APLICACIONES DE LA DERIVADA A LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS EMPRESARIALES

APLICACIONES DE LA DERIVADA

2. FACULTAD DE INGENIERÍA Y ARQUITECTURA
ESCUELA ACADÉMICO PROFESIONAL DE INGENIERÍA EMPRESARIAL



LA DERIVADA
APLICACIÓN DE LA DERIVADA A LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS
EMPRESARIALES


AUTORES
Campos López Zoila Fiorella
Chuica Sernaque Yoel Arturo
Pasapera Yacsahuanca Claudia
Remaycuna Vásquez Alexander


ASESOR

Carrasco Tineo Américo

PIURA - PERÚ
2017

3. 3

INTRODUCCIÓN
Desde que las matemáticas fueron descubiertas y desarrolladas por el hombre, han generado un
sinnúmero de aportes en todos los campos del saber y en las distintas actividades que desarrollan
las personas, desde las cosas mínimas hasta las más complejas. Es por esto que se las considera una
herramienta indispensable para el tratamiento de información numérica, así como también para
dar explicaciones a ciertos fenómenos que acontecen.
Debido a esto en este trabajo presentaremos algunos ejemplos donde las matemáticas ayudan a
resolver problemas en el campo empresarial.
El objetivo es entender y analizar como la derivada puede relacionarse con ciertos casos en una
empresa y como es empleada para solucionarlos y explicarlos, satisfaciendo así las necesidades de
los gestores para que puedan tomar buenas decisiones.
En cada ejemplo se tratara un caso diferente, indicando detalladamente el proceso de solución.

4. 4

APLICACIÓN DE LA DERIVADA A LA SOLUCIÓN DE PROBLEMAS
EMPRESARIALES
PROBLEMA N° 1
El beneficio neto mensual en millones de soles de la empresa UNVI, dedicada a la fabricación de
autobuses, viene dado por la siguiente función, donde x es el número de autobuses fabricados en
un mes:
??????(??????)=1,2??????−(0,1??????)
3

Se pide calcular la producción mensual que hace máximo el beneficio.
Solución
??????(??????)=1,2??????−(0,1??????)
3

??????(??????)=1,2??????−0,001x
3
=0
??????´(??????)=1,2−0,003x
2
=0
1,2=0,003??????
2

1,2
0,003
=??????
2

??????
2
=400
??????=±√400
??????=±20
Ahora procedemos a calcular el beneficio neto mensual reemplazando x en la función inicial del
beneficio.
??????(??????)=1,2??????−(0,1??????)
3

??????(20)=1,2(20)−[(0,1(20)]
3

??????(20)=16
Conclusión
La empresa UNVI debe producir 20 autobuses al mes, para obtener el máximo beneficio, que
equivale a 16 millones de soles.

PROBLEMA N° 2
Un hotel tiene 71 habitaciones, el gerente ha observado que cuando el precio por habitación es de
180 soles todas se las habitaciones son alquiladas y por cada 20 soles de aumento en el precio, se
desocupa una habitación. Si el mantenimiento (limpieza, lavado, entre otros) de cada habitación es
de 40 soles el gerente desea saber:
¿Qué precio debe cobrar para obtener una máxima ganancia?
¿Cuantas habitaciones se deben ocupar con ese precio que de la máxima ganancia?
Solución

5. 5

Datos:
➢ X: Número de habitaciones desocupadas.
➢ (71 – X): Número de habitaciones ocupadas
➢ X: Está comprendida entre 0 y 71 incluyendo estos valores extremos.
➢ I(71-x): Ingreso, su fórmula es I(71-x)=(71-x)(180+20X)
➢ C(71-x): Costo, su fórmula es C(71-x)= 40 (71-x)
➢ G(x): Ganancia, su fórmula es G(x)=I(71-x)-C(71-x)
➢ P: Precio, su fórmula es (180+20x)
??????(71−??????)=(71−??????)??????−40(71−??????)
??????(71−??????)=(71−??????)(180+20??????)−40(71−??????)
??????(71−??????)=12780+1420??????−180??????−20??????
2
−2840+40??????
??????(��−??????)=��??????�+����??????−��??????
�

Ahora procedemos a encontrar los puntos críticos, donde el valor de x será el número de
habitaciones que estarán desocupadas cuando se obtenga la máxima ganancia.
??????(��−??????)=��??????�+����??????−��??????
�

??????´(71−??????)=1280−40??????=0
1280=40??????
1280
40
=??????
??????=32 Único punto crítico y pertenece al intervalo (0-71)
Seguidamente procedemos a los valores de x en la función inicial de la ganancia. Los valores a
evaluar son los siguientes: 0,32 y 71
G(71−??????)=9940+1280(0)−20(0)
2
=9940 Ganancia con todas la habitaciones ocupadas.
G(71−??????)=9940+1280(71)−20(71)
2
=0 Ganancia con todas la habitaciones desocupadas.
G(71−??????)=9940+1280(32)−20(32)
2
=30420 ????????????�??????�?????????????????? �??????????????????�??????.
Esta ganancia se obtiene si se establece el siguiente precio:
??????=180+20??????
??????=180+20(32)
??????=820 Soles por habitación.
Conclusión
El precio que el gerente debe cobrar para hacer máxima la ganancia es de 820 soles por habitación.
Con el precio de 820 soles se alquilan 39 habitaciones, obteniendo una ganancia de 30420 soles
Al analizar más a fondo el problema deducimos que cuando el precio es de s/. 820 por el alquiler
diario de cada habitación y en un día se alquilan 39 habitaciones, el ingreso diario que percibirá el
gerente será de S/. 30420. Por lo tanto en un mes de 30 días, se obtendrán 912 600 soles.

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PROBLEMA N° 3
Optimización de costos de producción
El costo total (en miles de soles) de pedido y almacenaje de x automóviles es:
C (x) = 4x + 720 +
921600
x
función objetivo
Derivar la función
Determine el tamaño del pedido que minimiza el consto total.

Solución
??????(??????)=4x+720+921600??????
−1


Derivamos:
??????
´
(x)=4−921600 ??????
−2


Puntos críticos
??????
´
(x)=0
4−921600 ??????
−2
=0
4−
921600
??????
2
=0
4=
921600
??????
2

4??????
2
=921600
??????
2
=
921600
4

??????
2
=230400
√??????
2
=±√230400
x=±480
x=480 Valor punto crítico

Tabulación en función objetivo
Tamaño del pedido
(automóviles)
x
Costo total (miles de soles)
??????(??????)=4x+720+
921600
x

200 6128

7. 7

400 4654
480 4560
600 4656
800 5072

PROBLEMA N° 4
La demanda estimada del producto dentro de un proyecto de desarrollo varía según el precio que
le fije al producto. La compañía de la empresa Punto Blanco ha descubierto que el ingreso total
anual R (Expresado en miles de dólares) es una función de precio p (en dólares). En concreto:
??????=f(p)=−50p
2
+500p
Determine el precio que debería cobrarse con objeto de maximizar el ingreso total. ¿Cuál es el valor
máximo del ingreso total anual?
Solución
Valor máximo de R (vértice)
??????=f(p)=−50p
2
+500p
Primera derivada:
f´(p)=−100p+500
Si se hace f' igual a 0
f´(p)=−100p+500=0
500=100p
500
100
=p
p=5 Punto crítco
Existe un punto crítico en grafica f, y se presenta cuando p=5, aunque sabemos que un máximo
relativo ocurre cuando p=5, verifiquemos formalmente esto por medio de una segunda derivada:
f" (P) = -100 y f" (5) = -100 < 0
Por consiguiente, un máximo relativo ocurre en f cuando p=5
El valor máximo de R se calcula constituyendo p= 5 en f, o sea:
f (5) = -1,250 + 2,500 = 1, 250
Se espera que el ingreso total anual se maximice en $ 1,250 (miles), es decir, $ 1,25 millones cuando
la empresa cobre $5 por unidad.

8. 8

PROBLEMA N° 5
Debido a unas pésimas condiciones ambientales, una colonia de un millón de abejas no comienza
su producción de miel de abeja. La función que representa la población de la colonia al variar el
tiempo (expresado en meses) viene dada por:

Se pide:
1. Verificar que la población es función continua del tiempo.
2. Calcular la tasa de variación media de la población en los intervalos [0, 2] y [0, 4].
3. Calcular la tasa de variación instantánea en t = 4.
Solución
1. Verificar que la población es función continua del tiempo.



2. Calcular la tasa de variación media de la población en los intervalos [0, 2] y [0, 4].


3. Calcular la tasa de variación instantánea en t = 4.

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REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS
Bibliografía
Sáenz, J. (2005). CÁLCULO DIFERENCIAL CON FUNCIONES TRASCEDENTALES TEMPRANAS
PARA CIENCIAS E INGENIERÍA. Barquisimeto: hipotenusa.
Posada, G. (2008). CÁLCULO, GUÍ DIDÁCTICA Y MÓDULO. Facultad de ciencias
administrativas, económicas y contables. Colombia: fundación universitaria.
Lincografía
Heredia, L. (2013). ALICACIONES MATEMÁTICAS. Recuperado de:
http://problemasdematematicasresueltos.blogspot.pe/p/eventos-mat.html