Apostila de geometria plana exercícios resolvidos - crbrasil

Vários exercícios de geometria plana resolvidos passo a passo.

1. 2014
APOSTILA DE
GEOMETRIA PLANA
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
Celso do Rosário Brasil Gonçalves

2. GEOMETRIA PLANA – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
Celso do Rosário Brasil Gonçalves


1

(01) Se o segmento ̅̅̅̅ mede 17 cm, determine o valor de x nos casos:






Solução

AP = x

PB = 7

AP + PB = 17

x + 7 = 17

x = 10 cm






Solução

x+3+x = 17

2x=17-3

2x=14

x = 7 cm





(02) Determine x, sendo M ponto médio de ̅̅̅̅.
Solução

PB = x

AB = 17

AP = 21

AB = AP – PB

17 = 21 – x

x = 4 cm


Solução

AP – BP = AB

2x – (x-3) = 17

2x – x + 3 = 17

x =14

3. GEOMETRIA PLANA – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
Celso do Rosário Brasil Gonçalves


2




Solução

̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅








(03) Determine PQ, sendo AB = 31.



Solução











( )

( )

9






��̅̅̅̅̅ ��̅̅̅̅̅
� 9
�
� �


Solução





��
�
�
�� �
��
�� ��

Solução

4. GEOMETRIA PLANA – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
Celso do Rosário Brasil Gonçalves


3

(04) Determine AB, sendo M ponto médio de ̅̅̅̅




Solução

8

8

























(05) O segmento ̅̅̅̅ de uma reta é igual ao quíntuplo do segmento ̅̅̅̅ dessa mesma
reta. Determine a medida do segmento ̅̅̅̅, considerando como unidade de medida a
quinta parte do segmento ̅̅̅̅.

Solução


�� ��
�� �� (�� ��)
�� � (� � 7)
�� � � 7
�� �
�� ��
� �
� ��
�� �� ��
�� � �
�� �
��
�� 6
�� ��

5. GEOMETRIA PLANA – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
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4

AB = 5CD

AB=?












̅̅̅̅

(06) P, A e B são três pontos distintos de uma reta. Se P está entre A e B, que
relação deve ser válida entre os segmentos ̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅?

Solução



Observando a figura, notamos que:

̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅

(07) P, Q e R são três pontos distintos de uma reta. Se ̅̅̅̅ é igual ao triplo de
̅̅̅̅ ̅̅̅̅ = 32 cm, determine as medidas dos segmentos ̅̅̅̅ ̅̅̅̅.

Solução

Temos duas possibilidades:

(1º) Q está entre P e R:

6. GEOMETRIA PLANA – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
Celso do Rosário Brasil Gonçalves


5




















(07) Os segmentos ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ são adjacentes, de tal maneira que ̅̅̅̅ é o triplo
de ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ é o dobro de ̅̅̅̅ AD = 36 cm. Determine as medidas dos segmentos
̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅.

Solução


De acordo com o enunciado da questão, temos:











6




6

8 7

9 7




8



� � → � →� ��
�� ��
�� �
�� ���� �→
�� ��
(2º) R está entre P e Q:

7. GEOMETRIA PLANA – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
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6





8



Resposta: ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ .

(08) Sejam P, A, Q e B pontos dispostos sobre uma reta, nessa ordem. Se ̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅
são segmentos congruentes, mostre que ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ são congruentes.

Solução











( )





( )

Comparando (1) com (2), concluímos que ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ são congruentes.

(09) Se A, B e C são pontos colineares, determine AC, sendo AB = 20 cm e BC = 12
cm.

Solução

8. GEOMETRIA PLANA – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
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7


AC = x

AC = AB + BC

AC = 20+12

AC = 32 cm





(10) ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ são dois segmentos adjacentes. Se ̅̅̅̅ é quíntuplo de ̅̅̅̅ e AC = 42 cm,
determine AB e BC.

Solução





6





7





(11) Sendo ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ segmentos colineares consecutivos, ̅̅̅̅ o quádruplo de ̅̅̅̅ e ̅̅̅̅ =
45 cm, determine AB e BC.

Solução

x + 12 = 20

x =20 – 12

x = 8

x = AC = 8 cm

9. GEOMETRIA PLANA – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
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8



AB = 4x

BC = x

4x + x = 45

5x = 45

x = 9

AB = 4x

AB = 4.9

AB = 36 cm




Resposta: AB = 36 cm e BC = 9 cm ou AB = 60 cm BC = 15 cm.

(12) Numa reta r, tomemos os segmentos ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ e um ponto P de modo que ̅̅̅̅ seja
o quíntuplo de ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ seja o quádruplo de ̅̅̅̅ e AP = 80 cm. Sendo M e N os pontos
médios de ̅̅̅̅ ̅̅̅̅, respectivamente, determine MN.

Solução









AB = 4x

BC = x

45 + x = 4x

3x = 45

x = 15 �� �� �??????

AB = 4x

AB = 4.15

AB = 60 cm

10. GEOMETRIA PLANA – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
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9


























5x + 4x + x = 80

10x = 80

x = 8












AB = 5x  AB = 5.10

AB = 50

Como:

MB = AB/2  MB = 50 ÷ 2

MB = 25

Como:

BC = 4x  BC = 4.10

BC = 40

BC = 4x

BC = 4.8

BC = 32 �� ��

AB = 5x

AB = 5.8

AB = 40 �� ��
AC = AP - CP

AC = 80 – 8

AC = 72

MN = MB + BN

MN = 20 + 16

MN = 36
BP = 80 – 5x (1)

BP = 4x – x

BP = 3x (2)

Fazendo: (1) = (2)

80 – 5x = 3x

8x = 80

x = 10 �� ��

Como:

BN = BC/2  BN = 40/2  BN =
20

MN = MB + BN  MN = 25 + 20

MN = 45 cm

11. GEOMETRIA PLANA – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
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10




















Resposta: MN = 45 ou MN = 36 ou MN = 20 .

(13) Se o é isósceles de base BC, determine x:

AB = 2x – 7; AC x + 5.


(14) O triângulo ABC é equilátero. Determine x e y.

AB = 15-y; BC = 2x-7 e AC = 9

AC + CP = 80

AC + CP = x + x

AC + CP = 2x

80 = 2x

x = 40
AB = 5 x

AB = 5.40

AB = 200 AM = �� 100

PB = 3x

PB = 3.40

PB = 120
PM + MB = PB

PM + 100 = 120

PM = 20

MN = PB – MB

MN = 120 – 100

MN = 20
Solução:

2x-7 = x+5

2x-x = 5+7

x = 12

12. GEOMETRIA PLANA – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
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11



(15) Se o é isósceles de base ̅̅̅̅, determine BC.

AB = 3x-10; BC = 2x+4 e AC = x+4.





(16) Se o é isósceles de base BC, determine x.

̂ e ̂















Solução

2x-7 = 9

2x = 16

x = 8
15-y = 9

y = 15-9

y = 6

Solução

3x-10 = x+4

2x = 14

x = 7
Como:

BC = 2x+4

BC = 2.7+4

BC = 18.
� ≡�
�
�
� ��
Solução

No triângulo isósceles os ângulos da base são
congruentes (iguais):

13. GEOMETRIA PLANA – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
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12

(17) Se o é isósceles de base ̅̅̅̅, determine x.

̂ ̂ .




(18) Se o é isósceles de base BC, determine x e y.










(19) Determine x e y, sabendo que o triângulo ABC é equilátero.

(a)

Solução

x+30° = 2x-20°

2x-x = 30°+20°

x = 50°
� �
� �
� ��
� � 8
� 9 8
� 8
� ��
Solução




Como:






Solução


2x+ 1 = 3x-3

3x-2x =1+3

x = 4



y = 2x+1

y = 2.4+1

y = 9

14. GEOMETRIA PLANA – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
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13

(b)




(20) Se o perímetro de um triângulo equilátero é de 75 cm, quanto mede cada ado.

Solução

Como os três lados são iguais, devemos ter:

7 ÷

(21) Se o perímetro de um triângulo isósceles é de 100 m e a base mede 40 m,
quanto mede cada um dos outros lados?


(22) Determine o perímetro do triângulo ABC nos casos abaixo:

(a) Triângulo equilátero com AB = x+2y, AC = 2x-y e BC = x+y+3.


Solução

x+y = x+3

y = x-x+3

y = 3





Como:

x+3 = y+4

x+3 = 3+4

x = 4

15. GEOMETRIA PLANA – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
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14



(b) Triângulo isósceles de base BC com AB = 2x + 3, AC = 3x – 3 e BC = x + 3.

Solução





(23) Num triângulo isósceles, o semiperímetro vale 7,5 m. Calcule os lados desse
triângulo, sabendo que a soma dos lados congruentes é o quádruplo da base.

Solução

16. GEOMETRIA PLANA – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
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15



Resposta: Os lados são: 3m, 6m e 6 m.

(24) Considere as retas r, s, t, u, todas num mesmo plano, com r u. O valor em
graus de (2x+3y) é:

(a) 64° (b) 500° (c) 520° (d) 660° (e) 580°


Solução

17. GEOMETRIA PLANA – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
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16














Resposta: Letra (b).

(25) Na figura abaixo as retas r e s são paralelas. A medida do ângulo b é:

(a) 100° (b) 120° (c) 110° (d) 140° (e) 130°



Solução

Observe que:

z + 120°= 180° (z e 120° = São colaterais internos, logo, são
suplementares)

z = 60°

z + y + 20° = 180°

60° + y = 160

y = 100°

Observe que:

y = x = 100°, logo:

2x + 3y  2.100° + 3.100°  200° + 300°  500°

18. GEOMETRIA PLANA – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
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17







Como:

b = 2x + 60°

b = 2.20° + 60°

b =100°

Resposta: Letra (a)

(26) Na figura, as retas r e r’ são paralelas, e a reta s é perpendicular a t. Se o
menor ângulo entre r e s mede 72°, então o ângulo “a” mede:

(a) 36° (b) 32° (c) 24° (d) 20° (e) 18°



Solução

(1) b = 2x + 60° (i) ("� " é ângulo externo)

b + 4x = 180° (“b” e “4x” são colaterais internos)

b = 180° - 4x (ii)

Fazendo (i) = (ii), temos:

2x + 60° = 180° - 4x

6x = 120°

x = 20°

19. GEOMETRIA PLANA – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
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18



(27) Num triângulo ABC, os ângulos ̂ ̂ medem 50° e 70°, respectivamente. A
bissetriz relativa ao vértice A forma com a reta ̅̅̅̅ os ângulos proporcionais a:

(a) 1 e 2 (b) 2 e 3 (c) 3 e 4 (d) 4 e 5 (e) 5 e 6

Solução






















No triângulo destacado na figura ao lado, temos:

90° + 72° + a = 180° (Soma dos ângulos internos)

162° + a = 180°

a = 18°

Primeiramente, precisamos saber os valores dos ângulos “p”
e “q”.

Note que No ���, temos:

A+50°+70° = 180°

A = 180° - 120°

�̂ �� (A bissetriz AH divide esse ângulo em partes
iguais).
No ��??????, temos:

p + 50° + 30° = 180°

p = 180° - 80°

p = 100°
No ��??????, temos:

q + 30° + 70° = 180°

q = 180° - 100°

q = 80°
�
�


8


8

�
�

Logo, os ângulos p e q, têm a
seguinte relação:


Assim, a bissetriz AH forma
com a reta BC ângulos
proporcionais a 4 e 5.

Resposta; Letra (d)

20. GEOMETRIA PLANA – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
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19

(28) Na figura, o triângulo ABC é congruente ao triângulo DEC. Determine o valor de
“a” e “b”.



Solução

Observando a figura acima, temos:

≡ ̂

3a = 2a + 10°

a = 10°

≡

b + 48° = 5b

4b = 48

b = 12°

(29) Na figura abaixo, o triângulo ABD é congruente ao triângulo CBD. Calcule x e y e
os lados do triângulo ACD.




� �
� �
� � 8
�̂ �
Dados:




Dados:

AB = x

CD = 3x+8

BC = 2y

DA = 2x

21. GEOMETRIA PLANA – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
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20




Solução

Como os triângulos são semelhantes, temos:

2x = 3y + 8 (i)

x = 2y (ii)

Substituindo (ii) em (i), temos:

2(2y) = 3y + 8

4y = 3y + 8

y = 8

Como:

x = 2y  x = 2.8  x = 16

Cálculo dos lados do triângulo ACD:

AD = 2x  AD = 2.16  AD = 32

AC = x + 2y  AC = 16 + 2.8  AC = 32

DC = 3y + 8  DC = 3.8 + 8  DC = 32

(30) Na figura abaixo, o triângulo CBA é congruente ao triângulo CDE. Determine o
valor de x e y e a razão entre os perímetros desses triângulos.




Solução

22. GEOMETRIA PLANA – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
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21




2x – 6 = 22

2x = 28

x = 14

3y + 5 = 35

3y = 30

y = 10





















(31) Na figura abaixo, o triângulo PCD é congruente ao triângulo PBA. Determine o
valor de x e y e a razão entre os perímetros dos triângulos PCA e PBD.



Solução




��� ��??????�� �� ���
��� ��??????�� �� ���

���� ��
���� ��




x + 5 = 15

x = 10

3y – 2 = 2y + 17

y = 19

Lado AP = 2y + 17  AP = 2.19+17  AP = 55

Lado DP = 3y - 2  DP = 3.19 – 2  DP = 55

23. GEOMETRIA PLANA – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
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22



(32) Na figura abaixo, os triângulos ABC e CDA são congruentes. Calcule x e y.



Solução

2x = 120°

x = 60°

3y = 27°

y = 9°

(33) As retas r e s das figuras abaixo são paralelas. Determine x e y.

(a)



(b)


Solução

x + 60° = 180° (Colaterais internos)

x = 120°

y + 105° = 180° ( Colaterais internos)

y = 75°
Solução

3x - 10° + 90° + 2x = 180° (Colaterais internos)

5x + 80° = 180°

5x = 100°

x = 20°

24. GEOMETRIA PLANA – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
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23

y = 3x – 10° (alternos internos)

y = 3.20° - 10

y = 50°

(34) A soma de quatro ângulos agudos formados por duas retas paralelas cortadas por
uma reta transversal é 80°. Determine o ângulo obtuso.

Solução





(35) Na figura abaixo, sendo a//b, calcule x.













4x = 80°

x = 20°

x + y = 180°

20° + y = 180°

y = 160°

Solução

17x – 9° + 8x + 9° = 180°

25x = 180°

x = 7° 12’

25. GEOMETRIA PLANA – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
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24

(36) Na figura abaixo, sendo r//s, calcule x e y.



(37) Na figura abaixo, temos os ângulos a e b de lados respectivamente paralelos.
Sendo a = 8x e b = 2x + 30°, determine o suplemento de b.




Solução

Pela figura, notamos que:

a = b

8x = 2x + 30°

6x = 30°  x = 5°



(38) Se as retas r e s são paralelas, determine x, y e z nos casos abaixo:

(a)

Solução

3x -20° = 2x (Alternos internos)

x = 20°

y + 10° = 3x – 20°  y + 10° = 3.20° - 20° 

y = 40° - 10°  y = 30°


Como:

b = 2x + 30°

b= 2.5 + 30°

b = 40°
Cálculo do suplemento de b:

x = 180° - 40°

x = 140°

26. GEOMETRIA PLANA – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
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25




Solução





(b)





(39) Determine o valor de x na figura abaixo:





Pela figura:

x = 50°

y = 60°

z + 50° + 60° = 180°

z = 180° - 110°

z = 70°

Solução

y + 20° + 40° = 180°

y = 180° - 60°

y = 120°
z = y (Alternos internos)

z = 120°

x + z + 20° = 180°

x + 120° + 20° = 180°

x = 40°

27. GEOMETRIA PLANA – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
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26


















(40) Determine x e y, na figura abaixo:



Solução

Solução


Pela figura ao lado, temos:

3x – 30° = x – 10° + x + 30°

3x – 2x = 20° + 30°

x = 50°

28. GEOMETRIA PLANA – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
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27



No triângulo ABC, temos:

130° = x + 100°

x = 30°

No triângulo ACE, temos:

y + 40° + 80° + 30° = 180°

y = 180° - 150°

y = 30°

(41) Da figura abaixo, sabemos que AB = AC, ̂ e AD = BC.
Determine x =C ̂D.




Solução

29. GEOMETRIA PLANA – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
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28
















(42) Determine a área da região sombreada na figura abaixo.




Solução


Solução

(1) Indiquemos as medidas AB = AC = b e CD =
A, donde obtemos BC = a + b.

(2) Tracemos ��̅̅̅̅ com AP = b, de modo que
�� � 6 . Obtemos desta forma o triângulo
equilátero (verde) APB de lado b.

(3) Consideremos agora os triângulos PAD
(amarelo) e ABC. Note que eles são congruentes
pelo caso LAL.
Logo: PD = AC = b e A� � = 100°.

(4) De PD = b concluímos que o PBD é isósceles.
Note que neste triângulo PBD, como � = 160°,
concluímos que � �̂ = 10°.

(5) Finalmente, de A� P = 60°, D� P = 10° e
C� � , concluímos que C�̂� � ��

30. GEOMETRIA PLANA – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
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29


(1) Área do triângulo equilátero de lado igual a 10:



√

→

( ) √

→

√

→
√

(2) Área dos 3 setores circulares de ângulo central igual a 60° e raio igual a 5:




6
→

( )
2
6

→





(3) Área da região sombreada:



→ √


→
√

→
(√ )



(43) Na figura abaixo, ̅̅̅̅ é paralela a ̅̅̅̅. Sendo ̂ igual a 80° e ̂ igual a
35°, calcule a medida de A ̂D.

Solução





Solução

31. GEOMETRIA PLANA – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
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30






(44) Na figura abaixo, as retas r e s são paralelas. Calcule a.


Solução



(45) Determine o valor de x na figura abaixo:



(1) No triângulo amarelo ABF, temos:

y + 80° + 35° = 180°

y = 180° - 115°

y = 65°

(2) No triângulo AGE, temos:

x = 35 +80° ( x é ângulo externo)

x = 115°

No triângulo colorido, o ângulo 3a, é
ângulo externo, logo:

3a = 180° - 2a + 80°

5a = 260°

a = 52°

32. GEOMETRIA PLANA – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
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31



Solução







No triângulo colorido, temos:

a + b + x = 180° (iv)

Substituindo (iii) em (iv), temos:

360° - 4x + x = 180°

3x = 180°

x = 60°

2a + 2(2x+10°) = 360° : 2

a + 2x + 10°= 180°

a + 2x = 170° (i)

2b + 2(2x-10°) = 360 ; 2

b + 2x – 10° = 180°

b + 2x = 190° (ii)

Fazendo (i) + (ii), temos:

a + 2x = 170°

b + 2x = 190°

a + b + 4x = 360° → a + b = 360° - 4x (iii)
+
+

33. GEOMETRIA PLANA – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
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32

(46) Num triângulo isósceles ABC o ângulo do vértice A vale 1/10 da soma dos ângulos
externos em B e C. Sendo ̅̅̅̅ a base do triângulo, determine o ângulo A.

Solução








(47) Num triângulo ABC, o ângulo obtuso formado pelas bissetrizes dos ângulos ̂ ̂
excede o ângulo ̂ em 76°. Determine ̂.






Solução

a =
1
10
(� �)→��?????? � � (1)

a + b + c = 180°  b + c = 180° - a (2)

Note que:

d + b = 180°

c + e = 180°

d + e + b + c = 360°


10a + 180° - a = 360°

9a = 180°

a = 20°

+

34. GEOMETRIA PLANA – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
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33


















(48) Seja ABC um triângulo isósceles de base ̅̅̅̅. Sobre o lado ̅̅̅̅ desse triângulo
considere um ponto D tal que os segmentos ̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅ sejam todos congruentes entre
si. Calcule a medida do ângulo ̂ .

Solução


� = x + 76°

No triângulo ABC, temos:

x + 2y + 2z = 180°

2y + 2z = 180° - x (i)

No triângulo BCD, temos:

y + z + d = 180° (multiplicando por 2)

2y + 2z + 2d = 360° (ii)

Substituindo (i) em (ii), temos:
180° - x + 2d = 360°

180° - x + 2 (x + 67°) = 360°

180° - x + 2x + 152° = 360°

x + 332° = 360°

x = 28°

�
�

8
� � 6
� 6
?????? ��
No triângulo BCD, temos:

a + a +
??????
2
8




No triângulo ABC, temos:

x + a + a = 180°

x + 2a = 180°

x + 2.72° = 180°

x = 180° - 144°

x = 36°

35. GEOMETRIA PLANA – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
Celso do Rosário Brasil Gonçalves


34

(49) A largura e o comprimento de um terreno retangular estão na razão 4 para 7.
Admitindo-se que o perímetro desse terreno seja 66 m, calcule (em metros) a largura
desse terreno.

Solução


(50) Considere a figura abaixo. Se os retângulos ABCD e BCEF são semelhantes, e
AD = 1, AF = 2 e FB = x. Calcule o valor de x.



Solução

Como os retângulos são semelhantes, temos:






→





→ →

→ →


√

→
√8

→


√

→

√
�
�


7
→
� �
�

7

→
� �
�

��
�
(??????)

�



→� �� ??????

2L + 2C = 66 (Perímetro do retângulo) : 2

L + C = 33 (ii)

Substituindo (ii) em (i):

36. GEOMETRIA PLANA – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
Celso do Rosário Brasil Gonçalves


35

(51) Observe a figura abaixo. Nela “a”, “2a”, “b”, “2b” e “x” representam as
medidas, em graus, dos ângulos assinalados. Calcule o valor de “x” ( em graus).




Solução























Note que x é ângulo externo do ��� ��??????�

x = 2a + 2b  x = 2(a + b) (i)

Note que � , é ângulo externo do triângulo amarelo,
logo:

c = a + 2a

c = 3a

No triângulo vermelho, temos:

c + b + 2b = 180°

3a + 3b = 180° : 3

a + b = 60° x (2)

2 (a + b) = 120° (ii)

Substituindo (i) em (ii):

x = 120°

37. GEOMETRIA PLANA – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
Celso do Rosário Brasil Gonçalves


36

(52) Na figura abaixo, o triângulo ABC é retângulo e isósceles e o retângulo nele
inscrito tem lados que medem 4 cm e 2 cm. Calcule o perímetro do triângulo MBN.



Solução



Observando a figura acima, notamos que aos triângulos vermelho e amarelo são
semelhantes, portanto:













→ 8 8→
2
6 → ( 6) →

O lado BM do triângulo vermelho vale: x – 2  6 – 2 = 4.

38. GEOMETRIA PLANA – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
Celso do Rosário Brasil Gonçalves


37

Aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo MBN, temos:

(BN)²= 4²+ 4²→ (BN)²= 16 + 16  (BN)² = 32 BN = 4√

Cálculo do perímetro do triângulo MBN:

2p = 4 + 4 + 4√

2p = 8 + 4√

2p = 4(2 + √ )

(53) Calcule a área da região colorida na figura abaixo, sabendo que A e B são pontos
médios de dois lados do quadrado.




Solução



??????
�


→�
� �
??????
�
??????� ??????
6
→??????
�
?????? 9
6
→�
� ??????
??????
?????? �
� �
�→�
?????? � ??????
(1) Área dos triângulos (amarelo):


(2) Área do setor circular vermelho:


(3) Área da região azul:

39. GEOMETRIA PLANA – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
Celso do Rosário Brasil Gonçalves


38

(54) Em uma cidade, há um terreno abandonado, na esquina da Rua da Paz com a
Avenida da Alegria. Esse terreno tem a forma de um trapézio retangular cujas bases
medem 18 m e 12 m e cuja altura mede 30 m. Uma pessoa amorou seu cavalo para
pastar nesse terreno, num ponto P, a uma corda de 12 m de comprimento. De acordo
com o esquema da figura abaixo, calcule a área (aproximada) do pasto do terreno que
o cavalo NÃO pode comer. Considere:


Solução

(1) Área do trapézio:



( )
2
→

(1 12) 30
2
→

30 30
2
→
450

(2) Área do setor circular:




2

6
→

( )
2
9
6
→



→
→


(3) Área colorida:



→ →



(55) Considere um triângulo ABC isósceles de base ̅̅̅̅, e os pontos P e Q tais que
P ̅̅̅̅ e Q ̅̅̅̅. Se BC = BP = PQ = QA, qual é a medida do ângulo de vértice A, em
radianos?

Solução:

40. GEOMETRIA PLANA – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
Celso do Rosário Brasil Gonçalves


39






















?????? 8
Observando a figura ao lado, notamos que os
ângulos B e C são congruentes, visto que o
triângulo ABC é isósceles, portanto:

2x+180°-6x = 3x

180°- 4x = 3x

7x = 180°

x =
1 0
7


Como:


x =
??????
�