ApresentaçãO Sobre Sistemas De NumeraçãO

3. Você já usou muitas
vezes os números, mas
será que já parou para
pensar sobre:
O modo como surgiram
os números?
Como foram as primeiras
formas de contagem?
Como os números foram criados, ou, será que eles
sempre existiram?

5. Quando enfrentamos situações em que queremos saber
"quantos", nossa primeira atitude é contar. Mas os homens que
viveram há milhares de anos não conheciam os números nem
sabiam contar.
Então como surgiram os números?
Para responder a essa pergunta precisamos ter uma
idéia de como esses homens viviam e quais eram suas
necessidades.
Naquele tempo, o homem,
para se alimentar, caçava, pescava
e colhia frutos; para morar, usava
cavernas; para se defender, usava
paus e pedras.

6. Mas esse modo de vida foi-se modificando pouco a
pouco. Por exemplo: encontrar alimento suficiente para
todos os membros de um grupo foi se tornando cada vez
mais difícil à medida que a população aumentava e a caça
ia se tornando mais rara. O homem começou a procurar
formas mais seguras e mais eficientes de atender às suas
necessidades.
Foi então que ele começou a cultivar plantas e criar
animais, surgindo a agricultura e o pastoreio, há cerca de
10.000 anos atrás.

7. Os pastores de ovelhas tinham necessidades de
controlar os rebanhos. Precisavam saber se não faltavam
ovelhas. Como os pastores podiam saber se alguma ovelha
se perdera ou se outras haviam se juntado ao rebanho?
Alguns vestígios indicam que os pastores faziam o
controle de seu rebanho usando conjuntos de pedras. Ao
soltar as ovelhas, o pastor separava uma pedra para cada
animal que passava e guardava o monte de pedras.

8. Quando os animais voltavam, o pastor retirava do
monte uma pedra para cada ovelha que passava. Se
sobrassem pedras, ficaria sabendo que havia perdido
ovelhas. Se faltassem pedras, saberia que o rebanho havia
aumentado. Desta forma mantinha tudo sob controle.
Uma ligação do tipo: para cada ovelha, uma pedra
chama-se, em Matemática, correspondência um a um.
Os primeiros registros de números

9. A correspondência unidade a unidade não era feita
somente com pedras, mas eram usados também nós em
cordas, marcas nas paredes, talhes em ossos, desenhos
nas cavernas e outros tipos de marcação.
Os talhes nas barras de madeira, que eram usados
para marcar quantidades, continuaram a ser usados até o
século XVIII na Inglaterra. A palavra talhe significa corte. Hoje
em dia, usamos ainda a correspondência unidade a unidade.

10. Mas, provavelmente o homem não usou somente pedras
para fazer correspondência um a um. É muito provável que ele
tenha utilizado qualquer coisa que estivesse bem à mão e nada
estava mais à mão do que seus próprios dedos. Certamente o
homem primitivo usava também os dedos para fazer contagens,
levantando um dedo para cada objeto.

11. Com o passar do tempo o homem percebeu que podia
associar as dedos da mão à quantidade de elementos de um
conjunto, assim nossas mãos foram a primeira "máquina de
calcular“.
Uma prova disso é que até
hoje, em certas tribos do Pacífico,
o número é expressado pela
mão: quando querem dizer dez
,dizem duas mãos e o número
vinte é representado por um
homem completo, indicando que,
depois de contar os dedos da
mão, passou-se a usar os dedos
dos pés.

12. Nessa tribo localizada no Pacífico o
sistema de numeração tinha a seguinte
nomenclatura :
O um era chamado tai ,
O dois era lua,
O três era tolu,
O quatro era vari,
O cinco era iuna ( que significa mão ),
O seis era otari (mão mais um),
O Sete era olua ( mão mais dois ),
O oito era otolu (mão mais três ),
O Nove era ovari (mão mais quatro),
O dez era iuna iuna (duas mãos ).

13. A obra de Bernard H. Gundlach, História dos Números
e Numerais, cita como exemplo uma tribo de Nova Guiné,
os bugilai, que usavam a seguinte seqüência de partes,
ticadas com o dedo indicador da mão direita:
10DalaLado direito do peito
9Ngama Lado esquerdo do peito
8PodeiOmbro esquerdo
7TrankgimbeCotovelo esquerdo
6GabenPulso esquerdo
5Manda Dedo polegar da mão esquerda
4TopeaDedo indicador da mão esquerda
3GuigimetaDedo médio da mão esquerda
2Meta KinaDedo anular da mão esquerda
1TarangesaDedo mínimo da mão esquerda
NÚMERONUMERAÇÃOENUMERAÇÃO

14. Veja que o sistema usado tem base cinco.
Usando os dedos, o homem primitivo podia contar
grupos de até vinte elementos, porém a medida
que surgiu a necessidade de se realizar
contagens cada vez maiores, o homem foi
utilizando outras técnicas, tais como : fazer
marcas em madeiras, pedras, barro, tábuas e
ossos .
Na Tchecolosváquia foi encontrado um osso
de lobo com profundas incisões totalizando um
número de 55. O interessante é que as marcas
estavam dispostas em grupos de cinco. Tal fato
ressalta a correspondência que o homem primitivo
fazia com os dedos das mãos.

16. Os sistemas de numeração surgiram quando a relação para
enumerar elementos entre conjuntos se esgotou. O homem usava os
dedos de uma mão, depois de outra mão, dos pés, de outras partes do
corpo e até objetos. Tornou-se, então necessário estabelecer uma
seqüência ordenada para relacionar um elemento ao seu marcador.

Alguns desses sistemas não usavam valor de posição, são os
sistemas não-posicionais. É curioso observar ainda que alguns desses
sistemas não tinham representações para o número zero.
Posteriormente, desenvolveram-se alguns sistemas de
numeração utilizando um valor como base, os sistemas posicionais, que
deram origem aos cálculos usados hoje. Já dos sistemas de números
originaram-se os conjuntos numéricos e suas propriedades e relações
entre diferentes sistemas de números.
Algumas civilizações mais antigas já tinham sistemas de
numeração: babilônico, egípcio, romano, grego, chinês-japonês, maia e
indo-arábico.

17. 987654321
IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII
ALGUNS SÍMBOLOS ANTIGOS
No começo da história da escrita de algumas
civilizações como a egípcia, a babilônica e outras, os
primeiros nove números inteiros eram anotados pela
repetição de traços verticais:
987654321
IIII
IIII
I
IIII
IIII
IIII
III
IIII
II
IIII
I
IIIIIIIIII
Depois este método foi mudado, devido à
dificuldade de se contar mais do que quatro termos:

18. Os babilônicos
viviam na
Mesopotâmia, nos
vales do Rio Tigre e
Eufrates, na Ásia.

Esta região é
ocupada atualmente
pelo Iraque.

19. Na escrita dos números de 1 a 59, o sistema de
numeração dos babilônios se parecia muito com o sistema de
numeração desenvolvida pelos egípcios; ambos eram
aditivos.
Observe, no quadro a seguir, os símbolos e a
representação de alguns números, de 1 a 59, nesse sistema
de numeração.

20. Um dos sistemas de numeração mais antigos que se tem
notícia é o egípcio. É um sistema de numeração de base dez
e era composto pelos seguintes símbolos numéricos:

21. Os egípcios da Antiguidade criaram um sistema muito
interessante para escrever números, baseado em
agrupamentos.
1 era representado por uma marca que se parecia com um
bastão |
2 por duas marcas ||
E assim por diante:
||||||6
|||||||||9|||||5
||||||||8||||4
|||||||7|||
3
Quando chegavam a 10, eles trocavam as dez marcas: ||||||||||
por , que indicava o agrupamento.

22. Feito isso, continuavam até o 19:
10 15 |||||
3 | 16 ||||||
4 || 17 |||||||
5 ||| 18 ||||||||
14 |||| 19 |||||||||
O 20 era representado por
E continuavam:
30
40
.
.
90
Para registrar 100, ao invés de ,
trocavam esse agrupamento por um símbolo novo, que
parecia um pedaço de corda enrolada:

23. Juntando vários símbolos de 100, escreviam o 200, o
300,... etc, até o 900.
Dez marcas de 100 eram trocadas por um novo símbolo,
que era a figura da flor de lótus:
Desta forma, trocando cada dez marcas iguais por uma
nova, eles escreviam todos os números de que necessitavam.
Veja os símbolos usados pelos egípcios e o que significava
cada marca.
1.000.000Homem ajoelhado
100.000Peixe
10.000Dedo apontando
1.000Flor de lótus
100Rolo de corda
10Calcanhar
1Bastão
Nosso númeroDescriçãoSímbolo egípcio

24. Diversas civilizações da Antigüidade, além da egípcia,
desenvolveram seus próprios sistemas de numeração. Alguns
deles deixaram vestígios, apesar de terem sido abandonados.
Assim, por exemplo, na
contagem do tempo, agrupamos
de 60 em 60; sessenta segundos
compõem um minuto e sessenta
minutos compõem uma hora. Isto
é conseqüência da numeração
desenvolvida na Mesopotâmia,
há mais de 4000 anos. Lá era
usada a base sessenta.
Outro vestígio de uma numeração antiga pode ser
observado nos mostradores de relógios, na indicação de datas
e de capítulos de livros: são os símbolos de numeração
romana.

25. Este sistema é utilizado até hoje
em representações de séculos,
capítulos de livros, mostradores de
relógios antigos, nomes de reis e
papas e outros tipos de
representações oficiais em
documentos.

26. Estes são os símbolos usados no sistema de numeração
romano:
1000500100501051
MDCLXVI
Vamos lembrar como eram escritos alguns números:
1000+500+100+100+10+1100+50+1+110+10+10+5+15+1+1
MDCCXICLIIXXXVIVII
mil setecentos e onzecento e cinqüenta e doistrinta e seissete
Para não repetir 4 vezes um mesmo símbolo, os romanos
utilizavam subtração.
Observe alguns números que seriam escritos com 4 símbolos e
como os romanos passaram a escrevê-los:
1000-100(50-10)+(5-1)50-1010-15-1
CMXLIVXLIXIV
novecentosquarenta e quatroquarentanovequatro

27. Nosso sistema de numeração
surgiu na Ásia, há muitos séculos
no Vale do rio Indo, onde hoje é o
Paquistão.

28. O primeiro número inventado foi o 1 e ele significava o
homem e sua unicidade. O segundo número, 2, significava a
mulher da família, a dualidade e o número 3 (três) significava
muitos, multidão. A curiosidade sobre os nomes do 3, não
deve ter ocorrido por acaso.
trestretreistrestroisthree
EspanholItalianoGregoLatimFrancêsInglês
trêstritrzytridreitre
PortuguêsHinduPolonêsRussoAlemãoSueco

29. Foi no Norte da Índia, por volta do século V da era
cristã, que nasceu o mais antigo sistema de notação
próximo do atual, o que é comprovado por vários
documentos, além de ser citado por árabes (a quem esta
descoberta foi atribuída por muitos anos).
Antes de produzir tal sistema, os habitantes da Índia
setentrional usaram por muito tempo uma numeração
rudimentar que aparece em muitas inscrições do século III
antes de Cristo.
Ainda existia nesta época a dificuldade posicional e os
hindus passaram a usar a notação por extenso para os
números, pois não podiam exprimir grandes números por
algarismos.
Sem saber, estavam criando a notação posicional e
também o zero.

30. Cada algarismo tinha um nome:
navaastasaptasatpañcacaturtridvieka
987654321
Quando foi criada pelos hindús a base 10, cada dezena,
cada centena e cada milhar, recebeu um nome individual:
10 = dasa
100 = sata
1.000 = sahasra
10.000 = ayuta
100.000 = laksa
1.000.000 = prayuta
10.000.000 = koti
100.000.000 = vyarbuda
1.000.000.000 = padma

31. Eles começavam pelas unidades, depois pelas dezenas, pelas
centenas e assim por diante. O número 3.709 ficava:
tri sahasrasapta satanava
três milsete centosnove
30007009
Poderíamos escrever o número 12.345 como
pañca caturdasa trisata dvisahasra ayuta
pois,
12.345 = 5 + 40 + 300 + 2.000 + 10.000,
logo:
5 = pañca
40 = catur dasa
300 = tri sata
2.000 = dvi sahasra
10.000 = ayuta

32. Em virtude da grande repetição que ocorria com as
potências de 10, por volta do século V depois do nascimento
de Jesus Cristo, os matemáticos e astrônomos hindus
resolveram abreviar a notação, retirando os múltiplos de 10 que
apareciam nos números grandes. Assim, o número 12.345 que
era escrito como:
pañca caturdasa trisata dvisahasra ayuta
passou a ser escrito apenas:
54321 = pañca catur tri dvi dasa
Então, 31 = 1 + 3 x 10
31 = dasa tri
Mas, no número 301, faltava algo para representar as
dezenas.

33. Tendo em vista o problema na construção dos números
como 31 e 301, os hindus criaram um símbolo para
representar algo vazio (ausência de tudo) que foi
denominado sunya (a letra s tem um acento agudo e a letra
u tem um traço horizontal sobre ela).
Dessa forma foi resolvido o problema da ausência de um
algarismo para representar as dezenas no número 301 e
assim passaram a escrever:
301 = 1 + ? x 10 + 3 x 100
301 = dasa sunya tri

Os hindus tinham acabado de descobrir o zero.
Porém, estas notações só serviam para as palavras e
não para os números, mas reunindo essas idéias
apareceram juntos o zero bem como o atual sistema de
notação posicional.

34. Um dos grandes problemas do homem começou a ser
a representação de grandes quantidades. A solução para isto
foi instituir uma base para os sistemas de numeração. Os
numerais indo-arábicos e a maioria dos outros sistemas de
numeração usam a base dez, isto porque o princípio da
contagem se deu em correspondência com os dedos das
mãos de um indivíduo normal.
Na base dez, cada dez unidades é representada por
uma dezena, que é formada pelo número um e o número
zero: 10.
A base dez já
aparecia no sistema de
numeração chinês.
Os sumérios e os
babilônios usavam a base
sessenta.

35. Os indianos reuniram as diferentes características do
princípio posicional e da base dez em um único sistema
numérico.
Este sistema decimal posicional foi assimilado e
difundido pelos árabes e por isso, passou a ser conhecido
como sistema indo-arábico.

36. Os dez símbolos do nosso sistema de numeração são chamados
dígitos ou algarismos.
A palavra dígito vem da palavra latina "digitus", que significa dedo. É
claro que isto tem a ver com o uso dos dedos nas contagens.
É curiosa a origem da palavra algarismo.
Durante o reinado do califa al-Mamun, no
século IX, viveu um matemático e astrônomo
árabe, que se tornou famoso. Chamava-se
Mohammed ibm-Musa al-Khowarizmi. Ele
escreveu vários livros. Num deles, intitulado
"Sobre a arte hindu de calcular", ele explicava
minuciosamente o sistema de numeração
hindu.
Na Europa, este livro foi traduzido para o latim e passou a ser muito
consultado por aqueles que queriam aprender a nova numeração. Apesar
de al-Khowarizmi, honestamente, explicar que a origem daquelas idéias
era hindu, a nova numeração tornou-se conhecida como a de al-
Khowarizmi. Com o tempo, o nome do matemático árabe foi modificado
para algorismi que, na língua portuguesa, acabou virando algarismo.

37. Antes da invenção da imprensa, que ocorreu no século
XV, os livros eram copiados manualmente, um a um. Como
cada copista tinha a sua caligrafia, durante os longos séculos
de copiagem manual as letras e os símbolos para representar
números sofreram muitas modificações.
Além disso, como o sistema de numeração criado
pelos hindus foi adotado pelos árabes e passado aos
europeus, é natural que, nesse percurso, a forma de escrever
os dez algarismos sofresse alterações.

Por volta do século IV, os hindus representavam os
algarismos assim:

38. Não havia ainda um símbolo para o nada.
No século IX, já com o zero, a representação evoluiu
para:
No século XI os hindus representavam os dez dígitos
assim:
No mesmo século XI, os árabes que estavam no
Ocidente representaram assim:

39. No século XVI os árabes orientais empregavam esta
representação:
Veja as formas usadas pelos europeus nos séculos
XV e XVI:
Hoje a representação é esta: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0
Após a invenção da imprensa, as variações foram
pequenas. Os tipos foram sendo padronizados. Mas, mesmo
assim, as modificações são inevitáveis. No visor das
calculadoras eletrônicas e dos relógios digitais, os dez
algarismos são representados assim: