Arco trigonometrico

2. Arco trigonométrico
Até aqui marcamos no ciclo trigonométrico
imagens de números reais do intervalo [–2p, 2p[.
São os números da 1ª volta positiva ou da 1ª volta
negativa.
A localização da imagem de um número real
permite que sejam dadas, no ciclo, tantas voltas
quantas forem necessárias, tanto no sentido
positivo como no negativo.
Cada ponto do ciclo trigonométrico é
imagem de infinitos números reais.

3. Arco trigonométrico
A origem A, por exemplo, é imagem de todo
número real que indique um número inteiro de
voltas completas.
O A
B
A’
B’
0,2p,4p,6p, ...
–2p, –4p, –6p, ...
Os números acima são chamados
de números congruentes .

4. Arco trigonométrico – caso geral
Considere que o número real x, 0 ≤ x ≤ 2 p, tenha
como imagem o ponto P do ciclo.
O A
B
A’
B’
P
x
O Ponto P é imagem de:
x
2p + x
4p + x
6p + x
–2p + x
–4p + x
k.2p + x ou 2kp + x
Expressão geral
dos números
congruentes a x.

5. Arco trigonométrico
Seja x um número real, 0 ≤ x < 2 p, com imagem
num ponto P do ciclo. Chamamos de Arco
trigonométrico de extremidade P o conjunto de
todos os números reais cuja expressão geral é 2kp
+ x, com k inteiro.
Cada um dos infinitos números congruentes que
definem um arco trigonométrico é uma
determinação do arco .
Existe uma única determinação x que está na 1ª
volta positiva. Ela é chamada de determinação
principal.

6. Encontrando a determinação principal
Conhecendo-se uma das determinações de um
arco trigonométrico, podemos encontrar sua
determinação principal. Com a determinação
principal, podemos raciocinar na primeira volta
positiva, o que facilita a localização da
extremidade do arco.

7. 5110º
360º1910º
Exemplos
Achar a determinação principal de 1910º e
determinar o quadrante de sua extremidade e
escrever a expressão geral do arco
trigonométrico.
1910º = 5 . 360º + 110º
O
A
B
A’
B’
P
110º
90º
0
o
180º
270º
k.360º + 110º

8. –6–105º
360º–2265º
Exemplos
Achar a determinação principal de –2265º,
determinar o quadrante de sua extremidade e
escrever a expressão geral do arco
trigonométrico.
–2265º = –6.360º – 105º
O
A
B
A’
B’
P
255º
90º
0
o
180º
270º
– 105º + 360º = 255º
k.360º + 255º

9. Exemplos
Achar a determinação principal de 49 p/5,
determinar o quadrante de sua extremidade e
escrever a expressão geral do arco
trigonométrico.
49p/5 = 9,8 p 8p < 49p/5 < 10pÞ
49p
5
–8p=
49p – 40p
5
=
9p
5
Þ 324º, 4º q.
2kp + 9p/5.

10. Exemplos
Achar a determinação principal de –17 p/3,
determinar o quadrante de sua extremidade e
escrever a expressão geral do arco
trigonométrico.
–17p/3 = –5,6p –6p < –17p/3 < –4pÞ
–17p
3
+6p=
–17p + 18p
3
=
p
3
Þ 60º, 1º q.
2kp + p/3.

11. Exemplos
No ciclo trigonométrico da figura os pontos P e Q são
alinhados com o centro O. Para o arco
trigonométrico de extremidade Q, obter, em graus e
radianos, a determinação principal, a expressão
geral e outras duas determinações, uma positiva e
outra negativa.
O A
B
A’
B’
P
Q
30º