Arreglo atómico

Estructuras cristalinas

1. Dra. Izbeth Hernández López UPAEP Cs. Materiales
Cienciasde Materiales
ArregloAtómico
DRA. IZBETH HERNÁNDEZ LÓPEZ
[email protected]

2. Dra. Izbeth Hernández López UPAEP Cs. Materiales
Elarregloatómicojuegaunpapelmuyimportanteenladeterminacióndel
comportamientodeunmaterialsólido.
Enelaluminio,elarregloatómicoproporcionabuenaductilidad,entantoque
enelhierroeslacausadeunabuenaresistencia.
Lossólidospuedenclasificarseendosampliascategorías:cristalinosy
amorfos.

3. Dra. Izbeth Hernández López UPAEP Cs. Materiales
Cristalinos
Lossólidoscristalinos,debidoalaestructuraordenadadesusátomos,
moléculasoionestienenformasbiendefinidas.
Presentaunpatrónqueserepitedeformaperiódicaenelespacio.
Alromperseseobtienencarasyplanosbiendefinidas.
Losmetalessoncristalinosyestáncompuestosporcristalesogranosbien
definidos.Losgranossonpequeñosynosonobservablesclaramentedadala
naturalezaopacadelosmetales.
Enlosminerales,principalmentedenaturalezatranslúcidaatransparente,las
formascristalinasbiendefinidassepuedenobservarconclaridad.
Ejemplos:NaCl,Sacarosa,salesengeneral,metales,algunospolímeros,
algunoscerámicos.

4. Dra. Izbeth Hernández López UPAEP Cs. Materiales
Amorfos
Nopresentaunarreglointernoordenadosinoquesuspartículasseagreganalazar.
Suspartículaspresentanatraccioneslosuficientementefuertesparaimpedirquela
sustanciafluya.
Alromperseseobtienenformasirregulares.
Ejemplos:Asfalto,parafina,alquitrán,caucho,ceras,vidrios,algunospolímeros,
algunoscerámicos.

5. Dra. Izbeth Hernández López UPAEP Cs. Materiales
Elordenamientoatómicoenlossólidoscristalinossepuededescribir
representandoalosátomosenlospuntosdeinterseccióndeunared
tridimensional.Estaredsellamaredespacial.Elgrupodeátomossellamala
base.
Cadaredespacialpuededescribirseespecificandolaposicióndelosátomosen
unaceldaunitariarepetitiva.
Eltamañoyformade
unaceldapuede
describirseportres
vectoresdelareda,by
c,conorigenenun
vérticedelacelda
unitaria.Laslongitudes
axialesa,bycylos
ángulosinteraxiales,a,
bygsonlas
constantesdelaredde
laceldaunitaria.

6. Dra. Izbeth Hernández López UPAEP Cs. Materiales
Loscristalógrafoshandemostradoquetansólosenecesitansietetiposdiferentes
deceldasunitariasparacreartodaslasredes.
J.Bravais(Físicofrancés)demostróquecon14celdasunitariasestándarsepueden
describirtodaslasredesposibles.
Existencuatrotiposbásicosdeceldasunitarias:1)sencilla,2)centradaenel
cuerpo,3)centradaenlascarasy4)centradaenlasbases.

7. Dra. Izbeth Hernández López UPAEP Cs. Materiales

8. Dra. Izbeth Hernández López UPAEP Cs. Materiales
Lamayoríadelosmetalespuros(aproximadamente90%)cristalizanal
solidificarentresestructurascristalinascompactas:cúbicacentradaenel
cuerpo(BCC),cúbicacentradaenlascaras(FCC)yhexagonalcompacta(
HCP)
Lamayoríadelosmetalescristalizanenestasestructurasempacadas
densamenteporquelaenergíadisminuyeamedidaquelosátomosseacercany
seenlazanentresí.Deestemodo,lasestructurasmáscompactascorresponden
aordenamientosdenivelesenergéticosmenoresymásestables.

9. Dra. Izbeth Hernández López UPAEP Cs. Materiales

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Laaristadelcubodelaceldaunitariadelhierrocúbicocentradoenelcuerpo,por
ejemplo,atemperaturaambienteesiguala0.287×10
−9
m,o0.287nanómetros
(nm).Portanto,sisealineanceldasunitariasdehierropuro,aristaconarista,en
1mmhabría:

11. Dra. Izbeth Hernández López UPAEP Cs. Materiales
CeldasunitariasBCC:a)deposiciones
atómicas,b)deesferasrígidasyc)aislada.
a)Enestaceldaunitarialasesferasrepresentanlospuntosdondeestán
colocadoslosátomoseindicanclaramentesusposicionesrelativas.

12. Dra. Izbeth Hernández López UPAEP Cs. Materiales
b)SiserepresentanlosátomosenestaceldacomoesferasrígidasEnesta
celdaunitariaseobservaqueelátomocentralestárodeadoporochos
vecinosmáspróximosysedicequetieneunnúmerodecoordinaciónde8.

13. Dra. Izbeth Hernández López UPAEP Cs. Materiales
c)Siseaíslaunasolaceldaunitariacomoesferasólida,seobtieneelmodelo
mostradoenlafigura3.
Cadaunadeestasceldastieneelequivalenteadosátomosporceldaunitaria.
Unátomoenteroseencuentraenelcentrodelaceldaunitariayunoctavode
esferaseencuentraencadavérticedelacelda,loqueequivaleaotroátomo.
Así,hayuntotalde1(enelcentro)+8×(enlosvértices)=2átomosporcelda
unitaria.

14. Dra. Izbeth Hernández López UPAEP Cs. Materiales
EnlaceldaunitariaBCClosátomosde
cadavérticeentranencontactoentresía
lolargodeladiagonaldelcubo,detal
suertequelarelaciónentrelaaristadel
cuboayelradioatómicoRes
Tarea1. Comprobar la fórmula.

15. Dra. Izbeth Hernández López UPAEP Cs. Materiales
EJEMPLOS DE BCC

16. Dra. Izbeth Hernández López UPAEP Cs. Materiales
Ejemplo
Elhierroa20°CesBCCconátomosconunradioatómicode0.124.Calculela
constantederedparaelvérticedelcubodelaceldaunitariadehierro.
Los átomos que están en la celda unitaria BCC se tocan a través de las diagonales
del cubo. Por tanto, si a es la longitud del vértice del cubo, entonces
a=0.2864nm

17. Dra. Izbeth Hernández López UPAEP Cs. Materiales
Si los átomos de la celda unitaria BCC se consideran como esféricos, se puede
calcular el factor de empaquetamiento atómico (APF) aplicando la ecuación

18. Dra. Izbeth Hernández López UPAEP Cs. Materiales
Estructura centrada en las caras (FCC)
a) de posiciones atómicas, b) de esferas rígidas y c) aislada.

19. Dra. Izbeth Hernández López UPAEP Cs. Materiales
CeldaunitariaFCCquemuestralarelaciónentrelaconstantederedayel
radioatómicoR.
ElAPFparalaestructuracristalinaFCCesde0.74,queesmayorqueelfactor0.68dela
estructuraBCC.UnAPFde0.74eselmáximodecompactoposiblepara“átomos
esféricos”.Muchosmetalescomoelaluminio,cobre,plomo,níquelyhierroa
temperaturaelevada(de912a1394°C)cristalizanconlaestructuraFCC

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21. Dra. Izbeth Hernández López UPAEP Cs. Materiales

22. Dra. Izbeth Hernández López UPAEP Cs. Materiales

23. Dra. Izbeth Hernández López UPAEP Cs. Materiales
Ejercicios
Elmolibdenoa20°CesBCCytieneunradioatómicode0.140nm.Calculeel
valorparasuconstantederedaennanómetros.
Elniobioa20°CesBCCytieneunradioatómicode0.143nm.Calculeelvalor
desuconstantederedaennanómetros.
Ellitioa20°CesBCCytieneunaconstantederedde0.35092nm.Calculeel
valordelradioatómicodeunátomodelitioennanómetros.
Calculeelfactordeempaquetamientoatómico(APF)paralaceldaunitaria
BCC,considerandoalosátomoscomoesferasrígidas.

24. Dra. Izbeth Hernández López UPAEP Cs. Materiales
Estructuracristalinahexagonalcompacta
(HCP)

25. Dra. Izbeth Hernández López UPAEP Cs. Materiales
Losmetalesnocristalizanconlaestructuracristalinahexagonalsencillaporqueel
APFesdemasiadobajo.
Losátomospuedenalcanzarunamenorenergíayunacondiciónmásestable
formandolaestructuramáscompacta.
ElAPFdelaestructuracristalinaHCPesde0.74,elmismoqueeldelaestructura
FCC,yaqueenambasestructuraslosátomosestánempacadoslomásjuntos
posible.
Enambasestructuras,HCPyFCC,cadaátomoestárodeadode12átomos,por
tanto,cadaátomotieneunnúmerodecoordinaciónde12.

26. Dra. Izbeth Hernández López UPAEP Cs. Materiales
Losátomosdeloslugaresmarcadoscon“1”
contribuyencon1/6deunátomoalaceldaunitaria,
ylosátomosdelaubicaciónmarcadoscon“2”
contribuyencon1/12deátomo.
Porconsiguiente,losátomosdelosochovérticesde
laceldaunitariacontribuyendemaneracolectivacon
unátomo
(4(1/6)+4(1/12)=1).Elátomodelaubicación“3”
estácentradodentrodelaceldaunitariaperose
extiendemásalládellímitedeésta.
Elnúmerototaldeátomosdentrodeunacelda
unitariaHCPes,portanto,de2(1enlosvérticesy1
enelcentro).

27. Dra. Izbeth Hernández López UPAEP Cs. Materiales
LarelaciónentrelaalturacdelprismahexagonaldelaestructuracristalinaHCPyla
aristadelabasea,sellamarelaciónc/a
Larelaciónc/aparaunaestructuraHCPidealformadaporesferasempacadasal
máximoes1.633.

28. Dra. Izbeth Hernández López UPAEP Cs. Materiales
Elcadmioyelzinctienenunarelaciónc/asuperioralaideal,loqueindicaque
losátomosenestasestructurasestánligeramentealargadosalolargodelejec
delaceldaunitariaHCP.
Losmetalesmagnesio,cobalto,circonio,titanioyberiliotienenunarelaciónc/a
menorquelarelaciónideal.Portanto,enestosmetaleslosátomosestán
ligeramentecomprimidosenladireccióndelejec.

29. Dra. Izbeth Hernández López UPAEP Cs. Materiales
Ejemplo
Calculaelvolumendelaceldaunitariadelaestructuracristalinadelzinccon
losdatossiguientes:elzincpurotieneunaestructuracristalinaHCPconunas
constantesdereda=0.2665nmyc=0.4947nm.

30. Dra. Izbeth Hernández López UPAEP Cs. Materiales
Tomando en cuenta los 6 triángulos:
El volumen es entonces base x altura:

31. Dra. Izbeth Hernández López UPAEP Cs. Materiales
Características de cristales metálicos más comunes.

32. Dra. Izbeth Hernández López UPAEP Cs. Materiales
POSICIONESDELÁTOMOENCELDAS
UNITARIASCÚBICAS(EJESX,Y,Z)

33. Dra. Izbeth Hernández López UPAEP Cs. Materiales
ElátomocentraldelaceldaunitariaBCC
tienelascoordenadasenposición(
1
2
,
1
2
,
1
2
).Porsencillez,suelenespecificarsesólo
dosposicionesatómicasenlacelda
unitariaBCC,queson(0,0,0)y(
1
2
,
1
2
,
1
2
).
Lasposicionesatómicasrestantesdela
celdaunitariaBCCseconsideran
sobreentendidas.Deformaanálogase
puedenlocalizarlasposicionesatómicas
enlaceldaunitariaFCC.

34. Dra. Izbeth Hernández López UPAEP Cs. Materiales
DIRECCIONESENLASCELDASUNITARIAS
CÚBICAS
Paraloscristalescúbicoslosíndicesdelasdireccionescristalográficassonlos
componentesdelvectordedireccióndescompuestosobrecadaejede
coordenadayreducidosamínimosenteros.

35. Dra. Izbeth Hernández López UPAEP Cs. Materiales
Paraindicarenformagráficaunadirecciónenunaceldaunitariacúbica,se
dibujaunvectordedireccióndesdeunorigen,quegeneralmenteesunvértice
delaceldacúbica,hastaqueemergealasuperficiedelcubo.
Lascoordenadasdeposicióndelaceldaunitariadondeelvectordedirección
emergedelasuperficiedelcubodespuésdeconvertirlasenenteros,sonlos
índicesdedirección.
Estosíndicessecolocanentrecorchetessinseparaciónporcomas.

36. Dra. Izbeth Hernández López UPAEP Cs. Materiales
LascoordenadasdeposicióndelvectordedirecciónOM,son(1,
1
2
,0),ycomo
losíndicesdedireccióndebensernúmerosenteros,estascoordenadasde
posicióndebenmultiplicarsepor2paraobtenerlosenteros.Así,losíndicesde
direccióndeOMpasanaser2*(1,
1
2
,0)=[210].

37. Dra. Izbeth Hernández López UPAEP Cs. Materiales
Engeneral,seutilizanlasletrasu,v,wcomoíndicesdedirecciónenlas
direccionesx,yyz,respectivamente,yseescribencomo[uvw].Estambién
importantedarsecuentadequetodoslosvectoresdedirecciónparalelos
tienenelmismoíndicededirección.
Talcomoseprocedehabitualmenteenmatemáticas,lascomponentesde
cualquiervectorpuedenconocerserestandolascoordenadasdelospuntos
finaleinicial.SiP1=(u1,v1,w1)eselpuntodepartidayP2=(u2,v2,w2),el
puntofinal,elvectorquevadeP1aP2secalcularácomo:

38. Dra. Izbeth Hernández López UPAEP Cs. Materiales
Lasdireccionesseráncristalográficamenteequivalentessielespacioatómicoen
cadadireccióneselmismo.
Lasdireccionesequivalentessellamaníndicesdeunafamiliaotipo.
Porejemplo,lasdireccionesdelasaristasdelcubosondirecciones
cristalográficamenteequivalentes:

39. Dra. Izbeth Hernández López UPAEP Cs. Materiales
Ejercicio
Dibujalossiguientesvectoresdedirecciónenceldasunitariascúbicas.
a)[100]
b)[110]
c)[112]
d)[ത110]
e)[ത32ത1]

40. Dra. Izbeth Hernández López UPAEP Cs. Materiales

41. Dra. Izbeth Hernández López UPAEP Cs. Materiales
Determine los índices de dirección de la dirección del cubo mostrada en la figura
Lasdireccionesparalelastienenlos
mismosíndicesdedirección,yporellose
mueveelvectordedireccióndeforma
paralelahastaquesuorigenalcanzael
vérticemáspróximodelcubo,
manteniendoelvectorenelcubo.

42. Dra. Izbeth Hernández López UPAEP Cs. Materiales
Las coordenadas de posición donde el vector de dirección deja el cubo unidad.
Son x = − 1, y = + 1 y z = −
1
6
. Las coordenadas de posición de la dirección donde
deja el cubo unidad son ( − 1, + 1, −
1
6
). Para esta dirección, los índices son,
después de eliminar la fracción 6*( − 1, + 1, − ), o [ ത66ത1].

43. Dra. Izbeth Hernández López UPAEP Cs. Materiales
Determine los índices de dirección de la dirección cúbica entre las coordenadas
de
posición (
3
4
, 0,
1
4
) y (
1
4
,
1
2
,
1
2
)

44. Dra. Izbeth Hernández López UPAEP Cs. Materiales

45. Dra. Izbeth Hernández López UPAEP Cs. Materiales
INVESTIGAR
ÍNDICES DE MILLER Y PLANOS DE LAS CELDAS

46. Dra. Izbeth Hernández López UPAEP Cs. Materiales
Índices de MILLER
Paraidentificaralosplanoscristalinosenunaestructuracristalinacúbicase
utilizaelsistemadenotacióndeMiller.
LosíndicesdeMillerdeunplanocristalinosedefinencomoelrecíprocodelas
fraccionesdeintersección(confraccionessimplificadas)queelplanopresenta
conlosejescristalográficosx,yyzdelastresaristasnoparalelasdelacelda
unitariacúbica.

47. Dra. Izbeth Hernández López UPAEP Cs. Materiales
ElprocedimientoparadeterminarlosíndicesdeMillerparaunplanocristalográfico
cúbicoescomosigue:
1.Seeligeunplanoquenopaseporelorigendecoordenadas(0,0,0).
2.Sedeterminanlasinterseccionesdelplanoenlafuncióndelosejes
cristalográficosx,yyzparauncubounidad.Estasinterseccionespuedenser
fraccionarias.
3.Seobtieneelrecíprocodelasintersecciones(encasodeserinfinito,este
inversoseráCERO).
4.Semultiplicanodividenporunfactorcomúnparaeliminarfracciones.
Lanotación(hkl)seutilizaparaindicarlosíndicesdeMillerenunsentidogeneral,
dondeh,kylsonlosíndicesdeMillerdeunplanocristalinocúbicoparalosejes
x,yyz,respectivamente.

48. Dra. Izbeth Hernández López UPAEP Cs. Materiales

49. Dra. Izbeth Hernández López UPAEP Cs. Materiales
PASOS X Y Z
CORTES Nocorta,
paralelo ∞
-1 Nocorta,
paralelo ∞
INVERSOS 0 -1 0
QUITAR
FRACCIONES
0 -1 0
PLANO (0ത10)
+

50. Dra. Izbeth Hernández López UPAEP Cs. Materiales
PASOS X Y Z
CORTES -1 1 -1/2
INVERSOS -1 1 -2
QUITAR
FRACCIONES
-1 1 -2
PLANO (ത11ത2)
x
y
z

51. Dra. Izbeth Hernández López UPAEP Cs. Materiales
PASOS X Y Z
CORTES
INVERSOS
QUITAR
FRACCIONES
PLANO (03ത1)