Aplicaciones de los máximos y mínimos en la ingenieria electromecanica

Una pequeña aplicacion

1. Aplicaciones de los máximos y mínimos en la ingeniería electromecánica Diego Vidal García Ruiz 1ªA Instituto Tecnológico Superior De Puerto Vallarta 1

2. El problema a darse es el siguiente: A un ingeniero electromecánico se da la tarea de hallar las dimensiones del rectángulo de área máxima que puede inscribirse en una placa de metal circular de 5cm de radio. 2 Aplicaciones de los máximos y mínimos en la ingeniería electromecánica

3. La forma grafica del problema: 5cm 3 Aplicaciones de los máximos y mínimos en la ingeniería electromecánica

4. Es el rectángulo BCDE el que se encuentra en la placa circular. B D C E 5cm 5cm Sea CD= x ; entonces BC= ; y evidentemente, el área del rectángulo es: 4 Aplicaciones de los máximos y mínimos en la ingeniería electromecánica

5. Así es como queda establecido lo anterior. 10cm x Debe de existir un rectángulo de área máxima ; en efecto, si la base se aumenta hasta 10cm, entonces la altura disminuirá hasta cero, y el área llegara a ser cero. 5 Aplicaciones de los máximos y mínimos en la ingeniería electromecánica

6. Si ahora, se disminuye la base hasta cero, entonces la altura aumentará hasta 10cm y otra vez llegara a ser cero. Luego es evidente, por intuición, que existe un rectángulo que es el mayor a todos. Estudiando la figura con atención podríamos sospechar que cuando el rectángulo se convierte en un cuadrado es cuando tiene mayor área, pero esto seria una conjetura. Por naturaleza del problema es evidente que x y A deben de ser positivos y que los valores de x varían de cero a 10. 6 Aplicaciones de los máximos y mínimos en la ingeniería electromecánica

7. Empezaremos a obtener el máximo de esta función. En este caso nada mas se obtendrá un máximo ya que los valores son positivos y se quiere encontrar el área máxima. 1. Tenemos la función respecto a x para encontrar las dimensiones en este caso. 7 Aplicaciones de los máximos y mínimos en la ingeniería electromecánica

8. 2. Aplicamos la primera derivada. 8 Aplicaciones de los máximos y mínimos en la ingeniería electromecánica

9. 9 Aplicaciones de los máximos y mínimos en la ingeniería electromecánica

10. 3. Igualamos a cero la primera derivada. Después encontramos el valor critico. Para eso, despejaremos “ x” . 10 Aplicaciones de los máximos y mínimos en la ingeniería electromecánica

11. Tenemos el valor crítico, ahora haremos los intervalos para saber si es cóncava o convexa la función establecida. Tomaremos solo los valores positivos. 11 Aplicaciones de los máximos y mínimos en la ingeniería electromecánica

12. Intervalos 7.071 10 (0 , 7.071) (7.071 , 10) X = 6 X = 8 Por lo tanto: Encontramos que en el intervalo (0 , 7.071) es creciente. Y en el intervalo (7.071 , 10) es decreciente. La función es cóncava . 12 Aplicaciones de los máximos y mínimos en la ingeniería electromecánica

13. Máximos y mínimos Se obtendrá al aplicar la segunda derivada. 13 Aplicaciones de los máximos y mínimos en la ingeniería electromecánica

14. Obtuvimos la segunda derivada, ahora para saber si es máximo, sustituiremos el valor crítico en la segunda derivada. 14 Aplicaciones de los máximos y mínimos en la ingeniería electromecánica

15. El valor crítico es x = 7.071 15 Aplicaciones de los máximos y mínimos en la ingeniería electromecánica

16. 16

17. Como ya vimos, nos dio el valor de -1.76; esto quiere decir, que como es negativo tenemos un máximo, y por lo tanto es cóncava como ya habíamos dicho. 17 Aplicaciones de los máximos y mínimos en la ingeniería electromecánica

18. Sabemos que es un máximo y es cóncava. Ahora, conoceremos donde esta ese punto máximo ubicado en un plano cartesiano. Tenemos la función original, se sustituye la x con el valor que tiene, en este caso es x=7.071 X = 7.071 Es la coordenada del punto máximo. 18

19. Construyamos ahora una tabla de valores y tracemos la grafica, tal como se muestra. X A 1 9.9 2 19.6 3 28.6 4 36.6 5 43 6 48 7 49.7 8 48 9 39 10 19

20. Por lo tanto, todo lo que hemos hecho a sido lo siguiente: El valor crítico donde se encuentra, el valor preciso para la máxima área. Calculamos como es la función dando nada mas números positivos ya que es un área. Por el análisis, nos dimos cuenta de cómo es la función, de cómo tiene un crecimiento y un decrecimiento. 20 Aplicaciones de los máximos y mínimos en la ingeniería electromecánica

21. Para terminar, calcularemos las dimensiones del rectángulo con el valor obtenido. 21 Aplicaciones de los máximos y mínimos en la ingeniería electromecánica

22. Cambiando todos los datos obtenidos, nos daremos cuenta que de ser un rectángulo, ahora será un cuadrado 10cm x 10cm 7.071cm 7.071cm A=49.99 cm² A~50 cm² 22

23. Conclusión 5cm 5cm El rectángulo se convirtió en cuadrado. 23

24. Lo que se obtuvo fue la construcción de una figura en una placa circular de metal. El propósito era obtener la máxima área que se podía obtener al trazar un rectángulo pero esto a su vez, se muestra que solo obteniendo la máxima área es hacer que el rectángulo se convierta a cuadrado. Por lo tanto, a todo esto, la área máxima que se puede obtener es 50 cm² 24 Aplicaciones de los máximos y mínimos en la ingeniería electromecánica