Aproximación al area de una región plana

1. APROXIMACIÓN AL ÁREA DE
UNA REGIÓN PLANA
LIC. EDWIN SALAZAR

2. EL AREA BAJO UNA CURVA
Otra de las interpretaciones de la integración de
funciones corresponde al cálculo del área bajo una
curva descrita por una función.

3. NOTACIÓN SIGMA
La suma de “n” términos se escribe:
dondeies el índice de la suma,a
i
es el i-ésimo término de
la suma y los límites inferior y superior de la suma son1
yn.
1 2
.....
n
a a a+ + +
1
n
i
i
a
=
å

4. EJEMPLOS
Uso de sigma:
7
1
6
3
4
3 3 3 3 3
1
1 2
1
1 2 3 4 5 6 7
( 1) 4 5 6 7
1 2 3 4
( ) ( ) ( ) ... ( )
i
i
i
n
i n
i
i
i
i
f x x f x x f x x f x x
=
=
=
=
= + + + + + +
+ = + + +
= + + +
D = D + D + + D
å
å
å
å

5. PROPIEDADES DE LA
SUMATORIA

6. ALGUNAS FORMULAS ÚTILES
1
( 1)
2
1
( 1)(2 1)2
6
1
2 2
( 1)3
4
1
n
k k n
i
n
n n
i
i
n
n n n
i
i
n n n
i
i
= ´å
=
+
=å
=
+ +
=å
=
+
=å
=

7. EVALUACIÓN DE UNA SUMA

8. CÁLCULO APROXIMADO DE
ÁREAS
1/4
2
( ) 1f x x= +
f(2)

9. SOLUCIÓN
Usando los rectángulos de la figura anterior podemos
hallar una buen aproximación a la región que se
encuentraentrelagraficayeleje“x”.
De esta manera podemos ver que el ancho de cada
intervalo es de 0.25 y que la altura la podemos calcular
se evaluamos cada valor extremo derecho del
rectángulo en la función. Por ejemplo el área del último
rectángulo:
8
(0.25) (2)A base altura f= ´ = ´

10. SUMA DE LAS AREAS DE
LOS RECTANGULOS
Usando la notación de la sumatoria (sigma) tenemos:
28 8
11
( ) 1
44 4 41 1
8 81 1 1 8917
2
1 8 25.5
4 16 64 6
1 1
i i
f
i i
i
i i
æ ö
å å´ = +=
ç ÷
è ø= =
´´
å´ + = ´ ´ =å
= =

11. ANÁLISIS
Comolaregióncubiertapor rectángulos(en
el intervalo (0,2)…) es menor al área que
abarcan estos, podemos afirmar que el área
que deseamos calcular es menor, es decir
hemoscalculadoeláreaporexceso.

12. ÁREA EXACTA BAJO LA CURVA
Supongamos que construimos “n” rectangulos
sobre la superficie la cual deseamos calcular el
área,entonces,podemosconcluirqueentremayor
sea el número de estos, el c{alculo será mas
exacto, por lo cual el área de la región S que se
encuentra debajo de la gráfica de la función
continuafesellímitedelasumadelasáreas delos
rectángulosdeaproximación:
( )
( ) ( )
* * *
1 2
1
1 1 1
lim lim ...
n
i n
n n
i
A A f x f x f x
n n n
®¥ ®¥
=
é ù
= = + + +
ê ú
ë û
å

13. LIMITE DE S(n) CUANDO “n”
TIENDE A INFINITO
Ejemplo: Calcular
3 2
3
3 2
3 3 3
2
4
lim() (2 3 ) Aplicamos la propiedad distri
bitiva
3
2 3
lim() Simplificamos las expresiones
3 3 3
2 1 1
lim() Calculamos el Limite
3 3
2
lim()
3
n
n
n
n
sn n n n
n
n n n
sn
n n n
sn
n n
sn
®¥
®¥
®¥
®¥
= + +
= + +
= + +
=

14. USO DE LIMITES PARA EL
CÁLCULO DEL ÁREA
Calculemos el área bajo la curva de la función
en el intervalo [0,1]
3
( ) 2f x x x= -

15. ESCRIBIENDO LA
SUMATORIA
Si partimos en “n”intervalos el intervalo cuyalongitudes
de1,entonces la base de cada rectángulo será de 1/n;
la altura en cada caso estará dada por la expresión
f(i/n), para i=1, 2, 3…n, por tanto tendremos que
calcular:
1
3
1
1
() ( ) Aplicamos la definición de la función
1
() 2
n
i
n
i
i
sn f
n n
i i
sn
n n n
=
=
=
é ù
æ ö
= -ê úç ÷
è øê úë û
å
å

16. CALCULANDO LA
SUMATORIA
3
1
3
3
1
3
2 4
1
1
( ) 2 Resolvemos la potencia y reescribimos
1 2 1
( ) Resolvemos la potencia y reescribimos
2 1
( ) Aplicamos la propieda
n
i
n
i
n
i
i i
sn
n n n
sn i i
n n n
sn i i
n n
=
=
=
é ù
æ ö
= -ê úç ÷
è øê úë û
é ùæ ö
= -
ç ÷ê ú
è øë û
é ùæ ö
= -
ç ÷ê ú
è øë û
å
å
å
2 4 3 2
2 4
d distributiva
2 1 2
Remplazamos por las formulas de suma
2 4
n n n n n
n n
æ ö æ ö+ + +
-ç ÷ ç ÷
è ø è ø

17. CÁLCULO DEL LIMITE
2 4 3 2
2 1 2
lim
2 42 4
Remplazamos por las formulas de suma
2 4 3 2
2 2 2
lim
2 2 4 4 4
2 2 4 4 4
n n n n n
n n n
n n n n n
n n n n n n
æ ö æ ö
+ + +
ç ÷ ç ÷-
ç ÷ ç ÷
®¥
è ø è ø
+ - - -
®¥

18. Aplicamos la Propiedad distributiva
1 1 1 1
lim1
24 2
4
Simplificamos, calculamos el limite
1 3
=1 :Respuesta
4 4
n nn n
+ - - -
®¥
- =