Arcos trigonométricos notáveis

2. Arcos trigonométricos notáveis
Os arcos trigonométricos com extremidades nos
pontos A, B, A’ e B’ merecem uma atenção
especial. Eles são chamados arcos notáveis.
Vamos analisar a expressão geral desses arcos.
Para isso, usaremos a variável k, ou seja, k Î {0,
±1, ±2, ±3, …}.

3. Arco de extremidade A
O A
B
A’
B’
Equivale a um número inteiro de voltas. Como uma
volta equivale a 2p (ou 360º), sua expressão geral
é:
2kp ou k.360º

4. Arco de extremidade B
O A
B
A’
B’
Equivale a um número inteiro de voltas (2k p ou
k.360º) mais 1 quadrante ( p/2 ou 90º). sua
expressão geral é:
2kp + p/2 ou k.360º + 90º

5. Arco de extremidade A’
O A
B
A’
B’
Equivale a um número inteiro de voltas (2k p ou
k.360º) mais meia–volta ( p ou 180º). sua
expressão geral é:
2kp + p ou k.360º + 180º

6. Arco de extremidade B’
O A
B
A’
B’
Equivale a um número inteiro de voltas (2k p ou
k.360º) mais 3 quadrantes (3 p/2 ou 270º). sua
expressão geral é:
2kp + 3p/2 ou k.360º + 270º

7. Arco de extremidade A ou A’
O A
B
A’
B’
Equivale a um número inteiro de meias–voltas.
Como meia–volta equivale a p (ou 180º). sua
expressão geral é:
kp ou k.180º

8. Arco de extremidade B ou B’
O A
B
A’
B’
Equivale a um número inteiro de meias–voltas (k p
ou k.180º), mais 1 quadrante ( p/2 ou 90º). sua
expressão geral é:
kp + p/2 ou k.180º + 90º

9. Arco de extremidade A, B, A’ ou B’
O A
B
A’
B’
Equivale a um número inteiro de quadrantes. Como
um quadrante equivale a p/2 (ou 90º). sua
expressão geral é:
kp/2 ou k.90º

10. Observação
Nas expressões gerais dos arcos notáveis, é
importante observar:
2kp (ou k.360º) indica um número inteiro de
voltas (origem A);
kp (ou k.180º) indica um número inteiro de
meias–voltas (pontos A ou A’);
kp/2 (ou k.90º) indica um número inteiro de
quadrantes (pontos A, B, A’ ou B’).

11. Exemplos
Localizar, no ciclo trigonométrico, a(s)
extremidade(s) do(s) arco(s) cuja expressão
geral é 2kp – p/3.
O A
B
A’
B’
P
60º
–
2kp indica um número
inteiro de voltas.
Partimos do ponto A,
percorremos 60º no
sentido negativo.

12. P
Exemplos
Localizar, no ciclo trigonométrico, a(s)
extremidade(s) do(s) arco(s) cuja expressão
geral é k.90º + 30º.
A
B
A’
B’
30º
+
K.90º indica um
número inteiro de
quadrantes.
Partimos dos pontos
A, B, A’ e B’,
percorremos 30º no
sentido positivo.
30º
30º
30º
+
+
+
Q
R
S

13. Exemplos
Na figura, P e Q estão alinhados com o ponto O.
Obter, em graus e radianos, a expressão geral dos
arcos de extremidades P ou Q.
P
A
B
A’
B’
+
70º
70º
+
Q
O
Partimos dos pontos A
ou A’, giramos 70º
(ou 7p/18) no sentido
positivo.
A expressão geral dos
arcos em P ou Q é
k.180º + 70º ou kp +
7p/18