Aplicaciones reales de la Transformada de Laplace

Elementos prácticos de la aplicación de la transformada de Laplace

2. Control de Procesos
•¿Qué es un sistema de control ?
–En nuestra vida diaria existen numerosos objetivos que
necesitan cumplirse.
•En el ámbito doméstico
–Controlar la temperatura y humedad de casas y
edificios
•En transportación
–Controlar que un auto o avión se muevan de un lugar a
otro en forma segura y exacta
•En la industria
–Controlar un sinnúmero de variables en los procesos
de manufactura

3. Control de Procesos
•En años recientes, los sistemas de control han
asumido un papel cada vez más importante en
el desarrollo y avance de la civilización moderna
y la tecnología.
•Los sistemas de control se encuentran en gran
cantidad en todos los sectores de la industria:
–tales como control de calidad de los productos
manufacturados, líneas de ensa,ble automático,
control de máquinas-herramienta, tecnología espacial
y sistemas de armas, control por computadora,
sistemas de transporte, sistemas de potencia,
robótica y muchos otros

4. Ejemplos de procesos
automatizados
•Un moderno avión comercial

5. Ejemplos de procesos
automatizados
•Satélites

6. Ejemplos de procesos
automatizados
•Control de la concentración de un producto
en un reactor químico

7. Ejemplos de procesos
automatizados
•Control en automóvil

8. ¿ Por que es necesario controlar un
proceso ?
•Incremento de la productividad
•Alto costo de mano de obra
•Seguridad
•Alto costo de materiales
•Mejorar la calidad
•Reducción de tiempo de manufactura
•Reducción de inventario en proceso
•Certificación (mercados
internacionales)
•Protección del medio ambiente
(desarrollo sustentable)

9. Control de Procesos
•El campo de aplicación de los sistemas de
control es muy amplia.
•Y una herramienta que se utiliza en el
diseño de control clásico es precisamente:
La transformada de Laplace

10. ¿Por qué Transformada de
Laplace?
•En el estudio de los procesos es
necesario considerar modelos
dinámicos, es decir, modelos de
comportamiento variable respecto al
tiempo.
•Esto trae como consecuencia el uso de
ecuaciones diferenciales respecto al
tiempo para representar
matemáticamente el comportamiento de
un proceso.

11. ¿Por qué Transformada de
Laplace?
•El comportamiento dinámico de los
procesos en la naturaleza puede
representarse de manera aproximada
por el siguiente modelo general de
comportamiento dinámico lineal:
•La transformada de Laplace es una
herramienta matemática muy útil para el
análisis de sistemas dinámicos lineales.

12. ¿Por qué Transformada de
Laplace?
•De hecho, la transformada de Laplace
permite resolver ecuaciones
diferenciales lineales mediante la
transformación en ecuaciones
algebraicas con lo cual se facilita su
estudio.
•Una vez que se ha estudiado el
comportamiento de los sistemas
dinámicos, se puede proceder a diseñar
y analizar los sistemas de control de
manera simple.

13. El proceso de diseño del
sistema de control
•Para poder diseñar un sistema de control
automático, se requiere
–Conocer el proceso que se desea controlar,
es decir, conocer la ecuación diferencial que
describe su comportamiento, utilizando las
leyes físicas, químicas y/o eléctricas.
–A esta ecuación diferencial se le llama
modelo del proceso.
–Una vez que se tiene el modelo, se puede
diseñar el controlador.

14. Conociendo el proceso …
•MODELACIÓN MATEMÁTICA
Suspensión de un automóvil
f(t)
z(t)
k
b
m
Fuerza de
entrada
Desplazamiento,
salida del sistema
2
2
)()(
)()(
dt
tzd
m
dt
tdz
btkztf
maF
=--
=å

15. El rol de la transformada de
Laplace
Conviertiendo ecs. diferenciales a ecs. algebráicas
Suspensión de un automóvil
[ ]
kbsmssF
sZ
kbsmssZsF
sZmssbsZskZsF
dt
tzd
m
dt
tdz
btkztf
++
=
++=
=--
=--
2
2
2
2
2
1
)(
)(
)()(
)()()()(
cero) a igual iniciales scondicione ndo(considera
términocada a Laplace de ada transformla Aplicando
)()(
)()(
Función de
transferencia

16. Conociendo el proceso…
•MODELACIÓN MATEMÁTICA
Nivel en un tanque
qo(t)
Flujo de
salida
R
(resistencia
de la válvula)
h(t)
qi(t)
Flujo de
entrada
dt
tdh
Ath
R
tq
tq
th
R
dt
tdh
Atqtq
i
o
oi
)(
)(
1
)(
)(
)(
)(
)()(
=-
=
=-
Flujo que entra – Flujo que sale =
Acumulamiento
A
(área del
tanque)

17. El rol de la transformada de
Laplace
Conviertiendo ecs. diferenciales a ecs. algebráicas
Nivel en un tanque
11
1
)(
)(
)
1
)(()(
)()(
1
)(
Laplace de ada transformla Aplicando
)(
)(
1
)(
+
=
+
=
+=
=-
=-
ARs
R
R
As
sQ
sH
R
AssHsQi
sAsHsH
R
sQi
dt
tdh
Ath
R
tq
i
i
Función de
transferencia

18. Conociendo el proceso…
•MODELACIÓN MATEMÁTICA
Circuito eléctrico
)()(
1
)(
1
)(
)(
)(
tedtti
C
dtti
C
tRi
dt
tdi
Lte
o
i
=
++=
ò
ò

19. [ ] [ ] [ ]
[ ]
1
1
)(
)(
1)()(E
)(
1
)()()(E
I(s)) para o(despejand ecuaciones las Combinando
)()(
1
)(
1
)()()(E
Laplace de ada transformla Aplicando
)()(
1
)(
1
)(
)(
)(
2
2
i
i
i
++
=
++=
++=
=++=
=++=
òò
RCsLCssE
sE
RCsLCssEs
sCsE
Cs
sCsERsCsELss
sEsI
Cs
sI
Cs
sRIsLsIs
tedtti
C
dtti
C
tRi
dt
tdi
Lte
i
o
o
ooo
o
oi
El rol de la transformada de
Laplace
Conviertiendo ecs. diferenciales a ecs. algebráicas
Circuito eléctrico
Función de
transferencia

20. La función de transferencia
•Representa el comportamiento dinámico del proceso
•Nos indica como cambia la salida de un proceso
ante un cambio en la entrada
•Diagrama de bloques
forzanteFunción
proceso del Respuesta
)(
)(
proceso del entrada laen Cambio
proceso del salida laen Cambio
)(
)(
=
=
sX
sY
sX
sY
Proceso
Entrada del proceso
(función forzante o
estímulo)
Salida del proceso
(respuesta al
estímulo)

21. La función de transferencia
Diagrama de bloques
•Suspensión de un automóvil

Entrada
(Bache)
Salida
(Desplazamiento
del coche)kbsms ++
2
1
0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000
-10
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
10
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
x 10
4
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
x 10
-3

22. La función de transferencia
Diagrama de bloques
•Nivel en un tanque

Qi(s)
(Aumento del flujo de
entrada repentinamente)
H(s)
(Altura del nivel en
el tanque
1+ARs
R
0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000
-10
-5
0
5
10
15
20
0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000
-10
-5
0
5
10
15
20
25

23. La función de transferencia
Diagrama de bloques
•Circuito eléctrico

Ei(s)
(Voltaje de entrada)
Eo(s)
(Voltaje de salida)
1
1
2
++RCsLCs
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4
x 10
4
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4
x 10
4
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10

24. Propiedades y teoremas de la
transformada de Laplace más
utilizados en al ámbito de control
•TEOREMA DE TRASLACIÓN DE UNA FUNCIÓN
(Nos indica cuando el proceso tiene un retraso en
el tiempo)
•TEOREMA DE DIFERENCIACIÓN REAL
(Es uno de los más utilizados para transformar las
ecuaciones diferenciales)

25. Propiedades y teoremas de la
transformada de Laplace más
utilizados en al ámbito de control
•TEOREMA DE VALOR FINAL
(Nos indica el valor en el cual se estabilizará
la respuesta)
•TEOREMA DE VALOR INICIAL
(Nos indica las condiciones iniciales)

26. •Se tiene un intercambiador de calor 1-1, de tubos y
coraza. En condiciones estables, este intercambiador
calienta 224 gal/min de agua de 80°F a 185°F por dentro
de tubos mediante un vapor saturado a 150 psia.
•En un instante dado, la temperatura del vapor y el flujo de
agua cambian, produciéndose una perturbación en el
intercambiador.
Ejemplo aplicado:
Intercambiador de calor

27. •a) Obtenga la función de transferencia del cambio
de la temperatura de salida del agua con respecto
a un cambio en la temperatura del vapor y un
cambio en el flujo de agua, suponiendo que la
temperatura de entrada del agua al
intercambiador se mantiene constante en 80°F.
•b) Determine el valor final de la temperatura de
salida del agua ante un cambio tipo escalón de
+20°F en la temperatura del vapor, y un cambio
de +10 gal/min en el flujo de agua.
•c) Grafique la variación de la temperatura de
salida del agua con respecto al tiempo.
Ejemplo aplicado:
Intercambiador de calor

28. •Ecuación diferencial que modela el intercambiador de
calor
Ejemplo aplicado:
Intercambiador de calor

29. Intercambiador de calor
•Ecuación diferencial
•Donde:
•Ud0: Coeficiente global de transferencia de calor referido al diámetro exterior
•(BTU/h °F ft2)
•ATC0: Área de transferencia de calor referida al diámetro exterior (ft2)
•Cp : Capacidad calorífica (BTU/lb °F)
•tv : Temperatura del vapor (°F)
•te : Temperatura del agua a la entrada (°F)
•ts : Temperatura del agua a la salida (°F)
•(te+ ts) / 2 :Temperatura del agua dentro de tubos (°F)
•tref : Temperatura de referencia (°F)
•w : Flujo de agua (lb/h)
•m : Cantidad de agua dentro de tubos (lb)
• : Valores en condiciones estables
•Tv , Ts , W Variables de desviación
twtstv,,

30. Intercambiador de calor
•Linealizando
1
2
•Evaluando en condiciones iniciales estables
3
•Restando (2) de (3)

31. Intercambiador de calor
•Utilizando variables de desviación
•Aplicando la transformada con Laplace

32. Intercambiador de calor
•Simplificando
•Datos físicos
–Largo del intercambiador = 9 ft
–Diámetro de coraza = 17 ¼’’
–Flujo = 224 gal/min
–Temperatura de entrada =80°F
–Temperatura de salida = 185°F
–Presión de vapor =150psia.
–Número de tubos= 112
–Diámetro exterior de tubo = ¾ ’’ de diámetro y BWG 16, disposición cuadrada a 90°, con
un claro entre tubos de 0.63’’.
–Conductividad térmica de los tubos = 26 BTU/hft°F,
–Factor de obstrucción interno = 0.0012 hft2°F/BTU; externo = 0.001 hft2°F/BTU
–Coeficiente global de transferencia de calor = 650 BTU/hft2°F

33. Intercambiador de calor
•Calculando
las
constantes

34. Intercambiador de calor
•Función de transferencia
•Determine el valor final de la temperatura de salida del agua
ante un cambio tipo escalón de +20°F en la temperatura del
vapor, y un cambio de +10 gal/min en el flujo de agua.
0 0

35. Intercambiador de calor
Flujo de
agua entrada
Salida de
Agua °T
Temp de
Vapor entrada
Salida de
vapor
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
224
234
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
220
240
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
0
5
10
15
20
25
30
35
40
185
188.85

36. La respuesta del proceso en el
tiempo
Transformada Inversa De Laplace
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )s
b
s
b
s
a
s
a
ssss
sT
ssssss
x
ss
sT
ss
K
ss
K
sT
s
sW
s
sTsW
s
K
sT
s
K
sT
s
s
s
vvs
2121
4
2
2
1
1
2
2
1
1
583772.0583772.0583772.0
213928.2
583772.0
458658.4
)(
parciales fraccionesen Expansión
1712995.1
792464.3
1712995.1
63766.725.5007
1712995.1
10573947.720
1712995.1
381883.0
)(
25.5007
1
20
1
)(
25.5007
)(
20
)()(
1
)(
1
)(
-
+
-+
+
=
+
-
+
=
+
-
+
=÷
ø
ö
ç
è
æ
+
-
+÷
ø
ö
ç
è
æ
+
=
=÷
ø
ö
ç
è
æ
+
+÷
ø
ö
ç
è
æ
+
=
==
+
+
+
=
-
tt
tt

37. La respuesta del proceso en el
tiempo
( )
( )
()
( )
( )
( )
()
( )
( ) ( )
( ) ( )TsseetT
emperaturTsseetT
ssss
sT
ss
sb
ss
sb
ss
sa
ss
sa
tt
s
tt
s
s
s
s
s
s
+---=
=+-++-=
-
+
++
+
-=
-=-=
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
+
=
=
-
-=
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
+
+=
==
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
+
=
-=
-
=
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
+
+=
--
--
=
-=
=
-=
583772.0583772.0
583772.0583772.0
0
2
583772.0
1
0
2
583772.0
1
1792453.31637670.7)(
salida) de inicial at(Tss 792453.3792453.3637670.7637670.7)(
792453.3
583772.0
792453.3637670.7
583772.0
637670.7
)(
792453.3
583772.0
213928.2
583772.0
213928.2
792453.3
583772.0
213928.2
583772.0
213928.2
583772.0
6376.7
583772.0
458658.4
583772.0
458658.4
6376.7
583772.0
458658.4
583772.0
458658.4
583772.0
Transformada Inversa De Laplace

38. El sistema de control automático
Temperatura del agua de salida – Lazo abierto (sin
control)
Temperatura del agua de salida – Lazo cerrado
(con control)

Tv(s)
(Aumento de la
temperatura de vapor a la
entrada )
Ts(s)
(Aumento en la
temperatura de agua
a la salida)
1
1
1
+s
K
t
Controlador
1713.1
3819.0
+s
+
-
Valor
deseado Acción
de
control
Variable
controlada

39. La ecuación del controlador
•ECUACIÓN DIFERENCIAL DE UN CONTROLADOR PID
Donde E(s) es la diferencia entre el valor deseado y el valor
medido
ú
û
ù
ê
ë
é
++=
ú
û
ù
ê
ë
é
++=
ú
û
ù
ê
ë
é
++=
ú
û
ù
ê
ë
é
++=
ò
s
ssE
sM
ssEsE
ssE
sM
ssEsE
s
dt
tde
dtteteKctm
d
i
d
i
d
i
d
i
t
t
t
t
t
t
t
t
1
1Kc
)(
)(
)()(
1
E(s)Kc
)(
)(
)()(
1
E(s)KcM(s)
Laplace de ada transformla Aplicando
)(
)(
1
)()(

40. El sistema de control automático
Temperatura de agua a la salida – Lazo cerrado (con
control)
(el tiempo de estabilización para el sistema controlado es de 4 min, a partir del
cambio en la entrada)
1713.1
3819.0
+s
+
-
Valor
deseado Acción
de
control
Variable
controlada
÷
ø
ö
ç
è
æ
++ sKc
d
s
i
t
t
1
1
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5
0
1
2
3
4
5
6
X: 0.683
Y: 4.91
-1 0 1 2 3 4 5
0
1
2
3
4
5
6

41. 0 2 4 6 8 10 12
0
1
2
3
4
5
6
X: 0.683
Y: 4.91
X: 6.873
Y: 4.91
La respuesta del sistema de control
de nivel
•Comparación del sistema en lazo abierto (sin
control) y en lazo cerrado (con control)
Con
control
Sin
control

42. Actividad independiente 1
•Un sistema de suspensión
simplificada de un automóvil se
puede representar por la figura
siguiente:
•Las ecuaciones diferenciales
que modelan al sistema están
dadas por:
( ) ( )
( ) ÷
ø
ö
ç
è
æ
----=
-+÷
ø
ö
ç
è
æ
-+-=
dt
tdx
dt
tdy
btxtyk
dt
tyd
m
txtuk
dt
tdx
dt
tdy
btxtyk
dt
txd
m
)()(
)()(
)(
)()(
)()(
)()(
)(
2
2
2
2
12
2
2
1

43. Actividad independiente 2
a)Obtén la función de transferencia
(Tip: transforma ambas ecuaciones, despeja X(s) en
ambas e iguálalas, finalmente reacomoda para dejar
Y(s)/U(s) )
b)Se sabe que b=1300 Ns/cm, k1=2000 KN/cm,
k2=50KN/cm, m2=1850 kg y m1 = 20 kg.
Si se le aplica una cambio escalón unitario en la
entrada de fuerza, obtén la expresión en el tiempo, es
decir, la transformada inversa de dicha función.
c) Utilizando cualquier paquete de graficado, excel,
matlab, mathematica, etc. Grafica la respuesta del
desplazamiento en el tiempo para t = [0,20]
)(
)(
sU
sY