Aplicaciones del cálculo a la ingeniería

1. Aplicacio nes del Cá lculo a la Ingeniería Rivera Cervantes Abel Universidad Peruana Unión

2. LAS MATEM ÁTICAS EN LA INGENIERÍA El objeto formal de la ingeniería es la mejora de la calidad de vida de la humanidad, su objeto material es la naturaleza. El término naturaleza es muy amplio, un primer acercamiento a su significado lo encontramos en el orden semántico que los diccionarios explican como el “conjunto de seres y cosas que forman el universo y en los que no ha intervenido el hombre”.

3. CÁLCU LO EN LA IN GENIERÍA El cálculo se deriva de la antigua geometría griega. Demócrito calculó el volumen de pirámides y conos, se cree que considerándolos formados por un número infinito de secciones de grosor infinitesimal (infinitamente pequeño ).

4. Eudo xo y Arq uímedes U tilizaron el "método de agotamiento" para encontrar el área de un círculo con la exactitud requerida mediante el uso de polígonos inscritos. Sin embargo, las dificultades para trabajar con números irracionales y las paradojas de Zenón de Elea impidieron formular una teoría sistemática del cálculo.

5. DERIV ADAS PAR CIALES Las Derivadas Parciales son utilizadas en ingeniería para determinar la velocidad o el ritmo de cambio de una función de varias variables respecto a una de sus variables independientes, es decir, la derivada de una función de dos variables, mide la rapidez de cambio de una de ellas llamada “variable dependiente” en relación con la denominada “variable independiente”.

6. Por ejem plo Si z = - xy + 3 se tiene que = 2x – y . Y que = -x + 6y. Geométricamente, una ecuación z = f(x, y) define una superficie en un espacio tridimensional; si los ejes x e y son horizontales y el eje z es vertical, entonces y representan los gradientes de dicha superficie en el punto (x, y, z) en la dirección de los ejes x e y, respectivamente.  

7. Las derivadas parciales también se pueden calcular para funciones con más de dos variables, considerando que todas las variables menos una son constantes y derivando con respecto a ésta. Utilizando este procedimiento es posible calcular derivadas parciales de orden superior. Las derivadas parciales son importantes en las matemáticas aplicadas, pues existen funciones que dependen de diversas variables, como el espacio y el tiempo.

8. Aplicaciones de las derivadas parciales En matemática, una derivada parcial de una función de diversas variables, es su derivada respecto a una de esas variables manteniendo las otras como constantes. Las derivadas parciales son útiles en cálculo vectorial y geometría diferencial.

9. La derivada parcial de una función f respecto a la variable x se representa con cualquiera de las siguientes notaciones equivalentes : df/dx = dxf = f’x Donde ∂ es la letra 'd' redondeada, conocida como la 'd de Jacobi'. Cuando una magnitud A es función de diversas variables (x,y,z,...), es decir: A = f (x, y, z,…)

10. Al realizar esta derivada obtenemos la expresión que nos permite obtener la pendiente de la recta tangente a dicha función A en un punto dado. Esta recta es paralela al plano formado por el eje de la incógnita respecto a la cual se ha hecho la derivada y el eje z . Analíticamente el gradiente de una función es la máxima pendiente de dicha función en la dirección que se elija. Mientras visto desde el álgebra lineal, la dirección del gradiente nos indica hacia donde hay mayor variación en la función.

11. Aplicación en la física matemática Algunos ejemplos típicos de ecuaciones en derivadas parciales son: Ecuación de Difusión del Calor : Es la clásica ecuación unidimensional de difusión del calor, de segundo orden, lineal, homogénea y de coeficientes constantes.  

12. Ecua ción de onda Es la clásica ecuación de onda unidimensional, que describe fenómenos de tipo oscilatorios y es también de segundo orden, lineal, homogénea y de coeficientes constantes.  

13. Ecua ción de L aplace Esta es una ecuación bidimensional, de segundo orden, lineal, homogénea y de coeficientes constantes, describiendo potenciales eléctricos o gravitatorios o procesos de difusión en los que se ha alcanzado un equilibrio térmico . +  

14. Ecuac ión de Poi sson Es también una ecuación bidimensional, de segundo orden, lineal, de coeficientes constantes, pero no homogénea .  

15. Aplicacion es de las integrales múltiples Acá se presentan algunas de las aplicaciones tanto físicas como geométricas de las integrales múltiples como específicamente para integrales dobles y las integrales triples.

16. APLICACIONE S EN LAS INTEGRALES DOBLES Tienen muchas aplicaciones: una de las que más aplicadas es la Transformada de Fourier, que se utiliza para el tratamiento digital de señales: con eso se hacen las barritas que se ven que bajan y suben en los equipos de sonido y los reproductores de música. Para hallar volúmenes en ingeniería civil (aunque hay equipos para hacerlo), áreas en ingeniería textil. (También hay equipos para hacerlo), para hallar la catenaria de un cable en ingeniería eléctrica (también hay software para hacerlo). Puede que se utilicen en el diseño de líneas de transmisión, eléctrica o electrónica, antenas, puentes colgantes.

17. Densi dad y masa Conociendo las integrales dobles, podemos considerar una lámina con densidad variable. Supongamos que la lámina ocupa una región D del plano xy y su densidad (en unidades de masa por área unitaria) en un punto (x,y) en D está dada por ρ(x,y), donde ρ es una función continua en D. Esto significa que:

18. Densi dad y masa Conociendo las integrales dobles, podemos considerar una lámina con densidad variable. Supongamos que la lámina ocupa una región D del plano xy y su densidad (en unidades de masa por área unitaria) en un punto ( x,y ) en D está dada por ρ( x,y ), donde ρ es una función continua en D . Esto significa que:  

19. Donde son la masa y el área de un pequeño rectángulo que contiene a y el límite se toma cuando las dimensiones del rectángulo se aproximan a 0. Para hallara la masa total de la lámina, dividimos el rectángulo R que contiene a D, en sub-rectángulos Rij del mismo tamaño y consideramos que ρ( x,y) es 0 fuera de D. Si escogemos un punto ( , ) de Rij, entonces la masa de la parte de la lámina que ocupa Rij es aproximadamente ( , ) , donde es el área de R ( , ). Si sumamos todas estas masas, obtenemos una aproximación a la masa total:  

20. Si ahora aumentamos el número de sub-rectángulos, obtenemos la masa total m de la lámina como el límite del valor de las aproximaciones .  

21. Los físicos también consideran otros tipos de densidad que se pueden tratar en la misma manera. Por ejemplo, si una carga eléctrica se distribuye sobre una región D y la densidad de carga (en unidades de carga por área unitaria) está dada por σ(x,y) en un punto (x,y) en D, entonces la carga total Q está dada por:   D

22. Radio y Rota ción Su concepto implica al punto en el que la masa se concentra sin que los momentos respecto de los ejes cambien. Su nomenclatura obedece al orden del momento involucrado, su cálculo se hace en consideración del momento cruzado al eje respectivo, así, podemos decir que: ) = ) =  

23. APLICACIO NES DEL C ÁLCULO EN LA INGI NIERIA AM BIENTAL En la práctica profesional de la ingeniería ambiental, en muchos casos, se hace necesario conocer el caudal de un río, que es la velocidad que lleva el agua y que es función de los meses del año, ya que ésta información permite conocer con buena precisión el balance hidrológico que tiene ésta corriente de agua, además que son datos básicos para la construcción de obras hidráulicas como presas o acueductos, y para determinar las causas de incremento o disminución extremos en el caudal del río.

24. Ejerc icio apli cativo Si se sabe que la cantidad de agua que pasa por un río en un periodo de tiempo es igual al área encerrada por el eje x y la curva en el intervalo de tiempo correspondiente, ¿Cuál es la cantidad de agua en hectolitros que pasa por un río en un año?, teniendo en cuenta que la función que mide el caudal en función de los meses del año está dada por: F(x) = 3 + 2 cos πx/6

25. Entonces: Volumen = ∫_0^12〖(3+2 cos〖πx/6) dx〗 〗 V = 3x+ 12/π sen πx/6 F (12) = 36, F  Estas son algunas de las aplicaciones tanto físicas como geométricas de las integrales múltiples, específicamente para las integrales dobles por ende que se utiliza en la ingeniería.

26. EJEMPLOS APLICADOS A NUESTRO ENTORNO 1) Una compañía planea gastar 10.000 dólares en publicidad. Cuesta 3.000 dólares un minuto de publicidad en la televisión y 1.000 dólares un minuto de publicidad en la radio. Si la empresa compra x minutos de comerciales en la televisión e y minutos de comerciales en la radio, su ingreso en miles de dólares, está dado por: f(x,y ) = -2x2 – y2 + xy + 8x + 3y ¿Cómo puede la empresa maximizar su ingreso?

27. Solución: Se tiene el programa no lineal siguiente: Max z = -2x 2 – y 2 + xy + 8x + 3y s.a 3x + y = 10 Entonces: L (x, y, λ) = -2x 2 – y 2 + xy + 8x + 3y + λ (10 - 3x - y) Hacemos (Ec. 1) (Ec. 2) ( Ec . 3) Obsérvese que 10 - 3x -y = 0 se convierte en la restricción 3x + y = 10 . La ecuación (1) da y = 3λ – 8 + 4x y la ecuación (2) da y x = λ – 3 + 2y . Así, y= 3λ – 8 + 4(λ – 3 + 2y) = 7λ – 20 + 8y, ( Ec . 4), ( Ec . 5)  

28. Sustituyendo (4) y (5) en la (3), obtenemos, 4 λ - 1 = 0 ⇒ λ = . Entonces (4) y (5) nos dan El hessiano f (x,y) es Ya que cada mejor principal de primer orden es negativo, y , f(x, y) es una función cóncava. La restricción es lineal y, por lo tanto da la solución óptima para el programa no lineal. Así, la empresa tendría que comprar minutos de tiempo en televisión y minutos de tiempo en la radio. Ya que l = ¼, el gasto de un D extra (en miles) (para un D pequeño) aumentaría los ingresos de la empresa en aproximadamente 0.25 D dólares (en miles).  

29. En general, si la empresa tiene a dólares para gastar en la publicidad, se puede demostrar que λ=(11-a)/4 . Vemos que si gasta más dinero en la publicidad, el incremento en el ingreso porcada dólar adicional para la publicidad se hace más pequeño.

30. Ejemplo 2. Tres estudiantes de ingeniería comercial se asocian para importar dos tipos de bebidas energéticas. Cuentan con U$8.000 para realizar la importación de bebidas. Si x son las unidades de bebidas energéticas importadas desde Holanda, estiman que venderán unidades de esta bebida, a un precio de U$200. Cada una. Si y son las unidades de bebidas energéticas importadas desde Alemania, estiman que venderán unidades a un precio de U$200. Cada una. Si el costo por unidad vendida de cada bebida es de U$50. Determinar cuántas unidades de cada bebida energética deben importar para maximizar su utilidad. Determinar la utilidad máxima.  

31. Solución: a) s.a. b) Dólares .  

32. Gracias por su atención…