Asimetria y curtosis

1. Asimetría y curtosis
En los dos temas anteriores hemos visto las medidas de
tendencia central y las medidas de variabilidad.
Si bien la obtención de tales medidas es clave para describir
una muestra y efectuar inferencias sobre la población de origen,
es también fundamental saber obtener una caracterización
adecuada de los datos.

2. Asimetría
Si bien es fácil tener una idea de si la distribución es simétrica o no
tras ver la representación gráfica (p.e., un histograma o un diagrama
de caja y bigotes), es importante cuantificar la posible asimetría de
una distribución.
Recordemos que cuando la distribución de los datos es simétrica, la
media, la mediana y la moda coinciden. (Y la distribución tiene la
misma forma a la izquierda y la derecha del centro)
Si bien muchas distribuciones psicológicas se asume que tienden a
ser simétricas y unimodales, en muchos casos la distribución que
encontramos es asimétrica (v.g., las distribuciones de los Tiempos de
Reacción en casi cualquier tarea es asimétrica positivo).

3. Asimetría positiva
Moda
Mediana
Media
Asimetría negativa
Media
Mediana
Moda
Examen difícil
Salarios
Tiempos de Reacción
Examen fácil

5. Índices de asimetría
1. Índice de asimetría de Pearson
s
x
X Mo
A
s
-
=
Muy sencillo de calcular. Está basado en la relación entre la media y la
moda en distribuciones simétricas y asimétricas:
Si la distribución es simétrica A
s
será 0
Si la distribución es asimétrica positiva, A
s
será mayor que 0
Si la distribución es asimétrica negativa, A
s será menor que 0

6. Índices de asimetría
2. Índice de asimetría de Fisher
Está basado en la diferencia de los datos sobre la media, como la
varianza, si bien esta vez se elevan los coeficientes al cubo
Si la distribución es simétrica A
s
será 0
Si la distribución es asimétrica positiva, A
s será mayor que 0
Si la distribución es asimétrica negativa, A
s
será menor que 0
3
1
3
( )
n
i
i
s
x
X X n
A
s
=
-
=
å
Desventaja: Muy influida por puntuaciones atípicas (ya lo volveremos a
comentar en el último punto de este tema).

7. Curtosis o apuntamiento
Hace referencia al apuntamiento de la distribución en relación a un
estándar, que es la distribución normal.
Este estándar es la distribución normal: distribución mesocúrtica.
Si la distribución es más apuntada que la distribución normal tenemos
una distribución leptocúrtica.
Si la distribución es más achatada que la distribución normal tenemos
una distribución platicúrtica.

9. Curtosis o apuntamiento
IMPORTANTE: Curtosis es independiente de la variabilidad (en el
sentido de “varianza”).
Es decir, no es que una distribución leptocúrtica tenga menos varianza
y por eso es más apuntada.
Una distribución leptocúrtica es muy apuntada en el centro (más que la
normal), decae muy rápidamente en un primer momento, pero en los
extremos es algo más alta que la distribución normal.
Eso quiere decir que una distribución leptocúrtica es más probable que
ofrezca más valores extremos que la distribución normal.

10. Ejemplo de curtosis (dist. Mesocúrtica)
NORMAL
4.253.753.252.752.251.751.25.75.25-.25-.75-1.25-1.75-2.25-2.75-3.25-3.75
1200
1000
800
600
400
200
0
Desv. típ. = 1.01
Media = -.00
N = 10000.00

11. Índice de curtosis (veremos un solo índice)
Para una distribución normal (mesocúrtica) sabemos que
4
1
4
( )
3
n
i
i
x
X X n
s
=
-
=
å
4
1
4
( )
3
n
i
i
r
x
X X n
C
s
=
-
= -
å
Y esta va a ser la referencia para el índice de curtosis que vamos a
emplear
Si la distribución es normal (mesocúrtica), el índice vale 0
Si la distribución es leptocúrtica, el índice es superior a 0
Si la distribución es platicúrtica, el índice es inferior a 0

12. Más ejemplos de curtosis