AULA 10.2- Lugar Geométrico das Raizes (1).pdf

Lugar geométrico das raízes

1. SISTEMASDECONTROLE1
CONTROLEESERVOMECANISMOS
EST –Escola Superior de Tecnologia
Aula-10.2

2. SISTEMASDECONTROLE1
CONTROLEESERVOMECANISMOS
Prof: Dr. Daniel Guzmán delRío
Coord: –Engenharia Elétrica
Manaus, Brasil
EST –Escola Superior de Tecnologia
Aula-10.2
Prof: Almir Kimura Junior
EST –Escola Superior de Tecnologia

3. Método de Lugar Geométrico
das Raízes (LGR). Conjunto de
regras. (parte 2)

4. •https://www.youtube.com/watch?v=mjh8ysVrY4Q
•https://www.youtube.com/watch?v=tHiksRZfXME
•https://www.youtube.com/watch?v=hyYJNW1la-k
•https://www.youtube.com/watch?v=TlUpcAgk9Co

5. REVISÃO SOBRE NÚMEROS COMPLEXOS
REPRESENTADOS NA FORMA POLAR
Sejaumnúmerocomplexonaformaz=a+bj,comoo
mostradonafiguraabaixo:
FORMA POLAR DE NÚMEROS COMPLEXOS
Na forma polar tal número pode ser escrito como:
onde:

6. REVISÃO SOBRE NÚMEROS COMPLEXOS
REPRESENTADOS NA FORMA POLAR
PRODUTO DE NÚMEROS COMPLEXOS
O cálculo do produto de dois números complexos pode
ser representado por:

7. REVISÃO SOBRE NÚMEROS COMPLEXOS
REPRESENTADOS NA FORMA POLAR
DIVISÃO DE NÚMEROS COMPLEXOS
O cálculo da divisão de dois números complexos pode
ser representado por:

8. LUGAR DAS RAÍZES PARA SISTEMAS GENÉRICOS
DE MALHA FECHADA
Seja um sistema em malha fechada com uma F.T. de
malha aberta Go(s) genérica. A F.T. para o sistema será
dada por:
AF.T.emmalhafechadaserádadapor:
Aequaçãocaracterísticadosistemaserá: , ou
seja:
AfunçãoGo(s)podeserescritanaformadepólosezeros
como:

9. LUGAR DAS RAÍZES PARA SISTEMAS GENÉRICOS
DE MALHA FECHADA
Fazendo(II)em(I),teremos:
Umavezquecadatermoentreparêntesesrepresentaum
númerocomplexo,pode-seobservarqueaexpressão
(III)apresentaumprodutodenúmeroscomplexosno
numeradoredenominador.Assim:
Utilizando-sedadefiniçãodedivisãodenúmeros
complexos,teremos:

10. LUGAR DAS RAÍZES PARA SISTEMAS GENÉRICOS
DE MALHA FECHADA
Paraqueumnúmerocomplexozsejaigualaonúmero
real–1,teremosque:
Aplicandotalconceitoàequação(IV),teremosduas
implicações:
Aequação (VI)éusualmente utilizadapara
determinarseumcertopontopertenceaolugardas
raízes,enquantoaequação (V)éusadapara
determinarovalordeKnesseponto.

11. LUGAR DAS RAÍZES PARA SISTEMAS GENÉRICOS
DE MALHA FECHADA (EXE. 4)
Nodiagramadepólosezerosabaixo,determinarseo
pontoApodepertenceraolugardasraízesparaalgum
valordeK.Emcasoafirmativo,determineovalordeK.
Osistemaemquestãoapresentatrêsraízes.Paraqueo
pontoApertençaaolugardasraízes,esteteráque
satisfazeraequação(VI).Traçando-seumvetorde
ligaçãodecadaumdospólosaopontoA,podemos
identificaromóduloeoânguloformadoemcadacaso.

12. LUGAR DAS RAÍZES PARA SISTEMAS GENÉRICOS
DE MALHA FECHADA (EXE. 4)
Sejaafigura4,abaixo:
Pelaaplicaçãodaeq.(VI),sabemosqueopontoA
pertenceaolugardasraízes.Aplicando(V),obtemoso
valordeKparaesteponto.
Aplicando-seasrelações
anteriores(V)e(VI),teremos:
Análise dos Ângulos
Análise dos Módulos

13. CONSTRUÇÃO DO LUGAR DAS RAÍZES
Adeterminaçãodospontosquepertencemaolugardas
raízesusualmenteéfeitautilizandoasequações(VI)e(V).
Contudo,existemalgumastécnicasqueauxiliamasua
construção.Umresumodasregraspodeserdadopor:
1.Onúmeroderamosdolugardasraízesseráigualàordem
daequaçãocaracterísticaemmalhaaberta;
2.Comoasraízescomplexasaparecem semprenaforma
conjugada,olugardasraízesésempresimétricoemrelação
aoeixoreal;
3.Osramosdolugardasraízescomeçam empólos(K=0)e
terminamemzeros(K=∞).Casoexistammaispólosdoque
zeros,osramosexcedentestenderãoaoinfinito;
4.Ostrechosnoeixorealquepertencemaolugardasraízes
sãoaquelesquepossuemumnúmeroímpardepólosezerosà
direita.

14. CONSTRUÇÃO DO LUGAR DAS RAÍZES
5.Osramosqueterminamnoinfinitotenderãoaseguiras
assíntotascomângulosemrelaçãoaoeixorealde:
6.Asassíntotasinterceptamoeixorealnoponto:
7.Aintersecçãodolugardasraízescomoeixoimagináriopodeser
determinadadeduasmaneirasdiferentes:
a)Calculando-sevaloresdeKqueresultamemraízespuramente
imaginárias.Porexemplo:s=jw;
b)UsandoocritériodeRoutheverificandoklimiteparaaestabilidade;
8.Aintersecçãodedoisoumaisramosdolugardasraízesocorrem
empontosondedK/ds=0.Observe-sequenemtodosos
pontosonde dK/ds=0sãonecessariamentepontosde
intersecção;
9.Oângulodepartidadeumpólopodeserdeterminado
supondoumsmuitopróximodopóloeutilizando-seaequação
(VI).

15. CONSTRUÇÃO DO LUGAR DAS RAÍZES
Uma metodologia simplificada para a determinação do lugar
das raízes de um sistema é descrita por Bolton (1995):
1.Determinar a F.T. em malha fechada;
2.Determinar os pólos e zeros em malha aberta;
3.Determinar o número de ramos;
4.Determinar os segmentos do eixo real que pertencem ao lugar das
raízes;
5.Determinar o ângulo das assíntotas;
6.Determinar o ponto de encontro das assíntotas com o eixo real;
7.Determinar as intersecções do L. R. com o eixo imaginário;
8.Determinar os pontos de ramificação;
9.Determinar os ângulos de partida dos pólos complexos;
10.Determinar os ângulos de chegada dos zeros complexos;
11.Esboçar o lugar das raízes.
A seguir, apresenta-se o método para a construção do lugar das
raízes.

16. CONSTRUÇÃO DO LUGAR DAS RAÍZES EXEMPLO 5
Esboçar o lugar das raízes para o sistema em malha
fechada com F.T. de ramo direto de:
1) Determinação da F.T. em malha fechada:
2) Determinação dos pólose zeros em malha aberta:
Inicialmente, p1 =0 . Assim, para k=0, teremos a equação
característica escrita como:

17. CONSTRUÇÃO DO LUGAR DAS RAÍZES EXEMPLO 5
Odiagramadepólosezerosserádadopor:
3) Determinação do número de ramos: a equação é
de 3a ordem. Logo, existirão 3 ramos.

18. CONSTRUÇÃO DO LUGAR DAS RAÍZES EXEMPLO 5
4)Determinaçãodossegmentosdoeixorealque
pertencemaolugardasraízes:oeixorealencontra-se
divididoemdoissegmentos:osegmento(a)possuiàsua
direita1(um)póloouzero(númeroímpar).Jáo
segmento(b)possui0(zero)pólosouzerosàsua
direita(númeropar).Osegmento(a)pertenceaolugar
dasraízes.Comoumramosempreseiniciaemumpóloe
terminaemumzero,pode-seconcluirqueexisteumzero
em-∞.

19. CONSTRUÇÃO DO LUGAR DAS RAÍZES EXEMPLO 5
5) Determinação do ângulo das assíntotas:
número de pólos: n=3
número de zeros: m=0
Logo, as assíntotas terão ângulos:
6)Determinaçãodopontodeencontrodasassíntotascom
oeixoreal:

20. CONSTRUÇÃO DO LUGAR DAS RAÍZES EXEMPLO 5
7)Determinaçãodasintersecçõescomoeixoimaginário:Fazendo-ses=jw,
teremos:
Como ,teremosqueaparteimaginárianecessariamenteéigualazero.
Assim:
Comoasoluçãow=0levaaumaparterealtambémzeroeestamosbuscandoK>0,
teremos:
Quandok=150,teremos:
Estaequaçãotemraízesem±5j.

21. CONSTRUÇÃO DO LUGAR DAS RAÍZES EXEMPLO 5
8)Determinaçãodospontosderamificação:
Aequação temcomoraízes:
Logo,nãoexistepontoderamificaçãosobreoeixoreal.
9)Determinaçãodoângulodepartidadospólos
Considerando-seopólocomplexoem–3+4j,oângulode
partida podeserdeterminadosupondo-sequeum
pontogenéricosestejamuitopróximodopólo.

22. CONSTRUÇÃO DO LUGAR DAS RAÍZES EXEMPLO 5
9)Determinaçãodoângulodepartidadospólos

23. CONSTRUÇÃO DO LUGAR DAS RAÍZES EXEMPLO 5
9)Determinaçãodoângulodepartidadospólos:A
direçãodepartidadoramoéindicadanafigura9.

24. CONSTRUÇÃO DO LUGAR DAS RAÍZES EXEMPLO 5
10) Esboço do lugar das raízes: O lugar das raízes para o
sistema adotado é mostrado na figura 10.

25. BIBLIOGRAFIA
Bolton, W. ; “Engenharia de Controle” Makron Books, 1995.
Phillips, C. L.; Harbor, R. D.; “Feedback Control Systems”
Prentice Hall -3rd edition –1996.
Ogata, K; Engenharia de Controle Moderno. Prentice Hall
–4rd edition –2003.
Dorf, R. C.; Bishop, R. H.; “Sistemas de controle modernos”
LTC Editora –8a edição –1998.
Facchini; “Matemática: volume único” Editora Saraiva –
1a edição –1996.
Apostila de sistemas de controle-Lugar das raízes-Prof.
Msc. Alexandre da Silva Simões-São Paulo –SP (2001)

26. Exercício 1
Representar o seguinte sistema de primeira ordem em sua forma
de função de transferência.
Realize a simulação e obtenção das respostas dos mesmos ao
degrau, a rampa e ao impulso.
Quanto vai ser sua constante de tempo T?

27. SISTEMASDECONTROLE1
CONTROLEESERVOMECANISMOS
EST –Escola Superior de Tecnologia
Fim Aula 6.1
Prof: Dr. Daniel Guzmán delRío
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