Aula_08.ppt. Introdução ao Cálculo Diferencial

Introdução ao Cálculo

1. INTRODUÇÃO AO CÁLCULO DIFERENCIAL
AULA 8 – LIMITES E CONTINUIDADE

2. LIMITES E CONTINUIDADE – AULA 8
INTRODUÇÃO AO CÁLCULO DIFERENCIAL
Conteúdo Programático
1.Noção intuitiva de limite
2.Definição
3.Unicidade do limite
4. Propriedades básicas
5. Limite de uma função
6. Limites laterais
7. Função contínua

3. LIMITES E CONTINUIDADE – AULA 8
INTRODUÇÃO AO CÁLCULO DIFERENCIAL
IDEIA INTUITIVA DE LIMITE
Consideremos uma figura de forma quadrada e de área igual a 1 .
Vamos colorir de azul metade dessa figura.
2
1
coloridaÁrea

4. LIMITES E CONTINUIDADE – AULA 8
INTRODUÇÃO AO CÁLCULO DIFERENCIAL
IDEIA INTUITIVA DE LIMITE
Vamos colorir de amarelo metade do que restou de branco.
4
3
4
1
2
1
coloridaÁrea
Vamos colorir de vermelho metade do que restou de branco.
8
7
8
1
4
1
2
1
coloridaÁrea

5. LIMITES E CONTINUIDADE – AULA 8
INTRODUÇÃO AO CÁLCULO DIFERENCIAL
IDEIA INTUITIVA DE LIMITE
Continuando esse processo podemos notar que a região
colorida vai preenchendo quase todo o quadrado inicial, isto
é, a área vai se aproximando de 1.
,
64
63
,
32
31
,
16
15
,
8
7
,
4
3
,
2
1
Dizemos então que o limite dessa soma é igual a 1.
Quando dizemos que a área da região colorida tende a 1,
significa que ela se aproxima de 1, sem no entanto assumir
esse valor.

6. LIMITES E CONTINUIDADE – AULA 8
INTRODUÇÃO AO CÁLCULO DIFERENCIAL
Vamos observar o gráfico da função f(x) = x + 2 definida nos reais.
x22,32,92,99...3,013,43,94
f(x)44,34,94,99...5,015,45,96

7. LIMITES E CONTINUIDADE – AULA 8
INTRODUÇÃO AO CÁLCULO DIFERENCIAL
Note que à medida que os valores de x se aproximam de 3 (pela
esquerda e pela direita), a função f(x) se aproxima de 5.
Podemos escrever:


3
2
x se aproxima de 3
x tende a 3
lim ( ) 5
x
x
fx



Lê-se: o limite de f(x) quando x tende a 3 é igual a 5.

8. LIMITES E CONTINUIDADE – AULA 8
INTRODUÇÃO AO CÁLCULO DIFERENCIAL
DEFINIÇÃO DE LIMITE
Seja f(x) uma função e a é um número real. Podemos escrever
e dizemos que o limite da função f(x), quando x se aproxima de
um determinado número “a”, é o número real L, se, e somente se,
os números reais da imagem da função permanecem próximos de
L, para os infinitos valores de x próximos de “a”.
lim ( )
x a
f x L



9. LIMITES E CONTINUIDADE – AULA 8
INTRODUÇÃO AO CÁLCULO DIFERENCIAL
UNICIDADE DO LIMITE
TEOREMA
Se e
então L
1 = L
2 .
1
lim ( )
x a
f x L


2
lim ( )
x a
f x L


Ou seja, uma função não pode se
aproximar de dois números diferentes
quando x se aproxima de a.

10. LIMITES E CONTINUIDADE – AULA 8
INTRODUÇÃO AO CÁLCULO DIFERENCIAL
)23(lim
2
1
xx
x


4
16
lim
2
4

x
x
x
t
t
t4
2
lim
2
2


EXEMPLO
xx
xx
x 3
lim
2
2
0



11. LIMITES E CONTINUIDADE – AULA 8
INTRODUÇÃO AO CÁLCULO DIFERENCIAL
3
32
lim
2
3 

 x
xx
x
h
h
h
9)3(
lim
2
0


1
34
lim
2
2
1 

 z
zz
z
EXEMPLO

12. LIMITES E CONTINUIDADE – AULA 8
INTRODUÇÃO AO CÁLCULO DIFERENCIAL
EXEMPLO
4
2
lim
4

x
x
x
1
12
lim
1 

 x
xx
x

13. LIMITES E CONTINUIDADE – AULA 8
INTRODUÇÃO AO CÁLCULO DIFERENCIAL
EXEMPLO
Determine o limite da f(x) quando x se aproxima de 1.
2
3 2
, 1
( ) 1
3 , 2
x x
x
f x x
x
 

 



)(lim
1
xf
x

14. LIMITES E CONTINUIDADE – AULA 8
INTRODUÇÃO AO CÁLCULO DIFERENCIAL
PROPRIEDADES BÁSICAS
Suponha: , e c uma constante. lim ( )
x a
f x L

lim ( )
x a
g x M


1)lim[ ( ) ( )] lim ( ) lim ( )
x a x a x a
f x g x f x g x L M
  
    
2)lim[ ( )] lim ( )
x a x a
cf x c f x cL
 
 
3)lim ( ) lim ( )
nn
n
x a x a
f x f x L
 
 
4)lim
x a
c c


5)lim
x a
x a



15. LIMITES E CONTINUIDADE – AULA 8
INTRODUÇÃO AO CÁLCULO DIFERENCIAL
PROPRIEDADES BÁSICAS
lim ( ) 0
x a
onde g x M

 
lim ( )
( )
6)lim
( ) lim ( )
x a
x a
x a
f x
f x L
g x g x M



 
7)lim ( ) lim ( )
n
n
n
x a x a
f x f x L
 
 
  
    
8)lim[ ( ) ( )] lim ( ) lim ( )
x a x a x a
f x g x f x g x L M
  
   
    
      

16. LIMITES E CONTINUIDADE – AULA 8
INTRODUÇÃO AO CÁLCULO DIFERENCIAL
Limites Laterais
3
lim ( ) 5
x
fx


Considerando o exemplo dado no início da aula: f(x) = x + 2
O limite da f(x) quando x tende a 3 pela esquerda é igual a 5, e
indicamos por:
3
lim ( ) 5
x
fx




17. LIMITES E CONTINUIDADE – AULA 8
INTRODUÇÃO AO CÁLCULO DIFERENCIAL
Limites Laterais
O limite da f(x) quando x tende a 3 pela direita é igual a 5, e
indicamos por:
3
lim ( ) 5
x
fx



Os limites à esquerda e à direita são chamados de limites
laterais.

18. LIMITES E CONTINUIDADE – AULA 8
INTRODUÇÃO AO CÁLCULO DIFERENCIAL
DEFINIÇÃO DE LIMITES LATERAIS
Limite lateral à direita
Seja f(x) uma função definida num intervalo aberto (a,c). Então, o limite de
f(x) em a pela direita é o número L, e escrevemos:

lim ( )



x a
f x L

19. LIMITES E CONTINUIDADE – AULA 8
INTRODUÇÃO AO CÁLCULO DIFERENCIAL
LIMITES LATERAIS
lim ( )



x a
f x L
Limite lateral à esquerda
Seja f(x) uma função definida num intervalo aberto (a,c).
Então, o limite de f(x) em a pela esquerda é o número L, e
escrevemos:

20. LIMITES E CONTINUIDADE – AULA 8
INTRODUÇÃO AO CÁLCULO DIFERENCIAL
LIMITES LATERAIS
TEOREMA
O limite existe e é igual ao número L se, e
somente se, os limites laterais de f(x) em a existirem e
forem iguais a L. Isto é:

=

lim ( )
x a
f x

lim ( )

x a
f xlim ( )



x a
f x L

21. LIMITES E CONTINUIDADE – AULA 8
INTRODUÇÃO AO CÁLCULO DIFERENCIAL
EXEMPLO
Calcule, caso exista, o limite da função dada no número p dado.
2 1 1
( ) 12 1
5 2 1
x se x
f x p se x
x se x
 

  

 

)(lim :Conclusão
1
xf
x
)(lim
1
xf
x


)(lim
1
xf
x



22. LIMITES E CONTINUIDADE – AULA 8
INTRODUÇÃO AO CÁLCULO DIFERENCIAL
EXEMPLO
Calcule, caso exista, o limite da função dada no número p dado.
2
1 2
( ) 20 2
1 2
x se x
f x p se x
x se x
 

  

 

)(lim :Conclusão
2
xf
x
)(lim
2
xf
x


)(lim
2
xf
x



23. LIMITES E CONTINUIDADE – AULA 8
INTRODUÇÃO AO CÁLCULO DIFERENCIAL
CONTINUIDADE
Dizemos que a função f é contínua em um número a se e somente
se as seguintes condições forem válidas:
a)Existe
b)Existe f(a)
c)f(a) =
lim ( )
x a
f x L


lim ( )
x a
f x L


Função contínua em um ponto: o ponto deve pertencer ao
domínio da função

24. LIMITES E CONTINUIDADE – AULA 8
INTRODUÇÃO AO CÁLCULO DIFERENCIAL
EXEMPLO
A função f(x) = 3x + 2 definida nos reais é contínua, pois o limite
da função quando x se aproxima de 1 é igual a 5 e a f(1) = 5.
)1(523lim
1
fx
x



25. LIMITES E CONTINUIDADE – AULA 8
INTRODUÇÃO AO CÁLCULO DIFERENCIAL
EXEMPLO
A função f(x) definida em R não é contínua em 1, pois o limite da
função quando x se aproxima de 1 é igual a 3 e a f(1) = 7.
3 2 1
( )
7 1
x se x
f x
se x
 



)1(7523lim
1
fx
x



26. LIMITES E CONTINUIDADE – AULA 8
INTRODUÇÃO AO CÁLCULO DIFERENCIAL
EXEMPLO
A função f(x) definida em R não é contínua em 1, pois o limite da
função não existe.
1 1
( )
1 1
x se x
f x
x se x
 

 

0)(lim
1



xf
x
2)(lim
1



xf
x
existe não )(lim :Conclusão
1
xf
x

27. LIMITES E CONTINUIDADE – AULA 8
INTRODUÇÃO AO CÁLCULO DIFERENCIAL
EXEMPLO
Não podemos afirmar que a função f(x) definida em R não é
contínua em 1, pois x = 1 não pertence ao domínio da função.
1
1
)(
2



x
x
xf

28. LIMITES E CONTINUIDADE – AULA 8
INTRODUÇÃO AO CÁLCULO DIFERENCIAL
Determine se a função é contínua
3;
39
35
)( 





 a
xsex
xsex
xf
EXEMPLO

29. LIMITES E CONTINUIDADE – AULA 8
INTRODUÇÃO AO CÁLCULO DIFERENCIAL
Determine os Limites Laterais e verifique se a função f é
contínua
3 2 3
( )
5 3
x x
f x
x x
 

 
3
7
2
EXEMPLO

30. LIMITES E CONTINUIDADE – AULA 8
INTRODUÇÃO AO CÁLCULO DIFERENCIAL
A força gravitacional exercida pela Terra sobre uma unidade de
massa a uma distância r do centro do planeta é

onde M é a massa da Terra, R é seu raio e G é a constante
gravitacional. G é uma função contínua de r? Justifique sua
resposta.










Rrse
r
GM
Rrse
R
GMr
rG
2
3
)(
EXEMPLO

31. LIMITES E CONTINUIDADE – AULA 8
INTRODUÇÃO AO CÁLCULO DIFERENCIAL










Rrse
r
GM
Rrse
R
GMr
rG
2
3
)(
RESOLUÇÃO

32. LIMITES E CONTINUIDADE – AULA 8
INTRODUÇÃO AO CÁLCULO DIFERENCIAL
RESUMINDO
Definição
Teorema da Unicidade do limite
Propriedades básicas
Limite de uma função
Limites laterais
Função contínua

33. LIMITES E CONTINUIDADE – AULA 8
INTRODUÇÃO AO CÁLCULO DIFERENCIAL