Arcos notaveis

1. Teorema Fundamental da Teorema Fundamental da
TrigonometriaTrigonometria
1cossen
22


2. Demonstração ...Demonstração ...
)θ
1 cos
sen
1
-1
-1
0
sen θ
cos θ
θ
·

3. Continuação...Continuação...
)θ
1 cos
sen
1
-1
-1
0
sen θ
cos θ
1

4. Continuação...Continuação...
)θ
sen θ
cos θ
1
Utilizando o teorema de Pitágoras h
2
= c
2
+ c
2
, temos
:
1cossen
22


5. Relações Trigonométricas no Relações Trigonométricas no
Triângulo RetânguloTriângulo Retângulo
)θ
Cateto Adjacente
Cateto Oposto
Hipotenusa

6. Continuação ...Continuação ...
Cotangente de θ
Secante de θ
Cossecante de θ
Tangente de θ
Cosseno de θ
Seno de θ
Relação no Triângulo
Retângulo
Ente
Trigonométrico
HIP
CO
sen
HIP
CA
cos
CO
HIP
sen



1
seccos
CA
HIP



cos
1
sec 



7. Na Circunferência Na Circunferência
TrigonométricaTrigonométrica
)θ
cos
sen
0
sen θ
cos θ
·
tg
tg θ

8. Continuação ...Continuação ...
)θ
0
·
cotg cotg θ
secante θ
cossec θ

9. Arcos NotáveisArcos Notáveis
30°
150°
210°
330°
45°135°
225° 315°
60°120°
240°
300°
cos
sen
0
tg
90°
180°
270°
0°/360°

10. arco 0°30°45°60°90°180°270°360°
rad 0
6

4

3

2


3
22
seno 0
2
1
2
2
2
3
1 0 - 1 0
cosseno 1
2
3
2
2
2
1
0 - 1 0 1
tangente


cos
sen
0
3
3
1
3
- - -0 - - -0
Tabela de Entes Trigonométricos
...

11. Exercícios ResolvidosExercícios Resolvidos

12. Que tal fazermos um teste para verificação do que foi
apresentado?
Observem a figura ao lado
1) Em relação ao
ângulo , podemos
dizer que o sen  vale:
a) b/c
b) a/c
c) c/b
d) c/a
e) a/b
c
b
hip
.o.c
sen 

13. 2) Em relação ao
ângulo , podemos
dizer que a tg  vale:
a) b/a
b) b/c
c) c/b
d) a/b
e) a/c
a
b
.a.c
.o.c
tg 

14. 3) Em relação ao
ângulo , podemos
dizer que tg  .cotg 
vale:
a) 1/a
b) 1/c
c) 1/b
d) 0
e) 1
1
.o.c
.a.c
.
.a.c
.o.c
gcot.tg



15. 4) Se a = 3b, podemos
dizer então, que
sen
2
 + cos
2

vale:
a) b
2
/ a
2

b) 9c
2
/ b
2

c) 0
d) 1
e) (c
2
+ b
2
) / 9a
2
Pelo teorema fundamental da
trigonometria, temos que:
sen
2
 + cos
2
 = 1
portanto

16. 5) Em relação ao
ângulo , podemos
dizer que sec
2
- 1
vale:
a) tg
2

b) cotg
2

c) - 1
d) 0
e) 1
 














2
2
2
2
cos
1
sec
cos
1
sec
olog,
cos
1
sec 








22
2
2
2
2
2
2
tg1sec
cos
sen
cos
cos1
1
cos
1
1sec


















2
2
2
2
2
cos
sen
tg
cos
sen
tg
olog,
cos
sen
tg


22
22
cos1sen
1cossen 
22
tg1sec

17. 6) Em relação ao
ângulo , podemos
dizer que cossec
2
- 1
vale:
a) tg
2

b) cotg
2

c) - 1
d) 0
e) 1
 














2
2
2
2
sen
1
seccos
sen
1
seccos
olog,
sen
1
seccos 








22
2
2
2
2
2
2
gcot1seccos
sen
cos
sen
sen1
1
sen
1
1seccos
 

















2
2
2
2
2
sen
cos
gcot
sen
cos
gcot
olog,
sen
cos
gcot


22
22
sen1cos
1cossen 
22
gcot1seccos

18. Lei dos SenosLei dos Senos
Seja um triângulo ABC qualquer
temos :


Csen
c
Bsen
b
Asen
a
) (
^
A
^
C
^
B
A B
C
a
c
b

19. Lei dos CossenosLei dos Cossenos
Seja um triângulo ABC qualquer
temos :






Ccosba2bac
ouBcosca2cab
ouAcoscb2cba
222
222
222
) (
^
A
^
C
^
B
A B
C
a
c
b

20. Continuação ...Continuação ...
Curiosidade : Quando um dos ângulos do triângulo é
reto, por exemplo, Â= 90°, temos :
 90coscb2cba
222
Sabe-se que cos 90° = 0, logo ...
0cb2cba
222

Temos, portanto ...
222
cba 
Teorema de Pitágoras

21. Gráficos das funções Gráficos das funções
trigonométricastrigonométricas
sen x
y
x
•
•
•
•
•
•
•
•
• •
0° 540° 720°450°
630°
360°
270°
180°
-180°
-90°
•
90°
1
-1

22. Continuação ...Continuação ...
cos x
y
x •
•
• •
•
•
• •
•
•
•
0°
540°
720°450°630°360°270°
180°-180°
-90° 90°
1
-1

23. Continuação ...Continuação ...
tg x
y
x
• • • • • • • • •
0°
360°
-90°
90°
180°
270°
450°
540°
630°

24. Continuação ...Continuação ...
y
x • •
•
•
•
•
•
•
• •
0° 540° 720°450°
630°
360°
270°
180°
-180°
-90°
•
90°
1
-1
cossec x

25. Continuação ...Continuação ...
•
•
• •
•
•
• •
•
•
•
0°
540°
720°450°630°360°270°
180°-180°
-90° 90°
sec x
y
x
1
-1

26. Continuação ...Continuação ...
cotg x
y
x
• • • • • • • • •
0° 360°
90°
180°
270°
450°
540°
630°
720°

27. • Integração por Substituição trigonométrica

Caso Radical Substit.
Trigonométrica
Transformada
Trigonometria no
Triângulo
Retângulo
I
222
.uba

sen.
b
a
u

 cos.sen1.
2
aa 

CA
CO
tg

II 222
.uba

tg
b
a
u.

 sec.1.
2
atga 

HI
CA
cos

III
222
.aub
sec.
b
a
u
 tgaa .1sec.
2


HI
CO
sen



Demonstrando o Caso I ...






 )sen1.(sensen.sen.
222222
2
2
22
2
22222
 aaa
b
a
ba
b
a
bauba



 
22
cossen1. aa
cos.a

28. Trigonometria
Algumas Aplicações

29. Parte Prática
O exemplo clássico da Sombra
Para que possamos medir (aproximadamente)
a altura de um prédio, sem a necessidade de subir
ao terraço, ou utilizar equipamentos sofisticados,
seria necessário somente 2 elementos.
São eles: uma distância
um ângulo
Observe a seguir . . .

30. hd.tg
d
h
tg
.a.c
.o.c
tg


temos que:
portanto:
tg.dh
Conhecendo a distância d que
vale 50 metros e o ângulo 
que vale 30°, podemos dizer
então que:
metros8675,28h
95773502691,0.50h
30tg.50h
tg.dh





31. Exemplo 1
A inclinação de uma rampa

32. Uma rampa com inclinação constante, (como
a que existe em Brasília) tem 6 metros de
altura na sua parte mais elevada. Um
engenheiro começou a subir, e nota que após
ter caminhado 16,4 metros sobre a rampa está
a 2,0 metros de altura em relação ao solo. Será
que este engenheiro somente com esses dados
e uma calculadora científica conseguiria
determinar o comprimento total dessa rampa e
sua inclinação em relação ao solo?

33. Como poderíamos resolver essa situação?
Como sugestão, faremos um “desenho” do que
representa essa situação.
Observemos:
6 metros
16,4 metros
2 metros

Comprimento total da rampa
solo

34. 6 metros
16,4 metros
2 metros

Observemos o triângulo retângulo em destaque . . .
 2 metros
16,4 metros
hip c.o.
c.a.
Temos em relação
ao ângulo 
hip = 16,4 metros
c.o. = 2 metros

35.  2 metros
16,4 metros
hip c.o.
c.a.
Como:
hip = 16,4 metros
c.o. = 2 metros
121219512195,0
4,16
2
hip
.o.c
sen 
Obs.: quando dizemos que arcsen  = 1/2 , podemos
transformar essa igualdade em uma pergunta: “qual é o arco,
cujo seno vale 1/2?”, a resposta seria dizer que  = 30°.

36. Em nosso exercício, chegamos a conclusão que:
sen  = 0,121951219512, logo podemos encontrar o
ângulo , com o auxílio da calculadora que
normalmente utiliza as funções ASIN ou SIN
-1
, então,
devemos digitar 0,121951219512 e a opção acima de
sua calculadora.
Se o processo foi realizado corretamente, deverá
ser encontrado o valor 7,00472640907, que iremos
considerar como aproximadamente 7°.
Encontramos assim, a inclinação da rampa!

37. Um alpinista muito ágil, percorre um trajeto passando pelos
pontos A e B. Não se sabe ao certo o que ocorreu, mas ele
conseguiu com o material apropriado chegar a conclusão das
medidas abaixo mencionadas. Quando chega até a árvore ele
percebe que o único caminho que o levará até o ponto C é
escalando-a. (a altura da árvore é representada por h - despreze a
largura do tronco)
Se sua velocidade média é de 0,2 m/s, quantos minutos ele
demorou para sair do ponto A e chegar ao ponto C? ( )
7,13

38. Solução:
Resumidamente, temos o
triângulo ao lado que
representa nosso desafio.
)II(y.3h
y.60tghhy.60tg
y
h
.a.c
.o.c
60tg
)I()y20(.
3
3
h
)y20(.30tghh)y20(.30tg
)y20(
h
.a.c
.o.c
30tg







39. metros10y
y220yy320y.3)y20(
y.3.3)y20(.3y.3)y20(.
3
3
y.3h)II()y20(.
3
3
h)I(




Igualando o h das equações ( I ) e (II)
Como
metros17h
10.7,1h
y.3h




40. 30 metros
Agora com o valor das medidas temos condição de determinar
quanto ele percorreu do ponto A até o ponto C, observe:
De A até C ele
percorreu 30 + 17 +
17 = 64 metros segundos20eutosmin5touutosmin333,5t
60
segundos320
tsegundos320
2,0
64
t
V
s
tst.V
t
s
V







v = 0,2 m/s