Aritmetica de Repetto tomo 1

Contenido del índice:

Números naturales.
Suma de números naturales.
Resta de números naturales.
Suma y resta combinadas.
Multiplicación de números naturales.
División de números naturales.
Potenciación de números naturales.
Radicación de números naturales.
Divisibilidad.
Números primos y compuestos.
Máximo común divisor y mínimo común múltiplo.
Números enteros.
Operaciones fundamentales con números enteros.
Números racionales.
Operaciones con números racionales.

1. REPETTO
LINSKENS

FESQUET

2. ARITMETICA 1

CELINA H. REPETTO

MARCELA E. LINSKENS

HILDA B. FESQUET

3. SIGNOS Y SIMBOLOS

dición necesaria

-amente

ALFABETO GRIEGO

4. ÍNDICE

Signos y símbolos

DCIONES SOBRE TEORÍAS DE CONJUN

RAS ALGEBRAIC
Igualdad y desigualdad de conjuntos

Ejercicios y problemas de aplicación

onjuntos complementarios

Ejercicios y problemas de aplicación
Operaciones onjunt
Unión dascanlunte

onjunt

Ejercicios y problemas de aplicación
Conjuntos coordinables
structuras algebraicas

5. NOMEROS NATURALES
Sucesión fundamental de los números naturales
Numeración
Sistema de numeración decimal
Numeración con base distinta de 10
Numeración con base 2 0 numeración binaria

Procedimiento práctico para obtener un número expre
sado en el sistema binari

Sistema de numeración

Interpretación geométrica y representación gráfica de
los números naturales

Ejercicios y problemas de aplicación

Notas ilustrativas

RELACIONES DE IGUALDAD Y DESIGUALDAD DE NÚMEROS
NATURALES
Significado y notación
Caracteres de la igualdad de números naturales
Consecuencias de los caracteres de la igualdad

mbinación de los caracteres de la igualdad y des
igualdad

ostulado de las tres posibilidades

Ejercicios y problemas de aplicación

ADICIÓN DE NÚMEROS NATURALES
Corolarios de la definición
Propiedades de la adición de números naturales
Suma de números en base 2

Suma de números concretos homogéneos

Ejercicios y problemas de aplicación
Reglas prácticas para la suma de números naturales

Pruebas de la suma

Notas ilustrativas

6. SUSTRACCIÓN DE NÚMEROS NATURALES

Condición de posibilidad de la sustracción entre nú:
ros naturales
Corolarios de la definición
ropiedades de la sustracción de números naturales
Resta de igualdades y desigualdades. Diversos casos

Resta de números naturales concretos homogéneos

Ejercicios y problemas de aplicación
Reglas prácticas para la resta de números naturales
Prueba de la resta

Vueltos de dinero

SUMA ALGEBRAICA

Regla práctica para efectuar una suma algebraica

Ejercicios y problemas de aplicación

Pasaje de términos de un miembro a otro de una

igualdad
Reducción de términos
Supresión e intercalación de paréntesis

Reglas prácticas para la suma algebraica de números

MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS NATURALES

Mültiplos de un número
Propiedades de la multiplica
Factor común

Tabla de multiplicar o pitagórica

Ejercicios y problemas de aplicación

Reglas prácticas para la multiplicación

Prueba de la multiplicación

Notas ilustrativas

7. E NOMEROS NATURALES

aldad
piedades de la div

División de desigualdad
Relación entr

Ejercicios y problemas de aplicación

Notas ilustrativas

MEROS NATURALES

fefiniciones de potenciac

Ejercicios y problemas de aplicación

Notas ilustrativas

8. CONJUNTOS

s fugatiores de
érica; un tor

to Se lama
Asi: Bueno:

junto deiag ei

mentos del co

9. Por ejeffiple
la mario; con

to, generalmenti
jesignanele

simbolo}ieg Por ejem

o pert
or ejemplo:

lo constituyen: Lu
sifar conjunto de
(08 elementos qu

10. mbrando
online @
el co
con! loue
a‘todos:, Por
sbnsiste-en
os, dBlese con
. la propiedad cor

loo, are
rsonas
ajo, es 6
En efecto)
CoN

cena. 686 o

damente, fe,
e ese! con
dad, de será
Del mise:
al. decir a
Win es ten
‘cada uno,
on A se desig
A

11. los eléffièntos

se iene’
todos 10s Blementos
io presente est
al conjunt
> Sighitica i
que tiene 4 pate:
as pertene
patas

me à que x es u

En genefáll Bara indicar que el conjunto C está
lementos que}tienen la lad P, se esc
Jementos del con
P, se express Sin

ice

Esta „fölBeIön ind!
0.487 x Pertenece
20 Six tiene la

Esta forma de
deteriza a todos 5:

SL.el Conjunto

12. IGUALDAD Y DESIGUALDAD
DE CONJUNTOS

igual a otro conjunto B c

8 lement

13. te elementos e
recíproco 0
6 goza, de e
ción de equiv

tosson dösig
1 io ene ero

ns conjuntos A
y formado
Simbélicar

14. Representación gráfica de conjuntos

¿cierra a las 7
afi a continuac

fr gilica de 16

Ge vonsider
undo, al confunt.
Guiera) \A estos, erat

15. EJERCICIOS Y PROBLEMAS DE APLICACIÓN

nentos,

of
3:04
mario)

Entre Bios, Corre
1, Indl mayor/nuter,
jo Saavecrs, Man

ido Aatoeraga, Mi
ney Jam Lares

Nicole Rocriguer

Mercurio, Ven

Plutón)

dre soph

ot ear
(ex diputed

Iñiclusión de,conjuntos
Subconjuntos

Dados s i todos los elementos

8

16. Notación.

odo conil
10 acuerdo cor
conte

‘conjunto 48
de los
tadosiios meses
due el" con
otrosconjunto, o
a‘etro, está inclu!
entar @sta ihe
te inferior recler

fe gffSimbolo =

Inclusiémestricta o pro

EI conjunto
formado
junto de

17. Notación

los pertenece
Comospor efe
enel Conjunto de

Ale, dicha! por
palabra inclu

ta e
ente en e!

yx Pen
re

signo, signi
sé let: existe por

parrera ign
pda figure ©
ante enel. do

AFAN
er

18. Subconjunto en sentido estricto

lecim que

al de B.
opero, eee

Marla) Jest
nefimanos 0,6 que
subcop junto propiamente

in} 0 bien el
se conjunto

estriet
¡salen 8, $
EXT
aye estricto
ys números de Ur.

junto, de fod
meros ine

otek c'e
considera’ el

icha es transitive
Ens

19. Conjuntos complementarios
Si el conjunto B está inc tos deflque no
jecen a B forman un conju ma conjunto complemen

de B

as vocalas(dón respátto a

ajunte M cpffèsrody

Notación. Pa mplernentario de

lementatio.
«se. como la

into Rota! y

[3

OBSERVACIONES

Conjuntos disjuntos

Dados los:

Como estos
disjuntos

Definicién.

20. Operacióries con conjuntos
Unión de cohjuntos

njunto A fomado por 6 naranjas y el co
\anzanas, se llama un

nado por 13 es

21. Beb,conjunt
‚dor Tos) alum

Definición

Notación.

pertenece
xipertenieeeye
ento: pe
resultado,
Sigh
508
Enféonsèeu
SAS conside
Gráficamen
-n Cada, uno de

22. je conjuntos,

Propiedades.
~

operación es

tadode A U Bes

jemple, si

feu?
7

Se electt
figurai los misth
estos conjuntos

Esta propie
lorden de lose
sim

23. njuntos, se efectúa
esultado terce

>)
à y esté res
En efe

anlerlöhnes a
(au ajo CAL 8
iad es Ja, güe sel llarña propieda
conjuntos por

Esta propiedad ree! va por ablece que
tado. permangee invari ng s 0 más
onlüntes ade int

Elements Neutro de una operación. En general, se llama elemento
eutso de Und op elemento lar tal que al ser aplicado a
afro. elémento eualquier te rac de st
permanece invaria

24. ¡nd Vacio
ave) Primer,

Casos particulares de unión de conjuntos

ata de efect ión de Ge:

to A= ty

eue c
or. ejemplo; el
aies, la unión de an
jente de, las
ral, sl in,conjunto
«conjunto,
simpálos

Cráficamentel para
rte oh colar, que es el
ied el resultario A

25. TTT

Particién de conjuntos

26. dark
subalvisión indleada
¡enení elementos co
5 a Por resul
be z 28
si fran los sub
for
articiôn del con
abc a UntOS ©

arten. pue
sl conjuntof fot:

fret)
15 elementos

27. 2 subconjuntos

La obsefvación hei os ejemplos anteriores es genera
da la siguiente

Definición i

28. Cada uno de los subconjuntos d
nbélicamente
CE

son disjuntds

EJERCICIOS

Partición regular. Una partición se.dice gegular cuando cada clase
o subconjunto tiene el mismo número! de elaff@hte:

[aso
ase tiene 2 element
rticiöß reglas es

fete

Intersección de conjúntos

Sipse tieng el conjunto A formado por todos los
onjuntá Bl formado por todas las flores blancas, estos d
tienengélementos comunes que

de 108 clayeles Blancos, formad

ntos,dadas, se llama int
Gonjuntorce labores blanc

29. So

“Alumnos de
una escuela

30. os que

(6:73 Was
Por lo tarft la conse
le ‚dos/eonjühtos‘disjur

yin
mp
185739
CAE
aras
au

A es al eonjur

{Blenos Aire

Propiedades. La int

le Silod cor
es el co

31. 2 visto yestapropledad se llama

do: Bamblendo“eP Orden de

tiene que
iméro la Inter sec
últado con

33. Casos particulares de intersección, de Conjuntos

fig intersécció
fel conjunto

ON
junte A>
inferBeccidn e

> La [ftersección

En símbolos:

34. EJERCICIOS Y PROBLEMAS DE APLICACIÓN

Buc

junto Unión

36. Conjuntos coordinables

Operación Interna. Una operación definid
à ley de composición inter
usura, Si al

el conjunto de |
29 Elemento inverso. Dado un elemento se llama ¢
respecto a una operación, cuando al aplicar dicha opera.
ción entre u su inverso da por resultado el elemento neutro
de esa opera

37. 'aliplica

mpltiplicación

ual simpli

ztüpo, anillo

entos @stasdefinida una o
tiene estructurs de gru;
da

de composelón
ierre 9 dela, ciaus
asociativa

ele

delíconjur

La adicie

af) Bxiste Un e
de cualquier

0, es único,
Cha número entero tiene su ele
puesto es Igual a 0, que os el elemento nou

NOTA: á conmutativa

30

38. aciónes
e, tiene estru
¡guientes condi
18 Eömposiek

de los números ente
stituye jan ania, Ensdfec

+

composÍtión tern:
> de ndmeros. ente

Existe un (@lefhento] peut
dalnúmerosentero tiene su al
maña inverso con resp
suma, Que 68 el núm

2 La adición es

Le matí

Cuerpo
mentos están
estructura de operaciones ti

39. 3° Existe elemei

de los números racionalés, es decir enteros y fraccior
jones de adición y multiplication estructura de cuerpo

+

40. ue se usa
prima

serán

Se hab

Sucesión fundamental de (ás números naturales.
e suceden en el orden ly 2, 3,4 ta

ecedida por el húmero cero,
01,23%
undarnenlauge
sta sucesi
udl numer, Be
to de TOS pú
es detir:

Unidad y plufalidad.
nceplo que hace de la ol
al delpluralidad,

Numeración

ado n
tiene un

41. números mediante

42. iente.5 Yale
frere ein St
deiente 56).

ogämentenge

Reempl

Efectuar:

43. por ejempi

84. 3 ¿do

el reeled
¡ésto ded seg
de la terca)
cocie
n.nümero ede!
des: b, là
mi, y By
expresar así
FB MO He

fers ©

Numeración ¿Gon Base di

de stablec
decimal, vale
doptando)c
ee número b
Ex dred

10 símbolos (0,

frreros; uh sister

los, núme"
Est

44. s aplicacio las máquinas de cal

adopta cog el número 2
En consecuencia,

\ümeros estár lo en cuenta que en esta
meración binari jerdo © la igual
4) el núm

0011,, escrito en numeración binari
umeracién decimal
quier húmero escrito en nume aria. pue
ración decimal

fen numeración decimal números
en numeración binaria

45. escrito
ración binar

Expresar on numeración binaria
escritos en numeración decim;

do el número 25 en base 10, expresa
vas divisiones de 25 por 2, es dec

46. la primera cifra de la derecha
2 es mayor.que 2, se efectúa

derecha,
oki id

es la
168 lajquifte
mero 25), ase 2, es 1

ergid2 en basé)10, expres

‚Bor tot, el número 32, escrito en numeración binaria, es 1

Dadósel número 11 en base 10, expresarlo en base 2.
1

\ümero 11, escrito er

47. Dado el número

Luego, el número 63, escrito en numeración bingrla, es 1111

OBSERVACIÓN
Asi. des

1100, = 1 + 0 x 2480 x 2 x 2 4 1 x 24,

al efectuar la suma: 16,2 28 Yo verifica que el número 1

escrito en mumeración Dinar equivale 2 neració

Expresión de las 10 ciffs 401 sisteiña decimal en base 2

diendo comaen 108 Bgm
de laSicifras

¡fheratión décimal

(umeración decimal e

el 2.erı Mumefación decimal es:

eh Ben! Aumeracién decimal es

48. Procedimiento práctico para ob!
expresado en el sistema binat

49. Es decir, se han distribuido en:
5 + 24 grupos de 10) fichas

SEGUNDO PASO. Las fichas del segundo casillero se
s de 10; por cada grupo se pone una como representa
casillero. En este caso, en el segundo casillero

ibe

4 grupos de 10 + 2 gripes ai

te ejemplo ya se terminó la operación porque e

menos de 10 fichas y pafsepuede)seguir el proceso de reu

y, Fesulta número de ficha

50. Se disponen los casilleros co

en este caso la base es
se coloca una @nlel
el primer casillero de,

segundo casillero,

2s del segur

ichas en el tercer casi

52. 128 = 245,

do en el sistema de numera

53. : |@l el
el a
a [e]
a a
a el

sla e
el a

54. OBSERVA

55. ros se escriben de acuerdk s siguientes reglas;

olo colacado a la derecha de otro mayor o igual, Se Sima

Así: Il significa 2; XV significa 15; CLV significa 185; MOGP signi

or major ser

M significa 900,

tres Veces seguidas.

2 lee

21000 Eisignit
F000 00

56. Interpretación geométrica y representación gráfica
de los números naturales

tos (el OA) por
dla dos Wéce
sento OC, igual

Representación literal:

5 kilograrr

57. a expr
‚de. 18 espec
alufal Se lares

-oncretos hiomogiéneds!

son: 3 mt Vips (ds
kale, tonel

aferos concféto
neos dist

58. ¿Cuél es la cira de las unidades, cuál la de las decenas, cusl k
fenas, etc, y cudntas unidades, decenas, centenas, ete, hay en cad

¿Qué número se compone de tres unidades de mil, dos decenas

y escribir el nombre de los númerce
5043 ; 200504 ; 10009 ; 10425003 ; 700.004 002

Dar el valor intrínseco y el relativo de cada una de las
de los nümeros del ejercicio 40.

430.050 ; 503 004 +

Permutar las cias del número 3948 y leerflas cit

102 003 405; luego ser el obtiene. permutando:
= 29) el 2 con el 4, E
en base 10, cada uno de los, igulentadffmeros, escrito

1000011, ; 1110111,

132 ; 600

60. WY YY VIV YY vary
Y VY VIV Were yy YY YN YYW YY < Y <
Lt a PS 6 75 3: a mie

> wy
<<< yr << YY

wo m =» 8 = 1958

61. An

10 $0 100 $00 1000

65. ac
$e dice Guy

4<0
s se de
te las tres po

eb

ab

re
6, result que
ARO ea

Sun núme
Gréficament
dei punto

66. interior al
Ale rectal
de al húmero

sidef® ur

diato QUES
sééecire Shun
y feciprocam

os:

WB felación
aldades.
TBhexpresion qu

figma primer miembr

10s, se Ian

67. s de la igualdad, o equivalen

a=b

Carácter transitivo. (SF ur nd,
t rimélo es ¡2ual

Cofsecuencia de los caracteres de la igualdad.
acts, reciprpco y transitivo, result

bos nier

En simbolos.

68. Carácter transitivo de la relación de mayor. Si Juan täne más Boiit:

Pedro, y éste más que Carlos, dente que Juan tiéne m
lo \imero tas degllian, es mayo

aciajel Cafácter trans

mayor que otro y és
terceros

Carácter tranóitivo/de 1a relación de menor. Si Juan tiene
Pedro, y éste menos q. an tiene menos bolitas
el número es menor que el nú

carácter t

69. Eh fects:

5, quiere decinigu

también die
AS

mbinación de los caracteres de la
d y desigualdad

Posthiads dé las tres posibilidades,

ule”

70. Estas tres posibilidad
OBSERVACIONES

71. 20 Sy
le los, dos goni

de By
juntos, digjüntos

idntos diu

Elífúmerg8,
¡ara slima de

se escribe: 5
De esto ejer

72. sare

Notación. Este c scher pate
meros s a mediante Ip
ave = Met b

¡eadosjen la ex

ptes, [Ty llaves

sioneslen quel
decir eben reso
Cerradas mel paréntes
ste resullido; efectuar
sustituir el

Asi EhlElejempio (112
" &. *

aire
Como 6+

mo

73. Interpretación gráfica. b ste número s, suse
eros a y b, ocup gráfica de la sucesión funda:

je los ere inatixales, © que Gel
Corolarios* de la definición. 19 She

elemento neutro de la adición.

Si se considerafe!

es a 1/08 decir

En general
Todo núme
Asi

74. tiene sumándole

de números naturales

75. Léa a.
las cas

Cs
's son "may

mbro “len
Hola, design

PAB oa e.
ng igualdad, po

76. dades del mismo 8
se smisrao) sett

Propiedad conmutativa. Si ensure
) $25 +42 129
mbia de los, sumandds,.se obtie

tambien:
¡ción goza 4
mbiauel orde:

licaffents:

Propiedad asociativa. En una billetera hay 6 billet
bifltes de 100) es decir un total de

1000 $

100$

00 $ por uno de 5000 $ y 5 billetes
fe 500 $, en la billetera hay la misma suma total: 6 700$.

69

77. a:

in ¿dl mismo “resulta
zanfpor su Suma

Da
itive, la qUe s

si a pc de
s db Te
Fe

el paréntesis ind
suma efectuada

juntos da un c

diente:

5 bolitas 4 bolitas

olitas y otro de 2,

78. 3 bolitas + 2 bolitas + 4 bolitas

teciplaza!pof dos
varia,

PAT
utalivaly 25061
ás facil

bolas

79. Wars

GE
12/18 | ns | 16

suma dé los núme
ccióndiUe la Vila yale

Suma de númerosíBl base 2. Tabla de sumar.
iste arig los números de una n
rrespondiente a éllos,es la Sig

a6fEBle número
¡Suma à Ide
aquél pertenece

80. ¡ol
columna; enter
410, se Jescr
Y que sell
ma es 10

Bundle

expresado en
a 5 +3
"expresado

Nüme

81. Tablas de sumar en el sistema binario
con números de más de una cifra

| 10 | P| 100
| af]

1

i
we Fu

Usp. MAR,
dos, |

Suma dd húméras concretos homogéneos. F
ncretos sé redbier&)
RIMER CASO,
Jad,
Shun autor
ha_recortitie en total

82. 1338

distinta unida

fate. unidas
dos; aciendo La

horas, 4
he masas
ios, © seal:

-gundos + 38)
RUES 18
15 segundos

dame + 420m
ahem ls
5 mm

Suna dent
(ds sume, Par cie
dd las rede

alsn eh

énalpráclcs
queen en

ad

83. EJERCICIOS Y PROBLEMAS DE APLICACION

fy +a)

Siguiente
spl maven

dus

84. ie re,
in db recreo, Y
entre el pr

yc durmio 2h 2

8h 45m) 42 rana
1669 destinos
es n 26/m340
siguentes
008 29

REGLAS PRÁCTICAS PARA LA SUMA
DE NÚMEROS NATURALES

Sumar un dígito descomponiéndolo en dos partes, de las cuales una de
ellas, sumada al primer sumando, dé un número exacto de decenas.
aque dia, número 27 se le
ero otoctolde
er 347
suma propuest
TS = 2
de etui se des
Laon Pare
Bp te ce cto ta

85. Sumar una

nas, es eviden
rier sumando

2048

una
mismo,

del mismo or
selon corres;

Fallon
¿21 20000;
Sara

aes 700

Les + 300
53264 50
8743 4 a0

Sumar un número cualquiera descemponiéndolo en las unidades de
divaráos órdenes.

86. PRUEBAS DESLA SUMA

Se llama prueba de una operacidilfuna ééäunda oper

dad sobre la exactitud del resultado obtenido en la
Así, para la suma, las pruebas son:

Por sumas pareiales/ El resultado de una suma es probablemente ex
si coincide con el que se obtiene del siguiente modo: se distribuyen los, su
dos en dos o más grupossa efectúa la suma en cada grupo, y por úllimo,
suman estos resultados parclales,

br conmutación. De acuer leded conmutativa el resultado
le una SUMBNRS probablemente exacto si coincide con el que se

tät aro trarlamente los sumandos; prácticamente basta sumar de

afriba. es decir, Considerando el último Sumando como primer

568 425 4 8.061

88. [¡—aeojoso0n0oso 7,

Po asneejesesane Y

29100800

91. ia SS r

Definición.

he
Bifereneis

OBSERVACIÓN

Una partie

92. rales (eorrespoit
de Un éonjunt

artició

Condición de posibilidad de la siistraccidmentre números naturales.
tras se consideren úl te NÚMBIOS, nat
posible, es con ecesarällque el Pinu
| sustraer sición se. expr
Más adelant dian 'Oltos_plmeros qu
tracción cuando el minuendo es meñor si

Corolarios de la definición. “De
mente que: 1° Si el gysteaend!

Es decingue algu a adicién, el elemento neutro de la sus.
tracción es el 0.

A She! Er
En efecto:

En general

93. +b
interpretación gráfica. EI resultado Wea

enla represen
gar a lalizquierda, de

eral: sí
dica

OBSERVACIONES
M be acute

Cor

a

94. Propiedades de la sustracción de números naturales,

Propiedad uniforme ¡trace os_naturáles tie
files “e Bbtie

ler bro des igual

donc: Mömbre de

es conmutativa. Pára com
rminadapbasta 8

Resta de igualdades y desigualdades. Diversos casos

Sea, parejemalè tene
igualdades de distintayser
siéndo
tesulta: 9-
pues:
(Desizualdas

¡Ésta obser

95. sit
pu

Desigualdad

A

ta, emba
nto, contra

16-
Desigualdac
¿le el de la
sta obser
Sigo Ur
lc
Sir

96. OBSERVACI

3 se suma “al
plo. se ten

+a- 7}

NER 3, es deci
9442

(Bina! ine
plo, se

mismo resulto

5 observé

res
desta, un mis

Ens

Resta de números naturales concretos homogéneos

97. 12 dhidedye

feregila de Tos eo

Coneretos de

Le cie
amo 7

entre dos núm
Gorcretosic
spandientes Bi
sun orden, que tie

Menor que
una unidad
sario.

98. EJERCICIOS Y PROBLEMAS DE APLICACIÓN

8, en ta cita
neunte ho le

tort Ma
77 km 60
mangos’ es Re sus

son Iguales, las
raend gunda es igual à
sel minuendo de la segundo

2 19 resta, 100) al só
ao disminuido el recta

ce Buenos Als a 1
inta(de la Mañana sigue

u onda.
le 11h aan a,

spa ar
Canto, Hemp es

20 my ms

99. REGLAS PRÁCTICAS PARA DA RESTA
DE NÚMEROS NATURALES

Restar un dígito, mayor que la irá de las Mages del minuendo.

149326 2B»
primero de 108

2: er

guido en est

"MT.
ero la
fuego la otra

cando la regio
a

EN

4289

435m

estar significativa seguida de ceros.

100. Restar un número cualquiera descomponlöndeläfen las unidades de los

diversos órdenes.

28 J 284 - BB.

e las unidades de
iguientes cálculos

9428 3000 6 428
6428 2200= 6 228
Gaza —90= 6138
GT 4=6

nignte Reguido e

REGLA. $e assconfene el
ada uno de e
el desmayor orden.

area,
8368; 9

12375 — 56. 970 ; 9 586 — 698.
750% 2637 —1592 ; 695 — 86.
Rostar 9, 19, 2, .... 189, ot.

Sea efectuar la resta: 157 —9.

101. fe

tes resultado
16 km 29 SOA Er
29 2762
6 — 19 243
246 km SOR 26
44 68
sam + 20m
MES

PRUEBA DE LA RESTA

la detinlelonide sustracció rueba siguiente
tado /ebtenido al Sustraendo y € incl

102. Vueltos de dinero.

103. SUMA

ALGEBRAICA

Definición.

5)
operarse

diferencia,

ie sim)
‚orten ind
pétes Y las)
cada, cual

EZ
aleular olf res
manera:
Como 92
Es, 9/54
(Wore 54 3 = 8
eS 54

104. positivos

Regla práctica para efectuar una suma algebraica. Si &
s etiran 2 000 5
2905, el res
ima, algebra!
200 $ =
Borer
sf ¥ las cant

en de:

sé ha Gbte rit
s decig al prime
0, 3000 3, salle s

ado. se legal
OsÍlOs, es decir los
ondsy es Beir lo:
a la, segund:
sente, siéñido
445005
3432008
cia de amba

El camino s
15,000$ — 2
= (2 0008
Las obser

Siaulent

105. 6 #2)

OBSERVACIÓN
rép procegin

ERCICIO Y ÚPROBLEMAS DE
tado en 1
"48 300 aumen

sario del Sos;
200

la igualds
CUA eo
¿Gual esla
ice
¿e

Uns

APLICACION

106. Pasaje de términos de un miembro,
a otro de una igualdad

ta (ea estás ig

müs: es

ndo estas igualdad

de la primes
igualded hal pasado al
Cómo, igual observación

logos, Surge Jal Siguiente

REGLA, Todo térm
menos)
ecioroca
se puede

107. Reducción de términos

adblários dy

otro y al res.

+b)-

Enos, prim
eprimer mier

108. afectado por
o Gon la regla
gno, más.

z Sp + 4
i culo
más y DOr és

7S, à

idad 11) con su e

‘que aparecen e

TN.

mane Etre
ede Sup

igualdad:

LS er
rl, Iai

u la nos

ei ter

109. E
5
ds,
PN
be 54)

Supresión e intercalación, de paréntesis

Supresión de paréñtasis precedidos por el signo más. Sea la sum
c 5 — 244). Bfectuando la suma algebraica encer
aréntesis, resulta

65-2
AI misffo resultado se llega st

Luego:

En Bata úl
ido por el sigo
cie, cons

110. x+ (82-540)

Supresión de paréntesis precedidos por el signo menos. Seayla Suma al,

nto de resolución de sumajalgebrálta.
39 2-3 2+3
ter recipro
39 2+3)
0: se observa que el paréntesis que figürähpreßes
se ha suprimido, pero los términos, positivos 7, 2 y
cor ontrario, es deéin, mañas,
generaliza enfíá Siguiente

‘iano más. Puede si

ER Supt 165 Bprentesis en el siguente ejerce
2 er

JBSERVACION

111. Intercalacién de paréntesis, ación Gelber:
dos. En fos
ica en Ja a
ebraic

vació:
otra, e
indicación p
paréntesis
s réntesis, proce:

Intercalación de paréntesis precedidos por el signo más.
ri paréntes

&iproco,
ANS
24 dolls ose.

EGLA Para i
escriben lo

112. ntercalacién de paréntesis precedidos por el signo m

Sie

röntesis precedido
minos, se tienes

1258

sesión se inter:
de el tercer
€ 2

OBSERVACIÓN;

suma alge
es cómodo proces:
(Que ash resulta se
108 paréntesis

113. 6

War

Hater el va
donde a

114. Jf corto
aucepıo ed
signo, má:

5-8

poner. aus.
tuvieran ot

clin. ARO
as. Ye:
id observadati
orciclo. dere
wie un gres:
Ema LE sue
los minuendo
series dit
teórema, y Sim
Hyp Oiferenc
>.
Déliterent

115. PRÁCTICAS PARA LA SUMA
DE NÚMEROS NATURAL

Sumar o restar un número utilizando Aflimers redondo más próximo,
os tales

OBSERVACIÓN

116. on compras,
gue volte

Importe de dos compras y vuelto correspondiente

sy 188.
as $
455 Y 5203:
105 y 1255

ie 2! Vos us

Dias comprendidos entre. ds fechas
7 de
lena, 30 dias,
arogor el mes d

25.dias

ur los a
5 de m
à:
7

117. $+ 318 40%
my
y re
8 + 288
23,08 1180
AO
25,65 à 0822226

2 4 840,99 + 360
169.45 + 2382

118. MULTIPLICACION
DE NUMEROS
NATURALES

¡arial 8) producto de 8 x 3
to 24 espigual ala suma de 3 sumandos

ste 8

Eee

Notación Lo
de se desta

Unspuinto

operatorio, escribiendo las letras una a continuación de otra; por ejemplo:

u

119. Definición. El pr r aupor, el itr

plléar unffigmero por in
elemento neuf de la multiplicación.

Definición. cto dgfélalglier nú

ener ello
rocede ide! «ig
e resultado,se
(cuarto, Jy

Nofación., ES

120. paréntesis, corchetes o llaves puede suprimirse el ai

jadosen unjtie

2 el z, &
pares ord@iPcos
aa

conijunto Coque ti
tos tales ch
49 elemento 5

c= Aes alo

rvese ade el/eor
2 elementos y el mime:
es el producto de 3

Gféficamente.

121. Múltiplos de un número
Dada la expresión 15 x 3 = 4 5 sulta de

Definición. Ur Wü otf, Cuándo res
ultiplicar 7 . ualquiera.

todos los mer
plicar a cualquier número OF O,

Asi: 5x0=0 lubgo O es m
9 x 0 20 Au 08 m

tiené Intiitos citipos

alquiera d8'los infinitos nim
liplo dee. As!

Notación, «Para indice

¡PUNO sobre

114

122. OBSERVACIONES

para los números

Dado que el producto de dos
ultilicando y e

Propiedades de la multiplicación

De acuerdo

son iguales al prime

Leyes

indicada todo número par

números nat
multiplicador,

la multiplicación de

se expresa. gor 2.

húmero par se obtiene un número Im

241

junto
se dice qué amu

perte-
icación
rales o que

números naturales
Rye todos los sumandos
W multiplicación goza

os naturales siempre existe

do números iguales se

aldades, se obtiene

123. ¡plicar miembro a
ol

10> #
5>2
4

TPAETÉ
et

ualdad del mi

Analogame
¿hor eon igta

124. Propiedad

Gate
Fesalta:/ 0

de los fac

ÉCIPROCAMEN
Shel produc
sh cere,
nbéi

Propiedad asociativa. S|

125. factore:

dx 2042
4x5, si se 10 re
resbltads,
se verifica)a
factor se Reemplaza
resúltado no. va
En sífbojóS:

Proplédad distributiva de la multiplicación.
mero de libros m
as en gru

126. El cálculo puede hacerse en dos formas distintas.

19 Contando el número de columnas y multiplicándolo por el número

(2 + 3 +6) col. de 5 libros = 11 col. de 5 libros
älculo que puede expresarse

e ) t

29 Calculando el número rc ande

resultados parciales,
=2x 5 libros
nas de

En total se tiene:

Aritmética

De [1] y (2) se deduce que, slendöhjos segundos miembros iguales,
los primeros también

igualdad que expresa P de la suma 3+6) por el

nümero 5 es igual a a suma de,10s tres productos que se obtienen al
nultiplicar cada sumando' \imero

servaciér este ejemplo es general y se enuncia en la

siguiente propiedadhide plicación

Propiedad distributiva e la multiplicación con respecto a la sum,

TEORE! de una suma por un número, es igual a
suma de los se obtienen multiplicando cada sumando por

Por definición de multiplicación

n=@+b+0+@ 3
0 paréntesis, resulta:
n=a c+a+b+e

donde hay, en total, n sumandos a; n sumandos b, y n sumandos c
uesto que en réntesis figura una a, una b y una €.

19

127. +0

prod.
axentesis Te;

6 puede es

2468: +4
teren
iia, est

«> 512=8

ose Megas
eros, MES!

8x

CC

2d que ©
mans
ar el minus

ogsustr2endo,

Ta dose!

128. de + Bx
S274 24

baise

1 algebra
tr

ia Suna algeb
staca un 1

ME 27

ma factor 2

algebraica

onde
tien

to Bo

ada Sumo alg

cof! respecte’ la

las

129. ax — 3a} Megan,
raid figurah los 1a

la suma algebraica ctor cornún

para sacar factor común. Sea la exfresió
Reerpplazando
yobiucto 72
r el Producto 4 x 8
y detecte
off el product
20 por @h product

düe resulta
(298
1141217 resi
8+32-
LA operació
(géneralizajen la

REGLA, Si
tor co

mr
mire e

130. ar factor común en: 4axn — 6bnx — 10my
electo:
der — 6bnx — 10nxÿ + 2an
2x any + 2x
5
Aplicando la regla para sacar factor común:

Aexn — 6bnx — 10nxy + 2xn = 2un (23

Producto de una suma por otra. Sea multipli¢ar 1
por la suma (24 3+ 1).

Si se considera la segunda suma, (2 como un solo nú
mero, puede aplicarse la propiedad distributiva de la multiplicación cor
respecto a la suma, y se obtiene así

(44746) (243 a
7243 62

jedad en el segundo

Luego, el productosde a+ por la suma (2+3 + 1)
al a la suma d ductos que se obtienen multiplicando cad
de los sumand Y cada uno de los sumandos 2, 3 y 1.

La observación hecha en este ejercicio se generaliza en la siguiente

por otra es igual a la suma de
nen multiplicando cada término de la primera
la segunda.

à conviene seguir un cierto orden en la formación de
rodugtos parciales, con el objeto de no olvidar ninguno. Uno dk
seguir puede ser el siguiente:
imero, se multiplica cada término de la
término de la segunda; luego se agregan a esos prod
obtienen al multiplicar cada término de la primera suma, por el segundo
le la segunda y así hasta terminar con los términos de la segunda

131. SF De
ión de AÚN

bla, rabid
la fila y di

ade
n los

ben JO |

sériben los m
Betiben Jos

132. Multiplicación de números en base 2. Tabla de multiplicar. T

vi,
ración binario
300)

ES

100,

i

133. Multiplicación de un número concreto por un número natural. Si un seg
nto es de 20 cm, es el segmento doble es de 40 cm y
segmento triplo de 6 ticamente esto: € exp

20 cm

eleproduct

10 x 9) kg = 90 kg
320” que puede reducirse a: 5/20
Multiplicación de un número concráto”comáfije por un número natural

Si un ángulo es de 10° 15%, el ángulo doble es’de 20

Aritméticamente este resultado,se expesa así
x 2220

En general, puede enunciarsóla, siguient

REGLA. El producto. de utero co
atural, es el ninfelo tormado
ls de los divarsos Oe
tural. En el redllado debe
Morro
E 5° 2020 B= 40° 150 100
E 150152: x 6 90h 78m
Use Bberdlines de los dos tim

Es “S020

134. Multiplicación de números concretos entre sí. La multiplicación entre
ros concretos sólo es posible en los casos en que el resultado tenga

ue tiene

OBSERVACIÓN

sarse en la 4, y si no sa pomogápeos, deben ex

Para uniformar se debe exp facta m? en mi, es decir
800 0.16 mt

o bien expresar ol se y 2 m en cm; como 2m=200cm, se
tiene:

800 em Ö cmt x 200 em = 160 000 em?
result jes

108)Y PROBLEMAS DE APLICACIÓN

137. Fs0em# x Im
mx

REGLAS PRÁCTICAS PARA LAÄMULTIPLICACION

Duplicar, triplicar, cuadruplicar un número mágiánte sumas. De

definición de multiplicación, multilicar un Número p
ralla la suma de dos sumandod |aualei@diche
2=2484 241 M2

Análogamente para triplicar un nimelobasta ete
iguales a dicho nümergf@uß equivale a duplicar

CE

195% 3=
De 1, para cut
sumandos Iguales afdiho número, que e

= FETE

¡Multiplicación de un polidigit por un dígito. Par mentalmente
roducto 295 por 3, se descompone el número 295 e
relativos de sus cifras, y se tiene:

130

138. Aplicando la propiedad distributiva nuttiplicacién
suma, resulta

15 = 885
Es decir que

Para multiplicar un polidigito por un dígito, se
de las cifras del multiplicando por el digo, y se

Multiplicación de un polidigito por otfe, Jusuficación de la regla corres:
pondiente. Sea multiplicar
5346
Se razonará sobre este ejem Juslificar el procedimiento conocido
por el alumno en la escuela primy ‚mültiplicar dos números de dos o
nas cifras

Descomponiendo el multiplica Suma de los valores relativos de sus
5346 51346 (100 + 90 +2)

Aplicando la pro iva de la multiplicación con respecto a la

5346 x 198 5 346 X 100) + (5 346 x 90) + (5346 x 2)

534 534 600 + 481 140 + 10 692 = 1 026 432

Para, polidigto por otro, se multiplica el multiplicando suce
sivamente por las, unidades, decenas, centenas, etc., del multiplicador. Estos
produ se reducen a unidades y luego se suman

131

139. Multiplicación de un número por la unidad seguida defteros.

ando seguido

unidad seguí

9,
10 357

tecinfal, se proce
1 número decimal
ares 9, la derech.
ompletan 10s

feo is
a)
47 x16
68 x 10
205 ae

Multiplicación de un número por otro seguido de ceros.

140. regan

25% 20 = 428
260: corran

Esencletos

nultiticacion
248220 E
EME
52
LT

9001 13:40 1

Multiplicacióníde un húmero cualquiera por 8, 19, 9,
9 y por 19.
Siendo 9
537%

Blpsiendo no

141. 2x8
a El
0%

Multiplicación de un número cualquiera pr 11, 21) 31, ete

832 (204) 832)
832 420 + 839,

y Aero porletr
ela interior

142. Multiplicación de un número cualquiera por 12. Sea multiplicar
38 x 12 = 138 (10

10 il resultado,

hace men

PRUEBA DE¿LA MULTIPLICACIÓN

jediata 88 permutar el multiplicando y el multiplicad
1d conmütativay/debe obtenerse el mismo producto.

¡nadar prueba del nueve que figura en la página 212

NOTAS ¡LUSTRATIVAS

Según se halgichoy antes de conocer la
nes resultaban sumpafpente Complicadas. Así, por eje
-omplicado a que daba lúgar una multiplicación para el puebl
le manifiestá en fa figura siguiente donde se representa
obtener el productos, 162 x

145. División exacta

de acuerdo con los conocimientos apráfftos «
sabe que cuando el dividendé es)múltiplo del
exacta,
Asi, por ejemplo, en la défilé, 36
divisor 4; el resultado exacto de bsta

ondiciön de que (El, /8s exactamer

964-9 pues 9 x
onsiderando todos les ejelfblos análogo: uiente
Definición. Dividir un flúmero natural
múltiplo de Gsesiencontrar un nümeı
resulte iguällal, número D.

endo D
cado

En simbélos;

Cómo Ya se sabe, la operación se
‚nümero, D, dividendo; el segundo núme
cociente exacto

OBSERVACIÓN

IE Obsérvese que, c
divisor O dé un n
sión por cero.

o no es posible la divi

138

146. Así, por eje 10 puede calcularse porque cualquier su
jesto resultado, multiplicado por O, da 0, que es dist
Aun en el supuesto que también el dividendo sea O, no es
la división, pues 0:0 daría cualquier resultado, dado que Gualq
\ümero multiplicado por el divisor O da 0

Condiciones de posibilidad

división D:d=c también puede indica

jente 2 à millo ese número;

Corolarios de la definición. Rümero 5, plo, se
utiplica por otro núme 0 te resultado se lo

y al resultado se lo d

lo divide por otr
se tiene

147. OBSERVACIÓN

Le hace una

10 es múltiplo de
Mungo i
“sabconjunto:

sleientos de

Interpretación (geométrica

ségmento AB
ee a
está, conte
que ab
jempl
a
Beométr

148. Pasaje de factores y divisores de un miembro a otro de ud Igualdad.

cia de, 1a ote
ue en la prime
¡ÁlOtra igual
mente ¿$

x 4
primer mier

¿=8x3

6538

Propiedadesiie lalidivision

copiadas uniforme.
Esto implic

Dividlerido mi
de
En sin

149. La división no es conmutativa. Par

División de desigualdades e igualdades.
s desigualdades de distinto sent!

es genial Jose eñuncia a
la miembro
una desjgualdai, él

jemplos:
M Sono
y

resulta:

150. ques: 5 pues
(Desigualdad d sentido Désigualdad)ive
à dada, ue el de Ja 0

n es general y se epuncia gst

o divide miembro a Ain

nismó sentido que e

Propiedad distributiyá dela división exacta

O... perl ren arar 2 suma, 00
rero 5, para hallar el tesultado se efectúa la suma
10 + 25 + 40
ultado'é lo, divide por
fo +25
“Ajisti@ resultado se llega dividiendo cada término de Ja suma
Brando luegoplos cocientes parciales, es decir
10:5
sea:
también lo son.

151. 8 à la siguies

Propiedad distributive de la con respecto a tam del mu
del divis

múltiplos de u
fes qUe Se

o la tes

os

+b

FE

igualdad ise, yen
ad aistributivalide

mc “IP
27 coral
sinn
réemple and
ja teleadi

Si se ti
para hallar el
0188 divide

152. Propiedad distributiva de la división con respecto a la restd de múltiplos
del divisor. E a a dn húmero,
reo ms

a

para la

Propiedad distributiva de la divisió Com especto a la suma alge
múltiplos del divisor. ión, cTstribut
‘con respecto

Inalterabtidad del cociente cuando se multiplican o dividen por ur
nümra sl dividendo y el divisor a

2 muitiplic
jemplo, resi

153. Si en el ejemplo dado se dividen dividendo y divisor por un mismo
7 por ejemplo, resulta:

(63:7):(21:7)
el mismo resulta
al y se enuncia ast:

dividen él dividendo y el

fecir, también se obtien
La conclusión a que se llega es gen

En símbolos:

Cociente del producto indicado de/Yarios fäpipres por uno de ellos. Sea,
Jo, tener que efectuar lapdlVisió

(4x 285

bserva(@ueliino" dellós
r y el divisor,2 resul
CE

Los resultados de (21 coi
ax 2x 3x

Esta oBéeryación es general y se enuncia
Para Gvidir ell prod!
ta con suprinni e:

En simbolos:

mo la, división (abxc) : x puede escribirse
abx

154. nte del producto indicado de varios factores por el divisor de uno de

8 e E 1 3.

el GLS mp
16 St, legal
Bel eoc

Bs «918

Simplificación. DeffB8ltios Pr
1d Un she
factor, y otr

amplificar

155. OBSERVACIONES

puede suprin

6

eq
Em ambós

2
Ira de,
2, y se tiene:
2
RE
oer ella
ndo es
era ue ob
20mg factor

jernplös:
a :

156. OBSERVACION

resin restante

figife como, fact

definitiva:

157. imer miembro es

OS
\bföhtam bien €
¿10%

plo:
152 7
pag

158. por el iviso:

ut
factor,
simiembros,

© exact
le dar @ cada U
dar a cade
nia
A Operación y
lama olvisión
nero 2, resto.
acuerdo

Definición.

159. ag

10 de
ividendo y
diy

d=cyr

scicio, el
@.

ación, delas

OBSERVACIONES
=

160. aid
el resto debe ser menor que

ion exc
=D

Relación entre el dividendo, el divisor, el cocie

ente.y. of rato,

Cociente de un ndm@f@eonerete por un número natural
evidente) qu
9 es
jente, se exp
EE ag
alpuede ©
A. El cocte
aunimere do
delos dive
‚con, /2s.déno
1 ducen 2 unida
Elefhpios:

161. OBSERVACION

Cociente de dos ande concrálos entre si

fication de,
creis wadıdje

odiente EAR
‘multip

ues 2 m multi
nl

De la ot

números conc
rere natu

dados:

162. 80,000 enti vist

320 ei = 3/20

en grados v m
obar ef varios
ue se puede

SÍ at vider

el resto

SI al vides

a cociente

Cu es el
caro

cor

164. yy

Dis.
vale 1700, de

han. consum
sl consumo diario? S
ae abren eh

on una
690000 5 La pr

diner debe en
hores:

CT

corredor
élit tada

Un cesión
tardado?

ade
Fre

165. idad pro
er a

eliana de!
velos

sin: 100 ko mw

4150 oval
ball, sabionds
IO

son pro

166. REGLAS PRACTICAS PARA LA DIVISION

División de un número natural o decimal por la unidad seguida de, coros.
orrespondientes estudiadas en la escue!

seguida de caros se apara
acompañan a
> Izquierda en Caso

ad seguido al

laanteron
2.2
200

40. use:

if 100), 1243,5: 1000

Mitad, cuattd parte, octava parte de un número.
:ad:de un núm vidir a

eo es pr le
5 práctico
fe ta mitad

Ejemplo:

mo

167. Multiplicación o division de un número cualquieralpor 5. Sieh

De ET

ón. palin)
nado se me RE.

1%

Multiplicación de un número cualquiera por 15.

Como 15

168. Mutiplicacién o división de un número cualqulra Bor 25. Siendo:
25=100: fp

1 nömergfes múltiplo de

20x 2

tado se multiplica po

Multiplicación o división de un número cualquiera por 125. 125 la
125, se lo multiplica p

169. of = 20 000)

pôr 125, se lo

xe

ec ios

125 10: Web
2588 : 754 94
Toon,

Dividir un nümefÖ/Böbuna eitra significativa seguida de
guita de Uno,
100, eic., evi
seguida ie
die a su v

Calcular

170. PRUEBA DE LA DIVISION

NOTAS ILUSTRATIVAS

ri
vivió, entes 16
sformé en
tichde el signo de
no. dé Avión os
3 car la vs
cifras hinds
aböchn.de Leona
álico que na

171. Definición.

¡cia quinta de
3k 343

Definición

172. trata della pr

igdiera din

Corolatio de las definiciones de potenciación. Todas
el húmeto fectivamente

173. Sucesivas potencias de 2

Interpretación geométrica, Sea, por
ruye dp curado que

fen dos lados" cons
rrendiculares a

174. Propiedades de la potenciación

Propiedad uniforme. Ac

Simbélicament

nümero natural > 1

Propiedad tante.” Si se tiene un número mayor o, por
m ida uno se lo eleva al cubo, los resultados son
0: 512 > 125
resulta: 8*>

vamente

los al cuadrado,

resulta;

175. La potenciación no es conmutativa,

no es igual a
no eds
La potenciación no es distributiva ón, respecto a la suma ni a la resta
fect
sligual 22
2434 Se

Be m

te

röpiedän distributiva de la potenciación con respecto a la multiplicacién.
ea Ja potencia =

Efectuand
se tiene:

176. ibutiva dé) lado:

icf des, po-

Ex
2 x air 1018 0

Propiedad distributiva de la potenciación con respecto a la división exacta

fectuando la. alist

A misino,réstltado s al cuadrado el dividendo y el
visoriyose halla, ue fe de esas potencias parciales

a

177. inora, Seal es
as/potentias.

fecir:

178. nx factores a
actores a en el

e aa
Agur
delacuerdo o
dla. Es de

endofen el 2

MER.

Cobiente de potencias de igual base. S

179. Etecfuar as siguientes muitpicaciones

183. ve + Lb) (0 +0)

TIPA