Apostila sistemas lineares 2x2 para 05.11

Um resumo sobre sistemas lineares 2x2 apresentado como aula na disciplina estágio supervicionado IV.

1. SERVIÇO PÚBLICO FEDERAL
UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ
INSTITUTO DE CIÊNCIAS EXATAS E NATURAIS
FACULDADE DE MATEMÁTICA
LICENCIATURA EM MATEMÁTICA – MODALIDADE A DISTÂNCIA
SISTEMAS LINEARES 2X2

Denomina-se sistema linear mxn o conjunto S de m equações lineares em n
incógnitas, que pode ser representado assim:

Alguns exemplos de sistemas lineares:


Para resolver sistemas lineares devemos encontrar valores que solucionam
todas as equações envolvidas nele. Esses resultados são chamados de
conjunto solução, que é representado pela letra S.
Vejamos como exemplo a equação abaixo:


Então, o conjunto solução deste sistema é S=(3,-1). Pois substituindo x e y
pelos valores dele, encontramos as soluções que satisfazem as duas equações
ao mesmo tempo.
Como solucionar?

Para encontrar o conjunto solução de um sistema, podemos usar o método de
substituição (como foi feito no exemplo C), ou utilizando os métodos da adição
e comparação. Mas vamos nos ater ao método da adição e da substituição.
Solucionando Sistemas Lineares pelo método da adição:
Vamos usar os seguintes exemplos:
Denomina-se equação
linear, toda a equação que
pode ser escrita na forma
em destaque.

2. Encontramos o valor de y pelo método da adição:
A partir desta multiplicação teremos o seguinte
resultado:




Podemos substituir o resultado encontrado para y na 1ª equação do sistema
(2x-5y=11), a fim de encontrar o valor de x :





Assim, o conjunto solução do sistema é S=(3,-1)

O sistema acima é impossível, pois não existe um valor real para y que
satisfaça a equação. Assim dizemos que o conjunto solução S=Ø (vazio); ou
seja é um sistema sem solução.

Neste caso o y pode assumir qualquer valor real, logo é um sistema
indeterminado.
Interpretação gráfica de um sistema linear

3. Os pares ordenados que são encontrados como solução de equações lineares
determinam no gráfico uma reta. A intersecção das duas retas das equações
do sistema determinam a sua solução, caso exista. Abaixo a representação
gráfica de três sistemas resolvidos por adição:
1º)



2º)

3º)
As retas concorrentes
indicam que existe um
único par ordenado que
é solução do sistema;
portanto trata-se de um
sistema possível e
determinado (SPD).
As retas paralelas
indicam que não existe
um par ordenado que
seja solução do
sistema.(SI).

4. Então podemos classificar assim os sistemas:

Resumo:





Vamos exercitar!

1. Resolva cada sistema linear usando o método da adição, classifique-os
quanto ao seu número de soluções e faça a representação gráfica:
a.
b.
c.
Desafio: (UERJ-2004) um comerciante deseja totalizar a quantia de R$ 500,00
utilizando cédulas de um, cinco e dez reais, num total de 92 cédulas, de modo
que as quantidades de cédulas de um e de dez reais sejam iguais. Nesse caso,
qual a quantidade de cédulas de cinco reais que o comerciante precisará?
Sistema
Possível -com
solução
Determinado -
uma solução
(SPD)
Indeterminado -
infinitas soluções
(SPI)
Impossível -sem
solução
As retas coincidentes
indicam que existem
infinitos pares
ordenados que são
soluções do sistema;
portanto trata-se de um
sistema possível e
indeterminado (SPI).