Apostila fisica a 1

1. Física 1Física 1 DINÂMICA
JaimeE.Villate

3. Física1.Dinâmica
Jaime E. Villate
Faculdade de Engenharia
Universidade do Porto

4. http://www.villate.org/livros
Física 1. Dinâmica
Copyrightc2009, 2010 Jaime E. Villate
E-mail: [email protected]
Versão: 5 de Janeiro de 2010
ISBN: 978-972-99396-1-7
Este livro pode ser copiado e reproduzido livremente, respeitando os termos daLicença
Creative Commons Atribuição-Partilha(versão 2.5 Portugal). Para obter uma cópia desta
licença, visitehttp://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.5/pt/
ou envie uma carta para Creative Commons, 559 Nathan Abbott Way, Stanford,
California 94305, USA.

5. Conteúdo
Prefácio
1 Cinemática
1.1 Graus de liberdade
1.2 Velocidade e aceleração
1.3 Equações de movimento
1.4 Resolução numérica das equações de movimento
Perguntas
Problemas
2 Dinâmica
2.1 Movimento em duas ou três dimensões
2.2 Leis de Newton
2.2.1 Lei da inércia
2.2.2 Força e aceleração
2.2.3 Lei de acção e reacção
2.3 Forças de atrito
2.3.1 Atrito estático
2.3.2 Atrito cinético
2.3.3 Força de resistência nos uidos
2.4 Cálculo numérico das trajectórias
Perguntas
Problemas
3 Trabalho e energia
3.1 Producto escalar
3.2 Trabalho e energia cinética
3.3 Coordenada tangencial
3.4 Forças conservativas
3.4.1 Grácos de energia
3.4.2 O peso
3.4.3 Forças elásticas
3.5 Movimento harmónico simples
Perguntas
Problemas

6. iv Conteúdo
4 Rotação e movimento curvilíneo
4.1 Movimento dos corpos rígidos
4.2 Movimento circular
4.3 Coordenadas normal e tangencial
4.4 Vectores livres e vectores deslizantes
4.5 Adição de forças
4.6 Centro de massa
4.7 Rotação plana do corpo rígido
Perguntas
Problemas
5 Sistemas dinâmicos
5.1 Variáveis de estado e espaço de fase
5.2 Campo de direcções
5.2.1 Opções do programa plotdf
5.3 Pontos de equilíbrio
5.3.1 Ciclos e órbitas homoclínicas
5.3.2 Equilíbrio estável e instável
5.4 Sistemas autónomos
5.5 Sistemas conservativos
Perguntas
Problemas
6 Sistemas lineares
6.1 Equações de evolução
6.2 Sistemas autónomos gerais
6.3 Estabilidade dos sistemas lineares
6.4 Classicação dos pontos de equilíbrio
6.4.1 Pontos de sela
6.4.2 Nós estáveis e instáveis
6.4.3 Focos e centros
6.4.4 Nós próprios e impróprios
6.5 Osciladores lineares
6.5.1 Osciladores amortecidos
Perguntas
Problemas
7 Sistemas não lineares
7.1 Aproximação linear
7.2 O pêndulo
7.3 Aproximação linear do pêndulo
Perguntas
Problemas

7. Conteúdo v
8 Métodos numéricos
8.1 Método de Runge-Kutta de quarta ordem
8.2 Sistemas dinâmicos com vários graus de liberdade
8.2.1 Osciladores acoplados
8.2.2 Pêndulo de Wilberforce
Perguntas
Problemas
9 Ciclos limite e sistemas de duas espécies
9.1 Ciclos limite
9.1.1 Equação de Van der Pol
9.1.2 Existência de ciclos limite
9.1.3 Inexistência de ciclos limite
9.2 Coexistência de duas espécies
9.2.1 Sistemas predador presa
9.2.2 Sistemas com competição
Perguntas
Problemas
10 Bifurcações e caos
10.1 Órbitas homo/heteroclínicas atractivas
10.2 Comportamento assimptótico
10.2.1 Teorema de Poincaré-Bendixson
10.2.2 Critério de Bendixson.
10.3 Bifurcações
10.4 Sistemas caóticos
10.4.1 Bola elástica sobre uma mesa oscilatória
10.4.2 Equações de Lorenz
Perguntas
Problemas
A Python e VPython
A.1 Idle
A.2 O Python como calculadora
A.3 Blocos iterativos e condicionais
A.4 Funções
A.5 Módulos
Problemas
B Tutorial do Maxima
B.1 A interface do Maxima
B.2 Entrada e saída de dados
B.3 Variáveis
B.4 Constantes

8. vi Conteúdo
B.5 Expressões e equações
B.6 Grácos de funções
B.7 Procedimentos
B.8 Álgebra e trigonometria
B.9 Cálculo
B.10 Equações diferenciais
B.11 Guardar informação entre sessões
Perguntas
Problemas
C Programas auxiliares
D Formulário
E Créditos fotográcos
Soluções das perguntas e problemas
Bibliograa
Índice

9. Prefácio
Este livro é o texto de apoio para a disciplina de Física 1 (EIC0010) do primeiro ano do
Mestrado Integrado em Engenharia Informática e Computação (MIEIC), na Faculdade de
Engenharia da Universidade do Porto. A versão deste livro aparece referida pela data, na
contracapa, e a versão mais recente pode ser obtida no sítio:http://fisica.fe.up.
pt/pub/villate/fisica1 .
Com a reforma de Bolonha, no ano académico 2006/2007 desapareceu a antiga disciplina
do segundo ano do MIEIC, sobre sistemas dinâmicos. O programa dessa disciplina foi
adaptado para a disciplina de Física 1, do primeiro ano, tornando o seu conteúdo menos
matemático e mais relacionado com a física elementar.
O tema central deste livro é a dinâmica, numa abordagem elementar, mas tratando temas
avançados e contemporâneos, que não costumam ser tratados em disciplinas introdutórias
de física. O tratamento desses temas mais avançados, sem abdicar do nível elementar, é
conseguido com o recurso a ferramentas computacionais (Maxima); outra ferramenta de
software (VPython) é usada para simular sistemas físicos ilustrando o movimento desses
sistemas em três dimensões.
Devo agradecer os meus alunos pela sua valiosa ajuda na correcção de muitos erros e
gralhas, e pelo seu entusiasmo e interesse que têm sido fonte de inspiração para escrever
este livro. São muitos alunos para listar os seus nomes aqui. Agradeço também aos meus
colegas com quem lecciono a disciplina de Física 1, João Carvalho, Francisco Salzedas e
Helder Silva.
Jaime E. Villate
Porto, Junho de 2009

11. 1 Cinemática
Acinemática inversaconsiste em determinar os ângulos que devem rodar as articulações
de um sistema de barras articuladas para alcançar uma posição determinada, e a forma
óptima como devem ser modicados esses ângulos, para mudar de uma posição para
outra. Esse tipo de estudo é muito importante na robótica, na programação de jogos
de computador e nas técnicas de animação em 3 dimensões. O tipo de movimento que
realizamos quando, por exemplo, agarramos uma lâmpada e colocámo-la numa tomada,
é trivial para uma pessoa mas muito complexo quando tem de ser descrito no programa
que acciona um braço robótico. Acinemáticaaborda um problema mais elementar que
consiste em determinar como variam os parâmetros que denem um movimento observado.

12. 2 Cinemática
1.1 Graus de liberdade
A cinemática é a caracterização do movimento, sem considerar as suas causas. Começa-
remos por estudar sistemas com apenas um grau de liberdade; nomeadamente, objectos
que só se podem deslocar ao longo de uma trajectória determinada. Um exemplo é o
movimento dum automóvel numa autoestrada; a distância que o automóvel percorre ao
longo da estrada é muito maior do que a distância que possa percorrer mudando de faixa.
Assim, o movimento é aproximadamente em uma dimensão; se o automóvel tiver uma
avaria e o condutor tiver que telefonar para pedir um reboque, bastará dar uma coordenada
para identicar a sua posição: o quilómetro em que se encontra na autoestrada.
Figura 1.1:
O movimento ao longo de uma auto-estrada pode ser considerado um movi-
mento em uma dimensão.
Se em vez de estarmos a telefonar para um reboque na autoestrada, estivéssemos aciden-
tados algures nas montanhas, com um aparelho de GPS, para indicar a nossa posição à
equipa de resgate bastava dar a nossa latitude e longitude (duas coordenadas). Admitindo
que temos os pês na terra, o nosso movimento está limitado a dois graus de liberdade.
1.2 Velocidade e aceleração
Vamos designar com a variávels, a posição num sistema em uma dimensão. Repare ques
pode ser positiva ou negativa e que o sistema em uma dimensão não tem que ser uma recta;
pode ser qualquer curva xa. Dene-se avelocidade média,
1
num intervalo de tempo
entret1et2, igual a variação da posição, dividida pelo intervalo de tempo:
1
Alguns autores preferem reservar os termos “posição” e “velocidade” para designar os vectores da posição
e da velocidade. Nós usaremos o termo velocidade no sentido da linguagem quotidiana, nomeadamente,
sem indicação da sua direcção ou sentido, e “posição” neste caso indica a distância ao longo da trajectória
do objecto, referida a uma origem sobre a mesma trajectória.

13. 1.2 Velocidade e aceleração 3
Figura 1.2:
A superfície do terreno é um sistema em duas dimensões. Um objecto em
movimento nessa superfície terá dois graus de liberdade.
¯v12=
s2s1
t2t1
(1.1)
admitimos sempre quet2>t1 ; assim, a variação da posição é medida sempre em relação a
um instante anterior. As unidades da velocidade são unidades de distância sobre tempo:
m/s, km/h, ...
A velocidade média num intervalo não dá informação sobre o movimento num instante
determinado. O objecto pode ter se deslocado em forma uniforme desdes1atés2, ou ter
parado em algum instante e andado mais rapidamente em outros instantes.
Para denir avelocidadenum instantet, calcularemos a velocidade média no intervalo
entrete um instante posteriorDt, no limite em que o intervalo de tempoDtfor muito
pequeno, aproximadamente nulo:
v(t) =lim
Dt!0
s(t+Dt)s(t)
Dt
(1.2)
Esse limite designado de derivada da funçãosem ordem at. outra forma abreviada de
escrever esse limite é:
v=lim
Dt!0
Ds
Dt
(1.3)
ou ainda
v=
ds
dt
(1.4)
outra notação usada em mecânica é:v=s, em que o ponto indica a derivada em função de
t.

14. 4 Cinemática
Em forma análoga, podemos denir aaceleração tangencialno instantetigual à variação
da velocidade nesse instante:
at(t) =lim
Dt!0
v(t+Dt)v(t)
Dt
(1.5)
Usando a notação abreviada com os pontos:
at=
dv
dt
(1.6)
A aceleração mede-se em unidades de distância sobre tempo ao quadrado: m/s
2
, km/h
2
,
etc. Usando a notação abreviada pode escrever-se a derivada da velocidade comat=v; e
como a velocidade é a derivada da posiçãos, podem também escrever-se:at=¨s; os dois
pontos por cima duma função indicam a sua segunda derivada em ordem ao tempo.
1.3 Equações de movimento
As duas equações equações de movimento. Como veremos
nos exemplos nesta secção, se uma das variáveis cinemáticass,voua, for conhecida em
todos os pontos de um intervalo de tempo, as outras duas variáveis podem ser calculadas
com as equações de movimento.
É possível também eliminar o tempo entre as duas equações, na forma seguinte:
at
v
=lim
Dt!0
Dv
Dt
Ds
Dt
=lim
Dt!0
Dv
Ds
(1.7)
A equação obtida é:
at
v
=
dv
ds
(1.8)
Exemplo 1.1
A posição de uma partícula, ao longo de um percurso é dada pela funçãos=3t
3
t
2 .
Calcule a velocidade e aceleração tangencial em função do tempo.
Resolução:derivando a função da posição, obtemos a velocidade:
v=s=9t
2
2t
e derivando novamente, obtemos a aceleração tangencial:
at=v=18t2

15. 1.3 Equações de movimento 5
Exemplo 1.2
Se a velocidade de uma partícula ao longo de um canal forv=3t
2
+5t , calcule a aceleração
tangencial e a posição em função do tempo.
Resolução:
A aceleração pode ainda ser calculada igual que no exemplo anterior, por
derivação:
at=v=6t+5
para calcular a posição em função do tempo, substituímosvna equação s=v
ds
dt
=3t
2
+5t
Podemos concluir já que a posição é a primitiva da função3t
2
+5t , mas em vez disso,
vamos explicar o método daseparação de variáveisque poderá ser usado também em
outros casos mais complicados. O método consiste em considerar a derivada como um
quociente e agrupar num lado da equação todo o que depender des, e no outro lado todo o
que depender det; neste caso, seria assim:
ds= (3t
2
+5t)dt
a seguir, integram-se os dois lados da equação, especicando limites respectivos a cada
variável:
sZ
s0
ds=
tZ
t0
(3t
2
+5t)dt
Ondes0é o valor inicial da posição, no instante inicialt0, esé a posição em qualquer
instantet. Normalmente, podemos arbitrart0=0 es0=0 , mas vamos deixá-los como
parâmetros arbitrários, para obter o caso mais geral. O resultado dos dois integrais dá a
posição em função do tempo:
ss0=t
3
+
5
2
t
2
t
3
0

5
2
t
2
0
É de salientar que para podermos resolver uma das equações de movimento, como temos
feito nos exemplos anteriores, é preciso termos uma equação com apenas duas variáveis
das quatro possíveis variáveis (t,s,v,at). O método que usámos, separação de variáveis,
só funciona em alguns casos; em muitos problemas é impossível separar as duas variáveis.
Para esses casos existem outros métodos de resolução, que não vamos explorar aqui, pois
usaremos um método aproximado de resolução numérica.

16. 6 Cinemática
Exemplo 1.3
Uma esfera cai em queda livre, a partir do repouso, desde um prédio com 5 m de altura.
Admitindo que o atrito com o ar é desprezável, a aceleração é constante, para baixo e igual
a 9.8 m/s
2
(aceleração da gravidade). Calcule o tempo que a bola demora a cair até o chão
e a velocidade que terá nesse instante.
Resolução:
O movimento da esfera em queda livre será na direcção vertical. Se designar-
mos o eixo vertical pory, com origem no chão, a posição inicial éy0=5 (unidades SI) e a
aceleração deverá ser negativa.at=9:8 , por apontar no sentido oposto ao aumento dey.
Substituindo o valor da aceleração na equação, é:

9:8
v
=
dv
dy
é possível usar o método de separação de variáveis e integrar desde o ponto inicial (y0=5 ,
v0=0) até o ponto naly=0 com velocidadeva ser determinada:

0Z
5
9:8 ds=
vZ
0
vdv
o resultado dos integrais dá:
9:85=
v
2
2
portanto, a velocidade nal com que a esfera bate no chão é9:90 m/s.
Para calcularmos o tempo da queda, substituiremos o valor da aceleração na equação:
9:8=
dv
dt
Separando as variáveis e integrando temos:

tZ
0
9:8 dt=
9:90Z
0
dv
9:8t=9:90)t=1:01 s
Repare que esta segunda equação só podia ser resolvida após ter-se calculado a velocidade
nal emy=0.
O exemplo anterior podia ter sido resolvido usando equações que são válidas apenas para
movimentos com aceleração constante, por exemplo, a equaçãoy=v0t+gt
2
=2 , mas
não vale a pena tentar memorizar essas equações, que são apenas válidas no caso da
aceleração ser constante. É preferível, num exemplo especíco, partir sempre das equações
de movimento, com os valores concretos conhecidos.

17. 1.3 Equações de movimento 7
Observe também que neste caso foi possível integrarat, em ordem atou em ordem ay,
pelo facto deatser uma constante. Se assim não for, seria preciso saber a forma funcional
deat, e substituir, antes de poder separar as variáveis.
Exemplo 1.4
A aceleração de uma esfera pendurada numa mola vertical é dada pela função:a=w
2
y ,
ondeyé a altura, medida a partir da origem na posição de equilíbrio da esfera na mola.
Calcule a altura e a velocidade em função do tempo.y
0
Resolução:
Tendo em conta que neste caso a posição está a ser designada pory, em vez
des, podemos substituir a expressão da aceleração na equaçãoa=vdv=dy , cando com
uma equação com duas variáveis:
w
2
y=v
dv
dy
é possível separar as variáveis; vamos arbitrar quey0=0:
w
2
y
Z
0
ydy=
vZ
v0
vdv
ondev0=v(y=0) . Integrando e simplicando obtemos a velocidade em função da altura:
v=
q
v
2
0
w
2
y
2
(1.9)
Observe que a alturaydeverá estar dentro do intervaloAyA, em que:
A=



v0
w



Comovdeverá ser uma função contínua e derivável, nos intervalos em queyaumenta
desdeAatéA, deverá usar-se o sinal positivo na expressão. Nos intervalos em que y
é decrescente, deverá usar-se o sinal negativo.

18. 8 Cinemática
Para encontrar a altura em função do tempo, substituímos as expressões
v=ye usamos o método da separação de variáveis
tZ
0
dt=
y
Z
0
1
q
v
2
0
w
2
y
2
dy
foi arbitrado quet=0emy=0. A escolha do sinal positivo ou negativo dependerá do
sinal dev0; lembre que o limite superior não poderá ultrapassar o valor máximo dey.
Deixa-se como exercício demonstrar que, parav0>0, obtém-se o seguinte resultado:
y=Asin(wt) (1.10)
e parav0<0 o resultado é semelhante, mas com sinal negativo.
A velocidade em função do tempo obtém-se derivando a expressão anterior; independente-
mente do sinal dev0, o resultado obtido é:
v=v0cos(wt) (1.11)
1.4 Resolução numérica das equações de
movimento
Em problemas reais, nem sempre obtemos equações tão simples como as da secção anterior.
Um método mais geral de resolução consiste na obtenção de soluções aproximadas em
forma numérica. Nos capítulos nais deste livro usaremos esse tipo de métodos para
resolver problemas complexos que não podem ser resolvidos em forma exacta. Para
resolver problemas simples, semelhantes aos exemplos da secção anterior, bastará usar um
método numérico com pouca precisão; conseguiremos comparar com as soluções exactas
para avaliar a validade desse método numérico.
Consideremos o caso em que é conhecida a aceleração, para quaisquer valores det,sev.
O método numérico mais simples consiste em admitir que as variáveis cinemáticas não
variam contínuamente, mas variam apenas em instantes de tempot0,t0+dt ,t0+2dt , ...
Com os valores iniciais det0,s0, ev0, que deverão ser conhecidos, calcula-sea0. Com
os valores dev0e dea0, e admitindo que permanecem constantes durante o intervalodt,
calculam-ses1ev1, para o instante seguinte,t1=t0+dt, usando as equações:
s1=s0+v0dt (1.12)
v1=v0+a0dt (1.13)

19. 1.4 Resolução numérica das equações de movimento 9
o procedimento repete-se iterativamente, quantas vezes for necessário: a partir dos valores
das variáveis emt1calculam-se os seus valores emt2=t1+dt , e assim sucessivamente.
O valor de dtdeverá ser sucientemente pequeno para que a aproximação seja válida.
Exemplo 1.5
Escreva um programa para imprimir uma tabela com valores do tempo, altura e a velocidade
para uma esfera em queda livre, a partir do repouso, desde um prédio com 5 m de altura.
Admita que a aceleração da gravidade é9:8m/s
2
.
Resolução:
Este problema já foi resolvido em forma analítica no exemplo. Para
resolvê-lo em forma numérica,usaremos intervalos de tempo de 0.01 s. O programa se-
guinte, na linguagemPython, imprime uma tabela com os valores o tempo a altura em
metros e a velocidade em m/s.
programa 1.1
1g = -9.8
2y = 5
3vy = 0
4dt = 0.01
5t = 0
6while
7 t = t + dt
8 y = y + vy*dt
9 vy = vy + g*dt
10 print
As 3 últimas linhas na lista produzida pelo programa são as seguintes:
1.0 0.149 -9.8
1.01 0.051 -9.898
1.02 -0.04798 -9.996
Isso quer dizer que a esfera bate no chão passados aproximadamente 1.01 segundos e com
uma velocidade de 9.90 m/s. Estes resultados concordam bem com os resultados obtidos
no exemplo.
Para visualizar melhor os dados no exemplo anterior, vamos desenhar a esfera e o chão,
usando o módulovisualque faz parte do pacoteVPython:
1from *
2bola = sphere (pos=(0,5,0), radius=0.4, color=color.red)
3chao = box (pos=(0,-0.25,0), size=(5,0.5,5), color=color.blue)
A funçãospherecria um objecto que é uma esfera com centro, raio e cor especicados
pelos 3 atributospos,radiusecolor. O centro tem três coordenadas (x,y,z), que

20. 10 Cinemática
correspondem aos eixos de esquerda para direita, de baixo para cima, e do ecrã para fora.
A funçãoboxdesenha uma caixa com o tamanho dado, e com centro na posição dada.
Figura 1.3:Janela gráca do móduloVisual, mostrando a esfera e o chão.
Premindo o botão direito do rato por cima da imagem, enquanto se desloca o rato, podemos
rodar a imagem a 3 dimensões. Premindo o botão do meio e deslocando o rato para cima,
o ponto de vista aproxima-se dos objectos; deslocando para baixo o rato, o ponto de vista
afasta-se.
A posição da esfera que criamos pode ser obtida em qualquer parte do programa através
da variávelbola.pos, que representa o atributoposdo objecto bola, que é da classe
sphere. Essa posição será um vector com 3 componentes. No caso do nosso programa,
interessa-nos apenas a componentey, que é obtida combola.pos.y. Os objectos da
classespherenão têm associado, por omissão, nenhuma velocidade; mas podemos criar
um novo atributo para a velocidade, com valor inicial 0, através do comando:bola.vy=0.
O programa completo que desenha a bola a cair será:
programa 1.2
1from *
2bola = sphere (pos=(0,5,0), radius=0.4, color=color.red)
3chao = box (pos=(0,-0.25,0), size=(5,0.5,5), color=color.blue)
4g = -9.8
5bola.vy = 0
6dt = 0.01

21. 1.4 Resolução numérica das equações de movimento 11
7while
8 rate (100)
9 bola.pos.y = bola.pos.y + bola.vy *dt
10 bola.vy = bola.vy + g *dt
O comandoratefoi usado para controlar a velocidade com que são feitas as iterações
(100 por segundo); sem esse comando, o programa seria executado mais rapidamente e a
queda demorava tempos diferentes em diferentes computadores. O tamanho dos objectos
muda, devido a que oVPythonmuda automaticamente o ponto de vista quando os objectos
mudam de posição.
Para manter a escala do desenho xa, podemos dar um valor nulo ao atributoscene.autoscale.
Podemos também fazer com que a bola seja projectada de volta para cima após o impacto
com o chão, e usar um ciclo sem m, para fazer com que o movimento continue indeni-
damente:
programa 1.3
1from *
2bola = sphere (pos=(0,5,0), radius=0.4, color=color.red)
3chao = box (pos=(0,-0.25,0), size=(5,0.5,5), color=color.blue)
4scene.autoscale=0
5g = -9.8
6bola.vy = 0
7dt = 0.01
8while:
9 rate(100)
10 bola.pos.y = bola.pos.y + bola.vy *dt
11 if
12 bola.vy = -bola.vy
13 else:
14 bola.vy = bola.vy + g *dt
A condição “while True” é sempre válida, assim que o ciclo nunca termina. Para terminar
o programa é preciso eliminar a janela gráca.

22. 12 Cinemática
Perguntas
1.
A aceleração de uma partícula ao longo
de uma trajectória éa=4t (unidades SI).
Se num instante inicial a velocidade for
igual a 4 m/s, qual será a velocidade 3
segundos mais tarde?
A.
B.
C.
D.
E.
2.
Uma partícula desloca-se ao longo do
eixo dosxcom uma aceleração que au-
menta em função do tempo:a=6t (uni-
dades SI). No instantet=0, a partícula
encontra-se em repouso no pontox=2m.
Calcule a posição da partícula emt=2s.
A.x=10 m
B.x=8 m
C.x=14 m
D.x=12 m
E.x=26 m
3.
Uma partícula desloca-se ao longo dum
percurso linear. Dene-se como sentido
positivo o sentido da velocidade inicial.
Nos pontos em que o declíve no gráco
da velocidade em função do tempo for
negativo, podemos armar que:
A.
A aceleração é no sentido oposto à
velocidade inicial.
B.
A aceleração é no sentido oposto à
velocidade.
C.
A aceleração faz aumentar a veloci-
dade.
D.
A aceleração diminui em função do
tempo.
E.
A aceleração é constante e no mesmo
sentido da velocidade.
4.
Num gráco onde está representada a ve-
locidade, num movimento em uma di-
mensão, em função da posição, o declíve
em cada ponto representa:
A.
B.
C.
A aceleração instantânea dividida
pela velocidade instantânea.
D.
A velocidade instantânea vezes a ace-
leração instantânea.
E.
A velocidade instantânea dividida
pela aceleração instantânea.
5.
Num programa em Visual Python, a tra-
jectória de uma partícula está a ser actua-
lizada com os comandos:
part.pos.z=part.pos.z+part.v.z *dt
part.v.z=part.pos.z*dt+part.v.z
Podemos armar que no movimento a ser
estudado:
A.
B.
C.
A aceleração é directamente proporcional
à velocidade
D.
A posição é directamente porporcional à
velocidade.
E.
A posição é directamente porporcional
ao tempo.
Problemas
1.
O movimento de uma partícula está denido pela relaçãox=2t
3
6t
2
+10 (unidades
SI). Determine o tempo, posição e aceleração quandov=0.

23. 1.4 Resolução numérica das equações de movimento 13
2.
A aceleração de uma partícula que se desloca no eixo dosxéa=4 m=s
2 . Se em
t=0,v= +24 m/s ex=0, determine a velocidade e a posição emt=8s, e a distância
total percorrida entret=0 et=8 s.
3.
A aceleração de uma partícula que se desloca num percurso a uma dimensão, está
denida pela relaçãoa=93t
2 , ondeté medido em segundos, eaem cm/s
2
. A
partícula parte do repouso no pontos=5cm, emt=0. Calcule: (a) o tempo quando a
velocidade é novamente nula, (b) a posição e a velocidade quandot=4s, (c) a distância
total percorrida pela partícula desdet=0 atét=4 s.
4.A aceleração de uma partícula está denida pela relaçãoa=k=x
2
. A partícula parte
do repouso emx=800mm, e emx=500mm a sua velocidade é 6 m/s. Calcule: (a) o
valor dek, (b) a velocidade da partícula emx=250 mm.
5.
A aceleração de uma partícula que oscila no eixo dosxestá denida pela relação
a=kx . Calcule: (a) o valor dekpara que a velocidade sejav=15m/s quandox=0
e a posição sejax=3m quandov=0, (b) o módulo da velocidade da partícula quando
x=2 m.
6.
A aceleração de uma partícula está denida pela relaçãoa=4s(1+ks
2
) , ondea
é medida em m/s
2
e a posiçãosem metros. Sabendo quev=17m/s quandos=0,
determine a velocidade quandos=4m, para os seguintes valores da constantek: (a)
k=0, (b)k=0:015, (c)k=0:015.
7.
O quadrado da velocidadevde um objecto, ao longo de uma trajectória, diminui
linearmente em função da distância ao longo da trajectória,s, tal como se mostra no
gráco. Calcule o deslocamentoDsdurante os dois últimos segundos antes de o objecto
chegar até ao ponto B.0
s (m)
v
2
(m/s)
2
100 400
2500
900
A
B
8.
A aceleração de uma partícula ao longo de uma trajectória xa éa=0:4v , ondeaé
medida em mm/s
2
evem mm/s. Sabendo que emt=0a velocidade é 30 mm/s, calcule
(a) a distância que a partícula percorrerá antes de parar, (b) o tempo necessário para a
partícula parar, (c) o tempo necessário para que a velocidade diminua ate 1 por cento
do seu valor inicial.

24. 14 Cinemática
9.
A aceleração de uma partícula em queda livre na atmosfera, tendo em conta o atrito,
verica a equaçãoa=g(1k
2
v
2
) . Sabendo que a partícula parte do repouso emt=0,
(a) demonstre que a velocidade num instante posteriortév= (1=k)tanh(kgt) , (b)
escreva uma equação que dena a velocidade da partícula após ter caído uma distância
y. (c) Porquê é chamada a velocidadevt=1=kvelocidade terminal?
10.
Uma pedra é lançada verticalmente para cima desde uma ponte que está 40 m por
cima da superfície da água. Sabendo que a pedra cai na água 4 segundos depois de ser
lançada, calcule (a) a velocidade com que a pedra foi lançada, (b) a velocidade com
que a pedra entra na água.
11.
(a) Modique o programa que mostra a bola a cair e a subir novamente, para que após
cada colissão com o chão, a bola só recupere 0.9 da velocidade que trazia (coeciente
de restituição igual a 0.9). (b) No programa feito na alínea anterior, introduza uma
condição para que quando a bola esteja praticamente estática no chão, comjvyj<0:01 ,
o programa termine.
12.
(a) Crie um programa que desenhe o movimento da esfera do exemplo. Admita que
w
2
=4 s
2
, e que a esfera parte do repouso, emy0=1 . Observe várias oscilações da
esfera. (b) No programa da alínea anterior, mude a ordem dos comandos que actualizam
os valores da altura e da velocidade e observe novamente várias oscilações da esfera.
Discuta os resultados.

25. 2 Dinâmica
Aos 23 anos Isaac Newton teve uma ideia inovadora que foi a inspiração para a sua teoria
da gravitação e da mecânica em geral. Newton pensou que assim como uma maçã cai,
devido à atracção gravitacional da Terra, a Lua também se encontra em queda livre sob a
acção gravitacional da Terra. A razão pela qual a queda livre da Lua não faz diminuir a sua
distância à Terra, como no caso da queda da maçã, é porque a Lua tem uma velocidade
horizontal muito elevada, de forma que em cada instante a distância horizontal percorrida
e a distância vertical da queda descrevem um arco de círculo com raio constante. Com os
dados conhecidos na época, para a distância entre a Terra e a Lua e o período orbital da Lua,
Newton calculou a distância vertical que a Lua cai, por unidade de tempo; comparando
com a distância da queda de uma maçã, descobriu que a força de atracção gravitacional
decresce inversamente proporcional à distância ao quadrado.

26. 16 Dinâmica
2.1 Movimento em duas ou três dimensões
Antes de estudar as leis da dinâmica , começaremos por estender a análise cinemática do
capítulo anterior para o caso de duas ou três dimensões.
Uma forma conveniente de representar a posição, velocidade e aceleração de sistemas com
mais do que um grau de liberdade consiste em usar vectores. As operações com vectores
(soma, derivação, etc) são mais simples se usarmos um sistema de coordenadas cartesianas.x y
z
r
ex
ey
ez
t
Figura 2.1:
Vectores unitários que denem o sistema de coordenadas cartesianas e vector
posiçao.
Um sistema de coordenadas cartesianas em 3 dimensões é denido por uma origem O e
três versores (vectores unitários)~ex,~eye~ezperpendiculares entre si. A posição de uma
partícula em qualquer instanteté dada pelovector posição:
~r=x~ex+y~ey+z~ez (2.1)
em que (x,y,z) são as coordenadas cartesianas da posição da partícula. Em duas dimensões
escolhem-se dois versores perpendiculares, por exemplo,~exey~eye o vector de posição é
x~ex+y~ey.
O vector velocidade é denido como a derivada do vector de posição em função do tempo:
~v=
d~r
dt
(2.2)
Em coordenadas cartesianas, a derivada de um vector calcula-se derivando cada uma das
componentes; assim, derivando os dois lados da equação
vector velocidade:
vx=
dx
dt
vy=
dy
dt
vz=
dz
dt
(2.3)

27. 2.2 Leis de Newton 17
O vector aceleração é igual à derivada do vector velocidade em função do tempo:
~a=
d~v
dt
(2.4)
e as 3 componentes da aceleração são as derivadas das 3 componentes da velocidade:
ax=
dvx
dt
ay=
dvy
dt
az=
dvz
dt
(2.5)
As equações
vectorial. Escritas em forma escalar, as equações de movimento são as 6 equações
2.5.
Igual que zemos no caso de uma dimensão, podemos combinar as equações de movimento
para eliminar o tempo e obter outra equação que relaciona a posição com a velocidade e a
aceleração. Assim, obtemos mais 3 equações escalares:
ax
vx
=
dvx
dx
ay
vy
=
dvy
dy
az
vz
=
dvz
dz
(2.6)
Outra grandeza vectorial que usaremos nas secções seguintes é aquantidade de movi-
mento
,~p, denida como o produto entre a massa da partícula,m, e a sua velocidade
vectorial:
~p=m~v (2.7)
a quantidade de movimento também costuma ser designada de momento linear.
2.2 Leis de Newton
As três leis de Newton, são a base da mecânica clássica, que permite estudar desde o
movimento dos objectos à nossa volta, até o movimento dos planetas, estrelas e outros
objectos distantes. As 3 leis foram enunciadas em forma clara numa única página do livro
escrito por Newton em 1687 (Princípios Matemáticos da Filosoa Natural).
Vale a pena lermos o texto original do século XVII, que é bastante claro. Na página
seguinte apresentamos uma tradução da página do livro de Newton onde introduz as 3 leis,
baseada na tradução inglesa do original em latim.

28. 18 Dinâmica
Primeira lei.
Qualquer corpo continua no seu estado de repouso, ou de movimento
rectilíneo uniforme, a não ser que seja obrigado a mudar esse estado devido à acção de
forças aplicadas.
Os projécteis mantêm os seus movimentos, enquanto não forem retardados pela resistência
do ar, ou puxados para baixo pela força da gravidade. Um pião, cujas partes são
continuamente desviadas do seu movimento rectilíneo uniforme devido às forças de
coesão entre as partes, não perde o seu estado de rotação, a não ser pelo efeito retardador
do ar. Os corpos mais volumosos como os planetas e os cometas, por encontrarem menor
resistência nos seus espaços mais livres, mantêm os seus movimentos, tanto progressivo
como circular, por períodos mais longos de tempo.
Segunda lei.
A variação da quantidade de movimento é proporcional à força motriz
aplicada e dá-se na direcção da recta segundo a qual actua essa força.
Se uma força qualquer produzir uma quantidade de movimento, uma força igual ao dobro
produzirá quantidade de movimento duas vezes maior, uma força três vezes maior triplica
a quantidade de movimento e assim sucessivamente. E essa quantidade de movimento (que
será sempre dirigida no mesmo sentido da força que a gerou), é adicionada ou subtraída à
quantidade de movimento que o corpo já tiver anteriormente, segundo os dois movimentos
estiverem em concordância ou forem opostos, ou serão combinados em forma oblíqua,
para produzir uma nova quantidade de movimento composta pelas duas quantidades de
movimento.
Terceira lei.
A toda a acção sempre se opõe uma reacção igual: ou, as acções mútuas de
dois corpos são sempre iguais e dirigidas em sentidos opostos.
Qualquer coisa que empurre ou puxe outra, é igualmente empurrada ou puxada por essa
outra coisa. Se empurrar uma pedra com o seu dedo, o dedo também é empurrado pela
pedra. Se um cavalo puxar uma pedra atada por uma corda, o cavalo será igualmente
puxado de volta para a pedra (usando aqui o termo puxar num sentido geral); já que a
corda esticada, pela sua tendência própria de recuperar a sua forma, puxará por igual o
cavalo em direção da pedra e a pedra em direcção do cavalo, e obstruirá o movimento de
um, na mesma medida que faz avançar o outro. Se um corpo bater noutro, e pela força do
impacto alterar a quantidade de movimento do outro, esse corpo (devido à igualdade das
pressões mútuas) também sofrerá uma alteração igual na sua quantidade de movimento,
dirigida em sentido oposto. As alterações feitas por essas acções são iguais, não em
velocidade mais sim na quantidade de movimento dos corpos; isto é, se os corpos não
tiverem outros impedimentos. Já que, se as quantidades de movimento são alteradas
por igual, as alterações das velocidades ocorridas em sentidos opostos são inversamente
proporcionais às massas dos corpos. Essa lei também se verica no caso das forças
atractivas, como será demonstrado a seguir...

29. 2.2 Leis de Newton 19
2.2.1 Lei da inércia
A primeira lei de Newton é denominada lei da inércia . Um sistema em que se verique
essa lei, é designado porsistema inercial.
Consideremos um exemplo; numa esfera em repouso sobre uma mesa horizontal actuam
duas forças: o seu peso e a reacção normal, para cima, produzida pela mesa. A resultante
das duas forças é zero e a esfera permanece no seu estado de repouso; assim, a mesa é um
sistema inercial.
Se a mesa estiver dentro de um comboio que se desloca a alta velocidade, se o movimento
do comboio for rectilíneo e uniforme, a esfera ainda permanecerá em repouso. O comboio
com movimento rectilíneo com velocidade constante é um sistema inercial.
Se o comboio acelera, abranda a sua marcha ou entra numa curva, a esfera não permanece
em repouso. Em qualquer um desses casos em que a velocidade do comboio muda, este
deixa de ser um sistema inercial.
2.2.2 Força e aceleração
A forma como a segunda lei de Newton é enunciada no seu livro é expressa em termos
matemáticos pela seguinte equação:
tf
Z
t0
~Fdt=~pf~p0 (2.8)
em que~Fé a força total que actua sobre o sistema,~pfé a quantidade de movimento num
instante naltfe~p0a quantidade de movimento no instante inicialt0.
O integral da força em função do tempo, no lado esquerdo da equação, é um vector
~I, designado deimpulso. Assim, se um corpo tem inicialmente uma quantidade de
movimento~p0e sobre ele actua uma força durante um intervalo de tempo, no m desse
intervalo a quantidade de movimento do corpo será~p0+~I.
Na linguagem matemática moderna, a “combinação oblíqua” referida por Newton corres-
ponde à soma vectorial de~p0e~Iusando a regra do paralelogramo: a soma dos vectores
é o vector na diagonal do paralelogramo obtido traçando paralelas aos dois vectores
(gura).
Em coordenadas cartesianas, basta somar mutuamente as coordenadas dos dois vectores
para obter o vector resultante que verica a regra do paralelogramo.
A equação
~F=
d~p
dt
(2.9)
Se existirem várias forças a actuar sobre o corpo, a variação da quantidade de movimento
do corpo será a soma de todas essas forças e escrevendo a quantidade de movimento em

30. 20 DinâmicaI
p0
pf
Figura 2.2:Regra do paralelogramo para somar os vectores~p0e~I.
função da velocidade temos:
n
å
i=1
~Fi=
d(m~v)
dt
(2.10)
a soma das forças é feita como qualquer outra soma vectorial, usando a regra do paralelo-
gramo.
Normalmente, a massa do corpo é constante podendo ser colocada fora da derivada na
equação, cando a derivada da velocidade, que é a aceleração:
n
å
i=1
~Fi=m~a (2.11)
Esta é a forma mais habitual em que costuma ser escrita a segunda lei de Newton.
A unidade de força no Sistema Internacional de unidades é o newton, N. Uma força de 1 N
é a força que produz uma aceleração de 1 m/s
2
num corpo com massa de 1 kg.
As experiências no laboratório mostram que, eliminando o efeito da resistência do ar,
todos os objectos em queda livre são acelerados com a mesma aceleração:aceleração da
gravidade, que tem um valor aproximadamente igual a:
g=9:8
m
s
2
(2.12)
Portanto, de acordo com a segunda lei de Newton, o peso de qualquer objecto (força da
gravidade perto da superfície terrestre) é directamente proporcional à sua massa:
~P=m~g (2.13)
em que a aceleração da gravidade,~g, é um vector constante com direcção vertical, sentido
de cima para baixo e módulo 9.8 m/s
2
.
Assim, por exemplo, um objecto com massa de 2 kg terá um peso de 19.6 N.

31. 2.2 Leis de Newton 21
2.2.3 Lei de acção e reacção
A terceira lei de Newton é designada porlei de acção e reacção. Consideremos um dos
exemplos referidos por Newton: um cavalo que arrasta um bloco pesado atado por uma
corda (gura). A corda exerce a mesma força sobre o bloco e sobre o cavalo, mas em
sentidos opostos.
Figura 2.3:Cavalo a arrastar um bloco de 350 kg.
É conveniente analisarmos por separado as forças que actuam no bloco e no cavalo, como
mostra a gura. Se a velocidade com que o cavalo arrasta o bloco for constante, a
segunda lei de Newton implica que a soma das forças que actuam sobre o bloco e sobre o
cavalo será nula. T
Pb
Fb
Rb −T
Pc
F1
R1
F2
R2
Figura 2.4:Forças sobre o bloco e sobre o cavalo.

32. 22 Dinâmica
O peso do bloco,~Pb, actua no centro de gravidade do bloco. A corda puxa o bloco na
direcção em que está esticada, com uma força~T, como se mostra no lado esquerdo da
gura. A resultante do peso e da força da corda é um vector que aponta para baixo e
para a direita; uma vez que a resultante das forças no bloco é nula (aceleração nula), o
chão deverá exercer uma força para cima e para a esquerda.
A componente da força de contacto que aponta para cima é chamadareacção normale a
componente horizontal é a força de atrito entre o bloco e o chão.
A corda puxa o cavalo para atrás, com a força~Toposta à força que actua no bloco. Nas
duas ferraduras do cavalo que estão em contacto com o chão haverá duas reacções normais
~R1e~R2e duas forças de atrito~F1e~F2. resultante dessas 5 forças e do peso do cavalo é
nula.
As forças de atrito actuando nas ferraduras do cavalo apontam no sentido do movimento.
O cavalo empurra o chão para atrás e a reacção do chão a essas forças são as forças~F1e~F2
que apontam para a frente. O módulo de cada uma dessas duas forças depende da força
que exercer o cavalo em cada um dos dois pés.
Sobre o chão actuam em total 8 forças de reacção (gura). As reacções aos pesos
do bloco e do cavalo,~Pbe~Pc, são as forças de atracção gravitacional do bloco e do
cavalo sobre a Terra. Essas forças actuam no centro de gravidade da Terra, mas foram
representadas perto do chão na gura. As outras seis forças são as forças exercidas sobre o
chão pelo bloco e pelo cavalo. Se a velocidade do cavalo é constante, a soma dessas forças
é nula.−Pc
−R1
−F1
−R2
−F2
−Rb
−Fb
−Pb
Figura 2.5:Forças exercidas sobre o chão.
Se a velocidade do cavalo estivesse a aumentar, a resultante das forças sobre o cavalo e o
bloco seriam uma força para a direita e a força resultante sobre o chão seria igual e oposta,
para a esquerda.
Como salienta Newton, o resultado dessas forças sobre o cavalo mais o bloco e sobre o chão
não seria o de produzir velocidades iguais e de sentidos contrários, mas sim quantidades
de movimento iguais e de sentido contrário. A grande diferença entre as massa da Terra e
do cavalo mais o bloco implica que a velocidade de recuo da Terra será imperceptível em
comparação com a velocidade de avanço do cavalo mais o bloco.

33. 2.2 Leis de Newton 23
Exemplo 2.1
Sobre uma partícula com massa de 200 gramas actuam duas forças (unidades SI):
~F1=2t~ex+4~ey
~F2=2~ex+~ey
em queté o tempo. A partícula parte do repouso emt=0, na posição~r=~ex+~ey+~ez .
Calcule a posição da partícula emt=3s.
Resolução: a força resultante é a soma das duas forças
~F=2(t1)~ex+5~ey
e dividindo pela massa, 0.2 kg, obtém-se a aceleração vectorial
~a=10(t1)~ex+25~ey
para cada componente da aceleração podemos aplicar as equações do movimento,
e. Para a componentextemos
ax=10(t1) =
dvx
dt
separando variáveis e integrando,
tZ
0
10(t1)dt=
vxZ
0
dvx =) vx=5t
2
10t
substituindo na equação,
vx=5t
2
10t=
dx
dt
separando variáveis e integrando obtemos a coordenadaxemt=3
3Z
0

5t
2
10t

dt=
xZ
1
dx =) x=1+
5
3
3
3
53
2
=1
Um processo semelhante deverá ser feito para calcular a coordenaday
ay=25=
dvy
dt
=)
tZ
0
25 dt=
vy
Z
0
dvy =) vy=25t
vy=25t=
dx
dt
=)
3Z
0
25tdt=
y
Z
1
dy =) y=113:5
Na direcçãoz, como não existe força, a velocidade permanecerá constante; como a
velocidade inicial é nula, a coordenadazda posição permanecerá também constante.
Portanto, o vector posição emt=3 s será:
~r=~ex+113:5~ey+~ez

34. 24 Dinâmica
2.3 Forças de atrito
A força de atrito é a componente tangencial da força de contacto entre duas superfícies. A
força de contacto entre as superfícies actua em vários pontos diferentes; a resultante de
todas essas forças é equivalente a uma única força, em algum ponto da superfície. Costuma
separar-se essa força nas suas componentes normal à superfície, a reacção normal~Rn, e
tangente à superfície, a força de atrito (gura).Rn
Fa
Figura 2.6:
Reacção normalRne força de atrito~Fasobre um bloco na superfície de uma
mesa.
2.3.1 Atrito estático
Quando não existe movimento relativo entre as duas superfícies em contacto, a força de
atrito designa-se de atrito estático. A força de atrito estático pode ser nula, ou pode estar
orientada em qualquer direcção tangente às superfícies em contacto.
Figura 2.7:
A força que permite que o eléctrico suba uma encosta ou trave na descida é a
força de atrito estático entre as rodas e os carris.

35. 2.3 Forças de atrito 25
A força de atrito estático faz possível colocar um veículo em movimento ou fazer com que
trave É também a força que nos permite caminhar: empurramos com os nossos pés o chão
e a reacção do chão no sentido oposto faz-nos avançar. Mas se o chão estivesse coberto
por gelo, os nossos pés escorregavam para atrás e não avançávamos para a frente.
Isso acontece porque o módulo da força de atrito estático não pode ultrapassar um valor
máximo, que é proporcional à reacção normal:
FemeRn (2.14)
ondemeé uma constante própria do tipo de superfícies em contacto, designada decoeci-
ente de atrito estático. O coeciente de atrito estático costuma ser menor que 1.
Consideremos um exemplo: as forças entre a estrada e os pneus de uma bicicleta. As
forças de atrito entre os dois pneus e a estrada são ambas forças de atrito estático, porque
as rodas não escorregam. Na roda traseira a força de atrito aponta para a frente, na direcção
do movimento da bicicleta (gura), como resultado da reacção da estrada à acção que
o pneu exerce sobre a estrada no sentido oposto.
A força de atrito na roda da frente é no sentido oposto ao movimento, porque nessa roda não
é exercida nenhuma tracção pelo ciclista. Para manter essa roda em rotação, contrariando
o atrito no eixo da roda, é preciso que a estrada actue com força de atrito no sentido oposto
à velocidade da bicicleta. F1
R1
F2
R2
Figura 2.8:Forças de atrito entre os pneus de uma bicicleta e a estrada.
Se a velocidade da bicicleta for constante, o módulo da força de atrito no pneu traseiro
deverá ser igual à soma dos módulos da força de atrito no pneu da frente e da resistência
do ar.

36. 26 Dinâmica
2.3.2 Atrito cinético
Quando as duas superfícies em contacto deslizam entre si, a força de atrito designa de
atrito cinético. A força de atrito cinético é sempre oposta ao movimento e tem módulo
constante que depende da reacção normal:
Fc=mcRn (2.15)
Em quemcé ocoeciente de atrito cinético, que costuma ser menor que o coeciente de
atrito estático entre as mesmas superfícies.
Por ser oposta ao movimento, a força de atrito cinético faz sempre diminuir o valor da
velocidade relativa entre as superfícies, mas nunca pode inverter o sentido da velocidade.
No instante em que a velocidade seja nula, a força de atrito cinético também será nula.
Assim, embora o seu módulo seja constante, a força de atrito cinético depende implicita-
mente da velocidade. Em forma vectorial podemos escrevê-la na forma seguinte:
~Fc=
8
<
:
~0 v=0

mcRn
v
~v v6=0
(2.16)
Em que~vé a velocidade do corpo sobre o qual actua essa força, relativa à superfície que
produz o atrito.
Exemplo 2.2
Calcule as forças que actuam sobre o bloco e o cavalo na gura, quando a velocidade é
constante, sabendo que a massa do cavalo é 300 kg, a massa do bloco 350 kg, o ângulo
que a corda faz com a horizontal é 20

, o coeciente de atrito cinético entre o bloco e o
chão é 0.4 e o coeciente de atrito estático entre as ferraduras do cavalo e o chão é 0.5.
Resolução
: A gura
a aceleração é nula, a soma das componentes horizontais e verticais das forças sobre o
bloco e o cavalo deverá ser nula.
Começando pelo bloco, a soma das forças horizontais e verticais é:
Tcos(20

)Fb=0 Rb+Tsin(20

)mbg=0
Como a força de atritoFbé atrito cinético, podemos substituí-la pormcRbe substituindo
os valores do coeciente de atrito cinético, massa do bloco e aceleração da gravidade,
obtemos um sistema de duas equações com duas incógnitas:
Tcos(20

)0:4Rb=0 Rb+Tsin(20

)3430=0
a resolução desse sistema dá:Rb=2994 N eT=1274 N.

37. 2.3 Forças de atrito 27
A soma das forças horizontais e verticais que actuam sobre o cavalo é:
F1+F2Tcos(20

) =0 R1+R2Tsin(20

)mcg=0
repare que neste caso não existe relação entre as forças de atrito e as reacções normais,
porque o atrito é estático. Substituindo o valor deTjá calculado, a massa do cavalo e a
aceleração da gravidade, temos:
F1+F2=1198 R1+R2=3376
a soma das reacções normais nos pes do cavalo é 3376 N e a soma das forças de atrito
é 1198 N. No capítulo sobre rotação veremos como calcular os valores deR1eR2por
separado. Por enquanto só podemos calcular a sua soma.
Os valores deF1eF2não podem ser calculados sem informação adicional; seria preciso
saber a relação entre as pressões que o cavalo está a exercer em cada pé nesse instante. Do
ponto de vista da dinâmica, so conseguimos calcular a soma dessas duas forças.
O coeciente de atrito estático entre as ferraduras e a estrada permite-nos conferir se o
cavalo consegue de facto arrastar esse bloco mais pesado que ele ou não. A força de atrito
estático máximo entre as ferraduras e o chão é:
Fmáx=me(R1+R2) =1688 N
A soma das forçasF1eF2é menor que esse valor e, portanto, a situação em que o cavalo
avança com velocidade uniforme é passível.
No exemplo do cavalo que arrasta um bloco de ferro (gura), existe atrito estático entre
as ferraduras do cavalo e a estrada e atrito cinético entre o bloco de ferro e a estrada. A
força de atrito cinético no bloco é oposta ao movimento e a força de atrito estático nas
ferraduras é no sentido do movimento e contraria a força de atrito cinético no bloco.
2.3.3 Força de resistência nos uidos
A maior parte dos movimentos que estudaremos neste livro são movimentos de um corpo
dentro de um uido. No exemplo do cavalo que arrasta um bloco, os dois corpos estão
em movimento dentro do ar, que é um uido. O ar exerce uma força de resistência ao
movimento, que é sempre em sentido oposto à velocidade.
Nos diagramas de forças na gura
seriam muito menores que as outras forças, porque a velocidade é pequena. Mas em casos
como o a queda livre de um objecto, essas forças já não são desprezáveis. A continuação
estudaremos como dependem essas forças da velocidade.
A força de resistência ao movimento nos uidos é produzida por dois mecanismos diferen-
tes; o primeiro depende da viscosidade do uido e é devido a que as camadas do uido

38. 28 Dinâmica
mais próximas colam-se ao corpo, acompanhando o seu movimento e criando atrito com
outras camadas de uido mais afastadas.
O segundo mecanismo tem a ver com a diferença de pressões gerada no uido à frente
e atrás do corpo. O uido é comprimido na região da frente. Essa diferença de pressões
produz uma força directamente proporcional ao quadrado da velocidade.
A força de resistência num uido, é sempre no sentido oposto da velocidade~v, e tem um
termo que depende linearmente emve outro termo quadrático emv:
~Fr=kh~v
1
2
CDrAjvj~v (2.17)
ondekeCDsão duas constantes aerodinâmicas que dependem da forma e tamanho do
objecto,Aé a área da secção transversal do objecto,hé o coeciente de viscosidade do
uido era sua massa volúmica (densidade).
O termo linear emv, que depende da viscosidade, será muito maior que o termo quadrático,
que depende da massa volúmica, quando a velocidade for baixa. Quando a velocidade for
elevada, o termo quadrático será muito maior.
No caso de uma esfera de raior, as constanteskeCDsão as seguintes:
k=6pr C D=
1
2
(2.18)
e a área da secção transversal é a área do círculopr
2. Assim, para uma esfera a expressão
para o módulo da força de resistência é:
Fr=6p hrv+
1
4
p rr
2
v
2
(2.19)
No caso do lançamento de projécteis no ar, a viscosidade do ar é tão pequena em compara-
ção com a sua massa volúmica, que podemos ignorar o primeiro termo em comparação
com o termo que depende dev
2
.
2.4 Cálculo numérico das trajectórias
No exemplo
separação de variáveis. Esse método funciona unicamente em casos muitos simples.
Em muitos casos é impossível integrar as equações em forma analítica. Um exemplo típico
é o lançamento de um projéctil. A força de resistência do ar depende do quadrado da
velocidade:v
2
x+v
2
y+v
2
z . Assim, por exemplo, a equação para a aceleraçãoaxnão pode
ser integrada em forma independente das equações para as outras componentes porque
depende das 3 componentes da velocidade.
Do ponto de vista numérico não existe grande diferença entre a resolução dum problema
com força constante ou com uma expressão complicada para a força. Consequentemente,

39. 2.4 Cálculo numérico das trajectórias 29
nos capítulos seguintes teremos que usar quase sempre métodos numéricos; nesta secção
vamos estender a 3 dimensões o método numérico simples que usámos no capítulo anterior
para integrar as equações de movimento.
Em vez de usarmos as equações de movimento
usaremos a forma vectorial mais compacta das equações. Vamos também melhorar
a precisão do método numérico usando a média entre as velocidades inicial e nal, para
calcular a posição nal em cada intervalo:
~vn+1=~vn+~andt (2.20)
~rn+1=~rn+
~vn+~vn+1
2
dt (2.21)
substituindo a expressão parav1na segunda equação, obtém-se:
~vn+1=~vn+~andt
~rn+1=~rn+~vndt+
~an
2
dt
2
(2.22)
O termodt
2indica que o método numérico é desegunda ordem. Num capítulo posterior
veremos um método de quarta ordem que permite uma precisão muito maior. Para o tipo de
problemas que estamos a estudar, o método de segunda ordem é suciente. Se a aceleração
for constante, as equações
boa aproximaçaõ se o intervalo de tempo dtfor sucientemente pequeno.
Exemplo 2.3
Uma esfera de 0.4 kg, com 10 cm de raio, é lançada desde o chão com uma velocidade
inicial de 12 m/s inclinada 45

em relação ao plano horizontal. Elabore um programa que
desenhe a trajectória da esfera.
Resolução
: Sabendo que a massa volúmica do ar é aproximadamente 1.2 kg/m
3
, o módulo
da força da resistência do ar sobre a esfera, em função do módulo da sua velocidade. é:
Fr=
1
4
p rr
2
v
2
=0:00942v
2
Em forma vectorial, tendo em conta que a força é sempre oposta ao vector velocidade,
podemos escrever:
~Fr=0:00942jvj~v
Somando o peso, e dividindo pela massa da esfera, obtemos a expressão para o vector
aceleração:
~a=~g0:0236jvj~v
onde~g=9:8~eyé a aceleração da gravidade.

40. 30 Dinâmica
Vamos modicar o programa que usámos no capítulo anterior para mostrar a queda livre
da esfera. A posição, velocidade e aceleração da esfera serão agora vectores com três
componentes.Visual Pythonpermite criar vectores com a funçãovector()que podem
ser somados e multiplicados.
Para desenhar a trajectória, criaremos um objecto da classecurvedo móduloVisual
(alínea 10 no programa 2.1). Os objectos da classecurvetêm um atributoposque é uma
lista com os pontos que denem a curva, inicialmente vazia. O métodoappendé usado
para adicionar mais pontos à lista de pontospos; na alínea 11 do programa insere-se o
primeiro ponto, que é a posição inicial da bola, e na alínea 18 adiciona-se a posição da
bola em cada nova iteração. Nas alíneas 8 e 9 são dados os valores iniciais dos vectores
posição e velocidade.
programa 2.1
1from *
2dt = 0.01
3freq = 1./dt
4
5bola = sphere(radius=0.2, color=(0,0,1))
6chao = box(pos=(0,-0.25,0), size=(16,0.5,16), color=(0.8,0.6,0))
7scene.autoscale = 0
8bola.pos = vector(-7,0.2,0)
9bola.vel = 12*vector(cos(pi / 4), sin(pi / 4), 0)
10bola.traj = curve(color=bola.color)
11bola.traj.append(pos=bola.pos)
12
13while:
14 rate(freq)
15 bola.acel = vector(0,-9.8,0)-0.0236 *mag(bola.vel)*bola.vel
16 bola.pos += dt*bola.vel + dt**2*bola.acel/2.
17 bola.vel += dt*bola.acel
18 bola.traj.append(pos=bola.pos)
19 if
Na alínea 15 calcula-se, em cada iteração, a aceleração total dada pela expressão que
obtivemos. O módulo da velocidade da bola é calculado usando a funçãomagdo módulo
visual. As alíneas 16 e 17 correspondem às equações, usando o operador “+=” do
Python, que permite adicionar o que estiver no lado direito ao valor que já tinha a variável
no lado esquerdo.
Para comparar com a trajectória que seria obtida se ignorássemos o atrito, vamos desenhar
a trajectória de duas esferas idênticas, uma lançada no ar e a outra lançada no vácuo.
A parte que calcula a trajectória será colocada numa função,deslocar, para poder ser
usada para cada uma das duas esferas. O argumento que será passado à função será o
objecto associado a cada esfera, designado porcorpo, que já inclui também todos os seus
atributos: posição, velocidade, aceleração, etc.

41. 2.4 Cálculo numérico das trajectórias 31
programa 2.2
1# -*- coding: utf-8 -*-
2def(corpo):
3 global
4 queda =
5 corpo.pos += dt*corpo.v + dt**2*corpo.a/2.
6 if
7 f = (corpo.traj.y[-1] - corpo.radius)/(corpo.traj.y[-1]
8 - corpo.y)
9 corpo.pos -= (1 - f)*(corpo.pos - corpo.traj.pos[-1])
10 corpo.v += f*dt*corpo.a
11 corpo.t += f*dt
12 queda =
13 else:
14 corpo.t += dt
15 corpo.v += dt*corpo.a
16 corpo.d += mag(corpo.pos - corpo.traj.pos[-1])
17 corpo.traj.append(pos=corpo.pos)
18 return
O comentário na alínea 1 é necessário para poder escrever caracteres acentuados mais
para a frente no programa. A variável para o intervalo de tempo,dt, não faz parte das
esferas, mas foi denida como variável global (alínea 3). Como cada esfera baterá no
chão em diferentes instantes, a própria funçãodeslocarindicará quando uma esfera
atinge o chão, regressando ao programa uma variável lógica,queda, que passará a ser
falsa quando a queda concluir.
Para podermos calcular o tempo que demora cada esfera em bater no chão (corpo.t),
precisamos corrigir o último intervalo, pois no m do último intervalo a esfera passa por
baixo do valor mínimo (altura igual ao raio da esfera). A constantefcalculada nas alíneas
7-8 é a fracção do último intervalodtque demorou a atingir a altura mínima, e é calculada
usando a última altura do objecto (corpo.y) e a altura que ocupava na posição anterior,
que já cou registada no m da listaposda trajectória desse objecto (corpo.traj).
Em python, o primeiro índice de uma lista é 0, e o último índice pode ser sempre referido
como -1 (1 é o segundo, -2 o penúltimo, etc). Para deixar a esfera na posição em que
está realmente na altura mínima, subtrai-se na alínea 10 uma fracção(1f) do que se
deslocou no último intervalo dt, já que o ultimo intervalo deveria ter sido apenasfdt.
Vamos denir mais duas funções,trajectoriaeresultados; a primeira inicializa
a trajectória de cada esfera, criando outros atributos da trajectória e do objecto associado à
esfera (distância total percorrida,d, e tempo de voo,t). A outra função será usada para
imprimir os resultados para cada esfera; o alcance de cada esfera calcula-se na alínea 8
subtraindo o ultimo e o primeiro valor da coordenadax, que estão registados na trajectória
da esfera. O formato'%.2f'usa-se para escrever o valor da variável a seguir ao sinal de
percentagem em formato de ponto utuante, com duas casas decimais.

42. 32 Dinâmica
programa 2.2 - continuação
1def(corpo):
2 corpo.t = 0
3 corpo.d = 0
4 corpo.traj = curve(color=corpo.color)
5 corpo.traj.append(pos=corpo.pos)
6 return
7def(titulo, corpo):
8 alcance = corpo.traj.x[-1] - corpo.traj.x[0]
9 velocidade = corpo.d / corpo.t
10 print
11 print
12 print
13 print
14 print
15 return
Após as denições das funções segue a secção principal do programa. Observe a sin-
taxe usada na alínea 4 para atribuir o mesmo valor a várias variáveis; mais tarde os
valores dessas variáveis poderão ser diferentes. O mesmo método não deverá ser usado
nas alíneas 11 e 12 para dar o mesmo valor inicial às velocidades das esferas, porque
o módulovisualfaria com que as velocidades continuassem a ter sempre o mesmo valor.
programa 2.2 - continuação
1from *
2dt = 0.01
3g = vector(0,-9.8,0)
4q1 = q2 = True
5scene.autoscale=0
6bola1 = sphere(radius=0.2, color=(0,0,1))
7bola2 = sphere(radius=0.2, color=(1,0,0))
8chao = box(pos=(0,-0.25,0), size=(16,0.5,16), color=(0.9,0.6,0))
9bola1.pos = vector(-7,0.2,1)
10bola2.pos = vector(-7,0.2,-1)
11bola1.v = 12*vector(cos(pi/4), sin(pi/4))
12bola2.v = 12*vector(cos(pi/4), sin(pi/4))
13bola2.a = g
14trajectoria(bola1)
15trajectoria(bola2)
16while
17 rate(1./dt)
18 bola1.a = g - 0.0236*mag(bola1.v)*bola1.v
19 if q1: q1 = deslocar (bola1)
20 if q2: q2 = deslocar (bola2)
21resultados('No ar', bola1)
22resultados('No vácuo', bola2)

43. 2.4 Cálculo numérico das trajectórias 33
Figura 2.9:Trajectória da bola considerando o atrito com o ar e ignorando o atrito.
A gura
e um tempo de voo de 1.73 s. Podemos comparar esses valores com os resultados exactos
(ver problema) para o alcance, R=v
2
0
sin(2q)=g e o tempo de voo,t=2v0sinq=g , que
dão exactamente os mesmos valores obtidos com o nosso programa. Também podemos ver
o valor nal da velocidade, com o comandomag(bola2.v)que dá 12.000 m/s (valor
exacto até 3 casas decimais).
A resistência do ar faz diminuir o alcance para 11.67 m, e o tempo de voo para 1.62 s. A
trajectória não é uma parábola. A velocidade média é de 8.48 m/s, menor que a velocidade
média de 9.74 m/s que teria no vácuo.
Perguntas
1.
Um livro encontra-se em repouso sobre
uma mesa. Qual das armações seguintes
é correcta:
A.
B.
C.
D.
E.
A inércia do livro é igual à inércia da
mesa.
2.
Duas bolas metálicas têm o mesmo tama-
nho mas uma delas pesa o dobro da outra.
As duas bolas são lançadas simultanea-
mente, a partir do repouso, do topo de um
prédio. Como se comparam os tempos
de queda das bolas?
A.
A bola mais pesada demora aproxi-
madamente metade do tempo da bola
mais leve.
B.
A bola mais leve demora aproximada-

44. 34 Dinâmica
mente metade do tempo da bola mais
pesada.
C.
Os dois tempos são semelhantes, mas
a bola mais pesada demora menos
tempo que a bola mais leve.
D.
Os dois tempos são semelhantes, mas
a bola mais leve demora menos tempo
que a bola mais pesada.
E.
As duas bolas demoram exactamente
o mesmo tempo.
3.
Um camião grande colide frontalmente
com um carro pequeno. Durante a coli-
são:
A.
O camião exerce uma força maior so-
bre o carro do que a força do carro
sobre o camião.
B.
O carro exerce uma força maior sobre
o camião do que a força do camião
sobre o carro.
C.
Nenhum dos dois exerce força sobre o
outro; o carro ca esmagado simples-
mente por se atravessar no caminho
do camião.
D.
O camião exerce força sobre o carro,
mas o carro não exerce nenhuma
força sobre o camião.
E.
O camião exerce uma força sobre o
carro e o carro exerce a mesma força
sobre o camião.
4.
Atira-se uma pedra verticalmente, para
cima. No ponto mais alto da trajectória
da pedra:
A.
A sua velocidade e aceleração apon-
tam para baixo.
B.
a aceleração aponta para baixo.
C.
A velocidade e aceleração são ambas
nulas.
D.
A velocidade é nula e a aceleração
aponta para baixo.
E.
A velocidade aponta para baixo e a
aceleração é nula.
5.
Uma mulher empurra uma caixa grande,
com uma força horizontal constante. A
força exercida pela mulher faz com que a
caixa se desloque horizontalmente, com
velocidade constantev0. Assim, o mó-
dulo da força exercida pela mulher:
A.
B.
C.
É igual à força total que contraria o
movimento da caixa.
D.
É maior do que a força total que con-
traria o movimento da caixa.
E.
É maior do que o peso e a força que
contraria o movimento da caixa.
Problemas
1.
Uma pessoa com 70 kg sobe num ascensor até o sexto andar de um prédio. O ascensor
parte do repouso no rés de chão, acelera até o segundo andar, com aceleração uniforme
de 2 m/s
2
, mantém a velocidade constante entre o segundo e o quarto andar, e trava
entre o quarto e o sexto andar, com aceleração uniforme de2m/s
2
. Calcule o módulo
da reacção normal nos pés da pessoa, em cada parte do percurso.
2.
Um bloco com massa igual a 30 kg encontra-se sobre uma superfície horizontal, com
coeciente de atrito cinético igual a 0.35. Sobre o bloco actua uma força externa de
100 N, que faz um ângulo de 30

com a horizontal. Calcule a aceleração do bloco.

45. 2.4 Cálculo numérico das trajectórias 35100 N
30°
3.
Um bloco de massam=2:1 kg desce deslizando sobre a superfície de um plano
inclinado com 4 m de base e 3 m de altura. Se o coeciente de atrito cinético, entre o
bloco e a superfície do plano inclinado, for igual a 0.25, calcule o valor da força de
atrito sobre o bloco.4 m
3 m
4.
Um objecto com massa igual a 2 kg desloca-se com velocidade inicial(3~ex4~ey) m/s,
quando é aplicada uma força externa~F=0:4~v (unidades SI) que actua durante 5
segundos. Calcule: (a) a velocidade nal após os 5 segundos. (b) O impulso transmitido
pela força externa durante os 5 segundos.
5.Um automóvel com 1230 kg sobe uma rampa com declive do 8 por cento, com veloci-
dade constante. (a) Calcule o valor da força de atrito total (soma das forças nos quatro
pnéus). (b) Qual será o valor mínimo que deverá ter o coeciente de atrito estático para
que o automóvel consiga subir a rampa?d
v
100
8
6.
Considere um projéctil que é lançado desde o chão, num quarto onde existe vácuo,
com uma velocidade inicialv0que faz um ânguloqcom a horizontal. (a) Calcule o
tempo que o projéctil demora até chegar ao ponto máximo da sua trajectória, onde a
velocidade vertical é nula, e a posição nesse ponto. (b) Com base no resultado da alínea
anterior, demonstre que o alcance horizontal do projéctil (distância horizontal desde
onde é lançado até onde cai) é igual a:
R=
v
2
0
sin(2q)
g
(2.23)

46. 36 Dinâmica
7.
Para determinar a rigidez de um material, coloca-se um bloco do material 30 cm por
baixo de um cone metálico de 0.3 kg; o cone deixa-se cair livremente, a partir do
repouso, penetrando uma distânciaxno bloco até parar. Sabe-se que quando o cone
penetra no bloco a força do bloco sobre o cone ékx
2ondeké uma constante que
depende da resistência à penetração do material; se o cone penetrar uma distânciax=5
cm, calcule o valor da constantek.x
30 cm
0.3 kg
8.
Execute o programa 2.2 várias vezes, modicando o ângulo de lançamento para 42

,
43

, 44

, 45

e 46

. Registe numa tabela os valores obtidos para o alcance horizontal
em cada caso, no ar e no vácuo. Com base nos valores registados, quais são os ângulo
que produzem o maior alcance no vácuo e no ar?
9.
Demonstre que para uma esfera de raiore velocidade com módulov, os dois termos da
força de resistência num uido, devidos à viscosidade e à massa volúmica, são iguais
quandorvfor igual a24h=r . Usando a informação na tabela, calcule os valores de
24h=r para a glicerina, a água e o ar. Quandorvfor muito maior que esse valor, pode
admitir-se que a resistência do uido é proporcional av
2e quandorvfor muito menor,
a resistência do uido aumenta em forma linear com a velocidade.
Fluido Coef. de viscosidade (kg/(ms)) Massa volúmica (kg/m
3
)
Glicerina 1.5 1200
Água 10
3
1000
Ar 1 :810
5
1.2
10.
Um corpo em queda livre acelera durante algum tempo até atingir uma velocidade
máxima, designada develocidade terminal; uma vez atingida essa velocidade, a queda
continua com velocidade uniforme (veja o problema a) Calcule
a velocidade terminal de uma bola de ténis com raio de 3.25 cm e massa 0:062 kg. (b)
Calcule a velocidade terminal de uma bola de ténis de mesa com raio de 1.9 cm e massa
0:0024kg. (c) Calcule a velocidade terminal de um pára-quedista com uma massa
total de 75 kg (incluindo o pára-quedas), admitindo que a área da secção transversal do
pára-quedas é 9 m
2
e o coeciente de arrastamento éCD=0:9.

47. 3 Trabalhoeenergia
No salto com vara, a energia cinética da corrida inicial é convertida em energia potencial
da vara dobrada. Enquanto a vara recupera a sua forma recta, a sua energia potencial
elástica é transformada em energia potencial gravítica do saltador.

48. 38 Trabalho e energia
3.1 Producto escalar
O produto escalar entre dois vectores~ae~bé um número igual à soma dos produtos das
respectivas componentes dos vectores:
~a~b=axbx+ayby+azbz (3.1)
essa denição conduz a uma propriedade importante: em diferentes sistemas de eixosxyas
componentes dos dois vectores são diferentes, mas o produto escalar dá sempre o mesmo
valor.
Em geral, qualquer grandeza física que tenha o mesmo valor independentemente do sistema
de eixos usado, é designada deescalar. Alguns exemplos de grandezas escalares são a
massa e a temperatura.
O outro tipo de grandeza importante na Física são os vectores. Um vector é caracterizado
por uma direcção, um sentido e uma grandeza escalar associada: o módulo ou norma.
A direcção, sentido e módulo de um vector também são independentes do sistema de
referência usado, embora as componentes do vector sejam diferentes em diferentes sistemas
de eixos.
O produto escalar de um vector consigo próprio é igual ao seu módulo ao quadrado:
~a~a=a
2
x+a
2
y+a
2
z=j~aj
2
(3.2)
A invariância do produto pode ser aproveitada para o calcular numa forma alternativa.
Escolhe-se um sistema em que o vector~besteja orientado na direcção e sentido do eixo
dosx(ver gura), nomeadamente, ~b=b~ex ; nesse sistema de eixos, comoby=bz=0 ,
a expressão
~a~b=axb (3.3)
e comoaxé a projecção do vector~aao longo do eixo dosx, em função do ânguloqentre
os vectores~ae~b, é:
~a~b=abcosq (3.4)x
θ
x x
θ
a
a
a
b b b
Figura 3.1:
A componente do vector~aao longo do vector~bé positiva, se o ângulo entre
os vectores for agudo, negativa, se o ângulo for obtuso ou nula se o ângulo for recto.

49. 3.2 Trabalho e energia cinética 39
O produto escalar~a~bserá um número positivo se o ângulo entre os vectores for agudo,
um número negativo se o ângulo for obtuso ou zero, se os vectores forem perpendiculares.
O eixo dosxtambém podia ter sido escolhido ao longo do vector~a; assim, o produto~a~b
também é igual à projecção do vector~bna direcção de~a, multiplicado pelo módulo de~a.
Temos assim quatro formas diferentes de calcular o produto escalar, usando as equações
3.1, ou multiplicando a projecção de um dos vectores na direcção do outro, vezes o
módulo desse outro vector.
Se um dos vectores for um versor,~e, nomeadamente, um vector com módulo unitário, o
produto~a~eserá igual à projecção de~ana direcção e sentido de~e; consequentemente, uma
forma fácil de obter a projecção de um vector numa direcção qualquer em 3 dimensões,
consiste em denir um versor nessa direcção e calcular o produto escalar entre o vector e o
versor. Por exemplo, repare que~a~e=ay.
Para calcular o ângulo entre duas direcções no espaço, denem-se dois versores~e1e~e2
nessas direcções e calcula-se o produto escalar entre eles. De acordo com a equação
esse produto é igual ao co-seno do ângulo entre as duas direcções.
3.2 Trabalho e energia cinética
Vamos agora combinar as 3 equações
por considerar a equação para a componentex; agrupando os termos que dependem da
velocidade temos:
axdx=vxdvx (3.5)
Fazendo o mesmo com as outras duas componentes e somando as 3 equações, obtemos:
axdx+aydy+azdz=vxdvx+vydvy+vzdvz (3.6)
Para interpretar os termos nessa equação, observe a gura. Num instante ta partícula
encontra-se numa posição~r, com velocidade~v. Passado um intervalo de tempo muito
pequeno,dt, a posição da partícula terá aumentado emd~re o aumento da velocidade terá
sido d~v.
O aumento do vector de posição,d~r, é designado pordeslocamento. Em coordenadas
cartesianas, é:
d~r=dx~ex+dy~ey+dz~ez (3.7)
As componentes cartesianas do aumento da velocidade sãodvx,dvyedvz. Assim, a
equação
~ad~r=~vd~v (3.8)
O lado direito pode ser escrito numa forma mais simples; como o quadrado do módulo da
velocidade é:
v
2
=~v~v (3.9)

50. 40 Trabalho e energiax y
z
r
r + dr
dr
v
v + dv
t t + dt
Figura 3.2:
Vectores posição e velocidade num instantete num instante posteriort+dt.
calculando os aumentos diferenciais nos dois lados obtemos:
2vdv=d~v~v+~vd~v=2~vd~v (3.10)
Substituindo essa relação em
~ad~r=vdv (3.11)
Esta equação será muito útil quando quisermos calcular o movimento de uma partícula ao
longo de um percurso conhecido, em função da aceleração. Calculam-se o deslocamento
vectoriald~re a aceleração; o produto escalar entre esses valores, dividido pelo módulo da
velocidade permite calcular o aumento da velocidade. O intervalo de tempodtcalcula-se
dividindo o módulo do deslocamento d~rpelo módulo do aumento da velocidade.
A equação
lados pela massam, dividirmos por 2, e integrarmos num intervalo nito, obtém-se
~r2Z
~r1
~Fd~r=
1
2
mv
2
2
1
2
mv
2
1 (3.12)
A expressão:
Ec=
1
2
mv
2
(3.13)
é designada deenergia cinéticae o integral da força ao longo do deslocamentod~ré o
trabalhoda força. O teorema do trabalho e a energia cinética estabelece que:
O trabalho da força resultante é igual ao aumento da energia cinética da
partícula.

51. 3.2 Trabalho e energia cinética 41
O trabalho e a energia cinética têm unidades de energia; nomeadamente, joules no Sistema
Internacional de unidades (1 J = 1 Nm). Assim
Exemplo 3.1
Um canhão dispara uma bala metálica com 5 cm de raio, desde uma altura de 15 m, com
velocidade inicial que faz um ângulo de 30

com a horizontal e com módulo 30 m/s.
Determine a altura máxima atingida pela bala e a distância horizontal,d, até o ponto onde
a bala bate no chão.15 m
d
Resolução
: uma bala metálica tem uma massa volúmica aproximadamente 8 vezes maior
que a da água. Nessas condições, a velocidade terminal da bala é da ordem de 132 m/s.
Como a velocidade do lançamento é muito menor, vamos desprezar a resistência do ar e
admitir que a única força que actua sobre a bala durante, enquanto está no ar, é o peso.
Escolhendo o eixo dosyna vertical, o peso escreve-semg~ey e o impulso que produz
desde o instante do lançamento da bala,t=0, até um instantetposterior é:
~I=
tZ
0
mg~eydt=mgt~ey

52. 42 Trabalho e energia
igualando o impulso à variação de quantidade de movimento, e dividindo pela massa, é
~v=~v0gt~ey =)
~v=30(cos30

~ex+sin30

~ey)9:8t~ey=25:98~ex+(159:8t)~ey (3.14)
Assim, a componentexda velocidade é constante. O valor mínimo do módulo da veloci-
dade será no instante em que (159:8t ) for igual a zero; esse valor mínimo da velocidade,
vmín=25:98, corresponde ao ponto de altura máxima.
O trabalho realizado pelo peso é:
~r2Z
~r1
~Fd~r=mg
~r2Z
~r1
~ey(dx~ex+dy~ey+dz~ez) =mg
y
Z
y0
dy=mg(y0y)
igualando à variação da energia cinética e dividindo pela massa temos:
2g(y0y) =v
2
v
2
0 (3.15)
Substituindovpelo valor mínimo do módulo da velocidade mínima, podemos calcular a
altura máximaymáx
29:8(15ymáx) =25:98
2
30
2
=) ymáx=26:5 m
Para calcular a distânciad, calcula-se o módulo da velocidade, quando a bala bate no chão,
substituindoy=0 na equação:
29:815=v
2
30
2
=) v=34:55 m=s
e de acordo com a equação, o quadrado do módulo da velocidade é:
34:55
2
=25:98
2
+(159:8t)
2
=) t=3:85 s
(tendo em conta que o tempoté positivo). Durante esse tempo, o deslocamento horizontal
é igual:d=3:8525:98=100:0 m , já que a componente horizontal da velocidade é
constante.
3.3 Coordenada tangencial
Em cada ponto da trajectória de uma partícula, dene-se umversor tangencial~et , na
direcção tangente à trajectória, e no sentido do movimento (gura).
Para um intervalo innitesimal de tempo,dt, o deslocamento innitesimal é tangente à
trajectória e com módulo igual à distância percorrida ao longo da trajectória:
d~r=ds~et (3.16)

53. 3.3 Coordenada tangencial 43x y
z
r
r + dr
dr
et
et
ds
Figura 3.3:
Versor tangencial~ete distância percorridadsdurante um intervalo de tempo.
em quesé a distância medida ao longo da trajectória, a partir de algum ponto da trajectória
escolhido como origem. Dividindo esse deslocamento innitesimal pelo intervalo de tempo
dt, obtém-se o vector velocidade:
~v=
d~r
dt
=
ds
dt
~et (3.17)
Portanto, a velocidade é sempre na direcção e sentido do versor tangente. A componente
da velocidade ao longo da trajectória é igual à derivada da posição ao longo da trajectória,
s, como num movimento a uma dimensão.
A derivada da equação
ter em conta que o versor~etnão permanece constante em diferentes instantes; assim a
derivada do vector velocidade é:
~a=
d~v
dt
=
d
2
s
dt
2
~et+
ds
dt
d~et
dt
(3.18)
O primeiro termo é a componente tangencial da aceleração, da qual já temos falado no
capítulo 1. No próximo capítulo veremos como calcular a derivada do versor~etque aparece
no segundo termo.
A invariância do produto escalar permite-nos calcular~F~rem função da coordenada
tangencial, usando a expressão. O resultado é ~F~r=Ft~et , em queFté a componente
tangencial da força. Consequentemente, o trabalho realizado por uma força pode ser
calculado da forma seguinte:
W12=
s2Z
s1
Ftds (3.19)
Unicamente a componente tangencial da força realiza trabalho, podendo alterar a energia
cinética da partícula. Uma força perpendicular à trajectória não realiza trabalho nem altera
a energia cinética da partícula.

54. 44 Trabalho e energia
3.4 Forças conservativas
Se a componente tangencial da força,Ft, pode ser escrita em função da posição na trajectó-
ria,s, o integral
W12=U(s1)U(s2) (3.20)
ondeU(s)é uma primitiva da funçãoFtdenida por:
U=
sZ
sref
Ftds (3.21)
é habitual incluir um sinal negativo, que faz com que na equação
trocados em relação ao que se costuma fazer para calcular integrais denidos. A posição
srefé a posição de um ponto qualquer escolhido como referência.
Para que a força seja realmente uma função da posição é necessário que sempre que a
partícula se encontrar num ponto da sua trajectória, a força nesse ponto seja sempre igual.
Uma força com essa propriedade é denominadaforça conservativa.
A primitivaU(s)da força conservativa, denida pela equação, é designada por
energia potencial.
A escolha arbitrária do ponto de referênciasrefnão terá nenhuma consequência física, já
que o que o trabalho será calculado a partir da diferença de energia potencial entre dois
pontos.
Em função da energia potencial, a equação
potencial:
O trabalho realizado entre dois pontos por uma força conservativa é igual
à diminuição da energia potencial associada a essa força.
Vimos na equação
cinética. A força resultante pode, em geral, incluir forças conservativas e não conservativas.
O trabalho da força resultante pode ser calculado como o trabalho feito pela soma de todas
as forças conservativas, mais o trabalho das forças não conservativas:
W12=W12(conservativas)+W12(não conservativas) (3.22)
O trabalho das forças conservativas é igual à diminuição da energia potencial e o trabalho
total é igual ao aumento da energia cinética. Assim, temos:
Ec2Ec1=U1U2+W12(não conservativas) (3.23)
em queUé a soma de todas as energias potenciais associadas a todas as forças conservativas
eEcé a energia cinética. Dene-se aenergia mecânicado sistema igual à soma das
energias cinética e potencial:
Em=Ec+U (3.24)

55. 3.4 Forças conservativas 45
Em função da energia mecânica, a equação
Em2Em1=W12(não-conservativas) (3.25)
denominado teorema do trabalho e a energia mecânica:
O aumento da energia mecânicaEm, denida como a soma da energia ci-
nética mais a energia potencial, é igual ao trabalho feito pelas forças não
conservativas.
Uma consequência desse resultado é alei de conservação da energia mecânica: se não
actuarem forças não conservativas, a energia mecânica do sistema permanecerá constante.
3.4.1 Grácos de energia
O gráco da energia potencial associada a uma força conservativa é muito útil na análise
do movimento. A gura
total do sistema, em função da distância ao longo da trajectória,s.-10
-5
0
5
10
15
-2 -1 0 1 2 3 4 5 6
Energia
s
Mecanica
Potencial
Figura 3.4:Exemplo de energia potencial e energia mecânica.
Há duas propriedades importantes a salientar na análise dos grácos de energia potencial.
A primeira é que em qualquer pontos, a componente tangencial da força associada à
energia potencial é igual a menos a derivada da energia potencial:
Ft=
dU
ds
(3.26)

56. 46 Trabalho e energia
já que a derivada de uma primitiva dá a função original.
A segunda propriedade importante é que a partícula nunca poderá estar numa posição onde
a energia mecânica sejaEmseja menor que a energia potencial, já queEmU é igual à
energia cinética, que é sempre positiva ou nula
Aplicando essas propriedades ao exemplo no gráco, vemos que nos intervalos 2<
s<1
e2<s<5 , o valor da força tangencial é positivo, isto é aponta no sentido em que
a posiçãosaumenta. Nos intervalos1<s<2 e5<s<6 o valor da força é negativo
(aponta no sentido em quesdiminui). Nos pontoss=1 ,s=2es=5a força é nula. A
esses pontos é dada a denominação depontos de equilíbrio.
A energia mecânica não pode ser menor que6:75. A recta horizontal que se mostra
corresponde a uma energia mecânica igual a 2.25 unidades. Admitindo que não existam
forças não conservativas, essa energia permanece constante. Com essa energia, a partícula
só poderá estar nas regiões em que:
EmU(x) (3.27)
por exemplo, a partícula não poderia estar na posiçãos=3. A partícula estará connada a
uma vizinhança do ponto -1 ou 5.
Nos pontos em que a recta horizontal (energia mecânica da partícula) corta a curva da
energia potencial, a energia cinética será nula e, portanto, a partícula estará em repouso;
no entanto a partícula não permanece em repouso por muito tempo, porque a força nesses
pontos não é nula.
Por exemplo, se num instante a partícula estiver na posiçãos=5, deslocando-se no sentido
em quesaumenta, deslocar-se-á até um ponto perto des=6 onde a partícula para; nesse
ponto a força aponta no sentido negativo da distância, o que faz com que a partícula
regresse para o pontos=5, mas agora com velocidade no sentido negativo da distância. A
partícula aproximar-se-á do pontos=3:8 , onde a sua velocidade será nula; nesse ponto,
sendo a força no sentido positivo da distância, a partícula regressará à posiçãos=5e o
ciclo será repetido novamente.
3.4.2 O peso
O peso é uma força conservativa. Usando um sistema de coordenadas em que o eixo dosy
é vertical e aponta para cima, o peso é:
~F=mg~ey (3.28)
O trabalho realizado por essa força entre dois pontos A e B é
W=
BZ
A
~Fd~r (3.29)

57. 3.5 Movimento harmónico simples 47
Em coordenadas cartesianas, o produto escalar entre a força e o deslocamento é:
~Fd~r=mgdy (3.30)
e, portanto o integral desde A até B será um integral em ordem à variávely, desdeyAatéyB
W=mg
yBZ
yA
dy=mgyAmgyB (3.31)
Este resultado mostra que o trabalho depende apenas das alturas inicial e nal e o resultado
será o mesmo independentemente do percurso seguido entre esses dois pontos. A energia
potencial gravítica, associada ao peso, é:
Up=mgy (3.32)
A escolha da origem é arbitrária: as alturas podem ser medidas em relação a qualquer
ponto, sem ter que ser em relação ao solo.
3.4.3 Forças elásticas
Uma mola elástica esticada ou comprimida exerce uma força dirigida na direcção e sentido
que faz regressar a mola à sua forma normal.
O módulo da força exercida pela mola é directamente proporcional à elongação da mola.
Se pendurarmos um pesoP, a mola é esticada até car numa posição em que a força
elástica equilibra o peso. Duplicando esse peso duplica-se a elongação. A expressão
matemática dessa relação entre a força elástica~Fee a elongaçãoyé chamadalei de Hooke:
~Fe=ky~ey (3.33)
ondeké a constante elástica da mola e a posiçãoyé medida desde a posição em não está a
ser exercida nenhuma força sobre a mola.
A força elástica é uma força conservativa. Usando como ponto de referência o pontoy=0
em que a mola tem o seu comprimento normal, a energia potencial elástica é:
Ue=
xZ
0
(ky)~eyd~r =)
U=
1
2
ky
2
(3.34)
3.5 Movimento harmónico simples
Um corpo de massam, pendurado de uma mola elástica, como na gura, é designado
poroscilador harmónico simples. A energia potencial total é a soma da energia potencial

58. 48 Trabalho e energia
Figura 3.5:
Mola elástica pendurada dum suporte horizontal. A elongação é directamente
proporcional ao peso colocado.
associada ao peso,mgy, mais a energia potencial elásticaky
2
=2, em quey=0é a posição
em que a mola se encontrava antes de ser pendurado o cilindro. A soma dos dois termos
pode ser factorizada:
U=mgy+
1
2
ky
2
=
k
2

y
2
+
2mg
k
y

=
k
2

y+
mg
k

2

m
2
g
2
2k
(3.35)
O último termo é uma constante, que pode ser ignorada, porque podemos sempre somar
um termo constante à energia potencial. A distânciamg=k é o alongamento da mola
quando é pendurado o cilindro de massam. Assim, a expressão entre parêntesis mede a
altura do cilindro em relação à sua posição de equilíbrio.
Mudando a origem do eixo dosypara o ponto de equilíbrio do cilindro, a energia potencial
total é:
U=
1
2
ky
2
(3.36)
o efeito do peso foi apenas o de deslocar a posição de equilíbrio da mola.
Se desprezarmos a resistência com o ar, existirá conservação da energia mecânica total e,
portanto:
E0=
1
2
ky
2
+
1
2
mv
2
(3.37)
em queE0é a energia mecânica inicial, dada pelas condições iniciais do sistema. A gura
3.6

59. 3.5 Movimento harmónico simples 49y
E
A-A
Em = E0
U
Figura 3.6:
Energia potencial e energia mecânica de um corpo pendurado de uma mola
vertical.
O cilindro oscilará entre as duas alturasy=A ey=A. A relação entre essaamplitude
do movimento oscilatório e a energia inicial pode ser obtida substituindov=0na equação
3.37:
E0=
1
2
kA
2
(3.38)
A amplitude e a energia inicial não são valores característicos do oscilador, mas são
condições iniciais que dependem de como for colocado em movimento o sistema.
A equação
função deyé:
v=
r
k
m
(A
2
y
2
) (3.39)
igualando essa expressão à derivada ye separando variáveis, temos:
r
k
m
tZ
0
dt=
y
Z
0
dy
p
A
2
y
2
(3.40)
onde o tempot=0foi escolhido no instante em que o cilindro passa pela posição de
equilíbrioy=0. Calculando os integrais, é:
wt=sin
1

y
A

(3.41)
ondewé igual a
p
k=m. Finalmente, a expressão parayem função do tempo é:
y=Asin(wt) (3.42)
A constantewrepresenta assim a frequência angular, nomeadamente,2pvezes o número
de oscilações do cilindro, por unidade de tempo. A frequência, igual ao número de

60. 50 Trabalho e energia
oscilações por unidade de tempo é:
f=
1
2p
r
k
m
(3.43)
o inverso da frequência é o período de oscilação do sistema.
Perguntas
1.
A posição de uma partícula em função
do tempo é dada pela expressão~r=
2t
2
~ex+
5
3
t
3
~ey
(SI). Qual dos vectores na
lista é perpendicular à trajectória da par-
tícula no instantet=2 s?
A.~ex5~ey
B.~ex5~ey
C.5~ex+2~ey
D.~ex4~ey
E.2~ex+3~ey
2.
Sobre uma partícula actua uma força com
direcção, sentido e módulo constantes. O
módulo da força é 1.6 N. Qual é o tra-
balho realizado por essa força quando
a partícula se desloca uma distância de
20 cm numa direcção que faz 60

com a
força?
A.
B.
C.
D.
E.
3.
A gura mostra o gráco da energia po-
tencialU(x), de uma partícula que se des-
loca ao longo do eixo dosx. Se a partí-
cula estiver a oscilar à volta do ponto
x=1, com energia mecânica igual a 2 J,
qual será o valor máximo da sua energia
cinética?x (m)
U (J)
−2 2−1 1
−3
3
A.3 J
B.
C.
D.
E.
4.
Num oscilador harmónico simples for-
mado por um corpo de massampendu-
rado duma mola vertical com constante
elásticak, se a massa for quadruplicada,
qual das armações é correcta?
A.
B.
C.
D.
E.
5.
A gura mostra o gráco da força resul-
tanteF(x), conservativa, sobre uma par-
tícula. Quantos pontos de equilíbrio exis-
tem na região apresentada no gráco?x
F(x)
−1 1 3
A.
B.
C.
D.
E.

61. 3.5 Movimento harmónico simples 51
Problemas
1.
Num salto com vara, um atleta de 70 kg usa uma vara uniforme de 4.5 kg com 4.9 m
de comprimento. O salto do atleta tem três fases: primeiro o atleta corre, com o seu
centro de gravidade a 1 m de altura e com o centro de gravidade da vara a 1.5 m de
altura, até atingir uma velocidade de 9 m/s no instante em que possa a vara no chão. Na
segunda fase, a energia da corrida é transferida para a vara, que se deforma e volta a
esticar cando vertical e elevando o atleta até uma altura próxima da altura da fasquia.
Finalmente o atleta estica os braços, fazendo com que a reacção normal forneça alguma
energia adicional (ver o problema anterior) que eleva o centro de gravidade do saltador
até 5.8 m de altura, conseguindo assim ultrapassar a fasquia a 5.6 m. Admitindo que
não existem perdas de energia, calcule qual foi a energia mecânica transferida para o
saltador na última fase, quando esticou os braços.
2.
Um pêndulo simples é composto por uma esfera de massam, pendurada por uma corda
muito na, de comprimentole de massa desprezável. Sobre a esfera actuam duas
forças: a tensão na corda e o peso da esfera. (a) Escreva as componentes tangenciais
dessas duas forças, em função do ânguloqque a corda faz com a vertical. (b) Calcule a
energia potencial do sistema em função deq.l l
m
θ
3.
Resolva novamente o problema
trabalho e energia. A força exercida pelo bloco sobre o cone, quando o cone penetra no
bloco, é uma força conservativa ou não?

62. 52 Trabalho e energia
4.
Uma esfera desce uma rampa circular com raioR. Ignorando o atrito, a força resultante
émgcosq . (a) Escreva a força resultante em função da distância ao longo da rampa,s,
medida desde o ponto A. (b) Calcule a energia potencial em função des, arbitrando que
seja nula no ponto A.R
s
mg
θ
θ
A
B
5.
O cilindro que foi pendurado na mola da gura
da mola quando o cilindro foi pendurado, foi de 16 cm. (a) Calcule a constante elástica
da mola. (b) Calcule o período de oscilação do sistema. (c) Se o cilindro é deslocado
5 cm por baixo da posição de equilíbrio e a seguir deixa-se oscilar livremente, calcule a
energia mecânica do sistema.
6.
Para saltar verticalmente para cima, um jogador de basquetebol com massamdobra
as pernas, fazendo descer o seu centro de gravidade uma alturaDy, e a seguir estica as
pernas rapidamente, durante um intervaloDt, atingindo uma velocidadevno instante
em que perde o contacto com o chão. (a) Admitindo que a força resultante média que
actua sobre o jogador durante o intervaloDtéF, e que o valor meio em função da
distânciaDyé o mesmo, calcule o trabalho e o impulso dessa força, em função dev,
Dy,Dtem, e compare os dois resultados para obter a velocidade em função deDyeDt
(b) Qual é a fonte da força resultante que produz o impulso e o trabalho calculados na
alínea anterior? (c) SeDy=40 cm eDt=0:3 s, qual será a altura do salto?
7.
Um cilindro com massa de 80 g desliza a partir do repouso, no ponto A, até ao ponto B,
devido a uma força externa constante de 60 N; o comprimento normal da mola é 30 cm
e a sua constante elástica é 6 N/cm. Admitindo que não existe atrito com a barra xa,
calcule a velocidade com que o cilindro chega ao ponto B.40 cm
30 cm
A
B
60 N
35°

63. 4 Rotaçãoemovimentocurvilíneo
Para estudar a tolerância dos astronautas à aceleração elevada durante o lançamento de uma
sonda espacial, a NASA usa um dispositivo que pode rodar a grande velocidade. Dentro
da cabine em rotação, os astronautas sentem o efeito da aceleração centrífuga. O valor
dessa aceleração pode ser determinado com precisão em função do período de rotação do
dispositivo.

64. 54 Rotação e movimento curvilíneo
4.1 Movimento dos corpos rígidos
Um corpo rígido é um sistema de muitas partículas em que a distância relativa entre as
partículas permanece constante. A posição do corpo rígido em qualquer instante pode ser
determinada indicando a posição de um ponto do corpo, a orientação de um eixo xo em
relação ao corpo e um ângulo de rotação à volta desse eixo.
A posição do ponto de referência é dada por 3 variáveis e para especicar a orientação do
eixo são precisos dois ângulos; assim, um corpo rígido é um sistema com seis graus de
liberdade: 3 coordenadas de posição e 3 ângulos.20°
20°
30°
20°
50°
Translação Rotação
Translação e rotação
Figura 4.1:
Um corpo rígido pode ter movimento de translação, de rotação ou uma
sobreposição dos dois.
Se o corpo mantiver a mesma direcção em quanto se desloca, o movimento será de
translação. Se existir um ponto dentro do corpo que não se desloca, enquanto outros pontos
do corpo estão em movimento, o movimento será de rotação pura. O movimento mais
geral será uma sobreposição de translação e rotação (gura).
No exemplo da gura, o eixo de rotação permanece xo, perpendicular à página. O
plano de rotação permanece xo, no mesmo plano do movimento de translação. Esse tipo
de rotação é designada derotação plana. Nesse caso só há 3 graus de liberdade: duas
coordenadas para indicar a translação e o ângulo de rotação.

65. 4.2 Movimento circular 55
4.2 Movimento circular
Na rotação de um corpo rígido, qualquer ponto pode ser escolhido como referência, onde
admitimos que passa o eixo de rotação. O ângulo de rotação do corpo será o mesmo,
independentemente do ponto escolhido.
Todos os outros pontos que não estejam sobre o eixo de rotação descreverão trajectórias
circulares, com raios diferentes, mas o ângulo de rotação de todos os pontos será o mesmo.
Assim, para estudar a rotação do corpo rígido basta considerar o movimento circular de
uma partícula numa trajectória circular de raioR.
Durante um intervalo de tempodt, a partícula percorre um arco de círculods, que
corresponde a um ângulo dq(gura). Se o ângulo for medido em radianos, a relação
entre o arco e o ângulo é:
ds=Rdq (4.1)R
ds
dθ
Figura 4.2:
Posições de uma partícula, em movimento circular, em dois instantes separados
por um intervalo de tempo dt.
Assim, a velocidade instantânea ao longo da trajectória será:
v=
ds
dt
=R
dq
dt
(4.2)
a taxa de aumento do ângulo,dq=dt , é avelocidade angular,w, que indica quantos radi-
anos roda a partícula por unidade de tempo. Consequentemente, a velocidade instantânea
ao longo da trajectória, ou velocidade tangencial, é igual ao produto do raio da trajectória
circular vezes a velocidade angular
v=Rw (4.3)
no caso particular domovimento circular uniforme, a velocidade angular será ser cons-
tante, e dene-se operíodoT , igual o tempo que demora a partícula em dar uma volta

66. 56 Rotação e movimento curvilíneo
completa (2pradianos). O período calcula-se dividindo 2ppela velocidade angular
T=
2p
w
(4.4)
A aceleração ao longo da trajectória é igual à derivada devem função do tempo, que é
igual à aceleração tangencial,at. Derivando a equação
at=Ra (4.5)
ondeaé aaceleração angular, igual à derivada da velocidade angular. No movimento
circular uniforme, a aceleração angular e a aceleração tangencial são nulas.
Se escolhermos a origem do sistema de coordenadas no centro da trajectória circular, o
vector posição,~rterá módulo constante, igual aRe rodará com velocidade angularw
(gura). A derivada do vector ~ré o vector velocidade, que é perpendicular a~re
tem módulo igual ao módulo de~rvezes a velocidade angular. Este resultado pode ser
generalizado: a derivada de um vector com módulo constante, que roda com velocidade
angular constante, será um vector perpendicular, com módulo igual ao módulo do vector
rodante vezes a velocidade angular.
Figura 4.3:
Os vectores posição,~r, velocidade,~v, e aceleração,~ano movimento circular
têm todos módulo constante e rodam com a mesma velocidade angular.
O programa 3.1, que é distribuído conjuntamente com estes apontamentos, é uma animação
usada para mostrar que no movimento circular uniforme, enquanto o vector posição roda,
o vector velocidade roda com a mesma velocidade angularwe descreve outro movimento
circular uniforme com raio igual av(parte central na gura). Assim, usando o resultado
geral para qualquer vector que roda com módulo e velocidade angular constante, podemos
concluir que a derivada do vector velocidade (vector aceleração) será perpendicular a~ve
com módulo:
an=vw (4.6)

67. 4.3 Coordenadas normal e tangencial 57
O programa 3.1 mostra também que a derivada de cada vector que roda com módulo e
velocidade angular constantes é um vector adiantado 90

em relação ao vector rodante.
Assim, o vector aceleração estará adiantado 180

em relação ao vector posição~r; nomeada-
mente, a aceleração aponta sempre na direcção radial, no sentido do centro da trajectória.
O vector aceleração tem módulo igual aan, designada deaceleração centrípeta, ou acele-
ração normal. Combinando as equações, a aceleração centrípeta também pode
ser calculada comoRw
2ouv
2
=R. A força resultante que produz o movimento circular
uniforme deverá ser igual à massa da partícula, vezes a aceleração centrípeta:
F=
mv
2
R
(4.7)
que deverá estar sempre na direcção radial e a apontar para um mesmo ponto (centro da
trajectória).
O ângulo de rotaçãoq, a velocidade angularwe a aceleração angulara, vericam equações
de movimento semelhantes às equações para o deslocamento, velocidade e aceleração
tangencial no movimento a uma dimensão:
w=
dq
dt
a=
dw
dt
a
w
=
dw
dq
(4.8)
podem ser usados os mesmos métodos de resolução usados no capítulo 1.
4.3 Coordenadas normal e tangencial
A trajectória de uma partícula pode ser dividida em pequenos trajectos de comprimento
innitesimal. Cada trajecto innitesimal pode ser aproximado por um arco de círculo com
raioRe centro num ponto fora da trajectória (centro de curvatura local). O raio pode
mudar continuamente ao longo da trajectória, e o centro desloca-se para diferentes pontos.
Nos segmentos onde a trajectória é rectilínea, o raio é innito e o centro afasta-se para o
innito.
Como vimos no capítulo anterior, em cada ponto da trajectória o vector velocidade dene
a direcção do versor~et, tangente à trajectória:
1
~v=v~et (4.9)
O versor perpendicular a~et, apontando no sentido do centro de curvatura local é oversor
normal
. Em cada ponto da trajectória o vector aceleração pode ser separado em duas
componentes nas direcções dos versores tangencial e normal. A aceleração tangencial, por
ter sempre a mesma direcção do vector velocidade, será igual à derivada da velocidadev.
A aceleração normal pode ser obtida usando as equações da secção anterior, já que em cada
1
Excepto nos pontos isolados onde a velocidade é nula e existem duas tangentes à tajectória, antes e depois
do instante em que a partícula está em repouso instantâneo.

68. 58 Rotação e movimento curvilíneo
segmento innitesimal a trajectória é aproximada por um círculo de raioRe a velocidade
é aproximadamente constante. Consequentemente, o vector aceleração instantânea é:
~a=
dv
dt
~et+
v
2
R
~en (4.10)
As componentes normal e tangencial da força resultante obtêm-se multiplicando porm
as componentes da aceleração. Se uma força resultante~Factuar sobre uma partícula
com velocidade vectorial~v. A componente da força na direcção da velocidade,Ft, fará
aumentar ou diminuir a velocidade, conforme o sinal deFt. A componente da força normal
à velocidade vectorial faz curvar a trajectória da partícula no sentido da força normal.A
B
Ft
F
Fn
Figura 4.4:Componentes tangencial e normal da força.
4.4 Vectores livres e vectores deslizantes
Um vector como, por exemplo,~a=3~ex2~ey+4~ez , é designado de vector livre, devido
a que não tem um ponto de aplicação especíco. A soma do vector~acom outro vector
~bpode ser feita adicionando as suas componentes; do ponto de vista geométrico, essa
adição corresponde a deslocar os dois vectores para um ponto comum, e usar a lei do
paralelograma.
As forças que actuam sobre um corpo rígido não podem ser somadas como vectores livres.
O efeito produzido por uma força sobre um corpo rígido não depende apenas do módulo,
direcção e sentido dessa força, mas também do ponto onde for aplicada essa força. A
linha recta que passa pelo ponto onde a força é aplicada é alinha de acçãodessa força. OF1
F2
F3
Figura 4.5:
As forças~F1e~F2são equivalentes por terem o mesmo módulo, direcção,
sentido e linha de acção, mas não são equivalentes a~F3.

69. 4.5 Adição de forças 59
efeito produzido pela força, sobre o corpo rígido, será o mesmo se a força for deslocada
para qualquer ponto na sua linha de acção (gura). Diz-se que a força é um vector
deslizante.
4.5 Adição de forças
Se duas forças,~F1e~F2, que actuam sobre um corpo rígido, tiverem a mesma linha de acção,
poderão ser somadas como vectores livres, e a força resultante actuará sobre a mesma linha
de acção.
Se as linhas de acção forem diferentes, mas tiverem um ponto em comum, as duas forças
podem ser deslocadas para esse ponto comum. Nesse ponto comum substituem-se as duas
forças pelo vector obtido pela regra do paralelograma e a linha de acção da resultante
passará pelo ponto comum, na direcção da força resultante (gura).F1
F1
F2
F2
F1 + F2
Figura 4.6:Adição de forças com linhas de acção que se cruzam num ponto comum.
Quando as duas linhas de acção forem paralelas, a soma das forças pode ser obtida pelo
seguinte procedimento: desloca-se uma das forças até que o segmento que une os pontos
de aplicação das duas forças seja perpendicular às linhas de acção. A seguir adicionam-se
duas forças~F3e~F3ao longo desse segmento; a resultante dessas duas forças adicionais
é nula e, portanto, não modicam o sistema. Combinando~F1com~F3, e~F2com~F3,
obtêm-se duas novas forças~F4e~F5com linhas de acção com um ponto comum, que
permite que sejam adicionadas como foi explicado no parágrafo anterior (ver gura); a
força resultante será paralela às duas forças originais.
Por semelhança entre triângulos, na gura F2=F3=h=d2 eF1=F3=h=d1 .
Conclui-se que as distânciasd1ed2, entre as linhas de acção das duas forças e a linha de
acção da força resultante, vericam a relação:
F1d1=F2d2 (4.11)
Nomeadamente, a distância de cada força até a força resultante é inversamente proporcional

70. 60 Rotação e movimento curvilíneoF1
−F3
F2
F2
F3
F4
F5
d2 d1
h
Figura 4.7:Adição de forças paralelas.
ao módulo da força. O produtoFidié designado detorque
2 da forçaFiem relação ao
ponto de aplicação da resultante. Podemos interpretar esse torque como o efeito de rotação
produzido pela força, representado por uma seta circular que indica o sentido da rotação.
No caso das duas forças paralelas, os dois torques em relação ao ponto de aplicação da
resultante têm o mesmo módulo mas sentido contrários, produzindo um torque total nulo.
Uma força~F1pode ser equilibrada com uma força igual e oposta,~F1, actuando na mesma
linha de acção. Se a força~F1fosse aplicada em outra linha de acção diferente, a uma
distânciad, o efeito de translação de~F1seria contrariado, mas aparecia um efeito de
rotação, com intensidade igual ao torqueF1d.
O vector~F1expressa o efeito de translação da força, que não depende da linha de acção. O
torqueF1d, expressa o efeito de rotação em relação a outra linha de acção paralela, a uma
distânciad. Assim, uma força pode ser deslocada livremente para qualquer outra linha de
acção, sempre e quando seja adicionado um torqueF1dque expressa o efeito de rotação
da força original.
Um método mais geral para somar qualquer tipo de forças num plano, consiste em deslocar
todas as forças para um ponto comum qualquer. O deslocamento de cada força implica
a introdução do respectivo torque em relação ao ponto comum, e terá sentido horário ou
anti-horário. No ponto comum, a força resultante é a soma vectorial de todas as forças,
e o torque resultante é a soma algébrica dos torques (os torques em sentido horário e
anti-horário são considerados com sinais diferentes). A força resultante pode depois ser
deslocada, na direcção que produz um torque oposto ao torque resultante, até conseguir
que o torque introduzido pelo deslocamento da força resultante anule o torque resultante,
cando unicamente uma força, sem torque.
2
Alguns autores usam a designaçãomomento, mas isso cria confusão com momento de inércia.

71. 4.5 Adição de forças 61
Exemplo 4.1
A distância entre os eixos do automóvel na gura 1.60 m, e o centro de gravidade encontra-
se 0.40 m do eixo da frente. Sabendo que o peso total do automóvel é 9000 N, calcule a
força de reacção normal em cada pneu, quando o automóvel se encontra parado. R1 R29000 N
CG
0.4 m 1.2 m
Resolução
: As reacções normais nos pneus foram indicadas na gura.R1representa a
soma das duas reacções nos dois pneus da frente, eR2a soma das reacções normais dos
pneus de atrás.
DeslocandoR1para a mesma linha de acção do peso, devemos adicionar também um
torque igual0:4R1 , no sentido horário. DeslocandoR2para essa mesma linha de acção,
devemos adicionar outro torque, no sentido anti-horário, com valor 1:2R2.
A soma deR1eR2deverá ser igual ao peso do carro, 9000 N, e os dois torques, em sentidos
opostos, deverão ter o mesmo valor absoluto para que o sistema esteja em equilíbrio. Temos
assim duas relações entre as reacções normais:
R1+R2=9000 1 :2R2=0:4R1
A resolução desse sistema de equações dáR2=2250 N eR1=6750 N. Admitindo que
o centro de gravidade esteja a igual distância dos lados direito e esquerdo do automóvel,
devido à simetria, as reacções nos dois pneus da frente serão iguais e, portanto, a reacção
em cada pneu será3375N. Nos pneus de atrás as reacções também serão iguais, cada uma
com módulo 1125 N.

72. 62 Rotação e movimento curvilíneo
4.6 Centro de massa
Um corpo rígido pode ser estudado como um sistema de muitas partículas. A massa total,
m, será a soma das massas de todas as partículas
m=m1+m2++mn=
n
å
i=1
mi (4.12)
Se~rifor o vector de posição da partículai, dene-se ocentro de massacomo o ponto na
posição~rcmdenida pela equação
~rcm=
1
m
n
å
i=1
mi~ri (4.13)
naturalmente que se a origem de coordenadas for deslocada para o centro de massa, o
somatório acima será igual a zero.
A velocidade do centro de massa obtém-se derivando~rcm
~vcm=
1
m
n
å
i=1
mi~vi (4.14)
e a derivada de~vcmé igual à aceleração instantânea do centro de massa:
~acm=
1
m
n
å
i=1
mi~ai (4.15)
Se o referencial em que estão a ser medidas as acelerações~aifor um referencial inercial,
o produtomi~aié a força resultante~fique actua sobre a partículai. Assim, obtém-se a
seguinte relação:
n
å
i=1
~fi=m~acm (4.16)
Cada força~fiinclui forças internas, exercidas por outras partículas dentro do corpo rígido,
e poderá incluir forças externas~Fj. Na soma de todas as forças~fias forças internas
desaparecerão, porque por cada força interna exercida por uma partículaksobre outra
partículai, existirá a força de reacção, igual e oposta, que a partículaiexerce sobre a
partículak. Assim, a soma de todas as forças será equivalente a somar apenas as forças
externas:
n
å
i=1
~Fi=m~acm (4.17)
Este resultado é a lei do movimento de translação do corpo rígido:

73. 4.7 Rotação plana do corpo rígido 63
O movimento de translação do corpo rígido é igual ao movimento de uma
partícula de massam, colocada no centro de massa, com força resultante
igual à soma vectorial de todas as forças externas que actuam sobre o corpo
rígido.
Repare que aqui a soma vectorial das forças é feita como se fossem vectores livres. Se
a resultante das forças externas for nula, o centro de massa estará ou em repouso ou em
estado de movimento rectilíneo uniforme. No entanto; os outros pontos no corpo rígido
poderão ter um movimento de rotação à volta do centro de massa.
O peso de um objecto é realmente uma força distribuída, já que a atracção gravitacional da
Terra actua sobre cada uma das partículas que formam os átomos do objecto. Ocentro
de gravidade
, é o ponto onde pode ser aplicada uma única força que contrarie o peso,
deixando o objecto em estado de repouso.
Imagine por exemplo uma lâmina triangular. Se for pendurada por um dos vértices,
inicialmente a lâmina não ca estática, mas roda até car numa posição em que o centro
de gravidade está por baixo do vértice. Se for feito um furo no centro de gravidade, usando
como suporte para o triângulo uma barra na horizontal que passa através do furo, o
triângulo permanecerá estático independentemente de orientação que tiver.
Figura 4.8:Centros de massa de um triângulo, disco e barra homogéneos.
Sempre que a aceleração da gravidade seja constante, o centro de gravidade e o centro de
massa encontram-se no mesmo ponto. O centro de massa de um corpo com distribuição
homogénea de massa encontra-se no centro no centro geométrico. Por exemplo, num disco,
cilindro ou esfera, o centro de massa é o centro. Numa barra homogénea o centro de massa
é no centro da barra e numa lâmina triangular homogénea o centro de massa é no ponto de
intersecção das três medianas (gura).
4.7 Rotação plana do corpo rígido
Estudaremos unicamente o caso do movimento derotação planado corpo rígido, denido
como o movimento em que o eixo de rotação aponta sempre na mesma direcção. O caso
mais geral da rotação não plana precisa de algumas técnicas mais complexas.
Considerando o corpo rígido como um sistema denpartículas, com massasmie velocidades
~vi, a energia cinética total do corpo será a soma das energias cinéticasmiv
2
i
=2 de todas as

74. 64 Rotação e movimento curvilíneo
partículas. Essa energia pode ser agrupada em dois termos:
Ec=
1
2
mv
2
cm+
1
2
n
å
i=1
miV
2
i (4.18)
em que~Vié a velocidade da partículaiem relação ao centro de massa. O primeiro termo
na equação anterior é a energia de translação do centro de massa. Consequentemente, o
segundo termo será a energia de rotação do corpo rígido.
Sewfor a velocidade angular do corpo, o valor da velocidade da partículaiem relação ao
centro de massa seráVi=wRi , em queRié a distância desde a partículaiaté o eixo de
rotação que passe pelo centro de massa. Assim, a energia cinética total devida à rotação do
corpo rígido será:
Ec=
1
2
n
å
i=1
miw
2
R
2
i (4.19)
Se denirmos omomento de inérciaem relação ao centro de massa,Icm, igual à soma dos
produtos das massas das partículas e o quadrado das suas distâncias até o eixo de rotação:
I=
n
å
i=1
miR
2
i (4.20)
então a energia cinética de rotação é:
Er=
1
2
Iw
2
(4.21)
No movimento de rotação, o momento de inércia joga um papel semelhante à massa no
movimento de translação. O momento de inércia de um corpo rígido depende da sua massa
e da sua forma geométrica, em relação ao eixo de rotação. Quanto maior for a massa e
mais afastada estiver do eixo de rotação, maior será o momento de inércia.
O aumento dessa energia,dEré igual ao trabalho realizado pelas forças que actuam sobre
as partículas:
m
å
i=1
Fti
dsi=Icmwdw (4.22)
como o deslocamento de cada partículaié um arco de círculo, dsi=Ridq, é:
m
å
i=1
Fti
Ri=Icmw
dw
dq
(4.23)
O termo dentro da soma no lado esquerdo é o torque produzido pela força~Fie no lado
direito, comow=
dq
dt
, entãow
dw
dq
é igual à aceleração angulara=
dw
dt
e obtemos o
resultado seguinte:
m
å
j=1
Tj=Icma (4.24)

75. 4.7 Rotação plana do corpo rígido 65
Este resultado é a lei do movimento para a rotação plana do corpo rígido:
A soma dos torques de todas as forças, em relação ao centro de massa, é
igual ao momento de inércia, em relação ao eixo que passa pelo centro de
massa, vezes a aceleração angular do corpo rígido.
Exemplo 4.2
No automóvel do exemplo, desde o instante t=0até o instantet=20s o automóvel
começa a andar, com aceleração tangencial constante, atingindo a velocidade de60km/h
no m desse intervalo. Sabendo que o centro de gravidade está a uma altura de 35 cm por
cima do chão, calcule a força de reacção normal em cada pneu.
Resolução: A força que faz acelerar o automóvel é a força de atrito estático,~Fa, entre os
pneus e a estrada. A gura seguinte mostra o diagrama de forças. R1 R2
Fa
9000 N
CM
0.4 m 1.2 m
0.35 m
R1
representa a soma das duas reacções nos dois pneus da frente, eR2a soma das reacções
normais dos pneus de atrás. A aceleração do centro de massa é no sentido horizontal e
igual a:
at=
60=3:6
20
=
5
6
m
s
2
A lei do movimento para a translação conduz às equações:

R1+R2=mg
Fa=mat
=)
8
<
:
R1+R2=9000
Fa=
90005
9:86
Em relação ao eixo que passa pelo centro de massa, o peso não produz nenhum torque,
os torque deR1eFasão no sentido horário e o torque deR2é no sentido anti-horário.
Como o automóvel não tem movimento de rotação, a aceleração angular é nula e a lei do
movimento de rotação é:
1:2R2=0:4R1+0:35Fa

76. 66 Rotação e movimento curvilíneo
A resolução do sistema das 3 equações é:
Fa=765 N R1=6583 N R2=2417 N
A reacção em cada pneu da frente será 3291 N e em cada pneu de atrás 1209 N.
Perguntas
1.Uma esfera encontra-se inicialmente em
repouso, pendurada por dois os. O o
da direita é cortado subitamente. Qual é
o valor da aceleração da esfera imediata-
mente após o o ter sido cortado?30° 30°
A.
B.g=2
C.gcos30

D.gsin30

E.g
2.
Um objecto desloca-se numa trajectória
curva, mantendo o módulo da sua veloci-
dade constante. Qual das seguintes ar-
mações é verdadeira?
A.
A aceleração é perpendicular à trajec-
tória.
B.
C.
D.
E.
3.
O movimento circular de uma roda de
raioRAé transmitido para outra roda de
raioRB, através de uma correia que se
desloca com as rodas, sem derrapar. Qual
é a relação entre as velocidades angulares
wAewBde ambas as rodas?RA
RB
A.RAwA=RBwB
B.wA=wB
C.R
2
A
wA=R
2
B
wB
D.RBwA=RAwB
E.R
2
B
wA=R
2
A
wB
4.
Sobre um disco de actuam duas forças ex-
ternas, como se mostra na gura. Calcule
o torque resultante, em relação ao ponto
O.60 N
85 N
O
3 cm
6 cm
30°
A. m
B. m
C. m
D. m
E. m
5.
Um cilindro de pesoPé mantido em re-
pouso com dois cilindros de pesoP=2.
O o 2 é cortado subitamente; qual das

77. 4.7 Rotação plana do corpo rígido 67
armações seguintes descreve correcta-
mente o valor da tensãoT1, no o 1, ime-
diatamente após o o 2 ter sido cortado?
(Admita que a massa das roldanas e o
atrito nos seus eixos são desprezáveis, o
que faz com que a tensão no o 1 seja
aproximadamente igual nos cilindros do
lado esquerdo e do lado direito.)P
P
P
2
2
fio 1
fio 2
A.T1>P
B.T1=P
C.P=2<T1<P
D.T1=P=2
E. <T1<P=2
Problemas
1.
O martelo na gura apoia-se sobre um bloco de madeira de 40 mm de espessura,
para facilitar a extracção do prego. Sabendo que é necessária uma força de 200 N
(perpendicular ao martelo) para extrair o prego, calcule a força sobre o prego e a
reacção no ponto A. Admita que o peso do martelo pode ser desprezado e em A existe
suciente atrito para evitar que o martelo escorregue.200 N
200 mm
40 mm
40 mm
20°
A
2.
Uma esfera de 0.8 kg encontra-se inicialmente em repouso, pendurada por dois os.
O o da esquerda é cortado subitamente. Calcule a tensão no o do lado direito e a
aceleração escalar da esfera no instante em que o o acabou de ser cortado (admita
que a massa dos os é nula e tenha em conta que a velocidade inicial é nula, mas a sua
derivada não!).30° 30°
3.
Um motorista entra numa curva a 72 km/h, e trava, fazendo com que a velocidade

78. 68 Rotação e movimento curvilíneo
diminua a uma taxa constante de4:5 km=h cada segundo. Observando o desenho,
faça uma estimativa do raio de curvatura da curva no desenho e calcule o módulo da
aceleração vectorial do automóvel 4 segundos após ter iniciado a travagem.5 m
4.
Um automóvel com tracção frontal acelera uniformemente desde o repouso atingindo
uma velocidade de 100 km/h em 11 segundos. Se o peso do automóvel for 9750 N,
calcule as reacções normais e a força de atrito sobre cada pneu. ¿Qual será o valor
mínimo que deverá ter o coeciente de atrito estático entre os pneus e a estrada para
que automóvel possa atingir essa aceleração?G
80 cm160 cm
44 cm
5.
Para medir o coeciente de atrito estático entre um bloco e um disco, fez-se rodar o
disco com uma aceleração angulara=5 rad=s
2 constante. O disco parte do repouso
emt=0e no instantet=0:82 s o bloco começa a derrapar sobre o disco. Calcule o
coeciente de atrito estático.α
8 cm

79. 4.7 Rotação plana do corpo rígido 69
6.
Um piloto de corridas de aviões, com 54 kg, executa um loop vertical com 1200 m de
raio, de tal modo que a velocidade do avião decresce a uma taxa constante. Sabendo
que as forças exercidas sobre o piloto pela base do assento do avião nos pontos A e C
são 1680 N e 350 N, respectivamente, determine a força da base do assento sobre o
piloto quando o avião se encontra no ponto B.1200 m
A
B
C
7.
Uma esfera ligada a uma corda de comprimentolparte do repouso na posição A, como
mostra a gura. Quando a corda atingir a posição vertical, entrará em contacto com um
prego xo no ponto B, que faz com que a esfera descreva um círculo com raio menor
quel. Calcule o valor mínimo que poderá ter a distânciaapara que a trajectória da
esfera siga o círculo com centro em B (seanão for sucientemente grande, a corda
deixa de estar esticada quando a esfera sobe e a esfera não chega até a parte mais alta
do círculo).B
A
C
l
a

80. 70 Rotação e movimento curvilíneo
8.
Um tronco uniforme de 100 kg está pendurado por meio de dois cabos do mesmo
comprimento. O tronco larga-se a partir do repouso na posição representada na gura;
calcule a tensão e a aceleração angular dos cabos no preciso instante em que o tronco é
largado a partir do repouso.A
B C
100 kg
2 m
2 m 2 m
1 m
60° 60°
9.
Um armário de 45 kg, montado sobre rodas que o deixam andar livremente sobre o chão,
é acelerado por uma força externa de 310 N. (a) Calcule os valores máximo e mínimo
que pode ter a alturaypara o armário acelerar sem as rodas perderem o contacto com o
chão. (b) Calcule a aceleração do armário, quandoyestiver entre os valores mínimo e
máximo calculados na alínea anterior.68 cm
87 cm
310 N
G
y

81. 5 Sistemasdinâmicos
No estudo de um sistema dinâmico é importante determinar a existência de posições de
equilíbrio. Os acrobatas na fotograa encontram-se numa situação de equilíbrio estável: se
a bicicleta se inclinar lateralmente, o peso do acrobata pendurado por baixo faz com que o
sistema se incline no sentido oposto, regressando à posição de equilíbrio. Se o acrobata
na bicicleta não tivesse o segundo acrobata pendurado, a sua situação de equilíbrio seria
instável: se a bicicleta se inclinasse lateralmente, o peso dela e do homem faziam aumentar
ainda mais essa inclinação, afastando a bicicleta da posição de equilíbrio.

82. 72 Sistemas dinâmicos
As equações de movimento de um sistema mecânico são um exemplo de equações dife-
renciais. As equações diferenciais aparecem em muitos outros campos da Ciência e da
Engenharia; uma forma de estudar esse tipo de equações consiste em usar uma analogia
com os sistemas estudados na mecânica. Por exemplo, em muitos problemas em diversas
áreas encontram-se equações semelhantes às equações de um pêndulo ou de um bloco
ligado a uma mola elástica.
Neste capítulo vamos mostrar o método geral para estudar sistemas dinâmicos que tem
sido estendido a sistemas mais gerais. Para facilitar esse estudo, vamos usar o sistema
de álgebra computacionalMaxima. Antes de começar com este capítulo, recomenda-se
consultar a introdução o apêndice B, caso não esteja familiarizado com esse sistema.
5.1 Variáveis de estado e espaço de fase
Um sistema mecânico é caracterizado pelas forças que actuam sobre ele. Para estudar um
sistema determinado, admitiremos que as forças são bem conhecidas.
Uma vez estabelecidas as forças, o tipo de movimento que terá o sistema dependerá das
condições iniciais; isto é, se soubermos a posição e a velocidade de um corpo num instante,
poderemos prever qual será a posição e velocidade em qualquer instante posterior.
A posição,~r, e a velocidade,~v, de uma partícula são designadas devariáveis de estado.
Esses dois vectores terão um valor único em cada instantet. As três componentes da
posição, junto com as três componentes da velocidade constituem um espaço a seis
dimensões designado deespaço de fase.O
v
r
Figura 5.1:
O estado de uma partícula em qualquer instante é dado pelos vectores de
posição e velocidade.
Quando o movimento é em uma dimensão, é mais fácil visualizar o espaço de fase, por
ser um plano. Nesse caso, a posição da partícula pode ser indicada com uma coordenada
s. O espaço de fase é constituido porse o valor da velocidade,v. A gura
espaço de fase, com a posiçãosno eixo das abcissas e o valor da velocidadevno eixo das
ordenadas.
Em cada instante, o estado da partícula pode ser qualquer ponto do plano. Se num instante
inicial a partícula se encontra na posiçãos0, com velocidadev0, o estado nos instantes

83. 5.2 Campo de direcções 73(s0, v0)
v
s
Figura 5.2:Espaço de fase de uma partícula que se desloca em uma dimensão.
seguintes são os pontos de uma curva contínua a partir do ponto (s0,v0).
A evolução do sistema em função do tempo é dada por uma curva contínua no espaço de
fase; a curva não pode ter nenhuma descontinuidade porque a posição e a velocidade não
pode mudar repentinamente de um valor para outro diferente, sem passar por todos os
valores intermédios. Por cada ponto do espaço de fase passa uma únicacurva de evolução
do sistema (também designada por órbita do sistema).
5.2 Campo de direcções
Na gura, o ponto ( s,v) que representa o estado da partícula em cada instante, desloca-
se no sentido horizontal e no sentido vertical. O deslocamento horizontal por unidade de
tempo é dado pela derivadas(velocidade) e o deslocamento vertical por unidade de tempo
é dado pela derivada v(aceleração tangencial).
Assim, o estado da partícula desloca-se, no espaço de fase, com velocidade:
~u=v~es+at~ev (5.1)
esse vector designa-se develocidade de fase. Em cada ponto do espaço de fase, a
velocidade de fase é um vector tangente à trajectória que passa por esse ponto.
A gura
de fase. Esse tipo de desenho designa-se decampo de direcções. A gura mostra
também uma possível curva de evolução do sistema, no espaço de fase. O movimento
correspondente a essa curva é o seguinte: a partícula parte desde uma posição inicials0>0 ,
com velocidade de valor negativo e aceleração tangencial positiva, que implica diminuição
do valor absoluto da velocidade; quando passa pela origem a sua aceleração é nula, mas

84. 74 Sistemas dinâmicosv
s
Figura 5.3:
Velocidade de fase em vários pontos do espaço de fase e uma curva de
evolução do sistema.
continua a deslocar-se para valores negativos des, com velocidade de valor negativo
constante. A partícula para num pontos1<0 mas como a sua aceleração tangencial nesse
ponto é positiva, começa a andar novamente no sentido positivo des, regrassando à origem;
nalmente a partícula continua a afastar-se da origem com velocidade sempre a aumentar.
Na gura, observe que a velocidade de fase no semiplano superior aponta sempre
para a direita, porque nesse semiplano o valor da velocidade é sempre positivo, e no
semiplano inferior a velocidade de fase aponta sempre para a esquerda, porque nesse
semiplano o valor da velocidade é negativo. No eixo horizontal, a velocidade de fase é
sempre perpendicular ao eixo, porque a velocidade é nula. Assim, as curvas de evolução do
sistema deslocam-se para a direita no semiplano superior e para a esquerda no semiplano
inferior.
No Maxima, a funçãoplotdfpermite desenhar campos de direcções como o da gura.
O exemplo seguinte mostra como usar esse programa.
Exemplo 5.1
Uma partícula com massa de 0.5 kg desloca-se ao longo de um carril. A componente
tangencial da força éFt=s
3
+6s
2
3s10 , ondesé a posição ao longo do carril
(unidades SI). (a) Desenhe o campo de direcções para valores desno intervalo[4;8]
e valores devno intervalo[30;30] . (b) No instante inicial a partícula encontra-se na

85. 5.2 Campo de direcções 75
posiçãos=4, com velocidade igual a 3 m/s, no sentido em quesaumenta. Desenhe a
curva de evolução da partícula no espaço de fase.
Resolução
: (a) Começamos por denir a expressão da força no Maxima e a seguir
calculamos a aceleração tangencial em função des:
(%i1) F:-s^3 + 6*s^2 - 3*s - 10;
3 2
(%o1) - s + 6 s - 3 s - 10
(%i2) a: F/0.5;
3 2
(%o2) 2.0 (- s + 6 s - 3 s - 10)
As variáveis de estado sãosev, e as componentes da velocidade de fase sãovea(que já
está denida como função des). Os dois primeiros argumentos que deverão ser dados ao
programaplotdfsão uma lista com as componentes da velocidade de fase,[v, a],
e uma lista que indique as variáveis de estado,[s, v]. A seguir podemos dar alguns
argumentos opcionais, por exemplo, para delimitar o domínio de valores dese dev:
(%i3) plotdf([v, a], [s, v], [s, -4, 8], [v, -30, 30])$
(b) Para desenhar a curva de evolução a partir do estado inicials=4ev=3, usa-se a
opçãotrajectory_at:
(%i4) plotdf([v,a],[s,v],[s,-4,8],[v,-30,30],[trajectory_at,4,3])$-2 0 2 4 6 8
-30
-20
-10
0
10
20
30
v
s
Figura 5.4:Campo de direcções do exemplo
A gura
não foram desenhados com o valor real do seu comprimento para evitar que se cruzem.
Foram desenhados com módulos ajustados para car com tamanho ligeiramente menor
que a distância entre os pontos da quadrícula em que são desenhados os vectores.

86. 76 Sistemas dinâmicos
A curva de evolução da partícula a partir des=4mostra que a partícula avança na direcção
positiva des, até parar (v=0) em aproximadamentes=5:8 ; a seguir a partícula regressa
para o pontos=4, com velocidadev=3 , continua a deslocar-se no sentido negativo
até parar aproximadamente ems=3:8 ; nalmente, regressa ao ponto inicials=4com a
mesma velocidade inicialv=3. Nesse instante o ciclo repete-se.
A partir do campo de direcções pode obter-se muita informação importante sobre o
sistema. No exemplo apresentado na gura, as condições iniciais dadas conduzem
a um movimento oscilatório à volta de um ponto perto des=5. Podemos ver que se a
velocidade inicial fosse mais elevada ou se a partícula parti-se de uma posição inicial com
s>6, a oscilação seria até valores desmenores que1:5. Perto des=1:5 também
pode existir movimento oscilatório à volta desse ponto.
5.2.1 Opções do programa plotdf
Como já foi referido, o primeiro argumento que deve ser dado ao programa plotdf é uma
lista com as duas componentes da velocidade de fase. Cada componente deverá ser uma
expressão que só pode depender de duas variáveis, variáveis essas que denem o estado do
sistema.
Se as variáveis de estado fossemxey, não seria preciso dar nenhum outro argumento ao
programa. Se as variáveis são outras diferentes, a seguir deverá ser escrita uma lista com
os nomes dessas duas variáveis. Como regra geral pode ser escrito sempre o nome das
duas variáveis de estado.
A seguir ao nome das variáveis de estado há várias opções adicionais que podem ser usadas.
A lista completa de opções do programa pode ser consultada no manual do Maxima.
Quando se executa o programa plotdf, é criada uma nova janela com o campo de direcções
(gura).
Deslocando o rato sobre o espaço de fase, aparecem no canto inferior direito as coordenadas
do ponto onde estiver o rato. Clicando com o primeiro botão do rato sobre algum ponto no
gráco, será desenhada a curva de evolução do sistema que passa por esse ponto, com uma
seta que indica o sentido da evolução.
A barra de menu da janela gráca inclui vários botões.Zoom, permite mudar o comporta-
mento do rato: cada vez que se clicar no gráco, a escala do gráco aumentará; mantendo
carregada a teclaShifte clicando em simultâneo, faz diminuir a escala. Para voltar a
obter uma trajectória cada vez que se clica num ponto, carrega-se no botãoIntegrate.
O botãoSavepermite gravar uma cópia do gráco num cheiro, em formato Postscript.
O botãoPlot Versus tabre uma nova janela onde serão representados os grácos da
posição e da velocidade em função do tempo, correspondentes à última curva de evolução
que tenha sido desenhada.
O botãoConfigabre o menu “Plot SetUp” (gura) que mostra vários parâmetros que

87. 5.3 Pontos de equilíbrio 77
Figura 5.5:Menu Cong do programa plotdf.
podem ser alterados: as equações que denem as componentes da velocidade de fase, as
cores usadas para desenhar as velocidades de fase (vectors) e as curvas de evolução
(fieldlines), o domínio, etc. Se o campovectorsfor deixado em branco, não
serão desenhados os vectores e se o campofieldlinesestiver em branco, não serão
desenhadas curvas de evolução. Quando se altera um parâmetro, deverá carregar-se em
“ok” e a seguir no botão “Replot”.
O campodirectionterá, por omissão, o valorboth, que implica que quando se clicar
num ponto no espaço de fase, será desenhada a curva de evolução que passa por esse
ponto, para instantes anteriores e posteriores. Mudando essa variável paraforwardou
backward, consegue-se que a curva seja desenhada unicamente para instantes posteriores
ou anteriores. Introduzindo duas coordenadas no campoTrajectory at, separadas
por espaço, e carregando na teclaEnter, é acrescentada mais uma curva que passa pelo
ponto com essas coordenadas. Cada vez que clicar no botãoReplotserá apresentada
unicamente a última curva que foi traçada.
5.3 Pontos de equilíbrio
Em cada ponto do espaço de fase, a velocidade de fase indica a direcção e sentido que
seguirá a curva de evolução que passa por esse ponto. Nos pontos onde a velocidade de
fase for nula, não existirá nenhuma curva que passe por esse ponto. Nesse caso o estado da

88. 78 Sistemas dinâmicos
Figura 5.6:Menu Save do programa plotdf.
partícula permanece constante.
Do ponto de vista físico, para que as duas componentes da velocidade de fase sejam nulas,
será preciso que tanto a velocidade como a aceleração sejam nulas. Isso implica que o
sistema estará num estado de equilíbrio estático, em que a força resultante e a velocidade
são nulas e o estado permanece em repouso. Assim, ospontos de equilíbriode um
sistema, serão os pontos do espaço de fase em que a velocidade de fase é nula.
É de salientar que todos os pontos no eixo das abcissas no espaço de fase correspondem
a estados derepouso(velocidade nula). Alguns desses estados também serão estados de
equilíbrio estático, se a força nesses pontos for nula; esses são os pontos denidos como
pontos de equilíbrio do sistema dinâmico.
Os pontos de equilíbrio do sistema dinâmico estarão todos localizados no eixo das abcissas.
Nos pontos do eixo das abcissas onde a velocidade de fase não for nula, o sistema perma-
nece em repouso apenas durante um instante, retomando imediatamente o seu movimento.
Um estado deequilíbrio dinâmicoé um estado em que a força resultante é nula mas o
sistema continua com movimento uniforme. No espaço de fase esse estado corresponderia
a uma evolução em linha recta paralela ao eixo da posição (velocidade de fase na direcção
desse eixo).
Exemplo 5.2
Uma partícula com massa de 0.3 kg desloca-se ao longo do eixo dosx, sob a acção de uma

89. 5.3 Pontos de equilíbrio 79
força:
~F= (
x
4
2
+4x
3

3
2
x
2
32x+25)~ex
(unidades SI). (a) Encontre os pontos de equilíbrio do sistema. (b) Desenhe o campo de
direcções, mostrando as curvas de evolução perto desses pontos.
Resolução
: (a) Podemos começar por armazenar a expressão da força em função da
posição:
(%i5) F: -x^4/2 + 4*x^3 - 3*x^2/2 - 32*x + 25$
Para encontrar os pontos de equilíbrio, onde a foça é nula, podemos usar a função
realrootsdo Maxima:
(%i6) realroots(F), numer;
(%o6) [x = - 2.651742964982986, x = .8102310001850128,
x = 3.950161665678024, x = 5.891350239515305]
o modicadornumerfoi usado para obter o resultado em forma numérica aproximada, e
não como números racionais.
Existem assim 4 pontos de equilíbrio, todos comv=0e com os valores dexque aparecem
na alínea(%o6)acima. (b) Para desenhar o campo de direcções escolheremos um domínio
que mostre bem os quatro pontos de equilíbrio.
(%i7) plotdf([v,F/0.3], [x,v], [x,-5,8], [v,-50,50])$
O resultado é apresentado na gura. As curvas de evolução perto dos pontos de
equilíbrio emx=0:81 ex=5:89 são fechadas, com o ponto de equilíbrio no seu interior.
Nos outros dois pontos de equilíbrio,x=2:65 ex=3:95 , há curvas de evolução que
entram e saem do ponto. Nas secções seguintes analisaremos com mais pormenor essas
curvas.
5.3.1 Ciclos e órbitas homoclínicas
No exemplo x=0:81 e
x=5:89 são curvas fechadas à volta do ponto de equilíbrio (gura). Cada uma dessas
curvas fechadas, designadas deciclos, corresponde a um movimento oscilatório à volta do
ponto de equilíbrio.
Uma curva fechada no espaço de fase representa um ciclo.
No ponto de equilíbrio emx=3:95 há duas curvas, uma do lado esquerdo e outra do lado
direito, que começam e terminam neese ponto de equilíbrio. Nenhuma dessas duas curvas
é realmente curva fechada, porque o próprio ponto de equilíbrio está excluído da curva.
Cada uma dessas duas curvas designa-se deórbita homoclínica:

90. 80 Sistemas dinâmicos-4 -2 0 2 4 6 8
-50
-25
0
25
50
v
x
Figura 5.7:
Campo de direcções do exemplo
de equilíbrio.
Uma órbita homoclínica é uma curva no espaço de fase que começa num
ponto de equilíbrio e termina no mesmo ponto.
No retrato de fase
de equilíbriox=2:65 para cima e para a direita, e regressa ao mesmo ponto por baixo e
para a esquerda.
A diferença entre as órbitas homoclínicas e os ciclos é que, nos ciclos o sistema está sempre
em movimento e o movimento repete-se indenidamente: o sistema passa repetidamente
pelos mesmos pontos no espaço de fase. No entanto, nas órbitas homoclínicas o sistema
aproxima-se assimptóticamente dum estado de equilíbrio, mas nunca chega a passar duas
vezes por um mesmo ponto do espaço de fase; nomeadamente, o sistema oscila uma única
vez e após essa única oscilação vai travando gradualmente, aproximando-se do estado de
equilíbrio.
Os grácos da posiçãoxe velocidadevem função do tempo podem ser desenhados usando
a opçãoversus_tdo programaplotdf. Os grácos na gura
os comandos seguintes:
(%i8) plotdf([v,F/0.3],[x,v],[x,-5,8],[v,-50,50],[versus_t,1],
[trajectory_at,0.5,0],[direction,forward],[nsteps,425])$
(%i9) plotdf([v, F/0.3], [x,v],[x,-5,8],[v,-50,50],[versus_t,1],
[trajectory_at,-2.61,0.5],[direction,forward],[nsteps,425])$
O gráco obtido com o comando(%i8), apresentado no lado esquerdo da gura,
mostra a evolução, em função do tempo, do ciclo que aparece no retrato de fase

91. 5.3 Pontos de equilíbrio 810 2.5 5 7.5
-5
-2.5
0
2.5
5
x
v
t x
v
0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2
-50
-25
0
25
50
t
Figura 5.8:
Posição e velocidade em função do tempo no caso de um ciclo (esquerda) e
de uma órbita homoclínica.
uma elipse à volta do ponto de equilíbrio emx=0:81. O movimento é periódico.
O gráco obtido em(%i9)aparece no lado direito da gura
homoclínica que parte desde o ponto de equilíbrio emx=2:65 na gura
no mesmo ponto. Nesse ponto existe unicamente uma órbita homoclínica; as outras duas
curvas, uma que chega ao ponto desde cima e da esquerda, e a outra que sai do ponto para
a esquerda e para baixo, são curvas abertas que se estendem até o innito; não fazem parte
de nenhuma órbita homoclínica.
5.3.2 Equilíbrio estável e instável
Os pontos de equilíbrio emx=0:81 ex=5:89 no exemplo são pontos deequilíbrio
estável
, porque se o estado inicial do sistema estiver próximo desse ponto, o sistema tem
uma tendência a regressar ao estado inicial.
Os outros dois pontos de equilíbrio, emx=2:65 ex=3:95 , são pontos deequilíbrio
instável
, porque se o estado inicial do sistema estiver próximo desses pontos, o sistema
terá uma tendência a afastar-se desse estado inicial.
Observe que os ciclos aparecem à volta dos pontos de equilíbrio estável e as órbitas
homoclínicas começam e terminam em pontos de equilíbrio instável. Um ponto de
equilíbrio onde exista uma órbita homoclínica é, necessariamente, ponto de equilíbrio
instável, porque em algumas direcções o estado do sistema afasta-se desse ponto.
A expressão da força em função da posição permite identicar facilmente os pontos de
equilíbrio estável e instável. A gura. Os

92. 82 Sistemas dinâmicos
pontos de equilíbrio instável são os pontos onde a força passa de baixo do eixo dosxpara
cima e os pontos de equilíbrio estável encontram-se onde a força passa de cima do eixo
para baixo.-50
-40
-30
-20
-10
0
10
20
30
40
50
60
-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6
F(x)
x
Figura 5.9:Gráco da força do exemplo.
Nas regiões onde o valor da força é negativo, a força aponta no sentido negativo do
eixo dosxe onde o valor da força é positivo, a força aponta no sentido positivo dex.
Consequentemente, perto dos pontos de equilíbrio instável a força aponto no sentido
oposto a esse ponto, e perto dos pontos de equilíbrio estável a força aponta no sentido do
ponto.
A gura
mais escuras, o sistema oscila à volta de algum dos pontos de equilíbrio estável e na zona
mais clara oscila à volta desses dois pontos. As órbitas monoclínicas demarcam a fronteira
das zonas de estabilidade.
5.4 Sistemas autónomos
Quando a força resultante que actua sobre a partícula não depender do tempo, diz-se que o
sistema é umsistema autónomo. Do ponto de vista físico, um sistema será autónomo se,
sempre que for colocado no mesmo estado inicial, a sua evolução for a mesma.
Os sistemas que observamos na natureza costumam ter essa propriedade. As leis físicas
são as mesmas em qualquer instante; se repetirmos uma experiência física uns dias mais
tarde, o resultado deverá ser o mesmo. Quando isso não acontecer, será um sinal de que
falta alguma informação adicional sobre outros factores físicos externos.
Assim, num sistema autónomo a força resultante dependerá unicamente do estado do

93. 5.5 Sistemas conservativos 83
Figura 5.10:As regiões coloridas representam a zona em que o sistema é estável.
sistema: posição e velocidade. Claro está que a posição e a velocidade podem ser escritas
em função do tempo e, consequentemente a força depende implicitamente do tempo, mas
não existe nenhuma dependência explicíta no tempo. As causas que dão origem à força
são independentes do tempo.
Num sistema que não seja autónomo, para poder denir a velocidade de fase, num ponto
do espaço de fase, é preciso saber a posição, a velocidade e a posição. Portanto, o estado
completo de um sistema autónomo inclui também o tempo; o espaço de fase é formado
pela posição, a velocidade e o tempo. O tempo passa a ser mais uma variável de estado.
5.5 Sistemas conservativos
Se a força resultante sobre a partícula for conservativa, será possível denir uma função de
energia potencial. No capítulo 3 vimos que se a componente tangencial da força depende
unicamente da posiçãosna trajectória, o sistema é conservativo. A energia potencialU
calcula-se a partir da primitiva da força (equação):
U=
sZ
sref
Ftds (5.2)
Os dois sistemas considerados nos exemplos
do exemplo, a expressão da força foi armazenada na variávelFdo Maxima; assim,
para obtermos a energia potencial calculamos a primitiva da expressãoF:
(%i10) U: -integrate( F, x);

94. 84 Sistemas dinâmicos
5 3
x 4 x 2
(%o10) -- - x + -- + 16 x - 25 x
10 2
A energia mecânica obtém-se somando a energia cinética:
(%i11) E: U + 0.3*v^2/2;
5 3
x 4 x 2 2
(%o11) -- - x + -- + 16 x - 25 x + 0.15 v
10 2
Essa energia mecânica depende do estado inicial do sistema e permanece constante. Assim,
as curvas de evolução do sistema serão todas as curvas do plano de fase obtidas com
diferentes valores numéricos paraE.
No Maxima, o pacoteplotdfinclui outra funçãoploteqque permite calcular as curvas
obtidas dando diferentes valores a uma função de duas variáveis. Para obter as curvas com
valores constantes deE, usamos o seguinte comando:
(%i12) ploteq( E, [x,v], [x,-5,8], [v,-50,50])$
Clicando em alguns pontos do espaço de fase, conseguimos obter o gráco na gura,
que reproduz o mesmo gráco que já obtivemos complotdfna gura. A única
diferença é que agora não temos setas que indiquem o sentido da evolução do sistema.-4 -2 0 2 4 6 8
-50
-25
0
25
50
v
x
Figura 5.11:
Curvas de evolução do exemplo, obtidas a partir das curvas com energia
constante.

95. 5.5 Sistemas conservativos 85
Podemos calcular a energia mecânica nos pontos que foram usados no gráco:
(%i13) E, x=-2.65, v=0;
(%o13) 106.92107209375
(%i14) E, x=3.95, v=0;
(%o14) 34.42494371875003
(%i15) E, x=0.5, v=0;
(%o15) - 8.496875
(%i16) E, x=5.5, v=0;
(%o16) 17.90937500000001
E também podemos representar esses níveis de energia mecânica constante junto com o
gráco da energia potencial:
(%i17) plot2d( [U, -8.50, 17.91, 34.42, 106.92], [x,-4,7.5],
[ylabel,"U(x)"])$
O resultado aparece na gura. Para cada valor de energia, o sistema só pode estar nas
regiões onde a energia potencial seja menor ou igual à energia mecânica.-40
-20
0
20
40
60
80
100
120
140
-4 -2 0 2 4 6
U(x)
x
Figura 5.12:
Gráco da energia potencial no exemplo, mostrando alguns níveis de
energia mecânica.
Os dois valores mais elevados da energia representados no gráco, E=34:42 e
E=106:92, são os valores da energia nos dois pontos de equilíbrio instável:E=106:92
no ponto de equilíbriox=2:65 eE=34:42 no ponto de equilíbriox=3:95.
Observe também que em todos os pontos da órbita homoclínica que passa pelo ponto
instávelx=2:65 , a energia é igual a 106.92. De facto, a condiçãoE=106:92 dene
essa órbita. As duas órbitas homoclínicas que passam pelo ponto instávelx=3:95 estão
denidas pela condiçãoE=34:42.

96. 86 Sistemas dinâmicos
Se a energia for menor queE=34:42 , a curva de evolução será um ciclo em torno de
algum dos dois pontos de equilíbrio estável. Se a energia estiver comprendida entre 34.42
e 106.92, a curva de evolução será um ciclo (oscilação) em torno dos dois pontos de
equilíbrio estável.
É de salientar que num gráco da energia potencial, como o que aparece na gura, os
pontos de equilíbrio estável são sempre pontos mínimos locais e os pontos de equilíbrio
instável são máximos locais.
Perguntas
1.
A força resultante sobre uma partícula
que se desloca sobre o eixo dosyé
~F= (2y)(3y)~ey . Emt=0 a par-
tícula encontra-se em repouso no ponto
y=2:5 . Em que ponto se encontrará a
partícula após um tempo muito elevado?
A. y!¥
B. y=2
C. y=2
D. y=3
E. y=3
2.Um sistema é autónomo se:
A.
Não apresenta pontos singulares onde
a derivada não pode ser calculada.
B.
C.
Evolui em forma espontânea, sem
precisar de agentes externos.
D.
E.
A evolução do sistema a partir de um
estado inicial é igual em diferentes
instantes.
3.
A gura mostra o gráco do valor da
força resultanteF(x), que actua sobre
uma partícula que se desloca ao longo
do eixo dosx. Qual das seguintes arma-
ções é verdadeira, em relação aos pontos
de equilíbrio da partícula?x
F(x)
−1 1 3
A.x=1 é estável ex=1 é instável.
B.x=1 é estável ex=3 é instável.
C.x=1 é estável ex=3 é instável.
D.x=1 ex=3 são estáveis.
E.x=1 ex=1 são instáveis.
4.
A gura mostra o gráco da energia po-
tencialU(x), de uma partícula que se des-
loca ao longo do eixo dosx. No instante
inicial a partícula tem energia mecânica
de 5 J e encontra-se emx=1m, com ve-
locidade no sentido positivo dex. Como
será o movimento da partícula?x (m)
U (J)
−2 2−1 1
−3
3

97. 5.5 Sistemas conservativos 87
A. x=1
B. x=2
C.
Desloca-se até um ponto maior que
x=2e depois regressa e ca em re-
pouso emx=1
D.
Permanece em repouso no pontox=
1
E.
Desloca-se até um ponto maior que
x=2 e depois afasta-se em sentido
negativo até¥.
5.
Quais são as componentes da velocidade
de fase associada ao potencialU(x) =
3 e
x
para uma partícula com massam=
3?
A.v~exe
x
~ey
B.v~exe
x
~ey
C.v~exx~ey
D.v~ex+e
x
~ey
E.v~ex+e
x
~ey
Problemas
1.
Uma bola com 0.150 kg é lançada verticalmente para cima, desdey=0(o eixo dos
yaponta para cima, na vertical). Desprezando o atrito com o ar, a energia permanece
constante. (a) Desenhe o campo de direcções, paray>0, mostrando 4 curvas de
evolução diferentes (use o valor9:8m/s
2
parag). Para cada curva, explique o signicado
dos pontos em que a curva intersecta os eixos. (b) No programa no m do capítulo
1 (página) a bola era largada em queda livre, e cada vez que batia no chão era
projectada novamente para cima; explique como seria a curva de evolução dessa bola
no espaço de fase que desenhou na alínea anterior.
2.
Para cada um dos 3 valores dekno problema
de equilíbrio, diga que tipo de ponto de equilíbrio é cada um e desenhe o campo de
direcções mostrando as curvas de evolução perto dos pontos de equilíbrio.
3.
Uma partícula com massa igual a 1 kg desloca-se ao longo do eixo dosy. No sistema
SI, a força tangencial sobre a partícula em cada ponto é dada pela expressãoF=y+y
2 .
(a) Encontre os pontos de equilíbrio e diga se são estáveis ou instáveis. (b) Calcule
a energia potencial, em função dey, admitindoU=0 na origem, e calcule a energia
potencial em cada ponto de equilíbrio. (c) Desenhe o campo de direcções do sistema,
mostrando as 4 curvas de evolução correspondentes à energias seguintes: 0, uma energia
menor que as energias nos pontos de equilíbrio, uma energia compreendida entre as
energias nos dois pontos de equilíbrio, e energia maior que a energia nos pontos de
equilíbrio. (d) Calcule a posiçãoyonde a partícula pode estar em repouso, sem estar
em equilíbrio, com energia total igual a zero; explique como seria o movimento da
partícula nesse caso.
4.Uma partícula com massamdesloca-se no eixo dosxsob a acção da força tangencial:
F=kx+
a
x
3
ondekeasão duas constantes positivas. (a) Encontre os pontos de equilíbrio e mostre
que todos são pontos de equilíbrio estável. (b) Explique como será o movimento da

98. 88 Sistemas dinâmicos
partícula. (c) Desenhe o campo de direcções e algumas curvas de evolução no caso em
quem,keasão iguais a 1.
5.
Uma partícula com massamdesloca-se no eixo dosxsob a acção da energia potencial:
U(x) =U0x
2
e
ax
2
ondeU0easão duas constantes positivas. (a) Calcule a força que actua na partícula.
(b) Encontre os pontos de equilíbrio e diga se são estáveis ou instáveis. (c) Desenhe o
gráco da energia potencial paraU0=1 ea=1. (d) Desenhe o campo de direcções,
mostrando as curvas de evolução que passam pelos pontos de equilíbrio instável, no
casom=1.

99. 6 Sistemaslineares
O metrônomo produz pulsos de duração regular que podem ser ajustados deslocando
um peso na haste que oscila. Os osciladores têm tido um papel muito importante no
desenvolvimento da teoria dos sistemas dinâmicos.

100. 90 Sistemas lineares
6.1 Equações de evolução
A velocidade de fase de uma partícula que se desloca em uma dimensão tem duas compo-
nentes que são as derivada da posição e da velocidade, em função do tempo:
ds
dt
=v
dv
dt
=f(s;v;t) (6.1)
em quef(s;v;t) é uma função conhecida, que determina a aceleração para quaisquer
valores da posição, velocidade e tempo. Estas duas equações são asequações de evolução,
que permitem calcular o estado da partícula, (s,v), a partir de um estado inicial. No caso
de um sistema autónomo, a funçãofnão depende det.
As duas equações
dene a posição em função do tempo:
d
2
s
dt
2
=f(s;v;t) (6.2)
Em forma inversa, qualquer equação diferencial de segunda ordem pode ser interpretada
como duas equações de evolução de um sistema dinâmico em duas dimensões, como
veremos no exemplo a seguir.
Exemplo 6.1
A equação diferencial:
x
2
y
00
+xy
0
+

x
2

1
9

y=0
é uma equação de Bessel. Escreva a equação na forma de um sistema dinâmico autónomo
num espaço de fase.
Resolução
: A variável independente neste caso éx, em vez do tempotey
0representa a
derivada deyem função ax. Deniremos uma variável adicionalvigual ay
0
:
dy
dx
=v (6.3)
assim, a segunda derivaday
00
é igual à primeira derivada deve a equação de Bessel é:
x
2
dv
dx
+xv+

x
2

1
9

y=0
resolvendo para a derivada dev, obtemos:
dv
dx
=
v
x


1
1
9x
2

y (6.4)

101. 6.2 Sistemas autónomos gerais 91
esta equação, junto com a equação, são as equações de evolução para as variáveis de
estadoyev. Para tornar o sistema autónomo, é preciso considerar a variável independente
xcomo mais uma variável de estado, com a equação de evolução trivial:
dx
dx
=1 (6.5)
Assim, o espaço de fase é o espaço a três dimensões das variáveis (x,y,v) e as 3
componentes das velocidades de fase nesse espaço são os lados direitos das equações,
6.3.
6.2 Sistemas autónomos gerais
Nos sistemas dinâmicos mais gerais, as equações de evolução podem ser mais complicadas
que as equações. Num sistema dinâmico autónomo, com duas variáveis dinâmicas x1e
x2, as equações de evolução têm a forma geral:
dx1
dt
=f1(x1;x2)
dx2
dt
=f2(x1;x2) (6.6)
as duas funçõesf1ef2denem as componentes da velocidade de fase:
~u=f1~e1+f2~e2 (6.7)
Exemplo 6.2
As temperaturasT1eT2em duas divisões de uma casa vericam as seguintes equações:
dT1
dt
=20:2(T18)0:5(T1T2) (6.8)
dT2
dt
=0:1(T28)0:5(T2T1) (6.9)
em que as temperaturas são medidas em graus centígrados e o tempo em horas. A
temperatura exterior é 8

C. Os termos0:2(T18) e0:1(T28) representam o calor
que sai de cada divisão para o exterior, por unidade de tempo, divididos pelas capacidades
calorícas de cada divisão. O termo0:5(T1T2) tem a ver com o calor que passa de
uma divisão para a outra e o termo constante 2 é devido a que na primeira divisão há
um aquecedor ligado que fornece uma quantidade constante de calor durante cada hora.
Determine as temperaturas das duas divisões no estado de equilíbrio.

102. 92 Sistemas linearesT1 T2
0.2 0.1
0.5
2
Resolução
: Os lados direitos das duas equações diferenciais denem as componentes da
velocidade de fase, no espaço de fase (T1,T2). Os pontos de equilíbrio, onde o estado do
sistema permanece constante, são os pontos onde as duas componentes da velocidade de
fase são nulas. Usando a funçãosolvedo Maxima temos:
(%i1) eq1: 2 - 0.2*(T1 - 8) - 0.5*(T1 - T2)$
(%i2) eq2: - 0.1*(T2 - 8) - 0.5*(T2 - T1)$
(%i3) solve([eq1, eq2]);
236 256
(%o3) [[T2 = ---, T1 = ---]]
17 17
(%i4) %, numer;
(%o4) [[T2 = 13.88235294117647, T1 = 15.05882352941176]]
assim, no estado de equilíbrio as temperaturas das duas divisões serão 15.1

C e 13.9

C.
A gura
velocidade de fase do exemplo
da velocidade de fase é nula forma uma curva designadanulclina.0
T1
T2
15.1
13.9
T1 constante
T2 constante
Figura 6.1:Nulclinas e temperaturas de equilíbrio no exemplo.

103. 6.3 Estabilidade dos sistemas lineares 93
Na gura, nos pontos da recta com menor declive, a derivada da temperaturaT2é nula
e, portanto se o estado inicial for um ponto sobre essa recta, a temperaturaT2permanecerá
constante: a evolução do estado será na direcção paralela ao eixoT1. Nos pontos na outra
recta a derivada deT1é nula; assim, se o estado inicial for um ponto sobre essa recta, a
temperaturaT1permanecerá constante e a evolução do estado será na direcção paralela ao
eixo deT2. O ponto de equilíbrio encontra-se na intersecção das duas nulclinas. Na região
entre as duas nulclinas, a velocidade de fase aponta no sentido desse ponto de equilíbrio
estável.
6.3 Estabilidade dos sistemas lineares
No exemplo, se as temperaturas de cada divisão atingirem os valores de equilíbrio,
permanecerão constantes. Mas será que as temperaturas chegam a atingir esses valores?
Ou será que enquanto a temperatura de uma das divisões se aproxima do seu valor de
equilíbrio enquanto a outra temperatura se afasta do seu valor de equilíbrio?
Na linguagem usada no capítulo anterior, será que o ponto de equilíbrio é estável ou
instável? Nos sistemas analisados no capítulo anterior, vimos que quando o estado inicial
do sistema estava perto de um ponto de equilíbrio instável, o sistema podia terminar
afastando-se até o innito. E perto dos pontos de equilíbrio estável as órbitas do sistema
eram ciclos, que correspondem a movimento oscilatório; neste exemplo, um ciclo no espaço
de fase corresponderia a uma situação em que as duas temperaturas utuam: enquanto
uma aumenta, a outra diminui e vice-versa.
Vamos estudar um método geral para analisar a estabilidade de um sistema (comportamento
perto dos pontos de equilíbrio) aplicando esse método ao caso concreto do exemplo.
As equações de evolução nesse exemplo são equações lineares. Nomeadamente, essas
equações podem ser escritas em forma matricial assim:
"
T1
T2
#
=
"
0:7 0:5
0:50:6
#"
T1
T2
#
+
"
3:6
0:8
#
(6.10)
O último termo pode ser eliminado por meio de uma mudança de coordenadas:x1=
T115:1
,x2=T213:9 . Essa mudança de coordenadas corresponde a deslocar a origem
para o ponto de equilíbrio (gura. Em função dessas coordenadas, o ponto de equilíbrio
encontra-se na origem (x1=x2=0) e as equações de evolução são:
"
x1
x2
#
=
"
0:7 0:5
0:50:6
#"
x1
x2
#
(6.11)
Essa equação pode ser interpretada como a representação matricial da expressão que dene
a velocidade de fase,~u, igual ao vector obtido aplicando um operador linearˆAno vector~r
da posição do estado no espaço de fase:
~u=ˆA~r (6.12)

104. 94 Sistemas lineares
Se o vector~ré representado por uma matriz com uma coluna, o operadorˆAé representado
pela matriz na equação.0
x1
x2
0
x1
x2
r
u
r
u
Figura 6.2:
Quando a velocidade de fase é paralela ao vector de estado, o sistema
aproxima-se ou afasta-se do ponto de equilíbrio na origem.
Para que o estado evolua para o estado de equilíbrio (na origem) é preciso que a velocidade
de fase~useja oposta ao vector de estado~r, como se mostra no lado esquerdo da gura.
Se~ufor na mesma direcção e sentido de~r, o sistema afastar-se-á do ponto de equilíbrio,
como se mostra no lado direito da gura. Nos dois casos, os vectores ~ue~restão na
mesma direcção, nomeadamente:
~u=l~r (6.13)
ondelé um número real; selfor positivo, o sistema afastar-se-á do ponto de equilíbrio
(equilíbrio instável) e selfor negativo, o sistema evoluirá até o ponto de equilíbrio
(equilíbrio estável). Usando a expressão
ˆA~r=l~r (6.14)
Os vectores~rque veriquem a condição vectores própriosdo operador
ˆAe os respectivos valoreslsão osvalores própriosdo operador.
Os vectores e valores próprios de uma matriz podem ser calculados no Maxima. No
caso do exemplo, como as equações de evolução já foram armazenadas nas variáveis
eq1eeq2, podemos usar o comandocoefmatrixpara obter a matriz do sistema
(equação):
(%i5) A: coefmatrix([eq1,eq2],[T1,T2]);
[ 7 1 ]
[ - -- - ]
[ 10 2 ]
(%o5) [ ]
[ 1 3 ]
[ - - - ]
[ 2 5 ]

105. 6.3 Estabilidade dos sistemas lineares 95
a seguir, usamos o comandoeigenvectorspara obter os valores e vectores próprios:
(%i6) eigenvectors(A)$
(%i7) %, numer;
(%o7) [[[- 1.152493781056044, - .1475062189439555],
[1, 1]], [1, - .9049875621120891], [1, 1.104987562112089]]
A primeira lista mostra os valores próprios,l1=1:15 el2=0:148 ; a segunda lista
são as “multiplicidades” de cada valor próprio, que neste caso é 1. As últimas duas listas
denem as direcções dos vectores próprios correspondentes aos dois valores próprios;
quaisquer vectores na mesma direcção de um desses dois vectores, também será vector
próprio.
Como existem dois valores próprios negativos, existem assim duas direcções no plano de
fase em que o estado do sistema aproxima-se do estado de equilíbrio na origem. Podemos
desenhar oretrato de fasedo sistema, usando o comandoplotdf:
(%i8) vars: [x1, x2]$
(%i9) plotdf([A[1].vars, A[2].vars], vars)$
A notaçãoA[1]usa-se para obter a primeira linha da matriz e o ponto indica multiplicação
entre matrizes.-10 -5 0 5 10
-10
-5
0
5
10
x2
x1
Figura 6.3:
Retrato de fase do exemplo. As duas rectas, estão nas direcções dos dois
vectores próprios.
A gura
rectas) foram desenhadas escrevendo no campo “trajectory_at” as coordenadas dos vectores
obtidos na alínea%o7e as mesmas coordenadas com sinais opostos. Se o estado inicial não
estiver sobre uma das direcções dos vectores próprios, a curva de evolução aproxima-se
rapidamente do vector correspondente ao valor próprio com menor valor absoluto.

106. 96 Sistemas lineares
Observe que as duas rectas nulclinas que foram desenhadas na gura
aos dois lados da recta com declive positivo, no retrato de fase, e cruzam-se na origem,
onde foi deslocado o ponto de equilíbrio.
Se inicialmente a temperatura em toda a casa for igual à temperatura exterior,T1=T2=8 ,
então os valores iniciais das variáveisx1ex2são815:1 e813:9 ; a curva de evolução
no espaço de fase e a evolução das temperaturas em função do tempo podem ser desenhadas
com o comando seguinte:
(%i10) plotdf([A[1].vars, A[2].vars], vars,
[trajectory_at,8-15.1,8-13.9],[versus_t,1],[direction,forward])$
O resultado mostra-se na gura. Os grácos em função do tempo mostram que após 30
horas, as duas temperaturas já atingiram praticamente os seus valores de equilíbrio.-10 -5 0 5 10
-10
-5
0
5
10
x2
x1 x1
x2
10 20 30 40 50
-10
-5
0
5
10
t
Figura 6.4:
Curva de evolução e temperaturas em função do tempo, quando as duas
temperaturas iniciais são de 8

C.
6.4 Classicação dos pontos de equilíbrio
A forma geral de um sistema dinâmico linear é:
d~r
dt
=ˆA~r (6.15)
em que~ré aposição do estado no espaço de fase eˆAé um operador linear.
Num espaço de fase com duas variáveis de estadox1ex2, a representação matricial da
equação
"
x1
x2
#
=
"
A11A12
A21A22
#"
x1
x2
#
(6.16)

107. 6.4 Classicação dos pontos de equilíbrio 97
Se o determinante da matrizdet(ˆA) =jAi jj for diferente de zero, existirá um único ponto
de equilíbrio, na origem:x1=x2=0.
A existência de valores próprios da matriz[Ai j]implica existência de direcções em que o
estado aproxima-se ou afasta-se em linha recta do ponto de equilíbrio. Os valores próprios
da matriz[Ai j]são os valoreslque vericam a equação. No espaço de fase com duas
variáveis, essa equação conduz a:





A11lA12
A21A22l





=0 (6.17)
Calculando o determinante, obtêm-se a seguinte equação quadrática, designada deequação
característica:
l
2
tr(ˆA)l+det(ˆA) =0 (6.18)
ondetr(ˆA) =A11+A22 é otraçoda matriz edet(ˆA) =A11A22A12A21 é o determinante.
As duas raízes da equação característica são:
l=
tr(ˆA)
2

s

tr(ˆA)
2
2
det(ˆA) (6.19)
Se as raízes forem números complexos, signicará que não existem vectores próprios
no espaço de fase (x1,x2). Se existir uma única raiz real, existirá pelo menos um vector
próprio no espaço de fase e se existirem duas raízes reais diferentes, existirão dois vectores
próprios linearmente independentes no espaço de fase.
6.4.1 Pontos de sela
Quando o determinante det(ˆA)for negativo, a expressão:

tr(ˆA)
2
2
det(ˆA) (6.20)
Será necessariamente positiva, e
s

tr(ˆA)
2
2
det(ˆA)>




tr(ˆA)
2




(6.21)
isso implica que existem dois valores próprios reais,l1el2, com sinais diferentes, um
deles positivo e o outro negativo.
A esses dois valores próprios correspondem dois vectores próprios linearmente indepen-
dentes, que denem duas direcções no espaço de fase onde o sistema evolui ao longo de
uma recta (ver gura). Na direcção correspondente ao valor próprio negativo, o sinal

108. 98 Sistemas linearesx1
x2
λ1 > 0
λ2 < 0
Figura 6.5:
Ponto de sela: existem duas direcções em que o estado evolui em linha recta,
num dos casos afastando-se da origem e no outro caso aproximandos-se.
negativo implica que o estado se aproxima da origem. Na direcção associada ao valor
próprio positivo, o sinal positivo implica que o estado se afasta da origem.
As outras órbitas do sistema serão todas curvas que se aproximam da origem durante algum
tempo, mas acabam sempre por se afastar até o innito (gura). A denominação desse
tipo de ponto de equilíbrio éponto de sela. Trata-se de pontos de equilíbrio instável.
6.4.2 Nós estáveis e instáveis
Quando o determinante det(ˆA)for positivo, mas menor que:

tr(ˆA)
2
2
(6.22)
Existirão ainda duas soluções reais da equação, ambas com o mesmo sinal de tr (ˆA).
Se os dois valores próprios forem negativos, existirão duas direcções no espaço de fase em
que o estado se aproxima do ponto de equilíbrio (lado esquerdo da gura); devido à
continuidade das órbitas do sistema, qualquer outra órbita será uma curva que se aproxima
do ponto de equilíbrio. A denominação do ponto de equilíbrio énó estável, ou atractivo.
Se os dois valores próprios forem positivos, existirão duas direcções no espaço de fase em
que o estado se afasta do ponto de equilíbrio. Qualquer que for o estado inicial, o sistema
sempre se afastará do ponto de equilíbrio (lado direito da gura). A denominação do
ponto énó instável, ou repulsivo (lado direito da gura).

109. 6.4 Classicação dos pontos de equilíbrio 99x1
x2
λ1 < 0
λ2 < 0 x1
x2
λ1 > 0
λ2 > 0
Figura 6.6:
Quando existem dois valores próprios reais, diferentes, com o mesmo sinal, o
ponto de equilíbrio é um nó, estável (esquerda) ou instável (direita).
6.4.3 Focos e centros
Quando o determinante det(ˆA)for maior que:

tr(ˆA)
2
2
(6.23)
não existirão soluções reais da equação. Isso quer dizer que o estado do sistema nunca
evoluirá em linha recta. Qualquer órbita do sistema será uma curva.x1
x2
λ = a ± i b
a < 0 x1
x2
λ = a ± i b
a > 0
Figura 6.7:
Quando os valores próprios são complexos, o ponto de equilíbrio é um foco,
estável (esquerda) ou instável (direita).

110. 100 Sistemas lineares
O sinal da parte real das soluções complexas da equação
se aproximam ou afastam do ponto de equilíbrio. Se a parte real das raízes for negativa
(matriz com traço negativo), as órbitas do sistema serão espirais que se aproximam do
ponto de equilíbrio (lado esquerdo da gura) e o ponto de equilíbrio é designado de
foco estável, ou atractivo.
Se a parte real das raízes for positiva (matriz com traço positivo), as órbitas do sistema
afastam-se do ponto de equilíbrio, formando espirais (lado direito da gura) e o ponto
de equilíbrio é designado defoco instável, ou repulsivo.
Se o traço da matriz for nulo, as soluções da equação
puros, com a mesma parte imaginária mas com sinais opostos. Nesse caso todas as órbitas
do sistema são ciclos e o ponto de equilíbrio, estável, designa-se porcentro.
A gura
do traço e o determinante da matriz do sistema. tr(A)1
2
det(A)
det(A) =
1
4
tr
2
(A)
Pontos de sela Pontos de sela
Focos instáveisFocos estáveis
Nós instáveisNós estáveis
Centros
Figura 6.8:
Tipos de ponto de equilíbrio de um sistema linear com duas variáveis de
estado.
6.4.4 Nós próprios e impróprios
Quando o determinante da matriz é exactamente igual ao seu traço ao quadrado, dividido
por quatro (pontos na parábola na gura), existe unicamente um valor próprio real.
Esse situação conduz a dois tipos diferentes de ponto de equilíbrio. Se a matriz for diagonal,
os valores na sua diagonal serão necessariamente iguais ao valor próprio e qualquer vector

111. 6.4 Classicação dos pontos de equilíbrio 101
do espaço de fase é vector próprio da matriz. Isso implica que todas as órbitas do sistema
serão rectas que se afastam da origem, se o valor próprio for positivo (ver lado esquerdo
na gura), ou que se aproximam da origem, se o valor próprio for negativo. O ponto
de equilíbrio designa-senó próprio, estável ou instável, dependendo do sinal do valor
próprio.
A segunda situação possível, se a matriz não for diagonal, é a existência de um único vector
próprio e o ponto de equilíbrio é designado denó impróprio. Existe unicamente uma
direcção no espaço de fase em que o estado evolui em linha recta; todas as outras órbitas
do sistema acumulam-se nessa direcção. Se o valor próprio for negativo, o nó impróprio é
estável (lado direito na gura) e se o valor próprio for positivo será um nó impróprio
instável.x1
x2
λ < 0 x1
x2
λ < 0
Figura 6.9:
Retratos de fase de um nó próprio instável (esquerda) e de um nó impróprio
estável (direita).
Uma forma conveniente de identicar o tipo de equilíbrio num sistema linear é a seguinte:
se a matriz for diagonal, os números na diagonal são os valores próprios. Se os dois valores
próprios na diagonal forem iguais, o ponto será um nó próprio, repulsivo se o valor próprio
for positivo, ou atractivo se o valor próprio for negativo; nesse caso qualquer vector no
plano de fase é vector próprio.
Se a matriz não for diagonal, escreve-se a equação característica
os valores próprios. Em função dos valores próprios obtidos, usa-se a tabela
classicar o ponto de equilíbrio.

112. 102 Sistemas lineares
Valores próprios Tipo de ponto Tipo de equilíbrio
2, reais, com sinais opostos ponto de sela instável
2, reais, positivos nó repulsivo instável
2, reais, negativos nó atractivo estável
2, complexos, com parte real positiva foco repulsivo instável
2, complexos, com parte real negativa foco atractivo estável
2, imaginários centro estável
1, real, positivo nó impróprio instável
1, real, negativo nó impróprio estável
Tabela 6.1:Classicação dos pontos de equilíbrio dos sistemas lineares.
6.5 Osciladores lineares
No caso de uma partícula em movimento numa dimensão, com posiçãos, o sistema será
autónomo e linear unicamente se a força tangencial tiver a seguinte forma geral:
F=c1s+c2v (6.24)
com 2 constantesc1ec2. O termoc1sé uma força conservativa. A forçac2vnão é
conservativa; poderá ser uma força de atrito, ou de resistência ao movimento num uido,
se a constantec2for negativa. Nesta secção e na seguinte veremos 3 exemplos.
Exemplo 6.3
Umoscilador invertidoé um sistema sujeito à força resultanteF=c1x , com constantec1
positiva. Admitindo que a massa do sistema ém=2 e a força tangencial éF=2x (tudo
em unidades SI), analise a estabilidade do sistema e desenhe o retrato de fase.
Resolução
: As variáveis de estado sãoxev. A aceleração tangencial éF=m=x . As
equações de evolução, escritas em forma matricial, são:
"
x
v
#
=
"
0 1
1 0
#"
x
v
#
(6.25)
O traço da matriz é nulo, e o determinante é igual a1. Portanto, a equação característica
él
2
1=0 e os valores próprios são 1 e1. De acordo com a tabela, o ponto de
equilíbrio na origem é um ponto de sela (instável).
O retrato de fase é construído com o comando:
(%i11) plotdf ([v, x], [x, v])$
a gura

113. 6.5 Osciladores lineares 103-10 -5 0 5 10
-10
-5
0
5
10
v
x
Figura 6.10:Retrato de fase do oscilador invertido.
Exemplo 6.4
Analise a estabilidade e as curvas de evolução de um oscilador harmónico simples.
Resolução
: O oscilador harmónico simples foi estudado na secção3.5. Vimos que a força
resultante que actua sobre o sistema é a soma do peso mais a força elástica da mola. Se
yfor a altura, com origem na posição de equilíbrio, a força tangencial é igual a menos a
derivada da expressão
Ft=ky (6.26)
Assim, as equações de evolução são:
"
y
v
#
=
"
0 1
w
2
0
#"
y
v
#
(6.27)
ondewé a frequência angular,
p
k=m.
O traço da matriz do sistema é 0 e o determinante é igual aw
2, que é positivo. Consequen-
temente, os valores próprios são números imaginários puros:
l=iw (6.28)
e o ponto de equilíbrio é um centro. Se o oscilador estiver inicialmente no estado de
equilíbrio,y=v=0, permanecerá em repouso; caso contrário, qualquer que for o estado
inicial, a curva de evolução será sempre uma elipse (gura), que corresponde a um
movimento oscilatório.

114. 104 Sistemas linearesy
v
vm
−vm
A−A
Figura 6.11:As curvas de evolução do oscilador harmónico simples são todas ciclos.
6.5.1 Osciladores amortecidos
O oscilador harmónico simples do exemplo
existem forças dissipativas. Um exemplo é o sistema de amortecimento de um automóvel
(gura). Cada roda está ligada à carroçaria por meio de uma mola elástica; no interior
de cada mola há um cilindro (amortecedor) com um pistão que se desloca dentro de óleo.
Figura 6.12:Sistema de suspensão de um automóvel.
Seyfor a altura do ponto da carroçaria onde está apoiado o amortecedor, medida desde a
posição de equilíbrioy=0, a força resultante sobre a carroçaria é:
F=kyCv (6.29)
em quekeCsão constantes positivas;ké a constante elástica da mola eCdepende do
tamanho do pistão e do coeciente de viscosidade do óleo dentro do amortecedor.

115. 6.5 Osciladores lineares 105
Essa força conduz ao seguinte sistema linear:
"
y
v
#
=
"
0 1
w
2
a
2
#"
y
v
#
(6.30)
ondewé a frequência angular,
p
k=m, eaé igual a
p
C=m.
O traço da matriz do sistema éa
2, negativo, e o determinante éw
2, positivo. Portanto, o
sistema estará em alguma região do segundo quadrante na gura. Isso implica que o
sistema será sempre estável e acabará sempre por car em repouso comy=0 ev=0.
No entanto, a forma como o sistema se aproximará do ponto de equilíbrio dependerá do
tipo de ponto de equilíbrio. Se o amortecimento for fraco,
a
4
<4w
2
(6.31)
os valores próprios serão complexos e estaremos na região dos focos estáveis na gura.
A evolução deyem função do tempo será um movimento oscilatório com amplitude
decrescente, como se mostra na gura.t
y
amortecimento fraco
crítico
forte
Figura 6.13:
Variação da alturayem função do tempo, para os três tipos de amortecimento.
No caso em que:
a
4
=4w
2
(6.32)
diz-se que háamortecimento crítico. Nesse caso existe um único valor próprio real.
Como a matriz não é diagonal, o ponto de equilíbrio é um nó impróprio estável. A
evolução deyem função deté apresentada na gura.
Finalmente, no caso de amortecimento forte,
a
4
>4w
2
(6.33)
existem dois valores próprios diferentes e negativos. O ponto de equilíbrio é um nó estável
eyaproxima-se mais rapidamente do ponto de equilíbrio (gura).
O sistema de suspensão deverá garantir que não existam oscilações, que tornariam o
automóvel muito instável. Assim, o amortecimento deverá ser sucientemente forte para
que o ponto de equilíbrio seja um nó.

116. 106 Sistemas lineares
Com o uso, a sujidade e as impurezas no óleo dentro dos amortecedores do automóvel
fazem com que o coeciente de viscosidade diminua; há também perdas de óleo. Esses
factores reduzem o valor da constanteapor baixo do valor crítico. Se, empurrando a
carroçaria do automóvel para baixo, o automóvel oscila ligeiramente, é preciso trocar os
amortecedores por outros novos.
Perguntas
1.
Quantas dimensões tem o espaço de fase
de um oscilador harmónico simples em
três dimensões(x;y;z)?
A.
B.
C.
D.
E.
2.Os valores próprios de um oscilador har-
mónico simples são4 ie4 i(em unida-
des SI). Calcule o período de oscilação,
em segundos.
A. p
B.p
C.p=4
D. p
E.p=2
3.
SeFrepresenta a força resultante que ac-
tua sobre uma partícula, no eixo dosx, e
v
é a velocidade instantânea, qual das se-
guintes expressões conduz a um sistema
linear?
A.x=3xv
B.x=2v
C.x=2 sin(x)
D.x=2x(1x)
E.x=3x
2
4.
O espaço de fase de um sistema é o plano
(x;x). Qual poderá ser a equação diferen-
cial associada a esse sistema?
A.x=x
2
2t
B.x¨x+2x=x
2
C.x+2xx=x
2
D.x=x
2
2t
E.t¨x+2x=x
2
5.
A matriz de um sistema linear de segunda
ordem tem traço igual a 4 e determinante
igual a 3. Que tipo de ponto xo é a
origem?
A.
B.
C.
D.
E.
Problemas
1.Em cada caso, use o Maxima para encontrar os valores e vectores próprios do sistema.
Diga que tipo de ponto equilíbrio tem o cada sistema e desenhe os retratos de fase.
a)x=x+y y=4x+y
b)x=3x+
p
2y y=
p
2x2y
c)x=xy y=x+3y

117. 6.5 Osciladores lineares 107
2.
A gura mostra como seria a trajectória no espaço de fase, de uma bola que cai em
queda livre e é disparada para cima novamente após ter estado em contacto com o chão,
se não existisse nenhuma força dissipativa. A parte do gráco para valores positivos
deycorresponde ao lançamento vertical de um projéctil, ignorando o atrito com o ar.
A parte do gráco para valores negativos deycorresponde à deformação elástica da
bola quando choca com o chão; durante esse tempo de contacto com o chão, admite-se
que o movimento vertical da bola é um movimento harmónico simples, sem nenhuma
dissipação de energia.y
v
h−A
Sabendo que a altura máxima atingida pela bola éh=10 m, e que a deformação
máxima quando a bola bate no chão éA=1 cm, calcule: (a) a velocidade máxima da
bola ao longo do seu movimento. (b) A frequência angular da deformação elástica da
bola. (c) O tempo que dura o contacto entre a bola e o chão.
3.
Um bloco com massam=0:6 kg que se encontra sobre uma mesa horizontal, com
coeciente de atrito cinéticomc=0:4 , está ligado a uma mola elástica com constante
k=50N/m (x=0é a posição em que a mola não está nem comprimida nem esticada).
(a) Desenhe o campo de direcções e a trajectória correspondente às posições iniciais
x=0:07 m ex=0:09 m (em ambos casos, use uma velocidade inicial pequena, de
v=0:001 m/s). (b) Com base no desenho das trajectórias na alínea anterior, diga quais
são os pontos de equilíbrio do sistema.m
k
μc
x = 0
4.
As quatro molas da suspensão nas quatro rodas de um automóvel têm todas uma
constante elásticak=15kN/m. (a) Calcule a altura que o carro desce em cada roda,
quando entrarem no automóvel 4 passageiros, todos com massam=70 kg, admitindo
que o peso se distribui por igual nas quatro rodas. (b) Se a massa total do automóvel,
incluindo os quatro passageiros, form=1350 kg, calcule o valor crítico da constante
de atritoCem cada amortecedor (admita que o peso distribui-se por igual nas quatro

118. 108 Sistemas lineares
rodas e, portanto, a massa equivalente em cada mola é a quarta parte da massa total).
(c) Calcule os valores próprios,l, no caso em que a constanteCfor o dobro do valor
crítico.
5.
A forçaF=c1x+c2v , comc1>0 , corresponde a um oscilador invertido, com dissi-
pação de energia (sec2for negativa) ou com aumento da energia (sec2for positva).
Mostre que a condiçãoc1>0 é suciente para garantir que sempre existirão dois valores
própios reais diferentes, um deles positivo e o outro negativo, independentemente do
valor dec2. Assim, o ponto de equilíbrio sempre será um ponto de sela.
6.Considere o oscilador harmónico amortecido com equação de movimento:
2¨x+ax+3x=0
ondeaé a constante de amortecimento. Desenhe a curva de evolução e os gráco dex(t)
ex, com condições iniciaisx(0) =4 ,x(0) =1 , para valores do parâmetroacompre-
endidos entre 0 e 7 (deverá usar a opçãoslidersdo plotdf). Analise o comportamento
dos grácos para os diferentes valores deaidenticando os três casos: amortecimento
fraco, amortecimento crítico e amortecimento forte.

119. 7 Sistemasnãolineares
O problema de como balançar um veículo com uma única roda é abordado pela teoria de
controlo. O veículo com uma única roda actua como um pêndulo invertido, com equilíbrio
instável; o equilíbrio deverá ser garantido por meio de movimentos apropriados da roda.
Actualmente já são usados veículos que usam técnicas de controlo automático do equilíbrio,
embora não realmente uma única roda mas duas rodas paralelas.

120. 110 Sistemas não lineares
Um sistema dinâmico autónomo, com duas variáveis de estadox1ex2, é caracterizado por
duas equações de evolução:
x1=f1(x1;x2) (7.1)
x2=f2(x1;x2)
ondef1ef2são duas funções quaisquer, que dependem das variáveisx1ex2. Não existem
técnicas analíticas gerais para resolver esse tipo de equações; unicamente existem técnicas
analíticas gerais para o caso dos sistemas lineares, em quef1ef2são combinações lineares
das variáveisx1ex2.
Os sistemas não lineares geralmente só podem ser resolvidos por métodos numéricos.
No entanto, a análise gráca no espaço de fase pode fornecer muita informação sobre o
comportamento do sistema.
Vimos no capítulo anterior que os sistemas lineares têm um único ponto de equilíbrio. Um
sistema não linear pode ter qualquer número de pontos de equilíbrio. Na próxima secção
veremos que na vizinhança de cada ponto de equilíbrio o sistema pode ser aproximado por
um sistema linear.
Exemplo 7.1
Encontre os pontos de equilíbrio do sistema
x1=4x
2
14x
2
2 x2=x
2
2x
2
1+1
Resolução:
Começamos por transcrever os lados direitos das equações de evolução no
Maxima. É conveniente colocar as duas expressões numa lista:
(%i1) f: [4-x1^2-4*x2^2, x2^2-x1^2+1]$
a seguir, usa-se o comandosolvepara encontrar os pontos onde as duas expressões são
iguais a zero, que serão os pontos de equilíbrio.
(%i2) equilibrio: solve(f)$
(%i3) equilibrio, numer;
(%o3) [[x2 = -.7745966692414833, x1 = -1.264911064067352],
[x2 = -.7745966692414833, x1 = 1.264911064067352],
[x2 = .7745966692414833, x1 = -1.264911064067352],
[x2 = .7745966692414833, x1 = 1.264911064067352]]
Existem quatro pontos de equilíbrio. Os pontos onde o lado direito da primeira equação é
nulo, são todos os pontos da elipse
x
2
1
4
+x
2
2=1
e os pontos onde o lado direito da segunda equação é nulo são os pontos da hipérbole
x
2
1x
2
2=1

121. 7.1 Aproximação linear 111
Os pontos de equilíbrio do sistema são os quatro pontos de intersecção entre a elipse e a
hipérbole. Os grácos dessas duas curvas desenham-se mais facilmente usando a forma
paramétrica dessas equações:
(%i4) plot2d([[parametric, 2 *cos(t),sin(t)],
[parametric,-cosh(t/2),sinh(t/2)],
[parametric,cosh(t/2),sinh(t/2)]], [t,-3.2,3.2],
[legend,false], [nticks,300])$-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
-3 -2 -1 0 1 2 3
Figura 7.1:
Os pontos de equilíbrio são os pontos de intersecção entre as curvas onde
cada uma das funções é nula.
O resultado é apresentado na gura. Dentro da elipse, x1é positiva: o campo de
direcções aponta para a direita, e fora da elipse o campo aponta para a esquerda. Na região
à esquerda da hipérbole, o campo de direcções aponta para baixo, entre os dois ramos da
hipérbole o campo aponta para cima, e à direita da hipérbole o campo aponta para baixo.
O campo de direcções será desenhado numa secção posterior (gura).
7.1 Aproximação linear
Cada uma das funçõesf1ef2podem ser escritas na forma de uma série de Taylor, na
vizinhança de um ponto qualquer (a,b) do espaço de fase:
fi(x1;y2) =fi(a;b)+(x1a)
¶fi
¶x1




(a;b)
+(x2b)
¶fi
¶x2




(a;b)
+::: (7.2)
Se o ponto (a,b) for um ponto de equilíbrio,fi(a;b) é nula e, portanto, o primeiro termo
da série é nulo. Mudando a origem de coordenadas para o ponto xo (a,b), isto é, num

122. 112 Sistemas não lineares
novo sistema de coordenadas:x=x1a,y=x2b, as funções são, aproximadamente,
fi(x;y) =
¶fi
¶x1




(a;b)
x+
¶fi
¶x2




(a;b)
y (7.3)
Os índices(a;b)indicam quex1ex2deverão ser substituídos pelas coordenadas (a,b) do
respectivo ponto de equilíbrio. Substituindo essas aproximações no sistema, obtém-se
um sistema linear
1

x
y

=
2
6
6
4
¶f1
¶x1
¶f1
¶x2
¶f2
¶x1
¶f2
¶x2
3
7
7
5
(a;b)

x
y

(7.4)
esta aproximação linear só será válida numa vizinhança da origem (x=0,y=0), nomea-
damente, perto do ponto xo.
A matriz do sistema linear matriz jacobiana,J
(f1;f2)(x1;x2) . Substi-
tuindo as coordenadas (a,b) do ponto de equilíbrio na matriz jacobiana, obtém-se uma
matriz constante. Por cada ponto de equilíbrio existe uma matriz de coecientes constantes,
que corresponde à aproximação linear perto desse ponto de equilíbrio. Os valores e vecto-
res próprios de cada uma dessas matrizes permitem analisar a estabilidade do sistema, na
vizinhança do respectivo ponto de equilíbrio, da mesma forma que é feito para os sistemas
lineares.
Exemplo 7.2
Classique os pontos de equilíbrio e desenhe o retrato de fase do sistema:
x1=4x
2
14x
2
2 x2=x
2
2x
2
1+1
Resolução:
já vimos, no exemplo, que este sistema tem quatro pontos de equilíbrio, e já
guardamos as coordenadas desses pontos numa lista que foi designada deequilibrio.
Convem também denir uma lista com as variáveis de estado:
(%i5) v: [x1, x2]$
A matriz jacobiana, com duas linhas e duas colunas, obtem-se com o comandojacobian
do Maxima, que precisa de duas listas: uma lista com as funções, que já foi denida em
%i1no exemplo, e uma lista com as variáveis, que já foi denida em%i5.
(%i6) J: jacobian(f,v);
[ - 2 x1 - 8 x2 ]
(%o6) [ ]
[ - 2 x1 2 x2 ]
1
Repare que x=x1, porqueaé uma constante, e y=x2, porquebtambém é constante.

123. 7.1 Aproximação linear 113
Substituindo as coordenadas de cada ponto xo, obtemos as matrizes dos sistemas lineares
que aproximam o sistema na vizinhança do respectivo ponto xo. Por exemplo, no primeiro
ponto xo:
(%i7) J, equilibrio[1];
[ 4 sqrt(2) 8 sqrt(3) ]
[ --------- --------- ]
[ sqrt(5) sqrt(5) ]
(%o7) [ ]
[ 4 sqrt(2) 2 sqrt(3) ]
[ --------- - --------- ]
[ sqrt(5) sqrt(5) ]
para estudar a estabilidade do sistema perto desse ponto de equilíbrio, calculam-se os
valores próprios dessa matriz.
(%i8) eigenvectors(%)$
(%i9) %, numer;
(%o9) [[[- 3.963484674287924, 4.944113463939662], [1, 1]],
[1, - 1.047852879483257], [1, 0.389604589019394]]
O resultado mostra 4 listas; a primeira lista são os valores próprios, a segunda lista são as
multiplicidades de cada valor próprio, e as últimas duas listas são os vectores próprios.
Assim, neste caso existem dois valores próprios reais, com sinais opostos. Podemos
concluir que o primeiro ponto de equilíbrio é um ponto de sela. O mesmo acontece com o
quarto ponto de equilíbrio:
(%i10) J, equilibrio[4];
[ 4 sqrt(2) 8 sqrt(3) ]
[ - --------- - --------- ]
[ sqrt(5) sqrt(5) ]
(%o10) [ ]
[ 4 sqrt(2) 2 sqrt(3) ]
[ - --------- --------- ]
[ sqrt(5) sqrt(5) ]
(%i11) eigenvectors(%)$
(%i12) %, numer;
(%o12) [[[- 4.944113463939662, 3.963484674287924], [1, 1]],
[1, 0.389604589019394], [1, -1.047852879483257]]
No segundo ponto de equilíbrio:
(%i13) J, equilibrio[2];
[ 4 sqrt(2) 8 sqrt(3) ]
[ - --------- --------- ]
[ sqrt(5) sqrt(5) ]
(%o13) [ ]
[ 4 sqrt(2) 2 sqrt(3) ]
[ - --------- - --------- ]

124. 114 Sistemas não lineares
[ sqrt(5) sqrt(5) ]
(%i14) eigenvectors(%)$
(%i15) %, numer;
(%o15) [[[- 0.2 (19.64454513856129 %i + 10.19753866654418),
0.2 (19.64454513856129 %i - 10.19753866654418)], [1, 1]],
[1, - .04166666666666666 (15.21659923309355 %i
- 1.898979485566357)], [1, .04166666666666666
(15.21659923309355 %i + 1.898979485566357)]]-3 -2 -1 0 1 2 3
-2
-1
0
1
2
3
x2
x1
Figura 7.2:Retrato de fase do sistema x1=4x
2
1
4x
2
2
, x2=x
2
2
x
2
1
+1.
Como os valores próprios são complexos, com parte real negativa, o ponto de equilíbrio
é um foco atractivo (estável). Cálculos semelhantes para o terceiro ponto de equilíbrio
mostram que também é um foco, mas repulsivo (instável), porque os valores próprios são
complexos, com parte real positiva. O retrato de fase aparece na gura, que foi obtida
com o comando:
(%i16) plotdf(f, v, [x1,-3,3], [x2,-3,3])$
Existe unicamente um ponto de equilíbrio estável, emx1=1:26 ex2=0:77. Os outros
pontos são todos pontos de equilíbrio instável. Na gura, as duas órbitas que foram
desenhadas a sair do foco repulsivo emx1=1:26 ex2=0:77 , e a continuação dessas
curvas passando pelos pontos de sela, delimitam uma região de estabilidade, em que se
o estado inicial do sistema estiver nessa região, o estado nal será sempre no ponto de
equilíbrio estável.

125. 7.2 O pêndulo 115
7.2 O pêndulo
O tipo de pêndulo que vamos estudar está formado por um disco de massame raior,
ligado a uma barra rígida de massa desprezável em comparação comm. No outro extremo
da barra passa um eixo horizontal que permite que o pêndulo rode num plano vertical,
descrevendo trajectórias circulares com raiol, ondelé a distância desde o centro do disco
até o eixo de rotação. (gura).l
mg
Tn
Tt
CM
θ = 0
θ
Figura 7.3:
Pêndulo formado por um disco e uma barra que pode rodar à volta de um eixo
horizontal.
O pêndulo tem unicamente um grau de liberdade, que pode ser denido como o ângulo
qque faz com a vertical. Portanto, existem duas variáveis de estado,q, e a velocidade
angularw. A primeira equação de evolução é a relação entre o ângulo e a velocidade
angular:q=w. A segunda equação de evolução é a expressão da aceleração angularaem
função deqe dew. Para encontrar essa expressão, é preciso analisar as forças externas.
Sobre o pêndulo actuam duas forças externas: o peso,m~g, vertical, e uma força de
contacto do eixo sobre a barra,~F, que por conveniência será decomposta numa componente
tangencialFte outra componente normalFn, na direcção da barra.
Como a massa da barra é desprezável, o centro de massa do sistema está aproximadamente
no centro do disco e o momento de inércia do sistema é aproximadamente igual ao
momento de inércia do disco.
Assim, a soma das componentes normais e tangenciais das forcas e a soma de torques em

126. 116 Sistemas não lineares
relação ao centro de massa conduzem às equações:
Tnmgcosq=man (7.5)
Ttmgsinq=mat (7.6)
Ttl=
1
2
mr
2
a (7.7)
onde usamos a expressão para o momento de inércia de um disco em relação ao seu eixo,
I=mr
2
=2.
Como a aceleração tangencialatdo centro de massa é igual aal, é possível eliminarTt
entre a segunda e terceira equações, e obter a expressão para a aceleração angular:
a=
gsinq
l
r
2
2l
(7.8)
a expressão no denominador:
l0=l
r
2
2l
(7.9)
é o comprimento efectivo do pêndulo, ligeiramente menor quel. No caso limite,r0,
designado depêndulo simples, o comprimento efectivo é igual al.
Assim, as equações de evolução do pêndulo são:
dq
dt
=w (7.10)
dw
dt
=
g
l0
sinq (7.11)
O programa 7.1 mostra como resolver essas equações usando o método numérico simples
que temos usado em capítulos anteriores.
No programa 7.1, em vez de deslocarmos o pêndulo, fazemos rodar um referencial no qual
foram inseridos a barra e o disco que formam o pêndulo. A origem desse referencial foi
denida no sítio onde se encontra o eixo do pêndulo. Também admitimos nesse programa
que as unidades usadas são decímetros; assim, a aceleração da gravidade foi dada em
decímetros sobre segundo ao quadrado.
programa 7.1
1from *
2scene.autoscale=0; scene.range=5; scene.center=(0,3,0)
3
4pendulo = frame(pos=(0,3.5,0))
5barra = box(frame=pendulo, pos=(0,-1.4,0), size=(0.2,3.2,0.2),
6 color=(1,1,0))
7disco = cylinder(frame=pendulo, pos=(0,-3,-0.2), radius=0.6,

127. 7.3 Aproximação linear do pêndulo 117
8 axis=(0,0,0.4), color=(0.5,0.5,0.8))
9eixo = cylinder(pos=(0,3.5,0.3),radius=0.09,axis=(0,0,-1),
10 color=(0.7,0.4,0.1))
11b1 = box(pos=(0,1.7,-1),size=(1,4.2,0.6),color=(0.7,0.4,0.1))
12b2 = box(pos=(0,-0.6,-0.5),size=(3,0.4,1.6),color=(0.7,0.4,0.1))
13
14pendulo.w = 10
15pendulo.angulo = 0
16pendulo.l = 3
17dt = 0.01
18while:
19 rate(100)
20 pendulo.a = -98*sin(pendulo.angulo)/pendulo.l
21 pendulo.w = pendulo.w + pendulo.a *dt
22 pendulo.angulo = pendulo.angulo + pendulo.w *dt
23 pendulo.rotate(axis=(0,0,1), angle=pendulo.w *dt)
7.3 Aproximação linear do pêndulo
Os pontos de equilíbrio do pêndulo são todos os pontos onde os lados direitos das
equações
q=0;p;2p;:::, comw=0.
Os pontos emq=0;2p;4p;::: , são realmente o mesmo ponto físico, na posição mais
baixa do pêndulo, correspondentes à passagem do pêndulo por essa posição, após um
número qualquer de voltas. Os pontos emq=p;3p;::: são também um mesmo ponto
física, na parte mais alta do pêndulo.
A matriz jacobiana do sistema é:
"
0 1

g
l0
cosq0
#
(7.12)
No ponto de equilíbrio emq=0, a matriz é:
"
0 1

g
l0
0
#
(7.13)
com valores próprios iguais ai
p
g=l0
. Consequentemente, o ponto de equilíbrio é um
centro (equilíbrio estável). De facto, a matriz
harmónico simples, comg=l0em vez ek=m.
Assim, nos pontos próximos deq=0;2p;4p;::: , o sistema é parecido a um oscilador
harmónico simples, com órbitas elípticas no espaço de fase, que correspondem a oscilações

128. 118 Sistemas não lineares
harmónicas com frequência angular:
2pf=
r
g
l0
(7.14)
Perto do ponto de equilíbrio emq=p, a matriz jacobiana é igual a:
"
0 1
g
l0
0
#
(7.15)
com dois valores próprios reais
p
g=l0
e de sinais opostos. Trata-se de um ponto de sela
(equilíbrio instável).
Para esboçar o campo de direcções usando o programaplotdf, consideremos um pêndulo
coml0igual 50 cm. Assim, no sistema internacional de unidades, as equações do pêndulo
são:
q=w w=19:6sinq (7.16)
Vamos representar o intervalo10<q<10 onde aparecerão 3 centros (2p, 0 e2p) e 4
pontos de sela (3p,p,pe 3p):
(%i17) plotdf([omega, -19.6 *sin(teta)], [teta, omega],
[teta, -10, 10], [omega, -20, 20])$-10 -5 0 5 10
-20
-10
0
10
20
omega
teta
A
B
Figura 7.4:Retrato de fase do pêndulo.
A gura
ânguloqe no eixo vertical a velocidade angularw.
As curvas identicadas com as letras A e B na gura, que começam desde um ponto de
sela e terminam noutro, fazem parte de umaórbita heteroclínica.

129. 7.3 Aproximação linear do pêndulo 119
Uma órbita heteroclínica é uma curva no espaço de fase formada por vários
segmentos, cada um começando num ponto de sela e terminando em outro
ponto de sela diferente. O último segmento termina no mesmo ponto de sela
onde começou o primeiro.
As órbitas heteroclínicas do pêndulo correspondem ao caso em que a energia mecânica
do pêndulo é exactamente igual à energia potencial gravítica no ponto de altura máxima.
Usando como referênciaU=0 no ponto mais baixo do pêndulo, a energia potencial no
ponto mais alto éU=2mgl0.
Essas órbitas heteroclínicas também sãoseparatrizes, porque delimitam a região onde
existe movimento oscilatório: região sombreada na gura. Se o estado inicial estiver
dentro dessa região, o pêndulo oscila; caso contrário, o pêndulo descreve movimento
circular não uniforme.0
θ
ω
0
Figura 7.5:
Se o estado inicial estiver dentro da região sombreada, delimitada pelas órbitas
heteroclínicas, o movimento do pêndulo será oscilatório.
A gura
equilíbrio estável. No primeiro caso, o pêndulo foi largado, do repouso, com um ângulo
inicial de 0.5 radianos (aproximadamente 29

); isto é, no menuConfigdo plotdf usou-
se “0.5 0” no campoTrajectory at. No retrato de fase, essa solução é bastante
aproximada a uma elipse. Como vimos no capítulo anterior, uma elipse no retrato de fase
corresponde à solução de um oscilador harmónico simples. O pêndulo oscila em forma
harmónica e o seu período de oscilação é aproximadamente 1.44 s.
O gráco no lado direito da gura) corresponde ao lançamento do pêndulo, desde o
repouso, com um ângulo inicial de 2 radianos (aproximadamente 115

). O movimento
pode parecer harmónico, mas a solução no espaço de fase não é uma elipse perfeita, e as
funçõesq(t)ew(t)não são realmente funções harmónicas; isso é mais evidente paraw(t)

130. 120 Sistemas não lineares-1 0 1
-8
-4
0
4
8
t
θ,ω
θ(t)
ω(t) -1 0 1
-8
-4
0
4
8
t
θ,ω
θ(t)
ω(t)
Figura 7.6:
Oscilações do pêndulo, com amplitude angular de 29

(esquerda) e 115

(direita).
que é demasiado recta entre máximos e mínimos. O período de oscilação, neste caso, é
aproximadamente 1.88 s.
Usando a aproximação do pêndulo como oscilador harmónico simples, é possível calcular o
seu período de oscilação (equação). No caso que consideramos ( l=0:5 m) o período
do pêndulo seria aproximadamente 1.42 s. Os valores mais realistas, que obtivemos
em forma numérica, são um pouco superiores. Quanto menor for o ângulo máximo de
oscilação, mais perto estará o período do valor obtido com a aproximação linear.
Perguntas
1.
O valor ideal do período de um pêndulo
com comprimentolé2p
p
l=g
, ondegé
a aceleração da gravidade. Na prática, o
período só se aproxima do seu valor ideal
em algumas situações. Qual das condi-
ções seguintes garante que o período de
oscilação seja aproximadamente igual ao
valor ideal?
A.
valor máximo da velocidade angular
pequeno.
B.
C. lpequeno.
D.
E.
2.
SeF=4x(xv
2
) representa a força re-
sultante que actua sobre uma partícula,
no eixo dosx, evé a velocidade instantâ-
nea, quantos pontos de equilíbrio tem o
sistema?
A.
B.
C.
D.
E.
3.
No retrato de fase na gura, que tipo de
ponto de equilíbrio é o ponto (1,0)?

131. 7.3 Aproximação linear do pêndulo 1211
0-1
1
-1
A.
B.
C.
D.
E.
4.
Qual é a matriz jacobiana do sistema
x=y
2
, y=xy?
A.

y
2
1
1xy

B.

0 2y
1 1

C.

0 2y
y x

D.

y x
0 2y

E.

1 1
0 2y

5.
As equações de evolução de um sistema
dinâmico, no espaço de fase (x,y), são
x=xy,y=y+1 . Qual dos seguintes
vectores poderão representar a direcção
e sentido da velocidade de fase no ponto
(1, 2)?
A.~ex+2~ey
B.~ex+4~ey
C.~ex+4~ey
D.~ex+6~ey
E.2~ex3~ey
Problemas
1.
Uma partícula com massam, desloca-se ao longo do eixo dosxsob a acção de uma
força resultanteFque depende da posiçãoxe da velocidadev. Para cada um dos casos
seguintes encontre os pontos de equilíbrio, diga que tipo de ponto equilíbrio é cada
um (estável ou instável; centro, foco, nó ou ponto de sela) e desenhe o retrato de fase
mostrando as órbitas mais importantes:
(a) =mx(1+v)
(b) =mx(x
2
+v1)
2.
O diagrama mostra o retrato de fase de um sistema com 3 pontos de equilíbrio, no caso
idealizado em que não existisse atrito. Faça (a mão) um esboço da energia potencial e
de como seria o retrato de fase do sistema real, considerando as forças de atrito.
3.
Se a base do pêndulo da gura 6.1 estiver a rodar no plano horizontal, com velocidade

132. 122 Sistemas não lineares
angular constantewb, sobre o disco actuará também uma força centrífugaFc=mRw
2
b ,
ondeRé a distância desde o centro do disco até à vertical que passa pelo eixo do
pêndulo.R
l
mg
F
Fc
θ
tangente
(a) Se o raio do disco for muito pequeno, a força no eixo de rotação tem unicamente
componente normal. Demonstre que a força tangencial sobre o disco é:
Ft=msinq

lw
2
b
cosqg

(b) Faça um gráco deFtem função deq, entrepep, com os valores seguintes:
m=0:2 kg,l=0:3 m,wb=2 s
1 . Repita o gráco comwb=8 s
1 . A partir dos
dois grácos diga, em cada caso quais são os pontos de equilíbrio estável e instável.
(c) Demonstre que em geral, quandowb<
pg=l
, existe um único ponto de equilíbrio
estável emq=0, e um único ponto de equilíbrio instável emq=p . (d) Para
wb>
p
g=l
, demostre que os pontosq=0 eq=p são ambos pontos de equilíbrio
instável, e aparecem dois pontos de equilíbrio estável emq0, com 0<q0<p=2.
4.
A amplitude de oscilação de um pêndulo decresce, devido à força de resistência do
ar e ao atrito no eixo. Admita um pêndulo em que o atrito no eixo é desprezável e a
resistência do ar é dada pela expressãogw, ondegé uma constante, ewa velocidade
angular. Usando os valores numéricosm=300 g,l=50cm,g=9:81 m/s
2
,g=0:05
Ns, desenhe o campo de direcções do sistema. Desenhe as soluções para os casos
seguintes:
(a)O pêndulo parte do repouso com um ângulo inicialq=120

.
(b)
O pêndulo é lançado desdeq=60
, com uma velocidade angular inicialw=9
s
1
. Explique o signicado físico das duas soluções esboçadas.

133. 8 Métodosnuméricos
Com o progresso acelerado dos computadores, cada dia usa-se mais a análise numérica e
simulação em áreas em que antigamente eram usados protótipos experimentais. A imagem
gerada por computador mostra o uxo de ar num modelo do vaivém espacial. A utilização
do túnel de ar para esse tipo de estudos tem sido substituída por modelos computacionais
de dinâmica de uidos.

134. 124 Métodos numéricos
Existem métodos analíticos para resolver sistemas lineares, mas não existe nenhum método
analítico que permita resolver sistemas não lineares gerais. A maior parte dos sistemas não
lineares só podem ser resolvidos em forma aproximada, usando métodos numéricos.
O método numérico descrito na secção método de Euler. Nesse método
admite-se que a velocidade média em cada intervalo considerado é igual à velocidade no
instante inicial. Obviamente que essa aproximação não será muito boa, a menos que os
intervalos de tempo sejam muito pequenos.
Na secção
a média aritmética das velocidades no início e no m do intervalo. No problema
do capítulo 1 mostrou-se que no caso de oscilações o erro numérico pode ser reduzido
admitindo que a velocidade média é igual à velocidade no m de cada intervalo; esse foi o
método que usamos no programa 7.1 para simular o movimento do pêndulo. Neste capítulo
vamos estudar um método numérico que produzirá melhores resultados em problemas
mais complexos.
Primeiro consideraremos sistemas com um grau de liberdade, e a seguir estenderemos o
método para problemas com qualquer número de graus de liberdade. O método é seme-
lhante, independentemente do número de graus de liberdade; no entanto, com mais graus de
liberdade o número de cálculos necessários será muito maior, tornando os programas mais
lentos. Quando se usam métodos numéricos, também é conveniente repetir os cálculos
usando um valor menor dos intervalos de tempoDt, até conseguir que os resultados não
mudem sensivelmente. Esse estudo também implica bastante tempo de execução; assim,
será conveniente testar sempre os programas com poucas iterações para garantir que não
existam erros, antes de passar a aumentar o número de iterações.
8.1 Método de Runge-Kutta de quarta ordem
Para ilustrar este método, vamos considerar um problema não linear típico: o pêndulo.
Embora não seja possível escrever expressões matemáticas para o ângulo e a velocidade
angular em função do tempo, as equações das curvas de evolução no espaço de fase sim
podem ser escritas em forma analítica. Essas curvas de evolução são a família de curvas
denidas pela expressão da conservação da energia mecânicaE, com diferentes valores
numéricos deE.
Se admitirmos que a energia potencial gravítica é nula no ponto em queq=90
, a
expressão para a energia potencial serámglcosq (ver gura). E se o raio do disco é
pequeno, podemos ignorar a energia cinética de rotação e a energia cinética será apenas
devida à velocidade do centro de massalw. Assim, a expressão da energia mecânica é:
E=
1
2
m l
2
w
2
mglcosq (8.1)
Do ponto de vista numérico, as curvas que apresentam mais diculdades de cálculo são

135. 8.1 Método de Runge-Kutta de quarta ordem 125
as separatrizes (órbitas heteroclínicas A e B na gura), já que, quando a trajectória se
aproxima do ponto de equilíbrio instável, um pequeno erro na velocidade angular ou no
ângulo faz com que a órbita, em vez de terminar no ponto de equilíbrio, seja desviada para
uma órbita oscilatória ou aberta. A energia que dene as separatrizes é a energia potencial
no ponto de equilíbrio instavel, nomeadamente, a energia potencial no ponto mais alto:
E=mgl. Substituindo na equação
w=2
r
g
l
cos

q
2

(8.2)0 4
0
14
θ
ω
1 2 3
2
4
7
9
11
1
2
3
4
Euler
Runge-Kutta
u1
u2
u3
u4
Figura 8.1:
Separatriz do pêndulo coml=30cm, mostrando as aproximações obtidas
comDt=0:2 s, pelos métodos de Euler e de Runge_Kutta.
A gura q,w), para
um pêndulo com 30 cm de comprimento. Se o estado inicial forq=0 ew=2
p
g=l
,
representado pelo ponto 1 na gura, o método de Euler desloca esse estado inicial na
direcção da velocidade de fase inicial~u1. Se o intervalo de tempo usado fosseDt=0:2 s,
o resultado seria o ponto indicado por “Euler” na gura, que está bastante afastado da
trajectória real. Assim, no método de Euler seria preciso usar intervalos de tempo muito
menores do que 0.2 segundos.
No método de Runge-Kutta de ordem 4, a velocidade de fase,~u1, usa-se para encontrar
um segundo ponto (2 na gura) que está deslocado uma distância ~u1Dt=2 a partir do

136. 126 Métodos numéricos
ponto inicial. Nesse segundo ponto calcula-se a velocidade de fase~u2. Com esse valor
da velocidade de fase, obtém-se um terceiro ponto, que está deslocado~u2Dt=2 a partir
do ponto inicial. No ponto 3 calcula-se novamente a velocidade de fase,~u3, e com essa
velocidade obtém-se um quarto ponto que está deslocado~u3Dtdesde a posição inicial. O
valor médio da velocidade no espaço de fase é calculado com a expressão:
~um=
~u1+2~u2+2~u3+~u4
6
(8.3)
Essa velocidade média usa-se para calcular o estado nal a partir do estado inicial:
~rf!~rf+Dt~um (8.4)
ComDt=0:2 s. O resultado obtido no caso da gura
Kutta”. A pesar do valor elevado deDt, o resultado encontra-se bastante perto da trajectória
real.
O programaplotdfdo Maxima usa o método de Runge-Kutta de ordem 4 para calcular as
curvas de evolução, ajustando automaticamente o valor deDtpara que os deslocamentos
sejam todos pequenos em relação ao tamanho da região apresentada.
Para implementar o algoritmo de Runge-Kutta em VPython, podemos usar um vectorrf
para representar o estado no espaço de fase. No caso do pêndulo, o valor inicial derf
serão os valores iniciais do ângulo e da velocidade angular. Os vectores em VPython têm
3 componentes, mas podemos trabalhar unicamente com as duas primeiras componentes, e
a terceira será implicitamente igual a zero.
Em cada ponto do espaço de fase, as coordenadas do vector velocidade de fase calculam-
se com um procedimento,uf, que terá como valor de entrada um vector (posição no
espaço de fase) e retornará outro vector (velocidade no espaço de fase), em que a primeira
componente é igual à segunda componente do vector de entrada (velocidade angular) e a
segunda componente é a aceleração angular, igual a(gsinq=l) , ondegelsão constantes
do programa eqé a primeira componente do vector de entrada. A outra constante do
programa é o intervalo de tempo escolhido,dt.
Em cada iteração, o algoritmo deverá executar o procedimentoufquatro vezes, para
encontrar os valores da velocidade no espaço de fase, em quatro pontos:
uf1 = uf(rf)
uf2 = uf(rf + dt*uf1 / 2.)
uf3 = uf(rf + dt*uf2 / 2.)
uf4 = uf(rf + dt*uf3)
Com esses quatro valores da velocidade no espaço de fase, calcula-se a velocidade média:
ufm = (uf1 + 2*uf2 + 2*uf3 + uf4)/6.
e encontra-se um novo valor para o vectorrf:
rf += dt*ufm
O programa 8.1 calcula a trajectória do pêndulo com 30 cm de comprimento, quando o
ângulo inicial for 0, e a velocidade angular inicial for2
p
g=l
, que é o valor necessário para

137. 8.2 Sistemas dinâmicos com vários graus de liberdade 127
que o pêndulo tenha a energia justa (mgl) para subir até o ponto mais alto no círculo e car
em repouso nesse ponto.
O segmento do programa que cria os objectos que fazem parte do pêndulo foi separada em
outro cheiro externopendulo.pyque é distribuído num cheiro junto com este livro,
e também aparece no apêndice C.
programa 8.1
1from *
2
3def(rf): # velocidade no espaço de fase
4 return *sin(rf.x)/0.3)
5
6# Estado inicial no espaço de fase:
7rf = vector(0, 2*sqrt(9.8/0.3))
8
9# A veloc. angular 2*sqrt(g/l) corresponde à energia no ponto
10# de equilíbrio instável.
11
12dt = 0.0005
13while:
14 rate(2000)
15 uf1 = uf(rf)
16 uf2 = uf(rf + dt*uf1 / 2.)
17 uf3 = uf(rf + dt*uf2 / 2.)
18 uf4 = uf(rf + dt*uf3)
19 ufm = (uf1 + 2*uf2 + 2*uf3 + uf4)/6.
20 rf += dt*ufm
21 pendulo.rotate(axis = (0,0,1), angle = ufm.x *dt)
Teoricamente, o pêndulo no programa 8.1 deveria subir até o ponto de equilíbrio instável
e permanecer em repouso nesse ponto. O resultado do programa (gura) é que o
pêndulo ca em repouso por alguns instantes, mas acaba por cair rodando em sentido
oposto e repetindo novamente o ciclo, como se tivesse uma energia ligeiramente menor
que a energia da separatriz. A discrepância com o resultado esperado é devida a erro
numérico. Para obter melhores resultados seria preciso diminuir o valor deDte dar uma
maior precisão de ponto utuante às variáveis do programa.
8.2 Sistemas dinâmicos com vários graus de
liberdade
Num sistema comngraus de liberdade, existem2nvariáveis de estado:nvariáveis
necessárias para denir as posições mais asnvelocidades associadas a essas posições.

138. 128 Métodos numéricos
Figura 8.2:
Resultado do programa 8.1. O pêndulo sobe até à posição de equilíbrio
instável, mas passados alguns instantes volta a cair.
Do ponto de vista numérico, o algoritmo de Runge-Kutta de ordem 4 é exactamente o
mesmo que foi implementado no programa 8.1. A principal diferença será que em vez de
usarmos vectores com duas componentes, a posição no espaço de fase,rf, e a velocidade
no espaço de fase,uf, serão listas com 2ncomponentes.
No Maxima também é possível escrever um programa para implementar o método de
Runge-Kutta. A vantagem de usar o Maxima está em que será muito mais fácil denir o
procedimento que calcula as componentes da velocidade no espaço de fase. O módulo
dynamicsdo Maxima inclui um programarkque usa o método de Runge-Kutta de quarta
ordem em forma iterativa, criando uma lista de pontos que aproximam a curva de evolução
de um sistema dado.
Para ilustrar a utilização do método de Runge-Kutta no caso de sistemas com vários
graus de liberdade, estudaremos nesta secção dois sistemas mecânicos com dois graus de
liberdade e, portanto, 4 variáveis de estado.
8.2.1 Osciladores acoplados
Um exemplo de dois osciladores harmónicos acoplados é um sistema de duas molas, com
constantes elásticask1ek2, ligadas a dois pequenos cilindros com massasm1em2, como
se mostra na gura.
As coordenadasy1ey2são as posições dos centros de gravidade dos dois cilindros, medidas
na direcção vertical e no sentido para cima. Como essas duas variáveis são independentes,
trata-se de um sistema com dois graus de liberdade. O estado do sistema é constituído por
essas duas variáveis e as duas velocidades dos dois cilindros,v1ev2.

139. 8.2 Sistemas dinâmicos com vários graus de liberdade 129
Figura 8.3:Sistema com duas molas e duas massas.
É conveniente mediry1ey2a partir de origens diferentes, nomeadamente, a partir dos pon-
tos onde se encontrariam os cilindros na posição em que cada mola tem o seu comprimento
natural (sem estar esticada nem comprimida).
Assim, a elongação da mola de cima será exactamente igual ay1e a elongação da mola
de baixo é igual ay2y1 . Estamos a arbitrar para cada mola que a elongação é positiva,
quando a mola estiver comprimida, ou negativa quando a mola estiver esticada.
Sobre o cilindro de baixo actua a força elástica da mola de baixo, o seu peso e a resistência
do ar. Sobre o cilindro de cima actuam as forças das duas molas, o seu peso e a resistência
do ar. Se as constantes elásticas das molas forem pequenas (molas que esticam facilmente),
as velocidades dos cilindros serão pequenas e podemos admitir que a resistência do
ar é devida principalmente ao termo viscoso, que aumenta linearmente em função da
velocidade.
A força produzida pela mola de cima sobre o cilindro 1 ék1y1, apontando para baixo,
quandoy1for positiva. A mola de baixo produz forças com valork2(y2y1) , apon-
tando para cima no cilindro 1, e para baixo no cilindro 2, quandoy2y1 for positiva.
Consequentemente, as acelerações dos dois cilindros são:
v1=
k1y1+k2(y2y1)m1gb1v1
m1
(8.5)
v2=
k2(y2y1)m2gb2v2
m2
(8.6)

140. 130 Métodos numéricos
Ondeb1eb2são os valores do produtoknpara cada um dos cilindros (ver a equação).
As outras duas equações deste sistema são as relações entre as posições e as velocidades:
y1=v1 (8.7)
y2=v2 (8.8)
Como as quatro equações,,
tem exactamente um ponto de equilíbrio. As equações
de equilíbriov1=v2=0 e, substituindo nas equaçãoes, encontramos facilmente
o ponto de equilíbrio:
y1=

m1+m2
k1

g y2=

m1+m2
k1
+
m2
k2

g v1=0v2=0 (8.9)
Esse ponto de equilíbrio representa, sicamente, a posição em que os cilindros estão em
repouso e as duas molas esticadas pela acção dos pesos dos cilindros; obviamente que
deverá ser um ponto de equilíbrio estável e como existem forças dissipativas, deverá ser
um foco ou nó atractivo.
Se mudarmos a origem das coordenadasy1ey2para esse ponto de equilíbrio, os termos
constantes desparecerão nas equações:
v1=
k1y1+k2(y2y1)b1v1
m1
(8.10)
v2=
k2(y2y1)b2v2
m2
(8.11)
e o sistema poderá ser escrito na forma matricial habitual para os sistemas lineares.
O programa 8.2 resolve o sistema de equações diferenciais,,, usando
o método de Runge-Kutta de ordem 4, e mostra a posição dos dois cilindros em função
do tempo. O programa é uma generalização simples do programa 8.1, usando listas (em
VPython,arrays) em vez de vectores. O desenho do sistema, assim como o deslocamento
das molas para dois valores dados das posições de cada cilindro, é feito por um programa
externo,duas_molas.py, que é distribuído num cheiro anexo a este livro, e no
apêndice C.
Há que ter cuidado com a forma diferente como são denidos os valores iniciais de um
vector ou de uma lista em VPython. No caso do vector, as componentes escrevem-se entre
parêntesis, separadas por vírgulas. No caso das listas é preciso usar parêntesis redondos e
parêntesis quadrados.
programa 8.2
1from duas_molas import *
2
3def(rf):

141. 8.2 Sistemas dinâmicos com vários graus de liberdade 131
4 a1 = (-k1*rf[0] + k2*(rf[1] - rf[0]) - b1*rf[2])/m1
5 a2 = (-k2*(rf[1] - rf[0]) - b2*rf[3])/m2
6 return
7
8rf = array([0.8, 0.2, 0, 0])
9m1 = 0.3; m2 = 0.6; k1 = 16; k2 = 12; b1 = 0.02; b2 = 0.03
10dt = 0.01
11
12while:
13 rate(100)
14 uf1 = uf(rf)
15 uf2 = uf(rf + dt*uf1 / 2.)
16 uf3 = uf(rf + dt*uf2 / 2.)
17 uf4 = uf(rf + dt*uf3)
18 ufm = (uf1 + 2*uf2 + 2*uf3 + uf4)/6.
19 rf += dt*ufm
20 deslocar_molas(rf[0], rf[1])
As equações,,
programark. Esse programa precisa 4 argumentos, que são quatro listas; a primeira lista
dene as derivadas das variáveis de estado, a segunda lista identica as variáveis de estado,
a terceira lista indica valores iniciais para essas variáveis e a quarta lista dene o intervalo
de integração e o valor deDt. Por exemplo, para resolver o problema das duas molas
acopladas, usando os mesmos dados do programa 8.2, usam-se os comandos seguintes:
(%i1) [m1, m2, k1, k2, b1, b2]: [0.3, 0.6, 16, 12, 0.02, 0.03]$
(%i2) a1: (-k1*y1+k2*(y2-y1)-b1*v1)/m1$
(%i3) a2: (-k2*(y2-y1)-b2*v2)/m2$
(%i4) traj: rk([v1, v2, a1, a2], [y1, y2, v1, v2], [0.8,0.2,0,0],
[t,0,12,0.01])$
o incremento do tempo usado foiDt=0:01 , comtinicial igual a zero, etnal igual a 12.
O resultado cou armazenado na listatraj. Cada elemento dessa lista é também uma
lista com 5 elementos:t,y1,y2,v1ev2. Por exemplo, o último elemento na lista é:
(%i5) last(traj);
(%o5) [12.0, - .2349223228836384, .2330453097398847,
- 3.273980015351182, 0.0536063320611079]
que contém o valor nal do tempot, seguido pelos valores nais das quatro variáveis de
estado. Convém olhar sempre para o último elemento da lista, para termos a certeza de
que o programarkfoi bem sucedido.
Não é possível fazer um gráco da listatraj; no entanto, podemos fazer grácos de duas

142. 132 Métodos numéricos
das variáveis, usandoplot2d. Será preciso extrair duas das variáveis na lista completa
traj. Por exemplo, para desenhar o gráco da posição do cilindro de cima,y1, em função
do tempo, teremos que extrair a primeira e a segunda componentes de cada ponto na lista
traj; isso consegue-se assim:
(%i6) plot2d([discrete,
makelist([traj[i][1], traj[i][2]], i, 1, length(traj))],
[xlabel,"t"], [ylabel,"y1"])$-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
0 2 4 6 8 10 12
y1
t -0.5
-0.4
-0.3
-0.2
-0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0 2 4 6 8 10 12
y2
t
Figura 8.4:Grácos das posições dos dois cilindros, em função do tempo.
O gráco aparece no lado esquerdo da gura.
Para desenhar o gráco da posição do cilindro de baixo,y2, em função do tempo, teremos
que extrair a primeira e a terceira componente em cada ponto da lista:
(%i7) plot2d([discrete,
makelist([traj[i][1], traj[i][3]], i, 1, length(traj))],
[xlabel,"t"], [ylabel,"y2"])$
O gráco aparece no lado direito da gura.
O espaço de fase tem quatro dimensões. Podemos representar a curva de evolução no
espaço de fase em funçao de duas das quatro variáveis, por exemplo, em função dey1ey2:
(%i8) plot2d([discrete,
makelist([traj[i][2], traj[i][3]], i, 1, length(traj))],
[xlabel,"y1"], [ylabel,"y2"])$
O resultado é apresentado na gura. O programa rkestá escrito na própria linguagem
de programação do Máxima e encontra-se dentro do cheirodynamics.macdistribuído
com o Maxima.
8.2.2 Pêndulo de Wilberforce
O pêndulo de Wilberforce (gura) consiste num cilindro, pendurado de uma mola
vertical muito comprida. Quando uma mola é esticada ou comprimida, cada espira muda

143. 8.2 Sistemas dinâmicos com vários graus de liberdade 133-0.5
-0.4
-0.3
-0.2
-0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
-0.8-0.6-0.4-0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8
y2
y1
Figura 8.5:
Trajectória do sistema de duas molas no espaço de fase, projectada no plano
(y1,y2).
ligeiramente de tamanho; no pêndulo de Wilberforce, o número elevado de espiras na mola
faz com que seja mais visível essa mudança, de forma que enquanto a mola oscila, também
se enrola ou desenrola, fazendo rodar o cilindro em relação ao eixo vertical.θ
z
Figura 8.6:Pêndulo de Wilberforce.
A força elástica na mola é igual é dada pela expressão:
F=kzbq (8.12)
ondezé a elongação da mola,qo ângulo que roda no plano perpendicular ao eixo ekeb

144. 134 Métodos numéricos
são duas constantes. O torque é dado pela expressão:
T=aqbz (8.13)
ondeaé outra constante. O termo que depende debé devido à relação que existe entre a
elongação e a torsão na mola.
As quatro variáveis de estado serãoz,q, a velocidade verticalve a velocidade angular no
plano horizontal,w. As quatro equações de evolução:
z=v q=w (8.14)
v=
k
m
z
b
m
q w=
a
I
q
b
I
z (8.15)
ondemeIsão a massa e o momento de inércia do cilindro. Vamos resolver esse sistema
usando os seguintes parâmetros:
(%i9) [m, I, k, a, b]: [0.5, 1e-4, 5, 1e-3, 0.5e-2]$
os lados direitos das equações de evolução são:
(%i10) eq1: v$
(%i11) eq2: w$
(%i12) eq3: -(k*z + b*ang)/m$
(%i13) eq4: -(a*ang + b*z)/I$
para as resolver, no intervalo de tempo desde 0 até 40, e com condição inicialz=10cm e
as outras variáveis iguais a 0, usaremos o programarkna forma seguinte:
(%i14) sol: rk([eq1,eq2,eq3,eq4],[z,ang,v,w],[0.1,0,0,0],
[t,0,40,0.01])$
convem separarmos as variáveis em listas diferentes, usando diferentes factores para que a
ordem de grandeza das variáveis seja semelhante e possam ser apresentadas num mesmo
gráco; após algumas tentativas, resolvemos usar os seguintes factores:
(%i15) listat: makelist(sol[i][1], i, 1, length(sol))$
(%i16) listaz: makelist(100 *sol[i][2], i, 1, length(sol))$
(%i17) listang: makelist(sol[i][3], i, 1, length(sol))$
(%i18) listav: makelist(35 *sol[i][4], i, 1, length(sol))$
(%i19) listaw: makelist(0.3 *sol[i][5], i, 1, length(sol))$
Quando existem mais do que 3 variáveis de estado, já não é possível desenhar o campo de
direcções nem o retrato de fase. O que podemos fazer é representar duas das variáveis de
estado num gráco a duas dimensões.
Para desenhar os grácos da elongaçãoze do ânguloq, em função do tempo, usamos os
comandos:
(%i20) plot2d([[discrete,listat,listaz],[discrete,listat,listang]],
[legend,"elongação","ângulo"],[xlabel,"t"],[plot_format,openmath])$

145. 8.2 Sistemas dinâmicos com vários graus de liberdade 135elongação
ngulo
0 10 20 30 40
-5
0
5
10
t
Figura 8.7:Evolução da elongação e do ângulo de rotação no pêndulo de Wilberforce.
o resultado aparece na gura. O gráco reproduz uma característica interessante
do pêndulo de Wilberforce: se o pêndulo é posto a oscilar, sem rodar, a amplitude das
oscilações lineares decresce gradualmente, enquanto que o cilindro começa a rodar com
oscilações de torsão que atingem uma amplitude máxima quando o cilindro deixa de se
deslocar na vertical. A amplitude dass oscilações de torsão começa logo a diminuir à
medida que a oscilação linear aparece novamente. Essa intermitência entre deslocamento
vertical e rotação repete-se várias vezes.
O retrato de fase também não pode ser desenhado, por ter 4 coordenadas, mas podemos
desenhar a sua projecção em duas dessas variávéis, por exemplo a elongação e o ângulo
(gura):
(%i21) plot2d([discrete, listaz, listang], [xlabel,"elongação"],
[ylabel,"ângulo"], [plot_format,openmath])$
Neste sistema existem duas frequências angulares. A frequência angular longitudinal e a
frequência angular de torsão:
wz=
r
k
m
wq=
r
a
I
(8.16)
O cilindro num pêndulo de Wilberforce costuma ter quatro porcas que podem ser des-
locadas, aumentando ou diminuindo o momento de inércia, para conseguir que as duas
frequências quem muito próximas e o efeito de alternância entre oscilações lineares e
rotacionais seja mais visível.

146. 136 Métodos numéricos-5 0 5
-6
-4
-2
0
2
4
6
ângulo
elongaço
Figura 8.8:Solução do sistema, no plano formado pela elongação e o ângulo.
No nosso exemplo acima, foram usados valores numéricos que garantem que as duas
frequências sejam iguais.
Perguntas
1.O comando
a:rk([f,g],[y,z],[0,1],
[x,0,1,0.01])
foi utilizado para resolver numericamente um
sistema de equações. Os comandos
c:makelist([a[i][1],a[i][2]],
i,1,101)
plot2d([discrete, c])
desenham o gráco de:
A.yvsx
B.yvst
C.zvsx
D.xvst
E.zvsy
2.O sistema não-linear:
u=2uv v=3u+uv
vai ser resolvido numericamente, no Maxima,
usando o programark, com condições ini-
ciaisu=1,v=1, entret=0et=5, com
intervalos de tempo de 0.01. Foram criadas
duas listas em Maxima, usando os comandos:
c: [3*u+u*v, -2*u*v]$
d: [t, 0, 5, 0.01]$
qual é o comando que deverá ser usado para
encontrar a solução do sistema?
A.rk(c,[u=1,v=1],d)
B.rk(c,[u,v],[1,1],d)
C.rk(c,[v,u],[1,1],d)
D.rk(c,[v=1,u=1],d)
E.rk(c,[v,u],[v=1,u=1],d)

147. 8.2 Sistemas dinâmicos com vários graus de liberdade 137
3.O comando
a:rk([f,g],[y,z],[0,1],
[x,0,1,0.01])
do Maxima foi usado para resolver numeri-
camente um sistema de equações. A seguir,
o comandolast(a[1])mostrará o valor:
A. y
B. x
C. z
D. z
E. x
4.
As equações de evolução de um sistema di-
nâmico são:
x1=2x1x2 x2=x1
e num instante inicialt=0o estado do sis-
tema éx1=2 ,x2=1 . Usando o método
de Euler, comDt=0:2 , calcule os valores
aproximados dex1ex2emt=0:2.
A.
B.
C.
D.
E.
5.
As equações de evolução de um sistema di-
nâmico são:
x1=2x1x2 x2=x1
e num instante inicialt=0o estado do sis-
tema éx1=x2=1 . Determine as componen-
tes da velocidade de fase~um, calculada pelo
método de Runge-Kutta de ordem 4, com
Dt=0:2.
A.
B.
C.
D.
E.
Problemas
1.
Calcule as coordenadas da órbita heteroclínica do pêndulo, com condições iniciais
q=0 ew=2
p
g=l
, para um pêndulo coml=0:3 m, usando o programark, para
valores detdesde 0 até 3 s e comDt=0:0005 . Desenhe o gráco deqem função det
e compare os valores nais deqewcom os respectivos valores do ponto de equilíbrio
instável.
2.A energia potencial de um oscilador harmónico simples em duas dimensões é:
U(x;y) =
kx
2
x
2
+
ky
2
y
2
ondexeysão as coordenadas da partícula, com massam, ekxekysão as constantes
elásticas.
(a)
A componentexda força é igual a menos a derivada parcial da energia potencial
em ordem ax, e a componenteyé menos a derivada parcial em ordem ay. Escreva
a expressão vectorial para a força, em função dexey.
(b)
Diga quais são as variáveis de estado do sistema, e escreva as equações de evolução.
(c)Use o programarkpara encontrar a solução comm=0:3 ,kx=2 eky=8 (unidades
SI), entret=0et=2:43 , se a partícula partir do ponto(1;0)com momento
velocidade inicial~v=0:6~ey . Desenhe o gráco da trajectória da partícula no plano
xy.

148. 138 Métodos numéricos
(d)
Repita a alínea anterior, mas admitindo que a partícula parte do ponto(1;0)com
velocidade inicial~v=0:3~ex+0:6~ey.
(e)
Observe que o sistema pode ser considerado como um conjunto de dois osciladores
harmónicos independentes, na direcção dexe na direcção dey. Calcule o período
de oscilação para cada um dos dois osciladores e diga qual é a relação entre os
dois períodos.
(f)
Repita os cálculos da alíneac, mudando o valor dekypara 18. Que relação encontra
entre o gráco da trajectória eky=kx?
As trajectórias obtidas são designadas porguras de Lissajous.
3.
A força responsável pela órbita elíptica de um corpo celeste no sistema solar (planeta,
cometa, asteróide, sonda espacial, etc) é a atracção gravitacional do Sol, que, em forma
vectorial escreve-se:
~F=
GM m
j~rj
3
~r
ondeGé a constante de gravitação universal,Mé a massa do Sol,ma massa do corpo
celeste, e~ro vector desde o centro do Sol até o centro do corpo celeste. Se as distâncias
forem medidas em unidades astronómicas, UA, e os tempos forem medidos em anos, o
produtoGMserá igual a 4p
2
.
(a)
Admitindo que o planoxyé o plano da órbita do corpo celeste, com origem no
centro do Sol, escreva as equações de evolução do corpo celeste, usando unidades
de anos para o tempo e UA para as distâncias.
(b)
O cometa Halley chega até uma distância mínima do Sol igual a 0.587 UA. Nesse
ponto, a sua velocidade é máxima, igual a 11.50 UA/ano, e perpendicular à sua
distância até o Sol. Usando o programarkdo Maxima, calcule a órbita do cometa
Halley, a partir da posição inicial0:587~ex , com velocidade inicial11:50~ey , com
intervalos de tempoDt=0:05 anos. Desenhe a órbita desdet=0atét=100anos.
Que pode concluir acerca do erro numérico?
(c)
Repita o procedimento da alínea anterior comDt=0:02 anos e desenhe a órbita
desdet=0 atét=150 anos. Que pode concluir acerca do erro numérico?
(d)
Diga qual é, aproximadamente, a distância máxima que o cometa Halley se afasta
do Sol, e compare a órbita do cometa com as órbitas do planeta mais distante,
Neptuno (órbita entre 29.77 UA e 30.44 UA) e do planeta mais próximo do Sol,
Mercúrio (órbita entre 0.31 UA e 0.39 UA) (Plutão já não é considerado um
planeta).
4.
Usando os mesmos valores das massas e das constantes das molas usados no programa
8.2, escreva a matriz do sistema linear das duas molas acopladas. Calcule os valores
próprios e diga se são reais ou complexos e qual o sinal da parte real. Repita os mesmos
cálculos admitindo que a resistência do ar seja nula.

149. 9 Cicloslimiteesistemasdeduas
espécies
A aranha caranguejo é um predador que consegue mudar a sua cor para se camuar das
suas presas. Na fotograa, uma aranha caranguejo, pousada numa or, apanha duas moscas
que estavam a acasalar. Os sistemas predador presa são um exemplo de sistema de duas
espécies; a evolução da população das duas espécies pode ser estudada com a teoria de
sistemas dinâmicos.

150. 140 Ciclos limite e sistemas de duas espécies
9.1 Ciclos limite
Num sistema conservativo, todos pontos de equilíbrio estável sãocentrose existemciclos,
que correspondem a movimentos oscilatórios.
Na prática, um sistema conservativo é apenas uma idealização. Existem forças dissipativas
que tornam um centro emfoco estável; os ciclos passam a ser espirais que se aproximam
do foco atractivo e o movimento oscilatório descrito por essas espirais tem amplitude de
oscilação decrescente, aproximando-se para zero. Existe dissipação ou fornecimento de
energia.
Também podem existir forças externas que aumentam a energia mecânica do sistema.
Nesse caso o centro torna-se umfoco instávele os ciclos são substituídos por espirais que
se afastam do ponto. Essas órbitas em espiral representam movimento oscilatório com
amplitude crescente.
A combinação dos dois efeitos: forças dissipativas mais forças externas que fornecem
energia, pode ser na proporção exacta que mantem o sistema em movimento oscilatório
com amplitude constante. Um exemplo típico é um relógio de pêndulo: a dissipação de
energia devida à resistência do ar e atrito no eixo é compensada por um mecanismo que
produz um torque sobre o pêndulo.
Assim, num sistema não conservativo também podem existir ciclos no espaço de fase.
Mas comumente esses ciclos são isolados; nomeadamente, existem apenas para um valor
especíco da amplitude e não para qualquer amplitude arbitrária. Esse tipo de ciclos
isolados, nos sistemas não lineares, são designadosciclos limite.
9.1.1 Equação de Van der Pol
Uma equação não linear conhecida há muito tempo e que dá origem a ciclos limite é a
equação de Van der Pol, que apareceu no estudo dos circuitos eléctricos e outros sistemas
mecânicos:
¨x+2e(x
2
1)x+x=0 (9.1)
ondeeé um parâmetro positivo. Assim, sex
2for maior que 1, o segundo termo é dissipativo
e implica diminuição da amplitude de oscilação. Sex
2for menor que 1, o sistema terá
fornecimento de energia e a amplitude de oscilação aumentará. Assim, espera-se que,
independentemente do estado inicial, o sistema termine oscilando com amplitude próxima
de 1.
A equação de van der Pol é equivalente ao seguinte sistema dinâmico autónomo:
x=y y=x2e(x
2
1)y (9.2)
Existe um único ponto de equilíbrio, na origem. A matriz Jacobiana nesse ponto é:

0 1
1 2e

(9.3)

151. 9.1 Ciclos limite 141
e os valores próprios sãol=e
p
e
2
1-2.5 0 2.5
-4
-2
0
2
4
y
x x
y
0 10 20 30
-4
-2
0
2
4
t
Figura 9.1:
Solução da equação de van der Pol para um valor pequeno do parâmetro,
e=0:17, com estado inicial próximo da origem.
A origem é um ponto repulsivo, que poderá ser um foco (e<1), um nó (e>1), ou um
nó impróprio (e=1). A gura e=0:17 , com estado
inicial perto da origem:x=y=0:1. Os grácos foram produzidos com o comando:
(%i1) plotdf([y,-x-2*e*(x^2-1)*y], [x,y], [direction,forward],
[parameters,"e=0.17"], [x,-4,4], [y,-5,5], [nsteps,900],
[trajectory_at,0.1,0.1], [versus_t,1])$
O sistema oscila, com amplitude crescente, mas após algumas oscilações a amplitude
aproxima-se dum valor máximo e as oscilações são cada vez mais uniformes. No retrato
de fase, a órbita cresce aproximando-se de um ciclo com foram de rectângulo com vértices
arredondados.
Com o mesmo valor do parâmetro,e=0:17 , mas com um estado inicial afastado da
origem, o sistema oscila com amplitude que decresce até o mesmo valor obtido no caso
anterior, como mostra a gura, que foi obtida com o seguinte comando:
(%i2) plotdf([y,-x-2*e*(x^2-1)*y], [x,y], [direction,forward],
[parameters,"e=0.17"], [x,-4,4], [y,-5,5], [nsteps,900],
[trajectory_at,-3,3], [versus_t,1])$
Nos dois casos das guras
caso a aproximação é feita desde dentro do ciclo e no segundo caso desde fora. Esse tipo
de ciclo é umciclo limite atractivo. Existem também ciclos limite repulsivos, no caso em
que as órbitas perto desse ciclo afastam-se dele.
Se o parâmetroefor maior que 1 e o estado inicial estiver próximo da origem, o sistema
aproxima-se muito mais rapidamente do ciclo limite, já que a origem passa a ser um nó
repulsivo. Por exemplo, parae=1:7 e estado inicialx=y=0:1:

152. 142 Ciclos limite e sistemas de duas espécies-2.5 0 2.5
-4
-2
0
2
4
y
x x
y
0 5 10 15
-5
-2.5
0
2.5
5
t
Figura 9.2:
Solução da equação de van der Pol para um valor pequeno do parâmetro,
e=0:17, com estado inicial afastado da origem.
(%i3) plotdf([y,-x-2*e*(x^2-1)*y], [x,y], [direction,forward],
[parameters,"e=1.7"], [x,-4,4], [y,-6,6], [nsteps,1500],
[trajectory_at,0.1,0.1], [versus_t,1])$
No casoe=1:7 , o ciclo limite tem uma forma mais complicada no espaço de fase
(gura), em comparação com o rectângulo de vértices arredondados obtido no caso
e=0:17 (gura).
Em função do tempo, as oscilações são mais parecidas com uma função harmónica de
frequência única (função seno ou co-seno), se o parâmetroefor pequeno. Se o parâmetro
efor maior, as oscilações são mais complexas, como no caso da gura, revelando a
sobreposição de várias funções harmónicas com diferentes frequências.
O circuito, ou sistema físico, descrito pela equação de van der Pol é um sistema auto-
regulado. Nomeadamente, independentemente do estado inicial do sistema, o estado nal
será um movimento oscilatório com amplitudes e frequências especícas do circuito.
9.1.2 Existência de ciclos limite
Num ponto do espaço de fase, que não seja ponto de equilíbrio, passa exactamente uma
curva de evolução. As curvas de evolução de um sistema dinâmico contínuo, no espaço de
fase, nunca se podem cruzar.
Esse princípio é útil para descobrir a existência de ciclos limite. Por exemplo, no retrato de
fase apresentado na gura, vemos que a origem é um foco repulsivo; perto da origem
as curvas de evolução (também designadas por órbitas) são espirais que apontam para fora
da origem. No entanto, nas regiões mais afastadas da origem, vemos que as órbitas se
aproximam da origem.

153. 9.1 Ciclos limite 143-2.5 0 2.5
-4
-2
0
2
4
6
y
x x
y
0 10 20 30
-6
-4
-2
0
2
4
6
t
Figura 9.3:
Solução da equação de van der Pol para um valor elevado do parâmetro
e=1:7 e com estado inicial próximo da origem.
Como as órbitas que saem da origem não se podem cruzar com as órbitas que se aproximam
dele, deverá existir um ciclo limite para onde se aproximarão assimptóticamente todas as
órbitas, sem se cruzarem nem se tocarem.
Em alguns casos consegue-se demonstrar matematicamente a existência do ciclo limite,
usando coordenadas polares, como mostraremos no exemplo a seguir.-1 -0.5 0 0.5
-1
-0.5
0
0.5
1
y
x
Figura 9.4:Retrato de fase de um sistema com um ciclo limite.

154. 144 Ciclos limite e sistemas de duas espécies
Exemplo 9.1
Demonstre que o sistema com equações de evolução:
x=y+x(12x
2
3y
2
) y=x+y(12x
2
3y
2
)
tem um ciclo limite.
Resolução:Os pontos de equilíbrio serão:
(%i4) f1: -y+x*(1-2*x^2-3*y^2)$
(%i5) f2: x+y*(1-2*x^2-3*y^2)$
(%i6) solve([f1,f2]);
(%o6) [[x = 0, y = 0]]
Assim, existe um único ponto de equilíbrio, na origem. O retrato de fase obtido com as
funçõesf1ef2é apresentado na gura, que mostra o ciclo limite.
Vamos substituir as coordenadas cartesianas por coordenadas polares. Será preciso fazer
essa substituição também nos lados esquerdos das equações:xey. Consequentemente,
precisamos das equações de evolução completas:
(%i7) depends([x,y],t)$
(%i8) eq1: diff(x,t) = f1;
dx 2 2
(%o8) -- = x (- 3 y - 2 x + 1) - y
dt
(%i9) eq2: diff(y,t) = f2;
dy 2 2
(%o9) -- = y (- 3 y - 2 x + 1) + x
dt
O comandodependsfoi usado para indicar quexeydependem det; se não tivéssemos
usado esse comando, as derivadas teriam sido calculadas como derivadas parciais, dando o
resultado 0.
A substituição para coordenadas polares é a seguinte:
x=rcosq y=rsinq
no Maxima, usaremosu, em vez deq. É preciso declarar também a dependência no tempo
das variáveisreu, antes de fazer a substituição:
(%i10) depends([r,u],t)$
(%i11) eq3: ev(eq1, x=r *cos(u), y=r*sin(u), diff)$
(%i12) eq4: ev(eq2, x=r *cos(u), y=r*sin(u), diff)$
o modicadordiffé para forçar a que as derivadas sejam calculadas. Finalmente,
resolvemos o sistema para req:

155. 9.1 Ciclos limite 145
(%i13) solve([eq3,eq4],[diff(r,t),diff(u,t)]);
dr 3 2 3 2 du
(%o13) [[-- = - 3 r sin (u) - 2 r cos (u) + r, -- = 1]]
dt dt
O resultado obtido foi
r=rr
3
(2+sin
2
q) q=1-1.2 -0.8 -0.4 0 0.4 0.8 1.2
-1
-0.5
0
0.5
y
x
Figura 9.5:
Retrato de fase do sistemax=y+x(12x
2
3y
2
) ,y=x+y(12x
2
3y
2
) .
A segunda equação mostra que o ângulo aumenta com taxa constante. O estado roda no
espaço de fase, com velocidade angular constante. Enquanto roda, o valor dermuda;
pararigual a 1/2, a derivadaré igual a(2sin
2
q)=8 , que é positivo; nomeadamente,r
aumentará até um valor maior que 1/2. Ser=1, a derivada derserár=1sin
2
q , que
é negativa para qualquer valor deq. Consequentemente,rdiminuirá até um valor menor
que 1. Portanto, deverá existir um ciclo limite na região1=2<r<1 . Neste caso o ciclo
limite é estável
1
. O retrato de fase mostra o ciclo limite (gura).
9.1.3 Inexistência de ciclos limite
Se existir um ciclo limite, na região dentro dele deverá existir pelo menos um foco, um
centro ou um nó. Assim, se numa região do espaço de fase não existir nenhum foco, centro
ou nó, podemos garantir que nessa região não existe nenhum ciclo limite. O determinante
da matriz jacobiana é igual ao produto dos valores próprios; portanto, num sistema de
1
Deixa-se como exercício para o leitor encontrar o valor der, diferente de zero, em que a derivadaré nula,
e demonstrar que para diferentes ângulos esse valor está compreendido entre 0.577 e 0.707.

156. 146 Ciclos limite e sistemas de duas espécies
segunda ordem, se num ponto de equilíbrio o determinante da matriz jacobiana for negativo,
esse ponto será necessariamente ponto de sela.
Assim, num sistema de segunda ordem, se dentro de uma região do espaço de fase não
existir nenhum ponto de equilíbrio onde o determinante da matriz jacobiana seja positivo,
nessa região não poderá existir nenhum ciclo limite. Esse método é útil para demonstrar
que num sistema não existem ciclos limite.
Exemplo 9.2
Demonstre que o sistema seguinte não possui nenhum ciclo limite.
x=y
2
x y=y+x
2
+yx
3
Resolução:
(%i14) f: [y^2-x, y+x^2+y *x^3]$
(%i15) solve(f);
produz unicamente uma solução real, na origem. Assim, o único ponto de equilíbrio é a
origem.
(%i16) vars: [x,y]$
(%i17) jacobian(f,vars)$
(%i18) determinant(ev(%,x=0,y=0));
(%o18) - 1
portanto, a origem é um ponto de sela, e não existe nenhum ciclo limite.
9.2 Coexistência de duas espécies
Consideremos duas populações diferentes. A funçãox(t)representa o número de elementos
da espécie 1, no instantet, ey(t)o número de elementos da espécie 2, no instantet.
A taxa de aumento das populações das duas espécies serão:
x
x
y
y
(9.4)
e as equações de evolução do sistema deverão ter a forma geral:
x=x f(x;y) y=yg(x;y) (9.5)
É importante observar que no instante em que não existiam elementos de uma das espécies,
a população dessa espécie não podera aumentar nem diminuir. A funçãofé a soma da

157. 9.2 Coexistência de duas espécies 147
taxa de natalidade da espécie 1, menos a sua taxa de mortalidade.gé a soma da taxa de
natalidade da espécie 2, menos a sua taxa de mortalidade.
Só estamos interessados no primeiro quadrante do espaço de fase, onde as duas variáveisx
eysão positivas, pois a população de cada espécie não poderá ser um número negativo.
Comoxeysão positivas, as componentes da velocidade de fase são proporcionais afeg.
Na ausência de elementos da espécie 2, a taxa de crescimento da população 1 éf(x;0).
Três modelos que costumam ser usados para o crescimento da população são os seguintes
(aebsão constantes):
1.f(x;0) =a>0 aumento exponencial da população.
2.f(x;0) =a<0 extinção exponencial da população.
3.f(x;0) =abx a>0b>0 modelo logístico; população com limitea=b.
o mesmo aplica-se à outra espécie e à função:g(0;y).
9.2.1 Sistemas predador presa
Num sistema predador presa, a taxa de mortalidade da espécie 1 é proporcional à população
da espécie 2, e a taxa de natalidade da espécie 2 aumenta em função da população da
espécie 1. Nesse caso, a espécie 1 são presas, e a população 2 são predadores que se
alimentam das presas.
O aumento do número de presas, aumenta a taxa de crescimento da população de predado-
res:g(x;y) é crescente em função dex. O aumento do número de predadores, diminui a
taxa de crescimento da população de presas:f(x;y)é decrescente em função dey.Presas
Predadores
f
f
f
f
g
g
g
g
Figura 9.6:Possível ciclo num sistema predador presa.
Essas relações permitem que seja possível a existência de ciclos, tal como se mostra na
gura
A origem também é um ponto de equilíbrio. Como sobre cada um dos eixos coordenados a
velocidade de fase é na mesma direcção do eixo, a origem e quaisquer outros pontos de

158. 148 Ciclos limite e sistemas de duas espécies
equilíbrio nos eixos deverão ser nós ou pontos de sela. Se um desses pontos for estável,
implicará um estado em que uma das espécies foi extinta e a população da outra permanece
constante (modelo logístico).
Exemplo 9.3
Analise o modelo deLotka-Volterra:
x=x(acy) y=y(bxd)
com 4 parâmetros positivosa,b,ced.
Resolução:
Olhando para as equações, conclui-se quexrepresenta uma população de
presas, com crescimento exponencial, eyé uma população de predadores, com extinção
exponencial.
Os pontos de equilíbrio serão:
(%i19) f: [x*(a-c*y), y*(b*x-d)]$
(%i20) vars: [x,y]$
(%i21) equil: solve(f,vars);
d a
(%o21) [[x = 0, y = 0], [x = -, y = -]]
b c
existem 2 pontos de equilíbrio na região de interesse: (0,0) e (d=b,a=c).
(%i22) jacobiana: jacobian(f, vars)$
Na origem:
(%i23) jacobiana, equil[1];
[ a 0 ]
(%o23) [ ]
[ 0 - d ]
os valores próprios sãoaed. A origem é um ponto de sela (instável). No segundo ponto
xo:
(%i24) jacobiana, equil[2];
[ c d ]
[ 0 - --- ]
[ b ]
(%o24) [ ]
[ a b ]
[ --- 0 ]
[ c ]
(%i25) eigenvectors(%);
(%o25) [[[- sqrt(- a d), sqrt(- a d)], [1, 1]],

159. 9.2 Coexistência de duas espécies 149
b sqrt(- a d) b sqrt(- a d)
[1, -------------], [1, - -------------]]
c d c d
os valores próprios são imaginários; portanto, o segundo ponto de equilíbrio é um centro.
Qualquer situação inicial (na região de interesse, onde as duas variáveis são positivas) faz
parte de um ciclo, em que as populações das duas espécies oscilam. Para desenhar o retrato
de fase, usaremos o comando:
(%i26) plotdf(f, vars, [parameters,"a=6,b=3,c=2,d=15"],
[x,0,10], [y,0,10], [nsteps,1000], [direction,forward],
[trajectory_at,7,1], [versus_t,1])$0 2.5 5 7.5 10
0
2.5
5
7.5
10
y
x x
y
0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4
0
2
4
6
8
10
t
Figura 9.7:
Retrato de fase do modelo de Lotka-Volterra e gráco das populações em
função do tempo.
Inicialmente, as populações de presas e de predadores aumentam, mas quando o número
de predadores estiver por cima do seu valor médio, a população de presas começará a
decrescer. Quando o número de presas for menor que o seu valor médio, a falta de presas
fará com que a população de predadores diminua; quando diminuir por baixo do seu valor
médio, a população de presas voltará a aumentar e o ciclo repetir-se-á.
O modelo de Lotka-Volterra produz ciclos, que podem fazer oscilar a população entre um
valor muito pequeno e um valor muito elevado. Situação essa que não é muito realista num
sistema predador presa. Mais realista será um ciclo limite, como no exemplo seguinte.
Exemplo 9.4
Analise o modelo deHolling-Tanner:
x=x

1
x
7


6xy
7+7x
y=0:2y

1
y
2x

160. 150 Ciclos limite e sistemas de duas espécies
Resolução:
Observando as equações, concluímos quexrepresenta uma população de
presas, com crescimento logístico, eyé a população de predadores, com crescimento
logístico.
(%i27) f: [x*(1-x/7) -6*x*y/(7+7*x), 0.2*y*(1-y/2/x)]$
(%i28) equil: solve(f);
(%o28) [[y = 0, x = 0], [y = 0, x = - 1], [y = 0, x = 7],
[y = - 14, x = - 7], [y = 2, x = 1]]
existem 3 pontos de equilíbrio: (0, 0), (7, 0) e (1, 2).
(%i29) vars: [x,y]$
(%i30) J: jacobian(f, vars)$
(%i31) eigenvectors(ev(J, equil[3])), numer;
(%o31) [[[0.2, - 1], [1, 1]], [1, - 1.6], [1, 0]]
portanto, o ponto de equilíbrio em (7, 0) é ponto de sela. A matriz jacobiana na origem
não pode ser calculada por substituição directa, porque aparecem denominadores iguais a
zero; por enquanto, adiaremos a análise de estabilidade da origem.0 2 4 6 8 10
0
2.5
5
7.5
y
x
Figura 9.8:Retrato de fase do modelo de Holling-Tanner.
Com
(%i32) eigenvectors(ev(J, equil[5]));
descobrimos que o ponto (1, 2) é foco repulsivo.
A órbita que sai do ponto de sela (7, 0), na direcção do vector (-1, 1.6), aproxima-se do
foco repulsivo; assim, deverá existir um ciclo limite estável à volta do foco instável.
O retrato de fase é desenhado com o comando:
(%i33) plotdf(f, vars, [x,-0.1,10], [y,-0.1,8]);
usou-se -0.1, para evitar os denominadores nulos no eixo dosy.

161. 9.2 Coexistência de duas espécies 151
O ciclo limite aparece indicado a preto na gura, e as órbitas que entram e saem do
ponto de sela emx=7estão em verde. No eixo dosyhá uma descontinuidade na derivada
deye, por isso, não existem trajectórias nesse eixo, mas parax>0a origem comporta-se
como ponto de sela.
9.2.2 Sistemas com competição
Se as duas espécies estão em competição pelos mesmos recursos, a taxa de aumento de
cada uma das populações diminui com o aumento da outra população. Consequentemente,
já não poderão existir ciclos, como acontecia nos sistemas predador-presa.
Exemplo 9.5
Explique os possíveis retratos de fase para o seguinte sistema com 6 parâmetros positivos
a,b,c,d,e,f:
x=x(abxcy) y=y(deyf x)
Resolução:
As equações mostram que se trata de um sistema de duas espécies em com-
petição. Para evitar conitos com valores de variáveis usados nos exemplos anteriores,
começaremos por limpar a memoria no Maxima.
(%i34) kill(all)$
(%i1) fg: [x*(a-b*x-c*y),y*(d-e*y-f*x)]$
(%i2) vars: [x,y]$
(%i3) equil: solve(fg, vars);
a d
(%o3) [[x = 0, y = 0], [x = -, y = 0], [x = 0, y = -],
b e
a e - c d a f - b d
[x = - ---------, y = ---------]]
c f - b e c f - b e
O único ponto de equilíbrio fora dos eixos é o quarto; usaremos o comandosubstpara
simplicar o resultado, denindo 3 novas constantes.
(%i4) ponto:subst([c*f-b*e=c1,a*e-c*d=-c2,a*f-b*d=c3],equil[4]);
c2 c3
(%o4) [x = --, y = --]
c1 c1
esse ponto só estará no primeiro quadrante se as três constantesc1,c2ec3, forem todas
positivas ou todas negativas.

162. 152 Ciclos limite e sistemas de duas espécies
(%i5) jacobiana: jacobian(fg, vars)$
(%i6) jacobiana, equil[4]$
para simplicar a matriz, aplicaremos as funçõesratsimpefactora cada elemento
da matriz (usa-semappara aplicar uma função a cada elemento da matriz):
(%i7) map(ratsimp, %)$
(%i8) map(factor, %);
[ b (a e - c d) c (a e - c d) ]
[ ------------- ------------- ]
[ c f - b e c f - b e ]
(%o9) [ ]
[ f (a f - b d) e (a f - b d) ]
[ - ------------- - ------------- ]
[ c f - b e c f - b e ]
apareceram novamente as três constantesc1,c2ec3denidas previamente; substituindo,
obtemos:
(%i10) matriz: subst([c *f-b*e=c1, a*e-c*d=-c2, a*f-b*d=c3], %);
[ b c2 c c2 ]
[ - ---- - ---- ]
[ c1 c1 ]
(%o10) [ ]
[ c3 f c3 e ]
[ - ---- - ---- ]
[ c1 c1 ]
(%i11) factor(ratsimp(determinant(matriz)));
c2 c3 (c f - b e)
(%o11) - -----------------
2
c1
como(c fbe) é igual ac1, o determinante da matriz jacobiana no ponto de equilíbrio é
igual ac2c3=c1 . Consequentemente, se as 3 constantesc1,c2ec3forem positivas, o
ponto de equilíbrio é um ponto de sela. Se as 3 constantes forem negativas, o ponto xo
poderá ser um nó atractivo, para alguns valores dos parâmetros.
Vejamos um caso em que as 3 constantes são positivas (3, 2, 2) (lado esquerdo na gura):
(%i12) plotdf(fg, vars, [x,0,3.1], [y,0,3.1],
[parameters,"a=2,b=1,d=2,e=1,c=2,f=2"])$
Se no instante inicial a população de uma das espécies for menor, essa espécie será
extinta (o sistema aproxima-se do ponto de sela num dos eixos). Se inicialmente as duas
populações forem iguais, atinge-se o ponto de equilíbrio em que as duas populações são

163. 9.2 Coexistência de duas espécies 153
iguais a 2/3 (c2=c1=c3=c1).
Um exemplo do segundo caso, em que as 3 constantes são negativas (-3/4, -1, -1), é o
seguinte (lado direito na gura):
(%i13) plotdf(fg, vars, [x,0,3.1], [y,0,3.1],
[parameters,"a=2,b=1,d=2,e=1,c=0.5,f=0.5"])$
As duas espécies coexistem em forma harmoniosa, atingindo sempre o ponto de equilíbrio
em que as duas populações são iguais a 4/3 (c2=c1=c3=c1).0 1 2 3
0
1
2
3
y
x 0 1 2 3
0
1
2
3
y
x
Figura 9.9:
Retratos de fase do exemplo, nos casos em que c1,c2ec3são todas
negativas (esquerda) ou positivas (direita). No primeiro caso o ponto de equilíbrio é
instável, e no segundo caso é estável.

164. 154 Ciclos limite e sistemas de duas espécies
Perguntas
1.
Um sistema, no espaço de fase (x,y), tem
um ciclo limite com raio constante, igual
a 2 unidades. Após uma mudança de va-
riáveis para coordenadas polares (r,q),
com origem no centro do ciclo limite, a
equação obtida para o ângulo foi:q=3.
Qual poderá ser a equação obtida para o
raior?
A.r=2r1
B.r=3r2
C.r=22r
D.r=2r4
E.r=3r
2.
Um sistema dinâmico de segunda ordem
tem um ciclo limite à volta do ponto de
equilíbrio (x,y) = (a,b). O que é que
caracteriza os pontos (x,y) nesse ciclo
limite?
A.
Estão todos à mesma distância de (a,
b).
B.
Em todos esses pontos o campo de
direcções aponta na direcção de (a,
b).
C.
Formam uma curva que passa por (a,
b).
D.
Formam uma curva fechada com (a,
b) no interior.
E.
Formam uma curva fechada com (a,
b) no exterior.
3.
Um sistema, no espaço de fase (x,y),
tem um ponto de equilíbrio em (2, 3).
Após uma mudança de variáveis para co-
ordenadas polares (r,q), com origem no
ponto (2, 3), o sistema obtido foi:r=2r ,
q=3 . O que é que podemos armar
acerca do sistema?
A.
B.
Existe um ciclo limite à volta de (2,3).
C.
D.
E.
4.
As equaçõesx=y(3x) ,y=x(5+y)
denem um sistema:
A.
B.
C.
D.
E.
5.
As equações de evolução de um sistema
de duas espécies são:
x=x(3y) y=y(x5)
que tipo de sistema é?
A. xas presas.
B. yas presas.
C.
D.
E.

165. 9.2 Coexistência de duas espécies 155
Problemas
1.
Uma população de dragões,y, e uma população de águias,x, evoluem de acordo com
um modelo de Lotka-Volterra:
x=x(2y) y=
y
2
(x3)
Analise a estabilidade e desenhe o retrato de fase do sistema. Qual será o estado limite?
alguma das duas espécies será extinta?
2.Considere o modelo de Verhulst para duas populações:
x=x(1x2y) y=y(1+5xy)
diga se é um sistema com competição ou um sistema presa-predador (e nesse caso quais
as presas e quais os predadores). Analise a estabilidade e desenhe o retrato de fase.
3.
Para cada um dos modelos de duas espécies com competição, na lista que se segue, diga
se existe coexistência ou exclusão mútua entre as duas espécies. Se existir coexistência,
diga a natureza do ponto de equilíbrio (estável ou instável). Se existir exclusão mútua,
diga qual das duas espécies sobrevive. Em todos os casos desenhe o retrato de fase.
a)x=x(2
1
5
x
1
6
y) y=y(1
1
10
y
1
8
x)
b)x=2x(1
1
20
x)
1
25
xy y=4y(1
1
40
y)
1
10
xy
c)x=x(1
1
20
x
1
8
y) y=y(1
1
12
y
1
16
x)
d)x=2x(1
1
100
x)
1
40
xy y=10y(1
1
50
y)
1
8
xy
4.Para demonstrar que o sistema não linear:
x=xyx
3
xy
2
y=x+yx
2
yy
3
tem um ciclo limite estável:
a)
Use coordenadas polares para transformar o sistema num sistema de segunda
ordem para as variáveisreq(sugestão: use o comandotrigreducepara
simplicar o resultado).
b)
Desenhe o gráco derem função der(rnão pode ser negativo) e diga qual será o
valor limite derquando o tempo for sucientemente grande.
c) x,y).
d) x,y).
5.Demonstre que o sistema seguinte não tem nenhum ciclo limite.
x=y y=x

166. 156 Ciclos limite e sistemas de duas espécies
6.O sistema de equações de Rössler em 3 dimensões,
x=yz
y=x+0:2y
z=0:2+(xc)z
tem ciclos limite para alguns valores do parâmetroc; nomeadamente, após algum tempo,
as variáveisx,yezdescrevem ciclos que se repetem periódicamente.
a)
Use o programarkpara encontrar a solução do sistema comc=3e condições
iniciaisx(0) =z(0) =0 ,y(0) =4 , no intervalo0t200 ; use 5000 passos
(Dt=0:04).
b)
Usando unicamente o intervalo160t200 da solução encontrada na alínea
anterior, desenhe os grácos deyem função dex, e dexem função det.
c)
Determine, aproximadamente, o período dos ciclos representados nos grácos da
alínea anterior.

167. 10 Bifurcaçõesecaos
Os investigadores da NASA no Centro de Investigação de Langley usam fumo colorido,
que ascende desde uma fonte em terra, para visualizar um dos vórtices produzidos na ponta
de uma das assas dum avião agrícola. A turbulência associada ao vórtice é um exemplo
de movimento caótico. A imprevisibilidade desse movimento torna muito perigosa a
aproximação de outros aviões dentro da zona de turbulência. Estudos como este da NASA
são usados para determinar a distância mínima recomendável entre aviões em voo, em
função das condições; por exemplo, quando há mau tempo esses vórtices são menores
porque são dissipados pelo vento.

168. 158 Bifurcações e caos
10.1 Órbitas homo/heteroclínicas atractivas
No capítulo anterior vimos que quando existe um ciclo limite atractivo, as curvas de
evolução aproximam-se assimptóticamente desse ciclo. Também é possível existirem
órbitas homoclínicas ou heteroclínicas atractivas, como veremos no exemplo seguinte.
Exemplo 10.1
Desenhe o retrato de fase do com equações de evolução:
x=x

y
2
+2xyx
15
4
y+1

y=y

2x
2
xy+y+
15
4
x1

e mostre que existe uma órbita heteroclínica atractiva.
Resolução
: Começamos por criar uma lista com as funçõesfeg, e outra lista com as
variáveis de estado:
(%i1) fg: [x*(y^2+2*x*y-x-15*y/4+1), y*(-2*x^2-x*y+y+15*x/4-1)]$
(%i2) vars: [x, y]$
A seguir, encontramos os pontos de equilíbrio:
(%i3) solve(fg, vars);
(%o3) [[x = 0, y = 0], [x = 1, y = 0], [x = 0, y = 1],
7 3 4 4 1 1
[x = -, y = - -], [x = -, y = -], [x = -, y = -]]
4 4 3 3 4 4
existem 6 pontos de equilíbrio. Em vez de calcular a matriz jacobiana para cada ponto,
vamos tentar descobrir que tipo de ponto é cada um, a partir do campo de direcções, numa
região que inclui os 6 pontos de equilíbrio:
(%i4) plotdf(fg, vars, [x,-0.5,2], [y,-1.5,2]);
Desenhando algumas trajectórias com o programaplotdf, descobre-se que os pontos (0,
0), (1, 0) e (0, 1) são pontos de sela, os pontos (0.25, 0.25) e (1:33:::,1:333:::) são focos
repulsivos, e o ponto (1.75, -0.75) é um nó atractivo. Também vemos que as 3 rectasx=0,
y=0ey=1x são separatrizes (ver gura). O triângulo com vértices nos 3 pontos
de sela é uma órbita heteroclínica.
Todas as curvas de evolução que saem do foco no pontoa(G) = (0:25;0:25) aproximam-se
assimptóticamente da órbita heteroclínica que, consequentemente é atractiva.
A diferença entre uma órbita heteroclínica atractiva, como a que existe no exemplo anterior
e um ciclo limite atractivo, está na forma como o sistema se aproxima desses conjuntos
limite. Para estudar a forma como é feita essa aproximação no caso da órbita heteroclínica,
desenharemos o gráco de evolução das variáveis de estado em função do tempo. Usando
o programark, com valores iniciaisx=0:26 ey=0:26, e paratdesde 0 até 500,
(%i5) sol: rk(fg,vars,[0.26,0.26],[t,0,500,0.1])$

169. 10.1 Órbitas homo/heteroclínicas atractivas 159-0.4 0 0.4 0.8 1.2 1.6 2
-1
0
1
2
y
x
Figura 10.1:Retrato de fase do exemplo, com uma órbita heteroclínica atractiva..
convém olhar para o resultado da última iteração:
(%i6) last(sol);
(%o6) [500.0, 0.999999995090667, 1.552719493869485E-22]
neste caso, o programa rk conseguiu integrar até o tempo nalt=500. Em versões do
Maxima compiladas com outras variantes do Lisp, o mesmo programa pode parar num
tempotmenor a 500. Isso é devido a que, a acumulação de erros numéricos pode provocar
que uma das duas variáveis de estado atinja um valor por fora do triângulo formado pelos
3 pontos de sela; nesse caso, a variável cresce rapidamente para innito. Quando o valor
obtido for muito elevado, provocará um erro no programa rk que será concluído nesse
ponto.
Vamos desenhar os grácos de cada uma das variáveis de estado, em função do tempo,
desdet=0atét=400, com os resultados obtidos, usando apenas um quinto dos pontos
obtidos (que é suciente e evita demoras na obtenção do gráco):
(%i7) solx: makelist([sol[5 *i+1][1],sol[5*i+1][2]],i,0,1000)$
(%i8) plot2d([discrete,solx],[y,-0.2,1.2],[xlabel,"t"],
[ylabel,"x"]);
(%i9) soly: makelist([sol[5 *i+1][1],sol[5*i+1][3]],i,0,1000)$
(%i10) plot2d([discrete,soly],[y,-0.2,1.2],[xlabel,"t"],
[ylabel,"y"]);

170. 160 Bifurcações e caos-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
0 100 200 300 400 500
x
t -0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
0 100 200 300 400 500
y
t
Figura 10.2:
Evolução das variáveis de estado numa curva de evolução que se aproxima
da órbita heteroclínica do exemplo.
A gura
com período aproximadamente constante e amplitude crescente. A amplitude aproxima-se
de um valor máximo e o período começa a aumentar gradualmente. O estado permanece
cada vez mais tempo perto de cada ponto de sela, e a seguir desloca-se rapidamente para o
ponto de sela seguinte. Esse comportamento é semelhante ao que foi observado no capítulo
8, para o pêndulo simples. Nesse caso, com energia ligeiramente menor que a energia no
ponto de equilíbrio instável, a trajectória do pêndulo encontrava-se muito próximo de um
ciclo homoclínico. Para esse pêndulo ideal, a trajectória era uma curva fechada, enquanto
que no exemplo acima a trajectória não se fecha sobre si própria, mas aproxima-se cada
vez mais da órbita heteroclínica.
10.2 Comportamento assimptótico
Vimos em capítulos anteriores alguns exemplos de sistemas em que o estado evolui para
um ponto de equilíbrio estável. Um exemplo é um pêndulo; o atrito com o ar faz diminuir
a amplitude das oscilações e o pêndulo aproxima-se da posição de equilíbrio estável, na
posição mais baixa do pêndulo.
Outros sistemas evoluem aproximando-se de um ciclo no espaço de fase; após algum
tempo, cada variável de estado varia em forma cíclica repetitiva. Os pontos do espaço
de fase que fazem parte do ciclo limite constituem oconjunto limitepara o estado do
sistema.
SeGfor uma trajectória do sistema, no espaço de fase, oconjunto limite positivo,w(G),
é o ponto, ou conjunto de pontos, para onde a trajectóriaGse aproxima, no limitet!¥.
Dene-se também oconjunto limite negativo,a(G), constituido pelo ponto ou conjunto
de pontos onde a trajectória se aproxima no limitet! ¥.
Esses conjuntos limite poderão não existir, se a trajectória se afastar continuamente sem

171. 10.2 Comportamento assimptótico 161
limite. Se existirem, os conjuntos limite poderão ser pontos de equilíbrio, ciclos ou órbitas
homoclínicas ou heteroclínicas.
A designaçãoaewpara os conjuntos limite negativo e positivo, é devida a que essas
duas letras são a primeira e última letra no alfabeto grego;a(G)é a origem donde sai a
trajectóriaG, ew(G)é o m deG.
10.2.1 Teorema de Poincaré-Bendixson
Num sistema dinâmico onde existam unicamente duas variáveis de estado, que possam ter
qualquer valor real, o espaço de fase é um plano. Se as duas variáveis de estado fossemx1
ex2, o espaço de fase será o planox1x2. As equações de evolução serão:
x1=f1(x1;x2) x2=f2(x1;x2) (10.1)
e a velocidade de fase em qualquer ponto do espaço de fase é o vector:
~u=f1(x1;x2)~e1+f2(x1;x2)~e2 (10.2)
Em cada ponto esse vector determina a tangente à curva de evoluçãoGque passa por
esse ponto. Duas curvas de evolução diferentes nunca se podem cruzar em nenhum ponto
no domínio das funçõesf1ef2, porque no ponto em que se cruzassem existiriam duas
velocidades de fase diferentes, que não é possível.
O enunciado do teorema de Poincaré-Bendixson é:
Em qualquer sistema com apenas duas variáveis de estado (espaço de fase
plano), se existir o conjunto limite positivo, ou negativo, de uma trajectóriaG,
esse conjunto limite deverá ser um dos três casos seguintes:
1.Um ponto de equilíbrio.
2.Um ciclo.
3.Uma órbita homoclínica ou heteroclínica.
Em particular, quando existir o conjunto limite positivow(G), é designado também por
atractor. Segundo o teorema de Poncairé-Bendixson, no plano os únicos atractores podem
ser pontos de equilíbrio, ciclos, órbitas homoclínicas ou órbitas heteroclínicas.
Se o conjunto limite positivo,w(G), de uma trajectória for um único ponto, esse ponto
deverá ser um ponto de equilíbrio, que pode ser um nó ou foco estável, ou um ponto de
sela. Se o conjunto limite negativo,a(G), for um único ponto, poderá ser um nó ou foco
repulsivo, ou um ponto de sela.
Um ponto de sela pode ser simultâneamente conjunto limite positivo e negativo de uma
trajectória; nomeadamente, a trajectória começa nesse ponto de sela e fecha-se terminando
no mesmo ponto de sela. Esse tipo de trajectória fechada constitui uma órbita homoclínica.

172. 162 Bifurcações e caos
10.2.2 Critério de Bendixson.
A divergência da velocidade de fase
Ñ~u=
¶f1
¶x1
+
¶f2
¶x2
(10.3)
Outro teorema importante, designado de critério de Bendixson é o seguinte:
Num sistema dinâmico com apenas duas variáveis de estado, se numa região
simplesmente conexa R, do plano de fase, adivergênciada velocidade de fase
for sempre positiva ou sempre negativa, então em R não existe nenhum ciclo,
nem órbita homoclínica nem órbita heteroclínica.
Uma região R simplesmente conexa é uma região sem nenhum buraco no seu interior: a
recta que une dois pontos quaisquer na região deverá estar contida completamente em R.
O critério de Bendixson é útil para determinar em que regiões do plano de fase podem
existir ciclos, órbitas homoclínicas ou heteroclínicas.
Exemplo 10.2
Demonstre que um pêndulo, amortecido pela resistência do ar não pode ter nenhum ciclo,
nem órbitas homoclínicas ou heteroclínicas.
Resolução
: as equações de evolução para o ângulo,q, e a velocidade angularwdo pêndulo
são obtidas adicionando a força de resistência do ar (ver equação) às equações de
evolução do pêndulo ideal:
q=w w=
g
l
sinqK1wK2jwjw
ondegé a aceleração da gravidade,lé o comprimento do pêndulo eK1eK2são duas
constantes obtidas a partir da equação, dividida por l.
A divergência da velocidade de fase é:
Ñ~u=
¶w
¶q
+
¶


g
l
sinqK1wK2jwjw

¶w
=K12K2jwj
Assim, conclui-se que a divergência é sempre negativa (sistema dissipativo) e, portanto,
não existe nenhum ciclo nem órbitas homoclínicas ou heteroclínicas. No caso conservativo,
quando as constantes da resistência do ar,K1eK2, forem nulas, a divergência será nula e
já não vericará a condição do critério de Bendixson; nesse caso existem ciclos.
Se existir uma curva de evolução fechada C, formada por um ciclo, órbita homoclínica ou
heteroclínica, no interior dessa órbita fechada e na sua vizinhança, as trajectórias podem
ter algum dos 3 comportamentos seguintes:

173. 10.3 Bifurcações 163
Aproximam-se assimptóticamente de C.
Afastam-se assimptóticamente de C.
Formam uma família contínua de ciclos.
No primeiro caso, a curva C será o conjunto limite positivo,w(G), de todas as curvasGno
seu interior. Deverá existir necessariamente um ponto de equilíbrio, no interior de C, que
seja o conjunto limite negativoa(G)de todas essas curvas; consequentemente, esse ponto
de equilíbrio deverá ser um nó ou foco instável.
No segundo caso, a curva C será conjunto limite negativo,a(G), de todas as curvasGno
seu interior. Deverá existir necessariamente um ponto de equilíbrio, no interior de C, que
seja o conjunto limite positivow(G)de todas essas curas; consequentemente, esse ponto
de equilíbrio deverá ser um nó ou foco estável.
No terceiro caso, um dos ciclos menores pode ser ciclo limite atractivo ou repulsivo,
existindo assim um nó ou foco no seu interior, como nos dois casos anteriores. Se nenhum
dos ciclos na família de ciclos internos for um ciclo limite, deverá existir um centro no
interior da família de ciclos.
Independentemente da situação no interior da curva C, no seu exterior poderão existir
outros ciclos, ou C poderá ser conjunto limite atractivo ou repulsivo. Isto é, uma órbita
fechada pode ser atractiva no interior e no exterior, atractiva no interior mas repulsiva no
exterior, etc.
10.3 Bifurcações
No problema
com velocidade angular maior que
p
g=l
, a posição mais baixa do pêndulo deixa de ser
ponto de equilíbrio estável, passando a ser ponto de equilíbrio instável, e aparecem dois
novos pontos de equilíbrio estável.
No referencial que roda com a base, existe uma força ctícia, a força centrífuga:
Fc=mRw
2
b
(10.4)
ondeRé a distância desde o centro do disco até à vertical que passa pelo eixo do pêndulo,
ewbé a velocidade angular da base. A soma dessa força, junto com o peso e a tensão na
barra, produzem uma força resultante com componente tangencial
Ft=msinq

lw
2
b
cosqg

(10.5)
Assim, as equações de evolução para o ângulo,q, e a velocidade angular,w, do pêndulo
são
q=w w=sinq

w
2
b
cosq
g
l

(10.6)

174. 164 Bifurcações e caosR
l
mg
F
Fc
θ
tangente
Figura 10.3:
Pêndulo simples com a base em rotação no plano horizontal e diagrama de
forças externas.
O lado esquerdo da gura
no caso em que a velocidade angular da base,wb, for menor que
p
g=l
. Existem dois
pontos de equilíbrio, emq=0 eq=p ; o primeiro ponto é um centro, e o segundo ponto
é um ponto de sela.-10
-5
0
5
10
-3 -2 -1 0 1 2 3
ω
θ -15
-10
-5
0
5
10
15
-3 -2 -1 0 1 2 3
ω
θ
Figura 10.4:
Retrato de fase dum pêndulo coml=0:5 m, quando a velocidade angular
wbda base é igual a 2 s
1
(lado esquerdo) e 10 s
1
(lado direito).
O lado direito da gura
wb, for maior que
p
g=l
. O ponto de equilíbrio emq=0 torna-se instável, passando a
ser um ponto de sela com dois ciclos homoclínicos. Dentro de cada ciclo homoclínico há
um novo centro. O sistema poderá oscilar em forma repetitiva à volta de algum dos dois
centros.
Diz-se que o sistema sofre umabifurcaçãoemwb=
p
g=l
. Imagine que a base do pêndulo
estivesse inicialmente em repouso, e o pêndulo na posição de equilíbrio estável, comq=0
ew=0. Se a base começar a rodar com aceleração angular positiva, chegará um instante

175. 10.4 Sistemas caóticos 165
em que o estado do pêndulo se torna instável, e qualquer pequena perturbação faz com que
o pêndulo suba abruptamente para uma das duas novas posições de equilíbrio estável.
Como normalmente existe alguma incerteza experimental associada às medições deq=0
ew=0, isso implicará a impossibilidade de prever para qual dos dois novos pontos de
equilíbrio irá subir o pêndulo, quandowbatingir o valor que produz bifurcação.
Outro exemplo físico simples com bifurcação, já estudado por Euler no século XVIII, é
uma barra exível, por exemplo uma régua plástica apoiada numa mesa, e com uma força
externaFque faz com que permaneça na posição vertical. SeFnão ultrapassar um valor
críticoFc, a régua permanecerá directa e em equilíbrio. Se a forçaFultrapassar o valor
críticoFc, a régua encurva-se, até car numa nova posição de equilíbrio em que o centro
da régua está afastado uma distânciaDxda vertical. Acontece que o desvío da barra pode
ser para a direita ou para a esquerda da vertical. Nomeadamente, existem dois pontos de
equilíbrio comDxpositiva ou negativa.
Em função deF, o ponto de equilíbrioDx=0 , paraF<Fc , separa-se em dois pontos
de equilíbrio,Dx>0 eDx<0 , paraF>Fc . Trata-se de uma bifurcação: emDx=0
ainda existe uma posição de equilíbrio, mas é bastante instável. Aparecem duas novas
posições de equilíbrio comDxpositivo e negativo. Com uma régua que seja bastante recta
e simétrica em relação às deformações para os dois lados, será difícil prever para qual dos
dois lados irá inclinar-se, quandoFaumentar por cima do limiar de bifurcação.
10.4 Sistemas caóticos
Num sistema contínuo de segunda ordem, o teorema de Poincaré-Bendixson garante que
as trajectórias que não têm conjuntos limite positivo nem negativo são trajectórias que se
aproximam para o innito nos limitest!¥et! ¥.
Num sistema contínuo com 3 ou mais variáveis de estado, já não se verica o teorema
de Poincaré-Bendixson. Assim, podem existir trajectórias que nunca saem de uma região
nita do espaço de fase, mas que não têm conjuntos limite positivo nem negativo. Para
qualquer valor det, positivo ou negativo, a trajectória nunca passa novamente por um
ponto do espaço de fase por onde passa num instantet1(se o zer, entrava num ciclo e
teria um conjunto limite). O sistema evolui para um número innito de estados diferentes,
sem sair duma região nita do espaço de fase; nomeadamente, as variáveis de estado nunca
chegam a crescer indenidamente. Esse tipo de comportamento é designado decaos.
Quando o conjunto limite positivo de várias trajectórias for o mesmo, esse conjunto
limite designa-seatractor. As trajectórias caóticas não têm nenhum conjunto limite,
mas costumam aparecer na proximidade de um conjunto de pontos de equilíbrio (ou
ciclo) atractivos e repulsivos, designadosatractor estranho. A conjugação de atracção e
repulsão dá origem ao comportamento caótico.

176. 166 Bifurcações e caos
10.4.1 Bola elástica sobre uma mesa oscilatória
Um sistema mecânico simples em que aparecem trajectórias caóticas é uma bola que
cai para uma mesa horizontal, perde uma percentagem da sua energia quando choca
com a mesa, e após a colisão é projectada para cima. Se a mesa estiver estática, a bola
acabará por car em repouso sobre a mesa, após alguns saltos. Se a mesa tiver um
movimento oscilatório, a bola pode ganhar energia se colidir com a mesa quando esta
está a deslocar-se para cima. Se a oscilação da mesa for sucientemente rápida e com
amplitude sucientemente grande a trajectória da bola poderá ser caótica.
Este sistema já foi estudado no capítulo 2, no caso em que a mesa estiver estática. Nesse
caso, em cada impacto com a mesa a velocidade da bola mudava de sentido e era multipli-
cada pelocoeciente de restituição,a, menor que 1. Com a mesa em movimento, sevoe
vmforem as componentes verticais da velocidade da bola e da mesa, no instante da colisão,
evffor componente da velocidade da bola imediatamente após a colisão, verica-se a
equação
vfvm=a(vovm) (10.7)
nomeadamente, a velocidade da bola, relativa à mesa, muda de sentido e diminui num
factora. Assim, a velocidade da bola após o impacto é
vf= (a+1)vmavo (10.8)
Se o movimento da mesa for harmónico simples, escolhendo a origem de coordenadas e do
tempo em forma apropriada, podemos escrever a altura da superfície da mesa em função
do tempo
ym=bsin(wt) (10.9)
a derivada deymdá a velocidade instantânea da mesa
vm=wbcos(wt) (10.10)
O programa 10.1 mostra a simulação do movimento da bola. A condição que indica cada
impacto da bola com a mesa, é quando a altura das duas for a mesma, e a componente
vertical da velocidade da bola for menor que a componente vertical da mesa (bola a
aproximar-se da mesa). Devido a que no programa o tempo não aumenta continuamente,
mas em intervalos discretos, as duas alturas não chegarão a ser iguais, e usaremos como
condição de impacto que a altura do centro da bola seja menor que a da superfície da mesa.
programa 10.1
1from *
2scene.autoscale=0; scene.range=7;
3scene.center=(0,3,0); scene.forward=(0.5,0,-1)
4bola = sphere (pos=(0,5,0), radius=0.4, color=color.red)
5mesa = box (pos=(0,0,0), size=(5,0.5,5), color=color.blue)
6(alfa, beta, omega) = (0.9, 0.28, 8);

177. 10.4 Sistemas caóticos 167
7(g, dt, v, fase) = (-9.8, 0.01, 0, 0)
8while:
9 rate(100)
10 bola.pos.y += v*dt
11 ym = beta*sin(fase)
12 vm = beta*omega*cos(fase)
13 if
14 bola.pos.y = ym + bola.radius
15 v = (1 + alfa)*vm - alfa*v
16 else: v += g *dt
17 mesa.pos.y = ym - 0.25
18 fase += omega*dt
19 if *pi: fase -= 2*pi
Se executar esse programa, poderá observar a complexidade do movimento. Embora o
mesmo movimento complexo seja repetido quando executar o programa novamente, uma
pequena alteração da altura inicial faz com que o movimento seja completamente diferente.
Por exemplo, observe após quantos saltos a bola sai fora da janela gráca e quantas vezes
volta a saltar fora antes de car novamente dentro da janela; a seguir diminua a altura
inicial de 5 para 4.9 e repita o mesmo procedimento, comparando os resultados.
Se a mesa estiver em repouso, o programa 2.3 do capítulo 2. Mostra trajectória da bola, que
salta cada vez menos até car em repouso sobre a mesa. O lado esquerdo da gura
mostra a trajectória no espaço de fase, que é a união de várias parábolas, cada vez menores,
com centro no ponto de equilíbrioy=0,v=0; portanto, esse ponto de equilíbrio é um
foco atractivo.
Para desenhar a trajectória no estado de fase, quando a mesa oscila com os parâmetros
usados no programa 10.1, podemos transcrever o programa 10.1 na linguagem do Maxima,
guardando a altura e a velocidade da bola em cada instante numa lista,pontos, que
usaremos no m para desenhar o gráco da trajectória no espaço de fase.
(%i11) [alfa, beta, omega]: [0.9, 0.3, 8]$
(%i12) [g, dt, v, fase, y]: [-9.8, 0.01, 0, 0, 5]$
(%i13) pontos: [[y, v]]$
(%i14) for i thru 7600 do
(y: y + v*dt, ym: beta*sin(fase), vm: beta*omega*cos(fase),
if (v < vm) and (y < ym)
then (v: (1 + alfa)*vm - alfa*v)
else (v: v + g*dt),
fase: fase + omega*dt,
pontos: cons([y, v], pontos))$
(%i15) plot2d([discrete,pontos], [xlabel,"y"], [ylabel,"v"])$
O resultado é apresentado no lado direito da gura; são apresentadas apenas duas
das 3 variáveis de estado, a altura da bola e a velocidade, pois o tempo também é uma
variável de estado neste caso (o sistema não é autónomo). Consequentemente, a trajectória

178. 168 Bifurcações e caos-10
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
10
0 1 2 3 4 5
v
y -15
-10
-5
0
5
10
15
-2 0 2 4 6 8 10 12
v
y
Figura 10.5:
Trajectórias da bola elástica em queda livre sobre a mesa. No lado esquerdo,
quando a mesa está em repouso, e no lado direito quando a mesa oscila.
da gura
trajectória têm todos valores diferentes da terceira variável de estado.
As diferentes parábolas no lado direito da gura
maior para menor ou de menor para maior, mas de forma bastante irregular. O ponto de
equilíbrio emy=0,v=0desaparece e é substituído por um ciclo, que corresponde à
situação em que a bola estivesse em repouso em relação à mesa, oscilando com o mesmo
movimento oscilatório; esse ciclo é um atractor estranho.
Podemos também desenhar um gráco que mostre a posiçãoye velocidadevda bola em
cada instante que choque com a mesa. Vamos denir um pequeno programa no Maxima,
que crie uma lista com esses pontos:
(%i16) discreto(y0,dt,n) :=
block([pontos:[],v:0,y:y0,fase:0,g:-9.8,
alfa:0.9,beta:0.28,omega:8,vm,ym],
for i thru n do
(y:y + v*dt, ym:beta*sin(fase), vm:beta*omega*cos(fase),
if (v < vm) and (y < ym)
then (v:(1 + alfa)*vm - alfa*v,pontos:cons([ym,v],pontos))
else (v: v + g*dt),
fase: fase + omega*dt,
if fase>2*%pi then fase:fase-2*%pi),
pontos)$
As variáveis de entrada para esse programa serão a altura inicial da bola, o valor dos
incrementos de tempo,Dt, e o número de iterações (o número de pontos obtidos será muito
menor). Assim, podemos experimentar diferentes números de iterações, até obtermos um
número sucientemente elevado de pontos que permitam visualizar o comportamento do
gráco. Por exemplo, a gura
(%i17) pontos: discreto(5,0.01,2000000)$
(%i18) plot2d([discrete,pontos],[xlabel,"y"],[ylabel,"v"],
[style,[points,1.2]])$

179. 10.4 Sistemas caóticos 169-5
0
5
10
15
20
25
-0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3
v
y
Figura 10.6:
Altura e velocidade da bola nos instantes em que choca com a mesa oscilató-
ria.
A ordem em que aparecem os pontos no gráco
pontos começa a ser visível um padrão elíptico repetitivo. Esses padrões elípticos são
réplicas da trajectória oscilatória da mesa no espaço de fase, deslocada para diferentes
valores da velocidade.
O sistema obtido pela sequência de alturasyie velocidadesviem cada impacto com a
mesa, constitui um sistema dinâmico discreto de segunda ordem. Neste caso trata-se de
um sistema discreto caótico. A diferença dos sistemas contínuos, onde o comportamento
caótico aparece unicamente em sistemas de ordem 3 ou superior, os sistemas dinâmicos
discretos podem ser caóticos, independentemente da sua ordem.
10.4.2 Equações de Lorenz
No sistema estudado na secção anterior, a trajectória caótica permanece numa região nita
do planoyv, mas a terceira variável de fase, o tempo, está sempre a aumentar e, portanto,
não permanece numa região nita. Vamos ver outro sistema caótico no qual todas as
variáveis aumentam e diminuem sem sair duma região nita do espaço de fase. Trata-se do
sistema de Lorenz.
Em 1963, o meteorologista Edward N. Lorenz apresentou um modelo meteorológico para
as correntes de convecção do ar em planos verticais, produzidas por aquecimento na aresta
inferior dos planos. As três equações diferenciais do sistema são as seguintes:
x=s(yx) (10.11)
y=rxyxz (10.12)
z=xybz (10.13)
ondexrepresenta a amplitude das correntes de convecção,yé a diferença de temperaturas

180. 170 Bifurcações e caos
entre as correntes ascendente e descendente, ezrepresenta o desvio da temperatura normal
no plano. Os três parâmetross,rebsão positivos e dependem das propriedades físicas
do uxo de ar.
Algumas propriedades deste sistema são:
Existe simetria em relação à transformação(x;y;z)!(x;y;z)

O eixozé invariante; nomeadamente, se o estado em algum instante estiver no eixo
z, continuará a evoluir nesse eixo.

Se o parâmetror(número de Rayleigh) estiver dentro do intervalo0<r<1 , o único
ponto de equilíbrio é a origem, que é ponto de equilíbrio estável.

Existe uma bifurcação do ponto de equilíbrio na origem, quandor=1. Para valores
rsuperiores a 1, a origem torna-se ponto de equilíbrio instável, e aparecem outros
dois pontos de equilíbrio, com os mesmo valor dez, mas com valores simétricos de
xey.
Serestiver compreendido entre 1 e o valor crítico:
rc=
s(s+b+3)
sb1
(10.14)
os dois novos pontos de equilíbrio são estáveis e a origem é instável. Para valores de
rsuperiores ao valor crítico, os 3 pontos de equilíbrio são instáveis, e constituem
um atractor estranho.
Usaremos alguns valores típicos des(número de Prandtl) e deb: 10 e 8/3
(%i19) eq1: 10*(y-x)$
(%i20) eq2: r*x-y-x*z$
(%i21) eq3: x*y-8*z/3$
Com esses parâmetros, o valor crítico deré aproximadamente 24.737. Usaremosr=28,
que produz um sistema caótico:
(%i22) eqs: [eq1,ev(eq2,r=28),eq3]$
(%i23) vars: [x,y,z]$
Vamos agora obter a trajectória com valores iniciaisx=y=z=5 , desdet=0atét=20.
Convém conferir que a solução numérica tenha um erro numérico aceitável; isso consgue-se
reduzindo sucessivamente o valor deDt, até obter resultados semelhantes:
(%i24) sol: rk(eqs,vars,[5,5,5],[t,0,20,0.005])$
(%i25) last(sol);
(%o25) [20.0, - 9.828387295467534, - 15.51963080051572,
19.70704291529228]
(%i26) sol: rk(eqs,vars,[5,5,5],[t,0,20,0.001])$
(%i27) last(sol);
(%o27) [20.0, - 9.982849006433105, - 16.02444930921706,
19.29327680164279]
(%i28) sol: rk(eqs,vars,[5,5,5],[t,0,20,0.0005])$

181. 10.4 Sistemas caóticos 171
(%i29) last(sol);
(%o29) [20.0, - 9.983218904894246, - 16.03358993202447,
19.27538762480826]t
x
10 20
20
−20
Figura 10.7:
Oscilações do sistema de Lorenz para dois valores muito próximos do valor
inicial:x(0) =5 (vermelho) ex(0) =5:005 (azul). Parâmetros:s=10,b=8=3 ,r=28,
y(0) =5,z(0) =5.
A listasolpode ser usada para obter vários grácos diferentes. Por exemplo, a gura
mostra (a vermelho) a solução obtida paraxem função do tempo. O valor dexoscila em
forma complicada, sem repetir o mesmo padrão de oscilações.
Se zermos o mesmo cálculo, mudando ligeiramente o valor inicial dexpara5:005,
mantendo os mesmos valores iniciais deyez, obtém-se a solução apresentada em azul
na gura. As duas soluções parecem idênticas até t=10, mas a partir desse tempo
começam a diferir drasticamente.
Um gráco das coordenadaszexda solução obtida numericamente mostra que o estado
do sistema oscila algumas vezes à volta de um dos pontos de equilíbrio fora da origem,
saltando repentinamente para o outro ponto de equilíbrio fora da origem (ver gura).
Nesse ponto são realizadas outro número de oscilações antes de regressar para o outro
ponto. O número de oscilações perto de cada ponto, antes de passar para o próximo, não
parece seguir nenhuma ordem simples.

182. 172 Bifurcações e caos
Figura 10.8:
Solução caótica do sistema de Lorenz, projectada no planoxz. Os parâmetros
são os mesmos da gura, com x(0) =5.
Perguntas
1.
Se a curva de evolução de um sistema
dinâmico, no espaço de fase, passa duas
vezes pelo mesmo ponto P, o qué é que
podemos concluir?
A.
B.
C.
o sistema tem mais do que duas variá-
veis de estado.
D.
o sistema tem duas variáveis de es-
tado.
E.
2.
Qual das seguintes não é uma proprie-
dade dos sistemas caóticos?
A.
B.
C.
D.
E.
3.
No sistema representado na gura, qual é
o conjunto limite negativo da trajectória
que passa pelo ponto (0, 0.5)?1
0-1
1
-1
A.
B.
C.
D.
E.

183. 10.4 Sistemas caóticos 173
4.
Para resolver numericamente um sistema
caótico, é preciso usar uma maior preci-
são do que para um sistema não caótico.
Isso é devido a que um sistema caótico:
A.
não tem curvas de evolução periódi-
cas.
B.
tem mais do que duas variáveis de
estado.
C.
é muito sensível às condições iniciais.
D.
E.
tem soluções que crescem muito rapi-
damente.
5.
Em que condições poderá um sistema de
duas espécies tornar-se caótico?
A.
B.
só se existir competição entre as es-
pécies.
C.
só se existir ajuda mútua entre espé-
cies.
D.
E.
Problemas
1.
Em cada caso, encontre os conjuntos limite positivo e negativo das trajectórias que
passam pelos pontos (0, 0) e (1, 1), usando técnicas analíticas ou grácas:
a)x=x, y=x
2
+y
2
1.
b)x=y, y=x
2.Demonstre que o sistema
x=2xy+36x
3
15y
2
y=x+2y+x
2
y+y
5
não tem ciclos, nem órbitas homoclínicas ou heteroclínicas.
3.A forma geral do sistema de Rössler depende de 3 parâmetros positivosa,bec:
x=yz y=x+cy z=a+(xb)z
O objectivo deste problema é investigar a solução do sistema para diferentes valores de
c, comaebxos. Em cada caso deverá usar o programarkvárias vezes: a primeira
vez para deixar evoluir o sistema um tempo sucientemente grande, para que o ponto
nal seja parte do conjunto limite positivo (ou perto dele). As outras vezes que executar
o programark, usará como valores iniciais os valores nais da primeira execução.
Use em todos os casosa=2,b=4, e valores iniciais para a primeira instância derk:
x=y=z=2.
a)
Parac=0:3 , use o programarkpara obter a solução no intervalo entret=0e
t=80, comDt=0:01 . Execute novamente o programark, usando como valores
iniciais os valores nais da execução anterior, mas comtentre 0 e 5. Desenhe o
gráco deyvsx. Execute repetidamente o programark, aumentado gradualmente
o valor nal det, até conseguir que o gráco forme uma trajectória fechada. Qual
é o valor nal detque produz a trajectória fechada?

184. 174 Bifurcações e caos
b)
Repita o procedimento da alínea anterior, parac=0:35 . Diga qual é o valor nal
detque faz com que a trajectória seja fechada.
c)
Repita o mesmo procedimento, parac=0:375 , e encontre o valor nal detque
produz a trajectória fechada.
d)
Emc=0:398 , o sistema torna-se caótico. A trajectória já não chega a ser nunca
fechada para nenhum valor det. Repita o procedimento das alíneas anteriores,
mas na segunda parte desenhe unicamente o gráco paratentre 0 e 250.
4.Encontre os pontos de equilíbrio do sistema de Lorenz com os seguintes parâmetros:
x=10(yx) y=28xyzx z=xy
8
3
z
e demonstre que o valor der=28é superior ao valor necessário para que o sistema
seja caótico.

185. A PythoneVPython
OPythoné uma linguagem de programação que tem ganho muita popularidade no ensino
e na investigação, por ser fácil de aprender e devido à sua facilidade de extensão que faz
com que existam muitos módulos disponíveis.
Um desses módulos que usaremos nesta disciplina é oVPython, que inclui classes para
criar vários tipos de formas geométricas em três dimensões, que podem ser colocadas em
movimento facilmente. VPython usa a livraria grácaOpenGL.
Python, VPython e OpenGL são software livre, que podem ser instalados e utilizados em to-
dos os principais sistemas operativos. Na página Web do VPython (http://www.vpython.org/)
pode ser descarregado um pacote que inclui o VPython, o Python e uma interface gráca
para o Python:Idle. Em algumas distribuições do sistema GNU/Linux os programas
Python, VPython e Idle já estão incluídos em pacotes separados.
A.1 Idle
A interface Idle pode ser lançada desde um menu ou usando o comando “idle” numa
consola. Quando o programa Idle arranca, é criada uma janelaPython Shell(gura),
onde podem ser escritos comandos do Python em forma interactiva. Os três caracteres»>
indicam o ponto na janela onde deverá ser inserido o próximo comando.
O menu “File” permite abrir um programa já escrito, em outra janela, e executá-lo. A
janelaPython Shellcontinuará aberta e nela serão apresentadas as mensagens de erro e
tudo o que seja enviado pelo programa para a saída padrão.
A.2 O Python como calculadora
Uma primeira aplicação do Python é como calculadora para fazer algumas contas. Por
exemplo, se quisermos calcular o tempo que demora a luz do Sol a chegar até à Terra,
fazemos uma pesquisa na Internet para encontrar o valor da distância entre a Terra e o Sol,
que é de1:49610
11 m e a velocidade da luz que é3:010
8 m/s. Assim, o tempo em
segundos será:
1:49610
11
3:010
8
Essa conta é feita na Shell do Python assim:

186. 176 Python e VPython
Figura A.1:A interface do programa Idle.
>>>
382.0
O resultado 382.0 aparece (em azul) quando se carrega na tecla “Enter”. Se quisermos
saber esse tempo em minutos, teremos que dividir por 60; para não termos que escre-
ver o resultado novamente, podemos recuperar a nossa primeira entrada “1.146e11/3e8”
carregando nas teclas “Alt” e “p” em simultâneo e a seguir dividimos por 60:
>>>
6.3666666666666663
Também podemos usar variáveis para guardar resultados intermédios:
>>>
>>>
>>>
o valor que é guardado na variável não é apresentado, mas podemos vê-lo dando o nome
da variável:
>>>
6.3666666666666663
As funções matemáticas habituais (logaritmo, seno, etc) não estão denidas previamente,
mas podem ser incorporadas importando o módulo de funções matemáticas. Uma forma
de importar todas as funções e símbolos existentes num módulo, neste caso o módulo com
nomemath, é a seguinte:
>>> *

187. A.3 Blocos iterativos e condicionais 177
observe que quando terminamos de escrever uma palavra chave do Python, comofrome
import, o idle identica essas palavras com a cor laranja. Essa é uma valiosa ajuda para
detectar erros de sintaxe e para evitar tentar usar uma dessas palavras chave como nome de
variável que daria um erro.
Uma vez importado o módulo matemáticomath, teremos disponíveis dois símbolos
predenidos, o valor depe a constante de Euler, e as 12 funções apresentadas na tabela.
Símbolo ou função Descrição
pi Númerop
e Número de Euler
fabs(x) Valor absoluto dex
sqrt(x) Raiz quadrada dex
log(x) Logaritmo natural dex
exp(x) Função exponencial dex
log10(x) Logaritmo em base 10 dex
sin(x) Seno dex(xem radianos)
cos(x) Co-seno dex(xem radianos)
tan(x) Tangente dex(xem radianos)
asin(x) Seno inverso dex(em radianos)
acos(x) Co-seno inverso dex(em radianos)
atan(x) Tangente inversa dex(em radianos)
floor(x) Elimina as casas decimais dex, dando um inteiro
Tabela A.1:Símbolos e funções no módulo math.
Por exemplo, se quisermos calcular o volume, em metros cúbicos, de uma gota de água
com raior=2 mm, usamos a expressão do volume da esfera, 4pr
3
=3:
>>> *pi*2e-3**3/3
3.3510321638291127e-08
O operador**é usado para potências; por exemplo, a função exponencial dexpode ser
escritaexp(x)ou, em forma equivalente,e**x.
A.3 Blocos iterativos e condicionais
Como em qualquer linguagem de programação, o Python inclui vários tipos de blocos
iterativos e condicionais. Uma característica peculiar do Python, diferente de outras
linguagens de programação, é que não são usados comandos especiais para indicar o m
de uma linha ou de um bloco. Para indicar quais os comandos que fazem parte de um
bloco é preciso que esse bloco seja indentado em forma consistente: Todos os comandos
que pertencem a um bloco deverão ter a mesma indentação, e um bloco interno deverá ter

188. 178 Python e VPython
maior indentação. Para indentar as linhas pode usar-se espaço ou caracteres TAB, mas
convém usar apenas um ou o outro consistentemente.
O Idle ajuda na tarefa de indentar as linhas. Por exemplo, se quisermos escrever no ecrã
uma lista com os cubos dos primeiros 5 números naturais, basta escrevermos duas linhas
de código:
>>>
i**3
1
8
27
64
125
o símbolo chave são os dois pontos; após escrevermos os dois pontos e clicarmos em
“enter”, Idle já não colocou o símbolo»>no início da linha, porque está a espera que
completemos o bloco. A indentação da segunda linha foi feita automaticamente pelo Idle.
Quando terminámos de escrever a segunda linha, foi preciso clicar duas vezes seguidas em
“enter” para que o ciclo seja nalizado e executado.
Se agora quisermos escrever unicamente os números naturais com cubos que comecem
pelo algarismo 2, considerando apenas os primeiros 29 números naturais, usaremos um
bloco condicionalifpara decidir quais são os cubos com o primeiro algarismo igual a 2:
>>>(1, 30):
cubo = n**3
ordem = floor(log10(cubo))
if **ordem) == 2:
print, cubo
3 ao cubo é 27
6 ao cubo é 216
13 ao cubo é 2197
14 ao cubo é 2744
28 ao cubo é 21952
29 ao cubo é 24389
Neste caso, em vez de escrevermos por extenso a lista dos 29 primeiros números naturais,
usamos uma função standard do Python,range, que produz essa lista. Repare que Idle
identica as funções standard a roxo, mas as funções denidas por módulos adicionais,
comooor, não são identicadas.
Usámos também o comandoprintpara imprimir variáveis e texto (colorido a verde pelo
Idle) no ecrã.
Outros operadores para comparar números são<,>,<=,>=e!=(diferente). Um blocoif

189. A.4 Funções 179
pode ter um sub-blocoelse, que pode incluir outro blocoif, usando o comandoelif. Por
exemplo:
>>>
>>>
print
elif
print
else:
print
entre 0 e 3
A.4 Funções
Para denir funções, por exemplo a funçãooordenida pelo módulomath, escreve-se
o procedimento dentro de um bloco que começa com a palavra chavedef, seguida pelo
nome da função e a lista de variáveis de entrada, entre parêntesis.
Por exemplo, para denir uma funçãoradque converta um ângulo em graus para radianos,
podemos usar:
>>>(x):
return *x/180
a seguir, já podemos calcular funções trigonométricas de ângulos em graus. Por exemplo,
o seno de 30

:
>>>
0.49999999999999994
Uma função em Python pode chamar a própria função em forma recursiva.
A.5 Módulos
Um programa oumódulopode ser escrito interactivamente na Shell, ou pode ser copiado
para um cheiro e depois executado. A opção “New Window” no menu “File” do Idle
permite abrir outra janela de um editor de texto onde é possível escrever um programa e
gravá-lo num cheiro.
O módulo pode conter apenas denições de funções e variáveis, como no caso do módulo
math. Nesse caso, para usar essas funções e variáveis em outros módulos ou na shell, é
preciso importar o módulo.
O módulo pode ser também um programa que pede alguns valores de entrada através da
entrada padrão, realiza alguma acção e imprime alguns resultados na saída padrão.

190. 180 Python e VPython
Para obter valores de entrada em forma iterativa, usa-se a funçãoinput. Por exemplo,
>>>("Indique o valor de n: ")
Indique o valor de n:
Se o programa não for auto-executável, pode ser carregado com a opção “Open” no menu
“File” do Idle e a seguir executado com a opção “Run Module” no menu “Run”.
Não vamos aprofundar mais na sintaxe do Python; existe muita documentação disponível
na Web. O sítio
tutoriais, livros e módulos adicionais.
Problemas
1.A série de Taylor da função exponencial é:
e
x
=
¥
å
n=0
x
n
n!
calcule a soma dos 5 primeiros termos na série para os valores dex: 1, 0.1, 0.01 e 0.001
e em cada caso calcule o erro percentual em relação ao resultado exacto.
2.
Dena uma funçãofib(n)em Python para calcular qualquer número na sequência
de Fibonacci,fn=1;1;2;3;5;8;:::, denida, para(n=0;1;2;3;:::), por:
f0=1 f1=1 fn=fn1+fn2
Calcule a relaçãofn+1=fn para alguns valores crescentes den, e mostre que a relação
aproxima-se do limite(1+
p
5)=2
. O númeroj= (1+
p
5)=2
é designado de proporção
áurea.

191. B TutorialdoMaxima
Maxima(http://maxima.sourceforge.net) é um dos sistemas de álgebra computacional
(CAS) mais antigos. Foi criado pelo grupo MAC no MIT, na década de 1960, e inicialmente
chamava-seMacsyma(project MAC's SYmbolic MAnipulator). Macsyma foi desenvolvido
originalmente para os computadores de grande escala DEC-PDP-10 que eram usados em
várias instituições académicas
Na década de 1980 foi portado para várias novas plataformas, e uma das novas versões
foi designada de Maxima. Em 1982 o MIT decidiu comercializar Macsyma e, simultanea-
mente, o professor William Schelter da Universidade de Texas continuou a desenvolver o
Maxima. Na segunda metade da década de 1980 apareceram outros sistemas CAS proprie-
tários, por exemplo,MapleeMathematica, baseados no Macsyma. Em 1998 o professor
Schelter obteve autorização do DOE (Department of Energy), que tinha os direitos de autor
sobre a versão original do Macsyma, para distribuir livremente o código fonte do Maxima.
Após a morte do professor Schelter em 2001, formou-se um grupo de voluntários que
continuam a desenvolver e distribuir o Maxima como software livre.
No caso dos sistemas CAS, as vantagens do software livre são bastante importantes.
Quando um método falha ou dá respostas muito complicadas é bastante útil ter acesso aos
pormenores da implementação subjacente ao sistema. Por outra parte, no momento em que
começarmos a depender dos resultados dum sistema CAS, é desejável que a documentação
dos métodos envolvidos esteja disponível e que não existam impedimentos legais que nos
proíbam tentar descobrir ou modicar esses métodos.
Este tutorial foi escrito para a versão 5.14 do Maxima. No entanto, a maior parte dos
comandos deverão funcionar em outras versões diferentes.
B.1 A interface do Maxima
Existem várias interfaces diferentes para trabalhar com o Maxima. Pode ser executado
desde uma “consola”, ou pode ser usada algumas das interfaces grácas como:wxmaxima,
texmacsouxmaxima. A gura, mostra o aspecto da interface Xmaxima, que é a
interface gráca desenvolvida originalmente pelo professor William Schelter.

192. 182 Tutorial do Maxima
Figura B.1:A interface gráca Xmaxima.
B.2 Entrada e saída de dados
Quando se inicia uma sessão do Maxima, aparece um símbolo(%i1). Ao lado desse
símbolo deverá ser escrito um comando válido, terminado pelo sinal de ponto e vírgula.
Carregando na tecla de m de linha, o comando que foi escrito cará gravado numa
variável%i1e o resultado será gravado numa outra variável%o1e apresentado no ecrã.
A seguir aparecerá o símbolo(%i2), que permite dar um segundo comando, e assim
sucessivamente. Comecemos por fazer umas contas simples:
(%i1) 2.5*3.1;
(%o1) 7.75
(%i2) 5.2*log(2);
(%o2) 5.2 log(2)
No segundo resultado, o logaritmo natural de 2 não foi calculado, porque o resultado é um
número irracional que não pode ser representado em forma numérica exacta. Se quisermos
obter uma representação numérica aproximada do logaritmo de 2, podíamos escrevê-lo
comolog(2.0); também podemos obter uma representação numérica aproximada do
resultado%o2, usando o comandoevque quer dizer avaliar:

193. B.3 Variáveis 183
(%i3) ev(%o2, numer);
(%o3) 3.604365338911716
O formatonumercorresponde à representação de ponto utuante com 16 algarismos.
O formatobfloat(big oat) permite usar uma precisão numérica mais elevada, que
pode ser controlada com a variávelfpprec(oating point precision). Por omissão, essa
variável é igual a 16; se, por exemplo, quisermos aproximar numericamente o resultado
%o2com uma precisão de 40 algarismos signicativos, usamos o comando:
(%i4) ev(%o2, fpprec: 40, bfloat);
(%o4) 3.604365338911715608969607031582518153993b0
O valor de 40 para a variávelfpprecsó tem efeito dentro do bloco “ev” onde foi usado;
por fora do bloco,fppreccontinua com o seu valor habitual de 16. A letra b no m do
resultado%o4indica que se trata de um número no formato de ponto utuante de grande
precisão. O número a seguir à letra é o expoente; nomeadamente, neste caso em que o
expoente é zero, o número deverá ser multiplicado por10
0
=1 . O resultado%o4também
podia ser obtido se tivéssemos escrito a entrada%i2na forma5.2*log(2b0).
O comando “ev” pode ser escrito numa forma abreviada, quando não estiver dentro de
outras funções, omitindo a funçãoeve os parêntesis. Assim, o comando%i4poderia ter
sido escrito em forma abreviada:
(%i5) %o2, fpprec: 40, bfloat;
B.3 Variáveis
Para dar um valor a uma variável usa-se “:” e não “=”, que será utilizado para denir
equações matemáticas. Por exemplo, se quisermos guardar a soma dos resultados%o1e
%o3numa variávelres,
(%i6) res: %o1 + %o3;
(%o6) 11.35436533891172
O nome das variáveis poderá ser qualquer combinação de letras, números e os símbolos
% e _. O primeiro caracter no nome da variável não pode ser um número. Maxima faz
distinção entre maiúsculas e minúsculas. Alguns exemplos:
(%i7) x1 : 2;
(%o7) 2
(%i8) area : 5$
(%i9) %d_23 : 8;
(%o9) 8
(%i10) a%2 : (x1 : x1 + 2, x1 *x1);
(%o10) 16
Na entrada%i8usámos $ em vez de ponto e vírgula para terminar o comando. O sinal $
no m faz com que o comando seja executado, e o resultado gravado na variável%o8, mas

194. 184 Tutorial do Maxima
sem que o resultado seja apresentado no ecrã. Vários comandos podem ser executados
sequencialmente, colocando-os separados por vírgulas e entre parêntesis; isso foi feito
acima na entrada%i10; o resultado do último comando é armazenado na variávela%2;
o primeiro comando na sequência incrementa o valor dex1em 2, cando a variávelx1
com o valor de 4, e nalmente calcula-se o quadrado dex1, que ca gravado ema%2.
Alguns nomes de variáveis não podem ser usados por estarem reservados. Já vimos que
nomes como%i3ou%o6, estão reservados para referir os comandos inseridos numa
sessão, e os resultados obtidos. Uma variável também não pode ter o mesmo nome de
algum comando do Maxima; por exemplofor,whileesum.
Uma variável pode conter também uma lista de valores, que são colocados entre parêntesis
rectos, separados por vírgulas. Por exemplo, para criar uma lista com os quadrados dos 5
primeiros números inteiros:
(%i11) quadrados: [1, 4, 9, 16, 25]$
Os elementos da lista são contados a começar por 1; por exemplo, o terceiro elemento da
lista anterior é obtido assim:
(%i12) quadrados[3];
(%o12) 9
B.4 Constantes
Existem algumas constantes importantes já predenidas em Maxima. Os seus nomes
começam sempre por %. Três constantes importantes são o númerop, representado por
%pi, o número de Euler,e, base dos logaritmos naturais, representado por%e, e o número
imaginárioi=
p
1, representado por%i.
Tanto%picomo%esão números irracionais, que não podem ser representados em forma
numérica exacta, mas podemos obter uma aproximação numérica com o número de casas
decimais desejadas; por exemplo:
(%i13) %pi, fpprec:50, bfloat;
(%o13) 3.1415926535897932384626433832795028841971693993751b0
(%i14) %e, numer;
(%o14) 2.718281828459045
O número%ié útil para trabalhar com números complexos. Por exemplo:
(%i15) (3 + %i*4)*(2 + %i*5);
(%o15) (4 %i + 3) (5 %i + 2)
Para que o resultado anterior seja apresentado como um número complexo, com parte real
e parte imaginária, usa-se o comandorectform:
(%i16) %, rectform;
(%o16) 23 %i - 14

195. B.5 Expressões e equações 185
O operador % que dizer “o último resultado” no comando acima, é equivalente à variável
%o15.
B.5 Expressões e equações
Uma expressão pode conter operações matemáticas com variáveis indenidas. Por exem-
plo:
(%i17) 3*x^2 + 2*cos(t)$
Essas expressões podem ser depois usadas para produzir outras expressões. Por exemplo:
(%i18) %o17^2 + x^3;
2 2 3
(%o18) (3 x + 2 cos(t)) + x
Para dar valores às variáveis nessa expressão usa-se a seguinte sintaxe:
(%i19) %, x=0.5, t=1.3;
(%o19) 1.776218979135868
O sinal de igualdade é usado para denir equações matemáticas; por exemplo:
(%i20) 3*x^3 + 5*x^2 = x - 6;
3 2
(%o20) 3 x + 5 x = x - 6
Para encontrar as raízes de um polinómio pode ser usado o comandoallroots; por
exemplo:
(%i21) allroots(%o20);
(%o21) [x = 0.90725099344225 %i + 0.27758381341005,
x = 0.27758381341005 - 0.90725099344225 %i,
x = -2.221834293486762]
Há duas soluções complexas e uma real. As três equações entre parêntesis rectos em%o21
fazem parte duma lista com 3 elementos. Por exemplo, o terceiro elemento nessa lista é:
(%i22) %o21[3];
(%o22) x = - 2.221834293486762
A variávelxcontinua indenida, já que o sinal de igualdade não é usado aqui para atribuir
valores numéricos às variáveis. Os resultados em%o21são aproximados e não exactos.
As raízes podem ser calculadas em forma algébrica exacta, em alguns casos, usando o
comandosolveque também resolve outros tipos de equações diferentes de polinómios,
em forma algébrica exacta. Por exemplo, para encontrar as raízes do polinómio acima com
o comandosolve:
(%i23) solve(%o20, x)$
(%i24) %,rectform$
(%i25) %,numer;
(%o25) [x = 0.90725099344225 %i + 0.27758381341005,

196. 186 Tutorial do Maxima
x = - 2.221834293486761,
x = 0.27758381341005 - 0.90725099344225 %i]
O resultado do comandosolvenão foi apresentado no ecrã, porque envolve várias linhas
de expressões algébricas. O resultado foi convertido na forma complexa com partes real e
imaginária separadas e nalmente foi escrito em forma numérica aproximada.
Para resolver um sistema de equações, que podem ser lineares ou não-lineares, o primeiro
argumento para o comandosolvedeverá ser uma lista com as equações, e o segundo
uma lista com as variáveis; as equações podem ser guardadas em variáveis. Por exemplo:
(%i26) malha1: (4 + 8) *I1 - 8*I2 = 6 + 4$
(%i27) malha2: (2+ 8 + 5 + 1) *I2 - 8*I1 = -4$
(%i28) solve([malha1,malha2],[I1,I2]);
1
(%o28) [[I1 = 1, I2 = -]]
4
O sistema anterior também poderia ter sido resolvido mais rapidamente com o comando
linsolve, em vez desolve, por tratar-se de um sistema de equações lineares.
B.6 Grácos de funções
Para desenhar o gráco de uma ou várias funções de uma variável, usa-se o comando
plot2d. Por exemplo, para desenhar o gráco do polinómio3x
3
+5x
2
x+6 , no
intervalo dexentre3 e 1, usa-se o comando:
(%i29) plot2d(3*x^3 + 5*x^2 - x + 6, [x, -3, 1])$-30
-25
-20
-15
-10
-5
0
5
10
15
-3-2.5-2-1.5-1-0.5 0 0.5 1
3*x^3+5*x^2-x+6
x
Figura B.2:Gráco do polinómio 3x
3
+5x
2
x+6.

197. B.6 Grácos de funções 187
É preciso indicar o domínio de valores dexque vai ser apresentado no gráco. O resultado
aparece numa nova janela (ver gura). Passando o rato sobre um ponto no gráco,
são apresentadas as coordenadas desse ponto. O gráco é produzido por um programa
externo,Gnuplot, que é instalado conjuntamente com Maxima. Para gravar o gráco num
cheiro gráco, usa-se a opçãopsfile, seguida pelo nome do cheiro. Por exemplo,
para produzir a gura, foi usado o seguinte comando:
(%i30) plot2d(3*x^3+5*x^2 x+6, [x,-3,1], [psfile,"funcao1.ps"])$
O gráco ca gravado no cheirofuncao1.ps, em formato PostScript. Os programas
grácos normalmente permitem converter de PostScript para outros formatos grácos.
Quem tiverpdflatexinstalado, pode usar o programaepstopdfpara converter o
cheiro em PDF; por exemplo, usando o comando seguinte numashell:
epstopdf funcao1.ps funcao1.pdf
Para desenhar várias funções no mesmo gráco, colocam-se as funções dentro de uma lista.
Por exemplo:
(%i31) plot2d([sin(x), cos(x)], [x, -2 *%pi, 2*%pi])$-1
-0.5
0
0.5
1
-6 -4 -2 0 2 4 6
x
sin(x)
cos(x)
Figura B.3:Gráco das funções seno e co-seno.
O resultado mostra-se na gura. É possível também fazer um gráco de um conjunto
de pontos em duas coordenadas. As duas coordenadas de cada ponto podem ser indicadas
como uma lista dentro de outra lista com todos os pontos; por exemplo, para desenhar os
três pontos (1.1, 5), (1.9, 7) e (3.2,9), as coordenadas dos pontos podem ser guardadas
numa listap:
(%i32) p: [[1.1, 5], [1.9, 7], [3.2, 9]]$
Para fazer o gráco, é preciso dar ao comandoplot2duma lista que comece com a
palavra chave “discrete”, seguida pela lista de pontos. Neste caso não é obrigatório indicar
o domínio para a variável no eixo horizontal:

198. 188 Tutorial do Maxima
(%i33) plot2d([discrete,p])$ 5
5.5
6
6.5
7
7.5
8
8.5
9
1 1.5 2 2.5 3 3.5
discrete data
Figura B.4:Gráco de um conjunto de 3 pontos.
O gráco é apresentado na gura. Por omissão, os pontos são ligados entre si por
segmentos de recta; para mostrar apenas os pontos, sem segmentos de recta, usa-se a opção
style, com o valorpoints. Podemos também combinar o gráco dos pontos com o
gráco de uma ou várias outras funções; para o conseguir, é preciso colocar a lista com a
palavra chavediscretedentro de outra lista com as outras funções. Devido ao uso de
funções, será agora necessário especicar o domínio para a variável no eixo horizontal.
Podemos também especicar um domínio no eixo vertical, para uma melhor apresentação,
usando a opção “y”:
(%i34) plot2d([[discrete,p], 3+2 *x], [x,0,4], [y,0,15],
[style, points, lines])$ 0
2
4
6
8
10
12
14
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4
y
x
discrete1
2*x+3
Figura B.5:Gráco de um conjunto de 3 pontos, conjuntamente com uma recta.

199. B.6 Grácos de funções 189
A opçãostyleem%i34indica que o primeiro conjunto de pontos deverá ser represen-
tado por pontos, e a função que vem a seguir será representada com segmentos de recta.
O gráco é apresentado na gura. Existem muitas outras opções para o comando
plot2dque podem ser consultadas na secçãoplot_optionsdo manual. A opção
“y” é especialmente útil para limitar os valores apresentados no eixo vertical, no caso de
funções com assimptotas verticais.
Para fazer grácos de funções de duas variáveis, em 3 dimensões, usa-se o comando
plot3d. Por exemplo, o gráco da gura
(%i35) plot3d(sin(x)*sin(y), [x, 0, 2*%pi], [y, 0, 2*%pi]); 0
1
2
3
4
5
6
7
0
1
2
3
4
5
6
7
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
sin(x)*sin(y)
Figura B.6:Gráco da função sin(x)sin(y), obtido comGnuplot.
Existe ainda outro programa gráco incluído com o Xmaxima, para além de Gnuplot,
designado deOpenmath. Os grácos anteriores podem ser produzidos com esse programa,
adicionando uma opção para alterar o formato gráco para Openmath. Por exemplo, o
gráco em 3 dimensões que acabamos de desenhar pode ser obtido com o Openmath
assim:
(%i36) plot3d(sin(x)*sin(y), [x, 0, 2*%pi], [y, 0, 2*%pi],
[plot_format,openmath]);
o resultado aparece na gura.
Clicando no botão do rato enquanto se desloca, consegue-se rodar o gráco para ser visto
desde diferentes pontos de vista. O comandoplot3dnão admite várias funções em
simultâneo. O primeiro argumento deplot3ddeverá ser uma única função, ou uma
lista de 3 funções, que representam as 3 componentes do vector posição que dene uma
superfície em 3 dimensões (gráco paramétrico).

200. 190 Tutorial do Maxima
Figura B.7:Gráco da função sin(x)sin(y), obtido comOpenmath.
B.7 Procedimentos
Para denir procedimentos usa-se o símbolo :=. Alguns exemplos:
(%i37) kill(x)$
(%i38) f(x) := 3 + x^2;
2
(%o38) f(x) := 3 + x
(%i39) f(5);
(%o39) 28
(%i40) g(x,y,z) := x*y^2 + z;
2
(%o40) g(x, y, z) := x y + z
(%i41) g(2,3,4);
(%o41) 22
O comandokillfoi usado para eliminar qualquer valor que tenha sido associado à
variável que usámos a seguir,x, para representar um valor de entrada qualquer. Estes
procedimentos não são funções no sentido matemático; cada procedimento pode ser visto
como a denição dum novo comando para o Maxima. Já falaremos da representação de
funções matemáticas na secção sobre cálculo (secção).
Também é possível denir procedimentos que denem sequências, com valores de entrada
inteiros. Por exemplo:

201. B.8 Álgebra e trigonometria 191
(%i42) cubo[n] := n^3;
3
(%o42) cubo := n
n
(%i43) makelist(cubo[i], i, 1, 8);
(%o43) [1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512]
o comandomakelistfoi usado para criar uma lista com os oito primeiros cubos. Há
que ter algum cuidado com os procedimentos que denem sequências, pois os elementos
já calculados cam guardados na memoria e o procedimento não voltará a ser executado
quando for pedido um elemento da sequência que já foi calculado. Isso é uma vantagem do
ponto de vista computacional, mas poderá conduzir a erros se não for tido algum cuidado.
Por exemplo, se agora redenirmoscubo
cubo[n] := 4*n^3;
e pedisse-mos o valor decubo[3]continuará com o valor 27, e não 108, já que quando
criamos a lista dos oito primeiros cubos já foi calculadocubo[3], cando com o valor
27. Se quisermos redenir uma sequência, será preciso primeiro apagá-la usandokill,
assim:
(%i44) kill(cubo)$
(%i45) cubo[n] := 4*n^3$
(%i46) cubo[3];
(%o46) 108
B.8 Álgebra e trigonometria
Maxima facilita a manipulação de expressões algébricas. Por exemplo, vamos expandir
um polinómio:
(%i47) (x + 4*x^2*y + 2*y^2)^3;
2 2 3
(%o47) (2 y + 4 x y + x)
(%i48) expand(%);
6 2 5 4 4 4 6 3
(%o48) 8 y + 48 x y + 96 x y + 12 x y + 64 x y
3 3 5 2 2 2 4 3
+ 48 x y + 48 x y + 6 x y + 12 x y + x
O comandofactoré usado para factorizar polinómios. Outros comandos úteis para
simplicar expressões algébricas sãoratsimperadcan. Será preciso experimentar
cada um deles num caso concreto, pois alguns simplicam melhor algumas expressões do
que outras.
Para substituir uma expressão algébrica em outra, por exemplo, para substituirxpor
1=(z3), no resultado%o48, podemos fazê-lo assim:

202. 192 Tutorial do Maxima
(%i49) %, x=1/(z-3);
4 5 2 3
12 y 48 y 6 y 48 y 1
(%o49) ----- + -------- + -------- + -------- + --------
z - 3 2 2 3 3
(z - 3) (z - 3) (z - 3) (z - 3)
4 2 3
96 y 12 y 48 y 64 y 6
+ -------- + -------- + -------- + -------- + 8 y
4 4 5 6
(z - 3) (z - 3) (z - 3) (z - 3)
e para reduzir tudo a um denominador comum usamos a funçãoratsimp(o resultado
ocupa várias linhas e não vamos apresentá-lo)
(%i50) ratsimp(%);
Existem também várias comandos para simplicar expressões com funções trigonométricas.
A funçãotrigexpandserve para expandir senos ou co-senos de somas ou diferenças de
ângulos:
(%i51) trigexpand(sin(u+v) *cos(u)^3);
3
(%o51) cos (u) (cos(u) sin(v) + sin(u) cos(v))
trigreduce
tenta expandir de forma a que cada termo só tenha uma função seno ou
co-seno.
(%i52) trigreduce(%);
sin(v + 4 u) + sin(v - 2 u)
(%o52) ---------------------------
8
3 sin(v + 2 u) + 3 sin(v)
+ -------------------------
8
O comandotrigsimpusa a identidade trigonométricasin
2
x+cos
2
x=1 e as relações
entre as funções trigonométricas para tentar escrever uma expressão apenas em termos das
funções seno e co-seno. Por exemplo:
(%i53) tan(x)*sec(x)^2 + cos(x)*(1 - sin(x)^2);
2 2
(%o53) sec (x) tan(x) + cos(x) (1 - sin (x))
(%i54) trigsimp(%);
6
sin(x) + cos (x)
(%o54) ----------------
3
cos (x)

203. B.9 Cálculo 193
B.9 Cálculo
A forma mais conveniente de denir funções matemáticas consiste em usar uma variável
com a expressão que dene a função. Por exemplo, a funçãof(x;y) =x
3
=y , seria denida
assim:
(%i55) f: x^3/y;
3
x
(%o55) --
y
Para calcular o valor da função para valores dados das variáveis, usaremos a sintaxe:
(%i56) f, x=2, y=3;
8
(%o56) -
3
Para calcular a derivada de uma função, usa-se o comandodiff. O primeiro argumento
deverá ser uma expressão de uma ou mais variáveis, o segundo argumento é a variável
em ordem à que vai ser derivada a função, e um terceiro argumento optativo, que indica a
ordem da derivação (se não aparecer entender-se-á que se trata de uma derivada de primeira
ordem). Alguns exemplos, usando a funçãofdenida acima:
(%i57) diff(x^n, x);
n - 1
(%o57) n x
(%i58) diff(f, x, 2);
6 x
(%o58) ---
y
(%i59) diff(f, y, 1, x, 2);
6 x
(%o59) - ---
2
y
Em%i59foi calculada a derivada parcial¶
3
f=¶y¶
2
x.
Para calcular primitivas, usa-seintegrate, com a expressão a integrar, seguida pela
variável de integração. Por exemplo, a primitiva dex
n
obtém-se assim:
(%i60) integrate(x^n, x);
Is n + 1 zero or nonzero?
nonzero;
n + 1
x
(%o60) ------
n + 1

204. 194 Tutorial do Maxima
Maxima perguntou sen+1é nula, isto é, sené igual a1. A nossa resposta foi “nonzero”,
seguida por ponto e vírgula, que produz o resultado acima, parandiferente de1.
Um integral denido calcula-se em forma semelhante, incluindo os limites de integração a
seguir à variável de integração; por exemplo:
(%i61) integrate(1/(1 + x^ 2), x, 0, 1);
%pi
(%o61) ---
4
B.10 Equações diferenciais
Em alguns casos, o comandoode2de Maxima consegue encontrar a solução geral de
equações diferenciais ordinárias de primeira e segunda ordem. Para aplicar as condições
iniciais à solução geral obtida, usa-se o comandoic1, ouic2, segundo seja um caso de
primeira ou segunda ordem. Para impor condições fronteira usa-sebc2.
Por exemplo, consideremos a equação:
dy
dx
=
9x
2
+y1
4yx
É conveniente escrever primeiro a equação, antes de usar o comandoode2, para conferir
que a equação foi denida em forma correcta:
(%i62) eq1: 'diff(y, x) = (9 *x^2 + y - 1)/(4*y - x);
2
dy y + 9 x - 1
(%o62) -- = ------------
dx 4 y - x
O apóstrofo foi usado para que a derivada que indicada, sem ser calculada. Agora
podemos proceder a obter a solução geral; o comandoode2precisa de 3 argumentos: a
equação diferencial, o nome da variável dependente e o nome da variável independente:
(%i63) ode2(eq1, y, x);
2 3
(%o63) 2 y - x y - 3 x + x = %c
(%i64) method;
(%o64) exact
onde%cé uma constante arbitrária de integração. Depois de obtermos a solução, pedimos
o valor da variávelmethodque indica o método que foi usado para resolver a equação.
Neste caso foi resolvida usando o método para equações exactas.
O segundo exemplo que vamos considerar consiste em resolver a equação
d
2
x
dt
2
=3x5
dx
dt

205. B.11 Guardar informação entre sessões 195
Com condições iniciais, emt=0:
dx
dt
=0x=1
O problema resolve-se assim:
(%i65) eq2: 'diff(x, t, 2) = -3 *x -5*'diff(x, t);
2
d x dx
(%o65) --- = - 5 -- - 3 x
2 dt
dt
(%i66) sol2: ode2(eq2, x, t)$
(%i67) ic2(sol2, t=0, x=1, diff(x,t)=0);
(sqrt(13) - 5) t
----------------
2
(5 sqrt(13) + 13) %e
(%o67) x = ------------------------------------
26
(- sqrt(13) - 5) t
------------------
2
(5 sqrt(13) - 13) %e
- --------------------------------------
26
B.11 Guardar informação entre sessões
Para guardar o conteúdo de uma sessão em Xmaxima, existe a opção “Save Console to File”
no menu “Edit”. Essa opção guarda toda a informação que apareceu no écran, incluindo os
símbolos%ie%o.
Para gravar os comandos executados, numa forma que possa ser aproveitada em sessões
posteriores, usa-se o comandostringout. Vejamos um exemplo
1
(%i51) stringout("/home/villate/trig.txt", %i51, %o51)$
(%i52) stringout("/home/villate/graficos.txt", [29, 35])$
(%i53) stringout("/home/villate/tutorial.txt", input)$
No cheiro/home/villate/trig.txt ca armazenado o comando da entrada%i51
e a resposta%o51. No cheiro/home/villate/graficos.txt cam guardados os
1
Em Windows será preciso usar algo comoC:nnMeusDocumentosnntrig.mac para os nomes dos
cheiros (com barras a dobrar).

206. 196 Tutorial do Maxima
comandos (%i29,%i30,:::,%i35). Finalmente, o cheiro/home/villate/tutorial.txt
terá uma cópia de todos os comandos usados neste apêndice. O conteúdo desses cheiros
é texto simples, que pode ser modicado com um editor de texto e executado posterior-
mente usando a opção “Batch le”, no menu “File” do Xmaxima, ou com o comando
batch("nome_do_ficheiro") .
Perguntas
1.Os comandos do Maxima:
(%i1) solve(x^3-4*x^2+x+6, x);
(%o1) [x = 3, x = - 1, x = 2]
(%i2) 3*x+1, %o1[3];
conduzem ao resultado:
A.(%o2) 7
B.(%o2) 10
C.(%o2) -2
D.(%o2) 5
E.(%o2) 1
2.
Todos os comandos na lista produzem
um erro em Maxima, excepto um. Qual
é o comando correcto?
A.3 + x^2 = 4 + y/6;
B.a := 3*x+6;
C.y = 2x + z^2;
D.x^2 : 4 + y/6;
E.x[n+1] := x[n] + 2;
3.
Diga qual dos comandos na lista que se
segue pode ser usado no Maxima para en-
contrar a solução das equaçõesxy+4=0
ex+y+1=0
A.solve(x*y+4,x+y+1);
B.solve(x*y+4=x+y+1);
C.solve([x*y+4,x+y+1]);
D.solve(x*y+4=0,x+y+1=0);
E.solve(x*y+4.and.x+y+1);
4.
O vector posição de uma partícula no
planoxy, foi denido com o comando:
r: [3*t^2, 6*t];
qual é o comando que poderá ser usado
para desenhar o gráco da componentex
da velocidade (derivada da posição), em
função do tempo?
A.plot2d(diff(r[0],t), [t, -2, 2])
B.plot2d(diff(r[x],t), [t, -2, 2])
C.plot2d(diff(r,t), [x, -2, 2])
D.plot2d(diff(x,t), [t, -2, 2])
E.plot2d(diff(r,t)[1], [t, -2, 2])
Problemas
1.Desenhe o gráco de cada uma das seguintes funções, usando intervalos que mostrem
bem a forma das funções.
(a)=x
3
5x
2
+2x+3
(b)=
sin(x)
x
(c)=
p
20x
2

207. B.11 Guardar informação entre sessões 197
(d)=
3x
2
+2
x
2
4
2.
O gráco da funçãoy=x
3
6x
2
+7x+2 apresenta dois pontos extremos (um mínimo
local e um máximo local). Desenhe o gráco dessa função. Sabendo que a derivada
da função é nula nos dois pontos extremos, calcule as coordenadasxeydesses dois
pontos.
3.
Encontre a equação da circunferência que passa pelos pontos (2, 7), (4, 1) e (4,5).
Sugestão: a forma geral da equação será(xa)
2
+ (yb)
2
=r
2 . Para encontrar as
três constantesa,ber, substitua as coordenadas de cada um dos 3 pontos dados, e
resolva o sistema das 3 equações obtidas.
4.Dena uma funçãofib(n)em Maxima para calcular qualquer número na sequência
de Fibonacci,fn=1;1;2;3;5;8;:::, denida, para(n=0;1;2;3;:::), por:
f0=1 f1=1 fn=fn1+fn2
Calcule a relaçãofn+1=fn para alguns valores crescentes den, e mostre que a relação
aproxima-se do limite(1+
p
5)=2
. O númeroj= (1+
p
5)=2
é designado de proporção
áurea e no Maxima está predenido na constante%phi.
5.
A tabela mostra os valores da velocidade de um automóvel, cada cinco segundos, após
uma paragem numa estação de serviço na autoestrada.
t(s) 05101520253035
v(km/h)032516475808280
(a) Faça um gráco da velocidade em função do tempo. (b) Use a funçãolagrange
(consulte o manual) para encontrar um polinómio no tempotque interpole os valores
de velocidade apresentados na tabela. (c) A partir do polinómio encontrado na alínea
anterior, obtenha a posição e a aceleração em função do tempo e desenhe o gráco
dessas duas funções. (d) Usando a função calculada para a posição, calcule a distância
total percorrida durante os 35 segundos.

209. C Programasauxiliares
Os programas em Python neste apêndice não funcionam em forma autónoma, mas são
módulo auxiliares que são importados pelos programas do capítulo. O programa
pendulo.pycria os objectos que fazem parte do pêndulo e o programaduas_molas.py
cria os objectos para o sistema de duas molas acopladas e fornece uma função que desloca
as duas molas para duas posições dadas.
pendulo.py
1# -*- coding: utf-8 -*-
2from *
3scene.autoscale=0
4scene.range=5
5scene.center=(0,3,0)
6scene.forward=(-1,0,-1)
7
8# Referencial em rotação, que incluirá a barra e o disco
9pendulo = frame(pos=(0,3.5,0))
10
11barra = box(frame=pendulo, pos=(0,-1.4,0), size=(0.2,3.2,0.2),
12 color=(1,1,0))
13disco = cylinder(frame=pendulo, pos=(0,-3,-0.2), radius=0.6,
14 axis=(0,0,0.4), color=(0.5,0.5,0.8))
15
16eixo = cylinder(pos=(0,3.5,0.3), radius=0.09, axis=(0,0,-1),
17 color=(0.7,0.4,0.1))
18suporte = box(pos=(0,1.7,-1), size=(1,4.2,0.6),
19 color=(0.7,0.4,0.1))
20base = box(pos=(0,-0.6,-0.5), size=(3,0.4,1.6),
21 color=(0.7,0.4,0.1))
duas_molas.py
1# -*- coding: utf-8 -*-
2from *
3
4scene.autoscale=0
5scene.range=7
6scene.background=(0.7,0.7,0.8)
7scene.foreground=(0.8,0.8,0.8)

210. 200 Programas auxiliares
8scene.forward=(0.5,0,-1)
9
10# Referenciais em movimento, onde estarão as duas massas
11f1 = frame(pos=(0, 0, 0))
12f2 = frame(pos=(0, -4.2, 0))
13
14# Mola de cima
15ang = arange(-pi/2.,pi,0.1)
16b0 = curve(radius=0.03,y = 5.2+0.23 *sin(ang),z = 0.23*cos(ang))
17b0.append(pos=(0,5,0))
18b0.append(pos=(0,4.5,0))
19b0.append(pos=(0,4.5,0.32))
20mola1 = helix(pos=(0,4.5,0), radius=0.3, thickness=0.05,
21 coils=40)
22b1 = curve(frame=f1, radius=0.03,
23 pos=[(0,-0.3,0.32),(0,-0.3,0),(0,0.7,0),(0,0.7,0.32)])
24
25# Mola de baixo
26mola2 = helix(frame=f1, pos=(0,-0.3,0), radius=0.3,
27 thickness=0.05, coils=40)
28b2 = curve(frame=f2, radius=0.03,
29 pos=[(0,0,0),(0,0.7,0),(0,0.7,0.32)])
30
31# As duas massas
32c1 = cylinder(frame=f1, pos=(0,0,0),radius=0.5,axis=(0,0.4,0),
33 color=(0.3,0.3,0.3))
34c2 = cylinder(frame=f2, pos=(0,0,0),radius=0.5,axis=(0,0.4,0),
35 color=(0.3,0.3,0.3))
36
37# Barras do suporte
38s1 = cylinder(pos=(3,5.2,0),radius=0.2, axis=(-4,0,0))
39s2 = cylinder(pos=(2.5,5.2,0),radius=0.6, axis=(-1,0,0),
40 color=(0.5,0.5,0.6))
41s3 = cylinder(pos=(2,-5,0.4),radius=0.2, axis=(0,11,0))
42s4 = cylinder(pos=(2,-6,0.4),radius=0.8, axis=(0,1,0),
43 color=(0.9,0.9,0.6))
44
45# Base
46base = box(pos=(2,-6.2,0.4), size=(5,0.4,5),
47 color=(0.7,0.4,0.1))
48
49# Função que desloca as duas massas e estica/comprime
50# as molas, de acordo com os valores das duas variáveis
51# de estado y1, y2
52
53def(y1,y2):

211. 201
54 f1.pos.y = y1
55 f2.pos.y = y2 - 4.2
56 mola1.axis = vector(0, y1 - 3.8, 0)
57 mola2.axis = vector(0, y2 - y1 - 3.2, 0)
58
59# Comprimento inicial das molas
60deslocar_molas(0,0)

213. D Formulário
1.
v=
ds
dt
at=
dv
dt
at
v
=
dv
ds
~p=m~v
tf
Z
t0
~Fdt=~pf~p0
n
å
i=1
~Fi=m~a
Atrito seco e resistência nos uidos:
FemeRn Fc=mcRn
~Fr=kh~v
1
2
CDrAjvj~v
Cálculo numérico das trajectórias:
~vn+1=~vn+~andt ~rn+1=~rn+~vndt+
~an
2
dt
2
2.
~r2Z
~r1
~Fd~r=
1
2
mv
2
2
1
2
mv
2
1 W12=U(s1)U(s2) U=
sZ
sref
Ftds
Em2Em1=W12(não-conservativas)Ugravítica=mgy U elástica=
1
2
ky
2
Movimento harmónico simples:
y=Asin(wt)E=
1
2
ky
2
+
1
2
mv
2
w=
r
k
m
w=2pf=
2p
T
3.
s=Rq v=Rw at=Ra an=vw=
v
2
R
T=
2p
w

214. 204 Formulário
4.
T=F dsinq~rcm=
1
m
n
å
i=1
mi~ri
n
å
i=1
~Fi=m~acmEr=
Iw
2
2
m
å
j=1
Tj=Icma
5.
x1=f1(x1;x2) x2=f2(x1;x2) ~u=f1~e1+f2~e2
Caso particular: sistema mecânico com um grau de liberdade,s
~u=v~es+at~ev
Divergência:
Ñ~u=
¶f1
¶x1
+
¶f2
¶x2
Aproximação linear:
x1=x1
¶f1
¶x1
+x2
¶f1
¶x2
x2=x1
¶f2
¶x1
+x2
¶f2
¶x2
J=
2
6
6
4
¶f1
¶x1
¶f1
¶x2
¶f2
¶x1
¶f2
¶x2
3
7
7
5
6.
d~r
dt
=ˆA~r l
2
tr(ˆA)l+det(ˆA) =0
Valores próprios Tipo de ponto Tipo de equilíbrio
2, reais, com sinais opostos ponto de sela instável
2, reais, positivos nó repulsivo instável
2, reais, negativos nó atractivo estável
2, complexos, com parte real positiva foco repulsivo instável
2, complexos, com parte real negativa foco atractivo estável
2, imaginários centro estável
1, real, positivo nó impróprio instável
1, real, negativo nó impróprio estável
7.
Método de Euler:~rf!~rf+Dt~u
Método de Runge-Kutta de quarta ordem:
~um=
~u1+2~u2+2~u3+~u4
6
~rf!~rf+Dt~um

215. E Créditosfotográcos
A maior parte das fotograas e guras neste manual são originais e são colocadas aqui no
domínio público. As restantes guras têm todas licenças livres. A principal fonte dessas
guras foi o arquivo da Wikimedia Commons (http://commons.wikimedia.org ).
A lista de autores e licenças é a seguinte:

Figura). Autores: Richard Greenhill and Hugo Elias. Licença: GFDL 1.2+
ou Creative Commons Attribution Sharealike 3.0.
Figura). Autor: OS2Warp (Wikimedia Commons). Domínio público.

Figura). Autor: Kbh3rd (Wikimedia Commons). Licença: Creative
Commons Attribution Sharealike 2.0.

Figura). Autor: LCDR Mark Wetzler, NOAA, National Weather Service
(NWS). Domínio público.
Figura). Autor desconhecido. Domínio público.

Figura). Autor: Hunter Peress. Licença: GFDL 1.2+ ou Creative
Commons Attribution Sharealike 3.0.
Figura). Autor: NASA/Ames Research Center. Domínio público.

Figura). Autor: David Turner. Licença: GFDL 1.2+ ou Creative Commons
Attribution Sharealike 3.0.
Figura). Autor: Paco Vila. Creative Commons Attribution 2.0.

Figura). Autor: Jonathunder (Wikimedia Commons). Licença: GFDL
1.2+ ou Creative Commons Attribution Sharealike 3.0, 2.5, 2.0 ou 1.0.
Figura). NASA. Domínio público.

Figura). Autor: Alvesgaspar (Wikimedia Commons). Licença: GFDL
1.2+ ou Creative Commons Attribution Sharealike 3.0.

Figura). Foto número EL-1996-00130 do arquivo da NASA-LaRC.
Domínio público.

217. Soluçõesdasperguntase
problemas
1. Cinemática
Perguntas
1.A. 22 m/s
2.A.x=10 m
3.A. A aceleração é no sentido oposto à velocidade inicial.
4.C. A aceleração instantânea dividida pela velocidade instantânea.
5.B. A aceleração depende da posição.
Problemas
1.t=0,x=10 m,a=12 m/s
2
,t=2,x=2 m,a=12 m/s
2
.
2.v=8 m/s,x=64 m, 80 m.
3.(a) 3 s (b) 13 cm,28 cm/s (c) 32:5 cm.
4.(a) 24 m
3
/s
2
(b)11:49 m/s.
5.(a) 25 s
2
(b) 11:18 m/s.
6.(a)15 m/s (b)14:74 m/s (c)15:25 m/s.
7.65:33 m
8.(a) 75 mm (b) innito (c) 11:51 s.
9.(b)v=
1
k
p
1e
2k
2
gx
(c) porque sevaumentasse até1=k, a aceleração cava nula e a queda continuava com
velocidade uniforme. Observe que:v<
1
k
, e, lim
t!¥
v=
1
k
10.(a) 9:62 m/s, para cima (b) 29:6 m/s, para baixo.
11.(a) A linha em que a velocidade muda de sinal deverá ser substituída por:

218. 208 Soluções das perguntas e problemas
bola.vy = -0.9*bola.vy
(b) Pode ser introduzida no início do programa uma variável “finished = False”
a condição para o ciclo passa a ser “while not finished:” e antes de mudar
o sinal da velocidade da bola escreve-se uma condição “if abs(bola.vy) <
0.01: finished = True ”.
12.(a)
programa 1.4
1from *
2bola = sphere (pos=(0,1,0), radius=0.4, color=color.red)
3scene.autoscale=0
4bola.vy = 0
5dt = 0.01
6while:
7 rate(100)
8 ay = -4*bola.pos.y
9 bola.pos.y = bola.pos.y + bola.vy *dt
10 bola.vy = bola.vy + ay *dt
2. Dinâmica
Perguntas
1.D. O livro encontra-se em equilíbrio.
2.
C. Os dois tempos são semelhantes, mas a bola mais pesada demora menos tempo que
a bola mais leve.
3.
E. O camião exerce uma força sobre o carro e o carro exerce a mesma força sobre o
camião.
4.D. A velocidade é nula e a aceleração aponta para baixo.
5.C. Tem o mesmo módulo que a força total que contraria o movimento da caixa.
Problemas
1.Entre o R/C e o 2
o
, 826 N. Entre o 2
o
e o 4
o
, 686 N. Entre o 4
o
e o 6
o
, 546 N.
2.0.040 m/s
2
3.4.12 N.
4.(a) (1:10~ex1:47~ey) m/s. (b) (3:79~ex+5:06~ey) Ns.
5.(a) 961.2 N. (b) 0.08.
6.(a)t=v0sinq=g,~r= (v
2
0
=2g)

sin(2q)~ex+sin
2
q~ey

219. 209
7.24 696 N/m
2
.
8.No vácuo o máximo é quando o ângulo for 45

e no ar 43

:
Ângulo no vácuo (m) no ar (m)
42

14.61 11.67
43

14.66 11.68
44

14.68 11.67
45

14.69 11.66
46

14.68 11.63
9.Glicerina: 0.03 m
2
/s, água: 2:410
5
m
2
/s e ar: 3:610
4
m
2
/s.
10.(a) bola de ténis: 88.9 km/h; bola de ping-pong: 29.9 km/h. (c) 44.3 km/h.
3. Trabalho e energia
Perguntas
1.C.5~ex+2~ey
2.B. 160 mJ
3.E. 5 J
4.B. O período duplica.
5.D. 3
Problemas
1.317.4 J
2.
(a) A componente tangencial da tensão é nula; a do peso émgsinq . (b)U=
m gl(1cosq)
3.
24 696 N/m
2
. A força do bloco não é conservativa, porque só actua quando o cone está
a penetrar; se o cone subisse para um valor prévio da distância penetrada, o material já
não produzia a mesma força.
4.(a)F=mgcos(s=R)(b)U=mgRsin(s=R)
5.(a) 3.06 N/m. (b) 0.803 s. (c) 3.83 mJ.
6.(a)v=2
Dx
Dt
(b) A reacção normal, menos o peso. (c) 36.3 cm.
7.11.74 m/s.

220. 210 Soluções das perguntas e problemas
4. Rotação e movimento curvilíneo
Perguntas
1.C.gcos30

2.A. A aceleração é perpendicular à trajectória.
3.A.RAwA=RBwB
4.D. 5.67 Nm
5.C.P=2<T1<P
Problemas
1.O prego exerce uma força de 1000 N, para baixo.~FA=187;9~ex+931;6~ey(N)
2.tensão:mg=2=3:92 N; aceleração:
p
3g=2=8:49 m/s
2
3.Aproximadamente 14 m/s
2
4.
Pneus da frente:Rn=3020 N,Fa=1256 N. Pneus trazeiros:Rn=1855 N,Fa=0
(admitindo que as rodas trazeiras são perfeitamente livres). O coeciente de atrito
estático mínimo é 0.416.
5.0.143
6.1015 N
7.3l=5
8.TA=212:2 N,TB=636:5 N,aA=aB=g=4=2:45 rad/s
2
9.(a) Altura mínima 38.6 cm, máxima 135.4 cm (b)~a=6:89~ex(m/s
2
)
5. Sistemas dinâmicos
Perguntas
1.B. Oscilando à volta dey=2
2.E.A evolução do sistema a partir de um estado inicial é igual em diferentes instantes.
3.B.x=1 é estável ex=3 é instável.
4.
E. Desloca-se até um ponto maior quex=2e depois afasta-se em sentido negativo até
¥.
5.A.v~exe
x
~ey

221. 211
Problemas
1.(a)0 1 2 3 4 5
-10
-5
0
5
10
v
y
Os dois pontos simétricos onde cada parábola inter-
secta o eixo da velocidade (ordenadas), representam
o estado quando a partícula é lançada e quando cai
novamente ao chão; o vértice de cada parábola, no
eixo das abcissas, é o estado no ponto onde a bola
atinge a altura máxima.
(b) A bola segue uma das curvas parabólicas no espaço de fase, e quando chega ao
ponto no lado negativo do eixo da velocidade (ordenadas no espaço de fase), passa
instantaneamente para o ponto que está à mesma distância da origem no lado positivo
do eixo da velocidade.
2.
Parak=0 ek=0:015 existe unicamente um ponto de equilíbrio estável, ems=0
ev=0. Parak=0:015 existem dois pontos de equilíbrio instável ems=8:16 e
s= +8:16 (v=0) e um ponto de equilíbrio estável ems=0,v=0.
(a)-10 -5 0 5 10
-10
-5
0
5
10
v
s
(b)-10 -5 0 5 10
-10
-5
0
5
10
v
s (c)-10 -5 0 5 10
-20
-10
0
10
20
v
s
3.
(a) Emy=1 , equilíbrio estável; emy=0, equilíbrio instável. (b)U=y
2
=2y
3
=3 .
No ponto de equilíbrio estávelE=1=6 J e no ponto de equilíbrio instávelE=0.
(c)
(d)y=3=2 ; a partícula acelera no sentido positivo
do eixo dosy, começa a abrandar a sua velocidade
emy=1 e acaba por parar emy=0, cando em
equilíbrio.
4.
(a) Há dois pontos de equilíbrio:
4
p
a=k
. Nos dois
pontos o potencial é um mínimo local e, portanto, o
equilíbrio é estável. (b) O movimento será sempre
um movimento oscilatório, emxpositivo ou nega-
tivo, de acordo com o estado inicial.
(c)-6
-4
-2
0
2
4
6
-6 -4 -2 0 2 4 6
v
x
5.
(a)2U0x

ax
2
1

e
ax
2 (b)) equilíbrio estável emx=0, e equilíbrio instável em
1=
p
a

222. 212 Soluções das perguntas e problemas
(c) 0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
-4-3-2-1 0 1 2 3 4
x^2*%e^-x^2
x
(d)-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
v
x
6. Sistemas lineares
Perguntas
1.E. 6.
2.E.p=2
3.B. x=2v
4.B. 3x¨x+2 x=x
2
5.A. nó instável.
Problemas
1.(a)l1=3,l2=1
~v1=~ex+2~ey
~v2=~ex2~ey
Ponto de sela.-8 -4 0 4 8
-8
-4
0
4
8
y
x
(b)l1=4,l2=1
~v1=~ex(
p
2=2)~ey
~v2=~ex+
p
2~ey
Nó estável.-2 -1 0 1
-1
0
1
y
x
(c)l=2
~v=~ex~ey
Nó impróprio instável.-2 -1 0 1
-1
0
1
y
x
2.(a) 14 m/s (b) 1400 s
1
(c) 2.24 ms.
3.
(b) O único ponto de equilíbrio é na origem; no entanto, em todos os pontos, diferentes
da origem, no intervalo0:024<x<0:024 o sistema desloca-se em pequenos “saltos”
até à origem. Essa situação peculiar é devida a erro numérico; com intervalos de
tempo sucientemente pequenos a bola aproxima-se continuamente da origem. Na
prática, existe também atrito estático, que faz com que todos os pontos no intervalo
0:024<x<0:024 sejam, de facto, pontos de equilíbrio.
4.(a) 4.57 cm. (b) 4500 kg/s. (c)l1=24:88 s
1
el2=1:786 s
1

223. 213
5.
Os dois valores próprios sãol1= (c2+
q
c
2
2
+4c1)=2
el2= (c2
q
c
2
2
+4c1)=2
.
Comoc
2
2
+4c1 é sempre maior que zero, os dois valores são sempre reais. Como
l1l2=
q
c
2
2
+4c1
é diferente de zero, os dois valores próprios são diferentes. O
produto dos dois valores próprios él1l2=c1 que, por ser negativo, implica que os
dois valores têm sempre sinais opostos.
6.plotdf([v,-1.5*x-a*v/2],[x,v],[sliders,"a=0:7"],[x,-5,5],
[v,-5,5],[trajectory_at,4,-1],[direction,forward]);
7. Sistemas não lineares
Perguntas
1.D. ângulo máximo pequeno.
2.A. 1
3.E. nó repulsivo
4.C.

0 2y
y x

5.D. 4~ex+6~ey
Problemas
1.
(a) Existe um único ponto de equilíbrio, em (x=0,v=0) que é um centro. (b) Existe
um ponto de sela em (x=0,v=0), um foco instável em (x=1 ,v=0), e um foco
estável em (x=1,v=0). Os campos de direcções são os seguintes:
(a)
(b)
2.
Os dois pontos de sela continuam sendo pontos de sela. O centro passa a ser um foco
estável:
3.(b)

224. 214 Soluções das perguntas e problemas-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
-3 -2 -1 0 1 2 3
F
teta
ω
b= 2 -4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
-3 -2 -1 0 1 2 3
F
teta
ω
b= 8
Comwb=2 s
1 , há um ponto de equilíbrio estável emq=0 e um ponto de equilíbrio
instável emq=p. Comwb=8 s
1
, há dois pontos de equilíbrio instável emq=0
eq=p, e dois pontos de equilíbrio estável emq 1 eq1.
8. Métodos numéricos
Perguntas
1.A.yvsx
2.C.rk(c,[v,u],[1,1],d)
3.D. inicial dez
4.A. (2.6, 1.4)
5.D. (1.107, 1.107)
Problemas
1.(f) 0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
angulo
t
Os valores nais, emt=3s, sãoq=3:141591 e
w=1:010
5 s
1
, muito próximos dos valores no
ponto de equilíbrio instável:q=pew=0.
2.
(a)~F=kxx~exkyy~ey (b) As quatro variáveis de estado sãox,y,vxevye as equações
de evolução são:
x=vx vx=
kx
m
x y=vy vy=
ky
m
y
(c)-0.15
-0.1
-0.05
0
0.05
0.1
0.15
-1-0.8-0.6-0.4-0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
y
x
(d)-0.15
-0.1
-0.05
0
0.05
0.1
0.15
-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5
y
x
(e) Na direcção dex, 2.433 s. Na direcção dey, 1.217 s. O período na direcção dexé o
dobro do período na direcção dey.

225. 215
(f)-0.3
-0.2
-0.1
0
0.1
0.2
0.3
-1-0.8-0.6-0.4-0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
y
x
Se
p
ky=kx
for um número inteiro, o estado da par-
tícula regressa ao estado inicial depois de descrever
uma gura de Lissajous com
p
ky=kx
loopssegundo
o eixo dosx.
3.(a) As quatro equações de evolução são:
x=vx y=vy vx=
4p
2
x
(x
2
+y
2
)
3=2
vy=
4p
2
y
(x
2
+y
2
)
3=2
(b)-10
-5
0
5
10
-25 -20 -15 -10 -5 0 5
y
x
(c)-10
-5
0
5
10
-35-30-25-20-15-10-5 0 5
y
x
Na alíneabo erro numérico é muito elevado; a energia do cometa não permanece cons-
tante mais diminui. Na alíneaco erro numérico é muito menor, mas o cometa continua
a perder energia; seria preciso reduzir ainda mais o valor deDtpara diminuir o erro. (d)
34.4 UA. A órbita sai por fora da órbita de Neptuno, e entra até um ponto entre órbitas
de Mercúrio e Venus.
4.A matriz do sistema é:
2
6
6
6
6
6
4
0 0 1 0
0 0 0 1

280
3
40
1
15
0
2020 0
1
20
3
7
7
7
7
7
5
e os 4 valores próprios são todos complexos, com parte real negativa:
[ 10.14759727500762 %i - 0.0324658156443103,
-10.14759727500623 %i - 0.0324658146801836,
-3.218361976695268 %i - 0.0258675196910467,
3.218361976693874 %i - 0.0258675166511261 ]
Com resistência do ar nula, a matriz é:
2
6
6
6
4
0 0 1 0
0 0 0 1

280
3
40 0 0
2020 0 0
3
7
7
7
5
e os 4 valores próprios são todos imaginários puros:
[ -3.21846547832462 %i, 3.21846547832462 %i,
-10.14765062948888 %i, 10.14765062948888 %i]

226. 216 Soluções das perguntas e problemas
9. Ciclos limite e sistemas de duas espécies
Perguntas
1.D. r=2r4
2.D. Curva fechada com (a,b) no interior.
3.A. (2,3) é um foco repulsivo.
4.E. Não linear.
5.A. Presa-predador, sendoxas presas.
Problemas
1.
A origem é ponto de sela, e o ponto (3, 2) é centro. O estado limite é um ciclo. Nenhuma
das duas espécies será extinta.
2.
Sistema presa-predador:xsão as presas eyos predadores. A origem é nó próprio,
repulsivo, o ponto (1, 0) é ponto de sela e o ponto (0, 1) é nó impróprio, atractivo.
3.a) yex!10.
b) x!20=3 ey!100=3. O ponto de equilíbrio é estável.
c)
Coexistência, no ponto instável (x=80=7 ,y=24=7) . O sistema pode terminar
com uma das espécies extintas ex!20 ouy!12.
d) yex!100.
4.(a)q=1, r=rr
3
(b)0 0.5 1 1.5
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
r - r3
r
(c)x
2
+y
2
=1 ( d)-2 -1 0 1
-2
-1
0
1
2
y
x
O gráco dermostra queraumenta se for menor que 1 e diminui se for maior que 1.
Assim,raproximar-se-á do valor limite 1.
5.
O determinante da matriz jacobiana é negativo em qualquer ponto e, portanto, não
podem existir ciclos limite.
6.(a) O último elemento na lista obtida comrké:
[200.0,4.393203951154127,-4.475965919862805,0.200584446836176]

227. 217
(b)-4 -2 0 2 4
-5
-2.5
0
2.5
y
x 160 170 180 190 200
-4
-2
0
2
4
x
t
(c) O período dos ciclos é aproximadamente 11.52.
10. Bifurcações e caos
Perguntas
1.E. A curva é um ciclo.
2.E. inexistência de pontos de sela.
3.B. (1, 0)
4.
C. É muito sensível às condições iniciais.
5.D. Só se o sistema não for autónomo.
Problemas
1.
(a) para o ponto (0, 0),aé o ponto (0, 1) ewé o ponto (0, -1). Para (1, 1)aé o ponto
(0, 1) ewnão existe. (b) para o ponto (0, 0), que é ponto de equilíbrio,aewsão o
próprio ponto. Para (1, 1)aewsão iguais ao círculo que com centro na origem e raio
igual a
p
2.
2.
A divergência é4+109x
2
+5y
4 , que é sempre positiva; o critério de Bendixon implica
que não existe nenhum ciclo nem órbitas homo/heteroclínicas.
3.(a)t=7 (b)t=13 (c)t=25.
4.
Os 3 pontos de equilíbrio são: (0, 0, 0), (8.485, 8.485, 27) e (-8.485, -8.485, 27). O
valor crítico deré 24.737, menor que 28.
B. Tutorial do Maxima
Perguntas
1.A 2.A 3.C 4.E
Problemas
2.O máximo local encontra-se em (0.709, 4.30), e o mínimo local em (3.29, -4.30).

228. 218 Soluções das perguntas e problemas
3.(x3)
2
+(y2)
2
=50
5.(d) 594.5 m

229. Bibliograa
David Acheson.From calculus to chaos. An introduction to dynamics. Oxford University
Press, 1997.
Marcelo Alonso and Edward J. Finn.Física. Addison-Wesley, 1999.
Robert L. Borelli and Courtney S. Coleman.Differential equations: a modeling perspective.
John Wiley & Sons, Inc., 1998.
C. Henry Edwards and David E. Penney.Differential Equations. Computing and Modeling.
Pearson Education, Inc., third edition, 2004.
Alejandro L. Garcia.Numerical methods for physics. Prentice-Hall, 2000.
John Guckenheimer and Philip Holmes.Nonlinear Oscillations, Dynamical Systems, and
Bifurcations of Vector Fields. Springer-Verlag, 2002.
Jorge V. José and Eugene J. Saletan.Classical dynamics: a contemporary approach.
Cambridge University Press, 1998.
Stephen Lynch.Dynamical systems with applications using MAPLE. Birkhaüser, Boston,
2001.
Ali H. Nayfeh and Balakumar Balachandran.Applied nonlinear dynamics. John Wiley
and Sons, 1995.
Darren Redfern, Edgar Chandler, and Richard N. Fell.Macsyma ODE lab book. Jones
and Bartlett Publishers, Boston, 1997.
David A. Sanchez, C. Allen Allen Jr., and Walter T. Kyner.Differential equations. Addison-
Wesley, second edition, 1988.
Stephen T. Thornton and Jerry B. Marion.Classical dynamics of particles and systems.
Thomson, Brooks/Cole, fth edition, 2004.

230. 220 Bibliograa
Livros de mecânica
Um bom livro introdutório de mecânica é o livro de1999), embora não
tenha alguns dos temas abordados neste livro. Esses temas encontram-se em livros com
um nivel um pouco mais avançado como, por exemplo, nos livros de
(2004) e de1998). Um livro simples, com uma abordagem parecida à
deste livro é o de1997).
Livros sobre equações diferenciais
Existem vários livros sobre equações diferenciais, com uma abordagem moderna, onde são
tratados com maior profundidade vários dos temas deste livro. Três referências excelentes
são2004),1998) e1988).
Livros sobre sistemas dinâmicos
Uma excelente referência é o livro de2002); apesar de não ser
um livro para matemáticos, o nivel é mais avançado do que este livro. Outra boa referência
é o livro de1995).
Livros sobre métodos numéricos
O livro de2000) deverá ser suciente para estudar os métodos numéricos usados
neste livro.
Livros sobre sistemas dinâmicos no Maxima
Os livros escritos para outros sistemas CAS parecidos com o Maxima são muito úteis e
fáceis de adaptar; dois bons exemplos são os livros de1997) e de
(2001).

231. Índice
A
aceleração,
angular,
centrípeta,
componentes tangencial e normal,
da gravidade,
e força,
normal,
tangencial,,
adição de forças,
amortecimento,
crítico,
forte,
fraco,
atractor,,
de Lorenz,
estranho,
atrito
cinético,
estático,
B
backward,
batch(nome_do_cheiro),
bc2,
Bendixson, Ivar Otto,,
boat,
bifurcação,
both,
box,
C
campo de direcções,
caos,
centro,,
de massa,
de gravidade,
ciclos,,
limite,
cinemática,,
inversa,
coeciente
de restituição,
de atrito cinético,
de atrito estático,
de viscosidade,
coefmatrix,
Cong,,
conjunto limite,
negativo,
positivo,
constante
aerodinâmica,
elástica,
coordenadas
cartesianas,
polares,
corpo rígido,
curva de evolução,
D
Department of Energy,
depends,
deslocamento,
diff,,
direction,
divergência,
dynamics,

232. 222 Índice
E
Edit,
eigenvectors,
energia
cinética,
mecânica,
potencial,,,
potencial elástica,
potencial gravítica,
epstopdf,
equação
característica,
de Van der Pol,
de Verhulst,
equações
de evolução,
de Holling-Tanner,
de Lorenz,
de Lotka-Volterra,
de Rössler,
de movimento,
do movimento circular,
equilíbrio,
dinâmico,
estático,
estável,
instável,
escalar,
espaço de fase,
ev,,
F
factor,,
guras de Lissajous,
foco
estável,,
instável,
força,
conservativa,
de atrito,,
de atrito cinético,
de atrito estático,
de resistência nos uidos,
dissipativa,
elástica,
não conservativa,
forward,
fpprec,
frequência,
angular,,
G
Gnuplot,
GPS,
graus de liberdade,,
gravidade
centro de,
H
Holling, Crawford Stanley,
Hooke, Robert,
I
ic1,
ic2,
impulso,
Integrate,
integrate,
J
jacobian,
K
kill,,
L
lagrange,
lei
da rotação do corpo rígido,
da translação do corpo rígido,
da inércia,,
de acção e reacção,,
de conservação da energia mecânica,
45
de Hooke,
de Newton,
leis de Newton,
linha de acção,

233. Índice 223
linsolve,
Lorenz, Edward Norton,
Lotka, Alfred J.,
M
método
de Euler,
de Runge-Kutta,
Macsyma,
makelist,
map,
Maple,
massa,
centro de,
volúmica,
Mathematica,
matriz jacobiana,
Maxima,,
method,
momento
de inércia,,
de uma força,vertorque
linear,verquantidade de movimento
movimento
circular,
circular uniforme,
harmónico simples,
uniforme,
N
nó
estável,
impróprio,
instável,
próprio,
newton,
Newton, Isaac,
nulclina,
numer,,
O
ode2,
Openmath,
órbita,
heteroclínica,,
homoclínica,,
oscilador
acoplado,
harmónico simples,
harmónico simples,
invertido,
P
pêndulo,
de Wilberforce,
invertido,
relógio de,
simples,
pdatex,
período,,
peso,,
Plot Versus t,
plot2d,,
plot3d,
plotdf,,,,,,
ploteq,
Poincaré, Henri,
ponto
de equilíbrio,,
de sela,
produto
escalar,
projéctil,
project MAC's SYmbolic MAnipulator,
181
psle,
Python,,
Q
quantidade de movimento,
R
Rössler, Otto E.,
radcan,
rate,
ratsimp,,,
reacção,
normal,,

234. 224 Índice
realroots,
regra
do paralelogramo,
Replot,
repouso,,,
resistência
nos uidos,
retrato de fase,
rk,,,,,,,
rotação,
plana,,
S
Save,
Save Console to File,
separação de variáveis,
separatrizes,
sistema
autónomo,
com competição,
conservativo,
dinâmico,
inercial,
linear,
predador-presa,
solve,,,
sphere,
stringout,
style,
subst,
T
Tanner, James T.,
teorema
de Bendixson,
de Poincaré-Bendixson,
do trabalho e a energia cinética,
do trabalho e a energia mecânica,
do trabalho e a energia potencial,
torque,
traço,
trabalho,
Trajectory at,,
trajectory_at,
translação,
trigexpand,
trigreduce,
trigsimp,
V
valor próprio,
Van der Pol, Balthasar,
variáveis de estado,
vector
aceleração,,
deslizante,
de posição,
livre,
próprio,
velocidade,
velocidade,,
angular,
de fase,,
média,
terminal,
Verhulst, Pierre François,
versor,,
cartesiano,
normal,
tangencial,
versus_t,
viscosidade,
Visual,,
Volterra, Vito,
VPython,,
W
Wilberforce, Lionel Robert,
Z
Zoom,

236. Este livro pode ser descarregado livremente, em cheiro, ou comprado, em versão impressa,
a partir do sítio: http://www.villate.org/livros.html9 789729 939617
ISBN 978-972-99396-1-7