entre vectores. Probar que siSes una supercie
deR
3
, entonces
e
S=(S)es una supercie difeomorfa aSy que sus curvaturas estan
relacionadas por
e
K=
1

2
K;
e
H=
1

H:
11. :R
3
f0g !R
3
f0g,(p) =
p
kpk
2, la inversion centrada en el origen. Demostrar
que es un difeomorsmo deR
3
f0gen s mismo, que su inversa es la propia y que
la diferenciald pviene dada por
d p(v) =
v
kpk
2
2
hp; vi
kpk
4
p;8v2R
3
:
Deducir que conservad pconserva los angulos entre vectores. Probar que siSes una
supercie contenida enR
3
f0g, entonces
e
S= (S)es una supercie difeomorfa aS.
Supongamos queSes orientable y queNes una una aplicacion de Gauss deS. Probar
que
e
N
(p)=Np2
hNp; pi
kpk
2
p; p2S;
es una aplicacion de Gauss de
e
S, y que las curvaturas de Gauss y media deS;
e
S(respecto
aN;
e
N) estan relacionadas por
e
K( (p)) =kpk
4
K(p) + 4kpk
2
hNp; piH(p) + 4hNp; pi
2
;
e
H( (p)) =kpk
2
H(p) + 2hNp; pi:
Deducir que las inversiones conservan puntos umbilicales.
12. Suna supercie conexa y orientable yN:S!S
2
una aplicacion de Gauss. Dado
p02R
3
, se dene la funcion soporte deScon basep0como
f:S!R; f(p) =hNp; pp0i:
(A)Probar que en una esfera, la funcion soporte con base en su centro es constante.
(B)Supongamos que existep02R
3
tal que la funcion soporte deScon basep0es
constante, y que la supercieSno es llana. Probar queSes un abierto de una
esfera centrada enp0.
13. SR
3
una supercie compacta y conexa que admite una funcion soporte constante.
Probar queSes una esfera.

18. 68 CAP

ITULO 3. APLICACI

ON DE GAUSS. CURVATURAS.
14. Suna supercie compacta y orientada. Probar que la aplicacion de Gauss deSes
un difeomorsmo local si y solo si la curvatura de Gauss deSes positiva.
15. un plano vectorial deR
3
y:I!una curva regular que es un homeomorsmo
sobre su imagen. Dado un vector unitarioa2R
3
que sea normal a, denimosX:I
R!R
3
por
X(t; s) =(t) +sa; t2I; s2R:
A la supercieS=X(IR)se le llamacilindro recto con directriz(I).Probar que
Ses una supercie llana y calcular la curvatura media deS.
16. SR
3
una supercie compacta, contenida en una bola de radior >0. Probar que
existe un puntop2Stal queK(p)
1
r
2yjH(p)j
1
r
.
17. Sy un plano afnson tangentes a lo largo de una
curva regular. Probar que todos los puntos de la traza de esta curva son llanos.
18.
la supercie es no negativa a lo largo de la recta.
19. pun punto en una supercieSR
3
. Probar que la suma de las curvaturas normales
en cualquier par de direcciones tangentes enportogonales es constante.
20.Lneas de curvatura, direcciones asintoticas, Indicatriz de Dupin y di-
recciones conjugadas.
SeaSR
3
una supercie.
(A)Una curvaCSse dice unalnea de curvaturasi puede parametrizarse por una
curva regular:IR!Sde forma que
0
(t)dene una direccion principal en
(t), para todot2I. Probar que una curva regular:IR!Ses una lnea
de curvatura si y solo si
(N)
0
(t) =(t)
0
(t);8 2I
donde:I!Res una funcion diferenciable. En este caso,(t)es una curvatura
principal en el punto(t)(Teorema de Olinde Rodrigues).
(B)Unadireccion asintoticadeSen un puntop2Ses una direccion enTpSpara
la que la curvatura normal es cero. Unacurva asintoticaes una curva regular
:IR!Stal que
0
(t)dene una direccion asintotica en(t)para cada
t2I. Probar que
(B.1)Sip2Ses un punto elptico, entonces no hay direcciones asintoticas enp.
(B.2)Sipes un punto parabolico, entonces existe una unica direccion asintotica
enp, y coincide con una de las direcciones principales enp.

19. 3.6. EJERCICIOS. 69
(B.3)Sipes un punto de tipo plano, entonces todas las direcciones deTpSson
asintoticas.
(B.4)Sipes un punto hiperbolico, entonces existen exactamente dos direcciones
asintoticas enp, cuyas bisectrices enTpSson las direcciones principales.
(B.5)SiSes mnima, entonces las direcciones asintoticas en cualquier punto no
llano son ortogonales.
(C)Dadop2S, se dene laindicatriz de Dupinenpcomo
D(p) =fv2TpSjp(v; v) =1g:
Probar que
(C.1)Sip2Ses un punto de tipo plano, entoncesD(p) = .
(C.2)Sipes un punto umbilical no llano, entoncesD(p)es una circunferencia
centrada en el origen deTpS.
(C.3)Supongamos quep2Sno es un punto umbilical. SeaB=fe1; e2guna
base ortonormal de direcciones principales enp, con curvaturas principales
asociadask1; k22R. Dadov2TpS, sean(a; b)B2R
2
las coordenadas dev
respecto aB, es decirv=ae1+be2. Probar que
D(p) =f(a; b)B2R
2
jk1a
2
+k2b
2
=1g;
que es una conica en el plano(a; b). Esta conica puede ser de tres tipos:
Sipes un punto elptico, entoncesD(p)es una elipse con semiejes1=
p
jk1j,
1=
p
jk2japuntando en las direcciones principales enp.
Sipes un punto parabolico, entoncesD(p)es un par de rectas paralelas
a una de las direcciones principales enp, a distancia del origen1=
p
jkj,
dondekes la curvatura principal no nula enp.
Sipes un punto hiperbolico, entoncesD(p)es una pareja de hiperbolas
que cortan a los ejes dados por las direcciones principales en los puntos
(1=
p
k2;0)B,(0;1=
p
k1)B(hemos ordenado las curvaturas princi-
pales enpde forma quek1<0< k2), de forma que esta hiperbolas son
asintoticas a las direcciones asintoticas deTpS(de aqu el nombre de direc-
ciones asintoticas, recordemos que en este caso las direcciones asintoticas
forman angulos cuyas bisectrices son los ejese1=OX,e2=OY dados por
las direcciones principales).
(D)Dadop2S, dos vectoresv; w2TpW f0gse denendirecciones conjugadas
sip(v; w) = 0(claramente, esto no depende de los vectoresv; wsino solo de sus
direcciones). Probar que
(D.1)En un punto de tipo plano, todo par de direcciones son conjugadas.

20. 70 CAP

ITULO 3. APLICACI

ON DE GAUSS. CURVATURAS.
(D.2)En un punto umbilical no llano, todo par de direcciones ortogonales son
conjugadas.
(D.3)Las direcciones principales enpson direcciones conjugadas.
(D.4)Las direcciones asintoticas son conjugadas de s mismas.
21.Variacion paralela.SeaSuna supercie orientable yN:S!S
2
una aplicacion
de Gauss. Dador >0, consideramos la aplicacionFr:S!R
3
dada por
Fr(p) =p+rNp; p2S:
Supongamos queFr(S)es una supercie (llamadasupercie paralela) y que para cada
r2(0; "),Fr:S!Sres un difeomorsmo, para cierto" >0. Fijemosr2(0; ").
(A)Seap2Sye1; e22TpSvectores unitarios y ortogonales tales quedNp(ei) =
ki(p)ei,i= 1;2(es decir,k1(p); k2(p)son las curvaturas principales enp).
Demostrar que(dFr)p(ei) = (1rki(p))ei,1rki(p)>0y12rH(p)+r
2
K(p)>
0.
(B)Probar que el plano tangente aSenp2Scoincide con el plano tangente aFr(S)
enFr(p), y que existe una aplicacion de GaussN
0
paraFr(S)tal queN
0
Fr=N.
(C)Probar que la recta normal afn aSenp2Scoincide con la recta normal afn a
Fr(S)enFr(p).
(D)Probar que las curvaturas principales deSenp2Sy deFr(S)enFr(p)estan
relacionados por
k
0
i(Fr(p)) =
ki(p)
1rki(p)
; i= 1;2;
y que las direcciones principales coinciden.
Demostrar que las curvaturas de Gauss y media deSyFr(S)se relacionan mediante
K
0
Fr=
K
12rH+r
2
K
; H
0
Fr=
HrK
12rH+r
2
K
:
(E)Supongamos queStiene curvatura media constanteH=
1
2r
. Demostrar queKno
tiene ceros enSy queFr(S)tiene curvatura de Gauss constanteK
0
=
1
r
2.
22. Suna supercie orientable, conexa y con curvaturas principales constantes. Probar
que siStiene un punto elptico, entoncesSes un abierto de una esfera.
23. SR
3
una supercie compacta y conexa, con curvatura de Gauss positiva. SiH=K
es constante, probar queSes una esfera.
24. SR
3
una supercie compacta y conexa, con curvatura de Gauss positiva. Si una
curvatura principal deSes constante, probar queSes una esfera.

21. 3.6. EJERCICIOS. 71
25.Comparacion de superficies en un punto.
SeanS1; S2dos supercies orientables tangentes en un punto comunp. Tomemos apli-
caciones de GaussNienSi,i= 1;2, tales que(N1)p= (N2)p. As, podemos ex-
presarS1; S2localmente como grafos de funciones diferenciablesf1; f2denidas en un
abierto deTpS1=TpS2que contiene al origen. Ademas, salvo un giro y una trasla-
cion`supondremos quep=~02R
3
,TpSi=fz= 0gy(N1)p= (N2)p= (0;0;1).
Decimos queS1esta por encima deS2alrededor depsi existe un entorno del origen
enTpS1tal quef1f2en dicho entorno.
(A)Probar que siS1esta por encima deS2alrededor dep, entonces las segundas formas
fundamentales deS1; S2respecto aN1; N2cumplen(1)p(v; v)(2)p(v; v)para
todov2TpS1. En particular, las curvaturas medias cumplenH1(p)H2(p).
(B)Demostrar que si(1)p(v; v)>(2)p(v; v)para todov2TpS1 f0g, entoncesS1
esta por encima deS2alrededor dep.
26. Sun grafo sobre un disco de radior >0enR
2
. Probar que si la curvatura media
HdeScumpleHapara una >0, entoncesar1.
27.
x
2
a
2+
y
2
b
2+
z
2
c
2= 1, donde0< a < b < c.
(A)Sean
F:R
3
!R; F (x; y; z) =
x
2
a
2+
y
2
b
2+
z
2
c
2;
:S!R
3
; (x; y; z) =

x
2
a
2;
y
2
b
2;
z
2
c
2

;
h=krFk=2:S!R
(rFes el gradiente deF). Probar queN=

h
es una aplicacion de Gauss paraS.
(B)Seap2S. Demostrar quepes umbilical si y solo sidet(dp(v); (p); v) = 0para
todov2 h(p)i
?
.
(C)Consideremos la forma bilineal simetricaQ:R
3
o R
3
!Rdada porQ(v; w) =
v
t
Aw, donde
A=
0
@
0 ( a
2
b
2
)z(c
2
a
2
)y
(a
2
b
2
)z 0 ( b
2
c
2
)x
(c
2
a
2
)y(b
2
c
2
)x 0
1
A:
Demostrar quepes umbilical si y solo siQ(v; v) = 0, para todov2 h(p)i
?
.
(D)Probar que sip2Ses umbilical, entoncesdet(A) = 0y por tanto una de las
coordenadas depes cero.
(E)Deducir que los puntos umbilicales del elipsoideSse reducen a los siguientes cuatro:

a
q
b
2
a
2
c
2
a
2;0;c
q
c
2
b
2
c
2
a
2

.

22. 72 CAP

ITULO 3. APLICACI

ON DE GAUSS. CURVATURAS.