Aula 1.pdf. Introduccion al algebra lineal

Introduccion al algebra lineal para ecuaciones diferenciales ordinarias

1. Aula1:Introdu¸c˜ao`a
´
AlgebraLinearAplicada`asEDOs
ViatcheslavI.Priimenko
12demar¸code2025
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2. Sum´ario
Elementosda
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AlgebraLinear
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3. ObjetivosdaAula
Revisarconceitosfundamentaisde´AlgebraLinearaplicados`asEqua¸c˜oes
DiferenciaisOrdin´arias(EDOs).
Compreenderdefini¸c˜oesepropriedadesdeespa¸cosvetoriais.
Exploraroconceitodeprodutointernoesuasaplica¸c˜oes.
Revisartransforma¸c˜oeslinearesesuaspropriedades.
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4. Importˆanciada
´
AlgebraLinearemEDOs
A
´
AlgebraLinear´eessencialpararesolvereentendersistemasdeEDOs,
especialmenteaquelesqueenvolvemm´ultiplasvari´aveis.
Aplica¸c˜oespr´aticasemEngenhariaeGeof´ısica:
An´alisedevibra¸c˜oeseondas.
Modelagemdesistemasf´ısicoscomm´ultiplasvari´aveis.
Solu¸c˜aodeproblemasdeautovaloreseautovetores,quesurgemnaturalmente
emsistemasdeEDOs.
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5. Espa¸coVetorial
Defini¸c˜ao1
Umespa¸covetorial(oulinear)´eumconjuntodevetoresV,ondedoisoperadores
est˜aodefinidos:adi¸c˜aodevetoresemultiplica¸c˜aoporescalar.Essesoperadores
satisfazemasseguintespropriedades:
Associatividadedaadi¸c˜ao:u+(v+w)=(u+v)+w.
Comutatividadedaadi¸c˜ao:u+v=v+u.
Elementoneutro:Existe0∈Vtalqueu+0=u.
Elementooposto:Paratodou∈V,existe−utalqueu+(−u)=0.
Distributividadeescalar:a(u+v)=au+av.
Associatividadeescalar:a(bu)=(ab)u.
Elementoneutroescalar:1u=u.
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6. ExemplodeEspa¸coVetorial
Exemplo1
OconjuntoR
2
comasopera¸c˜oesusuaisdeadi¸c˜aoemultiplica¸c˜aoporescalar´e
umespa¸covetorial.
Dadosu=(1,2)ev=(3,−1):
u+v=(1+3,2+(−1))=(4,1),
2u=2(1,2)=(2,4).
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7. BaseseDimens˜aodeEspa¸cosVetoriais
Defini¸c˜ao2
Umabasedeumespa¸covetorialV´eumconjuntodevetoreslinearmente
independentesquegeramV.
Adimens˜aodeV´eon´umerodevetoresemsuabase.
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8. Exemplo:BaseCanˆonicaemR
3
Exemplo2
Noespa¸coR
3
,abasecanˆonica´ecompostapelosvetores:
{e1=(1,0,0),e2=(0,1,0),e3=(0,0,1)}.
Adimens˜aodoespa¸co´e3.
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9. BasesemEspa¸cosdeFun¸c˜oes
Exemplo3
Basesemespa¸cosdefun¸c˜oes:
Fun¸c˜oespolinomiais:{1,x,x
2
,...},
Fun¸c˜oestrigonom´etricas:{1,cos(x),sin(x),...,cos(nx),sin(nx),...},
Fun¸c˜oesortogonais,comoospolinˆomiosdeLegendreoudeHermite.
Noespa¸codefun¸c˜oespolinomiaisdegraumenorouiguala2,{1,x,x
2
}´e
umabase.
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10. ProdutoInterno
Defini¸c˜ao3
Oprodutointerno〈u,v〉dedoisvetoresuevdeumespa¸covetorialV´euma
fun¸c˜aobin´ariaquesatisfaz:
Simetria:〈u,v〉=〈v,u〉.
Linearidade:〈au+bv,w〉=a〈u,w〉+b〈v,w〉.
Positividade:〈u,u〉≥0e〈u,u〉=0⇐⇒u=0.
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11. Exemplo:ProdutoInternoemR
2
Exemplo4
Noespa¸coR
2
,comoprodutointerno〈u,v〉=u1v1+u2v2,considereu=(1,0)e
v=(0,1):
〈u,v〉=1·0+0·1=0.
Portanto,uevs˜aoortogonais.
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12. Exemplo:ProdutoInternoemR
n
Exemplo5
OprodutoescalarentredoisvetoresuevdeR
n
,usualmentedefinidopor:
〈u,v〉=u·v=
n
!
i=1
uivi,
atende`adefini¸c˜aodeprodutointernoparaesteespa¸co.
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13. ProdutoInternoparaFun¸c˜oesReais
Defini¸c˜ao4
Oprodutointernocompesoρentrefun¸c˜oesdeumavari´avelrealf:[a,b](→Re
g:[a,b](→Rpodeserdefinidocomo:
〈f,g〉=
"
b
a
ρ(x)f(x)g(x)dx,
naqualρ:[a,b](→R´eumafun¸c˜aopositivanointervalo[a,b].
Noespa¸coC[a,b],oprodutointernopodeserdefinidocomo(ρ=1):
〈f,g〉=
"
b
a
f(x)g(x)dx.
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14. Opera¸c˜oesemEspa¸cosdeFun¸c˜oes
Noespa¸codasfun¸c˜oes,asopera¸c˜oesusuaiss˜ao:
Adi¸c˜ao:(f+g)(x)=f(x)+g(x),
Multiplica¸c˜aoporescalar:(af)(x)=a·f(x).
Exemplo6
Considereasfun¸c˜oesf(x)=x
2
eg(x)=x+1.Ent˜ao:
(f+g)(x)=x
2
+(x+1)=x
2
+x+1,
3f(x)=3x
2
.
Umaaplica¸c˜aomaisconcretadoprodutointernosed´anadefini¸c˜aode
distˆancia/magnitudedeumvetornumespa¸coV.Matematicamente,oconceito
dedistˆanciaemumespa¸co´eestabelecidopeladefini¸c˜aodeumanormaparaele.
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15. NormaemEspa¸coVetorial
Defini¸c˜ao5
Umanormaemumespa¸covetorialV´eumafun¸c˜ao*·*:V(→Rtalque,para
todou,v∈Vea∈R:
*u*≥0,com*u*=0⇐⇒u=0.
*au*=|a|*u*.
*u+v*≤*u*+*v*(desigualdadetriangular).
Existemdiversasformasdesedefinirnormaemumespa¸co,nemtodasassociadas
aumprodutointerno.Noentanto,paraqualquerespa¸colinearcomproduto
interno,´eposs´ıveldefiniraseguintenorma:
*u*=
#
〈u,u〉. (1.1)
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16. Transforma¸c˜oesLineares
Defini¸c˜ao6
Umatransforma¸c˜aolinearT:V→W´eumafun¸c˜aoquepreservaasopera¸c˜oes
deadi¸c˜aoemultiplica¸c˜aoporescalar:
T(u+v)=T(u)+T(v),
T(au)=aT(u).
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17. Exemplo:Transforma¸c˜aoLinear
Exemplo7
ConsidereT:R
2
→R
2
,definidapor:
T(x,y)=(x+y,2x).
Verifiquealinearidade:
T((x1,y1)+(x2,y2))=T(x1+x2,y1+y2).
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18. ResumodaAula
Espa¸cosvetoriais:defini¸c˜oesepropriedades.
Produtointerno:conceitoseexemplos.
Transforma¸c˜oeslineares:defini¸c˜aoeexemplos.
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19. Exerc´ıciosPropostos
Verifiqueseosseguintesconjuntoss˜aoespa¸cosvetoriais:
Conjuntosdepolinˆomiosdegrau≤2.
Conjuntosdefun¸c˜oescont´ınuasnointervalo[0,1].
Encontreumabaseparaosubespa¸codeR
3
geradopelosvetores
{(1,0,0),(1,1,0),(1,1,1)}.
CalculeoprodutointernoemC[0,π]paraasfun¸c˜oesf(x)=sinxe
g(x)=cosx.
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