Aritmetica.pdf

Libro de Aritmetica Esencial Editorial Lumbreras

1. Omar Salcedo Girón
Luis Barrienìos Cale’:: .
*

2. Razones y serie de razones
geométricas equivalentes
Lectura de motivación 13
Concepto de razón 14
Razón aritmética 14
Razón geométrica 15
Situaciones particulares 17
Serie de razones geométricas
equivalentes (SRGE) 22
Resolvemos juntos 30
Practiquemos lo aprendido 48
Magnitudes proporcionales
Lectura de motivación 53
Conceptos previos 54
Relación entre magnitudes 54
Propiedades 55
Aplicaciones de las magnitudes 57
Resolvemos juntos 64
Practiquemos lo aprendido 81
Promedios
Lectura de motivación 87
Concepto de promedio 88
Promedios importantes 88
Variación de la media
aritmética (aMÁ) 93
Promedios particulares 93
Resolvemos juntos 100
Practiquemos lo aprendido 118
Regla del tanto por ciento
Lectura de motivación 123
Concepto 124
Equivalencias importantes 124
Propiedad *25
Operaciones con el tanto por ciento 128
Empleo del tanto por ciento 128
Resolvemos juntos 137
Practiquemos lo aprendido 154
Regla de interés
Lectura de motivación 159
Concepto 160
Elementos 160
Tasas equivalentes 161
Clases de interés 161
Resolvemos juntos 168
Practiquemos lo aprendido 191
Teoría de conjuntos
Lectura de motivación 197
Concepto de conjunto 198
Diagrama de Venn-Euler 198
Relación de pertenencia (e)
y no pertenencia (g) 199
Determinación entre conjuntos 200
Relaciones entre conjuntos 200
Conjuntos especiales 202
Operaciones entre conjuntos 203
Resolvemos juntos 213
Practiquemos lo aprendido 230

3. Teoría de la numeración
Lectura de motivación 235
Concepto 236
Sistema de numeración 236
Numeral capicúa 238
Representación literal de
un numeral 239
Descomposición polinómica 239
Cambio de base de un numeral 240
Propiedades 242
Conteo de numerales 245
Resolvemos juntos 249
Practiquemos lo aprendido 268
Operaciones fundamentales en Z +
Lectura de motivación 273
Adición 274
Resta o sustracción 278
Complemento aritmético (CA) 280
Multiplicación 282
División 285
Resolvemos juntos 291
Practiquemos lo aprendido 308
Sucesión numérica
Lectura de motivación 313
Concepto 314
Progresión aritmética (P.A.) 314
Progresión geométrica (P.G.) 319
Resolvemos juntos 325
Practiquemos lo aprendido 348
Teoría de la divisibilidad
Lectura de motivación 353
Conceptos previos 354
Representación de los números 355
Principios fundamentales 357
Criterios de divisibilidad 361
Resolvemos juntos 369
Practiquemos lo aprendido 386
Clasificación de los números enteros
positivos (Z+)
Lectura de motivación 391
Clasificación según la cantidad
de divisores 392
Clasificación por grupos
de números 395
Teorema fundamental de
la aritmética 397
Estudio de los divisores de
un número entero positivo 398
Resolvemos juntos 494
Practiquemos lo aprendido 420
Estadística
Lectura de motivación 425
Concepto 426
Conceptos previos 426

4. Recopilación de los datos 427
Organización y presentación
de datos 427
Análisis de las variables 427
Gráficos 430
Medidas de tendencia central 431
Resolvemos juntos 435
Practiquemos lo aprendido 457
Análisis combinatorio
Lectura de motivación 467
Concepto 468
Principios de conteo 468
Técnicas de conteo 470
Resolvemos juntos
Practiquemos lo aprendido
Teoría de probabilidades
Lectura de motivación
Conceptos previos
Definición clásica de probabilidad
(regla de Laplace)
Operaciones con eventos
Propiedades
Resolvemos juntos
Practiquemos lo aprendido
Glosario
Bibliografía
481
502
507
508
509
509
510
517
535
539
541

5. í <- s ' :
ü » I i
»C* ■
:
t i f i l i
i «
lp|sps
W Ê Ê
■ ■
: v —s,í-~-v~
t
<■ * % Ä . \ W ^ ''v -w ' : W - ^ C v . ' ,4* .
v .:..; ' . : ; , . „ ' í - . .
saa»(Dí f : -—~ ■
V **v¡.;-'vi
• . ■ M . :■- . :,. 1
\ T i
II !
■:. . -, i
' f S i :
^ ^ z J t- .
k
r
CÍ*&'W<« V -'•
^ • v" " < W -
1
^ S: : ir
' - * - vV ^■\ ^

6. RAZONES Y SERIE DE RAZONES
GEOMÉTRICAS EQUIVALENTES
' ¿‘VvwS
n
¡n
El número de oro, o numero áureo, es un número irracional
que representamos con la letra griega phl ((¡>), en honor a
Fidias por ser la primera letra de su nombre, y que es igual a
1+^ - = 1,6180339887...
Este número fue un hallazgo de los griegos de la época
clásica y se utilizó para establecer las proporciones de los
templos, tanto en su planta como en su fachada. Por ejem­
plo, en el Partenón (véase la figura), Fidias también lo apli­
có en la composición de las esculturas. Curiosamente, esta
proporción, considerada como la más armoniosa para la
sensibilidad humana, se corresponde con las proporciones
que nos presenta la naturaleza.
Aprendizajes e s p e r a d a s
• Comparar y relacionar cantidades, ya sean homogéneas
o heterogéneas.
Formar o reconstruir una serie de razones geométricas.
• Utilizar métodos prácticos, propiedades o algoritmos
para la resolución de problemas.
¿Por qiaé es necesario este conocimiento?
Es necesario por la aplicación que se le da en la vida
cotidiana. Por ejemplo, cuando vamos de compras, com­
paramos precios, de este modo encontramos una relación
entre los precios a medida que las cantidades aumenten o
disminuyan; en la ingeniería, al usar escalas para elaborar
maquetas; o en el área contable, para realizar movimientos
financieros.

7. COLECCIÓN ESENCIAL Lumbreras Editores
Razones y serie de razones geométricas
equivalentes
1. CONCEPTO DE RAZÓN
Es la comparación que se establece entre dos cantidades me­
diante las operaciones de sustracción o división.
2. RAZÓN ARITMÉTICA
Es la comparación de dos cantidades mediante la operación de
sustracción para determinar en cuántas unidades una cantidad
excede a la otra.
j Cuando se diga solamente razón,
i sin indicar de qué clase es, se
i asume que se refiere a la razón
C geométrica, porque es la más
: usada en la vida cotidiana; por
i ejemplo, en la elaboración de
| maquetas, en la lectura de las
i / escalas en un mapa...
V'lí! \ '!/ZZ//////‘ " '
...........r íj
Ejemplos
1. Comparemos los números 20 y 12.
I £f ■/ 2 1 ‘azón ari tn iet c j
20 Sz
V t * t
antecedente cerisecuenís
El resultado obtenido indica lo siguiente:
• 20 y 12 se diferencian en 8.
• 20 excede a 12 en 8.
• 12 es excedido por 20 en 8.
2. El ancho y el largo de un terreno rectangular miden 15 m y
24 m, respectivamente. Comparemos estas cantidades.
razón aritmética
------------*------------,
24 m - 15 m = 9m
valor de la
antecedente consecuente razón aritmética
= 8
: | valor cíe la
razón, aritmética
El resultado obtenido indica lo siguiente:
• El largo y el ancho se diferencian en 9 m.
• El largo excede al ancho en 9 m. '
• El ancho es excedido por el largo en 9 m.

8. Razones y serie de razones geométricas equivalentes
i :Cuando sé diqa :< 4 y .....1. " "
rm r o
m ‘A es una vez 8 -> A -B
• /A es 2 veces 8 -> A = 28
-rrr—Á es 3 veces 8 A = 38;
-~» A es n veces 8 —> A = n8
t-Pero cuando se diga
A es una vez más que 8 -> A=28
A=38
A=48
• A es 2 veces más que 8 ->
■ sr: ■ A es 3 veces más que 8
111 v/ íj ■ -r - , ' ' ■■■■■
u* h A es n veces mas que 8 -4A-(n+1)8
■ J
3. RAZON GEOMÉTRICA
Es la comparación de dos cantidades mediante
la operación de división para determinar
cuántas veces una cantidad contiene a la otra.
Ejemplos
1. Comparemos los números 2 y 8.
antecedente
consecuente
1 x /-i 2j =
_____
’:_8 i 4 x /
T T t
4 i
razón
• geométrica
valor de ia?r:% ;
razón geometrica
El resultado obtenido indica lo siguiente:
• 2 es la cuarta parte de 8.
• 2 y 8 son números en la proporción o
relación de 1 a 4, porque 2 contiene 1
vez a 2 y 8 contiene 4 veces a 2.
. 2 es como 1, y 8 es como 4, porque
2=1x2 y 8=4x2.
2. A una reunión asistieron 20 varones y
30 mujeres. Comparemos estas cantidades.
antecedente-
consecuente
20
30
razón
geometrica
2 x /10 _| 2 j
3 x )6 ¡_3_í
valor de la
razón geométrica
El resultado obtenido indica lo siguiente:
• La cantidad de varones es los dos
tercios de la cantidad de mujeres.
• La cantidad de varones y mujeres está
en la proporción o relación de 2 a 3,
porque 20 contiene 2 veces a 10 y 30
contiene 3 veces a 10.
Además, si agrupamos a los varones de 2
en 2 y a las mujeres de 3 en 3, tenemos que
Hoy 10 grupos
20 varones— * 2 2 2 ... 2
30 mujeres — 3 3 3 ... 3
Hay 10 grupos
Por lo tanto, por cada 2 varones hay 3
mujeres.
7
-----— :----------------------\
Importénte
Cuando se diga: “A y 8 están en la relación de m
y n , quiere decir que
\ i ;•?' , ; ' y '
A m A B .
— ° — = — -k —> A=mk a B-nk
B n m n
Las siguientes expresiones son equivalentes:
• Ay 8 están en la relación de m y n.
• A y 8 están en la proporción de m y n.
• A es como m y 8 es como n.
• A y 8 son entre sí como m es a n.
En general, para dos cantidades A y 8 tenemos
| j ¡ jj ! { ''V
: ! Aritmética Geométrica
i
ii
CQ
1
ó *
—
s
donde
- A: antecedente
- 8: consecuente
- r. valor de la razón aritmética
- k: valor de la razón geométrica
5

9. Aplicación 7
Determine el valor de la razón aritmética en
cada caso.
a. En un día, María confecciona 8 polos y Ana
5 polos. Calcule la razón aritmética de las
cantidades de polos.
b. Si las edades de Isabel y Marco hoy son
30 años y 26 años, respectivamente, de­
termine la razón aritmética de sus edades
dentro de 8 años.
Resolución
Resolvemos cada problema.
a. 8-5=3
b. Ordenamos los datos en la tabla/ . 2
Isabel 30 años 38 años
Marco 26 años 34 años
38-24 = 4
Aplicación 2
2
La razón geométrica de dos números es - .
Si el antecedente es 6, calcule el valor del
consecuente.
Resolución
antecedente — *
consecuente — *•
Aplicación 3
La relación de dos números es de 3 a 7. Si el
mayor número es 42, halle el menor número.
Resolución
menor — *• \x ¡ 3 x 6
mayor — * ;42¡ 7 x 6
x= 3x6 = 18
Aplicación 4
Si A y 8 están en la relación de 7 a 4, además A
excede a B en 12, calcule el valor de B.
Resolución
Como A y B están en la relación de 7 a 4,
entonces tenemos
- = - -> A=7k a 8 = 48
B 4
Además, A excede a B en 12.
A-B=42 -+ 78-48=121
y < 3/c = 12 -> k=4
fí=4(4)=16
Aplicación 5
Si A es tres veces más que B, además ambos
números suman 35, calcule el valor de A.
Resolución
Como A es 3 veces más que B
A = 48
Además
A+B=35
48+8=35
58=35 -+ 8=7
Ho y
De n t r o d e
Baños
6 :_ 2_x 3
x ; 5 x 3
x= 5x3 = 15
A=4(7) = 28

10. Capítulo 1 Razones y serie de razones geométricas equivalentes
Aplicación 6
Los volúmenes de dos cilindros son entre sí
como 12 es a 15. Si el menor volumen es 44 m3,
halle el mayor volumen.
Resolución
Sean v1 y v2 los volúmenes de dichos cilindros.
Por dato, v1 y v2 son entre sí como 12 es a 15.
menor
mayor
i = ^ = 4
'2
—>
44 4 x11 m3
v2 5 x11 m3
v2=5x11=55
4. SITUACIONES PARTICULARES * 0
4.1. - En edades
Comparemos las edades (en años) de Juan y
Carlos.
Hoy
Edad
actual
Dentro de
4 AÑOS
Juan 13 añosi 18 años 22 años
Cari os11 añosi 16 años 20 años
Diferencia:2 años 2 años'2 años
r r _ _■J
______
ZT~
La diferencia no cambia.
En conclusión, al comparar las edades de dos
personas a través del tiempo, se cumple que
la diferencia de sus edades es constante (no
cambia).
Aplicación 7
Hace 5 años, la diferencia de las edades de
Luis y Alberto era de 4 años. Si la suma de sus
edades actuales es 30 años, ¿cuál es la edad
actual de Alberto?
Resolución
Sean L y A las edades actuales de Luis y
Alberto, respectivamente. Nos piden A
Como la diferencia de edades es constante,
entonces
/ -A = 4
/ + A = 30
2A = 26
A = 13 años
Aplicación 8
La diferencia de las edades de Sandra y Cintia
es 6 años. Si dentro de 4 años sus edades es­
tarán en la relación de 7 a 5, ¿cuál fue la edad
de Cintia hace 5 años?
\ yp
Resolución
Por dato
V
= 30 ?
-5 - 4
Ha c e
5 A Ñ O S
Edad
actual
De n t r o d e
4 A Ñ O S
Juan 7k-9 7k-4 7 k
Carlos Sk-9 Sk-4 5 k
Diferencia: 6 años 6 años
De la tabla tenemos
7k-5k=2k=6 -> k=3
Nos piden
5/r-9=5(3)-9=6 años

11. COLECCION ESENCIAL Lumbreras Editores
Aplicación 9
Actualmente, las edades de dos personas
están en la relación de 8 a 11, y dentro de 10
años estarán en la relación de 7 a 9. ¿Cuál fue
la suma de las edades hace 4 años?
Resolución
Por dato
Edades
actuales
8k~4 \ 8k
m - 4 \ . Hit-
Suma: 19/c—8
8/r+10
1U+10
de 7 a 9
.. ;■
Por dato
ri7+ in= X 72/r+90=77/:+70
1U+10 9
i
20=5k -> k-4 X
\ éP'
V ¿f-
19/r—8=19(4)—8=68
4.2. En móviles ^ :
Comparemos las velocidades y las distancias
recorridas por dos móviles {A y 8), respectiva­
mente.
5 s
- vA y vB: las velocidades de A y 8
- dA y dB: las distancias recorridas por A y B
Comparamos las velocidades de A y B.
vA _ 3j^rrí/s) _ 3
vb A ^ rrílsj 4 vb 4
Comparamos las distancias recorridas por A y B.
dA _ 3(10 m) _ 3
dB 4(10 m) 4
d_A = 3
dB 4
Por lo tanto, cuando los tiempos son iguales,
se cumple lo siguiente:
de
Es decir, la relación de las velocidades es igual
a la relación entre las distancias recorridas por
A y B, respectivamente.

12. Capítulo 1 Razones y serie de razones geométricas equivalentes
Aplicación 70
Dos móviles (A y fí), separados cierta distan­
cia, parten simultáneamente al encuentro. La
velocidad del móvil A es dos veces más que
la del móvil B. ¿Cuánta era la distancia que los
separaba ¡nidalmente si cuando se produce el
encuentro, uno de ellos recorrió 200 m más
que el otro?
Resolución
Por condición, los móviles parten simultánea­
mente, entonces el tiempo que transcurre para
ambos es igual.
Comparando las distancias recorridas por los
móviles A y B, se tiene que
dA- d B = 2K=200
-> K = m
Nos piden
4K=4(100) = 400
Aplicación 77
Dos móviles (A y B) están separados 500 km
y parten al encuentro con velocidades en la
proporción de 7 a 3. ¿Cuánto le falta llegar al
otro extremo al móvil A en el instante en que
ambos móviles están separados 90 km por
segunda vez?
Resolución
De la condición del problema, la primera vez
en que A y B están separados 90 km ocurre
antes del encuentro entre A y B.
Gratam os
vB=3v
2»
A
h90 kfTH
500 km —
8
La segunda vez en que A y B están separados
90 km ocurre después de haberse realizado.el
encuentro entre A y B.
3 d
Del gráfico
3d=90+x
—> x=3c/-90
Además
7d+x =500
7c/+3c/-90 = 500
10c/ = 590
-> d= 59
Nos piden x.
x=3(59)-90
x=B7
igfe A .....
___ . v
La relación de las velocidades será iqual a la re-
litm iir/ '/// n.v v v'v'
_______- ■ '
láción de las distancias recorridas solo si el tiem­
po transcurrido es igual para todos los móviles
y si sus velocidades permanecen constantes.
9

13. COLECCIÓN ESENCIAL Lumbreras Editores
4.3. En una mezcla
En un recipiente mezclamos agua (A) y vino (V);
como se muestra a continuación:
Al inicio
Extraemos ' Nos quedan
— — ? ^ S
Ì ]
1/4 A
5 : A
4 0 L ' " " v
10 L ' . v
- , 1
I J
60 L
V
15 L 45 L
1/4
J
Comparando los volúmenes de agua y vino,
respectivamente, se observa que
20 L _ 1 5 L _ 1 15 L - 1 %
4 0 L ~ 2 ' 10 L~ 2' / 30 L _ 2
t
______________t / '
La proporción de los volurneO
nes de agua y virio no cambia)
En conclusión, al extraer parte de una mezcla,
la proporción de sus ingredientes no se altera.
Además se observa que
• 5 L= —(20 L)
4
• 10 L= —(40 L)
4
• 15 L= —(60 L)
4
Ai extraer la cuartel
. parte del total cieqa
mezcla, en lo extraído
sale la cuarta parte de
cada Ingrediente.
En general, al extraer una fracción de la mez­
cla total, de cada Ingrediente sale también la
misma fracción.
> ,v > j ? / / / / / .í / / / /
: ím núrian tt/ // ■,purtaiW /%//:
Una mezcla es la reunión de dos o más sus­
tancias llamadas ingredientes, en la cual cada
componente no pierde sus propiedades natu-
• . .i-;-.
rales.
r r .
____- - - . ______________________2¿
Aplicación 12
De una mezcla que contiene 40 L de vino y
30 L de agua se extraen 42 L. Calcule la razón
aritmética de la cantidad de agua y vino que
sobra luego de la extracción.
Resolución
Sean V el vino y A el agua.
Tenernos Extraemos Nos quedan
y
^
---------^
......—----.
------ ... ..........--
-
; . .
V . V
" .........
.
.............................i ili#....'- ' '
■ A A
70 7 x 6 - 4 2 L
Nos piden
16 L—12 L=4 L
Aplicación 13
Se tiene en un recipiente 100 L de una mezcla
formada por gaseosa y vino. Si extraemos 40 L,
de los cuales 10 L son de gaseosa, ¿cuántos
litros de vino y gaseosa, respectivamente, que­
dan aún en el recipiente?
Resolución
Sean G la gaseosa y V el vino.
Tí»
enemos Extraemos
ios quedar
* \ ¿ u}
í 1
G
--- —
? \
v G
-
.......- -•?
.1(25)V30 L “ 1 (10)
V
100_L
4(25)
40 L 60 L
4Í1S1
Por lo tanto, quedan 45 L de vino y 15 L de
gaseosa.
2

14. Capítulo 1 Razones y serie de razones geométricas equivalentes
Aplicación 14
Se mezclan 40 L de vino con 20 L de agua y
de esta mezcla se extraen 12 L. ¿Cuántos litros
de agua se deben agregar a lo que queda de
la mezcla para obtener igual volumen de vino
y agua?
Resolución
Por dato
Al ¡nido
vino
agua
60 L
Quedan
S
......... ..
.................... -
; 4.(51
(2} vino 2x16..
■ 20 L
(1) agua
1x16
3x16 = 48 L
Se extraen 12#..
Luego
vino
agua
—> 32 = 16+x
x = 16
„ „ . V — — -
.......^
~ —
......., s
_______
_______'■
1 2_L X t '
_______
_______________" "
• agua
^
_____ ! _____^
Aplicación 75
A una fiesta asistieron 140 personas, entre
varones y mujeres. Por cada 3 mujeres hay
4 varones. Si se retiran 20 parejas, ¿cuál es la
razón entre el número de mujeres y varones
que se quedan en la fiesta?
Nos piden
40 _ 2
60 ” 3
Aplicación 16
Si el producto de dos números es 180, pero su
razón aritmética es 3, calcule la suma de dichos
números.
Resolución
Sean A y B dichos números.
Por condición
4 x 8 = 180
Además
4-8=3 -> 4 = 8 + 3
Luego
(8+3jx8 = 180
. 82+38=180
Despejando tenemos
82 + 38-180 = 0
8
8
+15
-12
- 158 +
- -128
+38
8 + 15=0 o 8-12=0
-+ 8 =—15 o 8 = 12 y 4=-12 o 4=15
Por lo tanto
• Si 4=-12 y 8=—15 -> 4 + 8=-27
• Si 4=15 y 8=12 -> 4 + 8=27
Resolución
Se tiene
InicioSfc VANQuedan
Varonas 4x20 20 60
MU M RLS3x20 20 40
Total:7x20
Aplicación 17
En una granja se observa que el número de
pavos es dos veces más que el número de co­
nejos y, además; la suma de las cantidades de
cabezas y patas se encuentran entre 170 y 190.
¿Cuántos conejos hay en la granja?

15. COLECCION ESENCIAL Lumbreras Editores
Resolución
Recordemos que la expresión dos veces más
significa tres veces. Entonces respecto de la
cantidad de pavos, se tendría
N.° DE
CABEZAS
N.° DE
PATAS
N.° DE PAVOS
' X:2
3x^
X-
^*6x
i':
........
N.° DE CONEJOS X -*4x
Total: 4x 10x
Por dato
170 <
n.° de cabezasú+f n.° de patas
en total en total
<190
j
Ax
-> 170<14x<190
12,14... < x< 13,57...
x= 13
*0x
■•-14
5. SERIE DE RAZONES GEOMÉTRICAS I
EQUIVALENTES (SRGE)
5.1. CONCEPTO
Es la igualdad que se establece entre tres o más
razones geométricas que son equivalentes.
Ejemplos
1. Sean las razones
antecedentes
consecuentes
Igualamos
serie de 1res razo­
nes geométricas
equivalentes
|27 _ 18 _ 30 ; 3 ;
—¡9 " 6 "10 i y
valor de la sazón
o constante de .
proporcionalidad
donde
- 27; 18 y 30: antecedentes
- 9; 6 y 10: consecuentes
- 27 y 10: términos extremos de la serie
(el primer y último término)
2. Tenemos
antecedentes
3 6, 12 24 _ 1
consecuentes
Esta es una serie de cuatro razones geomé­
tricas equivalentes. En esta serie se obser­
va, en particular, que
• (2.° término) = (3.er término) = 6
•y (4.° término) = (5.° término) = 12
y : (6.° término) = (7.° término) = 24
A este tipo de serie se le denominará serie de
razones geométricas equivalentes continua. En
general, una SRGE se representará así:
s
3
II.
II
-V
II
cfi
II
C1^2
Cn
Cn
__ J
donde
- o,; a2; c?3; ...; an: antecedentes
- cv c2; c3; ...; cn. consecuentes
- k: razón o constante de proporcionalidad
- o1 y cn: términos extremos
Pero si la SRGE es continua, se cumple
a b _ c
b c d

16. Capítulo 1
Razones y serie de razones geométricas equivalentes
y IKv 7 ■ f/j
Importante
; . n h r
La serie continua — =—=—=k
b c d
también'se puede representar así:
. dk2 dk d
porque al despejar a; fe y c. en la serie original;
se tiene que
1
c=dk
. ,
• b=ck-dk-k=dk2
• a-bk-dk2 ■ k=dk3a
J ; * \ x ,
Observación
I ü> 1117/
En una serie de razones geométricas equi­
valentes, cada uno de los términos ocupa un\
lugar determinado.
1er término _ 3 er término _ 5.°término
2 o término 4 o término< 6 o término
Ejemplo j|¡j
Dada la SRGE
12 = 15 =_9 =.3j
16 “ 20 "12 4
I | Ir I í I I I '/////////S- S
tenemos
4 o término: 20
' \
• ■
v-o\\
• 5 o término: 9
2.° término: 15
Aplicación 18
En una serie de cuatro razones geométricas
equivalentes, los consecuentes son 10; 5; 7 y 12.
Si la suma de los dos primeros antecedentes es
75, halle los valores de los otros antecedentes.
Resolución
Formamos la serie con los datos indicados.
antecedentes
A =í = - = — = k] A + B = 7S
10 5 7 12
consecuentes
Despejamos
A = m i B=5k;C=7k y D=12/r
Nos piden
C+ D = M
Por dato
A + B=-)5k=75
—> k= 5
C=7(5)=35 y D=12(5)=60
Aplicación 19
Si — = además x-y-z=192,
3 4 2
halle el valor de x+y+z.
Resolución
Igualamos la serie a una constante k.
3 4 2 k
Despejamos los valores de x; y, z en términos
de k.
x=3k; y=4k; z=2k —> x+y+z=9k
Por dato
x-y-z=192
-> (3/í)(4C)(2íí)=240=192
0=8 -> k=2
x+y+z=9(2)=18
importante
Cuando se diga que los números A; B y C son
proporcionales a m; n y p, quiere decir que
N ¡ ■. "• ' .
A B C ,
— = — = — = k —> A=mk; B=nk; C=nk
m n p
' ;o\ ¡ i i ’•; v '//,'/, />

17. COLECCIÓN ESENCIAL
Lumbreras Editores
Aplicación 20
Las medidas de los ángulos internos de un
triángulo son proporcionales a 1; 2 y 3. Calcule
el mayor ángulo.
Resolución
Sean A; B y C dichos ángulos internos.
Por dato, A] B y C son proporcionales a 1; 2; 3,
entonces
A=k; B=2k y C=3k
mayor ángulo
En un triángulo se cumple que
(suma de ángulos intemos)=180°
-> A + B + C = 180°
2/r-h3Ar = 180° -> k=30°
.
/. C=3(30°)=90° ' V
Rcfto ataaber. . ~~
.
Tres números son proporcionales a<20;/10,y,25?
... ....
: 3j¡
.......i ¡
y»
'"númefos? m
5.2. Propiedades
Dada la siguiente SRGE:
12 20 _ 16 _ 32 _ 2 cas que se multiplican.
18_ 3 0 ~ 2 4 _ 48 3
Además, observemos que
observemos lo siguiente: 20 + 16-32 )62
30 + 24-48 ~~ 2A ~3
12+20 ^ 2 _ :2 :
18+30 /tá 20-16 + 32 36 2
30-24 + 48 34 3
20 + 16 + 32 faé Í 2 Í t n.razón de
16 + 12-20 ,8
- - ,
30 + 24+48 )Q Í i 3 i /
2 i
24 + 18-30 y¿3 i
12+20+16+32 J3(f _ : 2 : / 16-12 + 20 24 2:
18+30 + 24+48 )2Ó i _3_ i
24-18 + 30_ 36 ~3-
En general
(suma de antecedentes) __ 'razón de i
(suma de consecuentes) la SRGE j
Luego, al multiplicar
12x20
18x30
12:
-¡X
18:
20
30
OO2
u
C G 1razón
3
12x20x32
18x30x48
¡12:20:¡32:f 2^|
:— :x---*X'---' =
—
:18:30::48:L 3 y
(2 ( 2 (2
razón
12x20x16x32
18x30x24x48
En general
12| !20¡
— 'X— x
18 i ¡30 ¡
16; !32
— x —
24 48
C? C? (.y C
2 4
3 /
t
3zón
I razón üe
(producto de antecedentes)
(producto de consecuentes) i la SRGE j
razón de
la SRGf.
2

18. Capítulo 1
Razones y serie de razones geométricas equivalentes
. 6 d = f '
. u„ ^ : , v . , ¡i ; .
\ Ij \ { / / / / / / / f i 4 / / / / .V '“ -“
--» -----------
i W f
Dada la SRGE S&N
11iI I II s í s v S -
o c e , :/S
— = — = ~ = k ' '' s ÍSv
~ b d f s s :
a + b _ c + d _ e + f _ k +1 S - ífS s
* a-b c-d e - f k - 1 . . S S S y
¡ ^
; ¡ - an+cn+en =kn
tn S ' ' -
X Z 3
Ä r V
WW/»
'
qifif
siili
1 1 * %•$
; $ $ i £ 1
i
| « i I |
MflH
U i , L i , S
::s;rS
S\\\
\ y
-Ss
Aplicación 21
a b c d ,
Si - = ademas
4 7 5 2
a + b -c = 48, calcule el valor de V^.
Resolución
Por dato
a_¿>_c_c/_^_ 48 _ g
c/= 2x8 -» c/ = 16
VÍ6 = 4
Aplicación 22
S¡ £ = - = - = - , además axb+ cxd= 207,
4 2 5 3
calcule el valor de a+c.
Resolución
Dato:
o ¿i c d _/
4 _ 2 _ 5 ~ 3
Por la propiedad de serie
0 ^ 4 = ^ y 0 4 = it2
4 x2 5x3
—^axb=Qk¿ y cxcM S/í2
Del dato
axb+cxc/=23/^=207
k^=9 —» /r=3
o_¿>_c_c/_ 3
4 ~ 2 _ 5~ 3 ~~
Porla propiedad de serie
£+ C=3
4+5
o+c = 9x3=27
Aplicación 23
Si 32 y 4 son el primer y el último anteceden­
te de una serie de cuatro razones geométricas
equivalentes continua, halle el valor del último
consecuente.
Re s o l u c ió n
Por dato
S v ,S » prim e'— i i— último
x antecedente 1 1 antecedente
32 _ a _ 6 _ 4
o ¿i 4 c
Por la propiedad de serie
= /r3 =8 -» k=2
32x^ xi
X x^ x4
Nos piden c.
4 o 4
c . 2
c=2
Aplicación 24
En una serie de cuatro razones iguales, al dividir
el producto de los antecedentes entre el pro-
256
ducto de los consecuentes, se obtuvo
----. Si
81
la suma de los consecuentes es 99, ¿cuánto es la
suma de los antecedentes?

19. COLECCION ESENCIAL
Lumbreras Editores
Resolución
Se tiene la siguiente serie:
- = - = * = l = k
bdfh
Del dato
axcxexg 4 256 -
bxdxfxh ~ 81 <
44 . 4
„ -» 6 = —
Además
o+c+e+g ,
—■
-------- . = 6
\b + d + f + h\ 1_4
y 3
^—99
99x4 _
a+c+e+g = —-— = 132
Aplicación 25
Si los números 54; b; c y 128 forman una se­
rie de razones geométricas continua, en ese
orden, calcule b+c.
Resolución
Nos piden b+c. Como los números 54; ¿>; c y
128 forman una serie de razones geométricas
continua, se tendría
54 _b__c__k
b ~ c " 128 “ v V #
Por la propiedad de serie'
27
+ T x / x / = k3 2 7 =jt3
64
64
Extraemos la raíz cúbica.
i = *
4
Luego
11 = 1 -> ¿> = l i l i = 72
b 4
c
128
3
4
—^ c — ■
3
128x3
= 96
Aplicación 26
Las edades actuales de Carlos, Eduardo y Mila­
gros están en la proporción de 4; 7 y 5. Si hace
15 años estaban en la relación de 3; 9 y 5, halle
la edad de Eduardo dentro de 7 años.
Resolución
Sean C, E y M las edades actuales de Carlos,
Eduardo y Milagros, respectivamente.
Nos piden 6+7.
Por dato
C E M
- = - = — = k -» C=46; £=76; M=56
4 7 5 •
Hace 15 años las edades fueron (46-15);
(76-15) y (56-15).
Por dato
46—15^ 76-15 56-15
Z . 3 ^ ^ 9 " 5
Luego igualamos
1 ^ 46-15 56-15
— — = —
------> 206-75 = 156.-45
56=30 -> 6=6
£+7=7(6)+ 7 = 49
Aplicación 27
c.a 9 12 . . „
Si - = - = — = 6, halle a+b.
4 a b
Resolución
Del dato
a 9 2
- = - —> a =36
4 a
—> o = 6
Reemplazamos el valor de a en la serie inicial.
6 = 9 = 12 3
4 6 ~ b “ 2b+c=72+96=168

20. Capítulo 1
Razones y serie de razones geométricas equivalentes
Entonces
12 3
7 - 2 -> 24=3b
b = — -» b=8
3
a + b = 6+8 = 14
Aplicación 28
Si - = — =z^-^- = 3i halle a-b + c.
c 4 b
Resolución
De la serie observamos que
— = 3 -> c = 4x3 = 12
4
Además
— = 3 -> 0 = 12x3 = 36
c \
Luego
36 + 6 42
= 3 -» b = — = 14
b 3
a-ó + c=36-14+12=34
Aplicación 29
En una serie de tres razones geométricas con­
tinua, cuya constante de proporcionalidad es
3, se sabe que la suma de los dos últimos con­
secuentes es 32. Determine la suma de los dos
primeros antecedentes.
Resolución
Una serie continua de tres razones geométricas
tiene la siguiente forma:
r
valor de la constante
£ = - = - = k = 3 (i)
Al despejar se tiene que
c-3 d
-> b=3c=3(3d) = 9d
a=3b = 3{9d) = 27d
Reemplazamos (II), (III) y (IV) en (I).
primeros
antecedentes
(ID
(III)
(IV)
27d)_(9d)_3d^_3
9d _ 3 d~ d
Por dato
3d+d = 4d = 32 -+ d= 8
Nos piden
• 27d+9d = 36d = 36(8) = 288
Aplicación 30
Rosa y María están distanciadas 320 m y
parten a su encuentro con velocidades que
están en la relación de 5 a 3, respectivamen­
te. ¿Cuál es la diferencia de los espacios re­
corridos por ellas cuando le falten 56 m para
encontrarse?
Resolución
Tenemos
5
'3
María
d ^ 3 k
y
■ 56 m -
320 m
Del gráfico
5/r+3/c+56=320
8/r=264 -» k=33
-+ dR=5(33)=165 a dM=3(33)=99
dR~dM=66 m

21. Aplicación 31
Dos móviles {A y B) parten de dos ciudades
hacia su encuentro con velocidades que es­
tán en la relación de 7 a 3, respectivamente.
Luego de cierto tiempo se encuentran sepa­
rados 90 m después de su encuentro. En ese
instante, ¿cuánto le falta a A para llegar al otro
extremo si la distancia entre las ciudades es de
500 m?
Resolución
Tenemos
vb 3 dB 3
Del gráfico
500=7/r+3/r=10/r -> k=50
Nos piden x.
x= 3k-7x9
x=3(50)-63
x=87
Para investigar
Busque cuántas parejas de números naturales cumplen que su razón aritmética sea igual a su razón
geométrica.

22. Capítulo 1 Razones y serie de razones geométricas equivalentes

23. RESOLVEMOS JUNTOS
Problema N.” 1
0+1- ¿» + 2 ,
5 i
----=----, ademas o + 6 + 3=60,
2 3
halle el valor de o.
A) 23
D) 12
Resolución
De la condición
o+1 6+2
B) 30
6
2 3
—> o + 1 —2/c a 6 + 2=36
Sumamos
o = 26-1
6 = 36-2
>
0 + 6 = 56-3
Se tiene que
o+6 + 3=60
5 6 - / + X = 60
56=60 -> 6=12
o=2(12)—1=23
Problema N.° 2
C) 18
E) 28
i Clave \ «
Dos números están en la relación de 5 a 7. Si
su razón aritmética es 18, ¿en cuánto excede el
triple del menor al doble del mayor de dichos
números?
A) 6
D) 9
B) 2 C) 12
E) 8
Resolución
Sean o y 6 dichos números.
Por dato
a 5 o = 56 (menor número)
b~ 7 6 = 76 (mayor número)
Nos piden
3o-26=3(56)-2(76)=6
Por dato
6-o=18
76-56=26=18 -> 6=9
3o-26=9
= Clave \
Problema N.° B
12
La razón de dos números es — . Si la suma
5
de los cuadrados de dichos números es 676,
calcule el mayor de los números.
A) 24
D) 28
B) 18 C) 20
E) 21
Resolución
Sean o y 6 dichos números.
Por dato
£ = 12 o = 126 (mayor número)
6 5 6 = 56 (menor número)
Nos piden o.
Por dato
o2 + 62=676 —> (126)2 + (56)2=676
14462+2562=676 -> 169/^= 676
62=4 -> 6=2
o=12(2)=24
; Clave \
3

24. Capítulo 1
Razones y serie de razones geométricas equivalentes
Problema M.° 4
________________________________
La cantidad de dinero que tiene Ana y la canti­
dad de dinero que tiene Lucy son entre sí como
11 es a 7. Si Ana da S/.80 a Lucy, ambas tendrían
la misma cantidad. ¿Cuánto tiene Ana?
A) S/.190 B) S/.260 C) S/.300
D) S/.600 E) S/.440
Resolución
Por dato
-> 11/r- S/.80 = 7/r+S/.80
4/r= S/.160
k = S/.40
Nos piden 11 k.
... H(40)=S/.440
; Clave ; j
Problema N.° 5_____________
___________________
La suma de dos números es 200, y si le agre­
gamos 40 a cada uno de ellos, los nuevos nú­
meros obtenidos serían proporcionales a 3 y 4.
Calcule el valor del mayor de dichos números.
Resolución
De los datos tenemos
-> (3k-40) + {4k-40)=200
7A—80=200
7^=280
k=40
Nos piden 4Ar—40.
... 4(40)-40=120
i Clave \ }
^ :í- ^ 'v¿.. •
..........
Problema N.° 6_________________________________
Una varilla de fierro de 40 cm de longitud es
dividida en tres partes, tal que la longitud de
la primera es dos veces la segunda, y esta es
dos veces más que la tercera. ¿Cuál es la me­
dida de la parte intermedia?
A) 10 cm B) 18 cm C) 12 cm
D) 15 cm E) 16 cm
Resolución
Tenemos
»=-—;
---..tt:— ■, .............- ...........- ■ ---->
i
------A-------t------B-------1----C----1
i----------------- 40 c m
-----------------1
A) 120
D) 130
B) 80 C) 100
E) 140

25. COLECCION ESENCIAL
Lumbreras Editores
Datos:
• A=2B
• B=3C -> A = 2(3Q = 6C
Luego
4k+ 40= m -S0
90=6k -> k=15
Del gráfico
/4 + ß + C = 40cm
6C+3C+C=40 cm
10C=40cm -> C= 4 cm
Nos piden 3k-2.
/. 3(15)—2 = 43
; Clave
ß=3(4 cm)=12 cm
: C/C7Ve i
Problema N.° 7
La edad que tuvo Jenny hace 4 años y la edad
que tendrá Nataly dentro de 6 años están en
la relación de 1 a 2, además la edad que tendrá
Jenny dentro de 6 años y la que tuvo Nataly
hace 4 años están en la relación de 5 a 4. Halle
la suma de sus edades actuales.
A) 43
D) 20
B) 60 C) 48
E) 45
Resolución
Del primer dato tenemos
' -4 +6
Hace EdadesDentro de
4 AÑOS actuales
: ,...
.....:__....-..A
6 años ;
f Jenny k k+4 ^+10
: Nataly2/r-10
•
2k-6 2 k
Suma: 3k-2
Además
k+10
2/C-10 .4
Problema N.“ 8
Un recipiente contiene 64 L de vino y 16 L
de agua. Si se extraen 20 L de la mezcla y se
reemplazan por agua, de la mezcla resultante,
¿cuál es la razón aritmética de la cantidad de
vino y agua?
A) 20 L
D) 24 L
B) 26 L C) 16 L
E) 30 L
Resolución
Sean V el vino y A el agua.
80 L 20 L
50
1/4
final
Nos piden
V
A
48 L—32 L = 16 L
i Clave

26. Capítulo 1 Razones y serie de razones geométricas equivalentes
Problema N.* 9
Las velocidades de dos motociclistas están en
la proporción de 7 a 9 y se dirigen uno al en­
cuentro del otro. Luego de 1 h se encuentran
separados 240 km. ¿Cuánto tiempo transcurre
en total hasta que se encuentran si inicialmen­
te estaban separados 400 km?
A) 2,5 h
B) 3h
C) 2h
D) 2 h 10 min
E) 3,5 h
Resolución
Sean A y B los motociclistas.
7x10 —h—240 km —i— 9 x 10 —h
(-7x15+9x15-1
i
-----------------400 km —
Para el motociclista 4
70 km
----► 1 h
105 km
----xh
105x1 , r
En consecuencia
(tiempo)=(1+1,5)=2,5 h
Por lo tanto, en total transcurren 2,5 h hasta
que se encuentren los motociclistas.
; Clave1.
Problema N.° 10
___________________
A una fiesta asisten 200 personas entre varo­
nes y mujeres, donde hay 3 varones por cada
2 mujeres. Luego de 4 h se observa que por
cada mujer hay 2 varones. ¿Cuántas parejas
formadas por un varón y una mujer se retira­
ron?
A) 64 B) 60 C) 50
D) 48 E) 40
Resolución
Por ejemplo
Al in ic io Se v a n
^DE LA FIESTA 10 PAREJAS
Ahora
QUEDAN
:
70 y !
10 60
r ' r¿r ./fy
k M tailÈs 50 * 10
o
Diferencia: '20
t
20
t
^ j , La diferenc:ía no se alte
retirarse urigual mámero de
varonesy de mujer-Î S .
En el problema
i
I
j
A l IN IC IO DE
LA FIESTA
Se v a n
X PA R EJA S
Ah o r a
q u e d a n
Va r o n e s 3x40 X 2x40
! Mu j e r e s i2x40 X 1x40
Diferencia:■ 1x40
i 1x40
à
Deben ser ¡guales
Total = 200 = 5x40
De la tabla
3x40-x=2x40
x = 40
; Clave [
.....................'i

27. COLECCION ESENCIAL Lumbreras Editores
Problema N.° 11
Si
a b e
- = - = - y 2a + 3c= 310,
calcule el valor de 2b.
A) 80
D) 60
B) 50 C)' 70
E) 40
Resolución
Del dato inicial
2x a _ b _ 3xc
2x8 ~ 2 ~ 3x5
=k
í
310
- , 2ó=É = 3£=jt=g£+á£i=í0
16 2 15 31
0 = 2x10 = 20
20 = 40
'
Clave
Problema N.’ 12
.. f í_ C =_D
SiA~B~C~D~ 32'
halle el valor deA + 5+C+D.
A) 20
D) 16
Resolución
Por dato
B) 30 C) 10
E) 64
A B C = D_ = k1
A B C D 32
(*)
Por propiedad
1xAx5xCxP
A xfíxC xD x32
= ks - , <r5 = 1
32
Luego
‘ ' ■ y - H
iX
Reemplazamos k en la expresión (*).
J__A _5 _C _ _D
A~~B~C~ D~ 32 _ 2
Entonces
1 _ 1
A _ 2
2 _ |
B~2
4 _ J
C~ 2
8 _ _ |
D~ 2
A + B + C+D-30
- = - -> A = 2
- = - -> 5 = 4
- = - C= 8
- = - _> D = 16
C/ove
Problema N.° 13
Halle el menor de tres números proporciona­
les a 5; 10 y 15, con la condición de que el pro­
ducto de los dos primeros números sea 800.
A) 20
D) 80
B) 40 C) 60
E) 100
Resolución
Nos piden C. Sean A; 5 y C dichos números.
Por dato A; 5 y C son proporcionales a 5; 10 y
15, es decir
A___5___C_ A _ 5 _ C
i ~ ) ó ~ y í
1 2 3
-> A = k] B = 2k] C = 3k

28. Capitulo 1 Razones y serie de razones geométricas equivalentes
Además
AxB=800 -» kx2k=800
2b2 = 800
= 400 -> k = 20
/. C= 3(20) = 60
; Clave
Problema N.‘ 14
______________________
A una fiesta asisten 240 personas, en donde la
relación de varones y mujeres es de 5 a 7. Si en
cierto momento de la fiesta se observa que las
mujeres que no bailan y los varones que bailan
están en la relación de 5 a 9, calcule cuántos
varones no bailan.
A) 35 B) 40 Q15,
D) 20
• X *
10
Resolución
Ordenamos los datos.
,
■ L
Ba i l a n
. • Nú %
B A ILAN
. 3|
^OTAL
[ Va r o n e s ; 9 k 100-9/r5x20
[ M U J E R E S 9 k 5 k 7x20
12x20
24(3
íp<XKX><*X><X>C*><>0<><^^ -
Observación
En estos casos se cumple que
í n° de varones
que bailan )
A ^n 0 de mujeres
que bailan
Clave \
Problema N.° 15
________________________________
Se tiene que los ángulos internos de un cuadri­
látero son proporcionales a los números 18; 12; 9
y 15. ¿Cuál es la medida del mayor de dichos
ángulos?
A) 100°
D) 120°
Resolución'
B) .180° C) 160°
E) 60°
Sean A,: B; C y D dichos ángulos. Como son
proporcionales a 18; 12; 9 y 15
.mayor..
r í- %;
• > A = - 4 = C = - h ; A+B + C + D = 360°
18 .12 ¿ 15
------------'
6 4 3 5
4=£ =£ =£ =* =M= 20
6 4 3 5 18
Nos piden A.
6x20 = 120°
; Clave
De la tabla
9/r+5/r=7x 20=140
14/r = 140
Ar = 10
Problema N.° 16 * 8
Dada la serie - = - = — = k,
8 b 20
donde a; b y c son números enteros positivos,
calcule el valor de c si a+b+c= 26.
B) 6
Nos piden 100-9/c
100-9(10) = 10
A) 5
D) 20
C) 10
E) 18

29. COLECCION ESENCIAL Lumbreras Editores
Resolución
Como a+b+c = 26 -> a+ c= 26-b
Por la propiedad de serie
_ /r_ 26-ó 6 _ 26-¿>
8 b 20 28 b~ 28
6x28 = bx(26-b) = 14x12
Como 6 = 2^ o 12, entonces
• Si ¿> = 14 —» ^ =— (c? no es entero)
8 14
c- u n 6 C
• Si ¿> = 12 -> — = —
12 20
/. C = 10 /
i C/m/e
Problema 17
En un corral se observa que por cada 2 gallinas
hay 3 patos y por cada 5 pavos hay 4 patos. Si
se aumentaran 40 gallinas, el número de estos
sería igual al número de patos. ¿Cuántos pavos
hay en el corral?
A) 150
D) 100
B) 160 C) 130
E) 140
Resolución
Ordenamos los datos.
Gallinas Pa t o s
...... ’ 1
Pa v o s ;
2 x 4 k
3x4 k
4 x 3 k
12 k
. ¡
5 x 32
15 k
Por dato
8^+40 = 12/r -> k = 10
(n.° de pavos) = 15(10) = 150
Clave ••
Problema N.* I B
_________________________
Juan le da a Pedro 100 m de ventaja para
una competencia de 1000 m, y Pedro le da a
Carlos una ventaja de 200 m para una compe­
tencia de 1800 m. ¿Cuántos metros de ventaja
debe de dar Juan a Carlos para una carrera de
2000 m?
A) 400
D) 300
Resolución
B) 500 C) 600
E) 700
f-— —
----- j ----------i
10x100 m
i
----200 m----f
— 8 x yoQ n i
------1
- 1800 m
---------------1
9x200 m
Entonces
ventaja de
i— :— 400 m —
h
---- 8x200 m-----1
9x?.00 m
---------1
10x200 m
- 2000 m -
* Clave

30. Capítulo 1 Razones y serie de razones geométricas equivalentes
Problema N.° 19
En una serie de cuatro razones geométricas
equivalentes continuas, la suma de los extre­
mos es 410. Si los términos y la constante son
números enteros positivos, halle el término ex­
tremo mayor.
A) 360
D) 390
B) 400 C) 405
E) 380
Resolución
Representamos la serie continua así:
/-m ayor extremo
ak ' akz
akó akc
°k2 _°k _i<
°k :o : ♦
Ssífenteros
menor W
extremo i . *
Dato:
ak4+a = 410 -> a{k4+^ = 410 = 5x82
a(k4+l) = 5x(34+l) -+ 0=5 y k=3
ak4 = 5x34 = 405
Problema 20 * 49
Clave
Sea — = — = — = -^—. Calcule el valor de a+ b
49 16 25 100
si 4 a + 4 b + \fc+ 77 — 52.
A) 248
D) 260
B) 560 C) 290
E) 520
Resolución
Extraemos la raíz cuadrada a todos los térmi­
nos de la serie y se obtiene
4 a _4 b __ = = = '
T~~ 4 " 5 ” 10 2626
Igualamos la nueva
ser¡e a una constante />
Elevamos al cuadrado.
o _ b c _ d
49 _ 16 _ 25 ~ 100 ~
Por la propiedad de serie tenemos
a +b _
49+16 ~
- ' *£-65 '
a + b -65x4 = 260
: Clave
Problema N.° 21
4az +9 _ 4b2 +16 Ve2 +25
' 7l8 732 750
además a2+c2 = 544, halle b.
A) 20 * J . B) 15 C) 24
D) 16* E) 12
Resolución
En el dato
V.
7o2 +9 _ 4b2 +16 _ 7c2 + 25
7Í8 732 750
Elevamos al cuadrado todos sus términos.
o2+9 ¿7+16 c2 +25
>8
9
¿2
16
J5tf
25
Luego al descomponer cada razón tenemos
9 +/9 “ Í 6 +/¡6 ~25 + l5
Nos queda
í
a
9 16 25 34
o2 b2 c2 544
= 16

31. COLECCION ESENCIAL
Lumbreras Editores
Luego
b2
— = 16 -> b2=16x16=162
16
¿>=16
; Clave [
Problema N.° 22
c¡ o +15 Ò + 20 c+40
b = r ~ in = ademas c-a=75,
o-15 b- 20 c-40
calcule el valor de a+b.
A) 80
D) 120
B) 150 C) 105
E) 65
Resolución • ; ':-
„ , . . o + 15 b + 20 c+40 í
De la serie
------ = ------=-------, observamos
o-15 b - 20 c-40 ¿ r -
que por su forma podemos usar la siguiente
propiedad: . C .
m p r
q s
■ rn + n p + o _*.+. + si
m-n p-q - r#s
Entonces
o + 15 _ ¿>+20 _ c+40 ^ _o___6___c_
o-15 ~~ ¿>-20 _ c-40 15 _ 20 ~ 40
Simplificando los consecuentes tenemos
o _ ¿> c _ c-o _75
3_ 4_ 8_ 8-3_ 5 "
-+ o=3(15)=45 a ¿?=4(15)=60
Problema N/ 23
Carlos y Mariano parten a la vez uno al en­
cuentro del otro de dos ciudades (A y B), res­
pectivamente, con velocidades entre sí como 4
es a 7, respectivamente, y la distancia de sepa­
ración es 550 m. Si, inmediatamente después
del cruce, Carlos disminuye su velocidad a la
mitad y Mariano duplica la velocidad que te­
nía, calcule cuánto le falta a Mariano para lle­
gar a A en el momento en que a Carlos le falta
330 m para llegar a B.
A) 75 m B) 80 m C) 70 m
D) 56 m E) 60 m
Resolución
Del problema
Del gráfico
*+140=200
o+ó=105
; Clave í
.................*1
*=60 m
: Clave

32. Capítulo 1
Razones y serie de razones geométricas equivalentes
Problema N.° 24
En una fiesta se observa que los varones que
bailan y las mujeres que no bailan están en la
relación de 5 a 3, mientras que las mujeres que
bailan y los varones que no bailan están en la
relación de 7 a 2. Si las personas que bailan
exceden en 78 a las que no bailan, ¿cuántos
varones no bailan?
A) 30
D) 15
Resolución
Nos piden 10k.'
Del problema
B) 24 C) 18
E) 20
| Va r o n e s
P Mu j e r e s
Ba il a n ISfO ÍiMÍAH
"7 OK
5(7 k) s, 2(5 ir):
7(5 k) 3(7 k)
Cuando las personas bailan en pareja (varón
con mujer), se cumple que
n ° de varones
que bailan
5m
Luego, por dato
'n.° de personas^
que bailan
^n.° de mujeres
que bailan
7(5k)
que no bailan
70
39^=78 —> k=2
31 k
10(2)=20
! Clave
Problema M. 25
____ ______________________
Las edades de Kelly y Verónica hace 6 años es­
taban en la relación de 2 a 1, pero dentro de
4 años será de 11 a 8. ¿Dentro de cuántos años
la relación de edades será de 5 a 4?
A) 12
D) 9
Resolución
Nos piden x.
B) 8 C) 15
E) 18
Ha c e
6 AÑOS
• Ho y
.De n t r o
Dt 4 AÑOi
Ke l l y 2(3/r)=12 18 11W
Ve r ó n ic a ;1(3Ar) = 612 m
Diferencia:1 (3 « 3 (k)
' . ^ 2 ' Deben ser iguales.
De la tabla
2{3k)+6+4=m
6/c4-10=11At
10=5;k k=2
Luego, las edades dentro de x años serán
(18+x) y (12+x).
-78 Por condición
18 + x 5
=78 12 + x ~~ 4
-> 72+4x=60 + 5x
x=12
Clave

33. COLECCIÓN ESENCIAL Lumbreras Editores
Problema N.c 26
El peso de Andrés excede al de Joel en 10 kg,
y el peso de Joel es excedido por el de Rosario
en 8 kg. Halle cuánto pesa Andrés si se sabe
que Rosario pesa 56 kg.
A) 40 kg
D) 32 kg
Resolución
B) 48 kg C) 42 kg
E) 58 kg
xxxxx><><x><>c>c><x><x>ooc<><c><^
No O LVID E
Cuando se dice que A excede a B en r,
quiere decir que
A-B=r /
'^ 0 < > < > C < > C < > < > < > O < > < X ^ >o<x>ooo<x><x>c><x>c><><x^^
Sean
- A: peso de Andrés \
- 7: peso de Joel
- R: peso de Rosario
Por dato
A - J=10 (I)
R-J=8 (¡I)
R= 56 (III)
Operamos (II) y (III).
56-7=8
-+ 7=48 (IV)
De (I) y (IV)
4-48=10
-> 4=58
Por lo tanto, el peso de Andrés es 58 kg.
i Clave
Problema N.° 27
Los sueldos de Santiago y Roxana están en
la relación de 3 a 5; pero si Santiago ganase
S/.640 más, la relación se invertiría. ¿Cuál es el
sueldo de Roxana?
A) S/.500
D) S/.800
Resolución
B) S/.720 C) S/.600
E) S/.560
xso<x*x>o<xvxxvxv;
No OLVIDE
l Cuando se dice que Ay B están en la
relación de m a n, significa que
A m
B~ n
\ - > A-mK a B-nK
£ V}
Sean
- S: sueldo que gana Santiago
R: sueldo que gana Roxana
Por dato
S _3\k_
R~ 5k
Pero si Santiago ganase S/.640 más
5 + 640 5
R ~ 3
Reemplazamos
3/C + 640 5
5 k ~ 3
-> 9/c+1920—25/c
1920=16k -+ k=120
Por lo tanto, el sueldo de Roxana es 5/c=S/.600
Clave

34. Capítulo 1
Razones y serie de razones geométricas equivalentes
Problema N.‘ 28 _ _ _ _ _ _ _ _ _
En la biblioteca Amauta, la cantidad de libros
de matemática es el doble que la de cien­
cias, y la de humanidades es tres veces más
que la de matemática. Si la cantidad de libros
de humanidades excede a la de ciencias en
350, ¿cuántos libros de matemática hay en la
biblioteca?
A) 80 B) 100 C) 120
D) 90 E) 130
Resolución
Sean
- M: cantidadde libros de matemática
C: cantidad de libros de ciencias
- H: cantidad de libros de humanidades
Por dato
M= 2C (I)
H=4M (II)
Reemplazamos (I) en (II).
, H=4(2C)=8C
Además
H -C = 350 8C - 0 3 5 0
7C =350
C=50 OH)
Reemplazamos (III) en (I).
M=2(50) -> M=100
Por lo tanto, hay 100 libros de matemática.
: Clave
•. . . . . . . . i . . . . . . ♦* i
Problema N.° 29
______________ ____ _________
Las edades de Jhonny y Luis están en la rela­
ción de 8 a 5, pero dentro de 10 años sus eda­
des estarán en la relación de 7 a 5. ¿Cuál fue la
suma de sus edades hace 2 años?
A) 56 B) 42 C) 40
D) 36 E) 48
Resolución
De los datos, tenemos
10 años
Presentí: Futuro
Jhonny 8x(2 k) 7 x [3k]
Luís 5x(2 k) 5x[3 k]
f diferencia \
vde edades¿
3x(2 k)
"“ L .. _
2x(3 k)
La diferencia debo
De la tabla se observa que
m+W=2M< -> 10=5/:
k=2
Nos piden la suma de sus edades hace 2 años.
Pasado Presente
Jhonny 30 32
Luis 18 20
Por lo tanto, la suma de las edades hace 2 años
fue 48.
: Clave

35. COLECCION ESENCIAL Lumbreras Editores
Problema N.° 30
En una fiesta, se observa que el número de
varones y el de mujeres están en la relación
de 7 a 6. Además, los varones que bailan y las
mujeres que no bailan son entre sí como 3 es
a 5. Si 76 varones no bailan, ¿cuántas personas
están bailando?
A) 72 B) 48 C) 60
D) 80 E) 90
Resolución
Ordenamos los datos.
í Bailan
6k .
NO BAJEAN
(5k/76)
‘JOTAL '
y ;
I Varones *3 k 76 3k+76
lüi * 2' i
! Mujeres// 3 k 5 k co
Deben ser
iguales.
Por dato
n.° de varones _ 7
n.° de mujeres ' 6
Problema N.’ 31
________________________________
De una mezcla de 100 L de agua y 80 L de al­
cohol, se extraen 90 L que se reemplazan con
agua. De la mezcla resultante, calcule la razón
aritmética de la cantidad de agua y alcohol.
i
A) 80
B) 120
C) 100
D) 90
E) 95
Resolución
Graficamos
_____
^ " \
7 7 -
...;7 "7
■
...
... la mitad
a
...- -
\ la mitrici /
Los 90 L de mezcla que salieron los reemplaza­
mos por 90 L de agua.
3k + 76 _ 7
8 k 6
m + 4S6= S6k
456=38k
k
456
38
k=12
Por lo tanto, la cantidad de personas que están
bailando es 6(12)=72.
] Clave •
Entonces ahora se tendrá en el recipiente
agua
alcohol
Por lo tanto, la razón aritmética de la cantidad
de agua y alcohol es 140-40=100.
; Clave

36. Capítulo i Razones y serie de razones geométricas equivalentes
Problema N.° 32
A una reunión asistieron 500 personas, y se
observa que la relación de varones y mujeres
es de 2 a 3. ¿Cuántas parejas deben retirarse
para que la nueva relación de varones y muje­
res sea de 3 a 5?
A) 50 B) 60 C) 40
D) 25 E) 100
Resolución
O b s e r v a c ió n
i|- IM H Ó .V . V
Inicio
. ,,. . . .
Se van Quedan
N .° DE VARONES 70 12 58
• N .° DE MUJERES 50 12 38
Diferencia:20
^ . i f Í f o v A ’20 Ó ? ,;:;
T 7 _ _ J
No le altera.
Por lo tanto, cuando se retira la misma canti­
dad de hombres y mujeres, la diferencia entre
las cantidades dehombres y mujeres no se
altera.
\ _ _____J L —U
En el problema, cuando se van x
van x hombres y x mujeres.
parejas, se
InicioSe vanQuedan
: N .° DE VARONES ¡
f . C l X ' - v « > - . .
200 X 3x50
j N.° DE MUJERES 300 X 5x50
Total 500 S
- I
Diferencia: 100 2x50
~ T~
Deben ser ¡guilles.
200-x=3x50=150
Problema NV 33
_______________________________
Dos amigas (Vilma y Kelly) analizaron sus aho­
rros mensuales. Vilma gana S/.1400, y lo que
gasta y ahorra están en la relación de 7 a 3.
Mientras que Kelly gana S/.1200, y lo que gana
y gasta están en la relación de 5 a 3. ¿Quién
de las dos ahorra más y por cuánto excede su
ahorro al de su amiga?
A) Kelly; S/.120
B) Kelly; S/.60
C) Vilma; S/.180
D) Vilma; S/.30
E) Vilma; S/.120
Ganan Gastan Ah o r r a n
■'■■■ ,v
VlLMA10x140 7x140 3x140
Kelly 5x240 3x240 2x240
Entonces
• (ahorro de Vilma)=3x140=420
• (ahorro de Kelly)=2x240=480
-» 480-420=S/.60
Por lo tanto, Kelly ahorra más que Vilma y su
ahorro excede en S/.60.
; Clave -,
Resolución
Ordenamos los datos.
3

37. COLECCIÓN ESENCIAL Lumbreras Editores
Problem a N.° 34 i Despejamos los antecedentes.
c. a b + 3 15 3 , ,,
c=dk; ke Z (ID
hallea+b+c.
20 b + 7 c 5 ; b=ck=dkxk=dkz (III)
j a=bk=dk2xk=dkSl (IV)
A) 35
D) 38
Resolución
B) 30 C) 25
E) 40
Observe que la constante de proporcionalidad
de la serie es entonces cada razón geomé-
3
trica la igualamos a - .
a 3 20x3
20 5 5 /
¿> + 3 _ 3
b + 7 ~ 5
5ó + 15=3¿» + 21 -> b=3
15 3 15x5
— = - -» c =
-----= 25
c 5 3
a+b+c=40
Clave \
Problema N.° 35
Si - = - = - = k (ke Z); tf+c=260 y ó-c=40,
b c d
halle c2+r/2
A) 250
D) 104
Resolución
Del dato
a b e
B) 169 C) 200
E) '300
b c d
= k 0)
Reemplazamos (II), (III) y (IV) en (I).
dk3 _ d k 2 _d k _ ^
dkz dk d
Por dato
a + c=260
-> dk3+dk=dk(k2+1)=260 (V)
Además
b - c -40
-> dkz-dk=dk(k-1)=40 (VI)
Dividimos (V) + (VI).
jdf( {k2 +l) _ ¿60 _ 13 k2 +1 _ 13
^ ( * - 1 ) " # 6 ~ 2 ^ ¥ T = 7
Aplicamos aspa simple.
2^+2=13^13
2/c2—13/r+15=0
2 k
k
3 —> 2/r-3=0 —> k = — x
2
-5 -» Ar— 5=0 -> Ar=5 ✓
En (VI)
dx5x4=40 -> d = Z y c = 2x5=10
c2 + d2 = 102 + 22 = 104
i Clave

38. Capítulo 1 Razones y serie de razones geométricas equivalentes
Problema 56 __ ________
Calcule la constante de una serie de tres razo­
nes iguales si la suma de los cuadrados de los
antecedentes es 452 y la suma de los cuadra­
dos de los consecuentes es 1017.
«i
»i
»!«i
° !
Resolución
Por dato del problema, tenemos
o _ c _ e _ ^ ’ y * 0* "* "" * *
b d f
Elevamos al cuadrado todos los términos.
V
Por la propiedad
suma de antecedentes
suma de consecuentes
= constante
—^
a2+c2+e2
b2+d2 + f 2
= k‘
Por dato
0 2
= kc
-> k2 =^ =
9 U
-f
! Clave •
Problema N.° 37
Si se cumple que
c + 20 15 o + 1_30
“ 7 “ ' a " b 3b'
calcule a + b+c.
A) 30 B) 55
D) 49
Resolución
Del problema
.0+1 _ 30
/ ” 3 /
3o+3=30
3a = 27 -> o = 9
Luego
c + 20 _ >5 _ 5
c $ 3
3c+60=5c
60=2c —> c=30
Ahora
15 _ 9 + 1 _ 10
9 ~ b ~~b
1 90
-> b = — = 6
15
C) 40
E) 45
a+b+c=9+6+30=45
i Clave
5

39. COLECCIÓN ESENCIAL Lumbreras Editores
Problema N/ 38
________
En una serie de cuatro razones geométricas
iguales con constante de proporcionalidad
positiva, los antecedentes son 2; 3; 7 y 11. Si el
producto de consecuentes es 37422, halle la
constante de proporcionalidad de la serie.
« 5 e> i o;
D|5 Elf
Problema N.° 33
________________
Una fiesta inició con una determinada canti­
dad de varones y mujeres. Transcurridas 2 h,
60 varones se retiran, de modo que queda
un varón por cada dos mujeres. Si luego de
una hora se retiran 80 mujeres, de modo que
quedan 14 mujeres por cada 9 varones, ¿con
cuántas personas empezó la fiesta?
A) 600 B) 800 C) 450
D) 620 E) 720
Resolución
Del problema, tenemos la siguiente serie de
razones:
2 _ 3 _ 7 _ 1 1 _ ^ ' . \
a b c d
Por la propiedad de serie de razones tenemos
2x3x7x11 í4
—
--------------------------= k
a x b x c x d
Dato:
,.4
27 0 2
kA
1
-- —y
81
kA
i Clave
Resolución
Ordenamos los datos.
1 - ■
! i
In i c i a
: • : .
••'a .. ¿..i ¿r..... .
Se
lV A N
Quedan
: Se.
V A N
Quedan
ftífc óe ■
dmbNM,
9k+60601x9 k
[
________
9 xk
V 'j ' :~,£
; \
\ MOJIES
m : 2x9 k8014 x k
Total: 27/r+60
Del gráfico, observamos que
2 x9k-80 = U k
4k=80 -> k= 20
Nos piden
27 k+60 -27(20) + 60 -600
i Clave \
............i

40. Capítulo 1
Razones y serie de razones geométricas equivalentes
Problema N.° 40
Las velocidades de Nahomy y Nidia están en la
relación de 13 a 9. Cuando la más veloz llega
al punto de partida de la más lenta, a esta le
faltaba 352 m para llegar al punto donde partió
la más veloz. Halle la diferencia de las distancias
recorridas por ambas personas hasta el mo­
mento en que se produjo el encuentro.
Luego
4
Nahomy es más veloz.
A) 240 m
B) 248 m
C) 200 m
D) 196 m
E) 208 m
Resolución
Como las velocidades de Nahomy y Nidia
están en la relación de 13 a 9, sus distancias
recorridas están también en la relación de 13 a
9; además Nahomy es la más veloz.
Por lo tanto, la diferencia de las distancias re
corridas hasta el encuentro es
13x [52]-9x [52]=4x [52]=208 m
^ ... / j • i Clave ..

41. PRACTIQUEMOS LO APRENDIDO
%■
1. La edad de dos personas es de 36 y
24 años; por lo tanto, están en la relación
de 3 a 2. ¿Después de cuántos años dicha
relación será de 5 a 4?
A) 48 B) 24 C) 36
D) 28 E) 22
2. La suma de tres números es 1425, la razón
11
del primero y el segundo es — y la diferen­
cia de los mismos es 600. Halle el valor del
tercer número.
A) 500 B) 550 - C) 608
D) 325 / E) 375
3. Una bolsa contiene dos docenas de huevos.
Si dicha bolsa se cae, ¿cuál de las siguien­
tes alternativas no puede ser la relación
entre la cantidad de huevos rotos y enteros?
A) de 1 a 3 B) de 7 a 5 C) de 1 a 5
D) de 1 a 4 E) de 1a 2 ;
4. A una fiesta asistieron 3 mujeres por cada
4 varones: Luego se retiran 25 parejas.
¿Cuál es la razón entre el número de mu­
jeres y varones que se quedan en la fiesta
si inicialmente habían 175 personas?
5. Tres de cada mil motociclistas se accidentan
en 1 km. ¿Cuántos motociclistas de cada
millón sufren un accidente en 1 km?
A) 6000 B) 300 C) 3000
D) 600 E) 900
6. Lo que cobra y lo que gasta diariamente
una persona suman S/.60; lo que gasta y
lo que cobra están en la relación de 2 a 3.
Si dicha persona gastara diariamente S/.12
menos, ¿en qué relación estará ahora lo
que gasta y lo que cobra?
A) de 1 a 4 B) de 2 a 5 C) de 1 a 5
D) de 2 a 4 E) de 3 a 9
7. Para elaborar pólvora se necesita salitre,
carbón y azufre en la proporción de 23;
5 y 4. ¿Cuántos kilogramos de azufre y sa­
litre, respectivamente, se necesitarán para
elaborar 6,4 kg de pólvora?
A) 0,8 y 4,6 B) 0,6 y 4 C) 1 y 3,5
D) 0,7 y 4,1 E) 0,9 y 3,7
8. Si 4 y B están en la relación de 3 a 4, pero
C y A se encuentran en la relación de 2 a 5,
¿en qué relación están B y C?
A) de 9 a 5 B) de 4 a 1 C) de 10 a 3
D) de 15 a 4 E) de 20 a 6
9. Se divide 630 en tres partes (4; B y Q
tales que A es 3 veces B, y B es 4 veces
más que C. ¿Cuál es la razón aritmética
entre la mayor y menor parte?
A) 360 B) 390 C) 450
D) 420 E) 280
10. Las edades de Jhonny, Wilmer y Jimmy
son proporcionales a los números 4; 5 y 7,
respectivamente. Si dentro de 8 años las
edades de Wilmer y Jimmy estarán en la
relación de 7 a 9, halle la edad de Jhonny.
A) 8 años B) 10 años C) 18 años
D) 16 años E) 12 años
E) -
3

42. Razones y serie de razones geométricas equivalentes
11. En un recipiente se mezclan 12 L de agua y
18 L de vino. ¿Cuántos litros de agua se de­
ben agregar a dicha mezcla para que la re­
lación inicial de sus ingredientes se invierta?
A) 15
D) 18
B)' 12 C) 16
E) 20
12. En una competencia atlética, Luis le ganó a
Daniel por 40 m y Daniel le ganó a Jimmy
por 72 m. ¿Por cuántos metros le ganó Luis
a Jimmy si la pista atlética tenía una longi­
tud de 180 m?
A) 96
D) 84
B) 90 C) 108
E) 72
13. Si
o + 8 3 b c+8
= 2,
a b+4 15
halle el valor de a + b+c.
A) 38
D) 32
B) 36 C) 28
E) 30
14. Si — = — = además A+B+C= 38,
1 1 ^
2 5 4
halle el valor de B.
A) 12
D) 16
B) 8 C) 10
E) 20
„.8 1 o c v
15. Si — = - = - = — /
o c v 16
calcule el valor de o+c+v.
A) 142
D) 126
B) 116 C) 114
E) 124
16. La sumía de los antecedentes de una
serie de tres razones geométricas ¡guales
2
es los - de la suma de los consecuentes.
3
¿Cuál es el producto de los anteceden­
tes si el producto de los consecuentes es
24 300?
A) 10 800
D) 4800
B) 7200 C) 6000
E) 3600
17. Tres números son proporcionales a 7;
11 y 13, tales que el segundo más el cuá-
druplo del primero suman 117. Calcule el
valor del tercero.
A) 26
D) 24
B) 13 C) 39
E) 36
18. Se tienen 60 números que son proporcio­
nales a los 60 primeros números pares,
donde la suma de los 20 primeros es 1050.
Halle la suma de los 30 últimos números.
A) 8625
D) 8265
B) 6285 C) 6825
E) 5828
19.En un recipiente con una capacidad de
60 L se han echado 10 L de agua y 400 g
de azúcar. ¿Cuántos litros de agua se de­
berán agregar a dicha mezcla para que la
relación entre la cantidad de litros de agua
y la cantidad de gramos de azúcar sea de
1 a 10?
A) 24
D) 10
B) 30 C) 20
E) 40
20. En un mapa a escala 1/500 000, la distan­
cia entre dos ciudades es de 10 cm. Halle
la distancia real entre dichas ciudades,
en kilómetros. Considere que la escala
1/500 000 significa que 1 cm del mapa
representa a 500 000 cm de longitud real.
A) 50
D) 10
B) 5 C) 5,5
E) 500

43. COLECCIÓN ESENCIAL Lumbreras Editores
2 1 . Dos amigos (A y B) tienen juntos un capi­
tal de S/.24 000. La proporción de la parte
que tiene A respecto a la de B es de 1 a 5.
¿Dentro de cuántos meses estarán sus
partes en la proporción de 1 a 3 si cada uno
incrementa su capital en S/.400 mensual?
A) 20 B) 5 C) 15
D) 10 E) 4
2 2 . En un salón de clases, antes del recreo, el
número de varones es al número de muje­
res como 9 es a 5. Si, después del recreo, el
que bailan y la cantidad de varones que no
bailan están en la relación de 2 a 5. Si en
ese momento hay 140 personas, ¿cuántas
parejas están bailando?
A) 24 B) 12 C) 36
D) 18 E) 20
26. Juan y María parten del punto A rumbo al
punto B con velocidades que son entre sí
como 7 a 5. Si a los 40 min Juan llega a su
destino, ¿cuánto tiempo emplea María en
llegar al punto B1
número de varones y de mujeres disminu­
ye en 8 y 4, respectivamente, la razón del
número de varones a mujeres es y ¿Cuán­
tas mujeres regresaron al salón?
A) 16
D) 28
B) 29 C) 36
E) 32
A) 56 min B) 60 min C) 42 min
D) 58 min E) 72 min
27. En una serie de tres razones geométricas
equivalentes, la suma de dos razones cua-
»| 7 4 %
lesquiera es — y el producto de anteceden­
tes es 240. Calcule el producto de conse-
23. Se tienen canicas verdes, rojas y negras.
Por cada 3 verdes hay 5 rojas y por cada 3
rojas hay 5 negras. Si la cantidad de canicas
negras excede a las verdes en 32, ¿cuántas
canicas rojas hay? % , 5* .
A) 20 B) 30 C) 24
D) 18 E) 12
a2 b2 c2 d2
24. Se cumple que
y a-b + c = 42. Halle d.
A) 60 B) 32 C) 70
D) 45 E) 36
25. En cierto momento de una fiesta, la canti­
dad de varones que bailan y la cantidad de
mujeres que no bailan están en la relación
de 3 a 4. Además, la cantidad de mujeres
cuentes.
A) 840 B) 360 C) 270
D) 810 E) 720
28. Dada la siguiente serie de razones geomé­
tricas equivalentes:
o + 70¿> + 120c + 300
35 60 150
calculeel valorde c si axb=756.
A) 60 B)90 C)120
D) 45
E)75
29. Si ^ =
3
°2 _ °3
5 7
= .
°n
— y
19 y
a6+o.i—48,
calculen + on.
A) 65 B)56 C)48
D) 57
E)66
5i

44. ' ■ ■ • ’ -3 ' , -v! ' -■ téri:-'“ Vfjg { V t "
Capítulo 1 Razones y serie de razones geométricas equivalentes
30. Se tiene una mezcla de 70 L de agua y
vino. Al extraer 14 L de dicha mezcla, de los
cuales 4 L son de agua, ¿cuántos litros de
agua deberán agregarse para que la rela­
ción de los ingredientes se invierta?
A) 72
D) 84
B) 68 C) 56
E) 60
31. Las edades de Juan y César están en la re­
lación de 1 a 2. Si hace 8 años la relación
fue de 3 a 8, ¿dentro de cuántos años sus
edades sumarán 72?
A) 10
D) 12
B) 9 C) 8
E) 6
32. En una asamblea, el número de varones
con el total de personas están en la rela­
ción de 3 a 10, y la diferencia entre mujeres
y varones es 52. ¿Cuál es la relación entre
varones y mujeres si se retiran 26 varones?
» 1
6) í
7c)!
33. En una reunión se observa que por cada
11 mujeres hay 9 varones. Si se retiran 30
parejas y ahora la relación de mujeres y
varones es de 5 a 3, calcule el número de
asistentes al inicio.
A) 60 B) 100
D) 120
34. Se sabe que
C7-1 C7 2 ^ 4
7 “:T _7 ~ T
Calcule a3+a5+o7+...+a
C) 80
E) 40
'17
si o\ +0^ \o \ +Og =4320.
A) 440
D) 460
B) 560 C) 480
E) 490
35. Calcule a + b+c+d si
_o_ _ 80 _ _ 45 c_ o_20
~30~~b ~ 3 4~ d V C
A) 200
D) 370
B) 350 C) 400
E) 345
Claves
1 5 9 13 ; 17 ; 21 : 25 29 33
2 6 10 14 18 22 26 30 34
3 7 11 15 19 23 27 31 35
4 8 12 16 20 : 24 28 32

46. r»:
MAGNITUDES PROPORCIONALES
El colibrí {Archilochus colubris) es el ave más pequeña del
mundo, es nativa de México y habita en América. Tiene un
tamaño que oscila entre 11 y 15 cm, y un peso de 6 a 8,5 g.
Las alas del colibrí se pueden mover hasta 80 veces por se­
gundo. Cuando un macho está tratando de impresionar a
una hembra, el batido de sus alas puede aumentar hasta 200
veces por segundo.
Es la única especie de ave que tiene la capacidad de volar en
todas las direcciones. Durante un periodo normal de tiempo,
su corazón latirá más de 1200 veces por minuto.
Como otros pájaros, el colibrí migra en los tiempos más fríos
del año, llegando a volar hasta 2000 millas de distancia.
Más de la mitad de todos los colibríes muere durante el primer
año de vida, pues la esperanza de vida de los que sobreviven
es de hasta 4 años; sin embargo, existen informes, no verifi­
cados, de algunos que vivieron hasta 12 años.
Conocer las magnitudes y relacionarlas en su vida cotidiana.
Identificar las magnitudes y saber su relación de compara­
ción de dos o más magnitudes.
Utilizar métodos prácticos, propiedades o algoritmos para
la resolución de problemas.
¿Por qué es necesario este conocimiento?
En muchas ocasiones utilizamos frases como el agua está fría,
hace mucho calor, ese caballo va rapidísimo, ese celular es
.carísimo. Todas estas frases nos indican alguna medida y nos
dejan con una idea muy subjetiva o vaga sin saber realmente
con exactitud qué es lo que están diciendo. ¿Se imagina qué
pasaría si toda la gente midiera las cosas según su criterio?
Simplemente el mundo en que vivimos sería un caos.
Dentro del estudio de las magnitudes, las mediciones son
importantes; estas deben ser exactas y precisas.

47. COLECCION ESENCIAL
Lumbreras Editores
Dato curioso
Hay magnitudes que no se
pueden medir y se manifiestan
a través de los sentidos de cada
persona; por ejemplo, el amor,
el miedo, la tristeza...
Importante
Sean A y B valores de 2 mag­
nitudes.
a. Reconocimiento del compor­
tamiento de las magnitudes
• A\ -> B] o Ai -» B\
Se concluye que A DP B.
• A —> B! o A; -> B
Se concluye que A IP B.
b. Se cumple que
• A DP B <-> ^=K
• A IP B <-> AxB=K‘
donde K y K' son constantes.
Magnitudes proporcionales
CONCEPTOS PREVIOS
Es todo aquello que tiene la Es el resultado de medir o
propiedad de cambiar; puede contar el cambio de una
ser medido o cuantificado. magnitud.
Ejemplos
• Longitud
• Temperatura
• Rapidez
• Obreros
Ejemplos
• 40 m
• 35 °C
• 120 m/s
• 40
2, RELACIONES ENTRE MAGNITUDES
Se pueden relacionar de manera directa o inversa.
jg^
im d& mecate
Dos magnitudes son DP si al aumentar o disminuir el valor de
una de ellas, los valores correspondientes de la otra también
aumentan o disminuyen en una misma proporción.
Ejemplo■
h f 50 100 200
B S Bd: 10 20 40
Gráficamente
-> distancia DP tiempo
5 0 _1 0 0 _ 2 0 0 _5
10 " 20 “ 40 “
I — Ci

48. Capítulo 2
Magnitudes proporcionales
2 2. Magnitudes inversamente proporcionales (IP)
Dos magnitudes son IP si al aumentar o disminuir el valor de
una de ellas, los valores correspondientes de la otra disminu­
yen o aumentan en la misma proporción.
Ejemplo
Nú m e r o d e o b r e r o s4812
632
Gráficamente
—>n.° de obreros IP n ° d
4x6=8x3=12x2=24
» C— slantg
3. PROPIEDADES^#
Sean A, B y C magnitudes.
1
-a. ADP B <-> A\P —
D
1
A \P B <-> ADP —
D
b. ADP B ^ An DP Bn
A IP B <-> An IP Bn
c. .Si ADP B (C no varía)
A DP C (B no varía)
A
¿Qué es medir?
La medición es un proceso bási­
co de la ciencia que consiste en
comparar un patrón selecciona­
do con el objeto o fenómeno,
cuya magnitud física se desea
medir para ver cuántas veces el
patrón está contenido en esta
magnitud.
Equivalencias de medidas
1 metro = 3 pies
1 pie = 0,3048 metros
1 milla = 1,6 kilómetros
1 yarda = 0,9144 metros
1 libra = 0,45 kilogramos
1 galón = 3,78 litros
= constante

49. COLECCION ESENCIAL
üÜi
Lumbreras Editores
Relación DP o ÍP según sea el caso en cada pareja de
magnitudes
Oatocurioso
La paradoja del cuadrado
Recorte y arme la siguiente
figura:
Área: 13x5=65 •
Por qué cambia el área?
Área: 8x8=64

50. Capítulo 2
Magnitudes proporcionales
4. APLICACIONES DE LAS MAGNITUDES
4.1. Reparto proporcional
Consiste en distribuir cantidades de dinero, objetos, bienes,
etc. Tenemos dos tipos de reparto.
4.1.1. Reparto simple (puede ser directo o inverso)
• Repartimos S/.100 DP a los números 3; 2 y 5.
- = - = - = k ^ B = 2k; C=5/r
3 2 5 . . .
Además A + 6+C = 100
3k+2k+5k = m -> Ar=10
Las partes repartidas son A=30; 6=20; C=50.
• Repartimos S/.310 IP a 2; 3 y 5.
4 x 2 _ 6x3 _ Cx5
Observamos 30=MCM(2; 3; 5)
—> — = — = —= m —> 4=15m; 6=10/7?; C=6m
15 10 6
Además 4 + 5+C = 310
15/7?+ 10/7?+ 6/7? = 310 -> m = 10
Las partes repartidas son 4 = 60; 6 = 32; C = 12.
4.1.2. Reparto compuesto (dos o más restricciones)
Repartimos S/.104 DP a 5; 4 y 2, y a la vez IP a 2; 3 y 4.
f4 ^o f B1
( c )
= 3- -= 4-—
, 5 ,U J \ 2 J
Luego
12-5 12-4 12-2 30 16 6
_> 4=30/r; 6=166 C=6k
Además 4 + 6+C = 104
30/C+16/r+ 6Ar = 104 -> k = 2
Las partes repartidas son 4 = 60; 6 = 32; C = 12.
Reto al saber
¿Cómo desarrollar un proble­
ma textual de magnitudes?
• Identifique las magnitudes
que están variando.
• Tome una de ellas como re­
ferencia y compárela con las
demás, estableciendo una
relación DP o IP según sea
el caso.
• Construya la expresión a tra­
bajar y empezará a compa­
rar ya sea dos o más expre­
siones.
• Lea e identifique el valor de la
magnitud que va a calcular.

51. COLECCION ESENCIAL
Lumbreras Editores
— ^
Dato curioso
j La regla de compañía permite
; hallar los beneficios o pérdidas
j de una sociedad (negocio). Su
evolución nos informa de los
cambios que ha habido en la
I economía.
: Por ejemplo, en el enunciado
; 40 del Papiro de Rindt (aprox.
j 1650 a. n.e.), se pide hallar la
forma de repartir 100 hogazas
entre cinco personas de manera
que los dos últimos solo reciban
i un séptimo de lo que obtienen
f los tres primeros y que las can­
tidades que resulten vayan en
i progresión aritmética.
4.2. Regla de compañía
Consiste en repartir entre varios socios los beneficios (ganan­
cias) que han obtenido o las pérdidas que han sufrido en los
negocios.
Sean ganancia, pérdida, capital y tiempo las magnitudes:
r
D
ganancia DP capital
ganancia3 DP tiempo I
V
__
Entonces
ganancia
------ ---------= constante
capitalxtiempo
-----------------------------
pérdida DP capital
pérdida DP tiempo
Entonces *
pérdida
----:— ---------=constante
capitalxtiempo
Ejemplo
Se tienen los siguientes datos:
Si la ganancia total fue de S/.8200, ¿cuánto ganó cada uno de
ellos?
ganancia de Alicia_ganancia de Luis ganancia de Susana
2000-8 5000-6 3000-12
Luego
Ga
815 18
—> Ga - 8k; Gl — 15Ar; Gs=18/r
Además
GA + GL + Gs = ganancia total
8/r+15/t+18/t = 8200 -a k = 200
Ga = S/.1600; Gl = S/.3000; G^ = S/.3600

52. 4 3 . Sistema de engranajes
43.1. Ruedas engranadas
Si la rueda A gira en sentido horario, la rueda B girará en senti­
do opuesto, es decir antihorario; además se cumple
donde
VA;V B: número de vueltas
- Da] Db: número de dientes
Ejemplo ,
Si la rueda A da 80 vueltas, ¿cuántas dará B? •
• ■ % 3 o ffb
Sabemos
va-d a = vb-d b
r í í t
80-30 =x-20
x = 120
43.2. Ruedas unidas mediante un eje
P
Se cumple
(n.° de vueltas N
[ de M j
^n.°de vueltas^
de N
"n.° de vueltas
de P
\
y
Algunos ejemplos donde se rea­
liza un determinado trabajo.
• Las maquinarias pesadas sir­
ven para transportar material.
• El caballo realizando la siem­
bra de un cultivo.
• La vaquita con solo comer
está haciendo un trabajo.
• La abeja produce miel y ela­
bora su propio panal.

53. COLECCIÓN ESENCIAL
Lumbreras Editores
Dato curioso
• : ■ ,' , ", ,, .
: Los engranajes están formados
i por dos ruedas dentadas que sir-
j ven para transmitir movimiento
; mediante el contacto.
4.4. Magnitudes de una obra
Las magnitudes que intervienen son
ip
(n.° de obreros) (n.° de días)
(horas diarias)
(eficiencia de los obreros)
(dificultad de una obra)
(obra a realizar)
Luego tenemos la siguiente relación:
(n.° de obreros)x(n.° de días)x(n.° de h/d.)x(eficiencia)
-------------•$ - " 1
-------------------------— — ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ —
(dificuitád)x(obra)
Los obreros también pueden ser personas en general, máqui­
nas y animales.
Ejemplo
Si 6 monos comen 6 plátanos en 6 min, ¿cuántos plátanos
comerán 80 monos en 24 min?
Obreros
Monos
6
80
DP Obra
Plátanos
6
y
Luego
(obreros)x (tiempo)
(obra)
6x6 80x24
= constante
6 x
-» x = 320
x = 320
Tiempo
Minutos
6
24
Por lo tanto, 80 monos comerán 320 plátanos en 24 minutos.

54. Capítulo 2
Magnitudes proporcionales
Aplicación 7
Si A es DP a B cuando ,4 = 8 y 6 = 12, calcule A
cuando B = 36.
Resolución
Como /A DP B
valor de A
—> — ¡
----— = constante
valor de B
Del enunciado tenemos
/3
—> *= 8 x3 = 24
Por lo tanto, /A toma el valor de 24.
Aplicación 2
En un determinado día, un grupo de obreros
hacen 100 mesas. Si se contratan 18 obreros
más, harán 400 mesas. ¿Cuántos obreros ha­
bían inicialmente?
Resolución
— :,.... .■
- -----------------“ : ~
Observación
En este ejercicio tenemos que analizar las
magnitudes y establecer la relación que tienen
como
n° de obreros! DP obra
1 . . . • ■ J
El número de obreros con la obra tienen una
relación DP. Luego
número de obreros , ,
—
---------;-----= constante
Operamos
x4
x _x+ 18
Too _ 400
x4
-> 4x = x + 18
3x = 18
-> x=6
Por lo tanto, inicialmente habían 6 obreros.
Ap l ic a c ió n 3
El precio de venta de un libro de Aritmética
es directamente proporcional a la raíz cua­
drada del número de páginas. José compra a
S/.20 un libro de 900 páginas. ¿Cuántas pági­
nas tendrá un libro cuyo costo es de S/.8?
Re s o l u c ió n
Como precio de venta es DP ^número páginas
precio de venta
-» —¡= ■ = constante
yn.° de páginas
20 _ 8 20 _ 8
' V900 v T 30~ VT
Se cumple
20-\fx =30-8
—> Vx =12
x = 144
Por lo tanto, el libro de S/.8 tiene 144 páginas.
obra (mesas)

55. Aplicación 4
Según el gráfico, calcule m xn.
Se cumple A DP B.
m 18
que tuvo un tiraje de 250 unidades cuesta
S/.8. ¿En cuánto varía su precio si se imprimen
150 más?
A) S/.1 B) S/.2 C) S/.3
D) S/.4 E) S/.5
Re s o l u c i ó n
Según el enunciado del texto, evaluamos la
relación de las magnitudes.
precio IP n.° de estampillas
10 n
Luego
m xn =10x18
m xn = 180
Aplicación 5
Luego
preciox(n ° de estampillas)=constante
Por condición del problema tenemos
8-250=(8-x)-(250 + 150)
8-250=(8-xj-400 -> 5 = (8-x)
El precio de una estampilla varía en razón I _> x=3
inversa al número de estampillas del mismo f
tipo que hay en circulación. Una estampilla Por lo tanto, el precio varía en S/.3.
Si 8 niños comen 8 helados en 8 min, ¿en cuántos minutos comerán 6 helados 6 niños?

57. RESOLVEMOS JUNTOS
Problema NT 1
Si A es DP a B2 cuando A es 16 y B es 2, calcule
A cuando B es 8.
A) 64
D) 32
B) 256 C) 8
E) 512
Resolución
Como A DP B2, se cumple
A
— = cte.
B2
Luego
16
22 82
4 = —
64
-> x=256
A - 256
Problema N.° 2
-» — =
16
4 ” 64
Clave
Si A es IP a Vfí cuando A es 25 y B es 16, calcule
A cuando B es 400.
A) 64
D) 10
B) 5 C) 8
E) 4
Resolución
Tenemos que A IP Vfí, además se cumple
A x Vfí = cte.
Luego comparamos
25-VÍ6 = x-V4ÓÓ
25-4 = x-20
100 =x-20
5
: Clave [
Problema N/ 3
________
Según el gráfico, calcule m xp.
A) 320
D) 1280
B) 360 C) 4800
E) 960
Resolución
Del gráfico se observa que los valores de las
magnitudes A y B tienen una relación IP, es
decir
(valor de A) x (valor de B) = constante
Luego
(m + 18)x16 = mx20 = (/n-16)xp
V (i) ' '
En (I) y (II), calculamos m.
(/tj+8)-16 = /t?x20
(m + 8)-4 = mx5
4/?? + 32 = 5/77
-> 32-m
En (II) y (III), calculamos p.
/77X20 = (/77-16)xn
í . í
2 D '.i 9
32x20 = 16xp
640 = 16xp
-> 40 = p
/. m xp = 1280
i Clave [

58. Magnitudes proporcionales
Problema N.° 4
Calcule a+b en el siguiente gráfico:
A) 5 -
D) 6
Resolución
B) 4 C) 8
E) 10
Del gráfico se obsen/a que los valores que
toman A y B son DP.
Se cumple
(I!)
A 1 o b
— = cte. - = - = -
B a b 8
En (I)
1 -b = a-a
b = a
En (II)
a-8 = b-b
a-8 = b2
a- 8 = (a2)2
8 = a3
2 = a -+ b = 4
a+b = 6
i Clave
Problema N.° S_____________________
_________
El precio de un ladrillo es proporcional a su
peso IP a su volumen. Un ladrillo que pesa
150 g y que tiene un volumen de 100 cm3
cuesta S/.3. ¿Cuánto costará otro ladrillo de
400 cm3 que pesa 160 g?
A) S/.0,6
D) S/.5,6
B) S/.0,8 C) 7,5
E) 0,9
Resoiudór9.
Del dato tenemos
(precio) DP (peso)
(precio) IP (volumen)
Luego
precioxvolumen
—>
(peso)
3 100 x-400
= cte.
150 160
Efectuamos
x=S/.0,8
Por lo tanto, el costo es de S/.0,8.
Clave
Problema N.° 6
Un auto que avanza a 60 km/h cubre una dis­
tancia de Lima a Tumbes en 16 h. ¿A qué velo­
cidad debe conducir para cubrir dicha distan­
cia en la mitad de tiempo?
A) 30 km/h B) 38 km/h C) 60 km/h
D) 120 km/h E) 25 km/h

59. COLECCION ESENCIAL
Lumbreras Editores
Resolución
Lima Tumbes
velocidad x tiempo = constante
I
ip
Tenemos
60-16 = x-8 -> x = 120km/h
Por lo tanto, la velocidad debe ser 120 km/h
! Clave [
Problema N.c 7
___________ ' ' %
Matías es tres veces eficiente que Pedro, y si
juntos pueden hacer cierto trabajo en 12 días,
¿cuánto tiempo utilizará Matías en hacerlo solo?
A) 12 días B) 16 días C) 18 días
D) 14 días E) 15 días . '
Resolución
La eficiencia y el tiempo tienen una relación
IP, es decir
eficiencia xtiempo=constante
• Eficiencia de Matías: 3
• Eficiencia de Pedro: 1
Problema N.‘ B
_________________________________
El precio de un molde de pan es DP al cubo
de su peso. Un molde de este tipo cuesta
S/.10, luego se parte en 2 pedazos y se vende,
donde uno es los — del otro. ¿Qué precio de
valor sufrió dicho molde de pan?
A) S/.8 B) S/.7,5 C) S/.7,1
D) S/.7,2 E) 7
Resolución
Ordenamos los datos.
' Inicio Final
SAIO S La S/.b
Del dato
(precio) DP (peso)3
Luego
/precio
i
------ = constante
peso3
-» a = 0,64 a ¿> = 2,16
a+b = 2,80
Por lo tanto, se pierde 7,20.
: Clove ■
Luego juntos se tendrá
^ --solo Matías
(3+1)*12 = 3 -x -> x = 16
Por lo tanto, a Matías le tomará 16 días hacer
el trabajo solo.
; Clave [
Problema N.° 9
Un cuartel tiene víveres para 120 soldados du­
rante 36 días. ¿Cuántos soldados deben retirar­
se para que los alimentos duren 18 días más?
A) 40 B) 20 C) 80
D) 25 E) 50

60. Capítulo 2 Magnitudes proporcionales
Resolución
Se analizan las magnitudes.
número de
soldados
x
número de'
días
= cte.
V
ip
Luego
120 • 36 = (120—x) • (36+18)
120 - 36 = (120—x) • 54
120-18-2 = (120—x) * *18*3
80 = (120-x) -> x = 40
Por lo tanto, deben retirarse 40 soldados.
\ Clave \ )
Problema N.* 10
___________| pJ tv > I
Siara puede leer un libro de 640 páginas en ;
20 días. ¿Cuántos días se demorará en leer 8
libros de 400 páginas cada uno?
A) 100 B) 50 C) 130
D) 120 E) 125
Resolución
Se tienen las magnitudes.
(n.° de páginas) (n.°dedías)
----------:
DP
Se cumple
(n.° de páginas)
(n.° de días)
640 8-400
~20~~ x
x = 100
Por lo tanto, Siara se demorará 100 días.
; Clave \
* • •
........... . . . . . . . . r
Problema N.° TJ_
__________________ ___________
Julio pensó hacer un trabajo en 20 días, pero
tardó 20 días más por trabajar 3 h menos por
cada día. ¿Cuántas horas diarias trabajó?
A) 2 B) 3 C) 5
D) 6 E) 4
Resolución
Las magnitudes son horas diarias y número de
días, y estas tienen una relación IP.
Se cumple
(horas diarias)x(número de días)=cte.
pensó hizo
i I
x-20 = (x-3) • (20 + 20)
-X x= 6
Nos piden
% - 3 - 3
Por lo tanto, trabajó 3 h por día.
• Clave
*
...................................
Problema N.* 12
Se sabe que el precio de una tarjeta navide­
ña varía en razón inversa al número de tarje­
tas del mismo tipo que hay en circulación. Si
una tarjeta que tuvo un tiraje de 250 unidades
cuesta S/.8, ¿en cuánto varía su precio si se
elaborarán 150 más?
A) S/.1 B) S/.2 C) S/.3
D) S/.4 E) S/.5

61. COLECCIÓN ESENCIAL Lumbreras Editores
Resolución
Del dato
precio (IP) número de tarjetas
Luego
(precio) x|
número de
= cte.
y tarjetas j
-> 8x250 = (8 -x )• (250+150)
2000 = (8—x) ■ 400
5 = 8 -x -> x —3
Por lo tanto, el precio varía en S/.3,:
i Clave
Problema N.° IB
Un estudiante en 8 h/d. ha empleado 4 días
para recorrer 160 km. ¿Cuántas horas diarias
debe caminar para recorrer 300 km en 10 días?
A) 9
D) 8
B) 6 Q 5
E) 3
Resolución
Relacionamos las tres magnitudes -teniendo
como referencia a una de ellas.
distancia
horas por día
días
DP
Luego
distancia
(h/d.) x (días)
= cte.
160 300
8x4 x-10
-> x=6
Por lo tanto, debe caminar seis horas diarias.
í Clave \
Prolsleiiia N.° 1 4
_______________________
Trabajando 10 h/d., durante 15 días, 5 hornos
consumen 50 t de carbón. ¿Cuántas toneladas
serán necesarias para mantener trabajando 8
hornos en 9 h/d., durante 85 días?
A) 320
D) 408
Resolución
B) 365 C) 388
E) 496
Relacionamos las cuatro magnitudes, teniendo
como referencia a una de ellas.
días
r toneladas de carbón
Luego
(hornos)(h/d.)(días)
carbón
+3
|
5-10-15 8-9-85
= cte.
50
.\ x = 408
x
• Clave

62. Capítulo 2 Magnitudes proporcionales
Problema N.’ IB
Para plantar gras en un terreno de 500 m2 3, 10
personas demoraron 15 días de 7 h de trabajo.
¿Cuántos días de 8 h de trabajo se demorarán
en plantar 800 m2 15 personas que son el do­
ble de rápidas?
A) 4
D) 5
B) 6 C) 8
E) 7
Resolución
Similar al problema anterior, analizaremos las
magnitudes.
:)i -— - obras
n.° de personas días ' .
horas por día
10-15-7 30-X-8
800500
-> x = 7
Por lo tanto, tardarán 7 días.
i Clave \
Problema N.a 16
___________________________
Una cuadrilla de 35 obreros puede terminar
una obra en 27 días. Al cabo de 6 días de tra­
bajo se junta cierto número de obreros de otro
grupo, de modo que en 15 días terminan lo
que falta de la obra. ¿Cuántos obreros eran del
segundo grupo?
A) 12
D) 15
B) 13 C) 14
E) 16
Resolución
Se sabe que 35 obreros pueden terminar una
obra en 27 días.
7Ájy. Obra..;
Primera parteSegunda parte
- 6 días
¡,- 35 obreros
- 15 días
- (35 +x) obreros
Se observa
(n.° de obreros) • (n.° de días) = cte.
Además
^total de la obra''tramo^tramo"
¿ a trabajar jl ¿ J; b J
35x27= 35x6 + (35+x) -15
->'V=14
Por lo tanto, del segundo grupo eran 14.
i Clave
Problema N.°17
2
En 12 días, 8 obreros han realizado los - de
3
una obra; en ese momento se retiran 6 obre­
ros. ¿Cuántos días tardarán los obreros restan­
tes en terminar la obra?
A) 20
D) 24
B) 21 C) 22
E) 25

63. COLECCION ESENCIAL
Lumbreras Editores
Resolución
Tenemos
Resolución
parte 2
todo 3
■ . . .
s. \ v \ , TsW.v v , „ .. s n ;•
| Primera parte Segunda parte |
- 12 días - xdías
I - 8 obreros - 2 obreros
Luego se retiran
|
Nt
6 obreros.
i '
!
obreros
Se hizo
8-12
• 2
taita
2-x
1
—> (n.° de vueltas) ■ (n.° de dientes)=cte.
ip
Luego
Rúetla A Rueda 8
100-40 = x- 50
x = 80
Por lo tanto, la segunda dará 80 vueltas.
-> x= 24
i Clave
Por lo tanto, tardarán 24 días.
; Clave i
•
...................... . . . . . ’ i . . . * *
Problema N.a IB_____________________________
___
Dos ruedas de 40 y 50 dientes están engra­
nadas. Si la primera da 100 vueltas, ¿cuántas
vueltas dará la segunda?
Problema N.‘ 19
Una rueda 4 de 80 dientes engrana con
otra rueda B de 50 di entes. Fija al eje de B
hay otra rueda C de 15 dientes que engrana
con una rueda D de 40 dientes. Si 4 da 120
vueltas por minuto, ¿cuántas vueltas dará la
rueda D?
A) 18 B) 32 C) 27
D) 25 E) 80
A) 18 B) 72 C) 27
D) 45 E) 180

64. Capítulo 2 Magnitudes proporcionales
Resolución
Graficamos el sistema de engranajes.
Luego, sumando las partes tenemos
15x = 45000
x = 3000
-> (5 o hijo) = 5(3000) = 15000
Por lo tanto, el menor recibirá S/.15 000.
i Clave ,
Calculamos x en las ruedas A y B.
120-80 = x-50 -> x = 19’2
Calculamosy en las ruedas C y D.
x-15 =y-40
1 j
192-15 =y-40 -» y = 72
Por lo tanto, D dará 72 vueltas.
: Clave ,
Problema M7 21
_______________________________
El ahorro mensual de un trabajador es DP al
salario que percibe. Un empleado que gana
S/.900 ahorra mensualmente S/.90. Si al año
siguiente su gasto mensual es de S/.1080, ¿en
cuánto se incrementó su sueldo?
A) S/.1200 B) S/.640 C) S/.960
D) S/.480: E) S/.300
Problema N.° 2D
__________________ "
Un padre -reparte proporcionalmente S/.45000
entre sus cinco hijos según el orden que na­
cieron. ¿Cuánto recibirá el hijo menor?
Resolución
Sabemos que
ahorro
salario
= cte.
Dato:
A) S/.15 000 B) S/.3000 C) S/.6000
D) S/.12 000 E) S/.9000
90 k
900 _ m
Resolución
1er hijo=x
2 o hijo = 2x
3 er hijo = 3x
4 o hijo = 4x
rr c-r.or 5° hijo = 5x
Luego
9/r=1080 -> k=120
Por lo tanto, el nuevo salario es S/.1200 y se
incrementó en S/.300.
: Clave

65. COLECCION ESENCIAL Lumbreras Editores
Problema N/ 22
Se tienen tres ruedas dentadas dispuestas
{A, B y Q de modo que A engrana con B y esta
a su vez engrana con C. Se sabe que A y B
tienen 30 y 50 dientes, respectivamente, y que
Ay C dan 80 y 120 RPM, respectivamente. Ha­
lle cuántas vueltas por minuto da B y el núme­
ro de dientes de C.
A) 72; 30
B) 48; 20
C) 36; 40
D) 21; 30
E) 24; 40
M , í ^
Resolución • I '
va-d a = vb-d b
16
& 6-3fí = VB - ¿ !Í -» 48=l/e
v8-d b = v c-d c
j k - s fí = yífi-D c -* 20
: Clave \
Problema M.° 23
El siguiente cuadro muestra los valores de las
magnitudes A y B que guardan cierta relación
de proporcionalidad:
1
1""—
! 9 1215
f * . 8
1832X
Calcule x-y.
A) 28
D) 41
B) 33 C) 36
E) 44
Resolución
Se observa que An DP Bm.
9n j 1 2 n
18m 32™
>2n 22nx 3 n
■^2m 2^m
- í 32”i25m=22nx3"-32m-2m
^2n. 2^n=2^n+m ■ 2^m+n
De (I) tenemos
2n=2m+n
De (II) tenemos
Sm=2n+m
-> 2m=n
í í
Luego
A DP 8

66. Capítulo 2
Magnitudes proporcionales
Operamos
y2 _ 92 y 2 _ 9
T“¥ y=7
-> y=6 4 '
122 _152
32 ~ x-
144x=32-225
—^ x=50
x - y = 44
; Clave [ }
Problema N.c 24
_________• ¡;y> ^
2
Un grupo de 20 obreros ha hecho - de una
obra en 24 días. Si se retiran 4 obreros, ¿cuán­
tos días emplearán los restantes para hacer lo
que falta de la obra?
B) 40 C) 45
E) 50
Resolución
Tenemos
parte _ 2
todo 5
A) 30
D) 48
Obra
Primera parteSegunda parte
- 20 obreros
- 24 días
■
- 16 obreros
- xdías
Luego
(n.° de obreros)-(n.° de días) _
(obra)
cte.
10
/LÚ-M _ 16-x
* / = 3
1
-> x=45 días
Por lo tanto, se emplearán 45 días.
: Clave [
.........*»
Problema 2 5
Dadas las magnitudes A y B, se sabe que
A es IP a B2. Además, cuando B aumenta en
100%, A varía en 30 unidades. ¿En cuánto varía
4 si B disminuye en un tercio?
A) 30 B) 40
D) 56
Resolución
Del dato A IP B . Sea x la variación de 4.
C) 50
E) 45
Se cumple
AxBz= (A -30){2B)2 ={A + x )x
'28 Ÿ
. 3 y
A - ^ = {A-30)-a/
4=44-120
120=34 -> 40=4
Luego
/ p2 Í0
(40 + x)-— = x40 - /
9
40+x=90
x=50
; Clave

67. COLECCION ESENCIAL
■ ■ ■ i
Problema N.° 26
_________,______________
El ahorro mensual de un trabajador es DP al
salario que percibe. Un empleado que gana
S/.900 ahorra mensualmente S/.90. Si al año
siguiente su gasto mensual es de S/.1080, ¿en
cuánto se incrementó su sueldo?
A) S/.120
D) S/.300
B) S/.64 C) S/.960
E) S/.700
Resolución
Nos dan la relación entre dos magnitudes,
ahorro (DP) salario
Luego
ahorro
= constante
salario
Por condición del problema tenemos
año siguiente
1
90 M<
900 1Ok
Sabemos que
gasto=salario-ahorro
-> m o ^ o k - k
1080=9/r -> 120=k
En consecuencia, su sueldo es
10fr=10(120)=S/.1200.
Por lo tanto, incrementó su sueldo en S/.300.
; Clave \
Problema N." 27
Una familia de 6 miembros tiene víveres para
24 días; pero como recibieron la visita de un
tío y su esposa, los víveres se terminaron 5 días
antes. Calcule cuántos días duró la visita de
los esposos.
A) 15
D) 23
B) 4 C) 19
E) 22
Resolución
Del enunciado del texto tenemos que 6 perso­
nas tienen víveres para 24 días.
Como los víveres se terminaron 5 días antes,
ahora durará 19 días.
•■■■ i f ' - r v ■
...... • ............... • •• • •................ ■
^ # V iveras
Primera parte (A)Segunda parte (fí)
- 5 personas
- x días
:
!
- (5+2) personas
- (19-x) días
t ie m p o q u e d u ro
la v isita
Luego, de la tabla se cumple
Ctotal deA 0
=A + B
V víveres)
-> 6x24=6-x+8-(19-xj
144=6x+152-8x
• 2x=8 -> x=4
Por lo tanto, la visita de los esposos duró
15 días.
Clave

68. Capítulo 2
Magnitudes proporcionales
Problema N/ 20
La parte que le toca a una persona al repartir
una suma N en forma IP a 63; 105 y 252 es
S/.1118 menos que si se hubiese repartido en
forma DP. Determine N.
Problema N. 29
________________________
El precio de un diamante varía directamente
proporcional al cuadrado de su peso. Un dia­
mante que costó S/.800 se partió en dos par­
tes iguales. ¿Cuánto se perdió?
A) 2405
D) 2504
B) 5203 C) 5230
E)- 5024
A) S/.200
D) S/.100
B) S/.400 C) S/.600
E) S/.O
Resolución .
Dividimos todos los índices de reparto entre
21. Entonces los nuevos índices serán 3; 5 y 12.
Ahora, de acuerdo a lo anterior, comparemos
dos formas de reparto.
Reparto DP
N
20(37/0
3(37/0
5(37/0
12(37/0
Reparto IP
1
N
37[20 K\
-•60[20 K]
|-60[20K]
— 60Í20 K]
Deben ser iguales.
Resolución
Según el dato tenemos
diamante
Luego nos quedará
Reparto DP Reparto IP
Dato:
344/0= 1118 -> K= 3,25
Además sabemos que
precio DP peso2
precio
------ = constante
peso2
B800
22
= 200
A = 12x200=S/.200 aß = 12x200=S/.200
Reemplazamos K.
A/ = 740/0 -> N = 740x (3,25)
N = 2405
; Clave \
...............•'(
-> costó S/.800
Por lo tanto, se perdió S/.400.
; Clave

69. COLECCION ESENCIAL
Lumbreras Editores
Problema N.° 30
Se reparte la cantidad S en tres partes (A; B y
Q que son DP a 15; 13 y 17, e IP a 5; 39 y 85,
respectivamente; además, la mayor parte es
S/.180. Calcule S.
A) 200
D) 160
B) 180 C) 100
E) 212
Resolución
Según el enunciado, se trata de un reparto
compuesto.
Nos piden S.
DP IP ' /
Luego
4 x 5 _ fíx39 _ Cx85
15 “ 13 17
A _ B x3 _ C x5
T - 1 1
A B x 3 C x5
—^
3x15 1x15 1x15
45 " 5 _ 3
A = 45(/O = 180 -> K=4
B = 5(/Q = 20 a C = 3(/C) = 12
S=A+B+C = 212
i C/oi/e •
Problema N.’ 31
Una cantidad es repartida en forma DP a tres
números y se obtiene 96; 32 y 24. ¿Cuál será
la mayor de las partes si el reparto se hubiera
hecho en forma IP a los mismos números?
A) 78
D) 87
B) 24 C) 42
E) 76
Resolución
Según el enunciado, se trata de un reparto
simple. .
DP
4 = 96 = 8x12
B = 32 = 8x4
C= 24= 8x3
A + B + C = 152
IP
A = — xU = M<
12
fí = —x12 = 3/C
4
C = -x12 = 4/C
3
A+B+C=8K
J
Además
152 = 8^ -> K=19
Nos piden la mayor de las partes: 4K.
4(19) = 76
; C/ove
Problema N.° 32
Lizeth y Silvana deben de pagar S/.528
de alquiler de un campo de forraje. Lizeth*
mandó 960 ovejas que estuvieron 20 días y
pagó S/.300 de alquiler. Si las ovejas de Silvana
estuvieron 10 días, determine cuántas ovejas
tiene Silvana.
A) 1459
D) 1461
B) 1482 C) 1453
E) 1418

70. Capítulo 2 Magnitudes proporcionales
Resolución
Del enunciado tenemos
• pago ' DP n.° de ovejas
• pago DP n° de días
Luego se concluye
___________pago______________
(n.° de ovejas) x(n.° de días)
= constante
Reemplazamos los datos. Sea x la cantidad de
soldados que se darán de baja.
120-36 (120-x)-(36 + 18)
víveres víveres
Luego
40;2Q-2^ = ( i20-x )-M^ 1
-> 80 = 120- *
Sea y la cantidad de ovejas de Silvana.
Por condición del problema tenemos que Lizeth
y Silvana pagan S/.528.
S/.300 _ S/.228
960-20" x-10 / ' Á
x = 1459 ¡ - .
Problema N.° 33 ^
Una guarnición tiene víveres para 120 solda­
dos durante 36 días. ¿A cuántos soldados se
les debe dar de baja para que los alimentos
duren 18 días más?
A) 40 B) 20 C) 80
D) 25 E) 50
.;. = 40
’ Clave \
Problema N.“ 34
________________________
Las magnitudes A y B guardan cierta propor­
cionalidad, cuyos valores se muestran en la
siguiente tabla:
: »• Á* Ì
j, A f i
vi-.-..
2 3 X 6 10
a 12 27 48
y
300
Halle (x+y).
A) 112 B) 116 C) 86
D) 49 E) 74
Resolución
Resolución
Analizamos las magnitudes que intervienen en
el texto.
. víveres DP n.° de soldados
• n.° de días IP n.° de soldados
Luego
(n.° de soldados) (n.° de días) = cons[ante
víveres
Analizamos la relación que guardan las magni­
tudes 4 y B en la tabla de valores.

71. COLECCIÓN ESENCIAL Lumbreras Editores
Luego
Reemplazamos los datos.
2 _ 3 _ x x _ 10
V l2 V27 ^ \¡4Q <Jy V300
(') (ii)
De (I) despejamos x.
x=4
De (II) despejamos y.
y=108
x+ y=112 y. %
l Clave
Problema N.° 35
Si la magnitud A es IP a B2, A es 48 cuando B
es 6. ¿Qué valor toma B (positivo) cuando A
es 72?
A) V26 B) V24 C) 4S4
D) V39 E) V l 8
Resolución
Según el enunciado tenemos
i. El
48
............I
72
! B 6
I
X . j
_____I
Luego
48 ■ 62 = 72-x2
48'36 = 72-x2
-x 24 = V
y¡24 = x
j C/ove y
. Problema M.° 36
____________________
El precio de un diamante es DP al cuadrado
de su peso. ¿Cuánto se perderá si un diamante
se rompe en dos pedazos? Considere que el
peso de uno es el triple del otro; además, el
diamante entero costaba $32 000.
A) 15 000 B) 20 000 C) 10 000
D) 18 000 E) 12 000
Resolución
Del enunciado, estableceremos la relación entre
las magnitudes:
Q nnn
d ia m a n t e
Luego se rompe en dos pedazos.
Dato adicional:
precio DP peso2
Nos piden x.
Dato:
A IP B2
—> A xB 2 = cte.
precio
->
-----— = constante
peso
B_
32
32 000
42
= 2000

72. Capítulo 2 Magnitudes proporcionales
/4 = 12-2000 = S/.2000 a
fi = 32-2000 = S/.18 000
Entonces se compró: S/.32 000 y se vendió:
S/.20 000.
Por lo tanto, se perderá S/.12 000.
i C la ve [ )
. ...............
Problema N.° 38
_______________________________
El administrador de una tienda ha compro­
bado que el tiempo de atención a los clientes
varía proporcionalmente al número de clientes
que son atendidos. Se sabe que 4 clientes son
' atendidos en 12 min menos, que si se hubiese
atendido a 7 clientes. ¿Cuánto tiempo se de­
moraría en atender a 9 clientes?
Problema N.° 37
La eficiencia de un empleado es IP al número
de días trabajados. Si el empleado realiza un
trabajo en 24 horas, ¿cuánto demoraría en ha­
cer dicha obra sabiendo que aumenta su ren-
1.
dimiento en -?
3
A) 18 días B) 12 días C) 42 días
D) 24 días , . E) 27 días-"
Resolución
Del texto, analizamos las magnitudes mostra­
das y las relacionamos.
(eficiencia) IP (n.° de días trabajados)
Entonces se cumple
(eficiencia) • (n.° de días trabajados) = cte.
Por condición del problema tenemos
(
£•24 =£ + - £
3
•x
Nos piden x.
2 4 / = | / - x
.-. 18 = x
C la ve \
A) 30 min B) 24 min
D) 64 min
Resolución
C) 36 min
E) 18 min
Del texto, relacionamos las magnitudes.
tiempo deA
atención
DP
n.° de clientes
atendidos
J
Entonces se cumple
tiempo
n.° de clientes
= constante
Por condición del problema tenemos
x-12 _ x t
4 ~ 7~ 9
v
----v----'
operamos en aspa
-> 7-(x-12) = 4x
7x-84 = 4x -> 3x=84
-> x = 28
Nos piden t.
Luego
— = í
7 ~ 9
f=36min
C la ve

73. COLECCIÓN ESENCIAL Lumbreras Editores
Problema N/ 39 Problema N7 AO
Una magnitud M es DP a la magnitud N e IP Una persona inicia un negocio. Luego de dos
a Q . Se sabe que cuando M = 4 y /V = 16, en-meses tiempo acepta a un socio, quien aporta
tonces Q = 3. Halle Q cuando M y N son 2 y 4,un capital que es dos veces más. Si el negó-
respectivamente. ció duró un año y la ganancia total fue S/.420,
calcule la ganancia mayor.
A) 3 B) 2 C) 27
D) 1
E) 4 A) S/.300 B) S/.200 C) S/.400
Resolución
D) S/.500 E) S/.600
Según los datos que presenta el problema, es-Resolución
tablecemos una relación entre las magnitudes.
Según los datos indicados, esto nos da a en-
• M DP VÑ tender que vamos a repartir ganancias, tenien-
• M IP Q3
do en cuenta el tiempo y capital.
Luego la relación final será
■' 7 ) 7 7-.
■; f / Ne g o c io
Primera parte (4) Segunda parte (B)
M-Q3
—t==— - cte.
; - S/.x - S/.3x
VN
?
; - 2 meses - 10 meses
I M i 4 I 2
■
1 año o 12 meses
|;A/ 16 4
Sabemos que
i » | j I •
ganancia
p Q |l 3 | x . . . -constante
valores
capitalx tiempo
_ G8 r
x-12 3x-10
Reemplazamos los datos.
2 5
4-33 2-x3
—^ - 2K a Gfi — 5K
V l6 V4
A b
,
Como
4-27 2-x
4 2
Gt0,al = ^ = 420
-> x= 3
-> K= 60
Q = 3
Gs=5(60)=S/.300
i Clave \
; Clave • )

74. PRACTIQUEMOS LO APRENDIDO
1. Del siguiente gráfico, calcule a+b.
A) 10 B) 43 C) 64
D) 46 E) 34
2. Según el gráfico, calcule b-a.
A) 48 B) 12 G) 16
D) 94 E) 80 3
3. El sueldo de un empleado es proporcional
al cuadrado de la edad que tiene. Si actual­
mente tiene 18 años, ¿dentro de cuántos
años cuadruplicará su sueldo?
4. Si una vaquita atada a un poste con una
cuerda de 3 m de largo tarda 5 días en
comer toda la hierba a su alcance, ¿cuán­
tos días tardará en comer toda la hierba a
su alcance si la cuerda tuviera una longitud
dos veces mayor?
A) 10 B) 45 C) 15
D) 25 E) 18
5. Se sabe que 15 empleados de limpieza
tienen alimentos para 10 días. Si se quiere
que estos alimentos duren 45 días, ¿cuán­
tos empleados deben dejar de trabajar?
A) 10 B) 21 C) 12
D) 8 ' . - E) 5
6. Un tornillo da 40 vueltas y cala 8 mm en
una madera. ¿Cuántas vueltas más deberá
1
dar el tornillo para que atraviese — de un
20
metro?
A) 200 B) 250 C) 125
D) 210 E) 85
7. Una tripulación de 45 hombres tiene víve­
res para un viaje de 60 días. Si se desea au­
mentar la tripulación con 5 hombres, ¿en
cuántos días se debe acortar la duración
del viaje?
A) 14 B) 12 C) 18
D) 24 E) 27
A) 4 B) 5 C) 6
D) 7 E) más de 7

75. COLECCIÓN ESENCIAL
8. Si 5 niños comen 5 bombones en 5 min,
¿en cuánto tiempo 6 niños comen 6 bom­
bones?
A) 1 min B) 5 min C) 6 min
D) 30 min E) 60 min
9. Si para pintar las caras de un cubo de
60 cm de arista se ha empleado 12 tarros
de pintura, ¿cuántos tarros de pintura se
necesitarán para pintar las caras de un
cubo de 90 cm de arista?
A) 18 B) 32 C) 27.
D) 25 • / E) 30
10. Pedro es el doble de eficiente que Marcos
y a su vez este es el triple de eficiente
que César. Si entre los tres pueden termi­
nar una obra en 12 días, ¿en cuántos días
Marcos y César harían la misma obra?
A) 21 B) 27 C) 30
D) 24 É)k 28 r
servicio en la empresa y 56 años de edad,
gana S/.2000. Alvaro, que ingresó a la
empresa 3 años después que Juan, gana
S/.500 y es empleado de tercera categoría.
¿Qué edad tiene Alvaro?
A) 11 años
B) 9 años
C) 28 años
D) 45 años
E) 60 años
13. Se sabe que el precio de un lingote de oro
varía de forma DP con el cuadrado de su
peso. Si el lingote se divide en 4 partes
iguales, ¿a qué porcentaje de su valor inicial
queda reducido el valor de dicho lingote?
A) 10% /Q B) 25% C) 75%
v f. D) 20% E) 80%
-A*'"’
■ ; j 14. Si 5 obreros trabajando 8 h/d ejecutan una
obra en 15 días, ¿en cuántos días 10 obre­
ros trabajando 6 horas diarias realizarán
otra obra de iguales características?
11. Dos ruedas de 270 y 120 dientes están en
contacto. Si la rueda grande da 28 vuel­
tas en 2 min, ¿cuántas vueltas dará la otra
rueda en el mismo tiempo?
A) 63 B) 135 C) 18
D) 36 E) 28 12 * * *
12. En una empresa, el sueldo es DP a la edad
y a los años de servicio del empleado e IP
al cuadrado de la categoría. Juan, emplea­
do de segunda categoría con 10 años de
A) 9 B) 6 C) 5
D) 8 E) 10
15. Se pensó terminar una obra en 45 días
con 30 obreros laborando 8 h/d. Luego
de 24 días de trabajo, se pidió terminar la
obra 12 días antes del plazo fijado y así se
hizo. ¿Cuántos obreros más se necesitaron
si se aumentó en 2 h la jornada de trabajo?
A) 26 B) 24 C) 22
D) 20 E) 18
si

76. Capítulo 2
Magnitudes proporcionales
16. Para abrir una zanja de 200 m de largo se
contrató cierto número de obreros; pero si
la zanja fuese 150 m más larga, se necesi­
tarían 9 obreros más. ¿Cuántos obreros se
contrataron?
A) 10 B) 15 C) 11
D) 13 E) 12
I
17. Una brigada de 30 obreros se comprome­
ten en hacer 30 m de una zanja en 30 días; a
los 5 días de empezado el trabajo se suman
5 obreros y 10 días después se aumentan 5
obreros más. ¿Cuál es el tiempo empleado
en hacer la obra? '
..
A) 10 días B) 15 días C) 20 días |
D) 25 días E) / 30 días
18. Un grupo de obreros pueden pintar un
círculo de 5 m de radio. Si se agregan 48
obreros, pintarán un círculo de 7 m de radio.
¿Cuántos obreros fueron inicialmente?
A) 45 B) 48 C)%50
D) 60 E) 65
19. Cuatro amigos pueden terminar una obra
en 18 días. Si después de tres días llega un
amigo más, ¿cuántos días antes terminarán
la obra?
A) 3 B) 5 C) 4
D) 2 E) 1
20. Al repartir N inversamente proporcional a
los números 320 *; 322 y 323, se obtuvo que
la mayor parte excedía a la menor en 1170,
Halle N.
A) 1285 B) 1425 C) 1395
D) 1925 E) 1645
21. Patricia y Rebeca deciden repartirse S/.240
que recibieron como premio por sus es­
tudios, es así que lo harán inversamente
proporcional a sus días de falta, que son
5 y 7 días, respectivamente. ¿Cuánto le co­
rresponde a Patricia?
A) S/.140 B) S/.100 C) S/.120
D) S/.60 E) S/.80
22. Al dividir 36 partes que sean inversamen­
te proporcionales a los números 6; 3 y 4
(en ese orden), se obtienen tres números:
a; b y c. Calcule a xb xc.
A) 1356 B) 1536 C) 1563
D) 1635 E) 1475
23. Se sabe que x+6 máquinas pueden hacer
un trabajo en 20 días, y que con 3 máqui­
nas adicionales se puede hacer el mismo
trabajo en 5 días menos. ¿En cuántos días
se podrá hacer el trabajo con x máquinas?
A) 40 B) 50 C) 45
D) 60 E) 75
24. Si 20 peones demoran 21 días de 5 h/d. de
trabajo en sembrar un terreno cuadrado
de 20 m de lado, ¿cuántos días de 8 h/d.
de trabajo se demorarán 30 peones doble­
mente hábiles en sembrar un terreno de
40 m de lado y de una dureza tres veces
más que el terreno anterior?
A) 70
D) 76
B) 72 C) 74
E) 78

77. COLECCION ESENCIAL Lumbreras Editores
25. Un señor repartirá S/.3600 a sus sobrinos
Frank, Fredy y Fernando, en forma directa­
mente proporcional a las cantidades V20;
V405 y %/245, y en ese orden, respectiva­
mente. ¿Cuánto dinero recibirá Fernando?
A) S/.700 B) S/.840 C) S/.900
D) S/.950 E) S/.1400
26. Se reparte una cantidad de dinero en
cuatro partes DP a 2; 10; 3 y 5, e IP a 7; 14;
5 y 5. ¿Cuál es la cantidad repartida si la
diferencia de la parte mayor y menor es
S/.400?
A) S/.1400 B) S/.1441 C) S/.1432
D) S/.1410 / E) S/.1456
I ¡í> > y ^ | * * I
27. Se reparte 600 en partes IP a 2; 6; 12;...; 110.
¿Cuál es la parte que ocupa el lugar 2?
A) 110 B) 112 C) 120
D) 105 E) 180
28. Un padre reparte entre sus cinco hijos su
bonificación en partes proporcionales al
orden en que nacieron, pero luego el re­
parto lo decide hacer en partes proporcio­
nales a los números 3; 6; 8; 11 y 12, por lo
que uno de ellos devuelve S/.44. ¿Cuánto
recibe el hijo menor?
A) S/.99 B) S/.396 C) S/.412
D) S/.418 E) S/.420 29 * * * *
29. Dos ruedas de 24 y 45 dientes están con­
catenadas. En el transcurso de 4 min, una
da 70 vueltas más que la otra. Halle la ve­
locidad menor en RPM (revoluciones por
minuto).
A) 99 B) 39 C) 41
D) 20 E) 42
30. El precio de una casa es directamente
proporcional al área e inversamente pro­
porcional a la distancia de Lima. Una casa
ubicada a 75 km cuesta S/.45 000. ¿Cuánto
costará una casa del mismo material si su
área es el doble y se encuentra a 150 km
de distancia?
A) S/.50 000
B) S/.39 000
C) S/.41000
D) S/.45 000
E) S/.42 000
31. Si se cumple que 2)=18, calcule
sabiendo que es una función de pro­
porcionalidad directa.
f/A)-7 B) 8 C) 71
. D) 2 E) 9
32. Se reparten 2760 en tres partes tal que la
primera sea a la segunda como 2 es a 3,
y que esta sea a la tercera como 5 es a 7.
¿Cuál es la menor cantidad?
A) 360 B) 480 C) 600
D) 720 E) 750
33. Midori inicia un negocio con S/.200 y a los
3 meses acepta a un socio, quien aporta
S/.800. El negocio duró 8 meses y la utili­
dad fue de S/.200. ¿Cuánto ganó el socio?
A) 250 B) 240 C) 238
D) 400 E) 230

78. Capítulo 2 Magnitudes proporcionales
34. Se tiene que tres socios han aportado
S/.20 000; S/.40 000 y S/.50 000 durante 8;
6 y 3 meses, respectivamente, y obtendrán
una ganancia de S/.4400. Si el primer socio
tiene una deuda de S/.2000 que tiene que
pagarla con su respectiva ganancia, enton­
ces se puede decir que debe
A) S/.200. B) S/.901. C) S/.720.
D) S/.10 000. E) S/.910.
35. Se reparten S/.7350 entre tres personas
en forma DP a los números b; b2 y b3. Si
el menor recibe S/.350, ¿cuánto recibe el
mayor?
É
• § X
■ A) 4400 B) 4800 C) 5200
D) 5600 E) 6200 I
W :::.7V
36. La longitud de un resorte es 24 em. Si
soporta un peso de 100 kg, su longitud J
será de 44 cm. ¿Cuál será su longitud si
soporta un peso de 200 kg?
A) 64 B) 48 C) 60
D) 56 E) 50 37
37. Se tiene que A, B y C son magnitudes.
Además se cumple las siguiente relaciones:
• A IP Bz (C: constante)
• A DP C (B: constante)
Calcule la suma de cifras de w2.
í: A1 6 ! 8
É}_
..........
; 8¡ 8 | 3
C v-j 6
B)6
D) 8 E) 9
38. Juan y Luis juntos pueden realizar una obra
en 18 días. Además, cuando Juan trabaja
solo, se demora en 48 días. ¿En cuánto
tiempo Luis realizará la obra si su eficiencia
es del 80 %?
í ,/S; .
A) 20' } B) 36 C) 24
; D) 32,;'/•'> E) 44
39. Un caballo atado a una estaca, con una
cuerda de 3 m, tarda 3 h en comer todo
el pasto que esté a su alcance. ¿Cuántas
horas requiere este caballo para consumir
todo el pasto que está a su alcance si la
cuerda fuese de 6 m?
A) 4 B) 6 C) 12
D) 8 E) 16
Claves
1 6 11 16 ; 21 26 ; 31 36
2 7 12 17 i 22 27 32 37
3 8 13 18 23 28 33 38
4 9 14 19 24 29 34 39
5 10 15 20 I 25 30 35 i

80. PROMEDIOS
t
En la vida cotidiana, encontramos actividades donde el
número de eventos realizados es un número aleatorio
(variable). Por ejemplo, el número de cartas repartidas por
un cartero, el número de boletos vendidos en un cine, las
notas obtenidas por un estudiante en un curso, las edades
de un conjunto de personas, las preferencias por cierto
curso, el gasto diario de una persona, la cantidad de hijos
por familia en una comunidad, las estaturas de un grupo de
personas, etc. En estos ejemplos, podemos darnos cuenta
que el número de eventos no es una cantidad constante,
es por ello que buscamos un valor que represente a todos
ellos, al que se le llamará promedio.
Aprendizajes esperados
• Analizar un conjunto de datos y determinar el valor
numérico más adecuado que los pueda representar.
• Reconocer los diferentes tipos de promedio y aplicarlos a
situaciones que se presentan en la vida cotidiana.
• Usar las propiedades de los promedios en la resolución de
problemas.
¿Por qué es necesario este conocimiento?
Es importante por el uso que se le da. Por ejemplo, en la
estadística, al analizar una gran cantidad de datos, se busca,
generalmente, uno que represente a todo el conjunto; es
decir, buscamos a un valor numérico que represente en
forma resumida la información que encierre todo el conjunto
de datos.
¡ i B

81. COLECCIÓN ESENCIAL Lumbreras Editores
Promedios
Importante
[ Una de las limitaciones de la
[ media aritmética es que se
j refiere a una medida muy
} sensible a los valores extremos.
[ Los valores muy grandes
i tienden a aumentarla, mientras
[ que los valores muy pequeños
i tienden a reducirla, lo que
[ implica que puede dejar de
[ j ; representar adecuadamente los
¿ datos analizados.
d j dios como, por ejemplo, la
j media cuadrática, que se calcula
asi:
¡x2+ x ¡ + x j+ , f.+ x2
V N
donde N es la cantidad
datos.
También se utiliza en física para
i calcular la velocidad media de
: las moléculas de un gas.
1. CONCEPTO DE PROMEDIO
Es un valor que representa a un conjunto de datos, dicho valor
está comprendido entre el menor y el mayor de los datos.
menor o / .• \ . mayor ¡
I< (promedio)¿o . -
dato i ' dato ;
Ejemplo
Sean 14; 12; 08 y 18 las notas obtenidas por un estudiante. Al
calcular el promedio de sus notas, se obtiene
, 14 + 12 + 8 + 18 52
promedio =---------------= — = 13
4 4
Luego, se observa lo siguiente:
< M
menor p ro+¿ed i o *rr ayo¡
nota : ' ■ ñora
2. PROMEDIOS IMPORTANTES
2.1. Promedio aritmético o media ari
Se calcula así:
MA =
¡suma de datos)
(cantidad de datos)
Ejemplo
Calculamos la media aritmética de los siguientes números-
• 8 y 12 -» MA = ^ ± E = — = 10
2 2
15; 14 y 19 -> MA = — 14 + 19 = — = 16
3 3
18; 36; 24 y 14 -> MÁ= — 36+24+ H =^. = 23
4 44

82. Capítulo 3
Promedios
2.2. Promedio geométrico o medía
geométrica (m<
Se calcula así:
donde n representa la cantidad de datos que
se promedian.
Ejemplo
Hallamos la media geométrica de los siguien­
tes números:
2 y 8 -> MG = V2x8= VÏ6 = 4
9; 2 y 12 -> MG = ÿ 9x2x12 = ^216 = 6
1; 3; 33 y 34 -> MG = \/lx3x3s x3
MG=32=9
)4 = i[3 ¿
..».ii-
"rr^
Importante
La media geométrica se usa para encontrar el
promedio de porcentajes, razones, índices o
tasas de crecimiento.
Ejemplo
Las tasas de interés de tres bonos son 5%; 7%
y 4%.
MG = ÿ(5)(7)(4) = ÿÏ4Ô = 5,192
La MG.de 5%; 7% y 4% es 5,192%.
2,3. Promedio armónico o media
armónica (m h)-
Se calcula así:
MH
(cantidad de datos)
suma de las inversas
de los datos
Ejemplo
Hallamos la media armónica de los siguientes
números:
5 y 3 —> MH =
— 2 j 30
= = — = 3,75
1 1 _8 8
5 + 3 15
— 3
24; 12 y 16 -> MH =
_1_ J _ . _1_
24 + 12 + 16 48
— 144
M/-/ = —— = 16
1; 2; 3 y 6 -4 MH =
4 4
-----------= —= 2
1 1 1 1 2
-4
----i----1—
1 2 3 6
Impórtente
1.i(De los tres promedios estudiados (m á; MG
'y Mh).
' • El mayor de los promedios es MA.
* El menor de los promedios es MH.
2; Cuando se diga promedio, sin indicar de
qué tipo es, se asumirá que se refiere al
promedio aritmético {m a) porque es el más
usado.
3. Cuando se conoce la MA y la cantidad de
datos, se puede calcular la suma de los
datos.
suma de
777 v datos
MA■
cantidad
de datos
Ejemplo
Si la MA de 4 números es 15
- * * I s.umadelosj = 15x4 = 60
4 números

83. COLECCION ESENCIAL
Lumbreras Editores
Aplicación 7
El promedio de 7 números distintos es 6 y de
otros 3 números también distintos, 4. Halle el
promedio de los 10 números.
Resolución
Para los primeros 7 números, se cumple
suma de los
7 números
= 6x7 = 42
Luego, para los otros 3 números
s u m a d e lo sV 4 x3 = 12
3 números J
Por lo tanto, para los 10 números
suma de los
— 110 números
MA =
10
suma de los^ f suma de los
— 17 números J \ 3 números
-+ MA =
10
— 42+12 _ 54
10 10
MA = 5,4
APLICACIÓN 2
Si el promedio de 5 números es 30 y el prome­
dio de los 3 últimos es 42, calcule el promedio
de los 2 primeros números.
Resolución
Sean a; b; c, d ye dichos números.
Por dato
a+b+c+d+e
= 30
a+b+c+d+e = 5x30=150 0)
Además
c+d+e
= 42
c+c/+e = 3x42 = 126
Reemplazamos (II) en (I).
a+b+126 = 150
o+ b= 24
Nos piden
a+b _ 24
(ID
importante
1. Para dos cantidades (o y b), tenemos que
a + b
daxb
2 ab
a + b
2. Para tres cantidades (a; b y c), tenemos que
a + b + c
3
3 abe
yjaxbxc
ab + ac + bc
3. PROPIEDADES
a. Generalmente en un grupo de datos, al
calcular su MA, MG y MH se cumple
MA > MG > MI
m a y o i
tromcHüo
9'

84. Capítulo 3
Promedios
Pero si todos los datos son iguales,
entonces
MA = MG = MH = fciat0 Í'!US 1
i se repite
Ejemplos
1. Sean los números 8 y 2.
7T7 8 + 2
MA =-----= 5
2
MG = V8x2 = Vl6=4-
MH = 2 x8x2 = — = 3,2
8 + 2 10
5>4>3,2
2. Sean los números 12; 12 y 12.
12+12+12 36
MA = - ■ = — = 12
3
MG = ^/12x12x12= = 12
— 3x12x12x l í 36
MH=
----^----------------<=— =12
J2 ?fí2 + ^ x1 2 + ^ rí2 3
1 1 1
MÁ = 'MG = 'MH = 12
b. Solo para dos cantidades a y bse cumple
Además
(o - byJ ~4 (m á¿- m g)
c. Cuando los datos forman una progresión
aritmética (PA) se cumple que su MA se
calcula así;
i re¡ n ¡ü
Pero si la cantidad de datos es impar,
entonces
Ejemplos
8; 12; 14 -+ MA=12
12; 15; 18; 21 -+ MA = ^ ^ = 1 6 ,5
j :s'—* -—^ -—♦ ¿
7; 9; 11; 13; 15 -> MA=11
4; 6; 8; 10; 12; 14 -+ M A = ^ ~ = 9
~ ¿ +- 2 r 2 + ? +0 ^
Aplicación 3
Halle el menor promedio de 4 y 6.
Resolución
Recordemos que el menor promedio es la
media armónica (m h).
— 2 x 4 x 6 48 . .
MH =
--------= — = 4,8
4 + 6 10

85. COLECCION ESENCIAL
Lumbreras Editores
Aplicación 4
Halle el mayor promedio de 19; 23 y 18.
Resolución
En un conjunto de datos, su mayor promedio
es su media aritmética.
, ^ =lg ± 23+18 = 60
3 3
Aplicación 5
Si el promedio de 12; x; 10 y 17 es 15, calcule el
valor de x.
Resolución
Dato:
12 + X + 10 + 17
4
x+39 = 4x15
x= 60-39
x = 21
Aplicación 6
Si la MG de 2; n y 18 es 6, halle el valor de n.
Resolución
Dato:
%/2x/?x18 =6
Elevamos al cubo y obtenemos
2x/?x18 = 216
36r? = 216
216
- n~36
/. n = 6
Aplicación 7
Calcule el promedio de los siguientes núme­
ros: 3; 6; 9; 12;...; 30
Resolución
Observe que
3; 6; 9; 12;...; 30
Los números forman una progresión aritmé­
tica, cuya razón es 3.
->MA =
3+30 33
2 “ 2
MA = 16,5
Aplicación 8
Si el promedio de los números n; 3rr, 5n; 7n y
9n es 35, calcule el valor de n.
Resolución
Por dato, se tienen los siguientes números:
ir, 3n; 5ir, 1 ir, 9n (5 datos)
■t2n +2/7 -1-2/7 -i-2/;
Entonces los datos forman una progresión
aritmética cuya cantidad de datos es impar.
MA = Sn = 3S
35
-» n = —
5
n -1
Reto al saber
Halle la media aritmética de dos números ente­
ros si su media armónica es al cuadrado de su
media geométrica como 2 es a 5.

86. Capítulo 3 Promedios
4. VARIACIÓN DE LA MEDIA
ARITMÉTICA (¿\MÁ)
Cuando en un conjunto de datos todos o solo
algunos de ellos varían su valor, dicha varia­
ción se calcula así:
( a u rn e n t o ') f d i sn i i n u c lo: i}
AMA ~
I: i
S~\ o
j
fcantidad totali
1 de datos J
v J
donde PF es el promedio final y P, es el
promedio inicial. ■
Interpretación ^ r * * * * * *
• Si AMA>0 -> la MA aumenta su valor.
• Si AMA<0 -» la MA disminuye su valor.:
• Si AMA=0 -> la MA no varía su valor.
. -I ijF - J-
Aplicación 9
El promedio de notas de 10 alumnos de un
salón es 15. Si a 3 de ellos se les aumenta 2
puntos a cada uno, y de los restantes disminui­
mos 4 puntos a 4 de ellos, calcule la variación
de la media aritmética de las notas de los 10
alumnos.
Resolución
Como a 3 notas se les aumenta 2 puntos a
cada uno, entonces aumentamos 6 puntos
en total. A su vez, de los restantes, a 4 notas
les disminuimos 4 puntos a cada uno, enton­
ces disminuimos 16 puntos en total.
—^AMA =
3 x 2 - 4 x 4
10
6-16
10
-10
10
AMA = -1
Por lo tanto, el promedio inicial disminuye en
1 unidad.
Observación
Se . sabe que la variación se calcula así:
AMA=Pf-P,i de la cual al despejar se tiene
4
p,.~p, f A M A
Es decir, el promedio final es igual al promedio
inicial más la variación.
5. PROMEDIOS PARTICULARES
5:1. Promedio ponderado
Este es un caso particular de la media aritmé­
tica, en el cual algunos datos se repiten.
Ejemplo
Sean las notas
13; 13; 13; 13; 13; 13; 14; 14; 14;
15; 15; 15; 15; 16; 16; 16; 16; 16; 16; 16,
las cuales se pueden organizar en una tabla,
así:
Nota
13
14
15
16
->
promedio
ponderado
13x6 + 14x3 + 15x4 + 16x7
6+3+4+7
promedio
ponderado
292
20
= 14,6

87. COLECCION ESENCIAL Lumbreras Editores
Datocurioso
!El número de créditos o peso de un curso
está relacionado con el número de horas que
se dicta y el grado de dificultad del curso. Por
lo tanto, un alumno universitario debe haber
acumulado un número de créditos estimado
para graduarse.
5.2. Velocidad promedio (vp)
Se calcula así:
Entonces
200 m
20 s
= 10 m/s
Por lo tanto, la velocidad promedio usada por
el atleta es de 10 m/s.
Ap l i c a c i ó n 10
La tabla muestra las notas obtenidas por
un alumno universitario en su primer ciclo.
Calcule el promedio ponderado de sus notas.
^__________________4
____
Ejemplo
Un atleta recorre 200 m de la siguiente manera:
los primeros 100 m en 12 s, los siguientes 60 m
en 5 s y lo restante en 3 s. Calculamos la velo­
cidad promedio usada por el atleta en todo su
recorrido.
’
Cálculo I 12 6
Matemática Básica 14 5
Redacción 15 3
Complemento de
Matemática
11 6
Re s o l u c i ó n
De la tabla tenemos que
^ promedio 12x6 + 14x5 + 15x3 + 11x6
vponderadoJ_ 6 + 5 + 3 + 6
f promedio á 253
^ponderado) 20
= 12,65
Aplicación 11
Recordemos
espacio total _ (100 + 60 + 40) m
Vp tiempo total (12+5 + 3) s
Un ciclista recorre un circuito que tiene la
forma de un triángulo equilátero aplicando en
cada lado velocidades: 12 m/s; 20 m/s y 6 m/s.
Calcule la velocidad promedio.

88. Resolución
Graficamos
Importante
Cuando los espacios recorridos por un móvil
sean ¡guales en longitud, se cumple lo siguiente:
* ; } V-* *— * * 1 + + 1 1 * .
. vP~ \MH de las velocidad
V---------------------—»■—
.............. - n í:
______;___________■______■: ~ : ? J ,
Como los espacios recorridos son iguales en
longitud, se cumple
vp-(M H de las velocidades)
3x12x20x6
12x20 + 12x6 + 20x6
4320
432
= 10 m/s
No olvide
___
La media armónica \MH) se calcula así:
MH-
(n.° de datos)
suma de las inversas
de los datos
Ejemplo
MH( 4;12;6)=1 * —
—i
---1—
4 12 6
Aplicación 12
En un colegio de 500 alumnos, cuya estatu­
ra promedio es 1,67 m, 150 son mujeres. Si la
estatura promedio de las mujeres es 1,60 m,
¿cuál es la estatura promedio de los varones?
Re s o l u c ió n
Colocamos los datos en la tabla.
De la suma de estaturas tenemos que
350x+240 = 835 -> 350x= 595
x = 1,7 m
Ap l ic a c ió n 13
El promedio de 12 números es 19,5. Si a cinco
números se le aumenta n unidades a cada uno,
y al resto se le disminuye una unidad a cada
uno, el promedio sería 19,75. Calcule n.
Re s o l u c ió n
Al inicio, el promedio es 19,5 y luego de las
variaciones será 19,75. Por ello, el valor del
promedio ha variado. Dicha variación se
calcula así:
A— { total
AMA =
aumento] f disminución
total
(n ° de datos)
-> 19,75-19,5 = - - 1x(7) -> 0,25 = 5ílzZ
12 12
-> 3 = 5/1-7
n = 2

89. COLECCION ESENCIAL Lumbreras Editores
Aplicación 14
El promedio de 20 números es P. Si a cada uno
de los 8 primeros números se le aumenta 3
unidades y al resto 4 unidades, calcule la varia­
ción de la media aritmética.
Resolución
Nos piden AMA.
Se sabe que al variar los valores de los datos,
su promedio generalmente varía. Dicha varia­
ción se calcula así:
[ aumento
. — t total
AMA = -—
^disminución'
v total
n 0 de datos
*7T7 3x8 + 4x12-0
-> A MA =
----------------
20
— 72
AMA = — = 3,6
20
Aplicación 15
Un automovilista recorre un circuito que tiene
la forma de un triángulo equilátero, aplicando
en cada lado las siguientes velocidades:
12 km/h, 6 km/h y 20 km/h. Calcule la velocidad
promedio.
Resolución
Como se observa, los espacios recorridos
por el automovilista son iguales en longitud,
entonces la velocidad promedio se calculará
como la media armónica de las velocidades.
vp = MH( 12; 6; 20)
3 _ 3
Vp~ ± ^ 1 ~ 5 + 10 + 3
12 + 6 + 20 60
3
1 _ 180
Vp~ ~ 18
60
vp = 10
Aplicación 16
Calcule la nota promedio que un alumno ha
obtenido en Física si su promedio ponderado
fue 12,5. Además se sabe lo siguiente:
Física 4 0+1
Química 3 o
Matemáticas 5 o-1
Biología 2 16
Según los datos tenemos que
Resolución
Nos piden a+1.
Recordemos que el promedio ponderado se
calcula así:
n._ 4(q+l)+3(q)+5(g-l)+2(l6)
4+3+5+2 ~ 2,5
4a + 4 + 3a + 5a-5 + 32

90. Capítulo 3
Promedios
Operamos
12a+31-=175
12a=144 -+ o=12
o+1=13
Entonces
(a -b )2 = 4 (l562 — 602)
{a -b f= 4x(156 + 60)x(156-60)
(a-b)2 = 4x(216)x(96)
Aplicación 7 7
El promedio de notas de 40 alumnos de un
aula es de 16. Si se incorporan dos alumnos
cuyas notas son 18 y 14, calcule el promedio
final del aula.
Resolución
Sean o-,; o2; o3; ...; o40 las notas de los
40 alumnos del aula.
Por dato
0-| + o 2 + o3 +... + O^q =16
^ v J
40 \ X; , \ \ "
—> 0-| + o2+ + ... + o4q=40 x 16 = 640
Al agregar 18 y 14 a las 40 notas iniciales, se
tendrán 42 datos, y su promedio será
-> a -b = 'J4*216x96= 7 4x3 6x3 6 x1 6
3 6 x 6 - 6 x ! 6
a-b= y¡4x\¡36xy¡36xyf]6
a-b = 2 x 6 x 6 x 4 = 288
Ap l i c a c i ó n 19
Si la edad de 20 mujeres es 16,5 y la de 30 va­
rones es 18 años, ¿cuál será la edad promedio
de todas estas personas luego de 4 años?
Re s o l u c i ó n
Cuando pasen 4 años, sus edades aumenta­
rán 4 años; entonces sus promedios de edades
también aumentarán 4 años, respectivamente.
En consecuencia, los nuevos promedios serán
Aplicación 18
Si la MG de dos números es 60 y su MA es
156, calcule el valor de la diferencia de dichos
números.
^edad promedio^
de todas
v las personas ,
660+410
30 + 20
105,0
5,0
= 21
Resolución
Sean a y b dichos números. Por la propiedad
de promedios se sabe que
( a - b f = 4ÍmA2-M G 2)
Aplicación 20
El promedio de 20 números es 15. Si a 12 de
ellos les quitamos 10 unidades y a 8 de ellos
les aumentamos 6, ¿aumenta o disminuye el
promedio y en cuánto?

91. COLECCION ESENCIAL
Lumbreras Editores
Resolución
Si ios datos varían su valor, es muy posible que
su promedio varíe también. Recordemos que
la variación de la media aritmética se calcula
de la siguiente manera:
A MA =
cantidad que
se aumenta
cantidad que
se disminuye
n 0 total de datos
De los datos
AMA =
8x6-12x10 -72
20 20
-> AM/A = -3,6
Por lo tanto, el promedio disminuye en 3,6.
Aplicación 21
La media aritmética de 25 números es 27.
Determine el promedio si a cada uno de los
números se le multiplica por 4.
Resolución
Como todos los datos se multiplican por 4, en­
tonces el valor de su media aritmética también
queda multiplicada por 4.
Entonces
f nuevo ^
promedio
nuevo
promedio
promedio
inicial
= 27x4 = 108
x4
Para investigar
Utilizando solo cinco cifras 3, exprese el número 6 mediante el uso de cualquiera de los promedios. Con­
sidere que puede usar más de un promedio y combinarlos.

92. PROMEDIOS
Promedios importantes
1. Media arimética [mÁ]
— suma de datos
MA=-
n.° de datos
2. Media geométrica (m g)
/ - '
MG= V(prodüctö”de_r7dätc^
3. Media armónica (m h)
✓---------------------------------
— = (n.° de datos)
suma de las inversas
de los datos
I
V
__
Variación de la media artimética (aMA)
— (aumento total) - (disminución total)
A MA =---------------------------------------
(n.° de datos)
\
J
6
------------------
Propie
>
«dades
Promedios particulares
Generalmente en un grupo de datos
MA > MG > MH
Pero para datos ¡guales
MA = MG = MH
• Solo para dos datos (a y b)
"A
■ MA X MH = MG2
En una progresión aritmética
Oí ; a2; a3; an (n datos)
+R +R...
Se cumple
MA(av a2; ay, ..?d„) =
°1+0n
En una progresión geométrica
°1 ' a2 ’ °3 ' ■■■' °n (n datos)
--
_V___^
xg x g ...
Se cumple
MG(°v a2; o3; o„)=Vo1xon
. J
1. Promedio ponderado
Ejemplo
"H'-/+ 'mív/ív;.
Matemática :16
••• A : —;
4
Lenguaje 14 3
Historia 15 3
Calculamos el promedio ponderado.
16x4 + 14x3 + 15x3 _
P=----------------------=15,1
4 + 3 + 3
2. Velocidad promedio (vp)
V1 V2 ^3
1
___
£
r
i up =
espacio total
tiempo total
¿1+Í.2+Í3
f1 + f2 + f3
Pero si £1 = ¿2 = /.3, entonces
: vp=MH[vj, v2, v3)
Capítulo 3 Promedios

93. RESOLVEMOS JUNTOS
Problema N.° 1
El promedio de cuatro números es 15. Si la
suma de los tres primeros es 50, halle el último
número.
A) 10
D) 20
B) 12 C) 15
E) 25
Resolución
Sean a; b; c y d dichos números.
Por dato
a+ b+ c+ d
4
= 15
-> a + b + c +d = 4x15 = 60
5 0
d= 60-50
d = 10
: Clave
Problema N.° 2
Calcule el promedio de los términos de la
siguiente sucesión: 4; 8; 12; 16;...; 80.
A) 20
D) 42
B) 16 C) 21
E) 36
Resolución
Observemos lo siguiente:
4; 8; 12; 16; ...; 80
+ 4 + 4 + 4
Los datos forman una progresión aritmética,
entonces su MA se calcula así:
— 4 + 80 84
AM=— '=T
MA = 42
; Clave [
Problema N.‘ 3.
Si la suma de 40 números enteros consecu­
tivos es 1140, halle el promedio de los tres
últimos números.
A) 45
D) 42
B) 47 C) 40
E) 39
Resolución
Se tienen 40 números enteros consecutivos,
o; (o+1); (a+2);...;(o+37); (a + 38); (a + 39)
40 números
Dato:
a + (o +1) + (o + 2) +... + (a + 39) = 1140
v----------------
-----------------'
40(7+(1+2 +...+39) = 1140
39x40 ....
40a +
-------= 1140
40o = 360 o = 9
Por lo tanto, los tres últimos números son 46;
47 y 48, cuyo promedio es 47.
i Clave
Problema N.° 4
Halle el menor promedio de los números
2; 6; 12; 20; 30; 42; 56 y 72.
A) 9
D) 14
B) 10 C) 12
E) 7
Resolución
Recordemos que el menor'promedio es la
media armónica.
MH =
8
11111111
—i— i
---1------1-----1-----1----1—
2 6 12 20 30 42 56 72

94. Capítulo 3
Promedios
<XXX><X><>C<><X><X><X><X><>0<><><X^
n
Observación
1 1 1 1
1x2 2x3 3x4 ’ n(n+1) n +1
^<XX>CX>C<><>C><X><X>4kX><X^
Luego
MH=-
1 1 1 1
■ + —— — H
-------1-------H... + ■
1x2 2x3 3 x4 4x5 8x9
M H =J7 = 9
i
'■ Clave i
Problema N.° 5
El mayor promedio de dos números es 7 y
su menor promedio es y . Calcule la media
geométrica de dichos números.
A) 2 B) 3
D) 5
C) 4
E) 6
#
■
Resolución
Sean a y b dichos números.
Recordemos que el mayor promedio es la MA
y el menor, la MH.
Por propiedad, para dos números a y b se
cumple
H 4xMH = M62
/ x ^ = MG2 -> 16 = MG2
/
MG = 4
; Clave
Problema 6
______________________________
El promedio aritmético de 20 números es 45,
el de otros 35 números es 24 y el de otros
45 números es 60. Calcule el promedio aritmé­
tico de los 100 números.
A) 42,3
D) 50,4
Resolución
Recordemos
B) 44,4 C) 48,4
E) 52
suma cantidad
datos I de datos
Entonces
a i+o ^ a 3+. ..+c? 2o = 45x20 — 900
b-]+bz+b3+...+b35 = 35x24 = 840
C| +C2+c^-t*...+C4^= 45x60=2700
/
suma de los 100
números
= 4440
Entonces su promedio será
MA =
suma de los
100 números
100
4440
100
MA - 44,4
Clave
Problema N/ 7
En una clase de 30 alumnos, la estatura
promedio de los hombres es 1,70 m y el de
las mujeres es 1,60 m y el promedio total es
1,63 m. ¿Cuál es el número de hombres?
A) 10
D) 25
B) 15 C) 20
E) 9

95. COLECCION ESENCIAL Lumbreras Editores
Resolución
Ordenamos los datos.
Varóme
i l i
| Tgxal
¿ l á L í
X
Promedio
1,70 m
30-x
....................
I
1,60 m
i
30 1,63 m
1,70
^ 5 O O O O O O O O O O O O 0 O O O O O O O O O O O O O O O O O O G >< > O O O O Ó O O O < X > O O O O O O O O O < X > O O O O O O C , O O O O O O r t
Observación
suma de
estatura estaturas
promedioJ (n.° de personas)'
—>
suma de
estaturas
estatura y n.° de
promedio) Apersonas
\
Del cuadro
1,70x+(30 - x) - (1,60) = 30 x 1,63
1,70x + 48-1,60/= 48,9
-> 0,10x = 0,9 %
x=9
; Clavei
Problema N.° B
_______________________________
La media geométrica de tres números que han
sido tomados de dos a dos es 4; 3 y 6. Halle el
producto de dichos números.
A) 48
D) 24
B) 36 C) 12
E) 72
Resolución
Sean a; b y c dichos números.
Por dato
\laxb - A —» ax¿) = 16
VOxc = 3 -» a xc = 9
\lbxc = 6 —» b xc = 36
Multiplicamos (I), (II) y (III).
o2x¿)2xc2 = 16x9x36
Extraemos la raíz cuadrada.
axbxc=4x3x6
axbxc-12
(I)
(ID
OID
; Clave \
Problema N.° 9
El promedio armónico de 40 números es 16 y
el promedio armónico de otros 30 números
diferentes entre sí es 12. Calcule el promedio
armónico de los 70 números.
A) 12
D) 15
B) 13 C) 14
E) 16
Resolución
Sean los números ay ay ay, ...; o4Q. Su MH será
40
1 1 1 1
—+ — + — . +
------
° 1°2f l 3 a 4 0
1 1 1 1
H
------
H
------
■ + .
CI*ja 2
° 3 ° 4 0
- = 16
40
16
T

96. |!
Capítulo 3
Promedios
Sean los números bÿ b2, ¿>3; b 80. Su MH es
30 =12
111 1
—+ —+ — + ... +
---
Ò1
b2
b3 b30
111 1
. +—
• + — + ... ~\
----
Ò1
b2
b3 b30
Hallamos la MH de los 70 números.
70
MH=-
1 1 1 1 1 1 1 1
—+— +— +...+— +—+— +— +...+-—
°1 ° 2 °3 °40 b í b 2 b 3 ^30
-> MH=
70
5 5
--1--
2 2
W '
MH = — = 14
5
’ Clave \
«y
Problema N.° 10
Luchito va al supermercado en su auto con
velocidad constante de 80 km/h y regresa con
70 km/h. ¿Cuál es la velocidad promedio de su
recorrido?
A) 74,6 km/h B) 73,1 km/h C) 72,2 km/h
D) 1,3 km/h E) 75 km/h
Resolución
Nos piden vp.
80 km/h
70 km/h
Como la distancia recorrida en la ¡da y la vuelta
es igual, la vp será igual a la MH de las veloci­
dades.
2x80x70 11200
^ Vp 80 + 70
y =74,6 km/h
150
: Clave
Problema N.° 11
__________________
Un alumno de la universidad obtuvo las
siguientes notas:
Curso Nota O-cnrros
Matemática 15 4
Química 12 ' 2
Lenguaje.: n 1
Física
•
14 3
Si su promedio ponderado es 13,6, calcule el
valor de n.
A) 10 B) 13
D) 15
Resolución
Dato:
promedio
ponderado
C) 11
E) 12
= 13,6
15x4 + 12x2 + nx1 + 14x3
- > --------------------
---------= 13,6
0 + 126
10
o = 10
4+2+1+3
= 13,6 -> 0 + 126 = 136
i Clave
U

97. COLECCION ESENCIAL Lumbreras Editores
Problema N.° 12
La MA y la MH de dos números enteros se
encuentran en la relación de 25 a 16. Halle la
diferencia de los números si la suma de ambos
es 150.
A) 90
D) 120
B) 100 C) 115
E) 135
Resoliidon
Por propiedad, para dos números (a y b), se
cumple
(a-b)2 = 4ÍÍH4 2-MG2)
(a—b)2= 4ÍMA2 —MAxMhi)
{o-b)2= 4 xm x(m -~ M H )
25k 2 5k J G k ( p o t c f a íó ) f :y í i: '
-> (a-£>)2 = 4x25x16x£2
a -b = 2x5x4xl< = 40 k
Por dato
— a + b . 150
MA =
----- -> 25k = — = 75 < Tx x
2 2
, 7 5 L-1
k = — —^ k — 3
25
/. o-5 = 40(3) = 120
! Clave i
P roblema N/ 1 3 __________________________
_
El promedio aritmético de las edades de
12 personas es 29 años. Si se retiran cuatro,
el promedio de las edades que quedan es
25 años. Calcule el promedio de las cuatro
personas que se retiraron.
A) 27
D) 26
B) 37 C) 30
E) 28
Resolución
.p<x*x><>CKXK><>>c<><x>c^x^ ooooooc'oooocxx*-»'x:>cxy_/yyy-y> s -sS.s,c-o
Observación
/ \ (suma de edades)
(edad promedio) —
(n.° de personas)
suma de edad W n.° de
edades promedioJ (personasJ
i^ x x x x x > o < > c > < > c -c > < x r < > < x > < X K X < > < x > < > o o < > c < > < x > o o o <> > ->cx»zx>y>oc- y/^■/yooc « -
Sean las edades
T o t a l: 12
Se quedan 8. Se retiran 4.
Ey ¿2 ' ^3': E-j; Eq, E9; £10; E^, Eu
7suma ded
= 25x8 = 200
V edades;
suma de
, , , =29x12=348
edades;
Por lo tanto, el promedio de las edades de las
cuatro personas que se retiraron será
148
4
= 37
^ Clave
Problema N.° 14
En una encuesta realizada a un grupo de
estudiantes sobre sus edades, se plantea la
siguiente información:
Ed a d e s
(a ñ o s)
N ° D E A L U M N O S
15 3
17 8
18
1 5
20 4
Calcule la media de las edades.
A) 16 años B) 18 años C) 17,55 años
D) 20 años E) 17,25 años

98. Capítulo 3
Promedios
Resolución
Nos piden
— _ (suma de edades)
(n.° de personas)
Reemplazamos los datos.
— 15x3 + 17x8 + 18x5 + 20x4
MA =
----
3+8+5+4
— 351
MA = — = 17,55
20
: Clave
Problema N.° 15
Si el promedio de los números 2a; 3a; 4a; 5a
y 6a es 43, ¿cuál será el valor de la MA de los
números a2; a4; a6; a8 y (a +1)2?
A) 40 B) 40,5 C) 39
D) 35 E) 36,4
'X\ % \\
Resolución ' .
Tenemos lo siguiente:
2a; 3a; 4a; 5a; 6a;
+10 +10 +10 lio
Como la cantidad de datos es impar, se
cumple lo siguiente:
MÁ = 4a = 43
~+ a = 3
32 + 34 + 36 + 38 + 42 182
-------
----------------=----= 36,4
5 5
C la ve ■
Problema N." 1 6
_______________________________
Halle dos números enteros cuyo producto es
600 si se sabe que su ~MA y M/7 son números
consecutivos.
A) 30 y 20 B) 30 y 25 C) 45 y 30
D) 6 y 100 E) 25 y 24
Resolución
Sean a y b dichos números. Por dato
axb = 600
Por la propiedad
MAxMHj = MG2 = axb = 600
2 5 2 4 (c o n stf’C.iJí'ivof.'
(O
Luego
M Á -BÉÉ.^ 25 -+ a + b = 50
f ' 2
De (!) y (II), tenemos
a + b~ 50 y a xb = 600
(ID
: *
20
a = 30 y 6 = 20
: Clave .
Problema N7 17
Se sabe que a; b y c son números enteros,
M6(a; b) =6^2; MG(b; c) = 6 y MG(a; c) = 3 V2.
Calcule la MH(a; ¿>; c).
12 p.. 24
C)
36
7 B) T y
48
E)
4
y 7
Resolución
Nos piden
MH(a;b;c) =
3a£>c
ab + ac + bc
à
5

99. COLECCION ESENCIAL
Lumbreras Editores
Por dato
yjaxb = 6V2 —> axb-12
s fb x c -6 - > b xc = 36 )x
\la xc= 3\/2 -» axc = 18
( a x ó x c ) -72-36-18 = 36-36-36
-> (a x 6 x c)2 = 363 = (ö2)3 = (ö3)2
—> a x b x c = 63 = 216
Reemplazamos
MH = (a; ¿>; c) =
.36
3x216
72 + 18 + 36 ^
*. MH = (a; b] c) = ^
7 #
! Clave [
Problema N.° 18________________
La media geométrica de tres números enteros
distintos es 2. ¿Cuál es la MÁ de estos números?
Problema N/ 19
____________ ______
Si a un grupo de 20 números se les agrega
8 a 12 de ellos y si se les disminuye 4 a los
restantes, ¿gue sucedería con el promedio con
respecto del promedio inicial?
A) No varía.
B) Disminuye en 3,2.
C) Aumenta en 6,4.
D) Aumenta en 3,2.
E) Disminuye en 6,4.
Resolución
Como se les aumenta a 12 números 8 a cada
uno y a los restantes se les disminuye 4 a
cada uno, entonces el promedio variará su
valor. Usamos la fórmula de la variación.
aumento
— t total
A MA=
disminución^!
total
A) 3 _
D) 2,3
B) 3,75 C) 3,50
E) 4,8
Resolución
Sean a; b y c dichos números.
Por dato
Í¡a
J
x b x c =2■
a x b x c=8
-» a = 1; b = 2; c = 4
1+2+4 ^ 7 -
3 3
i Clave i
-> AMA =
cantidad de datos
8 x1 2 -4 x8 64
20 20
AMA = 3,2
Por lo tanto, el promedio aumenta en 3,2.
i Clave ■
Problema N/ 20
El promedio aritmético de tres números pares
28 i
es — ; el promedio geométrico es igual a uno
■3 a a
de ellos y el promedio armónico es — ;Cuál
7
es el menor de los números?
A) 3
D) 6
B) 2 C) 4
E) 8

100. Promedios
Resolución
Sean a; b y c dichos números. Por dato
— _ a + b + c _2Q
3 3 .
—> a+b+c=28
Además
MG = y¡a xb xc =o
-> f í x b x c - a }
(I)
»VI f?
IR A
Luego
MH =
b x c = a2
3 abe
1 2.
(ID
_ 48 3 x a x a 2_ 48
" 7
> ?
ab+ac+a
16 4
M . 2 .28x16
-> 0
------; :
= 64
7
7 -
1 '■—28
- 4 £7 = 8
En I: b+c = 20
En II: ¿>xc = 82 = 64
-> b + c = 20 y b xc = 64
t t t t
16 4 16 4
Por lo tanto, el menor número es 4.
: Clave \
Problema N.‘ 21
_______________________________
En una reunión se observan 112 personas,
cuya edad promedio es de 17,5. Si 12 de ellas
tienen un promedio de 15 años y otras 20
personas un promedio de 17 años, calcule la
edad promedio del resto de las personas.
A) 17
D) 18,4
B) 17,2 C) 18
E) 18,2
Resolución
<xxxx|g<^#c>o<>x
No OLVIDE
5^
SC
r
*
■ ^suma de
edades
> c k x x x> > '.-'■O'yyxyyys . £ / / - o , »
n.° de
personas
X
edad
promedio
Boooc'OOooooiooo<^oooC'C'4'C,/>-0‘vv£
De los datos
N.° Df.
PERSONAS
¡ Edad ,
PROMEDIO
Suma d i:
EDADES
r
.....12 ■
15 180
20 17 340
oco
P 80P
112 17,5 1960Total
De la tabla tenemos que
18/0+34/0, +8/0P = 196/0/
18 + 34+8P=196
52+8P=196 -» 8P=196-52
-4 8P=144
P=18
i Clave
Problema N.° 22
Si o; b y c son números naturales, de modo que
---- 72
---- 144 ___
MH{a;b)=— ; MH(b; c)=— y MH(a; c)=16,
calcule MH(o; b; c).
13
216
B) ™
13
C)
13
72
72
E)
3
19 79

101. COLECCIÓN ESENCIAL Lumbreras Editores
Resolución
Nos piden
MG(a; b; c)=—
----
1 1 1
“ + T + -
o b c
Problema N.’ 2 3
__________________________
Un auto recorre un circuito en forma de
un cuadrado con velocidades de 20 km/h;
40km/h; 60 km/h y 80 km/h por lado. Calcule
la velocidad promedio en toda la vuelta del
cuadrado.
De los datos
MG(a; b) =
2
1 1
—+—
a b
72 2 i _ _ 5
5 a b j i 36
^
-------------V--------------'
( I )
A) 40 km/h B) 38,4 km/h C) 36,6 km/h
D) 42,4 km/h E) 40,6 km/h
Resolución
Se tiene
MH(b; c) =
2 _ 144 ^ 1 _ X _ 7
1 + 1 7 ^ b + c~ ) 4aZj?-
b c ' 7 "■
J UM,
M H (a;c) = -^— = 16 -> l + 2 =- 4 = l
1 1 a, c ) é } 8 0 *
o c
dio
Luego de (I), (II) y (III), sumando respectiva­
mente se tiene
2x
1 1 1
—i— i— — — i
----1— — •
abe) 36 72 8
7 1 10+7+9
i
l \- 2
' \
72
3
X
í 1 1 0 / 6
abe) 72
f A I / r .
% .
Como los espacios recorridos son iguales, se
cumple que
vp=~MH(20; 40; 60; 80)
_
________4 _ 4
| 1 " T2+6+4+3
20 40 60 80 240
1 1 1 13
a + b + c~ 72
M H(a;b;c) =
_ j_ _ 2 1 6
13 13
72
Cía ve :.
-> MCM(20; 40; 60; 80)=240
4
1 4x240 _
^ = ± =l ^ = 38'4
240
Por lo tanto, la vp será de 38,4 km/h.
: Clave

102. Problema N.° 24
Se calcula ,el promedio de 20 números y se
observa que si a 15 de estos números se les
aumenta 7 unidades a cada uno, y al resto se
les disminuye 5 unidades a cada uno, el nuevo
promedio será 17. Calcule el promedio inicial.
A) 13 B) 12 C) 11
D) 12,6 E) 14
Resolución
| Sabemos que
AMA- P.~- Pí
r #
También
f a u m e n to lf dism inución
— I total J l total
A MA = P---------/ - A -
-----------
n.° de datos
<^ <k x>c<x x^c k><x>c x>v<><^o<x^ >c k x^x><x><x k>c^ >o o c<x>o<k>c>< -oocyyy.
Entonces, al despejar P,tenemos
P^Pp-AM A
En el problema, a 15 números se les au­
mentó 7 y a los 5 restantes se les restó 5.
Entonces como los datos están variando, dicha
variación se calcula así:
P¡=M-
15 (7) — 5 (5)
20
P,=17-4=13
: Clave [
Problema N.° 25
La relación de la MA y MG de dos números es
de 5 a 4 y su MG es 32. Calcule la diferencia de
dichos números.
A) 20
D) 12
B) 40 C) 60
E) 48
Resolución
Sean a y b dichos números. Nospiden a-b.
Recordemos que se cumple lo siguiente:
{a-b)2 = 4ÍMA 2-M G 2)
Por dato
MÁ=Sk y MG=4k
ia -b )2 — 4 ((5/c)2 — (4A)2)
{a-b)2 = 36k2
Extraemos la raíz cuadrada y tenemos
a-b=6k (I)
Por la propiedad
MAxMH^MG2
-> 5k x 132 = (4/c)2 = ) é k2
2 1
10 / = k¿
-> k=10
(II)
Reemplazamos (II) en (I) y obtenemos que
a-b = 6(10) = 60
: Clave •
i
9

103. COLECCIÓN ESENCIAL Lumbreras Editores
Problema N.’ 27Problema N/ 26
Indique verdadero (V) o falso (F) respecto de
las proposiciones.
I. De un conjunto de datos, el promedio es
un valor representativo que se encuentra
entre los valores extremos.
II. Existen solo tres clases de promedio.
III. La media aritmética para todo conjunto de
datos se calcula como la suma de los datos
dividido entre 2.
A) VVV B) VFV C) VFF
D) FFF E) FFV
Resolución /
J; •
I. Verdadera
Todo promedio es un valor que repre­
senta a un conjunto de datos. Además,
está comprendido entre el menor y mayor
de los datos.
II. Falsa
Existen otras clases de promedio; por
ejemplo, la media cuadrática que se calcula
así:
?? 2 2
*1 + * 2 + * 3 + - + *n
n
donde
Xy X21 x^i •••/ x^. datos
- n: cantidad de datos
III. Falsa
Para tres datos, la suma se divide entre 3.
; Clave ■ }
•
......1«, *«*
Los ingresos mensuales de cinco personas
son S/.750; S/.1500; S/.1700; S/.1250 y S/.1400.
¿Cuál alternativa no puede ser un promedio de
los ingresos?
A) S/.1200 B) S/.1300 C) S/.1450
D) S/.2000 E) S/.1600
Resolución
Sea P un promedio. Recordemos que todo
promedio debe cumplir la siguiente condición:
(menor dato) < P < (mayor dato) -
750 1200 ✓ 1700
1300 S
1450 ^
2000 x
1600 ✓
Por lo tanto, tenemos que S/.2000 no puede
ser un promedio de los ingresos.
j Clave [ j
Problema N.’ 2B
Las edades actuales de Álex, Wílmer y Luis son
13; 24 y 17. Calcule el promedio de sus edades
dentro de 15 años.
A) 33 B) 28 C) 30
D) 27 E) 35
Resolución
Observe que el promedio de las edades
actuales es
n 13 + 24 + 17 54
P =
-----------= — -> P=18
3 3

104. Capítulo 3
Promedios
Al transcurrir 15 años, cada persona tendrá
15 años más, entonces el promedio de sus
edades aumentará en 15.
Por lo tanto, su nuevo promedio será
18+15=33.
; C l a v e }
•
......................
Resolución
Para los 20 primeros números tenemos
— o1+o2+a3 + ...+a
MA =
50 _
50
-3 0
—»
a1 + a2 + a3 + ... + a20=50x30=1500
Problema M.° 2S
Jhonny les entrega a sus tres nietos S/.35;
S/.45 y S/.100 para que se vayan de viaje. Si
Jhonny decide duplicar esas cantidades, ¿cuál
será el promedio de dichas cantidades?
A) S/.180 B) S/.120 C) S/.80
D) S/.160 E) S/.100
Resolución \
Calculamos el promedio de las cantidades
iniciales.
Luego, para los otros 50 números se tiene que
— b* +b? +bo +...+¿)i
MA = —— 2 3
so _
50
-4 0
—>b1 + ¿>2 + £>3 + ... + £>50=50x40 = 2000
En consecuencia, la MA de todos los 100
números será
M4-
a.|+c?2 +c?3+...+r?3Q +b^ +¿>2 +¿>3 +...+¿>3q
100
1500+2000
100
3500
100
35 + 45 + 100 _ 180 p = 6Q . j MA=35
3 3 í* . i
Como Jhonny decide duplicar el dinero que I
le da a cada nieto, entonces su promedio ;
también se duplicará. j Problema N/ 31
B
; Clave
.............................Y
Por lo tanto, el nuevo promedio será 60x2=120.
i Clave \ j
Problema N.° 30
________________________
El promedio aritmético de 50 números es 30 y
el promedio de otros 50 números es 40. ¿Cuál
es el promedio de los 100 números?
Luis obtiene en el curso de Matemáticas 12; 8;
12 y 18. Para obtener el promedio de sus notas,
se utiliza la media aritmética, pero por error se
utilizó la media geométrica. ¿Cuánto menos o
más obtuvo en su promedio?
A) 0,8 menos
B) 0,5 más
C) 0,5 menos
D) 0,2 más
E) 0,3 menos
A) 34
D) 35
B) 55 C) 86
E) 52

105. COLECCIÓN ESENCIAL
Lumbreras Editores
Resolución
Al usar la media aritmética, el promedio es
~ _ 12 + 8 + 12 + 18
4
MA = ^ = 12,5 (|)
Operamos
MH =
24
1+2 + 4
24
7
Nos piden
1 — 1 24
- x M H = - x— =
6 6 7
4
7
Pero por error se utilizó la media geométrica
-» MG = 12 (||)
Comparando los resultados obtenidos en (í) y
(II), concluimos que se obtiene 0,5 menos.
• Clave i •
Problema N.° 32
_________________
En un experimento del curso de Física, Carlitos
observa tres resistencias eléctricas. El profesor
Jimmy le pide que calcule el promedio armó­
nico de dichas resistencias que son 2; 4 y 8
ohmios. Dé como respuesta la sexta parte del
promedio armónico obtenido.
«i
» 1
» 7
° 7
: Clave \
■ , i * , . *
Problema N.° 33
________
A una reunión asistieron 60 personas y la
edad promedio es 20 años. El promedio de las
edades de los varones es 18 y el promedio de
las edades de las mujeres es 24 años. Calcule
la cantidad de varones en dicha reunión.
A) 32 B) 42 C) 30
D) 40 E) 36
Resolución
Ordenamos los datos.
Ca n t id a d
"DE-PERSONAS
Edad
PROMEDIO
Su m a d e
EDADES
Va r o n e s X 18 18x
Mu j e r e s60-x 24 1440-24x
To t a l 60 20 1200
NO OLVIDE
1 fsuma del fcantidad dej ( edad j
V edades J ( personas j x ^promedio J
1^+x>0'C:+xX'<^x'+>o-.kxv>x.ca:- ikxxv
Resolución
Calculamos el promedio armónico de 2; 4 y 8
en forma práctica.
-> MH =
3x2x4x/
> * í+ 2 x / + 4 x /
De la tabla
18x+1440-24x = 1200
-6x = -240
x = 40
i Clave [ }

106. Capítulo 3 Promedios
Problema N.° 34
Luisito ha dado cuatro exámenes en el curso
de Razonamiento Matemático y obtiene un
promedio de 16. Si en el primer examen hu­
biera obtenido 4 puntos más, en el segundo
6 puntos más y en el tercero 2 puntos menos,
¿cuál sería su promedio final?
A) 13 B) 18 C) 17
D) 19 E) 14
Problema N." 35________________________________
El promedio aritmético de dos números es 27 y
el producto de ellos es 720. Halle el promedio
armónico de los números.
20 160
C)
40
A)
y
B —
9 9
80
E)
40
D)
y 3
Resolución
Resolución
Tenga en cuenta, en primer lugar, que el pro­
medio de los cuatro exámenes inícialmente es
de 16. Ahora si suponemos que en el primer
examen obtiene 4 puntos más, en el segundo
6 puntos más y en el tercero 2 puntos menos,
entonces su promedio inicial variaría. Dicha
variación se calcula así:
*>.
*
A MA = Pf-P¡
f
aumento
A MA =
total
J
disminución
total
(n.° de datos)
Reemplazamos valores.
„ (4+ 6)-(2) 8
Pf - 16 = — — = 4
Pr 16 = 2
Pf = 16+2=18
i Clave i
Sean A y B dichos números.
Por dato del problema se tiene
MÁ(A;B)=27 y AxB=720 (I)
Entonces se deduce que
MG(A; 8) = V A xfí = V720 (II)
Ahora, recordemos que para dos números
(A y B) se cumple la propiedad
MA{A] B)xMH(A] B) = [~MG{A; B ) f (III)
Reemplazando (I) y (II) en (III), tenemos
27xM/7(A; 8) = [/72o]~
-> 27xMH{A]B) = J lÚ
3 80
.-. MH(4;B) = y
i Clave \
3

107. COLECCION ESENCIAL Lumbreras Editores
Problema N.° 36
La media aritmética y la media geométrica de
dos números están en la relación de 5 a 3. Si
la diferencia de los números es 64, calcule la
media aritmética de dichos números.
A) 40
D) 48
B) 58 C) 59
E) 52
Resolución
Sean A y B dichos números.
v
Por dato del problema se tiene que
MA{A] B) _ 5 < - ?
MG(A; B) 3
-> MÁ{A-,B) = 5k y MG{A; B)=3k
Luego, por propiedad, para A y B se cumple
lo siguiente
( A - B ? = 4 1(mÁ (A ; B ) f - ( Ñ G ( A ; B ))‘
(64)2 = 4 ((Sk )2 - (3/r )2)
(64)2 = 4(25ír2-9/r2)
642 = 4x16k2-
64^ = £ Á x k 2
/r2 = 64
k= 8
M A (A ;B ) = 5(8) = 40
\ Clave \
Problema M.° 37
_______________________________
En una reunión a la que asistieron 20 personas,
el promedio de las edades es 24 años. Si a cada
uno de los varones se le aumentara 3 años y
a cada una de las mujeres se le disminuyera
4 años, el promedio final sería 22,8. ¿Cuántos
varones hay en dicha reunión?
A) 12
D) 8
Resolución
Graficamos
B) 14 C) 16
E) 10
l o t a :
V iro n es
cz>
20
A caia n/e s
aumentami í arios.
Mujeres
(2 0 -7 1
A c a c ia m u je r
d is m in u ir á 4 oí
Como las edades de estas 20 personas van a
variar, su promedio también varía. Dicha varia­
ción se calcula así:
A M A = Pr - P l =
aumento) ( disminución
total total
-» 22,8-24 =
-1,2-
-24 = 3x-4(20-x)
-2 4 = 3x-80+4x
(n.° total de datos)
3 x -4 (2 0 -x )
20
-> 56 = 7x
x=Q
Clave i

108. Capítulo 3 Promedios
Problema N.° 38
Durante una semana escolar (de lunes a
viernes), se registró el número de alumnos que
faltaron a clases.
M
i
<
3
1 !n
Si la media aritmética es dos, calcule el valor
de n.
A) 8
D) 5
B) 7 C) 6
E) 4
Resolución
De los datos mostrados en la tabla, su media
aritmética es 2, entonces se cumple que
0+1+3+1+n
= 2 -> 5 + /i = 5x2
5 + n=10 -+ n = 10-5
n = 5
i Clave •
Problema H.° 39
__________ ________
El siguiente cuadro muestra los gastos diarios
de Sujey durante una semana:
Días LMMrVSD
Gastos (S/,)30181820182730
Calcule la suma de la media y la moda de sus
gastos durante esa semana.
A) 58
D) 41
B) 50 C) 36
E) 30
Resolución
r<K>&XX>CxXXXxXX'<X>O00QC*><X><*><><X^<>0<K>0^^
< Observación
| Se define la moda como aquel dato que
x se repite mayor número de veces en un
j; conjunto de datos.
En los datos que se muestran en la tabla,
¿ observamos que el número 18 se repite
: más veces. Por lo tanto, la moda es 18.
^x>c<><x>o<x>oo<><>>xx:-c oooc <xk>oo<xx><xx><x>c<><xx?< ooc* x >oo<><><
Ahora calculemos la media aritmética.
— 30 + 18 + 18 + 20 + 18 + 27 + 30 161
M A =
-------------------------------------= _
^ MÁ=23
Nos piden
MA + Mo = 23 + 18
... MA + Mo - 41
, '7'> ’ Clave .
Problema N/ AO
El promedio aritmético de 20 números impares
consecutivos es 36. Calcule el mayor de dichos
números.
A) 47
D) 53
B) 49 C) 51
E) 55
Resolución
Tengamos en cuenta que los números
impares consecutivos aumentan de dos en
dos, entonces dichos números forman una
progresión aritmética creciente.
o; a+2; o+4; a+6;...;a+ 38 (20 números)
primer
irnp.t!
u 111
5

109. COLECCIÓN ESENCIAL Lumbreras Editores
Entonces, su MA se calcula como la semisuma
del primer y último número impar.
— a + (a + 38)
MA =
-----------= 36 (dato)
2o + 38 = 72
2o = 34 -> o = 17
17+38=55
: Clave • )
*
........................’i...* "
Problema U.° 41
Si
• MG(o; ¿>)=40;
• MG{a;c)=20 y | J
• MG(b; c)=50,
calcule la media armónica de o; b y c.
43 109
C)A — . B) — 48
3
D) 40
3
E)
80
Resolución
3
Tenga en cuenta que para tres números (o; b
y c) su media armónica se puede calcular así:
Multiplicamos estos resultados.
ox¿>xoxcxfrxc=1600x400x2500
-> a2xb zx c2 = 402x202x502
— 120 000 80
MH =
--------= —
4500 3
j C/o'/e . }
Problema N. 42
El promedio geométrico de dos números que
se diferencian en 24 es excedido por su media
aritmética en 4. Halle el número menor.
| A ) 16 ^ B) 10 C) 12
D) ; 8.;' E) 14
Resolución
Sean ay b dichos números. Consideremos que
a>b. Por dato
a-¿>=24
Además
Extraemos la raíz cuadrada.
axbxc=40x20x50=40000
En (*), al reemplazar se tiene
— 3x40 000
MH =
-------------------
1600 + 400 + 2500
— 3 abe
MH =
a xb + a xc+ b xc
(*)
De acuerdo a los datos, al elevar al cuadrado
tenemos
• yjaxb =40 -> c7X¿)=1600
• J a x c =20 —> axc=400
. yfbxc= 50 -> bxc=2500
MA(a; b)-MG{a; ¿>)=4
g + ¿) /— -
-» —-— yjaxb = 4
a + b-2yjaxb =8
Va +Vb -2xVaxVó=8
(V a-V b ) =8
Extraemos la raíz cuadrada.
V a -V ¿ = 2V2

110. Capítulo 3 Promedios
Luego, recordemos que
o - b=24
4a - 4 b 2 = 24
{4a - 4 b ) x (J a + 4b) = 24
2 4 2 x{4 a + 4b) = 24 —> Va + Vb = - ^ X ^
V 2 xV 2
4 a + 4 b = ^ ^ = 642
2
-»
(II)
De (I) y (II)
4 a - $ = 2 ^ 2
4a + 4 & = sV2
+
2 Va =Q\¡2 -> Vo = 4>/2
-> a = (4V2) =32
¿)=8
i C/aye ■
.3%
Problema N.* 43
La media aritmética de 40 números es 40. Si
eliminamos a 5 de ellos, el promedio aumenta
a 42. ¿Cuál es la media aritmética de los núme­
ros eliminados?
A) 26
D) 41
B) 32 C) 28
E) 36
Resolución
Consideremos que los 40 números son
0-¡, C¡21 O3/ •••/ ^40'
Por dato del problema tenemos
Ol+Q2+Q3+- + O40 _ y|M
40
Despejamos
a1+a2 + a3+...+a40=40x40=1600
Luego eliminamos a 5 de estos números. Al
calcular la MA de los 35 restantes se tendrá
aa+ay +aQ+...+o.
40
35
= 42
Despejamos
Og + Gy + C7g + ... + C7^g—3 5 x 42 —1470
Luego
Q1+o2+g3+o4+o5+Q6+...+o40=1600
1 4 7 0
—> O^ + O2'tr7g + C74 + C?g = 130
Luego
7— 01s+0? +0g+04 +C75 — 130
MA = • ' --— -— -— i -> MA =
----
MA-26
: C/ai/e
Problema N7 44
El promedio de edades de 4 personas es 48. Si
ninguna de ellas es menor de 45 años, ¿cuál es
la máxima edad que podría tener una de ellas?
A) 51
D) 60
B) 53 C) 54
E) 57
Resolución
Sea x la máxima edad. Para que x sea máxi­
ma, las otras edades deberán ser mínimas,
entonces 3 de ellas tendrán 45 años. Luego
45 + 45 + 45 + x
----------------= 48 -> 135+x=4x48=192
x=192—135=57
Clave

111. PRACTIQUEMOS LO APRENDIDO
1. El promedio de cuatro números es 20. Si el
mayor promedio de los tres primeros es 18,
halle el último número.
A) 26
D) 20
B) 12 C) 15
E) 25
2. Calcule el promedio de todos los números
de dos cifras que terminan en la cifra 3.
A) 47
D) 52
B) 61 C) 53
E) 51
3. Si la suma de 40 números pares consecu­
tivos es 2280, halle el promedio de los tres
últimos números.
é'' a
g jmW ¿ 1
A) 98 B) 84 | C) 70
D) 95 I ; E) * 90 #
4. Halle la MH de los números
2; 6; 12; 20;...; 420.
A) 18
D) 12
B) 20 C) 36
E) 21
5. El promedio de las edades de los 10
primeros alumnos en un salón es 24, y el
promedio de los 10 últimos es 28. Calcule
el promedio de las edades de todo el salón.
A) 27
D) 23
B) 26 C) 25
E) 20
6. El promedio de notas de 30 alumnos en
el curso de Aritmética es 52. Si 6 de ellos
tienen un promedio de 40, ¿cuál es el
promedio de los restantes?
A) 46
D) 55
B) 58 C) 48
E) 50
7. La tabla muestra notas de un alumno en el
primer ciclo de la UCH. Calcule el valor de
N si su promedio ponderado fue 14.
Curso C rédito Nota -j
Laboratorio
__¿
__
3 N
Física 5
...
__________]
18
Química 4 I 09
Matemática 6 , i 15
i
A) 13,8
D) 12
B) 14 C) 14,2
E) 13
8. El promedio de notas de 10 alumnos es 14.
¿Cuál sería el nuevo promedio si a 3 de
ellos sedes aumentara 3 puntos y a 2 se les
quitara 2 puntos?
A) 15
D) 16,8
B) 13,8 C) 14,9
E) 14,5
9. La media aritmética de un conjunto de 10
números es 16. Si incluimos los números 8
y 12 en el conjunto, ¿cuánto es la media
aritmética de este nuevo conjunto?
A) 17
Dj 19
B) 12 C) 15
E) 13
10. Halle la MA de dos números que se
diferencian en 8 si se sabe que su media
armónica es 6.
A) 10
D) 4V3
B) 16 C) 4\/2
E) 8
11. Si el promedio geométrico de
2; 23; 2a y 25 es 16, calcule el valor de a.
A) 8
D) 6
B) 4 C) 5
E) 7

112. Capítulo 3 Promedios
12. El mayor y menor de los promedios de dos
números son enteros positivos, cuya dife­
rencia es 4. Si uno de los números es 24,
halle el otro número.
A) 20 B) 28 C) 32
D) 36 E) 48
13. Si la MG de dos números es ocho veces
la MH de dichos números, calcule la suma
de las razones geométricas que se pueden
formar con dichos números.
A) 65 B) 108 C) 256
D) 254 E) 62 ^ .
J? *■%
1 4 . Se calcula el promedio aritmético de 20
números y se observa que si a 15 de estos
se les aumenta en 5 unidades a cada uno,
y al resto se le disminuye en 5 unidades a
cada uno, el nuevo promedio es 17. Calcule
el promedio inicial.
\ ,i N v
A) 10 B) 12,5 C) 13 %
D) 13,5 E) 14 P
15. Un móvil se desplaza a 18 m/s en una pis­
ta de prueba de 4 hacia B en línea recta.
Luego lo hace de B hacia A con rapidez de
54 m/s. Calcule la velocidad promedio del
móvil en todo su recorrido.
A) 20 m/s B) 27 m/s C) 28 m/s
D) 35 m/s E) 36 m/s
1 6 . Un ciclista recorre alrededor de un cua­
drado. El primer lado lo hace a 6 km/h,
el segundo lado a 12 km/h, el tercero a
20 km/h y el cuarto a 30 km/h. Calcule la
velocidad promedio del ciclista.
A) 12 km/h B) 17 km/h C) 15 km/h
D) 13 km/h E) 16 km/h
1 7 . Dados los números 12; 18 y 27, calcule el
error que se comete al tomar el promedio
aritmético como promedio geométrico.
A) 1 B) 1,5 C) 0,5
D) 0,6 E) 0,8
1 8 . El promedio aritmético de 53 números
consecutivos es 162. Si de estos 53 núme­
ros eliminamos los 8 primeros y los 13 últi­
mos, ¿cuál será el promedio aritmético de
los números restantes?
A) 148 B) 159,5 C) 145,5
D) 150 E) 154,5
19. El promedio aritmético de 53 números es
600. Si se retiran los números 150; 120 y 3,
el promedio aumenta en 27,9. Calcule n.
A) 128 B) 135 C) 137
D) 141 E) 147
2 0 . La suma de edades en un salón de cuarto
año es 1144 y la edad promedio es 22
años. Si cada alumno tuviera 1 año más y
cada alumna tuviera 1 año menos, la edad
promedio aumentaría en 0,5 años, indique
la relación del número de mujeres respecto
al número de hombres de dicha clase.
A) de 1 a 3
B) de 2 a 5
C) de 3 a 7
D) de 4 a 1
E) de 6 a 1
J
9

113. COLECCION ESENCIAL Lumbreras Editores
2 1 . La media aritmética de cinco números
diferentes es 66. Si los dos primeros son
impares, cuya media aritmética es 54 y los
restantes son números pares consecutivos,
determine el mayor de dichos números
pares.
A) 76 B) 78 C) 74
D) 72 E) 70
2 2 . El promedio aritmético de las edades de
seis personas es 48. Si ninguna de ellas
es menor de 42 años, ¿cuál es la máxima
edad que podrían tener dos de ellas?
A) 57 B) 58 / C ) 60
D) 61 / E)-f62v
2 3 . La media geométrica de 30 números es
288, y la de otros 60 números es 36. ¿Cuál
es la media geométrica de los 90 números?
A) 90 B) 36 C) 73
D) 70 E) 72
,
2 4 . La MG y ~MH de dos números están en la
relación de 4 a 5. Si la diferencia de dichos
números es 30, halle el mayor de estos
números.
A) 16 B) 40 C) 32
D) 24 E) 48
2 5 . El promedio aritmético de 180 números
pares de tres cifras es 780, y el promedio
de otros 120 números pares de tres cifras
es 240. Halle el promedio de los números
pares de tres cifras no considerados.
A) 181 B) 524 C) 621
D) 471 E) 519 i
2 6 . En un colegio de 500 alumnos, la estatura
promedio es 1,71 m. Si hay 200 mujeres y
su estatura promedio es 1,68 m, calcule la
media aritmética de las estaturas de los
varones.
A) 1,68 m B) 1,70 m C) 1,73 m
D) 1,75 m E) 1,72 m
2 7 . El ingreso mensual promedio de 60 familias
es S/.960. ¿En cuánto varía este promedio
si a 18 de ellas se les aumenta S/.80 y a
35 se les descuenta S/.60, y el resto sigue
ganando lo mismo?
A) S/.11 B) S/.15 C) S/.10
D) S/.12 E) S/.8
28. Luis se dirige de su casa a la academia con
una velocidad de 90 m/min y regresa a
60 m/min. Calcule la velocidad promedio.
A) 72 m/min
B) 84 m/min
^ - - .C) 78'm/min
D) 62,5 m/min
E) 75 m/min
29. En una reunión, si la tercera parte de los
varones tuviera 15 años más y la mitad de
las mujeres 2 años menos, los promedios
inicial y final serían números consecutivos.
¿En qué relación está el número de varones
y mujeres?
A) de 2 a 3 B) de 1 a 2 C) de 2 a 5
D) de 3 a 4 E) de 1 a 4
30. Si la MA de b números es o y la MA de
otros a números es 2b, calcule la MA de los
{a+b) números.
D)
a + b
axb
B)
ab
a + b
3 (a + b)
a xb
3 x a x b
a + b
i

114. Capítulo 3 Promedios
31. En un colegio, se tienen las notas de los
estudiantes de cierta aula. Entre varones y
mujeres hay 40 estudiantes. El promedio
de las notas de los varones es 14 y el de
las mujeres es 18. Si el promedio de notas
del total de estudiantes en esta aula es 17,
¿cuántas mujeres hay en dicha aula?
A) 10 B) 15 C) 20
D) 25 E) 30
32. La edad promedio de cinco personas es
15 años. Si ninguna tiene menos de 10
años, ¿cuál es la edad máxima que puede
tener una de estas personas?
f /
A) 30 años
B) 25 años .. ' *
C) 35 años \ '
D) 40 años
E) 45 años
33. El promedio de los pesos de Alvaro, Beto,
Carlos, Diego y Esteban es de 64 kg. Si
Alvaro, Beto y Diego bajaran 10 kg cada
uno y, por el contrario, Carlos y Esteban
subieran 5 kg cada uno, ¿cuál sería el pro­
medio final de sus pesos?
A) 68 kg B) 66 kg C) 64 kg
D) 62 kg E) 60 kg
34. Si los promedios armónico y geométri-
co de dos números {A y B) son — y 8v3,
respectivamente, calcule el promedio arit­
mético de dichos números.
A) 21 B) 14 C) 28
21
D) - E) 35
2
35. Se tienen tres números proporcionales a
- 48
1; 2 y 4. Si su promedio armónico es — ,
¿cuál es el promedio aritmético de dichos
números?
A)
D)
28 35
C)B “T-
3 3
56
3
E)
14
3
7
3
Claves
1 5 9
2 6 10
3 7 11
4 8 12
13 17 21
14 18 22
15 19
j
23
16 20 24
25 29 33
26 30 34
27 31 35
28 32

115. í '
;•'• .• " ••' V.. <f
..>* 3s .. -.^vNS-. /, ■$. -
$$«*■* i? -i
\
■Vf ' £ - ' / 'M ^ ' / • '.
I .!> * » *■/
/ i \
2 6 . *t cÍ»*^/ 1
Ï Ï J . 3 0 4 Ï 5.0 0 5..
*' «■ « # t *-*/ ,%*» /** 0
***&*$? 1
\ % ■„ m t 2
\*ct* /
|¡í> # f €»fS¿*/iK* / H J
- K J
t,- ttttt tt; t /¿.i.- V.« --a t.itt , <r- 'f -t- " "' " """
- >./, w t/ft/t/itf..y,fiift.
1 . J S 7 . 8 9 G’/ 1 . 9 2 0 . 0 0 1
1 7 2 . S ó S J 1 5 5 . 6 6 9 }
> 1 8 9 . 5 6 2 19 2 9 . 0 2 5 /
'2 * 1 * 8 9 t ‘ 2 5 . 6 6 5 !
' 9 9 . 5 6 3 !2 . 0 2 5 . 3 7 9 i
l - . 7 * í l
....
9 S O . O Ü O X .
fp0MS&&
\kot/ng
^MÍ»^XÍtW!«W!l¡¡!Wíí!$W*SS&Wi«^í»>^^
1
y tin a E x p e n s a s [ M J
'o n t

116. El tanto por ciento, donde por ciento en latín es per centum
que significa ‘de cada cien unidades’, es una forma de
expresar un número como una fracción que tiene al número
100 como denominador.
Este término se viene utilizando desde la época de los
romanos, cuando el emperador Augusto estableció un
impuesto de 1/100 sobre todos los bjenes vendidos en
subasta (venalium centesima rerum). Más adelante, en la .
Edad Media, se han encontrado manuscritos italianos en los
uran expresiones tales como “20 p 100” y “XP cento”
un veinte por ciento y diez por ciento.
porcentaje (%) probablemente se ha visto por
en un manuscrito anónimo italiano del año
. En lugar de “por 100” y “P cento”, que eran comunes
quella época, se utilizaba el signo -§- parecido al actual.
, en nuestra vida cotidiana, usamos este símbolo; por
mplo, en las transacciones comerciales, en la estadística,
y otros. Por ello, es importante conocer más sobre las apli­
caciones que tiene el tanto por ciento.
Aprendizajes esperados
• Saber establecer una relación entre una parte y un todo.
• Realizar operaciones con el tanto por ciento.
• Determinar la variación porcentual.
• Reconocer los elementos que intervienen en una opera­
ción comercial.
¿Por c¡ué es necesario este conocimiento?
El cálculo del tanto por ciento se utiliza constantemente en
diversas operaciones aritméticas y comerciales, así como
también en la estadística. Por ejemplo, consideremos que
una persona desea comprar un artefacto; si el vendedor le
ofrece un descuento del 20%, ¿qué significa? Si el artefacto
valiera S/.100, le descontaría S/.20 y solo pagaría S/.80.

117. COLECCION ESENCIAL Lumbreras Editores
Regla elei tanto por ciento
Importante
El tanto por ciento es una de las
aplicaciones que más se utiliza
en lo que es el campo de las
razones y proporciones. Nos
sirve para poder llevar a cabo la
comparación entre cantidades.
■■■' " - ! :
• Las palabras de, del y de los
indicarán, en forma práctica,
una multiplicación.
• Las palabras es, son y será
indicarán, en forma práctica,
una igualdad.
• Al calcular el tanto por ciento
de una cantidad, el símbolo
% se puede simplificar con
dos ceros de dicha cantidad.
___________J
1.- CONCEPTO
Es un procedimiento matemático en el cual una cantidad se
divide en 100 partes iguales, de las cuales se toman tantas
partes como se nos indique.
total <> 100 partes iguales
■ j
I
I I
- Ï
. . . . .=1%
100
1
1
1 '
1
1
1
1
1
1
1
1
1
— = 2%
100
3
. . . . .— ~ ' % %
100 f l A
____
% , i
1
f i j s Æ M i K . % 1 ,;í:>
Entonces
15 > ' '
15% = — ■% ~ •
100 % p
39
39% = —
100
72% = —
100
124
124% =
100
EQUIVALENCIAS IMPORTAN TES
•
H e
h
vOO
50% = 1
2
20% = -
5
25% = —
4
40% = -
5
12,5% = i
8
60% = -
5
75% = -
4
80% = -
5
33,3% = 1
3'

118. Capítulo 4
Regla del tanto por ciento
Ejemplo
Calculamos el 20% de 45.
20 % x4 5 = — - -f - =9
;oo
5
Entonces se cumple lo siguiente:
tHWBBI
8 1iM
20% 120%
35% 135%
62% 162%
n% (100+n)%
v El 20% de 45 es 9.
• El número 9 es el 20% de 45.
————— — —— — - • \
Reto al saber
Del enunciado anterior, ¿qué tanto por ciento
es 9 de 45?
Importante
Las fracciones se pueden expresar con su equi­
valente en tanto por ciento.
Ejemplos
• ' — < > — (100%) = 35%
20 20
. — < >— (100%) = 37,5%
24 24
l
________________
3. PROPIEDAD
Toda cantidad representa su propio 100%; es
decir, sea N una cantidad cualquiera.
f—
---------- 1
N = 100% ■ N
Al ganar o perder,
Sa c o/p i e r d o
Importante
Se tiene que
100% <> 1 vez
200% o 2 veces
300% o 3 veces
100n% o n veces
Además
100% más o 200%
200% más o 300%
300%más o 400%
100n% más o 100(n + 1)%
Ap lic a c ió n 7
Calcule los siguientes resultados:
a. El 40% del 30% de 125
1
í 3^
4<f qrf
40%x30%x125 = -l^ x —— x125
loo ;oo
5 10
0 J
40 % x 3 0 % x 125 = — x 125" = 15
,25
1
b. El 25% del 60% del 50% de 200
.
10% 90%
30% 70%
46% 54%
n% (100—n) %
25% x60% x50% x200 = —x - x - x 2 0 0
4 5 2
3 3 * 5
25 % x 60 % x 50 %> x 200 — ——r x 200 = 15
.40
1

119. COLECCION ESENCIAL
Lumbreras Editores
Aplicación 2
¿Qué tanto por ciento representa 9 con
respecto de 36?
Resolución
Si nos piden qué tanto por ciento representa 9
con respecto de 36, significa que
9 = x%36
9 1
x% = — = - = 25%
36 4
\
Otra forma
Para determinar qué tanto por ciento es 9 de
36, tenemos
1 / É h
Í ; ■
*% = -^7x100% = 25%
4
Por lo tanto, 9 es el 25% de 36.
Observación
'
------
. '
Cuando se pregunte: “¿Qué tanto por ciento re-
presenta n respecto de mT, esto se calculará así:
1 r
----------- * \ *?»:•>*?■■
---X100%
m
L
__J
S.........: -
____:__---------' ■ i---
Aplicación 3
Analice los datos de la tabla y luego responda.
20
28 80
32
a. ¿Qué tanto por ciento del total de artículos
son borradores?
Para determinar qué tanto por ciento es 28
de 80, tenemos
7 \
y< 5 V '
^ rX )Q 6 % = 35%
80
/
1
Por lo tanto, los borradores son el 35% del
total.
b. ¿Qué tanto por ciento del número de reglas
es el número de lapiceros?
Para determinar qué tanto por ciento es 20
de 32, tenemos
5
• ?0 25
400 % = 62,5%
J
2
Por lo tanto, 20 es el 62,5% del 32.
Ap lic a c ió n 4
Un granjero tiene 750 huevos. El 4% de estos
se rompen, y se encuentra que el 5% de los
restantes son defectuosos (malogrados).
¿Cuántos huevos puede vender en el mercado?
Re s o l u c ió n
Nos piden el número de huevos que puede
vender.
tota
m a lo g r a d o s
¡ 36 ) ( 684
TotalCantidad
Re g l a s

120. Capítulo 4
Regla del tanto por ciento
Otra forma
f n ° de huevos que^
puede vender
0 de huevos qi
puede vender
No rnaloqrados.
/
-----------------------s
No se rom pen. .
___A.
= 95%( 96%(750) )
n ° de huevos quel = i l x ^ x 7 5 0 = 6 8 4
100 100
Ap l ic a c ió n 5
En una empresa trabajan Í60 personas, donde
el 25% son mujeres. ¿Cuántas mujeres deben
contratarse para que el 40% del personal sean
mujeres?
Re s o l u c ió n
Nos piden x.
Varones 3(40) ^ ‘ 3(40)
+x*
Total
1(40)
4(40)
2(40)
5(40)
Al inicio
(n.° de mujeres) = 25% (n.° total)
—>
(n.° de mujeres) _
(n.° total)
= 25% = -
4
Al final
(n.° de mujeres) = 40% (n ° total)
—^
(n.° de mujeres) _
(n.° total)
40% = -
5
De la tabla
1(40)+x=2(40)
40+x = 80 -> x=80-40
x = 40
Ap l ic a c ió n 6
Lo que tienen Luis y Juana suma S/.200. El 30%
de lo que tiene Luis es igual al 10% de lo que
tiene Juana. ¿Cuánto tiene Luis?
Re s o l u c ió n
Nos piden L.
Sean L y J las cantidades de dinero que tienen
Luis y Juana, respectivamente.
Por dato
30% ¿ = 10% J
L 10% _ 1
J ~ 30% ~ 3
¿ = 1(50)
J = 3 (50)
L + i = 4(50) = 200
L = S/.50
Ap lic a c ió n 7
Si gastara el 20% del dinero que tengo y ga­
nara el 10% de lo que me quedaría, perdería
S/.840. ¿Cuánto dinero tengo?
Re s o l u c ió n
Nos piden 100k.
Sea 100k la cantidad de dinero que tengo.
Por dato
Pierdo 1 ?.k.
¡ lOOAr m m
~20%( I00¿0 10%(B0A -
12/r = 840 -> k = 70
100(70) = S/.700

121. COLECCIÓN ESENCIAL Lumbreras Editores
4, OPERACIONES CON EL TANTO POR
CIENTO
a %N+b %N = (o+b)% N
a %N~b %N = (o - b)% N
v
________________________
a%(b) = b%{o)
a%(bN) = b%{aN) = ab% (N)
Ejemplos
• A = 32%(240) + 8%(240) = 40%(240)
A = |(2 4 0 ) = 96
• B = 62 %(160)—12 %(160) - 50%(160)
B = 1(160) = 80
• C = 84%(25) = 25%(84)
C = —(84) = 21
4
• D = 2 %(7 N) = 7 %(2/V) = 14 %/V
5. EMPLEO DEL TANTO POR CIENTO
Ejemplo
Comparemos los precios de un par de zapatos
en los meses de agosto, setiembre y diciembre
del 2014.
Ordenamos los datos.
Agosto Setiembre Diciembre
(tiempo
»efe« encia!)
( 3 0 % ) , { 2 0 % ) .
— X100 % = 30 % — x 100 % = 20 %
50 50
Ap lic a c ió n 8
¿El 30% del 10% de qué número representa 240?
Re so lu c ió n
Interpretamos la pregunta.
240 = 30%x10%x/V
Nos piden N.
80
—> ' = — x — xN
10 10
N = 80x10x10=8000
5.1. Variación porcentual (A%)
Se denomina variación porcentual al aumento
y/o disminución de una cantidad inicial
expresada en tanto por ciento, la cual se
calcula de la siguiente manera:
A% =
í cantidad^^cantidad ^
( final y inicial J
^cantidad^
v inicial ,
x100%
Ap lic a c ió n 9
Si el 40% de Mes 20, halle M.
Re s o l u c ió n
Del dato se tiene que
40%M = 20
10
|x M = 20 ^ M =
5
1
M = 10x5 = 50

122. Aplicación 7O
A una reunión han asistido 80 personas, de las
cuales 30 son varones. ¿Qué tanto por ciento
representan las mujeres?
Resolución
Del enunciado, se deduce que la cantidad de
mujeres es 50.
Nos piden determinar qué tanto por ciento
son las mujeres del total.
(n.° de mujeres) = x%(n.° total)
-> 50 = x%(80)
x% = — x1 = — x100% ' .
80 80 /
G/ 500<ef% roco/ </ J
x% =
-----t— = 62,5% -
8 jó
Aplicación 77
Si la longitud del lado de un cuadrado se in­
crementa en 20%, resulta que el área aumenta
en 176 m2. Calcule el lado inicial del cuadrado.
RESOLUCION
1
Como 20% es igual a -, representaremos el
valor de la longitud del lado del cuadrado
como 5x.
De lo anterior tendríamos
inicio Aumenta x. Ahora
Aumenta 11/
Por dato
11x2 = 176
x2 = 16 -> x-4
5 (4)=20
Aplicación 12
Si el lado de un cuadrado aumenta en un 40%,
¿en qué tanto por ciento varía su área?
Resolución
A l f ir
A l in icio
r i
l
1 .
B r r 'l .
J
! ¡
i i
m
i
______
Calculamos la variación porcentual del área del
cuadrado.
A%=;í f i £ . ~25-g I x100% = — x100%
25
A% = 96
Aplicación 13
Si el radio de una circunferencia disminuye en
el 20%, ¿en qué tanto por ciento varía su área?
Resolución
Graficamos

123. COLECCION ESENCIAL Lumbreras Editores
Calculemos la variación porcentual del área
de la circunferencia.
A% =
-> A% =
1 6 ^ - 2 5 ^
2 5 ^
(-8
1
x100%
A% = -36%
Por lo tanto, el área del círculo disminuye en su
36% respecto del área inicial.
CAvaI
Importante
Analizando el valor de la variación porcentual
lllséláfirmará' lo siguiente:
Si A%>0, la cantidad inicial aumenta.
*• Si A%<0, la cantidad inicial disminuyese /
• Si A% -0, la cantidad no varía.
5.2. Descuentos y aumentos sucesivos y
Ejemplos v r V
1. ¿A qué descuento único equivalen los des­
cuentos sucesivos del 10% más el 20%?
Veamos
cantidad
inicial
100%/V
80%(90 %N)
90%/V
i
72 %N
E U ~
descuento
del 10%
descuento
del 20%
Por lo tanto, el descuento único es 28%.
2. ¿A qué aumento único equivalen realizar
dos aumentos sucesivos del 20% más el
25 %?
Veamos
100%/V 120%/Vj 150%/V
aumento
del 20%
aumente
Por lo tanto, el aumento único es 50%.
Importimte
• Dos descuentos sucesivos del a% y b%
¡ equivalen a un descuento único (Du) que se
calcula así:
1
• i /fy ,
„ : .ayo i v
D =i a + b
------ %
u '• 100 ■
V- •’ .J
' . ; •-,.!•• •• ■
• Dos aumentos sucesivos del a%
■ >
equivalen a un aumento único [A
se calcula así:
----------..
A.. =( o + 5+ j%
t; i 100 !
V
v ; ; tí f/ f/f ■ ■ .
2 Importante
Cuando tengamos descuentos o aumentos
sucesivos, estos no se suman ya que los des­
cuentos y los aumentos no afectan a una mis­
ma cantidad. Por ejemplo, los descuentos su­
cesivos del 10% y del 10% no equivalen a un
descuento del 20%.

124. Regla del tanto por ciento
Aplicación 14
Carlos compra un equipo de sonido que cuesta
S/.1800, pero la tienda le ofrece realizar dos
descuentos sucesivos del 30% y 10%. ¿Cuánto
le descontaron a Carlos por el artículo?
Resolución
Dos descuentos sucesivos del 30% y 10% equi­
valen a un descuento único {Du).
(
Du =
30 + 10-
V
3jefx1jeT
i W
% = 37%
J
Por lo tanto, lo que le descontaron fue
37x18/^
37% 1800 =
u W
= 5/.666
Aplicación 15
Determine el aumento único equivalente a tres
aumentos sucesivos del 40%; 30% y 25%
'V%V.
Resolución
Para determinar el valor del aumento único,
reemplazamos los aumentos del 40% y 30%
por su equivalente.
(
V
40 + 30 +
V
4 / x3 0
1jW
% = 82%
7
Ahora se tiene
^ aumentos sucesivos
del 40%; 30% y 25%
^ (aumentos sucesivos
o
7 V
del 82% y 25%
7
Luego reemplazamos los aumentos sucesivos
del 82% y 25% por su equivalente.
41 1
A =
u2
82 + 25 +
v.
$ $ . X
)qó
/
2
%=(107 + 20,5)%
Entonces
Au = 127,5%
Por lo tanto, los tres aumentos sucesivos del
40%; 30% y 25% son equivalentes a un solo
aumento del 127,5%.
Aplicación 16
Marcos, luego de obtener dos descuentos
sucesivos del 20% y 10% sobre el precio ofre­
cido de un artículo, pagó S/.1152. ¿Cuál fue el
precio ofrecido? -
Resolución
Sea 100x el precio ofrecido.
Del problema se realizan dos descuentos
sucesivos del 20% y 10%, los cuales equivalen
a un descuento único (D j que se calcula así;
y
Du =
(20 + 10) -
2 ^ x 1 /
u W
%
-> D = (30-2)% = 28%
De ello se tiene
28% 100v.--28*
72x 100x
se paga
Por dato
72x = 1152
-> x = 1600
’ trucido
100x= S/.160 000

125. COLECCION ESENCIAL Lumbreras Editores
5.3. Compra o venta de un producto
Ejemplo
Supongamos que Juan es un comerciante que
vende pantalones. Él va a la fábrica y compra
cada pantalón a S/.50 (Pc). Luego va al merca­
do y ofrece cada pantalón a S/.80 (precio fija­
do o precio de lista). Al acercarse un cliente, le
pide una rebaja de S/.5 (D), el cual Juan acepta
y le vende el pantalón al cliente en S/.75 {Pv),
con lo cual gana en dicha venta S/.25 (G).
Pc = S/.50 Pv= S/.75 J - S / .8 0
Se observa que C
Pv=P(~+G=Pp—D
-> 75=50+25=80-5
Supongamos que Juan remata sus pantalones
que le costaron cada uno S/.50, y los vende
cada uno en S/.40 (Pv), entonces estaría
perdiendo S/.10 (P) con respecto a su inversión.
P r-' S /.1 0
P,/=S/.40 Pc = S/.50
Se obsen/a que
p v=p c-p
donde
- Pc: precio de costo
- Pv: precio de venta
- Pp precio fijado o de lista (PL)
- P: pérdida
- G: ganancia
Reemplazamos valores
S/.40=S/.50—S/.10 * •
Importante
• Las ganancias y las pérdidas de una venta
generalmente son un tanto por ciento del
precio de costo.
• Los descuentos se expresan generalmente
como un tanto por ciento del precio fijado.
Supongamos que Juan envía el producto al
domicilio del cliente, motivo por el cuai gastó
S/.5, ganando realmente S/.20 (Gw) y no S/.25
(Gfi)-
Gn = S/Í20 Gn = S/.25
t
Se observa que
Gfi-gastos = Gn
donde
- Gn\ ganancia neta o líquida (real)
- Gb: ganancia bruta (aparente)
Reemplazamos valores
S/.25-S/.5 = S/.20
Aplicación 17
Se vende un artículo en S/.180 ganando el 20%.
¿Cuál es el precio de costo de dicho artículo?
Resolución
Nos piden Pc. Se sabe que
Pl/ = PC+G

126. Capítulo A
Regla del tanto por ciento
Cuando no se indica respecto de quién, lo queReemplazamos
se gana es el 20% del costo.
i
80 = 80% (5x15) + G
180 = 100%Pc+20% Pc
6
80 = 80% 75 + G
180 —120 %PC -> 180 ~ ^ P C
80 = 75% 80+G
yoo
p 180x5 =s/.150
c 6 ■
1
25% 80 = G -+ —x80 = G
4
Aplicación 18
G=S/.20
Se vende un artículo en S/.750, cuya ganancia
es el 25% del costo más el 30% de la venta.
Calcule la ganancia obtenida.
Resolución
Nos piden 6. / , . \
Se sabe que f : f .*■ 1
Ap l ic a c ió n 20
El precio de un televisor es S/.240. Si la ganancia
bruta es del 20% del costo y el beneficio neto
fue S/.10, ¿cuánto es el gasto que produce la
venta?
Pv =Pc+G —> G = PV-P C \ ? \ s s
Re s o l u c ió n
Dato:
Nos piden los gastos.
PV=750 = PC+G Se sabe que
750 = Pc + 25% Pc +30% (750) Gfí = Gn+gastos
6 1
70%(JSÚ)=}2^%PC -> Pc =70x6=S/.420
gastos = Gb-Gn
G = 750-420=S/.330 Recordemos que
Aplicación 19
Pv = PC+ g b
El precio de un artículo es S/.15 en una fábrica.
Un comerciante adquiere cinco de tales artícu-
-+ 240 = PC+20%PC = 120%PC
los por lo que le hacen un 20% de descuento.
Luego los vende obteniendo por ellos S/.80.
p =240x — = 200
c 120
¿Cuánto es su ganancia?
Luego
Resolución
gastos = Gb- Gn
Nos piden G.
Se sabe que
-> gastos = 2 0 \2 X H ~ 10
PV=PC+G
gastos =40-10 = 30

127. COLECCION ESENCIAL Lumbreras Editores
Aplicación 21
La venta de un artículo produce un gasto. Se
vende dicho artículo en S/.3300, dél cual se está
ganando el 10% del costo, siendo la ganancia
neta S/.240. ¿A cuánto ascendió el gasto?
Resolución
Nos piden los gastos,
gastos = Gb - GN
Del dato
68/r = 44 200
-> k=650
100/r-S/.65 000
Ap lic a c ió n 23
Si el radio de un círculo aumenta en un 30%,
¿en qué tanto por ciento aumenta su área?
Se sabe que
Pv = Pc+Gb -> 3300 = PC+10%PC
3°°
3300 = 110% Pr 33 0 Í = Pr
/ )Q0% c
Pc = 300x10 = 3000
Gb = 1jeí%300/ = 300
gastos = 300-240 = 60
Aplicación 22
Álex le encarga a Beto la venta de un terreno
y Beto la encarga Carlos; Carlos lo vende y se
queda con el 20%, entregando lo restante
a Beto. Beto se queda con el 15% de lo que
recibe y el resto que fue S/.44 200 se lo entrega
a Álex. ¿A cómo se vendió el terreno?
Re so lu c ió n
Como el valor del área del círculo depende
del valor del radio, llamaremos al valor del
radio 10P.
Luego
A 1=ti(10P)2 A 2= ti(13P)2
— > ÆVl=1007iP2 —> iA-2=1 697 t/?2
Como el valor del área varía, hallaremos el
valor de la variación porcentual del área.
Re s o l u c ió n
Consideremos que Carlos vendió el terreno
en 100k. Luego
- 2 0 % 1 0 0 / - - 2 0 / . - 1 5 % 80/. ---12/; ’
a
II
vOo'-<1T 169^ P^ - 1 0 0
'jpr
á i
t )06 nR2 y
C o r lo s
(ion/)
Beto
(BOA)
A le y
(68/ )
A% =
area
v final j
^ í área A ^
inicial
f área ^
inicial
x100%
x 100 %
A% = 69%

128. Capítulo 4
Regla del tanto por ciento
Aplicación 24
El precio de lista de un artículo es el doble del
precio de costo. Si se vendió haciendo una
rebaja del 10% y se ganó S/.400, calcule el
precio de venta.
Resolución
Colocamos los datos en el siguiente esquema:
G -'400 D--10% (2x)
Pc =x Pv= 90%(2x) Pf=2x
Del esquema, se cumple
* + 400 = 90%(2x)
*+400 = 180%* *
400 = 80%*
-> x= 500
Nos piden
Pv = 90/9o (2 x 5 $ $ )
Pv = 90x2x5 = S/.900
Aplicación 25
Un artículo costó S/.28 000. Si se quiere ganar
el 20%, ¿a cuánto lo debo vender?
Re s o l u c ió n
Nos piden Pv.
Recordemos que al vender un producto se
cumple
PV = PC +G
-» Pv =28 000 + 20% 28 000
■ '
--------------v--------------J
120 % 28 00Q
Pv = 120x280 = S/.33600
Ap l ic a c ió n 26
Se vende un LCD que costó S/.1312, ganan­
do el 18% del precio de venta. ¿A cuánto se
vendió el LCD?
Re s o l u c i ó n
Nos piden Pv.
Según el dato tenemos
Pc = S/.1312 y G = 18% Pv
Como
PV=PC+G -> m % P v = 1312 + 18% Pv
82% 1312 -> — Pv = 1312
v 100 v
_ 1312x100
82
S/.1600
Para investigar
Si la inflación del mes de enero fuese del 10%, y la del mes de febrero, 10%, ¿cuál será la inflación
acumulada de estos dos meses?
Á
35

129. COLECCIÓN ESENCIAL Lumbreras Editores

130. RESOLVEMOS JUNTOS
Problema N.* 1
Halle el valor de un número sabiendo que
aumentado en su 40% se obtiene 700.
A) 500
D) 450
B) 600 C) 400
E) 480
Resolución
Nos piden N.
Por dato
N + 40%N = 700
140 %N = 700
140 N
—>
100
= 700
N = Z 0Íx1OO=5oo
>40
1
Problema N.° 2
• Clave
Calcule el valor de un número tal que disminuido
en su 10% se obtiene como resultado 720.
A) 800
D) 850
B) 600 C) 900
E) 750
Resolución
Nos piden N.
Por dato
/V-10%/V = 720
90 %N = 720 -> ^ = 720
100
^ x i g O =8Qo
1
: Clave [
Problema N7 3
Si el 1% del 60% de N es igual al 30% de 2000,
halle el valor de N.
A) 100000 B) 1000
D) 1 000000
Resolución
Nos piden N.
Dato:
1 % x 60 % x N = 30 % x 2000
1 10
/ /
-> —^ x — x A/ = -— 7x2000
;oo s 400
1 1
N = 5x10x2000
N = 100 000
Problema N7
C) 10000
E) 20000
Clave
Si A es igual al 3% del 10% de 7000 y B es el
0,5% del 37,5% del 80% de 12000, calcule el
valor de 4% del B% de 5000.
A) 145
D) 189
B) 178 C) 215
E) 165
Resolución
Datos:
. A = 3//o x x I jí jí já = 3x1x7 = 21
8 = 0,5% x 37,5% x 8 0 % x 12 0.0 0
8 = 0,5x37,5x8%x12=18
Nos piden
21%. x 18% x 5 0$ $ = 21 x18% x 50=21x9=189
Clave

131. COLECCIÓN ESENCIAL Lumbreras Editores
Problema N.° 5____________
Yo tenía 40 cuadernos, de los cuales a mi
amigo Julio le di el 20%; a mi primo Pedro, el
30%; y a mi hermana Julia, el 40%. ¿Cuántos
cuadernos quedan?
A) 6
D) 8
B) 4 C) 10
E) 12
Resolución
Como a mi amigo Julio le di el 20%, a mi primo
Pedro, el 30% y a mi hermana Julia, el 40%,
entonces entregué en total 90%. Por lo tanto,
me queda el 10%, es decir
í n “ de cuadernos^h v ^ =4
^ que quedan )
} Clave
Problema N.° 6 <st* ^ * « * * ^
A un examen se presentan 80 alumnos. Se
observa que los alumnos que desaprobaron
representan el 37,5 % de los alumnos que se
presentaron. ¿Cuántos alumnos aprobaron?
A) 50
D) 60
B) 30 C) 40
E) 45
Resolución
Nos piden el número de aprobados.
—^
f n.° de
^aprobados
f n.° de
n.° de
aprobados,
= (n.° total)—
n.° de
desaprobados
aprobados
= 80-37,5%(80)
= 80-30 = 50
Clave
Problema N.’ 7
Si el 40% de A es igual al 30% de B, ¿qué tanto
por ciento de {A + 3B) es A l
A) 20%
D) 50%
B) 10% C) 30%
E) 40%
Resolución
Por dato
40%/A = 30 %ß
A 3 ji%
B 4 j¿ / 0 4
-> A = 3IC a B = 4k
-» A + 3B = 3k+3{4k)
A + 3B = ']5k
M .<íí5-: 7^
Sí 4 y ' V
Nos piden
qué tanto por ciento de 15k es 3k
5 i
x% x 15 X = X X
x% = - = 20%
5
Clave
Problema N.° B
En una granja se observó que el número de
patos, pavos y gallinas están en la relación
de 4; 6 y 5. ¿Qué tanto por ciento del total son
los pavos?
A) 25%
D) 40%
B) 30% C) 35%
E) 45%

132. Capítulo 4 Regla del tanto por ciento
Resolución
Por dato
n.° de patos
n.° de pavos
n 0 de gallinas
n.° total - 15 k
Nos piden
qué tanto por ciento de 15k es 6k
5 2
x% X y^k =
X % = - = 40 %
5
i Clave
Problema N.“ 9
En una oficina hay 32 personas, de las cuales el
25% son mujeres. Si se desea que el 60% del
personal sean hombres, ¿cuántas mujeres se
deben contratar? ' \ '
A) 5
D) 8
B) 6 C) 7
E) 4
Resolución
Nos piden x.
Sea x la cantidad de mujeres a contratar.
Ordenamos los datos en la tabla.
Cantidad
in icial
Cantidad
FINAL
Varones 24 24
Mu jeres 25% 32 = 8 8+x
Total 32 32+x
Ahora, al final
(n.° de hombres) = 60% (n.° total)
24 = ^x(32 + x)
-> 120 = 96+3x
24 = 3x
x= 8
Clave
Problema N.° 10
Si gastara el 20% del dinero que tengo y ga­
nara el 10% de lo que me quedaría, perdería
S/.840. ¿Cuánto dinero tengo?
A) S/.1500
B) S/.10 500
C) S/.4500
D) S/.6000
E) S/.7000
)
Resolución
Nos piden 100k.
Sea 100k la cantidad de dinero que tengo.
Por dato
¿ü k iUVb
ÍIOOAr 80 k 88 k
-> 12/: = 840
k = 70
100(70)=S/.7000
Clave
39

133. COLECCION ESENCIAL Lumbreras Editores
Problema N.° 11
Si la base de un triángulo disminuye en su 30%
y la altura aumenta en 10%, ¿en qué tanto por
ciento varía el área?
A) 40%
D) 25%
B) 20% C) 30%
E) 23%
Resolución
Nos piden la variación porcentual.
inicio Fina!
A ,inicial'
10A108 „ 7A11fí
: o ~50AB A fina|- -38,5 AB
^área^ f
A% =
v final j
area
inicial
f área A
-> A% =
inicial
V V. '
( 3 8 ,5 ^ - 5 0 ^ )
s o / é
x100%
x100%
A% =- !^ x ;i0 tf% = -23%
1
i Clave .
Problema N.° 12
_________________________
El precio de un artículo aumentó en 28% y su
nuevo precio es S/.2400. ¿Cuál es el precio del
artículo sin aumento?
A) S/.1920 B) S/.1750 C) S/.1825
D) S/.1850 E) S/.1875
Resolución
Nos piden x.
Sea x el precio del artículo sin aumento.
Por dato
x + 28% x = 2400
128%x = 2400
-> ¿ ^ x = 2400
;oo
25
2400x25
x=
----------=S/.1875
32
; Clave
Problema N.° 13,______________________________
Una inmobiliaria vendió un terreno en $12 000
ganando el 20% del precio de costo más el
15% del precio de venta. Halle el precio de
costo del terreno.
A) $8000
D) $8800
Resolución
Nos piden Pc
PV =PC+G
B) $8200 C) $8500
E) $9000
->12 000 = Pc + (20%PC+15°\120%
10 200 = Pr + 20% Pr=120% P,
pc=2£2ooxioo=$8500
120
Clave

134. Capítulo A Regla del tanto por ciento
Problema N/ 14
En la venta de un artefacto, cuyo precio es de
S/.5000, el cliente puede escoger entre tres
descuentos sucesivos del 5%; 10% y 20% o
tres descuentos sucesivos del 10%; 10% y 10%.
¿Cuánto ahorrará escogiendo la mejor opción?
A) S/.2970 B) S/.2790 C) S/.1355
D) S/.1580 E) S/.2700
Resolución
Analicemos cada opción.
Primera opción
-5^50)S¡&=-250 -2 0 ^ 2 7 5 ^ 8 5 5
Ahorra S/.1530
Segunda opción
-10% 5000--500 10%4050 •
A
Ahorra S/.1355.
Por lo tanto, escogiendo la mejor opción aho­
rrará S/.1580. ^
! Clave v
Problema N7 15_____________________________
¿Cuál es el aumento único equivalente a tres
aumentos sucesivos del 10%; 20% y 50%?
A) 80%
D) 98%
B) 64% C) 90%
E) 75%
Resolución
Reemplazamos 10% y 20% por un único
aumento equivalente.
í
aumentos
de 10%
y 20%
^aumento^
v unico y
10+20+
V
ijefx2 /
¥ / .
%
^aumentos ^
—>de 10%
y 20%
=32%
J
Luego reemplazamos 32% y 50% por un único
aumento equivalente.
aumentos
de 32 y 50%
\
aumento
^ único y
32+50+
16 1
3¿x5 (P
)0Ó
2
1
%
aumentos
de 32 y 50%
=98%
Clave
Próblema N7 16
¿Cuál es el descuento único equivalente a tres
descuentos sucesivos del 50%; 30% y 20 %?
A) 40%
D) 72%
Resolución
B) 60% C) 80%
E) 65%
Reemplazamos 50% y 30% por un único
descuento equivalente.
descuentos
de 50% y 30%
descuentos
de 50% y 30%
descuento
unico
J
(
5 0-3 0-
v
1 15
50x30
)QÓ
2
1
% = 65%

135. COLECCION ESENCIAL Lumbreras Editores
Luego, reemplazamos 65% y 20% por su
descuento equivalente.
descuentos
de 65% y 20%
í descuentos
" [de 65% y 20%
descuento^!
unico
65+20-
V
y
13 1 .
M
X
1
J
%=72%
! Clave \
Problema N.° 17
¿Qué tanto por ciento habrá que disminuir a
un número para que sea igual al 60% del 20%
de los - de dicho número?
3
j x \ < X X
A) 20% B) 80% C) 40%
D) 50% \ e) 60 %r
Resolución
Nos piden x%.
Consideremos que se disminuye el x% al
número N.
Por condición
100 %N-x%N = 60 % x 20 % x | x N
*/ 1 t/
-» {m -x )% N = ^ x -x ^ x N
p ^ p
1 1
( m - x ) j4 n
y&6 5
20
100-x = 20
x = 100-20=80%
: Clave [
Problema N.° 18
________________________________
Si cada una de las dimensiones de un parale­
lepípedo aumentara en 20%; 50% y 40%, ¿en
cuánto aumentará su volumen?
A) 52%
D) 148%
B) 30% C) 48%
E) 152%
Resolución
Para determinar en cuánto aumentará el
volumen, calculamos la variación porcentual.
Final
inicio
ir
OA
10 C
10 B
14 C
i
Wj = 10Ax105x10C V ?=12Ax15fíx14C
Vf=igooAfic V 2 = 2520ABC
Yvolumenj ("volumen
-> A%=
final inicial
volumen
inicial
x100%
( 2 5 2 ^ ^ - 1 0 0 ^ ^ . .
1000A8C >Ó/ °
Problema N.° 19
(252-100)%
Clave
A una conferencia asistieron 7500 personas. Si
el 87% de las mujeres y el 12% de los varones
se retiran, el 12% de los que se quedan serían
mujeres. ¿Cuántos varones se han retirado?
A) 468
D) 624
B) 482 C) 540
E) 900

136. Capítulo A Regla del tanto por ciento
Resolución
Nos piden 12x.
Resolución
En el primer artículo
Ordenamos los datos.
1 m g i
Total 100(x+y) i 88x+13y
•Se fueron
87'/ mujeres.
Dato:
1#(x+y) = 750'0/
x+y = 75
Por dato.
3 25
y í \(88x+ 13y )=13 y x )Q Ú \
264x+39y = 325y
264x=286y -4
/. 12x = 12(13x3) = 468
■ Clave
G-25x~30
Pc =100x
Ganó S/.30.
Pl/=125x= 150
ZT
En el segundo artículo
Pc =100y
Perdió S/.50.
r-¿5y~W \—
--------'
P =75y=150
:j
Por lo tanto, se pierde S/.20.
: Clave
Problema N.° 21
Si a es igual al 20% del 80% de los - de 500
3 5
y b es igual a los y del 21% de 400, ¿qué tanto
por ciento de a es igual al b% de 200?
Problema N.° 2 0
___________________________
Se venden dos artículos en S/.150 cada uno. En
uno de ellos se gana el 25% de su costo y
el otro se pierde el 25% de su costo. ¿Cuál
se gana o pierde?
A) Se gana S/.20.
B) Se pierde S/.20.
C) Se gana S/.30.
D) Se pierde S/.30.
E) No se gana ni se pierde.
A) 50% B) 120% C) 70%
D) 80% E) 150%
Resolución
Por dato
a = 2 \ \ x Q \ \ x ^ x S \ \
3 1
a = 2 x 8 x - 7 x / = 48
í
1
-> a=48

137. COLECCIÓN ESENCIAL Lumbreras Editores
b = ^ x 2 Í % x 4 \ \
3 3
b = y x/íx4 = 3x3x4
b=9x4=36
Luego nos piden qué tanto por ciento de a es
igual al b% de 200.
x \ 4 Q = 36^200
M x = ¿ é x 2 0 0
4x= 3x200=600
.v x=150%
: Clave l j
Problema N.° 22
Carlos gastó el 30% de su dinero. Luego decide
ahorrar en el banco el 75% de lo que queda.
¿Cuánto ahorra en el banco si al final se quedó
con S/.140? . \ y
S /
A) S/.140 B) S/.400 C) S/.420
D) S/.210 E) S/.800
Resolución
Sea x la cantidad de dinero de Carlos.
Por dato
(gasto)=30 %x
Entonces el ahorro será
(ahorro) = 75%
cantidad
que quedó
75%(70%x)
Nos piden 75%(70%x).
Lo que le queda ahora es
25% (70%x) = 140 (por dato)
20
1 7 > 4 Íx4x1 0
— • — • x -140 -> ^ = -Ty
-----
4 10 /
1
= 800
En consecuencia
(ahorro)=75\x70% x(8HH):=75x70%x8
(ahorro)= 6 \ X x 7 0 \ = 6x70 = S/.420
: Clave \ '■
Problema N.° 23
Si gastara el 35% de mi dinero y luego ganara
el 28% de lo que me quedaría, mi dinero dimi­
nuiría en S/.252. ¿Cuánto dinero tengo?
A) S/1600 B) S/.1800 C) S/.1450
D): S/.1500 E) S/.1200
Resolución
Sea x la cantidad de dinero que tengo.
Nos piden x.
Del dato, al gastar el 35 % de mi dinero, lo que
quedaría será 65 %x. Luego al ganar el 28% de
lo que quedaría, tendría
128%(65%x)=83,2%x
En consecuencia, la cantidad inicial disminuyó
en 16,8 %x.
Dato:
16,8%x=252
16,8x
—>
100
= 252
x=S/.1500
; Clave

138. Capítulo A Regla del tanto por ciento
Problema N/ 24
Dadas, las siguientes proposiciones, indique
verdadero (V) o falso (F) según corresponda.
I. Dos aumentos sucesivos del 10% y 20%
equivalen a un aumento único del 30%.
II. Si al precio de un artículo se le aumenta un
10% y luego se le disminuye en un 10%,
entonces el precio no varía.
III. El precio de venta de un artículo siempre
es mayor que el precio de costo.
A) FVV
D) VFV
B) FFV C) FFF
E) FVF
Resolución
I. Falsa
^descuentos sucesivos"
de 10% y 20%
f
10 + 2 0-
l / x 2
k 1jW
Du=(30-2)%=28%
II. Falsa
%
T
precio
de costo
Falsa
precio
final
nuevo
precio
10% 110=11
Del enunciado anterior, se observa que al
vender finalmente a S/.99, se produjo una
pérdida de S/.9, luego, se tiene que
S/.100 > S/.99
precio precio final
de costo (venta)
i Clave .
Problema N.° 25
En un recipiente^ de 80 L, el 90% es gaseosa y
en otro B de 120 L el 60% es gaseosa. Si estos
recipientes se juntan en uno solo, ¿qué tanto
por ciento del volumen total será gaseosa?
A) 75%
D) 72%
Resolución
Del problema
B) 60% C) 50%
E) 80%
^ ~ = = f
caseosa— *• -
otro —M
gaseosa —
80 L
90% 80=72
120 L
60% 120=72
Al juntar los contenidos de ambos recipientes
en uno solo, tenemos
< 1 v.fc: .
otro-
200 L
Nos pedían qué tanto por ciento del total es el
volumen de gaseosa.
x% 200=144
o/ ,
200
144
x% =
----x100%
200
x%=72%
i Clave

139. COLECCION ESENCIAL Lumbreras Editores
Problema N/ 26
De los 120 alumnos de un colegio, el 30% son
damas. ¿Cuántos varones hay?
A) 80
D) 36
B) 84 C) 45
E) 25
Resolución
Ordenamos los datos.
Varones
Cantidad Porcentaje
7x12 70% 4-
Mujeres
................
3x12 30%
120=10x12 100%
i?
E s t á n e n la
- , p r o p o r c ió n
Por lo tanto, hay 7x12=84 varones.
i Clave
ó- 77° 27
Me deben el 15% del 20% de S/.5400 y me
pagan S/.42. ¿Cuánto me deben todavía?
A) S/.100
D) S/.120
B) S/.132 C) S/.130
E) S/.140
Resolución
Calculamos la cantidad de dinero que me
deben.
deuda = 15 % x 20 \ x 54 j í $
deuda = 15% x 20x54
—> deuda= 3H H Xx 54
deuda=S/.162
Ahora, como me pagan S/.42, la cantidad que
todavía me deben será 162-42 = S/.120.
: Clave
Problema N.° 28
Se tiene un recipiente con cierto líquido. Si se
extrae el 30% de lo que no se extrae y luego
se devuelve 25 L, calcule la capacidad del reci­
piente al inicio. Considere que faltan 35 L para
que esté lleno.
A) 240 L
D) 260 L
Resolución •
Tenemos
B) 200 L C) 130 L
E) 400 L
■ S e e.
Dato: Se extrae el 30% de lo que no se extrae,
quiere decir que
^volumen^
extraído
30%
volumen no x
extraído
Luego
volumen
n extraído
volumen
no extraído
_3_
10
-»
volumen
extraído
= 3 k a
volumen
vno extraído
= m

140. Entonces en el recipiente, luego de devolver
25 L tenemos.
Q 4
Se extrae.
No.se extrae.
CMC' ?
Falta por llenar 35 L.
Se devuelve 25 L.
Del gráfico
* = 91-36,4
x = S/.54,6
Clove
Problema M2 30
Del gráfico
: 25+35=60=3 k
-> k=20
Por lo tanto, la capacidad al inicio era de i
13/c=260 L. \ ;
; Clave [
Problema N.° 29
El señor Becerra dispone de S/.140 que repartirá j
de la siguiente manera: el 35% a su hermano ;
mayor, el 40% del resto a su hermano menor y i
lo restante a su ahijado. ¿Cuánto le c’orrespon-, j
dió a este último?
A) S/,80,5 B) S/.50,5 C) S/.54.6
D) S/.58,3 E) S/.60,6
Durante la primera cuarta parte de un cam­
peonato de fútbol, un equipo ha ganado el
40% de los puntos posibles. ¿Qué tanto por
ciento de puntos debe ganar en el resto del
campeonato para que al finalizarlo tenga el
70% de los puntos posibles?
A) 30% B) 58% C) 90%
D) 58,5% E) 80%
Resolución
Sea 4P el total de puntos posibles que se
pueden obtener en todo el campeonato. Lue­
go, el total de puntos posibles que se puede
ganar en la primera cuarta parte será P.
Ahora, consideremos que en el resto del cam­
peonato ganó el x% de los puntos posibles, tal
que al finalizar tiene el 70% del total de puntos
de todo el campeonato.
Resolución ( puntaje en '
puntaje en ^
Graficamos
la 1.a cuarta+el resto del
v parte x ^campeonatos
^puntaje^
^ total J
total
ahijado
-> 4 0 \ / + x \ { 3 / ) = 7 0 \ { 4 / )
40 + 3x= 280
3* =240
x = 80%
Clave

141. COLECCIÓN ESENCIAL Lumbreras Editores
Problema N.° 31
Si compro un televisor a S/.12000 y lo quiero
vender ganando el 20%, ¿a cuánto lo debo
vender?
A) S/.14400 B) S/.12200 C) S/.22000
D) S/.1240 E). S/.14440
Resolución
Recordemos que cuando se realiza la venta de
un artefacto o producto en general se cumple:
Pv =PC + ganancia
20% P r
K .. O í •. ' V N '- \ .
-> Pv ='\20% Pc
Pv=120%(12000) -> p^ = 120x120^,0
W
/. Pv= S/.14400
i Clave [
Problema N.° 32
Si compré un departamento en S/.42 000 y
quiero venderlo ganando el 40% del precio de
venta, ¿a cuánto debo venderlo?
A) S/.50000 B) S/.49000 C) S/.58000
D) S/.80000 E) S/.70000
Resolución
Nos piden el valor del precio de venta.
Utilizamos
Pv = PC + ganancia
L ' Y J
407, P
Entonces
Py - 40 %Py - Pc
60 %PV = PC
-5PV = Pc
5 x P ,
fi,=
----^
14000
-> Pl/ =
5x424300
1
Pv = 5x14000
Pv= S/.70000
: Clave
Problema N7 33
Una botella de aceite sube su precio en un
20%. La botella de aceite cuesta finalmente
S/.5,40. ¿Cuánto costaba antes de la subida?
A) S/.3,20 B) S/.5,10 C) S/.5,20
D) S/.4,50 E) S/.4,80
Resolución
Nos piden el precio inicial de la botella de
aceite.
Como el precio de la botella de aceite sube
en su 20%, el precio final que tendrá será del
120% del precio inicial, es decir
^precio^
final
= 120%
/ precioA
inicial

142. Capítulo 4 Regla del tanto por ciento
Reemplazamos
5,40=
yuS
y tá
5
precio
inicial
—■>
precio |_
inicial j
(5,40x5)
Aprecio''
v inicial
= S/.4,50
Clave •
Problema N.° 34
¿A qué precio se debe fijar el precio de un DVD
para que al venderlo con un descuento del 20%
aún se gane el 10% si el descuento excede en
S/.35 a la ganancia obtenida?
A) S/.320
D) S/.300
B) S/.285 C) S/.275
E) S/ 450
Resolución
Ordenamos los datos.
G ~ 1 (4Ac) D=1
Pc=10(4/r)
PV-
Pr= 5[1U]
Como se descuenta el 20%
D=20% PF -> -^- = 20% = ^-
Pero como se gana el 10%
G=10% Pc -> — = 10% = —
Del gráfico se deduce
/V=11x(4A) = 4 x [M j
Por dato
D - G =35
11Ar -4^ = 35 -> k= 5
lk
Por lo tanto, el precio fijado es 5x11x5=S/.275.
Clave •
Problema N.‘ 35
_____________________________
Un comerciante determina que el máximo
descuento que puede realizar al vender un
artículo, de tal manera que no gane ni pierda,
es del 20%. ¿Qué tanto por ciento debe
descontar al momento de realizar la venta del
artículo para que pueda ganar el 12,5%?
A) 8,5% ,B) 9%
D) 7%
Resolución
C) 12%
E) 10%
Como no debe ganar ni perder, entonces
pv = pc
P V~PF ~ P
20% Pr
80% PF = Pc = m k
Como no se indica el valor del costo, lo repre­
sentamos así: 100 k.
- x P F = m k -> PF =
m k
4
5 = 125 k
Luego
G-1< so, roo*
Pc=100k Pv =W2,5k P/r=125Ar
A

143. COLECCION ESENCIAL Lumbreras Editores
Observamos que 12,5k de 125k representa su
décima parte, es decir, su 10%.
Por lo tanto, debe descontar el 10%.
t ....
i Clave \
Problema N/ 36
Si compro una refrigeradora en S/.2000 y
quiero venderla ganando el 30%, ¿a cuánto
debo venderla?
A) S/.2400
D) S/.2900
B) S/.2800 C) S/.2600
E) S/.3000
Resolución
Como quiero ganar el 30%, debo venderla en
Pv = PC + (ganancias)
-> Pv = 2000 + 3 0 ^ (2 0 / / )
Pv =2000 + 30x20
P\/= S/.2600
Problema N.° 37
' Clave '■
Un artículo se vendió en S/.9000 ganando el
15% del precio de venta. ¿Cuál fue su costo?
A) S/.7550 B) S/.7650 C) S/.6550
D) S/.7800 E) S/.6500
Resolución
Como se vendió dicho artículo en S/.9000,
entonces
Pv = 9000
Pc + (ganancia) = 9000
b% 9000
Entonces
Pc = 9000-15% 9000
Pc = QS°/o 90jÁjÚ '
-> Pc = 85x90
Pc = S/.7650
: Clave
Problema N. 38
El 80% de las aves de una granja son palomas,
el 10% del resto son gallinas y'las 27 aves
restantes son pavos. ¿Cuántas aves hay en la
granja?
A) 200 :,y;\ B) 120
D) 150
ffesoludón
Ordenamos los datos.
total, de aves
80%
---------- 20%
restos
C) 130
E) 140
m k
palomas
80 k
10%
n
gallinas
20 k
pavos
m
Pero por dato del problema tenemos
18/r = 27
2k = 3
-» 100^ = 150
> '5 0
Por lo tanto, hay 150 aves en la granja.
i Clave

144. ^ ^ ^ ^
---------
Problema N.° 39
Un padre reparte cierta cantidad de dinero
entre sus cuatro hijos. El primero recibe el
50%, el segundo recibe el 25%, el tercero
recibe el 20% y el cuarto los S/.5 restantes.
¿Cuánto dinero repartió en total el padre?
A) S/.100 B) S/.240 C) S/.80
D) S/.150 E) S/.140
| A) Aumentó en 2%.
B) Disminuyó en 1%.
C) Aumentó en 1%.
D) Disminuyó en 2%.
E) Disminuyó en 1,5%.
Resolución
■ Tengamos en cuenta que no se indica el
valor de la mercadería. Entonces asumiremos
un valor de 100x.
Resolución
Ordenamos los datos.
total a repartir
Entre los tres primero!» Recibe lo Q
ya repartió 9Sk. que quedo' v
Por dato
Sk=S k =1
Por lo tanto, en total el padre repartió
t-10% 1()0x=+10x %
100x W x 99x
f Ei precio disminuyo en Iv
Por lo tanto, como el precio disminuye final­
mente en 1x de 100x, podemos afirmar que el
precio de la mercadería disminuyó en 1%.
I* „ i Clave \ )
Jp •
.............i *.. •
Problema N.* 41
Se vendió un artículo ganando el 20% sobre
el precio de venta. ¿Qué tanto por ciento se
gana sobre el precio de costo en la venta de
dicho artículo?
100(1)=S/.100.
; Clave
A) 25%
D) 18%
B) 30% C) 22,5%
E) 12,5%
Problema N.° 4 0
______________________________
Una mercadería se encareció en un 10% y lue­
go se abarató en un 10%. ¿En qué tanto por
ciento aumentó o disminuyó el precio de la
mercadería?
Resolución
Recuerde que
P y=P C+G
PV=PC+(20%—>
5^
4
(*)
80 %PV=PC

145. COLECCION ESENCIAL Lumbreras Editores
Tenemos los siguientes valores:
Pv=Sk y Pc =4k
Reemplazamos estos valores en (* *).
5k = 4k+G
-> G = k
Luego, consideremos que en esta venta se
ganó el x% sobre el precio de costo.
G = x%P¡
c
—>/ = x%4 /
1
x% = — = 25%
4
: Clave ••
Problema N.° 42
En una reunión hay 8 mujeres y 12 varones.
¿Cuántos varones se deben ir para que el
porcentaje de mujeres presentes aumente a
80 %?
A) 10
D) 6
B) 7 C) 8
E) 4
Resolución
Calculamos primero qué tanto por ciento del
total son las mujeres.
n.° de varones = 12
n.° de mujeres = 8 —+x%
n.° de personas = 20 —► 100%
Luego
* % = 8X100%=40%
Considerando que la cantidad de mujeres
que hay ahora representa el 80% del total,
entonces se deduce lo siguiente:
n.° de varones = 2 \—►20%
n 0 de mujeres = 8 J ► 80%
n.° de personas = 10-> 100%
En consecuencia, deberán quedar solamente
2 varones.
Por lo tanto, se deben ir 12-2 = 10 varones.
: Clave •• ;
Problema N.° 43
La mano de obra y las gratificaciones suman
el 40% del valor de una obra. Si las gratifica­
ciones representan el 60% del importe de la
mano de obra, ¿qué tanto por ciento del valor
de la obra importa solo la mano de obra?
A) 20%
D) 28%
B) 25% C) 22%
E) 30%
Resolución
Consideremos lo siguiente:
• Mano de obra: M
• Gratificaciones: G
Por dato del problema tenemos
M+G = 40 %(obra)
M+60 % M = 40 %(obra)
—> 160XM = 40X(obra)
1
M =—(obra)
4
M = 25%(obra)
; Clave20

146. Capítulo 4 Regla del tanto por ciento
Problema N.° 45Problem a M.° 44
_____________'
Un auto se ha vendido en S/.12000 ganando el
20% del precio de costo más el 15% del precio
de venta. ¿A cómo se hubiera vendido si se
hubiese ganado el 35% del precio de costo?
A) S/.13 500 B) S/.10500 C) S/.11475
D) S/.12745 E) S/.13750
Resolución
Se sabe que
PV=PC+G
Entonces
100% Pl/=Pc +20% Pc +15%Pl/
Q5%Pv = m % P c i
100 1 . ' I eC | | >r ¡ f
8 5 X 1^000 = Í2Qn \ P C
-> Pc=85x100 =S/.8500
Luego, si este auto se hubiera vendido ganando
el 35% del precio de costo, el nuevo precio de
venta sería
-+ pr =85 000 + 35% 8500
2 9 7 5
Pv = S/.11475
: Clave .
•
.................*i♦ . .
En una empresa, el 40% del personal
masculino y el 30% del femenino asisten a
una capacitación sobre productividad. Si el
20% del personal es femenino, ¿qué tanto por
ciento del personal asiste a dicha capacitación?
A) 38% B) 36% C) 30%
D) 42% E) 34%
Resolución
Como no se especifica el total de personas,
podemos suponer que son 100. Luego
ALÍSTEN (38) NO ASISTEN
32
.j^ U J C R E ^ O )
w-'..-■ ... •: iá. • ’& . -.
6
Total: 100
Observemos que
• 40% 80=32
• 30% 20=6
Por lo tanto, asisten 38 de 100; es decir, el 38%.
; Clave {
53

147. PRACTIQUEMOSLO APRENDIDO
1. ¿Cuál de las siguientes alternativas repre­
senta el menor valor numérico?
A) el 120% del 5% de 400
B) el cuádruple dél 40% de 20
C) el doble del 40% de 75
D) la mitad del 50% de 400
E) el 20% del 40% de 600
2. Dos números (A y B) están en la relación
de 2 a 5, y C es tres veces más que B.
¿Qué tanto por ciento representa A
respecto de C?
A) 20% B) 10% C f1 5 % % ,
D) 12,5% / E) 25%
w í-í'ív » l i l i l í s
3. El 20% de lo que tengo excede al 30% de
lo que tienes en S/.20. Si entre ambos te­
nemos S/.500, ¿cuánto tengo más que tú?
A) S/.205 B) S/.90 C) S/.180
D) S/.50 E) S/.160
V * *
4. De un grupo de 3000 personas, el 40%
son hombres. Si se retira la mitad de los
hombres, determine qué tanto por ciento
del total representa ahora la cantidad de
mujeres.
A) 50% B) 60% C) 75%
D) 80% E) 72%
5. ¿A qué descuento único equivalen los
descuentos sucesivos del 40%; 20% y
50 %?
A) 80% B) 76% C) 60%
D) 50% E) 62,5%
6. ¿A qué aumento único equivalen tres
aumentos sucesivos del 20%; 40% y
12,5%?
A) 89% B) 90% C) 70%
D) 50% E) 72,5%
7. Al sueldo de un empleado se le hace un
aumento del 20% al comenzar el año, y en
el mes dejulio un aumento del 10% sobre el
total. ¿Qué tanto por ciento del sueldo del
año anterior estará recibiendo en agosto?
A) 120% B) 130% C) 132%
D) 125% E) 140%
8. El 50% de A es igual al 35% de B. ¿Qué
tanto por ciento de (5A + 78) es (A + B),
aproximadamente?
A) 15% B) 15,3% C) 17,4%
* < ;J)Jl6 ,2 % E) 19%
9. Si la razón aritmética del 20 % de A y el 40 %
de B es 20, además la razón geométrica del
40% de A y el 60% de B es - , halle A+B
2
A) 1000 B) 1100 C) 1200
D) 1300 E) 1400
10. Si el largo de un rectángulo aumenta en
20% y el ancho disminuye en 20%, ¿cómo
varía su área?
A) Novaría.
B) Aumenta en 4%.
C) Disminuye en 4%.
D) Aumenta en 8%.
E) Disminuye en 8%.

148. Capítulo A Regla del tanto por ciento
11. En un salón de clase, el 70% son varones.
Si falta el 25% de las mujeres y solo asisten
18 mujeres, ¿cuál es el total de alumnos del
salón?
A) 90 B) 75 C) 80
D) 150 E) 420
12. Al vender una cocina eléctrica en S/.650 se
ganó el 30%. ¿Cuál fue su precio de costo?
A) S/.625 . B) S/.450 C) S/.550
D.) S/.500 E) S/.425
13. ¿Qué tanto por ciento del costo perdería
al vender a 5/.1000 un artículo que costó
S/.1250?
i §t|p|k m
A) 5% B) 10% \ Cb20%
D) 25% \ .E ) 1 2 ,5 % /
■ 14. Se vende un artefacto a S/.600 y se gana
el 20% del precio de venta. ¿A cuánto se
debe vender para ganar el 50% del precio
de costo?
A) S/.800 B) S/.900 C) S/.720 .
D) S/.640 E) S/.840
15. Juan pregunta en una tienda qué des­
cuento le pueden hacer por la compra de
un repuesto, y le responden que el 20%.
Luego va a otra tienda y lo compra con un
descuento del 25%, ahorrándose S/.35.
¿Cuánto costaba el repuesto si en ambas
tiendas el precio del repuesto es igual?
A) S/.700 B) S/.600 C) S/.800
D) S/.750 E) S/.500
16. Al comprar mi nuevo equipo de sonido me
hicieron un descuento del 20%, ahorrán­
dome $80. ¿Cuánto me hubiera ahorra­
do si el precio del artículo hubiera estado
10% menos?
A) $70 B) $52 C) $40
D) $39 E) $60
17. Una persona gasta el 20% de lo que
tiene, luego el 30% de lo que le queda y,
por último, gasta el 40% del nuevo resto,
quedándose con S/.336. ¿Cuánto tenía al
principio?
A) S/.1000 B) S/.1500 C) S/.590
D) S/.800 E) S/.950
ii/-. ¿I?* r(.
18. En un clínica, del total de pacientes, se sabe
que el 30% son ancianos, el 50% son niños
y el resto son adultos. Si se da de alta al
40% de los ancianos, al 10% de los niños y
al 15% de los adultos, determine qué tanto
por ciento de pacientes salieron de alta.
A) 40% B) 65% C) 25%
D) 30% E) 20%
/
19. Las cantidades de dinero que tienen Luis y
José están en la relación de 3 a 10. Si José
gastara S/.1580, y dándole a Luis S/.2500,
tendría el 80% del dinero que ahora tiene
Luis. Determine cuál era el dinero de José.
A) S/.7000
B) S/.7500
C) S/.8000
D) S/.6000
E) S/.6500
55

149. COLECCION ESENCIAL Lumbreras Editores
20. Un cajón contiene 8% de huevos rotos del
total. Si el 10% de la diferencia de este total
y los huevos rotos es 161, halle el-número
total de huevos.
A) 1750
D) 350
B) 1700 -C) 850
E) 246
21. Si Manuel pierde el 30% de sus aves y luego
le regalan el 20% dé las que le quedaban,
entonces la cantidad de aves disminuye en
120. ¿Cuántas aves tenía al inicio?
A) 840
D) 960
B) 720 C) 650
E) 750
22. Un temo se vendía en S/.500 ganándose
el 25% del costo. Si el costo de su confec­
ción ha subido en 10%, ¿cuál será el nuevo
precio de venta si el tanto por ciento de
ganancia no cambia?
A) S/.450
B) S/.550
C) S/.520
D) S/.435
E) S/.610
23. En un salón de clase, el 60% de los estu­
diantes aprobaron el examen de Mate­
mática. Al revisar otra vez las evaluacio­
nes, el docente se dio cuenta de que seis
de los estudiantes habían aprobado el
examen, por lo que el tanto por ciento de
aprobados finalmente fue 72%. ¿Cuántos
estudiantes dieron el examen?
A) 55
D) 60
B) 50 C) 54
E) 48
24. Dos amigos [A y B) tienen juntos un ca­
pital de S/.240 000. La razón de la parte
que tiene A respecto a la de B es de 1 a
5. ¿Dentro de cuántos meses estarán sus
capitales en la proporción de 1 a 3 si cada
uno incrementa su capital en S/.4000 men­
sualmente?
A) 20
D) 10
B) 5 C) 15
E) 4
25. Una persona vendió dos libros en S/.99
cada uno. En el primero ganó el 10% de su
. costo, mientras que en el segundo perdió el
10% de su costo. ¿Cuánto ganó o perdió?
A) Ganó S/.2.
B) Perdió S/.2.
C) Ganó S/.4.
i? D) Perdió S/.4.
E) No ganó ni perdió.
• \]¡jsr
26. En una caja hay cierta cantidad de lapice­
ros, si el 60% es azul, el 25% del resto es
rojo y el resto es de color negro, ¿qué tanto
por ciento del total es de color negro?
A) 22%
D) 30%
B) 24% C) 26%
E) 35%
27. De un festival se retiró el 30% de los
asistentes. Después de cierto tiempo lle­
gó el 20% del número de asistentes que
quedaron y ahora se observa que hay en
total 252 personas. ¿Cuántas personas se
habían retirado inicialmente?
A) 80
D) 100
B) 70 C) 90
E) 120

150. Capítulo 4 Regla del tanto por ciento
28. Una ciudad está dividida en dos grupos i
(A y B). El 48% de la población es del j
grupo A y el resto es del B. ¿Qué porcen- i
taje de la población de A se debe pasar
a B para que la población de A sea a la
de B como 9 es a' 16?
A) 15% B) 12,5% C) 20%
D) 12% E) 25%
29. ¿Cuál es el precio de costo de una bici­
cleta que se ofrece en S/.600 si se sabe que
luego de hacer un descuento del 30% aún
se gana el 20%?
A) S/.300 B) S/.350 C) S/.380
D) S/.400 / E)§S/.420
3 0 . El salario de Juan se redujo en un 20%. ¿En
qué tanto por ciento se deberá aumentar
su nuevo sueldo para que reciba su salario
original? ' % ¡f&
A) 20% B) 25% C) 30%
D) 22% E) 27,5%
3 1 . Me deben el 34% de 900 y me pagan
S/.250. ¿Cuánto me deben aún?
A) S/.62 B) S/.70 C) S/.58
D) S/.56 E) S/.66
32. ¿Cuántas de las siguientes proposiciones
son verdaderas?
I. El 3 por 5 de 80 es 48.
3
II. El 3 por 7 es y.
III. El 10% de 120 es 10.
IV. El 200% equivale a 2.
V. El 15% es equivalente al 3% de 5.
A) 1 B) 4 C) 5
D) 2 E) 3
33. En un pequeño pueblo de la capital, el total
de habitantes es 3600; después del terre­
moto fallecieron el 10%. ¿Cuántos habitan­
tes quedaron vivos?
4 *
A) 3240 B) 3000 C) 3200
D) 3500 E) 3340
34. Se tiene un recipiente con cierto líquido. Si
se extrae el 25% de lo que no se extrae
y luego se devuelven 60 L, calcule la
capacidad del recipiente al inicio. Considere
que faltan 20 L para que esté lleno.
A) 320 L B) 420 L C) 500 L
D) 300 L E) 400 L
1 ; 5 9 ! 13
t
17 : 21 25 29 33
2 6 10 ■ 14
i 18 22 26 30 34
3 . 7 11 15 19 23 27 31
4
i
8 12 16 20 24 28 32

152. A sus 34 años, Ronaldinho ya no juega como antes... Su
desempeño ha disminuido, pero eso no significa que su
imagen haya pasado por lo mismo. Es así que el Querétaro
lo fichó por dos millones de euros, y al día de hoy ha visto
cuadruplicada su inversión.
Según datos de la agencia MX Sports, el Querétaro ganó
ocho millones de dólares por entradas y venta de camise­
tas de Ronaldinho. Lo curioso es que la prenda que usa el
volante brasileño en cada partido cuesta un 25% más que
la de cualquier otro jugador del equipo; por ello él en una
ocasión se puso cuatro camisetas diferentes, mostrando la
versatilidad del elenco'mexicano. La intención del club es
que los hinchas se comprometan con el club y compren las
casaquillas del astro brasileño.
Aprendizajes esperados
• Comprender la necesidad e importancia del estudio de la
regla de interés en la vida cotidiana.
• Reconocer los elementos que intervienen en el cálculo de
la regla de interés.
• Diferenciar las clases de interés; simple y compuesto para
calcular el beneficio de un préstamo.
• Aplicar las relaciones matemáticas que se obtienen entre
los elementos de la regla de interés.
¿Por qué es necesario este conocimiento?
El tema de los intereses cobrados por los agentes prestamis­
tas a las empresas tiene gran importancia en la actualidad, ya
que estos son la principal fuente de obtención de recursos a
corto plazo. Por ello es necesario hacer un pequeño análisis
de los montos que son devueltos a los prestamistas y la forma
de calcularlos, ya que el interés que se cobra por uno u otro
préstamo puede variar su monto de acuerdo a factores que
serán posteriormente explicados.

153. COLECCION ESENCIAL
Lumbreras Editores
Dato curioso
Justificación del interés
En economía y finanzas, una
persona o entidad financiera
que presta dinero a otros es­
perando que le sea devuelto al
cabo de un tiempo espera ser
compensada. Por ello, lo común
es prestarlo con la expectati­
va de que le sea devuelta una
cantidad ligeramente superior
a la inicialmente prestada, que
le compense por la dilación de
su ’consumo la inconveniencia
de no poder hacer uso de ese
dinero durante un tiempo. Ade­
más, esperará recibir compen­
sación por el riesgo asociado a
que el préstamo no le sea de­
vuelto o que la cantidad que le
sea devuelta tenga una menor
capacidad de compra debido a
la inflación.
Regía de interés
1. CONCEPTO
Es un procedimiento que permite determinar la ganancia
generada por un capital que ha sido depositado, prestado o
invertido en un tiempo y a tasa de interés determinada.
2. ELEMENTOS
Interes
( Capital Monto J
Tasa'de interés J
Tiempo
2,1 Capital (Q
Es el dinero que se va a ceder o imponer en un tiempo para
generar una ganancia.
2.2, Tiempo v ¡ .
Es el periodo en el cual se impone o cede un capital.
<3É¡|¡y <0* jf íf.A
2.3. Tasa de mifrés * V " , f %T-
Es la ganancia que se obtiene por cada 100 unidades moneta­
rias en un cierto tiempo; es decir, es un tanto por ciento que se
calculará al capital.
Importante
Cuando no se menciona la unidad de tiempo referida a la tasa de
interés, se asumirá una tasa anual.
>
10% ■-> 10% anua
!J
2,4, Interés (/)
Es la ganancia que produce el capital durante cierto tiempo y
condiciones.
•2.5. Monto {M)
Es la reunión del capital y los intereses.
-
M ~C-y I

154. Capítulo 5 Regla de interés
3. TASAS EQUIVALENTES
Dos o más tasas periódicas de interés son equivalentes si con
diferente periocidad producen el mismo interés efectivo al final
de cualquier periodo.
Ejemplos
• 25% semestral o 50% anual
• 8% mensual < > 16% bimestral
• 30 % trimestral < > 10% mensual
• 12% trimestral < > 24% semestral
4. CLASES DE INTERÉS
4.1. Interés simple
Es cuando el interés no se acumula al capital, sino hasta el final
de todo el proceso de préstamo.
Ejemplo
Se desea saber cuánto se recibe como interés al prestar S/.2000
al 20% anual durante 3 años. -
Tenemos
C = S/.2000 ■ f
r% = 20% (se ganará el 20% del capital en cada año)
f = 3años
Gráficamente
/ = S/.1200
h h
S/.400 S/.400 S/.400
-----------1
|
---------
c 1 año 1 año 1 añoM
" S/.2000 ^ S/.3200 S
jCuidado!
j
( ' t'. ¡
Equivalencias comerciales del
tiempo
1 mes comercial o 30 días
1 año comercial < > 360 días
1 año común < > 365 días
1 año bisiesto < > 366 días
Importante
Cuando no se menciona qué
tipo de interés se está emplean­
do, se asume que es un interés
simple.
Luego
• Interés generado en un año: 20%x2000x1 = S/.400
• Interés generado en 2 años: 20%x2000x2 = S/.800
• Interés generado en 3 años: 20%x 2000x 3 = S/.1200
Por lo tanto, se recibirá S/.1200 en 3 años.

155. : Es un caso particular del inte-
j rés compuesto debido a que la
j capitalización se da de forma
! continua e inmediata; además
: el monto se calculará de la s¡-
;■ guíente manera:
f j - i M c ^ r%^
; donde e es la constante mate-
j mática (número de Euler).
! e « 27182
No olvide
Las- unidades de la tasa y el
^ u , ■ v■
‘ “ meas/tiempo deben ser homo qéi
,\1 ¡ i
m m s im m JtA iÉ M tx fe vm m á® .
n.° de años anual
n.° de bimestresbimestral
n.° de semestressemestral
diario
Cálculo del interés simple
/= Cxr%xf
_____________________7
donde la tasa (r%) y el tiempo (f) deben estar en las mismas
unidades.
Ejemplos
Ta s a (r% ) Ti e m p o (f)
anual en años
semestral en semestres
mensual en meses
4.2. Interés compuesto
Es cuando el interés no se retira sino se va acumulando al ca­
pital inicial formando nuevos capitales para volver a producir
interés. Este proceso es conocido como capitalización.
Ejemplo
Se desea saber cuánto de interés se recibirá al prestar S/.2000
al 20% anual durante 3 años y capitalizable anualmente.
Tenemos como datos que OS/.2000; r% = 20% y t = 3 años.
Además es capitalizable anualmente, esto significa que en cada
año el interés se acumula al capital.
Gráficamente
S/.2000 M1 = 2400 M2 = 2880 M3 = 3456
/1:20%x2000/2: 20%x2400l3: 20% x2880
S/.400 S/.480 S/.576
1 año 1 año 1 año
Se observa que
M.| = C+A, = 2400
M2 = M^ + I2 = 2880
M3 = M2 + /3 = 3456
Luego
f interés _
compuesto!- ^
t
S/.400
+ ¡2 +
t
S/ 4R0
/3 = S/.1456
Î

156. Capítulo 5
También
ínteres
vcompuestoJ
= monto
í
S/.3456
capital = S/.1456
t
' S/.2000 ■
Cálculo dei monto
M = C x (100 %+r%)n
donde n es el número de periodos de capitalización.
Del ejemplo anterior, calcularemos el monto.
Datos:
-• C = S/.2000 - tiempo=3 años
r% = 20% anual
-» M = 2000 x (100%+20%)3
M - 2000x(120'%)3 —> M = 2 0 0 0 x |J ^ j
+ 4
M = 2000x
6^
V5
= 2000x
6“
r
M = 2000 x — = 3456
125
Además, la tasa y el tiempo deben estar en las mismas unida­
des del periodo de capitalización.
Pe r i o d o d e Ta s a d e i n t e r é s
C A P I T A L I Z A C I Ó N ( f l )
m
anual
semestral
anual
semestral
en anos
en semestres
Aplicación 7
¿Cuál es el capital que coloca Daniela al 25% durante 3 años
para obtener un interés de S/.1620?
Resolución
Datos:
- / =1620 - t=3años
- r% =25% anual - C=?
importante
Número e
El número e, conocido como
número de Euler o constante de
Euler, es considerado el núme­
ro por excelencia del cálculo. La
función ex describe el compor­
tamiento de acontecimientos
físicos, como la velocidad de va­
ciado de un depósito de agua,
los fenómenos eléctricos, elec­
trónicos, biológicos, químicos y
muchos más.
El número e, al igual que el nú­
mero pi (re) y el número áureo (cp),
es un número irracional. Su valor
aproximado es el siguiente:
63

157. COLECCION ESENCIAL Lumbreras Editores
No olvide
interés=capitalxtasax tiempo
NNN
:"~EL
mismas unidades - :
Luego
1620=Cx25%x3
1620=Cx75%
T Í
-» 1620=Cx^—7
>00
1620=Cx—
4
/. C=S/.2160
s? %
Aplicación 2
Calcule el interés producido por S/.3000 im­
puestos durante 3 años al 30%.
x W
Resolución
Datos:
- c =S/.3000
- t = 3 años
- r% = 30% anual
- / = ?
Se observa que la tasa y el tiempo están en
las mismas unidades. Entonces utilizaremos la
siguiente relación:
l= C xr% xt
Re s o l u c ió n
Datos:
- C=S/.750
- r%=10% anual
- f=3años
- M=?
Para calcular el monto, necesitamos calcular el
interés.
interés = capital x tasa x tiempo
i i- l i
/ = 750 x 10% x 3
-> 1= 225
No olvide
monto = capital interés
—> M = 750+225
M=S/.975
Aplicación 4
Yanet depositó $2400 en un banco que le
paga una tasa de interés de 5% trimestral.
Calcule cuánto ganará después de 10 años.
Resolución
Datos:
- C=S/.2400
- r%=5% trimestral
- f =10 años
- ganó=/=?
/=3000x30%x3
1=S/.2700
Aplicación 3
Luis deposita $750 en un banco a interés sim­
ple a una tasa del 10% anual durante 3 años.
¿Cuánto es el monto al finalizar el periodo de
tiempo?
'X
Observación
La tasa y el tiempo no están en las mismas
unidades.
Entonces
5% trimestral o 20% anual
H Z _________________________
x4

158. Es decir 20% anual porque un año tiene cuatro
trimestres.
Ahora calcularemos el interés.
interés = capital x tasa x tiempo
i -1 1 I
/ = S/.2400 x 20% x 10
/=S/.4800
Por lo tanto, en 10 años ganará S/.4800.
Aplicación 5
Resolución
Del enunciado del problema, tenemos
interés (C)
-------------— ►
capital (C) -
---------- tasa=r% anual
_______________________________I
tiempo: 20 años
Sabemos que
interés = capital x tasa x tiempo
i- l l 1
C = C x r % x 20
Determine el interés generado al depositar
S/.3600 al 9% trimestral durante 8 meses.
r= 5
Resolución
Datos:
- OS/.3600
- r% =9% trimestral
- f=8 meses
Observación
La tasa y el tiempo no están en la misma uni-,
dad de tiempo.
Ui 111 :
___—---------C : . . - .
Entonces
9% trimestral < > 3% mensual
Por lo tanto, la tasa debe ser el 5% de interés
simple.
Ap lic a c ió n 7
Don Daniel deposita $8000 en un banco a una
tasa del 10% anual capitalizable anualmente
durante 3 años. Calcule el monto obtenido.
Re s o l u c i ó n
Del enunciado, analizamos los datos.
- C=S/.8000
- r%=10% anual
- t =3 años
- periodo=capitalización anual
Sabemos que
interés = capital x tasa x tiempo
_> 1= 3600x 3%x8
/ = S/.864
Ap l ic a c ió n 6
Calcule el tanto por ciento de interés simple
al que deberá prestarse un capital para que al
cabo de 20 años los intereses sean equivalen­
tes al capital prestado.
Nos piden el monto.
Mo olvide
En el interés compuesto, el monto se calcu­
la con la siguiente relación:
monto=ca pital x (100 %+r %)n
-» M=8000x(100%+10%)3
M=8000x(110%)3
Á
M=S/.10 648
65

159. Ap l ic a c ió n 8
Susana deposita'$80 000 en un banco a una
tasa de 40% anual capitalizable trimestral­
mente durante un año. Calcule el monto ob­
tenido y dé como respuesta la suma de cifras.
Re s o l u c ió n
Observación
| !? • v • - :
<•
40% anual 1 año [/
•V
trimestral i 1 1
10% trimestrali 4 trimestres ;
V
Dato: capital=S/.80000
JÊMÊP a
Nos piden el monto.
M=capitalx(100%+r%)n
M=80 000x(100% + 10%)4
M=80 000x(110%)4
M=S/.117128
Por lo tanto, la suma de cifras del monto
obtenido es 20.
Ap l ic a c ió n 9
Calcule el monto producido por S/.3690 que
se han impuesto al 30% durante 10 semestres.
Re s o l u c ió n
Según el enunciado del problema, tenemos la
siguiente información:
- C=3690
- r%=30% o 15% semestral
- t=10 semestres
Se observa que la tasa y el tiempo ya están en
las mismas unidades, es decir, utilizaremos la
siguiente relación:
interés = capital x tasa x tiempo
-> /= 3690 x 15% x 10
/=5535
Luego, sabemos que
M = capital + interés
M = 3690 + 5535
/. M = S/.9225
Para investigar
Don Daniel se presta $150000 bajo una tasa del 20% anual convertible semes­
tralmente. ¿Cuál es la cantidad que deberá pagarse si se liquida el préstamo 18
meses después de haberlo obtenido?

160. Capítulo 5 Regla de interés

161. RESOLVEMOS JUNTOS
Problema N.* 1
________________________
¿Cuál es el interés que genera S/.2400 coloca­
dos al 10% mensual durante 3 meses?
A) S/.108 B) S/.180 C) S/.600
D) S/.160 E) S/.720
Resolución
Nos piden el interés: /.
Tenemos como datos
- r% = 10% mensual
- C = S/.2400
- t = 3 meses
Luego
l = Cxr%xt -> / = 2400x10% x 3
1 = S/.720 í \ \ \ t
j C la ve [
Problema N.c 2
_______________________ ^
Lander depositó S/.4500 en el banco a una
tasa del 20%. ¿Cuánto ha ganado en 2 años?
A) S/.5200 B) S/.4800 C) S/.1800
D) S/.3700 E) S/.3600
Resolución
Nos piden el interés: I.
Tenemos
- C = S/.4500
- r% = 20% anual
- f = 2años
Luego
l = C*r%xt -> / = 4500x 20% x 2
/ = S/.1800
; Clave \ }
¿Cuánto recibirá de interés María al prestar
S/.500 al 20% semestral durante 18 meses?
A) S/.300 B) S/.200 C) S/.700
D) S/.800 E) S/.400
Resolución
Nos piden el interés: /.
Tenemos como datos
- C = S/.500
-- r% = 20% semestral
- t=18 meses o 3 semestres
Sabemos
l = Cxr%xt —> /=500x20% x3
/ = S/.300
. I Clave \ }
m ft li*?' i* . vv\.
Problema KL 4
¿Cuánto se recibe al prestar S/.1000 al 20%
Ú A- • ipj.
durante 3 años?
A) S/.600 B) S/.1000 C) S/.400
D) S/.1400 E) S/.1600
Resolución
Nos piden el monto: M.
Tenemos como datos
- C = S/.1000
- r% =20% anual
- f = 3años
Ahora
/ = 1000x20%x3 -> / = S/.600
Luego
M = 1000+600
M = S/.1600
Problema N.° 3______________________________
i Clave [ )

162. Problema N.° 5 Problema N.° 7
¿Cuánto tiempo estuvieron prestados S/.800
que al 30% ha producido S/.4800 de interés?
A) 12 años B) 34 años C) 45 años
D) 20 años E) 24 años
Resolución
Nos piden el tiempo: t.
Tenemos como datos
- C = S/.800
- r% = 30% anual
- / = S/.4800
Sabemos
l = Cxr%xt -» 4800 = 800x30% xf
t = 20 años .....
; Clave -.
Problema N/ 6
¿Cuál es el interés que genera S/.600 impues­
tos al 5 % mensual durante 1 año y 4 meses?
A) S/.54
D) S/.50
B) S/.48 C) S/.66
E) S/.47
Resolución
Nos piden el interés: /.
Tenemos los datos
- C = S/.600
- r% = 5% mensual
- t=1 año y 4 meses o 16 meses
-> 1 = 600x5%x16
/ = S/.48
Calcule el,interés simple al ser depositados
S/.2000 a una tasa del 4% semestral durante
2 años.
A) S/.100
D) S/.200
B) S/.160 C) S/.320
E) S/.480
Resolución
Nos piden el interés: /.
Tenemos como datos
C = S/.2000
- r%-4% semestral o 8% anual
- f = 2años
Sabemos que
l = Cxr%xt
-> 1 = 2000x8%x2
/ — S/.320
; Clave
Problema NT B
Jesús depositó en el banco Latino la suma de
S/.3000 a una tasa del 6% durante 2 meses.
¿Cuánto retirará al final?
A)* S/.330
D) S/.3003
B) S/.3030 C) S/.3300
E) S/.3230
; Clave
Resolución
Nos piden el monto: M.
Sabemos que
M = C + /

163. COLECCION ESENCIAL Lumbreras Editores
Tenemos como datos
- C = S/.3000
r% = 6% anual <>— % mensual
12
- t = 2 meses
Luego
/ = S/.3000x — % x2
12
/ = S/.30
M = S/.3030
i Clave j
Problema NT 9
Mariano prestó S/.12000 al 10% bimestral para
8 meses. ¿Cuál es el monto que pagará luego
de este periodo?
A) S/.1080. B) S/.4800 C) S/.16800
D) S/.1300 E) S/.1200
Resolución
Nos piden el monto: M.
Sabemos que
M = C + I
Tenemos como datos
- C = S/.12 000
- r% = 10% bimestral
- t = 8 meses <> 4 bimestres
- / = 12 000x10% x4
-» / = S/.4800
Luego
M = S/.12 000 + 4800
i C la ve \
’
.........' i i ,. * ’
Problema NT 10
¿Qué interés produce un capital de S/.6400
prestados al 15% durante 2 años?
A) S/.320 B) S/.192 C) S/.1920
D) S/.3200 E) S/.1320
Resolución
Nos piden el interés: /.
Tenemos como datos
- C = S/.6400
- r% = 15% o 15% anual
- f=2años
/= 6400x15%x2
/ = S/.1920
; Clave
¿ Problema NT 11
Luis depositó S/.4800 en una entidad financie­
ra a interés simple a una tasa del 30% durante
6 semestres. Calcule el interés.
A) S/.4230 B) S/.3420 • C) S/.4320
D) S/.2340 E) S/.2430
Resolución
Nos piden el interés: /.
Tenemos como datos
- C = S/.4800
- r% = 30%
- t = 6 semestres o 3 años
/ = 4800x30%x3.
/ = S/.4320
i Clave .
M = S/.16800

164. Capítulo 5 Regla de interés
Problema N.* 12
Si un capital prestado al 3% mensual durante
20 meses ha producido un interés de S/.225,
¿cuánto es dicho capital?
A) S/.375 B) S/.5000 C) S/.550
D) S/.510 E) S/.735
Resolución
Nos piden el capital: C.'
Tenemos como datos
- t- 20 meses
- r% - 3% mensual
- / = S/.225
Sabemos que
l = Cxr%xt
-> 225 = Cx3% x20
C = S/.375
Clave
Problema N.° 13 '
__________ _ ^__________
¿A qué tasa se impone S/.700 tal que en
90 días produzca S/.63 de interés simple?
A) 18% B) 30% C) 34%
D) 36% E) 32%
Resolución
Nos piden la tasa de interés: r%.
Tenemos como datos
- O S /.7 0 0
- f = 90 días
- / = S/.63
Sabemos que
/ = Cxr%xt
/ = 700xr% x90 = 63 :
r% = 0,1% diario o 36%
: Clave
Problema N.* 14
____________
Si se desea obtener una renta .mensual de
S/.2000, ¿a qué tasa se debe prestar S/.50000?
A) 38% B) 40% C) 48%
D) 25% E) 18%
Resolución
Nos piden la tasa: r%.
Tenemos como datos
- C = S/.50000
- f = 1 año. (renta)
- / = S/.2000
Sabemos que
l-Cxr%xt
-> 2000 = 50000 xr% x1
r% = 40%
: Clave
Problema N,° 15
Si un capital prestado al 2,5% mensual du­
rante año y medio ha producido un interés de
S/.3240, ¿cuánto es dicho capital?
í A) S/.8000 B) S/.1400 C) S/.2600
: D) S/.7200 E) S/.2480
Resolución
Nos piden la capital: C.

165. COLECCION ESENCIAL
Tenemos como datos
- r% = 2,5% mensual o 15% semestral
- t= año y medio o 3 semestres
- / = S/.3240
Sabemos que
/ = C x r% x t
-> 3240= C x 15%x3
/. C = S/.7200
; Clave
Problema N.° 16
Miguel depositó en el banco Latino un capital
de S/.2200 a una tasa del 10% anual capitali­
zable anualmente durante 2 años. ¿Cuál es el
monto que retira?
A) S/.1680
D) S/.2900
B) S/.2662 C) S/.2872
E) S/.1972
Resolución
Nos piden el monto: M.
Tenemos como datos
- C = S/.2200
- r% = 10 % anual
- f = 2años
Como
M = Cx(100%+r%)n
-> M = 2200 x (100 %+10%)2
M = 2200 x (110 %)2
/. M = S/.2662
Problema N.’ 17
¡ Clave \
Calcule el interés generado por S/.45 000 a una
tasa del 30% trimestral capitalizable mensual­
mente durante 3 meses.
A) S/.59895 B) S/43241 C) S/.28272
D) S/.14895 E) S/.12434
Resolución
Nos piden el interés: / conlpuesto-
Tenemos como datos
- C = S/.45 000
- r% = 30% trimestral < >10% mensual
- t= 3 meses
Además, la capitalización es mensual.
Calculamos el monto.
M = Cx(100% + r%)n
-> M = 45000x(100% + 10%)3
M = S/.59895
Sabemos que
/ - M _ r
compuesto
-> /=59895-45000
/ = S/.14 895
i Clave \
Problema N.° IB
¿Cuánto se debe depositar en un banco para
que en 2 años genere un interés de S/.2400
a una tasa del 10% anual capitalizable anual­
mente?
A) S/.11428,5 B) S/.16422,6 C) S/.14321,2
D) S/.11420,5 E) S/.13 246,5
Resolución
Nos piden el capital: C

166. Capítulo 5
Regla de interés
Tenemos como datos
^compuesto - 2 4 0 0
- t=2años
- r% = 10% anual
Calculamos el monto.
M-22 500 x (100%+20 %)2
M = 22 500x(120%)2
M = 32400
Además, la capitalización es anual.
Sabemos que
^compuesto - M - C
-> 2400 = Cx(100%+10%)2-C
2400 = Cx100%2-C
Luego
l = M-C
-> / = 32400-22500
/ = S/.9900
; C/aue ■.
-> 2400 = C x
vio
■c
2400 = 1,21 C -C
2400 = 0,21 C
C = 11428,5
Problema NC19
__________
Calcule el interés al depositar S/.22500 a una
tasa del 20% semestral durante un año y capi­
talizable semestralmente.
Problema N.‘ 20
__________._________________
Ofelia deposita S/.8000 en una caja municipal
que paga una tasa del 5% semestral capitali­
zable anualmente durante 2 años. Calcule el
interés obtenido.
A) S/.1680 B) S/.1860 C) S/.2872
D) S/.2900 E) S/.1972
Resolución
Nos piden el Interés: /cornpuesto.
OOOC'OO'CXÍc<-<x <xxx>c
Observación
¡ ó
A) S/.30150 B) S/.9900 C) S/.32000 : r% = 5% semestral o 10% anual
D) S/.32400 E) S/.62000 ¡ .
Resolución
Nos piden el interes. /compuesto’
Tenemos los datos
- C = S/.22500
- r% = 20% semestral
- t=1 año o 2 semestres
: Sabemos que
i / = M - C
I -> / = 8000 x (100 % 4-10 %)2 — 8000
/ = 9680-8000 = S/.1680
: Clave .

167. COLECCIÓN ESENCIAL Lumbreras Editores
El Sr. Emerson se presta S/.1600 por 3 años a
una tasa del 25% anual sobre el saldo deu­
dor de cada año. Calcule cuánto debe pagar al
final para cancelar la deuda si cada año amor­
tiza S/.200.
A) S/.2100 B) S/.2500 C) S/,2562,5
D) S/.2300 E) S/,2150,5
Resolución
Nos piden el monto para cancelar la deuda.
Datos:
- Deuda inicial: S/.1600
Tasa: 25% del saldo deudor
Veamos
• 1er año
S/.2000 -
Problema N.° 21
____________________
amortiza — ► S/.200
S/.1600 S/.400 S/. 1800
-
25% • (1600)
¡nterér;
• 2 o año
S/.2250 -
nueva deuda amortiza -— ► S/. 200
S/.1800 S/.450 S/. 2050
25%-(1800^
interés
nueva deuda
S/.2050 S/,512,5 S/,2562,5
25% (2050)^
interés
Por lo tanto, al final debe pagar S/.2562,5.
; Clave \
i' Problema N/ 22________________________________
i Fernando y Sujey depositan a soles en un ban-
i co que paga al 10% capitalizable anualmente
i durante 2 años. Si al cabo de ese tiempo recibe
I S/.605, calcule a.
I A) S/.300 B) S/.500 C) S/.400
¡ D) S/.600 E) S/.1000
j Resolución
I Nos piden el capital: C.
i Tenemos como datos
I - M = S/.605
I - t- 2 años
i - r% = 10 % anual
Además, la capitalización es anual.
Sabemos que
í M = Cx(100% + r%)n
í -» 605 = ox(100% + 10%)2
605 = ox(110%)2
I a = S/.500
; Clave \ )
Problema N.* 23
Sonia ha depositado S/.3000 durante t años
en una entidad financiera que paga un interés
continuo al 20% anual y obtiene un interés de
S/.2460. Calcule t si ln(1,82) = 0,6.
A) 2 años
B) 2 años y medio
C) 3 años
D) 3 años y medio
E) 4 años

168. Capítulo 5
Regla de interés
Resolución
Nos piden el tiempo: t.
Tenemos como datos
- C = 3000
- r% - 20% anual
' 'continuo= S /-2 4 6 0
-> ln(1,82) = 0,60
Sabemos que
/ - m _ r
continuo
2460 = Cxer%xt-C
2460 = 3000 xe20°/oXÍ- 3000
5460 = 3000xe20%xt -> 1,82 = e20°/oXf
-> ln(1,82) = ln(e20%t)
0,60 = 20% f
t = 3 años
: Clave
Problema N.‘ 24
Se deposita un capital de S/.5000 en una enti­
dad financiera que paga el 30% anual con ca­
pitalización continua durante 8 meses. Calcule
el monto obtenido si se sabe que e1/5 = 1,22.
A) S/.6100 B) S/.5500 C) S/.5900
D) S/.6000 E) S/.6200
Resolución
Nos piden el monto: M.
Datos:
C= S/.5000
30% .
r% = 30% anual o — mensual
Sabemos que
M = Cxer%xt
30%
-> M = 5000xe 12
2
M = 5000 x e5
M = 5000x1,22
M = S/.6100
x8
• Clave
Problema N.* 25_____________________________
¿Cuál es el capital que colocado al 30% se­
mestral capitalizable bimestralmente, después
de cuatro meses se transformó en S/.3872?
A) S/.43800 B) S/.3200 C) S/.4000
D) S/.3600 E) S/.3000
Resolución
Nos piden el capital: C.
Tenemos como datos
- M = S/.3872
- r% = 30% semestral < > 10% bimestral
- t- 4 meses o 2 bimestres
Además la capitalización es bimestral.
Además el monto se calcula así:
M = Cx(100%+r%)n
3872 = Cx(100%+10%)2
3872 = Cx (110 %)2
3872 = C x^ ~ -> 3 87 2-C x 121
10¿ 100
12
C - S/.3200
t = 8 meses
Clave

169. COLECCION ESENCIAL Lumbreras Editores
Problema N.° 26
Determine el interés generado al depositar
S/.3600 al 5% trimestral durante 7 meses.
A) S/.402
D) S/.404
B) S/.420 C) S/.240
E) S/.204
Resolución
Datos:
- C =3600
- r%=5% trimestral
- t=7 meses
- 1=1
^ 0 < XkX X X X > O < > X > O < > '> O < X X > < > < > C < > < > < > > C < > < X > C '> < > C < > < X < > < X > C > < C ^ 3jSí:5kX X > < X V X X X X >c*j -
Observación
La tasa y el tiempo no están en las
mismas unidades.
^>oooooo<>ooooooc<><>>>o<>oo<><>>ooooooc<*}%>oooc- N =
5 \ • ▼ i« |l
5 % trimestral< >-% mensual
3
........^
Sabemos que
¡ = Cxr%xt
s%:.
-» /=3600x-% x7
3
/=S/.420
'
Clave [
Problema N.” 27
¿En cuánto tiempo se triplica un capital colo­
cado al 6%?
A) 33 años y 4 meses
B) 33 años
C) 33,2 años
D) 33 años y 6 meses
E) 33 años y 3 meses
Resolución
El capital se triplicará, entonces el monto será
tres veces el capital. Veamos gráficamente.
interés Í2C)
-----------------y
capital (C) monto (30
tasa=6% anua!
tiempo: í a nos
Sabemos que
monto = capital + interés
Luego
l = Cxr%xt
-» 2C=Cx6% xf
2=
---xt
100
200 200 | 6
— =t -»
6 198 33
t=33 años+- año
■ 6
/. t=33 años+-x(12)=33 años y 4 meses
6
i C/ave i
Problema N.e 28
¿Cuál será el interés acumulado en 180 días
por un depósito de ahorro de $2000 a una tasa
de interés del 24%?
A) S/.204 B) S/.240 C) S/.402
D) S/.420 E) S/.244
Resolución
Datos:
- C=S/.2000 - M 80 días
- r%=24% anual - 1=1

170. Capítulo 5
Regla de interés
; - X > X V : K > X X x : H : : < '< v > > ó < v ¿ '< - X : > < 5 ': > > > > X X V X > C > < > 0 K X : 'C * < > : K X ) < X > < C ^ . X < > < r > O < 'X X y ^ ;j
Observación
La tasa y el tiempo no están en las
mismas unidades.
^0<>C<SX><>000'XXXX>0<><><XX><X><K>Cx>^^
En consecuencia, 1 año y 4 meses resulta 16
meses.
Para calcular la tasa utilizaremos
24
—> 24% anual <>
----% diario
360
Porque 1 año comercial tiene 360 días.
Luego, calculamos el interés. Y este se calcula
así:
l=Cxr%xt
S/.8000=20000xr%x16
/ 0 ,025=r% (mensual)
■x12(
v0,3=r% (anual)
/= Cxr% xt
-> /=S/.2000x
24
360
%x180
Por lo tanto, el interés acumulado en los
180 días es S/.240.
: Clave .
Problema N.° 29
¿A qué tasa de interés la suma de S/.20 000
llegaría a un monto de S/.28000 colocado a un
interés simple en 1 año y 4 meses?
A) 10%
D) 30%
B) 20% C) 40%
E) 5%
Resolución
Datos:
capital'
1
S/.20 000
S/.8000
ínteres
tasa=?
monto
28 000
tiempo: 1 año y 4 meses
X>OOOcv
\ Observación z
y y
£ La tasa y el tiempo están en las mismas v
í unidades.
tasa ^ tiempo
(mensual) (en meses)
r%=30%
; Clave
........... . . . . . . . . .. ‘ i
Problema N.* 3 0
___________________
Calcule el interés producido por S/.3690 que
se han impuesto al 30% durante 5 años?
A) S/.5535 B) S/.3555 C) S/.3535
D) S/.5553 E) S/.3553
Resolución
Datos:
- cap¡tal=3690
- tasa=30% anual
- t¡empo=5 años
- interés=?
Se observa que la tasa y el tiempo están en
las mismas unidades, entonces utilizaremos la
relación ya conocida.
l=Cxr%xt
-> 1=3690x30%x5
/=S/.5535
; Clave {

171. Problema N.° 31
________ .____________
Susana depositó un capital de S/.850 durante
1 año y 6 meses al 16% semestral. Calcule el
monto que se obtendrá al cabo de dicho tiempo.
A) S/.1258 B) S/.1205 C) S/.1582
D) S/.1285 E) S/.1528
Resolución
Por condición del problema tenemos
.caPital interés monto
'1
-----— - » I
S/.850 ?
tasa=16% semestral ¿0»- : •»
tiempo: 1 año y 6 meses \
f " \
En consecuencia 1 año y 6 meses equivalen a
3 semestres.
Calcularemos el interés.
/=850x16%x3
/=408
Luego el monto se calcula así:
M=C+I
-+ M=850+408
M = S/.1258 ' ....... .
; Clave \
Problema NC 32
_____________________________
Midori depositó un capital de $3600 durante
dos años y medio en una entidad financiera al
20%. Calcule el monto que obtiene al cabo de
dicho tiempo.
B) S/.6048 C) S/.6084
E) S/.6804
Resolución
Datos:
- C=S/.3600
- t-2 años y medio ■
- r% -20% anual
Nos piden el monto.
Para calcular el monto, antes debemos hallar
el interés.
/=3600x 10%x3
/=3600x30%x3
-> /=3240
En consecuencia, 2 años y medio equivalen a
tres semestres. Entonces la tasa también debe
estar en semestres.
20% anual o 10% semestral
M= 3600 +3240 = S/.6840
: Clave
Problema N.° 33
Calcule el interés que produce un capital de
$1200 colocados a una tasa del 4% mensual
durante cinco bimestres.
A) S/.480 B) S/.804 C) S/.840
D) S/.408 E) S/.240
Resolución
Datos:
- C=1200
- r%=4% mensual
t= 5 bimestres o 10 meses
1=1
A) S/.6840
D) S/.6480

172. Capítulo 5 Regla de interés
Entonces
/=1200x 4%x10
-> /= S/.480
Por lo tanto, en cinco bimestres se produce
un interés de S/.480.
' Clave i l }
Problema N.° 34
Calcule el interés producido por S/.3000 im­
puestos al 15% durante tres años.
A) S/.1350 - / ' . H
B) S/.1305
C) S/.1035
D) S/.1053 |
E) S/.1530 ’ .
Resolución
Datos:
- C=S/.3000
- r%=15% anual
- t=3 años
- /=?
Problema N.° 35
___________________
¿Durante cuánto tiempo Juan debe depositar
en un banco un capital de $25000 al 5% para
que se convierta en $30000?
A) 4 años
D) 5 años
B) 6 años C) 3 años
E) 2 años
Resolución
Del dato tenemos
capitai
1
S/.25000
interés
S/.5000
n ionio
S/.30000
t a s a - 5 %
t ie m p o : í a ñ o s
Calcularemos el tiempo.
5000=25 000.x 5 % xf
4 = f
Por lo tanto, Juan debe depositar su dinero
durante 4 años.
Clave
Problema N.° 36
Como la tasa y el tiempo están en la misma
unidad, utilizaremos la siguiente relación:
l=Cxr%xt
-> /=3000x 15%x3
/. /=S/.1350
■ Clave {
Alicia depositó cierta cantidad de dinero en un
banco a una tasa del 30% semestral, convir­
tiéndose al cabo de cierto tiempo en una can­
tidad equivalente al 220% del capital. Calcule
dicho tiempo en años.
A) 2
D) 3
B) 4 C) 6
E) 8

173. COLECCIÓN ESENCIAL
Lumbreras Editores
Resolución
Del enunciado del problema, tenemos el si­
guiente esquema:
capital
1
100%C=C
interés
l
120%C
t a s a = .3 0 % s e m e s t r a l
montó
1
220% C
t i e m p o : t s e m e s t r a l
Luego
l=Cxr%xt'
—> 120^^= 100^(Xx 30% xf
4 = t
tiempo=4 semestres<>2 años
Por lo tanto, tiene que pasar 2 años.
; Clave [ ;
*
.............‘
Problema N.° 37
_____________
Don Daniel depositó $7500 en un banco du­
rante 2 años y obtuvo un monto que es el
equivalente al 120% del capital. Calcule la tasa
anual a la cual fue impuesto dicho capital.
A) 40%
D) 20%
B) 5% C) 10%
E) 15%
Resolución
Del enunciado del problema, utilizamos el si­
guiente esquema:
capital
i
100%C
interés
I
20%C
monto
1
120% C
tiempo: 2 años
Nos piden la tasa: r% anual.
Sabemos que
l=Cxr%xt
2 0 \fe = 1 0 0 \(W % x 2
20 = 100-— ->• 10 = t
100
Por lo tanto, la tasa es del 10% anual; es decir,
cada año que pasa se gana el 10% del capital.
: Clave ■
Problema N.° 38
Zaira deposita $10 000 en una entidad finan­
ciera durante 6 años, a una tasa del 25% se­
mestral. Calcule el interés obtenido durante
dicho tiempo.
A) S/.30 000
B) S/.10 000
C) S/.40 000
D) 5/20 000
E) S/.60 000
Resolución
Datos del enunciado:
- C=S/.10 000
- t=6 años
- r%=25% semestral
Nos piden el interés generado.
Tengamos en cuenta que el 25% semestral
equivale al 50% anual.

174. Capítulo 5 Regla de interés
Ahora utilizaremos la relación para calcular el j
interés. j
l=Cxr%xt i
-> /=10 OOOx 50% x6 ' ;
/= S/.30 000
i Clave U U
Problema H.° 39
_____________________________
¿Durante qué tiempo Cecilia depositó $2000
en un banco que le ofrece una tasa del 10%
semestral para que retire el triple de lo que
depositó?
A) 5 años B) 20 años C) 10 años
D) 30 años E) 40 años
Resolución *
Del enunciado del texto planteamos el si­
guiente esquema:
interés
\ %
capitdi • S/.4000
I *■ T
S/.2000 S/.6000
tasa=10% semestral
tiempo: í semestral
Por dato del enunciado, el monto es el triple
del capital.
-> 4000=2000x 10%xf
20 = t
Por lo tanto, deben pasar 20 semestres, es
decir, 10 años.
i Clave [
..........................‘ i. ..* ’
Problema N.* 40
_______________________________
Jénnifer deposita $20 000 en una entidad fi­
nanciera durante 3 años a una tasa del 12,5%
semestral. Calcule el interés obtenido durante
dicho tiempo.
A) S/.15 000
B) S/.30 000
C) S/.7500
D) S/.44 000
E) S/.60 000
Resolución
Datos:
- C=S/.20 000
- f=3 años
- r%=12,5% semestral
Nos piden el interés obtenido.
También
12,5% semestral o 25% anual
Calcularemos el interés.
/=20000x25%x3
1= S/.15 000
: Clave
Problema N.° Al
Calcule el interés que produce un capital de
$1200 colocados a una tasa del 8% mensual
durante 2 años.
A) S/.2340 B) S/.2304 C) S/.2403
D) S/.2034 E) S/.2043

175. COLECCION ESENCIAL Lumbreras Editores
Resolución
Nos piden el interés.
Tenemos como datos
- C=S/.1200
- r%=8% mensual
- t=2 años
Tengamos en cuenta que 2 años equivalen a
24 meses.
Ahora calcularemos el interés.
/=1200x 8%x24
/=S/.2304 . c
....
i Clave i
Problema NT 42
_________
El interés que se obtiene al depositar un capi­
tal durante 1 año y 2 bimestres es el 25% del
monto. Calcule la tasa anual.
A) 25% B) 10% C) 40%
D) 5% E) 20%
Resolución
Nos piden tasa anual (r%).
Luego, utilizaremos la relación para calcular la
tasa.
2 5 \ty = 7 5 \ty x r% x 1 6
mensual
1 = 3 - r% -16
1
— = r% (mensual)
/ 48
x 12 (
25% = — = r% (anual)
4
Por lo tanto, la tasa anual es el 25%.
; Clave , ■
Probfema N.V43:) '
Don Eugenio depositó $7500 en un banco
durante 4 años y obtuvo un monto que es el
equivalente al 120% del capital. Calcule la tasa
anual a la cual fue impuesto dicho capital.
A) 5% B) 20% C) 15%
D) 10% E) 2,5%
Del texto tenemos los siguientes datos:
capiteli
I
▼
75% M
ínteres
1
25% M
monto
M = 100% M
tiempo: 1 ¿rño y 2 bimestres o 16 meses
Sabemos que
monto = capital + interés
Resolución
Del enunciado del texto tenemos
capital
!
S/.7500
ínteres
S/.1500
i
120%x7500=S/.9000
tiempo: A años
Nos piden la tasa anual (r%

176. Capítulo 5 Regla de interés
Ahora calcularemos la tasa con la siguiente
Problema N.° 45
relación:
¿En cuánto tiempo se triplicaun capital colo-
/ = C xr% xt
cado al 20%?
-> 1500=7500x(r%)x4
í A) 6 años B) 9 años C) 10 años
0,05=r%
; D) 7 años E) 8 años
0,05- r
100 i Resolución
r= 5%
i Del enunciado planteamosel siguiente es-
Por lo tanto, la tasa anual que estuvo impuesto
dicho capital es del 5%.
: Clave \% j
Problema N.° 44 _
__ ^
Calcule el interés producido por S/.3000 im­
puestos durante 5 años al 2,5%.
A) S/.375 B) S/.537 C) S/.573
D) S/.357 E) S/.753
Resolución ,,
De los datos tenemos
- C=S/.3000
- r=2,5%anual
- f=5 años
interés
J,
2C
3C
tasa=20% anual
tiempo: t años
Utilizaremos la relación del interés simple para
calcular el tiempo.
2C=Cx20%xf
10=7
Por lo tanto, para que el capital se triplique,
deben pasar 10 años.
i Clave
quema:
capital
l
C
Nos piden el interés producido.
/=3000x2,5%x5
/=S/.375
Por lo tanto, el interés producido por los
S/.3000 es de S/.375.
: Clave
•
.............
Problema N.3 46
¿Cuál es el capital que coloca Daniela al 12,5 %
semestral durante 3 años para obtener un in­
terés de S/.3240?
A) S/.5230 B) S/.4230 C) S/.4023
D) S/.4320 E) S/.4032
83

177. COLECCION ESENCIAL Lumbreras Editores
Resolución
Datos del problema:
- r%=12,5% semestral
- t- 3 años
- /=S/.3240
Nos piden el capital.
| Observación
i La tasa y el tiempo no están en las mismas |
| unidades.
Entonces 12,5% semestral equivale al 25%
anual. Ahora calcularemos el capital.
—». 3240=Cx25%x3 años
C=S/.4320
| Clave \ )
Problema N.° 47
______________________^
Determine el interés generado al deposi­
tar S/.4800 al 5% trimestral durante cuatro
semestres.
Se observa que la tasa del 5% trimestral equi
vale al 10% semestral.
Calcularemos el interés.
/=4800x10%x4
/=S/.1920
i Clave \
Problema M.° 4 8
_____________________________
Virgilio deposita $3000 a una tasa del 30%
anual capitalizable cuatrimestralmente duran­
te 8 años. Calcule el interés obtenido.
A) S/.4200 V B) S/.800 C) S/.3630
D) S/200 : ' E) S/.630
Resolución
Del enunciado del texto, analizamos los datos.
- capital=S/.3000
- tasa=30% anual
- periodo=capitalizable cuatrimestralmente
- tiempo=8 meses
A) S/.1241 B) S/.1029 C) S/.1920
D) S/.1092 E) S/.1290
Resolución
Nos piden calcular el interés.
Tenemos como datos
- C=S/.4800
- r%=5% trimestral
- t=4 semestres
Nos piden el interés compuesto.
^p<XXX><XX>C<>OC<>C<X><X>"0<>C><><><><xX>C>C>C<>C<><>C'-< X X K '0 < > C * l ' X \ '\ - X " O -■ • - -
N o OLVIDE
i El periodo, la tasa y el tiempo deben
: estar en las mismas unidades.
^ X > < X > X K > C X > ’: > < X X K < X <v^ 'h;'< > » >x>v>^v x xK ' <n<v > . - N . -
Tenemos
30% anual < > 10% cuatrimestral
8 meses o 2 cuatrimestres

178. Regla de interés
Ahora calculamos el monto.
M=C(100%+r%)n
-> M=3000x(100%+10%)2
M=3000x(110%)2
M=3630
Sabemos que
l=M~C
interés=3630-3000=S/.630
i Clave
Problema NC 49
Siara deposita $4000 en un banco a una tasa
del 10% anual capitalizable semestralmente
durante un ano. Calcule el monto obtenido.
A) S/.4410
D) S/.4401
Resolución
B) S/.4140C) S/.4440
E) S/.4241
XX»000<>C><XxX>C><>0<><X/<>p<><><>X^
Observación
La tasa y el tiempo están en las mismas uni- '•
dades del periodo de capitalización.
?
Analizamos los datos.
- capital=S/.4000
- tasa=10% anual
- periodo=capitalizable semestralmente
- tiempo=1 año
Nos piden el monto.
-» 10% anual o 5% semestral-
1 año o 2 semestres
Ahora calculamos el monto.
. M-Cx(100%+r%)n
-> M=4000x(100% + 5%)2
M=4000x(105%)2
... M=S/.4410
: Clave
Problema Mó 50
Luis depositó $2000 a interés compuesto capi­
talizable anualmente al 20% durante 2 años y
3 meses. Calcule el monto obtenido.
A) S/ 3024 B) S/.3420 C) S/.3042
D) S/.3240 E) S/.3002
Resolución
Datos del problema:
- C=S/.2000
20
r% = 20% anual < > — % mensual
- t= 2 años y 3 meses
Nos piden el monto.
Calcularemos el monto en 2 años.
M=2000x(100% +20%)2
-> M=2000x(120%)2=2880
85

179. COLECCIÓN ESENCIAL
Lumbreras Editores
Como faltan tres meses, se usará el interés
simple. Veamos el esquema.
Por dato
25% trimestral < > 100% anual
capital
i
monto en
2 años
' 1
S/.2880
monto en
2 años y
3 meses
000 interés S/.3
(X)
------►
2 años 3 meses.
Sabemos que
l=Cxr%xt
No olvidarse que el monto se calcula así: .
M=Cx(100%+r%)n
M=Cx (100%+100 %)f
8 / = /-(200% /
8=2f
—> t=3 años
/=2880x — % x3=144
12
Por lo tanto, el monto en 2 años y 3 meses
será S/.3024.
] Clave -
Problema N.° 51
__________________
¿Durante cuántos años se debe imponer un
capital a una tasa del 25% trimestral capita­
lizable anualmente para que aumente siete
veces su valor?
Por lo tanto,-el capital se debe imponer du­
rante 3 años.
: Clave \
Problema M7 52
f ” s - ...v / \ .. 1
Calcule el interés producido por un capital
impuesto al 10% semestral capitalizable anual­
mente si luego de tres años se transforma en
$17280.
A) S/.7728 B) S/.7280 C) S/.7820
D) S/.7028 E) S/.7082
A) .'2 B) 4 C) 6
D) 3 E) 1
Resolución
Datos del problema:
capital
C
1C
interns
monto
l
8C
tasa-25% ti maestral
tiempo: t años
Resolución
Según los datos del problema, graficamos el
siguiente esquema:
interés
?
capital " S/.17 280
tasa-10% semestral o 20% anual
tiempo: 3 anos
Nos piden el interés.

180. Capítulo 5 Regla de interés
Primero calculamos el capital con la siguiente j
relación:
M=Cx(100%+r%)n
-> 17 280=Cx(100%+20%)3
17 280=Cx(120%)3
-4 C=10 000
Sabemos que
M = C+l
-> 17 280 = 10 000+/
1=S/.7280 . . '
• / # ' A .
/ I Clave \ J
Problema NC 53_____________y
¿A qué tasa estuvo impuesto un capital de tal
manera que al estar colocado a interés com­
puesto durante un año capitalizare semes­
tralmente, dicho capital se cuadruplica?
A) 200% B) 50% C) 25%
D) 100% E) 150%
Resolución
Según lo leído del texto, tenemos el siguiente
esquema:
interés comp
_ _ monto
(.dplldi
l
3C
► l
T
C 4C
tasa=r% semestral
tiempo: ! año o 2 semestres
Calcularemos la tasa con la siguiente relación:
M = C x\m % + r% )n
-> 4 / = / x (100% + c%)2
4 = (100%+r%)2
2 =100 %+r%
. 100 %=r%
Por consiguiente, la tasa es del 100% semes­
tral; es decir, 200% anual.
; Clave
/
Problema M* 54 ___
_________________________
Juan deposita $1500 en un banco a interés
simple a una tasa del 5% semestral durante
5 años. ¿Cuánto es el monto al finalizar el pe­
riodo de tiempo?
A) S/.2250 B) S/.2025 C) S/.2052
D) S/.2520 E) S/.2502
Resolución
Según el enunciado tenemos los siguientes
datos:
- C= 1500
- r%= 5% semestral o 10% anual
- t=5 años
Nos piden el monto.
j Calcularemos el interés simple con la relación
i que ya conocemos.
i l = Cxr%xt
| -» / = 1500x10%x5
i / = S/.750

181. .
COLECCION ESENCIAL Lumbreras Editores
También sabemos que
M=C+/
-> M=1500+750=2250
Por lo tanto, el monto al finalizar los 5 años es
S/.2250.
; Clave \ ti }
Problema N.° 55
¿Cuál será el interés acumulado en 180 días
por un depósito de ahorro de $4000 a una
tasa de interés del 12%? >.
A) S/.120
B) S/.240
C) S/.420
D) S/.204
E) S/.402
Resolución
Nos piden el interés. Tenemos los siguientes
datos: .
C=S/.4000
12
r%=12% anual < >
----% diario
360
M 80 días
Ahora calcularemos el interés simple.
-> /=4000x— %x180
360
/=S/.240
i Clave •
Problema N/ 56
¿A qué tasa de interés la suma de S/.30 000
llegaría a un monto de S/.38 000 colocado a
un interés simple en 1 año y 8 meses?
A) 160%
D) 200%
B) 106% C) 220%
E) 202%
Resolución
Datos del problema:
capital
1
S/.30 000
ínteres
1
S/.8000
tasa=r% mensual
monto
S/.38 000
¡f 4;S/Tiénipo; Vano y 8 meses <> 20 meses
|W '
M ?| 4/ | 'i)
Ahora calcularemos la tasa mensual.
IpV . |*
/=Cx r%xt
Reemplazamos los valores.
8000=30000 xr% x20
-> — = r%
30
400
30
= r (mensual)
Multiplicamos toda la expresión por 12.
160=r (anual)
Por lo tanto, la tasa anual es del 160%.
; Clave

182. Capítulo 5 Regla de interés
Problema N.” 57
Alicia se presta cierta cantidad de dinero a una
tasa de 16% cuatrimestral, además se sabe que
Alicia ahorró S/.240 pagando 3 meses antes.
Indique verdadero (V) o falso (F) según corres­
ponda.
I. El capital prestado fue de S/.2000.
II. Si el tiempo fue de un año y medio, enton­
ces el interés fue S/.1440.
III. La deuda de Alicia se convirtió en S/.3200
después de 1 año.
III. Falso
Calculamos el interés en 1 año.
l=Cxr%xt
/=2000x4%x12
/=960
Luego M=C+I
M=2000 + 960
M=S/.2960
j Clave \
A) VFF B) FFV C) VFV
D) VVF E) FFF
Resolución I v\ r*J£
Del enunciado tenemos
- capital=¿:
- tasa=4% mensual < > 16% cuatrimestral
- tiempo=f meses
I. Verdadero
Calculamos el interés en los dos tiempos.
Tiempo: t Tiempo: t -3
i. i
k-A% t - k-(f-3) = 240
4%-/c-í — 4%/c-4%x 3 = 240
Ar-12 %=240
k=S/.2000
Problema N.° 58
________________
Un capital en 8 meses se convierte en S/.3200
y 2 meses después en S/.3800. ¿Cuál es el
capital?
A) S/.800 B) S/.1200 C) S/.400
D) S/.1600 E) S/.2000
Resolución
Del enunciado tenemos
1.-" monto 2 u monto
capital S/.3200 S/.3800
8 meses 2 meses
Tenemos
II. Verdadero
Si el tiempo es 1 año y medio es decir 13
meses, entonces
/=2000x4%x 18=1440
Tiempo Interés
2 meses —^ S/.600
*8 meses ► S/.2400^
89

183. COLECCION ESENCIAL
Lumbreras Editores
Sabemos que
C+I=M
C+2400=3200
/. C=S/.800
; Clave { )
•••
...........
Problema NC 59
Un capital a un cierto periodo de tiempo se
convierte en S/.2800, y dos años y medio des­
pués se convierte en S/.3000. ¿Cuánto tiempo
estuvo impuesto el capital si generó S/.1000 de
ganancia?
A) 10 años B) 10,5 años C)
D) 15 años E)
Resolución \
Del enunciado del texto tenemos
12 años
12,5 años
! ' : monto
S/.2800 -
-
* S/.3000
2 años y ¡% d;o "
(S ^mestr¿C)
Luego
Tiempo Interés
/5 semestres —► S/.200 \
x 5 ( > 5
-25 semestres — S/.1000
Por lo tanto, el capital estuvo impuesto por
25 semestres, es decir, 12,5 años.
Problema 60
______________________
Un capital se divide en dos partes que están
en relación de 3 a 5 y se imponen a tasas del
2% trimestral y cuatrimestral, respectivamen­
te. ¿Después de cuánto tiempo la diferencia de
los intereses será igual a la primera parte?
A) 50 meses B) 25 años C) 100 meses
D) 20 años E) 50 años
Resolución
Sea 8k el capital inicia
Capitai. •
| Primera parte Segunda parte
- Capital: 3k : Capital: 5k
: - T¡emP °: ^meses
- Tiempo: fmeses
- Tasa: 2 % trimestral - Tasa: 2% cuatrimestral
i? 2 p
- Tasa mensual: - % - Tasa mensual: - %
2 3 | ? 4
' - l-3k--%-t = 2%k-t - l=5k-%-t=2,5%k-t
3 4
Como la diferencia de intereses será igual a la
primera parte, entonces
/2 - /1 = 3 k
1 i
2,5% V - 2%-V=3X
—> 0,5%t=3
f=600 meses < >50 años
Clave :

184. PRACTIQUEMOS LO APRENDIDO
1. Calcule el interés que produce S/.600 colo- j
cados al 6% anual durante 5 años.
A) S/.600 B) S/.540 C) S/.180
D) S/.200 E) S/.25Q
2 . Calcule el interés producido por un capital i
de S/.40000 durante cuatro semestres al ;
30% semestral. ;
A) S/.98000 B) S/.96000 C) S/.48000 . j
D) S/.72000 E) S/.54000 j
3. Determine el interés generado.al depositar
S/.1200 al 10% trimestral durante 6 meses.
A) S/.220 B) S/.230 C) S/.240
D) S/.250 E) S/.260,
4. ¿Cuál es el capital que se coloca al 30%
durante 2 años para obtener un interés de
S/.120?
A) S/.180 B) S/.200 C) S/.220
D) S/.240 E) S/.250
5. La Srta. Siara se prestó del banco S/.9000
.a una tasa del 8% semestral, pactando
devolverlo en 12 meses. ¿Qué suma total
tendrá que devolver al banco'al vencerse
el plazo?
A) S/.9800 B) S/.9525 C) S/.10440
D) S/.9250 E) S/.9350
6. ¿Qué capital se debe depositar al 15% de
interés anual para que en 2 años se con­
vierta en S/.6500?
A) S/.4000 B) S/.5000 C) S/.7000
D) S/.2000 E) S/.3000
7 . ¿Cuál es el valor del capital que depositado
al 10% anual, a los dos años y medio, se ha
convertido en S/.3680?
A) S/.3000 B) 5/.2400 C) S/.2944
D) S/.2800 E) S/.3400
8. ¿Durante cuánto tiempo estuvo deposita­
do un capital al 5% de interés anual si los
intereses producidos equivalen a la décima
parte del capital?
A) 1,5 años B) 1 año C) 2 años
D) 2,5 años E) 3 años
9. Un capital estuvo impuesto al 20 % de inte­
rés anual. Si se obtuvo un monto después
de 4 años de S/.70200,. ¿cuál es el valor del
capital?
A) S/.1550 B) S/.39000 C) S/.7770
D) S/.7490,V E) S/.7500
10. Se deposita en un banco S/.2500 a una
tasa anual del 0,6%. ¿Cuánto interés habrá
producido en 5 años?
A) S/.75 B) S/.150 C) S/.45
D) S/.60 E) S/.90
11. Para poder iniciar un negocio, Catalina
pidió un préstamo de S/.16000 al 4%
durante 3 años a una entidad financiera.
¿Cuánto tendrá que devolver?
i A) S/.16500 B) S/.18920 C) S/.16640
D) S/.17600 E) S/.17920
i 12. Daniel depositó S/.2500 en un banco du­
rante 4 años, obteniéndose al final el cuá­
druple de lo que depositó. Calcule la tasa
anual a la cual fue depositado dicho capital.
A) 25% B) 30% C) 50%
D) 60% E) 75%

185. COLECCIÓN ESENCIAL Lumbreras Editores
1 3 . Idori se prestó una suma de dinero al 36%
durante cierto tiempo; pero como efec­
tuó el pago 5 meses antes, ahorra S/.450.
¿Cuánto se prestó Idori?
A) S/.2500 B) S/.2800 C) S/.3000
D) S/.3200 E) S/.3500
14. Un capital se deposita al 20%. Calcule
cuánto tiempo deberá estar depositado
para que se quintuplique.
A) 12 años B) 15 años C) 20 años
D) 25 meses E) 30 meses
15. ¿Cuál es el capital que colocado a! 30% de
interés semestral capitalizable bimestral­
mente después de 4 meses se transformó
en S/.3872?
A) S/.43800 B) S/.3200 C) S/.4000
D) S/.3600 E) S/.3000
1 6 . Se presta un capital de S/.12000 durante
6 meses, con una tasa de 16% anual capi­
talizable trimestralmente. Calcule el interés
producido.
A) S/.976,4 B) S/.982 C) S/.978,5
D) S/.979,2 E) S/.989,2
1 7 . Alina deposita su dinero en una entidad
financiera durante un año y medio a una
tasa del 20% semestral capitalizable se­
mestralmente. ¿En qué tanto por ciento
aumenta el dinero de Alina?
A) 62,5% B) 72,8% C) 76,4%
D) 78,2% E) 68,5%
1 8 . Halle un capital que depositado al 80%
anual durante 9 meses con capitalización
trimestral genere el segundo periodo de
capitalización un interés de S/.1200.
A) S/.3000 B) S/.8000 C) S/.4200
D) S/.5000 E) S/.5500
19. Después de 4 años, un capital intervenido
a cierta tasa r%, con capitalización anual,
se quintuplica. ¿En qué tiempo, en años,
dicho capital se transformará en 25 veces
su valor?
A) 4 B) 5 C) 6
D) 7 \ E) 8
20. Se ha impuesto un capital durante 18 meses,
capitalizable semestralmente, a una tasa
del 15% trimestralmente. Si se sabe que el
interés generado en el segundo periodo
y el monto del segundo periodo suman
S/.12480, halle el capital.
L vC W
%
A) S/.6000 B) S/.6200 C) S/.5400
D) S/.4000 E) S/.3600
21. Calcule un capital que depositado al 40%
anual durante 18 meses y capitalizable se­
mestralmente genere en el tercer periodo
de capitalización un interés de S/.2880.
A) S/.12 500 B) S/.20000 C) S/.25 500
D) S/.10000 E) S/.50000
. 22. Mauro depositó N soles durante 2 años al
10% semestral capitalizable anualmente. Si
el monto obtenido en el segundo año ex­
cede en S/.2480 al interés producido en el
primer periodo, calcule N.
A) S/.3000 B) S/.2000 C) S/.2500
D) S/.1000 E) S/.1500

186. Capítulo 5 Regla de interés
23. Yuriko requiere comprar una computadora i
cuyo precio es S/.2420, pero solo cuenta i
con S/.2000, debido a ello deposita su di- i
ñero en un banco que paga 2,5% mensual, i
¿Dentro de cuánto tiempo, como mínimo, j
podrá comprar la computadora si el precio j
de aquel se devalúa en S/.20 cada mes?
A) 4 meses B) 5 meses C) 6 meses
D) 7 meses E) 8 meses
24. Leonardo deposita su capital en un banco
que le ofrece una tasa del 40% capitaliza­
ble semestralmente. Si el interés que ob­
tiene en el tercer y cuarto periodo suman
S/.4752, ¿cuál es el capital de Leonardo?
A) S/.6800 B) S/.7000 - C) S/.7200
D) S/.7500 \ E) S/.9000
25. Mijal deposita S/.2500 a una tasa del
10% trimestral con capitalización semestral,
mientras que Anthony deposita S/.2000 a
una tasa de r% mensual. Si dentro de un
año obtienen montos iguales, calcule r.
•
A) 12,5% B) 3,3% C) 16,6%
D) 6,6% E) 8%
26. Joel depositó S/.4000 a una tasa del
10% anual capitalizable semestralmente
durante un año. Calcule el monto obtenido.
A) S/.5000 B) 4410 C) S/.5700
D) S/.6800 E) S/.8900
27. Calcule el monto en el cual se transfor­
ma un capital de S/.4000 impuesto al 5%
mensual capitalizable trimestralmente
durante 9 meses.
A) S/.6000,5
B) S/.10 000,5
C) S/.6 200,5
D) S/.6 083,5
E) S/.20000
28. Giovanna depositó S/.4000 a interés com­
puesto capitalizable anualmente al 20%
durante 2 años. Calcule el monto obtenido.
A) S/.2880 B) S/.5760 C) S/.3024
D) S/.3200 E) S/.3124
29. Calcule el interés producido por un capi­
tal impuesto al 5% mensual capitalizable
anualmente si luego de 2 años se transfor­
ma en S/.25 600.
A) S/.12000
B) S/.14400
C) S/.15 600
D) S/.16000
E) S/.18000
30. Soledad depositó $6250 en una entidad
financiera durante un año y cuatro meses
a una tasa del r% anual capitalizable cua­
trimestralmente. Si al final retiró $12 960,
calcule r.
A) 50% B) 100% C) 45%
D) 200% E) 150%
31. El interés obtenido al depositar un capi­
tal en cuatro meses es el 40% de monto.
Calcule la tasa anual.
A) 50% B) 100% C) 45%
D) 200% E) 150%
i
93

187. COLECCION ESENCIAL Lumbreras Editores
3 2 . Se deposita un capital de S/.320 duran­
te un año y tres meses al 8% bimestral.
Calcule el monto que se obtendría.
A) S/.502 B) S/.512 C) S/.522
D) S/.2045 E) S/.150
3 3 . Cierto capital, en un tiempo de imposición
de cinco meses, se convierte en S/.2450, y
a 13 meses, se convierte en S/.3010. Calcule
la tasa de interés al cual fue impuesto.
A) 20% B) 25% C) 30%
D) 40% E) 48%
3 4 . Halle el interés que produce un capital de
S/.6000 prestado al 40% durante tres se­
mestres.
A) S/.3600 B) S/.7200 C) S/.4800
D) S/.2800 E) S/.2400
3 5 . Un capital es depositado al 30% trimestral
capitalizable cuatrimestralmente durante
un año. Si en el segundo periodo se ge­
neró un interés de S/.420, calcule el monto
generado. V *
A) S/.1085 B) S/.2500 C) S/.1850
D) S/.1980 E) S/.2058
3 6 . Karina desea comprar un televisor, cuyo
precio es S/.2000, pero solo tiene S/.1600.
Así que decide colocar su dinero en un
banco que le paga 2,5% mensual de inte­
rés simple, además se sabe que el televisor
se devalúa en 0,5% mensual. ¿Después de
cuánto tiempo Karina compra su televisor?
A) 1 año B) 10 meses C) 9 meses
D) 8 meses E) 13 meses
3 7 . Tres capitales impuestos separadamente al
12,5% semestral, 4% bimestral y al 5% tri­
mestral, respectivamente, generan la mis­
ma renta. Calcule el mayor capital si que
el menor de los montos producidos en un
año es S/.30000.
A) S/.20000 B) S/.24000 C) S/.2662
D) S/.28 500 E) S/.30000
3 8 . Miguel recibe un préstamo por el cual
tiene que pagar S/.1680 de interés al 32%
anual durante un año y dos meses. ¿Cuán­
to recibió Miguel?
A) S/.1200 B) S/.3400 C) S/.4500
D) S/.1900 E) S/.2000
39. Un capital fue depositado al 60% anual y
luego de tres meses se ha producido un
interés de S/.1200. ¿Cuál es el valor de
dicho capital?
A) S/.6000 B) S/.8000 C) S/.7200
D) S/.6800 E) S/.8400
4 0 . ¿Cuánto es el interés que produce S/.6000
colocados al 6% trimestral durante 6 meses
y 20 días?
A) S/.800 B) S/.1600 C) S/.480
D) S/.1320 E) S/.960
4 1 . ¿Durante cuánto tiempo estuvo deposita­
do un capital al 5% de interés anual si los
intereses producidos equivalen a la décima
parte del capital?
A) 1,5 años B) 1 año C) 2 años
D) 2,5 años E) 3 años

188. Capítulo 5 Regla de interés
42. María impone la tercera parte de su capital
al 80% anual y el resto al 30% anual. Si el
interés producido en 5 meses por su ca­
pital total es S/.3850, ¿cuál será su capital
inicial?
A) S/.30000
B) S/.32000
C) S/.18000
D) S/.19800
E) S/.25000 ;
4
43. Carlos impone los — de su capital al 4% y
el resto al 5% y resulta un interés anual de
S/.3100. ¿Cuál fue la suma impuesta al 4%?
A) S/.20000
B) S/.24000
C) S/.30000
D) S/.40000
E) S/.48000
. 44. Determine el tiempo que debe ser coloca­
do un capital al 25% para que se duplique.
A) 2 años B) 3 años C) 4 años
D) 5 años E) 6 años
45. ¿Durante cuánto debe ser impuesto un ca­
pital al 5% anual para que el interés sea
igual al 20% del monto?
A) 2 años B) 3 años C) 4 años
D) 5 años E) 6 años
4 6.Se tienen dos capitales de $10000 y
$15000. El primero se coloca durante 9
meses al 18% anual, mientras que el otro
se coloca durante medio año a una tasa
de interés tal que, al final del plazo, el in­
terés ganado asciende en total a $2850.
¿Cuál es la tasa de interés que se coloca al
segundo capital?
A) 20% B) 30% C) 40%
I \ D) 50% ' , E) 60%
Claves
1 7 13 19 25 31 37 ■ 43
2 8 14 20 26 32 38 44
3 9 15 21 27 33 39 45
4 10 16 22 I 28 34 40 46
5 11 17 23 i 29 35 41
6 12 18 24 I 30 36 42
i

189. S
,^y;<<.^^>s
•#- v.
.. :/-/
CAPITULO

190. TEORÍA DE CONJUNTOS
Los delfines son animales sociales que viven en grupos fami­
liares. Pueden establecer fuertes lazos sociales, donde inclu­
so algunos individuos heridos o enfermos son cuidados por
otros, pues lo ayudan a respirar al llevarlos a la superficie, si
fuese necesario. Al menos en la especie Tursiops truncatus,
se ha demostrado que cada delfín posee un nombre propio
o silbido característico, que sirve para llamar a la manada.
Los delfines muestran desarrollo de cultura, algo que por
mucho tiempo se creyó que era único del ser humano (y
posiblemente de otras especies de primates).
En mayo de 2005, se descubrieron en Australia un grupo
de delfines del Indopacífico que enseñaban a sus crías a
usar las herramientas, cubriendo sus hocicos con esponjas
para protegerlos mientras se alimentan. Este conocimiento
es traspasado por las madres a sus hijas, a diferencia de los
grupos de primates, donde el conocimiento es generalmente
transmitido a ambos sexos.
Aprendizajes esperados
• Establecer correctamente la noción y relación de conjunto
y su notación.
• Representar adecuadamente los conjuntos empleando el
diagrama de Venn.
• Reconocer los conjuntos especiales y sus características.
• Resolver problemas de operaciones entre conjuntos utili­
zando el diagrama de Venn-Euler.
¿Por qué es necesario este conocimiento?
La ¡dea de agrupar objetos de la misma naturaleza para
clasificarlos en colecciones o conjuntos es parte de la vida
diaria de los seres humanos; por ejemplo, el conjunto de
libros de una biblioteca, el conjunto de planetas, entre otros.

191. COLECCIÓN ESENCIAL Lumbreras Editores
Teoría de conjuntos
1. CONCEPTO DE CONJUNTO
Es la unión o agrupación de elementos que pueden ser ideales
(números) o concretos.
Los conjuntos se denotan con
letras mayúsculas: A, 6; C; D...,
mientras que los elementos
del conjunto se representan
mediante variables o letras
minúsculas separadas por punto
y coma y encerradas entre llaves.
Ejemplo
El conjunto de los cinco primeros números pares
elementos del conjunto
rrrn
P={2; 4; 6; 8; 10}
í
nombre del
conjunto
P-{2x/x e N; x< 5}
El conjunto P tiene cinco elementos distintos. También se
denota así:
n(P)=5
i X'v-His filr -T-V |
donde n(P) se lee: “Cardinal del conjunto P".
El cardinal indica el número de elementos distintos que tiene
un determinado conjunto.
Además, un conjunto se puede representar gráficamente.
2. DIAGRAMA DE VENN-EULER
Es el conjunto de figuras geométricas cerradas (generalmente
círculos o elipses) que representan a los conjuntos, en cuyo
interior se ubican cada uno de los elementos o la cantidad de
ejemplos.
Ejemplos
Sean los conjuntos
A={2; 4; 6; 8; 10}
B={3; 6; 9}
U={ 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10}

192. Teoría de conjuntos
Graficamos
3. RELACIÓN DE PERTENENCIA (e) Y NO PERTENENCIA (í
| Elemento — ~~---► Conjunto
Ejemplos
1.A={2; 3; 5; 7; 11}
2 g A 8 g A
3 g. A 2,3G A
/ 5 g A {5}G A
7 g A {7; 11} g A
I 11 G A 0 G A
V - : . ^ 7~ • 'V s . íj -
O b se rvació n
Para que un elemento pertenezca a un conjunto, este debe
presentarse tal como está dentro del conjunto.
A ;: M: i . ■ •.
2.B={8; 7; 5) y C={4; 3; 2; 9}
8 G B (V) 5G C
7 G B (F) 9,2 g'C (F)
"4 G B (V) 3G C(F)
7 g 8 (V) 2G C(V)
3. Según el gráfico, establecemos la relación de pertenencia.
0GA(F) 2 GC(F)
8GC(V) A GB(F)
0GB(V) {6; 7} gB(F)
4GB(V) {2}GC(V)
Importante
Diagrama de Leváis-Carrol
Es similar al diagrama de Venn-
.-Euler. Es un conjunto de figuras,
generalmente rectangulares, las
cuales permiten representar a
los conjuntos con sus respectivos
complementos.
Observe el siguiente diagrama:
No olvide
OSr-
Del gráfico
U
se cumple lo siguiente:
• Región 1: solo A
• Región 2:AyB
• Región 3: solo B
• Región 1 y 2: A
• Región 2 y 3: B
• Región I; 2 y 3: A o B
• Región 4: no A ni B
• Región 3 y 4: no A

193. COLECCION ESENCIAL
i 4. DETERMINACIÓN ENTRE CONJUNTOS
i 4.1. Por extensión
i Se menciona o escribe los elementos uno a continuación del
i otro.
No olvidé
Gráficamente, es usual que al
conjunto universal se le repre­
sente mediante un rectángulo.
; Si dos conjuntos (A y B) tienen,
j por lo menos, un elemento que
: no es común, se les llamará
i conjuntos diferentes y se les
; representará así: A A 8.
I Ejemplo
F={3x+2 e Z/1<x<6}
G={9; 10; 11; 12;...; 19; 20; 21}
•! Se observa que
F={6; 7; 8; 9 ;...; 18; 19}
Se concluye que
J
Ejemplo
El conjunto de los cincos primeros números primos.
4={2; 3; 5; 7; 11}
4.2. Por comprensión
Se analiza una característica común de los elementos y se usa
una variable.
Ejemplo
El conjunto de los cinco primeros números primos.
A -{x/x es un número primo}
5. RELACIONES ENTRE CGN.|UNTOS „ .0 :0 ;
'5.1. Inclusión (c f^ J jfr
Es cuando el conjunto A está contenido en otro conjunto B
{A es un subconjunto de B) si y solo si todo elemento de A es
también un elemento de B.
A c 6 x t > V x e A —> xe B
__% , - V ,/___________________________
Se lee: “A está incluido en 6”, “A está contenido en B” o “A es
subconjunto de B”.
Ejemplo
A={3; 5; 7} y 8={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7}
Gráficamente
Mí

194. Capítulo 6
Se observa que todos los elementos del conjunto A pertenecen
al conjunto B, entonces A estaría incluido en B.
De lo anterior se cumple lo siguiente:
Ejemplo
A={3; 5; 8; 9}
3 c A (F)
{5} c A (V)
0 cz A (V)
{8} (Z A (F)
{5; 8} c /A (V)
{{5}} c A (F)
A c A (V)
9,3 c A (F)
5.2. Igualdad {-) \ @
Es cuando dos o más conjuntos tienen los mismos elementos,
no importando el orden, ni los elementos repetidos.
!:AaB <—> A £ i? i a B ú S v
Ejemplo
A={3; 5}, B={5; 3} y C={5; 5; 3}
A=B = C
■
5.3. Conjuntos disjuntos
Son dos o más conjuntos que no tienen ningún elemento en
común. También se les denomina conjuntos ajenos.
Ejemplo
A={3; 4; 5} y B={7; 8}
Gráficamente
Teoría de conjuntos
No olvide
Aplicación de inclusión
Sean los conjuntos
C={2; 3; 5; 7; 11}
D A3; 5; 11}
E={3; 5; 7; 9}
Gráficamente
D~)C /
f2
\
■n r t )
' ‘ 3/
^ X
___
D c C (D está incluido en Q
En cambio, E<z D [E no está
incluido en D).
Aplicación de igualdad
Sean los conjuntos
A={3^e Z / 1 </c< 5}
6={3; 9; 27; 81},
AczB a ScA
Aplicación de conjuntos
disconjuntos
A={x/xe N a x<10}
B={x/xe N a x>22}
Por lo tanto, A y B son
disjuntos.

195. COLECCION ESENCIAL
Lumbreras Editores
6. CONJUNTOS ESPECIALES
6.1, Conjunto vacío o nulo
Es aquel que carece de elementos.
Notación
0 ; U
El conjunto vacío es subconjunto de todo conjunto.
0 c (todo conjunto)
6.2. Conjunto unitario
Es aquel conjunto que tiene solo un elemento diferente.
También es llamado singleton.
Ejemplo
A={3}, 6={4; 4} y C={8; 8; 8; 8}
Por lo tanto, A, B y C son conjuntos unitarios.
6.3. Conjunto universal
Es el conjunto que contiene a todos los elementos en un
contexto determinado. No existe un conjunto universal
absoluto. Se le denota generalmente por U.
Representación gráfica ;
6,4. Conjunto potencia
El conjunto potencia de A es aquel que está formado por
todos los subconjuntos posibles que posee el conjunto A.
Notación
PÍA)
Se lee: “Conjunto potencia de A" o “Subconjunto de A ”.
2

196. Capítulo 6
Teoría de conjuntos
Ejemplo
A={8-, 5; 7} n(A)=3
subconjuntos propios de A
l i l i _X1"
P(A)-{0,(8), (5), (7), (8; 5), (8; 7), (7; 5), (8; 5; 7)}
T T T T
subconjuntos de A y tambiér
elementos de P[A)
n[P{A)]=8 subconjuntos -> n[P{A)]=2
En general
n(A)
n[P{A)]=2!m
V
____
J
^jiolárSe^übcomuntos_ yi[A) _,
¿Apropio! de A j
¡ totalde subconiuntos i
I no nu Ioide A J L ■'
7. OPERACIONES E N T R D Ü N
7.1. Unión (tj) % ,
6-{x/xe A v xe B)
Se lee: “Elementos que pertenecen al conjunto A o fi”; es decir,
elementos comunes y no comunes.
Representación gráfica (casos posibles)
No disjuntos Disjuntos Comparables
De los gráficos se concluye lo siguiente:
n{AuB)=n{A)+n{B)-n(AnB)
Si un conjunto tiene elementos
concretos o reales para hallar
su número cardinal, se contará
cada uno de ellos.
Ejemplo
C={/;
n(Q=6
vsl
Importante
Conjuntos coordinables o
equipotentes
Se da cuando es posible esta­
blecer una relación biunívoca
uno a uno, es decir, un ele­
mento del conjunto A con un
elemento del conjunto B y entre
sus elementos.
Como consecuencia de esto, se
cumple que los cardinales de A
y B son iguales.
Ejemplo
A={Neruda, Vallejo, García
Márquez}
fi={Chile, Perú, Colombia}
Se observa una relación entre
los elementos de A y fi.
C /-v ^ M
Por lo tanto, A y 8 son coordi­
nables.
V
_______________________________
i

197. COLECCIÓN ESENCIAL
Lumbreras Editores
12. Intersección (n)
Idempotencia
• AuA=A
• AnA=A
Conmutativa
• Ax jB=Be iA
• AnB=BnA
Asociativa
• (Aufí)uC=/4u(fiuC)
• (A n fi)n C ^ n (S n Q
Distributiva
• A u(finQ = (AuS)n(AuQ
• A n{BuC )= {A nB)u{A nQ
De Morgan
• CAuBy=A'nB' «
• (AnB)'=A'uB'
Absorción
• A'u(AnB)=A
• An(Aufí)=A
• A'u{A'nB)=AuB
• Ar\(A'vB)=AnB
Del complemento
• ' AuA'=U
2 A n A ‘=0
¿ •
____________________________________y
Ar\B ~{x/xe. A v x e 8}
Se lee: “Elementos comunes de los conjuntos A y B”.
Representación gráfica (casos posibles)
No disjuntos Disjuntos Comparables
A
ty
O
GD OO
( c y )
De los gráficos
• A n B = 0 o A y B son disjuntos
• Ar\B-A <-> A c fí
73. Diferenció u (\)
A~: 8e íX/>. e A & x é 8)
Se lee: “Solo elementos de A”.
Rep resentaci ón g rá (¡7"« Crasos pos i lo I es)
No disjuntos% ís# Disjuntos
De los gráficos
• A -B -A <-» A y B son disjuntos
• A - B - 0 A c f í
7.4. Diferencia simétrica (A)
AAB~[x/xc [A-B) v x e(B -A)}
Se lee: "Solo A o solo B".

198. Capítulo 6 Teoría de conjuntos
Representación gráfica (casos posibles)
No disjuntos
De los gráficos
• /4AB=/4ufí <-» /AnB=0
i
• Aí^B-B-A ++ Ac:B
7.5. Complemento
~A'-A-{x/x g A)
'<%. \v:
Se lee: “Elementos que no pertenecen al
conjunto A, pero sí al U”.
Aplicación 7
De un grupo de estudiantes de idiomas,
se sabe que 80 estudian Inglés o Francés.
Además, 52 estudian Inglés y 67 estudian
Francés. ¿Cuántos estudian Inglés y Francés?
Resolución
Del texto, graficamos los conjuntos que estu­
dian Inglés y Francés.
Nos piden b.
UW)
Del dato tenemos
• a+ b+ c-80
• o + b=67
• b+ c-52
jf
* Un S
Sumamos las expresiones (I) y (II).
JA , a+b = 67
K / b + c =52
0)
(II)
o + b+c+b = 119
so 39
Por lo tanto, 39 personas estudian Inglés y
Francés.
j Ap lic a c ió n 2
\ ¿Qué operación entre conjuntos representan
i las regiones sombreadas?
i5

199. COLECCION ESENCIAL Lumbreras Editores
Re s o l u c ió n
Analizamos las regiones sombreadas.
La operación (A n fí)-C representa la región
sombreada.
Se observa que C-{A u B).
Finalmente
[(A n B )- C ]v [C - A v B ].
Ap l ic a c ió n 3
¿Cuál es la operación que representa el
siguiente gráfico?
Re s o l u c ió n
• Gráfico 1
La operación (AAB)-C representa la región
sombreada.
• Gráfico 2
La operación C-{AuB) representa la región
sombreada.
Finalmente
Por lo tanto, la operación que representa la
región sombreada es
[(A Afi)-q u [C - (A v B )l
I
i
i
i
)
>

200. Capítulo 6
Teoría de conjuntos
Ap l ic a c ió n 4
En el mes de agosto, Alicia comió en el desa- i
yuno huevos o plátanos. Si no comió huevos ;
durante 11 días y no comió plátanos durante j
14 días, ¿cuántos días comió huevos y plátanos i
a la vez? i
Re s o l u c ió n
Del texto graficamos los conjuntos.
.(./(31 días)
Datos:
No comió huevos durante 11 días.
—¥ o+b=11
No comió plátanos durante 14 días.
—» a+b=14
Nos piden cuántos días comió huevos y
plátanos: c.
Sabemos que el total de días es 31.
-» a+b+c+d- 31
T
Como comió huevos o plátanos, significa que
a=0
Además
o+c/=11 —> b+c=20
t
o
a+b=14 —> c+d=17
t
o
Luego
d=11
—> c=6 a b=14
Finalmente
(7(31 diar.)
Por lo tanto, Alicia comió huevos y plátanos en
6 días durante el mes de agosto.
Ap l i c a c i ó n 5
A un grupo de 36 personas se les preguntó
sobre sus preferencias respecto a las comidas
de la costa, sierra y selva; y se obtuvo la
siguiente información:
• A 22 no les gusta de la costa.
• A 20 no les gusta de la sierra.
• A 21 no les gusta de la selva.
• A 8 no les gusta ningún tipo.
• A 5 les gusta de la costa y sierra.
• A 8 les gusta de la costa y selva.
• A 7 les gusta de la sierra y selva.
¿Cuántas gustan de los tres lugares?
Resolución
Graficamos los tres conjuntos mencionados
utilizando los diagramas de Venn.
i Nos piden x.

201. COLECCION ESENCIAL
Lumbreras Editores
Tenemos los siguientes datos:
• Personas que no gustan de la costa: 22
Entonces, 14 gustan de la costa; es decir,
x+d+f+g^A.
• Personas que no gustan de la sierra: 20
Entonces, 16 gustan de la sierra; es decir,
x+a+b+d=16.
• Personas que no gustan de la selva: 21
Entonces, 15 gustan de la selva; es decir,
x+b+c+f= 15.
• Personas que no gustan de ninguno: 8
-> h=8
• 5 gustan de la costa y sierra: d+x=5
• 8 de la costa y selva: f+x- 8
• 7 de la sierra y selva: b+x-1
Del gráfico tenemos
I ■ \ \
a+ b+ c+ d+ f+ g+ x+ h= 36
'
------------«------------' i \ ¿f
28 8 V . •
d+x= 5
f+x=8
b+x=7
1 +
3x+d+f+b-20 —> d+f+b—20—3x
• (x)+d+f+(g)= 14
* + © + © + © = 16
x+ b+ (c)+ (f) = '\5
x + a + b + c+ d + f + g + 2x + b+d + f = 45
28 20-3x
Luego
28+2x+20-3x=45
48-x=45 -> x=3
Por lo tanto, tres personas gustan de las
comidas de la selva, costa y sierra.
Ap l ic a c ió n 6
Dados los conjuntos unitarios
A = {yfñ + y[m; 8} y 5 = {V ñ -V m ; 4},
calcule n[P(D)\ Considere que n(D)=n+m.
Re s o l u c ió n
A = {-Jñ + Vm; 8}
unitario • ¡guales
Vñ + Vm = 8
B = {4n-\[rñ] a] —> V ñ -V m = 4
■ r ~ T
Luego
+ = 8
yfñ - J f n = 4
. ; /^ /ñ j = J2
1 ^ V ,v ^ f .JA
Vñ = 6 —> n = 36
\s. y# « | »
\/m = 2 —> /n = 4
-> /77 + n=40=/i[D]
Nos piden n[P(D)].
n[P{D)} =2n(D)=240
Ap l ic a c ió n 7
Para tres conjuntos {A, B y Q contenidos en un
universo se cumple
• n{Ar\BnQ=5
• n ( / n B c n C c ) =50
• n{AuB)=35
• n(/4nfí)=n(fínC)=n(4nCj=10
Calcule n(Q.
2

202. Reso lu ció n Además
Graficamos
a+x+y= 26
b+x+z= 21
c+ y+ z- 16
a+b+c+x+y+z+x+y+z = 63
4 0
Por lo tanto, las personas que hablan solo dos
idiomas son en total 17.
• n (A n B n C)=5
• n{Ar\B)=n{BnC)=n{AnQ=']0
• n{Ac n B c n C c f= n{A KjBKjQ =50
• n(Aufí)=35 —» x+y=15 —> z=15
n(C)=30
Aplicación 8
De un grupo de 50 personas, 30 hablan espa­
ñol, 25 inglés, 20 francés y 4 hablan los tres
idiomas. ¿Cuántas personas del grupo hablan
solo dos de estos idiomas si todos hablan al
menos uno de estos idiomas?
Ap l ic a c ió n 9
Se tienen tres conjuntos {A, B y Q incluidos en
un universo tal que se cumple lo siguiente:
• AnC=C
• n(AuB)c= m
• n(cc)=190
• n[(AuB)~C]=6xn{Q
¿Cuántos elementos tiene el conjunto universal?
Re s o l u c ió n
Desarrollamos cada dato.
• AnC=C
Resolución
Del texto graficamos los conjuntos.
1/(5 0)
Nos piden x+y+z.
Dato:
o+x+y+z+b+c=46
19

203. COLECCIÓN ESENCIAL
• n (c c )= 190
U
De los gráficos anteriores tenemos el siguiente:
Del dato tenemos
• n(AuB)c= m y n(cc) = 190
—> x+y=90
• n[(AuB)-C ] = 6x n(C)
y + x = 6x(p + z)
90 15
n[U] = p + z + x + y +100 = 205
15 9 0
Aplicación 10
En una reunión a la que asistieron 32 personas
se observa lo siguiente:
• gustan de la salsa: 13
• gustan del rock: 15
• gustan de la balada: 15
Lumbreras Editores
• gustan de la salsa y rock: 5
• gustan rock y la balada: 8
• gustan de la salsa y la balada: 7
¿A cuántos no les gusta la salsa ni el rock ni la
balada o los tres géneros?
Resolución
Graficamos los conjuntos mencionados y asig­
namos una letra a cada región.
Datos:
• salsa y rock —* b + e=5
• rock y balada —* f+e=8
• salsa y balada — d+e=7
-> b+f+d=20-3e
Nos piden x+e.
Además
a+b+c+d+e+f+g=32-x
• ©+£> + @+@=13
• ® +e+@ +@ =l5 ) +
• d+e+f+(g) = 15 '
o+b+c+d+e+f+g+2e+b+d+f=43
-> 32-x+2e+20-3e=43
52-x-e=43
x+e=9

204. Capítulo 6 Teoría de conjuntos
Aplicación 77
En la fiesta de promoción de nivel inicial, asis­
tieron 80 estudiantes, de los cuales 34 son
mujeres y 18 varones están bailando. ¿Cuántas
mujeres no están bailando?
Resolución
Consideremos que las personas bailan en
pareja (una mujer y un varón).
Se cumple que ^bailan=Mba¡larl.
Graficamos una tabla para analizar mejor los
datos. : ;
Es t u d i a n
......................
¡ 1 1 1
Va r o n e s 18 28 46
Mu j e r e s 18 16 34
mam 36 44 38
Por lo tanto, hay 16 mujeres que no bailan.
Aplicación 12
Reduzca la siguiente expresión:
M = {[A u B] n Bc} u{a c n [bc u b]}
Resolución
Es conveniente graficar los conjuntos A y B
incluidos en un U.
Cada región representa una operación entre
conjuntos.
° La región 2 representa A -B .
• La región 3 representa 4 n B.
En el problema
M = {[A \jB ]n B c } u { A c n ÍB c k j b]}
3 A \ f !
; ~T j y-/
M = {{2; 3; 4 }n { l; 2} }u{{1; 4}n [u ]}
M={2} u {1; 4}
M={2; 1; 4 }-{A n B )c
El valor de un rombo equivale a tres círculos. El valor de dos cuadrados equivale a un círculo. ¿Cuáles de
estas combinaciones tienen el mismo valor?
^ O O O D D O d- D D D O O O
s= O D C > f - O D O O D D
c = D O O O O O O

205. CONJUNTOS
Concepto de conjunto
Se puede entender por
conjunto a la reunión o
colección de objetos bien
definidos, llamados
elementos.
Ejemplo
A={a; b; c; d; e}
* *
nombre del
conjunto
elementos de A
Relación de pertenencia
Elemento Conjunto
g J
Cardinal de un conjunto
Es el número de elementos
diferentes de un conjunto.
Notación: n[A)
Relación entre conjuntos Conjuntos especiales ) Operaciones entre conjuntos
Un conjunto/}
está incluido en
otro conjunto B
si y solo si
todos los
elementos de /}
son también
elementos de B.
Igualdad
Dos conjuntos
son iguales si
tienen los
mismos - /<
elementos.
'VI
— Disjuntos
Determinación de un
conjunto
Gráfica
A B
A y B
disjuntos
Dos conjuntos
son disjuntos
cuando no
tienen ningún
elemento en
común.
Por extensión
Es cuando se menciona cada
uno de los elementos.
Ejemplo
/4={do; re; mi; fa; sol; la; si}
Por comprensión
Es cuando se menciona una caracterís­
tica en común de los elementos
Ejemplo
A={x/x es una nota musical}
/------------------
------— 1 —N
Nulo o vacío
(0 o {})
No posee
elementos.
Unitario o
singleton
Posee un solo
elemento.
.! ''
Universal
- '// ’S \ ■, /'
Es aquel
conjunto
referendal que
contiene a los
otros conjuntos
en estudio.
Potencia
de/}
P(A)
Es aquel
conjunto cuyos
elementos son
todos los
subconjuntos
que tiene A.
! -• „s'/ ' <//. - 1
;
n=P(A)=2n(A)
:fC%
% v:j :>
_____:_______)
Unión M
A'uB={x/xe A v xeB }
Intersección (n)
AnB={x/x& A a xeB}
Diferencia (-)
A-B={x/xe A a xgfí}
Diferencia simétrica (A)
AAB=(A-B)u(B-A)
Complemento de A (Ac; A')
A'={x/xc:U a xeA)
Lumbreras Editores

206. RESOLVEMOS JUNTOS
Problema N.° 1
Si M—{1; A; 3}, donde A={ 1; 2}, ¿cuántas afirma­
ciones son correctas?
I- 2 e M IV. AgM
II. A c M V. 0 c M
^ c{1; 2} VI. {1; A}c/W
A) 1
D) 4
B) 2 C) 3
E) 5
Resolución
Nos piden la cantidad dé proposiciones que
son correctas.
M={1; A] 3} y A={1; 2}
Luego • ; ^ - f %
M={í, {1; 2}, 3} * '!
I.2gM (F).
Í3x / . '
II.A c M (F) p = k e N /
-3 < x < 25; x e N
III.A c{1; 2}(V)
IV.A g M (V)
V- ■
: A) 9 B) 2 C) 3
V.0 c M (V) D) 0 E) 4
VI.{1 ;A }c M(V)
Por lo tanto, hay cuatro proposiciones correctas.
; Clave \
Problema N.‘ 2
___________________
Indique la secuencia correcta de verdadero (V)
0 falso (F) según corresponda.
A = { 0; {O };0 ; 0; 1; 75}
1 n{A)=6 III- 10 g A
II. 0 g A IV. 1 g A
FVFF
FVVF
B) VVVV C) FVVV
E) VFFF
Resolución
Nos piden la secuencia correcta.
A = {O;.{o};0; 0; 1; V2 }
I. n(A)=6 (F)
II. OgA (V)
III. 1,0 g A (V)
IV. OgA (V)
Por lo tanto, la secuencia correcta es FVVV.
; Clave
Problema N.V3
______
Calcule la suma de cifras del mayor elemento
del conjunto P.
Resolución
Hallamos el mayor elemento (x < 25).
t _ in¿,¡r
Luego
3x
— =elemento
2
^ ^ > = 36
2 | mayor
elemento
Por lo tanto, la suma de cifras del mayor ele­
mento es 9.
Clave

207. COLECCIÓN ESENCIAL
V'.
Lumbreras Editores
Problema N.° 4
Calcule el cardinal del conjunto A.
A={2] 6; 12; 20;... ; 380}
A) 20
D) 19
B) 18 C) 5
E) 38
Resolución
Nos piden el total de elementos que tiene el
conjunto A.
A={ 2 ; 6 ; 12; 20 ; ..
t t t t
0xZ(2)x3©x4 0x5
; 380}
t
l§)x20
Se observa que A tiene 19 elementos.
/. n{A)=19
. \ ? Clave
■ \ T
Problema N.° 5
__________________
Si el conjunto /?={7o+4; b -3; 25} es un.
. . . b- 25
conjunto unitario, calcule
a
A) 3
D) 4
Resolución
Tenemos
B) 1 C) 2
E) 5
R = {7a + 4; b -3; 25}
í
. . elementos
conjunto ..
i ■ iguales
unitario M
Luego
7o+4=¿>-3=25
t t
28
Nos piden
b- 25 28-25
¿>-25
a
—>
= 1
= 1
i C/ave
Problema N.* 6___________________
_____
Dado el conjunto unitario
A={a + ¿>; o + 2¿>-3; 12}, calcule o2 + ó2.
A) 60 B) 7 C) 80
D) 90 E) 104
Resolución
Tenemos
A - {a+b; o + 2¿>-3; 12}
t ~
X
conjunto
unitario
e le m e n t o s
iguales
Luego
0) (ID{HO
a + b = a + 2b-3 = ^
De (l)x(ll)
a+b=a+2b-3
3-b -> o=9
Nos piden az+b2.
-> o2 + ¿>2=32 + 92=90
. o2+¿>2=90
; C/ove

208. Teoría de conjuntos
Problema N.° 7
Si se sabe que A={m + n; m + 2n-2; 10} es un
conjunto unitario, calcule el valor de 3m2-n 2.
A) 198 B) 188 C) 178
D) 168 E) 158
Resolución
Tenemos
A = {m + n] m +2/1-2; 10}
í ~t~
........i " -Sr
unitario elementos iguales
m+n=m + 2n-2=V3
• m+n=m + 2n-2 / y
jm + /i = jrb + n + n -2
2=n \
• m+n=10
í í %Á
8 2 •
Nos piden ' V ”
3m2-n 2=3-82-2 2 ' ..
3m2-/i2=188
i Clave \
Problema N.° 8
Jenny cuenta que durante el mes de febrero
del 2011 salió a pasear con José o con Carlos.
Recuerda que 16 días salió con José y 20 días
salió con Carlos. ¿Cuántos días salió con
ambos si en el día de los enamorados salió
con otra persona?
A) 12
D) 8
B) 10 C) 7
E) 9
Resolución
Según el texto, febrero tiene 28 días.
Graficando tenemos
n(U) = 28
: Clave
Problema M.° 9
______________________________
Si el conjunto H={o + 15; b2- 4; 45} es unitario,
calcule a+b.
A) 33 B) 24
D) 50
C) 25
E) 37
Resolución
Tenemos
1-1 = {a +15; b2-4; 45}
í ~ r r _ n r
Se observa
a+15=b2-4=45
í t
30 7
a+b = 37
Problema N.° 10
Clave .
Calcule n{A)+n{B) si 4={0; {0}; 0 ; 0,1} y
B={3, 3, 3, 3, 3, 6, {3; 6}, {6,3}}.
A) 6
D) 9
B) 7 C) 8
E) 10

209. COLECCIÓN ESENCIAL
Lumbreras Editores
Resolución
Tener en cuenta que solo se cuentan los
elementos distintos.
y ✓ ✓ ✓
A = {O; {0 }; 0 ; 0,1} -» n(A) = 4
B = {3; 3; 3; 3; 3; 6; {3; 6 }; {6,3}} -> . rilB) = 4
n{A)+n{B)=8
: Clave { )
Problema N.° 11_________
Dados los conjuntos
A={x g N /2 < x < 6},
8={x2 + l/ x e N a 1<x<4} y
C = {x-2/x g N a 4 < x < 6},
¿cuántos elementos tiene la operación
CB u A )- {A n Q?
A) 3
D) 4
B) 2 C) 1
E) 6
Resolución
Analizamos los datos.
• A={x g N/2 <x<6} —> 4 = {3;4;5}
í
• B={xz + 1 /x e N a 1 < x < 4 }
Los valores de x son 2 y 3, los cuales serán
reemplazados en la siguiente expresión:
x2+1: 5; 10
-> B={5; 10}
• C={x- 2 /x eN a 4<x<6)
x=5
x-2=3 -> C={3}
Nos piden n ((B u A )-(A n Q ).
BuA={3; 4; 5; 10} y A n O {3 )
n[(BuA)-(AnQ ]= 3
: Clave
Problema NT 12
Calcule el total de subconjuntos no nulos que
tiene el conjunto N.
N={5; 7; 9; 11; 13; 15}
A) 15
D) 63
B) 7 C) 31
E) 127
Resolución
Tenemos
N={5; 7; 9; 11; 13; 15} -» n(N)=6
total subconjuntos
no nulos de N
_ 2n(A/)_ i —26—1=63
Por lo tanto, et total de subconjuntos no nulos
es 63.
: Clave [
Problema NT 13
Si A-B={2; 6} y B-A={ 1; 3; 5},
además A(jB= {x/x g T a 0<x<9},
halle (AnB).
A) {5; 6; 7} B) (4; 7; 9} C) {4; 7; 8}
D) Í5; 7; 9} . E) (4; 8; 9}

210. Resolución
Representamos gráficamente.
A -B = {2; 6} y B-A={ 1; 3; 5}
-» Au8={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8}
/. Anfí= {4; 7; 8}
i C/ai/e y S J
Problema N.° 14
__________ ■
¿Cuántos subconjuntos propios poseed?
A={6; 12; 20; 30; 42;...; 110}
A) 212 B) 2" C) 210-1
D) 29-1 E) 28-2
Resolución
Calculamos el n(A).
A={ 6 ; 1 2 ;'2 0 ; 30; 42; ... ; 110}
} i ! 1 1 1
(2 )x 3 © x 4 @ x 5 © / 6 © > 7 © * 1 1
^ n(A)=9
total subconjuntos
propios A
_2n(/4)_'j - 2^—1
Por lo tanto, A posee 29-1 subconjuntos
propios.
; Clave \
Problema N.* 15
_____________________
Si
n{AuB)=20] n(A)=12 y n(B)=15,
¿cuántos elementos hay en (AnB)?
A) 8 B) 7 C) 3
D) 5 E) 4
Resolución
Tenemos
n(/\ufí)=20; n(A)=12 y n(fi)=15
Ahora representamos gráficamente.
n(AnB)=7
; Clave
Problema N,° 16
Se tienen dos conjuntos {A y B) tales que
n(Aufi)=16; n{A-B)=5 y n{B-A)=8.
Halle n(A)+n{B).
A) 19 B) 18 C) 16
D) 14 E) 8

211. COLECCIÓN ESENCIAL
Lumbreras Editores
Resolución
Analizamos los datosy luego graficamos.
n(/4ufí)=16; n{A -B)=5 y n(fí-A)=8
Se observa
n{A)=Q y n(fí)=11
n{A)+n(B)=19
Problema N/ 18
_________________
En un aula de 50 alumnos, 30 aprueban Ma­
temáticas; 30 Física; 35 Castellano; 18 Mate­
máticas y Física; 19 Física y Castellano; 20 Ma­
temáticas y Castellano; y 10 aprueban los tres
cursos. ¿Cuántos no aprueban ninguno de los
tres cursos?
A) 1 B) 2 C) 3
D) 4 E) 5
Resolución
Colocamos los datos en el siguiente gráfico:
i Clave \
• . '
................ V'W:*:* ¿ I . . . « *
Problem a N/ 17 ', |
Durante el mes de octubre, un alumno estuvo |
preparándose en Aritmética y Trigonometría;-
Veinte días estudió Aritmética y 16 días
Trigonometría. Si el 1 de octubre fue domingo
y todos los domingos descansó, ¿cuántos días
estudió ambos cursos?
A) 9 B) 8 q g o
D) 11 E) 5 :/
Resolución
Según el texto, octubre tiene 31 días, es decir
n(l/)=31. Ahora graficamos.
U( 31)
■ Nos piden la cantidad de alumnos que no
aprueban ningún curso: x.
La suma de todas las regiones es 50.
2 + 8+10+10 +3+ 9 +6+x=50
‘
---------------------------------------------------V---------------------------------------------------- |
48 \
x=2
: Clave [ }
Problema NT 19
____________
En una encuesta a 150 universitarios, se sabe
que 60 son mujeres, 55 personas estudiaban In­
geniería y 30 mujeres no estudiaban Ingeniería.
¿Cuántos varones no estudiaban Ingeniería?
n(AnT)= W
í Clave \
A) 50
D) 65
B) 55 C) 60
E) 75

212. Capítulo 6 Teoría de conjuntos
Resolución
Del texto leído tenemos
Por lo tanto, los varones que no estudian
Ingeniería son 65.
i Clave [ ¡í }
Problema N.° 20
__________f
De un grupo de estudiantes que desean
estudiar Derecho o Sistemas, 27 estudiarán
Derecho y 11 estudiarán ambas * carreras.
¿Cuántos estudiarán solamente Derecho?
A) 11 B) 27 C) 21
D) 5 E) 16 y
Resolución
Del texto, graficamos
Problema N.° 21 _____________
~
...............................2.........
En una ciudad se sabe que - de la población
toma leche y la quinta parte come carne. Si
los — de los que comen carne también toman
4
leche y 16 500 habitantes no toman leche
ni comen carne, ¿cuántos habitantes hay en
dicha ciudad?
A) 3000 B) 3500 C) 3050
D) 40 000 E) 45 000
Resolución
Según el enunciado del texto tenemos
2 3
- x (total) y — x (total)
Consideramos el total como 20x.
Por lo tanto, solo 16 estudiarán Derecho.
Dato:
11x=16 500
x=1500
-> 20x=3000
Por lo tanto, en dicha ciudad hay 3000 habi
tantes.
! Clave {
; Clave {

213. COLECCION ESENCIAL Lumbreras Editores
Problema N.‘ 22
________________
En un evento donde asistieron 179 personas, se
notó que 28 personas fumaban pero no bebían
y 43 personas bebían pero no fumaban. Si el
número de personas que no fumaban ni bebían
era el triple de los que fumaban y bebían,
¿cuántas personas fumaban y bebían?
A) 22 B) 27 C) 35
D) 37 . E) 40
Resolución
Del texto leído, planteamos el problema
gráficamente.
Nos piden x.
Tenemos que
28 + x+ 43 + 3x=179
4x+71=179
4x=108
-> x=27
Por lo tanto, 27 personas fumaban y bebían.
I Clave
*
...................i . »
Problema 2 3
______________________________
Dados los conjuntos A, B y C contenidos en U
tales que
n(/4ufíuC)=93; n {A -{B u Q )=18;
n((4n6)-Q = 7; n(A)=n(B)=41; n(Q=46 y
n((6 n Q -A )= 7,
halle n {A n B n Q .
A) 5 B) 6 C) 7
D) 8 E) 10
Resolución
Datos:
- n(/AufíuC)=93
- n{A-{BKjQ)=18
- n {(A ^ B )-Q=7
- n(A)=n(fí)=41
- n(Q=46
- n [{B n Q -A)]=7
Graficamos utilizando los diagramas.
Nos piden: x
Sabemos que
n(Cj+18+7+y=93
46+18+7+y=93
-> y=22

214. Capítulo 6 Teoría de conjuntos
Además
n(B)=7+x+y+7-41
í
—> 36+x=41
x=5
; Clave
Problema il° 24
Si A y B son dos conjuntos cualesquiera dife­
rente del vacío, simplifique
[(/4 u B .)n fíc ]u [fín (fi- / \ )]
A) B -A B) A C) BkjA
D) A AB E) Ac '
Resolución \ \ ’ <* >'
Graficamos los conjuntos A y B contenidos en
el universo.
Cada número representa una operación entre
conjuntos.
[(A u fí)n B c ]u [B n (B - A )]
I !
(2; 3; 4}n {1 ; 2} (3 ;4 )n {4 )
{2} u {4}
/ U 6 = {2;4)
¡ Clave
Problema N.° 25 _ _ _
_________________
En un almuerzo donde asistieron 150 personas,
a 30 les gustaba el vino tinto pero no el vino
blanco, a 20 no les gustaba ninguno de ellos,
y a 80 hombres les gustaba el vino blanco. Si
a 10 mujeres les gustaba solo el vino blanco,
¿a cuántas mujeres les gustaba el vino tinto y
el vino blanco?
A) 10 B) 20 C) 15
D) 30 E) 50
Resolución
Analizamos lo leído y lo representamos gráfi­
camente.
Nos piden x.
Sabemos que
30 + 80 + 10 + 20+x=150
-> 140+x=150
x=10
: Clave

215. COLECCIÓN ESENCIAL
Lumbreras Editores
Problema N.‘ 26
_______________________________
En un evento internacional, el 60% de los
participantes habla inglés y el 25% habla
castellano. Si el 20% de los que hablan inglés
habla también castellano, y son 1200 los que
hablan solo inglés, ¿cuántos no hablan ni
inglés ni castellano?
A) 645 B) 625
D) 675
Resolución
Del texto tenemos
C) 715
E) 1200
Del dato del problema, tenemos que 1200
solo hablan inglés.
27%
inglés (60%)
48% o 1200
Problema N.‘ 27
De 70 alumnos que estudian Inglés o Francés
se observa que los que estudian solo Inglés
son el triple de los que estudian ambos cursos,
y los que estudian solo Francés son la mitad
de los que estudian solo Inglés; además 4 no
estudian idioma alguno. ¿Cuántos estudian
solo Inglés?
A) 12 B) 36 C) 48
D) 24 E) 18
Resolución
Representamos gráficamente.
solo lnglés=3x(ambos cursos)
1
solo Francés=-x (solo Inglés)
Nos piden la cantidad de participantes que no
hablan inglés ni castellano.
21% o x
Finalmente
4 8 %
----* 1200
27%
----* 675
Por dato, la suma de todas las regiones es 70
3a + a + — + 4 = 70
2
-» 4a + — + 4 = 70
2
11o
— = 66 —> o=12
2
i Clave \
Por lo tanto, hay 675 personas que no hablan
inglés ni castellano.
Nos piden 3a (estudian solo Inglés).
3o=36
■ Clave ..

216. Capítulo 6 . .. Teoría de conjuntos
Problema N.° 28 Problema N.° 29
Si /4-{1; 2; 3; 4; 5}, determine cuáles de los
siguientes enunciados son verdaderos:
I. 3xeA/x+ 3< 10
II. V x e A ; 3 y e A/x+y<7
III. V xe A ;x+ 4 < 8
A) solo I
D) I y II
Resolución
B) solo II C) solo
E) Il y II
Verdadero
El enunciado menciona que existe al menos
un elemento que pertenece al conjunto A
que cumple la condición.
Por ejemplo, si x= 5 -> 5 + 3<10
Verdadero
El enunciado menciona que para todo ele­
mento que pertenece al conjunto A, existe
al menos un elemento que pertenece al
conjunto A tal que cumpla la expresión
V 3 < V -
i i ' V ‘
x + y < 7
I i * X
t T
1 + 1 V
2 + 1 X
3 + 1 x
.4 + 1 x
5 + 1 X
Falso
V xe A] x+4<8
1 i
1 + 4 X
2 + 4 X
3 + 4 X
4 i 4 X
'J i- 4 *
Por ejemplo, si x= 5 —» 5+4>8
Clave
En un distrito se determinó lo siguiente: el
30% de la población no lee Caretas, el 60% no
lee Gente y el 40% lee Caretas o Gente pero no
ambas. Si 2940 personas leen Gente y Caretas,
¿cuántas personas hay en la población?
A) 6000
D) 8400
B) 3500 C) 4200
E) 12600
Resolución
Representamos gráficamente.
/ //I í) '-'V ' \
O)
Del gráfico tenemos
(No lee Caretas) o 30% -> ¿h-c
(No lee Gente) o 60% -> a + c
Lee Caretas o Gente
K pero no ambas
o 40 % —> a+b
Sumamos los resultados anteriores.
b + c= 30%
a + c=60%
q+b-40%
2x(q+¿i + c)=130%
Luego
—> q + b+c—65%

217. COLECCIÓN ESENCIAL
Lumbreras Editores
Sea x el total de la población.
Deducimos que
Leen Caretas y Gente o 35% —► 2940
Total < > 100% —> 8400
Aplicamos la regla de tres simple.
' _ 100 % x 2940
X ~" 35%
Graficamos
x = 8400
; Clave ■
Problema N.° 30
Dados los conjuntos
A= {xeN /x< 5 v x=9} y
B={xe N/x<11 a x es impar},
halle el número de elementos de P(A~B):
Del gráfico tenemos
A-B={2; 4} n(A-B)=2
n[P{A-B)]=2n{A~B)=2z=4
: Clave
A) 2
D) 16
B) 4 C) 8
E) 32 ; :
Problema N.° 31,
________'
En un instituto estudian 1040 alumnos, de
los cuales 360 practican solo básquet, 280
j practican solo fútbol y 150 practican ambas
disciplinas. ¿Cuántos alumnos no practican
ninguna de estas dos disciplinas?
Resolución
Del enunciado tenemos
A) 350
D) 250
B) 270 C) 280
E) 260
• /4={xeN/x<5 v x=9}
Como xe N , además x<5 v x=9, deduci­
mos que los valores de x son 1; 2; 3; 4 y 9.
-> A={ 1; 2; 3; 4; 9}
. B={xe N/x<11 a x es impar}
Como xe N; x<11 y además x es impar, sus
valores son 1; 3; 5; 7 y 9.
-> B={ 1; 3; 5; 7; 9}
Resolución
Graficamos los conjuntos convenientemente.

218. Capítulo 6 Teoría de conjuntos
Nos piden x (no practican básquet ni fútbol).
Luego
360 + 150 + 280+x=1040
x+790=1040
x=250
! Clave\ í) }
Problema IV 32
_______________
Si A y B son dos conjuntos incluidos en U,
tales que n[A)=12; n(fí)=16 y n(An8j=7,
calcule n{A AB).
A) 18 B) 20 C) 1
D) 16 E) 25
Resolución ^ j'.C VV;
Analizamos los datos. \
n(A)=12 y n(8)=16
Luego
n(AnB')=7
—> n{A-B)=7
Nos piden n{AAB).
n {A A B )-l+11=18
I Clave \
Problema N2 33 _________________
____________
Calcule la suma de los elementos de P.
p = ^ 1'b es imPaC 5 < 6 < 14 j
A) 12 B) 16 C) 15
D) 14 E) 13
Resolución
Por condición del problema tenemos
p - \ - — ^3 /¿> es impar; 5 < b < 14 r
l b+6 / t J
7; 9; 11; 13
Desarrollamos la forma general del elemento.
b2 -36 _ b2 - 62 _ - 6) _ ^ 6
b+6 b + 6 (J>+'6)
Como se sabe que
b: 7; 9; 11; 13 -+ ó - 6:1; 3; 5; 7
Finalmente, los elementos del conjunto P son
P={ 1; 3; 5; 7}
Por lo tanto, la suma de elementos de P es
1 + 3 + 5+7=16.
: Clave -.
Problema N.* 34_______________________________
Si la unión del conjunto A con su respectivo
conjunto potencia tiene 37 elementos, enton­
ces se puede decir que A) B) C) D) E)
A) es absurdo.
B) A tiene 3 elementos.
C) A tiene 5 elementos.
D) A no está incluido en P(A).
E) no se afirma nada.

219. COLECCIÓN ESENCIAL Lumbreras Editores
Resolución
Por condición del problema tenemos
n(A) + n[P(A)]=37
n(A) + 2n{A]=37
—> n(A)=5
Por lo tanto, el cardinal del conjunto A es
Problema N.* 3 6
_____________
¿Cuántos elementos tiene A?
A = {x 2/(2x +1) e Z a 0 < x < 2}
A) 1 B) 2 C) 3
D) 4 E) 5
Resolución
; Clave [ € )
Problema M 0 35
________
Indique el cardinal del conjunto P.
p=)x/ í r eN;x<17}
A) 2 B) 4 \ C) 5 ^
D) 10 E) 16
Resolución
Según la condición del problema tenemos
J T t l eNa x<17 ‘'.i 7
luego, los valores de y son:
x-2-> M p= IeNa 2<17
x=11 -» J 4 p = 2 e N A 11 <17
Son los valores de x para que se cumpla la
condición.
Notemos que el elemento de P es x.
-> P={2; 11}
/. n(P)=2
; Clave [ }
. ..............
Como
^)X2 1 ¿ -
0<x<2
0<2x<4
1<(2x+-;<5
• entero
+1
se cumple
1
2x + 1 = 2 —> x — —
2
2x+1=3 —> x = 1
2x + 1 = 4 -> x = -
2
Como x toma 3 valores, entonces x2 tiene
también 3 valores. Por lo tanto, el conjunto A
contiene 3 elementos.
; Clave \
Problema N.° 37
______________________________
Midori cuenta que durante el mes de febrero
del 2015 salió a pasear con su perro o con su
gato. Recuerda que 16 días salió con su perro
y 20 días salió con su gato. ¿Cuántos días salió
con ambas mascotas si en el día de los enamo­
rados salió con su novio?
A) 12 B) 10 C) 7
D) 8 E) 9

220. Resolución
Del texto tenemos que febrero del 2015 tuvo
28 días por ser un año no bisiesto.
1/(28}
Se concluye que Midori salió a pasear con
ambas mascotas 9 días del mes de febrero.
I Clave \ j
•
............................................
Problem a N.° 38
__________a 4 4 4 ; y ..
Si AczB y {A vB )n C = 0 , simplifique
[A -(B n Q ]'u [(A u Q -(A n B y ]\
A) A B) C C) B
D) A' E) A -B
Resolución
Del gráfico tenemos
A a B y (/lu B )n C = 0
' U
Ahora simplifiquemos la expresión
[ A - ( B n C ) f u [(/ \ u C )- (A n e )C]
Luego
{2 ;4 ;3 }u[ {1 ;3 }-{2 ;4 ;3 }]C
{2; 4; 3)u{1)c
{2; 4; 3)u{2; 4; 3}={2; 4; 3}=4C
; Clave i
Problema f i 0 B9
____________________
De un grupo de 100 alumnos, 49 no llevan el
curso de Sociología y 53 no llevan el curso de
Filosofía. Si 27 alumnos no siguen Filosofía ni
Sociología, ¿cuántos alumnos llevan solo uno
de tales cursos?
A) 51 J B) 48 C) 2
D) 49 E) 50
Resolución'
Del texto mencionado, graficamos los siguien­
tes conjuntos:
u n 00}
Nos piden solo un curso: solo Sociología o
solo Filosofía; es decir, nos piden la diferencia
simétrica.
n[SAF]=26+22=48
: Clave \ )

221. COLECCIÓN ESENCIAL
Lumbreras Editores
Problema NT 40
De un grupo de 95 deportistas se observó lo
siguiente:
15 son atletas, que practican fútbol y nata­
ción.
• 52 son atletas.
• 55 son nadadores.
• Todos los futbolistas son atletas y 12 son
deportistas que solo practican el atletismo.
15 deportistas no practican los deportes
mencionados.
¿Cuántos deportistas son atletas y nadadores,
pero no futbolistas?
Nos piden el valor de x (nadadores y atletas
pero no futbolista).
Sean /I la cantidad de atletas e y el número de
deportistas que practican solo natación.
Del gráfico se observa
A + y+ 15=95
52+y+15=95
y+67=95 -+ y= 28
Además
15+x+y=55
15+x+28=55 -> 43+x=55
x=12
j Clave )
..........
Problema NT 41
_____________________________
De un grupo de 55 personas 25 hablan inglés,
32 francés, 33 alemán y 5 hablan los tres
idiomas. ¿Cuántas personas del grupo hablan
solo dos idiomas?
A) 20 B) 25 C) 30
D) 22 E) 27
Resolución
Analizamos los datos y graficamos los conjuntos
mencionados.
H v: ws ' ,!&*& Jr
Del gráfico, nos piden x+y+z.
o+x+y=20
b+z+y=28
c+z+x=27
o + b + c+ x+ y+ z+ x+ y+ z= 75
V V / ^ V J
50 25
x+y+z=25
i Clave \
•
.............. .................*!•*••*

222. Capítulo 6 Teoría de conjuntos
Problema N.° 42
En un almuerzo donde asistieron 150 personas.
A 30 les gustaba el vino tinto pero no el vino
blanco, a 20 no les gustaba ninguno de ellos y
a 80 hombres les gustaba el vino blanco. Si a
10 mujeres les gustaba solo el vino blanco, ¿a
cuántas mujeres les gustaba el vino tinto y el
vino blanco?
A) 10 B) 20 C) 15
D) 30 E) 50
Resolución
Del texto mencionado, graficamos convenien­
temente los conjuntos.
U{ 150)
Nos piden x.
30 + 80 + 10 + 20+x=150
140+x=150
* =1°
; Clave ■
Problema N.* 43_______________________________
En una encuesta sobre el consumo de las
bebidas A, B y C, se obtuvo el siguiente
resultado:
. 190 toman la bebida A.
. 110 toman la bebida B.
. 150 toman la bebida C.
1
Los que solo toman C son — de los que solo
1 2
toman B y - de los que solo toman A.
• Los que solo toman B y C son la mitad de
los que solo toman A y B.
• Los que toman las tres bebidas es un tercio
de los que solo toman A y C.
¿Cuántas personas toman solamente una
bebida?
A) 40 B) 60 C) 50
D) 70 E) 75
Resolución
Del texto, analizamos los datos y graficamos
los conjuntos mencionados.
Del gráfico se observa que
3x+4z+2y=190
2x+3y+z=110
x+y+4z=150
tyl+^+9Á=4fo
-» 2x+2y+3z=150
1 I i
10 20 30
Nos piden 6x.
6x=60
j Clave

223. PRACTIQUEMOS LO APRENDIDOVi
1. Exprese el conjunto F por extensión.
F = {x gR /x3 -7x2 + 6x = 0}
A) {0; 1; 7} B) (0; 1; 6} C) {6}
D) (0; 2; 6} . E) {1; 5}
2. Determine por extensión el conjunto A,
y dé como respuesta la suma de sus ele­
mentos.
A = {x 2 + l/ * e Z
a -3 < x < 3 }
A) 8
D) 11
B) 9
C) 10
E) 12
3. Determine por extensión el conjunto
H = { x 2+ l/ x e Z a -3< x< 4¡v
y dé como respuesta la suma de sus ele­
mentos.
A) 43
D) 38
B) 18 C) 35
E) 42
4. Si los conjuntos A y B son iguales y unita­
rios, calcule o+b+c.
A={a + 3; 3¿) + 1} y £={6c+1; 8c—1}
A) 6
D) 11
B) 7 C) 9
E) 13
5. Los conjuntos
A = {o3+1;10} y B={a+b; 65}
son iguales. Calcule el valor de a-b.
A) -2
D) 1
B) -1 C) 0
E) 2
6. Halle a+b si A={4o+'\; 2¿>+9; 3o+4} es uni­
tario.
A) 1
D) 7
B) 3 C) 5
E) 9
7. Si los conjuntos A y B son unitarios:
A={2m; 12; A7+2} y
#={20; 5p; q],
calcule m+n+p+q.
A) 36
D) 46
B) 40 C) 48
E) 60
8. Calcule la menor diferencia de los
elementos del conjunto D.
D - { x2 e z/-2 < x < 5}
A) 1
D) 0
B) 2
C) 3
E) 4
9. Si
4 u B={ 1; 2; 3; 4; 5;...; 30} y
AnB-{3] 6; 9;...; 24},
calcule n{AAB).
A) 22
D) 12
B) 20
C) 16
E) 6
10. Si el conjunto A es unitario
4 = {/i3 +4; mn+2 +í; 129},
calcule mxn. Considere que m y n son
números enteros positivos.
A) 15
D) 10
B) 20
C) 35
E) 12
»

224. Capítulo 6 Teoría de conjuntos
11. Calcule el total de. subconjuntos propios
que tiene el conjunto G.
G={1; 3; 3,3; 1; 0; 0 }
-A) 15 B) 7 C) 31
D) 63 . E) 127
12. ¿Cuántos subconjuntos propios y no nulos
posee N?
N={6; 12; 20; 30; 42;...; 110}
A). 212 B) 211 C) 210
D) 29-2 E) 28-2
13. Si
n(/Aufí) = 32; n(A) = 23 y n(8)=17,
¿cuántos elementos hay en {A n B)l
A) 8 B) 7 C) 3
D) 5 E) 4
14. Sean A y B dos conjuntos tales que
n{Au3) -n(A)=4; n{AAB)^0 y n(S)=12.
Halle n{AuB).
A) 18 B) 48 C) 16
D) 24 . E) 8
15. De un grupo de 210 personas, se conoce
que 40 practican canotaje y 135 practi­
can parapente; mientras que 15 practican
ambos deportes. ¿Cuántas personas no
practican los deportes mencionados? A)
16. En un salón de clases de 80 alumnos, 60
están matriculados en Física y 50 en Mate­
máticas. ¿Cuántos alumnos están matricu­
lados en los dos cursos?
A) 30 B) 80 C) 24
D) 11 E) 35
17. Si el conjunto .A tiene 20 elementos y el
conjunto B tiene 30, ¿cuántos elementos,
como máximo, tendrá el conjunto B-A?
A) 10 B) 15 C) 25
D) 30 E) 50
18. En un aula de 55 estudiantes, donde solo
estudian Geografía, Inglés e Historia, todos
prefieren al menos uno de estos cursos,
25 prefieren Geografía, 32 prefieren Inglés,
33 prefieren Historia y 5 prefieren los
tres cursos. ¿Cuántos prefieren solo dos
cursos?
A) 35 B) 80 C) 25
D) 11 E) 36
19. En un aula, donde hay 43 personas, 5 son
mujeres que estudian Biología, 28 son
hombres y el número de hombres que no
estudian Biología es el doble del número
de mujeres que no estudian Biología.
¿Cuántas personas estudian Biología?
A) 50 B) 55 C) 60 j A) 12 B) 13 C) 14
D) 65 E) 70 i D) 15 E) 16

225. COLECCIÓN ESENCIAL
Lumbreras Editores
20. De 55 señoritas que estudian Secretariado
Bilingüe, 25 hablan inglés, 32 francés, 33
alemán y 5 los tres idiomas. ¿Cuántas
señoritas hablan dos idiomas?
A) 22 B) 37 C) 21
25. En un salón de clases de 80 alumnos, 60
están matriculados en Geometría y 50
en Aritmética. ¿Cuántos alumnos están
matriculados en los dos cursos?
A) 30 B) 80 C) 24
D) 11 E) 35
21. De un grupo de 40 personas, se sabe que
15 no estudian ni trabajan, 10 estudian y
3 estudian y trabajan. ¿Cuántas personas
realizan solo una de las dos actividades?
A) 24 B) 20 • C) 21
D) 23 E) 22
22. De los 31 días def mes de julio, Mario salió
con Siara 18 días y con Rosa salió 20 días, j
¿Cuántos días salió con las dos?- - - f
A) 1 B) 7 C) 9
D) 5 E) 3
23. En un aula hay 60 alumnos, de los cuales a
7 no les gusta ni Geometría ni Aritmética, y
a 35 les gusta solo Aritmética. ¿A cuántos
les gusta solo Geometría si a los que les
gusta ambos cursos son 10?
A) 18 B) 12 C) 9
D) 10 E) 8
24. De un grupo de estudiantes que desean
estudiar Ingeniería o Educación, 27 estu­
diarán Ingeniería y 11 estudiarán ambas
carreras. ¿Cuántos estudiarán solamente
Ingeniería? C)
26. Si los siguientes conjuntos son iguales,
calcule a +b+c.
A ={23; 4a+c} y B={a+3b; 35; 2b+S]
A) 17 B) 20 C) 21
D) 22 E) 18
27. De los 64 alumnos que hay en un salón
de clases, se sabe que 5 mujeres tienen
17 años, 16 mujeres no tienen 17 años, 14
mujeres no tienen 18 años y 10 varones
no tienen 17 o 18 años. Indique cuántos
- varones tienen 17 o 18 años.
V y # 3 3 B) 80 C) 2
C D) 11 E) 35
28. Durante el mes de marzo, Daniela comió
en el desayuno huevos o tocino. Si no
comió huevos durante 11 días y no comió
tocino durante 14, ¿cuántos días comió
huevos y tocino?
A) 5 B) 6 C) 7
D) 8 E )10
29. Dados los conjuntos
A = {x e N /x<5 v x=9} y
8={xeN/x<11 a x es impar},
halle el número de elementos de P[A-B).
B) 4A) 11
D) 5
B) 27 C) 21
E) 16
A) 2
D) 16
C) 8
E) 32

226. Capítulo 6 Teoría de conjuntos
30. Si /\={2x+1/xe N; x<4}\
B = {x2 -x + 4 / x e N ;x < 4 } y
C={x+2/xe N; x<4 v x=5},
determine (AASj-C.
33. De un grupo de 100 universitarios, 49 no
estudian Lengua y 53 no estudian Mate­
máticas. Si 27 no estudian ninguno de los
cursos mencionados, ¿cuántos estudian
solo un curso?
A) {1; 5; 8} B) {10; 16; 6} C) {2; 4; 8}
D) {2; 7} E) 0
A) 28 B) 38 C) 48
D) 58 E) 18
31. Sean los conjuntos
A={2a + 3>] 11; 4b-2};
B={2b+4] c2-5; 7} y
C={c? + c; ab; b+c, be-1).
Además 4=8. Calcule el número de sub­
conjuntos propios de (AuCj si a; b; ce N.
A) 3 B) 7 í C) 15 .
D) 31 E) 63 “
32. En un grupo de 100 personas, hay 58
hombres, 74 personas son casadas, 29
son varones extranjeros, 31 son extranjeros
casados y 38 son varones casados.
¿Cuántas mujeres solteras hay? C)
C) 8
E) 5
A) 6 B) 4
D) 7
34. ¿Cuál de las siguientes relaciones expresa
mejor la siguiente región sombreada achu­
rada?
A) (A -B )u{A uB )
B) (AAfi)uC
C) {(A - Q n (B - Q }u C
D) {(A n 8 )-Q u {C -(A u 8 )}
E) N.A.
4

227. CAPÍTULO

229. Con el fin de utilizar dos símbolos únicos (0 y 1) y otor­
garles un significado místico, Leibniz asignó al 0 la nada y
representó a Dios como 1.
Sin embargo,, no se detuvo allí, sino que'llegó a deducir
que la combinación de ambos símbolos representaba el
universo. Su colaborador, el jesuíta Grimaldi, creyó que esto
era una demostración innegable de la existencia de Dios,
por lo que se dirigió al gran tribunal de matemáticos de
China con el fin de que el emperador reflexionara sobre el
hecho y, abandonando el budismo, aceptar a un dios capaz
de crear el universo de la nada.
¿Por qué es necesario este conocimiento?
En el circuito lógico digital existe transmisión de información
binaria. Parece relativamente simple,, pero los circuitos
electrónicos son complejos, ya que su estructura está
compuesta por un número muy grande de circuitos simples,
donde todos deben funcionar de la manera correcta para
lograr el resultado esperado.
• Representar la escritura de un número en cierta base.
• Descomponer polinómicamente un numeral en su respec­
tiva base.
• Realizar cambio de base en los diversos .sistemas de
numeración.
• Utilizar las propiedades de un sistema de numeración en
la resolución de problemas.
falso
cerrado
apagado
verdadero
abierto
encendido
■m r f, % ¿ | |t j| I |f§ *
TEORÍA DE LA NUMERACIÓN
,

230. COLECCIÓN ESENCIAL
Lumbreras Editores
Importante
Número
Ejemplo
¿ 15; XV; quince (numerales)
■ - >
...Es una idea que refiere a
cantidad.
, ¡SN . ■
Numeral
■ r ■ ■■ Cw v r I j
Es la representación simbólica
del número.
Teoría de la numeración
. 1: CONCEPTO
La numeración se encarga del estudio de la formación de la
lectura y escritura de los números. Su aplicación se da desde
que se hacían intercambios, hace mucho tiempo atrás.
Al inicio se utilizaban los dedos de la mano, posteriormente
hubo la necesidad de emplear piedras, gramos de trigo, nudos
hechos en cuerda, pedazos de corteza, entre otros.
2. SISTEMA DE NUMERACIÓN
Es el conjunto de principios, reglas y acuerdos que rigen la
formación y representación de números.
2.1. Principios -ó
2.1.1. De la cifra
Trata sobre los símbolos que se utilizan para la representación
de los números.
í ' 1 2; 3 ; 4 ; 5 ; 6; 7 ; 8 ; 9
cifras significativas
—f cifra significativa
2.1.2. Del orden y lugar de una cifra
Tenemos el número 3586.
4 3 2 1 ■*— Of'dpn
3 5 8 6
lugar —*1234
Se puede observar lo siguiente:
• La primera cifra es 3.
• La última cifra es 6.
• Las cifras de lugares pares son 5 y 6.
• La cifra 8 es de orden 2 y ocupa el tercer lugar.
• La cifra de menor orden es 6.

231. ■
Capítulo 7 Teoría de la numeración
2.13. De la base
La base indica de cuánto en cuánto agrupamos las unidades
de un cierto orden para obtener unidades del orden inmediato
superior.
Ejemplo
Expresaremos 24 unidades simples a las bases 10 y 9.
Base 10 Base 9
f a
!. ' ’ :: í
/ '
\ - :
r .
r*-\p.Eé'%
• v > V t í ; § ;
" i p ' ' S '
L w
P . . / X . y
• i.
m
.r4er:-N
r 4 ? . f m
. f + s \
r ^ : - :
\ • ;•
'•■ -J\$¡l/Va l/ ' i v P t t f
\ . , j
A ' 7
.
V ' -
1.
•toïi-y*****
-'■ i-, ..
^ jV { ■)■2 ' ■ -
* . ..
c.
V w X ' X
i 5 i
Se forman 2 grupos
de 10 y quedaron 4.
Se forman 2 grupos
de 9 y quedaron 6.
24 26c
Ambos numerales representan la misma cantidad, entonces
diremos que son equivalentes. En forma práctica, diremos que
son iguales. '.
24 = 26g
"7'" l 1
2x10 + 4= 2x9 + 6
Observación
La base de un sistema de numeración no sola-
: mente será de una cifra, sino también de dos
■ o más cifras.
No olvide
m
La base indica la formación de
grupos. Entonces
Dase > arra
J
Ejemplo
base mínima=2
12=139=157=206=1103
Luego
• A mayor numeral aparente,
menor base.
• A menor numeral aparente,
mayor base.
Ejemplo
157=1103
• 15 < 110 -> 7>3
• 110 >15 -+ 3 <7
Se concluye que
r~ ^
base > cifra
v -—
------------^
Representaremos un numeral de tres cifras en base 22.
78422

232. COLECCIÓN ESENCIAL
Lumbreras Editores
2.2, Principales sistemas de numeración
Dato curioso
En un circuito lógico, el foco
encendido toma el valor de 1 y
el no encendido, 0; es decir, se
representa la utilización práctica
del sistema binario.
Con incitadores en .serie
y.--VWV.X i**-.*.
§ f § -
’
2 binario 0; 1
3 ternario 0; 1; 2
4 ; cuaternario0; 1; 2; 3
5 : quinario 0; 1; 2; 3; 4
6 senario 0; 1; 2; 3; 4; 5
7 ; heptanario 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6
8 ; octanario 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7
9-; nonario 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8
10í decimal 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9
......•-!" ........ . ....................
11 i
undécima! .: 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; (10)
.............. . ,, . ...........................................-
12 duodecimal 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; (10); (11)
'V.\ ó
..... •• • ■ . í .;:-o .............. ...
20 vigesimal 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6;...; (16); (17); (18); (19)
n
: \
enesimal 0; 1; 2; 3; 4;...; (n-2); (n-1)
Ejemplos
• Numerales bien escritos
123; 245; 2028; 341; 2137; 325; 2213; 4679; 2045; 2214
• Numerales mal escritos
323; 4214; 2212; 2432; 1087; 3(-2)8; 2475; (21)39 3
3. NUMERAL CAPICÚA
Es un numeral que se lee igual tanto de derecha a izquierda
como de izquierda a derecha, o cuyas cifras equidistantes sean
¡guales.
Ejemplos
• 727; 22 522; 686; 2425
• 8558g; 23324; 123 3218; 77

233. Capítulo 7
Teoría de la numeración
4. REPRESENTACIÓN LITERAL DE UN
NUMERAL
Cuando no se conocen los valores de las cifras,
estas pueden ser representadas con letras
minúsculas y encima de ellas una barra hori­
zontal, pero teniendo en cuenta lo siguiente:
• Toda expresión entre paréntesis repre­
senta una cifra.
Ejemplos
(2a)a: 21; 42; 63; 84 (dos cifras)
3b(b+6): 317; 328; 339\tres cifras) ‘
• La primera cifra de un numeral debe ser
distinta a cero.
Ejemplos
x 2 :12; 22; 32) 42; 52; 62; 72; 82; 92 "
x/23: 1023; 1123; 2023; 2123
• A letras diferentes no necesariamente
corresponden valores distintos para las
cifras, al menos que el problema lo indique.
Ejemplo
obs: 105; 115; 125; 135; ...; 445
5. DESCOMPOSICIÓN POLINÓMICA
5.1. Por cifra
,-----------
--------------------------------- • >
abcden=axnA+ bxn3+cxnz+dxn+e
5 cifras
Ejemplos .
. 324=300 + 20+4
. 324=3x100 + 2x10 + 4
324= 3 x102 + 2x10 +4
• 2468=2000+400 + 60 + 8
2468-2x1000+4x100+6x10 + 8
2468=2 x103+4x102 + 6x10 +8
• obcd=a000+b00+c0+d
c?¿>cd=C7x1000+¿>x100+cx10 + (7
O¿>cd=ax103 + ¿>x102 + cx10+c/
En otras bases
. 4215=4x52 + 2x5 + 1
• 2134=2x42 + 1x4 + 3
• 23417=2x73 + 3x72 + 4x7 + 1
• 21213e=2x64 + 1x63 + 2 x6 2 + 1 x'6 + 3
Además
5x83 + 2x82 + 1x81 + 3 = 5213q
4x54 + 4x53 + 2x52 + 3x51 + 2=442325
5.2. Por bloques
x
-----------------------------------—------------------------
abcdefn=dbn x n4 + cdn x rf 4 - efn
\
________________________________-
; Ejemplos
i • 2541g=258x8 2 + 418
j • 1342537=137x74 + 427x72 + 537
í • 1254239=1259x93 + 4239
i * 435126=4x64 + 356x62 + 125
í • 32325=325x52 + 325

234. .
COLECCION ESENCIAL
’
Lumbreras Editores
. % ^ > VXVNiVNNS^'^'->:'v 'VWo.N\v<^.:vv.vvvvv<
v’v.,n
'\ - . *» vy°v ,' ' v v *s' " Wnan'-w v ■ “ ■*V‘ WV-.w
Tüi^O' , llHDOrtJIltB:^,;;;,;
♦ ♦•• « V Í T Í «■ £ *& , '. / . _ -vV
? / / / / / / / /<, ** ;* '-* *'** *■' «cMA >*M.W •*•'"'
^ \-v V^ :<WXníW^»XVí<«>\\N^<; ¿>4
X ;. '^\- X 'v n;<. ' X - •. ' \ . '; W ' ' ^ A \ S v í * :\ v y * , í ' ^
S! Paridad de un numeral
l l i l a l i l l l l i l ! f / s S N >CV'
• • Base par
Dependerá del valor de la
Última rifra|i « « W W ^ \ A V \ V v .v ^
l . V . S .- * \ \ 'i # .i i« r A V v iv , i ¡///
| l ¿ ti
Ejemplos
2016; 1248 (ambos son pares)
2013; 127s
(ambos son impares) .:5EE
• Base impar
i i : i Dependerá de la suma de
cifras.
- « K S W W a w v
M B W > iH W '{ W K M W > X
Ejemplos ’
2247 (2+ 2+ 4= 8) ; ;
5239 (5 + 2 + 3=10)
(ambos son pares) .
11 i i
12415 (1 + 2 + 4=7)
1173 (1+ 1 + 7=9)
! ' © (ambos son impares)
111 lli I > I i I ¡ $
jj Toda cifra de un numeral debe
: .ser entero no negativo.
123(-5)7 (incorrecto)
1034g (correcto)
11í i {///
m.Al !í
6. CAMBIO DE BASE DE UN NUMERAL
6.1. A base 10
Se utilizará la descomposición polinómica y el método de
Ruffini.
Ejemplos
1. Cambiamos 12345 a base 10.
1 x53 + 2x52 + 3x5+4=125 + 50 + 15+4 = 194
-» 12345=194
Aplicamos el método de Ruffini.
Cambiamos 23415 a base 10.'
2x63 + 3x62 + 4x6 + 1 = 432 + 108 + 24+1 = 565
Aplicamos el método de Ruffini.
2 3 4 1
6Jh 1290564
x^
21594565
23416=565
6.2. A una base diferente a 10
Se utilizará el método de divisiones sucesivas.
Ejemplos
1. Cambiamos 48 a base 5.
48=143c

235. Capítulo 7 Teoría de la numeración
2. Cambiamos 123 a base 7.
1 2 3 [ 7
119 17
(© 14
d i
123=2347
6.3. De base n a base m <
m ^ 10 y n * 10
V
Utilizaremos los dos métodos anteriores.
donde
D.P.: descomposición polinómica
- D.S.: divisiones sucesivas
Ejemplo
2318 _ÍL* base 3
A
a base 10
2o
D.S.
Los números indcarábigos
son los símbolos más utilizados
para representar números; Se
les llama arábigos porque los
árabes los introdujeron en Eu­
ropa, aunque, en realidad, su
invención data de la India. El
mundo le debe a la cultura in­
dia el invento transcendental;
sistema de numeración posicio-
nal, así como el descubrimiento
del 0.
• 2318 a base 10
2318=2-82+3-8+1
/. 2318=153

236. COLECCIÓN ESENCIAL Lumbreras Editores
Noolvide
v x . ■'•-s. '<í,
w n m w
Ejemplos
somos■
radar<
Ahora 153 a base 3
5 3
© 17
© ©
2318=122203
7. PROPIEDADES
7.1. Numeral con cifras máximas
Además se cumple lo siguiente:
• 83-1=777g
. 24-1=11112
• 92-1=88g
• n4-1=(n-1)(n-1)(n-1)(n-1)r)
• Qfa-1=(Q -1)(Q -1U ^ Í)0
. Dn numeral capicúa es aquel
i ' cuyas cifras; equidistantes son
Otras liases
667=72-1
no se conocen los
e las cifras (al menos
uno), el número se representará
de la siguiente manera:
abcder
Del numeral anterior
• Las cifras a utilizar son
0; 1; 2; 3; 4; 5 ; (n-1)
• a & 0
• La cifra máxima es n-1.
• El sistema o base es n.
Ejemplos
9=1
99=102-
999=103 — 1
99...99 = 10n -1
Importante
¡Cuidado!
33337^74-1
No cumple la propiedad porque la cifra 3 no
es máxima.
b afras

237. 7.2. Numeral con bases sucesivas
Es cuando este número lo expresamos al sistema, es decir, a
base 10.
lo — =n + a + b + c +...+ z
1 b
1c
^,’0
J
Ejemplos
• 12„ =8 + 2+3 + 4 = 17
«148
• 10,, =9+0+3+4+6 = 22
13l4169
• 15,, =10 + 4 + 3 + 2+1 + 5 = 25
‘'12-10
1314 jT ■ V
7.3. intervalo donde se encuentra un numeral
------------
-------------------1 -
Bk~]-abccíe...zB < Bk
k cifras
a. En base 10
• áb=10; 11; 12; 13;...; 99
Luego
10 < < 100
101 < nh < 10'
ab
◄
------
10 10*-
Para cambiar de base al nume­
ral de una base distinta a 10 a
otra distinta a 10, se utilizarán
los dos métodos.
11 '■1 ' *“
f n
. •—
Base n
Base
TI
b _ J
ó
a
.........
:. Hescompasición -'divisiones
poli rio .n u c a sucesrvas
Importante
El sistema de numeración romana
se desarrolló en la Antigua
Roma y se utilizó en todo
el Imperio romano.
La mayoría de números se
escriben como combinaciones
de letras. Por ejemplo, el año
2015 se escribe como MMXV,
donde cada M representa un
millar, la X representa una de­
cena más y V representa cinco
unidades más.
3

238. Un numeral también se puede
descomponer en bloques.
100 -ab+cd
COLECCIÓN ESENCIAL Lumbreras Editores
I Un palíndromo es una palabra
i o frase que se lee igual tanto
\ de izquierda a derecha como
! de derecha, a izquierda. Es-
: tas palabras existen en todos
j los idiomas y han interesado a
j personajes famosos como Lewis
: Carrol, autor de Los aventuras
: de Alicia en el país de las ma-
' : i ravillas.
\
: : Ejemplos
: • Anita lava la tina.
Lavan esa base naval.
: jr »v.nv.-.v.-.v.
■ jj v x v .v
Oír a darío.
Atila, sal a la salita.
No olvide
i Ejemplos
; . abcd=ab00+L..
ababab=ab0000+ab00+ab
a b a b a b = 1 0 0 0 0- a b + W O - a b + a b
a b a b a b = 10 4 • a b + 1 0 2 • a b + ab
\ . 3ab2=3002+10-o6
I. abababcn=abn-n5+abn■ n3+abcf1
. abCr= 25; 26; 27;...; 124
en base 10
Ahora ubicamos el numeral en una recta numérica.
• abc=100; 101; 102; 103;...; 999
Luego
100<öbc<1000
abe
JZZH
102 103
b. En otras bases
• ró 5=105; 115; 125; ...; 445
Luego
105 < abs < 1005
—
10" < abc < 103
V______________________
_____)
2

239. Teoría de la numeración
• abcd2: 8; 9; 1 0 ;1 5
23 < abcd2 < 24
í
Z^4
i
16
c. Intervalo en el que se encuentra otra forma
de numerales
103 < ab3 < 933
t t
mínimo • máximo
ob3:103; 113,123; 133;...; 993
900 < 9ac < 999
t t
mínimo máximo g á v
-» 9ac: 900; 901, 902;...;, 999
171 < min < 979
t t
m¡mmo máximo
-> mln\ 171; 172,173;...; 979
135<a35<435
mimmo máximo
—» o35: 135; 235; 335; 435
8. COMTEO DE NUMERALES
Calculamos la cantidad de numerales en cada
uno de los casos.
(método combinatorio)a
i7
?
1
i
0
21
32
43
4
4 x 5=20 números
-> abcs = 105; 115; 125; 135; ...; 445
V
---------------Y---------------/
20 números
m n pA
1 i 1
roo
2 1 1
3 2 2
1 i -
3 x 4 x 4=48 números
—>mnpA =1004; 1014; 1024; ...; 3334
48 nú me roí
0 D C
1 i I
1 10 10
2 2 2
3 3 3
9 9 9
9 x 10'x 10 =900 números
abe = 100; 101; 102; 103;...; 999
----------------v-----------------'
<! ^ L s 900 números
Otro# casos
m [m + 5) n [n + 7)
160 7
271 8
382 9
49
4x3 = 12 números
a {a+ 4 )(b2)b7
l50 1
161 0
2 4 1
2
2 X 3 = 6 números
En forma práctica solo se analizará una sola
vez la variable.

240. COLECCIÓN ESENCIAL Lumbreras Editores
Entonces
x(x + 4 )(y 2)(2y)g
1 T
1 o
2 1
3 2 . ,
4
4 x 3 = 12 números
m (5-m )(2n) (n3)
■ i
0
1
11
2
3
4
_5_
5
Ap l ic a c ió n 7
Calcule a + b si
11
3 = 15 números
= 3333
12
(4)'
13
1(20)
ob
Resolución
Analizamos la condición del problema.
11 =3333/
12
(4)
13
1(20)
ab
Por propiedad del numeral de bases sucesivas
se cumple
1 + 2 + 3 +...+20+o¿>=33334
20x21 -7
-------+ ab
-> ob=45
o=4 a b=5
a+b=9
= 44-1
Ap l ic a c ió n 2
Si
1x60+33bc+13c7¿=44c# calcule x.
Re s o l u c ió n
Analizamos y observamos el dato o condición
del problema.
1x6^,+330-+130l—44r
NO OLVIDE
f
base > cifra
V . . .
—» X < O < 0< C< 10
í t Ì
:*>x><x><x>o<c<hx><><x><x><x x x><>oo<^^
Reemplazamos los valores hallados.
1x67 + 3389 + 1378 = 449
—4 1-72+x-7+6+3-92+3x9+8+1-82+3-8+7=449
49+7x+ 6 + 243 + 27 + 8 + 64+24+7=449
7x+428=449 -+ 7x=21
x=3
Ap lic a c ió n 3
Calcule a + b si
1330^ — aa...a^2y
9 cifras
Re so lu c ió n
Analizamos la condición del problema.
1330fa =00^2; a<2
9 cifras
Se observa que
a<2 y a>0
-> o=1

241. Capítulo 7
Teoría de la numeración
Reemplazamos
1330^ = TVKJ 2
9 cifras
1330b=2 -1 -> 1330^=511
t>á + 3b2+3b=51T
—> b=7 a a=1
a+b=8
Ap l ic a c ió n 4
determine el mayor numeral de tres cifras
diferentes entre sí del sistema quinario. Luego
dé como respuesta la suma de sus cifras al ex­
presar dicho numeral en la base 3.
Re s o l u c ió n
El mayor numeral de tres cifras diferentes en­
tre sí del sistema quinario es 4325.
Luego, pasamos 4325 a base 10.
4325=4x52+ 3x51 + 2=117
Ahora pasamos 117 a base 3.
31 1 7 i
____
9 " Ï 9
273133
27091243
t© 9©3©
©
4325=117=11100
3
Por lo tanto, la suma pedida es1+1 + 1 + 0 + 0=3.
7'7
Para investigar
El sistema de numeración egipcio es un sistema no posicional,
porque puede escribirse un número poniendo los símbolos en sentido
opuesto sin que cambie el valor del número. Además es un sistema
aditivo, ya que un símbolo se puede repetir hasta nueve veces como
máximo,
No solo existe el sistema de numeración egipcio. Hay otras más. Ave­
rigüe.

242. COLECCIÓN ESENCIAL Lumbreras Editores

243. RESOLVEMOS JUNTOS
Problema N.° 1
Si los siguientes numerales están correctamen­
te escritos, calcule m + n+p.
22p(ny n31 m^6y 1002^; 2n1r
A) 12
D) 10
-(P)'
B) 15
(m)
C) 8
E) 11
Resolución
Se debe cumplir
base > cifra
1°°2W
—>p > 2,
22M->n > p
2^ \m )
—»m > n
n31(6)
—>6 > m
Luego
A, 2 < p < n < m < 6
î Î -t
3 4 5
m+n+p =12
: Clave
Problema N.° 2
Si los numerales están correctamente escritos,
calcule a+6.
4o1(8)I 235^, 1¿>2^
A) 13
D) 9
B) 12 C) 10
E) 15
Resolución
Tenemos
235(b)
6 > 5
1¿,2(o)
o > 6
4o1(8) ->8 > o
Luego
5 < 6 < a < 8
. î Ì
6 7
0+0=13
i Clave
Problema N.° 3
________________________________
Determine la suma de cifras de 6(6-4)(6-o)o6
si se sabe que es capicúa.
A) 10
D) 25
B) 15 C) 20
E) 30
Resolución
Del dato tenemos un capicúa, donde sus cifras
equidistantes deben ser ¡guales.
6=6; b-4=a
■ t .
Luego, reemplazando tenemos 62426.
Por lo tanto, la suma de las cifras de 62 426
es 6 + 2 + 4 + 2 + 6=20.
: Clave •
Problema 4
Calcule el valor de a + b si o6(7)=6o(4).
A) 3
D) 6
Resolución
B) 4 C) 5
E) 7
Descomponemos los numerales; es decir, los
llevamos a base 10.
7-o+6=46+o —> 6o=36
2o=6 -> o< 4 a 6<4
t t
o + 6=3
; Clave
9

244. COLECCION ESENCIAL Lumbreras Editores
Problema N.° 5 Problema N.° 6
Si abcdefn=11223, calcule a+b+c+d+e+f+n. Calcule el valor de m+n si 3mn4=2nm5.
A) 5 B) 6 C) 7
D) 8 E) 4
Resolución
Al mayor numeral aparente le corresponde
una base menor, entonces se cumple que
abcdef> 1122
mayor
A) 1 B) 2 C) 3
D) 4 E) 5
Resolución
Tenemos
3mn4-2nms
Aplicamos descomposición polinómica.
3-42 + m-4+/i=2-52 + /r5 + /r)
—> 48+4/77 + n = SO + Sn+m
Como n < 3 3m=2+4n
í í
-> n-2 S * ^
2 I
'i:> '%
m + n=3 .
abcdef2=1122(3) ! j Clave • j
Aplicamos descomposición polinómica. • Problema N7 7
abcdef2=1 • 33 +1 • 3¿ + 2 • 3 + 2 ¿Cuántos numerales capicúas se encuentran
abcdef2=27 + 9 + 6 + 2
entre 23 y 146?
abcdefz-4 8
A) 12 B) 6 C) 3
D) 4 E) 5
Cambiamos 48 a base 2 (divisiones sucesivas).
Resolución
4 8 2 Tenemos
(0)2 4 2
número
© 1 2 2 23 < . , <146
capicúa
© 6 2
i
© 3 2
2 cifras: oc¡
© ©
3 cifras: aba
-> 1100002=cibcdefn
o=1; b=1; c=0; d=0;
e=0; f=0; n - 2
a+b+c+d+e+f+n=4
j Clave [
Tenemos los siguientes numerales capicúas de
dos y tres cifras, respectivamente.
• aa: 33; 44; 55; 66; 77; 88; 99
• aba: 101; 111; 121; 131; 141
Por lo tanto, existen 12 capicúas entre 23 y 146.
i Clave • ;

245. Capítulo 7
Teoría de la numeración
Problema N.° 8
_________________________________
Calcule el máximo valor de n si ban=ab8.
A) 54 B) 50 C) 57
D) 65 E) 73
Resolución
Tenemos
H = 5b8 ' .
Descomponemos polinómicamente.
b-n+a = a-8 + b
b-n-b =8 a-a
b-(n-1)=7-a; o <8 a b <8
7j ■
1 • 49 = 49
& 'O • • " ■
• n = 50
] Clave l
Problema N.° 9
________________________-
Calcule m+n+osi
ccccs=mn8
Luego
156 x 156 x
c —> 3
mnp 468
—> m=4; n=6 y c=3
. m+n+c=13
: Clave \
Problema N.‘ 10
____________________________
Si (2o)¿>(0+fa)=1b, calcule oxb.
A) 6 B) 3 C) 4
D) 8 E) 5
Resolución
Cambiamos a base 10.
p jf a (0+6) = 1h
•» ,2a• (o + b) + t> = ,10 + ¡>
a-{a + b) = 5
1 5
—> 0=1 a b-A
axb=A
i Clave \
A) 12 B) 13 • C) 14
D) 15
E) 16 i Problema NL° 11
Resolución
I Si obc(5)=89, determine el valor de a + b-c.
Cambiamos a base 10.
cccc5=mn8
A) 6 B) 2 C )3
D) 9 E) 5
Entonces tenemos
c-53 + c-52+c-5 + c = /d/i8
125c+25c+5c+c = mn8
Resolución
Cambiamos a base 10.
abcs = 89
-> a-52 + b-5 + c=89156c = mn8

246. COLECCIÓN ESENCIAL
Lumbreras Editores
Entonces
25a + 5¿> + c=89
î î Î
3 2 4
a+ b + c=9
Otra forma
Cambiamos a base 5.
obcs=89
Entonces tenemos
8 9 I 5
t® i7 |_5 _
(D®
—> 324s = abcs
Luego tenemos
a -3; b=2 y c=4
o + b + c = 9
Problema N/ 12
H : , . :
.
: C la ve •
Calcule m+n+p si 136(m) + 33n^) + 13m(n)=44p
A) 8
D) 16
Resolución
Tenemos
B) 24 C) 12
E) 18
136(/?l) + 33n^ + 13m^=44p
'(P) (ny
De la siguiente anterior se observa que
6 < n <p
6 < m < n < p < W
î t Î
7 U 9
m + n+p=24
C la ve i
Problema N.° 13
¿Cuántos números de cuatro cifras del sistema
decimal se escriben con cuatro cifras en el sis­
tema octanario?
A) 3094
D) 3098
B) 3584 C) 3096
E) 4000
Resolución
Por condición tenemos
abcd=xyzw8
Por propiedades de intervalo en el que se.en­
cuentra el numeral.
83 < xyzw8 < 84
Reemplazamos
512 < abcd< 4096
-> abcd : 512; 813; 814;...; 4095
4095-511=3584
Por lo tanto, abcd toma 3584 valores.
; C la ve \
Problema Hd 14
¿Cuántos numerales del sistema decimal que
terminan en cifra 7 tienen tres cifras en base 7
y cuatro cifras en base 5?
A) 26
D) 24
B) 27 C) 28
E) 22
Resolución
Por condición tenemos
...7=abc7=xyzws

247. Capítulo 7 Teoría de la numeración
Analizamos en una recta numérica la intersec­
ción de intervalos en cada numeral.
abcd-,
i
xyzw5
s ■
Luego
...7
1
--.------------o
-?2
/ -
53 < ...7 < 73
125 <...7 < 343
C--
127; 137; 337
total de^_ 337-127
valores J 10
+ 1 = 22
: Clave
Problema N.° 15
Si aaa...aÜ2=^Pdi calcule a+p+q+n, además el
primer numeral tiene n cifras.
A) 12
D) 20
Resolución
Del enunciado
B) 18 C) 17
E) 14
aaa...aD=ìpq
n cifras
—> 0 < a < 2
Se observa que a=1. Luego con la propiedad
de cifras máximas tenemos
IT irJ1 2=ípg
n cifras
2n—1 =1p<7 -> n-7
27—1=127 -+ p=2 a q=7
/. a+p+q+n=17
: Clave ■,
Problema N.° 1 6
______‘__•______ _______
Se tienen 698 L de leche en un recipiente, des­
pués se distribuyen en otros recipientes de 1 L;
5 L; 25 L; 125 L; ... Si se dispone como máximo
4 recipientes de cada tipo, ¿cuántos recipien­
tes se utilizarán?
A) 8
D) 12
Resolución
Tenemos
1 L — ►
5 L — >
25 L — >
B) 9 C) 10
E) 15
O !"6C.SpiOnt0S
o recipientes
; 1
c recipientes
V i C%- í y ri
125 L -v V V Y
v,,..., Y -
V
a if ; ipientos
\ ~\ v
c recipientes
625 L

248. COLECCIÓN ESENCIAL
Lumbreras Editores
Se tienen 698 L
698=o-1 + ¿>- 5+c-25 + d-125 + e-625
698=o-1 + ó- 5+c-52+cf-53 + e-54
698=e- 54+d- 53 + c-52 + ó-5 + o
698=edcbas
Expresamos a base 5.
10243,- = edcbor
ttttt5
..^
1 0 2 4 3
En consecuencia
a+b+c+d+e=10
% ’ % ' 2 I
Por lo tanto, se utilizarán 10 recipientes.
; Clave
Problema N.° 17
12
13.
= mnp7,
•18
19
calcule m+n+p.
A) 10
D) 8
Resolución
Tenemos
U
B) 6 C) 7
E) 9
'12
13.
= mnp7
’1819
Expresamos a base 10.
1 + 2 + 3 + ... + 8 + 9=/T?x72 + /?x7+p
Se cumple que
1 + 2 + 3+ +9 + 10 = 49m + 7n + p
10-11 A Q
-----= A9-m + 7+n+p
55= 49-m+7n+p
í í'.t
1 0 6
/. m+n+p=7
: Clave \
Problema N.° 18
Calcule un numeral capicúa de seis cifras que
es igual a 1529 veces el número formado por
sus tres últimas cifras. Luego dé como res­
puesta la suma de sus cifras.
A) 32
D) 38
B) 34 C) 30
E) 28
Resolución
Por condición tenemos
abccba='l529-cba
1000-obc+cbo=1529-cóo
V
}Q0 6-abc = ^28-cba
250 -abc = 3&Z-cba
125-róc=191-có5
125•5òc=191 - có5
Luego
5be _ 191 x3 573
CÒ5 ~ 125x3~ 575
—> o=5; b=7; c=3
2(o + b + c)=2x15 = 30
—> o = 5
: Clave

249. Capítulo 7
Problema N.‘ 19_____________________
_ j Lue9°
Calcule a+b+c+ksi j a b c d
Teoría de la numeración
ífí1
2000
4112
6224
8336
448
55
66
77
88
99
4x10x10x5 = 2000
Por lo tanto, existen 2000 números.
(a-1)(a-1)...(a-1)„=(a-5)bc0.
v
---------------V ,u
k cifras
A) 13 B) 15 C) 12.
D) 14 E) 16
Resolución
Por cifras máximas (a base 10) tenemos
afc-1=(a-5)bc0
—> ak=(a-5)bc1
Como
a-1 a k -4
-» 74=2401
Además
b=A a c=0
a+b+c+k=15
I Clave •
Problema Nú 2 0
________________________
Determine la cantidad de números de cuatro
cifras que comienzan y terminan con cifra par.
A) 2000 B) 2500 C) 1620
D) 4000 E) 4500
Resolución
Tenemos
abcd
Entonces a y d son pares.
i Clave ■
Problema NT 21
_______«._________
Calcule un número de tres cifras sabiendo que
al agregar la suma de sus cifras se obtiene 551,
i y dé como respuesta la cifra de mayor orden.
T A) 5 B) 4 C) 3
j D) 2 E) 1
i Resolución
Por condición tenemos
abc+a+b+c= 551
| Aplicamos descomposición polinómica.
• a ■ 10^ + b ■ 10 + c+o + b + c = 551
j 100a+10b+c+a4-¿> + c
i 101a + 11fa + 2c = 551
: • t í í
i 5 ,4 _ 1,
j SOS 4G
i Por lo tanto, el número es 541, y la cifra de
i mayor orden es 5.
i : Clave .

250. , .. . . . ... . .
COLECCIÓN ESENCIAL Lumbreras Editores
Problema NT 22
¿Cuántos numerales de la forma
(a + 3) (3o) (4 - a) (3b) (b2) existen?
A) 17-
D) 16
Resolución
B) 18 C) 27
E) 26
(o + 3) (3o) (4 - o) (3b) (b2 )
0
1
2
_3
4 x
1 .
0
1
2
2
4=16 numerales
; Clave i
Problem a N.° 23
Jennifer nació en el año 20ab y se sabe que
el año 20ba cumplirá 3(o+b) años. ¿Cuántos
años cumplirá en el 2016?
A) 4
D) 6
B) 5 C) 3
E) 7
Resolución
Del enunciado tenemos
• año futuro: 20ba
año de nacimiento: 20ba
• edad=20bo-20ob=3(o+b)
J20GÍÍ + bo-(j200tí + ob) = 3(o + b)
10b+o-10o-b=3(o+b)
jéb-#a=/({a+b) —> 3b-3a=a+b
«... b 2
2b-Aa -»
a 1
Por lo tanto, Jennifer tendrá 4 años en el 2016.
i C lave \
Problema N.’ 24
¿Cuántos valores toma m si abcd =124?
A) 9
D) 18
Resolución
Tenemos
B) 12 C) 7
E) 10
124= abcd,
m
m
—> m2 < 124 < m3
m\. 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11
'Vcilo* e s
Por lo tanto, m toma 7 valores.
Clave
Problema N.° 25
Calcule a+b si
11
12
= 255.
13.
1(20)—
ab
(7)
A) 8
D) 12
Resolución
Tenemos
11
B) 10 C) 7
E) 9
12
13.
= 255
1(20)—
ab
(7)
Por la propiedad de bases sucesivas tenemos
1 + 2+ 3 + ... +20+ ab7 = 255
—v--------' 1
20x21
~T
..

251. Capítulo 7 Teoría de la numeración
Luego
210+ab7=255
ob7=45
7a+b=45
t í
6 B
a + b=9
Problema N.° 2S
; Clave
Problema N.° 2 7
_______________ _________
i Calcule un número de tres cifras que comience
i con 3, tal que al suprimir dicha cifra el número
: 1
i resultante sea — del original,
i 11
j A) 220 B) 330 C) 440
I D) 110 E) 550
! Resolución
j Sea abe el número de tres cifras, donde a =3.
¿Cuál es el número comprendido entre 400 y
500 que leído al revés es el doble del número
que es excedido en 16 por el original?
A) 428 B) 425 C) 452
D) 482 E) 416
Resolución
Por condición del problema tenemos
400</V<500
L número pedido
N~abc —» a=4
Luego
___
cbo=2(obc-16j
_> 100c+10b + o=2(100o + 10b + c-16)
100c+10b + o=200o + 20b + 2c-32
Por condición del problema tenemos
3 be
L e ,
2 suprime.
Luego
bc = — x3bc
11
be _ 1
3 be
11xbc=3bc
Descomponemos
11 xbc- 300 + be
10xbc-300
—> be- 30
Por lo tanto, el número es 330.
i Clave i
98c=10b+199o-32
í
-» 98c=10ó + 764
t t
8 2
Problema N." 28
Calcule el número de cuatro cifras que co­
mience con 5, tal que al suprimir dicha cifra el
número resultante sea — del original.
26 J
Por lo tanto, el número es 428.
; Clave ..
• »
..............................
A) 2600 B) 7800
D) 5200
C) 2200
E) 4400

252. COLECCIÓN ESENCIAL
Lumbreras Editores
Resolución
Sea abcd el número de cuatro cifras, donde
o='5. •
Por condición del problema tenemos
5 bcd
Se elimina esta cifra.
Luego
|— original
bcd = ~ -$bcd
—> 26xbcd-Sbcd
26 xbcd= 5000 + bcd
26x bcd-bcd=S000
. 25x¿>cc/=5000 —> bcd- 200
Por lo tanto, el número es 5200.
[C la v e [ ,/
•
............. V *.............* i* * v * ‘
Problema N .‘ 2 9
_________ 7______
En una isla hay abe seres vivientes, de los cua­
les aOc son hombres, ab son mujeres, a son
perros y c son gatos. Si el número de habitan­
tes está comprendido entre 150 y 300, ¿cuán­
tos gatos hay?
A) 7 B) 3 C) 1
D) 8 E) 4
Resolución
Por condición del problema tenemos
- abe: total de habitantes
- aOc: varones
- ~ab\ total de mujeres
- a: total de perros
- c: total de gatos
Nos piden cuántos gatos hay; es decir, el valor
de c.
Tenemos
abc=a0c + ab+a+c
ipoá+106 (10o+ b) +.a+c
—> 10¿>=10a+b+a+c
9¿>=11o + c y 150 < abe < 300
f í í
2 1 7
3 2 7 -
-4 abc=237
Por lo tanto, hay 7 gatos.
j Clave .
Problema R7 30
Calcule el valor de C si ABCD7 =7484Q.
m . . x x • m y
m #' ^ &
A) 1 Z r B) 2 C) 5
0) 4 ;V : E) 6
Resolución
Nos piden C.
Por condición tenemos
ABCD7 m = 74849
i- .
______r----
igualdad de número:-, al
mayor le corresponde la
menor base
—> 7<m<9
8
Luego
ABCD7q=7A849
Descomponemos polinómicamente.
A6CD78=7x93 + 4x92 + 8x9 + 4
-4 ABCD78=5503

253. Ahora de base 10 a base 8 Efectuamos el número 287 a base 6.
5503 |_ 8 _
y ® 687~l 8
V (7) 85~l 8
\ © ® _8 _
125778=A6CD78
C=5
Problema N.° 31
Calcule N+A si se cumple que
5ÁÓ7=MÑP5a.
A) 11 B) 8 \ '
D) 10
Resolución
Nos piden N+A
Por condición tenemos
5ÁÓ7=MÑP5a
Se observa que 5<A<7
4
*— C ltl‘3 ‘y D 3 S 6
—> A=6
Reemplazamos
5607=MÑP56
Cambiamos a base,10.
5 x7 2 + 6x7=MNP56
287=MNP56
; Cíave y
............................. . . . * ! » . * * *
-> 11556=MNP56
A=6 a N=5
A + N=11
” C la v e \
Problema M.° 32
______
Calcule el valor de MN+PQ
WPQ-75MÑ+83PQ.
A) 77^*# B) 107
D) 67 y
Resolución
Nos piden MN+PQ.
si se cumple que
C) 97
E) 117
Por condición tenemos
MNPQ=75MÑ+83PQ
Aplicamos la descomposición por bloques.
M Ñx102 + PQ=75M Ñ+83PQ
100MÑ+PQ=75MÑ+83PQ
100M Ñ -75M Ñ = 83PQ -PQ
25MÑ=82PQ
MÑ 82
---- —
= = — -> MN=82 y PQ=25
PQ 25 y
M Ñ +PQ =82+25=107
' C/ave :

254. COLECCION ESENCIAL
Lumbreras Editores
Problema N.° 33
Sea N=21x13s + 81x135 + 28x134+8x132+79
en base 13. Halle la suma de cifras de N.
A) 37 . B) 17 C) 47 D) 27 E) 7
Resolución
Nos piden expresar N a base 13.
Por condición del problema tenemos
N=21x136 + 81x135 + 28x134 + 8x132+79
Completamos y ordenamos la descomposición polinómica en base 13.
N=(13 + 8)x138 + (13x6 + 3) -135 + (13x2 + 2)x134 + 8x132+13x6 + 1
N=139 + 8x138 + 6-136+3;135 + 2x135 + 2x134+8x132+13x6+1
/V=1x139 + 8x138 + 0x137 + 6x136 + 5x135 + 2x134 + 0x13s + 8x132 +6x13 + 1
-4 N=180652086113
Por lo tanto, la suma de cifras de N es 1 + 8 + 0 + 6 + 5 + 2 + 0+8 + 6 + 1 = 37.
- || ^ ; Clave
Problem a N.° 3 4
Si A{2B)A=BBAA7, calcule 4 2 + fí2.
A) 14 B) 9 C) 17 D) 61 E) 10
Resolución
Nos piden calcular el valor de Az + B2, donde 4 y fi son cifras.
Á{2B)Á=BBAA7
Se observa que 4<7
Luego
2fí<10 -> B<5

255. Capítulo 7 Teoría de la numeración
A continuación descomponemos los números.
A{2B)A = BBAA7
-> /4x102 + 2Bx10+/4 = 8x73 + 8 x7 2+/4x7+/4
101xA + 208 = 3438+498+8A
101xA-8A = 3928-208
^ A = 3J ÍB
A-AB
t t
4 . 1
V.. A2 + B2=42 + 12=17
í Clave • i
• . . ,•*' » I . . . *' :
Problema N." 35
___________. ' ' ■
Si X89y=8V/w=6YZ12i calcule X+ Y -W+Z.
A) 12 B) 2 C) 4
D) 10 E) 3
Resolución %
Observación
%
Para este problema
base > cifra
v
__________—— — -—-—■ -
J
Veamos los números.
X89K=81?^=6yZi2
En una igualdad de números se cumple que
mayor número, menor base.
_> y<W<12
t I
10 n
• X89=81(10)11
X89=8'112+1 -11 + 10
X89=989
-> X=9
• 989=6(10)Z12
-> Z=5
X+y-W+Z=12
: Clave
i. Problema N2 3 5
______._____________________
i ¿Cuál es la base en la que los números 12; 17 y
i 24 están en progresión aritmética?
j A) 8 B) 5 C) 3
í D) 7 E) 4
j Resolución
; Consideramos la base como 8.
i 12e; 17e; 24e
i ~ c z z n z i r
j Están en p t jrí tica
Nos piden calcular el valor de 8.
i r i
12 B> ^ B' 24 s
1 1 I
8 + 2; 8+7; 28 + 4
\
....> V . ... x
4 5 4 5

256. COLECCIÓN ESENCIAL Lumbreras Editores
Luego
6+7+5=26+4
6+12=26+4
-+ 12-4= 26-6
8=6
i Clave \
Problema N.‘ 17
—
.....— ..........—........... -.............................................................................................
¿Cuántos números de tres cifras del sistema
base 7, convertidos a base 10, terminan en 3?
A) 29 B) 31 C) 28
D) 30- E) .26»
* &
Resolución
Planteamos el problema como
abc7=N3
" T '
Puede tener dos . •• * ^ 5 1
o más cifras. ¿JL
v O 1,
Utilizaremos la propiedad de intervalos.
72<ábc7<73
i _ i
49 <N3 <343
-+ 53; 63; 73; 83;...; 333
La cantidad de valores que toma N3 se calcula
así:
333-53
+ 1=29
10
Por lo tanto, existen 29 números en base 10
que terminan en cifra 3.
I Clave •
Problema N,° 38
¿Cuántas cifras tiene N en base 11?
A/=2x118+8x115 + 2x134+8x112+88
A) 8 B) 6 C) 7
D) 5 E) 9
Resolución
Para llevar a N a base 11, su descomposición
polinómica debe estar completa y ordenada.
A/=2x118+8x115 + 2x134+8x112 + 8x11
Ahora completamos
A/=2x118 + 0x117 + 0x116+8x115 + 2x134+
+ 0x113 + 8x112 + 8x11 + 0
Finalmente N expresamos a base 11.
^=200820880-!-!
Por lo tanto, N tiene nueve cifras.
i Clave
Problema N.° 39 * D)
¿Cuántos numerales pares de tres cifras se
pueden formar con los siguientes díqitos: 2- 7*
6; 5; 3 y 4?
A) 108 B) 60 C) 40
D) 100 E) 120

257. Capítulo 7
Teoría de la numeración
A xN -A -b B -B
Resolución
Nos piden formar números de tres cifras.
Sea abe el número par. Entonces c toma valo­
res pares.
Luego
ab c
tt t
22 2
33 4
44 6
55
66
77
6x6x3=108 números
Se observa que a y b pueden tomar cualquier
valor.
Por lo tanto, se pueden formar 108 números.
1 Clave ■ * D)
Problema N.° 4 0
_____________________
Calcule el máximo valor de N en ABN=BAS.
A) 14 B) 17 C) 10
D) 4 E) 8
Resolución
Nos piden calcular el máximo valor de N.
Veamos la condición del problema.
a b n=b a s
Descomponemos ambos números.
ÁBn = BAS
-> AxN+B=Bx5+A
Ax(N-1)=46; B<5
l— Toma su máximo valor.
-> A{N-'\)=AxB
t
A x {N -1)=16
-4 1 x (16)=16
N -1=16
N=17
; Clave \
Problema N7 Al
_________
Halle M si 4MP6=161.
LA) 1 B) 3 C) 4
? D) 2^r E) 5
Resolución
Nos piden calcular M, y la condición es
4MP6=161
Descomponemos a base 10.
4 x6 2 + Mx6 + P=161
144+6xM+P=161
6xM+P=161-144
6x/W+P=17
M=2

258. COLECCION ESENCIAL Lumbreras Editores
Otra forma
Realizamos cambio de base; es decir, 161 lle­
vamos a base 6 con el método de divisiones
sucesivas.
161 [6
156 26~| 6_
t® _24_(4)
-> 4256=4MP6
M=2
: C la ve
Problema N.° 42
Halle N -M + Q -P sabiendo que
23M9=27Np=36MQ.
A) 4
D) - 4
B) 5 C) 6
E) -5
Resolución
Por condición del problema tenemos
23M9=27/Vp=36MQ
mayor número
menor base
1
7 < P < 9
27N8=36Mq
T L _ z r
mayor numero
menor base
I
6<Q<8
t_7
• 23Mg=27A/g
2 X 92+3 x 9 + M=2 x 82+7 x 8 + N
189+M=184+N
S=N-M
/. N -M +Q -P=4
: C/oi/e
Problema N.° 4B
__________ ____________________
¿Cuántos números pares del sistema decimal
se escriben con tres cifras tanto en base 6
como en base 8?
A) 75
D) 46
B) 77 C) 76
E) 48
Resolución
Por condición del problema tenemos
N-abc6=xyz8
L {> ¿}f y
base' Í0
Nos piden cuántos valores toma N.
N-abc6 = xyz8
-> 62<N<63 82 <N<83
1 1 i i
36 216 64- 512
En la recta numérica tenemos
-> 64<A/<216
^— 64; 66; 68;? 14
214-64
Por lo tanto, N toma
---------+ 1 = 76.
■ C la ve

259. Capítulo 7
Teoría de la numeración
Problema N.° 44
Exprese el número
E=12x176+20x174+9x172+45
a base 17 y luego indique la suma de cifras de
dicho número.
A) 28
D) 18
B) 38 C) 58
E) 48
Resolución
Operamos la expresión E a base 17.
Ordenamos y completamos dicha descompo­
sición polinómica.
E=12x176+20x174 + 9x172+í45
E=12x176 + (3 + 17) -174+9x172 + 2x17+11
• E=12x176+3x174+175 + 9x172 + 2x17+11
£=12x176+1x17s+3x174+0+173+9x172+2x17+11
-> E=(12)13092(11)17
v
Por lo tanto, la suma de cifras es
12+1 + 3 + 0 + 9 + 2 + 11=38.
• Clave
Problema N. 4 5 ____________
______________
¿Cuántos números de dos cifras en base 9
al agregarles la suma de sus cifras tienen la
misma representación en base 2?
B) 5 C) 6
E) 7
Resolución
Por condición tenemos
aba+a+b = ob
12
Nos piden cuántos valores toma ab9.
Veamos
ab9+a + b = ab^2
9a+b+a+£>=12a+¿>
Wa + 2b = '\2a+b
b = 2a
4 4
i T
■ 2 1
4 2
+ ' 3
8 4
—> ab9'. 12g, 24g,' 369; 489
Por lo tanto, hay cuatro números.
? Clave
Problema N.° 46 Si
Si el número ab es varias veces la suma de
sus cifras, ¿cuántas veces el número ba será la
suma de sus cifras?
A) 11
D) 10
B) 9 C) 14
E) 12
Resolución
Por condición del problema tenemos
• ab = n{a-\-b)
vanas
ba = x(a + b)
A) 4
D) 8

260. COLECCION ESENCIAL Lumbreras Editores
Nos piden x+n.
Tenemos
ob = n{a+b)
ba = x{a+b)>
ab+ba = {a+b){n+x)
4 A.
t I
10010 106 +<7
—» 11xo+11b=(a+b)(n+x)
Simplificamos
11 Chrf)j (n + x)
n+x = 11
; Clave .
Problema M.° 47
Calcule A + B + C si se cumple que ABC7=CBA9.
A) 6
D) 5
B) 8 C) 7
E) 9
Resolución
Por condición tenemos
a b c7=c b a9
Se observa que la menor base restringe el
valor de las cifras.
A<7; B<7; C<7
Luego
ABC7 = CBA9
-> Ax72+fíx7 + C = Cx92 + Bx9+A
Luego
49A+7B+C = 81C+9S+A
48A = 26+80C
24A = 8+40C
í t í
A + B + C—8
Clave
Problema N7 48
Calcule la suma de dos cifras de un número
sabiendo que al agregarle el valor absoluto de
sus cifras se obtiene un número con las mismas
cifras, pero en orden invertido.
A) 6
D) 7
Resolución
B) 8 C) 5
E) 9
Para resolver este problema tenemos que
recordar que
2 4 3
3
40
200
?knivo
El valor absoluto son las mismas cifras.
V.A.(4) = 4; V.A.(2) = 2; V.A.(3) = 3
Por condición del problema tenemos
ab+a+b=ba

261. Capítulo 7
Teoría de la numeración
Descomponemos
10 a+b+a+b =10ó + a
Resolución
Sea ab el numero ele dos cifras.
11a+2b=10b+a
)Óa = $b
5o = 4b
■ î Î
4 S
—> 0 = 4 a b = 5
a+ b=9
Problema N.° 49
¡ Clave •
¿Cuántos números de dos cifras valen siete
veces más que la suma de sus cifras?
A) 4
D) 5
B) 1 C) 2
E) 3
Por condición del problema tenemos
ab={a+b)+7(a+b)
Desarrollamos
ab=8{a+b)
ab=8a+8b
—> 10o + b=8a + 8b
10o-8o=7b
2.a-Ib
1 f
“7 ' O
i ■£.
Nos piden cuántos valores toma ab.
ab: 72
Por lo tanto, ab toma 1 valor.
Clave

262. PRACTIQUEMOS LO APRENDIDO
1. Si 33(n); nn(m) y fnm(5) están bien represen- i 7. Calcule que un numeral de tres cifras sea
tados, calcule (m + n). i igual a 12 veces la suma de sus cifras.
A) 8
D) 10
B) 9 C) 7
E) 11
2. Calcule el mínimo valor de L si a las cifras di­
ferentes les corresponden valores diferentes.
YOe+ESTUDIOa +ARITM ETICA l
donde O no es cero.
A) 10
D) 13
B) 11 C) 12
E) 14
3. Calcule el valor de m para la correcta escri­
tura del numeral.
m + 1
l “ 1 T )
A) 2
D) 0
(m -l)(m + 2)-
B) 4 C) 3
E) 1
4. Calcule n si ab5(n)=1r?4(7).
A) 8
D) 6
B) 9 C) 1
E) 5
5. Determine el valor de a+b si se cumple que
10o¿)(6)—0^7(8).
A) 5
D) 10
B) 8 C) 9
E) 12
6. Si se cumple que 2153n=1abc(7), determine
a + b+c+n.
A) 10
D) 13
B) 11 C) 12
E) 14
A) 108
D) 121
B) 198 C) 194
E) 132
8. Calcule la suma de cifras de un numeral ca­
picúa de tres cifras que es igual a 23 veces
la suma de cifras diferentes.
A) 6
D) 10
B) 7 C) 9
E) 8
9. Si aoas=xy30a, calcule a+x+y.
A) 6
D) 9
B) 7 C) 8
E) 10
10. Si ooOr={m +1A, calcule a + m.
A) 7
D) 4
B) 5 C) 6
E) 11
11. Un numeral de cuatro cifras de la base 5
empieza con la cifra 3, y esta se suprime,
-i
además el numeral resultante es — del
16
original. Determine dicho número en el
sistema decimal.
A) 50
D) 84
B) 25 C) 12
E) 82
12. Nilmar nació en el año 19ob y se sabe que
en el año 19bo cumplirá 2b años. ¿Cuántos
años cumplirá en el 2016?
A) 56
D) 63
B) 57 C) 69
E) 70

263. Capítulo 7 Teoría de la numeración
13. Se realizó una encuesta a un total de abe
personas sobre las redes sociales que más
utilizan diariamente, y los resultados fueron
los siguientes: bea usa Facebook; bao,
Instagram; be, Twitter. ¿Cuántos utilizan
Facebook?
A) 254
D) 425
B) 245 C) 524
E) 554
14. Si abc+a+b+c=533, calcule a+b+c.
A) 17
D) 13
B) 10 C) 14
E) 15
15. Si abed-37-ab+62-cd, calcule a + b+c+d.
. B) 16A) 17
D) 13
C) 14
E) 15
16. ¿Cuántos numerales de tres cifras se pue­
den formar con los dígitos 0; 1; 2; 3; 4; 5 y 6?
A) 165
D) 230
B) 180 C) 216
E) 294
17. ¿Cuántos numerales del sistema heptanario
de tres cifras existen donde no se utilizan
las cifras 2 y 4?
A) 18
D) 100
B) 24 C) 50
E) 16
18. Si ab+ba=88 y a > b, halle el máximo valor
que puede tomar axb.
A) 7
D) 16
B) 12 C) 15
E) 18
19. Si ob(o+1)(6)=142, calcule el valor de a + b.
A) 6
D) 12
B) 8 C) 10
E) 14
20. ¿Cuántos números de tres cifras de la base
10 se pueden expresar con cuatro cifras y
tres cifras en bases 7 y 8, respectivamente?
Considere que estos números terminan en
cifra 5 en la base 10.
A) 23
D) 17
B) 21 C) 19
E) 18
21. Calcule el valor de E.
£ = 11,o +13,
'12.
13
04
15
16
A) 24
D) 12
22. Calcule a + b.
B) 44 C) 34
E) 14
11
12
13.
= 3332
(4)
'1(20)-
ab,
(7)
A) 8
D) 12
B) 10 C) 7
E) 9
23. ¿En cuántos sistemas de numeración par el
número 97 se escribe con tres cifras?
A) 1
D) 5
B) 3 C) 4
E) 2
24. ¿Cuántos números se escriben con cuatro
cifras en bases 3 y 4?
A) 17
D) 28
B) 81 C) 84
E) 83
25. ¿Cuántos numerales de la forma
(a + 5)(2a)(6-a)(3b)b existen?
A) 16
D) 28
B) 20 C) 36
E) 100

264. COLECCIÓN ESENCIAL Lumbreras Editores
26. ¿Cuántos numerales capicúas de tres cifras
donde la cifra de menor orden sea impar
existen?
A) 60
D) 30
B) 50 C) 40
E) 20
27. Calcule a+c+d+e si se cumple que
cde = aa...o
9 cifrTs(2)
A) 9
D) 8
B) 12 C) 7
E) 10
28. Se arroja tres veces un dado. Al primer
resultado obtenido se le multiplica por 7,
luego se le suma el segundo resultado y
se multiplica todo por 7; por último, se
suma el tercer resultado y se obtiene en
total 61. Calcule la suma de los tres resul­
tados obtenidos.
A) 9
D) 8
B) 12 C) 7
E) 10
29. Si se escribe un cero a la derecha de un
número, este aumenta en 738. Calcule la
suma de cifras de dicho número entero.
A) 19
D) 8
B) 12 C) 7
E) 10
30. ¿Cuántos números de tres cifras que
terminan en cifra 3 existen?
A) 100
D) 180
B) 120 C) 60
E) 90
31. Calcule la suma de valores de m si abcm-93.
A) 9
D) 18
B) 35 C) 27
E) 10
32. Si el numeral es capicúa, calcule a + b+c.
(a+5)(2c7)(6-a)(3c)¿>8
A) 9
D) 18
B) 12 C) 17
E) 10
33. ¿Cuántos numerales de tres cifras diferentes
existen en el sistema quinario?
A) 36
D) 125
B) 48 C) 24
E) 10
34. Ana tiene una balanza para comprobar el
peso de los 3450 g de carne que compró
en el mercado; también dispone, a lo más,
de 4 pesas de cada tipo (de 1; 5; 25; 125;
... gramos). ¿Cuántas pesas utilizará, como
mínimo, para efectuar dicha comprobación
si las coloca en uno de los platillos?
A) 9
D) 18
B) 6 C) 17
E) 10
35. ¿Cuántos numerales de tres cifras diferentes
existen en el sistema decimal?
A) 648
D) 600
B) 900 C) 729
E) 450
36. Si se sabe que los numerales
M 58; aa3b y 250 están correctamente
escritos, halle el valor de o+b.
A) 12
D) 16
B) 13 C) 15
E) 20

265. Capítulo 7
Teoría de la numeración
37. ¿Cómo se escribe en el sistema quinario el
menor número de tres cifras del sistema
heptal?
9
A) 122(5) B) 144(5) C) 143(5)
°) W p). ■ E) 124(5)
38. Halle un numeral capicúa de tres cifras, tal
que sea igual a 28 veces la suma de sus
cifras. Luego dé como respuesta su cifra de
unidades.
A) 4 B) 2 C) 3
D) 1 E) 7
39. Un número se escribe en la base 7 como
4o3 y en la base 5 como '\b2b. Calcule o + b.
A) 4 B) 5 C) 6
D) 7 E)’ 8
40. Dado el numeral capicúa
A) 12 B) 18 C) 36
D) 48 E) 72
41. Determine la suma de cifras del numeral
2785(n) cuando se convierta a la base (n +1).
A) 5 B) 6 C) 7
D) 8 E) 9
42. La edad de un padre y la de su hijo se
escriben con las mismas cifras pero en
orden invertido. Si hace un año la edad del
padre era el doble de la edad de su hijo,
¿cuál será la suma de sus edades dentro
de dos años?
A) 92 años B) 103 años C) 114 años
D) 125 años E) 136 años
43. Un reservorio cilindrico de 100 L de
capacidad que contiene a b litros de
agua se empieza a llenar con un caudal
constante. Media hora después, contiene
b o litros, y cumplida una hora y cuarto,
contiene (a + b)0 litros. ¿Cuántos litros
faltarán para llenar el reservorio cumplida
una hora y media?
A) 5 L B) 8 L C) 11 L
D) 15 L E) 18 L
44. Un número de tres cifras es tal que leído
al revés excede en 50 al doble del número
que sigue al original. Halle la suma de
cifras del número original. •
A) 10 B) 11 C) 13
D) 19 E) 12
(o+ 1 )(c- 1 ) (o- 2 ) 6 - (13-o),
\ 2 )
halle el valor de a x b x c .
Claves
1 6 11 16 21 26 31 j 36 41
2 7 12 17 22 27 32 37 42
3 8 13 18 23 28 33 38 43
4 9
i
14 i 19 . 24 29 34 39 44
5 10 15 20 25 30 35 40

267. OPERACIONES
FUNDAMENTALES EN Z*
Una calculadora es un dispositivo que se utiliza para realizar
cálculos aritméticos. En el pasado, ábacos, tablas matemá­
ticas, reglas de cálculo y máquinas de sumar se utilizaban
como apoyo al trabajo numérico. El término calculador se
usaba para la persona que ejercía este trabajo, ayudándose
de papel y lápiz.
En 1642, Blas Pascal diseñó y construyó la primera calcula­
dora del mundo. En 1670, el filósofo y matemático alemán
Gottfried Leibniz perfeccionó esta máquina e inventó una
que también podía multiplicar y dividir. Actualmente, las
calculadoras son electrónicas y se pueden encontrar desde
modelos del tamaño de una tarjeta de crédito hasta otros
que tieneñ una impresora incorporada. Existen calcula­
doras que realizan desde operaciones básicas hasta otras
más complejas.
Aprendizajes esperados
• Realizar las operaciones de adición, sustracción, multipli­
cación y división en cualquier sistema de numeración.
• Calcular el complemento aritmético de un número entero
positivo en cualquier base.
¿Por qué es necesario este conocimiento?
Las operaciones básicas (adición, sustracción, multiplicación
y división) tienen vital importancia, ya que siempre están
presentes en nuestra vida diaria. Mediante el uso de ellas
podemos hacer frente a situaciones que requieran el uso de
números. Además nos ayudan a desarrollar el razonamiento
deductivo e inductivo, solucionar problemas cuantitativos y
adquirir mayores conocimientos matemáticos.

268. COLECCIÓN ESENCIAL
Lumbreras Editores
Importante
~\
Para realizar la adición, sustrac­
ción, multiplicación y división,
todos los términos deben estar
representados en el mismo sis­
tema de numeración.
Dato curioso
En 1631, William Oughtred usa
por primera vez el signo x (por)
en su obra Clavis mathematicae,
pero Leibniz adujo que se con­
fundía con la letra equis, por lo
que prefirió el signo (■).
Operaciones fundamentales en }z+
1. ADICIÓN
Es la operación matemática que consiste en reunir dos o más
cantidades (sumandos) en una sola (suma total o suma).
Ejemplo
i
-------operador de adición
7+5 = 12
sumandos suma
1.1. Adición
Ejemplo
Calculamos la suma de 486; 721 y 95.
'% ' V-' . •- . i • ;/
• En las unidades
6+1 + 5=12
En las decenas
lleva
-cji i'.m.i
—lleva
1+8+2+9=20
En las centenas
2+4+7=13
—Onori;
sumandos
21
486 +
721
sur
95
,ia{ 1302

269. Capítulo 8 Operaciones fundamentales en Z
1.2. Adición en otras liases
La adición en otros sistemas de numeración se
realiza según el valor de su base.
Ejemplos
1. Calculamos la suma de 243s; 3215 y 425.
• En el orden 1
3+1 + 2=6=11,
leva
-queda
En el orden 2
. 4
1 + 4 + 2 + 4=11=21,
En el orden 3
2 + 2 + 3=7=125
2 1
sumandos
2 435 +
3 2 15
42c
surna{ 1 2 1 15
2. Calculamos la suma de 4638; 2578 y 748.
• En el orden 1
3 + 7+4=14=168
-quc-d,
En el orden 2
-lleva
1 + 6+5 + 7=19=238
V ,
queda
En el orden 3
2+4+2=8=10,
sumaríese
2 1
4 638 +
2 578
7 4n
{ 1 0 3 6,
Im p o r t a n t e ■
...... : ]
Otra forma de realizar la adición es m ediante el
método de las sum as parciales, el cual consiste
en sum ar las unidades, decenas, centenas, etc., i
de manera respectiva,pero sin llevar.
Ejemplo
Calculam os la suma de 725; 469 y 658.
1 2
7 2 5 +
\ sumandos *4 6 9
6 5 8
suma { 1 8 5 2
Ahora
.sumandos ■
■ ' •
7 2 5 +
4 6 9
6 5 8
2 2 *
.......... ...
sum,, pjro.df-s «1 3 *-2+ 6+ 5
1 7 •*-- 7 r 4* 6
suma total o suma { 1 8 5 2
V ________________ __________ j

270. COLECCION ESENCIAL Lumbreras Editores
1.3. Propiedades
a. Al sumar
(par) + (par)=(par)
(impar)+ (¡mpar)=(par)
(par) + (impar)=(impar)
b. El valor de la última cifra de la suma
depende solo de la última cifra de cada
sumando.
Ejemplos
...2 + ...5 + ...6 +
...7 ...9 ...2
...4 ...3 ...1
...3 ...7 ...9
Aplicación 1
Sea N=12+23 + 34+...+89. Calcule la suma de
cifras de N.
Resolución
• En las unidades
2+3+4+ ...+ 9 = 1+2+3...+ 9-1 = 45-1
9x 10 •
2 + 3 + 4 + ...+ 9 = 44
lleva—^ V— queda •
• En las decenas
4+1+2 + 3 + ... + 8 = 4h
-----= 4+36 = 40
2
Ordenamos los sumandos en forma vertical.
1 2 +
23
4 0 4
Aplicación 2
Si a+b+c=18, calcule el valor de aa+bb+cc.
Resolución
• En las unidades
^ —lleva
c7+b+c=18
*
queda
• En las decenas
1i+a+b+c='\9
Ordenamos los términos en forma vertical.
aa +
bb
cc
198

271. Capítulo 8
Operaciones fundamentales en Z
Aplicación 3
Halle el valor de a+b.
o+b=1o + 2o+3o + ... + 8o=b00
En el orden 2
1 + 1 + 4=6
En el orden 3
Resolución
Ordenamos los sumandos en forma vertical.
4 _
1o +
2 o
3 o '8
sumandos
3+6=9=118
Luego
1
3 128+
6 478
1 161s
8 o
bÖÖ
40
En las unidades
-siev'd :
0 + 0 + ..+ 0 = 8x0 = ...0 = 40
b veces f
0 x
En las decenas
4 + 1 + 2 + 3 + ...+ 8 = 4 + 36 = 40
' 8x9
Se deduce que b=4
5+4=9
Aplicación 5
Si o8b + bb7 + cc5=2428; halle a + b-c.
Resolución
Dato:
o8b +
b b l
cc 5
2428
• En las unidades
b+7 + 5 = ...8 = 18
6 12
Aplicación 4
Efectúe 3128+6478 y luego dé como respuesta
la suma de cifras del resultado.
Resolución
Recordemos que la adición en otras bases se
realiza según el valor de la base.
En el orden 1
r
2+7=9=11
—lleva
8
"—queda
En las decenas
1+8 + b+c = ...2 = 22
t t
En las centenas
2+o+b+c=24
2+0+6+7=24
-> o=9
9+6-7=8

272. COLECCION ESENCIAL Lumbreras Editores
2, RESTA O SUSTRACCIÓN
Es la operación matemática que consiste en
calcular la diferencia entre dos números; es
decir, lo que se debe sumar al menor para
obtener el mayor.
Ejemplo
^ operador de la resta
12 í 0^ = 4^
minuendo sustraendo diferencia
2A. Sustracción en base 10
Ejemplo
Calculamos la diferencia de 4286 y 849.
En las unidades
(10 + 6)-9=7
En las decenas
(8-1)-4=3
En las centenas
(10 + 2) — 8=4
En los millares
4-1=3
j-
w
Luego
' ' '
10 10 x
r\ r\i .
minuendo —► 4 2 8 6 -
sustraendo —► 849
diferencia —► 3437
En el orden 3
(4—1)—1=2
Luego
minuendo ■
sustraendo •
diferencia ■
8 8
r v A
- 42 5
- 147
2 5 6c
2. Calculamos la diferencia de 6427 y 4467.
• En el orden 1
(2 + 7)-6=3
• En el orden 2
(4-1)+7-4=6
• En el orden 3
# 0 (6-i)-:4=i
Luego
minué-nao
sustraendo ■
ei m-d;
n n
642-
446-
163,
2.3. Propiedades
a. En la sustracción
2.2 Sustracción en otras bases
La sustracción de números de otras bases se
realiza según el valor de la base.
Ejemplos
1. Calculamos la diferencia de 4258 y 1478.
• En el orden 1
(5 + 8)-7=6
• En el orden 2
(2—1)4-8—4=5
M-S=D
-> A
b. Si
ab
ba
n
n
xyn
o> b
x+y=r¡-1

273. Capítulo 8 Operaciones fundamentales en Z*
Ejemplos
8 3 - 7 5 -728- 519-
38 _57 278 1S9
45
v*
18
\t
43n 35,
\t \t
V
suman 9
V
suman 9
V ■ V
sumad / suman 8
c. Si
abcn-
y=n--.1
cban—> X + Z=m- 1
XY zn
a-c-:X+1
Ejemplos
7 8 3 - 5 7 2 -
387 275
396
* 4
V
suman 9
i 2 9 7 , \
V
7 su^anS 7 - - |
5239-
3 2 5g
814g-
418g
187,
. V
.suman 8
385, . .m
V ' :
suman 8 ^
Aplicación 6
En una sustracción, la suma de sus términos
es 144. Si el sustraendo es igual al doble de la
diferencia, calcule el valor del sustraendo/
Resolución
Recordemos que
M - ^
minuendo sustraendo diferencia
Por la propiedad
M+S+D=2M=U4
m 144 70
-> M = — = 72
dato
Luego
S + D=M=72
72
2D+D=3D=72 -> D = — = 24 ‘
5=2(24)=48
Reto al saber
La suma de los términos de una sustracción es
320 y la diferencia es 60. Halle el sustraendo.
Aplicación 7
En una sustracción, la suma de los términos es
152. Si el sustraendo excede a la diferencia en
20, calcule el valor del sustraendo.
Resolución
Sea la sustracción M-S=D.
Dato:
M+S+D=152
2M = 152 -> M = 76
Luego
S + 0 = 76
da: o —► S — D = 20
25=96
5=48
Aplicación 8
Determine el menor número de tres cifras, tal
que al restarle el número que resulta de invertir
el orden de sus cifras dé como resultado 792.
Resolución
Sea abe dicho número de tres cifras.
Por dato
abe-
cba
792

274. Por la propiedad c
o - c = 7+1
a-c= 8
t I
9 1
Como o y e toman valores fijos, entonces b
deberá ser mínimo.
b=0
abe- 901
Aplicación 9
Un número de tres cifras abe es tal que
abc-cba=mn3. Si se sabe que las cifras de las
decenas es la suma de las otras dos cifras en
el numeral abe, halle a2+b2+c2.
Resolución
Dato:
a h e ­
cha
mn 3
Por la propiedad c
m + 3=n-9
—> m=6 y n=9
Además
a-c=m +1=7
*
i
6
-+ o-c=7 y b=a+c
f t í I t
8 1 9 8 1 +
9 2 11 9 2 *
... 82 + 92 + 12=64 + 81 + 1=146 * Si
Reto al saber
Si xyz¿-zyx6~2npe y CA (abc) = np, halle a+b+c.
h : _______________
_____!___________-
3. COMPLEMENTO ARITMÉTICO (CA)
Es la cantidad que le falta a un número para
ser igual a una unidad del orden inmediato
superior con respecto a su cifra de mayor
orden.
Por ejemplo, en base 10, si un número es
de una cifra, su CA es lo que le falta a dicho
número para obtener una decena. Si el número
fuese de dos cifras, su CA será lo que le falta
a dicho número para obtener una centena.
Si dicho número es de tres cifras, entonces su
CA será ahora lo que le falta a dicho número
para obtener un millar.
Ejemplos
• CA(3)=10-3=7
• CA(36)=100-36=64
• CA(528)=1000-528=472
• CA(427)=1007-427=257
• CA(5308)=10008-5308=2508
Forma práctica
Ejemplos
9910
• CA(72 6)=274
910
• CA(24 000)=76 000
8 ceros 3 ceros
7 7 8
• CA(5268)=2528
88 89
• CA(31479)=57429
• CA(14 2 0 06)=4 1 4 0 06
2 ceros 2 coros
78
• CA(5 2 0008)=26 0008
2 8

275. Capítulo 8 Operaciones fundamentales en Z
" 7 7- ■ .7 • ■■ ': 7 TWy» \>
\ | { f // / / / / / > // ? :* ¿ L. \s N ••• • —v,-- " \ >\ \\ \
Importante
Al calcular
' ■ . ■ ■ ; ■ . .. r ' ' .
CA(72)=100-72=28
el complemento aritmético de 72 es 28; esto
Observación
Ejemplo
CA(62 100s)=15 700,
? f 9rCA ? rprr,<:
• 1+7=8
• 2+5=7
• 6+1=7
2 ceros 2 ceros
- A V. v - y /
base
• máxima cifra de la basé 8
~ v
En general
CA [abe 00...0y ) = mnp 00... 0y
■
Además
•v ceros x ceros
• c+p-y
• a-vm-b + n -y- 1
-,->y
Aplicación 10
Calcule el complemento aritmético del menor
numeral de tres cifras significativas y diferente
entre sí.
Resolución
Recordemos que cuando las cifras son signi­
ficativas, estas deben ser mayores que cero.
El menor numeral que cumple con la condi­
ción pedida es el 123.
CA(123)=1000-123=877.
Aplicación 11
Calcule el complemento aritmético del mayor
numeral de tres cifras diferentes entre sí del
sistema octanario.
Resolución
El mayor numeral de tres cifras diferentes
entre sí es 765«.
Luego
7 7 8
CA(76 58) = 13(
r_ A
7 -7 = 0 ¡
7 - 6 = 1
8 - 5 = 3 :
¡Cuidado!
Se cumple que
24=308
Pero
CA(24) * CA(30ñ)
porque el complemento aritmético se calcula
en su misma base.
CA(24)=100-24=76 y
v <
8/-10°8 30g-50g-40
Aplicación 12
Si CA(a¿>) = (o + l)(¿> + 2), calcule axb.
Resolución
Recordemos
• a+{a+1)=9
• 2o+1=9
2o=8
—> o=4
• b + (£>+2)=10
2b + 2=10
2¿)=8
-> b= 4
/. 4x4=16

276. COLECCIÓN ESENCIAL Lumbreras Editores
Aplicación 13
Determine la suma de cifras del complemento
aritmético del menor número, cuya suma de
cifras es 22.
4.1. Multiplicación en base 10
Ejemplo
Calculamos el producto de 246 y 35.
Resolución
Como no se indica cuántas cifras tiene el
número pedido, para que sea el menor posi­
ble, es conveniente considerar que el número
pedido contenga la mayor cantidad posible de
cifras 9. Entonces
Para la cifra de las unidades del multiplicador
5x6=30
-lleva
-cuccia
»
- 3+5x4=23
22 | 9
18 2 veces
Entonces el número pedido es 499
9 910
CA(4 9 9) = 501
9 -4 = 5
9 - 9 = 0
10- 9 = 1
v
___- - y
5 + 0+1=6
4. MULTIPLICACIÓN
Es la operación matemática en la cual dados
dos números llamados multiplicando y multi­
plicador, respectivamente, se halla un tercer
número llamado producto, el cual se obtiene
al sumar tantas veces el multiplicando como
veces indica el multiplicador.
...
Ejemplo
— operador de
multiplicación
7x4=7+7+7+7=28
„ . . J í ^ í
multiplicando— J i I
multiplicador
- 2 + 5x2=12
Para la cifra de las decenas del multiplicador
# r ~ !ieva ' ’ '
- 3x6=18
J r'''"—queda
#% 5jr .d¡¡yy
- 1 + 3x4=13
- 1+3x2=7
246 x
35
'productos pare
¡cto tota! o prod
f 1230
1 738
’’-t {8 6 1 0
4.2. Multiplicación en oirás bar-es
Ejemplos
1. Calculamos el producto de 267 y 43?.
• Para la cifra del orden 1 del multiplicador
/ "ev 1
- 3x6=18=247
^quodci
- 2 + 3 x 2=8=11yproducto

277. Capítulo 8 Operaciones fundamentales en Z *
Para la cifra del orden 2 del multiplicador
x-— lleva
4x6=24=33-
-QUGdd
3 + 4x2=11=14,
multiplicando —* * 57■ 267 x
multiplicador —* 4 3 ,
productos parciales
11 47
143-7
producto total o producto { 1 5 AA-¡
2. Calculamos el producto de 4238 y 328.
• Para la cifra del orden 1 del multiplicador
- 2x3=6
- 2x2=4
- 2x4=8=10g
• Para la cifra del orden 2 del multiplicador
3x3=9=118
lieva
-queda
1+3x2=7
3x4=12=14r
multiplicando —* 42 3g x
multiplicador —► 3 2 B
productos parciales
1046c
1471c
producto total o producto{1 575 68
4.3. Propi e d â d es
a. Al multiplicar
(n.° par)x(n.° entero)=(n.° par)
(n.° impar) x(n.° impar)=(n.° impar)
b. Sea N un número entero positivo.
• Si N es par —> Nx 5=...0
• Si N es impar -> A/x5=...5
c. Multiplicación por nueve
abcx 99...9 -abe 0Ö...0 - abe
k otras
Ejemplos
• 24 x 9=24 x (10-1)=240-24
24x9=216
• 24 x 99=24 x (100-1)=2400-24
24x99=2376
• 24x999=24x (1000-1)
24x999=24 000-24=23 976
¡Ciüidadol
Generalmente, en una multiplicación, la suma
de los productos parciales (SPP) no es igual al
producto final.
Ejemplo
36 4 x
57
2 5 4 8 I producta
1 8 2 0 J parciales
2 0 7 4 8 to final
Pero
(SPP) = 2548 + 1820 = 4368
4368 20 748
Reto al «aber
____
Se cumple que abex999 = ...4c6. Calcule a+b+c.
___y

278. COLECCIÓN ESENCIAL Lumbreras Editores
Aplicación 74
Halle el valor de a si a9x7=343.
Resolución
Dato:
6
a 9 x
_ 7
343
Comprobamos
y— lleva
7x9=63
^— queda
Por dato
(M -2)xm -P -26
Mxm-2m = P-26
- 2m = /-26
-2m=-26 —> /r?=13
Además
Mx(m+5)=A+80
Mxm+SM = P+80
/ + 5M = /+ 8 0
5M=80 -4 M=16
p=Mxm=16x13=208
Luego
7xo+6=34
7xo=28
o=4
------------T ' ' ^ — ' " " \
Importante
En la multiplicación AxB=P, A y B son llamados
factores. C
' * . ' ‘ 'i - W.
ApTicación 75
En una multiplicación, si al multiplicando se
le disminuye en dos unidades, el producto
disminuye en 26; pero si al multiplicador se le
aumenta cinco unidades, el producto aumenta
en 80. Calcule el valor del producto inicial.
Resolución
Nos piden P.
Sea la multiplicación Mxm=P, donde
- M: multiplicando
- m: multiplicador
P: producto
• -
Importante
>
x • • • • •'" ■
--- \
f
En Ia multiplicación
-—~ muftípficstido
5 < | •
, *
abcx
mn *-----multiplicador
•- abcxn
______ productos; ;
~—*;—\ pd>ciales
[a b ex m\
'
......................]•
L.- j
• ¡
producto
;toni
Sumando los productos parciales se tiene que
SPP-abcxn+abcxm
multiplicar,du ' suma Ot cifras
del multiplicador
En general, en la multiplicación, se cumple que
r : . ;V. N • n •5 ■ • • : 1 ‘ 1
donde SPP es la suma de los productos parciales.
c iU - C . . ^
____ 1
Reto at saber
Al multiplicar abcx79 se'obtuvo como una suma
de productos parciales 10 320. Halle a+b+c.

279. Capítulo 8 Operaciones fundamentales en Z*
5. DIVISION
Es aquella operación matemática que consiste
en determinar cuántas veces una cantidad
llamada dividendo (D) contiene a otra cantidad
llamada divisor [d).
Ejemplo ■
Dividamos 103 entre 12.
dividendo (D) — *-103 | 12 "*— divisor (d)
96 8 -— cociente (q)
residuo (r) —
donde
5.1.2. Inexacta
Es la que tiene como residuo un valor dife­
rente de cero, y se realiza de dos maneras: por
defecto y por exceso.
Po r d e f e c t o
D | d
D 1 d
r d e f Q
r exc <7-+1
Se cumple que Se cumple que
( i 'A ;
D = d x q + r def I D = d ( q + ï) - r exc J
103-12x8+7
V.
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _y
algoritmo de ia división
En general
---------------------------------------------------- \
D=dxq+r
L_
____________J
algoritmo de ia
division
Ejemplo
Dividamos 68 entre 7.
.68 [_7_
70 10
2
Luego
6 8 = 7 x 1 0 - 2
5.1. Clases de división
5.1.1. Exacta
Es la que tiene como residuo cero. En este
caso, el dividendo contiene al divisor un nú­
mero exacto de veces.
Ejemplo
Importante
Cuando se tiene una división inexacta y no
se especifica de qué tipo es, se asume que es
inexacta por defecto, ya que es la que más se
realiza o utiliza en la vida cotidiana.
45 |_9_ —> 45-9x5
45 5
0
Se lee: “45 contiene 5 veces al 9”.
Propiedades
a. El dividendo y el divisor en ambas divisiones
(por defecto y por exceso) son iguales.
En general
d\jL
0 q
-^
----------—- >
D~dzq
b. El cociente por exceso es una unidad más
que el cociente por defecto.
í cociente i; cooen
te | . i
vpor exceso;(por defe
it I
K. to ;

280. COLECCIÓN ESENCIAL Lumbreras Editores
La suma del residuo por defecto y el resi­
duo por exceso es igual al valor del divisor.
Como el divisor es 24, el residuo máximo es 23
-> D=24x15 + 23
donde
- d: divisor
r d e f residuo por defecto
r e x c res¡duo por exceso
d.
_ .
0 < residuo < d
L-------
--------------,
e.
Residuo mínimo=1
Residuo máximo=d-
Aplicación 16
Halle el dividendo de una división inexacta
sabiendo que su divisor es 23; su cociente, 9 y
el residuo, el mínimo posible.
RESOLUCION
.«v
Como no se especifica de qué tipo es la divi­
sión inexacta, se asume que es por defecto.
O ld=23
rdef®9=9
— mínimo
-> D=23x9+1
D=208
Aplicación 17
Halle el dividendo de una división en la que
su cociente es 15; su divisor, 24 y el residuo, el
máximo posible.
Resolución
Se tiene la división
D124
@ 1 5
D=383
Aplicación 18
En una división exacta, el dividendo es cinco
veces el divisor. Si la suma de sus términos es
185, calcule el valor del divisor.
Resolución
Como la división es exacta, el residuo es igual
a cero. Luego
Sd\ d
0 5
Dato:
5c/ + c/ + 5 = 185
6c/ + 5=185 -» 6c/=180
d=30
Aplicación 19
¿Cuántos números existen tales que al ser divi­
didos entre 37 den un residuo que sea el quín­
tuplo del cociente?
Resolución
Sea N uno de dichos números. Por condición
del problema, se tiene que
N37
5 R R
—» 5/?<37;/?>0 a R<7,4¡ R>0
En consecuencia
R: 1, 2; 3; 4; 5; 6 o 7
Por lo tanto, como R tiene siete posibles valores,
al reemplazar en la división se encontrarán siete
valores para N.

281. Capitulo 8 Operaciones fundamentales en Z*
Aplicación 20 Aplicación 22
Al dividir abe entre ab por defecto, se obtiene
como cociente mn y un residuo c. Calcule el
valor de m+n.
Resolución
Por dato
abe 1 ab
ab mn
Oc ^ tuc 1 Q
_0
c
—> m=1 a n=0
\ m+n=1+0=1
Reto al saber ^ xX
La diferencia de dos números es 64 y la división
del mayor entre el menor da como cociente
3 y como residuo 13. Calcule el menor de los
números. -%4í«
Aplicación 21
Si
~ab+bc = 78 y a+b+c= 14,
halle axbxc.
Si abc-cba = 1mn y a+c=12,
calcule a + 2c.
Resolución
Por dato
abe-
cba
1/77/1
Por ia propiedad c de la sustracción
1 + 11=01=9
—> n=8 y m=9
Además
o-c=1+1=2
-» a-c=2
Luego
7 _
O-A = 2 y
a+je =12*
2a = 14
a = 7
—> c = 5
Resolución
Por dato
ab +
be
~78~
-> b+c=8 v b+c=18
1 í .
a + 2c = 7 + 2(5) = 17
Aplicación 23
Si abc-cba = xy3 y xy5 + 5xy = icmñ,
halle a+c+/n+n.
Resolución
Por dato
Como a+b+c=14, se deduce que a=6
a+b=7 —> b—1 y C—7
/. axbxc=6x1x7=42
abe-
cba
xy3

282. COLECCIÓN ESENCIAL
Lumbreras Editores
Entonces se cumple
Además
x+3=y = 9
CA {abcd) = de 4
—> x = 6 a y = 9
99910
Además o-c=6+1 = 7 (*)
Ca(oòcò) = c/54
Luego
_ _ _ _ _ Se cumple
xy5+.5xy=1cmn
tt tt i t t
. i0 -d = 4. -> d = 6
69 96 291
• 9-c=5 -> c = 4
De (*)
•' 9-b=d —» ¿> = 3
a -2 = 7 í
6
—> o = 9
• 9-o = 0 —> o = 9
9 + 2 + 9 + 1 = 21
oxó+cxc/+exf=9x3+4x6 + 5x4 = 71
Aplicación 24
Ap lic a c ió n 25
Si Ckiobcd) = de4 y CA(ee) = /e, Si Ca(oòc) + Ca(còo) = 1153 y abc-cbo = 2np,
•halle axb+cxd+exf. halle o + ó+c+n+p.
Resolución Re so lu c ió n
Por dato Por dato
CA (ee) = fe
Ca(oòc) + Ca(còo) = 1153
-> 100 -ef=/e 1000-ÒÒC+1000-eòo = 1153
Ordenamos
2000-(oòc +eòo) = 1153
—
2000-1153 = oòc+còo
ee +
/e
-» oòc+còo = 847 (I)
100
Además
Luego
obc-cba = 2np
• e+e = 10
ld
II0)T
Se cumple
• e+/+1=10
2+p=n=9
t p = 7 y n = 9
M
-> abe-eba = 297 (II)

283. Capítulo 8 Operaciones fundamentales en Z *
Por datoLuego de (I) + (II)
2xa¿>c = 1144
abe = 572
—> o = 5; b = 7 y c = 2
a + ¿> + c+n+p = 5+7 + 2 + 9+7 = 30
Aplicación 26
En una división inexacta, la suma de sus términos
es 483; pero si al dividendo y al divisor se les
cuadruplica y se realiza la división, entonces
la suma de sus términos es 1887. Calcule el
cociente.
Resolución \
Tenemos la división inexacta
D | d_
r Q
D+d+q+r = 483 (I)
Cuando el dividendo y el divisor se cuadru­
plican, el residuo también se cuadruplica, pero
el cociente sigue siendo igual.
4D [4d_
4 r q
Por dato
4D+4c/+p + 4r= 1887 (II)
Multiplicamos la expresión (I) por 4 a todos sus
términos y el resultado lo restamos respectiva­
mente con la expresión (II).
,4-D + 4q + # r = 4483 = 1932
A'D + A d + q + A r = m 7
3q=45
q=15

284. OPERACIONES FUNDAMENTALES EN T
Adición Sustracción
A + B = S
sumandos suma
Propiedades
• par + par = par
• impar+impar=par
• impar+par = impar
( Multiplicación
M -S-.D
donde
- M: minuendo
- S : sustraendo
- D: diferencia
Propiedades
abe -
—— y=x+z= 9
cba —» .
——— a -c= x+1
r~r
xyz
multiplicando - abe x
multiplicador — rnn
productos
parciales
abcxn¡
abcxm
producto r
• total* — l
Propiedades
• (...5) x (par) = (...0)
• (...5) x (impar) = (...5)
Además
ab x 999 = abOOOj- ab
"lT "lT
nueves ceros
División
Exacta (r=0)
—
----------!----- A
D b L ^
0 q
D = d * q
Inexacta (r^O)
Se realiza de dos formas:
Por defecto Por exceso
D | d_ D | d
r d ef q w c/ +1
D = d x q + rdefD = d{q + '\)-rexc
0 < residuo < divisor
r d e f+ rexc ~ ^
|
/
Lumbreras Editores

285. RESOLVEMOS JUNTOS
Problema N.° 1
Luego de efectuar 41278+35418, calcule la
suma de cifras del resultado.
A) 20
D) 12
B) 16 C) 14
E) 24
Resolución •
Ordenamos los términos en forma vertical.
41278 +
3541
8
7670c
'8 .
• En el orden 1
7+1=8=10
\
• En el orden 2
1+2+4=7
• En el orden 3
1 + 5=6
• En el orden 4
4+3=7
- lle v a
8
queda
suma.de
cifras
=7+6+7+0-20
; Clave .
Problema N.° 2
En las unidades
(¿>+a-) + (a+¿0=8 + 8=16
-lleva
'-queda
• En las decenas
1 + (a+¿0 + (a+¿0=1 + 8 + 8=17
Ordenamos los términos en forma vertical
para realizar la adición.
1
ab +
ba
aa
bb
176
Por Io-tanto, la suma es 176.
V - .
Problema N.° 3
Clave
Si aa+bb+cc-abc, halle a+b + c.
A) 12
D) 18
Resolución
Por dato
B) 15 C) 23
E) 16
Si (a+¿02=64, halle el valor de ab+ba+aa+bb.
A) 132
D) 96
B) 64 C) 176
E) 160
1
a a +
F b
Resolución
Por dato
{a+b)2=64=82 -> a+b=8
a 6©
s ■ |
—> C7 + ¿>—10

286. COLECCION ESENCIAL
Lumbreras Editores
En las unidades
(o+6)+c=10+c=1c
lleva — 7 '
En las decenas
1+o+6+c=o6
'\+a+c=ab-b=oO
í t í
1 8 1. .
1+¿>=10 —> 6 = 9
\ 1 + 9 + 8=18
■queaa
! Clave { I
Problem a N.° 4 * E)
Si 4o67 + o961=8o66, halle o2+62. '
A) 13
D) 58
B) 51
E) 73
' I ''V
Resolución
Primero ordenamos los sumandos en forma
vertical para luego hacer la comprobación de
la operación.
1 1
4o67 +
^q961
8 a 6 6
• En las decenas
6 + 6 = ... 6
-lleva
2x6=16
—queda
• En los millares
1+4+o=8
-» o=3
-32+83=73
i Clave
Problema N.° 5
Si o1+o2 + o3 + ...+o9=56c/ halle ox6xc.
A) 240
D) 160
B) 360 C) 280
E) 320
Resolución
Verificamos la operación.
* Jf
i . »
£1+^
o2
a 3
: ’
o9
56c
í
5
En las unidades
1+2+3+... + 9 = - ^ 5 = 45
En las decenas
4 + 0 + 0+.. .+o = 56
v *
9 veces
4+9x0=56
í í
6 8
-queda
o=6; 6=8 y c=5
6x8x5=240
: Clave

287. Operaciones fundamentales en Z*
Problema N.° 6
Halle la suma de cifras del resultado de operar
9+99+999+...+999 ...9
2 0 c if r a s - '
A) 90 B) 81 C) 27
D) 60 E) 100
Resolución
Sea
S = 9 + 99+ 999+...+ 999 ...9
20 cifras
Observamos lo siguiente:
9 = 10-1
99 = 100-1
999 = 1000 — 1 • 20. sumandos
1 ^^999 = 100^-1
2 0 c if r a s 2 0 c e r o s \ K
S = 111....1110-20x1 -+ S = 111....1090
V
___________/ ^ , ______/
--------v v
21 c if r a s 21 c ifr a s :
—^ 5 = 1 + 1 + 1 + ... + 1 + 0 + 9 + 0
21 s u m a n d o s
•*. 18x1 + ¿ * í + 1x9 = 27
i Clave
Problema N.° 7
Sabiendo que abc-mnp=cba, calcule el valor
de p+m+n.
A) 8
D) 18
Resolución
Del dato
B) 20 C) 15
E) 12
abc-mnp=cba -+ abc-cba=mnp
Ordenamos los términos en vertical.
abc-
cba
mnp
—> m+p=9 a n=9
p+m+n=9+9=18
: Clave
Problema N. 8 * D)
Si abc-cba=pm4, calcule el menor valor
posible de a+b+c+p+m.
A) 22
D) 13
Resalüdón
B) 18 C) 24
E) 17
Para que a+b+c+p+m tome su menor valor
posible, cada incógnita deberá ser mínima.
Por dato
oóc-
cba
pmA
Se cumple
• p+4=9 -+ p=5
• m- 9
• a-c=p+1=6
î t Î
7 1 5
• b:0; 1p2>c4 9
^ —mínimo valor
7 + 0+1 + 5 + 9=22
; Clave

288. COLECCIÓN ESENCIAL Lumbreras Editores
Problema N/ 9
__________
Calcule un número de tres cifras si se sabe que
al sumarle 245 resulta el doble de su comple­
mento aritmético.
A) 485 B) 575 C) 536
D) 585 E) 435
Resolución
Sea abe dicho numeral. Por dato
abc + 245 = 2xCA (abe)
-> abe + 245 = 2 x (i 000 - abe)
abe+245 = 2000-2 - abe
3-abe = 2000-245
-> 3-obc = 1755
obc=585
fC la ve
Problema N,° 10
Calcule el valor de a+b+c si
C A [abe] = (a+7) (b + 5) (c+2).
%<. yw v. vW
A) 5 B) 8 C) 12
D) 4 E) 7
Resolución
Recordemos, por ejemplo
9 910
CA(874)=126
Entonces
8+1=9; 7+2=9; 4+6=10
• a+(a+7)=9
-+ a- 1
• b+(b + 5)=9
-» b=2
• c+(c+2)=10
-» c=4
1 + 2 + 4=7
: Clave \
En el problema, tendríamos
FroblemaUN." 11
__
¿Cuál es el valor de aquel número de tres cifras
que restado de su complemento aritmético da
como resultado 144?
A) 572" B) 527 C) 482
D) 428 E) 718
Resolución
Sea abe dicho numeral de tres cifras.
Por condición
CA (abe)- abe = 144
(l000 - abe) - abe = 144
1000-2-abe=144
1000-144 = 2-obc
856=2-Wc
abe- 428
; Clave

289. Capítulo 8
Operaciones fundamentales en Z
Problema N7 12
El producto de dos números es 720. Si aña
dimos 6 unidades al multiplicando, el producto
sería 816. ¿Cuál es el valor del multiplicador?
A) 16
D) 45
B) 72 C) 36
E) 32
Resolución
Sean A y 8 dichos números.
Por condición
multiplicands
4x8=720 X s
multiplicador -
Además
(4 + 6) x 8=816
4 x8 + 6 x8 = 816
' 720
-> 6x8=816-720
6x8=96
8=16
•pro dritto
i Clave
Problema N.° 13
¿Cuál es la última cifra del resultado al operar
((32)4) ?
A) 1
D) 9
B) 3 C) 7
E) 5
Resolución
Primero observemos lo siguiente:
31=3 35=243
32=9 36=729
33=27 37=2187
34=81 . 38=6561
En general
34+1 = ...3; 34+2=...9
34+3 = ...7; 34 =...1
Luego, en el problema
(b2) ) =:
, 2 x 4 x 8
= 34 =...1
; Clave
Problema N.° 14
Un alumno en lugar de multiplicar por 13 un
número lo multiplicó por 31, obteniendo como
resultado 3999. ¿Cuál debió ser el resultado
correcto?
A) 1320
D) 1323
B) 1361 C) 1422
E) 1677
Resolución
Sea N el número.
Por error
A/x31=3999
3999
-> N = — = 129
31
5

290. COLECCIÓN ESENCIAL Lumbreras Editores
Luego, lo correcto era 129x13.
Operamos
129 x
13
387
129 '
1677
Problema N.* 1 6 ____________________
Si abc3x9=mnnnn,
halle el valor de a + b+c+m + n.
A) 32 B) 33 C) 34
D) 35 E) 36
Por lo tanto, el resultado correcto era 1677.
i C la ve \ )
Problema N.° 15
________ . _______________
¿Cuál es el número que al aumentarle un.cero
a su derecha, este aumenta en 333 unidades?
Dé como respuesta el producto de sus cifras.
A) 21 B) 15 C) 48
D) 12 'E) 14 y
Resolución
rjy<^ooooo<.^<x><<xyyyoooo<yy>y<>o<>/yy> >oxo<
Observación
Agregar un cero a la derecha de un número
es equivalente a multiplicarlo por 10.
En el problema, sea N dicho número.
Por condición
Cantidad inicial: N
) aumenta 9N
Cantidad final: 1C)N J
Resolución
Ordenamos los factores para realizar la
comprobación.
______ 6 4 2
abc3 x 9 7 5 3 x
______9 _______9
mnnnn 87777
Luego, comparando se deduce que
a -9; b=7; c=5; m -8 y rt=l
9+7+5+8+7=36
* ^ N j C la ve [ }
? ^%' *
.................... . .* I , . . • *
Problema N.° 17
__________
Si a¿>cx999=...243, calcule CA(ca + b).
A) 18 B) 56 C) 48
D) 23 E) 25
Resolución
Dato:
abcx 999 = ...243
oM)00-a¿>c=...243
abc000=abe+...243
Por dato
9N=333 -> N=37
3x7=21
; Clave \

291. Capítulo 8 Operaciones fundamentales en VCapítulo 8 Operaciones fundamentales en 7*
Ordenamos los sumandos,
n
Por la propiedad de división inexacta tenemos
K3< 28 -> K: 1;2 o 3
abe +
...243
3 val ores
Por lo tanto, son 3 números. .....
abcOOO = Clave \
Se deduce que
Problema N719
c=7; b=5 y a-1
En una división, el residuo es 37 y el cociente
es 13. Halle el dividendo sabiendo que es
Entonces
menor que 560 y que termina en 4.
LA(77 + 5)=CA(82)
i
, ■
i CA(77 + 5)=100-82 = 18
■{ .
A) 504 ' B) 514 C) 524
D) 534 E) 544
f i Clave \ 7;
i: . t Jk w %
Resolución
i ' f „ * 1
}V. ^ gj:
/ Problema N.“ 18 . >. N <
Nos piden N.
w b L M > 3 7 '
37 13
-I ¿Cuantos númefus enleius posilivos existen
/ tales que al ser divididos entre 28, se obtiene
un residuo igual al cubo de su cociente?
-> N = 13M+37
// ’ <:> .4.../
M=...9 M: 39; .49; > 9 ;/
A) 5 B) 1 C) 2 v
D) 3 E) 4
/V=13x39 + 37=544
j C/ave.;
Resolución
Problema N,° 20
Sea N uno de dichos números.
Reconstruya la siguiente división y dé como
Por condición respuesta el cociente.
^[_28_ _> N=28K+K3
K3 K
Como el valor de N depende de K, la cantidad
de números N dependerá de la cantidad de
8*| *
—5* *1
*3
*
~
A) 51 B) 31 C) 21
Como el valor de N depende de K, la cantidad
de números N dependerá de la cantidad de
valores de K.
A) 51
D) 11
C) 21
E) 41

292. COLECCION ESENCIAL
Lumbreras Editores
Resolución
Hacemos la comprobación.
8 3 1 7
i 3j
7-
6
Empezamos por el final, ya que el residuo es 6.
Por lo tanto, el cociente es 11.
: Clave ••
Problema H.° 21
Si o6o1+o6o2 + a6a3 + ...+o6a9=...655,
calcule a + b. í
A) 10
D) 11
B) 8 C) 5
E) 12
Resolución
Ordenamos los términos en vertical para hacer
la reconstrucción de la adición.
84
o6o1 +
aba 2
o6o3
aba9
...655
9 sumandos
En las unidades
1 + 2 + 3 + ... + 9 =
9x10
/
1 + 2 + 3 + ... + 9 = 45
lleva
-queda
En las decenas
4 + 9o = ...5 —» o = 9
s - 84 * 1 II. III. IV.
4+9(9)=85
^— queda
• En las centenas
8 + 96 = ...6 -+ 6 = 2
...8
0+6=9 + 2=11
: Clave
Problema ^ ’ 22
Se define
s(o6c...m) = o + 6 + c + ... + m
Indique la secuencia correcta de verdad (V) o
falsedad (F) según corresponda.
I. 5(749)=S(79) + S(40)
II. 5(93 + 51)=S(93) + S(51)
III. ó(o6c) = S(ox100 + 6x10 + c)
IV. s(abcd) = s(db ac)
A) VFFV
D) VFVV
B) VFFF C) FFVV
E) FFFV
Resolución
I. Verdadero
S (749) = S (79) + s (40)
7 + 4 + 9 = (7 + 9) + (4 + 0)
20 = 20

293. Capítulo 8
Operaciones fundamentales en Z*
II. Falso
S(93 + 51)*S(93) + S(51)
ó(l44) + 9 + 3 + 5 + 1
1+4+4+18
III. Verdadero
abc = ax100 + bx10 + c
V
--------V---------'
a b e
IV. Verdadero
s(abcd) = s{db ac)
a+b+c+d=d+b+a+c
, T Clave l }
/ " j¡£...........\
Problema N.* 23
__________________
Si 364x9992=...a£>c, calcule axb xc.
A) 108 B) 72 C) 36
D) 27 E) 66
Resolución \ '
Dato:
364x9992=...abc
Observamos lo siguiente:
364x9991=...636
364x9992=...364
364x9993=...636
364x9994=...364
En general
364x999(impar)=...636
364x999(par)=...364
Como 2 es par, entonces
abe- 364 —> a -3; b=6 y c=4
... 3x6x4=72
Clave
Problema N." 24
________________________
Si CA(aa)+CAÍbb) = 46, calcule el valor de a+b.
A) 14 B) 11 C) 13
D) 12 E) 15
Resolución
l Observació n
/in=10n+n=11n
w • . if
Dato:
CA (a a) + CA (bb) =46
(100- aa ) + (l00 — = 46
200 - (00 + óó) = 46
aa + bb = 154
11xa + 11xb=154
Dividimos a todos los términos entre 11.
.-. a+b=14 .
Clave
Problema N.° 25 * D)
En una división inexacta, los cocientes por
defecto y por exceso suman 9. Si el residuo
por exceso excede en 4 al residuo por defecto
y el divisor es 8, halle la suma de cifras del
dividendo.
A) 6 B) 7 C) 8
D) 9 E) 10

294. COLECCION ESENCIAL Lumbreras Editores
Resolución
El tercer sumando: 123 tiene tres cifras.
Datos:
Por defecto Por exceso
A | 8 A\ 8
r d e f ^ r exc
K+(K+1)=9-+ K=4
Por dato
rexc ~ l/ fe f ~ ^ \ (
Por propiedad
co
II
\
\qj+J
2 x W = 12
W = 6
En la división por exceso se tendrá
a\s
6 5
4=8x5-6=34
3+4=7
: C la v e \
Problema N.‘26 ; % ^ *
Si
S = 1+12 = 123+1234+... = ...abcd,
halle el valor de a + b+c+d.
• El noveno sumando: 123 456 789 tiene
nueve cifras.
Luego tenemos
á á áA
' ' 1 +
1 2
1 2 3
1234
1 2 3 ... 67 8 9
42 0 5
t
----1 + 2+3 + ...+9=45
- 1+2 + 3 + ...+8+4=40 \
/ J -
-------1+2+3 + ...+7+4=32
1 + 2 + 3-... + 6+3=24
—> c? = 4; b = 2; c = 0 y d - 5
.\ a+b+c+d= 11
i Clave ,
Problema N2 27
Si se cumple que a7c6-¿cdo=ícd8,
halle el valor de a+b+c+d.
A) 11 B) 12 C) 13
D) 14 E) 15
A) 10 B) 12 C) 24
D) 16 E) 20
Resolución
Resolución
Observamos lo siguiente:
• El primer sumando: 1 tiene una cifra.
• El segundo sumando: 12 tiene dos cifras.
Del problema se tiene que
a7c6 -
bcda
1cc/8
!

295. Capítulo 8 Operaciones fundamentales en Z*
• En las unidades
10 + 6 -o = 8 —> o = 8
• En las decenas
10+c-1-d = d -> 9+c = 2c/ (I)
• En las centenas
7-1,-c = c c = 3 (II)
6
Reemplazamos (II) en (I).
9 + 3 = 2d -> d= 6
12
• En las unidades de millar
a - b=1 —» b=7
í
8 f X
a+b+c+d = 8+7 + 3 + 6 = 24
I X* Clave i C ) |
Y T J r ' i
V
Problema N.° 28
___________________________
Se cumple que CA{abe) = 2(b + 3)(c+2). -
Halle el valor de a+b+c.
A) 14
D) 15
B) 12 C) 18
E) 30
Resolución
Utilizando la forma práctica del complemento
aritmético, se tiene
9910
CA (abe) = 2 (b + 3) (c + 2)
• En las decenas
9— = ¿>+3
6 = 2 b -> b=3
• En las centenas
9-o = 2 -> o = 7
o+b+c = 14
Clave
Problema N.° 29
Se cum ple que Ca(o ò c) + Ca(ò o) = 328.
Calcule a+b+c si o^c.
A) 17
D) 20
B) 16 C) 18
E) 15
Resolución
Del dato
' CAÍcibc) + CA (iba) = 328
1000-a£>c+100-£>a = 328
1100-328 = abe+ ¿>a
772
Ordenamos los términos en vertical.
— Puede ser 6 o 7.
1
abe +
ba
772
r lleva
-> c+o = 2 o12
! t
6 6 x (a ^c)
5 7 v/
En las unidades
10—c — c+2
8=2c —y c—4

296. COLECCION ESENCIAL Lumbreras Editores
En las decenas
^+b+b—7 —> b — 3
/. o+b+c = 7+3 + 5 = 15
Problema 30 * D)
i Clave í
Al multiplicar abe por 173, la suma de los
productos parciales es 4499. Calcule a+b+c.
A) 10
D) 15
Resolución
B) 20 C) 13
E) 21
Se tiene __
abe x 173 = P '• p'oqóao
multiplicando —^
. multiplicador
--------
Se sabe que
4499 = abe x (1+7 + 3)
— 4499 % #
abc =
-----= 409 -> a=4; ¿>=0 y c=9
11
a+b+c = 13
Problema N. 31
i Clave ■
¿Cuántos valores toma el dividendo de una
división cuyo cociente es 17 y residuo 12 si es
de tres cifras?
A) 30
D) 38
B) 40 C) 46
E) 48
Resolución
Como el dividendo es de tres cifras, lo repre­
sentaremos como abe. Luego
abc\ N
12 17
Se cumple
N>^ y abc = NxV+-\2
Como abe depende su valor de N, la cantidad
de valores de abe dependerá de la cantidad de
valores de N.
Luego
100 <abc< 1000
100<A/x17+12<1000
88 < Nx17<988
5,17... < /V< 58,11...
Pero N >12, entonces se concluye que
12 < A/< 58,11...
! 13; 14; 15;58
46 valores
i Clave
Problema N.° 32
La suma de los términos de una división
inexacta es 95 y el cociente es 14. Calcule el
dividendo.
A) 42
D) 49
B) 56 C) 81
E) 73

297. Operaciones fundamentales en Z*
Resolución
Se tiene la división
D[d_
r 14
-» 0<r<d y D=Ud+r
Además, por dato
D + d+r+14 = 95
14f7 + r
15d+2r = 81 (d>r)
1 l
impar par impar
D = 14(5) + 3=73
: C/ove
Problema N.e 33
En una multiplicación, si al multiplicando se le
aumenta 18 unidades, el producto aumenta en
360; pero si al multiplicador se le aumenta en
35, el producto aumenta en 315. Determine
la diferencia positiva del multiplicando y el
multiplicador.
A) 12
D) 15
B) 11 C) 18
E) 20'
Resolución
En una multiplicación se tienen los siguientes
términos:
M x m = P
\ i t
multiplicando multiplicador producto
Por dato se tiene que si al multiplicando se le
aumenta 18 unidades, el producto aumenta
en 360.
(M+18)xm = P+360
Mxm+'\Qxm = P+360
p
18xm = 360
—> m = 20
Si al multiplicador se le aumenta en 35, el
producto aumenta en 315.
Mx{m + 35) = P+315
M xm + 35 x/W = P+315
p % ' / ,
35xM = 315
-> M = 9
Por lo tanto, la diferencia positiva es 20-9 = 11.
i Clave ;.
Problema N.' 34 * E)
Al dividir dos números cuya suma es 593, se
observa que el cociente es 30 y al residuo
le faltan 14 unidades para ser máximo. Halle
el producto de dichos números y dé como
respuesta la suma de cifras.
A) 18
D) 16
B) 20 C) 15
E) 30
I3

298. COLECCION ESENCIAL
Lumbreras Editores
Resolución
Sean los números A y 6 tal que
A + S = 593 (I)
A |_5 _
r 30
Al residuo le faltan 14 unidades para ser igual
al residuo máximo.
r+14 = S-1
Como 5-1 es el valor del residuo máximo
-» B = r+15 y r=5-15
Entonces se tiene que
A [_8_
5-15 30
A = 30x8+(6-15)
-> A = 31xfi-15 (II)
Luego, reemplazamos (II) en (I).
4 + 5 = 593
31x5-15 + 5 = 593
32x5 = 608
- 5 = ™ = 1 9
32
Entonces, para hallar el valor de A reempla­
zamos el valor de 5 en (I).
A + B =593
19
-> 4 = 593-19 = 574
Finalmente
4x5=574x19=10 906
Por lo tanto, la suma de cifras es
1+0+9+0+6 = 16.
: Clave •
Problema N.° 35
Al dividir un numeral de tres cifras entre su
complemento aritmético, se obtiene 10 de
cociente y 76 de residuo. ¿Cuál es la suma de
cifras de dicho numeral?
A) 18
D) 17
B) 14 C) 15
E) 16
Resolución ■
Sea abe dicho numeral.
Por condición del problema, se cumple
dividendo
v
abe \c Ajobe) divisor
76 10 cociente
residuo
Entonces
abe = CA {abe) x 10 + 76
abc= (l000-aóc)x10+76
a5c=10000-10xobc+76
11 xoóc = 10076 -4 ñbc = — * 076 =916
11
—> a~9¡ b -1; c = 6
C7+¿)+c = 16
; Clave •
3

299. Capítulo 8 Operaciones fundamentales en Z
Problema N.* 36
Si a un numeral de tres cifras se le suman sus
cifras, se obtiene 392. Calcule el producto de
cifras de dicho numeral.
A) 108 B) 126 C) 162
D) 84 E). 72
Resolución
Sea abe dicho numeral.
Resolución
Sea abe dicho numeral de tres cifras.
! N O OLVIDE
Cuando un número es de tres cifras,
X ■
su complemento aritmético (CA) se
calcula así:
C/\{abc)-']000-abc
£
Por condición del problema se cumple
abc+a + b + c = 392
Descomponemos polinómicamente el numeral
abe. Luego obtenemos lo siguiente:
100a+10¿> -bc+a+b+c—392
En consecuencia
101a + 11b + 2c = 392 ({a; b y c} < 10)
i I i •
3 ■7 6 ' ■ V
a xb xc= 3 x7 x6 = 126
a x b x c -126
| Clave [
Por condición del problema se cumple que
CA{abc) = 3xabc
'}000-abc = 3xabc
1000 = 4 xabe
T 1000
-> abc =
-----= 250
En consecuencia
a = 2; b - 5; c = 0
a + b + c = 2 + 5 + 0 = 7
: Clave
Problema N.“ 38 * A) B) C) D) E)
Problema N.° 37
______________________________
¿Cuál es la suma de cifras de aquel numeral
de tres cifras cuyo complemento aritmético es
su triple?
A) 4 B) 5 C) 2
D) 6 E) 7
Si se cumple que abc-cba = mn4,
calcule el máximo valor de a+b+c.
A) 21
B) 18
C) 20
D) 24
E) 25

300. COLECCIÓN ESENCIAL
Lumbreras Editores
Resolución
Por dato
abe -
cba
mn4
Resolución
En la multiplicación, los términos son
M x m = P
t í . ■ !
multiplicando multiplicador producto
Luego
m +4=n=9
-> m= 5 y n = 9
Además
a - c = m+1 = 6
I T
7 1 x
8 2 x
9 3 T (máximo)
Como b es cifra en base 10, su máximo valor
es 9.
%
Por lo tanto, el máximo valor de a+b+c es 21.
^ .....
; C/ove l. J
. ...............i...**
Dato:
M+m+P = 337 (I)
Además, cuando al multiplicador se le suman
8 unidades, el producto aumenta en 200 uni­
dades.
Mx(m + 8) = P+200
Mxm + 8xM = P+200
' p '
8xM=200
% 200 __
-+ M =
----= 25
8
(II)
Reemplazando (II) en (I), se tiene que
25+/r? + 25xm=337
Problema N,° 39
_____________________
En una multiplicación, la suma de términos
es 337. Si al multiplicador se le suman 8 uni­
dades, el producto aumenta en 200 unidades.
Calcule el producto inicial.
A) 500 B) 300 C) 312
D) 325 E) 360
26xm=337-25=312
-» m
h=12
26
Por lo tanto, el producto inicial es
25x12=300.
i Clave •

301. Operaciones fundamentales en Z*
Problema N.° 40/
En una división, el dividendo es menor que
150, el cociente es 13 y el residuo es 9, ¿Cuál es
el residuo por exceso?
A) 4
D) 1
B) 5 C) 3
E) 2
Resolución
En la división por defecto, los términos son
|— dividendo
N [_M -*■— divisor
9 13 -—cociente por defecto '' ;
t / J L ,
1
----residuo por defecto g , . ■
Se cumple que
9+r = M
exc
Además
A/ = 13M+9 y M> 9
f ' t
139 10 ^
152 11 x (A/<150)
Reemplazamos (II) en (I).
9+rexc = W
r « c = 1
0)
(ID
i Clave

302. PRACTIQUEMOS LO APRENDIDO
1. Halle la suma de las tres últimas cifras de N.
N= 4+44+444 + ...
C) 36
E) 20
22. sumandos
A) 24 B) 40
D) 19
2. Efectúe /-/.
H=3627 + 4157 + 2547
A) 13627 B) 13647 C) 1264?
D) 13637 E) 12627
3. Se tiene que (a+b+c)2=169.
Calcule abc+cob+bco y luego dé como
respuesta la suma de cifras del resultado.
A) 10
D) 14
B) 12 C) 13
E) 15
4. Si 2a + 3a + 4a + ... + Qa=bc3, halle el valor de
a + b+c.
A) 14
D) 12
B) 10 C) 8
E) 19
5. Si b9a+cb2=7oS, calcule {b+tf + a.
A) 2
D) 5
B) 3 C) 4
E) 6
6. Efectúe
74368-24568
y luego dé como respuesta la suma de
cifras del resultado obtenido.
A) 46708 B) 57608 C) 46408
D) 56708 E) 47608
7. La suma de los tres términos de una sustrac­
ción es 286. Calcule la suma de cifras del
minuendo.
A) 14
D) 8
B) 4 C) 12
E) 9
8. Si
obc-cba-lmn,
calcule el valor de (a+c)x(m+n).
A) 108
D) 56
B) 90 C) 110
E) 72
9. Si se cumple que
a3c8-1¿>6c/=5483, calcule ab + cd.
A) 98
D) 58
B) 47 C) 123
E) 54
10, Si abc-cba=nm3 y o + ¿» + c=19, calcule el
complemento aritmético de cba:
A) 911
D) 918
B) 711 C) 718
E) 719
11. Si el complemento aritmético de al2 es
4be, calcule el valor de ac+b.
A) 40
D) 45
B) 38 C) 27
E) 60
12. Se cumple que xy-C A (yx) = 65. Calcule el
valor de x4y+y2x.
A) 1575
D) 575
B) 755 C) 557
E) 1557

303. Capítulo 8 Operaciones fundamentales en Z*
13. Se cumple que
CA (abe) + CA (cab) + CA (bea) = 1668.
Calcule a+b+c.
A) 8 B) 12 C) 16
D) 14 E) 9
14. Si abc-cba=2xy y abc+cba=4Z\,
halle el complemento aritmético de a+b+c.
A) 83 B) 72 C) 75
D) 86 E) 91
15. Señale en qué cifra termina el siguiente
producto:
P = 1 x3 x5 x7 x9 x...x9 9
A) 1 B) 2 C) 3
D) 5 E) 0
16. Calcule el valor de a + b si a9x32=1¿>¿>¿>.
A) 10 B) 8 C) 9
D) 12 E) 13
17. El producto de dos números es 135. Si se
aumentara 7 unidades al multiplicando, el
producto sería 198. ¿Cuánto es el valor del
multiplicando?
A) 25 B) 9 C) 23
D) 15 E) 31
18. En una división inexacta, los residuos por
defecto y por exceso son 14 y 12, respec­
tivamente. Si la suma de los cocientes por
defecto y exceso es 21, halle el dividendo.
A) 284 B) 274 C) 264
D) 254 E) 244
19. La suma de dos números es 72 y al dividir
el mayor entre el menor se obtiene 3 de
cociente y 4 de residuo. Calcule la suma
de cifras del mayor de los números.
A) 8 B) 12 C) 13
D) 9 E) 10
20. Reconstruya la siguiente multiplicación:
a 4 b 3 x
________c_
670d7
Calcule CA( a c + b c l).
A) 684 B) 846 C) 486
D) 864 E) 964
21. Calcule el valor de a b + b c + c a si se cumple
que (o + 6)2=cc5.
A) 124 B) 215 C) 143
D) 153 E) 187
22. Se cumple que
a6cx333 = ...457.
Calcule a + b + c .
A) 15 B) 17 C) 16
D) 19 E) 20
23. Si
3A/=...8734 y 8/V=...6624,
halle la suma de las cuatro últimas cifras
de 19 N.
A) 21 B) 20 C) 17
D) 19 E) 18
9
m

304. COLECCION ESENCIAL Lumbreras Editores
24. Reconstruya la siguiente división:
7n951ab
72
m08
Í9p
192
m
Dé como respuesta el valor de m+a+b.
A) 5
D) 6
B) 8 C) 7
E) 9
25. ¿Cuántos números de tres cifras cumplen
que al dividirse entre 28 se obtiene un resi­
duo igual al triple del cociente?
A) 7
D) 6
B) 2 C) 5
\ 'O' A / -
E) 4
26. En una división, la suma de los términos es
55. Si al dividendo y al divisor se les multirf
plica por 3 y se vuelve a realizar la división,
la suma de los términos es 155. Calcule el
JP
cociente.
A) 3
D) 7
B) 5 C) 4
E) 8
27 En una multiplicación, si al multiplicando se
le disminuye x unidades y al multiplicador se
le suma x unidades, el producto no cambia.
Calcule la diferencia entre el multiplicando y
el multiplicador.
28. Si
/Vx56=...44 y N x33=...92,
halle la suma de las dos últimas cifras de
A/x46.
A) 4
D) 9
B) 7 C) 8
E) 12
29. Si
CA {a {b + 3) (c + 3)) = c3,
calcule el valor de a+b+c.
A) 14
D) 15
B) 13 C) 12
E) 16
30. En una división, la suma de los términos es
22. Si al dividendo y al divisor se les multi­
plica por 4 y se vuelve a realizar la división,
-la suma de los términos es 82. Calcule el
v -cociente.
1
D) 4
B) 2 C)
E)
31. Si a + b + c = 22, halle la suma de cifras de S.
S-abc+bco+cab
A) 12
D) 14
B) 10 C) 13
E) 11
32. La suma de los términos de una sustrac­
ción es 180; además, el doble de la di­
ferencia excede en 54 al quíntuplo del
sustraendo. Calcule el producto de cifras
de la diferencia.
A) 2x B) x2
A) 14 B) 18 C) 8
D) x
E) 0
D) 12 E) 15
>
l

305. Capítulo 8 Operaciones fundamentales en Z*
33. Se cumple que
abc-cba = nm{2n).
Calcule el valor de a-c+m+n.
A) 17 B) 12 C) 20
D) 16 E) 25
34. Se cumple que
abcx 999 = ...417.
Calcule a+b+c.
A) 14 B) 12 C) 13
D) 16 E) 15
35. En una división inexacta, el residuo por
exceso es 8 y el cociente por defecto es 21.
¿Cuántos valores toma el dividendo si es
menor que 300?
A) 12 B) 4 C) 6
D) 13 E) 5
Claves
1 5 9 13 17 21
t
25 29 33
2 6 10 14 18 22 26 30 34
3 7 11 15 19 23 27 31 35
4 8 12 16 20 24 28 32

307. SUCESION NUMERICA
• Clasificar las sucesiones de acuerdo a las características de
sus términos.
• Calcular la ley de deformación, la cantidad de términos y
la suma de una sucesión dada.
• Resolver los problemas teniendo en cuenta las propiedades
de las progresiones aritmética y geométrica.
¿Por qué es necesario este conocimiento?
En muchas ocasiones de la vida cotidiana aplicamos
conocimientos de sucesiones; por ejemplo, en una
competición de tenis siempre hay un ganador que sale de
la competición final en la que han participado dos finalistas.
Para llegar ahí, se realizaron semifinales en las que han
participado 4 jugadores; en la etapa anterior han competido
8 tenistas, y así sucesivamente. Así, el número de participantes
en cada etapa siempre será la mitad; es decir, una progresión
geométrica de razón 1/2.
Aprendizajes esperados
El uso de las pantallas táctiles de los teléfonos inteligentes
cambia la forma en que los pulgares y el cerebro trabajan
en conjunto, según un estudio publicado en una revista
estadounidense.
El profesor Arko Ghosh encabezó un equipo de estudio
de las universidades suizas de Zúrich y Friburgo. Para ello
realizaron electroencefalogramas que medían la actividad de
las regiones corticales del cerebro en 37 personas diestras.
Gracias a este examen, registraron la respuesta cerebral
cuando los usuarios de teléfonos inteligentes tocaban la
pantalla con los dedos pulgar, índice y mayor, para luego
poder compararla con la de las personas que siguen usando
los viejos móviles de teclados tradicionales. Los datos
revelaron que la actividad eléctrica en el cerebro de los
usuarios de smartphone aumentaba al tocar las puntas de los
tres dedos citados. Por ello, los autores del estudio consideran
que el procesamiento sensorial del córtex en nuestro
cerebro es continuamente remodelado por la tecnología
digital personal.

308. COLECCIÓN ESENCIAL
Lumbreras Editores
- ï
HPNBlwE
X'-
Importante
Una progresión aritmética es
una sucesión de números tales
que la diferencia de dos tér­
minos sucesivos cualquiera de
la secuencia es una constante,
llamada razón.
Ejemplo
■ 3; 5; .7; 9;... es una progresión
aritmética de razón 2.
Sucesión numérica
1. CONCEPTO
Es un conjunto de elementos (términos) que se rigen por una
ley de formación. Estudiaremos las sucesiones numéricas entre
las más frecuentes.
2. PROGRESIÓN ARITMÉTICA ÍP.A.)
También presenta las siguientes denominaciones:
• Sucesión lineal
• Sucesión aritmética
• Sucesión de primer orden
2.1. Tipos j/ * *
2.1.1, Creciente \ ^
h' U' ■■■' h
T ’Ó i i |
8; 11; 14; 17; ...
: ;
2.12. Decreciente
*i; f2; h ' U' ■■■' Ó
I l i
23; 19; 15; 11; ...
4 .... 4
razón
2.2, Término n-ésimo (fn)
Se cumple
donde
- R: razón
- n: lugar o número de término
- tQ: término anterior al primero

309. Capítulo 9
Sucesión numérica
Ejemplo
Calculamos el lugar del último término.
t0; t|,' t2; t3; ...; tn
lili i
7; 11; 15; 19; ...; 91
- f - 4 - 4 ' A "T Arrazón
Evaluamos cada uno de los términos.
f1=7+4x1=1l
f2=7+4x2=15
t3=7+4x3=19
tn=7 + 4xn=91
donde n es 21. Se concluye que dicha progresión aritmética
tiene la P. A. A >/.x\ % ~
& JKSsSmr $ 00
A partir del término n-ésimo, podemos calcular cualquier
término.
fn=7+4xn=11
t10=7+4x10=47
fis=7 + 4x15 = 67
f5=7 + 4x6=31
í<
\X
2.3. Cantidad de'térhninos (n)
De la fórmula anterior tenemos
tn=t0+Rxn
Despejamos n y se obtiene
también
donde
- tn: último término
- tQ: término anterior al primero
- R\ razón
Importants
Una sucesión es una función
cuyo dominio es el conjunto
de los números positivos (X).
Los elementos del rango de la
sucesión, llamados términos de
la sucesión, están contenidos
en un conjunto no vacío / (los
números reales).
X Y
3 - j - f c ;
4* y
.....\A j
No olvide
Una sucesión es monótona; es
decir, o es creciente o decre­
ciente.
v _
5

310. COLECCIÓN ESENCIAL
Lumbreras Editores
Las sucesiones polinomiales son
aquellas cuyo término n-ésimo
tiene la forma de un polinomio
en n.
Ó \V1 i | :
(\V| i 11 ;: ¿
li ti
N ;
t
! ! i f
Ejemplos
fn=5 + 3x/i (l.er grado)
tn=Sn + 3 x n z+ 3 (2 ° grado)
tn=4n + 3 x n i + 2 (3.er grado)
Dato curioso
La sucesión de Fibonacci es la
sucesión de números donde,
empezando por la unidad, cada
uno de sus términos es la suma
de los dos anteriores (1; 1; 2; 3;
5; 8; 13;...). La distribución de
las hojas alrededor del tallo, la
reproducción de los conejos
o la disposición de las semillas
en numerosas flores y frutos
se producen siguiendo secuen­
cias basadas exclusivamente en
estos números.
Ejemplo
Calculamos el número de términos de la siguiente progresión:
t0; tv
f2;
f3; ...; tn
i 1 11 i
7; 11;15;19;...; 91
+4 -i•4 +< 'azón
Utilizamos la fórmula obtenida.
91-7 84
n - = — = 21
4 4
Se concluye que la progresión aritmética tiene 21 términos.
Otra forma
91-11 80 . V
n =
------+ 1 = — + 1 = 21
4 ■ 4
2.4. Suma de térmmos fS)
Se utilizará la siguiente relación:
¡ ! 1 Tpt „
X-/7 •
' n . b ;> ,
. . j
donde
- ty primer término a sumar
- tn: último término a sumar
- n: número de términos a sumar
Ejemplos
1. Calculamos la suma de los 21 términos.
ty f2; h'1 ■■■'
1 1 i 1
11; 15; 19;...; 91
t4 +4
521 -
(11 + 91)
x21 = 51x21 = 1071
2

311. Capítulo 9 Sucesión numérica
2. Calculamos la suma de los términos.
18; 23; 28; 33;...; 118
-i-5 +5 +5
Para sumar, primero calculamos la cantidad de términos (n).
118-18
n = = 20
Ahora sumaremos los 20 términos.
^20 _
520 ~
h +t20
V 2 J
23 + 118
x20
x20 = 1410
2.5. Conside^fone-, • • •
a. Relacionamos los tres primeros términos de una progre­
sión aritmética.
f1 f2 f3 ‘ | J? , $ 0
1 i \ i v
3; 14; 25; ... , - .
lx2 '
28=3+25
2 x f2=í1 + f3
b. Analizamos la suma de términos cuando dicha cantidad
es par.
cantidad par de tér minos
@ ; 9; 114^ 19; 24;
-> 4+29=9+24=14+19=33
Para sumar, bastará saber la suma de una pareja y la
cantidad de estas.
56=33x3=99
í
parejas
suma
constante
Gauss tenía 10 años cuando un
día en la escuela el profesor
manda sumar los cien primeros
naturales. El maestro quería
unos minutos de tranquilidad...
pero transcurridos pocos
segundos Gauss levanta la mano
y dice tener la solución: los cien
primeros números naturales
suman 5050. Y efectivamente es
así. ¿Cómo lo hizo Gauss? Pues
mentalmente se dio cuenta de
que la suma del primer término
con el último, la del segundo con
el penúltimo, y así sucesivamente,
era constante.
1; 2; 3; 4;...; 97; 98; 99; 100
1+100=2+99=3+98=4+97=...=101
Con los 100 números se pueden
formar 50 pares, de forma que
la solución final viene dada por
el producto.
101x50=5050
Gauss dedujo la fórmula que da
la suma de n términos de una
progresión aritmética.

312. COLECCIÓN ESENCIAL Lumbreras Editores
Dato curioso
- : f / ■ /-v,' . ••• ’ • • • - . .. .
Sucesión ecológica
Los procesos naturales cam­
bian continuamente a los eco­
sistemas. Los cambios pueden
tardar años, o incluso siglos,
avanzando tan lentamente que
apenas resultan perceptibles.
Tienen un patrón sistemático
generado por el ensamble co­
munitario, que sigue una pro­
gresión ordenada conocida
como sucesión ecológica, otra
de las propiedades emergentes
de los ecosistemas.
c. Analizamos la suma de términos cuando dicha cantidad es
impar
3o 7 3 7 L 9; J 1
4-2 42 42 42
S5 = 7 x 5 = 3 5 -+ Sn = t-x n
L - * n .° d e t é r m i n o
— ► t é r m in o c e n t r a !
— *■ s u m a d e n t é r m i n o s
d. Una progresión aritmética se puede plantear así:
*V *2' *3'
t4, ...
; *n
1 1 i i
o ; a+R;o + 2R]o + 3/?; ...; o+(n-1)/?
También se puede analizar de la siguiente forma:
to
‘1 l8
1 1 . ,
® A+7R
h
i
©
*20
" 1
A + m
+ 1 9 R
t
'i
80
i
X +7Q R
4 / 8 R
K+(b-a)R
■ + {b-a)R

313. Capítulo 9 Sucesión numérica
*
i
1
I
f
f
I
r
3. PROGRESIÓN GEOMÉTRICA (P.G.)
Es llamada también sucesión geométrica. Puede ser creciente
o decreciente.
Ejemplos
V h' h' U'1 •••' fn
lili
3 ^ 6 jJ 2 ; 24;...
x2 x2 x2 -— rezón
creciente
*1' Ó' Ó' Ó' •••' ó
1 I í 1
243; 81; 27; 9; ...
> decreciente
x-ir x-4- x4
3 O i
r a zó n
3.1. Térmipb n-ésimc {tnj
t:= ljx q n
donde \
- ty primer término
- q\ razón f
- n: lugar o número de términos
Ejemplo X
tj, ó' h' Ó' •••'
lili
3; 12; 48; 192; ...
X4 x4 x 4 -— razón (q = 4)
Evaluamos los términos de la P.G.
f1=3x4°=3
f2=3x41=12
f3=3x42=48
t4=3x43=192
Una progresión geométrica es
una secuencia en la que el ele­
mento se obtiene multiplicando
el elemento anterior por una
constante denominada razón.
Ejemplo
5; 15; 45; 135; 405;... es una
progresión geométrica con ra­
zón igual a 3, porque cada ele­
mento es el triple del anterior.
f„= 3x@ ”” 1
t 1
i

314. COLECCION ESENCIAL
Lumbreras Editores
■
3.2. Suma de términos (S)
donde
- ty primer término a sumar
- q: razón
- n: número de términos a sumar
Ejemplos
1. Evaluamos la siguiente progresión geométrica:
h 1 U' ■■■'
i r i . t i
a; axq; axq2; axq3; axqn~1
/ -xq MSQ
Ahora sumamos
Sn=a+axq]+axq2+axq3+...+ axq
5n = o x ( l + q1 +q2 +q3 +... + qn~])
v
-------------------v • — J
SUÍ73».«' í • (.)C ó
,n—1
S„ = ox
••• 5„ = ox
r qn-1+r-1^
<H
q " - i
<7-1
C n .A
2. Sumamos los 10 primeros términos de la siguiente P.G.
¿V *2» f3' f4
• 1 i i i
3; 6; 12; 24; ...
\/ xz
5iq - f-| x
S10 = 3x(29-l) = 1533
^10=3x
29 -1^
v 2-1

315. Capítulo 9 Sucesión numérica
3.3. Consideraciones importantes
a. Al analizar los tres primeros términos en
una P.G. tenemos
fv f2; h
' i I i
2; 8; 32
x4 x4
Se cumple 82=2x32
(t2)2 = í1x t3
b. Calculamos la suma de términos cuando
dicha cantidad es par.
1; 2; 4; 8; 16; 32
T ^ T
Se cumple
1x32=2x16=4x8 (producto constante)
4 \ -''i ,'V
%
c. Calculamos la suma de términos cuando
dicha cantidad es impar.
^ i— termino centra! ^ ||J
1; 3; ®,27; 81 • i
T T 7 r 7
1
X>
Se cumple
92=1x81 = 3x27
d. Además, los términos de la progresión
geométrica se pueden analizar de las
siguientes formas:
• t |; •••/' f8 ; f2CT
O O O
/q (9+12);
i . I
(15+16);
i
(21 + 20); ..
i
; (87 + 6
* fa t b I fv ú * ; í
O O
7 21; 31; 41; ..
t
; 151
Aplicación 7
La suma de los 20 números enteros y conse­
cutivos es igual a 15 veces el mayor de dichos
números. ¿Cuál es el mayor de dichos números?
Resolución
Según el enunciado tenemos
t|, f2, ^3' ^4'
lili
I I ♦ *
x+1; x+2; x+3; x+4;
Luego
S20=15x (término mayor)
20
1
x+20
->
Íl^ §2 .jx2 0 = 15xf.
(x + l + x + 20)
20
2
(2x+21)x10=15x+300
5x=90 x=18
.-. f20=x+20=18 + 20 = 38
x20 = 15x(x + 20)
Aplicación 2
Calcule cuántos términos tiene la secuencia
9; 12; 15; 16; 21; 20;...; 87; 64.
Resolución
Para calcular la cantidad de términos, se
obsen/a que agrupando a estos de dos en dos
se tiene
+10 rio

316. COLECCION ESENCIAL Lumbreras Editores
Luego
(n.° de términos) = ———+ 1
razón
1S1-P1
—> (n.° de términos) =
-------- + 1 = 14
10
Como los términos han sido agrupados de
dos en dos, entonces inicialmente la secuencia
tiene 28 términos.
Aplicación 3
La suma de los términos de la sucesión aritmé-
n n
tica es 2394. Si 31 T ^ a b c; 1 3 9 0 (20)35 tiene
(2/1+4) términos, calcule a+b+c+n.
Resolución
Analizamos los términos de la sucesión.
t
2n+A
l.
t|; •••/ tn + -\, tn + 2' •
1 1
______
31; ...; abe, 139; ...; (2a)35
n términos n términos
Se observa que abe < 139
Luego
f
1 i *vt2' *3' "
; l 1 i 1
I 11; 13; 15; .
* v M
91
suma de
los términos
f1 + f2n+4
x(2/i+4)=2394
-+ 5.
2n+4
31+235
x (2/i+ 4) = 2394
Se cumple
o£ic+139=31 + 235
—> C7¿>c=127
a+6+c+/i=1 + 2+7+7=17
Aplicación 4
Calcule la suma en base 10 de los siguientes
números impares consecutivos:
12/1 + 14/1 + ... + 108/1 + 111/1
Resolución
Del enunciado tenemos
h1 f2;. f3; ’h-V h
\
T i í
1
▼ i
12„; i6n; •
c
co0
m n
1 :l i i 1
n + 2n+4n + 6 /i2 + 8n2+n + ^
■ v \ +2 +2
En los dos últimos términos observarnos que
n2+8 + 2=n2+n+^
10=/i + 1 -+ /i=9
Luego
+2 +2
En consecuencia
(n.° de términos) = ~ ~ +1 = 41
-> S
41
_ (VK41)
•41
133x(2/i+4)=2394
2/1+4=18 -» n-1
(11+91)
S41 = ^ 1 ^ .4 1 = 2091

317. Capítulo 9 Sucesión numérica
Aplicación 5
Calcule la suma de los 10 primeros términos
comunes de las siguientes sucesiones:
S{. 7; 11; 15; 19;...
S2: 9; 16; 23; 30;...
Resolución
Del enunciado tenemos
* S-j. Q-j, ^2'
°3' •
..; a k
i i
7; 11; 15;....; 4/c+3
+ 4 + 4
• ^2* Ó-|, ¿>2/
bl> • bn
.*.
i i
▼ • T . I 1 /
9; 16; 23;...; 7 a + 2
+ /
.
ti |
r<
I
1. Mlfk, J&r ■ #
V ' /
'V y ¿y
■S-.
Los términos deben ser comunes.
ak = bn
\ \
4k+3 =7/? + 2
-> 4/r+1 = In •
\ ¿
1Q
Luego los términos comunes (tc) son
trv ^c2> W ttc3'
23; 51; 79;
+10
275
-28+28
^suma de los^
10 términos
^ comunes j
(23 + 275)
x10 = 1490
m *! //
Í%ÍJ>
.%s%
&
bOmx
A & J
Biografía
J
Fibonacci (Leonardo Pisano)
Nació en Pisa (Italia) el año 1170. Su apodo denota su origen familiar, pues
fibonacci significa simplemente hijo de Bonacci (figiio di Bonacci). Sin embar­
go, el nombre es de origen moderno, no hay pruebas de que fuera conocido
como Fibonacci en su época. A pesar de haber nacido en Pisa, como su padre
era empleado de una factoría comercial italiana asentada en Bougie (Argelia),
fue allí donde se trasladaron en 1192 y donde recibió su primera formación
matemática, a cargo de maestros musulmanes. Esto despierta en Leonardo la
pasión por las matemáticas, que le acompañaría durante toda su vida.
Leonardo vuelve a Pisa en 1200, y durante los siguientes veinticinco años
trabajó en sus propias composiciones matemáticas. Así, en 1202, publica
Líber a b ad Su talento como matemático se extendió por la Corte, siendo invitado por el emperador
Federico II a participar en un torneo. Leonardo resolvió con éxito todos los problemas que le fueron pro­
puestos por Juan de Palermo, filósofo de la Corte.
Después de 1228, poco o nada se sabe de la vida de Leonardo, aparte de las condecoraciones y preben­
das que le fueron concedidas por el emperadoí. Fibonacci murió hacia 1250 en Pisa.

318. COLECCION ESENCIAL Lumbreras Editores
32

319. RESOLVEMOS JUNTOS
Problema N.’ 1
Si en una P. A. se cumple
öi+g5=14 y
a3+a6=20,
calcule a4.
A) 3
D) 9
B) 5 C) 7
E) 11
Resolución
Tenemos
G-]/ O2', G^,' Q^'i Gc,) Og
1
x; x+R] x+2R] x + 3R] x+4R] x+5R
■R +R
Dato:
Oi+g5=14
I 1 '
X x+AR
-> 2x+4/?=14
X+2R-7 -» X-7-2R
a3 + a6=20
"■
+ 2/? x+5/?
- 4 2x+7R=20 (*)
Finalmente
g4=x+3/?
g4=3 + 3(2)=9
G4-9
! C/01/e '
Problema N.° 2
________________________________
Calcule la razón de una P.A. de los tres
primeros términos, tales que al adicionar 3; 10
y 2, respectivamente, se obtengan números
proporcionales a 2; 4 y 3.
A) 2 B) 4 C) 5
D) 6 E) 3
Resolución
Tenemos
Luego
x + 3 _ x + /? + 10 X + 2R + 2
~2~~ 4 = 3
t Î t
ih MU (lili
W> h' h
i í I
x; x+R: x+2R
Luego reemplazamos x en (*).
2{7-2R)+7R=20
v* ^
14-4R+7R=20
14+3/?=20
3/7=6
R-2 -» x=3
• Relacionamos (I) y (II) multiplicando en
aspa.
4(x+3)=2(x+ft+10)
4x+W=2x+2R+20
2x=2R+8
-> x=/?+4 (a)

320. COLECCION ESENCIAL Lumbreras Editores
• Relacionamos (II) y (III).
3(x+/?+10)=4(x+2/?+2)
3x+3/?+30=4x+8/?+8
22=x+SR
-> 22-SR=x
Igualamos (a) y ((3).
R+4=22-SR
6/?=18
/. /?=3
(P)
i C/oue ( i
Problema N.° 3
El primer término de una P.A. es 5, el último
es 45, y la suma de todos los términos es 400.
Calcule el número de términos.
A) 14
D) 17
Resolución
Tenemos
f1
B) 15 C) 16
E) 18
i !
5 45
Dato:
S„=400
5 ,=
2 J
xn
Reemplazamos
400 =
5 + 45
xn
2 ;
-> 400=25xn —> 16=n
Por lo tanto, la P.A. tiene 16 términos.
■ Clave
Problema N.* 4
En una P.A. de 42 términos, el primero es 29 y
el último 316. Halle t20.
A) 40
D) 155
B) 170
Resolución
Por condición tenemos
fi
I
29
+ 4 1R
Luego
29+41/?=316
41/?=316-29
41/7=287
-+ R - l
Nos piden f20.
t20 = 29+19/?=162
T20—162
C) 150
E) 162
f42
I
316
: Clave ■

321. Capítulo 9
Sucesión numérica
Problema N.° 5
De la sucesión aritmética ab; (o+2)c; 72; ba, si
la razón es 12, calcule (a+b)c.
A) 1
D) 4
Resolución
Dato: r- 12
Tenemos
B) 2 C) 3
E) 5
ab; (g+2)c; 72
+12 . +12
• (a + 2)c+12=72 -+ (a + 2)c=60
• ab+12=60 -> oò=48
—> o=4; ¿>=8; c=0
I
... (o + ¿))c=(4+8)°=1
; Clave \
Problema N.° G
Calcule la suma de los 35 términos de una P.A.
cuyo término del lugar 18 es 4.
' ' . V \ J ^ '
A) 660 B) 603 C) 630
D) 330 E) 360
Resolución
Tenemos
t\ ¿2' ^18' ^34' ^35
4
Se observa f18 en el término central.
*„ =
r1 + r35
2 )
xn = tc xn
535=18x35=630
C la ve i
Problema N.° 7
________________________________
¿Cuántos términos tiene la siguiente progre­
sión aritmética?
11; 15; 19; 23;...; 811
A) 191
D) 202
B) 203 C) 201
E) 183
Resolución
Por condición tenemos
U, t?, ¿a# —, t
©>; 15; 19; ...; 811
Luego
11+4x(r/-1)=811
4x(n-1)=800
n-1=200 -> n=201
+ 1 = 201
Otra forma
tn~t1 - 811-11
n = —— L + 1 n =
-------
razón 4
Por lo tanto, la cantidad de términos es 201.
i C la ve i
Problema N.° 8
Calcule el número de términos en
3x+2; 4x+6; 2x+19;...; 26x+73
si se sabe que es una progresión aritmética.
A) 18
D) 21
B) 22 C) 24
E) 19

322. COLECCIÓN ESENCIAL
Lumbreras Editores
t
Resolución
Tenemos
h ' f3'
1 I \ |
3y^ 2 ^ 4 x+ 6; 2x+19; 26x+73
+4+jí 13 — 2;x
Luego, por ser una progresión aritmética
4+x=13-2x
3x=9
—» x=3
Reemplazamos en P.A.
C¡<h1 f2'
i 1 í V
3(3)+12; 3(4)+ 6; 2(3)+19;
i I i
11 18 25
•; tn
26(3)+73
151
^cantidad de
v términos
151-11
7
+ 1 = 21
! Clave
Problema N7 9
Calcule la suma de los 56 términos de la
siguiente sucesión aritmética, y dé como
respuesta la suma de cifras del resultado.
11; 18; 25; 32;...
A) 19
D) 23
B) 20 C) 18
E) 25
Resolución
Por condición tenemos
*vf 2'
f3; ...
' f56
l4 ! 1
@
18;25; ...; 396
S 5 6 ~
(11+396)
x56
S56 = 407 x 28=11 3 96
1 + 1 + 3 + 9 + 6=20
: Clave
Problema N. 10
Si 3 + 8 + 13 + ... + aa=¿>c9, calcule a+b + c.
B) 12A) 17 :
D). 15
Resolución
Tenemos
C) 19
E) 14
f0'- h' h' ■■■< tn
I 4 I .1 i
2; 3; 8; 13; ...; aa
| Observación
5/i=„.0 a 5/i=...5
§
6
6
L
—> tn-5n—2=aa
Evaluamos
Sn=aa+2
—^ 5n=88+2
5n=90 -» n=18

323. Capítulo 9
-
.
Sucesión numérica
r
Ahora sumamos los 18 términos.
S18=3 + 8 + 13 + ... + 88=¿>c9
518 ~
3 + 88
x18 = bc9
S18=819=bc9
—> a—8; b—8; c—1
a+b+c = 17
: Clave
Problema N.° 11
Calcule la suma de términos de la siguiente
progresión aritmética:
ab] al] b\ ,...; ab 1
A) 6544
D) 6300
B) 6731 C) 6645
E) 6713
Resolución
Por condición tenemos
t|, 12, tn
1 1 1 _L
ab] al] bV, ...; ob1
+4
Se observa
—>
^cantidad de^
v términos J
ab+4 = al] b = 3; a = 2
A
1
^cantidad de^
^ términos y
Luego
ty ^2'
I I I I
^cantidad de^
v términos y
l » 1 1
23; 27; 31; ...; 231
^
____-* V- - - - - - - - - --r
t 4 i 4
^cantidad de^
v términos y
—^
cantidad de
términos
231-23
+ 1 = 53
7
Ahora sumamos los 53 términos.
(23 + 231)
■^53 “
4x53 = 6731
Por lo tanto, la suma de los 53 términos es
6731.
-• Clave •
Problema N/ 12
Halle el decimosexto término de la progresión
m19; m22] m2S] ...; m91 sabiendo que posee
en total 2m términos.
A) 764
D) 861
Resolución
Tenemos
B) 658 C) 573
E) 952
m19; m22; m25;...; m91
m91-mW . —-
-----------+ 1 = 2m
78 , —
= — + 1 = 2m
= 26+1 = 2m -> 27=2m
= 1-m

324. COLECCION ESENCIAL
Lumbreras Editores
Luego reemplazamos Luego
f1'f2;
t3; ..
f16 1 h'1h'U'
tu
l l.1 1 ! ! 11 T
Í719);722;725; .
O . ! ' ® ;
27;33;39
y
15(3)=45
Nos piden
t16=719+45=764
f,6=764
i Clave \ .
Problema N.° 13 * D)
Calcule el término que ocupa él lugar (m+n+p)
en la siguiente progresión aritmética:
mV, m i; nn; np; ...
A) 81 B) 99 C) 78
D) 95 E) 104
Resolución
Nos piden m+n+py
Tenemos la progresión aritmética
m¡\ ; m i ; nn ; np ; ..
+6 +6 +6
Entonces
n -3; m -2; p=9
-> m+n+p=14
Nos piden f14.
t14=21+13(6)=99
t14=99
Problema N.° 14
• Clave
Siara se dedica a la venta de revistas. El primer
día vende 6; el segundo día, 9; el tercer día, 12;
el cuarto día, 15, y así sucesivamente hasta que
el último día vendió 630 revistas. ¿Cuántos días
estuvo vendiendo?
A) 365
D) 138
Resolución
Tenemos
B) 209 C) 148
E) 253
tp, t2; t3; ..
•; *n
I l i 1
6; 9; 12; ...; 630
630-6 , _
-> n =
-------+1 = 209
Por lo tanto, Siara vendió todas sus revistas en
209 días.
; Clave [

325. Capítulo g
Problema N.° 15
En una P.A. de 25 términos, el décimo tercero
es igual a 30. Calcule la suma de todos los
términos de la P.A.
A) 250
D) 750
Resolución
Nos piden S25.
B) 100 C) 875
E) 700
h1 h' ^13' hs
1
(30)
■terminé centrai
Luego
S25=30x25
S25=750
i Clave \ %
Problema N.° 16
Calcule la cantidad que se debe restar a cada
término de 100; 90 y 60 para obtener una
progresión geométrica. Calcule la razón.
A) 5
D) 3
B) 9 C) 6
E) 2
Resolución
Sea x la cantidad a disminuir a cada uno de los
números.
t2',tn
fv
l I i
100-x; 90-x; 60-x
Por la observación anterior
(f2)2=f1Xf3
-> (90-x)2=(100-x)(60-x)
902+x2-2-90-x=100-60-100x-60x+x2
-> x=105
Luego
b ;
U
f2'
í i I
100-105; 90-105; 60-105
i i I
- 5 ; -15; -45
Por lo tanto, la razón geométrica es 3.
; Clave
Problema N.° 17
¿Cuál es el término central de una P.G. de
tres términos positivos si el producto de los
dos primeros es 24 y el producto de los dos
últimos es 54?
A) 8
D) 3
Resolución
Tenemos
B) 9 C) 6
E) 12
A; A xR ; A xR 2
\R xh
De lo anterior se deduce que
• Azx R=24
• AzxR3=24
(I)
(II)

326. COLECCION ESENCIAL
Lumbreras Editores
Luego (l) + (l|)
_1_ _ 24 _ 4
R2 54 9
R2 = - ->
4 2
Reemplazamos en (I).
A2xR=24 -> A2 x - = 24
2
A2=16 -> 4=4
Nos piden v
tc=AxR
••• fc = 4 x 2 = 6
Problema N.° 18
; Clave
¿Cuál es la razón de una P.G. de 12 términos
siendo el primero 1 y el último 2048?
A) 1 B) 2 C) 4
D) 8 E) 16
Resolución •%*/
Tenemos
t2> h ‘ f12
1 1
1 2048 .
En una P.G. se cumple que
jn- 1
fn=f1XC7
t= U q ¡
n-1
12-1
f12=1xq =2048
; Clave \
Problema N.* 19
Si se aumenta una misma cantidad a los
números 20; 50 y 100, se forma una P.G. Halle
su razón.
1 1
A) 2 B) 3
O) *
3
Resolución •
Sea x la cantidad agregada.
Luego
fi ; f2;
C) 2
E) *
3
i i ! .
20+x ; 50+x ; 100+x
x o x a
Tengamos en cuenta que
h x h
(50+x)2 = (20 + x) (100 + x)
-> 502+x2 + 100x=2000 + 20x+100x+x2
500=20x 25=x
Luego reemplazamos
f1' f 2; f 3
1 1 I
45; 75; 125
__, 1 __jt
x q x q
Además
/5 x q = 75 —> 3 x q = 5
5
••• q=-R
Clave
••• <7=2

327. Capítulo 9
Sucesión numérica
Problema N/ 20
Una determinada especie microscópica se
duplica cada minuto. Si se coloca un microbio
en un frasco y este se llena en 10 min, ¿cuál
es la cantidad de microbios del recipiente?
A) 25 B) 210 C) 28
D) 29 E) 211-1
Resolución
Por condición del problema tenemos
ty f2; h'U'h
i 1 iil
3; a:12;rññ]48
xn '■
12xg2=48 -> q=2
Resolución
Tenemos
í Ti e m p oN.° D E M I C R O B I O STo t a l.
| 4 •
1 min • • 21
2 min
• •
• • § 22
I i- X! X '■
3 min
• • • • 1 x||
• • • • v 23
‘
' v .
: \ i 1
: 10 min • • •
! 2^
Por lo tanto, la cantidad de microbios que
10
contenía el recipiente es 2 .
; Clave
Problema N.° 21_______________________________
Dada la siguiente progresión geométrica,
halle el noveno término.
Luego
f1'f2; f3' ÍA'*5
t
! i
▼ * T r
3;6; 12; 24;48
V V
__S V_
Nos piden
fg = X
(q- D
fg=3x2l
\
; C/ave
Problema N.° 22 * D)
En una progresión geométrica, el término de
lugar 8 es 3180, y el término de lugar 38 es 3330.
Calcule la razón.
A) 245 B) 243 C) 81
D) 93 E) 37
3; o; 12; mn; 48;...
A) 3 x2 5
B) 3 x2 10
C) 3 x2 8
D) 3 x2 9
E) 3 x2 11
Resolución
Por condición tenemos
f8 f38
i
3180 3330

328. COLECCION ESENCIAL Lumbreras Editores
Luego
318V ° = 3 330
,330
<730= —
W 3180
q30 = 3330-180
c?30=3150 -4 q=35
q=243
Clave
Problema N/ 23
El segundo término de una progresión geomé­
trica es 6, y el quinto es.48. Calcule la suma de
los ocho primeros términos, <" > . . .
A) 381
D) 765
B) 450 C) 1 4 1 /
E) 621
Resolución
Por condición tenemos
h
i
6
xr
6xq 3=48 -+ q- 2
Luego
% JF
48
*2' ^8
I í
3; ,6;
■ 2 x2
-> Sg -^ x
<7 - 1
Reemplazando tenemos
= 381Sg =3x
' V - 4
1 2 - 1 ;
Clave
Problema N.° 24
______________________ ~
Alicia escribió una novela. El primer día escri­
be 5 páginas; el segundo día 20; el tercer día
80; el cuarto día 160, y así sucesivamente, y
terminó la novela en una semana. Determine
la cantidad de páginas que tiene la novela, y
dé como respuesta la suma de cifras.
A) 21 # B) 42
D) 13 J . /
0 JW x>
Por condición tenemos
C) 12
E) 19
y? 1 %
r
t-\, i-¿’h‘ ■■.; t7
i 1 .1
5; 20;
- ^
_^
80
lerminc
x4
Luego
h ~ fi x
S7=5x1365
Íq7-1-i1 4 6-V |
<7-1 ;
—> = b x
/
l 4-1 J
-> S7=6825
Finalmente, la novela tiene 6825 páginas,
pero nos piden la suma de sus cifras.
6+8 + 2 + 5=21
i Clave

329. Capítulo 9 Sucesión numérica
Problema N.° 25
Calcule la suma de los 20 primeros términos
comunes de las siguientes sucesiones:
a. 7; 11; 15; 19;...
b. 9; 16; 23; 30;...
B) 2400A) 5780
D) 1645
Resolución
Tenemos
fo
1
a. 3; 7; 11; 15; 19; (23
+4 4-4 +4 +4 +4
C) 3456
E) 2325
t
o
i
iÍRfflU
/
b. 2; 9; 16; (23); 30
jm f 4
% :
y
Calculamos el término n-ésimo en cada P.A.
t=3+4a y th=2+7b
u J u
t f \
Sean a=n y b-m
Igualamos los términos comunes.
3 + 4n = 2 + Im
1 + 4n = 7m
+ 7 ( 5 3 > 4
/ 12 7 \ .
19 11
-+ a: 5; 12
Luego
tn: 23; 51
porque
tn=3+4xn
Los términos comunes son
f20=93+19(28)
—^ f20=555
Luego
ty ^3'
I i í
23; 51; 79;
f20
555
5 J h +t20
^ S20" l 2 J
x20
“*20 "
^23+555"
2 y
x20 = 5780
Clave
M
Problèma NJ 25
Calcule la suma de términos en la siguiente
progresión aritmética:
30; 36; 42;...; 282
A) 6708
D) 6807
B) 6087 C) 6078
E) 6780
Resolución
Nos piden la suma de términos de la sucesión.
f2; f3'
i i l i
30; 36; 42;...; 282
t-6 +6 -* - razón
Primero calculamos la cantidad de términos a
sumar (n).
tn-t^ . 282-30
razón 6
-> n=43
+1

330. COLECCION ESENCIAL Lumbreras Editores
i
Ahora sumaremos los 43 términos.
~*43 “
f t + ^
¿43 + r1
V 2
xn
282+30
V 2
x43
S43=6708
: Clave
Problema N7 27
Las edades de ' tres hermanos están en
progresión aritmética creciente, cuya suma
es 144. Calcule la edad del intermedio.
A) 24 años B) 48 años C) 36 años
D) 72 años \e)" 12 años
Resolución _
Sean las edades
t2, f3
i i i X r
t t »
x-R; x; x+R
+R- -i-R
Nos piden x.
Del dato
t{f t2 t3
i I i
x-R +x +x+R=144
-> 3x=144
x=48 años
¡ C la ve
k
Problema N/ 28
_________________
De la progresión aritmética
c(c + 1); c9; (c+1)5; ... (20 términos), calcule la
suma de los 10 últimos términos.
A) 4400
D) 7700
B) 3300 C) 2200
E) 1100
Resolución
Del dato tenemos
ty t2; f3; ...; t20
I .1 i
c(c+1); c9; (c+1)5
—> c=2
Luego
ty t2; f3; ... t20
/ r y i i
23; 29; 35
__/ ^__*
v6 -6
Nos piden sumar los 10 últimos términos.
tyf11'f12;'f13; "•' f20
ii 1 T l
23;83;89;95; ...; 137
+10(6) +6 +6 +7(6)
60 '
-> 5
10
_ (^20+f83)
2
x10
Su ~
137 + 83
l 2
x10 = 1100
Clave

331. Capítulo 9 Sucesión numérica
Problema N.” 29
La suma del 2 o y 5.° término de una sucesión
lineal es 14, y la suma del 3 er y 7.° término es
igual a 8. Calcule el término de lugar 10.
A) 8 B) 9 C) 4
D) 1 E) 0
Resolución
Por condición del problema tenemos
*3' - *io
i i i i i
▼ ▼ t t ♦
x x+2R x+4R x+6R x+9R
+2 R + 2 R 4-2 R + 2R
Datos:
. t2 + t5 = 14
i i
f f •; ' y7,.y
x + x+4/? = 14 —» 2x+4/?=14
x+R=1
• + t-j ~ ®
1 i- . ■
X + 2 + X+6R -> 2x+8R=8
—> x+4/?=8
Además
x+4/?=8
x+/? + 3/?=8
7 ■ t
{ i
—> x=6 a /?=1
Problema N.° 30
______________________________
En una P.A., la razón y el número de términos
son iguales. La suma de los términos es 156 y
la diferencia de los extremos es 30. Calcule la
suma de cifras del menor término.
A) 1 B) 9 C) 4
D) 2 E) 5
Resolución
Por condición del problema tenemos
f1;
I
*2'
i
*3'
i
f/?
▼ .1
x + / ? ;
r
x +2R; ...; x + (/ ? - 1 )/ ?
-
__s --__-
+R +2 R
Dato:
*/? ~ ' *i ~ 3C*
*/x " i i
x+{R-T)R - x=30
(/?-1)x/? = 30
-+ /?=6
Además la suma de los términos es
r x + {R-Í)R^
S R= \
xR = 156
Reemplazamos
s _ (x + 30)
5 2
x6 = 156
Nos piden
t]Q=x+9R
; Clave \
f 10= x + 3 ( 3 / ? ) = 6 + 3 ( 1 ) = 9
-> x=22
Por lo tanto, la suma del menor término es
2 + 2=4.
C/ave

332. COLECCION ESENCIAL Lumbreras Editores
Problema N.* 31
El cuarto término en una P. A. es 16 y el décimo
es 28. Calcule el término 250, y dé como
respuesta la suma de sus cifras.
A) 13
D) 14
B) 15 C) 16
E) 17
Resolución
Del enunciado tenemos
*4 ' *10 ' *250
1 1 l
16;...; 28; . . . ; 0
+6 R +240/?
Analizamos los datos.
• 16 + 6/?=28 -+ R=2
*250 = 28 + 240/?
Y
2
*250=28 + 480 -+> f25Q::508
Por lo tanto, la suma de cifras del término 250
es 5+0+8=13. .
• Clave \
%
Problema N.° 32
Calcule la suma de los términos de lugares 16 y
31 de la siguiente progresión aritmética:
12; 25; 38; 51;...
A) 666
D) 960
B) 906 C) 609
E) 690
Resolución
Del enunciado tenemos
*1 ;*2 '*i6 »*31
*1' *2'
f3; ...;
*20
i
t1 i i
! 1 1 1
1
9
12;25;.
- ;0 ; -•; O x; x+Xx+2;..; x+19
Luego
*v *16
1 1
12;...; O
+15 R
l
13
—> f-jg—12 + 15x13
*i6=207
*1' - ' *31
i I
12;...; O
+ 30/?
—^ *31=12 + 3 0 x 1 3
Í31=402
.-. f1(j+t3i=207+402 = 609
’ Clave
Problema N.° 33
La suma de los 20 números enteros y
consecutivos es igual a 15 veces el mayor de
dichos números. ¿Cuál es el menor de dichos
números?
A) 15
D) 16
B) 17 C) 19
E) 18
Resolución
Por condición del problema tenemos
r-¡/r,n

333. Capítulo 9 Sucesión numérica
Sea x el menor número.
Dato:
S20=15x (mayor)
S20=15x(x+19)
Sumamos los 20 términos.
2
\ 3
x ¿Ó = ^ (x+ 19)
^x+19+x
I T “
(2x+19)x2=3(x+19)
Por condición tenemos
f„ = ...5
—> 13xn-2=...5
13x/i=...7
-+ n=...9
Luego
f9 = 13x9-2 = 115
f19 =13x19-2 = 245
t2g =13x29-2 = 375
—> 4x+38-3x+57
4x-3x=57-38
x=19
] Clave
Problema N.c 34
En la siguiente sucesión: 11; 24; 37; 50;...; 2598,
calcule la suma de términos que acaban en 5.
A) 27 000 B) 25 000 C) 45 000
D) 17 000 E) 90 000
f189 = 13x189 - 2 = 24 5 5
f199 =13x199-2 = 2585
"*20 “
2585 + 115
’ v 2
x20 = 27 000
; Clove
Problema N.° 35
Calcule la suma de los cinco primeros términos
comunes de las siguientes sucesiones:
a. 7; 11; 15; 19;...
b. 9; 16; 23; 30;...
Resolución
Del enunciado tenemos
t0 , t-\i ^2' ^3' •••' ^n
i l l I
-2; 11; 24; 37;...; 2598
r cj/'cn
Calcularemos el término n-ésimo (tn).
tn=razónxn + tQ
-> íaj=13x/7-2
A) 359 B) 395 C) 539
D) 593 E) 935
Resolución
Nos piden la suma de los cinco primeros tér­
minos comunes.
f0' f1;
i i
f2; f3;
1 J
3; 7;11; 15;
_/ N
__.< V
-> fn = 4/7 + 3

334. COLECCION ESENCIAL
Lumbreras Editores
' h'1f4
1 i .\i
I
t
2; 9;16;23;30;
i“ i -TÍ
-» tm=7m + 2
Además
x (x + (o-l)-/?) = 238
i '
-----v------'
a í?
x+x + (o-1)x/? = 41
i v-------
------'
Luego
4n + 3= 7m + 2
i Y
5 3 -
23 0+28
12 7 *51 C
19 11 -*
) +28
79 •
26 15 -107
33 19 -135
395
Por lo tanto, la suma de los cinco primeros
términos comunes es 395.
i Clave • )
Calcule el último término de una progresión
aritmética creciente de un número par de
términos si el producto de los extremos es 238
y la suma de los términos medios es 41.
A) 34 B) 36 C) 37
D) 35 E) 38
Resolución
Por condición del problema tenemos
t{, ¿2' H' ^n
l i l l
x; x + R ; x + 2 R ; ...;x+(n-1)x/?
Luego
0x6=238 a o + £>=41
t 4 ' ? t
-> x=7
Reemplazamos
x+(n-1)x/?=34
*
T
-+ (n-1)x/?=27
Por lo tanto, el último término de lo solicitado
es 34.
■ C/o</e
Problema N7 37
Calcule el término 21 de una progresión arit­
mética si se sabe que el quinto término es 31 y
el término 9 es 59.
A) 140 B) 143 C) 142
D) 141 E) 144
Resolución
Según el enunciado tenemos
^5—31, fg=59 y 121=?
Luego
Problema N.° 36
donde n es par.

335. Capítulo 9 Sucesión numérica
Del dato
31+4/?=59 -» R=7
. Reemplazamos
59+12 R=t
21
f21 = 59 + 84
f21- ^43
Clave
Problema N.‘ 3B
En una progresión aritmética, f7=40 y ;¡tc=56.
Calcule el vigésimo segundo término.
A) 70
D) 60
B) 69 | |C) 68^
E) 67
v v
Resolución
Del enunciado del problema tenemos
f7=40; f15=56 y f22=?
V ,
r á
v j-'
\ {
V ,
xv
Luego
H *15' *22
1 1 i
40 56 O
+8R ■ +7R
Del dato
40+8/?=56 -> R=2
56+7 R=t22
.
7
-> 56+14=f
22
f22=70
Clave
Problema Nú 39
La suma de 15 términos de una P. A. es 600 y la
diferencia común de sus términos es 5. Calcule
la suma de cifras del último término.
A) 9
D) 12
B) 10 C) 11
E) 13
Resolución
La diferencia común de sus términos es 5.
Entonces, la razón es 5.
Ahora planteamos dicha progresión aritmé­
tica.
tv t2, f3; ..•; f15
i ,
i i
»
1
x; x+5;x+10;..x+70
o ^
Dato: S15=600
(f-ir + f-l)
S15 = ^ — —-5 = 600
ís 2
Reemplazamos
i x + 70 + x
¿15 = = ßo6
—^ S15-2x+70-240
S15 = 2x=170 -> x=85
Nos piden la suma de cifras de t
—^ íi5=x+70=85 + 70=155
/. 1 + 5 + 5=11
15'
Clave

336. COLECCION ESENCIAL Lumbreras Editores
Problema N.' 40
En una progresión geométrica de cinco térmi­
nos, el tercer término es 12 y el cuarto término
es 24. Calcule la suma de cifras del t10.
A) 10
D) 11
Resolución
Tenemos
^1» ¿2'
i I
3; 6;
B) 12 C) 13
E) 15
h>
i
12;
U'
\
24
x2 x2 x2
ho
razón
Luego
f1=3x2°=3
t2=3x21 = 6
f3=3x22=12
f4=3x23=24
/
v%%/ J ò
v y -''a* * a
Æw s
V
\
V
'“i-
f10=3x29=1536
Por lo tanto, la suma de cifras es 1 + 5 + 3+6=15.
Clave A
V.Î-........
Problema N.“ 41
Calcule el valor del tercer término en la si­
guiente progresión geométrica:
3o+1; o-3; 2o+9
A) -5
D) 4
Resolución
Tenemos
B) 3 C) 2
E) 5
*V f2'
1 i i
3o+1; o-3; 2o+9
/q xry
Im p o r t a n t e
t2 - t,x f3
Utilizaremos dicha relación para calcular el
valor de o.
(o - 3)2 = (3o+1)x(2o+9)
—> o2 - 6o + / = 6o2 +27o + 2o + ^
/•(o -6 ) = /(6o+27+2)
o-6=6o+29
,-5o=35
o=-7
JA
-> U=2a+9=2 (-7) + 9 =-5
3 y w x v^. "
Por lo tanto, el tercer término es -5.
Í V . ^ V • : Clave
%*r
V
Problema N.° 42
El tercer término de una progresión geomé­
trica es 20. Si la suma de los cuatro términos
de esta progresión geométrica es 75, calcule el
cuarto término.
A) 40 B) 45 C) 35
D) 30 E) 60
Resolución
Analizaremos una progresión geométrica de
cuatro términos.
h 1 h 1 f4
i I i i
o; axq; axq2; oxq3
\q y y y y

337. Capítulo 9 Sucesión numérica
Del dato
t3=axq¿=20
i 1
5 2 :
— 0 — 5 A
q=2
Luego
t2;
f3;u
1 1 1 1
5; 10;20;40
x 2 x 2 y,2
Se cumple que la suma de los cuatro términos
es 75.
••• U=40
Problema N.° 43
i Clave \ 7
S 4 * . * * * » » * . t
.............I t i » '
&
ß llPir í
En una progresión geométrica, í 6=48 y
t12=3072. Calcule el segundo término.
A) 1
D) 2
B) 4 C) 3
E) 10
Resolución
Tenemos una progresión geométrica, donde
f6=48 a f12=3072
Nos piden f2.
Sabemos que
f2; •••/' fi2
l l i
O ; -¿48; 3072
A/4 /(f
Del dato
48xq6=3072 -> q-2
Luego
t2xg4=48
f2x24=48
••• «2=3
Problema N.* 44
_______________
De la progresión aritmética
ab; (o+2)c; 72; ba,
si la razón es 12, calcule a xb xc.
A) 6
D) 0
B) 1 C
e;
Resolución
# v %>. ^ •..*
Del enunciado tenemos que la
V ' A %•£’ .❖
progresión aritmética es 12.
. V f3' f4
X F _ 1 _ 1 _L
ab; (o+2)c; 72; ba
+12 +1?. +12
Se observa
72+12=bo
84=ba ■
—> a=4 a b=8
Además
ob+12=(o+2)c
Del dato
48+12=60 -+ c=0
a x b x c=0
; C/oi/e y
4
12
razón de la
! Clave \

338. COLECCION ESENCIAL Lumbreras Editores
En una P.A. de 42 términos, el primero es 29
y el último 316. Calcule la suma de cifras del
trigésimo término.
Problema N.° 45
____________________________
Problema N.° 46
En una P.A. se cumple.
a,+a5=14 y a3+a6=20.
Calcule o10.
A) 7 B) 9 C) 10
D) 12 E) 6
A) 21 B) 20 C) 16
D) 22 E) 18
Resolución
Del dato tenemos una progresión aritmética
de 42 términos, donde
t,=29 a t42=316
Nos piden la suma de cifras de t30.
Veamos
tf..t30; ...; £42
I
▼ I
29;.4.0; -
; 316
4-41 -R
Luego
29+41x/?=316
-> R=1
Ahora c a lc u le m o s el f30‘
29+29R=t30
29+29x7=tgo
f30
=232
Por lo tanto, la suma de cifras del trigésimo
término es 2 + 3+2=7.
; Clave i.
Resolución
Del dato tenemos
°1+°5=14 a a3+ae=20
Nos piden o10.
av Q2' ^3' ^4' ^5' ^6
. i i I 1 i 1
x; x+R; x+2R; x+3R; x+4R; x+SR
_v
_ _ _ _^ _ __ _ _ _
^ •+/? i/?
Del dato
• o3+a6=20
x+2/?+x+5/?=20
2x+7R=20
• o., + a5=14
x+x+4/?=14
2x+4/?=14
—> x+2/?=7 (*)
Multiplicamos (*)x2. Luego operamos
2x+4fí=14
2x+7R=20
3R=6
—> /?=2 a x=3
a10=x+9/?=3+9(2)=21
Clave

339. Capítulo 9 Sucesión numérica
Problema N.° 47
El primer término de una P.A. es 5, el último
es 45 y la suma de todos los términos es 400.
Calcule el décimo término.
A) 29
D) 30
B) 31
Resolución
Del enunciado tenemos
f10'
i 1 1
5;...; 5+9R] ...; x=45
x9 R
Dato:
—^
Sn = 400
4 5
(x+5)
xo = 400
— xo = 400 -> n = 16
2
En consecuencia
f16=5+15/?=45
15/?=40
-+ 3/?=8
Luego
f10-5 + 9fl
/. f10=5+3x(3/?) = 29
C) 32
E) 33
Clave
Si 3 + 8+13 + ... + aa=bc9,
calcule el término de lugar a xb xc.
Problema N.° 48
____________
A) 318
D) 320
B) 420 C) 128
E) 381
Resolución
Analizamos la condición del problema.
h'
t3; -
CO13;..oo
Se deduce de la sucesión anterior que la razón
es 5.
í i \ ( ,
suma de _ aa + 3
vtérminosj v, 2 y
xn = bc9
Se obsen/a también que los términos acaban
en 3 o 8.
• aa = 33 o 88 (sí cumple)
33 + 3 Ì — „ n —
xn = ¿>c9 -+ 18xn = bc9
oo=33 (no cumple)
Í8 8 + 3 Í —
------\xn = bc 9
1 2 )
91xo = bc9x2=...8
' 18 163.8
-+ bc9=819
Se concluye que o=8; b=8 y c=1
—> a x b x c=64
f64=3 + 63(5)=318
Clave

340. COLECCION ESENCIAL Lumbreras Editores
Problema N.° 49
Halle la suma de cifras del decimoquinto
término de la progresión m19; m22; m25;
m97 si posee en total 2m términos.
B) 11A) 10
D) 13
Resolución
C) 12
E) 14
Nos piden el término de lugar 15 y tenemos la
progresión aritmética de 2m términos.
fV t2' h' ^
i i i i▼ * I I .....X
m19; m22; m25;...; m97 f
i. 3 +3 razón/
í
+ (2 m -l)x (3 )
Del dato
m'\9 + (2 m -1) x (3) = m97
(2m-l)x3=m97-/r)19
(2m -l)x3= 78
(2/T7-l)=26
-> m=7
Calculamos el término 15.
Jk.
/mmr ,
.
.. y v
&
f15=/77l9 + 14/?
f15=719+14(3)
-> f15=761
Por lo tanto, la suma de cifras de este término
es 7+6 + 1=14. ....
! Clave ;.
Problema N.’ 50
Calcule la suma de los 50 términos de la
siguiente sucesión aritmética 11; 18; 25; 32; y
luego indique la suma de cifras del resultado.
A) 16
D) 4
B) 17 C) 18
E) 20
Resolución
Nos piden sumar los 50 términos.
h> ■ h 1 h1
OLn
1 1 i
11; 18; 25; :.Ó
Del dato
f50=11+49 x 7 = 3 54
550
Y
^50 +
V 2 J
x50=
354 + 11
x50
-V 5S0=9125
Por lo tanto, la suma de cifras es 17.
; Clave
Problema N.° 51
Calcule la suma de los 20 primeros términos
de la siguiente progresión aritmética:
ab; a7; ¿>1;...; ab 1
C) 2504
E) 2405
A) 2540
D) 2450
B)2045
Resolución
Tenemos
fv h'1h'1 •^2 m
1 i 1
i
f
ab; a7\¿)1;...; ab 1
i -R•I R

341. Capítulo 9
Observación
Se cumple que /?<10, porque sus primeras
cifras son constantes, no cambian.
_> R=4; o-2] b=3
Luego
^2' h' ho
23; 27; 31; 231
. (231+23)
S20 = ---------
- x 20 — 2 5 40
Problema N.‘ 52
: Clave
Kelly vende revistas. El primer día vende 6, el
segundo día 9, el tercer día 12, el cuarto día
15, y así sucesivamente, hasta que el último día
vendió 270. ¿Cuántos días estuvo vendiendo?
A) 90
D) 88
B) 89 C) 87
E) 80
—» m=2; n=3; p =9
Resolución
Luego
Tenemos f1' f2' f3'
1 i
f4
t{, t2]t3; ...; tn
-
♦ » »
21; 27; 33;
r
39
6; 9; 12;...; 270
NO OLVIDE
f cantidad ^
de términos
{ último 1 { primer ^
terminotermino
Z-1
razón
270-6 . QQ
-+ n =
-------+ 1 = 89
Por lo tanto, Kelly vendió 89 días.
: Clave \
Problema NT 53
Halle la suma de cifras del término que ocupa
el lugar (m x n x p) en la siguiente progresión
aritmética:
/ni; rol] nrr, np] ...
A) 15
D) 14
B) 13 C) 12
E) 11
Resolución
Del enunciado tenemos
h ’h' f4
▼
m1;
T
/tj7;nrr,
T
np
Se o b sem a
m7-r6=nn a nn + 6=np
h: i-A n 1
/ f'v T ▼
Tenemos el lugar
m xnxp=54
Nos piden la suma de cifras de t54.
f54=21 + 53/7 -+ t54=21 + 53x6
-> ^54=339
Por lo tanto, la suma de cifras de f54 es
3 + 3 + 9=15.
Clave i

342. PRACTIQUEMOS LO APRENDIDO
1. Calcule el número de términos en la
siguiente progresión aritmética:
30; 36; 42;...; 282
A) 47 B) 45 C) 58
D) 24 E) 43
2. Las edades de tres hermanos están en
progresión aritmética creciente, cuya suma
es 63. Calcule la edad intermedia.
A) 20 B) 22 C) 21
D) 24 E) 14
6. El cuarto término en una P.A. es 16 y el
décimo es 28. Calcule el término 50.
A) 108 B) 41 C) 38
D) 29 E) 39
7. La suma del 2 o y 5 o término de una suce­
sión lineal es 14; la suma del 3 ery 7 o es 8.
Calcule el término 100.
A) -172 B) -136 C) -156
D) -186 E) -160
3. Halle la suma de los términos de la siguien­
te sucesión aritmética, y dé como respues­
ta la suma de cifras de dicho resultado.
« • s V - -:>•
85; 90; 95; 100;...; 360
V
A) 7
D) 17
B) 13 C) 20
E) 14
4. La suma de los siete términos de una P.A.
es 28, y la diferencia entre el último y el
primero es 12. ¿Cuál es el último término?
8. De la progresión aritmética
c(c+1); c9; (c+1)5;... (20 términos),
calcule la suma de los 13 últimos términos.
A) 585 B) 1092
D) 1313
C) 1600
E) 1300
w
¿y
9. Si la suma del séptimo y vigésimo término
de una P.A. es 79 y la suma de los 24
primeros términos es 876, calcule la suma
de cifras del décimo quinto término.
A) 7 B) 12 C) 10
D) 17 E) 14
5. En una P.A., la razón y el número de tér­
minos son ¡guales. La suma de los térmi­
nos es 156 y la diferencia de los extremos
es 30. Calcule el mayor término.
A) 10 B) 8 C) 12
D) 9 E) 6
10. En la progresión aritmética 12; 25; 38; 51;...,
calcule la suma de los términos de lugares
15 y 23.
A) 35 B) 41 C) 38
D) 29 E) 39
A) 492 B) 396 C) 352
D) 317 E) 297

343. Capítulo 9 Sucesión numérica
11. La suma de los 20 números enteros y
consecutivos es 15 veces el mayor de dichos
números. ¿Cuál es el mayor de dichos nú­
meros?
A) 19
D) 35
B) 21 C) 25
E) 38
12. En la siguiente sucesión:
11; 24; 37; 50;...; 2598,
¿cuántos de sus términos acaban en 5?
A) 25
D) 50
B) 20 C) 30
E) 24
13. Halle la suma de los 20 primeros términos
comunes de las siguientes sucesiones:
a. 7; 11; 15; 19;...
b. 9; 16; 23; 30;...
A) 5780
D) 6363
B) 2400 C) 3456
E) 2325
14. Calcule el primer término de una progre­
sión aritmética creciente de un número
par de términos sabiendo que el producto
de los extremos es 238 y la suma de los
términos medios es 41.
A) 25
D) 5
B) 7 C) 30
E) 8
15. Calcule el término 12 de una P.A. si se sabe
/
que el quinto término es 31 y el término 9
es 59.
A) 70
D) 50
B) 80 C) 30
E) 24
16. En una progresión aritmética, si t7=40 y
f15=56, calcule el vigésimo término.
A) 70
D) 76
B) 66 C) 62
E) 72
17. Se tienen dos progresiones aritméticas
con la misma cantidad de términos, cuyos
primeros términos son 4 y 10, respecti­
vamente, y sus razones son los números
8 y 4. Si la suma de los últimos términos
es 1382, ¿cuántos términos tienen ambas
progresiones?
A) 115
D) 46.0
B) 230 C) 330
E) 660
18. En la progresión aritmética, si £3=8 y tQ=3,
calcule el vigésimo primer término.
A) -12
D) 16
B) -15 C) 20
E) -2
19. La suma de 15 términos de una P.A. es 600
y la diferencia común de sus términos es 5.
Calcule el primer término.
A) 4
D) 1
B) 3 C) 2
E) 5
20. ¿Cuántos términos de la P.A. 26; 21; 16;..
deben tomarse para que su suma sea 74?
A) 2
D) 4
B) 3 C) 5
E) 1
9

344. COLECCIÓN ESENCIAL Lumbreras Editores
21. En una P.G. de cinco términos, el tercer
término es 12 y el cuarto término es 24.
Halle la suma del primer y último término.
A) 70 B) 51 C) 62
D) 76 E) 27
22. En una P.G. de 4 términos, si el primer
término es 2 y el último término es 0,25,
calcule el segundo término.
A) 1 B) 2 C) 3
D) 4 E) 5
23. Si o; 25; a3 es la P.A., calcule la suma de
términos de la P.G.
I ^¡lik jñ&Tá
’ % * w
A) 155 B) 200 C) 300/
D) 405 \-£ ); 5 5 5 ^
24. Halle la suma de los 15 primeros términos
de la siguiente sucesión:
8; 13; 18; 23;...
A) 645 B) 654 C) 945
D) 625 E) 954
25. Calcule el valor de a en la P.G.
3o+1; o-3; 2o+9
A) -3 B) 2 C) -7
D) 4 E) 5
26. El tercer término de una P.G. es 20. Si la
suma de los cuatro términos de esta P.G.
es 75, calcule el valor de la razón.
A) 5 B) 2 C) 3
D) 4 E) 1
27. En una progresión geométrica, si f5=48 y
f12=3072, calcule el tercer término.
A) 2 B) 6 C) 3
D) 4 E) 12
28. La suma de los seis primeros términos de
una P.G. es nueve veces la suma de los
tres primeros términos. Calcule la razón de
la P.G.
A) 2 B) 3 C) 4
D) 7 E) 8
29. Si le sumamos tres números consecutivos
a 3; 7 y 16, respectivamente, obtenemos
una P.G. Calcule la razón de la P.G.
A) 1 B) 2 C )3
D) 4 E) 5
30. Se tiene una P.G. de 11 términos, donde
el término central es 2. Calcule la suma de
cifras del producto de los 11 términos.
A) 8 B) 12 C) 14
D) 13 E) 15
31. Los números b; b+4; b+16 son los
primeros términos de una P.G. Calcule la
suma de sus diez primeros términos, y dé
como respuesta la suma de cifras de dicho
resultado.
A) 20 B) 21 C) 22
0) 23 E) 26
V

345. Capítulo 9 Sucesión numérica
32. En una progresión geométrica, la suma de
los dos primeros términos es 63 y la suma
del tercer y cuarto término es 112. Calcule
la suma del segundo y tercer término.
A) 67 B) 84 C) 91
D) 100 E) 108
33. Calcule el número de términos de la
siguiente sucesión:
2v'2; 4; 4 /2 ; 8 ; 64/>
A) 8 B) 9 C) 10
D) 11 E) 12
Claves
1 5 9
: 13
17
2 í 6
10
; 14
¡ 18
3 7 i 11 : 15
19
4 8 12 16 20
34. Las edades de tres personas están en P.G.,
el producto es 110 592 y el más joven de ellos
tiene 24 años. ¿Qué edad tiene el mayor?
A) 70 años .B) 80 años C) 71 años
D) 81 años E) 96 años
35. La suma de tres números que están en una
progresión geométrica es 63 y la diferencia
entre el mayor y el menor de estos núme-,
ros es 27. Calcule el mayor de los números
si la razón es entera y positiva.
A) 27 B) 30 C) 34
D) 36 E) 37
21 25 29 33
22 26 30 34
23 27 31 35
24 . 28 32

346. %'&%*** A I
j '"■* • y
5f?i!
^ : ; ‘ 3 ;0
S i ^ S f a
* S
f!g§§%
CAPITULO10
r - ■ br.. - i , *••11rj .
- . J&j£pt6FlSí

347. TEORÍA DE LA DIVISIBILIDAD
El concepto de divisibilidad surge ante la necesidad de
repartir o dividir una cantidad en partes iguales. En algunos
casos, este reparto puede ser exacto o no. Por ejemplo,
cuando en un colegio o escuela se quiere realizar un
simulacro de sismo, es más fácil organizar a los estudiantes
en grupos para ubicarlos en las zonas seguras y así hacer
más fácil y rápido su control y conteo. Otro ejemplo, si
un comerciante de abarrotes envasara 100 kg de arroz en
paquetes de 2 kg cada uno, no solo organiza su producto,
sino también le permitirá saber cuántas unidades tiene en
total. Básicamente, lo que está haciendo es trabajar con
múltiplos y divisores.
Aprendizajes esperados
• Reconocer cuándo un número entero es divisible y cuándo
no lo es.
• Calcular el residuo de una división sin la necesidad de
dividir.
• Aplicar la divisibilidad en la resolución de ecuaciones
diofánticas.
• Utilizar los principios de divisibilidad para la resolución de
problemas.
¿Por qué es necesario este conocimiento?
Porque permite profundizar las propiedades de las opera­
ciones matemáticas básicas, principalmente, la multiplica­
ción y la división. Además, ayuda a calcular los residuos de
divisiones complicadas de manera fácil. Esta teoría resolverá
las ecuaciones diofánticas lineales, llamadas así en honor a
Diofanto, matemático alejandrino.
WBaamsa*

348. COLECCION ESENCIAL Lumbreras Editores
Teoría de la divisibilidad
1. CONCEPTOS PREVIOS
No olvide
número N sea múltiplo
que N resulta de
15 por un número
entero.
PAVvV
J
1.1. Divisibilidad
Un número entero A es divisible entre otro número entero
positivo B si A se divide exactamente entre B.
Ejemplos
. 321 8 32 es divisible entre 8.
0 4 ^ 8 es.un divisor de 32. •
• —541_9_ -54 es divisible entre 9.
0 - 6 ~> 9 es un divisor de-54.
Importante
¡
'' , -• .. - -■ s J
* Los divisores de un número
entero son aquellos enteros
positivos que lo dividen
exactamente.
Ejemplo
Divisores de 12:1; 2; 3; 4; 6; 12
• Los múltiplos de un número
entero se obtienen multipli­
cando este por un número ¡
entero.
Ejemplo
Múltiplos de 12: 0; ±12; ±24;
±36;...
1.2. Multiplicidad
Un número entero A es múltiplo de un número entero positivo
B si A es el resultado de multiplicar B por una cantidad entera.
Ejemplos
. 32 = 8(4) ->
32 es un múltiplo de 8.
8 es un módulo de 32.
• -54 = 9(—6)
-54 es un múltiplo de 9.
9 es un módulo de -54.
• 0 = 7(0)
0 es un múltiplo de 7.
7 es un módulo de 0.
De los ejemplos anteriores se observa lo siguiente:
321 8
0 4
32 = 8(4)
• 32 es divisible entre 8 o 32 es múltiplo de 8.
• 8 es un divisor de 32 o 8 es un módulo de 32.
Se concluye que los términos divisible y múltiplo son equiva­
lentes; así mismo, los términos divisor y módulo son también
equivalentes.
)
\

349. 2. REPRESENTACIÓN DE LOS NUMEROS Se cumple que
2.1. Divisibles
Si A es múltiplo de B, entonces se denotará así:
o £
A = B; A = B] A = mB
68 = 7(9) + 5 = 7(10) - 2
68 = 7 + (D = 7 -(2)
Suman 7.
donde 8 es llamado módulo (fíe Z+).
Ejemplos .
o
• 6 = 3 (2)=3; 3 es el módulo.
O
• 15 = 5 (3) = 5; 5 es el módulo.
O
• -32= 8(-4)=8; 8 es el módulo.
O
• —35 = 7(—5)=7; 7 es el módulo.
-----------? ~ r 717 v
Importante
• El cero es divisible por cualquier número
entero positivo.
0 0 0 0
0= 1; 0 = 2; 0 = 3; 0 = 4;...
• Todo número entero es divisible por la
unidad.
• Todo número entero positivo es divisible '
por sí mismo. ::" T x H
l
__________________________________-—----
------:—7—— — - :— —— ----- J-"' '■'—\
Reto al saber
o
S¡ 24 = n, calcule los valores que puede tomar n.
o o
2. 32 = 6+2 = 6 -4
3. 45 = 8+5 = 8-3
o o
4. 27 = 5+2 = 5-3
De los ejemplos anteriores podemos decir que
_0 _ _0 _
A/= 12+ 5 -> /V = 12 — 7
donde 5 + 7 = 12; 12 es el módulo.
Importante
• Si,V = 7+5 -> N = 7K+S; Ke Z
• Si M = 13 + 2 M = 13P+ 2 ; PeZ
. m i ó ' ; .; _ o _
• Si /? = 20-9 -> 8 = 200-9; QeZ
v _ _ £
_______________________________
. " 'i
No olvide
Una división entera es aquella en la que todos
sus términos son enteros, y es inexacta cuando
se obtiene un residuo diferente de cero.
Toda división inexacta se puede efectuar de
dos formas: por defecto y por exceso.
2.2, No divisibles
Ejemplos
1. Dividamos 68 entre 7.
Ejemplo
Por defecto
85L L
.84 12
2
Por exceso
• 86 [7
91 13
5
86=7x12 + 2 86=7x13-5
Se cumple que la suma de los residuos por
defecto y por exceso es igual al divisor.
2 + 5 = 7 (divisor)

350. ¡a
COLECCIÓN ESENCIAL Lumbreras Editores
Aplicación 7
¿Cuántos múltiplos de 12 existen entre 60 y
300? •
Resolución
Sea N uno de dichos números.
Por condición
O
N='\2 = '\2K] K e Z
Para calcular la cantidad de números N, solo
bastará calcular la cantidad de valores de K.
Dato:
60 < N <300
'
60 < 12/C< 300
/ 4% \
5 < /C < 25
Í Æ Fj l A
1 ^ ' !
/. K : 6; 7; 8; 9;...; 24
Y“
1 K " / A i y f
\ w y > / /
\ /
19 valores
Aplicación 2
¿Cuántos números de dos cifras son divisibles
por 6? «> ^
V F
Resolución
\ 4
Sea ab uno de dichos números.
Por condición
ab = 6 = 6K; K e Z
Por propiedad
10<ró<100
10<6K<10
1,6... < K < 16,6..7
K: 2; 3; 4; 5;...; 16
V
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ /
Aplicación 3
¿Cuántos números enteros, comprendidos
entre 150 y 600, son múltiplos de 9 y terminan
en la cifra 8?
Resolución
Sea N uno de dichos números.
Por condición
N = 9 = 9K = ...8
K=...2
Además
150 < N <600

351. Capítulo 10 Teoría de la divisibilidad
Aplicación 4
De los primeros 600 números enteros positivos,
determine la cantidad de números múltiplos
en cada uno de los siguientes casos:
o
a. 5
o
b. 3
o o
c. 5 y 3
o o
d. 5 o 3
e. 5 pero no 3
o o
f. No son 5 ni 3.
e. C =80
o o
5 pero no 3
f. C =320
o o
no 5 ni 3
.............................
............“...................... \
Reto al saber
De los números de tres cifras, calcule cuántos
son múltiplos de 6 y múltiplos de 3, pero no
de 5.
Resolución
Se tienen los números
1; 2; 3;600
V--------v
--------'
V .
600 números
Gráficamente
po ta h <+.''3
5(120} 3(200)
( . 80 ( 4C) j 100 ]
i ¿i)
Para saber cuántos números son 5, dividimos
el total entre 5. Sea C la cantidad.
a. =120
De manera análoga, procedemos para los
siguientes resultados:
b. C0 = ^ = 200
3 5
c. C =C =40
OO o
5 y 3 15
d. C =80 + 40 + 160 = 280
o o
5 o 3
Aplicación 5
Sea la secuencia de números naturales 70; 71;
o
72; 73;...; 700. ¿Cuántos de ellos son 7?
Resolución
Sea N uno de dichos números. Por dato
70 < N < 700
70 <7K< 700“ ' N=7=7K
V10<K<100
K: 10; 11; 12;...; 100
v
_________ _________>
3. PRINCIPIOS FUNDAMENTAL!
3:1. Operaciones básicas con ur
módulo
Ejemplos En general
• 18 + 27 = 45
^ '-v-J
O ü 0 '
n + n~n
V
9 9 9
• 25-15 = 10 ^ n~n~ n
<
___________>
l.j ‘i) 5
• 12 x 5 = 60 ->
o o
nx k~n
O / á ■- O

352. COLECCION ESENCIAL Lumbreras Editores
¡Cuidado!
O O o
Si A -n y B = n, entonces A±B-n.
Lo contrario no siempre se cumple; es decir,
O
si A±B = n, no se puede asegurar que A y B
o
sean n.
Ejemplo
7 + 5 = 12
o o
Observe que 12 es 3, pero 7 y 5 no son 3.
Observación
Ejemplo
Al efectuar
í — jr'°- . n
I19+2JI19+5J
I19+2JYI9+5 J
O O O
En general
Reto al saber
Si todo número entero que termina en tres
cifras O es múltiplo de 8, ¿cuál será el residuo
que se obtiene al dividir 20152017 entre 8?
Divisibilidad aplicada al binomio de Newton
Ejemplos
. (9 + 2)1=9 + 21
. (9+2f=(9 + 2)x(9+2) + 9+22
(9 + 2f= (9+2)2x (9 + 2)=9 + 2
9 + 2r=(9+2)3x (9 + 2)=9 + 24
En general
Además
o \1 o
9-2 =9 + 2'
o r \
o, (o !\/o \ o o o o
9 — 2/ =\9-2jl9-2j = 9 -9-9 + 4 = 9 + 22
• (9—2)3 = (9 — 2)~x(9 — 2) = 9 — 23
• (9 — 2)4=(9 — 2)3 x (9 — 2) = 9 -h 24
• (9-2)5=(9-2)4x(9 -2 ) = 9 -2 5
En general
donde o; r, ne Z4

353. Capítulo 10 Teoría de la divisibilidad
3.2. Según ios divisores del módulo
\
—* N -a^ tr
O 0
N = a±r -—*N = G2±r
Q
—+N-a^±r
\
_
donde
- o,; a2; o3;...: divisores de o
- r. residuo
Ejemplos
_£L o o
• N = 15 -» N = 3 y A/ = 5
_2_ o - o
• M = 28 -> M = 4 y M = 7
0 o o
• P = 21 + 2 -> P = 3+2 y P = 7+2
o o o
• P = 35-4 -» P = 5 -4 y P = 7-4
¡Cuidado!
Todo número que es múltiplo de 9 es también
múltiplo de 3, pero lo contrario no siempre se
cumple.
Ejemplo
o o
54-9 54-3
o o
15 = 3 -> 15 + 9
3.3. Según el módulo ele la base de un
n u m e r a l
abale,
m e
- (i y) \ de
¡i
o
- (/r ) f (,r/e
Ejemplos
10111-
— *• 2+1
21 342,
4+112 =4+3
*■ 8+1112 — 8+ 7
o
6 + 2
36 + 426 =36 + 26
-* 216 + 3426 =216 + 134
13(10)(12)(,3)
O
13 + 12
-169 + (10)(12)(13)
3.4. ResríÉsf^a si un númii
a ± r
s A/ -f-* ó + r
C ± r
donde d= MCM(a; ¿>; c)
Ejemplos
o
• N = 4
o
N = 6
o
N = 12
-> 12=MCM(4; 6)
M = 12 + 5
M = 18 + 5
M = 6 + 5
M = 36 + 5
= 169 + 142
-> 36=MCM(12; 18; 6)

354. COLECCION ESENCIAL Lumbreras Editores
o o
• P = 20 + 12 = 20-8
P = 30 + 22 = 30-8 P = 120-8
o o
P = 40 + 32 = 40-8
-> 120 = MCM(20; 30; 40)
3.5. Principio de Arquimedes
Sean A y B dos números enteros no nulos.
o
Si A xB = n, además B y n tienen como único
o
divisor común a la unidad, entonces A = n.
Ejemplos y * * 10******^
• 2/4 = 5 -» 4 = 5
o o
. 7M = 4 -> M = 4
o o
• 13A/ = 8 -> /V = 8
o
____ _0_
• 8-ab = M —> ob=17 —» ab = WK
o O o
• J¿xP = / -4 3xP = 2 -» P = 2
0 , o o:
• /X Íx P = /3o —> 2P = 7 —> P = 7
o
. = M = 7-2
° ■ o
. ¿ R = ?f- + ) 4 ' -> P = 9 + 5
. 4/V = 17 + 8 (i 7 =5^ 4)
Entonces
o Q
4 (A/ — 2) = 17 -> A/ — 2 = 17
o
A/ = 17+2
En forma práctica
4 A/= 17 + 8\
\
♦
iEi m odulo
no se altera!
A/= 17 + 2;
Observación
Si queremos saber cuál es el residuo que se
obtiene al dividir un producto entre cierto
módulo, debemos expresar cada factor en
función de dicho módulo y multiplicar solo
los residuos.
Ejemplo
¿Qué residuo se obtiene al dividir 5 1 x 4 5
entre 7?
0 0
51 x 45 = 7 + 2 x 3 = 7+6
I (7,:). 47- 4 .
Por lo tanto, el residuo es 6.
Ap lic a c ió n 6
Calcule el residuo que se obtiene al dividir N
• entre 4.
A7 = 10112x3568x123214
Reso lu c ió n
Para calcular el valor del residuo, representa-
o
mos N en función de un 4.
Dato:
A/ = 10112x3568x12 3214
—>A/=(4+112)x(S + 6 )x (4+1)
Ai=(4+3)x(4+6)x(4 + l) A/=4+18
N= 4 + 2
N=4 +©
í
residuo

355. Capítulo 10 Teoría de la divisibilidad
Aplicación 7
Calcule el menor número entero mayor que
100 tal que al ser dividido entre 7 y 9 da como
residuos 4 y 6, respectivamente.
Resolución
Sea N dicho número.
N| 7
4 K
N | 9
6 p
o o
-> N = 7 K + 4 = 7 + 4 = 7-3
o o
A/ = 9P + 6 = 9 + 6 = 9 - 3
—>/V = MCM(7; 9) — 3 = 63 — 3
N=63K-3 > 100
A
I— mínimo ~2
A/ = 63(2)—3 =123
.
Ik
Aplicación 8
Se sabe que
__ __ o
ob+(ab+2)+(ob+4)+{ab+6)+...+(ab+34) = 17
Calcule la cantidad de valores de ab.
Resolución
y
o
ab+{ab+2)+{ab+4)+(ab+6)+...+(ab+34)=V
V
----------------------------------V---------------------------------
18 sumandos
—>18o¿> + (2 + 4 + 6 + ... + 34) = 17
17 números pares
180^ + 17x18 = 17
(17+1)
o o o o
ob + 17 = 17 -> 17+ ob + 17 = 17
... ab = V = V K
t _ V >
Aplicación 9
En un campamento para niños, se observó que
si estos se agrupaban de 4 en 4, de 6 en 6
y de 15 en 15, quedaban siempre sin integrar
ningún grupo 3 niños. Calcule la cantidad de
asistentes al campamento si esta cantidad es la
mayor posible pero menor que 200.
Resolución
Sea N el número de niños asistentes.
Datos:
. N = 4 + 4 + ... + 4 + 3
v
_______ _______J
N-A +3
• N = 6 + 6 + ... + 6 + 3
' S y y
. N = 15 + 15+... + 15 + 3
A/ = MCM(4; 6; 15)+3
N = 60+ 3 = 60K + 3 < 200
t_nvW,mn-i
A/= 60(3)+ 3 = 183
4. CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD
Son reglas que se aplican a las cifras de un
número para determinar si este es divisible en­
tre cierto módulo.
4.1. Divisibilidad poi 2r

356. COLECCION ESENCIAL Lumbreras Editores
Ejemplos
o o
• 4786 = 2 o 6 = 2
0 O
• 2978 = 2 o 8 = 2
. 1950 = 2 o 0 = 2
o o
• 47 924 = 4 ++ 24 = 4
o o
• 698308 = 4 ++ 08 = 4
o o
• 97168 = 8 <-> 168 = 8
o o
• 84 720 = 8 o 720 = 8
• 32 426 = 4 + 2 ++ 26 = 4 + 2
• 95 825 = 8 + 1 +> 825 = 8 + 1
----*\
Importante
Otra forma de determinar si un número es
o
8 es
abcde = 8 +> 4c + 2c/+e = 8
421
Se cumple que
(¡mpar/par) = 8+1
4,2, Divisibilidad por 5"
- 5 <r-* e = 0 o 5
O O
■25 <- / de - 25 = 00; 25; 50; 75
O O
•125 <-> 'cde ~ 125 = 000; 125;...
abcde
Ejemplos
O
• Los números 375; 4985; 67 940 son 5.
• Los números 9200; 3425; 7350 y 123 975.
O o
928 375 = 125 ++ 375 = 125
o O
49309 = 5 + 4 f+ 9 = 5+4
o' o
54682 = 25 + 7 ++ 82 = 25 + 7
Importante
o
Siabcd- 5 -+ acbd y acbd son 5.
A'o n S w iriU ü ir J n r ! ns^y 3
.
Ejemplos
• 213 = 3 ++ 2 + 1 + 3 = 6 = 3
o o
• 462 = 3 ++ 4 + 6 + 2 = 12 = 3
O O
• 2562 = 3 +> 2 + 5 + 6 + 2 = 15 = 3
o o
• 2497 = 3 + 1 ++ 2 + 4 + 9 + 7 = 22 = 3 + 1
• 52 385 = 3 + 2 ++ 5 + 2 + 3 + 8 + 5 = 23 = 3 + 2
o o
• 4653 = 9 ++ 4 + 6 + 5 + 3 = 18 = 9
0 o
• 3796 = 9 + 7 ++ 3 + 7 + 9 + 6 = 25 = 9 + 7
Importante
Si abe = 9 —> acb; bac y cba son 9.
4.4. Divisibilidad oí
abed -• 11

357. Capítulo 10 Teoría de la divisibilidad
Ejemplos
\
0 0 Observación
. 98 296 = 11 ++ 9 - 8 + 2 - 9 + 6 = 0 = 11 El muchos casos, para resolver los problemas
+ - T - +
se va a emplear más de un criterio de divisi-
~o O bilidad.
• 1408=11 ++ -1 + 4 - 0 + 8 = 11 = 11
Ejemplo
O
O r 5
. 92 458 = 11+3 ++ 9 - 2 + 4 - 5 - 8 = 14
+~ +.- + ^
O
aaa0b = 3SS —
O
— 7
lit3 -
0
O
— 11
. 7182=11-1 ++ -7 + 1 -8 + 2 = ¡d2
Se debe trabajar con módulos conocidos.
Importante
• Si
o_
___ 0_ k '"~ ' x
abc = 11 r-> cba = 11 f
• Todo número capicúa, cuya cantidad de
cifras es par, es divisible entre 11.
V
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _2_ _ _ _1 _. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3
4.5. Divisibilidad por 7. '%
/■
ab cdef = "7 si y solo si % \
231231 ■
—
O
-2a - 3 b -c + 2d 3- 3<? + f — i
7
Ap lic a c ió n 10
Al dividir entre 18 da como residuo 10, y al
dividir B entre 18 da como residuo 12. ¿Cuál
será el residuo por exceso al dividir entre 9 el
resultado de efectuar 54 + 28?
Re s o lu c ió n
Al dividir A entre 18 se cumple
o
A = 18 + 10
Al dividir B entre 18 se tendrá
O
8 = 18 + 12
Nos piden
Ejemplos
--------- 0 / / 0
. 8463 = 7 <+> - f i +,8+18 + 3 = 21 = 7
1231
. 2492 = 7 o - / + 8 + 27 + / = 35 = 7
1 231
-J
54+ 28=5(18+10)+ 2(18+12)
o o
—^ 54 + 28 = 18 + 50 + 18 + 24
54 + 28 = 18 + 74
o o
54 + 28 = 9 + 9 + 2
________ o o
. 253 253 = 7 <-> -4 -1 5 -3 + 4 + 15 + 3 = 0 = 7
231 231
■ V ^
54 + 28 = 9 + 2
t

358. Ap lic a c ió n 77
o
Calcule el valor de x si 7x95 =17.
Re s o l u c ió n
Del dato
_______ _0_
7x95 = 17
___o
7095 + x00 = 17
o
7095 + 100x = 17
O O O
17+6 + 17— 2x = 17
-2x = 17-17-17-6 s •
v
------v______/
O / ^
-2x = 17-6 , ' ■ '
o_ U(-2) ' * v
x = 17+3y >
Es decir
x = 17/r+3; ke Z
t
o ¿ 4
x = 17(0) + 3 = 3
Ap l ic a c ió n 72
Calcule el mayor número menor que 500 que
al ser expresado en bases 4; 5 y 6, su última
cifra resulte siempre 2.
Re s o l u c ió n
Sea N dicho número.
A7< 500
Además
N
-2 4 =4+2
...25 = 5+2
' -2 6 = 5+2
Entonces
______o______
-> A/ = MCM(4;5;6)+2
o
N = 60 + 2
Luego
N = 60k+2; keZ
t
8 (máximo)
N = 60(8)+ 2 = 482
Ap lic a c ió n 13
En una canasta hay entre 50 y 60 manzanas.
Si las cuento de 3 en 3, me sobran 2; pero si
las cuento de 5 en 5, me sobran 4. ¿Cuántas
manzanas hay en la canasta?
Re so lu c ió n
Sea N el número de manzanas.
Por dato
50</V<60
Además
N = 3 + 3 + 3 + ... + 3 + 2
o o
-> /V = 3 + 2 = 3 — 1
i\/=5 + 5 + 5+...+ 5 + 4
0 o
N = 5+4 = 5-1
_______o_______ _ 0_
-> A/ = MCM(3; 5)-1 = 15-1
N = Kk-XkeZ
\
4
A/ = 15(4)—1 = 59

359. Ap l ic a c ió n 14
Calcule el residuo de dividir E entre 7.
£=(7 + 2)4x (7 + 3 fx (7 + 4 )
Re s o l u c ió n
Del dato
£=(7 + 2 f x ( 7 + 3)3x(7+ 4)
F = (7 + 24) x (7 + 33) x (7 + 4)
E = (7+16) x (7+27) x (7+4) •
7+2 7-1
' = (7 + 2 )x(7 -l)x(?+ 4 ).
//'
í~¿
■ = (7 -2 )x(7 + 4)-> 8 = 7-8
o o
E = 7-1 = 7+6
t _ residuo
r-
Ap l ic a c ió n 7 5
Calcule la última cifra al expresar A/ en base 9.
/V = 120113x729x(217)49
Re s o l u c ió n
Cuando N se pase a base 9 tenemos
N = ...x9= 9+x
Nos piden x.
(I)
Dato:
A/ = 120113x729x2174y
A/ = (9 -t-113) x (9+2) x (9 4-l)
Luego
/V = (§+4) x (9 4- 2) x (§ +1)
) x (9 -f-1)N = 19 + 8
N = 94-8 (ID
De (I) y (II) se deduce que
x=8
Ap lic a c ió n 16
Si aa75b = 56, halle a + b.
Re s o l u c ió n
Por dato
aa75¿> = 56 = 8 y 7
421
Aplicando el criterio de 8 se cumple que
7x445x2+0x1=8
o
38 + £> = 8 -> b- 2
Luego
aa752 = 7
3 1231
—^ — 3c? — o +14 +15 + 2 = 7
31 -4o = 7
7+3
o o
-4a = 7-3 = 7+4
a = 7-1 = 7+6 = 6
J
a + b = 6+2 = 8

360. Aplicación 17
Si el número 32oab7b es divisible por 9 y 11,
calcule el valor de axb.
Re s o l u c ió n
Por dato
_______________ 0_
3 2 a a b 7 b = 11
-í
---i--í---\-
0_
-> 3 - 2 + / - / + ¿»-7 + ¿> = 11
0_
2b—6 = 11
— 0_
2(b—6) =11 -+ b — 6 = 11
b = 11 + 6 = m + 6
b = 11(0) + 6 = 6
Luego tenemos
_________ O
32oa676 = 9 3+2+o+o+6+7+6=9
2o + 24=9
o
9+6 . ^
2o + 6 = 9
o o
2(o + 3) = 9 -> o + 3 = 9
o = 9-3 = 9n-3
-+ o = 9(1)-3 = 6
a x b - 6x6 = 36
Aplicación 18
______ O
Se cumple que 5x2x8=9.
Calcule el valor de x.
Resolución
Aplicando el criterio de 9 se cumple
o
5+x+2+x+8=9
15 +2x = 9
Luego
2x = 9 -6
o
x = 9-3
o
—> x = 9 + 6
x = 6
Ap lic a c ió n 19
Al dividir 2o5b8 entre 9 se obtuvo como resi-
__ O
dúo 4. Si a*b y a b -4, calcule axb.
Re so lu c ió n
Del dato
______ O
2a5¿>8 = 9+4
------ O o
2o5M = 9 -+ 2+a+5+b+4=9
O
o + ¿> + 9 +2 = 9
;/ X;~; *
O O
o + £> = 9-2 = 9 + 7
7 o 16
•
___ o
Como a b - 4
52 — o = 5 y ¿>=2 -+ oxb = 10
16 — o = 1 y b = 6 -e> axb = 6
88 x
Por lo tanto, el valor de ox¿> es 10 o 6.
Ap lic a c ió n 20
__________ O
Si se cumple que (o-2)4bo = 55, calcule a + b.
Re s o lu c ió n
Por dato
----------------- £ _ o £
(o-2)4£>o = 55 = 5 y 11

361. Capítulo 10
Teoría de la divisibilidad
Entonces
3465 = 11 -3 + 4 -6 + 5 = 11
0_
6 -6 = 11
0_
, -6 = 11-6
=H) ( o
' 6 = 11 + 6 -> 6 = 6
a + 6 = 5 + 6 = 11
Ap l ic a c ió n 21
A una fiesta asisten entre 700 y 800 personas,
3 , 2
de las cuales — usan pantalón jeans, - usan
3
lentes y - usan reloj. ¿Cuántas personas no
5
usaban reloj?
Re s o l u c ió n
Sea N la cantidad de asistentes a la fiesta, de
quienes se sabe que
700</V<800 (I)
Además
^n.0 de personas^1
v con jeans
3N_
11
%
Como el resultado que debemos obtener debe
ser un número natural
-> N = 11
(a)
n.° de personas j _ 2 ^ N = 7 (p)
con letras
(n.° de personas
y con reloj
De (a), ((3) y (9) se cumple
7
= -N -> N = 5 (9)
5
N = MCM(11; 7; 5) = 385
N= 385k; keZ
Reemplazando (II) en (I), se tiene
700<385/r<800
Nos piden
’ " L n . J
_________> 2 .. 2 77
(ID
n ° de personas
sin reloj
í n 0 de personas
sin reloj
= - /V = — x 365 x 2
5 - X
= 4x77 = 308
■Z Actividad recreativa
Primero: Piense en un número de dos cifras.
Segundo: Multiplique ese número por 10.
Tercero: Elija un múltiplo de 9, cualquiera que sea menor de 90.
Cuarto: Reste el múltiplo del resultado de multiplicar por 10 el número pensado.
Quinto: Por último, indique el resultado de la diferencia y enseguida descubra cuál era el número inicial.
Sexto: Para hallar ese número, lo único que debe hacer es quitar la cifra de las unidades y sumarle al
número que queda.
Por ejemplo, si una persona piensa en el número 43 y después elige como múltiplo de 9 al 72, la operación
realizada resultaría 358. Si ahora quitamos la última cifra y se la sumamos a lo que queda, 35+8=43, nos
da el número original.

362. COLECCIÓN ESENCIAL
Lumbreras Editores
TEORIA DE LA DIVISIBILIDAD
Si A[B_ ' A eZ
0 K B e Z +
K eZ
entonces
• A divisible por 8.
• B es divisor de A.
Divisibilidad Multiplicidad
Si A=BK A e Z
Be Z +
KeZ
entonces
• A es múltiplo de 8.
• B es un módulo de A.
Números no divisibles j
1
r
5 Por defectoPor exceso
a Le_ a le
W <7
' « r 1
+
O QQ
II
3.i
O OQ
II
____
_
^ d sf^ ^ e x c B
L
_______________
J
Algunos principios ! Criterios de divisibilidad
r
0 00
n + n= n
0 00
n-n= n
0
nxk
\ \ =" j
o o
r*2 <-> d = 2
abcd — 4 <h> cd = 4
o
___ o
8 <-* bcd = 8
o o
5 d = 5
(n+a)(n+b)=°n + axb
abcd -f— 25 o cd = 25
o
___ o
-125 bcd= 125
_j
1
ÍO \k 0
ln+rj =nn.+ r
o
,0 .ir r~n+rk; k es par
U -rJ * o
—n - r ; k es impar
abe
o O
- 3 a+b + c = 3
o O
9 a + b + c- 9
o
— a + r
O O
N —*b+r -> N = m + r
o
*c + r
abcd =11 si y solo
o_
si -a+b-c+d = 11
donde
m=MCM(a; ib; c)
abcdef-1 si y solo
231231
si -2a-3b-c+2d+3e+f=7

363. RESOLVEMOS JUNTOS
Problema N.° 1
Determine cuántos de los siguientes números
o
son 8:
a. 4920 d. 23 832
b. 13 564 e. 3 697 496
c. 125 468
A) 5
D) 3
Resolución
B) 1 C) 2
E) 4
Según el criterio de divisibilidad por 8, solo
bastará analizar al número formado por las
tres últimas cifras de cada número. **K* ^ ¡t
a. 4920 = 8 ++ 920 = 8 f
b. 13 564 = 8 + 4 ++ 564 = 8 + 4
o % o
c. 125468 = 8 + 4 f+ 468 = 8 + 4
d. 23 832 = 8 o 832 = 8
o o
e. - 3 697 496 = 8 o 496 = 8
o
Por lo tanto, hay 3 números que son 8;J
Resolución
Se tienen los números
1; 2; 3; 4;598; 599; 600
V J----------------------v---------
600 números
Luego
( cantidad de números^
o
que son 3
a.
b.
c.
cantidad de números
o
que son 2
'cantidad de números^1 /
o o
que son 3 y 2
600
600
= 200
= 300
cantidad de
O
números que son 6,
cantidad de números^ 600
que son 3 y 2
. f suma de ^
^resultados
= 100
J
v
= 200 + 300 + 100 = 600
: Clave •
Problema N.° 3
¿Cuántos números de tres cifras son 15?
Clave \ A) 80 B) 40 C) 60
DM50 E) 70
Problema N.° 2
_____________________________
Dados los números naturales desde 1 hasta
600, determine lo siguiente:
a. ¿Cuántos números son múltiplos de 3?
b. ¿Cuántos números son múltiplos de 2?
c. ¿Cuántos números son múltiplos de 3 y 2?
Dé como respuesta la suma de los resultados.
A) 600 B) 400 C) 380
D) 540 E) 820
Resolución
Sea abe uno de dichos números.
___ 0
abc = 15=15/C; Ke Z (I)
Además por propiedad
100 <abc< 1000
100 < 15/C < 1000
6 ,6 < /C < 6 6 ,6 ^ '!

364. COLECCION ESENCIAL Lumbreras Editores
Esto quiere decir que
K: 7; 8; 9; 10;...; 66
'
---------------------------------V----------------------------------'
60 valores
(ID
De (I) y (II) se concluye que al reemplazar los
60 valores de K en la expresión (I), se obten­
drán, respectivamente, 60 números de la
o
forma abe que serán 15.
: C la ve l
Problema 4
Luis dispone de S/.42 para comprar lápices y
V'V%V
lapiceros. Se sabe que cada lapicero cuesta
S/.1,50 y cada lápiz, S/.1,00. ¿Cuántos artículos
podrá comprar, como máximo, si adquiere al
menos uno de cada tipo?
A) 41
D) 42
B) 50 C) 39
E) 35
■x í\. X?Resolución
Para que la cantidad de artículos sea máxi­
ma, Luis deberá comprar más lápices y menos
lapiceros.
Luego
Multiplicando a todos por 2 para obtener
cantidades enteras, se tiene
o
84 = 34 + 28 -+ 3/4 = 2
4 4
O
0 0 A
2 2 ^ = 2
Como A es mínimo y diferente de cero
-> 4 = 2
Reemplazamos
84 = 3(2)+ 28
84 = 6+28 -> 8 = 39
^n.° máximo^
de artículos
= 2 + 39 = 41
Clave
Problema N. 5
Calcule la suma de los 20 primeros múltiplos
positivos de 9.
A) 1980
D) 900
B) 1680 C) 1890
E) 1800
Resolución
Nos piden
S = 9+ 18 + 27+36 + ...+ 180
X ¿
i . u S o ; Cant,dad
: 5 = 9(1 + 2 + 3 + 4 +... + 20)
Lapiceros S/,1,50 4 — - mínimo
10
i _ 9 x 2.6 x 21
¡ " i
Lápices S/,1,00 B —
J .
- máximo
|
total; A + B
S = 9x10x21
Dato: i 5=1890
(gasto)=S/.42 = 1,504 + 1,008 Clave

365. Capítulo 10 Teoría de la divisibilidad
Problema N.* 6
____________________
Calcule cuántos números enteros compren­
didos entre 800 y 1400 existen tales que
terminan en cifra 3 y son múltiplos de 19.
A) 4 B) 3 C) 9
D) 8 E) 2
Resolución
Sea N uno de dichos números.
Problema N7 7
________________
A un congreso asiste una cantidad entre 100 y
2 . .
200 médicos, de los cuales los - son cirujanos
y los son ginecólogos. ¿Cuántos médicos
asistieron en total?
A) 180 B) 140 C) 110
D) 154 E) 190
Por condición
• 800 < N < 1400 (D
• N=..3
O
• N = 19
De (II) y (III)
o
/V = 19 = 19 K =...3
. .9 ...7
di)
(ni)
(IV)
-> K -...7
Como el valor de N depende del valor de K,
la cantidad de números buscados dependerá
solo de la cantidad de valores que tome K.
En (I)
800 <n <1400
800 <19/C< 1400
42,105... <K< 73,684...
-> K : 47; 57; 67
Reemplazando los tres valores de K en (IV),
se encontrarán, respectivamente, tres valores
para el número N.
Clave
Resolución
Sea N la cantidad de médicos que asisten a
dicho congreso.
Por dato
100 < N <200
Además
• (n.° c
2N = 7a = 7
o
-» N = 7
\ 2N
í cirujanos) = — = a
(n.° de ginecólogos) = ~ = b
5N = 11b = 11
0_
^ N = 11
Entonces
O _0_
/V = MCM(7; 11) = 77
N -77k (100</V<200)
í
A/= 154
Clave

366. COLECCION ESENCIAL Lumbreras Editores
Problema N.' 8
Calcule el mayor número de tres cifras que
dividido entre 7 da un resto igual que 1 y
que al dividirlo entre 15 el resto es 9.
A) 939
D) 979
B) 905 C) 957
E) 990
Resolución
Sea abe dicho número.
Por condición
• abc\ 1
1 K
—> abe = 7/ú + 1 = 7+1
• abe|15
9 P
o
-> abc = 15P + 9 = 15 +9
Entonces
abe-
-7+1 = 7 -6
o o
•15 + 9 = 15-6
Problema N.’ 9
Dado
A/ = 20113 x 97 427 x 75 29,
halle la última cifra al expresar N en base 9.
A) 5
D) 3
B) 6 C) 2
E) 4
Resolución
Nos piden x.
Al expresar N en base 9 se obtendrá
o
N = ...x9 = 9 + x] x < 9
Entonces el valor de N lo representaremos en
función del múltiplo de 9.
—>
N = 20113x97427x752g
/V = (9+113)x(27 + 4 )x(9+2)
N = { 9+ 4)x(9+ 4)x(9 + 2)
N -9 + 32 -+ N = 9 + 9 + S
-+ N = 9 + 5
__ _____o_____ o
-> o¿c = MCM(7; 15) - 6 = 105-6
x=5
: Clave
abc^OSn-6
*
T
1
2
9 (máximo)
Problema N.° 10
¿Cuántos valores puede tomar ab para que se
cumpla la siguiente igualdad?
___ ___ ___ ___ _0_
ab + 2xab+3xab + ...+]Qxab = 2'\
.% abc = 105(9)-6 = 939
i Clave [
A) 12
D) 6
B) 13 C) 14
E) 7

367. Capítulo io Teoría de la divisibilidad
R e so lu ció n
Dato:
___ ___ ___ ___ _0_
ab + 2 x a b +3 x a b + ...+18 x a b = 21
___ _0_
ab (l+ 2 + 3 + ...+18).= 21
Luego
9
abx^ -^ 5- —> a b x $ x 19 = ¿ í
í
1
__ o
—> abx3x19 = 7
ab = l = 7K
Ì— 2;3;4;. :!4
3 valores
Por lo tanto, ob puede tomar 13 valores.
: Clave \
Problema H E11 * •
Si abe = 11; cba = 5 y ca = 17, halle axbxc.
A) 40 B) 50
D) 70
Resolución
Datos:
___ o
• cba = 5
-+ a = 0 v a = 5
o
. ca = c5 = 17 = 17 /( = 85
A
-» c = 8
C) 60
E) 80
• abc = 5b8 = 11
—>5 + 8 - b = 11
13 —b = 11
—> a = 5; b = 2; c = 8
/. 5 x2 x8 = 80
Clave
Problema NC 12
____________________
Calcule el residuo al dividir E entre 7.
\4 /n \2
'=(7 + 2) x(7 + 3) x(7 + 5)
A) 6
D) 3
B) 5 C) 4
E) 1
Resolución
Cuando E se divide entre 7, se cumple que
E = 7+R; 0<7?<7
Dato:
£ = (7 + 2)4x(? + 3)2x(7 + 5)
£=(7+2^) x (7+3^) x (7.+ 5)
15 9
£=(7+7+2)x(7+7+2)x(7+5)
£=(7 + 2)x(7+ 2)x(7+ 5) -» £ = 7+20
7 -f 6
Por lo tanto, el residuo es 6.
= Clave .

368. COLECCIÓN ESENCIAL Lumbreras Editores
Problema N,° 13
Si el número o3261 es divisible entre 7, calcule
el valor de 6-o. Considere que a <b.
A) 2 B) 3 C) 4
D) 5 E) 6
Resolución
Dato:
03261 = 7
3^23J
Por regla de 7 tenemos
-3o -3 + 4 + 36+1 = 7 s
3{b-a)+ 2 = 7 ' . ’ N
Í(b - a ) = l - 2 - l = f - Í
•%. "■ • •> 0
6 -o = 7 -3 = 7-3 = 4
; C/ove • 7
Problema N.° 14
______ _______
Al sumar tres números consecutivos se
obtiene como resultado o789o. Halle la suma
de los posibles valores de o.
A) 9 B) 15 C) 18
D) 12 E) 6
Resolución
Sean (o -1); n y (n+1) dichos números conse­
cutivos.
Por dato
(n-1)+o + (o+1)=3o = o789o
______ o
o789o = 3
Por el criterio de 3 tenemos
o
o+7+8+9+o=3
2o + 24 = 3
■ • o
3
o
2o = 3
o
0 = 3 —> o: 3; 6 o 9
3 + 6+9 = 18
Clave
Problema N.° 15
Determine la verdad (V) o falsedad (F) de las
siguientes proposiciones:
I. La suma de dos múltiplos de 6 da como
....resultado un número que es múltiplo de 12.
II. Si un número es múltiplo de 4, entonces
> también será múltiplo de 8.
III. Un número de la forma ooo siempre es
múltiplo de 37.
----- o __ __ o
IV. Si abcd = 9, entonces ab+cd = 9.
A) VVVV B) FFFF C) VFVF
D) VFFV E) FFVV
Resolución
I. Falsa
Ejemplo
6 + 12= 18
V ^
6 no 12.
II. Falsa
Ejemplo
o O
12 = 4, pero 12*8

369. Teoría de la divisibilidad
Verdadera
ooo = 111a = 111-0_
L *37
IV. Verdadera
abcd = 9 —» a + b + c + d = 9
Luego
ab+cd = Í9+a + b)+Í9+c+d)
__ __ o o
ab + cd = 9 + a + b + c + d = 9
: Clave \
Problema N.* 16
De los 154 asistentes a un congreso de edu­
cación se observa que la séptima parte de
las mujeres son de provincia, mientras que la
novena parte de los varones son de universi­
dades particulares. ¿Cuántos varones son de
universidades estatales? . .
A) 56 B) 102 C) 65
D) 72 E) 96
Resolución
Nos piden ^-V.
9
Sean V y M la cantidad de varones y mujeres,
respectivamente.
n.° de mujeres'j = M =(j M = 7o
de provincia J 7
n.° de varones de
universidades particulares
V
= - = b -> V = 9b
y 9
Luego
n 0 de
personas
n.° de Y [ n 0 de
varones) ^mujeres
->'l54 = 9d + 7o —> b = 7 v ¿>=14
V—' ^
Si 0=7 -+ ) S Í = 9 p l)+ /a
22—9 + 0 —y a= 13
... 5i/ = 4x^x7 = 56
9 ¿
22 2
Si 0=14 -+ = 9 (,14)+ 7a
22=18 + 0 -> 0 = 4-
-V = 4x/x14 = 112
9
. Clave
Problema N. 17
Halle el residuo por exceso que se obtiene al
dividir M entre 7.
M - 22004 + 20 02? + 2003 x 2004
A) 1
D) 4
B) 2 C) 3
E) 5
Resolución
Al dividir M entre 7 por exceso, se cumple
O
M = 7 - R] 0<R<7
Entonces, cada término lo representamos en
función del múltiplo de 7.
(23)668 =8668 =(7+1)
o \668
-> 22004 = 7 +1668 =7 + 1
A
5

370. COLECCIÓN ESENCIAL
Lumbreras Editores
Reemplazamos
M = 22004 + 2002y + 2003 x 2004
M = (7+l)+(7+2) + (7+ l)x(7+ 2)
M = (7 + 3)+(7 + 2) = 7 + 5 -> M = 7-2
R = 2
i Clave [
Problem a N .°18
Si se sabe que
___ o ___ o ___ £
acó = 7; bac = 9 y cba = 11,
calcule el valor de a+2b+3c.
A) 18 B) 30
D) 27
Resolución
Por dato
___ o
• acb = 7
___ o ___ o
• bac = 9 —> abe = 9
£_
_____ _0
• cba = 11 —> abe = 11
Entonces
| « ;
w i I fo'' ¡
C) 24
E) 15
>
; y?
abe = MCM(7; 9; 11)
O
abc = 693
abe = 693/r; k e Z
t
1
abe = 693 —> a = 6’, b = 9', c = 3
/. 6 + 2(9) -4-3(3) = 24
! Clave [
Problema N 719
Sea 65472n075 = 1 x 3 x 5 x 7 x ...x m . Halle el
valor de n si que es una cifra significativa.
A) 0
D) 7
Resolución
Dato:
B) 2 C) 4
E) 9
loaos ¡os
factores son impares
65472n075 = 1 x 3 x 5 x 7 x 9 x ...x /n = 9
Por el criterio de 9 tenemos
o
6+5+4+7+2+n+0+7+5=9
o o
9+6+7+5+n=9
4^-— cifra
, * significativa
n=9 -> n=0 v n=9
Clave
Problema N.° 20
Un alumno de una academia x perdió su carné
y no recordaba su código; pero se acordó
que era un número capicúa de seis cifras
significativas, divisibles entre 5; 9 y 7. ¿Cuál era
el código del alumno? Dé como respuesta la
suma de las dos últimas cifras.
A) 9
D) 13
Resolución
Código
B) 10 C) 12
E) 15
abccba
231231
v 5 —> a =■ 5
o
9
o
7

371. Capítulo 10
Teoría de la divisibilidad
Por el criterio de 7 tenemos
-2 a - jM) - c + 2c + yo +a = l
o
—^ C— 0 — 1
t í
'5 5
Reemplazamos a y c.
II. Verdadero
5£>55¿>5 = 9
Por el criterio de 9 tenemos
o
5 + ¿> + 5 + 5 + b + 5 = 9
20 + 25 = 9 -+ 2(10 +¿>) = 9
10+ b =9 = 18
í
8
—> o = 5; b = 8; c = 5 /
... b + c=8 + 5 = 13
Problema N." 2 1 ' _______________-
_____
Indique la secuencia correcta de verdad (V) o
falsedad (F) según corresponda.
I. El número aaa es múltiplo de 37. ' -
II. El número oOOo es múltiplo de 13.
III. El número o84o es múltiplo de 7. -
Clave :
A) FFF
D) FVV
B) VVV C) VFF
E) VVF
o00o = ox1001 = ox7x11x13 = 13
,
Observación
2002=2x1001
i' 3003=3x1001
'I 5005=5x1001
a00o=ox1001
Verdadero
o84o = o00o + 840
o84o = 0x7x11x13 + 7x120
o o
o84o = 7+7
o84o = 7
Clave
¿ ’rolMÉlMÍ N." 22
A una reunión asisten 250 personas. Si de los
varones la quinta parte son abogados; la sexta
parte, médicos; y la séptima parte, ingenieros,
¿cuántas mujeres asistieron a dicha reunión?
A) 45
D) 40
B) 75 C) 80
E) 120
Resolución
I. Verdadero 0
^ = ox111 = ox3x37 = 37
| Observación
222=2x111
\ í
¿ 444=4x111
¡ 777=7x111
\ ooo=ox111
Resolución
Datos;
t o ta l
- C25° j -
v a r o n e s - UJt ! í
V
K i
M
/ 1
b o g a d o sm é d ic o sin g e n ie r o s
V V V
5 6 7

372. COLECCION ESENCIAL Lumbreras Editores
Luego
V/
• ~ = o -> V = 5o = 5
V .
• — = b —» V = 6 xb = 6
6
\/ o
• ~ = c —> V = 7 x c = 7
Operamos
O
______ o
y = MCM(5; 6; 7) = 210 = 210/r
4
I
-> V/=210
M = 250x210 = 40
: Clave i )
Problema N.° 23
Calcule la suma de los 20 primeros múltiplos j
de 18 que sean positivos.
* i
A) 3960 B) 4140 C) 3400
D) 3780 , E) 3600
Problema N/ 24
____________________________
Si el número de páginas de un libro es 700,
¿cuántas de sus páginas son múltiplos de 20,
pero no de 25?
A) 28 B) 29 C) 30
' D) 27 E) 26
Resolución
Representamos gráficamente el conjunto
formado por las 700 páginas.
Sea C la cantidad. Del gráfico tenemos
20 pero no 25 20 100
Resolución
Nos piden
S = 18x1+ 1 8 x2 + 18x3+ .... + 18x20
S = 18x(1 + 2 + 3 + ... + 20)
-> 5 = 18x
20x21
S = 3780
í Clave [
Calculamos los resultados
700 700
C
20 pero no 25 2 0 100
C =35-7
_0_ O '
20 pero no 25
••• c ,, =28
20 pero no 25
Clave

373. Teoría de la divisibilidad
Problema N.° 25
¿Cuántos números de la forma abl se repre- i
sentan como 17+3?
A) 52
D) 6
Resolución
Por condición
B) 5 C) 12
E) 7
007 = 17 + 3 -+ abl=Mk+3] keZ
Como abl depende su valor de k, la cantidad
de números abl dependerá de la cantidad de
valores de k, entonces se calculará solo la can­
tidad de valores de k.
ob7 = 17£+3 -> k = ...2
Luego se cumple que
107<o¿>7<997
107 <17Ar+ 3 < 997
104<17/c<*994
6,11... </r< 58,47...
k: 12; 22; 32; 42; 52
5 valores
Clave
Problema N.° 2G
Si ab = 9+4, halle la cantidad de valores de ab.
A) 11
D) 8
B) 10 C) 9
E) 7
Resolución
Por dato del problema
¡¡¿¡ = 9 + 4 -> ab = 9k+4; keZ (I)
Se observa que el valor que tendrá ab
dependerá del valor que toma k, entonces la
cantidad de valores de ab dependerá solo de
la cantidad de valores de k.
Luego, por la propiedad del intervalo de
variación de un numeral, se cumple
10<a¿><100
10<9/r+4<100
6<9k<96
0,6...<fc<10,6...
Entonces al reemplazar los 10 valores de k
en (I), ab tomará 10 valores, respectivamente.
1' ' ■ C lave'
Problema N.° 27
¿Cuántos números de tres cifras dejan como
residuo 3 cuando se dividen entre 7?
A) 126
D) 129
B) 127 C) 128
E) 130
Resolución
Sea abe uno de dichos números.
Por condición del problema
abe |1^
3 N
Entonces, se cumple
abc = lN+3>
Luego, la cantidad de valores de abe depen­
derá de los valores que toma N.
9

374. COLECCION ESENCIAL Lumbreras Editores
Por la propiedad del intervalo de variación de
un numeral, se cumple
m < a b c < m o
100<7N+3<1000
97<7N<997
13,8... < /V <142,4
^— ■ t14; 15; 16; 1 4 2
129 valores
Por lo tanto, como N toma 129 valores,
entonces abe tendrá también 129 valores.
: Clave \
Problema N.° 28
________
Indique la verdad (V) o falsedad (F) de las t
siguientes proposiciones: 1
I. Los divisores de 88 son 1; 2; 3; 8 y 11.
II. La cantidad de múltiplos de 12 es infinito.
III. El número 80 es divisor de 8.
A) VVV B) FVV C) FVF
D) FFF E) V V F %
Resolución
I. Falsa
El número 3 no es divisor de 88.
II. Verdadera
Sea N un múltiplo de 12, entonces
A/=12Ar; k e Z
Como k es cualquier número entero,
entonces k tomará infinitos valores. Por lo
tanto, N tomará también infinitos valores.
III. Falsa
El número 80 no es divisor de 8, sino el
número 8 es divisor de 80.
i Clave .
’
............Ml'l«.»*'
Problema N.° 29
__________________
De los 1200 primeros números naturales,
¿cuántos son múltiplos de 17?
A) 71 B) 69 C) 72
D) 68 E) 70
Resolución
Los 1200 primeros naturales son
1; 2; 3; 4; 5;...; 1200
Sea N uno de estos; además, por condición
del problema, es un múltiplo de 17.
/V=17/r; ke Z (I)
1<N<1200 (II)
Reemplazamos (I) en (II).
1<17/r<1200
J r \ J '■ ''
0,05...</c<70,5...
í .
:f> j' ^ ^ *4 ‘ j 0
• " ^ -C ^ 70 valor-es
Por lo tanto, al reemplazar los 70 valores de k
en (I), N tomará 70 valores.
: Clave
Problema N.* 30
Determine el residuo que se obtiene al dividir
45x76+12x17-9x25 entre 7.
A) 2 B) 3 C) 4
D) 5 E) 1
Resolución
Sea /V = 45x76+ 12x17-9x25
Luego
WLZ
R k

375. Capítulo 10 Teoría de la divisibilidad
Ordenamos en horizontal.
N=7k+R] 0<R<7
o
-> N = 7+R (|)
Para encontrar el valor del residuo (/?), repre­
sentaremos el valor de N en términos del
múltiplo de 7.
Para determinar el valor de rexc, escribiremos
el valor de N en función del múltiplo de 11.
Luego, observamos que
_0_
45 = 11+1
> vamos a
452014
(o_ \ 2014
\11 + l]
N = 45 x 76 + 12 x 17 - 9 x 25
N = (7 + 3)x(7 + 6) + (7 + 5)x(7 + 3)-(7 + 2)x(7+4)
N = (7+18) + (7+15) - (7+
—> N—7 + 18 + 15 — 8
o 0 0
N=7 + 25 -> N=7+7+4
-+ N=7+4
De (I) y (II) concluimos que
R = 4
(ID
i Clave •
Problema N.* 31
¿Cuál es el residuo por exceso que se obtendrá
al dividir 452014 entre 11?
A) 1
D) 7
B) 2 C) 10
E) 4
Resolución
Sea N = 45
Cuando dividamos N entre 11 por exceso, se
tendrá
N I 11
rexc k
45¿UI4=11+V
452014 =11 + 1
452014 —11 10 (ID
Al comparar (I) y (II), tenemos que
rexc = W
emaNÓ32
: Clave
Indique si las siguientes proposiciones son
verdaderas (V) o falsas (F):
o
I. Si un número es de la forma 7+3, enton­
ces dicho número también se representará
o
como 7-4.
II. El máximo número de tres cifras que es
múltiplo de 8 es 968.
III. El número 24 es múltiplo de 48.
A) VFF B) FFF
D) FVV
Resolución
I. Verdadera
o o
Sea N = 7 + 3 = 7 + 3+7-7
o
N = 7 + 7+3-7
-> N = 7-4
C) VFV
E) VVV
-> N = m -rexc: 0<rexc<11 (I)

376. COLECCION ESENCIAL Lumbreras Editores
II. Falsa
968 |_8_
8 _ 121
16
08
_8
0
- divisible por 8
—> 968 < „
multiplo de 8
Luego
968; 976; 984; 992; 1000;
+8 -tS +8
El máximo es 992.
Falsa
El número 24 no es múltiplo de 48, sino 48
es un múltiplo de 24.
i Clave
Problema N,° 33
¿Cuántos números de la forma abcA son
múltiplos de 9?
A)' 100
D) 103
Resolución
B) 99 C) 102
E) 101
Por la forma que tiene el número abcA pode­
mos afirmar que
1004<abc4<9994 (I)
Luego, por condición
abcA = 9 = 9k; ke Z (II)
.. í
iermina en '— Debe terminar
cifra 4. en cifra b
k= 6
Reemplazamos (II) en (I).
1004 <abcA< 9994
1004<9jL<9994
111,5...</r<1110,4...
116; 126; 136;...; 1106
[cantidad de ó _ 1106-116
i valores de k ) 10
Como k tiene 100 valores, al reemplazarlos en
(II), se tendrán 100 valores para abcA.
i Clave .
Problema N.° 34
¿Cuántos números de tres cifras son múltiplos
de 4, pero no de 6?
A) 75
D) 100
B) 80 C) 120
E) 150
Resolución
Los números de tres cifras son
100; 101; 102; 103;...; 999
i lay 900 nunvios

377. .
Capítulo 10 Teoría de la divisibilidad
Luego, encerramos a estos números en un
conjunto.
( °\ ggo
• Innúmeros 4j =
----= 225 <•'-
4
( , °\ 900 v ,
• \numeros6j =
----= 150
6 ' . ‘
( , 900 __ X ,
• ^números 12; =
----= 75
12
Por lo tanto, hay 150 números que cumplen
lo pedido.
Clave
Problema N;° 35
______________________________
Indique la verdad (V) o falsedad (F) de los
siguientes números aplicando los criterios de
divisibilidad:
|. El número 266 es múltiplo de 4.
II. El número 3460 es múltiplo de 25.
III. El número 73654 es múltiplo de 9.
C) VFV
E) FVV
Resolución
I. Falso
Para saber si 266 es múltiplo de 4, solo
bastará analizar al número formado por
sus dos últimas cifras.
o o
66 = 4 + 2 -+ 266 = 4 + 2
II. Falso
Para saber si 3460 es múltiplo de 25, solo
bastará tomar el número formado por sus
dos últimas cifras.
o
60 = 25 + 10
O
-> 3460 = 25 + 10
III. Falso
Por el criterio de 9
X " O
7+3+6+5+4=25=9+7
-+ 73654 = 9 + 7
; Je ' : Clave
Problema N.’ 35
Complete la tabla indicando SÍ o NO y luego
determine la diferencia entre la cantidad de
NO con la cantidad de SÍ.
Mú l t ip l o
d e 2
Mú ltiplo
d f 3
Mú lt ip lo Mo l í ir ; o
DE J Df 9
466
6219
255
2342
i
A) 7 B) 8
D) 10
A) FFF
D) FVF
B) VVV
C) 9
E) 4

378. COLECCION ESENCIAL Lumbreras Editores
Resolución
Observamos lo siguiente:
o
• Los números 2 son 466 y 2342.
o
• Los números 3 son 6219 y 255.
o
• Los números 5 son 255.
o
• Los números 9 son 6219.
Entonces en la tabla se tendrá
r •
; 466
Múltíplc
oe2
-
sí
Múltiplo
;. V' Ü'£ 3
NO
Múltiplo Múltiplo
: : 3 :
NO L NO
. ? ... •....
t" j
í 6219NO SÍ NO
4
SÍ
; 255 NO SÍ
. f
SI ‘ NO
2342 Sí NOi NO
i %,
NO
• N.° de veces NO: 10
• N.° de veces SÍ: 6
Por lo tanto, la diferencia entre la cantidad de
NO con la de SÍ es 4.
i Clave \
•
................... .’i ..
Entonces por la regla de 9, se cumple
o
4+a+3+a+6=9
o
4 + 2a + 9 = 9
a
I
9
o
4 + 2a = 9
O o
2(2+a) = 9 —> 2 + o = 9
-» o = 7
Luego
______ o_ ______ o_
Mo = 11 —> ¿>47 = 11
H
--f
Por el criterio de 11
O
¿>-4+7 = 11
0_
¿>+3 = 11
b = 8
. ■ ; Clave • ;
Problema N.° 38
______ _0_ ____ o_
Si se cumple que 1oo¿> = 45 y ¿»1c = 11, halle
axb xc.
Problema N.° 37
________________________
__________ o ______ ü
Si se cumple que 4o3o6 = 9 y ¿>4o = 11, halle el
valor de b.
A) 8 B) 7 C) 6
D) 5 E) 4
Resolución
Por dato del problema
__________ o
4o3o6 = 9
A) 320 B) 120
D) 210
Resolución
Por dato
_______ _0_
1 aab = 45
_____ o o
—> 1oo¿> = 5 y 9
Por el criterio de 5
¿>=0 o 5, pero ¿>*0
-> ¿> = 5
C) 60
E) 105

379. Capítulo 10 Teoría de la divisibilidad
Como 1oo6 = 1oo5=9, entonces por el criterio
de 9 tenemos
o
1+a+o+5=9
o
2o + 6 = 9
O O
2(a + 3) = 9 -> o + 3 = 9 -> o = 6
Luego
____ 0_
ble =11 -+ 6-1 + c = 11
0_
5-1+c = 11
' o_
4 + c = 11 —> c = 7
o x6xc= 6x5x7=210 /
i Clave { j
Problema N.° 39
Si ooò8ò = 99, halle b-a.
A) 1
D) 4
Resolución
Por dato
B) 2 C) 3
El 5
(*)00686 = 99
______ o. o
-+ ooó8¿> = 11 y 9
Por el criterio de 11
_________ o_ 0_
oob86 = 11 <—> / í - f!¡ + b -8 + b = '}'\
-> 2 6 -8 = 11
2(6-4) = 11
Luego se cumple que 2 es múltiplo de 11 o
(6-4) es múltiplo de 11. Pero como 2 no es
múltiplo de 11, entonces se tiene
6 -4 = 11
6=11(/r)+4<10
í
ü
-> 6 = 4
Reemplazamos en (*).
0(7484 = 9 —> o + o+4 + 8 + 4 = 9
2o + 16 = 9
2(o + 8) = 9
o
o + 8 = 9 —> o = 1
6-o = 3
Problema f l' 40
Clave
¿Cuántos números de tres cifras y múltiplos
de 5 se pueden formar con las cifras 0; 2 y 5
sin repetir ninguna de estas cifras?
A) 1
D) 5
B) 2 C) 3
E) 4
Resolución
Tengamos en cuenta que para que un núme­
ro sea múltiplo de 5, su última cifra debe ser
O o 5.
Entonces, podemos formar
2 5 O
5 2 O
2 0 5
. í nunir-r;
Por lo tanto, 3 números cumplen lo pedido.
: Clave \

380. PRACTIQUEMOS LO APRENDIDO
1* Determine cuántos de los siguientes
números son múltiplos de 9:
• 297
• 477
A) 0
D) 4
153
235
B) 1 C) 2
E) 5
2. Determine la cantidad de numerales de
dos cifras que son divisibles entre 17.
A) 4
D) 7
B) 5 C) 6
E) 8
3. ¿Cuántos numerales que se encuentran
comprendidos entre 81 y 468 no son divi-
*
sibles entre 9?
A) 345 B) 434 \ C) 235
D) 443 ' \ E) 344
4. Determine la suma de todos los números
enteros positivos menores que 140 que son
divisibles entre 12.
A) 792 B) 649 C) 725
D) 715 E) 782
5. ¿Cuántos números de tres cifras son
_o_ o
12 o 9?
A) 160
D) 110
B) 140 C) 150
E) 200
6. Entre 2000 y 6000, ¿cuántos números
terminan en 8 y son múltiplos de 12?
A) 67
D) 73
B) 69 C) 70
E) 82
7. Halle el residuo de dividir 98573x86484
entre 11.
A) 4
D) 7
B) 5 C) 6
E) 8
8. Determine el menor número de tres cifras
tal que al ser dividido entre 5; 6 y 18 se
obtienen residuos máximos.
A) 179
D) 205
B) 178 C) 190
E) 249
9. A una conferencia asisten 600 personas.
2
Se sabe que, de los varones, - son medi-
3 4 7
eos, — son abogados y — son contadores.
¿Cuántas mujeres hay en dicha confe­
rencia?
A) 105
D) 385
B) 325 C) 215
E) 155
10. Al dividir A + B entre 11 se obtiene 7 de
residuo, y al dividirA-fí entre 11 se obtiene
5 de residuo. ¿Cuál es el residuo al dividir
N xM entre 11?
A) 1
D) 6
B) 2 C) 5
E) 7
11. Una compañía editora manda empacar un
lote de libros; si lo hacen de 5 en 5, de 6
en 6 o de 8 en 8, siempre sobran 3. Por
lo que deciden empacarlo de 9 en 9, así
no sobra ninguno. Si el número de libros
no es menor que 100 y no llega a 400,
¿cuántos son?
A) 240
D) 243
B) 249 C) 248
E) 260

381. Capítulo 10 Teoría de la divisibilidad
12. Si ab + 2xab + 3xab + ... + '\4xab = W ,
calcule el mayor valor de ab.
A) 67
D) 73
B) 85 C) 70
E) 82
13. Dado
N = 111012x10234x7258,
halle la suma de las tres últimas cifras al
expresar N en base 2.
A) 1
D) 4
B) 2 C) 3
E) 5
14. ¿Cuántos años múltiplos de 7 y 23 hay en
este milenio?
A) 3
D) 6
B) 4 C) 5
E) 7
15. Si N = abbo, indique entre qué número
siempre es divisible N. Considere que o
es par.
A) 48
D) 22
B) 99 C) 55
E) 66
16. Sean ab = 5 y baa = 7. Calcule el valor de
bxo si o es par.
A) 20
D) 25
B) 35 C) 40
E) 45
17. Si 47x9yy es divisible entre 9 y 11 a la vez,
halle 3x+y.
A) 4
D) 21
B) 6 C) 22
E) 11
18. Determine un número capicúa de cinco
cifras múltiplo de 9 y 25. Luego dé como
respuesta la suma de los valores de la cifra
central.
A) 9
D) 11
B) 12 C) 5
E) 7
19. Si ooa37b = 88, calcule b-o.
A) 1 B) 2-
D) 4
20. Se cumple que
C) 3
E) 5
8c(£> + 6) = 11 y acb{a + 4) = 25.
Calcule axbxc.
A) 18
D) 10
B) 35 C) 14
E) 21
21. Si Juííssa se casó el jueves 2 de abril del
2015, ¿qué día de la semana celebrará sus
bodas de plata matrimoniales?
A) lunes
B) martes
C) miércoles
D) viernes
E) domingo
22. La cantidad de soldados de un cuartel
está comprendida entre 850 y 950. Si se
cuentan de 12 en 12, sobran 5; de 15 en 15,
sobran 8; y de 18 en 18 faltarían 7 para
formar un grupo más. Halle la cantidad de
soldados que hay en dicho cuartel.
A) 924
D) 932
B) 875 C) 907
E) 893

382. COLECCIÓN ESENCIAL Lumbreras Editores
23. ¿Cuántos números de la forma 4a672b son
divisibles entre 72?
A) 0
D) 3
B) 1 C) 2
E) 4
24. Determine cuál es el valor del menor
número entero positivo que se debe
sumar al número abcQ para que sea
divisible entre 17 si se sabe que el número
2abe al ser dividido por exceso entre 17 da
como residuo 13.
A) 17
D) 8
B) 12 C) 10
E) 11
25. Dadas las siguientes proposiciones, indi­
que cuántas de ellas son verdaderas.
___ O __ O ' ,A ' <
I. Si abc = 9, entonces b+ac = 9.
II. Si o + ¿) = 8, entonces a y b son 8.
____ 0_ . _____ 0_
III. Si a b e -11, entonces eòo = 11 (c^O). K "
IV. ( 10 + 6 ) =10 + 6 (n e Z +) : x "W '
A) 0
D) 3
B) 1 C) 2
E) 4
26. Indique la secuencia correcta de verdad (V)
o falsedad (F) según corresponda.
|. 20 es divisible entre 6.
||. 30 es múltiplo de 5.
III. 4 es múltiplo de 8.
IV. 50 es múltiplo de 50.
A) FFVV
D) VVVV
B) VVFF C) FVVV
E) FVFV
27. ¿Cuántos números enteros comprendidos
entre 100 y 500 son divisibles entre 47?
A) 6
D) 9
B) 7 C) 8
E) 10
28. ¿Cuántos números de tres cifras son
divisibles entre 6, pero no son múltiplos
de 15?
A) 60
D) 180
B) 150 C) 120
E) 90
29. En una conferencia se observó que la
cantidad de personas que asistieron está
comprendida entre 400 y 500. La décima
parte son casados, la tercera parte son
mujeres y la séptima parte usan corbata.
¿Cuántas personas asistieron a dicha con­
ferencia? Dé como respuesta la suma de
cifras.
A) 4
D) 7
B) 5 C) 6
E) 8
30. Si se sabe que o2ó3o = 36 y 5a = 7, calcule
el valor de axb + a+b.
A) 13
D) 7
B) 10 C) 8
E) 2
31. Se cumple que 7a5ó = 36. Halle el residuo
de dividir (2a)6ó entre 11.
A) 2
D) 7
B) 5 C) 4
E) 3

383. Capítulo 10 Teoría de la divisibilidad
32. Sabemos que
___ — ___ o ___ o
abc = W, cba = 8 y abe = 9 + 3.
Calcule el valor de axbxc.
A) 24 B) 48 C) 72
D) 12 E) 36
3
33. En una reunión se observa que los - de
los asistentes son varones; de las mujeres,
■ 6 , , 2
los — son ingenieras y de estas, los - son
limeñas. ¿Cuántos varones asistieron si la
A) 1428 B) 476 C) 714
D) 595 E) 812
o
34. ¿Cuántos números de tres cifras son 30,
o
pero no 4?
A) 23 B) 15 C) 21
D) 24 E) 20
35. Determine la última cifra que se obtiene al
expresar N en el sistema octanario.
A/=o¿?234x/n11012xp5712x/nn6524
cantidad de personas está comprendida
entre 1000 y 1320?
I it k 5 jI I
A) 2
D) 3
B) 1 C) 4
E) 5
1
Claves
1
5 9 13
2 6 10 14
3 7 11 15
4 8 12 16
i
17 21 25 29 33
18 22 26 30 34
19 23 27 31- 35
20 24 28 32

385. CLASIFICACION DE LOS NUMEROS
ENTEROS POSITIVOS (Z*)
Aprendizajes esperados
• Reconocer y aplicar las propiedades de los números
primos relativos en los problemas.
• Descomponer canónicamente un número entero positivo
en sus factores primos.
• Calcular la cantidad y la suma de los divisores de un
número entero positivo.
¿Por qué es necesario este conocimiento?
El estudio de los números primos tiene mucha importancia,
principalmente sus aplicaciones. Por ejemplo, el algoritmo
RSA (Rivest, Shamir y Adleman) se basa en la obtención de
la clave pública mediante la multiplicación de dos números
grandes (mayores que 10100) que sean primos. La seguridad
de este algoritmo radica en que no se conocen maneras
rápidas de factorizar un número grande en sus factores
primos usando computadoras tradicionales.
El estudio de los números primos es una parte importante
de la teoría de números. Están presentes en algunas
conjeturas centenarias tales como la hipótesis de Riemann y
la conjetura de Goldbach, esta última recientemente resuelta
por el peruano Harald Helfgott en su forma débil.
La primera prueba indiscutible del conocimiento de los
números primos se remonta alrededor del año 300 a.n.e.
Euclides demuestra que hay infinitos números primos y
los define, así como el máximo común divisor y el mínimo
común múltiplo.
Hoy en día, una de las aplicaciones más habituales de los
números primos es su uso para la seguridad en Internet, en
lo que se denomina criptografía de clave pública (llamada
también asimétrica).
Sin entrar en muchos detalles, dos números primos son
combinados para generar un sistema de clave pública y
privada que permite intercambiar mensajes con seguridad
a través de Internet.

386. COLECCION ESENCIAL Lumbreras Editores
Clasificación de los números enteros
positivos (!., ' )
A la unidad también se le llama
primo relativo. El conjunto de
los números primos es infinito.
: Euclides hizo la primera demos-
I tración aproximadamente el año
¿ 300 a.n.e.
1. CLASIFICACIÓN SEGÚN LA CANTIDAD DE DIVISORES
1.1. Números simples
Son aquellos números que tienen uno o dos divisores.
1.1.1. La unidad
Es el único número entero positivo que tiene un solo divisor
(él mismo).
1.1.2. Números primos absolutos
También se les llama simplemente números primos. Son aque­
llos números enteros positivos que poseen solo dos divisores:
la unidad y el mismo número.
Ejemplos
2; 3; 5; 7; 11; 13;...
1 í il 't \f i
{1111 1 1
2 3 5 7 11 13
Ningún número primo mayor
{ que 2 se puede
: como (4+2) O (4-
j De manera parecida, ningún
: número primo mayor que 3 se
í puede representar como (6+ 3)
: 0 ( 6 - 3 ) .
representar .
2 ).
Propiedades
a. Los números primos son impares, excepto el 2.
b. Los dos únicos números consecutivos que son primos a la
vez son el 2 y 3.
c. Los tres únicos números Impares consecutivos que son
primos a la vez son el 3; 5 y 7.
d. Todo número primo mayor que dos es de la forma (4+1) o
(4-1).
Ejemplos
• 13 = 4+1
• 29 = 4+1
19 = 4-1
47 = 4-1

387. Clasificación de los números enteros positivos (Z+)
¡Cuidado!
Respecto a esta propiedad, lo contrario no
siempre se cumple.
Ejemplos
■ ■■■■■ ^ O . ' ", - - ■ "■ 1 > ■:
• 15 = 4-'; pero 15 no es primo.
o,
• 49 = 4+1; pero 49 no es primo. * •
e. Todo número primo mayor que 3 es de la
forma fe+l) o fe-i).
Ejemplos
• 43 = 6+1
• 71 = 6-1
19=6+1
• 29=6-1
¡Cuidado!
Respecto a esta propiedad, o contrario no
siempre se cumple.
Ejemplos
o
• 55 = 6+1; pero 55 no es primo.
o
• 77 = 6-1; pero 77 no es primo.
1.2. Números compuestos
Son aquellos números enteros positivos que
tienen más de dos divisores.
Ejemplos
divisor i
i— m e n o r n u m e r o c o m p it e s
f
4; 6; 8; 9; 10; ...
í f I í I
11111
2 2 2 3 2
4 3 4 9 5
6 8 10
1.2.1. Propiedad
Todo número compuesto tiene siempre por lo
menos un divisor primo.
1.2.2. Procedimiento para determinar.+ un
número es primo o no
Paso 1
Se calcula la raíz cuadrada del número. Si es
exacta, no será primo.
Paso 2.
Si la raíz es inexacta, se hallan todos los
números primos menores o iguales a la parte
entera de dicha raíz cuadrada.
Pciso 3
Se divide el número dado entre cada uno de
los números primos hallados en el paso ante­
rior (de menor a mayor).
* El número dado es primo si no resulta ser
divisible por ninguno de los primos indi­
cados.
* El número dado será compuesto si por lo
menos resulta ser divisible por uno de los
primos indicados.
Ejemplos
1. ¿Es 67 un número primo?
Veamos
Paso 1
V67 = 8,18...
Paso 2
{2; 3; 5; 7} <8

388. COLECCIÓN ESENCIAL Lumbreras Editores
Paso 3
Dividimos
Paso 3
Dividimos
2;
3;
5;
7;
67 = 2+1
67 = 3+1
67 = 5+2
67 = 7+4
En conclusión, 67 es un número primo..
2. ¿Es 127 un número primo?
2; 209 = 2+1
3; 209 = 3+2
o
209-
5; 209 = 5+4
o
7; 209 = 7+6
11; 209 = 11
13
Veamos
Paso 1
Vl27 = 11,26...
Paso 2
{2; 3; 5; 7; 11} <11
Paso 3
Dividimos
Como 209 es divisible entre TI, ya no es
necesario dividir 209 entre 13. Entonces se
concluye que el número 209 no es primo,
es compuesto.
Ap l i c a c i ó n 7
Calcule la diferencia entre el mayor número
primo de dos cifras y el menor número primo
de tres cifras.
2; 127 = 2+1
o
3; 127 = 3+1
o
127-5; 127 = 5+2
7; 127 = 7+1
Re s o l u c i ó n
Observamos lo siguiente:
• Mayor primo de dos cifras: 97
• Menor primo de tres cifras: 101
101-97=4
0_
11; 127 = 11+6
Por lo tanto, 127 es un número primo.
3. . ¿Es 209 un número primo?
Veamos
Paso 1
V2Ó9 = 14,45...
Paso 2
(2; 3; 5; 7; 11; 13} <14
Ap l i c a c i ó n 2
Sean o; b y c números primos diferentes entre
sí tales que a + b=19 y b + c =43. Calcule a+c.
Re s o l u c i ó n
Observamos lo siguiente:
a + ¿> = 19 y ¿> + c = 43
í í í !
J7 £ ^ 4 0 ,
impar+par impa, panimf.Mr-itvip.il
V V
primo pumo
17+41 = 58

389. Capítulo 11 Clasificación de los números enteros positivos (Z*)
Ap l i c a c i ó n 3
¿Cuántos números primos se representan
como numerales capicúas de tres cifras del
sistema ternario?
Resolución
Sea P uno de dichos números primos.
Por condición
P = o b a 3= a x 3 2+ b x 3 + a
im p a r p a r im p a r
rp'= 10a+ 36
t t t
-13 11'"
23 2. 1
Por lo tanto, dos primos se representan como
numerales capicúas de tres cifras del sistema
ternario.
Ap l i c a c i ó n 4
¿Cuál es el residuo que se obtiene al dividir el
producto de los 100 primeros primos entre 60?
Resolución
Nos piden R.
2. CLASIFICACION POR GRUPOS DE
NÚMEROS
2.1. Números primos entre sí
También denominados números PESI, números
coprimos o primos relativos. Son aquellos
grupos de números que tienen como único
divisor común a la unidad.
Ejemplos
1. Veamos para 4; 9 y 6.
4: (1); 2; 4
9: © 3; 9
6 i ©; 2; 3; 6
L único el,visorcomúi
Por lo tanto, 4; 9 y 6 son PESI.
2. Veamos para 12; 18 y 25.
■ : * d iv is o r e s
12:©; 2; 3; 4; 6; 12
1 8 :© 2; 3; 6; 9; 18
25: 1; 5; 25
Sea
P = 2x3x5x7x11x... = 60+/?
100 primeros primos
Veamos
P = (2 x 3 x 5) x (7 x 11 x ...)
P -30x(impar)
P = 30x(2+l)
o
P = 60 + 30
R <60
L ú n ,t o d .« = o r c o m ú n
Por lo tanto, 12; 18 y 25 son PESI.
3. Veamos para 35; 21 y 14.
35: ©; 5; (7); 35
21: © 3; (7): 21
14: © 2; (7); 14
V á
\ /
R=30 Por lo tanto, 35; 21 y 14 no son PESI.

390. COLECCIÓN ESENCIAL Lumbreras Editores
Propiedades
a. Dos o más números consecutivos siempre
son PESI.
b. Dos o más números impares consecutivos
siempre son PESI.
c. De un grupo de números, si dos de ellos
ya son PESI, entonces todo el grupo de
números son PESI.
d. Si dos números (a y b) son PESI, entonces
• a; b y (a+b) son PESI.
• a; b y {o—tí) son PESI si a > b .
• o y {a+b) son PESI.
• a y {o -b ) son PESI si a > b.
• b y (a + b) son PESI.
• b y {a -b ) son PESI si o > b.
Aplicación 5
Dadas las siguientes proposiciones, indique
verdadero (V) o falso (F) según corresponda.
I. El 2 es el único divisor primo de 36.
II. Los números 18 y 14 son PESI.
III. El número 41 es un número primo.
Resolución
I. Falsa
Otro divisor primo de 36 es el 3.
II. Falsa
Ambos números son divisibles entre 1 y 2.
III. Verdadera
Porque es divisible entre 1 y 41 solamente.
Importants 0
• si Aies PESI con 2, entonces N * *2.
o o
• Si M es PESI con 21, entonces M * 3 y M * 7,
2.2. Números primos entre sí 2 a 2
(RES! 2 a 2)
Son aquellos conjuntos de números que al ser
comparados de 2 en 2, cada pareja de ellos
resulta ser PESI.
Ejemplos
1. Para los números 19; 21 y 8
son PESI <0^
son PES
19: u 19
21 : ©; 3; 7; 21
19 : (T; 19
- 8 : © 2; 4; 8
' . . • 21: 1); 3; 7; 21
• 8 : ©; 2; 4; 8
Por lo tanto, 19; 21 y 8 son PESI 2 a 2.
2. Para los números 8; 15 y 27
so n P E S I
no ¿on
8: 1; 2; 4; 8
15: 1; 3; 5; 15
8: 1; 2; 4; 8
27; © 3; 9; 27
• o : O 3; 5; 15
■ 27: ©); ®; 9; 27
Por lo tanto, 8; 15 y 27 no son PESI 2 a 2.
Propiedad
Si un grupo de números es PESI 2 a 2, enton­
ces dicho grupo siempre será PESI, Lo contra­
rio no siempre se cumple.

391. Capítulo 11 Clasificación de los números enteros positivos (Z*)
3. TEOREMA FUNDAMENTAL DE LA
ARITMÉTICA
Todo número entero positivo mayor que la
unidad se puede expresar como la multiplicación
indicada de sus divisores primos diferentes
elevados a exponentes enteros positivos. Esta
representación es única (salvo el orden de sus
factores) y se le denomina descomposición
canónica del número.
Este teorema también es conocido como
teorema de Gauss o teorema de factorización
única.
Ejemplos
1. Realizamos descomposición canónica en el
número 120.
120
60
30
15
5
1
120 = 2x3x5
2
2
2
3
5
1wr1
descomposición
canónica (DC)
O b se rvam os que 2; 3 y 5 son los únicos
divisores prim os de 120.
2. D esarrollam os descom posición canónica
de los siguientes números:
a. 20nx30n =(22x5) x(2x3x5)n
20nx 3 0 n=22nx 5 nx 2 nx 3 nx 5 n
20nx30n = 23nx3nx52n
V
-----------------y-----------------J
DC
b. N = 7m+2- 7 m = 7 m x ( 7 2 - l )
N = 7 m x4 Q
N =7mx24x31
A/ = 24 x31 x7m
Ap l ic a c ió n 6
Sea N un número entero positivo tal que
N = gq+1 x (c?+1)°
DC
Calcule el valor de N.
Re s o l u c ió n
Del dato, a y (a+1) son los divisores primos
de N.
—> o=2 y a+1=3
N =23x32=8x9=72
Dato curioso
Multiplicar dos números primos es fácil, pero
no tanto hacer lo contrario: descomponer un
número en sus factores primos. En el caso de
números grandes, es casi imposible.
En realidad, esto hace tan difícil que los núme­
ros primos sean perfectos para crear códigos
secretos indescifrables.
Cuando una persona hace una compra por
Internet, sus datos quedan ocultos por un códi­
go creado de esta manera: la “cerradura” para
el código es un número enorme y la “llave”
está formada por los factores primos de ese
número.

392. COLECCION ESENCIAL
4. ESTUDIO DE LOS DIVISORES DE UN
NÚMERO ENTERO POSITIVO
4.1. Cantidad de divisores de un número
ÍCD(N))
Ejem plo
Hallamos la cantidad de divisores de 24.
24 = 23 x 31
t t
í 1 • -1 - 1; 2; 4; 8
2 ^ 3 — 3; 6; 12; 24
' 23
(DC)
d iv i s o r e s <
d iv is o r e s d e 2 4
• CD(24) = 4/^2 = 8
(3+1) (1 + 1) J ' 4
Notación *■ >
Sea N e Z+ tal que N = o m x b n x c p
^ v
DC * J j ;>
La cantidad de sus divisores se calculará así:
CD(/V)=(m+1)x(n+1)x(p+1)
Importante
Se cumple
C D (A /) = CD(/V)s¡mples + C D (/V )c0mpúestos
CD(/V')s¡mp|es = CD(A/)pr¡nnos+1
C D (n) = CD(A/)prap¡os +1
Los divisores propios de N son todos los
sores de N que son menores que N.
Ejemplo
Dado el número 24 cuyos divisores son
divisor t-f.. ríiyípkes
simples compuestos
X 2 ¡ J j4; 6; 8; 12; 14'
■ . iUm oh-í
. primos
L
______,______'
■ . ■ m a sfa ■ ■
pioplDS
divi-
Ap l ic a c ió n 7
Si A/=360, calcule
a. CD(N)
b. CD(/V)pr¡mos
C. C D (A /)compUestos
d. CD(/V)r'propios
e. CDo(/V)
6
Re s o l u c ió n
Se tiene
/V = 360 = 23 x32 x51
a. CD(360) = (3 + 1)x(2 + 1)x(1 + 1)=4x3x2
CD(360)=24
b. CD(360)primos=3
c. CD(/V) = CD(N)s¡mpies + CD(/V)
CD(/V) - CD(/V)pr¡mOS +1 + CD(A/)
compuestos
compuestos
24 = 3 + 1 + CD(/V)r
^compuestos
'compuestos
CD(Ay)rnnrmiip<;tnc; = 24 — 4 = 20
d. CD(N) = CD(N)prop¡os +1
.. CD(/V)prop¡os = 24-1 = 23
e. CDo(360) = 23 x 32 x 51 = 2 x 3 x (22 x 31 x 51)
6 T
C Do(3 6 0 ) = (2 + 1 )x(1+ 1 )x(1 +i)
6
CDo(360)=3x2x2
6
CDo(360) = 12
6

393. Clasificación de los números enteros positivos (Z*)
■ ; :4 ! W
Importante
Sea /V=P’7, donde P es primo y n e Z + .
r-C'V '' " ' !<<> ‘ ’i!i* *!.»2 < r
De ello se cumple
ni
^ V S x v . . v
\\\v
CD(W)=n + 1
r770*XvvW _
^iildado!
Guando se quiera hallar la cantidad de divisores
de un número, debemos;garantizar que esté
descompuesta canónicamente.
Ejemplo ;
Si N = 6 2x153
(, //.v I n H
s e CD(/V)=(2+1)x(3+1) : . (incorrecto)
pues N no está descompuesto canónicamente.
'Luego N =(2x3)2x(3x5)3
\m \m22x35x53 3 ¡E
DC-
CD(A/)=(2+1)x(5+1)x(3+1)=72 (correcto)
Riteataaber
ó IS
Si el número de divisores positivos de 3(21)
2 G- C .
es igual a - del número de divisores que tiene
(50)^, el valor de K es
A) 6
D) 10
B) 4 C) 8
E) 12
UN AC 2007 -I
4.2. Suma de divisores de un número
entero (CD(/V))
Ejemplo
Hallamos la suma de los divisores de 24.
24 = ¿ x 3 l
DC
Luego
SD(24)=1+ 2+4+8 + 3 + 6 + 12 + 24
SD(24)=(1 + 2+4+8) + 3(1+ 2+4+8)
SD(24)-(1 + 2+4+8)x(1 + 3)
M i í
2’ 2 2 2‘ 3’
—>SDÍ24):
^ 23+1
_-j
2-1
G 1+1- 4
3-1 ,
SD(24)=15x4
SD(24) = 60
Notación
Sea N e Z + tal que
N = o m x b n x c p
v
----------v j
La suma de sus divisores se calculará de la
siguiente manera:
s d(n)
oi w i- 1] i b'
\ a - 1
-]-1 ] í c ^ 1-
\ b- 1 i A l c - 1 J
Importante
Sea N e Z + tal que
N = c?m x bn x cp (DC)
X
Se cumple también
• C D (N ) = Cd(c/ ” )-'Cd(¿.’, : ).\ C D (c ' )
M-4;
SD(A/) = Sd(cj' " )xSd(¿>'’ )xSd(c-")
V. J
19

394. COLECCIÓN ESENCIAL Lumbreras Editores
Aplicación 8
Halle el promedio de los divisores de 72.
Resolución
Nos piden
M A
Luego
divisores^ _ SDÍ72)
. de 72 J~CD(72)
72 = 23 x32
DC
CD(72)=(3 + 1)x(2+1)=4x3=12
SD(72) = '
24 - i l Í33-1S
2-1V 3-1
-> SD(72)=15x13
-> M A
divisores
de 72
5
>_ /3^x13_65
, " y i ~ 4
M A
V
divisores
de 72
= 16,25
Aplicación 9
Calcule la suma de los valores que asume n si
5n; 28 y 42 son PESI.
Resolución
Por dato 5ñ; 28 y 42 son PESI.
o o
Observemos que 28 y 42 son 2 y 7. '
___ o ___ o
-» Sn * 2 y 5r? * 7
En consecuencia, n es impar.
5ñ = 51; 53; 55; 57; 59
n: 1; 3; 5; 7 y 9
suma de los
valores de n
=1+3+5+7+9=25
Aplicación 10
¿Cuántos números de la forma ab6 son primos
absolutos?
Resolución
De la pregunta se tiene que
abe =
^número ^
primo
Por la propiedad del intervalo de variación
tenemos
6] < a b e < 6 2
' V ."
. 61<
numero
primo
<36
7; 11; 13; 17; 19; 23 y 29
Aplicación 11
¿Cuál de los siguientes números es primo?
• 133 • 137
• 161 • 187
• 143
Resolución
Para determinar si un número entero positivo
resulta ser un primo, usaremos los criterios de
divisibilidad.
O O
• 133 = 7 porque 2x1 + 3x3 + 1x3=14 = 7
231

395. Capítulo 11
Clasificación de los números enteros positivos (Z+)
• 161 = 7 porque 2x1 + 3x6+1x1=21=7
231
• 143 = 11 porque 1 -4 + 3 = 0 = 11
O £
• 187 = 11 porque 1-8+7 = 0 = 11
Por lo tanto, 137 es un primo.
Aplicación 12
Se tienen tres números primos que se encuen­
tran en progresión aritmética de razón 6. Si la
diferencia de los cuadrados del mayor y menor
es 1608, calcule la suma de cifras del primo
intermedio.
Resolución
Sean ( n -6); n y (n + 6) dichos números primos.
Por condición
(n + 6)2 - ( n - 6 ) 2 =1608
(n2+12n + 3 6 )-(n 2-12n + 36) = 1608
/ / / + 12n + =1608
12n+12/i=1608 24n=1608
1608
—y
n =
24
- = 67
\a+4
Aplicación 73
Sea A/=(2a+1)°x(2a+3)0+2x(2o+5)t
la descomposición canónica de N. Calcule la
cantidad de divisores propios de N.
Resolución
Nos piden CZD(/V)propios*
i
..."• '
v N o OLVIDE
CD(N)prop¡os = CD(N)-1
Del dato
M=(2g+1)°x (2o+3)°+2 x (2o+5)°^ (DC)
En consecuencia tenemos
2o + 1=3; 2o + 3 = 5 y 2o + 5=7
—> o- 1
vO+4
Luego
/V = 31x51+2x71+4 -> N = 3'x53x75
-+ CD(/V)pr0p¡0S=(1 +1)x(3 + 1)x(5+1)—1
••• CD(/V)prop¡os=48-1=47
Ap l i c a c i ó n 14
Sean 4=15x20n y fí=15nx20. Si la cantidad
de divisores de B es excedida por la cantidad de
divisores de 4 en 28, calcule el valor de n.
Re s o l u c i ó n
Como la cantidad de divisores de B es exce­
dida por la de 4 en 28, se cumple que
CD(ß) = CD(4)-28
(*)
Luego
4 = 15x20n = 3x5x(22x5y
4 = 22/1x3x5n+1
ß = 15n x 20=(3 x 5)n x 22 x 5=3n x 5n+1 x 2
íAK, rH +1

396. COLECCION ESENCIAL Lumbreras Editores
En (*)
(n+1)(n + 2) x 3=(2n + 1)(2)(n+2) - 2 8
2 8 = (2n+1)2(n + 2)-(n+1)(n + 2)x3
2 8=(n + 2)((2n + 1)x2-(n+1)x3)
2 8 = (n+^x(n-l)
7 4
n = 5
Aplicación 15
Si A = 30nx9n tiene 321 divisores compuestos,
calcule el valor de n.
Resolución
Dato:
A = 30nx9n f : , ti
Operamos
/A = (2x3x5)nx(32)n
A = 2n x 3 n x S n x 3 2n
A = 2n x 3 3nx S n (DC)
~ * CD(/4)compUestos - CD(/4)-CD(/4)s¡mp|es
321 = CD(/4)-(CD(/4)pr¡mos + 1)
321 = (n+1)(3n+1)(/i+1)-(3+1)
325 = (3n + l)x0>fl)2
13 52
—» n +1 = 5
n = 4

397. Capítulo 11 Clasificación de los números enteros positivos (Z*)

398. Problema N.' 1
¿Cuántos de
primos?
los siguientes números son
• 29 • 57
• 37 • 87
• 49 • 69
A) 1
B) 2 C) 3
D) 4
E) 6
Resolución
Núm ero • Divisores
29 ✓ 1; 29
37 ✓ 1; 37
49 x 1; 7; 49
57 ^ 1; 3; 19; 57
87 x 1; 3; 29; 87
69 x 1; 3; 23; 69
: C lave • J
Problema N.° 2 n , v \ j r
¿Cuántos de los siguientes números son PESI
con 42?
• 91 • 26
• 57 • 31
• 25 • 54
A) 1
B) 2 C) 3
D) 4 E) 5
Resolución
O 0 0
Como el número 42 es 2; 3 y 7, aquellos
números que
0 o o
2 ni 3 ni 7.
son PESI con 42 no deberán ser
91 = 7 y 13
X
0 2L
57 = 3 y 19
X
0
25 = 5
o _2_
26 = 2 y 13
31 es primo
0 0
54 = 2 y 3
X
i Clave
Problema N.a 3 * I. II. III. IV.
Dadas las siguientes proposiciones, indique
verdadero (V) o falso (F) según corresponda.
I. El 2 y 3 son los únicos números consecu­
tivos que son primos.
II. El número 223 es primo.
III. Los números 87 y 57 son PESI.
IV. El número 30 tiene cuatro divisores que
son simples.
A) VFVV B) VVFV C) VFFV
D) FVVF E) FFVF
Resolución
I. Verdadera
Porque es una propiedad de los números
primos.
II. Verdadera
Para saber si el número 223 es o no primo,
realizamos lo siguiente:
Paso 1
V223 = 14,93...
Paso 2
{2; 3; 5; 7; 11; 13} <14

399. Capítulo 11 Clasificación de los números enteros positivos (Z*)
223-
Paso 3
Dividimos
2; 223 = 2+1
3; 223 = 3+1
5; 223 = 5+3
7; 223 = 7+6
0_
11; 223 = 11+3
o
13; 223 = 13+2
Entonces; 223 es primo.
III. Falsa
O J r
Ambos 57 y 87 son 3.
IV. Verdadera
Los divisores simples de 30 son 1; 2; 3 y 5.
C la ve ,.
Problema N.* 4
¿Cuántos divisores primos tiene N?
N =36x25x13'x35"?
A) 20
D) 5
B) 10 C) 8
E) 12
Resolución
Para determinar cuántos divisores primos
tiene un numero entero positivo, hallamos su
descomposición canónica.
N = 36x 25x 133x(35i2
X /
N = (D 6x(D5x@ 3xCD2x@ 2 (DC)
divisores primos
Problema N.° 5
_______________________
Halle la suma de los divisores primos de 42.
’ C la ve
A) 13
D) 9
B) 8 C) 6
E) 12
Resolución
Los divisores de 42 son
1; (2); © ; 6; ® ; 14; 21; y 42
divisores primo
Nos piden
5 = 2 + 3 + 7 = 12
C la ve
Problema .N." 6 ^ ______________________________
Sabiendo que M=2*x32x5 tiene 24 divisores,
halle el valor de x.
A) 3-’ B) 2
D) 4
Resolución
Dato:
M = 2*x32x51
Luego
CD(M) = 24
(x + 1)(2 + 1)(1+1) = 24
(x+1)x6=24
-> x+1=4
x=3
C) 5
E) 12
• C la ve

400. COLECCIÓN ESENCIAL Lumbreras Editores
Problema N.* 7
_____________________ ___________
¿Cuántos divisores compuestos tiene N I
N = 352x213
A) 72 B) 70 C) 68
D) 56 E) 60
Resolución
Nos piden CD(N)compuestos.
Recordemos que
CD(N) = CD(N) + CD(w)compuestos (*)
Luego, hallamos la descomposición canónica
para determinar su cantidad de divisores.
A/=352x213
A/=(5x7)2x(3x7)3
N = 52x72x33x73
Entonces
N = @ 3x© 2x( T f (DC)
divisores primos ■
En (*)
C U ÍN ) = CD (A/ )pr¡mos + C D (A/ Icompuestos
Problema N.° 0
________________________
Halle la suma de los divisores de 90.
A) 324 B) 234 C) 423
D) 180 E) 216
Resolución
Nos piden SD(90).
Para hallar la suma de todos los divisores
de 90, primero hallamos su descomposición
canónica.
90
45
15
5
1
2
3
3 -> 9 0 - 21x32x51
r; DC
Luego
SD(90) =
21+1-1
L 2-1 )
-> SD(90)=3x13x6
.-. SD(90) =234
x
f 32+1- 1 N
V 3-1 J
( r1+1
X
5-1 ;
; Clave \
Problema N.* 9
______________________
¿Cuántos divisores de 40 500 son impares?
A) 36 B) 42 C )4 0
D) 20 E) 30
(3 + 1)(2 + 1)(5 + 1) — 3 + j H C D (A /)compuestos
' 72 4
/. CD(A/)compuestos = 72 — 4 — 68
; Clave [
. ...........................1» *
Resolución
Observamos lo siguiente:
CD(A/)pares +CD(/V)¡mpares =CD(N)
~ > CD(A/)jmpares = CDÍAy)- CD(/V)pares (*)

401. Capítulo 11 Clasificación de los números enteros positivos (Z*)
Además
CD(N)pares = CDo(N)
2
Luego, hallamos la descomposición canónica
de N=40 500.
N = 4 0 5 x 1 0 0
N =5 x 8 1 x 4 x 2 5
w-' s-1
34 ?/■ 5,: '•
N = 22x34 x53
V
_______________/
DC
-> CD(/V)=(2 + 1 )x(4+ 1)x(3 + 1 )
CD(/V)=3 x 5 x 4
C D (N ) = 60
Ahora para hallar la cantidad de divisores que
son 2, factorizamos un 2 en su descomposición
canónica.
Problema N/ 10
\ .
Es decir
A/=22x3 4x5 3
i
■
. -
N= 2x(21x34x53)
-> CD0(N) = (l^ (4 jj)(3 + l)
2 4
CDo(A/) = 40
2
R ee m plazam os los resultados obtenidos en (*).
CD(/V) impares = Ú0 — 40 = 20
; C la v e ■ ;
Si ab es un número primo absoluto, ¿cuántos
divisores tiene el número abab?
A) 4
D) 7
Resolución
Del número
B) 8 C) 6
E) 2
abab = abOO + ab
abab = 10Oab + ab
abab = 101 x ab
~~DC V 101 y ab
i C la v e \
! son primos
/. Cd(o¿o¿))-(1 + 1)x(1 + 1) = 4
Problema N.‘ 11
_______________________________
Si la suma de dos números primos es 199,
calcule la suma de cifras del mayor.
A) 10
D) 17
B) 15 C) 12
E) 19
Resolución
Sean a y b dichos números primos.
Por condición
i_o_j + i_b_t = 199
impar par impar
y
primo
Se deduce que b =2; entonces a =497.
(suma de cifras)=1+ 9 + 7=17
i C la v e .

402. COLECCIÓN ESENCIAL
Lumbreras Editores
Problema N.° 12
Calcule la cantidad de divisores que tiene
N = 8 k+ 8 k+2 si se sabe que el número 209^+1
tiene kA divisores.
A) 60 B) 48 C) 64
D) 72 E) 76
Resolución ' "
Nos piden CD(N). Para calcular la cantidad de
divisores de N, primero hallamos su descom­
posición canónica.
N = 8 k+ 8 k+2
N = 8 M l+ 8 2) -> N = 23*x65
N=23(rx5lx131
Luego
CD(/V) = (3k +1) x (1 +1) x (1+1)
CD(N) = (3/r+1) x 2 x 2=4x(3/:+1) (*)
Dato:
CD(209U1) = ^4
Observamos que
209^+1 = (11x19)A+1 = 11*+1 x19^+1
__ DC
CDÍ209M ) = k4
(k + U Í)x (k + M ) = k4
(k + 2 )x (k + 2) = k4
(ik+2)¿ = k4
par par
r (82 = 64)
—> k = 6
Problema N.° 13
______________________________
La suma de tres números primos diferentes es
60 y la suma de cifras del mayor es 5. Calcule
la diferencia de los otros dos.
A) 11 B) 14 C) 15
D) 17 E) 21
Resolución
Sean o; b y c dichos números primos diferentes.
Por condición
a + b + c = 60
t. í t í '
par par par par *
impar impar par par ^
Luego c = 2
I— a m a dejaras
a"+ b = 58
rmaV>5 !
stí'-o 4 1
17-2-15
: C la ve .
Problema N.° 14
¿Cuántos numerales de tres cifras son PESI
con 36?
A) 180 B) 600 C) 300
D) 150 E) 450
Reemplazamos el valor de k en (*).
CD(N) = 4 x (3x6 + 1) = 4 x 1 9
C D (N ) = 76
i Clave [
Resolución
o o
Como 36 = 2 y 3, los números de tres cifras
que son PESI con 36 serán todos aquellos
0 °
números que no sean 2 ni 3.

403. Capítulo 11 Clasificación de los números enteros positivos (Z*)
Luego
cantidad de números
O
que son 2.
^Cantidad de números
O
v que son 3
( Cantidad de números
900
900
900
que son 6
f cantidad de números de
O O
tres cifras que no son 2 ni 3¿
= 450
= 300
= 150
= 300
C lave
Problema N.° 15
¿En cuánto excede la cantidad de números
compuestos de la forma abc3 a la cantidad de
números primos de la forma pqrs23
B) 9A) 8
D) 11
C) 10
E) 12
Resolución
Por la propiedad del interior de variación se
sabe que
i i números
o impuestos
Además
23<
—— 1 -,4
p q rs2j < 2
•11 o 13}
7 n ú m e r o s p r im o s
13-2=11
■ C la ve \
Problema N.° 16
¿Cuántos divisores 12 tiene A si la descompo-
d e A e
B) 56
sición canónica de A es 24x36x5~7
A) 60
D) 75
C) 72
E) 80
Resolución
Para determinar cuántos divisores de A son
O
12, factorizamos un 12 en su descomposición
canónica.
A = 24x36x53 =22x3(22 x35x5b)
CDn(/0 = (2 + l)(5 + l)(3 + l) = 72
■ C la ve
Problema N7 17
Sea abac = a ' x { c -2 ) xc3. Calcule a + b + c .
A) 15
D) 18
Resolución
Del dato
DC
B) 10 C) 12
E) 20
a b o c = o1 x (c - 2]2 x(cj3 = 25
f í í í I I 1
/ -, r . .,i • r. -i
x x
V ;< S X
A
)9

404. COLECCIÓN ESENCIAL Lumbreras Editores
En consecuencia
a=3; ¿>=5yc=7
.*. a + b + c = 15
: C la ve i I I ;
Problema ^1.° 18
Sean a =2nx3 y b=2x3>n, donde n es un núme­
ro entero positivo. Si a x b tiene 25 divisores,
¿cuántos divisores tiene nnl
Luego
£D(w) = (/7 ^ )x (r^ ) = 12
4 3 4 —> m- 3 y n=2
3 4 x -» m=2 y n=3
5 2 4 _> m- 5 y /7=1
2 6 * —> m- 1 y n=6
. . . / V = 2 3x5 2 = 2 0 0 o A / = 2 5x5 = 1 6 0
: Cfove ;.
*
........................i
A) 8 B) 6 C) 3
D) 4 E) 5
Resolución
Nos piden CD(r?n).
Del dato
ax6=(2nx3)x(2x3n)=2n+1x3n"1
Además.
CD(ax¿>) = 25
(n + 1 + 1)x (n+1 + 1)=(n + 2)2=25 -> n = 3
/. CDÍ33)=3 + 1=4 _ .......
; C lave v $ ••
Problema N,° 19_______________________________
Determine el menor número A/ si sus factores
primos son 2 y 5; además N tiene 12 divisores
o
y no es 125.
A) 200 B) 160 C) 120
D) 400 E) 60
Resolución
De las condiciones del problema
N = 2™_x5^
DC
Problema N.° 20
_______________________________
Calcule el producto de los divisores de 60.
A) 606 B) 1204 C) 36010
D) 60! E) 60 + 605
Resolución
Primero hallamos la cantidad de divisores que
tiene 60.
60=22x31x5'!
DC
Entonces tenemos
CD(60) = 3x2x2=12
Luego
"producto de
divisores
^ de 60
'producto cíe'
divisores
v de 60 ,
= 60x60x...x60=606
v /
6 veces
i C la ve

405. Capítulo 11 Clasificación de los números enteros positivos (Z*)
r
p
[i t
í
i
t
Problema N.° 21
_______________________________
Indique la secuencia correcta de verdad (V) o
falsedad (F) respecto a las siguientes proposi­
ciones.
I. Todo número compuesto tiene por lo
menos un divisor primo.
II. Todo número primo mayor que 3 es de la
O O
forma 6 + 1 o 6—1; lo contrario no siempre
se cumple.
III. La unidad no es el único número que tiene
un solo divisor.
IV. Los números 1038; 1335 y 527 no son
primos.
A) VVFV B) VVFF C) WVF
D) VVVV E)J VFFF
Resolución
I. Verdadera
Ejemplos
Divisores de 4: 1; (2); 4
V- primo
Divisores de 6: 1; (2); (3); 4
V
primos
Divisores de 15: 1; © ; (5) y 15
V
pi irnos
II. Verdadera
Ejemplo
O
• 61 es primo y 61 = 6+1
o
• 17 es primo y 17=6-1
Pero
o
. 49=6+1, pero 49 no es primo.
o
• 35=6-1, pero 35 no es primo.
III. Falsa
La unidad es el único número entero que
tiene un solo divisor.
IV. Falsa
Pasamos a base 10 a cada uno de los
siguientes números:
• 1038=1x82 + 0x8 + 3 = 67 „
• 1335=1x52 + 3x5 + 3=43 © > -r;rr;0:
• 52?=5x7 + 2=37
] C la ve [
Problema H.° 2 2
_______________
Si a; b; ab y ba son primos, ¿cuántos números
primos de dos cifras menores que a x b existen?
A) 25 B) 18 C) 17
D) 15 E) 4
Resolución
Recordemos que, generalmente, los primos
son números impares. Además, en el proble­
ma, o y b son primos y de una cifra. Entonces
los valores posibles de a y b son 3; / ; 7
o; b; a b; ba
í t tí ít
3; 7; 3 7; 7 3 *
5; 7; 7 5; 5 7 V
—» a x b =3x7=21
Por lo tanto, los primos de dos cifras menores
que 21 son 11; 13; 17 y 19.
; C lave \

406. COLECCION ESENCIAL Lumbreras Editores
Problema N.° 23
Calcule la suma de cifras al expresar en el
sistema octanarlo el mayor numeral primo de
dos cifras del sistema décuplo.
A) 6
D) 5
Resolución
B) 7 C) 8
E) 10
Sabemos que el mayor número primo de dos
cifras es 97.
Nos piden pasar 97 a base 8.
9 7 |_8
8 12~|_8
17 8 8~|_8_
© @ ©
-> 97-1041
8
1+0+4+1-6
; C lave
Problema N.# 24
Los números 3a; 18 y ¿>06 son PESI. Calcule la
2
suma de los valores que asume a .
A) 13
D) 75
B) 37 C) 53
E) 85
Resolución
Del dato, como los números 3a; 18 y b06
son PESI, su único divisor común debe ser la
unidad.
Luego
b06-£>x6 + 0=6x¿>-2 a 3
o o
18-2 A 3
Entonces
--- o — o
3a ^2 y 3a ^3
—> 3a-31; 35 v 37
a-1 ; a - 5 v a=7
a2 = 1 ; a2- 25 v a2=49
f
suma de
valores de a¿
= 1 + 25 + 49-75
: C la ve \
Problema N.° 25
¿Cuántos números primos se escribirán como
números capicúas de tres cifras en base 5?
A) 6
D) 4
B) 7 C) 8
E) 5
Resolución
Sea P un número primo.
P=abas= a x S 2+ b x S + a
Entonces
par impar
P = 26 xa+5xó - impar
t f f
31
41
67 '
83
109
Por lo tanto, hay 5 números primos que cumplen
lo pedido.
: C la ve

407. Capítulo 11 Clasificación de los números enteros positivos (Z*)
Problema N/26
____________
La suma de tres números primos es 52 y la
diferencia entre los dos mayores es 24. Halle
la suma de las cifras del mayor de los primos.
A) 5 B) 7 C) 8
D) 9 E) 10
Resolución
Sean A; 6 y C dichos números primos.
Por condición
A + B + C = S 2
Para que la suma sea par, uno de los números
debe ser par.
Sea A un número par y primo a su vez
-+ A = 2
Luego
6+C=50 (I)
En consecuencia, B y C son los mayores.
Por dato
B - C - 2 4 (II)
Sumando (I) y (II) tenemos
'26=74
6=37 OID
Reemplazamos (III) en (I).
37 + C = 50
-> C = 13
Finalmente, el mayor de los primos es 37. Por
lo tanto, la suma de sus cifras es 3 + 7 = 10.
; C lave [
Problema N7 27
¿Cuántos números de la forma nn existen,
de tal manera que dichos números sean PESI
con 24?
A) 2 B) 3 C) 4
D) 5 E) 6
Resolución
Observemos que como 24 = 23 x31, el número
o o
__
24 = 2 y 3. En consecuencia, nn no deberá ser
o o
2 ni 3.
Entonces nn debe ser impar.
• 11 y 24 son PESI
• 33 y 24 no son PESI (son 3)
• 55 y 24 son PESI
• 77 y 24 son PESI
• 99 y 24 no son PESI (son 3)
Por lo tanto, la cantidad de números de la
forma nn que son PESI con 24 es 3.
C la ve
Problema N7 28
Si (¿7 + l)¿>00 = ac x d 2 x1/d (descomposición
canónica y ada = aa x(a+'])a x m (descomposi­
ción canónica), halle m + b .
A) 9 B) 10 C) 8
D) 7 E) 11
J
3

408. COLECCIÓN ESENCIAL
Lumbreras Editores
Resolución
Del dato
-primo
ada = @ ax ( P + W x ( m
t y ' ” Y 9 0
2 t vno2n¡3
(DC)
Además
(a +1) £>00 =@c > 0 5
2 5 # 17 o jar
(*)
—» m - 1
Reemplazamos el valor de m en el numeral
anterior.
a d a = 2 * 2x 3 2x 7 = 252 (cumple)
t í 1 ’ Y
5 2
Luego en (*)
3¿>00=2cx52x17 = 425x2'
í
c: i t\ 3; ¿ ... A 0=4
m + b = 7 + 4 = 11
; C/oi/e
Problema N.° 29
Halle el valor de n para que el número de divi­
sores de N = 3 0 n sea el doble del número de
divisores de M = 15x18n.
A) 5
D) 8
B) 6 C) 7
E) 9
Resolución
Del dato
A/=30n = (2x3x5)"
-> N = 2 nx 3 nx S n
DC
M=15x18n
M=3x5x(2x32)n
M = 3 x S x 2 nx 3 2n
M=2nx32n+1x5
DC
Además
CD(A/)=2xCD(M)
-» (n+1)x Y r1íx(n + 1 )= 2 xY rTrx(2f?<2)x2
a? + 1 = 2x2x2
n +1 = 8
b = 7
i C la ve [
Problema N.’ 30
Si la cantidad de divisores de 5x15n es tanto
2
como los — de la cantidad de divisores que
tiene 7 x 6 n+\ halle el valor de n.
A) 2
D) 5
B) 3 C) 4
E) 6
Resolución
Damos valores.
A = 5x15n
A = 5x3nx5"
A = 3"x5 n+1
v
-----------i
DC

409. Capítulo 11 Clasificación de los números enteros positivos (Z*)
Además
B = 7x6n+1
8 = 7x2n+1x3n+1
DC
Por dato
CD(A)=—xCD(S)
(n+1)x(íH^f = |x2(/7Hf2T(/7 + 2)
5(n+1)=4(n+2)
5/7 + 5 = 4/7 + 8
n- 3
j C lave l
Problema NC 31
Si ia cantidad de divisores de 21r'x35n es 225,
halle la cantidad de divisores propios de nn\
A) 39
D) 44
B) 30 C) 42
E) 45
Resolución
Descomponemos canónicamente al número
2 1 "x3 5 "
21nx35n = 7"x3'lx5nx7n
21,7=3"x72"x5n
Dato:
CDÍ2f x35n)=225
-> (/?+1)(2/7+1)(/i+1)=225
(2/7+ 1)(/7 + 1)2=225=9x25
Z _ J
Igualamos
2/7 4-1 = 9
2/7=8
-4 n=4
Reemplazamos
/7/7n=444 = (22x1l)4=28x114
DC
Nos piden
C D W )propios = CD(mn)-1
-> C D U ")prop¡os=(8 + 1)x(4 + 1)-1
/. CD{nn'* 1 II.) ■ =44
v propios
: C la ve
Problema N.y 32
Indique verdadero (V) o falso (F) según las
proposiciones.
I. El número 473 es un número primo.
II. Los únicos números consecutivos y primos
a la vez son 2 y 3.
¡II- Entre el 10 y el 30 existen 10 números que
son compuestos.
A) FVF
D) FFF
B) VVF C) VFF
E) VVV
Resolución
I. Falsa
Comprobemos
7473=21,74...
Luego buscamos los primos menores o
iguales que 21.
{2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19}

410. Finalmente, dividimos 473 entre cada
número primo.
473 =
2
3
5
7
11
13
17
19
x
X
X
X
v'
_0_
473 = 11 = 11x43
De esto se cumple
150=15x101
1500=15x102
1500=15x103
1500...0=15x10n
-> N = 3 x 5 x 2 nx 5 n
A/=2nx3x5n+1
Por lo tanto, 473 no es primo.
II. Verdadera
Es una propiedad de los números primos.
III. Falsa
Los números primos entre 10 y 30 son 11;
13; 17; 19; 23; 29.
; C lave \
Problema N.° 33
____________________ ‘
¿Cuántos ceros se deben agregar a la derecha
del número 15 para que el número resultante
tenga 176 divisores compuestos?
A) 6 B) 7 C) 8
D) 9 E) 10
Resolución
Sea
Se sabe que
CD(N)!¡mples+CD(/V)compuestos=CD(N)
—> 4 + 176=(rí + 1)x2(/i + 2)
W = (n+'l)/(n+2)
90 = (n+4)(r) + 2)
'- yj
n = 8 .
C lave
Problema N7 3A
Si la diferencia de 18n con 18n-2 tiene 24 divi­
sores, ¿cuántos de los divisores del número
15nx18n son compuestos?
A) 156 B) 48 C) 72
D) 123 E) 160
Resolución
Sea
/V = 18n -18A1-2 = 18n~2 x (l82 — I2)
v
----------*
A/= 15 00CLI)
O rjft,}';
N = '\5x']0n
N = (2 x3 z )n 2x(18-1)x(18 + 1)
A/ = 2n~2 x32n~4 x 17x19

411. Capítulo 11 Clasificación de los números enteros positivos (Z*)
Por dato
CD(N)=24
-> (n -1)x(2n -3)x2x2= 24
(n —i) x (2n — 3) = 6
2 í
n=3
Sea
M=15nx18n = 153x183
-> M= 33x53x( 2x32) 3
M = 33x5sx23x36 = 23x39x53 (DC)
'compuestos = C D (M)s¡m ples-C D (M )
'compuestos^ 4x10x4-4=160-4
^compuestos-
i C/oi/e •
•
.........................
Problema N.° 35
_____________________________
Indique cuántos de los números 63; 33; 102;
307; 189 y 54 son PESI con 56.
A) 1
D) 4
B) 2 C) 3
E) 5
Resolución
Comprobemos
O
• 63 y 56 no son PESI, ambos son 7.
• 33 y 56 son PESI.
• 102 y 56 no son PESI, ambos son 2.
• 307 y 56 son PESI.
o
• 189 y 56 no son PESI, ambos son 7.
o
• 54 y 56 no son PESI, ambos son 2.
Por lo tanto, hay 2 números que son PESI
con 56.
: C la ve
Problema N7 36
Determine la cantidad de números primos de
la forma ab7.
A) 12
B) 11 : J
C) 13
D) 15
E) 14
Resolución
Por la propiedad del intervalo de variación de
un numeral se cumple
71< Ob i < 72 = 49
x
—*■ numero prii i n o
Luego
ob7: 7; 11; 13; 17; 19; 23; 29; 31; 37; 41; 43 o 47
Por lo tanto, hay 12 números primos de la
forma ab7.
; C la ve ;

412. COLECCION ESENCIAL
Lumbreras Editores
Problema N.* 37
_____________________________
La suma de un número primo y su cuadrado es
182. Halle la suma de cifras de dicho número
primo.
A) 4 B) 7 C) 3
D) 5 E) 10
Resolución ■
Sea x dicho número primo.
Por condición del problema
x+x¿ = '\82
Resolución
Del problema
S=SD(360)
Pero tener en cuenta que
360=23x32x5
\
____v-------->
DC
r 6 4 -l) (33-l) (52-l)
S _ (2-1) X 3-1 X 5-1
S=(15)(13)(6)
S=1170=3x5x13x2x3
Al factorizarx, nos quedaría
x-(x+1) = 182
consecutivos
Representamos el número 182 como la multi­
plicación de dos números consecutivos.
x- (x+1) = 182 = 13x14
— ^ T
—> x = 13
-> S=2x3 x5x13
Luego
CD(5)=(2x3x2x2) y CD(S)simp|es=5
C D <S )compues,os=2 4 - 5 = 19
i C la ve
/. 1 + 3 = 4
Problema N.° 39
Si la suma de divisores de A=2°x15 es 360 y la
suma de divisores de B =3bx8 es 195, halle la
cantidad de divisores de A x B .
Problema N.* 3 8
____________________________
Si 5 es la suma de los divisores positivos de
360, halle la cantidad de divisores compuestos
de S.
A) 20 B) 19 C) 18
D) 17 E) 16
A) 48 B) 56
D) 28
Resolución
Del problema
/\=29x15 = 29x3xS
v-------
DC
C) 30
E) 60

413. Capítulo 11 Clasificación de los números enteros positivos (T )
Dato:
SD(/4) = 360
(20+1- l) (b2 - 1) <52 - 1)
2-1 X (3-1) X (5-1)
(20+1-l) (4) /6) = 360
1 $6
15
= 360
20+1-1=i5 -+ 2a+l=16=2
-> o = 3
Además
B =3òx8=23x3fa
DC ..
<
Dato:
SD.(5)=195
-<24 -l) ,(36+1-l) inc
-+ -7
----r-X---------= 195
(2-1) 3-1
(3í>+1-l)
0+1
X- = 195
Ó+1_ 2x195 _
15
= 26 -> 36+1 = 27 = 33
_> Ax5 = (2 3x3x5 )x(2 3x32)= 2 6x3s x5 (DC)
CD(/4xS)=7x4x2=56
: C lave :
Problema N.* 40________
Si el número 18000...0 tiene 168 divisores,
n a r r a s
calcule el valor de n.
A) 6 B) 7
D) 9
Resolución
Del dato
1800^0 = 18 x10”
n c ifr a s
18 000=2x32x2nx5n
18 000= 2n+1x32x5n
Por dato
CD(18000...0) = 168
DC
-» ( n +2) x J3Í x (n +1) = ,168
(o + 2)x(o+1) = 56 = 7x8
= 3 ^
—» 0 + 1=7
o = 6
C) 8
E) 10
■ C la ve
A
9

414. PRACTIQUEMOS LO APRENDIDO
1. Calcule la suma de los cuatro primeros
números simples.
A) 16 B) 17 C) 32
D) 12 E) 11
2. Calcule la suma de los cinco primeros
números consecutivos que sean compuestos.
A) 31 B) 37 C) 170
D) 130 E) 116
3. ¿Cuántos de los siguientes números son
primos?
• 49 • 57 / • ,195 ' .
• 61 • 83 | | :
A) 1 B) 2
D) 4 E) 5
Sean o; b y cnúmeros primos diferentes
entre sí talesque <7-6=27y a + b + c =68.
Calcule el valor de (a+c) + b.
A) 33 B) 22 C) 25
D) 20 E) 6
¿Cuántos de los siguientesnúmeros son
PESI con 42?
. 56 ■ 87 65
. 38 - 91
A) 1
B) 2 C) 3 .
D) 4
E) 5
6. ¿Cuántos de los siguientes números no son
PESI con 24?
•
16 • 81 • 89
•
75 • 95
A)1 B) 2 C) 3
D)4 E) 5
7; Indique verdadero (V) o falso (F) según
corresponda.
I. La suma dé los tres primeros números
primos es 10.
II. El número 91 es primo.
III. Un número es primo cuando es múlti­
plo de sí mismo y por la unidad.
A) VVV B) VFV
■' D) FFV
8. ¿Cuántos divisores primos tiene H?
H =138x26x354
A) 4 B) 3 C) 2
D) 5 E) 6
9. ¿Cuántos divisores tiene 4096?
A) 13 B) 12 C) 32
D) 40 E) 72
10. ¿Cuántos divisores tiene /V?
N =25x32x73
A) 60 B) 30 C) 90
D) 72 E) 96
C) VFF
E) FVV

415. Capítulo 11 Clasificación de los números enteros positivos (Z*)
11. Calcule el valor de n si /4=28nx50 tiene 294
divisores.
A) 3 B) 4 C) 5
D) 6 ' E) 7
12. ¿Cuántos ceros se deben colocar a la de­
recha del número 49 para que el resultado
tenga 147 divisores?
A) 2 B) 4 C) 6
D) 8 E) 10
13. ¿Cuántos divisores tiene el número El
£=1410-148
A) 80
B) 140
C) 210
D) 160
E) 648
14. Si el número 4k+2- 4 k tiene 92 divisores,
¿cuál es el valor de kl
A) 8' B) 9 C) 10
D) 11 E) 12
15. Si los números A y B tienen la misma can­
tidad de divisores, halle en cuántos ceros
termina el valor de A.
A =12x30" y B=24n+3x 3 2n+3
B) 4
16. Calcule la suma de los divisores primos de
360; 540 y 175. Luego dé como respuesta
la suma de los resultado obtenidos.
A) 32 B) 36 C) 24
D) 15 E) 21
17. Calcule la suma de los divisores no primos
de 240.
A) 360
B) 734
C) 420
D) 600
E) 560
18. ¿Cuántos rectángulos, de lados enteros en
metros, existen cuya área sea 72 nrr?
A) 4 B) 5 C) 6
D) 7 E) 8
19. ¿Cuál es el residuo que se obtiene al dividir
D entre 4?
D = ( 3x5x7xJ2
A) 1 B) 3 . C) 5
D) 0 E) 2
20. Si ab y {ab + 6) son PESI, ¿cuántos valores
posibles tiene a b l
A) 6
D) 3
C) 5
E) 8
A) 90
D) 30
B) 45 C) 60
E) 75

416. COLECCIÓN ESENCIAL Lumbreras Editores
21. Si M=101x102x103x...x10n tiene 484 divi­
sores, halle el valor de 2n.
A) 8
D) 6
B) 12 C) 10
E) 14
22. ¿Cuántos divisores tiene el menor número
entero positivo cuya suma de cifras es 21?
A) 20
D) 4
B) 32 C) 8
E) 16
2 3 . ¿Cuántos divisores tiene A = 4 x 3 n si al multi­
plicarse por 48 su cantidad de divisores au­
menta en 27?
A) 15
D) 9
B) 10 C) 8
E) 24
24. Halle la suma de cifras del menor número
entero que tiene siete divisores propios.
A) 6
D) 10
B) 11 C) 3
E) 4
2 5 . ¿ C u á n to s d iviso res d e 1200 so n m últiplos
d e 6 y d e 15, re sp e ctiv a m e n te ?
A) 10; 10
D) 10; 15
B) 24; 12 C) 14; 12
E) 12; 10
26. C o n s id e r a n d o q u e o y b so n n ú m ero s
e n te ro s, ¿c u á n to s n ú m ero s de la form a
(4 0-3)(3¿0(40-3) so n p rim o s ab so lu to s?
A) 1
D) 4
B) 2 C) 3
E) 5
27. Sean a; b y c números primos. Además, se
tiene que a + b + c=42 y o - b -6. Calcule la
suma de los números primos compren­
didos entre o y b xc .
A) 40
D) 30
B) 60 C) 50
E) 45
28. Halle el residuo de dividir el producto de
los 200 primeros números primos entre
20.
A) 1
D) 8
B) 4 C) 6
E) 10
29. Si abba=2mx 3 nx 11r (DC) tiene 32 divisores,
de los cuales cuatro son impares, calcule
a+b.
A) 5
D) 11
B) 7 C) 6
E) 12
30. Calcule el valor de n para que el núme­
ro 5400 tenga ocho divisores más que
N =73x21x1f.
A) 1
D) 4
B) 3 C) 2
E) 5
31. Sean a; b y c los números primos dife­
rentes, tal que ab+c = 43. Calcule el valor
de a + b + c.
A) 16
D) 12
B) 18 C) 14
E) 20

417. Capítulo 11 Clasificación de los números enteros positivos (Z*)
32. ¿Cuántos números de la forma 1 b b son
primos?
A) 1 B) 2 C) 3
D) 4 E) 5
33. Si 3 b y 52 son PESI, calcule la suma de
valores de b.
A) 25 B) 16 C) 9
D) 15 E) 18
34. Sea M = 2nx34 Si la suma de sus divisores
es 7623, halle la cantidad de divisores de M.
A) 10 B) 15 C) 20
D) 25 ' E) 30
35. ¿Cuántos números de dos cifras son PESI
con 75?
A) 40 B) 45 C) 75
D) 48 E) 60
Claves
1 5 9 13 17 21 25 29 33
2 6 10 14 18 22 26
on o
34
3 7 11 15 19 23 27 31
i
35
4 8 12 16 20 24 28 32

419. WWa
ESTADISTICA
Según la Encuesta Demográfica y de Salud Familiar (Endes)
del Instituto Nacional de Estadística e Informática (INEI), en
los últimos seis años, la tasa de cesáreas se ha incrementado
casi 10% a nivel nacional. Cerca de 14 600 mujeres han
tenido cesáreas no justificadas clínicamente en el 2011. Ahora
bien, considerando que una cesárea puede costar más de
$550 por arriba de un parto vaginal, la cifra de aquellas cesá­
reas injustificadas representaría un gasto innecesario.
Según la Organización Mundial de la Salud (OMS), el
promedio recomendado de cesáreas es de 15%. El Perú
supera el 26%, ubicándose sobre España y a la par de países
industrializados.
¿Cuáles son los motivos? Una simple solicitud de la gestante,
la mala posición tanto de la madre como del bebé, la vuelta
de cordón umbilical en el cuello del feto, o simplemente
interés económico.
A p r e a d iz a je s e s p e r a d o s
• Establecer la diferencia de los conceptos de población,
muestra y variable.
• Construir e interpretar tablas de distribución de frecuen­
cias, diagramas de barras y circulares.
• Interpretar la información estadística a partir de las
variables cualitativas o cuantitativas.
• Conocer y calcular las medidas de tendencia central.
¿Por qué es necesario este conocimiento?
La estadística tiene una utilidad no solo en aspectos socia­
les sino que también sirve para todo tipo de investigación
científica si se tiene en cuenta que los datos estadísticos
son el resultado de varios casos, de los cuales se toma un
promedio. Así, una estadística puede servir para una inves­
tigación científica al demostrar que un porcentaje deter­
minado de los casos observados representa un resultado
particular y no otro.

420. Estadística
1. CONCEPTO
Importante
:Etapas de la investigación
;estadística
:La investigación estadística es
fundamentalmente de tipo des­
criptiva. Se preocupa de la con-
ifiabilidad, validez y significación
1
lde los datos de las muestras, así
icomo de los métodos y técnicas
1;
i
' i i o $
i i t i n i
de recolección y análisis esta­
dístico.
:
/ / / / N s. 'A'. v ....... . ,
Censo
Es cuando se destina a obtener
información de toda la pobla-
j ción. Los censos más conocidos
i son los de población, vivienda,
• prnnómicos, entre otros.
Es la ciencia que proporciona un conjunto de informaciones,
métodos y procedimientos para la recolección, clasificación,
análisis e interpretación de los datos para tomar decisiones.
2. CONCEPTOS PREVIOS
P
2.1. Población (P)
Es la totalidad del concepto estudiado.
2.2. Muestra (M)
Es una parte de la población que será sometida a un estudio.
23. Variable (x)
Es la característica de la población que interesa al investigador
y puede tomar distintos valores.
23.1. Cualitativa «'
No se expresa numéricamente.
E je m p lo
La variable curso favorito puede ser Aritmética, Álgebra, Geo­
metría u otro.
23.2. Cuantitativa
Se expresa numéricamente. Presenta dos tipos: discreta o
continua.
a. Discreta (se puede contar)
E je m p lo s
Número de tardanzas, número de hijos, número de
hermanos, otros.
b. Continua (se puede medir)
E je m p lo s
• El peso de un varón de 35 años es 70,5 kg.
• La temperatura promedio de Lima en verano es 25 °C.
• La nota de Camila es 18.

421. Capítulo 12
Estadística
3, RECOPILACIÓN DE LOS DATOS
Los métodos de recolección de datos son
diversos y dependen de las posibilidades de
acceso o contacto con los elementos inves­
tigados, del tamaño de la población y de la
oportunidad de obtener los datos.
Gráfica de sectores circulares
Debido a que las variables cualitativas no guar­
dan una relación de orden, se pueden utilizar
los diagramas de sectores para representar
dichas variables.
Del ejemplo anterior
4. ORGANIZACIÓN Y PRESENTACIÓN DE
DATOS
Una vez recolectados los datos, se proce­
de a su organización,- clasificación y tabula­
ción, de modo que se facilite su presentación
en una tabla (tabla de frecuencia), donde se
distribuyen las observaciones en categorías
o clases. .. .
5. ANÁLISIS DE LAS VARIABLES
5.1. Variable cualitativa
E je m p lo
En una encuesta a 40 estudiantes de la aca­
demia Aduni, sede Sur, se recogió la siguiente
información sobre el distrito de residencia:
Además
V.M.T. 20 50%
ooco
V.E.S.
...v 10
25% 90°
S.J.M. K 8 2 0 % 72°
Chorrillos —> 25% 18°
Total — 40 100% 3 6 0 ° (una vuelta)
5.2. Variable cuantitat iva
5.2.1. Discreta
Villa María 20 50%
Villa El
Salvador
10 25%
San Juan de
Miraflores
8 20%
Chorrillos 2 5%
TOTA! 40 100%
También se puede utilizar el diagrama circular.
E je m p lo s
1. Se analiza el número de hijos de 5 familias.

422. COLECCIÓN ESENCIAL
Lumbreras Editores
2. Se encuesto a 100 personas sobre el núme­
ro de veces que han acudido al hospital.
c. Intervalo de ■
Es una partición del alcance.
Nú m e r o d e
v e c e s
[0; 1] 20
[2; 3] - 10
[4; 5] 40
[6; 8] 4
[9; 10] 16
[11; 15] 10
0 120 .240 360 480 6
/-, = [0; 120)
¡2 = [120; 240)
l3 = [240; 360)
/4 = [360; 480).
/5 = [480; 600]
d. Límite de un intervalo
Tenemos que
- Lp límite interior - Ls : límite superior
5.2.2, Continua ' /
E je m p lo
Se tiene el ingreso quincenal de 20 personas
tomadas al azar de un distrito.
080.120250250270 300 300 j
370380380400450450 450 460
470470490500600
E je m p lo
/i - [0; 120)
e. AnUio.Be ciase (¡»..)
“\ = LS~I,
E je m p lo
¡2 = [120, 240) —> cú2 = 240 —120 = 120
Antes de colocar los datos en una tabla de
distribución de frecuencias, presentaremos a
continuación los elementos fundamentales,
donde se usarán dichos datos.
a. Alcance (.4)
Es el intervalo cerrado que considera como
límites al menor y al mayor de los datos.
f. Marca de clase ( x )
Es la media de los límites de un intervalo.
E je m p lo
i — rion- i an\ \ 120+240
l2 - [120,240) -» x2=
--------=180
g. Frecuencia absoluta (f;)
Indica el total de datos en un intervalo.
4 = [0; 600]
b. Rango (R )
Es la amplitud del alcance. Se calcula como la
diferencia del mayor y el menor de los datos.
R = 600-0 = 600

423. Capítulo 12
Estadística
h. Frecuencia absoluta acumulada (F¡)
Indica la cantidad de datos que hay hasta un
determinado intervalo.
E je m p lo
[0; 120) 2
[120; 240) 1
i. Frecuencia relativa [ h j
Es el cociente entre la frecuencia absoluta del
dato y el total de datos.
E je m p lo
[0; 120)
_2_
15
-> A?. =-—=0,13
' 20
i. F r e c u e n c ia re la tiv a a c u m u la d a ( H )
Es el cociente entre la frecuencia absoluta
acumulada y el total de datos.
/
f
hJ - L
1 n
V __)
2/20 2/20
1/20 3/20
A continuación veamos la tabla completa con
todos sus elementos.
[0; 120) 60 2 2 — =0,10 ¿ = 0 ,1 0
20 20
• 1 3
[120; 240) 180 1 3 — =0,05 — =0,15
■ , ■ r g
[240; 360) 300 5 8 — =0,25 ^ j=0'40
[360; 480) 420 9 17 ^=0,45 ^ =0,85
3 20
[480; 600] 540 3 20 — =0,15 — =1
20 20
De la tabla se concluye lo siguiente:
• /r1+4+^B + - +4 ” n de datos)
• /Í = F,
f'\ + f2 + h + - + fk=Fk
• h^+h2+h3+...+hk = ^
di - H1
h ^ + h 2 = H 2
h] + h 2 + h 3 + - + h k - H k

424. COLECCIÓN ESENCIAL Lumbreras Editores
\\\ i
Número de intervalos de
clase (k)
No existen reglas fijas para de­
terminar el valor de k. Para tener
un valor adecuado aproximado,
se utiliza la regla de Sturges.
£ = 1 + 3,3 log/r
donde n es el número de datos.
-
............,■
Importante
de coorde­
nadas que son perpendiculares
entre sí: vertical y horizontal.
Ejemplo
Preferencia de 100 alumnos a
ciertos cursos
n.° de
alumnos
notas
6. G R Á F IC O S
6,1. Histogramas
Son diagramas que representan datos cuantitativos continuos
utilizando barras o rectángulos continuos, cuyas bases se
sitúan en el eje horizontal correspondientes a cada intervalo
de clase, y las alturas son proporcionales a las frecuencias
absolutas o relativas de cada clase.
6.2. Diagramas escalonados ,
Son diagramas similares al histograma, cuyas bases repre­
sentan los intervalos de clase, y las alturas son proporcionales
a las frecuencias absolutas o relativas acumuladas (F¡ o H¡).

425. Capítulo 12 Estadística
7. MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
Son tres medidas: la media G), la mediana
(Me) y la moda (Mo).
7.1. Para datos no clasificados
Sean los datos las edades de 15 estudiantes.
10; 10; 12; 12; 14; 16; 16; 18; 18; 18; 18; 20; 21; 22
7.1.1. Media (x)
Es el valor representativo de un conjunto de
datos. Se calcula así:
- 10+10+12+12+14+16+16+18+18+18+18+20+21+22
x=---------------------------------------------------
15
x=15
Clase mediana
Es aquella frecuencia absoluta acumulada
igual o mayor a la mitad- de los datos por
primera vez.
7.1.2. Mediana (Me) .
Es el valor que divide el total de datos (n)
debidamente ordenados en dos partes de
igual tamaño.
E je m p lo
De los datos anteriores
10; 10; 12; 12; 14; 16; 16; © ; 18; 18; 18; 20; 21; 22
7-datos 7 datos
_> M e = 18 (dato central)
Si la cantidad de datos es par, se calculará así:
20; 24; 26; 28; (30; 32), 36; 38; 40; 42
| 4 (.latos
Me
M e =
A datos
30 + 32
= 31
7.1.3, Moda (Mo)
Es el valor representativo con mayor frecuen-,
cia en un conjunto de datos.
E je m p lo
Veamos el peso en kg de 10 niños entre 4 y
5 años.
0 32; 36; 3920; 22; 24; 25;
.-. M o = 30
7.2. Para datos clasificados
7.2,1. Media Ixi
Se utilizará la siguiente fórmula:
donde
n: número de ¡nten/alo de clase
- x marca de clase
- ff frecuencia absoluta
E je m p lo
Mostramos 100 datos clasificados en una tabla.
.i
........... ,
[10;20) 15 20
[20;30) 25 10
[30;40) 35 30
[40;50] 45 40
100
Luego
» / )
* = M_
15x20 + 25x10 + 35x30 + 45x40
x
----------------------------------------= 46
2 100

426. COLECCIÓN ESENCIAL Lumbreras Editores
7.2.2. Mediana (Me)
Se utilizará la siguiente relación:
M e = i + o) „
ni m
K -
m
Identifiquemos los elementos.
0)m=1°
ín=«>
donde
Lm : límite inferior de la clase mediana
(üm : ancho de la clase mediana
n : total de datos
fm _-{■ frecuencia absoluta anterior a la clase
mediana
- F m: frecuencia absoluta acumulada de la
clase mediana
í J i t \
E je m p lo
De la siguiente tabla de distribución de
frecuencias de los puntajes obtenidos por
172 estudiantes en un examen, calculamos la
mediana.
f, H B f V
[20; 30) 10
[30; 40)
♦ «
..............-x*«
27
[40; 50) 60
[50; 60) 30
[60; 70] 45
donde
- /3: clase mediana
- [40; 50): clase mediana
Ubiquemos la clase mediana.
Fm 4 ' A = m :
F > — = 86
m 2
—>F,=10; F z = 37; f 3=97; f 3>86
Sabemos que
Me = Lm+<am
^ 1 - f )
V 'm J
Reemplazamos
Me = 40 + 10
Me=48,16
"86-37"
v 60 y
7.2.3 . Moda H %
Se utilizará la siguiente fórmula:
"
s
iio ' c/, Ì
d, +dj )
V __J
donde
- L-. límite inferior de la clase modal
- (ú-, ancho de la clase modal
- d y diferencia entre la frecuencia de la clase
modal y de la clase anterior
- d 2\ diferencia entre la frecuencia de la clase
modal y de la clase siguiente
Observación
En el caso de que ningún dato se repita más que
los otros, se dice que no existe moda y se trata
de un conjunto amodal, y si se observa que más
de dos datos tienen frecuencias máximas igua­
les, entonces se trata de un conjunto polimodal.

427. Capítulo 12
Estadística
Clase modal
Se ubica hallando el intervalo de clase con la
mayor frecuencia absoluta.
E je m p lo
Calculamos la moda.
f t.
fj *
6 —
120 240'360 48if
Del histograma tenemos
{
M o = 360 + 120x
/. M o =408
4
U + 6
O tra forma
□
Del gráfico tenemos
10/t=cü
10/c=120
Ar=12
Mo=360 + 4/r = 360 + 48 = 408
P V r I
" ♦ .. t
12
Sin romper ninguno, un comerciante pretende repartir 35 televisores entre tres individuos, de modo que a
uno de ellos le corresponda la mitad, al otro la tercera parte y al tercero la novena parte. No puede hacer
las proporciones, porque no salen televisores enteros. Entonces piensa: “Voy a regalar a los tres un tele­
visor más, con lo cual serán 36, y entonces ya podré hacer el reparto, pues al primero le corresponderían
18, al segundo 12 y al tercero 4, con lo que sumarían 34 televisores. De esta manera, yo podría recuperar el
televisor que les había regalado y quedaría para mí un televisor más, llevándome dos de los 36 televisores.
Y todos quedaríamos tan contentos". ¿Cómo se explica lógicamente este reparto?
33

428. COLECCIÓN ESENCIAL Lumbreras Editores

429. RESOLVEMOS ¿UNTOS
Problema N,° 1
Halle el rango de los siguientes datos:
0; 1; 3; 5; 2; 6; 4; 3; 5; 1
A) 1 B) 3 C) 4
D) 2 E) 6
Resolución
Para hallar el rango ubicaremos el dato menor
y mayor en la recta numérica.
0
-> /? = 6—0 = 6
R = 6
! C la v e
*
......¿Vi..* y «<!».••*
Problema N.° 2______.______
En el conjunto de valores mostrados
4; 3; 4; 2; 1; 3; 1; 2; 3; 1,
¿cuánto vale la mediana de estos valores?
A) 2,5 B) 3' C) 4
D) 2 E) 1
Resolución
Para hallap la mediana, ordenamos los datos.
1; 1; 1; 2; 2; 3 ; 3; 3; 4; 4
—^M e =
2 + 3
2
Problema N,° 3
___________________
A continuación se presentan las notas obte­
nidas en Aritmética por un grupo de 20 estu­
diantes en un aula determinada.
¡J2
J ° _
6818713131619
f" 13
¡
_
12111318197171213
Complete la siguiente tabla de distribución de
frecuencias.
f l f :h
F: h, H; \0C%h:103 'oK K;f,
[6; 8)
*
... :
{ j
;
[8; 10)
I
i
:
[10; 12)
I
[12; 14)I
[14; 16)
[16; 18)
[18; 20]
i > i
j i |
Luego, calcule F 3 + x 2. No es necesario comple­
tar y graficar todo el cuadro.
A) 14 B) 15 C) 16
D) 12 E) 11
Resolución
Ordenamos los datos.
6; 7; 7; 8; 10; 11; 12; 12; 12; 13;...
X
f
: . 0
[6; 8)7 3 3
[8; 10)9 1 4
[10; 12]11 2 6
M e=2,5 —> - 6 a x 2 — 9
: C l a v e
; F3+ x2 = 15
; C l a v e

430. COLECCION ESENCIAL Lumbreras Editores
Problema M/ 4
________
El histograma muestra la distribución de fre­
cuencias de las edades de los ingresantes a
una facultad de la UNI.
Indique qué tanto por ciento de ingresantes
tiene entre 17 y 21 años.
A) 80% B) 60% C) 50%
D) 70% E) 20%
Resolución
Analizamos las frecuencias absolutas.
16 ! 18 20 21 24
17
_+ 15+45 + 20-80
Luego
entre 17 y 21 años _ 80
total 100
Por lo tanto, el 80% de Ingresantes tiene entre
17 y 21 años.
: Clave
Problema N.‘ 5
______■_________________________
En el gráfico de sectores se muestran las pre­
ferencias de 6000 personas con respecto a los
canales de televisión: C2; C4; C5 y C9. Calcule C2.
A) 1440 B) 1400 C) 1560
D) 1200 E) 1360
Resolución
Del gráfico tenemos
C2 + C5 + Cg + C4 = 100 %
-> (2a)°+36% (2o)°+24%
4o° + 60% = 100%
4o° = 40% -> 2 a ° = 2 0 %
C2 = 2 a ° - 20 %(6000) = 1200
; C l a v e .
Problema N4 6
De la siguiente tabla, determine la mediana.
Ft
2
6
11
17
20
A) 48 B) 50 C) 46
D) 32 E) 40
/.
ft
[20; 30)2
[30; 40)4
[40; 50)5
[50; 60)6
[60; 70]3

431. Capítulo 12
Estadística
Resolución
Recordemos que la mediana divide el total de
datos en dos tamaños iguales.
10 . 10
< ♦
---------------- --------------•------------------------------------------------• ♦ ------------------------------ ♦ -----------------------------•— ►
20 30 40_Me 50 60 70
donde x es la amplitud
Además
Me=40+x
Calculamos x.
1-1
co x 10 8
—> x=8
... Me = 40 + 8 = 48
} Clave t ' }
Problema N.c 7_______________________ , , :
En el siguiente gráfico, se muestra la prefe­
rencia de los siguientes deportes: fútbol (F),
vóley (V), natación (N) y básquet (B).
Total de encuestados: 60
¿Cuántas personas practican fútbol?
A) 20 B) 12 C) 22
D) 44 E) 24
Resolución
Sabemos
N+B+V+F= 360°
-+ a + 2 a + 3 a + 4 a = 360°
10a = 60° o 60
-+ a = 6o o 6
ce •>CVXV>CX'XX>> -•'XXk
Í , §
Observació n
. a° equivale a 6 personas.
|
R5-500000000* >;jOOCOOO<nOOOOOCO<XX»C*C'’5<X>C»Ov>C<-
-> F = 4 a ° = 4(6) = 24
Por lo tanto, hay 24 personas que practican
fútbol.
; Clave '■
Problema N,° 8
____
Complete la tabla de distribución de frecuen­
cias y luego calcule la media.
*« ft
[20; 30) 10
[ ; > | 60
I ; > 15
[ ; > 60
[ ; ] 105
A) 50
D) 40
B) 52,6 C) 28,3
E) 62,1

432. COLECCIÓN ESENCIAL Lumbreras Editores
Resolución
Del dato, completamos la tabla considerando
que co = cte.
—»
x =
; ¡¡
[20; 30)
x i
25
s
10
[30; 40)3560
[40; 50)4515
[50; 60)55
'
60
: [60; 70]65105
250
x = —----
250
25x10 + 35x60 + 45x15 + 55x60 + 65x105
250
x'= 52,6
i Clave M )
4*. . . . . . . . . I*
Resolución
Analizamos y ubicamos la clase modal.
—> Mo=120 + 5/r
Además
5/r+3/r = oo
8 k = 4 0 -+ k = 5
Mo = 120 + 5(5) -145
•: Clave
•. Problema N. 10
Se tienen cuatro cantidades cuya moda es 3,
su mediana es 5 y su media es 6. Calcule el
producto de las dos cantidades mayores.
Problema N.* 9 ■
________________
De la siguiente tabla, determine la moda.
i + . :
r ~
; t'.
j [0; 40)
j
6
I
[40; 80)5
[80; 120)
i
4 !
[120; 160)
!
9
[160; 200]
1
6
C) 160
E) 80
A) 66 B) 77 C) 49
D) 42 E) 64
Resolución
Datos: M o - 3; M e = 5; x = 6
Sean o; b; c; d las cantidades.
- a + b + c + d
x ~ r ~ = 5
—> a+¿)+c+ d — 24
-> M e = b + c = 10
A) 145
D) 120
B) 140

433. Capítulo 12
Estadística
Además
o + b + c + d = 24
í í í í
3 3 7 11
Nos piden el producto de las dos cantidades
mayores.
c x d = 77
; Clave •
•
.............i. .. ■ *
Problema N.° 11
__________________'
Halle la x de la tabla.
1
; _ : L
.....
: *¡ti
'.-v.
[10; 20)15 30,0645 .
[20; 30)25 7; 0,14
175 |
[30; 40)3512
•
0,24
•
420
[40; 50)45180,36810 4
[50; 60]55100,20550
A) 30 B) 50 C) 45
D) 40 E) 40,2
Problema N.° 12
_____________________________
En un centro de metereología se registra un
verano uniforme con 28 observaciones regis­
tradas, tal como se indica. Calcule la media
aritmética.
Te m p e r a t u r a f¡
[20; 22)
I 1
2
[22; 24) 10
[24; 26)
L
8
[26; 28)
| j
6
[28; 30] 2
B) 22,7 C)
D) 23,7 E) 20,0
Resolución
Para calcular la media (x), utilizaremos la
siguiente relación:
_ t * f i
x = -tí
---; n = 28
n
Resolución
Para calculará, usaremos la siguiente relación:
x -
' L x ¡f¡
/=1
- 45+175 + 420 + 810+550
X = ~ 50
- 2000
X „ = 40
i Clave
Tenemos
/*]-2 ,r2~10 /-j- -8 /. - 6 •• ¿
X1 x3 a4
20 f 22 t 24 ~| 26 j 28 1 30
21 23 25 27 29
2x21 + 10x23 + 8x25 + 6x27 + 2x29
^ X — —
-------------
28
x = 24,7
; Clave .

434. COLECCION ESENCIAL
Lumbreras Editores
Problema N /13
Dado el polígono de frecuencia de una distri­
bución, halle la mediana.
Problema N.° 14
_________________________
Calcule la mediana en los siguientes casos:
a. 2; 0; 2; 5; 7; 2; 0; 5; 5; 0; 2; 6; 3
b. 7; 9; 7; 7; 6; 5; 2; 6; 1
A) 2; 4 B) 2; 6 C) 2; 3
D) 3; 3 . E) 2; 7
Resolución
Ordenamos los datos.
a. 0; 0; 0; 2; 2; 2; (2); 3; 5; 5; 5; 6; 7
6 datos 6 datos
Me
A) 600 B) 660 C) 615 -
D) 650 ,/E) 620
# ' •r/J: * „
Resolución
Según el gráfico tenemos que el total de los
datos es
* 40 + 60+70 + 80=250
480540 720 780
M e - 600 + x
-> Me=600+x
Calculamos x.
Comparamos la cantidad de datos y la ampli­
tud de los valores.
60 _ 15 60 _ 15
"co" ~ x 6 0 x
—> x = 15
M e = 600+15=615
b. 1; 2; 5; 6; (5) 7; 7; 7; 9
4 datos I 4 datos
- • M e
Por lo tanto, las medianas son 2 y 6, respecti­
vamente.
: C l a v e i, ;
Problema N/ 15
Se tiene la siguiente distribución de fre­
cuencias respecto al ingreso familiar de 200
familias.
: In g r e s o
• f, 6
! t ; > 35
[ ;240>
[ ; ') 45 120
[ ; > 157
[280; )
[ ; ] 20
¿Cuántas familias tienen un ingreso compren­
dido entre S/.230 y S/.300?
: C la ve [
A) 125
D) 124
B) 120 C) 68
E) 86

435. Capítulo 12 Estadística
Resolución
Calculamos el co.
o)=20 (o=20 o)==20 ' (ü=20 w=20
240 280
Se observa
2o) = 40 —> co = 20
Luego
157
120
35 ■0 45 37 23 2.0
20 20 . •
...H y
200 220 240 260280 300 320
2;30
20+45+37+ 23=1255.
Por lo tanto, hay 125familias que tienen
ingresos entre S/.230 y S/.300.
; C l a v e ;
Problema N.“16
Se tiene la siguiente distribución de frecuen-
das relativas acumuladas:
.... k ...........Z
[4; 6)
.............„.............
a
[6; 8)
1
2a
•
[8; 10)4 a
[10; 12)5 a
«
[12; 14]13 a
2
Calcule la media aritmética de los datos.
A) 1U5 B) 11,12 C) 12,5
D) 12,15 E) 13,25
Resolución
Sabemos que
I> / = 1 ■
Reemplazamos
13o = 1
1
-» o = —
13
.
H, ■
| K; 6) ; a a
|- [6; 8) a 2 a
I [8; 10) 2 a 4 a
[10; 12)a 5o
| [12; 14]8 a 13o
Para calcular la x, también se utilizará la
siguiente relación:
,1,1,1,
___J____ i
4 g 6 y 8 g 10 -|-] 12 12 14
_ k
*=I>A
i=i
Reemplazamos
x = 5x — + 7x-!- + 9x — + 11x —+ t3X_5_
13 13 13 13 13
- 5 + 7 + 18 + 11 + 104
-> x =
-------------------
13
x = 11,15
i Clave

436. COLECCIÓN ESENCIAL Lumbreras Editores
Problema N." 17
__________
Dada la tabla de distribución
‘ ~ "'v "<
X-
1C: “ i .
20 22 24 26 28
......f i.........
5 4
:
6 3 2
j
determine el promedio aritmético.
Problema N.° 18______________.
________________
Se tiene la distribución de frecuencias de cierto
número de niños.
; Ed a d e s ; 8 10 12 14
5 25
: A :
12 25
A) 26,1 B) 23,3 C) 22,2
D) 24,2 E) 20,0
Calcule la diferencia entre la mediana y la
moda.
Resolución
El gráfico mostrado también se puede plantear
de la siguiente manera:
x2
I - V N
* - " 1
---------í
20 '22 24 26 28
Nos piden x.
Utilizamos la siguiente relación:
5> ¡í-
id
----;
n
A) 0,2 B) 0,3 C) 0,4
D) 1,5 E) 0,8
Resolución
Completando la tabla tenemos
Ed a d es /; i
8 5 5
10 7 12
12 13 25
14 25 50
Total 50
-» Mo= 14 (dato que más veces se repite)
Reemplazamos
- 20x5+22x4+24x6+26x3+28x2
x= Yq
13
-, latoso
8; 8; ...;8; 10; 10; ...;10; 12; 12; ...;12 ; 14; 14; ...;14
X =
100 + 88+144+78 + 56
20
x = 23,3
-> M e-
12 + 13
12,5
Por lo tanto, la diferencia entre la mediana y la
moda es 14-12,5 = 1,5.
; C lave \
\ Clave -,

437. Problema N.’ 19
Dado el siguiente histograma:
n.° de personas
40-
23
20
10
x
eciadí
10 20 30 40 50 .60
halle x si la mediana vale 40.
B) 46A) 45
D) 48
Resolución
C) 47
E) 49
yyr/yyyyyyi zxs>>>>‘sxy^:s>yy>r.<xx>'s:s.-
V
'¿ ., t
\ No OLVIDE
La mediana divide el total de datos !
■ en dos tamaños iguales.
yxy$s>Gocr
80 ' '7e 80 datos
10 X 23 ' 20 60
10 20 30 40 50 60
Luego
10+X+23 = 80
/. x = 47
; Clave ■
Problema N,° 20
__________
En el pictograma mostrado
B) 78A) 68
D) 50
Resolución
Tenemos
25%<>90° -» ¿>=90
C) 90
E) 72
Luego
- b I% <> c0
9
f 2 N°
20%<>72° -» c=72
c ] o 48° o 13,3%
Sabemos que la suma de los ángulos internos
del pictograma es 360°.
Finalmente
o=50; ¿>=90; c=72
a + b -c = 68
C la ve [
3

438. COLECCIÓN ESENCIAL Lumbreras Editores
Problema N.‘ 21 ________
Se muestra a continuación la ojiva referente
a las notas obtenidas en el examen final de
estadística.
¿Qué porcentaje de los alumnos obtuvo una
nota entre 9 y 14?
A) 31% B) 32% C) 30%
D) 34% E) 35%
Resolución
Tenga en cuenta que /-/•% representa la fre­
cuencia absoluta en porcentaje.
Distribuimos los datos proporcionales a sus
amplitudes.
2 0 % 24% 16% 36% 4 %
4 % . 12% 1 8 % .1 8 %
_____________< ■
o 4 8 ]l i T j 20
' Y ' T ' y 2
Por lo tanto, los alumnos que obtuvieron entre
9 y 14 son el 12% +18%=30%.
; Clave \
Problema M° 2 2 ______________________
En una tabla de distribución de cuatro inter­
valos de igual ancho de clase, %-, = 12; x3 = 28;
f 2 = 45 y = h 3 = 0,25. Si en total hay 120 datos,
calcule su mediana.
A) 20 B) 22 C) 23,6
D) 24,2 E) 25
Resolución
De la información dada, completamos la tabla
de distribución de frecuencias.
X;
f¡ V
12
■ ■
o = 30 0,25
20 45
28 b = 30 0,25
36 15
120
De la tabla se observa
/T — = 0,25 -a- a = 30 y ó = 30
Luego
2 > ,
x = ^
----
n
Reemplazamos
- 12x30 + 20x45 + 28x30 + 36x15
T20
% x -2 2
Clave

439. Capítulo 12 Estadística
Problema N. 23
Se tiene el siguiente histograma de frecuencias
relativas:
A frecuencias
8 x -
relatívas
2 x —
a o c d
¿Cuántas observaciones hay en el rango (c; f)
si la población es de 400?
A) 175
D) 350
Resolución
Datos:
- /?-, = x
- h 2 = 4 x
B) 300 C) 275
E) 400
- h 3 = 8x
- h 4 = 2x
- h s - x
Pero sabemos que
h-\ + h 2 + h 3 + h A + h 5 = 1
i i i i i
x + 4x+Qx + 2x + x = 1
Finalmente
16x = 1 -> x= 0,0625
Nos piden
(8x + 2x + x)x400
Reemplazamos x.
11 x (0,0625) x400 = 275
Por lo tanto, el total de observaciones entre c
y fes 275.
Clave
Problema N.f 24_______________________________
De un grupo de trabajadores se tiene la
siguiente información:
} [10; 20) [20; 30) [30; 40) [40; 50) [50; 60]
Fr e c u e n c i a _k_ 3/r k_ J A A
R ELA TIV A 25 50 50 100 20
¿qué tanto por ciento gana entre S/.27 y S/.54?
A) 44%
D) 47%
B) 43% C) 45%
E) 42%
Resolución
Según el gráfico sabemos que
5%. = 1
A A A o - J A A
A + 5Ô+ 5Ô A o o A o ;
=1
4 k + 6 k + 2 k + 3k + Sk „
-----------------------= 1
100
-> 4/c+6/c+ 2/c+ 3/c-t- 5/c = 100
20/r = 100 k - S
Luego, reemplazamos y tenemos
10 20 30 40 50 ... 60
54 <
Por lo tanto, el porcentaje de trabajadores que
ganan entre S/.27 y S/.54 es
9 % +10 % +15 % +10 %=4 4 %.
Clave
5

440. m
COLECCIÓN ESENCIAL Lumbreras Editores
Problema N/ 25
________
Sobre la preferencia de los diarios en Lima
Sur, los resultados se muestran en el siguiente
histograma:
Del gráfico, elaboramos la siguiente tabla:
Distrito
L " : "h
ENÓUESTAPÓS ?
V.M.T. 2000
V.E.S.
!
........... ........
1300
Tablada
i
1800
v.
S.J.M. 1500
_
................. _ ■__:
Calcule la diferencia entre los que prefieren el
T r o m e de V.M.T. y los que prefieren O jo en
Tablada?
A) 200 B) 300 C) 400
D) 500 E) 600
Resolución
Según el gráfico tenemos
. T r o m e (V.M.T.)=60%(2000)=1200
. O jo (Tablada)=50%(1800)=800
Problema M.° 28
_____________________________
Determine la media (x) de los siguientes datos
agrupados que se muestran en el histograma:
A) 74 B) 84 C) 65
D) 64 E) 85
Resolución
Del gráfico tenemos
" " •. y?*' * : r'
-
V;''¿ • .
r,
i i
[50; 60) 55 20
[60; 70) 65 50
[70; 80)
.......... -,.......j.
75 80
[80; 90) 85 30
[90; 100]95 20
200
-> n=200
Luego para calcular la media (x), utilizaremos
la siguiente relación:
* = -M
--------
n
55x20+65x50+75x80+85x30+95x20
* = 200
--------------------------------------------'
1200-900=300
j Clave \
x=74
Clave

441. Capítulo 12
Estadística
Problema N7 27
La tabla muestra las edades de 80 alumnos.
Calcule la media (x).
‘
| [14; 16)
x¡ •
f,
.-• o .; „ —h¡
......I
0,25
; [16; 18) 8 |
| [18; 20) 0,2
l [20; 22)
..................
i
|
| [22; 24] 0,35
A) 12,4
D) 19,4
Resolución
B) 13,2 C) 13,6
E) 21,2
Completamos la tabla.
h? = — = 0,10 X
Luego, recordemos que se cumple
'/?1 + /?2 + /^3~r-A?4+ — 1
i lili
0,25 + 0,10+0,2+x+0,35=1
—> ■ h 4 =0,10
Luego
Edad
.
La.
....
[14; 16) 15 0,25
[16; 18) 17 0,10
[18; 20) 19 0,20
[20; 22) 21 0,10
[22; 24] 23 0,35
También se calcula la media con la siguiente
relación:
_ k
x = Y j xh
Í=1
-> x=15 x (0 ,2 5 )+ 1 7 x (0,10)+ 19 x (0,20) +
+ 21 x (0,10) + 23 x (0 ,3 5 )
x=19,4
: Clave ■.
Problema N7 28
Calcule la medianasegún los <
siguiente tabla:
;:+ 7 ¡l
f + . J 5 : [0; 5) 70
C + ■ [5;10>
40
[10; 15)50
[15; 20)40
A) 8,15
D) 8,75
B) 8,25 C) 8,50
E) 9,00
Resolución
De la tabla tenemos la siguiente información:
/U
Calculamos el total de datos.
n=200
-> - = 100
2

442. COLECCION ESENCIAL
Lumbreras Editores
La clase mediana será el segundo intervalo de
clase.
Ahora, para calcular la mediana, utilizaremos la
siguiente relación:
M e = Lm + (í>mx
f,;
—>Me=5 + 5x
100-70
_ 40
Me=5 + 3,75
/. M e =8,75
; C la v e
Problema N,° 29
_________
En la siguiente ojiva, se muestra la distribución
de frecuencias de las notas obtenidas por un
grupo de estudiantes. Determine la M e .
Resolución
Según el gráfico tenemos
Notas
fi ^
[12; 14)24 24
[14; 16)32 56
[16; 18)35 91
[18; 20]9 100
100
n = m .
Calculamos la clase mediana.
n _ 100
2 ~ 2
Como 56>50, entonces la clase mediana será
el segundo Intervalo.
Me = i m+“ mx
- - F
2 rm-1
fm
M e = 14 + 2x
50-24
56
Me = 14 + 2x
26
_56
-> Me=14 + 0,92
Me=14,92
i Clave
A) 14,92
D) 14,29
B) 14,82 C) 14,72
E) 14,02

443. ,
V xj
Capítulo 12 Estadística
Problema N.* 30
________
El polígono de frecuencias corresponde a la
distribución de salarios de 40 empleados de
cierta empresa, además el ancho de clase es
común.
A) S/.280 B) S/.300 C) S/.320
D) S/.260 \ E) S/.235
Resolución
Del gráfico, tenemos la siguiente tabla:
« ■ '."W v .v v>iVí v; " ' ..... ■ '
h ; V
...í
[160; 200>180
■
x=4
[200; 240)220 10
[240; 280)260 15
[280; 320)300 x-4
[320; 360]340 7
Se observa
200 + 3(0=320
—> w=40
Luego, la suma de frecuencias de
x+10 + 15+x+7=40
-+ x= 4
Ahora calcularemos la x.
k
¿ V i-
x = -t!
----
n
- 180-4+ 220-10+ 260-15+300-4+ 340-7
X_ 40
x=260
: C la ve \ J
Problema M.° 31
_______________________________
Según el gráfico, calcule x + M e + M o .
A)^20 B) 25,2 C) 20,4
D) 60 E) 30
Resolución
Según el gráfico, la distribución es simétrica y
se cumple que
x = M e = M o
Además, x es el punto medio del intervalo
central.
10
I
T
0 4 8 1216 ?.ú
—> x = M e = M o=10
x + M e + M o = 3 0
i C la ve
A
9

444. Problema N.” 32
Problema N.° 33
Según el cuadro estadístico mostrado , calcu­
le el valor de m si M e=36 y está en el tercer
intervalo.
La media de las edades de cinco personas es
26, la mediana es 26 y la moda 22. Calcule la
edad del mayor si es el máximo posible.
A) 11 B) 17 C) 13
* C * c í V
D) 15 | E) 12
Resolución f
La clase mediana será el tercer intervalo.
n=8+4+m + 6+10
A) 30 B) 31 C) 32
D) 33 E) 34
Resolución
Las edades deben estar ordenadas.
menor mayor
i 1
a o© CD □
i ■ i i 1 1
22 22 M e x y
Nos piden y mix
Para que y sea máximo, x debe ser mínimo
Como x>26, entonces x = 2 7 .
- 22 + 22 + 26 + 27 + y ,
-> x =
--------------------C^>l = 26
5
y , =33
/max;
; C l a v e \
n 2 8 + m
n = 2 8 + m —> - = —-—
2 2
Me = ¿m + » mx
1 - F
m-1
fm
Reemplazamos valores.
2 8 + m
-> 36 = 32 + 6x
-12
m
/t í=12
¡ Clave [
Problema N.° 34____________
Considerando el siguiente gráfico de bastones,
calcule la media Gr).
A) 14 B) 15 C) 15,65
D) 16,15 E) 17,15

445. Resolución
Del diagrama de los bastones tenemos
n=5+15+ 10 + 25 + 20+10=85
Además se observa
Dato t
....... ........
N.°,de vtcts
10
i
5
12 15
14 10
16. 25
18 20
20
i
10 1
- 10x5+12x15+14x10+16x25+18x20+20x10
-+ x=
----------------------------------------------
85
x=15,65
: C l a v e • «
Problema N.‘ 35____________________
En el gráfico, el área limitada por el polígono
de frecuencias es 720 u2. Calcule a + b .
C) 20
E) 22
Resolución
Según el gráfico se cumple
A = (Dx(f1+f2+f3+f4+fs)
-> 720 = 8x(a+2o+¿>+2¿> + 2o)
J2Ú = 0x(5a+ 3b)
-> 90 = 5a + 3b ; a<b<2a<2b
i i
15 5 x
12 10 x
9 15 /
6 20 x
3 25 x
a + b - 24
j C l a v e \
f Problema H.° 36
En el siguiente histograma, se muestran los
sueldos por hora de un grupo de empleados.
Calcule el promedio del sueldo que perciben
por hora.
A) S/,11
D) S/.12
A) 26
D) 28
B) 24 B) S/.11,72C) S/,12,7
E) S/.1I5

446. COLECCIÓN ESENCIAL
Lumbreras Editores
Resolución
Según el gráfico tenemos
’ Sai a .
WxxC
..1' s ' ' ' ' .
f,
[5; 8}6,5 18
1 [8; 11)9,5 32 |
[11; 14)12,5
|
o
i ^j
\ [14; 17)15,5 18 ¡
[17; 20]18,5
---|
12
100
i
k '
É *¡/¿
M
____
n
6,5-18+9,5-32+12,5-20+15,5-18+18,5-12
100
x=S/.11,72
; C la v e \ % i
Resolución
La clase modal se encuentra en el tercer inter­
valo; es decir, el dato que más veces se obser­
va debe estar en este intervalo.
Mo=íMo+a)Mo
4 S
y d : + d 2 j
donde
- LMo: límite inferior de la clase modal
- coMo: ancho de clase modal
Además
d y = f r f { ¡ -1) y = f ¡ - f ( i
* , J ~ r
( i+ 1 )
Trecuencta
absoluta ■ freCL¡enaa
absoluta
anterior a ia
cdass moda
•postenor
0 i3 CiaS€
modal
Luego
f
Mo=60+10x
(24-10)
(24-10)+(24-16))
-+ M o =60+10x
14
14+8
M o =60+10X—
22
Problema N.* 37________________ ^
Según el histograma, calcule la moda.
M o =60+6,36=66,36
: C l a v e [
Problema N.° 38
En el siguiente diagrama circular, en D hay 28
datos. ¿Cuántos datos hay en A ?
A) 66,36 B) 65,45 C) 63
D) 69,63 E) 68
A) 22,9 B) 24 Q 27
D) 21 E) 22

447. Capítulo 12 Estadística
Resolución
Según el gráfico estadístico tenemos
O V - í a V ( a /
30/ + - +70/ + - +40/+ - =360/
v 3) v 6 ) \ 2 )
—> 30h—h70n—h40h—=360
3 6 2
140 +—+- + - = 360
3 6 2
— + — + — = 220
3 6 2
2o + o + 3o
- +
- - - - - - - - - - - - - - - - - - -= 220
— = 220
6
-+ o=220
Luego
D: 28 datos
A . x datos
f a ' )í 220
U J l 6 J
30c
Por regla de tres simple tenemos
28x30
x =
220
x=22,9
; C l a v e
Problema N.° 39
En el diagrama se muestra la cantidad de
postulantes a la Universidad de Ciencias y
Humanidades en los últimos 5 años. Calcule
el promedio anual de postulantes en dicho
periodo.
' ( O S
A) 4000
D) 4680
B) 5000 C) 3500
E) 3950
Resolución
El promedio anual lo calculamos dividiendo el
número total de postulantes entre el número
de años.
-» X:
6300+5000+5000+3500+3000
x=4680
C l a v e •
i
53

448. COLECCION ESENCIAL Lumbreras Editores
Problema N.' 40
Si el promedio anual del personal femenino es
35,75, calcule qué tanto por ciento es el perso­
nal masculino en el año 2012.
□ mujeres
A) 20%
D) 40%
B) 30% C) 33,3%
E) 50%
Resolución
El promedio anual del personal femenino es
la suma del total de mujeres entre el número
<, *
de años.
35+a+a+28 _^r
X -
---------:---= 35,75
-> 2a + 35+28=143
20+63=143 -> o=40
Para calcular el tanto por ciento del personal
masculino en el año 2012 usamos la siguiente
fórmula:
20varones
x100% = x100% = 33,3%
total V20+40.
Por lo tanto, el porcentaje del personal mascu­
lino en el 2012 fue 33,3%
; Clave /
Problema N.° 41
De la siguiente tabla, determine la mediana.
F +
..............ti "
F.
1
[ ; 30) 2
!
|[ ; >
6
|[ ; > . 5
[ ; >
17
[ ; 70] 20
A) 40
D) 43
B) 48 C) 54
E) 45
Resolución
Primero calculamos el ancho de clase (co).
Luego completamos la tabla con los valores
correspondientes.
30+4ü)=70 o)=10
clase
medianc
[20; 30)2 2
[30; 40)4 6
+ 0; 50))5 11
[50; 60)6 17
[60; 70]3 20
20
Ahora calcularemos la mediana (Me).
Me = Lm+wmx
- - F
2 'm- 1
fm
-» Me = 40 +10 x
Me=48
20
=40 + 8
Clave

449. Capítulo 12 Estadística
Problema NL* 42
Si la siguiente tabla de distribución es simé­
trica, calcule la moda.
Por ser una distribución simétrica, la moda
está ubicada en el punto medio del tercer in­
tervalo.
valor de !a A lo
.........• • '• ....... .w. ....... v.... .. . ■: . ■■
[20; )12 a | 0,20
; [ ;36> 20 i
i [ > j
[ >
*
j j
i I
! [ ]
1
60
A) 42 B) 40 C) 41
D) 44 E) 40,5
Resolución \
Calcularemos el ancho de clase (to) y comple­
taremos los valores correspondientes.
20 + 2co—36 —> co=8
hC f i ■
•]
i -2" ; L : :
. -
¡
[20; 28)12o=12
i
i
|
; [28; 36)8 20
i
:
[36; 44)20 40
i
\
\
[44; 52)8 48
[52; 60]12 60
|
60
<
--------«— --------•----------♦ » ♦ —------------------------*
20 28 36 40 44 52 60
Por lo tanto, la moda es 40.
! Clave ••
Problema N.° 43__________
_ ______
Dada la siguiente tabla estadística, calcule la
moda.
A) 150
D) 151
' ■.i
.
[0; 40)6
[40; 80)5
[80; 120)4
[120; 160)9
[160; 200]6
B) 146
E) 160
Resolución
La clase modal está ubicada en el cuarto inter­
valo de clase, porque presenta mayor cantidad
de datos ^4=9).
Sabemos
Mo = í. Mo+ » Mo x
dy
4 + ^2,
donde
drfA ~ h dr 9-4=5
d2=Í4~h d2=9—^>=3
Una distribución es simétrica cuando las fre­
cuencias absolutas equidistantes son ¡guales.

450. COLECCIÓN ESENCIAL Lumbreras Editores
Reemplazamos
Mo = 120 + 140x
V5 + 3,
Mo=120 + 25=145
: Clave \
Problema N.° 44
El siguiente cuadro muestra la distribución
de edades de un cierto número de personas.
Calcule x+y+z.
1
L :1l
[20; 30)80
I : 0,5 :
í i
| [30; 40)40í 0,25
: 5 Z ;
I [40; 50) a; 0,15
*
y
i [50; 60] X
l ,4
160,75 B)160,25 C) 160
D) 160,52 E) 160,57
Resolución
Sea n el total de datos.
Se cumple que
40
■h7 =0,25 = '— -> a? = 160
¿ n
Además
h = 4 = 0,15 = — -> o = 24
n
a
160
Luego calculamos el total de datos.
x+a+40+80=160
x+24+40 + 80=160 -» x=16
De la tabla tenemos que
y -80+40+ a -144
•" Î
’24
Además
z=0,5+ 0,2 5=0,7 5
x+y+z=160,75
Clave [

451. PRACTIQUEMOS LO APRENDIDO
1. Calcule la mediana de los siguientes datos:
I108202745586
I 48241201245
A) 5 B) 4 C) 3
D) 8 E) 2
2. Indique verdadero (V) o falso (F) según
corresponda.
I. La mediana es el valor numérico que se
ubica en el centro de la muestra orde­
nada.
II. La moda es el valor de la variable con
menor frecuencia.
III. Para saber cuál es el intervalo mediano,
dividimos el total de datos entre 2.
IV. En un conjunto de datos, siempre hay
moda.
A) FFVF B) VFVV C) VFVF f
D) FFVF E) FVVV
3. El número de horas diarias de estudio de
un grupo de alumnos es
W -
o ; 3
355 | 1 ¡ 111
2
34
--
5
—
02
— -—
221 I 2 | 1
j j
___
32
0
12143
Determine el promedio de horas de estudio.
A) 2,1 B) 2,2 C) 2,3
D) 2,6 E) 3
4. En el aula del cuarto de secundaria del
colegio La Merced, los 80 estudiantes
respondieron a la encuesta sobre quién
es el mejor jugador de fútbol.
Los resultados se observan en el siguiente
gráfico:
Di María
James
Messi
Ronaldo
¿Cuántos prefieren a Messi o James?
A) 40 B) 28 C) 60
D) 56 E) 42
5. La distribución del importe de las factu­
ras por reparación de carrocería de una
muestra de 80 vehículos en un taller viene
dada por la tabla siguiente:
í , Im p o r t e (€ )
M Ú M E K Q Dc
F A C T U R A S
r [o.-6o> 10
[60-80) 20
[80-120) 40
[120-240] 10
Calcule la media.
A) 80,18 B) 93,75 C) 42,18
D) 20 E) 50
• 6. Se tiene la siguiente distribución de
frecuencias relativas acumuladas.
" ,
b
2b
4b
5b
13 b
Calcule h2+x3.
A) 9,07 B) 90,7 C) 9
' D) 94,0 E) 0,4
l;
i
[4; 6}
l" .[6; 8)
[8; 10)
[10; 12)
[12; 14]

452. COLECCION ESENCIAL
Lumbreras Editores
7. Del siguiente histograma de frecuencias
absolutas tomadas de una muestra de
tamaño 120, halle f^+Fs.
A) 80
D) 46
B) 72 C) 60
E) 94
8. Según la tabla, calcule la mediana de las
alturas de todas las plantas.
j; Al t u r a
'Y?-,** >' • >• Jf- •- •...*>
Nú m e r o d e
PLANTAS
[20-30)
,
15
5;;.. W
[30-40)
21
[40-50) 33
[50-60] 11
A) 41,21
D) 43,21
B) 42,21 C) 20,21
E) 18,22
9. La tabla muestra la distribución del ingre­
so familiar correspondiente a 80 familias.
Determine el número de familias que
ganan S/,200 a más.
í Intervalo de
■ INGRESO (S/.)f,'ti
• h 1
i
[160-170) 12 12
[170-180) 48
!
60
[180-190) 10 0,125
[190-200) 6 0,075
[200-210] 4
A) 14 B) 10 C) 26
D) 4 ' E) 30
10. El siguiente diagrama muestra la ojiva de
frecuencias relativas acumuladas de las
notas de un examen. ¿Qué porcentaje de
alumnos tuvo una nota entre 10 y 18?
A) 20% B) 30% C) 40%
D) 42,5% E) 45%
-i

453. Capítulo 12
Estadística
11. La siguiente distribución muestra el peso
en gramos de 300 sobres de un determi­
nado producto:
¡P7~i
110-14)[15-19)1 [20-24)[25-29)[30-35] !
* + 1
Ï > i ç
5
k ; 2k
5 -| 5
k + 2
5
k
Halle F3 + fz.
A) 100
D) 140
B) 110 C) 120
E) 260
12. De la tabla de distribución de frecuencias
-
Clases
f,y
;
i [10; 20)
...........
0,1p
... i
: .. f r. .... ;
: í í;
[20; 30)
:
[30; 40)
.
0,3
:
[40; 50)25 0,8
j ,}
; [50; 60]20
1
______
I ^ ;
calcule Fz+F4.
A) 105
D) 125
B) 200 C) 205
E) 180
13. De la siguiente tabla de distribución de
frecuencias:
fi
[20; 30) 8
[30; 50) 9
[50; 80) 12
[80; 90] 11
Total 40
determine la suma de las frecuencias rela­
tivas del primer y tercer intervalo de clase.
A) 0,36
D) 0,55
B) 0,45 C) 0,50
E) 0,60
14. La tabla muestra el ingreso familiar corres­
pondiente a n familias.
:
r
! ;■
r* ■ i-,
h;
[160; 170)
[170; 180)480600 0,125
[180; 190) 0,075
[190; 200)612
[200; 210]
Determine el número de familias que ganan
menos de S/.200.
A) 1500
D) 1000
B) 400 C) 900
E) 450
15. Dado el siguiente histograma:
/;
1Q
determine la frecuencia relativa del segun­
do intervalo de clase.
A) 20% B) 25% C) 27%
D) 30% E) 32%
59

454. COLECCIÓN ESENCIAL Lumbreras Editores
16. Se ha realizado un estudio entre 100
mujeres mayores de 15 años, observán­
dose el número de hijos de las mismas.
El resultado fue el siguiente:
r
----------
Numero de
hijos
Número de
M U J E R E S
i
0
.
20
1 10
i
2 25
L~
3 10
4 20
'
6
15
Calcule la suma de la media de hijos, la
mediana y la moda.
A) 6,6 B) 5 C) 2,8
D) 4 \ E) 3
17. La tabla siguiente muestra la distribución
del peso correspondiente a 40 estudiantes:
I Peso (kg)
fi "i
[50; 60) 2
[56; 62) 6
[62; 68) 12
[68; 74) 9
[80; 86) 5
[86; 92) 4
[92; 98] 2
¿Cuántos pesan de 60 kg a 67 kg?
B) 25% C) 30%
E) 60%
18. La siguiente tabla muestra los sueldos
diarios de los obreros de una empresa:
hh hi
H .
[15-20) 50
\I
LDrHo
[20-25) 40 0,20
[25-30) 40 0,20 0,65
[30-35] 70
i
0,35
Además h2 = h3. Halle el porcentaje de
empleados que ganan entre S/.18 y S/.27
por día.
A) 50% B) 48% C) 64%
D) 72% E) 38%
19. El alquiler mensual de departamentos se
resume en la siguiente tabla:
Alquiler ($)
Número di?
DEPARTAMENTOS
240 10
300 40
360 30
420 20
480 15
540 25
Calcule la moda más la media aritmética.
A) 687,8 B) 700
D) 500,6
A) 20%
D) 45%
C) 387,6
E) 241,9

455. Capítulo 12 Estadística
20. Se realizó ia distribución de los pun­
tajes obtenidos por los estudiantes en
el curso de Matemáticas, con una nota
mínima aprobatoria de 11.
1, f, h¡ »i
; [04-08) 8 0,16
|
[08-12)
]
| [12-16) 0,20 0,92
¡ [16-20]
......
......
.................|
¿Qué tanto por ciento desaprobó el curso?
A) 36% B) 48% C) 60%
D) 42% » ^ E) 58%> '
21. En un huerto se tienen 80 plantas, las
cuales agrupándolas según sus alturas
(cm) caen en ciertos rangos dados por la
tabla adjunta.
Altura
—
-------» ... ^
Número de
P L A N T A S
[20; 30)
.
15
[30; 40) 21
[40; 50)
.
33
[50; 60] 11
Calcule la mediana de las alturas de todas
las plantas, aproximadamente.
A) 41 B) 42 C) 43
D) 40 E) 44
22. Dada la siguiente tabla de distribución de
frecuencia, calcule la suma de la media y
la mediana.
Edades
t
U
10 6
11 7
12 8
13 4
14 12
15 3
A) 12,45 B) 12
D) 8,20
C) 8
E) 20,45
La mediana de la siguiente distribución de
frecuencias es 60. Calcule el valor de K.
# ¿K *
r
i * ■
.# [20; 30)
. . .
3
[30; 40) 1
[40; 50) 2
[50; 60) 6
[60; 70] K
A) 10 B) 12 C) 13
D) 11 E) 14
24. Halle el valor de la mediana a partir del
siguiente diagrama:
A) 14 B) 15 C) 16
D) 13 E) 22

456. COLECCION ESENCIAL Lumbreras Editores
25. Complete la tabla de distribución de
frecuencias y calcule la moda.
« 1
Ib sB
[25; 35) 20
[ ; ) 70
[ ; > 25
[ ; > 70
t
: [ ; ] 115
A) 20,8 B) 40,2 C) 28,5
D) 32,7 E) 30
26. La tabla muestra la distribución de las
edades de un grupo de personas. Halle la
moda de dicha distribución.
r * ; »
%
■ • " - >.
.........
. V
;
[10; > 12 8 j
[ ; > 16
U ■
32
[ ; ) 10
"V
■% * i
I [ ; 26] 24 '80
A) 24 B) 23,6 C) 21
D) 25 E) 23
27. Se seleccionaron 25 paquetes de café para
determinar su peso. Al utilizar una balan­
za de presión, se obtuvieron los siguientes
datos:
N U M tfiO Di-
J A O U C T C S
K |
.... ,
í r
7 7 1
I
..1
4 8
P; SO (cj) 10
1
203040
Calcule la mediana y la moda.
A) 10; 30 B) 30; 40 C) 20; 40
D) 20; 10 E) 10; 40
28. El diagrama ha sido elaborado con las
estaturas, en cm, de un grupo de jóvenes.
¿Cuántas personas tienen una estatura
entre 144 cm y 168 cm?
A) 58 B) 40 C) 60
D) 36 E) 80
29. El siguiente diagrama muestra las estatu­
ras, en cm, de un grupo de jóvenes:
¿Qué tanto por ciento tienen estaturas
mayores o iguales a 140 cm?
A) 25% B) 35% C) 65%
D) 55% E) 45%

457. Capítulo 12 Estadística
30. El siguiente gráfico muestra los resultados
de una encuesta a un grupo de personas
sobre la cantidad de veces que han asis­
tido al cine en el presente año. ¿Qué
tanto por ciento de personas han ido
más de 16 veces?
A) 45% B) 85% C) 34%
D) 56% \ E ) 68%
32. Un estudio de la cantidad de personas
que fallecen por causas naturales a ciertas
edades arroja el siguiente resultado por
cada año en la ciudad de Lima:
Núwtfco»* • !
j ’?£íisoí-Ms tiitiueaoAs
[40; 50)
i
2000
[50; 60) .4800
i
[60; 70) 12 000
[70; 80]
!
11200
Halle la frecuencia acumulada porcentual
de fallecidos no mayores de 60 años.
A) 19,9 B) 22,7 C) 24,6
D) 25,8 * : E) 29,2
31. En una cierta comunidad se tiene el
control de la cantidad del ganado por
familia doméstica.
| . / ¿ ;
V r i
[10; ) 3 y=0,15 y
[ ; >
0,200,35
I [ ; >
.
0,1 0,45
i r - >
0,30 0,75
L i _ ! _
0,25 X
Si A = o,6, calcule el total de familias.
U
33. Dado el siguiente histograma:
A) 18 B) 20 C) 50
D) 16 E) 95
A) 31% B) 14,5% C) 39%
D) 34% E) 35%
63

458. COLECCIÓN ESENCIAL
34. En una encuesta sobre ingresos anuales
de algunas familias, se obtuvo la siguiente
información:
| /¿ (miles)
V,
[20; 40)
vX'.v.v. v.v.\
16
[40; 60)
.
20
j [60; 80) 40
[80; 100] 10
Calcule el número de familias con un j
ingreso entre S/.35 000 y S/.75 000.
A) 24 B) 54 f C)p40 >
D) 56 | ' E)p30
35. Se tiene el siguiente gráfico circular refe­
rente a los cursos de Aritmética (A), Álge- :
bra (X), Geometría (G), Trigonometría (T), :
Física (F) y Química (Q).
a. Determine qué tanto por ciento de los
alumnos prefiere A y G.
b. Determine el ángulo correspondiente a i
X+T+Q. ;
A) 15%; 108°
B) 15%; 297°
C) 35%; 225°
D) 45%; 272°
E) 25%; 276°
36. En el siguiente histograma, calcule la moda.
:,:} ; ; D) 1 5 3 " E) 17,82
37. Si la distribución es simétrica, calcule la
media (x).
i i :
[0; 6)15
[6; 12)9
[12; 18)20
[18; 24)
......-j
9
... j
[24; 30]15 ¡
B) 14 C)
D) 16 E) 17

459. Capítulo 12 Estadística
38. En el siguiente gráfico de distribución de
frecuencias, calcule Mo+Me+x.
A) 8 B) 9 / C) 10
D) 30 / E) 24
39. La media (x) de la siguiente sucesión es
obS: \ , . , v
oOo; o1 o; o2a;o9o
Calcule o + ¿>.
A) 6 B) 7 C) 8
D) 9 E) 10
■60
I
i
_J
------------í-----►
Q 1Q 40 '5 :
A) 10 y 20 B) 30 y 40 C) 40 y 50
D) 20 y 30 E) 0 y 10
41. Según el gráfico mostrado, calcule f3+x4,
A
40. Del histograma mostrado, ¿en qué interva­
lo se encuentra la mediana?
A) 71,5 B) 72,5 C) 70,5
D) 73,5 E) 74,5
Claves
1 6 11 16 " 21 26 31 36
2 7 12 17 22 27 32 : 37
3 8 13 18 23 28 33 38
4 9 14 19 24 29 34 39
5 10 15 20 25 30 35 | 40

461. CAPÍTULO

462. ANÁLISIS COMBINATORIO
Lo último en tecnología aplicada al cuerpo la traen dos
jóvenes Indios. Se trata de calzados inteligentes que ofrecen
'indicaciones de navegación GPS (sistema de posicionamiento
global) mediante la vibración de la prenda de vestir.
El dispositivo, bautizado como Lechal, fue desarrollado por
Krispian Lawrence y Anirudh Sharma, ambos graduados de
la Universidad de Michigan, cuyo objetivo fue ayudar a las
personas con problemas de visión, además de poder servir
para fines deportivos o lúdicos.
Estas zapatillas se conectarán al smortphone por medio de
una aplicación que permita al usuario enviar instrucciones al
GPS a través de comandos de voz. Una vez definido el destino,
las plantillas del calzado guían el traslado de su propietario
a través de varios motores de vibración. Si la persona debe
voltear a la derecha, el lado derecho del pie de ambos
zapatos palpitará para que el sujeto se acerque al punto de
giro, momento en el que alcanza su máxima intensidad.
De esta manera, lo anterior, se relaciona con el análisis
combinatorio en que la tecnología permite realizar varios
eventos para llegar a un destino.
Aprendizajes esperados
• Utilizar los principios fundamentales de conteo de casos
cotidianos.
• Determinar el número de ordenamientos con una parte o
todos los elementos de un conjunto.
• Explicar y calcular la cantidad de subconjuntos que se
pueden formar con una parte o todos los elementos de
un conjunto.
• Interpretar y desarrollar problemas relacionados con
permutaciones y combinaciones.
¿Por qué es necesario este conocimiento?
Porque permite resolver problemas de la vida cotidiana.
Por ejemplo, podemos averiguar cuántos números diferentes
de teléfonos, contraseñas, placas o loterías se pueden formar
utilizando un conjunto de letras y dígitos.

463. COLECCION ESENCIAL Lumbreras Editores
K!
Importante
Pascal, Bernoulli, Leibniz y Euler
aportaron en el estudio del aná­
lisis combinatorio, el cual surgió
en el siglo xvi.
Análisis c o rn b i n a t o r i ó
1. CONCEPTO
Estudia las diferentes formas que se pueden contar u ordenar
los elementos de un conjunto.
2. PRINCIPIOS DE CONTEO
2.1. Principio aditivo
Si una situación puede ocurrir de m maneras distintas y una
segunda situación (excluyente a la primera) puede suceder de
n maneras, entonces existen m+n formas en las que pueden
acontecer la primera o la segunda situación.
Ejemplos
1. Luis viajará al Cusco y tiene las siguientes opciones:
'Un - % • Via ¿
5 maneras + 8 maneras = 13 maneras
Por lo tanto, Luis tiene 13 opciones de viajar al Cusco.
2. Alicia se comprará un celular y tiene las siguientes opciones
de compra:
Lima Norte o Lima Sur
i
1 I
6 maneras + 3 maneras = 9 maneras
Por lo tanto, Alicia tiene 9 opciones de compra.

464. Capítulo 13
2.2. Principio multiplicativo
Si un evento puede ocurrir de m maneras dis­
tintas y un segundo evento puede suceder
independientemente del primero de n maneras
distintas, entonces el número de formas dife­
rentes en que pueden ocurrir simultáneamente
es m xn.
$3 \X{f/f///;
................
Importante
Se utiliza también el principio multipli­
cativo cuando los eventos se dan en
forma consecutiva o uno a continua­
ción del otro.
V ________________ J
Ejemplos
1. Al lanzar dos dados comunes, ¿cuáles son
todos sus posibles resultados?
D, y D2
6 resultados x 6 resultados = 36 resultados
distintos
También los 36 resultados distintos que
se obtienen se pueden observar en el
siguiente pjano cartesiano:
1 2 3 4 6 6 D?
Análisis combinatorio
Los resultados son todos los pares ordena­
dos formados.
(1; 1), (1; 2), (1; 3), (1; 4), (1; 5), (1; 6)
■ (2; 1), (2; 2), (2; 3), (2; 4), (2; 5), (2; 6)
(3; 1), (3; 2), (3; 3), (3; 4), (3; 5), (3; 6)
(4; 1), (4; 2), (4; 3), (4; 4), (4; 5), (4; 6)
(5; 1), (5; 2), (5; 3), (5; 4), (5; 5), (5; 6)
(6; 1), (6; 2), (6; 3), (6; 4), (6; 5), (6; 6)
Por lo tanto, existen 36 resultados posibles
al lanzar dos dados de forma simultánea.
Importante
Factorial de un número
El factorial de un número entero y positivo n, !
el que se denota como n\ o [n, es el producto
de todos los números enteros y consecutivos
desde la unidad,
Ejemplos
e inclusive, hasta n.
• 11=1
• 2!=1x2
• < 3!=1x2x 3
f _ :
• /i!=1x2x3x...x(n-1)x/i
i
J
Siara tiene una fiesta y para vestirse tiene
las siguientesopciones:
Faldas
Blusas
CV-f
)- f v ■*
F ■ , ' t ■ :
Zapatos
X
/ y h j
V ? y s
J*“ 1* . i 4 ; '
tá t
X ,
t
I
4 4
I
4 x 5 x 2 = 40
Por lo tanto, Siara tiene 40 maneras distin­
tas de poder vestirse e ir a la fiesta.
i
69

465. COLECCIÓN ESENCIAL Lumbreras Editores
2.3. Cálcuio de !os principios
Ev e n t o
Nú m e r o d e
A B
M A N ER A S
A o B m
maneras
"maneras m + n
"maneras { mXnA y8 m
maneras
3. TÉCNICAS DE CONTEO
Son las operaciones que permiten determinar la cantidad
de formas en que se pueden disponer los elementos de un
conjunto.
Importante
iel árbol
__ rso que se emplea
para enumerar todas las posibi­
lidades lógicas de una secuen­
cia, donde todo suceso puede
ocurrir de un número finito de
maneras.
\
3.1. Permutación
3.1.1. Permutación lineal
Consiste en ordenar elementos linealmente.
■ n !
P(n; /?) = e O \
■ J
donde
- n: elementos distintos
- P(rr,R): total de ordenamientos de n elementos tomados
de R en R
Además 0!=1!=1
Ejemplos
1. Ordenamos de 2 en 2 las fichas mostradas.
U M 4 fichas
UA; UL; UM; MA; ML; MU
Se observan 12 ordenamientos oosiblfv
También se puede plantear de la siguiente manera:
P[ 4;2) =
4! 4! 24
(4-2)1 2! 2
= 12

466. Capítulo 13 Análisis combinatorio
2. Ordenamos a 5 niños en una fila de 2 asientos.
5 n iñ o s
total dé 'l _ p(5. 2) _ 5!
maneras
= 4 = H = 20
(5-2)! 3! 5
3. ¿Cuántas fotografías distintas se pueden obtener con cua­
tro niños y una abuelita? Considere que la abuelita solo se
ubicará en el centro.
fijo
l
A B
w m
yzM?
D
'c’/Je» '■/
yJ LfV?)
,<$?v
-m
Éfy ■
ÜÉ
1i- VW'i
Entonces solo permutarán los niños en cuatro posiciones.
( total
ordenamientos
distintos
= P(4; 4) =
4! 41 41
= — = — = 4 ! = 24
(4-4)! 0! 1
4. Seis señoritas van al cine para ver Rápidos y furiosos y
encuentran una fila de seis asientos disponibles. ¿De
cuántas maneras distintas se pueden ordenar si dos de ellas
quieren estar juntas?
juntas
total de
maneras
= P(5; 5) y
By C
total de
maneras
permutan )
= 5!x2! = 120x2 = 240
= P( 5; 5)xP(2; 2)
Durante la historia, el análisis
combinatorio se inicia en el
siglo xvi. La sociedad de esa
época ocupaba parte de su
tiempo en juegos de azar, en
los cuales ganaban o perdían
grandes fortunas.
En la actualidad, el análisis
combinatorio dispone de téc­
nicas generales que permiten
resolver ciertos tipos de proble­
mas.

467. COLECCION ESENCIAL
Lumbreras Editores
5. En una carrera de 6 automóviles, se quiere condecorar a
los 4 primeros puestos. ¿De cuántas maneras distintas se
pueden premiar? Considere que no hay empates.
6 automóviles
M M
S i I I
|Cuidado!
i.—ct /-.., i ■■>> ■, -
-m-1 i •Permutación * Combinación
:
1 1
“
____i_
o r d e n a m ie n t o s g ru p o s
i. 1
d is tin to s • d istin to s
1
Ejemplo
Tenemos
¡ ■ m:
A] B; C; D 4 elementos
• Ordenamos los elementos
> u
de 2 en 2.
:
AB] BA; AC; CA; DA] AD] DC]
; i
CD; BC] BD; CB; DB
Se obtuvo 12 ordenamientos.
:• Agrupamos de 2 en 2.
Afi; AC; AD; BD] BC] DC
Se obtuvo 6 grupos.
■
ilhl>7///v////-' _i~_
total de
maneras
x"''
J
6' 61
= P(6; 4) = ——— = — = 360
. (6-4)! 2!
3,1,2. Permutación linea! con elementos lepeticios
Consiste en ordenar un conjunto de elementos, donde algunos
de ellos se repiten.
P(n: a; ir..c}^------; <? 4-b \-c = n
A ' (?!b!c 1
donde a; b; c indican el número de veces que se repite el ele­
mento.
Ejemplos
1. ¿De cuántas formas diferentes se pueden ordenar 3 man­
zanas y 4 naranjas linealmente?
i#/ ms
0
C ; i )
O O O o
©
7 elementos
( total de maneras
de ordenar
\
= P(7: 3; 4) = t-—— = 35
3! x 4!

468. Capítulo 13
Análisis combinatorio
2. Nilmar ordenará sus juguetes linealmente. ¿De cuántas
maneras distintas lo podrá hacer?
total de
ordenamientos^
P{ 11: 5; 3; 3)=9240
11 juguetes
11!
5 ! x 3 ! x 3 !
= 9240
3. ¿Cuántas palabras con sentido o sin él se pueden elaborar
con la expresión MATTEMAATICC?
Analizaremos el número de veces que aparecen las letras
repetidas.
v ' MATTEMAATICC
Y¿ It.lrc;
M -* 2 veces C • * 2 veces
A — 3 veces
/tuvO 'O ?c
f 1 — 1 vez
T — 3 veces
. %¡y
E — 1 vez
f total de i = P(12- 2- 3; 3; 2; 1; 1) =
--------—--------= 3 326 400
maneras 1 ' 2 !x 3 !x 3 !x 2 !x 1 !x 1 !
(total de palabras)=3 326 400
4 Hay que ordenar linealmente 9 pelotitas, donde 2 negras
van a los extremos.
OOOO©
OOOO
i „ „ I
0 0 0 0 0 0 0 0 0 o
total de 1 — p(7\ 3; 4) = ——— = 35 maneras
3 ! x 4 !I ordenamientos
importante
Una permutación circular es
una permutación que se aplica
a conjuntos ordenados circu­
lares, es decir, que no tienen
principio ni final. Para trabajar
con una permutación circular se
fija arbitrariamente un elemento
como el primero. Cabe destacar
que aunque pueda parecerlo,
no se debe considerar una
permutación circular como una
permutación típica, ya que
tiene algunas propiedades no
son aplicables a las otras.
3

469. Importante
£
En matemáticas, una permuta­
ción es la variación del orden o
dé la disposición de los elemen­
tos de un conjunto.
Por ejemplo, en el conjunto
{1; 2; 3}, cada ordenación posible
de sus elementos, sin repetirlos,
es una permutación. Existe un
total de seis permutaciones
para estos, elementos: "1; 2; 3”,
“1; 3; 2”, ‘'2; 1; 3”, .“2; 3; 1”, "3; 1;
2” y “3; 2; 1”.
3.1,3. Permutación circular
Consiste en ordenar un conjunto de elementos alrededor de
una figura circular como una mesa, una fogata, un árbol, entre
otros.
En general, para n elementos distintos, el total de ordena­
mientos circulares es
pjn) = (n~ 1)!
i
Ejemplos
1. Ordenaremos a 5 señoritas en una mesa circular con 5
asientos disponibles.
Ana Bery Ceci Dina ' E ,tK-r .
Hv
¿ata
:m
Observación : ó
Uno de los elementos se considera como fijo.
Esto garantiza que los ordenamientos sean
distintos, es decir, no se repiten.
C
(
total de
ordenamientos
= PC(5) = 4! = 24

470. Capítulo 13 Análisis combinatorio
2. Ordenaremos a 6 niños'alrededor de una
fogata.
A i e xB e t oC a r l o sD a n t eE l i oF é l i x
n
PñPiPn
Afláb ; v v
/
total de
' \
ordenamientos
= PC(6) = 5! = 120
3. Ubicaremos en una mesa circular a 2 seño­
ritas y 4 varones, donde las señoritas esta­
rán juntas.
A B C D fev V%y
& n n
_ > já",:íí (ivSíi
(
total de
ordenamientos
primero
permutan los 5
elementos
^ ( luego
las 2 personas
juntas
—>
total de
ordenamientos,
total de
ordenamientos
= PC(5) x P(2; 2)
=4! x 2!=48
4. Una tarde, 5 señoritas van a almorzar al
chita “Ya Miré” y se ubican en una mesa
circular (para 5) con 5 asientos disponibles.
¿De cuántas maneras distintas se pueden
ordenar si 2 no quieren estar juntas?
D
«6»
K i
P
Ordenamos a las
4 personas
I
?
Pc{ 4)
I
3!
Ubicamos
a B
*
2
?
2=12
Por lo tanto, en total hay 12 maneras de
ordenarse.
5

471. COLECCIÓN ESENCIAL Lumbreras Editores
5. Si 5 varones y 3 señoritas se ubican alre­
dedor de una mesa con 8 asientos dispo­
nibles, ¿de cuántas maneras distintas se
pueden ordenar sabiendo que las seño­
ritas deben estar juntas?
1 elemento
f
total de
. \
ordenamientos
= PC(6) y P(3; 3)
= 5!x3!=720
3.2.. Combinación
Es un conjunto o una disposición de todos sus
elementos sin tener en cuenta el orden.
Ejemplo
O O O O }
4 pelotas
Formaremos grupos de dos elementos
distintos.
0< a
Ahora formaremos grupos de tres ele­
mentos.
[ooo) (00o) (ooo) (o ó o)
Entonces tenemos 4 grupos distintos de 3
elementos.
Dichos resultados se pueden plantear de la
siguiente manera:
C Í = —— = 6 C4 = ^ ^ = 4
2 1x2 3 1x2x3
Además
C? = 2 2 = 2 8
2 1x2
io = 10x9 =45
2 1x2
C =
11x10x9
3 1x2x3
= 165 cl° =
10x9x8x7
4 1x2x3x4
= 210
Observación
Cj1 se lee: “Combinatoria de 11 elementos
tomados de 3 en 3".
También
d 0 =- 10!
3! x 7!
= 120
C3 = —^— = 126
4 4! x 5!
Cj3 =t— 4 = 286
3!x 10!
Entonces hay 6 grupos distintos formados
a partir de 4 elementos.

472. Capítulo 13 Análisis combinatorio
Cálculo de la combinatoria
En general n> a
donde n es el total de elementos distintos.
Aplicación 2
¿Cuántos cuadriláteros se pueden formar con
18 puntos no colineales?
Resolución
Veamos
f total de 'j / /
— * / / •
cuadriláteros J
v y • • \/
«
Además
a. q n =n; Cnn = 1; C0n =1
b. C j+ q n+ C j+ C j+ ... + C Í= 2 n- 1
c. C "= C ny -» x + y = n f
Ap l ic a c ió n 7
¿Cuántos triángulos se pueden obtener a
partir de 12 puntos no colineales?
Re s o l u c ió n
Veamos ; i."
. ( total de x
^cuadriláteros^
18!
4 ! x 14 !
= 3060
Aplicación 3
¿De cuántas maneras distintas, Susana puede
sacar a pasear a sus cinco mascotas?
Resolución
Mascotas: un perro, un gato, un conejo, una
oveja y un loro
Formas de sacarlos a pasear
O
/ total de
vmaneras
= 5 + 10 + 10 + 5 + 1 = 31
Aplicación 4
¿Cuántas contraseñas, como máximo, puede
obtener Eugenio si como mínimo debe haber
tres caracteres de 8?
Para formar un triángulo, necesitamos unir
tres puntos como mínimo.
total de Í = C12
triángulosj 3 3!x9!
Resolución
Caracteres: A; 8; C; D; f; F; G; H
Elegir: 3o4o5o6o7o8
total de
contraseñas
= c f+c 48+c 58+ c|+ c78+c 88
í total de
" [triángulos^
= 220
f total de N
[contraseñas^

473. COLECCION ESENCIAL Lumbreras Editores
Ap l ic a c ió n 5
¿Cuántas jugadas distintas se pueden obtener
al jugar la lotería La Suerte?
Ap lic a c ió n 7
¿De cuántas'inaneras distintas se puede ir de 4
hacia B pasando por M?
Re s o l u c ió n
Cada jugada consta de 6 números.
—>
Cartilla La Suerte
1234.5
678910
1112131415
1617181920
2122232425
26272829
Om
31323334,35
36: 37383940'
4142434445
^total de'j _ £.45 _ 45!
Jugadasj 6 6!x 39!
Re s o l u c ió n
Según el enunciado, planteamos gráficamente.
Ap lic a c ió n 8
¿De cuántas maneras distintas se puede ir de
A hacia B sin retroceder?
Re so lu c ió n
Hay caminos que se van a repetir en formas
horizontal y vertical. Entonces utilizaremos la
técnica de conteo de permutación lineal con
elementos repetidos.
' total deN
Jugadas,
= 8145 060
Ap l ic a c ió n 6
¿De cuántas maneras distintas se puede es­
coger a una pareja de personas de un total
de 20?
Re s o l u c ió n
Total: 20
Grupos: 2
Tenemos
Horizontal: 8 caminos
- Vertical: 7 caminos
—^
f total de
^maneras
f total de
^maneras
_r20- 20 •
2 2 ! X 18 !
f total de
0en
II
maneras
v distintas y
Total: 15 caminos
= P(15:7; 8) =
15!
7 ! X 8 !
= 6435
/

474. Capítulo 13 Análisis combinatorio
Ap l ic a c ió n 9
¿De cuántas maneras distintas se puede distri­
buir a 5 estudiantes en 3 aulas disponibles con
capacidad de 40?
Re s o l u c ió n
Graficamos
•' A B c D E
n P i
n
4 ¡1 ¡^ J ljt iá ká k. m
• ' P il f e l r Aula
hmadssm
. M , - N • P 1
là tólÉSSÉsSÉ
v4 í Í///7//, , A
. jiObservación
■
Cada estudiantetiene tresopciones para
ocupar una aula. ::•' ^ --- A-P -'3có-
\ -ó ?/£ 'C'vT , —
A B C D t
' total de
vmaneras
filili
=3x3x3x3x3= 35 = 243
Aplicación 10
Si la clave de una tarjeta de crédito está forma­
da por cuatro dígitos, ¿cuántas claves distintas
se pueden obtener?
Resolución
Graficamos un modelo.
rrxn
i 111
0 000
1 111
2 222
3 333
9 9_9
9
10 x 10 x 10 x 10 = 104 = 10 000
Cada posición de la clave tiene 10 posibili­
dades. Por lo tanto, el total de claves diferen­
tes será 10 000.
Aplicación 11
En un club participan 24 socios para la elección
de un presidente, un vicepresidente y un teso­
rero. ¿De cuántas maneras diferentes se puede
llevar a cabo dicha elección?
Resolución
P r e s id e n t eV ic e p r e s id e n t eT e s o r e r o
i i ■ i
24 x 23 x 22 = 12144
Por lo tanto, el total de maneras diferentes de
llevar a cabo la elección es 12 144.
Actividad recreativa
¿De cuántas maneras distintas Alicia puede comprar 10 panes si hay tres panaderías disponibles?

475. COLECCIÓN ESENCIAL Lumbreras Editores
ANÁLISIS COMBINATORIO
V ..., ...
_________
----------------------------------N
Permite contar eventos o sucesos.
v
_________________________________y

476. RESOLVEMOS JUNTOS
Problema N.° 1
¿Cuántos resultados diferentes se pueden
obtener al lanzar dos dados no trucados y tres
monedas?
A) 144 B) 288
D) 20
Resolución
Tenemos
C) 24
E) 5
M .......
?{. i Y
s ¡
....w
w
' l °r> ' t cn
V j ° C ; ' I ° C .
t t t
6 x 6
■ íV/'
W
í
x 2 x 2 x 2
(total de resultados)=288
: Clave \
Problema N.° 2
Sonia tiene 8 pantalones (4 ¡guales), 3 minifal­
das, 7 blusas (2 iguales), 5 polos (4 iguales) y
8 pares de zapatos. ¿De cuántas maneras dife­
rentes podrá vestirse?
A) 1440
D) 640
B) 1220 C) 288
E) 512
Resolución
Ordenamos los datos.
Wkk
; v
J¿ \
' Y f c;! . \
r \ l\ .
y V
t í í t í
5 x 3 x 6x2x8
(total de maneras)=1440
! Clave
Problema N7 3
¿De cuántas maneras diferentes se puede ir de
A hacia 6 sin retroceder?
A
-*L
A) 150
D) 250
B) 180 C) 233
E) 120
Resolución
Para no retroceder, no se tomarán en cuenta
los siguientes recorridos:
A i A
□
1 B{ 1 + 1)
1 3 BC:
Luego
28 58 107 6(lo0)
f total de maneras 1
distintas
= 180
: Clave

477. COLECCION ESENCIAL
Lumbreras Editores
Problema H." A
_________________________
Karina puede viajar dé Lima a Huánuco de
tres maneras por vía aérea y de Huánuco a
Pucallpa de cuatro formas por vía terrestre.
¿De cuántas formas distintas puede ir de Lima
a Pucallpa pasando por Huánuco?
A) 7 B) 12 C) 24
D) 14 E) 4
Problema N.° 6
_____________________
Calcule el valor de E.
30!
~ 29! +28!
A) 30 _ B) 29 C) 28
D) 1 E) 2
Resolución
Resolución
Los elementos son secuenciales.
Problema N.* 5
Zenobia desea viajar de Lima a Pucallpa para
visitar a sus hermanos y dispone de 3 líneas
aéreas y 6 líneas terrestres. ¿De cuántas mane­
ras diferentes puede realizar dicho viaje?
A) 24 ' B) 18 C) 11
D) 42 E) 9
Resolución
<>OCXyv; V •X'*.'.-.--
Importante
n != 1 x 2 x 3 x ...x n != n x (r ? - 1 )!
<'Oooc<x<>o<yy>oc<</>yw
Ahora
• 301=30x29x28!
• 291=29x28!
30x29x28! 30x29
£ = •
29x28!+28! 29 + 1
= 29
f
r v&;:
; Clave
I% <7
Problema N.’ 7
¿De cuántas maneras distintas se pueden
ordenar 8 figuritas de la Copa América en 8
posiciones diferentes?
A) 25 B) 8! C) 64
D) 4! E) 12
Elegir la vía de transporte.
aérea terrestre
î Î
3 + 6
Por lo tanto, hay 9 maneras para realizar dicho
viaje. _ .......
; Clave \
Resolución
Tenemos
8 posiciones
(total de maneras)=P(8; 8)=8!
; Clave \

478. Problema N.° B
Se desea confeccionar una bandera de 3
franjas y colores distintos. Si se dispone de 6
cortes de tela con distintos colores, ¿cuántas
banderas diferentes podemos obtener como
máximo?
Resolución
Se ordenarán
A) 240 B) 60 C) 120
D) 180 E) 600
Resolución
Por condición tenemos
Por lo tanto, se pueden obtener 120 banderas
diferentes como máximo.
! Clave .
..... .’f « .
u ¡i H .* H /
ée 4 è & *
l i i
(total de maneras)=5x4x3=60
: Clave
Problema N,* 10
______________________________
En el cumpleaños de Pedro, asisten 60 varo­
nes y 20 mujeres, y al iniciar la primera canción
solo saldrá a bailar una pareja. ¿De cuántas
maneras diferentes podrá formarse la pareja?
A) 240 B) 1200 . C) 210
D) 200 E) 180
Resolución
Graficamos
Problema Nó 9
_______________________________
En una fila de cinco asientos vacíos se sentarán
Álex, Beto y Carlos. ¿De cuántas formas dife­
rentes se podrán ubicar?
A) 21 B) 120 C) 60
D) 9 E) 8
f total de \ _ 2q
^ maneras J
x 60 = 1200
: Clave

479. COLECCION ESENCIAL Lumbreras Editores
Problema NP 11
En una carrera de Fórmula 1 participan 6 autos.
a. ¿De cuántas formas diferentes se pueden
asignar las posiciones de salida si esta se
realiza al azar?
b. ¿De cuántas formas diferentes se podrán
premiar a los tres primeros puestos de esta
carrera si se sabe que no hay empate?
Halle la suma délos resultados obtenidos.
A) 840 B) 720 C) 1680
D) 420 E) 920
Resolución
a. Ordenamos los 6 elementos en 6
ciones.
f total de
^ordenamientos^
=P(6; 6)=6!=720
b. Ordenamos los 3 elementos de un total
de 6.
total de l = P(6; 3) = — = -120
v ordenamientos) 3!
Problema N.° 12
_______________________________
Indique de cuántas maneras se pueden colo­
caren una fila 3 varones y 3 mujeres según los
siguientes casos:
a. No haya dos mujeres, ni dos varones ocu­
pando lugares contiguos.
b. Las nriujeres siempre están juntas.
A) 72; 24 B) 36; 72 C) 36; 144
D) 72; 72 E) 72; 144
Resolución
a. Varones y mujeres alternados
1 1 " i I T ~ T
V fit V M V M o M V M V M 7
,5$ _ ÍZ _ J T T T
'ák ^
V y M V y M
'' O I I I
V f T ♦
P(3; 3) x P(3; 3) P(3; 3) x P(3; 3)
I I I I
t f f r
3! x 3! * 3!*-x 3!
36 + 36 = 72
b. Mujeres juntas
V V V
A
I
.! elemento
M M M
Entonces permutarán 4 elementos y
también las 3 mujeres en forma interna.
/ suma de N
” (resultados^
= 720 + 120 = 840
f total de '
vmanerasy
= P(4; 4)xP(3; 3)=4!x3! = 144
; Clave \ } i Clave

480. Capítulo 13 Análisis combinatorio
Si cinco amigos van al cine y encuentran una
fila de 5 asientos disponibles, ¿de cuántas
maneras distintas se pueden ordenar sabiendo
que dos deben estar juntos?
A) 5 B) 6 C) 48
D) 14 E) 7 •
Problema 13
________
Resolución
Graficamos
• A
umtos
C 1
BO
J 2
hla
Solo permutarán 4 elementos en 4 posiciones,
también C y D lo hacen.
total de
maneras
= P(4;4)xP(2; 2) = 4!x2! = 48
: Clave ■
Problema N.° 14
______________________________
Inés, su papá, sus tres hermanos y su mamá
van al cine. ¿De cuántas maneras distintas
pueden sentarse en 6 asientos de una misma
fila si la mamá está siempre al lado de Inés?
A) 720 B) 120 C) 640
D) 240 E) 420
Resolución
Graficamos
1 elemento
V
total de
maneras
= P(5; 5) x P(2; 2) = 5 ! x 2 ! = 240
’ Clave \
Probl^fna N.* 15
___________ _ ________________
¿Cuántos números de tres cifras se pueden
formar con los dígitos 3; 4; 5 y 6?
A) 24 B) 60 C) 48
D) 12 E) 30
Resolución
No se puede repetir el valor de una cifra.
-1 -2
a b e
i i 1
3 3 4
4 4 5
5 5 3
6 6 6
i i 1
4x3x2=24
Por lo tanto, se pueden formar 24 números de
tres cifras con los dígitos 3; 4; 5 y 6.
; Clave \
Problema N.° 16
¿De cuántas maneras diferentes se pueden
ordenar las letras de la palabra MURCIÉLAGO
sin importar el sentido?
A) 2x5! B) 5x2! C) 10!
D) 10x2! E) 2x10!
Resolución
Utilizaremos la permutación.
MURCIÉLAGO
í total de \
^manerasJ
=P(10;10)=10!
i Clave \

481. COLECCION ESENCIAL Lumbreras Editores
Problema N.c 17 Resolución
Si seis personas se van a almorzar al chifa “Ya
pe tú” y eligen una mesa para 6 personas, ¿de
cuántas maneras pueden ubicarse?
A) 100 B) 1440 C) 720
D) 288 E) 120
Resolución
Ordenamos
total de
maneras
= Pc(6)-(6-1)! = 5!
total deN
maneras^
= 120
Clave
Problema N.° 18
Si 8 personas se van a almorzar al chifa “Ya
fue”, eligen una mesa para 8 personas y dos
de ellas quieren sentarse juntas, ¿de cuántas
maneras pueden ubicarse?
A) 71x2
D) 6!x2
De los datos indicados en el texto, ordenamos
los elementos en el siguiente gráfico:
Se van a permutar 7 elementos y las 2 perso-
nasjuntas internamente.
—> (total de maneras)=Pc(7)xP(2; 2)=6!x 2!
(total de maneras)=6!x2
i Clave '■
Prcble ma N. 19
Alrededor de una mesa se van a sentar 6
personas. Si dos de ellas no pueden sentarse
juntas, ¿de cuántas maneras pueden ubicarse?
A) 72 B) 5!x2 C) 5!x3
D) 6!x2 E) 6!
Resolución
Ordenamos
Considetamos F y C
no juntas

482. Capítulo 13 Análisis combinatorio
r total de j
"primero orde-^luego
^ordenamientos,
=
namos a las
v 5 personas
y
ubicamos.
c aF J
—»
total de
ordenamientos
= |P(5)x3
total de
ordenamientos
= 4!x3 = 72
: Clave [
Problema N.° 21
__________ _________________
En un instituto de computación hay ocho
profesores. Si en el próximo mes se abrirán tres
cursos diferentes, ¿de cuántas formas se puede
asignar a los profesores de estos cursos sin
que puedan dictar más de un curso a la vez?
A) 24 B) 336 C) 512
D) 56 E) 168
Problema N.* 20__________________________.
Un ladrón quiere abrir una caja fuerte cuya
clave consta de cuatro dígitos. Si solamente
sabe que los dígitos posibles son 1; 3; 5 y 7,
¿cuál es el número máximo de intentos posi­
bles que puede realizar el ladrón?
Resolución
Tenemos
f°i
o
A) 255 B) 279
D) 110
Resolución
Dato:
Dígitos: 1; 3; 5; 7
Se dará cuatro intentos para cada dígito.
C) 256
E) 23
(total de maneras) = 8 x 7 x 6 = 336
; Clave
A B C D "
© )
• %
: r
— CT\
íSi). 0
i q
í
(1; 3; 5; 7)
1
'V, 3, 5; 7)1; 3
1
5; 7) (1:3, 5; 7)
—> (total de maneras)=AxfíxCxD
(total de maneras)=4x4x4x4=256
! Clave \
Problema N.D 22
__________
John, un alumno de la UCH, puede estudiar
0; 1 o 2 h para una práctica de Matemática
en un día determinado. ¿De cuántas maneras
diferentes podrá estudiar 3 h en tres días
consecutivos?
B) 6A) 5
D) 14
C) 8
E) 7

483. COLECCION ESENCIAL Lumbreras Editores
Resolución
Analizando el dato, John puede estudiar 0; 1 o
2 h (3 h en tres días).
Caso 1 o Caso 2
DíaDíaDía
12
i
1 h
l
1 h
i
1 h
V
J
1 manera
Día
1
Día
2
Día
3
iil
Oh1 h2 h
0 h2 h1 h
1 h0 h2 h
1 h2 hOh
2 h0 h1 h
2 h1 hOh
5
Y
ma nei
í total de 'I
^maneras J
Caso 1 Caso 2
■ I ! ,7 A /' ■
= 1 + 6 = 7
: Clave •/ }
Problema NT 2 3
__________________________
En un examen de 7 preguntas un alumno
puede escoger 4. ¿De cuántas formas dife­
rentes lo puede realizar?
A) 15 B) 25 C) 35
D) 40 E) 55
Resolución
Tenemos
®©©©®©Q
7 preguntas
La condición es que el alumno elija 4 pregun­
tas de un total de 7.
f total de ) ^7^7 x6x5 x4 _ ^
(manerasj 4 1x2x3x4
i Clave \ ;
•
.............. »‘l*..**
Problema NT 24_______________________________
El Dr. Salcedo convoca a 8 varones y 7 mujeres.
¿Cuántos comités de 5 personas se pueden
formar, de modo que estén conformados por
3 varones y 2 mujeres?
A) 648
D) 1176
Resolución
Tenemos
B) 948 C) 1058
E) 1234
8 varones y 7 mujeres
I L
f T
Se eligen 3 . Se eligen 2
í i
C x C
1
7
8x7x6 7x6
x
1x2x3
total dex
maneras
1x2
= 56x21 = 1176
: Clave
Problema NT 25
De 5 ingenieros y 4 médicos se desea escoger
un grupo de 4 personas. ¿De cuántas maneras
se podrá realizar esto si en cada grupo debe
haber, como máximo, 2 médicos?
A) 65
D) 125
Resolución
Caso 1
B) 81
2 médicos
i
C4
I
4x3
C) 105
E) 155
y 2 ingenieros
Cñ
5x4
1x2
= 60
1x2
x

484. Caso 2 Operamos
3 médicos y 1 ingeniero
i 1
C 34 x C=
1 t
4x3x2
1x2x3
x 5=20
Caso 3
4 médicos
l
y 0 ingenieros
i
C4
'~4
y
x <4=1
t0tal de 1=60 + 20 + 1=81
ymaneras j
: Clave t ^
Problema N.° 26
1 .
Se ordenan en una fila 5 pelotitas verdes y 2
pelotitas blancas. Si las pelotitas de igual color
no se distinguen entre sí, ¿de cuántas formas
posibles pueden ordenarse?
0 0 0 0 0 0
A) 21 B) 10 C) 35
D) 120 E) 210
Resolución
Para ordenar las pelotitas teniendo en cuenta
solo el color, se utilizará una permutación
lineal con elementos repetidos.
0000000
V"1 v /
5 rop'j .? blancas
total de
ordenamiento
distinto j
= P(7: 5; 2)
—>
' total de
ordenamiento
v distinto j
7!
5 ! x 2 !
= 21
Por lo tanto, se pueden ordenar de 21 formas
posibles.
! Clave \ y
Problema N.° 27
___________________________
¿De cuántas maneras puede escogerse una
comida (una entrada, un plato de fondo y un
postre) si se dispone de 4 entradas, 5 platos de
fondo y 3 postres?
A) 12 B) 60 C) 18
D) 24 E) 36
Resolución
Del enunciado, planteamos lo siguiente:
• Entradas: A; B; C; D
• Platos de fondo: x; y; z; w; p
7 polotitas

485. COLECCION ESENCIAL Lumbreras Editores
Elegimos la comida.
entrada fondo postre
total de maneras ^
vde elegir una comidaj- X x ^
total de maneras
de elegir una comida
= 60
i Clave •
■
................i...' ’
Problema N.° 28
________/
¿De cuántas maneras distintas pueden orde­
narse 3 varones y 3 mujeres si estas deben
estar en lugares pares?
0 © n
A) 36 B) 49 C) 94
D) 63 E) 18
Resolución
Nos piden ordenar linealmente a 3 varones
y 3 mujeres y estas deben estar en lugares
pares.
Veamos la situación.
1.*r 2.a
3,w 4.° 5.° 6.°
■ S O
n
f )
o ñ
a ■
V. M,
V2
V, M ;
Operamos
| primero las j
l mujeres p
f
total de maneras
distintas
= P(3; 3) xP( 3; 3)
->
^total de maneras
v distintas
= 3! x 3! = 36
Por lo tanto, las 6 personas se pueden ordenar
con la condición de las mujeres en 36 maneras
distintas.
f Clave
Problema N/ 29
¿Cuántos números de tres cifras se pueden
formar con los dígitos 1; 2; 3; 8; 9 y 7?
A) 120 B) 216 C) 108
D) 360 E) 240
Resolución
Formaremos números de tres cifras como
abe. Para ello utilizaremos los dígitos (1; 2;
3; 8; 9 y 7).
a b e
1 I l
1 1 1
2 2 2
3 3 3
8 8 8
9 9 9
7 7 7
6x6x6=216
Por lo tanto, pueden formarse 216 números de
tres cifras.
Clave [

486. Capítulo 13
Análisis combinatorio
Problema N.° 30
Se tienen 6 bolitas marcadas con los dígitos
1; 2; 3; 4; 5 y 6. ¿Cuántos números pueden
obtenerse?
A) 1440
D) 30
B) 720 C) 26
E) 1956
Resolución
Para formar los números, es importante. la
posición de los dígitos, es por eso que utili­
zaremos la técnica de permutación.
Tenemos las bolitas
\ \ (J A
»
• 1 bolita -— ' P(6; 1)=6
defectuosas.
h • 2 bolitas
6'
— P(6;2) = - = 30
Luego
tffrff ffí rfí if'r f îr f îr f t Pfi Pfi fyi íífi Pfi Pf1
• 3 bolitas' P(6;3) = | | = 120
o defectuosas ? no defectuosas
i .. i
r J ' ■ •
elegí! nos 4 y elegimos 1
h
• 4 bolitas- P( 6; 4) = - = 360
O
elegirmes 5 y elegirnos 0
• 5 bolitas— P(6;5) = | = 720
Operamos
r
• 6 bolitas— ► P (6; 6)=6!=720
( total de "
ymanerasy
= c jx q7 o c58x c7
d
>
Luego
6 + 30 + 120 + 360 + 720 + 720=1956
—>
^total de"
vmanerasy
8 ! 8 !
=------x7 +
------x1
4 !x 4 ! 3 !x 5 !
Y "Y
490 56
-
Por lo tanto, pueden obtenerse 1956 números
juntando las bolitas.
' total deN
vmaneras;
= 546
¡ Clave : } i Clave \
Problema N.° 31
Tengo 15 sillas, de las cuales ocho son defec­
tuosas. ¿De cuántas maneras podemos esco­
ger 5 sillas de las cuales por lo menos 4 sean
defectuosas?
A) 546
D) 564
B) 654 C) 645
E) 456
Resolución
Según el enunciado, tenemos
total: 15 sillas
8 defectuosas 7 no defectuosas
Evento: Elegir 5, por lo menos 4 que sean

487. COLECCIÓN ESENCIAL Lumbreras Editores
Problema N.” 32
El servicio de inteligencia de cierto país de­
sea enviar mensajes a sus agentes secretos.
Solo quiere utilizar las siguientes letras: V,
A, M# P, I, R, O. ¿Cuántas palabras claves de
cinco letras pueden formarse si ninguna letra
puede repetirse?
A) 2520 B) 2250 C) 2255
D) 2502 E) 2025
Resolución
Nos piden formar mensajes usando letras.
Para ello utilizaremos la técnica de permuta­
ción lineal.
Letras a utilizar: V, A, M, P, I, R, O
La clave consta de cinco letras. Entonces
será una permutación lineal de 7 elementos
tomados de 5 en 5.
Problema N.° 33
___________________
Las ciudades A y B están unidas por 6 caminos
diferentes, B y C por 10 caminos diferentes, y
las ciudades C y D por 8 caminos diferentes.
¿De cuántas maneras diferentes una persona
puede viajar de A hacia D pasando por B y C?
A) 60 B) 480 ' C) 24
D) 80 E) 240
Resolución
Del enunciado tenemos
fX*X>00<>0<X<*>0C><X><><XX'C<>C<><>C*X><>0<>X^X^
No OLVIDE
Para ordenar los elementos lineal-
í mente, se utilizará la siguiente reía- \
| ción:
n\
í ' P(n; r) =
------
(n-r)\
^ } ^ C > £ « v > C > O 0 O ‘ > 0 ,O 0 O Ó O < X X > O O 'C '< '<^ ^ O C O C < x > 0 O * X > C KX '< > O O O C ,C < x X X X » O O C ^
-» P(7; 5) =
7!
(7-5)!
P(7; 5) = Ü = 2520
Por lo tanto, se pueden formar 2520 palabras
claves.
Clave [
Nos piden de cuántas maneras distintas una
persona puede ir de A hacia D pasando por
By C.
->
^total de maneras^
distintas de ir
AB BC
v,
de A hacia D
CD
1 i l
= 6 x 10 x 8
7
Importante
: Se multiplica porque los eventos se dan
¡i! uno a continuación del otro.
s
* ^ á < ^ X > < > 0 < < > C K X X > N X > < > C < ) \ N X < K : < . < > ; > < X K K > C v V '< < s : > C s C < > X K X K < V y X < > v> * v .v-„ .
^total de maneras^
distintas de ir =480
v
de A hacia D
J
i Clave

488. Capítulo 13 Análisis combinatorio
Problema N.* 34
La municipalidad de San Martín de Porres ha
ordenado que los mototaxis sean amarillos
y que las placas tengan 6 caracteres (3 letras
seguidas de 3 números). ¿Cuántas placas
diferentes se podrán formar? Luego dé como
respuesta la suma de cifras del resultado.
Considere 26 letras del alfabeto.
A) 7
D) 8
B) 9 C) 10
E) 6
Resolución
Debemos formar placas de 6 caracteres.
Para ello utilizaremos la técnica de permuta­
ción lineal.
ALP781
letras 3 números
donde
letras: A; B; C; D ;...; Z — 16
- números: 0; 1; 2; 3 ; 9 — 10
f total de' primero luego N
placas=permutamosy
permutamos
^diferentes,las 3 letras ,
1
Jos 3 números,
P{26, 3) PÍ10; 3)
-^
( total de
placas
diferentes
?6i 101
= _ x — = 11232 000
23! 7!
Por lo tanto, la suma de cifras es 9.
; Clave \
En una empresa trabajan 5 mecánicos, 4 físi­
cos y 2 geólogos. Se desea formar una comi­
sión de 5 personas, en la cual haya siempre un
físico. ¿De cuántas formas se puede selec­
cionar dicha comisión?
Problema N.J 35
________________
A) 140
D) 70
B) 280 C) 40
E) 80
Resolución
Del enunciado tenemos
\ y r-y ft) W ' /
á á u r míi:Æ
P )
W
OR A
R O
's. > O
¿MI A A
2 geólogos
Tenemos que elegir una comisión de 5 perso­
nas, en la cual haya siempre un físico.
El total de personas es 11.
| Observación
: i
En este caso, no importa el orden.
X500<XXXXX>00<X><>C - O
' total de j_
( primero
f
^maneras j
elegimos
v 1 físico ,
y
V
de los restantes'1
elegimos
4 personas
—)
total de A
maneras
- 1 , 7!
= CJ x C , = 4 x
3 ! x 4 !
total de
maneras
= 4x35 = 140
i Clave [
93

489. COLECCION ESENCIAL Lumbreras Editores
Problema N.* 36
¿Cuántas placas para automóviles pueden
hacerse si cada placa consta de dos letras
diferentes seguidas de tres dígitos diferentes?
Considere 26 letras del alfabeto.
A) 468 000 B) 234 000 C) 243 000
D) 486 000 E) 240 000
Resolución
Nos piden la cantidad para elaborar placas
usando letras y números.
Para ello utilizaremos la técnica de permuta­
ción lineal.
B0Y
1: 1
----— - - - - - - - -------
A 4
: - :s de fútbol
2 letras 3 números
Entonces tenemos 26 letras y 10 números.
( total de^
^ primero luego
permutamos
\]
permutamos
^maneras^ las 2 letras
y
los 3 números
de 26 j de 10 ,
—>
total de
maneras)
=P(26;2)x P(10;3)
f total de Ì 26! ^ 10!
vmanerasJ 24! 7!
total de
maneras
= 468 000
; Clave
Problema N.” 37
En la etapa final de fútbol profesional, cuatro
equipos, Cristal (SC), César Vallejo (CV), Alian­
za Lima (AL) y Melgar (M), disputan el primer
y segundo lugar (campeón y subcampeón).
¿De cuántas maneras diferentes estos equipos
pueden ubicarse en dichos lugares?
A) 8
D) 16
B) 12 C) 15
E) 20
Resolución
Según el enunciado tenemos
KC AL
Observación
En este caso, importa el orden.
NO OLVIDE
£
P(n;r) =
n!
í
(n-r)l
Operamos
( total de 4'
= P(4; 2) = —
maneras! 2!
total de
maneras
= 12
Clave

490. Análisis combinatorio
Problema N.‘ 38
En una carrera de 400 m participan 12 atletas.
¿De cuántas formas distintas podrán ser pre­
miados los tres primeros lugares con medalla
de oro, plata y bronce?
A) 1302
D) 1032
B) 1320 C) 1230
E) 1023
Resolución
Según el enunciado tenemos
atletas
x< je f w v
- • *—
400 m f
Nos piden de cuántas maneras distintas
pueden llegar los tres primeros lugares.
/iO O O O O O O O O O O O O O O O O O O 'C 'O C 'O O O O O C 'O C X 'O O O O C 'O C 'O O O O O O O C ^
Observación
X O ffi '•'Éj.vv'
En este caso, importa el orden.
total de t _ p(12; 3) 12
12i
= 1320
^maneras j (12-3)! 9!
: Clave \
Problema N.° 3 9
_______________________
En un examen de matemáticas, un estu­
diante debe responder siete preguntas de las
diez dadas. ¿De cuántas formas diferentes
seleccionará las preguntas si debe responder,
por lo menos, tres de las cinco primeras?
A) 110
D) 55
B) 220 C) 330
E) 70
Resolución
Del enunciado del texto tenemos
10 preguntas
/^O<XK><>>0*O<X><>CKXX><>C»t>XKXX oxoooc-c-oc
NO OLVIDE
' (n-r)!rl
^XK>oo«x^c<>c>c<-C"X<«x»» :**<• x >: :
Un estudiante debe responder 7 preguntas,
por lo menos tres de las cinco primeras.
^0 < X > O O C O O < Ka> C < X < X < <sX C - X O ' X » C ' C < < - > X - : < * Cc- 0 0 - X V X .V -C-C'«OOO* > * -
Observación
En este caso, no importa el orden.
. v v X < * s x > > x - > > > ->• x > . v ** . .
Luego
5 restantes
elegimos 3
elegimos 4
elegimos 5
y 4 de las restantes
y 3 de las restantes
y 2 de las restantes
Operamos
f total de ^
maneras
—>
total de
vmanerasy
total de
= CBXC4 +C4 XC3 +C5XC2
1 1 1 t i l
10 S 5 10 1 10
= 50 + 50 + 10
maneras
= 110
Clave

491. V
COLECCION ESENCIAL Lumbreras Editores
Problema N.° 40
Un club de vóley tiene un total de 10 jugado­
ras, pero en cada partido solo pueden jugar
6 de ellas. ¿Cuántos equipos diferentes, cada
uno de 6 jugadoras, podrían formarse en este
club si en todos ellos siempre tiene que estar
como capitana la misma jugadora?
A) 612
D) 162
B) 126 C) 216
E) 261
Resolución
Según el enunciado del texto tenemos
H ay capitana.
J
m
or>o nn
p p
ñ ,
¿ 4| |
Í f iá i
i
■ yvQyL ■y,4a /' 1vI
tíiiX \«¡jwydii
,w
mi
mii
ii
i
• iiii
II
11
| |
f .
vá
10 jugadoras de vóley
Formamos un equipo de 6 donde siempre esté
la capitana.
Observación
: En este caso, no importa el orden.
8 8
Si la capitana va a estar en el equipo, entonces
elegiremos a las 5 que faltan.
total de
maneras )
( total de
capitana restantes
= q 1 x c s
maneras
= 1 x
9!
4 ! x 5 !
126
= 126
: Clave \
Problema N/ 41
¿De cuántas maneras diferentes puede elegir­
se un comité de 4 personas en un club de 10
miembros si los cargos son diferentes?
A) 5400
D) 4500
B) 5040 C) 4005
E) 4050
Resolución
Del texto tenemos
4 A á J L 4 $ - ' a
i r r i i -
* «ja J t >a
i ■ :¡L n ,
í > J i k. ^ f
m
16 personas
Nos piden elegir un comité de cuatro personas
y los cargos a desempeñar son diferentes.
Observación
En este caso, importa el orden.
Hotalde1 = p(10;4)= 10!
maneras
10!
= 5040
(10-4)! 6!
; Clave [
Problema N.° 42
En una reunión se dan 105 apretones de manos.
¿Cuántas personas fueron a dicha reunión?
A) 10
D) 20
B) 30 C) 15
E) 60
Resolución
Según el enunciado del problema tenemos
& ' &
. ' • ; /ó 8 ^ 5 4 m '/
• \\ ■ A ■ j / m ¡ :
; i. i' i

492. Capítulo 13 Análisis combinatorio
Para tener un apretón de manos (saludo),
se necesitan dos personas, no importa el
orden de las personas. Entonces utilizaremos la
técnica de combinatoria.
—>
total de apretones
de manos
V
= 105
Sea n la cantidad de personas.
^ total de ^
apretones
de manos
= q =105
Observación
En este caso, importa el orden de llegada.
Operamos
total de^|
maneras J
= P( 7;4) =
7!
(7-4)!
7!
3!
í total deN
(maneras^
= 840
Clove
—>
total de N
apretones
vde manosy
' total de N
apretones
vde manosy
_______n ! _
(r? — 2) !x 2 !
= 105
f
total de
apretones
de manos
A
V
n=15
= /T(n-1)-jA^JÍ _ 1Q5
ÍP ^ )\ 2 \ 4,
= n • (n—1) = 105 X 2 ! = 210
7
15 14
! Clave •
Problema N.B 44
______________________________
Thiago tiene 6 pantalones y 5 camisetas. ¿De
cuántas maneras distintas puede ponerse una
camiseta y un pantalón?
A) 11 B) 15 C) 20
D) 60 E) 30
Resolución
Graficamos
Problema N.° 43
_____________________________
Siete caballos participan en una carrera. ¿De
cuántas maneras diferentes pueden ocupar los
cuatro primeros lugares si no ocurren empates
en el orden de llegada?
A) 840 B) 480 C) 408
D) 804 E) 806
Resolución
Según el enunciado del texto tenemos

493. OOOO<X><>00<X><X><X^v>XVi
Observación
En este caso, no importa el orden.
( total de ^
maneras
distintas
—»
y
total de^
maneras
Jelegir un^l fluego una^
^pantalónj y [ blusa
V
distintas^
^ total de t
maneras
distintas
= C Íx C ,5
6x5 = 30
Clave \
Problema U.° 45
¿De cuántas maneras pueden ubicarse 10
personas en una camioneta si solo una de ellas
sabe manejar?
A) 2
D) 3Z
10
B) 96 C) 9!
E) 10!
Resolución ^ y
Se observa una camioneta con capacidad para
10 personas incluido el conductor.
x \/)/ / “ ' n"/-:r" ~ ~ ,s**ç
. vm • •. ni
7 *
# 1 , # 2 , * ' 3 » 4 , • :
V O 6,; O r , ® 8
Ordenamos a las 10 personas donde solo una
de ellas sabe conducir.
I I
¿ Observación
¿ En este caso, importa el orden.
Operamos
solo se ordenan
los 9
^total de maneras \ _ p ,¿. qn
de ordenarse j
total de maneras
de ordenarse
= 9!
J
Clave
Problema N.“ 46
¿Cuántas palabras que terminen en O se
pueden obtener con las letras de la palabra
PERUANO sin que se repita la letra y no impor­
ta si tienen significado?
A) 5!
D) 120
B) 7! C) 3!
E) 720
Resolución
Según el enunciado
PERUANO
v
------* K
i
Con las 6 letras f¡¡0
festantes ¡ornearen :Gs
palabras, no importa el
sianificacio de ellas
rOOOO X -COOCK» >
Observación
ï
En este caso, importa el orden.
9
x x x y — ......
Operamos
(S a b ra s ) = P(6;6) = 6! = 720
Por lo tanto, se pueden formar 720 palabras.
Clave

494. Capítulo 13 Análisis combinatorio
Problema N.° 47
¿Cuántos números distintos de cinco cifras
cada uno, sin que ninguna se repita, se
pueden formar con las cifras 1; 2; 3; 4; 5; 6 y
7 de. tal manera que todos empiecen con 2
y acaben en 1?
A) 60
D) 120
B) 240 C) 30
E) 14
Resolución
Por condición del problema debemos formar
números con cinco cifras queiempiecen con la
cifra 2 y acaben en 1.
cifras: © ; © ; 3; 4; 5; 6; 7
i? „ / v -
T ¿
Observación
En este caso, importa el orden.
. ^ < K> o< XxX> > 'X> C^ C> 'X> <¿OOOOC*XXX/- ..©A" '
Formamos la cantidad de números de la
siguiente forma: i
2a¿>c1
Todas las cifras
son diferentes.
Luego
r
2abc1
i opciones
I — 4
opciones
opciones^
—^
/ total de
números )
' total de A
números j
= P( 5;3) =
= 60
5!
(5-3)!
! Clave
Problema N.° 4 8
______________________________
¿Cuántas fotografías distintas puede tomar­
se el equipo nacional de vóley? Considere 6
jugadoras.
A) 5!
B) 720
C) 719
D) 119
E) 420
Resolución
Graficamos
Ana
A
©3^
BetyCelia Diana
fó
M L à
8 1 ’ i ,
\ f;}
’¿ r “
'> vC
f ?
W.
»V
■l-L
Para tomarse fotografías distintas se considera
la posición de cada jugadora, no los gestos,
ni movimientos.
Observación
En este caso, importa el orden.
En este caso, usaremos la técnica de conteo de
permutación lineal.
total de
fotografías
distintas
total de
fotografías
distintas
= P(6; 6) = 6!
= 720
• Clave

495. COLECCION ESENCIAL Lumbreras Editores
Problema N/ 49
Se realiza una carrera entre 5 niños. ¿De cuán­
tas maneras distintas pudieron haber llegado
los tres primeros puestos si no hubo empate?
A) 60 B) 4! C) 30
D) 6! E) 24x5
Resolución
De lo leído se concluye que tenemos que tener
en cuenta el orden de llegada.
Total: 5 niños
ftotaldel = P(5;3) = - ^ - = ^ = 60
(jnanerasJ (5-3)1 2!
; Clave }
Problema N.° 50____________________
¿De cuántas maneras distintas pueden distri­
buirse 6 gatitos en 3 cajas? Considere que en
cada cajita pueden estar los seis gatitos.
A) 729' B) 216 C) 720
D) 18 E) 4320
Resolución
Veamos la condición del problema.
El Fol
1
Mu iíi¡ M fíí¡
4EÜU.!
#2
¡i ÍU
r i
M\L \>.
t
y .-" '
3 3
Se observa que cada gatito puede estar en las
3 cajas. Además pueden quedar cajas vacías.
^total de maneras "
v de distribuirlos ,
= 729
i Clave
Problema NT 51
____________________
¿De cuántas maneras distintas puede llegar la
tortuga a su casa si no puede retroceder?
A) 405 B) 462 C) 426
D) 246 E) 264
Resolución
Observamos
Observación
No se puede retroceder.
• vertical: 6 caminos
• horizontal: 5 caminos
Hay caminos que se van a repetir en el mo­
mento del traslado. Entonces, utilizaremos la
permutación lineal con elementos repetidos.
f total d eA
vmaneras ;
= P(11:6; 5) =
11!
6 ! x 5 !
= 462
; Clave \

496. Capítulo 13 Análisis combinatorio
Problema M.° 52
¿De cuántas maneras distintas Alicia puede
estudiar para su examen en una semana si al
menos estudia 2 h/d., y ella sabe que debe
estudiar 20 h en total? Considere solo de lunes
a sábado.
A) 1000
D) 2210
B) 1287 C) 402
E) 8946
Resolución
Tenemos que
L + M + Mi + J + V + S = 20h
Luego
L + M + Mi + J + V + S =8 h %
* ' l 1 1 1 I j
2h 2h 2h 2h 2h 2h — c f #
isr
Ahora distribuyamos las 8 h en 6 días.
—>
total de
vmaneras j
= P{ 13:8; 5) =
13!
8 !x 5 !
/
w ■
{ \ O !X b ¿
horas -*— I '— *• separadores \ -
' total de^
^maneras,
í total de N
= 1287
''■% A
^maneras^
i Clave •
Problema N.8 53
___
¿De cuántas maneras distintas se pueden
distribuir 5 perritos en 3 cajas grandes?
A) 243
D) 60
Resolución
Graficamos
B) 15 C) 30
E) 180
A »
M D
Ír\
€ D E
t§ % m , d
p'uámi'M
# a
V
perritos
Ava, . . Ari? ,
-««fcìP' i>
l | ¡ j g ¡ g f
2 <5 3.a
e ir encualquiera de
cajas; es decir, tiene 3 opciones.
—>
total de
maneras
=A+B+C+D+E
= 3x3x3x3x3 = 243
Clave [

497. PRACTIQUEMOS LO APRENDIDO
Alicia desea comprar un libro de Aritmé­
tica que se vende en la UNFV (12 libre­
rías), en la UNMSM (8 librerías) y en la UNI
(11 librerías). ¿De cuántas maneras diferen­
tes puede realizar la compra?
A) 24
D) 924
B) 31 C) 232
E) 1056
2. Jénnifer dispone de 5 blusas distintas,
4 faldas diferentes y 3 pares de zapatos
diversos. ¿De cuántas maneras diferentes
se puede vestir correctamente Jénnifer?
A) 40
D) 60
B) 12 C) 18
/ t ) 36
3. Eugenio desea viajar de Lima a Tacna para
realizar sus actos de magia y dispone de
3 líneas aéreas, 6 líneas terrestres y 2 vías
marítimas. ¿De cuántas maneras diferentes
puede realizar dicho viaje?
A) 24
D) 42
B) 18 C) 11
E) 36
4.Un grupo de estudiantes de la academia
Aduni, conformado por 15 varones y 18
mujeres, desea escoger un delegado y un
subdelegada de aula. ¿De cuántas mane­
ras diferentes pueden ser elegidos?
A) 270
D) 31
B) 33 C) 238
E) 182
5. Calcule el valor de E.
60!
E =
59! +58!
A) 60
D) 1
B) 59 C) 58
E) 2
6. ¿Cuántas contraseñas distintas se pueden
formar utilizando cinco dígitos? Considere
que no importa el orden.
A) 30
D) 25
B) 15 C) 31
E) 32
7. Calcule le valor de M.
((3!)!)!+719! 359
M =
-------------+
721! (3!)!
A) 2
D) —
2
B) C) -
3
E) ^
2
¿De cuántas maneras distintas se pueden
ordenar 6 figuritas de la Copa América en
6 posiciones diferentes?
A) 25
D) 4!
B) 6! C) 20
E) 12
9. En una fila de tres asientos vacíos se ubi­
carán Ana María, Brunella y Carmen Julia.
¿De cuántas formas diferentes se podrán
ubicar?
A) 21
D) 9
B) 12 C) 6
E) 8
10. En una recepción de cachimbos asisten
12 varones y 20 mujeres, y al iniciar una
canción solo saldrá a bailar una pareja.
¿De cuántas maneras diferentes podrá
formarse la pareja?
A) 240
D) 200
B) 120 C) 210
E) 180

498. Capítulo 13 Análisis combinatorio
11. Se tienen 4 fichas numeradas con 4; 7; 8
y 9. ¿Cuántos números de dos cifras se
pueden formar?
A) 16
D) 14
B) 12 C) 8
E) 9
12. Para el dictado de un seminario, se dis­
pone de 6 profesores, pero solo están
disponibles 4 aulas. ¿De cuántas formas
diferentes podrán distribuirse a los profe­
sores para que realicen el seminario?
A) 120
D) 280
B) 240 C) 360
E) 320
13.¿Cuántas palabras de seis letras diferentes
que terminen en A pueden obtenerse con
las letras de la palabra CATALINA sin que
se repita ninguna palabra y sin importar
si la palabra tiene sentido o no?
A) 24
D) 120
B) 48 C) 50
E) 2520
14. ¿De cuántas maneras se puede colocar una
fila de 3 varones y 3 mujeres en los siguien­
tes casos?
a. No haya dos mujeres, ni dos varones
ocupando lugares contiguos.
b. Las mujeres siempre están juntas.
A) 72; 24
D) 72; 72
B) 36; 72C) 36; 144
E) 72; 144
15. En una competencia participan 10 atletas,
en la cual hay medallas de oro, plata y
bronce (no hay empates). ¿De cuántas
maneras diferentes se podrá premiar?
A) 24
D) 5040
B) 120 C) 720
E) 504
16. Se tiene tres cajas vacías. ¿De cuántas
maneras diferentes se pueden distribuir
4 juguetes en dichas cajas si no es nece­
sario que todas contengan algún juguete?
A) 12
D) 64
B) 7 C) 81
E) 24
17. Ángel y su esposa entran al cine acom­
pañados de 5 amigos y encuentran una
fila de 7 asientos disponibles. Si la esposa
siempre se sienta junto a su esposo, pero
nunca junto a otra persona, indique el
número de maneras diferentes en que los
7 amigos podrán ubicarse en dicha fila.
A) 360
D) 720
B) 240 C) 1440
E) 120
18. Un restaurante tiene dos pisos en los que
atiende a sus comensales. Si en el primero
existen 4 mesas vacías y en el segundo hay
6, ¿de cuántas maneras diferentes podrán
escoger la mesa dos parejas de esposos
sabiendo que cada pareja se quiere sentar
en diferentes mesas?
A) 24
D) 90
B) 42 C) 66
E) 45
19.En la feria de libros de la academia, se tiene
un estante en donde solo pueden entrar
4 libros en fila. Si se dispone de 6 libros
de colecciones diferentes, ¿de cuántas ma­
neras se pueden colocar los 4 libros en el
estante?
A) 120
D) 15
B) 24 C) 360
E) 180

499. COLECCIÓN ESENCIAL
Lumbreras Editores
20. ¿De cuántas maneras distintas el gatito
puede entrar y salir de su casa?
A) 3
D) 6
E) 7
21. Hay 8 monedas en una fila, la mitad
de ellas son de S/.2 y la otra de S/.5.
¿De cuántas formas diferentes se pueden
ordenar?
A) 35
D) 70
B) 40 C) 80
E) 72
22. ¿Cuántas palabras diferentes se pueden
formar con todas las letras de la expresión
PERMUTACIÓN?
A) 10!
D) 8!
B) 11! C) 9!
E) 7!
23. ¿De cuántas maneras distintas se puede ir
de A hacia B, pero sin retroceder?"
A
B
A) 20
D) 15
B) 5! C) 56
E) 3!
24. Alrededor, de una mesa circular se van a
sentar seis personas. ¿De cuántas maneras
pueden ubicarse?
A) 100
D) 288
B) 144 C) 720
E) 120
25. Si 7 personas se van a almorzar al
chifa “Pon Tú” y 2 de ellas quieren sentarse
juntas, ¿de cuántas maneras pueden ubi­
carse?
A) 100
D) 288
B) 1440 C) 720
E) 240
26. Alrededor de una mesa se van a sentar 5
personas. Si 2 de ellas no pueden sentarse
juntas, ¿de cuántas maneras pueden ubi­
carse?
A) 100
D) 28
B) 48 C) 72
E) 12
27. Alrededor de una fogata se van a sentar
7 personas (3 varones y 4 mujeres). ¿De
cuántas maneras pueden ubicarse si los
varones quieren estarjuntos7
A) 100
D) 288
B) 144 C) 72
E) 120
28. Abraham tiene 7 lápices de colores dife­
rentes. ¿De cuántas maneras se pueden
formar grupos de 3 o 2 elementos?
A) 35
D) 64
B) 48 C) 56
E) 73
29. Luis organiza un campeonato de fútbol,
conformado por 12 equipos, donde de­
berán jugar todos contra todos. Si llegan
tres equipos más, ¿cuántos partidos adi­
cionales deben jugarse?
A) 15
D) 39
B) 25 C) 30
E) 42

500. Capítulo 13 Análisis combinatorio
30. ¿Cuántos resultados diferentes se pueden
obtener al lanzar 2 dados y luego 3 mone­
das de S/.5?
A) 144 B) 288 C) 30
D) 1440 E) 42
31. Se quiere formar una Asamblea Constitu­
yente de 5 miembros y se cuenta con 12
congresistas. Halle cuántas formas hay de
formar el comité si dos de ellos en particu­
lar no pueden ir al mismo tiempo.
33. De 5 varones y 4 mujeres se debe esco­
ger un comité de 6 personas. ¿De cuántas
maneras se podrá realizar si debe haber 2
mujeres?
A) 15 B) 20 C) 25
D) 30 E) 35
34. De 5 algebraicos; 4 geométricos y 4 arit­
méticos, se tiene que escoger un comité de
6 miembros, de modo que se incluyan 3
algebraicos; 2 geométricos y un aritmético.
¿De cuántas maneras puede realizarse?
A) 495
D) 714
B) 450 C) 240
El 200
32. Con cuatro números positivos y seis núme­
ros negativos (todos diferentes), ¿cuántas
parejas se pueden formar; de tal manera
que su producto sea positivo?
A) 90
D) 27
B) 45 C) 21
E) 15
A) 120
D) 240
B) 140 C) 160
E) 200
35. ¿De cuántas maneras diferentes María
puede sacar a pasear a sus mascotas si
tiene 6 mascotas distintas?
A) 64
D) 60
B) 63 C) 62
E) 61
Claves
1 5 9 13 17 21 25 29 33
2 6 10 14 18 22 26 i 30 34
3 7 11 15 19 23 27 31 35
4 8 12 16 20 24 28 32

502. La teoría matemática de la probabilidad fue iniciada hace
aproximadamente tres siglos estando, en ese entonces, rela­
cionada únicamente con los juegos de azar. Posteriormente,
el cálculo de las probabilidades ha encontrado aplicaciones
en una amplia variedad de campos. Una de las primeras
aplicaciones de la probabilidad comprende el análisis de
riesgos, seguros de vida, fondos de pensiones y problemas
relacionados a ellos. Otro importante uso es en la estadís­
tica, la cual interviene en una multitud de campos, como las
finanzas, economía, psicología, entre otros.
5
jp- í í * - í
La teoría de probabilidades se ocupa de asignar un cierto
número a cada posible resultado que pueda ocurrir en un
experimento aleatorio, con el fin de cuantificar los resultados
y saber si un suceso o evento es más probable que otro.
Aprendizajes esperados
>V< ’?■;
• Reconocer cuándo un experimento es aleatorio, además
de saber determinar su respectivo espado muestral.
• Aprender a usar las técnicas del análisis combinatorio
(como las permutaciones y las combinaciones) para
determinar el número de casos favorables y totales de
un evento, y calcular así la probabilidad de ocurrencia
de dicho evento.
• Utilizar las propiedades de la probabilidad en la resolución
de problemas.
¿Por qué es necesario este conocimiento?
Su importancia radica en su capacidad para estimar o
predecir eventos. Es por ello que el estudio de probabilidades
surge como una herramienta para ganar de azar, así como
en la planificación estratégica de los movimientos sociales,
económicos y laborales de toda la comunidad.

503. COLECCION ESENCIAL
Lumbreras Editores
Teoría de probabilidades
n el resultado de un even­
to,; puede darse cualquiera de
los siguientes casos:
• Evento seguro
Es aquel que siempre ocurre.
• Evento imposible
Es aquel que nunca ocurre.
• Evento elemental
Es aquel que tiene un solo
elemento.
El matemático Pierre Laplace
afirmó: “Es notable que una
ciencia que comenzó analizan­
do juegos de azar haya llegado
a ser el objeto más importante
del conocimiento humano”.
____________y
1. CONCEPTOS PREVIOS
1.1. Experimento aleatorio o experimento no determinístlco
Es todo aquel experimento que al volver a repetirse en las
mismas condiciones, no se puede predecir el resultado con
total seguridad. El experimento aleatorio se denota así: e.
Ejemplos
• £•,: Lanzar tres monedas a la vez y anotar los resultados
obtenidos en sus caras superiores.
• e2: Lanzar un dado común y anotar el resultado obtenido
en su cara superior.
• e3: Anotar el número de autos que se reparan en un taller
durante un día.
1.2. Espacié muestrah \ . / f
Es el conjunto formado con todos los posibles resultados que
se obtienen en el experimento aleatorio. El espado muestral se
denota así: Cl.
Ejemplos
Para los tres experimentos anteriores, sus espacios muéstrales
son, respectivamente ,
• £1|={CCC; CCS; CSC; SCC; CSS; SCS; SSC; SSS}
• fí2={1; 2; 3; 4; 5; 6}
• C>3={0; 1; 2; 3; 4;...}
1.3. Evento
Es cualquier subconjunto del espado muestral de un experi­
mento aleatorio. Se denota así: 4.
Ejemplos
Sean A, B y C eventos correspondientes a los espacios mués­
trales Qv Q2 y £23, respectivamente.
• 4: Obtener dos caras.
. .\ 4={CCS; CSC; SCC}
• B: Obtener resultados pares.
B={2; 4; 6}
• C: Arreglar menos de tres autos en un día.
C=(0; 1; 2}
5!

504. Teoría de probabilidades
2. DEFINICIÓN CLÁSICA DE PROBABILIDAD
(REGLA DE LAPLACE)
Dado un espacio muestral finito (O) en el que
todos sus elementos son equiprobables (es
decir, todos los elementos tienen la misma
posibilidad de ocurrir), la probabilidad de que
ocurra el evento A se denota así: por P[A] y se
calcula de la siguiente manera:
P[A]
n.° de casos favorables de A
n 0 de casos totales
O también
Aplicación 7
Se lanza un dado común y se observa el
resultado obtenido en su cara superior. Halle
la probabilidad de que el resultado sea un
número compuesto.
Resolución
Tenemos como experimento aleatorio (e)
e: Lanzar un dado.
... Y como evento
A: El resultado es un número compuesto.
Luego, los casos totales son
,
-----1;2;3;4;5o6
J \
v o *
n.° de casos totales-6
Los casos favorables son
-4 o 6
n °'de casos favorables'-2
° /
Í 1
• PlA]= r 3
Aplicación 2
Se lanzan dos monedas y se anotan los
resultados obtenidos en sus caras superiores.
Calcule la probabilidad de que los resultados
obtenidos sean iguales.
Re s o l u c i ó n
Tenemos como experimento aleatorio (e)
e: Lanzar dos monedas.
... Y como evento
A: Los resultados son ¡guales.
Luego, los casos totales son
£2={CC; CS; SC; SS} x^r;
C: cara
—> n(Q)=4
S: sello
Los casos favorables son
A={CC; SS}
n(A)=2
n(Á) i 1
P[A] =
n(Q) / 2
3. OPERACIONES CON EVENTOS
Por ser los eventos subconjuntos del espacio
muestral, podemos realizar operaciones con
ellos.
Sean A y B dos eventos del espacio muestral ü,
para los cuales se definen las siguientes ope­
raciones:
• Unión (A u B)
Ocurre al menos uno de los eventos.
• Intersección (A n B)
Ocurre ambos eventos a la vez.
• Diferencia (A-B)
Ocurre el evento A pero no el evento B.
• Complemento (Ac)
No ocurre el evento A.
>9

505. COLECCION ESENCIAL
Lumbreras Editores
f
4. PROPIEDADES
a. Para todo evento A, se cumple
• 0 < P[A] < 1
• P[A] + pUc]=1.
‘— No ocurre A.
'• — Ocurre A.
Despejando lo anterior tenemos
P I4]= 1-P U C]
-> pUc]=1-P[A]
b. Para los eventos A y B, se cumple
P [AuB] = P[A] + P[B] - P [AnB]
Ocurre ¿Ocurre .<?■
A o S. f A y 3.
Pero si A y B son eventos mutuamente
excluyentes, se cumple
. P[AnB] = 0
Ocurre
A y B.
. P[MjB] = P[A] + P[B]
Ocurre
A o B.
Pero siAyfí son eventos independientes,
se cumple
P[A n B]=P[A\xP[B\
------------— — : - — \
Importante
Dos eventos (A y B) se llamarán eventos inde­
pendientes si A no depende de B y, respecti­
vamente, B no depende de A. O dicho de otra
manera, la probabilidad de A no le afecta a la
probabilidad de B y, recíprocamente, la pro­
babilidad de B no le afecta a la probabilidad
Ap l ic a c ió n 3
Se lanzan dos dados comunes y se anotan los
resultados obtenidos en sus caras superiores.
Calcule la probabilidad de que la suma de
dichos puntajes cumpla lo siguiente:
a. Un número igual a 5
b. Un número mayor que 8
c. Un número primo
d. Un número compuesto
e. Un número menor que 1
f. Un número mayor o igual que 2
Reso lu c ió n
Ordenamos los resultados en la tabla.
\ D -
DV \
T 2 3 4 5 6
1 2 3
V
" 5 )
6 7
2 3
V3/
/ 6 7 8
3
v" V
--yL__
\
7 8
/
4
( o
6 7
V
/ 910
A
5 6 7 8 ,
/
91011
6 7 8 co
J
____
1011
i—
J A
n0 total de
resultados: 3ó
Analicemos cada enunciado.
4 1
a. P[suma = 5] = A = -
36 9
b. P[suma>8] =
4 + 3 + 2 + 1 10 5
36 36 18
c. Psuma=
numero
primo
=P[suma=2; 3; 5; 7 u 1l]=
_ 1 + 2 + 4 + 6+2 _ y i _ 5
36 ~3¿~Í2

506. Capítulo 14 Teoría de probabilidades
d. Psuma =
numero
compuesto
3+5+5+4+3+1
36
Á-L
> ¿ “ 12
e. P[suma<1] = — = 0
36
f. P[suma>2] = — = 1
36
Importante
Sea A un evento.
1=1• Si A es seguro -> P[A]--
• Si A es imposible -» P[A)=0
Aplicación 4
En una urna hay 4 bolas rojas y 3 bolas azules.
SI se extraen al azar dos bolas, ¿cuál es la
probabilidad de que sean de colores diferentes?
Re s o l u c i ó n
Tenemos
extraemos
o o
Casos totales
(son dos bolas cualesquiera)
d=—— = 28
2 2 ! x 6 !
• Casos favorables
^ 7 ) ^ 7 ?) (son de diferente color)
4 *1 ^ 1 2
Por lo tanto, la probabilidad de que dos bolas
y í 3
sean de diferente color es ^—7 =
78 7
Aplicación 5
Álex, Beto, Carlos, Diego y Ernesto se ubican
alrededor de una mesa circular de cinco
asientos. Halle la probabilidad de que Carlos y
Diego se sienten en lugares contiguos.
Re s o l u c i ó n
Tenemos
m
Beto Carlos Diego Ernesto
Casos totales
Se ubican de cualquier forma.
O
/Yi.° de casos"'
totales
=Pc(5)=4!=24
Casos favorables
Carlos y Diego están en lugares contiguos.
n ° de casos
favorables
=Pc(4)x2=3!x2=12
Por lo tanto, la probabilidad de que Diego y
J24 ~ 2
12 1
Carlos estén en lugares contiguos es — =

507. COLECCIÓN ESENCIAL
Lumbreras Editores
Ap l ic a c ió n 6
Se lanzan un dado y una moneda y se
anotan los resultados obtenidos en sus caras
superiores. Calcule la probabilidad de obtener
o
un número 3 en el dado y cara en la moneda.
Re s o l u c ió n
Se tiene
í c * w ím m
El resultado que se obtiene en el dado no
dependerá del resultado en la moneda. Por lo
tanto, ambos eventos serán independientes.
A B
número 3 vcara en 'a
el dado monedaen
o ■
número 3cara en la
-p
en el dado
xp
moneda
-» P[Ay B]=P[A]xP[B]
í 1 1
••• sl=t x 7 =6
•VVH' '. V-. , - ■ .
Observación
En los casos favorables
t t
c<
s
-cara
A
A H
Dato curioso
Pierre de Fermat (1601-1665)
Fue abogado y un matemático clave para el de­
sarrollo del cálculo moderno. A través de su co­
rrespondencia con Blaise Pascal, fue cofunda-
dor de la teoría de probabilidades. También se
interesó por la teoría de números (propiedades
de divisibilidad) y desarrolló diversos teoremas
y conjeturas en este campo.
Ap lic a c ió n 7
Una caja contiene 4 focos defectuosos y 6
buenos. Si se extraen 2 focos al azar, ¿cuál es la
probabilidad de que estos sean defectuosos?
Re s o l u c ió n
Tenemos
gr . g--, #•••. f . g ¿ r j t sC . f A Se extraen
h h' h H W m W & é 2 focos.
defectuosos buenos
En el total de casos posibles, como los focos
extraídos son 2 cualesquiera del total, enton­
ces se cumple
^n.° de casos al
vextraer 2 focos
Como queremos que los focos extraídos sean
defectuosos, tendremos
n 0 de casos donde
Jos 2 son defectuosos^
favorable
Por lo tanto, la probabilidad de que los 2 focos
Jo
extraídos sean defectuosos es —— =
A
_2_
15'
Ap lic a c ió n 8
¿Cuál es la probabilidad de que, al lanzar tres
veces una moneda, se obtengan dos caras
exactamente?
Re so lu c ió n
Analicemos el espacio muestral que se ob­
tendrá en el lanzamiento de una moneda tres
veces mediante el diagrama de árbol.
a

508. Capítulo 14 Teoría de probabilidades
---►C C C ;
------^
;c c s'¿
---►¡C s c t
---►c s s ;
——►¡s'c c'lí
— >SCSI
--->s s c ;
---►sss
casos
favorables: 3
total de casos:
Del gráfico
obtener
2 caras
Ap l ic a c ió n 9
Indique la probabilidad de que al lanzar dos
dados comunes el resultado sea el siguiente:
a. Puntaje mayor que 8
b. Resultado de 6 o 7 puntos
Re s o l u c ió n
Los resultados que se obtienen los ordenamos
en una tabla de doble entrada.
u i
12345;6
X -
1 .•234
Á
2 34
Jd
6 8
3 4
> i V
/O
/9
4
V
^6
_8z
910
5 ,^6
y
/o
^91011
6
> 101112J
sur na de puntajes
¡guatos que 6 o ¡
( n.° total de
posibles casosy
suma de puntajes
mayores que 8
= 36
Entonces
a. P
puntaje mayor
que B
b. P
resultado igual
a 6 o 7
_ 10 __5_
~ 36 _ 18
J1
36
Ap lic a c ió n 10
Si 6 personas se sientan alrededor de una
mesa circular, halle la probabilidad de que dos
personas en particular se sienten en lugares
contiguos.
Re s o l u c ió n
En el total de casos, las personas se pueden
ubicar en cualquier asiento.
—>
Para los casos favorables, podemos conside­
rar, en particular, que A y B son las personas
que estarán en lugares contiguos. Entonces
como A y B estarán siempre en lugares con­
tiguos, se podrá considerar como si fuese una
sola persona que se ubica.
3

509. Teoría de probabilidades
Ap l ic a c ió n 14
Se lanzan dos dados. ¿Cuál es la probabilidad
de que la suma de los resultados de las caras
superiores no sea un número impar?
Re s o l u c ió n
Si la suma de los resultados de las caras supe­
riores no debe ser impar, será par.
• Casos totales
—>
Ci.° de casos
totales
1 \
1 1
2 2
3 3
4 4
5
6 f ■
6
= 6 x 6 =
Casos favorables
Para que la suma sea par, los resultados
deberán ser pares o ambos impares.
y
x
1 0
Ï
1
3
5
1 = 9
o
1
2
4
6
y n
\ 2
4
6
x3 = 9
—^
^n.° de casos
■favorables
-9 + 9=18
Por lo tanto, de estos casos, la probabilidad
de que la suma de puntajes no sea un número
■ - y é 1
impar es P = - ^ =
Ap l ic a c ió n 15
Un club de vóley tiene 10 jugadoras. Se quiere
formar equipos de 6. ¿Cuál es la probabilidad
de formar dichos equipos si siempre debe
estar como capitana la misma jugadora?
Re s o l u c ió n
• Casos totales
Como elegimos a 6 jugadoras, la cantidad
de casos totales se calculará así:
f
—>
n.° de
casos totales
_ r io -
_ l 6 ~
10!
6 !x 4 !
= 210
Casos favorables
Elegimos a 6 jugadoras, de las cuales la
capitana siempre será la misma.
a
—»
n ° de casos
favorables
= C9 =
l 5
9!
5!x4!
-126
Por lo tanto, de estos casos, la probabilidad de
formar equipos de 6 jugadoras, tal que la capi-
>2 6 _ 3
240 ~ 5 ‘
tana sea siempre la misma, es P -
Para investigar
Se tiene un dado trucado en el cual la probabilidad de obtener un número par es el doble de la proba­
bilidad de que sea impar. Si dicho dado se lanza dos veces, determine la probabilidad de que la suma de
los puntajes obtenidos sea par.
5

511. RESOLVEMOS JUNTOS
Problema N.° 1
Se va a seleccionar un comité de tres miem­
bros a partir de un grupo de cinco personas
(A; B; C; D y E). Determine el número de ele­
mentos que tiene el espacio muestral.
A) 12
D) 6
B) 10 C) 8
E) 4
Resolución
Amigos: A; B; C; D y E
= {ABC; ABD; ABE;...}
combinaciones de 5 en 3
n (o ) = Cn = —^— = 10
3 3 !x 2 !
Problema N.* 2
i Clove
Al lanzar un dado, ¿cuál es la probabilidad de
obtener un número mayor que 4?
* 1
D ) f
B) i
3
C)
1
«i
Resolución
• Casos totales
1; 2; 3; 4; 5; 6
v
--------v--------J
6 casos
• Casos favorables
5^6
2 casos
Por lo tanto, la probabilidad de obtener un
. í 1
numero mayor que 4 es —? =
P * .
; Clave .
Problema N.° 3
_______________________
Al lanzar dos dados, ¿cuál es la suma que tiene
mayor probabilidad de ocurrencia?
A) 5 B) 6 C) 7
D) 9 E) 12
Resolución
Ordenamos los resultados obtenidos en un
cuadro.
\ p 2
D\
123456
12345
s/
* 1 )
23456 /
/
/ 8
345
6
// 7 / i
/
89
45
V/
/ 8910
5
C
V
/ 7/
/
891011
66 /89101112
— ‘llene rTicVyOí probao ski ac
de ocurrir.
i Clave
Problema N.‘ 4
Si la probabilidad de que una persona se
retire temprano a su casa el día de hoy es 0,163,
¿cuál es la probabilidad de que no lo haga?
A) 0,037 B) 0,137 C) 0,738
D) 0,837 E) 0,177
Resolución
Por propiedad
pUc]=1-P[A]
donde A equivale a que se retire temprano.

512. COLECCIÓN ESENCIAL
Lumbreras Editores
Es decir
no se retire
temprano
no se retire
temprano
= 1 -P
se retire
temprano
=1-0,163=0,837
Clave [
Problema N.° 5
Si una moneda es lanzada cuatro veces, ¿cuál
es la probabilidad de obtener una sola cara?
A) - B) -
4 9
C)
16
D) —
8
Resolución
• Casos totales
í | f y « p y fp y f§
1 T T U'
2 X 2x2x2 = 16
Casos favorables
E) —
16
1 y f f f l y CÉ® y C Ä
pi y y mpLw yA J
C
S
s
s
s
c
s
s
s
s
c
s
s
s
s
c
■ A casos
Por lo tanto, la probabilidad de obtener una
i / 1
sola cara es 4 _ = _ .
y i 4
: Clave
Problema N. 6
________________________________
De una bolsa que contiene 6 bolas blancas,
4 negras y 2 rojas, se sacan 6 bolas al azar.
Calcule la probabilidad de que 3 sean blancas,
2 negras y 1 roja.
A)
27
55
B) —
40
20
D) —
77
Resolución
• Casos totales
C) —
15
E) i !
77
oooooo
O Q ó p
oooooc
c l2=924
Total: 12 bolas
Casos favorables
CD © O OO O
C¡ X C¡ X C2 = 240
3 blancas,
2 negras y 1 roja
¿40 _ 20
^ 2 Í _ 77
; Clave
Problema NC 7
Nueve amigos se ubican alrededor de una
fogata. ¿Cuál es la probabilidad de que dos de
ellos se ubiquen en lugares contiguos?
«i
«i
B) -
8
C) ^
8!
E)
81

513. Capítulo 14 Teoría de probabilidades
Resolución
• Casos totales
—»
n.° total
de casos
= PC(9) = 8!
Casos favorables
A juntos (como una persona)
BI
: •
'S C
y f
•
. V »
~ " D
E
—»
^n.° de casos
favorables
= 2xPc(8) = 2x7!
P
2 amigos están en
lugares contiguos _
2x71 _ 1
jBÍ ” 4
8
; C/ave
Problema N.° 8
Se lanzan dos monedas y un dado. ¿Cuál es la
probabilidad de que aparezcan dos caras y un
número par?
A) 0,5
D) 0,6
B) 0,125 C) 0,25
E) 0,111
Resolución
• Casos totales
' ■ ) ) í :2 j X
~ / J V C V
c c
s s
c s
s c
1
2
3
4
5
6
4 x 6
Casos favorables
= 24
C C 2
4
6
dos caras y
un par
Problema N/ 9
1 X
_3_
24
3 - 3
= 0,125
; Clave
Se escogen al azar 4 sillas entre 10, de las cuales
6 son defectuosas. Calcule la probabilidad de
que dos sean defectuosas.
«i
01 í
Resolución
Se tienen
% r
»!°!
»!
ä jps a
]*!•
I n i >
6 defectuosas
Casos totales
n .0 de formas deN
escoger 4 sillas y
4 buenas
= C¡°=210
9

514. COLECCION ESENCIAL Lumbreras Editores
Casos favorables
n \ r n
defectuosas
C¡ X C Í =90
buenas
-4
'2
2 sillas
defectuosas
3
¿ ítí~ 7
; C/ove
Problema N.° 10
Se escogerán de 8 mujeres a un grupo de 6
para jugar vóley. ¿Cuál es la probabilidad de
que Carmen y Rosa estén en el mismo equipo?
A) —
28
D ) l
2
B) —
28
C]
15
28
E) —
25
Resolución
• Casos totales
@ ® j
8 mujeres escoge á' 6
-> (n.° de casos) = Cg = C® = 28
Casos favorables
Carmen Rosa
C$ = C¡ = 15
Carmen y Rosa estén_ 15
! A)
7
B) ^ C)
5
en el mismo equipo28 12 15 12
; Clave i.! D)
7
24
E)
1
12
Problema N.‘ 11
El profesor Luis pide a un alumno que escriba
un número de dos cifras. ¿Cuál es la proba­
bilidad de que el alumno escriba un número
cuadrado perfecto?
A)
15
B)
12
C)
10
D) —
13
Resolución
• Casos totales
10; 11; 12;...; 99
v
---------V---------'
9^ números
• Casos favorables
16; 25; 36; 49; 64; 81
' 1 v J
v: a d o s p e r fe c t o s
E) —
13
P
escribir un número
cuadrado perfecto
j f _ = ±
ßO 15
i Clave
Problema N.° 12
Dados los eventos A y B, tal que
P[A} = 1 ;P [B C] = 1 y P [A r,B } = l ,
o 3 4
calcule P[A u ß].
521

515. Capítulo 14 Teoría de probabilidades
Resolución
Se sabe que
p[e]=i-p[ec]
Reemplazamos
P[B}= 1—
-> P[S] = -
3
• Casos favorables (igual color)
= 10 + 6 = 16
ambas sean
de igual color
\ Clove
Además
P[AKjB] = P[A] + P [B ]-P [A n B ]
1 2 1
-+ P [A u B ] = - + - - ~
6 3 4
7_ / • \
12
! Clave \
• .y*.
Problema N.° 13_____________________________
_
Se tiene una urna con 5 esferas blancas y
4 rojas, y se extraen 2 esferas al azar. ¿Cuál
es la probabilidad de que sean de los mismos
colores?
P[A u B] =
2 + 8-3
12
C)
E)
5
9
7_
12
Resolución
• Casos totales
Problema N.° 14
Si se lanzan dos dados, ¿cuál es la probabilidad
de que el resultado obtenido en el primer
dado sea menor que el resultado obtenido en
el segundo dado?
C)
E)
_7_
18
11
18
Resolución
Casos totales Casos favorables
* “ 4* —
1'0
y j \ + ; <
i o i
, y j
Î Î • Î
i
1
1 1 1 2; 3; 4; 5; 6
2 2 2 3; 4; 5; 6
3 3 3 4; 5; 6
4 4 4 5; 6
5 5 5 6
6
6 x
6
6 = 36
5 + 4+ 3+ 2 + 1 = 15
Son de Por lo tanto, la probabilidad de que el resul­
tado en el primer dado sea menor que en el
1< 8
segundo dado es zl± = _ .
36 12
i Clave

516. COLECCION ESENCIAL Lumbreras Editores
Problema N.* 15
Se tienen 4 números positivos y 6 números
negativos (todos diferentes entre sí). Si elegi­
mos dos números al azar, ¿cuál es la probabi­
lidad de que su producto sea positivo?
A) —
15
D ) l .
16
B) —
15
C) —
15
E) ®
17
Resolución
Para que el producto de dos números sea
positivo, debemos elegir a dos números posi­
tivos o dos números negativos.
• Casos totales
Elegimos 2 números cualesquiera.
n.° total
de casos
=c]° =
10!
27x8!
= 45
Casos favorables
Elegimos 2 números positivos o 2 negativos.
(
n.° total
favorables
\
= C2 +C2
—>
í n.° total 7 4! 6!
; -> P[logren]=1-Í1 -I1XÍ 1 - 1 Í
[favorables] 2!x22 ! X 4 ! V 3 Jl 5 y
n.° total
favorables
\
= 6+15 = 21
producto
positivo
ü i
f é is
i Clave
Problema N.’ 16
Las probabilidades que tienen José y Ana
1 1
de resolver un mismo problema son - y
respectivamente. Si los dos intentan resolver
el problema, ¿cuál es la probabilidad de que
lo logren?
A) —
15
D) —
15
B)
7_
15
C)
14
E) i -
16
Resolución
Observemos lo siguiente:
P [logren] = 1 -P [ no lo logren]
A» P[logren]=1-P
no lo
Y
no lo
logra José 3 logra Ana
Como José y Ana intentan resolver el proble­
ma, independientemente la probabilidad se
calculará así:
P[logren]=1-P
no lo
logra José
xP
no lo
logra Ana
P[logren] = 1 - - x - = 1- —
3 5 15
P[logren] =
]_
15
: Clave

517. Problema N.“ 17
De un grupo de estudiantes, la probabilidad
de aprobar Matemática y Lenguaje es 0,49 y
0,47, respectivamente. Si la probabilidad de
aprobar Lenguaje o Matemática es 0,73, ¿cuál
es la probabilidad de aprobar ambos cursos?
A) 0,23
D) 0,42
B) 0,20 C) 0,32
E) 0,Í8
Resolución
Observemos que por propiedad
aprobar
M o L
=P
aprobar
M
+P
aprobar
L
aprobar
M y L
-> 0,73 = 0,49 + 0,47 - x
0,96
x=0,96-0,73=0,23
Problema N.° 18
i Clave:
51 se extraen 3 cartas al azar de una baraja de
52 naipes, ¿cuál es Ja probabilidad de que las
3 sean ases?
A)
D)
539
1
5525
B)
1725
C)
E)
1
2552
2
5625
Resolución
• Casos totales
C ?= 52!— = 22100
3 3! x49!
Casos favorables
4 í»
I !
-, p
obtener
3 ases
escogen
1
4
, 4I
r f =— — = 4
3 3! x 1 !
1
2240Í 5525
5525
Clave
Problema U. 19
Siete amigos se sientan al azar alrededor de
una fogata. ¿Cuál es la probabilidad de que
Álex, Julissa y Lucero no estén ubicados en
lugares contiguos?
A) 0,20
D) 0,3
B) 0,25 C) 0,26
E) 0,8
Resolución
Para la solución de este problema hay que
observar que
A, J y L no A, J y L sí
están en
= 1-P
están en
lugares lugares
contiguos contiguos
Casos totales
"n.° de casosx
v totales
= PC(7)6! = 720

518. COLECCION ESENCIAL Lumbreras Editores
Casos favorables
casos favorables
J
untos
—>
n.° de casos^
totales
n.° de casos'
favorables
A, J y L no
están en
lugares
contiguos
= Pc(5)x3!
= 41x31 = 144
144 I r t 4 '
= 1- — = 1 -- = - = 0,8
720 5 5
i Clave\
Problema N.c 20___________________.
Durante todas las noches del mes de noviem­
bre, Luis escucha música o lee un libro. Si se
elige una de esas noches al azar, calcule la
probabilidad de que lea un libro y no escu-
noches y lee un libro16 noches.
Resolución
En una baraja de 52 cartas tenemos
A, ! B) f C)
3
4
Jv : 1; 2; 3;.
ruius (26)1 •
■; 9; 10; J; Q; K
!♦: 1; 2; 3;.•; 9; 10;J ;Q ;K
" S
E)
2 [* : 1; 2; 3;.9; 10; 7; Q; K
5
iu-qi<v' i20 1
U : 1; 2; 3;.9; 10; ; Q; K
Resolución
Graficamos
lee un libro y no
escucha música
Problemi NA 21
Clave
51 se elige una carta al azar de una baraja de
52 cartas, ¿cuál es la probabilidad de que se
cumplan los siguientes eventos?
a. Que sea un palo negro (espada o trébol).
b. Que sea una figura (rey, reina o sota).
Luego dé como respuesta la suma de los resul­
tados obtenidos en a y b.
12 m 5
C)
11
—
B
19 13 20
19
26
E)
14
25
52

519. Capítulo 14 Teoría de probabilidades
Nos piden los siguientes resultados:
a.
b.
P[palo negro] =
P[sea una figura] =
_ 13
~ 26
/ x 3 _ 13
& “ 26
_3_x2_]9
26 + 13x2~ 26
i C/ove •
. ............ *i*
Nos piden
1
3
! Clave \
..................V
Problema N.‘ 23
____________________________
De un lote de 12 artículos, se sabe que 8 no
tiene ningún defecto. Si se toma al azar tres
artículos del lote, halle la probabilidad de que
los tres estén defectuosos.
Problema H° 22
En un salón de clase, hay 10 varones y 20
mujeres, de los cuales la mitad de las mujeres y la
mitad de los varones tienen 16 años. Halle la
probabilidad de que al escoger al azar una
persona, esta no tenga 16 años y no sea varón.
«i
° > i
B) -
3°í
£| !
Resolución
Ordenamos los datos.
| Tienen
t e 16
J ' X; <;.S -V O v > ■
No TIENEN
L 16
Totál
í Varones 1 5
Mujeres • 10
5 10 ¡
i
10 INJ O
(Total: 30
No son varones y no
tienen I6 años.
A) —
55
B) ü
55
C)
14
55
D) —
77
E)
13
50
Resolución
Veamos
¿7
v
G D
- ; 7
© ©
COI':
La probabilidad de elegir tres artículos defec­
tuosos de un total de 12 se calculará así:
^_ (n° de casos favorables)
(n.° de casos totales)
4!
^ P - C3 _ 3 fx 1 !_ 4!xj?í
d 2 12! y¿\
31x1!
2
p _ ,24x1 ^ j 1
10x11x^2 >10" ~ 55
1
¡ Clave
Sean los eventos A (no tiene 16 años) y B (no
es varón).

520. COLECCION ESENCIAL Lumbreras Editores
Problema N.° 24
Se tiene el conjunto A={1; 2; 3; 4; 5}. Si ele­
gimos un subconjunto de A, al azar, ¿cuál
es la probabilidad de elegir un subconjunto
binario de A?
A) —
16
D) —
31
B)
21C)f
E)
4
Resolución
Se tiene el conjunto
A={ 1; 2; 3; 4; 5}
Los subconjuntos de A son
0 elementos: 0
1 elemento : {1}; {2}; {3}; {4}; {5}
2 elementos: {1; 2}; {1; 3};{4; 5}
(binarios) '
-------------*-------------'
'• C ¡= -^ — = 10
2 2!x3! ,/
3 elementos: {1; 2; 3};{3; 4; 5}
4 elementos: {1; 2; 3; 4};{2; 3; 4; 5}
5 elementos: {1; 2; 3; 4; 5}
En consecuencia
f n.° subconjuntos^
V
de A
= 25 = 32
)
Por lo tanto, la probabilidad de elegir un
5
subconjunto binario es .
i Clave
Problema N.° 25
Néstor Alejandro lanza tres dados comunes
al aire'juntos y observa las caras superiores.
Luego anota los resultados de los siguientes
eventos:
• A: Tener como suma de resultados a 3.
• B\ Tener como producto de resultados un
valor menor que 300.
• C: Obtener como suma de resultados a 2.
Calcule la suma de los cardinales de cada
evento.
A) 256
D) 217
B) 160 C) 86
E) 196
Resolución
Del problema
A: Tener como suma de resultados a 3.
í t I
1 + 1 + 1 = 3
—> n(A)=1
Analizando los eventos B y C, se obsen/a que
el evento B siempre va a ocurrir, entonces será
un evento seguro y C es imposible, porque la
suma de los resultados obtenidos en los tres
dados será 3, como mínimo.
Entonces tenemos
n{B)=6x6x6=216 y n{Q=0
1 + 216+0=217
Clave

521. Capítulo 14 Teoría de probabilidades
Problema N.° 26
En un aula hay 20 mujeres y 12 varones. Si
escogemos a uno de ellos al azar, ¿cuál es la
probabilidad de que la persona escogida no
sea varón?
«i
»I
C)
E)
7
8
5
8
Resolución
Se tiene
E)
15
19
Resolución
De los datos del problema se tiene que
| : CO;4£ ■ j
CJMHtt-v.'-'.
t. V.:.;
. PESCADO
Total ■
' • >y ' • 1
t Varones 16 12
i
28
j
; Mujeres 20 12 32 .
Total: 60
n 0 de varones: 12
n.° de mujeres: 20
total: 32
Del total se elige a una persona al azar.
Nos piden
no sea
varón
no sea
varón
= P
_ 5
_ 8
5
sea _
mujer 3^
8
i Clave (
Problema N.° 27
Sean los eventos
- A: Sea varón
—> Ac: No es varón, o Es mujer.
- B: come carne
-> Bc: No come carne, o Come pescado.
Nos piden
1
A un almuerzo asisten 28 hombres y 32 muje­
res. Se sabe que han almorzado carne 16 hom­
bres y 20 mujeres, y que el resto ha comido
pescado. Si se elige una de las personas al azar,
calcule la probabilidad de que dicha persona...
I. Sea varón y coma pescado.
II. No sea varón y no coma pescado.
III. Sea mujer y no coma carne.
IV. No sea mujer y coma carne.
Dé como respuesta la suma de los resultados.
p\_A y b
¿p
4
5
Luego, la suma (S) de los resultados será
c 1 1 1 4 6 1
S = —i— i— i— = —i—
5 3 5 5 5 3
18 + 5
15
; Clave •

522. COLECCION ESENCIAL Lumbreras Editores

523. Capítulo 14 Teoría de probabilidades
Problema N,‘ 30
Se lanza un dado y se obtienen dos puntos.
¿Cuál es la probabilidad de que en un segun­
do lanzamiento se obtenga un número que
sumado con 2 sea menor que 6?
A)
1
B)
1
■»*
Resolución
C ) ?
E)
Tenemos los siguientes casos:
• Casos totales
2 puntos
£
cuátquier pur. fee.
(fijo)
Se observa que hay 6 posibles resultados.
Casos favorables
2 puntos
•Para que la suma sea
menor que 6 debe
salir 1; 2 o 3 puntos.
Se observa que hay 3 casos favorables.
—^
^probabilidad^ _ X
pedida
y
^probabilidad^ _ J_
pedida J 2
: Clave
Problema NT 31
De 25 televisores que se fabrican, uno sale
defectuoso. ¿Cuál es la probabilidad de esco­
ger un televisor defectuoso de un total de 100
televisores fabricados?
A) 1%
D) 8%
Resolución
Se tiene
B) 2% C) 4%
E) 5%
total
Luego
n 0 de casos
totales
'n 0 total de
v televisores
= 100
Además
(n.° de casos"! (n.° de televisores^
favorables con defecto
= 4
probabilidad \ _ Á _ 1 _ 0
pedida ) 25 ~
Clave
Problema N.° 32
Una tómbola tiene 5 bolas numeradas del 1
al 5. Al sacar una de las bolas, indique la
probabilidad de que el número grabado en
ella sea divisor de 5.
A) 0,25
D) 0,5
B) 0,4 C) 0,15
E) 0,6

524. COLECCION ESENCIAL Lumbreras Editores
Resolución
• Casos totales
© ® ® @ (D O cualquier bola.
-> (n.° de casos totales)=5
• Casos favorables
No debe ser primo (2; 3 o 5) ni compuesto
(4 o 6).
Finalmente, solo puede ser el 1.
—> (n.° de casos favorables)=1
, 1
Por lo tanto, la probabilidad pedida es - .
! Clave [
® ( D ® @ (5 ) O ES cualquier bola
^ ' divisor de 5 (1 o 5).
-> (n.° de casos favorables)=2
>babilidi
pedida
^probabilidad© 2
^ [JtíU lU d J 5
• Clave
Problema N.° 33
Calcule la probabilidad de que al hacer rodar
un dado, salga un número que no sea primo
ni compuesto.
«i
-i
« !8>i
£U
Resolución
• Casos totales
Cs cualquier resultado
I elei 1 al 6.
Problema N.“ 34
Se hace rodar dos veces un dado común y se
considera la suma de los puntajes obtenidos
en ambos lanzamientos. En la primera vez,
sale un número par. ¿Cuál será la probabi­
lidad de que la suma de puntajes obtenidos
sea mayor que 7?
C)
E)
12
15
10
27
Resolución
Tenga en cuenta que en un dado común se
puede obtener como puntaje cualquier núme-
ro entero de 1 a 6.
Notemos en el siguiente cuadro los resultados
posibles al sumar los resultados de cada dado:
''v Dado
DadcK2
1 \
1 2 3 4 5
j
1 2. 34 5
6
7 !
2 3 4 5 6
V
8
3 4 5 6 7 8
9 i
4 5 6 7 ..8 9 10
5 6 7 8 910,11
6
U
8 9 10
h 1 2 .
1S Clisos favolatile8.
—> (n.° de casos totales)=6
Casos favorables

525. Capítulo 14 Teoría de probabilidades
Observamos que el total de posibles resulta­
dos es 36.
fprobabilidad^ _ _ 5
v Pedida )
: Clave \ H }
b. Por propiedad se cumple
P[A\ + PÍAC\=1
p[a c] = ^p[a]
pIa c\=1 - -
8
Problema N.° 35
____________________
Se cumple para los eventos A y B lo siguiente:
PÍA} = f ; P [b] = ~; P [Á n B] = -
8 2 4
Calcule
a. P[AuB]
b. pUc]
c. PÍBC]
d. p[(Aufí)c]
e. p[{AnB)c]
Luego dé como respuesta
tados obtenidos.
A) 1,4 B) 3,2
D) 2,6
Resolución
a. Por propiedad recordemos que
P[Au B] = P[A] + P[B]-P[AdB]
la suma de los resul-
C) 1,8
E) 2,5
-> p [ ^ ] = |
8
c. En forma similar a lo anterior
p[b c]= '\-p[b]
p[bc ]= 1 - -
2
—>p[bc1\ = 1
d. p [ U u r f ] = 1 -P U u fí]
P = [ U u f í f ] = 1 --
—0 P.U u f íf .
i. p [[/\n 8jC] = 1-P[/4nfí]
p [U u fi]C] = 1 - -
4
—»p [[A n fi]C] = -
4
En consecuencia
3 1 1
P[4ufi]= -+
-----
1 8 2 4
-> P[AuB)
3+ 4-2 5
8
>
8
MCM(8; 2; 4)=8
f suma de A
^resultados
5 5 1 3
— —i— i— i—
8 8 2 4
( suma de 20
í~~t
resultados8
5 + 5 + 4 + 6
' I r
i Clave \

526. COLECCIÓN ESENCIAL Lumbreras Editores
Problema N.* 3G
Una urna contiene 8 bolas rojas, 5 amarillas y 7
verdes. Si se extrae una bola al azar, calcule la
probabilidad de que dicha bola...
a. Sea roja.
b. Sea verde.
c. Sea amarilla.
d. No sea roja.
e. No sea amarilla.-
Luego dé como respuesta la mayor probabi­
lidad obtenida.
A ) ü
20
D) —
20
B)
r\_
20
O —
20
E)
JL
20
Resolución
Se tiene
© 0 O 0 O O O O O O
O O 0 O O O O O O ©
donde
- R: bola roja
- A: bola azul
- V: bola verde
Observemos que
(n.° de casos^
totales
a- p í r°jal= ¿
b. P[verde] = —
c. P[amarilla] = ^
a.° total
de bolas
= 20
d. P
e. P
no
roja
r . i „ 8 12
= 1-P[roja] = 1 -— = —
no
amarilla
r n 5 15
= 1-P [amarilla] = 1- — = —
15
Por lo tanto, la mayor probabilidad es — .
■ Clave \
Problema NT 37
________________ _____
Se lanzan dos dados al aire y se anotan los
resultados obtenidos en sus caras superiores.
Si se suman los resultados obtenidos, calcule la
probabilidad de obtener lo siguiente:
a. 7
b. un número par
c. un número múltiplo de tres
Luego dé como respuesta la suma de los resul­
tados obtenidos.
A) —
36
D) 1,2
B) -
11
C) 1
0
Resolución
Resultados posibles
Total: 36

527. a. P[sum aes7] = —
36
b. De la tabla, los casos favorables son
0; 1), (3; 1), (1; 3), (2; 2), (5; 1), (4;2)
(2; 4), (1; 5), (3; 3), (6; 2), (5; 3), (4; 4),
(3; 5), (2; 6), (6; 4), (5; 5), (4; 6), (6; 6)
En total son 18.
\ P
suma
sea par
18
36
c. De la tabla, los casos favorables son
(2; 1), (1; 2), (5; 1), (4; 2), (3; 3), (2; 4), (1; 5),
(6; 3), (5; 4), (4; 5), (3; 6), (6; 6).
En total son 12 casos favorables. ■
ï !é12
Entonces, la probabilidad pedida es—.
36
f
suma de
resultados
obtenidos
\
_ _ 6 _ 18 Ï2 _i
~ 36 + 36 + 36%:,
i Clave;. %. ï/
Problema N.° 38
Los estudiantes A y B tienen, respectivamente,
1 1
probabilidades de - y - de aprobar un examen.
La probabilidad de que ambos aprueben a la
vez es —. Calcule la probabilidad de que al
10
menos uno de los dos aprueben el examen.
A) 0,6
D) 0,3
B) 0,2 C) 0,8
E) 0,5
Resolución
Sean los eventos
- A\ Aprueba el estudiante A.
- B: Aprueba el estudiante B.
Luego, se tienen
P [a] = - a P[b] = -
2 5
P[A nB] =
A v B
_1_
10
Nos piden la probabilidad de que al menos
uno de los dos estudiantes apruebe el examen.
P [A oB]= [A vB]
P[A o B] = p[Á \+ P[B]-P [A nB ]
r 1 1
P[AoB]= - + - - —
2 5 10
P[A o B] =
5 + 2 — 1 _ 6
10 ” 10
MCM(2;. 5; 10) = 10
P[A o B]= 0,6-'
i Clave \
Problema 33
Describa el espacio muestral asociado a cada
uno de los siguientes experimentos aleatorios:
a. Lanzar 3 monedas.
b. Lanzar 3 dados y anotar la suma de los
puntos obtenidos.
c. Extraer 2 bolas de una urna que contiene
cuatro bolas blancas y tres negras.
d. El tiempo, con relación a la lluvia, que hará
durante 3 días seguidos.
Luego dé como respuesta la suma de los
cardinales de los espacios muéstrales.
A) 50
D) 40
B) 35 C) 25
E) 30

528. COLECCION ESENCIAL Lumbreras Editores
Resolución
a. Llamamos C a obtener cara y S a obtener
sello. Luego tenemos el siguiente espacio
muestral:
Q _ j(CCC); (CCS); (CSC); (SCC);1
1 l(CSS); (SCC); (SSC); (SSS) J
—> n(Q.^J=Q
b. Al sumar los resultados de los dados,
podemos tener
Problema N/ 40
___________________________
Cuando se gira la ruleta, la flecha apunta a uno
de los números. Calcule la probabilidad de que
al girar dos veces la flecha la suma de puntos
sea mayor que 10. Considere que cada sector
circular tiene la misma medida angular.
Q2={3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11;18}
c. Llamamos B a sacar bola blanca y N a sacar
bola negra. Luego tenemos
Q3={BB; BN; NN}
n(£l3)=3
d. Si llamamos L al día lluvioso y N al día sin
lluvia, para tres días consecutivos se obtie­
ne el siguiente espacio muestral:
—
[(LLL); (LLN); (LNL); (NLL);
l(LNN); (NLN); (NNL); (NNN)J
fsuma de los^
resultados
= 8 + 16+3 + 8 = 35
: Clave
A)
4
C) —
12
D) A
14
E)
17
Resolución^
Los resultados obtenidos en las dos veces que
se hizo girar la ruleta los ordenamos en una
tabla de doble entrada.
1.er resultado
2.° resultado
123456
1 23456
------------------—
7
2 345678
3 456789
10;
4 567
89
5 678910/11
6 7891(V• TI12
J
Total: 36
^probabilidad^|^_ 1
v pedida J 36 _ 12
: Clave \

529. PRACTIQUEMOS LO APRENDIDO
1. Una moneda es lanzada tres veces. ¿Cuán­
tos elementos tiene su espacio muestral?
A) 10
D) 12
B) 4 C) 8
E) 6
2. Se tiene una urna con 5 fichas numeradas
del 1 al 5. ¿Cuál es la probabilidad de que
al extraer 2 fichas al azar la suma sea 7?
A) 1
15
D) i
7
B) 1
10
o 1
E) 1
5
3.
4.
En una sección de 50 alumnos, se desea
formar una comisión de tres miembros.
¿Cuál es la probabilidad de que el
delegado del aula siempre sea parte de
dicha comisión? 1 ;
A) 0,210 B) 0,226. C) 0,246
D) 0,268 E) 0,288
En una bolsa hay 60 caramelos, de los
cuales 10 son de menta, 20 son de chicha
morada y los demás son de limón. ¿Cuál
es la probabilidad de que al extraer un
caramelo de limón?
«5
8) 1
3
E)
1
5. De una baraja de 52 cartas, se extrae una
carta al azar. ¿Cuál es la probabilidad de
que esta sea de espada?
» i
B) —
13
C) —
12
E)
6.De 5 hermanos, 2 son mujeres y se sientan
en una fila de 5 asientos. ¿Cuál es la
probabilidad de que los varones se sienten
en los extremos?
« i
» i
B)
10
C) -
E) -
7. Alrededor de una mesa circular se sientan
8 niños en 8 sillas. Se sabe que de los 8
niños, solo 3 son de primer grado, 3 son de
segundo grado y los demás son de tercer
grado. ¿Cuál es la probabilidad de que los
niños de tercer grado no se sienten juntos?
B) 2
52
C ) M
52
D)
27
28
E)
56
8. Si se lanzan dos dados comunes, ¿cuál es
la probabilidad de obtener una suma de
3 u 8?
A)
D)
B) —
8
E)
9.Una caja contiene 8 bolas negras y 12
bolas blancas. ¿Qué probabilidad existe de
no sacar una bola negra?
« i
C)
_3_
10
D)
7_
10 E ) i
10. ¿Cuál es la probabilidad de obtener 6
puntos al lanzar 2 dados simultáneamente?
A) Í_
18
D) ^
B)
_5_
36
C) 1
E) 1
18

530. COLECCION ESENCIAL Lumbreras Editores
11. Si se sacan dos cartas a la vez de una
baraja, ¿cuál es la probabilidad de que
ambas sean corazones?
»5 »>!
C) -
16
E) —
36
12. Si 7 amigos (A; B; C; D; E; F y G) se sientan
en fila, ¿cuál es la probabilidad de que D; E;
F y G se sienten juntos?
A) —
35
B) —
35
D)
_4_
35
3
A ) 1
8 B ) 7
C)
1
14
35
1
7 * ,
D) — ■
8
E)
5
28
13. Se tienen tres tarjetas con las letras A; B
y C. Si se colocan al azar en una fila, ¿cuál
es la probabilidad de que se obtenga la
siguiente secuencia: C - A - B?
14. Halle la probabilidad de obtener números
consecutivos en el lanzamiento de dos da­
dos comunes.
A) -
3
B) —
12
D)
_5_
24
C) —
18
E) —
36
15. Si se lanzan 5 monedas, ¿cuál es la proba­
bilidad de obtener 4 sellos y una cara?
A) —
16
19
D) —
32
B) C) —
19
E)
_5_
32
16. Sean A y B eventos de un espacio muestral.
Si pUc]=0,4; P[B]=6 y P[A u B]=0,72,
calcule P[A n B].
A) 0,6
D) 0,76
B) 0,52 C) 0,48
E) 0,38
17. En una urna hay 8 bolas numeradas del
1 al 8 y se extraen al azar, sucesivamente, 3
bolas. ¿Cuál es la probabilidad de que sean
tres pares?
18. Las probabilidades de que tres tiradores
1 1 1
(A; B y C) den en el blanco son — y -,
respectivamente. Si cada uno dispara una
vez al blanco, ¿cuál es la probabilidad de
A)
1
B) 1 C)
2 i ; que al menosuno de ellos haya dado en
3 2 9 j el blanco?
D)
1
E)
1
í A) l
2 3
B) - C) -
9 6 \ * : 5 5 5
D ) i
E) —
10
19. Laura tiene cuatro amigos y siempre va al
colegio acompañada, por lo menos, con
uno de ellos. ¿Cuántos elementos tiene el
espacio muestral?
A) 15
D) 18
B) 16 C) 8
E) 32
20. Si se lanzan dos dados, ¿cuál es la proba­
bilidad de obtener resultados diferentes?
I C) —
6 36
A) i
6
B)
D) —
18
E) 1
12

531. Teoría de probabilidades
21. Una pareja de esposos planifica tener
cuatro hijos. ¿Cuál es la probabilidad de
que al menos dos sean mujeres?
« i »>!
C ) I
8
11
E) —
16
22. De 9 libros, 5 son de Biología y 4 de Mate­
mática, y se colocan al azar en una estan­
tería. Calcule la probabilidad de que los
libros de cada materia estén juntos.
A)
230
B) —
35
C)
_1_
63
D) —
52
E) —
126
23. De cada 100 panetones se observa que 64
tienen pasas y los restantes no. ¿Cuál es la
probabilidad de obtener 3 panetones con
pasas y 2 sin pasas al escoger 5 panetones?
A)
62
499
B)
65
542
49
D) —
136
C)
E)
372
1027
372
1067
24. De una baraja de 52 cartas, se elige una
carta al azar. ¿Cuál es la probabilidad de
obtener una carta roja o una de puntaje par?
17
26
B) —
26
C)
19
26
A)
7
8 B) 7
C)
7
11
E)
8
13
D)
3
7
E)
25. Se escribe un número de tres cifras. ¿Cuál
es la probabilidad de que dicho número no
sea capicúa?
A)
D)
2
9
10
B) «
9
C) -
11
E) i
8
26. En una carrera de 100 m planos compiten
las atletas Ana, Betty, Cindy, Diana y Eva.
¿Cuál es la probabilidad de que Cindy
llegue inmediatamente después de Eva si
se sabe que no hubo empate?
* > !
D)
_1_
10
C)
E)
12
_2_
15
27. Tres turistas llegan de visita a un pueblo
donde hay tres hospedajes disponibles
para ellos. Si cada uno escoge su hospe­
daje al azar, ¿cuál es la probabilidad de que
todos se hospeden en un mismo lugar?
A) —
9
D) —
27
28. En una caja se tienen 2 esferas negras y 5
rojas, mientras que en otra caja se tienen
4 rojas y 3 negras. Si se extraen 2 esferas,
una de cada caja, calcule la probabilidad
de que la esfera de la primera caja sea roja
y la otra negra.
15
49
1_
49

532. COLECCION ESENCIAL Lumbreras Editores
29. La probabilidad de que Miguel apruebe
Aritmética es 0,6 y de que apruebe Geo­
metría es 0,4. Halle la probabilidad de que
no apruebe ninguno de estos cursos.
A) 1
D) 0,24
B) 0,5 C) 0,2
E) 0,76
30. Una urna contiene 5 fichas rojas, 3 fichas
azules y 2 fichas negras. Si se extrae al azar
una de ellas, halle la probabilidad de que la
esfera extraída no sea azul.
A)
2_
13
B) —
8
D) —
10
C) —
12
r 8
31. ¿Cuál es la probabilidad de que al lanzar
tres monedas al aire se obtenga solo una
cara?
A)
6
7 « i
G)
3
8
D ) í
9
E) -
8 í
v »
32. Al lanzar una moneda y un dado, ¿cuál es
la probabilidad de obtener un sello y un
número par?
*>!
!)
3
D)
C) —
2
E) —
12
33. En una granja hay 4 conejos, 3 patos y
2 pavos. Si se desea elegir un grupo de
tres animales, ¿cuál es la probabilidad de
que haya un animal de cadaespecie?
A) - B) -
3 3
^ 1
C ) i
2 rv 2
D> 5 E) 7
34. En una urna hay 5 bolas rojas y 3 bolas
verdes. Si se extraen al azar dos. bolas,
¿cuál es la probabilidad de que sean de
colores diferentes?
15 nx 9
C)
13
A) B) —
2828 28
D)
17
A
E)
25
■
28 28
35. En una urna se tienen esferas numeradas
€ a
del 1 al 11 y se extrae una esfera al azar.
Determine la probabilidad de que sea
mayor que 6 si se sabe que la bola
extraída es par.
« i
»1
M
El í
8
Claves
1 5 9 13 17 21 25 29 33
* 2 6 10 14 18 22 26
om
34
3 7 11 15 19 23 27 , 31 35
4 8 12 16 20 24 28 i 32

533. gLO SA R IO
algoritmo de Euclides: Es un método antiguo
y eficaz para calcular el máximo común divisor
(MCD) de dos números enteros positivos. Fue
originalmente descrito por Euclides en su obra
Elementos.
aritmética: Es la parte de la matemática que
estudia los números y las operaciones que se
realizan con ellos.
_________________________^ ^
cantidad: Es el valor numérico que resulta de
medir la variación de una magnitud. Se expre­
sa con números acompañados por unidades
de medida.
capitalizar: Es la acción de acumular un
capital con sus intereses producidos durante
cierto periodo para formar así un nuevo capital
llamado monto.
combinación: Es todo arreglo de elementos
en donde no interesa el lugar o posición que
ocupa cada uno de los elementos que consti­
tuyen dicho arreglo.
divisor: Es el número o cantidad que está
contenido en otra cantidad un número exacto
de veces.
estadística: Es la ciencia que recopila, clasifica
y analiza conjuntos de datos para obtener, a
partir de ellos, inferencias que están basadas
en el cálculo de probabilidades.
Euclides: Fue un matemático griego conocido
como el “padre de la geometría”.
eventos independientes: Son los eventos
cuyo resultado no tiene que ver con el resul­
tado de otro u otros eventos.
eventos mutuamente excluyentes: Dos o
más eventos son mutuamente excluyentes
o disjuntos, si no pueden ocurrir a la vez.
Es decir, la ocurrencia de un evento impide
automáticamente la ocurrencia del otro
evento o eventos.
frecuencia absoluta: Es el número de ve­
ces que aparece un determinado valor en un
estudio estadístico.
frecuencia relativa: Es la relación entre la fre­
cuencia absoluta y el total de datos; además,
representa qué tanto por ciento del total de
datos están contenidos en el intervalo de clase.
histograma: En estadística, es una represen­
tación gráfica de una variable en forma de
barras. Ofrece una visión en grupo que permite
observar una preferencia o tendencia por parte
de la muestra o población respecto a una
variable (cuantitativa o cualitativa) de la misma y
que es de interés para el investigador estadístico
(como la longitud, la masa, experiencia laboral,
preferencia por un candidato, etc.).

534. ü _ ____________________________________________
Laplace (Pierre-Simon Laplace): Fue un astró­
nomo, físico y matemático francés que inventó
y desarrolló la ecuación que lleva su apellido.
magnitud: Es todo aquello susceptible a expe­
rimentar una variación y, además, puede ser
medido en forma directa (por ejemplo, a tra­
vés de instrumentos) o indirecta (por ejemplo,
mediante fórmulas).
muestra: En estadística, es el conjunto de
cosas, personas o datos elegidos al azar que
se consideran representativos de una pobla­
ción a la cual pertenecen y que se toman para
estudiar o determinar las características de la
población.
múltiplo: Es el número o cantidad que contie­
ne un número exacto de veces a otro número
o cantidad.
f*5j % l l j j ' . rpjSL
número divisible: Es aquel número entero que
se divide exactamente entre otro entero posi­
tivo llamado módulo.
números coprimos: En matemáticas, dos o
más números enteros son números coprimos
o primos entre sí (PESI) si no tienen ningún
factor primo en común o, dicho de otra manera,
si no tienen otro divisor común más que 1. De
manera equivalente, dos o más números son
PESI si y solo si su máximo común divisor es
igual a 1.
permutación: Es todo arreglo de elementos
en donde importa el lugar o posición que ocu­
pa cada uno de ellos.
población: En estadística, también llamada
universo, es el conjunto de elementos sobre
el que se realizan observaciones para obtener
conclusiones (inferir). Normalmente, es muy
grande para poder abarcarla, motivo por el
cual se puede hacer necesaria la extracción
de una muestra de esta.
proporción: Es la relación de correspondencia
entre varias partes de una cosa relaciona­
das entre sí en cuanto a tamaño, cantidad,
dureza y otros.
razón: En matemáticas, es una relación binaria
obtenida a partir de la comparación entre dos
cantidades.
renta: Es un ingreso anual que debe ser
distinguido de un salario, una remuneración,
un beneficio o una plusvalía.
rédito: Es la cantidad de dinero que un capital
produce periódicamente (generalmente cada
año). Su sinónimo es interés.
sucesión matemática: Es un conjunto orde­
nado de objetos matemáticos, generalmente
números. Cada uno de ellos es denominado
término de la sucesión y al número de
elementos ordenados (cuando es infinito) se
le denomina longitud de la sucesión. No debe
confundirse con una serie matemática, que es la
suma indicada de los términos de una sucesión.
variable: En estadística, es cada una de las
características o cualidades que poseen los
elementos de una población.

535. g lB U O G R A F ÍA
• ASOCIACIÓN FONDO DE INVESTIGADORES Y EDITORES. Aritmética. Anáfisis del número y sus
aplicaciones. Lima: Lumbreras Editores, 2006.
• ESQUECHE PAICONCIAL, Juan. Numeración. Colección Temas Selectos. Lima: Lumbreras
Editores, 2012.
• FARFÁN ALARCÓN, Óscar. Aritmética. Colección Curso Básico. Lima: Editorial San Marcos,
2009.
• MALPICA MANZANILLA, Alex. Análisis combinatorio'. Colección Temas Selectos. Lima: Lumbreras
Editores, 2012.
• RUIZ ARANGO, Isidoro. Teoría de los números. Lima: Editorial San Marcos, 1990.
• TIMOTEO VALENTÍN, Salvador. Aritmética. Lima: Editorial San Marcos, 2013.
• TINOCO GÓMEZ, Óscar; CRISPÍN RODRÍGUEZ, Santiago y Pedro ROSALES LÓPEZ. Estadística
básica. Lima: Fondo Editorial de la Universidad de Ciencias y Humanidades, 2010.