Aula 1 - Termo geral de uma progressão geométrica – Parte 1.pdf
EvandroTffuli1
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Sep 25, 2025
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Aula de PG
Slide Content
3ºbimestre
Aula 1
Ensino
Médio
Matemática
Termo geral de uma
progressão geométrica –
Parte 1
Aula 1
Ensino
Médio
Matemática
Termo geral de uma
progressão geométrica –
Parte 1
●Conceito e termo geral. ●Conceituar e exemplificar
progressão geométrica;
●Obter a fórmula do termo geral de
uma progressão geométrica.
progressão geométrica;
●Obter a fórmula do termo geral de
uma progressão geométrica.
A Escherichia coli (E. coli) é uma das
centenas de espécies de bactérias presentes
no nosso intestino. Muito utilizada nas
pesquisas de laboratório, essa bactéria pode
se duplicar a cada 20 minutos,
aproximadamente.
Considere um experimento que se inicia com
100 colônias da bactéria E. coli. A cada 20
minutos observa-se a amostra, registrando os
seguintes dados:
Quantas colônias haverá na amostra na 5ª
observação?
© Pexels
Para começar
3 minutos
•1ªobservação: 100 colônias.
•2ªobservação: 100 ∙2 = 200 colônias.
•3ªobservação: 200∙2 = 400 colônias.
VIREM E CONVERSEM
centenas de espécies de bactérias presentes
no nosso intestino. Muito utilizada nas
pesquisas de laboratório, essa bactéria pode
se duplicar a cada 20 minutos,
aproximadamente.
Considere um experimento que se inicia com
100 colônias da bactéria E. coli. A cada 20
minutos observa-se a amostra, registrando os
seguintes dados:
Quantas colônias haverá na amostra na 5ª
observação?
© Pexels
Para começar
3 minutos
•1ªobservação: 100 colônias.
•2ªobservação: 100 ∙2 = 200 colônias.
•3ªobservação: 200∙2 = 400 colônias.
VIREM E CONVERSEM
Para começar
Resolução
Observação Número de colônias
1 100
2 100 ∙2 = 200
3 200∙2 = 400
4 400 ∙2 = 800
5 800 ∙2 = 1 600
Portanto, na 5ªobservação
teremos 1 600 colônias da bactéria.
Considere a sequência numérica
formada pelo número de colônias
a cada observação. É possível
obter um termo dessa sequência,
conhecendo o anterior?
Representando o crescimento da
população de bactérias em um quadro,
temos:
Resolução
Observação Número de colônias
1 100
2 100 ∙2 = 200
3 200∙2 = 400
4 400 ∙2 = 800
5 800 ∙2 = 1 600
Portanto, na 5ªobservação
teremos 1 600 colônias da bactéria.
Considere a sequência numérica
formada pelo número de colônias
a cada observação. É possível
obter um termo dessa sequência,
conhecendo o anterior?
Representando o crescimento da
população de bactérias em um quadro,
temos:
Foco no conteúdo
O número de colônias a cada observação
pode ser representado como um termo de
uma sequência numérica em que, a partir
do segundo termo, o número de colônias
pode ser determinado multiplicandoa
população da observação anterior por 2.
Observe o quadro ao lado.
Cada termo ??????
??????da sequência pode ser
escrito em função do primeiro termo (100)
e de uma potênciade 2.
Termo Número de colônias
??????
1 100
??????
2
??????
3
??????
4
⋮ ⋮
Sequências numéricas
100 ∙2 = 200
100 ∙2 ∙2 = 400
200 ∙2 =
100 ∙2 ∙2 ∙2 = 800
400 ∙2 =
Qual será a população na 10ª
observação, representada por ??????
10?
UM PASSO DE CADA VEZ
O número de colônias a cada observação
pode ser representado como um termo de
uma sequência numérica em que, a partir
do segundo termo, o número de colônias
pode ser determinado multiplicandoa
população da observação anterior por 2.
Observe o quadro ao lado.
Cada termo ??????
??????da sequência pode ser
escrito em função do primeiro termo (100)
e de uma potênciade 2.
Termo Número de colônias
??????
1 100
??????
2
??????
3
??????
4
⋮ ⋮
Sequências numéricas
100 ∙2 = 200
100 ∙2 ∙2 = 400
200 ∙2 =
100 ∙2 ∙2 ∙2 = 800
400 ∙2 =
Qual será a população na 10ª
observação, representada por ??????
10?
UM PASSO DE CADA VEZ
Foco no conteúdo
A população na 10ªobservação pode ser
obtida multiplicando o termo inicial (100) por 2,
iterativamente, 9 vezes. Assim:
??????
�0=100∙2∙2∙2 ∙2∙2∙2∙2∙2∙2
??????
�0=100∙2
9
??????
10=100∙512=51 200
Logo, a população na 10ªobservação será de
51 200 colônias.
Na última linha, por que o
expoente de 2 é (n-1)?
Progressão geométrica (PG)
Termo Número de colônias
??????
1 100
??????
2
??????
3
??????
4
⋮ ⋮
??????
?????? 100∙2
n−1
100 ∙2 = 200
100 ∙2 ∙2 = 400
200 ∙2 =
100 ∙2 ∙2 ∙2 = 800
400 ∙2 =
Sequências como essa são chamadas
de progressões geométricas (PG).
DE OLHO NO MODELO
A população na 10ªobservação pode ser
obtida multiplicando o termo inicial (100) por 2,
iterativamente, 9 vezes. Assim:
??????
�0=100∙2∙2∙2 ∙2∙2∙2∙2∙2∙2
??????
�0=100∙2
9
??????
10=100∙512=51 200
Logo, a população na 10ªobservação será de
51 200 colônias.
Na última linha, por que o
expoente de 2 é (n-1)?
Progressão geométrica (PG)
Termo Número de colônias
??????
1 100
??????
2
??????
3
??????
4
⋮ ⋮
??????
?????? 100∙2
n−1
100 ∙2 = 200
100 ∙2 ∙2 = 400
200 ∙2 =
100 ∙2 ∙2 ∙2 = 800
400 ∙2 =
Sequências como essa são chamadas
de progressões geométricas (PG).
DE OLHO NO MODELO
Progressão geométrica (PG)
Foco no conteúdo
TermoExpressão de cálculo
??????
1 ??????
1
??????
2 ??????
1∙??????
??????
3 ??????
1∙??????∙??????
??????
4 ??????
1∙??????∙??????∙??????
??????
5 ??????
1∙??????∙??????∙??????∙??????
⋮ ⋮
??????
?????? ??????
�∙??????
??????−�
De maneira geral, podemos representar os
termos de uma PG como:
Uma progressão geométrica (PG) é
um sequência em que, a partir do
segundo termo, cada termo é o anterior
multiplicado por uma constante. Essa
constante é a razão da sequência,
representada por ??????.
Expressão geral para o ??????-ésimo termo de uma PG.
Primeiro termo (??????
1≠0).
Foco no conteúdo
TermoExpressão de cálculo
??????
1 ??????
1
??????
2 ??????
1∙??????
??????
3 ??????
1∙??????∙??????
??????
4 ??????
1∙??????∙??????∙??????
??????
5 ??????
1∙??????∙??????∙??????∙??????
⋮ ⋮
??????
?????? ??????
�∙??????
??????−�
De maneira geral, podemos representar os
termos de uma PG como:
Uma progressão geométrica (PG) é
um sequência em que, a partir do
segundo termo, cada termo é o anterior
multiplicado por uma constante. Essa
constante é a razão da sequência,
representada por ??????.
Expressão geral para o ??????-ésimo termo de uma PG.
Primeiro termo (??????
1≠0).
Pause e responda
Qual das opções abaixo é uma progressão geométrica?
(3, 6, 9, 12, ...) (3, 9, 27, 81, ...)
2 minutos
Qual das opções abaixo é uma progressão geométrica?
(3, 6, 9, 12, ...) (3, 9, 27, 81, ...)
2 minutos
Pause e responda
Qual das opções abaixo é uma progressão geométrica?
(3, 6, 9, 12, ...) (3, 9, 27, 81, ...)
Qual das opções abaixo é uma progressão geométrica?
(3, 6, 9, 12, ...) (3, 9, 27, 81, ...)
Quanto será o montante de um
investimento inicial de R$ 40 000,00,
aplicado a uma taxa de juros compostos
de 10% ao ano, após 5 anos?
Nota: considere o uso de uma calculadora.
© Freepik
Na prática
6 minutosVeja no livro!Atividade 1
TODO MUNDO ESCREVE
investimento inicial de R$ 40 000,00,
aplicado a uma taxa de juros compostos
de 10% ao ano, após 5 anos?
Nota: considere o uso de uma calculadora.
© Freepik
Na prática
6 minutosVeja no livro!Atividade 1
TODO MUNDO ESCREVE
Na prática
Veja no livro!Atividade 1
Os juros compostos podem ser
representados por uma PG. Note que a
partir do segundo ano, o valor total é dado
pelo valor do ano anterior multiplicado por
um acréscimo percentual que é constante
(??????).
Como queremos determinar o montante
pós 5 anos de investimento, esse valor
corresponderá ao 6ºtermo da PG de
primeiro termo igual a 40 000 e razão 1,1.
Resolução
Portanto, após cinco anos, o investimento
terá montante de R$ 64 420,40.
Utilizando a fórmula do termo geral de uma
PG, para
??????
1=40000
??????=6
??????=100%+10%=
110
100
=1,1
podemos determinar o valor atualizado do
investimento em 5 anos (??????
5):
??????
??????=??????
1∙??????
??????−1
??????
5=40000∙1,1
6−1
??????
5=40000∙1,1
5
=64420,40
Veja no livro!Atividade 1
Os juros compostos podem ser
representados por uma PG. Note que a
partir do segundo ano, o valor total é dado
pelo valor do ano anterior multiplicado por
um acréscimo percentual que é constante
(??????).
Como queremos determinar o montante
pós 5 anos de investimento, esse valor
corresponderá ao 6ºtermo da PG de
primeiro termo igual a 40 000 e razão 1,1.
Resolução
Portanto, após cinco anos, o investimento
terá montante de R$ 64 420,40.
Utilizando a fórmula do termo geral de uma
PG, para
??????
1=40000
??????=6
??????=100%+10%=
110
100
=1,1
podemos determinar o valor atualizado do
investimento em 5 anos (??????
5):
??????
??????=??????
1∙??????
??????−1
??????
5=40000∙1,1
6−1
??????
5=40000∙1,1
5
=64420,40
Ao longo de sua vida útil, é natural que
um carro sofra uma desvalorização e isso
acontece, principalmente, devido ao
desgaste na mecânica do veículo que
ocorre com seu uso. Muitos calculam que
um modelo desvaloriza uma média de
10% do seu valor inicial ao ano.
Fonte: CENTER CAR, [s.d.].
Considerando esse texto, qual seria o
valor de um carro que foi comprado por
R$ 80 000,00 em 2020?
Na prática
Nota: considere o uso de uma calculadora.
© Freepik
6 minutosVeja no livro!Atividade 1
TODO MUNDO ESCREVE
um carro sofra uma desvalorização e isso
acontece, principalmente, devido ao
desgaste na mecânica do veículo que
ocorre com seu uso. Muitos calculam que
um modelo desvaloriza uma média de
10% do seu valor inicial ao ano.
Fonte: CENTER CAR, [s.d.].
Considerando esse texto, qual seria o
valor de um carro que foi comprado por
R$ 80 000,00 em 2020?
Na prática
Nota: considere o uso de uma calculadora.
© Freepik
6 minutosVeja no livro!Atividade 1
TODO MUNDO ESCREVE
Segundo o texto, a desvalorização anual é de
10%.
Considerando o valor do carro em 2020 como
1ºtermo, o valor do carro em 2024 representa
o 5ºtermo dessa sequência.
O valor a cada ano, ??????, pode ser representado
por uma PG, tal que:
??????
1=80000
??????=5(2025−2020)
??????=100%−10%=
90
100
=0,9
Resolução
Na prática
Utilizando a fórmula do termo geral de uma
PG, temos:
Portanto, após 5 anos, o valor do carro
será de R$ 52 488,00.
??????
??????=??????
1∙??????
??????−1
??????
5=80000∙0,9
5−1
??????
5=80000∙0,9
4
??????
5=80000∙0,6561
??????
5=52488,00
10%.
Considerando o valor do carro em 2020 como
1ºtermo, o valor do carro em 2024 representa
o 5ºtermo dessa sequência.
O valor a cada ano, ??????, pode ser representado
por uma PG, tal que:
??????
1=80000
??????=5(2025−2020)
??????=100%−10%=
90
100
=0,9
Resolução
Na prática
Utilizando a fórmula do termo geral de uma
PG, temos:
Portanto, após 5 anos, o valor do carro
será de R$ 52 488,00.
??????
??????=??????
1∙??????
??????−1
??????
5=80000∙0,9
5−1
??????
5=80000∙0,9
4
??????
5=80000∙0,6561
??????
5=52488,00
Na prática
O quadro a seguir apresenta os três primeiros termos de cinco progressões geométricas: A,
B, C, D e E.
Determine a razão ??????de cada sequência e, em cada uma delas, analise se os termos da
sequência permanecem constantes, aumentam, reduzem ou oscilam. Depois, classificando os
primeiros termos em positivos e negativos, responda ao que se pede.
a)O que ocorre quando a razão é um número maior que 1?
b)O que ocorre quando a razão é um número entre 0 e 1?
c)O que ocorre quando a razão é um número negativo?
d)O que ocorre quando a razão é igual a 1?
Veja no livro!Atividade 3 5 minutos
A B C D E
(2, 4, 8, ...)(−2, −4, −8, ...)(32, 16, 8, ...)(−2, 4, −8, ...) (2, 2, 2, ...)
COM SUAS PALAVRAS
O quadro a seguir apresenta os três primeiros termos de cinco progressões geométricas: A,
B, C, D e E.
Determine a razão ??????de cada sequência e, em cada uma delas, analise se os termos da
sequência permanecem constantes, aumentam, reduzem ou oscilam. Depois, classificando os
primeiros termos em positivos e negativos, responda ao que se pede.
a)O que ocorre quando a razão é um número maior que 1?
b)O que ocorre quando a razão é um número entre 0 e 1?
c)O que ocorre quando a razão é um número negativo?
d)O que ocorre quando a razão é igual a 1?
Veja no livro!Atividade 3 5 minutos
A B C D E
(2, 4, 8, ...)(−2, −4, −8, ...)(32, 16, 8, ...)(−2, 4, −8, ...) (2, 2, 2, ...)
COM SUAS PALAVRAS
Para determinar a razão, basta dividir um termo pelo anterior:
Resolução
Na prática
●A: razão ??????
�=
4
2
=
8
4
=2.
●B: razão ??????
�=
−4
−2
=
−8
−4
=2.
●C: razão ??????
�=
16
32
=
8
16
=
1
2
=0,5.
●D: razão ??????
�=
4
(−2)
=
(−8)
4
=−2.
●E: razão ??????
�=
2
2
=
2
2
=1.
A B C D E
(2, 4, 8, ...)(−2, −4, −8, ...)(32, 16, 8, ...)(−2, 4, −8, ...)(2, 2, 2, ...)
Resolução
Na prática
●A: razão ??????
�=
4
2
=
8
4
=2.
●B: razão ??????
�=
−4
−2
=
−8
−4
=2.
●C: razão ??????
�=
16
32
=
8
16
=
1
2
=0,5.
●D: razão ??????
�=
4
(−2)
=
(−8)
4
=−2.
●E: razão ??????
�=
2
2
=
2
2
=1.
A B C D E
(2, 4, 8, ...)(−2, −4, −8, ...)(32, 16, 8, ...)(−2, 4, −8, ...)(2, 2, 2, ...)
Observando as razões de cada PG, concluímos que:
a) Quando a razão é maior que 1,
●e o primeiro termo é positivo, os termos aumentam, a sequência é crescente;
●e o primeiro termo é negativo, os termos diminuem, a sequência é decrescente;
b) Quando a razão está entre zero e 1,
●e o primeiro termo é positivo, os termos diminuem, a sequência é decrescente.
●e o primeiro termo é negativo, os termos aumentam, a sequência é crescente.
c) Quando a razão é negativa, os termos oscilam entre aumento e redução.
d) Quando a razão é igual a 1, os termos permanecem constantes.
Na prática
A B C D E
(2, 4, 8, ...)(−2, −4, −8, ...)(32, 16, 8, ...)(−2, 4, −8, ...)(2, 2, 2, ...)
Resolução
(continuação)
a) Quando a razão é maior que 1,
●e o primeiro termo é positivo, os termos aumentam, a sequência é crescente;
●e o primeiro termo é negativo, os termos diminuem, a sequência é decrescente;
b) Quando a razão está entre zero e 1,
●e o primeiro termo é positivo, os termos diminuem, a sequência é decrescente.
●e o primeiro termo é negativo, os termos aumentam, a sequência é crescente.
c) Quando a razão é negativa, os termos oscilam entre aumento e redução.
d) Quando a razão é igual a 1, os termos permanecem constantes.
Na prática
A B C D E
(2, 4, 8, ...)(−2, −4, −8, ...)(32, 16, 8, ...)(−2, 4, −8, ...)(2, 2, 2, ...)
Resolução
(continuação)
1
2
3
4
Tipos de progressão
geométrica
PG crescente:quando cada termo é maior que o
anterior. Isso ocorre em duas situações:
●Se ??????
1> 0 e ??????>1. Exemplo (2, 4, 8, ...).
●Se ??????
1< 0 e 0<??????<1.Exemplo (−32,−16, −8, ...).
PG decrescente:quando cada termo é menor que o
anterior. Isso ocorre em duas situações:
●Se ??????
1> 0 e 0<??????<1.Exemplo (1,
1
3
,
1
9
, ...).
●Se ??????
1< 0 e ??????>1.Exemplo (−2, −4, −8, ...).
PG constante:quando os termos da sequência são
iguais entre si. Isto ocorre quando razão for igual a 1:
??????=1.
PG oscilante:quando cada termo tem sinal oposto ao
anterior, nesse cadoa razão é um número negativo:
??????<0.
Foco no conteúdo
Em uma progressão geométrica
(PG), a razão ??????pode ser obtida
peloquociente entre um termo
qualquer (??????
??????) e o termo
anterior (??????
??????−�). Isto é:
??????=
??????
??????
??????
??????−�
2
3
4
Tipos de progressão
geométrica
PG crescente:quando cada termo é maior que o
anterior. Isso ocorre em duas situações:
●Se ??????
1> 0 e ??????>1. Exemplo (2, 4, 8, ...).
●Se ??????
1< 0 e 0<??????<1.Exemplo (−32,−16, −8, ...).
PG decrescente:quando cada termo é menor que o
anterior. Isso ocorre em duas situações:
●Se ??????
1> 0 e 0<??????<1.Exemplo (1,
1
3
,
1
9
, ...).
●Se ??????
1< 0 e ??????>1.Exemplo (−2, −4, −8, ...).
PG constante:quando os termos da sequência são
iguais entre si. Isto ocorre quando razão for igual a 1:
??????=1.
PG oscilante:quando cada termo tem sinal oposto ao
anterior, nesse cadoa razão é um número negativo:
??????<0.
Foco no conteúdo
Em uma progressão geométrica
(PG), a razão ??????pode ser obtida
peloquociente entre um termo
qualquer (??????
??????) e o termo
anterior (??????
??????−�). Isto é:
??????=
??????
??????
??????
??????−�
Para cada PG abaixo, determine a razão qe classifique como crescente, decrescente,
oscilante ou constante:
a)(−3, 6, −12, 24, …)
b)(5, 5, 5, 5, …)
c)(−
3
6
;−2, −8, −32 …)
d)(100, 50, 25, 12,5, …)
e)(0,5; 1; 2; 4; …)
Na prática
TODO MUNDO ESCREVE
Veja no livro!Atividade 4 5 minutos
oscilante ou constante:
a)(−3, 6, −12, 24, …)
b)(5, 5, 5, 5, …)
c)(−
3
6
;−2, −8, −32 …)
d)(100, 50, 25, 12,5, …)
e)(0,5; 1; 2; 4; …)
Na prática
TODO MUNDO ESCREVE
Veja no livro!Atividade 4 5 minutos
a)(−3, 6, −12, 24, …) ??????=
6
−3
=
−12
6
=
24
−12
=−2 PG oscilante
b)(5, 5, 5, 5, …) ??????=
5
5
=1 PG constante
c)(−
3
6
;−2, −8, −32 …) ??????=
−2
−
3
6
=−2∙−
6
3
=
12
3
=4 PG decrescente
d)(100; 50; 25; 12,5; …) ??????=
50
100
=0,5 PG decrescente
e)(0,5; 1; 2, 4; .....) ??????=
1,0
0,5
=
10
5
=2 PG crescente
Na prática
Resolução
6
−3
=
−12
6
=
24
−12
=−2 PG oscilante
b)(5, 5, 5, 5, …) ??????=
5
5
=1 PG constante
c)(−
3
6
;−2, −8, −32 …) ??????=
−2
−
3
6
=−2∙−
6
3
=
12
3
=4 PG decrescente
d)(100; 50; 25; 12,5; …) ??????=
50
100
=0,5 PG decrescente
e)(0,5; 1; 2, 4; .....) ??????=
1,0
0,5
=
10
5
=2 PG crescente
Na prática
Resolução
●Como podemos determinar a razão de uma progressão geométrica?
Encerramento
2 minutos COM SUAS PALAVRAS
Encerramento
2 minutos COM SUAS PALAVRAS
BRASIL. Ministério da Educação. Base Nacional Comum Curricular. Brasília (DF), 2018. Disponível em:
https://www.gov.br/mec/pt-br/escola-em-tempo-integral/BNCC_EI_EF_110518_versaofinal.pdf. Acesso em: dia mês 2025.
CENTER CAR. Depreciação do carro: aprenda a calcular para revender, [s.d.]. Disponível em:
https://centercarjf.com.br/blog/detalhe/10325/depreciacao-do-carro-aprenda-a-calcular-para-revender. Acesso em: 6 maio
2025.
KHAN ACADEMY. Biotecnologia e reprodução procarionte, [s.d.]. Disponível em:
https://pt.khanacademy.org/science/biology/bacteria-archaea/prokaryote-structure/a/prokaryote-reproduction-and-
biotechnology. Acesso em: 6 maio 2025.
LEMOV, D. Aula nota 10 3.0: 63 técnicas para melhorar a gestão da sala de aula. Porto Alegre: Penso, 2023.
NUNES, K. O. Escherichia coli: como uma bactéria do intestino pode causar infecção urinária? Departamento de
Microbiologia da Universidade de São Paulo, [s.d.]. Disponível em: https://microbiologia.icb.usp.br/cultura-e-
extensao/textos-de-divulgacao/bacteriologia/bacteriologia-medica/escherichia-coli-como-uma-bacteria-do-intestino-pode-
causar-infeccao-urinaria/. Acesso em: 6 maio 2025.
ROSENSHINE, B. Principles of instruction: research-based strategies that all teachers should know. American Educator, v.
36, n. 1, Washington, 2012. pp. 12-19. Disponível em: https://www.aft.org/ae/spring2012. Acesso em: 6 maio 2025.
SÃO PAULO (Estado). Secretaria da Educação. Currículo Paulista: etapa Ensino Médio, 2020. Disponível em:
https://efape.educacao.sp.gov.br/curriculopaulista/wp-content/uploads/2023/02/CURR%C3%8DCULO -PAULISTA-etapa-
Ensino-M%C3%A9dio_ISBN.pdf. Acesso em: 6 maio 2025.
Identidade visual: imagens © Getty Images
Referências
https://www.gov.br/mec/pt-br/escola-em-tempo-integral/BNCC_EI_EF_110518_versaofinal.pdf. Acesso em: dia mês 2025.
CENTER CAR. Depreciação do carro: aprenda a calcular para revender, [s.d.]. Disponível em:
https://centercarjf.com.br/blog/detalhe/10325/depreciacao-do-carro-aprenda-a-calcular-para-revender. Acesso em: 6 maio
2025.
KHAN ACADEMY. Biotecnologia e reprodução procarionte, [s.d.]. Disponível em:
https://pt.khanacademy.org/science/biology/bacteria-archaea/prokaryote-structure/a/prokaryote-reproduction-and-
biotechnology. Acesso em: 6 maio 2025.
LEMOV, D. Aula nota 10 3.0: 63 técnicas para melhorar a gestão da sala de aula. Porto Alegre: Penso, 2023.
NUNES, K. O. Escherichia coli: como uma bactéria do intestino pode causar infecção urinária? Departamento de
Microbiologia da Universidade de São Paulo, [s.d.]. Disponível em: https://microbiologia.icb.usp.br/cultura-e-
extensao/textos-de-divulgacao/bacteriologia/bacteriologia-medica/escherichia-coli-como-uma-bacteria-do-intestino-pode-
causar-infeccao-urinaria/. Acesso em: 6 maio 2025.
ROSENSHINE, B. Principles of instruction: research-based strategies that all teachers should know. American Educator, v.
36, n. 1, Washington, 2012. pp. 12-19. Disponível em: https://www.aft.org/ae/spring2012. Acesso em: 6 maio 2025.
SÃO PAULO (Estado). Secretaria da Educação. Currículo Paulista: etapa Ensino Médio, 2020. Disponível em:
https://efape.educacao.sp.gov.br/curriculopaulista/wp-content/uploads/2023/02/CURR%C3%8DCULO -PAULISTA-etapa-
Ensino-M%C3%A9dio_ISBN.pdf. Acesso em: 6 maio 2025.
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Referências
Aprofundando
A seguir, você encontra uma seleção de exercícios extras,
que ampliam as possibilidades de prática,deretomada e
aprofundamento do conteúdo estudado.
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B
C
D
E
A
1
9
??????
0
128
2187
??????
0
64
729
??????
0
32
243
??????
0
16
27
??????
0
1. (ENEM 2023) O esquema mostra como a intensidade luminosa decresce com o aumento da
profundidade em um rio, sendo L
0a intensidade na sua superfície.
Considere que a intensidade luminosa diminui, a cada metro acrescido na profundidade, segundo
o mesmo padrão do esquema.
A intensidade luminosa correspondente à profundidade de 6 m é igual a
Aprofundando
Veja no livro!
C
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1
9
??????
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1. (ENEM 2023) O esquema mostra como a intensidade luminosa decresce com o aumento da
profundidade em um rio, sendo L
0a intensidade na sua superfície.
Considere que a intensidade luminosa diminui, a cada metro acrescido na profundidade, segundo
o mesmo padrão do esquema.
A intensidade luminosa correspondente à profundidade de 6 m é igual a
Aprofundando
Veja no livro!
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E
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�
�
??????
�
���
����
??????
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��
���
??????
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Aprofundando
Correção
1. (ENEM 2023) O esquema mostra como a intensidade luminosa decresce com o aumento da
profundidade em um rio, sendo L
0a intensidade na sua superfície.
Considere que a intensidade luminosa diminui, a cada metro acrescido na profundidade, segundo
o mesmo padrão do esquema.
A intensidade luminosa correspondente à profundidade de 6 m é igual a
C
D
E
A
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Aprofundando
Correção
1. (ENEM 2023) O esquema mostra como a intensidade luminosa decresce com o aumento da
profundidade em um rio, sendo L
0a intensidade na sua superfície.
Considere que a intensidade luminosa diminui, a cada metro acrescido na profundidade, segundo
o mesmo padrão do esquema.
A intensidade luminosa correspondente à profundidade de 6 m é igual a
Observe que a intensidade luminosa se
comporta como uma PG de razão ??????=
2
3
, pois a
passagem de 0 m para 1 m infere em uma
multiplicação de L
0 por
2
3
.
Pela fórmula do termo geral para
a
1= L
0, q =
2
3
e n = 7, temos:
??????
??????=??????
1∙??????
??????−1
??????
7=??????
0∙
2
3
6
??????
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729
Correção
(ENEM 2023)
Aprofundando
comporta como uma PG de razão ??????=
2
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, pois a
passagem de 0 m para 1 m infere em uma
multiplicação de L
0 por
2
3
.
Pela fórmula do termo geral para
a
1= L
0, q =
2
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e n = 7, temos:
??????
??????=??????
1∙??????
??????−1
??????
7=??????
0∙
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Correção
(ENEM 2023)
Aprofundando
2.(ENEM 2020) O artista gráfico holandês Maurits
Cornelius Escher criou belíssimas obras nas quais
as imagens se repetiam, com diferentes tamanhos,
induzindo ao raciocínio de repetição infinita das
imagens. Inspirado por ele, um artista fez um
rascunho de uma obra na qual propunha a ideia de
construção de uma sequência de infinitos
quadrados, cada vez menores, uns sob os outros,
conforme indicado na figura.
O quadrado PRST, com lado de medida 1, é o
ponto de partida. O segundo quadrado é
construído sob ele tomando-se o ponto médio da
base do quadrado anterior e criando-se um novo
quadrado, cujo lado corresponde à metade dessa
base. Essa sequência de construção se repete
recursivamente.
Aprofundando
Veja no livro!
Cornelius Escher criou belíssimas obras nas quais
as imagens se repetiam, com diferentes tamanhos,
induzindo ao raciocínio de repetição infinita das
imagens. Inspirado por ele, um artista fez um
rascunho de uma obra na qual propunha a ideia de
construção de uma sequência de infinitos
quadrados, cada vez menores, uns sob os outros,
conforme indicado na figura.
O quadrado PRST, com lado de medida 1, é o
ponto de partida. O segundo quadrado é
construído sob ele tomando-se o ponto médio da
base do quadrado anterior e criando-se um novo
quadrado, cujo lado corresponde à metade dessa
base. Essa sequência de construção se repete
recursivamente.
Aprofundando
Veja no livro!
B
C
D
E
A 1
2
100
1
2
−99
1
2
−98
1
2
97
1
2
99
(ENEM 2020)Qual é a medida do lado do centésimo quadrado construído de acordo com
esse padrão?
Aprofundando
Veja no livro!
C
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2
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2
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1
2
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(ENEM 2020)Qual é a medida do lado do centésimo quadrado construído de acordo com
esse padrão?
Aprofundando
Veja no livro!
B
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A �
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���
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−��
�
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−��
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��
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Correção
(ENEM 2020) Qual é a medida do lado do centésimo quadrado construído de acordo com
esse padrão?
Aprofundando
C
D
E
A �
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�
−��
�
�
−��
�
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��
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Correção
(ENEM 2020) Qual é a medida do lado do centésimo quadrado construído de acordo com
esse padrão?
Aprofundando
Observando o padrão, temos uma PG
decrescente 1,
1
2
,
1
4
,…de razão
1
2
.
Pela fórmula do termo geral, para
??????
1=1, ??????=
1
2
e ??????=100:
??????
??????=??????
1∙??????
??????−1
??????
100=1∙
1
2
99
??????
100=
1
2
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Correção
(ENEM 2020)
Na prática
decrescente 1,
1
2
,
1
4
,…de razão
1
2
.
Pela fórmula do termo geral, para
??????
1=1, ??????=
1
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e ??????=100:
??????
??????=??????
1∙??????
??????−1
??????
100=1∙
1
2
99
??????
100=
1
2
99
Correção
(ENEM 2020)
Na prática
Para professores
Slide 2
Habilidade: (EM13MAT508) Identificar e associar progressões geométricas (PG) a funções
exponenciais de domínios discretos, para análise de propriedades, dedução de algumas
fórmulas e resolução de problemas. (BRASIL, 2018)
Habilidade: (EM13MAT508) Identificar e associar progressões geométricas (PG) a funções
exponenciais de domínios discretos, para análise de propriedades, dedução de algumas
fórmulas e resolução de problemas. (BRASIL, 2018)
Slide 19
Expectativas de respostas: é esperado que os estudantes compreendam que dados
quaisquer dois termos consecutivos da PG, basta efetuar a divisão de um termo pelo
anterior. Já foi destaque da aula, mas se julgar necessário repita: “Em uma progressão
geométrica (PG), a razão ??????pode ser obtida peloquociente entre um termo qualquer (??????
??????)
e o termo anterior (??????
??????−�).”
Expectativas de respostas: é esperado que os estudantes compreendam que dados
quaisquer dois termos consecutivos da PG, basta efetuar a divisão de um termo pelo
anterior. Já foi destaque da aula, mas se julgar necessário repita: “Em uma progressão
geométrica (PG), a razão ??????pode ser obtida peloquociente entre um termo qualquer (??????
??????)
e o termo anterior (??????
??????−�).”
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