Aula 02 Cálculo de limites - Conceitos Básicos

Cálculo de Limites: Limites Indeterminados e no Infinito.

1. AULA 02
MATEMÁTICA II
Professor: João Alessandro
CÁLCULO DE LIMITES

2. Cálculo - Limites
Para o cálculo do limite de uma função basta substituir o
valor para o qual x está tendendo (valor genérico “a”) na
expressão da função f(x).
No entanto, esta regra falha, algumas vezes (nem
sempre) para funções racionais. Isto acontece quando se
faz a substituição direta de x por seu valor de tendência
e encontra-se indeterminação (0/0 ou b/0 ou ¥/¥ ou ¥/0).
Veja os casos nos slides seguintes.

3. Cálculo - Limites
Regras adicionais
•1ª Regra: Para funções racionais cujos numeradores e denominadores são 0
quando se substitui x por a (valor de tendência). Neste caso, tanto o
polinômio do numerador quanto o do denominador devem ser divididos por (x
- a). Após esta simplificação, faz-se a substituição de x por a.
422)2(lim
2
)2)(2(
lim
2
4
lim
0
0
22
42
2
4
lim
22
2
2
22
2
=+=+=
-
+-
=
-
-
==
-
-
=
-
-
®®®
®
x
x
xx
x
x
x
x
xxx
x
Indeterminação

4. Regras adicionais
•2ª Regra: Quando somente o denominador for 0 na
substituição direta de x, calcula-se os limites laterais.
O limite existirá somente se os limites laterais forem
iguais.
.limlim
lim
+¥=
-+
®
-¥=
--
®
==
-
=
-®
2
1
2

2
1
2
0
1
22
1
2
1
2
x
x
e
x
x
xx
Portanto o limite não existe.
Pois pela condição de existência de limite, o limite pela
direita deve ser igual ao limite pela esquerda.

5. Regras adicionais – Limites com e/no Infinito
•3ª Regra: Quando se tem uma função polinomial ou uma função
racional, os limites destas funções, quando x tende para +∞ ou
-∞, são calculados com base no termo de maior ordem, veja os
exemplos abaixo.
¥=¥==+-
¥=¥===
-
+-+
¥®¥®
¥®¥®¥®
222
22
323
).(5)5(lim)125(lim
).(22lim
2
lim
2
352
lim
xxx
x
x
x
x
xxx
xx
xxx
1
o
exemplo (função racional):
2
o
exemplo (função polinomial):

6. Expressões indeterminadas:
Considere o seguinte limite:
Se fôssemos resolver de acordo com as ferramentas já
conhecidas chegaríamos ao seguinte resultado:
0
0
33
273
3
27
lim
33
3
=
-
-
=
-
-
®x
x
x
3
27
lim
3
3-
-
®x
x
x
EXEMPLO

7. EXEMPLO
Expressões indeterminadas
Mas vejamos o gráfico desta função:
x f(x)
2,7
2,8
2,9
3,0
3,1
3,2
3,3
24,39
25,24
26,11
27
27,91
28,84
29,79
L

8. • Apesar da função não estar definida no ponto x = 3,
quando nos aproximamos de x = 3, f(x) se aproxima
de 27. Portanto:
• Mas como se resolve a equação algébrica de modo
a chegar a este valor?
27
3
27
lim
3
3
=
-
-
®x
x
x

9. • Com a FATORAÇÃO de Produtos Notáveis!!!
Neste exemplo,
Logo, podemos reescrever a função do seguinte modo:

Basta então calcular:
)93)(3(27
23
++-=- xxxx
93
)3(
)93)(3(
)(
2
2
++=
-
++-
= xx
x
xxx
xf
27)93(lim
2
3
=++
®
xx
x

10. FATORAÇÃO
• Diferença de quadrados
Exemplos:
)).((
22
bababa -+=-
2222
..)).(( bababbaababa -=-+-=-+
)).(() 4416
2
+-=- xxxa
)).(() ayayayb -+=- 33
22
9
)).().(()).((
)
9
2
432329
2
49
2
4
81
4
16
++-=+-
=-
xxxxx
xc

11. FATORAÇÃO
• Trinômio quadrado perfeito
Exemplos: 2
244
2
)(+=++ aaa
2
3
3
49
3
24
6
16 ÷
ø
ö
ç
è
æ
-=+- yyy
22222
2)).(()( bababbaababababa ++=+++=++=+
22222
2)).(()( bababbaababababa +-=+--=--=-
Não confundir o quadrado da diferença (a - b)
2
, com a
diferença de quadrados a
2
- b
2
.

12. FATORAÇÃO
• Soma e Diferença de Cubos
Exemplos:
)).((
2233
babababa +-+=+
)42).(2()22.).(2(8
2223
+-+==-+=+ xxxxxxx
)252016).(54(5)4(12564
2333
+=-=-=- aaaaa
)).((
2233
babababa ++-=-

13. PROPRIEDADES DE LIMITES
• P1

- O limite da soma é igual a soma dos limites
(caso esses limites existam):
[ ] )(lim)(lim)()(lim xgxfxgxf
axaxax ®®®
+=+
15523
2
2
5
22
3
2
2
2
53
2
2
2
53
2
2
=++=
®
+
®
+
®
®
=+
®
+
®
=++
®
.
limlimlim
limlimlim
)(lim
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
xx
x
Exemplo:

14. PROPRIEDADES DE LIMITES
• P2- O limite da diferença é igual a diferença dos
limites (caso esses limites existam):
[ ] )(lim)(lim)()(lim xgxfxgxf
axaxax ®®®
-=-
622.2limlim2
lim2lim)2(lim
2
2
2
2
2
2
2
2
2
=-=-
-=-
®®
®®®
xx
xxxx
xx
xxx
Exemplo:

15. PROPRIEDADES DE LIMITES
• P3 - O limite do produto é igual ao produto dos limites
(caso esses limites existam):
[ ] )(lim).(lim)().(lim xgxfxgxf
axaxax ®®®
=
93.3lim.lim.lim)(lim
333
2
3
====
®®®®
xxxxx
xxxx
Exemplo:

16. PROPRIEDADES DE LIMITES
• P4- O limite do quociente é igual ao quociente dos limites
(caso esses limites existam):
)(lim
)(lim
)(
)(
lim
xg
xf
xg
xf
ax
ax
ax
®
®
®
=
ú
û
ù
ê
ë
é
10
1-

20
2
727
53
7
3
3
5
3
7
3
5
3
=
-
=
-
-
=
-
®
-
®
=
ú
ú
û
ù
ê
ê
ë
é
-
-
® )(lim
)(lim
lim
x
x
x
x
x
x
x
Exemplo:

17. DÚVIDAS?