Asintoti

Lavoro sugli asintoti dell'area di progetto della 4A Igea 2008/2009 a cura di Gabriele Pauroso

2. La seguente presentazione multimediale interattiva in
formato .ppt (Microsoft Office PowerPoint) contiene argomenti
inerenti al programma scolastico dell’anno 2008/2009 della
classe 4^ sezione AR I.G.E.A (indirizzo di ragioneria)
dell’Istituto Tecnico Statale “ITGC Luigi Casale” di Vigevano
(PV).
Questo progetto è stato proposto non solo per avvantaggiare gli
alunni stranieri ma anche gli alunni che trovano talvolta
difficoltà nel seguire lezioni in classe.
La presentazione infatti cercherà di catturare maggiore
attenzione non solo attraverso l’interattività ma anche con
utilizzo di forme, caratteri e colori che stimolano concentrazione.
Si ricorda inoltre che alcuni testi di seguito esposti possono
essere rielaborazioni semplificate da fonti On-line.
Per maggiori informazioni sull’area di progetto visitate il sito
internet dell’istituto:
www.itcgcasale.it

4. Il calcolo di
di una funzione reale
di variabile reale

S e le ziona
Capitoli
Definizione di ASINTOTO
Asintoto Verticale
Asintoto Orizzontale
Asintoto Obliquo
Note
Esercizi
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l’argomento
interessato
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CREDITS

5. Asintoto e' una parola che deriva dal greco:
A = privativo che significa no
Sympìptein = congiungere
Significa cioè che non tocca.
In pratica si tratta di una retta che si avvicina alla funzione
senza mai toccarla, per questo si dice anche che l'asintoto e' la
tangente all'infinito della funzione.
Quindi se non sappiamo come si comporta una funzione
all'infinito sappiamo però come all'infinito si comporta una retta
e se troviamo l'equazione della retta che accompagna la funzione
all'infinito (asintoto) potremo tracciare il grafico della funzione
che tende all'infinito con buona approssimazione.
DefinizioneDefinizione di ASINTOTOdi ASINTOTO

6. ASINTOTO verticaleASINTOTO verticale
Si ha un asintoto verticale quando,
all'avvicinarsi della X ad un valore finito C, il valore della Y
cresce all'infinito.
Poiché il valore infinito e' solo una convenzione, ne deriva che la
funzione avrà valore infinito dove la X non e' definita, cioè per
valori non appartenenti al dominio.
Quindi per trovare gli asintoti verticali dovremo trovare quei
valori della X per cui la funzione vale infinito, cioè supponendo
che nel punto x = c la funzione non sia definita dovremo
calcolare:
lim
x->c
f(x) = se il risultato vale “infinito” allora la retta
x = c sarà l'asintoto verticale.
E' bene al fine di calcolare esattamente come la funzione
sparisce all'infinito calcolare sia il limite destro che il limite
sinistro per trovare il segno dell'infinito a destra e a sinistra
dell'asintoto.

7. ASINTOTO verticaleASINTOTO verticale
Vi sono 4 casi possibili:
lim
x->c
-
f(x) = +
lim
x->c
+
f(x) = +
lim
x->c
-
f(x) = -
lim
x->c
+
f(x) = -
lim
x->c
-
f(x) = +

lim
x->c
+
f(x) = -
lim
x->c
-
f(x) = -
lim
x->c
+
f(x) = +

8. ASINTOTO verticaleASINTOTO verticale
Facciamo un esercizio semplicissimo:
vediamo se la funzione
3x
y = -------
x - 1
ha asintoti verticali,
il campo di esistenza e' tutti i valori eccetto x = 1 per cui si
annulla il denominatore
calcolo:
3x
lim
x->1
-------- = 3/0 =
x - 1
quindi la retta
x = 1
e' un asintoto verticale.

9. ASINTOTO verticaleASINTOTO verticale
Per tracciarlo al meglio calcoliamo i limiti destro e sinistro
della funzione nel punto 1.
Limite sinistro:
3x
lim
x->1
-

--------
x - 1
per calcolare un limite di questo genere basta sostituire alla x un
valore un pochino più piccolo di 1 (ad esempio 0,9 ) e fare il
conto dei segni
3·0,9
----------
0,9 - 1
il numeratore e' positivo mentre il denominatore è negativo
quindi l'espressione e' negativa cioè
3x
lim
x->1
-
-------- = -
x - 1

10. ASINTOTO verticaleASINTOTO verticale
Limite destro:
3x
lim
x->1
+

--------
x - 1
per calcolare un limite di questo genere basta sostituire alla x un
valore un pochino più grande di 1 (ad esempio 1,1 ) e fare il
conto dei segni
3·1,1
----------
1,1 - 1
il numeratore e' positivo ed anche il denominatore e' positivo
quindi l'espressione e' positiva cioè
3x
lim
x->1
+
-------- = +
x - 1

SOLUZIONE

11. ASINTOTO verticaleASINTOTO verticale
Quindi il risultato e' quello della figura qui sotto:

lim
x->1
-
f(x) = -
lim
x->1
+
f(x) = +

12. ASINTOTO orizzontaleASINTOTO orizzontale
Si ha un asintoto orizzontale quando,
al crescere della x la y si avvicina ad un valore ben determinato.
in pratica c'e' l'asintoto se
lim
x->
f(x) = numero
e l'asintoto sarà la retta orizzontale
y = numero
e' inoltre possibile calcolare se rispetto all'asintoto la
funzione si trovi sopra o sotto sostituendo al numero
dell'asintoto un numero più piccolo o più grande e
vedendo se l'orizzontale relativa taglia o no la funzione,
ma si pensa che ciò sia inutile, in quanto in uno studio
completo di funzione si hanno parecchi altri dati da cui
ricavare se la funzione si avvicina all'asintoto da sopra o
da sotto.

13. ASINTOTO orizzontaleASINTOTO orizzontale
Facciamo anche qui un esercizio molto semplice:
calcoliamo, se esiste, l'asintoto orizzontale per la funzione
3x
y = -------
x - 1
in pratica devo calcolarne il limite per x tendente ad infinito
3x
lim
x->
-------- = ----- = 3
x – 1
Infatti numeratore e denominatore hanno lo stesso grado ed il
rapporto fra le x di grado maggiore è 3.
se non hai capito bene come ho fatto ridai un'occhiata alle forme
indeterminate,
oppure puoi calcolare la derivata sopra e sotto e rifare il limite
come abbiamo visto nelle applicazioni sulle derivate.
SOLUZIONE

14. ASINTOTO orizzontaleASINTOTO orizzontale
Quindi la retta
y = 3
sarà l'asintoto orizzontale
la funzione e' la stessa che abbiamo usato per l'asintoto verticale
e con i dati che ho posso cominciare ad abbozzarne un eventuale
grafico (per tracciarlo effettivamente mi mancano ancora
parecchi dati):
y = 3

15. ASINTOTO ObliquoASINTOTO Obliquo
Si ha un asintoto obliquo quando la funzione,
andando verso infinito si avvicina ad una retta obliqua
Vediamo quali sono le condizioni perché una funzione ammetta
asintoto obliquo della forma
y = mx + q
Prima di tutto bisogna dire che la funzione deve tendere
all'infinito:
lim
x->
f(x) =
poi devono esistere m e q, cioè devono esistere finiti i due limiti
lim
x->
f(x)/x = m
lim
x->
(f(x) - mx) = q

16. ASINTOTO ObliquoASINTOTO Obliquo
Facciamo anche qui un semplice esercizio:
trovare l'asintoto obliquo per la funzione
3x
2
- 1
y= -----------
x
si ha subito
3x
2
- 1
lim
x->
------------ =
x
ora vado a calcolare (se esistono) m e q.

17. ASINTOTO ObliquoASINTOTO Obliquo
Dividere una funzione per x vuol dire
moltiplicarne il denominatore per x quindi:
3x
2
- 1
m = lim
x->
---------- = 3 quindi m = 3
x
2
calcolo q
3x
2
- 1
q = lim
x->
---------- - 3x =
x
3x
2
- 1 - 3x
2
= lim
x->
----------------- =
x
1
= lim
x-> ----- = 0 quindi q = 0
                  x

SOLUZIONE
Y=3x

18. Nota sulla determinazione degli asintoti Nota sulla determinazione degli asintoti
orizzontali od obliqui orizzontali od obliqui
E' possibile, semplicemente osservando la forma di una funzione, capire se la funzione
ha un asintoto orizzontale, un asintoto obliquo oppure non ha asintoti di quel genere.
-Se il numeratore ha lo stesso ordine di infinito del denominatore allora il limite è uguale al rapporto fra i due
termini di grado più alto. Nel seguente esempio l'ordine di infinito del numeratore e del denominatore sono
entrambe uguali ad 1
lim
x->
(3x-2log x)/4x = ¾
-Se il numeratore ha ordine di infinito inferiore al denominatore allora il limite vale 0 esempio:
lim
x->
(x
3
+logx) / e
x
= 0
Allora possiamo dire che:
h.Se nella funzione l'ordine del numeratore e' uguale a quello del denominatore avremo un asintoto
orizzontale del tipo y = numero
i.Se nella funzione l'ordine del numeratore e' inferiore a quello del denominatore avremo un asintoto
orizzontale del tipo y = 0
j.se nella funzione l'ordine del numeratore e' superiore di uno a quello del denominatore avremo un asintoto
obliquo del tipo
y = mx + q
infatti poiché per calcolare m dobbiamo fare il limite di f(x)/x dobbiamo moltiplicare il denominatore per x
cioè aggiungere un grado al denominatore ed il limite sarà un numero se numeratore e denominatore
arrivano allo stesso grado
k.Se nella funzione l'ordine del numeratore e' superiore di due, tre,.... a quello del denominatore non avremo
un asintoto obliquo, ma la funzione andrà all'infinito accompagnando una parabola, una cubica,....
infatti poiché per calcolare m dobbiamo fare il limite di f(x)/x dobbiamo moltiplicare il denominatore per x
cioè aggiungere un grado al denominatore il limite sarà infinito perché il numeratore supera comunque di
grado il denominatore

19. Nota sulla determinazione degli asintoti Nota sulla determinazione degli asintoti
orizzontali od obliqui orizzontali od obliqui
Esempi:
3x
a. y = -------
x - 1
ha un asintoto orizzontale perché numeratore e denominatore hanno entrambi grado uno ed
il rapporto fra i termini di grado più alto e' 3x/x = 3 quindi
asintoto orizzontale y = 3
x - 1
b. y = -------
x
2

poiché il grado del numeratore e' inferiore a quello del denominatore si ha:
asintoto orizzontale y = 0
3x
2
- 1
c. y = ----------
x
ha un asintoto obliquo perché il grado del numeratore e' due e quello del denominatore e'
uno quindi quando farò f(x)/x otterrò una frazione con lo stesso grado al numeratore e al
denominatore (m = 3)
3x
4
- 1
d. y = ----------
x
la funzione non ha un asintoto che la accompagni all'infinito.

20. Da un idea di:
Luigi Pasini
docente ordinario di
Matematica applicata
e
Esaminatore ECDL
Core Level ed Advanced Level
Con la collaborazione di:
www.wikipedia.com
e
rip.mat.it
Intro e credits song
inspired by:
BMW spot theme
Back wallpaper:
Concentration image
Font:
Verdena
e
YellowJacket
Mente Logica:
Gabriele Pauroso
Show maker:
Pauroso Gabriele
School Group:
L.E.G
(Limited Edition Group)
Pauroso Gabriele
e
Narratori di presentazione
Sassone Andrea
Scatizzi Lucas
Classe
4^ AR IGEA
Sponsored by:
ITCG Luigi Casale
(istituto tecnico superiore)

Il calcolo di
di una funzione reale
di variabile reale